여기서 j, I? 에 대하여 고르게 갭쁜 00 (t ;' - I . - t%니 )=0 이고 {v,,( t)}는 유계이므로 (5.2.35) 와 (5.2.37) 로부터 II,l i11m1- , o o c ,,,111 = 0, c,,,m > 0 인 수 열 {c11 ,m } 이 존재하고 (5.2.38) 웁 || v,1(t) — viii (t) II 2 후 ,1,111+2 /3 韋? .-.11 II v(s) 국 ,,,(s) II 2. V11( Q )=Vm( Q)=

흡~ · . tl II v( r) —v111 ( r) ll 2 후, , . 111 Te 21J T _ 그러므로 {v,,( t)}는 [— r, T] 에서 고르게 수렴한다. 이상의 명제들을 이용하여 (5. 1.1) 의 강해의 존재성을 보이기로 한 다` 정리 5.2.7 (5. 1. 6)-(5. 1. 8) 과 (5.2.3), (5.2 .4)의 가정 아래 ¢。 : [― r,0]-x 를 리프쉬츠 상수 L 。 >O 를 갖는 리프쉬츠 연속함 수라고 하고 ¢。 (0) ED 라고 하자. 그러면 (5. 1. 1) 의 [— r, T] 에서의 강해 u( t)가 존재한다. 이때 각 te [O, T] 에 대하여 u (t) eD 이고 A( t) u( t)는 [0, T] 에서 약연속이다. 증명 명제 5.2.6 으로부터 {v,,(t) ｝가 [-r, T] 에서 고 르 게 수렴하므 로 l’,i. ..m..O O v,,(t) = u( t)라고 두면 명제 5.2.5 로부터 v,1( t)는 [0, T]에서 리프쉬츠 상수 N>O 을 갖는 리프쉬츠 연속함수이다. 따라서 u( t)는 [O, T]에서 절대연속이다. 각 tE [Q, T]에 대하여 u (t) ED 인 것과 w-li m A11( t)= A(t) u (t) n-*(X ) 임을 증명하기로 한다. All (t) =A( t;님 )u,l( t)이므로 (5. 1. 8) 로부터 II A11(t) - A(t)u 1 1(t) II = II A( t晶 )unC t) -A( t)uI I ( t) II :5: . I t;닙 -t i L1C II u,,( t) II )Cl + II A( t;니 )unC t) II ) ~h,,L1(K )(l +Ms).

따라서 [0, T]에서 고르게 (5.2.39) ,l,i-m. c o ( A11 (t)- A( t)u1 1 (t)) = 0 이고 {A,,(t) ｝가 [0, T]에서 고른유계이므로 {A(t) u 11( t) }도 [0, T] 에서 고른유계이다. 명제 5.2.5 로부터 l i mu11 (t) =u (t)이므로 명제 1 戶 OO 1. 2.17 의 (1) 로부터 각 tE [0, T] 에 대하여 u(t ) ED 이고 [0, T]에서 고르게 w— lim A(t)u 11(t) = A(t) u (t) . ’, ......CX) 따라서 (5.2.39) 로부터 [0, T] 에서 고르게 w-lIti- m· 0 0 A,. ( t) = A(t) u (t) . 정리 5. 1. 8 의 증명에서처럼 하면 A( t )uU) 는 [0, T] 에서 약연속이 다. [0, T] 에서 u( t)가 약연속미분가능임을 보이기로 한다. (5.2.30) 으 로부터 각 x*EX· 와 匡 [O, T] 에 대하여 (5.2.4 0 ) (v11 (t), x*) = (¢。 (0), x*) —J。0 \A1 1 (s), x*)ds+ fi。t( G,, (s), x?ds. 각 0E[_r,0] 와 sE( t;'-l, t?]에 대하여 1l1i- m c : o u;:Ct ;'- 1 + 0) = 1l1i- mc:o u,, (t晶 + 0) = u(s+ 0)

이고 G11(s) = G (s;'-1 , ( 퍼) g - 1 ) 이 므 로 1l1i- m• 0 0 G,1(s) = G (s, ttS ) . 또 II A(s) II sM 려고 || G(s) II sM 러므로 (5.2.40) 에 n-► 00 이면 르 베그의 유계수렴정리로부터 각 x•Ex• 와 匡 [O, T] 에 대하여 ( u( t), X•) = (O 이라고 하고 r>O 이라고 하자. 5.2 에서는 (5. 1.1) 의 이산근 사해의 [_r, T] 에서의 고른극한이 (5. 1. 1) 의 [— r, T] 에서의 강해가 되는 것을 보였다. 따라서 이산근사해의 존재성은 강해의 존재성을 보이는 데 중요한 과정이다. r>O 이라고 하고 B 구 =B ,. (O)={xeXI llxl| < 카 이라고 하자. 또 PC( ［규 ,O J ; B r)

= {¢ : [-r,0] 一瓦 냐 는 조각적 연속함수이다} 이라 고 두고 PC([— r ,0] ; E ; ) 의 노름 |I • II PCB 를 각

명제 5.3.1 (5.1. 6) , (5. 1. 7) 과 (5.3.1) 의 가정 아래 ¢。 EC([-r, 0];B,, ) 이라고 하고 ¢。 (0) ED 이라고 하자. 각

r 인 각 xED 와 tE [Q, T] 에 대하여 (5.3.3) (A(t) x — G( t, ¢), Fx) 2 0 이라고 하자. 그러면 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 (5 . 1. 1) 의 이산근 사해가 E 켜 존재한다. 증명 각 n= l, 2, …에 대하여 {t;'|j =l,2, … ,n} 를 [O,T] 의 분할 이라고 하고 h,, ＝王, t;'=j hll 이라고 하자. 단, to'= 0, t;:= T. 짜= ¢。 (0) 이라고 두고 굽(t) = { ¢。(t), tE [-r, 0] ¢。 (0) , t e (O, T] 이라고 두자. 각 te [-r, T]와 XEX 에 대하여 g心)( t) = X [一 r , O] (t)

(5.3.4 ) S1x = J,,,,( 제)( uo + h11G1 ( 재 )x) 와 같이 정의하면 각 x, y EB ，，에 대하여 II S1x -S1Y II = || J ,1 ,, ( 제 )(uo+h11G1( t o )x) 一J,,.(t o)(uo+h11G1Uo )y) II ~ hu ll G1 ( 제 )x —G 1( to) y II ~ h /3 II X— Y II . 각 xEB,에 대하여 S1XEB-; 임을 증명하자. S1x= u 라고 두고 u 半 B r 이라고 하자. 그러면 |I ull > r 이고 (5.3 .4)로부터 u+h, ,A(강 )u 내 ,,G1( tff )x ― u i1 = O. 짜= ¢。 (0) EB, 이므로 (5.3.3) 으로부터 0 = h11(A( 제)u_G(제 )x, Fu) + (u 국세, Fu) 2 ( u, Fu) —( u0 , Fu) 2 II u II 2 - II uff II II u II 티| uII ( II uII -규) >0. 이것은 모순이다. 따라서 uEB;: 이다. 또 충분히 큰 자연수 n 에 대 하여 hll/3 < l 이라고 하면 S1 : B; 一万급은 순축약작용소이다. 바 나흐의 부동점정리로부터 S1ui1 = ui' 인 u i IEE7 가 일의적으로 존재 한다. 각 tE [— r, T] 에 대하여

국(t)={ :。(t), t E[ 一 r,0] u;', tE (0, T] 와 같이 두면 각 [E[-r, T]에 대하여 ui' (t) EB 구이고 G1C trf) x= G( trf, (gi(x ))10) = G( t/j\ （국)t ; ) 이므로 (5.3 .4)로부터 퍼 = J,, ( u0' + h,,G( 제, ( 굽) t;,)) 이고 ~+A(to')u ;1= G (t 0’, （급)/.). j =l,2, … ,n 에 대해서도 작용소 sj : Ii구 -x 를 각 XEB 구에 대하여 (5.3.5) S;X = l,,.( tj'_1 )( u 昌 +hnGi t昌 )x) 와 같이 정의하고 S1 의 경우에서처럼 h11fJ < l 인 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 sj : Ii,, 一 E 구는 순축약작용소이다. s j의 부동점을 파 이라고 하면 u j 1EB 구이고 각 tE [_r, T]에 대하여 파(t) ={ :1, 〈t) ;E::k'\,rt 『 k= l, 2,… ,j-1 파, t E( tj니, T]

와 같이 두면 각 tE [— r, T]에 대하여 u;’(t) EE r 이고 G,( t;니 ) u;' = G( t;'- 1 , ( g;( u;') ) ,;) = GU?-1, ( 詞) t:- I) 이므로 (5.3.5) 로부터 u;' = J,,. ( t;니)( u 昌 + h,IG( t;l- I , ( 詞) t:- I) )) 이고 u;'-hu,1; '-1 +A( t昌 )u;'= G (t;니, ( —파 )I f- I). 각 fE [-r, T]와 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 u,,(t) = u::( t)와 같 이 두면 정의 5. 1. 1 로부터 {u,,( t)}는 万균에 있는 (5. 1.1) 의 이산근사 해이다. 다음의 호모토피 (homo t o py)에 관한 보조정리는 (5. 1. 1) 의 이산근사 해의 존재성을 보이는 데 유익한 결과이다. 보조정리 5.3.2 U 를 X 의 개집합이라고 하고 작용소 H : [O, l] x YJ- x 가 (1) 각 tE [0, l] 에 대하여 H(t, • ）는 반연속이고 강증대이다. (2) H(t, • ）는 U-에 서 고르게 te[ O, l] 의 연속함수이다. (3) 각 (t,x ) e(O,l)xau 에 대하여 H(t, x )=I= 0. (4) XOE U 가 존재하고 각 XE8U 에 대하여 II H(O, x0) II ~ II H(O,x) II

를 만족한다고 하자. 단, au 는 U 의 경계이다. 그리면 HO,xo)=0 인 x0eU 가 일의적으로 존재한다. 보조정리 5.3.2 를 층명하기 위하여 다음 보조정리가 필요하다. 보조정리 5.3.3 U 를 X 의 개집합이라고 하고 T : U- --> X 를 연속강 증대작용소라고 하자. x0EU 가 촌재하고 각 xEaU 에 대하여 II Tx0 I| ~ II Tx || 이 라고 하자. 그러 면 0 드 T( U) • 보조정리 5.3 .2의 증명 먼저 x 。 Eau 가 존재하고 H( l, x 。 )=0 이라고 하자. 그러면 x 。 E 7J지므로 결과가 성립한다. 다음 각 xEaU 에 대 하여 H (l ,x)-=/=0 이라고 하자. 지금 r= inf{ II H( t, x) II I tE [O, ll. x EaU} 이라고 두면 r > O. 실제로 r= O 이라고 하면 하한의 정의로부터 {t,,} c[o,l]. {xll}cau 가 존재하고 lim H(t1 1 ,x11)=0. ’r 가 OO ”li- mc o t 11= t라 0,1] 이라고 하면 (2) 로부터 ,l,i-m, c o H (t, x ,,)=0. (1) 의 강증대성으로부터 {x} 은 코시점렬이고 따라서 曲 ~xll=x EoU 이 라고하자. (1)의 연속성으로부터 k----+ oo 이면 II H( t, x) II :s:; II H( t, x) -H(t, x ,,) II + II H( t, x,,) 11-0 로부터 |I H(t, x ) II =o. 즉 tE [o, 1], x Eau 가 존재하고 H( t,x) =O. 가정 과 (3) 으로부터 t= 0 . (4) 로부터 x0 E U 가 존재 하고

II H(O, x0) II = II H(O, x) II = 0. (1)의 강 증 대성으로부터 0 < c II x-x0 II ~ II H(O, x)-H(O, x0) II = 0. 단, a > O 는 H 의 강증대성의 상수이다. 이것은 모순이다. 따라서 r >O . E= ｛匡 [0, 1] I H( t, x) = O 인 xE U-가 존재 } 이라고 두면 보조정리 5.3.3 으로부터 0EE 이다. E 가 페집합임을 보이기로 한다. {tII} CE, !쁜:t ,1= t E[O, 1] 이라 고 하자. 그러면 {x,1}C 万_가 존재하고 각 n=1,2, …에 대하여 H( t,,, x,,) = 0. r > 0 를 보일 때와 같이 하여 XE U_ 가 존재하고 lIti_ m . Ox O 11=x 이고 H( t,x )=0. t EE 이고 따라서 E 는 폐집합이다. E 가 개집합임을 보이기로 한다. t。 EE 이라고 하자. 그러면 YoE 7J가 존재하고 H( to,Y o)=O. (2) 로부터 H( • ,Yo) 는 연속이므 로 t。드 [0,l] 의 근방 N 이 존재하고 각 t eN 에 대하여 II H(t, Y o) II < r. t EN 이라고 하자. YoEU- 이고 각 xEaU 에 대 하여 || H(t, Y o) II < r::;;; II H(t, x ) || 이므로 보조정리 5.3.3 으로부터 X 드万-가 존재하고 H(t, x )=0. 따라서 tE E. 즉 E 는 개집합이다. 그러므로 E=[0,1] 이고 x 。-万-가 존재하고 H(l, x0 )=0. 보조정리 5.3.2 를 이용하고 명제 5.3.1 로부터 (5. 1.1) 의 이산근사해

가 万구에 존재하는 것을 보이기로 한다. 명제 5.3 .4 (5.1. 6) , (5. 1. 7) 과 (5.3.1) 의 가정 아래 ¢。 EC([-r,O ] ; B ,;), ¢。 (0) ED 라고 하고 D 를 홉수적 (absorb i n g)이라고 하자. 각 EPC([-r,0] ; 瓦)와 || x|| = r 인 각 xED 에 대하여 (5.3 . 3) 이 성 립한다고 하자. 그러면 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1.1) 의 이 산근사해가 万 r 에 존재한다 . 증명 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 h11/3 ＜ 1 이라고 하자. U=B r 이 라고 두고 작용소 H : [O, l]x U--x 를 각 (t,x ) 락 0, l] x V 에 대하여 (5.3.6) H(t, x ) = x 一tS 1x 와 같이 정의하자. 단, S1 은 (5.3 .4)의 순축약작용소이다. (5.3.6) 의 H( t ,x) 가 보조정리 5.3.2 의 (1)-(4) 를 만족하는 것을 보 이기로 한다. (1) (5.3.1) 로부터 각(t ,x),( t,y )E[O,1]x 7J-에 대하여 II H(t, x )— H( t,y) II :s:: II x-yl l +h11/3 I I x-yl l = (1 +h /3) II x-y I I 이므로 각 te [0, 1] 에 대하여 万구에서 H(t, • )는 연속이다. 각 (t,x) , (t,y) E[O, 1] xV에 대하여 (H(t, x )-H(t, y ), F(x-y) )

= ( (x- tS 1x)-( y一t S1Y), F(x-y) ) = (x— y, F(x 一y))-t (S1x-S1 y, F(x-y) ) > || x— Yl l2-t1 1 Six -S1y ll ll x-yl l 칙 1- th ,, /3) IIx-y II 2. 따라서 각 匡 [0,1] 에 대하여 Er 에서 H( t, • ）는 강증대작용소이 다. (2) t, s 닥 0, 1] 이라고 하자. S1 이 V oi l 서 리프쉬츠 연속이므로 각 xEU~에 대하여 I| S1x |I ~ II S1x-S10 II + II S10 II < h,1/3 |I X II + II S10 II ~ II X II + II S10 II = K,。 이므로 II H(t, x )-H(s,x) II :;;;Ko I t-s I . (3) H( t ,x)=0 인 (t,x ) E( Q ,l)xau 가 존재한다고 하자. 그러면 죠t = S1x. (5.3.4) 로부터 ~t ED 이고 -f + h,A( 강)(? ) 내 ,IG 때 )x- u0 = 0 . 따라서 (5.3.7) 0= 무 +h,,(A( 강 )(?),Fx) -h11CG1 (재 )x, Fx) —(u 0, Fx).

그런데 무― (u0,Fx) 근무_ || u0'|I I|x|| 三부민- IIxii 도 (1 ― 1) II XII 2>0 이고 D 가 홉수적이므로 x= t{ ED. 그러므로 (5.3.7), (5. 1. 7) 과 (5.3.1) 로부터 O> (A( 제)(-f ) , Fx) -( G1( 제 )x, Fx) = 규 (A( t0 )({ ) -A( t0)x, F(-1 y x)) + (A( t0)x — G1 C trf)x , Fx) 책. 이것은 모순이다. (4) H(O,0)=0 이고 각 xEU 제 대하여 H(O,x)=x 이므로 냈 =0 이라고 두면 II H(O,x0) II = o미 x ii = II H(O,x) II . 보조정리 5.3.2 로부터 H(l,x)=O 인 xEU 一가 일의적으로 존재한 다. 즉 S1x=x 인 xEE7 가 일의적으로 존재한다. 나머지의 증명은 명제 5.3.1 의 증명과 같이 하면 된다. 그러므로 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1.1) 의 이산근사해가 万구에 존재한다. 명제 5.3.5 (5. 1. 6) 과 (5.3.1) 의 가정 아래 각 tE [Q, T]에 대하여

A( t) : D=D(A (t ))cX - •X 가 증대작용소라고 하자. 瓦 CD 라고 하고 각

= (1-th,1 / 3) |I x— Y II 2 이므로 각 te[ O, l] 에 대하여 H(t, • ）는 万_에서 강증대작용소이다. (2) t ,s 락 0,1] 이라고 하자. A (tli’)와 G1Uo’) 가 万제서 유계이므 로 각 XEBr 에 대하여 II S1xll :=:;;K1 인 K1 > 0 가 존재한다. 이때 II H( t, X) —H( s, x) II = II (l-t)x + tS1 x —( l _ s)x _ sS1x || = II (s— t)x + (t-s )S1x II :=:;: I t一 s I ( r +K1). (3) H( t ,x)=0 인 (t,x) e[O,l] x au 가 존재한다고 하자. 그러면 (5.3.10) O= II xii 2+Kh11(A( 제 )x-G1( 제 )x,Fx) ― (u0,Fx)). 그런데 II X II 2- t ( Uo , Fx) 타| X II 2 -t II ua' II II X II 2 (1 —t) II X II 2 > 0 이므로 (5.3.10) 과 (5.3.3) 으로부터 0 > th, ,(A( t0) x-G 諱 )x, Fx) 킥 0 이고 이것은 모순이다. (4) 명제 5.3.3 의 증명에서처럼 하면 된다. 보조정리 5.3.2 로부터 H (l ,x)=0 인 xeV가 일의적으로 존재한 다. 즉 S1x=O 인 XEE; 가 일의적으로 존재한다. (5.3.9) 로부터 x + h,,A ( tff)x -h11G1( to) x-u ff = 0 .

x=u1' 이라고 두고 국( t) = { u¢。i' (, t) t, e t (EO ,[ T-] r, 0] 와 같이 정의하면 Ul h\,u°'I +A( 제)짜= G( t o, （급)/ ；； ) 이고 짜 = Jh. ( 제)( Uo + h,,G( to ' ( ui') lo)) . 나머 지 의 증명은 명제 5 . 3 . 1 의 증명과 같이 하면 된다. 그러므로 충 분 히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1.1) 의 이산근사해가 万구에 존재한다. 명제 5.3 .6 (5.1. 6) , (5 」 .7) 과 (5.3.1) 의 가정 아래 상수 a > O 가 존재 하고 각 xED nE 구 와 te [0, T]에 대하여 (5.3.11) (A(t) x , Fx) 2 a ll x ii 2 이라고 하자. OED 라고 하고 각 tE [O, T] 에 대하여 A (t) O=O 이라 고 하자. G (t ,O)=O 이라고 하고 8E(0,a) 라고 하자. 그러면 충분 히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1.1) 의 이산근사해가 万구에 존재한다. 증명 5.1 에서처럼 각 tE [O, 기와 충분히 큰 자연수 m 에 대하여

lm(t) = U+ ¾A (t) ) - 1, Am(t) = A(t) fm( t) 이라고 두자. 먼저 각 uEaB 구 , q> EPC([-r,O] ; B -;:: ) 와 tE [Q, T] 에 대하여 (5 .3.12) (A111 (t)u -G( t, ¢), Fu) > 0 를 보이기로 한다. (5. 1. 7) 로부터 각 u E oB -;: 에 대하여 x+ 上m A( t) x= u 인 xED 가 존재한다. 각 匡 [0, T] 에 대하여 A( t) O=0 이고 x=]111(t) u 이므로 II X II = II fm (t) u II 幻| u ll = r 이 고 따라서 xEB-;:. (5.3.11) 로부터 (u, Fx) = ( (I+ +mA (· t·)·) x ,· Fx)· = 1··1 x ·I·I 2 + +m( A(t)x , Fx) 티| X II 2+ -! II X II 2 = (1 + -! )II X II 2 이므로 II lm( t)u II = II X II ~ (1 + 갑 ) 기 I u ll . 따라서 (Am(t) u , Fu) = m( (I-fm(t ) )u , Fu) 나 m(l-(1 +갑 )-1) II u II 2. rE( /3 ,a) 라고 하자. 각 tE [O, T] 에 대하여 G( t ,0)=0 이므로 각 匡 [O, T]와

로 각 uEaB--,., rp EPC([-r,O] ; B, .), tE [O, T]와 충분히 큰 자 연수 m 에 대하여 (A111 (t)u -G( t, ¢), Fu) 니 m( l -( 1 + 갑 ) -1) II u II 드 || G( t, ¢) II II u ll 감 ; 2 _ /3구 =(r- /3) ;2> O . 따라서 (5.3.12) 가 성 립한다 . 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 hll/3 < l 이라고 하자. A, 1 ,( ti'）는 E r 에서 연속이고 유계이므로 작 용소 H : [0, T] x 瓦 -x 를 각 (t,x ) 락 0, T] x B 구에 대하여 (5.3.13) H( t, x) = (1 규) x + tS1 x 와 같 이 정 의하자. 여기서, 각 xEB 군 l] 대하여 S1x= x+h, 가 ,I I( 강 )x-h11G1( 제 )x ―때 이다. Am (t)에 대하여 명제 5.4.3 의 증명으로부터 S1x= O 인 xEB ,. 가 일의적으로 존재한다. 이때 x+h1A111( trf )-h11G1( 쇄 )x- 때= O 廳 이고 따라서 (5.3.1 4 ) x-~u0 +Am(to ' )x= G1( 제 )x 이다. x=x,,, 이라고 두고 {x,I I } 이 수렴하는 것을 보이기로 한다.

간단하게 하기 위하여 Am= h11A,,,( 제), ]= I 一 h,,c1

집합에서 고른연속이므로 (5.3.15) 로부터 』.i ~ 00 II Xm-XIII =Q. 따라 서 {x,II} 은 수렴한다. 曲 ~x111=x 이라고 두면 xEBr. 그런데 lim An.x m = lim (y- lxm) = y-Jx, ,-.OO . nF OO nliF m'c o J,,,x,,,= x 이고 A( t갑)가 폐작용소이므로 XED 이고 (5.3.16) A( 제 )x= y_Jx= u il _x+h,IGl( 제 )X. x= u i'이라고 두고 詞(t) = { ¢。(t), tE [ nr, 0] u1', 匡 (0, T] 와 같이 정의하면 (5.3.16) 으로부터 'I II Ulh\,u° +A( 강 )u i'= G( t o', （국)김 이고 ui' = J,,n ( 제)( Uo + h11G( to1, ( ui' ) ,;;)) . 나머지의 증명은 명제 5.3.1 의 층명과 같이 하면 돗!다. 그러므로 충 분히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1. 1) 의 이산근사해가 万구에 존재한다. 지금까지 万구에서 (5. 1.1) 의 이산근사해의 존재성을 고찰하였다.

이 절의 나머지 부분에서는 万에서 (5. 1.1) 의 이산근사해의 존재성을 살피기로 한다. PC([-r,0) ; D) = { ¢ : [一 r,O]- ► 万 냐가 조각적 연속함수} 라고 하고 PC([-r, 0] ; 万)의 노름 II • II PCD 은 각 ¢ePC([-r,0] ; D:)에 대하여 II II PCD = Oe~ ( u _?,.,O J II ¢( 0) II 와 같이 정의한다. (5. 함1. 수10 ) 에G :대 [응0,하 T는]x PPCC(([[-—r ,r0,0 ]] ;; 万万) _-)에x 서에의 대가하정여은 가 정각 각( 5. 다1. 음9) 과와 같다. (5.3.17) 상수 (3 >0 가 존재하고 각 ¢, rpe PC([-r,O] ;万_)와 te [O, 까에 대하여 II G( t, ¢) -G ( 나) || 획 /3 11 ¢ -< /J II PC[)· (5.3.18) 중가함수 L2 : [0, oo) 一 [0, OO) 가 존재하고 각 t, SE [Q, T] 와 ¢ePC([-r,0] ; 万-)에 대하여 II G( t, ¢) -G(s, ¢) II ~L2( II ¢ II pc v) I t- s I . 명제 5.3.7 (5.1. 6) , (5.17) 과 (5.3.17) 의 가정 아래 ¢。 eC([-r, 0] ;75 ), ¢。 (O)ED 라고 하자. 상수 a1, a2>0 가 존재하고 각 t e[O,T] 와

II x ii ~a 2 인 각 xED 에 대하여 (A( t)x, Fx)~ —a1 II x ii 이라고 하자. 또 상수 M > O 이 존재하고 각 t E[O,T] 와

(1) 각 tE [O, l] 에 대하여 H( t, • ) 는 연 속 이다. 그리고 각 (t, u), (t, V) 락Q, 1] X U- 에 대하여 (H( t,u )-H(t, v ),F(u— v)) ~ II u— VII 2- t h11 / 3|| u-vll2 =(l_th , 1 /3 ) II u-vll2 이므로 각 tE [Q, 1] 에 대하여 H(t, • ）는 강증대작용소이다. (2) t, s 락 0, 1] 이라고 하자. 각 uEX 에 대하여 II Siu II s II s1u-s10 II + II s10 II s II u II + II S10 II 로부터 II H( t, u)-H(s, u) II ~ I t-s I II Si u II ~ I t-s I C II u II + II s1o II ) 이므로 H(t, u) 는 X 의 유계집합에서 tE [O, l] 에 관하여 고른연속이다. (3) 먼저 r>O 가 존재하고 각 t E(0,1) 에 대하여 H( t ,u)=O 를 만족하는 u=u1 에 대하여 || u1II ~~이다. 실제로 각 m=l ,2, … 에 대하여 t,IIE(O, 1) 이라고 하고 lim II u1m II = 00 이라고 가정하자. nr- ,oo Um= Ulm 이라고 두면 (5.3.20) 으로부터 u,,, _ t,II h,,GK t0') J, ,( 제 )u, ＂ 크 ,,,uo = O. x,,1= Jh . ( 제 )Un, 이라고 두면 XmED 이고 (5.3.21) X, n +h,A( 강 )xm- t ,,,h,,G1( to')x ,,, = t,,, uo '.

만일 {x m } 이 유계부분점렬을 갖는다면 (5.3.21) 로부터 {A( 제 )x,n} 이 유계부분점렬을 갖 고 따라서 {um} 이 유계부분점렬을 갖는다. 이것은 모순이다. 따라서 !Li:2 , II X111 II = OO. 다시 (5.3.21) 로부터 0 = ll xm ll 2+ h11(A( 제 )Xm, Fxm) -t111 h11( G1 ( 제 )Xm, Fxm) -t lll( Uo ' Fxm) ~ II Xm II 2-h 11a1 II Xm II -h11MII Xm II - II Uo II II Xm II = ( II Xm II —h11 a1 -hllM-II Uo II ) II Xm 11-00. 이것은 모순이다. 즉 상수 r > O 이 존재하고 각 t E(0,1) 에 대하여 I| u1 || 죠. 따라서 각 상수 국> 구에 대하여 U=B 구 1 이라고 두면 각 (t ,u)E[ Q ,l] x au에 대하여 H(t, u )=I= 0. (4) H(O,0)=0 이고 각 uEU 계 대하여 H(O, u)= u 이므로 u0=0 이라고 두면 된다. 보조정리 5 . 3.2 로부터 H( l, u)=0 인 uEU가 일의적으로 존재한 다. 즉 S1u= u 인 UE Bi:i가 일의적으로 존재한다. x= Jh . (t b')u 이 므로 (5.3.19) 로부터 x+h,A( tcf)x ~h11G1( tcf )x 一짜= 0. x= u i'이라고 두면 u 『 ED 이다. 국(t)={ u~。i(', t ),t E t(E0 ,[ T-]r ,0] 와 같이 정의하면

¥ +A(t( { )u;'= G(t0 ', （국)f i, ) 이고 u;' = h. ( to) ( Uo + huG( to' + ( ui') 1;)) . 나머지의 증명은 명제 5.3.1 의 증명과 같이 하면 된다. 그러므로 충 분히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1. 1) 의 이산근사해가 万에 존재한다. 다음 보조정리는 명제 5.3.9 를 증명하는 데 필요하다. 보조정리 5.3.8 (5. 1. 6) 과 (5. 1. 7) 의 가정 아래 X 도 고른볼록공간이라 고 하면 万는 철회적 축약작용소를 갖는다. 즉 작용소 P : x- 万가 존재하고 R(P)= 互 P=P 이고 각 x, y EX 에 대하여 II Px— Py ll ~ II x-yl l . 명제 5.3.9 (5.1. 6) , (5. 1. 7) 과 (5.3.17) 의 가정 아래 X 도 고론볼록공간 이라고 하자. OED 라고 하고 각 tE [0, T] 에 대하여 A( t) O=O 이라 고 하자. 각 OE[ ― r,O] 에 대하여 ¢。 (8)E 万 nB 구이라고 하고 각 xeDnaB,;, ,1 E(O,l), ¢ePC( ［一 r,0] ; nn 瓦)와 te [O, T] 에 대하여 (5.3.2 1 ) (A( t)x -,1G ( t, ¢) , Fx) 학) 이라고 하자. 그러면 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1. 1) 의 이산근

사해가 万 n Ii ,. 에 존 재한다. 증명 보조정리 5.3.8 로부터 D 는 철 회적 축약작용소 P 를 갖는다. OED 이 므 로 PO=O 이고 각 xEoB 구 에 대하여 II PxII s II XII = r. 또 각 (t,x) E[-r, T] x aB ,. 에 대하여 g 1(Px)( t )E75nB ,. 이고 따 라서 (g1 ( Px))1 EPC( [-r, O], 万 n B ,.). 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 h,1/3 < 1 이 라고 하자. U= B 구라고 두 고 작 용소 H : [ 0 , l] x V - x 를 각 ( t, x) 탁 0 , l] x U 에 대 하여 (5.3.22) H( t, x ) = x-]1,. ( 제 )( t( h11G1 ( 제 )Px + 패)) 와 같이 정 의하고 이 H( t ,x) 가 보조정리 5.3.2 의 (1)-(4) 를 만족하는 것을 보이기로 하자. (1) 각 tE [O, l] 에 대하여 H (t, • ）는 연속이다. 또 각 (t,x ), (t,y) 락 0, l] X U 계 대하여 (H(t, x)-H(t, y), F(x— Y)) 2 II X-Y II 2-th1 1 /3 II x-y l l 2 착 1-hll /3) || x— Y II 2 이므로 각 tE [Q, 1] 에 대하여 H( t, • ）는 강증대작용소이다. (2) t, s 락 0, 1] 이라고 하자. 각 XEU 제 대하여 II H( t, x) -H(s, x) II ~ I t一 S I (hll ii G1( 강 )Px II + II Uo II ) ~ l t- sl (h(/3 r +M1)+r)

s I t- s I ( T(/3r +M!) + r). (3) H( t ,x)=0 인 (t ,x)E( Q ,1) x aU 가 존재한다고 하자. (5.3.22) 로부터 XED 이고 따라서 Px= x 이므로 x+h,,(A( 제 )x- t G1( 제 )x)- tu o = 0 이고 따라서 (5.3.21) 로부터 0 = II X II 2 +h11(A( tb') x-tG 1 ( to)x, Fx) -t(uo , Fx) 티| x 11 2 - t II uo 11 11 x 11 2 o - t) r2 > o 이고 이것은 모순이다. (4) H(O,0)=0 이고 각 xE 万제 대하여 H(O,x)=x 이므로 x0=0 이라고 두면 된다. 보조정리 5.3.2 로부터 H( l. x)=0 인 xE 万-가 일의적으로 존재한 다. (5.3.22) 로부터 x+ h,A( 제 )x-h11G1Uo)x- uo = O. x= u i1 이라고 두면 u i 1EDnB 구이다. 詞( t) = { u¢。i'(, t) t, E t( EQ , [ T—] r, 0 ] 와 같이 정의하면 각 t E[ 一 r, T] 에 대하여 U11(t ) E 万 nB 군]고 u f h三 +A(tlJ ) ui' = G( 제, （言)祐

u;z = J,’( 제)( uo + hllG( 제, ( uf) t;) . 나머지의 증명은 명제 5.3.1 의 증명과 같이 하면 된다. 그러므로 충 분히 큰 자연수 n 에 대하여 (5. 1.1) 의 h,, －이산 근 사해가 万 n B.: 에 존재한다. 명제 5.3.1, 명제 5.3.3 - 명제 5.3.7, 명제 5.3.9 들의 가정 아래 정리 5.2.7 에 대응하는 가정들을 추가하면 (5. 1.1) 의 [-r, T]에서의 강해가 E; (또는 万 nB .: ) 에 존재하는 것을 보일 수 있다. 예를 들 면 명제 5.3.1 과 명제 5.3.9 에 대응하는 결과는 각각 다음과 같다. 정리 5.3 .1 0 (5. 1. 6)-(5. 1. 8) 과 (5.3.1) , (5.3.2) 의 가정 아래 ¢。 : [-r,0] 一瓦 를 리프쉬츠 상수 Lo 를 갖는 리프쉬츠 연속함수라 고 하고 ¢。 (0) ED 이라고 하자. 각 .rpE PC([— r,O ] ; F;). 11 x11 >-;. 인 각 xED 와 tE [O, T] 에 대하여 (A(t) x -G(t, ¢), Fx) ~ O 이라고 하자. 그러면 (5. 1.1) 의 [-r, T] 에서의 강해가 万 7 에 존재한 다. 정리 5.3.11 (5. 1. 6)-(5. 1. 8) 과 (5.3.15), (5.3.16) 의 가정 아래 X 도 고 른볼록공간이라고 하자. OED 이라고 하고 각 tE [O, T] 에 대하여 A( t) O=O 이라고 하자. ¢。 : [-r,O] 一万 ne 구를 리프쉬츠 상수 L 。 >O 를 갖는 리프쉬츠 연속함수라고 하고 ¢。 (0) ED 라고 하자. 각

xE nnaB,,, tl탁 0,1), ¢EPC([-r, 0] ; nn 瓦)와 tE [0, T] 에 대하여 (A( t)x -tlG (t, ¢), Fx) ::::::: 0 이라고 하자. 그러면 (5. 1.1) 의 [-r, T] 에서의 강해가 万 nn 구 에 존재한다. 5.4 예와 응용 R 에서 비자율함수열방정식 (5.4.1) 챔 (x, t) -a (t) k( 景 (x, t)）웅 (x, t) =f(t, u(x, t-r )), O< x < l , Q::;;t:: ;;T u(O, t) = b 맵 (0, t), 0 입~ T u(l, t) =― c 맵(1, t), 0 ~ t갑 u(x, t) = ¢。 (x, t) , 0 < x < 1, -r ~ t~ 0 룰 고찰하기로한다. 단, u(x,t) : (0,1)x[— r , T]-R, a : (0, T] -R, k : R-R, / : (0, T] x R-R, r > O, b z O, c z O이 고 ¢。 : (O, 1) X [ _r, 0]-R. 정리 5.4 .1 각 XE(O,1) 에 대하여 ¢。 (x, • ) : [― r,O]-R 룰 리프쉬 츠 연속함수라고 하자. 상수 a 。 >0 에 대해서 a: [0, TJ -[a 。,CX))

를 리프쉬츠 상수 a1 > O 를 갖는 리프쉬츠 연속함수라고 하고 kE C(R) 이라고 하자. 상수 co > 0 가 존재하고 각 uER 에 대하여 k(u)2c0 이라고 하고 b20, c20 이라고 하자. 상수 (3 >0 가 존재하고 각 (t, u), (s, v 匡 [0, T] x R 에 대하여 I f(t, u)-/(s, v) I ~/3( I t-s l 十 l u— V I ) 이라고 하자. 그러면 a.e. (x, t) E (0, 1) x (0, T)에 대하여 (5 .4 .1) 를 만족하는 함수 u(x, t)가 존재한다. 증명 p E (l,(X)）에 대하여 X=LP(O.1) 이라고 하자. 각 tE [0, T] 에 대 하여 작용소 A'( t) : iJc x-x 를 iJ= {uEX I uEC2 ( [ 0, 1]), u(O) = 틀 (0), u(l)=-c 뿔 (1) }. A'(t) u= 一 a( t )k( 信 ~ . uED 와 같이 정의하고 각 tE [O, T] 에 대하여 A( t)를 X 에서의 A( t)의 페포라고 하자. 함수 c : [O, T]xPc-x 를 각 (t, ¢).E[0, T] xPC 에 대하여 G( t,¢)=f(t,¢(一 r) ）와 같이 정의하면 각 tE [O, T] 와 UEX 에 대하여 G( t, u1) = f( t, ui (-r)) = /(t, u(t- r )). 따라서 (5 .4 .1) 은 X 에서의 비자율함수미분방정식 (5. 1. 1) 이 된다. 가정 (5. 1. 6)-(5. 1. 8) 과 (5.2.3), (5.2 .4)가 만족되는 것을 보이기로 하자. Adams[l] 의 따름정리 2.29 로부터 각 p E(LOO) 에 대하여

X=LP( ― r,O) 는 고른볼록공간이다. D= ff이라고 하면 Burch- Goldste i n [14] 의 정 리 2.2 로부터 각 te [O, T] 에 대하여 A( t) : D(A( t)) =Dc. X-X 는 X 의 m 중대작용소이다. 각 uED 와 t, SE [0, T] 에 대하여 (5.4.2) 11 A(t) u — A(s)u II p = I a(t) - a(s) I II k( 皇1ft II p :s;;a 1 I t- s I II a(s)k( 층)1ft II p-h 소으a 。 | t- s 1· 11 A(s)u 11 p 근릅 I t— s I Cl + II A(s)u II p) 이므로 작용소 L1 : [0,co)- [O ,co) 를 각 q드 [O,co) 에 대하여 Ll(q) = 으a· 。 와 같이 정의하면 A( t)의 폐포 A( t)에 대해서 II A(t) u -A(s)u ll p~ I t- s l L1( II u ll p) (l + II A(s)u ll p). 각 ¢,

또 각

제 6 장 비자율함수미분방정식 ―일 반 적 인 실 바나 흐 공 간 에서 X 를 실 바나흐 공간이라고 하자. T > O 이라고 하고 r > O 이 라고 하 자 . u(t ) : [-r, T]-x 라고 하고 ¢。 : [― r,O]-x 라고 하자. 제 5 장에서는 X 의 쌍대공간 X* 7] - 고른볼록공간일 때 X 에서 { 뿔 (:0+A(t) u ( t)-G ( t, u,). O S:t갑 T uo= ¢。 형의 비자율함수미분방정식을 고찰하였다. 이 장에서는 일반 바나흐 공간 X 에서 { 뿜 (t ) 十 A( t)u ( t) 국(t, u,) . sS: t갑, s20 Us=

정의하고 이들의 존재성 등을 고찰하기로 한다. 이때 발전작용소의 방법, 이산근사법 및 컴팩트성 방법 및 L p공간적 방법 등이 이용 된다. 6.1 에서는 비자율함수미분방정식의 일반화된 해의 존재성을 생각한 다. 이때 발전작용소가 이용된다. 그리고 일반화된 해의 열의 수렴성 을 고찰한다. 6.2 에서는 비자율함수미분방정식의 이산근사해의 존재 성을 보이고 이를 이용하여 6.3 에서는 극한해를 다룬다. 6.4 에서는 컴팩트성 방법을 사용하고 6.5 에서는 LP 공간적 방법이 이용된다. 6.7 에서는 이상에서 생각한 해둘의 점근적 동태와 해의 안정성을 생 각하고 6.8 에서는 예와 응용을 다룬다. 6.1 일반화된 해 이 절에서는 (6.1. 1) { 맵Us= +¢。~ (t)u( t )-G {t, u,), s :O, r>O 이라고 하자. ¢。 : ［규 ,0]-x 이고 각 tE [O, T] 에 대하여 A(t) : D(A( t)) cx-x, G : (0, T]xC-X 이다. 여기서 C=C([— r,0 ] ;X) 이고 C 의 노름 II • II C 은 각 ¢ E C 에 대하여 |I ¢ 11 c= 。며[u_pr ,0l |나< 8) II .

일반화된 해의 정의는 정의 6. 1. 3 에서 하기로 하고 이 절 에서 필요 한 가정 들을 아래에 열거하기로 한다. (6.1 .2) 상수 aER 가 존재하고 각 tE [O, 1'.I에 대하여 D(A(t) ) =D, A (t) +al 가 증대작용소이고 충분히 작은 A > O 에 대하여 R(1+ 凰(t)) = X. (6.1 .3) 단조증가함수 L1 : [0, oo)-[o. oo) 가 존재하고 각 . xED 와 t, 투 [0, T] 에 대하여 II A( t)x -A(s)x II s I t- s I L1( II x II )(1 + II A(s)x II ). (6.1. 4) 상수 /3 > 0 가 존재하고 각 ¢, cp EC 와 te [0, 1'.I에 대하여 II G( 나) - G( t, #) || 요 /3 || ¢ —cp II C· (6.1 .5) 단조증가함수 L2 : [0, oo)-[o, oo) 가 존재하고 각 ¢EC 와 t, sE[Q, T] 에 대하여 II G( 나 )-G(s,¢) II sL2C II ¢II c) I t-s I . 일반화된 해를 정의하기 위하여 다음 보조정리가 필요하다. 먼저 각 tE [Q, T] 에 대하여 작용소 B( t) : D(B(t) ) cC - ➔ C 를 D(B(t) )= {EC I AJ EC, (Q) ED(A(t) ), 뿔 (0) +A( t) ¢(0) = G( t, ¢)},

(6.1. 6) B(t) ¢= - 信 , O 에 대하여 (6.1 .7) II Bi t) ¢ —B i s) ¢ II c~ I t- s I L 。( II ¢ II c)( 1 + 1I BA (s ) ¢ |I c) . 증명 ¢EC, t, sE[O, T], J > O 이라고 하자. #(t, • )=(I+AB( t ))-I¢ 이라고 두면

(6.1. 8) , (6.1. 9) , (6. 1. 3) 과 명 제 2. 1. 2 로부터 Aa < 방 인 ,t E (O, l) 에 대하여 II c/J( t, • ) -< /J( s, • ) II c = |나Ct , 0) -c /J( s, 0) II < II (1+ 心( t)) _ 냐 (0) + JG ( 나(t, • ))) -(I+誌(t)) 一 1(

= i II ¢(0) + tlG (s,

그런데 少。 EC 에 대하여 (6. 1. 4) 와 (6. 1. 5) 로부터 II G(s,

II r/1( 0, • ) II c= II (I+A B(0))- 1 ¢ II c 디 (I+A B(0))- 1 ¢-(I +A B(0))- 1 sll C + II (I+A B(0)) -1s-sl l c+ II n C < 占 || ¢-sll c+A II B(O)sll c+ II n C ::;;K1C II ¢ II c+ II sll c+ II B(O)sll c) = L5 ( |I ¢ |I c) . 단, K1 = max {l, -r-¼ }이고 L5 : [O, CX))一 [O, CX))는 단조중가함 수이다. 따라서 A II Bi O ) ¢ II c~ II ¢ II c+Ls( II ¢ II c) 이고 II

단, L0 : [0, oo) 一 [O, 00) 는 각 q드 [O, 00) 에 대하여 L 。(q)＝짜도 (L5( q))+(l +L4(L5( q )))L1( II ¢(0) II +L4(L5(q )))] 이고 단조증가함수이다. 그러므로 II B, i( t) ¢, -B,1 ( s) ¢, II c 나 I 나( t, • ) 국( s. • ) II c = I t— s l L 。( II ¢, II c)O + II B,1 ( s) ¢, lf-·c ). 명제 6.1.2 (6. 1. 2)-(6. 1. 5) 의 가정 아래 각 tE [Q, T]에 대하여 B (t)를 (6. 1. 6) 의 작용소라고 하자. -B (t)에 의해서 생성되는 D(B( t))三 b; 의 r- 형 발전작용소 {V( t,s) I (t,s) E6} 가 일의적으로 존재하고 각 ¢드瓦에 대하여 (6.1. 11 ) V( t,s)< />= l’,i. ..m..C X ) iT=”I l {I+上n ~ B(s+ i.ni 그)}%. 단, 이 수렴은 [s, T] 에서 고른수렴이고 !::.= {(t,s) I O~s~t ~ T}. 증명 (6. 1. 2) 과 (6. 1. 4) 의 가정 아래 r= max(O,a+ /3)라고 두면 명제 3.3.3 으로부터 각 tE [0, T]에 대하여 B (t) +rl 는 증대작용소이고 AYO 에 대하여 R( I+A B(t) ) =C. 명제 3.3.4 로부터 각 tE [0, T]에 대하여 D(B( t))= {rp EC 나 (0) ED(AU))} 이고 D(A( t)) =D 이므로 D(B(t) ) = 瓦이라고 두자. (6.1. 3) , 명제 2.1. 2 와 보조정 리 6. 1. 1 로부터 각 ¢eC, t, se[O, T]와 충분히 작은 A> O 에 대하여 (6. 1. 7) 이 성 립한다. (6. 1. 11) 의 표현으로부터 일의성 은 분명하므로 정리 2.2.2 로부터 이 정리가 성립한다.

(6. 1.1) 의 일반화된 해 를 다음과 같이 정의한다. 정의 6.1 .3 명제 6.1. 2 의 발전작용소 {V(t,s ) I (t,s) E 6 } 와 ¢。 E 万; 에 대해서 u(t) ={ f。(t _s), _r+s 업후 ( V(t, s)¢ 。 )(0), s~ t~ T 와 같이 정의되는 함수 u(t) : [— r+s, T]-c 를 (6. 1.1) 의 [— r+s, T] 에서의 일반화된 해(g eneral i zed soluti on on [— r+s, T] ）라 부른다. 명제 6. 1. 2 와 정의 6. 1. 3 으로부터 (6. 1. 1) 의 일반화된 해의 일의적 인 존재 정리를 얻는다• 정리 6.1.4 (6. 1. 2) - (6. 1. 5) 의 가정 아래 각 tE [Q, T] 에 대하여 B(t) 롤 (6. 1. 6) 의 작용소라고 하고 ¢。 E 万尸= D(B( t))이라고 하자. 그러 면 (6. 1. 1) 의 [— r+s, T]에서의 일반화된 해가 일의적으로 존재한 다. (6. 1.1) 의 [— r+s, T]에서의 해와 강해를 정의하기로 한다. 정의 6.1.5 함수 u(t ) : [-r+s, 1]-x 에 대하여 (1) u( t)는 [s, TJ에서 연속미분가능이다. (2) u( t)는 (6. 1.1) 을 만족한다. 가 성립할 때 u( t)를 (6. 1. 1) 의 [_r+s, T] 에서의 해 (solu ti on on [— r+s, 기) 또는 고전적인 해 (class ic al soluti on on [-r+s, TJ)라 부른다.

정의 6.1 .6 함 수 u(t ) : [-r+ s, T] —► X 에 대하여 (1) u( t)는 [s, T] 에서 절대연 속 이다• (2) u( t) 는 a.e. tE (s, T)에서 미분가 능 이다. (3) U5 = O 에 대 하여 R( I+M ( n, t)) = X. (6.1. 14 ) 단조증가함수 L1 : [O, oo)-[o, oo) 가 존재하고 각 n=l,2,… , xED 와 t, sE[O, r] 에 대하여

II A(n, t)x -A(n, s)x || :5:: I t— s I L1( II x II )(1 + II A(n, s)x II ). (6.1. 15 ) 상수 /3 > 0 가 존재하고 각 n= 1,2 ,… , O, tE [O, T] 와 xEX 에 대하여 l,,i- m.oo( /+ 凰 (n, t))기 x= (/+M( t))- 1x. (6.1. 18 ) 각 EC 와 tE [O, T] 에 대하여 뽀》 Gu ( t, ) = G( t, ) . X 의 작용소 A( t)에 의해서 C 의 작용소 B( t)를 정의한 것과 같 이 X 의 작용소 A(n, t)에 의해서 C 의 작용소 B(n, t)를 정의하기 로하자. 각 n= l,2, …와 tE [O, T]에 대하여 작용소 B(n, t): D(B(n, t ))cC-- ➔ C 를 D(B(n, t)) = {

뿔 (0) +A(n, t)(0) = G,, (t, )}, (6.1. 19 ) B(n, t)=- 魯 , ED(A(n, t)) 와 같이 정의하면 명제 6. 1. 2 와 정리 6. 1. 4 로부터 다음 명제를 얻는 다. 명제 6.1 .7 (6. 1. 13)-(6. 1. 16) 의 가정 아래 각 n= 1,2, …에 대하여 ¢。 드 D(B(n, t)) = 瓦일 때 (6. 1. 12) 의 [ —r+ s, T.]에서의 일반화된 5n u,,(t ) ={ f( 。V(t -(ts,) s,) ¢。- )r(0+),s 업s 업후< T 가 일의적으로 존재한다. 죽, (6. 1. 11) 로부터 (6. 1. 19) 의 작용소 B(n, t)에 대하여 万갭 r- 형 발전작용소 {V (t,s) I (t,s) 드스}가 존재하고 각 ¢드万;에 대하여 (6.1. 20 ) V,1(t, s )¢= l'im一 o o iI=?II I l {l+ 上m ? B(n,s+ i上m ? )}-1¢. 단, 이 수렴은 [s, T]에서 고른수렴이다. 보조정리 6.1.8 (6.1. 2) , (6.1. 4) , (6.1. 13 ), (6.1. 15 ), (6. 1. 17) 과 (6. 1. 18) 의 가정 아래 B( t)와 B(n, t)를 각각 (6. 1. 6) 과 (6. 1. 19) 의 작 용소라고 하면 각 0 에 대하여 l 뽀(I+ ,1B ( n, t)) -1¢ = (I+ ,1B ( t))- 1¢.

증명 (6. 1. 17) 과 (6. 1. 18) 로부터 임의의 e > O 에 대하여 자연수 no 가 존재하고 각 11>n 。에 대하여 |I ( (I+ M (t)) -1 -( I+M ( n, t)) -1 )( ¢(0) + AG( t, (I+A B( t)) -1 ¢)) II < 강 이고 II G11( t, (I+ AB( t)) -1¢) -G( t, (l+11 B( t)) -1) II < -f . 지금 충분히 작은 11 > 0 에 대하여 l—入 A a < 」2- 이라고 하고 근 전이라고 하자. 각

(I+AB(t) ) -l¢ ( 0) = (I+ AB(t) ) -l¢(0)e 요-1 . + 牙요A f 。o e 거 ¢(6)d6 = e _fA}_ (I+ 凰( t)) - 1 ( ¢(0) + ,,lG ( t, (I+;lB( t)) - 1 ¢)) +~웃 fo。u e _ 으납 (a)da. 또한 B(n, t)에 대해서도 위와 같이 하면 (I+ AB( n, t)) -1¢( 0) = e 요A (I+ 凰( n, t)) -1( ¢(0) + AG11( t, (I+ AB( n, t)) -1¢)) + 牙.JAl.. f。o0 v e - 오납 (a)da 와 같은 식을 얻을 수 있다. 따라서 (6 .1. 22) II (I+ 11B( t)) -i¢ ( 0) —(I +11 B( n, t)) -i¢ ( 0) II = II e 요A. (I+ M( t)) -1( ¢(0) + 11G( t, U+11B( t)) - 1 ¢)) -e 요A (I+ 星( n, t)) - 1 ( ¢(0) + 11G11( t, (I+ 11B( n, t)) -1¢)) II 디 (I+ 凰(t ))-1( ¢(0) + 11G( t, (I+11 B( t)) - 1 ¢)) 一 (I+M ( n, t)) -1( ¢(0) + 11G( t, (1+ 11B( t))- 1¢) II + II (I+ M( n, t)) -1( ¢(0) + 11G( t, (1+ 11B( t)) -1¢)) -( I+M ( n, t)) -1( ¢(0) + 11GnC t, (I+ 11B( t)) -1¢)) II + II (I+ M( n, t)) -1( ¢(0) + 11Gn( t, (I+ tlB ( t)) -1¢)) - (I+凰( n, t)) -1( ¢(0) + tlG ( t, (1+ 11B( n, t))-1 ¢)) II

켜+ ~ II G( t,(/ +AB( t)) - 1 ¢)— G11 ( t, (I+A B(t) ) - 1 ¢) II + ~ II Gll( t, (I+ AB( t)) - 1 ¢) 一 G11( t, (I+ AB( n, t)) - 1 ¢) II 톄 + 궁 + 근信 || (I+ AB( t)) -1¢-(/ +AB( n, t)) - 1 ¢ II c- 그런데 노름 II • II C 의 정의로부터 각 n= 1, 2, …에 대하여 01,e[-r,O] 이 존재하고 0~ II (/+ AB( t)) - 1 ¢--;(l+AB( n, t)) - 1 ¢ II c - II (1+ 11B( t)) -1¢( 8)-(1 + 11B( n, t)) -1¢( 8) II < 웅 · (6.1.22) 로부터 각 0E[ 一 r,O] 에 대하여 II 弓(I+ +,1 B 근( t)%) -1 ¢(( I I0 )( 1一+ ( 111+B 1( 1t)B)(- n1,¢ t() )8 ,-,)1 -¢( ( 01) +I I1 1B( n, t)) - 1 ¢( 0,) II + c:) 弓 { 나( II (I+A B(t) ) -I¢-(I +A B(n, t)) -I¢ II c+- f) 이고따라서 II (I +AB (t ))-1¢- (I +AB(n, t))기 ¢11 C 弓 +랑( II (I+A B( t)) -1¢-(I +A B(n, t))키¢ II C+ 웅) 로부터 II (I+ tlB ( t)) -l¢-(I +tlB( n, t)) -l¢ 11 c =,;:; e.

그러므로각 cp EC, t E[O, T]와충분히 작은 A > O 에 대하여 lim (I+ AB(n, t)) - 1 ¢= (I+ ..lB ( t)) _낼 ,1 一 •00 간단하게 하기 위하여 앞으로는 u( t)를 (6. 1.1) 의 [-r+s, T]에 서의 일반화된 해를 V( t ,s)0 와 V it ,s) 。를 각각 (6. 1.1) 과 (6. 1. 12) 의 일반화된 해라고 하자. 그러면 V(t , s) 。 = 1l1i_ m ( X ) VnC t, s) 鈴 단, 이 수렴은 [s, T]에서 고른수렴이다. 증명 ¢E 瓦n nn0=0 I 万군]라고 하자. (6 . 1. 2)-(6. 1. 5) 로부터 (6. 1. 11) 이 성 립하고 (6. 1. 13)-(6.1.16) 로부터 (6. 1. 20) 이 성 립한다. 임의의 E > O

에 대하여 자연수 m 과 n 。 가 존재하고 2K T(v」m_ +, Ip-'\( .-;rL函 )) < 우2 이고 보조정리 6. 1. 7 로부터 각 n2n 。에 대하여 II iIT= ' l (I+ -1m? B( s + i上m~ )) -1 ¢ 갭 /I+~B(n,s+ i信 ))\|l e< 명 (6.1. 11 ), (6. 1. 20) 과 정리 2.2.3 의 (6) 으로부터 II V( t ,s)¢ 一 V11( t ,s)¢II c ~ II V(t, s)¢- tJ- /I+ 芳f B(s+ i ~))-1¢ II c + I| rI=nI-I 1(· I+ 上m ~ B(•s + i上m ~ ))-1¢ _ E(1+ 信 B(n,s+ i눅요 ))-1¢II C + 11 ,(i1u + 信요 B( n, s+ i信 ))-1¢ —Vn ( t, s ) ¢ II c 솁 K( t -s)( 」vm― +,p ,..,, (v 上굶 判+로2 껍2K T(--f;;+p(급)）내 겹내 =€. 따라서 V(t, s )¢= l'rim OO V/t,s )¢.

00 그러므로 ¢。 EDon 11n= !_ DII 일 때 V( t ,s)¢ 。= lim V,.( t ,s) 鈴 ” 一 OO 단, 이 수렴은 [s, T]에서 고른수렴이다• 특별한 경우, 각 n= 1,2, …와 tE [Q, T]에 대하여 A(n, t)를 A( t) 의 요시다 근사라고 하자. 간단하게 하기 위하여 각 n=1,2,… 과 匡 [0, T] 에 대하여 A11(t )= n (I-(I+占 A( t ))-1) 이라고 두고 A(n, t) =A,,U) 이라고 하자. ¢。 EC 라고 하자. 각 n=l,2, …과 匡 [0, T] 에 대하여 A,l( t)에 관한 비자율근사함수미분방정식 (6.1.23) { ?t (t)+ A,,(t) u ,1(t) = G(t, (u ,1)t) , s< t갑, s;e O (u,,)s=

증명 (6. 1. 2) 와 명제 1. 2.14 의 (5) 로 부터 상 수 궁 ER 가 존 재하고 각 n= 1, 2 , ··· 와 tE [O, T] 에 대하여 A ,I( t) + 궁 I 가 X 의 증 대 작 용소이 고 D(A,,(t) ) =X. 또 (6. 1. 3) 과 명제 2 . 1. 2 로부터 각 xEX, t, s 락 0, T] 와 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 II A,,(t )x -A,, (s)x II ~ I t— s l 工。( II x ii )(1 + II A,,(s)x II ) 이다. 단, 工。 : [O, oo) -- ► [O, oo) 는 단조증가함수이다. 명제 1. 2.14 의 (1)로부터 A , ,( t) x 는 xEX 에 관하여 리프쉬츠 연 속 이므로 명제 5. 1. 4 의 증명과 같이 하면 (6. 1. 23) 의 [-r+s, T]에서의 해 u,,(t) 가 일의적으로 존재한다. 각 n= 1, 2, …와 (t ,s)E D,에 대하여 u,l(t, s) : C一 C 를 각 . ¢EC 에 대하여 u,l( t, s) ¢ = (u,l)( ¢) 와 같이 정의하면 {U11( t,s) I (t,s) e^ ｝는 C 의 Y - 형 발 전 작용 소이다. 단, r = max.{0, 궁+f3}． 실제로 각 ¢EC 에 대하여 U(s,s)¢=(u11) s<¢)이므로 U(s,s)=I . 또 해 u, , ( t)의 연속성으로부 터 Un( t ,s)¢ 도 (t ,s)E D,.에서 연속이다. 마지막으로 0~s~< 1~t~ T 라고 하자. 각 ¢EC 에 대하여 U11( t ,s)¢ 와 U11(t, <1) U,,( <1 ,s)¢ 는 A,,( t)에 관한 비자율근사함수미분방정식 { 총(t) +A,,( t) v,1( t) =G( t ,v,1), 6 조갑, 6 느 0 V( 1= u(1 (¢) 의 [_r+6, T]에서의 해이다. 해의 일의성으로부터 각

하여 U(t, s) 志 (6. 1.1) 의 일의적인 일반화된 해이다. 또 명제 6. 1. 7 로부 터 C 의 r 형 발전작용소 { V,,(t , s) I ( t, s) E b,}가 일의 적 으로 존재 하고 각 q> E C 에 대하여 (6. 1. 20) 이 성 립한다. 따라서 정리 6. 1. 9 로 부터 각 ¢ED 。에 대하여 뜨 V11(t, s) ¢>= V(t, s) r/>. 단, 이 수렴은 [s, T]에서 고른수렴이다. ¢。 E 万;이라고 하자• (6. 1. 20) 으로부터

v,,(t )={ f(V。(,t, -(s t,)s,)< />-0r)(0+)s, 업s 악:합:5: T 와 같이 두고 명제 3.2.10 과 같이 하면 V,,( t, s) 。 = ( v,,) ,( 。) 이고 따라서 정리 3.3.5 와 같이 하면 v,1( t)는 (6. 1. 23) 의 [-r+s, T] 에서의 해이다. 명제 6. 1. 10 의 해의 일의성으로부터 u,,(t) = v,,(t) . 따라서 V,,( t ,s) 。= u,,( t ,s)¢ 。. 그러므로 각 ¢E 万;, n= l, 2, …와 (t,s) e 스에 대하여 V/t,s )= U (t,s)< />. 명제 6. 1. 9 로부터 각 ¢E 万; 에 대하여 (6.1. 25 ) lim U,,(t , s) ¢ = lim V,,( t, s) ¢ = V( t, s) ¢. ,1 一 OO n-+0 0 가정에서 万 _=X 이므로 瓦= C 이고 U/ t ,s) 와 V( t ,s) 의 연속성 으로부터 각 ¢드 C 에 대하여 (6. 1. 25) 가 성 립한다. (6. 1. 24) 로부터 (ull( t ,s) 。 )(0) 는 (6. 1. 23) 의 일의적인 해이다. 정리 6.1.12 x· 를 고른볼록공간이라고 하고 万 =X 라고 하자. (6. 1. 2)-(6. 1. 5) 의 가정 아래 ¢。 eC1([-r,0] : X) 이라고 하고 ¢。 (0) ED 라고 하자. 그러면 (6. 1. 1) 의 [— r+s, 기에서의 강해 u( t)가 일의적으로 존재한다. 지금

C'= {¢ECI 뿔 EC, ¢(0) ED} 이라고 두자 .•각 ¢EC 에 대하여 U( t ,s) rp =u i(¢)이라고 두고 {V(t ,s) I (t,s) E 6 } 를 _B (t)에 의해서 생성되는 万접 발전작용소 라고하면 각 ¢EC 에 대하여 U(t , s)¢= V(t , s) ¢. 증명 X 까 고른볼록공간이므로 정리 5. 1. 8 과 같이 하면 (6. 1.1) 의 [— r+s, T.]에서의 강해 u (t)가 일의적으로 존재한다. Ul;( t)를 (6. 1. 12) 의 [-r+s, T]에서의 일의적인 해라고 하고 각

6.2 극한해 이 절에서는 실 바나흐 공간 X 에서 (6.2.1) { 뿜uo= ( ¢:。0 +A (t) u( t) 三 G(t, u/), 0 年 T 형의 비자율함수미분방정식의 극한해 를 정의하고 극 한해의 존재성 을 보이 기로 한다. 단, T >O , r> O , ¢。 : [― r,O]-x 이고 각 tE [0, T] 에 대하여 A(t) : X=>D(A (t)) 一 언, G : [0, T]x P C- X . 여기서 PC= PC( [ -r , O] ; X) = {이 ¢ : [-r,O] - x 가 구분적연속함수 } 이고 PC 노름 II • II PC 은 |I • II pc = 。:[u_~ - .O J II ¢(0) || 이다. 그리고 위의 극한해로부터 적분해와 강해의 존재성도 보이기 로 한 다. X 의 쌍대공간 X* 가 고른볼록공간이고 각 tE [O, T] 에 대하여 A( t)가 일가작용소인 경우는 5.2 에서 고찰하였다. 먼저 차분근사해, 극한해, 적분해와 강해의 정의로부터 시 작 하기로 한다. 정의 6.2.1 각 n= 1, 2, …에 대하여 {t;' I j= l, 2,·: •. n} 를 [O, T]의 분할이라고 하고 円i 四뽕,, (t;'-t;니 )=0 이라고 하자. 각 j= 1,2, … ,n 에 대하여

~tj'-t昌 +A (t;'）파’:=1 G( t;’, （궁), ; ) 를 만족하는 {uj' e D(A( tj')) I j= 1,2 ,···, n} 가 존재한다고 하자. 여 기서, u}'(t )={ ¢야。,( t) t, E f( Etk [' _ —l,r t,; l0] ], k=l,2,… ,j-1 파, te (tj' _1 , T]. 이때 각 t e[-r,T] 에 대하여 u (t )=u~( t)이라고 두고 { u (t) l n= l, 2,···} 를 (6.2.1) 의 [-r, T]에서의 차분근사해 (d i s― crete app ro xim ate soluti on on [ —r , T] ) 라 부른다 . 또 각 匡[― r, T]에 대하여 극한 ~~u,,(t) =u( t)이 존재하고 u(t)가 [0, T] 에서 연속일 때 u( t)를 (6.2.1) 의 [-r, 까에서의 극한 해(li m it soluti on on [ —r , T] ）라 부른다. 정 의 6.2.2 함수 u(t ) : [ - r, T]-x 가 (1) 각 t E[-r,0] 에 대하여 u( t)=¢。(t). (2) u(() 는 [0, T] 에서 연속이다. (3) O~s~ t~ T. [x, y] EA(a),

정 의 6.2.3 함수 u(t ) : [ —r, T] ----> X 가 (1) 각 tE [ -r, O] 에 대하여 u( t) =¢。(t). (2) u( t)는 [0, T] 에서 절대연속이다. (3) u( t)는 a.e. tE (Q, T) 에서 미분가능이다. (4) a.e. fE (0, T)에 대하여 겅~(t) +A( t) u (t )3G (t ,U1), 일 때 u (t)를 (6.2.1) 의 [— r, T] 에서의 강해 (s t ron g soluti on on [-r, T] ）라 부른다. 먼저 극한해의 존재성을 보이기 위해서 다음과 같은 조건들을 가정 한다. (6.2.2) 각 tE [Q, T]에 대하여 A( t) : X=>D(A (t) )-x 가 m- 증대 작용소이다. (6.2.3) 단조증가 연속함수 L1 : [0, oo)-[O , 00) 가 촌재하고 각 t ,s 락 0, T], A>O 와 xEX 에 대하여 II Ai t)x -A-1 (s)x II ::;: I t- s I L1( II x II )(1 + II Ai s) x II ) . (6.2.4 ) 상수 (3 > 0 가 존재하고 각 ¢, cp EPC 와 tE [O, T]에 대하여 II G( t, ¢) - G( 나) |I 획 /31 1 rp -c p II PC• (6.2.5) 단조증가함수 L2 : [O,oo)- [O,00) 가 존재하고 각 t, s 락 0, T]와 rp EPC 에 대하여 II G( t, ¢)-G(s, ¢) II ::;:L2( II ¢ II pc ) I t- s I .

(6.2.6) ¢。 : [- r ,O] - x 는 리 프 쉬츠 상수 L 。 > O 를 갖는 리프쉬츠 연속 함수이다. 명 제 5.2.2 와 비 슷 한 방법으로 하여 다음과 같이 (6.2.1) 의 [一 r, T] 에서의 차분 근 사해의 존재성을 보이기로 한다. 명제 6.2 .4 ¢。 : [ 一 r, 0]-x 라고 하자. (6.2.2) 와 (6. 2. 4) 의 가정 아 래 각 n= 1, 2, …에 대하여 {tj 1I j =1,2, … ,n} 를 [0, T]의 분할이 라고 하고 hll= 王, tj1=jhn , to= 0, t;:= T 이라고 하자. 그러면 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 차분근사해 {u (t) I n> [3 T} 가 존재한다. 증명 n> /3 T 라고 하고 짜= ¢。 (0) 이라고 두고 굽(t)={ ¢:。。( (t0)), , tt e락 (O국, T ,0] ] 이라고 두자. 지금 X1= {u : [— r, T]- XI 각 t E[-r, Q]에 대하여 u( t)=¢。(t), 각t E(O, T]에 대하여 u( t)=상수} 와 같이 정의하고 각 UEX1 에 대하여 (6.2.7) |I u|| T = IE뿐 麟 || u(t) 11 와 같이 정의하면 X1 은 노름 II • II T 에 관하여 바나흐 공간이 된 다. 작용소 S1 : X1-X1 을 각 ueX1 에 대하여

(6.2.8) (S1u)(t )={ l~。1t(. , (t )t[,') ( tUEo +[ —h1 r1G,0 ( ]ti ', u,;,)) , 匡 (0 , T] 와 같이 정의하자. 그러면 (6.2.2) 와 (6.2.4) 로부터 각 U, VEX1 에 대 하여 II S1u-S1vll r 악,, II G(ti ', ut; ,) - G(t; \ vtr ) || 업/3h ,, I| utf — vtr | | PC < /3'h 11 II u -v II T• 8h,,

위와 같은 방법으로 j =2,3, … ,n 에 대하여 Xj = {u : [-r, T]-XI 각 t e[-r,O] 에 대하여 u (t)= :/3 T 인 자연수 n 에 대하여 s j는 xj 의 순축약작 용소이다. 바나흐의 부동점정리로부터 s j갑;= 굽;인 부동점 u;i e xj 가 일의적으로 존재한다. (6.2.9) 로부터 uj' (t)={ 야¢。,(t ),t e t(et ;[_ -lr,,t0i ],] k=1,2,… ,j- l h. ( t j')( uj'- 1 + hn G ( tj\ ( 굽) t')) , te ( t;'- 1 , T] 이고 여기서 (6.2.10) uj' =f1 z . ( t; )(u; 니 +h,.G(tj ', ( u1) 1i)) 와 같이 두면 uj E D(A( tj')), n n ~ +A( tj)u j1 학 G( tj, ( ;;;)t j)) 이고

(6.2.11) u;’(t) = { ::I: t)t」:;’[_〔, rE!,] k= l, 2, …, j- l 퍼, t E ( t;’- l , T] . 따라서 각 te [-r, T.]와 n> /3 T 인 자연수 n 에 대하여 u,l(t) = u::(t) 와 같이 두면 {unCt ) I n> /3 T} 는 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 차분근사 해이다. 명제 6.2.4 의 증명에서 나타난 {u;· ' ｝의 성질들을 알아보기로 하자. 명제 6.2.5 (6.2.2)-(6.2.5) 의 가정 아래 함수 ¢。 : [― r,O]-x 에 대 하여 ¢。(Q) E fJ이라고 하자. {u;' ｝를 명제 6.2.4 의 증명에서의 점렬 이라고 하자. 그러면 상수 K>O 가 존재하고 충분히 큰 n 과 j= l,2,… , n 에 대하여 II u;' II ::;;K. 증명 (6.2.3) 으로부터 각 te [O, T] 와 A > O 에 대하여 II A, i( t) ¢。 (0) II ~ II A, i(O ) ¢。 (O) |I + tL1 C II ¢。 (0) II )(1 + II A, i(O ) ¢。 CO) II ) ~ II A/0) ¢。 (0) II + TL1 ( II ¢。 (0) II )(1 + II A, i(O ) ¢。 CO) II ) 이므로 入 -o+ 이면 ¢。 (0) e lJ이므로 각 te [0, T]에 대하여 I A( t)。 (0) I ~ I A(O)

M1 = 溫? n I A (t)¢。 (0) I < 00 이라고 두자. 또 (6.2 .4)로부터 각 tE [0, T]에 대하여 II G(t, O ) II 디 G(O,0) II +L2(0)t:-s ;; II G(O,0) II +L2(0)T< 00 이므로 M 2= tEs u[ Op, T ] II G( t, 0) 11 < oo 이라고 두자. tE (tj' - 1 , T] 일 때 (6.2.11) 로부터 (6.2.12) II 군(t)- ¢。 (o) II = II u j'-¢。 (0) II :::;;: II 1',,,( t j ')( uj'_ 1 + h,,G( tj', （국) t?)) -Jh.( t;’)¢。 (0) II + || Jh. ( t; 1)¢ 。 (0) —¢。 (0) II 디 파 -l 玉 (0) II +hII G (t;\（국)t i )-G (t'J .0) II 十 h,, II G( tj', O) II +h,, II A 1,.(tj')¢。 (0)- ¢。 (0) II 니 퍼- 1 玉 (0) II + /3h ,, I| ( 국) ti II PC +h,, II G( t'j,O ) II +h 』 A( tj')¢。 (0) I 디 파- l- ,p。 (0) II +/3h ,,I| （굽)t i -¢。 (0) II PC +/3hn || ¢。 (0) II +.hnAf1 + hnM2 = II u j '-1-¢ 。 (0) .11 +/3hn II (국)t j -¢。 (0) II +h,) 13.

여기서 M3=/ 3I I ¢。 (0) II +M1 十 M 2 · 그런데 II ( u;’) t ? -¢。 (0) II PC = 。:[u_~ .O J II ;;;( t;' + 0) -¢ 。 (0) II = /E t뿐.t ? ] |I 詞(t)- ¢。 (0) || 幻| 詞玉 (0) II T 이므로 (6.2.12) 로부터 (6.2.13) 11 u;'( t) -¢ 。 CO) II ::;; II u;'-1 —¢ 。 CO) II +h11/3 I I 국―¢。 (0) II T +h,,M 3 . 匡 [_r, t昌]일 때 (6.2.14) I| 국(t)―¢。 CO) II = II u;'-1 ―¢。 (O) E; 1I u,n- 1_¢ 。 (0) II T• 따라서 (6.2.13) 과 (6.2.14) 로부터 각 tE [_r, T]와 j =1,2, … ,n 에 대하여 |I u7( t) —¢ 。 (0) |I s II u; 니( t) _ ¢。 (O) |I T +Bh,, II 국규。 (0) II T +h,,M 3 이고 각 j= l,2,… , n 에 대하여 I| 국玉 (0) II r = /~?만 Pm II u7( t) _ ¢。 (O) |I 디 ujn- I _¢。 (O) || T +Bh,, I| 詞급。 (0) II T +h,,M3.

그러므로 각 j= 1,2 ,… , n 에 대하여 ( l-/3h , ,) |I 詞-¢。 (0) II T ~ II u?-1 -¢ 。 (0) II T + h,,M3. 이고 이것을 계속하면 (l-/3h ,1) |I u;. I_¢ 。 (0) II T ~~;\二?;'?) I| T + 亡걸 ,1 +h,M3 < 11 u(ol’ _— ¢(J。h (,l0))'- 1II T +' ~glo ( l h_ ,)/ 31h3 , , )k • 따라서 II u;' -¢ o(O) II T s _l_zj' 玉 (0) || T + i h,,M3 (1一郞)i k=l (1-Bh 삶 < I| ¢。 玉 (0) |I PC + g h,IM3 (1 —h ,,8)” k=1 (l-h,,8)n < II ¢。 I(I P1C― +국) II ’¢’。 ( 0) II +, (1-T 국M3 )'I • 그런데 1’,i-m.° ° ( l _ fl3 ..n.I. ) = e8T 이므로 상수 K > O 가 존재하고 충 분히 큰 자연수 n > /3 T 와 각 j= l,2,… , n 에 대하여 |I u;' I| < || 詞 II T 악 K. 명제 6.2.6 (6.2.2)-(6.2.6) 의 가정 아래 ¢。(Q) E fj라고 하자. {u j}를

명제 6.2.4 의 증명에서의 점렬이라고 하자. 그러면 상수 N > O 가 존 재하고 충분히 큰 자연수 n 과 j =1,2, … ,n 에 대하여 II 퍼―h lul ; 니 II

+ h 11 II G( tj' , ( uj' ) 1 1 ) - G( t;'- 1 , ( u 昌 ) t;_,) || + h,, I| A ,1.( t;’)( u;1-2 + h,,G( t;니 , ( u 戶) t?-, ) -A,,.( t;니 )(u j '-2+h,,G( tj '-1, (詞函 _ ,)) II :,;;; II uj' -1 -uj'- 2 II +/3h ,, II (;;;\ (u; 니)t i- 1 II PC + h,, I tj'-t; 닙 | L2( II ( _u 昌) t;- I |I Pc) +h,, I tj'-tj'-1 I L1C II u 「 -2+h,,G( t;니 ,(U;-1)1 j ) II ) X (1 + II A,,.(tj '-1 +h,,G(tj -1 , (~ )17) ) II ). 그런데 각 tE [Q, T] 와 j=Q, 1,2 , …, n 에 대하여 II G( t, ( 파) /) || :,;;; II G( t, ( uj') ,) -G ( t, O) II + II G( t, O) II

+h;,L1(K+ /3K +M2 )( 1 +/3K +M2 + ~二파 ’- 2 II ) 이고 따라서 (6.2.17) ~ ~/3h, , I| ( 파 ), ;, -(u; 니), ;• _ , II PC +h11Lz (M 5 ) +h11L1(Ms )M s +L1 (Ms ) II u'j_ , - u ?-2 II + ~II u?-1 — 파 ’- 2 |I 단, M5=max{K( /3＋ l)+M2,1+ [3K +M 사. (6.2.11) 로부터 각 0e[-r,O] 에 대하여 ( u 昌) f-I ( O) = ( u?) f-I ( O) 이고 II ( u 「) ,; — ( uj' ) ti-, I I PC = 。:[u_~ . O J II 국( t;' + 0) -詞 (tj'_ 1 + 0) II ~ l떤 쁜i II ui: - ui:- 1 II +L 。 h ll . 따라서 (6.2.17) 로부터 (6.2.1 8 ) lm,5 ;ak ,x5 ; j IIu i: -hu,, i:니|| 학} 쩝쁜j |I u 「야 -111 +/3L 。 h

+h,IL2(M 깊 +h,,LKM5)M5 +L1(M깊 1 만쁜, II uZ —uZ - 1 II + lSm :k Sa :xj - 1 II uk-hu,i % 一 I II = (/3+ L1(M5))hll l 뺑麟 llui: ~h ,l1 1 +h11( /3L 。 +L2(M 깊 +L1(M5)~깊 + ' l~m k 邸~ i - 1 II u~ 그h길,l: :1 11 (/3+ Li ( Ms))h11 < 1 을 만족하는 충분히 큰자연수 n 에 대하여 P11=l-( f3 +L1(Ms))h11 이라고 두면 0

lm :'!: ak:x'!: j IIuZ' 나h,, -I|I 핵6 h,I gi= l +P,1 +p士,, M4 ~M6h, 조i:=~ l 국P1-,1 +I pM,E, 4I . 0 이 존재하고 충분히 큰 자연수 n 과 j =1,2, … ,n 에 대하여 II uj' -hun j'- 1 II O 이 존재하고 각 t, SE[— r , T] 와 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 I| u,i(t ) _u,, (s) 11

와 같이 정의하면 v,1( t)는 [-r, T]에서 리프쉬츠 상수 N0= max{N, L 사를 갖는 리프쉬츠 연속함수이다. 그런데 각 t E[-r,O] 에 대하여 u,,( t) = v,, ( t) = ¢。( t) 이고 각 tE (O, T] 에 대하여 l ~j~ n 인 자연수 j가 존재하고 tE ( tj'-1 , tj'] 이 므로 II u,,(t ) -v ,, ( t) II = 11 uj' -u; 니 -( t— t;니) u7-h,:}1-I II II _ II = II ( hll -( t— t昌)) Uj _h,:j- l II 雲국) || u;i_ h,:;1-l11 홉책0 h,1· 따라서 각 tE [-r, T]에 대하여 II un< t) -VII (t) I 匡 ;Noh11, M=2N0 이라고 두면 각 t ,sE[ 一 r, T]에 대하여 II u11( t)-u 11 (s) II :::;; II uu (t)-v 11 (t) II + II v11U) —V11 (s) II + II v,z

u,,(t) = u::(t) ={ u::::,' :ttE) 」 (? t::::- )I ;, fT,]], )=l,2,… , n— l u,Ii(t ) = u:::(t) ={ u:::':::, t) t; E E( :t,1 广t - 겁I ,] T,] k= l, 2,… , m-1 이고 h11= tj'-tj'-1, hm= t'£'-t'£'_ 1. 명제 6.2 .8 (6.2.2)-(6.2.6) 의 가정 아래 ¢。 (O) ED 이라고 하자. 그러 면 상수 M1>0 이 존재하고 II uj '-ui: 1| | 조 h,1:’'h,,1 || u;' -u;II-l 11 + h,l?IIh,Il |I u;’_I -u k |I +-&; {M1 I t;'-t%' I + [ uj' -u Z', G( tj' , ( uj' ) 11) -G( t~n. ( uZ%)] 』 . 증명 (J,, ,m=-&, 이라고 두고 O< tl

u}' = JAa , ( t;’)( u;' +A( J,,. m ( G( t;\ ( 詞) ,) + 파\- u 「 )) , u;'t = JA(1 m ( t;)( u; +A(J ,,. m ( G( t'f: , ( d/!) ,;) + ~ )) . (6.2.3) 으로부터 II u?-u': II 타 ]A( J m( t j')( u'j + tl<111 . mC G( t;’ , ( 국) tj) + u?p )) -]M. .m (t j ')(u Z'+ A < J, ,,,,,(G(tZ ', （급)t:) + u?p )) II + II lM,, ) t?)( uZ1 +A( J,l , II,( G( t) 戶' , ( ;z) t-:) + ~ )) _JA( ]•. m ( t½')( u½' +AC Jn , ,nC G( ti:' , ( 죠) t,) + ~ )) 11 =,;: II (uj1 - u' )+11a11 . ,nC G(tj\（궁)t;)+ u7_k: 파 -G(t½ ’, （국)t?) — u\ 三 ) || +tlan ,mL1( Ii uZ1+tl a, ,,m(G(tZ , （급)t;) + u 門 L i:~) II ) X I tj1 - t Z 니 Cl+ II AAG .... Ct Z1)(u 'f: +A 야 .'’,(G (t'f:,（訂)t:) +~hm) )II = II (1 —, 1)( uj' -u '/) +;l( u?-u' i: )

+ A(J, ,_ ,,,( G( t;’ , ( 詞) /?) + u\ 三 -G( t Z, （굽) 1,)- 파'_2) II +u ~ II ( 1-tl)( u;'-u' /) +tl611 . ,nC G( t;' , ( 짜) ,7) - G ( t½', ( u½') 1,)) II +,1 II ( u;' 나 ') + (JII , Ill( 과 -k: 파' _ uk'’_[ :과’ ) |l + U < |I ( l —A)( u;I _ u;”) +A6,1. I II( G ( t;! , ( 파) 1;) — G( tZ', ( uZ ') 1,)) II + h,A,+h1h1 ,,' 1|I1 u 尸,, 마m ’ -l |1|1 +, h,A,+hhIll, II II u;'-l _uk I1 + u. 단, u=Aa,I,1nLK |l uk'1+A6,I,n,(G(tk '\ ( 국u;k) t. . ) -u; Il-hI , -IIu k'l ) |I ) X I tj'-tZ1 I (1 + II A M.) tZ’) ( 어 +Aa11. ,i G( tZ' , ( 굽) tk ) +~h)ll )II). 위의 부등식을 정돈하면 (6.2~.19) * II uj' -u Z'-1 II +* II u;'-1-uZ'II +분 II 짜 -uZ'II 나 ( II ( uj' -u Z') + ~<11 1, 111( G( t? , ( 국) t?)

-G( tk, ( uk) t;)) || 一 || u 尸 uZ' II ) = h,1:IIh,,, II u;1 _ u; 니 || + h,,:IIhm || u;’-1 _ UZ' I| + 『 + (J,l , ' [ u;l -u k, G( t;’ , ( u?) t?) - G ( t;, ( u'J: ) t:)] e· 꾼 를 평가하기로 한다. 명제 6.2.5, 명제 6.2.6 과 그의 증명에서 |I A Aon m ( t;’)（어 +A6,'·'I,(G( t k, （급), , ) +~)) II = |I G(tk , （급)t , )+~:아’ II 디 G(t? , ( uk'%) 11 + II u¼'....1h m- u ¼' II ::;;13K+M2+N 이므로 꾼 리 K+ /3K +M2+ N) I tj'-tf I (1+/3'K+ M2+N > =M7 I tj'-ti;나 . 단, M7 = L1 (K+ /3K +Mz+N )(l +/3K +M2+N >. L1 : [0, oo)-[0 , 00) 이 연속이므로 (6.2.19) 에서 ..-l- ► O+ 이면 명 제의 부등식을 얻는다. 보조정리 6.2 .9 (6.2.2)-(6.2.5) 의 가정 아래 ¢。 : [-r,O]-x 가 리프 쉬 츠 상수 L 。 > 0 을 갖는 리프쉬츠 연속함수라고 하고 ¢。(Q) E fj라

고 하자 . 그러면 상수 c > O 와 1 I E,円 00 £11 . 111=0, £11.111 > O 인 수열 {c,'·'’,} 이 존재하고 각 j= 0, 1,2,… , n 과 k=0, 1,2,… , m 에 대하여 (6.2.20) II uj'- u '!: II ~cDi. k +Ei+ Jh ,,(cDi ,k + c,1,1 1, ) . 단, ...l Dj ,k = ( (tj'- t%1 )2 +h,,tj' +h111t %1) 2 , Ej = /3 ii;= , l I~?프~. til II u,,( t) -u m( t) II h . 증명 충분히 큰 자연수 n,m 에 대하여 Q=s::j=s::n , Q=s:: k =s:: m 일 때 (j, k) 에 대하여 수학적 귀납법을 적용하자. 먼저 (j, O) 와 (0, k) 에 대하여 (6.2.20) 이 성 립하는 것을 보이자. 명제 6.2.8 로부터 상수 M1>0 가 존재하고 (6.2.21) II uj'- u Z' II 조 hn:IIh.,,~ II u'j -u': -1 II + ¼. II uj_ , -u i: II + -I:;;;'~ {M1 I t'} -tZ' I + [ u1'-uZ ', G(t ;’ , ( 굽) ,:) -G ( tk'\ ( uZ%)] + } . (6.2 .4)와 (6.2.5) 로부터 II G( tj , ( ;;;) ,i) -G ( t'i: , ( u';) ,;) II

::s;; II G( t;', ( u;') 1i,) - G( tj', ( u'!:) 1,.) II + II G( tj', ( u'!:) 1,) - G( t';:, ( uZ 나) II 조 /3 || ( uj' ) ti - (-:;;:) ,; II Pc +Lz(K ) I tj' -tZ' I . 그런데 명제 6.2.7 로부터 I| ( 파) I 「 -( u; 나 |I PC = II ( 파) ,-( u: :) 1; II PC ::s;; II ( u;:) ti - ( u:) 1; II Pc + II ( u::) ti- ( u::) 1; I I Pc — 。;[u_~ .O J I| 파( tj' + 0) -~( tj' + 0) 11 十 OsEu[-pr , 0) II u::( tj' + B)-u 7 ,:( t': + B) II 조 /E s[ u-pr, /i] II u,,(t )— Un ,(t) II +M( I tj'-t'f: I +h,,,) 이고 | t;1_ t k I < 1( t;1 -t;” )— h,1 I +h11 :,;;: I tj 1-1- t Z기 +h11:s ;:D ;-1,k+h,1 이므로 Aj . k= I| u;I_uk || 이라고 두면 (6.2.21) 로부터 (6.2.22) Aj , k :,;; t'+hi,,z :; Aj , k-1 + ~h,n Aj , k +*-(/3 /E 쁜麟 || u,1(t) — U111(t) II +MoDi -1 ,k+e,,,m). 단, M8= /3'M+ L2(K J +M1 이고

€11, 111 = /3'M( h11+h111) +M1h,,+ 도(K) hll. (6.2.10) 으로부터 각 i= 1,2,… , n 에 대하여 II u;'-¢ 。 (0) II s II J,,.( t:')( u:'-1 + h,,G( t?, ( 국) t?)) -J,1,,( t?)¢。 (0) II + || J,1. ( t f)¢。 (0) —¢。 (0) II 幻| u 「- l 玉 (0) II +h,, II G( t?, （詞) 1,) II +hll I A (t:')¢。 (0) I s 11 u; 니 -¢。 (0) II +h11(/JK +M2) +h,,M1 = II u?-1-¢ 。 (0) II +h,,M4. 이 부등식을 i= 1,2,… , n 에 대하여 변변 더하면 II u j'-¢。 (0) II s ti=. I. h,,M4= tj 'M4 익 M4D j ,O• 따라서 각 j =0,1,2, … ,n 에 대하여 A j ,o~cD j .o 이다. 단, c = max {M4 , Ma } . 죽, II u?-uon ll =Aj, 0 ~ CDj ,Q~ CDj ,O +Ej +jh,, (cDi. o +c,,,m) 이고 이것은 (6.2.20) 이 (j ,0) 에 대하여 성 립하는 것을 나타낸다. 같 은 방법으로 (0, k) 에 대하여 (6.2.20) 이 성 립하는 것을 보일 수 있 다. 다음 (j_l , k) 와 (j, k_l) 에 대하여 (6 . 2.20) 이 성 립한다고 가정하 자. 그러면 (6.2.22) 로부터 (j, k) 에 대하여

Aj .k < h,, h+h ,Il (cD,.k - l +E,+jh , ,(cD,,k -l + c,!.II I )) + ~(cDi- 1. k + Ei- 1+ (j가 )h11(cD i -1.k+cn,, J) +&(/3 / E뿐 麟 II u11(t )- um(t) II +cDj- 1,k+ E11,m) ~ cDi. k + Ei +jh,/ cDi. k + c,1. m) . 여기서 부등식 ~h,l Dj ,k -1 + ~h Dj -1,k ~Dj, k 을 이용하였다. 이상의 결 과들을 이용하여 (6.2.1) 의 극한해의 존재성을 보이기로 한다. 정리 6.2.1 0 (6.2.2)-(6.2.6) 의 가정 아래 ¢。(Q) E fj이 라고 하자. 그 러면 (6.2.1) 의 [-r, T]에서의 극한해 u( t)가 존재한다. 즉, 각 匡 [-r,O] 에 대하여 u( t)=¢。(t)이고 u( t)는 [0, T]에서 연속이며 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 u,,( t)를 (6. 1.1) 의 [-r, T]에서의 이 산근사해라고 하면 [O, T]에서 고르게 L만 u it) = u(t) . 증명 충분히 큰 자연수 n, m 에 대하여 {t;'}, {t k} 를 [0, 끼의 두 분할이 라고 하자. 이때 g=jh ,'= j工n , j=Q, 1,2 , …, n ; tZ' = khn 』= k 工m

k=0,1, 2 ,… ,m 이라고 하자. t E( t; '-l, tjJ m( t ;II_ l, t;]이라고 하면 명제 6.2.9 로부터 (6.2.23) II uJ t) -um ( t) II = 11 u;':-u'/,' 11 s c((h,,+h,,,)2 + (h11+h111)T ) ..2l. +/3i=t, I /E? 프 ~.m II u,,(t) - um(t) II h,, + T( c( ( h,1+ hn,) 2 + ( h,'+ h,,,) T) --2'-- + c,1, ?)1) . 함수 F,,,m : [0, T]-R 를 각 rE[O, T]에 대하여 F,IJI ,(r)={ 0,s e?r 프= ~O-~l II Un(s)-u,,,(s) II , re(t :'-1 ,t; 'J, i=l,2, ···,n 와 같이 정의하면 각 rE[O, T]에 대하여 (6.2.24) F11,m< i) 조 SE뿐 므~- rl II u,,(s) 一 u111 (s) II +3Mh11+Mh111. 실제로, 각 rE(t? - 1, t;']에 대하여 F,'·'’,(T)=max{ sEs[t: ~.r l II u,,(s)-u,,,(s) II , 겔~ti l II u,,(s) —u,,, (s) 11 } 이므로 명제 6.2.7 로부터 각 se[r, ti']에 대하여

(6.2.25) 11 u,,(s) -u ,,, (s) II ~ II u,,(r)-u,,,(r) II + II u,,(s)-u,,(r) II + II u,,,(s)-u,,,(r) II < SE뻔 뜨~ - . rl II u,;(s)-u,,, (s) II +2M I s-r I +M(h,,+h111) < sE뻔 므~ . rl II u,,(s)-u,,, (s) II +2Mh,,+M(h,,+h111). 따라서 (6.2.26) S 전r m II ull(s) -Um (s) II < s Es [프~ .r1 II u,,(s)-u,,,(s) II +3Mh,,+Mh,,,. 따라서 (6.2.25) 와 (6.2.26) 으로부터 (6.2.24) 가 성 립한다. (6.2.24) 로부터 ii= l sE 만. /?] || u,,(s) -u111 (s) II h,, = it=, l SE? 프 ~- m II u11(s)-Um(s) II (t;'-t昌) = i JI ,. F,I, II,( r)dr i= l /7- I < J。 1F11. 111( r)dr+ f,tiF ,,, 111C r)dr ~ fn。 1F11 . 111( r)dr+2Kh,, 나/。 se1 ~.rl II u,,(s)-u111(s) II dr+(3Mh,,+Mhm)T+2Kh,,.

(6.2.23) 으로부터 II u,,(t )- um(t) II ~8,, , 111+ /3f。 I S E~ 므問 |I ui s )-Um ( s) II dr. 단, ...l 811 , 111=c((h11+h,,, ）묘 (h11+h111)T) 2 ...l + T(c ( (h11+h111)2 + (h11+h111)T ) 다 C11,Ill) + (3Mh11+Mhm)/3 T +2K/3 h 11. 따라서 각 tE [0, T] 에 대하여 s; [~.1) II u/s) 一 Um(s) II 식 ,1 , 111+ /3f。 I sE1 프 ~ - rJ II u,,(s )- u m(s) II dr. 그론월의 부등식으로부터 SES[u _E , I] I| u,,(s) _ u,Ii ( s) || 값 , , , me PT. 따라서 [-r, T]에서 고르게 극한 뾰 :u,1( t) =u( t)이 존재한다. 명 제 6.2.7 에 n- oo 이면 각 t, SE[-r, 기에 대하여 II u(t) - u(s) || 익 M l t- s l . 그러므로 u( t)는 (6. 1. 1) 의 [_r, T] 에서의 극한해이다.

다음에서 두 국한해의 관계식을 생각하기로 한다. 정 리 6.2.1 1 (6.2.2) - (6.2.5) 의 가정 아래 ¢0, r/Jo : [-r, O]-,X 가 (6.2.6) 만족한다고 하고 ¢。 (0), rf;。 (O) E fj이 라고 하자. u(t ), v(t ) 를 각각 ¢。나 bo 를 초기함수로 하는 (6.2.1) 의 [-r, T]에서의 두 극 한해 라고 하면 O::;;;s::;;; t ::;;;T 일 때 II u( t) 一 v( t) II ::;;; II u( s) -v ( s) II + f,'[ u( r) -v(r) , G(r, Ur)-G(r, Vr)] +d r. 증명 극한해의 정의로부터 충분히 큰 자연수 n, m 에 대하여 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 이산근사해 u,I( t)와 U111 (t)가 존재하고 각각 II II (6.2.27) ~ +A (tj') u; 님 G( t;’, （詞) 1 1 ), uc i= 。 (0), 뽀 ull (t) = u( t), h11= t;'-t;'-1, ull(t ) = u::ct) 이고 m IIi (6.2.28) ~ +A(s%1) 아 ’3G(s%'\ （0:) s 갑, Vo'= c/Jo (O) !뽀 V,,,( t) = v(t) , h,)1= s t I_s;' 니, v111( t) = v~:(t ). 8E(0, 子)이라고 하고 n, m 을 max{h,,,h'}< 陝J 충분히 큰 자연수라고 하자. 상수 K。 >0 가 존재하고 p e{0,1,2, … ,n} 와

q E {0 ,1,2, … ,m} 일 때 각 j=p,p +I, … ,n 과 k= q,q +l, … ,m 에 대하여 (6 . 2 . 29) II 이uj' - 마v k-' vII~ ' II +KoDi. k + i±= P E •; 'h+ i±= q o ;·h , ,, +jh ,,( -tp (T)+I~ 。 )(D i .k+ I t;- si1 I +p(2 o)+Kh,,). 단, 각 J >O 에 대하여 타 = [ uj1 -v( tj1) , G( tj1, ( uj1 ) 11) — G (t j1, V17 )] ,i , o,;1 = II G(s¼,( ;if)5, ) - G(s,;1, V5;) I I +훗 II v';-v(sZ1) II , p( t) = sup {-t II v( t) -v(a) II + II G( t, v/) —G (a, v(J) II I I s 一 이 택 이고 __l Di. k = ( ( (tj'-t;)- (sZ'-s;”))2+ (tj'-t;)h + (sZ'-s~1)h111) 2 . 여기서 각 u, VEX 와 ll>0 에 대하여 [u,v], i=A ~ 명제 6.3.8 로부터 상수 M1>0 이 존재하고 (6.2.30) II uj' -v '/ II ~ ~ II uj' -v Z'-1 II + ~ II uj'- 1 -vZ' II

+ ---/::ft {M1 I t1' 一 s,;' I + [ uj '-vZ ' , G( tj' , ( u;') ,;) -G (sZ', ( vZ'\:) ] 』 . 그런데 각 u, V, W, ZEX 와 J > O 에 대하여 [U,V]+ ~[u,vL~[w,v]A+ II v-zII +훗 II u 一 wll 이므로 [ u;'-v% 1, G( t『 , ( uj' ) 11) - G (s%', ( v%') 하. )] + s [ uj '-v( t;') , G( tj', ( 詞) 1;) - G( t j, V1;)L + II ( G( t;’ , ( 詞) t?) —G( t;', v11 )) -( G( t;', ( u;') 17) -G(s' , ( v 파)) II 내 II ( uj' -v%1)-( uj' -v (t; ')) II = [ uj '-v( tj1) , G( t;’, ( 국) tj) - G( tj'' Vt i)L + II G( s%' , ( ;,f) s,') -G ( tj' , Vt j) II + j II v%1 -v ( tj1) I I 平]’' -v ( tj1) , G( tj1 , ( 급) 1;) 一 G( tj' ' Vtj ) ] ,l + II G( sZ , ( ;if) Sk.) -G ( t;나) || 내 II vZ' -v ( tj') II s [ uj' -v ( tj') , G( tj', ( uj' ) 11) -G ( tj', v,;)] ,i + II G(s%', ( vZ ）서 -G(s%', V5, ) II + II G(s%', V5; )- G(tj' , v1i) I I 내 11 vZ' -v ( sZ') II 내 II v(sZ1) -v ( tj') II .

Aj _ k= ll uj'- v %' 1| 이라고 두자. 그러면 (6.2.30) 으로부터 (6.2.31) A,,k < h,,+h,h, ,II A,.k-l + h,1h+, Ih I ,II A,-I . k +&(M7 I t;' -sZ' I +s;'+8Z'+p ( I t;' -sZ' I )). 그런데 I t;'-s½ ' I ~ I (t;' -s ½') -h I + h 11 ~ I (t;'-t;') —(s½ 1-s;1)-h11 I + I t;- s;' I +h ~Di - u+ I t;- s;' I +h 이므로 Koba ya sh i [70] 의 보조정리 2.4 의 증명으로부터 p( I t;'- s½' I )弓:p (T) I I t;'- s½' I -hll I +p(2 o) 나:p(T) (D i-1.k+ I t;- s;' I )+p(2 o) 이고 따라서 (6.2.31) 로부터 (6.2.32) A j ,k~h,I~ A j ,k-1h+m ~A j기 . k +~ ((강p (T)+K1)(D i -1,k+ I t;- s;1 I ) +M1h11+p (2 8) +c;'+akn). 먼저 p~j~ n 과 k= q인 (j, k) 에 대하여 (6.2.29) 가 성 립하는 것을

보이기로 한다. (6.2.27) 로부터 A( tj') u;' 국(t;’, ( 詞) 1;) — u \,<;l- l 이므로 각 j= 1,2,… , n 에 대하여 | A(tl ) u j' I 디 G( t;’,（군) 1;) ― u;1_h,~ II 江 II G( t;\ ( u;%) || + || u\,: ；닙 |I sf] K +M2+N=K2. (6.2.3) 으로부터 I A (t?)마 I ~ I A(t; ) u; I + I t~＇국' I L1( II u; II )(1+ I A( t;)야 I ) ~Kz+ TL1(K )(l +K사 =K3. 또 (6.2.27) 로부터 짜=Jh ( t ?)(u 麟 +h,1G(t? , ( un17)) 이므로 (6.2.33) |I uf -u; ' || = || J,1. ( tf)( u;'-l + h,,G( tf, ( uf) t?)) -J,1( t;’)마 |I + |I J,1 ( ti') 아 -u ; II

~ II ui'- 1 _마 |I +h,, 11 G( t;-', ( ui' ),7 ) I I +h,, I A( t;')u ½ I ~ II u:'-1 -u½ II +h,,(/3K +M2 ) + huK3 ~ II U;-1 ―마 II +h,,Ko, 단, K 혼 max{K1, /3K +M2+K3}. i =P+l, …,j에 대하여 (6.2.33) 을 변변 더하면 II 띠 -u; II ~K0h,1( j-p) = K( t;1-t;'）악 KD i . q 이고 각 j=p,…, n 에 대하여 11 u j'-파' || s II u? 一야 11 + I| u;I_v; |I s II u;-v;' II +K0Dj .q • 따라서 ps j s n 과 k= q인 (j, k) 에 대하여 (6.2.29) 가 성 립한다. 같은 방법으로 (6.2.28) 을 이용하면 j= p와 qs ks m 인 (j, k) 에 대하여 (6.2.29) 가 성 립하는 것을 보일 수 있다. P+l sj s n 과 q+ l s ks m 일 때 (j—1, k) 와 (j, k ― 1) 에 대하 여 (6.2.29) 가 성립한다고 가정하자. (6.2.32) 로부터 Ai ,k ~h~,, [ II u;-v~'II +Kodi. k- 1+ 홈j p c f h,1+ k홈 키; 화 ’'h,n +j h,,{( 강 p( T) +Ko)(Di, k -1 + I. t; - s~1 I ) +p(2 8) +Kohn}] +~[ II u;-v;1 II +KoDi - 1 .k+ 설p c f h,,+ 홈q 8「 h111

+(j一l) h,,{( 강p(1) +K 。 )(D i-1.k+ I t;- s;' I )+p(2 o)+Kohm}~ +~ 떼p(1) +K 。 )(D i -u+ I t;- s; I ) +K0h,, + p(2 o) + cj' + o,;'} ~ II u;-v~' II +KoDi .k + if= p c;'h,,+ 고i=k Q 하 nhm +j hll{( 강p(T) +Ko)D j _ k+ I t~ -s;' I )+p(2 o)+Kohn }. 따라서 p:,;;j:,;; n 과 q< k< m인 각 (j, k) 에 대하여 (6.2.29) 가 성 립 한다. 지금 tE ( t;- 1, t;] n(s;'.._l, S ;] 와 SE (t;'-1 , t;']n( s½'....1, s;'] 에 대하 여 (6.2.29) 에 n, 館一CX)이면 (6.2.34) 11 u(t) - vU) || ::::;; II u(s)— v(s ) II + 표합 ;Ih,, + lim Lk 8?1 h m+ Tp ( 28). 11- • 00 i= q 그런데 l 쁘 흡화 'h11= J)s Iu ( r)-v(r), G(r, ur)-G(r, Vr)],1d r, 1l11i- m 0 0 11k= : q 하 h,,,= 0 이므로 (6.2.34) 에 i -o+ 이면 II u( t) 一 v( t) II ~ II u( s) -v ( s) II

+ J)u( r)-v( r ), G(r, Ur) 궁 (r , Vr)Ldr. 여기서 A--+0+ 이면 0 三 s 三t< T 일 때 11 u( t) -v ( t) II :s:: II u( s) -v ( s) II + J) u( r) -v(r) , G(r, Ur) —G (r, Vr) ] +d r. 이어서 (6.2.1) 의 적분해가 존재하는 것을 생각하기로 한다. 정리 6.2 .1 2 (6.2.2)-(6.2.6) 의 가정 아래 ¢。 (O) ED 이라고 하자. 그 러면 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 적분해가 존재한다. 증명 정리 6.2.9 로부터 u( t)를 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 극한해라 고 하자. 그러면 각 t E[-r,O] 에 대하여 u (t)=¢。(t)이고 u( t)는 [O, T] 에서 연속이다. u,,( t)를 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 이산 근 사해 라고 하고 [0, T] 에서 고르게 根g u,,( t)= u( t)이라고 하자. 0~s~t ~ T, [x,y] E A(a), a 락 0,T] 라고 하자. 이산 근 사해의 정의로부터 각 i =1,2, … ,n 에 대하여 u;'~-ui'- 1 +, vi11' = Gr,(/ t,1i1', (/ ruri') 17) 인 v;' eA( t;')파가 존재 한다. 따라서 (u;'-x) —(u 「- 1-x) = h,,(G(t;. ', ( u;')1,) - v;')

이므로 (6.2.3) 으 로 부터 (6.2.35) II u;'-x ll -I I u:'-1 -x ll 입 h,,[ u;'-x, G( t;', ( u;') ,,) — 파 ’] _ 악,,( [ u;'-x, y- v;'] _ + [ u? — X , G(t? , ( 파)/ ? )-y] +) . 악,,( I t;'-1;) - Y]+). i= k+I, …,j에 대하여 (6.2.35) 를 변변 더하면 (6.2.36) II u;'-x II -II uZ-x II 三 i=f k + ' h,,( [ u;I _x, G(tf , （국)t , )-y] + +0(t;- \ a)) 여기서, 0(t t''

의적으로 존재한다. 증명 정리 6.2.9 로부터 u( t)를 (6.2 」)의 [-r, T] 에서의 극한해라고 하면 각 t E[-r,O] 에 대하여 u (t)=O 이라고 하자. 정리 6.2.12 에 s=6= t0, t= t0+ h 이라고 두면 각 [x, y] EA (t 0) 에 대하여 (6.2.37) II u(to +h)-xII - II u (t。 )-x ii :S:: J,:0+ \ [ u( r) —x , G(r, Ur) -y] + + 0( r, to) )dr. f。 단, 0(r,to )= I r-to I L1( II xII )(1+ II YII ). (6.2.37) 의 양변을 h 로 나누고 h 一 0+ 이면 [ u (to )-x 겁昌)] 주 [ u( t0) -x, G( t0, u1) -Y] + 이고 각 [x,y ] EA (t 0) 에 대하여 [u( t。 )-x,- 겅皇) +G(t0 , u1.)-y] +20. A( t o) 가 X 의 극대증대작용소이므로 -맵 (t o) + G( to, ut. ) EA( to) u( t。) 이고 따라서

맵 (t。) +A( t0) u( t픈 G( t0, u,0) . 즉, a.e. tE (0, T)에 대하여 맵(t) 十 A( t )u( t) 힉G (t, u,). 그러므로 u (t)는 (6.2.1) 의 [— r, T] 에서의 강해이다. 강해의 일의성을 보이기로한다. u(t) , v (t)를 (6.2.1) 의 [ _r, T] 에서의 두 강해라고 하자. 그러면 u( t), v (t)는 [0, T] 에서 절대연속이므로 II u(t) - v(t ) || 도 [0, T]에 서 절대연속이다. 따라서 || u(t )- v(t) II 가 a.e. tE (0, T)에서 미분 가능이고 갑 || u( t) —v(t ) II = [ u( t) -v (t ) 뿔 (t ) _ 뿜 (t )] + ::;;: [ u( t) -v( t) , G( t, u1) -G( t, v1)] + —[ u( t)- v(t), G(t, u1)- 팹(t) _G(t, Vt) 十맵(t)]+ . (6.2.2) 와 (6.2 .4)로부터 a.e. te (0, T)에 대하여 갑 II u( t)一 v( t) II ::;;: II G(t, u ,)-G(t, v ,) II 획f3|| u/_Vt |I PC 이고 각 tE [O, T] 에 대하여 || u(t) _ v(t) || 책J。0 1 II Ur-v 』| pc dr

디; (1 E~ 뿐 . rl II u( O 이라고 하고 r > O 이라고 하자. 6.2 에서는 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 이산근사해의 존재성을 보이고 이 이산근사해의 [-r, T] 에서 의 고른 극한이 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 극한해, 적분해 및 일의적 인 강해가 되는 것을 보였다. 따라서 이산근사해의 존재성은 곧 극한 해, 적분해 및 강해의 존재성을 보이는 데 중요한 과정이다. 5.3 에서처럼 구 > 0 이라고 하고 B 른 :B;(O) = {xEX I II X II < r} 이라고 두자. D 。 EX 에 대하여 PC([-r,O] ; 万 o)={ : [-r,O] 一 万。 나는 조각적 연속함수이다}

이라고 두고 각 rpE PC([— r,O ] ; 万。 )에 대하여 II ¢ II 00 = OE ~ [u _~. o] | 나( 0) II 와 같이 그의 노름 II • II co 를 정의한다. 싸 [-r,0]--->X 이라고 하자. 이 절에서는 각 tE [O,T] 에 대하여 A( t) : D(A( t)) ex- 언가 X 의 작용소이고 G : [0, T]x P C([-r,0] ; 万。 ) - x 일 때 X 에서 (6.3.1) { 맵uo(=t ¢)。 +A( t) u( t)三 G( t ,u,), 0< t겁 T 형의 비자율함수미분방정식의 [_r, T] 에서의 이산근사해의 존재성 을 여러 조건에서 보이기로 한다. 또한 이것을 이용하여 (6.4.1) 의 [— r, T] 에서의 극한해, 적분해 및 강해의 존재성을 증명하기로 한 다. (6.3.1) 의 이산근사해를 주로 보이기로 하고 이 이산근사해와 함께 6.2 에서처럼 하여 극한해, 적분해 및 강해의 일의적인 존재성을 보일 수 있다. 필요한 가정들을 열거하기로 한다. (6.3.2) 각 te [0, T]에 대하여 A( t) : X=>D(A (t))=D-김X 가 X 의 m- 증대작용소이다. (6.3.3) 단조증가연속함수 L1 : [0, oo)-[o, oo) 이 존재하고 각 XEX,

t, se[O, T] 와 ,1 > 0 에 대하여 11 A, 1(t)x -A,1 (s)x II ~ I t— s I L1( II x II )(1 + II A, i(s) x II ). (6.3.4 ) 상수 /3 ＞ 0 가 존재하고 각 쌉 rpE PC([— r ,O] ;D 。)와 tE [0, T] 에 대하여 II G(t, ¢ )-G(t,r /J) II 척/3 11 ¢—r/JII 00• (6.3.5) 단조증가함수 L2 : [0,00)-[O,oo) 가 존재하고 각 ¢ePC([-r,O] ; 瓦。 )와 t, sE[O, r] 에 대하여 II G( 나)一 G(s,¢) II ~Li II ¢ II co ) I t— s I . 단, AA( t)는 A( t)의 요시다 근사이다. 먼저 D 。 =B 구일 때 (6.3.1) 의 [-r, T] 에서의 이산근사해의 존재 성을 보이기로 한다. 명제 6.3.1 (6.3.2) 와 (6.3 .4)의 가정 아래 ¢。 ePC( [-r, O] ; B ;. ）이라고 하고 ¢。 (0) ED 이라고 하자. 각 ¢ePC([-r,O] ; B,.), • te [O, T] 와 ll xll > r 인 XED 및 uEA(t) x 에 대하여 x*EFx 가 존재하고 (6.3.6) (u-G(t, ¢), x*) 착) 이라고 하자. 그러면 (6.3.1) 의 [— r, T] 에서의 이산근사해가 万구에 존재한다. 여기서, F 는 X 의 쌍대사상이다.

증명 각 n= 1, 2, …에 대하여 {t;'|j =O,1,2, … ,n} 를 [0, 까의 분 할이라고 하고 h,,=~. t;'=jh ,, 이라고 하자. 단, t0= 0, t~= T. uo= 켜 %(0) 이라고 두고 굽(t) = { :。( t) , t E [ _ r, 0] 때, tE (Q, T] 이라고 두면 각 匡 [-r, T]에 대하여 짜(t） 드 E ，，. 각 tE [-r, T] 와 XEX 에 대하여 (g1 (x))( t) = X[- r. 01( t) 짜(t) + X

조/t ,,8 || x 一 Y II . 각 XEB;;oJl 대하여 S1XEB 구 임을 증명하자. S1x= v 이라고 두 고 v r:/=瓦이라고 하자. 그러면 II vii > r 이다. (6.3.7) 로부터 v + h,,A ( ti')v — h 11G( t;' )v-U o 락) 이 므로 u EA( t 11)v 가 존재 하고 v+h,,u-h,,G1( t Dv 一짜 =0. (6.3.6) 으로부터 v* eFv 가 존재하고 0 = h,,( u— G 1(ti ')v , v*) + ( v— 때 , v*) 학 v,v*)-(u o' ,v*) 티 I vII 2-II uo 'II II vII = 11 v 11 c 11 v 11 - 11 uo' || ) 2 II v ii C II v i| —r ) >o . 이것은 모순이다• 따라서 vEEr 이다. 또 h11/3 < 1 인 충분히 큰 자연 수 n 에 대하여 S1 : B 구---- ► B 구는 순축약작용소이다. 바나흐의 부동 점정리로부터 S1x=x 인 xEEr 가 일의적으로 존재한다. x= u i’이 라고 두면 u f 1eBr 이다. 각 te [-r, T.]에 대하여 福)={ u:。i(' ,t ),t e (tOE ,[ T—] r ,0] 와 같이 두면 각 tE [-r, 까에 대하여 ui' (t)E Br 이고

C,U;')u;' = CU;', (g1( u;')),;) = C( t;', ( u;'),;) 이므로 (6.3.7) 로부터 u;' = 11;, ( t;')( urf + h,,G( t;', ( u;') ,i)) 이고 ~ +A( t;') u; 님 G( t11, ( 국) 사 · j= 2,3,… , n 에 대해서도 작용소 sj : B.:-x 를 각 xEEr 에 대하여 (6.3.8) S;x = J,, “ 아 )(u;1-1 +h,IG,·( t ; ’) x) 와 같이 정의한다. 단, 각 t E[ 一 r, T] 와 xeX 에 대하여 gix)( t) = X [-r.11_ i J (f) 江(t) +x (t?- I , T](t)x 이고 각 tE [O, T.]와 XEE 구에 대하여 Ci t)x= G( t, (gi(x ))1). 그러면 S1 에서의 경우처럼 h11/3 < 1 인 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 하sj고 : 각瓦 一tE E[r— 는r, T순.]축에 약대작하용여소 이다. s j의 부동점을 u;'EEr 이라고

u;’( t) = { :::t)t' Et (7;'[二 i!.] k= l, 2, …,j-1 파, 匡 (tj'-1 , T] 와 같이 두면 각 tE [-r, T] 에 대하여 u;'(t) EB ; 이고 Ci t;') u;' = G( t;', (gi u;')) ti) = G( tj, ( u;') 1;) 이므로 (6.3.8) 로부터 Uj = J,1 . ( t;1 )( u 凡 + h,,G( t;\ ( u;’) t?) 이고 ~ +A( t ;')u; 님 G( t?, ( 詞) 1;) . 그러므로 각 tE [-r, T] 와 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 Un(t) = u;:( t)와 같이 두면 정 의 6.2.1 로부터 u,,( t)는 (6.3.1) 의 [-r, TJ에서의 이산근사해이다. 제 5 장에서처럼 호모토피에 관한 보조정리 5.3.2 를 이용하여 (6.3.1) 의 이산근사해의 존재성을 보이기로 한다. 명제 6.3.2 (6.3.2) 와 (6.3 .4)의 가정 아래 0ED_ 이라고 하자. ¢。 ePC([-r,0] ; 瓦)이라고 하고 ¢。 (0) eD 이라고 하자. 각 ¢ePC([-r,O] ; 瓦)， 匡 [0, T]와 ll xll = 구인 xeD 및 uEA(t) x 에 대하여 x· EFx 가 존재하고

(6.3.9) ( u-G( t, ¢), x*) 킥 0 이라고 하자. 그러면 (6.3.1) 의 [-r, T]에서의 이산근사해가 万，，에 존재한다. 증명 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 h, tg || x_y I| 2 _ th,1 B II x_y II 2

착 l _h,'/3) II x- y ll 2 이므로 각 tE [0, 1] 에 대하여 H( t, • ）는 강증대이다 . (2) 각 (t, x), (t0 , x) E (Q, 1] x YJ에 대하여 t- t 0 일 때 II H( t, x)-H(t0, x) II = II S(t , x) —S < to, x) II < II J/h. ( t ;1) ( t( u,-l + h,IG , ( t ,) x)) _J사, . ( tj')( t( u; 닙 + h,,G( tj')x )) II + |I J사, . ( tj')( t( uj'_ 1 + h,,G( tj')x )) _J사, . ( tj')( t。 ( u 昌 + hG( tj')x )) II ~2 I t~t-。t 。 l II t(u ;'-1 +hG(tj ')x ) II + I t— t。 I II u 巨 + h,,G( tj')x II -o 이고 t o=0 에서는 각 xEU 에 대하여 t -0+ 일 때 II H( t, x) -H(O , ~) II = II S(t , x) —S(O , x) II = II S( t, x) II ~ II !11,.( t j')( t( u; 닙 + h,,G( tj')x )) -!1 1, .. ( tj')O II + I| J/h. ( 8)O I| 업 |I u;'-1 + hG( tj')x II + II 111,.

이므로 uEA( t; ')x 가 존재하고 x + th1 1u = t( u 昌 + h11G( t;')x) . 따라서 (6.3.9) 로부터 x* EFx 가 존재하고 0 = th )u-G( t;')x , x*) + (x, x*)-t( U ;-1, x*) ~ ll x ll 2 - t ll u;-1 11 ll x ll =(l一t) --;.2 > o. 이것은 모순이다. 따라서 각 (t,x) E (Q, 1) X au 에 대하여 H(t, x) =/= 0. (4) H(0,0)=0 이므로 x 。 =0 이라고 두면 각 xEaU 에 대하여 II H(O,xo) II = II H(O,0) II =0 ~ II H(O,x) II . 따라서 보조정리 5.3.2 로부터 H( l ,x)=0 인 xEU 가 일의적으로 존 재한다. 즉, x= S (l ,x) 인 XEB; 가 일의적으로 존재한다. x= u1' 이라고 두면 (6.3.10) 으로부터 u? = J,’( t?)( ui- l + h,iG i( t;’) u?) . 나머지 증명은 명제 6.3.1 의 증명과 같이 하면 된다. 그러므로 (6.3.1) 의 [— r, T] 에서의 이산근사해가 존재한다. 명제 6.3.3 _ (6.3 .4)의 가정 아래 ¢。 EC([-r,0] ; B;) 이라고 하고 각 tE [O, T] 에 대하여 A(t) : D(A( t))=[)C x-x가 일가증대작용소

이고 A( t)가 瓦 CD 에서 연속이고 유계라고 하자. ¢。 (0) ED 라고 하자. 각 ¢ePC([-r, 이 ; B;; ) , tE [0, T] 와 II xii = 戶인 xeD 에 대하여 x*eFx 가 존재하고 (6.3.11) (A( t)x -G ( t, ¢) , x*) ::2!:0 이라고 하자. 그러면 (6.3.1) 의 [-r, T] 에서의 이산근사해가 万군에 존재한다. 증명 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 h11/3 < 1 이 라고 하자. U= B;: 이 라고 두고 작용소 S : 万 --x 를 각 XE 万제 대하여 (6.3.12) Sx = (I+ h,,A ( tj1) - h 11G( tj')) x —u;'- 1 와 같이 정의하고 각 (t,x) E[O, 1] x V_에 대하여 (6.3.13) H(t, x ) = (1-t)x +t Sx 두자. 이 H( t ,x) 가 보조정리 5.3.2 의 (1) - (4) 를 만족하는 것을 보이 기로한다. (1) 가정으로부터 각 t E[O,1] 에 대하여 H(t, • ）는 연속이다. (6.3 .4)와 A( t)의 증대성으로부터 각 (t,x) , (t,y) 락 0, l] x U_와 x*E F( x- y)에 대하여 (H( t, x)-H( t, y) , x*) = (1-t) II x-y II 2+t h, ,(A(tj ')x -A(tj' )y,x *) -th( G (tj')x -G(t1 ) y, x*) + t ll x-y l l 2

킥 1- t) II x 一y II 2-th ,, /3 1 1 X-y II 2+t II x-y I I 2 = (1-t) II X-y II 탸t( 1-hll /3) II x 一 Y II 2 칙 1-hII /3) II x-yI I 2. 따라서 각 te [0, T]에 대하여 H(t, • ）는 강증대이다. (2) 가정으로부터 S 는 YJ에서 유계이므로 각 (t,x) , (t 0,x) 락 O, l] x YJ에 대하여 II H(t, x )-H(t0 , x) II s I t—to I IIxII + I t-to I II SII IIxII . 따라서 H( t, • )는 U 에서 고르게 te [O, 1] 의 연속함수이다. (3) H( t ,x)=0 인 (t,x ) e(O,l) xau 가 존재한다고 하자. 그러면 XED 이고 || xi i = r. (6.3.11)-(6.3.13) 으로부터 0 = ( (1-t) x + t(I+ h1,A (tj1)- h11Gj ( tj '))x-u 晶), X*) = (x, X*) +th,1 (A( t;’) x-G,(g )x , X.)-Kuj' -l , X*) 티| x ii 2 - t ll u 昌 |I II X II ~츠 (1 —t) r 2 >o . 이것은 모순이다. 따라서 각 (t,x) e(O,l)xau 에 대하여 H( t, x) =I= 0 . (4) H(O,0)=0 이므로 x 。 =0 이라고 두면 xoEU 이고 각 xeau 에 대하여 II H(O,x0) II = II H(O,O) II =O s II H(O,x) II . 보조정리 5.3.2 로부터 H( l ,x)=O 인 xEU 一가 일의적으로 존재한다. x= 파이라고 두면 (6.3.11) 로부터

0 = Sx= (I+h ,A( t;')- h,,Gi t;') )u;'-u;'-1 이고 u;’ = J,,n ( t;’)( u; 닙 + h11G;( t;’)파’) . 나머지 증명은 명제 6.3.1 의 증명과 같이 하면 된다. 그러므로 (6.3.1) 의 [-r, T] 에서의 이산근사해가 존재한다. 따름정리 6.3.4 A( t)를 브라우더의 의미에서 일가 m- 증대작용소라 고 하면 명제 6.3.3 은 명제 6.3.1 의 특수한 경우이다. 증명 (6.3.6) 을 증명하면 된다. 명제 6.3.3 의 가정 아래 II x ii > 규인 XED 에 대하여 a= I| xr11 이라고 두면 ae(O, l) 이다. x= ax 라고 두면 I| 궁 I1 = r 이 고 궁 EoB ,; CD. (6.4.11) 로부터 각 ), x*) = a(A (t)궁 -G( t, ), 서). 이므로 (6.3.14) (A( t) x-G(t,

이므로 A (t)의 브라우더의 의미에서의 증대성과 (6.3.14) 로부터 (A( t)x -G( t, ¢), 서) = (A( t)x -A (t) 궁, x;) + (A( t)x -G( t, ¢) , 서) = 一l-上a _ (A( t) x-A (t)궁, x;) + (A( t) x-G (t,¢),서) 20. 따름정리 6.3.5 D 가 홉수적이면 명제 6.3.2 는 명제 6.3.1 의 특수한 경우이다. 증명 역시 (6.3.6) 을 증명하면 된다. 따름정리 6.3 .4의 증명에서 aE( Q ,l) 이고 D 는 홉수적이므로 x=axED. 나머지 증명은 따름 정리 6.3.4 와 같이 하면 된다. 다음에는 D 。 =D 일 때 (6.3 」)의 [-r, T] 에서의 이산근사해의 존 재성을 보이기로 한다. 명제 6.3.6 (6.3.2) 와 (6.3 .4)의 가정 아래 ¢。 ePC([-r,O] ; D) 라고 하고 ¢。 (0) ED 이라고 하자. 그러면 (6.3.1) 의 [-r, T] 에서의 이산 근사해가 존재한다. 증명 충분히 큰 자연수 n 에 대하여 h,, /3

와 같이 정의하면 S 는 万의 순축약작용소이다. 바나흐의 부동점정리 로부터 Sx=x 인 XE 万가 일의적으로 존재한다. x= u;’ 이라고 두면 (6.3.15) 로부터 펴 = JJ,( t?)( u 昌 +h,,GK t ;1) 파’) . 나머지 증명은 명제 6.3.1 의 증명에서처럼 하면 된다. 6.2 에서 (6.2.1) 의 [-r, T] 에서의 이산근사해의 극한이 존재하는 것을 보이고 그 극한이 극한해, 적분해 및 반사공간에서는 강해가 되 는 것을 보인 것과 같이 하면 다음 정리를 얻는다. 정리 6.3.7 (6.3.3) 과 (6.3.5) 를 가정하자. 명제 6.3.1 또는 명제 6.3.2 의 가정 아래 ¢。 : [-r,0] 一万구가 리프쉬츠 연속함수라고 하자. 그 러면 명제 6.3.1 또는 명제 6.3.2 에서 존재한 (6.3.1) 의 [-r, T] 에서 의 이산극한해 un(t) = 교 k t)가 [0, T] 에서 u( t)에 고르게 수렴하고 u( t)는 [0, T]에서 연속이다. 즉 u( t)는 (6.3.1) 의 [-r, T] 에서의 극한해이고 또 적분해이다.