.>..l-요O 스0 경북대학교 수학교육과 졸업 미국 시카고 대학교 Ph.D 미국 브랜다이즈 대학교 조교수 대한수학회 총무이사 현재 이화여자대학교 수학과 교수 논저 『위상수학 』 등 저차원 다양체에 관한 50 여 편의 논문

아르케 (arche, d p x11) 는 ‘시초 , ‘시작’ 이라는 어원적 의미를 가지며, 학술적으로는 ‘원리’ 를 의미합니다.

다양체의 미분위상수학

다양체의 미분위상수학

책머리에 이 책은 미분적분학, 선형대수학 , 일반 위상수학과 미분기하학을 수강한 학생이면 읽을 수 있게 하였다 · 다양체의 기본 개념과 성질을 다 룹 으로써 대학원 과정의 공통내용이 되도록 엮었으며 , 특히 위상 수학을 전공하려는 학생들에게 필요한 내용을 담았다· 제 1 장에서는 미분다양체를 다루었다 · 미분가능한 곡선의 접벡터 롤 구할 수 있고 , 이것으로부터 거리를 잴 수 있음이 기하학의 첫 단 계이다· 미분다양체의 기하학적 또는 위상적 구조를 조사하기 위하 여 접공간과 그의 다양체에 따른 변화를 공부한다 · 미분다양체의 몰 입 매장 그리고 침몰 (submers i on) 은 미분위상수학을 연구하는 데 중요하다 교차이론(i n t ersec ti on t heo ry)의 기본이 되는 침몰과 횡단 성 을 공부하고 이 들의 응용인 사드 (Sard) 정 리 와 모르스 (Morse) 함 수를공부한다· 제 2 장에서는 횡단성을 이용한 부분다양체들의 교차수를 공부한 다 함수나 다양체의 확장 가능성을 조사하기 위하여 경계를 가진 다 양체롤 연구한다· 특히 일차원 다양체의 경계의 수는 항상짝수이다· 이를 이용하여 경계를 가진 다양체가 횡단할 때 교차수가 짝수인지 홀수인지 공부하고 그의 여러 가지 옹용을 연구한다· 제 3 장에서는 미분다양체의 방향이 주어지고 방향을 가진 두 여 차원 부분다양체가 횡단하면 만나는 점의 부호가 정해지고, 방향 교 차수가정해진다· 이것의 옹용으로사상J : x -x 가고정점을가짐 올 보기 위하여 곱 X x X 에서 대각공간 A 와 f의 그래프 g ra p h(!) 의 방향 교차수(f의 러프셔츠수)를 조사한다· 특히 f가 항등사상 Ix 일

때 러프셔츠 (Le fs che t z) 수는 X 의 오일러 (Euler ) 지표이다 러 프 셔 츠 함수의 고정점과 벡터장의 0 이 되는 점의 지표 를 관련시켜 포 앙카 레-호프 (Po i ncare-Ho pf) 정 리 에 의 하여 오 일 러 지 표 를 벡 터 장 으로 부 터 얻는다· 오일러 지표는 벡터장의 선택에 무관하 므 로 다양체 를 삼 각형 분할과 연관시켜 다양체의 오일러 지표 를 구할 수 있다· 제 4 장에서는 미분다양체 상에서 해석학 . 미 분 기하 학 그 리 고 위 상수학의 기본이 되는 드람 (de Rham) 코호 몰 로지 를 다 루 었다 · 벡터 공간에서 외대수와 다양체 상에서 미분형식과 그 의 외미 분 이 복체 를 이루고 · 그로부터 드람 코호몰로지 를 유도한다 · 다양체에서 미분형 식의 적분과 스토크스 (S t okes) 정리 를 소개하였다 · 적분의 응용으로 차수공식룰 소개했고· 미분기하와 위상수학을 연 결 해 주는 가우 스 ­ 보네 (Gauss-Bonne t) 정리를 소개하였다 · 가우스-보네 정리는 10 장의 지표정리의 기본 예가 된다· 제 5 장에서는 위상공간의 기본군 , 호몰로지 그리고 코 호 몰로 지 룰 구하기 위하여 공간을 삼각형 분할하여 구체적으로 계산한다· 위 상공간이 단체적 복체로 분할하여 연속함수를 단체함수로 단체 근 사 (s i m pli c i al a pp rox i ma ti on) 할 수 있댜 이룰 이용하여 기본군 , 단 체호몰로지 (s i m p li c i al homolo gy)를 구할 수 있다 앞에서 배운 드 람 코호몰로지와 실계수의 단체코호몰로지가 동치라는 드람정리 를 소 개한다 제 6 장에서는 호몰로지와 코호몰로지를 대수적인 방법으로 소개 한다 호몰로지와코호몰로지 사이관계, 꼬임(t ors i on) 을 무시하면 서 로 쌍대이댜 이것은 드람 코호몰로지의 적분이 동형사상임을 의미 한댜 CW- 복체의 구성으로부터 호몰로지룰 구할 수 있댜 메이어-비 에토리스 (Ma y er-V i e t or i s) 의 열과 코호몰로지 환 (r i n g) 위에서의 곱 을 소개하고 다양체의 대칭성을 말해주는 포앙카레 쌍대정리를 소개 한댜 제 7 장에서는 벡터 다발의 구조를 조사한다· 벡터다발은 국소적

으로 다양체의 구성과 같이 자명한 다발(곱다발 : tri v i a l bundle) 이 지만 그 구성에 따라 여러 가지 다발이 생성된다· 기본적인 예가 접 공간으로 이루어진 접다발과 공변접공간으로 이루어진 공변접다발 이다 제 8 장에서는 구체적으로 다양체의 접다발과 공변접다발의 뼈대 장(fr ame fi eld) 과 계량 (me t r i c) 을 소개하고 , 공변접다발의 텐서다발 과 외 적 멱다발 상의 외미분을 소개한다· 또한 · 리만 계량이 접다발 과 공변접다발이 동형임을 보여준다· 제 9 장에서는 벡터다발상의 단면들을 미분하기 위하여 접속 (con­ nec ti on ) 을 소개한다 이 접속은 벡터다발에서 값을 가진 단면들 상 에서 접속을 유도하며· 이 접속들이 단면들의 벡터공간상에서 복 체 (c om p lex) 가 되지 않은 정도는 접속에 대한 곡률이 된다· 제 10 장에서는 현대 위상수학과 기하학을 연구하는 데 주요 지표 정 리 를 소 개 한다· 벡 터 다발의 위 상을 나타내 는 특성 류 (charac t er i s ti c classes) 를 소개하고, 지표정리의 모태라 할 수 있는 다양체의 오일러 지표 를 소개한다· 지표정리는 한마디로 작용소의 위상적 지표와 해 석학적 지표가 같다는 것이다· 해석학적 지표는 작용소의 핵의 차원 과 공핵의 차원 차이며 정의는 간단하지만 계산이 용이하지 않다· 위 상적 지표는 벡터다발과 작용소의 기호가 특성류로 표현되어 계산이 용이하다 지표정리를 증명하기 위해서는 깊은 해석학의 지식을 요 구한다 따라서 증명없이 지표정리를 소개한다 · 제 11 장에서는 10 장에서 소개한 지표정리의 응용으로 다양체의 오일러 지표를 유도하는 드람 작용소와 복소다양체에서 해석학적 지 표를 유도하는 돌보 (Dolbeau t) 작용소와 다양체 의 부호수 (s ig na t ure) 룰 유도하는 호지작용소와 , 스핀다양체의 스피노지표 (A- 지너스)를 유도하는 디락작용소를 소개한다· 이 원고롤작성하는동안도와준정영선 박사 , 김원영 박사 , 홍윤 회 박사, 조미성 박사, 강희 박사, 윤진의 박사에게 감사드리며 , 특히

끝까지 교정 및 원고정리를 도와준 박사과정 학생 안순정` 이지윤, 임 명임 양과 석사과정 학생 김지현 양에게 진심으로 감사드린다· 또한 석사과정 때 항시 솔선하여 도와준 함지영 양에게 감사드린다 · 끝으 로 이 책을 집필할 수 있도록 기회를 주고, 우리나라 학문발전에 크 게 공헌한 대우재단에 깊은 감사룰 드린다·

차례

3.3 러프셔츠(Lefschetz) 고정점이론 • 75

6.3 코호몰로지곱 • 215

제 10 장 지표이론(Index theory) -- 311

제 1 장 미분다양체 (Di ffer enti al Manif old ) 1.1 미분 다양체의 정의 n- 차원 유클리드 (Eucl i d) 공간 R,1 은 n 개의 일차독립인 벡터룰 가지는 벡터공간으로, 내적을 가지는 공간이다· 내적은 Rn 상에 거리 룰 주며, 거리공간을 만든다· 위상공간 X 가, X 의 각 점에서, 유클리 드 공간 또의 작은 근방과 같은 근방을 가질 때, X 를 n- 차원 다양 체 (man ifo ld) 라 한다· 점들은 0 차원 다양체이고 직선, 원, 삼각형이나 루프 (loo p)는 1 차원 다양체이며 평면, 구, 직육면체나 토러스는 2 차 원 다양체이다 앞으로 여러 종류의 다양체 중 매끄러운(미분할 수 있는) 다양체에 대해서 공부할 것이다· 수학적인 용어로 다양체룰 정의해 보자· 사상f가 Rn 의 열린 집 합 U 에서 정의되고 ]R m 에서 값을 가진다 하자. f가 모든 차의 연속 인 도함수룰 U 상에서 가질 때, f를 매끄럽다 (smoo t h) 고 한다、 위상

공간 X 가유클리드 공간 Rn 내에 있다고 하자 사상f : X __. ]R m 가 각 점 X E X의 R 내의 열린 근방 U c R’l 이 존재하고 , 매끄러운 사상 F : U __. ]R m 가 존재하여 u nx 상에서 F = J일 때 f를 매끄럽다 한 다 정의로부터 매끄러움은 국소적인 성질이다· 즉 f : X __. JR m 이 매 끄럽다는 것은 X 의 각 점 근방에서 f가 매끄럽다는 것이다· X 와 Y 가유클리드 공간의 부분집합이라하자 매끄러운사상f : X - Y 가 전단사이며, 역사상 1-1 : Y - X 도 매끄러울 때, f를 미 분동형사상 (d iff eomor p h i sm) 이라 한다 이때 두 공간 X 와 Y 를 미분 동형 (d iff eomor p h ic)이라 한다 따라서 탁구공 , 농구공 그리고 럭비공 은 미분동형이다· 원은타원과 미분동형이나삼각형과는미분동형이 아니댜 위상공간 X 가 유클리드 공간 Rn 의 부분공간이라고 하자· 만일 X 의 각점 XEX 이 Rk 의 열린 집합 U 와 X 내의 X 의 미분동형인 근방 V 을 가질 때 X 를 k- 차원 다양체라 한다 이때 미분동형사상 ; u - V 를 근방 V 의 매개변수화(p arame t r i za ti on), 혹은 간략히 매개화라 한댜 역미분동형사상 - l ; V __. U 를 V 상의 좌표계 (coord i na t e sys - t ern) 라 한댜 이때 좌표계를 -1 三 (X1, ••• ，야)로 나타내고, k 개의 매끄러운 함수 어, ••• ，댜을 V 상의 좌표함수 (coord i na t e fu nc ti on) 라 한댜 일반적으로 점 v E V 를 좌표 (xi ( v),··· , xk(v)) E U 로 나타내 고, X의 차원을 dim X = k 로 나타낸댜 (예) 단위구 S2 = {(x1, x 2,x3) E 1R3 巨f + 라 + z§ = l} 는 2 차원 다양체이다· 중명 U = {(야 x2) E IR2 I xj + 때 < 1} 라 하고, ¢1 : U-짜 ¢1(:z:1 ,:z: 2 ) = (x1,x2,: 三) 라 하면 ¢1 는 ¢1 외 상 (S2 의 z1z2 평면의 윗부분)으로 미분동형사상이

다같은방법으로 ¢2(x1, x2) = (x1,x2,_ ✓ l _ （겨 +강), ¢3(x2, x3) = (✓ 1- (검 +저 ),x2,x3), 4 (x2, x3) = (-✓ 1 - 여 + 때 ),x2,x3), cf,5 (x1, x3) = (다 J1 - { x~ + 때), x3) , 2)(x, y) = (1 (x), ¢>2(Y)) 라 하면,

연습문제 1. X 가 R 의 부분집합이고, Z 가 X 의 부분집합이라 하자. x 상에서 매끄러운 사상은 Z 상으로의 제한도 매끄러운 사상임을 보여라· 2. X C JRn , Y C JRm , Z C JR 1 이고 f : X -Y, g : Y ----t Z 가 매끄러운 사상일 때, 합성사상 g o f : X - z 로 매끄러운 사상이다· f와 9 가 미분동형사상일 때, g o f도 미분동형사상임을 보여라· 3.(1) JR때의 k- 차원 부분벡터공간 V 는 Rk 와 미분동형인 다양체임 을보여라 (2) V 상에서 정의된 선형사상은 매끄러움을 보여라· (3) 만일 ¢ : Rk 一 V 가 선형동형이면 V 상의 좌표함수는 선형함수임 울보여라 4. 함수 f : ]RI - ]R\ f( x) = x3 은 매끄러운 전단사함수이지만 미분동형사상이 아님을 보여라· 5. 2 차원 구 S2 = {(x1, x2, x3) E lR3 I Xj + x~ + x~ = 1} 에 서 북극을 N = (0, 0, 1), 남극을 S = (0, 0, -1) 라 하자. 1r(P) 三 직 선 NP 와 x1x2 평면과 만나는 점이라 할 때, 극사영 1r : S2 - {N} -+ lR2(= x1x2 평 면)이 미분동형사상임을보여라 남극에서도국사영이 있어 구 s2 는 두 개의 좌표화로 덮올 수 있다· 6. 문제 5 에서, 일반화하여 극사영 1r : sn - {N} -+ Rn 을 정의하 고 미분동형사상임올 보여라 여기서 N = (O,··· ,0,1). 온 꾼의 북극

이댜 7. 매끄러운 사상 f : X -t X', g : Y -t Y' 에 대해서 (1) 적 사상 f X g : X X y - X' X Y', (f x g)( x,y) = (f(x ),g (y)) 이 매끄러운사상임을보여라· (2) 사영함수 p : X X Y -t X, p( x,y) = x 이 매끄러움을 보여라 8. 대각공간 I:::. = {(x,x) E X X X J x E X} 은 X 와 미분동형임 을보여라 9. 사상 f : X -t Y 의 그래프 gra p h (!) = {(x, f(x )) E X x Y I x E X} 는 X 와미분동형임을보여라 10.(1) 함수 f : ]Rn -t JRl , f(x ) = { ;급 xx>

b), 0 < h(x) < 1 (a < x < b) 임을 보여라

(4) ]R k 상에서 반지름이 a 인 구 안에서는 l 이고, 반지름이 b 인 구 밖 에서는 0 인 매끄러운 함수를 구성하여라. (a < x < b) 1. 2 접 공간 (Tan g en t Sp a ce) 먼저 유클리드 공간에서 도함수부터 생각해 보자. U 를 R'’ 의 열 린 부분집합이라 하고, f : U --+ ]R m 를 매끄러운 사상이라 하자· U 상의 점 x E U 과 벡터 h E Rn 대해서 h 방향으로 X 에서 f의 도 함수 (der i va ti ve) 는 df:r: (h ) = lim f(x + th) —f( x) E Rm t-+ 0 t 이댜 도함수 라z : Rn -+ Rm 은 선형사상이며 f(y) = (fi(y), • • • , f m(Y)) 로 쓰면 df ,,의 자코비 행 렬((J a徐.鉛:c\(o xb.``’,,'、 i’ a (nx ,ma ’t r i,x)鉛.:鈴은( xm) x(\x n) 행) 렬 , 이다· 정리 1.2. 1 U c IR만 V C ]R m 이 열린 집합이고 f : U -+ V 와 g : v -+ R 버 매끄러운 사상일 떄, 각 점 x E U 에서 도함수 d(g of ):r = dg l( :r) o dfx 이 댜 D (주의) 위의 법칙을 연쇄법칙 (cha i n rule) 이라 한다•

만일 f : U -> JR m 이 선형사상이면 dfz = f이다 · 따라서 사상의 도 함수는 그 사상에 가장 가까운 선형사상이다· X 가 R 내에 있는 k- 차원 다양체라 하고, ¢ : U -+ X 를 X E X 에서 매개변수화라 하자 여기서 U 는 RL· 의 열린 집합이다 · ¢(0) = X 라 하 자 · 도함수 d¢ 。 : Rk 一 R r1 의 상을 X 에서 X 의 접공간(t an g en t s p ace) 이 라고 하고 , T: r X 로 나타낸다 Xl # x2 이면 T;r l X nTz2 X = 0 이므로 접 공간 TzX 는 x + Tz X 이댜 정리 1.2. 2 만일 o(JR k ) = d'f/ 10 ( 1Rk) = TrX C ]R n 이다 중명 매개변수화의 정의에 따라 X E ¢,(U) = 'f/, (V) 라고 가정하자· 그러면 합성사상 h = 'f/,- 1 。 ef, : u ---+ V 는 미분동형사상이다. o(JR k ) C d dJ o(Rk) 이다· 역으로 h-1 = ef, - 1 야를 생각하면 do(JR k ) :) d 1/ 1o( JR k) 이 댜 접공간 d

다양체상에서 매끄러운 사상 f : X -+ Y 를 정의하자. f(x ) = y라 하고, : U C JRk -+ X 를 X 에서 매개변수화 , d) : V e R/ -+ y를 y에 서 매개변수화라 하고 (O) = x, 7/1 ( 0 ) = y라 하자. f가 매끄러운 사상 일 필요충분조건은 모든 매개화 ¢,V ) 에 대하여 h = 7/,- 10 f O 가 매 끄러운 사상이다· 작은 U 를 잡아 그림 x ―느 ➔ Y TxX ~ Ty Y 。( I1 0· dooI Tdl,'. ·o U lV Rk I R1 h= ,:; 니。 /0 ¢ dh 。 이 교환되도록 df x 롤 정의한다· 즉 df, , = d'!f 10 o dho o d

은 교환이다· 정의에 따라g o f의 X 에서 도함수는 d(g o f)x = dTJ o o d( j o h)o o d¢ 갑 = dry o o (dj )o o (dh)o o d¢ 갑 (유클리드 공간에서 연쇄법칙에 의해) = (dTJ o o djo o d 갑) o (d'l/1 0 o dho o d 갑) (d 'lj, 0 은 선형동형 이므로) = dg y odf x 이다 따라서 d(g O J)x = (dg )J(x ) 0 dfx 이 다 o 연습문제 1. X 가 Y 의 부분다양체이고 , i : X - Y 이 포함사상일 때 도함수 di x : Tx X - 끄 Y 가 포함사상임을 보여라 2. U 가 다양체 X의 열린 부분집합일 때 , x E U 에 대해서 TxU = TxX 임을 보여라 · 3.(1) V 가 Rn 의 부분벡터공간이면, x E V 일 때, T:r V = V 임을 보 이시오· (2) 만일 k 민이면 Rk 와 Rl 은 미분동형이 아님을 보여라 · 4. 만일 f : X --t Y 가 미분동형사상이만 도함수 df: r : T:r X --t T1(x)Y 도 선형동형임을 보여라· 5.(1) (a,b) E S1 = {(x,y) E lR2 j x2+y 2 = 1} 에서 접선(공간)

T(a , b 잠을 a , b 로 나타내라 (2) (a, b, c) = p E S2 = {(x, y, z) E JR3 J 규 + y2 + z2 = 1} 에서 접 평면 Tp S2 를 a, b, c 로 나타내 라 6.(1) T(z,y j (X x Y) = T_도 X x Ty Y 임울 보여라 (2) 사영사상 p : X x Y -X, p( x, y) = x 의 도함수 dp (z .y) T:x X x Ty Y - T: x X 는 (v, w) t---t V 임을 보여 라· (3) y E Y 가 고정되어 있고 f : X - X X Y, f(x ) = ( x ,11) 일 때, dfz ( v) = (v,0) 임을 보여라· (4) 매끄러운 사상 f : X - X' , g : Y - y'일 때, d( f x g) (z,y) = dfz x d gy임을 보여라 · 7. 대각사상 f : X -+ X x X, f(x ) = (x, x) 의 도함수는 dfz ( v) = (v,V) 임을 보여라 · 8. f : X - Y 가 매끄러운 사상이고 F : X - X x Y, F(x) = (x, f(x )) 일 때 , dFx (v) = (v, dfx (v) ) 임 을 보이 시 오· 1.3 몰입 (Immers i on) 과 매장 (Embedd i n g) 우리가 연속사상 대신에 매끄러운 사상을 취급한 것은 다양체의 국소부분을 이해하기 위함이며, 국소부분의 성질이 모여 전체 다양 체의 위상적 성질을유도하기 위함이다· X 와 Y 를 같은 차원의 다양체라하자 사상f :X-+Y 가 X EX 의 근방울 y = f( x) E Y 의 근방으로 미분동형으로 옮길 때, f를 X 에 서 국소 미분동형사상 (local d iff eomor p h is m) 이라고 한다· 이때 E 에

서 f의 도함수 df.r : T.r X --+ Ty Y 는 선형동형이며, 그 역도 성립한다· 정리 1.3 .1 (음함수 정리) 만일 f : X -+ Y 가 매끄러운 사상이며, X E X 에서 도함수 df:r가 선형동형이면, f는 X 에서 국소 미분동형사 상이다 · 중명 증명은 매개변수화와 유클리드 공간에서의 음함수 정리를 이용 하면 얻을 수 있다· □ (주의 )(1) 음함수 정리에서 도함수 df .x가 선형동형일 필요충분조건 은 선형사상 df .x의 행렬식이 0 이 아님이며, 이의 필요충분조건이 f가 X 에서 국소 미분동형사상이라는 것이다· (2) 음함수정리는사상f의 X 에서 국소적인 성질이지, 전 다양체상의 성질은 아니다· 죽모든 점 X E X 에서 라 z 가선형동형이라고해서 f가 미분동형사상이라고 할 수 없다· 사상 f : lR1 -+ S1 이 f( x) = e2 r.”라 면, f는 모든 점에서 국소 미분동형사상이지만미분동형사상은 아니 댜 사상 f : X -+ Y 에 음함수 정리를 사용하기 위해서는 적어도 dim X = d i mY 이어야 한댜 만일 dim X ~ d i mY 일 때 우리가 생 각할 수 있는 것은 df. , : T.,X -+ T1( .r） Y 가 단사인 것이다 이때 f롤 X 에서 몰입(i mmers i on) 이라고 하고, X의 모든 점에서 f가 몰입일 때 f를 몰입이라고 한댜 예를 들면 k ~ l 에 대해 포함사상 i·: ] Rk -+ 파 i(x 1, ••• ，야) = (x1,··· ,Xk,0,··· ,0) 은 몰입이다· 정리 1.3. 2 (국소몰입정리) 사상f : X -+ Y 가 X 에서 몰입이고 y = f (x) 이만 f(x 1, ••• ，야) = (x1,··· ,xi:, O ,··· ,0) 가 되는 X 에서 매개 화 : U -+ X 와y에서 매개화,;, : V-+Y 가 존재한다·

중명 우선 다음 그림이 교환되는 국소매개화를 생각하자· X f ) Y 0 U「 ) v「I. , 9 ¢(0) = x, 7/1( 0) = y f가 X 에서 몰입이므로, dg o : JRk - ]R I 이 단사이댜 R 내의 기저를 바꾸어 선형사상 dg o 을 (l x k) 행렬 ( IL· )로 만들 수 있댜 여기서 h 는 (k x k) 단위행렬이댜 사상 G : U x RI-k 一 R1 을 G(x,z) = g( x) +(0,z) 로 정의하면 , dGo 는 (l x l) 단위행렬 h 이 된다· 음함수 정 리에 의해서 사상 G 는 0 E R1 에서 국소 미분동형사상이다 . y에서 좌 표화 d) 와 G 가 O 에서 국소 미분동형이므로, 합성사상 사} oG 도 y에서 매개화이다 다시 그림으로 보면 X —~y ,;,I I,; ,•o G U l VI i V' C U X ]Rl -k 이 교환이므로 f(x 1, • • • ，야) = (x1, •• • ,xk,0, ... , 0) 이다· □ (주의 )(1) f가 X 에서 몰입이면, f는 X 의 작은 근방에서 몰입이다· (2) dim X = d i mY 이면, f : X ---. Y 가 X E X 에서 몰입일 필요충분 조건은 f가 X 에서 국소 미분동형사상인 것이다· (3) f가 모든 X E X 에서 국소 미분동형사상이고 전단사이면, 미분동 형사상이다·

매끄러운 사상 f : X -t Y 가 몰입이라고 하자 국소몰입정리에 의해서 X E X의 작은 근방 W 와 상 f( W) C Y 은 미분동형이다· 따라 서 J (X) 의 각 점은 f (X) 와 Y 내의 좌표화 내에 있게 할 수 있다 그러 나 f (W) 가 J (X) 내에서 열린 부분집합이 아닐 수 있으므로 J (X) 가 일반적으로 Y 의 부분다양체가 아니다· (예) (1) 원 안을 꼬아서 8 자로 가는 사상을 생각하면 몰입이지만 단사가 아니고 8 자는 다양체가 아니다· (2) f : JR.1 -t JR 2 가 원점에서 시작해서 원점으로 끝나는 OO 로의 사상 이면 몰입이고 전단사이지만 00 =은 다양체가 아니다 · (원점) (3) T : JR.2 - s1 x s1 가 T(s, t) (e2 is , e2 ,r”)로 주어 지 면 , T 는 국소 미분동형사상이댜 평면 R2 에서 원점을 지나 기울기가 무리수인 직 선을 L 이라 하자 · 토러스 s1 x s1 에 상 T(L) 은 몰입이고 단사이다· 더욱이 상 T(L) 은 토러스 s1 x s1 에 조밀 (dense) 하게 몰입되어 있다· 위의 예에서와 같이 몰입을 국소적으로 이해하기도 어렵다 · 직관 적으로 알아 볼 수 있는 사상을 생각해 보자· 사상 f : X - Y 가 적 당(p ro p er) 하다는 것은 Y 상의 콤팩트 부분집합의 f의 원상이 X 의 콤팩트 부분집합이 될 때를 의미한다· 다시 말하면 X 상의 멀리 있는 점들의 f의 상은 Y 상에서 멀리 떨어져 있다· 몰입이 단사이고 적당 할 때 매 장 (embedd i n g) 이 라고 한다 정리 1.3. 3 매장 f : X -t Y 의 제한 J : X -t J (X) 은 미분동형사상 이다 특히 J (X) 는 Y 의 부분다양체이다 중명 임의의 점 f( x) E f(X) 에 대하여 X 에서 좌표계 x E W C X 을 생각하자. f (W) 가 J (X) 의 열린 부분집합임을 보이면 f (X) 는 다양 체이다 만일 f (W) 가 f (X) 의 열린 부분집합이 아니라면 f (W) 내에 점 g이 존재하고 수열 Yi E f (X)- f (W) 이 존재해서 Y i 는 g에 수렴 한

댜 집합 {Y, Y;} C f (X) 은 콤팩트이고 그의 원상 u - 1 ( !1 ) , r 1 ( y,) } 은 콤팩트이다 따라서 부분수열 f - 1(Y J)가 존 재하여 r1(1 ✓ J)는 한 점 z E X에 수렴한다 따라서 , y,는 f ( z ) 에 수 렴한 다 그리고 f(; ;) = !l 이 고 Z = f -1( y)이다 z = f- 1 (y ) E H'이고 은 열린 집합이 므로 큰 수 i 에 대하여 f- 1(y; ) E W 이다 그러나 Yi ft f ( W) 이 므로 모순 이다 따 라서 f (X) 는 다양체이다 사상 f : X --+ f (X ) 는 전단사이고 국소 미 분동형사상이므로 1-1 : f( X) --+ X 가 정의되고 매 끄 러운 사상이다 o 연습문제 1. A : Rn -+ Rn 가 선형사상이고 , V E lR 일 때 , f( x) = Ax + V 가 미 분동형사상일 필요충분조건은 행렬식 det( A ) =/= 0 임 을 보이시오· 2. k- 차원 다양체 X 내에 l- 차원 부분다양체 Y 가 있고, y E Y 일 때 y에서 Y 의 좌표계 (x1, .. • 고 1) 이 되는 X의 좌표계 (x1,· ,xi, ' ,xk . ) 가 존재함을보이시오· 3.(1) f : JRl --t ]R l 이 국소 미분동형이면 f의 상 f(JR l) 은 열린 구 간이다 이때 f : ]Rl --t f(JR l) 은 미분동형사상임을 보이시오· (2) J : JR2 --t ]R 2 가 국소 미분동형사상이지만 f ; ]R2 --t f(JR 2) 는 미분 동형사상이 아닌 사상 f를 구성하여라· 4. 사상 f : ]Rl --+ R2, J(x ) = ( ez: +2 e-z: ,' ez: -2 e-z: ) 가매장임을보이시오 · 5.(1) X 가配내에 있는 k- 차원 부분다양체라하자·야 ••• ,xn 이 Rn 의

좌표계일 때 각 점 x E X 의 k 개의 좌표계 (.T' ••• ,3:,k) 을 X 의 근방 에 제한하면 1에 서 X 의 좌표계가 되는 근방이 존재함을 보이시오· (2) .rI, ••• ，따를 X 내의 X 의 근방 V 의 좌표계라 하자 . Rk 내에 열린 집합 U 와 함수 Yk+I, • • • ,Yn : U -- ♦ R 가 존재해서 V = {(a1,- -· ,ak,Yk+1(a),--· ,Yn(a) E 맑 | a = (a1,··· ,ak) E U} 가 됨옵 보이시오· 즉 g : U e Rk 一 R'I-k· 가 존재해서 V 는 g의 그래 프 이다 · 6. f : X ---. Y 은 매끄러운 사상이고, z c x 는 콤팩트 부분다양 체이며 Z 상의 제한사상 f lz 가 단사라 하자 · 모든 점 X E z 에서 dfi : : Ti: X ---. T1( i: )Y 이 선형동형이면 , f : Z ---. f (Z) 가 미분동형사상 임을보이시오· 1.4 침 몰 (Submers i on) 매끄러운 사상 f : X --i- Y 에 대해서 , 1. 3 장에서는 dim X ~ d i mY 일 때 매몰에 관하여 공부하였다 이 절에서는 d i mX 츠 d i mY 일 때 도함수 dfx : TxX -Tf (x) Y 가 전사인 사상을 공부할 것 이 다· 이때 f를 x 에서 침몰 (submers i on) 이라고 한다 . f가 X 의 모든 점에 서 침몰일 때 f를 침몰이라고 한다. k 츠 l 일 때 표준사영 JRk --i- 파 (x1, • • • ,Xk) 1--+ (x1, • • • ,X t)은 침몰이 되고 이를 표준침몰 (s t andard submersio n ) 이 라고 한댜 정리 1.4. 1 (국소침몰정리) 사상 f : X -t Y 가 X 에서 침몰이고 , y = f (x) 일 때, f(x 1, ••• ,야) = (x1,••• lX/) 되는 X 와 Y 의 좌표계가 존재

한다 다시 말하면 , X 근방에서 f는 표준침 몰 이라 고 할 수 있 다 · 증명 국소매개화 를 생각해 보자· X I ) Y 0 U「 ) v「 l !1 ¢(0) = x, 1/-'( 0) = y ¢와 V 가 국소 미분동형사상이므로 dg o : ]Rk -+ )R I 은 전사이다 R k 내 의 좌표를 변형하므로 dg o = (I, I 0),l x k 행 렬 로 만 들 수 있다· 사상 G : U-+Rk를 G(a) = (g( a), a1+ 1 , • • • , ak ), a = (a1, • • • , ak) 로 정의하면 dGo = h 이므로 G 는 0 에서 국소 미분동형사상이다 · 따라서 g=표준침몰 oG 이고 , g o G - 1 는 표준침몰이다. x 에서 매개 화 ¢ o G-1 에 대해서 f는 표준침몰이다 죽 그림, X ____!____., y 90G-1T 「 ¢ u'-v 표준침몰 이 교환이다· □ (주의) 사상 f : X --+ Y 가 X 에서 침몰이면, X 의 작은 근방 전체에 서 f는 침몰이다· 사상 f : X --+ Y, y E Y, x E 1-1( y),가 X 에서 침몰일 때, X 와 g의 근방에서 좌표계를 f(x 1, ••• ，야) = (X1, ••• ?l) 되게 잡을

수 있다 이와 같은 X 의 근방에서 11 = (0 , ·· ·, 0) 의 원상 rl ( y)는 (0, • • • ,0, X /+ l, • • • ， 리꼴의 집합이다 · 다시 말하면 (x 1 , • • • ,X k) 를 x 의 근방 V 의 좌표계라 하면 r1(11) n v 는 X t = 0, • • • ,X / = 0 인 점들의 집합이댜 점 1/ E y가 f의 정칙값 (re g ular value) 이란 f( x) = y되는 모든 X 에서 dfz : T.1: X -+ Ty Y 가 전사임을 의미한다 정리 1.4. 2 (원상정리) 점 y E Y 가 ! : X -+ Y 의 정칙값이면 원상 尸(y) 는 X 의 부분 다양체이고 dim r1(y) = dim X -d i mY 이다 o 점 y E Y 가f의 정 칙 값이 아닐 때 임계값 (cr iti calvalue) 이라고 한 다· (주의) (1) 점 y E y가 f의 상내에 있지 않을 때 Y 는 f의 정칙값 이댜 (2) d i mY 이면 y E y가 f의 정칙값일 필요충분조건은 각 점 X E r1( y)에서 f가 침몰인 것이다. dim X = d i mY 이면 y E Y 가 정칙값일 필요충분조건은 각 점 X E r1( y)에서 f가 국소 미분동형 사상이 되는 것이다. dim X < d i mY 이면 y E Y 가 정칙값일 필요충 분조건은 y의 원상 r1(y) = 0 이 공집합 되는 것이다· (예 ){1) 함수 f : ]Rk -+ JR가 f(x 1, • • • , xk ) = xi + · · · + x~ 일 때 d/0 = (2a1,··· ,2a 사, a = (a1,··· ,ak) 이댜 a =I= (0, .. • , 0) 이면 df 초 전사이므로 0 이 아닌 모든 실수는 정칙값이다· 따라서 1-1(1) = sk-1 은 (k - 1) －차원 다양체이다· (2) 직교군 (or t ho g onal gro up ) O(n) = {A : ]Rn -+ ]Rm I AAt = 1} 이 (n(n + 1)/2) －차원 다양체임을 중명해보자·

중명 모든 nxn 행렬의 집합g l(n) 은 Rn xn 과 동일시할 수 있으므로 n2- 차원 다양체이다 직교군 O(n) = {A E gl( n) I AA1 = I} 이고 , AA t는 대 칭 행 렬 (s y mme t r i c matr i x ) 이 다 모든 대 칭 행 렬 의 집 합을 Sy m (n) 라 하면 , S y m(n) 은 JR. n(n+l)/2 와 동일시할 수 있으므로 Sy m (n) 은 g l(n) 의 부분다양체이다 사상 f : gl( n) -+ S y m(n) 가 J(A ) = AA' 로 정의하 면 f는 매끄러운 사상이고, 단위행렬의 원상 1-1(1 ) = O(n) 은 직교 군이댜 이때 J E S y m(n) 이 f의 정칙값임을 보이자· 죽 A E O(n) = f -1(I) 에 대해서 dfA : gl( n) -+ S y m(n) 가 전사임을 보인다· 임의의 C E S y m(n) 에 대해서 df 。 A( i21 CA) = hli 一m 0 -h1 [ f(A + -21h CA) - f(A )] = Jli,m一 0 -h1[ (A + -21h CA)(A + -2l h CA)t - AAt ] = il,-i-m.: .: o -h1 [,-A-- A- 나 . -21 h. --CA- --A - 나. -21h A-A-t c- t + . ;41h 2CAAt c t - AAt ] = -21 C+-21 C t =C 이댜 따라서, df A 는 전사이므로 O(n) 은 g l(n) 의 부분다양체이며 차원은 dir n O(n) = dim gl( n) -dim Sy rn (n) = n(n - 1)/2 이댜 o k- 차원 다양체 X 상의 실함수 91, • • • ,91 : X ----+ JR, k 츠 l, 에 대해서 사상 9 = (91, • • • , 91) : X ----+ JR' 가 0 을 9 의 정칙값으로 가지면 9-1(0) = 911(0) n • • • n9/-1(0) 가 X의 (k -l) －차원 부분다양체가 된다 여기서 d9:r : T:i: X ----+ JR' 7} 전사일

필요충분조건은 각 (dg ,).t : T.t x 一 R 가 전사이다 · 이때 91, ••• , g l 을 :, : 에서 독립(i nde p enden t at x) 이라 한다 따 름 정리 1.4 .3 k : －차원 다양체 X 상에서 정의된 실함수 91, ••• ,91 , k 츠 I , 가 Z = n'.=l Y i- l( Q)상에서 독립이면, Z 는 X 의 k - l 차원 부 분다양재 이다 o Z 가 X의 부분다양체일 때 codim Z = dim X - d i mZ 을 X 에서 Z 의 여차원 (cod i men s i on) 이라 한다· 성질 1.4 . 4 만일 y E y가 f : X --+ Y 의 정칙값이면 부분다양체 rl( y)는 독립인 함수의 공통 0 으로 나타난다· 증명 u 에서 좌표계 ¢ : w --+ R 냐(y ) = 0 을 생각하자· 사상 g = ¢ o f : r1(W) C X --+ R1 은 매끄러운 사상이며, 0 가 9 의 정칙값이 댜 따라서 9 의 좌표함수 91,··· ,g,가 구하는 독립인 함수이다 · □ 성질 1.4 .5 X 의 모든 부분다양체는 국소적으로 독립인 함수의 공동 0 으로 나타난다 중명 Z 룰 X 의 여차원이 l 인 부분다양체라 하자· 국소몰입정리에 의 해서 z E Z C X의 국소매개화 : U C ]Rk -+ W(z) C X 를 w n z 의 좌표계 (x1,· ·· ,xk-1, O,··· ,0) 로 잡을 수 있다· 그러면 마지막 l 개의 좌표계가 구하는 91, ••• , 91 함수이다· □ (주의) 모든 부분다양체는 국소적으로 실함수들의 공동 0 으로 나타 나지만 전체에서 정의된 실함수의 공동 0 으로나타난다고할수는 없 댜

정리 1.4. 6 사상 f : X --+ Y 의 정칙값 y E y의 원상을 rl(y) = Z 라 하면 각 점 X E z 에서 도함수 df.r : T.r X --+ T y Y 의 핵 (kernel) df r- 1(0) 은 T. c Z 이 다 중명 y E Y 가 f의 정칙값이므로 Z = f -1( y)의 X 의 부분다양체이 며 dim Z = dim X - d i mY 이다 .1: E Z 에서 df r : TrX --+ Ty Y 의 핵 (kernel) dfr - 1(0) ::> T J Z 이고, dir n dl 广 (0) = dim T.r X -dim Ty Y = dim X -dim Y = dim Z = dim T.c z 이므로 fr- 1 (0) = T.#이댜 o 연습문제 1. u 가 X 의 열린 집합이고 f : X --+ Y 가 침몰이면 f (U) 가 Y 에서 열린 집합임을 보이시오· 2. X 가 콤팩토이고 Y 가 연결공간이만 침몰사상 f : X --+ Y 는 전사임을보이시오· 3. 함수 1 : JR3 -+ 1R 가 J(x ,y ,z ) = 규 + Y2 _ z2 이다 ab > 0 이면 f - 1(a) 와 J -1(b) 가 미분동형임을 중명하시오· 4. f : JRk -. JR가 n- 차 동차다항식 , 즉 J(tx) = tJ( x) t E lR, x E JRk

이고 , a =/- 0 이면 r1(a) 는 Rk 의 (k -1) －차원 부분다양체임을 증명하 시오· 또한. ub > 0 이면 r1(a) 와 r1(b) 가 미분동형임을 보이시오 · 5. 점 ?/ E y가 f : X - Y 의 정칙값이고, dim X =

1.5 횡 단성 (Transversali ty) 사상 f : X -+ Y 에 대 해서 y E y 가 정 칙 값이 면 Y 의 원상 f -1( y)은 X 의 부분다양체이며 등식 dim X - dim /_1(y) = dim Y - dim {y } 울 만족한다 이 사실을 점 y 대신에 Y 의 부분다양체 Z 로 확장하고 자한다 사상f : X -+ Y 가 Y 의 부분다양체 Z C Y 를 횡단(t ransversal) 함 은 각 점 X E /-1(Z) 에 대하여 im (d/.,,) + Ti( :r:)Z = Tf (:r: )Y 을 의 미한다 여기서 합 +는 부분공간 i m(d/ :r:)와 T1(x)Z 의 합집합이 생 성 (ge nerate ) 하는 공간을 의 미 한다· 정리 1.5. 1 사상 f : X -+ Y 가 Y 의 부분다양체 Z C Y 울 횡단하면 , f크 (Z) 는 X 의 부분다양체이며, codim f -1 (Z) = dim X —di m f-1 (Z) = dim Y - dim Z = codim Z 이댜 중명 점 f( x) = y E Z 에 대하여, y E y의 Y 내의 근방에서 Z 는 l(= d i mY-d i mZ) 개의 독립함수, 91,··· ,91 의 공동 0 으로 나타난다 X E X 의 근방 W 에서 f -1(Z) 는 l 개의 함수 91o f,··· ,91°! 의 공동 0 으 로 나타난다 사상 9 o f : W C X -+ lR1 에서 d(9 o f):,; = dgf (:,;) o df x 이 고, kerd9J( z ) = T1(x)Z, di J (z) 는 전사이므로, 9 o f가 X 에서 침몰인 필요충분조건은 im dfx + Tf (z )Z = T1(z)Y 이다·가정에서 f가 Z 를 횡 단한다 했으므로 1-1(z)nW 의 모든 점에서 위의 둥식이 성립하고, 91°f ' .•• '91° f가독립이댜 따라서 f -1(Z) 는 X 의 부분다양체이고, 구하는동식 dim f-1 (Z) = dim X -l

을 만족한댜 o (주의) 사상 J : X -+ Y 가 Z = {y} C Y 울 횡단하면 Ty Z = Ty {y} = {O} 이므로 임의의 X E r1( y)에 대해서 df.r: ( T.r: X ) = T y Y 이다 즉 y가 f의 정칙값이다 · (예)(1) 사상 f : 恥 I -t JR 2 가 f(t) = (0, t)로 주어지고 Z 를 x 축이 라만f가 Z 윤횡단한다 (2) 만일 g : R1 一 R2 가 g(t) = (t,t 2) 로 주어지면 9 는 x 축을 횡단하지 못한다· 다음은 사상 i : X --+ Y 룰 부분다양체 X의 포함사상이라고 하자· Z C Y 는 다른 부분다양체라 하자 · 한 점 x E i-1 (z) = xnz 에서 도 함수 di: r : T,:X --+ T,:Y 는 포함선형사상이다 따라서 i가 Z 룰 횡단할 필요충분조건은 각 점 x E x nz 에서 T.r. X +TxZ = T .r. Y 이다 이 때 , X 와 Z 는 Y 내에서 횡단이라 한댜 정리 1.5. 2 두 부분다양체 X,Z C Y 가 횡단일 때, x n z 도 Y 의 부 분다양체이고, codim (X n Z) = codim X + codim Z 이 성립한댜 o (주의 )(1) 부분다양체 X 와 Z 의 횡단성은 다양체 Y 에 따라 달라진 댜 예를 들면 x 축과 y축은 R2 내에서는 횡단이지만 R3 내에서는 횡 단이 아니다 만일 dim X +dim Z < d i mY 이고 X 와 Z 가 횡단이면 XnZ=0 이댜 (2) A : Rk -+ Rn 가 선형사상이고 V 가 Rn 의 부분벡터공간일 때 A 와

V 가 횡단이라는 것은 A(JR k ) + V = IR 을 의미한다· 연습문제 1. 다음 부분벡터공간들의 횡단성을 조사하시오· (1) R 내의 x y평면과 z- 축 (2) lR.내의 x y평면과 {(1, 1, 0), (0, 4, 一 1)} 을 포함한 평면 (3) JR나의 {(1,0,0),(1,1,0) ｝을 포함한 평면과y축 (4) JR.내의 JRk X {O} 와 {0} x lR1 (5) JR내 의 JRk X {O} 와 lR.1 X {O} (6) V x V 에서 V x O 와 대각공간 A (7) g l(n) 에서 반대칭행렬공간과 대칭행렬공간 2. y내에서 X 와 Z 가 횡단이면, y E x nz 에서 접공간 Ty ( X nz) = TyX nTy Z 임을 보여라 3. 사상 f : X -+ Y 가 Y 의 부분다양체 Z 룰 횡단하면 X E w = r1(z) 에서 접공간 T:r W = dJ ;1(Tf (:r )Z) 임을 보여라, 여기서 df: r : T:r X -+ Tf (:r )Y 이다· 4. 사상 x ~ y .!!.+ z 에서 9 가 W(c Z) 를 횡단할 때, f가 9 크 (W) 를 횡단할 필요충분조건은 g o f가 W룰 횡단하는 것이다· 5. 벡터공간 V, 대각공간 /j. C V x V, 선형사상 A : V -+ V 에 대해서 W = {(v, Av) I v E V} 라 하면 W 와 A 가 횡 단할 필요충분조 건은 +1 이 A 의 고유치가 아님을 보여라· 6. 사상 f : X -+ X에 대해 f( x) = X 이고 df., : T.,X -+ T.,X 가 +1 을

고유치를 갖지 않을 때, .'L.를 러프셔츠 (Le fs che t z) 고정점이라 한다· 모든 고정점이 러프셔츠일 때 f를 러프셔츠사상이라 한다. X 가 콤 팩 트 이고 f가 러프셔 츠 사상이면 f가 유한개의 고정점을 가짐을 층 명하시오 · 1.6 사드 (Sard) 정 리 와 모르스 (Morse) 함수 매끄러운 사상 f : X - Y 의 정칙값의 원상은 X 의 부분다양체 가 된다 Y 내에 정칙값이 얼마나 있을까의 의문을 사드정리가 해결 해준다 · 정리 1.6. 1 (사드정리) f : X - Y 가 다양체상의 매끄러운 사상이 라면, Y 의 거의 모든 (almos t every) 점이 f의 정칙값이다· 여기서 거 의 모든 점의 의미는 측도 (measure) 가 0 인 집합의 여집합을 말한다· □ (주의) k- 차원 다양체 X 의 부분집합 C 의 측도가 0 이라는 뜻은 Y 의 각매개변수화¢의 원상 -l(C) 가유클리드공간 R J..에서 측도가 0 인 것을 의미한다 A e R J..가 측도가 0 이고 사상 f : ]Rk, 一 R l-매 끄럽 다면, J (A) 도 측도가 0 이댜 사드정리 증명은 위상수학적이라기보다 는 해석학적이므로 다른 책 [M i 3] 을 참조하기 바란다· 따름정리 1.6. 2 매끄러운 사상 f : X -+ Y 의 정칙값들은 Y 에서 조 밀 (dense) 하다 가산개의 매끄러운 사상 fi : Xi 一 Y 모두에 대해 정 칙값이 되는 Y 의 집합도조밀하댜 중명 Ci C Y 를 fi의 임계값이라 하자· 임의의 € > 0 과 각 i에 대해 서 {IJ jj = 1,2,···} 는 직교입체들의 집합이며 C; 를 덮는다고 하고,

EJ V ol(I;) < 숭라고 하자· 그러면 {I;} I J가 U,C 를 덮고 EVol(IJ') < 드 습 = € i,j 이므로 증명됐다 · □ 매끄러운 사상 f : X -+ Y 에 대하여 .1: E X 에서 도함수 dL : TxX -+ TI( :r )Y 가 전사일 때 X 을 f의 정칙접 (re g ular p o i n t)이라 한다 이때 f는 X 에서 침몰이다· 만일 df .r: 가 전사가 아니면, x 를 f의 임계 점 (crit ica l po in t ) 이 라 한다 (주의) 정칙점과 임계점은 사상 f : X -+ Y 의 정의역 X 내에 있 고, 정칙값과 임계값은 치역 Y 내에 있다. y E y가 정칙값이면, 각 점 X E f -1( y)가 정칙점이댜 그리고 y E Y 가 임계값이면 f - 1( 1J )내 에 적어도 한 임계점이 존재한다· 사드의 정리는 임계값이 Y 에서 측 도가 0 임을뜻하는 것으로 임계점이 측도가°임울 말하는 것은 아니 댜(예:상수함수) 다양체 X 상의 매끄러운 함수 f : X -+ 1R 는 X E X 가 정칙점 (dfx # 0) 이거나 임계점 (df x = 0) 이다. x 가 정칙점이면 X 의 근방의 좌 표계를 f가 첫째좌표함수가 되도록 잡을 수 있다 · 즉 f는 X 근방에서 첫 좌표로의 사영함수이다· 임계점에서는 X 의 위상적인 성질을 알 려 준댜 예를 들면 X 가 콤팩트이면 f의 최대값과 최소값이 되는 점 이 X 에 존재하고 그 점에서 dfx = 0 이다 이 점들이 X 의 위상구조를 알린댜 첫째, 함수 f : Rk —8一x1 R (x이) =2 를.• • 임 = 계一8점xk으 (x로) = 가 0지 면 dfx = 0 이고 8f 8f

이다· 이 때 f(이는 극대, 극소 혹은 안장점이 된다· 이를 조사하기 위 해서 2 차 미분이 필요하다· 이차 편미분으로 이루어진 행렬 H= （晶) 를 f의 해시안 행렬 (He ss i an ma tr i x) 이라 한다 만일 임계점 ·~에서 해시안 행렬이 정규 (nons ig ular) 일 때 , 임계점 x 를 f의 정상적 임계 점 (nondeg e nerate crit ica l po in t ) 이 라 한다 정리 1.6. 3 정상적 임계점은 고립되어 있다· 중명 함수 f : ]Rk - JR에 대하여 사상 g : ]Rk - ]R k. 를 g=8(8xf - 1 ' ••• ,—88xfk ) 로 정의하면, dfx = 0 일 필요충분조건이 g( x) = 0 이다· 도함수 dg :,;=8x(환i—8J x j ) 는 X 에서 f의 해시안이다. x 가 정상적 임계점이면 d g x 가 선형동형이 고 9 에 의해 X 의 근방과 0 의 근방은 미분동형이다· 따라서 9 는 X 근 방에서 X 의에 다른 점을 0 으로 보내지 않는다· 즉 f는 X 의 근방에서 X 의에는임계점을 갖지 않는다· □ 정리 1.6 .4 (모르스) 점 a 가 f : lR,.. - + R 의 정상적 임계점이고, 해시 안이 (hii ) = (O—Xa2i O f X j (a)) 일 때, f( x) = J(a ) +I: h; i x ; x i되는 a 근방의 좌표계가 있다 .D

위의 정리를 증명없이 받아들이고 다양체에 응용하자.[Hi rs] 사상 f : X -+ R 가 X E X 를 임계점으로 가질 때 , ¢를 .1,에서 매개변수화라 하면, d( f o ¢)0 = df:r : o d¢o = 0 이 므로 Q = ¢-1(x) 는 f O ¢, 의 임 계 점 이 다 X 가f의 정상적 임계점이라는 것은 0 가f O

정리 1.6. 6 임의의 함수 f : X -IR 가 주어지면 , 거의 모든 a E Rr I 에 대하여 함수 f n 가 모르스 함수이다 · 보조정리 1.6 .7 U C JR k 가 열린 집합이고 , 매끄러운 함수 f : u - R 가 주 어지만 거의 모든 a = (a1, • • • ,ak) E JR k 에 대하여 함수 f。 ( x ) = J(: c ) + a 因 + ... + ak마 는 U 에서 모르스 함수이다 중명 사상 g : U - )R k 룰 g=(訖 .. 約 라 하자. p에서 k의 도함수는 다음과 같다· (dfa ) p = (訖(p) , ••• , 訖(p)) = g(p) + a. 그러므로 P 가 !a 의 임계점일 필요충분조건은 g(p) = -a 이고 , f의 해 시안 = f n 의 해시안 = d g P 이다. -a 가 9 의 정칙값이고 g(p) = -a 이 면 , d gp는 선형동형이댜 따라서 f a 의 임계점은 모두 정상적 임계점 이다 사드정리에 의해서 거의 모든 a E JR k 에 대하여 -a 는 9 의 정칙 값이다 · □ 정리 1. 6.6. 의 중명 점 X E X C JR n 의 좌표함수를 (x1, •• · ,X n ) 라 하고 (x1, • • • , Xk) 가 x 의 근방에서 X 의 좌표계라 하자. X 를 열린 부 분집 합 {U 나로 덮고, 각 a 에 대해서 X1, •• • , 다 중 k 개가 Un 의 좌표 계라하자 Ua 에 대해서 (x1, ··· ,Xk) 가좌표계이고 f(O , c) = f + Ck+lXk+l + ' ' ' + CnXn, C = (ck+ l, ' • ' , Cn) 이라하자 위의 보조정리에 의하여 거의 모든 bERk 에 대해서 f(&, c) = f(O, c) + b1x1 + · •• + bkxk

는 U( ，에서 모르스 함수이다. s 。 = {a E IR I fa 가 Uo 에서 모르스 함 수가 아니다}라 하면 So n]R .k X {C} 는 JR k· 의 부분집합으로 측도가 0 이 댜 푸비니 (Fub i n i)정리에 의해서 모든 So 는 R 에서 측도가 0 이다· {a E lR l fa #모르스 함수 } = UaSo 이며 측도가 0 인 집합의 가산개 합집합이므로, 다시 측도가 0 인 집합이다 · □ 연습문제 1. Z C X 가 X 의 부분다양체이고 dim Z < d i mX 이면 Z 는 X 내에 서 측도가 0 임을보여라· 2. 유리수집합Q clR 은 R 에서 측도가 O 임을보여라· 3. 임계값이 조밀한매끄러운함수f :lR -t lR 을구성하여라 · 4. 함수 f : Rk 一 R 가 f(x ) = I: a 끈따로 주어질 때 다음을 증 명하시오· (1) 해시안 행렬 H = (a 이이다· (2) H : ]Rk - ]R k 에서 Hv = 0 이면 f는 벡터 011 룰 포함하는 선을 임 계점으로갖는다· (3) 0 이 고립된 임계점일 필요충분조건은 H 가 선형동형이다 · 5. 만일 a E JR n 이 f : Rn 一 R 의 정상적 임계점이면 a 의 국소좌 표계 (xI, ••• ，다)이 존재하여 f = f(a ) + 드n 너 ci = 士 1 i= l

임을 보여라· 6. f : 5k 크 = {(i:1, • • • ,xk) E Rk I I:~=1 x; = 1} -t R, f(X 1, • • • ,Xk) = :1:1,_. 이 모르스 함수임을 보이고 그의 임계점을 구하시오· 7. X 가 R’' 내의 콤팩트 다양체이고, J : X -. lR 일 때, {a E JR_n I f。 : x -. R fn( :1: ) = f(x ) +a ·x : 는 모르스 함수}가 Rn 의 열린 집합 이다·



제 2 장 횡 단성 (Transversal ity)과 교차수 (In t ersec ti on Number) 2.1 경계를 갖는 다양체 {Manif old wi th Boundary) 앞 장에서 다룬 다양체는 경계가 없는 다양체였다· 예를 들면 R 내의 단위공 Dn = {x E lR 기 | x |::::; 1} 는 경계 sn-1 을 갖고 원통 s1 x [o, 1] 은 경계로 두 개의 원을 갖는다· 경계 위의 점에서는 다양 체를 정의하는 매개변수화가 존재하지 않는다· R 넬 상반공간을 lH!k = {(xi, • • • , xk ) E JRk I xk 츠 0} 로 나타내자· lH! k 의 경계는 ]Rk -1 C ]R k 이다 부분집합 X c R 더 각 점 x E X 가 lH! k 의 열린집합과 미분동 형인 근방 V(x) C X 롤 가질 때 , X 를 경계를 갖는 k- 차원 다양 체 (k-dim ensio n al manif old wi th boundary ) 라 한다 앞 장에 서 와 같이 , 이런 미분동형사상을 X의 국소매개변수화(l ocal p arame t r i za ti on) 라 한댜 국소매개변수화에서 lH! k 의 경계점의 상으로 나타나는 점들은

ax 로나타내고 X 의 경계 (boundar :v o f X) 라한다 경계의 여집합을 int ( X ) = X - oX 로 나타내고 X 의 내부(i n t er i or) 라 한댜 (주의 )(1) X 의 내부 , 경 계는 유클리드 공간 R 의 부분공간으로서 의 내부 , 경계와 구분되어야 한다. dim X = n 일 때 두 개념은 일치한 다 (2) 경계를 갖는 두 다양체의 곱이 반드시 경계 를 갖는 다양체인 것 은아니다 예를 들면 [0, l] x [0,1] 은 네 꼭지점이 매끄럽지 못하므로 매끄러운 매개변수화가 없다 · 정리 2.1 .1 X 는경계가없는다양체이고 Y 는경계를갖는다양체라 면 곱 X x Y 는 경계를 갖는 다양체이고 , a(x X Y) = X X aY, dim (X X Y) = dim X + dim y 이댜 증명 만일 u C ]Rk 'V C lHl’ 이 열린 집합이고, ¢ : U -+ X, 7/1 : V -+ Y 가 국소매개변수화이면 u X V C JRk X IHI' = IHik+' 이고

로 dg u; = d g u , 이다 도함수의 연속성과 U i 가 U 에 수렴하므로 dg u = dg u 이댜 X C ]R n 가 경계를 갖는 k- 차원 다양체이고 , x E X 에 대해 o (JR k ·) = TxX 를 X E X 에서 X 의 접공간이라 한다· 여기서 ¢(O ) = 1이 다 (주의) 3: E 8X 일 때도, 접공간 T i: X 는 Rn 의 k- 차원 부분 벡터공 간이다· 경계가 없는 다양체에서와 같이 경계가 있는 다양체상의 매끄러 운사상f : X-.Y 에 대해서 , 도함수 dfz : Tx X -Tf (z )y 가 정의되고, 연쇄법칙이 성립한다· X 가 경계를 갖는 k- 차원 다양체일 때 i n t (X) 는 경계가 없는 k- 차 원 다양체이고, 경계 8X 는 경계가 없는 (k-1) －차원 다양체가 된다· 정리 2.1 .2 만일 X 가 경계를 갖는 k- 차원 다양체라면 경계 ax 는 경 계가 없는 (k-1) 차원 다양체이다 · 중명 x E ax 에 대해서 국소매개변수화

d( g -1)u 는 선형동형이다 u E Int (U ) n g (W) 이므로 g (W) 가 R i내에 서 u 의 근방을 포함한다 음함수 정리에 의하여 g - 1 은 이 U 의 근방을 R 내의 'U / 근방으로 보내는 미분동형이다 이것은 U ) E i:) 1V 임에 모순 이 된다 따라서 u = g(w ) E aU 이다 o :z: E {)X C X 에서, T: x (aX) 는 T. r X 의 (k —1) －차원 부분 백터공간 이다 사상f : X -Y 에 대하여 {)J : {)X -y는 경계로 재한된 함수 롤 의미하고 d(af )x = dfx IT,(DX) 을 의미한다 · 정리 2.1 .3 X 는 경계가 있는 다양체이고 , Z C Y 와 Y 는 경계가 없 는 다양체라 하자· 매끄러운 사상 f : X -t Y 가 Z 를 횡단하고 {)J : ax - Y 도 Z 을 횡단할 때 , 원상 f-1(Z) 는 경계가 있는 다양체이며 경계는 a1-1(z) = 1-1(z) n ax 이고, J -1(Z) 의 X 에서 여차원은 Z 의 Y 에서 여차원과 같다 중명 1 장에서와 같이 (f hn t {X)) 가 Z 를 횡단하므로 1-1(z) n i n t (X) 는 경계가 없는 다양체이고 여차원 조건을 만족한다 . x E 1 - 1(z)nax 에 대해 ¢룰 f( x) E Y 의 근방에서 ]R I 로의 침몰이라 하고 z = ¢-1(0) 라 하자 여기서 l = cod i mZ 이댜 사상

일 필요충분조건은 X 가 ¢, 0 f의 정칙점이고, 이 조건은 U 가 9 의 정칙 점 일 조건과 같다 9 가 매끄러운 사상이므로 U 의 근방 fj C ]R k 와 매 끄러운 확장 9 가 존재하여 dg u = d g u 이고 U 가 9 의 정칙점이다 . u 의 작은 근 방에서 g -1(0) 는 경계가 없는 부분다양체 S C JR k 이다 · 점 U 의 근방에서 g-1 (0) = Sn lH! k 이므로, SnIH ik7 } 경계가 있는 다 양체임 을 보이자 여기에 a f의 횡단성이 필요하다. 71 : s C ]Rk - IR.룰 마지막 좌표로 사영이라 하면 snIH ik = {s E s I 1r(s) 츠 0} 이다 0 이 7r 의 정칙값임을 증명하자· 만일 0 이 m 의 정칙값이 아니면 s E S 가 있어 7r(s) = O 이고, d7r., = 0 이댜 7r(s) = O 이면 s E snaIHI 도]다 또한 T : Rk 一 R 가 선형사상이므로 d7rs = 7r 이 댜 따라서 d7r.,( T.S) = 0 는 T. s c T.(aIH ik) = JR.k -1 을 의미한다 s = g -1(0) 이므로 dg. , = dg s : Rk 一 R 의 핵 (kernel) 은 T. , S 이다 d(8g ). : JR.k -1 -+ JR.의 핵과 d g.의 핵 T.S 이 같다 8 g의 횡단 성에 의해 dg s 와 d(8 g).,는 전사이다· 따라서 dim (kerdg .,) = k ― 1 이고 dim (ker d(8g ).) = k - 2 이 댜 이 결과는 모순이 되 므로, 0 가 9 의 정 칙 값이다· □ 보조정리 2.1 .4 S 는 경계가 없는 다양체이고 T : S 一 R이 0 을 정칙 값으로 가진 함수라면, {s E S l rr(s) 츠 0} 는 경계가 있는 다양체이 며, 경계는 rr-1(0) 이댜 중명 rr-1(0,oo) 는 S 의 열린 부분집합이므로 S 의 부분다양체이고 차 원은 같댜 0 가 7r 의 정칙값이므로, rr-1(0) 은 rr(s) = 0 인 S 에서 표준침 몰이다 · 따라서 증명은 명백하다· □

(예) S = Rn 이라 하고 rr : lR -+ JR, rr(s) = 1 -1s12 이면 폐단위공 {s E IR 기 |s| ~ 1} 은 경계가 있는 다양체이다 · 정리 2.1. 5 (사드정리) X 는 경계가 있는 다양체이고 Y 는 경계가 없 는 다양체일 때 f : X - Y 가 매끄러운 사상이면 Y 의 거의 모든 점(측도가 0 인 집합의)이 f : X - Y 와 af : ax - Y 의 정칙값이다 중명 x E ax C X에 대해서 Tx(aX) C Tx X 이므로 X 가 a f의 정칙점 이면 f의 정칙점도 된다 따라서 점 y E Y 가 f : int (X ) -Y 또는 af : ax -Y 의 임계값일 때, 점 y E Y 는 f 또는 a f의 임계값이댜 i n t (X) 와 8X 는 경계가 없는 다양체이므로 임계값들의 집합은 측도 가 0 이다· 따라서 f와 a f의 정칙값의 여집합은 두 측도가 0 인 집합의 합집합이므로 측도가 0 이다· □ 연습문제 1. {1) U C lRk ,V C Hk 가 원점의 근방이면, U 와 V 는 미분동형이 아 님을증명하여라 (2) 경계 8X 는 X 의 폐부분 집합임을 보여라· {3) X 가 콤팩트이면 경계 8X 도 콤팩트임을 보이고, 그 역은 성 립하 지 않는 예룰구하여라· 2. J : X - Y 가 미분동형사상이면, of : ax - oY 가 미분동형 사상임을보여라· 3. 사각형 X = [0,1] x [0,1] 가 경계가 있는 다양체가 아님을 보여 라

4. 입체(속이 찬) 쌍곡면 규 + !/2 - z:! ~ a (a > 0) 이 경계가 있 는다양체임을보여라 5. X 가 경계가 있는 다양체일 때 TIX 내에 Tx(8X) 에 수직인 단위벡 터가 있다 하나는 내향법선벡터(i nward normal vec t or) 이고 다른 하 나는 외향법선벡터 (ou t ward normal vec t or) 이다 외향법선단위벡터 룰 n(x) 라 하자. X C ]R n 이면, ii, : 8X -+ ]R n 는 사상이 된다 ii,가 매끄 러운사상임을 보여라· 2.2 일차원 다양체 직관적으로 일차원 콤팩트 다양체는 폐구간이거나 원이다· 한 점 에서 출발하여 일정한 속도로 일차원 다양체를 따라가면 콤팩트이므 로 끝점에 다다르든지, 혹은 다시 처음 출발점에 오게 되기 때문이다· 정리 2.2.1 콤팩트이고, 연결되어 있는 일차원 다양체는 단위구간 [O, l] 혹은 원 S1 과 미분동형이다 o 따라서 콤팩트 일차원 다양체는 원과 폐구간들로 구성되어 있다· 따름정리 2.2.2 콤팩트 일차원 다양체의 경계는 짝수의 점으로 구성 되어 있다 o 정리 2.2.3 X 가경계가있는콤팩트다양체이면, 경계사상 a g : ax - 8X 를 항동사상으로 하는 매끄러운 사상 9 : x -. ax 은 없댜

증명 만일 매끄러운 사상 g : X 一 8X, 8g = I8x 이 존재한다며 , 정 칙값 z E ax 가 존재해서 g -l(z) 는 X 의 콤팩트 일차원 부분다양체이 다경계 f)g- 1(z) = g- 1(z) n OX = {z} 되어 모순이 된다· □ 정리 2.2.4 (Brouwer 고정점 정리) 폐단위공을 Bn C 恥 n 이라 하 만 매끄러운 사상 f : Bn --t 硏은 고정점을 가진다(i .e , f (x) = x) 중명 만일 모든 X E Bnc> l] 대해서 f(x ) # X 라면, 사상 g : Bn 一 8Bn 를 g (x) 는 f (x) 와 x 를 잇는 직선과 경계 8B%] 만나는 점으로 정의하면 8 g는 8B%F] 서 항등사상이다· 정리 2.2.3 에 의해서 9 가 매끄러운 사 상임을 보이면 된댜 f (x) , x, g (x) 는 일직선상에 있다 따라서 g( x) = tx + (1-t) f (x) 이고 t 2: 1 이다 양변에 내적을 취하면 1 = g(x ) · g( x) = t半 -f(x )l2 + 2tf (x) • (x -f (x )) + lf( x )l2- 따라서 t爭 -f(x )f + 2tf (x) • (x -f (x )) + lf( x )l2 —1 = 0. t의 해를구하면 t= -f(x) • (x -f (x )) 士 JU (x) I•x ( x- -f (f x ()lx 2) )F .::::: Ix -. f(x )l2(lf (x )l2 -1 ) 는 X 의 매끄러운 사상이다· 따라서 9 는 매끄러운 사상이다· □ 연습문제 1· 열린 단위공 {x E JR기 |xi < a} 에서는 Brouwer 의 정리가 성 립하

지 않음을보이시오 · 2. A 는 각 성분이 음이 아닌 실수로 이루어진 nxn 행렬이면 , A 는 음 이 아닌 실수의 고유값을 가짐을 보이시오 · 3. 일차원 다양체 L 이 ]R l 내의 열린 구간과 미분동형이면 L-L 은 많 아야 두 점 을 포함함을 보이시오· 2.3 횡단성 매끄러운 사상 f : X -+ Y 와 Y 의 부분다양체 Z 가 주어지면 f를 약간 변형하여 Z 을 횡단하게 할 수 있다· 어떻게 변형할 것인가를 생 각해보자· 정리 2.3.1 (횡단정리) 매끄러운 사상 F : X x S - Y,X 만 경계를 갖는 다양체이고 Z 는 경계가 없는 Y 의 부분다양체라고 하자 · 만일 F 와 8F 가 Z 을 횡 단하면, 거 의 모든 점 s E S 에 대해서 J. = F lxx { s}, ofs = F lax x {s} 가 Z 룰 횡단한댜 중명 정리 2. 1. 3 에 의해서 원상 W = p -l(z) 는 경계 aw = w n (ax x s) 을 갖는 X x S 의 부분다양체이댜 1r : X x s - s 를 사영 사상이라 하자· 점 s E S 가 제한사상 1r : w - s 의 정칙값이면 , fs 가 Z 룰 횡단하고 s E S 가 8T : 8W 一 S 의 정칙값이면 of s 가 Z 를 횡단 함을 증명하자 · 그러면 사드정리에 의하여 거의 모든 S 의 점 s 에서 fs 와 a f s 가 Z 룰 횡 단한댜 (1) s E S 는 1r : w - s 의 정칙값일 때, fs 가 Z 를 횡단함을 증명하자·

fs( x) = F(x,s) = z E Z 이면, F 가 Z 룰 횡단하므로 dF(z , s) T,(도 . s)(X X S) + TzZ = TzY 이다 임의의 a E TzY 에 대해서, T(z,s )( X X S) = T,:X X TsS 이므로 (w,e. ) E T:r X x TsS 이 존재하여 dF(:r, s ) (w,e) - a E T,Z 이다 s E S 가 1r : w c x xs-s 의 정칙값이므로 (u,e. ) E T( :r , s)W 가 존재하여 d1r(:r, s )( u, e.) = e E TsS 이다 F : w - z 이므로 dF 타 )(u , e) E TzZ 이다 V = W -U E TxX 라 하면, dfs ( v) -a = dF(x, s)[(w, e) -(u, e)] - a = [dF(:r, s )( w.e) - a] - dF(x, s)(u, e) E TzZ 이다 따라서 f·，가 Z 를 횡단한다 (2) 같은 방법으로 s E S 가 a1r : aw - s 의 정칙값이면 df ,,가 Z 룰 횡 단함이 증명된다· □ f : X ---+ lRm 이 매끄러운 사상이고, S C }R m 을 열린 디스크 (o p en d i sk) 라 하고, F : X x S ---+ JR m 이 F(x,s) = f(x ) + s 로 정의되어 있 댜 각 X E X 에 대해서 제한 F : {X} X S ---+ JR m 은 침몰이다 따라서 임의의 부분다양체 Z C JR m 에 대해서 F 는 Z 을 횡단한다 · 횡단정리 2.3.1 에 의해서 거의 모든 점 s E S 에 대해서 J,,( x) = f(x ) +s 는 Z 룰 횡단한다 따라서 임의의 f에 대해 아주작은 8 만큼더하여 횡단사상 으로변형할수있다·

다음으로 Y 를 경계가 없는 다양체이며, y C ]R m 이라 하자· 임의 의 사상 f : X --+ Y C ]R m 은 J. : X --+ Y + {s} ~ y 횡단사상으로 변 형할 수 있다 · 정리 2.3.2 (t －근방 정리) 경계가 없는 콤팩트 다양체 Y C ]Rm ,f > 0 에 대해 , Y' = {x E ]Rm I dis t ( Y ,x) < f}라 하자 · 만일 f > 0 이 아주 작으면 각 w E Y ' 은 Y 내의 유일한 가장 가까운 점 -rr( w) E Y 를 가진 댜 따라서 7r : y• --+ y 사상이 정의되며그는 침몰이다 여기서 Y 가 콤팩트가아니면 f > 0 은 Y 의 점에 따라달라지는함수 c : Y 一 R+ 가 되고 Y' = {x E lRm I dis t ( y, x) < t(y), y E Y} 이된다 증명은 정리 2.3.5 뒤로 미루자· 따름정리 2.3.3 f : X -+ Y 가 매끄러운 사상이고 Y 는 경계가 없 는 다양체이면, 유클리드 공간 내의 열린 디스크 S 와 매끄러운 사 상 F : X x S -+ Y 가 존재하여 F(x,O ) = f (x) 이고 제한사상 F : {x} X S -+ Y 가 침몰이 된다 특히, F 와 8F 가 침몰이댜 중명 y C ]R m 이고 S 가 Rm 내의 단위열린 디스크라하자 . F : XxS-+ Y 룰 F(x, s) = 1r[ f(x ) + 1:(f (x))s] 라 하자· 여 기서 7r : Y' -+ Y 은 정 리 2.3.2 에서 정의된 사영사상이다. F(x,0) = f (x) 이고, 두 침몰의 합성 함수 {x} x s 一 Ye 그 Y (x, s) 1-+ f(x ) + e(f (x ))s 1-+ rr[ f(x ) + t(f(x ))s] 도 침몰이다 또한 , F 와 aF 도 침몰이다 · □

정리 2.3.4 (횡단 호모토피 정리) 매끄러운 사상 f : X -+ Y , Y 는 경 계가 없는 다양체이고 Z 는 Y 의 경계가 없는 부분다양체이면 , f에 호 모토피한 매끄러운 사상 g : X -+ Y 가 존재하여 g와 o g가 Z 룰 횡단 한다 중명 따름정리 2 . 3 . 3 에서 거의 모든 점 s E S 에서 fs 와 8 f s 가 Z 를 횡 단한다 호모토피 X x l-+ Y, (x, t) 1--+ F(x, t s) 에 의 하여, f s 는 f와 호 모토피하다 · □ k- 차원 다양체 y C ]R m 의 각 점 y E Y 에 대해 법공간 (normal s p ace) 을 Ny ( Y) = {V E ]Rm I V .l Ty Y } 이 라 하고 법 다발 (normal bundle) N(Y) = {(y, v) E Y X lRm I v E Ny (Y )} 라 하면 자연스러운 사영사상 u : N(Y) --+ Y, u(y, v ) = y이 있댜 (주의) 선형사상 A : ]Rm --+ Rk 의 전치사상 At : ]Rk --+ Rm 은 내 적에 의해서 정의된다· 즉 V E JRm ,W E JR k 에 대하여 < Av,w >= < v,A1w >이댜 이때 A 가 전사(단사)일 필요충분조건은 A t가 단 사(전사)이다· 정리 2.3.5 다양체 y C ]R m 일 때, N(Y) 는 m- 차원 다양체이고, 사영 사상 a : N(Y) __. y는 침몰이다 J중Rk 명(k =임 의co 의d i m점Y ) y을 E u Y = c Y lRnm f의J =R m<1> -내1(의0) 되근 게방 잡U자 와· 침이 몰때 ¢ N:( UU) 一= N(Y) n (U x ]R m) 은 N(Y) 의 열린 부분집합이다· 각 점 y E U 에 대

해서 d% : Rm -+ Rk 는 전사이고 그의 핵 kerd if> u 는 Ty Y 이다 따라서 전치사상 de/> ~ : JRk -+ N y (Y) 는 선형동형이댜 사상 7/1 : U X JR.k -+ N(U), v,(y , v ) = (y,d if> ~ v) 는 전단사이다 그리고 U X JR k는 y X ]R m 에 매장된댜 따라서 d) 는 N(U) 의 매개변수화이고 N(Y) 의 차원은 dim U +dim JRk = dim Y + codim Y = dim ]Rm = m 이다 6 0 VJ : U X Rk -+ U 가 표준침몰이므로 U 는 침몰이다· □ €-근방 정 리 중명 사상 h : N(Y) -+ Rm 를 h(y, v} = y + v 라 하자· 각 점 (y, 0) E Y x {0} C N(Y) 에서 dh(y, O ) : Ty Y EB Ny ( Y) -+ Rm 은 전사이므로 , (y,0) 는 h 의 정칙점이다. h 가 y X {O} 를 Y 로 보내는 미 분동형이 되므로, 단위분할을 이용하면 y X {O} 의 N(Y) 내의 근방과 Rm 내에서 Y 의 근방 y<이 미분동형이다 따라서 h-1 : y< -+ N(Y) 가 정의되고 7r = CT O h-1 : y< -+ Y 가 침몰이다 o 사상 J : X -+ Y 가부분다양체 Z C Y 룰 부분집합 C C X 에서 횡 단함은 각 점 x E cn J크 (Z) 에서 df:r ( T:r X ) + Tf( :r)Z = Tf( :r)Y 을의미한다· 정리 2.3.6 (확장정리) Z 는 Y 의 폐부분다양체이고 C 는 X의 폐부 분집합이고, Z 와 Y 는 경계가 없을 때, 사상 f : X -+ Y 가 C 상에서 Z 룰 횡단하고 cnox 상에서 o f가 Z 룰 횡단하면 f에 호모토피한 매 끄러운 사상 g : X -+ Y 가 존재해서 9 와 8 g가 Z 룰 횡단하고 C 은 근 방에서는J=g이댜

보조정리 2.3.7 U 가 X 내의 폐집합 C 의 근방이면 매끄러운 함수 f : X --t [O, 1] 가 존재해서 7(x) = {; : : : _ u 가된다 중명 C' 를 X 의 폐부분집합으로 C' C U, C C i n t C' 라 하자 X 의 열린 덮개 {U, X-C' ｝에 대하여 단위분할(p ar titi on of unit y) {Ou, 0x - c'} 이 존재한다· 이 때 'Y = Ox-c’ 로 택하면 구하는 함수가 된다· □ 정리 2.3.6 의 중명 첫째 C 의 근방에서 f가 Z 룰 횡단함을 보이자· x E c-1-1(z) 이면, x-r1(z) 는 X 의 근방이며 f가 Z 를 횡단한다 x E c n 1-1(z) 이면, Y 내에 f (x) 의 근방 W 와 침몰 ¢ : W 一 R 떠 존재해서 f크 (znw) 에서 f가 Z 롤 횡단하게 된다 o f는 X 에서 정 칙이다· 따라서 요의 근방에서 정칙이다· 다시 말하면 C 의 각 점의 근 방에서 f가 Z 를 횡단하므로 X 내의 C 의 작은 근방 U 에서 f가 Z 롤 횡단한다 7 룰 보조정리 2 . 3.7 에서 정의된 함수라고 하고, r = r2 이라 하 자. dT:z: = 2r(x)d 다이고, r(x) = 0 이면 d 巧 = 0 이댜 호모토피 G : X x S --. Y 롤 G(x, s) = F(x, r(x)s) = 1r[ f(x ) + e (f (x))r(x)s] 로 정 의하자· 여기서 F 는 정리 2.3.3 에서 정의된 호모토피이다. G 가 Z 를 횡단함을 보이자· 임의의 점 (x,s) E c- 1 (Z),r(x) :f' 0 에 대해서 사 상 S --. Y, s >-----+ G(x, s) 은 침몰이다· 침몰사상 s >-----+ r(x)s 와 침몰 사상 s >-----+ F(x,s) 의 합성사상이기 때문이다· 따라서 (x,s) 에서 G 가 Z 룰 횡단한다 r(x) = 0 일 때, 사상 m : X X S --. X x S,m(x,s) = (z, T(x)8) 의 도함수 dm 타 )(v, w) = (v, r(x) • W + d 따 • 8)

이다 여기서 (v,w) E TzX x T.S = TzX x JRm ,(r(x),drz(v) E lR) 이 댜 Fom=G 이므로, dG(z.s )( v,W} = dFm(x,a ) odm(z,s )( v,w) = dF(z,O ) (v,0) 이다 F lxx{o}= f이므로 dG(z,• )( v,w) = df z(v) 이다 만일 r(x) = 0 이 면, x E U 에서 f는 Z 룰 횡단한다 im dfz = i mdG(z , •) 이므로 (x,s) 에 서 G 가 Z 를 횡단한다 같은 방법으로 8G 가 Z 롤 횡단하게 된다· 횡단정리에 의해서 s E S 가 존재해서 g(x ) = G(x,s) 라 하면 g와 o g가 Z 를 횡단한다· 따라 서 9 는 f와 호모토피하고 T = 0 인 C 의 근방에서 g(x ) = G(x,s) = F(x,0) = J (x) 이다 o 따름정리 2.3.8 만일 f : X -+ Y 의 경계사상 of : ax -+ Y 가 Z C Y 올 횡단하면, f에 호모토피한 사상 g : X -+ Y 가 존재하여 8g = 아이고 9 가 Z 룰 횡단한다· 중명 경계 8X 는 X 의 폐부분집합이다 o 연습문제 1. X 와 Y 가 R 며 부분다양체일 때, 거의 모든 a E JR. m 에 대해서 X 의 평행이동 X+a 와 Y 는횡단임을증명하시오· 2. X 는 Y 의 콤팩트 부분다양체이고, 부분다양체 Z C Y 와 만날 때, X의 작은 변형으로 dim X +dim Z < d i mY 이면 X nZ = 0 되게 할 수 있음을 증명하시오·

3. 함수 f : Rn --+ R 에 대하여 거의 모든 a = (a1, · ,a,,) E lR 에 대 해 la(x) = f(x ) + a1 떠 + · · · + anXn 은 모르스 함수임을 증명하여라· 4. Z C Y C JR m 이 부분다양체일 때, Y 내에서 Z 의 법다발을 N(Z;Y) = {(z,v) I z E Z,v E TzY,v .l Tz Z } 라 하자. N(Z;Y) 가 d i mY 차원의 다양체임을 증명하여라 이 때 사 영사상 a : N(Z;Y) -+ Z, a(z,v ) = z 이 침몰임을 증명하시오· 5. 대각공간 b.. = {(x,x) E X x X I x E X} C X x X의 법다발 이 N(b.. ;X X X) = {(x,x,v,-v) I x E X,v E T :r X} 임을 보여라· 또, 사상 TX -t N(b.. ;X x X),(x,v) 1-+ ((x,x),(v,-v)) 이 미분동형임을 보여라 6. Z 가 여차원이 k 인 Y 의 부분다양체라 하자 · 법다발 N(Z : Y) 이 곱다발(p roduc t bundle) 이라 함은 미분동형사상

2.4 모드 2 교차이론 (Mod 2 Inte rsecti on Theory) 다양체 Y 내의 두 부분다양체 X 와 Z 가 d i mX+d i mZ = d i mY 일 때 X 와 Z 가 Y 내에서 여차원을 갖는다고 한다 X 와 Z 가 Y 내에서 여 차원을 갖고 X 와 Z 가 횡단이면 xnz 는 0 차원의 다양체이다 이 경 우 만일 X 와 Z 가 폐부분공간이고 X 가 콤팩트이면 x n z 는 유한 집 합이댜 일반적으로 매끄러운 사상 f : X -+ Y 에 대해 Z 는 Y 의 폐부 분다양체이고, dim X + dim Z = dim Y, 그리고 f가 Z 를 횡단하 면 r1 ( z ) 는 X의 0 차원 폐부분다양체이댜 만일 X 가 콤팩트이만 r1(z) 는 유한집합이다 이 때 12(!, Z) = #r1(Z) mod 2 를 f와 Z 의 mod 2 교차수 (mod 2 int e r secti on number) 라 한다 임의의 매끄러운 사상 g : X -+ Y 에 대 해서 9 에 호모토픽 한 f : X -+ Y 가 Z 를 횡 단할 때 h(g, Z ) = h (f ,Z) 로 정의한다 정리 2.4 .1 만일 fo, f i : X __. Y 가 호모토픽하고 Z 룰 횡단하면, I2( fo, Z ) = 12(!1, Z) 이댜 중명 F : X x J --. Y 룰 J o 와 h 의 호모토피라 하자 · 확장정리 2.3.6 에 의해서 F 가 Z 롤 횡단한다라고 가정할 수 있다· 경계 a(X x I) 는 X x {O}UX x {l} 이고, X x {O} 에서 8F = fo, X X {l} 에서 8F = f l 이 므로 8F 는 Z 를 횡단한댜 따라서 F-1(Z) 는 1 차원 다양체이며 경계 는

aF-1(z) = p- 1(z) n a(x x I) = 101(z) x {o} u 11-1(z) x {1} 이댜 aF-1(z) 는 짝수개를 갖는 집합이므로, #J0- 1(Z) = #f11( Z) mod 2

이다 따라서 I2( fo,Z ) = I2U1,Z) 이다 o 따름정리 2.4.2 만일 90,91 : X --. Y 가 호모토픽하면 , I2( .C J0 ,Z ) = 12(91, Z) 이다 o X 는 Y 의 콤팩트 부분다양체이고, Z 는 X 의 여차원 을 갖 는 Y 의 폐부분다양체라 하자. i : X --. Y 는 포함사상일 때 X 와 Z 의 mod 2 교 차수 (mod 2 int e r secti on number) 를 I2(X, Z) = I2(i, Z ) 로 정 의 한다 X 와 Z 가 횡단이면 h(X, Z ) = #Xnz mod 2 이다 I2(X,Z) # O 이면 X 를 Y 내에서 아무리 연속변형을 해도 Z 와 만난댜 예를 들만 토러 스 T = S1xS1 에서 원 X = S1x {l} 과 {l}xS1 = Z 는 h(X,Z) = 1 이 댜 만일 dim X = ½

1. 체이고, aF-1(z) = #r1(z) 는 짝수이댜 o 정 리 2.4.4 f : X ---. Y 가 콤팩트 다양체 X 에서 같은 차원의 연 결 다양체 Y 로 가는 매끄러운 사상이다· 모든 점 y E y에 대하 여 /2( 1, {y})는 같다 이 때 deg 2 ( f) = h( f, {y}）를 f의 mod 2 차 수 (deg ree) 라고 한댜 중명 한 점 y E y에 대해서 f룰 변형하여 f가 {y}를 횡단하게 하 자 y의 작은 근방 U 가 존재하여 f- 1(U) = Vi U • • • U Vn 가 서로소인 합집합으로 나타나며 각 f I v.는 미분동형사상이 된다 · 따라서 U 의 각 점에 대해서 h( f, {z}) = n mod 2 이댜 Y 가 연결 다양체이므로 I2(f, {z}) 는 상수함수이다· □ (주의) 위의 정리에서 X 는 콤팩트이고 Y 는 연결다양체일 때 deg 2 ( f) 가 정의되었다 이 때 f의 정칙값y E Y 룰구하면 #f一 l( y) = Ji(!, {y}) = deg 2( f) mod 2 이다 예를 들면 f : S1 --+ S1, f(z ) = 균이면 deg 2 ( f) = n mod 2 이다 따름정리 2.4.5 만일 f,g : X -. Y 가호모토픽하면 deg 2 (/) = deg 2 (g) 이댜 □ 따름정리 2.4.6 만일 X = fJ W 이고 f : X -. Y 를 W 로 확장할 수 있 다면 deg2 (/) = 0 이 다· □ (예) p : C-. C 를 매끄러운 복소함수라 하고, W 를 C 내의 콤팩트 영 역이라 하자 . 8W 상에서 p(z ) 'f' 0 이면 pf I P I: aw - s1 이 정의되고, 1 차원 다양체 사이의 매끄러운 사상이다· 또한 W 에서 p(z ) 'f' 0 이면 사상 Pl I P I 는 W 로 확장된다·

   따름정리 2.4.7 pf I P I: a w - s1 이 deg 2( p I I P I) =I= 0 이면 함수 p는 W 내부에서 0 을 갖는다 즉 z E i n t (W) 가 존재하여 p( z) = 0 가 된다口 (예) p(z ) = zm + a1zm-l + • • • + am 을 복소다항식 이 라 하자. W 룰 복 소평면 내의 큰 폐디스크라 하자· Pt( z) = tp( z) + (1 -t )z m = zm + t(a 1zm-l + • • • + am ) 이라 하자 여기서 O ~ t ~ l 이댜 그러면 8W 에서 Pt( z ) # 0 이다 왜 냐하면 z - 0—0z 이m 만= 1 + t(a 1 .z:. + • • • + am —zm ) - 1 이 댜 Pt ( z) , , , , 1 , , . 1 따라서 Pt/ | pt |: 8W 一 S1 는 매끄러운 사상이댜 deg2 (Po/ I Po I) = m mod 2 이므로 만일 m 이 홀수이면 p( z) = zm +a1zm-l + • • • +am 은 W내에서 0 을갖는다 o 연습문제 1. X 는 콤팩트 다양체이고, X i+ Y ~ Z 가 매끄러운 사상이며, W 는 Z 의 폐부분다양체로서 g가 W 룰 횡 단하면, h( f, g- 1(W)) = I2(g o f, W) 임을보여라 2. X 와 Z 가 콤팩트 다양체이고, f : X - Y, g : Z -Y, dim X + dim Z = d i mY 일 때, f와 9 의 교차수를 I2( f,g) = h( f X g,6.)로 정 의한댜 (6. C Y X Y 는 Y 의 대각공간이댜)

   (l) I2( f,g)는 f나 9 의 호모토피에 의해 불변임을 보여라· (2) I2( f, g) = h(g, f) 이 다 (3) i : X <-+ Y 는 포함함수일 때, h(i,g ) = h( g ,X) 이다 3. f : S1 --+ s1 가 매끄러운 사상일 때, 사상 g : JR --+ R 이 존재하 여 f(c ost, s in t) = (cos g(t ) , s i n g(t))이고 g(2 1r) = g(O ) +21rn 임을 보 이고 ( n 은 정수이다) 이 때 deg 2( f) = n mod 2 임을 보여라 4.(1) f : X --. Y 가 deg 2( f) # 0 이면 f는 전사이다 (2) 사상 J : X --. Y 에서 X 가 콤팩트이고 Y 가 콤팩트가 아니면 deg 2( f) = 0 이 댜 5. Z C Y 가 콤팩트 부분다양체이고 dim Z = ½dim Y = k 이며, Z 가 k 개의 독립인 함수의 공동 0 으로 나타나면 I2(Z,Z) = 0 임을 보 여라 (힌트, Y 내의 Z 의 법다발 N(Z;Y) = z X ]R k 이다) 2.5 모드 2 교차수 응용 X 는 콤팩트이고, 연결된, (n-1) －차원 다양체이며, f : x - R'‘ 이 매끄러운 사상이라 하자· 점 z E llt -f (X) 의 주위를 f (x) 가 어떻게 회전하는지 알아보자 · 매끄러운 사상 u : X - sn-l 를 u(x) = IJf((xx )) --zz l 로 z 에서 f (x) 방향의 단위벡터로 정의하자. z 주위 f의 mod 2 회전

   수 (w i nd i n g number) 를 l½( f, Z ) = de g 2(u) 로 정 의 한다 정리 2.5.1 D 를 경계가 있는 콤팩트 n- 차원 다양체라 하고 , iJD = X, F : D --+ IR 가 J : X --+ lR 겨 매끄러운 확장이라 하자· 점 z E lR- f (X) 가 F 의 정칙값이면, p -l(z) 는 유한집합이고 '2( 1 , z) = #F- 1 (z) mod 2 이댜 증명 주어진 매끄러운 사상 F : D --+ 맑, F I8D= x= f, z E Rn _ f (X) 에 대해서 u : X - sn-l, u(x) = IJf((xx )) --z z l 가 정의되어 있다 . z 가 F 의 정칙값이므로 만일 z

   인 매 끄러 운 사상을 정 의 한다· 함수 g : lR -+ lR 가 존재 하여 g(t + 1r) = g(t) + 때라 되고 u(eit ) = e ig(t)를 만족한다 여기서 e” : R 一 S1 이 국소 미분동형임이 사용된다 u(-s) = -u(s) 이므로 9 는 홀수이고 W2( f, O) = 1 이다 n 一 1 일 때 정리가 성 립한다고 가정하자. sn-1 '-+ sn 적도로 매장 됐다고 하자 즉 (x1,··· ,Xn) 1--t (x1,··· ,Xn,O) g = f 1.n-1: sn-l- ]R n+l 라 하자 사드정리에 의해서 두 사상 -| !g- ,I : sn-1 -sn, ~I f l : s~ sn 의 정칙값 ii E S 이 존재한다· 그러면 —a E sn 도 두 사상의 정칙값이 댜 g/ I g I 의 정의역의 차원이 치역의 차원보다 작으므로 im g n l(= R·a) = 0 이다 5 가 #의 정칙값일 필요충분조건이 f가 l 을 횡단한다 는 것이다 따라서 Wz( f, 0) = deg2 ( —I ff _I)' = #II (\ —I ff _I) -1(a) mod 2 이댜 a E i m( 仇)일 필요충분조건이 -a E i m fti이므로 #(/|- ;f- ;l) -1(a) = ~2 #r1(l) 이댜 s~ = {(x1, • • • ,Xn+l} E sn I Xn+l 츠 0} 라 하고 f+ = J Is; 라 하 자·그러면 #f갇 (l) = ~#f-1 (l) 이댜 f는 sn-1 과 만나지 않고, f( -x) = -f (x) 이기 때문이댜 따라 入1 W2( f, 0) = #f-1( l) mod 2 이다 JRn + l = V EBl 라 하고 7r : JRn +l-+ V 를 직교사영이라 하자 합성 사상 7r O g : sn-1 -+ V 는 rr o g( -x) = -rr o g (x) 이고 0 cf_ im (rr o g)이

   댜 가정에 의해서 W2(1r og , O ) = 1 이다 k 가 l 을 횡단하고 , 1r o f+ : s~ --+ V 는 {O} 을 횡단한다 정리 2.5.1 에 의해서 W2(1r O g, 0) = #(1r O f+t1(0 ) 이다 · 한편, (1r o f+) -1(0) = J_; 1(l) 이므로 W2 (f, 0) = #f+1 ( l) = W 짜 1r o g, 0) = 1 mod 2 이댜 o 정리 2.5.3 대칭사상 f : sn -t JRn + l _ {O},f ( -x) = -f (x) 은 원점을 지나는 직선 l 과 적어도 한 번 만난다· 중명 im f n l = 0 이면 W2( f,0) = ½#f-1 (l) = 0 이다 o 정리 2.5.4 n 개의 매끄러운 함수 Ji,·· · ,ln : sn -+ lR, J;(- x) = -fi(x) (i = l, • .. , n) 의 공통 0 이 있다· 중명 만일 n7=11i-1 (0) = 0 이면 사상 f : sn -+ ]Rn +l -{ O}, J(x ) = (f1(x ), • , fn( x), 0) 은 대칭이고 l 을 Xn+l 축이라 하면 정리 2.5.3 에 모순이 된다 · 口

   정리 2.5.5 n 개의 매끄러운 함수 Yl, ••• 'Yn : sn - IR 에 대해서 점 p E Sn 가 존재하여 g;(p) = g;( - p), i = l, • • • ,n 이 된다· 중명 fi(x ) = g; (x)-g; ( -x) (i = l, · · · , n) 라 하면, f1( _x) = -fl(x), i = 1, • • • ,n 이다 정리 2 .5.4 에 의해 점 p E 훈에 존재하여 f;(p) = O, i = l, ···,n 이 된다 o (예) 지구표면 s2 에 대해서 온도나 기압을 실수로 가는 함수라고 생 각하면 같은 온도와 기압을 갖는 대칭점이 있다 · 연습문제 1. 사상 f : s1 - s1 가 f( -x) = -f (x) 이면 deg2 ( f) = 1 임을 보여라· 2. Pi , • • • ,Pn : JRn + l --+ R 가 홀수차의 동차 다항식일 때 p = (Pl, • • • , Pn) : JRn +l --+ Rn 의 p -1(0) 은 원점을 지나는 직선 l 을 포함함을 보여 라 3. (Jo rdan-Brouwer 분리정리) X 가 Rn 내에 있는 (n _ l) 차원의 콤팩트인 연결 부분다양체라면 !Rn - X 는 2 개의 연결 열린 부분집합 으로 되어 있으며 각 열린 집합의 폐포 (closure) 의 경계는 X 이고 그 중 하나는 콤팩트이다 · 이룰 증명하여라·

   

   제 3 장 유향교차수 (Or i en t ed Inte rsecti on Number) 2 장에서 배운 mod 2 교차수를 방향을 고려하여 자세히 공부 하자· 사상 f : X - Y 가 Y 의 부분다양체 Z 를 횡단하고 , X,Y,Z 는 경계가 없는 다양체일 때 , X 는 콤팩트이고 d i mX+d i mZ=d i mY 이면 r1(z) 는 유한집합이댜 mod 2 교차수 h( f,Z ) 三 #r1(z) mod2 는 교차수가 단지 짝수인지 홀수인지만을 말해 준다 · 다양체에 방향올 고려하여 r1(z) 에서 좀더 많은 정보를 얻도록 하자· 3.1 방향 (Or i en t a ti on) k- 차원 실벡터공간 V 가 순서기저 (ordered basis ) /3 = {v1, • • · ,vk} 와/3＇ = {v~, ... ,v~ ｝를 가지고 있다고 하자· 선형동형사상 A : V -+ V, Av; = v;, i = 1, ... , k 의 행렬식에 대해 det( A ) > 0 일 때 /3와 f3’는 같

   은 방향 순서 기 저 (eq u iv a lentl y orie n te d ordered basis ) 라고 한다· 행 렬식의 곱의 법칙에 따라 V 의 모든 순서기저들은 두 개의 유로 나누 어진댜 V 의 방향 (or i en t a ti on) 은 이 두 개의 유 (class) 중 하나를 택하 는 것 을 말하며 , 이 룰 양의 방향(p os iti ve orie n ta ti on ) 이 라고 하고, 다 른 하나를 음의 방향 (ne ga ti ve orie n ta ti on ) 이 라 한다 · 예 를 들면 유클 리드공간 Rk 에서는표준방향 . B = {e1, .. . ,ek- } 를 양의 방향으로 한다· (주의) 벡터공간이 방향을 가질 때 기저의 순서는 매우 중요하다· 기저 안에서 두 원소의 순서를 바꾸면 반대방향이 된다· 특히, 0 차원 벡터공간은 공집합의 기저를 가진다고 할 수 있다· 따라서 0 차원 벡 터공간의 방향은 +1 혹은 -1 의 선택을 의미한다· A : v - w가 방향을 갖는 벡터공간의 선형동형사상이라 하자· 만일 V 의 방향기저 9 와 인가 같은 방향이면 A /3와 A /3’도 W 에서 같 은 방향 순서기저이다 · 이때 만일 g와 A /3가 같은 부호 (혹은 다른 부 호)를 가지면 A 를 방향보존 (or i en t a ti on- p reserv i n g) （방향전환)이라 한다 경계가 있는다양체 X 의 방향은 X의 각 점 X 의 접공간 TxX 에서 방향의 매끄러운 선택을 의미한다· 여기서 점 X E X 가 매끄럽게 움 직이면 방향선택의 매끄러움이라 함은 : u - x 를 X 에서 매개변 수화라 할 떄 각 점 u E u C Hk 에서 도함수 du : JRk -T9(u)X 가 방 향보존됨 을 의 미 한다 · 이 와 같은 ¢룰 방향보존사상 (or i en t a ti on pre - servin g ma p)이라 한다 모든 다양체가 방향이 있는 것은 아니다 예 룰 들면 뫼비우스 띠 (Mob i us band) 는 매끄러운 방향이 없다 0 차원 다양체 X 의 방향은 각 점 X E X 에 단순히 방향수 (or i n t a ti on number) +1 혹은 -1 을 대응시킴을 의미한다· 정리 3.1. 1 경계가 있고 연결된 방향을 줄 수 있는 다양체 X 는 2 개

   의 방항을갖는댜 중명 각 점은 2 개의 방향이 있다 · 임의의 점 x E X 에서 ¢, : U -+ X 와 1 : U1 -+ X 가 매개변수화라 하자. X 가 방향을 줄 수 있는 다양체이 고 X 에서 X 가 갖는 방향을 줄 수 있기 때문에 ¢에 의한 방향과 ¢1 에 의한 방향을 같게 줄 수 있다· 임의의 다른 점도 곡선으로 연결할 수 있고 이 곡선은 유한개의 매개변수화로 덮을 수 있다· 따라서 임의의 한 점 X 에서의 방향이 전체의 방향을 결정한다. 또한 한 점은 정확히 2 개의 방향이 있으므로 정리가 증명된다 · □ 다양체 X 에 방향 하나를 정 하여 X 를 방향을 갖는 다양체 (orie n te d man ifo ld) 라고 부르고 , X 가 연결되어 있으면 그 반대방향을 갖는 다 양체를 -X 로표시한다 X 와 Y 가 방향을 갖는 다양체일 때, 각 점 (x,y) E X X Y 에서 접 공간은 T(x,y ) (X X Y) = TxX X T11Y 이다 a = {v1, ·· · ,vk} 를 TxX 의 순서기저라 하고 f3 = {w1, · ,W1} 를 T11Y 의 순서기저라 하자· (a x 0, 0 x f3) 三 {(vi, 0), . . • , (vk, 0), ( 0, w1), . . • , (O, w1)} 는 TIX X Ty Y 의 순서기저이댜 이때 TxX X T11Y 의 방향을 sig n (a x 0, 0 x {3) = sig n (a) • sig n({)) 로 정 의 하고, 이 것 이 X x Y 의 곱방향(p roduc t or i en t a ti on) 을 결정 한 댜 다양체 X 의 방향에 의 해 경 계 8X 의 방향 (boundar y orie n ta ti on ) 이 다음과 같이 자연스럽게 결정된다· 경계에 있는 점 x E ax 에 대하 여 Tx (8X) 는 TxX 에 서 codim ensio n 1 을 갖는댜 따라서 TxX 내 에 는 Tx(8X) 에 수직인 2 개의 단위벡터가 있다 하나는 X의 내향벡터이고 다른 하나는 X 의 외향벡터이다 자세히 설명해 보자. : U -+ X 롤

   X E {)X 에서 매개변수화라 하자 U 는 lH[ k에 서 열린 부분집합이댜 ¢(O) = X 이면 (do)-1 : TxX --t ]R k 가 선형동형이다 한 단위백 터 는 lH[넵 내 향단위 법 벡 터 (inw ard unit normal vecto r ) 이 고, 다른 하나는 JH[ k 의 외향단위법 벡터 (ou t ward unit normal vec t or) 로 보낸 댜 이 때 X E X 에서 의향단위벡터를 따로 나타내고 {n x ,f3 } = {nx,vi, ··· ,Vk-1} 이 TxX 에서 방향을 나타내는 순서기저가 되도록 Tx8X 의 방향을 순서기저 (3 = {v1, ••• 'Vk-1} 로 정한다 예를 들면 lR2 내의 폐단위공 짜는 경계 aB2 = s1 에서 시계반대 방향의 방향을갖는다· 다음은 단위구간 I 의 곱 I x X 에서 방향을 생각해 보자· 자연 스러운 미분동형 X --t {t} x X 三 X t으로 X t에 방향을 주자 경계 8(1 x X) = X1 U Xo 이다 X1 의 외향단위법벡터는 n(l,x) = (1,0) E T1( 1) xTxX 이고, g를 Tx 의 방향을 나타내는 순서기저라 하면 Ox() 가 Tc1,o)X1 의 방향을 나타내는 기저이고 sig n (O x f3) = sig n (n(l,x) , 0 x f3) = sig n (! x 0, 0 x (3) = sig n (l)sig n (f3 ) = sig n (f3 ) 이다 따라서 X1 에서 방향은 X의 방향과 같다 그리고 Xo 에서 외향 단위법벡터는 nco,z) = (-1,0) 이다. Tco , :r )Xo 의 방향을 나타내는 기저 O x /3는 sig n(O x /3) = sig n(n co,:r) , /3) = sig n (-l)sig n (/3 ) = -sig n (/3 ) 이다 따라서 Xo 의 방향은 X 의 반대방향이다 경계는 o(I X X) = X1 U {-Xo} = X1 -Xo 로나타낸다·

   만일 dim X = 1 이면 ax 은 0 차원이다 0 차원 벡터공간 Tz ( ax) 의 방향은 TIX 에 대한 외향단위법벡터의 부호와 같다· 예를 들면 X = [O, 1] 에서 1 E lR1 = T1X 와 -1 E JR1 = ToX 가 의향단위법벡터이므로 ax = {1, -o} 이댜 정리 3.1. 2 콤팩트 1 차원 방향을 갖는 다양체의 경계점들의 방향수 의 합은 0 이댜 여기서 방향수는 점이 양의 방향이면 +1 이고 음의 방 향이면 _1 이다 o 벡터공간 V = V1 EB V2 가 직합 (d i rec t sum) 으로 표시될 떄 세 공 간 중에서 두 공간의 방향이 정해지면 나머지 공간의 방향도 정해진 댜 즉 순서 기 저 를 {3 = ({31 , {3이 로 나타내 면 sig n {3 = sig n {3 1 • sig n {3 2 로 정하면된다 매끄러운 사상 f : X -Y 에서 f와 8 f는 Z 를 횡단하고 8X #0 , oz = {)Y = 0 라 하자 이때 원상 s = r1(z) 는 경계가 있는 다양체 이다 X,Y,Z 가 방향이 주어져 있다고 하자 점 f( x) = z E Z 에 대해 서 T:r S = df z-1(TzZ) 이다 법공간 N x( S;X) 를 T: r X 에서 Tx : S 의 직교 여 공간 (or t ho g onal comp le menta r y sp a ce) 이 며 , N;z ;( S;X) EB T;z; S = T;z: X 이고 df;z ;( T;z: X ) + TzZ = TzY 이며 T;z; S = df ;z; -1(TzZ) 이므로 df;z ;N ;z ;( S; X) 갈 ~z = TzY 이다 따라서 df ;z; N ;z:（ S;X) 의 방향이 정해지고, N ;z; (S;X) 의 방향이 정 해지므로 箕 S 의 방향이 정해진댜 구성에서 원상 s = r1(z) 의 방

   향은 매끄럽댜 위 사실을 간략히 쓰면 dfx N x(S; X) EB TzZ = TzY Nx (S ; X) EB TxS = TxX 에 의해서 S = f -1(Z) 의 원상의 방향(p re i ma g e or i en t a ti on) 이 정해 진댜 매끄러운사상f : X -Y 에서 f와 o f가 Z 를 횡단하고, X 만 경계 를 갖고 X,Y,Z 가 방향을 갖고 있다고 가정하자· 이때 (a Jt 1(z) 에 두 개의 방향이 정해진다 · 즉 사상 of : 8X -Y 의 원상 (81) -l(z) 으 로서의 방향과 다양체 f -1(Z) 의 경계로서의 방향이 있다· 이때 방향 의 차이는 (-l)cod i mZ 이다 즉 정 리 3.1. 3 o[f -1 {Z)] = (-lrdim Z(a/)-1(Z). 중명 Z 의 원상을 f-1 (Z) = S 라 하고, H EBTx(8S) = T.,(8X) 라 하자 T.,snT.,(ax) = T.,(as) 이므로 H EBT.,S = TrX 이다· 따라서 H의 방 향에 따라서 T.,S 와 T.,(as) 의 방향이 정해진다. H C Tr(8X) 이므로 df. ,I H = d(8 f)山{이고, df. , (H) EBTzZ = TzY 로부터 H의 방향이 정해 진댜 n., 를 S 에서 8S 의 외향단위벡터라 하자. JR .n., 는 n., 에 의해 생성 되는 T.,S 의 1 차원 부분벡터공간이다 이때 JR • n., EB T.,8X = T.,X 이다 · 또한 JR • nx EB T.,8S = T.,S 이므로 TxX = H EB T.,S = H EB lR • n., EB T.,8S 이고 TrX = JR • n., EB T.,(8X) = JR • n., EB H EB T.,88

   이 다 이 때 dim H = codim S = codim Z 이 므로 fJ[f-l (z)] = [fJS ] = (-lto di m Z(of r l(z) 이다· □ 연습문제 1. {3 = {Vl' ... 'Vn} 을 벡터공간 V 의 순서기저라 하자· (1) 한 원소 이 대신 cv;(c > 0) 로 바꾸면 같은 방향 순서기저이고 cv;(c < 0) 로 바꾸면 반대 방향 순서기저임을 보여라· (2) 두 원소 V;,vj (i j j)를 바꾸면 반대 방향 순서기저임을 보여라· (3) 한 원소 V 를 vi = E i#j clv j로 대치하여도 같은 방향 순서기저임 을보여라· 2. 0 ---+ A ---+ B ---+ C ---+ 0 가 단완전열 (shor t exact se q unce) 이다 . 이 중 두 벡터공간의 방향이 정해지면 나머지 한 벡터공간의 방향도 결정됨을보여라 3. vl ® V2 의 직합 방향은 Vi EB V1 의 직합 방향에 (-l)d i mV1-d i mV2 를 곱한 것과 같음을 보여라· 4. Rn 내에 (n-1) －차원 콤팩트 다양체는 방향을 줄 수 있음을 보여 라· 5. X 와 Z 는 Y 의 부분다양체이고, 모두 방향이 주어져 있다 만일 X 가 Z 룰 횡단하고 dim X +dim Z = d i mY 이면 x nz 는 0 차원 다양 체이고, 임의의 y E x n z 에 대하여 Ty X EBTy Z = Ty Y 임을 보여라

   이때 방향을고려하면 , X n z = (-l)dim X- di m Zz n X 임을보여라 6. 뫼비우스 띠는 R3 에서 정의된 독립함수로 정의 될 수 없 음을 보여 라 7. X 가 방향을 줄 수 있는 다양체이면 , X에 어떤 방향은 주나 곱 X x X 의 방향은 항상 같음을 보여라 8. Sk = f) B k+ l 의 경 계로서 방향과 함수 g : JRk+l -+ IR, g( x) = lxl2 의 원상으로서의 방향이 같음을 증명하여라· 3.2 방향 교차수 (Orie n te d Inte rsecti on Number) Mod2 교차수에서는 다양체의 방향을 고려하지 않았다 다양체 의 방향을 고려하여 방향 교차수를 알아보자· X,Y,Z 는 경계가 없고 방향이 주어진 다양체로 X 는 콤팩트, Z 는 Y 의 폐부분다양체, dim X +dim Z = d i mY 일 때, 사상 f : X --+ Y 가 Z 를 횡단하면 f -1(Z) 는 유한집합이 되고 원상을 土 1 로 주면 교차 수(i n t ersec ti on number) I( f, Z) 는 f -1(Z) 의 방향수 士 1 의 합으로 정 의한다· 여기서 X E f -1(Z) 의 방향수는 다음과 같이 결정된다. f(x ) = z E Z 에서 접공간은 df: ,; (TzX) EB TxZ = TxY

   을 만족하고 df x 는 그의 상과 선형동형이다 · 따라서 df x(TxX) 의 방향 은 TxX 의 방향에 따라 결정된다 만일 df x(TxX) 의 방향과 TzZ 의 방 향의 합이 T , Y 의 방향과 같으면 X 에서 방향수는 +1 이고, 반대방향 이면 -1 이다 X = 8W 이고 W가 콤팩트일 때, F : W -t Y 가 f : X -t Y 의 확장이고 F 가 Z 룰 횡단하면 p -l(z) 는 콤팩트 1- 다양체이고, 경계는 r1(z) 이며 방향수의 합은 0 이다· 정리 3.2.1 x = aw 이고 f : X 一 Y 의 W 로의 확장이 있으면, I( f,Z ) = 0 이다 여기서 W 는 콤팩트이다 o 만일 J o 와 h이 호모토픽하고 Z 를 횡단하면, 즉 호모토피 F : I x x - Y 가 F(O, x) = f( x), F(l, x) = fi (x) 이면 I(8F, Z) = 0 이고 a( I X X) = X1 -X o, 8Flx 。 = Jo, 8Flx1 = Ji이댜 따라서 aF-1(z) = f1- 1(z) -f o1 (z) 가되어 I(oF, Z) = I(/1, Z) -1(/o, Z) = 0 이다 정 리 3.2.2 호모토픽 한 사상들은 같은 교차수를 갖는다. D 호모토픽한 사상의 교차수 불변성으로부터 일반 함수 f : X ---+ Y 에 대해서 f에 호모토픽한 사상 g : X ---+ Y 가 Z 를 횡단할 때 f의 교차수를 I(f , Z) = I(g, Z) 로 정 의 한다· Y 가 연결된 다양체이고 dim X = d i mY 일 때 매끄러운 사상 f : X ---+ Y 의 차수 (de g ree) 는 f의 Y 내에 있는 점과의 교차수로 정의한

   다 죽 deg (!) = I( f, {y}), y E Y 이다 사상 f의 차수 de g(!)를 계산 하기 위하여 Y 내에 f의 정칙값 y E y룰 구해서 J-1 (y) = {xlf ( x) = y}의 각 점 X 의 방향수의 합을 구하면 된다· 여기서 방향수는 선형동 형사상 df x : T;;c X -+ T1(x)Y 이 방향을 유지하면 +1 이고 반대 방향으로 가면 ― 1 이다· 차수는 교차수로 정의되므로 호모토피에 의해 불변한다· 따라서 호모토피를 이용하여 보다 간편한 사상으로 변형하여 차수를 구할 수 있댜 예를 들면 f : S1 -+ S1 ,f(z ) = zm 의 차수는 deg (!) = m 이 댜 한편 mod 2 차수는 deg 2 ( f) 三 m mod 2 이므로 deg (!) = m 이 더 욱 많은성질을 갖는다· 정리 3.2.3 매끄러운 사상 J : X --+ Y 가 콤팩트이고 방향을 갖는 같 은 차원의 다양체에서 정의된 사상이고, X = aW, W가 콤팩트일 때, f가 W 상으로 확장할 수 있으면 deg (!) = 0 이다 o p (z) 는 m- 차 복소다항식이다· 안 (T) 를 원점이 중심이고 반경이 T 인 복소평면상의 원이라 하면, IpP(( zz))I ’ —Izzmm·· · | = —zT mm :S 1(r) - s1(1) 은 호모토픽한사상이고, 같은 차수 m 을 갖는다· 이때 m > 0 이면 정 리 3.2.3 에 의하여 겁刊룰 반경이 r 인 디스크 D2(r) 로 확장할 수 없 댜 따라서 p (z) 는 D2(r) 내에서 근을 갖는댜 정리 3.2.4 (대수학의 기본정리) 모든 상수가 아닌 복소다항식은 해 룰 갖는다· □

   복소다항식 p (z) 에 대하여 자세히 생각해 보자· 임의의 zo E C 에 대해 q(z o) # 0 일 때 , p(z ) = (z -z o)1q (z ) 로 인수분해되면 l 을 근 zo 의 중복도 (mul tip li c ity)라 한다· 정리 3.2.5 W c C 는 매끄러운 콤팩트 영역으로 다항식 p (z) 가 경계 에서 근을 갖지 않는다고 하자· 중복도까지 세서 W내부에 p (z) 의 근 의 수는 사상 p( z)/lp( z )I : aw -s 1 의 차수와 같다 중명 매끄러운 콤팩트 영역 W 는 경계가 있는 2 차원 다양체이다· 다항 식 p (z) 가 W 내부에 유한개 ZQ , ••• ' Zn 의 근을 갖는다고 하자· 각 z, 에 서 W 내부에 서로소인 작은 폐디스크 D 를근구하자 이때p (z)/l p (z)I 는 n w'=W-UDi i= O 상에서 정의된다· 여기서 8W’ 의 부분으로서의 8D i의 방향과 D, 의 경계로서의 8D i의 방향은 반대이다· 따라서 n aw' = aw LJ(— 8Di ) i= O 이다. p( z)/lp( z )I : aw -s 1 은 0 차수이므로, deg ( |~p( z,)a| W) = ti= 0 de g(|p브( zi)| ,aD;) 이다· 따라서 p( z)/lp( z )I : 8D; -+ S1 의 차수와 p (z) 의 Z; 에서 근의 중 복도가 같음을 보이면 된다· p( z) = (z -z;)1 q( z), q(z ;) -:/= 0 라 하자. p (z) 가 Di 내에서 Z i의 에 근 을 갖지 않으므로 q (z) 는 D; 내에서 근을 갖지 않는다. D; 의 반경을

   r 이라 하고 g : S1 - {}D 를: g(z ) = z; + r z 로 정의하면 , g는 방향을 보 촌하는 미분동형사상이댜 따라서 p( z)/lp( z) I : aD; - S1 의 차수와 pO g /I PO gI : Sl - Sl 의 차수가 같게 된다 호모토피 h1 : s1 - s1 를 h1(z ) = zlq1q( z ( ;z ;+ + trtzr )z I ) 로정의하면 h1=— IP O gl po g 이고 ho(z) = cz1 이댜 여기서 c = q (z;)/l q (z;)I 는 상수이댜 ho 의 차수 deg (h o) = l 이 므로 h1 의 차수 de g (h 이 = l 이다· □ X 와 Z 가 Y 의 콤팩트 부분다양체이고 dim X +dim Z = d i mY 이 며 X 가 Z 를 횡단하면 Y 내에서 X 와 Z 의 교차수 I(X,Z) 는 교차점 에서 X의 방향과 Z 의 방향(이 순서로)의 합이 Y 의 방향과 같으면 부때 호l(를X ,+z1) 로= 하(-고l) d반 i mZ대 - d이 i m면XI (-Z1, 로X) 하 이는다, 교차점의 부호의 합이다 · 이 두 사상 f : X --t Y 와 g : Z --t Y 가 서로 횡 단한다는 것은, f(x ) = y = g (x) 일 때 dfx ( T .:z :X ) + dfz ( TzZ) = T11Y 임을 의미한다 · 만일 dim X + dim Z = d i mY 이면 df x 와 dg x 는 단 사이며 +가 ®로 바뀐다· 이때 (x,z) 의 방향부호를 직합 df: r: ( T:r:X ) EB d g z (TzZ) 의 방향과 Ty Y 의 방향이 같으면 +1 이고 반대면 -1 로 정의 하고, f와 9 의 교차수는 I(f, g) = (E f(야)=g ( z )(x,z) 의 부호) 로 정의한 댜

   만나는 점 을 조사하자· 곱사상 J x g : X x Z ---t Y x Y 이 대 각공 간 (d i ag onal sp a ce) A E Y xY 에서 만나는 점의 집합은 {(x, z)I J(이 = g( x)} = (j X g) -1 (A) 이 댜 이 때 dim (X x Z) = codim (A) 이 므로 J x g가 A 를 횡단하면 원상 (f X g )-1(!::!,.) 는 유한집합이다· 보조정리 3.2.6 u,w 가 벡터공간 V 의 부분공간이다 (1) U EB W = V 일 필요충분조건은 U x W EBA = V x V 이다 (2) u, W 에 방향이 주어지고 V 의 방향이 U EB W 의 방향으로 주어 졌을 때 A의 방향을 V 의 방향으로 주면 (V ~ A), V x V 의 방향과 U x W EB A 의 방향이 같을 필요충분조건은 d i mW 가 짝수이다 중명 (1) u n w = o <=> (u x w) n A = o 이고, dim U + dim W = dim V <=> dim (U x W) + dim A = dim (V x V) 이므로 (1) 이 증명된다 · (2) {u1,·'' ,Uk} 와 {w1,'· · , W t}이 U 와 W 의 양의 방향 순서기저라 하자· 그러면 {u1, • • • , uk, w1, • • • , w/ ｝와 {(u1 , u1), • • • , (uk, uk), (w1, w1), .. • , (w1, w1)} 는각각 V 와 A 의 양의 방향순서기저이며 {(u1, 0), • • • , (uk, O), (O, w1), • • • , (O, w1)} 는 U x W 의 양의 방향 순서기저이댜 따라서 U x W EB 6.의 양의 방 향순서기저는 {(u1, 0), · · • , (uk, 0), (0, w1), • • • , (0, w1), (u 고 1), (uk, uk), (w1, w1), • • • , (w1, w1)

   이고 {(u1, 0), • • • , (uk, 0), (0, w1), · · · , (0, wi) , (0, u1), (0, uk ), (w1, 0), • • • , (w1, O)} 와 같은 방향 순서기저이고 {(u1, 0) ,· · · ,(uk,0),(w1,0),··· ,(w1,0), (0,u1), ••• , (0, uk ), (0, wi ), · • · , (0, w1)} 의 방향기저와의 부호 차이는 l(k + l) + lk = 2kl + l2 이므로 (_1)1 이 댜 따라서 (-1)1 = +1 일 필요충분조건은 l = d i mW 이 짝수이댜 o 보조정리 3.2.6 에서 u = dfx (T r: X ), w = dg z( TzZ), V = Ty Y 라 하 면다음정리가성립한다· 정리 3.2.7 f가 9 룰 횡단할 필요충분조건은 f x g가 A 를 횡단하는 것이고, 이때 J(f,g) = (-l)dim ZJ (f X g,/::;.)이다· □ 정리 3.2.7 을 이용하여 임의의 사상 f : X -+ Y, g : Z -+ Y 에 대 하여 l( f,g) = (-l)dim ZJ (f x g,/:l.)로 정의한다· 정리 3.2.8 Jo 와 90 가 f l 과 91 에 호모토픽하면 I( fo,g o) = I (f 1,91) 이 댜 중명 ft와 9 t를 호모토피라 하면 ft X 9 t가 fo X g o 와 Ji X 91 사이의 호 모토피이댜 따라서 I( fo,g o) = I (f 1,91) 이다· □ 따름정리 3.2.9 Z 가 Y 의 부분다양체이고 i : Z -t Y 가 포함사상이 만 임의의 사상 f : X 一 Y 에 대하여 J(f,i) = I (f ,Z) 이다·

   중명 사상f에 호모토픽하고 Z 을 횡단하는사상 9 를 찾으면 I(f , i) = I(g, i) = l(g, Z) = I(f , Z) 이다· □ 정리 3.2.10 dim X = d i mY 이고 Y 가 연결다양체이면 모든 y E y에 대해 I(f , {y}) = de g(!)이다 중명 Y 가 연결이므로 임의의 두 점 YO,Yl E Y 에 대해서 io : {yo} 一 Y, i1 : {y 1}-Y 는 호모토픽하다 따라서 I(f , {yo} ) = I( f, io) = I( f, i1) = I(f , {y1 }) 이다· □ 정 리 3.2.11 J(f, g) = (-l)dim X· dim ZJ (g, f)이댜 중명 f(x ) = g( z) = y E Y 에서 Ty Y = dfx ( TxX) EB dg z Z(TzZ) 와 Ty Y = dgz ( TzZ) EB dfx ( T.r X ) 의 방향 순서 기저를 생각하면 그 차이가 (-l)d i mX·d i mZ 이다· □ 따름정리 3.2.12 X 와 Z 가 Y 의 콤팩트 부분다양체이면 J(X , Z) = (-l)dim X• dim zI(Z, X) 이다· □

   몇 가지 예를 들어보자 . dim Y = 2d i mX 이면 자신의 교차수 ( s el f~ int e r secti on number) I(X , X ) 가 정 의 되 고 이 때 dim X 가 홀수 이 면 I(X,X) = -J (X , X) 이다 따라서 I2(X, X ) = I(X, X ) = 0 이다 mod 2 교차수는 방향없이 정의되었다 . h(X, X ) =f 0 인 Y 의 콤팩트 방향 을 갖는 부분다양체 X 가 있으면 Y 는 방향을 줄 수 없다 예 를 들 면 뫼비우스띠의 중심원 X의 자기교차수 I2(X, X ) = l 이다 따라서 뫼 비우스띠는 방향을 줄 수 없다· Y 가 콤팩트인 방향을 갖는 다양체이고, ~ c Y x Y 가 대각공간일 때 Y 의 오일러 지표 (Euler characte r is t i c) x(Y) = I(~, ~ )를 Y x Y 내에서 A의 자기교차수로 정의한다 · 정리 3.2.13 (1) 콤팩트인 방향을 갖는 다양체에서의 오일러 지표는 미분동형에 대해 불변이다· (2) 홀수차원이며 콤팩트인 방향을 갖는 다양체의 오일러 지표는 0 이 댜 o 연습문제 1. f : X - Y 가 콤팩트인 연결다양체들 상에서의 미분동형사상이 댜 만일 f가 방향을 유지하면 deg (!) = +1 이고 방향을 반대로 보내 면 deg (!) = 크임을 보여라 2.(1) 원점에 대칭인 사상 f : sn - sn, f(x ) = - x 의 차수를 구 하여라 (2) sn 상에 0 이 되지 않는 벡터장이 존재할 필요충분조건은 n 이 홀 수임을보여라· (3) f( z) = 1/z 가 반지름이 r 인 원 위에서 정의되어 있을 때 차수 de g (!/I ii)를 구하여 라

   3. 사상 f ; Sl - S1, f(X ) = Z m 의 차수를 구하여라· 4. 임의의 사상 f : S1 一 S1 에 대하여 g : JR.l - ]R l 이 존재하여 f(c os t, s in t) = (cos g(t), s in g(t)) 가 됨을 보이고 , 이때 정수 q에 대해 g(t+ 271 ') = g(t) +2n q가 되며, deg (!) = q임을 보이시오. 5. 주어진 사상 X ~ Y ~ Z 에 대해서 deg (g o f) = deg (g) • de g(f)임을 보이시오 · 6. 사상 f : sl 一 R2 _ {0} 을 B2 = {z E C I lzl ~ 1} 로 확장 할 수 있을 필요충분조건은 deg (!) = 0 임을 보이시오· 1. x(X x Y) = x(X) • x(Y) 임을 보이시오· 3.3 러프셔츠 (Le f sche t z) 고정점이론 콤팩트인 방향을 갖는 다양체 X 상의 매끄러운 사상 f : X -+ X 의 고정 점 (f(x ) = X) 에 관한 성 질을 교차이론을 사용하여 연구하 자. x 가 f의 고정점이면, (x,x) E gra p h (!) n ~ C X x X 이댜 대각 공간 A 와 그래프 g ra p h(!) 는 X 와 자연스럽게 미분동형이므로 교차 수 J(!:l., g ra p h(!) ）가 X X X 에서 정의되고 이를 L (f)로 나타내고 f의 러 프셔 츠수 (Le f sche t z number) 라고 한다· X 상의 항동사상은 모두가 고정점이어서 셀 수 없지만 변형하여 횡단되도록 하면 항동사상의 러프셔츠수는 X의 오일러 지표를 나타

   낸다 고정점의 부호는 고정점 주위에서 사상의 행동으로 알 수 있다· 정리 3.3.1 (러프셔츠 고정점 정리) 매끄러운 사상 J : X -+ X 가 콤 팩트이고 방향이 주어진 다양체상에서 정의되어 있다 . L( f) # 0 이면 f는 고정점을 갖는다· 중명 f가 고정점을 갖지 않으면 Lin g ra p h (!) = 0 이므로 서로 횡단 하고 L( f) = I(Li , g r ap h (!)) = 0 이 다· □ 정리 3.3.2 L (f)는 호모토피 불변성을 갖는다· 증명 f, g : X -+ X 가 호모토픽하면 , f와 g의 호모토피 F 가 존재하 여 g ra p h(F) 가 A 룰 횡단하며 gra p h (F) n !::.는 콤팩트 1 차원 다양체 이고 경계에서 #(o(gr a p h (F) n !::.)) = L(g) - L( f) = 0 가 된다· 즉 L( f) = L( g)이다 o 항등사상 Ix : X -+ X의 그래프는 gra p h (lx) = ~이므로 L( Jx ) = I(~, ~) = x(X) 이 댜 정리 3.3.3 만일 f : X --t X 가 Ix 에 호모토픽하면 , L (f)는 X의 오 일러 지표이다 특히 f가 항등사상 Ix 에 호모토픽하고 고정점을 갖 지 않으면 x(X) = 0 이다 D 사상 f : X --t X 에서 g ra p h(!) 가 A 를 횡단할 때 f를 러프셔츠 사 상 (Le fs che t z ma p)이라 한댜 이때 f는 유한개의 고정점을 갖는댜 정리 3.3.4 임의의 사상 f : X -+ X 는 러프셔츠 사상에 호모토픽하 댜

   중명 2 장 3 절에서와 같이 유클리드 공간 내에 열린 공간 S 와 사상 F : X x S --+ X, F(x, O) = J ( x ) 가 존재하여 , 각 점 x E X 에 대해 서 S --+ X , s - F(x, s) 가 침 몰이 된다 또한 사상 G : X X s --+ X x X, G(x,s) = (x , F( x, s) ）도 침몰이다 따라서 G 가 A 룰 횡단한 댜 횡단정리에 의해 거의 모든 s E S 에 대해서 사상 X --+ X x X, x -G(x, s) = (x,F(x , s)) 는 A 를 횡단한다 따라서 사상 X --+ X, ~- F(x , s) 는 러프셔츠 사상이다· □ 이제 러프셔츠 사상 J : x - x 는 무엇을 의미하는지 알아보 자 f( x) = X 이면 접공간 T(x,x )( gr a p h (f )) C TIX X TI X 는 도함수 dfx : TxX - TxX 의 그래프이다 대각공간 A C X x X 의 접공간은 대각공간 AI C TxX X TIX 이다 따라서 g ra p h(!) 가 A 를 횡단한다 <=} gra p h (dfI ) EB Ax = TxX X T:,:X, <=? gra p h (dfx ) n Ax = {O}. <=? df x 가 0 만 고정점으로 갖는다· <=} +1 이 df x 의 고유치가 아니댜 <=? dfx -I : TxX - 끄 X 가 단사이다 <=} dfX - I : T:,:X -T:,;X 가 선형동형이댜 이때 x 를 f의 러프셔츠 고정점 (Le fs che t z fixe d p o i n t)이라 하고 (x,x) E A n g ra p h(!) 의 방향수를 Lx (f)로 쓰며 X 에서 f의 국소 러 프셔츠수 (local Lefc h etz number) 라고 한다 러프셔츠 사상 f의 러프 셔츠수는 국소 러프셔츠수의 합 L( f) = /(L:r)=: r Lx( f)

   이다 정리 3.3.5 사상f :X-+X 가러프셔츠사상이고 X 가f의 러프셔츠 고정점일 때, df:r - I 가 T:,;X 의 방향을 보존하면 국소 러프셔츠수는 L:,;( f) = +1 이고 반대방향으로 보내면 L:,;( f) = -1 이다 · 중명 A = dfx 이고 /3 = {v1, • • • ,V 냐롤 TxX 의 양의 방향 순서기저라 하자그러면 {(vi, vi) , • • • , (vk, vk )} 와 {(v1, Av1), • • • , (vk, Avk)} 는 각각 T(:,; , :,; ） A 와마 x,x) g ra p h (f)의 양의 방향 순서기저이다 · L:,; (f)의 부호= {(v1,v1),··· ,(vk,vk),(v1,Av1),··· ,(vk,Avk)} 의 부호 = {(v1, v1), • • • , (vk 潭), (0, (A -I ) 어), ... , (0, (A - I) vk) ｝의 부호 = {(v1, 0), • • • , (vk, 0), (0, (A -I ) v 니, ••• , (0, (A - I) vk)} 의 부호 이다 마지막 등호는 {(A 一 I)v1 ,··· ,(A- I) vk} 가 T: r X 의 기저이므 로 v1, ••• ,Vk 는 (A -I) v i의 일차 결합으로 표시되고 따라서 둘째 동 호에서 빼주면 구해진다· 따라서 s ign L: r(f) = s ign /3 • s ign (A - I)/3이 므로, s ign L;,:( f) = s ignd et( A - I) 이다• O (예) 사상 f : R2 一 R2 이 f(O ) = 0 이고 A = df o 라 하자· 그러면 f(x ) = Ax + e(x) 로 쓸 수 있다 여기서 lim:, ;-+0 탭 = 0 이다 좌표변환으로 A=(•~ .:)

   라고 하자 0 에서 f의 러프셔츠수는 Lo( f) = sig n (a1 -l)(a2 - 1) 이댜 (1) a1, a2 > 1 이면 Lo( f) = +1 이고 f는 0 으로부터 뻗어 나가는 원천 (source) 이다 (2) a1,a2 < 1 이면 Lo( f) = +1 이고 f는 O 로 들어가는 흡입 (s i nk) 이 다 (3) a1 < 1 < a2 이면 Lo( f) = -1 이고 O 는 f의 말안장점 (saddle p o i n t)이댜 f의 고정점 f( x) = X 주위에서 f의 행동이 Lx (f)를 정해주고 L x(f)는 다양체의 위상적 성질을 가지고 있다· 예를 들면 사상 f : s2 - s2 가 양극을 고정 하고 북에 서 남으로 움직 이 는 함수라면, LN( f) = Ls( f) = +I 이고 L( f) = LN( f) + Ls(f ) = 2 = x(S2) 이므로 L (f)는 s2 의 오일러 지표와 같다· 여기서 f는 항등사상 I 와 호모토픽하다· 정리 3.3.6 s2 의 오일러 지표 x(S2) = 2 이고 만일 f : s2 - s2 가 항 둥사상 I 와 호모토픽하면, f는 고정점을 갖는다· 그러나 원점에 대칭 으로 보내는 함수 (x - -x) 는 항등사상과 호모토픽하지 않다· □ 오일러 지표는 다양체의 위상적 불변요소이고 2 차원 다양체에서 미분위상적 불변요소이며 미분동형까지 결정한다· 정리 3.3.7 (2 차원 다양체의 분류) 콤팩트이며 경계가 없고 방향을 갖는 모든 2 차원 다양체는 지너스(g enus) g를 갖고, 지너스 9 인 다양

   체의 오일러 지표는 2-2 g이다· 또한 지너스(혹은 오일러 지표)가 같 은 다양체는 미분동형이다· □ 사실 지너스가 9 인 2 차원 곡면에 대해서는 항동사상에 호모토픽 한러프셔츠사상을구할수 있고 이때 1 개의 원천점과 1 개의 흡입점 과 2 g개의 말안장점을 갖도록 러프셔츠 사상을 만들 수 있다· 따라서 이런 지너스가 9 인 2 차 곡면의 오일러 지표는 2 一 2 g이다· 정리 3.3.8 사상 f : X - x 가 고정점 며룹 갖고 U 는 X 의 근방이며 다른 고정점을 포함하지 않는다고 하자· 그러면 f의 호모토피 ft가 존재하며 f l 은 U 안에서 러프셔츠 고정점만 갖고 U 내에 콤팩트 K 가 있어 그 밖에서는 ft = f이다· 중명 U 를 IRk 내에 0 의 근방이고 f : U -JR k 는 0 만을 고정점으로 갖 는다고 하자. p : ]Rk - [O,1] 는 0 의 근방 V 상에서는 1, 콤팩트 K C U 밖에서는 0 인 매끄러운 함수라 하자. la| 이 작은 벡터 a E IR,._· 에 대해 入1 ft(x ) = f( x) + tp( x)a 가구하는호모토피임을보이자· 만일 |a| 가아주 작으면 ft는 V 의 밖 에는고정점이 없다· 왜냐하면, f는콤팩트 K-V 상에 고정점이 없 으므로 K-V 상에서 I f(테 > c > O 인 C > 0 가 있어서 |al < c/2 이면 Ift (x ) _ x1 츠 lf( x) -xi - tp(t)l al > 2C 이며 또한 K 밖에서 ft(x ) = f( x) -:/= x

   이기 때문이다· 사드정리에 의해서 a 가 사상 X I-+ f(x ) -X 의 정칙값이고, |al < c/2 인 0 에 가까운 a 가 있다. x 가 h 의 고정점이면, x E V 이고 V 상에 서 h = f +a 이다 이때 d( f1)z = df x 이고 X 가 h 의 러프셔츠 고정점 일 필요충분조건은 dfx - I 가 선형동형이다. fi(x ) = x 이므로 J( x)-x=a 이다 a 가 정칙값이므로 d( f - I):,: = djI - I 가 선형동형이다 따라서 유클리드 공간 Rk 에서 정리가 성 립한다· 다양체상에서 증명하기 위하여 x E X 근방에서 매개변수화 썹 ¢(O) = x 를 생각하자. g = -1 。 f O ¢,라 놓으면 유클리드 공간에 서 정리가 성 립한다· 만일 91(z) = z 가 러프셔츠 고정점이면 ¢,(z) 가 ft = ¢, o9t o q, -l 의 러프셔츠 고정점이다 왜냐하면 연쇄법칙에 의해 서 d (fi),1,(t)가 0 만을 고정점으로 가질 필요충분조건이 d( gi )z 가 0 만고 정점을 갖는 것이기 때문이다 . D 사상 f : ]Rk --+ ]R k 가 고립된 고정점 x 룰 가졌다고 하자. B 는 x 를 중심으로 하는 작은 디스크로 f의 다른 고립점을 포함하지 않고 있 다고하면,사상 F : {)B --+ Sk-l, F(z) = lff(( zz )) --zz l 는 매끄러운 사상이다· 사상 F 의 차수를 f의 X 에서 국소 러프셔츠수 라하고 Lz (f)로쓴댜 여기서 Lz( f)는 B 의 선택에 독립이다· 왜냐하 면 B' 룰 다른 작은 디스크라고 하면 F 는 콤팩트 万=万 7 에서 정의되 고 8(]3 -:::-jji) = {)B - {)B' 이다 F 의 8( 百 =F) 에서 차수는 0 이므로 deg F : {)B --+ sk-l = deg F : aB' --+ sk-l

   이다 정리 3.3.9 러프셔츠 고정점에서, L (f)에 대한 두 정의는 같다 · 중명 f(O ) = 0 롤 러프셔츠 고정점이라 하고 f(z ) = Az +c(z) 로 쓰 자 여기서 A = df o 이고 lim z -+ oc(z)/lzl = 0 이다 A-I 는 선형동형 이 므로, A - I 의 단위공의 상은 반지름 C > 0 인 폐디스크롤 포함한다· A -I 는 선형사상이므로 모든 z E JR k 에 대하여 |(A -I )(z ) I > clz l 가 된다 브lz색l <-22 되는 디스크를 B 라 하자· ft (z) = Az + tc(z) 라하면 lf1 ( z ) -z| 츠 |(A -I ) 까 - tk (z)I > ：이까, O ~ t ~ l 이댜 Ft : aB x 1-sk- 1 를 Ft ( z) = |fftt((zz )) ——zzl 라 하자 이때 de g (F1) 은 새로 정의한 Lo(!) 이고 deg (F 1) = de g (Fo) 이 며 Fo(z) = l((AA --J J)) z까 의 차수는 (A - I) 의 방향보존 여부에 따라 士 1 이 된다· Rk 의 선형동형들의 리군 (L i e grou p ) GL(k,JR ) =GL(k,JR ) +uGL (k, JR)_은 두개의 연결성분으로 되어 있으며 GL(k, JR)+는 항둥사상 I 를 포함하고 GL(k, JR)-은 첫째 좌표만 대칭 (x1 ,.... －어)으로 보내고

   나머지는 항등사상인 E 를 포함한다· 따라서 A - I 가 방향을 유지하 면 I 와 호모토픽하여 deg (F o) = +1 이고, A —I 가 방향을 반대로 하 면 deg (F o) = ― 1 이 된다 o 정리 3.3.10 f가 Rk 상에서 고립된 고정점 X 을 가지며 B 는 x 울 중심 으로 하는 작은 폐디스크로 f의 다른 고정점을 포함하지 않는다고 하자. i n t (B) 내의 콤팩트 부분공간 밖에서는 f와 같고 B 내에서만 러 프셔츠 고정점을 갖는 임의의 사상을 h 이라 하면 L. r:(f) = L Lz(fi ) /i (z)=z 이다 중명 L .I:(f)는 사상 F : 8B 一 Sk- 1 ' F(z) = IJJ(( zz )) -- zzl 의 차수이댜 8B 에서 f = Ji이므로 F(z) = F1(z) = lffii ((zz)) -一 zzl 이댜 Zl, ••• ,ZN 을 h 의 고정점이라 하자 z i울 중심으로 한 작은 디 스크 B i는 서로소이고 경계 8B 와도 서로소라고 하자. F1 은 B' = B -L NJ int { B ;) i= l 으로 확장된다 따라서 F1 : aB' - sk-l 의 차수는 0 이고, N 8B' = 8B -U8Bi i= l

   이므로 N L. r(f) = deg F = deg F 1 = LL,1 ( h) i= l 이다 o 사상 f : X - x 가 고립된 고정점 x 를 갖는다 ¢롤 X 주위에서 매개변수화라 하면 g = ef>- l o f o ef>는 유클리드 공간에서 정의된다 · ef>(Q) = X 라 하면 Lx( f) = Lo( g)로 정의한다 임의의 매개변수화 ¢에 대해 L .r(J)는 불변이다· 왜냐하면 (1) 만일 X 가 러프셔츠 고정점이면 L. r(f) = sig n det( d f.r - I) 이다· dg o —I = (dtj, .I:- l O df.r 。 蟲 o) -I = d¢ 。 -1(df .r —I) d¢ 。 이므로 dg o ― I 가동형일 필요충분조건은라.r -I 가동형이다· 그리고 같은 행렬식을 가지므로 , Lo(g) = L .r(f)이다 · (2) 만일 X 가 임의의 고정점이라 하자. ¢와 ¢I 를 X 주위에서의 매개 변수화라 하고 , f1 : X 一 X 은 적은 x 의 근방 U 밖에서는 f와 같고, U 안에서 러프셔츠 고정점만을 가진다고 하자 · 여기서 U 는 두 매개 변수화의 상에 포함된 것이다· 위 정리에 의해서 Lo(¢-1 o f o '-1 o f o ¢') = I: Lz ( f1) /1(z) = z EU 이다 따라서 L x(J)는 매개변수화의 선택에 관계없이 변함없다· □

   정리 3.3.11 f : X - X 가 콤팩트 다양체상의 매끄러운 사상이댜 만일 유한개의 고정점을 갖는다면 L( f) = L Lx (f) /(z)=z 이다 중명 f를 고정 점 주위에서 변형하여 러프셔츠 사상 fi : X --+ X 과 호 모토픽하게 하자 · 그러면 L( f) = L(h) 이고 L(h) = L 以 h) = L L:r .(f) fi(:r.)=:r. f(:r.)=: r. 이다· □ 연습문제 1. A : V -+ V 는 벡터공간상의 선형사상일 때 다음이 동치임을 보 여라 (1) 0 이 A 의 고립된 고정점이다· (2) A-I : V -+ V 가 동형이다 (3) 0 이 러프셔츠 고정점이다· (4) A 가 러프셔츠 사상이다· 2. 다음이 동치임을보여라· (1) X 가 f : X ---+ X의 러프셔츠 고정점이다 (2) 0 이 df:r : T」 X 一 T: r X 의 러프셔츠 고정점이다 (3) dfz : T:rX ---+ T.:r X 가 러프셔츠 사상이다

   3. 다음을 증명하시오· (1) f : ]Rk -+ lRk ,f(x ) = 2x 는 0 이 원천 (source) 이고 Lo(!) = 1 이댜 (2) g : ]Rk -+ lRk ,g( x) = x/2 는 0 이 흡입 (s i nk) 이고 Lo(g) = (-1/ 이 댜 4. sn 의 오일러 지표는 x(S 기 = { ~: nn 은은짝홀수수 임을보여라· 5. 다음을풀어라 (1) f : C-C, f (z ) = z +zm 일 때 Lo( f) = m 이다 (m > 0) (2) g : c-C,g ( z) = z +尸일 때 Lo(g) = -m 이다 (m 츠 0) 6. 직교행렬군 O(n) 의 오일러 지표는 0 임을 보여라· (힌트: 고정 점 이 없는 사상이 있는가?) 3.4 포앙카레-호프 (Po i ncare-Ho pf) 정 리 다양체 X 가 유클리드 공간 Rn 내에 있댜 다양체 X 상의 벡터 장 (vec t or fi eld) 은 X 의 각 점 X 에서 접 벡터 v(x) E T:i: X C ]R n 를 매 끄럽게 대응하는 방법 며룹 말한다· 특히 v(x) = 0 되는 X E X 롤 0 의 O(zero) 라고 한다 만일 v(x) # 0 이면 Z 근방에서 V 는 거의 같은 방 향, 같은 크기일 것이댜 그러나 v(x) = 0 이면 X 의 근방에서 V 의 크

   기는 아주 작으며 방향은 급격히 변할 수 있다 · 즉 2 차원 다양체에서 원천 , 흡입 , 말안장점과 같은 점이 될 수 있다· 예를 들면 구 S2 상에 하나의 원천과 하나의 흡입을 갖는 벡터장 은 있으나, 0 가 없는 벡터장 , 하나의 원천과 하나의 말안장점을 갖는 벡터장은 없댜 토러스 T 2 상에는 회전에 의해 생기는 벡터장은 0 가 없고 높이 함수에 의해서 생기는 벡터장은 두 개의 말안장점과 하나 의 원천과 하나의 흡 입을 갖는 벡터장이며 구와 같이 하나의 원천과 하나의 흡입만을 갖는 벡터장은 없다· 이와같이 벡터장의 0 의 근방 의 성 질을 종합하면 다양체의 위상과 관계가 있다 · R 망의 벡터장 V 가 원점을 고립된 0 으로 가졌다고 하고 원점을 중심으로 하고 반경이 c > 0 인 작은 구 Sc 에서 단위구 Sk-1 로 가는 사상 x f-+ v(x)/lv( 에를 생각하자. v 의 원점 0 에서 지표 i ndo(v) 를 사 상 s. -+ sk-l , x f-+ v(x)/lv( 테의 차수로 정의한댜 여기서 요 위에 서는 V 의 0 이 없으며 작은 구 S c 의 선택에 관계없이 i ndo(v) 는 불변 한다 · 왜냐하면 원환 (annulus) 에서 v/lvl 가 정의되고 경계에서 차수 가 0 이기 때문이다. 2 차원에서는 i ndo(v) 는 단순히 v/lv| 가 원을 시계 반대방향으로 몇 바퀴 도느냐를 세는 것이다· 다양체상의 벡터장이 고립된 °룰 가질 때 지표를 계산하기 위해 서 유클리드 공간에서 가는 매개변수화를사용한다· 벡터장 V : X -+ TX 가 v(x) = 0 일 때 , q, : U C JRk -+ X 를 X 에서 매개변수화라 하고 짜(Q) = X 이면, 각 점 u E U 에서 도함수 dq ,u : JRk -+ T' i> (u)X 는 선형동 형사상이댜 따라서 U 상에 벡터장

   정리 3.4.1 (포앙카레一호프 지표 정리) 매끄러운 벡터장 V 가 콤팩 트이며 방향을 갖는 다양체 X 에서 유한개 O 를 가지면, X 상에서 V 의 지표의 합은 X 의 오일러 지표와 같댜 다양체상의 벡터장을 공부한후에 정리 3.4.1 를 증명한다 · 호모토 피 ft : X -t X, 0 $; t S: 1, Jo = Ix 를 생각해 보자 호모토피 {ft}가 t= 0 에서 벡터장 V 에 접한다는 것은 각 고정된 점 X E X 에 대해서 v(x) 가 t = O 에서 곡선 ft (x) 의 접벡터임을 의미한다· 유클리드 공간 의 국소면에서 벡터장 V 와 호모토피 U t}가 Rk 의 원점 근방 U 에서 정의되었다고하자· 정리 3.4.2 t # 0 에 대하여 ft가 원점만을 U 에서 고정점으로 갖는다 고 하고 벡터장 V 도 원점에서만 0 이라 하자· 만일 U t}가 t = O 에서 V 에 접하면 각 t에 대하여 ind o(v) = Lo( ft) 이다 보조정리 3.4.3 g(t)가 매끄러운 함수이면 매끄러운 함수 r( t)가 존 재하여 g(t) = g(O ) + tg'( O) + t2r (t) 이댜 중명 고정된 t에 대하여 h(s) = g(t s) 라 하면, h'(s) = tg'(t s) 이고, h(l) - h(O) = 11 h'(s) ds = t 11 g'(ts) ds 0 JO 이다• h(l) = g(t)이고 h(O) = g (O) 이므로 q(t) = 1。1 g'(ts) ds

   라면, g(t) = g(O ) + tq(t) 이댜 q(O ) = 11 g'( O) ds = g'( O) 。 이고, 같은 방법으로 q(t) = q(O ) + tr( t) 이된다 따라서 g(t) = g(O ) + tg'( O) + t2r (t) 이다· □ 정리 3.4 .2 증명 시간 t에서 미분 J ;(x) 는 ft (X) 의 각 좌표를 따라 서 떼 대한 미분을 좌표로 하는 벡터룰 나타낸다 . t = O 에서 {h} 의 도함수가 V 이므로 fo( x) = v(x) 이댜 X 를 고정하고 ft (X) 의 각 좌표를 따라 보조정리 3 .4 . 3 을 이용하면 매끄러운 벡터함수 r(x, t)가 존재하 여 ft(x ) = fo( x) + tfo(x ) + t2r (t, x) = x + tv( x) + t2r (t, x) 이다따라서 ft(x ) -x = tv( x) + t2r (t, x) 이 고, t # 0, x 슈 0 에 대 하여 ft(x ) -X =I 0 이댜 X 가 작은 c - 구 SC 위에서 움직일 때, lfftt(( xx )) --xx i = lvv((xx)) ++ ttrr(( xx,, tt))I

   이다 왼편의 차수는 L 。(ft)이고 오른편은 호모토픽 v(x)/lv(x)| 이므 로 차수가 i ndo(v) 이다 차수는 호모토피에 관계없이 불변하므로 Lo(/1) = ind o(v) 이다 o 예를 들면 RL· 상에 벡터장 V 에 대하여 ft(x ) = x + t v(x) 라 하면 {ft}는 t = 0 에서 벡터장 V 에 접한다. v 가 원점에서 고립된 0 만 가지 면 ft도 원점에서 0 만 갖는다 만일 ¢가 0 E JRk · 근방에서 미분동형사 상이고 ¢,(0) = 0 이면 {¢-10 ft 아}는 ¢.V 에 접 한댜 ¢는 단지 원점 에 서의 재매개변수화 (re p arame tr i za ti on) 이고 재매개변수화에 관계없 이 러프셔츠수는 불변하므로 ind o(v) = Lo( ft) = Lo(¢-1 。 ft o ¢,) = ind o(¢,•v) 이댜 또한 虹 ¢2 가 고립된 고정점 X E X 에서 메개변수화라 하면 硏= （같아 1Y( 杓) 이므로 ind o(¢i v) = ind o(¢2v) 이다 포앙카레-호프 정리 3.4.1 중명 벡터장 V 가 콤팩트이며 방향이 주 어진 다양체 X E Rn 상에 있다 E_ 근방정리에서와 같이 xc 三 {x E 밝 |d i s t (X, x) < e:} 존재하고 c 이 충분히 작으면 7r : x£ --+ X 는 법다발사영이 된댜 X 가 콤팩트이므로 t가 작으면 x + tv( x) E X£, x E X 이다 ft : X --+ X 를 ft(x ) = 1r(x + tv (x))

   로 정의하자. X 가 V 의 0 이면 X 는 f1( x) = X 이므로 ft의 고정점이다 · 고정된 X 에 대해서 곡선 f 1(x) 의 t = 0 에서 접벡터는 d 파 (v(x) ）이고 7r 는 X 상에서 항등사상이므로 d1rx 는 TxX 상에서 항등사상이다 따라 서 d1rx(v(x)) = v(x) 이므로 {ft}는 t = 0 에서 벡터장 V 에 접한다 · 만 일 x 가 V 의 0 이면 X 의 작은 주위에 X 의에 ft, (t # 0) 의 고정점은 없 댜 왜냐하면 f1( x + tv (x)) = x + t v(x) 이면 1r(x + tv (x)) = x + tv (x), t # 0 이므로 v(x) = O 이기 때문이다 따라서 ind (v) = L ind x(v) = L L 사) = L( ft) = L( fo) = x(X) t• (x)=O J, (x)=x 이다 o (주의) 벡터장 V : X - TX 를 접다발의 절단 (sec ti on) 으로서 0- 절 단 Xo E TX 을 횡단한다고 할 수 있다 gra p h (v) :::'. X 와 Xo 는 TX 내 에서 같은 여차원을 갖고 V 의 0 인 집합과 Xo n g ra p h(v) 가 일대일 대 웅관계에 있댜 따라서 ind (v) = J(X o, gra p h (v)) = J(6., gra p h ( f1)) = 1(6., gra p h( fo)) = 1(6. , 6.) = x(X) 이 됨을추측할수있다· 연습문제 1. R2 상에 벡터장 V 가 v(x,y ) = (-y ,x) 로 주어져 있다·

   (1) 회전사상 ht : 惡 2 一 R 언 ht = ( 二 \s;:: ) 가 t = O 에서 벡터장 V 에 접합을 보여라· (2) 벡터장 V 와 그에 접하는 곡선을 그려라· (3) i nd(vo) 와 Lo(h t)를 구하여 라 2. 따 X C lR 망의 벡터장으로 v(x) = 0 이면 V 의 도함수가 dv.x : T:c: X --+ T:c: X 임 을 보여 라· 3. 벡 터 장 V 의 0 인 X E X 가 정 상 (nonde g enera t e) 이 란 dvx : TxX -+ T. x X 가 전단사임을 의미한댜 다움을 증명하여라· (l) V 의 정상인 O 는 고립되어 있음을 보여라· (2) ?)의 정상인 0 가 X 일 때, 만일 dvx 가 방향을 보존하면 ind x(v) = +1 이고 만일 dvx 가 방향을 바꾸면 ind x(v) = -1 이다· 4. X 상의 벡터장 v 는 접다발의 절단을 정의한다 죽 ft• : X - TX' ft•(X ) = (X' V(X)) 이댜 다음을증명하여라 (1) f,는 매장 (embedd i n g)일 때, im ft• 三 Xr 는 X 와 미분동형인 TX 의 부분다양체이댜 (2) V 의 O 와 X,, n [Xo = {(x,O)} ］는 일대일 대응이댜 (3) X 가 u 의 정상인 0 가 되는 필요충분조건은 (x,0) 에서 Xv 가 Xo 에 횡단하는 것이다· (4) X 가 V 의 정상인 0 이면, i ndx(v) 는 (x,O) 에서 Xo 와 Xv 의 방향수이 댜

   5. f : X C ]Rn -+ lR 이면 dfx : TxX -+ JR이다 임의의 w E T:,;X 에 대 하여 df: ,; (w) = v(x) 꼬인 벡터장 v 三 g rad(!) 를 f의 그래디언트 벡터 장(g rad i en t vecto r fie l d) 이 라 한다 다음울 증명 하여 라 (1) 만일 X = ]R k 이면 gra d(!) = (8—8xf1 ' . . . ' 8—8xfk ) 이댜 (2) : U --+ X 의 매개변수화이고 {e1, • • • ,ek} 가 Rk 의 표준기저이며 9ii (u ) = d u(e; ) • du(e J 라 하면 U 상의 당김< />벡*gr터 ad장(!은) = .t ~g;ie i k i,j = l 이다· 3.5 호프의 차수 (Ho pf Deg re e) 정 리 같은 차원의 다양체상의 사상 f : X -+ Y 의 차수를 구하기 위해 서 Y 상에 정칙값을 구하여 그의 원상을 방향에 따라 더하고 빼고 하 여 차수를 정했다· 그차수는f에 호모토픽한사상에 의해서는불변이 댜 특히 Y 가구이면 차수가호모토픽 관계를결정해 준다흐두두사상 fo, f1 : X --t Sk 가 호모토픽 할 필요충분조건이 deg (fo) = de g(fi)이 댜 이것은 호프에 의해서 증명되었댜 이 장에서는 이 정리를 소개 하는것이 목적이다 ·

   각 t에 대해 h t가 미분동형사상일 때 , 호모토피 ht : X --+ Y 를 동 위(i so t o py)라고 한다 그리고 두 사상을 동위로 연결할 수 있으면 두 미분사상이 동위적(i so t o pi c) 이라고 한다· 이때 동위 h t가 한 콤팩트 집합 밖에서는 모두 항동사상과 같으면 동위 h t가 콤팩트하게 받쳐 졌다 (com p ac t l y su pp or t ed) 라고 한다 정리 3.5.1 (동위 보조정리) 연결다양체 Y 내에 두 점 y,z E Y 에 대 해서 미분동형사상 h : Y --+ Y 가 있어 h(y) = z 이고 h 는 항등사상 I 와 동위적이다 특히 동위를 콤팩트하게 받쳐지게 할 수 있다· 중명 두 점 x,y E Y 에 대해서 정리가 성립하면 X 와 y는 동위적이라 하자 동위적은 동동관계 (e q u i valence rela ti on) 이며 동동관계에 있는 원소의 집합은 Y 내에서 열린 집합임을 증명하자· 그러면 Y 가 연결 다양체이므로 정리가 증명된다· 유클리드 공간에서 동등관계에 있는 원소의 집합은 열린 집합임을 중명하면 된다· 매개변수화를 이용하 면 다양체에서도 중명이 된다· R1 상에서 h t룰 구성하자· 임의의 c > 0, 매끄러운 함수 p( x) = { ~: : ; ~-o, o) 와 z E JR. 1 에 대해서 ht( x) = x + tp( x)z 로정의하자· ht( x) = { z, x g (_C, c) 혹은 t = O z, X = 0,t = 1 이고 X 에 대한 h t (x) 의 도함수는 hax) = l+ t l(x)z 이다 .X

   X E JR 1 에 대해 \tp '(xo) 까 < 1 이므로 h;(x) > 0 이다 따라서 h t는 증가 함수이고 역함수 정리에 의해 h t의 역함수도 매끄러운 함수이다· 따 라서 ”} O 에 가까우면 각 h t는 R1 에서 미분동형사상이다· 다음은 위의 증명을 Rk 에 응용하자· 주어진 맑내의 임의의 점에 대해 밝롤 회전하여 그 점이 첫째 좌표축에 있게 하자. ]Rk = JR.l X JR k-1 라 하고 동위로 원점을 (z,O) E JR. k 에 가까운 점으로 옮길 수 있 음을 보이자 매끄러운 함수 <1 : ]Rk -1 --+ JR, o(x) = { ~: ~二 룰 택하자 여기서 6 > O 는 작은 양수이다. ht : ]Rk = ]Rl X ]Rk -1 -+ Rk 는 ht( x , y) = (x + tu (y) p( x)z, y) 로정의하자· 그러면 ht( x , y) = { (x, y) |x| 츠 c, |y| 간 (z, 0) X = 0, y = 0, t = 1 이다 각 t에 대하여 h t가 Rk 에서 미분동형사상임을 보이자. |z| 가 작 으면 h t는 매끄럽고 전단사이다· 점 (x,y ) E ]Rl X ]R k-1 에서 h t의 도함 수는 dh,(x, y) -( 1 + tu (~)p' ( x)z a1, • • / •,-1 ) 이다 여기서 y = (a1, • • • ,ak-1) 이고 I 는 (k-l)x(k-1) 단위행렬이다 z 가 작으면 1 + tu(y)p'( x)z > 0 이므로 dh t의 행 렬식 det( d h1(x, y)) > 0 이다 역함수 정리에 의해서 h t의 역함수도 매끄러우므로 h t는 미분 동형사상이다· □

   따름정리 3.5.2 Y 가 k(> 1) －차원 연결다양체이고 Yi, • • • ,Yn,Z1, • • • , Zn E Y 가 서로 다른 점이만 미분동형사상 h : Y -t Y 가 존재하여 항 동사상 I 와동위이며 h(y; ) = z;, i = l, • • • , n 이댜 더욱이 이때 동위는 콤팩트하게 받쳐진다· 중명 귀납법으로 증명하자. n = 1 일 때는 정리 3.5.1 에서 증명했다. n -1 에 대해서 Y - {Yn,Zn} 에서 콤팩트하게 받쳐지는 동위 사가 있 어 h~(y; ) = z;, i = l, • • • ,n - 1 이고 h0 = I 이라고 가정하자. Y 의 차원이 1 보다 크므로 Y-{Yn,Zn} 은 연결다양체이다. h; 가 콤팩트하 게 받쳐지므로 Yn 과 Zn 근방에서 항동사상이다· 따라서 h:(Yn) = Yn, 서 {zn) = Zn 으로 정하여 Y 의 미분동형사상으로 확장하자· 같은 방법으로 Y-{Y 1, • • • , Yn-1, z1, • • • , Zn-1} 에 대해서도 Y 상에 콤팩트하게 받쳐지는 동위 h;' 가 존재하여 h1(Yn) = Zn 이고 h0 = I, h;'(y; ) = Y;, h;'(z;) = z;, (i = 1, • • • .n - 1) 가 된댜 따라서 ht = h:'oh; 가 구하는 Y 상의 동위이댜 o X 를 콤팩트이며 방향을 갖는 k- 차원 다양체라 하고 매끄러운 사 상 f : X 一 Rk+1 에 대하여 z E JRk+l - f (x) 에서 f의 회전수 (w i nd i n g number) 를 W (f,z) = deg (u) 로 정의한다· 여기서 u : x -향 , u(x) = IJf((xx )) --zz l 이댜 호프의 차수정리의 중명은 연습문제로 남긴다·

   연습문제 L 임의의 매끄러운 사상 f : S1 一 S1 이 0 차수를 가지면 f는 상수함 수와 호모토픽함을 보여라· 2. 임의의 매끄러운 사상 J : sk - JR.k+1 - {o} 가 원점에서 회전 수 0 을 가지 면 상수함수와 호모토픽 함을 보여 라· 3. W가 콤팩트이고 연결된 방향을 갖는 (k+1) －차원 다양체로서 경 계 8W # 0 라 하자 · 매끄러운사상J : aw - sk 가확장 F : W - 향, oF = f를 가질 필요충분조건은 deg (!) = 0 임을 보여라· 4. （호프 차수정리) X 는 콤팩트이며 연결된 방향을 갖는 k- 차원 다양체일 때, 두 함수 Jo , Ji : x ----+ sk 가 호모토픽할 필요충분조건 은 deg (fo) = deg (fi) 이 댜 5. 콤팩트이며 연결된 방향을 갖는 다양체 X 가모든 곳에서 0 이 아닌 벡터장이 존재할 필요충분조건은오일러 지표 x(X) = 0 임을보여라· 3.6 오일러 지표와 삼각형분할 (Euler Characte ris - tic a nd Tria n g u lati on ) 콤팩트이며 방향을 갖는 다양체 X 의 오일러 지표 (Euler Char- ac t er i s ti c) 를 X x X 내의 대각공간 A 의 자기교차수로 정의했다 또 한 X 상에 정의된 벡터장의 0 의 지표의 합으로도 X 의 오일러 지표를

   구할 수 있었다 오일러 지표는 위상적 불변성질이며 오랜 역사를 가 지고있다 콤팩트이며 벙향을 갖는 다양체 X의 오일러 지표는 X 를 삼각형 분할함으로써 구할 수 있다 X 가 k- 차원 다양체이면 (k + 1) 개의 점 은 k- 차원 단체 (s i m p lex) 를 형성한댜 X 를 k- 차원 단체로 쪼갤 때, 임 의의 두 단체는 서로소 (d i s j o i n t)가 되든지 아니면 각 단체를 구성하 고 있는 작은 단체 하나를 공유해야 한다· 이와같이 X 를 유한개로 쪼개는 것을 X의 삼각형분할(t r i an g ula ti on) 이라고 한다 X' 룰 X의 i-차원 단체들의 집합이라고 하면 X 의 오일러 지표는 k x(X) = L(-l);#(X;) i= O 이다 여기서 k = d i mX 이고 #(X’) 는 X 의 i-차원 단체의 수이댜 X 가방향이 있으므로각단체들도방향을갖게 되고단체의 경계 로 가는 경 계사상 (boundar y ma p)이 X의 호몰로지를 결정 한다 자세 한 것은 5 장과 6 장에서 배울 것이다. i차원의 호몰로지를 H;(X,Z) 라 고 쓰고 i번째 베티수 (Be tti number) 를 b;(X) = rankH;(X, Z) 라하면 x(X) = L(—l ); b; i=O 임을알수 있다 예를 들어 X 를 콤팩트이며 방향을 갖는 2 차원 다양체라 하자· X의 삼각형분할은 X 내의 유한개 삼각형 {T1, • • • ,Tn} 으로 이루어져 있으며 다음 조건을 만족한다· (1)U 「= 1 T; = X (2)T;nTi # 0 이면 T i nTi 는 Ti와Tj 의 공통변이거나 공통꼭지점이다·

   정리 3.6.1 X 가 콤팩트이며 방향을 갖는 2 차원 다양체이면 (1) X 는 삼각형분할을 할 수 있다 (2) X 의 오일러 지표 x(X) 는 삼각형분할을 어떻게 하든지 불변이댜 (3) X 의 오일러 지표 x(X) 는 2,0 , -2 , -4 ,··· ,(2 -2g )··· 중의 하나 이다 (4) 만일 X’ 가 콤팩트이며 방향을 갖는 2 차원 다양체로서 x(X) = x(X’) 일 필요충분조건은 X 와 X’ 는 미분동형이댜 중명 삼각형분할에 의한 X 의 오일러 지표는 x(X) =V( 꼭지점의 수 )_E( 변의 수 )+F( 삼각형의 수) 이다. X 상의 삼각형분할로부터 X 상에 벡터장 V 를 구할수 있다· 꼭지점을 V 의 원천으로 하고 변의 중 심을 V 의 말안장점으로 하며 삼각형의 중심울 V 의 흡입으로 하는 벡 터장을 만들면 포앙카레 - 호프 지표정리에 의해 x(X) = L ind z(v) = V-E +F v(z )=O 이다 o 연습문제 1. 구 S2 와 토러스 T2 를 삼각형분할하여 오일러 지표를 구하여라· 2. 구 S2 에서 작은 디스크 두 개를 오려내고 그 경계에 실린더의 양 끝을 붙이면 토러스 T2 를 구할 수 있다· 삼각형을 디스크의 경계 인 원과 동일시함으로써 실린더를 붙여서 만든 T2 의 오일러 지표를 삼각형분할을 이용하여 구하여라 일반적으로 구 S2 에 2 g개의 작은 디스크롤 오려내고 9 개의 튜브(실린더) 끝을 붙여 만든 9 개의 지너 스를 갖는 2 차원 다양체의 오일러 지표 를 구하여라·

   3. 정리 3 . 6.1 에서 증명되지 않은 부분을 증명하여라 ·

   제4 장

   드람코호몰로지 (de Rham Cohomolog y) 복소평면 C 내에 매끄럽고, 콤팩트인 영역 n 가 있다· 복소다항 시
   「 p(z ) = zm + a1zm-l + · · · + am 이 경계 8 fi에서 근을 갖지 않을 때, 중복도를 세어서 Q 내에 P 의 근 의수는사상 으IPI : 8Q ---+ S1 의 차수와같음을알았다· 이것은복소함수론에서 배운편각원리 (ar gu­ ment p r i nc ip le) 에 따르면 Q내의 p의 근의 수의 수는 laod(arg 盲) 로 계산될 수 있다· 이와같이 Q내의 P 의 근의 수를 교차수로 구할 수 있고, 경계 80 상의 적분으로도 구할 수 있다· 영역 Q상의 문제를 경 계 8 fi상의 문제로 바꾸어 구하는 몇 가지 예를 들어 보자·

   (1) 적분의 기본공식 (Fundamen t al Theorem of Calculus): lb d( f(x )) = 1[a,b] f(x ) = f(b ) -f (a ). (2) J그f린n d정(f 리i ( x(G, yr)e ednx T+h heo(rxe,m y)) : dy) = 111 fi(x , y) dx + h(x, y) dy . Q (3) 발산 정 리 (Di vJe rJg e n1c ed Tivh F eo drve m=) :J I an F • n dA 여기서 F = (f L f 2, f이이고 n 는 8 Q에서 의향단위법벡터이댜 (4) 스토크스J 정1 리 Q c( Sutr olkF e s• nT dhAe orem): = J 1( 警룹 )dx I\ d y+（警뿔 )d y /\dz +（뿔 -笠 ) dz /\ dx = la。 h dx + f2 d y + f3 d z. 여기서 d i vF 와 curlF 의 정의는 4 .4절을 참조하시오 · 4.1 의 대수 {Ex t er i or Alge bra) V 를실벡터공간이고, VP = `V ·X, '•v•'•, ,XU ,V., p번

   일때 V 상의 p-텐서(t ensor) 는 다선형사상 (mul ti li near) T : VP ---. IR, 즉 각 변수에서의 선형사상을 뜻한다· 예를 들면 1- 텐서는 V 상의 선 형사상이고』t n 상에서 내 적은 2- 텐서이고, 행렬식은 n- 텐서이다. p- 텐서에 상수를 곱하거나, p-텐서를 더하여도 다시 p-텐서이므로 V 상 의 모든p-텐서의 집합 ®PV* 은 다시 벡터공간이 된다· 만일 T E ®PV* , S E ®q V• 이면 T ® S(v1, • • • , Vp , V p + l, • • • , Vp +q) = T(v1, • • • , vp) • S(vp+ l, • • • , Vp +q) 로 정의하면 T ® S E ®p+qy•은 (p + q) - 텐서가 되고 T 와 S 의 텐서 곱(t ensor pro duct) 이 라 한다 텐서 곱은 결합법 칙 을 만족하고 덧 셈 에 대해서 분배법칙을 만족한다· 정리 4.1 .1 만일 {e1,· ·· ,ek.} 가 V* 의 기저이면p-텐서의 집합 {en® • • 0 e1p | l 츠 i1, ••• ,ip < k} 가 ®PV• 의 기저이다 따라서 d i m 합 V* = kP 가 된다· 중명 1 츠 이, ••• , iP ::; k 에 대해서 I = (i1, • • • ,ip), er = e;1 ® • • • ® e 서 로 쓰자 {v1,··· ,vk.} 를 V 의 기저라 하고 VJ = (v;p ·· · ,v;,) 로 쓰자 정의에 따라 안 (v J) = { ;: ; ; : 이고, 두 p-텐서 S = T 일 필요충분조건은 각 J = U1, .. • ,ip)에 대해 T(vJ ) = S(v J)이댜 따라서 임의의 p-텐서 S 는 s = EI S(vI)eI

   로 표시할 수 있다 그러므로 ®PV. 는 {eI}I 에 의해 생성된다· 만일 El aIe[ = 0 이면 각 I 에 대해서 a[ = 홉야 [)(v[) = O 이므로 {e1}1 는 ®pv* 의 기저이다 o p텐서 T 가 교대 (al t erna ti n g)란 두 변수를 바꾸면 값의 부호가 바 뀌는 것이다· 즉 T(v1, • • • , v;, • • • , vj, • • • , v 깁 = —T(v 1, • • • , vj, • • • , v;, • • • , v 』 이다 예룰 들면 1- 텐서는 자동적으로 교대이며 행렬식도 교대이다· 그러나 내적은 교대가 아니다. 1 부터 P 까지 자연수의 모든 치환(p er­ mu t a ti on) 은 군을 이룬댜 이것을 아로 쓰고 치환군이라 한다 모든 치환은 호환(t rans p os iti on) 의 곱으로 쓸 수 있다· 치환이 짝수개(홀 수개) 호환의 곱으로 나타날 때 짝치환(홀치환)이라 한댜 기호로 (-1)' = { --~1:, :7 f:' 짝:치홀치환환 라고 쓰자 T 가 p-텐서 이고 rr E S p일 때 p-텐서 T 는 T(v1, • • • , vp ) = T(v1r(lj, • • • , v1r(p )) 로 정의한댜 만일 T 가 교대 p-텐서이면 T,r = (-ltT 이댜 p-텐서 T 로부터 교대 p-텐 서 를, Alt( T ) = p~. ,IrE :Sp (-1) ,rT ,r

   로 만든다· 왜냐하면 a E SP 에 대해서 [Alt( T )]{1 == (;pi登 . ~ L(-(-1l))(T-1)) 0= 宁 p登 .O UL =( -(l-1))((T •T A 기(ltT ( T ) 감; S p 값 ESp 이기 때문이다· 만일 T 가 pA-lt교( 대T ) 텐= 서Sp .라 1LrE 면 (Sp - 1) 宁 = Sp• . rIr E :Sp T = T 이다 교대 P 텐서의 덧셈, 스칼라곱은 다시 교대 p-텐서이므로 모 든 p-텐서의 집합, 샤 (V*) 은 벡터공간이 된다· 만일 T E N(V* ), S E N(V * ) 이면 쐐기곱 (wed g e pro duct) T I\ S E /\p+q( V* ) 롤 Alt( T ® S) 로 정의한댜 Al t가 선형사상이므로 쐐기곱 A 은 분배 법칙을 만족하고 스칼라곱의 법칙도 만족한다· 보조정리 4.1. 2 만일 Alt( T ) = 0 이면 T I\ S = O = S I\ T 이댜 중명 T E 샤 (V*), S E N(V*) 라 하자 (1, ... ,p,p+ l, .. , ,p+q)에서 마지막 q원소를 항등사상으로 하므로 %는 S p+q의 부분군으로 생각 하자· L(-lt( T ® St = (L(-ltT , ,.) ® S = p!A lt( T ) ® S = 0 mESP ,rE S, 이고, S p+q룰 야의 잉여류 (cose t)의 합집합으로 생각하면 L(-1ro(T ( T ® St 0(T = (-1) 안I: (-l?(T ® St t = 0 TESp lTE Sp

   이다따라서 T I\ S = Alt( T ® S) = ―(p 上+ q―)! L (-lt( T ® sr = 0 감: s ,+ , 이다 같은 방법으로 S I\ T = O 이다 o 정리 4.1. 3 쐐기곱은 결합법칙을 만족한다 · 즉 (T A S) A R = T A (S A R) 이다· 중명 (T /\ S) /\ R -Ai t(T ® S ® R) = Alt( ( T /\ S) ® R) -Alt( T ® S ® R) = Alt[ ( T /\ S -(T ® S)) ® R] = (T /\ S - (T ® S)) /\ R = O 이댜 왜냐하면 Alt( T /\ S -T ® S) = Alt( T /\ S) -A lt( T ® S) = 0 이기 때문이다· 같은 방법으로 T /\ (S /\ R) = Alt( T ® S ® R) 이다 · □ 위의 정리 4 . 1. 3 에 따라 T I\ S I\ R = Alt( T ® S ® R) 이다· 만일 T = Lti 1, .. . ,i , e ;1 ® • • • ® e;,

   가p-텐서이고, 다시 교대이면 T = Al t (T) 이므로 T = Lt; l , .ip A lt(e .;1 ® • • • ® e.;,) = >tn ,lp e n ^ ... A e1, 이 다 따라서 I = (i1 , • • • , ip), e1 = e;1 /\ ••• /\ elP 라 하면 {eI}I 가 ^P(v·) 를 생성 한다 그러나 {아 }I 는 독립이 아니다 · 왜냐하면, 만일 ,1P E 사 (V*) 이 면 ¢ A d) = -21( ¢ ® d) - d) ® ¢) 이므로 ¢ ^ d) = -d ) A ¢ 이고 A = 0 이다 따라서 쐐기곱 A 는 사 (v·) 에서 반교환 (an ti commu t a ti ve) 이댜 만일 I 와 J가 같은 집합으로 순서만 다르다면 e1 = 士 e J이다· 만일 I 내에 같은 요소가 있으면 e1 = 0 이다· 따라서 I 를 1 ~ i1 < i2 < • • • < ip ~ k 와 같이 서로 다르고 증가하는 치환 l 을 취하면 {e1} 는 일차독 립이다· 왜냐하면 만일 I: a1 언 = 0 라 할 때 {e i}의 쌍대기저 {v;} 에 서 町룰 양변에 취하면, o = (L 아아 )(v J) = -p1!a I 이므로 a1 = 0 이다· 정리 4.1. 4 만일 {e1, • • • ,ek} 가 T 의 기저라면, {e1 = e;1 /\ • • • /\ e;, ll ~ i1 < i2 • • • ip ~ k} 가샤 (V* ）의 기저이다 따라서 dim /\P(V*) =k Gp = p!( k k-! p)! 이 된다· □

   따름정리 4.1 .5 만일 T E 샤 (V*) 이고 s E N(V*) 이면 T /\ s = (-l)pqs /\ T 이다 o 만일 dim V = k 이면 dim /\k(V*) = 1 이댜 예를 들면 dim /\k·( R ”) = 1 이고 행렬식 텐서 (de t)는 k 교대 텐서이다· 따라서 RL· 상의 교대 k 선형사상은 de t의 상수곱이다· 만일 p > k 이면 ^P(V*) = 0 이다· 재 (V*) = JR로 정의하고, V 에서 R 로 가는 상수함수의 집합으로 생각 하면 편 리 하댜 직 합 (d i rec t sum) /\(V *) = /\°(v·) ® 사 (V*) EB • • • EB /\k(V*) 은 쐐기곱에 의해서 대수가 된다· 이 대수를 v· 의 외대수 (ex t er i or al g ebra) 라 한다 여기서 l E /\O (V•)이 항등원이댜 A : V 一 W룰 벡터공간 사이의 선형사상이라 하자· 전치사상은 A• : Iv· 一 V* 이고 외대수까지 확장된다 즉 만일 T E /\P(W*), VJ , ••• 'V p EV 이면 A*T(v1, • • • , vp) = T(Av1, • • • , Avp ) 로 정의한다 A. 는 선형이고 A*(T /\ S) = A*T /\ A*S 이므로 A* : /\(W *) __. /\（ v·) 은 대수 준동형사상이다 만일 B : w - u 이면, (BA)* = A*B* 이다· 특히 A : v-w 이 선형동형이고 dim V = k 이면 A* : 샤 (W*) 一 샤 (V*) 은 1 차원 벡터공간에서의 선형사상이다· 따라서 임의의 T E 샤 (V* ）에 대하여 A*(T) = >.T 이다 A 를 구해보자. B : V - ]R k 을 임 의의 동형사상이라 하자 . B*(det) 三 T E 샤 (V*) 라 하면, A*B*(det) = >.B*(de t)이고 B*-1A*B*(det) = >.B*-1B*(det) = >.(BB-1t (d et) = >.(det )

   이다 양변에 Rk· 의 표준 순서기저 {e1, .. • ,e 나을 취하면 (BAB-1)*(det) ( e1, · · · , ek) = det( B AB-1) = det( A ) 이고 >.(det) ( e1, • • • , ek) = >. 이다따라서 det( A ) = >. 이고, A•(T) = >.T = det( A )T 이다· 정리 4.1. 6 만일 A : V -+ V 가 선형동형사상이고, dim V = k, T E 샤 (v·) 이면 A*(T) = de t (A)T 이댜 만일 1,· ·· ,1 I\ • • • I\ A k = (det A)1 I\ • • • I\ k 이다· □ 연습문제 1· 교대 p-텐서 T E N(V*) 에 대하여 V1,· ·· ,Vp E V 가 일차종속일 때, T(v1, • • • ,vp) = 0 임을 보여라· 2. 1, .. • ,p E V* 가 일차종속이면, 1 /1. ... /1. ¢k = 0 임을 보여 라

   3. ¢1,··· ,¢,k E V., v1,··· ,vk E V 이고 dim V = k 일 때, ¢1 /\ • • • /\ ¢k(v1, • • • ,vk) = 訂1 det [¢ ,(vJ )] 임을 보여라 여기서 秘 (v j)]는 k x k 행렬이댜 4. T =/= 0 E 샤 (V*) 이고 dim = k 일 때, V 의 두 개의 순서기저 {vl, ' , Vk.} 와 {v~, .. • , v~} 가 같은 방향일 필요충분조건은 T(v1, • • • , Vk) 와 T(v~, .. • ,v~) 가 같은 부호임을 보여라· 5. V 를 Rn 의 방향을 갖는 k- 차원 부분벡터공간이라 할 때, 다음을 증명하여라 (1) 모든양의 방향정규직교순서기저 {v1,··· ,vk} 에 대해 ,T(v1,··· , vk) = 1/k! 되는 교대 k- 텐서 T E 샤 (V*) 가 있다 여기서 T 는 유일하 댜 이때 T 를 V 의 부피원소 (volume elemen t)라 한다 (2) 만일 어, ••• ,ek E T 가 V 의 양의 방향 정규 직교 순서기저에 대 한 순서쌍대기저 (dual bas i s) 라 하면 e1/\· • ·/\ek 가 V 의 부피원소이다· 6. V 를 Rn 의 부분벡터공간일 때, 각 원소 v E V 에 대하여 ¢v : V _. JR, v(W) = V • W 라 하면 ¢, : V --. V*,v -

   대응하는 매끄러운 사상이다· 두 개의 p-형식 W1 과 w2 의 합은 다시 p- 형식 w1 +따를 만드는 데 , 임의의 X E X 에 대하여 (W1 + w2)(X) = W1(X) + w2(X) 로 정의되고, 0 가 q-형식이면 쐐기곱 (wed g e pro duct) w/\O 는 (p+q)-형 식 (w /\ B)(x) = w(x) I\ B(x) 로 정의된다 이때 w/\0= (-1) pq 0/\w 이다 0- 형식은 X 상의 실함수 X --+ R1 로 정의한다 만일 f : X --+ R 가 매끄러운 함수라 하면 각 점 X E X 에서 도함수 dfx : T.x X --+ R 는 선형사상이므로 라:r E (TxX)* 이다 따라서 라는 X 상의 1- 형식이댜 이때 라를 f의 미분 (d iffe ren ti al) 이라 한다 · 특히 Rk 상의 좌표함수 다 • • • ,Xk 의 미분 dx1, • • • ,dxk 는 Rk 상의 1- 형식이댜 각 점 z E JR k에 대해 Tz ]R k = IR\ dx;( z ) E (TzJR k )* = (JR k )• 이고 dxi ( z)(a1,··· ,ak ) = a j이다 따라서 dx1(z),··· ,d 야 (z) 는 (JR k)• 의 표준기저 (s t andard ba- s i s) 이댜 1 ~ i1 < ••• < iP ~ k 인 I= (i1 , · ·· ,i P) 에 대해 dxr = dx;1 I\··· I\ dx ip는 Rk 상의 p-형식이댜 정리 4.2.1 열린 집합 U E JR k 상의 F 형식은 EIhdxI 로 표시된다· 여기서 I = (行 < • • • < ip), 1 ~ ii ~ k 이고 fI : U 一 R1 함수이댜 o 만일 ¢ : Rk 一 R1 가 매끄러운 함수라 하면 ¢의 미분은 d

   만일 f : X -+ Y 가 매끄러운 사상이고 W 가 Y 상의 F 형식이라 하 면 , X 상의 P 형식 f *W 는 다음과 같이 정의된댜 만일 f( x) = y이면 dfz : TzX -+ Ty Y 이다 w(y) E N(Ty Y) ＊은 교대 P 텐서이고, 전치 (dfz ) * : N(TyY )* -+ 샤 (TzX)* 이므로 (f*w )(x) = (dfz ) *w( f(x )) 로 정의하고 f *W 를 f에 의한 w 의 당김(p ullback) 이라 한다 · 만일 W 가 0-형 식 이 면 f*w = w o f : X -+ IR 이 다 정 리 4.2.2 (1) f*(w 1 + w2) = f*w1 + f*w 2. (2) f*(w A 0) = (f*w ) A (f*O ). (3) (f o ht = h* ( f*w ). 。 유클리드공간에서 r 의 성질을살펴보자· 열린 부분집합 U C JRk , V C lR1 에 대하여 J : U -+ V , 좌표 (x1,··· ,x k ) E U, (Y1, ·· · ,Y1) E V, f = U1,··· ,!1) 라 하자. x E U 에서 도함수 dfz = (88—xfi j (x)) 는 l x k 행렬이다j*.d y ( i df= x t(d는J:i : )*전 (d치y i행) =렬 t이므 訖로 dx i = dfi i= l 이다·만일 w = I:a1dY 1 I 가 V 상에 임의의 F 형식이라면 f*w = ~ f* (a1)dfI = ~(a1 o f) df; 1 A • • • A df; , I

   이다 따라서 f.는 0- 형식과 1- 형식 d fi에 의해서 완전히 결정된다· f : U -+ V 를 Rk 의 열린 집합상의 미분동형사상이라하자 . f(x ) = y 이 고 w = dy 1 I\ • • • /\ dy k 라 하면 (f .w)( 이 = dJ; (d Y1 I\ .. • /\ dy k)(f(x )) = dJ; ( dy 1 (Y)) I\ • • • /\ dJ; ( dy k (Y)) = det( d f. ,) dx1(x) /\ . , . /\ dxk(x) 가된다특히 dj* (dy 1 I\ • • • I\ dy k) = det( d f) dx 1 I\ • • • I\ dxk 이다 열린 집합 U C JR k에 서 정의된 형식 w = EIaIdxI 가 매끄럽다 는 것은 각 계수 aI : U 一 R 가 매끄러운 함수임을 의미한다· 따라 서 f : U -+ V 가 매끄러운 사상이고 W 가 매끄러운 형식이면, 당김 f.w 도 매끄러운 형식이다· 다양체 X 상의 형식 W 가 매끄럽다는 것은 각 매개화 ¢ : U C JRk -+ X에 대해서 당김 ¢*w 가 매끄럽다는 의미이 댜 연습문제 1. 형식 W 가 다양체 X 상에서 매끄러울 필요충분조건이 X 의 어느 매개화의 열린 덮개상에서도 W 가 매끄러운 것임을 보여라· 2. f : X --+ Y 가 매끄러운 사상이고 ¢ : Y --+ lR 는 매끄러운 함수 일 때, d( f*¢) = f*(d

   임을증명하시오· 4.3 다양체상의 적분 다양체는 유클리드 공간의 작은 열린 집합으로 이루어졌다· 미 적분학에서 배운 변수변환했을 때의 적분공식을 상기하자 · 정리 4.3.1 f : U --t V 를 Rk 의 열린 집합상의 미분동형사상이고 g : V --t lR 은 적분가능한 함수라 하자 그러면 [ gd y 1 • • • dy k = !u(g o f)I det (d f )l dx1 • • • dxk 이댜 D (주의) 적분가능인 함수 9 를 V 상에 적분을 할 때 변수변환인 미분동 형사상 f : U --t V 의 정의역을 변형하면 f는 당연히 g o f가 될 것이 댜 이때 미분동형 f는 부피를 줄이거나 눌이거나 할 것이다· 줄어들 면 U 의 부피가 V 의 부피보다 크고 늘어나면 U 의 부피가 V 의 부피 보다작댜 이 양의 변화가 Ide t (df )I 로서 양변이 같게 됨을직관으로 추측할수있다· 위의 정리 4.3.1 을 k- 형식을 사용하여 생각해 보자· 열린 집합 V e Rk 상의 k- 형식 w = gd y 11 I\w • •= • I\1 d yg k d에 y 1 대•••해 d서y k 로정의하면, f*w = (g o f) det (d f )d x1 I\ • • • I\ d 야

   이다 만일 f가 방향을 보존하면 det( d f) > 0 이고 방향을 바꾸면 det( d f) < 0 이다 그리고 k 형식 W 가 적분가능하다는 것은 함수 9 가 적분가능함을 뜻한다· 따라서 정리 4.3.l 룰 k- 형식으로 쓰면 다음과 같다· 정리 4.3.2 f : U - V 가 RL· 혹은 ]H[ k 의 열린 집합 u, v 상에서 미분 동형사상이고 W 가 V 상에서 적분가능 k- 형식일 때 만일 f가 방향을 보존하면 JVw = Ju f.w 이고 만일 f가 방향을 바꾸면 JV w=- Ju 四 이다 o 경계가 있는 k- 차원 다양체 X 상에 k- 형식 W 를 생각해 보자. w 의 받침 (su pp or t)은 w(x) # 0 인 X 의 집합의 폐포 (closure) 로 정의한다· 특 히 이 폐포가 콤팩트일 때 W 를 콤팩트 받침 (com p ac t l y su pp or t ed) 을 가졌다고 한댜 w 의 받침이 X 내의 하나의 매개변수화 근방 W 내에 있다고 가정하자· 만일 h : U C ]Hlk -. W C X 가 방향보존 미분동형 사상이면, 당김 h*w 는 U 상에 콤팩트 받침을 갖는 매끄러운 k- 형식이 댜 따라서 h*w 는 적분가능하댜 적분 fxw = fu h*w 로 정의한다· 만 일 g : V -. W가 다른 매개변수화라면 f = h-1 o g : V -. U 는 방향 보존 미분동형사상이Ju다 h* w따 라= 서JV rh.w = JV g.w 이므로 Jw 는 매개변수화에 의존하지 않는다· X 상에 임의의 콤팩트 받침을 갖는 매끄러운 k- 형식 W 를 단위분 할을 이용하여 적분하기 위해서 매개변수화 내에 받침을 갖도록 W 를

   분해하자. x 를 매개변수화된 열린 집합으로 덮자· 다음에 국소 유한 세분 (locall y fini t e re fi nemen t)으로 X 를 덮고, 이 덮개에 대하여 단위 분할 {p l} 를 선택하자. w 의 콤팩트 받침은 덮개 중 유한개의 열린 집 합으로 덮이고 각 열린 집합은 매개변수화된 열린 집합 내에 포함된 댜 따라서, X 상의 w 의 적분값을 JXw = EJX p,w 로 정의한다· 정리 4.3.3 위의 적분정의 fx w 는 어떤 단위분할을 하든지 같다· 중명 W 의 받침이 하나의 매개변수화된 열린 집합에 포함되는 경우에 대해서는 위에서 증명했다· 다음은 모든 X E X 에 대하여 E,Pi( x) = 1 이므로 LP;W =W 이다· 당김과 유클리드 공간에서 적분은 선형사상이므로 JXw = EJX p,w 이댜 만일 {p;}가 다른 J단X 위p,w분 =할 ¥이라J 면X 파각p l iw 에 대하여 이고 각j에 대하여 JX 亨 = EJX p,p;w

   가된E다J X따 p 라tw서 = 釋JX 파p ;w = 雲JX p亨 = ¥JX 亨 이므로 fx w 는 단위분할에 의존하지 않는다. D 적분정의에 따라서 L(w1+w 이 =Lw1+Lw2, Lcw=cLw, cEJ R 은 명백하다· 정리 4.3. 4 만일 f : X -+ YJ 가Yw 방 = 향 J보X존rw 미 분동형사상이면 이다 여기서 W 는 Y 상에 콤팩트 받침을 갖는 k- 형식이고, k = dim X = d i mY 이댜 중명 {Vi }를 Y 의 국소 유한 세분 매개변수화된 열린 집합이고 {pi}를 그의 단위분할이라 하자 · 그러면 {Ul = f -1(Vi )}는 X의 국소 유한 세 분 매개변수화된 열린 집합이고, {pi o f}는 그의 단위분할이다· 따라 入1 |hw ==== EE입EJJJ XuUY : , ('p(¢p d,w)i, iT-o 1 = f( 。 )p Ef,fw .。w) J ¢ = =Yi ' E)Jd}말X,. ( (Jfp pX.l ;ww wf) ) * (p lw ) f

   이다 여기서 VI I : V:-v; ,

   롤 생각해 보자 매끄러운 사상 g : R2 -+ R 의 그래프를 S = {(xi, x2, g( xi , x2))l(x1, x2) E IR 사 라 하고 그의 매개변수화를 h : IR2 -+ S, h(xi, x2) = (xi, x2, g(x 1, x2)) 라하자· 그러면 hh**((ddxx12 II\\ ddxx2 이) === dd-xx1—2o xII1\\ dddxxg12 = , I\ ddxx22 ,I \ (8~xd1 x1• +• —8x2 dx2 ) 8g .. 8g {)g h*(dx3 I\ dx1) = dg I\ dx1 = -—0{)xg2 dx1 I\ dx2 이JS다W 따- 라 서J R2적 h분.w = JJR2 ( -브8xf l i o h - 브8x2 h o h + h o h)dx1 I\ dx2 = l2R2 (n • h*f ) dx1 /\ dx2 가된댜 여기서 n = (-a~8x91 , ' -~88xg2 , ' l), h*J = (f1 o h, h o h, !3 o h) 이다 점 x = (x1,x2, g (x1 요))에서 n(x) 上 T..,S 이고, u = n/lnl, dA = lnldx1 I\ dx2 라 하면 ls w = !2(h* • u)dA 이다 2- 형식 dA = lnldx1 I\ dx2 를 S 의 면적형식 (area fo rm) 이라 한댜

   연습문제 1. Z C X 가 유한집합이1고J 각= ~점a z( zE) Z • 에f(서z ) a(z) = 士 1 룰 방향수라 하면 Z ZEZ 임을 보여라 여기서 J : X -+ IR 는 실함수이다 2. X 가 경계가 있는 유향 k- 차원 다양체이고 W 는 X 상의 콤팩트 받침을 갖는 k- 형식이댜 -x 를 반대방향을 갖는 X 라 하면, I-Xw = _IXw 임을보여라· 3. c : [a, b] -+ [a, b] 는 매끄러운 곡선이고, c(a) = p, c(b) = q이고 w = df 가 함수 f : X -+ lR 의 미 분이 만 lb cw = f(q) -f(p) a 임을 보여라· 만일 / : [a1,b1] -+ [a,b] 매끄러운 함수이고 f(a i) = a, f(b 1) = b 이면 lb c.w = llbl (c o f). w 임을보여라· 4. X 상의 l- 형 식 W 가 함수 f : X - R 의 미 분 w = df 이 면 X위 의 폐곡선 'Y : S1 - X 상의 적분을 lw = 11'(.W

   로 정의하면 f1w = 0 임을 보여라 5. JR드 {O} 상의 1- 형식 w(X' y) = ~군 -+dy yX2 . +. ~균 +X dy2 y 에 대하여 (1) fsi w 를 구하여 라· (2) 반평면 {(X'y) E lR2 I X > 0} 상에서 W 는 함수의 미분임을 보 여라· (힌트 tan -1(y /x ) = J(x , y)) (3) 왜 W 는 R2 _ {0} 상에서 정의된 함수의 미분이 아닌가? 6. S1 상의 1- 형식 W 가 함수의 미분일 필요충분조건은 fs1 W = 0 임 을보여라· 7하. 여만 일W —s1C V상 =의 라1-임 형을식 보U 가여 s라1 상 여의기 적서분 W이 는 0 이임 의아의니 면s1 상상의수 lC- 가 형 식존이재 고, f는 s1 상의 함수이다 · 8. S C 1R3 가 유향 2 차원 다양체이고, n(x) = (n1(x),n2(x),n3(x)) 가 S 상의 외향 단위법벡터이다· dA = n1dx2 I\ dx3 + n2dx3 I\ d 떠 + n3dx1 I\ dx2 라 정의하면 그래프상에서 dA 가 면적형식 (area fo rm) 과 같음을 보여 라·

   4.4 의미분 (Ex t er i or Deriv a ti ve ) 형식은 적분을 할 수 있고, 또 미분도 할 수 있다· 예를 들면 0- 형식은 매끄러운 함수 f이고 미분하면 1- 형식이 된다 유클리드 공간 R 넥 열린 부분집합에서 정의된 p-형식 w = Eu. IdxI 의 외미 분 (ex t er i or deriv a ti ve ) 은 (p + 1 )- 형 식 dw = L da1 A d 따 로 정 의 한다· 정리 4.4.1 JRk (혹은 lH[ k) 의 열린 집합상의 형식에서 의미분 d 는 다 음 성질을 만족하는 유일한 연산자이다· (1) d(w1 + w2) = dw1 + dw2 이고, df =~笠 dx; . I (2) 만일 W 가 F 형식이면, d(w A B) = dw A 0 + （크 )Pw A dB. (3) d(dw) = 0. 중명 (1), (2) 는 쉬운 연습문제이다· (3) 만일 w = I:1 a1 dx1 이 면, dw = ~ da1 I\ d 따 = 麟효 皇 dx;) I\ dx1 이고, 一8xi8 xj = —8xj8 xi 이 고 dxi I\ dxi = -dxi /\ dxi a2a1 a2a1

   이므로 ddw = 麟 麟: 틀 dx i) I\ dx; I\ dx1 = 0 이된다 다음은 d 의 유일성을 증명하자· 만일 d’ 가 매끄러운 형식들 상에 서 (1), (2), (3) 을 만족하면 d'(dx ;) = d'(d'x;) = 0 이고 , d1(dx 1 ) = d'(dx;1 /\ • • • /\ dx;,) = I:(土 l)dx;1 /\ • • • /\ d'(dx;k) /\ • • • /\ dx;, = 0 k 이다 F 형식 w = EIaIdxI 에 대하여 d'w = L[d'a r /\ dxr + ard'(dxr)] I = 드 da[ /\ dxr = dw I 이다 o 정리 4. 4.2 만일 g : U -. V 가 RL· (혹은 ]Hlk )상의 열린 집합 u, v 사 이의 미분동형사상이면, V 상의 모든 형식 w 에 대하여 d(g* w) = g* (dw) 이댜 중명 d' 三 g-i. o d o g*라 두면 , d’ 가 정 리 4.4 . 1 의 (1), (2), (3) 을 만족 한댜 함수 f : V-.lR 에 대해서 d'(f ) = 9-i. dg * f = g-i.d( f o g) = dg -i.(f o g) = df

   이다 세번째 등식은 연습문제 4.2 의 (2) 번 문제이다 나머지는 정의 에 따라 쓰면 된다· 따라서 d1 = d = g-i. o d o g • 이고 d o g• = g• o d 이다 o 유클리드 공간의 열린 집합상의 미분동형사상 g : u - v 에 대해 入1 Jw = J9 .W 이고 d o g* = g* o d , JU 임은 다양체상의 적분과 의미분을 할 수 있게 한다. w 는 X 상의 p- 형식이다 : U -+ X 가 매개화이면 (U) 상에서 외미분 dw = -1*d(.w) 로 정의한다 만일 dJ : V -+ X 가 다른 매개화로 공통 부분이 있으면 g = -1 。 炳라 두면, g* d(

   (3) f2 dg 여기서 f,g : IR3 -+ IR 함수이다· (4) (x + 2y 3 )(dz /\ dx + (1/2)dy /\ dx). 3. JR2 一 {O} 상의 벡터장 (元 'x2\ 긴 의 curl 은 0 임을 보이고, 그러나 함수의 기울기 벡터장이 아님을 보 여라 · 4.5 드람 코호몰로지 (de Rham Cohomolog y) 다양체 X 상의 p-형식 W 가 dw = 0 일 때 W 를 닫힌 형식 (closed fo rm) 이라 하고 X 상에 (p -1) 형식 0 가 존재해서 w = dB 일 때 W 를 완전형식 (exac t fo rm) 이라 한댜 d2 = 0 이므로 완전형식은 닫힌 형식 이다 그러나 X 상의 닫힌 형식이 완전형식이 되느냐는 X 상의 위상 에 의해서 결정된다· 예를 들면 모든 기울기 벡터장(g rad i en t vecto r fiel d) 의 curl 은 0 이다 그러나 JR2 - {O} 에서 w = ;ibdx + 급 d y 는 닫힌 형식이나 완전형식은 아니다· 드람 코호몰로지는 닫힌 형식 이 얼마나 완전형식으로 될 수 없는가를 말해 주는 것이다 · X 를 매끄러운 k- 차원 콤팩트 다양체이고, QP (X) = r(/\PT•x) 를 X 상의 매끄러운 p-형식들의 집합이라 하던 외미분 d 를 준동형사상 으로 하는 0무 一한 차n원°( x벡) 터~공 n간1의(x )복 ~체 ••• ~ nk(x) 一 °

   를 갖는다 d2 = 0 로부터 X의 p-번째 드람 코호몰로지(p-t h de Rham cohomolog y) HP(X, JR) = kimer dd :: Of2PP -(X1()X ―) 一 ➔- tf2 PO +P1((XX)) 인 벡터공간을 얻는댜 따라서, OP(X) 에서 완전형식은 HP(X,IR) 에 서 0 이 된댜 만일 f : X -t Y 가 매끄러운 사상이면 Y 상의 p-형식 w 의 당 김 f .W 은 X 상의 P 형식으로 선형사상 J# : HP(Y,IR) -HP(X,IR), J# [w] = [f* w] 를 유도한댜 왜냐하면 만일 파가 닫힌 형식이면 d( f*(w )) = f*(d w) = 0 이므로 f *(w) 도 닫힌 형식이고, 만일 w = dB 가 완전형식 이면 f* (w) = f* (d0) = d( f *(0)) 이므로 r(w) 도 완전형식이다· f·가 선형사상이므로 f#도 선형사상이다· (성질 1) 만일 x ~ y ...!..... z 이면 (g O f)# = J# 0 g#이다 o (성질 2) (1) 만일 p > d i mX 이면 HP(X,lR) = 0 이고, (2)dim H0(x, IR) 은 X 의 연결성분 (connec t ed com p onen t)의 개수와 같다 중명 (1) 정의에 의해 명백하다· (2) X 상의 완전 0 형식은 {O} 이며, X 상의 0 형식(함수)이 닫힌 형식 일 필요충분조건은 각 연결성분에서 상수함수이다· 따라서, 각 연결 성분에서 상수함수의 모임은 R 과 같다· □ 다른 코호몰로지군을 구하기 위해서 새로운 연산자 P 를 소개하 자 U 는 lR 넵 열린 부분집합이고 W 는 lR x U 상의 p-형식이라 하자· 그러면 w = L fr(t, X)dt I\ d 떠 + LJ YJ (t, x)dxJ

   로 유일하게 쓸 수 있댜 여기서 t E IR, (Xl,·· · ,Xk) E Rk , [ = (i1 < • • • < ip- 1), J = (ii < • • • < jp -1) 이다 Pw 는 IR X u 상의 (p — 1)- 형식 인 Pw(t, x) = 麟〔 h(s, x)ds]dx1 으로 정의한다· ¢ : V - U 를 R 넬 열린 집합 사이의 미분동형사상이면,

   * Pw = P .W 이다 중명 w = I:1 fI (t, x)dt I\ dx1 + I:1 g1 (t, x)d 따라 하고

   = id x (1, • • • , k) 라 하면, , 이다· 정의에 따라쓰면 짜 w = (x))ds)d1 이고 P< J.> *w(t, x) = P(L fI(나 (x))d t I\ d1 + L9 J(나 (x))d J) I J = 麟〔 fI(s, ¢(x))ds)d¢1 이다 따라서 cp• Pw = P

   : X -+ y가 미분동형사상이고 = id X : JR X X -+ lR x Y 이 면 <1>· 0 p = p O

   (2) 만일 X = U 가 R 넵 열린 부분집합이고 w = I:1/ J (t,x )dt /\ dx1+ I:J 9J (t, x)d 판이면 Pw(t, x) = 麟〔 fI(s , x)ds)dx1 이다 중하명여 'dlj,J* :( wR) xE Uf2 P一 (J R R X XU )X 이 룰댜 국 (소2) 매에 개의화해라서 하P면'l j,* (ww )E Ef2 nP (pJ-R lX( JRX )x 에U) 이대 므로 P : f2P (JR X X) -t f2P -1(JR X X) 를 P(w) = 'lj,-i.P 'l j,* (w) 로 i m 'ljJ상에서 정의하면 매개화의 공통부분에서 같아져 P 는 전체 RX X 상에서 정의할 수 있다 성질 3 에 의해서 q,• 0 p = p O q,•이 성 립하고 유클리드 공간에서의 유일성이 임의의 다양체상에서 유일성 올보장한다 o (성질 5) 1r : JR x X -t X 를 사영사상이라 하고, a E JR에 대해서 i., : X -t lR X X, i., (x) = (a,x) ，로 정의하면 dPw + Pdw = w -군 i :w 이댜 중명 우선 유클리드 공간에서 w = L fi(t, x)dt A dx1 + L Y1(t, x)dx1 I J 라하면 1r*i :w = L9J( a,x)dxJ J

   이댜 dPw +Pdw 룰 계산하는 것은 좋은 연습문제이다· 이를 이용하 여 임의의 다양체에서 증명할 수 있다. Bott와Tu 책 1. 4 에 자세히 증 명되어 있다 · □ (성질 6) （포앙카레 보조정리) 사상 if : HP(JR X X) -+ HP(X) 와 간 : HP(X) -+ HP(JR X X) 는 서로 역함수 관계에 있다· 중명 X -:!.+ IR x X ..-2... X, x t---+ (a,x) t---+ X 에서 7r O i(l = I 이므 로 템 o 군 = I 이댜 성질 5 에 의해 임의의 w E HP(IRX X) 에 대하 여 dPw+Pdw = w ― 1r# if w 이고, 간챔 w = w 이므로 간if = I 이다 o 따름정 리 4.5.1 만일 p > 0 이 면, k > 0 일 때 HP(JR k ) = 0 이 다· 따라 서 p > O 이면 모든 닫힌 p-형식은 완전형식이다· 중명 만일 p > O 이면 HP(JR k ) ~ HP( JR k크 ) ~ HP( 점) = 0 이다 o (성질 7) 만일 사상 J,g : X --t Y 가 호모토픽하면, j# = g#이댜 중명 H : lRxX --t Y 가 매끄러운 사상으로 H(a,x) = f(x ), H(b,x) = g (x) 라 하자· 그러면 f = H O ia, g = H O ib 이므로 !# = i尸 o H# 이 고 g# = if o H# 이다 성질 6 에 의해 if와 if은 군의 역사상이므로 if = if이댜 따 라서 J# = 간 oH# = g# 이다· □ (성질 8) 만일 X 가 점 {x} 과 호모토픽하면 임의의 p > 0 에 대해

   서 HP(X) = 0 이댜 중명 임의의 함수 {x} ...!_ X ...!...나마에 대하여 f o g와 Ix, g o f와 I{ :r｝가 호모토픽하므로 성질 7 에 의해서 증명이 된댜 o 정리 4.5.2 p = 0,k > 0, HP(SJ ..) = { ;e R p = k = 0, 다른p 이댜 중명 k 에 대한 귀납법으로 증명하자. k = O 일 때 so = {p,q}는 두 점 이다 따라서 H0(s0) = lREBlR 이고 HP(S0) = 0 이다 p > O 일 때 앞에 入1 HP(Sl) = { R0 pp =# O0,, 11 임을 보였다 Sk-1 일 때 정리가 성립한다고 가정하자· Sk 一 {N = 북극점} = u1, sk - {s = 남극점} = U2 라 하자· 그러면 U1,U2 그리 고 Rk 는 미분동형 이고, U1 n u2 는 IR x sk-1 과 미분동형 이다· 보조정리 4.5.3 p > I 에 대해서 HP(U1 u U2) ~ HP-1(u1 n u이 동형 이댜 중명 W E HP(U1UU2) = HP(Sk) 에 대해서 W 룰 닫힌 F 형식이라 하면, U1 은 점과 호모토픽하므로 W 는 U1 에서 완전형식이다 · 따라서 U1 에 서 w = d¢1 라 하자· 같은 방법으로 U2 에서 w = d

   서 (p 一 1) 형식 U = ¢l - ¢2 를 생각하자 U1 n U2 에서 d1 = d2 이 므로 U 는 닫힌 형식이다· 따라서 v E HP-1(u1 n u 이이다· 역으로, {p 1, p카롤 {U1, u2} 에 대한 합상의 단위분할이라 하자. v 를 (p - 1)- 형식으로 HP-1(u1 n U2) 의 원소라 하자 · 그러면 1 = P1V 룰 U1 에서 (p-1) - 형식이고, 2 = P2V 를 U2 에서 (p _ 사형식이라 하자 그러면 U1 n U2 에서 1 —2 = V 이다 U1 U U2 상에서 p-형식 w = { :::,' uu; 라 정의하면, U1nU2 상에서 d1-d2 = dv = 0 이므로 W 는 U1UU2 상 에서 잘 정의된다· 또한 dw = 0 이므로 w E HP(U1 U U 이이다· □ 다시 정리 4.5.2 의 층명으로 돌아가자· 만일 p > 1 이면 HP(U1UU2) = HP(Sk) ~ HP-1(u1nu2) = HP-1(1Rxsk-1) ~ HP(sk-1) 이다. Hl(Sl) = JR이고 스토크스 정리(다음 절 정리 4.6.1) 에 의하여 만일 k > 1 이면 H1(Sk) = 0 이다 그리고 HP(Sk) = HP- i (sk-1) 에 의 해 만일p =2 이면 H2(Sk) = H1(Sk-1) = { : : : : 이고, 다음p =3 이면 H3(Sk) = H2(SE1) = { : : : : 이다 따라서 정리 4.5.2 가 증명된다 o

   4.6 스토크스 (S t okes) 정 리 다양체상의 형식들은 의미분 d 를 취하면 차수가 하나씩 늘어나 고 부분다양체들 사이에 경계 8 는 차원이 하나씩 줄어든다· 이들 사 이의 관계를 적분 1 이 연결해 준다· 미분적분학에서 기본정리, 그린 정리 , 발산정리 동은 이런 관계를 말해주는 간단한 예들이다· 정 리 4.6.1 (스토크스 정 리) 만일 W 가 콤팩트인 유향 k- 차원 다양체 X 상에서의 (k - 1)- 형식이면 lax w =1dw 이댜 증명 등식의 양변은 w 에 대해서 선형이므로 W 가 매개화¢ : u - x의 상 내에서 콤팩트 받침을 갖는다고 가정하자· 여기서 U 는 Rk 혹은 H 녀 열린부분집합이다 우선 만일 U C JR k 이면 ¢(U) n ax = 0 이므로, lx w = O 이고 !x dw = /u ¢*(dw) = /u d¢.w 이다 여기서 *w 는 Rk 에서 (k _ 1)- 형식이므로 k __ 3· ¢,*w = L(-l)i- l fid x 1 I\ • • • I\ d 따 ^ ... I\ d 야 i= l 로 쓸 수 있다· 여기서 d-一x--;- 는 dx; 롤 제거한다는 뜻이다· 따라서 d

   이고, 푸J비IRk니 d¢ (.Fw u b i n= i )E정리를J I R 皇이용하 dx면1 • • • dxk = EJ IRk-I ( J그도 dx1 • • • ;[;i • • • dx, 이다· 그런데 「oc 訖 d 따 = J二 ~(a1, • • • , x;, • • • , ak)dxi = 「-:x: 皇dxi dx i =0 이다 여기서 g(미 = f(a 1,··· ,xi, · · · ,ak. ) 이고 , 마지막 등식은 g,가 콤팩트 받침을 가지고 있기 때문이다 따라서 JR k 따 =Ixdw=0 이다 다L 음dw은 = U LCk JdHiq k 일, •w 때= 위의JR k기-1 호(l 를:,c 사訖 용 d하x k면) d x1 • • • dxk-1 = LR kt--1, -fk(x 1, • • • , Xk-l, O )dx1 • • • dxk-l 이다 여기서 k 는콤팩트 받침을가지므로둘째 동호에서 鉛후항만남 고, i다x 음w 등= 호lan에nk 도¢,* wfk =( xl1a,·w··( -,X1k/--11, Qfk )(인x 1항, • 만• • , 남xk는-1다, ·O )d반x1면 • 에• • d xk-1 8X 8Hk 8Hk 이다 여기서 8 JHi k 에서 댜 = 0 이므로 dxk = 0 이고 ¢,*w = (-1/-1fk (x 1, • • • , Xk-1, O)dx1 • • • d 야 -1

   이다 {e1, ... ,e 사룰 Rk· 의 표준 순서기저라 하면 , {국 , {)IH[ k 의 표준 순서기저} = {e.1 , .. . ,ed 이므l로x 8 w 1 H[=내 서J 방향 (은크 )(k(크 一 ) lk _ l{e- il , h.(..x ,1 e ,k •- •1 •} ,이 Xk댜- 1 , 따O)라dx서1 • • • dx k -1 = ];:감 (x1, ••• , 도 1 , O)dx1 • • • dx H 이댜그러므로 1xw = Ixdw 룰만족한다· □ 연습문제 1. w가 R 내의 콤팩트 영역이고, 경계 aw = 'Y가 매끄러운 곡선일 때, l fdx +gd y = iv ( 틀 -隨 )dxd y 임을보여라 2. W가 R 내의 콤팩트 영역이고, 경계가 매끄러운 곡면일 때 W상 의 매끄러운 벡터i장v (Fd i=v F ()f Ld xf 2 d,y f d 3)z 에 = 대仁하여 ·F dA 임을 보여라 여기서 n 은 8W 의 의향 단위 법벡터 (ou t ward unit nor-mal vecto r ) 이 댜

   3. S 가 恥내의 경계가 있는 콤팩트 유향 2 차원 다양체이고 , F = (h, f냐)가 S 의 근방에서 매끄러운 벡터장이면 ls(curl • n)dA = las fidx 1 + f李 + f3d x 3 임을 보여라 · 4. X 가 경계가 없는 콤팩트 유향 k- 차원 다양체이고 , W 가 X 상의 완전 k- 형식이면 , fxw = 0 임을 보여라· 5. W 는 콤팩트 , X =.aW , f : X -t Y 는 매끄러운 사상, w 는 Y 상의 닫힌 k 형식일 때, f를 W 상으로 확장할 수 있으면 fxf *w = 0 임을 보여라 6. 만일 사상 Jo, Ji : X --+ Y 가 호모토픽하고 X 는 경계가 없는 k- 차원 콤팩트 다양체이면, Y 상의 닫힌 k- 형식 w 에 대하여 JX 底=JX Rw 임을 보여라 · 7.(1) 두 닫힌 p-형식 w 와 w' 가 코호몰로거스 (cohomolo g ous) 란 차 w-w' = d0 가 완전형식 (exac t fo rm) 일 때를 의미한다 . W 와 w’ 가 X 상 에양서체 이코면호 몰로거스p-형식이고,L wZ =가 LX 의'w 콤팩트 유향p-차원 부분다 임을보여라· (2) 자연스런 사상 Jz : H p (X) 一 R

   이 선형사상임을 보여라· (3) 두 콤팩트 유향 p-차원 다양체 Z1, Z2 가 코보단트 (cobordan t)란 콤팩트 유향 (p + 1) －차원 부분다양체 w c x 가 존재하여 aw = Z 리 -Z 려울 의미한J다ZI 이’ 때 JZ(22) :의 H P 두(X사) 상一 R 이 같음을보여라· 4. 7 차수 공식 (Deg r ee Formula) 이 장에서는 스토크스 정리를 이용하여 사상의 차수를 생각한 댜 정리 4.7.1 (차수공식) f : X -+ Y 가 콤팩트이며 연결된 유향 k- 차 원 다양체상에서의 매끄JX러 r운w 사 = 상de이g 고(f) W• J가Y Yw 상 의 k- 형식 일 때, 이댜 차수공식룰 이용하여 다양체의 몇 가지 성질을 알아보고 차수공 식을증명하자· 정리 4.7.2 n 를복소평면 C 상의 영역으로매끄러운경계(곡선)를갖 고복소다항식 p(z ) = zm + a1zm-l + · · · + am

   이 경계 8( i에서 근을 갖지 않는다면, 중복도까지 세서 Q내의 P 의 근 의수는 五1 L 。 d arg p (z ) 이다· 중명 복소수 w = re i 8 의 편각 (ar g umen t)은 arg( w ) = 0 이댜 사실 은 임의의 정수 n 에 대해서 w = reiB = rei( B +2 .. n) 이므로 arg( w ) = 0 + 21rn 이나, 외미분 darg( w ) = d0 은 n 이 어떤 상수이거나 상관없 댜 따라서 때는 C-{O} 에서 정의된다 여기서 dar g는의형으로는완 전 1- 형식이나 ar g가 전체 C 에서 잘 정의되지 않는 함수이므로 완전 1 형 식 (exact 1- fo rm) 이 아니 댜 또 1- 형 식 d argp ( z) = p* d ar g (z) 는 C 에서 p(z ) = 0 인 점을 제외한 곳에서 정의된다. n 내에서 p (z) 의 근 의수는 f(z ) = 卒 = eia rgp ( z) lp( z)I 로 정의된 사상 J : an-s1 의 차수 de g(f)이다· 따라서 1n d argp (z ) = 21r • deg (!) 80 임을보이자· 만일 w = f(z ) = eia rgp ( z) 이면 arg( w ) = ar gp (z) 이고, d argp ( z) = d[/* arg( w )] = /*d arg w 이다따라서 Ian d argp (z ) = Ian j*d arg w = deg (!) fs1 d arg( w )

   이다 s1 의 매개변수화를 (O, 21r) --t S1-{1}, B ._. e;o 라 하면 , dargw = d0 이고 fs1 d arg w = 12 d0 = 2T i s1 Jo 이다 그러므로 디1 dargp ( z) = deg (!) = p (z) 의 Q 내에서의 근의 수 8n 이다 · □ 정리 4.7.3 만일 X = olV 이고 사상 f : X -Y 가 매끄럽게 W 상으 로 확장가능하면 fx f *w = 0 이다 여기서 W 는 Y 상의 k- 형식, X,Y,W 는 콤팩트, k = dim X = d i mY 이다 중명 F:W-+Y I가xf f*의w =확 장la이w 면F* w = lv F*dw = 0 이다 왜냐하면 W 는 k- 차원 다양체 Y 상의 k- 형식이므로 dw = 0 이기 때문이다 o 따름정리 4.7.4 만일 fo, f i : X ---t Y 가 콤팩트안 유향 k- 차원 다양체 상에서의 호모토픽 사상이만 임의의 Y 상의 k- 형식 w 에 대하여 JX 底=JX Rw 이댜 중명 F : I x X -t Y 룰 J o 와 h 의 호모토피라 하자· 그러면 8(1 x X) = X1 - X 。

   이고 Fix, = h , F i x 。 = Jo 이다 정리 4.7 .O 3 에= l의(I해X서X ) (8F).w = JXI fiw - JXo fOw 이다 · □ 보조정리 4.7.5 X 와 Y 는 콤팩트인 유향 k- 차원 다양체이고점 u 는 f : X -+ Y 의 정칙값이면JX u r 의w 근 = 방de Ug (가f) 존JY재 w하 여 이다 여기서 W 는 U 내에 받침 (su pp or t)을 갖는 k- 형식이다· 중명 U 가 f의 정칙값이므로 rl( y)의 각 점에서 f는 국소 미분동형 사상이며 X 가콤팩트이므로 r1( y) = {x1,··. ,XN} 는유한집합이다 따라서 Y 의 근방 U 와 서로소인 마의 근방 Vi 가 존재하여 r1(u) = Vi U • • • U VN 이고 모든 i = 1,· • • ,N 에 대하여 f : V; -+ U 는 미분동 형사상이다 만일 W 가 U 에서 받침을 가지면 f .W 는 r1(u) 에서 받침 을갖는다· 따라서 Jx rw = 홉Jv, f.w 이댜 f : V; -+ U 는 미분동J형v, 사f*상W 이= 므Ci 로Ju W 이다 여기서 Ci = 士 1 로서 만일 f가 방향을 보존하면 +1 이고 그렇지 않으면 크 이 다 따라서 JdXe gr (w!) == die:g! 1(f )e ;J 이Y 고w

   이다 o 차수공식 4.7.1 의 중명 점 y가 f : X --+ Y 의 정칙값이고 U 는 y의 근방으로 정리 4 . 7.5 에서 정의된 것으로 선택하자· 각 점 z E Y 에 대 하여 미분동형사상 ’i : Y --+ Y 가 존재하여 ’i(y) = z 이고 h 가 항등 사상에 동위적(i so t o pi c) 이다· 열린 집합들 {h(U)} 가 Y 를 피복하므로 유한개의 사상 ’21, ... , hn 이 존재하여 Y = h1(U) U • • • U h11(U) 이 된 댜 여 기 서 단위 분할(p ar titi on of unit y) {>-.di = i, • • • , n} 를 사용하 면, W = I:~1 A j W 이고 ).J.IXW 는rw h i =(U )d e에g서 (f ) 받JY침 W을 갖는다 따라서, 에서 양변 모두 w 에 관하여 선형이므로 h(U) 안에서 받침을 갖는 형 식에 대해 차수공식가 성립함을 보이면 충분하다. w 가 h(U) 에서 받 모침토을피 갖 고hL ~ 있 If d*다 w이고 =므 가로L정 h(하h o 자o f ·f~) * 그w f 러=이 면L댜 h따/ **wh라 *는w서 U =따 에 d름서eg정 (받!리) 침1 4을.h7 * .w갖4 에는 다의·해 호 이다 특히 h ~ Id 이므로 deg (h ) = +1 이다 그러므로 JX h*w = JYw 이고 JX f.w = deg (f) JY w 이댜 o

   연습문제 1. R2 - {0} 에서 1- 형식 dar g는 -y . . X ―규+y 2 dx+ ―규+―y견 .d y 임을 보여 라 (힌트: 0 = tan -1(y/ x )) 2. JRk 상 의 콤팩트 받침 (com p ac t sur pp or t)을 갖는 k - 형식 W 가 콤팩 트 받침을 갖는 (k-1) －형식의 의미분일 필요충분조건은 fJRk W = 0 임 울보여라· 3. X 는 콤팩트인 유향 k- 차원 다양체이다 선형사상 fx : Hk(X) -+ R 이 동형임을보여라· 4. f : X -+ Y 가 콤팩트 유향 k- 차원 다양체상의 매끄러운 사상 이다 다음 사각형이 교환임을 보이시오 · Hk(Y) _S Hk(X) J」 )fx R ) R deg /. 5.(1) Sk 상에 fskW =I 0 인 k- 형식 다룰 구성하여라 (2) Sk 상의 폐 k- 형식 W 가 완전형식일 필요충분조건은 f5kw = 0 임을 보여라 (3) fsk : Hk( 안) - R이 동형임을 보여라

   4.8 가우스_보네 (Gauss-Bonne t) 정리 X 는 Rn 내에 있는 콤팩트인 유향 k- 차원 다양체이다 각 점 X E X 에 대해서 vx(x) 를 T: z: X 의 부피원소라 하자. T: i: X 의 방향을 갖 는 정규직교기저에 대해 vx(x) 는 1/k! 값을 갖고 vx 는 X 상에 k- 형식 이 된다 이때 vx 를 X 의 부피형식 (volume fo rm) 이라 한다 R/..에 서 부피형식은 dx1 I\ • • • /\ dxk 이댜 적분 fx vx 룰 X의 부피 (volume) 라 한다 만일 g : Y - IR 가 실함수이면 g v y는 Y 상에서 k- 형식이므로 9 의 Y 상의 적분을 fygv y = fyg로 정의한다 미분동형사상 J : X - Y 가 fx f*g = fy g임을 보장해 주지 못한 다 이것은 f의 비틀어짐 (d i s t or ti on) 때문이다 부피형식을 사용하여 서이 룰vx (극x)복 는해 샤보 (자T·: z: X )당* 김의 f기 .저VY 이는므 X로 상 의(f* vky- 형) (x식)이 =다 -·A ( x각)v x점(x )X 이 E다 X 에여 기서 -A (x) E JR이고, 이 스칼라 -A (x) 三 J 1(x) 를 X 에서 f의 자코비 안(J acob i an) 이 라 한다· (주의 ) 만일 v1 , • • • , Vk E TxX 이 면 vx(x)(v1, • • • ,vk) = 갑(士 1) • [T:,:X 에서 V1, • • • ,Vk 에 의해 만들어진 평형면체의 부피] 이고, (f*v y ) (x)(v1, • • • , vk) = 검(士 1) • (Ti (:z: )Y 에서 라:z: (v i), .. • , df :z:（미 에 의해 만들어진 평형면체의 부피] 이댜 따라서 자코비안 J 1(x) 는 도함수 df :z:의 확장 또는 축소의 양 을 나타내고 부호는 df :z:의 방향 보존 여부에 달려 있다· 다시 말하면 Jf는 f에 따라 부피의 순간변화와 방향을 나타낸다·

   X 를 유클리드 공간 Rk+1 내에 있는 k- 차원인 콤팩트 초공간 (h yp er­ surfa c e) 이 라 하자 Jo rdan-Brouwer 분리 정 리 혹은 직 관적 으로 X 는 Rk+1 에서 X 내부를 포함한 (k+l) －차원 다양체의 경계이다 각 점 X E X 에서 외향 단위 법벡터 n(x) 가 있고 X 의 방향이 정해진다 g(x ) = n(x) 라 정의된 사상 g : x - sk를 X 의 가우스 사상 (Gauss ma p)이 라 하고 자코비안 Jg( x) 三 K- (x) 를 X 에서 X 의 곡률 (curva t ure) 이라 한 댜 예를 들면 반지름이 뎃 l k- 차원 구 Sk 의 곡률은 K-( x) = 1/rk 이고 Rk 에서 곡률은 K-( x) = 0 이다 정리 4.8.1 (가우스-보네 정리) X 가 Rk+1 내의 콤팩트인 짝수 (k)- 차 원 초공간일 때 LK, = ~'Yk X(X) 이댜 여기서 x(X) 는 X의 오일러 지표이고'Y k 는 k- 차원 단위구앞의 부피이댜 중명 차f수x 공K =식 J4X. 7J.g1v 을 x 가= 우JX스 g .V사 sk상 = g d :e xg ( g-) J s안k 에따 이=용 d하eg자 (g·) ,k 이댜 따라서 deg (g) = ½x(X) 임을 층명하자· 사드정리에 의해서 a, -a E sk 가 g의 정칙값으로 존재한댜 X 상의 벡터장 v : X --+ TX 에 대하여, v(x) = 벡터 (－이룰 TxX 에 사영한 값 = (-a) - ((-a) • n(x)]n(x) = [a • n(x)]n(x) -a = [a • g(x )]g( x ) -a 로 주어진댜 그러면, v(z) = 0 일 필요충분조건은 g(z ) = 士 a 이댜 士 a 가 9 의 정칙값이고 X 가 콤팩트이므로, V 는 유한개의 근을 갖는

   다 평행이동 T : Rk+1 一 惡k+ l, T(x) = x - a 에 대하여 벡터장 v : X 一 Rk+1 는 v 三 T o [a o g)g 이 다 보조정리 4.8.2 만일 g(x ) = a 이면 dvz = dT0 o d g.이고, 만일 g(x ) = _a 이면 dvz = _dTa o d9z 이다 중명 사상 f : X 一 Rk+1 를 f( x) = [a • g (x)] g (x) 라 하면, df. : TzX --+ Rk+1 이고 w E T.X 에 대하여 df. ( w) = [a · g( z)]dg .( w ) + [a • dg .( w)]g (z ) 이다 v = T o f이고 g(x ) • g(x ) = 1 이므로 g(z ) • dg .( w) = 0 이다 따 라서, dvz(w) = dTf (z ) o dL(w) = { d-TdaT 0o dog d zg ( zw ()w, ), gg(( zz)) == a- a 이댜 D 따름정리 4.8.3 v(z) = 0 일 때, u : x - sk 가 z 에서 방향을 보존하 면 ind z{ v) = +1 이고 9 가 z 에서 방향을 바꾸면 ind z{v) = -1 이다· 중명 v(z) = 0 일 필요충분조건은 g(z ) = 士 a 이다. v(x) = [a·g ( x )]g ( x)- a 이므로 d 따 = 士 dg z : TzX -+ TzX = Task 이고 士 a 가 9 의 정칙값이므로 d g z 는 동형이다· 만일 g(z ) = a 일 때 d 따 = dg z 가 방향을 보존하면 i ndz( 입) = +1 이고 방향을 바꾸면 ind z{v) = -1 이다 만일 g(z ) = -a 이면 d 따 = -dgz : TzX -+ T-a 향 = Ta 안 = TxX 가 동형 이고 det( d vz) = det( -dgz ) = (-ll det( d g z) = det( d g z)

   이다 왜냐하면 k 가 짝수이기 때문이다 따라서 만일 dvz 가 방향을 보 존하면 ind z (v ) = +1 이고 , 방향을 바꾸면 ind z(v) = -1 이다 · □ 계속해서 정리 4.8.1 을 증명하자 · 포앙카레-호프 정리 3 .4 .1 에 의 하여 ind (v) = I: ind ,(v) = x(X) v(z )=O 이다 v(z) = 0 일 필요충분조건은 g(z ) = 士 a 이며, g(z ) = a 이면 l(g, a ) = de g(g)이고 g(z ) = ― a 이면 I(g, - a) = de g(g)이다 따라서 ind (v) = x(X) = 2de g(g)이므로 가우스 - 보네 정리 4.8.1 의 증명이 완성되었다· □ (주의) 따름정 리 4.8 . 3 에서 만일 k 가 홀수이면 g(z ) = -a 일 때 det( d vz) =바 꾸-d면e t i(ndd gz z () v이) 다= +d1 g z이 가 된방댜향 을따 보라존서 하l면(g , i —nad )z ( v=) 一= d-e1g 이(g고),이 고방 향X을의 오일러 지표 x(X) = 0 이다 그러나 x(X) 와 de g(g)의 관계를 주지 못 한댜 따름정리 4.8.4 만일 짝수 (k)- 차원 다양체 X 가 Rk+1 의 초공간이면 X 의 오일러 지표 x(X) = 2 • de g(g)이댜 여기서 g : x - sk 은 가우 스사상이다· □

   연습문제 1. s 가 恥나의 방향을 갖는 곡면이고 n = (n1,n2 , r 이가 S 의 단위 법 벡터일 때 n1dx2 I\ dx3 + n2dx3 I\ dx1 + n3dx1 I\ dx2 가 부피형식임을 보여라 · 특히 s2 상에서 x1dx2 I\ dx3 + x2dx3 I\ dx1 + x3d 이 I\ dx2 는부피형식이다 · 2. A : ]Rn -+ lR 겨 회 전(직 교선형사상) 일 때 sn-1 상에 제 한한 사 상은 부피형식을 부피형식으로 보냄을 보여라 · 3. ]Rn 내에 반지름이 T 인 (n —l) - 차원 구의 곡률은 모든 곳에서 1/r- l 임 을 보여 라· 4. 쌍곡면 규+y 2-z2 = 1 상의 점 (1 , 0,0) 에서 곡률이 _l 임을 보여라· 5. T1,··· ,Tn 은 R3 내에 있는 삼각형이다. S = T1 U ••• UTk 이 다 면곡면(p ol y hedral sur fa ce) 일 때, 죽 (1) T; 의 각 변은 단 하나의 다른 Ti 의 변이고, (2) 어느 두 삼각형도 한 변 이상의 변을 공유하지 않고, (3) 각 꼭지점에서 삼각형의 대변의 합집합이 연결되어 있을 때, 각꼭지점 V 에 대해서 1t(v ) = 21r - (v 를 꼭지 점 으로 하는 삼각형 의 꼭지 각의 합)

   이라하면 L ~(v) = 271 • x(S) V 임을보여라 여기서 x(S) = （꼭지점의 개수)-(변의 개수)+（삼각형의 개수)는 S 의 오일러 지표이다 ·

   

   제 5 장 조합위상수학 (Combin ato ria l Top o log y) 이 장에 서 는 위 상공간을 조합적 으로 기 본군(fu ndamen t al gro up ) , 호몰로지 (homolog y), 코호몰로지 (cohomolo gy)를 계산하고, 그 응용 으로 드람정리를 소개하고자 한다· 이러한 공간은 심플렉스 (s i m p lex) 라고 불리는 기본적인 위상적 단위에서 얻어진 것이다· 예를 들면, 0 차 심플렉스는 점, 1 차 심플렉스는 선분, 2 차 심플렉스는 삼각형, 3 차 심플렉스는 사면체이다· 이 장은 심플렉스로부터 형성된 공간들 과 위상동형 (homeomor pi c) 인 공간을 다룰 것이다 충분히 작은 심플렉스들로 삼각형분할(t r i an g ula ti on) 된 두 개의 공간이 주어졌을 때, 한 공간으로부터 다른 공간으로의 어떤 연속사 상도 각 심플렉스 위에서 선형인 한사상에 의해서 근사 (a pp rox i ma­ ti on) 될 수 있다는 것을보일 것이다· 더욱이 이 근사되는사상은 처음 의 것 과 같은 호모토피 류 (homo t o py class) 내 에 있어 서 , 사상들의 복 잡한 위상적 문제들을 보다 용이한 구분적 선형(pi ecew i se li near) 사 상들과 공간의 대수적인 문제로 바꾸어 생각할 수 있다·

   5.1 단체적 복체 (Si m p licial Comp l ex) 실수체 R 상의 벡터공간을 V 라하고 V 의 부분집합을 C 라할 때, 단위 구간 I = [O, 1] 내의 모든 t에 대 해서 c1, c2 E C => tc1 + (1 - t)c 2 E C 을 만족하면 , C 룰 볼록집합 (convex se t)이라고 한다· 벡터공간 V 내의 벡터들의 집합 {vo, ••• ,vk} 가 주어졌을 때, 집 합 {Vl - VO, V2 - VO, • • • , Vk - VO} 가 일차독립(li nearl y ind ep e ndent) 이면 집합 {vo,··· ,v 냐롤 볼록-독립 (convex- i nde p enden t) 또는 C- 독 립 (c-in d ep e ndent) 이 라고 한다· 정리 5.1. 1 {VQ , VJ ,··· ,V 냐롤 c- 독립이라고하고 {vo,VI, ••• 'Vk} 에 의 해서 생성된 볼록집합을 C 라 할 때, （죽 C 는 {VQ , ••• 'Vk} 를 포함하 는 가장 작은 볼록집합이다.) C 는 다음과 같은 형태의 벡터들로 구 성된댜 k k La;v; , a; 츠 0 Vi, La; = l. i= l i= l 더욱이, C 내의 각 벡터는 이런 형태로 유일하게 표현할 수 있다· 중명 우선 볼록집 합 (convex se t)들의 교집 합은 볼록집 합이 라는 사실 로부터 집합 C 는 존재한다· 죽 집합 C 는 {vo,·•• ,v 냐롤 포함하는 모 든 볼록집합들의 교집합이다· 집합 C1 을 다음과 같이 놓자· C1 = {vlv = Lk 야야, ai ~ 0, Ik: a; = 1} i= O i= O C1 내의 두 벡터가 v = I:t= oa;v; 와 w = I: 7=ob 마이면, tv + (l -t )w = 곱k[ t a; + (1 -t )b ;]v;

   이고, Lk [ta; + (1 - t)시 = t Lk a; + (1 - t) Lk b; = t + (1 - t) = 1 1=0 i= O i= O 이므로 C1 은 볼록집합이다 · 그러므로 C1 :::> C 이다· 그 역을 보이기 위해서 귀납법을 이용하자· 우선 , 한 개를 제외 한 모든 ai7 } 0 일 때마다 I: a 따는 C 의 원소이다 · 다음으로 최대로 n(n < k + 1) 개의 a i가 0 이 아닐 때 I: a 따는 C 의 원소라고 가정하 고 벡터 I: 7= oa 따 는 (n + 1) 개의 a i가 0 이 아니라고 할 때, 그것들을 ao, a1 ,· ·· ,a rt 이라 하고 그 밖의 a i는 0 이라고 가정할 수 있다· 그러 면, k n-1 ~i= Oa 따 = (1-an)i=L O 근-― an V i +anVn 이 성립한다 · 로i= O 1 -\n = 1 -1 ai=: O a, = 六 {1 -an) = 1 이므로 귀납법 가정에 의해서 E 걸 (근디 야는 C 의 원소이다 C 가 볼록집합이므로 , 임의의 t에 대해서, t Lni=- O1 ~1-Van i + (1 一 t)v n E C 임을 알 수 있댜 그러므로, t = 1-% 이라 놓으면 E~=Oa i야 E C 이 댜 죽 C1 C C 이다 따라서 C1 = C 이다 이 표현의 일의성 (un iq ueness) 을 보이기 위해서 v = 홀k 마드 홉k bIVI (I Ek a1 = Ek b, = 1)

   이라고 가정하자· 그러면, o = Ik: (ai 玉 )v i i= O = :(al -b,)v 1 _ (홉걸 b,) Vo = I:(a, 玉 )(v i - vo) i= O 이다 {V1-VO,··· ,Vk -VO} 가 일차독립이므로 모든 i > 0 에 대해서 ai - bi = 0 이 고 ao = bo 이 다· □ R1 상의 벡터공간을 V 라할때 ,c- 독립인 벡터 {vo,v1,·· · ,vk} 에 의 해서 생성된 볼록집합은 폐 k- 심플렉스 (closed k-s i m p lex) 라고 하고, [vo,v1,··· ,vk] 라고 표기한다 이때, k 는 그 심플렉스의 차원 (d i men­ s i on) 이라 한다 만약, v E [vo,· ·· ,vk] 이라 면, ai 츠 0 이고 E:at = 1 인 V = E a i v i의 계수 (이룰 V 의 무게중심좌표 (bar y cen t r i c coordi- na t e) 라고 한다 (예) {vo,v1} C lR1 일 때, 심플렉스 [vo,v1] 은 폐구간 [vo,v1] 이다 . {vo,v1, 따 C ]R 2 일 때, [vo 고 1,v2] 는 vo,v1 고 2 가 정점 (ver t ex) 인 삼각형이고, 이 삼각형의 무게중심 (cen t ro i d) 은 무게중심좌표 (ba ry cen ti rc coordi- na t e) 가 (i, }, })인 점이댜 V = lRn 일 때, 심플렉스 [vo,V1, • • • ,Vk] 는 콤팩트인 거리공간 (me t r i cs p ace) 이다 사실 무게중심좌표 (ba ry cen t r i c coord i na t e) 룰 사용하면 [vo,v1, • • • ,v k]가 k 개의 단위구간의 곱 (pro - duc t)과 위상동형 (homeomor p h i c) 임을 보이는 것은 어렵지 않다 그 러 나 이 위 상동형사상 (homeomor p h i sm) 은 등장사상(i some try)은 아 니댜

   {VO,V1, • • • ,Vk. } 를 c- 독립집합이라 할 때, 집합 {v E [vo , v1 , • • • , vk] : a; (v) > O i = O, l, · • • , k} 를 열 린 심 플 렉 스 (o p en sim p le x) 라 하고 (vo, v1 , ••• ' vk) 또는 (s) 로 표 기한다 이때 폐심플렉스 (closed s i m p lex) 는 [s] 라고 표기한다· [s] = [vo,v1, ••• ，미를 폐심플렉스라 할 때, [s] 의 정점 (ver t ex) 들 은 VQ, VI, • • • , Vk 이고 [s] 의 폐면 (closed fa ce) 은 폐심플렉스 [vj0 ,VJ i, • • • 'V j h] 들이다 이 때, {jo,J L ••• , J}｝는 {O, 1, • • • , k} 의 공집합이 아닌 부 분집합이다 [s] 의 열린 면 (o p en fa ce) 은 열린 심플렉스 (ujo ,vjl ’ ••• '%) 이댜 (주의) (1) 정 점 (ver t ex) 은 0 차원 폐면 (closed fa ce) 이 며 열린 면 (o pen face) 이 댜 (2) 열린 심플렉스 (s) 는 폐심플렉스 [s] 의 열린 집합이고 그것의 폐 포 (closure) 는 [s] 이 다 (3) 폐심플렉스 [s] 는 그것의 열린 면 (o p en face) 들의 합집합이다· (4) 심플렉스의 다른 열린 면들은 서로소 (d i s j o i n t)인 집합이다· (5) 열린 심플렉스 (s) 는 폐심플렉스 [s] 의 내부(i n t er i or) 이다· 죽 (s) = [s] - (s 의 고유 열린 면(p ro p er op e n fa ce) ）이댜 단체적 복체 (s i m pli c i al comp le x) K 는 Rn 내의 열린 심플렉스의 유 한집합으로 다음의 성질을 만족하는 것이다 · (l) (s) E K 이면, [s] 의 모든 열린 면은 K 에 속한다 (2) (s1), (s2) E K 이고 (s1) n (s2 남 0 이면 (s1) = (s 이이댜 K 가 단체적 복체일 때, [K] = LJ (•)EK(s) 라 하자 그러면 [K] 는 콤 팩트이고 [K] = U1s]EK(s) = u(.)EK[s] 이다 단체적 복체 K 의 부분복체 (subcom p lex) L 은 (s) E L 이면 (s) E

   K |� ̹q�XՔ��

   ���t�� K � 貴�� ����t�� r ~ d i mK |� L�, K r={(s) E K : dim(s) ~ r} D� K X� T- 謩� (skele t on) t�|�� \�� (��
   X�) r- 謩� Kr @ K� X ��� ������t� .� 5�2�4���� ��`� (Bar y centric Subdivision) V E IR%] � A c e` n t�|� XՐ� . v ~ A t�� ��X�X� �\� �x� P� �ƌ� a1, a2 E A �� �t�� [v,a1] n [v,a �� = {v} |� ̹q�X�t� (v,A) �� |���x� �X�(g eneral p os iti on) �� ���� \�䲷 (v,A) |� |���x� �
   X��� ���� XՐǷ �� V @� ��i� A \���0� �� ���ɔ� �Ɣ�� (con e) @� v *A = UaeA[v,A] \� �X���� ��i�t�䲷 Ȭ� 5.2.1 [s] = [vo,v1, .. " ,vk] �� k- ������t�� v E (s) |�� X ՐǷ ���t�, (v, [sk-1]) �� |���x� �X��� ��<�p � v * [sk-l] = [s] t�䲷 Ʌ� a1,a2 � E s -l[k] t�� V� j W -� xwn [v�,,a E[v,1a] �� � tȬ�\� �� ��XՐǷ ���t� a1 = a2 � (�,� ���|�̹ \��. [s ] �� �� ��� ��\�X� ���\� a1,a2 @� V |� \���X�t�, k k k 1 a= Lalii, va2 = I:

   같은 방법으로, w E [v,a 키이므로 어떤 t2 E I 에 대하여 w = E~=o[ t述 + (1 _ t 2)a2llv1 이고 무게중심좌표 표현의 유일성에 의해 서, t1{ 3 i + (1 -t 1 )01; = t述 + (1 - t2) 02; (i = 0, 1, • • • , k) 이다 그러므로, t1 - t2 = (志) [(l - t2) 02; - (1 - t1) 01;) 이댜 i = i 1 이면 t1 - t2 = （志) (1 -t 2) 02i1 츠 ° 이고, i = i 2 이면 t1 - t2 = （국) (1 -t 1 )01 i2 ~ 0 이댜 그러므로 t1 - t2 = 0, 즉 t1 = t 2 이고, 모든 i에 대해서 (1 -t 1) 01; = (1 -t 1) 02; 이다 W f V 이므로 t1 f 1 이고, 모든 i에 대해서 ali = a2 i 이다· 따라 서 a1 = a2 이다 [s] 가 볼록집 합이 므로 V* [sk- l] C [s] 이 다 역 으로 [s] C v * [sk-l] 임 울보이자 만약 w E [sk-l] 이면 W E V*[sk-l] 이다 그러므로 w E (s) 라 가정하자 그러면 W f V 이라고 가정할 수 있다 무게중심좌표 내에 서, W 와 V 는 w = Ik: o;v; , v = zk :邸 (Vi ,O i ,/3; > 0) i= O i= O

   로나타낸댜 드k (ai _ /3i) = Ek 0i _ Ek /3; = 1 - 1 = 0 i=O i=O i=O 이고, a; _{3i 수 0 인 i가 존재하므로, aj _{3j < 0 를 만족하는 j에 대해 서, fj(t) = {3j+t (a j_{3J)라고 하자. fi(l) > 0 이고 충분히 큰 t에 대해 서 fj(t) < 0 이므로 1 보다 큰 tj가 존재해서 {3) + tj(a j _ {3j) = 0 을 만 족한댜 이런 모든 j에 대해서 tIo 드 tj을 만족하는 i o 를 선택하자· 그 러면 %+t;。 (a;o_ {3i。) = 0 이고, 모든 i에 대해서 {31 +t m (a;_{ 3;) 츠 0 이 댜 그러므w 로= V—t1; o+ x t+,。, ( t—w;0 t --;o v 1) v= = x t'Ex [+sk (-lI] - 이t 고')v ,또 한t,' = —t1io < l 이댜 따라서 W E V * [sk-l] 이댜 o k- 심플렉스 S 의 무게중심 (ba ry cen t er) 은 무게중심좌표 (급 1' ••• ) 士)인 (s) 내의 점으로 b(s) 라고 표기한댜 죽 만약 (s) = (vo,v1,··· ,vk) 이면, b(s)= 言1 드k야 i= O 이다 단체적 복체 K의 분할 (subd i v i s i on) 은 다음을 만족하는 단체적 복 체 K+ 이다· (1) [K 가 = [K) (2) s E K+ 이면 (s) 는 K의 임의의 열린 심플렉스 (o pen sim ple x) 내 에 포함된다·

   정리 5.2.2 k- 심플렉스 s 와 sk-1 의 분할 K+ 에 대해서 v E (s) 이면 (v, [K 가)는 일반적 위치에 있다 V*[K 기는 K = K+u(Us+EK+(s+,v))u (v) 로 정의된 단체적 복체 k의 점들의 집합이다· 여기에서 (s+) = (vo,v1, • • • ,vr) E K+ 에 대해서, (s+,v) = (vo,v1,··· ,vr,v) 이고 단체적 복체 K 는 s 의 분할이다 중명 [K 가 = [sk-1] 이므로 정리 5.2.1 로부터 (v, [K 기)는 일반적인 위 치에 있으며, V * [K 가 = [s] 임을 알 수 있으므로 K 가 단체적 복체임 울보이면충분하다 · k 는 열린 심플렉스의 집합이고 k 내에 (v) 와 같지 않은 각 심 플렉스는 K+ 내에 있거나 (s+,V) 의 형태이댜 만약, K+ 내에 있다 면 그것의 모든 열린 면 (o p en fa ce) 은 K+ 내에 있으므로 K 내에 있 댜 만약 (s+,V) 의 형태이면 그것의 열린 면들은 s+ 와 (v) 와 {(s t ,v) : s t는 s+ 의 열린 면}들이댜 그러므로 각 경우처람 K 내의 모든 열린 면들은 단체적 복체에 대한 조건 (1) 을 만족한다· 단체적 복체에 대한조건 (2) 를 보이기 위해서, 서로 다른 열린 심 플렉스들이 서로소인 집합임을보여야한다· 이것은 K+ 가단체적 복 체이므로 K+ 내에 각 심플렉스들의 쌍에 의해서 분명히 보여진댜 모든 st E K+ 에 대해서 (sj ,v ) C (s) 이기 때문에, 만약 st E K+ 이 면 (st) n (st ,v ) = 0 이댜 그러므로 (v) 는 K 의 다른 열린 심플렉스 와 서로소이댜 그래서 (st ,v ) n (st ,v ) f 0 인 st, st E K 가 존재한 다고 가정하고 w E (st ,v ) n (4,v) 라고 하자· 이것은 열린 심플렉스 이므로 W f V 이다 그러면 w E [v,x] 을 만족하는 유일한 X E [sk-lj = [K 기가 존재한댜 [st ,v ] = v * [s j]이므로 x E (s t)이다 같은 방법으 로 x E (4 ）이댜 그러므로 (st) n (st) i: 0 이고 K+ 단체적 복체이므 로 st = 4 이며 (st ,v ) = (4,v) 이댜 따라서, k 는 단체적 복체이댜

   k의 점집합([pk ol i n= t LseJ t[)s ]은 = u V * [s 가 = V * [K 가 = [s] 5Ek s+eK+ 이다 K 의 각 열린 심플렉스는 s 의 열린 심플렉스 내에 포함되기 때 문에 k 는 S 의 분할이다 o 단체적 복체 K 상에 반순서(p ar ti al order) s1 ~ s2 가 정의될 필 요충분조건은 s1 이 s2 의 면{fa ce) 인 것이다. s1 < s2 는 s1 ~ s2 이고 s1 f s2 임을 의미한다· 정리 5.2.3 K 를 단체적 복체라 하고 K(l) = {(b(so), b(s1), • • • , b(sk) ) : so < s1 < · · · < sk, so, s1, • • • , sk E K} 라 하면, K (l)은 K 의 분할이댜 SO < S1 < ••• < Sk 을 만족하는 각 so, s1, • • • , Sr E K 에 대해서 , (b(so), b(s1), • • • , b(sr)) C (sr) 이 댜 분할 K(l) 은 K 의 첫번째 무게중심 분할(fi rs t baryc entr i c subdi- v i s i on) 이라 불리며 K(n) = (((K(l))

   에 대해서 SQ < S1 < .• , < Sr 이 고 dim sr ~ n ― 1 이면 {b(so), b(s1 ) , • • • , b( s r)} 은 C- 독립이고 (Kn- 1) (1) 내에 열린 심플렉스 (b(so),b ( s1), · · · , b(sr) ) 이 며 , (b(so), b (s1), • • • , b(sr)) C (sr) 이댜 so, s1, · · · ,Sr E K (so < s1 < ... < Sr) 이고 d i msr = n 이라가정하 자• Sr-1 < Sr 이므로 d i ms 리 ~ n —1 이 댜 그러므로 (b(so ) ,b(s1), • • • , b(s 타)）은 S r 의 면(fa ce) 인 (sr-1) 에 포함되는 심플렉스이다 · 정리 5 . 2.1 에 의해서 , b(sr ) E ( s r) 이므로 (b(sr),(b(so ),··· ,b(sr-1))) 은 일반적인 위 치에 있다· 그러므로 (b(so),b(s1), ••• , b(sr) ）은 폐심플렉스 [b(so ) , b(si ) , · • · , b(sr)] = b(sr) * [b(so), • • • , b(sr-1)] C [sr] 의 내부(i n t er i or) 인 열린 심플렉스이므로 (b(so), b(s1), • • • , b(sr)) C (sr) 이댜 실제로, K (l)은 열린 심플렉스의 모임이며 또한 단체적 복체이다 그러므로 조건 (1) 이 만족되는 것은 자명하다· 죽 (b(so). • • • ,b(sr)) 의 각 면은 (b(s j 。), ... , b(s 나)의 형태이며 K(l) 내에 있다 조건 (2) 롤 보 이 기 위 해 서 so < ... < Sr, SO < ... < 可이 고 (b(so), • • • , b(sr)) n (b(so), • • • , b(s, i)) # 0 이라고 가정하고, W 는 그 교집합의 원소라고 하자· 그러면 w E (sr)n (可)이다 K 가 단체적 복체이므로 Sr = 可이고 b(sr) = b( 可)이댜 더 욱이 (sr) 의 면(fa ce) 인 (sr-1) 와 (可=)에 대해서 (b(so),··· ,b( sr-1)) C (sr-1) 이고 (b(so),··· ,b( 可司) C (可司

   이댜 그러므로 (b(so), • • • , b(sr -,- 1)) 과 (b(sc i), • • • , b( 可言))은 S~l) 의 원 소이다 w E (b(so), • • • , b(sr-1), b(sr)) n (b(sc i), • • • , b( 喜), b(sr)) C b(sr) * (b(so), • • • , b(sr-d) n b(sr) * (b(so), • • • , b(s; :i)) 이므로 정리 5.2.2 와 귀납법 가정 (b(so), • • • , b(sr-1)) = (b(sc i), .. • , b( 喜)) 에 의해서 증명된다 · K(l) 이 단체적복체임을 보였으므로 [K( ll] = [K] 임을 보이면 증명 이 완성된댜 [K( ll] c [K] 은 자명하고 귀납법 가정에 의하여 [K( ll] :J [(Kn- 1) (1)] = [Kn-1] 이다 그러므로 [K(l)] : J [K] -[ K 어 임을 보여야 한다 w E [K] 一 [Kn-1] 이라고 가정하자· 그러면, W 는 n 차원의 열린 심플렉스 내에 속해야 한다· 그러므로 w E (s) C [s] = b(s) * [sn-l] 이댜 [sn-1] C [Kn-1] = [(Kn-1 t)］이므로, 임의의 (s1) = (b(so), • • • , b(sk)) E (Kn-lt ) 가 존재해서 w E b(s) * (s1) 을 만족한다 w E b(s) 이면 W 는 K(l) 내의 정점이고 w -:/= b(s) 이면 w E (b(so), • • • , b(sk), b(s)) C [K<1l] 이다 D

   (S , p)는 거리공간 (mer i c s p ace) 이고 T 는 S 의 콤팩트인 부분집합 일메

   로 정의되어진 볼록함수 (convex fun cti on ) J는 (v1,V 이에서 P 의 최대 성 (max i mal ity)에 모순이므로 최대값을 갖지 않는다 보조정리의 두 번째 문장은 meshK 의 정의로부터 자명하댜 o 정리 5.2.5 K 가 m . －차 단체적 복체이면 meshK(l) <- —mm+—. l meshK 이다· 특히 , lim n_°meshK(n) = 0 이댜 중명 보조정리 5.2 .4에 의하면 Sk < Sh 인 meshK(l) = p (b(s k) ,b(s 사)를 만족하는 심플렉스 (b(so), b(s 니, .•• ,b( sr)) E J( (l) 이 존재한댜 여기 에서 정점들을 재배열하면 Sk = (vo, • • • , vp ) sh = (vo, • • • , vp, Vp+ 1, • • • , vq ) 이고 meshK(l) = llb(sk) -b (sh)II = p+l l ~P V i_土 Eq v J 1=0 j= O 一 q +1 1 ;q+ 言l LP Vj - L9 Vj i= O i=O _ 言1 Eq (p+1 lLP v;-vi) i= O i= O 1 1 q P = p + l q + l ~j= O ~i= O( vi - vi) 1 1 q P < 言言 EEl|v t라 |I i=O i= O

   이다 · 그러나 ||V; - V 』| ~ dia m [sh] ~ meshK 이다· 더욱이 i = j이면 총합 (summa ti on) 의 (i , j)번째 항은 0 이고 이런 항은 (p + 1) 개이다 0 이 아닌 항의 수는 (p + 1)(q + 1) - (p + 1) = (p + 1)q 이다 총합 내의 각 항은 meshK 보다 작고, q ~ m 이므로 meshK(I) ~ 그q+ ―l meshK -~ m-2+느l meshK 이다 o 5.3 단체근사 (S i m plici al A pp rox i ma ti on) 의 정리 K 와 L 이 단체적 복체일 때 , 사상 cp : [K] -t [L] 이 다음을 만족 하면 cp를 단체사상 (s i m pli c i al map ping ) 이 라고 한다· (1) V 가 K 의 정점이면, cp (V) 는 L 의 정점이댜 (2) (vo, v1, • • • , vk) 가 K 의 심플렉스이만 정 점 cp( vo), cp (v 니, • • • , cp( vk) 는 모두 L 의 폐심플렉스 내에 놓여 있다 · (3) (s) = (vo,v1,··· ,vk) E K 이고 P = I: 7= oa 따 E (s) 이면 p의 상(i ma g e) 은

   정점의 집합이어야 함을 의미하며, 조건 (3) 은 사상'{)가 각 심플렉스 위에서 선형이어야 함을 의미한다· 단체사상은 [K] 와 [L] 에 의존하는 것이 아니라 K 와 L 에 의존하 므로 r.p : K - L 로 표기 할 것 이 댜 조건 (3) 에 의하면 단체사상 (s i m p li c i al ma p)은 정점에 의해서 결 정이 되며 역으로 K의 정점으로부터 L 의 정점으로의 사상 Ko -+ Lo 가 단체사상 K -+ L 으로 확장될 필요충분조건은 조건 (2) 가 만족 하는 것이다 · 단체적 복체 K의 정점 V 에 대해서 , St( v ) = LJ (s) vE(s) (s)EK 룰 0 의 스타 (s t ar) 라 한다 · 정리 5.3.1 단체적 복체 K 의 정점 V 에 대해서 , S t (v) 는 v 롤 포함하 는 [K] 내의 열린 집합이고 V 는 St (v ) 내에 있는 K 의 유일한 정점이 댜 {S t {v)}veKo 는 [K] 의 열린 피복 (o p en cover i n g)이댜 중명 S t (v) 의 여집합 St( v )' = LJ (s) vr/. (a ] 이 [K] 내에 폐집합 (closed se t)임을 보이자 . V

   마지막으로 p E [K] 이면, (s) E K 가 존재해서 p E (s) 이므로 u t, EK 。 S t (v) = [K] 이고, 따라서 (s) 의 임의의 정점 V 에 대해서 p E S t (v) 이다 o 단체적 복체 K 와 L 에 대해서, f : [K] -+ [L] 를 연속사상이라고 하자· 단체사상 cp : K -+ L 이 K 의 각 정점 V 에 대해서 J(S t (v )) c S t(cp (v)) 를 만족하면 f의 단체근사 (s i m pli c i al a pp rox i ma ti on) 라고 한 다 정리 5.3.2 cp : K -+ L 이 f : [K] -+ [L] 의 단체근사라고 하면 임의 의 p E [K] 에 대해서 f(p)와 cp(p)는 [L] 의 공통된 폐심플렉스 내에 있 댜 중명 p E [K] 라면 심플렉스 (s) = (vo, v1 , ··· ,vr) E K 가 존재해서 pE (s) 이고 모든j E {O,1, ·· · ,r} 에 대해서, f(p) E f( (s)) C J(S t (v i) ) C St( cp( vi) ) 이다 심플렉스 (t) E L 가 존재해서 J(p) E (t)를 만족하므로, 모든 j에 대해서 (t) n St( cp( vi) ) =/; 0 이다. L 은 심플렉스이고 S t(cp (v i))는 열린 심플렉스들의 합집합이므로, 모든 j에 대해서 (t) c S t(cp (v i))이 댜 죽 모든 j에 대해서 ¢(v j)는 (t)의 정점이다 S 내에 무게중심좌 표는 p = I: ;=0a j V j이고 cp(p) = I:;=O aic p( vi) E [t]이다 그러므로, f(p)와 cp(p)는 [L] 의 공통된 폐심플렉스 내에 있다 · □ 따름정리 5.3.3 ip : K - L 가 f : [K]- -t [L] 의 단체근사라 하면, d( f, ip) ~ meshL 이며, 이때 d( f,ip) = SUPp e (K] p(f(p),ip(p)）이다. D

   정리 5.3.4 cp가 / : [K] -+ ［ L] 의 단체근사이고 K1 이 K 의 부분복 체 (subcomp le x) 이 며 f의 [K1] 에 대 한 제 한 (res t r i c ti on) 이 단체사상이 면, [K1] 에서 정상 (s t a ti onar y) 인 f와 p 사이의 호모토피 (homo t o py) 가존재한다 중명 F(p, t) = tcp(p) + (1-t) f(p)로 F : [K] x I -+ L 룰 정의하면 정 리 5.3.2 에 의해서 F 는 [L] 로의 사상이고 연속임이 자명하다. 또한모 든 p E [K] 에 대해서 F(p, 0) = f(p)이고 F(p, 1) = cp(p)이다 cp |[Kll 은 f l1K1] 의 단체근사이므로 F 는 [K1] 위에서 정상 (s t a ti onar y)이고 다음 의 보조정리에 의해서 [K1] 위에서 f = cp 이댜 D 보조정리 5.3.5 f : K -+ L 이 단체사상이고 cp가 f의 단체근사이면 cp = f이댜 중명 각 정점 V E K 에 대해서, f(v ) E J(S t (v )) c St( cp( v)) 이댜 f가 단체사상이므로 f (v) 는 정점이고 정리 5 . 3 . 1 에 의해서 f( v) = cp (v) 이다 즉 f와 cp는 정점 위에서 일치하며 f와 cp가 단체사상이 므로 f= cp이다 · □ 정리 5.3.6 f : [K] - [L] 은 연속사상이고

   L 의 한 공통된 심플렉스의 정점이라는 것을 보여주면 된다· 그러나 모든j E {O,1,··· ,r} 에 대해서 f(( s)) C f(S t (v i) ) c St(r .p( vi) ) 이므로 n; =O St( t.p( vj) ) # 0 이다 이것으로부터 모든 3에 대해서 하나 의 열린 심플렉스 (t) C S t(t.p (V j)）가 존재함을 알 수 있다 · 그러므로 모든 j에 대해서 t.p (v j )는 (t)의 정점이어야 한다· 또한, 역방향은 자 명하다 · □ 정 리 5.3.7 f : [K] -+ [L] 이 연속이고 {Kn} 은 lim n-+:x i meshKn = 0 을 만족하는 K 의 분할 (subd i v i s i on) 의 수열이라 하던 충분히 큰 n 에 대 해서 단체사상 cp : Kn -+ L 가 존재해서 p는 f의 단체근사가 된다· 중명 정리 5.3 . 1 에 의해서 {S t (W)}wELO 는 [L] 의 열린 피복 (op e n cov- e ri n g)이다 f가 연속이므로 u - 1(S t (w))} w ELO 는 [K] 의 열린 피복이 댜 [K] 가 콤팩트 거리공간이므로, 6 > 0 가 존재해서 반경 6 의 임의 의 구 (ball) 는 이 피복 (cover i n g)의 어떤 열린 집합 내에 속하게 된다· meshKn < !룰 만족하는 충분히 큰 n 을 선택하면 각 s E Kn 에 대해서 dia m [s] ~ !이다· 그러므로 Kn 에 각 정 점 V 에 대해서 St (v ) c Bv(o) 이 댜 그러나 어떤 w E Lo 에 대해서 Bv(o) C r1(S t (w) ）이므로, 각 V E (Kn)0 에 대해서 wo E £0 이 존재해서 St (v ) C 1 - 1(S t (w) ）가 된 댜 각 V E (Kn)0 에 대해서 cp (V) 를 이런 정점 W E L° 로 정의하자· 그 러면 cp : (Kn)0 -+ L0 는 St (v ) C r1(S t(cp (v)) ）인 성질을 갖는댜 죽 각 V E (Kn)0 에 대해서 J(S t (v )) c S t(cp (v)) 이고, 정리 5 . 3.6 에 의해서 cp는 f의 단체근사로 확장될 수 있다 · □ 따름정리 5.3.8 f : [K] -. [L] 이 연속사상이면, 임의의 € > 0 에 대해

   서 K의 분할 (subd i v i s i on) Kn 과 L 의 분할 Ln 이 존재하고 f의 단체근 사 'P : Kn - Lm 이 존재해서 d (f,이 < c 이 된다 중명 정리 5.2.5 에 의해서 임의의 작은 그물코 (mesh) 를 가지는 분할 이 존재한다 주어진 € > 0 에 대해 Lm 이 meshLrn < f.을 만족하는 L 의 분할이라면 f : [K] - [Lm] 이댜 정리 5.3.7 에 의해서 K의 분할 Kn 이 존재하고 f의 단체근사인

   로 정의한다 O 와 9 가 X 에서 xo 와 X1 롤 연결한 경로라하자· 만일 연 속사상 F:IXI-+X F(O, t이 = xo F(l, t2) = x1 V t2 E I

   F(t1 , 0) = n(t1 ) F(t1 , 1) = f3(t1) Vt 1 E I, 이 존재하면 , G 와f3는 호모토픽 (homo t o pi c) 하다고 하고 F 를 a 와f3의 호모토피 (homo t o py)라 한댜 이때 기호로 a ~ f3로 쓴댜 X 내의 경 로들 사이에 관계 ~는 동치관계 (e qu i velence class) 이다. X 내에 점 xo E X 를 고정하고 e :r률 상수경로 e :r。(t) = xo Vt E I 라 하고, 경로 a-1(t) = a(l - t) Vt E I 라 하고, a 의 동치류를 [a] 라 하자· 1r1(X, xo) 三 {[a] I a : I -+ X, a(O) = a(l) = xo}/ ~ 라 하고, 곱을 [a] • [f3] = [af3 ], 역을 [aJ- 1 = [a-1] 라 하면 1r1(X.xo) 는 [e :r o] 을 항등원(i den ty)으로 하는 군이 된다· 이 군 1r1(X.xo) 를 X의 xo 에서 기본군(fu ndamen t al g rou p)이라 한다 기본군은 반캄펜 (Van Kamp e n) 정 리 와 피 복공간 (coveri ng s p ace) 으로서 구할 수 있다· K 와 L 은 단체적 복체이고 언과

   세 개의 단체사상

   (1) cpj(j E {O, 1}) 는 0 j에 단체근사이다 (2) 0 가 존재해서 반경 6 의 각 구 (ball) 는 어떤 w E Ko 에 대한 F 크 (S t (w)) 내에 포함된댜 , I 의 한 분할 l’ 을 정점 vo = O,v 1 , ... ， 따 = 1 을 가지는 것으로, I 을 정점 -dr( l = 0, ... , 2k) 을 가지는 것으로 선택하면 , I' X I” 는 정 점 야 = (vr, 令)과 (야 ,v; +1 ,v; 섭) 또는 (야 ,v;+l,V 出) 형태의 2- 심플렉 스들을 가지는 하나의 단체적 복체 M 이 된다 St (v r) X [구, 隣비 이 반경 6 의 구 (ball) 내에 포함되므로 어떤 w E Ko 에 대해서 p- 1(St (w )) 에 포함되도록 미세하게 분할할 수 있다· St (V r) C St( v r) X [(l컴 -广 1') 견(l +] 1) C F-1(St (w )) 이므로, 정리 5.3.6 에 의해서 St( v r) X [밀計 亡星 l] C F 一 1(S t4>(파))

   을 만족하는, F 에 단체근사인 단체사상 ~ : M --t K 가 존재한다 · p톤 ~,I 자 } (i = 0, 1) 이라 놓으면 'Pi는 Fl1x {i } = O; 에 단체근사이다 1/11 = ~,I x {#} 이라 놓으면 '1/10 = 'PO 이고 1/12 ; = 언이다 그러므로

   이 댜 K 내 에 모든 루트들의 집 합상의 동치 관계 (eq u iv a lence rela- ti on) 는 다음과 같이 정의된다 · 만약, e = lv1v 까이고 f = lv2v 이일 때 v1 , v2,v3 가 한 심플렉스의 정 점들이면 곱 e f는 모서리 |v1v 이와 모서리 동치 (ed g e e qu i valence) 이 다댜면 만 W약 와 T T가 는 이 모런서 모리서 동리치 이동고치,의 w수 ~열T 에 라 의표해기한서다 W· 로 부터 얻을 수 있 E (예)단체적 복체 K 에서 lvov1llv1v2I ~E l. vov2I. ~E lvov3jj v3 v2I 이므로 lvov1llv1v2I ~E lvov3jj v3 v2I 이다 면(주 W의)W -1모 g서 |리vv | 이동고치,는 또 동한치 V관1,계V2이,·다··.,V k w가 가 하 시나점의 V심 를플 가렉지스는의 루정트점이이 면 lv1v2llv2v3j . • • lvk 一 1vkl &E lv1 미 이댜 정리 5.4.5 vo 은 단체적 복체 K 의 정점이라 하고 E(K,vo) 는 vo 를 시 점과 종점으로 하는 K 내의 루트들의 모서리 동치류 (ed g e eq u iv a -lence class) 들의 집합이라 하면, E(K,vo) 는 위에서 정의된 루트에 대 한 곱(p roduc t)과 역 (i nverse) 의 연산하에서 항동원 (ide nti ty) lvovoI 를 가지는 군(g rou p)이고 이때, E(K,vo) 는 (K,vo) 의 모서리 경로군 (ed g e pa th gro up ) 이 라 한다· □

   (주의) 단체적 복체 K의 모서리 경로군 (ed g e p a t h g rou p)은단지 K 의 정점과 한 심플렉스의 정점들이 되는 정점들의 부분집합에만 의존한 댜 V 를 유한집합이라할 때, V 의 원소를 정점이라하고 다음조건을 만족하는 V 의 부분집합을 A 라하자· (1) v E V 이면 {v} E A 이댜 (2) S E A 이면 S 의 모든 공집합이 아닌 부분집합은 A 에 속한다· 이때, A 를 추상적 단체적 복체 (abs t rac t sim p li c i a l com p lex) 라고 한댜 모든 단체적 복체는 추상적 단체적 복체를 결정하며, 역으로 모 든 추상적 단체적 복체 A 는 단체적 복체로 실현 (real i za ti on) 될 수 있 댜 즉 추상적 단체적 복체가 A 인 단체적 복체가 존재한다·(주의· 그 러나 각 추상적 단체적 복체는 많은 단체적 복체에 대응된다.) 그러 므로, 모서 리 경 로군 (ed g e pa th g rou p)도 추상적 단체 적 복체 A 에 대해서 정의될 수 있고 이것은 A 의 어떤 실현의 모서리 경로군 과도일치한다· 정리 5.4.6 vof 를 단체적 복체 K 의 정점이라 하면 E(K,vo) 는 門 ([K],Vo) 와 동형(i somor ph i c) 이다 중명 동형사상(i somor ph i sm) h : E(K, vo) ----. 1r1([K], vo) 을 다음과 같 이 정의한다. w 룰 vo 가 시점과 종점인 K 내의 루트라고 하면, K 내의 어떤 정점들의 집합 {v i ,v2, ... ,vk}(vk=vo) 에 대해서 w = lvovil lv1 v2I ... lvk-1 미 이댜 구간 I 를 {O,},:, ... 上근 ,1} 을 정점으로 하는 한 심플렉스의 공간으로 생각하고, 정 점사상 % : 10 -+ Ko 를 'Pw (t ) = Vj (j E

   {O,1, ... ,k}) 라고 정의하자 lvov 니 ... |Vk-1vd 은 루트이므로 라고 하자· w :E::: : 러면, t.p u: 나 ’T 이므로 h(w) = h(r) 이댜 그러므로 h 는 잘 정 의 (well-de fi ned) 되 었댜 'U, = eI ... e k 와 T = 어 · .. e m1 가 v o 를 시 점 과 종점으로 하는 루트들이면 cp U ' T 와 E 7r1([K], vo) 라고 하면 단체근사정 리 (sim p lici a l pap :p rIo / x一im aKt i 가on 존t h재eo한re댜m) 에더 욱의이해서 p, ~I 의a 이분므할로 I '< 과 t .p a> 에= <단 Q체 >근이사다인 to < t1 < ••• < t k 가 I’ 의 정점이라 하고 W 는 K 내의 루트 lcp (to) cp (t1) llcp (t1) cp (t2) l, · , lcp (tk- 1)cp (tk)I 라고h; 하단면사:, hh( w가) 단=<사 c임p >을= <보 이o 기> 이위댜해 서 W 가 % ’ ~% 인 루트이면 w ~E lvovol 임을 보이면 된다 그러나 정리 5 .4 .6 에 의해서 I 의 분할 I' 과 단체사상

   이다· (1) 의 증명 : =E 가 동치관계 (e qu i valence rela ti on) 이므로, 인접인 단 체사상들이 이 성질을 만족한다는 것을 보이면 충분하다. r.p,'l/1 : I' 一 K 를 인접이라 하자· 그러면 w,, = lr.p( to) r. p(ti)ll r.p (ti)r.p(t2) I ... l r.p(tJ ..-- 1)r.p (td l 이고 wi: . = 11/1( t o ) 1,1 ,( t1)1 11 /1( t1 ) 1/1 ( t 2 ) I ... l'l/1( tk - i)1 /1(t k )I 이다 그러므로 , w,,111.: :-1 = lr.p( to) r. p(t1 )I ... jr.p(tk_ i )r.p(tk)ll 'l/1 ( tk ) 'l/1 ( tk - I)! .. - 1 1/i(t漏(t o)I 이 다 그러 나 r.p와 d’ 가 인접 하므로, r.p(tk -i) , r.p(tk), 1/i(tk) , 1/ i (t k-l) 는 공 통된 심플렉스의 정 점들이다 · 더욱이 r.p(tk) = dI(tk ) = Vo 이므로 lr.p ( tk- 1 )r.p (tk) ll i/1( t k)'l/1( tk- l ) I ~E lr.p ( tk_ i)'tf, (t k 一 1) 1 이고 w,.,w,- ;:1 ~E l cp(t o) cp(대 · · · jcp(tk- 2)cp (tk- 1)llcp (tk- 1)'1/1 ( t ~· - 1 )ll'1/1 (tk - 1)'1/1 (tk - 2)I ... 11/1 ( t이 v1 (to) I 이다 같은 방법으로내적저가 인접이므로, l

   이댜따라서 UI .,,Wv- 1 ~E j cp (to) cp (대 ... i'P (tk-- J ) cp (tk- 2 ) Ii 'P (tk- 2 )v, (tk-- 2 ) II v, ( tk- 2 )v, ( t,_. _3) 1 ... Iv,( t 1 ) '1/1 (t o ) I 이다 이와 같은 방법을 계속함으로써, 귀납법에 의해서, w;:w:-,li ~E jcp(to) 'l/1 ( t o ) I = lvovol 이다 (2) 의 증명 : {to, t1, . , . t k} 가 정 점들인 I’ 의 부분복체 {subcom p lex) 에 대한 d’ 의 제한이 단체사상이므로 i E {O,1, ... , k} 에 대해서

   이다 {cp( uo), ... ,cp (ur)} 이 K의 공통된 심플렉스의 정점들이므로 , 이 것은 lcp ( uo)cp ( ur)I = lcp (t;)cp(t;+ 1)I = iv1 (t; )1/1( t;+ 1) I 에 모서리 동치 (ed g e e q u i valence) 이다 그러므로 짜와 W,:, 의 이 부분 들은 모서리 동치이고, 각 i에 대해서 이것을 적용하면 W,:_, ~ W I'이 댜 o 따름정리 5.4.7 단체사상 K 에 대해서 vo E K0 이고 i : K2 - K 는 K의 2 골격 (skele t on) 에서 K 로 가는 단사사상이라고 하면, i는 동형 사상 (iso morp h is m ) i. : E(K2, vo) - E(K, vo) 룰 유도한다 결론적으로, 유도된 사상 i. : rr1([K 가, vo) ----t rr1([K], vo) 는 동형사상(i somor ph i sm) 이다 o 정리 5.4.8 n > 1 에 대해 n- 차 구면체 (s p here) sn 은 단일연결 (s i m p l y connec t ed) 이다 죽 각 p E sn 에 대해서 rr1(sn,p ) = (e) 이다 중명 우선, sn 은 (n+1) －심플렉스의 n- 골격에 위상동형이다· 왜냐하 면 만약 s 가 JR n+l 내에 심플렉스이면 사상 cp : [S 기 一 Rn+1 은 [S 기을 sn C ]R n +l에 위상동형으로 사상시킨다. b = (bi, ... 'bn+1) E ]R n+l 을 s 의 무게중심 (bar y cen t er) 이라고 하면 X = (x1, ... ,Xn+ 1) E [디에 대 해서, cp( x) = ~I I:업( (x1; x- b;)211½ 一 b1,X2 - b2, ... ,Xn+l-bn+l)

   으로 r.p( x) E JR n+l 를 정의하자 기하학적으로 [ s ] 는 Sn 내에 존재하는 것으로 여길 수 있고 p는 [s] 의 무게중심으로부터 밖으로 나가는 사 영 (pr oje c ti on ) 이 다 그러면 1r1(sn,p) = ( e ) 임을 보이기 위해서 , 1r1([s ],v o) = (('）임 올 보이면 된댜 정리 5.4.9 에 의해서 1r1([s 기 ,v o) 의 모든 원소들은 루 트이고 그것의 상이 [s 시내에 있는 , 표현 (re p re s en t a ti on) a 를 가진다 n > l 이면 p

   따름정리 5.4 .lQ VO 가 트리 T 의 정점이면 1r1([T],vo) = E(T, vo ) = (e) 이다 o no 는 그래프 K의 정점들의 수, 01 은 l- 심플렉스들의 수라 하고 x(K) = a 。_야이라 하자· 이때 정수 x(K) 는 K 의 오일러 지표 (Euler characte r is t i c) 라 한다 (주의) 정수 x(K) 는 분할하에서 불변한다 정리 5.4.11 T 를 트리라 하면, x(T) = 1 이다· 중명 T 의 정점들의 수 n 에 대한 귀납법에 의해서 , n = 1 이면 정리 는자명하다 .n 개의 정점을가지는트리들에 대해서 정리가성립한다 고 가정하고 T 는 n+ l 개의 정점들을 갖는다고 하고 L 은 정리 5.4 .9 의 증명에서 얻어지는 트리라고 하면 L 은 n 개의 정점을 가지므로 x(L) = 1 이다 그러나 oo(T) = oo(L) + 1 이고 01(T) = 01(L) + 1 이 므로, x(T) = x(L) = 1 이다· □ 정리 5.4.12 K 를 호상연결인 그래프라 하고 n 을 연결상태 하에서 K 로부터 제거될 수 있는 열린 (o p en) 1- 심플렉스의 최대 개수라 하 면 ,n=1-x(K) 이다 중명 K 가트리이면 n = O 이므로 정리 5 .4 . 11 으로부터 자명하다 K 가 트리가 아니면, （이올 [K]-(s 1) 이 연결인 열린 1- 심플렉스라하자· K - (s1) 이 트리이면 자명하고, 아니면 (s 이를 [K]-(s 1) U (s2) 가 연 결인 열린 1- 심플렉스라고 하고 이 방법을 계속하면 K 내의 l- 심플

   K렉 스—의{( s1수),가 .. .유 , (한sn)하 ｝므은 로트 리이 T과 이정므은로 끝이 난다· 즉 어떤 n 에 대해서 x(K) = x(T) -n = l -n 이다 그러므로 n = 1-x( K) 이댜 o 집합 S 를 n 개의 문자 a1 ' ... , ％와상징 all, . .. ' a;;-I 와 e 를유한길 이로 재배열함으로써(반복허용) 얻어지는 모든 단어 (word) 들로 이루 어진 집합이라 하자· 두 단어 a, f3의 곱(p roduc t) a f3은 병 렬(j ux t a p o­ s iti on) 에 의해서 정의된다 죽 f3는 a 의 끝에 연결된다 · 단어 a 의 역(i nverse) 은 배열의 순서를 바꾸고 , aj 대신 a-;1 를, a-;1 대신에는 aj 그리고 e 대신에는 e 를 씀으로써 얻어진다 · 동차관계 (e q u i valence rela ti on) 는 S 위에서 다음과 같이 정의된다· 죽 ee ~ e 이고, 각j에 대 해서 aia i- 1 ~ e_, a_i- 1 - ai ~ e; aie ~ai, ai-1 - e~ai--1 ;. eai ~ aj, ea].- 1 ~ a-_-;- . 1 이다 더욱이, 한 단어가 다른 단어의 이런 기본적인 동치의 수열로 부터 얻어진 것이므로 이 두 단어는 ~동치이다 · 이 동치류의 집합은 위에서 정의된 곱과 역을 가진 e 의 동치류룰 항동원(i den tity)으로 하 는 군(g rou p)이고 이 군을 n 개의 생성원소(g enera t or) 를 가지는 자유 군(fr ee gro up ) 이 라 한댜 Fn 은 생성원소 a1,a2, ... an 을 가지는 자유군이고 G 가 임의의 군 이만 임의의 사상 h : {a1,•• · ,an} 一 G 은 준동형사상 h : Fn --t G 으

   로 확장될 수 있고 h 는 h(aj/ a!1 ... a f> )= h(a JI) 士 lh(ah) 포 .. h (ai,)되 로 정의된다 더욱이, 이 성질은 군 Fn 을 특정짓는다· 는정 리n =5 .l4 .—1 3x ( VK Q) 를의 호생상성연원결소인를그 가래지프는 K 자의 유정군점과이 동라형하면이 다, 1r 1([K l, vo) (예) Pl 과 P2 를 R2 내의 서로 다른 점이라 하면 P E 1R2 - {P1,P2} 에 대해서 1r1(1R2 - {P1,P2}, p)는 2 개의 생성원소를 가지는 자유군이다· 왜냐하면 lR2 - {P1,P2} 와 [K] 는 같은 호모토피형이다 즉 사영사상 lR2 -{P1,P2} - [K] 과 내포사상 [K] - 1R2 - {P1,P2} 는 호모토피 동 치를 이룬댜 그러므로 1r1(1R2 - fr1,P 2 },p) = 1r1([K], vo) 이다 그러나 x(K) = 5-6 = -1 이므로 n = l-(-1 ) = 2 이고, 정리 5.4 .1 3 에 의해서 1r1([Kl , vo) ~ F2 이댜 정리 5.4.13 의 중명 준동형사상 h : E(K,vo) - Fn h1 : Fn - E(K, vo) 를 구성해서 h1 oh 와 hoh1 이 항둥사상임올 보이면, E(K,vo) 는 Fn 과 동형임을 보이게 된다 · 그러면 정리 5.4 .9 에 의해서 위의 정리는 중 명될것이다

   h 의 구성: K 의 열린 l- 심플렉스 (s1), (s 이, ... , (sn) (n = l-x(K)) 가 존재해서 T = K - {(s1), ... , (sk)} 는 트리가 된다고 하고, F,1 은 생성 원소 (s1), (s 이, ... , (sk) 을 가지는 자유군이라하자 각j E {1,2, ... ,I.:}에 대해서 S} 는 K 내의 모서리 lv i v/1 이고어는모서리 | V j'니 이다 이때, V j와이는 각학의 정점들이다· 그러면 K 내의 각루트 W 는 W = Pl 학士 , P2%土 · .. pk. s j士 k Pk+1 의 형태이고 이때 pj는 트리 T 내의 루트이다 그러면, h(w) = (s i1) 土 1(s j 2) 포 .. (s it)士 1 이라 하자 . h(w) 는 W 의 모서리 동치류에 의존함을 보일 것이다 · 즉 W1 와 w2 가 모서리 동치에 의해 차이가 나는 루트라면 h(w1) = h(w2) 임을 보일 것이다. u 와 T 가 K 내의 루트이고 ,v1,v2,v3 가 K 내의 공 통된 심플렉스의 정점일 때, w1 = ulv1v2llv2v3lr w2 = ulv1v3IT 라고 가정하자 . K 가 그래프이므로 2- 심플렉스는 존재하지 않기 때 문에 V1 = V2 = V3 이거나 어 = v2, v2 = v3, v3 = v i이다· 처음 세 경우에서 심플렉스 (v i 'v2) 와 (v2,v3) 중 적어도 하나는 0- 심플렉 스이므로 그것은 (s 기는 아니고 나머지는 (V1,V J)가 된다· 그러므로 h(wi ) = h(w2) 이다 또한 4 번째 경우, 죽 w1 = ulv1v2llv2v1lr w2 = ulv1v1lr 인 경우에 대해서 생각해 보자. (v1,v2) 가 (s j)이 아니면 분명히 h(w1) =

   h(w 이이댜 임의의 j에 대해서 (v1, v2 ) = (s) ）이면, 띠 = as j s 『 T h(wi ) = h(a)(s]) 士 l(s j)干 1h(r) = h(a)h(r) = h(ar) = h(w 이 이다 그러므로 각 경우에 대해서 h(w1) = h(w2) 임을 알 수 있다· 그 러므로 h 는 잘 정의되었고 준동형사상이다· h1 의 구성 : Fn 이 자유군이므로 생성원소 (si) = (vi , v/) 위에서 h1 을 정의하기 위해서 , 따를 트리 T 내에 Vo 부터 V j까지의 루트로, 巧롤 Vo 부터 V J'까지의 루트라고 하고 h1((s i))를 루트 l7 j S1Tj - l 의 모서리 동치류라고 하자 · 이 정의는 K 내의 Vo 부터 V j까지의 임의의 다른 루 트가 /jj에 모서리 동치이므로 巧선택에 독립적이다· 그러면 h1 은 준 동형사상 Fn -t E(K,vo) 으로 유일하게 확장된댜 Fn 의 각 생성원소 (s j)에 대해서 h o h1((si) ) = h(q isJ ri) = (si) 이므로 h o h1 은 항등사상이다· W = p1 s1士i p2 s:士;; • · · PkSJ士 t P k +l 이 K 내의 루트이며, 妃 o h(w) = h1((s it)묘나)포 .. (s j k) 士 1) = (a i 1s]？ 갑)士 1(c J 2s; 갑)士\ .. ( a j kS; 갑)士 l = 1/j1 s j±l 1 /jl /1 /j2 s 士 1/j2 I • • • 1/jk s j士k 1 /jk , 이댜이때, nJi = { Cj , (s j,가 S; 일 때) Tj ; (sj, 가 ST 일 때)

   이고 파, = { 같 (s J,가 인?일 때) 같 (s) 가 sJ: 일 때) 이다 그러므로 ’i,1 ° 'L 도 항등사상이다 그러나 Pl 과 刀은 모두 T 내 의 Vo 부터 S: 의 시점까지의 루트이므로 모서리 동치이다· 같은 방법 으로 P2 와 마 1 T/J 2 도 弓의 종점으로부터 弓의 시점까지의 루트이므로 E 모서리 동치이다 · 귀납법에 의해서 계속하면, h1 o h ~ u ’ 가 된다· 즉 h1 oh 는 항등사상이다· □ 따름정리 5.4 .1 4 K 가단체적 복체이고 Vo 가 K의 정점일 때, 그 기본 군 7r1([K],vo) 은 한 자유군(fr ee g rou p)의 상군(q uo ti en t g rou p)이댜 증명 K 를 호상연결이라고 가정할 수 있댜 i : K1 - K 를 단사사상 이라하면, i* : E(K\ vo) - E(K, vo) 는 모서리 경로군 (ed g e pa th g rou p)의 정의로부터 전사사상이다· 그 러므로 정리 5 .4 .6 에 의해서 i. : 7r1([K1], vo) 一+ 7r1([K], vo) 는 전사사상이다 n = l-x( K1) 이라 하면 7r1([K1],vo) = F,., 죽 n 개 의 생성원소를 가지는 자유군이므로 i. : Fn 一 7r1([K], vo) 도 전사사상이다 H 를 ”의 핵 (kernel) 이라 하면 7r1([K],vo) ~ Fn/H 이댜 o

   따름정 리 5.4.15 D2 = {(x , y) E JR2 : x2 + y2 ~ 1} 은 JR2 내의 단위원 판 (un it d i sk) 이다 그러면 , f ls1 이 항등사상이 되는 어떠한 연속사상 f : D2 -> s i도 존재하지 않는다 중명 연속사상 f : D2 - s i가 존재해서 f ls i은 항등사상이라 가정하 고 g : si - D2 가 내포사상이라 하면 , J o g = i s i이므로 (f O g). : 1r1(S1, 1) -> 1r1(S1, 1) 은 항등사상이다 그러나 (f o g). = J. o g.이고 D2 가 점과 호모토픽하므로 1r1(D2 , 1) = (e) 이다 그러면 im ( f o g). = im ( f. o g.) c im f . = (e) 이다 (f o g)．가 전사이므로 1r1(S1 ,e ) = (e) 가된댜 이것은 정리 5.4 .1 3 에 모순이 된다 · □ 따름정리 5.4.16 (Brouwer 의 특수 고정점(fi xed po in t ) 정리) D2 를 R2 내의 단위원판이라 하고 , f : D2 ---+ D2 를 연속이라 하면 f는 고정점을 갖는다 · 죽 f(x ) = X 가 존재한다 · 중명 f가 고정점을 갖지 않는다고 가정하면 모든 x E D2 에 대해서 f( x) # x 이므로 x - f(x ) # O 이다 g : D2 ---+ s i을 다음과 같이 정의 하자· 죽 각 x E D2 에 대해서 g (x) 는 벡터 x -f (x) 를 따라서 S1 위로 f (x) 를 사영시킨 것이다· 그러면 9 는 연속이고 g |sl 은 항등사상이다· 이것은 따름정리 5 .4 .15 에 모순이다· □ (주의)위의 두 따름정리는 보다 높은 차원으로 일반화시킬 수 있다· (1) !Is 터 이 항등사상이 되는 연속사상 f : Dn ( Rn 내의 폐구) 一 s n -1 은 존재하지 않는다· (2) 모든 연속사상 Dn 一 Dn 은 고정점을 갖지 않는다·

   5.5 단체호몰로지 (Si m pl ic i a l Homolog y) 앞에서 미분가능한 다양체 X 에 대해서 드람 코호몰로지군 (de Rham cohomolog y gro up ) H1(K,d) 를 정의했다 즉 이 군은 아래의 사상들의 수열 Coc(X, A1-1(X)) .:!.+ C00(X, A1(X)) .:!.+ Coc(X, A1+1 (x )) 로부터 H1(X,d) = kerd/ i md 으로 정의된다 또한, H0(X,d) 의 차원 은 X 의 연결성분 (connec t ed com p onen t)의 수이고 H1(X,d) 의 차원 은 X 내의 구멍 (hole) 의 수임을 보였다 이제부터는 단체적 복체에 대한 비슷한 군에 대해 살펴보자· 각 Ck 는 아벨군 {Abel i an grou p)이고 a2 = o 인 사상들의 수열 C 曰 +a- C I +a- C l+1 로부터 H1 = Z i/ B1 을 정의한다· 이때, Z1 = kera : C, --+ C1-1 이고 B1 = im a : C1+1 --+ C1 이댜 기하학적으로 Zl 의 원소는 경계 {boundar y) 가 없는 l- 심플렉스의 연쇄 (cha i n) 이고 B1 의 원소는 (l + 1) －심플렉스 들의 한 연쇄의 경계일 것이다. 1- 심플렉스 (vo,v1) 의 경계는 적절한 부호를 가진 0- 심플렉스 vo 와이의 합이고 2- 심플렉스 (vo,v1,v2) 의 경 계는 모서리 (vo,v1), (vi , v2), {v2,v3) 의 적절한 일차결합이 될 것이다· S 를 정점 vo,v1, ••• ，이올 가지는 l- 심플렉스라고 하자. s 의 정점들 의 두 개의 순서쌍 (vjp Vji , .. • , V j,)과 (vk1, Vk,z , • • • , Vk,) 은 {k1, k2, ••• , k1) 이 (j1,j g • • 마)의 짝치환 (even p ermu t a ti on) 일 때, 동치 (e qu i val­ en t)라고 하며 이것은 분명한 동치관계이고 l > 1 에 대해서 vo, ••• ,v, 의 순서쌍들은 두 개의 동치류 (e qu i valence class) 로 나뉜다· 이 동치 류 중에 하나를 선택한 심플렉스 s 를 유향단체 (or i ent ed s i m p lex) 라 고 한다 vo,v1, ••• ，이이 s 의 정점이면 순서쌍 (vo, ... , v1) 에 의해서 결 정된 유향단체는 < vo,vi, ... v1 >이라 표기할 것이다· 유향의 1- 심

   플 렉 스는 방향 (d i rec ti on) 이 첨 가된 것 이 고 유향의 2- 심 플 렉 스는 회 전 (ro t a ti on) 이 첨가된 것이다· 각 l- 심플렉스는 어떤 Rm 내의 l- 차원 평면 내에 놓여 있고 < vo ,v 1 ,• --,V1 >에 의해서 S 에 방향을 결정하 는 것은 유향기저 (or i en t ed basi s ) {v1 -vo,v 2 -vo, ... ,v1 -vo} 에 의 해서 s 를 포함하는 l- 평면에 방향을 결정하는 것과 같다· K 를 단체적 복체라 하고 Z 룰 정수들의 군이라 하자 . C1(K,Z) 는 K의 모든 유향단체 (or i en t ed sim p le x) 에 의해서 생성된 자유가군(fr ee abeli an g rou p)을 < vo, v1, v2 , ... , v1 > + < v1, vo, v2, ... , v1 >의 형 태 의 모든 원소들에 의해서 생성된 부분군 (sub g rou p)으로 모듈시킨 인 자군(fat or g rou p)이라 하면 아벨군 C1(K,Z) 는 계수를 정수로 가지 는 K의 l - 연쇄 (l-cha i n) 들의 군이라 불린댜 이 군의 전형적인 원소는 L n~ < s > (n9 E Z) s : l - 심플렉스 의향 (o형r i태 en이 t a고 ti, on ) 각이 고l- 심반플대렉방스향 을s 에 가 진대 해s 는서 —< < s s >>는라 고s 의한 다고·정 된 방 임의의 아벨군 G 에 대해서, 계수가 G 내에 있는 K 의 l- 연쇄의 군 C1(K,G) 은 一 9 s < vo, vi , .. . , V/ >= g3 < vi, vo, ... , V/ > 을 만족하는 모든 형식적인 일차결합 L9s < S > (gs E G) s 의 집합으로 정의할 수 있고, 특히 임의의 체(fi eld) F 에 대해서 C1(K, F) 는 F 에 대한 벡터공간이고 차원은 K 의 l- 심플렉스의 수와 같다· < S >=< VO,V1, ... ,V z+l >을 유향의 (l+1) －심플렉스라 하면 < s >의 경계 8 < s >는 다음과 같이 정의된 l- 연쇄이다 · a < s >= Ll+l( -I)i < vo, v1, ... , .,;j, ... , vl+1 > i=O

   여기서 위첨자는 생략을 의미한다. K 는 단체적 복체이고 G 는 아벨 군이라 하자· 경계사상 (boundar y map) C1(K, G) ,.!_ C1+ 1( K, G) 은

   8( 드 9s < s >) = E꼬 < s > 로 정 의 된 군 준동형사상(g rou p homomorph is m ) 이 다 보조정 리 5.5.1 경 계사상 C1+ 1( K, G) !.+ C1(K, G) !.+ C1-1(K, G) 은 a2 = a o a = O 을 만족한댜 중명 ao8 이 선형 이므로 생성원소 < VO,V1, ... ,V1+1 > 위에서 aoa =

   0 임을보이면 된다· 즉 a(a < VQ , •• , ,V[+l >) = 8[Il+ :l (-l) j < VO,···,vj , ·· ·,v l+l >] j= O l+l = L(-l)i8 < vo, ... , vi, · · • , v1+1 > j= O l+l j- 1 = I:(一 W[ I: (-1)' < vo, ... ,v;, ... , vj, ·· •, v1+1 > j= O i= O + Il+:l (— l)i- l < VQ , ••• ,Vj , · · · ,vi, · · · ,vl+l >] i=j+l = 홉 (-l) i+j < VQ , •. • ,v;, ... ,Vj , ···,vl+l > +L(-l)i+j -1 < vo, .. . 마, ... ,V;, ... ,VJ + l > = I:i>[j( -l )i+ j + (-l)i+ j-l l < vo, ... , Vi, .. . , Vj, ... V1+ 1 > = 0'< J 이다 · □ K 와 G 가주어졌을때, Z1(K, G) = [c E C1(K, G) : oc = O] B1(K, G) = [oc : c E C1+1(K, G)] H1(K, G) = Z1(K, G)/B1(K, G) 라 하면, Z1(K,G) 의 원소는 사이클 (c y cle) 이라 하고 B1(K,G) 의 원소 는 경계 (bounda ry)라 하며 군 H1(K,G) 은 G 내에서 계수를 가지는

   K의 l 번째 호몰로지군이라 한다 (주의) f : [K] --+ ［ L] 이 위상동형사상 (homeomor ph i sm) 이면 f는 동 형사상 J. : H1(K, G) —+ H1(L, G) 을 유도한댜 특히, K1 과 K2 가 [K1] = [K 이인 단체적 복체이면 H1(K1, G) = H1(K2, G) 이다 (예 1) K 를 2- 심플렉스의 1- 골격 (skele t on) 이라 하면 K 는 3 개의 정 점 vo,v i ,v2 와 3 개의 1- 심플렉스 (vo,v1),(v1,v2),(v2,vo) 로 구성된다 · 그러면, Co(K,Z) 와 Ci ( K,Z) 는 모두 ZEBZEBZ 와 동형이고 l > 1 이 면, C1(K, Z) = 0 이 댜 Ci ( K, Z) 의 원소 C1 은 ci = mi < vo, vi > +m.2 < vi, v2 > +m3 < v2, vo > (mi , m2, m3 E Z) 형태이다. C1 의 경계 ac1 은 8c1 = m1(< v1 > - < vo >) + m2(< v2 > - < v1 >) +m3(< vo > - < v2 >) (m3 -m1) < vo > +(m1 -m2) < v1 > +(m2 - m 이 < v2 > 이므로 C1 E Z1(K,Z) 일 필요충분조건은 m3 - m1 = 0, m1 - m2 = 0, m2 - m3 = 0 이댜 즉 m1=m2=m3=0 이다 그래서 Z1(K,Z) = [n(< vo,v1 > + < v1,v2 > + < v2,vo >) : n E 끽 ~ z

   이댜 더욱이 C2(K,Z) = 0 이므로 B1(K,Z) = 0 이댜 그러므로, H1(K, Z) = Z1(K, Z)/B1(K, Z) ~ Z 이다 Ho(K,Z) 을 구하기 위해서 co E Zo(K,Z) 는 co = n 1 < vo > +n2 < v1 > +n3 < v2 > (n 1, n2 , n3 E Z) 의 형태이므로 어떤 C1 E C1(K,Z) , c1 = m1 < vo,v1 > +m2 < v1,v2 > +m3 < v2,vo > 가 존재해서 co = 8c1 일 필요충분조건은 다음 방정식의 (정수)해들 이 존재하는 것이다· m3 -m 1 = n1 m1 - m2 = n2 m2 -m 3 = n3 이런 해가 존재할 필요충분조건은 n1 +n2 +n3 = 0 이므로 Bo(K,Z) = [n1 < vo > +n2 < v1 > +n3 < v2 >: n1 +n2 +n3 = 이 이댜 준동형사상 rp : Zo(K,Z)-z 룰 다음과 같이 정의하자 cp( n1 < vo > +n2 < v1 > +n3 < v3 >) = n1 +n2 +n3 그러면

   (예 2) K 룰 2- 심플렉스 (vo,v1,v2) 의 모든 면(fa ce) 들로 구성된 복체 라고 하면 (예 1) 처럼 Ho(K, Z) '.:::'. Z 이다 더욱이, Z1(K,Z) = [n(< vo,v1 > + < v1,v2 > + < v2,vo >) : n E Z] 이댜그러나 C2( I<, Z ) = [n < vo,v1,v2 >: n E Z] 이므로 Bi ( K, Z) = [a(n < vo, v1, v2 >) : n E 끽 = [n(< v1,v2 > -< vo,v2 > + < vo,V i >) : n E Z] = [n(< vo,vi > + < vi, v2 > + < v2,vo >) : n E Z] = Z1(K, Z) 이다 그러므로 H1(K, Z) = Z1(K, Z)/B1(K, Z) = 0 이다 마지막으로, O(n < VO,VI,V2 >) = Q일 필요충분조건은 n = O 이 므로 Z2(K,Z) = 0 이다 그러므로 H2(K,Z) = 0 이다 K 가 단체적 복체라 하면 K의 l 번째 베티수 (Be tti number) {3i는 정수 {3i = dim Hi (K ,R)

   이고 K 의 오일러 지표 (Euler characte r is t i c) x(K) 은 정수 x(K) = dLim K (-1)1{3 1 1=0 이댜 정리 5.5.2 K 가 단체적 복체일 때, 각 l (0 ~ l ~ d i mK) 에 대해서 aI 를 K 내의 l- 심플렉스의 개수라 하면, x(K) = dLim K (-1)10; l=o 이댜 중명 각 l (0 ~ l ~ d i mK) 에 대해서 선형사상 C1(K, lR) ~ C1-1(K, JR) 올 고려해 보면 선형대수의 계수 (rank) 와 핵공간의 차원 (nu llity)의 정리에 의해서, 01 = dim C1 (K, IR) = dim kera + dim im a = dim Z1(K, IR) + dim B1_1(K, JR), (l = 0, 1, ... , dim K) 이다· 더욱이, /31 = dim H1(K,1R) = dim [Z1(K,lR)/B1(K,lR)] = dim Z1(K,JR ) 一 dim B1(K,1R)

   이므로 x(K) = dIim : K c-1)/{JI I=O = dIim : K (크 )/[d i m Z1(K, JR) -d im B1(K, JR)] 1=0 = dIim : K (— 1)1 dim Z1(K, IR) + dLim K (-1)1+1 dim B1(K, JR) 1=0 1=0 = dIim :K (— 1)1 dim Z1(K, IR) + dLim K (크)/ dim B1-1(K, IR) 1=0 l=l = dIim : K (크 )1[d i m Z1(K, JR) + dim B1-1(K, IR)] l=O = dIim :K (크 )/aI l=O 이다 o [K] 가 연결이고 콤팩트이며 유향인 2 차원 다양체와 위상동형이 면 /3o = l 이고 /32 = 1 이므로 x(K) = /3o - /31 + /32 = 2 -/ 31 이다· 그러므로 /31 = 2-x(K) 이댜 더욱이, /3l 은 위의 K 에 대해서 항상 짝수이다 임의의 이런 곡면은 핸들 (handle) 이 달린 구와 위상 동형 이 므로 }/3 l 은 그 핸들들의 수이 다· 그러므로 호몰로지군들은 연결이고 콤팩트이고 유향인 곡면 (sur­ face) 의 위상동형사상류 (homeomor ph i sm class) 를 완전히 결정한다

   (주의) 군 C1(K,IR) 과 준동형사상의 수열 • • • j!_. C1-1(K,IR) /!-. C,(K,IR) /!-. C1+1(K,IR) - ... 로부터 발생하는 단체적 복체의 호몰로지이론에 대해 조사해 왔다· 이때, 8 은 연쇄 (cha i n) 의 차원을 낮춘다 · 그러나 드람 코호몰로지 정 리는수열 ... ~ c:: xi( x, A1-1(x)) ~ c:: xi( x, A1+ 1( x)) -t ... 로부터 나오는데 이때, d 는 차원을 높인다· 이 두 이론을 비교하기 위 해 서 단체 코호몰로지 (sim p li c i a l cohomolog y) 이 론을 정 의 할 것 이 다· K 가 단체적 복체일 때, 각 l(O 幻 ::; d i mK) 에 대해서, C1(K) = [C1(K,JR )]* 이라 하고 아 : Cl(K) -t Cl+1(K) 는사상 8 : Cl+1(K,R) -t CI(K,R) 의 수반 (ad j o i n t), [8* （테 (c) = cp( oc) (cp E C1(K), C E C1+ 1( K, JR)) 으로 정의된다· 그러면 수열 ... -t c1-1(K) ~ C1(K) ~ c1+1(K) -t .. . 울 얻을 수 있댜 더욱이 8o8=0 이므로 8*o8*=0 이댜 Z1(K) = [cp E C1(K) : a•cp = O] B1(K) = [o*cp : cp E c1-1(K)] H1(K) = Z1(K)/B1(K) 라 하면 C1(K) 의 원소는 쌍대쇄 (cocha i n) 라 하고 Z1(K) 의 원소는 쌍 대윤체 (cocy c le), B1(K) 의 원소는 쌍대경 계윤체 (coboundar y)라 하

   며 사상 8· 은 쌍대경계작용소 (coboundary op era t or) 이고 H1(K) 은 K의 l 번째 코호몰로지군 (cohomolo gy grou p)이라 한다 K 의 각 유향의 l- 심플렉스 < s >에 대하여, 'P<•> E C1(K) 를 다 음과 같이 정p< 의s> 한< 댜t >= { 1-l( :::::s_\\ :; 때) 0 ( t t s 일 때) {< s1 >, ... ,< Sm >｝이 C1(K,IR) 의 기저 (bas i s) 이면, {, .. . , 'P } 은 c1(K) 의 쌍대기저 (dual bas i s) 이다 보조정리 5.5.3 a*cp < ,·a,. . . ,v,> = L1'P < v,v a ,… ,v ,> V 이다 이때, Ev’ 는 (v,vo, ... ,vz) 이 K 의 l- 심플렉스인 모든 정점 V E K에 대한합을의미한댜 중명 K 내의 유향의 (l + 1) －심플렉스 < t >=< WO,W1, .•• ,W t > 에 대해서 보조정리가 성립함을 보이자· < s >=< Vo,vL ... ,vl >이 라하면 (a*'P <•>)(< t >) == ''PI'<< ••>> ((a <챕 t ( ->1)) i < Wo, ..• , W,, ... w,+1 >) = Ll+(l -1)\<•> (< wo, ... , Wj , ... , w,+1 > ) i= O

   이다 이 합의 각 항은 (wo, ... , wj , ... ,W1+ 1) = (s) 일 때만이 0 이 아 니다 즉 (s) 가 (t)의 면(fa ce) 이면 0 이 아니댜 (s) 가 (t)의 면이만 정 점 V E K 가 존재해서 (t) = (v,vo, ... 고 1) 가 된다 즉 이 경우 < t >=< v,vo, ... , v1 >이고 (a·'-P <•>)(< t >) = 1 이거나 , < t >= - < V,VO, · · • ,Vz >이고 (a·'-P < s>)(< t >) = -1 이므로 따 < s >(< t >) = { l-l( t :t<= \Vo; v,; 。v 'l > '\l :) 일 때) O (그 밖의 모든 경우) = (홀''P<· ··· · · ··,>) (< t >) 이다 이것은 임의의 < t >에 대해서 성립하므로 위의 공식이 성립 한다 o 5.6 드람 (de Rham) 정 리 매 끄 럽 게 삼각형 분할된 다양체 (smooth l y tri a n g u late d manif old ) 는 (X,K,h) 으로 X 는 쓴 다양체, K 는 단체적 복체이고 h : [K] --t X 는위상동형사상으로 K 의 각심플렉스 S 에 대해서 사상서 (s] : [s]- -t X 는 [s] 의 평면내의 [s] 의 근방 U 에 대해 확장된 사상 hs 를 가지며 이 때 , hs : U --t X 는 미 분부분다양체 (smooth submanif old ) 이 댜 dim X =n 이면, K의 각 심플렉스는 n- 심플렉스의 면이고 미분가 능한사상의 부분다양체에 대한 제한 역시 미분가능하므로 위의 정리 의 마지막조건을 K의 n- 심플렉스에 대해서만만족함을보이면 된다· (예) X = S%] 고 K 는 훈에 접하는 (n + 1) －심플렉스의 n- 골격이

   고 h : [K]-sn 는 방사사영 (rad i al p ro j ec ti on) 이라 하면 (X,K,h) 는 매끄럽게 삼각형분할된 다양체이다 · 모든 콤팩토인 미분가능한 다양체는 매끄럽게 삼각형분할될 수 있으며 각 단체적 복체 K 에 대해서 [K] 가 콤팩트이므로 매끄럽 게 삼 각형분할된 다양체들은 콤팩토이다 · 이 장에서는 매끄럽게 삼각형분 할된 다양체 (X , K,h) 에 대해서 X의 드람 코호몰로지가 K 의 단체 코호몰로지 (s i m p l i c i al cohomolo gy)와 동형임을 보일 것이댜 이 것을 위해 무게중심좌표 (ba ry cen tr i c coord i na t e) 를 이용할 것이다· K 는단체적 복체이고 VO, ••• ,Vm 은 K 의 정점이라하자 X E [K] 일 때, j E {l, ... , m} 에 대해서 , x 의 j번째 무게중심좌표 (baryc entr i c coordin a te ) bj( x) 는 다음과 같이 정의된다. x (/_ S t (v]) 이면 bi (x ) = 0 이고 x E S t ( v i )이면 v ] 를 정점으로 가지는 심플렉스 s 에 대해서 x E (s) 이고 b j (x) 는 정 점 V j에 대한 s 내의 X 의 무게중심좌표와 같다· (주의) (1) bi : [K] -> JR은 연속함수이다 (2) 각 X E [K] 에 대해서, bj( x ) 츠 0 이고 E?=1 bj( x ) = l 이댜 (3) x = EJm= 1 b j (x)v j이다 (4) bj0 ( x) =/= 0,bj1 ( x) =/= 0,··· ,bi, ( x) =/= 0 인 X E [K] 가 존재할 필요충 분조건은 V j 0 , ••• ,V j, 이 K 의 l- 심플렉스의 정점인 것이다 S 가 단체적 복체 K 의 한 심플렉스라 하면 (s) 가 한 면(fa ce) 이 되 는 K의 모든 열린 심플렉스의 합집합을 s 의 스타 (s t ar) 라 한댜 (주의) (1) S = V 가 K의 0- 심플렉스(죽 정점)일 때, St (s ) = S t (v) 이 댜 (2) S t (s) 는 [K] 내의 열린 집합이다 (3) (s) = (v1o ,-. • , v 사 이 고 X E [K] 이 면, x E St (s ) 일 필요충분조건은 모든 i E {O, ... ,l} 에 대해서 bj, ( x) # 0 이다·

   (4) (S ) = (Vi o , ... , V 사 이 면 [K] -St (s ) = {x E [K] I 3i E {O, ... , l}, bi; ( x ) = O} (5) s1 과 s (s1 # s) 가 K의 l- 심플렉스이면 [s1] c [K] - S t (s) 이다· 매끄럽게 삼각형분할된 다양체 (X,K , h) 가 주어졌을 때, 각 l 에 대해서 , H1(X,d) 로부터 H1(X) 로의 동형사상(i somor p h i sm) 을 정의 하기 위해사 모든 l 에 대해서 a· o 』 = fi +1od 을 만족하는 선형사상 Ji : cx(x, N(X)) -+ C1(K) 들의 수열이 주어졌을 때, 준동형사상 力 : H1(X, d) -+ H1(K) 가 정의된다 c:x :( x,l A J', (x ) ) ~ c:x i( x,AlL '+11 (x)) C1(K) a· ) c1+ 1( K) dw=O ( w EC 1리( X , d)( w）)이) 면= 1+1( dw ) = 1+1( 0) = 0 이므로 』 (Z1(X,d)) C Z1(K) 이고 w = dT (r E c1-1(x,d) ）이면 l(w) = l(dr) = 8* (1 _1 r) E im a• 이므l로 : fHz (1 B(1x(,X d,) d=)) zC1 (Bx1,( dK))/ B이1댜(X , 그d) 러-므 z로1( KJ1 )은/B 1(K) = H1(K) I 을유도한다 · 이제 선형사상 1I :C 00 (X,A1(X)) --+ C1(X)

   들의 수열을 정의할 수 있다· 각 w E C :x, (X,A1(X) ）에 대해서 』 (w) 는 C,(K) 상에서 선형범함 수 (l i near fu nc ti onal) 가 된다 그러므로 C1(K) 의 기저원소, 즉 유향의 l- 심플렉스 < s > 위에서 』 (w) 의 값을 정의하면 된다 · 우선, U 는 [s] 의 열린 집합일 때 미분가능한사상 hs : U -+ X 를 고려해 보면 h ; (w) 는 U 상의 미분가능한 l- 형식(fo rm) 이다 그러므로 』 (w) < s >를 j(w)( < s >) = 1.> h;(w) 로 정의한다· 즉 < S >=< VQ , •• • ,V/ >이면 (r1, ... ,T/) 을 유향의 기저 {v1 -vo, ... , v1 - vo} 에 대한 좌표라고 할 때, h;( w ) = gd r1 I\ ... dr1 이고 이때 g는 U 상의 연속함수이며 j(w)( < s >) = 1s> gd r1 /\ • • • I\ dr1 이댜 이 적분은 위상동형사상 h 에 독립적이다 · 이제 스토크스 (S t okes) 정리를증명해 보자· 참 o[= j+1od 롤증명하자 · 임의의 미분가능한 l- 형식 W 와 유향의 (l + 1) －심플렉스 < s >에

   대해서, [l+l h; o d(w)](< s >) ===== J1JJ[8s8<(.>s O (> h)d J(3屈8( )(h w *(<:((w) wd])s w )< >)) ) s > I I 이다 그러므로 J1 은 준동형사상 力 : H1(X,d)-+ H1(K) 을 유도한댜 정리 5.6.1 (드람 (de Rlh:a mH1) (X정,리 d)) 캘(X, lK(,Kh)) 가 매끄럽게 삼각형분 할된 다양체이면 는 각 l(O ~ l 츠 d i mX) 에 대해서 동형사상이댜 o 이 정리는 다음 두 개의 보조정리의 결과다· 보조정리 5.6.2 선형사상들 a, : C1(K) -+ C00(X,A1(X)) (0 ~ 뚜 dim K) 의 수열이 존재해서 다음을 만족한다· (1) d o a1 = a1+1 o a• (2) J, oa1 = 항동사상이 댜 (3) K 내의 각 정점 V 에 대해서 c0(v) = 1 인 0- 쌍대쇄 co 는 ao(c0) =

   l 이다 즉 oo(c0) 는 상수함수 1 과 같은 °-형식이다 (4) < s >가 K의 유향의 l- 심플렉스이면 l- 형식 01( 안 ) 는 X - S t (v) 의 근방내에서 항등적으로 0 이다· □ 보조정리 5.6.3 w 가 X 상의 폐 (closed) l- 형식이라 하고 c E C1-1(K) 가 존재해서 』 (w) = a·c 이라 하면, X 상의 (l-1)- 형식 T 가 존재해 서 fi_1 (r) = c 이고 dr = w 이다 o 보조정리 5.6.2 는 ]1 가 전사임을 보여준다 왜냐하면, z E Z1(K) 에 대해서 w = 01(z) 라 하면 dw = d o a1(z) = a1+1 o 8*(z) = 01+ 1( 0) = 0 z이(므x,로d) w- E ZZ11((KX), 는d) 이전다사 이더댜욱 이그 러J;므(w 로) =J I J;역o a시1 (z전) =사 이z 이다므 보로조 』정 : 리 5.6.3 은 Jl 가 단사임을 보여준다 즉 w E Z1(X,d) 이고 J;(w ) E Bl(K) 이면 보조정리 5.6.3 에 의해 w E B1(X,d) 이 된다 (주의 1) 드람정리는 매끄럽게 삼각형분할된 다양체 (X,K,h) 의 단 체 코호몰로지군들이 X 의 드람 코호몰로지군들과 동형임을 보여 준댜 특히, 이 근들은 X의 삼각형분할 (K,h) 에 독립적이다 코호 몰로지군들온 호몰로지군들에 쌍대 (dual) 이므로 미분가능한 다양체 [K] 에 대한 군 Hl(K,R) 은 [K] 에만 의존한다 (주의 2) n > 0 일 때 H1(s•, d) -{ : 二 lo,

   장된다 그러므로 H1(S ,d) = 0 이댜 l = n 일 때, 임의의 폐 n- 형식 W 가 fa w = O 이면 U ) 는 완전형식 (exac t fo rm) 이다 W .......,. fa UI 로 정 의 된 사상 Z(Sn, d) -. JR 은 핵 (kernel) Bn(sn, d) 을 가지는 준동형사상이다· 그러므로 Hn(sn,d) = lR 이고 훈이 연결 이므로 H0(S, d) = JR이다 n=O 일 때 HI(S , d) = { °R EB(OR< :: = O) 이다 여기서 s0 = {-1, 1} 이다

   

   제 6 장 특이 호몰로지 (Si n g u lar Homolo gy)와 코호몰로지 (Cohomolog y) 이 장에서는 간단히 특이 호몰로지와 코호몰로지를 정의하고 기본성질과다양체상에서 호몰로지와코호몰로지 사이의 관계 , 특히 포앙카레 쌍대성 (dua lity)을 소개하겠다 · 6.1 정의 표준 n- 단체 (s t andard n-s i m p lex) 는 볼록한 (convex) 집합 b.n C JR n+l 으로 (n+l) 개 의 실수묶음 (to, .. • , tn) , t; ~ O, to + --• + tn = 1 으로 구성되어 있댜 연속인 사상 u : b.n --t X 를 X 내의 특이 n- 면단(체fa ( cse i )n 은 g u l특ar 이n- s( in m —p le1x)) － 라단 체한 u다 o 특

   6-1 ----+ 잡은 ¢;(to ,··· ,t;-1 ,t; + 1,··· ,t,.) = (to, ··· ,ti-1 ,0,t; + 1,··· ,t11) n 츠 0, 가환환 (commuta t i ve rin g ) R 에 대하여 특이사슬군 (sin g u lar chain gro up ) Cn(X;R) 은 X 내의 특이 n 던체를 생성원으로 하는 자유(fr ee) R- 가군 (module) 이다. n < O 일 때 C .. (X;R) = 0 으로 정의한다 경계 준동형 (boundar y homomorp h is m ) a : Cn(X;R) -+ Cn- i (X;R) 은 8[ 미 = [a o 야] - [a o 이 + ... + (-l)[c 0 리 로 정의한다 연속된 두 경계준동형의 합성은 a o a = 0 이다. n- 번째 특이 호몰로지 군 (s i ng ular homolog y gro up ) H,.(X;R) = BZnn((XX;;RR)) == [[aa :: CCnn+(X1(;XR;)R _) . _C.n C-n1((XX;;RR)) 의의 핵상]] 으로 정의한다· 다음은 코호몰로지 롤 정 의 하자 · 공사슬군 (cocha i n gro up ) Cn(X;R) = HomR(Cn(X;R),R) 은 R- 선형사상 C : Cn(X; R) _. R 으로 이루어 진 쌍대가군 (dual mod- ule) 이댜 사슬 T 의 공사슬값 c(r) =< c,r >E R 로 쓰자· 공경계 (cobound- ary) 8 : cn(X; R) _. C+1(X; R) 은 < 8 • c,a >= （一 1)+1 < c,oa >로 정의한다 6 • 6 = 0 이므로 X의 n- 번째 특이 코호몰로지군 (s i n g ular cohomolog y grou p)을 H(X;R) = Bzn((XX;; RR )) == [[88 :: ccnn-(1X(;XR;) R _) . _C. C+1((XX;; RR)) 의의 핵상]] 으로정의한다·

   다음은 호몰로지와 코호몰로지 사이의 관계에 대하여 알아보자· 가환환 R 을 주아이 디 얼 영 역 (pr in c ip a l ide al domain ) 이 라 하자· 정 리 6.1. 1 Hn-1(X; R) = 0 또는 자유 R 가군이면 HomR(H,.(X; R), R) 은 H(X ; R) 과 자연스럽게 동형이다 중명 준동형 사상 K : Hn(X;R) -+ HomR(H,.(X;R),R) 을 K(x)(() =< x, ( >=< z, <> 로 정의하자· 여기서 z E [x] C zn(X;R),( E [(] C Zn(X;R) 로 z 와 g는 어떤 것을 택하나 값은 같아져(정의에 의해) 잘 정의된다· (1) K 는 전사임을 보이자· 國 타 도 (X 澤) C Cn-1(X ; R) 이므로 부분가군 Zn(X;R) C Cn-1(X;R) ~ Zn(X;R) E9 Bn-1(X;R) 은 자유 가수 (summand) 이다 따라서 어떤 준동형 Zn(X;R)-+ R 이든 지 전체 Cn(X;R) 로 확장할수 있다 임의의 원소 e E HomR(Hn(X;R), R) 에 대하여 합성(준동형) Zn(X; R) -+ Hn(X; R) ~ R 은

   Cn(X; R) --+ R 로 확장된다 E 가 경계 Bn(X;R) 에서 0 이므로 oF = 0 이댜 따라서 공사이클 [E] E Hn(X;R), [{] E Hn(X;R) 에 대해서 < E, { >= E({) = e{{)

   이므로 K([E]) = e 이댜 (2)K 가 단사임을 보이자 [zo] E H(X ; R) 에 대하여 K[zo][{] =< zo, { >= 0, 모든 [{] E Hn(X; R) 라 하자 합성 Bn-1(X;R) 뜨 :n'’(（ 麟)) ~ R 이 정의된다 가정에서 Hn(X;R) 은 자유이므로 Bn-1(X;R) 은 Z n -1(X;R) 의 직가수 (d i rec t summand) 이고 따라서 Cn-1(X;R) 의 직가수이다 따라서 zooa-1 은 Cn-1(X;R) 오 R 로 확장된댜 임의의 [a] E Cn(X;R) 에 대하여 < 8E, (1 >= 士 zoa-1{) (1 = 土 zo (1 = 士 < zo, (1 > 이므로 6E = 士 zo 이다 o 6.2 cw ―복체 (CW-Com p lex) 의 호몰로지 K 를 CW - 복체라 하고 Kn E K 을 n- 뼈대 (skeleto n), 죽 K 내의 n- 차원 이하의 세포 (cell) 의 합집합이라 하자. ([M.S] 73p 참고) 정리 6.2.1 상대호몰로지군 H;(Kn,Kn-1;R) 은 i -f n 이면 0 이고, i = n 이면 K 내에 n 세포만큼 많은 생성원을 갖는 자유가군이다 중명 (코)호몰로지는 A C X 에 대하여 긴완전열(l on g exac t se q uence), ••• --+ Hn(A; R) --+ Hn(X; R) --+ Hn(X, A; R) --+ Hn-1(A; R) --+ •••

   을 갖는다 · 이를 이용하면 H,(R, R ~ O;R) = H,(D, S-';R) = { :R , i t ==/: nn, 이다 S = {sE E E : E 는 K의 열린 n- 세포}라하면 Kn-1 은 Kn-s 의 변형축소 (defo r mati on re t rac t)이다 위와 같이 Kn-I C Kn -S C Kn 에 대하여 완전열을 사용하면 H;(Kn,Kn-l;R) ~ H;(Kn,Kn - S;R) 이다 절단 (exc i s i on) 을 이용하면 H;(Kn, Kn - S; R) ~ H;(U(E, E -su); R) ~ EBH;(E, E -s E; R) ~ 학 H;(Dn, sn-1; R) 이므로 위의 결과와 같이 증명된다· □ 앞의 정리 결과는코호몰로지에 대해서도성립한다· 정리 6.2.2 호몰로지군 Hi ( Kn; R) = { ::(;;>R:, i < n 이며 코호몰로지군에 대해서도마찬가지로성립한다· 중명 (1) 호몰로지에 대해 n 에 대한 귀납법을 사용하자. i > 0 이면 H;(K0; R) = 0 이 다 n 일 때 성립한다고 가정하자· 완전열을 이용하면, H;(K-1;R) 一 H;(K;R) - H;(K,K-1;R) 에서 i > n 이면 H;(Kn;R) = 0 이고 i < n 이면 H;(K 적 R) ~ H;(K +l;R ) ~ H;(K+2; R ) ~ ... 이댜 따

   라서 CW 복체가 유한차원이면 증명됐댜 일반적으로 Hi ( K;R) ~ li rn~ :ic H;(Kr;R) 이 성립하므로 정리가 증명된다 (2) 코호몰로지에 대해서 i ~ n 일 때 Hi ( K,Kn;R) 욱 H,(Kn+1,K'l;R ) = 0 이므로 앞의 정리에 의해 i ~ n 일 때 Hi ( K,Kn; R ) = 0 이다 코 호몰로지열을 이용하면 i > n 일 때 Hi ( K;R) ~ H i (K;R) 이므로 호 몰로지와 같이 i > n 일 때 Hi ( Kn;R) = 0 이다 o 자유가군 Hn(Kn, K-1; R) 을 CW 복체 K 의 n- 차 사슬군 (n- t h chain grou p)이라 하고 %(K;R) 로 나타나자 이와 같이 코호몰로지 군 Hn(Kn' Kn-1; R) 학 HomR(cn(K; R), R) 울 n- 차 공사슬군 (cocha i n g rou p)이라 하고 cn(K;R) 로 나타내챠 세 쌍 (Kn+l,Kn,Kn-1) 에 대한 완전열에 의하여 경계준동형 On : Hn+ 1( Kn+ l, K 념) - Hn(Kn, Kn- l; R) - On : Cn+1(K; R) --t cn(K; R) 이 정해지고 같은 방법으로 on : en(k;R) - en +l (K;R) 이 정해진댜 정리 6.2.3 사슬복체 c.(K;R) 에 대한호몰로지군 Zn(K;R)/Bn(K;R) 와 Hn(K;R) 은 동형이다 공사슬복체 c*(K;R) 에 대한 코호몰로지군 zn(K;R)/Bn(K;R) 와 Hn(K;R) 은 동형이다·

   증명 세 쌍 (Kn+l, K , J{ -2) 에 대한 호몰로지완전열과 (Kn, Kn-1, Kn-2) 에 대한 호몰로지완전열로부터 。 1 C+1 ~ Hn(Kn, Kn-2 戶 Hn(Kn, Kn-2) --+ 0 \ L Cn L Cn-1 수직완전열로부터 En(K;R) ~ Hn(Kn,Kn-2) 이고, Z,./Bn ~ Hn(Kn, K-2)/im i ~ Hn(Kn, Kn-2)/kerj ~ Hn(K +l, K-2) 이댜 위의 정리에 의해 Hn(Kn+l,Kn-2) ~ Hn(Kn+l) ~ Hn(K) 이고 같은 방법으로 코호몰로지에 대해서도 증명된다· □ 6.3 코호몰로지곱 공사슬 c E Cm(X), c' E Cn(X) 에 대하여 합곱 (cup pr oduct) C . c1 = C u c' E cm+n(x) 룰 다음과 같이 정의한다· 특이단체 q : ~m+n -+ X j Om : 6.m - 6.m +n, om(to , • • • ,tm) = (to, ' • ,tm, O, • • • ,O);

   /3n : 삼 n - 십 m+n, f3n (tm , • • • , tm +n) = (O, • • • , O, tm , · • · , tm +n) 에 대하여 c 의 앞 m- 면 (fron t m.-fa ce) 은 a • Om : 6.m - X 이 고, 뒤 n- 면 (back n- fa ce) 은 a • /3n : 6.n - X 이댜 합곱은 < c·c',a >= (— l)m+n < c,a ·Clm >< c',a ·f3n >E R 로 정의한다 합곱은 양선형 (b il i near) 이고 결합법칙을 만족하지만 교환 법칙은 성 립하지 않는다· 상수공사슬 1 E c0(x) 가 항등원이고 8(c · c') = 8c · c1 + (-l) 안 • 6c' 이다 따라서 코호몰로지상에 곱 Hm(X) ® Hn(x) - Hm+n(x) 이 대 웅된댜 정리 6.3.1 a E Hm(X), b E Hn(X) 일 때 a • b = (-l)mnb • a 이다 중명 책 Greenberg. Harpe r [G.H] 정 리 24. 8 참고 o 따라서 H*(X) = EBH i (X) 은 차수 붙은 환(g raded r i n g)이다 위상 공간 A C X 에서 C E cm(x,A) C cm(x) 이면 (j : b,m -+ A C X 에 대해 c(u) = 0 이댜 만일 c' E cn(X) 이면 C • c' E cm 표 (X,A) 이다· 따 라서곱 · : Hm(x, A) ® Hn(X) -+ Hm+n(X, A) 가정의된댜 보다 일반적으로 두 열린 부분집합 A,B CX 에 대하여 Ci( X; A, B) 三 C;(X, A) n C;(X, B) C C;(X)

   라 하자 c E Cm(X,A),c' E Cn(X,B) 에 대하여 합곱 c • c' E [;m+(X; A, B) = cm+n(X, A) n cm+n(X, B) 이다 곱사슬 복체들의 짧은 완전열 o-c· (x,A u B) - C*(X;A, B ) -> C'(A UB;A,B) - o 을 갖는다 그런데 복체 C*(AUB;A,B) 는 0- 코호몰로지롤 가지므로 복체 사이의 포함사상 c·(x,A uB)-+ C*(X;A,B) 은 코호몰로지에 서 동형사상 H*(X,AUB)~H*(X;A,B) 이 된댜 따라서 합곱 U : Hm(X, A) ® 田 (X, B) -+ Hm+n(X, A U B); U(c ® c') = c U c' = c • c' 가잘 정의된다· 유클리드 공간 R’’ 에서 원점을 뺀 공간을 R} 로 쓰자· Pi : (X x Y, A x Y) - (X, A) P2 : (X x Y, X x B ) - (Y, B ) 이 라 하자. a 와 b 의 외 적 (cross p roduc t)을 a X b = Pi * (a) U P2*(b) E Hm+n(X x Y, (A x Y) U (X x B)) 로정의한다 여기서 (X x Y, (A x Y) U (X x B)) = (X,A) x (Y,B) 이다 예를 들면 (R, 恥 )X .. ·X( JR,恥) = (Rn’ 恥)이댜 Cn E H(JR n ,JR o) 은 다음와 같이 유도된 생성원이다· 여기서 n 은 n 번 곱한 것을 의미 한다 恥 三 lR-0 = llL ull4 이고, 절단 (exc i s i on) 과 (lR,lRo,L) 에 대 한완전열에 의해서 Ho( 記) 으 Ho( 恥, R) 으 Hl(JR , lRo)

   1 E H0( [4)에 대응된 생성원을 c E H1( JR,JRo)라 하고 , en = C X • • • X C E H n (JRn ’ 腐 ) 는 n 번 r 를 외적한 것이다 정리 6.3.2 A 는 X 의 열린 부분집합일 때 , 사상 Hm(X, A ) -H m+ n((X,A) X (JR , 勳 )) , a -a X en 은 동형이다 · 증명 귀납법과 결합법칙 a X en = (a X en- l ) X e 에 의하여 증명하자 · (1) n = 1 이고 A = 0 일 때: 고정된 a E Hm(X) 에 대하여 Ho(IR+ ) H0 (1Ro .llL ) t ’ Hl( JR , 恥 ) .x l •• l .x l H'n(X) 츠 H'(X X IR . ) ―스— H m( X x! Ro, X x!R o) ―上一 H m i 1(XX JR , X X 勘 ,i＊ 는 절단에 의해 동형이고, (X X lR,X X 恥 ,X x 惡)의 코호몰로지 완전열에 의하여 6' 도 동형이다· 위의 그림에서 8(1) = c,01(a X 1) = (a. x l) x c 이고 (a x 1) x c = a x c 이다· (2) n = 1 이고 A # 0 일 때 : z E Z1( JR,JRo)가 코호몰로지류 C 를 나타낸다고 하자· 0 一 cm ( X, A ) cm(x) I cm ( A) 一° x'l xzl x,l 0 一 C '~1 (X X JR; X X IR-0. A X JR)-+ cm + 1(X X JR, X X IR-0) -+ cm ti(A X IR, A X IR-0) -+ 0 위의 그림은 교환이고, 두 열은 완전열이다. o(a X z) = o(a) X z 이므 로 두 열은 공경 계사상 6 와 교환이 다· 따라서 다음과 같은 교환인 코

   호몰로지 그림을 갖는다· 6 Hm(X, A ) W(X) Hm(A) b x'l xcl Xel _스一 Hm +l( (X. JR } X (JR, JR o}} - Hm+ l( X X JR, X X lRo) -Hm+I(A X JR, A X !Ro) _스一 (1) 에 의해 마지막 두 수직 Xe 는 동형이므로 Fiv e Lemma 에 의해 처 음 Xe 도 동형이다 (1) 과 (2) 에 의해서 n = l 일 때 정리는 증명되었 댜 이와 같은 방법으로 모든 n 에 대하여 정리가 성립한다· □ 정리 6.3.3 X 와 Y 가 CW 복체이고, 각 H i (X) 가 꼬임이 없는 R- 가 군이고 Y 는 각 차원에서 유한개의 세포를 가지면 x : EB;+i = nHi ( X) © Hi ( Y) -. 田 (X x Y) 는동형이다 (주의) (1) 정수계수에서 X 三 Y 三 RP2 가 실사영평면이면 위의 정 리는성립하지 않는다· (2) 만일 X 와 Y 가 무한개 점으로 된 공간이면 위의 정리는 성립하지 않는다· (3) 만일 환 R 이 체(fi eld) 이면 꼬임은 없다· (4) 보다 일반적으로 (X,A) 와 (Y,B) 에 대해서도 위 정리는 성립한 댜 이 를 Kuenne t h 정 리 라 한다· 중명 (1) y가 유한 CW 복체라 하자. Y 내의 세포 수에 대한 귀납 법으로 증명하자. Y 가 한 점일 때, 정리는 명확하다. E 가 Y 의 최고 차원의 열린 세포 (o p en cell) 라 하고, Y1 = Y - E 라 하자· 귀납법에 의해서 X' : EBi +i=n Hi ( X) ® Hi ( Y1) -+ Hn(x x Y1)

   은 동형사상이다 다음 교환그림을 생각해 보자· •• • -----+ eH'(X):.,Hi ( Y) - eH '(X)3 Hi (Y i ) - eH (X)3 H i +1 (Y, YiJ · ·· xl X'l .I• I I l ·• • ---+ H (X x Y) H(X xYi) H 11(XXY.XXYd· ·· 위 열은 (X,Y1) 의 완전열에 H i (X) 룰 텐서(t ensor) 하여 i + j = n 이 되는 니를 더하여 얻었다. H ;( X) 가 비틀림 이 없으므로(t ors i on free ) 위 열은 완전열이다· 코호몰로지의 절단법칙에 의해서 HJ (Y, Y나 ~ H'(Y, Y -p o in t ) ~ Hj ( E, E - po in t ) Hn(X xY,XxY1) ~ Hn(XxY,XxY-po in t ) H (XxE, X xE-po in t ) 과 정리 6.3.2 에 의해서 X 은 동형사상이다 그러므로 Fiv e Lemma 에 의해서 X 도 동형사상이다 (2) y가 무한 CW 복체이고 각 T- 뼈대 y r 이 유한일 때, X X y r 에 (1) 을사용하면 정리가성립한다· 정리 6 . 3.2 에 의해서 포함사상 yr ._ Y, X X yr ._ X X Y 가 코호몰로지에서 T 보다 작은 차원에 대해 동형사상을 유도한다· 따 라서 n < T 인 코호몰로지에서 정리가 성립한다· 한편 T 은 임의의 수 이므로정리가성립한다 . D 6.4 다양체의 호몰로지 M 을 고정된 n- 차원 다양체라 하자 K 는 콤팩트이고 K C L C M 이라 하면 준동형사상 PK : Hi ( M,M -L) -Hi ( M,M - K) 이 포 함사상에 의해 유도된다· 이때, PK(a) 는 a 를 K 상에 제한한 것으로

   생각할수 있다· 정리 6.4 .1 (1) 'i > n 이면 H,(M,M -K ) = 0 이다 (2) 호몰로지류 a E H,.(M, M - K) 가 0 일 필요충분조건은 모든 x E K에 대하여 Px(a) E Hn(M, M -{x}) = 0 이다 증명 6 단계로 나누어 층명한다· (1) M = JR%]고 K 가 볼록콤팩트일 때 : X E K 이고 S 가톨 중심으로 하는 (k-1)- 차원 큰 구라하자 그러면 S 는JR n-{x} 와JR n-K 의 수축이다 모든i에 대하여 H;(JR n ,JR - K) 프 H i (R' 니언 - {x}) 이므로 층명된댜 (2) K = K1UK2 이고 K i ,K2,K1nK2 에 대해 성립할 때: 보조정리 6.4 .2 상대 메이어-비에토리스열 (rela ti veMay er-V i e t or i sS e­ qu ence) -H;+1(M, M - (K1 n K2)) ~ Hi ( M, M — K) ~ Hi ( M, M 一 K1) 학f ;(M, M -K 2) 一 s(a) = PKi ( a) EBPK2(a) 은 완전열이다· 중명 U j룰 열린 집합 M - K i라 하고 C i (M;U1,U 이룰 상 Ci (M )/ {C;(U1) + C;(U 이}라 하자 여기서 Ci (U1 ) = C i(U:이 C C;(U1 U U2) 는 U1 과 U2 에 있는 특이 i-단체에 의해 생성된 자유가군이다· 포함 준동 형사상 c.(M; U1, U2) -+ c.(M, U1 U U2) 이 호몰로지군에서는 동형사

   상을 유도한댜 포함 준동형사상으로 된 다음 그림 C;(M, U1) / \ C;(M,U1 n U 이 C;(M;U1,U 이 \ /X C;(M,U 이 은짧은완전열 0 -+ C;(M, U1 n U 이 ~ C;(M, U1) 인 C;(M, U2) ~ C;(M; U1, U2) -+ 0 을 이루고 경계사상( a )과 교환되어 짧은 복체완전열이 되어 호몰로 지의 긴 완전열, 즉 상대 메이어-비에토리스열을 얻는다· □ 상대 메이어-비에토리스완전열과 K의 원소 X 에 대하여 o--+ H.(M ,M -K) 소 H.,(M ,M -K i ) eH.(M,M -K 2) --+H.(M,M -K 1 nK 가 .. pz l p,학 ,l pz l O-+H0 (M , M - {r}) 一 Hn (M, M 一 {r}) 9 H0 (M , M -{ r})- + H0 (M, M -{ r}) ... X 가 K = K1UK2 의 모든 원소로 움직이면 K1 과 K2 의 모든 원소 사 이에서 정리가성립하므로 aEHn(M,M-K) 에 대하여 p:r (a)=0 이 면 s(a) = 0 이고 S 는 단사이므로 a = O 이댜 (3) K C JR머 볼록한유한개의 콤팩트 합집합 K1 LJ .. ·UKr 일 때: r 에 대한 귀납법으로 (1) 과 (2) 를 사용하면 증명이 된다· (4) K 가 R 떡 콤팩트 부분집합일 때 : a E.H;(JR n ,JR n - K) 가 주어지고 사슬 r E Gi( JRn ,JR n - K) 가 a 룰 나 타낸다고 하자. r 의 경계 {}r C JRn -K는 콤팩트이며 K 와 서로소이 댜 따라서 N 을 K 의 콤팩트 근방으로 {j r 과 서로소가 되도록 잡으면

   a' E H i(lR.'냐 R’I _ N) 쓰 Ht ( R’I,R '‘ -K ) 가 존재하여 PK(a') = a 가 된 댜 N 내에 유한개의 닫힌 공 B i,··· ,B,. C N 으로 K 를 덮을 수 있다 또한 KnBJ # 0 이라 하자· 만일 i > n 이면 각 X E B1U· · ·UBr 에 대 하여 Ps,u ...u s,(a') = 0 이고 a = O 이다 (5) K C M 가 Rn 과 위상동형인 U 내에 있을 때: 절단법칙에 의하여 H.(M,M -K) ~ H.(u,u - K) 이다 (4) 를 이용 하면 증명된다 (6) K C M가 임의의 콤팩트 부분집합일 때: K = K1 U ••• U Kr 가 콤팩트 부분집합 K1 의 합집합이고 각 KI 는 좌 표근방 내에 있게 만들 수 있다 . (5) 와 (2) 에서 ( r 에 대해서)귀납법 을 사용하면 정리가 증명된다· □ Z 를 정수들로 된 군이라 하고 , 계수가 Z 인 호몰로지군을 생각하 자 각 점 xEM 에 대하여 H;(M,M -{x};Z) 합 H;(lRn,]R n -{O};Z) 는i = n 일 때 Z 와 같고, i # n 이면 0 이다 X 에서 M 의 국소방향 (local orie n ta t i on ) 0x 는 Hn(M,M-x;Z) 의 두 생성 원소 중 한 선택을 의미 한댜 X 에서 국소방향 0:,: 는 X 의 작은 근방 내의 각 점 y에서 국소방향 O y를 결정한다 만일 B 가 X 의 국소좌표계라 하면 각 점 ’y E B 에 대 하여 H.(M,M —{ x}) ~ H.(M,M —B ) 오 H.(M,M ―{y}）에 의하여 Ou 가 정해진다. M 에 대한 방향 (or i en t a ti on) 은 각 점 x E M 에 따라 연 속적으로 Ox 를 대웅시킴올 의미한다 여기서 연속적이란 의미는 콤 팩트 근방 N C M 이 있어 각 점 X E N 에 대하여 Hn(M, M 라V ) 느 Hn(M,M -{x}),p x(O N) = 0 김을 뜻한다 M 과 방향을 합하여 방 향이 주어진(있는) 다양체 (or i en t ed man ifo ld) 라고 한다· 정리 6.4.3 방향이 주어진 다양체 M 의 콤팩트 부분집합 K C M 에 대하여 유일한 호몰로지류 OK E Hn(M,M - K) 가 존재하여 각 점

   X E K 에 대하여 p.r (0 사 = O.r이다 만일 M 이 콤팩트 이면 유일 한 O., r E Hn(M) 을 M 의 기본호몰로지류 (fun dament al homolo!D ' class) 라 한다 중명 유일성은 정리 6.4.1 에 의하여 다음과 같이 증명된 다· 각 점 .,: E K에 대하여 OK,0~ E Hn ( M ,M - I<)가 존 재하여 pr(O K) = Or = Px(O~) 이면 p.r(O K - 0~) = 0 이 되어 OK = 0~ 이다 존 재성윤 3 단 계로 나누어 증명해 보자· (1) 만일 K 가 국소좌표계 U 에 속하면 M 의 방향성에 의하여 OK E H11(M,M - K) 는 PK(Ou) = OK 로 존재한댜 (2) K = K1 U K2 이고 아다 OK ~ 가 존재할 때: 상대 메이어-비에토리스 완전열은 0 -. Hn(M, M - K) ~ Hn(M, M - 1 이 학f n(M, M - K 이 ...!.+ Hn(M,M -Ki nK2)-. ... 이다 여기서 s(a) = PK1(a)EBPK2(a),t( f3E B;) = PK1nK2( f3 )-PK1 n K 2 (;) 이 다 K1 n K2 에 대한 유일성에 의하여 t(O K1 EB OK2) = OK1n K 2 - OK1nK2 = 0 이므로 유일한 a E Hn(M,M - K) 가 존재하여 s(u ) = OK1 EBOK2 이다 여기서 a 가 구하는 OK 이다· (3) K C M 가 임의의 콤팩트 부분집합일 때: (1) 에 의해 K = K1U···UKr 이고 각i에 대하여 야가 되게 K 를 콤 팩트 집합 K i의 합집합으로 쓸 수 있다 (2) 와 r 에 대한 귀납법을 사 용하면 정리가 중명된다· □ (주의) (1) 임의의 계수 정수 영역(i n t e g ral domain ) R 에 대하여 유일 한준동형사상 Z--+ R 을준동형사상 Hn(M,M-K;Z)--+ Hn(M,M- K 澤)의 OK 의 상과 같이 OK 로 사용한댜 특히 OK E Hn(M,M - K; 乙)는 방향성의 가정없이 존재한다 왜냐하면 乙는 생성원이 하 나뿐이기 때문이다·

   (유2)일 M한 아에 :경 E계 H,iJ ,M( M이 , (있M으-K면) U각 i J 콤M)팩 가트존 부재분하집여합 각 K 점C x ME 에K n대(M하여 — UM) 에 대해 p r(0 깁 = o .r이다 특히 M 이 콤팩트이면 기본호몰로 지류 0.\ I E JI ,,(M , DM) 가 존재하고 경계준동형 D : Hn(M ,a M) -. I[,니 (UM ) 의 o.\l 의 상 U(O.v ) = Oi) .\ l 은 경 계 UM 의 기 본호몰로지 류 이다 6.5 포앙카레 쌍대 (Po i ncare Dua lity)정리 공사 슬 C E C'(M) 이 콤팩트 받침( comp ac t su pp or t)을 갖는다 는 것은 콤팩트 부분집합 K C M 이 존재하여 c E C;(M ,M - K) C C ' (M) 에 속함 을 의미한다· 다시 말하면 M -K 내의 i-차원 특성단 재 (s i ng ular s i m p lex) 의 c 의 값은 0 이다 A/ 내의 콤팩트 받침을 갖는 i-차원 공사 슬 의 집합을 C~omp (J/) C C ; (',I) 로 쓰자 c;om p (M,8) 는 (c·(M), a ) 의 부분복체를 이루고 그의 코호몰로지를 HC.om p (M) 로 쓰 자 . A/ 상의 모든 콤팩트 부분집합은 포함관계에 의하여 직집합 (d i rec t set) 이 되고 코호몰로지의 직극한은 limK Hi ( M,M-K) = H:omp ( M) 이댜 특히 M 이 콤팩트이면 H:omp (J/) = H;(M) 이다 만일 M 이 방 향을 갖는 다양체라면 M 상의 적분에 해당하는 준동형사상 H 싫 m p (M) -+ R, a 1--+ a[M] 이 아래와 같이 정의된다· 만일 M 이 콤팩트이면 a[M] =< a, O . it >E R 이고, 일반적으로 a 는 a' E Hn(M,M - K) 로 나타내고 a[M] =< a',OM >E R 로 정의한다 이 정의는 적극한과 OK 의 유일성에 의하 여 K 와 a’ 의 선택에 의존하지 않는댜 다음은 호몰로지와 코호몰로

   지를 연결하는 교적 (ca p p roduc t)을 정의하자 · 양선형 (b ili near) 사상 n : Ci (.M) ® C,.(M) 一 C,I-, (M ) (b ® t:) --> b n t; 은 각 a E C-'(M) 에 대하여 < a, b n t: >= < Cl u /,.{ ＞로 정의한 다 구체적으로 각 생성원 a E Cn(A f)에 대하여 b n a = (-1)'( ＂키) < b , a 의 뒤 i-면 > ·(a 의 앞 (n 一 .i) 一 면) E C, E 1(M) 이다 깝곱 U 와 교적 n 의 정의로부터 다음의 성질을 얻는다 · 연습문제 1. (b U c) n { = b n (c n O. 2. l n ( = (. 3. a(b n () = (ob) n ( + （一 l)d i mbb n 8(. 연습문제 3 으로부터 준동형사상 n : Hi ( M) @ Hn(M) --. Hn-;(M) 울얻는다 정리 6.5.1 (포앙카레 쌍대정리) M 이 방향을 갖는 콤팩트 n- 차원 다양체이면 nOM : Hi ( M) -+ Hn-i( M),a 1--t a n 0 』\ ［온 동형사상 이댜 a

   방향을 줄 수 없는 다양체일 때, 乙계수를 사용하면 쌍대정리 릅 얻는다 일반적으로 M 이 콤팩트 가정없이 정리를 증명하면 정 리 6 . 5.1 은 자동적으로 증명된다 · 부분집합 A C M 에 대하여 교적 n : C''( Al,A)0 C n(A /,A ) - Cn- i (A/) 의 정의와 연습문제 3 에 의하여 교직 n : H'(M ,A ) ® H,1(M ,A ) 一 H,I - ,(M) 이 정의된다· 다음은 쌍 1대1 E사 1상1:o mD p (: A H/~) om=p l( iMm K) -Hi H( ,M, _, ;M (M —) 을K) 아 는래 a와' E 같H이i ( M정, M의 하-자 K) 각로 원나소타 난다 D(u) = u'nOK 로 정의한댜 만일 K1 C K2 이면 H'(M.l\J - Ki ) -+ Hl(M,M —K 이 noKl \ / noK2 Hn-;( M ) 이 교환이 므 로 잘 정의된다· 정리 6.5.2 (포앙카레쌍대정리) 쌍대사상 D : H~omp ( M) -+ Hn-i( M) 은 동형이다 만일 M 이 콤팩트이면 no.\[ : Hl(M) -+ Hn-1(M) 이 동 형이다 중명 다섯 단계로 나누어 증명하자· (1) M = JR일 때: B C ]R n 가 공이면 Hn(Rn,Rn_B) ~ R 이며 °B 가 생성원이다· 그리고, H,I-1(R,R~ B) = 0 이므로 정리 6. 1. l 에 의하여 Hn(JR n ,]R n _ B) 프 R 이고 생성원 a 가 존재하여 < a,Os >= 0 이다· < lUa,Os >=< l,anOs >= 1 이므로 a n OB 가 Ho( 軒) ~ R 의 생성원이다· 따라서 noB : Hn(lRnIJR -B)-Ho (lRn}

   은 동형이다 B 에 대하여 직극한을 취하면 D : H 싫 m p(IR’’) 一 Ho(R’’) 은 동형사상이다· (2)M=UUV 이고열린부분집합 U , V,UnV 에 대해 정리가성립 할 떄 각 콤팩트 I( C U, L C V 에 대하여 상대 메이아비에 토 리스 완전열 -+ H'(M, M —(K n L)) 一 H' (M . M - K) ® II'( M . M - L) 一 H'(M,M-(KUL))-•• • 은 절단법칙을 이용하면 완전열 -H' (u n V, u n V - (I< n L)) 一 Hl(U, u - K) ® H'(V, v -L ) 一 H'(M,i'I —(K UL)) - ••• 을 얻는다 K 와 L 에 대하여 직극한 (d i rec t li m it)을 취하면 ... - H 뇨 ,u p (U n V) H;om p ( U) O H&'p ( I') , H, ,”',(.\f ) ... Dl 퍄 D l r4 ... - H;,_,(unv) - H 뇨 ,(U) e H 뇨 ,(V) - H,:,_ ,( .\/) -.. 인 교환인 완전열을 얻는댜 여 기서 Fiv e Lemma 를 사용하면 D : H~omp ( M) ----t Hn-i( M) 은동형사상이댜 (3) M 이 열 린 둥지 부분집 합 (o p en nest ed subset ) {U>.} 로 되 어 있으 며 각 U ,1.는정리를만족한다고하자· H~omp ( M) = liln H~omp ( U.x ) , Hn-i( M) = liln Hn-i( U.x ) 이고 동형사상의 직극한은 동형이다· (4) M 이 R떡 열린 부분집합일 때:

   M 이 볼록 (c onv e x ) 집합이면 R’’ 과 위상동형이므로 (1) 에 의하여 정리 가 성립한다 Al 은 열린 볼록 부분집합 Vi , ••• vk 의 합집합으로 나타 낼 수 있다 임의의 k 에 대하여 VIU ••• UVk 에 대해서는 (2) 와 귀납법 에 의하여 정 리가 증 명된다· 다시 (3) 에 의하여 M 에 대해서도 정리 가성립 한 다 (5) M 이 임의의 방향 을 갖는 n- 차원 다양체일 때 : M 이 R 과 위상동형인 집합 {Vi}로 피복되고 {V사 가 정렬순서집 합 (well-or -1 에 대하여 UA

   

   제 7 장 벡 터 다발 {Vec t or Bundle) 미분다양체상의 벡터다발은 해석학을 통하여 다양체를 연구하 기 위한 중요한 도구이다 · 벡터다발에는 미분다양체의 접다발, 공변 접다 발 이런 다발들의 외적 , 역 , 텐서 등으로 얻어진다· 7.1 국소 벡터다발 예를 들어 M 이 R 젝 열린 부분집합과 같은 n- 차원 미분다양 체라 하자 그리고 V 를 임의의 k- 차원 벡터공간이라 하자 · 이때, 사 영사상 1r : M x V __. M,rr(p, v ) = p를 갖는 적다양체 M x V 를 M 상의 k - 차원의 국소 벡터다발이라 한다 이때 , M을 기저다양체 라 하고 임의의 p E M 에 대하여 {p} X V 를 p 상의 파이버(fi ber) 라 한다 여기서 파이버는 점 P 의 꼭대기에 놓여진 벡터공간 V 의 복사 로 생각할 수 있다 이러한 벡터다발은 일반적으로 E = M x V 로 나 타내고 P 상의 파이버를 % = {p} x V 로 생각한다 . M 상의 국소 벡

   터다발 E 의 cr(cx) － 단면은 모든 p에 대하여 a(p) E EP 인 C'· 사상 6 : AI -+ M x R 를 의 미 한다 즉 C 는 각 점 p에 대 하여 파이 버 에 있는 한 점 a( p)를 r 번 미분가능하게 그 파이버 를 지나면서 변화하 는 사상이다 E 의 er 단면들의 집합을 rr(E) 로 표시하자· 모든 벡터 다발은 a (p) = (p, 0) E {p} x V 로서 정 의 되 는 영 단면 (zero ~ecti o1 1) 윤 갖는다· (예) U 를 ]R n 상의 한 열린 부분집합이라고 가정하자· 먼저 V = lRn 이 라 놓고 U 상의 n 차원의 벡터다발 TU 를 생각해 보자 · 이것을 U 상의 접다발이라 부르며 파이버는 Ty lR n, 즉 y에서의 접공간이다· 이 벡터 다발의 ex 단면은 벡터장으로서 기호로 rx(TU) = T(U) 로 나타낸 댜 다음으로 V = (lRn)• 라 하자 공변접다발 T*U 는 U 상의 n 위의 벡 터다발이고 Y 상의 파이버는 공변접공간 Ty lRn 이고 EX 단면은 U 상의 l- 형식 (1- fo rm) 이다 기호로는 rx(T*U) = H1U 이다 7.2 국소다발의 구조 E = M x V 를 m- 차원 미분다양체 M 상의 k 차원의 국소 벡터다 발이라 하고, E' = N x W를 n- 차원 미분다양체 N 상의 q차원의 국소 벡터다발이라하자. er 사상

   (p), g(p)v ) E N X W (7.1) 올 만족하면 t를 er( 국소)벡터다발 선형사상 (vec t or bundle homo - mor p h i sm) 이라 부른다 죽 硏르 파이버상에서 선형이고 그 선형사상 은 파이버에서 파이버로 변화한다고 말할 수 있다· 좀더 자세히 표현

   하면 (p, v) E {p} X V = Ep , ~(p, v) E {(p)} x lV = E~(p ) 이 댜 따라서 (v -, ~(p, v)) E L(Eµ -, E'( (p) ), \ fp이 다 유한차원 의 깅우에 는 사상 t : E 一 E' 이 C r ( 국소)벡터다발 선형사상이 되 기 위 한 필 요 충 분조건이 0 가 ( 7 . 1) 을 만족하고 사상 : M --+ N 과 g : M 一 L(V 가 V) 들 이 er 인 것이다 (예) U C !R m 과 U' C ]R n 이 열린 집합이고 ¢ : U --+ U’ 가 매끄러 운 전사상이라 하자· 접사상 T ¢ 는 TU 에서 TU' 으로 가는 선형사상 으로서 u 에서의 접벡터 ( = (y ,V ) 를 T( y, v ) = ((y), D< />( y) v ) = d(y )( E To( y潔 (7.2 ) 로보낸댜 ¢ 의 당김(p ull - back) 은 U' 상의 미분형식 (즉 U 상의 공변접다발의 외적역의 단면)으로부터 U 상의 미분형식으로의 사상이라 할 수 있 댜 ¢. 를 T * U’ 에 서 T*U 로 가는 사상으로서 q,•(q,(y), a ) = (y, aD< f>(y)) E (Ty! Rm ) (7.3) 이라 쓰는데 이 때, n- 차원 행벡터 a 를 n x m 도함수 행렬 D¢(y) 앞에 곱하면 m- 차원 행벡터를 찾을 수 있댜 E = M x V 와 E' = N X w는 서로 미분동형인 기저다양체를 가 지고 V 와 W 는 동형벡터공간들이며 i는 (7.1) 을 만족한다고 하자· 죽

   : M --. N 는 er 미분동형사상이고, (7.4) g(p) E L(V -+ W) 는 임의의 P 에 대해 동형이다. (7.5)

   다시 말해 g (P) 는p 를 따라 C 형태로 변화하 는 0 ( p)의 파이버와 P 상 의 파이버 사이의 선형사상이다· 이때. : E --+ E' 를 e r 국 소 백터다 발 동형사상 (vec t or bundle iso morp h is m ) （만일 ¢ 가 항 등 사상이 면 항 등사상)이라 하고 E 와 E' 을 C r 동형(i somor p h i c) 이라 한다· (예) q> : U ---+ U' 가 미분동형사상인 경 우 (예 를 들 어 R ’ ' 상 의 두 좌표 사이의 변수변환사상)에 접사상 T<;> 와 위 예의 당 김 사상 을 들 수 있 댜 왜냐하면 이 경우에 있어서 ¢ 의 미분 은 각 접 공간사이의 가역의 선형사상이기 때문이다· E=MXV 와 E'=M x W는 같은 기저다양체 M상의 국소 벡터 다발이 라 하자· 준동형 다발 Hom(E, E') 를 국소 벡 터 다발 M x L(V ---+ w) 로 정의하자 다시 말해 P 상의 파이버는 Hom(E, E')p = L(E --> 터) (7.6 ) 이댜 L(V -+ W) 의 차원이 (p' V) = (p, (1(p) V) E M X w (7.7) (예) (1) 쌍대다발 E' = M x lR, 즉 M 상의 국소 직선다발의 경우 Hom(E, M x lR) p는 쌍대공간 E; 이다 이때, Hom(E,M x lR) 은 E 에 대한 쌍대다발이라 하며, E 로 표시한다· 예를 들면 공변접다발 T*(U) 는 접다발 TU 의 쌍대다발이며 더 일반적으로 A9(T*U) ~ (M(TU))* 이므로 A9(TU) 의 쌍대다발이다·

   (2) 준동형사상 다발의 단면으로서의 사상의 미분: U C !R m 과 U' c 惡''들이 열린 집합이고 : u - u’ 가 er 전사상 이라 하자· 새로운 벡터다발을 * (TU') = u X IR (7.8) 로 정의하고 이때 파이버 (* (TU'))y, Vy E U (7.9) 이고 사상 y -+ d rp(y)는 ¢보다 차수가 정확히 1 만큼 작게 미분가능 하기 때문이다· (3) 백터다발의 미분형식: 만일 E 가 열린 집합 U E !R m 의 접다발 TU 라면 Hom(TU,E') 의 단면은 벡터다발 E' 의 U 상의 1- 형식으로 부를 수 있다· 앞의 예에서 0 의 미분을 U' 의 접다발의 당김치를 갖는 U 상의 1- 형식으로 볼 수 있다· (4) 준동형사상 다발에 대한 텐서적 표현: 텐서적 V* ® W는 L(V - W) 와 동형이다 여기서 V 와 W 는 벡 터공간이댜 따라서 만일 E = M x V 와 E' = M x W가 같은 기저다 양체 M 상의 국소 벡터다발이라면 벡터다발 Hom(E,E' ）은 국소 벡 터다발 E ® E' = M x (V ® W) (7.10) 과 동형이고 Hom 이란 표기보다 (7.10) 의 표현을 더 많이 사용한다·

   (7.9) 의 미분을 사용하여 이 용어를 다르게 설명할 수 있다· d ( x) = E;,jD i< />J (x)(dx ' © -a;:iJy;= j- ) (7.11) 이때 , ｛ 군 }와 {합}는 각각 U 와 U' 상의 좌표 계 둘 이다 · 7.3 벡터다발 M 을 미분다양체라 하자 매끄러운 전사상 1r : E -+ M( 사영사 상이라 부른다)을 가지는 다양체 E 가 다음과 같은 조건들을 만족하 는 경우 M 상의 k- 차원의 C 젝터다발이라고 한다 (종종 E 를 벡터다 발이 라고 하기도 한다 . ) 모든 p E M 에 대하여 Ep = 7r- l(p ) 가 k- 차원 벡터공간 V 와 동형인 실벡터공간이 되는 V 가 존재한다. E p는 P 상의 파이버라한댜 M 상의 각각의 점은 다음과 같은 어떤 열린 집합 J E M 에 포함 된다 CT 미분동형사상 動 : rr-1(U) -t U X V (7.12) 가 있어서 動룰 파이버 타로 제한하면 E p에서 {p} x V 위로 사상하 게 되는성질을갖는다· unu'I0 인 임의의 위와같은두집합에서 사상 4>u . 짜 : (U n U') x V -t (U n U') x V (7.13) 은 항동사상에 대한 er 국소 벡터다발 동형사상이다· 기저 (base) 다양 체 M 이 n- 차원 다양체이만 다양체 E 는 (n + k) －차원을 가지며 전

   공간(t o t al s p ace) 이라 한다 사상 (7.12) u 는 국소자명화 (local tri v - i a li za ti on) 라 하고 국소자명 화들의 모임 {炳 un : a E I} ; 단 M c Uo E /u,` 률 벡터다발에 대한 자명화 피복(t r i v i a li z i n g cover) 이라 한다· k 차원의 백터다발은 파이버라 하는 k 차원의 벡터공간이 기저다양체 M 의 각 점에 붙 어 있는 것이다 M 내에 충분히 작은 열린 집합 U 내 의 각 점에 붙은 파이버의 모임은 국소 벡터다발 UxV 와미분동형이 되는 미분가능한 구조를 가지는 다양체이다· 여기서 주의해야 할 것 은 국소 벡터다발 M x V 와 동형이 아닌 M 상의 k 차원의 벡터다발이 있을 수 있다는 것이다· 이것을 이해하기 위해서 M = S1,V = IR 로 놓고 생각해 보자· 국소 벡터다발 s1 x IR 은 R3 안에 매장된 원기둥과 미분동형이다· 파이버는 원기둥의 옆면을 구성한다· 뫼비우스띠를 R3 의 부분집합으로 생각해 보자 · 만일 띠의 옆면을 무한대로 확장시키고자 하면 원상의 각 점에 대하여 실선을 붙인 사 영을 가져야 하는데 이것은 s1 상의 1 차원의 벡터다발이 된다· 왜냐 하면 원의 어떤 호 U 에 붙은 파이버를 포함하는 다양체의 부분을 보 면 이 부분이 무한한 사각형 u X IR 처럼 보이기 위해서는 펼칠 수 있 어야 하기 때문이댜 원 S1 = U UU’ 이 두 호 U,U’ 의 합집합이라 하 자 u 와 u, 가두 개의 국소자명화라하고p E unu’ 이라 가정하자· (7.12) 의 가정들은 (p, v) E (UnU') x V 에 적용된 사상 u O u, 가 고 정된 P 에 대하여 V 에 대한 선형임을 내포하고 있고 따라서 9uu1(P) 가 각 점 P 에 대해 V 에서 V 로의 선형사상일 때, 다음과 같이 나타난다· rr-1(u n u') CE %}/ '\. U 와 U 가 er 미분동형사상들이므로 u 0 잡는 반드시 C 적사상을 갖는 er 사상이며 따라서 P 1-+ Yuu1(P) 는 u n u’ 로부터

   GL(V) , 죽 V 에서 V 로의 가역선형사상들( GLdlR),k X k 가역행렬 들과 동형인 미분가능한 다양체)로의 er 사상이다 · 이 사상은 국소자 명화 u 로부터 국소자명화 u , 로의 변환함수(t rans iti on fu nc ti on) 라 부른다 변환함수들의 성질도 정의로부터 쉽게 알 수 있다· Yuu (P) = I ' p E u (7.14) 9uu•(p) gu •u(P) = I, p E U n U' (7.15) gu u1g u1 u11 g u 11u (P) = I, p E U n U' n U (7.16) 기저다양체인 원을 양끝에서 겹쳐지는두 개의 열린 호인 U 와 U' 으 로 나누어 보자· 그리고 겹쳐지는 영역을 W 와 w' 으로 표시하자 · 국 소자명화 사상들은 각각 U x R 과 U' x JR을 갖는 U 와 U' 의 꼭대기 의 띠 부분들을 동일화시킨다· 뫼비우스띠에서 보여지는 한 번 꼬여 진 것은 변환함수를 0 이 아닌 실선에서 값을 갖도록 (즉 1 X 1 가역행 렬)함으로써 얻어지는데 겹쳐진 영역에서는 1 을 갖도록 놓음으로써 얻을 수 있다 기저를 U 와 U’ 로 가지는 두 개의 사각형 종이들은 어 떻게 붙여야 뫼비우스띠를 만들 수 있는지 생각해 보아라 · 명백히 9uu1(p) = 9u1u(p) = 1, p E w 9uu1(p) = 9u1u(P) = -1, p E W' 9uu(P) = 9u1u1(p ) = 1 (7.1 7 ) 이고 (7.14), (7.1 5 ), (7.16) 들이 만족됨을 보일 수 있다·

   V 를 복 소백터공간으로 바꾸면 M 상의 k 차원의 복소벡터다발을 얻 을 수 있다 E 와 l\f은 실미분다양체(복소다양체가 아닌)이다· 만일 V 가 k 차원의 복소공간일 때 , V 의 가역선형사상들의 군은 , 예를 들자 면, 복소 수 성 분을 갖는 정칙 kx k 행렬들의 다양체인 GLk(C) 가 됨을 주 의하라 · 특 히 1 차원의 복소벡터다발을 복소직선다발 (com p lex line bundle) 이라 한다 만일 기저다양체가 n 차원일 때, 전공간은 n+2 차 원이다 왜냐하면 복 소수는 두 개의 실수들로 표현되기 때문이다 . ) 1r : E -+ M 과 1r' : E -+ M’ 가 각각 벡터공간 v,v’ 과 동형인 파 이버 를 갖는 벡터다발 들 이고 J : M -+ M’ 가 er 사상일 때 , e r 사상 F : E -+ E’ 가 각 p E M 에 대해 파이버 탸룰 파이버 터(p)로 선형적 으로 사상할 때 , C' 벡터다발 선형사상이라 한다· 만일 f가 선형사상 이고 F 가 각 파이버 상에서 선형동형사상으로 작용할 때 , F 를 e r 벡 터다 발 동형사상이라 한다· 이것은 M 과 M’ 가 같은 차원의 다양체 이고 dir n V = d i mV' 일 때만 가능하다· 만일 이 동형사상이 존재하면 두 개의 벡터다발을 er 동치 (e q u i valen t)라 부른다· 이것은 M 상의 벡 터다발 들 사이의 동치관계를 설명해 준다· C 젝터다발 71'’ : E' 一 M 이 다음을 만족하는 경우 e r 벡터다발 1r : E -+ !vf 의 부분다발이라 한다(기저다양체가 같음을 주의하라) 각각의 p E M 에 대해서 타은 두의 벡터부분공간이고 포함사상 i : E' -+ E 는 e r 벡터다발 선형사상이다 · 국소 벡터다발사영 1r : l\J x V -+ M과 동치인 다발을 자명 다발(t r i v i al bundle) 이 라 한댜 그렇지 않은 경 우 , 비 자명 다발 (non­ tri v i a l bunble) 이 라 한댜 (예) 자명다발들의 예로는 다음과 같은 것들이 있다; (1) 한 개의 자명화로 자명피복이 되는 다발· (2) 원 S1 의 접다발

   (예)비자명다발로는 다음과 같은 것들이 있다· (1) 뫼비우스따 (2) 구 S2 상의 접다발(증명은 머리가 공처럼 생겼다면 빗 을 수 없다는 위상수학의 정리를 이용하면 된다· 즉 S2 상에 비소멸 벡터장은 없다.) 단면의 정의에 의하면 s 츠 T 일 때, er 벡터다발 1r : E - M 의 c ·· 단 면이란 p E M 에 대하여 1r o a(p) = p가 되는 C S 사상 a : M --. E 이 다 죽 모든 p E M 에 대해 a(p) E E p이다 매끄러운 단면의 집합은 rE 로표시한다· 7.4 벡터다발의 구성 벡터공간 V 가파이버가되어야하고무엇이 변환함수가되어야 하는지를 알고 있지만 상응하는 벡터다발의 미분구조의 종류가 무엇 인지 모르는 상태에서 특별한 기저다양체 M 상의 벡터다발을 구성 하고자 한다· 다음의 정리는 상옹하는 M 상의 벡터다발의 미분구조 의 존재성과유일성을보장한다· 정리 7.4.1 (구성정리) V 를 k- 차원 벡터공간(파이버)이라놓고 {Ua : a E I} 를 미분가능한 다양체 M 상의 열린 피복이라 하자. Ua n u, I 0 인 모든 a,7 E I 에 대하여 P -+ 9a, (P) = 9u,,u, (p) (7.18) 는 UO t n u1 로부터 GL(V) 로의 er 사상이고 (7.14), (7.1 5 ), (7.16) 를 만 족한댜 그러면 변환함수로서 사상 (7.17) 올 갖는 k 차원의 er 벡터다

   발 T : E 一 A1 이 존재한다 그리고 임의의 그러한 다른 벡터다발들 과 E 는 er 동형이다· 정리 7.4.2 (다른 형태의 구성정리) V 를 k- 차원 벡터공간이라 하고 다양체 M 상의 각 접 p에 대하여 E p를 V 와 동형인 벡터공간이라 하 자. E = u,, E , 나%라 하고 -rr : E -+ M은 -rr- l(p) = E p인 사상이라 하 자 또한 {U 。 I O E J}는 M 의 열린 피복이고 각 G 에 대하여 n 0 ~ 1 : (U0 n U,} x V -+ (U0 n U,} x V (7.20} 는 상응하는 변환에 대하여 (7.1 4 }, (7.1 5 }, (7 . 16) 를 만족하는 항등사 상에 대한 er 준동형사상이라고 가정하자· 그러면 E 상에서 7r : E -+ M 이 자명화 피복으로서 사상 (7.19) 을 갖는 k- 차원의 er 벡터다발이 되는 E 상의 유일한 미분구조가 존재한다· (예)뫼비우스다발의 추상적인 구조를 설명하고자 한다· 정리 7.4.1 에 서 V 의 역할을 R 로 대신하고 앞의 예에서와 같이 열린 피복을 U, u’ 으로 구성하고 변환함수들은 (7.17) 에 의해 주어진다· 무한옆면을 가진 R 나의 뫼비우스띠는 그것이 같은 변수함수들을 갖기 때문에 이 다발과 coc 동치 이 다· 정리 7.4 .3 7.2 절에서의 쌍대다발, 준동형사상다발, Hom(E,E') ~ E*®E', 텐서적 다발 (E®E'), 의적역다발 (Ar(E)), 직합다발 (EEBE') 들을 가진 구조들은 모두 임의의 er 벡터다발들에 대해서도 성립한 댜

   증명 E,E' 이 각각동형인 벡터공간 v, n’ 를 파이버로 가지는 기저다 양체 M 상의 er 벡터다발일 때, Hom(E,E' ）을 구성하려 한다· 필요 하다면 제한하여 E 에 대한 변환함수들 {g ,`T} 와 E' 에 대한 변환함수 들 {g k . } 은 AI 에 대해 같은 열린 피복 {Uo I

   은 0 의 선택에 의존하지 않는다· 연습문제 1. E = l\l x V 와 E' = j\,f X iv 룰 같은 기저다양체 M상의 국소 벡 터다발이라 하자 · 다 음 사상 들 중 어떤 것 이 E X 국소 벡터다발 선형 사상인가 ? 답 을 증 명하여라 · (1) s : E EB E ----. E, (p, (v 1 , vz )) ----. (p, v1 + v2 ) (2) i : Hom(E, E') @ E ----. E', (p , A @ v) _, (p, Av ) (3) W = R , 11 : E @ E' _, E , (p , ' 따 ) ..... { ((pp,, v0 ) / w )1 u =w O=f 0 (4) E Cx (M ), s : E _. E, (p, v) _. (p, ¢>( p) v) (5) E = S2 X IR3 ' u : E ® E -E ' (p, V ® w) -> (p, (pv )w ) (S2 C !R3 ) 2. C 따섹터다발 선형사상이 아닌 C1 벡터다발 선형사상의 예를 들 어라· (힌트 : 예의 (4) 에서 적합한 ¢ 를 생각하라 . ) 3. 1r : E --t M을 C 젝터다발이라 하고 g : N --t M을 어떤 다양 체 N 에 대한 er 사상이라하자· (1) 정리 7.4 .1 또는 다른 것을 이용하여 g•E = {(n, () I 1r(() = g( n)} C N x E (7.23) 이 사영사상 g•1 r : g•E --t N,g * 1r(n,() = n 을 갖고 n 상의 파이버는 E g (n) 과 동일시될 수 있는 N 상의 벡터다발의 전공간(g 하에서의 당

   김다발 )과 동일시 할 수 있음을 보여라 · (2) 사상 4> : g* E --. E, 4>( n` {) = 요는 모든 파이 버 상에 서 는 항등사상 이 되는 Cr 벡터다발 선형사상임을 보이시오· (3) M 상의 두 개의 벡터다발들이 Cr 동치라면 9 : N -+ M 하에서는 그것들의 당김이 CT 동치임을 보여라· (4) 만일 h : Q --. N 이 또 다른 Cr 사상이라면 벡터다말 듄 (y o h)'1r : (g o h)*E --. Q와 'i.(g남) : h*(g* E) 一 Q가 동치 임 을 보여 라· 4. (1) 다음 그림에서처럼 F 가 벡터다발 선형사상이고 6 가 다발 1r : E -+ A f의 단면이라면 , F o (1는 1r' : E' -+ M 의 단면임을 보이시 오. E !: E' l 7r / 1r' M 더욱이 만일 F 가 벡터다발동형사상이라면 u(r) # 0,\:I r <=> Fou(r) # 0 이댜 (2)(7.17) 의 변환함수들을 사용해서 6 가 뫼 비우스다발의 단면이면 어 떤 r E S1 에 대해 u(r) = 0 임을 보이시오· (3) (1) , (2) 를 이용하여 뫼비우스다발이 자명한 다발사영사상 : S1 X JR-s 1 과 동치가 아님을 보이시오· 5. 1r : E ---+ M과 -rr' : E' ---+ M’ 이 각각 벡터공간 V 와 V' 가 동형 인 파이버룰 갖는 er 벡터다발이라 하자. f : M ---+ M' 을 er 사상이 라 하자 또한 F : E ---+ E' 의 미분가능성은 모르지만 각p E M 에 대 하여 파이버 %가 파이버 E~(p ) 안에서 값을 가지는 임의의 사상이라 하자 F 가 f에 대한 er 벡터다발 선형사상인 것은 다음 조건과 필요 충분관계임을증명하라· 각p EM 에 대하여 M 에 대한자명화만 u 와

   M’ 에 대한 자명화 u, 가 존재하는데 p E U 이고 f(p) E U’ 가 필요하 다면 f(U ) C U’ 로 제한되고 u , o F o \Jlij1 : U x V -+ U' x V' (7.24) 는 f에 대한 er 국소 벡터다발사상이 된다· 6. 정리 6.7.3 을 모델로 하여 벡터공간 V 와 동형인 파이버를 갖는 C 젝터다발 7r : E -+ M 으로부터 시작하여 다음의 er 벡터다발들의 구조를구성하시오· (1) 쌍대다발 7rdual : E. - lvf. 단, p상의 파이버는 E; 와 동일시한다 (2) 외적역다발 7rA : A2E -+ M. 단, p상의 파이버는 A2E p와 동일시 한다· 7.5 다양체의 접다발 (Tan g en t Bundle) {(Ua ,

   (U) 가 Rn 내에서 열린 집합이고, 따라서 X = 1 o ¢。- 1)(¢0 (p)){ (7.26) 인 경우이댜 단, d(¢1 o ¢-;;_1) 는 사상 ¢1 0 <1>-;, 1 : u 。 n U1 C ]Rn -+ U 。 n U1 C ]Rn

   X� ����t�䲷 Ȭ� 7.4.l X� \�0�\� ���0� �t� ��

   X�h��(t rans it
   i on fu nc tio n) |� 91 0(p)= d(1 � �o)(�0() pE) G L ,. (lR) (7. 7)2 \� ��� �, u 0n u1 # 0 ����� e x � t �(7 . 14) �� ��\� ��$� p� (7.15), (7.1 6)@ � � ����� �\� ������Y�
   <� \� ��0� ��$Ɣ�p�X = 1 o �) ( x )} - 1 d
   (6 o � )( x ) = d(6 0 �)(y) o d(�1 o � )( x ) t�� 0�|�� Ȭ
   � 7. 1. l � X p�t��D� q\̹��䲷 �҈� (7.62) @� T ��X� ٳX ��Ĭ|� �X�\�� ٳX�X�X� ��i� TM = {(p
   , o , (] I o E l ,p E U0, { E T � 0 (p) �(7.28)
   \�\����p� 1r :T M __. M, (p, o, {] ,_. p x� M X� ���t�|� ������ MT ��X� coo �������\� lp�X�� tȬ��1 @�Ʌ��䲷 ��� P �� �t [p�,0 ,g]
   ���X� ٳX�X��� P ���X� ȡ�0�|���x� � ��� ��0��X� ��i�D� P ���X� ����t�|� X�� T p M t�|� ��� ����@��L�|��|�

   TM 은 2n - 차원 다양체이고 (7 . 48) 에 따르면 {(Uo, n)l a E J}를 M 에 대한 좌표근방계로 볼 때 , g(I (p , a, {) = (¢。 (p), O E IR x IR (7.29) 로 주어지는 매끄러운 좌표근방계 {(;r -l(U 。) ,g n) | o E I} 를 갖는 댜 U0 n U, # 0 일 때 , ¢, 0 ¢。_ 1 는 다음과 같이 사상 ¢, 0 ¢。- 1 의 미분을 내포한댜 (7 . 26) 에서 보여진 것처럼 X = 。(p),y = ,(p)일 때 , ¢1 0 죠 ( x, E) = (y, d(¢1 o 죠 )(x) E). (7.30) (예) 실사영평면 p2 (JR ), 간단히 p 2 는 R3 에서 원점을 지나는 선들 로 구성된 다양체로 또는 서로 반대인 점들을 동일화시킨 구 S 2 로 생 각할 수 있댜 형식적으로 말하자면 p 3 는 다음과 같이 정의된 동치 관계하에서 JR3 -{O } 내의 동치류들의 집합이며, x,y E lR3-{ O} 에 대 하여 1호 너 녹 두 점이 동일직선 상에 있다 (7.3 1 ) 는 것이댜 그리고 다음과 같이 정의된 {(U 마 t> ;) I i = 0, 1 , 2} 에 의 해 유도된 미분가능한 구조룰 갖는다 . i = 0, 1 , 2 에 대해 v; = {x = (xo, x1, x2) E lR3 I x; =/; 아 (7.32) 이라놓고사상ti : v, 一 R2 를다음과같이 정의하자 · 4?o (x) = (xi fxo, x2 /xo ) 4?o (x) = (xo/x1, x2/x1) 4?o (x) = (xo/x2, x if x 이

   [ x ] 가 三 하에서 X 의 동치류를 나타내고 U; = {[x] I x E V,, }라 하면 t,( x) = 짜y) +-+ [x] = [y]이고 우리는 ¢, : U, 一 R 2 를 o(z o, z 1) = (—z1o , =zzo.1:) (7.3 4 ) 따라서 실사영평면에 대한 접다발 TR2 는 4 차원 다양체로서 세 개의 국소좌표계 {(T-1(U,),¢ ,) : i = O . 1 , 2} 로 구성된 좌표근방계 를 가지 고 있다 그중 하나의 예를 들어보면 ¢o([x], 0, 0 = ((xi fxo, x 2 fxo ), 0 (7.35) 이며 zo#0 에 대해 1 oo - l (zo,z1&&)=(Z-lo , ―zzol ,－{Z方 。l )_z―1z &。 T + ―&zo) (7.3 6 } 이댜 (주의) 매개변수화를 이용한 곡면상의 접벡터의 해석: R己3 = 상 의(한 어(u,떤 v ),곡 판면 ( u,M v )의, 한두 ( u,개 v의)) 와미 4분> =가 능(한한 (r ,매 s)개, <변i>2 수(r, s함), 수3 들(r , s)) 들 을 생각해 보자· 그리고p = ::::( u,ii ) = ( r,s ) E M라 가정하자· 각 매 개변수함수들은 M 에 대한국소좌표계가된다 (p,터 ,a 읊 +b 읊) 三 (p,4> -l,A 읊 +B 布) 라말하는것은 (d(~- 1 。 己 ))(a —88u +• b-—88 v )' = -A- 一8 8 r +• B8 —8s

   을 의미하며 D(-' 홉 )(U, V) [ : ] -[ ~ l 이다 자 코 비 행 렬을 이용하면 [: \[ab]=[;] 이다 여기서 자코비 행렬은 ( ii , v ) 에서 계산해야 한다. (u , v) 에서 a 읊+ 답이고 ( r,s ) 에서 A 읊 +B 읊인 (유클리드) 접벡터들은 M 상에서 같 은 접벡터와대응한다고말할수있는데 이는하나가변수변환식에 의 해 다 른 것으로 변환되기 때문이다 · 접벡터라는 추상적 정의는 단순 히 이런 표기법을 형식화하려는 것이다 · 공변접다발 T*M 은 단순히 TM 에 대한쌍대다발이댜 P 에 대한파이버는 T p M 으로표시되는데 p에서의 공변접공간이라 하며 (Tp M)* 와 동일화할 수 있다 . T;M 의 원소 들 은 p에서의 공변접벡터라 부른다 · (예) e r 사상 f : M -+ M' 이 주어져 있을 때 , 접사상 Tf :TM -TM' {7.3 7) 는 Tp M 으로 제한되었을 때는 Tp J로 표시하고 다음과 같이 정의한 다 만일 (Ua,a) 와 (U~, 1/ ) )）가 각각p E M 과 f(p) E M’ 에서 국소좌 표계이고 X = o. (P) 이라면 T J((p, a, {]) = [f(p), ,, d( 心)， of o 갑 )(x){] (7.38) 이며 이것은 국소근방계들의 선택에 의존하지 않는다· 공식 (7 . 38) 는 (7 . 2) 와 같은 것이다·

   TPJ E L(Tp - T f(p )M' ）은 단순한 미분보다 더 추상적인 형태이 며 M 이 R'1 의 열린 부분집합일 때는 두 개가 일치한다· 다음의 그림 이 가환임을 주의하라· TM _!_느 TM' - - ’ ) ) M ~M' 각 TM 과 TM’ 에 대한 국소자명화 (1T- l( U .,). 。)와 (T' - l(U;) ＼니에 따르면 W1 o TJ o ; ;-1(P, 0 = (J(p), D(l/• 1 ° f O v 와 변환함수 9UV,9VU 룰 계산하여라· 5. M 이 R n +k· 의 n- 차원 부분다양체라 하자. 11 : TM -+ M 이 M으로 제한된 Rn+k 의 접다발의 n- 차원의 C: x, 부분다발임을 증명하여라· 6. 5 를 확장하여 M 이 N 의 부분다양체이면 1r : TM - M 은 떄 : TNJ M --t M 의 부분다발입을 보이시오· 7. M 이 Rn+k 의 n- 차원 부분다양체라 하자. p E M 상의 파이버는 정규공간 (TpM ).L = {p} X {( E TpJ Rn + k I < (I( >= 0,'v ( E Tp M } (7.40) 로 가지며, 단 Tp M 을 Tp JR n+k 의 벡터내적 부분공간이라 해석하자· T. lM = Up e M(TpM ).l {7.4 1 )

   를 이런 정규공간들의 서로소인 합집합이라 하고 -;r : T. lA I -+ M 을 1r-1(p) = (Tp M) .l인 사상이라 하자· 이것을 정규다발이라 부르며 M 상의 k 차원의 벡터다발임을 다음 단계를 따라 증명하시오· (1) 주어진 p E M 에 대하여 부분다양체의 정의에 의해 辰 +k 의 열린 집합 (p E)U' 와 침몰 Ju : u' - IR~-, u = U' n AI = FL긴 ( 0) 가 존 재한 댜사상 動 : 군 1(U) 一 U x Rk (7.42) 動 (q, () = (q, DFu (q)() (7.4 3 ) 는 일대일 대응임을 보여라 (2) fv : V' 一 Rk는 열린 집합 (p E V') 인 열린 집합 V' C JR+1.에 대 하여 V = v'nM = F 감 (0) 인 열린 집합으로의 침몰이라 하자· 動 。 t감(q,{) = (q,g uv( q){）와 같이 잘 정의된 매끄러운 함수 Yuv : u n v - GLk( JR)이 존재함을 보여 라· 힌트: 함수 9uv 는 9uv(q) D f v( q) { = Df u( q ){,{ E (T q M) .l.를 만족해 야 한댜 매끄러움성은 9uv(q) = D f u( q )Av( q )-1 이 되도록 D f v( q) 를 q에 매끄럽게 의존하는 (n+k) x (n+k) 가역행렬 Av( q) 를 확장시 켜라 (3) {1),(2) 에서 주어진 국소자명화와 변환함수들을 갖는 벡터다발 7r : T.l .M - M 의 구성을 완성하여라· 8. M 이 JRn +k 의 n- 차원 부분다양체이고 7 에서 논의된 벡터다발 7r : T.L M - M을 정규다발이라 한다 열린 집합 U' C JR n+k 와 M = 1-1(0) 인 침몰 f : u, - JR따 존재하면 정규다발이 자명함 을보여라 9. 다음을 이용하여 공변접다발 T*M 의 구조를 단계적으로 파악

   하여 라 . T'J\J = {[p, o:, 시 | P E U0, o: E J, { E (To( p澤)가에서 시 작하여라 단, (p,a -,,\ ) 三 (q , -Y , µ)이면 b,a , 시 = [q,'Y , 미이댜 즉 p = q, ,\ = (

   로부터 전 이 성 (tra nsit ive ) 은 9a3( p)g 3,( p)g,。(p) = I , p E U 。 n U3 n u, 로부터 이끌어내진다· 따라서 三은 동치관계이다 · (p ,a,v) 의 동치류 는 [p ,a , v] 로 표시된다. A/ 상의 P 에 대해 Ep = 7r-1(p) = {[p,o ,v] I p E U0,z E V} (7.4 7 ) 라정의하자· c[p , a, z] + [p, f, w] = c[p , a, z] + [p, a, g01 (p)w ] = [p, a, cz + g01 (p) w] 라 취함으로써 파상의 벡터공간을 이끌어낼 수 있다· 이 구조는 명 확하게 특별한 0 의 선택에 의존하지 않으며 이유는 각 9a,(P) 가 선형 동형사상이기 때문이다· 단계 2: E 에 대한 국소자명화 (local tr iv i al i za ti on ) 각 0 에 대해 사상 <1>o = 動。 : 1r-1(U0) - U0 X V 야。([p, a, z]) = (p, z) 는 M x V 의 열린 집합 위로의 전단사함수이다 임의의 [p ,/,W] 에 일대일이다 왜냐하면 9a?( p)의 정칙성에 의해 [p ,a, g。,(p )w] 로 유일 하게 표현되기 때문이다· 또한 <1>0 0 <1>군 : (Uo n u,) X V - (Uo n U,) X V, (p,w ) - (p,g。,(p )w) 는 C 역사상 (p, z) 曰 (p,g Ta( p )z) 를 갖 는 C 전사상이고 당연히 (U0nU,)xV 는MxV 에서 열린 집합이댜 단계 3: E 에 대한 미분가능한 구조 M 에 대한 임의의 좌표근방계 {(U{ 治);i E J}에 대하여 {1r-1(u: n Uo), (1/1i X ide nti ty) 0 o I Q' E I, (u: n Uo) ¥= 0} (7.4 8 )

   는 E 를 (n +k) －차원 다양체로 만드는 E 에 대한 좌표근방계이다 · 미 분 가능한 결과 룰 가지는 각 이 。 : rr -l(U 。 ) - u 。 x v 는 국소자명화 가 된다 왜냐하면 밝히고자 하는 선형성을 가진 그것의 영역 위로의 미 분동 형사상이기 때문이다 더구나 rr : E -> M 은 C 인데 이것은 1r = p ro j o

   의하는 것은 의미를 갖는다· 이 함수는 C' · 인데 이는 각 a 에 대하여 F。 = ,,;,- ;1 。 ¢a 이고 er 사상들의 합성함수가 C 이기 때문이다 · □

   제 8 장 뼈 대 장 (Frame Fi el d) 8.1 벡터다발의 뼈대장 (Frame Fi el d) u : 7r-1( U) -+ U X JR k 를 k- 차원의 벡터다발 rr : E -+ M 의 국 소자명화라 가정하자· 그러면 제한된 벡터다발 rrlu : rr-1(u) - u 의 다음과 같은 단면을 얻을 수 있다· s;(r) = i,1 (r,e;),i = l,2,···,k,rEU (8.1) 단, {e1, .. • ,e 나는 RL· 의 표준기저이댜 벡터다발의 정의로부터 {s1(r), • • • , sk(r) ｝은 파이버 Er 의 기저를 이루며 사상 r 1-4 {s1(r), • • • , sk(r)} 을 E 에 대한 U 상의 국소뼈대장(l ocal fr ame) 이라 한다· 따라서 임의 의 단면 u E rE 는 국소적으로 u(r) = 값 (r)s1(r) + · · · + uk(r)sk(r) , r E U , ui E C:: ,0( U) (8.2) 로쓸수있다· 접다발 71' : TM -. M 의 매끄러운 단면을 벡터장이라 하고 rTM 혹은 더 일반적으로 T(M) 으로 나타낸댜 공변접다발 (co t an ge nt bun-

   die ) ,. : T*Al -+ M 의 매끄러운 단면들은 1 차 미분형식 혹은 l- 형 식 (1-fo rm) 이라 하며 rTM 혹은 n1M 으로 쓴댜 (예) L 접다발에 대한 뼈대장 접다발 1T : TM --+ M 에서 M 에 대한 국소좌표계 (Un,% ） 를 취하 자 그리고 {교 , •.. ,3:} 을 %(U 。) 도 R 위에서의 표준 유 클 리드 좌 표계라고 하자 7 장에서 언급된 바와 같이 국소좌표계에 상응하는 자 명화 0 는 다음과 같이 정의된다 · t。 ([r, o , (]) = (cp0 (r), () , r E U , ( E T,0( r )]R n · (8.3) 벡터 g를 e 방향s,으(·)로 의= 방향O- 1 ( 도·, e함,)수 =로 —a x보i ,면 i 접=다 l발,··에· ,n대 한 뼈대장(8을.4 ) 8 로 쓸 수 있댜 그러므로 벡터장 X 는 U0 상에서 X(T) = [T,a,E 。(T)] 의 형 태를 취 한다 단, g。 (T) = 값 (r) e. 1 + • • • +(~(r)e. E lR’’ 이다 또 Uo 상 에서 x={°1 —0 8군 +, ... +, (rn0~ 8— 8따. n ' (r:i ECx(U 。) (8.5) 로 쓸 수 있다· 이로부터 벡터장이 유클리드 공간에서는 1 차 미분작 용소 (즉 cx(M) 의 도함수)로 해석할 수 있음을 의미한다 2. 공변접다발 (co t an g en t bundle) 에 대한 뼈대장 M 에 대한 국소좌표계 (Uo ,%) 가 주어지고 이에 상응하는 자명 화받 o 는 받 n ([r, a, 시) = (ipn (r), >.) , r E (T,p0 (r)J R)* (8.6) 로 주어진다· 접벡터와 공변접벡터 사이의 쌍대성은 [r, a, >.] • [r, a, ~] = >.(~) (8.7)

   로 표현되며 이것은 7 장에서 보인 것처럼 a 에 의존하지 않는다 . {€1, ..• , 나은 {e 1,· •• , e. n} 에 대한 (RnY 의 쌍대기저로 놓자. (8 . 7) 로부터 {믿。; 1 (r,E i ) ,· ·· ,W ~ 1(r , €0) ｝은 {~。- 1(r ,e 1),·· · ,~;;-1(r , 다}의 쌍대기 저이고 따라서 공변접다발에 대한 뼈대장은 마 ·) = '11 。- 1(- , e i) = ox', i = 1,2 , ·· · ,n 이 된다 그러므로 U o 상에서 임의의 1 형식 W 는 w(r) = [ r ,a , h(r)] 이 며 h( T ) 은 성분 을 (h1(r),·· · , h n (r)) 로 가지는 열벡터로 쓰거나 혹은 w = h1d 깊 + ... + hndxn, hi E C :x: (U 。) 로쓰기도 한다· 정리 8.1. 1 (미분작용소로서의 벡터장) (1) M 상의 벡터장 T(M) 의 집합과 C :x: (M) 의 도함수의 집합사이에는 일대일 대웅관계가 있다· (즉 C :x: (M) 에서 c :x: (M) 으로의 R- 선형 사상 Z 는 Z( fg) = ZJ · g + J ·Z g 를 만족한댜) (2) M 상의 모든 매끄러운 함수 f는 df ·X = X f롤 만족하는 l- 형식 df 를 유도한다 단 X E T(M) 이다 중명 (1) 은 유클리드 공간의 열린 집합상에서의 벡터장에 대응되는 결과를 적용함으로써 얻어낼 수 있다· (2) 모든 X E T(M) 와 임의의 M 상에서 매끄러운 함수 f에 대하여 U 상에 매끄러운 함수 X f가존재한댜 단, (U, 'P)는 M 상의 임의의 국 소좌표계 (chart) 일 때 X f(r ) = ({1; /;r + · · · 국글)(f o t.p- 1)(t.p ( r)) = ((f o t.p- 1){)(r) {8.8 )

   로 정의된다 명백히 우변은 r 에서의 X 의 값에 선형적으로 의존한 다 그러므로 U 상에서의 1- 형식 df 가 존재하며 (df · X)(r) = Xf (r ) (8,! )) 를 만족한다 사실상 X f와 사는 AI 전체에서 잘 정의된다 왜냐하 면 국소좌표계 (UG,%),(U? ,

   T 에서의 다른 국소좌표계 (U', v/ ) 와 X = tp (r) 에 대하여 D(v, o ,1)( 0) = D(v, o tp- 1 。 tp o ,1)(0) = D('l/1 o tp -1)(x}D( 안 ° 71)(O) = D(l/1 o tp- 1}(x)D(tp o ,2)(0) = D('l/1 o ,2)(0) 이므 로 이러한 동치성은 국소좌표계의 선택에 의존하지 않는다· 두 개의 곡선이 동치라는 것은 간단히 두 곡선이 같은 점을 지나고 시간 이 0 일 때 같은 속력을 가진다는 것이다· 관계 ~는 동치관계 (e qu i val­ ence rela ti on) 가 된다는 것을 직 접 확인해 보아라· 정 리 8.2.1 주어 진 좌표근방계 {(U 。' %)|a E I} 에 대하여 곡선 1 의 동치류 (e q u i valence class) ［귀는 사상 [,] -+ [,(O), 0 1 D(cp 0 O 1)(0)] (8.11) 에 의하여 접벡터와 일대일 대응관계에 있다· 단, -y( O) E Uo 이다· 중명 임의의 지표 o,6 에 대하여 b(0), 6, D(

   8.3 다양체 위에서의 외미분 (Exte rio r Deriv a ti ve ) 공변 접 다발의 q 번 째 외 적 멱 (exte r io r pr oduct) N T* AI 은 7 장의 방법을 이용하여 구성할 수 있다· 여기서 다음과 같은 동일화 를 만들 어낼수있다 (l\ 9T*M) 론 ^q( T1* M ) 타 ^9(Tr M))* (8.12) M 상의 q-차 미 분(혹은 외 미 분) 형 식 (q-th exte r io r dif fer enti al for m) 간단히 q형식(q-fo rm) 은 여접다발의 q-번째 외적멱의 매끄러운 단면 r(NT * M) 이고 간단히 伊 (M) 으로 표시한댜 특히 안 (M) = cx(M) 이다 q-형식 나를 나타내는 방법에는 여러 가지가 있다· 추상적이지 만 세련된 방법은 q-형식을 T(M) 내의 벡터장의 q-다중교대 선형사 상으로 생각하는 것이다· 죽 W 룰사상 T(M)x .. ·xT(M)-- 1- cx(M) (X1 • • • X9) -w • (X1 /\ • • • /\ Xq ) (8.13) (w • (X1 /\ • • • /\ Xq ) )(r) = w(r)(X1(r) I\ • • • I\ Xq ( r)), r E M (8.1 4 ) 으로 생각할수 있다. w(r) 이 r 에서의 접평면의 q-번째 외적상에서의 선형형식이기 때문에 (8.12) 에 의해 이 값이 잘 정의된다 · q-형식의 국소적 표현은 정리 8.1. 1 에서처럼 국소뼈대장을 이용 하여 쓸수 있다• 국소뼈대장의 표기를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다· w (r) = L 硏) (dxi( l ) /\ • • • /\ dxi(q ) )(r) , r E Ucr (8.15) 단, I = (i(l ) < • • • < i(q)）이고 br(·) 는 매끄러운 사상이다· 유클리드 공간의 열린 집합상에서의 미분형식의 외적과 외미분 작용소는 당검 (pu llback) 과 가환적 이 다· 다시 말하면 'Ip : U ~ }Rn -+

   v g R 이 매끄러운 함수일 때 'lj,* d w = d(1j, * w ), 'lj,* (u 1 I\ 71) = ('f/, * w ) I\ ('f/1 * 71 ) (8.16) 이댜 만약, 1j1 가 미분동형이라면 형식들과 벡터장 사이의 쌍대성과 형식에 대한 리 (L i e) 미분이 당김과 가환적임을 주목하여라· 즉 'f/1• w • (X1 /\ • • • /\ X 깁 = w • ('f/1 . X1 I\ • • • I\ 'lj ,.x 긴 (8.17) Lx (v,•w) = L,,.x w (8.18) (8.17) 은 정의에 의해 성립하고 (8.18) 은 형식에 대한 리 미분의 성질 로부터 추론할 수 있다· 다음으로 다양체상으로 외미분을 확장시켜 보자· 정리 8.3.1 임의의 q-형식 W 와 F 형식 n 에 대하여 1J I\ w = -(w I\ TJ) , ddw = 0 (8.19) d(w I\ 17) = dw I\ 1J + (-l)degw (w I\ dTJ ) (8.20) Lxf = Xf , Lx(df) = d(Lxf ) , f E Cx(M) , X E T(M) (8.21) Lx (w A n) = Lxw A n + w A Lxn (8.22) 만약, g : P -+ M 이 매끄러운 사상이면 당김 g* : nqM 一 （i，， P 는 다음과 같이 정의된다 · g* w • (Xi I\ • • • I\ Xq ) = w • (dg o Xi I\ • • • I\ dg o Xq ) (8.23) 이는 g* dw = d(g• w ) , g* (w I\ 11) = (g* w) I\ (g* 11) (8.24) 을만족한댜

   중명 형식들의 국소적 표현 (8.15) 상에서 이러한 작용소들에 대해 성 립함을 보이고 그 결과가 국소적 표현에 독립적임을 보이면 충분하 다 예를 들어 의미분의 경우를 살펴보자. u 。 n u, c M 상의 미분형 식 W 룰 r 1-+ [r,o,>.('Y )] = [r,7,µ(r)] , >. = (cp, o 갑).µ . 로 쓸 수 있다 따라서 Ua 상의 dw 를 T I-+ [r , a,dA(T) ］로 정의할 수 있 댜 왜냐하면 (8.16) 에 의하여 [r, o, d>.(r)] = [r, o, ((cpr o cp。- 1)dµ)(r)] = [r, 7, dµ( 'Y)] , r E U 。 n u) 이기 때문이다. (8 . 19) 에 의하여 (8.2 2 ), (8.24) 는 모든 국소적 표현에 대하여 성립하므로 전체 다양체상에서도 성립한다 · □ (예) U = 1R3 -0 라 하자 U 는 R3 의 3 차원 부분다양체이다· w= x(dy I\ dz) (-군 y (+ dyx 2I \ + d zz)2 갑+ z(dx I\ dy ) (8.25) 로 주어졌다고 하자. w 룰 구 S2 로 제한하면 2- 형식 1/ E 안 s2 를 얻을 수 있는데 이것은 여러 방법으로표현할수 있다· 예를 들어, x2+y 2 + z2 = 1 이므로 dx= -ydy z:- zd z (8.26) 이고 구의 x = 一 V1_ y 2_z2 수 0 인 부분 위에서 n 룰 다음과 같이 (y,z ) 좌표계로 표현할 수 있다· 'f/d=y IX\ - dz= -V1d y- Iy\2 d _z g (8.27)

   유사하게 구의 y =I= 0 인 부분에서는 n = -(d£UNI z ) 로 쓸 수 있댜 정리 8.3.1 에 의하여 외미분 dn 의 (8.27) 의 표현은 다른 계산에 의해서도 동일함을 알 수 있다· (실제로 이 경우에서는 0 이다 . 2 차원 공간의 세 번째 외적멱은 항상 0 이기 때문이다) 예를 들어 (8 . 27) 에서 dn 룰 계 산하기 위해 d(x17) = dx I\ 1J + xd·TJ = d(dy I\ dz) = 0 임을 이용하고 (8.26), (8.27) 을 dx A n 에 적용하면 d17 = 0 임을 알 수 있다· 연습문제 1. 動 : T 거 U) --t U X JR k 와

   3. f : M -t N 을 두 다양체 사이의 매끄러운 사상이라 가정하자· 7 장에서 주어진 접사상 T f의 정의가 M 상의 모든곡선 1 에 대하여 T f([까) = [J o 1] (8.3 0 ) 와 동치임을 증명하여라· 4. 구 S2 e R3 에 좌표근방계 (U,

   T -< ·I· >r 로 표시하고 이 사상이 모든 T E M 에서 다음 두 성질을 만족하면 부정계량이라 한다 · (1) 대칭성 : < (I< > r = < EI( >T , vg , ( E Er (2) 비퇴화성 : ( # o =>< (I( >r # o 따라서 부정계량은 T 상의 파이 버상에서 매끄럽게 변하는 내적을 정의한다· (3) 양의 성 질 : ( # o =>< (I( >r> o 위 (3) 을 만족하면 계량이라 부른다 . E 가 M 상의 접다발인 경우에는 T f-l- < ·I· > r 을 부정리만계량이라 하고 조건 (3) 이 만족되면 리만계 량이라 한다 리만계량(혹은 부정리만계량)을 가진 다양체 M 을 리 만다양체(혹은 준리만다양체) (M, < ·I. >）라 한다 (U, 이룰 n- 차원 유사리만다양체 (M ,< .|. > ）의 국소좌표계라 가 정하자 {x 1 , .. , , x 가을 Rn 상의 표준좌표계라 하자. U 상의 TM 의 국소뼈대장은 {( (8.31) 에 대웅하는 사상을 리만계량텐서라 한다· 이 계량이 리만계량이면 G(r) 은 양값의 행렬이 된다· 이것으로부터 두 벡터장사이의 내적에 대한 다음과 같은 편리한 공식을 얻어낼 수 있다 · X = {1D 1 + · · · + CDn , Y = (1D1 + · · · + (Dn =}< XIY >r= L9ii( r)((r)(i( r) (8.32) ij 일반적으로 < -J-> r= I:9i jdx i ® dxi (8.33) ij

   이다 정리 8.4.1 J,,J의 모든 점 T 에서의 접평면에 내적 < ·I· > ,. 을 대웅시 키는 사상이 부정리만계량이 될 필요충분한 조건은 (8 . 31) 의 모 든 사 상 (gij(.))가 매끄러운 함수가 되는 M 의 좌표근방계가 존재하는 것 이다 o 8.5 리만 다양체의 예 8.5.1. 유클리드 계량 M 을恥겨 열린부분집합이라하고각접공간 T』 건에 표준좌표계 롤 이용하여 유클리드 내적 < vlw >f= v1w1+ · · · +v,.wn 을 주자· 다 시 말해, 국소좌표계사상cp= 항등사상을사용하면 계량텐서의 국소 적 표현은 항등행렬이다· 종종 같은 계량을 다른 국소좌표계에 대해 서도 나타내기도 한다 · 예를 들면 , 만약 U C IR2-{O} 이고 cp- 1 (r, 0 ) = (rcos0,rsin 0) （극좌표 국소좌표계)이면 dx = cos0dr - rs i n0d0 이 고 dy = cos0dr +-r cos0d0 이다· 그러므로, (8.33) 으로부터 < •I · 포 = dx ® dx + dy ® dy = (cos 0dr -r sin 0d0) ® (cos 0dr -r sin 0d0) + etc . = dr ® dr + r2d0 ® d0 이다 (이 계량에 대해서는 dx ® d y와 dr ® dB 가 존재하지 않음을 유 의하여라) 그러므로 이 도표에서 계량텐서는 행렬 ( ~ r~ ) (8.34)

   에 의해서 표시된다· 8.5.2. JR n+k 의 부분다양체에서 유도된 계량 M 이 JR n+k 의 n- 차원 부분다양체이면 i : lvJ --+ JR n+k 는 Rn+k 상의 유클리드 계량 < ·I· >E 로부터 M 상의 리만계량 < ·I· >을 유도해낸 다즉 < X jY >x=< XIY >; , X,Y E T(M) (8.35) n = 2 이고 k = 1 일 때 직관적으로 유도된 계량은 M 의 표면을 기어 다니는 곤충의 2 차원에 있어서의 길이와 각에 해당한다. M 에 대한 매개변수화 d} : w g Rn 一 U g 恥 n+k를 이용하여 계량을 연구해 보 자 계량텐서는 다음과 같이 w 상의 좌표계 {u1,··· ,u 가을 사용하여 표시할수 있다: 'lj!( u ) = ('l/i1( u), • • • ,'lji n +k (u) ）이면 < •I· > == d(x—8~1u d@l ud du11x + 묘+··· ·•· ·• •++ + ~ —8d u군xnn +dku @n) d@x (硏+8~ku 1d u1 +···+ —硏8un d 硏) +··· 그러므로, < ·I· >= L(L 言8WI m 言8 싸} m )du i. ® d 파 (8.36) i.j m 그래서 매개변수화에 의해 유도된 좌표근방계를 이용하면 계량 텐서는행렬 G(u) = D' f/,( u f D ' f/,( u) (8.37)

   에 의해서 표시된다· 8.5.3. JR 3 에서의 2 차원구 극좌표를 이용하여 S2 를 매개변수화 하면 '11/ (0, ¢) = (cos 0 sin ¢, sin 0 sin ¢, cos ¢) 로 나타낼 수 있다 (8.37) 을 이용하면 이 좌표계를 이용한 계량텐서 는행렬 G(O, ¢) = ( ~ (sin ¢)~ ) (8.38) 로나타낼수 있다· 8.5.4. 쌍곡 공간 JR n+l 상의 로렌츠 내적은 일반적으로 < vlv >L= -v~ + vi + · · · + v~ , v = (vo, • • • , vn). (8.39) 으로 나타낼 수 있다· 또, < -1- >L= -dxo ® dxo + dx1 ® dx1 + · · · + dxn ® dxn (8.4 0 ) 로도 정 의 할 수 있다. (JRn +l, < •I · > 사 는 의 리 만(p seud o- R i emann i an) 다 양체이다· Hn = {(xo, • • • , Xn) E JRn +l I x~ -Xi -· · · -x ! = 1, xo > O} (8.4 1 ) 이라 하자. < ·I· >L 은 부정내적(부호수 (s ig na t ure)=n -1) 이지만 < X jY >=< XIY >L , X,Y E T(Hn) (8.42)

   에 의해서 H 상의 리만계량 < ·|. >을 유도한다 · 리만 다양체 (H,< ·I· >)을 n- 차원 쌍곡공간이라 부른다 좀더 자세한 이해를 위해 n = 2 인 경우를 생각해 보자· 쌍곡평면이라 알려진 이것은 H2 C ]R 3 의 때 < l0 인 부분이다 극좌표 를 취하면 x = rcosB, y = rsin B , z = /I+쿠이 되고 H2 = {(x, y , z) E JR사 z2 -x2 -y2 = 1, z > O} (8.4 3 ) 을 매개변수화할 수 있다· dx®dx = (cos 0)2dr@dr-r cos 0 sin 0(dr@d0+d0@dr)+r2(sin 0)2d0@d0 이 고 dy @ dy , dz@dz 도 쉽 게 계산할 수 있다. z = xo 으로 놓고 (8 .4 0) 을 이용하여 계산하면 쌍곡평면상의 계량은 < ·I· >= -dz ® dz + dx@dx + dy @ dy = —d1r @+—rd2r + r2d0 ® dB 이댜 r = s i nhs 으로 재매개변수화 (re p arame t r i za ti on) 하면 ds ® ds = d1r @+rd2r 이 되므로 훨씬 더 유용하다· 따라서 (s,0) 매개변수화로는 < ·I· >= ds ® ds + (sin hs}2 d 0 ® dB 가 된다 그러므로 (s,0) 매개변수화에서의 계량텐서는 G(,, 8) -( ~ (sin h ,): ) (8.4 4 ) 이다 (8.34), (8.38), {8.4 4 ) 사이의 유사성과 차이점을 주의깊게 살펴 보아야한다·

   8.6 정규직교뼈대장 (Orth onormal Frame Fi el d) U 상의 TM 에 대한 국소뼈대장 {e1, ... , ('， l} 은 모 든 니와 p E U 에 대하여 < eJ ej >p= %이면 정규직교뼈대장이라 한다 · 정리 8.6.1 (정규칙교뼈대장의 존재성) 준리만다양체의 모든 국소좌 표계에 대하여 접다발에 대한 정규직교뼈대장이 존재한다· 증명 점 p에서 국소좌표계 (U, r.p)를 잡자· 귀납법을 이용하여 증명해 보자· 모든 p E M 에 대하여 접 벡터들 {X1(p) , • • • ,Xm(P)} E Tp M 이 일차독립인 임의의 U 상의 벡터장들의 집합 {X1, .. • ,X 나에 대하여 다음조건을만족하는 U 상의 또다른벡터장들의 집합 {e1 , .. • ， 요 }이 존재한댜 (1)< e;l ei >= 士 6 ij (2) 모든 P 에 대하여 Tp M 의 동일한 부분공간을 만들어 낸다 M 이 n- 차원 다양체이면 H(n) 에 대하여 증명하면 된다 . H(l) 은 항상 성 립 한다 왜냐하면 임의의 0 이 아닌 벡터장 X1 에 대하여 e1 = v'l I (8.45) 올 잡을 수 있기 때문이다· 이제 2 ~ m ~ n 一 1 이고 H(m_1) 이 참이 라가정하자 {X1,··· ,X 나은모든 P 에 대하여 {X1(P),··· ,Xm(P)} E Tp M 이 일차독립인 접벡터들의 집합이 되도록 하는 U 상의 벡터장 들의 집합이라 하자. (7 .4 5) 와 같이 e ; 를 정의하고 U 상의 벡터장들 {Y1, • • • ,Ym} 을 Y = X-<< Xe1i !ele 11 >> e1 으로 정의하면 j = 2,3,··· ,m 일 때 < Yi le 1 >= 0 이다 {Y2(p) , .. • , Ym(P) ｝의 일차종속은 {X1(P), • • • , Xm(P) ｝의 일차종속을 의미하는데

   이는 가정에 모순이다· 그러므로 {Y2, ··· ,Ym} 은 H(m - 1) 의 적용 조건을 만족한다 , 즉 다음 조건을 만족하는 U 상의 벡터장들의 집합 {r.2 , •• • 도 }이 존재한다 (l)< (~ j h >= 士 6 , ) (2) 모 든 p E U 에 대하여 Sp a n{e 2( P),· ·· ,em (p )} = Sp a n{Y2(p ),··· , Ym(P) }, 특 히 j = l,2,·· · , m에 대하여 < eJI el >= 0 이다· 벡터장들 의 집합 {e 1, • •• ' C m} 의 이러한 구성은 H(n) 임을 입증한다· □ 공변접다발에 대한 뼈대장 {dx1,· ·· ,dx 가은 y E Rn 에서의 접 공간에 대한 기저 {赤 l y, • • • , f;; l y}에 대응하는 (Ty lR)• 의 쌍대기저 {dx 1 (y) ,· ·· , dx ( y)｝를 취함으로써 정의된다· 이때 {dx1,•• · ,dx} 을 {赤 , .•. ， 읊}의 쌍대뼈대장이라 한다 준리만 다양체 (M,< ·I· > )의 열린 집합 U 상에 주어진 정규직교 뼈대장 {e1, ••• ' e m} 에 대하여 정규칙교 공변뼈대장 {01,··· ,0 가을 갖는다 다시 말해 {e1, ·· · , em} 에 대한 쌍대뼈대 0i • (A1e1 + · · · + Anem) = Ai (8.4 6 ) 룰갖는다 (U, ）에 대한 국소좌표계이 고 {x1 .··· , x 가온 Rn 상의 표준좌표계라 하자. U 에 대한 TM 의 국소 뼈대장 {(

   이제 {e1,··· ,em} 을 U 상의 정규직교뼈대장이라하자 ·AI =< e,k > 인 (n x n) 대각행렬 A1 0 oo A= 0 A2 = dia g (l , · · • , 1, -1, • • · , -1) (8.47) 。 . • • • ,\Tl 을 이용하고자 한다· 내적의 매끄러움성에 의해 국소좌표계 내의 모 든 점에서 동일한 상수행렬 A 은 적용된다· 리만계량의 경우에는 A 은 항동행렬이다· 정규직교뼈대장으로 뼈대장 {D1,· ·· ,Dn} 을 표시하 면 U 로부터 (n x n) 정칙행렬로 가는 함수 己룰 이용해야 하는데 이 것은 己 m i (p) = fn ( p) 호-, (TO 己(p) = [(~(p), • • • , (:,(p)], p E U (8.4 8 ) 로 쓰여진다 단 {fi}은 D; = I:Cem (8.4 9 ) m 인 열벡터들이댜 따라서 Y;j(P ) = < D;IDi >p= L(;'(p)( f(p) < emleq 건 m .q = L{;'( p)>..죠?(p); m G(p) = 2( pf A 己(p) (8.50)

   (己 (P t 1) i k. = (:.라 하자· 이 행렬을 (8.49) 의 양변의 뒤에 곱하면 e.~. = LC({em = > (;DI (8.5 1 ) m ,I 이 된다 또한 (8.46) 과 (8.49) 로부터 om . Di = {,m 따라서 硏 = L(;'dx' (8.52) 임을 알 수 있다 · 원래의 뼈대장 {D1, ••• 'Dm} 으로부터 정규직교뼈 대장과공변뼈대장의 구성은 (8.50) 과 같은 U 상의 계량텐서 G 의 매끄 러운 분해 를 구할수 있게 해준다 · 다시 말하면 G(p) = 己(p )TA 己(p)를 만족하는 매끄러운 사상 己 : U - GLn(IR) 에 대하여 (8.51) 을 이용하 여 정규직교뼈대장을 (8 . 52) 를 이용하여 공변뼈대장을 정의할 수 있 기 때문이다 · (예) l. 매개변수화된 곡면상의 정규칙교뼈대장 心 : W 드 R2 --+ R3 가 2 차원 매개변수화일 때 , 죽 M = d} (M) 이 매 개변수화된 곡면일 때를 생각해 보자. {u,v} 를 W 상의 좌표계라 하 고 心 (u,v) = （맡 (u,v) ，硏 (u,v) ，곱 (u,v) ）로 표시하자. R3 상의 유클리 드계량은계량 < ,j, > = 11 1/-;,, 112 du ® du+ < 1/-:., 11/ ;., 포 [du ® dv + dv ® du] + II 1/-;,, 112 dv ® dv

   을 유도해 낸댜 단 d:u = ［분,운,뚱 F 둥이댜 그러므로 Du = d/ 틀), Dt , = 1//틀) 이 면 < DulDu > = 11 1/-;,, 112, < DulD,, > = < V-:ul 'i /~ . >E, < Dt , IDt ' > = 11 1/~. 11 2 (8.5 3 ) 이댜 또 정규직교뼈대장은 6 =II 'I/~, 11-1 Du, 6 = -|I ~d7u 깁|I || d 7~u x D교, 11u2 + ~|| 시7 u x Dd7t' I| u ( 8.5 4 ) 에 의해 주어진다· 2. 매개변수화된 곡면상의 정규직교뼈대장 (8 . 54) 에서 주어진 {&요}에 대한 정규직교 공변뼈대장 {g l,92} 에 대하여 다음과 같은 식을 사용하자· o1 = || 'I/-;,, lldu + ~dv, 02 = ~dv (8.5 5 ) I| 요 || II d7u || 단 , du 는 ('I/건 )*du 에 대한 간략한 표시이다 이때 0; • {j = 6) 임을 확 인해보아라 8.7 접다발 (Tan g en t Bundle) 과 공변접 다발 (Co t an g en t Bundle) ( E TrM 을 선형형식 C 一< (|g >r 로 보내는 사상을 이용하여 접다발에서 공변접다발로 가는 벡터다발 동형사상을 정의하자· 위

   선형사상을 간단히 < (I 로 표시하자· < (I 의 선형성은 명백하며 일 대일 대응과 전사성은 내적의 비퇴화성으로부터 알 수 있다· 이룰 변 형하여 벡터장들로부터 1- 형식들로 가는 사상을 정의할 수 있다· 단, 벡터장 X 에 대하여 < XI 는 다음과 같이 정의된 1- 형식이다 < XI .y =< XIY >, y ET(M) (8.56) 이 사상의 역은 1- 형식 나를 벡터장 wl 으로써 < w1IY >= w • Y, Y E T(M) (8.57) 정의에 의하여 < XII = X 이고 < w'I = w 이다 이런 연산들은 유클 리드 계량을 갖는 R3 에서 잘 알려져 있다 벡터장 v = v 낭~ +v2 옮 + v3 읊에 대하여 < vi = w•. = v1dx + v2dy + v3dz, 죽 일형식 (work fo rm) 이 된다 R3 상의 함수 f에 대하여 벡터장 (df )！은 grad f가 된다· (그러므로 공식 (dJ )1 = g rad f를 이용하여 준리만 다양체상에서 정 의되는 g rad j를 정의할 수 있다.) 정리 8.7.1 (1) < Dd = I:j 9 ij d 쿄이고 (d 군) = E 갭 k i D j이댜 단, G(r)-1 = (g k j (r) ）이다 (2) {e1,··· ,e,.} 이 정규직교 공변뼈대장 {01,··· ,0 가을 갖는 정규직 교뼈대장일 때 < e,1 = Oi 이고 (Bi )d = ei (8.58) 이댜 (3) M 상의 매끄러운 함수 f에 대하여 gra df = (df )’에 의해 정의된 벡터장 g rad f는 다음과 같은 국소적 수식을 갖는다· gra df = I:(Dkf gki ) Di (8.5 9 ) j,k

   중명 첫번째와 두번째 공식은 (8 . 56) 과 (8 . 57) 에 X = D; , Y = D1, w = dxk를 대입하면 얻을 수 있다 (2) 의 공식들울 (8.46) 으로부터 (3) 의 공식은 (1) 의 두번째 공식으로부터 얻어진다· □ 연습문제 1. 유도된 계 량 (8 . 5.2) 를 이 용하여 다음 2 차원 부분다양체 에 대 한 리 만계량텐서를 계산하여라· (1) 곡면 {(x, y, z ) lz = f(x , y) }, (x,y) 매개변수화를 이용하여라· (2) 원기둥 {(x,y ,z )lx2 +y2 = A 사, (0,z) 매개변수화를 이용하여라 단, 0 는 (x,y ) 평면에서의 각 변수이다· (3) 쌍곡포물면 x 2 y 2 z= ―A2 -一B2 ' 매개변수화 'l/1( s ,t ) = (As,O,s2) +t (A , B,2 이룰 이용하여라· (4) 타원체 x-2 . y-2 . z 2 r+ 尹 +C2=1 매개변수화 짜 u,v) = (As i nucosv,Bs i nus i nv,Ccos 이룰 이용하여 라 2. sn = {(xo, · .. ,xn) E JRn + llx ~ -Xi -.. · - x ! = 1,xo > 0} 이 라 하자· 국소좌표계 cp( xo,x1, ••• ,Xn ) = (xi, ••• ,Xn) 과 dx0 = xV1d1x 1+ +x f• +• • +• • •X +nd xX:n 이 성립한다는사실을 이용하여 계량 < ·I· >L= -dxo ® dxo + dx1 ® dx1 + • • • + dxn ® dxn

   을 H'’ 으로 제한했을 때 양의 성질을 가지는 계량임울 증명하여라 · 3. (8.5 . 3) 에서 서술된 계량을 갖는 3 차원 쌍곡공간 H3 에 대한 리 만계량텐서 를 계산하여라 구좌표 매개변수화 (T , 0, )를 이용하고 재매개변수화 r = s i nhs 에 대하여 구하여라 · 4. 뼈대장 {읊 읊}로부터 정규직교뼈대장 { e 1, e 2} 와 이에 대응하는 정규직교 공변뼈대장 {f l , f 2 } 를 구하여라 그리고 (s,0) 좌표계를 이 용하여 grad 에 대한 공식들을 유도하여라· 5. 구좌표계 (T,0,¢) 를 이용하여 R3 상의 유클리드 계량을 구하여 라 {읊 읊沿;｝를 이용하여 g rad 에 대한 공식을 유도하여라· 6. (8.54) 의 뼈대장 {{l ' &} 가 (8.53) 의 계량하에서 정규직교가 됨 을 보여라 그리고 G(p) = 3( p)흐(p)롤 만족하는 (2X2) 행렬치 함수 학< v룹l v계 >산<하 w여lw 라> —(힌<트 :vl wR 3> 상2 의임 을유 클이리용드하여 계라량)에 대하여 II V X w II= 7. (8.55) 의 {01, 02} 가 실제로 (8 . 54) 에서 주어진 정규직교뼈 대장 {(1 요}에 대한 공변뼈대장 0i ·(j = 6} 임을 보임으로써 층명하여라· 8. (8.55) 를 이용하여 vi(u , v) = (u,v,h(u,v)) 형태의 매개변수화를 갖는 R 내의 곡면에 대한 정규직교뼈대장을 구하여라· 9. (1) 파이버가 벡터공간 V 와 동형인 실 혹은 복소벡터다발 7r : E -+ M 상의 계량 < ·I· >과 tj = E i 9;S i인 관계를 갖는 두 정규직 교뼈대장 {s i}와 {ti}가 주어졌을 때 행렬 9 가 직교행렬임을 보여라· (즉 9 크 = gT ) （힌트 : < ti itk >= Ojk :::} I:i 9}9[ = Ojk )

   (2) 7r : E' -+ M 이 벡터공간 V와 동형인 파이버와 계량 < ·I· >E' 를 갖는 벡터다발이라 하자 벡터다발 Hom(E,E') 의 단면 F 와 戶에 대 하여 (즉 F 는 각각의 p E M 에 대하여 일차변환 F(p) E L(V -+ V') 를 대응시키는 매끄러운 함수) < FIF >:om= L < Fs ; 岳 S i >;' {8.60) i 라고 정의하자 · 단 {s,} 는 T : E 一 M 에 대한 정규직교뼈대장을 이룬 다 이때 (8.60) 의 좌변은 뼈대장의 선택에 좌우되지 않음을 보여라· {나가또다른 정규직교뼈대장일 때 L < F tj l 祝 >p= L < FsdFsi >p j i 임울 보이면 된다 (힌트 : (1) 에 의해서 E,g; gt = 6jk ) ((43)) (정8.규60)직 이교 H뼈o대m(장E, E{S'; }） 에상 의관 계하여량 을F (정 p)의가한 F다(p는) s i 것 =을 L 추F론fS하 i 여 둥라을· 만 족하는 행렬 (F} ）로 표시된다고 할 때 < FIF 셈 om= >(>亨 ;) = Tr(FTF)(p) ] 임을보여라 10. (U, cp)가 b > a > 0 인 어떤 a,b 에 대하여 계량텐서 G( p)의 모 든 고유치들이 모든p E U 에 대하여 [a,b] 에 속하는 리만다양체에 대 한 국소좌표계라 하자· 계량텐서가 대칭텐서이기 때문에 이들 고유 치 모두는 실수임을 주목하자. X = 0 주위에서 (l-x)l/2 을 멱급수로 전개할 때 n- 번째 계수를 Cn 이라 하자· (1) 급수 00 B{p ) = v'bL Cn[l-b- 1G(p )t n=O

   가 대칭행렬 三(p)로 수렴함을 보여라 (힌트: 모든 V E Rn 에 대하여 0 ~ vT( J -b -1G(p )) v =II v 112 -b-lvTG(p) v 츠 (1 - ~) II V 112 이므로 II [I 一 b- 1 G(p) ] I|~ (1 一 :)n 이다) (2) G(p) = 3(p) 2 = 三(p)흐(p)임을 보이고 己 : U -t GLn(IR) 가 매 끄러움을 보여 라 (힌트: G(p) ½ = ./b(J -[ I - b-1c(p) ])} 이다 또한 三(p)는 p에서 매끄러운 함수 G( p)의 해석함수다.) (3) 이런 결과들을 이용하여 리만 다양체의 모든 점에서 정규직교뼈 대장이 존재함을 보이고 다른 증명을 얻어낼 수 있다·

   

   제 9 장 벡 터 다발의 접 속 (Connecti on ) 접속 이론은 여러 방법으로 표현될 수 있는데 여기서는 다발치 의 미분가능한 외미분 이론으로 소개하기로 하자· 9.1 코줄 접속 (Kozul Connecti on ) 벡터공간 V 는 기저로 {v i ,• •· Vn} 을 가지며 c:ic ( M ---+ V) 은 미 분다양체 M 에서 V 로 가는 매끄러운 사상들이라 하자· 그러면 벡터 장 X E T(M) 에 관하여 함수 F E c:ic ( M ---+ V) 를 자연스럽게 미분 하는 방법이 있댜 이때 F 는 F1v1+···+Fmvm 으로 쓸 수 있는데 여 기에 벡터치를 갖는 리미분을 취해보자· LxF = (dF1 • X)v1 + • • • + (dFm • X)vm (9.1) 一 (XF 泊 + • • • + (Xp m )vm (9.2)

   단 , X E T(M) 은 A{ 상의 벡터장이다 함수 F 를 V 와 동형인 속을 갖 는 M 상의 벡터다발의 단면이면 {v1, ... v ,,, ｝은 고정된 기저가 아니라 벡터다발에 대한 국소뼈대장이며 F1v 1 + • • • + F' v,,. 은 다발의 단면 에 대한국소적 표현이다 7r : E --+ M을 M 위의 매끄러운 벡터다발이라 하고 u : M --+ E 을 단면이라 하자 . (J'는 국소뼈대장 {s 1 ... S ,n } 을 이용하여 u(r) = u(r)s1 (r)+ .. ·+um(r)sm(r) E Er 로 표시하자 여기서 {u i }는 다양체 내의 임의의 열린 집합상의 매끄러운 곡선들이다· 다양체 M상의 주 어진 벡터장에 대하여 X 에 관해 단면 6 룰 미분하기 위하여 Vx6 라 는 새로운 단면을 만들어 보자· 이것은 다음의 성질을 만족한다· 모 든 h E C :x: (M) 에 대하여 라이 프니츠법 칙 : vx (hu) = h(v x u ) + (Xh)u (9.3) C: x:( M) - 선형 성 질 : vh Xu = h(v x u) (9.4) 가법성 : vx 1+x2u = vx 1u + vx 2u , vx (u1 + u2) = vx u 1 + vx u 2( 9 .5) 위의 (9.2 ) , (9.3), (9.4 ) 룰 만족하는 연산 V 를 E 상의 코줄접속이라 하고 Vx6 는 X 를 6 의 공변도함수라 한댜 (예) 공변접다발의 유클리드 접속 Rn 의 공변접다발은 접속 습을 갖는다 · 이것은 평탄접속 혹은 유클 리 드 접 속이 라 한다 R 상의 표준좌표계 {군, ... , 간}을 택 하자. T*lR -+ R 떡 단면은 단순한 1 형식이다· 따라서 모든 벡터장 X 에 대하여 ◊x(d 갑) = 0 을 취하고 식 (9.2) 와 식 (9 . 4) 룰 이용하여 임의의 1 형 식 w = h1dx 도 · · · + hndxn 에 대하여 ◊xw 를 정의하자· 즉 Vxw = %(Lh;dxi) = L 競 x(dx1) + L(Xh;)dx 따라서 Vxw = (Xh1)dx1 + • • • + (Xhn)dxn. (9.6)

   이는 (9.1) 과 일치하며 (9.3) 과도 일치한다 연습문제 1 번을 참고하여 라 (예) 접다발상의 유클리드 접속 쌍대다발상의 접속으로부터 벡터다발상의 접속을 유도할 수 있 다(연습문제 3 번을 참고하여라) R 상의 벡터장들 X=L 불 , Y=E(): 에 대하여 vx Y = Lj( X()) 으8x- j = L1., J.~ i(8쁘x:i )8으x-j (9.7) 이댜 습과의 관계는 연습문제 2 번을 참고하여라 · (주의) 일반적인 벡터다발의 경우에 'v xU· 를 구성하기 위해 (9 . 1) 을 일반화시키는 것은 무의미하다· 죽 다른 뼈대장을 택하여 U = T1t 1 + •• · +rm t m 이라 쓰면 일반적으로 (X 군 )s1+· • ·+ (Xum)sm #-( Xr1t1 + ••• + (Xrm) t m 이다 예를 들어 M = lR2-{ O} 이고, E 는 접다발이고 , 극좌표계 (r , 0) 를 이용하여 C = 읊 ,x = 읊라 하면

   9.2 벡터다발에서 값을 갖는 접속 1r : E -t M을 n- 차원 다양체 M 상의 m 차원 의 벡터다발이라 하 고 l ~ q ~ n 라 하자 Hom(A q TM;E) 를 생각해 보자 · 이 벡터다발의 파이버는 r E M 일 때 A q TrM 에서 Er 로 가는 선형사상 들로 구성된 것이고 Hom(A q TM;E)r 이라 쓴다 벡터다발 E 에서 값을 갖는 q형 식(간략히 E 값의 q형식)은 벡터다발 Hom(A q TM;E) 의 단면이다· 이 집합을 !1q (M;E) 로 표시한다 µ E n q (M;E) 에 대하여 q는 µ의 차수 라 하고 deg µ = q로 표시한댜 특히 1r : E -t M 의 단면은 E 값의 0 형식이다 따라서 안 (M;E) = rHom(Aq T M;E) , q = 1, · · · ,n , 안 (M;E) = rE (9.9 ) 임을 알 수 있다 차수 q가 O 에서 n 까지 움직일 때 집합 伊 (M;E) 들 의 합집합을 E 값의 형식이라 부른다· 다양체 M 상의 q 벡터장들의 쐐기곱 위에서 E 값의 q-형식 µ는 다음과 같이 작용한다 · µ • X1 I\ • • • I\ Xq E n(M; E). (9.10) 형식의 국소적 표현을 알기 위하여 M 에 대한국소좌표계 (U, 이룰 취 하여 U 상의 공변접다발의 국소뼈대장 {dx1, ... ,dx 가을 유도한다 · 만약 {s1, ... ,µslmu} =이 :U 상 홉의 E따 에 (대dx한 i (l국) I소\ • 뼈• • 대I\ d장x이i( q면)) µ E H q (M;(9E.)11 는) 국소적으로

   으로 표현할 수 있다· 여기서 I = (1 ~ i(l ) < ••• < i(q) ~ n) 이고 {h}} 는 U 상의 매끄러운 함수이다· I: h{ (dxi( l ) I\ • • • I\ dxi( q) ) E Oq (M ) I

   이므로 피 u 는 다음과 같이 쓸 수 있다 · µIu = i .,,) /\ s) = i s) ^ 1/) ' 1/) E 안 (M) (9.1 2 ) j= l j= l 여기에서 Sj E rElu = 안 (Mlu ; E) 가 E 값의 0- 형식이므로 h 가 O- 형 식이고 W 가 p 형식이면 hw = h /\w 와 일치한다· (예) (1) nq ( M ;lR ) = nq ( M) 죽 차수가 q인 M 상의 미분형식의 집 합 (2) E 가 자명한 다발 MxlRm 이면 f!q (M ; ]R m) 은 M 상의 q-형식의 m 개 의 요소로 된 ('T/1 , ... ''T/ m) 들의 집합과 일치한다 · 이때 ”(M;M x Rm) 은 간단히 f!q (M ; ]R m) 으로 쓰기도 한댜 (3) E 가 접다발 TM 이면 안 (M;TM) 의 자명한원소는 TM 에서 TM 으 로가는항동사상 l 이다·사상은각각의 r E M 에 대하여 L(TrM ;T ,M) 의 원소로볼수 있다 · (4) 다양체 M 상의 임의의 고정된 벡터장 X 에 대하여 접벡터에 작용 하는 리도함수 Lx 는 f2 1(M;TM) 의 원소이다 (5) M 에서 N 으로 가는 사상의 미분은 N 의 당김접다발에서 값을 갖 는 M 상의 1- 형식으로 생각할 수 있다 (6) 벡터다발 E 상의 접속에 대한 곡률 텐서는 S12(M;Hom(E;E)) 의 원소이다 9.2.1. 의적 표준사상들 안 (M; E) X f!PM 」p+q (M; E) -nPM x nq ( M; E) 은 미분형식의 외적의 일반화이다· 이것은 (µ,w) t-t µ/\w = (—l)Pq w /\ µ와 (w,µ) t-t w /\µ룰 나타내는 것이다 이것은 (9.11) 과 마찬가지로

   국소적으로 쓸 수 있으며 E 의 국소뼈대장과는 무관하다· 죽 W A µ|u = 홉 W A nJ) A sJ , µlu A w = 言 S J A (nJ A w) (9.1 3 ) 9.2.2. 다발값 형식의 의미분으로서의 접속 (9.8) 에서 벡터다발71' : E -M 상의 다발값의 공변외미분 (covar i an t exte r io r der i va ti ve) 이란 라이프니츠 규칙을 만족하는 dE : W(M;E) - w+1 (M ;E) , p = O, • • • ,n (9.14) 선형사상이다· 다시 말해서 M 상의 모든 E 값의 형식 µ와 M 상의 모 든 미분형식 w 에 대하여 dE(µ I\ w) = dEµ I\ w + (-1)d eg냐 A dw (9.14) (9.1 5 ) 이댜 (주의) dE 는 외미분의 성질 d(ry I\ w) = dry I\ w + (-l)deg. , 11 /\ dw 의 성질과 유사한 성질을 가지지만 d(dw) = 0 과는 달리 dE(dEµ) 는 0 이 될 필요가 없음을 주목하여라· 이는 dE(dEµ) 가 0 이 되지 못하도록 하는 것이 접속의 곡률임을 중명한 것이다· 또, 공변의도함수는 앞절 의 코줄접속과 1-1 대응관계에 있으며 dE 자체룰 접속으로 간주한다· 정리 9.2.1 (코줄접속과 공변의도함수 사이의 동치성) 벡터다발 7r : E - M 상에 코줄접속 V 가 주어졌을 때 다음 식을 만족하는 공변의 도함수 dE 가 유일하게 존재한다· 모든 벡터장 X 와 모든 a E rE = 안 (M;E) 에 대하여 dEa • X = 'vx a, (9.16)

   중명 식 (9.2), (9.3) 그리고 (9.4 ) 를 만족하는 작용 V 가 주어졌다 고 하자· 그러면 모든 벡터장 X 와 모든 6 E rE = 안 (M;E) 에 대하 여 X ( r ) 를 DEa(r)(X(r)) = (dEa • X)(r) = ('v xa)(r) 로 보내는 사 상은 식 (9 . 3) 과 (9.4) 에 의하여 L(TrM;Er) 에 속한댜 그리고 상은 T 에 따라서 매끄럽게 변한다 따라서 dEa E n1(M;E) 이다 다음으로 p = O 인 경우에 대하여 하여 보자· 식 (9 . 2) 에 의하여 M 상의 모든 매 끄러운 곡선 h 와 모든 a E 안 (M;E) 에 대하여 폰 (er /\ h) = dE(hcr) = h(dEcr) + crdh = dEcr I\ h + (-1)0cr /\ dh 이다 이 식은 (9.14) 와 일치함을 알 수 있댜 따라서 (9 . 14) 를 만족하 는 유일한 사상 폰 : 안 (M;E) 一 따 (M;E) 가 존재함을 알 수 있다 이제부터 (9.14) 와 일치하는p > O 인 차수의 E 값의 형식으로서의 유 일한 확장이 존재함을 보이자· 유일성 : 만약 국소적 표현 (9.11) 을 사용하면 dE 의 µ E 伊 (M; E) 로 의 (9.14) 와 학의 차수가 O 임을 이용하여 다음임을 알 수 있다· m m dEµlu = LdE(si l \ 'f/)) = L(dESj I\ T/j + (— l)OSj /\ drJ i) (9.17) j= l j= l dE 는 (9.15) 에 의하여 유일하게 명시되므로 dEµlu 는 (9,16) 에 의해 유 일하게상술된댜 존재성: (9.14) 와 (9.15) 만족되는 모든 µ E nP(M;E) 에 대하여 dE 의 존재성을 보이기 위하여 국소적 표현 (9.16) 을 사용하자· 단 벡터다 발장 E 에 사용한국소뼈대장에 무관하게 dEµ 에 대해서도 같은 값이 얻어지는지 검사해야만 한다· 이것은 단순한 계산이므로 V 에서 시 작하여 d% 를 정의하는 내재적인 방법을 이용해 보자· 임의의 p-형

   d식w W• X와o /벡\ .터. ,장 /\ 들X p X o=,· · • t , X (p-에l) ;대L하x,여( w · Xo /\ ... /\ Xj / \ • /\ X 깁 + ~i= O( -l)i+ j w · [X;,Xi ] /\ Xo /\ ... / \ x, ^ ... / \ i

   9.3 접속의 곡률 (curva t ure) 벡터다발의 단면 6 에 공변의도함수를 두 번 적용해 보자· 모든 미분형식 6 에 대하여 ddw = 0 이 되는 일반 외도함수와는 다르게 보 통 dEdEa =fa 0 이다 dEdEa 가 O 이 되지 않는 양을 접속의 곡률 이라 부 른댜 여기서 R3 상의 곡면의 곡률과의 관계를 9.3.l 에서 설명하기로 한다 Hom(E; E ) 값의 2- 형식으로서의 곡률을 정의해 보자· m 위의 벡터다발 1r : E -+ M 상의 접속이 주어지면 접속의 곡률 이라 부르는 다발값의 2- 형식 R E f2 2(M ; Hom(E;E) ）가 존재하고 다 음식을만족한다· dE(dE( 1) = R /\ (1, u E 안 (M ; E) {9.25) E 에 대한 국소뼈대장 {s1, • • • , Sm} 에 관하여 R 은 2 - 형식 (R:) 의 m x m 행렬로 표현된댜 이를 곡률형식이라 부르며 아래와 같이 정의된 댜 m 폰 (dE 미 = 드찍 /\ Sj (9.2 6 ) i= l 정리 9.3.1 (9 . 20) 의 접속행렬 {0{ ｝를 이용하면 R{ = ~ 야 ^ wf + dwf (9.27) k 이댜 중명 임의의 매끄러운 사상 h 에 대하여 dE(dE(hu)) = dE(hdEu + dh I\ u) = hdE(dEu) + dh I\ dEu - dh I\ dEu + d(dh) I\ u = hdE(dEu)

   이다 다시 말하여, 사상 a 1--+ dE(dEa) 는 C 착 M) －선형사상이다 국 소뼈대장을 이용하고 (9.25) 에 의하여 2- 형식 (R: ）를 정의한다면 임 의의 단면 a = I:a i s, 에 대하여 dE(dEa) = L(R{a1) I\ s1 i.J 이다 우변은 R E r! 2(M;Hom(E;E) ）에 대하여 정확하게 RA6 임을 의미한댜 이와 같이 (9 . 24) 가 성립한다 (9 . 26) 에 대해서도 (9.20) 을 적용하면 dE(dESi) = dE( 드언 ^ 어) = L{dE 언 ^ 따 + sJ A d0!}; 결과적으로 (9.26) 에 의해 드 타 A sk = 드 sL ^ 따 ^ 따 + 드 sI.. A d0lk k j,k k 이댜 o 9.3.1 곡률텐서 (curvatu re te nsor) Rf o3 = R f D 。 I\ D3 는 곡률텐서 라 하고 {Di , • • • , Dn} 은 접 다발의 국소뼈대장이다 좀더 세부적으로 살펴보면, 만약 X = I: ~0Do 이고 Y = E(8D 3 이면 dE(dEsi) -X A Y = L {0(3Rf0 3S k (9.28) k·,o , 5 이댜 정리 9.3.2 벡터장들의 임의의 순서쌍 X,Y 와 벡터다발 rr : E -+ M 의 모든 단면 6 에 대하여 R /\ G . X /\ Y = 'vx ' vya - 'vy'vx a - 'vix, YJ

   이댜 중명 RA6. X AY = dE(dEa) · X /\ Y = Vx(dEa • Y) - 짜 (dEa • X) -dEa • [X, Y ] 이다 이것은 (9.15) 에 의하여 정확하게 (9 . 28) 의 우변과 같다· □ (예) (1) 유클리드 접속은 곡률이 0 이다· 두 개의 벡터장 X = E t`社 , Y = E( j訖에 대하여 Rn 의 접다발 상의 유클리드 접속은 'vx Y = ~(X~) 훑 = Ecl( 姜 · )-k i J iJ 이다 (9.28) 에 의하여 RAZ. O一aX ; A —OaX j =O 'vZ , 'vi, j. 따라서 유클리드 접속의 곡률은 0 이다 · (2) M을 2 차원 다양체라 하자. ~l = 읊과 ~ = h(r)-1 끓는 접다발의 뼈대장을 형성한다· 여기서 (r,

   룰 이용[:하;면 디곡률은 =+ -h-Id0I-h^Id_d-¢ h I d ¢r0-” oA -¢T hl- dh -I d A d0-¢¢ --ho 'd : l = [ hdr A d: -hdr A d: l (9.30) 이 된다 예를들어 이것은 dTM(dTM(2) = R~ A (1 + R~ A (2 = -hdr A d A (1 임올의미한다· 9.3.2.1 곡률이라 부르는 이유 곡면 M C 1R3 에 대하여 벡터다발 E = TlR 이 M -+ M은 3- 차원의 접다발을 M 으로 제한한 것이라 하자 접속은 유클리드 접속이라 하 자 정규직교뼈대장 {{l&8} 에 대하여 접속형식 {w{ ｝의 행렬은 정확 굵l -lW1--1W2--W1W132- W12--W 2W133- -W22 -3=w3 --3 n0n-0 1n0 0-_2기21 - - n

   까 0
   이댜 그리고 이것은 다음 식에 의하여 정규직교뼈대장과 연관되어 있댜 d% = E 幻 \O{ l- 형식 {01,02,03} 는 정규직교 공변뼈대장을 구성한다· 유클리드 접

   속은 평탄접속이므로 곡률 R = O 이다· 그래서 9 . 3.1 에 의하여 d 따 = -I:,리 ^따 q 이댜 위 식으로부터 가우스방정식과 코다찌-마이나르디 방정식을 얻을 수 있댜 가우스 곡률 K 는 d170 = -K(0l I\ 92) 로 특징지어지므 로 곡률을 안다는 것은 dw 를 안다는 것이고 따라서 가우스 곡률을 얻 을수있댜 o 정리 9.3.3 (접속행렬의 비앙키 항둥식 :B i anch i id enti ty) (9.25) 의 곡률형식 (R{ ）의 외미분은 (9.20) 의 접속형식에 의하여 비앙키 항둥 식 dR{ = L{R{ ^ 따 -야 A Rf } (9.31) k 을 얻어낼수 있다· 중명 방정식 (9.27) 은 dw{ = R{ - L 따 ^ 0f (9.32) q 와 같이 다시 쓸 수 있다. (9.27) 의 의미분은 dR{ = L 띄 ^ 0,k _ E 야 A d0f k k 이다· 식 (9.32) 을 이용하면 dRf = L{R{-L 여 ^0t} A0 f -E 따 /\ {R f -L 따 ^어} k q k q 이고 우변의 항 중 2 개는 없어져서 (9.31) 만 남는다 .a

   다음 표는 일반적인 외미분과 공변의미분과의 유사점과 차이점 을보여 준다· 정의역과 치역 npM 외 도-함 n수p+ lM 안 (M 공; E변)--외+ 도fl함P+ 수1( M;E) 0 형식에서의 작용 dh • X = X h = Lx h dE(J . X = vx ( J 라이프니츠 법칙 d(111 \ w) = d11 1\ w dE(µ I\ w) = dEµ I\ w +(— 1)deg7 1 1 / /\ dw +(-l)degµ µ I\ dw 반복법칙 d(dw) = 0 dE (dEa) = !R /\ a 연습문제 1. f E C 짝軒)이고 벡터장 X = ~v,; -k이고 Y = E g 1 沿라고 가정 하자 D2f (X , Y)(x) = D2f (x )(X (x), Y(x)) = L D 나 (x) 'lj, ;(x) 전 (x)(9.33) i,j 라고놓자· (1) 만일 예 9.1. 2 에서처럼 균이 Rn 의 공변접다발 위의 유클리드 접속 이라면 flxd f = LX(Dd)d 군 , %xdf · Y = D2f (X , Y) (9.34) 임을보여라 (2) df = hd g이면 %(hdg) • Y = (Xh)(dg • Y) + h◊xd g • Y 임을 증명 하여라 힌트: DJ = hD g이면 D2f (X ,Y) = Dh(X)Dg ( Y) + hD2 g (X,Y) 이 댜

   2. (9 . 5) 와 (9.6) 은 모든 벡터장 X 와 Y 그리고 매끄러운 함수 ’l 에 대하여 df . 'vX y = X(df . y) = VXdf . y (9.3 5 ) 와 연관되어 있음을 증명하여라 · 3. 벡터다발 E -+ ]\f 상의 모든 접속 V 에 대응하는 접속 寸이 쌍 대다발 E* -+ 1'v f 위에 유일하게 존재하고 s E fE , r E fE * , X E T(M) 에 대하여 만약 X s 를 대에 A 를 적용한 것이라 하면 (flx> .) • s = X(>. • s) -> . • 1x s (9.3 6 ) 임을 다음과 같은 단계를 따라 증명해 보아라· (1) 유형 (Xh)Xs 의 두 항을 없앰으로써 우변이 s 안에서의 CX(M)- 선형 임을 보여 라 즉 매끄러운 함수 h 에 대하여 (◊xh) - >.s = h(◊x>-) · s 이다 따라서 ◊x>. E f E• 이댜 (2) 조건 (9.2), (9.3), (9 .4)이 균에 대해서도 성 립함을 보여라 (3) E ---t M 이 접다발이고 E• ---t M 이 공변접다발일 때 (9.34) 가 (9 . 35) 의 특별한 경우임을 보여라· 4계. 을 접산가-一속0 }진 행 여3렬 라차 원 벡 터3~ 다 = 발f-fl- (h :d=yoyo —x R T_ , Efdd=h상 h y0x의 h2 _ ' '\공 x, f d y변 0 --의 x도 0함 수 )d E 의 곡 률 올

   5. 복소선다발 L --+ M 상의 접속 V 이 복소수값을 갖는 l- 형식 a 에 의해 'vx s = (a ·X )s s E fL (9.3 7 ) 이댜 이 접속의 곡률은 R = do 임을 증명하여라 힌트: R/\s ·X /\Y 롤 (9 . 28) 을 이용하여 계산하여라 · 6.(1) 'v를 벡터다발 E -+ M 상의 접속이라 하자· 다음 공식은 벡 터다발 Hom(E;E)-+ M 위에 접속 ';;;Hom 을 정의함을 보여라 (덴 omF)a = 'vx (Fa) - F('v x a). (9.38) 단 , X E T(M), F E r(H om(E;E)), a E f E 이댜 (2) 공변외도함수 dHom 은 dE(Fa) = (dF)a + F(dEa) (9.39) 을만족한다 (3) (9.38) 을 A E DP(M;Hom(E;E)) 와 µ E D q (M;E) 에 대하여 다음 과같이 확장된다· dE(A /\ µ) = dHomA /\ µ + (-l)PA /\ dEµ (9.4 0 ) 7. n E 안 (M;Hom(E;E)) 를 벡터다발 E -M 위에 공변의도함 수 dE 의 곡률이라고 하자· 결합공변 외도함수 dHom 을 이용하여 비앙 키 항등식이 결국 dHomn = 0 (9.41)

   임을증명하여라 힌트: A = R 이고 µ = a E f E 일 때 (9.39) 에 적용해 보아라 · dE(dEdEa) = dEdE(dEa) 임을 이용해 보아라· 8. 'R,을 벡터다발 E -> M 상의 공변외도함수 dE 의 곡 률 이라 하고 A E n1(M;Hom(E;E)) 라 하자 (1) µ E W(M; E) 에 대하여 공식 dE,A µ = dEµ + A I\ µ는 E -> M상 에 또 다른 공변외도함수를 정의함을 보여라 · (2) n, A 를 dE , A 의 곡률이라 하자 6 E rE 에 대하여 RA A C 를 계산함 으로써 'R,A = 'R, + dHomA + A /\ A (9.4 2 ) 임을보여라 · 9. 공변의도함수 dE 의 곡률 R 의 정의는 dE(dEa) = 'R, I\ a 임을 의미한댜 단 a E 안 (M;E) 이다 모든 µ E 안 (M;E) 에 대하여 dE(dEµ) = 'R, I\ µ (9.4 3 ) 임을보여라· 단µ는국소뼈대장 {s1,s2,· · · ,Sm} 에 의하여 µ = EiS i ^ ,,,i마 E HPM 이라 쓴다·

   9.4 꼬임없는 (Tors i on-Free) 접속 9.4 .1 접다발에서 접속의 꼬임 접다발 TM 에서 값을 갖는 1- 형식 J E n1(M;TM) 는 모든 접벡 터 8 에 I({) = 효로 정의되어 있댜 TM 상의 접속 V 에 대응된 공변의 미분을 dTM 이라 하자· 접속 V 의 꼬임(t ors i on) 은 TM 에서 값을 갖는 2- 형식 T = dTMI 로정의한다 두 벡터장 X 와 Y 에 대하여 T·X/\Y = dTM (I-Y )· X -dT'1 ( I-X )· Y -I·[X,Y] = drM y . x - drMx -Y - [X,Y] = v'xY -v'yX - [X,Y]. 꼬임 T 이 0 일 때 , 죽 모든 벡터장 X,Y 에 대하여 v'x Y-v' yX - [X,Y] = O 일 때 접속 V 를 꼬임없는 접속이라 한다 꼬임없음의 조건 은 아주 자연스러운 것이다· 왜냐하면 항등사상 I 의 미분이 영으로 기대되기 때문이다· (예) Rn 의 접다발상의 유클리드 접속은 꼬임이 없다· 왜냐하면 X = EC 읊 , y = I:告白 에 대하여 T·XI \Y = E g'姜 D i-~('릎파 [E f'걸 'E 릅;] i,j -- . iJ = o.

   정리 9.4.1 꼬임없는 접속 V 의 크리스토펠 기호는 rfj = r~·i 룰만족한다 · 중명 국소좌표계에서 {Di ,·· · ,Dn} 을 국소뼈대장이라 하면 VD, D j = Er:JD /... , [Di , Di ] = 0 k 이므로 VD; D j = VD J D i 에서 r 십 = r} i를 얻는댜 o 정리 9.4 .2 접다발에 대한 국소뼈대장을 {e1, ••• ,%}이라 하고 그의 대응된 l- 형식들의 국소공뼈대장을 {01,··· ,0 가이라하자 · 즉 0k·e; = 6f. (1) 1- 형식들의 행렬 {w f}를 d0k = EBi ^ 야라 하면, dTMe; = L 댜 Aw.k k 으로 정의된 접속, 즉 {w f}를 접속형식, 은 꼬임이 없다· (2) (1) 을 만족하고 야 +wi = 0 을 만족하는 행 렬 {w f}는 유일하게 존 재한댜 중명 (1) 항등사상 I E 안 (M;TM) , I(() = (는 I = L 댜 ^°k k 로 나타난댜 왜냐하면 벡터장 X = I:{i e; 에 대하여 L ek l\ 0k • X = L {iek l\ (0k • e;) k i,k = L{ie ; = X.

   dTM 의 정의에 따라서 dTMI = dT.\f [L ek /\ 0 시 = L(dTM 리 ^ # + I: ek /\ dBk k k k = 드 [L ej /\ 어] /\ Ok + L ek /\ [I: ei /\ wf ] = Lk ekj /\ 0' /\ (wf -w f ) =k 0. i,j (2) 유일상 (1) 의 아 + wj_ . = 0 에 의하여 따 = 드 a?J o] ] 의 야가 유일하게 d정0k해 =짐 t을 L 보b이7j자0 j · I\ 0i , bfj = -bJj i,j 라 하자 wf = -wl 이므로 야) = _a t]이고 ; :파Jg /\ OJ = E0' /\따 = fta~i0 ; /\ OJ i,j 이므로 야 -aj; = bfi . 따라서 1_.. b2 k -+ bi kj bjk 1, . l 긴1 r a fk; -aJ ; + aik - aL -a{i + a 요.] a5· 존재성: d0k = ½~ i,j b ~j 0 i /\ O) , bfj = _b; i라 하고 akj = 卓暢 + bJi 一 b{k] , wf = ~ afi B i j

   라 정의하자. a~j = -a fj이므로 다 +wf = 0 이고 임의의 q와 m에 대 하여 LBi /\ wf · em /\ eq = ~[(Bi • em)(wf · 지 -( Bi • e.q) (w7 • em)] = L[o 나 -o !afm l = a~nq - a;m = b\[b:q -b ;nI] = 검 홉 凡 0' A O1 ) • % A eq = d 강 • % A eq 이 므로 d0k = I:겟i /\ wf . □ (예) 2 차원 다양체 M = 1R2 - {O} 에서 01 = dr,02 = h(r)d¢, 는 공 변접다발 T•M 의 뼈대장이댜 여기서 (T,¢) 는 극좌표이고 h 는 0 의 값을 갖지 않는 매끄러운 함수이다· d81d82 。 = h'(r)dr /\ d

   이 접속은 꼬임은 없지만, 크리스토펠 기호 r fj에서 (i,j)가 대칭 이 아니다 wf = Ej r Ji o' 이므로 구하는 접속은 따 = 0 , 야 = _ —hh' = ―여 , w~ = o 이댜 9.5 계 량접 속 (Me tri c Connecti on ) 두함수 u,v : (a, b) -+ JR n 에 대하여 Rn 상의 내적의 미분은 < u(t) I v(t) >'=< u'( t) I v(t) > + < u(t) I v(t) ' > . 접다발 TM --+ M 의 한 접속 V 이 M 상의 계량 < • I . >에 대한 계량 접속 (me tr i c connec ti on) 이라 함은 벡터장 X,Y,Z 에 대하여 X < Y I Z >=< VxY I Z > + < Y I VxZ > 올만족함을의미한다· (예) 접다발 TRn --+ Rn 의 유클리드 접속 V 은 계량접속이다· 왜냐 하면 y = I:{if;;에 대하여 X = X(L{i( i) i = Ex({i) • ¢ + E g . X((i) i i = < 'vx Y I Z > + < Y I VxZ > . 정리 9.5.1 (리만기하학의 기본정리) M 이 n- 차원 리만다양체이고, {e1 ,··· ,en} 이 국소 정규칙교뼈대장이고, {81,···8 가을 l- 형식의 정

   규직교 공뼈대장 , 즉 0k .e, = 6 f라 하자· 이때, 꼬임이 없는 계량접 속이 유일하게 존재한다 · 이 접속을 레비-치비타 (Lev i- C i v it a) 접속 이라 한댜 이때 , dT.\ [ D3 • D 1 = L o f 3 1 D 0 라 하고 (g ,`1 ) 의 역행렬을 ( g o6 ) 라 하면 크f3리 1 스= 토1 ~펠 g기0호6 ( D는1 g 6 3 + D 3g 61 - D 6g 3 1). 중명 유일상 꼬임이 없으므로 < vx Y -짜 X I z >=< [X, Y] I z > 이고, X < y I z > +Y < z I X > -Z < X I y > = < vx Y I Z > + < Y I vx Z > + < vyZ I X > + < Z I V 갤 > -< vz X I Y > -< X I vz Y > = < vx Y + 짜 X I z > + < vyZ - vz y I X > —< vz X - vx Z I Y > . 따라서 < Vx Y + vYX | Z > = X < y I z > +Y < z I X > -Z < X I y > -< [Y, Z] I X > + < [Z, X] I y > 2 < VxY I Z > = X < y I z > +Y < z I X > -Z < X I y > -< [Y, Z] I X > + < [Z, X] I y > + < [X, Y] I z > 이므로 VxY 는 계량 < • I . ＞과 꼬임이 없음에 의해서 유일하게 정 해진댜

   존재성: （예)에서와 같이 접속 V 를 접속행렬 (아) ; d(}k = L(}' AOf , 따 +0i. = O 로 정의하쟈 Vxel = (Ej e j /\적) • X 이므로 < Vxej I 댜 > + < ej I Vx 球 > = ~(wf .x ) < ci I e.1.: > +L (w{ ·X ) < ei I ei > j j = (따 +w[) · X = 0, X < e; I ek > = X (6;,..} = 0. 따라서 정규직교뼈대장 (e i)에 대하여 X < ei I 댜 >=< 'vx ei I e.k > + < ei I 'vx ek > , Vi , j, 이고 X < Y I Z >=< 'vx Y I Z > + < Y I 'vx Z > . 끝으로 X = Da,Y = D), Z = D6 라고 하면 [Di , Di ] = 0 이므로 2 麟법 )9ao = D3g 1 o + D1g 3 5 -Do931 이고 r~, = 놉g '6[D3 g 1o + D1g 31 - Do931] - □ (예) 정리 (9 .4 .2) 에서와 같이 2 차원 다양체 M = 1R2 - {O} 에서 01 = dr , 82 = h(r)d = o1® 안 +02®02 = dr ® d-Wr += h-2(-w-dl1-¢W 2®: 1\ d clp ). = 레 [바 풍치 0:비 타퓨 접 o;속 ]은 = -h- 니0¢-h 'd : ] .

   만일 h(r) = r 이면 곡률 R = 0(\w+dw = o 이댜 만일 h(r) = s i nhr 이 면 === --(C.lo- sA -WWhT) ddn+S_,e(dT 0T_ - 1^o- -Awdh( )0- c¢ ^o`4ol _: _- s( 0]h2- r( }sdi n~。 h ]r )(dr A d¢~ l -W 。 R, = 。 9.5.2. 단면 (Sec ti onal) 곡률 (M,< • I · >）을 차원 2 이상인 리만다양체라 하자. {e1,· ·· , e n} 울 정규직교뼈대장 {01, ·· ·0 가을정규직교공뼈대장이라하자. { e i , e j }에 의하여 정해진 TM ---+ M 의 2 차원 부분벡터다발의 단면곡률 (sec- tion al curvatu re) 은 K(e;, e i) =< n /\ e, • ei /\ e.; I ej >= ~ < Rf j,e k I ei >= R{i; 로 정의한다· 여기서, 단면곡률은 {e;,e j}에 의해 정해진 평면다발에 만 의존하며, 뼈대장 선택에 의존하지 않는다· 특히 2 차원 다양체에 서는 단면곡률은 하나이며 K(e1, e2) = R~21 = R~12 은 가우스 곡률과 같다· 위 (예)에서 계량 < • I • >= dr ® dr + (sin h 子 (d

   이다 연습문제 1. R3 상에 계 량 < • I · >= Fdx ® dx + Gdy ® dy + dz ® dz 로 주어 질 때 레비-치비타 접속에 대한 접속행렬과 곡률을 구하여라· 여기 서 F = F(z) , G = G(z) 는 매끄러운 함수이다 2. 2 차원 리만다양체상에 국소좌표 (T,¢) 에 대한 계량이 < ·1· > = dT®dT+ 간 (d®d) 로 주어졌다 여기서 u = u(r,) 는 영의 값을 갖 지 않은 매끄러운 함수이다· 이 계량에 대한 레비-치비타 접속과 곡 률 R 을구하여라 3. 위 예에서 h(r) = s i nr 로 주어지면 h(r) =fa 0 이면 곡률 K = 1 임을 보여라

   

   제 10 장 지 표이 론 (Index th eory) 지표이론은 위상수학 , 미분기하학, 해석학이 섞여 있는 대역적 해 석학을 연구하는 중요한 분야이며 , 현대수학 연구에도 가장 중요 한 도구 중의 하나이다 · 본 장에서는 지표이론을 전개하는 초보단계 로 지표정리와 간단한 응용을 소개한다· 벡터다발의 위상수학을 말 해주는 특성류와 지표정리 나오기 이전의 기존 이론에도 특수한 경 우로 존재했음을 소개하고 일반적인 지표정리를 소개한다· 그 옹용 으로 드람작용소 , 돌보작용소, 호지작용소, 디락작용소에 대한 지표 룰소개한다· 10.1 특성류 (Charac t er i sti c Classes) X 는 다양체이고 1r : E ---+ X 를 X 상의 n - 차원 벡터다발이라 하 쟈 벡터다발 E 의 구성은 각 점 X E X의 근방 U 의 원상 ,r-l (U) ~ u x Rn c C 가 u x Rn c Cn 과 미분동형이며 사영 m 가 매끄러운 사

   상이다 E 에서 다발 Rn c cn 의 꼬임정도(위상)를 나타내는 것이 코 호몰로지류 (cohomolo gy classes) 라고 하는 특성류이다 구체적인 정 의와 성질은 밀르노-스타셰프 [M.S] 책을 참조하길 바란다 (1) E ---. X 가 1l- 차원 실벡터다발일 때: 스티펠-위트니 (S ti e fe l-Wh it ne y)류 w1,··· ,wn;wi E Hi ( X;Z i). (2) E -+ X 가 n- 차원의 복소벡터다발일 때: 천 (Chern) 류 C1, • • • , Cnj Cj E H2i( X ; Z). (3) E - X 가 n- 차원의 실벡터다발일 때: 폰트리아진 (Pon t r y a ji n) 류 P1, ·· · ,P[~I , p; E H4;(X;Z). (4) E -+ X 가 n- 차원의 방향을 갖는 실벡터다발일 때 : 오일러 (Euler) 류 e E H(X;.Z ). 위의 특성류는 다음의 성질이 있다 정리 10.1. 1 천류에 대하여 E -+ X 는 n- 차원의 복소벡터다발이고 f :X-+Y 이면 , (1) c;(/*(E)) = f*(c ;(E)) (2) c(E EB F) = c(E) • c(F) 여기서 c(E) = 1 + C1(E) + · · · + c0(E) 이다. D 만일 E = L1 EB • • • EB Ln 가 복소선다발(li ne bundle) 의 합으로 표시 된다만 (2) 에 의하여 c(E) = c(Li ) • • • c(Ln) = (1 + c1(L1)) • • • (1 + c1(Ln))

   이다 c1(L, ）를 x, 로 쓰면, c(E) = n:'.:1(1+X, ）이고 c1(E) = x1+··· + xn, c2(E) = X1X2 + X1X3 + • • • + Xn-lXn, C11(E) = X1X2··· X n. 따라서 c1(E),··· , cn(E) 는 x i, ••• ，마의 대칭다항식 (s y mme t r i c p ol y­ nom i al) 이다 일반적으로 벡터다발 E 는 선다발의 합으로 나타나지 않지만 특성류를 계산할 때는 모든 다발이 선다발의 합과 같이 사용 할 수 있다 이 것을 분리의 원리 (s p l itti n g p r i n cip le) 라 한다· E --+ X 가 n- 차원의 복소벡터다발일 때 , E 의 천지표 (Chern char- ac t er) 는 ch(E) = 짝= le 도, = n 十 (x1 + • • • + x,.) + ~21 (xi + • • • + 국) + ••• = n + c1(E) + ~12 (c1(E)2 -2c2(E)) + • • • E H*(X;Q ). c1(L1 ® £2) = c1(E) + c1(L2) 이므로 ch(E + F) = ch(E) + ch(F) ch(E ® F) = ch(E) • ch(F). n- 차원의 복소벡터다발 E-X 의 토드 (Todd) 류는 td (E) =一 n1? += 1~21 c _1 X(eE; -)Z +i —12 (c2( E) + c1(E)2) + • • • l 1 E H*(X;Q ).

   (예) X 가 위수(g enus) g의 리만곡면이고, E = TX ---. X 는 X 의 접 속다발이댜 코호몰로지군 H1(x,Z) = z2!} 이고 H2(X,Z) = Z :::'.? < h> 이다 c1(E) = (2 -2g ) h, ch(E) = 1 + (2 -2g ) h, td( E) = 1 + (1 -g ) h. (예) X = C l?'은 n- 차원 복소사영공간이고, E = TX --+ X 는 X의 접속다발이라 하자 H2(X,Z) = Z 三< h >이고 천류의 합은 c(E) = (l + h)n+l 이다 만일 X = C JP2이면 c(E) 1 + 3h + 3h2 ch(E) = 2 + 3h + -3=- 2h2 td( E) = 1 + -3=- 2h + h2 벡 터 공간 v, w 의 합 V EB W 의 외 대 수 (ex t er i or alge b ra) A• (V EB w) 는 각각의 외대수의 텐서곱 A*V®A*W 와 같댜 n- 차원 복소벡터 다발 E 가 다음과 같이 선벡터다발의 합 E = L1 EB • • • EB Ln 으로 표시 된다고 하자· 다발 E 의 외 대수 A1E = 파= 0NE = ®?=1A1Li = ®f=1 (C EB Li) 의 천지표는 ch(A1E) = II?=1ch(C EB L;) = II?=1(1 + ex'). 자주쓰이는다발 A_1E = 책 =0(-l);NE = ®?=0(C EB L;)

   의 천지표는 ch(A- 1 E) = Il'.'.:1(1 —e.r ' ). n- 차원의 실벡터다발 E 의 폰트리아진류 (Pon tr y a gi n classes) 는 Pi( E) = (-lfc 2 i ( E ®

   다음은 E -+ X 를 방향을 갖는 n- 차원의 실벡터다발이라 하자· X 가 콤팩트 다양체일 때 콤팩트 받침을 갖는 코호몰로지류 u E H;omp ( E) = H(E, E o) 가 존재하여 각 파이버(fi ber) 에 제한하면 H;(Ez) = Hn(Rn 沮 -{ O}) 의 방향을 나타내는 생성 원이 된다 · 여 기 서 Eo = E -{ O} 는 0- 단면을 뺀 것 이 다 이 때 U 를 톰류 (Thom class) 라 한댜 정리 10.1. 2 (톰동형정리) 준동형사상 '1/! : HP(X) -t H 싫益 (E) , 1/1 (a) = au 는 동형사상이다· □ 톰류 u E Hn(E, Eo) - 田 (E) ~ Hn(X) 의 X 상의 제한 비 x 三 e(E) 를 E 의 오일러 (Euler) 류라 한다 · 다음은오일러류에 대한성질을소개하자· 정리 10.1. 3 E-+ X 가 n- 차원의 방향을 갖는 실벡터다발이라면 (1) n 이 홀수라면 2e{E) = 0. {2) 만일 F 도 방향을 갖는 실벡터다발이라면 e(EEBF) = e{E)e(F). (3) 만일 E 가 문차원의 복소벡터다발 E' 이라면 e(E) = c¥{E'). (4) 오일러류 e(E) 는 E 의 0 이 되지 않는 단면에 대한 장애 (obs t ruc­ ti on) 이댜 (5) 톰류 U 는 수직으로 속의 방향을 나타내고 수평으로 X에 놓여 있는 오일러류 e(E) 를 나타낸다· □

   다음은 지표 계산에 도움이 되도록 오일러류를 천근으로 표시하 자 .n=2r 이 짝수라하자 e(E)2 = (-1re(E) • e(E) = (— 1Ye(E ® C) = (-1)\(E ® C) = Pr(E) = rr 다국 (E ® C), e(E) = I1~=1x;(E ® C) 이다 10.2 다양체의 오일러 지표 (Euler Characte ris t i c) 콤팩트 매끄러운 방향을 갖는 n- 차원 다양체 X의 오일러수는 x(X) = E?=0(-l/dim H;(X, lR) 이다· 정리 10.2.1 만일 e = e(TX) 가 접속다발 TX 의 오일러류라 하면 X 의 오일러수는 x(X) = e[X] 이댜 여기서 [X] E Hn(X) 는 X 의 기 본류 (fun damenta l class) 이 다 o 위상적 불변량인 오일러수는 X 상의 오일러 형식(fo rm) 의 적분 으로 표시되고, 유체의 흐름으로 결정되는 벡터장으로도 결정되고,

   미분기하학의 가우스 곡률의 합으로도 표시된다 · 정리 10.2.2 (포앙카레-호프) 만일 V 가 유한개의 0 을 갖는 X 상의 매끄러운 벡터장일 때 X 의 오일러수는 x(X) = Lv(.r)= O ind .r ( V) 이 고 특히 모든 X E X 에 대하여 V(x) =j: 0 이면 x(X) = 0 이다 o 정리 10.2.3 (가우스-보네) 만일 X 가 방향을 줄 수 있는 곡면이며 그것의 가우스 곡률을 Kf 라x 志하 면K d a = x(X).a 4 장에서 배운 드람의 정리를 상기해 보자. np 三 C00(APT*X) 를 X 상의 매끄러운 P 형식의 벡터공간이라 하자· 외미분 dP : nP - Qp +1 은 X 상의 편미분작용소이며 국소적으로 dp (fidx 1) = E 끊 ~dx;/\ dx1 로 표시되며 dp +l o dP = 0 이다· 정리 10.2.4 X의 드람 코호몰로지군은 H~(X) = 볼： 타fP (X;lR). HdR(X;lR) 은 차수 붙은 대수 (gr aded al g ebra) 이다 X 의 오일러수 x(X) = }:i=O (— l)i d im H~R(X).o 정리 10.2.1 의 e(TX) 는 X의 접속다발의 위상에 의해서 정해지고 정리 10.2 .4는 해석학의 존재성과유일성에 관련되어 있다. Ep - X 가 X 상의 벡터다발이고 D = {D p}를 편미분작용소들의 복체 ... 또~ c(X )(%) ~ c(X) ( Ep +l) ~ • • • , Dp D p -1 = 0

   라 하자 만일 각 P 에서 벡터공간 kerD p/i mD p -1 이 유한 차원이라면, D 의 지표는 ind ex(D) = ~(-1); dim —ikme —DrD;—_,1 • 로 정의한다 · 만일 D : c:x :( E) - c :x: (F) 이면 ind ex(D ) = dim ker D -dim cokerD . 정리 10.2.5 X 가 콤팩트 매끄러운 방향을 갖는 다양체이고 e = e(TX) 가 X 의 접속다발이라 하자· 만일 d = {d p}가 X 의 드람복체 라면 ind ex(d) = e[X]. a 10 . 3 지 표정 리 (Index th eorem) 의 소개 콤팩트, 매끄러운, 방향을 갖는 다양체 X 상의 복소벡터다발 E, F 에 대하여 선형편미분작용소 D : C:, 0( E) - C00(F) 의 지표 i ndex(D) 를 위상적으로 표시해 보자· 국소적으로 작용소 D 는 D = L aa(x)Da lal~m 로 표시된다 여기서 a 는 다중지표 (mul ti-i ndex), a0(x) : Ex -+ Fx 는 선형변환이다 작용소 D 에서 편미분 Di 대신 변수 G 라 쓰고 |al < m 인 a 를버리면 행렬 u(x,() = ~lal=maa(x)(a

   를 (x , {) 에서 D 의 기호 (s ymbol) 라 한다 여기서 a(x , { ）의 성분은 {1, •• • , {n 의 다항식 이 다 각 점 X E X 와 각 { = ({1, .. • {,. ) E JRn - 0 에 대하여 행렬 a(x,() 가 가역(i nver ti ble) 일 때 작용소 D 를 타원 적 (ell ipti c) 이라 한다 일반적으로 복체가 완전열일 때 그 복체를 타 원적이라한다· (예) 飛 3 에서 작용소 °一 no ~ n1 므 안 쁘 이 一 ° 의 기호 (s y mbol) 는 각 ( = ((1, 6 , 6 ) E lR.3 -0 에서 。一恥 I (_ ::3> ) R3 ( _:: S) o&S \&o학i ) (__JC_ ‘ 1\ , s一 ’ g2 ) 惡l 一 。 이 므로 각각은 타원 적 이 아니 지 만 전 체 는 완전 열 (exact seq u ence) 이 댜 따라서 복체는 타원적이다 라플라스작용소 A = v·v = 읊 + 읊+읊의 기호 [d+(?+ 갑] : R-+ R의 행렬은 g # 0 이면 가역이므 로 라플라스작용소 (Lap lace o p era t or) 는 타원적 이 다· (예) X 는 2 차원 다양체이고 E = F = X x C 은 선 곱다발이라 하 자. D : C:x :( E) -+ C00(F) 는 2 차 미분작용소 D = anDI +a12D1D2 + a21D2D1 + a22 며 + •• 타 하면 D 의 기호는 <1( x, {) = an{i + (a12 + a21)6{2 + a22{r 이다 작용소 D 가 타원적일 필요충분조건은 각 X E X 에 대하여 기 호 (1(x ,{ ) = 1 이 타원일 때다 ·

   정리 10.3.1 E,F 가 콤팩트 다양체상의 벡터다발이고 미분작용소 D : C: ,c( E) - c :,c (F) 가 타원적이면 벡터공간 kerD 와 cokerD 는 유 한벡터공간이다. D 만일 D 가 타원 적 작용소이 면 D 의 지 표 ind ex(D) = dim (ker D) - d i m(cok e rD) 가 정의된다 이때, D 의 지표 i ndex(D) 는 해석학적 , 즉 미분방정식의 해들의 차원 , 이다 · 다음은 기호 c(x , g)을 이용하여 적 절한 벡터다발을 구성하여 위상적 지표를 구성해 보자 · 복소벡터다발 E, F - X 에 대하여 -rr : T*X -X 공접속다발에 당김 -rr * E, 군 F - T*X 를 생각해 보자 · 각 점 x E X 와 g # 0 E T:,;.X 에서 D 의 기호 a서( x곱 , {)다 :발 E이:, ; -되 F 고x 는 -r r*동 E 형 —사군상 F이 -다 · B따 n 라X/서S n군 一 l EX -에 -서rr * F가 는상 T적X 벡 _ 터0 다에 발 (v i r t ual vecto r bundle) 을 이룬다 여기서 BnX 는 T*X 의 단위디스 크다발이고 sn-lX 는 단위구다발이댜 이룰 D 의 기호 (s y mbol) 라 하 고 기호로 a(D) = -rr* E --rr * F 로 쓴다 이때 a(D)lx = E-F 이다 · 다 시 말하면 기호 a(D) 는 T* X 상에 콤팩트 받침을 갖는 가상적 벡터 다발이라고 생각할 수 있다 · 다음은 하나의 편미분작용소 대신에 유 한개의 작용소 D = {D 가에 대하여 ... 찍 c:, c( Ep ) 묘 c:,c ( Ep +1) D.!.!1 •• • 가 Dp D p + l = 0 이고 타는 X 상의 복소벡터다발이라 하자· 각 점 x E X , g E T:X 一 0 에서 D 의 국소기호 (local s y mbol) 는 ... 야-- -- 1~(x •, {. ,) E p , 드 (1,.(.'.:..r+, {. ), Ep +l.:r (1' •, +· ~1 ( 도 ,. {.) . ... 이며 벡터공간과 준동형사상으로 구성되어 있다· 이 국소기호가 완 전 (exac t)일 때 D = {D 나를 타원적 (e llipti c) 이라 한댜 D 가 타원적 작용소일 때 위에서 구성한 것과 같이 BnX/sn-lX 상에 D 의 가상 적 다발 (v i r t ual bundle) a(D) 를 얻는다 X 상에 제한하면 a(D)lx = E(-1)' . E i이댜

   다움은 공변 접 다발 (co t an g en t bu~dle) T*X 의 방향을 생 각해 보 자 X의 좌표근방을 U 라 하면 T*X 의 좌표근방은 U X )R n 으로 나 타난다 따라서 T*X 의 각 점에서 접공간은 Rn x Rn 으로 분리된댜 X의 방향으로부터 방향순서기저 {b1,·· · ,bn} 이 Rn 내에 있다 두번 째 R 적 방향순서기저를 {bi, ··· ,b:,} 라 하면 보통 TX 의 방향순서 기저는 {b1,·· · ,bn,bi, ··· ,b~} 이다· 그러나 {b1,b i,··· ,bn,b~} 룰 T*X 의 방향순서기저로 하면 b1, ••• , bn 의 순서에 무관하게 b1,bi, ··· ,bn,b~ 은 같은 방향순서기저가 되어 T*X 의 방향이 정해진다 각 콤팩트 받침을 갖는 코호몰로지류 a E H;;m p (T*X; Q)는 a[T*X] E Q이댜 정리 10.3.2 (아티야-싱어 지표정리) X 가 n- 차원 콤팩트, 매끄러운 다양체이고 D 가 X 상의 타원적 작용소이고 u(D) 를 D 의 기호라 하 면 ind ex(D) = (-lt( c h(u(D)) • (td( T*X ® C))[ T*X].o (주의) (1) 만일 ind ex(D) > 0 이고 D 가 하나의 작용소이면 편미분방 정식 Ds = 0 는 해롤 갖는다· {2) i ndex(D) 는 정수이므로 지표공식의 오른편도 정수이다· 톰의 동형사상 心 : Hn(X) -=. H;;m p (T*X) 에 대하여 b[T*X] = (-1) 목 \-1(b)[X] 이 된댜 여기서 부호는 T*X 의 방향에서 왔댜 만 일 a E Hn(X),b = 1{,( a) = a • u 이면 i* : H*(T*X) -+ H*(TX), i*b = a · e 이다· 따라서 형식적으로 a = 꾸로 쓸 수 있다 만일 e(T*X) =I= 0 이면 ind ex(D) = (-무1 i* c)h(a~(De))( ~T• *tdX (T)[ *XX ® C) ]

   이고 i* ch(a(D)) = ch(a(D)lx) = ch(I: (- l);E ; ) 이므로 ind ex(D) = (-1)~--' -r' ~c h(~(-l[);Ee(i)T X ·• Xtd) ( T* X ®] C) . 지표공식에서 D 의 기호 (s y mbol) 는 없고 벡터다발 E1 와 다양체 X에 관한 자료만 나타나 있다· (주의) 마지막 i ndex(D) 의 공식에서 e(T * X) 가 O 일지라도 형식적으 로사용할수 있다· 왜냐하면 약분이 되고모든 것은분류공간 (class ify­ ing s p ace) 에서 성 립되기 때문이다 ·

   

   제 11 장 지표정리의 응용 II.I 드람작용소 (de Rham Op e rato r) X 는 콤팩트 매끄러운, 방향을 갖는 n- 차원 다양체이댜 안 = cx(Ak r- X@C) 를 X 상의 매끄러운 복소값을 갖는 k- 형식들의 벡터 공간이라 하자· 의미분들의 열 d = {di} ... 녹 ni ~ ni+ 1 ~1 ni+ 2 _ .. . 을 드람복체 혹은 드람작용소 (de Rham o p era t or) 라 한다· 국소좌표 계에서 의미분은 d;( 국) = 홀논j /\ dx1 즉 di = d] —O8X j dxi. x 에서 공접 벡터 { = Ej{ jdx i E T;x 에 대하여 CA d 떠 = Ei fjdx j A dXI·

   d, 의 국소기 호(l ocal sym bol) a-;( x, ()(v) = ( /\ v, v E A;T.X ® C 이댜 따라서 각점 (x,() E T;X 에 대하여 d 의 기호열은 ... 쓰 Ai r ;x ® c ~ Ai+ 1r;x ® c 으 .... 만일 ' t-0 이면 이 기호열은 완전 (exac t)열이다· 따라서 드람작용소 d 는 타원적이댜 지표정리에 의해 ind ex(d) = （크 )nch( a- (d)) · td (T•X ® C)[T'X ] dim c ikme dr;d-,1 = dim eH~R(X) ® C = dim J R H'(X; JR ). 따라서 왼편은 ind ex(D) = I:;d im J R H;(X;lR) = x(X), X의 오일러수 이댜 오른편을 계산해 보자 n = 2l 이 짝수일 때 (크) 무 ch( （크 )'A'TeX( T®* XC)) td (T*X ® C) [X]. 분리의 원리 (s p l itti ng p r i nc ip le) 를 사용하면 ch(I: (- l)iA 1T* X ® C) = II'i( l 一 리 (T * X ® C) td (T*X ® C) - II11 -~ e( -T Zi *X ®C) e(T*X) = IIix ; ( T*X ® C) 따라서 ind ex(D) = （一 1)1(n+l) . (-l)1IIix ;( T* X ® C)[X] = e[X]. 만일 n 이 홀수라면 오일러류 e E Hn(X : JR)은 0 이다· 원점에 대하여 대칭인 사상 a : T*X --+ T*X,a({) = -{ 에 대하여 a (u(d)) 의 기호 는 ... 土 ^ Ai T •x ® c -:5.:, N+1T·x ® c -+ •.•

   이며 a(d) 와 o * ( o- (d)) 는 T* X 상에서 동치 (e q u i valence) 이다 콤팩트 받침을 갖는 코호몰로지류 b E Hcom p (T*X) 에 대하여 b[T *X ] = o* b[ o.(TX)] = (-lto * b[T* X ]. 지 표정 리 에 의 하여 ind ex(d ) = -inde x(d) 이 므로 ind ex(d) = 0 = e[X]. 정리 11.1. 1 X 가 콤팩트 매끄러운 방향을 갖는 n- 차원 다양체일 때 ind ex(d) = e[X] = x(X). o 11.2 돌보작용소 (Dolbeault Op e rato r) X 는 콤팩트 11- 차원 복소다양체라 하고 T = TX 는 2n- 차원 다 양체 X 의 접다발이고 Tc 를 X 의 복소접다발이라 하고 i' c 를 켤레다 발 (con j ug a t e bundle) 이라 하자· 표준동형사상 : T®RC-+ T,홉i'c 는 ( v ® 1 + w ® i) = ½(v + iw ,v 一 i w) 로 주어진다 복소쌍대 (dual) • : Tc• EB i'c• -+ (T ®JR q• = T ®JR C 는 • (a, /3) = a + f3이 댜 단 Q = et 1+ iet 2 와 [3 = /3 1+ i /3 2 은 이 ®l+ et 2® i와[3 1®1+ /3 2® i E T® JR C 로 동일 시 된댜 복소벡터다발 AkT ® C = E p+q =kA p,q Tc 로 분리된다 여기서 Ap ,qT c = APTc*®A qjc • 이댜 따라서 안 = C:: ,0 (AkT®C ) = E p+q =kn” 로 분리되고, np,q = C ::,0 (A p,q Tc) 를 (p,q)형의 매끄러운 형식의 공간이다 · 각 (p, q)에 대하여 선형작용소 Qp,q 土 Qp+q+ 1 二 Qp+ 1,q np ,q ~ np +q+l ~ np ,q +l 1가r 있o d고 로 여 나기타서내 rr고' ' 7 r n는p,q 자 상연에스서러 운d 사=영 8이p, q다 +· 화 이 . q때가 8된다 三 1국r'o소d 적, 화으.q로 三

   %와 8p . q를 표현해 보자 한 점 p E X 의 근방에서 좌표계를 Zj = xi + iyi,j = l, • • • ,n 라 하자 · 접 벡터 V E Tp X 에 대하여 dxi( iv ) = 귈 Y j (v) 이다 (연습문제) dxi( iv) = ― d yi (v) 임을 보이시오· 따라서 dx i+i d yi는 TC· 의 국소단면 (local sec ti on) 이고 dx). _ i dY j는 f:의 국소단면이다 왜냐하면 dxi( iv) = -d yi (v) 이고 dy i(iv) +dxi (v ) 이므로 (dxi + idy i)(iv) = i(d xi + i d yj )(v) 이고 (dxi -i dy i)(iv) = -i(dx i - i d yj )(v) 이댜 동형사상 中* : T: ®f: -+ (T ®RCY 하에서 dzi = dxi ® 1 + dy i ® i, dzi = dxi ® 1 - dy i ® i 가대응되는단면이다· 국소적으로(p,q)-형의 형식은 w = ~1,J a 1 ,J d z 1 Ad 궁J로 나타난다 여기서 J = (i1, ··· ,ip),J = U1,··. ,jq)는 다중지 표이댜 8Opp,, qqWW = ~EII,’J J E~ AA —8—888aq~ZZ11A> ,,, ,JJv d dz z A>. A/\ ddzz1I A/\ dd 元 祐 , 이고여기서 888a z궁 A入 == --2211 (（88—xxa8一AA ®® 11 +- ——88YY8a AA ®®i i)). 더욱이 Qp , q에서 d= 8p, q +8p ,q이다

   (연습문제) Q상에서 d= i:Jp,q + 화 , q임을 보이시오· 앞으로 5 。q 三 a q로 간략히 쓰자 · 매끄러운 복소함수 f : x --. c 가 코사리만 방정식을 만족할 필요충분조건은 %(f) = 0 이다· 복소벡 터공간들의 복체 6 : ... D.::_:-.1 no.q ~ no.q + l 8~1 ... 를 돌보복체 (Dolbeaul t comp le x) 혹은 돌보작용소라 한다· 다음은 돌 보복체 6 의 기호를 조사해 보자· 공접벡터 { E r·x 는 { ® 1 = {1·0 + {0,1 E r; + ye• 로표시되고 강 0(v) = ~2l ({(v) - i{(iv )), (0•1 ( v) = ~21 ({(v) + i{(iv)) 이댜 따라서 5 의 기호는 u(x, {)(v) = (0•1 A v 이댜 여기서 V E A0,q T : ®C, X E X, g E T: 이다 {0.1 = 0 일 필요충 분조건이 g = 0 이고, 기호열 ... {:/\ AO, qT ; (8) C {~/\ AO, q+ lT ; (8) C {~/\ ... 은 ( # 0 이면 완전열이다 · 정리 11 .2. 1 돌보복체는 타원적이댜 o 돌보복체 8 에 대한 지표정리 ind ex(8) = ch(u(B)) • td (r•x ® C)[r•x].

   이 공식을 이해하기 위하여 돌보정리를 소개하자· 복소다양체 X 상 에 복소해석 학적 (holomorph ic ) 함수의 싹(g erm) 으로 된 충 (shea f)을 硏라하자 정리 11 .2 .2 (돌보) 각 p에 대하여 다음 복소벡터공간들은 동형이 댜 —imke 8rp8~- l ~ HP(X; rJ). □ 따라서 ind ex8 = E 나(― l);d i mH;(X 센) · 특히 H0(x ; {} ）는 X 상 의 복소해석학적 함수들의 차원이다 · 만일 X 가 연결공간이면 리우 빌 (L i ouv i lle) 정리에 의해 X 상의 복소해석학적 함수는 상수함수뿐 이므로 d i mH0(x 澤) = 1. 지표공식의 우변을 계산해 보자· 기호열 u(8) = E( ― 1)'A' f:이고 오일러류 e(T 기 = %(TC*) 이므로 ch(u(8)) -td (T * ® C)[T *X] = （一 ln ch)(E( 크n )'NC~ nt(c T•)c •)-[ td ( TX* ® C]) = (크) II?(1 _ e.r j ) • IIII? 'Xij 급눅 . II 託풍 [X] = II'.iL l _X ej - 따 [X] = td( Tc*)[X] = td (X)[X]. 만일 안 · q 대신 n°,q( V ) = C:x :(A O, qy -® V) 하면 여기서 v - x 는 복소해석적 벡터다발이다· 복소해석적 벡터다발 v - x 에 의해 꼬 인돌보복체 8(V) : · · · - n°,q( V ) 8 적 硏 +l(V) - ...

   이고 타원적이다 지표공식의 좌변은 ind ex &(V) = I::(- 1)' dim H'(X;{J ( X)) = x(X , V) . 우변은 위의 계산과 같이 ch(a (&(V ) ) ) · t

   여기서 h 는 H2(E , Z) 의 생성원이다 11.3 호지작용소 (Hod g e Op e rato r) 콤팩트, 방향을 갖는 n- 차원 리만다양체 X 의 공변접다발 ( co t an­ ge nt bundle) 을 T* X 三 T 라 하자 리 만구조와 방향이 둥거 리 변환 * : APT -+ An- p T 이 다음과 같이 정의된다. {e1 , · ·· , e n} 을 순서정 규 직 교기 저 (ordered oth onormal basis ) 일 때 순환 a : { l, · · · , n } -+ {l,· · · , n} 의 부분을 I= {a1, ••• ,a; },J = {ai+ l,··· , = La I\ *P, a,/3 E f!P. X 호지내적에 대해 의미분 d p : nP -+ 0 p +1 은유일한수반작용소 (ad j o i n t op e rato r ) Op+ l : np + l -+ Q P 가 < dp a , /3 >=< a, Op+ i/3 >, a E QP , /3 E np + l 로정의된댜

   (연습문제) Op = (-ltp + n+l * d* 임을 보이시오 · 예를 들면 R3 에서 {dx,d y,dz} 를 순서정규직교기저라 하자· o(adx) = -* d(ady /\ dz) = —* _ 88xa-d x A dy A dz = _88_ax 이다따라서 o(adx + bdy + cdz) = -(—a8xq +.• —88by +.• —8acz ) 이댜 (연습문제) 만일 V 가 JR 3 내에 벡터장이고 W 룰 대응되는 1- 형식이라 하면 cw = —div v , c(*w) = curlv 임을보이시오 no 에서 라플라스작용소 b. = cd = ―따단룰 확장하여 b. : f2P - f2P , b. = cd + de 로 정의한다 라플라스작용소 A 는 X 상의 2 차 선형편미분작용소이 댜 방정식 6.w = 0 의 해롤 조화형식 (harmon i c fo rm) 이라 한댜 정리 11.3.1 (호지) X 가 콤팩트, 방향을 갖는 n- 차원 리만다양체이 고 HP(X) = {w E n 기b. w = O}

   을조화 F 형식의 집합이라하면 W = d(f2 P-1 ) 학(f2P +l) EB HP(X) 로 직교합으로 표시된다· □ 호지의 정리에 의하여 드람 코호몰로지류는 유일한 조화형식을 포함하고 있다 no 에서 6 = -r:흙이므로 A 의 국소기호는 a(x,() = ―답이댜 (연습문제) f2 P 에서 A : fip -+ Q P 의 국소기호는 a(x, () = -I 간임 을보이시오 · 따라서 라플라스작용소는 타원적 작용소이다· 그러나 스는 자기 수반작용소 (sel f- ad j o i n t op e rato r ) < 60,{ 3 >=< a, ^ { 3 >, 6 = A · 이고 ker6 = coker6 이므로 ind ex(b .) = 0 이다· 또한 ch(u(b .)) = 0 임을 알 수 있다· 라플라스작용소 지표는 홍미가 없다· 라플라스작 용소의 이중근에 해당하는 1 차 선형작용소 D = d + 6 : 0· 一 Q.를 생각하자. D2 = 6 이다 작용소의 곱에 대한 기호는 작용소의 기호 에 대한 곱과 같으므로 작용소 D 는 타원적이다· 또한 D 도 자기수반 작용소이므로i ndexD = 0 이다· 그러나자세히 관찰하면 라플라스작 용소 A 와는 다르다· 죽 정의역과 치역을 다시 분리할 수 있음을 아 래에서 연구하자 . D = d+o 의 기호는 (x,{) E Tz 에서 u(x, {)(v) = { /\ v -{ Jv . 여 기 서 이 는 g에 의 한 축약 (con t rac ti on) 을 의 미 한다· 다시 말하면 g A 의 수반작용이다 첫째 n· = nevEBnodd 를 짝수 차수의 형식 nev 와 홀수 차수의 형식 nodd 로 분리하고 D 의 nev 에 제한을 Dev 라 하면 Dev : nev --t nodd 이고 kerD = ker b.이므로 ind exnev = x(X) 이다·

   다음으로 n = dim X = 2l 이 짝수라 하자· 호지 별작용소 (Hodg e sta r op e rato r) * : AP = APT @ C - An-p, *2 w = (-l)Pw 은 거의 대합(i nvolu ti on) 이다 만일 T = *iP(p - 1)+1 : AP _. An- p라 하 면 T2w = U l 이므로 T 는 대합이다 (연습문제) T : A* -. A* 이 대합(i nvolu ti on) 임을 보이시오· 따라서 A* = A'댜 BA - 은 T 의 +1 고유공간과 -1 고유공간으로 분 리된다 (연습문제) rD = -Dr 임을 보이시오· 따라서 D 의 제한은 D+ : Q+ - n-, v-: n-- n+ 가 되며 서로 수반 (ad j o i n t)이다 · 이때 D+ : n+ - n- 를 호지작용 소 (Hod g e op era t or) 라 한다 D+ 의 국소기호 u(x, () : A+ - A-는 D 의 기호를 A+ 에 제한이고 A+ 와 A- 는 같은 차원의 벡터공간이므로 g 수 0 이면 u(x, g)는 동형이다· 따라서 호지작용소 D+ 는 타원적 작용 소이다 D+ 에 대한 지표정리를 사용하면 ind ex(D+) = ch(u(D+)) • td (T• ® C) [T 기. ,D = -D, 이므로 , : kerD - kerD 이다 만일 D2w = 0 이면 O =< D2w,w >=< Dw,Dw >이므로 Dw = 0 이다 따라서 kerD = ker b.이다 호지의 정리에 의하여 T : H• 三 HJ R( X) ® C - n•

   는 대합이댜 따라서 H* = v+ EB V 견료 분리된다 여기서 V 士는 T 의 士 1 고유공간이다 ker D+ = v+ n H1 EB v+ n r;。$p > 0, H- 의 원소 a f:x/= aO 에A d대 =하 _여 f x a A *d = _ < a, a > < 0. 겹 선형 형 식 (bil ine ar for mB) (Ba, 1: 3H)1 = ® L CX (aB IH\1f i® C --+ Z

   온 H+ 에서 양의 정부호(p os iti ve de fi n it e) 이고 H- 에서 음의 정부호 이댜 따라서 ind exD+ = s ig nB 이다 드람정리에 의하여 드람코호몰 로지와 실계수의 특이 코호몰로지는 같으므로 겹선형형식 B : H~R x H~R -Z, B(o, { 3) = a u /3[ X] 로 정 의 되 며 B 의 부호수를 X 의 부호수 (s ig na t ure) 라 부르고 sig n X 로 나타낸댜 정리 11.3.2 X 가 콤팩트 , 방향을 갖는 리만 4k- 차원 다양체이면 호 지연산자의 지표는 X의 부호수와 같댜 즉 i ndex(D 기 = sig n X. □ (예) 복소사영평면 CIP2 의 코호몰로지 H * (C 尸 ,R) = R[a]/{Q 3 = 0} 이다 H2(CIP2,JR ) = 惡 a 이고 o2[CIP2] = 1 이므로 sig n(C IP2) = 1 이 다 8 차원 다양체 X 三 C !P2 x CIP2 의 코호몰로지 H*(X; R ) = 똑붕끓의 이다코호몰로지에서 (o X {3) u (aI x 첩) = (o U o') X ({3 U {3') 가선관(\1계형001음 형를 o 0 식만o t 1_B「조닌 100 =한0정 \) 가0 \'l/l수l 1HOO므 일 4 o1때0 로gs 0.10劃gnln )( ——의_\ 8:이기고저 xnCX 대는 5尸衍呼 個1)x 이= 1a ' 1다oag n임 x 같을 zli 'a a알 은atl. n 방 olx 법수 a) 있아하으 로댜면이 고m 겹 'n . S

   l
   g

   다음은 i ndex(D 기 = s ig n(X) 에서 오른편을 특성류로 표시해 보 자 . n 이 짝수일 때 특수직교군 SO(n) 의 분류공간의 오일러류는 0 이 아니고 모든 n 차 벡터다발의 오일러류는 분류공간의 오일러류의 당 김(p ull-back) 이므로 오일러류가 0 이 아니라고 가정하고 지표공식에 서 사용할수 있다 · i ndex(D 기 = (— 1, ch)(A+1 - A~e-()T ·) t[d (TX ® C) ]. 오른쪽을 구체적으로 알아보기 위해서 다발의 대수적 성질을 알아보 자. V',lV' 를 짝수 차원의 방향을 갖는 실벡터다발이라고 하고 그의 복소화 V = V'@C,W = W'@C 라 하자· A+( V EB l-V ) = A+(V) ® A+( l-V) EB A-(V ) ® A-(l -V) A-(V EB W) = A+(V) ® A-(l V) EB A-(V ) @ A+(w) 이고 (A+ - A-)(V EB W) = (A+ - A-)(V) EB (A+ - A-)( l-V) 이댜 벡터다발의 분리의 원리에 따라 T = P1 EB • • • EB P, 로 분리된다고 가정하자· 여기서 R 는 방향을 갖는 실평면다발이다· ch(A+ - A-)(T ® C) = II!=1ch(A+ - A-)(P; ® C). 각점 x E X 의 평면다발 P 의 파이버(fi ber) Px 의 정규직교 순서기저 룰 {e1,e 아라 하자 A*Px 의 기저는 {1,e1,e2,e1/\e2} 이다 이때 T = ip(p- l}+l* : A*Px ® C -t A*Px ® C r(l) = ie1 /\ e2, r(e 이 = ie2 r(e2) = -ie1, r(e1 /\ e2) = -i.

   A 다김 ® C 의 기 저 는 {l + e1 /\ e2 © i, e1 © 1 + e2 © i} 이 고 A-Px@C 의 기저는 {l ―이 ^('2© i ,e1©1-e2© i} 이다· L 를 실평면다발 P 로부터 정의된 복소선다발이라 하자· 다음 대응 A+P:r: ® C ---. 1 EB L:r: : 1 + e1 /\ r.2 ® -i 1---+ 1, e1 + e2 ® i 1---+ e1 + ie2 이 복소벡터다발의 동형 A+P®C~ lEBL 을 유도하고, 같은 방법으로 동형 A-P®C~ lEBL 을유도한다· 따라서 천특성 (Cherncharac t er) 은 ch(A+P ® C-A -P ® C) = (e.-.r —e:, ;)(L) 이 되 고, ch(A+r x C - A 가기 ® C) = II:=1(e-Z, - e:,;' ). 만일 x; = x;(T ® C) 를 i-번째 천근 (Chern roo t)이라 하면 (-1c 1h(A)+ -1A e-()~T ·) td[ (T X® C) ] =(— 11I IIIl=l=)11x(;eI-I1:l,=;, 1 _(1 e.-~.x, )e I-Ij.r=, )1[I xI;\=II1 j X=(1 1 -(-xe .;.r); ) ] = II:=1 (1 X-i (e e-::,;1, ;_, )e.~.r' ) [X] 즈 = 2/ IJ (=l~ 당 _2e 군 [X] = 2IIJ j=l —te a스T n· h+he[ -풍'X, t . ] 즈 = IJj =lt_an 므h―x; [X]. 여기서 m 노는우함수이므로마 =1~ 눕는 TX 의 폰트리아진류의 다 항식이댜

   (예) X 가 4 차원 다양체일 때 ta nXh1 x 1 tan Xh2 x2 = (1 - ¥)(1 - ¥) = 1 一 -31( Xi + X법 ) = 1 + }Pl· X의 부호수 sig n (X) = }Pi [X] 이댜 X 가 6 차원 다양체일 때 II 납~ = 1+ lP1 이고 sig n (X) = 0. 일반적으로 rr,i = I tan xht x; = 합I'l = 0L i (P1, • • • , Pi) = Lo + L1(P1) + L2(P1, P2) + • • • + L1~J (P 1, P2, • • • , P111) 라고 두자· 몇 개만 구해보면 Lo = 1 LL12 == —-4315p (17 p 2 - P1) 1 2 LL43 == 一—91144 51( 7652{ p3 38 l-p4 1 -3p 71p lp 2 3+ p 12 p- 31) 1 9p 2 + 22p 2P 1 - 3 p니. 1 2 2 4 따라서 X 의 차원 n 이 4 의 배수인 n=4k 일 때 i ndex(D 가 = sig n X.

   정리 11.3.3 (혈저브루크 부호수 정리) X 가 4k- 차원 콤팩트, 매끄 러운, 방향을 갖는 다양체이면 sig n X = Lk [X ]. o (예) k = l 일 때 sig n X = ½P1[X] 이댜 X = C !P2이면 P1(TC 한) = -c2(T EB 'I') = c1(T)2 -2c2(T) = 3a2. 여기서 a 는 H2(CIP2) 의 생성원이다. sig n (CIP2) = 1 이다. X = CJP2 x CIP2 이면 p(T X) = p( TCJP 2) x p (TC 釣 = (1 + 3a2 X 1)(1 + 1 X 3 갑) = 1 + 3(a2 X 1 + 1 X 갑) + 9(a 묘 갑) Pi = 18(a2 x a 사 이 고 P2 = 9(a2 X a2) 이 댜 따라서 sig n (CIP2 x CIP2) = 志 (7 X 9 -18)(a2 x a2)[CIP2 x CIP2] = 1. 만일 X = O 파이면 Pi( T) = (-l);c2i( T ® C) 이고 1 - Pl + P2 - p3 + · · · = (1 -C 1 + C2 -• • • )(1 + C1 + C2 + · · · ) = (1 -a)5(1 + a)5 = (1-a 엿 이므로 p( TCJP >i) = 1 + 5a2 + 10a4 이고 sig n (ClP4) = ~415 ( 7 • 10 -4 5)a4[C 한] = 1. (주의) X 가 4 차원 리만다양체라 하면 폰트리아진류 P1(TX) 롤 X 의

   레바치비타 접속 (Lev i -C i v it a connec ti on) 의 곡률로 나타낼 수 있다· 2 형식들의 2 X 2 행렬인 곡률을 。 F12 F13 F14 F = I ——FF1132 -F23。 F23。 FF3244 一 F14 -F24 -F34 。 로나타내면 P1(TX) = --:21-- tr%— F /\ —2F1 [ = 습 (Fl2 + Ff 3 + Ff 4 + ~젊 + F갑 + Ff 4). 따라서s iXg n 의X 부=호 수1를L 곡P률1 (로TX 나) 타내면 1 X = ~1 L(Fl2 + Ff 3 + Ff 4 + F'._젊 + F겁 + Ff 4). X 11.4 디 락작용소 {Di ra c Op e rato r) 다양체 X 상의 미분작용소 D 의 국소기호는 D 의 최고차의 대 수적 표현이다· 예를 들면 드람작용소, 돌보작용소, 호지작용소의 대 수적 표현은 형 식 의 벡 터 공간에 서 외 적 (exte r i or multip li c a ti on ) 이 다· 이 장에서는 국소기호가 클리퍼드곱 (C liffo rd mul tip l i ca ti on) 인 작용 소에 대하여 알아보자· 클리퍼드대수 (C liff ord al g ebra) 의 성질에 대하여 알아보자. V 룰 내적이 있는 벡터공간이라 하자 · 클리퍼드대수 C(V) 는 V 상의 자유

   텐서 대수에 ~v = 키 v l2-1 의 관계를 만족하는 대수이 다. {e 1, ... , e,.} 을 V 의 정규직교기저라하면 C(V) 는{디 , ... ,g }으로생성된대수로 서 ¢cJ = cJ .(';,i =/ j,e ; = -1 인 관계를 갖는댜 따라서 {e; 1 .. • eik l l ~ i1 < i2 < • • • < ik ~ n} 이 C(V) 의 기저이댜 벡터공간으로서 C(V) 는 V 의 외대수 A*(V) 와 동형이다 클리퍼드대수 C(V) = Ce' ' (V) EB C0dd(V) 는짝수 k 개의 곱 e; 1 •••e;. 을 생성 원으로 하는 부분공간 C e v(V) 와 홀수 k 개의 곱 e;1 • • • e i.을 생 성원으로 하는 부분공간 codd(V) 로 분리된다· 특히 V C codd(V) 이 다 V = R o] 유클리드 공간일 때 C(V) = C n 로 쓰자 그러면 C1 = C 이고 C2 = IHI 이다 X 를 콤팩트, 방향을 갖는 n- 차원 리만다양체라고 하자 . T = TX 는 X 의 공접다발이며 9ii (x ) E SO(n) 은 TX 의 구조군이다 SO(n) 은 R ” 의 방향과 내적을 유지하는 변환이므로 클리퍼드대수 Q상에 확 장되고 9 l J ( x ) 는 X 상에 클리퍼드대수들의 다발을 정의한다· 이 다발 의 단면들상에 미분작용소가구성되고그작용소의 국소기호는코탄 젠트 벡터의 클리퍼드곱이 된다. n = 2l 이 짝수라 하면 클리퍼드대수 의 복소화 Cn®C 는임 x21 복소행렬들의 대수 C(2! ）과동형이다· 따라 서 Cn ®C 는 2! －차원 기 약복소표현이 있다 · 이 표현 (re p resen t a ti on) 은 C 홉 C 의 좌아이디얼로나타난다.j = 1, ·- · ,l 에 대하여 Qi = e2j -1 e2j ®i E Cn®C 은 Cn®C 상에 오른쪽에서 작용하고 어 = 1 이므로 Qj의 고유치는 士 1 이댜 또한 Q j 는 서로 교환가능하다 · 공간 6n = {a E Cn ® C I aQ j = —a,j = l, • • • ,l} 은 21 차원 벡터공 간이고 Cn®C 의 좌아이디얼이다· 군 SO(n) 의 Rn 에 작용은 Cn 의 작 용으로 확장되고 행렬대수 Cn ® C 에는 내부자기동형사상(i nner au- t omor ph i sm) 으로 작용한댜 다시 말하면 각 원소 g E SO(n) 에 대하 여 X E Cn ® C 가 존재하여 g( a) = xax-1,a E C,, ® C 가 된다· 즉 x 의 클리퍼드곱은 9 작용의 상에 해당한다· 각 원소 g E SO(n) 에 대 하여 존재하는 X 는 유일하지 않다 C,:U 내의 단위원들의 군내에 부

   분군 Sp in( n) = {x E C~'' I Adx E SO(n) , Adx ( a) = xa x -1 , V a E Rn ' 죠 = 1}, 여기서 _ : Cn -+ Cn, (e ;1· ·· C i 1 ) = (크 )ke i , . ··· e i 1 은 대합(i nvolu ti on) 이댜 준동형사상 Ad : Sp in( n) --+ SO(n) 을 이중덮 개 (double cover) 이댜 군 S pi n(n) 은 공간 Cn ® C 에서 왼편 클리퍼드 곱으로 작용한다· 따라서 6. n 에서도 왼편 클리퍼드곱으로 작용한다· Sp in( n) 표현으로 Cn @C = 21 6. n 으로 분리 되 고 스 ,l 은 Cn ® C 의 기 약 표현이다 S pi n(n) 의 표현으로 An = A: e A ; 로 분리된다 여기서 A; = An n (C:V ® C), A; = An n (C 훈 dd ® C) 이다 (예) 유클리드 공간 R2 에 대하여 C2 = IHI 이 며 {1, e1, e2, e 1@} 가 생 성원의 집합이다 C;V 는 {l,e1 , e2} 가 생성원의 집합이다 . Sp in( 2) = {x = cosB+sin B e1e2JO ~ B ~ 2 마 ~ s1 이다 각 원소 x E Sp in( 2), v = cos.X e 1 + sin . X e 2 E R2 에 대하여 Adx(v) = xvx-1 -(cos0 + sin 0 e1e2)(cos.>.e1 + sin . >.e2)(cos0 - s i n0e1e 까 = (cos 0 + sin 0e1e 이 (cos 0 + sin 0e 요) (cos .>.e1 + sin > .e 이 = (cos 20 + sin 20e1e 이 (cos >.e1 + sin .>.e2). 따라서 만일 X 가 벡터 V 를 시계반대방향으로 0 만큼 회전하면 Adx 는 벡터 V 를 시계반대방향으로 20 만큼 회전시킨다 . Q1 = e1e2® i는 C2®1R C = lHI® JR C 가 오른편에서 클리퍼드곱으로 작용하고 Qj = 1 이다· Q 1 의 (-1) －고유공간 62 의 기 저 는 {1 -e 1e2 ® i, e1 + e2 ® i} 이 다· 따 라서 A 和의 기저는 1-e1 e2 ® i이고 A 戶의 기저는 e1 + e2 ® i이다· S pin (2) 의 A; 에서 작용은 x = (cosO + sin 0 e1e2) E Sp in( 2), a =

   1 —e1 e2 0 i E 6!, b = e1 + e2 0 i E 62 에 대하여 x·a = (cos 0 + sin 0e1 e 2)(l -e 1e2 © i) = (cos 0 + i sin B)a X·b = (cos0 + s i nBe1@) （이 + e2 ® i) = (cos 0 -i sin 0)b 로 주어진댜 따라서 S pi n(2) 는 스芬와 A i에서 서로 켤레로 작용한다· 위에서 유클리드 공간에서 S pi n(n) 의 표현을 살펴보았다 · 이것 올 이용하여 다양체 X 상에 Sp in( n) 다발구성을 언제 할 수 있는지 알아보자 방향을 갖는 리만 n- 차원 다양체 X의 좌표변환 9ij (X ) E SO(n) 은 특수 직교군의 원소이고 국소적으로 SO(n) 의 이중피복군 S pi n(n) 으로 올림 Yii ( x ) E S pi n(n) 이 있다 전체 X 상에 양립되는 (com­ pa ti ble ) 주스핀다발(p r i nc ip al Sp in( n) bundle) 이 존재하기 위해서는 양립성 조건 9ij (X )9jk ( x)gk ; (x) = 1 을 만족해야 한다 · 어떤 상황이든 9ij ( x ) • 9jk ( x) • 9ki (x ) = 士 1 이다 접다발 T 一 X 에서 방향을 갖는 정 규직교틀로 구성된 주 SO(n) 다발 P - X 에 대하여 좌표변환 9 ij의 올림 9 ij 가 양립성 조건을 만족하면 P 의 이중피복인 주 S pi n(n) 다발 f>-x 이 존재한댜 이때 X 를 스핀다양체 (s pi n man ifo ld) 라 한댜 대 수적 위상수학의 체크 코호몰로지 (Cech cohomolo gy)에서 9 ij 가 양립 성 조건을 만족할 필요충분조건은 두번째 스티펠-위트니류 w2(T) 가 0 이다 예를 들면 2 차원 리만곡면과구 (S 기온 스핀다양체이고和呼나 C JPl2는 스핀다양체가 아니다· 다음부터는 X 를 스핀다양체라 하자· C(T) - X 를 파이버가 클리퍼드대수 C(Tx) 인 클리퍼드대수다발 이라 하자· 이때 좌표변환은 9 ij (X) 의 왼편 클리퍼드곱이다· 이 경 우 위 에서 알아본 바와 같이 P Xspi n( n) Cn = C(T), C(T) ®JR C = 21 6. (T) 이고 6.(T ) = 6.+ (T) EB 설 (T) 는 복소벡터다발이다· 원소 g E Sp in( n), v E T, a E 6. (T) 에 대하여 g(v • a) = (gv g -1 ) • (g a) 는 클 리퍼드곱 T x 6.(T ) - 6. (T) 은 다발사상을 유도한다· 다발 6.(T ) 一

   X의 단면을 스피노 (s pi nor) 라 하고 다발 A+(T) 와 6-(T) 의 단면을 각각 } - 스피노 , (감)-스피노라고 한다 다음은 클리퍼드곱이 기호 a( x, {) 인 스피노상의 편미분작용소 V 를 정의해 보자· 공식 'v( aje j ) = 펴문 e, 언라 하고 e. i .e.J는 클리퍼드곱으로 하고 싶다 그러나 클 리퍼 드곱은 내적에 의하여 정의되고 내적은 각 점의 파이버마다 변한다· 따라서 편미분작용소 v : r(6) - r(6. ) Vs = Ei e i • 8e,s , S E r(A) 로 정의하자 여기서 8e , 는 X 상의 리만구조에 의한 ei 방향의 공변미 분이고 곱은 클리퍼드곱이다· 국소적으로 표시해 보자· V(E j언이 = E,. je 1 • 8e, (aje .j ) = Ei,j—8a ax]i eI • ej + Ei .ja J . e i • 8e, e j · 따라서 V 는 1 차 편미분작용소이고 , 기호는 u(x, {)a = { · a, (x, {) E Tx , a E b.{T.니 는 클리퍼드곱이다 클리퍼드곱 {2 = -< g,g >이므로 g # 0 의 클리 퍼드곱은동형사상이고 V 는타원적 작용소이다 .Rn 상의 내적 <,>을 클리퍼드대수 Cn 까지 {e 가를 정규직교기저로 확장하자· (연습문제) (1) { E JRn ,a,b E Cn 에 대하여 < {a,b >= -< a,{b > 임을보이시오 . □ (2) k- 차 편미분작용소 D 의 수반 (ad j o i n 이작용소 D * 의 기호는 u(D 기 = （크 )%(D)*

   임을 보이시오. D 따라서 작용소 V : r(A) 一 r(A) 는 자기수반 ( s el f- ad j o i n t)이다· 자기수반작용소의 지표는 0 이다· 자기수반작용소 V 를 제한한 작용 소 v+ : f(6.+( T)) --t r(6.-( T)) 룰 스핀다양체 X 상의 디락작용소 (D i rac o p ra t or) 라고 한다· 타원작 용소인 디락작용소에 지표정리를 사용하면 ind ex('v +) = ch(a(V 기) . td (T @ C)[T X] 이 된다 좌변을 이해하기 위하여 우변을 구체적인 코호몰로지 특성 류로 표시해보자 · 우선 좌변을 살펴보자. < V2u,u >=< 'vu ,Vu >이 므로 kerv+ + kerv-= kerV = kerV2. 작용소 v2 을 스피노 라플라시안 (s pi nor La p lac i an) 이라 하고 V2 u = 0 의 해를 X 상의 조화스피노 (harmon i c s pi nor) 라 부른다 디락작용소 의 제한인 V+ 와 v- 는서로수반이다 · ind ex(V+) = dim ker v+ -dim cokerv+ = dim ker v+ -dim ker v- = d i m{ 조화 51 -스 피노}- d i m{ 조화(一 51) —스 피노} . 정수 i ndex v+룰 X 의 스피노지표 (s pi nor ind ex) S pi n(X) 라 한다 다 음은 오른편을 살펴보자· 대수적 위상수학에서 S pi n(n) 의 분류공간 BSp in( n)(n = 2l 은 짝수)의 오일러류는 0 이 아니다 · 따라서 지표공 식오른편은 (-1)lch(A+(T) - 설 ~[X] . e(T)

   ch(6 지 T) ―쇼 (T) ）를 형식적으로 계산하기 위하여 실벡터다발의 분 리의 원리를 사용하자· 공접다발 T = P1 EB • • • EB P1 이 실평면다발의 합으로 표시됐다고 가정하고, 각 R 의 내적은 T 의 내적의 제한이라 고 하자 일반적으로 내적을 갖는 벡터공간 V 와 W 에 대하여 클리퍼 드대수로동형사상 C( V EB W) = C(V)®IRC(W). 여 기서 (a®b) • (c®d) = (-1 t cac®bd 이다 만일 E 와 F 가 스핀벡터다 발이면 EEBF 도 스핀벡터다발이 되고 위의 동형사상이 벡터다발의 동형사상을유도한다· C(E EB F) = C(E) ©IR C(F). 같은 방법으로, 다음의 복소벡터다발의 동형이 있다· 6(E EB F) = 6.(E ) ®c b.(F ) b.+ (E EB F) = 6+(E) @c 6+(F) EB 설 (E) @c 6- ( F) 6-(E EB F) = 6+(E) @c 6-(F) EB 6-(E) @c 6+(F). S pi n(n) 구조를 갖는 T 一 X에 대하여 분리원리를 이용하면 T = P1 EB • • • EB P1 가 Sp in( 2) 구조를 갖는 평면다발 R 의 합으로 표시된 다고 가정하자· 위의 사실과 천지표 ch(Chern charac t er) 는 환준동형 사상임을사용하면 ch(b. + (T) - 6-(T)) = m=1ch(6+(P;) - 6-(P;)). 앞에서 본 바와 같이 6+(P;) @ 6+(P;) = L; 6-(P;) @ b.-( P;) = L;

   여기서 L1 는 평면다발 R 의 복소선다발을 의미한다· 복소선다발 L1 과 습L2 에(L ) 대, c하h(여 설 c (1(PL; )1) E=B Le -이T (=L) c이1(다L1 ) 따+라 c1서( L 2) 이므로 ch(6+(P;)) = ch(6 지 T) -설 (T)) = n\=1 (eT -e 윤 )(T ® C) 이고, 여기서 i = 1,··· , l 에 대하여 Xl+1 = -X1 이다 . 'v+의 지표는 ind ex('v +) = (_1)Irr:=1( ee :五 c!l ·r r\=1~ • rr\=1 i二 , [X] = (-1)1(I1X I;— •\ e(=-e Z궁, )1_(1 ~e—-f[e) XX ,) ] = (— l)III\=1 르, 뭉곤 , [X] = （一 1)1II\si=n 츠1h ~뭉[ X] = (— 1)1A[X] 여기서 A = II\=1 급남 (T ® C) 는 X i에 대하여 우함수이므로 X 의 폰 트리아진류의 다항식의 합으로 표시된다· A = Ao + A1(P1) + A2(P1, p2 ) + · · · 로표시하면 Ao = 1 AA21 == —572P6—4l0 (-4p2 + 7p i) 1 A3 = -~(l6p3 - 4 4p 2 p 1 + 31p f).

   정리 11.4.1 X 가 'n = 2l- 차원 스핀다양체이면 스핀지표 Sp in( X) = i ndex(V 기 = (-1)1A[X] 이다 o (주의) (1) A 은 4 의 배수차원의 코호몰로지류 합이므로 n = 2l 에서 l 이 홀수면 A[X] = Sp in( X) = 0. (2) Sp in( X) = A[X] 는 리만구조를 사용하여 디락작용소의 지표이지 만 리만구조에 의존하지 않고 폰트리아진류에 의존한다· 더욱이 해 석학적 측면에서 A[X] 는 차원의 차이이므로 분명히 정수이지만 지 표공식에서 볼 때 정수임을 쉽게 알 수 없다· (3) X 가 l- 차원 복소다양체라 하고 그의 접다발을 Tc 라 하자 X 의 토 드류 (Todd class) 와 A 사이의 관계를 살펴보자· td( Tc) = II'.=1~(Tc) = Il j =le 운 • II:=1 sin 즈 ; 웅 [Tc] = e½c1 ,A, 여기서 C1 = c1(Tc) 이고 A 은 Tc 를실벡터다발로 생각할 때 폰트리아진 류로 표시된 것이다· 따라서 실다양체 X 에 대하여 실토드류 t d(T) 가 정의가능하다· (4) 만일 c1(T) 를 잘 정의할 수 있다면 비록 스티펠-위트니류 w2(X) 가 0 이 아니라 할지라도 만일 w2(X) 가 정코호몰로지류 H2(X;Z) 의 모 드 2- 잔류라면 꼬인 S pi nc(n) 의 구조를 가지며 꼬인 디락작용소가 정 의되고, Sp ine 지표 S pi nc(x) 가 정의된댜

   참고문헌 [A.H.S] At iya h, M.F., N. Hi tch in , and I. Sin g er . Self Duali ty in Four- Dim ensio n al Ri em annia n Geometr y. Proc. R. Soc. London Ser. A 362 (1978), 425-461 . (A.B.S] At iya h, M. F. , R . Bott , and A. Shap iro . Cli ffor d Modules. Top o log y 3, Sup ple ment 1 (1964), 3-38. (A.S1) At iya h, M. F., and I.M. Sin g er . The Index of Ell iptic Op e rato r s I. Ann. Math . 87 (1968), 484 -53 0. [A.SJ At iya h, M. F. , a nd G.B. Sega l. The Index of Ell iptic Op e rato r s II. Ann. Math . 87 (1968), 531-545. [A.S2) At iya h, M.F., and I.M . Sin g e r. The Index of Ell iptic Op e rato r s III. Ann. Math . 87 (1968), 546-604. [A.S3) At iya h, M. F. , a nd I.M . Sin g er . The Index of Ell iptic Op e rato r s IV. Ann. Math . 93 (1971), 119-138. [A. S4 ) At iyah , M.F., and I.M. Sin g er . The Index of Ell iptic Op e rato r s V. Ann. Math . 93 (1971)139-149. [B.T) Bott , R. and L. Tu. Di ffer enti al Forms in Alge b rai c Top o log y. New York, Heid e lberg, Berlin : Sp ri n g er -Verlag, 1982.

   [B] Bredon, G. Intr o ducti on to Comp a ct Transfo r mati on Group s . Pure and Ap plied t--I ath emati cs , Vol. 46. New York: Academi c Press,1 9 72. [CH] Chern, S. A Sim p le Intr i n s ic Proof of the Gauss-Bonnet Formula for Closed Ri em annia n Manif old s. Ann. Math . 45 (1944), 747-752. [C.E J Cheege r, J. and D. Ebin . Comp a ris o n Theorems in Ri em annia n Geome t전 . North -H olland Pub. Co., 1975. [Clj Cho, Y.S. Fin i t e Group Acti on s on th e Moduli Sp a ce of Self-D ual Connecti on s II. Mi ch ig a n Math . J. 37 (1990), 125-132. [C2] Cho, Y.S. Fin i t e Group Acti on s on the Moduli Sp a ce of Self-D ual Connecti on s I. Transacti on s Amer. Math . Soc. 323 (1991), 233-261 . [C3] Cho, Y. S. Eq u iv a ria n t Metr i c s for Smooth Moduli Sp a ces. T op o log y and Its A p plica ti on s, Vol. 62 (1995), 77-85. [C4) Cho, Y.S. Cyc li c G roup Acti on s on Gaug e Theory. Di ff. Geom. and Its Ap plica ti on s 6 (1996), 125-132. [C5) Cho, Y.S. Seib e rg- W itten Invaria n ts on Non-S y m p le cti c 4- Mani fold s. Osaka J. Math . 34 (1997), 169-173. [C6) Cho, Y. S. Fin ite Group Acti on s on Sp ine Bundles. Acta Math . Hung a ric a 85, 1999. [C7) Cho, Y.S. Fin i t e Group Acti on s on Four-Manif old s. Jo ur. of Aus- tra li an Math .Soc., Serie s A,1999. [C.CJ Cho, Y.S. , and M. S. Cho. The Geog ra p h y of Sim p ly - c onnecte d Sy m p le cti c Man ifold s. Prep r in t . [C. H] Cho, Y. S. , and Y. H . Hong . Vanis h in g Theorem on Sin g u lar Moduli Sp a ces. J. Korean Math . Soc. 33.4 (1996), 1069-1099.

   [C.K] Cho, Y. S. , and W .Y. Ki m . A constr a in t on sym p le cti c str u ctu re of b+ 2 = 1 mi ni m al sym p le cti c fou r-manif old s. Bull. Korean Math . soc. 36.1 (1999) [C. H] Cho, Y. S. , and J.Y . Yoon. Exoti c sym p le cti c str u ctu res on S3 x IR.. Bull. K orean f\fath . soc. 35.1 {1998), 1-12. [DJ Darlin g , R. W .R. Di ffer enti al Forms and Connecti on s. Cambrid g e UP, 1994. [Doc] Do Carmo, t-.1. Differ enti al Geometr y of Curves and Surfa c es. En- gle wood Cliff s, N. J. : Prenti ce - H all, 1976. [Doi] Dold, A. Lectu r es on Alge braic Top o log y. New York, Heid e lberg, Berlin : Sp ri n g e r-Verlag , 1972. [Don] Donaldson, S. An Ap plica ti on of Gaug e Theory to Four-M anif old Theory. J. Di ff. G eo. 18 {1983), 279-315. [D. K] Donaldson, S. , and P. Kronheim er. Geometr y of Four Manif old s. Oxfo r d UP, 1990. [E.S] Eil e nberg, S. and Ste e nrod, N.E. Foundati on s of Alge braic Top o l-ogy . Prin c eto n , N. J. : Prin c eto n Univ e rsit y Press, 1952. [F.U ] Freed, D. and K. Uhlenbeck. Insta n to n s and Four-Manif old s. Math . Ser. Res. Inst. Puhl. Vol. 1. New York: Sp r in g e r-Verlag , 1984. (F] Freedman, M. The Top o log y of F our Dim ensio n al Manif old s. J. Diff. Geo. 17 (1983), 357-454. (G] Gi lk ey, P.B . Invaria n ce Theory, the Heat Eq u ati on , and the At iya h-Sin g e r Index Theorem. Publish or Peris h , 1984. [G.H] Greenberg, M. and J. Harp e r. Alge braic Top o log y: A Fi rs t Course. Math . Lee. Note Ser. 58, 1981 .

   [Gr.HJ Griff iths , P. and J. Harris . Alge braic Geometr y . W ile y, 1978. [G. P] Guil lem i n, V. and A. Pollack. Differ enti al Top o io g }'. Eng le wood Cliff s, N.J .: Prenti ce - H all, 1974. [H] Hemp e l, J . 3-l \t an if old s. Annals of Math emati cs Stu J ies 86. Prin c e - ton UP, 1978. [Hi] Hick s, N.J . Note s on Differ enti al Geometr y . Prin c eto n , N. J. : Va n- Nostr a nd, 1965. [Hi r] Hirz ebruch, F. Top o log ica l Meth ods in Alge braic Geometr y , 3rd Edit ion . New York: Sp ri n g e r-Verlag , 1978. [Hi rs] Hirs ch,M. Di ffer enti al Top o log y. Sp r in g e r-Verlag, New York, Hei- delberg, Beli n, 1976. [Hu] Husemoller, D. Fib r e Bundles, 2nd. edit i on . Sp r in g e r, 1975. !K.N ] Kobaya s hi, S . and Nomi zu , K. Foundati on s of Differ enti al Geome - try, Vol. 1. New York: Inte r scie n ce (W iley ) , 1963. (L.R ] Lashof, R. K. and M. Roth e nberg. Mi cr obundles and Smooth i n g . Top o log y 3 (1965), 357-388. [L] Lawson, B. Jr. The Theory of Gaug e Fie l ds in Four Dim ensio n s. Confe r ence Board of Math . Sci en ces No. 58, 1985. [M] Massey, W.S. Alge braic Top o log y: An Intr o ducti on . New York: Harcourt- B race, 1967. [Mc] McDuff , D. J-h olomorph ic Curves and Qu antu m Cohomolog y. Un iv. Lee. Ser. 6, AMS Provid e nce, RI, 1994. [M.Sl] McDuff, D., and D. Salamon. Intr o ducti on to Sy m p le cti c T op o log y. Ox for d: Clarends Press, 1995.

   [IVI .S2 ] McDuff , D . , and D. Salamon. Intr o ducti on to Sy m p le cti c T op o log y. Oxfo r d: Clarends Press, 1995. [l'vl il ] Mi ln or, J. On Manif old s Homeomorph ic to the 7-S p h ere. Ann. Math . 64 (1956), 399-405. [M i2] Mi lno r, J. Morse Theory. Prin c eto n , N. J. : Prin c eto n UP, No.51, 1963. (M i3] Mi lno r, J. Top o log y from a Di ffer enti al Vi ew p o in t . Charlott es vil le, Va.: Univ . of Vi rg i ni a Press, 1965. [Mi 4] Mi lno r, J. Lectu res on th e h-Cobordis m Theorem. Prin c eto n Math . Note s . Prin c eto n UP, 1965. [M.S] Mi ln or, J., and J. St as heff . Characte r is t i c Classes. Prin c eto n : Prin c eto n UP, 1974. [Mu] Munkres, J. Elementa ry Di ffer enti al Top o log y. Prin c eto n , N.J. : Prin c eto n UP, 1963. [N. N) Newlander, A. and L. Ni re nberg. Comp le x Analyt ic Coordin ate s in Almost Comp le x Manif old s. Annals of Math . 65 (1957), 391-404. [NJ Nomi zu , K. Lie Group s and Differ enti al Geometr y. Math . Soc. of Ja p a n., 1956. [P] Palais , R. S. Semi na r on the At iyah -Sin g e r Index Theorem. Annals of Math emati cs St u die s 57. Prin c eto n UP, 1965. [Pon] Pontr ya g in, L.S . Foundati on s of Combin a to ria l Top o log y. Rocheste r , N.Y.: Gray lo ck, 1952. (Po] Poor, W. Di ffer enti al Geometr i c Str u ctu res. McGraw-Hi ll, 1981 . (R] Roe, J. El liptic Op e rato r s, Top o log y and Asym p tot i c Meth ods. Long m an, Pi tm an Research Note s in Math . Ser. 179, 1988.

   [S] Shanahan, P. The At iya h-Sin g er Index Theorem. Lee. Not es . in ~fath. 638. New York: Sp ri n g er -Verlag , 1970. [S.T] Sin g er , I., and H.A. Thorpe . Lectu r e Note s on Elementa r y Geome- try and Top o log y. Glenvie w , Ill.: Scott , F oresman, 1967. [S. Th ] Sin g er , I. , and J. Thorpe . T he Curvatu re of 4 -Di m ensio n al Ein s te i n Sp a ces. Global Analys is . Prin c eto n : Prin c eto n UP(l969), 335-365. (Sl] Smale, S. Generaliz e d Poin c are's Conje c tu re in dim ensio n s Greate r Than Four. Ann. of :fl.l ath . 74 (1961), 391-406. [S2] Smale, S. A Survey of Recent Results in Di ffer enti al Top o logy . Bull. Amer. Math . Soc. 69 (1963), 131-145. [S3] Smale, S. An Infi ni t e Dim ensio n al Versio n of Sard's Theorem. Amer. J . Math . 87 (1968), 861-866. [Sp ] Sp a nie r , R.H . Alge b raic Top o log y. New York: McGraw-Hi ll, 1 966. [S 민] Sp iva k, M. Calculus on Man ifold s. New York: Benja m i n, 1965. [Sp 2 ] Sp iva k, M. A Comp r ehensiv e Intr o ducti on to Differ enti al Geometr y , Vol. 1. Bosto n , Mass.: Publi sh or Peris h , Inc. (St ] Ste e nrod, N. The Top o log y of Fib e r Bundles. Prin c eto n UP, 1951 . [Sw] Swan, R. Theory of Sheaves. Chic a go , Ill.: Chic a go UP, 1964. (Tl] Taubes, C. Self-D ual Connecti on s on Non-S e lf-D ual 4-Man ifold s. J. Di ff. G eo. 17 (1982), 139-170. [T2) Taubes, C. The Seib e rg- W itten Invaria n ts and Gromov Invaria n ts . Math . Res. Lett . 2 (1995), 221-238. [V] Vi ck , J.W . Homolog y Theory . New York: Academ ic, 1973.

   [W] Wall, C.T.C. Surge r y on Comp a ct l'vl a nif old s. New York: Academi c, 1970. [Wa] Wallace, A. Dif fer enti al Top o log y, Fir s t St ep s. New York: Ben- jam i n, 1968. [War] Warner, F.W. Foundati on s of Di ffer enti ab le Manif old s and Lie Group s. Glenvie w , Ill.: Scott -F oresman, 1971 . [We] Wells, R. Differ enti al Analys i s on Comp le x Manif old s, 2nd edit ion . Sp ri n g er , 1980. [W h] Whit eh ead, G. Elements of Homoto p y Theory. Graduate Texts in Math e mati cs 61 . Sp r in g er -Verlag, 1978. [Wi) W itten , E. Monop o les and Four-Manif old s. Math . Res. Lett er s 1 {1994), 767-796.

   

   찾아보기 一一,- 가상적 벡 터 다발 (vir t u al vecto r bundle) ... . ... . . ... .. ... . ... .. . ...... . 321 가우스 곡률 (Gaussia n curvatu re) ... . . . .. . . ....... . ... .. . . . ... ... . . . .. 3 08 가우스 사상 (Gauss map ) ...... . . .. . ... ..... . .... . .. ..... .. . .. .. ... . .. 1 45 가우스-보네 정 리 (Gauss-Bonnet th eorem) ... . .......... . ..... . ...... . 3 18 같은 방향 순서 기 저 (eq u iv a lentl y orie n te d ordered basis ) ..... ... .. . .. .. 60 경 계 (boundary) ... . . ... . .. . . . .. ... . ... ....... . . . .. ........... . .. .. 34, 193 경 계 의 방향 (boundary orie n ta ti on ) ... ..... . .. .. . ........ . .... . . . .... . . 61 경 계를 갖는 k- 차원 다양체 (k-dim enti on al manif old wi th boundary ) .... 33 경 계사상 (boundary map ) ... ..... . . . . ... . . . .... ... . ......... .. ... . ... 192 경 계준동형 (boundary homomorph is m ) ......... . ..... . ... . . . .. . . . .... 210 계 량 (metr i c ) ...... . .... . .. . .. . . . . . . . .. .. .. . . . . . .. .. ... .. . .. .... . .... . 2 67 계 량접 속 (metr i c connecti on ) .... ....... ...... . .. ... .... .... ..... .... . 305 경 로 (pa th ) ..... ....... ... . .. .. . . . ........ . ..... .. . . .. .. . ... ... . .... .. 1 70 곡률 (curvatu re) ............... . ..... . ... . ...... . . . ... . .. . ......... . .. 145 곡률텐서 (curvatu r e ten sor) ... . ... . .. . ..... . ........ . ... . ........ 2 87,29~ 곡률형 식 (curvatu re for m) ...................... . .... . ....... . .... . ... 292 곱 (pro duct) ... .. ........... . . . ..... . ... . . . . . . . . . ... . ..... . ... . .. . . .. . . 1 75 곱다발 (pro duct bundle) .... .. ..... ... .......... .. ..... . ... . ..... . ..... 4 8 곱의 방향 (pro duct orie n ta ti on ) ....... .. ........ . .. . .. . . .. . . .. . .... . ... 61 공경 계 (coboundary ) ... ... . . . ...... . . . ....... . ........ .. ....... ... .... 210 공변도함수 (covari an t deriv a ti ve ) ... . .. . . ... . ............. ... . . ....... 284 공변접공간 (cota ng e nt sp a ce) ................ . ...... . ... . ... . .... . .. . . 2 49 공변접다발 (cot a nge n t bundle) ........ . .... .. ..... .. ... . ... . .. .. ...... 249 공변 접 벡 터 (cota n g e nt vecto r ) ..... . .... . .. .. ...... . .... . .......... . .. 249 공사슬군 (cochain ) ... . ..... . ..... . .. . ................ . ......... . . . ... 210

   꼬 임 {tor sio n ) ....... . .... . .. . . ..... ... .. .. . .......... .. . ... ... . . . . ... . 301 꼬임 없는 (tor sio n -fr ee ) ... .......... . ...... . . ...... ..... .. . ..... . . ..... 3 01 교대 텐서 (alt er nati ng ten sor) ... . ...... . ... .. . .. . ........ .. .. ... .. .. . . 1 04 교적 {cap pr oduct) .... ... .. . . ...... .. ..... ..... .. . ... ................. 2 26 교차수 {int e r secti on number} ... .... . ............. .. . . .... . ... .... .. 66, 67 국소 러 프셔 츠수 (local Lefs c hetz number} ... ... . . .. . . .... ... . .. . .. ... . . 7 7 국소 매 개 변수화 (local pa rametr i z a ti on ) ... ... .. ......... . . . .. .. . ... .... 33 국소 미분동형사상 {local dif feo morph is m ) ... ... . . . . . .. ... . ... . ..... . ... 1 0 국소방향 {local orie n ta t i on ) ..... . .. .... ... .. .. ..... . ...... .... . ... .... 2 23 국소 벡 터 다발 {local vecto r bundle) ................. .. . . ..... ....... . .. 2 31 국소 벡터다발 동형사상 (local vecto r bundle iso morph is m ) ... ... .. .... 236 국소뼈 대 장 {local fram e field } ...... . ................ .. ........ ... ..... 257 국소자명 화 {local tri v i a l i za ti on ) ...... .......... . . . . . . . . . . .. .. . ... . . ... 2 37 그래디 언트 (grad ie n t) ... . . ..... .. . . . . .. . .. . .... .. ...... . ... . ... . .. 93, 126 그래프 (grap h } ....... . .. . ..... .. . .. .... . ..... . . .. . ...... . ... .. . ...... 182 그린정 리 {Green the orem} ....... .. .. . . . .. .. .. . . .. .. ... . ...... .. .. .... 102 그물코 (mesh} ........ . ... . . . . . ..... . . . . . .. . ... ... . ...... .. .... ... . . . . 1 63 기본군 (fun damenta l grou p ) ..... . . .... . .... . . . . . ... . . . .. . . . . ... .. . .. . 1 71 기본류 {fun damenta l class) ... .... . .. .. . .... .. ... . ..... .......... .. .... 317 기 본호몰로지 류 {fon damenta l homolog y class) ... . . .. ... . . . . . . . .... ... 224 기 저 다양체 {base manif old ) ... . . . .... .. .. ... . . .... . ..... .. . . . . .. .... . . 2 31 기 호 (sym bol} ... .. .... . ... . .. . ... . .. . . ... .. .. . .... . . .. . . ... ........ .. 320

   -L- 내 부 {int e r io r ) ..... .... .... .. . .... .... .. . ... .. . . .. . ... . .... .... . . . .. ... 34

   -E:- 다양체 (man ifold ) ... .. . . .... . .. ..... . ....... .. . . • . • • , • • • . • . • ... .. . . ... 1, 2 단면 (secti on ) ... .. .. . ... .... .. . . . . .. ... • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .... ... .. 2 32

   단면곡 률 (se cti on al curvatu r e) ... . ....... . . .. . . . . ........... . ......... 308 단체 근사 (sim p li ci a l ap pro xim ati on ) ......... .. ... .. ..... . . . . ... . .. .... 167 단체사상 (si m p lici a l map ping ) .......... .... .......... .. .. ..... .... ... 1 65 단체 적 복 체 (sim p lici a l comp le x) .... ..... ... ........ . . ........ . ....... 155 닫힌 형 식 (closed for m) ............. . .. .. ............. .. ........... ... 127 당김 (pu llback) .............. .. ...... . ... ................ .... . .... 112, 338 대 각공간 (dia g o nal spa ce) .......... . ......... . .......... .. ...... 71, 74, 77 대 칭 다항식 (sym metr i c po lyn omi al ) ... .. ................. .. . ... . ..... 313 대 합 (inv oluti on ) ... . ..... .. . . ................ .. . .................... . . 335 도함수 (deriv a ti ve ) ...... . . . ............................. .. . .......... . .. 6 독 립 (ind ep e ndent) ..... . ... .. ................... . ........ ... .... . ..... 1 9 돌보작용소 (Dolbeault op e rato r ) ... . ....... .. .. ... . . .... . ... . ........ . 3 29 돌보정 리 (Dolbeault th eorem) ........ ...... . ..... .. . ... .. . .......... . 3 30 동위 (iso to p y) ........................ . .. ......... . .. ..... .... . . ..... .. 94 동위 적 (iso to p ic) .............. .. ..... .......... . . ... . . ....... . ... .. . . . . 94 동치 (eq u iv a lent) ..... ..... ............ . .................. ... . .. ...... 1 90 뒤 1I- 면 (back n-fa c e) ...... ... ..... . .. .... .. .. . . .. .... .. . ....... ... ... 216 드람 코호몰로지 (deRham cohomolog y) ..... . .... . . .. . . ............... 128 드람작용소 (de Rham op e rato r ) ... ............... .. ............ . .... .. 325 드람복체 (de Rham comp le x) ... ... ..................... .. ..... ....... 325 디 락작용소 (Dira c op e rato r) ... . ... ... .. .. ..... ...... . ...... ... ... . . .. 347

   -2- 러 프셔 츠 사상 (Lefs c hetz map ) ....... ....... . . .. . ............ .. . . ...... 76 러 프셔 츠수 (Lefs c hetz number) ..... ...... ........... .. . . .. . ..... ....... 75 레 바치 비 타 접 속 (Levi- C iv i t a connecti on ) ..... . .... .. .. . ......... 306, 342 루트 (route ) .............................................. . ........... 175 리 만 기 하학 기 본정 리 (Rie m ann ian geo metr y fun damenta l the orem) ... 305 리 만계 량 (Rie m annia n metr i c ) .... . . ..... .... . ..... ... ............. . .. 267 리 만계 량텐서 (Rie m annia n metr i c ten sor) .............. .. ........ .... . 267

   리 만다양체 (Rlemannia n manif old ) ............ . .... . .. .. . . . . . . ....... 267 리 우 빌 정 리 (Lio u vil le th eorem) ... ...... . . . ...... .. . . . . .... . ..... . . .. . 330

   _口- 매 개 변수화 (pa rametr i i ati on ) ............... .. .. . ............... . . . ..... 2 매끄럽다 (sm ooth ) ........... . ........... . ........................... . .. 1 매 장 (en1beddin g ) ... ........... . ........ ... .. . . .. . ...... . ..... . . .... . . . 13 면적형식 (area for m) ... . . . . . . . .... . .... . .. . .................... . .... . 119 모드 2 교차수 (mod 2 int e r secti on number) .... . .. . .. . ....... . ......... .. 49 모드 2 자기 교차수 (mod 2 self- int e r secti on number) ... .. . . ... . .. . .. ... . 50 모드 2 차수 (mod 2 deg ree ) .............. .. . . ....... . .......... . ...... . . 51 모드 2 회 전수 (mod 2 wi nd in g number) ..... . .. ... . .. .. .... . .. . . . ... . . . . 53 모르스 함수 (l\!Io rse fun cti on ) ... . . . ..... . . . .. . ... .. ... . ... . . . ....... . . . 28 모서 리 (edg e) ... . ..... ... ... . . . ....... . ... . . . .. . .... . .... .. .. . ...... . . 175 모서 리 경 로군 (edg e pa th grou p ) .... . ...... . .... . . .. . .. . ...... . .. .... . 176 모서 리 동치 (edg e eq u iv a lence) ..... . ..... . ... . .. . .. . . . ..... ... . ....... 176 몰 입 (im mersio n ) .... .... . ..... . .. . .... . ... . ... . .. . .... . . . .. . ....... . . . 11 무게중심 (bary c ente r ) ... . . ... ... . . ...... . .. . . . . . .. . . . ... . ............ 158 무게중심 좌표 (bary ce ntr i c coordin a te ) .... ..... . ................. 154, 2 02 미 분 (dif fer enti al) ..... . . . . . . . ......... . ................ .. . ....... . ... . 111 미 분동 형 (

   -닌- 반 캄펜 (Varn Kamp e n) ................. .. .. ... . . . ... . .. . ... .. ... . .... 171 받침 (su p po rt) ...... . ........ . .. . . ........ .. . . .. ... .... . . .. ... .... . .. . 115 발산 (div e rge n ce) ..... . . . .. . .... . ......... . . . ... . ... . ... . . . . ...... 1 02, 126 발산정 리 (div e rge nce the orem) .... . . . ......... . .. . .. . .. .... . . . . . ... . .. 102 방향 (ori en ta ti on ) ... . . . ... . . ..... . .. . ........ . . ... . . .... .. .... . . .. 6 0, 223

   방향보존 (orie n ta ti on pr eservin g ) ........................ .. ..... . ..... . 60 방향보존사상 (orie n ta ti on pr eservin g map ) .. .. . ...... ... ... . ....... .. .. 60 방향수 (orie n ta t i on number) ....................... . ............. . ..... 60 방향을 갖는 다양체 (orie n te d manif old ) .... . ....................... 61, 223 법 공간 (normal sp ac e) ...................... .. ...... . ............. .. ... 44 법 다발 (normal bundle) ...... . ..... . .. .. .......... . ... ... .... .......... 44 베 티 수 (bett i number) ................... ... .............. . .. . ..... 98, 196 벡 터 다발 (vecto r bundle) ... .. . .................... ..... ......... . .... 236 벡터다발 동형사상 (bundle iso morp h is m ) ..... .. ......... .. ... .... .. .. 239 벡 터 다발 선 형 사상 (bundle homomorp h is m ) ..... .. ............... 232, 239 벡 터 장 (vecto r fiel d) ..... . .. .. .... ..... .................. .... ... .. .... . 8 6 벡터장 V 에 접 한다 (tan g en t to v) ....... .. . ... ...... . ............ . . .... 88 변환함수 (tra nsit ion fun cti on ) ................................ . ... 238, 246 복소 벡 터 다발 (comp le x vecto r bundle) ... .............. .. .......... . . . 2 39 복소직선다발 (comp le x lin e bundle) .................. ...... ......... .. 239 볼록-독 립 (convex-in d ep e ndent) ..... .. . . ... . .......................... 152 볼록집 합 (convex set) .... ..... . ..... . .. ... . .... . . .... .. .... . . . .. . .. ... 152 부분다발 (subbundle) ........ .. . .. ..... . . ... .. ... . . ... . ..... .. ........ 239 부분다양체 (submanif old ) ... ...... .. .... ........... .. ...... . ............ 3 부분복체 (subcomp le x) ... . . . . ... .. ............... .. .......... .... ... . 155 부정 계 량 (ind efi ni t e metr i c ) ... . ... ........... . . ..... . .... . .... .. ..... . 267 부정 리 만계 량 (ind efi nite Ri em ann ian ia n metr i c ) ..... .. ..... ........... 267 부피 (volume) .... ......... .. .................... . ... . ................ 144 부피 원소 (volume element) ...... .. ......... . .... ... .. .... .. ........... 110 부피 형 식 (volume for m) .......... .. ..... .. . . ........ . ..... .. . . . .. ..... 144 분류공간 (classif ying sp a ce) ... . . ...................................... 323 분리 의 원 리 (sp litting pr in c iple ) .... .. ... . . ........................... 313 분할 (subdiv i s i o n ) ....... . .... . .. ....... . ... ........ .. . . . . . . ... . .. .... 1 58 V 의 원점 0 에서 지표 (ind ex of v at 0) ... . . .. .... ... .. . ... . . . . ....... .. . 87 비 앙키 항둥식 (Bi an chi ide nti ty) ................................ ...... 296 비 자명 다발 (nontr i v i a l bunble) .... ... ........ .. . .... ...... ..... .. ..... 239

   -A- 사이 클 (cy c le) .............. . ... . .. ............ . ......... . . ....... . ... 193 삼각형 분할 다양체 (tria n g u late d manif old ) ........... . . ... ...... . . . ... 201 선 적 분 (line int e g r a l) ........ ... .. ........ . ....... . . . .... .. ..... ... ... 118 수반작용소 (adjo i n t op e rato r ) ......... . .... . ................ . ....... . . 332 스타 (sta r ) .... . . . ........ . .. .. .... . ... . ... . . .. . . ..... . ......... .. 1 66, 202 스토크스 정 리 (St ok es th eorem) ...... .. . ........ . . .......... ..... 102, 134 스티 펠 - 위 트니 류 (St iefe l- Whit ne y class) ......... .......... . . .. .. ...... 312 스피 노 (sp ino r) ...... ...... . .... ..... .... .... . . .. ......... .. .......... 3 46 스피 노 지 표 (sp ino r ind ex) ...... .. ........ .......... ... .. ......... . ... 3 47 스피 노-라플라시 안 (sp ino r Lap la cia n ) ................ ... . ......... . ... 347 스핀 다양체 (sp in manif old ) ... .................... . ..... . . ........... . 345 쌍대 경 계 윤 체 (coboundary ) ....... . ...................... . ....... . . . .. 199 쌍대 경 계 작용소 (coboundary op e rato r ) ..... .. .. . ............... . ... . .. 2 00 쌍대 기 저 (dual basis ) ....... ............ . ....... . . .... ... ............. 200 쌍대다발 (dual bundle) ....... .. . .. ... ..... .... .. .. ... . .. .. .. .... .. ... 234 쌍대뼈 대장 (dual fram e fiel d) ...... . .... ........ .. .. ....... . ... ....... 273 쌍대 쇄 (cochain ) ........... . ........... . .............................. 199 쌍대윤체 (cocy c le) ..... ..... ...... . .. ......... . ... .. .. . ........ . . . .... 199 CW 복체 (CW-comp le x) .... . .. . .... ...... . .. . .... . .. ..... .. ......... 212 쐐 기 곱 (wedg e pr oduct) ........ ....... ... ... .... .. .... . .............. . 105

   -0_ i-번째 면 (i-t h fac e) ................. . . ....... ......................... 209 아티 야-싱 어 지 표정 리 (At iya h-Sin ge r ind ex the orem) .... .............. 322 r - 골격 (r-skeleto n ) ................................... .. . ....... . . . .... 156 앞 m- 면 (fron t m-th fac e) ...... ..... . .... .. . .. ...... . ...... . ........ .. 2 16 양의 방향 (po sit ive orie n ta t i on ) ........ .... . ... . .. ..... ........ . .... . .. 60

   n 번째 무게중심 분할 (n-th baryc entr i c subdiv i s i o n ) ...... ... . . .. .. . . .. 160 여 차원 (codim ensio n ) .... . . ............... ...... .. ..... ... ............. 19 역 (inv erse) ............ . ........................... .. ....... . ......... 176 연쇄 들 의 군 (chain gro up ) ... . .. ........................ . . . . ... ..... .. 191 열 린 면 (op e n fac e) .............. . ............................ .. ..... . 155 열 린 심 플 렉 스 (op e n sim p le x) ............ . ...... .. .. .. .. ........ ... . . . 155 영 단면 (zero secti on ) ... .... ...... . ... . ................... ... ... ..... .. 232 오일 러 지 표 (Euler characte r is t i c) ........ . .... . . ............. . 7 4, 183, 197 오일 러 류 (euler class) .................. ... ........... .... . ....... 312, 316 완전형식 (exact for m) ......... . ...... ... ..... ........................ 127 외 대 수 (exte r io r alge bra) ........... .. ........ ......................... 108 의 미 분 (exte rio r deriv a ti ve ) ... ........ ... .. . .... . ....... . .. . .. . ....... 122 외 적 (exte r i or multip lica ti on ) ............ ........... . .... .......... . .. 217 원상의 방향 (pr eim age orie n ta ti on ) ....... . .. ..... . ......... .. .......... 6 4 유클 리 드 접 속 (Eucli d connecti on ) ... . ................................ 284 유향단체 (orie n te d sim p le x) .......... . ......... .. ...... ... . ........... 190 음의 방향 (neg a ti ve orie n ta to n) .............. .... .. . ...... ..... .... .... 60 E- 값 의 형 식 (E-valued for m) ................. ..... . ........ . ...... ... 286 인 접 동치 (conti guo us eq u iv a lent) ... .... ... ...... . ..... ....... .... . .. .. 1 72 인 접 사상 (conti guo us map pig) ..... .. . ..... .. .. ..... .. .. ... ...... . .. . . 171 l-형 식 ( 1-fo r m) ....................................................... 258 일 형 식 (work for m) ............... . . .. ...... . .......... . ... . . . .. ..... . 2 77 임 계 값 (crit ica l value) ... . . .. .... . ...... . ........ . . . . . .... . ............. 17 임 계 점 (crit ica l po in t ) .... . .... ..... ...... .. ...... . ...... . .. . .. ... . . 26, 27

   -·六- 자기 교차수 (sel f一 i n t ersec ti on number) ... .... ...... . .. ... .. ...... ....... 74 자기 수반작용소 (self-a djo i n t op e rato r ) ................................ 334 자명 다발 (triv i a l bundle) ...... ... .. .. .................. . .............. 239 자명 화피 복 (triv i a l i zing cover) ... . . . . . . ......... . .. .......... .. .. .. ... 237

   자유군 (free gro up ) ............ . .... . . . .......... .. . ...... . . . . . . . . . ... 184 자코비 안 (Ja cobia n ) .... .. ............. . . . . ... .. .. . .. . ..... .. ....... . . 144 자코비 행 렬 (Ja cobia n matr i x ) ..... . . .. .. . .. . . . ..... .. .. . .... . ... . ... .. . 6 장애 (obstr u cti o n ) ... .. . .. . ... . ..... . .. .......... .. . .. . . . . . . .. . ... . ... 316 적 당 (pro p e r) ......... . . .. . ... .. .. . .................. ... . . . ... ... ...... 1 3 전공간 (tot a l spa ce) ........ .. .... .. .. . ....... .. ...... .. .. . . . . . . ...... 2 37 접 공간 (tan g en t sp a ce) ... .. . . ... .... . ... . . . . ....... . . .. . . .. .. .. .. . . . 7, 2 46 접 다발 (tan g en t bundle) .... .. . ..... . ... . . . . . ....... . . . . .. .. . ...... . .. 246 접 벡 터 (tan g en t vecto r ) ... ... . .. . . ........... . .. . .................. .. . 2 46 접 속행 렬 (connecti on matr i x ) ... . ..................... . .. . .. ... ... . . . . 2 91 접 속형 식 (connecti on for m) ... .. . .. . .... . . . ... . .......... .. .. . ... . .. .. 291 정 규 (nonsin g u lar) ... .. . . ................ . . .. .. .. ...... . . . ............ . 27 정 규다발 (nonsin g ula r bundle) ... . ..... .. ........ .... . . . . . . ... . .. . .... 2 52 정 규칙 교 공변 뼈 대 장 (orth n ormal cofr am e fiel d) ....... . .. .. . .. ........ 2 73 정 규직 교뼈 대 장 (orth onormal fram e fiel d) .... . . . . . ...... . ... . . . ... . . .. 272 정 상적 임 계 점 (nondege nerate d cri tica l po in t ) ........... . ....... . ..... . 27 정 점 (verte x ) ... . .. . . . ..... . .. .... . ... .. .. .. . .. . . . .... . .... .. ... . ... . . 1 55 정 칙 값 (reg u lar value) ... ... . . .. . ...... .. . .. .... ... . . . . . ...... .. . . ... .. . 1 7 정 칙 점 (reg u lar po in t ) ............... . . . . . .. . .. . . . . .. . .. .... . .... .... . . 2 6 조화 스피 노 (harmonic spi no r) ..... . .. . . .. . . . . .. . ... . .. . ... . .. . .. . . . . . 347 조화 형 식 (harmonic for m) ... ......... . . . ........ . ... ........... . .. . . . 333 종점 (endp o in t ) .... .. . .. .. .. .. . ... . ... .. .. . .. ... . . . .. . . . .. . . .... . .... . 182 좌표함수 (coordin ~te fun cti on ) ... .... ..... .. . . .. ... . .... . . . ... .. .. . . .. .. 2 좌표화 (coordin a te sys t e m ) ...... . . ... . . . .. . .. .. . ... . . . ... . .. ...... .. .... 2 주스핀다발 (pr in c ip a l sp in bundle) .... .. .. . . .. .. .. . .. ... .. . . . .. . . .. .. . 3 45 지 표 (ind ex) ... . . . . . ........ . . .. .. . . . .... .... . ... . . . . . . . . . .. . . ....... . 319

   -,:;:;.- 차수 (deg ree ) ... .. ... . . . . .. ... .. . ... . ... . . . ...... . … ... . . .. . . . ..... . .. 67 차원 (dim ensio n ) ...... . .. . .. .. . .... .. .... .... ..... . . . ...... .. . .. ... . . 154

   천근 (Chern root) ... ... . . . . ........... . ..... . ...... .. ....... . . .. . ... . . 339 천류 (Chern class) ................ . . . ............... .. . . .. . .. ... . ..... 3 12 천지 표 (Chern characte r ) .......... . .................... .. . . . . ........ 313 추상적 단체 적 복체 (abstr a ct sim p lici a l comp le x) ... . ....... . ..... ... .. 177 치 환 (pe rmuta t i on ) .... . . . ..... . ..... ... . .............. . ... .... .. .... . 104 침 몰 (submersio n ) .... .. ... ....... .. ......... . ....... ..... ....... ...... 15

   _=- 컬 (curl) .... .. .................. .. ... . .......... , .... ...... .... .. 102, 126 코보단트 (cobordant) ........... .. .. .... . . ... .. . .. .... .. .. . . .... .. . . . . 138 코줄 접 속 (Kozul connecti o n ) .... ......... .. . . . ..... ... ....... ....... .. 284 코호몰로거 스 (cohomolog o us) ... ... . .... .. .. . . . . .. .... . . .. . . . . . . .... . . 137 코호몰로지 군 (cohomolog y gro up ) ........ . .. ... ...... . ....... . .. . . . .. 2 00 코호몰로지 류 (cohomolog y class) .... . ... . . .... ...... ... . . ........... .. 312 콤팩 트 받침 (comp a ct sup po rt) ....... . . . . .. .. . ....... . .. .. ... .. .. 115, 225 크리스토펠 기호 (Chris t o f f el sy m bol) ..... . . . . . ... . . .. . ......... ... .. . 291 클 리 퍼 드 대 수 (Cl iffor d alge bra) .... ...... ... .......... .. ... ........... 342 클리 퍼 드곱 (Cl iffor d multi plica ti on ) .... ......... .. ... . . . .. ......... ... 342 q-번째 외 적 멱 (q-th exte r io r po wer) ... .. .. . . . .. .. . ..... ....... ......... 262

   -E— 타원 적 {eli ptic) .... .. .. ........ .. . ......... .. ... ......... .. ....... •. ... 320 텐서 곱 (ten sor pr oduct) ... ...... .. ... ...... . . . .. ... .. ....... .. .. ...... 1 03 토드류 (Todd class) ...... .. .. .. . . . .. .. . .. .. .. .... ... . . .. . . ..... ....... 313 톰동형 정 리 {Thom iso morph is m th eorem) ........ . .. .. ...... . ..... . ... 316 톰류 {Thom class) .... . .. . ... .. . .. . ... ............ .... ..... ........ ... 316 트리 {tre e) ..... .. . ...... . ... . . ..... ... . .. .. . .. .. .. ...... ... . ... . .... .. 182 특이 n- 단체 (sin g u lar n-sim p le x) ... .... .... .. ..... .. . ............. .. . . 209 특이사슬군 (sin g ula r chain gro up ) ... .. .. .. ... .. ............. . . . .... . .. 2 10

   특이 코호몰로지 군 (sin g u lar cohomolog y gro up ) ... .. .. .... .... . . . ..... 2 10 특이 호몰로지군 (sin g ula r homolog y grou p ) ............. . . ... ... .... . . 210

   _.:n:- 파이버 (fibe r)_ . .... ... . ... ....... . . . ... . . .. . . . ........ .... . . ... ...... .. 2 31 폐 면 (closed fac e) ......... .. . ...... . .. .. . .... .. .. .. ......... . ..... . . .. 1 55 폐 k- 심플렉스 (closed k-sim p le x) ... .. . . . ..... ... ..... . .. ... . .... . ..... 1 54 포앙카레-호프 정 리 (Poin c are- H op f th eorem) .... .. ... .. .. . .......... . . 318 폰트리 아진류 (Pontr ya ji n) ................... ...... . ......... . .. . . 312, 315 표준 n- 단체 (sta n dard n-sim p le x) ..... . .. ..... . . .... ... ...... ... .... .. 209 p-텐서 (p-ten sor) ..... . ... ... .. .. . . .. ... .... . . . ...... .... .. . ..... . . . . .. 103 p-형식 (p-for m) ... ..... . .... . . . . . ... .. ........ ... .. ...... . .... . ... . ... 1 10 피 복공간 (coveri ng sp ac e) .... ... .. ...... .. . ....... . .. . .......... ...... 171

   -~- 합곱 (cup pro duct) .... . ..... ... ...... .... ... . ... ........ . .... ... ..... 215 해 시 안 행 렬 (Hassia n matr ix ) ....... . . ... .... ... ............... . ....... 27 호로 연결된 공간 (arcwis e connecte d ) ... ... . .... ... . . . . ............ ... 170 호모토피 (homoto p y) ... ....... .. . . ....... .... ..... ... .... . ...... . . . .. 1 71 호모토픽 (homoto p ic) .... ... ... .... .. . . . ... ... . .............. ...... .. . 171 호몰로지 군 (homolog y grou p ) ....... ... ... . ..... ... . ..... ... ....... 98, 194 호지 내 적 (Hodg e inn er pro duct) .... .. .. ... .................. .... .. ... 332 호지 작용소 (Hodg e op e rato r) ..... . ........... ............... .. ....... 335 호지 별 작용소 (Hodg e sta r op e rato r ) .... . .. ...... . . . ............... .. . . 3 35 호지 정 리 (Hodg e th eorem) ...................... ..... ... ..... ......... 333 호환 (tra nsp o sit ion ) .......................... . ......... ...... ...... .. . 104 회 전수 (wi nd in g number) ..... .. ...... ............... ...... ... ......... 96 횡 단 (tra nsversal) ...... ... ... ............. ..... .... .... ..... .... 22, 23, 45 힐저부르크 부호수 정리 (Hirz bruch sig na tu r e the orem) ................ 341

   힐저부르크-리만-록 정리 (Hi rz brnch-Rie m ann-Roch th eorem) ...... ... 3 31

   조용승 경북대 학교 수학교육과 졸업 미국 시카고 대학교 Ph. D. 미국 브랜다이즈 대학교 조교수 대한수학회 총무이사 현재 이화여자대학교 수학과 교수 논저 『 위상수학 』 등 저차원 다양체에 관한 50 여 편의 논문 다양체의 미분위상수학 대우학술총서 432 논저 1 판 1 쇄 펴냄 1999 년 5 월 20 일 지은이 조용승 펴낸이 이형진 펴낸곳 도서출판 아르케 출판등록 1999. 2. 25. 제 2-2759 호 서울특별시 중구 남대문로 5 가 526 대표전화 310-0525, 팩시밀리 777-3809 E-Mail arche@dwf .o r. kr 값 23,000 원 © 조용승. 1999 위 상수학 KDC/410.07 Print e d in Seoul, Korea ISBN 89-88791-11-8 94410 89-88791-00-2 (세트)

   대우학술총서 大宇財團은 1978 년에 설립된 이후 1980 년 재단 설립자인 金宇中 회장이 200 억 상당의 사재를추가로출연하면서 “韓國學問의 基礎分野 진흥에 사용해 줄 것”을 희망함에 따라 국내 연구가 부진한 '기초학문 분야의 진홍’ 을 목표로 각종 연구를 지원해 왔습니다. ‘大宇學術幾書 는 재단 학술사업의 결정체로서 1983 년 『문화사회학』을 시작으로 논저, 연구번역, 공동연구의 형태로 출간되어 왔습니다. 論著는 ‘대학원급 수준의 고급 학술개요서’ 라고 정의되고 있는1:1}, 해당 분야에 대한 개설적 입문서 수준을 넘어서 그 분야게 대한 세계적 연구동향을 집약한硏究提要的인 성격을 띠고 있으며, 이를 통하여 학술용어 내지 이론적 표현을 정착시키는 역할을 수행해왔습니다. 硏究蒙譯은 논저를 보완하는 성격을 갖는 것으로서 이 역시 전문연구서가 아닌 고급개요서에 대한 연구번역입니다. 특히 지난 98 년부터는 古典과 古典級 저작의 연구번역에 중점을 두고있는뱌 학술용어 및경합되는학설등을역주로、 그리고 해당 저자 및 원저에 대한 학술적 평가는 해제의 형식으로 포함함으로써 원문에 대한 단순한 번역을 지양하고 있습니다. 또한 共 同 硏究는 연관학문간 (In t er disciplinary) 공동연구를 통해 점점 세분화· 전문화되어가는 학계의 경향을 극복하고자 하는 재단의 기획의도를 반영한 것입니다• 아駒 연구자원에서 연구결과의 출판에 이르기까지 모든 단계를 일관성 있게 지원한다는 학술사업 지원 방침에 따라 ‘대우학술총서’ 는 과제의 지정에서부터 연구계획서, 그리고 연구결과에 이르기까지 엄격한 심사와 평가를 거쳐 출판되고있습니다.

   I 마i텐 의 대우학술총서 - : 422 한중관계사 I 김한규 423 한중관계사]] 김한규 424 두보와 이백 이병주 425 한국의 전통민가 주남철 426 의학철학 울프·페데르센·로젠베르그/이호영 ·이종찬 427 지구환경정치학 바이츠제커/이필렬 428 기후학 I : 기 후와 대 기 순 환 오재호 429 가후학]] : 변화하는 기 후 오재호 430 앙시앙 레짐 I 구베르/김주식 431 앙시앙 레짐 ]] 구베르/김주식 432 다양체의 미분위상수학 조용승 433 스페인 피카레스크 소설 김춘진 434 독일의 통일과 위기 코카/ 김학이 435 언어학파의 형성과 발달 암스테르담스카/ 임혜순 436 성간화학 덜리 ·월리엄스/민영기 437 생태학 매킨토시/김지홍 438 웨이브렛의 기본이론과 통계에의 응용 김충락 외

   꾜자가락

   440 최소주의 이론의 이해 최기용 외 441 한국사회의 구조론적 이해 김일철 의 442 현대과학철학의 문제들 조인래 의 443 농업기상학 윤진일 444 한국의 초기국가 이종욱 445 고인류학 박선주 신뢰성분석 배도선·전영 특 (己간) 해양환경어업론 이상고·장창익(근간) 함수미분방정식론 하기식 (근간) 축차분석론 김성래 (근간) 의 미와 콘텍스트 털리 /유종선(근간) 당대사의 조명 라이트/박한계(근간) 회토류 원소의 지구화학 헨더슨/전효택 ·홍영국(근간) 방사성 폐기몰의 처리와 지질학 크라우스코프/김지영(~) 조선과 유구 하우봉 의 (근간)