Ra y le ig h 는 그 當時까지의 音響學에 관한 廣負針접한 調査의 結果 롤 收錄했고, 다음 世代의 實驗을 위한 넓은 分野룰 開拓하는 여 러 理論울 發展시 켰다. 그는 精巧하게 그 面이 Wave 의 傳播方 向과 垂直이 되도록 달아맨 d i sc 를 利用하여 音의 絶對强度롤 잴 수 있었다. 이 때까지 音의 檢出은 主로 定性的인 方法뿐이었다. 郞 sin g ing fl ame( 發聲불꽃)이라든지, 壓力 ca p sule 이라든지, 微 細한 가루를 利用하는 Kund t管이라든지 그런 것뿐이었다. 우연 히 도 Helmholtz resonato r (1860) 의 입 에 Ray le ig h d i sc 를 달아매 어 分析器로서의 感度를 높였고 또 사람의 귀의 不正確한 特性울 檢出器로써 代替할 수 있었다. 또 ph onic wheel 을 써서 正確한 周波數測定울 한 것은 Ra y le ig h 의 功으로 돌아갔으나 實은 La Cour 가 1878 年에 따로 만든 것 이다. 19 世紀 後半에 音響學에 貢獻한 다른 두 사람이 또 있다. 하나 는 T y ndall(1820~1893) 이요, 다른 하나는 Kon ig (1839~1901) 이 다. T y ndall 은 Ir i sh 人으로 Mi ch ael Farad y에 이 어 英國 Ro y al Ins tit u ti on 의 所長을 지 냈는데 그는 하늘의 푸른 색 깔의 究明으 로 더욱 잘 알려졌지만, 그가 sin g ing fl ame 과 sensit ive fl ame 에 대한 創意的인 實驗울 했다. 그는 卓越한 講義의 才有t이 있었고, 音과 物理科學울 大衆에게 알리는 勞力도 또한 크게 人氣였다. K. R. Kon ig는 독일 사람으로서 Kon ig sber g에서 Helmhol tz의 學生이었는데 科學器具製作業者로 되었다. 그리하여 그의 精力과 資産울 音의 硏究事業에 全部 바쳤다. 그의 有名한 成就 가운데 600 개 의 t un i n gf ork 를 包含한 ton ometr i c ap pa ratu s (音振動測定 器) 의 製作과 그의 〈p honau t ogr a p h 〉는 20 年后에 나온 美國의 Ed i son 의 菩音機의 前身이 었다. 오늘날에는 大學 밖에서 硏究가 크게 組織化되어 개개인이 한 t eam 의 成員으로 되어 各硏究圈이 物理學의 한 작은 分野에 限

定되게 되었다. 이와는 對照 h1 으로 19 세기에는 物理學의 다른 分 野에서 卓越한 硏究家들이 있어 音響學의 發展에 有用한 貢獻을 한 일도 있다는 것은 注意할 만하다. Sir Charles Wheasto n e (1862~1875) 은 Wheasto n e Br i d g e 로 有名하지만 聽 8E 에 관한 여 러 實驗을 해서 m ic ro p hone 을 만들었다. 또 Wheas t one 은 回轉 鏡울 使用하여 빠르게 진동하는 運動을 觀測했다. Load Kelvin 은 數學的 機械에 關心이 많아 처 음 Harmonic S yn t hes i zer 를 1872 年에 發明했고 潮 7k 의 予言에 利用되었다. 그리고 그 다음에 Harmonic Anal y zer 를 만들었다. 이들과 더 精巧한 機械를 만들 어 Four i er 定理와 함께 使用하면 여러 가지 音뽕學的 問題를 풀 수 있게 했다. 音의 Ohm's Law 도 Kelv i n 이 만든 것이다. Four i er (1 768~1830) 는 音에는 관심이 없었으나 그는 그의 理 論을 熱의 問題에 應用하여 解롤 얻었다. Georg S. Ohm (1789~1854) 이 Four i er 定理롤 音響學的 問題에 應用할 수 있다 는 것을 提示했다. 이 法則이 모든 typ e 의 ton e q ual ity(音質)를, 그들의 주파수를 잴 수 있는 여러 단순한 t one 의 集合에 의해서 決定되는 것이라고 言明했다. 또 여러 t one 의 복잡한 集合울 단 순한 t one 의 合으로서 分析할 수도 있어서 各 t one 을 귀로 들을 수 있다. 電磁氣에 서 Henr y法則 의 著者 Jos ep h Henry (1799~1878) 은 Pr i nce t on 에서 物理學敎授였는데, 그는 안개를 通하는 Sound s ig na lli n g과 建築音響에 관한 여 러 가지 重要한 調査롤 했 다. Mi ch ael Farady (1779 ~ 1867) 의 特 出 한 貢獻은 Sin g ing fl ame 의 mechan i sm 의 正確한 說明이 었고 또 전동하는 板의 mode 를 表示하는 데 光과 heavy p owder 의 行動의 差異로 설명했다. 이들 p owder 의 그림을 처음 發明한 사람은 Chlandni (1756~1827) 인데 그것은 그의 책 Di e Akus tik 에 적 혀 있다. 19 世紀 마지 막 10 年 동안 實驗音響學의 급속한 發展온 20 世紀

에 들어와서 特히 世界一次大戰 때에 潛水艦戰에 對備하느라고 크게 成長했다. 그 發展에 責 任 있는 또 다른 要因은 기계적 진 동의 理論과 交流理論의 密接한 類似性에 連結되어 있다는 것이 며, 特히 電 氣使用의 發展은 放送, 映 畵 , 音의 記錄과 再生 등, 계속해서 人類의 生活水準을 크게 向上시켰다. 그 電 氣工學의 發 達과 더불어 音響學도 자랐다. 또 우리 生活의 機械化도 增進됨에 따라 그에 수반되는 Nois e 의 問題가 加速化되어 No i se 의 連斷과 音의 記錄裝置의 設計方 法에 關心이 쏠리기 시작했다. mag n eti c tap e recorder 의 完成 은 動物과 昆蟲世界의 넓은 音響學的 硏究룰 가져왔다. 그것은 主로 超音波工學 (ul t rason ics) 에 拍車롤 加했다. 寫眞記述의 發達 도 水力學的 • 音 響 學的 問題에 대한 여러 가지 解決에 큰 貢獻을 했다. 여기 使用한 基本原理는 音波의 通過에 의해서 생긴 密度 의 變 化로 말미암은 流 體 의 屈折率變化에 의한 것이다. 아이디어 는 1866 年 A. Toe p ler 에 의해서 처음 考案된 것이다. 이 音響學的 應用의 넓은 分野에 쌓인 結果와 勉果 때문에 音 뽕硏究者와 愛好家가 많이 생기게 됐다. 音響硏究의 成長에 대한 한 證擔로서 미국의 Bell Teleph one Lab. 을 들지 않을 수 없다. Bell Lab 은 미국의 Bell Teleph one 製造會社의 硏究組織機關이 다. 이 Lab 은 技術的인 面도 强하지만, 學問的인 面도 强하다. 英國에는 Post O ffi ce( 郵政局), Nati on al Phy si c a l Lab(NPL), 建築硏究所 (Buil di n g Research Sta t i on ) 등이 政府受援 gr ou p이 며, 여러 企業組織以外에 여러 音響學的 分野에 從事하고 있다. 또 Italy , Denmark, Russia 등에서는 音響울 專攻하는 大學이 있 다. 音響學만을 다루는 J ournal 도 많아져서 現在 美 • 佛 • 獨에 서 , Jou rnal of the Acoustic a l Socie t y (1929) , Revue d' Acousti - qu e (1932) , Akustis ch e Zeits ch ri ft (1936) 가 각각 나오고 있다. 二

次世界大戰으로 Akustis c he Ze its ch rift가 못 나오게 되 고, 戰後 Inte r nati on al J ournal 로 Acus ti ca 가 나오게 되 었는데 이 것 은 獨 • 佛 • 英과 其他 西歐各國이 支援하고 있다. 또 日本에서도 音 響學會誌를 내고 있다. USSR 는 音響學에 큰 關心울 보였고 그 學術誌는 美國物理學會에서 번역되고 있다(J ournal of Acoustic s of the Academy of Sc ien ce of the USSR). 英園에서는 Ul tras onic s 와 Sou~d and Vi bra ti on 의 J ournal 이 나온다. 또 英國에서 처 음으로 全的으로 音響學만을 위한 敎育機關이 생겼는데 Insti tut e of Sound and Vi b rati on Research 로서 South a mp ton Univ e rsit y 에 있다. 中國에서는 中國科學院內에 中國聲學會가 있어 多數의 會員과 學會誌롤 發刊하고 있고, 國際學會도 最近 활발하게 열리 고 있다. 韓國에서는 1981 年에 韓園音響學會가 創立되어 現在會 員 1200 餘名이 있으며, 學會誌롤 發刊하고 있고 韓日共同音響學 會롤 여는 등 활발하게 움직이기 시작했다. 音響學과 工學의 境界分野가 重要하게 成長해서 各國에서 專門 的 業體들이 獻身的으로 나서서 no i se 와 振動울 잡는 데 勢力하 며 討論을 벌이고 있고 論文을 내고 있다. 最近 Soc iet y for Env iro nment Tes ti n g과 Insti tut e of Phy s ic s and Phy s ic a l Soc i- e ty가 No i se 와 振動制御에 관해 더욱 關心울 가지고 있다. 한국 에 서도 Nois e and Vi br ati on Con t rol- 緊音과 振動工學會가 1990 年에 創立을 보았다. 今世記쿠J1에 音響學이 始作되 었다가 Helmhol t z 와 Ra y le ig h 의 죽음과 더불어 끝났었다. 그러나 1960 年에 와서 實用分野에 記述 이 進展됨에 따라 刺執울 받아 그 基本理論에 主로 非線型問題가 相當한 進展울 가져왔다. U lt rason ic s( 超音波工學)은 음향학의 重要한 分派로 되 었으며 第一次世界大戰 동안 潛水艦 索出로 有名하게 되었다. 그것이 크

게 摘張되 어 dep th sound i n g으로 되 었고 나아가서 魚群探知에 主要技術로 發展하였다. 最近에는 超音波에 의한 映像工學이 發 達해서 材料內部의 缺路의 索出과 人體內部의 非正常構造를 볼 수 있어 널리 使用하게 되 었다. Ul t rason i cs 를 産業的 問題에 應 用하게 된 것은 基本硏究의 뒷받침과 더불어 急速히 成長하여 1930 年代에 輕率하게 使用됐던 나쁜 印象울 말끔히 씻었다. 이제 는 Ul t rason ic s 와 其他音響技術이 一般的으로 여러 科學技術分野 의 硏究에 重要한 道具로서 그 구실을 다하게 되 었다. 그의 多種 多樣함이 오늘날 國際音響學會에서 設立한 여러 分科를 살펴보면 곧 알 수 있다. 參考文獻 韓國 1. 崔침서의 『古今注』의 「公無渡河歌」. 2. 高句麗 琉璃王의 「黃鳥歌」 ; 王岳山의 「玄鶴琴과 樂曲」. 3. 伽倻의 「龜旨歌」, 于勒, 階古(伽倻琴)， 法知(聲樂)， 萬德(舞 踊). 4. 新羅의 「會蘇曲」과 「鄕歌」 ; 「慧星歌」 ; 玉寶高. 5. 百濟의 樂工, 樂師, 樂器가 日 本으로 傳來. 6. 高麗 雅樂 (大晟樂) , 雅樂署. 7. 李朝 朴i莫의 「宮中雅樂」 ; 燕山君代의 「技樂」 ; 李朝代의 雅 樂再登場. 8. 日帝時 「釋莫樂」 9. 解放後 韓國國樂院에서 雅部 • 唐部 • 鄕部 ; 演奏法 ; 弦樂器, 管樂器, 打樂器 ; 公演藝術等 音樂整理에 功울 세움.

10. Donald Jay Grout, A Hi st o ry of Weste r n Music , 3rd ed (19 80) , W.W. Norto n & Comp a ny , New York. 11. Abraham, The Concis e Oxfo r d Hi st o ry of Music , (1979) , Oxfo r d univ . Press. 中國 12. 伏 義 氏( 瑟 ). 13. 『 呂氏春秋 』 , 仲 夏 紀( 古樂 )， 皇 帝( 律管 ). 14. 孔子의 『論語 』 「堯曰 篇 」. 15. 漢 代의 張 蒼 ( 音 律과 曆 ), 王弁代의 ” 音律 과 曆 （五 音 階, 八 音 色, 音 調). 16. 漢 志(易 • 數 • 音 ). Greek 17. Hermes, Ap ll o, Amp h io n , Orph eus (Greek 神 話 , lyr e ) . 18. Py tha g o las, Plato , Aris t o t l e ( 音 摩 調和) . Rome 19. Vi tru viu s (音 響 堂) 現代 20. Ty n dall (殘 響 時間) 21. Ray le ig h , Helmholtz , Sabin e 22. Jon g Hy a n 1h and By u ng Ho LEE, Perfo r mance Analys is of Piz o elec tri c Comp o sit e Plate wi th Consid e rati on of the Inte r nal Losses, Transacti on of Ultr a sonic s , Fer- roelectr i c s, & Freq u ency Contr o l, vol. 35, No, 1., 23- 27 , 1988.

제 II 장 四個音響學基本方程式 ―熱力學·流體力學•數學 음향학의 4 개 기초 방정식인 연속방정식(질량 보존측)， 운동량 방정식(운동량 보존측), energy 방정식 및 상태방정식을 도출하 기 위해 필요한 최소한의 기초 열역학과 유체역학을 다루기로 한 다. 또 이 식을 결합하여 간단한 파동방정식도 도출했다. 파동방 정식의 해만 알면 그 음파에 관한 대략의 성질을 구할 수 있다. 그리고 이들의 논리를 전개함에 있어 수리논리를 취급하지 않을 수 없는데 여기서는 다른 책에 잘 안 나오는 몇 가지롤 취급함으 로써 수리논리의 중요성을 강조한다. 2. 1 熱力學 流體의 공간적인 상태를 표시하는 데는 밀도 p, 단위질량당의 내부에너지 E, 압력 p 등이 필요하다. 유체가 정지하고 있다면, 낮은 온도에서 모든 g as 는 다음의 상태방정식을 근사적으로 만 족한다.

p= Rp T 여기서 R 는 ga s 상수, T 는 절대온도이다. 이 방정식을 만족하 는 g as 를 完全 ga s, 또는 理想氣體라고도 한다. 평형압력은 두 열역학적 변수, 죽 밀도와 온도의 함수이다. 일반적인 유체는 그 열역학적 변수 사이의 관계식이 윗식과 갇 이 간단치가 않다. 그러나 단순한 유체에 대해서는 두 개의 변수 만 알면 다른 성질을 확정할 수 있다. 그리하여 밀도 P 와 단위 질량당의 내부 에너지 E 를 독립변수로 잡는다. 그래서 압력 p는 p = p(p, E) 여기 함수 p(p, E) 의 형식은 유체의 성질에 따라 다르다. 2.1.1 熱力學 第一法則 주어전 질량의 유체의 상태가 단위 질량의 유체에 대해서 Q라 는 열량을 가함으로써 한 평형상태로부터 다른 평형상태로 바뀌 면서 일 W를 했다면 열역학 제일법칙은 단위질량당의 내부 에 너 지 E 가 4E 만큼 바뀐다. 죽 LIE=Q + W 내부 에너지 E 는 상태의 성질을 가지며, 처음과 마지막의 평형 상태에만 의존하고 그 경로에는 상관이 없다. 그런데 가한 열량 Q와 한 일량 W 는 경로함수 (pa th fun cti on ) 이 다. 죽 처음 상태 에 서 마지막 상태로 가는 경로에 따라 달라진다. 윗식은 근본적으로 그 s y s t em 에 대해서 에너지 보존을 뜻한 다. 이 방정식은 두 평형상태 사이의 변환이 아주 서서히 또는

빨리 일어나든지 그 s y s t em 이 그 변환에서 여러 평형상태를 가 지 든지 , 또는 dis s ip a ti on (消失) 이 있든지 없든지 간에 적 용할 수 있다. 그러나 변환이 사실상 여러 평형상태를 통과하거나, 또 열 을 가하고 일을 하는 데 d i ss ip a ti on 이 없다면(즉, 변환이 reversib l e, 可逆的) , W와 Q는 평 형 열 역 학적 성 질로 표시 할 수 있다. 예를 들면, 단순 유체에서 reversib l e work 는 아주 느린 압축이나 팽창의 방식뿐이다. 고로, 그것을 압축함으로써 단위질 량의 유체 에 한 elementa l work 는 가역 적으로 dW = 一 pdv *. 여기 p는 열역학적 압력, v* = 上p( 比體積, spe ci fic, vo lt1JI1 e) 이다. 그래서 이와 같은 과정에서 열역학 제 1 법칙은 dQ = dE + pdv *. (2. 1. 1) 이 방정식을 단위질량의 유체의 enth a lpy H 로 고쳐 쓸 수 있다. H 는 H = E + pv* (2.1 . 2) 으로 정의된다. 단위질량당의 enth a lpy H 를 써서 (2. 1. 1) 을 표 시하면 dQ = dH —.v* dp (2. 1. 3) 로된다. 2. 1. 2 比熱 (2. 1. 1) 과 (2. 1. 3) 을 이 용하여 여 러 가지 과정 중에 서 sys te m

으로 옮겨지는 열량을 계산할 수 있다. 이에 관하여 加촨t에 대한 s y s t em 의 능력을 표시하는 양들을 정의할 수 있다. 그래서 BT I BQ 의 量 을 그 능력의 척도 (measure, 尺度)로 삼는다. 이것의 역수를 비열이라 한다. (2. 1. 1) 과 (2.1 . 3) 을 보면, 정적과정 (consta nt volume pro cess) 이 냐, 정 압과정 (consta n t pre ssure pro cess) 이 냐에 따라 그 量 의 크기가 다르다. Cv = （普 )v* (2. 1. 4) Cp = (맵 一 )P (2. 1. 5) 앞의 것을 정적비열(定積比熱), 뒤의 것을 정압비열(定壓比熱)이 라한다. 그비 r = Cp I Cv (2. 1. 6) 도 중요하다. r. 는 항상 r > l 이다. 이상기체가 특별히 중요한 것은 내부 에너지와 en t hal py가 온 도만의 함수라는 것 이 다. 또 그들이 일정 한 정 수 (consta n t) 라고 생각할 수 있는 경우에는 내부 에너지 E 와 enth alpy H 가 간단 굴 l E - Eo = CvT, H —H。 = Cp T . (2. 1. 7) 여기 Eo 와 Ho 는 어떤 기준 온도 To 에서 E 와 H 의 값이다. (2. 1. 7) 을 따르는 g as 를 완전 ga s (pe rfe c t ga s) 또는 이 상기 체 라 하 기도한다.

2. 1. 3 熱力學 第二法則 열역학 제 1 법칙에서 도입한 내부 에너지 E 와 같이 제 2 법칙 에서는 en t ro py라는 새로운 상태변수 (s t a t e var i able) 를 도입한 다. 이것은 열 d Q를 어떤 s y s t em 에 가역적으로 주면, d Q는 dQ = TdS (2. 1. 8) 로 되며, 여기 S 는 단위질량당의 en t ro py라 부른다. 또 한편, 변환이 비가역 (irr eversib l e, 非可逆)이면, dQ < TdS 의 부등식이 성립된다. 어떤 과정이 진행중인 고립된 s y s t em 의 특별한 경우에, oQ = o 이면 dS ~ 0 (2. 1. 9) 이 다. 여 기 서 등호는 가역 과정 (reversib l e pro cess) 에 서 만 성 립 된 다. (2.1 . 9) 는 중요한 것이 고립된 s y s t em 의 en t ro py는 절대로 감소하지는 않는다는 뜻이다. (2.1 . 8) 을 이용하면 (2. 1. 1) 과 (2. 1. 3) 으로부터 TTddSS == ddHE +一 pvd*v d*p (2.1 .1 0) 으로 쓸 수 있다. 이돌 방정식으로 상태변수들의 관계를 맺을 수 있다. 또 그들이 가역이라면 변환에도 이용할 수도 있다. 2. l. 4 Maxwell 關係式 여러 가지 과정에서 entr o p y 변화를 계산하려면 그 변화를 표

현할 수 있는 방정식이 잰 수 있는 量 으로 표시될 필요가 있다. 이것은 열역학 변수들의 편도함수(p ar ti al deriv a ti ve s, 偏꾹函數) 사이에 어떤 관계식을 이용할 필요가 있다. 이들 관계식을 Maxwell 의 열역학 관계식*이라 한다. 그 중 하나, 죽 澄 )T= -（릎)p (2. 1. 11) 의 관계식을 도출해 보기로 한다. 이 관계식의 필요성은 entr o p y 변화를 온도와 압력의 변화로써 계산해야 할 때 생건 다. 그리 하여 en t ro py를 온도와 압력 의 함수, 죽 S = S ( T, p) 로 생각하자. 그러면 dS = （흙 )PdT + （營 )Tdp (2. 1. 12) dS 를 잴 수 있는 量으로 표시하기 위하여 우변의 두 도함수로부 터 S 를 소거해야 한다. 첫째 것은 간단히 (흙)p=(爲)p=뚜 (2. 1. 13) 이것은 바로 C p의 정의식을 응용했을 따름이다. (2. 1. 12) 에 나 타난 둘째 도함수는 이제 도출해야 한다. 이룰 하려면, 먼저 (2. 1.10) 을 닫힌 可逆經路에 따라 적분해야 한다. fTds = fdE + fpdv * = fpdv * (2.1 . 14) 왜태냐와 하마면지 막E 는 상 상태태가변 같수아이지므므로로 한 f바d퀴E =돌 O아 이서기 적때분문하이면다 .처 음따 상라 * Marge nau and Mu rph y, Math e mati. ca l Phys ics, vol. 1, §§ 2.

서, 죽 원래 상태로 돌아오는 어떤 변화에서 s y s t em 에 옮겨진 열은 그 s y s t em 에 의해서 한 일의 量과 같다는 유명한 可逆의 설명이다. 만일 닫힌 경로가 T, S 면과, p, V* 면에서 그려져 있다면 (2. 1. 14) 로부터 두 con t our 에 의해서 그려진 면적이 같다는 것을 표시한다• 수학적으로는 이것은 변수 T, S 로부터 변수 p, V* 로 변환하는 J acob i an 이 1 이라는 뜻이다. 죽

* x, y평면내에서 closed con t our 를 생각해 보자. con t our 로 둘러싸인 면 한다적ff은면다 ~ 고그A = 변깁하 f환면 fd의,d x x ddyJ y a의Uc로 ,o b면주 i aV적어n 평 은을진 다 면가;. 8에질 : 지 것변금깁이 환다x=.,된 1 y일고가 c로 o수,다n밖 t 른o에두u r 두는c없o 다n변 .tA o수 u'r = 의U ,f 면fVd 적에u 이d의v 존갇=

8o((pT, , vS*)) = 1* (2.1 .1 5) 이 결과는 Maxwell 관계식을 도출하는 데 찰 이용된다. 그러므로 (2. 1. 11) 울 도출하려면 먼저

= — (a(T, S) I a(p, T)) (a(p, v* I a(T, S)) 그러므로, r == --a(av (*p,, pv)* )I / ao ((pT, , Tp)) = —(a v* I aT)p 이로써 (2. 1. 11) 의 관계식을 도출했다. 다른 Maxwell 관계 식은 (as I av*h = (ap /a T) v* c(8aSs I/ aapv )* )V p* == (—ap( /aa vT*)/ as T) s 이들은 (2. 1. 11) 과 같이 dS 를 잴 수 있는 量으로 보고, 사용할 수 있는 예이다. 예를 들면, (2. 1. 11) 과 (2. 1. 13) 을 이용하여 (2. 1. 12) 를 다음과 같이 쓸 수도 있다. (a호T) /p =- 요T ' (\ a죠p) / r =- 8a ((Sp,, TT)) -= _ aa ((pT, , TS)) . a8 (( pT, , vS*)) =_(福 生*?)=―(름)p; dS = 뚜 dT - (합 )Pdp (2. 1. 17) 이것이 소망의 결과식이다. 왜냐하면, T, Cp , (『「)p는 모두 챌 수 있는 量이기 때문이다. 지금 (av* I aT)p 대신 열팽창계수 /3를 이용해 보자. 이것은 /3 = (1 / v*) (av* I oT)p (2. 1. 18) 으로 정의되는 量이다. 정압하에서는 온도 변화에 의한 부피의

상대변화를 준다. /3와 Cp로 (2. 1. 17) 울 고쳐 쓰면, TdS = Cpd T —T v*/3 d p 이와 같이, S = S(T, v* ）와 Cv = T(asI aT) 짜와 더불어 Maxwell 관계 식 의 하나롤 이 용하면 TdS = CvdT + T (ap I aT) v*dv* 롤 얻을 수 있다. (Marge nau of Murph y, Math e mati ca l Phys i c s , vol. 1, §§2 를 참고) 2.2 運動하는 流體 위의 결과들을 평형상태에 있는 유체에 적용해 보자. 운동하는 유체에서는 그러나, 밀도와 압력의 g rad i en t가 존재한다. 그래서 균일한 평형상태는 존재하지 않는다. 이런 조건에서 그러나 그들 g rad i en t는 아주 작아서 그들을 작은 범위 내에서는 무시할 수 있다. 그래서 움직이는 유체입자는 평형상태의 연속을 통과하는 것이라고 가정할 수 있다. 그에 대해서 평형열역학의 개념과 관 계식을 적용할 수 있다. 그러나 유체역학에서는 공간적인, 또는 시간적인 평형상태로 ` 부터 상당히 벗어난 것도 있다. 죽 고주파 음향에서와 같이 완전 한 평형상태에 의존하지 않는 방법으로 열역학적 성질을 규정할 필요가 있다. 밀도의 정의는 평형상태가 존재하든지 말든지 적용 할 수 있다. 이제 단위질량의 내부 energy E 를 생각하면, 그것 은 상태변수이다. 내부 ener gy가 있다는 것은 제 1 법칙과 관련 해서 비로소 인식될 수 있다. 먼저 주의한 것처럼 제 1 법칙을

(2. 1. 1) 로 표시했듯이 변환이 어떻게 일어나든 상관없이 가한 열 량 Q와 한 일량 W 로 4E 를 정의할 수 있다. 그런데 Q와 W 는 평형상태에는 의존치 않지만 잴 수 있는 量 이다. 그러므로, E의 순간적인 값이 유체요소를 갑자기 고립시켜서 평형에 도달케 함 으로써 얻어전다고 하면 비평형상태 (noneq u il ibr iu m s t a t e) 에서도 내부 ener gy를 정의할 수 있다. E 의 정의는 사실상 고전 열역 학에서 정의한 내부 energy E 와 전적으로 다르지 않다. 주요 차 이점은 이와 같이 해서 움직이는 유체 내에 내부 ener gy의 개념 울 이용할 수 있다는 것이다. E 를 위에서와 같이 해석하면 (2. 1. 1) 로 주어전 평형상태의 방 정식으로 움직이는 유체의 다른 열역학 변수들을 p와 E 로 정의 할 수 있다. 2. 2. 1 質量保存과 連續方程式 연속방정식을 도출해 보자. 수학적으로 질량의 보존으로부터 시작하자. Fig . 2.2.1 에 표시한 것은 유체로 차 있는 공간에서 일

n

정 한 cont ro l volume V 를 그린 것 이 다. V 는 표면 A 로 둘러 싸 여 있고, 그 표면에는 밖으로 단위법선 vect o r m 을 가진다. 어 느 시각 t에서 V 속에 있는 유체의 전 질량은 fvp (x, t) dv (x) V 로 표시된다. 시간이 지나감에 따라, 이 量 은 V 로부터 나오는 mass fl ow 로 말미암아 변할 것이다. 그리하여 u(x, t)를 점 x 에 서 의 유체속도라 하면, V 에서 나오는 net flow ra t터즌 1p (x , t) u (x, t) • n (x) dA (x) A 로 된다. 따라서 질량불변(보존)은 삶fvp dV(x) =-1pu • ndA (2. 2.1) 임을 요구한다. 이제 부피 V 를 공간에 고정했다면, 죽 시간에 의존하지 않으면, 훑 1 p dV (x) = + !v뿔 -dV 지금 div e rge nce 이 론에 의 하면 Gauss 정 리로 체 적 적분으로 바꿀수 있다. iAp u • ndA(x) = JvV • (pu )dV(x) (2. 2. 2) 로 된다. 따라서 우리의 질량불변의 방정식은 fV [ 景 + V • (pu )]dV(x) = 0

이 결과는 V 의 모든 선택에 대해서 성립해야 하므로 뿔 + 'v • (pu ) = 0 (2. 2. 3) 이것이 구하고자 하는 연속방정식이다. 이 연속방정식은 다른 여러 형식으로 쓸 수 있지만 우리의 목적에는 이것으로 족하다. 2. 3 流體의 運動方程式* 이 방정식은 New t on 의 제 2 법칙에 의한 것인데, 운동하는 유 체요소를 생각함으로써 쉽게 구할 수가 있다. 고정된 기하학적 부피 V 를 생각하는 대신 움직이는 유체의 부피 T 를 생각한다. 그 속의 유체는 항상 동일한 입자들을 갖도록 움직인다. 죽 T 는 운동하는 물체 부피 (mate r ia l volume) 이 다. 이 제 T 속에 유체 의 운동량은 [wp ( x, t) u(x, t) dr r(t) 로 표시되며, 그 시간적 변화율이 움직이는 요소에 작용하는 전 힘 과 같다. 이 들 힘은 두 가지 , body fo rce 와 surf ac e fo rce 가 있다. body forc 러즌 중력 과 같이 long - rang e fo rce 이 며 , 유체 의 질량에 비례한다. 지금 단위질량당의 body fo rce 를 F 로 표시하 면 T 에 작용하는 전 body fo rce 는 fpFd T * 운동량 방정식이라고도 한다.

로 된다. 한편, surfa c e fo rce 는 short- r ang e fo rce 이며 표면 요 소 dS 에 의존한다. 공간에서 방향에 따라 다르다. 그래서 ~(n) 로 그 local s t ress 를 표시 한다면 T 에 작용하는 전 surfa c e for ce 는 fs 요 dS 로 된다. 여기서 S 는 T 를 둘러싼 표면이다 (F ig . 2.3 .1). k 는 일 반적으로 unit normal 방향으로 향하지 않는다. 그러므로, Newt o n 제 2 법칙에 따라 작용하는 전 힘과 그 운 동량의 변화율을 같다고 놓으면 운동방정식을 얻을 수 있다. 죽 젊 1 p udr = 1pF d r + ls}:ds (2. 3.1) 그런데, 이 식에는 체적적분과 면적분이 섞여 있어서 더 간소 화하려면 모두 같은 체적적분으로 통일하는· 것이 좋다. 또 좌변

n

은 속도 u 의 세 개의 성분에 따라 세 개의 scalar 성분을 가전 다. 좌변은 [틀 dr 로 되는데, 여기서 du / d t는 일정한 점에서 유체의 속도의 변화 율을 나타내는 것이 아니라 공간 속에서 움직이는 유체입자의 속 도 변화율이다. dt 동안에 주어전 입자의 속도변화 du, 공간 속 에 주어진 일정한 점에서 dt 동안에 속도의 변화와 dt 동안에 그 입자가 움직인 거리 dr 사이에 속도의 변화의 합이다. 전자 는 (au I a t )dt 이고, 후자는 dx 問 + dy 뿔 + dz 뿔 = (dr • gra d) u 이다. 그러므로 du = 맵 d t + (dr • gra d) u 양변을 d t로 나누면 뿜 = 뿜 + (u • grad ) u (2. 3. 2) (2.3.1) 을 이용하면 (2.3.2) 의 좌변은 그 중의 i번째 성분에 대 해서 정리하면 읊jp u,dr = i[8 (:f1 .) + 훑(p u;u J )]dr (2. 3; 3) 로 된다. 다음은 (2.3.1) 의 우변의 적분을 생각해 보자. 그 중 하나는 면적분이어서 체적적분으로 변환해야 한다. 그렇게 하면 먼저 단위면적당의 local surfa c e fo rce 의 i번째 성분은

2i = 6unj 으로 써전다. 여기서 n j는 그 surfa c e fo rce 가 작용하는 표면의 단위 법 선 vec t or 의 한 성 분이 며 6u 는 str e ss t ensor 이 다. 이 str e ss t ensor 의 한 ( i, j) 성 분의 뜻은 두번째 subscrip t j번째 축에 수직 인 면에 작용하되 i번째 (첫째 subscrip t) 축 방향으로 향하는 단위면적당의 힘이라는 뜻이다. 평형조건 때문에 이 str e ss t ensor 는 대 칭 성 을 갖는다. 죽 6i j = 6j i. 그리하여 직방체 모양의 유체의 미소 요소를 생각하면 Fig . 2. 3. 2 에 서 세 개 의 표면에 작용하는 surfa c e fo rce 를 표시 한다.

L

Surfa c e fo rce 에 대 해서 사용하는 관습에 주의 하라. 이 관습에 서 인장 (ten sile ) 은 正으로 한다. 다음에는 (2.3.1) 의 우변에 있는 면적분으로 들어간다. div e rge nce 정리를 이용하면 다음과 같이 체적적분으로 바꿀 수 있다. ls L!;d S = fsa unjd S = 1 릎 dr (2. 3. 4) (2. 3. 4) 와 (2. 3. 3) 을 momentu m balance 방정 식 (2. 3. 1) 의 t 번째 성분에 대입하면 i [8(;「 l) + 값(p U;UJ ) - 磐 —pF ;]dr = 0 이 식은 모든 r 에 대해서 성립해야 하므로 유체 속의 각 점에서 피적분함수가 죽어야 한다. 죽 8(;f,) + 훑(p u;u j) = pF ; + 萱 (2. 3. 5) 이것이 소망의 유체역학 운동방정식의 하나다. 지금 (2. 3. 5) 의 좌변 제 2 항은 —88x— i (pu iu j) = —88x j ( pU ; • U;) = ~8 (8pxUuj j } i + p Ur388 一uxji (2. 3. 6) 으로 된다. (2. 3. 6) 의 우변 제 1 항울 생 각해 보면 a (pu ;) I OX; = V· (p u) 이무, 연속방정식 읊fp dr= 랩r- =0 을 이용하면 8(8px u; ; ) = -8뽀t = Q(: p= const)

그러므로 (2. 3. 6) 은 忘a( pI U;U j)\ = PU ja函u·i (2. 3. 7) (2.3.7) 을 (2.3.5) 에 대입하면 운동방정식은 다음과 같이 된 다. 쁘at +' uJ a~xj = F.... i ' +p ~ax~j. (2. 3. 8) 여기서 주의할 것은 좌변에 두 개의 도함수는 간단한 의미를 가 진다는 것이다. 이들의 조합은 Euler 식의 유체입자의 가속도를 나타낸다. 입자의 운동을 따르면 그 가속도는 간단히 dvId t이 다. 그러나, 이 Euler 식의 서술에서 개개의 입자의 속도가 규정 되지 않고, 그 대신 공간 내에 각 점에서의 속도를 규정한다. 이 속도는 점에서 점으로 달라지고 또 시간에 따라 변한다. 그러므 로 유체입자의 가속도는 두 부분으로 이루어전다. 죽, local chan g e 와 convecti ve chan g e 가 있다. 각각 au I a t와 u • 'v u 이 다. convecti ve accelerati on (대류 가속도) 은 u 의 방향으로 공간 내의 속도의 변화를 나타낸다. 그래서 万D= ifa + u·'v (2. 3. 9) 를 어떤 유체의 성질에 응용할 때 유체의 한 입자의 운동을 따르、 는 그 量의 변화율은 DID t가 준다. 그리하여 DE/D t는 어떤 유체입자의 단위질량당의 내부 energy E의 변화율을 표시한다. 이와 갇은 뜻을 DSIDt 등에도 붙일 수 있다. DID t를 S t okes 의 미분이라 한다.

2. 3. l Str e ss Tensor (2.3.5) 와 (2.3.8) 은 소망의 운동방정식의 다론 꼴이다. 둘 다 유용한 꼴이 아닌 것은 s t ress 를 규정하지 않았기 때문이다. 유 체역학 책에서 지적하듯이 모든 유체에 적용할 수 있는 단일 str es s t ensor 는 얻을 수 없다. 여기서는 중요한 두 가지 유체가 적 용할 수 있는 str e ss ten sor (J u 의 명 백 한 꼴을 제 시 키 로 한다. Ideal Fluid 이것은 실제 유체의 행동이 이상화된 것으로 그들의 str es s t ensor 는 보다 일반적 인 유체 의 행동으로부터 얻을 수 있다. 그러나 먼저 ide al fl u i d 를 머리에 생각하는 것이 편리 하다. 특히 음향학에서 중요한 구실을 하기 때문이다. 근본적으로는, 운동하는 이상유체 에 대 한 str e ss t ensor 는 정 지 하고 있는 유체에 대해서, str e ss t ensor 는 동일한 꼴을 한다. 죽, 유체의 작은 요소에 작용하는 힘은 그 요소에 수직으로 작용 하는 힘이다. 거기에 접선 방향의 s t ress 는 없다. 또, 어느 점에 서 이들 힘은 방향에 상관없이 동일한 크기를 갖는다. 예컨대, 유체 요소가 작은 구일 때에는 그 형상도 이와 같은 str e ss 영향 으로 바뀌지 않는다. 끝으로 압력은 열역학적 압력 p = p(p, E) 와 동일하다고 취해진다. 이들 가정에서 보아 표면력 2 는 그 표 면의 법선 (normal) 방향으로 작용하고, 그 크기는 방향에 상관이 없다. k= -pn 여 기 서 妹근 압력 , mi nu s 부호는 surfa c e fo rce 에 관한 관습에 따른 것이다. 또, Ej = 6un j이므로 str e ss t ensor 는

6i j = -p8i j (2. 3. 10) 이 등방성 (iso tr o p ic) 의 str e ss t ensor 의 성 분은 다음 ma t r i x 로 주 어진다. (_[-; _[) 주의할 것은, str e ss t ensor 로 기계적 압력을 정의할 수 있다는 것 이 다. 그래 서 contr a cti ng ten sor

2. 3. 2 Newt on ia n Fluid s 실제 유체에서는 normal str e ss 이의에 tan g e nti al s t ress 도 있 다. 죽 str e ss t ensor 가 등방성 을 가지는 것 이 아니 라 그들은 devia t o ric elemen t를 가지고 있다. 그것은 전적으로 velocit y g rad i en t의 출현으로 생기는 것이기 때문에 유체가 정지하면 이 들은 죽는다. 고로 실제 유체에서는 6u = —p8i j + dij . (2. 3. 13) 여 기 비 등방성 ten sor du 룰 devia t o r ic str e ss t ensor 라 부론다. 그것은 dii = O 이 되도록 취한다. 量 P 는 P = -T1 6ii (2. 3.14) 로 정의한다. ｀ 이것은 기준축의 회전으로 변하지 않는다(i nvar ­ ian t) . 왜 냐 하 면, 6i i 는 element 가 6“ 인 matr i x 의 3 개 의 inv aria n t 중 하나이기 때문이다. 고로 P 는 표면요소의 방향에 는 상관이 없다. 또 작은 구의 부피에 작용하는 전 normal fo rce 의 면적 평균은 一 a ii I3 임을 알 수 있다. 또 먼저 말한 바 와 같이 이 量은 이상유체나 정지하고 있는 유체 속에서 압력의 정의이다. 그러므로 (2.3.14) 로 주어전 것과 같은 量 P 는 운동 하는 유체에 대한 압력의 정의로서 받아들인다. 물론, 이 정의는 순전히 역학적이며 그래서 일반적으로 P 는 열역학적 압력 P 와는 다르다. P 와 p 사이 의 차이는 devia t o ric str e ss t ensor 의 꼴과 같이 veloc ity gr ad i en t가 작을 때 에는 유체 의 분자구조가 등방성 이 라 면 계산해 낼 수 있다. 이런 조건에서는 devia t o ric str e ss t ensor 는

du = 2µ (e u —}4 8u) . (2. 3. 15) 여 기 µ는 유체 의 vis c osit y (shear vis c osity ) 의 계 수이 다. e 쩌근 rate - of- s tr e ss t ensor 이 며 다음과 갇이 정 의 한다. eiJ = ½(¼ + 壁). (2. 3.16) 이 정 의 는 e;_; 가 sym metr i c t ensor 임 을 말한다. 量 4 는 팽창의 local ra t e 라 불리 며 , L1 = eiJ , 또는 Ll= V • u. (2. 3.17) (2. 2. 3) 을 참고하면 4 = 一 (1 / p) Dp I D t와 같음을 보여준다. 이것은 유체입자가 움직이면서 그 부피의 상대변화를 나타낸다. Devia t o r i c str e ss ten sor 가 (2. 3. 15) 로 주 어 지 는 유 체 를 Newt o nia n fl u i d 라 한다. 대개 의 g as 나 물과 같은 단순한 유체 는 이 관계 를 찰 따른다. 이 책 에서는 Newt o nia n fl u i d 만을 생 각하기 로 한다. 따라서 str e ss t ensor 는 (J;_; = —P8 ;.; + 2µ(e;.; —}學 ). (2. 3.18) 유체역학적 압력울 고려하기 전에 non-zero devia t o ric str es s t ensor 를 간단한 두 예에서 설명하기로 한다. 첫째는 따축 방향 의 속도만을 갖되, X2 에만 의존, 어디서나 정상운동을 하는 유체 를 생 각하자. 죽 속도 vecto r u 는 성 분 [udx2) , 0, 0] 를 갖는 다. 그래서 유체입자는 충에 따라서 다른 속도로 움직인다 (F ig. 2. 3. 3) . 이 운동에 대 해 서 (2. 3. 16) 은 str a in t ensor 의 ra t e 가 다 음의 성분을 갖는다는 것을 표시한다.

X2

( }(二) :) :) 그러 므로, str e ss t ensor 의 devia t o r i c p ar t의 non-zero comp o - nen t는 tan g e nti al str e ss 야와

nen t는 eu = du1/dx1 뿐이어서 위의 모양으로 움직이는 유체 elemen t에 작용하는 유 일한힘은 <51 1 = -p + 34 µ.. d~ u1 . (2. 3. 20) Idea 를 굳히기 위하여 P 가 평형압력과 동일하다고 하자. 그러 면 이상유체의 경우와 비교하면 6n 의 첫 부분은 마찰저항을 갖 지 않는 탄성력이다. 한편, 두번째 기여는, 죽 강 µdu1 I dx1 은 마찰력이다. 분자 level 에서는 이 힘이 x1 축에 수직인 평면을 통 하여 작용하는 local veloc ity u1 을 가지 고 움직 이 는 xi momen- t um 의 net fl ow 가 있 기 때 문에 생 건 다. Flow 는 random molecular mo ti on 으로 생 긴다. 그러므로 그 면의 왼쪽의 구역 이 큰 macroscop ic veloc ity를 갖는다면 (죽 비 평 형 상태 가 그 평 면 부 근에 존재한다면)， 왼쪽을 떠나는 분자들은 평균해서 바른쪽으로 부터 들어오는 것보다 큰 x1 방향의 momen t um 의 속도를 가질 것 이 다. 이 momen t um 의 net chan g e 의 결과의 하나는 속도 차 이가 죽으려 하기 때문이다. 죽 평형상태를 회복하려는 힘이다. 이와 비슷한 논리가 처음 예에도 적용된다. 그러나 지적해야 할 것은 마찰력의 근원을 설명하는 데 사용된 특성만이 그 분자 의 tra nslati on al mo ti on 이 라는 것 이 다. 그것 이 shear visc osit y 의 거시적 현상을 일으킨다. 이런 형식의 분자조정을 tra ns- lati on al relaxa ti on 이 라 한다. 이 제 단원자 유체 , 죽 He 이 나, Ar( 아르곤)이나, Hg 같은 유체에서 다른 분자의 自由度가 없어 서 평형으로부터 약간 떨어지면 dev iat o ric str e ss t ensor 에 대한

Newt on ia n 표시를 거쳐 µ롤 가지고 다루어야 한다. 이것은 2 원자 g as 와 같이 더 복잡한 유체에서는 어떻게 되는 가 하는 의문이 생기게 된다. 잘 알려진 대로 그들 분자는 t ransla ti onal 한(병진운동) 자유도뿐 아니- 라, 회전과 전동의 자유 도를 가지고 있다. 그들 자유도에 관련한 에너지도 역시 변한다. 그러므로 평형상태에서 이들 에너지는 그 유체의 거시적인 조건 에 따르는 평형값들을 가진다• 지금 한 유체요소가 순간적으로 평형상태로부터 급작스러운 팽창의 방법으로 떨어져 나왔다고 하 자. 그 직후에 병전과 회전과 진동의 자유도의 에너지는 새로운 거시적 조건에 해당하는 에너지와는 다른 값을 가질 것이다. 분 자충돌을 통해서 그러나 분자 자유도의 각각은 마침내 새로운 상 태로 조정될 것이다. 병전 자유도는 그들의 새 평형값에 도달하 는 데 가장 적은 수의 충돌을 요한다. 그러므로 병전 에너지가 그들의 새로운 평형값에 도달할 때까지는 회전과 전동의 자유도 가 아직도 조정단계에 있다. 이 지연(l a g)의 net resul t는 열역학 적 압력이 기계적 압력과 다르다는 것이다. 사실상 급작스러운 팽창중에 열역학적 압력은 기계적 압력보다 약간 크다는 것을 볼 수 있다. 적어도 평형에서 작은 차이에 대해서는 P 와 p의 차이 는 팽창률에 비례한다. 죽 P - P = µvLl (2. 3. 21) 로 쓸 수 있으며 이 비 례 상수 µv 를 v i scos ity의 팽 창계 수라 부른 다. 이것은 µ와 같이 正이다. 한 단순한 예를 들어 유한한 exp a nsiv e v i scos ity의 효과룰 설 명하자. 유체의 구형 체적요소를 상상하자. 그것이 팽창하거나 압축하면 그 구형은 그대로 된다. 등방성 팽창은 u = [ur(r), 0, 0] 을 요하며 , 그래 서 rate - of- s tr a in t ensor 의 비 대 각선 성 분

이 모두 zero 로 된다. 또, 운동의 대칭성 때문에 대각선 요소들 이 모두 갇다. 그래서 이 경우에는 eij = }(48ij) . 그러나 eu 의 이 값에 대 해 서 는 devia t o ric str e ss t ensor 가 (Jr r = -P + µvLl 으로 된다. 이것은 실제로 exp a nsiv e v i scos ity도 마찰력으로 귀 착하며 평형을 회복하려 한다. 그러나 이때, 이들 효과는 진동과 회전의 자유도의 relaxa ti on 에 의한 것이다. Exp a nsiv e vis c osit y µv 의 문제 중 별로 알려 지 지 않은 것 이 있는데 그 이유는 그 결과를 µ의 것과는 따로 재기가 아주 힘들 기 때문이 다. 그러나 µ와 µv 가 결합된 효과는 exp a nsiv e v i scos ity가 shear v i scos ity와 같은 크기라는 것을 가리키는 것 이다. 이들 실험은 고주파에서 음의 흡수를 잴 때 이루어진다. 2. 3. 3 Navie r -Sto k es 方程式 Newt on ia n fl u i d 에 대 해 서 str e ss t ensor 의 꼴을 규정 했 기 때 문에 이번에는 운동방정식 (2.3.11) 을 다음의 꼴로 쓸 수 있다. 툴 = pF ; —姜 + 玉 [2µ(e,:; - 강學)]. (2. 3. 22) 이 것을 Navie r -Sto kes 방정 식 이 라 한다. 이 것 이 , New ton ia n fl u i ds 가 여러 가지 상태로 운동하는 것을 기술한다. 여기에 중 요한 온도변화를 포함시킬 수 있다. 그 경우 µ(이것이 온도 영향 을 크게 받는다)가 위치의 함수로 생각된다. 그러나 여러 경우에 온도변화가 적어서 µ를 그냥 정수로 볼 수 있는 경우가 있다. 음향학적 운동의 경우가 그러한 예에 속한다. 그때에는

?Du=i pF I ―忘8P+ µ(a-2ua,· + 정1瓦 8)4. (2. 3. 23) 끝으로 (2. 3. 21) 을 이 용하고 µv = cons t라고 가정 하면 (2. 3. 23) 은 꿉 = pF —'vP + µ['v2u + (+ + 뿐)'v ('v • u) ] (2. 3. 24) 로 쓸 수 있다. 여기서 (2 .. 3. 17) 을 이용하여 4 를 소거했다. 이 식이 이상유체에 대해서는 (2.3.12) 의 Euler 방정식으로 됨을 알 수있다. 2. 4 Energy 方程式 운동하는 유체의 내부 energy E 를 생각해 보자. 이 에너지는 표면력과 body fo rce 에 의해서 그 요소에 하는 일량과 또 주변 의 유체로부터 열전도로 말미암아 변할 수 있다. Body fo rce 에 의해 일이 행해지는 비율은 jpF, u,dr 이며, 또 표면력에 의해서 하는 일의 율은 jz{ U,dS = i(Jvn ju ,dS = 11(;숙 ? u) dr 이다. 그러므로, 그 요소에 행해지는 일의 율은 이들을 합하여 l[pF ;U ; + 흡尸 나쁠 ]dr. (2. 4.1)

그러 나 (2. 3. 8) 로부터 pF ;U; + u 言a6ij = pu ' DDu,l. (2. 4. 2) 이 식의 우변은 그 요소의 운동에너지의 증가 -#r{½p u?) 을 나 타낸다. 따라서 좌변의 두 항은 유체요소의 운동에너지를 증가하 는 데 사용된 그 유체에 행해전 전체 일량의 분율(fr ac ti on) 을 나 타낸 것이다. 그러므로 유체의 내부에너지의 밸런스를 기술하는 방정식에는 이들 항은 나타나지 않는다. 한편 나머지 항, 죽 i떼뿔 dr 는 속도를 바꾸지 않고 그 요소를 변형시키는 데 한 일의 율을 표시한다. 그러므로 유체요소의 단위질량당 내부에너지는 이에 의해서 증가하는 율이 p1< Ji8Ju경,.규 (2. 4. 3) 내부에너지 E 는 또, 열의 net g a i n 에 의해서도 증가된다. 열 이 얻어지는 mode 가 오직 전도뿐이라면, 그리고 온도 grad ie n t 가 작다면 heat fl ux 는 Fourie r 법 칙 에 따라 Qh = k'v T 로 주어진다. 여기 k 는 유체의 열전도율이다. 그러므로 열이 그 표면을 통해서 그 유체요소로 들어오는 율은 Q = fs kn 감'f- ds = 1 읊｛훑 )dr. (2. 4. 4)

그리고, 열이 단위질량당의 유체에 의해서 얻어지는 율은 》訖(를). (2. 4. 5) 끝으로, 유체요소의 단위질량땅 내부에너지 E의 변화율은 DE / Dt ; 그래 서 balance 의 방정 식 은 營=뭉碧 + 눕읊(틀). (2. 4. 6) 지금, str e ss t ensor 는 대칭이어서 6u( 겅問) = 6u( 강뿡) (i와 j 는 dummy ) 이므로, 26u릎 = 6u( 經 + 經). 그리하여 管=~+눕計룹) (2. 4. 7) 여기서 eu 에 대한 (2.3.16) 을 이용했다. Str e ss t ensor 가 (2. 3. 18) 로 주어 지 므로, 이 를 (2. 4. 7) 에 대 입 하면, 管 = -: 4+ 州 eueu 一 }42) 나훑(타足) (2. 4. 8) 를 얻는다. 또, (2. 3. 26) : P = p + µvL]로 부터 팽 창률 4=V· u 는 4= 之 (2. 4. 9) 으로 표시된다. 그러므로 (2.4.8) 대신에

管 + 認誓 = 뿡 42+ (/) + 戶訖(플) (2. 4.10) 여 기 nonneg a ti ve qu anti ty (/)는 (/) = l?p (e ueu —.3l. L12 ) (2. 4.11) 로 주어진다. 이것이 하는 구실 때문에 O 를 vis c ous dis s ip a ti on fu n cti on 이 라 부른다. 이 제 (2. 1. 10) : TdS = dE + pdv * = dE + pd( 》)을 이 용하면, (2. 4. 10) 의 좌변은 T (DS I Dt ) 로 된다. 그러므로 T 효Dt = 뿌p 따 + 0 + 1p:- v • (kv T ). (2. 4.12) 이것이 구하는 energy 방정식이다. 이 좌변은 또 다음과 같이 쓸수있다. T 傍 =C p쌩-꾸傍 여기 f3는 열팽창계수이다 (2. 1. 18). (2. 4. 10) 의 우변의 열전도항은 다음의 항등식 +v • (kVT) = f2

이 식이 열역학 제 2 법칙과 비교하는 데 적당한 꼴이다. 2. 4. 1 連續體에 대한 第二法則 연속체에 대해서 제 2 법칙은 다음과 감이 도출할 수 있다. 유 체와 갇은 연속물체 내에 일정한 contr o l volume V 울 생각하 자. V 안에 en t ro py는 시간과 더불어 그 변화율이 -¾fp Sdr 로 표시 된다. 이 율은 T 속에 서 나오는 en t ro py의 net fl ow 와 T 내 에 서 en t ro py가 생 성 되는 율로 평 형 을 이룬다. 그러므로 entr o p y fl ux( 단위시간당 단위면적당 나오는 entr o p y fl ow) 를 ]s 로, p a 를 T 내에서 단위체적당 단위시간당 en t ro py의 생산을 표시하면 읊 1 p Sdr = — Lis • ndA + Jpad r (2. 4. 14) 그러므로, 면적적분을 체적적분으로 바꾸고 체적적분 속으로 시 간도 함수를 취하면 1[ ¥ + 'y • Js - p(J]& = O (2. 4.15) 죽, ¥ + 'v • Js — p

여기서 시간도함수를 계산하는 데 연속방정식을 이용하면, o(8pt S ) =_ _門 D TS —v' • (pu S). 따라서 (2. 4. 17) 은 6 = —DDSt +.' —p1 V • (Js —pu S) 칵 0. (2. 4.18) 그러나, 우리가 생각하는 유체의 연속체에 대해서 ener gy가 주 어진 영역으로부터 사라질 수 있는 방법은 직접 대류나 열전도에 의 한 것뿐이 다. 그러므로 entr o p y flux vec t or 는 ls = pu S —Tk V T (2. 4. 19) 열전도 flux 앞에 ne g a ti ve 의 부호는 앞서 사용한 부호의 관습 때문이다. 그러므로 (2. 4.18) 은 6 =層― 뇽 •( 4-vT ) ~ 0. (2. 4. 20) 이 방정식을 (2. 4.13) 과 비교해 보면, (2. 4.13) 의 좌변은 Ta 로 된다. 따라서 6 」<1) ＋十뿡 42 내 摩 )2 책. (2. 4. 21) 이 식은 적어도 두 가지 이유 때문에 중요하다. 첫째는 0, 42 과 ('vT I T)2 이 正이므로 µ, µv 와 k 가 正이라야 한다는 것이다. 둘째는 열역학에서 알 수 있듯이 net entr o p y 증가는 유용한 ener gy가 소비되었다는 것을 의미한다. 그러므로 (2.4.21) 은 사 실상 s y s t em 에 대 해서 entr o p y 증가를 주기 때문에 그로부터 여

러 가지 energy loss 를 산출해 낼 수 있다. 둘째 결과에 관련해 서 (2. 4. 20) 으로부터 Uv U1 와 k 가 모두 zero 가 된다면 한 물체 입 자 의 entr o p y 는 consta n t 로 된 다. 이 와 같 은 flow 를 ise ntr o p ic flow (등 entr o p y 흐름) 라 하며 , 음향학에 서 중요한 구 실울 한다. 이에 관련한 개념은 homentr o p ic fl ow 의 개념이다. 여기서 en t ro py는 유체 내에 어디서나 균일하다. 2.5 數學* 음향학은 소리에 관한 물리학적 • 관계를 수리논리로 전개하여 그 수학적인 결과로부터 의미 있는 음향학의 해답을 얻는 것이 다. 다른 물리학의 문제에서처럼 현재 수리논리가 가장 강력한 과학의 논리이기 때문에 음향학을 배우는 데 이 수리논리는 필수 의 학문이다. 여기서는 보통 음향학에 잘 나오지만, 다른 데서는 잘 보이지 않는 수학 몇 가지를 들어 수리논리의 연마에 각성을 촉구하니 독자 여러분은 수학이 과학에 이르는 첩경임을 인식하 고 평생 수학을 배워 익혀 나가기를 바란다. 2. 5. l Bessel 函數 Bessel 방정식 差 + :김 + (1 - ¾i-)y = 0 (2. 5.1) 의 해를 다음 수열 * Morse and lng a rd, Theoreti.c a l Acousti.c s , McGraw Hil l, 1968, §1, 2.

y = a 。 + a1x + a2 군 + … 으로 풀어 보자. -~ xy- = -- x=ao-z - ~ aXl -a 2 -a3x -a4x-2 -•• • + 1X- d깝x L = ~X + 2a2 + 3a3X + 4a4 쿄 + … + 잎 = 2a2 + 6a3x + 12a4 갔 + … ：긴 + 出뿔 + (1 - 꼴)y = -톱 + (3a2 + ao) + (a1 —a3 + 3a3 + 6a3) x + (a2 —a4 + 4a4 + 2a4) 군 + … ao = 0, 3a2+ao = O-a2 = 0, a1 + 8a3 = 0 - a3 = -百 1 ab a2 + 16a4 = 0 - a4 = —骨 = 0, 그러므로 해는 y = a1(x 一 픕 + 2·4군 54·6 - …). (2. 5. 2) 이 것을 Bessel 함수라 부른다. 죽 Ji(x) = ½(x —훑 + 2·4곤 54·6 + …). (2. 5. 3) 이것은 cos, sin 의 수열과 비슷하다. 이 k 함수의 값은 Ji(0 ) = 0, J1 ( 강) = 0.25 -0.008 + … = 0.242,

]10) = 0.5 —0. 063 + 0.003 - … = 0.4 4 0. 따라서 (2. 5.1) 의 해의 하나는 Y = Ali( x ), A 는 임의 상수이 다. 더 일반적인 Bessel 방정식은 皇 + 伊差 + (1-룹 )y =O. (2. 5. 4) 이 방정식의 해는 Jn (x) = (송n x! y —l(! 송(n X+)n1+)2 ! + 2(! 송(n X]) n2 +)4 广 + ~ ! (송 X)n+2m + (2. 5. 5) 이 를 nth order Bessel 함수라 한다. 이들 Bessel 함수의 合과 差에는 간단한 관계가 있다. fn- 1 (x) + fn+ 1 (x) = 꿍f n (x) , (2. 5. 6) fn- 1 (x) —fn + 1 (x) = 2 감f n (x) . (2. 5. 7) 이들을 점 화식 (浙化式, recursio n for mulas) 이 라 부른다. n 이 neg a ti ve order 에 대 해 서 도 Bessel 함수를 정 의 할 수 있 다. f-n (x) = (—l) nf n ( x) , (n 이 정수(i n t e g er) 일 때) (2. 5. 8) 다음에 유용한 공식을 적는다. jJdx ) dx =Jo( x) , jfn (x) dx = 2 효。 ]n+2m+l (X)

1 = 효 OO J。 (x) = ]o (x) + 2 흙J 2m (x) oo x=22 (2m+1)]2m- rl (x). (2. 5. 9) m= O (2. 5. 4) 의 Bessel 방정식의 한 해가 ]n(X) 라는 것을 말했으나 그 제 2 해가 또 있다. 이것은 X=O 에서 00 로 되는 해인데 이를 Yn (X) 라 쓴다. 그래 서 2 계 의 미 방인 Bessel 방정 식 (2. 5. 4) 의 일반해는 y = A]n (x) + BYn (x) (2. 5.10) 으로 쓸 수 있다. A, B 는 상수이다. n 이 0 이나 정수(整數)가 아닌 경우에는 그 해가 Afn(X ) + Bf -n(X) 로 주어전다. 2. 5. 2 Ai ry 函數* 흔히 나오지 는 않으나 Bessel fu nc ti ons 에 연관해 서 Ai ry fu nc ti ons 을 설명해 두기로 한다. 이것은 4 장 끝에서 온도 구배 를 가전 매질 속을 음이 통할 때에 소용이 있다. 먼저 A iry의 미방과 곁들여 Ai ry 함수의 쓰임새를 설명하겠다. 텔 -zw=O (2. 5.11) 울 만족하는 해 가 Ai ry fun cti on s A; (z) 와 B; (Z) 이 다. 따라서 일반해는 w = C1A; (z) + C2B; (z) . (2. 5.12) * Ai ry fu n cti ons 에 대 한 자세 한 것은 Abramow itz and S t e gun의 HB of Math e mati ca l Functi on s (Dover) , pp. 446-452 를 참고하라.

따라서 미방 맡 +zw=0 (2. 5. 13) 의 해는 w = C3A;(-z) + C4B;(— z) (2. 5. 14) 로 된다. Ai ry fu nc ti ons 을 se ri es 로 표시 하면 A; (z) = ci/ (z) - c2g (z) B;(z) = /3[ ci/ (z) + c2g ( z)] (2. 5. 15) f( z) = 1 + 맡군 + 層 z6 + 맙 ·7 갔 + ••• = 철 3 난 )k (:;; ! g (z)_= z + 읍갔 + 磐김 + 탭흔 10 + … = 후(출 )k (3;:+11) ! (2. 5. 16) (a + ½)。 = 1 3,.(a + ½),. = (3a + 1) (3a + 4) … (3a + 3k - 2) (a : k = l, 2, 3, …) CC12 == AA;/ ( O(0)) == BB; /(O (0) ) // ..//33 == 33--211133IIrr ((11//33)) == oo.. 3 255580822 (2. 5.17) Bessel fu nc ti ons 과의 관계 는 Ai ( z) = ＋石 [I-1l3( g) — I1/3(g )]

-001.·.24 0 0/8A) （ A l'(긴x) \\ (\J/1! \t\ \\1\ 1 J,''1 十 !\\ \『\\ vJ門 I '(- x)

A;(-z) = ½&[/113({;) + j-1 13({;)] g —— 2_z33 l 2 A,·'(z ) = 송 z[I-2/3( g) - I2/3(g )] A/(-z) = 一 T1z [ J -2/3( g) — J2/3 (g )] (2. 5.18) B; (Z) = &訂 T[I-1l3 ( g) + 1ll3 ( g) ] B; ( -z ) = .fiIT[ /-113 信) _ Jll3 ( g) ] Bi ’ (z) = (z / 3) [I-2/3 ( g) + I2l3 ( g) ] B{ ( -z ) = (z / 3) [J-2 /3 ( g) + J2l3 ( g) ] (2. 5.19) 적분은

11zzBA;((zz)) ddzz == c.1/3F[e(ziF)( z—) c+2 G c (2zG)(,z )1]。, z Af . -Z(B -z, () 一d zz) d=z =- —c1.F/3 ([—c 1z )F (+-z c)2+G ( e—z G z)( -z)] 0 .10 F(z) =z 宁 불 z1 + 밭 zlO + … = 눕 (+)h (3;:;) ! (2. 5. 20) G (z) = 恒 + 꿉궁 + 철모 + 쳅꾸 zll + … = 후(출 )k (3::+22) ! A i(士 x), A;' （士 x), B;( 土 x), B;' （土 x) 의 g ra p h 를 그리면 Fi g. 2.5.1 과 갇다. 2.5.3 複素量 굶d 冠+ 댜 =0. (2. 5. 21) 이 방정식을 다루는 또 하나의 유용한 방법은 다음 지수함수의 cha i n 에 의 해 서 다. e2 = 1 + z + -2z;f!-2. + '' 一3z !3 + ... (2. 5. 22) 미분을 반복하면 x=ce” 가 (2.5.21) 의 방정식의 해임을 알 수 있다. 단 a2 = — (L}라 a = 土 i(L}이다. 따라서 (2. 5. 21) 의 해는 ce-iw t , (i = 己) 이다. 함수 e- i z 는 e-iZ= (1 —: 달 —… ) _i (z —f + 옮 —… ) =cos z - i sin z (2. 5. 23) e;z = cos z + i sin z. (de Moiv r e 공식)

그러므로 scoins zz == i( (e ei;z z +— ee--i zi z) ) / 2/2 . (2. 5. 24) 복소수 a + i b 의 절대치 A = ~ : pla se : (/) = tan -1(b/ a) ; Aei(I) = A cos (/) + iA sin (/) = a+ ib, a - ib = Ae-i(I) , a +( 공i 액b 와복소 수a ,- 共ib,範 複또 素 數Ae)-라 i (I부)와른 다A.e i(I또)는 a서 —로 ibc o=m (p ale +x ci ob)n ＊ju 로g a 쓰te 기 도 한다. 또 C = a + i b 이 면, 그 크기는 c • c* = I C 12 = A2 = a2 + b2 의 평방근이다. Fac tor Ae; (I)는 Vecto r A 를 복소평면 에서 각 (/)만큼 회전한 것을 뜻한다. 다음에 Lauren t의 정리를 설명하자. 원점을 중심으로 하는 두 개의 동심원 C1 과 C2 상에는 함수 f (z) 의 이상점이 없고 G 안 에서나 G 밖에 있다고 하자. 지금 C1 과 G 사이에 점 z 를 잡으 면 Cauch y의 적 분표시 /(z) = 志-i堡 dt (2. 5. 25) 에 의하여, f (z) = 2 나』 {Yh:dt 一 궁'rzi 1 {Yh:dt 로써전다. C2 상의 적분을 생각할 때는 I t I > I z I 이므로, 1/ (t - z) = (1/t) (1 一 z/ t)- l. 그래서 t―1 z= －료。OO frZm+ r- t n+ 元z n+l z)

c2

또 C1 상의 적분에서는 | z l > I t I 이므로, 1 / (t - z) = ( -1 / z) (1 - t I z)-1. 그래서 t _1 Z = —m.2.{=! ,0 — Zmtm+—1 -z n+1 t(nt+ _I z) 로 쓸 수 있다. 이들을 위의 적분식에 대입하면, f( z) = 갑홀。 zm i 8 dt + 2 녀 0Z 』 +r t /mf (t) dt + R2 + R1 (2. 5. 26) 여기서, R2 = 六i2 tn :?~dt, R1 = 六f znt+n 1+(?~dt

o 위에서는 I z I < I t I, Q 위에서는 I z I > I t I 이므로, Tay lo r 정리의 경우와 같이 lni-mo o Rz = 0, lni-mo o R1 = 0. 그러므로 f (z) = A 。 + A1z + A 갑 + … + A 검 + … + Az- 1 + Az ? + … + 섭 + … (2. 5. 27) An = 갑 ;L 꿉유 dt , A-n= 감;i,t n-l j(t) dt . 지금 Am = z¼ri 似 d t라 쓰면 /(z) = m=~C O一 ' AmZm (2. 5. 28) 이라 할 수 있다. 이것이 Lauren t의 정리이다. 다음에 f(z ) = e 중 (z--½ ）의 경우를 생각해 보자. c 로서 단위원을 잡으면 z = e 맛 (2. 5. 17) 로부터 An = 갈;i죠(국) 喜 z _ —z1 = eiP —e_; ,,, = i 2sin rp, -f{z - 니 = 춘i 2sin q; = ix sin q; e 중(내z·卓···= eix s ln, eP ~id,p = i e 규 (n ,p -xsln ,p )d, p 그러므로 An = 吉 1zne- i (n ,p -xsln 情 = 土 lncos (n

이 마지막 단계에서 실부만 취한 것이다. 이것을 Bessel 의 적분 이라한다. 그래서 e 중 (z-½) = n=~c-o c o리 n (X) 이 다. 그런데, e 중 (z- 삼)을 Lauren t의 수열로 전개하면 그 계수 An 이 여기서 말하는 Bessel 함수 ln 와 같다는 것을 증명할 수 있다. 적분으로서는 원점을 중심으로 하는 원 C 를 잡는다. An = 검 r ic e 중 (z 今)꿉읍 를 계산해 보자. 지금 z = 요X u 라 놓고, u 평면내의 원점을 중심 으로 하는 원주 위에서 적분하여 An = 갑(중 )n fe u 웁鳥 = 갑-효멸广품 )n+2m i ~du eu 를 Tay lo r 수열로 전개하여 피적분함수의 u =0 에서의 유수 (resid u e) 를 계 산하면 (n +1 m) ! a。 얻을 수 있다[·: 피적분함수 = … + u

e 중 (z-½) = n=~0-0o o 리 n (x) . (2. 5. 32) 따라서 , (2. 5. 29) 와 (2. 5. 32) 를 비 교하면 ln (x) = -¼꼬. [no :co s (n0 -x sin 0) d0. (2. 5. 33) 이것이 Bessel 적분이라고 하는 것이다. ¢ 대신에 T _ rp라 놓으면, f-n (x) = (-)lnfn ( z) (2. 5. 34) 또 fn ( Z) = 六-i e 충(나)溫 에서 c 로서 t = O 울 중심으로 하는 단위원 t = e” 를 잡고, 다시 0 = rp + rc / 2 로 바꾸면, ]n (z) = 구m1· · 1.1 10 rr e iz cos'cos n< pd

e-iz sin e = l—o(2zi)] a—( z2)si] i1n ( z3)0 s+in 2 0J 4+( z )2cho(sz 4)c0o s— 2…0 (2. 5. 37) 이 두 식을 더하면, cos(zsin 0) = Jo( z) + 2h(z)cos 20 + 2J 4( z)cos 40 + … (2. 5. 38) 빼면, sin (z sin 0) = 2J i(z) sin 0 + 2]a (z) sin 3 0 + … (2. 5. 39) 또, 0-(1 —o) 로 놓으면 cos (z cos 0) = lo (z) - 2h (z) cos 2 0 + 2/4 (z) cos 4 0 -… (2. 5. 40) sin ( z cos 0) = 2]1 (z) cos 0 -2]3 (z) cos 3 0 + 2]s (z) cos 50 - …( 2. 5. 41) 로 된다. 다음에 지수함수를 p ower-ser i es( 멱급수)로 전개하면, 습(나) = 호 .. tn]n (z) = ]o(z) + 훔[t n + （구 )n] f n(z) (2. 5. 42) 와 갇은 유명한 수열로 된다. 지금 t = i e” 로 놓으면, t - l / t = iei 8 + ie- i8 = i2 cos 8 F - （구 )n = ine in 8 + ine -in 8 = 范 cos n8 그러 므로 (2. 5. 42) 는 ei2 c os6 = Jo( z) + 2n~o=o l in cos(n0)]n(z) (2. 5. 43)

(2.5.43) 의 양변에 cos(n0) 를 곱하고, 0 에 대해서 0 에서 27r 까 지 적분하면, 12rce;zcosocos(n0)d0 = 12rc]o(z)cos(n0)d0 + 2 in 마 (z). 0 • .10 그런데, 12。 1rlo (z) cos ( n0) d0 = 0 이므로, 1, ce iz c os8cos (nfJ ) dfJ = i따 (z) (2. 5. 44) 。 n = O 이면, 1。1 reiz cosed0 = 자o (z) . (2. 5. 45) z= ix로 놓으면 1rce-xcos8d0 = 짜(ix) = 깁o (x). 。 그러므로 11。 Ce- xc osode = 갑o (x) (2. 5. 46) Hy pe rbolic Func ti ons( 겠曲線函數)는 삼각함수와 관련이 있다. coshx =송(~ + e- 키 = cos(ix ), sinh x= 당(g- e-키 = -isin ( ix) cosh ( ix) = cos x, sin h ( ix) = i sin x, tan h x = sin h x I cosh x = -i tan (ix) (2. 5. 47)

때로는 삼각함수보다 쌍곡선함수를 쓰는 것이 더 편리할 때가 있 다. 두 가지 함수 사이에는 쉽게 변환이 된다. 여기서, 멱수열(p ower ser i es) 이 항상 가장 좋은 미방의 해가 되는 것은 아니며, closed fo rm 의 해를 구할 수 있으면 더욱 좋 다. 이제 지수함수를 정의했기 때문에 어떤 방정식을 지수함수로 그 해를 쓸 수 있는 경우를 설명해 둔다. 슬 + n2x = ae-iw t , (a = 실수) (2. 5. 48) 를 생각해 보자. 이 방정식은 운동방정식으로 흔히 나타난다. 우 변은 시간에 따라 s i nuso i dal 로 변하는 경우다. 이것도 멱수열로 풀 수 있지만, ce- i n t와 같은 지수함수가 그 해일 수 있기 때문 에 우선 X = ce-in t + Be-iw t (2. 5. 49) 형의 해를 예상해 보자. 이를 위의 미방에 대입하면 n 冠 = n2ce-in t + n2Beiw t +)dx2I dt2 = ―같 ce- in t - (J)2 Be-io t 쇼군 / dt2 + n2x = B (n2 — (J)2 ) e-iw t = ae-iw t 죽

만일에 a 가 복소수면, a = De' ． 亞라 놓고, x = A cos (nt - (/J) + n-2 -D w2 cos ((J)t -

제극점 (3sZ oi의 m 는 p lpFe o(plz oe)l 이e )의 라이 p라 o한l e다하(. 極고 ,) C이on라n =to한 u다—r. i2n , t ne g- = ra 3l,- f…1 F 일 에( z 때) ,대d z해 의p o서 le는값 을 이 제 단 그2순, con t our 안의 p oles 과 branch p o i n t s 에서 F 의 거동에 매인다 .

y 허축

F (z) 가 z = Zo 에서 단순 p ole 을 갖지 만, 다른 종류의 p ole 이 나 branch p o i n t s 가 그 conto u r 안에 없을 때 에 는 그 conto ur i n t e g ral 은 Zo 주위의 아주 작은 원주 위에서의 그것과 동일하다. 죽 Zo 부근에서 F (z) = R (z) I (z - 찌 (2. 5. 52) 의 모양을 한다. 여기서 R(z) 는 Zo 부근에서 연속이고 유한하 다. 그러면, z - Zo = ee;,,, ; dz = ice ;,,, 여기서 e 는 아주 작은 양아 다. 따라서 conto u r i n t e gr al 은 다음과 같이 된다. fF (z ) dz = R (히 i2x i e ce:뿐 = iR (리 :2xd< p = 21riR (찌 (2. 5. 53) 여기 R( 히 = !t뿡 [(z -. zo) F(z)]. (2. 5. 54) 이 것 을 sim p le po le .zo에 서 F (z) 의 resid u e (留數) 라 한다. 적 분 의 방향은 conto u r 주위를 반시계 방향으로 잡는다. 그 방향을 바꾸면 적분 결과는 부호가 바뀐다. 이것은 아주 놀랄 만한 단순한 결과이다. 사실상 그것은 너무 도 간단해서 진리가 아닌 것같이 보인다. 우리가 취급하는 함수 F(z) 가 아주 특별한 꼴의 함수임을 이해할 때까지 F는 x 와 g의 어떤 복잡한 함수가 아니다. 그것은 z = x + iy의 함수이다. 그것은 b궁 + c/z 나 zs in z 의 모양을 가질 수 있지만, xsin z + iy나 | z l 의 꼴은 아니어야 한다. 이와 같이 해석함수라 불리 는 특수한 함수 F (z) 에 대 해서는 그의 branch p o i n t s 나 p oles 의 위치와 그들 부근에서 그 거동이, 복소평면상에서 그 점 말고 다 론 모든 점에서 완전히 결정된다. 이것이 이해되면, conto ur

i n t e gr al 의 값에 관해서 언급한 결과가 그리 놀랄만한 것은 못 된다. Resid u e 법칙의 한 가지 예로서 다음 적분 fsin z dz / （궁 —a2 ) (2. 5. 55) 울 다루어 보자. 여기 con t our 는 a 보다 큰 반경의 원주이다. 중 심은 원점 z = O 에 있다. 피적분함수는 두 개의 단순 p ole 이 z = a 와 z = -a 에 있다. po le z = a 에서의 Res i due 는 lZi m-a (z ~+ sa)m ((zz -za) 一 a) =lzi-ma zs m+ za =—s—m2a—a • Pole z = —a 에 서 의 Res i du 타즌 zli-m-a ~(z + (a). (zz -a )+ a) = zl -i-am z흐 .- 뜨ia = --sm2. aa =쁘.2프 a- 그러므로 적분값은 다음과 갇이 된다. fsin z d z = 2 패 밀? + 皇) = 27Ci [~]. (2. 5. 56) Resid u e 정리의 특별한 경우는 방정식꼴로 다음과 같이 쑬 수 있다• H땝 ;dz = z1riR (~) . (2. 5. 57) 여 기 에 con t our 는 R (z) 의 branch p o i n t s 나 p oles 을 포함하지 않 았다. 이를 Zo 에 대하여 미분하면 f~ dz = 21riR '(.zo ). (2. 5. 58)

여기서 R'(z) = dR(z)/dz. 이것은 2 차 po les 주위의 conto ur i n t er gr al 을 어 떻게 계 산하는가를 가르쳐 준다. 고차 p oler 의 경 우에도 이와 갇은 식으로 계산할 수 있다. 2. 5. 5 ― 00 에서 +00 까지의 積分 1_O:OF (z) e-iZt d z 를 생각해 보자. 이 적분은 실축에 따라 취해졌다. F(z) 가 고차 의 branch p o i n t s 나 p oles 이 없고, F (z) 의 단순 p oles 이 실축상 에는 없다면, 그리고 |zl-oo 로 됨에 따라 F(z)-o 이라면, con t our 를, +00 로부터 밑으로 반무한원을, 따라서 _00 까지 갔 다가 거기서부터 실축을 따라 +00 까지 한 바퀴 도는 것으로 취 한다 (Fig . 2. 5. 4) . t >O 이면 (일반적으로 말하면, t의 실부가 正일 때), exp o nenti al fa c t or 는 e- 포로 되어, 그 반무한원의 하반부를 도는 적분은 zero 로 된다. 죽 이 경로에 따라, z = pe; ,,, = p cos

O, p-+ oo 이므로 ep ts ln’-o. 그러므로, 빈벽한원상의 적분을 추가해서 i oOoO 를 f로 고칠 수 있다. 그러면 그적분값은

-00 。 +oo

-2,ri :E[ 갑실e 축sf ; ;하ee에반 서부 에F 존(재z하~는 l (2. 5. 60) 여 기서 neg a ti ve s ign은 con t our 가 시 계 방향으로 돌기 때 문이 다. t

五a2 f 구co e +-iazt 2 dz = { ((aa//22)) eea-at t tt >< oO (2. 5. 63) 터21C J_ c ..o,z_ e+ 펙 i. a -d~z = {l 0a e-at tt <> oo (2. 5. 64) u (t) =급 1:e- izt뿐 = { ~ : : ~ (2. 5. 65) _六i:戶 dz = { °e-ia t : <> : (2. 5. 66) 2. 5. 6 Fourie r Serie s 表現 복원 력 이 F (x) = —Kx (line ar) 이 고, po te n ti al energy V = ½m (J) o 넛 ((J)l = K/ m) 가 x 에 2 차이면, v = 뿜 = ✓끓 [E -V (x) ] (E = tot a l energl ) . (2. 5. 67) 그래서 적분하면, t - t1 = 툼 L~2n 근됴 r· (2. 5. 68) vx pla ne (ph ase pla ne) 에서 E 의 주어 전 값에 대 해서 v 를 x 의 함수로 그리 면 ph ase con t our 를 얻는다. con t our 가 v 축을 v = 士 Vo 에서 끊는데 거기서 s p eed 가 최 대가 된다. x 축을 m 과 X2 에 서 끊는다. 여기서 v = O 로 되고, V(x)=E, 그러면 (2.5.68) 은

v

t 一 t1 = ¼(J)0 J1x1 ~~2~ = ¼(J)0c '-' oVsv- 1 으X i • (2. 5. 69) 여기서 E= 강 mvo2 값으로 놓았다. 이룰 역으로 쓰면 X = X1COS (J)o ( t - !1) • (2. 5. 70) 바로 조화전동으로 됨을 알 수 있다. Pot en ti al energ y V 가 죠 에 비례하지 않으면, 질점의 자유진동은, 운동이 구속되어 있다 면, 주기적이다. 그러나 x 가 t의 단순화 sin u soid a l fu nc ti on 이 아니다. 그러나 그 운동은 삼각함수의 수열로 표시할 수 있다. 즉, x(t) =no=foO An cos(n(J )t - (/)n) = nf= O [ancos(n(J )t) + bnsin ( n(J )t)] = n~0=0O Cne-in wt • (2. 5. 71)

여 기 서 An2 = an2 + bn 라 an = An cos (/)n, bn = An sin (/)n ; Co = ao, Cn = 강 (an + ibn ) , C-n = ½ 1) 을 고조파 (high harmon ics , 高調波) 라 한다. Fourie r se ri es 로 표시 할 수 있는 운동은 모든 악음 (mus ic al sound) 의 기초로 된 다. 현의 진동이나, 풍악기는 근사적으로 Four ier ser i es 로 표현 될 수 있고, 이들 악기 가 발생 하는 음의 음질 (ton e q ua lity)은 그 ser i es 에 존재 하는 여 러 harmon i cs 의 real am plitu des 로 결정 된 다. 그러므로 주기운동을 Four ier ser i es 로 표시 하는 것은 복잡 한 함수를 간단한 함수로 표시하는 수학적 사기 (do dg e) 가 아니라 그 이상의 뜻을 가진다. 어쨌든 그것은 음악을 듣고 그 음질을

구별하는 방법에 해당한다. 다른 고조파의 상대진폭과 p hase 를 규정하는 것은 music a l sound 의 음질을 규정하는 한, 적절한 방 법이다• 실험적으로는 주기적 음을 성분고주파로 분석하는 데 electr ic filt er 를 사용한다. Anal y zer 는 보통 amp li tu d e An 만을 측정 한다. Phase ang l e (/)n 는 측정 하지 못한다• Fil ter anal y zer 에 대한 수학적 상대물은 삼각함수의 적분성 질 에 기초한다. £oT pc os(n(J Jt) cos(m( JJt) dt = ½Tp8 n m = 1oT ps in (n(JJ t) sin (m( JJt) dt 1Tpc os (n(J )t) sin (m( J)t) dt = 0 n :?: 0, m > Q. (2. 5. 72) 。 여 기 서 Tp = 2 김(J)p, Kronecker delta 8nm 은 n =I= m 일 때 는 zero, n = m 일 때는 1 이다. 그리하여 (2.5.71) 에 cos(m( J)t) dt 롤 곱해 한 c y cle 에 걸쳐 적분하면 zero 로 되지 않는 항은 n = m 인 항뿐이다. 그 결과는 ½Tp am 로 된다. 그러므로, x( t)는 한 cyc le 동안에 t의 주기 함수로서 알기 만 하면 x (t) 를 Fourie r ser i es 로 전개했을 때, 계수 am 과 bm 를 적분으로 구할 수 있다. am =*21 TTpP x (t) c os(m( J)t) dt, bm =*21 T가p x ( t)s in (m( J)t) dt ao = *1Tpx (t) dt) . (2. 5. 73) 여기 Tp = 27CI (J), 또 Cm = *1TpX (t) eim wt d t. (2. 5. 74) 주기 음에서 m 번째의 고조파의 전폭 (am plit ude) 을 재려면

electr i c filt er 가 이 들 적 분을 자동적으로 해 준다. 변위 와 속도의 평 균과 mean-s q uare 는 Fourie r se ri es 의 계수 로 주어전다. 죽, = ao, = ao 도 당혹1 An2 = O, = —21 nLc=o!1 n2 (J) 2An 민 (2. 5. 75) 주의할 것은 이들 평균이 amp li t ud e An 에 의존하고, ph ase ~n 에는 상관이 없다는 것이다. 또 주의할 것은 〈v2 〉과 〈군〉의 비는 고조파의 존재의 도수 (de gr ee) 의 대략의 척도가 된다는 것이다. 죽 / 〈군〉는 단전동 (An = 0 for n > 1) 에 대해서는 (L) 2 로 된 다. 여러 개의 고주파가 그 운동에 존재하면, / 〈군〉는 (L)2 보다 상당히 커진다. 이 제 (2. 5. 43) 으로 돌아가면, 그 우변은 e iz COS IJ의 Four ier ser i es 로 전개될 것이라는 것을 지적할 수 있다. 죽 eiz co se = ]o(z) + 2~oo inc os(n())]n(z). (2. 5. 76) n=l 양변에 cos(n0) 를 곱하고, f。 21CdO 를 하면 1211:e iz c os11cos(n0)d0 = 1211:l o(z)cos(n0)d0 + 記마 (z). 0 JO (2. 5. ·77 ) 여기서 1211:c os2(n0) d0 = 1r 。 임을 이용했다. 그리고

£211:l o (z) cos ( n0) d0 = lo (z) [¾sin ( n0) 『 = 0. 따라서 12n:e iz c os8cos (n0) d0 = 2 i'마 (z) ' 。 또는 1i re iz c os8cos (n0) d0 = i n 마 (z) ' 。 또는 ]n (z) = 古 1ne iz cos8cos (n0) d0* (2. 5. 78) 죽 Bessel 함수를 적분 표시로 한 것이다. 이것의 특수한 경우, 죽 n=O 일 때 fn。 :ei z c os8d0 = 짜 (z) (2. 5. 79) x= 죠일때에는, [1r:e-x cos/Jd 0 = 짜 (-ix) = 갑o (x) (2. 5. 80) 。 이것은 바로 (2. 5. 56) 이다. 2. 5. 7 非週期振動 ; Auto c orrelati on 진동하는 s y s t em 에 몇 개의 자유도가 있을 때, 그 운동방정식 * Morse 의 Tlworeti ca l Acoustic s, pp. 24, (2. 3. 11) 은 잘못된 것 이 다.

은 복잡해진다. s y s t em 의 배치구성의 완전한 기술은 단일변위 때보다 많은 규정을 요한다. 좌표 중 얼마는 선형변위로, 다른 것은 회전각일 수도 있다. n 번째의 변위성분이 각이건 거리이건 간에 , 그에 해 당하는 moment of i ner ti a 나 eff ec ti ve mass (유효 질량)를 갖는다. 이롤 mn 이라 표시하기로 한다. 그에 해당하는 se t의 t or q ue 나 fore 앉근 F(x) （내력), G(x) （의력), D(v, t) (마 찰력)이라 하자. 변위는 N 차원 공간에서 한 Vecto r 변위의 N 개 의 성분들이라고 생각한다. 그에 대한 속도는 vecto r v = dr I d t로 쓰기로 한다. 각 자유도에 대한 운동방정식은 일반적으로 mn 을 —Fn (r') = Gn(r, t) + Dn(r, t), n = l, 2, ···, N (2. 5. 81) 여기 힘들은 일반적으로 x's 와 v's 에 의존하며 Gn 과 Dn 은 t의 함수이 다. Energy 방정 식을 얻으려 면 n 번째 방정식 에 dxn = Vnd t를 곱하고, 적분하여 n 에 걸쳐 합산하면 된다. H(r, v) = n~N=- 1¼ 21- mnvn2 + V(r) 갑 l t[ Gn ( r, t) + Dn ( V, t) ] vndt + E. (2. 5. 82) 여기서 V(r) 는 N 차원의 po te n ti al energy , 따라서 avI OXn = -Fn (r) . 모든 G's 와 D's 가 zero 라면, 그 s y s t em 은 보존계 (保 存系)라 하며 함수 H 는 일정한 값 E 를 갖는다. H 는 tot a l ener gy라 한다. 대 개 의 음향 s y s t em 에서 는 po te n ti al 함수 V 가 그 s y s t em 의 안정 한 평 형 (sta b le equ ilibr iu m ) 의 배 치 구성 (con figurat i on ) 에 서 최

소로 된다. 만일 E 가 V 의 최소값보다 크면 그 s y s t em 은 운동 방정식에 따라 움직일 것이다. E 가 너무 크지 않는 한, 방정식 E = V(r) 는 유한의 표면을 정의하며, 그 안에서 N 차원 vecto r r 이 돌아다닌다. s y s t em 의 운동에너지는 ½mn(dxn / dt )2 의 합 이기 때문에, 직접 속도의 n 번째 성분 Vn 에 대하여 풀 수 없다. 어떤 주어전 구성배치에서 vecto r r 로 표시되고 전 energy E 에 대해 vecto r v 의 크기가 결정된다. 그러나 그 방향은 에너지 방정식으로는 결정할 수 없다. 구성배치의 접 r 이 표면 V(r) = E 안에서 튀어다닐 것이며, 그러나 주기적으로 움직이지는 않을 것이다. 그러나 같은 경로에 따라 항상 돌아올 것이다. 그리하여 튀어나올 때마다 다론 방향으로 가는 것이 보통이다. 그리 하여 , 한 성분 죽 n 번째의 ph ase pla ne 상에서 야와 Vn 의 거동을 p lo t하면, 예를 들어 그 con t our 가 Fig . 2. 5. 6(a) 에서와 갇이 loo p가 아니고, E 에 의해서 결정되는 일정한 limi t 안에 갇힌, 그러나 다시는 그 자신으로 되돌아오지 않는 복잡한 non- pe ri od ic curve 일 것이다.

v !'「- 7- - -= -·- - \=r ----v-。 ; -- -- --1- -- !-• X

그러므로, 더욱 복잡한 s y s t em 에 대해서는 변위성분 Xn 은 시 간의 주기함수가 아니다. 그래서 Fourie r ser i es 로 표현할 수 없 다. 특별한 경우에는 물론 주기성일 수도 있다. 단순한 조화함수 일 수는 없어도 Fig . 2.5.7 (a) 에 표시된 바와 같이 주기운동이지 만, Fig . 2. 5. 7 (b) 는 거 의 주기 적 이 고, Fig . 2. 5. 7 (c) 는 int e r - cou p l i n g이 커서 완전히 비주기적이다. 그러나 구속되어 있다. 공기의 tu rbulent j e t로부터 나오는 sound 에서 압력의 fluc tu a - ti on 도 이 런 형 식 이 다. 사실상 이 형 의 curves 는 정 상적 (ste a dy) 비주기적 소리의 특성을 갖는다. 수학적으로 이들의 운동을 어떻 게 기술하는가를 배워야 한다. Fig . 2.5.7 (b), (c) 에 표시한 바와 같은 전동은 구속된 비주 기 적 이 기는 하지 만, 그러나 sta t i on ary (靜止) 이다. X 나 군의 평 균값은 시간에 따라 변한다. 그러나 그들은 충분히 긴 시간에 걸 쳐 평 균하면 이 들 fl uc t ua ti on 을 even out 할 수 있다. = + 11x (t) dt, 〈군 〉 = +11x2dt. 아주 긴 시간 T 의 국한에서는 이들 평균이 T에 상관이 없어전 다. 그 변화가 s t a ti onar y이면, 그들도 시간에 상관이 없다. 이 런 운동을 기술하는 두 가지 방법이 있다. 하나는 freq u ency anal y zer 의 작용에 상응하는 것이고, 다른 하나는 어떤 시각의 운동과 그보다 시간 r 만큼 늦은 시각의 운동을 비교하는 것이 다. 주기운동은 그 자체를 정확히 각 순차적인 c y cle 마다 되풀이 한다. 비주기 운동은 반복하지만 정 확하지 않고 du pli ca ti on 의 도 수가 시간이 지나갈수록 접점 멀어진다. Du pli ca ti on 에 의 경 향은 auto c orrelati on 함수 T 로 잰다. 그 것은 다음과 같이 정의한다.

``` ` ,’' , ` , '

T(T) = ii라나라t )x (t +r)d t]. (2. 5. 83) Y(O) = 〈군〉임을 알 수 있다. 그래서 무차원의 auto c orrelati on ind ex

가 커지면 군(t)와 많이 달라전다. 어디서나 정(正)인 대신에 T 가 커 지 면 ne g a ti ve 로 될 수도 있고, p os iti ve 로도 될 수도 있 댜 이 경우에는 auto c orrelati on i ndex 는 r = O 일 때 1 에서 출 발하여 Tp 의 간격을 두고, 최대값이 계속되지만 그 크기는 줄어 든다. 어느 순간의 x 와 다음 순간의 x 사이 에 correla ti on 이 거 의 없다면 (F ig. 2.5.6c)

한 주파수 (L) / 27r 의 단전동의 중첩으로 표시할 수 있다는 것이 다. 그 전폭은 F( (J)）의 크기 | F((L) ) |이고, 그 ph ase an g le 은 F( (L)）의 ph ase an g le 을 갖는다. f(t)가 실 (real) 이면, F(- (L)）는 F( (L)）의 comp le x con j u g a t e 와 같아야 한다. 죽 F(-(L)) = F((L) *) = | F le-i

。 -00 < t < -— 2T f(t) = ~ x( t) __T2 < t <2T- (2. 5. 88) o —2T / 2rc(T 가 충분히 클 때)와 갇아지는 양이다. 여기 | F((J)) 12/ T 를 단위시간당의 spe c tr um dens ity라고 부른다. x ( t) 의 int e r val T 를 해 석 하는 tric k 은 측정에서도 그 대책을 가지고 있다. 밴드 d(J ) 안에서 성 분들을 분석해 내는 데 filt er 에 걸리는 시간이 길면 길수록 밴드 폭은 더욱 좁아전다. 그러나 무한히 긴 시간이 걸려야 자세한 분 석을 할 수 있지만, 무한정 오래 기다릴 수 있는 여유는 없다. 그리 하여 , (2. 5. 88) 과 (2. 5. 89) 의 tric k 울 사용하면 Fourie r 변화는 구속된 전동 x( t)를 표시하는 다른 방법이다. 그리고 그 것은 Y(r) 가 하는 것처럼 그의 일시적인 수정보다 주파수 분석 울 강조한다. 그것은 T 보다 더 완전한 표현이기 때문이다. 왜냐

하면, (2.5.86) 이, F( (J)）를 알면, x( t)를 완전히 재현할 수 있 기 때문이다. 이것은 쓸모가 있는 이상으로 더 자세하다. 그러나 보통 spe ctr u m densit y I F((J)) |2 에만 관심이 있어서, F의 ph ase 롤 모르는 채로 두기를 원한다. 실제로 표현하는 데 두 가지 방법은 밀접하게 관계를 가지고 있다. Y(r) 는 x( t)의 au t ocorrela ti on 인데 , 이는 (2.5.83) 에서 정 의 한 바 있지 만 (2. 5. 88) 의 t r ic k 을 사용하여 Fourie r 변환을 가지는 한 함수로서 생각한다면 이 변환은 닌 :e 국 (r) dr=~J jei 'r drf } (t) x (t + r) dt = 길 .... e-'야 x( t )d t 11e i 'ux(u)du- 노芹[. (2. 5. 90) 여기 F( (J)）는 (2.5.70) 에서 int e r val T 에 걸쳐 x( t)의 변환으로 정 의 한다 . 그리 하여 , x ( t) 의 auto c orrelati on fu nc ti on 의 Four- ier 변환이, 21r / T 곱하기 x 의 spe ctr u m densit y I F((J) ) |2 으로 된다는, 예기치 못했던 재미있는 결과에 도달한다. 역으로 시간 int e r val T 에 대 한 x 의 spe ctr u m dens ity를 알면 같은 int e r val 에서 그 correlati on fu n cti on 은 그 역변환이다. 죽 福 = 뚜仁| F((JJ ) |2e-iw rd(JJ (2. 5. 91) 으로 된다• 그리하여 Yco) 는 〈군〉과 같은 것인데, I F((JJ ) P 의 주 파수 적분에 비례한다.

2. 5. 9 Fourie r 變換의 性質 Fouri er 변환의 2~3 의 성질을 이해하면, 나중에 이를 사용할 때 쓸모가 있다. 첫째, 수학적으로 말해서, t와 w 는 둘 다 복소 량이 라고 생 각하자. (2. 5. 86) 의 적 분은 conto u r i n t e gr al 이 다. t 의 중요한 함수 몇 개에 대해서 Fourie r 변환을 얻을 수 있다. f(t) = u(t) = { l0 tt<> Oo 이면 21rF((J )) = i(.J). I(t) = u (t )s i n(a t)이면, 21rF((1 )) = a2- -a (1) 2 (2. 5. 92) /(t) = u (t) e- i a t이면 21rF((JJ ) = (JJ -2 a 여 기서 (J)의 허부는, F 에 대 한 적분이 수령 하려 면 p os iti ve 여 야 한다. 각 경우에 F( (J)）는 (J)의 실축상에 한 개의 p ole 이 있든지, 어 떤 p ole 이 있든지 해 도 좋다. (J)를 (J) + i c 이 라 놓고, F 에 대 해서 (2. 5. 76) 의 피적분함수는 지수 fa c t or 가 e i w t-”로 된다. 이 것은 c 이 p os iti ve 인 한 그 적분의 수령을 보장한다. 적분에 수령성을 가져오도록 정리하는 것은 t의 ne g a ti ve 의 값 에 대해서 zero 가 되도록 /(t)를 표시하는 것이다. 왜냐하면, 그래야만 t一 OO 에서 수령이 되기 때문이다. 사실상 그 sy s te m 이 t = O 까지 정지하고 있었다면 (J)의 실축과 허축을 회전시키는 것이 더 편리할지 모른다. 죽, (J) = is( s > 0), 그러면 Fds) = 21rF(is ) = J。, 00 /(t ) e-std t , / ( t) = 土27ri 「 J-i o:o:H : FL (s) estd s (2. 5. 93)

여 기 FL (S) 를 f (x) 의 Lap la ce t rans fo rm 이 라 부른댜 알 수 있 는 바와 같이 이것이 바로 Fourie r 변환을 표시하는 다론 방식 이다. 그것은 우연이다. t < 0 에서 zero 로 되는 함수에 대해서 유용하다. 이 책에서는 Fourie r 변환을 주로 이용한다. 왜냐하 면, 주파수 분석이란 물리적 과정에 더욱 밀집하게 관계되기 때 문이다. 더욱 편리한 경우에는 Lap la ce 변환도 사용할 것이다. Four ier 변환과 Lap la ce 변환의 표는 출판되어 있지만 여기서 몇 개만 언급해 두기로 한다.

Table 2.1 A Shor t Table of Fourie r Transfo rm s /(x) J (k) = -¼1:e j타 (x) dx /(ax + b) .al e 키 (b t a> f (k / a) I(ax) eib x ;f(宁) inx nf (x ) 굶dn갑 (k) ixdn,,f (x ) (-i) nknf (k) (1 + 군 )-I 沿 -1 서 (a + ix) - )I > O 潭 k11-1e- 야/I' ( 11) k >O a>O 。 k 0 。 k>O a>O - .ffi(-k) -1e- 야/I'(1.1) kO 沿 A-1-,,.csc( 쩌 - i7Ck ) O

Table 2. 2 Table of Lap la ce Transfo r m FUNCTION LAPLACE TRANSFORM (1) fa( t) aFL(s) (2) /(at) (1 / a)Fds I a) (3) /'(t) = di I dt sFL (s) -/ (0) (4) /(!) = d2f /d t2 s2Fds) - /' (0) - s/ (0) (5) f。t f(x) d:x (1 / s)A(s) ((67)) t(1 f/( tt)) /(t) f(s 一 .. Al)(nq(}d dnqA I dsn) ((89)) Ie0b( tt j (-t) a ) tt ;>s;; aa Fe-La(sSp L— (sb)) (JO ) 1。1 /(x)g (t —x) dx CL(s)FL(s) (II) 8( t - a) e- as (12) u (t - a) (1 / s) e- as (13) eb1u (t) 1 / (s - b) (14 ) tne b1u (t) n! / (s -b)n+i ((1156 )) scoins ((bbtt) ) uu ((tt)) sb II ((ss22 ++ bb22)) (11) tn sin (bt) u (t) 파2i - [(s - ib)-n-1 - (s + ib)-n-1] (18 ) tnc os (bt) u (t) 붕 [(s —ib) -n-1+ (s + ib)- n-1] (19) 2i /

이로부터 미방의 변환을 얻을 수 있다. 죽 숲- + (J}o 2x = I(t) 의 F. T. 는 ((J}o2 _ (J}2 ) X((J} ) =F((J}) (2. 5. 94) 여기서 X( (J}）는 x( t)의 F. T. 이고, F( (J}）는 I( t)의 F. T. (Fourie r Trans fo rma ti on 의 약자)이다. f(t)를 알면, X((J} ) = F((J}) / ((J}02 — (J} 2) 울 산출할 수 있고, 따라서 x( t)는 X( (J}）의 역변환으로 구할 수 있다. Dir 8a (ct )d e=lt a옮 fu u n c( tti) o ,n 을1 :a다(음t 과- a같)이g ( t정) d 의t 한=다 g.( a) (2. 5. 95) 여기서 u( t)는 (2.5.92) 에서 정의한 ste p fu nc ti on 이고, g(t)는 t = a 에서 유한 연속인 어떤 함수이다. 8( t)의 curv 탸근 t = O 에 서 아주 높고, 아주 좁은 p eak 의 극한 형이며, 그 pe ak 밀의 면적은 1 이다. (2.5.93) 에 직접 대입하면, o( t - to) 의 F. T. 는 吉 e i w t o e- i(J)”의 역 F. T. 는 o ((/) - (/Jo ) (2. 5. 96) 이다. 이것은, Fourie r serie s x(t) = nL=oo!O Ane- i (nwo t -lPn) 의 Four- ier t rans fo rm 은 X((J) ) = 홀O Ane i 0 앙((J) - n(J) o ) (2. 5. 97) 임을 말해 준다. 그러므로, 주기운동의 주파수 분석은 일정한 거 리로 균일하게 떨어져 있는 고립된 peak 의 se~ 된다. 하나는 기본주파수 (J) o 에 대한 것이며, 다른 것은 각 고조파((J) = n(J )o )

에 대한 것이다• 이들 p eak 의 크기는 An, 죽 각 Fourie r 진폭 에 비례한다. 앞으로 이 책에서는 Fouri er 변환을 자주 상용하기로 한다. 왜냐하면, 음향학에서 소리를 그들의 단전동으로 분석하는 것이 자연스럽기 때문이다. Lap la ce 변환도 가끔 사용한다. Driv i n g fo rce 가 갑작스러 운 작용으로 말미 암아, 그 과도효과(t rans i en t e ff ec t s) 를 공부할 때 쓴다. 그러나 그밖에 다른 적분변환도 있 다. 예를 들어 Hankel 변환 : Fm (µ) = £00/(w)]m (w) wdw, f(w ) = £00Fm (µ)]m (µw) µdµ 0 - JO (2. 5. 98) 이들은 원통형 파동에 관련해서 사용할 것이다. 문 제 2.1 .1 단순치 않은 일반 물질에 대해서 Cp - Cv = - T(~): 틀 )T 임을 증명하라. 2. 1. 2 등엔트로피 의 압축률 (ise ntr o p ic comp re ssib i l ity) 과 등온 압축률은 Xs = - 占를 )s, XT = - 州룹 )T

로 정 의 된다. (a) Xs = rXT 임 을 증명 하라. (b) 완전 g as 에 대 해 서 (p xs)-112 를 결정하라. 이 값을 STP 에서 질소에 대해서 계산 해 보라. 2. 2.1 연속방정식의 도출에서, V 속에는 유체의 source 도 s i nk 도 없다고 암암리에 가정했다. 지금 V 내에 각 접에서 유체 의 질량이, pQ( x, t)/단위체적 (유체)의 비로 더해진다면, 이에 적절한 연속방정식은 뿔 + V• (pu ) = pQ( x, t) 로 써짐을 증명하라. 2.2.2 연속방정식이 뿔 + 훑(p u) + n 뿡 = O 라고도 써질 수 있음울 증명하라. 여기서 n = 0, 1, 2 에 따라 평면흐름, 원주면흐름, 구면흐름으로 된다. 2.3.1 1 차원 운동에 대해서 운동이 평면, 원주면, 구면이든지 간에 Euler 방정식을 다음과 감이 쓸 수 있음을 증명하라. p(景+층)=-롭 2.5.1 질량 m 이 수평면 위에서 마찰없이 미끄러지고 있다. 그 질량이 실에 매달려서 수평 t able 에 있는 구명을 통하여 마찰 없이 달린다. 실의 다른 쪽은 일정한 힘 F 로 밑으로 끌리고 있

다. 그 질량의 물체는 커서 구멍을 통과할 수 없다. 처음 그 질 량이 구멍에서 D 만한 거리에 정지하고 있다가 F 에 의해서 운동 을 시작한다. 그 질량의 운동방정식을 세워서 풀어라. 그 운동은 주기운동인가? 그렇다면 그 주파수는 얼마이며, 그 주파수는 D 와 무슨 관계가 있는가? 2. 5. 2 미방 皇+伊봅 +n2 y =0 의 해는, 다음 수열로 표시됨을 증명하라. Y=c(1 ―亨+懿― 갑습…) 이 괄호 속에 있는 수열은 ]o(nx) 이며, ]o(z) = _ 궁 / 22 + …이 다. lo (0) , lo (1/2) , lo (1) 의 값을 소수 세 자리 까지 구하라. 2. 5. 3 미방 皇 + (1 - kx2) y = 0 의 해는 Y = aoDe (k, x) + a1Do (k, x) 임을 증명하라. 여기 De 와 Do 는 다음 수열이다. De(k, x) = cosX + 검군 ―끓군 + … Do(k, x) =sin x +삶 x5 _픕틀 + …

2.5.4 다음 미방 占孟 (x 흥) + (1 - 출)y = O 의 해는, y = aoii (x ) + a1n1(x) 임울 증명하라. 여기 ji, n1 은 다음 함수이다. h(x) = S1.x n2x _ co: 포 n1(x) = _ 뿌x폰 _ SI. nx x 2. 5. 5 1 / cosh z, tan z, e;z I 궁 (z2 - a2) , tan z I z (궁 + a2) 의 p ol 타본 복소평면에서 어디 있는가? 그들은 모두 단순 p ole 인 가 ? 단순 p ole 에 서 그 유수 (res i due) 를 구하라. 2.5.6 1:~dz, 1: t an(z)e 군톤의 값을 구하라. 2. 5. 7 겁： e － IZt [曰; 브 n( eJ)2 IZ(n n:f(J)） ]dz = { sin (。 (J) t) 0t << 0t 。 쁘(J)< t 임을증명하라. 2. 5. 8 Fouri er 수열 x = lOcos ((JJt) + 5cos (3(J Jt) + cos (5(J Jt) 롤 그려 보라. 이 x 에 대 한 auto c orrelati on func ti on 1J.f ( ,) 를 계산하고, 그려라. 2. 5. 9 다음 함수의 Fourie r 변환을 계 산하라.

e-at2 , a 미 (a2 + t2) 또 -1/2~( J)라 A/ ((J)4 _ a4) 의 역 Fourie r 변환을 해보라. 2. 5. 10 Turbulent ga s 에 서 압 력 에 대 한 auto c orrelati on fu nc ti on 이

tion s, Nati on al Bureau of Sta n dards, 1964. Avail ab le from Dover. 7. Jef f rey s , H., Carte s ia n Tensors (Cambrid g e Univ e rsit y Press. Cam- brid g e , 1961) . 8. Morse, P.M., and H. Feschbach, vols, I and Il . Meth o ds of Theoreti ca l Phy si c s (McGraw-Hi ll, New York, 1953) . 9. Sommerfe l d, A., Parti al Differ enti al Eq u ati on s in Phy s ic s (Aca-demi c Press, New York, 1964) . 10. Landau, L.D ., and Lifshitz, E.M ., Fluid Mechan ics (Pa g a mon Press, London, 1959) . 11. Lamb, H., Dy na mi ca l Theory of Sound, 2nd ed ition (Dover, N.Y., 1960) . 12. Marge nau & Murph y, Math e mati ca l Phy s ic s, vol. 1 Van Nos- tra nd, 1964.

제 III 장 音波의 基本性質 이상유체 내에서 1 차원의 평면파의 기본 성질을 공부한다• 여 기서는 (2. 4. 19) : Js =

3.l 理想流體 이상유체에서는 tra nspo rt coe ffici en t s 가 모두 zero 이다. 그러 므로, µ = µII = k = 0. 그러 면 연속방정식 : 성 r + p'v· u = o (3. 1. 1) 타량 : 서뿐= pg1 -'vp (3.1 . 2) energy (entr o p y) : 傍 = O (3. 1. 3) 상태방정식 : p = p(p, S). (3.1 . 4) (3. 1. 2) 에서 중력(g)이 그 유체에 작용하는 유일한 body fo rce 라고 가정했다. 그러면 (3. 1. 4) 로부터 압력의 미소변화에 대해서 dp = （藍 )sdp + （慕)p dS. 또는, 움직이는 유체 요소에 대해서는 傍 = （藍)信 + （慕)焉 음향파처 럼 i sent ro pic인 경 우에 는 (3. 1. 3) : i흥 = 0 이므로 條=澄 )s 傍 =c 꿉 여기 c2 = （慕 )so (3.1 . 5)

는 음속이다. So 는 그 elemen t에 대해서 일정한 값의 en t ro py이 다. 이 기호를 이용하여 연속방정식 (3. 1. 1) 울 고쳐 쓰면 條 + pc2 'v · u = 0, 또는 뿜 + u·'v P + pc2 'v · u = 0. (3.1 . 6) 또 (3.1 .2 ) 속에서 Du/D t를 전개하면, 그 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. p(뿡 + u·'v u ) + 'vP = pg, (3.1 . 7) 여기까지가 이상유체의 행동을 다스리는 방정식이다. (3. 1. 6) 과 (3. 1. 7) 은 중력장에서 모든 이상유체의 운동에 적용할 수 있다. 다음 절에서는 음향학의 대개의 응용에서 중력의 효과는 무시할 수 있다. 이들 효과 중에 하나는 압력, 밀도, 온도의 평균값에 공간적인 변화를 가져온다• 특히 이와 같은 변화는 수중이나 대 기중의 음향학에서 의미가 있다. 이 책에서는, 주로 정지하고 있 고, 공간적으로 균일한 유체에 관심을 갖는다. 이런 유체에 대한 음향학 방정식들은 §3. 3 에서 도출한다. 3. 2 線形化한 波動方程式 중력의 영향을 받아, 정지하고 있는 유체를 생각하자. 평형상 태의 압력 Po 와 밀도 p o 는 다음 평형방정식을 만족한다.

V p。 = PoK. (3. 2. 1) 이것은 Po 와 Po 가 위치에 따라 변할 수 있다는 것을 시사한다. 지금 Po 와 Po 에 관련된 sp a ti al gr ad i en t가 작다고 가정한다. 그 리고, 평형상태가 어떤 ise ntr o p ic com p ress i on 으로 약간의 교란 을 받아서 그 밀도가 p = Po(x) + p'( x, t) (3. 2. 2) 로 변했다고 하자. 여기서 p'은 평형값 Po 로부터 약간 달라전 값 이다. 이 밀도의 변화에 상응해서 압력의 변화 p'( x, t)가 생긴 다. P = Po(x) + P'(x, t). (3. 2. 3) 여기서 |P'I~Po. 이제 평형상태에서 교란을 일으키는 의력을 제거하면, 그 유체는 평형 주위에 어떤 상(p hase) 을 가지고 전동 하게 될 것이다. 유체가 전동하는 속도 u 도 작을 것이다. p'와 P' 에 관한 제한과 더불어 이 가정을 (3.1 . 6) 과 (3.1 . 7) 을 간단히 하는 데 사용할 수 있다. Isentr op ic relati on (2. 1. 5) 에 서 계수로 나타난 도함수를 생 각 해 보자. 앞서 말한 바와 같이 주어전 So 에 대해서 p의 함수이 다. 지금 평형상태로부터 약간만 벗어났으므로 Po 주위에 Ta y lor 수열로 그 도함수를 전개 하면 c2 = （藍 )So = [（藍)』 P=Po + [(~\JP=P o(p —Po) + … = co2(x) + do(x) p' + … 여기서

찮 = [（藍 )s J P=Po' do = [(皇 )so]P=Po• 이 표시와 (3.2.2) 와 (3.2.3) 을 이용하면, 연속방정식 (3.1 .6) 은

여기서 L 는 속도 변화에 대한 길이의 scale 이다. 그러므로 I u·v Po I L PoCo2 | V u | ~ 잖/g • 이제, STP 에서 대기중에 찮/g :::::: 12000, 그러나 음향학에서 관심있는 길이의 scale L 는 이보다 훨씬 작다. 그러므로 (3.2. 4) 의 우변의 항은 좌변의 항에 비하여 무시된다. 그래서 (3.2.4) 는 Po(x) 1C o22 (X) 一8opt ' + 'v· u = 0. (3. 2. 6) 같은 논리로 (3.2.5) 의 우변은 좌변에 비하여, LI (ca2I g)의 크기이다. 그래서 이— at식 은 +' -PoV p' = 0. a'u , 1 (3. 2. 7) 여 기 서 cross de ri va ti ves 를 취 함으로써 , (3. 2. 6) 과 (3. 2. 7) 을 연결하련다. 먼저 (3.2.6) 에서 Po (x)1西 ) 릅 + V ·뿡 = 0. (3. 2. 8) 또, (3.2.7) 의 공간도함수를 취하면(죽 V·) V· 쁘8-t + 上po한 P' = ~PVo P'·VPo. (3. 2. 9) 이 우변의 항의 크기는 좌변에 비하여 LI (ca2I g)의 order 이 다. 그래서 무시할 수 있다. (3. 2. 8) 과 (3. 2. 9) 에서 V 밍우를 소 거하면

信 = ca2(x)'v 2p ' (3. 2.10) 울 얻는다• 이것이, 평형상태가 공간적으로 균일하지 못한 유체 에 대 한, 한 파동방정 식 (wave equ ati on ) 이 다. 이것은 고전 파동 방식과 같은데, 다론 것은 오직 파속 Co 가 위치의 함수라는 것뿐 이다. 3. 3 空間的으로 均一한 流體 (3.2.10 〉은 공간적으로 균일치 않은 매질 속에서 음파의 전파 를 기술하는 식이다. 그러므로 바다나 대기중을 전파하는 음파에 관한 것이다. 그러나 여러 가지 사항으로 매질의 평균성질은 어 디서나 거의 균일한 경우도 있다. 예를 들면, 실내의 음파의 특 성은 음파가 균일한 평균밀도와 압력의 가정에서 상당히 정확하 게 얻어질 수 있다. 앞으로는 주로 균일한 매질 중에서 음파의 성질을 다루기로 한다. 균일한 유체에 대해서 평형으로부터 압력의 변화 P' 이 (3.2. 10) 을 만족한다고 하자. 이 경우는 어디서나 co = cons t이다. 따 라서 공간의 위치에 상관없이 일정한 평균밀도, 압력, entr op y 의 경우에는 연속방정식, 운동량방정식은 선형화돼서, (3.2.4) 와 (3. 2. 5) 는 다음과 갑이 된다. 뿜 + Poca2V•u = 0 (3. 3.1) Po 뿜 + VP' = O (3. 3. 2)

이 두 방정식을 결합하려면, veloc ity p o t en ti al 을 도입하는 것 이 편리하다. 이를 위하여 (3. 3. 2) 에 curl 을 취한다. 그러면 curl grad = 0 임을 이용하여, 훑 (VXu) = 0 (3. 3. 3) 여기 'v X u 는 유체의 Vor ticity라고 하는 것인데, 이것은 local ang ul ar velo city에 비 례 하는 양이 다. Ct> = 'v x u = f (x) 유체가 처음 정 지 하고 있으므로, vor ticity는 처 음에는 zero 였 다. 그런데 균일한 이상유체 속에서는 (3.3.3) 이 성립되므로 음 파에서는 이와 갇은 이상유체 속에서 항상 vor ticity는 ' = O (3. 3. 4) 이다. ' = 0 인 유체를 비회전유체 (irr ota t i on al fl ow) 라고 하며, 이상화한 음향학에서 중요한 구실을 하다. 그에 대해서는 'vX u == OO, 이 c므ur로l = 이'v xi)r.r o 그ta t러 i o므n a로l fl u i d 에서는 'v X u = O( 죽 curl grad u = 'vtp (3. 3. 5) 라고 쓸 수 있다. 여 기

Po 릎 + P' = g(t). (3. 3. 6) 여기서 g(t) = 0 이라고 놓아도 일반성을 상실하는 것은 아니다. 이렇게 놓을 수 있는 것은 다른 po te n ti al

롤 얻는다. 이것은 vec t or 형의 파동방정식인데 P' 과 p', 또는 ¢ 에 대한 scalar 의 파동방정 식보다 불편하다. 유체의 밀도와 압력의 변화에 관련해서 온도의 변화도 있다. 이를 (2. 4.12) 의 밀의 식으로부터 ise ntr o p ic condit ion DS I Dt =O 울 대입하면 구할 수 있다. 죽 DT /3T Dp Dt pe p Dt • 이에 T = To + T 를 대입하고 선형화하면 요Dt끄 =poC 뚜p o 뿌Dt ― ► T'= P/3o oCTp 。 o p, • (3. 3.10) 여기서 완전 g as 에 대해서는 /3o = 1 / To, 그러므로 T' = _ _CJp _o 뾰a-t. ' T... ' = _Cifp_ o_ P o (3. 3.11) 을 얻을 수 있다. 이로써 veloc ity po t en ti al 만 알면, 입자속도 u, 음압 P' 와 온도 T' 를 각각 (3. 3. 5) , (3. 3. 7) , (3. 3. 11) 로부 터 모두 구할 수 있다. 3.4 1-D 의 平面波 Co 의 뜻을 이해하고, 파동방정식의 기본해를 얻으려면 veloc ity po te n ti al ¢가 x, t에 의존함을 알아야 한다. 음압, 밀 도와 다른 양들이 x 축에 수직인 평면에서 일정하다고 가정하자. (3. 3. 8) 에서 장¢ / 8t2 = Co2 강¢ / a 군의 일반해는 새로운 변수 f 와 n 를 다음과 같이

~1J == XX +- CCoott (3. 4. 1) 정의하여, ¢(f, n) 로 하면 써 = 률 d~ + 롭 d1 J一 릎 = 醫릎 + 롭훑 로 된다. 여기서 (3. 4.1) 을 이용하면 a~ I ax = 1, o7J I ax = 1 이므로 뾰ax- =a~姓 +' 0뾰1} 또는 따a2=r1 > if장rr/J +, 2 綱a2r1 >+ , 而a2r1 > (3. 4. 2) 이와 비슷하게 해서 롭 = Co( 碧 —쁠 ) 一 릅 = Co2( 皇 + 롭) -2Co 2김 》. (3. 4. 3) (3. 4. 2) 와 (3. 4. 3) 을 ¢의 파동방정식에 대입하면 烏 =O (3. 4. 4) 울 얻는다. 이로부터 n 에 관해서 적분하면 뷸 = F(~), 다시 적분하면

(x, t) = f( x-cot ) + g( x + cot )* (3. 4. 5) 따라서 파동방정식의 일반해는 (3.4.5) 로 주어진다. 이 양이 1-D(l 차원)의 평면파의 방정식을 만족한다. 만일 veloc ity po te n ti al 를 파동방정 식 을 풀어서 알기 만 하면 옹압과 입자속 도, 온도 변화도 알 수 있다. 그러나 지금 여기서는 x-cot 와 X + Cot 의 임의의 함수라는 것밖에는 몰라서 이들을 당장 구할 수는 없다. 그러나 이 막연한 관계에서도 상당한 양의 정보를 얻 울 수 있다. 첫째로 p' = -poa< /> I a t와 p' = ca2 p'과 u=V 에서 pre ssure fl uc t ua ti on 은 P'(x, t) = PoCo/'(x - cot ) - PoCog '( x + Cot ) 으로 주어진다. 그러므로 /'(x - Cot ) = di I de, e = X - Cot . 특별한 경 우 : g' = 0 인 경 우를 생 각해 보자. 따라서 pre ssure fl uc t ua ti on 은 P'(x, t) = PoCo/'(x - Cot ). (3. 4. 6) 여기서 f의 모양이 무엇이든지 간에 주어진 시각에 P' 은 위치의 함수임이 분명하다. 또 주어전 장소에서 시간과 더불어 변화한 다. 그러나 x-co t에 x 와 t가 결합되어 있으므로 f'은 Xo - Cot 의 일정한 값에 대해서 cons t an t일 것이다. t = t o 의 시각에서 x = Xo 의 위치에서는, 죽 Xo - Cot o =

으로 주어전다. 보통 종파의 음속을 (EI p )l/2 이라 말하는 것은 잘못이며 이것은 봉 (rod) 내의 종파 (ex t ens i onal wave) 의 속도임 에 주의하라. 가장 특이 한 예는 고무 (rubber) 인데 , Young 's Modulus E 가 아주 작다. 따라서 고무줄 속의 음속 (exte n sio n al wave spe ed) 은 30~50m/sec 정도의 아주 낮은 값을 갖는다. 또 고무는 거의 비 압축성이어서 (µ :::::: 0.4 8 ~ 0.5), 파장에 비해 큰 치수를 가전 rabber block 에서 , 종파는 속도가 아주 커서 수중의 음속 (~1500 m/sec) 의 크기 와 맞먹는다. 축 주위 에 s i ne 형 비틀림 momen t가 한 rod 끝에 걸 리 면, 축 방향으로 전파하는 tor sio n al wave 의 속도는 shear wave( 前斷 波)의 음속을 가진다. CT = (G / p)1 '2. 이것은 원형 단면의 rod 일 때인데, 만일 단면이 정방형의 rod 라 면 Cr = 0 . 92( 운 )1/2 로 되어 원형 때보다 8% 작아진다. 이 밖에 판과 봉 (rod) 에 는 flex ural wave (bendin g waves) 도 있 다. 이 flex ural waves 의 속도는 CFrod = （옵)\ (J)1 12, CFPL = （봅)\ (J)1 /2 로 주어진다• m 은 rod 의 단위길이당의 mass, m' 은 단위표면적

......... .... ...... .... .... ......••.•. •.•.. . •... ..•.• •. .• .... .... ·· .·.. , •. .,,.-•-.-..__•. lliii_··.• lii. .·,.•··ii.,.. •:.i.i.. . •........ ...•...... • .....• ..•...•... . ........... ... .. .... l= ..l.-. •l... ·.. ... ..... ... •.. .•.•·. .• . ` ·. . ... . ... 몽g-.2.. . . . . ............................ ...................... ............................... ......... .... . . ... ....••••. •..•.·. . . •••••••• .• •.•••• •,••.•• •••. . • .•·.•·•.•• • ... ·• ...• .•. . •·• —

당의 p la t e 의 mass 이 고, flex ural sti ffne ss SF 는 & = E • I, S/ = 1_Eµ J'으로 주어진다. 여기서 1 는 rod 의 areal moment of ine rtia , I’ 은 p la t e 의 단위폭당의 areal moment of i ner ti a 이다. 단면 이 b X h 의 구형 이 면, I = bh3/12, I' = h3/12, m = pb h,

m' = ph . 그래서 CFTod = (信 )1/4 • (J)1 12, CFp i = [~『 '4 • (J)ll 2. 원 형 단 면 에 대 해 서 는 I = (;r / 4) R 4, m = p;rR2 ; CFrod = (ER2 I 4p ) ll4 • (1J1 12. 또 표면파 (Sur fa ce Wave, Ray le ig h Waves) 도 있어 물체의 표면 가까이를 전파하는 파동도 있다. 이 형태의 파동에서는 입자의 전동을 한 판장 두께의 표면충에 한정된다. 여기서 종파 성분과 횡파 성분이 있다. 이 파동으로 표면이 wav y 하게 된다. Ray le ig h wave 의 ph ase veloc ity 는 횡 파 (tra nsverse or shear wave) 의 속도보다 좀 떨어전다. CR = a( 운 )1/2 a 는 무차원의 fa c t or 이 며 Pois s on's ra ti o 에 따라 좀 변한다. 금 속 같으면 대개 a = 0.93 정 도이 다. Ray le ig h wav e{근 piez oelectr ic t ransducer 를 wedg e 의 제 2 표면에 붙였을 때 그 종파 성분이 p las tic과 고체 사이의 경계에 따라 비스듬히 생긴다. 실험할 때 주의해야 한다. 3.4.3 音響量 사이의 關係 이제 음압, 밀도, 입자속도 등 사이에 몇 개의 관계식을 도출 해 보자. 파동이 x 가 증가하는 방향으로 전파한다면 음향밀도와 속도는

p' = (po / co)/'(x - cot ) u = /'(x - cot ). 그러므로, 평면파에서 음향밀도와 속도는 다음 관계를 가전다. p' = Po쓰 Co, (3. 4. 14) 또 p' = Co2P' 이므로 P' = PoCoU. (3. 4. 15) 끝으로 T' = (po coTo / PoC p。 )P' 이므로 T' = (f3o Toco / C p。) u (3. 4. 16) 완전기체에서는 PoTo = 1 이므로, T' = (co / C p。) u. (3. 4. 17) x 가 감소하는 방향으로 전파하는 wave 에 대해서는 (3.4.14)- (3.4.17) 의 우변이 부호가 바뀌므로 ¢의 일반해가

계조건을 적용함으로써 얻어진다. 죽 이들 조건은 여지껏 임의의 함수인 /와 g를 구체적으로 얻는 데 사용된다. 또 이들 방정식 은 U 와 P' 의 비교적 작은 값에 대한 판정을 해 준다. 이 방정식 은 ppl / 0 = 훑(3. 4. 20) 으로 쓸 수 있다. 그리하여, | p'I ~ Po 라는 가정에 의해서 | u l ~ Co 라야 함을 알 수 있다. 똑같이 (3. 4.15) 는 pre ssure fluc tu - at ion p’이 | P' I ~ PoCo2 이라야 한다. 이상기체에 대해서는 이 조 건이 | P' I ~ rPo 라고 써전다. 또 p' = PoCoU 로부터, 주의할 것은 평면파에서는 음압과 유체 의 입자속도가 P' / U = PoCo (3. 4. 21) 의 관계에 있다는 것이다. 그래서 평면파에 대해서는 음압 대 입 자 속도의 비가 그 매질의 성질에 의존한다. 음향학에 관한 연구에서 그 음압 대 입자속도의 비를 sp e c ific i m p edance( 比임피던스)라 한다. 왜냐하면, 어떤 제한조건에서 그 비는 교류의 회로의 전기 임피던스와 비슷하기 때문이다. 평 면파에 대하여 이 비는 그 매질에만 의존하는 정수로 된다. 이 양 PoCo 는 그래서 그 매질의 특성 임피던스 (charac t e ri s tic im - p edance) 라 부르기도 한다. 더 일반적인 파동에 대해서는 p' I u 의 비가 그 매질의 성질뿐만 아니라, 그 파동의 성질에도 의존한 다. u (x, t) = f'( x - cot ) + g'( x + cot ) (3. 4. 22) P' (x, t) = poc of ' (x - Cot ) - PoCog ' (x + cot ) (3. 4. 23)

P2 P1

P, -I I P, I X

을 이용하여 간단한 문제를 공부해 보자. 아주 긴 t ube 가 x = O 에 놓인 한 박막 (membrane) 으로 두 부분으로 나누어져 있다. 각 부분에서 초기 t = O 에 음압이 균일했다. t = t에서는 우측은 p1, 좌측은 P2, (P2 > P1) 이 라 하자. 압력 의 차 P2 - P1 이 P1 에 비해서 작다면 선형화한 방정식을 상용할 수 있다. 지금 t = 0 에서 박막을 제거한다면 그 결과 일어나는 효과를 기술하는 데 선형화된 방정식을 이용하자. 초기 압력차가 P2-P1 이므로 과잉 압력의 초기분포는 Fig . 3.4.4 와 같을 것이다. 그런데 , P' 은 (3. 4. 23) 으로부터 /'(x-cot) - g'( x + cot ) = {'(p2 — p10 ) /po C o Xx <> 0o (3. 4. 24) f'과 g’의 둘째 관계식은 유체의 입자속도의 초기분포로부터 얻 어진다. 초기 t = 0 에서는 u = O 였으므로 (3.4.22) 로부터 /'(x) = —g'( x) . (3. 4. 25) f그'(E래 ) =서{ (P(3z .- 4p. i2/24 p) o와c o: 麟(3. 4 ~. 25 )f 을'( x -결co 합t) 하={여 (P z-p i/2 p oc o: :=::::~ (3. 4. 26) 똑같이 해서

f'

g'( x + Cot ) = { - (P2 - P01 ) / 2p oc o,, XX ++ CCoot t ~~ 00 (3. 4. 27) 이들 결과를 명백히 알려면, 두 함수 f'와 g'울 어떤 일정 시각 t = t o 에서 따로따로 고려해 본다. 그리하여 위의 결과는 x ~ Co t o 면, I' = o, 그러나 X < Co to 면, 일정한 값 (/h - P1) / 2p oc o 와 같다는 것이다 (F ig. 3. 4. 5). I' > o 인 구역에서는 바른쪽으로 움직이는 압축파를 나타내고, 압력의 진폭은 초기 과잉압력의 1/2 과 같다. 또 한편, 그것이 죽지 않는 구역에서 g' < 0(Fig . 3.4.6). 이것 은 팽창파이다. 그것이 움직이는 쪽으로 유체의 압력은 낮아전 다.

g'

t = to 와 동일 순간에 완전한 압력 분포는 f'과 g'의 중첩으로 간단히 구할 수 있다. 그리 하여 (3. 4. 23) 으로부터 , f'은 (3. 4. 26) , g’은 (3. 4. 27) 을 이 용하여 전 압력 분포를 구하면 Fig . 3. 4. 7 과 갇이 된다. 입자속도는 (3.4.22) 에 의해서 f'와 g’로부터 얻어진다. 이들 결과는 그것이 죽지 않는 구역에서 입자속도가 일정하며 정(正) 이라고 보여전다. 죽 흐름이 균일하고 바른쪽으로 향한다. 주의해야 할 것은, 이 예에서 두 전파하는 파동 f'( x - co t)와 g' (x + co t)는, 압축파나 팽창파를 나타낸다는 것. 후에 더 일 반의 경우에 이들의 파동의 하나 하나가 압축과 팽창을 가지는 것을 제시하겠다.

P

3.5 單色波 단색파(單色波 monochromati c wave) 는 압력이나 입자속도가 단일 주기의 시간함수에만 의존하는 파동을 말한다• 이 단색파는 아주 중요하다. 더 일반적인 시간의 종속성을 가전 파동은 이들 단색파의 성분의 합성으로 표시되기 때문이다. 또, 여러 중요한 것이 이 단색파에 관련을 가진다. 실제로 단색파에서는 veloc ity p o t en ti al 과 sin (J)t, cos (J)t와 같이 시 간에 의 존한다. 그러 나 더 욱 편리하기는, 간단한 복소지수함수 e 켜 w t로 표시되는 것이다. 이 기호를 쓰면, veloc ity p o t en ti al 은

寄dx =kw= Cf (3. 5. 8) 는, 움직이는 관측자에 대해서 일정하다는 것이다. w/k 는 ph ase velo city(位相速度)라 하며, 간단한 경우에는 Co 이다. 음 향변수가 파동의 주기 T 를 가전, 시 간의 sin e fu nc ti on 이 라는 것은 이미 알고 있다. 죽 cos(kx —叫 + a) = cos[kx - w(t + T) + a] 그래서, wT = 2 1{一 硏= 21'{ I T. (3. 5. 9) 이와 비슷하게 해는 x 의 주기함수이기도 하다. 공간주기를 파 장 (wave leng th) 이 라 한다. 그것은 보통 A 로 표시 한다. k 와의 관 계는 조건 cos(kx) = cos 〔臥 X + A)] 로부터 얻어진다. k},. = 2TC 一 k = 2TC / ...l. (3. 5.10) 그러므로, 파수 k 는 (J)의 공간적인 대웅물이다. 죽 시간 21C 동 안의 진동수를 주는 데 대하여, k 는 거리 21C 동안에 파정 (wave crest, 波項)의 수를 준다. 이들 관계는 k = (J) / Co 와 더불어 파장 A, 주파수 f, 평면파의 음속 Co 사이에 중요한 관계식을 준다. Co = /A, k = 꾸 = 2;r / / Co, Co = /A. (3. 5.11) 3. 5. 2 3-D 平面 單色波 어떤 응용에 있어서 좌표의 3 축 중 한축이 아닌 방향으로 전파

하는 평면단색파에 대한 veloc ity p o t en ti al 을 필요로 할 때가 있 다. 이 경우에 그 해는 회전에 의해서 (3.5.5) 로 주어전 해롤 얻 을 수 있지만, 그러나 Helmholtz 방정식으로부터 그 해를 도출 할수 있다. 'v2i iJ + k2 iiJ = 0. (3. 5. 12) 지금, 파동이 평면이고 그 방향이 바뀌지 않기 때문에 그 파동이 어떤 축 S(x) 를 따라 전파한다고 하자. 그러면, 셜 -+k2&=0 (3. 5. 13) 그래서 복소 po te n ti al &에 대한 해는 다음 꼴이다. i = e 土i kS(z) (3. 5.14) 또는 굶 (x, t) = Aei[ ks(z)-(J )t] + Be-i[ k s(z)+( J)t] (3. 5. 15) 여기서 s 를 위치 vecto r x 로 표시하자. 파동은 1 차원이므로, s 축을 S 에 수직인 무한평면상의 주어진 접을 통과하도록 취할 수 있다. 그 점에 Carte s ia n 좌표의 원점을 잡는다. 그러면, x= nS 여기 n 은 S 방향의 단위 vec t or 이다. 그리 하여 , s(x) ::::::: n·x 그러므로 &의 해는 @ = Aei( mz) (3. 5.16)

또 wave vecto r k 는 k = kn= 요 -n Co 로 정의한다면, @(x) = .A_e ik ,z (3. 5.17) 우리가 확인할 수 있는 것은, (3. 5.17) 이 (3. 5.12) 를 흐ax;ax; +k2@=0 으로 씀으로써 그 해가 됨을 알 수 있다. 그래서 ii) = Aeik 1x, (3. 5.18) 울 가지고, axj I ax; = Ou 이기 때문에, laix-i = i k;@ . 이와 갇이 해서, ax錢;ax j = v2& = - k2&. 따라서, (3.5.12) 가 항등적으로 만족됨을 알 수 있다. 그러므 로 평면, 단색, 3 차원 파동에 대해서 ¢>(x, t) = .Ae i< k•:r - wt > + Be 규 (k• 다 w t) (3. 5.19) 으로쓸수 있다. 이 해는 경계가 파동의 진행하는 방향과 평행하든지, 수직이든 지 간에 평면파를 취급하는 문제에 아주 유용하다. 이런 문제를

다음 장에서 취급한다. 3.5.3 單色波에서 變數間의 關係 단색파의 경우에는 평면이든 아니든 간에 음압이나 입자속도가 같은 변수 사이의 단계는 같은 모양으로 표시할 수 있다. 첫째, 음압 P' 를 생각해 보자. P' 도 역시 파동방정식을 만족하기 때문 에 그것은 P' = P(x) e-io t (3. 5. 20) 의 실부로 표시 할 수 있다. 똑같이 해서 veloc ity vecto r u 는 u = U (x) e-i(J )t (3. 5. 21) 로 쓸 수 있다. 그러나 P' 와 u 는 뿜=-뇽p' (3. 5. 22) 그러므로 U(x) = 갑군 '(x) (3. 5. 23) 그런데 평면파에 대해서는, '\!P'(x) = ikP '(x), 그래서 (3. 5. 23) 은 (3. 4. 15) 와 같이 p' = PoCoU 로 된다. 3.5.4 時間平均値 음향학의 응용에서 음압이나, 입자속도나, 기타의 시간평균값 이 필요할 때가 많다. 정의에 의해서, 시간 r 에 걸친 f(t)의 평

균값은 정의하기를 = -¼lrf(! ) dt. 단색파에 대해서는, 한 주기 또는 여러 완전 주기에 걸쳐 평균할 수 있다. 그 결과는 그들 파동의 주기성 때문에 동일하다. 그러 나 음향학적 변수의 시간 평균은 zero 이어서 변수의 평균값이 평균을 얻으려면 root- m ean s q uare(rms) 의 평균값을 사용해야 한다. 즉 Inns =

(ReF)2 나 (F2 + 홉* + fr*2 ) (3. 5. 26) 이 양의 시간평균에 관심이 있다. (3.5.26) 을 정의식에 대입하 고, 주파수 2 (JJ의 조화함수의 평균은 죽는다는 것을 상기하면, <( ReF) 2>= 강 (FF*) (3. 5. 27) 울 얻는다. 똑같이 해서, _F’ C 로 표시되는 두 변수의 적의 평 균을 얻으려면 <( ReF) (ReG) >나 (FC* + F*C) . 그러 나, (FC*) * = (F* C) 이므로 (FG* + fr* c) = ［忠* + （武*) *] = 강 Re (FG*) . 그러므로 <(R eF) (ReG) >= 강 Re (FG*) = 강 Re (國) . (3. 5. 28) 이들 표현은 시간평균의 계산을 상당히 간단화한다. 3.6 Fourie r 解析 지난 절에서는 어떤 특수한 문제가 풀리는 것은 아니지만, 분 명히 해야 할 것은 단색파가 자연에서 흔히 발견할 수 있는 전동 파의 가장 간단한 형태라는 것이다. 그러나, 이 간단성이 실제로

일어나는 가장 많은 파동으로 배당되지 않는다. 다행히 특수한 형태의 실제 파동은 서로 다른 주파수를 가전 단색파 성분으로 분석할 수 있다는 것이다. 이 수속 절차를 Fouri er 분석이라 한 다. 다음에서 여기에 대하여 간단히 그 대략을 설명하기로 한다. 3. 6. l 週期性波形 -Four i er Serie s 공간 내의 일정한 점에서 음압, 입자속도 등의 주기 변화로 발 생하는 파동을 먼저 생각하자. 죽, 이 양들이 시간과 위치의 어 떤 함수 /(x, t)로 표시된다면, /(x, t + T) = (x, t). 여 기 T 는 변화의 주기 (pe r iod ) 이 다 (F ig 3. 6. 1) . 함수 /와 그 도 함수가 수학적으로, 몇 개의 j um p를 빼 놓고 연속함수라면 Fourie r 정리는 f를 다음과 갇이 표현할 수 있다는 것이다.

f(t)

f( x, t) =1t ao(x ) + n~°=°1 l [an(x)cos(n{J )t) + bn(x)sin ( n{J )t)]. (3. 6. 1) 여기서 w = 21r/ T 는 파동의 기본주파수이다. 정수항 ao / 2 는 기본적으로 f의 평 균값이다. 무한수열의 항들은 그 파동의 단색성분을 표시한다. 그리하여, n = I 의 항은 기본성분을, 주파수가 2{J ), 3{J ), …를 가전 항들은 고조파(高調波 hig h harmonic s) 성분이 다. 실제로 일어나는 모든 주기적 파동은 위에서 말한 수학적 요구를 만족하 며, 따라서 Fourie r 계수 an 과 bn 을 결정하는 것으로 낙착된다. (3.6.1) 로부터 삼각함수의 성질을 이용하면 얻을 수 있다. 그리 하여, 계수 ao(x) 는 (3. 6.1) 을 구간 — -f ::;;; t ::;;; 꿈에서 ao(x) =+1:;>(x, t)d t (3. 6. 2) 으로 결정된다• 다른 계수를 얻으려면, 삼각함수의 직교성 (直交 性, o rth o g onal ity)을 이용하여 구할 수 있다. 이들은 정수(整 數) m, n 에 대하여 1:::cos (m( J)t) cos (n(J )t) dt = -f8mn 1:::sin (m( J)t)s in (n(J )t) dt = -f8mn (3. 6. 3) f-TT/l22 s in (n(J )t) cos (n(J )t) dt = 0 여 기 에 서 amn 는 Kronecker de lt a 이 다. 그리 하여 (3. 6. 1) 에

cos(m(/} t)를 곱하여, -꿈:에서 f까지 적분하면 우변에서 남는 항은 am1:::cos2(m( JJt) dt = f am. 그러므로, an (x) = 令 1:;:1(x, t)c os (n(J Jt) dt. (3. 6. 4) 같은 방법으로 b11(x) = +1:::/(x, t)s in ( nwt ) dt. (3. 6. 5) 따라서 , f (x, t) 가 주어 지 면, (3. 6. 2) , (3. 6. 4) , (3. 6. 5) 를 이 용하여 f (x, t) 의 Fourie r se ri es 의 각 계 수를 정 할 수 있다. 분명한 것은 이 ser i es 의 어떤 항은 없어지는 것도 있다. 예를 들면 f( x, t)가 t에 관하여 우함수(偶函數, even f unc ti on) 이면, 죽 f (x, —t ) = I (x, t) 이 면, bn 은 모두 zero 로 된다. 따라서 sin e serie s 쪽은 없어진다. 또 f( x, t)가 t에 관해서 기함수(奇 函數 , odd fu nc ti on) 이면, 죽 f(x , —t) = -f(x, t)이면, cosin e serie s 쪽이 모두 없어진다. 그러나 대개의 함수는 우함수도 기 함수도 아니므로 전형 적 인 Fourie r ser i es 는 (3. 6. 1) 과 같이 cosin e ser i es 와 sin e ser i es 가 함께 나온다. 더욱 간결하게는 f( x, t)를 다음과 같이 복소 지수함수의 ser i es 로 표현할 수 있다. 죽 J( x, t) = n=~o-oc o cn (x) e- i n 모

여기서 & = +j:::f(x, t) ein wt d t. (3. 6. 6) 복소계수 &과 실계수 an, bn 사이의 관계를 얻기 위하여 (3. 6. 6) 을 다음과 같이 쓴다. 00 00 /(x, t) = Co + n~=l (c-n + Cn)cos(n(J }t) + n~=l i(c -n 一 Cn)sin n(J }t. (3. 6. 7) 그리하여 an = C-n + Cn, bn = i(C -n 一 en) 그러나 an 과 bn 은 실 (real) 이므로, &n = Cn*. 그러 므로 Cn = t1 (a n + ibn ) . (3. 6. 8) Fouri er ser ies 전개 식 (3. 6. 6) 은 음향변수를 표시 하는 데 아주 적합하다. 그러나, 그러기 위해서는 계수 Cn(X) 가 f( x, t)가 파동방정식을 만족하도록 되어야 한다. &(x) 에 관한 조건을 얻 으려면 (3.6.6) 을 파동방정식에 대입하여, 후 [V2cn (x) + k 도 (x) ] e-in ( JJ t = 0. (3. 6. 9) 여기서 kn = n( J) / Co. (3. 6.10) 이제, 함수 s i n(n (J)t)와 cos(n(J )t) (n = 0, 士 1, 土 2, …）는 1 차 독립 (line ar ind ep en dent) 이 다. 죽, 그 중 어느 하나도 다른 것들 의 1 차 결합(li near comb i na ti on) 으로 표시될 수 없다. 그러므로 (3.6.9) 가 죽는 것은 각 n 의 값에 대해서 [ ] 속의 양이 zero

라야 한다. 그래서 'v2 cn (x) + kn2cn (x) = 0 (3. 6.11) 이 것은 Helmholtz 방정 식 이 다. (3. 5. 1) 과 (3. 5. 2) 를 참고하면, 수열 (3. 6. 6) 의 각 항이 단순히 주파수 n (J)의 단색 파임 을 표시 한 다. 평면파의 경우에는 특히 간단해진다. 왜냐하면 (3. 6.11) 은 다 음과 같은 해를 가전다. Cn = Anein kX + B r. e- i n 또 그래서 /(x, t) = 후 [Ane i n(kX-w t) + Bne-in (kX+wt >]. (3. 6.12) 계수 An 와 Bn 는 경계조건이나, 주어진 파형으로부터 얻을 수 있다. 예를 들면, I 와 하/ ax 가 평면 x = X1, x = X2 에서 각각 /(xi. t) = F (t), 0F(x2, t) I ox = G (t)로 규정되었다고 하 자. 그러면, F( t)와 G( t)를 Fouri er se ri es 로 전개할 수 있다 면, F(t) = n=:Eo-o oo F_ ne-in wt , G(t) = n=:O-EOO O -G ne-in wt . (3. 6.13) 여기서 Fn = +1:::F (t) ein (J) td t , Gn == +1:::Gn (t) ein (J) t. (3. 6. 14) 그러면, Anein kX1 + Bne-in kX1 = Fn

Anein kX2 一 Bne-in kX2 = Gn I ink (3. 6. 15) 이들로부터 An, Bn 이 얻어진다. 위에서 얻어전 전개는 파동방정식의 해를 얻는 데 가장 쓸모가 있다. Fourie r se ri es 의 다론 응용은 초보적 인 것 이 다. 죽 주어 전 파동을 여러 단색파 성분으로 분해하는 것인데, 여기서 공간 의 어느 일정한 접에서 음향적 성질의 시간변화를 공부하는 대 신, 그 파동에서 그 성질의 순간적 • 공간적 변화를 고려한다. 일 반적으로 설사 파동이 단색파이더라도 이 변화는 정확히는 주기 성이 아니다. 그래서 위와 같은 Fourie r serie s 전개는 사용할 수 없다. 그러나, 이상유체에서 1 차원의 평면파의 경우에는 시간 적인 변화가 주기적이면 공간적인 변화도 주기성을 가전다. 예를 들어, (3.6.12) 의 제 1 항을 생각해 보자. 그러면 x 를 X + A 로 놓 으면, f( x+ll, t) = t.. Anein kA+i n (kX-wt> n=-.. 를 얻는다. 그러나 이 파동에 대해서 kA = 21C 이므로 /(x, t)는 x 의 주기성을 가진다. 그러므로, 위에서 준 방법을 이용하여 주 어진 시각 t = to 에서 x 축에 따라 주어진 윤곽을 갖는 어떤 파동 의 Fourie r 성분을 얻는 데 사용할 수 있다. 실지로 사용하는 방정식은 아직도 (3.6.12) 인데, 지금 그 계수는 t = t o 에서의 파 형에 의해서 결정된다. 예를 들면, F(x) 가 t = t o 에서 바른쪽으 로 움직이는 음압이라고 상상하자. 그러면, F(x) 의 주기성 때 문에 그것을 co F (x) = ~ Fnein kX n=-ca

으로 표시할 수 있다. 여기서 Fn = 싸- :T:/2: :F(x) e-in kxdx. (3. 6.16) 그러므로, An = Fnein wt o . (3. 6.17) 그래서 시간 t에서 바른쪽으로 가던 파동은 (3.6.12) 의 제 1 항 으로부터 f(x , t) = to o Fnein [kx-w(t- to)I (3. 6.18) n=-0' 으로표시할 수 있다. 예를 들면, Fig . 3.6.2 에 표시한 톱니 모양의 파동을 생각해 보자. x 축의 원점의 위치를 계산이 간단하게 되는 방향으로 잡 는다. 지금 F(x) 의 불연속점 사이의 구역에서 F(x) =무 -x, -강 ~x 弓숭

f(x )

고로, Fn = 첼-J_ ~122xe 一i nkXrJx n = O 에 대해서는 Fo = 0, n -=l= O 인 n 에 대해서는 구분적분을 해 서, F~n = 一 Hcoms.nn 1C , A:.n = F~n , n*O. 그러므로 f(x , t) = 旦7C ni= -.. (一 i~n e i n(kX-w t), n =I= O = 旦7Ci n=:1 J.t+.n . - [e i n(kX-w t) _ e-in (kX-wt )]. 그러므로 /(x, t) = 뿐홀느~i n n (kx - (J)t) . (3. 6. 19) 이것이 소망의 결과이다. 주의해야 할 것은 단색파 성분의 각각 이 갇은 속도 Co=(/) ／ k 로 움직인다는 것이다. 달리 말하면 각 성분의 전파속도는 주파수에 상관이 없다. 이것이 사실이 아니라 면 파동의 모양이 일정하게 남지 못한다. 주파수에 따라 전파속 도가 다른 파동을 분산성 파동 (d i s p ers i ve wave, 分散性波動) 이 라 한다. 이것에 대해서는 후에 다루기로 한다. (3.6.19) ． 로 준 결과는 또 일정한 위치에서 전동수 분포를 얻는 데 사용된다. 그리하여, x = O 에서 (3. 6.19) 는 f(t) = 뿌K n요=l 노n s i n(n (J)t) (3. 6. 20)

를 준다. Fig . 3.6.2 를 생각해 보면, 이것도 역시 톱니 모양이나 이 (too th ) 가 neg a ti ve slo p를 가진다. 3.6.2 非週期函數 주기성이 없는 함수는 고조주파수 성분 (harmo ni c freq u ency com p onen t)의 무한 수열로 표시할 수 없다. 그대신, 그들 주파 수의 구조는 모든 값의 주파수를 가전다. 다론 말로 하면, 기본 주파수가 (J)인 주기 함수는 주파수 2(J ), 3(J ), 4(J ) 등의 주파수 성 분을 가지는데 비주기함수의 s p ec t rum 은 (J)의 연속함수이다. 비주기함수를 여러 주파수 성분으로 표시하는 데 요하는 수학 적 기법은 보통 Fourie r serie s 전개에서 기본 간격 ―꾼 ~ t ~ T/2 가 전 실축을 cover 하게 된다. 죽 어떤 함수의 Fourie r serie s 표현은 극한 T-00 에서 생각한다. 지금 T 가 증가하면, 그 seri es 속에 이웃하는 두 항 사이에 주파수 차이가 T-oo 의 극한에서 모든 주파수에 걸친 적분으로 된다• 이를 도출하는 방 법은 다른 교과서에서 볼 수 있다(예를 들면, I. Sneddon, Fouri er Transfo r ms, McGraw-Hi ll, New York) . 여 기서는 단지 그 최 종 결과만을 주기로 한다. 어떤 조건에서, 비주기함수 f(t)를 다음 과 같이 쓸 수 있다. f(t) = e-i(IJ td (J J. (3. 6. 21) 여기 F((J) ) = *1:/(t) e iw t d t (3. 6. 22)

여기서 F( (J)）를 /(t) Fourie r 변환이라 한다. 함수 f(t)가 만족 해 야 할 조건은 그 함수와 그 도함수가 piec ewi se con ti nuous 라 야 한다는 것이다. 죽 1:1 /(t} I dt < oo 라야 한다는 것이다. f(t)가 정상의 시간함수를 표시하는 경우 를 빼 놓고, 이들 조건은 모든 음향변수에 의해서 만족된다. 예 를 들어, 정상의 tim e s ign al 이 /(t) =a sin Qt와 같은 경우에는 위의 적분이 한정되지 않아 F( (J)）가 존재치 않는다. 그런 경우 에 보통 하는 것은, F( (J)）를 (3.6.22) 로 규정된 무한 시간 간격 대신, 유한한 시간 간격에 걸쳐 적분을 하는 것이다. 사실상, 이 런 수속 절차는 freq u ency anal y zer 를 tim e depe ndent s ign al 의 s p ec tr um 을 측정하는 데 채용된다. 지금 (3.6.21) 로 돌아가서 (3.6.22) 로부터 F( (J)）를 대입하면, Fourie r 적분표현을 얻는다. 죽 f(t) = 감 [:e-I· 간 :I(u) ei 'udud(J) = 吉 1:1:1(u) eiw (u-t> d ud(J) . 함수 f(t)가 실이면 우변의 허부는 zero 일 것이며, 그래서 다음 과 갇이 쓸 수 있다. /(t) = ~1''1:/(u)cos (J)(u - t) dud(J) . (3. 6. 23) 우함수나 기함수의 특별한 경우에는 이것은 더욱 간단히 된다. 그래서

COS aJ( u - t) = COS WU COS 叫 + sin wu sin 叫 이므로, f(t)가 우함수라면, /(t) = ~[''F((JJ) C OS (JJt d(JJ . (3. 6. 24) 여기 F((JJ ) =~[''f(u) cos (JJu du. (3. 6. 25) f(t)가 기함수라면, 똑같이 해서 /(t} = ~[''F((JJ) s in (JJt d(J J. (3. 6. 26) 여기서 F((JJ ) = ~[''/(u)sin (JJu du. (3. 6. 27) 한 예로서, 일정 기간의 sin e wave 를 생각하자. f(t) = sin 요t -r~t ~ r. 이 함수는 기함수이므로 (3.6.27) 을 이용하여 그 Fourie r 변환 울 얻을 수 있다. F((J) ) = Prr£rsin Qu sin (J)u du. 여기 /sin au sin bu du = 강 [s i n;a __ bb) u _ sin ;a:bb) u ]

F((I) )

이므로 F((J} ) = *[ s i n 問 __ (J}(J}) T _ s i n 訂++(J}(J}） T ] (3. 6. 28) 이것이 일정한 기간의 단색파의 주파수 분포를 준다. Fig . 3.6.3 은 F( (J)）의 변화를 r 의 일정한 값에 대해서 표시한 것이다. 여 기서 알 수 있는 것은, (J) = Q에서 주성분 이의에 여러 다른 주 파수를 이 s p ec t rum 이 가지고 있다는 것이다. 이들이 나타내는 것은 일정한 기간의 sig na l 때문에 생긴 것이다. 이것은 물리적 으로 분명하다. 그러나 그럼에도 불구하고 그것을 (3.6.28) 로부 터 직접 끄집어 내는 것이 유익하다. 그러려면 먼저, F( (J)）가 주로 (3.6.28) 의 [ ] 속의 첫째 항에 의해서 지배된다는 것을 상기해야 한다. 그러므로 요 = (J)에서 F( (J)）의 값이 F((J)) ~ r/ 潭 (3. 6. 29)

라는 것으로부터 온다 . 똑같이 해서 가장 의의 있는 주파수 성분 은, 죽 가장 큰 전폭을 가진 것은, (J)＝요에 중심을 둔 다음 band 4(J ) ~ 21{ I r (3. 6. 30) 속에 주파수를 가진 것이다. 그러므로, 파열(波J 1 J, wave t ra i n) 의 구간이 길면 길수록 실제 sin e p ulse 는 더욱 좁아져서, 근사적으 로 한 단색파의 단일 주파수로 될 것이다. 3. 7 音響 Energy 주제 (主題)로 돌아가서 균일한 음장 속에 음파의 ener gy를 생 각해 보기로 하자. 비균일 음장의 중요한 경우에는, 여기서 다루 지 않기로 한다. 홍미 있는 독자는 「비균일 매질 속의 음향학」이 란 논문을 따로 읽어 보기 바란다. 정지하고 있는 균일한 음장의 경우에, 음향 ener gy의 보존에 관한 방정식을 내부 ener gy에 대한 방정식으로부터 구할 수 있 다. 그것을 하려면, 먼저 (2.4.6) 을 사용하여 이상유체의 운동에 너지와 po te n ti al 에너지에 관한 식을 구한다. 그리하여 모든 수 송량, 죽 vis c osit y µ와 heat conducti on k 롤 zero 로 놓고, local rate of exp a nsio n L1 = V • u 를 고려 하면 (2. 4. 8) 로부터 톱 +P 'v ·u=0. (3. 7. 1) 이 제 , body fo rce 가 없으면, Euler 방정 식 : pD u / Dt = pg - V 底 다음과 같이 된다•

꿈= _'vP. (3. 7. 2) 이 방정식 양변에 u 로 dot p roduc t를 취하여 (3. 7.1) 과 합해서 정리하면 꿉 ~E + 靜) = -'v· (pu ). (3. 7. 3) 여기서 # = u·u. 끝으로, 연속방정식 傍 + p'v· u = 0 를 이용하여, (3.7.3) 을 바꿔 쓰면, 읊p E + 강pq z)+ p (E + 長)'v ·u = -'v· (pu ). D/D t의 정의를 이용하면 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있다. 훑(p E + 강pq 2) + 'v•(pE + 강pq 2)u = -' v· (pu ). (3. 7. 4) 이것이 소망의 방정식이다. 이상유체의 일반 운동에 응용할 수 있다. 그러나 현재 우리는 음파의 운동에 관심이 있다. 즉, 평형 상태 P = Po, P = Po, U = 0 로부터 아주 조금 떨어전 상태이다. 이 경우에는 (3.7.4) 를 상당히 간소화할 수 있다. 단위체적의 유 체에 대해서 energy (PE + 강pq 2) 을 완전한 평형에 가까운 조 건에서 생각해 보자. 유체의 en t ro py는 일정하다는 것을 기억하 고, 이 양을 densit y fluc tu ati on (p - Po) 의 함수로서 전개 할 수 있다. 분명히 이와 같은 전개가 적어도 second-order 의 항을 포 함해야 한다. 그렇지 않으면, 예를 들어 음파의 운동 ener gy가

zero 로 되어야 할 것이다• 그러므로 pE + ½짜 = PoE 。 + [(_Q (;『 )JP= Po (p - Po) 냐[(~달) )JP= Po(p - Po)2+ … + 송 Po q 2 (3. 7. 5) 먼저 첫번째 도함수를 고려해 보자. 이것은 다음과 같이 쓸 수 있다. [ 8(:『 ]s = p(營 )s + E. 이 제 , TdS = dE + p dv* 로부터 TdS = dE - 꿉 dp . 그러므로, 遷 )s=7. 따라서 [__q(:『 ]s = E + -}. 그러나 (E + Pl P) 는 단위질량당의 enth a lpy H 이다. 그러므로 [ 8(:『 ]s = H. (3.7.5) 에서 두번째 도함수는

[ a2 달) ]s = （뿔 )s· 그런데, TaS = dH - (l / p )dp 이므로, 澤 )s = -¼-(景 )s = f = [ 장》:끈) ]§ 이제 이들 도함수를 대입하고, 평형조건에서 계산하면, (3.7. 5) 는 pE + 강짜 = PoEo + Hop ' + 훑 ,2 + 송 Po Q 2 + …. 여기서 p' = P - Po 이다. 이를 (3. 7. 4) 에 대입하면 京강 Po q 2 내릉p '2) + Ho( 볼 + p'v_· u + u • Vp ') + Po 伊 + 信 )V· u = -V · (P'u) 그런데 둘째, 셋째 괄호 안의 항들은 연속방정식을 생각하면 죽 는다. 그래서 윗식은 다음과 같이 된다. ¾(½p꿉 + 송릅p '2) = -' v • (p'u ) . (3. 7. 6) 이것이 음향 ener gy의 balance e q ua ti on 이다. 이것을 유체의 일 정한 체적에 걸쳐 방정식을 적분하면 그 뜻이 분명해진다. 훑 fV ( 강 Po q 2 나안 ’2)dv = -LP'u·ndA. (3. 7. 7) e이ne것r 은gy 라시는간 것에을 대표한시 한편다미. 분죽속 의 양이 체적 V 속의 전 음향

Ea = f(½P oQ 2 + ½ *p '2 )dv. (3. 7. 8) 그리고, 우변의 양은 V 를 떠나는 음향 ener gy의 시간적 율, 죽 acoustic p ower 이 다. 3. 7. 1 Energy Densit y Acousti c energy balance equ ati on (3. 7. 7) 의 좌변의 피 적 분함 수는 단위체적당의 ener gy의 차원을 가지고 있다. 그러므로 이 를 acousti c energy dens ity라 생 각하여 c 이 라는 기 호로 표시 한 다. 죽 e = 뉴굼 + 송릅p '2. (3. 7. 9) 우리의 경우에는 음압과 밀도차가 p' = ca2 p'으로 연결되어 있기 때문에 e 을 다음과 같이 쓸 수 있다. c = 강 Po Q 2 + ~P'2. (3. 7.10) 우변의 두 항은 각각 음파의 운동 ener gy와 po te n ti al ener gy이 다. 3.7.2 平面波 운 동 energy densit y T1 po q 2 과 po te n ti al energy densit y 뇽넛 /Po 는 일반적으로 다르다. 그러나, 평면파의 경우에는

이들이 같지만 (3. 4.14) 로부터, u = 土 (co / Po) P' 이므로, q도 (co/Po) 2P12 (I u I = q) . 그래서 }(p마) =½ = L[방 Po 〈q 2 〉 + 웁~p '2 〉 ]dV. (3. 7. 12) 여기 V 는 유체가 점한 전 체적이다• 지금 q2 = U•u, U = '7rp, 여기서 rp = @(x)cos((J )t - a). 그러나 이를 복소량으로 더 간 단하게 할 수 있다. 죽, i> = @(x) e 켓”로 쓰면, 〈균〉 나 [(v 아 (v 야] (3. 7.13) 똑같이 해서, p'= ―같꿈이므로 그리하여 5' = (i(J)Po / ca2) j (x) e-iw t , = 혹2co 硏 函j*) . (3. 7. 14)

지금 〈 Ea 〉 의 첫째항, 죽 운동 energy 부분은 K = f½Po < #>d V = +Poj'v aJ·'vaJ* dV. 그러나, [12 & .[1& = 'v· (赤 v 赤*) — &v2&* = 'v· (aJ'vaJ*) + k2&&*. 그러므로 K =iPok2 f v 函aJ *dV + -¼Pol aJu • ndA. 여기서 V 는 유체가 점한 체적, A 는 V 를 둘러싼 표면적이다. A 위에서는 u·n = 0 이므로 윗식은 K = -¼-po k2fi iJiiJ* dV. (3. 7.15) 그러 나, (J) = kco 이 므로 (3. 7. 15) 로부터 파동이 단색 파라면, 전 운동 ener gy와 po te n ti al ener gy의 평 균이 같다. 그러므로 = Pof d V. (3. 7.16) 또, 비단색파가 단색파 성분으로 표시된다면 그 평균 energy 는 단색파 성분의 평균 ener gy의 합으로 주어진다는 것을 알 수 있다. 3. 7. 4 音響强度와 Power 유체 내에 체적 V 의 구역을 생각하자• 그 속에서 음파가 전

파되고 있다 . 그러면 (3. 7. 7) 의 우변 : 1 p 'u•ndA 는 그 영역으 A 로부터 흘러 나오는 net acousti c ener gy를 준다. 그 양 qa = P'u (3. 7. 17) 는, V 로부터 단위면적을 통해서 나오는 순간적인 ener gy의 흐 름을 나타낸다. 그리고 q a 는 그래서 energy flux vec t or 라 한다. 이 vec t or 의 시 간평 균을 음향 강도 (acousti c int e n sity ) I 라 한다. I = (3. 7.18) 이며, 차원은 단위면적당의 p ower 이다 (wa tt /cm2). I 의 단위법 선 n 을 가진 어떤 표면을 거쳐 I 를 적분한 것이 그 표면을 통해 서 나오는 acousti c po wer n 이 다. n = f • ndA. (3. 7. 19) A 특별한 관심이 가는 것은 어떤 평면파동에 대한 energy fl ux 와 강도이 다. Energy fl ux 는 qa = p'u , 그러 나 평 면파동에 대 해 서 는 P' = PoCoU, 그래서 n 를 전파방향으로 향하는 단위 vec t or 라 하면, Qa = PoCou2- n. 그러나 양 Po 값은 단순히 c, 죽 acousti c energy dens ity이다. 그리하여 Qa = Coen. (3. 7. 20) 죽, energy fl ux 는 단순히 energy densit y 곱하기 파동의 전파속 도이다. 이 사실은 가끔 energy fl ux 를 정 의 하는 데 사용된다.

끝으로 평면파에서 단위면적당의 p ower 는 간단히 fl / Area = PoCo 〈값〉. (3. 7. 21) In t ens ity는 단위 면적 당의 p ower 이다. 그래서 음원이 기상적 인 구면으로 둘러싸였다면, 이 표면을 통과하는 tot a l p ower 는 fi nss tl e· ndsS it, y를여 기그 서 표d면ot에 p r걸od쳐uc t적는 분적해 분서되 는얻 을i n t e수ns i있t다y.가 aco죽usWti c=a l ener gy의 흐름에 수직이 되는 표면에서 적분한다는 것을 의미한 다. 만일 sources 가 구면상으로 방출한다고 하고, source 에서 거리 r 에서 i n t ens ity를 안다면 acousti c p ower 는 II = [s ~PodCo S = J「o fJo rB 갭뇨PoC (or ) 군 sin 0 d0d<•p = ~P4oCo7 C 군. (3. 7. 22) 그러 므로 tot a l acousti c p ower 는 II = 41r 군 I. (3. 7. 23) 위에서 구면 대칭적으로 source 에서 sound ener gy를 방출하는 경우였으나, 만일 그렇지 않을 경우는 적분 대신에 그냥 n = iZ=n l IiS i (3. 7. 24) 로 합산하면 된다.

3. 8 Sound Levels Sound 의 loudness level 을 sound p ressure 의 입 장으로도 말하 고, i n t ens ity의 입 장에 서 도 말하고, sound p ower 의 입 장에 서 도 말한다. 앞으로 나오지 만 sound i n t ens ity로서 의 범 위 는 th resh-old of hear i n g에 해당하는 10-12 watt s / m2 에서부터 th reshold of p a i n 에 해 당하는 102 wa tt/교까지 달한다. 이 광범 위 한 nois e da t a 를 편리하게 취급하는 데는 sound pr essure, i n t ens ity와 sound p ower 를 어 떤 기 준치 (refe r ence level) 에 대 한 비 의 log a - r ith m 으로서 표시한다. 그러면 작은 척도 (measure) 로 떨어진다. 각 무차원의 비의 lo g ar ith m 을 level 로 삼는데, dB(de ci bel) 의 단위로 표시한다. 가장 흔히 사용되 는 음의 〈 loudness 〉는 sound pr essure level (S.P.L) 이 다. 이 는 Lp = 10 log 10( 定 ) or Lp = 20 log 10 - t (3. 8. 1) Prer 는 refe r ence sound p ressure 인 데 2 X 10-s Pa = 2 X 10-5µb (1Pa = lOµb, lµb = 1 dy n e/crn2 (µb = mi cro -bar) . 2 x 10-4µb 에 해당하는 음압이 바로 1000 Hz 의 음의 우리가 들을 수 있는 thr eshold (문턱 ) , 죽 최 저 의 값이 다. Sound int e n sit y level 은 L1 = 10 log 10 一IT―Ie - /' d B (3. 8. 2) 로 정의한다. Refe r ence int e n sit y J따 = P~eJ / (po co) reJ , P 따 = 2 X 10-s Pa, ( poc o) reJ = 400 MKS ray ls (정 확히 는 415 MKS rayl s ) . 그러 므로 le. ff = 10-12watt s/m %] 다.

Sound po wer level 은 Lw = 10lo g 10 ―w一wT_e- f d B (3. 8. 3) 로 정 의 한다. 여 기 refe r enr. e sound po wer Wre.1 = Ire.1 • Sref, Iref= 10-12Watt s/m 2, Sre.1 = 1 m 러 그래서 Wref = 10-12Watt s. Sound pre ssure level 은 직 접 잰 수 있는 유일한 level 이 다. 그러 므로 sound int e n sit y level 을 sound pre ssure level 로 표시 하 는 것이 바람직하다. _IreJf _- =PoC~o / / (po潟 eo) re.I 이므로 L, = 10 log o (- b) + 10 log , o(~) = Lp - 10 lo g 10( 儒) pc e0 = 415 MKS ray ls for air at 20°C and at a sta n dard atm o - sph eric pr essure of 1. 013 x 105 Pa. 그러 므로 Li = Lp —0. 16dB 一 L/ :::::: Lp (3. 8. 4) 그래서 sound int e n sit y level 이 sound pre ssure level 보다 약간 작다. 그러나 그 차이가 아주 작아서 보통 이들 두 개의 sound level 은 같은 것으로 취급한다. 또 sound po wer level 도 sound pre ssure level 로 표시 해 보면 磁 = 47r 규仁 /4 7[ r 呂土二 = 先훑 (p;:?。 Td 이므로

Lw = lOlo g 10」 w모따- = 10lo g l0上 P뇨rer뭉 + lOlo g ,o 」따:~ —1.1.v0 ,lvo5g1 IuO (poPco oC)o 따 또는 Lw = Lp + 20 log 1 0~ - l0lo g 101 덟 여기서 rT ef는 S 따 = lm2 에서 얻는다. 죽 47rrref 2 = 1, or r 따 = 0 . 282m. 따라서 Lw = Lp + 20lo g 10 ―r乙re-f — 0.16dB ( rref = 0 . 282m) (3. 8. 5) Sound po wer level L w 는 거 리 r 이 크면 , sound pr essure level L p와 많이 달라질 수 있다. 주의할 것은 sound po wer level 은 source 에서, 재는 점의 거리 r 에 의존한다는 것이다. 또 sound pre ssure level (dB) 과 음압 사이 의 관계 는 SPL = 20log p~Te .r 一 Prms = Pre .r lO(SPL/20>. (SPL in dB) (3. 8. 6) 때로는 Prms 와 평균압력 (mean pre ssure) Po 의 비를 얻는 것이 편리할 때가 있다. SPL = 20log 1 p0r~d + 20lo g 10누 Po 。 r 노Po = 阜Po l Q (SPL/20) (3. 8. 7) 이것이 크기의 i dea 를 얻는 데 편리하다. 예를 들면, 1 atm (:::: : 105N / m 2) 에 서 공 기 중 에 lOO dB 의 sound pr essure level 의 sound 를 생 각하면 Pref / Po = 2 X 10-5Pa / 105Pa = 2 X 10-10, 따라서 Prms / Po = 2 X 10-1010100120 = 2 X 10-s. 죽 100 dB 이 라는

P

큰소리라도 대기압에 비하면 10 만분지 2 에 불과함을 알 수 있다. 보통 140 dB 이 하의 sound 를 normal sound (통상음) 라 하고, 140 dB 이 상의 sound 를 macroson ic이 라 한다. 140 dB 의 소리 가 통상인의 고막에 아픔을 준다. 유리창(두께 3mm) 은 9.2~18.5 Hz 의 음파에 제 일 약하며, 142 dB 의 level 에서 깨진다. 이것은 음압으로서 는 2500 µb 에 해 당한다. Satu rn Rocket En gi ne 의 nois e p ower 는 l06watt s 정 도나 된다. Rocket launch i n g의 관람 객 들의 접 근거 리 를 구해 보면 우선 85 dB 의 int e n sit y level 을 허 용한다면, 85 = lOlo g따言I = l0lo g 10 而I 8. 5 = lo g 10 군 12, I=108·5 ·1 0-12=10-3·5watt s/m 2 106watt s = 41rr2 (m2) 10-3-5 (watt s/m 2) / Q 여기서 Q는 sound source 에 미치는 반사면의 효과를 표시하는 fa c t or 로서 half s p ace 의 경우에는 Q = 2 이다. 따라서 63 . 24 X 104 = 41r 군, r = 2 . 24 X 104m = 22 . 4km = 14mi les 대체로 관람장소는 더 안전을 위하여 20mi le s 밖에 마련한다.

( SPdLB )17

주택 가의 추천 nois e level 은 40~50 dB 이 하로 하고 있고, 거 리의 자동차 교통이 빈번할 때는 ~ 80dB 를 허용한다. 사람의 청각이 얼마나 예민한가는 다음에서 알 수 있다. 음파가 sin e wave 라 하면 공기 입자의 변위 D, 속도 v, 가속도 a 의 크기는 D = Asin ((J)t + rp) ----+ I v I = a(J ), | a I = v i (J), (A = 전폭, (J) = 각 주파수, p = 위상각) 따라서 D =으(JJ =그2N_/ = 21Cfp p c = 0.OfO 39p . (3. 8. 8) 여기서 공기의 밀도는 p = 0.00118g m /cm3 at 22°C, 대기압 76 cm/Hg , c = 3 . 44 x 104cm/sec at 22°C, v 는 rms 의 입 자속도, ~ rms 의 sound pre ssure(µb). 공기 입자의 변위는 소리의 주 파수에 역비례하므로 청각에 가장 예민한 주파수는 3900Hz, p

= 2 X 10-4µ b = 2 X 10-4dy n e/cm2. 이때 공기입자의 변위폭은 D = ~0.00393(290 0X 10 기 = 2 x 10-10cm (low er limit) = 2 x 10- 10 cm (3. 8. 9) 이것은 수소원자의 크기 10-8cm 보다도 1/100 에 해당한다. 진실 로 사람의 청각이 이토록 예민하다는 것은 경탄할 만하다. 따라 서 새소리 물소리 바람소리도 둘리지 않는 조용한 산사의 한밤중 에 머리말에 물그릇에 담긴 물분자들이 Brownia n 운동을 하노 라고 서로 걷어차는 소리를 들을 수 있다는 것이 전혀 불가능한 일 이 아니 다. 이 것 이 청 각의 the lower lim i t (下限) 이 다. 또 청 각의 the up pe r lim i t (상한) 를 구하려 면 앞서 계산한 고막 의 thr eshold of p a i n 의 140 dB 를 좀더 넘 어 서 152 dB (p = 104µ b) 로 잡는다. 지금 사람이 둘을 수 있는 가장 낮은 주파수를 16 Hz 로 잡으면 그때의 공기입자의 변위폭은 D = ~0. 00 39 X 104 = 2 . 44 cm (the up p_e r lim i t) . (3. 8. 10) 이 정도로 되면, 눈망울이 빠질 염려가 있다. 그래서 inf r as onic (들리지 않는 낮은 주파수 I < 20 Hz) 의 고출력 발생기는 살인무기 (음향무기 , acousti c weap o n) 로 사용될 수 있다. 눈알이 빠진다든 지 오장육부가 망가진다든지 한다. 소리도 들리지 않는데. 사람의 대 화에 서 필요한 loudness 는 ~ 25 µ W 의 sound po wer 룰 낸다. 말하는 사람 앞에 2m 떨어진 사람에게 미치는 음압은 0 . 2 µb 또는 sound i n t ens ity로 5 X 10-11wa tt s/cm2 에 해 당한다. 이로써 우리의 대화에 소비되는 ener gy가 얼마나 적은 것인가를 알 것이며, 동시에 우리의 귀가 얼마나 예민한가도 새삼 인식할 수 있다.

문 제 3. 3. 1 1-D 의 경 우에 파동방정 식 은 veloc ity po te n ti al ¢로 皇 = Co2( 登 + 言~) 로 표시 됨 을 보여 라. 여 기 n 는 pla ne flow , cy li n d ric a l flow , sph eric a l fl ow 에 대 해 서 각각 n = 0, 1, 2 이 다. 3.4.1 소리의 등온 음속은 C% = (ap /8 p )T 로 정의된다 (New ton ). 보통 음속은 단열음속인데 이는 Co2 = YC% 로 주어진 다. CTo / Co 의 오차는 l c l = -¾-1, (r = cp / (J)) 로 주어전다. 이룰 도출해 보라. 3.5.1 지금 굶= Uo~elik (r-R )-wt J 라 하자. 여기서 r, R, uo 는 모두 실이다. 〈p 'u 〉를 정하라. 여 기서 p' = -p o 릎 u= 一써or · 3, 5. 2 i = $ (x) e- i w t가 파동방정 식 을 만족한다면,

+H