장건수 연세대학교 수학과와 동대학원을 졸업하고 미국 네브라스카 대학교에서 박사학위를 받았다. 이탈리아 국립과학연구소 방문연구원 . 네브라스카 대학교 방문교수. 일본 나고야 대학 객원교수 ,연세대학교 교무처장을 역임했으며 대한수학회 사업이사. 부회장 한국수학올림피아드 위원회 위원장. 교육부 교수자격 심사위원을 거쳐 현재는 대한수학회 회장. 교육두학술진 -홍 뷔뭔 ＿ 玉육적円 广 짐 -의 위원 , 연세대학교 수학과 교수로 재직중이다. 『 수치해석학』 『 파인만적분론 』 동의 저서와 「함수공간 작용소 해석적분」 외에 70 여편의 논문이 있다.

위너적분론

위너적분론

책 머리에 함수 공간에 서 가장 중요한 역 할을 하는 위 너 측도 (W ien er- measure) 의 기원은 브라운 운동 (Brown i an mo ti on) 에서 시작된 다. 1827 년 영 국의 식 물학자 브라운 (Robert Brown) 은 어 떤 한 종류의 꽃가루를 가지고 식물의 수정 과정을 연구하고 있었다. 그는 현미경을 통해서 물 속의 꽃가루를 관찰했을 때, 아주 작은 입자가 빠르게 전동 운동을 하는 것을 보았다. 매우 불규칙한 이 운동을 브라운 운동이 라고 부른다. 그 후 많은 과학자들이 이 이 상한 현상을 설명하려고 노력한 결과 이 운동에 관한 다음과 같 은 사실이 규명되었다. 첫째, 이 운동은 매우 불규칙하고 그 궤적은 접선을 갖지 않는 다. 둘째, 입자들의 운동은 서로 독립적이다. 셋째, 입자가 작을수록, 액체의 점도가 낮을수록, 온도가 높을 수록 운동은 더 활발하다. 넷째, 입자의 합성과 밀도는 운동에 영향을 미치지 않는다. 다섯째, 운동은 그치지 않고 끊임없이 계속된다. 이 운동의 원인에 대한 여러 가정이 많은 학자들에 의해서 제 시되었으나, 19 세기 후반에 와서야 그 원인아 규명되었다. 실제 로, 이 불규칙한 운동은 액체의 미분자와 그 속에 뜬 꽃가루 입 자들의 수없이 많은 충돌에 의해서 일어난다. 이와 같은 관찰 및 실험과는 독립적으로 아인슈타인 (Albe rt

E i ns t e i n) 은 브라운 운동을 이론적으로 연구하여 브라운 운동의 수학적 구조를 규명하였다. 그는 브라운 운동에 관한 첫 논문을 1905 년에 발표하였으며, 이 해는 아인슈타인의 유명한 상대성이 론이 발표된 해이기도 하다. 그 후 1908 년까지 그는 이 운동에 관해서 모두 5 편의 논문을 발표하였다.

시간이 0 일 때 원점에서 출발한 브라운 입자가 시간이 t일 때

1909 년 프랑스의 물리 학자 페 랭 (Je an Perrin ) 은 〈브라운 입 자의 궤적은 접선을 갖지 않는다〉는 사실을 관찰하고 바이에르스트라 스 (We i ers t rass) 의 〈모든 점에서 연속이고 어떤 점에서도 미분 가능하지 않는 곡선〉에 관해서 언급했다. 이 사실은 나중에 위너 정리 〈거의 모든 위너 곡선은 거의 모든 점에서 미분 가능하지 않다〉를 얻는 데 기여하게 된다. 페랭은 브라운 운동에 관한 연 구의 공로를 인정받아 1926 년에 노벨상을 받았다.

1923 년 위너 (Nobert W i ener) 는 아인슈타인과는 다론 방법으로 공식 (3) 을 얻었다. 그는 공식 (3) 을 얻기 위해서 중심 극한 정 리 (centr a l lim i t the orem) 와 비 교적 기 본적 인 물리 학 이 론을 사용 하였다. 브라운 운동에 대한 수학적 모델을 단순하게 만들기 위해서 브 라운 입자가 한 방향으로만 움직인다고 가정하자. 또한 공식 (3) 에서 확산 계수를 정규화하기 위해서 2D=l 로 놓고, 입방체 E 를 구간 [a, /3)로 택한다. 그러면 시간이 0 일 때, 원점에서 출 발한 브라운 입자가 시간이 t일 때 구간 [a, /3) 안에 있을 확률 울 P 라 하면, 공식 (3) 은

아인슈타인 공식 (3) 을 출발점으로 해서 얻은 공식 (5) 를 사용 하여 위너는 함수 공간에 측도를 도입하고(이 공간을 위너 측도 공간이 라고 한다) 르베 그 (Lebesgu e ) 적분 이 론과 같은 매 우 유 용한 위너 적분 이론을 개발했다. 위너 측도는 르베그 측도와 비슷한 성질을 가지지만 한 가지 공통되지 않는 중요한 성질은 평행 변환 불변성(t ransla ti on i nva ri an t)과 척도 변환 불변성 (scale i nvar i an t)이다. 르베그 측도 는 이 성질을 만족하지만 위너 측도는 이 성질을 만족하지 못한 다. 위너 적분은 후에 파인만 적분 연구에 없어서는 안될 결정적 인 역할을 하게 된다.

(4) P=1Pa( 21r t)-七 ex p{군 /2 t }du

이 책은 5 장으로 구성되었다. 제 1 장에서는 함수 공간에 위너 측도를 도입하고, 위너 적분 공식, 위너 곡선의 미분 불가능성, 척도 불변 가측성을 다루었다. 제 2 장에서는 팰리-위너-지그문드 (Paley -W ien er-Zy gm und) 적 분 을 정 의 하 고, 카 메 룬-마 틴 (Cameron-Marti n) 변환 정리, 푸리에-위너 (Fourie r -W iem er) 변 환 등 위너 적분의 변환 정리를 소개하였다. 제 3 장에서는 강한 극한 정리를 이용하여 확률 적분을 정의하고 브라운 운동 과정에 대한 확률 적분, 가우스 (Gauss) 과정에 대한 확률 적분, 위너 조 건 적분과 이 적분의 변환 정리를 다루었다. 제 4 장에서는 1960 년 예 (Ja mes Yeh) 가 정의한 예-위너 측도 공간에 관한 여러 가지 성질을 소개하였다. 두 변수 함수의 유계 변동과 변환 정리, 척 도 불변 가측성, 회전 변환, 위너 적분과 예-위너 적분 과의 관 계, 일반화된 역측도 정리, 푸리에-예-위너 변환 등이 4 장의 주 요 내용이다. 제 5 장에서는 예-위너 작용소 적분과 예 - 위너 조건 적분을 소개하고, 위너 적분 방정식의 존재 정리와 노이만 (Neuman) 급수, 예-위너 조건 적분의 변환 정리, 벡터 함수에 대한 예-위너 조건 적분 등을 다루었다. 이 책의 내용은 그 동안 이 분야에서 선구적인 역할을 해온 미 네 소타 대 학의 카메 룬 (Cameron) 교수와 스타빅 (St or vic k ) 교수, 네브라스카 대학의 존슨(J ohnson) 교수와 스코그 (Skou g) 교수, 마이애미 대학의 박철 교수, 캘리포니아 대학의 예 (Yeh) 교수 등과 필자의 연구 업적을 중심으로, 필자가 연세대학교 대학원에 서 강의한 내용을 바탕으로 했으며, 필자가 강의를 받았던 존슨 교수의 강의 노트도 많이 참조하였다. 매주 월요일에 열리고 있 는 연세대학교 수학과의 적분론 세미나는 이 책의 내용을 충실하 게 하는 데 많은 도움을 주었다. 이 책을 집필하는 동안 많은 분들의 도움울 받았다. 특히 필자

가 적분론을 전공할 수 있도록 이끌어 주고 격려와 조언을 해준 네브라스카 대학의 존슨 교수과 스코그 교수, 자료 제공과 연구 시설을 이용할 수 있도록 배려해 준 나고야 대학의 히다(飛田武 幸 ) 교수, 논저의 구상과 집필 과정에서 내용을 검토하고 자료를 보완하는 데 많은 도움을 준 적분론 세미나 팀 (건국대의 안재문, 한양대의 장주섭, 한남대의 류근식, 전북대의 박연희, 연세대의 유일, 대립대의 홍결표, 건양대의 최기성, 대전대의 김봉전, 대 헌대의 유승철 교수, 김정규, 고정원, 김영식, 임정아, 김선경, 김병수, 박정희 박사, 그리고 박사과정의 조동현, 송특섭, 임만 규 선생)에게 감사드린다. 끝으로 이 책을 집필할 수 있도록 기 회를 준 대우재단과 이 책의 출판을 맡아 준 민음사에 감사를 드 린다. 1998 년 7 월 장건수

차례

제3장 확률적분과 위너 조건적분-------------269

제5장 위너 작용소적분과 예-위너 조건적분----------------455

제 1 장 위너 측도와 위너 적분 함수 공간에 측도를 도입한 위너 측도공간을 소개하고 위너 적 분을 르베그 적분으로 표시하는 위너 적분공식을 유도한다. 르베 그 측도와는 달리 척도불변성이 보장되지 않는 위너 측도에 대해 서 척도불변 가측집합과 척도불변 가측함수를 정의하고 위너 적 공간에서 회전변환에 관한 정리를 얻는다. 콜꾸，，쿠立의 정리를 사용해서 위너 측도의 가산가법 가능성을 증명하고 위너 측도의 존재성에 관한 넬슨의 증명을 소개한다. 1 위너 측도공간 함수 공간에 위너 측도를 도입하고 위너 측도와 르베그 (Lebesgu e) 측도 사이의 관계를 알아본다. 위너 측도가 르베그 측도와 같은 성질을 갖는다면 이상적인 측도가 되겠지만, 르베그 측도에 서 성 립 하는 평 행 변환불변 (tra nslati on inv aria n t) 이 위 너 측

도에서는 성립하지 않는다.

정의 1.1 C[a, l 기를 구간 [a, b ] 에서 연속인 실가함수 (real

주 바이 에 르스트라스의 근사정 리 (Weie r str a ss app r oxim ati on t heorem) 에 의해서 (C(T), I| 내)는 가분 바나하 공간 (se p arable Banach s p ace) 이다. Co(T) 는 C(T) 의 폐부분공간 (closed sub- s p ace) 이고, 또한 가분 바나하 공간이 된다. 정의 1.3 X가 위상공간일 때, X 의 모든 개부분집합 (o p en subse t)에 의해서 생성되는 6- 대수 1J (X) 를 X 의 보렐족 (Borel class) 또는 보렐 a- 대 수 (Borel a-alge bra) 라 한다. 보렐 a- 대 수 위에서의 측도를 보렐 측도 (Borel measure) 라 한다.

우리가 관심을 갖는 공간은 위너 공간이고, 이 공간의 보렐 6- 대수 13(C 。 (T)) 위에 다음 성질을 만족하는 측도를 도입하려 고한다. ® 0 보다 크거나 같은 측도이다. ® 가산가법 가능한 (count ab ly addit ive ) 측도이 다. ® 0 보다 크고 유한한 반경 을 갖는 모든 구 (sp h ere) 들의 측도 는 0 보다 크고 유한하다. 이와 같은 측도가 위너 공간에 도입된다면 , 이 측도는 실수에 서의 르베그 측도와 같은 성질을 갖는다. 다만, 르베그 측도와 공유할 수 없는 중요한 성질이 있다. 르베그 측도는 ® 평행변환불변이지만, 위너 측도는 이 성질을 만족하지 못한 다. 그러면, 르베그 측도와 같이 성질 ®~®를 만족하는 측도가 위너 공간에 존재할 수 있는가? 이 질문에 대한 대답은 부정적 이다. 정리 1.4 위너 공간의 보렐 (J－대수 .1J( Co(T)) 위에서 정의 되고, 성질 ®~®롤 만족하는 집합함수 (se t fu nc ti on) 는 존재하 지 않는다. 정리 1. 4 는 직접 증명할 수도 있으나 이 정리를 따름 정리로 얻을 수 있는 좀더 일반적인 정리를 소개하기로 한다.

정의 1.s X를 바나하 공간, µ를 .13 (X) 에서의 측도라 하자.

+x)=O 이다.

Cate g o ry the orem) 에 의 해 서 ,

(1. 3) f(x ) = 타 1( Ek) XE*(x), X 드 X

위의 정리 1. 6 으로부터 다음 따름정리를 얻는다.

따름정리 1.7 J3 (C 。 (T)) 에서 정의된 측도 µ가 평행변환불변 이고 6- 유한이면 µ=0 이다.

주 위의 따름정리의 결과는 조건 ®에 모순되므로 정리 1. 4 가 성립한다.

이제 위너 공간에 측도를 도입하기 위해서 서론에서 언급한 아