고기형 서울대학교 수학과 졸업 미국 브랜다이스 대학 이학박사 미국 텍사스 주립대학 수학과 전임강사 미국 루이지애나 주립대학 방문교수 미국 컬럼비아 대학 방문교수 현재 한국과학기술원 수학과 교수 저서 『 한글과 TeX 』 진교택 서울대학교 수학과 졸업 동대학원 이학석사 미국 브랜다이스 대학 이학박사 캐나다 브리티시 컬럼비아 대학 수학과 연구원 영국 서섹스 대학 방문교수 현재 한국과학기술원 수학과 부교수
매듭론
매듭론
머리말 매듭이론은 20 세기 위상수학의 괄목할 발전을 기반으로 얻어진 결 실로서 수학자들사이에서 관심이 고조되고있는분야이다.비교적 짧 은 역사에도 불구하고 수학뿐 아니라 물리, 화학, 생물의 다른 자연과 학 분야와도 교감이 이루어질 수 있는 특이하고 흥미 있는 분야이기 도하댜 이 책은원칙적으로는대학원수준의 대수와대수적 위상수학의 내 용을 숙지하고 있는 사람들을 대상으로 하나, 매듭이론 특유의 방법 론으로 변형되여 사용되는 내용에 대해서는 주의를 기울여 다시 언 급하고자 했다. 또한 매듭이론에서 빈번히 사용되는 배경이론도 함께 설명함으로써 매듭이론을 처음 접하는사람들에게 편의롤 제공할것 이댜 이 책에서는 매듭이론의 초창기부터 현재까지의 연구결과를 포괄 적으로다루었다 . 그렇지만연구결과를역사적인순서로나열하기 보 다는 주제별로 나누어 이해하기 쉬운 주제부터 점차 어려운 내용으 로 전개하였다. 그리고 가능한 한 가장 최신 연구결과까지를 다루려 고 노력하였다. 구체적으로 l~3 장에서는 매듭이론의 역사와 매듭과 고리의 정의,다양한구성방법,간단한불변량,그리고조합적인방법 으로 얻어지는 다항식 불변량을 설명함으로써 학부 학생의 수준에서 도 읽어볼 수 있도록 하여, 매듭이론이 좀더 친근하게 소개될 수 있도 록배려하였다 .4~10 장에서는전통적인 위상수학의 분야로서의 매듭 이론을다루었는데 매듭이론의 연구를위해 꼭알아두어야하는일반 적 인 내용을 선별하고자 하였다. 그리고 10 장에서는 3 차원 다양체의
연구에 매듭이론이 어떻게 사용되는지를 설명하여 저차원 다양체 연 구에 도움이 되도록 하였다. 11 장에서는 다른 영역의 학문이 매듭이 론에 적용되어 얻어진 최신 결과들을 다루고 아울러 매듭이론이 다른 영역의 학문에 응용되는 최신 사례를 중심으로 설명하였다. 현재까지 매듭이론과 관련된 연구결과들을 한 권의 책에 모두 수 용하기는 불가능하다. 따라서 많은 학자들이 관심을 가지고 있는 주 제에 대해서는 비교적 상세히 설명하고, 소수의 학자들사이에서 연 구되고 있거나, 연구결과가 아직 커다란 의미를 가지지 않는 주제에 대해서는필요한곳에서 간단히 언급하였다.그리고연구결과에 대한 증명은 중심적인 내용을 전개해 나가야 할 필요성을 느낄 때만 제공 하였고, 그 외의 경우에는 그 연구결과가 수록된 참고문헌을 제시하 여 증명을대신하였다.그렇지만연구동기와연구결과의 의미에 대하 여는자세한보충설명을하였으며 이를통해 매듭이론의 역사적 흐름 을이해하는데중점을두었다. 이 책은 저자의 연구실 구성원 모두의 노력의 결실이다. 이 기회을 빌어 구성원모두에게 감사와격려를보낸다. 1998 년 봄 고기형,진교택
차례
머리말 •5 제 1 장 매듭이론의 역사 - 11 제 2 장 매듭과 고리의 정의와 예 - 17 2.1 매듭과 고리의 정의 •17 2.2 라이데마이스터 변환과 걸림수 •25 2.3 토러스 매듭 •29 2.4 교각 표현 •31 제 3 장 여러 가지 다항식 불변량 - 37 3.1 콘웨이(Conway) 다항식 •38 3.2 실타래 이론 •48 3.3 존스 다항식과 상태 모델 •53 3.4 카우프만(Kauffman) 다항식과 2변수 존스 다항식 •67 제 4 장 기본군 - 73 4.1 매듭군의 정의와 예 •73 4.2 버팅거 표현과 응용 •76 4.3 주변군 체계 •85 4.4 불변량 •89제 5 장 고리와 땋임 - 97
5.1 땋임의 정의 •97 5.2 땋임과 고리의 관계 •106 5.3 땋임군의 단어 문제와 공액 문제 •114 5.4 자유미분과 땋임군의 재표현들 •123 5.5 사상류군과 땋임 •130 5.6 플랫 표현과 레이스 •136 제 6 장 사이퍼트 곡면 - 147 6.1 1차원 매듭과 고리의 사이퍼트 곡면 •147 6.2 고차원 사이퍼트 곡면과 호몰로지 둘레고리 •150 6.3 사이퍼트 행렬 •154 6.4 S-동치 •159 6.5 책등매듭과 고리 •162 제 7 장 알렉산더 불변량 - 165 7.1 매듭 여공간의 덮개공간 •165 7.2 알렉산더 불변량의 정의 •167 7.3 사이퍼트 곡면을 이용한 계산 •168 7.4 수술을 이용한 계산 •173 7.5 매듭군을 이용한 계산 •177 7.6 자유 미분 계산 •180 7.7 고리의 알렉산더 다항식과 토레스 조건 •185 제 8 장 매듭과 고리의 동계성 - 193 8.1 단면매듭 •193 8.2 동계성과 매듭의 동계군 •1998.3 둘레고리의 동계성 •203
제 9 장 부호수 불변량 - 213 9.1 가지친 순환 덮개공간의 부호수 •214 9.2 캐손-고돈 불변량 •222 9.3 여러 가지 동계성 •230 9.4 -불변량 •242 제 10 장 3차원 다양체 - 253 10.1 3차원 다양체의 기초 이론 •253 10.2 히가드 분리 •257 10.3 교각수 2인 매듭과 덴(Dehn) 수술 •261 10.4 만능 매듭과 고리 •267 10,5 덴 수술과 커비 조작 •277 제 11 장 매듭이론 연구의 최근 동향 - 283 11.1 존스-웬츨 사영원과 템퍼리-립 재결합이론 •284 11.2 위튼一레쉬티킨-투라에프 불변량 •300 11.3 투라에프-비로 불변량 •309 11.4 바실리에프 불변량 •322 11.5 무작위 매듭과 에너지 •334 참고문헌 •345 용어 대비표 •357 찾아보기 •373재 1 장 매듭이론의 역사 매듭이론은 공간의 성질을 연구하는 위상수학(t o p olo gy)의 한분야 로 간단히 말하자면 한 공간 안에 다른 공간이 어떻게 들어가 있을 수 있는지를 연구하는 학문이다. 가장 직관적이고 중요한 예는 3 차원 공 간 안에 1 차원인 끈이 어떻게 꼬여 있을 수 있는가(매듭지어질 수 있 는가)이며 이것이 가장 고전적인 매듭이론의 문제이다. 인간이 매듭에 대해 관심을갖기 시작한것은아주옛날부터일것이 댜 뱃사람들이 낯줄을 만들거나 사냥꾼이 올가미로 덫을 만드는 일, 혹은 아낙네들이 머리를 닿는 일 둥이 바로 매듭울 이용하는 것이다. 잉카인들은새끼줄에 매듭을만들어서 숫자를표시했는데 진법을이 용하여 수십만 이상의 수까지도나타낼 수 있었다. 이렇게 얼핏 보기 에는 전혀 체계적인 연구대상이 될 수 없을 것 같은 매듭에 대해 수학 자들이 관심을갖기 시작한것은 19 세기 후반의 일이다. 매듭에 대해 관심을가진 최초의 수학자는가우스 (Gauss) 였다.그는 일찍부터 매듭현상에 관심을갖고있었고매듭현상과여러 가닥으로 된 매듭(고리(li nk) 라고 불린다)의 얽힘(linki n g)을 연구하는 것이 위상
수학의 중심적인 작업일 것이라고 생각했으나그자신은 매듭이론에 대한 논문을 거의 쓰지 않았다. 그뒤 리스팅 (L i s ti n g)， 켈반 (Kelv i n), 테 이트 (Ta it), 리틀(Littl e) 등에 의하여 많은 진전이 이루어졌고 체계화되 었댜그러나 20 세기초까지는이론을 전개해 나갈도구가부족하여 주 로 조합론적 인 방법 에 의존할 수밖에 없었다. 3 차원 공간 안에 있는 매 듭을 2 차원 평면 위에 그렸을때 어떻게 표기해야하는지와이 표기법 을바탕으로교차점의 개수가적은매듭부터 분류표를작성해가는연 구결과들이 대부분이었다. 그러나 푸앙카레 (Po i ncare) 에 의해 호몰로 지 이 론 (homolo gy the ory ), 호모토피 이 론 (homoto p y the ory ) 등 지 금은 대수적 위상수학 (al g ebr ai c t ololo gy)이라고 불리는 이론이 고안되면서 획기적인 발전이 이루어지게 되었다. 19 세기 후반에서 20 세기초는 수학사에 있어 중요한 변화가 있었던 사기로서 이전까지는주로방정식의 해를구하거나도형의 문제를 연 구하는등직접적이고구체적이며 해법위주였던수학이 이 시기 이후 에는추상적인 것이 되었고수학의 대상그자체의 성질에 대한 체계 적인 연구를 중요시하게 되었다. 공간의 연속적인 변형에 대해 불변 하는성질을다루는위상수학은이러한수학의 기조에서 출현하고발 전하게 되었다. 위상수학의 기원을 엄밀하게 따지자면 16 세기의 데카르트나 라이 프니츠부터라고 하겠으나 현대적 의미의 위상수학이 시작된 것은 19 세기 푸앙카레 이후로 보는 것이 타당할 것이다. 19 세기 말 푸앙카레 는 호몰로지군과 호모토피군이라 불리는 다양체의 불변량들을 고안 하여 대수적 위상수학의 기초를마련하고,푸앙카레 가설이라불리는 유명 한 가설을 만들었다. 이 가설은 n 차원 호모토피 구가 유일하다는 것으로 현대적 대수학을 태동하게 한 페르마의 가설과 함께 현대수학 의 발전방향을 좌우한 두 개의 해결되지 않은 난제(페르마의 가설은 최근에 해결되었다)로 순수수학의 한 축이 되었다. 그러나 푸앙카레 는세잎 매듭을이용하여 호몰로지구가유일하다는자신의 처음가설
에 대한 반례가 있음을 발견하고 호모토피구는 유일하다는 가설로 바 꾸었댜 20 세기에 들어서 매듭이론은 유럽에서 알렉산더, 덴, 아틴, 사이퍼 트 등에 의해 이론적 체계를 갖추게 되었으며, 대수적 위상수학의 기 법 을 이 용하여 알 렉 산더 다항식 (Alexander p ol y no mi al) 을 비 롯한 여 러 가지 세련된 매듭의 불변량이 발견되었고이에 따라매듭이론은위상 수학의 중요한 연구 분야의 하나로 정착되었다. 특히 1960 년대의 밀 너 (M il nor), 스메일 (Smale) 등의 미국 수학자들이 주도한 활발한 위상 수학 분야의 연구를 통하여 5 차원 이상의 고차원 다양체의 위상수학 적 분류가 대체로마무리되어 지금은 대수적 K- 이론이라불리는 영역 의 문제로 바뀌었으며 5 차원 이상에서는 푸앙카레 가설이 참이라는 사실이 아울러 얻어지게 된다. 이에 따라 위상수학의 관심은 자연 저 차원이라일컬어지는 3 차원과 4 차원다양체의 연구에 쏠리게 되었다. 저차원 다양체 이론과 불가분의 관계에 있는 매듭이론은 1970 년대 이후부터 위상수학의 가장중요한분야로자리매김을하게 되었다.실 제로수학의 노벨상이라불리는필즈상을받은많은수학자들이 매듭 이론과 직간접적인 관련이 있는 연구업적을갖고 있다 .3 차원다양체 연구에 하이퍼볼릭 거리 (h yp erbol i cme tri c) 의 개념을도입하여 획기적 인 연구방향을 제시한 써스톤 (Thurs t on) 은 많은 매듭의 여공간이 하 이퍼볼릭 거리를갖는다는것을증명함으로써 그의 이론을정당화하 였댜 1970 년대 말 프리드만 (Freedman) 은 대수적으로는 걸려 있지 않 으나 기하적으로 걸려 있는 고리의 무한구성을 통하여 4 차원 푸앙카 레 가설을 위상적 범주(t op olo gi cal ca t e go ry)에서 증명하는 데 성공하 게 된다. 1980 년대에 들어와 매듭이론은 새로운 전기를 맞이하게 되 는데 이 는 존스(Jo nes) 와 위 튼 (W itt en) 에 의 하여 물리 의 양자역 학과 통 계역학에 기반을둔새로운 생각들로부터 매듭과고리의 새로운불변 량들이 추출될 수 있다는것이었다. 이들로부터 3 차원 다양체의 수많 은 불변량을 새로이 얻게 되었다. 이제 매듭이론은 위상수학의 한 분
야만이 아닌 양자군론, C*- 대수, 리 대수, 표현론 등 수학의 여 러 분야 와 앞에서 언급한 바와 같은 물리학의 여러 분야가 상호연결된 복합 적인분야가되었다 . 지금까지 매듭이론의 간략한역사적 배경을설명하였다.이제 최근 의 매듭이론의 연구동향을 몇 가지 범주로 나누어 설명해보고자 한 다. 먼저 동계성 (concordance) 문제를 들 수 있댜 이것은 4 차원 다양 체안에 들어가 있는 곡면의 특이점 (s i n g ul arity)을 연구하면서 나온 분 야로 다양체의 특이점울 연구하는 데 직접적인 관계가 있으며 그 자 체로도관심이 있는분야이다.그이유는매듭이나고리 그자체를 대 수적으로분류하는것이 거의 불가능하기 때문에 좀더 거친동치관계 인 동계성으로 일단 분류해보는 것이 의미가 있기 때문이며 또한 고 리를 동계성으로 분류하면 많은 경우 군구조(g rou p s tru c t ure) 를 갖는 다는 이점이 있다. 이 동계성과관련해서는그동안 많은성공적인 연 구결과들이 있었으며 현재에도활발한연구가진행되고있다. 또다른 분야로는 맣임 (br ai d) 을 들 수 있다. 이 맣임의 모델로는 머 리를닿는것을생각하면좋을것이다.즉두개의 원판을위아래에 놓 고 그 위쪽 판에 n 개의 끈을 묶은 뒤에 아래로 내려가면서 이 끈들을 서로 엮어나간다음아래쪽판에 다시 묶은것이다. 이 맣임의 이점은 이들이 군구조를가지고있으며 구조가매듭보다는훨씬간단해서 대 수적으로 완전히 분류할수 있다는 것이다. 현재 맣임 자체에 대한 연 구는거의 완결된상태이며 닿임과고리,맣임과 3 차원 다양체 사이의 관계에 대해서는 활발한 연구가 진행되고 있다. 매듭의 연구는저차원다양체를염두에 두고이루어지는것이 보통 이며 매듭과 3 차원 다양체와의 관계를 연구하는 것은 중요한 분야이 다. 주어 진 고리 에 덴-수술 (Dehn-surg e ry)을 하거 나 가지 친 유한순환 덮개공간(finit e branched cyc lic cove ri n g)을 취함으로써 3 차원 다양체 를 얻을 수 있다. 특히 덴-수술로는 임 의 의 3 차원 다양체를 모두 얻을 수 있으며 두 고리가 어떤 관계에 있을 때 이들로부터 얻어지는 다양
체가 같은지도 이미 알려져 있다. 그러므로 3 차원 다양체의 불변량으 로부터 매듭 불변량을 얻는다든지 매듭 불변량으로부터 3 차원 다양 체 불변량을 얻는 것이 가능하다. 부호수 불변량, 바실리 에프 불변량 등이 이렇게 얻어지는불변량이다.그외에도 3 차원 다양체 이론과매 듭이론사이의 관계를연구하는다양한연구방향이 있다. 또한수학과자연과학의 다른분야로의 응용에 대해서도활발히 연 구되고 있다. 특히 생물학의 DNA 구조, 화학의 분자구조 등에서도 매 듭현상이 실제로 나타나고 있으며 이 매듭현상에 대한 연구의 필요성 이 조금씩 대두되고 있다. 매듭이론은 물리학의 양자역학에 많은 도 움을 주었으며 앞으로는 이 분야에 대한 응용이 많이 연구되리라 생 각된댜 또한 매듭현상을 통계적 확률적인 방법으로 연구하는 이른바 무작위 매듭 (randomkno t)에 대한 연구도 진행되고 있다. 국내에서는 1980 년대 말까지 매듭이론이 위상수학에서 차지하는 비중에 비하여 불모지나 다름없었으나 80 년대 후반 이 분야를 외국 에서 연구한수학자들이 귀국하면서부터 관심이 고조되고있다.특히 우리나라와일본의 매듭이론관련 연구자들을총망라한연구집단사 이 에 1991 년부터 매년 한일매듭이론학교 (Korea- Jap an School of K nots and Li nks) 라는 상호교류 프로그램이 만들어져 국내에서도 매듭이론 연구가 급속히 확산되고 있다. 그리고 이밖에도 그동안 수차례의 매 듭이론에 관한국제학술희의가국내에서 개최되었고여러 차례 관련 학술회의 보고서둘이 출판된 바 있다.
재 2 장 매듭과고리의 정의와예 이 장에서는 매듭이론을 처음 접하는 독자돌을 위하여 매듭이론의 기초를 다루도록 하겠다. 먼저 매듭과 고리의 정의와 동치관계에 대 해 설명하고, 여러 가지 형태들로 정의된 매듭들을 소개하도록 하겠 댜 2.1 매듭과고리의 정의 이 절에서는가장보편적으로사용되는정의를살펴보고,매듭에 관 계된 기초적인 정의들과매듭의 표시하는방법도알아보도록하자. 매듭과고리의정의 매듭과 고리를 정의하는 방법은 다루고자 하는 공간의 범주 (ca t e go ry)에 따라 조금씩 다르다. 먼저 위상범주(t o p olo gi cal ca te go ry)에서 매듭의 정의를살펴보도록하자.
전체공간 (amb i en t spa c e) M 에서 부분집합 K 가 n 차원의 구 Sn 과 위 상동형 (homeomo rp h i c) 이 면 n 차원 매 듭 (n-d i mens i onal knot)이 라고 한 댜또한부분집합 K 가만나지 않는구들의 합집합 S1u ••. US k 와위 상동형이면 고리(li nk) 라고 한다. 고리의 경우 각 연결 성분 (connec t ed com p onen t)을 고 리 성 분(li nk comp onen t)이 라고 한댜
그림 2.1 세잎매듭
M 안에서 정의된 두 개의 매듭 또는 고리 K, K' 에 대해서 위상동형 사상 (homeomo rp h i sm) h : M ➔ M 가 존재 해 서 h(K) = K' 을 만족하면 두 매 듭 또는 고리 가 동치 (e q u i valen t)라고 하며 , K ~ K' 으로 표시 하기 도 한댜 그리고 위상동형사상 h 를 매듭의 동치 (kno t e q u i valence) 라고 부 른댜 특히 K 가 고리이며 고리 성분에 순서가 주어져 있는 경우에는 위상동형사상이 고리 성분의 순서를 보존해야 한다. 위의 정의에서 매듭은 일반적인 위상공간 M 의 부분집합으로 정의 되어 있지만, 매듭이론에서 다루는 대부분의 매듭들은 유클리드 공 간 Rm 또는 유클리드 공간의 단위구 sm 의 부분집합으로 생각한다 . 또 한 때에 따라서는 매듭이나고리를 K: sn ➔ M 으로 주어지는 넣기사 상 (embedd i n g)으로 생각하기도 한다. 이 책에서는 매듭에 대한 정의를 이 러 한 넣 기 사상과 넣 기 사상의 상(i ma g e) 인 K(SP) 로 편의 에 따라 모두 사용할것이다. 매듭과 고리를 넣기사상으로 정의할 경우에는 매듭과 고리의 동치 관계는 사상동치 (map e q u i valence) 라고 불리며, 두 매듭이나 고리 K, K' 이 사상동치적이라는 것은 hoK=K' 을 만족하는 위상동형사상인
h: M ➔ M 이 존재하는 것이댜 그리고 모든 공간에 방향이 주어졌다 고 가정하면 , 방향이 주어진 동치 (or i en t ede q u i valence) 는 앞의 위상동 형사상 h 가 방향을 보존해야 한다. 매듭과 고리의 동치조건 중에서 강한 조건의 동치를 설명하기 위 해서 전공간 동위 (amb i en t i so t o py)를 설명하겠다. 사상 F: N x i ➔ M x I, (t E [O, 1] ）이 수평 보존 (level- p reserv i n g)이 란 것은 모든 t E /에 대해서 F(Nxt ) cMx t를 만족 할 때이댜 이때 ,F,: N ➔ M 은 F (y,t)= (F, (y),t)를 만족하는 사상이다. 그리고 M 안에서 K 의 동위(i so t op y)란 수평을 보존하는 넣기사상 F: Nxl ➔ Mxl 를 말한댜 두 매듭 K 와 K 이 동위적(i so t op i c) 이란 것은 동위 F: S1 x i ➔ M x l 가 존재해서 Fo = K 이고 F1 = K' 일 때를 말한댜 그러나 모든 매듭은 위상범주에 서 표준구와 동위적이다. 그림 2.2 는 세잎매듭과 표준구 사이의 동위 를 그림으로 나타낸 것이다 .
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마지막으로동위 H,: M ➔ M 이 전공간 동위 (amb i en ti so t op y)란것은 Ho= i dM 이고 각각의 H1 가위상동형사상일 경우이다. 매듭과고리가 전공간 동위적 (amb i en t i so t op i c) 이라는 것은 앞의 위상동형사상 h 가 어떤 전공간동위의 다른끝 H1 일 경우이다. 매듭과고리의 정의에서 차원에 대한조건이 없었다.그러나매듭을 K: sn ➔ sm, (n < m) 으로 정의할 때, 여차원 m_n 이 3 이상이면 매듭 들이 모두 동치가 된다 . (이 사실은 위상범주와 조각선형범주에서는 성립하지만 coo 범주에서는 성립하지 않는다. 표준 3 차원 구와 동치 적이지 않는 S3 이 s6 안에 존재하는 것이 밝혀져 있다([H ae62] 참조.)
이에 대한자세한내용은 [RS72] 를참조하기 바란다 . 따라서 남는차 원은 여차원이 l 또는 2 인 경우들뿐이다 . 여차원이 1 인 경우를 살펴보기 위해서 몇 가지 정리와 정의를 소개 하겠댜 N 의 부분집합 K 에 대해서 넣기사상 b: Kx[ ― 1,1] ➔ M 이 존재하 며, 모든p EK 에 대하여 b (p ,O)= p를 만족하면 K 가 N 안에서 양깃이 달 렸 다 (b i collared) 라고 한다 . 정리 2.1.1. （쇤플리스 (Schon fli es) 정리) 만일 Kn-I 이 sn 안에 들어 있는양깃달린 (n-1) 차원 구라면 ,K 의 여공간에서 각연결 성분의 닫 힘 (closure) 은 n 차원 공과 위상동형이다. 증 명 . [Br o60b] 참조. 口 k 차원 공 Bk 와 n 차원 다양체 M 에 대해서, 넣기사상f: Bk ➔ M 이 평 탄(fla t)하다는 것은 Rn 안에 있는 Bk 의 근방 N 까지f를 넣기사상으로 확장시킬 수 있다는 것이다. 즉,f| B k =f를 만족하는j: N ➔ M 이 존재 한다는 것이다. 이때 ,M 의 부분집합f (Bk) 를 평탄한 공(fl a t ball) 이라고 부른다. 정리 2.1.2. k < n 일 때, sn 안에서 k 차원 매듭 K 가 표준 넣기사상 sk 一 Sn 으로주어지는 매듭과동치일 필요충분조건은 K 가 sn 안에서 평탄한 (k+I) 차원 공의 둘레라는 것이다. 증명. K 가 sn 안에서 평탄한 (k+I) 차원 공의 둘레라고가정하자. 그 러면 평탄함의 정의에 의해서 Rn 안에 있는 Bk+I 의 근방 N에 대해 넣 기사상f: N ➔ S.이 존재하여 f(cJB k+I) = K 를 만족한다. 이 때, N에 포 함되면서 Bk+I 의 근방이 되는 n 차원 공 C 을 Rn 안에서 택할 수 있다. 더불어 C 의 둘레가 양깃을 갖도록 잡을 수 있다. g: Rn ➔ sn 을 스테레오그래픽 사영 (s t ereo gr aphi c p roj ec ti on) 의 역 함수로 주어지는 넣기사상이라고 하자. 그리고 g(cJ Bk+I) 이 sn 안에서
의 표준 k 차원 구 Sk71- 된다고 가정하자. 그러면, sn 안에서 g (Cn) 과 f (Cn) 이 모두 양깃달린 둘레를 가지는 n 차원 공이므로 위상동형사상 Jg- I : g(C n) ➔ J (Cn) 이 위상동형사상 h: sn ➔ sn 으로 확장된다. 또한 h(S 사=J (ask+I)=K 를 만족하게 되어 h 가 두 매듭의 동치관계를 만족 시키는 위상동형사상이다. o 위의 두 정리에 의해서 여차원이 1 인 경우,모든 양깃달린 매듭 K 는 표준구와 동치이다. 여기서 표준구와 동치가 아닌 예를 하나 살펴보 자.
그림 2.3 알렉산더 의 뿔달린 구
그림 2 . 3 은 알렉산더 의 뿔달린 구 (Alexander's horned s p here) 이 댜 자 세한 정의와 성질은 [Ale24] 를 참조하도록 하자. 이 뿔달린 구가 R3 안 에 들어가있다면,이 구면의 안쪽은 2 차원공인데 바깥쪽은단순연결 되어 있지 않다 . 따라서 정리 2.1.1 의 결론이 성립하지 않는 예이다. 그 러므로이 뿔달린 구는표준구 s2 와동치가아니다. 알렉산더의 뿔달린 구처럼 매듭이론에서 다루기가까다롭거나또 는의미가없는몇 가지 경우들이 있다.이러한경우들을피하기 위해 서 매듭이론에서 다루는 공간들에 대해 몇 가지 제한을 둔다.
그 중의 하나가 거 친 매 듭 (w il d knot)의 경 우를 피 하기 위 해 조각선 형 공간(pi ecew i se- li near s p ace) 에서 매듭이론을 전개하는 것이다. 거 친 매듭은 그림 2 .4에서처럼 거친점 (w il dp o i n t) L 이 있어서 조각선형 범주에서 다루는 다면체(p oly hedron) 로 표시되지 못하는 매듭이다. 반 대로 조각선형범주에서 다면체로 표시되는 매듭을 유순한 매듭(t ame knot)이 라고 한다.
그림 2.4 거친 매듭
그리고 알렉산더의 뿔달린 구와 같은 경우가 생기는 것을 피하기 위해 국소 평탄 (locally fi a t)이라는 제한을 가한다. 다양체의 쌍 Kn C M 떠 국소 평탄하다는 것은 임의의 점 xEK 에서 닫힌 근방 N이 존재 하여 (N,KnN) 이 표준공의 쌍 (Bm,Bk) 와위상동형일 경우를 말한다. 알렉산더의 뿔달린 구면은 반복되는 부분에서 국소 평탄하지 않다 는것을알수있다.따라서 이 책에서는이러한경우를피하기 위해 특 별한언급이 없는한조각선형범주에서 국소평탄함울가정하고매듭 과 고리를 다루도록 하겠다. 조각선형범주에서 국소평탄함을가정하면여차원이 1 인경우에는 정리 2.1. 1, 2. 1. 2 에 의해서 모든 매듭이 동치적이게 된다. 따라서 여차 원이 2 인 경우만이 연구의 가치가 있다 . 그리고 조각선형범주에서 국 소 평탄을 보존하는 위상동형사상은 전공간동위와 같으므로 매듭 또
는 고리가 동치라는 것은 전공간 동위적이라는 것과 같은 뜻으로 사 용하겠댜 이제 매듭과고리에 관계된 몇 가지 정의들을살펴보도록하자. 매듭을 K: S ➔ s11+2 라고 하면, n 차원 매듭이라고 부른다. 그리고 특히 1 차원 매듭을 고전 매듭 (class i cal kno t)이라고 하며, 2 차원 이상 의 매듭을 고차원 매듭 (h ig herd i mens i onalkno t)이라고 한다. 매듭 K: sn ➔ sn+2 가 포함사상(i nclus i on) l; Sn c...+ sn+2 와 동치이면 풀린 매듭 (unkno t)이라고 한다. 그리고 n 차원 고리 L 의 경우, 적당한 (n+2) －차원 공 B'1+2 가 존재해서 공의 둘레 sn+I = asn+2 와 L 이 만나지 않고 고리 성분들이 공의 안쪽과 바깥쪽에 나뉘어 들어 있으면 분리 된 고 리 (sp lit li nk) 라고 한다. 매듭그림 매듭이론을 공부하면서 가장 먼저 부딪치는 문제 중 하나는 매듭 이나 고리를 어떻게 표현할 것인가이다. 가장 쉽고 널리 사용되는 방 법이 정칙사영을이용한방법이다.이 정칙사영에 대해서 알아보도록 하자. 1 차원 매듭 K: S1 ➔ R3 은 R3 에서 단순한 닫힌 다각형 (s i m p le closed p ol yg on) 으로 생각할수 있다. 이 공간상의 매듭울한평면으로사영시 켜 표현해보자. R 떡 평면 E 로의 정사영 p: R3 ➔ E 가 주어져 있다고 하자. 이때, p (K) 의 한 점 P 에 대해서 p -l( p)는 K 의 두 점 이상을 포함할 수 있다. 이 러 한 점 P 를 다중점 (mul tip le p o i nt)이 라 한다. 또한p -1(P)nK 의 원소 의 개수가 2 인 점을 2 중점 (double p o i n t), 3 인 점을 3 중점(t r ip le p o i n t)이 라고한다. 사영평면 E 를 적절하게 선택하여 3 중점을 모두 없앤 뒤, 매듭 K 의 평면 E 로의 정사영 p: R3 ➔ E 가 다음 두 조건을 만족하면 정칙사 영 (regu lar p roj ec ti on) 이 라고 한다.
(1) 유한개의 다중점 Pi, .. . 」％이 존재하는데, 모두 2 중점이다. (2) K 의 꼭지점이 2 중점 위로 사영되지 않는다. 이때, 매듭 K 의 정칙사영 중에서 2 중점의 최소수를 매듭의 엇갈림 수 (cross i n g number) 라고 한댜 그리고 정의에 의해서 정칙사영에서는 그림 2.5 와 같은 현상이 나타나지 않는다.
뇨 7 六
주어전매듭의 정칙사영이 과연존재하는가에 대한의문은다음기 초정리에 의해 해결된다. 기초정리 2.1.3. 주어진 매듭 K 에 대한 모든 정칙사영들의 집합은 K 의 모든사영들의 집합에서 열려 있고조밀 (dense) 하다. 증명 . [Re i2 7] 과 [Bur78] 을 참조 . □ 매듭의 정칙사영이 매듭을완전히 결정하는것은아니다.즉,서로동 치가아닌 매듭이 같은 정칙사영을가질 수 있다. 그러나그림 2.6 처럼 정칙사영의 각 2 중접에서 위로지나가는선과아래로지나가는선을 표시하면 이 사영으로부터 매듭을 재구성할 수 있다 .
그림 2.6 매듭의 사영
이렇게 만든 매듭의 정칙사영을 매듭 그림 (kno t d i a g ra~) 이라고 한 댜 두 매듭그림 D 와 D' 이 같다는것은두매듭그림이 평면 E 안에서 서로 동위적(i so t o pi c) 일 때를 말한다. 2.2 라이데마이스터 변환과걸림수 이 절에서는앞에서 정의한매듭그림을이용하여 매듭들간의 동치 관계를 알아보는 방법과 간단하지만 다양하게 적용되고 있는 고리 불 변량 중의 하나인 걸림수에 대해서 살펴보도록 하자. 라이데마이스터 변환 앞의 절에서 살펴본 매듭의 동치는 전공간 동위와 같이 함수로 주 어져 있어서 주어진 두 개의 매듭이나 고리가 동치인지를 확인할 때, 전공간동위를 표현하기란쉽지가않다. 따라서 조합적으로 매듭들의 동치여부를 확인하는 방법이 필요하게 되었다. 이러한 필요에 의해 서 발견 된 변 환이 라 이 테 마 이 스 터 변 환 (Re i deme i s t er move) 이 다. 라이 데마이스터 변환은그림 2.7 에서와같이 3 가지 변환을가리키며 ,I,II, III 번 변환을차례로 라이데마이스터 변환 /,II , III 이라고부른다.
I }O-그-K)
이러한라이데마이스터 변환은당연히 전공간동위이며,또한매듭 들간의 전공간동위들은이러한라이데마이스터 변환으로표현할수 있다는 사실이 라이데마이스터에 의해서 증명되었다 ([Re i 48] 참조). 따라서 매듭 그림으로 표현된 매듭들의 동치여부를 라이데마이스터 변환만을 이용해서 쉽 게 알 수 있다. 그림 2.8 은 풀린 매듭을 라이 데마이 스터 변환을 이 용하여 표준원으 로변환하는예이다.
II
걸림수 두 개의 성분을 가지며 방향이 주어진 고리 L=KU J가 S3 안에 들어 있다고하자.그리고 L 의 매듭그림을살펴보자.J가 K 의 아래에 놓인 엇갈림에서 그림 2.9 에서와같이 부호를 정할수 있다. 이 때 , 걸 림 수(li nk i ng number) lk(K, J)를 다음과 같이 정 의 한댜
lk(K, J) = L E(c)
여기서 E(C) 는그림 2.9 에 의해서 주어지는 엇갈림 c 에서의 부호이다. 걸림수의 정의에 의해 다움과같은성질이 있음을쉽게 알수있다.
lK 一 J lK 一J
기초정리 2.2.1. (1) 두 개의 성분을 가지는 방향이 주어진 고 리 L=KU J와 L'=K'U J'이 서로 동치이면 lk(K,J )= lk(K',J' ). ((23)) llkk((K-K, J,) J =) l=k (—J , lKk() .K , J), 여 기 서 -K 는 K 의 방향을 반대 로 바꾸 어준것이댜 기초정리 2.2.1 에 의해서 걸림수는매듭그림에 관계없이 잘정의되 며 두개의 성분을가지는고리들의 불변량임을알수있다.
=0
J를J에 의해서 표현되는 H i (S3- K)의 원소라고 하자 .H i (S3- K)~ Z 이므로 a 를 이 군의 생성자라고 하면 어떤 정수 n 에 대해서 J =na 로 표현된다. 이때 ,llc(K, J) =n 으로 정의한다• 기 초정 리 2.2.2. lk(K, J) = 士 llc(K, J)
이 기초정리의 증명은J를 T{ 1(S3-K) 의 원소로 생각하고 후르바쯔 준동형사상을사용하면 쉽게 보일 수 있다. 이와 같은 걸림수의 정의를 고차원 구에 대해서도 확장시킬 수 있 댜 K 와 L 을 각각 sm 안에 들어 있는 S 과 sm-n-l 의 떨어 진 상이 라고 하자. 이때 n 은 。 ::: n ::: m-1 을 만족하는 정수이다. 그러면 넣기사상 으로부터 다음과 같은 준동형사상이 유도된다. ¢: Hn(K) ➔ Hn(Sm -L) 알렉산더 쌍대정리에 의해서 위의 호몰로지군들은 모두 Z 가 되고, ¢는 특정한 정수 k 를 곱해주는 사상이 된다. 이때 k 를 두 고차원 구 K 와 L 의 걸림수라고 하며 lk(K, J)로 표시한댜 B 를 S3 안에 들어 있는 s1 x[O, 1] 과 위상동형인 띠라고 하자. 그러면 B 의 둘레는 두 개의 성분을 가지는 고리가 된다 . 이러한 고리 L 에 대 해서 꼬임(twi s t)과 감김 (wr it he) 을 그림 2.11 과 같이 정의하자. 이때 꼬 임 에 서 양수 부호를 가지 는 꼬임 을 오른쪽 꼬 임 (rig h t twist) , 음수 부호 를 가지는 꼬임을 왼쪽 꼬임 (lef ttwi s t)이라고 부르기도 한다 .
xr+1 요 +1
꼬임수(twi s t number) T(L) 은 L 의 모든 꼬임에서 그림 2.11 에서 주 어진 부호를 더한 것으로 정의하자. 이와 마찬가지로 감김수 (wr it he
number) W(L) 도 L 의 모든 감김에서 주어진 부호를 더한 것으로 정의 한다. 그러면 lk(L)=T(L)+W(L) 이 만족됨을 쉽게 알수 있다. 이 식은 생물학에서 두 가닥 DNA 를 연구하는 데 사용하기도 하였다. 이 분야 에 관심 이 있는 사람은 [Whi6 9 , Fu178, BCW80] 을 참조하기 바란다.
그림 2.12 lk(L)=0, T(L).= I, W(L)=-I
2.3 토러스매듭 이 절에서는 토러스 (S1 xS1) 위에 놓인 매듭인 토러스(t orus) 매듭에 대해서 살펴보도록 하자. 토러스 매듭 Tp ,q는 다음과 같이 정의할 수 있다. s3 을 s1 *s1 =S1 x S1 x [0, 1)/...,• 로 생각할 때, 토러스 T 는 마지막 좌표가 R 인 점들의 집 합으로 생각할 수 있다. 이때, 서로 소인 정수쌍 @q)에 대해서 매듭 Tp. q : S1 ➔ s3 은 0 一 (p0 ,q 0, }) 로 주어진다. 이 렇게 정의된 토러스 매듭은 다음과 같은 성질을 가진다. 기초정리 2.3.1. (I) T'.비 9 ~ Tp .士! ~ 풀린 매듭 (2) T士 p.士q ~ Tp. q (3) Tp. q ~ Tq, p
토러스 매듭과 더불어 토러스 고리를 다음과 같이 정의할 수 있다. 토러스 고리 Tn p .n q는 n 성분 고리로 토러스 매듭 Tp . q를 따라서 평행하 게 n-1 개의 고리를 더해주는 것이다. 그리고 고리 성분의 방향들은 모두 같은 방향으로 준다.
종선 횡선
함수로 정의된 토러스 매듭을 기하학적으로 설명하면 다음과 같다. 토러스에서 종선 (lon git ude) 과 횡선 (meri d i an) 을 그림 2 .1 3 에서와 같이 정의하자.그러면,토러스 매듭 Tp .q는토러스위에서 종선을p번, 횡선 을 q번 만난댜 그리고 토러스 고리 Tn p , n q는 Tp ,q를 토러스 위 에서 평 행 이동을시켜서 만든 n 개의 복사본들의 집합이다. 이제 토러스 매듭에 관련된 몇 가지 사실을 알아보도록 하자. 정리 2.3.2. 토러스 매듭에서 매듭군의 중심 Z(n1(S3-Tp . q)）는 일원 소군이 아니며, 1 차원매듭들중에서는유일하게 이러한성질을가지 고있다. 증명 . [BZ 66] 참조. □ 만약 방향이 주어진 동치로 토러스 매듭울 분류하게 되면 Tp .q와 Tp . -q는 다른 매듭이 된다. T3,2 와 T3,-2 는 서로 거울대칭이며, 서로 동
치가 아닌 예이댜 이 두 매듭이 방향이 주어진 동치로 동치가 아니라 는 사실은 1914 년 덴에 의해서 밝혀졌다([D eh14]). 그러나 두 매듭은 9 장에서 소개될 부호수 불변량에 의해서 구분된다. 2.4 교각표현 이 절에서는 고리롤 표현하는 한 가지 방법 인 교각 표현에 대해서 알아보도록하자. 교각수 주어진 고리 그림에서 윗가닥 (ove rp ass) 이란 고리 그림에서 엇갈림 이 적어도하나를포함하는연결성분이다.
그림 2.14 윗가닥의 예
만약주어진 고리 그림에 윗가닥이 m 개가있다면 이 숫자 m 을고리 그림의 교각수 (br id g e numberof d i a g ram) 라고 부르며 이 고리 그림을 m- 교각 그림 (br i dg ed i a g ram) 이라고 부른다. 그리고 주어진 고리에 대 해서 최소의 교각수를 고리의 교각수 (br i dg enumberof li nk) 라고 하며, 교각수를 보여주는 교각 그림을 교각 표현 (br i dg e p resen t a ti on) 이라고 한댜그림 2 .1 5 는세잎매듭의 교각표현이다. 교각수와 같은 개념이지만 밀너에 의해서 다른 방법으로 정의된 ([Mi lSO ]) 구 비 지 수 (crookeness) 를 알아보도록 하자. 우선 매듭 K 가 매 개 벡터 함수 v( t)(t ES1) 로표현되었다고가정하자.그리고 W 를 R3 안
그림 2.15 세잎매듭의 교각표현
에서 고정된 단위벡터라고하자. 그러면 W•V (t)는 S1 ➔ R 인 연속함수 가되며 이 함수의 극대점의 개수를 셀수 있다. 이때 구비지수를 R3 안 의 모든 벡터 w 와 매듭 K 와 동치인 모든 매듭의 매개 벡터함수 v( t)에 의해서 주어지는 극대점의 개수들의 집합에서 최소값으로 정의된다. 이와 같은 정의에 의해서 교각수와 구비지수가 같은 값임을 쉽게 알 수있다. 2- 교각고리 교각수가 1 인 매듭은 풀린 매듭이므로 교각수가 2 이상인 매듭에 대한 연구가 의미를 가지게 된다. 2- 교각 고리는 1956 년 슈베르트 (H. Schube rt)에 의 해서 분류되 었다 ([Sch56]). 우선 슈베르트가 사용한 방 법에 대해서 알아보자. R2 = R2 X {O} C R3 에 대해서 p: R3 ➔ R2 를 보통사영 이 라고 하자. 그리고 R3 안에 들어 있는 2- 교각 고리 L 을 생각하자. 그러면 2- 교각 고리 L 은 다음과 같이 표현되도록 변형시킬 수 있다. LnR! !t} LnR~ 가각각두개의 가닥으로이루어져 있다.그리고p에 의해서 각가닥들은 위상동형적으로 R2 에 사영된다. 여기서 LnR! 에 들어 있는두개의 가닥 W1,W2 와 LnR 민에 들어 있는두개의 가닥 vb V2 가 다움 조건을 만족하도록 선택하자. L 과 R2 가 만나는 네 개의 점 이 A,B, C,D 일 때, w1 은 A 를 출발해서 B 까지 연결하고, W2 는 C 를 출
발해서 D 까지 연결하며 V1 은 C 에서 출발하고, v2 는 D 에서 출발한다. 그리고 전공간 동위를 사용하여 p (w;) 들을 직선으로 만들고,p (v;) 들과 p (w;) 들이 번갈아가며 수직으로 만나게 하자. 또한 그림 2.16 과 같이 p (w;) 의 엇갈림에p (w;) 에 주어진 방향의 역순으로 0 부터 2a_1 까지의 숫자를사용하여 2a 를법으로번호를달자.이와같은번호달기에 의
Cl:'+( Cl:'+ 2 20 '-2 20 '-I
해 B 와 D 는 0 을 달게 되고, A 와 C 는 a 를 달게 된다. 다움에는 0 에서 시작하여 p (v! ）을 따라 번호를 읽어보자.p (v1) 이 처음에 p (w2) 를f3에서 만났다면 두번째는p (w1) 을 2 {3에서 만나게 되며 ,n 번째에서는 nf 3에서 만나게 될 것이 다. 이 때 처음 만난 번호가 2a-k(O < k < a) 라면 f3는 _k 이댜 이러한 번호 읽기는p (v1) 이 A 또는 C 에 도달할 때까지 계속 된댜 마찬가지로p (v2) 에 대해서도 n /3식의 번호 읽기가 가능하다. 이 때 순서 쌍 (a, /3)가 서 로 소가 아니 라면 p (w i)를 따라서 모든 번호를 만 날수가 없다. 따라서 지금까지의 구성에 의해 순서쌍 (a, /3)는서로소 가되며 또한다움의 조건도만족하게 된다. a > 0, -a < f3 < a, f3는 홀수 위에서 설명한 형태의 정칙사영을 2- 교각 고리의 슈베르트 정규형식 (Schubert 's normal fo rm) 이 라고 부르 며 , 이 때 계 산된 (ex, p) 에 대 해 서 고 리 L 을 S(cx, p)로 표시한다. 그림 2.17 은 ex=5, P=-3 인 2- 교각 고리의 슈베르트 정규형식이다. 다음은 2- 교각고리에 관한여러 가지 정리들을살펴보도록하자. 정 리 2.4.1. 2- 교각 고리 S(cx, p)를 따라 가지 친, s3 의 두 겹 덮개공간 은 렌즈 공간 L(cx, p)이 다.
V2
증명. (R;,w1 Uw2) 는 3 차원 공간 안에 두 가닥이 꼬이지 않고 놓인 것이다. 따라서 W1 UW2 를 따라서 가지친 R{ 의 두 겹 덮개공간은 속이 채워진 토러스가 된다. 마찬가지로 VJ Uv2 를 따라서 가지친 R~ 의 두 겹 덮개공간도속이 채워진토러스이다.그러므로 S(a, {3)를따라가지 친 S3 의 두 겹 덮개공간은 렌즈 공간이 된다 . 이때 p (w i)들과p (v i)들의 올림이 각각속이 채워진토러스들의 횡선이 되고두속이 채워진토 러스는 순서쌍 (a, {3)에 의한 정보에 의해 붙여지므로 이 렌즈 공간은 L(a, f3)가 된다. [그 방향이 주어진 고리 L 에서 고리의 모든 성분의 방향을 반대로 만 들어준 고리를 -L 로 표시할 때, L 과 -L 이 동치이면 이 고리를 가역 (i nve rti ble) 이 라고 한다. 기초정리 2.4.2. 2- 교각 고리는 가역이다. 증명. 2- 교각 고리를 따라 가지친 두 겹 덮개공간인 렌즈 공간에서 속이 채워진 토러스의 중심선을 따라 180° 회전 시키는 위상동형사상 이 2- 교각고리가가역이 되게 하는동위를유도한다. 口
정리 분2.4조.3건. 은 a (1=) a'2,- f교3비각 = 매{ 3'듭 m So(ad, af i이) 와댜 S( a', fi’)가동치일 필요충 (2) 2- 성분 2- 교각 고리 S(a, {3)와 S(a', {3’)가 동치일 필요충분조건 은 a = a', {3비 = {3' mod 2a 이 다. 증명. 방향을 생각하지 않는 경우의 증명은 렌즈 공간의 분류와 같 댜 렌즈 공간의 분류에 대 한 증명 은 [Rei3 5 , Bro60a] 를 참조하기 바란 댜 그리고 방향이 주어진 경우는 슈베르트의 논문 [Sch56] 을 참조하 기 바란다. D 콘웨이정규형식 콘웨이는 슈베르트와는 다른 방법으로 2- 교각 고리를 표현하는 방 법을 생각해냈다. 즉 모든 2- 교각고리는그림 2 .1 8 과 같은 형식으로 변 환시킬 수 있다. 그림 2.18 에서 |a i l 는 엇갈림의 개수를나타내며, 부호 는그 엇갈림의 부호를나타낸다. 이때 a i의 부호는i가홀수이면오른 쪽 꼬임(rig h tt w i s t)일 때 양수이 며, i가 짝수이 면 왼쪽 꼬임(l e fttwi s t)일 때 양수이다. 이와 같이 표현된 2- 교각 고리 그림을 콘웨이의 정규형 식 (Conway 's normal fo rm) 이 라고 하며 C(a1 , a2, ... , an) 으로 표시 한다. 이와 같이 2- 교각 매듭이 콘웨이의 정규형식으로표현된다는사실 은교각수가구비지수와같다는사실과 s2 에서 4 개의 점을뺀곡면의 사상류군 (ma ppi ng class gr ou p)이 2 개의 생성자를 가진다는 사실로부 터 알수 있다. 이러한사실은사상류군과플랫(p la t)에 대해서 설명한 5 장에서 자세히 알아보도록 하자. 콘웨이 정규형식과 관련된 몇 가지 성질을 알아보도록 하자. 기초정리 2.4.4. (1) s= 士 1 일 때, C(a1,a2, ... ,an) 과 C(a1 , a2, ... , an +s, -s) 은 방향을 보존하는 동치 이 다. (2) s = (-l)n-1 일 때, C(an , … , a2, a)) 과 C(sa1 , sa2, ... , a% ）은 방향 을보존하는동치이다.
邑 급n三: 짝수
(3) C(a1 , a2, ... , an) 의 거 울상은 C( 국 2 J ' 크 12, ... ' ―어)이 다. 정리 2.4.5. ex 와 f3를 다움의 연분수에 의해서 주어지는 서로 소안 정수라고 하면, C(a1,a2, ... ,an) 을 따라 가지친 S3 의 두 겹 덮개공간은 렌즈 공간 L(cx, f3)이 다. a—f3 =a -1, +• a 균 ..l . 국 정리 2.4.6. 정수들의 집합 (a1,a2, ... ,a 사과 (b1,b2, .. , ,bm} 에 대해 서 a i와 bj 들이 모두 양수이거나모두음수이며, |ai l, la 사, |b 사, |b 미들이 모두 1 이 아니라고 가정하자. 그러면, 2- 교각 고리 C(a1,a2, ... ,an) 과 C(b1 , b2, … , bm) 이 방향을 보존하는 동치 일 필요충분조건은 n=m 이며, a;=b; 또는 a;=Bbm-i 이다. 여기서 e=(-1r-1 이다.
제 3 장 여러 가지 다항식 불변량 방향이 주어진 고리에 적당한 다항식을 대응시키는 방법은 고리의 불변량을 연구하는 데 있어서 중요하다. 죽 고리로부터 다항식을 얻 되, 같은 고리의 서로 다른 매듭 그림으로부터 구한 다항식들이 같은 다항식이 되게 하는 대응방법을 연구하는 것이다. 따라서 같은 다항 식을 갖는다고 해서 같은 같은고리인 것은아니나서로다른다항식 을갖는두고리는서로달라지게 된다. 좋은 다항식 불변량이란서로 다른 고리를 더 잘분류해내는 다항 식이라 할 수 있다. 최초의 다항식 불변량은 1928 년에 발견된 알렉 산더 다항식 (Alexander p oly nom i al) 이었다. 40 여 년이 지난 1969 년 콘 웨이 (Conwa y)에 의해서 실타래 이론 (ske i n t heo ry)을 이용하여 알렉산 더 다항식을좀더 쉽게 계산할수 있는 획기적인 방법이 소개되었다. 1984 년 뉴질랜드의 수학자 존스(Jo nes) 에 의해 새로운 형태의 다항식 불변량이 개발되었다. 이 다항식을 존스 다항식(Jo nes p oly nom i a[) 이라 부르는데 이 후 많은 수학자들에 의 해 다항식 불변량이 연구되 었다. 이 중 대표적인 것으로서 카우프만 다항식 (Kauf fm an p oly nom i a[) 과 2 변수
존 스 다 항 식 (two varia b le Jo nes p oly nom i al) 이 있 다. 그 렇 지 만 아직 모 든고리률분류해내는완전한다항식 불변량은 알려지지 않았다. 3.1 콘웨 이 (Conway) 다항식 이 절에서는콘웨이 다항식의 계산방법과이 다항식의 계수 들 의 의 미를살펴본다. 콘웨이다항식의정의 콘웨이 다항식은 다음 세 가지 공리를 만족하는 다항식이다. 공리 l 방향이 주어진 고리 K 에 유한 차수 정수 계수 다항식 VK(Z) E Z[z] 를 대응시키는데, 서로 동치인 매듭이나 고리는 같은 다 항식에 대응된다. 즉 K~K'= 수 VK=VK ' · 공리 2 만약 K~O( 풀린 매듭)이면 VK= 1 이댜 공리 3 세 개의 매듭이나 고리 K , KL 이 한 엇갈림 부근에서만 그림 3.1 과 같다X면 VKK-Vr= zvLX 이 성K립한다. ><
L
따라서 K 에 대하여 정수 계수 다항식 VK(Z) = ao(K ) + a 1( K)z + a2( K)군 + ..• 가대응되는데 각 n=O, 1… . . 에 대하여 an( K) EZ 는 K 의 불변량이 된다. VK(Z) 는유한차수이기 때문에 충분히 큰 정수 n 에 대하여 0=an(K )=
Gn+1(K)=··· 이다. 앞으로 살펴보겠지만 ao,a, 을 제외하고는 이 계수 들을 쉽게 파악하기 힘들고 기하학적으로도 설명하기 어렵다. 공리 3 에서 Gn+I(K)-Gn+I(K)=Gn(L) 임을 알수 있는데, 이 식으로 부 터 Gn+1(K) 가 어 (K) 와 관계가 있다는 것을 알 수 있다. 이제 이 성질을 이용하여 ao, a,, a2 의 의미를 살펴보고 나아가서 위의 공리체계가 모 순이 없다는 것도 알아본다. 기초정리 3.1. 1. 분리 가능한 고리의 콘웨이 다항식은 0 이다. 증명. L 이 분리 가능하다고 하자. 그러면 L 의 그림을 그림 3.2 의 오 른편과 같이 생각할 수 있다. 공리 3 에 따라 고리 K 와 K 를 얻을 수 있 댜 K 와 K 는 2 元희전에 의하여 서로 동치이다. 공리 l 에 의해 K 와 K 는 서로 동치이댜 따라서 공리 l 에 의해 VK=VK 가 성립한다. 0= VK-vF=zvL 이므로 VL=0 이댜 口
!
예를 들어 세잎매듭 (Tre foil )K 의 콘웨이 다항식을 계산해보자. VK-Vx=zVL K~0==}Vx=1 VK= I+zVL VL- 판 =zvw w~0=Vw=l
K K L
t이 분리 가능 =>VE=O 따라서 VL=z 그러므로 세잎매듭의 콘웨이 다항식은 1+ 균이다. 비슷한 방법으로 하면 화이트헤드 (Wh it ehea d) 고리의 콘웨이 다항 식은군이댜
-L
따라서 화이트헤드 고리와 풀린 고리는 서로 다른 고리임을 알 수 있댜 이들은 걸림수로는 구별해낼 수 없는 고리들이었다. 고리의 성분수와관계해서는다음의 기초정리를 얻을수있다. 기초정리 3.1. 2. K 가 n 개의 성분수를갖는고리이면 K 의 콘웨이 다 항식의 최고차항의 차수는 n-1 이하이다.또한매듭의 콘웨이 다항 식은 모두 짝수차 항으로 구성된다. 콘웨이 다항식의 계수둘의 의미 이제 콘웨이 다항식의 계수 ao,a1 의 의미를 살펴보도록 하자. 앞으 로 별다른 언급이 없으면 이 절에서의 다항식은 콘웨이 다항식을 말 한댜 호프 고리의 다항식은 z 이댜
그림 3.5 호프고리
엇갈림이 2n 개인 고리를 Ln 으로 표시하자. 그림 3.6 은 뇨의 콘웨이 다항식 계산과정을나타낸다.
L2 L—l w
따라서 E~L1 이고 W~ U( 풀린 매듭)이댜 그러므로 뇨의 다항식 은 2z 가 된댜 같은 방법으로 귀납법을 이용하면 VL,, =nz 가 됨을 알수 있댜 llc(L, ,)= n=a,(L,, ) 이므로 a1 과 걸림수가 관계 있다는 것을 알 수 있다. 이것을 살펴보기 위해 매듭 또는 고리 L 의 불변량인 C( L) 을 다 움과 같이 정의하면 정리 3. 1. 3 을 얻을 수 있댜 C(L) = { 1, L 이 하나의 성분을 가질 때, O,L 이 두개 이상의 성분을가질 때. 정리 3.1.3. 매듭또는고리 K 의 콘웨이 다항식의 상수항과일차항 의 계수를각각 ao(K),a1( K)라고하면다음이 성립한댜 (1) ao(K ) =C (K) (2) aKK ) = { llc(K), K 가 두 개의 성분을 가질 때, 0, 그렇지 않은경우. 증명 (1) K, K, L 이 공리 3 을 만족하고 있다고 하자. 그러면 ao(K )- ao(K) = O 임을 알 수 있다. 따라서 ao 는 엇갈림을 바 꾸는 변환 (sw itc h i n g)에 대해 불변이다. 그런데 K 의 적당한 엇 갈림을 바꾸면 K 는 풀린 매듭 또는 풀린 고리가 된다. 따라서 ao(K ) = 1 또는 0 이 댜 따라서 ao(K) = C(K ) 가 성 립 한다. (2) K,K,L 이 공리 3 을 만족한다고 하자. (1)에 의해 a1(K )-a 1(K)= ao(L)=C( L) 이 성립한다 .K 가두 개의 성분을가지면 엇갈림점 을 잘 선택하여 L 이 하나의 성분을 가지도록 할 수 있다. 따라 入1 a1(K) = a1(K )+ l K 에 같은 방법을 적용하면, a)(K ) = a1(=K) 士 1. 이 과정을 K 가분리된 고리가될 때까지 하면 걸림수의 성 질에 의해 원하는 결과를 얻을 수 있다.
또한 K 가하나의 성분을갖는다면 L 은두개의 성분을갖는 댜 a1(K)=a1(K) 가성립하므로(1)의 경우와비슷하게 결과를 얻게된댜 □
이제 매듭 K 에 대하여 a2( K)를 얻는 방법을 살펴보자 . K,K,L 이 그
이러한예를볼때따는매듭의 엇갈림들에서 유도되는걸림수를계 산한것임을알수있다 . 이제 a2 의 계산에 필요한몇 가지 기호들을살 펴보자.i번째 엇갈림에서의 부호를바꾸어 얻은매듭을 S;K 로표시한 댜 또i번째 엇갈림을 없애서 얻은고리를 E;K 로표시한다 . 마지막으 로€i K 는i번째 엇갈림의 부호를나타낸다고하자(그림 3.8).
S(X)=X E(X)=X
그러 면 공리 3 은 다음과 같이 나타난다. an+l (K) -a n+l (S;K ) = E;(K )an (E;K )
먼저 매듭 그림의 엇갈림 중 풀린 매듭으로 바꾸기 위해 필요한 엇 갈림을 알아내는 표준 알고리듬을 알아보자. 주어진 유향매듭 K 의 정칙사영을그린 다음이 정칙사영 위에 한점 p(기준점)를 선택하자. 주어진 매듭의 방향을 따라 정칙사영 위를 이 동하면서 처음 만나는 엇갈림을 위로 지나는 엇갈림으로 만들자. 이 렇게 만들어진 매듭 그림을 KP 라고 표시하자(그림 3.9). 그러면 KP 는 풀린 매듭임을알수있댜 이때 KP 는기준점의 선택에 따라달라진댜
그림 3.9
이 렇게 얻은 KP 와 K 의 엇갈림을 비교하여 달라진 엇갈림이 모두 n 개 있다고 하자. 그리고 이 엇갈림에 번호 1,2,3,••· ,n 을붙이는데 기 준점으로부터 방향을 따라 이동하면서 처음으로 달라진 엇갈림에 n 을붙이고순차적으로 n-1,n-2, ... ,2, 1 을붙인다. 그러면 엇갈림의 부호 바꾸기 변환 S1,S2,··· ,Sn 을 얻는데 SnSn-1 ··-S1K=KP 임을 알 수 있다. 이렇게 얻은 엇갈림의 부호 바꾸기 변환을 주어진 매듭을 풀린 매듭으로 변환하는 표준열 (unkno tti ng s t andardse q uence) 이라 부른다. 이때 표준열은주어진 매듭의 정칙사영과기준점의 선택에 따라달라 진다 .KP 와 K 가서로다르다고가정하고이 둘사이의 관계를좀더 살 펴보자 .K 의 기준점p에서 방향을따라이동할때 제일 처음만나는아 래로 지나가는 엇갈림을 i로 이름붙이자. 그러면 i 는 KP 에서 위로 지 나가는 엇갈림이 될 것이다• 죽 i 는 K 에서 KP 로 변환할 때 최초로 바 뀌는 엇갈림이다. 이때 기준점이 엇갈림 i바로앞에 있다고가정하자.
즉 기준점 p를 지나 처음으로 만나는 엇갈림이 바뀐다. 이때 EiK p 는 분리 가능한 풀린 고리 (sp lit un li nk) 가 된다. 엇갈림 i를 제거하면 2 개 의 성분을 갖는 고리를 얻을 수 있는데 기준점을 포함하는 성분은 다 른 성분과의 모든 엇갈림에서 아래에 놓이게 된다. 유향매듭 K 가 주어졌다고 하자. 기준점 p를 잡고 풀린 매듭으로의 표준열 S1,Sz, ... , Sn 을 얻자. 그리고 K 의 i번째 엇갈림의 부호를 간 단히 € i 라 쓰자. X; = E;S ; -1S;-2 • • -Si K (i = 1, 2, • • • , n) 이 라 두자. 이 때 a(K) 를 E'il=l € J k(X i)로 정 의 하자 . 기초정리 3.1.4. K 를 방향이 주어진 매듭 그림이라고 하면 a( K)는 K 의 기준점의 선택에 무관하댜 증명. 주어진 기준점 p에 대하여 계산된 a( K)를 a(K, p)로 쓰자. 기 준점p가매듭그림 위를움직여 a 값이 바뀔가능성이 있는경우는엇 갈림을 지날 때인데 두 가지 경우가 생긴다. (경우 1) p가아래로 지나가는 엇갈림을통과하는_ 경~우._ _
-;-|느K p Kp
그림 3.10 에서 알수 있듯이 S1,S2,··· , S 군] K 의 KP 로의 표준열이라 고 하면 S1,S2,··· , Sn-l 은 새로운 기준점 q에 대한 K 의 K q로의 표준열
이 된댜따라서, a(K,p) -a (K, q) = En € i 1k(Xi) _ En-1 €i lk(Xi) i= l i= l = En lk(Xn) = Elk(EnSn-l • • ·S1K) SnSn-1 • • ·S1K=KP 이므로 EnSn-1 • • ·S1K= EnKP 이 댜 EnKP 는 분리 가 능한 풀린 고리 이 므로 lk(EnKP) = 0 이 다. 따라서 a(K,p ) = a(K, q). (경우 2) p가위로 지나가는 엇갈림을통과하는 경우.
p |I -i K p |I i 균
서로다른성분이 만나는엇갈림을걸림이라고하자.그림 3.11 에서 와 같이 p가통과하는 엇갈림은 처음 만나는 아래로 지나가는 엇갈림 이 아니므로 i로 이름붙인다. Sn,Sn-1, … ,S;, ... ,S1 을 K 의 K q로의 표 준열이 라고 하면 K 의 KP 로의 표준열은 Sn, Sn-1, … , S;+1, Si- l, • • · · S1 이 된다 . a(K, p)― a(K, q)를 계산하자 .a(K, p)와 a(K, q)의 처음부터 i -l 번 째 항까지는모두 같고 E;lk(E;S;-1···S1K) 는 a(K, q)에만 있다• 다음 항 들의 차이의 합은 E;lk(E;S;-1 ···S1K) 임을 알 수 있다• 즉, Ei+ k lk(E;+kSi+ k -1 • • ·S;+1S;-1 • • ·SiK )-E ;+klk(E;+kSi+ k -1 • • ·S;+1S;S;-1 ' ' ·S1K )
이 차이 값은 E;+k 이 고 차이 가 나는 경 우는 i번째 엇 갈림 이 E;+kSi+ k -1 • • • S;+1S;-1 ···S1K 의 걸림이 될 때이댜 즉 i가 E;+kK 의 걸림이 될 때인데 i가 E;+kK 의 걸림이면 i +k 는 E;K 의 걸림이 됨을 알 수 있댜 lk(X )- lk(S;X) = E;C (E ;X) = E ；이 므로 a(K, p) -a (K, q) = -E; lk(E;S;-1 • • • S1 K) + E; 6. . 여기서 A 는 i+ k 엇갈림이 E;K 의 서로 다른 성분의 엇갈림이 될 때 의 E;+k(k= 1,2,· .. ,n- i)들의 합이다. E;SnSn-1 ... s;+1S;-1···S1K 는 풀 린 고리이댜 따라서 SnSn-1···S;+1E;S;-1···S1K 도 풀린 고리이고 A 는 E;S;-1···S1K 을 풀린 고리로 만드는 엇갈림의 부호를 더한 것이므로 A 는 lk(E;S;-1 .. ·S1K) 를 계산한 것이다. 따라서 a(K,p ) -a(K,q) = 0. □ 정 리 3.1.5. K 를 유향매듭의 매듭 그림 이 라 하면 다음이 성 립 한다. (1) a(K) 는라이더마이스터 변환에 의해 변하지 않는불변량이다. (2) K,K,L 이 공리 3 과 같은 관계에 있을 때 a(K) -a (K) = lk(L) = a1 (L) 이 성 립 한댜 따라서 a(K) = a2( K)이 댜 증명. (1) a 는기준점의 선택에 무관하므로라이더마이스터 변 환이 일어날 때 새로 생기는 엇갈림이 표준열에 포함되지 않 도록 기 준점 을 잡으면 된다(그림 3.1 2 ). (2) 기준점을 그림 3.13 과 같이 잡으면 기초정리 3 ..1.4와 같은 방 법으로 증명 가능하다. 마지막으로 a( K)는따(K)에 관한 공리 롤 모두 만족하므로 a(K ) = a2( K)가 성 립 함을 알 수 있다• □ 따라서 a2(K) 는 적당한 걸림수의 합임을 알 수 있는데 걸림수는 바 로 콘웨이 다항식의 1 차항 계수이다. 따라서 다항식의 2 차항이 적당 한매듭또는고리의 1 차항계수의 결합으로얻어짐을알수있다.비
xx그그림림 33..11 32 ><
슷하게 3 차항의 계수도 적당한 매듭이나 고리의 2 차항 계수로부터 얻 어짐을 알 수 있다. 이와 같은 방법을 귀납적으로 적용하면 콘웨이 다 항식의 임의의 계수가 잘 정의되는 불변량임을 보일 수 있고 따라서 공리체계가모순이 없다는것을증명할수있다 . 3.2 실타래 이론 이번 절에서는콘웨이에 의해 도입된실타래 이론을이용하여 콘웨 이 다항식에 대한몇 가지 유용한공식을 얻는다. 실타래기호 매듭 또는 고리 A,B,C 가 한 엇갈림 근처에서만 다움 그림과 같이 서로다르다면 A=BEBC 또는 B=AeC 로표기하자.
><
이 기 호를 사용하면 콘웨 이 다항식 의 공리 3 은 VBec = VB +zVc 또 는 VAec= VA-Z 짜로 쓸 수 있댜 ®와 e 는 결합적이지도 가환적이지 도 않댜 이 때 Z[z] 의 두 다항식f,g에 대해 ®와 e 를f EB g=f+zg,f 0 g= f-zg로 정의하면 다음 식을 얻을 수 있다. VAEBB = VA EB VB VAeB=VA0VB 여기서 ®,e 를실타래 기호 (ske i nno t a ti on) 라고하는데 이 실타래 기호 를 이용하여 세잎매듭의 콘웨이 다항식을 계산하면 그림 3.15 에 의하 여 K = KEBL = UEB( 표 U)이므로 짜 = Vu EB(VrEBVu) = 1 +z(O+z) = l+ 균이댜
K K L
실타래이론 A~A',B~B',C~C' 일 때 ,A' , B',C' 이 콘웨이 다항식의 공리 3 을만 족하면 A =BEBC 로 표기하기로 하자. 그런데, B ~B' 이고 C ~ C' 이 라해서 BEBC 과 BEBC 가위상동형이라고 말할수 없다. 따라서 다움 과같은개념을도입한다. B EB C 이 B' EB C' 과 실 타 래 동 치 (skein e q u i valence) 라는 것 은 B' ~ B 이고 C' ~ C 일 때이댜 기호로는 BEBC ~skB'EBC' 으로 표시 한댜 정의에 의해 K~skK' 이면 VK=VK' 이 됨을 알 수 있고, 따라서 r 를 실타래 동치 류들의 집 합이 라고 할 때 콘웨 이 다항식 V : r/sk ➔ Z[z] 는 잘정의된준동형사상이다. 여기서 Z[z] 의 연산은 e,e 이다.풀린 매듭 이 아닌 매듭 중에서 풀린 매듭과 실타래 동치인 매듭이 있지는 아직 해결되지 않은문제이다.
실타래구성
그러면 모든 매듭 또는 고리 K 를 Un 들과 ®,e 의 기호를 써서 표시 할 수 있다. 예를 들면 세 잎매듭 K 는 U1 EB (U2 EB U1) 로 표시 된다. 이 렇 게 K 를 Un 들과 e, e 의 대수적 결합으로 나타낸 것을 K 의 실 타래 구 성 (skein decomp os iti on) 이 라 부르고 Un 들을 실타래 구성 의 실 타 래 생 성 자 (ske i n g enera t or) 라 부른댜 예 를 하나 더 들어 보자. E 를 8 자 매 듭이라고 하면 그림 3.17 로부터 E=E®L= Ul ®(LeW) = UI e(U2e ul) 임을 알수 있다.따라서 콘웨이 다항식을 계산해보면 VE=1$(08 1) = 1 +z(O-z) = 1- 균이다.
그림 3.1 7 8 자 매듭의 콘웨이 다항식 계산 과정
기초정리 3.2.1. 매듭 또는 고리 K 는 항상 실타래 구성을 갖는다. 따라서 콘웨이 다항식은공리 1 , 2,3 으로부터 계산가능하다. 증명. K 가매듭이면풀린매듭으로의표준열이존재하며 ,K 가고리 이면 적당한 가닥바꾸기를 통해 풀린 매듭으로 구성된 분리 가능 고 리로 변환할 수 있다. 따라서 K=Ko 를 한번 가닥바꾸기한 것을 K1 이 라쓰고 S(K i )=K i +I 로쓰면 열 K=Ko,K1,K2, ... , Kn 을 얻는데 Kn 은 실타래 생성자이다. K; 은 K를 엇갈림이 바뀐 곳에 서 엇갈림을풀어헤쳐 만든것이고 E i를엇갈림의 부호라고하자 .XEB _Y=XeY 라고 정의하면 다음을 얻을 수 있다.
K = Ko = K, EBE1K; = K2 EBE2K~ EBE1K; = ••• =K,,e€nK,1圈 @E1K; 따라서 Kn 과 K;, ... ,K麟 으로구성된 K 의 실타래 구성을 얻었댜 K 의 엇갈림수에 관한수학적 귀납법을이용하면 K;, ... ,K:, 이 모두실타래 구성이 되었다고할수있으므로 K 의 실타래 구성울얻을수있다 . D 실타래 구성이 존재한다는사실과 엇갈림수에 관한수학적 귀납법 을이용하여 다움의 기초정리를증명할수있다 . 기초정리 3.2.2. L,L' 울 방향이 주어진 고리라고 하고 K를 K 의 거 울상이 라고 하면 다음이 성 립 한다. (l) VL #L ' = VLVL' (2) L* 를 L 의 모든 가닥의 방향을 바꾼 것 이 라면 VE = VL (3) VL! ( z) = VL( 국) (4) L 이 A 개의 성분을 갖는 고리이면 Vi ( -z) = (-1/+1VL(Z) 이다. 특히 VL!(z) = (— l)A+1VL 증명 . (1) L' 에 관하여 기초정리 3.2 .1의 증명에서와같은열 L'= L~,L;, ... ,L냄 을 생각하자. 그러면, VL#L, = VL#Li e €l zvL#L,{ = VL #L \ EB E1 Z 'v L V L '{ = VL #L ,,, © EnZ ilL i lL;; EB • • • EB E1 Z VL VL,{ = VL ilL;, EB EnZ ilLV L~ EB • • • EB E1ZVLVL,{ = ilL( il L;, EB EnZ ilL ilL;: EB • • • EB E1 Z VL VL,{ ) =VLV~ 나머지 정리들도위와같은방법으로중명할수있다. □
따름정리 3.2.3. L 이 짝수개의 성분을 갖는 고리이고 VL-:/0 이면 L 과 E 은동치가아니다. 3.3 존스 다항식 과 상태 모델 이 절에서는 괄호 불변량 (bracke t i nvar i an t)과 존스 다항식을 소개 하고 이 존스 다항식에 대한 상태 모델 (s t a t e mode[) 을 구성한다. 이 모델은 방향이 주어지지 않은 고리의 정칙 동위 불변량인 괄호 다항 식 (bracket p oly nom i al) 과 관련 이 있는 데 괄호 다항식 은 아주 간단한 상 태 모델을 갖는다. 그리고 괄호 다항식으로부터 존스 다항식을 정의하 여 상태 모델과의 관계를 살펴보기로 한다. 괄호다항식 한 고리 그림을 라이데마이스터 변환 2 와 3 만을 적용하여 다른 고 리 그림을 얻을 수 있을 때 두 고리 그림이 서로 정칙동위적 (reg ular i so t o pi c) 이 라 한다. 방향이 주어 지 지 않은 고리 그림 K 에 대 한 괄호 다 항식을 (K 〉로 쓰기로 하고 A,B,d 를 세 변수로 두면 (K) 는 다음의 세 관계식을 만족하는 다항식으로 정의된다. (1) (0>= 1 (2) (Q U K) = d(K> (3) （又〉 =A(>=<)+B()() 위에서 0 은 엇갈림이 없는풀린 고리이고 u 은분리된고리의 합을 나타낸댜 먼저 위와 같이 매듭 그림으로부터 정의된 괄호 다항식이 관계식 (3) 을 적용하는순서에 관계없이 잘 정의됨을보이자. 위로지나가는가닥을시계 반대방향으로돌려 아래로지나가는가
닥과 겹쳐놓을 때 쓸고 지나가는 부분을 A 로 이름붙이고 나머지 부분 을 B 로이름붙인다(그림 3.18). 관계식 (3) 은이러한규칙을필요로한 다.
※B※
U 를매듭 K 의 정칙사영이라두고각꼭지점에서 두영역을잇는표
따라서 주어진상태의 각꼭지점에 있는분리 표시대로분리하면서 로 만나지 않는 원들을 얻을 수 있다.
매듭그림 K 와상태 S 에 대하여 (KIS 〉를다음과같이 정의하자.여기 서 i는A 부분을 잇는분리 표시의 개수이고j는 B 부분을 잇는분리 표 시의 개수이다. (KIS> = Ai fi U 를 상태 S 에 따라 분리해서 만들어진 원들의 개수를 |SI 으로 표시 하자 그러면 매듭그림의 한상태가괄호다항식의 계산에 영향을미 치 는 부분은 다음과 같다.
夏〉 =AB< )(>+ (ABd+A2+B2)(>=<).
보조정리 3.3.3. 괄호 다항식이 라이데마이스터 변환 2 에 대해 불 변이면 라이데마이스터 변환 3 에 대해서도불변이댜
증명. (>`>== AA((令)A<、사 〉〉 ++BB(( 꿉〉&간)〉= (〉/,〉. 口
그러므로 변수를 B=A - 1,d=-A2-A - 2 과 같이 잡으면 〈 K 〉는 변수
따라서 아래와 같이 수정된 세 개의 관계식으로 만들어진 괄호 다 항식은 방향이 주어지지 않은 고리에 대해 정칙 동위 불변량이 된다 .
(1) 〈이 = l
방향이 주어진 고리에 대한 정칙 동위 불변량인 꼬임수(twi s t num ber) 를 이용하여 괄호 다항식을 라이데마이스터 변환 1 에 대해 불변
이 되도록 만들자. 이 수는 매듭 그림의 엇갈림의 부호를 더한 것으로 서 w(K) 로 쓴댜 이 제 로랑 다항식 f[K]를 다음과 같이 정 의 하자. f[K] = (-A)-3w
C1 V( 'x_)-tV V( '(xO)) == ( ,ll t- 1)V( >=< )
존스 다항식 VK( t)는f[K]로부터 다음 정리와 같이 얻어진다. 따라서 존스 다항식은 전공간동위 불변량이다.
정 리 3.3.7. VK(t) =f[K ](r114).
교대 고리 (Al t erna ti n g link s) 교대 고리 그림 (al t erna ti n g li nkd i a g ram) 이 란 각 성분의 한 방향을 선 택하여 그방향을따라진행할때 윗가닥과아랫가닥이 번갈아나타나 는고리 그림이다·교대 고리란교대 고리 그림을갖는고리를 말한다. 교대 고리의 경우흰색과검은색으로 영역을 칠했을 때 그림 3.20 과같 이 체커판무늬가된다.
그림 3.20
이제 괄호다항식을교대 고리에 대해 응용하여 얻어지는결과를알 아보기로하자 .
먼저 각 엇갈림에서 생각할 수 있는 4 개의 부분 중 두 부분이 같은 영 역 에 속하는 엇 갈림 이 하나도 없는 고리 그림 을 기 약 (reduce d)이 라 고한다. 다음 결과는 교대 고리 그림에 대한 괄호 다항식의 최고차항과 최 저차항의 차수와계수에 대한결과이다. 기초정리 3.3.8. K 를 교대 매듭 또는 연결되고 기약인 교대 고리의 고리 그림이라고 하고 A 로 이름붙여진 곳을 검은색으로 칠하자. 그러 면 〈 K 〉에서 변수 A 의 최고 차수는 V+2(W-1) 이고 계수는 (-l) W-1 이 다. 여기서 V 는 K 의 엇갈림수이고 W 는 칠해지지 않은 영역의 개수를 나타낸다. 차또수는한 B— 가V—검 2은(B 색— 으l)로 이 고칠 해계진수 는영 역(-의l)B -개1 수이다를.나 타낸다고하면,최저 증명. S 를 각 엇갈림에서 A- 방향으로 분리하여 얻은 K의 상태라고 하자. 그러면 (KIS> = Av 이고 |Sl =W 이댜 따라서 이 상태는 (K)의 전 개에 다음과 같은 기여를 한다. (KIS> dlS l-1= Avdw-1 여기서 d= ― A2-A-2 이므로 상태 S 의 최고차 항에 대한 기여는 V+ 2(W-1) 이댜 이제 임의의 상태 S' 을 생각해 보자 .S' 은 S 의 적당한부분집합의 분 리 표시를 바꿔 얻을 수 있다. 따라서 S (i +l) 을 상태 S( i)로 부터 하나 의 분리 표시를 A 에서 A-I 로 변환시켜 얻은 상태라고 하고 S=S(O), S' = S(n) 이라 두면 열 S(O),S(l) , ... ,S(n) 을 얻는다. 유형이 A-1 인 분 리 표시는 괄호 다항식 전개에 (1 /A) 만큼 영향을 주므로 (KIS( i+ 1))+ A-2(KIS( i)〉가 성립함을 알 수 있다. 하나의 분리 표시를 바꾸는 것 은 분리를 다 한 상태의 성분의 개수에 많아야 1 의 영향을 미치므로 IS (i +1)1 과 |S (i )I 의 차이는 많아야 1 이다. 따라서 S( i +1) 의 최고차항의
차수에 대한 영향은 S( i)의 영향보다작거나 같다. 그러나 K 가 연결되고 줄여진 고리 그림이므로 S 의 임의의 분리 표 시를 하나 바꾸는 것이 |SI 를 줄이므로 S(O) 로부터 S (l)로의 변환이 최 고차항에 영향을주지 못한다. 따라서 괄호 다항식의 최고차 항의 차수는 바로 상태 S 로부터 결정 되고다른상태로부터 영향을받지 않는다. D 고리 그림 중 엇갈림의 개수를 최소로 갖는 고리 그림을 최소 고 리 그림이라 하고 이때의 엇갈림의 개수를 고리의 엇갈림수 (cross i n g number) 라 정 의 한다. 정리 3.3.9. 교대 고리의 기약 그림은 최소 고리 그림이며 그 역도 성립한다. 따라서 한 고리에 대한 연결되고 줄여진 두 고리 그림은 같은 엇갈 림수를갖게된다. 증명 . {3(K) = maxdeg (K > _ mi nde g (K 〉로 정 의 하면 {3(K) = (V+2W-2)-(-V-2B+2) =2 V+2(W+B) —4. W+B 는매듭그림의 영역의 개수이고이것은 V+2 와같다.따라서 {J(K) = 2V+2(V+2) 一 4 = 4V D 임의의 고리 그림 K 에 대해서는 부등식 f3(K) 츠 4V 가 성립함을 알 수 있다([Thi 8 까 [M ur8 까). 교대 고리의 거울 대칭성 (ch i ar lity) 기초정리 3 .3.8 의 응용으로방향이 주어진교대 고리가자기 거울 대 칭 (ach i ra l)일 필요조건에 대하여 알아보기로 하자.
정리 3.3.10. K 를기초정리 3.3.8 에서와같이 주어진 연결되고기약 인 교대 고리 그림이라고하자 . K 의 꼬임수를 w 라하자. 이때 K 가 K 와 전공간동위이면 3w=W-B 가성립한다. 증명 존스 다항식에 대한 정리 3.3.7 과 기초정리 3.3.8 을 이용하면 다항식 f [K] 의 변수 A 에 대 한 최 고 차수 max (f)와 최 저 차수 mi n (f)에 대해 다음이 성립함을 알수 있다. max(f ) = -3w+V+2(W-1) min( f ) = -3w-V -2( B-1 ) K 가 자기 거 울 대 칭 이 므로 -min( f ) = max (f)가 성 립 한다. 따라서 , 3w+V+2(B-l) = -3w+V+2(W-l). W+B=V+2 임을 이용하면 3w=W-B 를 얻을수 있다 . 口 따름정리 3.3.11. K 를연결되고기약인교대고리그림이라고하고 T=lw(K)I 라하자 .K 가풀린 고리가아니고 T 츠 -V3 이면 K 는자기 거울 대칭이 아니다. 그러나 3w( K) =W-B 를만족시키는자기 거울대칭이 아닌교대 매 듭이 존재한다.따라서 이 조건은자기 거울대칭이 되기 위한충분조 건은 아니다. 그림 3 . 21 은 그 예인데 부호수 계산(제 9 장 참조)에 의해 서 자기 거울대칭이 아님을알수있다. 또한 교대이면서 꼬임수 0 을 갖는 씨(pri me) 매듭 중 자기 거울 대 칭이 아닌 매듭을 얻을 수 있다. 그림 3.21 의 맨 윗줄의 엇갈림 두 개 롤 없애면 된다. 그러나 에리카플라판 (E ri caFlap an) 은 비교대 매듭인 10125[ 롤프슨 (Rol f sen) 의 표]가 위 의 성 질들을 만족함을 보였다. 다음은 기약교대 고리 그림에 대한꼬임수불변량에 관한무라수 기 (Murasu gi)와 시슬스웨이트 (Th i s tl e th w ait e) 의 결과이다. 이는 정리
_ _ x+ _ + _ _
3.3 .1 0 에서의 연결성을 제거한 명제이다. 정리 3.3.10 에서는 자기 거 울 대칭이기 위해서 B=W 라는사실이 필요했었다. 정리 3.3.12. K 를 연결되고 줄여진 교대 씨 고리 그림이라 하고 꼬 임수 0 을 가지며 자기 거울 대칭이라 가정하자 . 그러면 두 평면 그래 프 B( K)와 W(K) 는 서 로 동형 이 댜 여기서 B( K)는 검은 영역으로부터 얻어진 그래프로 각각의 검게 칠 해진 영역에서 한점을선택하고두 점을 엇갈림을통해 연결한그래 프이댜 W( K)는 B(K) 의 쌍대 (dua[) 그래프로흰 영역에 대해 비슷한방 법으로 얻어진 평면 그래프이다. 존스고리와교대고리 엇갈림의 수가 10 개 이하인 모든 고리들은 서로 다른 존스 다항식 을갖지만존스다항식은 완전한다항식 불변량이 아니다. 그러나아 직까지 존스다항식이 1 인플리지 않은고리가있는지는알려져 있지 않다 .
L 이 데 의 성 분을 갖는 고리 이 고, VL(t) = (크 1/2 _ t-l /2i -l 이 면, L 을 존스(J ones) 고리라고 한다. 고리 L 의 차수폭 f3 L 은 Vi (t)의 최고 차수와 최 저 차수의 차이 이 다(정 리 3.3.9 참조). 기초정리 3.3.13. 두 개의 고리 L1, ＆에 대해 다음이 성립한다. 여 기서 u 은 고리들의 떨어진 합 (split un i on) 을 나타낸다. (l) VLl# 뇨(t) = VLI v& (2) VLIU&(t) = (-t-1/ 2 -t1/2) VLl v& 따라서, f3L 1#L2 = 阮 +f3& f3L 1 UL i = f3L 1 + f3Li + 1 따라서 고리의 차수폭을 연구하기 위해서 분리 가능하지 않은씨고 리들만 연구하면 충분하다. 이제 다음의 물음에 대해 생각해보자. L 이 메의 성분을갖는분리 가능하지 않은고리일때,f3L 츠 21-2 이 성립하는가? 사실 위 물음은교대 고리에 대해서 참이지만아직 모든고리에 대 해 성립하는지는 알려져 있지 않다. 앞 절에서 보았듯이 교대 고리 그림이 기약 (reduce d)이면 이 고리 그 림은 최소 고리 그림이다. [Kau87b] 에 의하면 줄여진 교대 고리 그림 의 차수폭은 엇갈림수이다.그리고엇갈림수는존스다항식의 차수폭 의 최소 상한임이 알려져 있다 ([Th i 88]). 보조정리 3.3.14. 고리 그림 D 가 n 개의 엇갈림과 l 개의 연결 성분 그리고 m 개의 떨어진성분을가지면 n 츠 2(l_m) 이 성립한다. 증명. l 에 관한수학적 귀납법을이용하자. 먼저 l=1 일 때는분명히 성립한다.이 명제가 l 보다작은연결성분을갖는고리들에 대해서 참 이라고 하자. K 를 D 의 성분이라 하고 nK 와 mK 를 각각 D_K 의 엇갈 림수와 떨어 진 성분수를 나타낸다고 하면 nK 츠 2(l-1 _mK) 가 성 립 한
다. 그러면 K 는 D-K 의 mK-m+l 개의 떨어진 성분과 엇갈림을 갖게 된댜따라서 다음식이 성립한다. n 츠 nK+2(mK-m+ I) 츠 2(1 - m) □ 기초정리 3.3.15. 풀리지 않은교대 고리는존스고리가아니다. 증명. D 를풀리지 않은분리 가능하지 않은교대 고리의 줄여진고 리 그림이라고하자 .D 가 n 개의 엇갈림을가지면 다음식이 성립한다. pD = n 칙 max{21-2 , 1} > l-1 = {30 , □ 보조정리 3.3.16. D 가 분리 가능하지 않은 [성분 고리 그림이라고 하자.그러면 D 의 엇갈림수가 2/-2 라는사실과 D 가 [-1 개의 호프고 리의 연결합인사실은동치이다. 증명. l-1 개의 호프 고리의 연결합은 2/-2 개의 엇갈림을 갖는다. D 가 2l-2 개의 엇갈림을 갖는다고 하자. D 의 한 성분이 자기 엇갈림 울갖는다면이 엇갈림을고리 성분의 개수가늘어나지 않게 풀수있 댜 따라서 새로 생긴 고리 그림은 21-3 개의 엇갈림을 갖는데 이것은 보조정리 3.3.14 에 모순된다. 따라서 2l-2 개의 엇갈림을 같는 고리 그 림 D의 각 성분은 자기 엇갈림을 갖지 않는다. 이제 반대 방향을 l 에 관한수학적 귀납법을이용하여 증명하기로하자 .l=I 일 때는분명히 성립한댜 l> I 이라하고 l 개 보다적은성분을갖는고리들에 대해 명 제가참이라고하자 .D 를 2/-2 개의 엇갈림을갖는분리 가능하지 않 은 l 성분고리 그림이라고하고 K 를 D 의 한성분이라고하자 .D-K 가 m 개의 떨어진 성분 D1, … ,Dm 을 갖는다고 하고 n i와 h 는 각각 D i의 엇 갈림수와 성분수를 나타낸다고 하자• K 가 적어도 두 번은 D i를 만나 기 때문에 보조정리 3 .3 .14 에 의해서 다음 식이 성립한다. 。 츠 릅 -21;+2)=(n-c)-2(1-1)+2m=2m-c 츠 °
여기서 c 는 K 와 D-K 사이의 엇갈림수이댜 따라서 n i =2h-2 이고 c=2m 이 성립한댜 귀납법 가정에 의해 D i는 l;-1 개의 호프 고리의 연결합이다 .c=2m 이므로 D i는 K 를 정확히 두 번 만난다. 따라서 D 는 D고, 리들들과의 m 개개의수 호는프tm고 (l리 ; -들l)의+ m연=결 t합 l이;다=l .- 따1 개라서이 댜D 를구성하는호프口 i=I i=I 보조정리 3.3.14, 3 . 3 .1 6 과 분리 가능하지 않은 기약인 교대 고리 그 림의 엇갈림수가존스 다항식의 차수폭과 같다는사실을 이용하면 다 음 정 리를증명할수있다. 정 리 3.3.17. L 이 분리 가능하지 않은 l 성 분 교대 고리 이 면 /3L 츠 2l- 2 가성립한다. 등호가성립할필요충분조건은 L 이 l-1 개의 호프고리 의 연결합인것이다.
적정 고리 (ade q ua tx e li nk) 의- xs정+-D의- 와- 존 스 고리x x
s±D 는 서로 떨어진 단순 폐곡선들의 집합이다. |s±DI 를 s±D 의 원들 의 개수라고 하자 .S+D 와 s_D 에서 D 의 각 엇갈림에서 풀어서 생긴 두 개의 가닥이 서로 다른 성분에 속할 때 고리 그림 D 를 적정 고리 그
림 (ade q ua t e li nkd i ag ram) 이라 하고, 적절한 고리 그림을 갖는 고리를 적정 고리 (ade qua t e li nk) 라고 한댜 예로서 세잎매듭은 적정 매듭이다.
D s+D s_D
정리 3.3.18. ([WBR L88]) D 가 n 개의 엇갈림을 갖는 적정 고리 그 림이면 다음 식이 성립한다. /3v = ;21;- (n + ls+DI + ls_Dl) -1 . 따름정리 3.3.19. 풀리지 않은적정 매듭은존스매듭이 아니다 . 증명. 모든 풀리지 않은 고리 그림 D 는 엇갈림의 개수가 l 이상이 고 Is±DI 도 l 이상이댜 따라서 D 가 적정 고리이면 /3D > 0= /J o 가성립 한다. D 정리 3.3.20. 풀리지 않고 분리 가능하지 않은 적정 고리의 차수폭 은 연결 성분의 개수보다 작지 않다. 증명. D 를 풀리지 않고 분리 가능하지 않은 적정 고리 그림이라고 하자 .•D 가 적어도 하나의 엇갈림을 가지므로 Is±DI 츠 2 이다. D 가 n 개 의 엇갈림을 가지면 보조정리 3 .3 .14 와 정리 3.3.18 에 의해 다음 식이 성립한다. /3D = ~21 ( n+ ls+DI + Is.:..Dl)-1 츠 -21( n+4)-l 츠 l □
풀린 존스 고리의 차수폭은 고리 성분수보다 1 만큼 작기 때문에 다 음따름정리를얻는다. 따름정리 3.3.21. 풀리지 않은적정 고리는존스고리가아니다. 모든 줄여진 교대 고리 그림은 적정 고리 그림이므로, 모든 교대 고 리는 적정 고리이다. 따라서 정리 3 .3 .17 에서 교대 고리조건을 적정 고 리로 바꿔도 성립하는가 하는 의문을 가질 수 있다. 문제 3.3.22. L 이 분리 가능하지 않은 [성 분 적 정 고리 이 면 f3L 츠 2l_ 2 가 성립하는가? 등호가 성립할 필요충분조건은 L 이 l_ 1 개의 호프 고리의 연결합인 것인가? 3.4 카우프만 (Kau ffm an) 다항식 과 2 변수 존스 다항식 콘웨이 다항식과 존스 다항식은 모두 변수가 한 개인 다항식이었 댜 이제 카우프만의 방법을 이용하여 변수가 2 개인 새로운 다항식을 정의한다. 그리고 고리로부터 얻을 수 있는 다항식의 일반적인 형태 인 2 변수 존스 다항식 에 대해서 알아본다. 카우프만다항식 이제 존스 다항식의 관계식을 변형하여 변수가 두 개인 정수 계수 다항식 AK(a,x) 를 다음과 같이 얻을 수 있다. 정 리 3.4.1. [Kau87b] D 를 방향이 주어 지 지 않은 고리 의 고리 그림 이라고 하자. 그러면 다음 세 관계식을 만족하는 2 변수 정칙동위 불변 다항식 Av(a,x) 가유일하게 존재한다. (1) 0 이 풀린 매듭의 매듭 그림이면 Ao(a,x) = 1.
(2) D+, D, D- 가 한 엇갈림 근처에서만 그림 3 . 24 와 같은 관계에 있다면, (a) AD+(a, x) = aAD(a, x), (b) AD- (a ,x)=a-1AD(a,x).
D+ D D-
(3) D,D' ,D, Ii이 한엇갈림 근처에서만그림 3.25 와같은관계에 있다면, Av(a, x) + AD ' (a, x) = x{Av (a, x) + Aw(a, x)} .
D 〈因二〉jj〈
이 다항식은괄호다항식과마찬가지로고리 그림으로부터 정의되 기 때문에 K 가풀린 매듭이라 하더라도 AK(a,x)= 1 을 만족하지 않을 수 있다. 사실 이 다항식은 라이데마이스터 변환 l 에 대해 불변이 아 니다. 그러므로 AD(a,x) 가 전공간 동위 불변량이 되게 하기 위해서는 새로운다항식을정의해야한다. K 를 방향이 주어진 고리라 하고 D 를 K 의 고리 그림이라고 하자. w(D) 를 D 의 꼬임수라고 하면 다음과 같이 정의된 다항식은 전공간동
위 불변량이며 고리 그림 D 의 선택에 무관하게 결정된다. 이 다항식 을 카우프만 다항식이라 부른다 . Fv(a, x) = a- w (D)l\ .v( a, x). 몇가지 고리들의 카우프만 다항식을 계산해보자. 편의상 AD(a, X) 롤 A(D) 로 적기로 하자 .L= Q C) 의 카우프만다항식을 계산하기 위 해 관계 식 (3) 을 이 용하면, A( QO )+A(O Q) =x{A(C 之) )+A(OO)}. 관계식 (2) 에서 A( QO )=aA(C 之 ))=a A(00)=a-1A(c :))=a -1 이므로 a- 1 + a =x{l +A(Q Q)}. 따라서 , a+a-1 A( OO ) = ——X — -1. w(D)=0 이므로 L 의 카우프만다항식은다움과같다. Fi(a ,x) = AL(a,x) =x-1(a+a-1)-1 이와 비슷하게 오른손잡이의 세잎매듭 K 의 카우프만 다항식을 계 산해보면다음과같다 . FK(a,x) = a-3{x2(a+a-1)+x(l +a-2) ,-(2a+a-1)} 정리 3.4.2. 카우프만 다항식에서 존스 다항식을 얻을 수 있다. 죽 K 를 방향이 주어진 고리라 하면 다음 식이 성립한다. FK( 크 -3/ 4, rl/4 +r-1 /4) = VK(t)
증명 괄호 다항식의 관계식 (3) 으로부터 다음을 알 수 있댜
0K0+ 0K0_ 0K0 。
정리 3.4.3. (1) L1 U Li.를 고리 L1 과 丘의 떨어진 합이라고 하 자. 그러면 다음등식이 성립한댜 P(L1 UL -;_) = (l+l -1)m-1P(Li )P (L i) (2) P(Li #L-;_) = P(Li ) P(L-; _) 증명 (1) 먼저 P(Li UQ ) = -(l +l-1)m-1P(L! ）임을 보인 다움 比의 엇갈림수에 관한귀납법을쓰면증명된다 . (2) 그림 3.27 과같이 Ll#뇨 를 생각하자.＆를두가지 방법으로비 틀어 얻은 고리를 각각 L+ 와 L- 라 하자(그림 3.28).
。
그러면 관계식 (2) 에 의해 lP(L1#L i)+ 1-1P(L1#L i.)+ mP(L1 U Li) = 0 을 얻는다. P(L1 UL ;_) = -(l+l-1)m-1P(L1)P( 뇨)이므로, 대입하여 정리하면다음과같이 계산된다 . lP(L1#L i.)+ r1P(L1#L i)+ m(-(A+A-1)m-1P(L1)P(Li _)) = 0
(l+Z-1 )P(L1#&) + （一(l+Z- 1)P(L1)P( Li)) = 0 P(Li# Li) = P(Li) P (&) 口 마지막으로 2 변수 존스 다항식과 (I변수) 존스 다항식과의 관계를 살펴보자. 정 리 3.4.4. P( it-1 , i(r 112 - t11 2)) = V(t). 단 i = J각이 댜 증명. 2 변수 존스 다항식의 관계식 (2) 에서 l, m 을 각각 l=ir 1 , m= i(t나 /2 _ cl/2) 로 치 환하면 다움과 같다. it -1P(K)+ (it一 ))-IP(k)+ i(--1; _ ~)P(L) = 0 여 위 식을 간단히 하면 (I변수) 존스 다항식의 관계식 ('2) 를 얻을 수 있 댜 0
제 4 장 기본군 이 장에서는매듭과고리의 중요한불변량인 매듭군을정의하고버 팅거 표현으로 매듭군을 구하는 방법과 이 군의 여러 가지 성질을 살 펴보도록하겠다. 4.1 매듭군의 정의와예 매듭군의정의 Kn -2 가 Rn( 또는 sn) 에 포함되어 있는 매듭이라 하면 TC1(Rn-K ) (또 는 :rc1 ( Sn - K)) 를 K 의 매 듭군 (knot g roup )이 라 정 의 한다. 특히 , Kn-2 가 고리 일 때 TC1 (R11 -K ) (또는 :rc1 ( Sn -K ))를 K 의 고 리 군(li nk g roup )이 라 부른다. 여기서 다음의 기초정리에 의해 :rc 1(Rn- K)와 TC J (Sn- K)는 동 형이다. 기초정리 4.1.1. B 가 유계 (bounded) 이고 Rn-B 가 길연결(p a th con- nec t ed) 이 면 (단, n 츠 3) :rc1 ( Rn - B) 와 TCJ ( S -B ) 는 동형 이 다.
증명. B 가 유계이므로 B 를 포함하지 않고. R' 과 위상동형인 sn 의 00 점의 좌표근방 U 를선택할수 있다.그러면 UnRn=U-oo 과 sn-1 이 변이동치이므로 단순연결되어 있다. 따라서 반 캄펜 (Van Kam p en) 의 정리를 적용하면 원하는 결과가 얻어진다. . D 다음의 자연스런 포함관계를 만족하는 여차원이 2 인 풀린 매듭을 생각하자. sn- 2 C Rn-I C Rn C sn 그러면 sn -sn-2 는 S1 의 변형 수축 (de fo rma ti on re tr ac t)이므로 다음의 정리를얻는다. 기초정리 4.1.2. 풀린매듭은정수매듭군을가진다.즉, rr1 (Sn -sn-2) ~ z 일반적인매듭군의예들 이제부터는 여러 가지 매듭들의 매듭군을 살펴보도록 하자. 먼저 세잎매듭 (Tre fo il) K 를 아래 그림처럼 토러스상의 매듭으로 간주하 자. 그리고 X1,X틀 토러스 T2 에 의해 둘러쌓여 있고 둘레에서 K 를 제 거한, 채워진 토러스라고 하면 rr1(X1) = (x i-)이고 rr1(X2) = (y I- ）으로 표현된다. 또한 Xo=X1nX2=T2-K 라두면 이것은 원환이 되어 Tl(Xo) 업 Z 가 얻어진댜 이 때, Z 는 rr1(X1) 에서 균에 의해 생성되고 Tl(X2) 에서는 군에 의해 생성된다. 따라서 반 캄펜의 정리에 의하여 rr,(S3-K) 측 (x, y|군 =沿이 얻어진댜 이 군이 Z 와 동형이 아님을 보이기 위해서 먼저 가환군이 아님을 보이자. S3 를 {1,2,3} 에서의 순열군이라 하고 A = (12), B = (123) 를 S3 의 원 소들이라 하자. 그리고 x 를 A 로, y를 B 로 보내는 자유군 F
그림 4.1
h 의 상은 S3 전체가되고이것은가환이 아니다.그러므로세잎매듭은 풀린 매듭이 아니다. 다음은 토러스 매듭을 살펴보자. 먼저 (p,q)형의 토러스 매듭(t orus kno t)이 란 토러스의 표면을 따라 횡선과 종선을 중심으로 각각p번과 q번을 감아서 만들어지는 매듭울 말하고 기호로는 Tp ,q로 표시한다 : 이미 앞서 살펴본세잎매듭도토러스매듭의 한예이다. 이제 토러스 매듭 Tp ,q의 매듭군을 Gp ,q라 두고 세잎매듭군 계산방 법과마찬가지로하면 Gp ,q = (x, yjY.!1 = yq> 가 된다 . 한편 T바 .q과 Tp . 士 1 은풀린 매듭이어서 G 바.q ~Gp . 비 즉 Z 이고 p,q의 부호나p와q가바뀌어도토러스매듭의 형태는바뀌지 않는다. 그러나 그밖의 모든 토러스 매듭은 다움 슈라이어 (Scherler) 의 정리에 의해 동형이 아니다. 따라서 서로 동형이 아닌 무한히 많은 매듭들이 존재함을알수있다. 정리 4.1.3. 1
4.2 버팅거 표현과 응용 버팅거표현 이 절에서는 방향이 주어진 매듭 그림을 이용하여 매듭군을 구하는 방법을 알아보자. 먼저 유한 개의 위로지나는 가닥들 Cl J , •.. ，어이 편 의상 아래의 그림처럼 .xy-평면에서 주어진 방향을 따라 연결되어 있 다고 한댜 즉 1
그림 4.2
편의상 (0,0,1) 을 기점으로 잡고 그 접으로부터 출발하여 각각의 X i를 지나서 돌아오는 삼각형 모양의 닫힌 곡선을 생각하자. 그러면 각각의 엇갈림에서 x i를 다움과 같이 두 가지로 놓을 수 있고 이들로 부터 관계를 얻을 수 있다.
a, xt,+~- - 1aI k 군-....: t x,., a.,., 러근ak '
여 기 서 아를 a i와
이제 주어진관계식 중하나롤 제거해도기본군에는변함이 없음을 보이기 위해 S3 =R3+oo 안에서 생각하자. 먼저 A' =A+oo 이고 B' = B+oo 라 두자. 그러 면 A'UB' =S3-K, Jr1 (A') =rr1(A) 가 되지 만 A'UB' 은 n 개의 선분이 제거된 2 차원구이므로이것의 기본군은 n-1 개의 생성 원을 갖는 자유군이 되고 원래의 Jr 1(AUB) 에서 생성원 하나는 TC1(A'U B') 에서 다른 생성원들로 표현되어지므로 관계식 rn 을 제거하여도 반 캄펜정리에 의한기본군에는변함이 없음을알수있다. D
x,
이제는 예를 들어보자. 먼저 그림 4 .4에서 세잎매듭의 기본군을 계 산해보면 이상에 의해 생성원 x, y ,z 를 가지며 관계식 xz= zy,yx =xz 를 만족한댜 여기서 z=x-1 y z 를 소거하고 첫번째 관계식을y x=x-1 yxy로 바꾸면 세잎매듭의 기본군은다음식으로나타낼수 있다.
소거하고 (2) 식에 대입하면 두 개의 생성원을 가지는 표현이 얻어진 댜 (x1 ,x3lx11x3x1x31x1x3 =x3x11x3x1 >. 한편 앞 절에서와 같이 이 군이 일원소만으로 이루어져 있지 않음을 간단히 보일수있다. 다음은 기본군은 같으나서로동형이 아닌 매듭의 예이다.
그림 4.5
위 의 옮매 듭 (s q uare kno t)과 세 로매 듭(gr ann y kno t)은 서 로 다른 매 듭 이지만이들의매듭군은
hf
특히, K 가 av 에서의 토러스 매듭과 S3 에서 전공간동위이면 K2 를 케 이 블 매 듭 (cable kno t)이 라 부른다. 정리 4.2.2. K1 이 K2 의 동반매듭이라면 rl(S3_&) 는 rl(S3_Kl) 과 군동형 인 부분군을 가진다. 증명. 동반매듭의 위와 같은 정의에 의해 다음과 같은 포함 준동형 사상들의 도표를생각할수있다.
7[, (8 V,)
준동형사상 亢 1(8Vl) ➔ rr1(S3 -i n t (V1) ）은 매듭풀기정리 (unkno tti ng th eorem) 에 의해 일대일 사상이고 사상 Tl(8Vl) ➔ 7{(V l -K2) 역시 내 부의 어 떠 한 3 차원 공도 K2 를 포함할 수 없으므로 일대 일 사상임 을 알 수 있다• 그러므로 rr1(S3-in t ( Vi)) ➔ rr1(S3 _氏)는 단사준동형사상이 된다. 여기서 rr1(S3- i n t (V1)) 이 rr1(S3-K1) 과 동형이므로 원하는 결과 가얻어진다. o
여기서 임의의 위성매듭의 기본군은 풀리지 않은 매듭의 기본군을 부분군으로 가지고 있으므로 일생성자군이 아니다. 따라서 다움과 같 은따름정리를얻을수있다. 따름정리 4.2.3. 풀리지 않는동반매듭을갖는모든위성매듭은풀 린 매듭이 아니다. 고리군에의응용 다음으로 고리군에 버팅거 표현이 어떻게 응용될 수 있는지에 대해 살펴보기로 하자. 먼저 n 개의 성분을 갖는 풀린 고리의 기본군은 n 개 의 생성원을갖는자유군이 됨을쉽게 알수있다.그러면다음의 간단 한 호프 고리 (Hop fli nk) 에 대해 살펴보자.
그림 4.8
그림 4.8 에서 고리군은 군표현 (x, y l xy=yx 〉를 가지며 이것은 2 개의 생성원을갖는자유군과는동형이 아니므로풀린고리가아니다. 다움으로 풀려 있지 않은 고리이면서 모든 부분 고리가 풀려 있다 면 그 고리를 브루니 안 고리 (Brunn i an or almost- trivi a l li nk) 라 부르는 데 그 중 가장 간단한 형 태 인 보 로 미 안 고 리 (Borromean r i ng s) 를 살펴 보기로하자. 그림 4.9 에서 A,B,C 중 어느 하나라도 제거하면 풀린 고리가 됨을 알수 있는데 이제 주어진 고리가브루니안고리임을보이기 위해 풀 린 고리가 아님을 보이는 것으로 충분하다. 이를 위해 C 를 7r1 (R 3-(AU
그림 4.9
B) ）의 생 성 원 x, y로 표시 하면 .xyx -ly- 1 이 된다. 한편, rr1 (R3 -(A UB)) 는 x, y로 생성되는자유군이므로 C 는 이 군에서 단위원이 아니다. 이로 부터 보로미안 고리는 풀린 고리가 아님을 알 수 있다. 실제로 보로미 안고리의 고리군을 계산하기 위해 그림 4.10 처럼 위로지나가는가닥 수를 3 으로 줄이면 그 고리군은 다음과 같다 .
그림 4.1 0
회전에 의해 얻어진 고차원 고리의 매듭군 고차원고리를만들기 위한방법에는몇가지가있지만여기서는고 돈 (Gordon) 의 고차원 회전에 의한 방법을 살펴보도록 하자• 먼저 N 을
m 차원 공 M 에 만나지 않게 넣어진 n 차원 공들의 직합이며 N의 내부 는 M 의 내부에 포함되고 N 의 둘레는 M 의 둘레에 포함된다고 하자. 또 한(p +1) 차원 공[)P +1 에 대해 다음의 자연스런 포함관계를 생각하자. Nx /Y가 1 CMX[ )P+ 1. 여기서 각각둘레를취해주고이들을 N* = 8(N X U 가 1), M* = acM x if1) 라 두면 (M*,N*) = o{(M,N ) x lY'가을 (M, N)의 p-회전체라 정의한댜 그러면 N* 는 (m+ p)차원 구 M* 에 포함된 (n+ p)차원 구가 되어 고차원 고리가 된다. 이렇게 기술된 고차원 고리의 고리군과 원래의 rr1(M- N) 과의 관계는 다음과 같다. 정리 4.2.4. N 과M 의 여차원이 2 인 경우 rr1(M- N)과 rr1(M*-N*) 는 군동형이다. 특히 M 이 3 차원 공이고 N이 1 차원 공이며 위의 조건들을 만족할 때 편의상 M 을 다움그림처럼 R 떡 상반평면이라가정해도그기본군은 달라지지 않는다.
N
여기서 N' 을 N의 두끝점을 연결하는 R2 에서의 선분이라하자.그러 면 반캄펜의 정리와 S3 에서의 매듭군과 R3 에서의 매듭군이 서로동형 이라는사실로부터 rr1(M-N) 과 r!(R 드 (NUN') ）은동형임을보일 수 있댜 실제로 매듭군을 계산해보면 NUN ' 은 세잎매듭이므로 rr1(M* N*) 와도 동형이다. 한편, R3 안의 임의의 매듭은 그림 4.11 처럼 N 과 N' 으로 분해하여 나타낼 수 있으므로 위 정리에 의해 위상동형이 아 닌 고차원 매듭은 무한히 존재함을 알 수 있다. 이와같이 얻어진고차원매듭의 매듭군은원래 S3 안의 매듭군과일 치하지만 모든 고차원 매듭의 매듭군이 모두 S3 안에 놓 인 매듭의 매 듭군과 같은 것은 아니다 . 예를 들어 군표현 (x,y | x2 y=y x, y2 x= xy〉를 갖는 군은 S 에서의 매듭군이지만 S3 에서의 매듭군이 될 수 없음이 알 려 져 있다([Fo x62]). 매듭군의특성 일반적으로군 G 가 S3 에서의 매듭군이 되기 위해서는다음의 조건 들이 필요하다는 것이 알려져 있다 ([Rol90]). (1) G 는 유한개의 생성자를 갖는댜 (2) G 를 가환화 (abel iani za ti on) 하면 무한순환군이 된다. (3) 정규폐포 (normal closure) 가 G 전체가 되는 원소가 존재한다. (4) G 는 부족수 1 인 표현을 가진다. 그러나 이 조건은 충분조건은 아니다. 예를 들어 군표현 G= (x,y I 균y x-l y -1 = 1 〉은 위의 조건을 모두 만족하지만 이 군을 매듭군으로 가 지는 S3 에서의 매듭은존재하지 않는다. 한편 고차원 매듭의 매듭군에 대해서는 조건 (4) 가 더이상 필요조 건이 아님을 앞 소절의 예에서 알 수 있다. 그러나 조건 (4) 를 좀더 약 화시키면 고차원 매듭에 대해서 매듭군이 되기 위한필요충분조건을 얻을 수 있댜 이를 위해 주어진 군 G 가 표현 (x1,… ,Xp I r 丘 •• ,rq 〉를
갖는다고가정하고 G 에 대응되는위상공간을다음과같이 정의하자. 먼저 각각의 생성원 x i마다 S1 울 대응시키고 이들의 쐐기곱을 X 라 하 자. 다음으로q개의 2 차원 원판들의 둘레가관계 r1, ... ,rq 를 나타내도 록 X 에 이 어 붙이 고 이 룰 X( G)로 나타내 면 rr1 (X( G))는 주어 진 군 G 와 군동형 이 다. 한편 앞서 의 조건 (4' ）을 조건 (4) H2(X(G )) =0 으로 대 치 하 면 4 가지 조건 (1 ),(2),(3),(4' ）은 다움의 기초정리에 의해 원래의 조건 보다약화된조건임을알수있다 . 기 초정 리 4.2.5. 군 G 가 조건 (2) 와 (4' ）을 만족하면 조건 (4) 를 만족 한다. 증명 다음의 완전열을 생각하자. • • • ➔ H2(X) ➔ H2(X(G)) ➔ H2(X(G ), X) ➔ Hi (X) ➔ Hi (X(G)) ➔ Hi (X(G ), X) ➔ • • • 여기서 조건 (2) 에 의해 H1(X(G)) 흑 Z 이고 조건 (4') 에 의해 q=p -I 이 므로 H2(X(G), X)측y -1 이 된댜또한 X 는p개의 SI 들의 쐐기곱으므로 Hi (X ) 엽 刀이 댜 H2(X) 켈이 고 H1(X(G),X ) ~ O 이 어서 H2(X(G )) 흑 0 이 어야만한다. D 정 리 4.2.6. 주어 진 군 G 가 sn (n 츠 5) 에서 매듭군일 필요충분조건 은 (1), (2), (3), (4) 를 만족하는 것이다. 증 명 . [Ker65a] 참조 . □ 4.3 주변군체계 이 절에서는 고리군의 주변군 체계 (Pe rip heralGrou pS y s t em) 를 정의 하고 이와 관련된 성질들을 살펴보기로 하자.
주변군체계의정의 s3 에서의 고리 L 이 n 개의 성분 K i, ... ,Kn 을가지며 각각의 관상근방 둘레로 n 개의 토러스들 Tl,··· ,Tn 울 생각하자. 그리고 (µi ,A i)를 K리 µ관i상는 근토방러둘스레 m m내 에부 놓에여 놓 있인는 원 횡판선의과 둘 종레선가의 되 쌍며이 각라각 하의자 .µ i단와, A각 i각의 의방 향은 원래 s3 와氏의 방향에 따라 결정된댜 한편, 이 렇게 주어진 µi와 A i는 1'(1 ( S3 -N (L)) 의 원소로 간주해 도 무방하다. (여 기 서 N(L) 은 L 의 관상근방을 나타내며, S3-N(L) 과 S3-L 은 변이동치이므로 두 기본 군은 서로 같다.） 따라서 이들로 생성된 1'( 1(S3-N(L) ）의 부분군을 횡 산종선 부분군 (mer i d i an-lon git ude sub g roup )이 라 부르고 <µi,A i〉로 표 시한다. 기초정리 4.3.1. (陽서는 Z 또는 ZEBZ 와동형이다. 특히 ,Z 와동형 이면주어진 고리 L 은풀린 매듭 Ki 와 L-K리 떨어진 합이 된댜 증명. m 에서 S3-N(L) 로의 넣기사상으로부터 유도된 준동형사상 j 따 (Ti) ➔ 1'(1 ( S3 -N(L)) 을 생 각하자. j가 단사이 면 (µi, 서 는 Z EB Z 와 동형이댜그러나 m 의 종선이 S3-N(L) 안에서 원판의 둘레가된다면 (m;,l; 〉는 Z 와동형이 되고 Ki 는풀린 매듭이 된댜 □ 이상에서 (n1(S3 -N(L)) ; <µi,A i> ,i = l, ... , n) 을 고리 L 의 횡 선-종 선 부분군들에 대한 주변군 체계라 정의한다. 한편, L' 이 n 개의 성분 Ki , ... ,K璋 을 갖는 또다른 고리라 하고 동형사상
정리 4.3.2. (Waldhausen) 두 고리 L 과 E 이 동형이 될 필요충분조 건은 주변군 체계 (rr1(S3-N(L)) ; 〈µi ,A; 〉)와 (rr1(S3-N(L')) ; （따,서)) 사이에 동형사상이 존재하는 것이다. 증 명 . [Wal68] 참조. □ 한편 고리 L 의 주변군 체계 (rr1(S3-N(L)); (µ,;,서)에 대해 역 -L 에 대응되는 주변군 체계는 (rr1(S3 -N(L)) ; (µ,-;I,).. ii)）이 되고 거울상 E 에 대응되는 주변군 체계는 (rr1(S3-N(L)) ; (µ,11,)..; 〉)임을 알 수 있 다.위 결과에 의해 다음의 따름정리를얻는다. 따름정리 4.3.3. 고리 L 에 대해 다음이 성립한다. (1) 고리 L 이 가역 이 될 필요충분조건은 (rr1 (S3 -N(L)) ; (µ,;, 1..;〉)와 (rr1 (S3 -N(L)) ;
그림 4.12
한편 두 매듭의 연결합의 매듭군은 반 캄펜의 정리에 의해 다음과 같이요약된다.
정리 4.3.4. 두 매듭 K1 과 K2 의 주변군 체계 를 각각 (rr1(S3-N(K1)); 〈 µ1, 사)과 (rr1(S3-N(K2)) ; 〈 µ2, A. 2 〉)라하면 이들의 연결합 K1#K2 의 매 듭군은 rr1(S3-N(K1)) 과 (rr1(S3-N(K2) ）의 자유곱에 관계 µ1 =µ2 를 첨 가하여 얻어진다. 더욱이 새로 얻어진 횡선-종선 부분군은 µl =µ2 와 AI A. 2 로 생성된댜 따름정리 4.3.5. 임의의 두 매듭 K1 과 K2 에 대해서 &#K2 와 &#— K2! 의 매듭군들은 군동형이댜 증명. -K2! 의 주변군 체계는 (rr1(S3-N(K2));( µ 1,A. 2 -1> )이 므로 정 리 4.3 .4에 의해 원하는 결과가 얻어진다. D 따라서 옵매듭과세로매듭의 매듭군이 같음을이 따름정리에 의해 쉽 게 알 수 있다. 한편 이 두 매듭은 서로 다른 매듭이어서 매듭군이 완 전한 불변량은 아니지만 다음 두 정리와 따름정리에 의해 부분적으로 는완전한불변량임이 밝혀졌다. 정리 4.3.6. (Whitten ) S3 안에서 두 씨매듭 K1 과 K2 의 매듭군이 같 다면 S3-N(K i)과 S3-N(K2) 는 위상동형이댜 증명 • [Whi87 ] 참조. 口 정리 4.3.7. [Gordon-Luecke]S3 안의 풀려 있지 않은 두 매듭 K1 과 K2 에 대해 S3 -N(K i)에서 S3 ― N(K2) 로의 위상동형사상은 K1 을 K2 로 보내는 S3 에서의 자기위상동형사상으로확장될 수 있다. 증명 . [CMG89] 참조. □ 위의 두 정리 4.3.6 과 4.3.7 로부터 다음 따름 정리를 얻을수 있다. 따름정리 4.3.8. 두씨매듭 K1 과氏가동형일필요충분조건은두매 듭군이 군동형이라는것이다 .
4.4 fl 불변량 이 절에서는 존 밀너(Jo hn M il nor) 에 의해 정의된 fl 불변량에 관해 알아보기로하겠다 .s3 안에 임의의 고리 L 이 주어져 있다고하자 .s3 一 L 의 기 본군을 G 로 표기 하자 . A, B 를 G 의 부분군들이 라 하면, a E A, bEB 인 모든 aba-1b-1 에 의해 생성되는 G 의 부분군을 [A,B] 로표시한 댜 G1 =G, Gq +l =[G,G 김 (q츠 l) 로 정의하자. 이때 ,G q는G 의 q번째 아 래 중 심 부 분군(l ower centr a l subg ro up ) 이 라고 불린다. 첸(K. C. Chen) 은 G/G 따 고리의 전공간 동위 불변량임을 증명하였다 [Che52]. L 과 L' 을 s3 안에 존재하는 방향이 주어진 m 성분 고리라고 하자. l ：：：i：：： m 인 모든떼 대해 S;=S1 X ／라하고 s 룰 이돌의 집합이라할떄, 넣 기 사상 ¢ : S ➔ S3 x /가 존 재 하여 ¢(S) n S3 X {0} =L , ¢(S) n S3 x {l } = -L' 을 만족하면 L 과 L' 은 /-동치적(I -e q u i valen t)이라고 한다. 여기서 -L' 은 L' 에서 방향이 바뀐 고리이다. 만약, 이때 ¢(S)가위의 조건들을 만족하면서 국소적으로 평탄하다면 L 과 L' 은 동계적 (concordan t)이라 고한다. 존 스톨링 스(Jo hn S t al li n g s) 는 소위 스톨링 스의 완전 열 (S t a lli ng s' ex- ac t se q uence) 이라는 완전열을 이용하여 두군사이의 아래중심부분군 들간의 동형관계를 밝히는 스톨링스의 정리 (S t a lli n g s' t heorem) 를 증 명하였으며, 이를 이용하여 고리군 G 에 대해 G/G q가/-동치 불변량임 을 증명하였다 [Sta 6 5]. 따라서, G/G q는 동계 불변량이기도 하다. 밀 너 의 fl 불변 량은 G/G q돌로부터 정 의 되 는 수치 적 불변량으로 /-동치 불변량이다. 정의 L 을 S3 안에 존재하는 방향과 순서가 주어진 m 성분 고리라 하고 Nj 를j번째 성분Li의 관상근방이라하자.각관상근방들은서로만나 지 않는다고 하자. Xo 를 S3-L 의 임의의 기저점이라 하자. pj(t) (0 츠
효 1) 는 。 ::: t < I 인 t에 대 해 pj(t) ¢ L 을 만족하는 Xo 로부터 Lj 로의 경 로이 고 Xj 는 Nj n pj(t)인 점 이 댜 이 제 Xo 로부터 Pj 를 따라 Xj 까지 진 행한 후 Nj -Lj 내에서 폐곡선을 형성하고 다시 Pj 룰 따라 Xo 로 돌아 오는 폐곡선 Cj 를 생각하자. 단, Cj 와 Lj 의 걸림수는 l 이 되도록 한다. 이때 Cj 는 Pj 에 대해 G/G q의 유일한원소 aj 를 결정한댜 이 절에서는 이 러 한 aj 를 L 의 G/G q에서 의 j번째 횡 선원소라고 부르자. 한편, 횡 선 의 정의와 동일하되 걸림수 l 이라는 조건대신 Nj 내에서 Lj 와 변이적 으로 동일하다는 조건을 가지는 폐곡선도 생각할 수 있는데 이 폐곡 선에 의해 결정되는 G/G q의 원소를 /3j라 하자. 이와 같이 결정되는 G/G q의 또다른 원소를 g라 하면, pj는 /3j와 aj 의 거 듭제 곱만큼 차이 가 난댜 이 절에서는 이러한 /3j를 L 의 G/G q에서의 j번째 종선원소라 고부르자.만약pj대신다른경로를선택한다면그로부터 얻어지는횡 선, 종선원소는 (ya j y -1, y a} pjy')의 꼴을 갖게 될 것이다. L' 을 L 과 전 공간 동위적인 고리라 하고 그것의 기본군을 G' 이라 하면 앞서 얘기 한 대로 G/Gq 흑 G' ／야가 성립한댜 이때 두 군사이의 동형사상에 의 해 G/G q의 (a냐 j)는(ya 1 y -1, y (a1/ {31 y -1) 의 꼴로보내질 것이댜 {a ij };;I 를 L 의 버팅거 군표현에서의 i번째 성분의 생성자들이라 하 면 G 는다음과같은버팅거 군표현을갖는다. G = (aij |R ij >, Rij = a'ij ]1 u'ij 1a ij uij (1 척 < rj) , Rir I = a 沖 I U 計} air , uir I 여기서 R ij들은 L 의 정칙사영에서의 엇갈림으로부터 얻어지는 군관 계(gro up rela ti on) 들이고 U ij들은 생성자들로 쓰여진 적당한 단어들이 다. 만약 V;j = U;JU 1'2 • • • Ui j 라 하고 Sij = a-;j] 1 v-;j 1a il vij (1 츠 j < r;), S;ri = anIv;/a;1V;r1 라 하면, Ri l = Sil , Ri j = Sij u-; j1S -; j21 uij (1 < j ::: 미가 된댜 F 를 모든 a ij들을 생성자들로 갖는 자유군이라 하고 H 를 모든 a il들 로생성되는 F 의 자유부분군이라한후,다음과같은 일련의 군사상
T/k : F ➔ H (k 츠 l) 를 정 의 하자. T/1 ( aij ) = a;1 T/k +1(aij +1 ) = TJ( V ij1 a;1Vij ) T/k+ 1 Can ) = a;1 N 을 s iJ들에 의해 생성되는 F 의 정규부분군이라하면 F/N~G 가성 립한다. 수학적 귀납법에 의해 (1) rJk (aij ) = aii mod FkN (2) '/Jk (aij ) = '/Jk +I (aij ) mod Hk 임을 보일 수 있댜 G/Gq = (a ii lS ij,f사이댜 (1) 에 의해 G/Gq = (a;i l7Jq( Sij ), Y/q( Fq) > 로 쓸 수 있다. n q (F 사 =H 접댜 (2) 에 의해 7Jq( aij +i) = Y/q+ 1(aij +1 ) ~ 7Jq( v;j 1a ;1Vij ) modHq 7Jq( Sij ) = 7Jq( a;j ]1 v ;j 1a ;i vij) = 1 mod Hq (1 척 < ri) 가 성립한댜 따라서, 이의 G/G q의 표현에서 1 :::j < r i인 j에 대해 n q (S ij)들을 지울 수 있으므로 G/Gq =
(J)，롤 L i와의 걸림수가 0 인 G/G q의 i번째 종선원소라하고그것의 마그 너스 전개를 아래와 같이 나타내자.
로 다르다고 하면, µ*(h1 • • • hs ij)를 1:1* (h1 • • • hs iJJ로 나눈 나머 지 는 고리 변이 불변량이 된댜 정 리 4.4.2. ([Mi 15 7, M il54 ]) {h1 , ... , hs, i,j}의 원소들이 서 로 다르 다면 µ*(h 1 .. • hsij ) 三 µ(h1 • • • hsiJ J mod 1:1* (h1 • • • hsiJ J 이고, 따라서 {iI, ... ,i,}의 원소들이 서로 다르다면 jl(il · ··i r) 은 고리 변이 불변량이댜 고리 성분의 개수가 2, 3,4 일 경우 위에 정의된 불변량은 완전 고리 불변 량이 다 [Mi l54 , Lev88]. µ불변량의기븐성질 다움은µ불변량의 기본성질들이다. 정 리 4.4.3. ([Mil5 7]) (1) µ(i1i2 . . • ir) =P ,(iz .. • iri1 ) , (2) 주어진 두 개의 열 ii .. ·ir,h .. )s (r,s 츠 1) 에 대하여 ~ µ(hi • • • hr+sk) =0 mod g.c .d !:,.(hi • • • hr+s), 여기서 S 는 열j l···k 의 각 열원소들을 ii .. •ir 에 열순서를 보 존하면서 끼워넣어 얻어지는모든열들의 집합이다.특히 ,s= 1 이라면 臥(ji 1 • • • irk ) + P,(iJi2 • • • irk ) + P,(i1i ' Jii3 • • • irk ) + • • • +P,(i1 • • • irik) =0 mod g.c .d bi.(i1 • • •j • • • irk ) (3) 만약 L 의j번째 성분의 방향이 바뀌고 열 i!…i r 이 t개의j를 열 의 원소로 가진다면, P,(i1 ·ir) 은 그 자신에 (-1)’ 를 곱한 값으 로바뀐다.또한 s3 전체의 방향이 바뀌면P,(i 1··· i r) 은그자신 에 (-1 y -1 을 곱한 값으로 바뀐다•
(4) 고리 L=L, U··•ULm 에 대해 L'=L;: U· ·· ULt, 1 U · ·· UL;,1, U ···U L;,:” 을 다음과 같이 얻어진 고리라 하자. L,I, ... ,L 껍들은 Lj 의 관상근방안에 있는폐곡선들로,서로간의 걸림수가 O 이고모 두 Li와 변이적으로 동일하다. 이때 µ를 L 의 B 불변량, µ’을 L' 의 B 불변량이라하면, W(i;I I •• • i;ss) = i(ijl • • • ijs) (5) P,(i1 • • • ir) 三 (-l)rµ(ir • • 마) mod A*(h • 사). 위 정리의 (1) 과 (2) 를 이용하면 열길이가 r 인 적당한 개수의 µ들로 써 길이가 r 인 모든 µ들을 나타낼 수 있을 것이다. 그 개수의 최소수를 h(r) 이라하자. 정리 4.4.4. ([Orr89]) m 개의 성분을 갖는 고리 L 에 대해 길이가 r (r> 1) 과같거나작은i불변량들이 모두 0 이면, h(r+ 1) = mSr-Sr+I 이 된댜 이 때 Sr 은 ~Ldlr( d) (m~) 이고 는 뫼비우스 함수 (Mob i us fu n ti on) 이 다. 2 성분고리의 B 불변량 2 성분 고리의 B 에 대해 생각해보자• 주어진 열 i1 · ••i r+s 가 r 개의 1 과 s 개의 2 를 자신의 열원소로서 갖는다면, P,(iI · _. . i r+s) 를 [r+s] 형 L 불변 량이 라고 부르자. 4 .4 . 3 의 (1) 과 (2) 를 이 용하면 [r, O], [r, 1] (r 츠 2) 형 µ 불변량들은 모두 0 이 됨을 알 수 있다. 만약, A* (i l·· · i r+ s) 가 O 이라면, 4 .4.3의 (1) 과 (5) 를 이용하여 [2n+1,2] 형 i 불변량들은 모두 0 이 됨을 알수 있다 .4.13 은모든 L 불변량들이 0 이지만 전공간동위적으로폴 린 고리가 아닌 것의 예이다 . 4.13 의 고리 L 은 세잎매듭의 종선 2 개를 취하여 만든고리이다 . 매듭의 µ불변량은모두 0 이므로 ,4 .4 .3 의 (4) 에 의해 L 의 모든 i 불변량도 0 이다 .1r1(S3-L1)= (a,b,clba=ac=cb 〉이
그림 4.1 3
댜뇨의 이 군에서의 표현은 caba-3 이댜 n i (S3-L) ）의 순열군에서의 재표현은 a ➔ (1234), b ➔ (13 24), C ➔ (1243) 에 의 해 가능하고 이 때 caba-3 은 (13)(24) 로 나타내 어 진다. 따라서 , L1 U 뇨는 풀린 고리와 전공간동위적이지 않다. 기타관련연구들 fl불변량은 대수적으로 정의되었기 때문에 그것의 기하학적인 의 미를 알기 위한 노력이 있어왔다. i-:/j일 때 jl(ij)는 고리의 i번째 성분 과j번째 성분간의 걸림수라는사실은 쉽게 알수 있다. 또한모든성 분간의 걸 림 수가 O 이 고 i, j, k 가 서 로 다르면 fl(ij k) 는 i, j, k 번째 성 분 돌이 각각 둘레가 되는 사이퍼트 곡면들간의 삼중 교차점(trip le int er sec ti on po i n t)들의 대수합 (al g ebr ai csum) 과 같다는사실도 알려져 있다. 코크란 (T. D. Cochran) 은 fl 불변량을 어떤 기하적 조건하에서 정의되 는고리 여공간내의 특정한폐곡선들간의 걸림수의 합으로기술하였 다 [Coc90]. 뒷장에서 살펴보겠지만,고리 여공간의 무한순환덮개의
1 차호몰로지는고리 여공간의 기본군과깊은관계가있다. 당연히 이 무한 순환 덮개로부터 정의되는 알렉산더 다항식이나 콘웨이 다항식 등과 고리 여공간의 기본군으로부터 정의되는 B 불변량과의 관계를 밝히려는 연구들이 시도되어왔다. 이에 관해서는 [Tra84], [Coc85] 동 을참고하기 바란다.
재 5 장 고리와맣임 이 장에서는매듭이론과불가분의 관계에 있는맣임 이론에 대해 알 아본댜 땅임과 매듭의 관계, 맣임군에서의 단어문제와동액문제, 맣 임군의 재표현, 곡면의 사상류군과의 관계 등이 주관심사이다. 맣임 군은 조합군론의 측면에서도 흥미 있지 만 매듭이론, 사상류군과 밀접 한관계가있는아주중요한분야이다. 5.1 맣임의 정의 이 절에서는 맣임의 여러 가지 정의와 이들 사이의 관계를 살펴본 댜 맣임은크게 기하학적인 방법,조합군론적인 방법,구성공간의 기 본군 등으로 정의할 수 있다 이 절에 나오는 대부분의 정리는 구성공 간의 다발화사상(fi bra ti on) 으로부터 증명할수 있다. 이 증명들은 매듭 이론으로의 응용에는 그다지 필요하지 않으므로 여기서는 생략하도 록한다.
닿입의기하학적인정의 맣임의 예로는 그림 5.1 처럼 소녀들이 머리를 닿은 모양을 생각할 수 있댜 이는 세 가닥을 엮은 것이기 때문에 3- 맣임이라 부른다. 일반 적인 자연수 n 에 대해 n- 닿임은 다음 조건을 만족하는 것이다.
그림 5.1 맣임의 예
(1) 사각기둥 /3 = {(x,y ,z ) I 0 츠 x, y ,z 츠 1} 를 생각하여 윗면과 아랫 면에 각각 n 개의 점 Pi= (습 ½, 1), Q;= (nfr, ½,0) 을 잡는댜 (2) 집합 {1,2, ... ,n} 위에 정의된 순열 T[에 대해 각각의 i마다 윗 면의 E 와 아랫면의 Q rr( i)를 연결하는 곡선 s i를 잡는데 임 의 의 두곡선 S; 와 Sj 는서로만나지 않으며 윗면에서 출발하여 곡선 을 따라가면 z 좌표가 항상 감소하도록 한다. 위 두 조건을 만족하는 n 개의 곡선의 합 f3 =s1 U•••Usn 을 n- 딸임 (n bra i d) 이라고 하며 각각의 i마다 윗면의 E 와 아랫면의 Q짜 o 를 잇는 곡 선을 i번째 가닥(i-t h s t r i n g)이라 부른다. 두 n- 맣임 f3 o 와 /3 1 이 위아랫 면을 고정하는 사각기둥 안에서의 연속적인 변형으로 같아지면 동 치 (e q u i vale nt)라고 한다. 즉 아래 성질을 만족하는 전공간동위f,: /3 ➔ I 언 (0 츠 t :'.S 1) 이 존재해야 한다• (1) Jo = id, f1( / 30 ) = /31 , (2) 임의의 O 츠t츠 1 에 대하여f, I8I3= i d•
위 에 서 임 의 의 。 ::: t ::: 1 에 대 해 f,(f3 o) 가 항상 n- 맣임 이 어 야 한다는 조건을 더 넣어서 강한 동치관계를 생각할 수도 있으나 그것은 위에 정의된 동치와 같다는 것이 아틴 (E. A rti n) 에 의해 [A rt 47] 에서 증명되 었댜 두 맣임 /31 , /3 2 가 주어 지 면 그림 5.2 처 럼 /31 의 아래 어l,..,8 2 를 놓아 새로 운 맣임을 얻을수 있다.이렇게 얻어진 맣임을두맣임의 곱이라하고 /3 1 /3 2 로 표기 한다.
{Jl {J2 [
이 렇게 정의된 곱으로 n- 맣임들의 모임은 군이 된다 . 항등원은 각각 의 1 ::: i ::: n 에 대해 E 와 Q;롤 잇는 Z 축에 평행한 직선돌로 이루어진 맣임이며, n- 맣임 8 의 역원은 평면 z= 伊에 대해 O 를 대칭이동한 맣임 이 댜 이 렇 게 얻 어 진 군을 n-닿 임 군 (n-bra i d g roup )이 라 부르며 Bn 으로 표기한다. 닿임을 그림으로 표시할 때는 매듭 그림에서와 같이 /3 안의 맣임을 xz- 평면 위로 사영을 내리고 각 엇갈림마다 아래로 지나는 가닥을 약 간 끊어서 표시한다. /3 의 윗면과 아랫면을 표시하고자 할 때는 가로 선을그어 나타낸다. n- 맣임 중 1 ::: i ::: n-I 에 대해 i번째 가닥과 (i+ I) 번째 가닥이 그 림 5.3 처럼 교차하는 닿임을 야로 표기하자• 닿임의 그림을 생각해보 면 Bn 이 {a; I i= I,2, ... ,n-I} 로 생성된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 또
\� |i-l > j1 �� �t� D�@�O'j� �X�t�p� i= I, ... ,n-2 �� �t �D �|� 10+' ;= 6i+Ia;ai+1 �� D� L� � ���. ���� 5 .4�� t� |� 0� X�Y�� <�\�
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0�������|� JH " � " .\ST�=B J�B�f T � " 22 ii+i i+2 i i1 i++2 ���� 5.4 � �� 5.1.1. �D���, 1925 [Art25, Bir74b, FB62]) ���� p� Bn @� (J'I , " " " , |� -1 D� ��1���\� X�� �� L �Ĭ��D� �X��Ĭ (de fini n g rela ti on) \� X� �� p�\��(gr oup p resen t a ti
E , 1 을 {I, ... ,n} 에 작용하는순열군이라하자. 여기서 순열은오른쪽 에서 작용한다고 하자. n- 맣임 f3의 각 가닥이 윗면의 점 P i와 아랫면의 점 Q,r(i)를 연결한다고 할 때 f3를 r 로 보내는 사상
Au, (r < s < i
정리 5.1.3. （버만, 1974[Bi r7 4b]) n 번째 가닥울 버 리는 Pn 에서 Pn-1 으로의 준동형사상의 핵을 Un 이라하면 n- 순열군 Pn 은 Un 과 Pn-1 의 반 직합 (se mi d i rec tp roduc t)이댜 또한 U,, 은 A;n, i= I,2, ... , n 一 1 로 생성되 는자유군이다.
주어진 순열 rroJ l 대해 윗면의 점 E 와 아랫면의 점 Q rr (i)를 직선으로
따름정 리 5.1.4. （버 만, 1974[Bir 7 4b]) 임 의 의 n- 맣임 /3 E Bn 은 다음 형 태로 유일하게 표시 된다. f3 = /32 /3 3 ... f3試p 여기서 r p는순열맣임이며 각각의 pi는 정리 5. 1. 3 에서 정의된 자유군 u i에 속하는 순맣임 이 다.
위 정리의 기하학적인 의미를살펴보면 임의의 순맣임은항상다음 과 같은 모양으로 바꿀 수 있다는 것이다. 즉, 사각기둥 /3 를 가로로 n 등분하여 !k 를 z 좌표가 누 L 과 § 사이에 있는 부분이라 하면 k 번째 가 닥은 Ik 의 밖에서는 z 축과평행하며 k 에서는 1,2, . .. , k-1 번째 가닥만 을 감는다. 순맣임 을 이 런 모양으로 바꾸는 것 을 빗 질 한 다 (comb i n g)라 고 한다. 그림 5.7 참조. 또한 따름정리 5. 1. 4 에 의해 이런 빗질된 맣임 표현이 유일하다.
그림 5.7 빗질된 4- 순닿임
맣임군의 다른해석들 앞에서 정의한맣임은 기하학적인 모양으로 정의되기 때문에 흔히 기하학적인 닿임(g eome t r i c bra i d) 이라고도 불린다. 이렇게 정의하는 것 외에도맣임을 정의하는방법은여러 가지가있다.이 중에서 구성 공간 (con fig ura ti on s p ace) 의 기본군으로 정의하는 것과 자유군의 자기 동형 사상군 (au t omo rp h i sm gr ou p)의 부분군으로 정 의 하는 것 을 살펴 보 자. 여기서는 왜 이런 정의들이 서로동치인지는보이지 않고기하학
적인 떻임과동일시할수 있는 방법만을 알아본다. 당분간 /2 안의 점 (x, y)를 간략하게 x 로 표기하기로 한댜 다음 위상공간을 생각하자. Fn = {(X1 ' ••• ' X,1) E (I2r I i 1j 이 면 X; 'fXJ } 이 위상공간에 순열군 I: n 이 TC E I:n 에 대해 7r(X1 , ... , Xn) = (Xrr(l ), . • . , Xrr(n)) 으로 작용한다. 이 작용에 의한 몫공간을 Bn 이라 하면 자연스러운 몫 사상 : Fn ➔ Bn 은 덮개변환군이 I:n 인 덮개사상이 된다. 정 리 5.1. 5. Pn 은 TC1(Fn) 과 군동형 이 며 Bn 은 TC1(B,1) 과 군동형 이 다. 증명. Fn 의 기저점 (base p o i n t)을 eo= ((¾i, 1) ,烏 1) ···· ' （白 1)) 로 잡자. 임 의 의 닫힌 길 i(t) = (x1(t) , ... , Xn( t)) E Fn (0 ::: t ::: D 에 대해 p e 을 i번째 가닥이 s;(i) = {(x;(t) , t) I 0 츠 t 츠 마인 맣임 이 라 하면 0e 은 기 하학적인 순맣임이 된다. 반대로 기하학적인 순맣임 fi= SJ U···U% 에 대해 (X;(t) ,t) E S; 가 되 게 하는 X;( t)들을 생 각하여 i(t) = (x1 (t), ... , Xn (t)）로 정 의 하면 i(t)는 Fn 안의 닫힌길이 된다. t이 Bn 안의 닫힌 길인 경우는 덮개공간의 길올림 성질을 이용하여 Fn 안의 길社로울리면 £(0)=eo 이고t (1) 은 eo 의 각성분들이 어떤순 열 1rE I:n 에 의해 바뀐 것이다. 따라서 앞에서의 방법으로기하학적인 맣임을 만들 수 있다• 반대로 기하학적인 맣임에서 Bn 안의 닫힌 길을 만드는것도순맣임에서의 방법으로 일단 Fn 안의 길을 만든 다음 덮 개사상을 이용하여 Bn 안의 길로 만든다. 여기서 두닫힌길t과£’이 변이적이라는것과그들에 대응되는기 하학적인 닿임이 동치라는것이 서로필요충분조건임이 아틴에 의해 중명 되 었 다 ([A rt 47]). □
F, ，을 사 ... ,Xn 을 생성 자로 하는 자유군이 라 하고, Au t Fn 을 Fn 의 자 기 동형 사상군 (au t omo rp h i sm gr ou p)이 라 하자. 여 기 서 자기 동형 사상은 자유군의 오른쪽에서 작용한다고 하자. 즉 Aut Fn 안의 두 사상 g, g와 w E Fn 에 대 해 (w)~( = ((w)~)( 이 다. 정리 5.1.6. （아틴, 1947[Art4 7 ,Bi r7 4b]) (1) 아래와 같이 정의된 준 동형사상 : B11 ➔ Au t Fn 은 단사이다 .
懿) l: :+1 ::x,+1X,\l, 1+ 1
(2) 어 떤 자기 동형 사상 g가 Im< f> 안에 있을 필요충분조건은 적 당한 A; E Fn 와 rr E :En 에 대해 아래 조건을 만족한다는 것이다. • (x;) ~ = A;Xrr(i) A 11 (1 척 ::: n) • (xi • • ·Xn )~ = (xi • • •Xn) (3) cf>는 Pn 의 생성자 Ars 를 아래와 같이 보낸다.
Xi (s < i 또는 i < r)
이 정리에 의해 맣임군을자기동형사상군의 부분군으로볼수도있 다. 위의 대응관계를 기하학적으로 살펴보자. Sn 을 I2 안의 n 개의 점 (습½) (i= 1,… ,n) 으로 된 집합이라 하면 12-Sn 의 기본군은 Fn 과 동형이다 . Fn 의 자유생성자 X t,… ,Xn 에 대응되는 닫힌 길 l i(t)를 그림 5.8 과같이 잡자. X( /3)를 [3- /3라하고i k: (I2_&) ➔ X( {J )(k=O, 1) 를 X( /3)의 윗면과아 랫면으로의 자연스러운 포함 사상이라 하자. 즉 Mx,y ) = (x, y ,k) 이다. ik( f -y)은 X( /3)의 변 이 축소 (de fo rma ti on re tr ac t)이 므로 포함사상에 서
1• • • n•
유도되는 기본군에서의 준동형사상 Uk)*: JrJ( [2_&) ➔ 1r1(X( /3)）는 동 형사상이고 X( /3)의 기본군도 역시 Fn 과동형이다. 이때 cf>(/J) =U 1 ); 1U o)* 이 된댜 기하학적으로는 cf>(/J)(ti)는 윗면의 닫힌 길 ti를 g의 외부에 서 아랫면으로 내린 다움 그것을 아랫면의 £j들의 곱으로 쓴 것이다. 5.2 맣임과고리의 관계 이 절에서는 맣임 에서 고리를 얻는 방법, 고리 에서 맣임을 얻는 방 법을소개한다 . 이들은맣임군의 이론을매듭이론에 응용하는 데에 기 초가된다. {3= s1L J •• ·USn 을 n- 맣임이라하자. 그림 5.9 처럼 반평면 H={(x, y ,z) I x 착),y= ½} 안에서 직선 A= {(x,y, z ) Ix=2,z= }} （그림에서는 굵은 점 으로 표시되어 있다)를 축으로 하여 위쪽의 n 개의 점들을 돌려서 아 래쪽에 붙여 연결하면 고리를 얻을 수 있다. 이 고리를 f3의 닫힌 맣 임 (closed bra i d) 이 라고 부르며 鉛으로 표기 한다. 이 렇 게 맣임 을 닫힌 닿임으로 만드는 변환을 닫는 변환 (clos i n g) 혹은 닫는다라고 한다 . 또 한회전의 중심이 되는 직선 A 를 떻임축 (bra i dax i s) 이라부른다.
A•
맣임의 각 가닥마다 아래쪽을 향하는 방향을 주면 그 방향은 닫힌 땅임 전체로 확장되며 닫힌 맣임은 항상 축을 한쪽 방향으로만 돌게 된댜 닿임축에y축의 양의 방향과평행한방향을주면닫힌 맣임과의 걸림수는 정확히 맣임수 n 이 된다. (좀더 자세하게 말하면 전체공간을 R3 에서 S3 로 확장하고 A 를 3 차원 구 안의 풀린 매듭으로 생각한 다음 걸림수를 계산한댜) 닫힌 닿임이라할 때는 닫힌 맣임 k 와닿임축 A 로 된 쌍(fi ,A) 를 일컫기도 한다. 정리 5.2.1. (모튼, 1983[M o r83]) 두 닫힌 n- 맣임 (fi】 ,A) 와 (fi 2,A) 가 고리로써 동치라는 것과 f3 1 과 /32 71- B n 안에서 공액이라는 것은 서로 필요충분조건이다. 즉 Bn 의 공액류의 집합과닫힌 n- 닿임의 동치류의 집합은 일대일 대응관계에 있다. 를 앞닫절힌에 n서- 맣 임정 의이 했라던 하 고준 동S3 형안사에상서
정리 5.2.2. f3 E Bn 에 대해 (f3)가 x, 를 W;X ,r(i )W i l 로 보내는 F,1 의 자기동형사상이라 하면 rr;(S3 -fi)은 X1, ••• ,Xn 을 생성자로 하고 X; = W;X, r(i)W i l (i= 1, ... ,n-1) 를 정의관계식으로 하는 군표현을 갖는다. 주어진 고리 L 에 대하여 적당한 축 A 가 존재하여 위의 닫힌 맣임 과 같이 이 축을 기준으로 하여 항상 같은 방향으로만 돌게 되 면 L 은 분명히 적당한 맣임의 닫힘이다. 이때 쌍 (L,A) 를 L 의 닫힌 떻임 표 현 (closed braid rep resen t a ti ve) 이 라고 부른다. 맣임 에서 항상 고리를 만들 수 있다면 다음 두 질문을 생각해 보는 것이 자연스럽다. (1) 임의의 고리는 항상 닫힌 맣임 표현을 갖는가? (2) 두 맣임 /31 , /3 2 에 대하여 fi 1 과 fi 2 가 고리로써 동치라면 (즉 전 공간 동위 라면) /31 과 f3 2 는 어 떤 관계 에 있는가? 첫번째 질문에 대한답으로알렉산더의 정리가있다. 정리 5.2.3. （알렉산더) 임의의 고리는 닫힌 맣임 표현을 갖는다. 이 정리는 알렉산더의 1923 년 논문 [Ale23] 에서 처음 제시되었으며 버만이 [B i r74b] 에서 증명하였다. 최근에는 더 쉽고 자연스로운 알고 리듬이 만들어졌는데 예를 들어 모톤 (H. R. Mo rt on) 의 [Mor86b] 와 야 마다 (S. Yamada) 의 [Yam87], 보젤 (P. Vo g el) 의 [Vo g9 0] 이 있다. 위 논문 들에서는 구체적으로 고리 그림(li nkd i a g ram) 이 주어졌을 때 이를 닫 힌 맣임으로 만드는 알고리듬이 주어져 있다. 여기서는 야마다의 방 법을 소개하겠다. 이 알고리듬은 알렉산더 정리를 증명할 뿐만 아니 라다음과같은유용한성질을밝혀준다. 정 리 5.2.4. （야마다) D 를 고리 L 의 고리 그림 이 라 하면 s(D) =b (/3 ) 이 고 w(D) =w (fi) 이 되는 맣임 그림 f3를 얻을 수 있다. 여기서 s(D) 는 사이퍼트 원의 개 수이 며 w(D) 는 이 고리 그림 의 감김 수 (w rith e) 이 다.
알렉산더의 정리에 의해 아래처럼 고리의 닿임 지수 (bra i d ind ex) b(L) 을 정의할수 있다. b(L) =m in{ n I 적 당한 n- 맣임 f3에 대 해 L =f 3} 따름정 리 5.2.5. s(L) = min{ s(D) I D 는 L 의 고리 그림 }이 라 하면 s(L) =b(L) 이다. 위의 따름정리와 [M or86a] 에 있는 모톤의 결과 s(D) 츠 -21( E-e)+l 를 이용하면 고리의 맣임지수를 얻는 데 유용한아래의 따름정리를 얻 을 수 있다.（여기서 E 와 e 는 각각 L 의 2 변수존스 다항식에서의 l 의 최 고 차항과 최저 차항의 차수이다. 제 3 장 참조) 따름정 리 5.2.6. b(L) 츠 -21( E -e ) + l. 이제 야마다의 알고리듬을 알아보도록 하자 . 먼저 고리 그림에서 사 이퍼트 곡면을 얻을 때처럼 그림 5 . 10 과 같이 고리 그림의 각 엇갈림 을 짤라서 사이퍼트 원들을 만들도록 하자. 이때 엇갈림이 있음을 표 시하기 위해 음양의 부호가붙은띠를그원들사이에 그린다. 이렇게 얻어진 그림을 추상화된 그림 (abs t rac t d i a g ram) 이라 부르자.
그림 5.1 0 추상화된 그림
두 개의 사이퍼트 원 C, C' 이 주어지면 이들은 S2 =R2U{oo} 에서 어 떤 원환 (annulus)A 의 둘레가된다. 만약 H1(A) 에서 [c j ]=[cj ]이면 이 두
사이퍼트 원은 같은 방향 (coheren t ly or i en t ed) 이라고 하며 [c;]=-[Cj ]이 면 반대 방향(i ncoheren t ly or i en t ed) 이라고 한다. 추상화된 그림은 다음 과같은특징이 있다. (1) 사이퍼트원들은서로만나지 않는다. (2) 띠들은 서로 만나지 않는다. (3) 띠는같은방향의사이퍼트원사이에만있다. 또한이 그림이 길연결되어 있다고가정하자.그렇지 않은경우에는 각각의 길연결 성분에 알고리듬을 적용하면 된다. 같은방향으로도는 원들을 한묶음으로 생각하여 이들을묶음 (bunch) 이라고부르자. 그림 을간단하게 하기 위해 두묶음안의 원들사이에 있는띠들은한곳으 로 몰아놓자. 그림에서는 상자로 나타내는데 맣임 상자 (bra i d box) 라 고부른댜그림 5.11 과 5.12 참조. 묶음이 한개이면 닫힌 맣임이 된다.
냐
이제추상화된그림을바꾸는두가지 변환을생각한다.그림 5.13 의 왼쪽 그림과 같이 서로 반대 방향인 묶음 C, C' 과 이 두 묶음을 연결하 며 다른 닿임 상자나 묶음과는 만나지 않는 길 a 가 있다고 하자. 그러 면 오른쪽의 그림처럼 C' 을 a 를 따라 밀어서 C 의 내부로 밀어 넣은 다음 C 와 C' 을 묶음 하나로 생각할 수 있다. 이런 변환을 미끄럼 변 환 (s li d i n g op era ti on) 이 라 부르자. 이제 두번째 변환을 살펴보자. C 와 C' 이 같은 방향이며 맣임 상자로 연결되 어 있다고 하자. 또한 C 와 연결된 묶음은 C'뿐이 라고 하면 그림
그림 5.1 2 닫힌 맣임
C :군
5.14 와같이 C 의 사이퍼트원들을뒤집어 C' 의 원들과평행하게 만든 다음 묶음 E 와 F 를 하나로 만들수 있다. 이렇게 하는 변환을 뒤집는 변 환(flip op era ti on) 이 라 한다. 지금까지 살펴본 두 가지 변환은 모두 묶음의 개수를 하나씩 줄인 다. 야마다의 알고리듬은 처음의 추상화된 그림에 이 두 변환을 계속 시행하여 묶음이 한개만남게 만드는것이다.먼저 뒤집는변환을최 대한많이 시행하여 더이상이 변환을할수없다고하고아직 묶음이 2 개 이상있다고하자. 가장 안쪽에 있는 묶음 C 를 잡으면 추상화된 그림이 길연결되어 있 기 때문에 C 는다른묶음 C1 과닿임 상자 E 로연결되어 있다.또한뒤
그림 5.1 4 뒤집는 변환
집는 변환을 할 수 없다고 가정 했기 때문에 C 는 또다른 묶음 G 와도 닿임 상자 F 로연결되어 있어야한다. 일반성을 잃지 않고 E 와 F 가인 접한 닿임 상자이며 C1 과 G가 또다른 묶음에 의해 분리되지는 않았 다고 가정할 수 있다. 그러면 C1 과 G 를 연결하는 길 a 를 묶음의 외부 에서 찾을수있다.또한 C 와 C1,C 와 G 가각각같은방향이므로 G 과 G 는 반대 방향이다 . 따라서 a 를 따라서 C1 과 G 에 미끄럼 변환을 할 수 있고묶음의 개수가한개 줄게 된다 . 위의 논의에 의해 주어진 추상화된 그림에서 앞에서과 같이 미끄럼 변환과 뒤집는 변환을 반복 시행하면 묶음이 한 개인 그림으로 만들 수있댜 이로써 알렉산더의 정리가층명되었다.또한이 변환들은모 두사이퍼트윈의 개수와비틀림수를변화시키지 않으므로결과로얻 어지는맣임의 맣임지수는정확히 처음그림의 사이퍼트원의 개수이 며 비틀림수도처음그림의 비틀림수와같다. 알렉산더의 정리와앞의 정리 5.2.2 를 이용하면 아래 따름정리를 얻 울수있다. 따름정리 5.2.7. Fn 을사 .. ,,Xn 둘을 생성자로 갖는 자유군이라 하 고f를: Bn ➔ Au t Fn 의 치역에 속하는자기동형사상이라고하자.즉 x 를 적당한 생성자적의 공액으로 보내며 X1 · · ·Xn 울 고정시킨다 . 그러 면 (x1 , ... , Xn I X; =f(x; )>
로 정의되는 군은 적당한 고리의 기본군이며, 역으로 임의의 고리의 기본군은위의 형태로쓰인다. 이제 두 맣임을 닫아서 만든 고리가 언제 고리로 동치가 되는지 생 각해보자. 주어진 n- 맣임 /3 E Bn 에 대해 f3를 다음 세 가지 중 하나로 바 꾸는 변환을 마코프 변환 (Markovmove) 이라부른다. (1) f3와 공액인 맣임 y EBn 으로 바꾼댜 (2) (n+ 1) －맣임 f3a; I 으로 바꾼다. (3) 적당한 (n-1) －맣임 /3' EBn-1 에 대해 f3=f3'여법일 때 f3’으로 바 꾼댜 위의 (2) 나 (3) 의 변환을 하나만 시행하여 같아지는 두 닿임을 단순 마 코프 동치 (s i mp le Markov e q uvalen t)라 하고 위의 세 가지 변환을 유한 번 시행하여 같아지는 맣임을 마코프 동치 (Markove q u i valen t)라한댜 마코프 동치인 두 맣임에 닫는 변환을 해주면 동치인 고리가 얻어짐 을 쉽게 알 수 있다. 그런데 놀랍게도 그 역도 성립한다. 정리 5.2.8. （마코프) 두 닫힌 맣임 如와 B' 이 같은 고리를 나타내면 이 두 맣임 f3와 f3’은 마코프 동치 이 다. 마코프는 위 정리를 1936 년에 [M ar35] 에서 처음 언급하였다. 이 정 리는매듭이론의 문제를맣임 이론의 문제로바꾸는데 있어 아주중 요한 정리이다. 그러나 그 자신은 이 정리를 증명하지 않았고 1974 년 에 가서야 맣임 이론을 재정립한 버만(J. B i rman) 에 의해 완전히 증명 되 었다. [Bir7 4b] 참조. 마코프의 정리에 의해 닿임들에 대해서 정의되는어떤 양이 공액류 와 마코프 변환에 대해 불변이라면 이 양은 고리 불변량이 된다• 실제 로 존스 다항식 (Jon es p ol y no mi al) 은 맣임 군의 헤 케 대수 재표현 (Hecke alge b ra re p resen t a ti on) 을 잡은 다움 그 재표현의 대각합(tr ace) 을 취하 여 얻어진다. 존스는 이 대각합이 마코프 변환에 대해 불변임을 보였 댜
그러나고리 분류문제를 연구하는 데에는마코프변환이 맣임지수 를 늘릴 수 있다는 것이 큰 어려움이다. 이를 극복하기 위해서는 맣임 지수를늘리지 않는새로운형태의 변환이 필요하다.닿임지수가 3 이 하인고리 또는풀린 고리에 대해서는이런 변환을찾을수 있다.이에 대해서는뒤에 다시 언급하겠다. 5.3 맣임군의 단어 문재와공액 문제 n- 맣임군 Bn 의 군표현을상기하자. Bn = (이 , , Cn-I I: :: =q:;tOj' :: :;: =\l ) 어떤 군이 군표현으로 주어진 경우, 제일 먼저 생각하는 것이 단어 문제 (word p roblem) 이다. 이것은 일종의 판별 문제 (de cis i on p roblem) 로 생성자로 쓰인 두 단어가 있을 때 이들이 군에서 같은 원소를 나타내 는지 아닌지를 유한번의 과정을 거쳐 판별하는 방법을 묻는 것이다. 이 문제는닿임군에 대해 닿임이 빗질된순닿임과순열맣임의 곱으로 유일하게 표현된다는 것을 이용하여 아틴이 [A rt 47] 에서 처음 해결하 였댜 (정 리 5. 1. 3 과 따름정 리 5.1. 4 참조) 또한 앞절에서 살펴보았듯이 고리로의 응용을 위해서는 공액 문 제 (conj u gacy p roblem) 를 푸는 것이 아주 중요하다. 죽 두 단어가 있을 때 이 단어들이 나타내는원소가서로공액인지 아닌지를판별하는방 법 을 알아내 야 한다. 이 공 액 문제 는 1969 년 가사이 드(F. A. Gars i de) 가 [Gar69] 에서 처음으로 해결했다. 또한 그는 단어 문제도 새로운 방법 으로풀었다. 80 년대 써스톤(W． Thurs t on) 이 가사이드의 알고리듬을 단어 문제에 대해 개선하였다[T hu88,DT92] ． 이 알고리듬의 복잡도 (com p lex ity)는
맣임지수 n 에 대해서 O(nlog n) , 단어길이 |WI 에 대해서 0(|WI2) 임이 밝혀졌댜 그뒤 엘리파이와 모톤이 써스톤의 방법을 공액 문제로 확 장하였다 [EM94]. 최 근에 는 띠 생 성 자 (Band g enera t or) 를 이 용한 새 로운 군표현을 사용 하여 좀더 빨리 단어 문제와 공액 문제를 풀고자 하는 연구가 진행되 고 있댜 이 새로운군표현은다움과같은형태이다. 정 리 5.3.1. [ESKL97, JBB L97] Bn 은 다음과 같은 군표현을 갖는다. 생 성 자 : a,s, (n 츠 t > s 츠 1) 정 의 관계 : a,sarq = a rqa ,s ((t-r) (t - q)( s -r)(s -q ) > 0) a,sasr =a ,rSrs =a sra,r (n 츠 t > s > r 츠 1) 이 표현에서 띠생성자 a,s 는t번째 가닥과 s 번째 가닥사이에 반꼬임 이 하나 있는 닿임이다. 그림 5.1 5 참조. 즉 CT;=a( i +l) i이다. [E SKL97] 은 4- 맣임에서의 단어 문제와공액 문제를다루며 [KL 97] 에서는위 논문 의 결과를 닿힌 4- 맣임의 종수에 응용하고 [JB BL97] 에서는 이 띠생 성자표현을 일반적인 n- 맣임에 대해 일반화한다.또한[HK97]에서는 단어 문제와 공액 문제를 푸는 알고리듬이 맣임군의 다양한 군표현 중 아틴의 표현과띠생성자표현에 대해서만적용될수있음을보여주었 다. 띠 생성 자 표현을 사용하면 단어 문제 알고리듬의 복잡도는 맣임 지수 n 에 대하여 O(n), 단어길이 W 에 대해서 oc1w12) 이다. 이 절에서는전통적인방법인 엘리파이-모톤의 방법에 따라설명하 겠다. 생성자의 양수 거듭제곱의 곱만으로 쓰이는 단어를 양의 단어 (po s- itive word) 라 한다. 맣임 군의 군표현을 보면 정 의 관계 식 에 양의 단어 만 있음을 알 수 있다. 이 런 군표현을 양의 표현(p os iti ve p resen ta ti on) 이 라부른다. 양의 단어 P, Q에 대하여 다음과 같은 열 P=P1 ➔ P2 ➔ … ➔ Pk= Q
t-th
(여기서 P i +1 은 R 에 정의관계식울 한번만 적용하여 얻어진다)이 있으 면 이들을 양으로 동치(p os iti vel y e q u i valen t)라고 하고 P= Q로 나타낸 다.예를돌어
이 0'20 '3 0 ' 1 0'2 이 = O'J 0'20 '3 0 '2 이 0'2 = O'J 0'3 0 '20 '3 0 '10 '2 = a3 이 62 이 CT3 <:T2 = CT3 <:T2 이 6263 62 = <:T3 <:T2 <:T1 C T3 <:T2 <: T3
이댜氏롤 양의 단어들의 양동치류들로 이루어진 반군 (se mig rou p)이
소거성은 정리 5.3.3 에 의해서 보이며 오른쪽가역성은 정리 5.3 .4에 의 해서 보인댜 일반적으로 어떤 양의 표현이 주어졌을 때 그 표현으로 만들어지는 반군에서 대응되는 군으로 가는 사상이 일대일인지 아닌 지를 아는 것은 매우 어려운 문제이다. 정리 5.3.3. （가사이드 [Gar69] ） 氏에서 c,P- 야 2 라면 다음이 성립 한댜 (1) i=j이면 P= Q이댜 (2) Ii— ji > 1 이면 적당한 양의 단어 R 이 있어서 P=( J'jR , Q =u;R 이 된댜 (3) Ii -ji = 1 이면 적당한 양의 단어 R 이 있어서 p=O'j야 R, Q= C i0'j R 이 된댜 또한 P q=QO'j 인 경우에도 비슷하게 다음이 성립한다. (1) i=j이면 P= Q이댜 (2) 1i -jl > l 이면 적당한양의 단어 R 이 있어서 P=R O'j,Q =Ru; 가 된댜 (3) Ii— ji = 1 이면 적당한 양의 단어 R 이 있어서 P=R 야(J'j， Q= R O'j 6가 된다 . 위 정 리 는 P 와 Q의 단어 길 이 와 ci P 를 O'jQ로 (혹은 P 아를 QO'j로) 바꾸 는 데 정의관계를 몇 번 적용해야 하는지 그 숫자에 대한 수학적 귀납 법으로 증명된다. n- 맣임군 B,, 에서 다음과 같이 정의되는 닿임 An 을 J I 본 떻 임 (jund amenta l bra i d) 이 라 부른다. A = An = （이따 ••• 야 -))An-l, A2 = C) 이 기본맣임의 기하학적인 모양은 n 개의 가닥을 그림 5.16 과 같이 반바퀴 꼬아 만든 것이다. r 를 r((J' j) =(J'n- i ( i= 1, ... ,n 一 1) 로 정의된 Bn 의 자기동형사상이라고하면 정의에 의해 당연하게 규=i d 이다 .A 은 다음과 같은 성 질을 갖고 있다. [Gar69, Bir 74 b] 참조.
그림 5.16 기본맣임 A4
정리 5.3.4. (1) 임의의 생성자아에 대하여 A 녹 Ti x i =Yi q가되 는 적당한 양의 단어 X;, Y; 가존재한다. (2) 임 의 의 맣임 f3에 대 하여 /3A = AT( f3)이 다. (3) Bn 의 중심 (cen t er) 은 &로 생성되는 무한 순환군이다. B 려 두 단어 V, W 에 대해 만약 적당한 양의 단어 C1, C2 가 존재하 여 W= C1VC2 가 되면 V 츠 W 라고 쓰도록 하자. 이 관계는 부분순서관 계(parti al orde ri n g)가 되 며 아래와 같은 성 질을 갖는다. 정리 5.3.5. (1) PE~ 라는 것과 P 츠 e 라는 것은 동치이다. (2) V 츠 W 와 w-1 츠 v-1 은동치이다. (3) 임 의 의 생 성 자 아에 대 해 e 츠 아 츠 A 이 다. (4) 1::,.r1 츠 V :'.:: 1::,.s , , 1::,. r 열 W :'.:: 1::,.s2 이 면 1::,.r ,+r2 츠 VW :'.:: 1::,.s, +s2 이 다. (5) W:'.:: 1::,. s 이면 적당한 양의 단어 D1,D2 가존재하여 1::,.s =D1W= WD2 가된댜 (6) 1::,.r 츠 W 이면 적당한 양의 단어 E1, E2 가 존재하여 W=E1 t::,.독 1::,. rE2 가된댜 [r, s] 를 Ar 츠 W 츠 AS 가 되 는 모든 n- 맣임 W 들의 집 합이 라 하자. (0, 1] 에 속하는 닿임들을 표준인자 (canon i cal fa c t or) 라 부른다. 임의의 n- 맣
임 W 에 대해 i n f W 와 su p W 를 다음과 같이 정의한댜 inf W = max{r 11 :l.r 츠 W} sup W = min{ s I D.5 츠 W} 또한 임의의 양의 단어 P 에 대해 첫생성자집합 (s t ar ti n g set) S(P) 와 끝생성자집합(fi n i sh i n g se t )F(P) 를 다음과 같이 정의하자. S(P) = {시 적 당한 양의 단어 Q에 대 해 P = 6i Q} F(P)= {시 적당한 양의 단어 Q에 대해 P= Q이 어 떤 분해 P = AQ ( A, Q ::: e) 가 F(A) ::> S( Q)를 만족하면 이 를 좌가중분 해 (lef t -we ig h t ed decomp os iti on) 라 부른다. 정 리 5.3.6. (엘리 파이 -모톤[E M94]) (1) 표준인자들의 집합 [O, 1] 은 앞절에서 정의한순열맣임들의 집 합과같다. (2) 만약 P = A Q가 왼쪽 가중분해 라면 S(P) = S(A) 이 며 임 의 의 또 다른 양의 단어 R 에 대 해 S(RP) = S(RA) 이 다. (3) 임의의 양의 단어 P 에 대해 P=AQ , A E [O, 1] 이 좌가중분해가 되게 하는표준인자 A 와양의 단어 Q가유일하게 존재한다• 위 정리에 의해 주어진 임의의 양의 단어 P 에 대해 좌가중분해 P= A1P1 (Ai E [O, 1]) 이 존재한다. P1 이 표준인자가 아니면 다시 위 정리 를 이 용해 좌가중분해 Pi = A2P2 (A2 E [0, 1]) 를 만든다. 이 과정 을 반 복하면 P 를 P=A1A2 .. ·Ak (Ai E [O, 1) 이고 F(Ai) ::> S(A i +I)) 로 만들 수 있댜 여기서 앞부분에 모여 있는 A 을 모아 거듭제곱으로 쓰고 나면 다움과 같은 형태의 분해를 얻을수 있다. P = D.A 1A2 • • ·Ak , 여 기 서 A; E [0, 1], A; 1 e, l:l.이 고 F(Aj ) ::> S(A;+1) 이 다. 이 렇 게 분해 한 것 을 좌표준형(l ef t canon i cal fo rm) 이 라 부른다.
정리 S.3.7. （엘리파이-모톤 [EM94]) 임의의 양의 단어 P 에 대해 좌 표준형 P = l.),. A1A2· ·-Ak (각각의 i에 대해 A; E [0, l], Ak =/e, /.),. 이고 F(A;) ::) S(A;+1)) 가 유일하게 존재한댜 또한 이 경우 inf P = u, sup P = u+k 가된댜 실제로주어진 단어 WEBn 에 대해서 다음과같은알고리듬으로좌 표준형을구한다. (1) 음수지수를 갖는 생성자를 정리 5.3 .4의 식 A= q X i를이용하 여 X i A-1 로 치환한 다음 /3A = Ar(/3) 식을 이용하여 w= &P (P 츠 e) 형태로 바꾼다. (2) W= M1 ···Ak (A ; E [O, 1] ）로 표현되었다고 하자. （맨 처음에는 각각의 생성자를 하나의 표준인자로 생각한다 .)Ak-lAk 를 좌 가중으로 만든 다음 Ak-2Ak-l 을 좌가중으로 만든다. 이 과정 을 A1A2 에 대해서까지 계속 시행하면 좌표준형의 첫번째 인 자를얻을수있다. (3) 위 과정을 남은 부분에 적용하여 두번째, 세번째 인자를 계속 얻을수있다. 즉두개의 단어가주어지면각각을위의 알고리듬으로좌표준형으 로바꾼후그들이 같은지 틀린지를살펴보면 된다.이것이 단어 문제 에 대한 써스톤, 엘리파이-모톤의 알고리듬이다. 이 알고리듬의 복잡도를 생각해보자. 먼저 주어진 단어를 양의단어 로 만드는 과정은 CJ (nlW| ）이다. 그 이유는 음수지수를 갖는 생성자를 다른 표준인자로 바꾸어 야 하는데 한 표준인자는 순열 하나로 표현될 수 있기 때문이다. 두번째로 두 개의 표준인자를 좌가중형으로 바꾸 는 과정의 복잡도는 CJ (nlo g n) 이고 따라서 주어진 양의단어를 좌표준 형으로 바꾸는 과정의 복잡도는 CJ( nlog nk 2) (k 는 표준인자의 개수)이 다.따라서 위 과정을따라주어진단어롤좌표준형으로바꾸는알고 리 듬의 복잡도는 CJ (nlo g nlWl2) 이 다.
이제 공액 문제에 대해 생각해보자. w= AUAl ···Ak 을 좌표준형이 라고 했을 때 W 의 순환 (c y cl i n g), c(W) 와 역순환 (dec y cl i n g), d(W) 를 다 음과같이 정의한다. c(W ) = /),_A2A3 • • ·Akr ( A1) d(W) = AU 권 (Ak)A1A2 • • ·Ak-1 여기서 T 는 T(W) = AWA-1 로 정의되는 Bn 의 군동형사상이다. 이 T 에 의 해 아는 an- i로 옮겨 진다. c(W ) = r( A1)-1 Wr ( A1), d(W ) =AkWAk1 이 므로 순환과 역순환을 통해 얻어지는 단어는 본래 단어와 공액이다. 정리 5.3.8. (엘리파이-모론[E M94]) (1) i nf W 가 W 의 공액 중 최대가 아니라면 적당한 자연수 t에 대 해 infce (W ) > inf W 가 된댜 (2) su p W 가 W 의 공액 중 최소가 아니라면 적당한자연수t에 대 해 sup d e(W ) < sup W 가 된다. (3) 임의의 공액류에서 i n f가최대가되고 su p이 최소가되는단어 가존재한다. 정 리 5.3.9. （엘리 파이 -모돈[E M94]) 만약 V, W E [r, s] 가 공 액 이 라 면 적당한 양의 단어 P 가존재하여 W=P-1vP 가된다. 또한 만약 P= AQ ( A E (0, 1]) 가 좌가중분해라면 A-1vA 는 [r,s] 에 들어간다. 주어진 단어 W 의 공액류 집합 중에서 inf가 최대가 되고 su p이 최 소가 되는 단어들의 집합을 W 의 최정상집합 (sup ersumm it se t)이라부 른다. 최 정 상집 합의 원소들을 최 정 상 단 어 (sup e r summi t word) 라 부르 자. 위의 두 정리로 주어진 단어의 최정상집합을 아래와 같은 방법으 로구할수있다. (1) W 를좌표준형으로바꾼다음순환과역순환을계속시행하여 inf가 최대 su p이 최소가 되게 한다. 즉 최정상단어를 하나 얻 는다. 이 원소를 V 라 하자.
(2) V 에 모든 표준인자들로 공액을 취하여 최정상집합의 새로운 원소들을 얻는댜 그 다음 새로 얻은 원소 각각에 대해 같은 과 정을반복한다.이 과정을더 이상새로운원소가얻어지지 않 을 때까지 계속 반복한다. 최정상집합의 크기가 유한이므로 앞의 정리 5 . 3.9 에 의해 이 방법으로 최정상집합을 모두 구할 수있음을알수있다.
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주어진두단어 v,w 가공액인지 아닌지를 알아보려면 먼저 V 와공 액인 최정상단어를구하여 이 단어가 W 의 최정상집합에 속하는지 살 펴보면된다. 이제 군표현에 관계된 문제들 중 매듭이론에 중요한 두 문제를 쓰 는 것으로 이 절을 끝맺도록 하자. 맣임 지 수 축소 문제 (reduc ibi l ity pro blem): 단어 W(E Bn) 가 적 당 한 VEBn-1 에 대하여 W=V 따리로 표현되면 W 룰 축소 가능 (redu ci ble) 하다고 한댜 즉 맣임지수를 줄이는 마코프 변환이 있는 형태로 쓸 수 있다는 것이다. 맣임지수 축소 문제는 주어
진 단어가 이렇게 축소 가능한 단어와 공액인지 아닌지를 판 별해 내는문제이다 . 땅임지수가 3 이하인 경우에는 [X u92] 에 의해 간단한 문제이며 맣임지수가 4 인 경우에는 아키멘코프 의 결과 [A ki 91] 이 있으나 실용적이지는 못하다. 일반적인 맣 임지수에 대한 해는 아직 없다. 교환 변 환 문제 (exchang e move pro blem): Bn 의 단어 W 가 W = 야 -l Vl%걱 V2, Vi , V2 E Bn-1, E = 士 1 일 때 이 룰 W' = ~；；더 V1 야 -1 V2 으로 바꾸는 것 을 교환 변 환 (exchan g e move) 이 라 부른다. /3' 이 f3에서 교환 변환으로 얻을 수 있다면 如와 B' 은 고리로서 동치라는 것을 쉽게 알 수 있다. 그림 5.17 참조. 교환 변환 문제는 언제 주어진 단어가 교환 변환 가능한 형태의 단어 와 공액이 되겠는가 하는 것이다. 이 문제의 의미에 대해서 는 [BM93, BM90, BM92, BM94] 를 참조하기 바란다. 5.4 자유미분과 맣임군의 재표현들 이 절에서는 자유미분으로부터 만들어지는 맣임군의 부라우 재표 현 (Burau re p resen t a ti on) 과 순맣임군의 가스너 재표현 (Gassner rep re - sen t a ti on) 에 대해 살펴본다 . Fn 을 X J ,X2, ... ,Xn 으로 생성되는자유군이라하자 .ZFn 을 Fn 위의 정 수계수 군환(i n t e gr al grou p ri n g)이 라 하면 자유미분 값 : ZFn ➔ ZFn 은 다움과•• 같 一—8axx은j j = =성 8 i —aj질, x j —을8 +•X•v j 갖— a =x는j 다-(8여. i 기j합 서. v, w E Fn). 8xi 8x;l 8vw 8v 8w • ~(~a;w;)=~ 틀 (여기서 a i EZ,w i EF사 .
기초정리 5.4.1. （연쇄율) 자유미분에 대해 연쇄율 (cha i n rule) 이 성 립한댜 즉 w=w(vi, ... , Vn) 과 VJ, V2 , ... , V11 을 F,, 안의 단어라 하면 託 (v1 (X1 , ... , Xn), ... , V11(X1 , ... , X11))) 설 (틀) Vj = vj( x1 , ... ,x,,) 信) 이 성립한다. 증명. w 의 단어길이에 대한수학적 귀납법을쓰자 .w=w1w 2 이고 W1 과 W2 에 대해서 각각연쇄율이 성립한다고하면 다음식에 의해 w 에 대해서도 연쇄율이 성립함을 알수 있다. 다음 식에서는표기를 간단 히 하기 위 해 w(v1 (x1 , ... , Xn), … , Vn(XJ , … , Xn) ）을 그냥 w 라고 썼 다 . —aaxwj = a(wa1x jw 2) =a—awx1j +. w• • )• —aa wx—2j =Ik: ~avk~ 8+xj w1Lk 쁘avk 쓰8xj =¥(군 +W1~ 군)군 = E 8(WIW2) 쁘 ~ = I: 쁘 쁘 k avk 8xj k avk aXj 따라서 연쇄율은 w 의 길이가 1 인 경우, 즉 w=v;(E= 士 1) 일 때만 보이 면 충분하다 .E=l 인 경우는자명하며 E=-1 인 경우는 뛸~ =-v? 急 에의해성립한다. 口 연쇄율을사용하면 Fn 에서 정의된 자유미분으로부터 Au t Fn 의 적당 한성질을만족하는부분군의 재표현을얻을수있다.여기서 Au t Fn 의 자기동형사상 f는 Fn 의 오른쪽에서 작용한다고 하자. 즉 X i EFn 의 상 을자로쓰기로한다 .Fn 을정의역으로하는주어진군준동형사상¢에 대해 A¢ 를 임의의 x i에 대해 X i ,P =x/ rp가 되는f E Au t Fn 들로 이루어진
Au t F11 의 부분군이라고 하자. 임의의f EA 4>에 대해 |lf||¢를 다음과 같은 nxn 행렬이라 하자. 여기 서 wEZFn 의 ¢에 의한상을 간단히 戒'라고쓰기로 한다. llfll • = [（판)〕 이러한사상 r:f1--+ l lf ll 연 k% 의 마그너스¢-재표현 (Mag n us-rep re - sen t a ti on) 이 라 부른댜 Mn(Z 村)를 zf1의 원소들을 원으로 하는 가역 nxn 행렬들의 군이라하자. 정리 5.4.2. r 는 A¢ 에서 Mn(Z f1)로 가는 군준동형사상이댜 증 명 . f E A 4>가 항동사상이 면 자 = X i이 고 (t)' = 8ij 이 므로 I lf||¢는 항등행렬이다. T 가 군준동형사상이라는 것을 보이기 위해서는f,g E A¢ 일 때 |lfg||도 |lf||¢ I|g| |¢ 인 것만 보이면 된다. 자 = W;(X1 , ... , X11), X;g = V;(X1 , ... , Xn) 이라하면 연쇄율에 의해 아래 식이 성립한다. k(xfg ) = k (w;(V1 , ••• , Vn)) = 홉 信 )xk=v 릅 여기서 v t =Xk8¢=Xk 이므로 (틀 )Xk=V Jt/> = (~)' = (롱)¢ 따라서 (판)¢= 홉른)¢(론)¢ 이 고 llfg ll ' = l lf ll'll g ll' 이 다. D 앞의 정리 5. 1. 6 에 의해 Bn 을 Au t Fn 의 부분군으로 볼 수 있다. 죽 Bn 은 각각의 생성자 x i를 적당한 생성자Xj의 공액으로 보내고 X1X2…
Xn 울 고정 하는 자기 동형사상들로 이 루어 진 부분군으로 볼 수 있다. 이 경우아 :Fn ➔ Fn 는 X;U; =X ;X;+J X ;- 1- , X;+J O ; =X ;, Xk 아 =Xk, k =Ii, i+ 1 이다. vr: Fn ➔ Z= (t}를 x i w= t로 정의되는 군동형사상이라 하면 당연 히 Bn CA v,이댜 따라서 위의 정리에 의해 맣임군의 재표현 r: Bn ➔ Mn(Z[t, t-1 ]) 을 얻을수 있다 . 이 재표현을 부라우 재표현 (Buraurep resen t a ti on) 이라 부른다. 이 재표현을 TB.n 이라 표기하자 . 여기서 B 는 부라우 재표현을 n 은 맣임지수를나타낸다 . 이 재표현에 의해 q는다움과같은 행렬로 보내진다.
I| 야 II'= 三
여기서 k 는 kxk 항동행렬을 나타내며 0 은 적당한 크기의 영행렬을 나타낸다. 순맣임군 Pn 에 대해서는 좀더 좋은 재표현을 얻을 수 있다. zn 을 ti, ... 'tn 울생성자로하는자유가환군이라하고~: Fn ➔ zn 을 x i&=ti로 정의되는 가환화사상이라하자. 이때 순맣임군 Pn 이 A g의 부분군이 됨 을쉽게 알수있다.따라서 앞에서와같이 재표현 r: Pn ➔ Mn(Z[!f l, . .. , t;I ]) 을 생각할 수 있다. 이 재표현을 가스너 재표현 (Gassner rep re senta - ti on) 이라부른다. 이 재표현을 TG,n 이라표기하자. 이 TG , n 에 의해 Pn 의
생성자 A,s 는 아래와 같은 행렬로 보내진댜 ||Ars||g = [(8(;i: rs )\] 여기서 행렬의 각원 (략몬)\은아래와같댜 oij (s < i 혹은 i < r) (1 -t ;)o ;r +trOi j (s = i) (1 -t i)( oij +t;os j ) +t;tsoi j (r = i) (l -t ;) (l -t s) 8ry -( 1-tr) 8 sj +8ij (r < i < s) 기초정리 5.4.3. {3가 n 맣임으로尔이 매듭이면 ||/3 11'- i d 는 k 의 알렉 산더 행렬이댜 또한{3 EPn 이라면 11 /3 11~- i d 는고리 如의 알렉산더 행 렬이다. 증명. 1r1(S3- {3)가 군표현
이 단 [ _:t [] err 曰 l t -t 1 ~r 번째 열
므이 로재 마표현지에막 행의해과 열만을들 어지지워는서 행(n렬— 의1) X마 (n지— 막l) 행 행은렬 을항 상얻 (을00 수 · ·있· 0 다I) . 가이 스너 재표현에 대해서도 비슷하게 하면 된다. D 보조정리 5 .4.4에 의해 축약하여 얻은 재표현을 I|fJ I I/, 1 1 fJ II 巨로 표기 하자. 이제 이들이 얼마나충실한지(faithfu l) 에 대해 알아보자 정리 5.4.S. n=3 인 경우 부라우 재표현과 가스너 재표현은 충실한 재 표현 (faithful rep re senta t i on ) 이 댜 증명. t1 = t2 = ·•· = tn = t로 놓으면 가스너 재표현에서 부라우 재표 현을 얻을 수 있으므로 부라우 재표현이 충실하다는 것만 보이면 충 분하다. 축약된 부라우 재표현에 의 한 a1, a2 의 상을 보면
||cHIr = [_Ot : ] , ||c2||1 = [ : _\]
이 되는데 이 행렬은 S Li (Z) 의 생성자이며 이 행렬군은 다음 군표현울 갖는댜 [WMS69, 4 6-4 7 쪽]을 참조하기 바란댜
다이어그램을 얻는다. 여기서 행은 완전열이다. o ➔ Hi (X n) ➔ Hi ( Xn,P-1(*)) ➔ A ➔ O o ➔ H1(-X1, 11) ➔ Hi ( X-n1, ,fPi*- 1 (*)) ➔ A-1, id➔ ° 이 때 H1 (Xn ,P-1 (*)) '.:::'. An = A EB • • • EB A 이 며 fi* : An ➔ An 을 나타내 는 행렬이 바로 II /3 ||V 가 된다. 5.5 사상류군과맣임 Tg 를 종수가 g인 닫힌 유향곡면이라 하고 Z1, .. · ,Zn 을 Tg 상의 고정 된 n 개의 점이라 하자. 이렇게 고정된 n 개의 점이 주어진 곡면을 n 개 의 구멍이 뚫린 곡면 (n- p unc t uredsu rfa ce) 이라 한다. 이 곡면상에서 정 의된 방향보존 자기위상동형사상들의 군 Homeo+(T8) 에 대하여 다음 과같은두부분군을생각하자. :F8,n = {h E Homeo+(T8) I h(z;) =Z ;, i = 1, 2, ... , n} Bg ,n = {h E Homeo+(Tg ) I h({z1 , ... , Zn }) = {z1 , ... , Zn }} 이 두 군에 컴팩트 열린 위상 (Com p ac t op e n t op olo gy)을 주면 이들 의 길 연결성분의 집합 rro(:F 8, n , id ) , rro(B8,n, i d) 는 모두 군구조를 가지 며 각각 n 개 의 구멍 이 뚫린 곡면 Tg 의 순사상류군(p ure map ping class g roup )과 사상류군 (map pi n g class g rou p)이 라 불린다 . 즉 이 들은 자기 위 상동형사상들의 동위류(i so t o py class) 이다. 여기서 사상류군 rroB g ,n 은 흔히 M( g ,n) 이라고 표기한다. 이 사상류군은 여러 분야에 응용될 수 있는중요한주제이다. 예를 들면 임의의 3 차원다양체는 2 개의 손잡이체를둘레 사이에 정의된 적 당한 위상동형사상을 따라 붙여서 만들 수 있다. 이때 두 손잡이체를
붙이는 사상은 사상류군 M go 의 한 원소로 볼 수 있다. 따라서 사상류 군 M g o 에 대한 연구결과는 3 차원 다양체이론에 응용될 수 있다. 이 외 에 도 타이 크뮐 러 이 론 (Te ic hm ii ller th eo ry)과 무한군 이 론(i n fi n it e grou p th eo ry)에도 응용될 수 있다. 이 절에서는 곡면의 사상류군에 대한 여 러 가지 성질을 알아보도록 한다. 먼저 앞에서 다루었던 맣임을 좀더 일반화하여 곡면의 맣임군을 정 의 하도록 하자. 다음과 같은 구성 공간을 생각하자. FnTg = {(pJ, … ,Pn) E nrg I i =/j이면p#pj} BnTg = FnTg /I:n 여 기 서 I: n 은 순열군 이때 rr1(FnT8) 와 rr1(BnTg )를 각각 Tg 의 n- 맣임군이라 한다. 이런 표기 법으로 앞에서 다루었던 맣임군은 rr1Fnl 라 r1&I2 으로 쓸 수 있다. 일 반적인 곡면 Tg 의 맣임은 Tg X/ 안에 있는 n 개의 가닥들의 모임으로 볼 수 있다. 이런 곡면의 맣임에 대해서도군표현을 구할수 있다. 예 를 들어 S2 의 맣임군은 아래와 같은 군표현을 갖는다. 생성자 : 81,… ,On-I 정의관계 : &8j =8j 싸 |i-jl 츠 2 婦i +1 & = 8i+ 1 8i8 i + 1 8I • • ·8n-28~_I8n-2 … 81 = 1 여기서 생성자&는 넣기사상 /2 ➔ s2 에 의해 유도되는군준동형사상 rr1Bn!2 ➔ rr1BnS2 에 의한 아의 상이다. 자세한 내용은 [Bir74 b] 또는 [FB62] 를 보기 바란다. 이제 사상류군과 맣임군사이의 관계를 알아보기 위해 다음과 같은 값사상 (evalua ti on map )을 생각하자. 이 사상이 군준동형사상임은 쉽 게 알수있다. e: Fg .o ➔ FnT8, e(h) = (h(z1), … , h(zn))
정리 5.5.1. 값사상 c: Fg ,0 ➔ FnTg 은 F8.n 을 올(fi ber) 로 하는 국소적 으로 자명 한 올사상(l ocall y trivi a l fi bra ti on) 이 다. 증명. F8.n 은 %o 의 닫힌 부분군이고 두 원소 h,g E Fg ,o 가 e(h) = e( g)일 필요충분조건은 이들이 Fg , n 의 같은 좌잉여류(l e ft cose t)에 속 한다는 것이댜 따라서 e 은 위상동형사상 E: Fg .o IFg, n ➔ FnTg 를 유도 하며 Fg ,O 는 동질공간 (homo g eneous s p ace) 이댜 따라서 정리를 증명하 기 위해서는 주어진 접 (z1, ••• ,%)의 근방에서 c 에 대한 국소적인 절 단 (cross sec ti on) 이 있음을 보이 면 충분하다. 각각의 점 Z i의 서 로 만나지 않는 좌표근방 (coord i na t e neig h borhood) U 에 대해 절단 h: U1 X · X Un ➔ Fg ,O 를 만들면 된다. h 가 U1 U···U Un 의 외부에서는 항등사상이 되게 만들면 되므로 각각의 U 에 대해 E oh; = id, hdT,-U; = idT ,-U; 인 사상을 만들면 충분하다. 이 러 한 사상은 알렉산더의보조정리를쓰면쉽게만들수있다. 口 따름정리 5.5.2. 다움과같은변이군의 완전열이 있다. • • • -+ Jr1: F g,O ➔E. 1r1: -Fn-T g ➔d. iro:F- g ,n ➔;. Jro: F- g ,O ➔E. Jro: F nT g = l 정리 5.5 요 (l) g 츠 2 이 면 Keri* =I md* '.:::'.1r 따 Tg . (2) g = 1, n 츠 2 또는 g =O , n 츠 3 이 면 Keri* = Imd. ::::::: 따 Fn% ／중십 위와 비슷하게 넣기사상j: Bg .n ➔ Bg .o 도 국소적으로 자명한 을사 상임을보일수있으며 이로부터 얻어지는완전열로부터 다음정리를 얻을수있다. 정리 5.5.4. 넣기사상j: Bg ,n ➔ B g ,O 로부터 얻어지는 전사사상 j.: M(g, n ) ➔ M(g, 0 ) 에 대 해 Kerj *는 다음과 같다. (1) g 츠 2 이 면 Kerj* ::::::: n1BnTg . (2) g = 1, n 츠 2 또는 g = O, n 츠 3 이 면 Kerj* ::: n1BnTg /중심 .
위 두 정리는 맣임군과 사상류군 사이의 관계를 나타낸다고 볼 수 있댜 또한 이로부터 n 개의 구멍이 뚫린 곡면의 사상류군 M( g ,n) 의 군구조를 연구하는 데는 그 곡면의 맣임군 rr1BnTg 와 구멍이 없는 곡 면의 사상류군 M( g ,O) 를나누어 생각할수있다. 이제 곡면의 사상류군에 대해 알아보자. 먼저 (n 개의 구멍이 뚫린) 구의 사상류군에 대해서는다음정리가알려져 있다. 정리 5.5.5. (I) 구멍이 1 개 이하인 구의 자기위상동형사상은 항상 항등사상과 동위 적 이 다. 죽 M(O, 0) = M(O, I) = I 이 다. (2) n 츠 2 이 면 M(O, n) = rroBo.n 은 다음과 같은 군표현을 갖는다. 생성자 : (,I)I , ... '(,I)n- 1 정의관계 : 야(,I)j=(,I)j아, |i―j巨 :2 0i (,I)i+l (, I)i =( ,I)i+l (, I)i(,I)i+l (,I)1 · ··(,I)n- 2(,I )~ -1(, I)n -2···(,I )! = l ((,I)IW 2 ... ( ,I)n -l)n = l 자세한 증명은 [Bi r74b] 를 참조하기 바란다. 위 정리의 야는 넣기사 상j: B8.n- 나 %.o 에서 유도되는 변이군간의 준동형사상 d.: rr,BnS2 ➔ M(O,0)=rroBo.n 에 의한 s2 의 닿임군의 생성자&의 상이다. 이 생성자 의 기하학적인 의미는다음과같이 생각할수 있다 .ZI, … ,Zn 을 s2 상의 구멍이라 하자. 각각의 쌍 (z;,Z i +I) 을 내부에서는 서로 만나지 않는 길 로 연결하고 D i를그길의 근방으로 Z i와 Z i +I 읍제외한다른구멍은포 함하지 않는다고 하자. 이때 h;: S2 ➔ s2 를 D i의 바깥에서는 항등사상 이며 z i와 Z i +I 을서로 바꾸는자기위상동형사상이라하자 .h i의 동위류 가 바로 (t)i이다. 그림 5.18 은 이 사상 h i에 의해 두 점을 포함하는 지름 이 이 위상동형사상 h i에 의해 어떤 곡선으로 변했는지를 보여준다. 이제 일반적인사상류군의 생성자와군표현에 대해 알아보자.먼저 덴-꼬기 (Dehn- twi s t)에 대해 알아보자. a 를 Tg _ {ZI 尸 •• ,Zn} 위의 단순 폐곡선이라 하고 N 을 ax [O,1] 과 위상동형인 a 의 근방이라 하자. 편
h`. ~
의상 이 근방 N 의 점들을 (0,y )( 0 E R mod 2rr, 0 츠 y 츠 1) 로 표기 하자. 이때 N 의 바깥에서는항등사상이고 N 에서는아래와같은사상g a 를 a 주위로의 덴-꼬기 (Dehn- twi s t alon g a) 라 한다. 8a (0, y) =( 0 + 2rr y, y) 덴국 1 기 의 기 하학적 인 모양은 그림 5.19 를 보기 바란다.
그림 5.1 9 덴-꼬기
정리 5.5.6. （덴[D eh38]) 임의의 방향을 보존하는 Tg 의 자기위상동 형사상은 덴국 1 기를 유한번 합성한것과동위이다. 즉 M( g ,O) 는 덴-꼬 기들로생성된다. 그뒤 리코리쉬(Li cko ri sh) 는그림 5.20 에 있는 3 g -1 개의 단순폐곡선 a,'… ,
(Hum p h ri es) 는 생성자의 개수를 (2 g +1) 로줄인댜그의 생성자는그림 5.20 에서
{3g
군표현에 대한 결과로는 1960 년대 말 버만과 힐덴이 M(2,0) 가 다 움과 같은 군표현을 가짐울 증명하였다[B H71, Bir 74 b]. 이돌이 사용 한 방법은 T27}S2 의 분지된 덮개공간이며 임의의 T2 의 위상동형사상 은적당한조건을만족하는 s2 의 위상동형사상을 T2 로울려서 얻을수 있음을 이용하는 것이다. 생성자: {1,··· ,ss 정 의 관계 : SiS j = SjS i, (Ii 一 j l 2'.: 2) 값i +l Si =S i+ ! SiS i+l (1 츠 i 츠 4) (s1 s2 • • • ss)6 = 1 (g l g파성 S4S3s2s1)2 = I {1 {2s3s4{~s4s 函 SI 는 각각의 gi와 가환이 다. 여기서 생성자g I, g 2, g 3, g 4, t5 는 각각그림 5.20 의 a,, /3 1,a2, /3 2,Y1 에 대 한 덴-꼬기를 나타낸다. 그뒤 해처와써스톤이 일반적인사상류군 M( g ,O) 의 군표현을구하 는 알고리듬을 만든다. 이 군표현은 하러 (Harer [H ar83] ）에 의해 조금
간단해졌고 와인립 [Waj 83] 이 더 개선하였댜 그의 군표현은 다음과 같다. a;, b;, d 를 각각 ct;, {3;, YI 주위 로의 덴-꼬기 라 하자. 정리 5.5.7. 사상류군 M g .I 은 a,, ... ,a8,b,, ... ,b8,d 를 생성자로 하 고 다움 관계식을 정의관계로 하는 군표현을 갖는다. (A) a;b;a; = b;a;b;, a;+1b;a;+1 = b;a;+1b;, b2db2 = db2d 이 며 이 쌍을 제 외한 다른 생성자들은 서로 가환이다. (B) (a1b1a 간 = d(b2a2b1a1a1b1a2b2)-1d(b2a2b1a1a1b1a2b 가 (C) dt2 d t2 1 tit2d (a1a2a3t 1t 2 ) -1 = (ub1a2b2a3b3)-1 vub1a2b2a3b3. (단, t, = b1a1 따싸 t2 = b2a2a3b2, u = a3b3t2 d (a3b3t2 ) -1, v = a1b1a2b2d(a1b2a2b2)-1.) 정리 5.5.8. 사상류군 M g .O 은 a1, ... ,a8,b1, ... ,b8,d 를 생성자로 하 고 위의 세 관계식 (A), (B), (C) 와 다음 관계식 (D) 를 정의관계로 하는 군표현을갖는다. (D) d8 는 b8a8• .. b1a1a1b1 .. ,a8b8 와 가환이댜 여기서 d8 = (u, u2 • llg- 1 )-1a1(u,u2 • • • Ug -1 ), u; = (b;a;+1h;+1)v;(b;+1a;+1b;)-1, v1 =d, v; = (t;-1 t ;) v;-1( t;-1 t ;) -1, ti =b ia i a i + 1 bi· 최근에는 제르베 (Gerv ai s, [Ger96] ）가모든 덴굽 1 기들을 생성자로 하 는군표현을구했다. 5.6 플랫 표현과 레이스 지금까지 닫힌닿임과고리의 관계에 대해서 살펴보았다.이 절에서 는아틴에 의해서 정의된맣임군과고리의 관계를설명하는또다른개 념인 플랫에 대해서 설명하겠다. 플랫이라는 개념은 3 차원 다양체의
분류와도 관계가 깊은 것으로 생각되고 있으며 ([V i r72, BH73, BH75, Mon75]), 또한 매듭과고리의 연구에 또다른 접근 방법을 제시했댜 플랫표현 D 를 3 차원 공이라고 하고 P=P1 u ... upm 을 D 안에 넣은 m 가닥의 곡선들의 집합으로각가닥이 그림 5.21 처럼 풀려져 있고서로분리되 어 있으며, P 의 둘레 즉 2m 개의 점들이 D 의 둘레인 2 차원 구 f 위에 놓여 있다고 하자. 그리고 D'과 P'을 위와 같은 조건을 만족하는 3 차 원 공과 곡선들의 쌍이라고 하자. 여기서 f: caD,aP) ➔ caD ',a P ') 을 방향을 보존하며 aP 를 aP' 으로 보내는 위상동형사상이라고 하자. 그 러면f (x) 와 x 를 동일시함으로써 만들어지는 DUD' 의 몫공간 (D,P)UJ (D', P')에서 DU1D' 은 S3 가 되고 L=PU1 P'은 n( 츠 m) 가닥의 닫힌 단순 곡선, 즉 고리 가 된다. 이 때 고리 L 을 2m 가닥 플랫(p la t)으로 표현되 었 다고한다.
Pi e,’ 二 Uf
이처럼 정의된고리의 플랫 표현은고리의 교각표현과는달리 고리 그림으로는나타나지 않는다.이 단점을극복하기 위해서 고리그림으 로는플랫표현이 어떻게 나타나는지 살펴보자 .DcD 를 D 와같은중
심을 가지며 반지름이 D의 1/2 인 3 차원 공이라고 하자. 그리고 b 의 둘레와 R 들이 수직으로 2m 개의 점에서 만난다고 하자. 그러면 D 는 DU(S2 X J) 로 생각할 수 있다.f가 8D 의 자기위상동형사상이기 때문 에 i dlav 와 동위 적 이 다. 이 때 f,롤Jo =f,/1 = i d 를 만족하는 동위 라고 하 자. 그리고 S3 =DU1D' 의 자기위상동형사상 h 를 다음과 같이 정의하 자. h it,와 hID 은 i d 로 정 의 하고, S2 x i에서 는 h(x, t) = (f,(x ), t), (X, t) E S2 X / 로 정의하자. 그러면 h(L)=h(P)U i dh( P')은 L=PU1P' 과 같은 고리형이 다. 그림 5.22 는 이 같은 방법으로 고리의 플랫 표현을 보여주는 그림 이다.그리고 이런 그림을 2m 플랫이라고 한다. 따라서 2m 플랫의 형 태에서 보이는 것과 같이 모든 2m 플랫은 적당한기하적인 2m 맣임의 아랫부분과 윗부분에서 모든 (2 i -1) 번째 가닥과 2 i번째 가닥을 이어 주면얻을수있다.
P, `z ` `
여기서 자연스럽게 질문되는문제가바로 임의의 고리가플랫으로 표현되는가이다.
정리 5.6.1. 모든 고리는 플랫으로 표현된다. 단 이 플랫 표현은 유 일하지않댜 증명. 정리 5.2.3 에 의해 모든고리는닫힌 맣임으로표현된다. 고리 L 이 m 맣임 fJ로 표현된다고 하면 L 은 또한 2m 맣임 fJ o fifJ o1 로부터 자 연스럽게 얻어지는 플랫으로 표현된다. 여기서 鉛는 fJ의 오른쪽에 수 직선 m 개를 더 넣어서 얻는 맣임이고,fJ o 는 fJo =（ 야야 ••• C12m-1) （야야 • • • a2,n _ 3) • • • (ClmClm+I) 로표현된댜 □ 고리의 플랫 표현은 고리의 교각표현과도 밀접한 관계가 있다. 다 음 정리는이 둘사이의 관계를보여주는중요한정리이다. 정리 5.6.2. m 교각으로 표현된 고리는 2m 플랫으로 표현된다. 반 대로 2m 플랫으로 표현된 고리는 m 교각으로 표현된다. 증명. 2 .4절에서 교각수는 고리의 만곡도 (crookedness) 와 같다는 것 을 살펴보았다. 따라서 m 교각표현을 가지는 고리는 m 개의 극대점과 m 개의 극소점을 가지는 고리 그림으로 표현할 수 있다. 이 그림으로 부터 정확히 2m 플랫표현을구할수있다. 반대로 2m 플랫은 적당한 2m 맣임으로부터 얻을수있다. 이렇게 얻 은 2m 플랫의 만곡도는 정확히 m 이 됨을 알수 있다. 즉 m 교각표현을 가지게 된다. □ 정리 5.6.2 로부터 고리의 맣임지수와플랫지수사이에 관한질문을 자연스럽게 생각할수있다.앞에서 살펴보았듯이 플랫 지수츠 2x( 맣임지수) 가성립한다는것은쉽게 알수있다.그리고롤프슨의 매듭표([R 0190]) 에 있는 74 를 살펴보면 이 매듭의 맣임지수는 3 이고 플랫 지수는 4 임 울 알수 있다. 따라서 플랫 지수 <2x( 맣임지수) 인 경우도 있다.
대수적플랫문제 플랫의 정의에서 주어지는f: (S2,a p) ➔ (S2,a P')은 5.5 절에서 살펴 본사상류군 M(0,2m) 의 원소로 볼수 있댜 그리고f에 대한 임의의 동 위는 (D,P) 나 (D',P') 의 동위로 확장할 수 있다. 따라서 f와f'이 동위 적이라면f와f'에 의해서 정의되는플랫 L=PU1P' 과 L'=PUp P'은동 치이댜 이 사실에 의해서 사상류군 (ma ppi ng class gr ou p)이 고리들의 분류와 관계가 있음을 알 수 있다. 물론 서로 다른 M(0,2m) 의 원소가 같은 고리의 플랫을 정의하기도 한다. 이 소절에서는 언제 두 사상류 가 같은 고리를 정의하는지를 살펴보도록 하자. M(0, 2m) 의 각 원소는 (S2(= aD)-aP ) 의 자기 위 상동형 사상J로 표현 할수 있댜 이때 E 를 M(0,2m) 의 원소들 중에서 D3_ p로 확장가능한 원소들의 집합이라고 하자. 그러면 E 는 당연히 M(0,2m) 의 부분군이 됨을쉽게 알수있다. 이제는 군 E 를 대수적으로 살펴보도록 하자 .M(0,2m) 은 2m 떻임군 의 몫군이 된댜 따라서 정리 5. 1. 1 에 의해서 사상류군의 한 원소 ¢가 (J):; I ·••(J) :rr 로 쓰이면, B2m 에서의 한 역상 /3=
는 다음 이 중 잉 여 류 (double coset) 중 하나에 속하면 L1 과 뇨가 같은 고 리를나타낸댜 ¢1'
어지는반원을붙여서 얻은고리를말하며t로표시한다. {(i,y ,z)| y 2+z2 리＇ z ：：：아, i= l, ... ,n
그림 5.2 3 3- 레이스의 닫힘
두레이스간의 동치관계는 R2 위에서 레이스의 끝점들을보존하는 동위에 의해서 주어지며, 풀린 레이스(tri v i allace) 는 레이스의 뼈대와 동치인 레이스를 말한다. 이와 같이 정의된 레이스에 여러 가지 군들의 작용 (ac ti on) 을 정의 할 수 있다. 먼저 자유군의 자기동형사상군의 작용을 살펴보도록 하 자. CAn 을 n 개의 생성자 X J, ••• ,％를 가지는 자유군 Fn 의 자기동형사 상들중에서 x i를자신의 공액 w f IX i W i로보내는원소들로이루어진 군 이 라고 하자. 그러 면 CAn 은 다음과 같은 군표현을 가지 게 된다. (
J.
(l) bij는 단순곡선으로 양 끝점이 £i와 tj의 내부에 있어야 하고, 레이스의 다른성분과는만나지 않아야한다. (2) b ij는 미리 주어진 tj의 방향에 대해서 오른쪽에 붙인다. 그리고 ti의 정칙근방 N 이 다움을 만족하게 잡아준다. (3) N 이 b ij의 내부를 포함하게 한다. (4) N 과tj의 교집합 8 가한연결성분으로 8Nn tj가되게 한다. 이러한 조건을 만족하는 N 과 b ij에 대해서 £ . a ij롤 다음과 같이 정의한 댜그림 5.24 참조.
(다 )k = {::NUt J) -8 :::::
조건 (2) 에 의해서 (e.a ij)j의 방향이 aN 에 반시계 방향을 준 것과 일 치하게 된다. 따라서 e·a ij l 을 정의할 때에는 조건 (2) 를 다음과 같이 바꾼다. (2') b ,j는 미리 주어진 tj의 방향에 대해서 왼쪽에 붙인다. 조건 (2’) 에 의해서 (e . a;1) j의 방향이 aN 의 시계 방향과 일치하게 된 다. 이러한군의 작용에 의해서 다음과같은결과를 얻을수 있다. 정리 5.6.5. ([FJR 94]) 닫힘이 풀린 고리가 되는 순수 n- 레이스는 CAn 작용으로 얻은 풀린 n- 레이스의 궤도 (orb it)의 한 원소이며, 그 역 도성립한다. 다음은 풀린 고리의 플랫 표현과 레이스 표현의 . 관계에 대해서 살 펴보도록 하자. 우선 풀린 고리와플랫 표현의 관계에 대한 결과를 알 아보자. 정리 5.6.6. ([FJR9 4]) n 성분 풀린 고리의 2n 플랫 표현은 풀린 2n 플랫으로부터 다움과같은국소변환들과닿임들사이의 정의관계에 의해서 주어지는변환들로얻어진다.
었기 1 었기 1n 홍기1 n
풀린 고리와 레이스 표현에 대한 결과를 알아보기 위해 몇 가지 군 작용에 대해서 살펴보자. 우선 n 맣임군 Bn 의 n- 레이스에 대한 작용 을 살펴보자. Bn 작용은 레이스 성분의 양끝점을 바꾸는 작용이다. 다 시 말해서 아를 Bn 의 군표현에서 정의된 생성자라고하면t c i는그림 5.25 와 같이 선분 [i,i+1 ] X {Q, 1} 들을 이 선분들의 정칙근방 안에서 R 떡 동위로 180° 회전시키는 것이다• 이때 선분 [i,i+ l] X {O} 는 반시 계 방향으로, 선분 [i, i+ l] x {l} 는 시 계 방향으로 회 전시 킨다.
t .「 - _ ·. a €Q 〉 • · . ?. •I
다음은틀맣임군의 작용에 대해서 살펴보자 .n 틀맣임군(fr amedbra id g roup )이 란 맣임 군 Bn 과 가환군 zn 의 반직 합 Bn n zn 으로 나타나 는 군이다 . 이 반직합에서 zn 에 대한 Bn 의 작용은 b•(m1,… ,mn)= (mrrb( l),··· ,mrrb(n) ) 으로 주어진다. 여기서 자는 맣임 b 로부터 자연스 럽게 얻어지는순열을나타낸다. 이렇게 정의된 틀맣임군의 레이스에 대한 작용은 다음과 같이 정 의된다 우선 Z 영 표준 기저 e;=(0, ... , 0, 1, 0, . .. ,0) 의 작용은 그림 5.26 과 같이 레이스의 i번째 뼈대를 이 뼈대의 정칙근방 안에서 180° 시계방향으로 회전시키는 R2 의 동위의 결과물이다. 이 작용의 결과 로 레이스의 i번째 성분의 방향이 반대로 바뀌게 된다. 틀고리군의 다른생성자아에 대한작용은레이스의 성분을바꾸는 작용으로위에서 정의한 Bn 의 작용과는다르게 정의된다.이 작용은 그림 5.27 과 같이 i번째 뼈대와 i +1 번째 뼈대를 바꾸는 R2 의 동위의 결과물이다.이때 두뼈대를포함하는 열린근방의 외부는고정된다. 이러한군들의 작용에 대해서 다음과같은결과를 얻을수있다.
정리 5.6.7. ([FJ R 94]) 닫힘이 풀린 고리가 되는 순수 n- 레이스는 풀 린 레이스에 Bn 작용과 FBn 작용을 하여 얻은 레이스이며 , 그 역도 성 립한다 .
•1, .,.II' …·¢~-- . 一· · -· · ··-··-···· •
제 6 장 사이퍼트곡면 이 장에서는 매듭이나 고리를 둘레로 갖는 다양체에 대하여, 그들 은 어떻게 얻어지는지를 알아보고, 그런 다양체들을 통해 얻을 수 있 는 매듭이나 고리의 불변량들을 살펴보고자 한다. L 을 S'1+2 안의 n 차원 매듭 또는 고리라고 하자. 그리고, sn+2 에 들어 있는 (n+1) 차원 다양체 M 이 방향을줄수 있는 닫힌 다양체를성분으 로 갖지 않는 컴팩트다양체라고하자. 이때 만약 aM=L 이면,이 (n+l) 차원 다양체 M 을 L 의 사이퍼트 곡면 (Se ife r t su rfa ce) 이라고 한다. 우리 는 다음 절에서 1 차원 매듭이나 고리의 사이퍼트 곡면에 대하여 알아 보도록하겠다. 6.11 차원 매듭과고리의 사이퍼트곡면 기초정리 6.1.1. K 가방향이 주어진 1 차원 매듭이라면 ,K 는사이퍼 트곡면을갖는다.
증명. K 를 둘레로 가지는 사이퍼트 곡면은 다음 알고리듬을 통해 구체적으로 찾을 수 있다. 이 알고리듬을 사이퍼트 알고리등 (Se ife r t Al g or it hm) 이 라고 부른다 ([Sei3 4 ] 참조). (1) K 의 그림 (daigr am) 을 그린댜
그림 6.1
(2) K 의 모든 엇 갈림 (cross i n g)을 K 의 방향에 맞추어 서 제 거 한다 (제 3 장 참조)． 이 결과 만들어지는 만나지 않는 각각의 닫힌 곡선 (dis j o i n t closed curve) 을 사 이 퍼 트 원 (Seif ert c irc le) 이 라고 부른댜
그림 6.2
(3) 사이퍼트원마다 만나지 않는 원판 (d i sk) 을 붙인다.
®)
(4) 엇갈림이 제거된 점마다, 반꼬인띠 (hal f twist e d band) 를 붙여 서 원래의 엇갈림을 되살린다.
二一그亡
이렇게 얻어진 연결된 곡면의 둘레는 명백하게 K 이다. 그리고, 위 의 사이퍼트 알고리듬에 의해 만들어진 곡면이 방향을 줄 수 있고, 컴 팩트라는 사실을 쉽 게 확인할 수 있다. 따라서, 이 곡면이 우리가 원하 는 K 의사이퍼트곡면이다. 口
열 ~
유향 고리에 대하여도 이 사이퍼트 알고리듬을 적용하여 사이퍼트 곡면을 얻을수 있다. 매듭이나고리에 대한사이퍼트곡면은유일하 지않다. 이제 , 사이퍼트 곡면을 이용한 매듭의 불변량인 종수(g enus) 에 대 하여 알아보자. M 이 방향이 주어진 연결된 컴팩트 곡면이라고 하자. M 이 닫힌 곡면 (closed 2-m anifo ld) 인 경우에는 종수 g (M) 은 잘 정의된 불변량이댜 일반적으로 M 의 둘레 8M 이 c 개의 닫힌 곡선들로 이루어 져 있다고 하면 8M 각 성분에 원판을 붙임으로써, 닫힌 곡면 B을 얻 울 수 있다. 이때 둘레를 가지는 M 의 종수(g enus) 는B 의 종수로 정의 한댜 즉g(M)=g(丘)이댜
M 의 오일러 특성수 (Eulercharac t e ri s ti c) 를 x(M) 이라 하고 ,M 의 오일 러 특성 수를 x( 丘이 라 하면, x(M) = x(M ) + c 이 고 x(M) = 2 -2g (M ) 이 기 때문에 다음관계식이 쉽게 유도된다. g(M) = 1-x( M2) +c 그림 6.6 은 (2,5) －토러스 매듭의 한사이퍼트 곡면 M 이댜 M 의 오일 러 특성수는 -3 이므로 ,M 의 종수는 2 이다. 매듭 K 의 종수(g enusof K) g(K)를 K 의 모든 가능한사이퍼트 곡면들 중에 가장 작은 종수를 가지 는 사이퍼트 곡면의 종수로 정의한다. 이때 가장 작은 종수를 가지는 사이퍼트 곡면 M 을 최소곡면 (m i n i mal su rfa ce) 이라 부른댜 1 차원 매 듭의 연결합 (connec t ed sum) 의 종수는 다음과 같다.
J_-—-—.—-_ :::::::: 증言言충
정리 6.1.2. I 차원 매듭 K1 과氏에 대하여 다음 관계식이 성립한댜 g(K 1 ~K2) =g (K 1 ) + g(K 2) 증명. [R0 190] 참조. 口 6.2 고차원 사이퍼트곡면과호몰로지 둘레고리 고차원 사이퍼트 곡면의 존재성 정 리 6.2.1. L 을 sn+2 안에 들어 있는 방향이 주어 진 n 차원 고리 라고 하자 (n 츠 2). 그러 면 L 은 사이 퍼 트 곡면을 갖는다.
증명. X 를 L 의 외부라 하고, N 을 L 의 관상근방이라 하자. 그러면 8X 는 LxS1 과 위상동형이댜 따라서 8X 로부터 단위원 SI 으로의 자연 스러운 상사상 p를 생각할 수 있다. SI 의 변이군 (homo t o py gr ou p)은 rr1 (S1 ) == Z 이 고, 7rk(S1 ) == 0, k 츠 2 이 므로, Hk+l (X, ax; rrk(S1 )) == 0 이 댜 따 라서 , p를 X 전 체 로 확장하기 위 한 장애 (obs tru c ti on) 는 H2(X, ax; rr1 (S1 )) = H2(X, 8 X)에서 생긴댜 레프세츠 쌍대성(Lef sche t z dual ity)과 알렉산 더 쌍대 성 (Alexander duality ) 에 의 해 H2(X, oX) ~ Hn(X ) ~Hn+I (Sn+2, X)~ Hl( N)이댜 그런데 ,n 츠 2 이므로 ,H1( N) ==0 이댜 따라서 X 에서 단위원 으로의 p의 확장 p를 얻을 수 있다. p의 정 칙 값 (re g ular value) y E S1 를 선 택 하고, X 의 부분다양체 p- 1 (y）를 고려 하자. 그 부분다양체 의 닫힌 성분을 제거하여 얻은 부분다양체를 M 이라 하면, 8M 은 L 의 종선이 되고 ,L 의 관상근방 N 안에서 8M 과 L 을 이음으로써 L 의 사이퍼트곡 면을얻을수있다. □ 호몰로지둘레고리 기 초정 리 6.2.2. (톰-폰트리 야긴 (Thom-Pon try a gin)) M 이 둘레 가 없는 컴팩트 다양체라 하자. 그리고 ,N 이 보차원p인 둘레가 없는 컴 팩트 부분다양체라 하자. 만약 N이 관상근방 U~NxBP 를 가지면 다 음 조건을 만족하는 사상f: M ➔ sP 가 존재 한다. N=f -1 (so) 여기서 ,so EsP 는f의 한 정칙값이다. 증명 . U ~ N x BP 에서 伊로의 사영사상을 ¢라 하고, S1 을 sP 의 기 저점이라 놓자. 8 伊의 모든 점울 기저점 s1 로 보냄으로써, Sl' -s1 과 i n t B 떡 동형사상을 伊 전체 에서 sP 로 가는 사상으로 확장하자. 이 사 상을 g라 놓으면, so =g (O) 은 명백하게 g의 정칙값이다. 이제, 사상 f: M ➔ Sf'를 다음과 같이 정의하자.
f(x ) = { go ¢(x) X E U
그러면f가원하는사상이며 ,N= f一 )(so) 임을 알수 있다. D 둘레가있는다양체에 대해서도위와유사한방법으로톰-폰트리야 긴 구성 (Thom-Pontr yag in Cons tru c ti on) 을 할 수 있 댜 매듭이나고리의 동계류(제 8 장참조)를 연구하는 데 그들의 사이퍼 트 곡면이 이용된다. 그리고 매듭의 동계류의 구조를 고리로 자연스 럽게 일반화하기 위해서는특별한사이퍼트곡면울가지는고리를고 려해야만한다. L 을 m 개의 성분 L1,L i., ••• 'Lm 을 가지는 고리라 하고, M 이 L 의 사 이퍼트 곡면이라고 하자. M 이 m 개의 연결 성분 M1,M2,··· ,Mm 으로 이루어져 있으며, 8Mi =L i이면, L 을 둘레고리 (bounda ry li nk) 라 부른 다. X 를 L 의 외부라 하자. 그리고 다양체쌍 (X,a X)와 부분다양체쌍
그림 6.7 둘레고리의 예
(M;nx,a(M;n X))에 대해,톰폰트리야긴구성을하여 얻은사상을丘라 하자.(i =1,2,••·,m) 그러면,각 M;~ 양깃근방을서로만나지 않게 잡 을 수 있으므로, 잘 정의되는 사상f =vmf ;: X~ vmsl 를 얻을 수 있 다. 그러면 유도된 준동형사상f*: 7r1(X ) ~ 7r1(vmSI) 는 X 의 i번째 횡선 을 7r1(V 장)의 생성자로 보내는 전사 준동형사상임을 알 수 있다. 나 아가서 우리는 다음 정리를 증명할 수 있다.
정리 6.2.3. Fm 을 m 개의 문자 X1,X2,··· ,Xm 으로 자유생성된 군이라 고 하고 ,L 이 m 개의 성분을 가진 sn+2 안의 고리라하면 다음은동치이 댜 (1) L 은 둘레고리이다. (2) 전사준동형사상 0: rr1( X) ➔ Fm 이 존재하며 ,0 는i번째 횡선을 X i로 보낸댜(i= l,2,··· ,m ) 여기서 ,X 는 L 의 외부이댜 증명 L 이 둘레고리이면 ,(2) 를만족함은위에서 다루었으므로 ,(2) 를 만족하는 L 이 둘레고리가되는 것만보이면 된다• *롤 X 의 기저점 이 라 놓고, L 의 각 성분 Li 의 관상근방을 N(L j)라 표시하자 . 8(N(L i))와 기 저 점 *를 잇는 선분 a i를 생 각하고, A = 나 (8(N(L i)) U 아)라 놓자. 그리 고 µ: Fm ➔ rr1(X) 를 x 를 i번째 횡선으로 보내는 준동형사상이라 하 자. 그러면, rr1(A) ~Fm 이므로, i* =µ임을 알 수 있다(i: A ➔ X 는 포 함사상). e: A ➔ vms t를 A 의 선분 아들을 y mSl 의 기저점으로 보내 고, 각 B(N(L;))~L;xS1 는 vms t의 각 S1 으로보내는사상이라정의하 자. 그 러 면 e* = i d 이 고, 0 o µ = id = e* 이 댜 rr;(vmS1 ) = 0, i ::: 2 이 므로, f* =0 ,f o i =e 가 되는 e 의 확장f: X ➔ vmsI 이 존재한다. 이제, y mSl 에 서 기저점을 빼낸 부분을 생각하자. 이것의 각성분에서 정칙값하나 씩을 선택하자. 이것을p;,i= I,2,··· ,m 이라하면,각f -1 (pj)는서로 만 나지 않는 X 의 부분다양체가 되고,f -l (pi)에서 닫힌 성분을 제거하고, 정리 6.2.1 의 증명에서처럼, 각 L i가 둘레가 되도록 만들면, L i를 둘레 로 가지는 m 개의 서로 만나지 않는 다양체로 이루어진 L 의 사이퍼트 곡면을 얻을수 있으므로 ,L 은둘레고리이다. D 이 제, 둘레고리보다 좀더 확장된 고리를 생각해보자. L 이 m 개의 성 분을 갖는 n 차원 고리 라 하자. 그리 고, L 의 외부 X 가 전사준동형사상 0: rr1(X ) -+ Fm 을 가지면, L 을 호몰로지 둘레고리 (homolo gy boundary I i nk) 라 부른다. 호몰로지 둘레고리는 둘레고리에서와 같은 사이퍼트 곡면을 갖지 는 않지 만, 다음과 같은 사실을 증명 할 수 있다.
정리 6.2.4. L=L1U L;_ U-··U4n 이 n 차원 유향고리라하자. 그러면, 다움이 동치이다. (1) L 이 호몰로지 둘레고리이다. (2) 다음을 만족하는 (n+I) 차원 다양체 MC5n+2 이 촌재한다. (a) M=M1 UM2U··•UMm, 여기서 M i는 연결된 (n+I) 차원 다양체이 고, Z[ M; 는 서로 만나지 않는다. (b) 8Mi 는 L 의 몇 개의 성분들의 종선으로 이루어져 있으며, 그들의 대수적 합 (al g ebr ai c sum) 은 L i이 다. 증명. [N.65] 참조. □ 그림 6.8 은 호몰로지 둘레고리이면서 둘레고리는 아닌 예이다. 상 세 한 증명 은 [N.65], [C093] 을 참조하기 바란다.
그림 6.8 둘레고리가 아닌 호몰로지 둘레고리
6.3 사이퍼트행렬 K 가(2q -1) 차원 매듭이라고 하고 ,M 이 K 의 사이퍼트 곡면이라고 하자 .M 은s2fl +1 안에서 Mx[-1,1] 과위상동형인 양깃근방을가지므
로, 양깃근방의 Mx {士 l} 과 위상동형인 부분을 찾을수 있고, 그부분 을 각각 M+, M-이 라 놓자. 그러 면 사상 M ➔ M 士 ~ s2'1+ 1 _M 에 의 해 유도되 는 동형사상 i± : H*(M) ➔ H*(s 2q +1-M) 가 잘 정 의 됨을 알 수 있 댜 이제 ,Hq (M)xH q (M) 에서 Z 로의 겹선형사상 C 를 다음과 같이 정의 하자. a(a, /J) = lk(a, i+(/J)), a, fJ E Hq (M) 겹 선 형 사상 C 를 사 이 퍼 트곱 (Se ife r t p a i r i n g)이 라 부른다. c 를 H q (M) 의 비틀림 없는 부분(t ors i on fr ee part)으로 제한하였을 때, 그 제한사상을 나타내주는 행렬 O 를 찾을 수 있고, 이 행렬 O 를 K 의 사이퍼트 곡면 M 에 대한 사이퍼트 행렬 (Se ife rt ma t r ix)이라 부른다. 1 차원 매듭인 경 우에는 H1(M) 이 비틀림이 없으므로 ,0 자체를사이퍼트곱으로보기도 한댜 Hq (M) 에 또 하나의 겹선형사상을 정의하자. 우선 a,0 가 Hq (M) 의 두 원소를 대표하는 닫힌 사슬이라 하자. 이때 두 사슬 a, fJ가 횡단 적으로 만난다고 가정할 수 있다. 사이퍼트 곡면 M 이 2 q차원이므로, a, fJ의 만남수(i n t ersec ti on number) 를 생각할 수 있고, a, E 의 만남수를 a·B 라 표시하자. 그러면 /(a,/J ) =a•fJ 로 정의함으로써, 겹선형사상 /: Hq (M ) x Hq (M) ➔ Z 를 얻을 수 있다. 이 와 같은 겹선형사상 /를 만 남곱(i n t ersec ti on p a i ri n g)이 라 부른다. 걸림수의 정의에 의해, 사이퍼트 곱과 만남곱은 다음 관계식을 만 족한다. a(a, /J) + (-l )qa (/J, a) = a • fJ 이 관계식에 의해 ,0+(-I) q 0T 는만남곱 I 를 Hq (M) 의 비틀림 없는부 분으로 제한한사상이다. 그리고 ,M 의 둘레는s2'1 -I 이므로 ,M 의 둘레 에 표준공 B% 로 뚜껑덮기 (ca ppi n g o ff)를 하여 얻은 닫힌 다양체 B 을 생 각하면, Hq (丘 위 의 만남곱은 푸앙카레 쌍대사상 (Po i ncare dua lity ma p)을 주는 겹선형사상이고 ,Hq (M) ~Hq (M) 이므로 ,0+(_l) q oT 는 정
수계수 역행렬을가지는 행렬이 된다. 즉 ,de t (0+(- I)q 0T) ＝士 l 이다 . A2nx2n 이 다음조건을 만족하는 정수계수 정방행렬이라고 하자 . det( A -AT) = 士 l 기초정리 6.3.1. X2nx2n : 가 detX = 士 l 을 만족하는 정수계수 정방행 렬이라하자. 그러면 ,PXPT=l 를 만족하는 정수계수 역행렬을 가지는 행렬 P 가존재한다 . 여기서 I 는다움 행렬이다.
010 o ... o
증명. [Lan84] 참조. 口 기초정리 6.3.1 에 의해 ,A_AT=/ 라가정할수 있다. 행렬 U 를
01 0 0 ••• 0
이라 놓으면 ,A-AT= u-uT 이다. 따라서, S=A-U 는 대칭행렬임을 알 수 있다. 죽, A 는 항상 다음과 같은 형 태로 표현된다. A = U + S, S =( Sij ) 는 대 칭 행 렬
이제 그림 6.9 와 같은 곡면 F e R3 를 고려하자. F 에 대한 사이퍼 트 행렬은 U 이고, 각 손잡이 (handle) 의 중심을 지나는 H,( F)의 생성원 a i ,aj 에 대하여, lk(a j ,aJ ) =s ij가 되도록 그림 6.10 과 같이 손잡이들을 서 로걸어 주어서 얻어진곡면 F' 에 대한사이퍼트행렬은정확하게 A 임 을 알 수 있다. 따라서 ,A 를 사이퍼트 행렬로 가지는 1 차원 매듭을 찾 을수있다.
@碩
일반적으로 홀수 고차원 매듭에 대해서 다음과 같은 사실을 알 수 있다. 정리 6.3.2. 주어진 자연수 q에 대하여 A 가 다음 조건을 만족하는 정 수계수 (2n x 2n) 휴행 렬이 라 하자. A+(-l) q AT 는 정수계수 역행렬을 가지는 행렬 (*) 그러면,다음이 성립한다. (1) q=12 이면 ,A 를 사이퍼트 행렬로 가지는 (2q - 1) 차원 매듭이 존재한다.
(2) q =2 이고 ,A+AT 가 16 의 배수인 부호수(제 9 장 참조)를 가지면, A 와 S- 동치 (6 .4절 참조)인 행렬을사이퍼트 행렬로가지는 3 차 원매듭이 존재한다. 증명. [Ker65b] 참조. D 따라서, 모든 (2q - 1) 차원 매듭의 모든 사이퍼트 행렬을 모아 놓은 집합」%는 (*)를 만족하는 모든 정수계수 짝수 정방행렬들의 집합과 같다. 그림 6.11 은 8 자 매듭의 사이퍼트 곡면이다. 이에 대한사이퍼트 행 렬 을 계 산해 보자. 0(a, a) = 1, 0(b, a) =0 , 0(a, b) = 1, 0(b, b) = -1 이 므로,
그림 6.1 1
이 사이퍼트곡면에 대한사이퍼트 행렬 O 는다음과같다.
忍1 냐
(여기서
A <----+ (曰) 또는 (t}·····(•J
(여기서 a, /3 T 는 행벡터) 만약유한개의 정수계수 정방행렬 ,A=Ao,A1, A렬2 ,A· 와·· ,BA 가k= SB- 에동 치대 (하S여-e ,q u i각 va lAe;n+ t1 )이라 A하;고 에, ( A*） ~를 B한 로 행 쓰렬자.과 따합라동서이면 , 6,.3 절행 의 8 자 매듭의 두사이퍼트 행렬 0, 0'은서로 S- 동치이다.
정리 6.4.1 .. ( 2q - 1) 차원 매듭 K,K' 이 서로 동치이고, 0,0 ' 이 각각 K,K' 의 적당한사이퍼트 행렬이면 ,O 와0'은 S- 동치이댜 증명. [Lev70] 참조. □
그림 6.l 3 n 산 1 임 이중매듭
그림 6.13 과 같이, 둘레가 풀린 매듭인 사이퍼트 곡면의 한 손잡 이 (handle) 를 주어진 매듭 K 의 모양대로 꼬아서 손잡이의 중심을 지 나는사슬 a 의 사이퍼트곱의 값이 n 이 되도록하자. 이렇게 하여 얻은 곡면의 둘레에 해당하는 매듭을 매듭 K 의 n- 꼬임 이중매듭 (n- twi s t ed double) 이라고 부른다. 특별히, 0- 꼬임 이중매듭은 꼬임없는 이중매 듭 (un twi s t ed double) 이 라 부른다.
정의로부터 n- 꼬임 이중매듭은 K 와상관없이 항상다움과 같은사
따라서, 모든 꼬임없는 이중매듭의 사이퍼트 행렬은 풀린 매듭의 사 이퍼트 행렬, 즉 빈 행렬과 S- 동치이다. 하지만 어떤 매듭 K 의 n- 꼬임 이중매듭이 풀린 매듭이 되기 위해서는 K 가 풀린 매듭이고, 꼬임이 없어야 한다. 예를 들어, 그림 6.14 는 세잎매듭의 꼬임없는 이중매듭 이다. 이 매듭의 존즈 다항식은 t-1 1 一 21-10+r9-r8+r-1+ t -4- t -3 +t크 -r1 + 1- t+규
이므로 풀린 매듭이 아니다. 따라서, 정리 6 .4 .1 의 역은 성립하지 않는 댜 그러나, 특별한 조건을 만족하는 고차원 매듭의 경우에는 역이 성 립 한댜 (2q -I) 차원 매듭 K(q 츠 2) 가 다음 조건을 만족하면, K 를 단 순 매 듭 (s i mp le kno t)이 라 부른다. (1) n,(X)=Z,X 는 K 의 외부 (2) 7rk(X) =0 , k < q
r( 흐쿠 7~~ ― VV 福\
정 의로부터, 단순매듭은 S2q + l 안에서 (q -1) －연결((q -1)-connec t ed) 사이퍼트 곡면을 가짐을 알 수 있다. 또한 다음 정리에 의하여 단순매 듭에 대해서는 정리 6 .4 .1 의 역도 성립함을 알 수 있다. 즉, 홀수 고차 원 단순매듭의 동치류는 그것의 사이퍼트 행렬의 S- 동치류로 완전히 분류될수있다. (2q정 —리l) 차 6.원4.2 단. q순 츠매 2 듭 이이고, 면 ,K K 와 와 K K'' 이 은 S동- 동치치 이 사댜이 퍼트 행렬을 가지는 증명. [Lev70] 참조. □ 사이퍼트 행렬로부터 계산할수 있는 어떤 값이 S- 동치에 대해 변하 지 않는다면, 정리 6 .4 .1 에 의하여 그값은매듭불변량이 된다• 예를들 어, K 가 매듭이고, 0 가 K의 사이퍼트 행렬일 때 ,D( K)= Ide t (0+07)1 를 생각해보자. g을 O 와 S- 동치인 행렬이라하면 이 행렬은 적당한 행벡 터 a 에 대하여 다움과같은형태이다.
仁)
이므로, |det( 0'+0'T) I = lde t (0+0T)| 이고, D( K)는 매듭 불변량이 된다. 이 외에도 7 장에서 다룰알렉산더 다항식과 9 장에서 다룰부호수불 변량이 사이퍼트 행렬로부터 정의되는대표적인 매듭불변량이다. 6.5 책등매듭과고리 사상f: E ➔ B 가 각 점 b E B 에 대하여, 다음 조건을 만족하는 b 의 근방 UCB 를 가지면,f: E ➔ B 를 올(fi bre) F 를 가지는 올다발(fi bre bundle) 이 라 부른다• (1) 위상동형 h: J -1( U) ➔ UxF 가존재하고, (2) 사영사상p: UxF ➔ U 에 대하여 ,ho p=f1f -1( U)가성립한다 . 이 때 E 와 B 를 각각 전 체 공 간(t o t al sp ace) 과 기 저 공 간 (base sp ace) 이 라 부른다. 이제, 여공간이 올다발의 전체공간이 되는 고리에 대하여 살 펴볼 것이다. n 차원 고리 L 이 다음 조건을 만족하면, 책등고리(fi bred li nk) 라부른다. (1) 올다발사상f: sn+2_L ➔ s i이 존재하고, (2) L여 의기 각서 성g :분 U L ➔ i=의 S관n x상 D근2 이방 고 U, 에 : 대sn 해 X , (fDlu-2L -,0 =) < J➔> o g S를I 는 만 족(x,한y 다) 一. y /lYI 에 의해서 정의되는사상이다.
특별히, L 이 매듭일 때는 책등매듭(fi bredkno t)이라 부른다. 책등고 리의 정의에 의하여, F=f - 1(x)UL,x E S1 는 L 의 사이퍼트 곡면이 된 댜 이 때, 이 사이 퍼 트 곡면 F 를 책 장 또는 올(fi bre) 이 라 부른다. 풀린 매듭은 S'1+2 안의 표준구와 동치이고,
sn+2 = sn * SI (= ~ ~Sn(xx ''s ;:0:, to = O, l )
이므로, 사영사상 (Sn*Sl)-Sn ➔ s1 에 의해서 풀린 매듭이 책둥매듭 임을쉽게 알수있다. X 를 책등매듭 K 의 여공간이라 하고, F 를 올다발사상f: X ➔ SI 의 책장이라하자. 그리고,사상p: R ➔ S1 를 x~e 면료 정의된 보편 덮개 사상이 라 하자. 이 제 올다발사상 f의 R 위 로의 끌려 진 다발(p ullback bundle) X 를 고려 하자.
X ―仁~ X
그러 면, R 이 수축공간 (con tr ac ti ble s p ace) 이 므로,f: X ➔ R 는 곱다발 구조(p roduc t bundle) 를 갖는다. 죽, X ~ int F x R 이 다. 따라서 rr;(X ) ~ rr;(in t F ) ~ rr;(F) 이 다. 또한, p를 울이 Z 인 올다발사상으로 볼 수 있으 므로,사상ft: X ➔ X 는올이 Z 인 올다발사상이다.즉 ,P 는 X 의 무한순 환 덮개사상이다(제 7 장 참조). 따라서, Ti (X)~ rr;(X ),i> 1 이고, 다음 완전열에 의 해, rr1(X ) ~ [rr1( X) ,rr1( X)]이댜 l ➔ 汀)(幻 ➔ rr1(X) ➔ H1(X ) ~ Z ➔ 1 따라서,다음정리가성립한다. 정리 6.5.1. KC5n+2 가 n 차원 책둥매듭이면,다음이 성립한다. (l) K 의 매듭군의 교환자 부분군은 유한 생성군(finit el y gen erate d gr ou p)이다.
(2) 책 둥매 듭 K 의 책 장 F 에 대 하여 , 1r;(X) ~ 1r;(F), i > l 정리 6.5.1 은 고리의 경우에도 성립하고, 1 차원 매듭의 경우에는 역 도 성립한댜 즉, [1r1(X),1r1(X) ］가 유한 생성군이면, 그 매듭은 책등매 듭이다. 사상 ft: X ~ int F x R ➔ X 가 무한 순환 덮개사상이 기 때문에, ftx = ftlintF xx : int F X X ➔ int F C X 는 위 상동형 사상이 다(여 기 서 , X E R). 따 라서, X 는 int F x (0,21r] 의 양끝 int F x 0 와 int F x 21r 를 위상동형사 상 h : int F x O ~ int F ~ int F x 21r 에 의 해 붙여 준 공간이 됨 을 알 수 있댜 이때 h 에 의해 유도되는 동형사상 h*: H*(F) ➔ H*(F) 를 도돌이 사상 (monodromy ma p)이 라 부른다. K 가 h* : H*(F) ➔ H*( F)를 도돌이 사상으로 가지는 1 차원 책등매듭이고 ,M 이 h* 를 표현하는 행렬이라 하면, M_ t I 가 알렉산더 불변량 H! （幻의 표현 행렬임을 알 수 있다 (제 7 장 참조).
제 7 장 알렉산더 불변량 이 장에서는 대표적인 고전적 매듭 불변량의 하나인 알렉산더 다 항식과 불변량에 대하여 알아본다. 알렉산더 다항식의 기하적 의미를 이해하고 사이퍼트 행렬, 덴 수술, 매듭군의 자유미분계산등을사용 하여 매듭의 알렉산더 다항식을계산해본다.마지막으로고리의 알렉 산더 다항식을 정의하고알렉산더 다항식의 토레스조건에 대해 알아 본댜 7.1 매듭 여공간의 덮개공간 n 차원 매듭 K 의 여공간 X=sn+2-K 는 K의 불변량이다. 마찬가지로 X 의 무한 순환 덮개 X 와 유환 순환 덮개 Xk 는 K 의 불변량이 된다. 이 절에서는 이들의 정의와존재성 , 여러 가지 성질에 대하여 알아본다. 앞으로이 장에서는특별한언급이 없으면 X 는매듭 K의 여공간을 표시 하고 G 는 매 듭군 1'(1 (X) 를 나타낸다. G 의 후레 비 츠 가환화 사상을
i n t F 기 호 X 임을 쉽게 알 수 있댜 몫사상 X ➔ X 는 덮개 사상이고, 이 때 덮개 이동군은 〈t)가 된다. 즉 다음과 같은 완전열이 존재한다. 1 ➔ rr1(X) ➔ rr1(X ) ~ (t> ➔ l 위의 완전열에서 Ke 마와 Ker
진다. H;(X) ~ H;(X1 ) EB H;(X2) I > O 앞으로 이 장에서는 매듭의 차원은 n=3 으로 제한하여 생각하도 록 하자. 알렉산더 불변량 H1( X)는 A 모듈로서 유한생성이다 . {a; I i= I, ... ,n} 을 H i (X) 의 생성원 집합이라 하고, 생성원들 사이의 관계가 r; = I: rj ;aj =0 으로 주어졌다 하자 . H,( X)의 A 모듈 표현 행렬 (r ij)의 최 대 부분 정방행렬들의 행렬식의 최대 공약수를 1:::,.(t)=l:::,. K( t)로표시하 고 매듭 K 의 알렉산더 다항식 (Alexander p oly nom i al) 이 라 부른다. 알렉 산더 다항식은 A 의 단위 원소인 t의 거듭제곱을 법으로 정의되는 불 m변 에량 대이해댜 A앞l(으 t로),=尸 두 A2 (다 t)항를식 만 l족:::,.1할 (t) , 때,/::: ,.zA(tl) =E AZ [2 t 라 ,r-고1] 이표 시적하당도한록 자 하연자수. l:::,.(t)의 정의에 의해 임의의 닫힌사슬 aEH1(X) 에 대해서 l:::,.(t )a=0 이 성립한다. 다음 따름정리도 알렉산더 다항식의 정의와 알렉산더 불변 량의 가법성으로부터 쉽게 유도할수 있다 . 따름정리 7.2 요 K=K1 rt K2 라면, 1:::,.K ( t) =l :::,.K 1 (t) • l:::,.K 2(t) 이댜 7.3 사이퍼트곡면을이용한계산 X 를 구성하는 Yi 들의 호몰로지 구조를 이해하고 메이어 비에토리 스완전열을이용하면,매듭 K 의 알렉산더 불변량 H1(X) 를계산할수 있다 . 이 절에서는사이퍼트곡면과사이퍼트 행렬, 알렉산더 불변량 사이의 관계를 알아본다. 매듭 K 의 한 사이퍼트 곡면 F 를 생각하자. 곡면 F 상에 매듭 K= 8F 의 방향을유도하는 F 의 방향을 F 의 양의 방향이라하겠다 .H1( F)상
의 겹선형 형식 O 는 다음과 같이 정의된다. 0: H1(F) x H1(F) ➔ z 0(a, /3) = lk(a, /Y) 위 식에서 E 는 /3를 F 의 양의 방향으로 밀어올린 Y 안의 닫힌 사슬 을 의 미 한다. 반대로 움의 방향으로 민 닫힌 사슬은 p-로 표시 한다. 그 리고, s3 안에 두 닫힌 곡선 a 와 b 가 있고, a 는 2 차원 사슬 c 의 둘레라 할 때 , lk(a, b) 는 a 와 b 의 대 수적 만남곱 G • b 로 정 의 된다. llc(a, b) 는 사 슬 g의 선 택 에 무관하며 , lk(a, b) = llc(b, a) 이 다. H1 (F)의 기 저 {a j}를 택 하여 0 롤 행렬 형태로 표현했을 때, 행렬 (0 ij )=(0(a j ,aj )）를 매듭 K 의 사이퍼트 행렬이라부른다.그리고 ,0 를사이퍼트형식 또는사이퍼트 곱이라고한다. H1(F) 의 기저 {a j}에 대하여 알렉산더 쌍대성 정리에 의해 H1(S3 一 F) 의 기저 {a;} 가 존재하여 {a j}의 쌍대 기저를 이룬다. 즉, llc(a;, a;) = Oij 이 성립한다. Y 와 S3-F 는 변이동치이므로 H,( Y)와 H1(S3 一F)를동일 시 할 수 있다. 그러 면, {a i}는 A 모듈로서 H1(X ) 전체를 생성 한다. int F 0 = i n t F 의 닫힌 사슬 아, aj 를 생 각하자. lk(a7, aj) = 0ji = llc(L0k;ak, aj) lk(a 「, aj) = llc(a;, aj) = 0ij = llc(L0;kak, aj) 따라서,다음결과가성립한다. (3) af = E ojia j (4) a; = Le ij어 그런데,t a f와여는 YoUY1 안에서 호몰로지 동치이다.따라서,I:(t 0j ;- 0 ij )aj =0 이 성립한다. 메이어 비에토리스 완전열을 응용하면 이들이
a 돌 사이 에 존재하는 모든 관계를 나타냄을 알 수 있다. 다시 말하면 행렬 (t O ij_Oji)=t 0_o 巧1- 알렉산더 불변량 H i (X) 의 표현행렬이 된다. 정리 7.3.1. 매듭 K 에 대해, !),.K( t) = det( t0 - 。 T) 이댜 따름정리 7.3 요 매듭 K 에대해 !),_K( t)는다음성질을만족한다. !),_K(t- 1 ) :::: AK(t) !),_K( l) = 士 l 증명 곡면 F 의 둘레가연결되어 있으면 ,H1(F) 의 베티 수는짝수이 댜 따라서 , 0 는 짝수 차원 의 정 방 행 렬 이 다. !),.K(t- 1 ) = det( r -10-0 T) = (크 )d i m0de t (-0+ t 0T) :::: !),_K(t) . (0 _ oT)(ai, aj) = 1k(ai, aj) -1k(ai, aT) 는 a i와 aj 의 곡면 안에 서 의 만 남수이댜 F 의 1 차원닫힌사슬들의 만남곱행렬이 가역 행렬이 되는 것은 잘 알려진 사실이다. 따라서, AK(l)=de t (0_oT) ＝士 1 이 된다. o 위 따름정리의 역도 역시 성립한다. 즉위 따름정리의 두조건을 만 족하는 임의의 다항식 A 에 대해 A 를 알렉산더 다항식으로 가지는 매 듭 K 가존재한댜 따라서 위 따름정리는 매듭의 알렉산더 다항식의 특 성을 완전히 말해주고 있다 [Lev69a]. 그림 7.1 을보자. 세잎매듭 K의 사이퍼트곡면 F 에 대해 a, fJ를자유
그림 7.1
가환군 H i (F) 의 생성 원이 라 하고, Hl(X- F)의 원소 a, b 를 각각 a, f3의 쌍대 원소라 하자. 그러 면, a+ 와 F 는 다음과 같이 주어 진다. a + =一 a {I'= a-b 따라서, 매듭 K 의 사이퍼트 행렬 O 는 0= [一。 I ~1] 로 주어진다. 매듭 K 의 알렉산더 다항식은 정리 7.3.1 에 의해 det( t0 - 07) =t 2 - t+ 1이 댜 X 의 유한 순환 덮개 幻의 일차원 호몰로지 H,(X사 역시 사이퍼트 행 렬을 이용하여 계산할 수 있다. X 와 F 에 대해 Yo, Y1, Mo, M1 등을 166 쪽에서와 같이 정의하자 .X2 는 X-F 와 변이동치인 공간 Yo, Y1 을 그림 7.2 와 같이 붙여서 만든 공간과 같다. 또는 X2 를 궤도공간 X/ （규〉로
M。 ,
간주해도 된다 .H i(F)의 두 생성원 a, /3에 대응하는 HKM j)의 생성원을 각각아 f3i라하고,그쌍대 기저를이루는 Hl( X)의 두생성원 a, b 에 대 응되는 H1(Y;) 의 생성원을 ai, b i라 하자. 그러면, a;, b;, i= 0, 1 은 Yo 와 Y1 을 거쳐 i2 를 한 바퀴 도는 닫힌 사슬 Y 와 함께 H1(X2) 를 생성하며
이들 생성원 간의 관계는 다음과 같이 주어진다. -a1 + b1 = -ao (a0 = ao) -b1 = a 。 _ bo (f3o = f3o ) 국 1o+bo = -ai (a1 =aT) _bo = al _ b! (f3I = f3t) 위 관계식에서 bo, a1, b1 등을 소거하고 나면 다움의 가환군 표현을 얻는댜 H1 (X2) 측 (ao, y I 3ao = 0> ?:' ZEB Z3 마찬가지 방식으로 일반적인유한순환덮개&, k=3,4, ... 에 대해 서도 H1(Xk) 를구할수있다. H1(X3) ?:' ZEBZ 遷 Z2 H1(X아 호 ZEBZEBZ H!(X4) ~ ZEBZ3 H1(X1) ~z H1(Xs) 업 Z H1(Xs) ~ ZEBZ3 앞에서 이미 보았듯이 사상 H1( F) ➔ H1(X-F), X t-+갔의 행렬 표 현은 사이퍼트 행렬 O 로 주어진다. 그리고, 사상 X t-+ X- 는 #를 행렬 표현으로 가진다. （식 (4) 참조)． 사이퍼트 행렬 0 가 특별히 가역 행렬 이 라고 가정 하자. 그러 면, 사상 Hi (Y ;) 수 H(Yi+ )), Xf 曰 X 一 자의 행 렬 표현은 0(0T)-l 이 된다. Yi 내의 닫힌 사슬은 사상 0(0T)-l 에 의해 Y;+1 내의 닫힌 사슬로 보내진다. Xk 에서 Yo 안의 닫힌 사슬 a 에 대해 앞 에서 말한사상을 k 번 연속적으로 적용하면 다시 Yo 내의 a 와호몰로 지 동치인 닫힌 사슬을 얻게 된다. 즉 ,H1(Xk) 의 임의의 원소 a 에 대해 (0(0T)-1a-a=0 이 성립한다 .xk 에 메이어 비에토리스 완전열을 적용 하여 다음정리를증명할수 있다.
정리 7.3 요 매듭 K 의사이퍼트행렬 0 가가역적일때,매듭여공간 X 의 k 차 유한 순환 덮개 Xk 에 대해 H1(Xk) 의 표현 행렬은 (OTo_l)k-I 로주어진다. 세잎매듭의 경우 (0r0-1)6 =I 가 성립하므로, H1(Xk) 즉 H1(Xk +o）임을 알수있다. 7.4 수술을이용한계산 이 절에서는 매듭 여공간의 수술을 통해 매듭 여공간의 순환 덮개 를가시적으로이해하고,그로부터 알렉산더 불변량을계산하는방법 을소개한다. 그림 7.3 과 같이 8 자 매듭 K 의 적당한 엇갈림 하나를 감는 채워진 토러스 T 를 생각하자. S3- i n t T 에서는 그림 7 .4에서처럼 이 엇갈림을 반대로바꾼매듭과본래의 매듭 K 가위상동형임을알수있다.이 위 상동형사상을 h: (S3-in t T ) ➔ (S3- i n tT)라 하자. h 에 의한 T 의 횡선 µ의 상 h(µ,) 를 눈여 겨 보자. h(µ,) 는 T 내 에서 둘레사슬이 아니 다. 따라 서 ,h 는 S3 전체로 확장될 수 없음을 알수 있다. 그림 7 .4에서 h( K)를 표준적인 풀린 매듭 모양으로 고치면, h(µ,) 는 그림 7.5 와 같은 모양이 된다. 매듭 K 의 여공간 X 는 (S3- K)-i n t T 에, 채워진 토러스를 그 횡선이 h(µ,) 와 일치하도록 경계를 따라가며 붙여 서 만든 공간이 다 (그림 7.6). X 의 3 겹 순환 덮개 X3 는 다음과 같이 만들 수 있다.p: X ➔ X 를 덮 개 사상이라 하면p -l(X ―i n t T) 는 X 의 3 겹 순환 덮개인 채워진 토러스 에서 세 개의 채워진 토러스 T;, i= 0, 1,2 의 내부를 빼낸 모양이다(그 림 7.7). 따라서 X3 는 X_T 의 3 겹 순환 덮개에 세 개의 채워진 토러스
µ
h(µ)
를,각토러스의 횡선이 T;, i =0,1,2 위에 있는 h(µ) 의 역상과일치하 도록 경계를 따라가며 붙여서 만든 공간과 같다. 이 제 X3 의 호몰로지 군을 계산하여 보자. H1(X3 -(To U T1 U T2) ）는 각 각의 토러스 8T; 의 횡선을 감는 닫힌 사슬 a;, i= O, 1,2 와 y에 의해 생
h(µ)
u
성되는 자유가환군이다. 8To 에 채워진 토러스를 붙이고 나면, 8To 위 에 있는 h(µ) 의 역상이 To 의 가로원판의 둘레가 되고, h(µ) 는 호몰로 지 군에서 al+a2_3ao 와같으므로다음관계식이 생긴다. (5) a1 +a2-3a0 =0 마찬가지로 T1, T2 를붙이면다음두관계식이 생긴다. (6) a2+ao-3a1 =0 (7) a 。 +a1 -3a2 =0 실제로 메이어 비에토리스 완전열을 응용하면 다음과 같은 H1(X3) 의
그림 7.7
가환군표현을얻는다. H1 (X3) 업 (ao, a1 , a2, Y I 관계 식 (5), (6), (7)> 위 표현식으로부터 H1(X3) ~ZEBZ4E9Z4 를 얻을 수 있다 . 매듭 여공간 X 의 무한순환 덮개 X 도 마찬가지 방식으로 이해할 수 있다 .X-T 의 무한순환 덮개는 원기둥i n t DxR 에서 셀 수 있을 정도 로무한히 많은 채워진 토러스 T;, i EZ 룰 뺀 것과 같다(그림 7.8 ) . 각 m위 에는 h(µ) 의 역상인 닫힌 곡선 µi가놓여 있다 .X 는 X-T 의 무한 순환덮개 내의 각토러스 aT; 에,그횡선이 µi와일치하도록무한히 많 은 채워진 토러스들을 경계를 따라가며 붙여 만든 공간과 일치한다. 8To 의 횡선을 한 번 감은 닫힌 사슬을 a 라 하자. H i (X- LJi eZT;;A) 는 a 에 의해 자유롭게 생성된다. 각 aT; 에 채워진 토러스를 붙이면 µi가 토러스의 가로원판의 둘레가 되므로 ,H1(X;A) 내에서 µ;=ti µo=0 이
그림 7.8 ·<一....... Et..... ..... .... . . . .
댜 그림 7.8 에서 I-l o= t 2a-3 t a+a=0 임을 알 수 있다. 메이어 비에토 리스 완전열을 응용하면 다음의 A 모듈 표현을 얻을 수 있다. H1(X ) 흑
대해 다움이 성립한다. [g'a g '- 1(ga g -1 )- 1 ] = [g 'a g ' -1a-1ag a-1 g기 = [g/a g '- 1a-1][ag a -1g -1 ] = [1] · [1] = [1] 이 군작용으로 G'/G 은 A=Z[ t,t -1] 모듈구조를가지게 된다 .166 쪽 에서 정의한 H i(X)상의 작용t와여기서 정의한 G ' /G 상의 작용은완 전히 일치 한다 . 따라서 G'/G 의 A 모듈 구조를 통하여 알렉산더 불변 량 H i(X)를 계산할수 있다 . 매듭군 G 의 버팅거 표현이 주어졌다고 하자. 매듭 그림의 위로 지 나가는가닥마다생성원 X; 를 매듭의 방향을따라순서대로 대응시키 면 매듭의 각 엇갈림에서는 Xj +l =X 「 1Xj X i 형태의 관계식이 생긴다(그 림 7.9 참조) .
그림 7.9
x = XJ , aj = X 「 1Xj X;XT1, j = 2, … , n-1 이 라 하면, aj 는 Kercp = G ' 의 원소가 되며, Xj+ I =aj Xj 이므로 {x,a1,… ,an-I} 이 G 를 생성한다. 그리 고, 이 생성원들 중 a; 는 모두 교환자 부분군의 원소이므로 G 의 교 환자 부분군 G' 은 x!
t'[a; ] = [x' a;x-k] 를 G'/G 의 생성원으로 하고 관계식들을x' a;x-k 꼴의 단어로 치환하여 쓰면 G'/G 의 A 모듈 표현을 얻을 수 있다. 예를 들어 세잎매듭의 버팅거 표현이 다음과 같이 주어졌다고 하 자. G ';;-( x,y I yxyx -ly- 1 [1 > a= y x-1 이라하면 G-;;-(x, a I a(x2ax-2)(xa-1x-1)) 으로 쓸 수 있다. 따라서, G'/G 의 A 모듈 표현은 G'/G 호 <[a ]I [a] ＋규 [a] - t[a ] = 0> 로 주어진댜 여기서 세잎매듭의 알렉산더 다항식이 t 2- t +1 로 주어 진다는 사실을 확인할 수 있다. 토러스 매듭의 알렉산더 다항식을 구하는 방법은 여러 가지가 알 려져 있다.여기서는토러스매듭군표현으로부터 알렉산더 다항식을 계산해보자. 서로 소인 두 자연수p, q에 대해 (p,q) 토러스 매듭의 매 듭군 G 는 다음과 같은 군표현을 가진다. G ';;-< u, v I uP = vq> 위 표현은버팅거 표현은 아니다. 생성원 U,V 는가환화사상硏에 의해 각각 건와 F 로 보내어진다. G'/G 의 A 모듈 표현을 얻기 위해서는 우 선 t의 역상 하나와 G' 의 원소들로 쓰인 G 의 군표현을 찾아야 한다. p,q가 서로 소이므로 두 정수 r > 0, s < 0 이 존재하여 pr +q s = 1 이 성 립 한댜 x = usv, a = ux-q, b = vx-P 라 하자.
두관계식의 양변에 x 의 지수합이 같다는것에 주목하자 . 두관계식은
7.6 자유미분계산 앞에서 설명했듯이 알렉산더 불변량은 매듭군의 불변량이다. 가환 화한 결과가 무한 순환군 (t〉가 되는 임의의 군 G 에 대해 G 의 교환자 부분군을 가환화한 결과의 Z[ t,t-1 ] 모듈 구조는 군의 불변량이 되고, 특히 G 가 매듭군인 경우에는 이 모듈의 표현 행렬의 최대 부분 정방 행렬들의 행렬식의 최대 공약수가매듭의 알렉산더 다항식이 된다.앞 절에서는 매듭군의 표현으로부터 알렉산더 다항식을 구하는 방법을 소개하였다. 이 절에서는 자유 미분 계산을 소개하고 그로부터 매듭 의 알렉산더 다항식을 구하는 방법을 소개한다. 임의의 군준동형사상q,: G ➔ H 에 대해 ¢에 의해 유도되는 환사상 을 ¢ : ZG ➔ ZH, (Enig i)¢ = E 神(gi)와 같이 표시 하자. O(g ) = 1, Vg E G 로 정의되는 사상에 의해 유도되는 환사상 0: ZG ➔ Z, (I:n;g ; ) 0) =
En i에 대해 함수 D: ZG ➔ ZG 가다음의 두 조건을 만족할 때 D 를 군 환 ZG 상의 미 분 (der i va ti ve) 이 라 부른다. (1) D(u+v) = Du+Dv (2) D(uv) = D(u)v0 + uDv 예를 들어 u1 -7 u ― uo 는 위의 두 조건을 만족하여 ZG 상의 미분이 된 댜 F 를 n 개의 원소사 ... , Xn 으로생성된자유군이라하자 . 임의의 생 성원 자에 대해 笠 =8 i r 을 만족하는 ZF 상의 미분 읊이 유일하게 존재 하며 ,ZF 상의 임의의 미분 D 에 대해 다음식이 성립한다. Du=L. —8a xui D x i 특히 u-u0=~ 군 -1) 이 성립하는데 이 식을 자유 DI 분의 기초 공식이라 부른다. u-u0 를 X i -l 들의 선형합으로표현하는방법은유일하기 때문에자유미분의 기초공식은그자체로자유미분의 정의로써 사용할수도 있다. n 개의 원을 쐐기곱한 위상공간 B= l\ nsl 의 보편덮개를 E 라 하자. rr1(B) 는 자유군 F 와동형이고 각 원은 F 의 생성원 x i와 대응된다고 볼 수 있댜 덮개 E 의 덮개 변환군은자유군 F 로 주어진다 .x i에 대응되는 원의 울림을 일차원 단순체 X i라 하자. F 의 원소 g에 대해 g x i는 군작 용에 의 해 X를 g를 사용하여 옮긴 결과를 나타낸다. E 는 F 의 원소 g들 에 대해 g x i의 합으로 이루어진 단순 복합체로 볼 수 있다 .x j돌로 쓰인 단어 w 에 대해 w 의 올림을 W 로 표시하자. 그러면,처 =X려 다. W 도 역 시 E 의 유한 부분 단순 복합체 이므로 g xj 들의 유한합으로 표시 할 수 있다.다음식은자유미분이 가지는기하적 의미를잘보여준다. w=~ 틀 )X;
자유 미분 계산과 관련된 다음 식들은 자유 미분의 기하적 의미로 부터 쉽게 유추할수 있는 것돌이다. (1) —a8(uxvi =) —8axui +u—8a 차 v (이 식은 uv=u+uv 와그의미가같다.) (2) 0 = 뜨 = 8(w-lw) = 쁘二 +w- 모 . 따라서 쁘二 = -W-l 쁘. (3) n > 08 에xi 대해, 8국xi = (1 +x8;x+i · • · +x'/ -8 x1)i X ; 이므로 —a88xxx_iiI i = 1 +x;+· 8· x·+ 챠 -1. n < 0 에 대해서는 -a8자 x i = -자(1 +x;+• .. +x111l -l). G 가 유한개의 생성원과 관계식으로 표현 가능한 군이라 하고 , 군 G 의 유한 표현이 G~ (x1, ... , Xn I r1, ... ,rm 〉으로 주어졌다 한다 . F 를 XI,··· ,Xn 으로 생성되는 자유군이라 하고 U 는 관계식 r1, ... 'rm 을 포 함하는 F 의 가장작은정규부분군이라하자.관계식에 U 의 임의의 원 소를첨가하거나또는다른관계식들로부터 유도가능한식을삭제하 는것은군 G 를변화시키지 않는다.이러한변환을첫번째 티체 변환 이라 부른다. 생성원에 새로운 원소 y를 첨가하고 y를 x i의 단어로서 정의하는 관계식 y [w(x;)]-1 을 첨가하는 것 역시 군 G 를 변화시키지 않 는다 . 이러한변환과그역변환을두번째 티체 변환이라부른다.군의 한유한표현으로부터 티체 변환을유한번 실행하여 임의의 또다른유 한 표현을 얻을 수 있음이 알려 져 있다 [Re i 38]. 이 사실은 군표현으로 부터 얻은한값이 군에 대한불변량이 됨을보이려면두가지 티체 변 환에 대해 그 값이 변하지 않음을 보이면 된다는 것을 의미한다. 군 G 가 X J,… ,Xn 으로 생성되는자유군 F 의 준동형사상: F ➔ G 에 의한 상이고, 유한표현 G 흑 〈사 … ,Xn I r1,… ,r마 을 가진다고 가정하 자. 행 렬 M =( (ar;j axi )4 ') 자체 는 군 G 의 불변 량이 아니 지 만 군환 ZG 상 의 행렬들을적당한동치 관계로나누어주면 M 의 동치류가 G 의 불변 량이 되게 할수 있다. 행렬들사이의 동치 관계는다움과같이 정의한 다.
(1) M ~ U), (＊는 M 의 행의 선형 결합) (2) M 仁),(＊는 임의의 행 벡터) 위 두가지 변환과그역변환을유한번거쳐 얻을수있는행렬을원 래 행렬과 동치라고 말한다. 군표현의 첫번째와 두번째 티체 변환은 각각 행렬 ((8r j /8xj )¢)에 대한 위 두 가지 변환에 대응된다. 군표현의 티체 변 환들 이 행렬의 동치류를변화시키지 않기 때문에 행렬 M 의 동 치 류 는 군불 변량이 된다 . 군 G 의 가환화가1/J: G ➔ A 로주어졌다하자 . 앞에서와마찬가지 이 유로 행 렬 ((8r,/8xJ ) V ¢) 의 동치 류 역 시 군 G 의 불변 량이 다. 특히 G 가 매 듭군인 경 우 A = (t〉가 되 고 행 렬 ((8r i /8 Xj )V¢) 는 Z[t, t _l] 상의 행 렬이 된 댜 이 행렬을 매듭 K 의 알렉산더 행렬이라부른다. 매듭의 알렉산더 행렬은 매듭의 알렉산더 불변량의 표현 행렬이 되고, 이 행렬의 최대 부분 정방 행렬들의 행렬식의 최대 공약수 역시 행렬의 동치류에 대 해 불변이 되며 그 값은 매듭의 알렉산더 다항식과 일치한다 [Gor78]. 군 G ~ (x1 , ... , Xn j r1 , ... , rm) 에 대 해 G 를 기 초군으로 가지 는 CW- 복합체 B 를 다음과 같이 구성하자. 기저점에 해당하는 0 차원 세포p에 n 개의 1 차원 세포 xI, … ,X11 을 붙인 후 ,m 개의 2 차원 세포 D i를 관계식 r i에 맞추어 둘레를따라붙인다 .B ➔ B 를몫사상l/f: G ➔ H의 핵에 대 응되는 덮개 사상이라 하자. B 는 B 의 CW- 복합체 구조로부터 유도되 는 CW 복합체 구조를가진다.p를p의 한올림이라하고처와 b i를p에 서 시작점을갖는Xj와 D 의 올림이라하면 ,8b i는 n 의 올림 Fi 와같아진 다. 그리고 , Co(B), C1(B), C2(B) 는 각각 W}, ｛처}, {b j }에 의해 생성되는 자유 Z[H] 모듈이 다. 자유 미 분 계산을 이 용하여 둘레사상 02 : C2(B) ➔ c@ ）를 기술함으로써 H i (B) 의 Z[ H]모듈 구조를 밝혀보자. F 를 {Xj }에 의해 생성된자유군이라하고¢: F ➔ G 를 G 의 표현에 대응하는몫사 상이라 하자. 이미 설명했듯이 관계식 n 의 올림은 b i의 둘레와 같고,
다음식에 의해처로표현된다. ab;=r;= 麟西 위 식으로부터 Z[H] 상의 기 저 {b, ｝와 {ij}에 대해 82: C2(B) ➔ C1(B) 는 행 렬 (急 )v¢ 로 주어 짐 을 알 수 있다. 또한, 81 : C1(B) ➔ Co(B) 는 8l(ij) = (1/1 (
로주어진다. 7.7 고리의 알렉산더 다항식과토레스조건 L 을 m 개의 성분을 가지는 고리라 하자. 매듭의 경우와 마찬가지로 고리 L 은 연결된 사이퍼트 곡면 F 를 가진다. 이때 F 에 의해 주어지는 사이퍼트 행렬 0 에 대해 A( t )=de t(t O_oT) 로 주어지는 고리 L 의 일변수 알렉산더 다항식을 생각할 수 있다. 가환화사상¢: rr,(X ) ➔ E9mz 와 첨가사상 e: E9mz ➔ z, (n;) r-+ I: n i의 합성 e¢: rr1(X) ➔ Z 의 핵에 대 응되는 무한 순환 덮개를 X 라 하자. X 는 매듭 여공간의 경우와 마찬 가지로 X 를 F 를 따라 오려낸 나머지 부분과 위상동형인 공간을 무한 히 많이 나란하게 붙여서 만들 수 있다. 매듭의 경우와 같은 방법으로 t 0-OT 는 H1(X) 의 A 모듈 표현 행렬임을 알 수 있고, 따라서 f:..(t)는 고 리 L 의 불변량이다. 그러나, 이렇게 정의된 고리의 일변수 알렉산더 다항식은 매듭의 알렉산더 다항식에 대한 완전한 일반화라고 말하기 는어렵다. 가환화 사상 ¢: 7r1(X ) ➔ E9mz 의 핵 Ker¢ 에 대응되는 고리 여공간 의 보편가환덮개p :X ➔ X 의 덮개 이동군은 E9mz=EB:,( ti〉로주어 지므로 H,( X)는 Am =Z[ t산 ... ,법] 모듈 구조를 가지며, 따라서 고리 L 의 m 변수 알렉산더 다항식을 생각하는 것이 자연스럽다. 이 절에서 는 몇 가지 예에 대해 알렉산더 불변량을 계산해본 후 고리의 알렉산 더 다항식을 정의하고, 고리의 알렉산더 다항식에 대한 토레스 조건 을소개하겠다• 고리 모듈과 알렉산더 모듈 b E X 를 X 의 기 저 점 이 라 하자• H1( X)와 H1(X, p -1(b) ）는 Am 모듈 구 조를 가진댜 Am 모듈 H1( X)롤 L 의 고리 모듈(li nkmodule) 이라부르고,
Am 모듈 H1(X, p -1(b) ）를 L 의 알렉산더 모듈 (Alexandermodule) 이라 부 르며 A(L) 로 표시 한다. 정리 7.7.1. 다음 두 완전열이 존재한다. (8) 0 ➔ H1(X) ➔ A(L) ➔ Kere ➔ 0 (9) 0 ➔ H2( 幻 ➔ A:-1 ➔ A 십 ➔ A(L) ➔ o 증명. 식 (8) 은 (X,p -1 (b)) 쌍에 대한 완전열 H2(p - 1(b);An,) ➔ H1(X;Am) ➔ A(L) ➔ Ho(p - !;Am) ~ Ho(X;Am) 으로부터 얻어진다. X 는 열린 3 차원 다양체이므로 X 를 X 내의 2 차원 단순 복합체 W 로 변 형 수축시 킬 수 있다. 특히 W 의 0 차원 세포가 b 하나밖에 없다고 가정 할 수 있 다. x(W ) = x(X ) =o 이 므로 rank C2(W ) =n 이 라면 rank C1 (W) = n-1 이댜식 (9) 은 W 의 보편가환덮개 W 에 대한다음의 완전열로부 터 얻어진다. 。 ➔ H2( 動 ➔ G(W )-! C1( 柄 ➔ H1(W,p -1 (b)) ➔ O □ 호프고리(그림 7.10) 의 여공간 X 는 s1 xs1 xco,1) 과위상동형이다. X 의 보편순환덮개 X 는 RxRx(O, 1) 로주어지며 덮개 이동군 ZEBZ 는 X 상에 평 행 이 동으로 작용한다. X 가 축약 가능한 공간이 므로 H; (X ) 흐 0, i >0 이댜 그림 ·7 .l1 에서 주어진풀린고리의 여공간 X 는 s1vs1vs2 와변이동 치이므로 X 의 보편 순환덮개 X 는그림 7.12 와변이동치이다 .H,( X)와 H2(幻 는 A2 모듈로서 하나의 원소로 자유롭게 생성 됨 을 알 수 있으므 로 H1(X ) 업 A2 이다. (8) 에 의해 A(L)-;;;; A2EBA2 이다• 그림 7 .1 4 의 고리 L 은 평행한 두 세잎매듭 K1, K2 로 이루어진 고리 이다 .L 의 각성분은평행한두사이퍼트곡면 F1, F2 의 둘레가된다. 이렇게 고리의 각성분이 서로만나지 않는사이퍼트곡면의 둘레가
그림 7.1 0
그림 7.1 1
그림 7.12
되면, 매듭의 경우와 마찬가지로 고리 여공간 X 에서 곡면의 양깃 근 방을 뺀 부분집합 Y 를 보편 순환 덮개 X 의 기본 영역으로 삼아 X 를 만들 수 있다(그림 7.13 참조). H1( Y) ~H1(F1)EBH1 (F 2) 이다 .H1(F;) 의 두자유생성원을 a j, b i로표시하자 .a1 과 b1 은각각 a2,b2 와평행하다.
���� 7.1
3 H1 (F 1)EBH1(F2) ��X� ��t�|Ӹ� ��,�@� 0�� {a1,b1, a2,b ���
�t� �L�
-1 -1 I -1 I ` 0 I O -1 H1(X;A2) �� {a1,b 1,a2,b ��@� �� ��1���� y�� X�t� ��1���. y �� ବ� �@X� x����� O t�t�
� !(HX) ����� 0 t� �D̲ 벌� ����X� X \�X� ,� ��<�\��ȴ���� .a i, b i��t�X�
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0 I -ti ti 1 -ti 0 H1 (X; �_) �� Coke r! O -1 1 m�� -1 1 - ti 0l- t 2 t 2 N 11- t
모듈은 H1(X) 흑 A2EBA2/ (1― h t 2+ tft》)으로주어짐을 알수 있다. 일반 적으로 m 개의 성분을가지는둘레고리의 고리 모듈은ffi m - 1Am 울합 의 한 항으로 가진다 ([Gu t7 4] 참조) . 예를 들어 호프 고리 의 알렉산더 모듈은 0 이므로 둘레고리가아님을 알수 있다.
그림 7.1 4
고리의알렉산더다항식 둘레고리가 아닌 고리의 알렉산더 불변량을 계산하는 것은 쉽지 않 은 일이댜 매듭의 알렉산더 다항식이 알렉산더 불변량으로부터 얻 어졌듯이 고리의 다변수 알렉산더 다항식도 고리의 알렉산더 모듈 Hi ( X,p -1 (b); Am) 으로부터 정의할 수 있다. 이를 위해 다음의 보조정 리가필요하댜 보조정리 7.7.2. 고정된 한 Am 모듈의 임의의 표현 행렬은 주어진 하나의 표현 행렬로부터 다움의 작용을 유한번 적용하여 얻을 수 있 다. (1) 두개의 열이나행을서로바꾼다 . (2) 열이나행에 Am 내의 역원을가지는원소를곱한다.
s@이 MM한 열ii ( (또( M\/_l는\O행 i、j )M 에 o나 머 K’ 열 ( 또 는행 `~ 의 일 _K` r 결 합 을더 한 댜 0
1 증명 . [Zas58] 참조. D H 를 유한표현 Am 모듈이라 하자. 임의의 자연수 k 에 대해 H 의 k 번 째 기 초 아 이 디 얼 (k-th elementa r y ide al) Ek(H) 는 H의 표현 행 렬 의 (n - k) 소행렬식들로 생성되는 Am 의 아이디얼을 표시한다. 이때 표현 행 렬의 크기는(l ,n) 으로 주어지고 l 츠 n-k 라고 가정한다 .l< n-k 라면 보조정 리 7 . 7 . 2 의 (4) 번 작용을 통해 0 행을 더 한다 . Ek(H) 의 원소들의 최대 공약수를 H 의 k 번째 특성 다항식 (k- th charac t er i s ti c p ol y nom i al) 이 라 부르고 ti k(H) 로 표시 한다. Ek(H) 와 ti k(H) 는 위 보조정 리 에 나열된 작용들에 대해 불변이므로 잘 정의된 양이다. 여기서 D.. k (H) 는 h 의 거 듭고제리곱의을 k법 번으째로 알정렉의산된더다. 다 항식 Ai k)(tb ... ,tm ) 은 이 고리의 알렉산 더 모듈 A(L) 의 (k+ 1) 번째 특성 다항식 D.. k+1CA(L) ）로 정 의 된다. 특히 AL=A i0 ) 을고리 L 의 알렉산더 다항식이라부른다. G= (xj I r;) 를 고리 L 의 고리군이라 하면, 7.6 절에서처럼 자유 미 분 계산을 통해 행렬 M= (8r i /8xj )V¢ 를 얻을 수 있댜 행렬 M 은 Am = Z[ 탄…,럽]의 원소들로이루어져 있다.앞절에서 보였듯이 M 은알 렉산더 모듈 H1(X, p -1(b);Am) 의 표현 행렬이다. 고리의 L 의 다변수 알렉산더 다항식 AL(tb … .tm ) 은 행렬 M 의 열의 개수가 n 일 때 M 의 (n-l)x(n ― 1) 소행렬식의 최대 공약수로주어진다. 토레스는고리군의 버팅거 표현에 대한자유미분계산을통하여 다 음의 두 정리를 증명하였다 ([Tor53] 참조). 정리 7 . 7.3 의 자유미분계 산에 의 존하지 않는 중명 은 [Kaw96] 을 참조하기 바란다.정리 7.7 요 (토레스) m 개의 성분 L,, ... , Lm 을 갖는 고리 L 의 알렉 산더 다항식이 D..(t 1,••., tm ) 으로주어졌다하자 .L' 을 L 에서 성분뇨,을 뺀 나머지 성분들로 이루어진 고리라 하고 L' 의 알렉산더 다항식이 D..'(t1, • • • , t m - 1) 로 주어 졌다 하자. 그러 면, 다움 식 이 성 립 한다. m=2 인 경우: D..(t1' 1) = .ft.l .L_ _ _l1D ..'(t,) 여기서 l=lk(L! ，뇨)이댜 m>2 인경우: D..(t, ' ... ' tm -1' 1) = (t~1 r i2 •• • t 섭각 —l)D .. 1 (t1 , … , tm- 1 ) 여 기 서 l; = lk(L;, Lm) 이 다. 고리 L 이 s3 내에 표준적으로 놓여진 채워진 토러스 V 의 내부에 들 어 있다고가정하자 .T 의 횡선을µ,종선을 A 라하고 ,h 를 L 의 각성분 L i와µ의 걸림수 lk(L;,µ) 라하자.f: V ➔ V'cS3 과같은위상동형사상 이 주어졌다 하자. V' 의 중심을 매듭 K' 라 하고 특히 1k (f (A),K')=0 이 라 가정하자. AL ' ＇울 고리 Z:' =f(L) C S3 의 알렉산더 다항식이라 하고 心과 AK ' 를각각 L 과 K' 의 알렉산더 다항식이라하자.이때 다음정리 가성립한다. 정리 7.7.4. （토레스) L' ＇의 알렉산더 다항식 D..u ,(t1 ,·.· ,tm ) 은 다음 과같이 주어진댜 D..i11( t 1 , ••• , tm) = D..K 1(C i' · · · r,;:)D ..i(t1 , ••• , tm) 예를 들어 L 이 V 의 두 평행한 종선으로 이루어진 풀린 고리이고 K' 이 세잎매듭이라면 L' ＇은 그림 7.14 의 고리와 같다. 죽 앞에서 계산 했듯이 D..u 1(t1 , t2 ) = D.. K1( t 1 t 2) D..i(t 1, t 2) 이 성립함을 확인할 수 있다. 정리 7.7.3 은고리의 알렉산더 다항식에 대한토레스조건이라불린 다· 토레스 조건은 다항식이 고리의 알렉산더 다항식이 될 필요조건 의 하나이다• 임의의 다항식이 매듭의 알렉산더 다항식이 될 필요충
분조건은 잘 알려 져 있으나 고리 의 알렉산더 다항식 이 될 필요충분조 건은 아직 알려져 있지 않다. 토레스 조건이 충분조건이 아니라는 것 은 [Hi l81 ], [Pla86] 등에서 밝혀졌다.
재 8 장 매듭과고리의동계성 이 장에서는 보차원 2 인 부분다양체의 특이성 (s i n gu l arity)을 연구하 는데 자연스러운 개념인 동계성 (concordance) 을 매듭이나 고리에 적 용할것이다. 매듭의 동계류집합은 연결합하에서 가환군을이루며,사이퍼트행 렬을 이용하여 대수적으로 비교적 알기 쉽게 분류될 수 있다. 그리고, 매듭 동계류를 분류하는 데 사용한 방법은 둘레고리에도 자연스럽게 확장될수있다. 8.1 단면매듭 리본매듭과단면매듭 s3 안에 그림 8.1 과 같은 모양의 특이 집 합 (se t of s i n g ul arity)을 가 지는 원판을 생각하자 . 이와 같은 모양의 특이 집합을 리본 특이 집 합(ri bbon s i n g ular ity)이 라 부르고, 리 본 특이 집 합들만을 특이 집 합
,LJ —
으로 가지 는 s3 안의 원판을 리 본 원 판 (r i bbon d i sk) 이 라고 부른다. 이 때 이 리본 원판의 둘레로서 생기는 1 차원 매듭 K 를 리본 매듭 (r i bbon kno t)이 라 부른다.
그림 8.2 리본 매듭의 예
보조정리 8.1.1. 임의의 매듭과그매듭의 거울상과의 연결합은리 본매듭이다. 증명. 매듭 K 와 K 의 거울상과의 연결합은 R3 안에서 평면에 관하 여 대칭적으로놓여 있으므로,각각의 대칭점을선분으로이어서 얻 어진 원판은 명백하게 이 매듭을 둘레로 가지는 리본 원판이 된다(그 림 8.3 참조). D s3 = aD4 안에 들어 있는 1 차원 매듭 K 가 미분가능한 (smoo th) 원 판 A 의 둘레이고, (D.,K) C (/Y' ,S3) 이면, K 를 단면매듭 (s li ce kno t)이
그림 8.3
라고 부른다. 그리고, 단면매듭을 둘레로 가지는 원판 A 를 K 의 단면 원 판 (s li ce d i sk) 이 라 부른다 . 4 차원 공은 S3 X //S3 X 0 와 위 상동형 이 고, 임의의 매듭 K 는 D4 안의 원판 Kxl/KxO 의 둘레가 되므로, 단면매 듭의 정의에서 미분가능성이 요구된다. 미분가능 조건 대신, 국소 평 탄(l ocall y flat ) 조건을 넣기도 하는데, 이 런 단면매듭울 특별히 위상적 단 면 매 듭(t o p olo gi cal sli ce kno t)이 라 부르기 도 한다. 고차원 매 듭의 경 우에도유사한방법으로단면매듭을 정의할수있다.단면매듭 K 의 단 면 원 판 A 가 호 S3 X //S3 X 0 의 각 S3 X t와 수직 (tr ansvers ality)으로 만 나도록 할 수 있으므로 , 사상 /),,. CD4~53XII53 X0 ➔ I 는 세 종류의 임 계 점 , 국소 극대 점 (loc al maxim u m poi n t ) , 안장점 (saddle poi n t ) , 국소 극소점 (local mini m um p o i n t)을 가짐 을 알 수 있다. 그림 8 .4의 매듭울 하역인부 매듭 (5 t evedore ' s kno t)이라 부른다. 매 듭 K 가리본매듭이라하고 ,Dc53 가 K 의 리본원판이라고하면 ,D 의 각리본특이 집합근방울 D4 의 내부로밀어줌으로써 ,D 의 모든리본 특이 집합들을제거하여 얻은원판 D' 을만들수있으므로 ,K 는단면 매듭이 된다.또한이 단면원판 D' 은국소극대점을가지지 않는단면 원판이 된다. 문제 8.1.2. (리 본 예 상(Ri bbon Con jec tu re) ) 모든 단면 매 듭은 리 본 매듭이다. 단면매듭 K 의 단면 원판 A 가 국소 극대점을 가지지 않으면, K 는 s3 상에 A 의 국소 극소점의 개수만큼의 만나지 않는 원판들 사이룰
그림 8.4 단면매듭의 예(하역인부 매듭)
A 의 안장점의 모양대로 띠 (band) 로 연결하여 얻은 리본 원판의 둘레 가 되기 때문에, K 는 단면매듭임을 알 수 있다. 따라서, 리본 예상은 임의의 단면매듭이 국소극대점을가지지 않는단면 원판을갖는가와 동일한문제이다. K 가 단면매듭이고, A 가 K 의 단면 원판이라 하자. S3-K 에서 D4- A 로의 포함사상에 의해 유도되는 준동형사상 TC1(S3-K) ➔ TC1(D4- A) 이 전사이면 ,K 를 변이적 리본매듭 (homo t o pi call y r i bbonkno t)이라 부른다. 만약 K 가 리본 매듭이었다면, A 가 국소 극대점을 가지지 않 으므로, TC1(S3 -K) ➔ TC1(D4-!: :,.)가 전사임 을 알 수 있다. 따라서 , 리 본 예상은 다음의 두 단계로 나누어 생각할 수 있다. 문제 8.1.3. 모든 단면매듭은 변이적 리본매듭인가? 문재 8.1.4. 모든 변이적 리본매듭은 리본매듭인가? 단면매듭의성짙 보조정리 8.1.5. M 이 방향을줄수있는컴팩트연결 (2 q +l) 차원다 양체 이 고, N = aM =/0 이 라 하자. 그리 고,j. : Hq (N) ➔ Hq (M) 을 포함사
상j: N ➔ M 에 의 해서 유도되 는 사상이 라 하자. 그러 면 rank(Kerj* ) = } rank(H q(N))이 성 립 한댜 증 명 . [Lev69b] 참조 . 口 정리 8.1. 6. (2q - 1) 차원 매듭 K 가 단면매듭이고, F 가 K 의 사이퍼 트 곡면이고, 0 가 F 에 대한 사이퍼트 곱일 때, 다음 조건을 만족하는 부분 가군 (submodule) V C H q( F) 를 찾을 수 있다. (1) 임 의 의 a, f3 E V 에 대하여, 0(a, {3) = 0 이다. (2) rank(V) = ½r ank(Hq(F))이 댜 증명. A 를 K 의 단면원판이라고하고,닫힌 2 q차원다양체 F=FUa A 를 고려하자. 톰-폰트리야긴 구성(기초정리 6.2.2) 과 정리 6.2.1 의 증 명 과 유사한 방법 을 사용하면, F 를 둘레 로 가지 는 (2q + l) 차원 다양체 W c D2 q요를 얻을 수 있댜 j. : Hq (F) ➔ H q (W) 가 포함사상에 의 해 유 도된 준동형사상이라 하고, V=Ke 마라 놓으면, 임의의 a,{3 E V 에 대 하여 j*(a) = 0 =j*(f3)이 기 때문에, aA = a, aB = /3인 (q+ 1) －사슬 A,B 를 찾을 수 있다. B 를 W 의 양깃 근방의 양의 방향으로 민 사슬을 B* 라 하 면에,, 0H(a*,( F/3) ) ~=AH·* B(a*W=)0 이 임다을. 따알라 수서 ,있 보댜조 그정리 고리, 8 .a 1.w 5 에- i n의 t F하=여 ,b. r이an기k (때V )문 = ½rank(H q(F))임을 알 수 있댜 口 정리 8. 1. 6 에 의해 임의의 단면매듭 K 의 사이퍼트 행렬은다음과같 은모양의 행렬이 된다. O= (N: ;;) 여기서 O,N1,N2,N3 은모두 같은크기의 정방행렬이다. 예를 들어 ,6 장에서 정의된 n- 꼬임 이중매듭의 사이퍼트 행렬은 (~~1)
이생 성댜 원 즉 ,a, nb- 에 꼬 임대 하이여중 ,매 0(듭a, 의a) =사 n,이 0퍼(a,트 b) 곡= 면I , 0F(b 의, a)일 =차 0 , 호0(몰b, 로b)지 = 의— l 두이 된댜 만약 n=e(e+1) 꼴의 정수이면, (e(e0+ 1) _\ ) ~ (_(e0+ 1) --:) 이기 때문에 임의의 매듭 K 의 e(e+l) －꼬임 이중매듭은 정리 8 . 1. 6 의 결 과를 만족한다. 그러나, 풀린 매듭의 e(e+1) －꼬임 이중매듭은 e= 1 이 면, 그림 8 .4의 하역인부 매듭이 되므로 단면매듭이지만 ,e> 1 이면 단 면매듭이 아니라는 사실이 캐손-고돈에 의해 밝혀졌다(제 9 장 참조). 따름정리 8.1.7. K 가 단면매듭이고, 0 가 K 의 사이퍼트 행렬이면, 어 떤f(t) E Z[t, r-1] 에 대하여, 알렉산더 다항식 AK(t) =f(t)f(t-')을 만 족하고, |de t (0+0 이가 완전제곱수이다. 증명. K 가단면매듭이므로 ,0 와t 0-0T 는다음과같은모양이댜 0= (N\ :;) , t0— OT = (tN 2\f : 二) 따라서 , f(t) = det( tN , -N f)라 하면 det( tN2 -Nf ) =d et( t-1 Nf -N 2) = de t(t -1N1-N i)=f(t -1) 이므로 다음이 성립한댜 tiK( t) =d et( t0 — 0T ) =d et( tN1 -Ni ) det( tN2 -Ni ) 타(t)f(t -1 ) 그리고, Ide t (0+0 이 = |!:::,.K(-1)1 =f(-마이므로 완전제곱수이다. D 1 차원 단면매듭 K 가 리본매듭인 경우에는, 정 리 8. 1. 6 의 부분 가군 을 구체적으로 찾아낼 수 있다. D 가 리본매듭 K 의 리본 원판이라면, D 의 각각의 리본 특이 집합 근방에서 그림 8.5 와 같은 조작을 하여, K 의 사이퍼트곡면D'를 얻을수 있다. 그리고,이렇게 얻어진사이퍼 트 곡면에서 특이 집합을 없애주기 위해 뚫어준 구멍을 감는 생성원 들이 정리 8. 1. 6 의 부분가군을생성한다.
-LJ―一걸
8.2 동계성과매듭의 동계군 매듭의 동계성은 매듭의 동치(i so t o py)보다 약한 개념이지만, 부분 다양체의 특이성을 연구하는 데는 더 자연스러운 개념이다. 매듬의동계군 Ko, K1 이 S'1+2 상의 방향이 주어 진 n 차원 매 듭이 라 하고, 방향이 주어 진 부분다양체 V C (Sn+2 x I) 가 다음 조건을 만족한다고 하자. (1) V-;;-sn xI (2) v n sn+2 x i = K;, i = 0, 1 이때 Ko 과 K1 은 서로 동계 (concordan t)라 부르고, 이 부분다양체 V 를 Ko 과 K1 의 동계다양체 (concordance) 라 부른댜 모든 n 차원 매듭의 동 계류의 집합을 Cn 이라 표기하자. 단면매듭의 정의에 의해, 모든 단면 매듭은풀린 매듭과동계이다. 기초정리 8.2.1. M-;;-in t D '' x /, M C sn xI 이고, Mnsn X i~ int D '1 X i,i=0 , 1 이면 ,sn xJ - M-;;-D '1 xl 이댜 기초정리 8.2.1 을 이용하면, [K], [K'] E Cn 에 대한 연산, [K]+ [K'] := [K#K'] 이 잘정의되는연산임을알수있다.이 연산하에서 Cn 은풀린 매듭의 동계류 [O] 을 항등원으로 가지는 가환군이 된다. 이때 Cn 을 동 계군 (concordance g roup )이라 부른다. 그리고, 보조정리 8. 1.1 에 의해,
각[K] ECn 의 역원은 [-K] 임을알수있다(여기서 ,_K 는 K 의 거울상 에 방향을 바꾼 것이다). 정리 8.2.2. 모든짝수차원매듭은풀린매듭과동계이다. 증 명 . [Ker65b] 참조. □ 정리 8.2 . 2 에 의해 C2 q =O 이므로,홀수차원 매듭동계류에 관해서만 살펴보도록하자. 매듭의행렬동계군 8 q를 6.3 절에서 정의된 집합이라 하자(즉, A+( ― l) q A 가 정수계수 역행렬을가지는모든정수계수짝수차원정방행렬 A 들의 집합 ).NE e 접 행 렬 (N\ ~: ) 과 합동이 면, N 을 0 동계 (null-concordan t)라 부른 댜 여기서 ,Ni 는 모두 같은 크기를 가지는 정방행 렬이다 .A1,A2 E 89 사 이에 다음과 같이 정의된 합을 A1 과 A2 의 직합 (blocksum) 이라고 정의 한다. AI 昞 := (AOI A\) 그리고, 만약 Al ®-A2 가 O- 동계이면 ,A1 과&가 동계 (concordan t)라고 부른다. 동계성의 정의로부터, 8 q상의 동계성은 재귀성 (re fl ex i v ity)과 대칭성 (s y mme tri c ity)을 만족하는 관계 (rela ti on) 임을 알 수 있다. 보조정리 8.2.3. A,N E 89 에 대하여. N 과 AEBN 이 0- 동계이면 ,A 도 또한 0- 동계이다. 증명 . [Le v69b] 참조. □ 만약 Al ®-A2 와 A2 EB-A3 가 0- 동계이 면, Ai EB-A2 EBA2 EB-A3 가 0- 동계이고 ,A2EB-A2 가 O- 동계이기 때문에, 보조정리 8.2.3 에 의해 A1 EB -A3 는 0- 동계이다. 즉 ,A1 과 A3 는 동계이다. 따라서, 행렬의 동계성은
동치관계임을 알 수 있다 .A E 8 q의 동계류 [A] 들의 집합을 G f 로 표시 한댜 여기서, E=(-l) q이댜 그리고 A®_B 와 A'EB-B' 가 O- 동계이면, AEBA'EB 一 (BEBB ' ）가 O- 동계이기 때문에 직합은 G€ 에 잘 정의되는 연 산이 되며, G f는 직합연산하에서 가환군을 이룬다. 이 G 서운 행렬동계 군 (matr i x concordance g roup )이 라 부른댜 정리 8.2.4. Ko, K1 가 서로 동계인 (2q — l) 차원 매듭이고, 0 i가 K 의 사이퍼트 행렬(i =0, 1) 이면 ,0o 와 01 은서로동계이다. 증명. [Ko] = [K!] 이기 때문에, [O] = [Ko]+[-Ko] = [Ko#-K!] 이다 . 따 라서, K 。# ― K1 은 풀린 매듭과 동계이다. 즉, Ko#-K1 은 단면매듭이 고 ,0 。 ®_oI 를사이퍼트 행렬로 가진다. 정리 8. 1. 6 에 의해 ,0 。®一 0I 는 0- 동계이댜 D 이 제, 사상 q : C2 q내 --+ G , E = (-l) q를 다음과 같이 정 의 하자 . 써[K]) := [0], 0 는 K 의 사이 퍼 트 행 렬 정리 8.2 .4에 의해,¢q는 잘 정의되는사상이다 . 그리고, 직합의 정의로 부터, 사상 q가 준동형사상임을 알 수 있다 . A+AT 의 부호수(제 9 장 참조)가 16 의 배수가 되는 [A] E G+ 로 이루어 진 G+ 의 부분군을 @로 표시하자. (부호수는 동계류 불변량(제 9 장 참 조)이 므로, G~ 는 잘 정 의 된다.) 기초정리 8.2.5. M 이 방향을 줄 수 있는 닫힌 4 차원 미분다양체이 고, 어떤 Xo EM 에 대하여 M-xo 의 접벡터 다발(tang en t bundle) 이 곱다 발(tri v i al bundle) 이 면, H2(M ) x H2(M) 상의 만남곱의 부호수(제 9 장 참 조)는 16 의 배수이 다. 증명 . [KM58] 와 [Lev69b] 참조. D K 가 3 차원 매듭이라 하고, V E S5 가 K 의 사이퍼트 곡면이고, 0 가 K 의 사이퍼트 행렬이라 하자 . 그러면, 0 의 정의에 의해 (6 .3절 참조),
V= V/av 는 0+0T 를 만남곱으로 가지 는 닫힌 다양체 이 다. 그리 고, V 가 R 책] 들어 있는 곱다발구조인 법 벡 터 다발(tri val normal bundle) 을 가 지므로, V 의 접벡터 다발은 곱다발이다. 따라서, 기초정리 8 . 2.5 에 의 해 0+0T 의 부호수는 16 의 배수이다. 그러므로, ¢2([K]) E 다 이다. 위 사실과 정리 6.3.2 로부터 , 다음 정리가유도된다. 정리 8.2.6. (1) q1 2 이면, %: C2q -1 ➔ G f는 전사사상이댜 (2) ¢2 : C3 ➔ 어는 전사사상이 댜 q 11 인 경우, 즉 홀수고차원 매듭 동계류인 경우에는 다음 두 보조 정리 8.2.7 과 8.2.8 에 의해, %가 단사 사상임도 알 수 있다. 따라서, 다 음이 성립한다. (1) C파 1 ~ Gf ,q > 2 (2) C3 ~~ 1 차원 매듭의 경우, 0- 동계인 사이퍼트 행렬을 가지지만, 단면매듭 이 아닌 매 듭―이 런 매 듭을 대 수 적 단 면 매 듭 (alge b raic sli ce kno t)이 라 부른다一이 존재하므로 ,¢1 은동형사상이 아니다 (8.1 절 참조)． 따라서 이 경우에는주어진 매듭이 단면매듭인지를 알기 위해서 좀더 강력한 불변량이 필요하며 이런불변량을얻기 위한많은노력이 있었다. 보조정리 8.2.7. q 츠 2 인 모든 (2q - 1) 차원 매듭은 단순매듭과 동 계이다. 증명. [Le v69a] 참조. 口 보조정리 8.2.8. q 츠 2 이고, K 가 O- 동계인 사이퍼트 행렬을 가지는 (2q - l) 차원 단순매듭이면 ,K 는 단면매듭이다. 증명. [Le v69a] 참조. □ 나아가 르빈은 부호수를 이 용하여 다움을 증명 하였다([L ev69a]). 정 리 8.2.9. G 군~ zoo EB Z:f EB Z 운, c = 士.
8.3 둘레고리의 동계성 이 절 에서 는 8.2 절 에서 다 룬 매듭의 동계성 개념을 고리로 확장해 서 다 루 어보 도록 하겠다 . L;, i = 0, I 이 n 차 원 m- 성 분 고리라 하자. 만약 다음 조건을 만족하 는 방 향 이 주 어 진 부분 다양체 L C sn+i X /이 존재하면, 뇨와 L1 이 고 리 동 계(/i nk concordan t)라 하 고 , 이 다양체 L 을 고리 동계 다양체(li nk co n c ord a n ce ) 라 한다 . (I) Ln s n +2 X i= L;, i= 0, I (2) L 은 UJ X I 와 위 상동형 이다. 매 듭 동계류는 사이 퍼트 곡면 의 사이퍼트 행렬을 이용하여 분류하 였다 ( 8 . 2 절 ) ． 그러 나, 고리의 경 우에는 일반적으로 이런 충분한 정보 를 지 니 고 있 는 다양 체를 찾을 수 없다. 따라서 , 일반적인 고리의 동계 성을 직접 연 구 하 는 것은 매 우 어려운 일이며 이 절 에서 다루려는 둘 레고리 나 호몰로 지 둘 레고리와 같 은고리로범위 를 한정해야한다. 둘 레고리의동계성 B,1 . 111 을 모든 n 차원 m- 성 분 둘레고리들의 고리 동계류의 집합이라 하자 . 그 러 면 , Bn,I = Cn 이고, 만약 , n 이 짝수이면, Bn,m = O([Gu t7 2]) 임 울 알 수 있다.따라서,앞으로 n 이 홀수라고가정하자. L=L1 Uu i.U .. ·U L,,,을 n 차원 m- 성분 둘레고리라 하자. 그러면, 둘 레고리의 정의에 의해,서로 만나지 않는 각 L i의 사이퍼트곡면 M i를 찾을 수 있다. 이때 M=M1UM2U•••UMm 을 둘레고리의 사이퍼트 곡 면 (Se ife r t su ,fa ce) 이라고 부른다 . 주어진 둘레고리에 대하여 여러 가 지의 서로 다른 사이퍼트 곡면을 생각할 수 있다. 따라서, 우선 둘레 고리와둘레고리의 사이퍼트곡면의 쌍 (L,M) 을고려하자.그리고,두 개의 쌍 (L,M) 과 (L',M') 에 대하여, 다음 조건을 만족하는 부분다양
체 M C 5n+2 X /가 존재하면, (L , M) 과 (L ' ,M' ）가 둘레 동계 (bounda ry concordan t)라 정 의 한댜 (1) Mnsn+2 X O=M 이고, Mnsn+2 X 1 =M' 이댜 (2) aM- i n t (MUM' ）은 L 과 L' 사이의 고리 동계다양체이다. (3) M 은순서를가지는서로만나지 않는연결된부분다양체 M1, M2, , .. , Mm C (sn+2 X [)의 떨어 진 합이 댜 그리 고, M C 5n+2 X 0 과 M' c sn+2 X 1 의 양의 법 선 방향(p os iti ve normal d i rec ti on) 은 M 으로잘확장된댜 모든 둘레고리와 둘레고리의 사이퍼트 곡면쌍 (L,M) 에 대한 둘레 동계류들의 집 합을 Cn(Bm) 라 하자. n 차원 m- 성분둘레고리 L 에 대하여 ,X 는 L 의 외부이고 ,Fm 은 m 개의 문자 X J ,X2, ... ,Xm 으로자유생성된 군이라고 하자 . 그러면,i번째 횡선 을 X;, (i= 1,2, ... ,m) 으로보내는 전사준동형사상 0: rr1(X) ➔ Fm 을 찾 을 수 있으며(정리 6.2.3 참조)， 이때 이 전사준동형사상 O 를 L 에 대한 분리사상 (sp litti n g map )이라 부른다 ([Ko87]). 둘레고리와 분리사상쌍 (L, 0) 를 Fm- 고 리 (Fm-l i nk) 라 부른다 ([CS80]). 정 리 6.2.3 의 증명 과정 에 서 얻어지는사이퍼트곡면은주어진분리사상 O 를유도하지 않을수 도 있다. 그러나, 톰-폰트리야긴 구성을 이용하면, 더 정확하게 다음을 증명할수있다. 보조정리 8.3.1. 둘레고리 L 의 주어진분리사상 0 에 대하여 ,0 를유 도하는 L 의 사이퍼트곡면을찾을수 있다. 증명. [Ko87] 참조. □ 두 Fm- 고리 (L;,0 ; ), i =0,1 이 다음조건을만족하는고리 동계다양체 L C sn+z x i를 가지 면, Fm- 동계 (Fm-concordan t)라 부른다. (1) 전사 준동형사상 0: rr1(X) ➔ Fm 이 존재하여, (여기서, X 는 sn+Z X /에서 L 의 관상근방의 내부를 뺀 공간)
(2) 포함사상에 의해 유도되는준동형사상j; : rr1(X;) ➔ rr1(X), i= 0, l 에 대하여 , 0o j ; 와 a 는 Fm 의 내부 자기동형사상을 법으로 같다(여기서 ,X; 는 L; 의 외부, i= O, l). Fm- 동계 를 정의하는 쌍 (L,0) 를 Fm- 동계다양체
의되는 작용이다. 그리고 정의에 의해 ,aE CAm 가 내부 자기동형사상 이면 a 는 Cn( Fm ) 상에 자명하게 작용한다. 이제 Cn(Bm) 상에서도 유사 한 작용을 유도해보자. a E CAm 이 a(x;)=w;x;w11,i= 1,… ,m 에 의해 정의된 자기동형사상일 때, a 를 (w1,W2, ... ,Wm) 으로 표기하자. 그리 고,
하여 얻은 부분다양체를 M;’ 이라 하고, 연결합을 취할 때, 이용한 선 분들을 sn+Z X [의 내 부로 살찌 워 서 , (L, aij • M) 과 (L'' CXi j • N) 사이 의 둘 레 동계다양체 M1 U .. ·UM?U .. ·UMm 을 얻을 수 있댜 An’ 을 CAm 의 내부자기동형사상에 의한몫군이라하자. 정리 8.3.5. Cn(Bm) 과 Cn(F 미 사이에 일대일 대응관계가 존재하며, A,,, －작용을 보존한다. 증명 정리 6.2.3 의 증명으로부터 Cn(Bm) ➔ C n( Fm) 의 함수를 줄 수 있고, 보조정리 8.3 .1은 역함수를 준다. 그리고 보조정리 8 .3 .2 는 이 함 수가 잘 정의됨을 보장한다. 마지막으로, Cn(Bm) 과 Cn( Fm ) 상에서의 Am- 작용의 정 의 와 Cn(Bm) ➔ C,1(Fm) 의 함수의 정 의 로부터 이 함수가 Am - 작 용을 보존함을 알 수 있다. □ 보조정리 8.3.3 과 정리 8.3.5 로부터 ,Bn,m 은 Am- 작용에 대한 Cn(Bm) 의 궤도 공간 Cn(Bm)/Am 과 같음을 알 수 있다. 이제, Cn(Bm) 에 + 연산을 정의해보자. (L,M) 과 (L',N) 을 둘레고리와 사이퍼트 곡면으로 된 쌍이라 하자. 그리고, M=M1 U···UMm 과 N= N1U··•UNm 이 sn+2 의 두 반구에 각각들어 있다고하자.우선, 8M; 와 8N; 의 두 점을 이으면서, M과 N의 다른 어떤 곳과도 만나지 않는 선 분 y를 취하자(i= 1, ... ,m). M; 와 N; 를 Yi를 따라 둘레 연결 (bound ary connecte d sum) 한 다양체 를 M 沮 Y I Ni 로 표시 하자. 그리 고, M Q(y1. . ... y., )N = (M 벼y 1N1)U • • • U(MmQ y., Nm) 이라 놓자. 이제, [(L=L1 U•··U4n,M )]+ [(L' =L; U .. · UL~,N)] 을 [(L1UL; U • • • U4nUL~, M Q
표준공이댜 그리고 둘레 동계의 정의로부터 다음이 성립한다. 보조정리 8.3.6. (L,M) 이 (BE , E)와 둘레 동계이면, 다음 조건을 만 족하는 (n+2) 차원 부분다양체 vn+2 C fY1 +3 가 존재하고, 그 역도 성립 한댜 (1) Vnsn+z = avnsn+z =M (2) BV- i n t M은 서로 만나지 않는 m 개의 표준공 [Y1 +1 과 위상동형 이다. (3) V 는서로만나지 않고순서가있는부분다양체 ViU ··•UVmC [Y1 +3 으로 이루어져 있으며, M 으로 제한하면 av+3 상에서의 M 의 양의 법선 방향이 되는 양의 법선 방향을 가진댜 이때 L=BM 을 둘레단면고리 (bounda ry s li ce) 라부른다. 매듭에서 와 마찬가지 로, (L, M) 를 sn+2 의 대 칭 사상 (re fl ec ti on) 으로 옮 기고방향을 반대로 바궈서 얻은쌍 (-L,-M) 을 생각할수 있다. 이때 [(L, M) ]+[(-L,- M) ]=[(aE, E)]이 되어 Cn(Bm) 은가환군이 된다 (n 츠 2). 정리 8.3.5 에 의해, Cn(Bn, ）상의 가환군 구조를 Cn(Fm ) 으로 옮길 수 있 댜 둘레고리의행렬동계성 매듭의 행렬동계군은 매듭의 동계군을 분류하는 매우 유용한 대수 적 도구였다 (8.2 절)． 둘레고리에 대해서도 매듭의 행렬동계군과 유사 한 대수적인 장치를 고려할수 있다. (L,M) 이 (2q — l) 차원 둘레고리 L 과 사이퍼트 곡면 M 으로 이루어 진 쌍이라하자. 그러면, 다음과 같은 겹선형사상 a: Hq (M) xH q (M) ➔ z 를정의할수있다. a(a, {3) = lk(a, 냐) 여 기 서 , a, {3 E Hq (M) 이 고 준동형 사상 i+ : H.(M) ➔ H.(S2 q +2-M) 은 a E H*( M)을 MEs 2q +2 의 양의 법선방향으로밀어서 얻는사상이다 •(6.3 절
의 매듭의 사이퍼트곱의 정의를 상기하자.) M 은 m 개의 서로 만나지 않는 사이퍼트 곡면 M 들로 이루어져 있기 때문에, 매듭의 사이퍼트 행렬의 정의와 유사하게 a 를 H q (M) 의 자유 부분군에 제한한 제한사 상을 표현하는 행 렬을 고려 하면, 다움과 같은 조건을 만족하는 m2 개 의 행 렬 Aij , i,j = I , ... , m 으로 이 루어 진 행 렬 A = (A ij)를 얻 을 수 있 다. 여 기 서 A ij는 H q (M;) 와 H q (Mj )의 자유 부분군 사이 에 정 의 된 겹 선형사 상의 표현행렬이다. (1) i= I, ... , m 에 대하여 ,A;;+(-I) q A;; 는 정수계수 역 행 렬을 가지 는 (2[; X 2[;) －행렬이댜 (2) i,j = I , ... , m, i =/j에 대 하여 , Aij = (— I)q +IAj i를 만족한다. 위와 같은 성질을 만족하는 m2 개의 정수계수 행렬돌로 이루어진 행렬을 (m, 아사이퍼트 행렬 (Se ife rt matr ix oft ype (m,E) ）이라고 부른 다 (E=(-l) q)． 만약 ,m= 1 인 경우에는 매듭의 사이퍼트 행렬의 정의와 동일함을 알수 있다 .A=(A ij)와 B=(B ij)가 (m,E)- 사이퍼트 행렬이라 고 하자(€=士 1). 만약 다음 조건을 만족하는 정수계수 역행렬을 가지 는 행렬 U;, i= 1, ... ,m 이 존재하면, (m, 아사이퍼트 행렬 A 와 B 가서 로 합동 (con g ruen t)이 라 한다. U;Ai jUj = Bij , i,j = I, ... , m 그리 고, A EB B 는 A = (A ij)와 B = (B ij)의 각 부분 행 렬 A ij와 B ij의 직 합 A ij $B ij로 이루어진 행렬 (A ij EBB;j )를표시한다. 다음과 같은모양의 행 렬 Ni j돌로 이 루어 진 (m, E) －사이 퍼 트 행 렬 N = (N ij)와 합동인 (m, E)- 사 이 퍼 트 행 렬을 0- 동계 (null-concordan t)라 부른다. Nij = (;ij ::) 여기서, C ij ,D ij ,Ei j는 (l; X lj )－행 렬이고, Ni j는 (21; x 2lj )－행렬이다. 그 리고, 만약 두 (m, 아사이퍼트 행렬 A,B 에 대하여 ,AEB(-B) 가 O- 동계
이면 ,A 와 B 가 동계 (concordan t)적이라부른다. 8.2 절의 매듭의 행렬동 계군에서와 마찬가지로 다음 보조정리가 성립하기 때문에, (m,E)- 사 이퍼트 행렬사이의 동계는동치관계임을알수 있다. 보조정리 8.3.7. 두 (m, 하사이퍼트 행렬 A, N에 대하여, N 과 NEB A 가 O- 동계이면 ,A 또한 0- 동계이다. 증명. [Ko87] 참조. □ 모든 (m,E)- 사이퍼트 행렬들의 동계류의 집합을 G(m,E) 이라 표시 하면, G(m,E) 은 e 연산하에서 가환군을 이룬다. 8.2 절에서와 유사하 게 둘레고리와 사이퍼트 곡면쌍의 둘레동계류 [(L,M)] 에 M 의 사이 퍼트 행렬을 대응함으로써, 잘 정의되는 사상
이제 ,a - M 에 대한사이퍼트 행렬을 구함으로써, G(m , E) 상의 Am- 작
여기서, S; =A;;+(-l) q A f;이고, O 는 영행렬이다. 따라서, G(m,E) 상의 Am- 작용을 aij [A ] = [B] 로 정 의 할 수 있 다. 정 리 8.3.5 와 정 리 8.3.8 에 의 하여 다음 따름정 리 가 성 립 한다. 따름정리 8.3.9. G(m,€)/Am 과 @(m,E)/A 군] Am- 작용에 대한 궤도 공간일 때 ,n=2 또는호 4 에 대하여
Bn m ~{ [ ::,'+-l? I/A?,' : : :三
이 고, B(3, m) ~ G°(m , +1)/A,,, 이 댜 CA2 의 두 생성원 이 2,a21 은 내부 자기동형사상이므로, A2 는 1 원소 군이다.따라서, Bn,2 ~ C ,1(B2) ~C n(F2) 임 을 알 수 있다. 다움 예 는 Cn(B,,,) 상의 Am- 작용이 항등 작용이 아님 을 보여주는 예이다. 다움과 같은 (2,E)- 사이퍼트 행렬 B 를 고려하자.
B=
그러면, 정리 8.3.8 에 의해, B 를 사이퍼트 행렬로 가지는 둘레고리쌍 (L1 U f-i ,M' ）를 찾을 수 있다. 그림 8.6 은 q= l 일 때의 L1 U f-i이다.
그림 8.6
M' 와 분리된 2 q차원 표준공 D 를 덧붙여서 얻은 새로운 둘레고리 쌍 (L= 8DUL1 UL i,,M =DUM1 UM2) 는 다음과 같은 사이퍼트 행렬 A = (A ij)ij =l,2,3 를 갖는댜 A ij는 빈 행 렬, i= I 또는j = I, (~: ~::) =B A3 의 한생성원 a21 에 대하여 ,a21·AEB(-A) 가 0- 동계가아니므로 M 과 a21 ·M 은 둘레동계가 아니다 ([Ko87]). 죽, [(L,M )] ,fa2 1 ·[(L,M) ］이댜
재 9 장 부호수불변량 코보디즘 (corbod i sm) 이론 또는 수술 (sur g e ry)이론에서 잘 나타나는 바와 같이 , 실 베 스터 의 관성 법 칙 (Sy lv este r 's law of i ne rti a) 으로부터 실 대칭 또는 복소 허미션 곱에 대해 정의되는 부호수 불변량은 다양체 의 위상수학적 특성울연구함에 있어 핵심적인 역할을하는도구이다. 1960 년대 후반 무라수기 (Murasu gi)와 트리스트람 (T ri s tra m) 에 의해 처 음으로고리 부호수가정의된 이래,최근에 이르기까지 부호수불변량 은 매듭이론의 여러 가지 문제를 연구하기 위해, 특히 다양체 코보디 즘 이론 및 수술이론과 연관지어 매듭 및 고리 동계를 연구하기 위해 이용되는 가장 기본적인 도구 중의 하나로 사용되었다. 이 장에서는 매듭이론에서 유용하게 쓰이는 고리 동계 불변량인 고리 부호수(li nk s ig na t ure) 와 부호수 함수 (s ig na tu re fun cti on ), 매 듭의 캐 손-고돈 (Casson Gordon) 불변량과 단면 매듭에 대한 응용을 살펴보며, 유리 계수 호몰 로지구 안의 고리 부호수 이론과 이의 일반적인 고리 동계에의 응용 을 다룬댜 또한 아티 야 (Al iy ah) ， 파토디 (Pato d i) , 싱 거 (S i n g er) 의 n- 불변 량의 고리에 대한응용에 대해 살펴본다.
9.1 가지천 순환 덮개공간의 부호수 가지친순환덮개공간 D2 를 C 안의 단위원판으로 생각하고, 사상 ¢: D2 ➔ D2 울
일반적으로, H i (W)=H2(W)=0 이라는 조건이 없어도 적당한 사상 H1(EM)~ Zr 이 주어지면 가지친 순환 덮개공간을 정의할수 있다. 그 러나이와같은일반적인 경우는여기에서 고려하지 않기로한다. 가지친 순환덮개공간의 몇 가지 예를살펴보자 ,L 이 sn+2 상의 n 차원 고리라고 하자. L 은 언제나 영틀을 갖기 때문에 ,L 을 따라 sn+2 를 가지 친 r 겹 순환 덮개공간 Mr 을 생각할수 있댜 또한 ,L 의 전체공간 sn+2 를 B'1+3 의 둘레로 보고, N 을 NnS+2 = aN=L 이 되는 Bn+3 안의 부분다양 체라고 하자 . 만약 N 이 영틀을 가지면 ,N 을 따라 Bn+3 을 가지친 r 겹 순 환 덮개공간 Wr 을 생각할 수 있다. 이때 같은 L 에 대해서도 N의 선택 에 따라 Wr 은 달라질 수 있댜 그러나 어느 경우라도 Wr 의 둘레는 항 상 Mr 이 된다. 이제부터는 n 이 홀수인 경우만을 생각하도록 하겠다. n=2 q -l 이 라 하자. N 이 N n as2q+ 2 = aN 을 만족하며 영 틀을 가지 는 B2 q +2 의 부분 다양체라고 하자. 위에서와 같이 ,N 을 따라 Bn+3 을 가지친 r 겹 덮개공 간을 Wr 로 표시하고, Wr 위의 덮개 이동사상t가 H q +1(Wr;C) 위에서 유 도하는 사상을 역시 t로 표시하자. t는 위상동형사상이므로, t에 의해 만남곱이 보존된다. 잘 알려진 선형대수의 결과에 의해 ,Hq + 1(Wr;C) 는 t의 고유공간들의 직합으로 표시되며, 각 고유공간은 만남곱에 대해 수직이댜 따라서 tr= 1 이므로, w=e 2iri /r 이라고 두면 t가 가질 수 있는 고유값은 1, w, ... , w-1 중의 하나이 다. 이 때 Vk 를 t의 값三 -고유공간이 라고하자. A 가 실 대칭 행렬 또는 복소 허미션 행렬이라면, PAPT 가 실 대각행 렬이 되는적당한행렬 P 가존재한다.이때 PAPT 의 대각원소들중양 수의 개수에서 음수의 개수를 뺀 값을 A 의 부호수 (s ig na t ure) 라고 부 르고 s ig n(A) 로 표시 한다. 실 베 스터 의 관성 법 칙 (Sy lv este r 's law of ine r- ti a) 에 의 해, P 의 선택 에 관계 없이 s ig n(A) 는 항상 일정 한 값을 갖는다. 반대칭 행렬 또는 반허미션 행렬 A 에 대해, sig n( A)=sig n(iA) 로 정의 한댜
일반적으로 만남곱은q가홀수이면 대칭이고,q가짝수이면 반대칭 이다. 두 경우 모두 위에서와 같이 정의되는 Vk 위에서의 만남곱의 부 호수를 ak . r(N) 이 라고 표시 하자. 기 초정 리 9.1. 1. 8N1 = 8N2 이 면, 야 , r(N i ) = ak , r(N2) 이 다. 증명. N1,N2 를 따라 가지친 B2 q +2 의 덮개 를 각각 WI, W2 라고 하자. 52q + 2 = B2q +2 Ua B2 q +2 로 두고 N = NI Ua _N2 을 s 2q +2 의 부분다양체 로 보 자. sn+3 = as 2q+3 이므로 톰-폰트리야긴 (Thom - Pon try a gi n) 의 방 법을 적 용하면, 영틀을 갖고 8N= V 가 되는 B2 q +3 안의 다양체 V 를 찾을 수 있 다. V 를 따라 가지친 B2 q +3 의 r 겹 순환 덮개 를 X 라 하자. 부 호수의 성 질 에 의해 ,8X 의 e 2Jri k/r- 고유공간부호수는 0 이다. 한 편 , 8X=Wlu_w2 이 므로, 부호수의 덧 셈 정 리 에 의 해 야 . r(Nl ) —야 .r(N2) = 0 이 다. 口 s2q+ 1 안의 (2q — l) 차원 고리 L 에 대하여 , 위에서와 같이 NnS2q +r= 8N = L 이 되 는 B2 q+ 2 안의 부분다양체 N 을 생 각하자. ak,r (L) = ak , r(N) 이 라고 정의하자. 위 정리에 의하여, Ckr(L) 은 N 의 선택에 관계없이 잘 정의된다. 고리의 가지친 덮개 공간 만둘기 F 를 8F=L 이 되는 고리 L 의 사이퍼트 곡면이라 하자. S' ＇요 를 Bn+3 의 경계로생각하자 . 경계를고정하고 F 를 sn+2 의 안쪽수직 방향으로약 간 민 결과룰 N, 미는 자취를 T 라고 하자. EN 을 Bn+3 안에서 N 의 바깥 이라고 하고, T 와 EN 의 교집합을 V 라고 하자. V 는 EN 의 부분다양체가 된다. sn+2 안에서 F 의 양의 수직 방향에 따라 Bn+3 안에서 V 의 양의 수 직 방향도 유일하게 결정된다. V ';;;; F x [O, 1]/(x, a) ~ (x, b), X E aF, a, b E [0, 1] 임을쉽게 알수있다 .EN 안에서 V 의 관상근방을 Vx[-1,1] 과동일 시하자. Vx l, Vx(-1) 은 각각 V 를 양,음의 수직 방향으로 약간밀어
얻은 평 행 복사본과 동일시될 수 있다. X 를 Bn+3-V X (-1, 1) 의 한 복 사본이 라 하자. x i는 다시 Bn+3 과 동형 이 된댜 V 를 Xj 안의 V x (-1), Vx l 로 넣는사상을 각각 c f ,c t라고 하자 .X 를 X1, ... ,Xr 의 떨어진 합 에서 모든 1 :::: i :::: r-I, z e V 에 대해 다Q와 c t (z) 를 동일시하여 얻은 공간이라고하자. 기 초정 리 9.1.2. X 는 N 을 따라 Bn+3 을 가지 친 r 겹 순환 덮 개 Wr 과 동형이며 ax 는 L 을 따라 S 쿄를 가지친 r 겹 순환 덮개 Mr 과동형이다. 증명. T 를따라 Bn+3 을잘라얻는다양체를 X’ 이라고표시하자 .X 를 X 의 복사본이 라고 하고, T 의 양, 음의 수직 방향에 대응되 는 포함사상 T ➔ X; 를 각각라 ,d;- 라고 하자. 만든방법으로부터 ,X i,… ,x; 의 떨어 진 합에서 모든 l :::: i :::: r-1, z E V 에 대해 뱌（ Z) 와 먀이 (z) 를 동일시하 고 또한따 (z) 와각 (z) 를 동일시하여 얻을 수 있는 다양체 X’ 은 Wr 과동 형임을 쉽게 알수 있다. 그런데 ,X i가 Bn+3 과동형이 된다는사실과 비 슷하게 X' 과 X 역시 서로동형이므로 ,X 는 Wr 과동형이다. D 만남곱의계산 이 절에서는 야 ,r(L) 을 계산하기 위해 Hq + 1(Wr) 위에서 만남곱을 조 사한댜 만남곱을 살펴보기 전에 먼저 Wr 의 호몰로지 군을 계산할 필 요가있다 .
보조정리 9.1.3.
라는 사실과 메이어-비에토리스 (Ma yer-V i e t o ri s) 수열을 이용하면 r-1 Hi+ 1(Wr) 학 BH i (V) n=I 가됨을 알수 있댜 V 와 F 가 같은 호모토피형을 가진다는 사실로부터 원하는결과가얻어진다. D A 를 F 위 에 서 정 의 된 L 의 사이 퍼 트 행 렬 (Se ifert ma tri x) 이 라 하자. 정리 9.1.4. Hq +I (W,) 위에서의 만남곱은 다음 행렬로 표시된다.
'A+EAT EAT
단, E=(-l) q+I 이댜 증명. Wr=X1U···UXr 로 생각하고, vi =Xmxi +1 로두자. 그러면 ,X i 안에서 볼 때 Vi, vi +1 은 각각 F 를 양, 음의 수직 방향으로 민 자취가 된 다. 또한 V; ~ V ~ F x [O, 1]/ ～과 같이 동일시 하면, Xi 업 B2q+ 2 안에서 볼 때 FxO 은 F 가되고 ,Fx l 은 F 를 음의 수직 방향으로 약간밀어 넣 은결과가된다. X 는 수축 가능 (con tr ac ti ble) 이 므로, F C Vi 안에 있는 임 의 의 닫힌 사 슬 (c y cle) c 에 대 해 ozc = c = %가 되 는 X i의 사슬 (ch ai n) ％와 X;+1 의 사 슬 fC 를 잡을 수 있다. Hq +1 (Wr) = ffi ;H q(V;)로 생각하면, [c] E Hq (V i) C Hq +1(Wr) 은 Wr 의 사슬 Zc -fc 으로 나타내 어 진댜 F C Vi 의 닫힌 사슬 C 와, F C Vj 의 닫힌 사슬 d 에 대 해 Zc 一 fC 와 Zd - 김의 만남수를 조사할 필요가있다 .F 위에서의 사이퍼트곱을 S 로표시하고, 다양체 M 에서 의 만남수를 IM 이 라고 표시 하자.
i=}인 경우: d 를 Fx l 쪽으로 약간 민 결과를 e 라고 하자. d 대신에 e 를 사용해 계산하여도 같은 결과를 얻는다. 만남수는 lw,(Zc - z~. Ze -z ~) = lx;(Zc, Ze) +Ixi+I (z~. z~) =l k(c, e) + lk(c, e) =E lk(e, c) + lk(c, e) =E S(d, c) + S(c, d) 과같다. i =}+1 인 경우: lw,(Zc - z~. Zd -z ~) =l x;(Zc, 김) =l lc(c, d) =S(c,d ) i+ 1 =}인 경우: lw,(Zc -z ~. Zd -김 ) =f x/z~ . Zd) =l lc(c, d) =E l lc(d, c) =E S(d, c) 마지막으로 li- jl > 1 인 경우에는 Zc ―다와＿검는 서로 만나지 않 는댜 위 경우들을 모두 종합하면 원하는 결과를 얻을 수 있다. 口 정리 9.1.5. A 를 L 의 사이퍼트 행렬이라고하면, 야 .r(L) =s ig n(( l -w )A + E( I -w )AT) 이 댜 단, W =e 2rrk i /r 이 고 E =( — l)q+ I 이 다. 증명. A 를 정의하기 위해 사용된 L 의 사이퍼트 곡면을 F 라고 하고, 앞에서와 같이 F 를 이용해 만든 r 겹 가지친 덮개 공간 Wr 을 이용하여 야 .r(L) 을 계산한댜 Hq (F;C) 의 원소 v 에 대해, v(k) =v + w-ktv + · · • + w-k
로놓자.그러면 ,k=O, ... ,r-l 에 대해 v(k) 는t의 硏-고유벡터가된다. 차원 계산에 의 해, 값-고유공간 Vk 는 Vi = {v(k) I v E H1 (F; C)} 으로주어짐을 알수 있다 .U,VEHq (F;C) 에 대해, 앞에서 얻은 공식에 의해 만남곱의 값을 계산하면 원하는결과를 얻을수 있다 . D 고리동계불변량 길이가 1 인 복소수 w 에 대하여, Uw (L ) = sig n ((l -w )A + (l -w )AT) 으로 정의하자. 야 (L) 은 복소평면 위의 원점 을 중심으로 하고 반지름 이 1 인 원 S1 에서 Z 로 가는 함수로 생각될 수 있다. 정리 9.1. 6. L 이 매듭이거나q> l 인 경우,뇨와 L1 이 동계이고 w 가 뇨 ,L1 의 알렉산더 다항식의 근이 아니면 야(뇨)＝야 (Ll) 이다. 증명. Ao, A1 을 각각 뇨, L1 의 사이퍼트 행렬이라고 하자 . 앞서 8 장 에서 다루어진 바에 의하면 ,Ao , _A1 의 직합 (blocksum) 은 영동계 (null cobordan t)이댜 따라서, 두 행렬 (l-w)A0+ (l -w)A{; 와 (l _w)Al +(l _ w)A f의 직합 P 역시 영동계이다 .w 가알렉산더 다항식의 근이 아니므 로 ,P 는 정칙행렬이고 따라서 부호수가 O 이다. D 정리 9.1.7. q= 1 인 경우, W=e 2Jr k i /r 이고 r 이 어떤 소수의 거듭제곱 이면 동계인 두 고리 뇨 ,L1 에 대하여 야(뇨)＝마 (Ll) 이다. 증명 이 경우, Uw 와 야 .r 을 같은 것으로 생각할 수 있댜 N 을 Bn+3 안의 뇨을 둘레로 갖는 부분다양체라고 하고, C C sn+i x [0, 1] 을 뇨과 L1 사이의 동계라고 하자. 이때 Ni =NUC 를 Bn+i u sn+2 X [O, 1] 업 Bn+3 안의 부분다양체로 볼 수 있다. N1 을 사용하여 야 .r(L)) 을 계산하면 , 부 호수의 덧셈법칙에 의해 야 .r(L1) 은 야 .r( 뇨)와 C 를 따라 가지친 sn+2 X
(0, 1] 의 덮개공간의 부호수 s 의 합이 된다. 잘 알려진 밀너 (M il nor) 열의 응용 [M i1 68,Cha97] 중하나로 ,r 이 소수의 거듭제곱인 경우 s=O 임을 보일수있다. D 한 가지 특별한 경우로, w = -1 인 경우를 생각할 수 있다. A 가 L 의 사이퍼트 행렬일 때, cr(L) = sig n (A +Ar) 로 정의하자. -1 =e2rr i /2 이고 -l 은 어떠한 고차원 고리의 알렉산더 다 항식의 근도 아니므로, 정리 9. 1. 6,9. 1. 7 에 의해 다음 결과를 얻는다. 정리 9.1. 8. cr(L) 은 고리 동계 불변량이다. 불변 량 cr(L) 은 무라수기 (Murasu gi)와 트리 스트람 (T ri s tr am) 에 의 해 처음으로 발견되었으며, 흔히 고리 부호수(li nks ig na t u ri이 불변량이라 고 불린다. 이 책에서와 같은 고리 부호수의 기하학적 의미는 [KT 76, Kau87a] 에 잘 설명되어 있댜 이젠 일반적인 w 에 대해 생각해 보자 .w 가고리의 알렉산더 다항식 의 근이 아니 라는 보장이 없기 때문에, 아 (L) 이 고리 동계 불변량이 되 지는 않는다. 그러나, 다음과 같이 주어진 Wo 에서의 부호수의 변화량 과 평균을 생각하면 고리 동계 불변량을 얻을 수 있다. 정리 9.1.9. 임의의 Wo 에 대하여, Wo 에서 crw(L) 의 변화량 aw(L) = lim . crw(L) —li m crw(L) W ➔ WO W ➔ W0 과평균 aw(L) = ~1 ( 보t 야 (L) + w~떤 0 Uw(L)) 은 고리 동계 불변량이 다. 증명. S 망에서 유한개의 점만제외하면야 (L) 은국소적으로상수 이댜 정리 9.1. 6, 9. 1. 7 에 의해 야 (L) 이 고리 동계 불변량이 되는 w 는 S 망에서 조밀하므로, 원하는 결과가 중명된다. D
부호수 불변량의 몇 가지 성질을 아래에 나열한다. 아래 성질들은 모두사이퍼트 행렬을이용한부호수의 정의에 의해 쉽게 증명된다. 정리 9.1.10. 부호수 불변량硏는 다움과 같은 성질을 갖는다. (l) L 이 단면 고리 (sli ce l i nk) 이 면, 모든 w 에 대 해 er(L) = 0 이 다. (2) L 이 L1 과 뇨의 떨어 진 합 (d i sj o i n unio n ) 또는 연결 합 (connec t ed sum) 이 면, %(L) =f r w(L1)+CFw( Li.）이댜 (3) r 이 sn+2 의 방향을 뒤 집 는 동형 사상이 라면, frw (rL) = -fr w(L) 이 다. (4) L 의 거울상(mi rror i ma g e) 을 E 이 라 하면, frw (L') =C Fw-1(L) 이 댜 이 정리는 모두 8 를 d 로 바꾸어도 성립된다. 또한, 정리 9. 1. 6 이나 9. 1. 7 이 성립하는 w 에 대해서는 6 롤 c 로 바꾸어도 정리가성립된다. 증명. 6 가고리 동계 불변량이므로 L 이 단면 고리면 L 을풀린 고리 라고 생각할 수 있다. 영행렬 (null-ma tri x) 이 풀린 고리의 사이퍼트 행 렬이므로 ,(1) 이 증명된다 .L1 과뇨의 떨어진 합또는 연결합의 사이퍼 트 행렬은 L1, Li.의 사이퍼트 행렬의 직합을 취해 얻을 수 있기 때문 에, (2) 가 증명 된다. 또한, L 의 사이 퍼 트 행 렬을 A 라고 했을 때, rL, -L, E의 사이퍼트 행렬은 각각 一 A,AT, -AT 가 되기 때문에, (3), (4), (5) 가 증명된다. o 9.2 캐손-고돈 불변량 8 장에서 다루어진 바와 같이, 1960 년대 후반 르빈 (Lev i ne) 은 고차원 매듭동계군을사이퍼트행렬을이용하여 대수적으로기술하는 데 성 공하였다[L ev65, Lev69b]. [Lev69b] 의 결과 중 일부를 간단히 요악하 면 다움과같다:q> l 일 때 (2 q -1) 차원 매듭 K 의 동계류는그사이퍼 트행렬 A 에 의해 완전히 결정되며 ,K 가동계군의 단위원을나타내기
위한, 즉 단면 매듭이라는 것과 A 가 대수적 단면 (al g ebr ai call y s li ce) 행 렬이라는 것은 서로 동치이다. 다른 말로 하자면, 고차원 매듭 동계군 과 8 장에서 다룬 행렬 동계군은 서로 동형이다. 더 나아가 르빈은 행 렬 동계군의 원소를 완전히 결정할 수 있는 대수적인 불변량을 발견 하였다 [Lev69a]. 이런 결과들을 종합하면, 고차원 매듭 동계군의 문 제가완전히 해결되었다고말하기에 충분할것이다. 그러나, [Lev65, Lev69b] 에서 사용된 증명 방법은 1 차원 매듭에 대 해서는 적용될 수 없었다. 따라서, q= l 인 경우 매듭 동계류가 사이 퍼트 행렬에 의해 완전히 결정되는지의 여부가 많은 수학자들의 관 심사로 떠오르게 되었다. 이 문제의 답은 1975 년 캐손 (Casson) 과 고 돈 (Gordon) 에 의해 처음으로 밝혀졌다. 캐손과 고돈은 일종의 부호수 불변량을사용하여 대수적 단면사이퍼트행렬을가지는비단면매듭 을찾아내 르빈의 결과가저차원매듭에 대해서는성립되지 않음을증 명하였다. 이 절에서는캐손-고돈불변량에 대해 살펴보고,또이 불변량을이 용해 단면 매듭이 되기 위한 필요조건을 얻는 방법에 대해 알아보기 로한다. 불변량의정의 연결된 다양체 M 과 군 G 에 대해, a: 1r1(M) ➔ G 가 주어지면 이 경 우 M 이 G- 구조를 가진다고 말한다. 연결되지 않은 다양체 M 의 경우 에는, 각 연결 요소들이 G- 구조를 가질 때 M 이 G- 구조를 가진다고 말 한다. 이 런 경우, M을 G- 다양체라고 부른댜 G- 구조를 결정하는 사상 a 를 명확하게 표시하고 싶은 경우, (M,a) 와 같은 기호를 사용하도록 하겠다. 특별히, 위수 d 인 순환군 G=Zd 를 생각하자. (M,a) 가 닫힌 다양체 이면, 보디즘 (bord i sm) 군 n2n-1(Z 사가유한군이기 때문에 적당한 양의 정수 r 에 대해 G- 다양체로서 aW=rM 을 만족하는 2n 차원 Zd- 다양체
(W, /3）가 존재한댜 여기서 rM 은 M 의 떨어진 r 개의 복사본을 나타낸 다 .a 는/3와 M 을 W 로 넣는 사상에 의해 유도되는 군준동형사상과의 합성이다. a 와/3에 의해 유도되는 M과 W 의 Zd- 덮개를 각각 M과 W 라고 표시 하자. a 와 /3의 관계로부터, aW=M 임을 쉽게 알 수 있다. 1 E Zd 에 대 응되는 W 의 덮개 이동사상에 의해 유도되는 Hn(W;C) 상의 사상을g라 고 표시 하자. 鈴는 만남곱을 보존하고 f = 1을 만족하므로, Hn(W; C) 는 g의 e 211' k i /d- 고유공간 Vk(k = 0, ... , d-1) 의 만남곱에 대 한 수직 합이 된 다 .V1 위에서의 만남곱의 부호수를 s(W) 라고표시하자.또한 ,W 의 부 호수, 죽 H2(W;C ) 위 에서 의 만남곱의 부호수를 so(W) 라고 표시 하자. 기초정리 9.2.1. 두 Zd- 다양체 W 와 W' 이 oW=rM,oW=rM 을만족 한다면, (1/ r)(s(W )- so(W )) = (1/ r)(s(W')-so (W') ）이 댜 증명. V 를 둘레를 따라 rW 와 r(-W') 을 붙여 얻는 Zd- 다양체라고 하자. 보디즘 스펙트럼열 (bord i sm spe c tr al se q uence) 에 의해, 코보디즘 군에서 보디즘군으로의 사상 Q* ➔ 요 *(Z 사를 유리화하면 동형사상 이 얻어짐이 알려져 있다. 따라서, 적당한 양수 a 에 대해 av 는 요* ➔ 요 (Zd) 의 상에 포함된다. 다시 말하면, 영함수 rc1(V') ➔ {0} C Zd 에 의해 결정되는 Zd- 구조를 갖는 적당한 다양체 V' 에 대해, oU=aVU _-vVZ''d 을-= 덮 a만u개 이족들 하므을로는 ,w Z부,d -W호 다',수 양v의,체 V 성'U, 가0질 에라존 재고의한 해표다 시a.r하 (자s(.W )r-W soU(W- r)W) —'a =r ( Vs,( WaV')U- so(W')) = a(s(V) 一 so(V )) = s(V') -s o(V') 이 다. V' = dV' 이 므로, s(V') = so( V'’)이 다. D 위 기초정리로부터, a(M, a) = ~1r (s(W ) -s o(W )) 는 Zd- 다양체 (M,a) 의 불변량이 됨을 알수 있다•
위 정의에서 우리는 e2rr i /d- 고유공간을 이용하였다 . 자연스럽게 생 기는 의문점 중의 하나는 e2 짜 /d- 고유공간 대신에 e2rrk i /d- 고유공간을 이 용하면새로운불변량이 얻어지는가하는것이다.다음기초정리로부 터, e2rr i /d- 고유공간만을 생각하는 것으로도 충분함을 알 수 있다. 갑 : H1 (W) ➔ Zd 를 갑 (x) = ka(x) 로 정 의 하자 기 초정 리 9.2.2. Hn(W; C) 의 e2rrk i /d- 고유공간 위 에 서 의 만남곱의 부 호수는 W 를 ak 에 의해 결정되는 Zd - 구조를 갖는 Zd- 다양체로 생각했 을 때 e2rr i /d- 고유공간 위 에 서 의 부호수와 같다. M과 W 를 앞에서와 같다고 하자. Q에 ~=e2rr i /d 를 첨가해 얻어지는 체 Q(~)를 Z[Zd]- 가군으로 보면 꼬인 호몰로지 또는 국소 계수 호몰로 7-] H* (W ; Q(~)) = Hi C *(W ) ®z1zd1 Q(~)) 를 생각할 수 있다 . W 위에서의 만남곱을 /라고 표시하면, Q(~)－반선 형 (ses q u ili near) 인 꼬인 만남곱 S: Hn(W;Q (~)) x Hn(W;Q (~)) ➔ Q(~) 는다음과같이 정의된댜 S([x], [y]) = L l(x, gy)g, x,y E Cn(W ) gE Zd Q(~) c C 이므로, 꼬인 만남곱 S 를 C 위에서의 허미션 곱으로 볼 수 있 고 그 부호수 s' (W) 를 생각할 수 있다. 기 초정 리 9.2.3. s(W ) = s' (W) 이 다. 위 기초정리로부터 a(M,a) 는 꼬인 호몰로지를 이용해 정의될 수 도 있음을 알 수 있댜 이 방법을 따르면 Zd- 다양체 대신에 ZdEBZ- 다 양체에 대해서도 비슷한 불변량을 정의할 수 있다. M 을 (2n-1) 차원 ZdEBZ- 다양체라고 하자. 앞에서와비슷하게, 적당한자연수 r 에 대해 ZdEBZ- 다양체로서 aW=rM 을 만족하는 2n 차원 다양체 W 가 존재한
댜 Q($)에 독립변수 t를 첨가해서 얻을 수 있는 체 Q($,t)를 Z[ZdEBZ]- 가군으로 보고, 꼬인 호몰로지 H* (W ; Q($, t)) = H* (C * (W ) ®z[ZdEBZJ Q($, t)) 와꼬인만남곱 SS([:x H], n[(yW]) ;=Q ($L, t) ) xl( xH, ng (yW) g;,Q ($, t)x), y➔ E QC(n$(,W t)) gE ZdEBZ 를 마찬가지 로 정 의 할 수 있 다. Q(g, t) 위 에 서 의 위 트군 (W itt gro up ) W(Q ($, t)）를 생 각하자. 위 에 서 정 의 된 꼬인 만남곱이 주는 W(Q ($, t))의 원소를 t (W) 라고 표시 하고, Hn(W;Q ) 위 의 보통 만남곱이 표시 하는 위 트군의 원소를 t o(W) 라고 표시 하자. 넣 기 사상 Q ➔ Q($, t)를 이 용해 t o(W) 를 W(Q ($, t))의 원소로 볼 수 있다. -r(M , a) = :I ® (t(W) -t0( W)) E Q ® W(Q ($, t)) 로 정의하자. 위와 비슷하게, -r (M , a) 는 W 에 관계없이 잘 정의된댜 Q($,i)는 C(t)의 부분체이므로 , 적당한 기저를 택하면 이 렇게 정의 된 꼬인 만남곱으로부터 C(t)상의 반선형 행렬을 얻을 수 있다. 다음 과 같이 t에 적당한 값을 대입하여 꼬인 만남곱의 부호수를 정의할 수 있다. A(t) =( aij(t))가 aij (t) =굽 衍울 만족하는 C(t) 위 의 행 렬 이 라 하자. 단, -는 C 의 공액 (conj u g a ti on) 과 f= t -1 으로 정의되는 C( t)상의 표준 공 액을 나타낸댜 a ij(t)를 기약분수꼴로 쓰고, w 의 길이가 1 이며 어느 a ij(t)의 분모에 대 입 하여 도 0 이 아닌 복소수라고 하자. 그러 면 t에 w 룰 대입하여 복소 허미션 행렬 A(w) 를 얻을 수 있다. 이 행렬의 부호수를 Sw(A( t))라고 표시 하자 . 만약 w 가 어 떤 a ij(t)의 분모의 근이 라면 Sw(A(t) ) = 紅 ( ZE쁜 sz( A (t) ) + z~떤 ~ sz( A (t) ))
라고 정의하자. 이렇게 하면 ,P( t)의 행렬식이 0 이 아닌 행렬이고 A( t)= P (t )B( t)福 T 룰 만족시 킬 때 모든 w 에 대 하여 Sw(A( t)) = Sw(B( t)）가 된 다. 따라서, C (t)가군상의 반선형 곱에 대해서 ％가 잘 정의된다. M과 W 가 앞에서와 같을 때, Sw(W)=Sw(D 로 정의하자. 여기서 S 는 Hn(W;Q ( $,l)) 위에서 정의된 꼬인 만남곱을 나타낸댜 또한, 6IV( M , a) = -rI ( %(W) -So(W)) 와 같이 정 의 하자. aw(M, a) 는 T(M, (X)에서 t에 w 를 대 입 한 결 과라고 볼 수있댜 M 이 a 에 의해 결정되는 ZdEBZ- 구조를 가지는 경우 ,a 와사영 Zdf fi Z ➔ Zd 를 합성 하여 얻 게 되 는 사상 a : rr1 (M) ➔ Zd 를 이 용해 M을 Zd- 다양체로볼수 있다.이때 아래와같은근사식을 얻는다. 보조정 리 9.2.4. la1 (M, a) - a(M, &)| 츠 dim Hn(M; Q($)）이 댜 그리 고, -r(M , a) = 0 이 면 |a(M, a)I 츠 d i mHn(M; Q($)）이 댜 한편, 많은 경우에 a(M,a) 의 값을 정확하게 계산할 수 있다 . 캐손 과 고돈은 특수한 꼴의 커비 다이어그램으로 주어진 3 차원 다양체 M 에 대하여 불변량 a(M,a) 를 계산하는 방법을 제시하였다 [CG78]. 길머 (G i lmer) 는 캐손과 고돈의 방법을 아래와 같은 형태로 일반화하 였다 [G il 81]. 정리 9.2.5. 3 차원 다양체 M 이 틀고리(fr amed li nk)L 에 의해 표시되 는커비 다이어그램으로나타낼수있다고하자 .L 의 각성분을 L i로표 시 하고, A = (a iJ)를 aI) = {L냐 i와 L틀 수i의( f걸ra림m수i ,n g ), ii =cjjj 로 주어지는 L 의 걸림 행렬(linki n g ma tri x) 이라고 하자. a: rr1(M) 수 Zd7} M 상의 Zd- 구조를 주는 전사 준동형사상이 라고 하고, L; 의 걸림
수 +1 인 횡선의 a 에 의 한 상을 r; (mod d)라 하자. L i의 a i r 틀을 기준으 로하I~여:: ::: ::[::l-7 : 와 -L1 의 나란한 복사본 하나, 二。。 一 L; 의 나란한 복사본 -r 가 , rj < 0 로 대치해서 얻을 수 있는 고리를 L' 이라고 하자. 이때 (M,cx) 에 대한 불변량 c 의 값은다음과같다. a(M, a) = ae21r;;d(L1) -sig n (A) + 12(d 一 s/)s ~ r;rja iJ ij 매듭에의응용 K 를 S3 안의 1 차원 매듭이라고 하자 .K 를 따라 S3 을 가지친 n 겹 덮개 를 M거 라고 표시하자. x: H1(Mn) ➔ Z전] 대해, a(K,x)=a(Mn,X) 로 정의한다. 캐손과고돈은 K 가 리본 매듭이 되기 위한다음과 같은 필 요조건을발견하였다. 정리 9.2.6. 만약 K 가 리본 매듭이고 n 이 소수의 거듭제곱이면, 적 당한 자연수 m 에 대 해 |H1 (Mn)I =m %l ct. 또한, 만약 x 가 O 이 아니 고 d 가 m 의 약수이면 a(K,x) ＝士 l 이댜 K 의 영틀을 따라 S3 을 수술 (sur g e ry)해서 얻은 닫힌 다양체를 N 이라 고하자 .H1(N)~H1(S3-K) 얼 Z ➔ Zn 에 의해 유도되는 N 의 n 겹 덮개 공간을 Nn 이라고 표시하자. 이때 H1(Nn)=H1(Mn)EBZ 임을 알 수 있다. 주어진 x: H1(Mn) ➔ Zd 에 대해, r(K,x)=r(Nn,XEB1) 로 정의한다. 여 기서 XEB 1 : H1( lvi사 엌 H1(Mn)EBZ ➔ ZdEBZ 이다. 비슷하게, a1(K, x) = 이 (Nn, xEB 1) 로 정 의 한다. 9.1 에서 이용한방법과비슷하게 무한순환덮개에 대한밀너의 호 몰로지 완전열을 이용하면 H.(Mn; Q )=H.(S 러Q)임을 알수 있다. 따라
서,걸림곱 J..: H1(Mn) x H1(M 사 ~ Q/ Z 가다음과 같이 정의된다 .c,d 가 Mn 의 닫힌 1 차원사슬이면, 적당한양 수 a 에 대 해 ou = ac 를 만족하는 2 차원 사슬 u 가 존재 한다. 이 때 J..(c , d) = U.d 이댜 단, 는 만남수를 나타낸다. 리본 매듭의 경우와 비슷하게, 캐손과 고돈은 K 가 단면 매듭이 되 기 위 한 다음과 같은 필요조건을 발견하였다. 정리 9.2.7. 만약 K 가 단면 매듭이고 n, d 가 소수의 거듭제곱이면, J..( G x G) = O 을 만족하는 Hi (Mn) 의 적 당한 부분군 G 가 존재 하여 x(G) = 0 인 모든 x 에 대해 r(K,x)=O 이 된댜 a(Mn,X) 와 a(Nn,(x ffi1)-)의 관계를 살펴보고 정리 9.2 .4를 적용하면 다음 근사 관계를 얻는다. 정리 9.2.8. |이 (K,x)-a(K,x)I ::: 1 이댜 특히, r(K,x)=O 인 경우에 는 |a(K, x)I ::: 1 이 댜 따름정리 9.2.9. 만약 K 가 단면 매듭이고 n, d 가 소수의 거듭제곱 이 면, J..( G x G) = O 을 만족하는 H1(Mn) 의 적 당한 부분군 G 가 존재하여 x(G) = 0 인 모든 x 에 대해 |a(K, x)I ::: 1 이 된댜 캐손과 고돈은 정리 9.2.6, 정리 9.2.7, 따름정리 9.2.9, 정리 9.2.5 를 이용하여 그림 6.13 의 매듭 K 가 n=/0,2 인 경우 리본 매듭이나단면 매 듭이 아님을증명하였다. 만약 n=u(u-1) 의 꼴이면 ,K 의 사이퍼트 행렬이 대수적 단면 행렬 이댜이 경우사이퍼트행렬로는 K 와풀린매듭을동계로구분할수 없다. n=O 인 경우 K 는 풀린 매듭이고 ,n=2 인 경우 K 는 하역인부 매 듭 (s t evedore's kno t)으로서 모두 리 본 매 듭이 고 따라서 단면 매 듭이 다. 한편, 길머 (G il mer) 는 사이퍼트 행렬조건에 이은 두번째의 단면 매 듭에 대한 필요조건으로서 캐손-고돈 불변량을 이해할 수 있음을 다 움과같이 제시하였다.
F 를 1 차원 매듭 K 의 사이퍼트곡면이라하고 ,0 를 F 위에서 정의된 사이퍼트곱이라 하자. H i (F) 의 기저 e; 를 잡고, {e;) 를 사용해 정의된 사이퍼트 행렬을 A 라고 하자. e;®r 을 e; 를 r 로 보내는 사상으로 보면, H1(F)® Q /Z 를 Hom(H1(F), Q /Z) 와 동일시할 수 있다 .A+AT 가 K 를 따 라가지친 S3 의 두겹 덮개공간 M2 의 1 차원호몰로지의 표현 행렬이 됨 은 잘 알려져 있다. 따라서, Hom(H1(M2), Q /Z) 를 Hom(H1(F), Q /Z) 의 부분군으로 생각할 수 있다. 즉, H1(F)® Q /Z 의 원소가 기 저 {e,) 를 이 용해 벡터 v 로 표시되었을 때, v 가 Hom(H1(M2), Q /Z) 의 원소 를 나타 내기 위한 필요충분조건은 (A+AT)v=0 이 성립되 는 것이다 . C 를 (A+ AT)v=O 이고 소수의 거듭제곱 위수를 갖는 Hom(H1(M2), Q /Z) 의 원소 를나타내는모든 v 의 집합이라고하자. 정리 9.2.10. 만약 K 가 단면 매듭이면, 2dim H = d i mH1(F) 를 만족 하는 적당한 H i (F) 의 부분군 H 가존재하여 0(HxH)=0 이고 모든 X E Cn(H® Q /Z) 에 대하여 r(K,x)=O 이댜 이 정리는단면 매듭에 대한르빈의 사이퍼트 행렬조건으로부터 캐 손-고돈 불변량 조건을 적용하기 위해 사용될 x 를 어떻게 얻을 수 있 는지 보여주고있다. 9.3 여러 가지 동계성 8 장에서 다룬바와같이 매듭동계군의 구조가밝혀진 이래,어떻게 매듭 동계의 분류 결과를 고리에 대하여 일반화할 수 있겠는가 하는 문제가관심사로대두되었다. 처음으로고리 동계 문제가연구되기 시 작하던 때에는, 임의의 고리가각성분의 떨어진 합 (split un i on) 과동계 일 것이라고 믿어졌었다. 즉, m 개의 성분을 갖는 고리들의 동계류 집 합은 매듭 동계군 m 개의 직합과 같을 것으로 추정되었다. 만약 그 추
정이 사실이라면, 고리 동계 문제는 결국 매듭 동계에 대한 연구로 귀 착될것이다. 그러나, 이 추측은 사실이 아님이 곧 알려지게 되었다 . [CS80] 에서 카펠 (Ca pp ell) 과 샤네슨 (Shaneson) 은 호몰로지 수술 이론을 이용하여 F'- 고리 들 의 Fm- 동계류를 완전히 분류할 수 있는 불변량을 찾아내었 고 , 이 를 가환화하여 얻는 고리 동계 불변량을 이용하여 위 추측에 대 한 반례를 찾아냈다. 이어서, 고기형 [Ko87] 과 듀발 (Duval) [Du v86] 등 은 사이퍼 트 행렬 또는 브랜치필드 (Blanch fi eld) 곱과 같은 도구들을 이용하여 F' －고리 들 과 둘 레고리들을 해당 범주 내에서의 자연스러운 동계로 완전히 분류 하였다. 이 결과들은 8 장에서 자세히 설명되었다. 둘 레고리의 동계류에 대한 여러 가지 사실이 잘 알려지게 되자. 모 든 고리가 각 성분의 떨어진 합과 동계적이라는 추측을 대신하여 다 음두가지 문 제가대두되게 되었다 . (l) 모든고리가둘레고리와동계적인가? (2) 두둘레고리가동계적이면 항상둘레고리 동계적인가? 이 두 문제의 답이 긍정적이라면, 고리 동계 문제의 연구는 둘레고 리 동계의 연구로귀착된다. 이 두질문의 답은오랜동안긍정적일 것 으로 추측 되 어 왔으나, 최 근 커 크란 (Cochran) 과 오어 (Orr) 에 의 해 첫 번 째 문제의 답이 부정적인 것으로 밝혀졌다 [C090,C093]. 이 결과에 대하여 알아보기 전에, 먼저 둘레고리와동계적이기 위한필요조건들 을 얻기 위해 사용되는 몇 가지 고리 동계 불변량에 대해 살펴보자. 고리동계불변량 1 차원고리의 경우,가장처음으로고려되어야하는불변량은아마 도 밀너 (M il nor) 의 µ-불변량일 것이댜 정리 9.3.1. 임의의 호몰로지 둘레고리의 부분고리에 대해,모든jl 불변량은 0 이댜
증명. 고리 L 의 모든 il불변량이 0 이 되는 것과 각 고리 성분의 종 선을 나타내는 원소 A; E rr1(S3 -L) 이 모두 rr1(S3-L)w 에 포함되어야 한다는 것은 서로 동치이다. (Fm )w = {l} 이므로, L 이 호몰로지 둘레고 리인 경우 전사사상 rr1(S3-L) ➔ Fn’ 의 핵 (kernel) 은 rr1(S3-L)w 가 된 댜 그런데, 6 장에서 다룬 호몰로지 둘레고리의 Fm- 덮개를 만드는 방 법으로부터, 걸림수 0 인 L 의 각종선 A i가모두 Fm- 덮개로울려짐을 알 수 있댜 그러므로 L 의 모든 il-불변량이 0 이다. 따라서 L 의 임의의 부 분고리도 L 과같은성질을갖게 되고,이로부터 정리가증명된다. D 한편, 고차원 고리와 1 차원 고리 모두에 대해서 적용할 수 있는 몇 가지 불변량들이 사토 (Sa t o), 르빈 (Lev i ne) 그리고 오어 등에 의해 알려 져 있다. 먼저 이돌 불변량들의 정의와 성질들에 대해서 간략히 살펴 보기로하자. L 을 m- 성분 n- 차원 고리라고하자. 만약 n=l 이면 ,L 의 각성분의 걸 림수가 O 이라고 가정하자. 이때 8Vi 가 L 의 i번째 성분이 되고 Vm8Vj= 0(i # j) 를 만족하는 sn+2 안의 적 당한 부분다양체 V1 , ... , Vm 이 존재 한 다. 적 당한 동위 를 행 함으로써 , v i들이 접 하지 않고(tr ansversall y int e r - sect) , ~돌의 교집합이 어떤 (n-m+2) 차원 닫힌 부분다양체 V 가 된다 고 가정 할 수 있다. vi 들의 수직 방향에 의 해 V 의 수직 다발상의 틀이 유도되 고, 이 틀을 따라서 톰-폰트리 야긴 (Thom-Pon trygi n) 조작을 행 하면 7rn+2csm) 의 원소/3 (L) 을 얻을 수 있다. 이 렇게 정의되는 /3（ L) 을 L 의 사토-르 빈 불 변 량 (Sa t o-Lev i ne i nvar i an t)이 라고 부른다 [Sat8 4 ]. {3 (L) 은 잘 정의되는 고리 동계 불변량이라는 사실이 알려져 있다. 한편, 둘레 고리 L 에 대해,서로 만나지 않는각성분의 사이퍼트곡면을 택할수 있으므로, {3( L) = 0 이 된다는 사실을 쉽 게 알 수 있다. 일반적 인 1 차원 고리에 대해서. {3 (L) 은 0 아닌 값을 갖는다. 실은, {3 (L) 이 특정한 µ-불 변량과 같다는 사실이 알려져 있다. 또한, n > 1 인 경우에 대해 항상 {3 (L)=0 임이 오어에 의하여 증명되었다.
한편, 오어는 다음과 같이 고리 동계 불변량들의 수열을 정의하였 다 . 고리 L 에 대해, rr=rr1(S3-L) 로 표시하고 각 성분의 적당한 횡선 /1,i E rr 를 선택하자. 스톨링 (S t a lli n g)의 정 리 [Sta 65] 에 의 해, m 개의 자유 생성자를 갖는 자유군 F 의 i번째 생성자를µi로보내는사상 F ➔ r 는 아래 중심 열 나눔군 Fk 에 의 한 몫군을 취 했을 때 동형사상 F/Fk ➔ rr/rrk 를 유도한댜 따라서, L 의 바깥 (ex t e ri or) 에서 아일렌버그-맥클레 인 공간 (E il enber g -MacLane sp a ce) K(F/Fk, 1) 로의 사상을 얻을 수 있 댜 Kk . m· 을 사상 K(F, 1) ➔ K(F/Fk, 1) 의 사상기둥 (ma ppi ng c yli nder) 이 라고 하면, 위 사상을 확장하여 새로운 사상 sn+2 ➔ Kk , m 을 얻을 수 있 댜 이 사상이 나타내 는 1Cn+2(Kk . m) 의 원소 0k(L) 을 L 의 오 어 불 변 량 (Orr i nvar i an t)이 라고 부른댜 /1,J,· ·· ,/1, m 을 고리 L 의 각 성분의 횡선이라 하자. 이때 (L,{µ i}）를 기 저고리 (based l i nk) 라고 부른다. 오어 불변량은 기저고리의 불변량이 되지만, 횡선 µi의 선택에 따라 달라지는 값을 갖는다. 많은 경우 기 저고리의 불변량으로부터 고리의 불변량을얻는것은그리 어렵지 않 댜 횡 선 佑들의 선 택 에 는 F 상의 생 성 자 공 액 동형 사상(g enera t or con- jug at i ng au t omo rp h i sm) 들의 작용궤 도만큼의 여 지 가 있으므로, 이 작용 울 법으로 하는 기저고리 불변량의 값을 생각해 내면 고리의 불변량 을 얻게 된다. 오어 불변량의 경우 ,1Cn+2(Kk,m) 을 F 상의 생성자공액 동 형사상들의 작용으로나누어줌으로써 이러한고리 불변량을얻을수 있댜 또한, F/Fk 대 신 에 F 의 멱 영 완비 (nil po te n t comp le ti on ) F = I+ µ--n- F /Fk 를 사용하고 Koo,m 을 사상 K(F, 1) ➔ K(F, 1) 의 사상뿔이 라고 정 의 하면, 위와 같은 과정을 똑같이 반복할 수 있다. 이렇게 얻은 1Cn+2(Koo,m) 의 원소를 000(L) 로 표시 한다. n> l 인 경우,오어 불변량역시 항상 0 이라는사실이 커크란에 의해 증명되었다 [Coc87]. 또한, n= l 인 경우, 모든 유한 침수 오어 불변량 ok(L) 이 0 이 되 기 위 한 필요충분조건은 모든 fl-불변량이 0 이 라는 것 임
이 증명되었다 [Coc87]. 결국, 오어 불변량 중 000(L) 만이 의미있는 새 로운 불변량으로 남게 되 었다. 밀너의 B- 불변량과 위에서 다룬 오어 불변량 0k(L) 의 정의를 살펴 보면, 스톨링의 정리 [S ta 65] 가 매우 중요한 역할을 하고 있음을 알 수 있댜 스톨링의 정리로부터 횡선사상 F ➔ Jr =n1(sn+2-L) 이 동형사 상 F/Fk ➔ 1r/1rk 를 유도하게 되 고, 합성 Jr ➔ n/k ➔ F/Fk 를 통해 종선 들을 보내면 밀너의 fl-불변량을 얻게 된다. 또한 이 합성사상의 적당 한 확장이 나타내는 7rn+2(Kk,m) 의 원소를 취하면 오어 불변량 0k(L) 을 얻는다 .F ➔ F/Fk 대신에,스톨링 정리의 결론과비슷한성질을갖는 다른 군을 사용하여도 위와 같은 방법으로 고리 불변량을 얻을 수 있 댜 르빈은 F/Fk 대신에 F 의 대수적 닫힘 (al g ebr ai c closure) 을 사용하 여 fl-불변량, 오어 불변량과 비슷한 불변량을 얻을 수 있음을 보였 다 [Lev89b, Lev89a]. 군의 대수적 닫힘에 대해 간략히 살펴보도록 하자. G 룰 군이라 하 고, W1, ... ,Wn 을 F(xi, ... ,%）으로의 사영을 취했을 때 l 이 되는 G* F(x1, ... ,Xn) 의 원소들이라고 하자. F(xi, ... ,Xn) 은 생성자 X1, ... ,Xn 에 의해 생성되는자유군이다 .X i를 G 상의 미지수로보면 Xi = Wi (X 1 , ... , Xn) (i = 1, ... , n) 을 G 상의 연립방정식으로 생각할수 있다.gj EG 에 대해, 단어 w i에 나 타나는 각각의 Xj 대신에 gj를 대입하여 G 안에서 계산하면 G 의 원소 w;(g 1 ,•·· ,8n) 을 얻는다. i= 1, ... ,n 에 대해 ,8 i =W;( g 1, ••• ,8n) 이 만족되 면 {g1 , ... ,g사울 위 연립방정식의 근이라 부른다. 위와 같은 모든 연 립방정식에 대해 유일한근이 항상존재하는경우 G 를 대수적으로 닫 혀 있 다 (al g ebra i cally closed) 고 한댜 다음 정 리 의 G 를 G 의 대 수 적 닫 힘 (alge braic closure) 이 라고 부른다. 정리 9.3.2. ([Lev89b,Lev89a]) 임의의 군 G 에 대해,다음과같은보 편성 질 (uni versal p ro p e rty)을 갖는 대 수적 으로 닫힌 군 G 와 군준동형 사
상 i: G-+ G 가 항상 존재한다: 임의의 대수적으로 닫혀 있는 군 H 와 군준동형사상}: G-+H 에 대해 ,h i=}를 만족하는 유일한 군준동형사 상 h : G-+H 가존재한다. F/Fk 대신에 F 를 사용하여 밀너의 B- 불변량을 다음과 같이 일반화 할 수 있다. 르빈의 정리 [Lev89b,Lev89a] 에 의해, 임의의 고차원 고리 L 에 대해 생성자를 고리 L 의 횡선으로 보내는 사상 F--+ rr=rr1( S +2 一 L) 은 군동형사상 F--+ ir를 유도한다. 또한, 1 차원 호몰로지 둘레고리 의 부분고리 에 대해서도 같은 동형사상이 유도된다. 합성사상 r --+ fr--+ F 에 의한 i번째 종선의 상 W i는 (기저)고리 동계 불변량이 된다. k= 1,2, ... ,oo 에 대해 F/Fk 는 대수적으로 닫혀 있음이 알려져 있다. 따라서, 사상 ft--+ F/Fk 가 유일하게 존재한다. 사상들은 모두 가환적 이 므로, F--+ F/Fk<> ll 의 한 W i의 상은 µ-불변량이 된다. 오어 불변량 역시 비슷한 방법으로 일반화될 수 있다. K(F, 1) 수 K(F, I) 의 사상뿔을 k군 ]라고 하면, 사상 T(-+ fr수 F 로부터 L 의 바 깥에서 K(F, 1) 로의 사상이 얻어진다. 이의 적당한 확장 sn+2-+ Km 이 나타내 는 T( n+2( 內의 원소를 0(L) 이 라고 표시 하자. 0(L) 은 모든 고차원 고리와 W i =0 인 모든 1 차원 고리에 대해 잘 정의되는(기저)고리 동계 불변량이 된다 [Le v89b, Lev89a]. 0(L) 이 0 아닌 값을가질 수 있는지의 여부는아직 알려져 있지 않다. 1 차원 고리 L 이 호몰로지 둘레고리의 부분고리와동계적이라는 것과, wi, 0(L) 이 모두 0 이라는 조건이 서로 동치임이 알려져 있기 때문에, 0(L) 이 항상 0 이더라도우리는 의미있는 결과를 얻게 된다. 결론적으로,고차원고리의 경우현재까지 알려져 있는불변량들이 아무런 실용적인 정보를 주지 못하며, 또한 1 차원 고리의 경우 i-불 변량 이상의 실용적인 도움을 주지 못한다. 따라서, 과연 모든 고차 원 고리돌, 그리고 L- 불변량의 값이 0 인 모든 1 차원 고리들이 우리가 보다 잘 이해할 수 있는 둘레고리들과 동계적인가 하는 문제가 주된 관심사로 떠오르게 되었다 . 앞에서 말한 바와 같이, 1990 년대초 커크
란과 오어가 브랜치필드곱을 이용하여 이 질문에 대한 답이 부정적 이라는 것을 증명하였다 [C090, C093]. 또한, 길머 (G il mer) 와 리빙스 턴(Li v i n g s t on) 은 캐손-고돈 불변량을 이용하여 같은 결과를 증명하는 데 성 공하였다 [GL92]. 그리 고 [Cha96] 에 서 는 유리 계 수 구 안의 부호 수 불변량을 이용해 같은 결과를 증명하였다 . 커크란과 오어의 결과 를 부호수 불변량을 이용해 어떻게 증명할 수 있는지 [Cha96] 의 접근 방법을 따라 살펴보기로 하자. 유리계수 호몰로지구에서의 고리 부호수 9.1 에서 다룬 일반적인 구 안에서의 고리 부호수의 정의를 되새겨 보면, 사이퍼트 곡면의 존재성이 중요한 역할을 하고 있음을 알 수 있다. 제약 이론 (obs tru c ti on th eo ry)과 횡단성(tr ansversa lity)을 이용한 사이퍼트 곡면의 존재성 중명(제 6 장 참조)을 다시 한번 간략히 살펴 보자: 쌍대성에 의해, 고리 L 의 바깥 EL 의 호몰로지 H i (EL) 은 횡선 {µi}를 기저로 하는 가유 가환군이 된다. µi를 l 로 보내는 준동형사 상 H i (EL) ➔ Z 로부터 연속사상 EL ➔ s1 을 얻을 수 있고 적당한 정규 값 (re gu lar value) 의 역 상을 취 하면 aF = L 이 되 는 사이 퍼 트 곡면 F 를 얻 는다. 이 증명은 임의의 호몰로지 구 안의 고리에 대해서도 잘 적용된 다. 그러나 L 이 유리계수 호몰로지구 E 안의 고리인 경우에는 상황 이 약간 달라진다. L 이 m 개의 성분을 갖는 n 차원 고리라고 하자. 역 시 쌍대성에 의해, 횡선 {µi}는 H i (EL; Q)의 기저가 되고 (H i (EL)/ 유 한위수원소)는 자유 가환군 zm 과 동형이 된다. 그러나, 일반적으로 {미가 (H i (EL)/ 유한위수원소)의 기저가 되는 것은 아니다. 적당한사 상
의 성분을갖는다.위 사이퍼트곡면존재성 증명과같은방법으로,아 래의 정리를증명할수있다 . 정리 9.3.3. ([Cha96]) c 가 c(L) 의 배수라는 조건과 BF= i c(L) 을 만족 하는 E 의 부분다양체 F 가존재한다는조건은서로동치이다. 특히, BF=L 을 만족하는 곡면 F 가존재한다는 것과 c(L)= I 이라는 조건은 서로 동치이다. 이들 조건이 만족되면 L 을 원시(pri m iti ve) 고리 라고부른다. 이 경우 , F 의 수직 방향을 따라 잡은 r 개의 F 의 복사본의 합집합을 i rF 라고 표시하면, i rF 는 i rL 의 사이퍼트 곡면이 된다. L 이 4s+l 차원 고리이고 ,A 를 F 상에서 정의된 사이퍼트 곡면이라고 하면, rxr 개의 부분행렬로 이루어진 다음 행렬
.A A A ···
는 i rF 상에서 정의되는 i rA 의 사이퍼트 행렬이 된다. 다음 대수적인 결과는유리계수호몰로지구 안의 고리에 대해 부호 수 불변량을 정의하는 데 중요한 역할을한다 .9.1 에서와비슷하게,유 리계수정방행렬 A 에대해 r4,( A) = sig n (( I -ei4' )A + ( I —e- i4') A T) Co(A) = ¢lim伊 T¢(A) _ ¢fuon- r¢ (A) 로정의하자. 정 리 9.3.4. ([Cha96]) 모든 O 와 r 에 대 해 , U( J(irA ) = O'r(J (A) 이 다. 유리계수호몰로지구 E 안의 고리 L 에 대해,i cL 이 원시적이 되는(죽 c(L) 의 배수인) 적당한 양의 정수 c 를 잡는다 .A 를 i cL 의 사이퍼트 행렬
이 라고 하자. 이 때 L 의 부호수 불변 량을 야 (L) = u0;c(A) 와 같이 정 의 한 댜 유리 계수 호몰로지 구 I:o, I:1안 의 고리 Lo, L1 에 대 해, aw = I:1 - I:o, C 흑 lo x [0, l], H*(W;Q ) ~ H*(sn+2;Q ), H*(W, I:o; Q ) =H *(W, I:o; Q ) = 0 이고 C 의 i번째 성분의 둘레가 _Lo 와 L1 의 i번째 성분의 합집합이 되 는 적당한다양체쌍 (W, C)가존재하면, 이 경우 Lo 와 L1 이 동계적이라 고한다. 정리 9.3.5. ([Cha96]) u0(L) 은 고리 동계 불변량이다. 증명 (W, C), lo, L1 이 위 와 같다고 하자. 두 양수 Co, C( 에 대 해 ico lo, i c1L1 가원시적이라고 하고 ,Ao,A1 을 이들 두 원시고리의 사이퍼트 행 렬이라고하자.고리의 경우와같은방법으로,동계 C 의 복잡도 c 롤정 의할 수 있다. 그러면, CCoC1 은 C, CQ , C J의 공배수이므로 !cc1Ao, lcc1Ao 는 각각 icco cil o, i ccoc i L1 의 사이퍼트 행렬이 된다. icco cil o, icco ciL 1, C 가 모 두원시적이므로,보통구안의 고리에 대한 9.1 의 층명 방법을그대로 적용하여 (10 Ucc1Ao)=u0Ucc0A)) 임을 증명할 수 있다. 정리 9.3 .4에 의해, u0(lo) = u0;c0(Ao) = (19 /cc0c1 Ucc1Ao) = C10/ccoc1 UccoAI ) = C10/c1 (AI ) = C19(L1 ) 을얻는다. □ 이렇게 정의되는유리계수호몰로지구안의 고리 부호수불변량은 9.1 에서 다룬 보통 구 안의 고리 부호수 불변량의 일반화이다. 또한, 9 .1에서 다룬 대부분의 성질들이 그대로 성립한다. 한 가지 다른 점이 있다면,유리계수호몰로지구의 경우부호수 cro(L) 의 주기는 일반적으 로 2 rt c(L) 이 된다는 것이다. 보통 구의 경우, 항상 c(L) = 1 이므로 주기 는 2 rt가된다. 정리 9.3 .4의 한 가지 응용으로써, 모든 고리가 각 성분의 떨어진 합 (s plit u ni on) 과 동계 적 이 지 는 않다는 사실을 증명 할 수 있다.
정리 9.3.6. ([Cha96]) K 가 매듭 동계군에서 무한 위수를 갖는(1차 원 매듭의 경우, 대수적으로무한위수를 갖는) 매듭이면,모든 r 츠 2 에 대해 i rK 는 매듭의 떨어진 합과 동계적이지 않다. 증명 K 가 대수적으로 유한위수를 갖지 않는댜 르빈 (Lev i ne) 의 결 과 [Lev69b, Lev69a] 에 의 해 %(K) -:/ 0 이 되 는 최 소의 0o > 0 을 잡을 수 있댜 만약 i rK 가 적당한 r 개의 매듭의 합과 동계적이라면, 각 매 돕은 다시 K 와 동계적이므로 co( i r K) =Co( K)가 성립된다. 그런데, 정 리 9.3 .4에 의해 0 = G%/r(K ) = %/r(irK ) = Go。(K) 引 0 가되어 모순이다. □ (호몰로지) 둘레고리의 덮개고리 소수p에 대해 ,E 가 Zp -호몰로지구이고 K 가 E 안의 매듭이라면 ,K 를 따라 가지친 E 의 广겹 순환 덮개는 다시 Z p-호몰로지구가 됨이 알려 져 있다 [CG78]. 그러므로그: 안의 고리 L 에 대해 ,L 의 적당한한성분 K 를 따라 가지친 덮개 공간 i와 L-K 의 역상 L 을 생각하면 다시 Zp - 호몰로지구 안의 고리 (i ,L) 을 얻게 된다. 이 과정을 반복하여 새로운 고리를 얻을 수도 있다. 이 렇게 얻은 고리 L 을 L 의 덮개고리 (cove ri n g li nk) 라고 부른다. 이 방법 을 sn+2 안의 고리 L 에 적 용하면 L 로부터 유 리계수 호모토피구 안의 고리를 얻을 수 있다. 비슷하게, 두 고리 사 이의 동계에 대해 가지친 덮개공간을 취해서 얻는 덮개동계를 생각할 수도있다,두고리 사이의 덮개동계는덮개고리 사이의 동계가된다. L 이 둘레고리인 경우, 각 성분을 둘레로 갖는 떨어진 사이퍼트 곡 면 E 는 모두 i로 울려짐을 쉽게 알수 있다. 따라서, 덮개고리 L 역시 둘레고리가된다.둘레고리는항상원시적이므로, 임의의 둘레고리의 덮개고리 L 은 항상 원시적이고, 따라서 co(L) 은 주기 2rr 를 가짐을 알 수 있댜 co(L) 은고리 동계 불변량이므로,다음정리가중명된다.
정리 9.3.7. ([Cha96]) 만약 L 이 둘레고리와 동계적이면, L 의 임의 의 덮개고리 L 의 부호수 6()(L) 은 항상 주기 2rr 를 갖는다. 매듭J에 대해 커크란과오어에 의해 제시된 다음고리 L(m, J)를 생 각하자. L(m, J)의 한 성분 Ko 는 겹쳐붙이기(p lumb i n g) 조작에 의해 만 들어진 고리로 볼 수 있다. Ko 는 0- 손잡이 한 개와 1- 손잡이 한 개, n- 손 잡이 한개로이루어진사이퍼트곡면 F 의 둘레이다 . l- 손잡이와 n- 손 잡이의 핵 (core) 은 각각 H1(F),Hn(F) 의 생성자 x, y를 나타내며 ,F 의 양 의 방향을 따라 X 를 약간 밀어 얻는사슬 x+ 와y의 걸림수는 m 이다. 한 편 F 의 n- 손잡이를 따라 매듭J가 감겨져 있고, l- 손잡이와 K1 의 걸림 수는 1 이다. 정리 9 . 3.7 을 이용하면 다음 결과를 증명할 수 있다 .
그림 9 . 1
정 리 9.3.8. ([C090, C093, GL92, Cha96]) m =I 0, I 이 고, J가 매 듭 동계군에서 무한 위수를 갖는 (1 차원 매듭의 경우 대수적으로 무한 위 수를갖는)매듭이면 ,L(m, J)는둘레고리와동계적이지 않다. 한편, L 을 n 차원 호몰로지 둘레고리라 하고, ¢롤 1r1(EL) 에서 자유 군 F 로의 전사준동형사상이라고하자. 편의상 ,L 이 두 개의 성분 Ko,
K1 을 갖는다고 가정하자 . 6 장에서와 같은 방법으로 사상 ¢로부터 횡 단성 (tr ansversal ity)에 의 해 El 안의 서 로 만나지 않는 두 곡면 Fo, F1 이 얻어진댜 Hn(OEL) 에서 oF; 와 K i가 같다고 가정할 수 있다. Ko 를 따라 S 쿄를 가지쳐 얻어지는p겹 순환 공간을 E 라고 표시하 쟈氏의 역상은 K1 과동형인p개의 성분으로구성되며,각성분은 덮 개 변환군 Z p의 원소들과대응된다 .K1 의 역상성분중i EZp 와대응 되는 것을 K; (i= 1, ... ,P) 로 표시하자 .Fo 와 F1 이 서로 만나지 않기 때 문에 ,F1 은 E 안의 곡면 F' 으로울려질 수 있다 .F' 의 둘레의 각성분은 Ko 의 역 상의 관상근방 U 의 둘레 또는 어 떤 K;;? .l 관상근방의 둘레 위 에 놓여 있다. 그런데, 0F1 이 Hn(oEL) 에서 K1 과 같기 때문에 , U 안에 놓 여 있는 적당한 개수의 S x [O, 1] 을 F' 에 둘레를 따라 붙여서 어떤 정 수 Cj 들에 대해 p oF=L= LJi9K j j= I 를 만족하는 곡면 F 를 얻을 수 있다. 따라서, 고리 L 은 원시적이고, a0(L) 은 주기 27r 를 갖는댜 한편, Cj 는 ¢에 의해 정해지는 L 의 유형자 (pa tte r n) (ro,r1) 에 의해 결정된다. '1=nx0? 갑 k 과같이 나타내면 , Cj = L bk llk=j modp 와 같이 주어진다 [Cha96]. 위 관찰들로부터 아래 정리를 증명할 수 있다. 정리 9.3.9. ([Cha96]) (r;) 이 주어진 유형자이고,J를 매듭동계군에 서 무한위수를갖는 (n=1 인 경우 대수적으로무한위수를갖는) 매듭 일 때, |m| 이 충분히 크면 L(m, J)는 유형 자 (r;) 를 갖는 어 떠 한 호몰로 지 둘레고리와도동계적이지 않다.
9.4 n· 불변량 이 절에서는 르빈 (Lev i ne) 의 방법 [Lev94] 을 따라 아티야 (A tiy ah), 파 토디 (Pa t o di), 싱거 (S i n g er) 의 n- 불변량 [MS75] 을 고리에 대해 응용한 댜 n- 불변량의 정의 샤 T =l 를 만족하는 모든 (n x n) 복소 행 렬 A 로 이 루어 진 군을 U(n) 으 로 표시하자. Y 를 방향이 주어진 (21-1) 차원 컴팩트 다양체라 하고, a 며(Y) ➔ U(n) 을 오른쪽에서 작용하는 재표현 (re p resen t a ti on) 이라 고 하자. 그러면, a 에 의해 유도되는 C 위의 rr1(Y) 작용에 의해 C 이 오른쪽 C[ rr1( Y)]－가군이 된다. 이 C[ rr1( Y)]－가군을 [a] 라고 표시하자 . Y 위의 거리 (me tri c) p에 대하여, 아티야, 파토디, 싱거는 실수값을 갖는 (Y, a., p)의 불변 량 %(p)를 다음 타원 작용소 (e llipti c op e rato r ) I-+ l(-1)1 ¢ 1 /2 -l (*d-d* )
여 기 서 X 는 X 의 보편 덮개 (un i versal cover) 를 나타낸다. X 위 의 덮개 이동에 의해 C*(X;C) 는 왼쪽 C[G]-가군 구조를 갖게 되고 따라서 위 의 텐서곱이 잘 정의된다. 이 사슬복합체의 호몰로지를 H*(X;a) 로 표 시한댜 C*(X; C) 위 에 서 C[ G] －값을 갖는 꼬인 만남곱 (twisted inter secti on pai r ing ) [ , ]이 다음과 같이 정의된다 . [c, d] = L(gc - d) g ge G 단, 여기서 · 는 X 상의 보통 만남곱을 나타낸다. 이 꼬인 만남 곱으 로부터, C* (X;a) 위 의 복소수값을 갖는 꼬인 만남곱 (, 〉이 다움과 같이 정의된댜 (v ® c, w ® d> = va([c, d])w 7 여기서 V 와 w 는 행벡터로 나타낸 [a] 의 원소이다 . 넣기사상에 의해 유도되는 사상 H1(X;a) ➔ H1(X, 8X;a) 의 치 역(i ma g e) 을 H1(X;a) 라고 표 시하자. 그러면 C*(X;a) 위의 꼬인 만남곱은 다시 H1(X;a) 위의 허미션 정칙곱 ( , ) : H1(X;a) x H1(X;a) ➔ C 를 유도한다. 이 곱 ( ' >의 부호수를 s ig na(X) 라고 표시 한다 . 이 와 같이 위 상수학적 으로 정 의 되 는 부호수 s ign a( X)와 앞에서 미 분기하학적으로 정의된 n- 불변량의 관계는 다음과 같다. 정 리 9.4.1. （지 표 정 리 (Ind ex Theorem) [MS7 5]) sig n a(X) = nLXL (p) -rJa (X ) 단, L 은 허 르쯔부르크(Hi rzebruch) 의 Lk- 다항형 식 울 의 미 한다. 위 지표정리에서, 적분항이 a 에는 무관함에 주목하자. 이 사실로부 터 na( p)로부터 기하적 구조 P 에는무관한불변량을다움과같이 얻을 수 있댜 1'{ 1( Y)전체를 1 로 보내는 1 차원 재표현을 1 이라고 표시하자.
p물 Y 상의 적당한 거 리라고 하고, (Y,ex) 의 불변량 i'1 a(Y) 를 다음과 같이 정의한다. f7a (Y) = TJa (P) -n 711 (p) 기초정리 9.4.2. f7 a( Y)는 거리 p에 관계없이 잘 정의된다. 증명 . X = Y x (0, 1] 로 두고, Po, Pt 을 각각 Y X 0, f X 1 상의 거 리 라 고 하자. Po, P t에 의해 정의되는 ax 상의 거리는 선형적으로 X 전체의 거리로확장된다.ssiigg지 nn a 표1(( XX정)) ==리 nn에 1 L 의LL ((해pp ,) ) -- (( 771a ((PP11 )) -- T 'la ((PPoo)))) X 이다. 넣기사상 YxO ➔ X 는 변이동치사상이기 때문에 ,H1(X;cx)=0 이 고 따라서 모든 재 표현 a 에 대 해 sig n a(X ) = 0 이 다 . 따라서 , Tla(Po)-nTJ 1 (p o) = Tla(Pt ) 一 nT} 1 (p i) 을얻는다. □ 지표정리를 이용하면, 17a( Y)를 다음과 같이 위상수학적으로 표현할 수있다. 정리 9.4.3. 만약 (Y,a) 에 대해 aX= Y 이고 a 가 rr1(Y ) ~ rr1(X) 를 거 쳐가는 X 가존재한다면다음식이 만족된다. 17a(Y ) = n sig n(X) -s ig na CX ) 증명. 지표정리에 의해, sig na (X ) = nLL-TJa X sig n(X) = sig n 1(X ) = LL-T/1 X 이므로,후자의 n 배에서전자를빼면원하는결과를얻는다. 口
한가지 특별한경우를살펴보자. 만약 a 가적당한유한군 G 를거쳐 간다면, 유한군의 홀수차원 보디즘군 S121-1(G) 가 유한하다는 사실에 의해 8X=mY 를 만족하고 a 가 rr1(X) 를 거쳐가는 적당한 다양체 X 가 항 상존재함을알수있다.따라서,위에서 살펴본위상수학적 정의를항 상적용할수있다.특히이경우, T/a (Y ) =( 1/ m)(nsig n (X)-si g n a(X )) 이 므로, T/ a(Y) 는 항상 유리 수 값을 갖는다. a 가유한군 G 를 거쳐가는 경우에 대해 좀더 자세히 살펴보도록하 자. 이때 Y 를 G- 다양체로 생각할수 있다 .X 를 8X=Y 를만족하는 G- 다 양체라고 하자. 참고로 이 조건을 만족하는 X 가 항상 존재하는 것은 아니다 그러나, 적당한 m 에 대해 Y 대신에 mY 를 생각하면 이에 대해 서는 우리가 원하는 조건을 만족하는 X 가 항상존재하므로, 8X=Y 인 경우만 생각해도 아무런 문제가 없다. X 는 짝수 차원 다양체이므로, 우리는 아티야-싱거에 의해 정의된 G- 부호수를 생각할수 있다 [AS68]. G- 부호수의 정의를간략하게 살펴보 자. X 의 G- 덮개 X 에 대해서, 앞에서와 같이 H1(X;C) ➔ H1(X,8X;C) 의 상을 H1(X;C) 라고 표시하자. H1(X;C) 는 G- 작용에 대해 불변이고, 만남 곱에 대해 수직이며 각각 위에서 자기 만남곱이 항상 양 또는 음인 두 부분공간 H f와 H/- 의 직합으로표시될 수 있다 . G 의 원소g에 대해,아 티 야-싱 거 의 G- 불변 량 sig n (g, X) 는 다음과 같이 정 의 된다. sig n (g, X) = trac e(g lf l: )-tr ace( g l 硏 G- 부호수와 n- 불변량은 다음과 같은 관계를 갖는다 [MS 75]. 정리 9.4.4. sig n (g, X) = L(X)xa(g) a 단, Xa 는 재표현 a 의 특성함수 (charac t er) 를 나타내며, 위의 합은 모 든 기 약 재 표현(i rredu ci ble repr e senta tion ) a 에 대 해 취 해 진 다.
Y 의 G- 덮개를 Y 로 표시하자 . oX= Y 이고 , X 의 G- 작용을 제한하면 Y 의 G- 작용을 얻는다는 사실을 쉽게 알 수 있다. 이때 아티야-싱거는 Y 의 불변량 Clg (Y) 를 a8(Y) = -s ig n (g, X ) 와 같이 정의하였댜 Cl g (Y) 는 X 의 선택에 영향을 받지 않고 잘 정의됨 을 쉽 게 알 수 있다 [AS68]. 위 정 리 의 결과를 s ig na( X)에 대 해 풀면 아 래와같은결과를얻는다 . 정리 9.4.5 . 紅 a( Y) = 面1 드아Y) (xa( g )-d i ma) g,fl 단 합은 1 이 아닌 G 의 모든 원소g에 대해 취해진다. 위 정 리들로부터, G 가 유한군일 때 G- 다양체들의 n- 불변량은 G- 부 호수와 동등함을 알 수 있다. 한편 , G- 부호수는 G 가 유한군일 때 만 정 의될 수 있는 데 반해, n- 불변량은 해석적인 방법을 통해 G 가 무한군 인 경우에도 정의될 수 있다. 따라서, n- 불변량을 G- 부호수의 무한군 에 대한확장으로생각할수있다. n- 불변량의 연속성 군 G 에 대해, 모든 K 차원 복소단위직교 재표현 (un itary repr e senta - tion ) 0: G ➔ U(k) 들의 집 합을 &(G) 라고 표시 하자. G 가 유한개 의 생 성자를 갖는 표현 (x1, ... ,Xn I r; 〉을 갖는다고 하자. Rk(G) 의 원소 p를 (p(x 1), ... ,p (Xn) ）으로 나타내면, Rk( G)를 U(k) x ••• x U(k) C (R 따 )n 의 부분집합으로 볼 수 있다. 각각의 관계 r;=r;(X1, ... ,Xn) 을 X J, ••• ,%의 단어로 생각하면 &(G)는 U(k) X ••• X U(k) 의 원소 (Ai , ... ,An) 중에서 r;(A1, ... ,An)=I 를 만족하는 것들의 모임이 된다 . 이때 Ai l =AT 이기 때문에, 각각의 관계 n 는 실계수 다항식을 표시하게 된다. 따라서, Rk( G)는 실 다양체 구조를 갖는다. G 가 무한히 많은 생성자를 필요
로 하는 경우에는, Rk(G) 에 G 의 유한 생성 부분군들로부터 유도되는 극한 대수적 구조롤 부여하기로 하자 . 또한 , Rk( G)에 유클리드 공간의 부분공간위상을부여하자. M 을 a: rr1(M) ➔ G 에 의해 정의되는 G- 구조를 갖는 다양체라고 하 자 . 이때 p(M , a) : Rk(G) ➔ R 을 Rk(G) 의 원소 0 에 대해 %0a 를 대응시키는 함수로 정의하자. 정 리 9.4.6. ([Lev94]) I::; - I::1+ 1 위 에 서 p(M , a) 가 연속이 되 도록 하 는 &(G) 의 적 당한 유한개 의 부분대수다양체 (subv ari e ty)의 열 Rk(G) = I::。 :) I:: 1 :) • • • :) I::r = 0 이 존재한다. 호몰로지 사상동계와 p(M , a) 두 G- 다양체 M 과 N에 대해, 적 당한 G- 다양체 V 가 존재하여 8V = M-N 과 H* (V , M)=Hi V , N) =0 을 만족하는 경우 ,M 과 N 이 호몰로지 사상동계적 (homolo gy bordan t)이라고 부른다. 유한 표현(finit e pre sen- tat io n ) 가능한 C[G]- 가군 A 에 대해, 1:A = {0 e RkCG ) 1 ck ®0A =1 0} 이 라 고 정의하자. 여기서 C®0A 는 0 에 의해 유도된 C[G]-가군 구조를 갖 는 Ck 와 C[ G]- 가군 A 의 C[G]-텐서 곱을 의미한다. 이때 EA 는 부분대 수다양체 (subv ari e ty)가 된다는 사실이 르빈에 의해서 1994 년에 밝혀 졌다 [Lev94]. Rk(G) 의 부분대 수다양체 중 Z ®zcG J A = O 을 만족하는 적 당한 Z[G ]- 가군 A 에 대해 :E c®A 의 형태로 주어지는 부분대수다양체들을 특수 부분다양체 (spe ci al subvar i e ty)라고 부른다. 그리고, 이 경우 Rk(G )— ECOA 를 커다란 부분집합 (lar g e subse t)이라고 부른댜 다음 보조정리 에 의해,이러한특수부분다양체는&(G)전체가될수없다는사실을 알수있다.
보조정 리 9.4.7. ([Lev94]) 소수 p에 대 해, Rk(G) 의 원소 0 가 어 떤 p- 군을 거쳐간다면, 0 는 어떠한 특수 부분다양체에도 포함되지 않는다. 다시 말하면, O 는 모든 커 다란 부분집 합에 포함된다. 정 리 9.4.8. ([Lev94]) 만약 두 G- 다양체 (M, a) 와 (N, f3)가 G- 호몰로 지 사상동계적이라면, 어떤 커다란 부분집합이 존재하여 그 위에서 p (M,a) 와p (N, f3)는 항상 같은 값을 갖는댜 고리에대한응용 L 을 sn+2 의 m - 성 분 n- 차원 고리 라고 하자. L 의 각 성 분을 따라 sn 요를 수술 (sur g e ry)한 결 과를 M(L) 이 라고 표시 하자 단 n =l 인 경 우에 는 L 의 각 성분의 영틀을 따라 수술한 결과를 M(L) 이라고 표시한댜 M(L) 을 L 의 수술다양체 (surg e ry man ifo ld) 라고 부른댜 반 캄펜 정리에 의해, ']'(1(M(L) 즈 {'J짜'( l( ysn ++22--LL)),/ ( 각 성분의 종선〉, nn => l1 임을쉽게 알수있다. 고리 L 의 종류에 따라, M(L) 은 여 러 가지 군 G 에 대 해 G- 구조를 가질 수 있댜 가장 일반적인 고리의 경우에 생각할 수 있는 것은 G=zm 인 경우이다. 쌍대성에 의해 H1(sn+2_L)~zm 이고, n= l 인 경우 각각의 종선은 H1(sn+2-L) 에서 0 이 되 므로, M(L) 은 자연스러 운 zm- 구조를 갖 는다. 한편, L 이 보다 특수한 경우에는 다른 여러 가지 구조를 생각할 수 있다 .L 이 둘레고리 (bound aryli nk) 인 경우, 횡선을 생성자로보내는준 동형사상'J'( 1(sn+2_L) ➔ Fm 이 존재한다. 이런 사상을 L 의 Fm- 구조라 고도부른다 •n=l 인 경우 이 사상은 각각의 종선을단위원으로보내 기 때문에 ,M(L) 상의 F' －구조가유도된다. 군 G 에 대해 ,G=l+ j m-G/ Gk 라고표시하자 .n> l 또는 n=l 이고모든 B- 불변량이 0 이라고 가정하자. 이때 생성자를 횡선으로 보내는 사상
Fm ---+ rr1(S+2-L) 은 동형사상 戶； 수 rKSn+2-L) 을 유도한다 [Lev89b, Lev89a]. 이 와 같은 사상을 고리 L 의 F 元구조라고 부른다. 한편, 이 경 우다움합성사상 rr1 (sn+2 -L ) ---+ ~ ---+ pin 은 M(L) 위 의 戶-구조를 유도한댜 비슷한 방법으로 ,Fm ---+ rr1(sn+2-L) 이 동형사상fin---+ rr1(Y +2-L) 을 유도하는 경우 M(L) 위의 P- 구조를 얻을수 있다. 특별히 ,L 이 호몰로 지 둘레고리의 부분고리인 경우戶굽}fin-구조를모두 얻을수 있다. G =Z ', Fm, P, pn중의 하나라고 하고, 뇨, L1 이 G- 구조를 갖는 고 리라고 하자. 만약 이들 두 고리 사이의 어떤 동계 C 에 대해, S +2 X [O, l]-C 가 어떤 G- 구조를 갖고 있어 그 제한이 각각 Lo,L1 의 G- 구조 가 되면 뇨, L1 을 G 동계적 (G-concordan t)이라고 부른다. 다움의 결과 는 고리 동계 문제에 n- 불변량을 적용하기 위해 필요한가장기본적인 성질이댜 기초정리 9.4.9. 만약 G- 구조를 갖는 두 고리 뇨, L1 이 G- 동계적이 면 ,M( 뇨 ),M(Ll) 은 서로 호몰로지 G- 사상동계적이다. 증명. Lo,L1 사이의 적당한 G- 동계의 관상근방을 m S x[O, 1]xD2 와 동 일 시 하면 mSn X [0, l] X S1 을 따라서 sn+2 X [O, l] -i nt( m sn X [O, l] X D2) 와 m fY 1+1 X [O, l] XS1 을 붙인 결과가 M(lo),M(L!) 사이의 호몰로지 G- 사상동계가된댜 D 모든 동계는 zm- 동계이므로, 동계적인 고리의 수술다양체는 항상 호몰로지 zm- 사상동계적이다. 다른 G 의 경우에 대해서도 다음과 같 이 비슷한결과가성립된다. 기 초정 리 9.4.10. G- 구조를 갖는 고리 뇨와 다른 고리 L1 이 동계 적 (G=Fm 인 경우 둘레동계적) 이면, 뇨와 L1 이 G- 동계적이 되게 하 는 L1 의 G- 구조가존재한다.
증명. Lo, L1 과 동계 바깥의 기본군을 각각 TCo, m, r 로 표시하자. 뇨상의 G- 구조는 TCo/(TCo)w, fr o 또는 fr o 와 Fm, pn또는 戶간의 동형사상 을 결 정 한다 또한, TCj /(T Cj )w , frj또는 irj는 각각 넣 기 사상이 유도하는 사 상을 통해 떠 TCw, fr또는 ir와 동형이므로, 이들 사상과 TC1 을 TC1/(TC1)w, 元 1 또는 ir 1 로 보내는 자연스러운 사상을 합성하여 L1 의 G- 구조 TC1 ➔ G 를얻는다. 口 G- 구조를 갖는 홀수 차원 고리 L 에 대해, 유도되는 M(L) 상의 G- 구 조를 a 라고표시하자. 이때 불변량 p(M (L), a) : Rk(G) ➔ R 이 정 의 된다. 이 불변량을 G = zm, Fm, P, fin인 경 우 각각 a(L), 아 (L), a(L), a(L) 이라고 표시하자. 앞에서 다룬 결과들을 종합하면, 다음 결 과를얻는다. 따름정 리 9.4.11. G = zm, Fm, 1 뉵 戶중의 하나라고 하자. G- 구조 를 가질 수 있는 두 고리가 동계적 (G=Fm 인 경우 둘레동계적)이면, Rk(G) 의 어떤커다란부분집합 A 와각고리의 적당한 G- 구조가존재 하여 A 위 에 서 a(L), 아 (L), a(L) 또는 &(L) 의 값은 항상 같다. 따름정 리 9.4.12. G = zm, Fm, 1 뉵 戶중의 하나라고 하자. G- 구조 를 가질 수 있는 두 고리가 동계적 (G=Fm 인 경우 둘레동계적)이고 0ERk( G)가p-군을 거쳐가는 재표현이라면, 각 고리의 적당한 G- 구조 가 존재 하여 6(L)O, 아 (L)0, a(L)0 또는 &(L)0 의 값은 항상 같다. 다음 결과들은 실제로 고리의 T/-불변량을 계산하는 방법들이다. 정리 9.4.13. {e;} 를 zm 의 표준기저라고하자 .(2 q -1) 차원고리 L 과 1 차원 재표현 0: zm ➔ s1 cc 에 대해,불변량 a(L) 의 값은 Z 를법으로 했을 때 다음과 같이 주어진다. u(L)0 =( -l)q+l -2Lmu (L;)arg0 ( e;) (mod Z) i=l
단, C(L i)는 L 의 i번째 성분의 고리 부호수 불변량 (9.1 참조)을 나타 낸댜 또한, 복소수 z = e21r” 에 대 해 arg z = s E R/Z 를 나타낸다. 정리 9.4.14. {x;} 를 zm 의 표준 생성자라고 하자. (2q - 1) 차원 고 리 L 이 戶;－구조를갖는호몰로지 둘레고리의 부분고리이고 ,0: P 一 U(k) 가 k 차원 재표현이 면, 불변량 a(L) 의 값은 Z 를 법으로 했을 때 다 음과같이 주어진다. m 頭 (L)0= (-l)q+ I ·2La(Li) a rg d et 0 (xi). (mod Z) i=I
제 10 장 3 차원다양체 이 장에서는 논의할 내용은 다음과 같다. 먼저, 3 차원 다양체 이론 에서 매우 유명한 몇 가지 정리들 (3 차원 다양체의 소분해 정리, 덴의 보조정리, 닫힌 곡선 정리, 구정리 등)과 렌즈 공간울 소개한다. 다음 으로 3 차원 다양체를 연구하는 방법들(히가드 분리, 덴 수술, 커비 조 작 ,3 차원 다양체를 매듭울따라가지친 s3 의 비정칙 3- 겹 덮개로이해 하는 방법 등)에 대해서 논하게 될 것이다. 10.1 3 차원 다양체의 기초 이론 이 절에서는 3 차원 다양체를연구할때 필요한몇 가지 기본적인 정 의와 정리를 살펴보고자 한다. 모든 논의는 조각 선형 범주(pi ecew i se line ar cate g o r y ) 내에서 진행하도록 한다. 3 차원 다양체 M 에 대하여, M 안에 포함되어 있는 임의의 2 차원 구가 M 안에서 3 차원 공의 둘레 가 될 때, M을 기 약(ir redu ci ble) 이 라고 부른다. 한편 M 을 3 차원 다양체
M1, M2 의 연결합 M1UM 후로 나타냈을 때, M1 또는 M2 가 s3 과 위상동 형 이 어 야 한다면, M을 소(p r i me) 라 부른댜 방향을 줄 수 있는 다양체 로서 소이지만 기약이 아닌 3 차원 다양체는 S1 xS2 밖에 없다. 정리 10.1.1. 모든 컴팩트 3 차원 다양체 M 은 유한개의 컴팩트 3 차 원소다양체의 연결합으로표현될수있다.만약 M 이 방향을줄수있 는 다양체일 때, M 의 소분해표현 M=M,U• · ·UMr=N1U · ·•UNs 가 주어 져 있다면 r=s 이고 (필요하면 순서를 바꾸어서 )M i와 Ni 는 위상동형 이다. 한편, M 이 방향을 줄 수 없는 컴팩트 다양체라면 소분해표현이 유 일하지 않을 수도 있다. 3 차원 다양체 M 과 M 안의 곡면 F 에 대하여 Fc aM 이거나 FnaM= aF 라고 하자 . 곡면 F 가 다음 3 가지 조건 중 어 느 것도 만족하지 않을 때 F 는 M 에 서 압 축 불능(i ncomp ress i ble) 이 라 한다. (1) F 가 3 차원공의 둘레가되는 2 차원구이다. (2) F 가 2 차원 원판일 때 Fc aM 이거나 axcFuaM 을 만족하는 변이 공 (homo t o py 3-cell) X 가 M 안에 있다. (3) DnF=aD 이고 8D 가 F 에서 수축불능인 2 차원원판 D 가 M안 에있다. 방향을 줄 수 있는 컴팩트 3 차원 다양체가 기약이고 압축 불능인 곡 면을 포함하는 경우 이 다양체를 하켄 다양체 (Haken man ifo ld) 라고 부 른댜 다음 정리는 흔히 덴의 보조정리 (Dehn's lemma) 로 불리는 것으로 1910 년에 덴 (Dehn) 에 의해 처음 제시되었지만 그의 증명에는 심각한 결함이 있었다. 그후 파파키리아코풀로스 (Pa pakiri ako p oulos) 에 의해 완전히 증명되었다. 정리 10.1.2. 원판 D2 에서 3 차원다양체 M 으로의사상f :D ➔ M 이 있다고 하자• 8D 의 D 에서의 근방 N 이 있어서J IN 이 넣기사상이 되고,
f -l (f (N))=N 을 만족한다고 가정하자. 그러면 g (BD)= f (BD) 를 만족하 는 넣기사상g: D-+M 이 존재한다. 증명. [Pap 57 ] 참조. □ 버 팅거 표현을 이용하면, 서로 다른 두 매듭인 옵매듭 (s q uarekno t)과 세로매듭(g ranny kno t)의 매듭군은 서로 동형임을 알 수 있다. 따라서 매듭에 그 매듭의 매듭군을 대응시키는 함수는 단사가 아니다. 그러 나 덴의 보조정리를 이용하여 무한 순환군을 매듭군으로 가지는 매듭 은 풀린 매듭뿐임을 보일 수 있다 . 정리 10.1.3. S3 안의 어떤 매듭 K 가 풀린 매듭이 될 필요충분조건 은 1r1 (S3 -K) 업 Z 이 댜 증명. K 가풀린 매듭이면 명백히 1r1(S3- K)엽 Z 이다. 1r1(S3-K) ~ z 라 가정하자. K 가 풀린 매듭임을 보이기 위해서는 K 가 2 차원 원판의 둘레가 됨을 보이면 충분하다. V 를 K 의 관상근방 이 라 하고 A 를 8V 의 종선이 라 하면 A 는 H i (S3- i n tV)에서 0 이므로 수 축 가능하다. 덴의 보조정리에 의하여 A 를 둘레로 하는 2 차원 원판이 S 드i n t V 안에 있다. 한편 A 와 K 를둘레로하는원환이 V 안에 있댜 이 원판과 원환의 합집 합은 K 를 둘레로 하는 원판이다. 따라서 K 는 풀린 매듭이 된다. □ 아래의 두 정리는 각각 닫힌 곡선 정리 (loop the orem), 구정리 (sp here t heorem) 라 불린댜 정리 10.1.4. M 을 둘레가 있는 3 차원 다양체라 하고 F 를 M 에 포 함된 2 차원 다양체라 하자. 포함사상이 유도하는 사상 i*: 1r,(F ) ➔ rr,(M) 이 단사가 아니 라면 g(int D ) C i n t M을 만족하고 g (8D) 가 m( F)에 서 1 이 아닌 넣기사상g: (D2,BD2) ➔ (M, F)가존재한다. 정 리 10.1.5. M 이 방향을 줄 수 있는 3 차원 다양체 이 고 1r2(M ) =/0 이 면 M 안에서 수축 불가능한 2 차원 구가 존재한다.
이들두정리는대수적 가정으로부터 기하학적 결론을유도하고 있 어서 매우유용하다. 이제 구정리를이용하여 다음을증명하여 보자. 정 리 10.1.6. s3 안의 매 듭 K 에 대 하여 X =S 3 -K 라 놓으면 rr;(X ) = O(i = 2,3, ... ）이댜 증명. rr2( X) ¥0 이라 가정하여 보자. 구정리에 의하여 수축 불가능 한 2 차원 구 S 가 존재한다. 쇤프리스 (Schon fli es) 정리에 의해 s3-s 는 두 개의 연결 성분을 갖는 공간이고 각각의 연결 성분은 3 차원 공이다. K 는 연결되어 있으므로 하나의 연결 성분에 완전히 포함되어야 한다. 그러면 S 는 다른쪽 연결 성분에서 수축 가능하므로 모순이다. 따라서 rr2(X ) =0 이댜 X 의 보편덮개공간 (un i versal cover) 을 U 라 하면 U 는 열 린 3 차원 다양체이므로 H;(U )= O( i= 3,4, ... )이다. U 가 단순 연결되 어 있고 rr2(X ) = 0 이 므로 Hi (U ) = H2(U ) = 0 이 다. 따라서 rr;(U) = O(i = 1, 2, ... ) 이므로 TC;(X ) =O (i =3 ,4, ... ) 이다. 口 다음으로 렌즈 공간 (Lens s p ace) 에 대 하여 알아보자. S1 x D2 와 위 상 동형인 공간을 채워진 토러스 (so li d to rus) 라부른다. 두 개의 채워진 토 러스를 그들의 둘레를 따라 붙여서 얻은 3 차원 다양체는 완전히 분류 되어 있댜 S1 x oD 의 종선과 횡선을 각각 A 와 µ로 나타내자. Jr1( S1 X oD) 는 변 이 류 [).], [µ,]으로 생 성 되 는 자유가환군(fr ee abli an gr ou p)이 댜 S1 x oD 안의 단순 닫힌 곡선 (s i m p le closed curve) c 가 있 어 서 [c] = p[).]+q[피라 한다면p와q는 서로소이다. 두 개의 채워진 토러스 VI, v2 가 있고 h: OVI ➔ 0V2 이 위상동형 사상 이라 하자. h 에 의해 8V1 과 0V2 를 붙여서 얻은 공간을 M 이라 하면 M 은 방향을 줄 수 있는 닫힌 연결 3 차원 다양체가 된다. 한편, vi 의 종선, 횡 선을 각각 A;, µ,;(i= 1,2) 이라 했을 때, 변이류 h.([µ,2]) 에 의해 M 이 결 정됨을 알 수 있고 서로소인 두 정수p, q가 있어서 h*([µ, 기) =p[).i]+ q[미로 표현된다. 이때 M을 @q)형 렌즈 공간이라 부르고 L (p,q)로 쓴다. U.1, 0) =S 3, u_o , 1) =S 1 x S정 을 알 수 있는데 U.1, 0) 과 L(O, 1) 은
일반적으로 렌즈 공간이라 부르지 않는다. 반-캄펜 (Van-kam p en) 정리 를 이용하여 L (p,q)의 기본군이 Z p와 동형임을 쉽게 알 수 있다.p와 q가 서 로소이 고 k 가 정 수이 면 L(p , q) = L(p , 一q) = L(-p, q) = L(p , q + kp)임을 알수 있다. 정리 10.1.7 . (p,q), (p,q/）을 각각 서로소인 정수들의 쌍이라 하자. 그러 면 L(p , q)와 L(p , q')이 변이 형 이 같을 필요충분조건은 士qq' = m2 (mod p)가 되는 정수 m 이 있다는 것이댜 정 리 10.1. 8. (p, q),(p, q')이 위 정 리 와 같으면, L(p , q)와 L(p , q')이 위 상동형 일 필요충분조건은 士q' = q士 1 (mod p)이 다. 위의 두 정리를 이용하여 L(7, 1) 과 L(7,2) 는 변이형은 같지만 위상 동형이 아님을알수있다 . 10.2 히가드분리 히가드분리 앞절에서 임의의 3 차원 다양체는 여러 개의 소인 다양체로 분해할 수 있음을 이야기한 바 있다. 이 절에서는 3 차원 다양체를 보다 작은 조각으로나누어서 연구하는방법 중에서 히가드분리에 의한방법에 대해 소개한다. {D1, ... ,D 사을 D;naM= aD 가 되는 서로 만나지 않는 3 차원 다양체 M 의 2 차원 원판이라 할 때 ,M-UD 가 3 차원 공이 되면 M 을 n- 손잡이 체 (cube wi th n-handles) 라 부른다. 반-캄펜 정리에 의해 1r1(M) 은 최소 생성자 개수가 n 인 자유군이다. 정 리 10.2.1. M; 를 파손잡이 체 라 하자. (i = 1, 2) M) 와 祐가 위 상동 형일 필요충분 조건은 n1 =n2 이고 M] 과 M2 모두 방향을 줄 수 있거나 모두그렇지 않아야한다.
증명. 필요조건은 당연하댜 n1 = n2 = n 이라 하자. 넣기사상 h;: (UJ= 1 Di j) x [— I, I] ➔ M; 는 R; = M;-h;((UJ= lD ij ) x (-1, 1)) 이 공이 되는 넣기사상이라 하자 M; 가 방 향을 줄 수 있는 필요충분조건은 모든 j에 대해, R i의 방향으로부터 유도되 는 방향을 감안하여 h;( D i j X 一 1) 과 h;(Di j x 1) 이 반대 방향으로 붙는 것이댜 M1 과M 마모두 방향을 줄 수 있다면 어떤 위상동형사 상f: R1 ➔ R2 에 대해 f(h 1(Du x 士1)) = h2(D2 j X 士 1) 이다 . f (h1(Du x [-1, 1))) = h2(D2j x [-1, 1]) 이 되도록f를 M 으로부터 M2 로의 위상동 형사상으로 확장할 수 있다. M1 과 M2 가모두 방향을 줄 수 없다고 하자. 이 경우 M1 과 M2 는 서 로다른개수의 방향을줄수 없는손잡이를가질 수 있다.그러나방향 을줄수없는손잡이체는다음의 조작을하여 방향을줄수 없는손잡 이가 하나가 되게 할 수 있다. l 츠j 츠 n 에 대해 h;(Di j x - 1) 과 h;(Di j x 1) 이 같은 방향으로 붙고 r조 갑에 대 해 반대 방향으로 붙는다고 가정 하 자 (r j 츠 I). 적절한 2 차원 원판 E; 를 골라 E;naR;=ae; 가 되고 h;(D; i) X -1 U • • • Uh;(D;r) x -I 과 나머 지 h;(Dij X 士 l) 을 분리 하도록 하자. 그러 면 {E;, ... ,D;2, ... ,D 나은 M; 를 3 차원 공으로 잘라내고 같은 방향으로 붙는 꼭 하나의 손잡이를 만든다. 방향을 줄 수 있는 경우와 같은 방법 으로 M) 과 M2 간의 위상동형사상을얻을수있댜 D M 의 삼각분할 K 와 K 의 부분복합체 L 에 대해서 L 을 만나는 단순체 들의 합집 합을 N(L, K) 라 하자. 또 K 의 단순체 c 에 대 해 a 를 포함하 는 단순체의 부분단순체로서 a 와 만나지 않는 단순체들의 합집합을 lk(a, K)라 하자. 정리 10.2.2. r 가 3 차원다양체 M안의 연결된 1 차원유한복합체라 면 r 의 임의의 정칙근방은 n- 손잡이체이다 . 여기서 n= I-x(r) 이다. 증명. M 의 삼각화를 K 라 하고 r 를 K 의 부분복합체로 생각하자. K 을 K 의 2 차 중심 분할이 라 하고 N=N(r, K'’) 이 라 하면 N 은 「의 정 칙
근방이 된댜 정칙근방의 유일성에 의하여 정칙근방 N 을 생각하면 된 댜 「 C i n t M 이라고 가정하자 . T 를 가장 큰 나무 (max i mal tr ee) 라 하면 T 에 포함되지 않는 r 의 1 차원 단순체 이, ... ，아이 있다 (n= 1-X( 「)). C = N(T, K ）은 3 차원 공이 댜 q의 분할 중심 (ba ryc entr ic cen t er) 을 b i라 하면 B,=N(b i ,K ）은 3 차원 공이댜 게다가 B;nC=aB;nac 는두 개의 만나지 않는 2 차원 원판 D i .-1,DL1 이다. 따라서 {D; , 1} 은 N 을 3 차원 공 C 로잘라낸다 . o 연결되고 닫힌 3 차원 다양체 M 에 대하여 M= Vi UV2 이고 Vi nV2= 8Vl = 8V2 가 되 는 손잡이 체 의 쌍 (VI , v2) 를 M 의 히 가드 분 리 (Hegg a ard sp litti n g)라고 부른다 . n- 손잡이체의 둘레는 손잡이체가 방향을 줄 수 있는 경우에 종수 n 인 방향을 줄 수 있는 닫힌 곡면이다. 역으로 둘레 에 방향을줄수 있다면 손잡이체도방향을줄수 있다. 따라서 M 에 방 향을 줄 수 있느냐 없느냐에 따라서 V1, V2 에 모두 방향을 줄 수 있거 나모두줄수없다. 정리 10.2.3. 모든연결되고닫힌 3 차원다양체는히가드분리를갖 는다 . 증명. M 의 삼각화를 K 라하고 n 을 1 차골격 (I-skele t on) ，店울쌍대 n1 차 을 골 만격나 이지 라 않 하자. 즉 , E 는 1 차 삼각분할 K' 의 1 차원 부분복합체로 는 가장 큰 것 이 다. vi = N(E, K'’) 으로 놓으면 Vi는 E의 정칙근방이고 위의 정리에 의해 손잡이체이다 .M=V i UV2, V1nV2= av1 = av2 를 확인할 수 있댜 □ 3 차원 다양체 M 의 모든 히가드 분리 중에서 V1 의 손잡이 개수가 가 장 작은 히가드 분리 (Vi, V2) 를 생각할수 있다. 이때 M 의 종수를 V1 의 손잡이 개수로 정한다. 따라서 종수 1 인 방향을 줄 수 있는 3 차원 다 양체는 앞절에서 정의한 렌즈 공간을 의미한다. 모든 렌즈 공간이 분 류되어 있으므로 종수 1 인 방향을 줄 수 있는 3 차원 다양체는 분류되
어 있댜 한편 S1 위의 s2- 다발로서 방향을 줄 수 없는 3 차원 다양체는 유일하고, 방향을 줄 수 없는 종수 1 인 3 차원 다양체는 이 다양체뿐이 라는 사실이 밝혀져 있다. 두 개의 3 차원 공을 둘레를 따라 붙인 다양 체는 s3 가 되므로 종수가 0 인 다양체는 s3 뿐이다. 따라서 종수 0,1 인 3 차원다양체는모두분류되어 있다.또 s3 는음수가아닌 임의의 정수 g에 대해 8V1 의 종수가g가 되는 히가드 분리 (VI,v2) 를 갖는 것도 알 수있다. (Vi , V2) 를 M 의 히 가드 분리 라 하자. {D1 , ... , Dn} 은 V2 를 3 차원 공 으로 잘라내는 원판들로서 서로 만나지 않고 D,n8V2 = 8D i가 된다 고 하자. 이때 (Vi;8 D1, ... ,8Dn) 을 히가드 분리 (V 1,V2`） 의 히가드 그 림 (Hee gg aardd i ag ram) 이라 부른댜 역으로 히가드 그림으로부터 3 차 원 다양체 M 을 복구할 수 있댜 일반적으로 n- 손잡이체 V1 에 대해 V1 위에 양깃을달수 있고서로 만나지 않는폐곡선 (Jb ... ,J,,｝이 8V1 을 2n 개의 구멍이 있는 2 차원 구로 잘라낸다면 (Vi;J1, . .. ,ln) 은 닫힌 3 차 원 다양체 M을 다음과 같이 유일하게 결정 한댜 n 개 의 D2 x /복사본 을 8D\ ／가 각각의 Ji의 정칙근방에 붙도록 만든 다양체는 둘레가 2 차원 구이댜 이 2 차원 구에 3 차원 공의 둘레를 붙여서 닫힌 다양 체 M 을 얻는댜 이때 {Jb ... ,J사을 특성곡선 (charac t er i s ti ccurve) 이라 고 부른다. 앞의 방법으로 M 을 구성하였다면 반-캄펜 정리를 이용 하여 rr1(M) 을 쉽게 구할 수 있다. 즉, v1 의 각각의 손잡이가 생성자 가 되고 각각의 특성곡선으로부터 관계자를 얻는다. 이 사실로부터 rr1(M) 의 최소생성자개수는 M 의 종수보다작거나같음을알수있다. rr1(S1 xS1 xS1)=ZEBZEBZ 이므로 S1 xS1 xS1 의 종수는 3 이상임을 알 수 있고실제로 8V1 의 종수가 3 이 되는 히가드분리 (V1,V2) 를 찾을수 있다. 따라서 S1 XS1 XS1 의 종수는 3 이 된다. 히가드그림은 기하적으 로매우호소력 있지만 3 차원다양체의 히가드그림은유일하게 결정 되지 않는 결점을 가지고 있다. 다음의 예는 모두 s3 의 히가드 그림이 다.
그림 JO. I
10.3 교각수 2 인 매 듭과 덴 (Dehn) 수술 이 절에서는 3 차원 다양체를 S3 의 가지친 덮개로 이해하는 방법에 대해 소개하고자 한다 . 이러한 방법 중 최초의 것은 알렉산더의 정리 일 것이댜 나중에 이를 발전시킨 것으로서 힐덴(Hi lden) 과 몬테지노 스 (Mon t es i nos) 에 의해 각각 독립적으로 연구된 결과를 다루자. 정리 10.3.1. 방향을 줄 수 있고 닫힌 임의의 3 차원 다양체는 고리 를, 가지지수가 2 이하인 가지친 집합으로 갖는 S3 의 덮개이다. 증명. [Ale20] □ 위의 정리로부터 방향이 주어지고 닫힌 임의의 3 차원 다양체 M은 n 겹 가지 친 덮개 p: M ➔ s% 다. 이 때 가지 친 집 합을 성분이 k 개인 고 리 L=U}=1L; 라 하고 m 을 L 의 교각수라하자. 그리고 L 을 2m- 플랫 (2m p la t)으로 생 각하고 L 를 m j-플랫이 라 하면 m = L~=l m 려 다. s3 을 서 로 만나지 않는두개의 닫힌공 Bo,B1 과 ]xS2 의 합집합으로보자.여기서 Ul x s2 = aBj =sJ, j=o , 1 이댜 아래의 그림과 같이 L 이 Bj( j= 0, 1) 과 풀 려 있는 m 개의 선분에서 만나도록하자 .L 의 짜임 부분 LnlxS2 울 b 로 나타내자. L;n(S5UST) 의 각 점의 p에 의한 역상은 같은 개수 ki 츠 n 개 의 M 의 점들로 이루어져 있다.
s言/f X S'
정리 10.3.2. 2m- 플랫 L 을따라가지친 S3 의 n- 겹 덮개공간 M3 은다 음의 종수 g를 가지는 히가드 분리를 갖는다 . k g= m •n -n+l-L~i i=l 종명. S} 의 덮개를F'j=p -l(SJ )라하면 E 는방향을줄수있는닫힌 곡면이댜 rr1(S3-L) 의 임의의 원소는 책위의 곡선으로 표현할 수 있 으므로 E 는 연결된 곡면이다. 왜냐하면 만약 E 가 연결되어 있지 않 다면 서로 다른 연결 성분에 속해 있는 두 점 Y1,Y2 Ep - 1(*)(* E SJ )를 잇는 곡선 &가 있다.p o& 는 *룰 고정하는 변이에 의해 SJ 로 변형할 수 있으나&는f1 ,Y2 를고정하고 E 로 변형할수 없다. 가지친 점들을 뺀 나머지 부분은보통의 덮개가되므로 E 의 종수를g라하면 덮개공간 과 기저공간의 오일러 특성수 관계에 의해 2-2 g-I:십 2mi k i = n·(2-2m) g = m • n -n + 1 - L~=I m;k; 이다. 그리고」하=p -1(Bj )가 되고 짜임 b 부분에 해당하는 짜임자기동 형 사상(b rai d au t omo rphi sm) 에 의 해 go 와 Il1 을 붙이 면 M을 얻 는댜 口 위의 정리를이용하여,가지친 덮개공간으로얻을수있는 M3 의 (가 장 작은) 히가드 종수의 상한을 구해보자.
정리 10.3.3. 2m- 플랫 L 을 따라 가지친 s3 의 n- 겹 덮개공간의 히가 드 종수 g * 는 다음의 부등식 을 만족한다. g* 도 · n -n + 1 _ Lk m ;k; ~ (m -l )(n -1 ) i=I 증명. 두번째 부등식은 k i =l 을대입하여 얻은것이댜 口 위의 정리로부터 교각수 2 인 고리를 따라 가지친 2- 겹 덮개는 히가 드종수가 1 이하임을 알수 있다. 또한모든 렌즈 공간은교각수 2 인 고리를 따라 가지천 2- 겹 덮개로 표현된다는 사실울 증명할 수 있다. 이 사실은 잠시 후에 살펴보도록 하자. 고정된 m , n 에 대해 가지친 덮개의 히가드 종수 g를 최소화하는 방 법은 k;=n-1 로 선택하는 것이다. 이때 히가드종수는g =m+l-n 이 된다. 정리 10.3.4. 방향을줄수있고히가드종수g인닫힌 3 차원다양체 M3 는 적어도 g +n-1 의 교각수를 가지는 고리 L 을 따라 가지친 n 겹 덮개이다.
p
이제 교각수 2 인 고리를따라가지친 2- 겹 덮개에 대해서 알아보자. 우선 D2 는 그림 10 .3과 같은 방법으로 S1 x i를 가지친 2- 겹 덮개공간 으로 가짐을 관찰하자. 이때, 가지친 집합은 두 점이 된다.
그림 10.4
서로다른두점 *,*'E i n t D2 이 주어져 있다하고 (D2X/,{*,*'}X/) 와 위상동형 인 쌍 (B,A) 를 생각하자. 그림 10 .4에서 빗금친 부분의 밖에 서는 항동함수로, 그 내부에서는 두 개의 가지친 점을 서로 바꾸도록 하는사상으로 정의된 위상동형사상 h: aB ➔ aB 를 생각하자.
®h@
빗금천 부분의 사상을 가지친 2- 겹 덮개공간으로 올려보면 그림 10.5 와같댜 B 의 가지친 2- 겹 덮개를 그림 10 . 6 과 같이 채워진 토러스로 나타내 자 .h: aB ➔ aB 는두개의 토러스사이의 위상동형사상으로울려지며
一
이 사상을종선-횡선 좌표계를이용해서 행렬로표시하면
B,
그림 10.8
위상동형사상으로 두 개의 채워진 토러스를 붙인 것으로 렌즈 공간 L(8,5) 이다. (: :) （니 (입 (: ~) (: ~) = (! !) 그림 10 」 1 에서 c i가엇갈림의 개수를나타낸다고하고, 엇갈림이 반 대로되어 있으면 c i를음수로표시한다.그러면,이 고리를따라가지 친 2 겹 덥개공간은 L (p,q)가된댜여기서p,q는다음과같이 얻어짐
그림 10.9
그림 10.1 0
을알수있다.
10.4 만능매듭과고리 r~ Y 를 보통의 k- 겹 덮개라고 하고 Y 의 기저점 *를 선택하여 그 역상에 대해 k 개의 기호 0, 1,… ,k-I 을 일대일 대응시키자. 기저점이 *인 닫힌 곡선 w 를 덮개공간 Y 로울리면 k 개의 서로다른곡선을 얻을
切
수 있댜 각 곡선의 끝점의 기호를 시작점의 기호에 대응시키는 함수 를%로쓰면%는 대칭군 Sk의 원소이다. 이와 같은 방법으로T{ 1(Y) 의 재표현 a: T{1 (Y ) ➔ &를 얻을 수 있다. ＊의 역상에 기호를 다르게 주 는 방법을 무시하면 c 는 Y ➔ Y 에 의해 잘 정의된다. 임의의 두 기호 i, j에 대해 u(a)(i) =j가 되는 T{ 1(Y) 의 원소 a 를 찾을 수 있는 경우 c 를 전 이적(t rans iti ve) 이라 한다. Y 가 연결되어 있다면 6 가 전이적임을 알 수 있다. 역으로, 전이 적 재표현 a: T{1 (Y ) ➔ &가 있다면 T{ 1( Y)의 부분군 {a E T{1 (Y )la (a)(O) = 0} 에 해당하는 덮개 Y ➔ Y 를 구성 할 수 있다. 재 표현이 &의 내부동형사상으로 변형되는 것을 무시하면 전이적 재표 현 a: T{1 (Y ) ➔ &와 k- 겹 덮개 Y ➔ Y 는 이와 같은 방법으로 일대일 대 응됨을증명할수있다. s3 안의 고리 L 과 k 겹 덮개p: X ➔ S3-L 이 주어져 있을 때, 3 차원 다양체 M 덕포함사상 X c...+ M 과p의 확장p: M ➔ S3 이 존재하여 L 의 부분고리를따라가지친 덮개가된다.（왜냐하면 L 의 각성분 L; 의 관 상근방을 Vi라 하자. vi 의 횡선을 둘레로 하는 Vi 의 원판 D; 에 대해 원 환 D;-L i의 k- 겹 덮개는서로 만나지 않는 원환들의 합집합나나 (I5 ij X ij)이다. 여기서 Xi j E i n tJ5ij이다. Plou -xiJ : J5ij- Xij ➔ D; 는 I5 ij로 확장된 다. 따라서 위와 같은 M 과 확장사상p를 얻을 수 있고 l; < k 인 성분
L, 는 가지친 집합의 부분집합이 된다 . ） 따라서 S3_L 의 k- 겹 가지친 덮 개를 구 하기 위해서는 S3-L 의 k- 겹 덮개를 구하는 방법부터 알아보 도록하여야할것이다 . 세잎매듭의 여공간의 3- 겹 덮개를 구해보자. 세잎매듭의 매듭군에 서 대칭군 S3 로의 전이적 재표현 C 를조사해야할것이다.세잎매듭의 매듭군은 (a, bla2 = b3 〉으로 표현된다. S3 의 원소로서 제곱과 세제곱으 로 표현될 수 있는 원소는 항등원뿐이다 . 따라서 a(b) 는 (012) 이다. 비 슷한 방법 으로 a(a) 는 항등원이 거 나 a(a) = (01) 임 을 알 수 있다 . 그러 므로 정확히 두 개의 3- 겹 덮개가 있음을 알 수 있다. 세잎매듭의 또다 른 군표현 (x, y l xy x= yxy〉는 x~ a-1b,y ~ ba-1 에 의해 얻어진 것이다 . a(x) = (012), a( y) = (012) 또는 a(x) = (02), a( y) = (1 2) 이다. 전자의 경우 는 순환덮개에 해당함을 알 수 있다. 후자는 비정칙(irr e g ular) 덮개이 며 이에 대해 좀더 알아보자. s3 의 내부자기동형사상에 의해 재표현 c 를 변환하여 a(x) = (01), 6 (y) = (1 2) 라 해도 무방하다. 세잎매듭을 그림 10.12 와 같이 놓고 두 개의 3 차원 공 BI, B2 를 생각하자 . 그러면 비정칙 3- 겹 가지친 덮개 p: M 드 s3 는p -1(B1)U p -1(B2) 이댜
/
p - l(B;) 는 그림 10.13 과 같이 주어지는 3- 겹 가지친 덮개 U2 一 D2 에 구간 I 를곱해서 얻어진다.
•
M 은두 개의 3 차원 공의 합집합이므로 M~S3 이다 .B2 내부의 짜임 부분에 의해 정해지는 짜임동형사상을 가지친 덮개공간으로 울려보 면 그림 10.14 과 같이 주어 진다.
•
따라서 가지친 집합 세잎매듭의 역상을 그림 10.15 와 같이 나타낼 수있다. 정리 10.4.1. 방향을 줄 수 있고 연결되고 닫힌 3 차원 다양체는 매 듭을따라가지친 s3 의 비정칙 3- 겹 덮개로표현된다. 증명. 증명의 개략적인 내용만 살펴 보자 . 그림 10.16 의 오른쪽 그 림에 의해 얻어지는 s3 의 비정칙 3 국j 가지친 덮개p: s3 ➔ s3 은 앞에
lp
서 살펴본 세잎매듭의 비정칙 3- 겹 덮개를 얻는과정과비슷한방법으 로 얻을 수 있고 가지친 집합의 울림은그림 10.16 의 왼쪽과같다.
p ..
임의의 3 차원 다양체 M3 은, 아래 그림과 같이 ,s3 안에 놓여 있는 고 리의 각성분마다수술 계수 l 또는 -1 의 수술을가해서 얻을수 있음 을리코리쉬가증명하였다.（그림 10.17 은 s3 에놓여 있는고리에수술 해서 임의의 3 차원 다양체를 얻는 전형적인 예를 그려본 것이다.) 그림 10.18 과 같이 고리의 각 성분에 붙어 있는 3 차원 공을 생각하 자. 이 3 차원 공들을p -1 에 의해 올리면 그림 10.19 과 같은 3 차원 공들 과 채워진 토러스들을 얻을 수 있다. 위에서 3 차원 공들을 선택할 때
그림 10.17
그림 10.1 8
잘 선택하여 그들을p -l 로 울려서 얻는 채워진 토러스들의 심이, 선택 된 고리와동치가되는고리의 관상근방이 되도록 하자. 가지친 덮개 공간의 채워진 토러스들(그림 10.19 에서 빗금천 토러스들)은 기저공 간의 3 차원 공들의 가지친 2- 겹 덮개가 된다. 이 3 차원 공들을 빼내었 다가 다른 방법으로 다시 채워 넣으면 가지친 집합은 변하지만 기저 공간의 위상은 계속 S3 이다. 한편, 이와 대응되는 덮개공간에서의 변 화를살펴보면 채워진토러스들을빼내었다가다른방법으로다시 채 워 넣는 효과를 얻게 되므로 결과적으로 덮개 공간을 수술하게 된다. 만약기저공간의 공을수술하고난후가지친 집합이 매듭이 아닐 경 우 그림 10.18 에서 점선으로 표시된 3 차원 공을 떼어내고 r 꼬임을 주 어 다시 붙이면가지친 집합이 매듭이 된다. D
그림 10.1 9
위의 결과는다음의 정리로부터 최상의 결과임을알수있다. 정리 10.4.2. s1 xs1 xs1 은 S3 의 2 겹 가지친 덮개가될 수 없댜 증명. X 가 국소적으로 컴팩트이고, 하우스도르프(l ocall y comp ac t Hausdo rff)인 공간이고 G 가 유한군일 때 특성수가 0 인 체 F 에 대해 Hm(X/G;F ) ~ [Hm(X;F )f 임이 변환군 이론에 의해 알려져 있다. 여기서 X/G 는 궤도공간이고 [Hm(X; F) ]G 는 G 의 작용에 대 해 고정 되 는 111 (X; F)의 부분군이 다. X = s1 xs1 xs1, G=Z2,F=R 로놓자 .G 의 생성자를¢라하자 .¢2=1 이므 로 ¢의 고유값은 1 또는 -l 이어야 한다. H1(S1 x s1 x s1;R) =R3 이므 로 고유값 중 적어도 하나는 l 이어야 한다. 따라서 위의 군동형사상에 의해 H1(X/G;F) o/ 0 이므로 X/G 는 S3 가될 수없다 . D 다움으로 만능매듭과 고리에 대해서 살펴보자. 방향을 줄 수 있고 임의의 닫힌 3 차원 다양체가 어떤 하나의 고정된 고리(또는 매듭)를 따라 S3 의 가지친 덮개공간으로 얻어질 수 있을 때 이 고리(또는 매 듭)를 만능 (un i versal) 이라 부른다. 이 개념은 써스톤 (Thurs t on) 에 의해 도입되었고그는 몇 가지 만능고리의 예를제시하기도하였다.또그
는 8 자 매듭이 만능인가 하는 문제를 제시하였다. 이제 이 문제에 대 하여 간략하게 살펴보자. 각각의 유리수 a/b 에 대하여 그림 10.20 과 같 은 2 교각고리 L(a/b) 를 생각하자. 그림 10.20 의 왼쪽그림의 실타래 부 분은 기울기가 士 a/b 인 선으로 이루어져 있고 오른쪽 그림은 왼쪽 그 림의 이 고리를 2 교각 고리로 나타낸 것이다. （그림 10.20 은 8 자 매듭 L(5/2) 를 예로 그린 그림 이 다.) D2a = (x,y lx 1 =y 2 =( xy)0 = 1 〉를 정 이 면 체 군 (d ih edral gr ou p)으로 나타내 면 rr1 (S3 -L (a/b) ）으로부터 정 이 면 체 군 D2a 로의 전사재표현f가 있다. [Fox62] a: D2a ➔ &를 다음과 같이 정의하자. a(x) =( 12)(34)(56) .. . a(y ) = (23)(45)(67) .. .
그림 10.2 0
재표현 af: 1'{1 (S3 -L(a/b)) 수 &로부터 얻을 수 있는 L(a/b) 를 따 라 가지친 a 겹 비정칙 덮개에 대해 알아보자. s3 을 두 개의 3 차원 공 A,B 로 가르는 s2 가 있다. 여기서 (A,AnL(a/b)), ( B,BnL(a/b) ）는 모두, 두개의 선분이 서로꼬이지 않고자신과도꼬이지 않도록 3 차원공안 에 들어가 있도록 되어 있다. 그림 10.21 을 참조하자 .A,B 의 올림을 각 각 A, B 로 나타내면 A, B 는 모두 3 차원 공이다. 따라서 우리가 구한 비 정칙 가지친 덮개는 S3 이다 .D1UD2CB 와 A 의 교집합을 aA 으로 울린 자국을 생각해보면 그림 10.22 와 같다.
그림 10.21
BnL(a/b) 의 올림을 D1UD2CB 의 올림을따라 aA 로밀어낼수있으 므로 그림 10.22 에 표시된 자국의 일부분이 BnL(a/b) 의 올림을 aA 로 밀어낸 것임을 알 수 있다 . 그림 10.23 의 왼쪽 그림은 L(a/b) 의 올림을 aA 위에 그린 것이다. 이것에 라이데마이스터 변환울 여러 번 실행하 여 오른쪽의 고리를 얻는다. 비슷한 방법으로 L(I2/5) 를 따라서 가지
麟 E?2 。
친 비 정 칙 6- 겹 덮개 위로 L (1 2/5) 를 올려보면 그림 10 .2 4 와 같다. 위 에 서 얻은, L(5/2) 를 따라 가지 친 비 정 칙 6- 겹 덮개로의 L(5/2) 의 올림 을 전체동위로 바꾸면 그림 10.25 와 같은 고리를 얻는다. 그림에서 표시 된 재표현으로부터 A,B 를따라가지친 덮개를얻자.이 덮개 위로 C 를 올리 면 L(l2/5) 를 얻는다. 다시 L(12/5) 롤 따라 가지 친 비 정 칙 6- 겹 덮 개 위 로 L (1 2/5) 를 올리 면 그림 10.26 과 같은 고리 이 다. 그림 10.26 에 서 표시된 재표현으로부터 얻어지는 C2, C5 를 따라 가지친 3- 겹 덮개
그림 10.2 4
A B
그림 10.2 6
로 Co, C6 룰 을리 면 그림 10.27 과 같다. 그림 10 . 27 의 A 를 따라 가지 친 3 겹 순환덮개로 B 를울리면 보로미안고리가된다. 한편 , 보로미안고 리는 만능임이 보여졌다 [HMHM83]. 따라서 8 자 매듭 L(5/2) 는 만능 이다.
A
10.S 덴 수술과커비 조작 덴수술의정의 다음과같은정보가주어져 있다하자. (l) 3 차원 다양체 M 과 L=l1 U·•·Ulm 으로 표시되는 m 개의 성분을 갖는 고리 L 이 M 의 내부에 있다. (2) L 의 각각의 성 분 h 의 닫힌 관상근방 Ni 가 있고 관상근방의 둘 레에 단순폐곡선Ji가있다. 이 때 새로운 3 차원 다양체 M' 을 다음과 같이 만들 수 있댜 M' = (M —lnt ( N 1 U·· ·UNm) ）나, (N1 U···UNm) h 는 h ; oN, U • • • U oNm ➔ (oN, U • • • U oNm) C M 인 위 상동형 사상으로서 hI8N, 는 N i의 횡선 µi를 Ji로 보내는 0Ni 간의 위상동형사상이다. M' 은 M 一 In t (N1 U· • ·UNm) 과 N1 U• • •UNm 을 h 를 따라 그들의 경계들을 붙여 서 만든 것이다. 각 /.Li를Ji로 보내는 oN, U···U oNm 간의 다른 동형사
상을선택하여 3 차원 다양체 M 을 만들었을 때 M' 과 M 은서로 위상 동형이댜 따라소 주어진 (M,L, {N;}, {J;})는 유일한 3 차원 다양체를 생 성한댜 이와 같이 새로운 다양체 M' 을 만드는 것을 수술지침 (surg e ry ins tr u cti on ) ({N;}, {J;})에 의 해, (M, L) 에 시 행 된 덴 수술 (Dehn surg e ry)이 라고한다. 덴 수술에 관한논의는 대부분 M 이 S3 혹은 R3 일 경우에 이루어질 것 이다.또한 h 의 관상근방 N i는유일하게 선택된다고할수 있으므로,이 것이 덴 수술을 위해 어떤 특별한 정보를 주는 것은 아니다. 8Ni 는 토 러스이고, 토러스 위의 단순 폐곡선들은 그들의 변이류에 의해 전공 간 동위적으로 분류를 할 수 있다. s3 안에 있는 방향이 주어진 고리 L=/1U••·Ulm 의 각성분 h 들의 관상근방둘레 위의 종선 A i는 h 와같 은 방향을 가지고 있고, 횡선 µi와 h 간의 걸림수가 1 이라 하자. 그러 면 8Ni 위의 Ji의 변이류 [J;]는 [JJ =a iA i + bjµ i 로 표시될 수 있다. rj = b J a i라 하면 r i를 h 에 대한 수술계수 (surg e ry coef fici en t)라고 부른댜 aj = 0 이 면 bj = 士 l 이 댜 이 경 우 ri = OO 로 쓴다. h 의 방향은 r i의 부호에 영향을주지 않으나 ,s3 전체의 방향을바꾸면 r i의 부호도 바뀐다. 따라서 고정된 방향을 가진 s3 에서의 덴 수술은, 주어진 고리 L 과수술계수 {r j}에 의해 결정된다. 덴수술의예 (1) 풀린 매듭 K 와 수술계수 r= q/p에 대한 수술 결과는 렌즈 공 간 L (p,q)이댜 (2) 세잎 매듭과 수술계수 +1 에 대한 수술 결과는 포앙카레 다양 체이다. (3) r1 = oo 이 면 (lI U • •• Ulm, {r1, ... , rm} ）에 대한 수술 결과는 (/2U ···Ulm,{r2, ... ,rm} ）에 대한수술 결과와 같다.
커비변환 L=Li U·· · Ulm 을 h 이 풀린 매듭인 고리라 하고 {r1' ... 'rm} 을 수술 계수라 하자. h 의 관상근방의 S3 에 대한 여공간의 닫힘 공간은 채워 진 토러스이댜 이것을 T 라 하고, h 을 둘레로 갖는 원판을 D 라 하자. 그러면, D 와 만나는 다른 고리 성분들은 D 와 횡단적(tr ansversal) 으로 만난다고가정할수있다 .T 에 대한그림 10.28 과같은비틀림 동형사 상의 상을 T' 이라하면 T' 과 h 의 관상근방을그들사이의 둘레 동형사 상에 의해 붙여서 3 차원 구 S' 을 만들 수 있다. S' 안에 새로 만들어진
그림 10.28
고리를 L'=l;u ..• Ul 午이라하자 .L 의 각성분돌의 수술지침 곡선들이 L' 의 각성분들의 관상근방경계 위에 어떠한곡선으로변하는가를추 적하면 새로운수술계수{1i, ... ,r'm } 들을 얻을수 있을것이다. 이렇게 새로운고리와수술계수를얻어내는것을커비 변환 (K ir b y move) 에 의 한 수술 변 경 (surge r y mod ifi ca ti on) 이 라 한다. 이 때 (L, {r i})와 (L', ｛다})의 수술 결과는 서로 위상동형이다. 만약 그림 10.29 의 왼쪽과 같이 h 의
-一·-
방향이 주어져 있고그방향에 따라 T 에 대해 1 회전 비틀림을시행했 다면 커비 변환에 의해 L' 은 그림 10.29 의 오른쪽과 같이 될 것이다. 따 라서 ,n 회전 비틀림을시행했다면 D 근처의 고리들은 n 회전 비틀림을 시행한모양이 될 것이다.우선 그림 10.29 와 같이 오른손 비틀림을 시 행하는 경우에 수술계수가 어떻게 변하는지 살펴보자. r1 =b1/a1 이라 하면, aIA)+b 따)으로 나타나는 h 의 관상근방 둘레 위의 단순폐곡선은커비 변환에 의해 (a,+b1)A1+b1µ,1 으로변화한다. 따라서 Ii = b1/(a1 +b1) = 1/(1 + l/r1) 이다. l8 성분의 수술계수를 살펴 보자 .l 유의 관상근방둘레 위의 횡선 µ2 는[유의 관상근방둘레 위의 횡 선으로 보내진다. 그러나, h 와 그 자신의 종선 ,l., 2 는 그림 10.30 의 오 른쪽과 같이 보내진다. 이때 비틀림 동형사상에 의한 A2 의 상을入伊라 하자. D 와 같은 방향으로 D 를 관통하는 l2nD 의 개수를 u, 반대 방향 으로 D 를 관통하는 l2nD 의 개수를 d 라 하자. 그림 10.30 에서 보듯이 lk(l;,A; ）는 상자 내의 엇갈림들로부터 얻어지는 걸림수와 같음을 알 수 있댜 상자 내에서 위로 향하는 가닥 하나를 따라가면서 얻어지는 걸림수는 u-d이다. 또한 아래로 향하는 가닥 하나를 따라가면서 얻 어지는 걸림수는 d-u 이다 . 따라서, llc(l;, 沿 = u(u-d) + d(d-u) = (u -d)2 이 댜 (u 一 d)2 = (llc(/1, 12))2 이 댜 Ii = (a2 +a2(llc(l 1, l2) )2 )/b2 이 댜 지금까지 우리가살펴본바를다음과같이 정리할수있다 . 정리 10.5.1. 고리 L= l1 U···Ulm 의 j번째 성분 [i가 풀린 매듭이라 하고 이 고리에 대해 수술계수 {r1, ... 'rm} 이 주어져 있다고하자사에 대해 오른손 방향의 커비 변환을 t번 하면 새로운 수술계수를 다움과 같이 얻을수 있다.（왼손 방향의 변환일 경우는t <0 이다.) r1 = 1/(t+ (l/rj )) 다 = ri + t(l lc(l;, lj)) 2 (i ij)
그림 10.3 0
3 차원 다양체와고리 수술 다음의 정리는 리코리쉬 A갈 래스에 의해 각각 증명된 것이다. 정 리 10.5.2. [Lic 6 2, Wal69] 모든 방향이 있는 닫힌 연결 3 차원 다 양체는 S3 안의 고리 에 대한 수술로부터 얻을 수 있으며 특히, 각각의 성분이 모두 풀린 매듭인 고리에 대해 계수가 士 1 인 수술에 의해서도 얻어질수있다. 다음과 같은 분류 조건을 가지는 S3 안의 고리에 대한 수술의 동치 류를생각할수있다 . (1) oo 계수를가지는성분을제거하거나첨가한다. (2) 커비 변환을 한다 . 만약 어 떤 수술지 침 (L, {r;} ）로부터 (1), (2) 롤 유한번 시 행 하여 수술 지침 (L', ｛다})를 얻을 수 있다면 두 수술은 동치라 하자. 동치인 두 수 술은 위상동형인 3 차원 다양체를 생성한다. 정 리 10.5.3. [Kir7 8, FR79] 동형 인 3 차원 다양체를 생성 하는 두 수 술지침은수술동치이다. 위 정리로부터 S3 안의 고리에 대한 수술의 동치류들과, 위상동형 으로 분류되는 방향이 있는 닫힌 연결 3 차원 다양체의 동치류들은 일
대일 대응 관계에 있음을 알 수 있다. 이 결과는 커비(R. Ki rb y)에 의해 얻어졌으며 [Ki r7 8], 펜(R. Fenn) 과 루케(C. Rouke) 는 수술의 동치류 조건을좀더 단순화시켰다 [FR79]. 위에 소개된 것은펜과루케에 의 해 단순화된 조건들이다 .
재 11 장 매듭이론 연구의 최근동향 이 장에서는 지난 약 10 년 동안 매듭이론연구에 많은 변화를 가져 왔던 새로운 불변량들에 대하여 설명하려 한다 .1980 년대 중반폰 존 스(V.F. R J ones) 에 의 해 비 롯된 양자역 학, 통계 역 학과 같은 분야의 물 리학적인 직관과지식을 매듭이론에 적용하고자하는시도는에드워 드 위튼 (EdwardW itt en) 에 의해 활짝꽃피게 된다.그러나주로 적분을 이용하여 정의된 이와같은불변량들은구체적인 예에 대하여 계산하 기가 매우 어렵거나 거의 불가능하고, 수학의 생명인 엄밀성이 결여 되어 있었으므로당장있는그대로를받아들이기에는무리가따랐다• 그리하여 이러한 불변량들을 좀더 수학적으로 타당한 방법으로 정의 하고 그 의미를 따져보려는 노력이 많이 이루어졌다. 이 장에서는그 결과로 지난 약 10 년 동안 매듭이론연구에서 얻은 성과들 중에서 주 로 조합수학적 방법론으로 설명할 수 있는 고리와 3 차원다양체의 불 변량을 중심으로 다루고자 한다. 아울러 최근 DNA 관련 연구에서 그 의 필요성이 대두되어 매듭이론의 새로운분야로떠오르고있는무작 위 매듭이론에 대하여 소개한다.
11.1 존스-웬출사영원과램퍼리-립 재결합이론 존스 다항식은 원래, 고리를 닿임으로 표현하고 닿임군의 템퍼리 립 대수 (Tem p erle y-Li eb Al g ebra) 로의 재표현의 특성 수 (charac t er) 를 계 산하여 얻어졌다.또한이 다항식은 3 장에서와같이 실타래 관계로정 의된 카우프만 괄호를 통해서도 얻어진다. 이 절에서 우리는 이 두개 의 개념을연결시켜 고리와공간그래프의 새로운불변량들을유도하 고자 한다. 특히 차수가 3 인 공간그래프의 불변량은 3 차원 다양체의 불변량을 추출하는 데 매우 유용하게 사용된다. 템퍼리-립 대수와존스-웬출사영원 각각 n 개의 위로들어가고아래로나오는실가닥이 있는 n- 가닥실 뭉치 (n-s tr and t an g le) 의 집합에 세로로 쌓는 연산은 잘 정의되고 닫혀 있댜 이 집합에 다음과 같은 카우프만의 실타래 관계를 주면 모든 실 뭉치는 Z[A,A-1] 에 계수을가지는닫힌성분과엇갈림이 없는실뭉치 의 일차결합으로쓸수있다.
x=A\+A-l) (
여기서 d=-A2-A-2 이고 0 니 T 는 평면에서의 실뭉치 T 와 만나지 않 는 조르단 곡선 O 와 합집 합을 나타낸다. 닫힌 성분과 엇갈림이 없는 n- 가닥 실뭉치는 다움과 같은 n 개의 기 본 실뭉치 ln,UJ ,u 2, ... ,Un-I 의 곱으로 쓸 수 있다.
u\_||||_A \ u\
기본실뭉치들사이에는다음그림과같이 관계식 ul=du;,u;u; 士 1U;= U;,U 沮'j =Uj U i ,I i―j l > 1 이 성립한다.
' . . . . . . . .,
위의 관계들을 관계식으로 가지면서 n- 가닥 기본 실뭉치로 생성되 는 Z[A,A-1] 상의 대수 Tn 을 템퍼 리-립 대수 (Tem p erle y -L i eb al g ebra) 라 부른댜 여기서 Z[A,A-1] 은 Z[A,A-1] 의 분수다항식들로 이루어진 환 이댜 위에서 관찰한바와 같이 템퍼리-립 대수 Tn 은 실뭉치의 정칙동 위 류 (re g ular iso to p y class) 들로 생성 된 Z[A , A-1] 상의 자유대수를 카우 프만실타래 관계식으로나누어서 얻을수도있다. 4 장의 닫힌 맣임을 얻는 것과 마찬가지로 n- 가닥 실뭉치를 닫아서 닫힌 실뭉치를 생각하면 고리가 되는데 이 닫힌 실뭉치의 카우프만 괄호다항식〈〉은 템퍼리-립 대수의 단항원소들에 대하여 잘정의되며, 이를 선형적으로 확장하여 모든 원소에 대하여 정의할수 있다. 또한 이 괄호다항식에 휘감김 (curl) 으로 생길 수 있는 값을 3 장에서와 같이 적절히 보전하면 존스 다항식을 얻게 된다 .n- 닿임도 n- 가닥실뭉치이 므로 템퍼리-립 대수 Tn 의 원소로 생각할 수 있는데 실제로 아르틴의 생성원 아는 Au;+A-1ln 으로 표현되고 여.J는 A-1u;+Aln 으로 표현된 다.
우리가카우프만괄호다항식을 템퍼리-립 대수를통하여 소개하는 이유는 템퍼리무] 대수에는 다음에 정의할 존 스 -웬출 사영원(Jo nes Wenzl p roj ec t or) 이라고 불리는 매우 유용한 원소가 있기 때문이며, 이 원소는 한 실뭉치로는 절대 표현되지 않는다. 템퍼리-립 대수 Tn 의 존 스-웬출사영원fi,f2 , ••• ,fn 은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다. fk/+1I == flkn - —Cl.k +I hU k+lfk Ak 었 +1 _x-n-1 여 기 서 Cl.k = l:l. k(-A2) 이 고, Cl.k (X) = x-x-1 은 k 번 째 체 바 세 프 다 항식 (Cheby sh ev p ol y no mi al) 이댜 그러면 존스-웬출 사영원들은 다움 과같은성질을가지는것을수학적 귀납법에 의해 쉽게 보일 수있다 . 보조정 리 11.1.1. (l) fl =f; (i= l, ... ,n) ((24)) f(;uu ;j f =; )0도 = —A u핥沿 (ui ;>f ; j) (3) if,;사 = An Ii; (5) (f;U ; )2 = —li;-1f ;u; 사실상위의 보조정리에서 성질(1)과 (2) 를만족하는원소fn 은 Tn 에 유일하게 존재하는 것도 쉽게 보일 수 있다. 또한 존스-웬출 사영원 fn 을 순열닿임의 일차 결합으로 직접 쓸 수도 있지만 생략한다. 자세 한 것은 [KL 94] 를 참고하기 바란다 . 고리와 3 차 그래프의 가중 카우프만 괄호다항식 평면에 성분이 m 개인 고리 그림 L=L1 U .. ·U4n 이 있다고 하고, 음 아닌 정수로이루어진 벡터 a=(a1, ... ,am) 이 있다고하자 . a*L 은 L 의 i번째 성분을그의 a; 개의 평행한분신들로 대치하고존스-웬출사영
원fa 를끼워넣은가상의 고리 그림이라하자.즉적당한템퍼리-립 대 수의 원소의 닫힘이다. 여기서 벡터 a 를 가중치라 부르자. 아래의 예 에서는 가중치가 (2,0,3) 인 경우이고. 네모상자는 존스-웬출 사영원 을나타낸다.
그러면 카우프만의 괄호다항식 (a*L) 은 분명히 원래 고리 L 의 정칙 동위 불변량이 된다. 이 다항식을 가중 카우프만 괄호다항식 (colored Kauf fm an p oly nom i al) 이 라 부르며 3 차원 다양체 의 위 튼-레 쉬 티 킨-투라 에프 불변량을 정의하는 데 사용된다. 그리고 존스-웬출 사영원과 휘 감김에 대하여는 다음과 같은 성질이 있으며 보조정리 1 1.1.1의fn U j= 0=u f,,,이라는 성질과 앞서 언급한 6번 =A 士 1u;+A 干 Iln 이라는사실로 부터 쉽게보일수있다. 보조정리 11.1. 2. 템퍼리-립 대수상에서 다음이 성립한다. (1) (a) 가중치 n 이 부여된 양의 휘감김은 (-l t An(n+2 )fn 과 ` 같고, (b) 가중치 n 이 부여 된 음의 휘 감김 은 (— I t A-n(n+2 )fn 과 같다. (2) 아래 그림(ii)의 원소는 (-A2n+2_A-2n-2 )fn 과 같다.
ln二 中\ 二—
따라서 임의의 가중치 벡터에 대하여 가중카우프만괄호다항식도 휘감김에 의하여 생기는값을보정하여 고리의 불변량으로만들수있 는데, 이를 채색 존스 다항식 (colored Jon es p ol y no mi al) 이라고도 부른 다. 세 개의 존스-웬출 사영원이 다음 왼쪽 그림과 같이 놓여 있을 때, 간단히 차수가 3 인 정점을 가지는 오른쪽 같은 그래프로 나타낸다.
c
그러면가닥수들사이에는다움관계식이 만족한다. m = (a+b 군 )/2 n =( c+a-b)/2 p = (b+c-a)/2 따라서 a,b,c 가 양의 정수이면서 a+b-c, c+a-b, b+c-a 가 모두 양의 짝수이면 m, n, p는 자동으로 결정된다. 따라서 a+b-c, c +a-b, b+c-a 가모두 양의 정수이면서 a+b+c 가짝수이면 {a,b,c} 를 허락된 가중치 (adm i ss i ble we ig h t)라 한다. 모든 정점의 차수가 3 인 공간 그래 프의 평면에 대한 정규사영을 생각하자 . 그리고 모든 정점에서 허락 될 수 있는가중치가각 변에 부여되어 있으면, 이러한그래프 그림을 3 차 네트워크 (ne tw ork) 라 부른다. 앞서 언급한 바와 같이 임의의 3 차 네트워크는 가중치가 부여된 가상의 고리 그림이며, 템퍼리-립 대수 의 원소를 닫아서 얻은 것으로 생각할 수 있고 그것의 카우프만 괄호 다항식을 계산할 수 있다. 따라서 카우프만의 실타래 관계식들에 의 해 같아지는 두 개의 Z[A,A-1] 상의 3 차 네트워크의 일차 결합이 같다 고 정의하는것은자연스럽고 템퍼리-립 대수와도일치한다.
보조정리 11.1.3. (1) （비틀림 공식)
증명 (1) 가중치 b 와 c 인 가닥을 비틀어 엇갈림을 없애주는 조작에 의해,가중치 a 인 가닥은 양의 반비틀림을 얻고가중치 b 와 c 인 가닥은 음의 반바틀림을얻는다.또한 3 차정점에 대응하는고리 그림을생각 해보면 (b+c ― a)/2 개의 가닥이 가중치 b 와 c 인 쪽을 연결하고 있어야 한댜 따라서 위 조작에 의해 새롭게 (b+c-a)/2 개의 음의 휘감김이
생긴댜 보조정리 1 1.1. 2 와 휘감김에 관한 카우프만 괄호다항식의 성 질(제 3 장 참조)을 이용하여 이 모든 변화가 다항식에 미치는 영향을 계산하면된다. (2) 존스-웬출사영원의 귀납적 정의를이용하여 사영원이 5 개 포함된 네트워크들사이에 점화식을얻어서 계산한다.자세한것은 [KL94] 를 참조하기 바란다. (3) 만약 a > b 이면 이 네트워크에는 가중치 a 쪽에서 시작하여 아래로 내려갔다가다시 되돌아오는가닥이 반드시 존재하게 된다.따라서 보 조정리 1 1.l.1 (2) 에 의해 ,a 쪽에 붙어 있는존스-웬출사영원이 이 네트 워크를 0 으로 만들게 된다. 여기서 0 이라 함은 이 네트워크가 임의의 닫혀있는 네트워크에 들어 있으면 그 네트워크의 괄호다항식은 항상 0 이 된다는뜻이다.비슷한방법으로 b>a 여도이 네트워크는 0 이다. a=b 라면 주어진 템퍼리-립 대수의 원소를 g라 하자. 그러면 적당한 상수 A 에 대하여 g=잡a = 1/a 가 되고,g =0(a,c, d)이고ja = Aa 이므로 원 하는결과를얻는다. □ 카우프만 괄호다항식의 값과 재결합이론 3 차 네트워크와 가중 카우프만 괄호다항식에 관한 이론들 중에서 6j -기호를 이용한 재결합 (recou pli n g) 정리는 양자물리이론에 등장하 는그것과 매우유사하여 3 차네트워크를도입한접근방식이 효과적 임이 입증된다. 양자군 SU(2) q를 통하여 얻은 3 차원 다양체의 불변량들을 가중 카 우프만 괄호다항식을 가지고 설명하기 위해서는 괄호다항식의 값을 A 가 1 의 4r- 제곱근일 때 계산하여야한다. 다음의 두보조정리는이 경 우특정한가중치들에 대하여 상당수의 네트워크들이 소멸하는동일 한가중카우프만괄호다항식의 값을가진다는사실을보여준다. 보조정 리 11.1.4. A = e 붕 이 라 하면,
(1) 모든 n 에 대하여 An 은 실수이며,fn = An = An+r= fn +r 이다. (2) fn = ll.n =0 일 필요충분조건은 n=r-1 이다. 또한 적어도 한변 에 가중치 r-1 이 부여된 닫힌 네트워크의 카우프만괄호다항 식의 값은 0 이다 (3) 허락된 가중치 {a,b,c} 에 대하여 a+b+c 츠 2r-2 이면 다움의 기본적인 네트워크
=
을 포함하는 닫힌 네트워크는 0 이다. A211+2 -A-211-2 증명. A,1= A2-A-2 이므로 (1) 과 (2) 의 첫 명제는당연하다. 존스-웬출 사영원fr -I 을 포함하는 고리 그림을 이fr -1 을 제외하고 는 엇갈림이 없는 고리 그림들의 일차 결합으로 나타내면 보조정리 11 .1.1( 2) 에 의해 jr 」의 상수배 형 태를 제외하고는 항들이 모두 0 이 된(댜3) 을따 증라서명 하(2기) 의 위 둘해째 m 명= 제a+도b2 —당 c연 ,하 m다=. b +c2 — a , p= c+2a -b 라하고 m',n', p'을 m' 츠 m, n' 츠 n, p' :Sp와 m'+n'+p ' = r-I 을 만족하는 움아 닌 정수라하자.그러면 다움그림과같이 되고,가운데 그림에서 바깥 쪽에 위치한사영원 3 개를 엇갈림이 없도록일차결합으로풀면,보조 정리 1 1.1. 1(2) 에 의해 오른편 그림에 주어진 네트워크의 항들을 제외 하고는모두 0 이 된다.
= =EAi
그리고 살아남은 항은 모두 a' + b'+c' = 2r— 2 를 만족하는 허락된 가중치 {a' ,b',C'} 에 대하여 0(a',b',c') 의 상수배이며 이들은 보조정리 11. 1.3( 2) 와 위 의 (1) 에 의 해 모두 0 이 다. D 다음그림과 같이 가중치 a,b,c,d 가부여된 4 개의 열린 가닥이 있는 네트워크의 집합을 T[ 갑니로나타낸댜
二
물론이 집합에서도카우프만의 실타래관계는유효하다 . T,S E T[ 갈;]에 대하여 〈 T,S) 를 다음 그림과 같이 S 를 뒤집고 대응 되는 가닥끼리 이어서 닫힌 네트워크를 얻은 후 이것의 카우프만 다 항식을계산한결과로정의하자.
T[ 감]의 두원소 T,T' 이 임의의 sET[ 감]에 대하여
함으로써 앞으로 2 절과 3 절에서 다룰불변량들을유한합으로 정의할 수있게 된다. 보조정리 1 1.1.4와 보조정리 1 1.1. 3(2) 에 의해서 {a,b,c} E ADM q이 면 0(a, b, c) =/0 임 을 알 수 있댜 반면 허 락된 가중치 {a, b, c} 가 {a, b, c}f / ADM 려면 보조정리 1 1.1. 4(3) 에 의해 가중치 {a , b,c} 를가지는 정점이 있는 3 차 네트워크는 0 임을 알수 있다. T[ 갈기에서 다음그림에 주어진 것과같은특별한원소Tj (a,b,c, d) 와 T[(a, b, c, d) 를 생 각하자.
b c b C
보조정 리 11. 1.5. 집 합 B = {Tj(a , b, c, d) I {a, b,j} , {c, d,j} E ADMq } 와 B' = {T!(a, b, c, d) I {a, b, i}, {c, d, i} E ADM 사는 각각 T[ 컵]의 기 저 이 댜 증명. 기호의 편의를위해 Tj =Tj (a,b,c, d)라두고,복소수 Cj 에 대하 여 Lj Ci ½=0 이라하자.따라서 임의의 Ti EB 에 대하여
a c a c
존스원출 사영원의f;=fn 이라는 성질을 이용하면, 모든 항에 u; 를 포함하는 적당한 일차 결합 Rn 에 대하여 In =f, 1+Rn 이라고 쓸 수 있으 므로 T=Tn+T' 으로 쓸수 있게 된다. 여기서 T' 은 n'
보조정리 11.1.7. (1) (q -6j -기 호의 값)
위 등식을풀어 원하는q -6j -기호의 값을 얻는다.
한편,
그런데 홍 = 0(c,d,e)O(;'I:>l) O (a,b,k)가 되어 0 이 아니므
그러면 A=-1 인 경우에는 [n]=n 이 되고,우리가관심이 있는 A=e 쁩 인 경우에는 보조정리 1 1.1. 4 (1)에 의해 [n] 은 언제나 실수가 된다. 홍 미있는것은 A=-1 이면카우프만괄호다항식의 값은순전히 고리 그 림의 연결성분의 수에 의하여 결정되고 연결성분마다 -2 를 곱해서 얻어진다. 만약 A=-1 일 때 가중 카우프만 괄호다항식의 값이 가중 치에 관한식으로 얻어졌다면 일반적인 A 에 대하여는가중치를 나타 내는 정수를 양자정수로 바꾸면 가중 카우프만 괄호다항식 의 값이 얻 어진다는 사실이 예외없이 들어맞는다. 하지만 이 사실은 아직 증명 되지 않았다 . 실은사면체 네트워크 Te t(갑 U) 의 값도이런방법으로
추정되었다.q -6)- 기호의 값에 나오는기본적인 닫힌 네트워크들의 값
증명. (1)과 (2) 는 앞에서 이미 다루었고 (3) 은 수학적 귀납법으로 증명하면 된댜 자세한 것은 [MV 94] 를 참조하기 바란다. D 마지막으로세타네트워크와사면체 네트워크의 값을보존하는가 중치들의 순열에 대하여 알아보자. 따름정리 11.1.10. (1) 0(a,b,c) 는 (a,b,c) 의 임의의 순열에 관 계없이 일정하다• (2) Te t(업)는 (업)의 두 열을 바꾸거나, 한 열을 고정시키 면서 두 행을 바꾸는 것에 관계없이 일정하다.
증명 보조정리 1 1.1. 9 를 이용하여 쉽게 증명할 수 있지만, 네트워 크의 대칭성을이용한다양한사영을 생각해서 증명해도된다. 0 11.2 위튼-레쉬티킨-두라에프불변량 우리 는 10 장에서 3 차원 다양체를 3 차원 구로부터 틀고리 로 주어 진 수술지침을 따라 덴 수술을 시행하여 얻어지는 것을 살펴보았다. 즉 3 차원 구의 틀고리가유일하게 삼차원 다양체를 정의하고 , 일련의 커 비 조작에 의해 같아지는틀고리들은위상동형인삼차원 다양체를주 는 것을 알아보았다. 위튼 (W itt en) 의 불변랑은 길들로 이루어진 공간 에서 파인만 적분으로 주어진 임의의 3 차원 다양체에 있는 고리의 불 변량인데 그냥 3 차원 다양체의 불변량으로도 생각할 수 있다. 얼마후 레쉬티킨 (Reshe tikhi n) 과 투라에프 (Turaev) 에 의해 일련의 3 차원 다양 체 불변량이 발견되었다. 그들은 SU(2) 의 양자군 , 즉 SU(2) 상의 양자 화된 호프 대수 (Ho pf Al g ebra) 와 양-박스터 (Yan g-Bax t er) 의 관계를 만 족하는 특수한 변환을 이용하여 채색 존스 다항식을 유도하고 이를 통하여 3 차원 다양체의 불변량을 얻을 수 있음을 보였고, 위튼에 의 해 이 불변량이 그가 정의했던 불변량과 일치함이 확인되었다. 이 위 튼-레쉬티킨-투라에프 불변량은 리코리쉬(Li cko ri sh) 에 의해 템퍼리 립 대수를이용하여 순전히 조합수학적인방법으로기술되었고불변 량임이 증명되었다. 이 절에서는 리코리쉬의 접근방법으로 위튼-레쉬 티킨-투라에프불변량에 대하여 알아보고자한다. 틀고리와칠판틀 평면에 놓여 있는 방향이 주어진 고리 그림에 대하여 고리를 따라 고리에 대하여 수직인평면에서의 단위 벡터장을생각하자.그러면이 단위 벡 터 장은 자연스럽 게 고리 를 따라 띠 (annu li)들을 형 성 하게 된다.
고리의 한 성분에 대응되는 띠의 두 둘레의 걸림수를 이 성분의 칠판 틀 (blackboard fr am i n g)이라 한댜 따라서 고리 그림의 한 성분의 칠판 틀은 3 장에서 그성분의 다루었던감김수 (w rit he) 와같은것임을알수 있댜 평면의 고리 그림은 칠판틀을 통하여 틀고리(fr amed li nk) 에 대응될 수 있으며, 고리 그림의 집합에 정칙동위와 아래 그림에서 정의된 조 작에 의해 생성되는 띠동치 (r i bbone q u i valence) 를주면 고리 그림과틀 고리는 일대일 대응관계에 놓인다. 참고로 두 종류의 음의 휘감김이 동치라는것도 정칙동위와띠동치로보일수있다.
二 ~二 〈
위의 그림에서 음이 아닌 정수 n 에 대하여 고리 그림 Kn 은 양의 휘 감김(p os iti ve curl) 이 n 개 있는 풀린 매듭으로 rr1(S3-Kn) = (al >= Z 가 되고, rr1(M3 (K n)) = (alan> = Z 까 되어 M3(Kn) 은 일반적으로 렌즈 공 간 L(n, 1) 이 댜 특히 M3(Ko) 는 S1 x S2 이 고, M3(K1) 는 s3 이 다. 고리 그 림 T 는 음의 휘감김이 두 개 있는 양의 세잎매듭(p os iti ve tr e foil)으로
rr1(S3-n = (a,b , cla = c-1bc, b = a-1ca 〉이 되 고, rr1(M3 (T )) = (a, b, cla = c-1bc,b =a -1ca,cbac-2 〉가 되며 이를 가환화하면 H1(M3(T)) =0 이 되 어 M3m 는 포앙카레 의 호몰로지 3 차원 구이 댜 10 장에서 보았듯이 리코리쉬(Li cko ri sh) 는 모든 컴팩트 3 차원 다양 체가적당한틀고리에 덴수술을하여 얻어진다 [L ic 62] 는것을증명하 였고 커비(Ki rb y)는 위상동형인 3 차원 다양체를 주는 두 틀고리 사이 의 관계를 밝혔다[Ki r78]. 이를 칠판틀을 가지는 고리 二 그림에 관한 내 용으로 정리하면 다음과 같다 . 정리 11.2.1. 모든컴팩트 3 차원다양체는적당한고리 그림에 칠판 틀을 수술지침으로 덴 수술을 하여 얻어지고 , 위상동형인 3 차원 다양 체를 주는 두 고리 그림은 하나로부터 다른 하나를 일련의 다음과 같 은조작에 의해 얻을수있다. (i) 정칙동위와 띠동치. (ii) 손잡이를 따라 미끄럼 타기. (iii) 다움과 같은 칠판틀이 士 1 인 풀린 고리 그림을 다른 성분과 만 나지 않게 추가하거나삭제하기. 이러한조작들을각각바람 넣 기 (blowi ng u p)와 바람빼 기 (blowi ng down) 라고도 부른다 .
@J @J
불변량의정의와불변성 양자적 가중치로 사용할 수 있는 정수의 집합이 다움과 같이 주어 졌을때, I ={ 0, 1, 2, … , r -2 } m- 성분 고리 그림 L=Li U Li. U···U4n 에 대하여 순열가중치 (J)가 L 에 부여되었다고 하는 것은 다음과 같이 (J) *L 의 카우프만 괄호다항식을
\ 三
(ii) 띠동치 (iii) 손잡이룰 따라 미끄럼 타기 증명 임의의 a EZm 에 대하여 〈 a*L 〉이 정칙동위에 대하여 불변이 라는 것은카우프만괄호다항식의 성질에 의해 당연하다.그리고(i)의 그림과 같은 네트워크에서의 조작도 대응되는 고리 그림을 생각하면 역시 정칙동위의 합성으로나타낼수있다.또한보조정리 1 1.1. 2 (1)에 의해 띠동치에 관하여 (a*L 〉이 불변인 것도 쉽게 알 수 있다. 따라서 (a*L 〉의 일차 결합인 〈 W*L 〉도 (i)과 (ii)의 조작에 대하여 불변이다. (iii)은 두가지 방법의 증명이 가능하다. 첫째로 일련의 다음그림이 그증명이다.
二\홀 A J\\
여기서 두번째와 네번째 등호는 보조정리 1 1.1. 8 에 의한 것이고 나 머지 등호들은 정의 내지는 명백한 정칙동위에 의한 것이다. 그림이 보여주는불변성은미끄럼을타는성분은고정된가중치를가지고손 잡이를 주는 성분은 순열가중치를 가진 경우에 대한 것이지만 <(l)* L) 은 이와 같은 가중치를 가지는 항들의 일차 결합으로 쓸 수 있으므 로 순열 띠동치 불변량은 손잡이를 따라 미끄럼 타는 조작에 불변이 댜
다음은 리코리쉬에 의한 원래의 증명방법을 살펴보자. 우선 순열가 중치 에 관한 존스덴]출 사영 원의 점 화식 을 유도한다. 존스-웬출 사영 원f,,은 다음 점화식으로 정의되었음을상기하자. l:!,.k +i fk+I = l:!,. k+ 야 -A ifk uk+ 뱌 그런데 Ar= Ao 이고 l:!,.r -1 =0 이므로 드r- 2 Ak+if k+1 = Lr-2 C:!.k +i fk - Lr-2 !:l.lJ°ku k+i fk k= O k 국) k= O 즉
Lrk=-O 2 lik+i fk = Irk-=: 2O ti k+ 如 + Lrk-= O2 i:ikfkU k+i fk
가 되어서, 이를 순열가중치를 써서 나타내면 다움 그림과 같은 간단
이 점화식을 이용하면 그림 11.1 과 같이 순열 띠동치 불변량이 손잡 이 미끄럼타기에 대하여 불변인 것은 6j -기호에 관한사실을도입하지 않고 쉽게 증명할수 있다. □ 불변량의정규화 앞에서 소개한 바 있는 양의 휘감김이 n 개 있는 풀린 매듭의 고리 그림을 Kn 이라하고氏의 순열 띠동치 불변량(<.t)＊ K1 〉을 An 이라두자. 우선 바람넣기와 빼기조작에 사용되는 칠판틀 1 을 가지는 풀린 고리 의 순열 띠동치 불변량 A1 을 계산하여 보자.
©J c= 广〈+广
l 4r = 4(A2-A 크 )2 :(A2k -A-2k)2(-A)k2_l k=I 4r == 44((AA;2- -_AA1-32크 ) )22 >t>(((—-A) A-)22 k((_- A (/-kA+)2 따)2 + ((--AA/ tk- -2I) 2) k=I = 2( 길2 3(_A: 검크k=1) — i2(- (-AA) 2)(E ― = A )2 서(A 2--A; 크) t.(-A / k=l kI = -e 뿡 t (-e 呼 = (-1)r-2e 宁 4 i s i n 곤 k=l g s i n꿍 여기서 두번째 등호는 보조정리 1 1.1. 2(1) 에 의한 것이고, 다섯번째 등호는 보조정 리 1 1.1. 4 (1 )(2) 에 의 한 것이 고, 열번째 등호는 _A 가 1 의 4r- 제곱근이기 때문이다. 마지막 등호는 4r E( 군呼 = (-1Y2 죠 :e 꽁 k=I 라는 가우스 (Gauss) 의 합으로부터 유도할수 있는 항등식에 의한 것이 댜 이 계산에 관한 자세한 것은 [KL 94] 를 참조하기 바란다. 口 위의 보조정리에서 알 수 있듯이, 순열 띠동치 불변량은 바람넣기와 빼기조작에 의해서는항상 A1 이 곱해지거나나누어지므로이를보정 하여 3 차원 다양체의 불변량을 얻고자 한다. 주어 진 3 차원 다양체 M3(L) 의 수술지 침 이 되 는 칠판틀을 가지 는 고 리 그림 L=L1 U LJ, U·•·ULm 에 대하여 (mxm) －행렬 S(L) 을 L i와Li의 걸 림 수(linki ng number) 를 (i,j)－번 째 성 분으로 L의 감김 수(writh e) 를 (i, l)- 번째 성 분으로 가지 도록 정 의 하자. 이 대 칭 행 렬의 부호수 (s igna ture)를
a(L) 이 라 하자. 즉 a(L) 은 S(L) 의 양의 고유값 개수에서 음의 고유값 개 수를 뺀 값이댜 예를 들어 a(K11)=n 이댜 손잡이 미끄럼타기는 기저 변환에 해당하는 영향을 S(L) 에 미치므로 a(L) 는 정칙동위뿐 아니라 손잡이 미끄럼타기 조작에 의해 불변이다 . 일단 Z'(M3 (L )) =
= µ-1 (w * L> µI Ll+l( 다 ! )-a(L ) ( w * L'>µ I L'l + l(µ A 1) -a(L') = µ-1Z(M3cL))Z(M3(Z :)) = µ-1Z(M)Z(M') 여기서 u 은 두 고리의 떨어진 합 (d i sj o i n t un i on) 을 나타낸다. 수술지침 L 을 가지는 방향을 줄 수 있는 3 차원 다양체 M 에 대하여 방향을 뒤집은 다양체를 M 의 수술지침은 L 이 놓여 있는 전공간 S3 의 방향을 뒤집으면 되므로 L 의 거울상 L 이 된다 . 카우프만괄호 다항식 의 공리에 의해 (w*L 〉은 〈 0*L 〉에서 A 와 A_1 을뒤바꾸어 얻을수 있고 이 값들은 A=e 쁩와 이것의 컬레복소수 A-I 의 가감승제의 대수적 표 현이므로 (w*L> = 〈 0*L 〉이 된다. 따라서 Z(M) =꼈面尸 이다. 마지막으로 렌즈 공간 L(n, 1) 에 대해 위튼-레쉬티킨-투라에프 불변 량을 계산해보자. 우선 보조정리 1 1.1. 2(1) 을 반복해서 적용하여 = 玉An = t((J) *( sKi사 n 2 = 부 >r)-2 (석 -1()n-( kI+)1n)keA n두k(k+ 2) k= () sm r k=l 을얻는다.따라서 Z(L(n, 1)) = Z(M3(Kn)) = A 따 (µ,A1)-1 = re2二 릅론) (-1)n(k+1)e: 이다 . 11.3 두라에프-비로 불변량 1 절에서 설명한 템퍼리-립 대수상의 재결합이론의 또 하나의 응용 으로 카우프만과 린스(Li ns) 에 의 하여 고안된 방법 [KL94] 을 따라 상
태합 (s t a t e sum) 으로 얻을 수 있는 3 차원 다양체의 불변량을 소개한다. 이 불변량은 원래 피에르갈리니 (P i er g al li n i)에 의해서 그래프로 부호 화된 3 차원 다양체 (3-GEM) 이론을 통해 찾았고 [P i e88], 그후 투라에 프 (Turaev) 와 비로(Vi ro) 가 양자군 SL(2)q 상의 재결합이론을 통해서도 얻어 [TV92], 관심을 끌었다. 록수빼대와 마티비프-피에르갈리니 조작 닫혀 있지 않은 3 차원 다양체의 2 차원 뼈대 (2-sp i ne) 는 이 3 차원 다 양체와 변이동치인 2 차원 복체 (com p lex) 를 일컫는다. 닫힌 3 차원 다양 체의 2 차원뼈대는일반적으로는닫힌 3 차원다양체로부터 한개 이상 의 점을 제거하여 만들어진 열린 3 차원 다양체의 2 차원 뼈대이다. 역 으로 2 차원 뼈대에 한 개 이상의 3 차원 공을 채워서 닫힌 3 차원 다양 체를 회복할 수 있다. 주어진 3 차원 다양체의 삼각화(tri an g ula ti on) 로 부터 쌍대복체 (dual com p lex) 를 생각하여 2 차원 뼈대를 얻을 수도 있 다. 다음 그림 은 3 차원 다양체의 삼각화를 구성 하는 기 본단위 인 사면 체로부터 쌍대복체를 얻는 방법을 보여주고 있다.
사면체의 중앙에 쌍대복체의 0- 세포 (0-cell) 가, 사면체의 면마다 쌍 대복체의 1- 세포가, 사면체의 모서리마다 쌍대복체의 2- 세포가, 그리 고사면체의 꼭지점마다쌍대복체의 3- 세포가대응된다.여기서 이 쌍 대복체의 2 차원 부분복체를 2 차원 뼈대로 잡는다. 이 2- 차원 뼈대는 0- 세포부근에는 6 개의 2- 세포가모여 있고, 1- 세포부근에는 3 개의 2- 세 포가모여 있는 2 차원복체가되는데 이러한종류의 2 차원뼈대를 3 차
원 다양체의 특수뼈대 (sp e ci alsp i ne) 라 부른다. 또한 닫힌 3- 차원 다양 체 안에서 특수뼈대의 여공간은 몇 개의 만나지 않는(열린) 3 차원 공 이 되기를 요구한다. 위와 같이 삼각화의 쌍대복체를 통하여 특수뼈 대를 얻으면 여공간은삼각화의 (열린)사면체들임을 알수 있다. 특수뼈대의 3- 세포의 수는여공간을 이루는(열린 )3 차원 공의 수효 로 정의한댜주어진 3 차원다양체의 임의의 두삼각화는일련의 알렉 산더 조작 (Alexander move) 에 의해 같아짐이 알려져 있고 [Ale30], 특 수뼈대에도 이 알렉산더 조작에 대응되는 조작이 알려져 있는데 이 를 마티 비 프-피 에 르갈리 니 조작 (Ma tv eev-P i er g al li n i move) 이 라 부른 다 [SV88, Pie 8 8]. 마티비프-피에르갈리니 조작에는 그림 1 1. 2 와 같이 활꼴 조작(l une move), Y- 조작 (Y-move), 비눗방울조작(b ubble move) 의 세 가지가 있고, 활꼴 조작을 통하여 비눗방울조작과 동치인 변에서 의 비 눗방울조작 (ed g e d il a ti on) 이 있다. 여기서 특수뼈대의 3- 세포의 수는 활꼴 조작과 Y- 조작에 의해서는 변하지 않지만,（변에서의) 비눗방울조작에 의해서는 1 이 중가하거나 감소한다는사실이 쉽게 관찰된다. 세 가지의 마티비프-피에르갈리니 조작이 주어진 3 차원 다양체의 위상동형류의 모든특수뼈대들사이에 관계를 생성한다는사실의 증 명은 [TV92] 또는 [KL94] 를 참조하기 바란댜 특히 [KL 94] 에는 그래 프로 부호화된 3 차원 다양체(g ra p h-encoded 3-manif old , 3- g em) 를 이용 한간단한증명이 나와있다. 투라에프-비로 분할함수와 3 차원 다양체 불변량 주어진 3 차원 다양체의 특수뼈대의 각 2- 세포에 {O,1, … ,r- 나 중 하나인가중치가양자적으로허락된방법으로부여되어 있다고하자. 즉 어느 1- 세포 주위의 세 개의 2- 세포에도 양자적으로 허락된 가중 치가 부여되어 있어야 한다. 이렇게 가중치를 부여하는 방법을 a 로 나타내면, c 는 특수뼈대의 2- 세포 집합에서 가중치 집합 {0, 1,… ,r-
활꼴조작
l} 로 가는 함수로 생각하면 되고, a 를 보통 채색 (color i n g)이라고도 부
주변이 다음 왼쪽 그림과 같이 c 에 의해 채색된 l- 세포 e 에 대하여 0(ela) 를 오른쪽 그림과 같은 세타 네트워크의 카우프만 괄호다항식 의 값 0(a,b,c) 라 정의하며,
尸宁
c 에 의해 i로 채색된 2- 세포f에 대하여 6 (f)=i라 쓰자• 그러면 주어 진 3 차원 다양체 M 의 특수뼈대 M 에 대한투라에프와비로의 분할함 수(p a rtiti on fu nc ti on) TVM 은 다음과 같이 정 의 된댜
TVM = E(1 Hv,ej Te。t( ( veIlca))xb(e. ~: ((ff))
여기서 합은모든양자적으로허락된채색(1에 대하여 취하고곱은 모든 0- 세포 V, 1- 세포 e, 2- 세포f에 대하여 취한다. 또한 x (f)는 2- 세포 f의 오일라 특성수이고 , x(e) 는 1- 세포 e 가 O- 세포를 포함하면 l, 아니 면 0 이댜 보조정리 11.3.1. 주어진 3 차원다양체 M 의특수뼈대 M 에대한투 라에프-비로 분할함수 TVM 은 활꼴 조작에 의하여 불변이다. 증명. 다음그림에서와같이 채색된활꼴조작을생각하자.
广-广
여기서 오른쪽그림을포함하는특수뼈대의 분할함수에서 그림과같 이 특정한 채색 a, a' ,d, i,j에 의해 주어지는부분합을 R 이라하면 R = Ro A:n0A(Xaa1', Ab ,X ;b)A。 (Xad,d dA,X))i A J& EO (bT, eC t,j) (O (c일, d ), Ti)eO t(a(’;, d :,{j) )O ( 색a’, b , i) = Ro A: 국0(a, - b1, Ai)O; b(aA, d?,Aj) f ' AJ& EO T(eb ,t c(,j십) O ;(c), dA, ci ) OT(ea’t, ( d{, JE) O ()d, A b,a i' )
= Ro 색 AO?(da,- b1, Ai;)Ob (呼a, d ,Aj) f ' AJ x. , 피 tj ; }」{ : :' }q =Ro A:a+0X( tar-, 1 b ,/ :i))0, .(a:,감 dd A,jf) ' A /, 여기서 Ro 는 특수뼈대의 다른 부분에서 계산된 분할함수의 값을 나타내고,오일러 특성수를 계산할 때는부여된 가중치로 2- 세포를나 타냈댜 그리고 c 에 대한 합은 (b,c,j) , (c,d,i) , (a',b ,i) , (a',d, j)가 모두 ADM q에 속하는 모든 c 에 대하여 취한댜 그러나 이 보조정리는 A 가 일반적이 값에서 이러한 가정이 없이도 증명될 수 있다. 두번째 등호 는 따름정리 1 1.1. 10(2) 이고, 세번째 등호는 보조정리 1 1.1. 7 (1)에 의한 것이고, 네번째 등호는 보조정리 1 1.l. 7(2) 의 직교항등식에 의한 것으 로 a'=a 인 경우에만 c 에 관한 합부분이 1 이고 아니면 0 이 된다는사 실이 사용되었다. 위의 왼쪽 그림에서 가중치 a 가 부여된 2- 세포의 오 일러 특성수는오른쪽그림에서 사용된오일러 특성수를사용하여 나 타내면 Xa+Xa'-1 이 되므로 R 은 활꼴조작에 의하여 불변이다 . 口 보조정 리 11.3.2. 주어 진 3 차원 다양체 M 의 특수뼈 대 M 에 대 한 투 라에프-비로분할함수 TVM 은 Y- 조작에 의하여 불변이다. 증명 다음그림에서와같이 채색된 Y- 조작을 생각하자
여기서 오른쪽그림을포함하는특수뼈대의 분할함수에서 그림과같 이 특정한 채색 a,b,c,d,e,k, i,j에 의해 주어지는 부분합을 R 이라 하 면 다움과 같은 동식을 얻을 수 있다. 여기서 no 는 특수뼈 대의 다른 부 분에서 계산된 분할함수의 값을 나타내고, 오일러 특성수를 계산할 때
는 부여 된 가중치 로 2- 세포를 나타냈다. 그리 고 합은 양자적 으로 허 락 되는 가중치 m 에 대하여 취해야 하지만 일반적인 A 에 대해서는 이 가 정이 없이도 층명된다. 네번째 등호는 보조정리 1 1.1. 7(3) 의 오각항등 식에 의한것이다. 맨 마지막식은 정확히 위의 왼쪽그림을포함하는 특수뼈대의 분할함수에서 그림과 같이 특정한 채색 a,b,c,d,e,k, i,j에 의해 주어지는부분합이 되므로 R 은 Y- 조작에 의하여 불변이다. n=no 0(Ab,f c' ,A i 점)0 A(dj,N e A,j:b) 0 A(§cC, dA, ;ld) 0A( b:r, Aa,f kI A)0f( e ,A km, I) E Te t(십 ?)Te t(麟 i )Te t(昌 l) m 0(a, e , m)0(d, i, m)0(b, I, m) AX i A;A?A t bA 장석딱석 1-1 fl. r-l ='Ro 0(b, c, i)0( d, e,j) 홀 0(aT,e e t, m()십O (?d, )i, lml.m)O T(ebt, ( l~, m 昌)O)(c, dA,l lT)eO t (b(, a십, k $)O)(e A, kk, l) AX’ A 정 삭 A;b A장 석 d A:' A;k-1 Af '-1 ='Ro 0(b, c, i)0 (d, e,j) 홈 { 7} q { 5盆 i L{ t ; $ }q =Ro Af ' A;n A? 0A(;b 냉, C장, i) 석O (d d, fel.,*j') f l .:k -l 석i -l { jb ac k』 {dk ec ll L Te t(信 1)Tet( } 나) A f IA;nA?ArA:CAY 석적색 ='Ro 0(b, c, i)0( d, e,j) 0 (c,j, k)0(a, b_, k )0(c, d, l)0( e, k, I) □ 보조정리 11.3.3. 주어진 3 차원다양체 M 의특수뼈대 M 을비눗방 울조작으로 3- 세포를 하나 늘려 새로운 특수뼈 대 M' 을 얻으면, TVM' =µ ,-2TVM
이 된다.여기서 µ,는 3 절에서 정의된 대로µ,=jf s i n곤 이댜 증명 다음그림에서와같은채색된비눗방울조작을생각하자.
二一二
여기서 왼편그림과오른편그림에서 분할함수 전체에서 특정한채 색 a 에 의해 주어지는부분합을각각£과 R 이라하자.그러면 새로생 긴 l- 세포는 0- 세포를포함하지 않으므로오일러 특성수가 O 이고 ,a 로 표시된 2- 세포의 오일러 특성수는 1 이 감소하므로 R = (Aa-1 E 모j)£ iJ 이댜 단, 여기서 합은 (a,i, j) EADM q가 되는 모든 나에 대하여 취한 댜 그러면 다음 그림에서 보는 바와 같이 임의의 가중치 a 를 가지는 2 세포에서 일어나는 비눗방울조작과 가중치가 0 인 2- 세포에서 일어 나는 조작이 활꼴 조작을 통하여 동일하다.
二一乙一二
따라서 Aa-1 EAiA j = A51 EAiA j iJ iJ 이어야 함을 알 수 있고, 여기서 우변의 합은 (0,i, j) E ADM q가 되도록 취하면되므로 A5 일 A,A일 r-2 나r-2 (e 백2; 꿍 __ ee 딱량 쁜) 2 =r곱-2 e 딱쁜(ie 쁩+ e_ e푸 랑 )2 一 2 =-l-l-三2(r-2 )
_2r (e 쁩一 e 守 )2 =µ 이 되어 비눗방울조작이 일어나는 2- 세포의 채색에 관계없이 일정한 상수 µ - 2 이 곱해지므로 원하는 결과를 얻는다. o 위의 보조정리에 의해 분할함수는 3- 세포를한개 늘리는비눗방울 조작에 대하여 일정한상수가곱해지므로이것을다음과같이 보상하 면 세 가지 마티비프-피에르갈리니 조작모두에 불변인 양을 얻는다. IM. r = µ21TVM 여기서 t는 주어진 3 차원 다양체 M 의 특수뼈대 M 의 3- 세포 개수이다. 이 렇게 분할함수의 3- 세포값을 정규화 (norm ali ze) 하여 얻은 3 차원 다 양체의 불변량 /M.r 은 퓌니킨 (P i un ikhi n) 에 의해 투라에프-비로 불변량 과 일치함이 증명되었다 [P i u92] . 투라에프-비로 불변량과 위튼-레쉬티킨-투라에프 불변량의 관계 3 차원 다양체를 만들어내는 또 하나의 수단은 10 장에서 다룬 히가 드 분해 (Hee g aard S plitti n g)이다. 히가드 분해를 통하여 삼각화로 구성 된 3 차원 다양체 로부터 이 3 차원 다양체의 수술지 침 을 주는 틀고리 를 얻을 수도 있다 . 따라서 양자장이론에 근거를 둔 두 불변량, 즉 삼각화 로부터 정의된투라에프-비로불변량과틀고리로부터 정의된위튼-레 쉬티킨-투라에프불변량과의 관계를밝히는것이 가능해진다.실제로 워커 (Walker), 투라에프 (Turaev) , 로버츠 (Robe rt s) 에 의해 위튼-레쉬티 킨-투라에프불변량의 절대값의 제곱이 투라에프-비로불변량이라는 사실이 증명되었다.여기서는로버츠에 의한신기하리 만큼간단한중 명 방법 을 소개 한다[R ob95]. 그는 먼저 3 차원 다양체 M 의 손잡이 구성(h andle decom p os iti on) 으 로부터 투라에프-비로 불변량을 다음과 같이 정의한다. M 의 손잡이 구성이 i =0,I,2,3 에 대하여 각각 d 가의 i-손잡이를 가진다고 하자.
여기서 do=d3 = 1 이고 d! =d2 라 가정하면 히가드 분해가 좀더 자연스 럽게 얻어지지만일반적인손잡이 구성을다루는것이 여기서는편하 다. 그러면 0 손잡이와 L 손잡이로 만들어진 l- 뼈대는 종수(g enus) 가 di -do+1 인 손잡이체 (handle body ) H 가 되고 H의 표면을 따라 2- 손 잡이를 붙일 자국을 E1,··· ,€d z 라 하자 . 또한 다음 그림과 같이 l- 손잡 이의 횡선 (me ri d i an) 을 81, ... ,%이라 하고 €I, ... ,€d 2 를 H 안으로 조금 밀어넣어 횡선들과 만나지 않게 한다.
그리고 H 를 s3 에 적당히 집어넣으면 E1, ... ,Edp 0(, ... ,0d1 은 d1+d2 개 의 성분을 가지는 고리가 되며 이 고리를 L(H) 라 나타내자. 여기서 L( H) 는 aH 에 대한 법선단위 벡터를 모든 점에서 가지고 aH 는 s3 에 대해 법선단위 벡터를가지므로 L(H) 에는자연스런 틀이 유도되고 이 것을 유지하면서 칠판틀을 가지는 고리 그림을 얻어야 한다 . 이 상황 에서로버츠는 IH(M) = µ如+d 1 +d2 +d.` < (J)* L(H )> 라 정의하고 순열 띠동치 불변량이 손잡이 미끄럼타기에 불변이라는 사실과 다음에 나오는 둘러싸기 보조정리 등을 이용하여 /H(M) 이 손 잡이 구성과손잡이체가 s3 에놓여 있는상태에 무관하게 잘정의되어 3 차원 다양체의 불변량임을증명하였다.그러나여기서는 ]H(M) 이 투 라에프-비로불변량 ](M) 과일치하는것을보임으로써 같은목적을달 성하고자한다. 다음으로소개할보조정리는 리코리쉬에 의해 증명되었다 [L ic 91]. 보조정 리 11.3 .4 . （둘러 싸기 보조정 리 (En cir c lement Lemma)) 0 아 닌모든 n 에대하여,
t=O.
= I三 〔C (a, b,c) E ADMq
첫번째와두번째 등호는 보조정리 1 1.1. 8 (1)에 의한 것이고, 위의 둘 러싸기 보조정리에j =O, i =c 를 제외하고는 항이 모두 0 이고 0(c,c,0)= Ac 이므로세번째 등호가성립한댜 0 기초정리 11.3.6. 3 차원 다양체 M 에 대하여 IH(M ) =l(M) 이댜 증명 . M 의 삼각화가 i = 0, 1, 2, 3 에 대 하여 각각 d 게 의 i-단체 (s im p lex) 를 가지고 있다 하고, 이 삼각화의 쌍대복체로부터 얻어지는 특 수뼈대를 M 이라하자.그러면 이로부터 자연스럽게 i-손잡이가각각 di 인 손잡이 구성이 얻어진다. 하나의 3- 단체(즉, 3- 손잡이) 근처에서 L(H) 는 다음 그림 과 같다.
를
분해된 네트워크에는 d1 개의 작은풀린 고리와쇼개의 사면체가있 댜 d1 개의 작은풀린 고리의 순열 띠동치 불변량은 2 절에서 계산해본
바와 같이 µ2d1 이 되고, d3 개의 사면체의 순열 띠동치 불변량은 하나 의 주어진 채색 c 에 대하여 사변체의 각변,즉 M 의 각 2- 세포f마다 Ac(/) 가 곱해지 고 각 사면체, 즉 M 의 각 0- 세포 v 마다 Te t (vla) 가 곱해 진댜또한융합조작에 의해 곱해지는계수는삼각화의 각면,즉 M 의 각 l- 세포 e 마다 생기므로 /H(M) = J.ldo +d1+d2+dJ J.l-2 d1 TVM 임을 쉽게 알 수 있다. 그런데 0=x(M)=do-d1+d2-d3 이므로 /H(M) = J.ldo -d1+d2+ d J T VM = J.l2d J T VM = /(M) 이된댜 D 마지 막으로 투라에프-비로 불변량은 위튼-레쉬티킨-투라에프 불변 량으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다는 사실을 소개한다. 정 리 11.3.7. 3 차원 다양체 M 에 대 하여 l(M) = IZ(M )l2 증명. 위의 기초정리에 의해 /(M)=IH(M) 이므로 IH(M) = Z(M) 苑1) = Z(M )Z (~) = µZ(M#恥 임 을 보이 면 충분하다. M 의 종수(g enus) g인 히가드 분리을 생각하자. 그러면 손잡이체의 고리 L( H)는 2- 손잡이를 붙이는 자취 EJ , ••• ,E g와 H의 횡선 81, ... '%로 이루어졌댜 그리고 H 가 s3 에 정상적으로 놓여 있다고 상상하자. 고리 L(H) 의 성분의 절반인 사 ... '％는 상호간의 걸 림과자체의 감김이 없으므로 a(L( H) )=0 임을쉽게 알수있다.따라 서 수술지침 L(H) 를가지는 3 차원 다양체를 N 이라두면 IH(M) = µ2g +2 <(J)* L(H)> = µµIL(H)l+l (µA i )국(l(H)) ((J) * L(H )>( µA 1f (L (H )) = µZ( N)(다 l )c(l( H}} = µZ(N )
이된댜 이제는 N=M#M 임을 보이면 된댜 M(2) 를 M에서 3 손잡이, 즉 3 차 원 공을 제거 한 댜양체라 하자. 그러 면 8(M(2) X I) = M#M 이 고 4 차원 다양체 M(2) XI 는 M(2) 의 손잡이 구성을 그대로 가지므로 1 개의 O- 손잡 이에 g개의 l- 손잡이와g개의 2- 손잡이를 가진다 . 4 차원 다양체의 둘 레에 관한 한, l- 손잡이를 붙이는 것은 0- 틀을 가지는 풀린 매듭을 따 라 덴 수술, 즉 2- 손잡이를 붙이는 것과 동일하게 S1 x s2 의 연결합을 형성한댜 이런 이유로 l- 손잡이를 붙이는 수술지침을 [K i r89] 에서는 점이 찍힌풀린 매듭으로표현하기도 했다. 여기서는야 ... '%를이러 한수술지침으로사용하면 된다.#g sl xS2 에 놓여 있는 2- 손잡이를붙 일 자취는#g 51 XB2=H 로 이동시켜 E1, ... ,E g가 되게 할 수 있으므로 8(M(2) X I) = N 임 을 알 수 있 댜 □ 11.4 바실리에프 불변량 매듭의 불변량을 정의하는 방법 중에 1989 년에 발견된 것으로 , 모 든 매듭들로 이루어진 공간의 위상적 정보를 다루는 것이 있다. 이것 은 아놀드 ([Arn90] ）가 제 안한 방법 에 따라 바실 리 에 프 ([Vas90] ）가 삼 차원공간의 매듭에 관하여 발전시킨 것이다. 매듭공간과판별공간 모든 매끄러운 함수 ¢: s1 ➔ s3 의 공간을 E i이라 하자. 이 공간의 부분 공간으로 ¢(SI) 이 특정한 한 점 *를 지나고, 이 점에서의 접선이 모두 특정한 한 직선인 것들의 집합을 M 이라 하자. 넣기사상들로 이 루어진 M 의 부분공간은 연결되어 있지 않으며 그 연결성분들은 모 든매듭의 전공간동위류와일 대 일 대응을이룬다.넣기사상이 아닌 함수들로 이루어진 나머지 부분을 E 로 표시하자. 그러면 M- :E는 모
든 매듭들의 공간이 된다 .M- :E를 매듭공간 (kno t sp ace) 이라부르고 E 를 판 별 공 간 (d i scr i m i nan t)이 라 부른다 . 매듭의 전공간동위류의 임의의 유리수불변량은코호몰로지군 H° (M 一 :E;Q)의 원소가 된댜 불변량들이 풀린 매듭에서는 0, 1 또는 다 른 특정한 값을 가지도록 표준화한 것을H° (M- :E;Q)로 표시하기로 한댜 H°(M - :E;Q)에는 매듭의 분류에 필요한 모든 정보가 들어 있 댜그러나 M 은직접 다루기에는너무나도큰공간이다.이제 d 를짝 수의 자연수라 하자. 실수공간에서 R3 으로 가는 함수 t f-+ (1 (t), 2(t) ,
(3) 각각의
바실 리 에 프 불변 량 v(K) 가 n 차 (o f order n) 라는 것 은 n 보다 크지 않 은j에 대하여j-특이매듭들중에서 K에 가까이 있는것들에 의하여 그 값이 결정된다는 뜻이다. 각각의 자연수 n 에 대하여 n 차의 바실리에 프불변량들의 집합은유한차원의 벡터 공간을이룬다. 바실리에프 불변량의 공리적 정의 이제부터는모든 매듭과특이매듭에 방향이 주어진 것으로보기로 하자 . j- 특 이매듭 K 의 각이중점의 근방에서 두가닥을모두품는국소 평탄한 이차원 원판 을 생각하자. 이 두 가닥 중 하나롤 조금 움직여서 그 원판과 만나지 않게 할 때 그림 1 1. 3 과 같이 두가지 방법이 있다.
XPK XXKF
K 의 한 이중점을 P 라 하고 이 점을 강조하여 K 를 Kp 로 표시하자. P 를 분해하여 양의 엇갈림이 되게 만든 (j一 1)- 특이매듭을 Kp +, 음의 엇갈림이 되게 한것을 K p_로표시하자. 유리수값을 취하는 매듭의 불변량 v: M-b~ Q가다음의 두 가 지 조건을 만족시 키 면서 (M _ E)U(U:I M j _ Ej )에서 정 의 된 특이 매 듭의 불변량으로 확장될 때 v 를 바실리에프 불변량이라부른다. (Vl) v(Kp ) = v(KP +) -v(Kp _) (V2) 자연수 n 이 존재하여 j > n 인 모든j-특이매듭 K 에 대하여 v(K) = 0, 즉 vlM i접 = 0 이 댜 위의 (V2) 가 성립하는 최소의 n 에 대하여 v 를 n 차의 바실리에프 불변 량 (Vass ili ev inv aria n t of o rder n) 이 라 부르고 (V2) 를 만족하는 불변 량을 일반적으로 유한성 불변 량(fi n it e type i nvari an t)이 라 부른다.
기초정리 11.4.1. (1) 0 차바실리에프불변량은모든 매듭에 대 하여 동일한 값을 취한다. (2) 모든 풀리지 않은 매듭에서는 동일한 값을 취하고 풀린 매듭 에서만 다른 값을 취하는 불변량은 바실리에프 불변량이 아 니다. 증명 (I) 임의의 매듭은 엇갈림 바꾸기를 유한번 실행하여 풀린 매 듭으로 변환할 수 있으므로 (VI) 에 의 하여 당연하다. (2) 이 증명은뒤에 나올기초정리 11 .4.4의 증명과동일하다. D 콘웨이 다항식의 계수 a2( ）는 최초로 발견된 2 차 바실리에프 불 변량이며 이는 존스 다항식의 2 계도함수의 t= 1 에서의 값과 일치한 다([Bi r93, Vas90]). 버만과 린[B L93] 은 다음과 같은 방법에 의하여 다항식 불변량으로 부터 무한히 많은 바실리 에프 불변량을 얻을 수 있었다. -l 이 아닌 임 의의 정수 n 에 대하여 2 변수 존스 다항식의 변수를 l = J-ir
환하면 i =/.1 일 때 W_3,;(D = (1 +3i - 4;)/i! =/0 를 얻는다. 존스 다항식 VK( t)로부터 또다른 방법으로 바실리에프 불변량을 얻을 수 있다. 정 리 11.4.3. ([Mur96]) 매 듭 K 에 대 하여 Cm(K) = 」 [：뿐 ],=l 은 m 차 이하의 바실리에프 다항식이다. 풀린 매듭에 대해서는 영이고다른매듭에 대해서는자연수값을취 하는 불변량 중에 풀림수 (unkno tti n g number) 가 있다. 풀림수란 매듭을 풀린 매듭으로 변환하기 위하여 필요한 엇갈림 바꾸기수의 최소값이 며 u( ）로표시한다. 기초정리 11.4.4. （버만-린[B L93]) 매듭의 풀림수는 바실리에프 불 변량이 아니댜 증명 임의의 자연수 m 에 대하여 그림 1 1. 4 와같은특이매듭을 K2m 으로 표시하고, i= 1,2, ... ,2m 에 대하여 c i=士 l 이라 할 때, K2m 의 i번 째의 이중점을 c i의 부호에 따라모두분해한것을 K이 £200 • £2n, 으로나타 내기로하자그러면 u(K 硏 ··C2n, ) = { ° (cl +c 표 나 • • • C2m = 0) 1 (e1+£2+···+···£2m=/.O) 이댜 따라서 u( )를 (Vl) 에 따라 확장하면 다음 식이 성립한다. u(K2m) = L n2em; u(KE1E2···E2 n) 信C;=( 士 I i크= I Y (?) )-(_l)m (디 =(_1)m+1 仁) #0
따라서 풀림수는유한성불변량이 아니다. □
그림 11. 4 K2 in
위의 증명에서 el +···+c2m #0 일 때 Kf: 1 + .. -+ F: 2n, 은 모두 2 교각 매듭이 고 종수(g enus) 가 1 이다. 따라서 똑같은 방법에 의하여 교각지수와 종 수는유한성불변량이 아니라는사실도알수 있다. 한편 매듭의 부호 수불변량도 바실리에프 불변량이 아니라는 것이 무라수기에 의해서 밝혀 졌 다([M ur96]). 현그림과값체계 j-특이매듭의 이중점들의 역상은 S1 위의 2j 개의 점이다. 평면 위에 있고 반시계방향으로 방향이 표시된 원 위에 이들감개의 점 들 을 표시 한후 같은 점의 역상끼리 선분으로 이어서 그려진 도형을그 특 이매 듭의 현그림 (chord d i a g ram) 이라 부른다. 특히 현이 j-개 있는 현그림 은j-현그림이라부른다.
一
현그림은 특이매듭의 이중점들의 상호위치관계를 도식화한 것으 로다음의 보조정리에 의하여 바실리에프불변량의 이해에 중요한역 할을한댜 보조정리 11.4.5. （스탠포드 [Sta 96]) 두j-특이매듭 K1, K2 가 같은j 현그림을가질필요충분조건은 K1 에 적당한순서를따라엇갈림 바꾸 기를 실행하면 氏를 얻을 수 있다는 것이다. 특이매듭 K 의 이중점 P 를 두가지로분해한 K p+와 K p-가서로 전공 간동위 일 때 , P 를 쓸모 없 는 이 중 점 (nug a to r y double p o i n t)이 라고 부른 댜 현그림에서 쓸모없는 이중점에 대응되는 현은 외톨이현(i sola t ell chord), 죽 다른 어떤 현과도 교차되지 않는 현이다. 그러나 모든 고립 된 현이 쓸모없는 이중점에 대응되는 것은 아니다. 그림 1 1. 6 의 두 특 이매듭은같은현그림을가지는데 K1 만이 쓸모없는이중점을가진다
그림 11. 6 쓸모없는 이중점과 외톨이현
기초정리 11,4,6, V 가 m 차의 바실리에프불변량이고 K 가 m- 특이매 듭으로 외톨이현이 있는 현그림을 가지면 v( K) =0 이다 . 증명. K의 현그림을 현그림으로 가지고 그 외톨이현에 대응되는 이중점이 쓸모없는 이중점인 m- 특이매듭 K' 을 잡을 수 있다. 보조정 리 11 .4 .5 에 의하여 K 에 일련의 엇갈림 바꾸기를 실행하여 K' 를 얻을 수 있는데, 이 과정에서 생기는 (m+l)- 특이매듭들의 v 값은 모두 영이
므로 v(K') = v(K) 이 댜 또한 K' 은 쓸모없는 이 중점 을 가지 므로 v(K) = v(K') = 0 이 다. o 기 초 정 리 1 1. 4.6 의 내 용을 위 상적 틀독 립 성 (top ol og ical framing ind e- pen dence: TFI) 이라고 부르는데 이는 그림 1 1. 3 에서 P 가 외톨이현일 때 Kp +와 Kp -의 칠판틀의 차이가 2 인데도 v(KP+)=v(Kp _)이 되는 현상 을가리키는말이다. 따름정 리 11.4.7. ([Mu r96]) 1 차의 바실 리 에 프 불변량은 존재 하지 않는다. 증명. V 가 바실리에프 불변량으로 차수가 1 을 넘지 않는다고 가정 하자.그러면 이중점이 둘이상인특이매듭에서는 v 의 값이 항상영이 된다 .l- 특이매듭의 현그림에는현이 하나뿐이므로그현은 외톨이현 이댜 따라서 기초정리 11 .4.6 에 의하여 1- 특이매듭에 대해서도 v 의 값 이 항상영이다.따라서 v 는모든 매듭에 대하여 같은값을취하는 0 차 의 불변량이다. □ 기초정리 11.4.8. V 가 바실리에프 불변량이면 그림 1 1. 7 와 같이 인 접한 두 개의 이중점의 근방에서만 다르고 나머지 부분에서는 같은 네 개의 특이매듭 N,E, W,S 에 대하여 관계식 (T4T) v(N ) + v(E ) -v (W ) -v (S ) = 0 이 성립한다.
土宁千主
증명 (VI) 에 의하여 N, E, W, S 는 각각 그림 1 1. 8 의 네 개 중의 두 개씩으로분해된다.즉
土土」:仁
v(N ) = v(NW ) —v( NE ) v(E ) = v(NE ) - v(SE ) v(W) = v(NW ) - v(SW ) v(S) = v(SW ) - v(SE ) 가된댜따라서 v(N ) + v(E ) = v(NW ) -v (SE ) =v (W ) + v(S) 가성립한다. □ (T4T) 는 위상적 4 항관계식(t op olo gi cal 4 ter m rela ti on) 을 줄인 말로, 위의 증명의 마지막식에서 볼수 있듯이 ,NW 를 SE 로변환할때 ,N 과 E 를거치는 엇갈림 바꾸기를 한것이나 W 와 S 를거치는 엇갈림 바꾸 기를 한것이 차이가 없음을 말해준다. 그림 1 1. 9 은특이매듭 N, E, W, S 의 세 가닥들이 일관성있게 연결된 한예와그의 각각에 해당되는현 그림을보여준다. 음이 아닌 정수 m 에 대하여 'D m 을모든 m- 현그림의 집합이라하자. 다음의 두 조건을 만족하는 함수 w: 'Dm ➔ Q를 m 차의 값체 계 (we ig h t sys t e m of o rder m) 라고 부른다.
:OC:YO: J:©
(FI) 툴 독립 성 (framing ind epe n dence) m 현그림 D 가 외톨이현을 가지면 w(D)=O 이댜 (4T) 4 항 관계 식 (4 ter m relato n ) N', E', W', S' 가 그림 1 1. 9 에 있는 대로 각각 두 개의 현을 제외 한나머지 현들은모두동일한 m- 현그림일 때 다음식이 성립 한댜 w(N') + w(E ') -w (W') -w(S') =0 보조정리 11.4 .5 , 기초정리 11. 4. 6, 11. 4.8 에 의하여 n 차의 바실리에 프 불변량 하나는 n- 차의 값체계 하나를 결정한다. 이것의 역에 대해 서는다음과같은결과가콘체비치 ([Kon93]) 에 의하여 증명되었다. 정리 11.4.9. （바실리에프불변량의 기초정리) m 차의 바실리에프 불변량 두 개가 같은 값체계를 가지면 이 두 불변량의 차이는 m 차 미 만의 바실리에프불변량이다. 정리 11 .4 .9 에 의하여 바실리에프 불변량의 분류는 값체계의 분류 와같은문제임이 밝혀졌다 .m 차의 값체계들의 집합을 Wm 이라하면 Wm 은 벡 터 공간이 며 처 음 몇 개 의 차원은 다음 표와 같다([B N95]).
dlmwm I: I ; I : I : I : I : I : I l: I 2: I ;
미해결문제 •완벽한불변량 매듭이론에서 홍미로운미해결문제 중의 하나는계산가능한불변 량중에서 모든 매듭을구별할수 있는이른바완벽한 불변량 (comp le t e i nvari an t)이 존재하겠는가 하는 것이댜 고든과 루키가 매듭의 여공간 이 완벽한 불변량임을 보였지만 이것은 대수적인 불변량은 아니다. m 차의 바실리에프 불변량은 모든 m- 현그림들로 이루어진 유한집합 에서 정의된 함수에 의하여 결정되므로 하나의 바실리에프 불변량이 완벽한 불변량이 될 것을 기대하기는 어렵고 바실리에프 불변량들로 이루어진 무한집합이 있어서 그것이 완벽한불변량이겠는가하는것 이 의미있는물음이 된다.이 문제에 대한답은아직 없으며 이것을다 르게 표현하면 다음과 같다. 서로 다른 임의의 두 매듭이 주어졌을 때, 이 두 매듭 울 구별하는 바실리에프 불변량이 존재하는가? •비가역매듭의 구분 특이매듭의 가닥에 주어진 방향을 바꾸면 대응되는 현그림은 거 울에 비 친 상을 취 한 것으로 바뀐다. 따라서 바실리 에프 불변량으로 비가역 매듭임을 알아내려면 적어도 자기거울 대칭이 아닌 현그림과 그 거울상을 구별하는 값체계가 존재해야 한다. 이는 그 두 현그림이 (Fl) 와 (4T) 의 조건 아래에서도 달라야 함을 뜻한다• 그런 값체계가존 재한다하더라도이중접을풀어내는과정에서 원치 않는결과가나올 가능성은얼마든지 있다.이제까지 알려진바로는차수가 9 이하인바 실리에프 불변량으로는 비가역성을 탐지할수 없다.
11.5 무작위 매듭과 에너지 매듭과 고리는 비단 위상수학자들만의 관심사는 아니다. 특히, 어 떤 물리적 법칙의 지배를 받는 공간 안에서의 매듭과 고리는 분자 생 물학, 통계 물리학, 고분자 화학과 같은 자연과학 분야의 관심사이기 도하다.가령,물리공간안의 매듭과고리들이 꼬여 있는 정도를 정량 화(q uan ti za ti on) 하는 것은 이들 분야에서의 중요한 문제이다. 이와 같 은 문제들을 다루는 분야를 물 리 적 매 듭이 론 (Phy s i cal knot t hoe ry)이 라 고 부르기도 한다. 이 장에서는 물리적 매듭이론의 두 분야인 무작위 매 듭 (Random kno t)과 에 너 지 함수 (Energ yfu nc ti on) 에 관해 살펴 보기 로 한댜 무작위매듭 무작위 매듭이란어떤선택된확률분포에 의하여 생성된 매듭을 말 한다. 적용될 확률분포의 선택이나 생성방법은 매듭이 존재할 공간에 어떤 물리법칙을 적용할 것인가 또는 어떤 성질의 매듭에 관심을 두 는 가에 달려 있다. 따라서, 생성방법은 매우 다양할 수 있다. 무작위 매듭에 관련해 다음두가지 사항을고려할수 있다. (1) 무작위 매듭을 어떻게 생성할 것인가? 즉, 고려하고자 하는 물리적 조건에 부합하는 생성 방법은 무엇인가 하는 문제이 다. 또한, 선택된 생성방법을 어떻게 실제로 구현할 것인가도 중요하다• 여기서 구현한다는 말은 컴퓨터에 의해 모의실험 을 하고 그 결과를 분석한다는 말이다. (2) 생성된매듭이 특정한조건을만족할확률은얼마인가? 앞서 말한 대로, 무작위 매듭의 생성방법은 매우 다양하다. 그중 많은 이돌이 관심을 갖는 가우스 무작위 다각 매듭 (Gauss i an random p oly g onalkno t)에 관해 살펴보기로 하자.
3 차원 벡터 X=(x, y ,z) 에 대해 x, y ,z 가 각각 독립된 표준 정규분포 변수일 때, X 를 가우스 무작위 벡터 (Gauss i an random vec t or) 라 한다. Xo = (0 , 0,0) 인 n+ l 개의 3 차원 점 Xo, ... ,Xn 에 대하여, Xk+l -Xk (0 < k < n-1) 가 가우스 무작위 벡터이면 {Xo, ... ,)(사을 가우스 무작위 진 행 (Gaussian random walk) 이 라 한다. 마지 막 점 Xn 이 (0, 0, 0) 으로 고정 된 무작위 진 행 을 GPn 으로 표시 하자. 정리 11.5.1. [DP S94] GPn 이 꼬인 매듭일 확률을 Pn 이라고 하면 충 분히 큰 n 에 대하여 Pn 츠 1-ex p (-n 이을 만족하는 상수 e(> 0) 이 존재 한다. 따라서, n 이 무한대로 증가하면, Pn 은 1 에 수렴함을 알 수 있다. 한 편, ＜무작위로 R3 에 넣어진 원이 꼬인 매듭일 확률은 원의 길이가 중 가함에 따라 l 에 수렴한다>라는 내용의 예측이 있다. 이를 FWD 예 측 (Fr i sch-Wasserman-Delbr ii ck conj ec t ure) 이 라 한다. 위 의 정 리 는 가우 스 무작위 진행의 경우 FWD 예측이 참임을 보여준다. 표준 1 차원 공 Bl 위에 양끝점을포함하여 m+l 개의 점이 표시되어 있다고하자.즉 ,Bl 은 m 개의 변으로구성되어 있다.f는 Bl 을 B3 에 넣 는 조각선형 넣기사상이다. 만약, (B 라f (B1) ）이 표준공의 짝 (B3,BI) 과 방향을 보촌하면서 조각선형적으로 위상동형이 아니면,f (B! ）은 꼬여 있다고하고f (B1) 을꼬인 사슬이라하자.또한,이러한공의 짝들간의 조각선형적 위상동형으로 분류되는 동치류가 정의될 수 있다. 만약 GPn 의 연속된 선분들을 포함하고 다른 선분들은 포함하지 않는 3 차 원 공 B' 이 B3 안에 존재하고 B' 에 포함된 부분이 꼬인 사슬 K 와 동치 이면, GPn 은 꼬인 사슬 K 를 성분으로 가진다고 한다. 정리 11.5.2. ([DPS94], [Kes63]) (1) GPn 이 꼬인사슬 K 를성분 으로 가질 확률을 Pn 이라 하면, 충분히 큰 n 에 대하여 Pn 츠 1-ex p (-ns') 을 만족하는 상수 e'(> 0) 이 존재한다. 이때, c' 은 K 에의존한댜
(2) GPn 이活개이상의서로소인꼬인사슬 K 를성분으로가질확 률을 p~이라 하면, 충분히 큰 n 에 대하여 P',, ::: 1-ex p (-n f: )을 만족하는 상수 s(> 0) 과 /J(> 0) 가 존재 한다. 이 때, e”, f3는 K 에 의존한다. IC 를 R3 안의 조각선형적이고 국소적으로 평평한 매듭의 동치류의 집합이라하고 1C 에 대하여 함수 F 를 다음과 같이 정의하자 . ( 1) F : IC ➔ [0, oo) (2) F( 풀린 매듭 )=O (3) 모든 K E IC 에 대해, F(nK'#K ) 츠 nF(K') > 0 을 만족하는 K' E IC 가 존재 한다 (n 은 임 의 의 양의 정 수). 이 함수 F 를 매듭 복잡도의 측도 함수(g oodmeasureof kno t comp lex ity)라 한다. 특히, 소인자(pri me fa c t or) 의 개수, 종수, 교각수 -1, 엇갈 림수, 풀림수, 닿임지수 -1 등이 복잡도의 측도 함수임이 알려져 있다. 정리 11.5.3. F 를 매듭 복잡도의 측도 함수라 하고 K' 을 F 에 대해 위의 세번째 정의를만족하는조각선형 매듭이라하면,충분히 큰 n 에 대 하여 , F(GPn) > n1F(K') 일 확률은 1 -e x p (-nY) 보다 크거 나 같다(l, y는 K' 에 의존하는양의 상수이다). 물리적 매듭이론에서 관심을 갖는 또 하나의 매듭 성질은 거울 대 칭성이다. 다음 정리는 무작위 매듭의 부호수에 관한 결과인데, 이로 부터 거울대칭성과동계성에 관한성질을얻을수 있다. 정리 11.5.4. [DP S94] Pn 을 GPn 의 부호수가 O 이 아닐 확률이라 하 면, P,, 츠 1 -( 1/n8) 를 만족하는 상수 0(> 0) 가 존재 한다. 따름정리 11.5.5. GPn 이 거울비대칭적일 확률과동계적으로꼬인 매듭일 확률은 각각 l- (1 /n8) 보다크거나 같다. 가우스 무작위 진행에 관한 연구 이전에 연구된 무작위 모형으로 3 차원 격자상의 자기 회피 무작위 진행 (Se lf- avo i d i n g random walks) 이
있다. 이것은 3 차원 정수 격자 상에 생성되는 단위 길이의 변을 갖는 무작위 조각선형 매듭에 관련된 것이다. 이 모형에 대해서도 가우스 무작위 진행에 대해 지금까지 서술한 것에 상응하는 연구 결과가 얻 어졌으며 가우스 무작위 진행에 관련된 결과는 그 일반화라 하겠다. 이 에 대 해 서 는 [SSW92, RW90, Ken79, LBHS86, Pip8 9, Sum8 까를 참 고하면된댜 R3 안에 주어진 접 Xo 로부터 m 개의 점을 생성하자 .Xk+I 一 Xk 는 단위 구 s2 위 에 점을 균일 분포 (un ifo rm d i s tri bu ti on) 에 의해 선택함으로써 얻어지는 벡터이다. 이와 같은 생성방법을 균일 무작위 진행 (Un ifo rm random walk) 이 라고 한댜 r > m 인 r 을 반지 름으로 갖고 중심 을 원점 에 둔 3 차원 공을 B 라하자. 균일 분포에 의해 B 안에 있는 n 개의 점을 선택하고이들각각을시작점으로하여 길이가 m 인균일무작위 진행 을독립적으로시행하여 얻어지는 n 성분다각고리를 UWm , n,r 이라표 시하자. 정 리 11.5.6. [Dia9 4] m 이 3 보다 크거 나 같은 흘수이 고 UWm,n,r 이 분 리될 수 없는 고리일 확률을 Pm , n . r 이라 하면, Pm, n, r 츠 1-ex p(-y n) 이 성립한다(y는 적당한 양의 상수이다) . m 이 짝수인 경우에 n-+ oo 일 때 Pm.n . r 이 l 로 수렴하는가는 아직 알 려지지 않았으며, 다만 수렴한다 하더라도 그 수렴의 빠르기는 1- O(n - 2m) 보다 클 수 없음이 알려 져 있다. 함수 x(t) , y(t), z( t)를 다움과 같이 정 의 하자. m x(t) = L(an,xCOs(nt) +bn,xsin ( nt) ) n=I m y(t) = L(an.y c os(nt) + bn,y s in ( nt) ) n=l z(t) = Lm( an.zCOs(nt) + bn.zSin ( nt) ), n=l
여 기 서 (0 츠 t < 2rr) 라 하고 c(t) = (x(t) , y(t), z( t)）라 하면, c 는 R3 안의 닫 힌 곡선이다 . 이와 같은 급수로 나타난 좌표함수에 의해 매듭을 생성 할 수 있고, 급수의 계수를 무작위로 선택함으로서 매끄러운 무작위 매듭을 생성할 수 있다. 이에 관련해서는 [Buc94] 와 [Tra95] 를 참고하 기바란다. 무작위 매듭의 연구에서 특이할 만한 것은 실험적 연구가 활발히 진행되고 있다는 것이다. 컴퓨터를 이용하여 선택된 모형에 대한 모 의 실험을 하고 이를 통해 얻어진 자료를 통계적으로 분석하는 연구 가 이루어지고 있다. 따라서, 정해진 모형에 따라 무작위 매듭을 컴퓨 터로구현하는방법과생성된 매듭의 동치류를 적절한수준까지 인식 해내는 방법을 개발해 내는 것도 중요하다. 에너지함수 닫힌 DNA 사슬들은 젤 영동 (Gel elec tr o p hores i s) 이라는 특정한 물 리 조건하에서 각자의 매듭형에 따라다르게 움직인다는사실이 실험 울통해 알려졌다[D ATCSS,DC92,DC89,WC91]. 특히, 젤 영동상태 에 서 움직 이 는 속도는 DNA 사슬의 시 간평 균 분자 배 열(ti me-avera g ed confo rm ati on s, 매듭형과 유사한 개념이다)을 알아내는 방법으로 이용 되고 있다 [RCV93]. 즉, DNA 사슬들의 이동성을 관찰함으로써 전자 현미경을통하지 않고도이들의 모양을감지하고예측할수있다는것 이댜 분자사슬의 이동성은사슬을구성하는분자상호간의 역학적 위치 에너지의 영향을 받는다고 믿어진다. 매듭의 에너지 함수에 관한 연 구는다음의 두가지 동기로부터 시작되었다고할수있다. 첫째,직관 적 개념으로, 어느 한 매듭이 다른 매듭보다 얼마나 더 복잡한가를 알 려주는새로운매듭불변량을만들고자하는것이다.둘째,물리적 공 간안에 놓인 매듭을모형화하고,그 매듭형에 따라매듭이 어떻게 움 직이는가를 예측할 수 있는 수학적 기반을 구축하는 것이다 .
이러한동기에 부합하도록 제안된 함수를 에너지 함수 (Energ yJu ne ti on) 라 부른다 . 존 사이 먼(Jo hn S i mon) 은 에 너 지 함수가 만족해 야 할 몇 가지 조건을 제시하였는데, 다움은 그 일부이다 . (I) 에너지 함수는 매듭들로 구성된 공간을 정의역으로 하는 실 수값을 가지는 연속함수이어야 한다. (2) 에너지 함수는 매듭의 크기에 대해 잘 행동하여야 한다. 즉, U 가 에너지 함수이고 ,K 가실수좌표에 의해 나타나는 매듭이 며 ,K' 은 K 의 실수좌표에 실수 c 룰곱한좌표로나타나는매듭 이라하면 ,u(K') 는 C 와 u(K) 에 의해 결정되어야한다. (3) 에너지 함수는 매듭둘이 전하를 띤 닫힌 사슬이라 할 때 이들 의 위치 에너지를반영하고자하는것이다.따라서,<전기력 은 전하간의 거리의 제곱에 반비례한다>는 개념이 에너지 함 수값에 반영되어야한다. (4) 에너지 함수 u 는 정의역의 위상을 존중하여야 한다. 즉, 매듭 K 의 매듭형이 바뀌도록 K 를연속적으로변형한다면 , 그변형 과정에서 u 의 값은무한대로발산하여야한다는것이다. 매끄러운 매둠의 에너지 함수 사이먼의 4 가지 조건을 만족하는 최초의 에너지 함수는 준 오하 라(Ju n O'Hara) 에 의 해 정 의 되 었다 [O'H91]. y : S1 ➔ R3 를 R3 안의 매 끄러운 매듭을 나타내는 미분가능사상이라 하고 이러한 사상을 매듭 곡선E이2( y라) = 하 1자,. 1 E, 2((Y~) 는) ]다y음{t )과j2 -같이 정~ 의 된댜) 1 y' ( s)lly' (t)ld sdt 여 기 서 D(y (s)- y(t))는 y (s) 와 y(t)를 연결하는 y상의 가장 짧은 호 의 길이이다. 다음은 에너지 함수 E2 의 성질이다. 정 리 11.5.7. [SFHW93]
(l) T 를 s3 의 뫼비우스 변형 (Mob i us tr ans fo rma ti on) 이라 하면, 매 듭곡선 y에 대 해 E2(y) = E2(T( y)）이 다 . (2) y의 상이 R3 안의 평면 위에 놓인 원이라면, E2(Y) =4 이고 이 값은모든매듭곡선에 대한 E2 의 최소값이다. (3) K 가매끄러운씨매듭이면 , K 와동일한매듭형을나타내는모 든 매 듭곡선 y에 대 해 E2(YK) ::: E2(Y) 를 만족하는 매 듭곡선 YK 가존재한다. (4) 매듭곡선 y에 대해 c([ y])를 y가 나타내는 매듭형의 엇갈림수 라하면, 2rrc([y] ) + 4 ::: E2(y) 가성립한다. 풀리지 않는 매듭의 최소 엇갈림수는 3 이상이다 . 따라서, 1 1. 5 . 7 의 (4) 로부터 E2(Y) < 6rr+4 인 매듭곡선 y는 풀린 매듭임을 알 수 있다. 다각매듭의에너지함수 n 개의 변을 갖는 R3 안의 다각매듭은 순서가 있는 n 개의 R3 의 점들 에 의해 나타난다.따라서 ,n 개의 변을갖는 R3 안의 다각매듭의 위상 공간은 다음과 같이 R3n 의 부분공간 /C n 으로 정 의 될 수 있다. /C n 은 다음을 만족하는 n 개의 3 차원 점들의 짝, (굿!, ••• ,in) E R3n 들의 집합이다 . (1) i =/-j이 면 처 ＃처이 댜 (2) 두변瓦豆 T 과耳京茂는공통의 끝점을제외하고는서로만나지 않는다. 腐 e 는/C n 의 원소중io =(0,0,0) 이고각변의 길이의 합이 c 가되는 것들의 집합으로 정의한다. 이제 다각 매듭의 에너지 함수 중 하나인 UMD 를 소개하고 그 성질 에 관해 살펴보기로 하겠다.
X, Y 를 만나지 않는 R3 안의 선분이라 하자 .MD(X,Y) 를 두 선분 사 이의 최소 거리라 하고 L( X)를 선분 X 의 길이라 하자. 선분 X, Y 에 대 해 UMo(X,Y) 를 UMo(X, Y)= MLD(X( )XL,( YY) ) 2 로 정의하자. 다각매듭 K 에 대해 S( K)를 K 의 서로 연속하지 않는 두 변의 순서없는 쌍들의 집합이라 하고, 에너지 함수 UMD( K)를 다음과 같이 정의하자. UMD(K) = L UMo(X, Y) (X,Y )e S(K ) 에너지 함수 UMD 는 앞서 소개된 에너지 함수의 4 가지 조건을 모두 만족한다. 특히, 다각매듭의 크기에 전혀 영향받지 않는다 .K 를굿 E x:, n 으로나타내어지는 n 다각매듭이라하고 c 를 0 이 아닌실수라하자. K' 을 ex 로 나타내어지는 다각매듭이라 하자. 이때 K' 의 각 변의 길이 와 변간의 거 리 는 모두 c 배 만큼 변하므로 UMD(K ) = UMD(K' ）임 을 알 수 있댜 이 성질은 UMD 의 가장 큰 특징이라 할 만하다. 매듭 변들의 합에 제한을 둔K, n 의 부분공간에서의 UMD 값의 범위가K, n 에서의 UMD 값의 범위와같을수있기 때문이다. UMD 는 연속이고 구성공간 x:, n 의 특정한 부분공간에서 고르게 연 속 (un ifo rml y con ti nuous) 이 댜 lo, uo 를 양의 실수라 하고 Kn(lo. 蜀)를 변 길이들의 합이 lo 보다크거나같고 UMD 값이 uo 보다작거나같은 n 다 각매듭들의 집합이라하자. 그러면, UMD 는K, n (l o,uo) 에서 고르게 연속 이다. 특히, 충분히 작은 양의 실수 c 에 대해 K, n(lo,uo) 의 두 원소 K1,K2 각각의 좌표의 차이 가 €보다 작으면, |u MD(Kl ) _ uMD(K2) | :::: A€ 을 만족하는 A 가 존재한다(단, A 와 €은 n, lo, uo 에 의해 결정된다). 만약, 각각의 매듭형에 대해 UMD 의 최소값이 존재한다면 그 값은 매듭의 불변량이 될 것이다. 이제 UMD 의 각 매듭형에 대한 최소값의
존재성에 관해 살펴보자. 보조정 리 11.5.8. [Sim 94] (l) K 를 n( 츠 5) 다각매듭이라 하면, UMD(K) 츠 n 이댜 (n > 5 이면 UMD(K ) > n 이 댜) (2) K,'을K, n 의 임의의 부분집합이라하자. 만약 K' 의 모든 원소의 UMD 값이 어 떤 실수 Uo 보다 작다면, K' 의 임 의 의 원소 K 의 임 의의 두변 X,Y 에 대해 -f13 < —LL((XY< )) f3 를 만족하는f3가존재한다(단,f3는 U0,n 에 의해 결정된다). 정리 11.5.9. (1) 주어진 실수 uo 에 대해 UMD 츠 uo 를 만족하는 다각매듭집합의 매듭형의 개수는유한하다. (2) (K, ）를 R3n 의 점 으로서 Ko(
값이 있으므로 11.5.8 의 (2) 에 의해, 모든 K, 의 변들의 길이에 대한 0 이 아닌 하한값 a 가 존재한다. 따라서, 모든 k1 의 변들간의 거리에 대한 하한값f3도존재하고 Ko 의 연속하지 않은변들은서로만나지 않는다. 이것은 Ko 가 K'’ 의 원소임을의미한다. (3) 주어진 Je n 의 연결성분 안에 UMD(K,) 가 단조감소하는 무한열 (K, ）가있다하자.각각의 K, 에 길연결되어 있고에너지 값이 같으며 시 작점이 원점이고 변 길이의 합이 1 인 K 河 존재한다. (K;) 은 Kt I 안 의 무한수열이댜 K t 1 의 닫힘공간 cl(K 싸)는 R3n 에서 콤팩트 (com p ac t)하 다 [BS93] . 따라서, (K;) 의 극한점이 존재하고 (K,) 의 극한점 Ko 도 존재 한댜 (2) 에 의해 Ko 는 Je n 의 원소이댜 約'의 하나의 길연결성분은 한 가지 매듭형만나타내고,매듭형 [K]를나타내는Je n 의 길연결성분개 수는 유한하다 [BS93]. 口 11.5.8 의 (1)과 위 정리의 (3) 으로부터 나 Kn 에서의 각 매듭형에 대한 UMD 의 최소값이 존재함을 알수 있다. 아직까지 이러한 전역 최소값 을 찾아내는 알고리듬은 만들어지지 않았다. 그러나, 주어진 매듭으 로부터 국소최소값을찾아가는거의 완전한국소최소화알고리듬은 만들어졌으며 [B093, Sim 94] , 컴퓨터를 통한 여러 가지 실험에 이용 되고있다. 역학적 위치 에너지의 지배를받는닫힌사슬들의 움직임을연구할 수 있는수학적 기반울구축하고자했던 에너지 함수분야의 본래 동 기를 생각한다면 에너지의 최소값과최소화알고리듬을찾아내는것 은 이 분야의 중요한 과제 라 하겠다. 각 매듭형의 에너지의 전역 최소값을 찾고자 한다면, 전역 최소값 을 가지는 다각매듭의 변 개수는 중요한 요소이다. 현재까지의 실험 결과에 의하면, 변 개수가 증가하면 국소 최소값들이 초반에는 감소 하나, 변 개수가 어느 정도 충분히 증가한 후에는 국소 최소값들도 같 이 증가하는것으로 알려졌다. 또한, 젤 영동상태에서의 움직이는 속
도에 따라매긴 닫힌 DNA 사슬의 매듭형의 순위는 에너지의 국소 최 소값에 의한순위와일치한다는실험 결과도알려져 있다. 다음은 UMD 의 하한값에 관한 결과들이 다. 정 리 11.5.10. [Sim 94] (1) [K]를 최소 엇갈림수가 q인 매듭형이라 하고 다각매듭 K 가 [K]를 나타낸다면, UMD(K) 츠 2rr q가 성 립 한다 . (2) K 가 길이가 같은 6 개의 변으로 이루어진 풀리지 않는 다각매 듭이 라 하면, uMD(K ) 츠 25 이 다. 에너지 함수 전반에 관해 좀더 파악하고자 한다면, [S i m96] 를 참조 하도록권한다.
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용어대비표
영어 용어 한글용어 achir a l 자기거울대칭 adeq ua te link 적정고리 admi ss ib l e 허락된 Alexander 알렉산더 Alexander pol yn o mi al 알렉산더 다항식 Alexander matr ix 알렉산더 행렬 Alexander's homed sph e re 알렉산더 구면 Alexander inv a rian t 알렉산더 불변량 alge b raic knot 대수적매듭 alge b raic lin k 대수적고리 alge b raid sum 대수합 alte r nati ng lin k 교대고리 ambie n t iso to p y 전공간동위 amp hi c h eir a l lin k 양수고리 annulus 원환 annulus the orem 원환정리 arborescent lin k 수형(樹形)고리 Ar f inv a rian t 아프불변량 aug m enta t i on homomorp h is m 첨가사상 auto m orp h is m 자기동형사상 ball 공 band 띠
base, basis 기저 Betti number 베티수 bic o llarable 양깃을달수있는 bic o llared, bic o llar o0_l:7 ^. l bic o llared neig h borhood 양깃근방 bili ne ar pairing 겹선형사상 blackboard fram i ng 칠판틀 Borromean ring s 보로미안고리 bounda ry comp o nent 둘레성분 bounda ry link 둘레고리 bracket p o lyn o mal 괄호다항식 braid 맣임 bra id grou p 맣임군 bra id i nd ex 맣임지수 bri dg e number 교각수 bri dg e ind ex 교각지수 branched coveri ng 가지친 덮개공간 Brunnia n lin k 브루니안고리 bubble move 비누방울조작 bundle 다발 Burau repr e senta t io n 부라우재표현 cable knot 케이블매듭 cancellatio n 소거,약분 canonic a l fac to r 표준인자 capp ing off 뚜겅닫기 characte r 특성수 characte r is ti c p o lyn o mi al 특성다항식 cha in rule 연쇄율 Chevy ch ev po lyn o mi al 체비세프다항식 chord the orem 현정리 cir cle 원
clasp 걸쇠 clockwi se 시계방향 closed braid 닫힌닿임 closed braid rep re senta t iv e 닫힌맣임 표현 closure of the braid 맣임의닫힘 codim ensio n 여차원 codomain 공역 coeff icien t 계수 coherent top ol og y 일관적 위상 cohomolog y 코호몰로지 coim age 여상 cokemel 여핵 collar 깃 collared 깃이달린 collared neig h borhood 깃근방 combin g 빗질하기 commuta t i ve 가환 commuta t o r 교환자 commuta t o r subg rou p 교환자부분군 comp ac t 컴팩트 comp an io n knot 동반매듭 comp le ment of a knot 매듭의여공간 comp le te gra p h 완전그래프 comp le x 복체 comp le xit y 복잡도 comp on ent 서0 건口 comp os it e k not 합성매듭 comp re ssib l e sur fac e 압축가능곡면 comp re ssio n 압축 concordance 동계,동계다양체 cone 원뿔뿔 confi gu rati on spa c e 구성공간
cong rue nce 합동 conju g ac y 켤레변형 conju g at e 켤레 conju g at e class 켤레류 connecte d sum 연결합 conti nu ed frac ti on 연분수 Conway pol yn o mi al 콘웨이 다항식 core 심지 correspo n din g to 대응하는 corollar y 따름정리 coset 잉여류 counta b le 셀수있는,가산 cover 덮개 crookedness 구비지수 crossin g 엇갈림 crossin g number 엇갈림수 curl 휘감김 CW-comp le x CW- 복합체 cy cl ic branched coveri ng 순환분지 덮개공간 cy cl ic coveri ng 순환덮개 cyc l in g 순환 decomp os it ion 분해 decy cl in g 역순환 defi cien cy of a grou p 군의부족수 defi ni n g relati on 정의관계 defo r mati on 변형 defo n nati on retr ac t 변형수축 dege n erate 퇴화된 Dehn surge r y 덴수술 Dehn's lemma 덴의 보조정리 deri va ti ve 도함수
dia g r a m 그림 dim ensio n 차원 dir e ct lim it 직극한 dir e ct p ro duct 치-, 고k dir e ct sum 치-궁, )k. dis c ri m i na nt 판별공간 dis jo i n t 만나지않는 dis k lin k 원판고리 double 이중매듭 dual basis 쌍대기저 dual gra p h 쌍대그래프 eig e nvalue 고유값 eig en vecto r 고유벡터 Eil e nberg- M acLane spa c e 아일렌버그-맥클레인 공간 elementa r y ide al 기본아이디얼 elementa ry matr ix 기본행렬 elementa ry ope r atio n 기본작용 embedded 묻힌 embeddin g 묻기 energy fun cti on 에너지함수 equ i v a lence 동치,동치관계 Euclid e an metr ic 유클리드거리 Euler characte r i sti c 오일러 특성수 exacts e q ue nce 완전열 exchange move 교환변환 exp an sio n 전개 exp on ent 지수 exp re ssio n 식 exte n sio n 확장 fibe r 울
fibe r bundle 올다발 fibe red knot 다발매듭 fiel d 六1 l figu re-eig h t k not 8 자매듭 fini t e 유한 fini t e c yc l ic cover 유한순환덮개 fini t e g ro up 유한군 fine te l y pre senti on 유한표현 foliat io n 엽층(구조) fram e 툴틀수 fram ed link 틀고리 free abelia n gro up 자유가환군 free dif fere nti al calculus 자유미분계산 free grou p 자유군 free pro duct 자유곱 Four-Color Theorem 4 색 정리 fun damenta l grou p 기본군 full tw is t 완전꼬임 fus io n 융합조작 fus ed bounda ry link 융합둘레고리 Gassner repr e senta t io n 가스너 재표현 ge neral pos iti on 일반위치 ge nus 종수 graph 그래프 gran ny knot 세로매듭 grou p 군 grou p n. ng 군환 Haken manif old 하켄다양체 halft wi d t 반꼬임 handle 손잡이
handle decomp o sit ion 손잡이구성 handle op e rati on 손잡이조작 handlebody 손잡이체 Heega ard spl i tt ing 히가드분리 Heega ard decomp o sit ion 히가드분리 HN-exte n sio n HN- 확대 homeomorp h ic 위상동형의 homeomorp h is m 위상동형 사상 HOMFLY po lyn omi al HOMFLY 다항식 homog en eous spa ce 동질공간 homolog o us 호몰로지동형 homolog y 호몰로지 homolog y bounda ry link 호몰로지 둘레고리 homolog y sph ere 호몰로지구 homomorp h is m 준동형사상 homoto p ic 변이인 homoto p y 변이 homoto p y rel A A 를고정한변이 homoto p y equ i v a lence 변이동치 homoto p y sph ere 변이구 Hop f alge bra 호프대수 Hop fli n k 호프고리 Hurewi cz abelia n iz a ti on 후레비츠가환화사상 hyp e rbolic g e ometr y 쌍곡기하학 hyp e rboli c k not 쌍곡매듭 hyp e rboli c metr ic 쌍곡거리 hyp e rbolic volume 쌍곡부피 ide al 아이디얼 ide nti ty 항둥원,항둥식 1. mage 상 im beddin g 넣기
1.m m ers1. on 잠김 inc omp re ssib l e 압축불능 ind epe n dent 독립적인 ind ex 지표 , 첨자 ind ucti on 귀납법 ind ucti ve lim it 귀납적극한 inf i ni te c yc l ic cover 무한순환덮개 inj e c ti on 단사,단사사상 int e r secti on number 만남수 int e r secti on pairing 만남곱 inv a rian t 불변량 inv erse im age 역상 inv ert ibl e 가역 inv ert ibl e knot 가역매듭 inv ert ib l e link 가역고리 iso metr y 동거리변환 iso morp h is m 동형사상 iso to p y 동위 joi n 결합 Jon es pol yn o mi al 존스다항식 jon es-Wenzl pro je c to r 존스처打출사영원 Kauff ma n pol yn o m ial 카우프만다항식 kernel 핵 Kirb y move 커비변환 knot 매듭 knot comp le ment 매듭여공간 knot exte r i or 매듭바깥 knot grou p 매듭군 knot pro je c ti on 매듭사영
latt ice 격자 Laurent po lyn o mi al 로랑다항식 lemma 보조정리 lenz spa ce 렌즈공간 level-pr e servin g 수평보존 lexic o g ra p h ic 사전식 link 고리 link ing number 걸림수 local coeff ici e n t 국소계수 local maxim um 극대 local mi ni m um 극소 locally flat 국소평탄한 long itud e 세로선 loop 닫힌곡선 lower centr al seri es 아래중심열 lune move 활꼴조작 Mag n us exp a nsio n 매그너스전개 manif old 다양체 mapp ing 사상 mapp ing class grou p 사상류군 Markov eq ui v a lent 마코프동치 Markov's the orem 마코프정리 meri di a n 가로선 meri di n a l dis k 가로원판 metr ic 거리 mi ni m al surf ac e 최소곡면 mi rr or im ag e 거울상 Mmoodbuiul es band _뫼口,_ 눌비= 우스띠 monodromy 회귀사상 monoid 단위원이 있는반군,모노이드
monomi al 단항식 multip le po in t 다중점 muta n t, muta t io n 돌연변이, 돌연변이 변환 netw ork 네트웍 neig h borhood 근방 nilp o t e n t 거듭제곱이 영인 nondege n erate 정상적인 nonsin g u l ar 정칙 nonsin g ul ar matr ix 정칙 행렬 nonori en ta b le 비방향성 non-spl it ta b le link 분리할수없는고리 nonnaliza ti on 정규화 null-fra m i ng 여0트 근. null-homoto p i c 0 변이적인 null ity 영공간의 차원 one-skeleto n 일차원뼈대 onto 전체로의 ope n ball 열린공 ope n book decomp os it ion 열린책분해 op en set 열린집합 ope r atio n 연산 ope r ato r 연산자 ort ho g on al ide nti ty 직교항등식 ori en ta b le 방향를줄수있는 ori en ta tion 1o:1 .l-isol : ori en ta tion pre servin g 방향을보존하는 ori en ta tion reversin g 방향을뒤집는 ori en te d 유형인 Orr inv a rian t 오어불변량 overp a ss 윗가닥
par tit ion fun cti on 분할함수 pa ss-eq ui v a lent 통과이동동치 pa ss-m ove 통과이동 pat h 길 pa th comp o nent 길성분 pa tte r n 유형 pen ta g o n ide nti ty 오각항등식 per i od ic tra nsfo n nati on 주기변환 pe rip h eral subg ro up 주변부분군 pe rmuta t io n braid 순열닿임 piec ewi se lin e ar 조각선형 pla nar gra ph 평면그래프 plu mbin g 배관 Poin c are model 푸앙카레모형 Poin c are conje c tu r e 푸앙카레예측 po lyg o nal knot 다각매듭 pol yn omi al 다항식 po lyn on number 다각수 po sit ive word 양의단어 pre senta t io n 표현 pre senta t 1 0 n matn x 표현행렬 pre tz e l knot 사다리매듭 prim e .A., _ prim e knot 기약매듭 prim i tive lin k 원시고리 pro duct bundle 곱다발구조 pro je c ti on 사영 pro p er t y P 성질 P pu re brai d 순맣임 pu re map ping class grou p 순사상류군
qua te r nio n grou p 사원수군 quo ti en t grou p 몫군 quo ti en t top ol og y 몫위상 random knot 무작위매듭 rank 계급수 rati on al link 분수고리 rati on al tan g le 분수실뭉치 recoup lin g the ory 재결합정리 reduced 기약 reduced Alexander matr ix 기약알렉산더 행렬 reduced Alexander pol yn o mi al 기약알렉산더 다항식 reduced alte r natin g pro je c ti on 기약교대사영 reduced word 기약단어 Reeb foli a t i on 리브엽층구조 reef k not 옮매듭 reg ul ar iso to p y 정칙동위 regu l ar pro je c ti on 정칙사영 reg ul ar pos it ion 정칙인위치 regu l ar value 정규값 Reid e meis te r move 라이더마이스터 변환 relati on matr ix 관계행렬 relato r 관계자 ribb on 리본 ribb on lin k 리본고리 ring 환 Sato - Levin e inv a rian t 사토-르빈불변량 sate l l ite knot 위성매듭 secti on 절단 Seif ert cir c le 사이퍼트원 Seif ert fon n 사이퍼트형식
Sseemif ei grrto suupr f a c e 사반군이 퍼트곡면 seri es 급수 S-eq ui v a lence S- 동치 sig n atu re 부호수 sim p le x 단순체 sim p ly connecte d 단순연결된 sin g ul ar ity 특이점 skein the ory 실타래이론 slic e link 단면고리 smooth manif old coo_ 다양체 solid tor us 채워진토러스 spe cia l spi ne 특수뼈대 spi nn in g 희전 spl i t unio n 분리합 spl i tt ab le lin k 분리 가능고리 spl i tt ing map 분리사상 squ a re knot 옵매듭 sta b il iza ti on 안정화 sta n dardly embedded tor us 표준적으로들어있는토러스 sta t e model 상태모델 sta t e sum 상태합 ste v edore's knot 하역인부매듭 sup e r summi t set 최정상집합 surf ac e 곡면 surf ac e wi th bounda ry 둘레가있는곡면 surge r y 수술 surge r y descri ption 수술지침 surge r y ins tr uc ti on 수술지침 suspe n sio n 쌍뿔 swi tch in g 엇갈림을바꾸는변환
tam e knot 유순한매듭 tan g le 실뭉치 Temp er ley -L ie b alge b ra 템퍼리-립 대수 Thom-Pontr ya gi n constr uc ti on 톰-폰트리야긴구성 thr ead 가닥 thr ee manif old 3 차원다양체 thr ee spa c e 3 차원공간 Tie t z e tran sfo rm ati on 티체변환 top ol og y 위상 tor oid a lly alte r nati ng knot 토러스상의 교대 매듭 Torres' condit ion 토레스조건 tor sio n 비틀림,꼬임,유한위수 tor us 토러스 tor us knot 토러스매듭 tor us link 토러스고리 trac e 대각합 trans fo rm ati on 변환 trans it ive rep re senta t i on 전이적 재표현 trans lati on 평행이동 tref o il k not 세잎매듭 trian g ul i za ti on 삼각화 trivi a l knot 풀린매듭 trivi a l link 풀린고리 tub ular neig h borhood 관상근방 tun nel number 터널수 Turav-Vi ro inv a rian t 투라에프 - 비로불변량 tw i st 꼬임 tw o-bri dg e knot 2- 교각매듭 tw o manif old 2 차원다양체 unknot 풀린매듭 unknott ing number 풀림수
unlin k 풀린고리 unsp lit t ab le lin k 분리 불능고리 vecto r 벡터 Vassil iev inv aria n t 바실리에프불변량 wedg e 쐐기 wedg e pro duct 쐐기곱 weig h t sys t e m 값체계 Whit eh ead lin k 화이트헤드고리 wi ld knot 거친매듭 W irting e r pre senta t i on 버팅거표현 word 단어 wr ithe 감김,감김수
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기 가스너 재표현 (Gassner rep re senta - tion ) 123, 127 가역 (inv ert ibl e) 34 가우스 무작위 다각 매 듭 (Gauss i an random pol yg o nal knot) 334 가우스 무작위 벡터 (Gauss i an ran-dom vecto r ) 335 가우스 무작위 진 행 (Gaussia n ran-dom walk) 335 가중 카우프만 괄호다항식 (colored Kauff m an pol yn o mi al ) 287 감김 (wr ithe ) 28 감 김 수 (w rith e number) 29 거 친 매 듭 (w il d knot) 22 거 친 점 (wi ld poi n t ) 22 걸 림 수(li nk i n g number) 26, 41 겹 선 형 사상 (b ili near pairing ) 155 고리(li nk) 18 고리 군(li nk grou p ) 73, 190 고리 그림 의 교각수(bri dg e number of dia g ram ) 31 고 리 동 계 (lin k concordant) 203
고리 동계다양체(li nkconcordance) 203 고 리 모듈(li nk module) 185 고리 부호수(li nk sig n atu r e) 221 고 리 성 분(li nk comp on ent) 18 고리 의 교각수 (b ri dg enumbero f l i nk) 31 고 전 매 듭 (class ic al knot) 23 고차원 매 듭 (h ig her dim ensio n al knot) 23 고차원 사이 퍼 트 곡면 (h ig her dim en-sio n al Seif ert surf ac e) 151 곱다발 구조(p roduc t bundle) 163 괄호 다항식 (bra cket p ol yn o m ial) 53 괄호 불변량 (bracke t inv a rian t) 53 교각 표현 (b ri dg e pre senta t i on ) 31 교대 고리 (alte r nati ng lin k ) 58 교대 고리 그림 (al t erna ti ng link d ia- gram) 58 교환변 환 문제 (exchan g e move pro b-lem) 122 교환자 정 규 부분군 (commu t a t or nor-mal subg ro up ) 177 구비 지 수 (crookeness) 32 구성 공간 (con figurati on spa c e) 104
구 정 리 (sph e re the orem) 255 국소 계수를 갖는 사슬복합체 (cha i n comp le x wi th local coeff ici e n ts ) 243 국소 계 수 체 계 (loc al coeff ici e n t sys - ter n) 243 국소 평 탄(l ocall y flat ) 22 균일 무작위 진행 (Un ifo nn random walk) 337 그래프로 부호화 된 3 차원 다양체 (gra p h- encoded 3-manif old , 3- gem ) 311 기 본닿임 (fun damenta l braid ) /J..11 117 기 본 실 뭉치 (elementa ry tangle ) 285 기 약(i rreduc i ble) 254 기 약 고 리 그 림 (reduced lin k dia g r a m) 59 기 저 고리 (based link ) 233 기 저 공 간 (base spa c e) 162 기 초 아이 디 얼 (elemen tary ide al) 190 꼬인 만남곱(twi s t ed int e r secti on pa ir - ing ) 243 꼬인 사슬 (kno tte d cha in) 335 꼬 임 (tw is t) 28 꼬 임 수(t w i s t number) 29, 57 꼬임 없는 이 중매 듭 (un t w i s t ed dou-
ble) 160 끝 생 성 자집 합(fin i sh i n g set) 119 C 다중 점 (multip le po in t ) 23 단면매듭 (s li ce knot) 195단면 원 판 (sl i ce dis k ) 195 단순 매 듭 (s i m p le knot) 161, 202 닫힌 곡선 정 리 (loo p the orem) 255 닫힌 맣임 (closed braid ) 106 대수적 단면매듭 (a g ebra i csl i cekno t) 202 대 수 적 닫힘 (alge b rai c closure) 234 대 수 적 으로 닫혀 있 다 (al g ebra i call y closed) 234 대 수 적 플 랫 문제 (alge b rai c pla t p ro b-
!em) 140 대 수 적 합 (al g ebr ai c sum) 154덮개고리 (cove ri n g lin k ) 239 덮 개 공 간 (cove ri n g spa c e) 165 덮 개 이 동군 (cove ri n g tran sfo r mati on ) 166 덴꼬기 (Dehn- t w i s t) 134 덴 수술 (Dehn surge r y ) 278 덴의 보조정 리 (Dehn's lemma) 254, 255 도돌이사상 (monodrom y map) 164 동 계 (concordant) I 99, 210 동계군 (concordance grou p ) 200 동계다양체 (concordance) I99 동계 적 (concordant) 89 동반매 듭 (Com p an i on knot) 79 동위 (iso to p y) 19 동치 (e qu i valen t) 18 동치 관계 (e q u i valencerela ti on) 182 둘레 고리 (bounda ry link ) 152, 189 둘레 단면고리 (bounda ry slic e ) 208 둘 레 동계 (bounda ry concordance) 204맣임 (braid ) 98 맣임 군 (bra i d gro up ) 284 맣임군의 공액 문제 (conj u g ac yp rob lem of braid gro up ) I 14 맣임군의 단어 문제 (word pro blem of braid gro up ) 114 땅임 지 수 축소 문제 (reduc i b il ity pro b- lem) 122 닿임 축 (bra i d axis ) 106 떨 어 진 합 (d i sj o i n t unio n ) 309 띠 (annuli) 301 띠 동치 (ribb on equ i v a lence) 301 2 라이 데마이스터 변환 (Re i deme i s t er move) 25 레 이 스(l ace) 141 레이스의 닫힘 (closureo fl ace) 141 렌즈 공간 (Lens spa c e) 256, 278 리 본 매 듭(ri bbon knot) 194 리 본 예 상 (R i bbon Conje c tu r e) 195 리 본원판(ri bbon dis k ) 194 리 본 특이 집 합(ri bbon sin g u l arity ) 194 □ 마그너 스 ¢재표현 (Ma g nus ¢-repr e - senta t io n ) 125 마그너스 전개 (Ma g nus exp an sio n ) 91 마코프 변환 (Markov move) 113
마코프 정 리 (Markov's the orem) 113 마티비프-피에르갈리니 조작(M a t veev- Pie r ga l li ni m ove) 311 만남곱(i n t ersec ti on pai ri ng ) 155 만능 (un i versal) 273 매끄러운 무작위 매듭 338 매 듭공 간 (kno t spa c e) 323 매듭군 (kno t grou p ) 73, 177 매 듭 그림 (knot dia g r am ) 178 매 듭 모듈 (kno t module) 167 매듭복잡도의 측도함수(g oodmea- sure of k not comp le xit y) 336 매 듭 여 공 간 (kno t comp le ment) 165 매 듭의 동치 (kn ot equ i v a lence) 18 매 듭풀기 정 리 (unknott ing the orem) 80 뫼 비 우스 함수 (Mob i us fun ti on ) 94 무작위 매듭 (Random knot) 334 무한 순환 덮 개 (inf i ni te c yc l ic c over) 165, 176 무한 순환 덮개사상(i n finit e cyc l e cov- eri ng map ) 164 물 리 적 매 듭이 론 (Ph y s i cal knot tho-- ery ) 334 ji, 불변 량(µ, inv a rian t) 89, 92 I::! 바깥 (ex teri or) 214 바람넣기 (blow i ng up) 302 바람빼 기 (blowi ng down) 302 바실리 에프 불변량 (Vass ili ev inv a ri- ants ) 324, 325
바실리에프불변량의 기초정리 (Fundamenta l Theorem ofe v in- var ian t) 332 반군 (sem igr ou p) I 16 방향이 주어 진 동치 (ori en te d equ i v - alence) 19 버 팅 거 표현 (W irti n g er pre senta t i on ) 76, 178 변 에 서 의 비 눗방울조작 (ed g e dil a- tion ) 311 변 이 적 리 본매 듭 (homo t o pic all y rib- bon knot) 196 보로미안고리 (Borromean ri ng s) 81 복 잡도 (com p lex ity) 237 복 체 (comp le x) 310 부라우 재표현 (Burau rep re senta t io n ) 123, 126 부호수 (s ig na tu re) 215, 308 분리 가능한 고리 (sp lit lin k ) 39 분리 가능한풀린 고리 (s plit unl i nk) 45 분리 된 고리 (s plit link ) 23 분 리 사상 (s plitti n g map ) 204 분리 표시 (s p l itti n g maker) 54 분할함수(partiti on fun cti on ) 313 브루니 안 고 리 (Brunnia n lin k ) 81 비 눗방울조작 (bubble move) 311 비틀림 공식 289 빗 질 하기 (combin g ) 103 人 사상동치 (ma p equ iv a lence) 19
사상류 군 (ma ppi n g class gro up ) 13l 사이 퍼 트 곡면 (Se ifert surf ac e) 147, 168 사이 퍼 트곱 (Se ife rt pa ir ing ) 155, 169 사이 퍼 트 알고 리 듬 (Se if er t Algo r i thm ) 148 사이 퍼 트원 (Se ife rt cir c le) 149 사이 퍼 트 행 렬 (Seif ert matr ix ) 155, 169 사토-르빈 불변 량 (Sa t o-Lev i ne inv a ri- ant) 232 4 항 관계 식 (4 ter m relati on ) 332 삼각화(tri ang ula ti on) 310 3 중 점 (triple po in t ) 23 3 차 네트워크 (ne t work) 288 상 태 (sta t e ) 54 상태 모델 (s t a t e model) 53 상 태 합 (s t a t e sum) 3 IO 세 로 매 듭(gr anny knot) 79 세 잎매듭 (Tre foil) 39, 74, 78, 171 소(pri me) 254 손잡이 (handle) 157 손잡이 구성 (handle decomp o sit ion ) 317 손잡이 체 (handlebod y) 257 수술 (surg e ry) I73 수술계수 278 수술다양체 (sur g e ry manif old ) 248 수술동치 281 수술변 경 (surge r y mod ifica ti on ) 280 수술지 침 (surge r y ins tr uc ti on ) 278 수평 보존 (level- p reserv i n g) 19
순맣임(p ure braid ) IOI 순사상류군(p ure mapp ing class gro up ) 131 순수 레 이 스(p ure lace) 141 순열가중치 303 순열 닿임 (pe rmuta t i on braid ) 102 순열 띠동치 불변량(l abelled ri bbon inv a rian t) 303 순환 (c y cl i n g) 121 슈베르트 정규형식 (Schube rt 's nor-
mat form ) 33 스탈링스의 완전열 (S t al i n g s' exact seq ue nce) 89 실 타 래 구성 (skein decomp o sit ion ) 50 실타래 기호 (ke i n nota t i on ) 49 실타래 동치 (ske i ne qu i valence) 50 실 타 래 생 성 자 (ske i n gen erato r ) 50 실 타 래 이 론 (ske i n the ory ) 37, 48 쌍대 그래프 (dual gra p h) 62 쌍 대 복 체 (dual comp le x) 3 I 0 쓸모없는 이 중점 (nu g a t o ry doublep oi n t ) 329 。 아래중심부분군(l ower centr al sub- gro up ) 89 I- 동치 적 (/-eq ui v a lent) 89 i번째 뼈 대(ith spi ne ) 141 아티 야-싱 거 의 G- 불변 량 (Al iy ah-S i n g er G-in v a rian t) 245 r 겹 순환 덮개사상 (r- fo ldc y c li ccov eri ng map) 214알 렉 산더 다항식 (Alexander pol yn o - mi al ) 37, 168 알 렉 산더 모듈 (Alexander module) 185 알렉산더 불변량 (Alexander inv a ri- ant) 165, 167 알렉산더 쌍대성 (Alexanderdual ity) 169 알렉산더 의 뿔달린 구 (Alexander's homed sph e re) 21 알 렉 산더 의 정 리 (Alexander's the o - rem) 108 알렉산더 조작 (Alexandermove) 311 알렉산더 행렬 (Alexanderma tri x) 12 183 압축 불능(i ncom p ress i ble) 254 양-박스터 (Yang -B axte r ) 300 양깃 이 달린 (b i collared) 20 양의 단어 (po sit ive word) 115 양의 세 잎 매 듭(p os ti ve tref o il) 302 양의 표현(p os iti ve pre senta tion ) 115 양자적 으로 변형 된 6j -기 호,q -6j -기 호(q -6j Sy m bols) 294 양자적 으로 허 락되 었다(q -adm i ss i ble 293 양자정 수 [n](qu a ntu m int e g er ) 298 엇 갈림 수 (cross i n g number) 24, 60 엇 갈림 을 바꾸는 변환 (sw it c hi n g) 4: 에 너 지 함수 (Energ y fun cti on ) 334, 338 S 동치 (S-eq uiva lent) 159 n 용불변 량(TJ-i nv ari an t) 242
FWD 예 측 (F ri sch-Wasserman-Delbr il ck conje c tu r e) 335 Fm- 고리
Y- 조작 (Y-move) 311 완벽 한 불변량 (com p le t e inv aria n t) 333 외 톨이 현(i sola t ed chord) 329 왼쪽 꼬임(l e ft tw i st ) 28 원시(pri m iti ve) 고리 237 위 상적 단면매듭(t o p olo gi cal slic e knot) 195 위상적 4 항관계식(t op olo gi cal4 t erm relati on ) 331 위 상적 틀독립 성 (top ol og ica l fram - ing ind ep en dence: TFI) 330 위 성 매 듭 (Sa t e llit e knot) 79 위 튼 - 레 쉬 티 킨-투라에프 불변량 (W itt en - Resheti kh in - Turaev inv a rian t) 308 윗 가닥 (ove rp ass) 31 유순한 매 듭(tam e knot) 22 유한성 불변 량(fi n it e type inv aria n t) 325 유한 순환 덮개(fi n it e cy cl ic cover) )65 융해조작(fu s i on) 319 2 변수 존스 다항식 (tw o va riab le Jon es pol yn o mi al ) 38, 70 2m 가닥 플랫 (2m pla t) 137 2 중점 (double poi n t ) 23 2 차원 뼈 대 (2-sp ine ) 310 大 자기 거 울 대 칭 (achir al) 60 자기 회피 무작위 진행 (Sel f- avo i d i n g random walks) 337
자유 미 분(fr ee dif fere nti al ) 123 자유 미 분 계 산(fr ee dif fere nti al cal-
culus) 180 재 결 합 (recou p li n g) 290 재 결 합 정 리 (Recoup lin g Theorem) 294 적 정 고 리 (adeq ua te link ) 66 적 정 고리 그림 (ade qua t e link dia - gra m) 66 전공간 동위 (amb i en t iso to p y) 19 전이 적 재표현(tr ans iti vere p resen t a- tion ) 268 전 체 공 간(t o t al sp ac e) 162 정 규화 (normal i ze) 308 정 칙 동위 류 (re g ular iso to p y class) 285 정 칙 동위 적 (regu l ar iso to p ic) 53 정 칙 사영 (reg ul ar pro je c ti on ) 24, 44 j-특이 매 듭(j -s i n g ular knot) 324 j-현그림 328 존스(Jo nes) 37 존스- 웬츨 사영 원(Jo nes-Wenzl pro - jec to r ) 286 존스 고리(J ones lin k ) 63 존스 다항식 (Jon es pol yn o mi al ) 37, 53, 57, 113, 284 종선원소 90 종수(g enus) 149 좌가중분해(l e ft -we ig h t ed decomp o- sit ion ) 119 좌표준 형 (lef t canonic a l for m) 119 주변군 체 계(P e rip heral gro up sys - tern ) 86주어 진 방향(p re f ered ori en ta tion ) 141 G- 동 계 적 (G-concordant) 249 지 표 정 리 (Ind ex Theorem) 243 직 교항등식 (Or tho g on ali ty Identi ty) 29~ 云 차수폭 (bread t h) 63 채 색 (colori ng ) 312 채 색 존스 다항식 (colored Jon es pol y- nomi al) 288 채 워 진 토러 스 (so li d tor us) 256 책등고리(fi bred link ) 163 책등매듭(fi bred knot) 163 책 장(fi bre) 163 첫 생 성 자집 합 (s tarti n g set) 119 체 바 세 프다항식 (Cheby sh ev pol yn o - mia l ) 286 최소 고리 그림 (m i n i mall i nkd i a gram) 60 최소곡면 (m i n i mal sur fac e) 150 최 정 상단어 (sup er summi t word) 121 최 정 상집 합 (su p er summi t set) 121 추상화된 그림 (abstr ac t dia g ram) 109 칠판틀(b lackboard framing ) 301 = 카우프만 괄호 (Kau ffm an bracket) 284 카우프만 다항식 (Kauff ma n poly n o - mial) 38, 69 커 비 변 환(Ki rb y move) 280 케 이 블 매 듭 (Cable knot) 80
콘웨이 (Conwa y) 37 콘웨 이 다항식 (Conway pol yn o mi al ) 38 콘웨이 정규형식 (Conwa y 's normal form ) 35 (q— 1) －연결((q- ))-connecte d ) 16I E 템 퍼 리 -립 대 수 (Tem p erle y -L i eb Al- geb ra) 284 토러스 매듭(t oruskno t) 29, 75, 179 토레스 조건 (Torres' condit ion ) 185, 191 톰폰트리 야간 구성 (Thom-Pontr ya g in constr uc ti on ) 152 투라에프-비 로 불변 량 (Turaev-V i ro inv a rian t) 310 특성 곡선 (charac t e ri s ti c curve) 260 특성 다항식 (characte r i st ic pol yn o -
mi al ) 190 특성 수 (charac t er) 284 특수 부분다양체 (s peci al subva riet y ) 247 특수뼈 대 (s p e cial spi ne ) 3ll 틀고리(fr amed lin k ) 301 톨 독 립 성 (fram i ng ind ep en dence) 332 티 체 변 환(Ti e tz e tran sfo n nati on ) 182 끄 판별공간 (d i sc ri m i nan t) 323 8 자 매듭(figu re-8 knot) 78, I58, 173평 탄(fl a t) 20 평 탄한 공(fl a t ball) 20 표준인자 (canon ical fac to r ) I I9 표현행 렬(p resen t a ti on matr ix) 170 풀 린 레 이 스(tri v i al lace) 142 풀 린 매 듭 (unkno t) 23 풀린 매듭으로 변환하는 표준열 (unkno tti, sta n dard seq ue nce) 44 풀림 수 (unkno tti n g number) 327 플랫 표현(p la t pre senta t i on ) 137 끈 하역 인부 매듭 (S t evedore knot) 195 하켄 다양체 (Haken manif old ) 254 합동 (congru en t) 159, 209 행 렬동계 군 (ma tri x concordance gro up ) 201 허 락된 가중치 (admi ss ib l e weig h t) 288 현그림 (chord dia g r am ) 328 호몰로지 (homolo gy) 167 호몰로지 둘레고리 (homolo gybound ary link ) 153 호몰로지 사상동계 적 (homolog y bor-
dant) 247 호프 고리 (Ho pf link ) 27, 41, 56, 81 호프 대 수 (Ho pf Alge b ra) 300 화이트헤드 고리(Whit eheadl i nk) 27, 40 활꼴 조작 (lune move) 311 횡선원소 90 횡 선윤종선 부분군 (me ri d i an-lon gitu de subg rou p ) 86후 레 비 츠 가환화 사상 (Hurew i cz abelia n - iza ti on ) 166
히 가드 그림 (Heega a rd dia g ram ) 260 히 가드 분 리 (Heega ard spl ittig) 259
매듭론 대우학술총서•자연과학 124 1 판 1 쇄 펴냄 1998 년 9 월 5 일 지은이 고기형 진교택 펴낸이 朴孟 浩 펴낸곳 (주)민음시 출판등록 1966. 5. 19 제 16-490 호 서울시 강남구 신사동 506 강남출판문화센터 5 층 515-2000( 대표전화), 515-2007( 팩시밀리) ® 고기형 진교택, 1998 위상기하학 KDC/415.83 Printed in Seoul, Korea 값 22,500 원 ISBN 89-374-3624-8 94410 89-374-3000-2 (세트)
| 대우학술총서 1 자연과학)- — 1 1 소립자와 게이지 상호작용 김진의 43 후리에 해석과 의미분 작용소 86 등각장론 임채호 2 동력학특론 아병호 김도한 87 방사선생물학 남상열 3 질소고정 송승달 44 한국의 고생물 이 하영 88 석유지질학 이용일 4 상전이와 임계현상 김두철 45 질량분석학 김명수 89 베르누이 시행의 통계적 분석 5 촉매작용 진종식 46 급변론 박대현 배도선 김성인 6 뫼스바우어 분광학 욱항남 47 생체에너지 주충노 90 신경세포생리학 강만식 7 극미량원소의 영양 승정자 48 리이만 기하학 박을룡 91 생리활성을 가진 C 一 P 화합물의 8 수소화봉소와 유기붕소 49 군표현론 박승안 화학 김용준 강익중 화합물 윤능민 50 비선형 편미분 방정식론 하기식 92 생물유기화학 서정헌 9 항생물질의 전합성 강석구 51 생체막 김형만 93 조직배양 김승업 10 국소적 형태의 Atiy a h-sin g er 52 수리분류학 고철환 94 유기전이금속화합물 조남숙 외 지표이론 지동표 53 찰스 다윈 정용재 95 실내환경 과학 김윤신 11 Mucop ol y sacchar i des 의 54 금속부식 박용수 96 유한요소법 정상권 생화학 및 생물리학 박준우 55 양자광학 이상수 97 대수적 위상수학 우무하 김재룡 12 천체물리학 홍승수 56 효소반응 속도론 서정현 98 파인만 적분론 장건수 13 프로스타글라딘 합성 김성각 57 화성암 성인론 이민성 99 응용 미생물학 박무영 14 천연물화학연구법 우원식 58 확률론 구자홍 100 리보플라빈 아상선 15 지방영양 김숙희 59 분자분광학 소현수 101 노화 김숙희 김화영 16 결정화유리 김병호 60 벡터속 이론 양재현 102 매트릭스 격리분광학 정기호 17 고분자에 의한 화학반응 조의환 61 곤충신경 생리학 부경생 103 신경계 조직배양 김승업 18 과학혁명 검영식 62 에너지띠 이론 오혜정 104 지구화학 김규한 19 한국지질론 장기홍 63 수학기초론 김상문 105 은하계의 형성과 화학적 진화
