계승혁 서울대학교 수학과 졸업, 동 대학원 석사 및 박사 성심여자대학교 수학과 조교수 현재 서울대학교 수학과 부교수
군과 조화해석
군과 조화해석
머리말 유한군의 표현론에서 시작된 군표현론은 이십세기 이후 함수해 석학의 발달과 더불어 옹골군!）의 표현론으로 확대되었다. 바일 은 군대수의 곱하기와 푸리에해석의 콘볼류션이 본질적으로 같은 연산이고, 군의 유니터리표현을 군대수의 표현으로 확장하는 것 이 바로 푸리에변환임을 알아차렸다. 이는 옹골군의 표현론을 연 구하게 된 결정적인 계기가 되었는데, 이와 같이 가환군의 푸리 에변환과 국소옹골군의 표현론을 같은 관점에서 바라보고 공부하 는 것이 이 책의 목적이다.
1) 이 책에서는 콤팩트집합을 옹골집합으로 부른다.
군의 표현을 공부할 때, 이를 군대수의 표현으로 확장하여 다 루는 것이 필수적이다. 군대수의 곱하기를 일반적인 위상군에서 정의하려면 평행이동에 관하여 불변인 측도가 필요한데, 국소옹 골군의 경우 이러한 측도의 존재가 보장된다. 이 측도에 관한 LI- 공간에 곱하기와 *＿ 연산을 정의함으로써 바나하 *-대수를 얻고, 군의 유니터리표현과 이 바나하 *-대수의 *－표현이 서로 대웅됨을 알 수 있다. 일반적으로 *＿대수가 주어지면 자연스레 순서가 정의된다. 이 순서에 관한 양선형범함수는 군표현을 공부 하는 데에 핵심적인 역할을 하는데, 이를 LOO- 함수로 이해한 것 이 군의 양부호함수이다. 군의 유니터리표현과 양부호함수는 서 로 일대일 대응관계를 가전다. 군의 기약표현에 대응되는 양부호 함수는 양부호함수 집합의 꼭지점에 해당하는 것들인데, 바나하-
알라오글루 정리와 크라인-밀만 정리 등 함수해석의 이론을 적용 하여 국소옹골군의 기약표현이 충분히 많다는 겔판트 _ 라이코프 정리를 증명한다. 가환군의 기약표현은 항상 일차원인데, 이를 지표라 부른다. 이 지표에 대응하는 L1- 대수의 표현이 바로 푸리에계수이므로, 가환군의 푸리에해석은 바로 군표현론이다. 제 2 장에서는 고전적 인 역변환공식이나 플랑셰를변환을 일반적인 국소옹골가환군에서 다룬다. 이와 아울러, 뽕트리야겡 쌍대정리를 증명하고 이룰 이 용하여 가환군의 푸리에대수나 푸리에-스틸체스대수를 보다 자세 히 살펴본다. 옹골군의 핵심적인 성질은 그 기약표현이 모두 유 한차원이란 점인데; 이를 이용하여 피터 - 바일 분해정리를 얻는 다. 옹골군에서도 쌍대정리를 얻을 수 있는데, 여기서는 다나까 쌍대정리를 간단히 살펴보고 옹골군의 군대수가 어떤 모양인지 알아본다. 또한 옹골군의 예로서 간단한 치환군과 유니터리군의 기약표현을 모두 찾고 지금까지 전개한 이론들이 어떻게 적용되 는지 살펴본다. 군표현론을 공부하는 이유는 추상적 대상인 군의 원소를 행렬 혹은 작용소로 이해하자는 것인데, Ll- 군대수의 노음은 작용소 노음과 전혀 다른 노음이다. 군대수에 여러 가지 작용소노음을 부여하여 얻어지는 작용소대수들울 공부하는 것이 3 장의 목적이 다. 이러한 작용소대수들의 바나하 쌍대공간을 생각하면, 가환군 의 푸리에대수나 푸리에-스틸체스대수를 임의의 국소옹골군에서 정의할 수 있다. 또한 정규표현에 의하여 얻어지는 작용소대수와 보편표현에 의하여 얻어지는 작용소대수가 같아지는가 하는 문제 는, 평행이동에 관하여 불변인 평균이 존재하는가 하는 문제로 귀착되는데 이러한 군을 평균가능군이라 한다. 평균가능군에서 얻어지는 작용소대수들은 여러 가지 좋은 성질들을 가지는데, 그
대표적인 예가 점근성질과 확장성질이다. 제 4 장에서는 이러한 성질 들 과 아울러 평균가능하지 않은 군의 대표적 예로서 자유군 의 작용소대수를 다룬다. 특히 이산군의 정규표현으로 얻어지는 C* - 대수 가운데 단순 C* - 대수들이 어떤 것이 있는가 살펴본다. 아 책은 올해 일 년 동안 강의하면서 배포한 강의록을 정리한 것인데, 앞에서 언급하였다시피 함수해석에 관한 기본적인 소양 은 필수적이다. 구체적으로 LP - 공간의 쌍대정리, 한-바나하 정 리, 바나하-알라오글루 정리, 크라인-밀만 정리, 스톤-바이어쉬 트라스 정리 등은 아는 것으로 간주하였다. 이와 더불어 힐버트 공간의 유계선형작용소에 관한 지식도 약간 필요한데, 특히 스펙 트럼 정리가 필수적이다. 작용소대수의 일반론은 요구하지 않는 다. 오히려 3 장 이후부터 바나하 *-대수와 작용소대수의 성질 들을 비교하면서 필요한 이론들을 그때그때 증명함으로써, 군 작 용소대수를 공부하는 동기가 부여되도록 하였다. 저자는 1993 년 가울 학기에 한 학기짜리 특강을 맡을 기회가 있었는데, 그때 강의한 주제가 가환군의 푸리에해석과 옹골군의 유니터리표현을 같은 관점에서 공부하는 것이었다. 그러나 이러 한 주제에 적합한 단행본을 찾을 수 없어서 강의록을 배포하고 이를 모아서 책으로 낸 바 있다 .2) 따라서 이 책의 1 장과 2 장은 그 책의 내용과 거의 중복되고, 3 장과 4 장은 그 후속편이라 할 수 있다. 다만 재작년에 강의할 때는 동기 부여를 위하여 가환군 의 푸리에변환을 먼저 공부하고 겔판트-라이코프 정리를 나중에 하였으나 이번에는 그 순서를 바꾸었다. 따라서 가환 바나하대수 의 겔판트변환 등 몇 가지 주제를 생략할 수 있었으므로 그 분량 을 줄일 수 있었다. 뒤에 붙어 있는 참고문헌 가운데, 논문은 그 2) 참고문헌 [18] .
양을 최소한으로 줄여서 이 책을 쓰는 데 직접 참고한 것으로 제 한하였다. 각 장의 끝에, 본문에서 다룬 내용의 출처와 더 참고 할 문헌들을 제시하였다. 이 책을 쓰는 동안 여러 분들의 도움을 받았다. 우선 일 년 동 안 수강한 학생들은 여러 가지 질문과 제안을 해중으로써 크게 도움을 주었고, 특히 하길찬 군은 세세한 부분까지 교정을 보아 주었다. 또한 앞서 말한 책을 펴낸 후에 많은 분들이 잘못된 부 분을 알려 주었는데, 일일이 적을 수 없는 점이 유감이다. 끝으 로 저자가 대학원 학생이었을 때 가환군의 쌍대정리 및 작용소대 수를 공부하도록 안내해 주신 윤재한 선생님과 이사계 선생님을 비롯하여, 여러 가지 귀찮은 자문에 혼쾌히 응해 주신 동료 교수 들께 감사드린다. 1995 년 12 월 계승혁
차례
머리말 5제 1 장 군대수와 그 표현 111. 하르적분 • 122. 군대수 • 253. 양부호함수 • 364. 유니터리표현 • 455. 기약표현 • 60제 2 장 가환군과 옹골군 756. 푸리에변환 • 767. 뽕트리야겡 쌍대정리 • 888 옹골군의 기약표현 • 979. 다나까 쌍대정리 • 10910. 치환군과 유니터리군 • 121제 3 장 군 작용소대수와 쌍대공간 133
11. 군 C*-대수와 푸리에-스틸체스대수 • 13412. 군 폰노이만대수와 푸리에대수 • 15113. 평균가능군 • 167제 4 장 군 작용소대수의 여러 가지 성질 18314. 군 작용소대수의 점근성질 • 18315. 군 폰노이만대수의 확장성질 • 20116. 자유군 • 21017. 단순 군 C*-대수 • 224참고문헌 237단행본 • 237논문 • 240찾아보기 243제 1 장 군대수와 그 표현 군의 유니터리표현을 연구할 때 이를 군대수의 표현으로 확장 하여 살펴보는 것이 필수적이다. 유한군에서 정의하는 군대수의 곱하기를 국소옹골군에서도 정의하기 위하여 평행이동에 관하여 불변인 측도가 필요한데, 이룰 1 절에서 다룬다. 다음 철에서 LI - 함수뿐 아니라 보렐측도들에 대하여 곱하기와 *－연산을 정의 한 후, 그 기본적인 성질들을 공부한다. 특히 L1- 공간이 *-대수 가 되는데, 이에 의하여 순서가 주어진다. 따라서 LI- 공간의 유 계선형범함수 중에서 양선형범함수를 생각할 수 있고, 이를 Lco - 함수로 이해한 것을 양부호함수라 부른다. 양부호함수의 기 본적인 성질들을 3 절에서 공부한 뒤, 4 철에서 국소옹골군의 유 니터리표현과 그 L1- 군대수의 *－표현 및 양부호함수들 사이의 상관관계를 확립하는데 이는 군의 표현론을 공부하는 기초가 된 다. 군의 표현론을 공부할 때 기약표현이 그 핵심적인 역할을 하 는데, 5 절에서 기약표현에 대응되는 양부호함수들이 어떤 것들 인가 하는 점을 밝힌 후에, 바나하-알라오글루 정리와 크라인-밀 만 정리 등 함수해석의 기본 원칙들을 적용하여 기약표현이 충분
히 많다는 겔판트-라이코프 정리를 증명한다• 1. 하르적분 군 G 에 위상이 주어지고 두 가지 연산 (s, t) 1---+ st, s 1---+ s-1 이 연속일 때 G 를 위상군이라 부른다. 아무런 위상이 없는 군은 이산위상을 줌으로써 위상군이 되는데, 이를 이산군이라 한다. 앞으로 lR 은 실수 전체의 가환군에 유클리드 위상을 준 위상군 울 뜻하기로 한다. 실수군 R 에서 복소평면 위의 단위원 T 로 가는 지수함수 t 1---+ e21 t” 는 T 를 곱하기로 정 의 된 위 상군으로 이 해하면 연속준동형이 된다. 이 준동형의 핵 {t E R : e21 tit = 1} 은 R 의 닫힌부분군이 되는데 이를 z 로 쓴다. 실제로 lR 의 닫 헌부분군 중 자기 자신과 {O} 을 제외하면 항상 z 와 같은 위상 군이 된다. 군 G 의 각 원소 a E G 에 대하여 평행이동함수 s1- --+ as 나 sI- + sa 가 위상동형이므로, 각 점의 근방들은 항등원 e E G 의 근방 둘로 옮겨진다. 따라서 G 의 위상을 따질 때 e 의 근방을 생각하 면 충분하다. 앞으로 근방은 별 단서가 없는 경우 항상 항등원 e eG 의 근방을 뜻한다. 군 G 의 부분집합 S £ G 가 다음 조건 S = s-1 := {s -1 E G : s E S } 을 만족하면 이를 대칭집합이라 한다. 임의의 근방 U 에 대하여 V£ U 인 대칭근방 V 를 항상 택할 수 있다. 앞으로, ‘‘군이 란 항상 국소옹골위상군을 의미한다. l) 다음 명제는 앞으로 꽤
1) 이 경우 항상 하우人干근立 분리성질을 가정한다. 실제로, T0- 분리성 질을 만족하는 위상군은 자동적으로 T2- 분리성질을 만족한다. 참고문 헌 [l 이 의 4 절을 참조하라 . 국소옹골군의 기본적인 성질이나 예를 알 아 보려면 참고문헌 [2] 의 제 2 장을 참조하라.
여러 번 쓰이는데, 국소옹골군에서 정의된 연속함수의 받침 su pp/가 옹골집합이면 적절한 의미에서 고론연속이 됨을 뜻한 다. 명제 1. 1 . 국소옹골군 G 에서 정의된 연속함수 f: G--+C 가 옹 골받침을 가진다고 하자. 그러면 임의의 € > 0 에 대하여 다음 성질 sr1 E V ~ 1/(s) -/ (t)i < 1: (1.1) 을 가지는 근방 V 가 촌재한다. 일반적으로, 군 G 에서 정의된 함수 /: G 一 C 와 t E G 에 대하여 그 평행이동을 다음 ft(S ) = 1u-1s), F(s) = /(st) , s, t E G 과 같이 정의한다. 그러면 위의 식 (1.1 ) 은 다음 관계 s E G, t E V ~ 1/(ts ) -/(s)l < e. (1.2) 호.,°T lift -I - flloo < €, t E V (1.3) 과 동치이다. 증명. 대칭인 옹골근방 U 를 잡고 f의 옹골받침을 K라 두 자. 이때
W = {t E G : 각 s E UK에 대하여 |I(ts) — f( s)|
증명. 우선 g( a) >O 인 a E G 를 잡고, 다음 조건 s E a U = g (s) ~ a > 0 이 충족되도록 근방 U 를 잡자. 만일 t1U , ... , t nU 가 su pp/를 덮으면, 각 sE G 에 대하여 f (s) < i인= l ~a g 1,a-• (s) 가 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 口 두 함수 f, g E Ct ( G) 에 대 하여 (단, g * 0) 실수 (/ ; g) 를 (/ ; g) = inf { ~c,. : 실수 C1, C2, .. . , Cn 이 (1.4) 를 만족한다} 로 정의한다. 그러면 다음 관계 (f다 g) = (f ; g) , t E G (1.5 . i ) (/1 +/ 2 ; g) ~ (/1 ; g) + (/2 ; g) , (1.5 . ii) ( cf ; g) = c (f ; g) , c > O, (1. 5 . iii) f1 드 I2 극 (f1 ; g) ~ (/2 ; g) , (1.5 . iv) 가 성립함을 쉽게 알 수 있다. 만일 I ~ ~iCi /J t, 이고 g ~ 2j d jh u, 이면 f(s ) < 2c, . g(t갑) ~ ~c1d1hu,U11s) ~ ~c;d1ht, u ,(s) l,J t,J 이므로, 다음 부동식 (/ ; h) ::::::: (/ ; g) (g ; h) (1.5 .V) 울 얻는다. 끝으로, f(s ) = IIf |IOO 인 s E G 를 생각하면
U ; g) :::::: 11/lloo/llg ll oo (1. 5 . vi) 가 성립함울 바로 확인할 수 있다. 이제부터 0 아닌 함수 loE Ct (G ) 를 고정하고, 각 f,g드 Ct (G ) 에 대하여 (단, g *0) 다음 Ag (/) = i7o 김 (1. 6) 과 같이 정의하자. 위에서 열거한 관계식 (1.5) 를 적용하면, Ag 에 대하여 다음 성질들 Ag (/1 +/2) ~ Ag (/1) +Ag (/2) , /1, /2 E Ct (G) , (1. 7 . i ) Ag ( a/) = aAg (/), a ~ 0, f E Ct (G ), (1.7 . ii ) Ag ( /s) = Ag (/) , / E Ct (G) , s E G, (1. 7. iii) (fo! f) ~ Ag (/) ~ (/ ; /o), / E Ct (G ) (1.7 . iv) 이 성립함을 알 수 있다. 다음 도움정리는 g E Ct (G ) 의 받침이 점점 작아질수록 Ag 가 점점 선형에 가까워침을 말하여 준다. 이는 리만적분을 정의 할 때 분할을 세분할수록 상합과 하합이 선형에 가까워지는 것과 마찬가지이다. 우선 몇 가지 기호를 도입하는 것이 편리하다. 열 린집합 V 와 옹골집합 K 가 있을 때 I< V[K
g < V, g -=1= 0 = Ag (/1} +Ag (/2} ~ Ag (/1+/ i) +E (1.8) 을 만족하는 근방 V 가 존재한다. 층명. 함수 / > sup p( /1+/2) 와 양수 0, €, > 0 울 임의로 랙 하고, 각 i = 1, 2 에 대하여 f = /1+/z + o/, h; = JJJ 라 두자. 만일 /(s) = 0 이면 h;(s) = 0 라 둔다. 명제 1.1 에 의하여 다음 성질 t-1 s E V 극 |h;(s) - h;(t ) I < c', i = l, 2 울 가전 근방 V 를 찾을 수 있다. 이 제 g < V 및 I s ~jCjg tJ 라 가정하고, s E G 를 택하자. 만일 gt1( s) * 0 인 tj E G 가 있 으면 각 i = I,2 에 대하여 |hi (s ) -hi( tj)1 < €’ 이다. 따라서 각 sE G 에 대하여 다음 부등식 /;(s) = h;(s)/(s) s ~cjg t1( s)h;(s) s ~cjg t1( s) (h;(O +c') 이 성립함을 알 수 있다. 그러므로 (/; ; g) ~ ~Cj (h i( tj)+c'), £ = l, 2 J 이고, h1+h2 ~ 1 로부터 (f1 ; g) + (f2 ; g) < Zo(1+2€’) J 임을 알 수 있다. 이제 다음 부등식 A8(/1) +A8(/2) ~ (1+2c')Ag (/) ~ (1+2c') [Ag ( /1+/2) +Mg (f)] 에 의하여 증명이 끝난다 .D
정리 1.4. 임의의 국소옹골군 G 에 대하여 왼쪽불번 양선형범함 수 3) A : Cc(G) 一 C 가 존재한다.
3) 선형범함수 A : Cc(G) -> C 가 임의의 s E G 에 대하여 동식 A( f) = A(fs ) 을 만족하면 왼쪽불변이라고 한다. 양선형범함수라 함은, f ~ O -A( f) ~ 0 이 성립한다는 말이다.
증명. 각 I E Ct (G ) 에 대하여 구간 [1/(/o ; /), (/ ; /o)] 를 L 라 쓰자. 그러면 (1. 7. iv) 에 의하여 다음 Ag E /E IC I; (G ) h, g E Ct (G) 이 성립하는데, ITf If 는 티코노프 위상에 관하여 옹골공간이 된 다. 근방 V 가 주어졌을 때, 이러한 위상에 대하여 집합 {Ag : g < V} £; ITf If 의 닫힘을 취한 후 이를 '(5 V 라 하자• 그러면 다음관계 (5V 1 n … n 8Vn = 8vm···nV n 에 의하여, 집합모임 {6v ; V 는 근방이다} 중 유한개의 교집합은 비지 않게 된다. －따 라서 임의의 8v 에 들어가는 A 를 택할 수 있 다. 티코노프 위상의 정의에 의하면, 임의의 근방 V 와 양수 c > 0 및 fl,f2 E C;(G) 에 대하여 다음 성질 IA (f;) - Ag (/;)I< €, IA(/1+/2) -Ag (/1+/2)I < €, i = 1, 2 울 만족하는 함수 g< V 를 찾을 수 있다. 도움정리 1. 3 에 의 하여 A(/1) +A(/2) ~ Ag (/1) +Ag (/2) +2c ~ Ag ( /1+/2) +3c ~ A(/1+/2) +4c
이 성립하므로 A 는 선형이고, 이는 Cc(G) 전체로 확장할 수 있 다 . D 이제 리스 표현정리에 의하여 군 G 에 왼쪽불번측도 µ 가 존재 함을 알 수 있다. 여기서 µ가 왼쪽불변이라 함은, 각 t E G 에 대하여 등식 fcJ (s) dµ (s) = fcids) dµ (s) == ffcccf ! ((s t)- Ids µ) d( tµs )( s) 이 성립한다는 뜻이다. 물론 등식 jfdv = f!'dv 이 성립한다는 뜻에서 오른쪽불번측도 V 도 존재한다. 이제 평행이동 불변측도의 유일성을 논하려 하는데, 이를 위하 여 오른쪽불변측도 v 를 고정하고 다음 성질 fccg ( r1)dv( t) = 1 (1.9) 울만족하는 0 이 아닌함수g EC t (G) 를잡은후, 함수 r:G-+ lR 을 다음 r(s) = fcg( r1s)d11( t), s E G (1.10 ) 과 같이 정의한다. 그러면 명제 1. 1 에 의하여 F 가 연속임을 알 수 있고, 함수 tI-+g(t-1 S) 가 적당한 열린집합에서 양수 값을
취하기 때문에 각 sE G 에 대하여 r(s) >o 이 되고, 특히 r(e) = 1 이 다. 이 제 b. = 1/r 라 쓰자. 도움정리 1.5. 함수 g E Ct (G ) 가 (1.9) 를 만족한다고 하자. 만 일 왼쪽불번측도 µ가 다음 성질 fcg (s) dµ (s) = 1 (1.11) G 을 만족하면 등식 dµ = l)..d v 이 성립한다. 증명. 임의의 함수 f E Cc(G) 에 대하여 계산하여 보면 ft
정리 1.5 에 의하여 c 바 I = C2µ2 가 성립하고, 따라서 다음 정리 를 얻는다. 오른쪽불변측도에 관한 것 역시 마찬가지로 증명된 다. 정리 1.6 (하르) . 임의의 국소옹골군은 왼쪽불번측도와 오른쪽불 번측도를 가진다. 또한, 이 두 가지 측도는 상수곱을 무시하면 각각 유일하다. 군 G 에 주어지는 유일한 왼쪽불변측도를 앞으로 ds,dt, ... 등 으로 쓴다. 만일 G 가 옹골군이면 상수함수 1c 가 Cc(G) 의 원 소이므로 왼쪽불변측도가 유한인데, 항상 /ds = l 이라 가정한 G 다. 또한 G 가 이산군인 경우 각 점의 측도가 1 이라 가정한다. 명제 1.7. 만일 g ’ 와 u’ 이 조건 (1. 9) 를 만족하면 등식 r(s) = fcc g'( r1s)dv'(t) 이 성립한다. 증명. 함수 F 를 (1.10) 과 갑이 정의하고 !gdµ = l 을 만족 C 하는 왼쪽불변측도 µ를 택하자. 이제 r' (s) = fcg' ( r1s) d11' ( t) , bi.' = 春 C = 1g'd µ > 0 이라 두면, fcg'( s)-¼dµ(s) = 1 이므로 도움정리 1.5 에 의하여 —1C Ad1 / = -lCd µ = A'd1/,
이 성립한다. 그런데 오른쪽불변측도의 유일성에 의하여 v = av' 을 만족하는 양수 a 가 있다. 따라서 —1C 6.d v = 6.'d v' = —a1 6.'d v 가 되어서 A 와 A’ 는 상수곱 차이임을 알 수 있다. 그런데 정의 에 의하여 I:::.( e) = !::.'(e) = 1 이므로 A = A’ 이다. D 위 명제에 의하여 (1. 10 ) 의 함수 r 는 g와 u 의 선택에 상관 없음을 알 수 있다. t:. = 1/r 를 G 의 모듈라함수라 부르는데 , 가 환군과 이산군의 경우 당연히 A=lc 이다. 이제 함수 A 가 gE Ct (G ) 와 오른쪽불변측도의 선택에 관계없이 (1.9) 와 (1.10 ) 에 의하여 결정되므로, V 가 오른쪽불변측도이면 각 f드 E(G, 기 와 sEG 에대하여다음등식 fcf (t-1 s)dv(t) = r(s)f f(t-1) dv(t) (1.12) G 이 성립한다. 명제 1.8. 모듈라함수 6. : G-+ R+ 은 G 에서 양수들의 곱하기로 주어진 군 R+ 로 가는 준동형이다. 증명. 등식 (1.9) 를 만족하는 g와 JI를 잡자. 그러면 (1. 12) 에 의하여 r(sr) = fcg( r1sr)dv( t) = fcGGg r (t-1 s) dv (t)
= r(s)1g r ( t-1 )dv(t) G = r(s)1g ( r1r)dv(t) = r (s) r G( r) fcGg ( r1) dv(t) = r(s)r(r) 이 되고, 따라서 A 도 준동형이다. D 군 G 가 옹골군이면 모듈라함수의 상 A(G) 가 R+ 의 옹골부 분군인데, 이런 것이 {l} 뿐이므로 A = lc 임을 알 수 있다• 이 제 앞으로 여러 가지 계산에서 유용하게 쓰이는 치환공식을 증명 하고 이 절을 맺는다. 명제 1. 9 . 임의의 함수 / E L'(G ) 에 대하여 4) 다음 등식 fcI (st ) ds = A ( t-I ) /CI (s) ds, (1·1(31·`` 1 l4 ) fG I (s -I) A (s-I) ds = [I (s) ds
4) 앞으로 별 단서가 없는 한, 군 G 에서 정의된 LP- 공간은 왼쪽불변측 도에 의하여 주어진 것으로 간주한다.
이 성립한다. 증명. 도움정리 1. 5 와 지금까지 논의한 바에 의하여 r(s)ds 는 오른쪽불변측도이다. 따라서 등식 fCI (st ) d s = r( t )[I(s t )rHs t)기 r(s)ds
= r (t) Jc1 (s) r (s-1) r (s) ds G = A (t-I ) fGf (s) d s 울 얻는다. 이를 이용하면 선형범함수 A : J~/ct
함수를 잡으려면 ½(/(s) + /(s-1)) 를 택하면 된다.
11 一 cl = 1( 1 —c) /ct(s) dsl = fcf (s) ds —Jc t (s-1) bi. (s-1) dsl = 1/c [ l-bi.( s- 1) ] /( s)dsl < €ff(s) ds = € G 이 되어서 c = l 임을 알 수 있다. D 2. 군대수 군 G 에서 정의된 복소함수 I 와 g에 대하여 그 곱하기 f*g를 U*g) (t) := fct
6) 이러한 모양의 곱하기를 보통 콘볼류션이라 부르는데, 여기서는 그냥 곱하기라 부르기로 하자.
과 같이 주어지고, 따라서 (꾸국 (~b tt) = 露 a s 도 )r = s~, at sb1s t, (2 . 2) 가 된다. 그러므로 (2.1) 에서 정의한 곱하기는 바로 군대수의 곱하기에 불과하다. 군 G 가 이산인 경우 e 를 특성함수로 이해 하면 이는 곱하기 (2. 2) 에 대한 항등원이다. 만일 f,g EL1(G) 이면 f,g가 모두 보렐함수라 가정할 수 있으므로 (s, t) 1--+f(s )g ( s- 1t ) 역시 보렐함수이다. 따라서 푸비 니 정리를 적용하면 f[fit(s)g ( s- 1t ) I ds]dt = ff l/(s) g (s 가) | dtd s = fflf< s > llg (t) I dtd s = ll/l l1ll g ll1 이 된다. 그러므로 거의 모든 t E G 에 대하여 (f * g) (t) 는 유 한값일 뿐 아니라, llf * gll i 리 |/l li ll g l li, /, g E L1 ( G) (2 . 3) 가 되어 Ll- 함수와 L1- 함수의 곱하기는 다시 L1_ 함수가 됨을 알 수 있다. 이 곱하기가 결합법칙을 만족함 역시 푸비니 정리를 이 용하여 바로 확인할 수 있다. 따라서 L1(G) 는 (2.1) 에 의하여 바나하대수가 된다. 일반적으로 바나하공간 A 에 결합법칙을 만 족하는 곱하기가 정의되어 대수가 되고 다음 조건 llxYI 匡 llxll • IIYII, x, Y E A
을 만족할 때, 이를 바나하대수라 한다. 군 G 에 주어지는 복소 정칙보렐측도 전체로 이루어진 바나하 공간을 M(G) 라 쓰자. 그러면 라돈니코딤 정리에 의하여, L1(G) 는 M(G) 의 원소들 중에서 왼쪽불변측도에 대한 절대연속측도 룰 모아 놓은 것에 지나지 않는다. 또한 M(G) 의 원소 µ를 다 음
7) 복소측도는 그 정의에 의하여 측도값이 항상 유한임을 기억하기 바란 다.
h t---!cc h dµ, h 든 C 。 (G) 과 갇이 Co(G) 의 선형범함수로 이해하면 M(G) 는 C 。 (G) 의 쌍대공간아다. 여기서 Co(G) 는 무한대에서 0 으로 수령하는 연 속함수를 모아 놓은 바나하공간이다. 이제 각 복소측도 µ, 1.1 E M(G) 에 대하여 Co(G) 의 선형범함 수 µ*V 를 다음 µ*11 : hf -+1fx i (s t) d (µ x 1.1) (s, t}, h E C 。 (G) (2.4) 과 같이 정의하자, 그러면 부등식 lfhd ( µ* v) I 리 |hlloo I (µ X v) (G X G) 匡 11hll00llµIIIIvii 에 의하여 µ*V 가 Co(G) 의 유계선형범함수가 되고, 다음 부등식 llµ*ll|| 기세 • llvll, µ, v E M(G) (2.5) 이 만족됨을 알 수 있다. 만일 µ와 V 가 철대연속측도이고 L1- 함수 /와 g에 대하여 dµ(s) =/(s)ds 와 dv(t) =g(t )d t로 각각 표현되면,
jh d(µ*v) = jjh(st) J(s )dsg (t)d t, h E Cc(G) 이 된다. 또한 jh < t) U*g ) (t)d t = jh
만일 µ E M(G) 가 하르측도에 대하여 절대연속이어서 적당한 I e E(G) 에 대하여 dµ(s) = f(s )ds 라 하자. 그러면 각 h E c 。 (G) 에 대하여 jh (s ) dµ* (s) = jh (s - 1) 福 ds = jll (s -1) h (s) T[?)ds 이므로, L1(G) 의 * － 연산은 다음 /*(s) = ll(s-1)/(s-1), /E L1(G). (2.7) 과 같이 정의된다. 정리 2.1. 임의의 국소옹골군 G 에 대하여 다음이 성립한다. (가) M(G) 는 항등원을 가진 바나하 * - 대수이다. (나) L'(G ) 는 M(G) 의 * -이데알 8) 이다.
8) 부분대수나 이데알이 * － 연산을 보존하면 각각 *－부분대수, *－이데알 이라 부른다. 왼쪽이데알이 *－연산을 보존하면 자동적으로 양쪽이데 알이 된다.
(다) M(G) 가 가환일 필요충분조건은 G 가 가환임이다. (라) L'(G ) 가 항등원을 가질 필요충분조건은 G 가 이산군임이다. 증명. 우선 L1(G) 이 M(G) 의 왼쪽이데알이 된다는 것을 보 이려 한다. 이를 위하여 µ 든 M(G) 와 f 드 E(G) 를 택하면, 임의의 h E Cc (G ) 에 대하여 jh< t ) d(µ•J) (t) = jjh(st) dµ(s)J (t) dt = jjh< t)J (s -1t ) d µ(s)dt 이므로,
(µ*/) (s) = fc1 u-1s) dµ(t) (2 . 8) G 임을 알 수 있다. 그런데 푸비니 정리에 의하여 jjIJ< t- 1 s)I dµ( t)d s = jjIJ< t- 1 s)Jd sdµ( t) = jjIf < s> ldsdµ( t) = llt ll1 llµJJ 이므로 함수 s I-+ f1< t- 1 s) dµ( t) 는 L1- 함수가 된다. 군 G 가 가환일 때 M(G) 가 가환임은 직접 계산에 의하여 확 인할 수 있다. 만일 M(G) 가 가환이면 LI(G) 역시 가환이다. 따라서 임의의 f,g E L1(G) 에 대하여 O = (f*g) (t) - (g*f) (t) = jt(ts)g(s -1) ds - jg(s )f (s -1t ) ds = jg(s ) [/(ts-1 )A(s-1) —f ( s 가)〕 ds 가 성립한다. 그러므로 임의의 f eE(G) 와 거의 모든 sEG 에 대하여 등식 /(ts-1 )A(s-1) = /(s-1t ), t E G 울 얻고, t =e 인 경우를 생각하면 A=lc 임을 알 수 있다. 그 런데 위 식이 임의의 1e E(G) 에 대하여 성립하므로 G 가 가 환군이다. 증명 과정에서 명제 (다) 와 L1(G) 가 가환임도 동치 임을 보였다. 만일 군 G 가 이산군이면 디락측도 &가 V(G) 의 항등원임을
바로 확인할 수 있다. 역을 보이기 위하여 u E L1(G) 가 LI(G) 의 항등원아라 하고, G 가 이산군이 아니라 가정하자. 옹골근방 을 하나 잡으면 이것을 무한히 많은 열린집합으로 쪼갤 수 있으 므로, 임의의 € > 0 에 대하여 그 하르측도의 값이 임의로 작은 근방을 택할 수 있다. 따라서 / u. l u(s)I ds
을 만족하는 근방 V 가 존재한다. 증명. 임의의 LP- 함수는 옹골받침을 가진 연속함수로 접근시 킬 수 있으므로, 이러한 함수에 대하여 증명하면 된다. 이제 IE Cc(G) 가 옹골받침 K 를 가진다 하고 옹골근방 W 를 고정하자. 명제 1.1 에 의하여 다음 성질 s E V 극 ||f —/sll0 0 < € (Lw ds)-1/P 울 가진 옹골근방 v~ w 를 찾을 수 있다. 만일 sE V 이면 I ― A 의 받침이 KV 에 들어가는데, KV~KW 이므로 II/ -/ sllP ~ II/ - /sll00(Lw ds)P < € 이 된다. 口 명제 2.3. 임의의 L1- 함수 / E L1(G) 와 양수 € > 0 에 대하여 다음성질 u E L1(G), u ~ 0, sup p u ~ V, /cu = 1 (2 .9) 극 I|f —G U *!Iii < E 을 가진 근방 V 가 존재한다. 증명. 도움정리 2.2 에서 P = l 인 경우를 적용하여 근방 V 룰 찾자. 관계식 f(t) —(u •/) (t) = fu (s) [/(t) - fs (t) ] ds, t E G
을적용하면 II/ - U*/111 弓 ffu (s) 1/(t ) — ls< t) I dsdt == ffvuu(s( s)||)f/G |_f (kt|)| Id_s k조( t€) | dtd s V 이 된다. 口 물론, 마찬가지 방법 을 적용하여 u E L1 (G) , u ~ O, sup p u ~ V, fcG u = l 극 |If — f*u ll1 < € 가 되도록 V 를 잡을 수 있다. 이제 포함관계에 의하여 순서가 매겨전 근방 전체의 집합을 ））라 하자. 각 VE ））에 대하여 (2.9) 의 가정을 만족하는 함수 Uv 를 잡으면 다음 관계 I i뺀||f — Uv*f ll1 = lirl l/ - f*u vlh = 0, f E L1(G) 가 성립한다. 이러한 성질을 만족하는 그물 {uv: VE 파롤 점 근항등원이라 부른다. 도움정리 2.2 의 또 다른 응용으로서 LP- 함수들의 곱하기도 다 루어 보자. 다음 명제는 양부호함수를 공부할 때 유용하게 쓰인다. 명제 2.4. 군 G 의 모듈라함수가 상수함수 1c 이라 가정하고, l 보다 큰 양수 1 < p, q < oo 가 관계식 上p+· ~q = 1 을 만족한다 하자. 그러면 임의의 / E LP(G) 와 g E Lq ( G) 에 대하여 / * g E Co(G)
이다. 증명. 주어진 가정과 횔더 부등식을 쓰면 |(/*g) (t)| 다 /|f(ts)g(s -1)1 ds ~ llf ll p llg ll q , t E G 이므로 f * g 가 거의 모든 점에서 정의되고, |If • gll .. ~ llf ll p llg ll q 임을 알 수 있다. 그런데 | (/*g) (s) _ (/*g) (t) | 터 I fs -• -1 ,-.Jlp llg ll q 이므로, 도움정리 2.2 에 의하여 /*g는 연속이다. 이제 /*gE Co(G) 임을 보이기 위하여, I 와 g를 각각 LP- 노음과 L q-노음 으로 점근시키는 Cc(G) 의 수열
(가) µ*g E Cc(G) 이다. (나) IIµ* hllP s llµII • llhllP 이 다. (다) llh* g llP s l ib,.門g llI1 llhllP 이다. 증명 . 명제 (가) 는 부등식 l(µ*g ) (s) - (µ*g) U)I ::;: flgr ( s) — gr (t )I d Jµ l(r) 과 gr E Cc(G) 로부터 바로 알 수 있다. 또한 임의의 /E Lq ( G) 에 대하여 l(µ * h , f> | = |jjh(s- 1t ) dµ(s)/(t ) dt l ::;: flf h
~ f1:::,,. (s) -i jg (s) I llhs- t llf llq d s = f1:::,,. (s) -i+ i lg ( s) I llhllpll f llq d s ~ 111 :::,,_- l+ig lll llhllpll f llq 울 얻는다. 口 3. 양부호함수 앞 절에서 *-대수를 공부하였는데 보통 대수와 비교하였을 때 큰 장점은 순서를 줄 수 있다는 점이다. 선형대수에서 행렬의 부 호를 정하는 것과 마찬가지로 *구대수에서 x*x 의 꼴로 쓰여지는 원소를 양원소라 한다. 그러면 *구대수에서 정의된 선형범함수에 대하여 ‘‘음양울 생각할 수 있는데, L1(G) 에서 정의된 선형범 함수는 L00(G) 의 원소로 표시됨을 상기하자. 군 G 에서 정의된 함수 r/> E L00(G) 가 L1(G) 의 양선형범함수를 정의하면, 이를 양부호함수라 이른다. 다시 말하여 함수 r/> E L00 (G) 가 다음 조 건 I E E(G) 一 <¢,f**f>~ o (3 .1) 울 만족할 때, ¢를 G 의 양부호함수라 한다. 이제 연속유계함 수가 양부호일 필요충분조건을 알아보려 한다. 우선 (/마) (t) = jl l(s-1) 亢::ff/ (s 가 )ds = f亢 I(s t )ds 이므로, 등식
<¢ ,／ 마 〉 = f¢ (t) (/마) (t) dt = ff¢(s- 1t ) JWJ(t)d sdt (3.2) 이 성립함을 확인할 수 있다. 정리 3.1. 국소옹골군 G 에서 정의된 유계연속함수 ¢: G-+C 에 대하여 다음은 동치이다. (가) 함수 ¢ 가 양부호함수이 다. (나) 임의의 µ E M(G) 에 대하여 <¢ ,µ **µ> z O이 다. (다) 임의의 / E Cc(G) 에 대하여 <¢ ,f**/>2 0 이다. (라) 임의의 자연수 n = 1.2 , ... 과 군 G 의 원소 S1, ... ,Sn 및 복 소수 a1, ... , an 에 대하여 ~fj = l 굽 aj ¢(s;1s j) z 0 이다. 증명. 우선 (나) => （가) => （다) 는 분명하다. 명제 (다) 를 가정하고 (라) 를 보이기 위하여 디락측도 8s , 들의 선형결합 µ = 2ia i8 SI 를 택하자. 등식 (2.8) 을 적용하면 임의의 / E Cc(G) 에 대하여 (µ•/) (s) = 쭈 a J (s-;1s), s E G 임을 알 수 있다. 그런데 µ * f E Cc(G) 이므로, 등식 (3.2) 를 적용하여 0 ~ <¢,( µ*/) • * (µ*/) > = 임a; ai ff¢ (s-1 t) 7<0sf/ (s11 !) dsdt 가 된다. 이제 (2.9) 의 가정을 만족하는 함수 f = Uv 를 택하
면, 위 식의 적분 부분이 ¢(s;lSJ) 으로 수령하므로 (라) 가 성립 한다. 끝으로 (라) 쿠 (나) 를 보이기 위하여, 임의의 복소 정칙보렐 측도는 약*－위상에 관하여 유한받침을 가전 측도 {µJ 들의 극한 임울 상기하자. 10) 다시 말하여
10) 이는 함수해석의 바나하-알라오글루 정리와 크라인-밀만 정리를 쓰면 바로 확인할 수 있다.
jf dµ = l i민/f dµ / E Co(G) (3 . 3) 이 성립한다. 그런데 <¢,µ ** µ> = ff¢(s-1 t )dµ(s)dµ (t) 이므 로, µ = 2a i 8s, 가 유한받침울 가지면 <¢,µ **µ> = 2aia j ¢ (s171Sj ) 느 O 1,J 가 된다. 이제 µ가 옹골받침을 가지면
임의의 복소수 a1, ... ,anEC 에 대하여 ~n a;ai< P (s-;1sj) = ~n Ia:; ¢ (sJ 12 ~ 0 ,j = l i= l 임을 알 수 있다. 따라서 군 T 로 가는 연속준동형은 항상 양부 호함수이다. 특히 G 가 가환군일 때 이러한 연속준동형은 중요 한 역할을 한다. 위 정리 3.1 의 (라) 는, 임의의 n X n 행렬 [
(A;)s,t =
11) 도함수 L 2/(G가) 의적 분원가소능이하면더 라명제도 21. 4 가 에 적의분하가여능 할/* 1필 요가는 연 없속다 .양 부만호일함 수f 가 된다. 다음 철의 (4.10) 에 의하면 임의의 / E L2(G) 에 대하여 /*1 가 항상 연속임을 알게 된다.
증명. 직접 계산하여 보면
(IJ ) (t) = ff(s) 1(t- 1 s) ds, t E G 임을 알 수 있다. 따라서 2 교 (/* f) (t高) 철교jJ (s)~ds ,, J = 협!云/(t ;ls) aj/ (tj_Is ) ds = !|?파(t,켜 s)l2ds ~ O 이다. 口 관계식 (3.4) 에 의하여 II/* 11100 = (/* /) (e) = II/I| 웅 가 성립한 다. 정수군 Z 나 실수군 R 의 경우, f가 구간 위의 특성함수일 때 /* f가 어떤 함수인지 실제 계산하여 보기 바란다. 예를 들 어 서 a E lR 이 양수이 면 (x10,a)* ~) (t) = max{a - ltl , O}, t ER 임을 확인할 수 있다. 따름정리 3.3. 군 G 에서 정의된 임의의 연속함수 /에 대하여 다 음 성질 모든 옹골집합 위에서 <¢i>는 I 로 고르게 수렴한다 을 만족하는 양부호연속함수들의 선형결합으로 이루어진 그물 〈¢,.〉가 존재한다. 증명. 옹골받침을 가전 연속함수 IE Cc(G) 에 대해 증명하
면 된다. 명제 2.3 에서, (2.9) 의 가정을 만족하는 Uv E Cc (G ) 롤 잡으면
= jg (s) (/다) (s) ds =
정리 3.4. 임의의 g E Cc(G) n P(G) 에 대하여 g = ~* € 를 만 족하는 ~ E L2(G) 가 존재한다. 증명. 우선 Q S p(g) S 1L2(G) 라 가정할 수 있다. 이제 구간 [O, 1] 에서 정의된 함수 t I-+ It-에 고르게 수령하며 증가하는 다 항함수열 {P서 를 잡아서 gn =Pn° g라 두자. 그러면 노음에 대 해 p(g;) = P;(p (g)) ?p(g)½ 이므로, 12) 함수열
i¢(y* x)j 2 :s ;: ¢(x*x)¢(y* y), x,y E A (3.13) 이 성립한다. 만일 A 가 항등원 e 를 가지면 (3.13) 식에 y = e 롤 대입하여 다음 부등식 i¢ (x)j 2 :s ;: ¢(e)¢(x*x), xEA (3.14) 을 얻는다. 군 G 에서 정의된 *-대수 L1(G) 에 이 부등식을 적 용하면, ¢ E P(G) 에 대하여 ¢(oe) = ¢(e) = 11¢1100 이므로 각 ¢ E P(G) 와 / E L1(G) 에 대하여 K¢, J>|2 ~ 11¢11..,< ¢,/** f> (3 .15) 가 상립함을 알 수 있다. 이 부등식은 군 G 의 표현을 공부할 때 중요한 역할을 한다. 4. 유니터리표현 이제부터 %는 항상 힐버트공간을 나타내고, g(%) 는 % 사 이에 정의된 유계선형사상을 모아 놓은 바나하대수를 나타내기로 하자. 각 X E J3(%) 에 대하여 다음 성질
할 때 이를 C*- 대수라 한다. 조건 u*u = uu• = l.,c 를 만족하는 원소 u E :B(%) 를 유니터리라 하고, 이러한 유니터리원소들을 모아 놓은 군을 U(%) 라 쓴다. 국소옹골군 G 와 힐버트공간 % 및 군준동형 S >---+ TCs : G -U (JC) 가 있을 때, 각 ~E% 에 대하여 G 에서 %로 가는 함수 st- + TCs~ 가 연속이면 (TC,%) 를 G 의 유니터리표현이라 한다. 만일 힐 버트공간 %가 무엇인지 분명한 경우에는 그냥 r 가 G 의 유니 터리표현이라 한다. 각 s E G 와 ~ E L2(G) 에 대하여 (.-ls~ ) (t) = ~s (t) = ~ (s-1 t) , t E G (4 . 2) • 라 정의하면, 각 t, 7J E L2(G) 에 대하여 (tlst , 1J> =
원기약표현을 지표라 한다. 다시 말하여 가환군 G 의 지표란, 군 G 에서 단위원 T 로 가는 연속준동형이다. 위에서 한 이야기는 *-대수에서도 그대로 할 수 있는데, 바나 하 * - 대수 A 에서 13(%) 로 가는 연속 *－준동형 1(가 있으면 (1(,%) 를 A 의 * - 표현 혹은 그냥 표현이라 한다. 이 경우 기약 표현도 위와 마찬가지로 정의한다. 이제 집합 {1(( x)e E X : X EA, eE% ｝로 생성된 %의 닫힌부분공간을 K 라 두자. 그 러면 K 가 불변부분공간이 되고, T/ E KJ . 일 필요충분조건이 x E A 극 TC (X) 7J = 0 임을 알 수 있다. 죽 r 가 ]{.l에 0 으로 작용한다는 말이다. 만 일 J(=%이면 (TC,%) 를 A 의 비퇴화표현이라 부론다. 표현 (TC,%) 가 비퇴화일 필요충분조건이 e E x, e =1=- o = 적당한 a E A 에 대하여 TC(a) e=t= -0 이다 임도 바로 확인할 수 있다. 지금까지 한 이야기를 살펴보면 임의 의 * － 표현은 비퇴화표현과 영표현의 합으로 표시된다는 말인데, *－표현들의 합을 일반적으로 정의하여 보자. 힐버트공간들의 모임 {%i : i E I} 에 대하여 그 합을 추 0%1 = {g e g忽 : ~ll~dl2 < 00} 으로 정의하고, 그 내적을 다음
sup {llx;||} 이면, 그 합 ~ ,eX i 울 다음 〈(고 eXI)E, n> = 참 X i~i, T};>, g, n E 2 0% i I 과 같이 정의할 수 있고, I|2 ,0 x 」巨;. M 이므로 2%, 는 2,e16 1· 의 유계 작용소가 된다. 표현들의 모임 { (TC; 』'{;,.) : i E I} 의 합은 힐 버트공간 2?¢ i에 작용하는 표현으로서, 다음 ~ e TC; : x f---4 ~ e TC; (x) , X E A 과 같이 정의된다. 14)
14) 일반적으로 바나하 *-대수 A 가 점근항등원을 가지면 그 표현 r 는 항상부등식 ll1r(x)II ~ llxll, x E A 을 만족한다. 특히 Ll(G) 의 경우 따름정리 4.2 를 참조하라.
정리 4.1. 국소옹골군 G 의 유니터리표현 S I-+ Ks 이 주어졌을 때 다음 식 다 )e, 7J> = f@f, n>d µ(s), µ E M(G), e, TJ E J6 (4.4) C 은 바나하 *－대수 M(G) 의 *＿표현 µ 1-+ 7r(µ) 를 정의하고, 이를 L1(G) 에 제한하면 L1(G) 의 비퇴화 *一표현을 얻는다. 역으로 바나 하 *－대수 L1(G) 의 비퇴화 *＿표현 r 가 있으면 등식 (4.4) 를 만족 하는 G 의 유니터리표현 S I-+ Ks 가 유일하게 존재한다. 증명. 우선 ||1(( µ)II ::;;: IIµ|| 임은 당연하므로 1C(µ) 드 g(%) 이 고, 직접 계산하여 보면
Jf(µ*I.I) = 7f(µ)7f(1.1), Jf(µ)* = Jf(µ*), µ, II E M(G) 임을 바로 알 수 있다. 또한 각 t E G 와 fE L'(G) 에 대하여 〈 7[(0,마) E, n> = ff@국, n>d o1( s)/(r) dr = J< 7f tre , 7J> J ( r)d r 아 되는데, (2.9) 의 가정을 만족하는 점근항등원 〈 U i 〉 를 잡으 면 함수 r ........ 7[IT E 의 연속성에 의하여 lim ( Jf ( Ut * U;) e, 7J> = <7 fte ,7J >, t E G, e, 7J E :M (4 . 5) 임 을 알 수 있다. 이 제 집 합 阮 (/) ~ : / E L1 ( G) , ~ E %} 에 의하여 생성된 부분공건을 ](라 두고 (4.5) 에서 t = e 라 두면 1J E ]{.l = 1J = 0 임을 알 수 있고, 따라서 TC 를 L1(G) 에 제한하여 도 비되화표현이 된다. 이제 그 역을 증명하려 하는데, 유일성은 등식 (4.5) 에 의하 여 자명하다. 만일 1(가 L1(G) 의 비퇴화표현이면 ]{가 %의 조밀공간이다. 공간 L1(G) 안에서 (u;)s*f = (U;*/)s --+ Is 이므 로, T(의 연속성에 의하여 짜 /s) = lim T (( (ui) s*/) = l i m 김 (u ; )s)TC(/), / E L1 ( G) , s E G 가 성립한다• 따라서 다음 성질 Ts7r(f) = 짜/~) = 1r(os*/), / E L1(G), s E G 을 만족하는 瓦 위의 작용소 7rs 가 존재한다. 그런데 I|7r((U;)s)II ~ ||제 이므로, 7rs 가 % 위의 작용소로 확장될 수 있으며 부등식
ll1rsll ~ I| 제 이 성립한다. 한편 s I--+ 7[(fs) E 가 연속이므로 각 ~ E J(에 대하여 S 1--+ 7rs~ 이 연속이고, 이는 물론 각 ~ E %에 대해 서도 연속이다. 또한 관계식 7rst7 r ( f) = 1r (fst) = ;r ( (/t) s) = 7rs7 r (/t) = 7rs7rt7 r (/) , f 드 LI(G) 으로부터 S I--+ 7rs 가 준동형 임 을 알 수 있으며 관계 식 ( os) * • os = oe 으로부터
이제 군의 유니터리표현 S I--+lfs 와 L1(G) 의 비퇴화표현 /I--+7[(/) 는 관계식 (4.4) 에 의하여 같은 것으로 취급할 수 있다. 또한 sI- -+ lfs 가 기약표현이면 그에 대응되는 L1(G) 의 *－표현도 기약이며 그 역이 성립함도 금방 확인할 수 있다. 군 G 의 왼쪽정규표현 에 대응되는 M(G) 의 *＿표현은 각 µ E M(G) 에 대하여 <.-1 (µ)e,r; > = <µ *E,n > , e, r; E L2(G) (4.6) 으로 주어지고 따름정리 4.2 에 의하여 부등식 |I/*E||2 < 1If |h I|EI|2, f e L1(G), E e E(G) 0울있 다이 .얻면 는 그데(,러타 면)이 는(µe* )e 명= E 제 f C2ec.((5Gs )에)d 서이µ( 므s이)로 미* l l0µ증 *인e명l l2e한 * E 바oC 이 c다있(.다G .) 즉 를만 J일잡( µ 을)µe *수* 0 이므로, 다음 관계 µEM(G), .-1(µ) =O = µ=0 (4.7) 가 성립함을 알 수 있다. 이제 LI(G) 의 *－표현과 G 의 양부호함수가 어떻게 관련되어 있는지 살펴보자. 바나하 *-대수 L1(G) 의 *－표현 (;r,%) 과 벡터 eE% 가 주어졌을 때, 함수 ¢(s) =
임을 알 수 있다. 만일 A 가 왼쪽정규표현이면 각 E E E(G) 에 대하여 = ff (s 가) ~(t) dt = ff(t며 u-1s)d t = (E* g) (s) (4 .10) 인데, 이는 바로 명제 3.2 와 정리 3.4 에서 논의한 양부호함수이 다. 이제 임의의 양부호연속함수가 (4.8) 의 꼴로 주어진다는 것을 보이려 하는데, 이를 위하여 일반적인 바나하 *-대수의 표현이 어떻게 주어지는지 먼저 살피는 것이 편리하다. 항등원을 가전 노음 * - 대수 A 에 정의된 양선형범함수 ¢가 다음성질
15) 일반적으로 유계접근항등원을 가전 바나하 *-대수는 조건 (4.11) 울 만족한다. 뒤 에 나오는 (11.9) 를 참조하라.
1C,(x) (y+ L,) = xy + L,, y E A 으로 정의하자. 이 정의가 제대로 되어 있는지 확인하기 위하여 (3.13) 을 적용하면, 각 y E L, 에 대하여
1¢((xy ) *(xy) )I 2 = 1¢((x*xy )*y)I 2 ~ ¢ (y*y) ¢ ( (x*xy ) * (x*xy ) ) =O 이므로 xy E L, 임을 알 수 있다. 이제 조건 (4.11) 을 이용하면 ll7r,(x) (y +L 사 111. = ¢((xy ) *(xy) ) ~ llxll2¢ (y*y) = llxll2IIY+L,111. 가 되므로, T¢(x) 가 부등식 ll7r,(x)II ~ llxll 를 만족하는 %¢ 의 유계선형작용소로 확장됨을 알 수 있다. 이제 (따』 8¢) 가 A 의 표현임은 쉽게 확인할 수 있고, A 의 항등원에서 생기는 ％군의 벡터를 f¢로 쓰면, 등식 ¢ (x) =
Lg ffg dµ ~ II/II~Lg g dµ, f,g E C(X) 에 의하여 조건 (4.11) 이 만족된다. 만일 구간 [O, 1] 의 르벡측 도처럼 다음 조건 I E C(X), fx I/I 2dµ = 0 一 f= O 이 성립하면, %µ는 바로 C(X) 를 L2- 노음에 의하여 완비화한 L2 (X, µ) 이 고, 7[µ (f) 는 따 (f) : EI -+ ff, ~ E L2(X, µ) 로 주어짐을 알 수 있다. 만일 C(X) 의 양선형범함수가 디락측 도 8= &로 주어지면, %8 가 일차원공간이고 T8 는 바로 I~f (x ) 에 불과하다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 한 가지 예를 더 살펴보기 위하여, 행렬대수에서 대각원의 합 인 궤적 Tr 로 정의된 양선형범함수에 대하여 명제 4.3 을 적용 하여 보자• 우선 X = [x 니 E Mn 과 y = [y니 E Mn 에 대 하여
(X—1XI1n2.XI\:11nxX I2nI n 2n ~I2· n”nx ·Iizn J·n \J— nni n xz ... •.•’. … l/ I X Xn 가 됨을 바로 알 수 있다. 여기서, In 은 물론 n X n 단위행렬을 표시한다. 따라서 Tr 에 의한 순환표현 X._. 7rTr(X) 는 행렬 x 의 크기를 늘리는 것이다. 양선형범함수 X._.Xi i 에 의하여 어떠한 순환표현이 생기는지 각자 확인하여 보기 바란다. 이제 군 G 의 양부호함수 ¢가 조건 (4.11) 을 만족하는지 살 펴보자. 우선 임의의 µ E M(G) 에 대하여 부등식 <
이므로 조건 (4.11) 이 성립한다. 이제 명제 4.3 을 * - 대수 A = L1 (G) +Coe 에 적용하면 다음 정 리를 얻는다. 정리 4.4. 국소옹골군 G 에서 정의된 양부호연속함수 ¢ E P(G) 에 대하여 다음 등식 <,I > = <7r ¢( /) ~¢, ~¢> , I E L1(G) (4 .14 ) 을 만족하는 LI(G) 의 순환표현 {r¢,J 6¢ , E 나 가 존재한다. 증명. 이제 &가 L1(G) 에 대하여 순환벡터임을 보이면 된다. 이를 위하여 (2.9) 의 조건을 만족하는- 점근항등원 〈Ul〉 을 잡으면 <¢,u ,.> - ¢ (e) , <¢,u ?> - ¢ (e) (4 .15) 임을 바로 확인할 수 있다. 관계식 (3.15) 와 (4.13) 을 적용하면 |<¢,u i> |2 < ¢(e)< ¢,u f * Ui > ::;;: (4 .16) 2 임을 알 수 있다. 그러므로 (4.15) 와 (4.16) 을 적용하면 i-00 에 따라서 <¢,( u; - oe)**(u; —oe )> = <¢,u ? * Ui > _ <¢,u i> _ <¢,u ?> +
순환벡터이고 m(8e) (令) = e¢ 이므로 증명이 끝난다. 口 두 표현 (7r1 』 61) 과 (7[2, J&) 가 있을 때, 적당한 힐버트공간 동형사상 U:% ！一]＆에 대하여 다음 성질 7r1(x) = U*1r2(x)U, xEA (4 .17) 이 만족되면 두 표현 'T{ 1 과 'T{2 가 서로 유니터리 동치관계를 가진 다고 말하고, 이를 'T{l ~'T {2 라 쓴다. 일반적으로 (4.17) 을 만족하 는 연속함수 U 를 'T{1 과 'T{2 의 꼬임 작용소라 한다. 예 를 들어 작 용소 U : L2(G) - L2(G) 를 U (t) (t) = A (t) 국t(t -1) , t E G 라 정의하면 ||Uf| |g = f A( t)기t
만일 두 순환표현 (1r1 』쇼 令) 과 (7[2 』@ 令) 가 다음 조건 <1r 1( x) ＆沿〉 = <7r 2( x) e2, &>, x E A (4 .19) 울 만족하면 7[l~ 7 [2 이 된다. 실제로 함수 7[I ( x) & 1-+ 7[2( x) & 를 생각하면 <7[I( x ) &, 7[I ( y) 令〉 = <7[2( x) e2, 7r2 (y) 令〉, x, y E A 이므로, 이는 힐버트공간 동형사상 U:% ！一 %2 로 확장될 수 있다. 또한등식 U1r1 (x) 1r1 (y) e1 = 1r2 (xy ) e2 = 1r2 (x) U1 ri (y) e1 , x, y E A 으로부터, 각 x E A 에 대하여 U1r1(x) = 7r2(x) U 임을 알 수 있 다. 따라서 정리 4.4 에 의하여 만들어전 표현들은 서로 유니터 리 동치관계를 가진다. 정리 4.5. 국소옹골군 G 의 임의의 유니터리표현 S I-+ 7rs 는 등식 (4.8) 에 의하여 양부호연속함수 ¢를 정의한다. 역으로 임의의 양부 호연속함수 ¢ E P(G) 에 대하여 등식 (4.8) 을 만족하는 유니터리표 현 S I-+ 1Cs 의 순환벡터 E 가 존재한다. 이러한 표현들은 서로 유니터 리 동치관계를가진다. 증명. 첫째 명제는 이미 증명하였으므로 그 역을 보이면 된 다. 우선, 정리 4.4 에 의하여 다음 성질 < = <1(( f) E, E>, I E L1 ( G) 을 만족하는 V(G) 의 순환표현 (1C,J g, ~) 가 있다. 이제 정리 4.1 을 적용하여 이 표현에 대응되는 유니터리표현 S 1--+ 1Cs 를 찾 울 수 있는데, 임의의 /E V(G) 에 대하여 등식
fc¢ (s)/(s)ds = <¢ ,/> G = <7r ( f) g, e > = f I(s) 〈 갑, Dds (4.20) G 울 만족한다 . 그런데 두 함수 s f---+ ¢ 와 s f---+ <7r se,e> 가 모두 연 속이므로 관계식 (4.8) 이 성립함을 알 수 있다. 口 끝으로 * ― 대수의 * ― 표현에 관하여 한마디 덧붙이고 이 절을 맺는다. 만일 * ― 대수 A 의 표현 (7r,%) 가 순환벡터를 가지면 이는 당연히 비되화표현이다. 다음 명제는 그 역이 적절한 의미 에서 성립함을 말해준다. 명제 4.6. 만일 (r,% ）가 *-대수의 비퇴화표현이면 (;r,%)는 순환표현들의 합으로 표시된다. 증명. 임의의 벡터 f =I= 0 에 대하여 {1r(a)t : a E A} 로 생성 된 %의 닫힌부분공간 %E = [1r(A)t ] 는 r 의 불변공간이다. 이제 {Je e: t EX} 가 서로 수직인 극대집합 Xe% 를 잡자. 만일 nE% 가 각 %e 에 수직이면, 임의의 t EX 에 대하여 <1 r(a)TJ , 1r(b)t> =
라 두면 (7ft,M t ) 가 A 의 순환표현이고, T 는 {7rt : ~E X} 의 합이 된다. 口 5. 기약표현 앞에서 유니터리표현과 양부호연속함수 사이의 상관관계를 다 루었는데, 이 절에서 기약표현에 대응되는 양부호함수에 대하여 공부하려 한다. 관계 식 ¢ (e) = 1 을 만족하는 양부호연속함수 ¢ E P(G) 의 모임을 P(G)1 로 나타내자. 그러면 P(G)1 은 L1(G)* 의 부분집합으로서, 약*－위상으로 닫힌볼록집합이므로, P(G)1 의 원소가 항상 그 꼭지점들의 볼록결합의 약*－극한으로 표시됨 을 알 수 있다 .16) 이러한 P(G)1 의 꼭지점들을 G 의 순 양부호함 수라 부른다.
16) 이 역시 (3.3) 의 경우와 마찬가지로 바나하-알라오글루 정리와 크라 인-밀만 정리를 쓰면 된다.
군 G 가 이산군인 경우 P(G) 에서 약*－수령하는 수열은 G 의 유한부분집합 위에서 고르게 수렴하는데, 일반적인 국소옹골군에 서도 마찬가지로 성립한다. 이를 보이기 위하여 다음과 갇은 일 반적 사실이 필요하다. 도움정리 5.1. 노음공간 X 가 주어져 있고 <¢i>가 X* 의 유계 그물이라 하자 .. 약 *-위상에 대하여 <¢i>가 ¢ E X• 로 수렴하면 〈¢i〉는 X 의 모든 옹골집합 위에서 ¢로 고르게 수렴한다. 증명. 각 첨자 i 에 대하여 ||O 이 주어졌다 하자. 각 xEX 에 대하여 다음
성질 i 2 Ix = 晶 (x) — ¢(x)I < f 을 만족하는 첨자 k 를 잡을 수 있다. 만일 llx -yll ~ ~ _ 이면 각 i 2 Ix 에 대하여 l= <¢ ,I>이 다. (나) 모든 옹골집합 위에서 〈 ¢,. 〉 가 ¢로 고르게 수렴한다. 만일 <¢ i>이 수열이면 다음 명제 역시 동치이다. (다) 각 s E C 에 대하여 lim ;¢; (s ) = ¢(s) 이다 . 증명. 먼저 (나) 를 가정하고 /E L1(G) 라 하자. 그러면 임 의의 €>0 에 대하여 j G\K |f|＜€인 옹골집합 K 를 잡을 수 있 다. 그러면 다음 부등식 |fc 紅 — fc ¢f| < L| ¢J — ¢f| + 2 fG \K |f| 니K lr/>J - r/>tl + 2€ 이 성립하는데, K 위에서 〈¢J〉이 rpf로 고르게 수령하므로
(가) 가 증명된다. 이제 (가) 一 (나) 룰 보이기 위하여, 다음 성질 s E V = 1¢ (s) - 미 < € 이 성립하도록 옹골근방 V 를 잡고 그 위의 특성함수를 h= a - 1Xv 라 쓰되 a 가 V 의 측도값이 되도록 하자. 우선 각 sE G 에 대하여 다음 명제 ' E P(G)1, I<¢ -¢, h> |< € 一 |#(s) — (h 나) (s)| < 2 丘 (5. 1) 가 성립함을 보이려 한다. 만일 #가 가정을 만족하면 l!vv (rp (t} - ¢ (t) dt| 미〈rp - ¢, ah>| < a€ 이고, 따라서 l!v( l -rp (t)) dtl ~ l!v(l -¢ (t}d t l + l!v(¢( t) -rp(t)) dtl < 2ac 을 얻는다. 이제 G 의 유니터리표현 T 에 대하여 'P( s) = <7r s~,~ > 라 쓰면 ||E|12 = t/J( e) = 1 이므로, |¢ (t) —¢ (s) | 2 ==< |KllI1TTrs&s~gl l 2— _+7 7[&l l[1 ItIfr2,£ Ell2> |— 2 2 R e< 7r s~,.7 r£> = 2 -2 Re¢(r1s) 가 된다. 이 두 부등식을 이용하면
I(h 나) (s) —¢( s)I = I fck (t) ¢(t-1 s)dt —-¼ Jv¢ (s)dtl 근-afJv v 1¢ (r1s) -¢ (s) I dt = 닙fv |#(s 가) —¢( s-1)I dt : 터a Jv (1 —Re ¢( t))tdt = ?(fV (1 — Re ¢ (t)) d 아(fv dt )t 조 2& 임을 알 수 있다. 군 G 에서 정의된 임의의 함수 ¢에 대하여 ¢(t) = (5.3) 과 도움정리 5.1 을 적용하면,
앞에서 말했다시피 임의의 양부호연속함수는 순 양부호연속함 수들의 볼록결합의 약* ― 극한으로 표시되는데, 이 극한은 명제 5.2 의 (나) 에서 말하는 국한으로 대치할 수 있다. 그러므로 따 름정리 3.3 에 의하여 다음을 얻는다. 따름정리 5.3. 군 G 에서 정의된 임의의 연속함수 / 에 대하여 다 음 성질 모든 옹골집합 위에서 〈 ¢, ·〉 는 1 로 고르게 수렴한다 을 만족하는, 순 양부호연속함수들의 선형결합으로 이루어진 그물 <
이제부터 순 양부호함수에 대응되는 유니터리표현에 대하여 공 부하기로 한다. 지난 3 절과 마찬가지로 'P - ¢ 가 양부호함수이 면¢ < ¢라쓴다. 명제 5.5. 양부호함수 ¢가 순 양부호일 필요충분조건은 ¢ E P(G), ¢ ~ => ¢는 ¢의 상수곱이다 이다. 증명. 만일 0~ cf;~ ¢이면 0 ~ cf;( e) ~ ¢(e) =1 인데, cf;( e)= 0 인 경우에는 cf; = 0 이 되고 cf;( e) = 1 인 경우에는 (¢ 一 cf;) (e) = 0 이므로, ¢ = cf; 임을 알 수 있다. 또한 0 < cf;( e) < 1 인 경우에 는, ¢가 꼭지점이라는 가정과 관계식 ¢ = (1 규 (e))[ 1 -~(¢ - cf;)] + cf;( e)[~) 나 으로부터 cf; = cf; (e)
도움정리 5.6. 힐버트공간 %의 닫힌부분공간 E 로 떨어지는 정 사영을 P 라 두자. 그러면 임의의 X E J3(%) 에 대하여 다음이 성립 한다. (가) E 가 x 의 불변공간일 필요충분조건은 xP = pxp 이 다. (나) E 가 x 의 불번공간임과 E .L가 x* 의 불번공간임은 동치이다. (다) E 와 E .L가 x 의 불번공간일 필요충분조건은 x p=px 이다. 또한 E 가 g(%) 의 *-부분대수 A 의 불번공간일 필요충분조건은 p EA’ 이다. 증명. 첫째 명제는 정의에 의하여 당연하다. 만일 E 가 x 의 불변공간이면 (가) 에 의하여 xp -px p = 0 이다. 따라서 x* (l - p) - (1 - p)x * (l-p) = Px* —px * p = (xp -pxp ) * = 0 이 되고, 다시 (가) 에 의하여 E J.는 x* 의 불변공간이다. 만일 E 와 E J.가 동시에 x 의 불변공간이면, (가) 와 (나) 에 의하여 px = (x*p ) * = (px *p ) * = pxp = xp 임을 알 수 있고 그 역 또한 마찬가지로 증명된다. 마지막 명제 는 위의 세 명제에 의하여 바로 확인된다. 口 바나하 *_대수 A 의 표현 (1C,%) 가 조건 1C(A)'=Clx 을 만족한다고 가정하자. 만일 E 가 1C(A) 의 불변공간이고 그 위에 떨어지는 정사영이 P 라면, 위의 도움정리 5.6 에 의하여 PE 1C(A)’ 이고 가정에 의하여 p = 1x 이거나 p = O 이므로 T 가 기 약표현임을 알게 된다. 그 역도 성립하는데 이를 증명하려면 자 기수반작용소 17) 에 관한 스펙트럼 정리가 필요하다.
17) 바나하 *-대수 A 의 원소 xEA 가 x•=x 를 만족하면, 이를 자기 수반작용소라 한다.
명제 5- 7. 바나하 * - 대수의 표현 (Jr.%) 에 대하여 다음은 동치이다. (가) (Jr.%) 가 기약표현이다. (나) 1r(A)' = C l;e 이 다. 증명. 한쪽 방향은 이미 증명하였으므로 (가) 一 (나) 를 보 이면 된다. 만일 x 가 자기수반작용소이고 X E 7r(A)’ 이면, x 의 스펙트럼 정사영도 모두 7r(A)’ 에 들어간다. 그런데 r 가 기약표 현이므로도움정리 5.6 에 의하여 x 의 스펙트럼 정사영이 0 과 뇨 밖에 없음을 알 수 있고, 따라서 x 는 스칼라작용소이다. 이제 임의의 작용소 X E 13(%) 를 생각하면, 다음 x= x +2 x* +.' 1.• x -2i x * (5 . 6) 과 감이 자기수반작용소의 선형결합으로 표시된다. 만일 xE 1r(A)’ 이면 1r(A) 가 * - 대수이므로 x* E 1r(A)’ 이 된다. 위에서 증 명한 바에 의하여 x + x* 와 x - x* 가 모두 스칼라작용소이므로, x 역시 스칼라작용소임을 알 수 있고, 따라서 (나) 가 증명된다. 口 명제 4.3 다음에 제시한 C(X) 의 순환표현 (따』'(fµ) 및 (1r11, 船) 에 대하여 명제 5.7 이 어떻게 적용되는지 각자 확인하여 보 아라. 행 렬대수 Mn 의 궤 적 Tr 와 선형 범 함수 X I-+ Xi i 에 의한 순환표현에 대해서도 그 교환자가 무엇인지 각자 계산하여 보기 바란다. 명제 5.7 의 증명과 똑같은 방법을 사용하면 유니터리표 현에 대해서도 마찬가지 이야기를 할 수 있다.
명제 5,8. 국소옹골군 G 의 유니터리표현 (1r.%) 에 대하여 다음 은 동치이다. (가) (7r. %) 가 기 약표현 이 다. (나) {7rs : s E G}' = Cl x 이다. 정리 5.9. 국소옹골군 G 의 양부호연속함수 ¢ 에 대하여, 다음은 동치이다. (가) ¢ 가 순 양부호함수이 다. (나) ¢에 대응되는 G 의 유니터리표현 (;r,](;) 가 기약이다. 증명. 먼저 ¢가 순 양부호함수라 가정하자. 만일 E 가 G 의 유니터리표현 (7r'%) 의 불변공간이면 E 는 또한 L1(G) 의 *一 순 환표현 (7[,%,f) 의 불변공간이다. 부분공간 E 에 떨어지는 정사 영을 P 라 두면 도움정리 5. 6 에 의하여 P E 7r(L1(G))’ 이다. 이 저] # (t) = <1ftP e,P e> , t E G 라 두면 (4.8) 과 마찬가지로 ¢가 양부호함수이고, (4. 9) 를 적 용하면 임의의 IE E(G) 에 대하여 <= I17 [ (f} pE II2 = I|p 7[ (f) e||2 < |k (f) eI|2 = < = = <7[( f} pe , pe > = 이 임의의 /EL1(G) 에 대하여 성립한다. 그런데 5 가 순환벡 터이므로 p= lllx 인데 p가 정사영이므로 P=O 이거나 p= be 이고, 따라서 (가) 一 (나) 가 증명되었다 . 이제 (나) 를 가정하고 ¢가 순 양부호함수임을 보이기 위하여 # < ¢ 인 ¢ E P ( G) 를 택 하자. 집 합 { Jrs~ : S E G } 가 光 안에 서 조밀공간을 생성하므로, 다음 조건 의 의 기 약표현 r 에 대 하여 ,r (µ) = 0 이 면 µ = 0 이 다. 증명. 가정과 관계식 (4. 4) 및 (4. 8) 에 의하면 임의의 순 양 부리임 호을5 .함3알 수에 수 <의/ ; E있하 고여P,( G임따)의 라1 에의서 대연µ하속=여함0 수이!¢G 다 /;.E d µD C= c (0G 이) 다에. 대그해런 i데Gf 따dµ름=정O 만일 7[가 일차원표현이면 각 7[s 가 상수곱에 불과하므로 7fs7 ft = 7ft7fs 이다. 이제 군 G 의 모든 기약표현이 일차원이라면 임의의 기약표현에 대하여 TCst = TCsTCt = TCt TC s = TCt s , S, f E G 이므로, 따름정리 5.10 에 의하여 st = ts가 되어 G 가 가환군임 을 알 수 있다. 그 역도 성립한다. 따름정리 5.12. 국소옹골군 G 에 대하여 다음은 동치이다. (가) G 의 모든 기약표현이 일차원이다. (나) G 가 가환군이 다. 증명. 한쪽 방향 (나) 쿠 (가) 만 증명하면 된다. 이를 위하 여 (1r,%) 가 가환군 G 의 기약표현이라 하자. 그러면 명제 5.8 울적용하여 7rs E { 7ft : t E G}' = C lx, s E G 임을 알 수 있다. 다시 말하여 모든 작용소 7rs 가 스칼라작용소 이고, 따라서 %의 모든 부분공간이 T 의 불변공간이다. 그런데 T 가 기약표현이므로 %는 일차원공간이다. D
앞으로 군 G 의 기약표현 전체의 모임을 유니터리 동치관계로 자른 것을 C 으로 쓰고, 이를 G 의 쌍대라 한다. 일차원표현 7[ 와 p가 서로 유니터리 동치관계를 가지면 실제 7[ = p임을 쉽게 알 수 있다. 또한 4 절에서 언급한 바와 같이, 일차원표현이란 G 에서 단위원 T 로 가는 연속 군준동형, 즉 지표에 불과하다. 따라서 가환군 G 의 쌍대 C 는 지표들의 모임이다. 이 경우 지 표들 사이에 점별곱하기를 생각하면 군이 되므로 C 를 가환군 G 의 쌍대군이라 부른다. 만일 s1- -+ 7fs E T 가 일차원표현이면 이에 대응하는 L1(G) 의 * － 표현이 ;r : / 1--+ 17fs / ( s) ds, / E L' ( G) (5 . 7) 로 주어진다. 정리 4.1 에 의하여 임의의 *－준동형 L'(G ) -c 가 (5.7) 의 꼴로 주어지는데, 실은 임의의 복소준동형 : L'(G ) -c 도 이와 같은 모양으로 주어진다. 일반적으로 바나하대수 A 의 선형범함수가 곱하기를 보존하면 이를 복소준동형이라 부르 는데, 임의의 복소준동형은 노음감소사상이다 .18) 따라서, OE L'(G)* 를 나타내는 LOO- 함수 ¢를 잡으면
18) 참고문헌 (31] 의 정리 10.7 을 참조하라. 바나하대수의 복소준동형이 항등원을 1 로 보내고 가여원을 0 아닌 복소수로 보낸다는 것은 당연 한데, 사실 그 역도 성립한다. 참고문헌 (31] 의 정리 10.9 를 참조하 라.
(/) = /c¢ (s)/(s)ds, / E L'(G ) C 이고 ||¢IIOO < 1 임을 알 수 있다. 이제 ¢ : c-c 가 준동형임을 보이자. 각 g E L'(G ) 에 대하여
j Ut) g (t) dt = fftt (s) (g*/) = (/) (g) = f (/) ¢ (t) g (t) dt 이므로, 거의 모든 t E G 에 대하여 中(/t) = 中(/) ¢(t) 이다. 그 런데 t~(/t)가 연속이므로, (/) =I= 0 인 /EL1(G) 를 택하면 ¢가 연속이라고 가정할 수 있다. 따라서 각 tE G 와 /EL1(G) 에 대하여 t(/) ¢(t) = 中 (I t) 이므로, (/)¢(s)¢(t) = (/s)< /J(t) = (Us)t) = Ut s) = (/)
장을 보면 군표현론과 조화해석학 및 함수해석학이 서로 어떻게 관련 되며 발전되어 왔는지 알아볼 수 있다. 최근에 발행된 단행본 [10] 의 2 장부터 5 장은 이 책 의 1 장 및 2 장과 비교하여 볼 때 , 그 집 필 동 기나 전체적인 구성이 상당히 닮아 있다. 이런 단행본이 몇 년 전에 미리 나왔더라면, 머리말에서 언급한 강의록 [18] 은 필요없었을 것이 다.
제 2 장 가환군과 옹골군 이제 앞에서 공부한 내용들을 가환군과 옹골군의 경우에 구체 적으로 적용하여 보기로 하자. 우선 가환군의 경우 모든 기약표 현이 일차원이므로 이는 지표에 불과하고, 이에 대응되는 L1- 대 수의 표현이 바로 푸리에변환이다. 먼저 가환군의 양부호함수가 어떤 것들인지 밝히고 푸리에 역변환공식을 증명한다. 이를 이용 하여 7 절에서 국소옹골가환군의 기본 원리인 뽕트리야겡 쌍대정 리를 증명하고, 고전적인 리스-피셔 정리들이 일반적인 가환군에 서 어떻게 해석되는지 밝힌다. 옹골군의 가장 핵심적인 성질은 임의의 기약표현이 유한차원이라는 점이다. 따라서 옹골군의 · 표 현은 유한군의 표현론과 매우 유사하게 전개된다. 특히 8 절에서 정규표현을 기약표현들로 분해함으로써 고전적인 리스-피셔 정리 에 대응되는 피터-바일 분해정리를 얻을 수 있다. 가환이 아닌 경우 기약표현들을 모아 놓은 쌍대집합에 군 구조를 줄 수 없지 만, 그 텐서곱을 이용하여 쌍대를 정의한 뒤 9 절에서 다나까-크 라인 쌍대정리를 증명한다. 끝으로 10 절에서 가장 쉬운 비가환 군인 간단한 치환군과 유니터리군의 기약표현들이 어떤 것들인가
구체적으로 살펴본다. 6. 푸리에변환 이 절과 다음 절을 공부하는 동안 G 는 항상 국소옹골가환군을 나지타표낸 죽다. G 앞에 서절 단끝위에원서 T언 =급 하{e였it 듯: 이—,7 [ 가< 환t 군::;; 미G 의로 쌍가대는군 연 C속 는준 동형들의 집합에 점별곱하기를 취한 것이다. 이제 군 G 의 지표 r: G- ► T 는 일차원기약표현이므로, 이에 대응되는 L1(G) 의 표 현 1 一 r(f) 를 생각할 수 있다. 그러면 관계식 (4. 4 ) 에 의하여 r(f) = fI(s) r(s) ds, I E LI (G) G 가 된다. 이제 r- 1 (f) = f( r) 라 쓰면, 각 I E E(G) 에 대하여 함수 /: G- ► C 가 다음 f(r ) = (f* r) (O) = fI(t) r ( 一 t) dt = fGI (t) r(t) dt, r E C (6.1) G 과 같이 주어지는데, f를 f의 푸리에번환이라 한다. 임의의 rE C 와 sEG 에 대하여 성립하는다음공식 fi = fr, ls(r) = I(r) r< - s) = I(r) 詞 (6.2) 은 정의를 이용하여 바로 확인할 수 있다. 지표 r 가 고정되어 있 을 때 fI-+f(r ) 는 L1(G) 의 일차원 * － 표현이므로, 다음 공식 합 (r) = f(r ) g (r), P(r) = 詞 (6.3)
이 임의의 /,g E L1(G) 와 r E C 에 대하여 성립한다. 이는 물 론 직접 계산하여도 바로 확인할 수 있다. 이제부터 앞 장에서 공부한 내용들이 가환군에 대하여 어떠한 이야기를 해주는가 살 펴보자. 우선 지표 r 를 일차원표현으로 간주하면, (4.8) 에 의 하여 r 에 대응되는 양부호연속함수가 자기 자신임을 알 수 있 다. 따라서 각 지표 r 는 순 양부호함수이고, 임의의 양부호연속 함수 ¢ E P(G) 는 지표들의 볼록결합의 약* － 국한으로 표시됨을 알 수 있다. 또한 명제 5.2 에 의하여 다음울 얻는데, 이는 쌍대 군 C 에 위상을 정의하는 방법을 제시하여 준다. 명제 6.1. 국소옹골가환군 G 의 지표그물 〈 Y i〉와 지표 r 에 대하 여 다음은 동치이다. (가) 각 / E L1(G) 에 대하여 1im J (Y i) = f(r ) 이다. (나) 임의의 옹골집합 위에서
ALt ( G) 가 L1 (G) * 의 단위원 안에 들어간다. • 이제 G u {O} 이 L1(G)* 의 약 * － 닫힌집합임은 쉽게 확인할 수 있는데, L1(G)* 의 단위원이 약 * - 위상에 대하여 옹골집합이 므로 G u {O} 가 약*－위상으로 옹골집합임을 알 수 있다. 여기 서 말하는 약*－위상이란 바로 위에서 말한 C 의 위상에 불과하 다. 따라서 C 가 다시 국소옹골공간이 되고, 명제 6.1 을 이용하 면 이러한 위상에 대하여 곱하기와 역산이 연속임을 쉽게 확인할 수 있다. 그러므로 C 는 다시 국소옹골가환군이 된다. 이제 약* 위상으로
이 성립함도 바로 확인할 수 있고, 따름정리 5.1 1 에 의하여 µ1--+ f1가 단사임을 알 수 있다. 따라서 푸리에-스틸체스변환은 M(G) 에서 유계연속함수대수 Cb(G) 로 가는 단사 * － 준동형이다. 이 변환의 치역을 푸리에-스틸체스대수라 하고 B(G) 라 쓴다. 간단한 가환군인 정수군의 예를 들어보자• 임의의 지표 y E Z 는 y(l) ET 에 의하여 결정된다. 따라서 z 의 지표는 적당한 eit E T 에 대하여 rt '. n 1-+ e•nt, n E Z 의꼴로주어짐을알수있다. 대응관계 e it1-+ Y t :T-z 가동 형사상임은 분명하고, 명제 6.1 을 적용하면 위상동형이 됨을 확 인할 수 있다. 이제 T 나 R 의 쌍대군을 알아보기 위하여, 우선 R 의 닫힌부 분군은 {O } 혹은 R 이거나 정수군 Z 와 동형임울 상기하자. 이 로부터 T 의 닫힌부분군이 {l} 혹은 자기 자신이거나 갔 = 1 의 근들로 구성된 유한순환군임을 알 수 있다. 따라서 T의 지표 r 의 핵은 개수 n 인 유한순환군이고, r(eit ) = en” 이거나 e-nit 이다. 그러므로 T의 지표는 적당한 정수 nEZ 에 대하여 다음 rn : eit t-+ enit ' eit E T 과 같은 꼴로 주어전다. 이제 n 1--+ Yn 이 Z 에서 순로 가는 위상 적 동형사상임은 각자 확인하여 보기 바란다. 마찬가지 방법으로 R 의 지표가 적당한 실수 t ER 에 대하여 다음 rt : s 1----+ eiS t , s E lR 과 감이 주어지고, t I-+ ft 에 의하여 JR = lR 임을 확인할 수 있 다. 이러한 결과를 이용하여 푸리에변환 공식 (6.1) 에 넣으면,
다음 f(n ) = 吉 1:/ (t} e-in t d t, / E L1 (T) , n E Z, (6.5('`i6. 6 /(t) = ¼1:00/(s) e- .-s td s, / E L1 (R) , t E R ``,' 과 같이 잘 알고 있는 푸리에 변환공식을 얻는다. 여기서 계수 *은 역변환공식이 성립하도록 넣은 것인데 뒤에서 다시 설명 하기로 한다 .I) 군 G 가 이산군이면 복소준동형집합 G u {O} 에서 {O} 이 고립 점이 된다. 따라서 이산군의 쌍대군은 옹골군이다. 옹골군 G 에 서는 상수함수 1c 가 L1(G) 의 원소가 되는데 E (r) = {1o,, rY ==I= 11 임을 확인할 수 있고 , 이로부터 옹골군의 쌍대군이 이산군임을 알 수 있다. 이제 유한순환군 Zn ={0,1, ... , n-I} 을 생각하여 보자. 그 러면 임의의 지표가 다음 rP : j ,_. (e 무)”, j E Zn 과 같이 주어지고, p一 7p 에 의하여 Zn 과 g;이 동형임을 바로 확인할 수 있다. 또한 두 가환군 G 와 H 가 있을 때, GEBH 의 쌍대군은 &DH 와 동형임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 n 개의 원을 가전 유한가환군 G 의 푸리에변환은 z1(G) 에서 C°” 으로 가는 전단사 *－동형사상이다• 특히 유의할 점은 서로 다른 군의 군대수가 같을 수 있다는 접이다. 1) 정리 6 .4와 그 증명 뒤에 나오는 이야기를 참조하라.
이제 / E L1 (G) 의 노음 II/Iii 와 / E Co(G) 의 노음 1If |IOO 를 비교하여 보자. 물론 11/1100 터|J I il, f 드 L1 ( G) (6 . 7) 임을 알고 있는데, 등호가 성립할 수 있는지 살펴보자. 찰 알고 있는 바와 같이 L1(T) 의 디리클렛핵
鬪) = fer < t)d µ(y ), t E G (6.8) 과 같이 정의하면, µI----+¢µ가 M(G)+ 와 P(G) 사이의 전단사 대응 관계를 준다. 또한 |I ¢µI|OO = ¢µ (O) = Jed µ ( r) = µ ( G) = llµII 이므로 다음을 얻는다. 명제 6.3. 가환군 G 에서 대응관계 µi--!pµ : M(G)+ - P(G) (6. 9) 는 노음을 보존하는 전단사함수이다. 다음관계식 <1:,,f >= fcf (t) [r( t) d µ (r) dt =l f (r) 詞 =
이제 명제 6.3 을 이용하여 푸리에 역변환공식을 유도하여 보 자. 주기함수 / e E(T) 의 푸리예계수 f가 /1( Z) 에 들어가면 등식 f(t) = 흐 oo f (n) ein t (6 .12) 이 성립함을 알고 있다. 여기서는 언제 f e E(C) 인가 하는 문 제를 생각하고, 이와 함께 등식 (6.12) 롤 일반적인 가환군에 대 하여 증명하려 한다. 정리 6.4. 임의의 국소옹골가환군 G 에 대하여 다음이 성립한다. (가) 만일 / E L1(G) n P(G) 이면 l E E(C) 이다. (나) 군 C 의 하르측도에 적절한 상수곱을 취하여 다음 등식 f(t) = fcl< r)r(t )d r, I E L1(G) n P(G) (6.13) 이 성립하도록 할 수 있다. 증명. 명제 6.3 에 의하면, 임의의 / E L1(G) n P(G) 에 대 하여 다음 등식 f(t) = fer < t) dµf (r) 이 성립하는 측도 µf EM(G) ＋가 유일하게 존재한다. 또한 명 제 3. 2 를 이용하면, 임의의 k E Cc(G) 에 대하여 다음 성질 r E sup p k = l (r ) > O (6. 14 ) 이 성립하는 / E Cc(G) n P(G) 가 존재함을 알 수 있다. 실제
로 각 r e C 에 대 하여 i1, ( r) =t= 0 인 u 든 Cc ( G) 를 잡은 후, 그런 것들 중에서 f = U1*U1 + … + Un* u: 의 푸리에변환 f가 (6.14) 를 만족하도록, 유한개의 Ui , ... , Un 을 택할 수 있다. 이 제 리스 표현정리를 이용하기 위하여 Cc(G) 의 선형범함수 T 롤다음 T(k) = 〔尸競 k E Cc(G) 과 같이 정의하자, 우선 제대로 정의되어 있는지 따져 보아야 하 는데, 이를 위하여 h E L1(G) 를 택하면 lEdµf = ifc h( t)詞 d t dµ f (r) = fc h(t ) f( - t) dt = (h*/) (0) 이 된다. 만일 g E Cc(G) n P(G) 가 성질 (6.14) 를 만족하면, 임의의 h E L1(G) 에 대하여 jh/d µg = ( (h*/) *g) (0) = ((h*g ) */) (0) = jhg d µ f 이 된다. 따라서 f伊 dµf = f꿉g dµ f = 庫學 = ffdµg 이 되어 T 가 제대로 정의되어 있음을 알 수 있고, T 가 Cc(G)
의 만양일선 i형범k(함r )수 dµ임g 은 (r) 당*연 0하 인다 .k E Cc(G) 와 g E Cc(G) n P(G) 를잡으면, T (kg ) = fe~ dµf = Je1 dµg = fek dµg 半 o 이므로 T * 0 이다. 또한 / E L'(G ) n P(G) 에 대하여 g(t) = J(t)詞 라 두면 ff (r) = /(r + ro) 이므로 Jer ( t) dµg (r) = g(t) =f(t)詞 = /e r( t) dµ f (r) 詞 = /e( r - ro) (t) dµf ( r) = /er U) dµf (r + ro) 가 되어, µg( E) = µf(E + ro) 임을 알 수 있다. 그러므로 임의 의 k E Cc ( G) 에 대 하여 T(kro) = 『 ~dµf (r) = Je1 -- &f;) dµf ( r + ro) =le鬪 dµ g(y) = T(k) 이므로, T 는 평행이동불변이다. 따라서 C 의 하르측도를 적절
히 상수배하면, 다음 등식 T (k) = fek dr, k E Cc (G) 울 얻는다. 만일 / E L1(G) n P(G) 이면 fkdµf = f11-dµ g = T(k/) = fk/dr , k E Cc(G) 이므로 dµf = /dr 가 되는데, µf 가 유한측도이므로 j e LI (C) 이 되고등식 /(t) = fcr U) dµf (r) = /el< r) r(t) dr 이 성립하게 된다. D 이산군인 경우 각 점의 측도를 1 이라 하고 옹골군의 경우 전 체 측도의 값을 1 로 하는 하르측도를 쓰면, 역변환공식이 성립 함을 쉽게 알 수 있다. 또한 실수군 R 의 경우, 푸리에적분에서 많이 나오는 함수 f(s ) = e-s 이 2 등의 함수를 써서 계산하면, 푸 리에적분 (6.6) 에 나오는 계수가 필요함을 확인할 수 있다. 이 를f cof위 (하s )여 e _실is t d 수 s 군라의 두 면보,통 명르제벡 측6.도3 에를 의ds하, 여dt 로
울 얻는다. 이제 R 과 요 의 불변측도를 각각 ads, f]dt 라 두면 1-O:O j(t) eis tf] dt = 1-O:O 짜 (t) eis tf] dt = a /3墨 1:e-1212e i s t dt -00 = 27ra/3 f(s ) 가 된다. 따라서 역변환공식이 성립하려면 a /3=걸;이 되어야 한다 . 4 ) 다음 따름정리는 뽕트리야겡 쌍대정리를 증명할 때 요건 하게 쓰인다. 따름정리 6.5. 가환군 G 의 각 근방 V 에 대하여, 다음 성질 각 y EK 에 대하여 1r(t) ― 1|< ｝이다 = tE V (6.15) 을 만족하는 옹골집합 K 드 C 를 잡을 수 있다. 증명. 우선 W -W 드 V 가 되도록 옹골근방 W를 잡고, f = (!w ds) 가 Xw, g = f*j 라 두자. 그러면 g E P(G) 이고 sup pg ~ V 이므로, 정리 6.4 에 의하여 /eG ff< r)dr = g( O) = 1, ff = Iii 2 ~ o 이 된다. 따라서 다음 두 부등식 4) 함수 f(s ) = e-lSI 를 이용하여 계산할 수도 있는데, 참고문헌 [30 ]의 1. 5 절을 참조하라.
fKg (r ) dr > 응, i\K g (r) dy 댜 이 성립하도록 옹골집합 K 드C 를 택할 수 있다. 이제 tE G 가 (6.15) 의 가정을 만족하면, 각 y E K 에 대하여 Rey (t) > 출이므로 다음 부등식 RefK g (r ) r(t) dr > 출fK g (Y) dr > 강 이 성립한다. 그런데 u :\Kg ( rW(t) d r|:: :::Je\K lff < r)Idr:: :::} 이므로 g(t) = Jeg (r) r(t) dr = Lg (r ) r(t) dr + /e,K g (r) r< t) dr > ½ 이고, 따라서 t Esu ppg드 V 임을 알 수 있다. 0 7. 뽕트리야겡 쌍대정리 국소옹골가환군 G 의 임의의 원소 t E G 에 대하여, 함수 et : G- -+ T 를 다음 et : r1 -+ r(t) , r E G 과 같이 정의하자. 그러면 명제 6.1 (나) 에 의하여 각 et 는 연 속이고, 물론 준동형이므로 e t는 C 의 지표가 된다. 사실상 et 는 디락측도 0- t의 푸리에-스틸체스변환에 불과하다. 따라서 다 음사상 e : t 1--+ et : G -+ G, t E G (7 .1)
울 얻게 되는데, 이는 따름정리 5.10 에 의하여 단사함수이다. 뽕트리야겡 쌍대정리는, (7.1) 에 의하여 정의된 함수가 위상 적 동형사상이고 따라서 쌍대군 C 로부터 G 를 재구성할 수 있 음을 말해 준다. 이를 증명하는 데는 여러 가지 방법이 있으나, 가장 표준적인 것은 먼저 G 가 이산군이거나 옹골군일 때 이를 먼저 보이고 일반적인 국소옹골가환군의 구조를 어느 정도 파악 한 뒤 이를 이용하는 것이다. 여기서는 기왕에 증명한 푸리에 역 변환공식을 이용하기로 하자. 쌍대군 C 의 옹골집합 K 와 양수 € > 0 에 대하여 WV((KK,, €€)) == {{tX E E GG : : r yE E KK 극= IrIX(t() y一) —111<1 <€ }타, 이라 두자. 그러면 따름정리 6.5 에 의하여 V(K,€) 들이 G 의 근방을 생성한다는 것을 알 수 있다. 또한 옹골-열린 위상의 정 의에 의하여, W(K, €) 들이 8 의 근방울 생성한다. 그런데 e ( V (K, €) ) = W (K, €) n e ( G) 이므로, 사상 (7.1) 은 G 와 그 치역 e(G) 사이에 위상적 전단 사 준동형이 됨을 알 수 있다. 이제 (7.1) 이 8 로 가는 전사사 상임을 보이기 위하여 푸리에변환을 L2(G) 에 확장하자. 정리 7.1. 각 / E L1(G) n L2(G) 에 대하여 f E E(C) 이고, 이때 등식 llt ll2 = lli ll2 이 성립한다. 또한 집합 Jc = {i : / E L1(G) n E(G)} 은 L2(G) 안에서 조밀하다. 증명. 우선 /*fE L1(G) n P(G) 이므로 역변환공식에 의하 여 다음등식
||f|F = f I( t)詞 dt G == f(f;7*f()r ( O))d r = Je lf(r ) I 2dr = I|f ||2 을 얻는다. 이제 R 이 조밀함을 보이기 위하여 # E E(C) 가 다음성질 <,¢ ) = f的)詞 dr = 0, E 究 (7.2) 을 만족한다 하자. 만일 ¢ = f E 究 이면 함수 rl- + (r) r(t) = L (r) 역시 究 에 들어가고, 가정 (7.2) 에 의하여 fr(t) 的)詞 dr = 0, E Jc, t E G 이 된다. 그런데 ¢(t )7 汀 )dr 가 유한측도이고 대응관계 (6.10) 이 단사이므로 ¢ = 0, E Jl (7.3) 임을 알 수 있다. 만일 ¢=f E 究이면 각 rE G 에 의한 평행 이동 ¢7= 斤 역시 R 에 들어간다• 그러므로 임의의 rEC 에 대하여 그 근방 위에서 0 이 아닌 ¢E 究을 잡을 수 있고, (7. 3) 에 의 하여 ¢ = O 임 을 알 수 있다. D 집합 L1(G) n L2(G) 가 L2(G) 안에서 조밀하므로 푸리에변 환이 L2(9) 에서 L2(G) 로 가는 등거리함수로 확장될 수 있는
데, 이룰 플랑셰를번환이라 한다. 힐버트공간 사이에 정의된 선 형사상이 노음을 보존하면 자동적으로 내 적을 보존하므로, 다음 등식 fcI(t) g(t) dt = 〔/(直(r) dr, /, g E L2(G) 울 얻는다. 함수 h( t) = g(t)ro U) 와 f 에 대하여 이 등식을 적 용하면 ii(r) = ff (ro - r) 이므로, E(Yo) = fG I( t)詞 d t = l/(r) 詞 dr = fei(r ) g (ro - r) dr = (/* g) (ro) 이 된다. 다시 말하여 등식 Ji = I*ff, f, g E L2(G) (7.4) 를 얻게 된다. 만일 두 함수 f, g 가 L2(G) 에 들어가면 fgE L1(G) 이므로, (7.4) 에 의하여 I*g E A(G) 임을 알 수 있다. 역으로 임의의 L1- 함수는 두 L2- 함수의 점별곱하기로 표시되기 때문에, 다음 A(G) = {나 자, ¢ E E(C)} (7.5) 과 갇이 푸리에대수를 나타낼 수 있다. 따름정리 7.2. 쌍대군 C 의 각 열린집합 U 에 대하여, 다음 성질 r E G\U = f(r ) = o
을 만족하는 0 아닌 함수 fE A(C) 가 존재한다. 증명. 측도값이 양수인 옹골집합 K 와 K + V ~ U 가 되는 근방 V 를 잡자. 그러면 함수 XK*Xv 가 A(G) 에 들어가는데, 이 함수가 주어진 조건을 만족함은 쉽게 확인할 수 있다. 口 이제 뽕트리야겡 쌍대정리를 증명하려 하는데 대응관계 (7.1) 이 전사임을 보이면 된다. 정리 7.3. （뽕트리야겡-반캄펜) 국소옹골군 G 에서, (7.1) 에 의하 여 정의된 사상 t1---+ e t는 G 에서 8 로 가는 전단사 위상적 군준동형 이다. 증명. 먼저 e(G) 가 C 안에서 조밀함을 보이자. 만일 그렇지 않다고 가정하면, 따름정리 7.2 에 의하여 e(G) 위에서 F=0 이지만 C 전체에서는 0 아닌 F E A(G) 를 잡을 수 있다. 그런 데 F 는 적당한 ¢EL1(G) 의 푸리에변환이므로 각 t EG 에 대하여 Em¢(r)dr = i ¢(r) 詞 dr 규 (e t) = F(et) = 0 이 되는데, 변환 (6.10) 이 단사이므로 ¢ = 0 이고 따라서 F = 0 이 되어 모순이다. 이미 G 와 e(G) 가 위상동형임을 알고 있 으므로, e(G) 는 국소옹골군 G 의 국소옹골 조밀부분군이 된다. 이로부터 e(G) = G 임을 쉽게 확인할 수 있다. D 쌍대정리에 의하여 임의의 가환군은 다른 군의 쌍대군인 것으 로 취급할 수 있다? 특히 쌍대군에서 정의되었던 푸리에대수나
푸리에 - 스틸체스대수를 임의의 가환군에서 생각할 수 있다. 따름정리 7.4. 임의의 가환군에 대하여 P(G) ~ B(G) 이다. 또 한 B(G) 의 함수들은 P(G) 에 있는 함수들의 선형결합으로 표시된다. 증명. 우선 대응관계 (6. 10 ) 에서 G 대신 그 쌍대군 C 를 쓰 면, 각 측도 µEM(G) 에 대하여 ¢µ는 C 에서 정의된 함수가 되어 다음 대응관계
(f(t) = µ( —t) = ifi(r) r( - t) dr = Lf(r ) r(t) dr 울 얻게 된다. D 위 따름정리의 특별한 경우로서 다음 명제 f E L1(G), I E L1(C) 一 f(t) = Lf(r ) r(t) d r (7.10) 가 성립함을 알 수 있다. 특히 G=T 이면 다음 / E L1 (T) , / E /1 (Z) 一 f(t) = 흐 /(n) ein t (7.11) 울 얻는다. 왼쪽정규표현 f一 A( f) 에 의하여 생기는 작용소 ,,l (/) : ~ .-. / * ~, ~ E L2 ( G) (7 .12) 를 생각하여 보자. 다음 관계식 f* r=l
가되고, 따라서 각 rEc 에 대하여 r=lr=Xr 이다. 그러 므로 힐버트 공간 L2(G) 와 z2(c) 의 완바 정규직교기저 사이에 일대일 대응관계 r <-+ Xr 가 성립함을 알 수 있다. 즉, C 가 힐버 트공간 L2(G) 의 완비 정규직교기저가 된다는 말이다. 따라서 관계식 (7.13) 에 의하면 선형작용소 A(f) 가 유계이며 그 노음 이 I|A(f )11 = |I f |IOO 으로 주어짐을 알 수 있다. 또한 C 가 완비기 저이기 때문에 다음 등식 f= r~ec < ·f- ,. r • >. .r =r~e c J (r )r, /EL2(G) (7.15) 을 얻게 된다. 특히 G = T 이면 (7. 11 ) 과 똑같은 식을 얻는데, 그 의미는 매우 다르다. 등식 (7.11) 은 L1(T) 의 원소로서 무한합을 정의 하고 등호를 해석하는 것이다. 따라서 실제 함수로서 양변은 거 의 모든 점에서 등호가 성립한다• 그러나 (7. 15 ) 의 경우 fe ll(C) 가 아니면 오른쪽의 무한합이 함수 를 정의한다는 보장이 없다. 등식 (7.15) 가 말해 주는 것은 단지 오른쪽의 유한합들이 L2_ 노음에 관하여 I 로 수령한다는 뜻이다. 옹골가환군 G에서, 지 표들의 유한선형결합을 삼각다항식이라 부르고 삼각다항식 전체 의 집합을 T(G) 라 쓰는데, 이것이 C(G) 의 *－부분대수가 됨 은 바로 확인할 수 있다. 방금 설명한 바에 의해 T(G) 는 L2(G) 의 조밀공간이다. 스톤-바이어쉬트라스 정리를 이용하면 T(G) 는 C(G) 에서도 그 해당 노음에 대하여 조밀하다. 따라서 T(G) 는 각 l < p < oo 에 대하여 LP(G) 안에서 조밀하다. 이제 다음 철에서 임의의 옹골군에 대하여 등식 (7. 15 ) 가 어떠한 방식으로 성립하는가 살펴보려 한다.
8. 옹골군의 기약표현 이제부터 옹골군의 표 현에 관심을 집중하고자 한다. 가환군의 경우 따름정리 5.12 가 중요한 역할울 하였듯이 옹골군의 기약표 현이 어떠한지 살펴볼 필요가 있다. 유한군의 기약표현이 유한차 원임은 당연한데 이는 옹골군의 경우도 마찬가지이다. 정리 8.l. 옹골군 G 의 기약표현 (;r.%) 은 항상 유한차원이다. 층명. 힐버트공간 % 의 두 벡터 f, n 를 고정하자. 그러면 G 가 옹골군이므로, J6 에서 정의된 켤레선형범함수 g I-+ fC <7f s7 ), S >< 7 [s7 ): ds 가 유계임을 알 수 있다. 따라서 이 범함수를 나타내는 벡터를 B 1/ E 라 써서 다음 등식 = f @n, g> <7 [s7 J : ds, f, 7J, g E % (8 .1) G 을 얻고, 각 TJ E% 에 대하여 E 曰 B T/ E 이 유계선형작용소가 된 다. 그런데 각 t E G 와 TJ E % 에 대 하여 〈 B T/감, g> = fG @n, g><7[t-I s:ds = f<7fts1J ,S >< ~ ds G =
서 g =5 라놓고, 다음등식 A (7J) ll~ll2 = LG 1 (7 r s7 J, ~>| 2 d s (8 . 2) 을 얻는다. 그런데 옹골군에서 모듈라함수가 le 이므로, (1.14) 률 적용하면 (8.2) 에서 5 와 n 를 바꾸어도 지장없다. 따라서 다 음등식 .1 (7J) llell2 = .1
(6m n ' ％伊) 는 (8. 4) 에서 정의한 표현 (6, 7(J& )) 와 유니터리 동 치관계를 가진다. 이제부터 관계식 (4.3) 에서 정의한 바 있는 옹골군 G 의 오른 쪽정규표현 (p,L 2(G)) 를 기약표현으로 분해하여 보자. 우선 각 x E 7 (%c) 에 대 하여 다음 ~x(S) = Tr = Tr(xo(J s ), s E G 과 같이 정의하면, &는 G 에서 정의된 연속함수이므로 &EL2(G) 임을 알 수 있다• 또한 각 s, t E G 에 대하여 [ps( ~x)] (t) = ~x(ts ) = Tr(x(Jt (Js ) = Tr((Js X ( Jt) = e6sx(t) 이므로, 각 s E G 와 X E Y(Je cr ) 에 대하여, Ps(~x) = ~<1s x 가 된다. 이제 함수 X 1--+ ~x : J(%사 - L2(G) 를 Vcr 라 두면, 등식 Ps V6 = V따 , s E G (8.5) 울 얻고, v( f는 두 표현, 5 와 p의 꼬임작용소가 된다. 7 (%c) d. ) Y (%c ) LV2a( .GI, ) ——p -L 2J, (VGa) 만일 Ve1 의 치역을 Ee1 라 두면 이는 정규표현 p에 대하여 불변 공간이 됨을 알수 있다. 이제 옹골군의 두 기약표현 6 와 r 에 대하여 Ee1 와 Er 의 관계 룰 살펴보는데, 두 기약표현이 유니터리 동치관계를 갖지 않으면 Ee1 와 요가 서로 수직공간임울 보이려 한다. 이를 위하여, 각 xE Y(Me1) 와 y E Y(Mr) 에 대하여 그 내적
< c ,u> = f <6 s d s, C E %r, U E %' 6 G 과 같이 정의하자. 도움정리 8.4. 선형사상 心는 r 와 6 의 꼬임작용소이다. 증명. 증명은다음 C ,U > ==
가 유니터리이므로, U 또한 힐버트공간 동형사상이 되어서 6~ T 가 된다. 口 이제 우리의 원래 문제로 돌아가서, 6 와 r 가 서로 유니터리 동치관계를 갖지 않는 기약표현이면 = 0 이 되고, (8. 6) 과 (8. 9) 에 의하여 E< J 와 Er 가 L2(G) 의 직교 부분공간임을 알 수 있다. 만일 6 와 r 가 6~r 인 기약표현이고 유니터리 u : %a 一 %r 가
이므로 = —n1 Tr ( ¢ )lx 이다. 따라서 ((J,J&) 가 기약표현이면 각 ¢ 드 있 (%a) 과 c, u E Jga 에 대 하여 fc< <1s < P<1s - 1 C,U >d s= 晶:
증명. 따름정리 5.3 에 의하여 임의의 L2_ 함수는 순 양부호연 속함수들의 선형결합의 L2- 극한이다. 또한 정리 5.9 에 의하여 순 양부호함수 ¢ 는 적 당한 6 E C 와 U E J& 에 대 하여 ¢ (s) = << Js U,U > 의 꼴이 다. 그런데 << Js U,U > = Tr[(u@u)
[ V<1 (X) * X 』 (t) = 1Tr (xas) Tr ( rs- i t) ds G = 1Tr(x(Js )~ds G =
= [d i m (J］훈6 f @r (J s (J r-I (J ,e i, ei> dr i= l .IC = dl~mc 1 Tr (as) <6 t e ,., e l.> i= I = Tr(
을 얻는데, G 가 옹골가환군이면 이는 (7.15) 에 불과하다. 지표 xc 에 대한 계산을 함으로써 유한차원표현 6 의 성질을 알 수 있 는 경우가 많은데 이를 정리하여 보자. 명제 8.7. 옹골군 G 의 유한차원 유니터리표현들에 대하여 다음 이 성립한다. (가) Xt1 1 G l·· ·G lt1 n =Xt1 1 + …+ Xt1 n 이 다. (나) 6 가 기약일 필요충분조건은
옹골군에 대해서도 옹골가환군의 경우와 마찬가지로 삼각다항 식을 정의할 수 있다. 옹골군 G 의 기약표현 (6 』6 c) 가 있을 때, 힐버트공간 ]&의 정규직교기저 {uf, ... , ut } 를 고정하자. 그러면 {u1©u1: i,j = 1, ... , n} 는 힐버트공간 7(% 사 의 정규 직교기저가 된다. 이때 다음 CL : s .--. << Js uY,u 'f> = [V 6(u f®깝) ] (s) , s E G 과 같이 정의된 함수 Cf j: G 一 C 는 연속이 되는데, 이를 6 와 i,j에 의한 계수함수라 부른다. 정리 8.6 에 의하면 집합 { CL :
%l0%2 를 취하면, 여기에는 다음 성질 〈 El® 刀 1, g 2® 짜 = <~ I'& >
{ei, ... ' em} 으로 주어지면, {ei® ej : i = 1, ... , n, j = 1, ... , m} 은 ]'ff®]{ 의 정규직교기저가 된다. 한편, 각 i, j = l, 2, ... , m 에 대하여 e2. J E J3 (]{) 를 e;, ; ( ek) = a;ke ;, k = l, 2, ... , m 이라 정의하자. 벡터공간 %®K 의 기저를 다음 순서 e1®e1, ... , en®e1, e1®e2, ... , en®e2, ... , e1®em, ... , en®em 로 늘어놓았을 때, x®eI,j E J3( %®X) 가 어떤 꼴의 행렬로 표 현되는지 각자 살펴보기 바란다. 국소옹골군 G 의 유니터리표현(1(』 ¢r) 와 ((J』 ¢6) 가 있을 때, 그 텐서곱 1( ®6 는 %&切&에 작용하는 표현으로서 다음 (7[® 6) s = Ts®6s, sE G (9 .1) 과 같이 정의한다. 다음 명제는 정의에 의하여 바로 확인된다. 명제 9,l. 군 G 의 유한차원 유니터리표현 T 와 6 에 대하여 그 텐서곱 TC®6 의 지표는 xroc = x7[ X 6 로 주어진다. 이제 복소함수의 켤레에 대응되는 연산을 정의하려 한다. 힐버 트공간의 각 벡터 eE% 에 대하여 그 쌍대공간의 벡터 EE %*를다음 [(TJ) =
로, 사상 gI-+ E : % 一 %＊는 켤레선형사상이 된다. 따라서 다음 <[,7 )>x · =
라 쓰자. 그러면 동식 (9.3) 에 의하여 a;;(s) = Ms>임을 알 수 있다.
명제 9.2. 옹골군 G 의 유한차원 유니터리표현 T 에 대하여 그 켤 레표현 死의 지표는 Xff = X1r 로 주어진다. 또한 기약표현 6 의 계수함수의 켤레는 켤레표현 6 의 계수함수이다. 측, CL(s) = Ct (s ), s E G 가 성립한다. 이제 각 (T, J&) 드 Vc 에 유니터 리 O(Jr ) E U (%긴 가 대응하 여, 다음 성질 (표 l) u : :Mn: - :Md 가 r 와 6 의 꼬임작용소이면 U. O(Jr) = .O (a) U 이다, (표 2) 각 Jr, a E Vc 에 대하여 n(K®a) = n(Jr) ®n(a) 이다. 이 성립하면, Q : T I--+ 0(K) 를 Vc 의 표현이라 한다. 성질 (표 1) 은 다음과 같이 나타낼 수 있다. %r · ) %r %r O(r) ) A% UT T U 극 UI TU %q ) A% %Cf 0(d) 仁%Cf 쌍대 Vc 의 표현 Q는 자동적으로 더하기와 l 을 보존한다. 여 기서 상수함수 le 에 의하여 정의된 일차원 유니터리표현을 l E Ve 로 쓴다•
명제 9.3. 각 표현 n : Jr- O(Jr) 와 T,6 드 Vc 에 대하여 .0 (1) = le, 0 (7rffi
o,· 信) E 一 Q(7[) E, T E Vc, g e %'r 이 성립하면, 〈 요 〉 이 O 로 수령한다고 말한다. 이러한 연산과 위상에 관하여 Q 가 위상군이 됨은 바로 확인할 수 있다. 이제부터 C 의 각 동치류에 대하여 대표 6 를 택하고, %c 의 정규직교기저 {u1 : i = 1, 2, ... , dim a} 를 택하여 고정하자. 또 한 각 11 E Q 에 대하여 T(G) 의 선형범함수 ¢n 를 다음 ¢n : CL-
증명. 우선 s i--요이 연속준동형임은 바로 확인할 수 있고, 또한 정리 8.2 에 의하여 이는 단사함수가 된다. 그런데 G 가 옹 골군이므로 전사임을 보이면 된다. 이를 위하여 O E Q 를 택하 면, ¢n 가 복소준동형이기 때문에 다음 성질 ¢n(f) = f(s ), f E C(G) 을 만족하는 s E G 가 존재한다. 이제 직접 계산하여 보면 <0 ( 1C) 7J, ~> = ¢n (v 年) = vi. ,, (s) = <1C s7 J,~ > , T E Vc, E, n E Jt1C 가 되어 Os=0 이다. 口 이제 도움정리 9 .4를 증명하자. 먼저 (나) 를 보이려 하는데 1rE Vc 가 기약표현이라 하자. 그러면 r~6 인 대표 a 를 잡을 수 있고, T 와 6 의 꼬임작용소 U : %n:一 %c 이 존재한다. 각 E, 7J E %n:에 대하여 정규직교기저 {u 안에 관한 u~ 와 U7 ]의 좌표를 각각 {ai} 와 {b;.} 로 나타내자. 그러면 각 s E G 에 대하여 vi. 1/ (s) =
이므로, T E Vc 가 기약표현일 때 도움정리 9.5 의 (나) 가 증명 되었다. 만일 7r = Jr1E 9J r2 가 기약표현 짜 K2 E Vc 의 합이라 하 자. 그러면 각 E = (gI, 令) 와 1) = (1)1, 1)2 ) 에 대하여 vf, 1 / = VR 1/1 + vg ,1/2 임을 알 수 있다. 따라서 명제 9. 3 을 이용하여 ¢n(v :. 1/ ) =
6) 이를 이용하면, 따름정리 5.3 을 쓰지 않더라도 정리 8 . 6 을 증명할 수 있다.
또한 도움정리 9.4 의 (나) 와 (표 2) 를 이용하면, 다음 n(CLCt 1) =
과 같이 계산할 수 있으며 ¢o 가 준동형임을 알게 된다. 이제 도 움 정리 9 . 4 를 증명하는데, 다음 부동식 I t/Jn (/) I :;;;: II/II . . , f E T ( G) (9 . 9) 울 보이면 된다. 위에서 ¢o 가 곱하기를 보존함을 보였다. 이제 켤레도 보존함 울 보이려 하는데 우선 명제 9.3 에 의하여 T(G) 가 켤레에 대 하여 닫혀 있음울 상기하자. 또한 n X n 행렬 ij] 이 유니터리 행렬일 필요충분조건은 2k u i k霞 = ~k Ui;;Uk .i = ov 이고, 정규직교기저 {Ui , .. . , U 서 를 가전 힐버트공간 % 에서 정 의된 선형작용소 X E J3()6) 가 유니터리일 필요충분조건은 n X n 행렬 [
여 다음등식 ~= O 을 얻는다. 만일 f e T(G) 가 J : G--+ IR 이면, - IIf |IOO 三 f < 1 1/ 1100 로부터 - IIf |IOO < ¢n(f) < |I f ||OO 임을 알 수 있다. 그러므로 다음계산 I¢a (f) | 2 = ¢o (f) ¢o (1) = ¢n ( If| 2) 리 |/II;,, f E T (G) 에 의하여 (9.9) 가 증명되며, 따라서 도움정리 9.4 의 증명이 끝 난다. 켤레표현을 이용하면 옹골군 G 의 군대수 L1(G) 의 구조를 보 다 분명하게 파악할 수 있다. 이를 위하여 L1(G) 의 표현 ~ := a 찰(J : L1(G) --+ :t3（홀'디 (9.11) 울 생각하면, 겔판트-라이코프 정리에 의하여 2 는 단사사상이 다. 표현 고의 상이 무엇인지 알기 위하여 먼저 계수함수 C ff의 상을 계산하여 보자. 임의의 rE G 와 u,VE }g r 에 대하여, 관 계식 (8.5), (8.8) 및 (8.11) 을 이용하면
= {0d' i晶
:E( T(G)) = .JftF (9 .14) 임을 알 수 있다. 그런데 T(G) 가 L1(G) 의 조밀공간이므로 다 음을 얻는데, 정리 6.2 와 비교하여 보기 바란다. 정리 9.6. 표현 (9. 11 ) 은 V(G) 에서 2 °B (%c) 로 가는 노음 6EC 감소 단사사상이고 그 치역은 Ato 안에서 조밀하다. 특히 유한군 G 의 경우 다음과 같은 *－동형사상 11 (G) ::::::: 고 e B (%c) (9.15) 6E C 울 얻는다. 한편 옹골군의 쌍대 C 가 유한집 합일 필요충분조건 은 G 가 유한군임을 알 수 있다. 10. 치환군과 유니터리군 지금까지 공부한 옹골군 표현론의 구체적인 예로서 치환군과 유니터리군을 살펴보려 한다. 이 두 가지 군의 표현론은 그 자체 로서 매우 방대한 분량이기 때문에 아주 간단한 경우에 한하여 생각하여 보기로 하자. 치환군 Sn 에는 일차원표현이 두 개 있는데, 모든 원을 1 로 보 내는 표현 1 과 각 치환의 부호를 대응시키는 표현 sg n 이 있다. 이 두 표현은 물론 유니터리 동치관계를 가질 수 없다. 만일 n ~ 5 이면 교대군 An 이 단순이므로, 이 경우 일차원표현은 1 과 s gn둘뿐이다. 또 다른 기약표현을 찾기에 앞서서 관계식 (9.15)
률 상기하자. 이에 의하면 유한군 G 의 개수 #G 가 다음 #G = ~_ [d im ( JF (10 .1) 6EC 과 같이 완전제곱수의 합임을 알 수 있다. 또한 따름정리 5.12 에 의하여 임의의 비가환군은 이차원 이상의 기약표현을 가진다. 따라서 군 s3 에는 1 과 sgn 의에 이차원 기약표현이 하나 있음 을 알 수 있다. 치환군 Sn 은 다음과 같이 자연스러운 n 차원 표현을 가진다. 내적공간 Cn 에 보통 사용하는 정규직교기저 {ei, .. . , e 서 를 생각 한뒤 다음 %· : ei I -+ e
생성하므로 v 를 W 에 제한하면 기약표현이고, 따라서 Sn 의 n —1 차원 기약표현을 얻었다. 앞에서 언급한 s3 의 이차원 기약표현 이 바로 이것이다. 치환군 s3 는 a = (1,2 ) 와 b = (1,2,3) 에 의하여 생성되는 데, 그 관계가 a2 = b3 = e 와 ab = b2a 로 주어진다. 군 s3 의 원소를 모두 나열하면 e, b = (1, 2, 3) , b2 = (1, 3, 2) , a = (1, 2), ab = (l, 3), ab2 = (2, 3) 이고, 표현 v 를 보통기저로서 나타내면 다음 =(: \ (0|_01\0R0 1 O I % [)' ULb = 과 같이 된다• 위에서 설명한 이차원 기약표현을 2 X 2 행렬로 나 타내f기 = 위g하여,(1 , 1다, 1음) , 7J = 沿 c, c, 1) , s = It( —s, s, 0) 과 같이 정규직교기저를 잡자. 여기서, C 와 s 는 각각 c = cos32T C = - 21, s = sin 3 2T C = 2沿 를 줄여서 쓴 것이다. 이제, E, 7J, g를 열벡터로 하는 3 X 3 행렬 울 P 라 하자. 그러면 P-1VaP =(\ [_[ ), F%P=([ _: :)
。 4 되 므 a로' (우i1 리07 } \_ 원,0!_) 했 던 1b 이 i n^ l' 원/cIi7 ll_s23s_ 2약0LTT 표 \ 현ns 0·0- l c― 32n2다 T \\_음l| Ts (10 . 3) ―3 ―3 과 같이 주어짐을 알 수 있다. 치환군 S3 의 세 기약표현 1, sg n 및 (10. 3) 의 지표를 각각 계산하고, (8.17) 과 명제 8.7 이 어떻 게 적용되는지 각자 살펴보기 바란다. 이제 치환군 s4 에 대하여 알아보자. 먼저 그 켤레류가 다섯 개 있는데, 각 켤레류의 대표원과 그 개수를 나열하면 디옴꾀- 같다. 개대 표원수 _11 쁘6 (1283 ) (1263 4) (12) 3( 34) 우선 앞에서 언급한 두 가지 기약표현 1 과 s g n 과 유니터리표 현 y의 지표함수를 계산하는데, 지표는 중심함수이므로 각 켤레 류의 대표원에 대하여 그 값을 계산하면 된다. 1 (12) (123) (1234) (12) (34) XXsg1 n 1 1 1 —11 1 1 -1 1 1 X11 4 2 1 。。 이제 v 에서 얻어지는 3 차원 기약표현을 µ 라 두면 11 = lEBµ 이므로 명제 8.7 (가) 에 의하여 그 지표를 계산할 수 있다. 한 편 µ®s gn의 지표도 명제 9.1 에 의하여 구하면 다음과 같이 됨 울 알 수 있다.
1 (12) (123) (1234) (12 ) (34) XµX® µs g n 3 —11 。 -1 -—11 3 。 1 그런데
이제 2X2 유니터리행렬 중에서 그 행렬식이 1 인 것 전체를 모아 놓으면 옹골군이 되는데, 이를 SU(2) 로 쓴다. 또한 S3 = {(x,Y,z, w) E 1R4 : lxl2 + IYI2 + lzl2 + lwl2 = 1} 이라 두면 다 음대응 (x, y, z, w)I- + s=( -ZX++ii wy XZ +—ii yw ) : S 드 SU(2) (10.4) 이 위상적 전단사대응이 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 또한 대응 (10 . 4) 는 노음 1 인 사원수 x + yi + zj + wk 에 SU (2) 의 원 울 대응시키는 전단사 준동형이 된다는 것 역시 바로 보일 수 있 다. 이제 벡터공간 E 를 다음 E = {x = ( —_ :Z :+ ;i ~w, X: ~- ~iy : ) : X = (x, y, z, w) E ]R4 } 과 같이 정의하면, SU(2) 의 평행이동함수 t 1---+ s-1t 가 E 위에 서 정의된 선형사상으로 확장되는데 이를 Ls 라 쓰자. 만일 x - X 에 의하여 E 와 R4 를 대응시키면, Ls 를 R4 의 선형사상으로 이해할 수 있다. 그런데 ||xll2 = det x 이므로, 각 s E SU(2) 에 대하여 다음 등식 IILsxll2 = det ( Lsx) = det s-1det x = det x = llxll2, x E R4 울 얻는다. 따라서 Ls 는 었의 직교변환이다. 직교군 0(4) 는 그 행렬식의 값에 의하여 두 조각으로 분리되므로, 각 s E SU(2) 에 대하여 Ls E S0(4) 임을 알 수 있다. 오른쪽 평행이동함수에 대하여도 마찬가지로 생각할 수 있으므로, SU(2) 의 평행이동이 란 향의 회전에 대응된다는 것을 알 수 있다. 따라서 SU(2) 의
하르측도를 찾기 위하여 향의 회전불변측도가 어떻게 주어지는 지 알 필요가 있다. 이제 (10.4) 에 있는 SU(2) 의 원소에 x = cos0 (단, 0 ::;:: 0 ::;; 짜 를 넣으면, (y,z , w) 는 반경 sin 0 인 구면 위에 있게 된다. 따 라서 다음 x = cos0, y = sin 0 cos ¢, z = sin 0 sin ¢ cosr/ J, w = sin 0 sin ¢ sin r /J (10.5) 단, 0 s 0 s 7r, 0 s ¢ s 7r, 0 s rp s 2 7r 과 같이 SU(2) 를 매개화할 수 있다. 그러면 ~in2 0sin ¢ d0drp d
수 있다. 따라서 SU (2) 의 임의의 원소는 적당한 0 드 [— r, 김 에 대하여 he 와 켤레이다. 또한 중심함수 f는 /(s) = I(h8) = I(fJ) 로 씀으로써 [ — 7r, 김 위의 함수 (단, /( - Jr) = /(Jr)) 로 이 해할 수 있다. 따라서 f가 중심함수일 때 다음 등식 lu
~u (z) := ( uz) n = (ax + by ) n = JJ/; )akbn- k xky n - k 라 두면, C 의 두 원소 u = (a, b) 와 V = (c, d) 에 대 하여
Xn (ho) = n + I = dim an, Xn(h,r ) = ( - l)n( n + 1) 가 되고, eiB 수 士 1 인 경우에는 Xn (he) = ~ei( n”+l)8 —_ ee--li。 ( n +l)8 = Si n (sni n +0 1) 0 (10 .10) 임을 알 수 있다. 그런데
이제 삼차원 실벡터공간 V 를 V = {x = Cy -~ z 1z7 Y ~-x :z ) : x = (x, y, z) E ]R3 } 으로 정의하고, 준동형 r : SU(2) -13(V) 을 다음 r(s) (x) = sxs*, s E SU(2), x E V (IO.12) 과 같이 정의한다. 그러면 det x = — ||x|| 웅 이므로, 각 r(s) 를 R3 에 작용하는 등거리 선형사상으로 이해할 수 있다. 그런데 0(3) 는 두 조각으로 분리되므로, 각 s E SU(2) 에 대하여 r(s) E S0(3) 임을 알 수 있다. 역으로 S0(3) 의 모든 원이 이러한 방 법으로 얻어짐을 각자 확인하여 보기 바란다. 그런데 kerr = {ho, h 나 이고 6;:. = 1Em (Jf翼 = ( - l)n 노 이므로, n 이 짝수이면 (Jn = jjno r, n = 0, 2, 4, ... 을 만족하는 준동형 참 : S0(3) -U(En) 이 있음을 알 수 있 다. 따라서 { 참 : n = 0, 2, 4, ... } (10 .13) 은 S0(3) 의 기약표현들이다. 이 집합이 -S--0--(-3--) 전체가 됨은 각 자 확인하여 보기 바란다. 참고문헌 국소옹골가환군의 쌍대군이 옹골-열린 위상에 관하여 다시 국소옹 골가환군이 된다는 것은 명제 6.1 을 쓰지 않고 직접 증명할 수 있는 데, [2 이 ,34 철 혹은 [22],3 철을 참조하라. 가환군의 푸리에해석에 관한 6 절의 내용은 주로 [30],1 장을 참조하였다. 뽕트리야겡 쌍대정
리는 가환 조화해석을 공부하는 데에 필수적이다. 이는 국소옹골가환 군의 구조와도 밀접한 관련이 있는데, 이러한 방향의 증명을 알고 싶 은 이는 [13], [22], [26] 등의 단행본을 참조할 수 있다• 특히 [13],24 철을 보면 뽕트리야겡 쌍대정리의 역사적인 배경을 알 수 있 다. 국소옹골이 아닌 가환군도 쌍대정리를 만족하는 것이 많은데, [22],5 절을 참조하라. 푸리에대수나 푸리에 - 스틸체스대수에 관한 동 식 (7. 5) 와 (7.8) 은 3 장에서 비가환군에 대하여 이러한 대수들을 정 의할 때 중요한 동기가 된다. 가환군의 푸리에해석에 관한 역사적인 배경을 알고 싶은 이는 [16],I. 4 장 등을 참조하라. 옹골군의 표현론울 공부하는 첫 출발점인 정리 8.1 의 증명은 [13] 의 정리 22.13 을 참조하였다. 그 의에도 [28] , 4 절과 8 절이나 [37], 2.1 절 등에서 볼 수 있듯이 여러 가지 증명이 있는데, 어느 경우나 스펙트럼 정리가 핵심적인 역할을 한다. 옹골군의 유니터리표현을 공 부하는 데 필수적인 등식 (8.11) 의 증명은 [28], 5 절을 따랐다. 유한 군의 표현과 지표에 관한 내용은 [8], [19], 〔 3 이 등을 참조하라. 다 나까 쌍대정리의 증명은 [13],30 절을 참조하였는데, 또 다론 증명으 로 [28],9 절 등이 있다. 뽕트리야겡 쌍대정리와 다나까 쌍대정리를 확장하기 위하여 여러 사람들이 노력하였는데, 이에 관한 자세한 내 용과 참고문헌을 알고 싶은 이는 단행본 [긴 의 서문을 읽어보기 바란 다 . 유니터리군의 표현에 관한 10 장의 내용은 [34],II 장을 따랐는데, 그 의에도 [28],10 절이나 [6],4 장 등을 참조할 수 있다. 치환군의 표현론은 [14] 에 찰 정리되어 있다. 유니터리군 U(n) 과 직교군 O(n) 전체의 표현론을 알고 싶은 이는 [13] 의 29 절, [36], [37], [38] 등 의 단행본을 참조하라.
제 3 장 군 작용소대수와 쌍대공간 군표현을 공부하는 기본적인 발상은 군이나 그 군대수의 원소 를 구체적인 행렬 혹은 작용소로 이해하는 것이다. 지금까지 공 부한 군대수 L'(G ) 의 대수적인 구조는 행렬대수나 작용소대수 와 갇지만, 그 노음은 작용소노음과 근본적으로 다르다. 따라서 군대수 L' (G) 에 작용소노음을 부여하고 이를 완비화함으로써 군 대수를 작용소대수로 이해하는 것이 이 장의 목적이다. 이러한 방법으로 얻어지는 여러 가지 작용소대수 가운데 특히 군 C*- 대 수 C*(G), 축소 군 C*- 대수 Cl(G), 군 폰노이만대수 A1,( G) 룰 공부하려 한다. 우선 이러한 공간들의 쌍대공간과 전쌍대공간 들을 알아보는데, 가환대수를 공부할 때 나오는 푸리에대수 A(G) 나 푸리에-스틸체스대수 B(G) 가 비가환군에서도 자연스레 정의 된다. 이 과정에서 군 작용소대수를 공부하는 것이 바나하 *- 대수 L'(G ) 를 다루는 것에 비하여 어떠한 이점이 있는가 알게 된다. 두 가지 군 C*- 대수 C* (G) 와 C! (G) 가 언제 같아지는 가 하는 문제는 군 G 에 평행이동불변평균이 존재하는가 하는 문제로 귀착되는데 이러한 군을 평균가능군이라 한다. 앞에서 공
부한 가환군과 옹골군은 모두 이 러 한 부류에 속한다. ll. 군 C* －대수와 푸리에-스틸체스대수 국소옹골군 G 의 왼쪽정규표현에서 얻어지는 L1(G) 의 *－ 표현 A : fI-+A (f) : E(G) - J3( L2(G)) (11 .1 ) 은 (4.7) 에서 살펴보았듯이 단사사상이다. 따라서 바나하 * - 대 수 L1(G) 에 다음 11/IIA := ll,1 U) ||卯 (L'(G)), / E L1 (G) (11 . 2) 과 같이 새로운 노음을 정의할 수 있다. 그러면 II/* */IIA = 1111 (/* */) II = ll,1 (/) *,1 (/) II = ll,1 (/) 11 2 = II/II~ 이므로, 노음 II IIA 에 대하여 V(G) 의 완비공간을 취하면 C* - 대수가 된다 .1) 이렇게 얻어전 C*- 대수를 군 G 의 축소 군 C*- 대수라 하고 이를 Cl(G) 라 쓴다. 그러면 노음의 정의에 의하여 정규표현 (11 .1) 은 Cl(G) 까지 단사사상으로 확장된다• 따라서 CHG) 의 원소는 힐버트공간 L2(G) 에서 정의된 유계선형작용 소들로 이해할 수 있다. 다시 말하여 Cl(G) 는 J3( L2(G)) 안에 서 ,-l( L1(G)) 를 완비화한 것인데, 11/IIA ~ 111111 이므로 ,1( Cc(G)) 를 완비화한 것이나 마찬가지이다. 바나하 *-대수 V(G) 의 왼쪽정규표현이 (4. 6) 과 같이 주어 지므로, 만일 G 가 가환군이면 다음 1) 바나하 *-대수 A 가 조건 (4.1) 을 만족할 때 c·- 대수라 함을 기억 하라.
A(f ) L2(G) -----+ L2(G) 」L Mf i1 I E LI(G) (11. 3) L2 (G ) 一 E(C) 과 감이 교환하는 사각형을 얻는다. 여기서 세로 방향의 사상은 정리 7 . 1 에서 얻어진 플랑셰롤변환이고, M 7 는 점별곱하기로 얻 어지는 사상 t~ft이다. 따라서 11/IIA = !1 11 (/} II = l!M ill = 11/llco, f E Ll ( G} 이므로, 정리 6.2 에 의하여 c; (G) = Co(G) 임 을 알 수 있다. 예 를 들어 Z2 = {0, l } 에 서 정 의 된 함수 / = axo + bx, 을 생각하자. 만일 ro(O) = ro(l) = 1, ri(0 ) = 1, ri(1 ) = -1 이라 두면, 습; = {ro, r 갑 이고 f = (a + b) ro + (a -b) r1 이므로 11/IIA = 11/llco = max{ la + bl, la-b l} (11.4) 이다. 옹골군 G 의 경우 그 군 C * - 대수 C;(G) 가 (9.13) 에서 주어전 瓜。임을 각자 확인하여 보기 바란다. 군 G 의 모든 표현의 합을 보편표현이라 하고 이를 (Ku,Mu) 라 쓴다. 이제 각 / E L1 (G) 에 대 하여 II/lie := l!K u< f)I! = SUPir {l!K ( f)I!} (11.5) 라 정의하자. 여기서 su pir는 모든 표현 r 에 관하여 상한울 취 하란 뜻이다. 이 노음에 관한 L1(G) 의 완비공간을 군 C*- 대수 라 부르고 C*(G) 라 쓴다. 군 C*- 대수 C*(G) 는 그 정의에
의하여 보편성질을 가전다. 바나하 * - 대수 L1(G) 의 표현 (7r,]{;) 가주어지면 |I r (f) || :,;; II/l ie, f E L1 ( G) 이므로 T 가 C* (G) 의 표현으로 확장된다. 역으로 ('If, ]{; ) 가 C*(G) 의 표현이면 이를 L1(G) 에 제한하여 L1(G) 의 준동형을 얻는다. 그런데 각 / E L1(G) 에 대하여 1i7 r( f)II ~ II/lie ~ II/Iii, / E L1(G) (11 .6) 이므로, T 는 L1(G) 의 표현을 정의하여 준다. 특히 L1(G) 의 왼쪽정규표현 U,L2(G)) 를 C*(G) 에 확장하면 그 표현의 상이 바로 Ct (G ) 이다. 따라서 Ct (G ) 는 C*(G) 의 몫으로 이해할 수 있다. 어떤 군 G 에 대하여 C*(G) = Ct (G ) 가 되는지 나중 에 알아보게 된다 .2) 이제부터 C* (G) 와 Ct (G) 의 쌍대공간을 알아보려 하는데 이 를 위하여 약간의 준비가 필요하다. 복소평면의 열린집합 {z : Rez < 1} 위에서 제곱근함수 z 一 J(1 _ z) 가 해석함수이므로 이를 a 。 + a1z + a2 궁 + … + anZn + … 와 같이 거듭제곱급수로 나타내자. 만일 바나하 *-대수 A 의 원 소 x E A 가 ||xii < 1 을 만족하면 ~:=o l anl llxlln 이 수령 하므로, A 의 거돕제곱급수 ~;;'=oanXn 이 A 안에서 수령하게 된다. 이 원소를 y E A 라 쓰면 y2 = e -x 가 된다. 만일 x 가 자기수반 원소이면 y도 마찬가지이다. 이제 ||xii < 1 이면 llx*xll < 1 이므 로, e-x*x= y*y로 표시된다. 따라서 ¢가 A 의 양선형범함 2) 정리 13.1 을 참조하라.
수이면 0 ~ ¢(y*y) = ¢(e — x*x) = ¢(e) — ¢(x*x) 이고, (3.14) 에 의하여 xEA, llxll
유계양선형범함수이면, (3.12) 와 (3.13) 을 이용하여 ¢(x*) = I i四 S(x*u J = liP 1 ¢(u1x) = liP 1¢((x*ui) *) = ¢{itt} = 짜x), ¢ (x) I 2 = Ii~ I ¢ (xuJ I 2 ~ lim _su p ¢ (x*x) ¢(u1uJ 리따 (x*x) 를 얻는다. 따라서 ¢1 : x + a f--+ ¢(x) + all¢11 라 정의하면 ¢1((x+a)*(x+a)) =¢(x*x) +a¢(x*) + 퍄 (x) +lal 에 ¢11 = ¢(x*x) + 2Re[a¢(x)] + |al211¢11 ~ ¢(x*x) - 2lal ~+lal 가 I¢11 ~o 이므로, ¢1 는 양선형범함수이고 ||¢11 = 11¢111 = ¢1( 1) 이다• 이제 ||Xii i ~ 1 이고 li m;¢( 지 = ||¢1| 인 A 의 그물 〈와〉 을 잡으면 11¢112 = li~ 1¢( 지| 2 ~ 11¢111 i~ ¢(xtx ; ) ~ 11¢112 이므로다음 II¢11 = lif!1¢ (x!X;) (11. 8) 울 얻는다. 따라서 0 ~ 'PI ( (Xi —l ) * (xi - 1) ) = ¢ (x1xi) - ¢W -¢ (x;) + 11 ¢11 -11¢11 一 11¢11 - 11¢11 + 11¢11 = o 으로부터 lif¢1 ( (Xi - 1) * (Xi - 1) ) = 0
임을 알 수 있다. 만일 A1 에 양선형범함수 ¢I 를 이용하여 (3 .11) 과 감이 내 적 < , >을 정 의 하면 1 E A1 를 A 의 원으로 점근시킬 수 있다는 말이고, 따라서 A 는 A1 에서 조밀하다. 그 런데 임의의 xEA 에 대하여 lir1 < U ;,X> = lir1 ¢(x*u;) = ¢(x*) =
알 수 있다. 따라서 정리 4.4 와 정리 4.5 는 임의의 양부호함수 에 대하여 말할 수 있다. 이때, 관계식 (4.20) 에 의하여 등식 (4.8) 이 거의 모든 접에서 성립하므로, 임의의 양부호함수는 거 의 모든 점에서 적절한 양부호연속함수와 갇아진다. 특히 L1(G) 의 양선형범함수는 항상 양부호연속함수 ¢ E P(G) 에 의하여 표현되므로 L1 (G) += P(G) (11.10) 라 쓸 수 있다. 여기서 바나하 *-대수 A 의 유계양선형범함수 전체의 모임을 A+ 라 쓴다. 이제 C*(G) 의 유계선형범함수 ¢ E C*(G)* 를 L1(G) 에 제 한하면, 이는 당연히 L1(G) 의 유계선형범함수이다. 따라서 다 음사상 : c· (G) * - L1 (G) * (11 .11 ) 울 생각할 수 있다. 만일 ¢ 가 L1(G) 위에서 0 이면 C*(G) 전 체에서 0 이므로, C*(G)* 는 L1(G)* = L00(G) 의 부분공간이 다. 이제 : c· (G) t -L 1 (G) t (11.12) 이 전단사임을 알 수 있다. 조건 (2.9) 를 만족하는 L1(G) 의 점 근항등원 〈 U; 〉을 잡으면 이는 당연히 c+(G) 의 점근항등원도
되므로, 명제 11 .2 (나) 에 의하여 다음 명제를 얻는다. 4)
4) 바나하대수 A 의 항등원 e 의 노음은, llell = l i e 가 I ::;: llell2 로부터 llell ~ 1 임을 알 수 있다. 한편 A 가 C*- 대수이면 |lell = lie• ell = llell2 이므로 llell = 1 이다. 우리는 바나하 *-대수의 점근항등원을 정의할 때 llu;II ::;: 1 를 가정하였으므로, 사실상 llell = 1 임을 가정하고 있는 셈이고, 따라서 ||ell1 = llellc 이다. 실제로 적분가능함수 u : G -+ [o, oo) 가 u E L1(G) 인 경우, 일차원표현 '{/) = ff (s)ds 를 생각하면 C llull1 = /cu (s)ds = ,(u) 회 |u 巨 ||u111 C 임을 알 수 있다. 따라서 조건 (2.9) 를 만족하는 접근항등원을 잡으 면 그 노음을 Ll(G) 에서 재나 C•(G) 에서 재나 마찬가지이다.
명제 11.3. 전단사사상 (11.12) 는 노음을 보존한다. 따라서 (11.10) 에 의하여 C* (G) ! = P(G) (11.13) 임을 알 수 있다. 이제 C*(G) 의 쌍대공간을 알기 위하여 *-대 수의 유계선형범함수에 관한 일반적인 지식이 필요하다. 바나하 * - 대수 A 의 선형범함수 ¢ 가 있을 때 X I--+
Ah 에 대하여 ¢(x) = ¢*(x) = ¢(x*) = ¢(x) 이므로 r/> (x) 드 IR 임을 알 수 있다. 역으로 ¢(A 사 드 IR 일 때, (5.6) 과 같이 x = y + iz E Ah + 迅 h 로 써서 계산하면 ¢(x*) = ¢(y - iz) = rp(y) — ir/>( z) = 굽 이므로 ¢ = ¢* 임을 알 수 있다. 죽, ¢ E A* 가 자기수반일 필요충분조건은 ¢(Ah) 드 IR 이다. 이제 C*-대 수의 자기수반작용소의 성질을 살펴보자. 명제 11.4- 자기수반작용소 X E J3(%) 에 대하여 등식 llxll = sup { |
(J)e (x) =
Rer/ ;o (x) > a, rp 든 cos 。 = Rerp ( x) ~ a 울 만족하는 x E A 를 잡을 수 있다. 만일 m = ½(x + X* ) 라 두면 a < Rerp ~ (x) = r/Jo (x 사 ~ ll x 』 = sup { rp (xh) : r/J E So} < a 이므로 모순이다. 역은 따름정리 1 1. 5 에 의하여 자명하다. 0 위 증명 과정에서 (가) 쿠 (나) 는 임의의 바나하 * - 대수에서 도 성립함을 알 수 있다. 가환 C* －대수 Co(X) 의 자기수반 선 형범함수 죽 실보렐측도는 양측도와 음측도로 분해되는데, 이는 일반적인 C*- 대수에서도 마찬가지이다. 정리 ]1.7. 임의의 C*- 대수 AC J3(%)에서 정의된 자기수반 선형범함수
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::;: llµ+II + llµ-11 = llµII = 11¢11 이므로 증명이 끝난다. 曰 앞에서 살펴보았듯이, L' (G)!=P(G) 의 원소는 G 에서 정 의된 연속함수이므로 L' (C)! 는 L'(G )* = L(G) 를 생성하지 못한다. 따라서 정리 1 1. 7 은 바나하 *-대수에서 일반적으로 성 립하지 않는다. 지금까지 논의한 따름정리 11 .5, 11 .6 및 정리 11.7 은 임의의 C* 대수에서도 성립한다. 5) 우리가 논의하고 있는 Cl (G) 나 C*(G) 는 각각 13(L2(G)) 나 B(J6 u ) 의 부분대수로 이해할 수 있으므 로, 정리 1 1. 7 과 (11.13), (11 .14 ) 를 적용하면
5) 실제로 임의의 C*- 대수는 점근항등원을 가지므로 조건 (4.11) 울 만 족하고, 따라서 명제 4.3 이 성립한다. 또한 따름정리 5 . 11 과 갇이 충 분단사히사 많상은이다 기.약 표따현라이서 있임 다의는의 것C*을- 대보수일는 수 적 있당으한므 $로 ( %보)편 의표 현* －이 부 분항대상 수이다. 참고문헌 〔 3 마 의 정 리 11.14 을 참조하라.
C* (C) * = (P(G) —P (G) ) + i(P (G) - P(G) ) (11 .17 ) 임을 알 수 있다. 만일 G 가 가환군이면 (7.8) 에서 보듯이 이는 바로 푸리에-스틸체스대수이다. 일반적인 국소옹골군에서도 이룰 푸리에-스틸체스대수 B(G) 라 하면 B(G) := {(¢1 - ¢2) + i(| : / E L'(G ), II/lie ~ 1},
을 부여한다. 그러면 관계식 (11.6) 에 의하여 ||l ls 이다. 지난 3 절에서 살펴보았듯이 P(G) 는 점별곱하기에 닫혀 있으므 로 B(G) 역시 점별 곱하기에 닫혀 있어서 가환대수가 된다. 만 일 / 드 L1(G) 이면 임의의 유니터리표현 r 와 e, 7J e J&에 대 하여 (9.3) 을 적용하여 |
모든 B(G) 의 원이 (11.20) 의 꼴로 주어짐을 알 수 있다. 죽, B(G) = {(J}f,n : (T,%) 는 G 의 유니터리표현, e, 7J E Je} (11 . 21) 가 성립하는데, 9 절에서 공부한 계수함수와 비교하여 보기 바란 다. 특히 다음 공식들 (JJi (JJf, x = (JJfgf n 0 x, (JJi. = (JJ f. ;; 둘이 성립함은 금방 확인할 수 있다. 한편 명제 11.2 를 적용하면 II(J J& |IB = li i- m . . (JJ年 (u i) = Ii 뽀fu ; (s) <'/rse ,D ds = <'/r ee ,e > = |1e112 임을 알 수 있다. 일반적으로 |
ll , s E G 와 같이 정의되는 r/Je E P(G) 를 생각하면, 각 / E L1(G) 에 대 하여
= = (11. 22) 이므로 ¢g (s ) = = (e* [) (s), s E G, e E L2(G) 가 성립한다. 따라서 Ct ( G)! = 도따 : e E L2(G)} = co{e* t : e E L2
아가서 ZCXIIIIB 임을 알게 된다.
R(G) = X-U C = Y-U C = z-U C = 雲 UC = 盆 UC c P(G) (11.25) 임을 알 수 있다. 정리 11.7 에 의하여 Cl(G)* 는 P,1. (G) 의 선형결합으로 나타 나는데, 이를 B ,1. (G) 라 쓰고 쌍대노음 II 11B 를 부여한다. 즉, B,1 .( G) := { (¢1 -¢2) + i(¢ 3 —¢4 ) :
따름정리 7.4 에 의하여 임의의 ¢ E B(G) = B.(G) 는 적당한 측도 µ E M(G) 에 대하여 ¢ = qJµ 의 꼴이다. 따라서 (6.10) 에 의하여 ll r/Jµ lln = 117 j;;,lln = sup { I(/, 孟 〉 | : I E L1 (G) , 11111. ~ l} = sup { I| : I E A(G), 11111.., ~ l} = lli illM( G ) = llµIIM(G ) (11.28) 임을 알 수 있고, 대응관계 (6.11) 은 (M(G), II I|) 와 (B(G), II II 사 사이의 노음울 보존하는 전단사사상이다. 특히 A(G) 는 B(G) 의 II I~ 에 관하여 닫힌이데알이고, 다음 관계 (A
의한 작용소로 이해하고, 그 노음에 의한 완비대수를 취하였다. 작용소들의 극한울 논할 때, 경우에 따라서 노음은 너무 강한 위 상이 된다. 예를 들어 힐버트공간에서 유한차원공간으로 떨어지 는 자기수반 정사영들의 극한울 뇨로 생각하는 것이 자연스럽지 만, 노음 위상에 관하여 이렇게 말할 수 없다. 이제 B(J6 ) 의 그물
확인할 수 있고, 따라서 幻 P=P 굿이다. 다시 도움정리 5.6 을 적용하면 ]{ 가 굿 의 불변공간이 되는데 , ~ = i~ E A~ C ]{ 이 므로 챠 E 는 万 5 에 들어간다. 따라서 (12. 1) 을 만족하는 Xo E A 를 잡을 수 있다. o 힐버트공간 %의 작용소들을 모아 놓은 *-대수 A c :B(Je) 가 A = A 을 만족하면, A 를 % 에 작용하는 폰노이만대수라 한다. 정의에 의하여 폰노이만대수는 항상 뇨를 포함한다. 국소 옹골군 G 의 왼쪽정규표현에 의하여 생성되는 폰노이만대수, 죽 Af,(G ) = {-1 (/) : / E L1 (G) } c :B (L2 (G) ) (12 . 2) 룰 G 의 군 폰노이만대수라 한다. 그런데 임의의 X E _B (L2(G)) 에 대하여
8) 축소 군 c·- 대수 Ct (G) 에는 일반적으로 항등원 Ae 가 없음을 유 의하라.
만일 G 가 가환군이면 (11.3) 에 의하여 Af,(G ) = {Mi : / E L1 (G) } C _B (L2(G) )
임을 알 수 있다. 만일 ¢E L''(G) 이면 M 晶 = M¢j = M¢ = MM¢, f E L1(G) 이므로 M/ 타 M} ’ 이다. 그 역을 보이기 위하여 T e 있 (E(C)) 가 {M사 ’의 원이라 하자. 우선 UK;= G 가 되는 옹골집합들의 그물
고 At(G ) 룰 포함하면 究 C 究 C 瓜 (G)' = At(G ) 이므로, 실제로 虎 = At(G ) 이다. 다시 말하여 .Jt(G ) 는 극대 가 환 폰노이만대수이다. 물론 ||M~II = 11¢11 이며 (11 .2 9) 에 의하여 .Jt(G ) = A(G)* 인데, 이를 일반적인 국소옹골군에서 설명하려 한다. 옹골군의 폰노이만대수가 (9.13) 의 瓜으로 주어짐을 각자 확인하여 보기 바란다. 이제 (7.5) 를 염두에 두고 일반적인 국소옹골군에 대하여 W = sp a nZ = {e• rj : e, 7J E L2(G) } c BA(G) c B(G) (12.6) 라 정의하고, B(G) 의 노음 |I |IB 를 부여한다. 여기서 Z 는 (11.24) 에서 정의한 것이다. 관계식 (11.2 2) 를 고려하여, 각 T 든 W 내 대하여 L2(G) 의 작용소 XT 를
=
로 수령하면, 각 / E L1(G) 에 대하여 KE,.* g ,,I >— <~*t ,J>| = | _ | 회 I/l i e (ll~.-ll2ll~i —EII2 + |IE, —~ll2 ll~ll2) 一。 이므로, I1&* 5i _ f* 5IIB 一 0 이고, 따라서 Z C X 118 임을 알 수 있다. 그러므로 A(G) = {5* 5 : g, n E E(G) } !8 = Cc(G) n B(G/ ns c B(G) (12 .10) 이 된다. 특히 A(G) 는 B(G) 의 이데알인데, 지금까지 논의한 것을 정리하자. 정리 12.2. 국소옹골군 G 의 푸리에대수 A(G) 는 B(G) 의 닫힌 이데알이다. 군 폰노이만대수 .A-t( G) 는 A(G) 의 쌍대공간이 된다. 만일 ¢=5*7EA(G) 이고 As 드At (G) 이면, A(G)*= At(G ) 롤 결정하는 이차식은 (12 .7) 과 (11.22) 에 의하여 <
.Jt(G ) = spa n~w* (12 .12) 임을 알 수 있다. 특히 spa n{ A s : s E G} 가 .A1( G) 의 * － 부분대 수임을 확인하여 보기 바란다. 실제로 가환군의 경우에 알고 있는 관계식 (7.5) 와 마찬가지로 A(G) = {~ * ij : ~. 7J E L2(G) } (12.13) 이 성립한다. 이를 보이기 위하여, (12.9) 에서 .Jftf,( G)* C W (12 .14) 임울 보여야 하는데, 물론 ¢ E ;U( G)* 가 양선형범함수일 때만 증명하면 된다. 이는 폰노이만대수의 선형범함수에 관한 사전 지 식이 상당히 필요하므로 이 책의 범위를 넘는다. 여기서는 이와 관련된 폰노이만대수의 성질들을 살펴보기로 한다. 폰노이만대수 JU C J3(%) 와 f e %가 다음 성질 X E JU, X~ = 0 ==> X = 0 을 만족하면 E 를 瓜의 분리벡터라 부른다. 또한 부분공간 〔瓜흰 := {xf E % : x E #} (12.15) 이 %와 일치하면 5 를 %의 순환벡터라 부론다. 예를 들어 M2C J3( C2) 를 생각하면 c2 의 모든 벡터가 M2 의 순환벡터이지만, 분리벡터는 없음을 바로 확인할 수 있다. 그러나 a O b 0 ( : :) I--+ (°c oa od 0b) : M2 C J3 (C) 0 c O d
롤 생각하면 ~= (1, 0,0,1) 이 M 녀 순환벡터이면서 동시에 분 리벡터임을 알 수 있다. 앞으로 힐버트공간의 닫힌부분공간과 여기에 떨어지는 정사영 은 혼동하여 쓰기로 한다. 명제 12.3. 폰노이만대수 A,(, C J3(%) 와 E E % 에 대하여 다음 은 동치이다. (가) E 가 M 의 순환벡터이다. (나) g가 瓜’의 분리벡터이다. 증명. 명제 (가) 를 가정하고, y E M', Yt = 0 이라 하자. 그 러면 임의의 X E _A1, 에 대하여 yx t = xy t = 0 인데, [瓜인 = Je 이므로 y =O 이다. 만일 f가 순환벡터가 아니면 p= 1x — [Arlt] * 0 인데, 도움정리 5.6 에 의하여 p E _A1,’ 이다. 그러나 f e [#인 이므로 P t =0 이 되어 E 가 사’의 분리벡터가 아님을 알 수 있 다 .D 이제 원래 문제로 돌아와서 (12.14) 롤 보이려면, 임의의 양선 형범함수 ¢ E .!U,( G)* 가 적당한 ~ E L2(G) 에 대하여 ¢ : x 1-+
만대수 瓜은 J3(J6) 의 약* － 닫힌부분공간이므로 바나하공간의 쌍대원리에 의하여 瓜도 전쌍대 瓜*를 갖고, 이에 의하여 약* 위상을 생각할 수 있다• 10) 이 약 * 一 위상에 관하여 연속인 선형범 함수, 죽 瓜 * 의 원을 정규선형범함수라 부른다. 그런데 분리벡터 를 가진 폰노이만대수 .,ft C J3(%) 의 양정규선형범함수 ¢는 항 상 (12 .1 6 ) 의 꼴임이 잘 알려져 있다 . I I) 따라서 G 가 이산군이 면 항등원 e 의 특성함수 &가 분리벡터이므로, 이 정리를 적용 할 수 있다. 만일 국소옹골군 G 가 분리공간이면 .Jt(G ) 가 분리 벡터 를 가지므로 같은 정리를 적용할 수 있고, 이를 이용하여 일 반적인 경우도 증명된다. 정리 12.4. 임의의 국소옹골군 G 에 대하여 다음이 성립한다. (가) 임의의 양선형범함수 ¢ E Af.( G)* 에 대하여, 다음 등식 ¢ (x) =
Ae(&) = 5*&, 阮(&) = &*n, t E G (12 .19 ) 라 정의하자. 만일 ~ $. l1(G) 이면 Ae 가 유계일 필요가 없지만 다음 결과가 성립한다. 도움정리 12.5. 만일 유계선형작용소 X E 1J( /2( G )) 가 다음
이 성립함을 바로 확인할 수 있다. 예를 들어 셋째 등식을 증명 하여 보자. 우선 e* TJ = e* TJ* ee = i1~i1 ee E t2( G) 이므로 A~* 가 정의되고, = ( (~* T)) * ~s)( t) = (~* 7)) us-I) = (12 . 21) 임을 확인할 수 있으므로 도움정리 12.5 를 적용하면 된다. 관계 식 (12. 20 ) 에 의하여 집합 X = {A e 냐 (/2 ( G) ) : ~ E /2 ( G) } Y = {P TJ E 13 (!2 ( G) ) : 7J E /2 ( G) } (12 . 22) 이 J3(/2( G)) 의 * - 부분대수임을 알 수 있다. 또한 임의의 Ae E X 와 /J7J E y 에 대 하여 Ac 硏t s) = t* (ts* 7 )) = (t*令) *TJ = /J1JA e(t s) , s E G 이므로 Xe Y', YcX ’ 을 얻는다. 만일 XE{Ps:sEG} ＇이면 xt e* ts = Ps-• ( xt e) = XPs-it e = xt s, S E G 이므로, 도움정리 12. 5 에 의하여 X = Axee E X 이다. 따라서 X C Y' C {ps : s E G}' C X 임을알수있다. 마찬가지로 Y=X={k:sEG} ＇을얻으므로, .;U,(G ) = X = Y', A-t( G)' = {ps : s E G} = Y (12 ;23 ) 룰얻는다. 특히, (12.21) 에 의하여
(가) 州 (G) n 瓜 (G) ' = C1 mC) 이 다. (나) {e } 를 제외한 모든 원소 s E G 의 켤레류가 무한집합이다. 관계식 (12 .20) 에 의하여 {As : s E G} 가 일차독립이므로 G 가 무한이산군이면 .Jt1,( G) 는 무한차원공간이다. 정리 12. 6 의 성 질 (가) 와 궤적의 존재성은 행렬대수의 중요한 성질인데, 정리 12.6 에 의하여 이러한 행렬대수의 성질들을 공유하는 무한차원 폰노이만대수의 예 를 얻을 수 있다. 정리 12.6 의 (가) 와 갇이, 그 중심이 스칼라작용소 들 로 이루어전 폰노이만대수를 인자라 부 론다. 무한차원 힐버트공간 ]6 에 대하여 B(%) 도 인자이지만 궤적을 갖지 못한다. 정리 12.6 의 (나) 를 만족하는 군을 무한켤레군이라 하는데, 이러한 군의 예를 알아보자. 집합 Z 의 치환 가운데 유한개를 제의한 모든 원을 고정하는 치환 전체의 집합 SOO 는 무한군이 된 다. 또한 절대값이 n 을 넘는 정수를 모두 고정하는 부분치환군 을 II 근]라 두면 s. . = U00 IIn (12 . 25) n= I 이 된다. 이제, S E ITn 에 대하여 s(i) = k 이고 i =I= k 인 정수 i, k 를 택하자. 각 m = 1,2 , ... 에 대하여, i와 n + m 을 자리 바꿈하는 치환을 tm 이라 두면 t ms t감은 n + m 을 k 로 옮긴다. 따라서 { t ms t갑 : m = 1, 2, ... } 는 무한집 합이 된다. 무한켤레군의 또 다른 예가 비가환자유군인데, 집합 {a1, ... aT} 로 생성되는 자유군을 FT 라 쓰자. 만일 s = a 『 … ak E FT 이 축약단어 이고 h =I= j 이 면, 각 n = - l, - 2, ... 에 대 하여 a~S£ 같 이 서로 다른 축약단어이다. 만일 s = a/… a i; 1 E Fr 이
면 {a~sa-;;n : n = l, 2, ... } 가 FT 의 무한집합이므로, s E FT 의 켤레류는 항상 무한이다. 두 군 SOO 와 FT 은 모두 무한켤레군이 지만 중요한 차이점이 있는데, 이는 다음 절의 주제이다. 힐버트공간 %의 닫힌부분공간 E 과 F 에 떨어지는 정사영을 각각 p,q라 할 때, E 과 F 가 감은 차원일 필요충분조건은 P = v*v, q = vv* (12 . 26) 를 만족하는 부분등거리작용소 V E J3(J{J) 가 존재함이다. 일반 적으로 폰노이만대수 .A{ C J3(%) 의 정사영 p, q E .A{ 에 대하여 (12.26) 을 만족하는 부분동거리작용소 v 를 瓜 안에서 찾을 수 있으면, P 와 q가 동등하다고 하며 p~q라 쓴다. 부분등거리작 용소 v E .A{(G ) 가 VT !* = 1, V*V = p 를 만족한다면,
= tr( v*v) = tr( vv*) = <~ s,& >, s E G 이므로 P = l 이다. 다시 말하여 1 E A1,( G) 과 동등한 .A{( G) 의 정사영은 자기 자신뿐이란 말인데 이는 바로 유한집합의 특성과 비슷하다. 일반적으로 1E .A{과 동등한 정사영이 자기 자신뿐일 때, J(,f,울 유한 폰노이만대수라 한다. 폰노이만대수 J3(%) 가 유 한 폰노이만대수일 필요충분조건은 %가 유한차원임이다. 정리 l27. 임의의 이산군 G 에 대하여 Af.(G ) 는 유한 폰노이만 대수이다. 무한켤레군 G 의 폰노이만대수 .tU( G) 는 유한인자란 점에서 행렬대수와 그 성질이 같은데, 이는 바로 폰노이만이 이러한 대 수를 연구한 이유이다. 행렬대수에서는 정사영들의 궤적값이 이 산집합 {{: i= 0,1, ... ,n} 인데, 무한켤레군의 폰노이만대수
.JU,( G) 의 경우는 그렇지 않다. 예로서 자유군의 경우를 보자. 자유군의 생성원 a 를 하나 택하여, a 로 생성된 부분군 〈 a 〉 을 생각하자. 만일 {t1s : s E } 로 생성된 폰노이만대수를 생각하 면 이는 .JU,( z) 와 마찬가지이다. 앞에서 살펴보았듯이 JU,( Z) 의 정사영들의 궤적값이 이미 [O, 나 이므로, At,( Fr) 의 정사영들의 궤적값도 [0, 1]임 을 알 수 있다. 치환군 SOO 의 경우, 임의의 유 한군이 SOO 의 부분군임을 이용하면 각 유리수 q E Q에 대하여 궤적값이 q 인 정사영을 瓜 (SOO) 안에서 찾을 수 있고, 이로부터 M(SOO) 의 정사영들의 궤적값도 [o, 니 임을 알 수 있다. 이는 임 의의 무한켤레군에 대해서도 마찬가지인데, 이와 갇이 정사영들 의 궤적값이 [O, 니 인 유한인자를 연속유한인자 혹은 Il1- 인자라 부른다. 13. 평균가능군 이제 군 C*- 대수 C* (G) 와 Ct (G) 가 같아질 조건을 구해 보 자. 지금까지 논의한 바에 의하여, 이는 B(G) = BA(G) 혹은 P(G) = A(G) 일 조전을 구하는 것과 같은 문제이다. 우선 일 차원표현 s 1-+ 1 을 생각하면 상수함수 1c 가 P(G) 의 원소인데, BA(G) 가 B(G) 의 이데알이므로 이는 1c 가 PA(G) 에 속하는지 묻는 것이다. 예를 들어 정수군 z 에서 정의된 함수
12) 참고문헌 [1] 의 10.5 절을 참조하라. 만일 ~n = +&x1i 0.1,… , n-11 이라 두면
P(Z ) 이고, <
의 점별국한이 lz 이므로 lz E PA(Z ) 임을 알 수 있다. 이제 국소옹골군 G 에 대하여 ®(G) = {g E L'(G) : g 2: 0, llg ll , = l} 03. 1) 이라 정의하자. 또한 그물 q·i 〉 이 G 의 모든 옹 골 집합 위에서 f 로 고르게 수령 할 때 , I = uc- Ii m Ji 라 쓰자. 정리 l3.l. 국소옹골군 G 에 대하여 다음은 동치이다. (가) C* (G) = Ct (G) 이 다. (나) P(G) = PA(G) 이다. (다) P(G) = 겨花 5UC 이다. (라) .Af. (G) ＊가 C*(G)• 안에서 약*－조밀하다. (마) lG = uc-lim ;/;* j ; 및 ||/;112 = 1 올 만족하는 그물 c Cc (G ) 가 존재한다. (바) 1c = uc-Iim i & * gi 및 ||&||2 = 1 을 만족하는 그물 <& > c L2(G) 가 존재한다. (사) uc-lim ; ll..-l s!!; - g;ll1 = o 을 만족하는 그물
증명. 명제 (가) 부터 (바) 까지 동치임은 (11.25) 에 의하여 자명하다. （바) => （사) 를 증명하기 위하여, Ull2 = 1 인 e e L2 (C) 에 대하여 g( s) = le
라 정의하자. 그러면 포함관계 L1(G) c L00(G)* 에 의하여 ®(G) 는 SJJc( G) 의 약*＿조밀한 볼록집합이다. 집합 SJJc (G) 의 원소를 G 의 평균이라 하는데 다음 조건 m(Asf) = m (f), s E G, f E L00(G) (13.3) 을 만족하면 m E SJJc (G) 를 왼쪽불번평균이라 부르고, 이러한 왼 쪽불변평균 전체의 집합을 B(G) 라 쓴다. 집합 B(G) 가 SJJc( G) 의 약* － 옹골 볼록집합임은 바로 확인할 수 있다. 만일 군 G 가 정리 13. 1 의 조건 (사) 를 만족한다고 가정하 자. 각 고정된 s E G 에 대하여 i ~ f = IIAsg i -g;j l1 < € 이 되도록 I 를 잡으면, 임의의 /E L00(G) 와 s E G 에 대하여 |
(아) 적절한 그물
m(g *f) = m(/), g E ®(G), / E L00(G) 03.4) 을 만족하면 이를 위상적 왼쪽불번평균이라 하고, 이러한 평균 전 체의 집합을 Bt ( G) 라 쓰자. 위 정의에서, g E L1(G) 이고 / E L00(G) 이면 g*f E L00(G) 임은 바로 확인된다. 만일 g E ®(G) 와 s E G 를 고정하고 h( t) = /);.(s-1)g (ts-1 ) 라 정의하면, jh ( t)d t = j/) ;.(s-1)g (ts-1 )dt = fg(t)d t = 1 이므로 h E ®(G) 이 된다. 또한 임의의 f E L00 에 대하여 (g*fs) ( t) = jg(r )f ( s-1r-1t )d r = ft::t. (s-1)g (trs- 1)f ( r-1) dr = f1i
국소옹골군 G 에 대하여 UCi' (G ) = {/ E Cb (G) : ~}円 ll/1 - fl| ' = O} UC%(G) = {/ E Cb (G) : l}~l1/1 — Ill ' = O} ucb (G) = uct( G ) n uct( G ) (13 . 6) 이라 정의하자. 여기서 Cb(G) C L00(G) 는 유계연속함수들을 모아 놓은 C*- 대수인데, UCb(G) 역시 L00(G) 의 C* －부분대수 이고특히 / E UCb(G) 극 fs E UCb(G) 임을 바로 확인할 수 있다. 그런데 lti-m e ll/1 -/l loo = 0 <=> lti-m e ll (/) t 一 fllo o = o Ol 므로 / E UCf (G ) = / E UCt (G ) (13 .7) 임을 알 수 있다. 여기서 g(t) = g(t기 는 (5.2) 에서 정의한 것 인데 g E ®(G) 이면, g= g 이다. 만일 gE L1(G) 이고 /E L00(G) 이면 II (g*f) t - (g*f) lloo = llg t *f -g*1 1100 어gt -gll il l/1100 - 。 이므로, g*f E UCf (G ) 이다. 그런데 (g*ff = I*i 이 므로 (13.7) 에 의하여 다음 관계 / E L00(G), g E L1(G) = g*f E UCf (G ), f*g E UCfr ( G) (13.8) 가 성립한다. 만일 k E UCfr ( G) 이고 g E L1(G) 이면
1/ (g* k) 드 (g* k) II .. = ||g* kt - g* kll .. 미|gl/i/ /k t - kll .. 一 。 이므로 (13.8) 로부터 k E UC%(G), g E L'(G ) = g* k E UCb(G) k E UCi' (G ), g E L'(G ) = k*g E UCb(G) (13.9) 를 알 수 있고, 따라서 다음 관계 f e L .. (G), g E L'(G ) = g*f*g E UCb(G) (13 .10) 롤얻는다. 만일 이 (2.9) 의 가정을 만족하는 점근항등원이면 명제 2.3 의 증명과 마찬가지 계산 방법으로 / E UCb(G) ~ lif llu.- *f —/11 .., = 0 (13 .11) 임을 확인할 수 있다. 이제 m E UCb(G): 가 UCb(G) 의 왼쪽 불변평균, 죽 m (lc) = 1 이라 하자. 만일 / E UCf (G ) 가 주어 지면, 임의의 g E L1(G) 에 대하여 fa*1 1100 ~ llg ll 1ll/ll00 이므로 (13. 9) 에 의하여 Af : g~ m(g */) 는 L1(G) 의 유계선형범함수 이다. 그런데 Af (gs) = m(gs * f ) = m((g *f)s) = m(g *f) = Af (g), sE G 이므로 A f는 왼쪽불변이다. 그러므로 A f를 표현하는 LOO ―함수 가 상수함수이고, 다음 성질 m(g */) = af fg(s ) ds, g E L1(G) 을 만족하는 상수 악가 존재하는데, 점근항등원 〈 U; 〉을 잡으면
(13.11) 에 의하여 af = m(u;*/) - m (f) 이다. 따라서 다음 관계 m(g •f) = m(/), g E ®(G), I E UCb(G) (13.12) 롤 얻는다. 이는 UCb(G) 위에서 정의된 왼쪽불변평균은 자동 적으로 위상적 왼쪽불변평균이 된다는 점을 말해 주고 있다. 앞 에서 언급한 UCb(G) 뿐 아니라 Cb(G) 등도 모두 왼쪽평행이동 울 보존하고 1c 를 가전 L00(G) 의 C* －부분대수이므로, 왼쪽불 변평균의 의미가 무엇인지 분명하다. 일반적으로, L'(G) 의 C*- 부분대수 A 가 왼쪽평행이동에 관하여 불변이고 lc 를 갖고 있 을 때, A 의 양선형범함수 mEA+ 가 m(lc) =1 을 만족하면 이를 A 의 평균이라 부른다. 정리 13.3. 국소옹골군 G 에 대하여 다음은 동치이다. (차) B(G) * 0, 측 L00(G) 위에서 정의된 왼쪽불번평균이 존재한다. (카) Cb(G) 위에서 정의된 왼쪽불번평균이 존재한다. (타) UCb(G) 위에서 정의된 왼쪽불번평균이 존재한다. (파) L00(G) 위에서 정의된 위상적 왼쪽불번평균이 존재한다. 증명. （파) 一 (차) 는 (13.5) 에 의하여 성립하고 (차) 一 (카) 극 (타) 는 자명하므로, (타) 一 (파) 를 보이면 된다. 이제 UCb(G) 위에서 정의된 왼쪽불변평균을 m 이라 두자. 점근항등 원 을 잡으면 각 g E @5( G) 에 대하여 1|g * Ui _ gI|1 一 0 이 므로, 각 k E UC$(G) 에 대하여 |lg * U;*k - g* kll .. -0 을 얻는 다. 따라서 (13.9) 에 의하여 m(g * k) = Iip m (g * U;*k) = Iip m (u;*k), k E UCJ (G ) 가 되는데, 우변이 g와 상관없는 값이다. 따라서, m(g * k) 의
값은 g E ®(G) 선택에 의존하지 않음을 알 수 있다. 이제 (13. 10 ) 을 고려하여, h E ®(G) 를 고정한 후 nU). = m(h*f * lz), I E L00(G) 라고 정의한다. 그러면 h*lc*lz = lc 이므로 n(lc} = 1 이다. 또 한 임의의 g E ®(G) 에 대하여 /'i*g E ®(G) 이므로, 각 / E L00(G) 에 대하여 n(g *f} _= m(h* (g*f) *h) ·= m ((h*g ) * U* /i) ) = m ( h * U * li) ) = n(/) 임을 알 수 있다. 口 정리 13.3 의 (파) 를 가정하고 정 리 13.1 의 (사) 를 증명하면 이 절 에서 언급한 모든 조건들이 동치임을 알게 되는데, 명제 13.2 의 (자) => (아) 를 증명하는 것과 비슷하다. 먼저 m E Bt ( G) c ill1( G) 으 로 약*－수령하는 그물
(하) 적절한 그물
을때, 보렐집합 ECG 에대하여 µ(E) = m(x 긴 (13 .13 ) 라 정의하면 µ는 유한가법성이 보장되는 왼쪽불변측도이다. 역 으로 µ가 유한가법성을 만족하고 µ(G) = 1 인 왼쪽불변측도이 면, 다음 함수 n n m : i2= l a i XE' , 一 i2= la iµ (Ei) 롤 생각할 수 있다. 만일 ||2f= 1 aiX E,I|OO < 1 이면 곱n a;µ(E;)I, ~ ~n la;jµ (E;) 三 첩n µ(E.-) ~ 1 이므로, 함수 m 이 L'(G) 의 유계선형범함수로 확장된다. 그러 므로 왼쪽불변평균이란 바로 유한가법성이 보장되는 왼쪽불변측 도이다. 따라서 옹골군의 경우 하르측도 자체를 왼쪽불변평균으 로 이해할 수 있다. 가환군의 경우는 (아) ==> （자) 의 증명에서 보듯이 적절한 약* － 극한으로 잡을 수 있다. 14) 명제 13,4. 국소응골군에 대하여 다음이 성립한다. (가) N 이 G 의 닫현정규부분군일 때, G 가 평균가능군이면 GIN 도 평균가능군이다. 만일 N과 GIN 이 평균가능군이면 G 도 평균가능군이다. (나) { G;} 가 군 G 의 닫힌 평균가능군이고 G = lim Gi 이면 G 도 평균 7 店능군 01 다. 一 14) 참고문헌 [17] 의 명제 4.5.1 을 참조하라.
증명. 몫사상 G - G/N 을 7[ 라 쓰자. 만일 / E Cb(G/N) 이 면 /01 [E Cb(G) 이고, (/07r)s=/rr(s)07r 이다. 따라서 m 이 Cb(G) 의 왼쪽불변평균이면 ft-+ m(/o 짜 는 Cb(G/N) 의 왼쪽불변평균 이다. 이제 N 과 GIN 이 평균가능군이라 가정하고, m1 과 m2 가 각각 Cb(N) 과 Cb(G/N) 의 왼쪽불변평균이라 하자. 만일 /E UCb(G) 이면, Si - s E G 일 때 |If s,_ 1 —f s- I I|0 0 = || (fs-I) s,-1 s — fs- I||00 一 。 이다. 따라서 F : s 一 mI (fs-I | 사 , s E G 라 정의하면 F E Cb(G) 이다. 그런데 (/csr i-1 )t - •r = fcs t)- • 이므 로 F 는 각 {sN : s E G} 위에서 상수함수이고, 따라서 Fo1r = F 인 F E Cb(G/N) 이 존재한다. 이제 m : / t-+ mz (F) , I E UCb ( G) 라 정의하자. 만일 F(1r(s)) = mdls-•| 사 이면 FTC( t)信 (s)) = F(1r(t- 1 s)) = mdfc t-•s i-• | 사 = m1(( ft)s- 心) 이므로, 각 / E UCb(G) 에 대하여 m(/t) = mz(Frr
명제 13.4 의 (나) 와 (12 .25) 를 적용하면 군 SOO 가 평균가능 군임을 알 수 있다. 비가환자유군은 평균가능군이 아닌 대표적인 예이다. 명제 13.5. 두 원소 {a, b} 에 의하여 생성된 자유군 F2 는 평균가 능군이 아니다. 증명. 각 x = a, a-1, b, b-1 에 대하여, x 로 시작되는 단어 전 체의 집합을 Ex 로 두자. 만일 왼쪽불변평균 mEB(F2) 가 있다 면, 이를 유한가법성을 만족하는 측도로 이해하여 m(Ea) + m(Ea-1) = m(Ea) + m(aEa-,) = m(F2) = 1 을 얻는다. 생성원 b 에 대해서도 마찬가지이므로 1 = m(F2) = m({e}) 十 m(Ea) + m(Ea-,) + m(Eb) + m(Eb-,) ~2 가 되어서 모순이다. 口 한편 평균가능군 G 의 닫힌부분군 H 가 평균가능군임이 잘 알 려져 있는데, 우선 G 가 이산군인 경우를 살펴보자. 먼저 각 잉 여류 Ht (단, t E G) 에서 원소를 하나씩 택한 후 이를 모아서 Be e 라 두자. 그러면 G = HB, r, s E H, rB n sB =I= 0 = r = s (13 .14) 임을 알 수 있다. 이제 G 의 왼쪽불변평균 mEB(G) 이 주어져 있을 때, 각 ECH 에 대하여
n(E) = m(EB), E c H (13 .15) 라 정의하면 n E B(H) 임을 바로 확인할 수 있고, 따라서 이산 평균가능군의 부분군은 평균가능군이다. 명제 13.5 에 의하여 자 유군을 부분군으로 가진 이산군은 평균가능군이 아닌데, 그 대표 적인 예가 여러 가지 행렬군이다. 만일 G 가 이산군이 아니더라 도 (13.14) 를 만족하는 보렐집합 B c G 를 잡으면 마찬가지 증 명을 할 수 있는데, G 가 적절한 셀수있음에 관한 조건을 만족 하면 이것이 가능하고 실제로 평균가능군의 닫힌부분군이 항상 평균가능군임이 잘 알려져 있다 .15) 예로서 자유군이 행렬군 SL(2, R) = {s E M2(R) : det s = 1} 의 부분군임을 보이자. 실제 두 행렬 s = (; :), t = G~ ) 이 주어졌을 때, 만일 |al = lbl 2 2 이면 s, t 가 자유군을 생성한 다. 군 SL(2, R) 이 R2 oJ] 작용한다는 것을 염두에 두고, A = {( x, y) E R2 : IYI > lxl } B = { (x, y) E R2 : IYI < lxl } 라 정의하자. 그러면 각 m = 土 1, 士 2, … 에 대하여 sm(A) c B, tm (B) c A 가 되는데, 이로부터 s, t 로 이루어전 축약단어가 항등작용이 될 수 없음을 쉽게 확인할 수 있다. 15) 참고문헌 [23 ]의 명제 0.16 이나 [12] 의 정리 2.3.2 를 참조하라.
참고문헌 지난 11 절과 12 철에서 다룬 내용 가운데 바나하 * - 대수나 C* - 대 수, 폰노이만대수에 관한 일반론은 아주 표준적인 내용들인데, 여러 단행본 [4] , [5], [15], [24], [35] 등을 참조할 수 있다. 푸리에-스 틸체스대수와 푸리에대수에 관한 연구는 육십년대 이후 논문 [4 긴 에 서 시작되었으며, 같은 논문에서 정리 11 .9 와 정리 12.2 및 정리 12. 4 (나) 가 증명되었다. 폰노이만의 이중교환정리라 불리는 정리 12.1 은 이미 이십년대에 나온 것으로서, J3(%) 의 대수적 구조와 위 상적 구조가 어떻게 연관되어 있는가 설명하고 있다. 군 폰노이만대 수에 관한 정리 12.6 과 12.7 은 고전적인 내용으로서 폰노이만이 삼 십년대에 얻은 업적이다. 평균가능군에 관한 주요 참고문헌으로 [12], [2 이 및 [2 타 등이 있다. 작용소대수와 관련된 내용은 [2 사 의 7.3 장을 주로 참조하였다. 행렬군 SL(2,lR) 의 두 원소 s, t가 자유 군을 생성한다는 것을 증명하는 방법에는 여러 가지가 있는데, 여기 서는 논문 [5 이을 참조하였다. 자유군을 품는 행렬군에 대하여 알고 싶은 이는 [43] 등을 참조할 수 있다.
제 4 장 군 작용소대수의 여러 가지 성질 바나하공간을 다룰 때 가장 큰 문제는 힐버트공간과 같은 기저 가 없다는 점이다. 이를 극복하는 방법 가운데 한 가지가 접근성 질인데, 이는 공간의 항등사상을 유한계수사상으로 점근시킬 수 있음을 말한다. 평균가능군으로부터 얻어지는 군 C*- 대수들이 가지는 여러 가지 좋은 성질들 가운데 그 대표적인 것이 점근성 질인데, 여기서는 바나하공간의 경우보다 훨씬 다양한 사상들에 의한 점근성질을 다루고 이와 관련된 군 폰노이만대수의 확장성 질을 공부한다. 한편 평균가능하지 않은 이산군의 대표적 예인 자유군에 의한 축소 군 C*- 대수가 가지는 점근성질을 공부하고, 이와 더불어 군 C*- 대수가 언제 단순 C* －대수가 되는지 알아본 다. 14. 군 작용소대수의 점근성질 양부호함수들의 접별곱하기가 다시 양부호함수이므로, 고정된
¢ E P(G) 에 의하여 주어지는 선형사상 Vi : pf->-c f;p : B(G) 一 B(G) 는 양선형사상이다. 또한 uc-lim ;
가 점별―약* 위상에 대하여 B(G) 의 항등사상으로 수령함을 알 수 있다. 특히 G 가 평균가능이산군이면 ¢,의 받침이 유한집합 이 되도록 할 수 있는데 이로부터 V¢, 의 상이 유한차원임을 알 수 있다. 이 절에서는 여러 가지 군 작용소대수와 그 쌍대공간의 점근성질을 공부하는데, 푸리에대수에서 시작하는 것이 편리하 다. 함수 ¢: G 一 C 가 다음 성질 pE A(G) 극 ¢pE A(G) 울 만족하면 이를 A(G) 의 곱셈자 혹은 그냥 곱셈자라 부르는 데, 임의의 곱셈자 ¢논 연속함수이다. 실제로 옹골근방 U 를 잡 f고x us E> 0G 인 를데 ,고 정A한(G 후) 의p =원 X이su *x모;;두 라 연두속면이 p므E 로A (¢G )= 이싼p고 R 도p( s s) E= G 의 근방에서 연속이다. 만일 ¢가 곱셈자이면 선형사상 m, : p- p : A(G) - A(G) (14 .1) 이 유계선형사상이다. 이를 보이기 위하여, A(G) 의 함수열
�Ĭ �֬�����D� L�
� ���. m���9��p� G X� �H����D� ��P� ��D� � ��@ ��0����D� MA(G) |���� �L� llr/JII MA : -= llm�11, � ܴ MA(G) (14 . 2) �� �t� x�L�D ���X�X�t, MA(G) �� ��X�����t� �.� t�|� �t�0� �X��� �H����� < r/nJ>�� X�\� �ǩƌ���3) ��@� ����X��.I) ��� 14,1. �ō�h�� �: c-c �� �X��� �L�@�
���\� ��� �� �X���, m, = T t��. x
Ԭ����� A(G) � B(G) X� t�p�L�t���\� B이 성립하는 약* 一 연속 작용소 M¢ : .A-t( G) -.A-t(G ) 가 존재한 다. (다) 함수 ¢가 유계이다. 또한 다음 성질 11¢/IIA ~ KII/IIA, / E L' (G) (14 . 5) 을 만족하는 상수 KER 이 존재한다. (라) pE B,(G) 극 = = ¢ (s) ¢ (s) = ¢ (s) 임을 알 수 있고, 따라서 (가) 一 (나) 가 증명되었다. 이제 (나) 를 가정하고 (14.4) 와 (4.4) 를 적용하면, 각 f E L1(G) 에 대하여
수 있다. 이제 (다) 一 (라) 를 보이기 위하여 tf; E BA(G) 라 하자. 그 러면 임의의 / E L1(G) 에 대하여 K¢f, ¢> | :=: ;: llr/> / IIAll , I E L1 一( G) 울 가전 pE BA(G) 를 찾을 수 있다. 죽, 임의의 / E L1(G) 에 대하여 fI ¢¢ = f/p이므로
이므로 그 쌍대사상이 바로 毋¢ 임을 알 수 있다. 지금까지 한 이야기를 종합하면 m;* = M;, M; =頂;, M;I c;cc> = M;, m;I A(G> = m; (14.8) 이고, 따라서 부등식 llm,11 라 |m;II = IIMII ~ IIM 나| = llm;II (14.9) 가 성립하여 이 작용소노음들은 모두 II
이므로, r 는 양사상이지만 r® i d2 는 양사상이 아니다. 만일 A c :B (JC) 이 면 Mn (A) C :fJ (]{9 n) 이므로, y = 〔y』 E Mn (A) 가 양일 필요충분조전은 적 절한 z = [zij] E Mn (A) 에 대하여 y = z*z 의 꼴임을 알 수 있다. 임의의 원 Xi, ... ,Xn E A 에 대하여, 첫째 행이 (X1, ... ,X 사이고나머지 행이 모두 0 인 행렬을 w E Mn(A) 라 두면 〔 x lx 』 = w*w E Mn(A)+ 임을 알 수 있다. 역으로 y E Mn(A)+ 이 면 y = z*z 로부터 yij = ~n z:iz k j 이 되 고, 따라서 Mn (A) 의 양원소는 항상 [x ?x j ] E k= I Mn(A) 들의 합으로 표시됨을 알 수 있다. 이제 선형사상 T : A 一 g (J6) 가 n- 양사상일 필요충분조건은 Xi, ... ' Xn E A = ( T@ idn ) [x!x 』 E J3 (]ge n ) + 인데, 임의의 f = 2n e& E % en 에 대하여 i= I <( T@i dn ) ( [x? 김 ) E, g>= i,2jn= 1 < T (xt xj ) g, &> 이므로 다음 정리의 (가) _ （나) 를 얻는다. 다음 정리의 (가) 台 (다) 는 완전양사상의 성질을 특칭짓는 핵심적인 내용으로서, 그 응용 범위가 매우 넓다. 정리 14-2. 단위원을 가지는 C*- 대수 A 에서 정의된 선형사상 T : A-J3 (%) 에 대하여 다음은 동치이다. (가) T 가 완전양사상이 다. (나) 임의의 자연수 n=1 ,2 , ... 과 X1,… ,XnEA 및 令, ... ,gn E %에 대하여 부등식 ,.$,j= l
이 성립한다. (다) A 의 *－표현 (7f,](）와유계사상 V:% 一](가존재하여 T(x) = V*Jr ( x) V, xEA (14 .13) 이 성립한다. 증명. 먼저 (다) 를 가정하면, 임의의 Xi , ... ,Xn E A 와 ~1, ••• , ~n E % 에 대 하여 i,2in= I
명제 4. 3 의 증명에서 보는 바와 같이 1ro(x) 는 힐버트공간 ]{ = (A®X) /LT 의 유계 선 형 사상 1r (x) 로 확장되 고, X I--+ 7[ (x) 는 A 의 * ― 표현이 된다. 이제 ve = 1A®e + LT, e E x 라 정의하면, 각 eE% 에 대하여 11 ve| 『 =
따름정리 14·3. 단위원을 가진 C*- 대수 A 에서 정의된 완전양사 상 T : A - 13 (%) 는 유계사상이 고, |I TII = II T (lA) || 이 다. 3) 지난 (14 .3) 에서 살펴보았듯이 임의의 양부호함수 ¢는 곱셈 자인데, 다음 명제는 평균가능군의 점근성질을 논할 때 중요한 역할을 한다. 명제 14.4, 곱셈자 ¢ E MA(G) 에 대하여 다음은 동치이다. (가) M{> : JU( G) -..JU( G) 가 완전양사상이다. (나) ¢ 가 양부호함수이 다. 증명. 먼저 (가) 를 가정하고 = ¢ (s 高) i,j=l 0 을 얻는다. 사상 M,7~ 완전양사상임을 보이기 위하여 다시 명제 14.2 를 이용하는데, (12.12) 에 의하여 X; E spa n{lls : s E G} 인 경우에 3) 이 정리는 임의의 양사상에 대해서도 성립한다. 참고문헌 [17] 의 4.2 철을 참조하라.
부등식 (14.12) 를 보이면 된다. 이제 x,· = k2=r I aik A' i = I, ... , n 가 주어졌을 때, 각 k=l , ... ,r 에 대하여 1Jk =: En a ik As .~iE i= I L2(G) 라 두자. 그러면 임의의 e1, ... , en E L2(G) 에 대하여 1,2jn = l
차원이다. 죽 M¢ 는 유한계수사상이다. 또한 ¢(e) = 1 이면 M¢(Ae) = Ae 이므로, M¢ 는 단위원을 보존하고 IIM;II=1 이다. 만일 그물 <¢i> c P(G) 가 상수함수 le 로 점별수령하면 임의의 s 든 G 에 대하여 I|M¢IAs — Asll = 11 c P(G) n Cc(G) 가 1c 로 점 별수령하므로, 다음 정리를 얻는다. 정리 ]4. 5. 임의의 평균가능이산군 G 에 대하여 다음이 성립한 다. (가) 군대수 Ct (G ) 사이에 정의된 1 을 보존하는 유한계수 연속 완전양사상 그물 〈 Ti 〉가 존재하여 lli-OmO l l T;(x) -xii = 0, x E Cl (G) 가 성립한다. (나) 군대수 At(G ) 사이에 정의된 1 을 보존하는 유한계수 약*-연 속 완전양사상 그물
위 명제 (가), （나) 는 각각 점별-노음, 점별-약* 위상에 관하 여 〈 T,. 〉 가 항동함수로 수령함을 말하고 있다. 평균가능군에 대 하여 Cl (G) = C* (G) 이므로, （가) 는 평균가능군 G 의 군 C*- 대수 C*(G) 에 대하여도 물론 성립한다. 일반적으로 항등원 1 을 가전 C*- 대수 A 사이에 1 울 보존 하는 유한계수 완전양사상 그물 ： A-B 이면 동식 = ?!<( xv) , 이 성립한다. 따라서 ct> :B-A* 가 완전양사상일 필요충분조건 은, 임의의 X1, ... ,Xn E A, Yi, ... ,Yn E B 및 자연수 n = 1, 2, ... 에 대하여 다음 부등식 i,$j= l 하는데, A®*B 의 노음을 알아보자. 선형범함수 ¢E (A®B)d 에 대하여 선형사상 T¢:B 一 Ad 를 증명. 우선 ¢(1A®ls) = 1 일 조건은 T;(ls) (lA) = 1 이다. 만일 ¢ E S(A®B) 이고 y E B+ 이면 (14. 24 ) 에 의하여 T;(y) 가 A 의 양선형범함수이고, 따라서 명제 11 .1 에 의하여 T;(y) E A* 이다. 그러므로 ¢ E S(A®B) 이면 T;(B) c A* 임을 알 수 있다 .4) 다음 관계식 4) 여기서, 임의의 유계작용소 X E 1J(%) 가 양작용소들의 선형결합으로 표시됨을 사용하였다.
<(무 X; Q9y;) * ( ~X,·Q 9y;), ¢> = 麟t x j, T~ (ytyj) > I, J 울 살펴보면, (14.21) 에 의하여 (가) 와 (나) 가 동치임을 알 수 있다. （다) 와 (라) 가 동치임은 바로 증명된다. D 선형범함수 IP E A* 와 pE B• 에 대하여 〈꾸 xO y,. , ¢®p> := 麟i,
l
2 f =l #0 p, · 의 꼴이다. 각 i= 1, ... ,n 에 대하여 a,=¢,(1A), bi = pi(l B) 라 두면 ip( lA®ls) = 1 이므로 2,.a,. b, = 1 이다. 따 라서 (14 .27) 을 적용하면 임의의 z E A®B 에 대하여 l
이 성 립 함을 알 수 있다. 이 부등식 이 임 의 의 ¢ E S ( C) 에 대 하여 성립하므로, 원하던 부등식 (14.29) 울 얻는다. D 15. 군 폰노이만대수의 확장성질 이제 정리 14.9 를 이용하여 앞 절에서 다룬 CHG) 의 완전양 사상 점근성질로부터 G 가 평균가능하다는 것을 보이려 하는데, 이때 At(G ) 의 확장성질이 중요한 역할을 한다. 이를 위하여 C* -대수의 표현을 어떻게 확장하는지 먼저 살펴보기로 하자. 우선 명제 11.1 의 역울 증명하는데 이는 노음 조건 ||x*xll=llxll2 에서 나온다. 명제 15.1. 항등원을 가진 C*- 대수 A 에서 정의된 선형범함수 ¢E Ad 에 대하여 다음이 동치이다. (가) ¢가 양선형범함수이다. (나) ¢가 유계이고 11¢11 = ¢(1A) 이다. 증명. （나) => （가) 만 증명하면 되는데 llr/JII =
2 = la + i(/3 + t)l 2 = |
s llxx*II + t2 = llxll2 + t2 이 성립한다. 따라서 #＋합 +2 /Jt sllxll2 이 임의의 실수 tE R 에 대 하여 성 립 하므로 /3 = 0 이고, ip (Ah) C R 임 을 알 수 있 다이.므 로이 s제 i 1x - E
5) 두 원소 lA 와 x 에 의하여 생성된 가환 C* - 대수를 고려함으로써, 연 속함수공간에서 생각하면 된다. 참고문헌 [31] 의 정리 11.18 을 참고 하라.
정리 1s.2. 항등원을 공유하는 c·- 대수 A c B 가 주어져 있다. 그러면 임의의 ¢ E S(A) 는 S(B) 의 원으로 확장된다. 증명. 먼저 ¢ : A----. c 는 유계이고 ||
을 만족한다. 증명. 임의의 * － 표현이 비퇴화표현과 영표현의 합이므로 T 가 비되화표현이라 가정할 수 있고, 명제 4.6 에 의하여 (TC,) 6) 가 노음 1 인 순환벡터 &룰 가전다고 가정할 수 있다. 이제
울 생각하면 이는 * 一 준동형이다. 만일 A 가 완전양사상 점근성질 울 가지면, 정리 14.9 에 의하여 이 사상이 C* － 대수 A®*A ’ 의 * －표현 A®*A' 一 g (J6) 로 확장된다. 그런데 A®~' 은 J3 (J6 )®* A’ 의 C* －부분대수이므로, 정리 15.3 에 의하여 힐버트공간 ]{ 그 %와 *－준동형 7r : J3(Je )®*A' 一 g(]{) 이 존재하여 다음 성질 짜 x® y)j x = xy , x E A, y E A' (15. 2) 이 성립함을 알 수 있다. 이제 %로 떨어지는 g(]{) 의 정사영 P 라 하고, 선형사상 : J3(%) 一 g(%) 를 (x) t = P7r (x®l) t, x 든 J3 (Je) , t E J(i (15 . 3) 이라 정의하자. 그러면 %는 7r(A®A’) 의 불변공간이므로, 임 의 의 x E J3 (Jg) , y E A’ 및 E e % 에 대 하여 다음 등식 (x) yt = P7r (x®l) 7r (lQS)y) t = P7r (l®y ) 7r (x®l) t = 짜 l® y) P7r (x®l) t = y (x) t 이 성립한다. 따라서 ® 의 상이 A 에 들어감을 알 수 있다. 정리 15,4. 항등원을 가진 C* －대수 A C :B(%) 가 완전양사상 점근성질을 가진다고 하자. 그러면 다음 성질
이면, 임의의 e E J(J 에 대하여
져 있다고 가정하자. 각 I E l(G) 에 의하여 정의되는 사상 M f E :B (l2( G)) 를 생각하면, 임의의 f E t2( G) 에 대하여 (11sM處 ) (t) = (M園 ) (s-1 t) = f (s -1 t )11: f (s 가) = (As/) (t) f(t) = (MAs ff ) (t) 이다. 따라서 (15. 5) 에 의하여
, / E l ( G) (15 . 6) 이라 정의하면, ®가 양선형사상이므로 mEWc(G) 이다. 또한 임 의 의 s E G 와 I E l ( G) 에 대 하여 m (As/) = <
(라) 폰노이만대수 A-t(G ) 가 단사 폰노이만대수이다. 정리 15.5 와 관련하여 몇 가지 언급하고 이 절을 맺는다. 우 선 점근성질 및 (다) 를 증명할 때에 핵심적인 역할을 하던 완전 양사상이란 개념이 단사 폰노이만대수의 정의에 없는 점을 의아 하게 생각할지 모르나, (15.5) 룰 만족하는 양선형사상은 자동적 으로 완전양사상이 된다. 한편 (15.6) 과 같이 가환대수에서 정 의된 양사상 역시 자동적으로 완전양사상이 된다 .6) 정리 15.5 를 증명할 때 (나) 쿠 (다) 쿠 (라) 는 일반적인 C* －대수 A c :B (%) 에 대하여 증명하였다. 노음 조건 |lx*xll = llxll2 을 만족하는 추상적인 C*- 대수를 생각하면 다음이 성립한다. 정리 15.6. 임의의 C*- 대수 A 에 대하여 다음은 동치이다. (가) C*- 대수 A 가 완전양사상 점근성질을 가진다. (나) 임의의 *－표현 (;r,%) 에 대하여 폰노이만대수 ;r(A ) C :B(JC) 가 단사이다. (다) 보편표현 (mu, %u) 에 의하여 생성된 폰노이만대수 1ru(A) C B (%u) 가 단사이 다. 사실 바나하공간의 경우와 마찬가지로, C* －대수의 점근성질을 연구하는 동기는 텐서곱을 연구하기 위함이다. 앞에서 정의한 C* 때수 A®*B 는 그 중의 하나인데, 일반적으로 대수적 텐서 곱 A®B 에 C* －노음을 정의하는 방법은 여러 가지이다. 정리 15.6 에 나오는 성질들은 임의의 C* －대수 B 에 대하여 A®B 에 C* ＿노음을 정의하는 방법이 유일하다는 것과 동치인데, 이러한 C*- 대수 A 를 핵 C*_ 대수라 한다. 따라서 C*- 대수 A 가 핵대 6) 참고문헌 (17] 의 4.2 절을 참조하라.
수일 필요충분조건은, A 의 보편표현에 의하여 생성된 폰노이만 대수 1ru(A)” 가 단사임이다. 항등원을 가진 C* - 대수 B 가 주어져 있다고 하자. 항등원을 공유하는 임의의 C*- 대수 A1CA2 와 항등원을 보존하는 완전 양사상 ¢ : A1 一 B 가 항등원을 보존하는 완전양사상 ¢ : A2 - B 로 확장되면 B 를 단사 C*- 대수라 한다. 임의의 힐버트공간 %에 대하여 C*- 대수 g(%) 는 단사 C*- 대수인데 이는 한-바 나하 정리의 중요한 확장이다. 또한 관계식 (15.5) 를 만족하는 양선형사상
지난 12 절에서 공부한 치환군 SOO 의 폰노이만대수 瓜 (SOO) 는 조건 (가) 를 만족하는 대표적인 예이다. 이러한 폰노이만대수를 초유한대수라 부론다. 정리 14.5 에서 살펴보았듯이 평균가능이산 군의 폰노이만대수는 위 조건 (나) 를 만족하는데, 이러한 폰노 이만대수를 준이산 폰노이만대수라 한다. 정리 15.7 에서 (가) 국 (나)는 쉽고, （나) => （다) 는 우리가 지금까지 전개한 논리 를 약간 수정하면 얻을 수 있지만, 그 역 방향 (다) => （가) 는 매우 어렵다. 끝으로 (15.2) 에서 A®*A’ 을 A®* .13(光) 의 부 분대수로 생각하고 (15.3) 과 같이 를 정의하면, A’ 이 단사임 울 알 수 있다 .8) 이미 분리 힐버트공간 %에 작용하는 인자의 를 여러 가지 살펴보았는데, 행렬대수 Mn 과 8(%) 를 각각 In- 인자, IOO- 인자라 부른다. 지난 12 절에서 언급한 II1- 인자와 13 (]{;) 의 텐서곱으로 생성된 폰노이만대수 역시 인자가 되는데, 궤적에 의한 정사영의 상이〔 o,oo) 가 되므로 IIOO- 인자라 부른다. 이러한 형태의 인자들 가운데, 단사 폰노이만대수는 각각 하나씩 밖에 없다. 또 다른 꼴의 인자를 III- 인자라 부르는데 이 역시 IIIA- 인 자 (0 ~ A ~ 1) 로 분류될 수 있다. 9)
8) 정리 15.7 에서 (다) 台 (라) 의 일반적인 증명은 Tom ita- Takesaki 이론에 의한다. 9) 이는 정리 15.7 의 (다) 수 (가) 와 함께 1982 년 필츠상 수상자인 A. Connes 의 업적이다.
이 중에 III 。-단사인자는 에르고딕 이론에 의하여 분류되고, 각 ...l E (0, 다 에 대한 1IIA- 단사인자는 하나씩 밖에 없음이 증명되었 다. 따라서 분리 힐버트공간에 작용하는 단사인자는 모두 분류되 어 있다. 자유군 FT 이 평균가능하지 않으므로 111- 인자 瓜 (FT) 은 단사가 아니다. 서로 다른 자연수 r * r’ 에 대하여 瓜 (FT) 과 瓜 (FT') 이 동형인가 아닌가 하는 것은 매우 오래된 물음인데
아직 미해결이다. 축소 군 C*- 대수 Cl(Fr) 이 서로 다른 자연 수 r = 1,2 , ... 에 대하여 동형이 아님은 C*- 대수의 K- 이론을 이 용하여 1980 년대 초반에 증명 되 었다. 10) 16. 자유군 집합 {ai. ... , aN} 으로 생성된 비가환자유군 FN 은 평균가능군 이 아니므로, 그 축소 군 C* －대수 Ct (F N) 은 완전양사상 점근 성질을 갖지 않는다. 이 절에서는 C t (F 사 가 보다 약한 의미에 서 접근성질을 가전다는 것을 보이려 한다. 이를 위하여 먼저 유 한받침을 가지는 함수 / : FN ---- ► C 의 작용소노음 |1111. 를 구하여 보자. 자유군의 원소 s E FN 의 원을 문자 ai 혹은 a? 들의 축약단어 로 표현하였을 때 그 길이, 죽 문자의 개수를 |sl 라 쓰자. 각 m= 0, 1, 2, ... 에 대 하여 Em = {s E FN : Isl = m} 이라 정의하면, 집합열 {Em : m=0,1, 2 , ... ｝는 서로소이고 그 합집합이 FN 전체이다. 또한 Em 의 특성함수를 Xm 이라 쓰기로 한 다. 길이가 m 인 축약단어에서 첫 문자를 택할 수 있는 방법은 2N 가지이고 그 다음 문자부터는 그 경우의 수가 2N-1 이므로, 각 m=1,2, …에 대하여 Em 의 원의 개수는 2N(2N-1)m-i 임을 알 수 있다. 이 절에서는 별다론 말이 없는 한, N 개의 문 자 {ai, ... ,a 사로 생성된 자유군 FN 을 그냥 G 로 쓰기로 한 다. 10) 논문 [5 이 울 참조하라.
도움정리 16.1. 자연수 k, l, m = 1, 2, ... 이 주어져 있고, 두 함 하수자 .I, g만 :일 G |-k+ —C 의/1 :;;;받; m침 :이;;;: k각 +각 l 이su 고p p k/ +c lE ,-. 이 m 고 이 su짝p 수p 이g c면 E1 이 라 II U*g ) xmll2 ~ IIJ ll2 llg ll2 (16 .1) 이고, 그렇지 않으면 IIU*g )x mllz = o 이 성립한다. 증명. 우선 = (|t걷 k |f(t) 12)(lu걷 1 lg( u) I 2) = 1111rn11 g||출 (16.4) 가 성립한다. 나머지 경우를 생각하기 위하여, p = l, 2, ... , k /\ l 을 고정하 고 m = k + l 一 2P 라 두자. 여 기 서 k /\ l 은 k 와 l 의 최 소값 울처 음뜻 한k다 _. P 문등식자 열(1과6 .2u) 의에 서마 지s 가막 tl 와— Pu 문 의 자곱열이을라 면합,친 s 것는이 다t.의 이제 새로운 함수 f과 g'을 각각 gf('(t u)) == G{ 0(~,~ {{ l l/g((tvv )- 1l2u ): I l2v :l =lv l P=)½ ,p )t, llttll =* lluu llkk *= -一 ll p p 一—,, pp, 이라 정의하자. 만일 rEG 의 길이가 k 이면, r 을 길이가 각 각 k ―p,p인 t ,V 의 곱으로 쓸 수 있는 방법이 한 가지뿐이므 로 llf ll~ = 1l t,l= 1k]L-P} 1\lvvtl]=p P 1/(t v) I 2) = IT~l= k IJ < r)I2 = 1111m (16.5) 이고, 마찬가지로 ll i ll2= JJg ll2 임을 알 수 있다. 이제 s 의 처음 k- 坪자열을 t', 마지막 l — P 문자열을 u' 이라 두면, Isl = k + l - 2P 이 므로 s = t'u' 이 다. 또한 s = tu, l tl = k, l u l = l 이 면 t = t'v, u = v-1u' 이 된다. 따라서
IU*g ) (s)l2 = l~{ f(t}g( u) : ltl = k, lul = l, tu = s}1 2 = l~U(t'v ) g ( v- 1 u') : !vi = P, Jt'vl = k, Jv- 1u'I =!}12 = l~U(t'v ) g ( v-1u') : Iv! = p}l2 :S: (~{ l/(t'v) l2 : lvl = p}) (~{ jg( v-1u') l2 : lvl = p}) = f'(t’)2 g '( u ')2 이다. 그런데 s 를 길이가 k- p인 원과 l ― P 인 원의 곱으로 쓸 수 있는 방법이 s = t' u ' 뿐이므로 IU*g ) (s)I s f(t')g'( u') = (f*g') (s) 가 되는데, 이는 임의의 s E Em 에 대하여 성립하므로 lf* gl X m s (f*g')x m 울 얻는다. 그런데 (k —p) + (l —p) = m 이므로 처음 경우에 서 계산한 (16.4) 및 등식 (16.5) 에 의하여 II (/ * g) Xm ll2 S II (f * g') Xmll2 S llf ll 2llg 'll 2 = ll/l l2ll g ll2 가 되어서 증명이 끝난다. 口 도움정리 16.2. 자유군 G 에서 정의된 함수 /: c-c 의 받침이 En 안에 들어가면 부등식 11/ IIA ~ (n + 1) 111112 · (16. 6) 이 성립한다. 증명. 임의의 g E l2(G) 와 k = O,l, ... 에 대하여 g,. = gx ,. 라 두자. 그러면
f*g = ~00 f*gk k=O 이다. 그런데 In n—+kl ks -mm s 이n 짝+ 수k == Inn +一 mm-l sk k 가 s 짝n 수+ m 이다. 따라서 도움정리 16.1 을 적용하면, 각 m = 0, 1, 2, ... 에 대하여 IIU*g )x mll2 ~ 홀 II(/* gk )Xmll2 ~ ll/ll2~{llgk ll 2 : k = Im -n l , Im -n l + 2, ... , m + n} = ||f||고 {ll gm +n-ull2 : / = 0, 1, ... , m I\ n} < I| f |I2(' 홍 ll gm +n-21|| 웅) ½詞 울 얻는다. 한편 효(窟||gm +n-ulrn) = 홀(혹|gm +n-2,lrn) = 흡(효,l l gk ll 웅) :S:: ~nI l g||웅 l= O 이다. 그런데 f*g 가 l2- 함수이므로 ll f*g ll 웅 = 효。|| U*g} xm|| 웅 ~ ( n + 1) 11111 효(접; ll gm +n- 2/||웅) ~ (n + 1)211/|| 웅 ll g lrn
이 되고, 12(G) 의 작용소 g-f*g의 노음이 바로 1I f |h 이므로 부등식 (16. 6) 울 얻는다. 曰 만일 함수 /: c- c 가 유한받침을 가지면 f=홀。 lxn 이다. 따라서 도움정리 16.2 에 의하여 다음 정리를 얻는다• 정리 16,3. 자유군 G 에서 정의된 함수 /: c-c 가 유한받침을 가지면 부등식 11111. ::;;: n~o=oO (n + l) ll/xnll2 (16 . 7) 이 성립한다. 정리 16.3 은 그 응용 범위가 매우 넓은데, 우선 이룰 이용하 여 자유군의 곱셈자를 찾을 수 있다. 먼저 코시려 1 바르츠 부등식 을 이용하면, f의 받침이 유한일 때 다음 부등식 11/IIA ::;: n~=00O - (n + l) ll/xnll2 = n2~= on +1 1 ((n + 1)2IIfx n |I2) 니홈o (n 』 나(효
있을 때, 새로운 함수 s1 -+ i¢ (s)i (l + lsi )2, s E G (16. 9) 가 유계함수이면 ¢는 곱셈자이고 부등식 II< /JII MA ::;; 2~ 설g 1¢
(가) i = 'P, (나) ,p (e) ~ o. (다) 임의의 자연수 n= 1,2 , ... 와 S1, .. . ,S n EG 및 a1, ... , an E C 에 대하여 i~=n l a; = 0 = i,~in= · ii:ai< /J (s-; 1 sJ :;;; 0 이 성립한다. 을 만족하면 임의의 ,1 > 0 에 대하여 ¢ : s 1-+ e 저 (S)’ sE G (16.11) 가 양부호함수이다 . 위 조건 (가), （나) (다) 롤 만족하는 함수를 음부호함수라 부 른다. :~Ca>~ · 임 의 의 S1 , ... , Sn E G 와 S1 , .. . , Sn E C 가 주어 져 있 을 때 , g = —접 S i 라 두고 e, S1, ... , Sn E G 와 S, Si , ... , S 루 C 에 대하여 (다) 와 (가) 률 적용하여 계산하면 0 리/3 12
임을알수있다. 따라서 nXn 행렬 〔入RsJ + .-1¢ (sj) - J.¢ (s-;1sj) ]?, j=I 이 준양부호행렬이고, 이 행렬의 각 요소에 지수함수를 취하여도 양부호행렬이다. 따라서 임의의 ai. ... , an E C 에 대 하여 /3j = aj e xp ( - A#(sj) ), j = 1, 2, ... , n 이라놓으면 i,2jn= l Z a沖 (s-;1sj) = i.,~ jn= I a ;aj e xp ( - 11 0 에 대하여, 자유군 G 에서 정의된 古c:卜, 기^-
기저를 {e
이 제 S1, ... , Sn E G 와 합이 0 인 복소수 ai, ... ,anEC 가 주 어져 있다고 하자. 그러면 i~, jn= . I~ aj •l s ;:-1sj•l = i-,~ jn= - I ~aJ f(s,. ) 一 f(s J 112 = i-,~jn= -l~ aj( II J (s ;)|12 + II/ (sJ 11 2 - 2(/(s;), /(sj) >) n 인데, 참 r j =O 이므로 i,2jn= I云 . a』 • S i 1S』 • = - 2 i., 2in=! Ia ;ai < f (s;) , / (si) >~ o 이 성립한다. 口 이제 (16.12) 에서 정의된 양부호함수 ¢r 를 생각하면 각 s 든 G 에 대 하여 lim A-o O 과 n = O, l, ... 에 대하여 새로 운 함수 ,PA , n : G - C 를 다음 'PA , n = 歸 = {。~, -Alsl, IIssll >~ on, 과 갇이 정의하자. 그러면 따름정리 16.4 에 의하여 ln i- m| |M¢ 』 - M¢ 』, nll = lni- mll !J,』-,,. nll ~ 2nli~m0 0 lssul>pn e-Alsi (1 + Isl ) 2 =O
이고, 특히 딘fv1 ''•nl l = ll fvl'』 II = ¢A (e) = 1 이 다. 따라서 ,1 > 0 과 n = 0, l, 2, ... 에 대 하여 #m = ||M¢ ,.n |I-1¢A,n 이라 놓으면, 11. M¢ ,,,nil ~ 1, ,1 > 0, n = 0, l, 2, ... ' Ini- m oo| |M ¢ 』, - M 』 = 0 (16 .16) 아 된다. 그런데 'P A,n 은 유한받침을 가지므로, 관계식 (16.15) 와 (16.16) 에 의하여 다음 정리를 얻는다. 정리 16-7. 자유군 FN 의 C*- 대수 C t( F 사 의 유한계수 유계작 용소 그물
제시하여 준다. 이를 보다 체계적으로 살피기 위하여, 일반적인 이산군의 군 C* －대수 Cl(G) 의 원소를 어떻게 표현할 수 있는 가 알아보자. 만일 함수 /: G-+C 가 유한받침을 가지면, (12.19) 에서 정의된 작용소 /\f는 바로 ~sec f (s)As 이다. 따라 서 I E l2(G) 에 의한 작용소 /\f 가 유계이면 llf 를 다음 Af = s~cf (s) As (16 .18) 과 같은 형식적인 합으로 나타낼 수 있다. 만일 /E l'(G) 이면 이는 바로 A(f) 에 불과하다• 등식 (16.18) 을 다룰 때 세심한 주의가 필요한데, G 가 가환 이산군인 경우를 살펴보자. 만일 / E /2(G) 이고 Af E :B(/2( G)) 이면 (12 .23) 에 의하여 Af E At(G ) 이다. 따라서, (12. 4) 와 (11 .3) 을 적용하면 Af 를 적당한 E L00(G) 에 대하여 M¢ 로 나타낼 수 있다. 다시 말하여 등식 ~조f { =M 品 f E /2( G) 이 성립한다. 따라서 J: c-c 가 유한받침울 가진다면 역변환 공식에 의하여 f = ¢ = s검 ;
M¢ = ~ ¢^ ( - s)Me-s = 따^ (s)Me s (16.20) seG seG 로 다시 쓸 수 있다. 따라서 (16.20) 이 노음으로 수령한다면 ¢E L00(G) 의 푸리에전개인 ¢ = s활 (s) es 가 고르게 수렴하여야 한다. 이는 ¢가 C 위에서 연속이더라도 일반적으로 성립하지 않는다. 다시 말하면 A f ECl(G) 라 하더 라도 (16.18) 의 합이 J3(!2( G)) 에서 노음수령한다는 보장이 없 다. 물론 (16.18) 의 합이 J3(/2( G)) 에서 노음수령한다면 Af 는 CHG) 에 들어간다. 정리 16. 3 을 이용하면 자유군에서 (16 .18) 의 형식 적 인 합이 노음수령 할 충분조건을 찾을 수 있다. 정리 16.8. 자유군 G 에서 정의된 함수 / E /2(G) 가 다음 조건 홀 (n + 1) lllxnll2 < oo (16. 21 ) 을 만족하면, Af E Ct (G) 이고 부등식 I|Af |I 三 n고o=oO (n + 1) ||fXnI |2 (16. 22) 이 성립한다. 증명. 각 n = 1, 2, ... 에 대하여 /~ = lJ0lx k 라 두면, 도움정 리 16 . 2 에 의하여 llfn - lm ll,l ~ 효+ 111 /x kll ,l ~ 후 (k + 1) ll/x kll 2
찾아보려 한다. 예를 들어 자유군의 축소 군 C* －대수 C t( F 사 이 단순임울 보이려 하는데, 정리 16.8 이 요긴하게 쓰인다. 우 선 C*- 대수 A 가 단순이 되는 일반적인 상황을 살펴보자. 항등원을 가진 C*- 대수 A 의 원소 x E A 에 대하여 집합 {u*xu : u 는 A 의 유니터리 원이다} 을 포함하는 가장 작은 닫힌볼록집 합을 Ux 라 쓰자. 한편 양선 형범함수 rEA+ 가 다음 성질 r(xy) = r(yx ), f(lA) = 1 을 만족하면 r 를 A 의 궤적이라 한다. 만일 yE Ux 이고 r 가 A 의 궤적이면 당연히 r(x) = r(y) 가 된다. 이산군의 축소 군 C* －대수 Cl (G) 는 (12.24) 에 의하여 궤적을 적어도 한 개 가전 다. 만일 Cl(G) 의 원을 (16.18) 과 같이 나타내면, 이 궤적 tr 는
tr : ~ XsAs -Xe (17 .1) SEC 이다. 명제 17.l. 항등원을 가진 C*- 대수 A 의 각 양원소 x E A+\{0} 가 다음조건 Ux n ClA * 0 (17.2) 을 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. (가) A 는 단순 C*- 대수이 다. (나) A 의 궤적은 기껏해야 하나뿐이다.증명. 만일 f 가 닫힌 양측이데알이라 하자. 만일 .!1 * {0} 이면, x E .J+ \{0} 를 택할 수 있으므로 가정에 의하여 1A 든 sp a n Ux C .!1 이다. 따라서 .J = A 이고 A 는 단순 C*~ 대수이다. 임의의 x E A+\{O} 에 대하여 가정을 적용하면, a1A e Ux 인 a E C 를 찾 울 수 있다. 만일 n 과 r2 가 A 의 궤적이면 r1 (x) = ri (al11) = a = r2 (al11) = r2 (x) 이다. 그런데 A+ 가 A 를 생성하므로 n = r2 임을 알 수 있다 .12) □
12) 만일 A 가 궤적 r 를가지고명제 17.1 의조건을만족하면,실제로 Ux n ClA = {r(x)l 사 임을 알 수 있다.
비가환자유군 G 는 그 생성원의 개수에 관계없이 자유군을 생 성하는 무한집합을 가진다. 한 예로 서로 교환하지 않는 원 s, t EG 를잡으면 {s-rts r : r = 1, 2, ... } (17 . 3) 은 자유군을 생성한다. 따라서 자유군 G 의 부분집합 E 가 자유 군을생성하고 !2- 함수f :G 一 C 의 받침이 EUE-1 에 들어가 면, 정리 16.8 과 (16.23) 에 의하여 ll'1 fll ~ 2111112 (17 . 4) 가 성립한다. 도움정리 17.2. 자유군 G 의 무한부분집합 E = {Si : i = 1, 2, ... } 가 자유군을 생성한다고 가정하자. 그러면 각 s E G 에 대하여 s 와 교환하는 E 의 원은 기껏해야 한 개이다.
증명. 만일 s E G 와 Si E E 가 교환한다면 S, Si 로 생 성 된 부 분군은 가환자유군이므로, 적절한 정수 m,n 과 aE G 에 대하 여 S = am, Si = an 으로 쓸 수 있다. 13) 만일 s 가 sj E E 와 교 환한다면, 마찬가지로 s = bl, Sj = bk 가 된다. 따라서
13) 자유군의 부분군이 항상 자유군임 을 기억하라.
sJ = blnk = 군 = amnk = S 만 인데, E 가 자유군을 생성하므로 &=s j가 된다. 口 도움정리 17.3. 자유군 G 의 무한부분집합 E = {s; : i = 1,2 , ... } 가 자유군을 생성한다고 가정하자. 그러면 각 x = S철 c x 먀 E CHG) 에 대하여 등식 나+,i,홍 As i xAs,- J —XeA ell 여 (G) = Q (17. 5) 이 성립한다. 증명. 지면을 절약하기 위하여 µn(x) = —n1-2 i., T ~n= .I tls {.. x A s;l (17. 6) 받라 침쓰울자. 가 지그러는 면경 우||µ에n ( x)(1 II 7:.:; :5 )l lx를ll 이증므명로하, 면x 된= 다A. ( f)이 이를고 위 f하 가여 유s 한* e 에 대하여 µn(As) 의 노음을 생각하자. 만일 ssi = sis 이면 험 s{AsAs,一 j ll = II 접 Asll = n 이다. 한편 SSi * sl·s 인 경우 I = j~=n l os{ss -;i 라 두면 그 받침
{s1ssij : j = I, 2, ... , n} 이 (17.3) 에서 보는 바와 같이 자유군을 생성하므로, (17.4) 에 의하여 II 訖 AsAs ii ll = IIAf l l :,:;; 211/112 = 2/n 임을 알 수 있다. 그런데 도움정리 17.2 에 의하여 s 와 교환하는 S j는 많아야 한 개이다. 이러한 것이 하나 있으면 부등식 屈 (As) |I < 占훔 l| 접硏 sAs,- JI I ~ --1;T ( n + 2 (n - 1) /n) <言3 이 성립하고, 하나도 없으면 마찬가지 방법으로 부등식 IIµ 晶)|| ~¼,2n/ n=¾ 이 성립함을 알 수 있다. 이제 J : c-c 가 유한받침울 가지면 llµnUU)) —f( e )Aell = Ilse 공t e/(s)µ 品 )II < 훑 {e} l/(s)| 去一 。 이 되어서 증명이 끝난다. 口 위 도움정리는 C t (F 사 이 조건 (17.2) 를 만족한다는 것을 말 해 준다. 따라서 다음을 얻는다. 정리 17.4. 자유군의 축소 군 C*- 대수 Ct (FN ) 은 단순 C*- 대수
이고 유일한 궤적을 가진다. 이제 또 다론 방법으로 정리 17.4 를 증명하여 보자. 이 방법 역시 명제 17.1 을 쓰지만, 정리 16 . 8 울 피하고 자유군의 대수적 인 성질을 사용하므로 여러 가지 다른 이산군에 대해서도 적용할 수 있다는 장점을 가진다. 먼저 힐버트공간의 작용소노음에 관한 간단한 성질을 하나 짚고 가자. 도움정리 17.5. 힐버트공간 %의 유계작용소 X E J3(%) 와 정사 영 P E 13(%) 가 관계식 (1 - p)x ( l — p) = 0 을 만족한다고 하자. 만일 ~ E JC, 11~11 = 1 이면 부등식 |
성질을 살펴보자. 도움정리 17-6. 임의의 유한집합 F c G\{e} 와 자연수 N = 1, 2, ... 에 대하여, G 의 분할 G = A U B 와 t1, ... , lN E G 가 존재하 여 다음 성질 (가) 각 s E F 에 대 하여 sA n A = 0 이 다. (나) j, k = 1, 2, ... , N 가 j -=t= k 이 면 t;B n tkB = 0 이 다. 이 성립한다. 증명. 군 G 의 생성원 a 를 하나 잡자. 그러면 각 sEF 에 대하여 ansa-n 의 시작과 끝이 모두 a 의 거듭제곱이 되도록 자 연수 n 을 택할 수 있다. 이제 a-n 으로 시작하는 축약단어들의 집합을 A 라 두고 B = G\A 라 하자. 한편 a 가 아닌 또 다른 생성원 b 를 택하여 tk = bkan, k = l,2, ... ,N (17 . 7) 이라놓자. 만일 sEF 이고 t EAnsA 이면, a 아닌 다른 생 성원의 거듭제곱으로 시작하는 r, r' 드 G 가 존재하여 t = a-nr = sa-nr' 이 성립한다. 그런데, ansa-n 이 a 의 거듭제곱으로 시작하고 끝 나므로 r=ansa-nr’ 도 a 의 거듭제곱으로 시작한다. 이는 모순 이므로 (가)가 증명되었다. 이제 (나)를 보이기 위하여 j,k = 1, 2, ... , N 이고 t E tjB n t,J3 라 가정하자• 그러면 적절한 r, r' E B 에 대 하여 t = tir = tkr ' 아고, 따라서 r = tT1 t,.r ' = a-nbk-ja nr'
이 된다. 만일 k —j * 0 이면 r’ 이 a-n 로 시작하지 않으므로 r 은 a-n 로 시작되어서 모순이다. 따라서 k= j이다. 0 자유군 의에도 도움정리 17 . 6 의 성질을 만족하는 군이 많이 있는 데, 우선 이러한 성질을 이용하여 축소 군 C* －대수 C:(G) 의 단 순성을 증명하자. 이를 위하여 도움정리의 (가), (나) 가 말하는 바를 작용소의 성질로 옮겨 보자. 만일 l2(A) 로 떨어지는 /2( G) 의 정사영을 p라 쓰면, 각 k = 1,2, ... ,N 에 대하여 pk = At* (1- p),1,; 1 는 /2(tk B ) 로 떨어지는 정사영이다. 따라서 (나) 가 말하 는것은 {pk : k = 1,2 , ... ,N} 이 서로 수직인 정사영이다 (17.8) 란 점이다. 한편 s E F 이고 r E A 이면 AsPor = Asar = osr 이 므로, （가) 에 의하여 PAsP = 0, s E F (17.9) 임을 알게 된다. 도움정리 17.7. 이산군 G 가 도움정리 17.6 의 성질을 만족한다고 가정하고 FcG\{e} 가 유한집합이라 하자. 만일 x=S집 .x ,k EC t (G) 가 자기수반작용소이면, 적절한 l1, ... , ls E G 에 대하여 부등식 隣건 xA t ;II| < 훑 llxll (17.10) 이 성립한다. 증명. 군 G 의 분할 {A,B} 및 ti, ... , ts E G 가 도움정리
17.6 의 (가) 와 (나) 를 만족한다 하고, 12(A) 로 떨어지는 12(G) 의 정사영을 P 라 두자. 또한 pk = lltk (1 - PH,-;1, k = 1, 2, ... , 5 라 놓으면, (17.9) 에 의하여 (1 - pk) AxAIkI (1 - pk) = (At *pA Ikl) AxAIkI (At kp A / ;; I) = At* px p At ; l = O 이 성립한다. 이제, 노음이 1 인 각 ~ E /2(G) 에 대하여 도움정 리 17.5 를 적용하면 K(강 lJ1 A t ,.XA1;1)~. ~>|~ ½il l<11 t .. XA1; 1 ~. ~>| < —52 k~5=. Il IA t, .X A1; 1II • IIPk~II < 鈴k=l llxll • IIPk~II 임을 알 수 있다. 따라서, 부등식 (홈 1ak)2 조 n g쇼, a1, ... ,anElR 과 (17.8) 을 이용하면 l<(½ tl 모기f, E> I궁 ( 양 ~llxll2IIPk~ll2) 삼 = 훑 llxll( 1J1 IIPk~ll2Y 三훑 llxll
이 되는데, x 가 자기수반작용소이므로 원하는 부등식 (17.10) 을 얻는다. D 정리 17.8. 이산군 G 가 도움정리 17.6 의 성질을 만족하면, C:(G ) 는 단순 C*- 대수이고 유일한 궤적을 가진다. 증명. 임의의 양원소 x E CHG)+ 에 대하여, 유한집합 F e G\{e} 및 y E 홉} YsAs E C!(G)+ 를 잡아서 II (x - tr( x) Ae) — YII < € 이 되도록 할 수 있다. 도움정리 17.7 을 반복하여 적용하면 11 -ir흡 U{YUi ll < € 가 되는 유니터리들의 유한집합 {U; : i E I} 를 택할 수 있다. 여기서 #I 는 물론 I 의 개수를 뜻한다. 따라서 潟 U tX U; - tr(x) Aell = 11 -ir흡퍼 (x 一 t r( 述 )U i ll < 苗꼽파 (x — tr( x)Ae - y) u;II + 11 -ir꼽 U t YU i ll < 2€ 이 성립하고, 명제 17.1 을 적용할 수 있다. D 도움정리 17.6 의 성질을 만족하는 이산군을 파워스군이라 부른 다. 앞에서 언급하였듯이, 평균가능군 G 의 축소 군 C*- 대수
Cl(G) 는 단순이 아니므로 파워스군은 평균가능하지 않은데 이 를 바로 증명하여 보자. 만일 m 이 파워스군 G 의 왼쪽불변평균 이라면 도움정리 17.6 의 (가) 에 의하여 m(A) < }이고, (나) 에 의하여 m(B) < ＼이다. 그런데 N = 3,4, ... 인 경우 m (G) = m (A) + m (B) 국 내 < 1 이므로 모순이다. 한편 정리 12.6 의 증명과 갇은 방법을 이용하 면, 이산군 G 의 각 켤레류 위의 상수함수가 Cl(G) 의 중심에 들어감을 알 수 있다. 따라서 파워스군은 무한켤레군인데, 이것 도 바로 증명할 수 있다. 이를 위하여 s=I =- e 인데 그 켤레류 Fe G\{e} 가 유한이라 가정하자. 각 j = 2,3, ... ,N 에 대하여 Sj = tj-1s tj E F 라 두면 t1 B n tjB = 0 이므로
st1 B c stjA = tjsjA c tjB 인데, N ~ 3 인 경우 t2B n t3B = O에 모순이다. 참고문헌 완전양사상은 논문 [55 ]에 서 연구되기 시작하였는데, 같은 논문에 서 정리 14.2 의 (가) _ (다) 가 증명되었다. 명제 14.1 과 14.4 는 [42] 에 있는 내용을 따온 것이다. 한편 정리 14.4 는 본질적으로 [51] 에 의한 것인데, 이 논문은 [46 ]과 함께 C*- 대수의 텐서곱과 점근성질을 체계적으로 연구하기 시작한 논문이다. 정리 14.9 나 정리 15.4 및 15.5 에 관련된 문헌이나 역사적인 배경은 [17] 의 4 장을 참 조하라. 자유군에 관한 16 절의 내용은 [48] 의 내용을 거의 그대로옮겨 놓은 것이다. 바나하공간의 거리점근성질에 관하여 더 알고 싶 은 이는 참고문헌 [20] 을 참조하라. 명제 17.1 의 가정에 관하여 더 알고 싶은 이는 [49] 등을 참조하라. 정리 17.4 는 논문 〔 5 사 에서 처 음 증명되었는데, 정리 16. 8 이나 이를 이용한 정리 17.4 의 증명은 〔이 의 2 장을 참조하였다. 또한 논문 [3 이 룰 참조하라. 정리 17.8 의 증명은 [54 ]의 논증 방법을 이용한 [5 끽 의 변형이다. 정리 17.8 과 관련된 문헌이나 최근 결과를 알아보려면 [1 낀 의 4.6 철이나 [50], [40 ] 등을 참조하라. 특히 파워 스군의 예 나 그 성 질 등은 [44] , [45] 등을 참조하라. 자유군에 의한 군 C*- 대수 C*( lF'사 역시 여러 가지 독특한 성질들을 가지고 ([41], [5 칸) 이러한 것들은 일반적인 C*- 대수의 해당 성질들을 연구하는 계기가 되었는데, 역시 [17] 의 4.6 철을 참조하라.
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At 140 A~ 141 Ad 196 A' 65 A 204 Ar 137 A,i , 39 Af 81 Ah 141 An 121 A (C) 151, 158, 159, 184, 185 A(G) 78, 91 A®*B 197, 200, 207 B ( G) 93, 145, 146, 147, 150, 185 B(G) 79 BA(C) 150, 186 1J (J(J) 45, 99, 152, 160, 165, 209 ct 109 C(X) 53 c• (C) 135, 167 c• (G) • 145 Ct ( C) 134, 167 Ct (G) • 150 Ct (F 사 210, 225 Cb(G) 175 Cb(G) 79 Co(G) 27 Cc ( G) 14, 168 ds, dt 21 Em 210 E11 100
et 88 eu 54 Fr 165, 209 f* 29 ft 13 fIt 4103 f 76 II/lie 135 11111. 134 f*g 25 (/;g) 15 C 71, 76 Je, 52 %'* l11 Je1 0Je 2 110 Je1 ®J e2 110 idn 188 In 55 K(X) 160 L1 (G) 26, 29, 48, 50, 51, 119 U(G) 33 L, 52 B ( G) 170, 175 Bt (G) 172 M, 186, 192 Mn 209 Mn(A) 189 M ( G) 27, 29, 34, 48 M(G)+ 81 .MA{A (1 G20), 15168 5, 192
.A1o 120, 135 .,4,(,F 120 .A1 (Fr) 167, 209 .A1 ( G) 154, 158, 163 .A1( G)' 163 .A1 ( G) * 157, 168 .A1( S) 167, 209 .A1( Z) 167 M1 187 〔 A 인 159 ID1(G) 169 m, 184 짜 187 0 (3) 131 0(4) 126 O(n) 132 p(f 106 P ( G) 39, 44, 82, 83, 93, 140, 141, 167, 193 P(G)1 60 P(Z) 168 PA ( G) 149, 167 R 12, 79 S3 126 s3 122, 124 s. 124 SA 143 s... 165, 180, 209 Sn 121 S (A) 196, 202 SSL0((23,) R)1 311 81
SU(2) 126 s 。 (A @ B) 199 ®(G) 168 sg n 121 Isl 210 so-lim 152 sup p/ 13 Tr 54, 99 T~ 197 T ( G) 96, 109, 115 Y(X) 99 _T 12, 79, 95 tr 164, 225 Ux 225 U(n) 132 UCb (G) 173, 175 UCJ (G ) 173 UCt (G ) 173 U(M) 46 uc-lim 168 V11 100 Ve 109 v& l15 wo-li m 152 x1®x2 110 XT 156 Z 12, 79 Zn 80 fl. 20 fl.A 77 8 e 28 Ag 16
AE 162 Af 222 11 46, 57, 95, 105, 134, 143 µ* 28 µ 78 µ* ll 27 Qs 115 Q 114 (I} rg.n 146 (J)t 143, 198 ~®TJ 101 gE¢ 153l l m 52 Jr'U, 135 元 112 7(® 6 111 p 46, 57, 100, 104 p(g) 42
~ 119 6n 128 6 99 an 131 ¢* 141 r/J+ 144 ¢- 144
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기 가환군 abeli an gr oup 71, 134, 154, 177 강작용소위 상 str o ng op e rato r top o log y 152 거 리 점 근 성 질 metr i c ap pr oxi- mati on pr op e rty 221, 235 겔 판트 I. M. Gelfa n d 69, 72 겔판트-나이마크-시갈 구성 Gel- fan d-Neumark-Sega l con-str u cti on 72 계 수 함 수 coeff ici e n t fun cti on 109, 113, 147 고른연속 unif orm ly conti nu ous 13, 31 곱셈 자 multip lier 184, 216 곱하기 convoluti on 25 교대 군 alte r nati ng grou p 121 교환자 commuta t o r 65, 152 국소옹골위 상군 locally comp a ct top o log ica l grou p 12 군대 수 grou p alge bra 25 군 작용소대 수 grou p op e rato r alge bra 183 군폰노이 만대수 grou p von Neu-mann alge bra 151, 154, 201 군 C*- 대 수 grou p C*-alge bra 134, 135, 224 궤 적 tra ce 54, 164, 167, 209,
225, 229, 233 극대 가환 폰노이만대수 max i ma! abeli an van Neumann alge b ra 156 근방 neig h borhood 12 기 약표현 irr educ ibl e rep re sen- tat i on 46, 60, 67, 68, 70, 97, 98, 100, 108 길 이 leng th 210 꼬임 작용소 int e r tw i ni n g op e ra- to r 57, 102 꼭지 점 extr e me po in t 60 L 나이 마크 M. A. Neumark 72 C 다나까 T. Tannaka 115 단사인자 inj e c ti ve fac to r 209 단사 폰노이만대수 inj e c ti ve von Neumann alge bra 205, 207, 208 단사 C*- 대수 inje c ti ve C*-alge b ra 208 단순 C*- 대수 s i m p le C-alge bra 224, 225, 228, 233 대 칭 집 합 sym m etr i c set 12 대 칭 함 수 sym m etr i c fun cti on 24 동등 equ iv a lent 166
디 락 측 도 Dira c measure 28, 30, 54, 88 디 리 클렛 핵 Diri c h let kerrnel 31, 81 己 라이 코프 D. A. Raik o v 69 류함수 class fun cti on 107 □ 모 듈 라 함 수 modular fun cti on 22 무 한 켤 레 군 inf i ni t e conju g a cy class grou p 165, 234 닌 바나하대 수 Banach alge bra 27 바나하 * － 대수 Banach *- alge bra 28 바일 Hermann Wey l 98, 104 반캄펜 E. R. van Kamp en 92 보편표현 univ e rsal rep re senta - tion 135, 207 복소준동형 comp le x homomor- phism , mult iplica ti ve line ar fun cti on al 71, 77 부분군 subg rou p 178, 180, 224 부분동거 리 작용소 par t ial iso me- try 166
분리 벡 터 sep a rati ng vecto r 159 불 변 공 간 inv aria n t subspa ce 46, 65 비 되 화표현 non-deg e nerate rep- resenta t i on 47, 59 뽕트리 야겡 L. S. Pontr ya g in 92 人 사원수 qu ate r nio n 126 삼 각 다 항 식 tr ig o nometr ic po lyn omi al 96, 109 순 양부호함수 pu re po sit ive def- ini t e fun cti on 60, 64, 65, 68, 77 순환벡 터 cy cl ic vecto r 53, 159 순환표현 cyc lic rep re senta t i on 53, 56, 59, 140, 191 슈르 I. Schur 102 시 갈 I. E. Sega l 72 쌍대 dual 71 쌍대 군 dual grou p 71 쌍대 정 리 duali ty the orem 88, 92, 109, 132 。 약작용 소 위 상 weak op er ato r top o log y 152 양 선 형 범 함 수 po sit ive line ar
fun cti on al 18, 52, 136, 139, 201 양선 형 사상 po sit ive line ar map 43, 188, 204 양 부 호 함 수 po sit ive defi ni t e fun cti on , fun cti on of po si- tive type 36, 37, 39, 40, 51, 56, 58, 77, 192, 217, 218 연속유한인자 conti nu ous fini t e fac to r 167 오른쪽불변측도 rig h t inv aria n t measure 19 오른쪽정 규표현 rig h t regu la r rep r esenta t i on 46, 100, 104 옹골군 comp a ct grou p 21, 80, 97, 119, 135, 104, 177 완전 양사상 comp le te l y po sit ive line ar map 188, 189, 191, 192, 196, 197, 208 완전양사상 접근성 질 comp le te - ly po sit ive app ro xim ati on pr op e rty 195, 196, 200, 204, 206, 207, 210 왼쪽불변측도 left inv aria n t measure 19 왼쪽불변평균 left inv aria n t mean 170, 171, 177, 206 왼쪽정 규표현 left regu la r rep re -senta t i on 46, 52, 95, 134, 154 위 상군 top o log ica l grou p 12
위상적 왼쪽불변평균 top o log i- cally left inv aria n t mean 172 유니 터 리 unit ar y 46, 118, 225 유니 터 리 군 unit ar y gr oup 121, 125 유니 터 리 동 치 관 계 unit ar ily equ iv a lent 57 유니 터 리 표현 unit ar y rep r esen- tat i on 45, 46, 58 유 니 터 리 행 렬 unit ar y matr i x ll8, 126 유한계 수사상 line ar map of fini t e rank 194, 221 유한군 fini t e grou p 81, 121 유한인자 fini t e f ac to r 166 유한 폰노이 만대 수fi n it e von Neumann alge bra 166 음부호함수 neg a ti ve defi ni t e fun cti on , fun cti on of neg a - tive type 217 이산군 dis c rete grou p 12, 21, 39,80, 161, 193, 194,206, 233 이 차식 sesqu i- line ar for m 44 인자 fac to r 165, 208, 224 x: 자기수반 선형 범 함수 self- a djo i n t line ar fun cti on al 141 자 기 수 반 작 용 소 self- a djo i n t op e rato r 66
자 유 군 free grou p 165, 180, 210, 221, 225, 226, 228 전치 사상 tra nspo se map 188 점 근성 질 ap pr oxim ati on pr op - erty 183 점 근항등원 app r oxim ate ide n- tity 33, 48, 137, 139 정 규선 형 범 함수 normal lin e ar fun cti on al 161 정 규표현 reg u lar rep re senta ti on 105 정 사영 pro je c ti on 66, 166, 167, 209, 229, 232 준양부호행 렬 po sit ive semi -d ef- ini t e matr i x 39 준이 산폰노이 만대수 semi -disc rete von Neumann alge bra 209 중심 cente r 164 중심 함수 centr a l fun cti on 107 지표 characte r 47, 71, 105, 111, 129 직 교군 orth o g o nal grou p 126 天 초유한대 수 hy pe rfin i t e v on Neu-mann alge bra 209 축소 군 C*- 대수 reduced grou p C*-alge bra 134 치 환공식 substi tut i on for mula 23
치환군 sym metr i c grou p 121 =? 켤 레 류 conju g a cy class 107, 127, 165, 234 켤레표현 conju g a te rep re senta - tion 112, 113 코시-쉬바르츠 부등식 Cauchy - Schwarz ine qu a li ty 44 콘볼류션 convoluti on 25 E 텐 서 곱 ten sor pr oduct 110, 111, 117, 196, 200, 234 고 파워 스 R. Powers 233 파워 스군 Powers grou p 233 페 제 르핵 Feje r kernel 31 평 균 mean 170, 175 평 균 가 능 군 amenable grou p , moy e nnable, mi ttle bare 167, 177, 195, 206, 210, 233 평 행 이동 tra nslati on 13 폰노이 만 J. von Neumann 153 폰노이 만대 수 von Neumann alge bra 154 표현 rep re senta ti on 47, 113 푸 리 에 대 수 Fourie r alge bra
78, 151, 157 푸리에변환 Fourie r tra nsfo r ma- tion 76 푸리 에 -스틸체 스대 수 Fourie r - St iel tj es alge bra 79, 134, 145, 148 푸리에-스틸체스변환 Fourie r - Sti el tj es tra nsfo r mati on 78, 88 푸 리 에 역 변 환 공 식 Fourie r inv ersio n for mula 83, 94 플랑셰롤변환 Plancherel tra ns- for mati on 91, 135 피 터 F. Pete r 98, 104 끈 하르 A. Haar 21 하르적 분 Haar int e g r al 12 합 dire ct sum 47 핵 C*- 대수 nuclear C*-alge b ra 207
행 렬 대 수 matr i x alge bra 54, 165, 166, 188, 209 확장성 질 exte n sio n pr op e rty 201 확장정 리 exte n sio n th eorem 202 * -대 수 * -alge bra 28 * -표현 * -rep r esenta ti on 47 c·- 대수 C*-alge bra 46, 135 In- 인자 In-fa c to r 209 I. . ...:인 자 1. . -fac to r 209 111- 인자 Iii -fac to r 167, 209 II .. -인자 II .. -fac to r 209 III- 인자 III-fa c to r 209 Illo-인 자 III 。-fa c t or 209 IIL- 인자 IIL-fa c to r 209 n- 양사상 점 근성 질 n-po sit ive ap pr oxim ati on pro p e rty 221 n- 양선형사상 n-po sit ive line ar map 188
계승혁 서울대학교 수학과 졸업 . 동 대학원 석사 및 박사 성심여자대학교 수학과 조교수 역임 현재 서울대학교수학과부교수 군과조화해석 대우학술총서·자연과학 120 1 판 1 쇄 펴냄 1998 년 4 월 5 일 지은이 계승혁 펴낸이 朴孟浩 펴낸곳 (주)인옵^t 출판등록 1966. 5. 1 9. 제 16-490 호 서울특별시 강남구신사동 506 대표전화 515-2C XX>, 팩시밀리 515-2007 값 15, 야 0 원 © 계승혁, 1998 대수학, 군론 KDC/412.86 Pri nt e d in Seoul , Korea ISBN 89-374-3620-5 94410 89-374-3CX X>- 2 (세트)
1 대우학술총서 I ! I I 1 소립자와 게이지 상호작용 김진° 43 후리에 해석과 의미분 작용소 86 등각장론 임채호 2 동력학특론 아병호 김도한 87 방사선생물학 남상열 3 질소고정 송승달 44 한국의 고생물 이하영 88 석유지질학 이용일 4 상전이와 임계현상 김두철 45 질량분석학 김명수 89 베르누이 시행의 통계적 분석 5 촉매작용 진종식 46 금변론 박대현 배도산김성인 6 뫼스바우어 분광학 옥항남 47 생체에너지 주충노 90 신경세포생리학 강만식 7 극미량원소의 영양 승정자 48 리이만 기하학 박을룡 91 생리활성을 가진 C-P 화합물의 8 수소화봉소와 유기봉소 49 군표현론 박승안 화학 김용준강익중 화합물 윤능민 50 비선형 편미분 방정식론 하가식 92 생물유기화학 서정헌 9 항생물질의 전합성 강석구 51 생체막 김형만 93 조직배양 김승업 10 국소적 형태의 Aliy a h-sin ge r 52 수리분류학 고철환 94 유기전이금속화합물 조남숙 외 지표이론 지동표 53 찰스 다윈 정용재 95 실내환경 과학 김윤신 11 Mucop ol y sacchar i des 의 54 금속부식 박용수 96 유한요소법 정상권 생화학 및 생물리학 박준우 55 양자광학 이상수 97 대수적 위상수학 우무하 • 김재룡 12 천체물리학 홍승수 56 효소반응 속도론 서정현 98 파인만 적분론 장건수 13 프로스타글라딘 합성 김성각 57 화성암 성인론 이민성 99 응용 미생물학 박무영 14 천연물화학연구법 우원식 58 확률론 구자홍 100 리보플라빈 아상선 15 지방영양 김숙희 59 분자 분광학 소현수 101 노화 김숙회 • 김화영 16 결정화유리 김병호 60 벡터속 이론 양재현 102 매트릭스 격리분광학 정기호 17 고분자에 의한 화학반응 조의환 61 곤충신경 생리학 부경생 103 신경계 조직배양 김승업 18 과학혁명 김영식 62 에너지띠 이론 모혜정 104 지구화학 김규한 19 한국지질론 장기홍 63 수학 기초론 김상문 105 은하계의 형성과 화학적 진화
