그림 2-100 Al 에서 고차 라우에 존 선을 이용한 격자 상수 측정법의 예.

그림 2-101 B ◄ C-AI 도성 합금에서 Al 격자 상수의 비교. (a) 응력 변형 이

에 존 선이 정삼각형이 아니며 잔류 인장 응력으로 삼각형의 크 기가 감소하고 고차 라우에 존 선의 폭이 넓어졌다. 수령 각을 점점 증가시키면 회절 원반의 크기가 점점 증가하는 데 그립 2 - 86(a) 와 같이 이런 원반 상에서 인접한 원반이 서로 겹치지 않는 형태를 코셀구결렌스테트 회절상이라 하고, 아때 동 력학적 회절로 두과 원반과 회절 원반 내부에 앞에서 나온 고차 라우에 존 선과 밝고 어두운 평행선으로 구성된 코셀-필렌스데트 줄무늬가 나타난다. 운동학적 회절에서 회절 점의 강도는 식 (2-305) 에서 /g ( S 1, S2, S3 ) = FgF .; si n2（ (福1C )s21 N1 ) si n2區 (1C )s22 N2) s i균區 (1Cs 3) 2N :갑 (2-305) 와 같이 편차 변수 S1, S2 , S3 에 따라 변한다. S 2 와 S3 가 O 이 면 회 절 점의 강도는 윗식에서 IAs1) = FgF ; ~ (2- 35 3) 로 S1 에 따라 변한다. *식 ( 3-182) 에서 Fg =1? 이므로 대입하 면 Ig( s1) = (koQ )2 ~ (2-354) 이 된다. 시편에 어떤 일정 범위의 수렴 각으로 빔울 입사시켜 회절 원반이 만들어질 때, 원반의 각 부위에 도달하는 전자는 각 각 다론 편차 변수를 지니고 있어, 원반 내의 강도 분포는 원반 을 가로질러 편차 변수의 변화에 따른 강도 분포를 나타낸다.

이와 유사하게 동력학적 회절은 편차 변수의 변화로 회절 원반 내부에 강도의 변화를 만들어 내어, 그림 2-1029 -} 같이 밝고 어 두운 평행한 코셀-뮐렌스테트 줄무늬를 만든다. 그리고 동력학적 회절 조건에서 (3 장 3-3-3 절) 문제를 간단하게 하기 위해 2- 빔 조건으로 회절상을 만들면, 식 (3-240) 에서 암시야 상의 강도 분 포 Ig 를 얻는다. 회절상에서 회절 점이나 회절 원반은 암시야 상 이나 명시야 상의 축소판으로 생각할 수 있으므로, 암시야 상의 강도 분포 Ig 는 회절 원반의 강도 분포가 된다. 그러므로 식 (3 -240) 에서 이때 줄무늬가 있는 회절 원반 내부의 강도 변화는 Jg =겹군 sin (2 습(1r )s2 t) (2-355)

그림 2~102 2- 빔 조건에서의 수령성 빔 전자 회절상. (©김궁호, 1996)

이고, ~g는 소멸 거리 exti nc ti on dis t a n ce, t는 전자 빔이 입사 하는 부분의 시편 두께, 그리고 5 는 2- 빔 조건에서 유효 편차 변수이다. 유효 편차 변수는 한 = s2 + +Ezg (2-356) 로 정의된다. 줄무늬의 검은 선은 강도가 0 인 sin 2 (처홍) = O (2-357) 죽 ts = n 일 때이다. 여기서 n 은 정수 1, 2, 3, …이다. 식 (2 -356) 에 강도가 0 인 조건을 대 입 하면 (?)2 = ―言(닌 2 + 끔 (2-358) 이다. 여기서 s,는 강도가 0 이 되는 편차 변수이다. 키쿠치 회절 에서 편차 변수를 구하는 식 (2-336) 과 (2-337) 에서 151 = x L.,d1 h kl X (2-359) d ikl phk l 이므로, 이와 유사하게 회절 점과 키쿠치 선간 거리 X 대신 줄무 늬가 있는 회절 원반의 중심에서 i번째 강도가 0 인 죽 강도가 최 저인 검은 선까지의 거리 L i를 대입하고 키쿠치 밴드 폭 Phkl 대 신 회절상에서 두과 원반 중심과 회절 원반 중심까지의 거리 L 。 룰 대입하면 편차 변수는 1 리=d」~kl 뇨L 。 =mk 뇨L 。 (2-360)

가 된다. 예를 들면, i = l, 2, 3··· 와 같이 각 i에 대한 s,． 는 윗 식에서 계산할 수 있다. 식 (2-360) 에서 x 축에 1/ 같을 y 축에 (s J n)2 을 그리면 기울기에서 소멸 거리를, y 축과의 절편에서 시 편의 두께를 구할 수 있다 [35~37]. 수령성 빔 전자 회절은 결정의 점 군 및 공간 군을 결정할 수 있는 대칭 정보를 가지고 있다 [38~40, 2-15]. X- 선 회절과 일반 적인 전자 회절에서는 프리델의 법칙에 따라 (hkl) 과 (li 囚 [） 면에 서의 회절을 구별할 수 없으므로, x- 선이나 일반 전자 회절에서 는 결정의 32 접 군을 11 라우에 군으로만 구분해 낼 수 있다. 그 러나 수령성 빔 전자 회절에서는 전자 빔의 수령 각이 크므로 고 차 라우에 존 회절이 잘 일어나는데, 고차 라우에 존 회절은 3 차원적인 정보를 포함하고 있다. 고차 라우에 존과 영차 라우에 존 사이의 상호 작용으로 인한 3 차원적인 정보를 또 수렴성 빔 전자 회절상은 포함하고 있다. 먼저 결정의 <0 01> ,< 0 11> ,< 1 11> 같은 저지수 고대칭 정대 축의 회절상에서 회절 도형의 전반적인 대칭과 각 원반 내에 존재하는 강도 분포에서 나타나는 대칭을 분석하여 이 정보를 이용하여 점 군을 알아낸다. 명시야 회절상 br ig h t-fi eld p a tt ern 은 투과 빔인 000 원반 내의 고차 라우에 존 선이 만들어 내는 대칭을 지니게 되는데, 이 대 칭을 명시야 대칭이라고 한다. 그립 2-10~ Si 의 [111] 정대 축 에서 찍은 수령성 빔 전자 회절상으로 명시야 회절상을 보여주고 있다. 전체 회절상 whole p a tt ern 에는 가운데의 영차 라우에 존 회절상과 바깥 부분에 있는 고차 라우에 존 환과 고차 라우에 존 키쿠치 선에서 대칭을 나타내게 되는데, 이 대칭을 전체 회절상 대칭 whole pa tt er n sym metr y 이라고 한다. 수령성 빔 전자 회 절로 전체 결정의 대칭 정보를 얻을 수 있도록 큰 집속 조리개를

그림 2-103 Si [111] 정대 축으로 찍은 수렴성 빔 전자 회절상.

사용하여 모든 회절 원반들이 겹치게 하여 고차 라우에 존 환이 연속이 되도록 하면, 이때 고차 라우에 존 선과 키쿠치 선 대칭 이 결정의 대칭을 그대로 나타낸다. 예를 들면, 면심 입방 결정 (fe e) 에서 <1 11> 정대 축으로 찍은 영차 라우에 존 키쿠치 회절 상은 6- 중 회전 대칭을 나타내는데 큰 수령 각을 사용한 수령성 회절상은 실제 이 결정의 정확한 대칭인 3- 중 회전 대칭임을 정 확히 나타낸다 [2-16]. 그림 2-10 ,H근 Si 의 [111] 정대 축으로 찍 은 수령성 빔 전자 회절상으로 고차 라우에 존 환의 대칭에서 일 반 회절상이 나타내는 6- 중 대칭이 아닌 3- 중 대칭을 나타내고 있다. 이로써 6- 중 대칭과 3- 중 대칭은 구분할 수 있다. 암시야 회절상은 hkl 회절 원반 내에 강도 분포로 대칭성을 나타내 는데 이 것을 암시 야 대 칭 dark-fi eld sym metr y 이 라고 하

그림 2-104 고차 라우에 존 환의 대칭과 키쿠치 선의 대칭으로 이 결정은

고 일반적인 hkl 원반의 대칭인 일반g eneral 과 브래그 조전에 서 만들어지는 hkl 원반의 대칭인 특수 s p ec i al 로 구분한다. 그 리고 영차 라우에 존 회절상은 영차 라우에 존에 있는 000 원반 과 회절된 hkl 원반들에서 대칭을 나타내는데 이룰 두사 대칭 pr oje c ti on sym metr y 또는 영차 라우에 존 대칭 ZOLZ sym me- t r y라고 한다. 명시야 회절상, 전체 회절상, 암시야 상 및 영차 라우에 존 회절상은 2 차원적인 10 개의 점 군인 l, m, 2, 2mm, 3, 3m, 4, 4mm, 6, 6mm 중의 하나를 나타내게 된다 (2 장 2-6-2 절)． 그리고, 士g*에 해당하는 hkl 과 臥H I 회절 점의 암시야 원 반의 대칭 관계에서 결정의 점 군이 반영 대칭을 갖는지 갖지 않 는지를 판별할 수 있다. 일반 전자 회절에서는 모두 반영 대칭을 갖고 있으므로 土홍* 회절 점의 대칭에서 점 군을 결정할 수 있

는 중요한 정보를 얻을 수 있게 된다. 조리개 이동 방법을 사용 하여 까 집속 조리개를 회절 점에 대해 브래그 조건으로 맞추고 회절 원반의 대칭을 분석한다. 표 2 - 1 ()-g.. 명시야 대칭, 전체 대칭, 암시야 대칭, 土효 * 대칭 등과 31 개 의 회 절 군 dif frac ti on gr oup 과의 관계 를 나타낸 표이 다. 표에서 명시야 대칭은 명시야 난에, 전체 대칭은 전체 회절 상 난, 암시야 대칭은 암시야 난, 士흉 * 대칭은 士G 난에 각각 표시하였다. 이제까지 저지수 고대칭 정대 축에서 얻은 명시야 대칭, 전체 대칭, 암시야 대칭, 土효* 대칭으로부터 회절 군을 표에서 찾아낸다. 표에서 아래 첨자 R 은 반영 대칭 작동을 나타 낸다. 표 2 一 11 은 회절 군과 32 점 군과의 관계를 표로 나타낸 것 이다. 표 2- 10 에서 회절 군이 결정되면 이 회절 군을 표 2-11 에 넣어서 32 점 군 중의 하나를 결정하게 된다. 운동학적으로 금지된 반사에서 일어나는 동력학적 결핍 선의 존재 여부를 관찰하면 결정의 공간 군을 결정할 수 있다. 결정에 나선 축이나 미끄럼 면이 있으면 운동학적 회절 조건에서는 이 대칭 때문에 금지된 반사가 있다. 동력학적 회절이 일어나면 이 금지된 반사가 소위 움베간레궁 Umwe g anre g un g이라는 일정한 강도를 지니게 된다. 그러나 동력학적 회절 효과에 의해 입사 빔 의 어떤 방향에 대해서는 강도가 사라지게 된다. 아 강도가 사라 지는 현상이 수령성 빔 회절 (CBED) 원반 내부에 검은 선으로 나타난다. 금지된 반사를 긴 카메라 길이로 조사하면 검은 선이 원반을 통하여 보인다. 이 선을 동력학적 결핍 선 또는 GM(Gj ¢nnes-Moodie ) 선이라고 한다. 점 군을 결정하고 여기에 적당 한 나선 축이나 미끄럼 면이 있는지를 조사하면 공간 군울 결정 할 수 있다. 나선 축이나 미끄럼 면의 존재 여부는 동력학적 결 핍 선의 위치와 관계있다 [2-17].

표 2-10 수령성 빔 전자 회절상의 대칭 정보

표 2-11 회절 군과 결정 점 군과의 관계

제 3 장 결상 3 기 현미경 이론 전자 회절 실험에서 우리는 물체에서 나온 회절 정보, 즉 역격 자 공간에서 정보가 무엇인가를 연구하여 물체의 실 구조 real s t ruc t ure 를 알아내는 법을 공부하였다. 이 방법은 실공간 정보 를 얻기 위해 역격자 공간의 정보를 푸리에 변환하여 얻은 간접 적인 방법이기 때문에 여러 단점들이 있다. 우리가 파의 전폭을 직접 측정하는 것은 불가능하고 단위 시간당 단위 면적당 에너지 또는 단위 시간당 단위 면적당 양자 수에 해당하는 강도만을 측 정하는 것은 가능하다. 강도를 측정하기 위해서는 일정 시간 동 안의 측정 결과롤 평균해야 하고 이 강도는 회절 전폭에 그것의 공액 복소수를 곱해 준 것과 같다. 그런데 이런 과정에서 우리는 위상에 관한 정보를 잃어버리게 된다. 파의 진폭은 1Jf = A exp i(2 1rkx - (JJt) = A exp i/3 (3-1) 이고 그 강도는

I = lJflJf* = A exp (i/3) A exp ( 一 i/3) = A2 (3 집) 이 되어 위상 /3에 관한 정보가 강도에는 포함되어 있지 않다. 회절상에서 실제 원래 시편의 정보를 얻으려고 할 때 우리는 푸 리 에 변환울 한 번 더 하는, 즉 역 푸리 에 변환 inv erse Fourie r tra nsfo r m 울 하게 된다. 아 때 회 절 공간에 있는 투과 함수는 파 의 진폭 정보와 위상 정보를 모두 갖고 있으나, 강도 측정시 전 폭에 대한 정보만 얻고 매우 중요한 위상에 대한 정보는 하나도 얻지 못한다. 어떤 물체의 프라운호퍼 회절은 파원, 물체 그리고 관측 면이 모두 무한대로 떨어져 있을 때 관측 면에서 관측되는 파의 진폭 분포인데 이 파의 진폭 분포는 바로 그 물체의 투과 함수의 푸리 에 변환이다. 앞에서와 같이(1 장 1-1-3 절) 렌즈를 사용하여 프라 운호퍼 회절 조건을 만들 수 있다. 파원을 무한대에 두기 위해 서, 죽 물체에 오는 파가 평행한 평면 파가 되도록 하기 위해 우 리는 물체 앞쪽에 렌즈를 두고 렌즈의 초점에 파원을 둔다. 그러 면, 파원이 초점에 있으므로 파원에서 나온 파는 렌즈를 지나 평 행한 평면 파가 되어 물체에 도달한다. 이것은 렌즈가 초점에 있 는 파원을 무한대 거리로 멀리 떨어져 있게 하는 역할을 하는 것 이다. 그리고 프라운호퍼 회절시 관측 면이 물체에서 무한대 거 리에 있어야 하는데 실체 관측 면을 무한대에 둘 수 없으므로 이 를 위해 물체 뒤에 또 하나의 렌즈를 사용하여 물체를 지난 회절 파가 렌즈의 초점면에 모이도록 하여 초점 면에서 관측하도록 하 는 것이다. 이것은 렌즈가 관측 면을 무한대에서 렌즈의 초점 면 으로 끌어당기는 역할을 하는 것이다. 우리는 렌즈의 초점 면에 서 물체의 투과 함수의 회절을 관측하고 이 초점 면을 회절 면이 라고한다.

2 차원 물체 의 투과 함수를 ¢(x, y)라 하자. 렌즈의 초점 면, 죽 회절 면에서 회절 파의 진폭 분포 lf!(L lkx, Llky) = ／그 :¢(x, y) (3-3) exp {-21r i( L lkxx + Llkyy )} dx dy 을 관측하게 된다. 윗식에서 각 점의 회절 파의 진폭 및 위상 정 보를 포함하고 있다. 여기서 우리가 회절 파의 진폭에 포함되어 있는 위상 및 전폭 정보 모두를 그대로 저장한다고 생각하자. 그 리고 이것이 같은 렌즈로 회절이 다시 될 때, 즉 결상이 될 때 투과 함수의 역할을 한다고 생각하자. 그러면 우리가 푸리에 변 환을 두 번 하는 것이 되고, 푸리에 반전 이론에 의하면 회절 면, 즉 결상 면에서의 회절 파의 전폭 분포는 lJf(x ' , y') ~ 1 그:[／그:cp (x, y) exp { 一 21ri( L lkxx + Llkyy )} dx dy ] (3-4) exp {— 21ri( x 'Llkx + y'L lky) } d(Llkx) d(Llky) = ¢(一 x', -y') 이다. 여기서 x' 과 y’은 두번째 회절 면, 죽 결상 면에서의 좌표 이다. 윗식은 물체의 원래 투과 함수가 결상 면에서 반전되어 inv erte d 있음을 나타낸다. 적분의 한계는 양과 음의 무한대이 다. 죽 완전한 모든 정보의 재수집을 위해서는 양과 음의 무한대 범위 내의 모든 회절 정보가 수집되어야 본래 물체 그대로 재현 이 가능하다는 것을 나타낸다. 이것은 모든 푸리에 성분을 수집 하여야 하는 것을 의미하는데 실제의 유한 크기인 렌즈에서는 불 가능하여 완벽한 재현은 불가능하게 된다. 그리고 식 (3-4) 에서

프라임 표시와 -표시가 되어 있으나 종종 간편하게 하기 위하여 생 략한다. 즉 상 면 im age pla ne 에서 의 파를 lJf(x , y) = rp( x, y) (3-5) 라고 표시한다. 죽 상 면에서의 파는 그 물체의 두과 함수로 표시 할 수 있다. 그리고, 이 물체의 투과 함수에 입사 파를 곱하면 물체 를 지 난 출구 표면 파 exit surfa c e wave 가 된다. 따라서 출 구표면 파는 1/f( r) == <

가지고 있는 전폭과 위상에 관한 정보 모두를 푸리에 변환한다. 상 면에서 강도를 측정하면 이제까지 우리가 아는 바로는 얻었던 위상 정보를 측정하지 못하게 된다. 하지만 얻은 위상 정보를 강 도 차이로 나타낼 수 있도록 하는 방법은 나중에 공부하도록 하 자. 상을 만들지 못하는 x- 선이나 중성자로써 우리가 측정할 수 있는 것은 회절 강도이다. 이것을 컴퓨터나 광학적인 방법으로 변환을 하면 패터슨 (Pa tt erson, 1902~1966) 함수를 얻는데 이 함 수는 물체에 대한 정보를 주지만 본래 물체를 나타내지는 못하고 위상에 대한 정보도 전혀 전달할 수 없다〔 1]. 현미경은 렌즈를 이용하여 푸리에 변환을 두 번 하고 확대하는 것을 기초로 하는 데 아베 (Abbe, 1840~1905) 는 이런 원리를 이용하여 현미경 이론 울 개발하였다. 이것이 아베의 현미경 이론아다. 3-1-1 렌즈 전달 함수와 프레넬 전파자 및 줄무늬 l 렌즈 전달 함수 렌즈의 한 쪽 면 상의 점 x 에 입사되는 파가 렌즈의 다른 쪽 표면의 같은 높이에 있는 x 점을 통하여 파가 나온다면, 죽 렌 즈 내에서 파가 광축에 평행하게 진행하여 파의 상하 이동을 무 시할 수 있다면 그 렌즈를 얇은 렌즈thi nlens 라고 한다. 얇은 렌즈는 각 점에서 렌즈의 두께에 비례하는 양만큼 입사 파면을 지연시키는 역할을 한다. 그립 3-1 에서 렌즈의 최대 두께를 4 라고 하고 점 x 에서 렌즈 두께를 d(x) 라고 하자. 두께 d(x) 를 알기 위해 그림 3-1 에서처럼 렌즈를 두 쪽으로 쪼개어 생각해 보자. 렌즈의 곡률 반경을 R 이라고 하면 x 점에서 반쪽 두께는

그림 3-1 얇은 렌즈의 최대 두께를 4, 접 x 에서 렌즈 두께를 d(x) , 렌즈

辛 = 운 _{ R -(R2 —X2 )li2 } = 운 _R {1 -( 1 —> )I I2} (3-9) 이다. 그리고 우리가 취급하는 파가 렌즈의 광축 근처에서 입사 하기 때문에 x 의 값이 렌즈 반경 R에 비해 매우 작다는 패럭시

얼 근사 pa raxia l app r oxim ati on 률 사용하면 d;x) 측 운 -R{ l —(1 —룹 )} 4 x2 (3-10) =겅 --w 이고, x 에서 전체 두께는 d(x) = L1 —Tx2 (3-11) 이다. 만일 대칭 렌즈가 아니라면 윗식은 d(x) = L1 —틀 (志 —志 ) (3-12) 이 된다. 여기서 RJ , R2 는 렌즈의 곡률 반경이다. 한편 광학에 서 렌즈의 초점에+ 대=한 ( n렌 —즈1 )설( 志계자 —의志 식 )에 서 (3-13) 01 므로 d(x) = Li - x22(n~ — l)f (3-14) 이다. 그리고 이 렌즈가 아주 얇아서 파가 투과할 때 파의 위상 만 바뀌는 위상 체라고 가정하자. 앞 장에서 (2 장 2-1-2 절) 설명 한 것에 따르면 굴절률이 n 아고 두께가 d(x) 인 얇은 렌즈를 입 사 파가 투과할 때 생기는 위상 변화는 식 (2-40) 에서 /3( x) = 27rk(n —l) d(x) (3-15) 이므로, 이 렌즈의 투과 함수는

¢(x) = exp i/3( x) = exp i{2 1rk(n -1)(iJ —2( 11'\二 2 1)/)} (3-16) = exp i{2 1rk(n - l)il } exp (-2m k1J) 이고 여기서 exp i{2 1rk(n - l) il}는 x 의 함수가 아니고 렌즈를 두과하는 모든 파에 공통으로 들어 있는 위 상 인 자 ph ase fac to r 이므로 무시하고 x 에 따른 영향을 보면 두과 함수는 ¢(x) = exp (-27rik f) (3-17) 이 된다. 이것을 2 차원으로 확장하면 (x, y) = exp ( —27 [ik x2 ;f y2 ) (3-18) 이 되 고 이 것 을 렌즈 전 달 함수 lens tra nsfe r fun cti on 라고 한 다. 이것은 파가 렌즈 중심을 벗어나 투과될 때 두과 함수가 어 떻게 변하는지를 나타낸다. 물론 렌즈의 중심 X = 0, Y = 0 에서 렌즈 전달 함수 ¢(x,y ) = 1 이다. 2 프레넬 전파자 우리는 앞에서 파가 렌즈를 두과할 때 파에 미치는 렌즈의 영 향을 수학적으로 렌즈 전달 함수로 표시하였다. 이번에는 아무것 도 없는 자유 공간을 파가 진행할 때 그것을 수학적으로 어떻게 표시할지에 대해 생각해 보자. 그림 3-2 에서 광축 z 를 따라 파 가 진행한다고 생각하자. 물체 상의 한 점 x' 에서 호이겐스의 원 리에 따라 새로운 구면파가 만들어져 진행한다고 하면 물체에서 z 만큼 떨어져 있는 면의 x 점에서 파를 어떻게 표시할 수 있는지

p

몰 알아보자. 거리 z 에 있는 떤 위에서 x' 에 도달하는 파보다 x 에 도달하는 파는 그림 3-2 에서 p'p만큼의 거리를 더 진행해야 하기 때문에 경로 차가 생긴다. 거리 p'p는 p'p = {감 + (x 一 x')2}1l2 _ Z (3-19) 이고 (x —x') 이 z 보다 매우 작다는 프레넬 근사룰 사용하면 p'p = z{1 + 뇨근 }1/2 —z 측 z + (x ;zx')2 _ z (3-20) (x —x') 2 2z

이다. 구면 파는 Aex p (21r i kr p )/r p이므로, A = l 이면 exp (2m k rp )/r p로 표시되므로 윗식을 이용하면 p점에서의 파는 1JJP = ~ exp 2mk { z + ~} (3-21) 이고 여기서 pp'가 z 보다 매우 작다고 가정하면 1JJP = -¾-e xp 27rik { z + ~} (3-22) 가 된다. z 면 상의 파는 물체에서 호이겐스의 원리에 의해 구면 파로 출발한 모든 파들이 합쳐져서 만들어지는 파이므로, 물체를 통과한 직후의 파를 lJf。 (x' ）라고 할 때 관측점 p에서의 파는 키르 히호프의 회절 적분에서 1 차원으로 간단히 하면 lflz( rp) = ~ ikf l J!o(x ') ~ dx' (3-23) 이고 경사 인자를 무시하면 깐~ ( rp) = ikf l Jfo(x ') ~rp dx' (3-24) 이며 p점의 파의 전파 인자를 나타내는 것은 식 (3 - 22) 이므로 이 식을 식 (3-24) 에 대입하면 뾰 = ik fw,。 (x') ~ dx' (3-25) 이다. 다시 쓰면 lfl'z = flJf,。 (x'){ i k ~z exp 21rik ~} dx' (3-26)

이고 콘볼루션을 이용하여 표시하면 l[fz = l[f。 (x) * { ik ~ exp 2Jr ik f} (3_27) = 1[f,。 (x) * Pz( x ) 이다. 여기서 Pz(x) 를 프레넬 전파자 Fresnel pro p a g a to r 라고 하고 Pz( x ) = ik ~exp ( ~) (3-28) 로 표시한다. 죽 물체를 통과한 직후의 파인 w。 (x) 은 자유 곡간 울 진행할 때 프레넬 전파자 Pz ( x) 의 영향을 받아 그림 3 김에 나타낸 z 면 상의 점 x 에서 lJf。 (x) * Pz ( x) 인 파가 된다. z 에서의 파를 2 차원으로 확장하면 伊z = ik exp (:7[ikz ) ［그: lJf。 (x', y') exp {2mk (x 一 ~}d x' dy ' (3-29) = 7Jfo( X, y) * Pz(X, y) 이고 2P 차z (x원 , 에y)서 = 프ik레 ~넬 전파자는 e xp {1!!J!i(仁 “} (3-30) 이다. 3 프레넬 줄무늬 단위 진폭의 평면 파가 입사할 때 평면 파의 전파 인자를 무시 하고 1 차원 물체의 두과 함수를 ¢。 (x) 라고 하면 물체를 지나 자

유 공간 z 를 진행한 파는 식 (3-27) 에서 7/f(x ) = ¢。 (x) * Pz (x ) (3-31) 라고 할 수 있으므로 거리 z 에 있는 면 위에서 x 점에서의 파는 1/f(x ) = 1:¢ 。 (x') ik exp (:!Iftl exp {~} dx' -OO (3-32) = ik exp (27 [ikz ) J OO¢ 。 (x') exp {~一 x') 2 } dx' Z J- oo 이 된다. 시편의 가장자리의 근처에서 생기는 프레넬 줄무늬를 알아보기 위해 어떤 1 차원 물체의 투과 함수를 계단 함수로 ¢。 (x)={~01',. XX <;;::: 00 (3-33) 라고 하면 거리 z 에 있는 면 위의 파인, 죽 탈초점인 상 면의 파는 1Jl(x ) = ~ £00 exp {~} dx' (3-34) 이고 다시 쓰면 1Jl(x ) = ~ £00 exp 룽-{／탈 —x' )r dx' (3-35) 이다. 灣 (x - x') = t (3-36) 라고두면

―른 dx'= dt (3-37) 이고 1/f(x ) = ~) 昌fif x exp (fit2) d t (3-38) 이고 프레넬 cos 적분 C(u) = luCOS (꾼기 dt (3-39) 와 프레넬 s i n 적분 S( u) = l\in (： 기 dt (3-40) 를 사용하여 나타내면 깐 (x) =~I 같 C(-oo) + iS( -oo) — C( 灣기 — i S( 근 X)} (3-41) 이다. C(oo) = S(oo) = 1/2 이고 C(_u) = —C( u), S(-u) = ― S(u) 이므로 lJf(x ) = ~ ✓ 급:{½ + C({ 프 :x) (3-42) + { + i S( 灣 :X)} 이 되고 물체에서의 거리 z 에 있는 면 위의 x 접에서의 파의 강 도는

I = {f + c 匠 )} 2 + {f + s( 平 )} 2

I = 깐 (x) 1/f*( x ) = 터仕 + C( 론x ) 『 + {½ + s( 근갑] (3- 43 ) 이 된다. 여기에서 프레넬 cos 적분과 sin 적분은 어떤 전동을 나 타내고 C(oo) = S(oo) = 1/2 이므로 윗식은 x 가 00 일 때 I = k/z 이고, x 가 -00 일 때 l = O 이 되면서 그 사이를 전동하는 형태 의 강도 분포를 지 니 게 된다. 그림 3-3 은 식 (3 - 43) 의 대 괄호 속에 있는 파의 강도를 〈깊z 됴에 따라 그린 것이다. 그림에서

보면 X > 0 에서 강도의 전동이 처음에는 크나 거리가 증가함에 따라 감쇄하고, X < 0 인 때에는 강도가 있으나 원점에서 멀어지 떤 강도는 감소한다. 첫번째 최고값은 〈 걷z [ X = 1. 2 에서 나타난 다. 탈초점 .z = Ll f를 증가시키면 최고값이 나타나는 거리 x 도 증가한다. 따라서, 탈초점을 증가시키면 줄무늬의 최고값 간격이 따라서 증가한다. 이 회절은 관측 점이 시편에서 무한대 거리에 있지 않고 가까 운 z 의 거리에 있으므로 프레넬 회절에 해당된다. 그리고 앞에

그림 3-4 면도칼에 레이저 빔을 조사하여 얻은 프레넬 줄무늬의 사전. 면

서 정초점 면의 파는 물체의 출구 면의 파로 생각할 수 있으므로 정초점에서 탈초점이 되면 탈초점 상은 탈초점 거리만큼 파가 더 진행하여 만들어지는 프레넬 회절로 상이 만들어진다고 생각할 수 있다. 전자 현미경에서 탈초점시 시편의 작은 구멍 근처에서 줄무늬 가 관찰되 는데 이 것울 프레 넬 줄무늬 Fresnel fring e 라고 하고 위에서 계산한 강도 분포 식은 바로 프레넬 줄무늬의 강도 분포를 나다낸 식이다. 그림 3-4 는 면도칼에 레이저 빔울 조사하여 프레넬 회절을 일 으켜 얻은 프레넬 줄무늬의 사전이다. 사진에서 보면 면도칼의 가장자리 바깥으로 강도의 강약 진동이 있을 뿐만 아니 라 면도칼 의 안쪽으로도 강도가 윗식에 따라서 나타남울 볼 수 있다. 3-1-2 렌즈의 푸리에 변환 성질 그림 3-5 와 같이 광축 z 축을 따라 단위 전폭을 갖는 평면 파 가 물체에 입사하는 경우를 생각해 보자. 물체에 도달하기 전의 파는 7[f(z ) = exp (21rik z ) (3-44) 이라고 하자. 물체 0 가 있는 위치의 좌표를 (x, Y) 라고 하고 물 체의 두과 함수를 ¢。 (x,Y) 라고 하면 물체 O 를 통과하여 물체의 출구 표면을 나오는 파, 죽 물체 0 의 출구 표면 파는 lfJ。 (x, y) = ¢。 (x, y) lfl(z ) = ¢。 (x, y) exp (2m'k z) (3-45) 로 표시할 수 있다. 이 파가 자유 공간 거리 a 를 지나 렌즈에 도달할 때, 렌즈에서 좌표계를 (xa, Ya) 라고 하면 렌즈에 도달하 기 직전의 파는 프레넬 전파자를 사용하여 계산하면

물체

lfla(xa , Ya) = lflo(X a, Ya) * Pa (x a, Ya) = ~fflflo(x, y) (3-46) exp {~ —x) 2 :a 27[ ik( ya _ y)2 } d.,r dy 이다. 이 파가 얇은 렌즈를 지난 후에 얻어진 파는 렌즈 전달 함 수 ¢1(Xa,Ya) 를 사용하여 계산할 수 있다. 죽 렌즈의 출구 표면 파는 7/f'a(x a, Ya) = 7/fa(x a, Ya)c/ Ji(X a, Ya) = 7/fa(x a, Ya) exp (-27rik ~) (3-47) 이 된다. 렌즈에서 자유 공간 거리 /만큼 떨어져 있고, 좌표계가 (xf, Y f)인 초점 면에서 얻어지는 파는 렌즈의 출구 표면 파가 자유 공간 I 를 지나 형성된 파이므로 프레넬 전파자를 사용하여 계산

하면 된다. 따라서, 초점 면의 파는 lf!Ax f, Yf ) = lfla'(x f, Yf ) • PAx f , Y f ) = ik ex p『!!i!sfJ._fflfl'a( x a, Ya ) (3-48) exp {~ —~ }d xa dY a 이 된다• 그리고, 렌즈에서 거리 b 만큼 떨어져 있는 (xb,Y b ) 의 좌표계인 상 면에서의 파는 렌즈 초점 면의 파가 자유 공간 (b _ f)만큼 지나 형성되므로 앞에서와 같은 방법으로 프레넬 전파자를 사용 하여 계산할 수 있다. 따라서, 상 면의 파는 1Jfb'( Xb, Yb) = 깐i- ( x b, Yb) * Pib- f1 (x b, Yb) = ik ex p I 『雪b —f|) ff깐i-( x f, Yf ) (3-49) exp {2;r ik f u 一 입:\ (f1b 一 J!Ll.} dxf dy f 가된다. 여러 면에서의 파 중 우리가 특히 관심이 있는 것은 회절상이 형성되는 렌즈의 초점 면에서의 파이다. 렌즈의 후방 초점 면의 파는 식 (3-48) 이고 여기에 식 (3-47) 을 대입하면 1Jf'f(x f, yA = ik ex p『TJi!sflff1Jf'a( xa, Ya) exp (— 2;r ik ~) exp {2mk ~@ —M } dxa dy a (3-50) 이고 여기에 다시 식 (3-46) 을 대입하면

l[ff(x f, yf) = ik ex p『7[i kf ) ff{ l[f。 (xa, Ya) * Pa (x a, Ya)} exp (— 27rik ~) (3-51) exp {2mk (xf —~ }d xa dYa 이다. 다시 정리하면 l[ff(x J, yj) = ik ex p『7[i kf ) ff{ 1Jf。 (xa, Ya) * Pa( x a, Ya)} exp (27rik 갑 :/ Yf 2 ) (3-52) exp {— 2mk 2(xfX a2; YfY a) } dxa dy a 이 된다. 그림 3-6 에서 보면 ilkx = ksin Bx = kxf /f이고 또한 ilky = k sin f)y = ky y/f이므로 식 (3-52) 에서 적분 속의 맨 끝 항 에 Xf = fil kx/k 와 Yf = I il k y /k 를 대 입 하면 鬪, Yf) = ~exp (2;r ik ~ ) jj{ w,。 (xa, Ya) • Pa (x a, Ya)} (3-53) exp {-2; r i(L lkxXa 十 Llkyy a) } dxa dy a 이 된다. 이 식은 바로 1Jfo( Xa, Ya) • Pa (xa , Ya) 를 (Llkx, Llky) 공간으로 푸리 에 변환하는 것을 나타낸다. 두 함 수의 콘볼루션의 푸리에 변환은 각 함수의 푸리에 변환의 곱이므 로

I_

ljff(x f, yA = ik ex p『7!i!sfl. exp (27rik ‘군 ;/ Yj 2 ) (3-54) ijf。 (llkx, ilky) Pa(llkx, ilky) 이다. 여기에서 프레넬 전파자 Pa(x, y) = ~ exp (2mk 4c/-) (3-55) 의 푸리에 변환을 구해보자. 프레넬 전파자의 푸리에 변환은 Pa (L lkx, Llky) = ~ ffexp (27rik o/a) (3_56) exp {一 27r i (Llkxx + Llky y)} dx dy 이고 이것을 계산하면,

麟 1kx, Llky) = exp (27rik a ) ex p[-룬 a{ (Llkx)2+ (Llk y)아] (3-57) 이 된다. 식 (3-56) 에 Llkx = h f /I 와 Llky = ky f/f를 대 입 하면 Pa(Llkx, Llky) = ~ ffexp (27rik 4 c/-) exp {-2m ( 부 x + -13/-Y )} dx dy (3-58) 이고 이것을 계산하면 戶a (Llkx, Llky) = exp (21rik a ) exp (— 21rik 꿉 :/Yf 2 ?) (3-59) 이 다. 식 (3-59) 를 식 (3-54) 에 대 입 하면 1f!A xf, Yf ) = 뚜 exp {27rik ( a + /)} exp {2mk Xf 2 ;J Yf 2 (l - ?)} ijio(4 kx, 4k>') (3-60) 또는 lfJA' xf, Yf) = 亨 exp {27rik ( a + /)} [짱( (Llkx)'+ (Llk,)' )(1 一亨)]ijio (4kx, 4ky) (3-61) 로 표시된다. 일반적인 투과 현미경의 결상 조건에서는 렌즈에서 물체까지의 거리 a 는 렌즈의 초점 거리 f와 거의 같으므로 a = f라 하면 식 (3-60) 또는 식 (3-61) 에 서 렌즈의 후방 초접 면의 파는

lJ!A xf, Yf ) = 正 {2?k(a _±__fl}_ #。 (Llk x , Llky) = ik exp {27 [ikI( a + I + z)} g。 (4kx, 4ky) (3-62) 이 되어 물체의 투과 함수에 대한 푸리에 번환이 만들어진 것을 알 수 있다. 죽 프라운호퍼 회절상이 렌즈의 후방 초점 면에 나타난 다. 렌즈는 푸리에 번환을 한 번 하여 렌즈의 초점 면에 회절상을 만 든다. 렌즈에서 결상 면까지의 거리는 b 이나 이미 초점 면까지의 파 롤 앞에서 계산하였으므로 초점 면에서 결상 면까지의 자유 공간 거리 (b- f)를 진행한 파를 계산한다. 결상 면의 파는 초점 면 의 파와 프레넬 전파자를 콘볼루션하여 얻으므로 麟 b, Yb) = lf!Ax b, Yb) • Pib- f 1 (x b, Yb) = Ti¾ exp (2TCi kl b —fl) ff lf!Axf , Yf ) (3-63) exp {2TCi k 9\ 雪 F} dxf dYf 이고 초점 면의 파는 식 (3-60) 에 나와 있으므로 윗식에 식 (3 -60) 을 대입하여 정리하면 麟 b, Yb) = ―『歸 exp {21Ci k( a + I + lb —/I)} exp (zm'k 텝广릅)ff{fr;。 (4kx, 4ky) exp {21Ci k ~ (1 -? + 回난)} (3-64) exp {21Ci k ~| 仁 F} dxf dYf

이 다 . 앞 에 서 Xf = Llkx -f 이 고 Yf = Llky -f 이 므 로 dxf = I d(1kx) 이고, dy f=/~ , )이다. 이것울 대입하면 lJfb( Xb, Yb) = — |b <7T exp {27rik ( a + b)} exp (2 7[ik 셉~)ffw.。 (Llkx, Llky) (3-65) exp {2mkXf 2 ; Yf 2 } (1 - ? + |b <7r )} exp l-2 ,ri k~ ；广} d(4kx) d(4ky) 이고 이것을 정리하면 l/fb(X b, Yb) = —w½r exp {27rik ( a + b)} exp (27rik 룹：룻)ffift:。 (Llkx, Llky) exp {m'k (x ; + y파 (1 — f + 詞〈汀)} (3-66) exp (一 2m. xb1법 녀fA!sL) d(Llkx) d(Llky) 이 된다. 렌즈의 배율은 M = b/a (3-8) 이고 렌즈의 식 눈t=+ (3-7)

에서 l/a =1 //-1/b 이므로 식 (3-8) 에 대입하면 배율 M =¾= b 岭一t) =上I _1= 旦I (3-67) 이다. 그리고 렌즈의 식 (3-7) 에서 —a1 ―一I1 +'. —b1 =O (3-68) 을 식 (3+-6(61) —적?분 +속 n의 ;¾앞에) 있= 는f( -¼지수 - 함+수 +의 t )지 수인 (3-69) 에 대입하면 0 이 되어 그 지수 함수 값이 l 이 된다. 또한 식 (3-67) 을 식 (3-66) 에 대 입 하면 鬪 b, Yb) = —--1J; r exp {21rik ( a + b)} exp (무 말M Yb2 )ff危。 (Llkx, L/ky ) exp [-21r i. {（룹 )Llkx + （情)L/ k y}] d(Llkx) d(L/ ky ) = _--J1; r exp {21rik ( a + b)} exp (2mk 말;~) 1flo( 플, 一情) = —--1J; r exp {21rik ( a + b + z)} exp (21rik 말갈)¢。(一웁-, ―꿉-) (3-70)

이다. 여기서 윗식의 물리적 의미를 생각해 보자. l/M 은 상 면 에서 파의 전폭이 1 에서 l/M 로 감소하여 강도가 감소한 것을 의 미하고 맨 앞의 -는 파의 위상이 두 번 회절로 인하여 (7r/2 + 7[ /2) 만큼 바뀌었음을 나타내고, 다음 지수 항에 있는 exp ia = exp {27rik ( a + b + z)} exp {27rik ( x~ + Yb)/(2/M)} 은 상 면 에 서 파의 위상이 물체에 입사하기 전의 파의 위상 a = 2 7f kz 에서 a = 27rk{a + b + (xi + Yb)/(2/M)} 만큼 변화하였다는 것을 나타 낸다. 또한 두과 함수의 변수가 (x, Y) 에서 (— Xb, -y b) 로 ―부호 가 들어 있는데 이는 상이 도립하여 생긴다는 것을 나타내고, 투 과 함수의 변수가 (x, y)에 서 (xb/M, Yb/M) 으로 바뀐 것은 상이 M 배의 배율로 확대되었음을 나타낸다. 비록 파의 세기가 감소 하고 위상이 변화하고 상이 도립하고 확대가 되었으나 파는 물체 의 투과 함수가 상 면에서 재현되는 것이다• 측 렌즈는 푸리에 번 환을 렌즈의 초점 면에서 한 번 하여 회절상을 만들고 또 상 면에서 초점 면의 상을 또 다시 푸리에 변환하여, 측 렌즈 하나가 푸리에 번 환을 두 번 하여 상을 만든다. 이것을 아베의 현미경 이론이라고 한다. 3-1-3 수차와 현미경 전달 함수 이제까지 생각한 렌즈는 이상적인 렌즈로써 렌즈에 들어간 정 보가 100% 전부 다음 단계로 이전된다고 생각하였다. 그러나 실 제 렌즈에서는 렌즈의 수차 aberra ti on 나 여러 영향 때문에 들어 간 정보를 100% 다 전달하지 못한다. 출력 함수를 만들어 내기 위해 입력 함수에 작용하는 수학적인 작동자를 S{ ｝로 표시하 자. 어떤 계에 입력을 나타내는 함수를 g1 (x)) 이라 하고 해당되 는 출력을 g2 (x 사라고 하면, g2( x2) = S{g 1( x1)} (3-71)

으로 표시할 수 있다. 앞에서 배운 델타 함수의 이전 shif ting 성 질을 이용하면 g1 (x1) = 1-:oo g誌 )8(xl _ g) dE (3 구 2) 이다. 따라서 출력 함수는 gi(x2 ) = S{g1 (x1)} = s{l-0:0 g 誌 )o(x1 - t) dt } (3-73) 이다. 여기서 g 1( t)를 요소 elemen t ar y 함수 o(x1 - t)의 무게 인자 we ig h ti n g fac to r 라고 하고, 작동자 S{ ｝가 각각의 요소 함수에 작동될 수 있다면 그 계를 선형 li near 이라고 하고 작동 자 S{ ｝를 적분 안으로 가져 갈 수 있다. 죽 gi(x2 ) = S{1_O:O g誌 )o(x1 一 t) dt} = 1:g1( t )S {o(x1 —t) } dt (3-74) 이다. 여기서 입력 공간의 좌표 f에서 델타 함수가 입력될 때 출력 공간 점 X2 에서 계의 반응을 나타내는 함수를 h(x2 ; t)라고 하면 h(x2 ; t) = S{o(x1 —t) } (3-75) 로 표시할 수 있다. 이 함수 h(x2;~) 를 계의 자극 반응 함수 im p u lse respo nse fun cti on 라고 한다. 다시 계 의 입 력 과 출력 함수를 연관시키면, g詞 = 1-O:Og 1 ( ~)h(x2 ; ~) d~ (3-76) 가 된다. 이것울 중첩 적분 su p er p os iti on int e g ra l 이라고 하고

어 떤 선형 계 든지 단위 자극 unit im p u lse 에 대 한 반응으로부터 그 선형계를 다 알 수 있음을 나타낸다. 즉 점원의 상이 어떻게 변하는지를 알면 렌즈나 조리개의 영향을 다 알 수 있다. 자국 반응 함수 h(x2 ; ~)가 거 리 (x2 - ~)에만 의존하는 함수라면 h(x2 ; ~) = h(x2 - ~) (3-77) 라고 쓸 수 있고 이 계 를 공간 불변 spa ce inv aria n t 이 라고 한 다. 공간 불변계에서 중첩 적분은 간단하게 g2 ( 지 = 1-0:0 g,( ~ )h(x2 — ~) d~ (3-78) = g,( x2) * h(x2) 로 입력 함수 g1 과 계의 자극 반응 함수 h 를 콘볼루션한 것으로 나타낼 수 있다. 윗식의 양 변을 푸리에 변환하면 두 함수의 콘 볼루션의 푸리에 변환은 각 함수의 푸리에 변환의 곱이 되므로, g2( 4k) = g1 (4k) i(4 k) (3-79) 이고 여기서 h(Llk) = 1-:0h0 (x2) exp (— 21riL 1 kx2) dx2 (3-80) 이다. 이 함수 i (4k) 를 계의 전달 함수라고 하며 역격자 공간에 서 계의 영향을 나타낸다. 식 (3-70) 에서와 같이 이상적인 렌즈의 상 면에서의 파는 후방 초접 면의 파를 푸리에 변환한 것이므로 ?Jfb( Xb, Yb) = (위 상 인자) x j{ iJio(L lkx, Llky) } (3-81) 로 나타낸다. 실제의 렌즈에서는 이 회철 면의 파가 그대로 전달

되지 못할 것이므로 이 회절 파 i[r。 (4k x, 4k y )가 역공간에서 함수 T(Llkx, L/ k y)에 의 해 진폭과 위 상이 변한다고 가정 하자. 그 러면, 결상 면에서의 파는 lflb(X b , Yb) = (위 상 인자) X y{ ifr,。 (Llk x , L/ky ) T (Llkx , L/ky ) } (3-82) 이고 두 함수의 곱의 푸리에 변환은 각 함수의 푸리에 변환의 콘 볼루션이므로, 위상 인자를 무시하여 나타내면 福, Yb) = lJl,。(플, _情) * 5{T(Llkx, L lky) } (3-83) 이다. 다시 쓰면 麟 b, Yb) = lJl,。( 출＇ 풀) * T(xb , Yb) (3-84) 이 다. 여 기 서 T(Llkx, L/ k y)를 현 미 경 전 달 함수 mi cr oscop e tra nsfe r fun c tion 라고 하며 이것은 렌즈의 초점 면에 있는 물체 의 공간 주파수 s p a ti al fr e q uenc y를 상으로 얼마나 충실히 전달 하는지를 나타내 주는 역 할을 한다. T(Llkx, L / k y)는 식 (3-79) 에 서 ii (4k) 에 해당하는 함수이다. 그리고 T(xb , Yb) 는 렌즈의 자 극 반응 함수라고 하고 어떤 델타 함수로 만들어진 이상적인 상 이 어떻게 넓게 퍼지고 뭉글어지는지롤 나타내는 역할을 한다. 이것은 식 (3-75) 에서 h(x2 ; ~)에 해당하는 함수이다. 1 탈초점 탈초점 de fo cus 이 되게 하는 데는 세 가지 방법이 있다. 초점 이 맞은 상태에서 먼저 렌즈에서 물체까지의 거리 a 를 변하게 하면 탈초점이 되고 그 다음 스크린을 움직여 렌즈에서 상까지의 거리 b 를 변하게 하더라도 렌즈의 초점이 탈초점이 된다. 또한

렌즈의 초점 거리 f를 변하게 해도 탈초점이 된다. 그러나 이 세 가지는 모두 렌즈 식 一a1 +,' ―1b =~ —I1 ' 츠기 (3-7) :+\+근 n=O 에서 서로 연관되어 있다. 상 면까지의 거리가 4b 만큼 변할 때 렌즈의 초점 거리 변화 4 f는 (/ +1 L'.1/) =-— a1 +,' (b +1 L'.lb ) (3-85) 이고 1// = 1/a + 1/b 이므로 4f 즈 4b 下I2 (3-86) 으로 곧 b 의 변화는 f의 변화로 변환할 수 있다. a 의 변화 역시 4f 츠 4a 一fa 2 7 (3-87) 으로 표시할 수 있다. 여기에서는 간편하게 a 나 b 의 변화를 모 두 f의 변화로 표시하자. 그림 3-7 에서 물체가 초점이 정확하게 맞는 면으로부터 렌즈에서 더 멀리 4a 만큼, 죽 4f 만큼 더 먼 거리에서 결상이 된다고 생각하자. 그러면 이 탈초점된 물체의 회절 파는 탈초점 거리인 자유 공간 4f 만큼 더 진행하여 만들어 지는 파이므로 탈초점 물체의 회절 파는 본래 물체의 출구 파와 프레넬 전파자를 콘볼루션하여 1/fN (x, y) = 1Jfo(x , y) • PN(x, y) (3-88) 로 나타낸다. 현미경 전달 함수는 역공간 죽 회철 공간에서 표시

뾰 (x, y )

된 함수이므로 윗식의 양 변을 푸리에 변환하면 %(4kx, 4ky) = Wo(Llkx, Llky) P t1A Llkx, Llky) (3-89) 이고 프레넬 전파자의 푸리에 변환은 식 (3 - 57) 에서 알 수 있고 이 변환이 현미경 전달 함수이므로 T(4kx, 4ky) = Pg (4kx, 4ky) (3-90) = exp (21rik L lf) exp [국 }4f {(4k 간 + (4ky) 2} ] = exp (21rik L 1/) exp [ —7[ 1 .A 4 f {(4k 찮 + (4k y )가] 이다. 윗식의 오른쪽의 제일 앞 항은 4kx 나 4k y의 함수가 아니 고 단순한 위상 인자이므로 이 위상 인자를 툐 L 두면 탈초점 상 의 현미경 전달 함수는 T(Llkx, Llky) = exp [—2m ; ..Llf {~}] (3-91)

로 4k x 와 4k y의 함수인 위상 변화를 나타낸다• 따라서, T(Llkx, Llky) = exp {ix(L lkx, Llky) } (3-92) 로 쓸 수 있고 여기서 위상 변화p hased i s t or ti on 는 x = - 27 [A 4f { (4kx)2 ; (4ky) 2 } (3-93) 아다. 산란 각 0 가 작을 때 0 = ilk/k = t{(il k 간 + (i/ky ) 2}1 1 2 = 11{( il k 찮 + (i/ky ) 2}1 12 (3-94) 으로 나타낼 수 있으므로 위상 변화를 산란 각의 함수로 나타내 면, x(0) = 픈 4 f룬 ex: 02 (3-95) 으로 산란 각 0 의 자승에 비례한다. 2 구면 수차 렌즈의 질은 렌즈가 물체를 상으로 얼마나 충실하게 재생시키 는지 를 나타내 주는 렌즈 수차 lens aberrati on 로 표시한다. 제 일 중요한 렌즈 수차의 하나는 구면 수차 sph eric a l aberrati on 인데, 이것은 주어진 어떤 회절 파가 렌즈의 중심 선 또는 광축 에서 어떤 각도를 가지고 진행하여 물체의 한 점이 상 면의 한 접으로 결상이 될 경우, 그림 3-8 에서 나타낸 것과 감이 이 각 도의 함수로 결상 부정확도를 나타내는 것을 말한다. 광축을 따 라 입사하는 빔을 생각해 보면 이 각도는 회절 각에 해당한다. 전자 렌즈에서 더 큰 각도로 회절하는 전자는 렌즈의 전계나 자

II

계에 의해 더 많이 굴절이 되어 렌즈의 초점보다 렌즈에서 물체 에 더 가까운 점에 초점이 만들어진다. 그래서 상 면 상의 한 점 이 퍼 지 게 되 어 혼돈 원 판 dis c of confu s io n 을 만든다. 혼돈 원 판의 번경은 산란 각 0 에 비례한다. 이 원판의 크기가 렌즈의 분해능 resoluti on lim i t 의 한 척도가 된다. 상 면에서 원판을 물 체의 면에서 원판 크기로 환산하면, 물체 면의 혼돈 원판의 반경 은 8r = Cs()3 (3-96) 이고 G 는 구면 수차 계 수 sph eric a l aberrati on coeff icien t 인 데

b pi<-...~ :o~r = MC,r l

전자 현미경 렌즈에서는 주로 수 mm 정도 되는 상수이다. 그림 3 선 에서 물체에서 산란 각 O 로 떠난 파가 렌즈에는 광축 에서 거리 R 만큼 떨어진 곳에 도달한다. 만일 렌즈에 구면 수차 가 없으면 렌즈를 떠난 파는 초점이 정확하게 맞는 가우스 상 면 Gaussia n im age pla ne 과 광축이 만나는 점 F 에 도달한다. 구면 수차가 있으면 렌즈를 떠난 파는 가우스 상 면에서 그립 3 선에 서처럼 광축에서의 거리 M or = MCs03에 있는 접 p에 도달한 다. 이렇게 진행하는 파가 렌즈에 의해 각도 변화를 일으키는데 그 각도 변화는

€s =一M了 o―r = MCbs B3 (3-97) 이다. 산란 각 () = R/a 이고, 배율 M = b/a 이며, 두과 현미경의 초점 거리는 대략 렌즈에서 시편까지의 거리와 같으므로 J= a 가 되어 이 식들을 식 (3 성 7) 에 대입하면 €s = Cs( 운 )3( 선 > R3 (3-98) =Cs 下 이 된다. 그림 3-10 에는 구면 수차가 있는 렌즈의 광축에서 거리 R 과 R + dR 의 두 부위에 도달하는 파의 궤적을 나타내었다. 구면 수차에 의한 파의 각도 편차는 두 궤적 사이의 경로 차 dS= csdR 을 만든다. 이 미분 경로 차 dS 를 적분하면 전체 경로 차 룰 얻을수 있고, 죽 S = 』 R dS = 1R€s dR = 』 R-¥-dR = ?『 (3-99) 이고 0 = R/a 츠 R/J 이므로 S =요4 ()4 (3-100) 이 된다• 이 경 로 차에서 위 상 차 ph ase dif fere nce 는 x(()) =무 s =부무 ~oc ()4 (3-101)

렌 _ 즈_

이고 산란 각 0 의 4 승에 비례한다. 이것을 4kx 와 4k y의 함수로 나타내면 x(Llkx, Llky) = 21rCs113 ~浮 }2 (3-102) 이다. 따라서, 현미경 전달 함수는

T(il kx, ilk>') = exp (ix) = exp {2J [iCs A3 (4:)4 } (3-103) 이고 구면 수차가 있는 렌즈에서 탈초점이 되었을 때의 전달 함 수는 T(Llkx, Llky) = exp ( ix) = exp [2m·{-Llf1 1~ + Cs /\ 3~}] (3-l04) 이다. 윗식에서 탈초점 값을 잘 조정하면 어떤 공간 주파수 4k 에서 탈초점과 구면 수차에 의한 위상 변화를 0 으로 하여 전달 함수를 Ei 만들 수 있다. 3 색 수차 대물 렌즈의 전류 i o 에서 분산 &.0 이 생기면 곧 초점 분산 spr ead in foc us of 가 생기게 되고 또한 전자 현미경의 가속 전 압 Va 에서 변동 oVa 가 생기면 전자의 에너지에 변동이 일어난 다. 따라서, 다른 에너지를 지닌 전자들은 다론 파장을 가지므로 그림 3一 11 과 같이 렌즈를 지나 다른 점에 초점을 만든다. 또한 필라멘트에서 나온 전자들도 에너지 분산울 지닌다. 렌즈의 초점 거리와 렌즈의 전류 및 가속 전압과의 관계는 一Il ex: Vt강a (3-105) 01 므로 보f C--X :Va으 五_i뚜o (3-106)

이고, 또 여기에 비례 상수를 넣으면 하= Cc( 情 -― 룻) (3-107) 이 다. 여 기 서 G 는 색 수차 계 수 chromati c aberrati on coeff i- cien t 이다. 가속 전압과 렌즈의 전류 변동에 필라멘트에서 나오 는 전자의 에너지 분산 oU 를 감안하여 다음과 같이 구적법으로 나타내는 것이 보통이다. 그러므로, 하 = Cc{ （문 )2 + 4( 문 )2 + （景 ) 2 }1 / 2 = iJ (3-108) 로 표시한다. 이 초점 분산 하는 식 (3-95) 에서 위상 차

I

x(B) = 픈 8f 『 (3-109) = 폰 -{Cc( 笠-)\(분 )2 + (부 ) 2 }1 / 2 〈 CX:: O2 를 만들고 이 위상 차는 산란 각의 자승에 비례한다. 또한 이를 4k 로 표시하면, x(O) = —27[ 8f A 一 (Llk『)2 (3-llO) 이다. 앞에서 탈초점과 구면 수차에 의해 생기는 위상 차는 시간 에 따라 불변하는 것인데 비해 색 수차에 의해 생기는 위상 차는 시간에 따라 증감하며 계속 변하는 것이므로 이 위상 차를 앞에 서와 꼭 같은 방법으로 현미경 전달 함수에 포함시킬 수 없다. 색 수차에 의해 각각 다른 에너지를 지닌 전자들 각각이 색 수차 가 있는 각각의 상을 만들고 이 상들이 전자 에너지의 분포 함수 에 따라 가중치를 두고 합쳐져 최종 상을 형성한다고 생각한다. 색 수차에 의한 초점의 변화 값들은 정상 분포 Gauss i an d i s t r i bu ti on 를 하므로 이것은 현미경 전달 함수를 일종의 감폭 damp ing 함수로 만든다. 따라서, 현미경 전달 함수는 T(Llk) = exp {-균 (~} = exp {―½군(하 )2112(L1k )4} (3-111) 로 표시한다. 이것은 큰 4r 값에 해당하는 정보는 상에서 작은 거리의 정보, 죽 상의 상세한 정보를 의미하는데 각 전자 에너지 가 최종 상을 만들기 위해 중첩이 될 때 제일 먼저 잃어버리게 되는 정보이다.

4 유한 렌즈 또는 대물 조리개 현미경에서는 여러 목적으로 조리개를 쓰게 되는데 조리개를 사용하면 조리개 의부의 정보를 전달하지 못하게 되므로 렌즈의 분해능을 저하시키게 된다. 또한, 무한 크기의 렌즈가 아닌 실제 의 유한 렌즈도 물체에서 나온 정보를 차단하게 되므로 무한 크 기의 렌즈에, 유한 크기의 렌즈에 해당하는 조리개를 부착한 것 과 똑같은 효과를 나타낸다. 그리고 유한 렌즈 또는 조리개는 수 학적 으로 조리 개 함수 ap e rtu r e fun cti on 로 표시 한다. 조리 개 함 수는 ¢d(x, y) = {0, 조리 개 의 (3-112) 1, 조리개 내 이다. 현미경 전달 함수는 역격자 공간의 함수이므로 조리개 함 수를 푸리에 변환하면 T(4 r) = gd(4 kx, 4ky) (3-113) 이고 조리개가 있고 탈초점 및 구면 수차와 색 수차가 있는 렌즈 의 현미경 전달 함수는 T(Llk) = ¢d 따) exp {ix(L lk)} exp {-½군(하 )2112(L1k )4} (3-114) 이다. 여기서 x(4r) = 27r{-4 fA 녓 E + C3A3(4:)4} (3-115) 이고 of = Cc{ （문 )2 + 4( 문) +(4¥)2}1'2 (3-116)

이다. 5 수렴 각 실제 전자가 시편에 입사할 때 모두 수직으로만 입사하는 것은 아니고 입사하는 전자들의 각도도 어떤 정상 분포를 지니고 있 다. 이와 같이 정상 분포를 가지며 입사하는 전자들도 또 다른 감폭 함수를 만든다. 따라서, 이 영향을 현미경 전달 함수로는 T(Llk) = exp [군景 {-4f A 4k + c 찌 3(4k) 기 (3-117) 로 - 표시한다. 여기에서 a 는 조명 발산 또는 수렴 반각으로 집속 조리개의 크기를 시편 상의 한 점으로 연장했을 때 만들어지는 반각이다. 여러 각도로 입사하는 전자들 각각이 하나 하나의 상 울 형성하는데 각도의 분포에 따라 가중치를 달리하여 합한 것이 최종 상이 되고 4r 값이 큰 것에 해당하는 정보, 죽 실공간에 서 짧은 거리의 미세한 상 정보가 제일 먼저 윗식에 따라 사라진 다. 따라서, 앞의 여러 수차와 수령 각 분포를 지니는 렌즈의 현 미경 전달 함수는 T(4r) = gd( 4r) exp {ix( 4r)} exp {一½군(하 )2A2(Llk)4} exp (구릉 기 (3-118) 이고 여기서 x(Llk) = 21r{-Llfl l ~ + Csll3~} (3-115) 이고 q = {-4fA 4 k + CsA3(4k)3F (3-119)

O] 다. 로크,기수 렵를수 렵측반 각정반의하각 면의크 기알크는 기수 는 회있 절회다 절점( 2 상이장에나 2서 -6 회 - 절4회 절 절)원. 반점의 또 크는기 에회절 비 원례하반의므 6 비점 수차 되점게산축 에란는그A된림서 다가각경 . 이우3같 ~결 에은1점2상같 에을거은물A서리 체 가y할 에 원 상점 렌때형네에을 즈 A서 의렌개지 x는 의A 즈나’ 중 가 을한 점심 결 에있지점상x서 을,나이이x 는 었' , 때x될y 으 와 ,광 y같나 때 선’ 이같은 은 상은A 있 렌 A다면에거즈. ’ 서에에리 서면서물에초 는체 점초위 있이에점접위는 서,이이의 맞 게죽퍼광한맞

X

져 혼돈 원반을 만들게 된다. 이것을 비점 수차라고 하고 전자 현미경의 렌즈에서 폴 피스p ole - pi ece 의 자화가 균일하지 못하 거나 폴 피스 구멍이 원형 대칭이 되지 못하거나 또는 조리개에 서 전하가 충전될 chargi ng 때 생긴다. 그러나 이 수차는 다론 수차와 달리 현미경의 비점 수차 보정 코일 sti gm ato r 을 사용하여 거 의 완전히 없 앨 수 있다. 비 정 질 탄소 피막에 있는 작은 구멍을 탈초점하여 관찰하면 구멍의 가장 자리에 프레넬 줄무늬가 관찰된다. 이 줄무늬가 모든 방향에 대 해 방향성이 없이 잘 나타나도록 조정을 하면 비점 수차를 없앨 수 있다. 또 비정질 탄소 피막의 위상 콘트라스트를 이용하여 상 에서 알갱이들이 우선 방향성이 없이 나타나도록 조절하여 바점 수차롤 없앨 수 있다. 광학 회절기나 컴퓨터를 사용하여 비정질 상을 상 처리하여 회절상을 얻었을 때 회절상에 비점 수차가 있 으면 타원형을 나타내는데 완전히 원형 대칭이 되도록 조정하면 비점 수차를 없앨 수 있다 (3 장 3-3 - 3 절). 3-2 운동학적 이론 3-2-1 약상 근사 우리가 재생한 상 정보를 결상 과정에서 물체 자체의 미세한’ 부분까지 잘 해석할 수 없다면 분해능이 좋아도 소용이 없게 된 다. 실제 시편은 얇아도 3 차원으로 되어 있으나, 우리가 관찰하 는 것은 결상 면이나 사진 면과 같은 2 차원에서의 강도 분포이 므로 3 차원 시편에서 2 차원 상의 결상 과정을 살펴보기로 하자. 먼저 우리는 전자를 두과시킬 때 시편의 투과 함수가 무엇인지를

알아야 한다. 원자 하나에 대한 두과 함수는 원자 전위이고 (2 장 2-3 - 2 절), 원자 i의 투과 함수를 VI( 7 ) 라고 하면 원자 군의 두 과 함수, 죽 물체의 전위 함수 V( p)은 각각의 원자 전위에 따 라 달라지고 물체 내의 원자 위치에 따라 달라진다. 시편이 결정 이라면 원자가 규칙적으로 배열되어 있으므로 결정의 원자 전위 도 어떤 주기성을 가지고 있다. 그러므로 결정의 원자 전위를 주 기 함수로 생각할 수 있다. 푸리에 급수에서 주기 함수 V(r) 은 푸리에 급수로 - V( r) = ~CX3 Vn exp (27rin L 1/ c • r) (3-120) n=O 로 표시할 수 있고 여기서 Vn 은 푸리에 계수이다. 브래그 법칙 에 따르면 결정은 역격자 공간에서 4r = 홍*일 때만 델타 함수 로 매우 강한 회절 파의 전폭을 갖는다. 그래서, 투과 함수의 변 환 죽 역격자 공간의 각 부분들 중에서 4r = 홍*일 때만 중요한 값을 지니고, n4r 도 일반 역격자 벡터 5* 에 포함되므로 (n4r = 효*), 푸리에 급수에 이것을 대입하고 모든 역격자 벡터 홍*에 대해 합을 구하면, V( r) = 1g: Vg exp (21r 공* • r) (3-121) 이 된다. 식 (2-172) 에서 원자 전위가 구형 대칭이므로 V( 一 r) = V(r) 를 이용하면 V( r) = ~ fu el 따)} exp (-27Ci ilk· r) d(il k) (3-122) 가 된다. 여기서 V(r) 은 원자 하나의 전위이고 /el 은 원자 산란 인자이다. V(r) 을 결정의 원자 전위로 확장하고 적분대신 4F

= ff*<>!]서 큰 값을 지니므로 4r = 5* 에서의 값에서 합을 구하 면 V( r) = ~2mnlte~2e 요 Fg g ex p (— 27rig *· r) (3-123) = 챙 2m 『~ Fg ) exp (— 2m.i* . P) 이다. 여기서 요는 단위 포의 체적으로 연속적인 4r 에 대한 적 분대신 불연속적인 효*에 대한 합을 계산했기 때문에 전체 크기 를 맞추어 주기 위해서 더해 준 것이다. 식 (3-121) 와 윗식에서 Vg = 2 7[ mh2 e e 요 Fg (3-124) 가된다. 전자에 대한 고체의 굴절률은 전공 속에서 전자 파의 전행 속 도 Vo 와 고체 속에서 전자파의 진행 속도 v 의 비로 표시한다. 어떤 파에 대해 v = (J)／ 2 7[ k 이므로, 굴절률은 n=— Vvo =-_ Wwo//2211rrkko -=_ kk 。 //wwo (3-125) 이고, 여기서 ko 와 (J} o 는 전공 속에서 전자파의 파동 벡터와 각속 도이고, k 와 (J}는 고체 중에서 전자파의 파동 벡터와 각속도이 다. 식 (2-122) 에서 상대성 보정을 무시하고 k 와 V 의 관계를 유도하면, k2 = 2mhe2e V (3-126) 이다. 전공 속에서 전위 V = Vo 이고 원자들이 고상에서 서로 같이 모여 있을 때 각 원자 i는 자신의 원자 전위 Vi( r) 을 가지

_ 있을 것이다. 이 고상의 전체 전위 V(r) 은 어떤 원점을 기 준하여 고상 내의 위치에 따라 주기적으로 변한다. 원자 전위는 10V 정도의 크기이므로, 원자 군의 전위도 역시 이 정도 크기 일 것이다. 고체 내에서의 전체 전위는 V = Vo + V(r) 이다. 원자에 의한 순수 탄성 산란만 생각하면, E = h11 = h 쁘27[ = h -2J7![- (3-127) 이고 그래서, (J} = (J} o 이 다. 그러므로, 물체의 굴절률은 n = f = ~凰 r)}l l 2 = {l + v\r) }1/2 측 1 + V( r) (3-128) 2 Vo 이다. 여기서 Vo 는 대략 105V 이고 V(r) 은 lOV 정도이므로 Vo ~ V(r) 이고 이것을 윗식에서 이용하였다. 전위 값을 대입하 면 n~l+~=1+10-4 (3-129) 이고 이 값들은 1과 거의 차이가 없다. 식 (3-128) 을 다시 쓰면, k=k中 + 鬪} (3-130) 인데 이것은 입사 파 벡터의 크기가 ko 에서 k = k。 {1 + V(r)/2Vo} 로 약간 바뀌었음을 나타낸다. 시편이 아주 얇은 두께 &이기 때문에 회절이 일어날 수 있는 원자 수가 작아 회절 파의 전폭이 매우 크게 되지 않는다고 가정 하자. 그리고 입사파의 전폭도 시편이 얇아 바뀌지 않는다고 가

정하면 이 시편은 파가 투과하면서 위상만 바뀌는 위상 체가 된 다. 입사파의 진폭이 l 이면 입사파는 lflo( r) = 1 exp (27r iki。. r) (3- 13 1) 이고 물체 출구 면의 파는 깐( f) = 1 exp (27r i沿 r) (3-132) 이다. 식 (3-130) 을 이용하여 출구 면에서의 전자 파를 다시 쓰 면, lfl( r) = 1 exp (2TCi k · r) = exp 2TCi { ki。 (1 + W,l)· 가 (3-133) = exp {27rik o · r + 2m·f o 以r ) · 가 이다. 여기서 위치 P 이 시편 밖에 있을 때는 V(r ) = 0 이므로 항 &V( r) ·r 의 값은 0 이다. 그리고 P 이 시편 내에 있을 때에 만 항 &V( r) •r 은 0 이 아닌 값을 갖는다. E 가 수직 입사의 경우 거의 z 축의 방향이 되고 시편이 얇으므로 & V( r)• r = k 。 V( r) 8z 라고 할 수 있다. 그러므로, 1Jf( r) = exp {21rik o · r + 21r 뎅侵 V( r) 8z} (3-134) 이 다. 식 (2-121) 에 서 ki = 2mhee2 Vo (3-135) 이고,

½景 = (2 鬪)1/ 2 (3-136) 이다. 이것을 식 (3-134) 에 대입하면 lJf( r) == eexxpp {i 2(2J7 rri kk-.o 。•· 7r + + 2g J)r i (2 鬪 )1 /2 V( r) oz} (3-137) 이 된다. 여기에서 우리는 얇은 두께 oz 를 가지는 시편이 전자 파의 운동에 작은 위상 차를 일으키는 효과가 있음을 알 수 있 다. 위상 차를 살펴보면 /3 = 2 먀 (n —1) oz = 21rk 。 冒 & (3-138) = 21r( 麟 )1l2 V( P) & 이고, 이 순수 위상 체의 투과 함수는 ¢( r) = exp i/3 = exp 21ri.{ & 씁꾼 터 = exp 21ri( *)1'2 V( r ) oz (3-139) 이고, 위상 변화는 전위 V(r) 과 시편 두께 8z 에 의존한다. 식 (3-134) 를 다시 쓰면, 깐( r) = exp (21rik o · r) exp {21r i.&씁꾼 터 (3-140) 이고 시편 두께 8z 가 작아 위상 변화 /3 = 2nk。 :(:) 8z 가 작다 는 약상 근사 weak-ph ase ap pr oxim ati on 를 적용하면,

exp (i/3) ~ 1 + i/3 (3-141) 이고, 출구 표면 파는 lf!( r) = exp (2TCi ko · r) {1 + 2TC i k 。 胃) 터 (3-142) 이다. 결정에서는 식 (3-121) 에서 V( r) = ~g Vg exp (2m· 홍* • r) (3-121) 이므로 대입하면 1/f( r) = exp (2J riko · r) {1 + 2m k。 胃) 터 (3-143) = exp (2m ko· r) + exp (21rik o · r) {21ri 겁 釋 vg e xp (21r i효* • r) oz} = exp (21rik o · r) + 27r 댑這 :Vg ex p {21r i (ko + 맡)· 타 터 = exp (21rik o · r) + 구 21r i갑曰~ exp {2rri( ko + 효*)• r} oz 이 되어 lfl( r) = lflo + ~g lf/g (3-144) 로 얇은 결정 시편에서 출구 면의 파는 입사 빔, 즉 투과 빔과 수 개 는의회절 빔의 합으로 표시할 수 있다• 여기서 회철 파의 진폭 lJfg

bz

1/fg = 27ri 흙 Vg exp {27ri( ko + g*)· 타 & (3-145) = 27ri 흙 - Vg exp (27rik '· r) oz 이다. k' -f o = Llk = 밝이고 윗석은 파동 벡터가 r' 인 4r = g톨 만족하는 회절 빔을 나타낸다. 식 (3-144) 는 그림 3-13 에 그린 것과 같이 얇은 결정 시편을 지난 출구 표면 파는 입사파 lJfo와 전방으로 회절된 파 lJfg를 포함한 여러 개의 브래그 회절 파의 합 ~g lJfg로 구성 되 어 있음을 보여 준다.

3-2-2 비정질 시편의 상 렌즈의 초점 면에서 대물 조리개를 사용하면 조리개의 크기보 다 큰 각도로 산란된 전자들은 조리개에 가려 상 형성에 전혀 기 여를 하지 못한다 (3 장 3-1-3 절)． 이와 같이 조리개나 실제 현미 경의 본체의 벽에 흡수되거나 길을 잃은 전자들은 상 형성에 전 혀 도움을 주지 못한다. 상 형성에 기여하지 못하는 전자들은 모 두 시편에 홉수되었다고 생각하여, 수학적으로는 물체의 두과 함 수에 홉수 항울 포함시켜서 투과 함수를 ¢(x , y) = exp {if](x , y) — µ(x , y)} (3-146)

전자파 e-

로 표시 한다. 여 기 서 µ(x, Y) 를 가흡수 계 수 ps eudo-absorp tion coef fici e n t 라고 한다. 이상적으로 완벽한 렌즈는 푸리에 변환을 두 번 함으로써 투과 함수의 역으로 되고 확대가 된 초점이 정확 히 맞는 상을 만든다. 초점이 맞는 상에서 파의 진폭은 lJf(x ', y') = ( —x', 一 y') = (x , y) (3-147) 이고 상에서 관찰되는 강도는 I == eelJxxf(ppx '{{, i— fy]('i) f一 ]l(J xf- *'X,( x'—,', y—y'')y) '-) — µ(µ —( x—',x -',y 一' ) y} ') } (3-148) == eexxpp {{ —― 22µµ( ( x一, xy'), } -y')} 이다. 그러므로, 초점이 맞은 상인 가우스 상 면에서의 상에서는 위상 정보를 포함하고 있지 않고 흡수 콘트라스트만 포함하고 있다. 실제 대물 조리개는 그림 3-14 에서 보는 바와 같이 렌즈의 후 방 초점 면에 있어 파를 차단하는 것은 물체 상의 모든 점에서 광축과 어떤 각도 이상으로 회절하는 파를 가상의 조리개로써 차 단하는 것과 똑같다. 그러므로 비정질 상을 얻기 위해 회절상의 투과 빔이나 회절 빔을 조리개로써 선택하여 결상을 하면, 비정 질 시편에서 나오는 회절 파 중에서 조리개로써 정해진 어떤 각 도 이하의 회절 파만 결상에 기여를 하게 된다. 비정질 상 형성 모습이 그림 3-15 에 나타나 있다. 비정질 상은 시편의 각 점들 에서 산란된 전자가 조리개에 의해 얼마나 차단이 되고 투과가 되었는지를 나타내 주는 지도와 같다. 산란 각도에 따른 전자의 산란 계수 곡선의 모양에서 생각해

전자파원 e자- 번호가큰寒 원소

보면 10-2rad 크기의 조리개가 있을 때 원자 번호가 작은 원소 보다 원자 번호가 큰 원소가 조리개 안쪽에 비하여 바깥쪽으로 훨씬 더 많은 비율의 전자가 산란된다는 것을 알 수 있다. 그러 므로, 각 원소에 같은 수의 전자를 입사시키면, 원자 번호가 큰 원소가 더 많은 전자를 조리개 밖으로 산란시켜 조리개를 통과하 는 전자의 수는 더 작아져서, 원자 번호가 작은 원소보다 어두운 콘트라스트롤 나타낸다. 대물 조리개의 크기를 줄이면 상에 기여 하는 전자의 회절 각도를 줄이기 때문에 원소에 따른 콘트라스트 차이가 더 많이 난다. 따라서 콘트라스트 차를 크게 하기 위해서

는 작은 조리개를 사용한다. 이 경우 콘트라스트는 원자 번호의 차아 때문에 생기는데 수소와 탄소 같이 원자 번호의 차이가 작 은 원소들 사이에는 콘트라스트 차이도 작을 것이다. 생물 시편 둘은 대부분 H, C, 0, N 과 같은 원자 번호가 작은 원소들로 구성이 되어 있어, 이 시편들은 비교적 많은 부분의 전자를 투과 시켜 전자적으로 투명하나, 원자 번호의 차이가 작아 콘트라스트 차가 조금밖에 나지 않는다. 그러므로, 상의 콘트라스트 차를 크 게 하기 위해 대부분 생물 시편에서는 시편의 관찰하고자 하는 특정 부분을 Pb, Th 나 U 등의 중금속 영으로 선택적으로 염색 울 하여 관찰한다. 비정질 시편에서는 결정 시편의 두께 변화 때문에 생기는 두께 줄무늬 thi c k ness fring e 나 결정 시 편의 굴곡으로 굴곡 줄무늬 bend conto ur, 전위나 침전물 주위에서 기지의 변위로 인해 생 기는 변위 콘트라스트 str a in contr a st 등이 나타나지 않는다 (3 장 3-2-3 절) ． 그러므로, 비정질 회절상에서 투과 빔만을 조리개로 선택하여 명시야 상을 얻어서 시편을 기울여 보면, 결정 시편 영 역에서는 결정에서 나타나는 두께 줄무늬와 같은 콘트라스트를 나타내나, 비정질 영역에서는 이러한 콘트라스트가 생기지 않는 다. 이것을 이용하여 시편 중의 일부 영역이 결정인지 비정질인 지를 판별할 수 있다. 3-2-3 두꺼운 결정의 운동학적 산란 • 시편 두께가 1nm 이상이면 약상 근사가 성립하지 않고 두께 10 nm 이상이면 투사 전하 밀도 근사p ro j ec t ed charge densit y ap pr oxim ati on (3 장 3-4-1 절) 가 성 립 하지 않는다. 더 두꺼 운 시 편의 경우에도 상에서 해석 가능한 정보를 얻을 수 있는 다른 방

IIII'.'I.,'.'I

법이 있다. 이 방법은 상을 형성하는 데 한 개의 빔만 선택 사용 하도록 대물 조리개를 사용하는 것이다 . 그림 3-16(a) 와 같이 상 을 형성할 때 투과 빔만을 사용한 경우 이 상을 명시야 상이라고 하고 그림 3-1 6 (b) 와 같이 어 떤 회 절 빔 하나만을 사용하여 상을 형성하는 경우 이 상을 암시야 상이라고 한다. 그림 3-16(b) 에서 보는 바와 같이 암시야 상의 경우 회절 빔은 광축을 벗어나 어떤 각도로 진행하는데 이 각도가 크면 클수록 구면 수차가 더 커지 게 된다. 암시야 상에서 이 구면 수차를 줄이기 위해 그림 3-17 과 같이 입사 빔이 시편에 경사지게 입사되도록 하여 시편을 지 난 회절 빔과 광축의 각도가 o· 가 되게 한다. 이것을 중심 암시 야 상 cente r ed dark-fi el d im ag e 이 라고 한다. 중심 암시 야 상은

IIIIIIIII•II

보통의 암시야 상보다 구면 수차가 작아 분해능이 좋은 상을 얻 을수 있다. 그림 3-14 에서 보는 바와 마찬가지로 렌즈의 후방 초점 면에 조리개가 있어 조리개가 초점 면에서 하는 역할은 물체 상의 모 든 점에서 광축과 어떤 각도 이상으로 회절하는 파를 제한하는 것이다. 결정의 회절상에서 투과 빔을 조리개로써 선택하면 시편 울 그대로 투과한 빔만 상의 결상에 기여하게 된다. 그러므로 명 시야 상은 시편에서 광축에 평행하게 그대로 투과한 빔의 강도가 얼마인지를 나타내 주는 지도와 같다. 시편에서 회절된 전자 빔 이 많이 생기는 영역에서는 투과 빔의 강도가 약해전다. 따라서, 조그만 결정립 gra in 이 많이 들어 있는 시편의 명시야 상에서 밝 게 보이는 결정립은 회절된 빔 전체의 강도가 상대적으로 약하 고, 어둡게 보이는 결정립은 회절 빔 전체의 강도는 상대적으로 강하게 나타난다. 따라서, 회절상에서 회절 빔의 개수가 많고 강 도가 강하게 나타나면서 회절상이 고대칭을 잘 이루고 있는 결정 립이나, 또는 s = O 인 2- 빔 동력학적 조건인 (3 장 3-3-3 절) 결정 립이 있으면, 그 결정립은 여러 개의 결정립이 들어 있는 명시야 상에서 비교적 어둡게 나타날 것이다. 명시야 상은 일반적으로 제일 많이 사용되는 기본적인 전자 현미경의 결상 방법이다. 그림 3-16(b) 에서 보는 바와 같이 후방 초점 면에 있는 대물 조리개로 회절상에서 회절 점 하나를 선택하면 실제로는 시편에 서 그 회절 점을 만드는 데 기여하는 각도 O 로 회절된 모든 빔 울 선택하는 것과 같다. 따라서, 암시야 상은 시편의 각 점에서 각도 O 로 회절된 빔의 강도가 얼마인지를 나타내 주는 하나의 지도와 같은 것이다. 두 개의 결정으로 만들어전 시편의 경우에 회절상에서 만들어전 회절 빔 중의 하나를 선택하여 암시야 상을 결상하게 되면 두 개의 결정에서 선택한 회절 빔을 만드는 데 기

여한 결정은 밝게 나타나고 다른 결정은 어둡게 나타난다. 이 방 법으로 두 결정이 만들어 내는 회절상에서 한 결정의 회절상을 구별해 낼 수 있다. 또한 다결정 시편의 전자 회절상에서 환의 일부를 조리개로 선택하면 환의 일부를 만드는 데 기여한 결정립 만 암시야 상에서 밝게 되고 나머지는 어둡게 된다. 이 방법은 명암에 대한 콘트라스트가 크기 때문에 다결정 시편의 결정립 크 기를 측정할 때 사용된다. 두 상 phase 으로 되어 있으면서 다결정으로 된 시편의 경우에 제한 시야 회절상은 여러 개의 환 r i n g으로 나타난다. 이 환 하 나의 일부를 대물 렌즈 조리개로 선택하여 결상을 하면 한 상 p hase 의 결정립 중에서 조리개 내의 환을 만드는 데 기여한 결 정립만 암시야 상에서 밝게 나타나고 나머지는 어둡게 나타난다. 다결정립 중에서 s = O 인 2- 빔 동력학적 조건인 결정립에서는 회절 빔아 강하기 때문에 암시야 상에서 이 결정립이 비교적 밝 게 나타나고, s ~ O 인 2- 빔 운동학적 조건인 결정립에서는 회절 빔이 약하기 때문에 암시야 상에서 이 결정립은 어두운 콘트라스 트를 보인다. 상 면에서의 파는 물체의 출구 면에서의 파와 같으므로 (3 장 3 -1-1 절), 상의 강도 I(x', y / ）은 물체의 출구 면에서의 각 점 (x, Y, t)에서의 파의 강도와 같다. 시편이 두꺼워질 경우 E 를 따라 진행하는 전자가 정확한 점 (x,Y,0) 주위에서 산란하면서 전자가 시편 출구 쪽에 도달할 때는 한 점에만 도달하는 것이 아니고 어 느 범위 내에 퍼져서 도달하게 된다. 따라서, 출구 면에서 한 점 (x,Y, t)에 부정확도가 있게 된다. 전자는 여러 각도로 회절이 되나 앞에서 본 것처럼 원자에서 전자가 산란될 때는 대부분 10-2 rad 이내의 각도로 산란되므로 (2 장 2-3-2 절), 전자가 이 각도 내 로만 산란된다고 가정하자. 그리고 조리개를 사용하면 전자는 조

,',',',',.','v

리개 내부로 들어오는 각도 이내로 산란하게 된다. 그러면 시편 표면의 한 점 (x, Y, 0) 을 지난 전자는 그림 3-18 과 같이 출구에 서는 (x 土 ox, y士 oy , t)의 부정확도를 갖게 된다. 시편에서 산란 되는 범위를 볼 때 각도가 10-2rad 으로 아주 작으므로 (2 장 2-3 -2 절) 이 범위가 하나의 원주 column 내에 있게 된다. 이렇게 원 주가 만둘어 진 다고 생 각하는 것 이 원 주 근사 column app r oxim ati on 이다 [2, 3]. 물체 출구 면에서 상의 강도는 각 원주에서 만들어 지는 강도의 분포로써 이루어진다고 생각한다. 원주의 폭은 시편 의 두께가 t이면,

2 ox = 2 t tan 0 츠 2 t0 (3-149) 이다. 시편의 두께가 100 nm 이고 산란 각도를 10-2 rad 이라고 하 면 2ox = 2 nm 가 된다. 그러므로, 상에서의 강도 J(x ', Y' ）는 물 체에서 각 점 (x,Y) 를 약 2nm 의 정확도로 나타낸다고 생각할 수 있다. 3-2-4 분해능 유한 렌즈의 경우 물체 상의 한 점, 즉 델타 함수가 어떻게 상 면에서 결상이 되는지 살펴보자. 먼저 조리개와 렌즈의 크기와의 관계를 알아보자. 그림 3-19 에서 보면 광축을 지나 무한대 크기 의 렌즈를 지난 파는 렌즈 후방 초점 면에 있는 조리개에 의해 선택이 되는데, 조리개의 크기에 의해 렌즈의 중심에서 파가 멀 리 벗어나는 정도 또는 산란 각이 결정이 되고, 따라서 렌즈의 크기가 결정된다. 유한 렌즈는 무한대의 렌즈에서 이 렌즈의 후 방 초점 면, 죽 푸리에 공간에 가상의 조리개를 둔 것과 같다• 이제부터 유한 크기의 렌즈는 무한 크기의 렌즈에다 렌즈 후방 초점 면에 렌즈의 크기에 해당되는 가상의 조리개를 두었다고 생 각하자. 산란 각도가 0 이고 이 각도가 작을 때 그림 2-11(2 장 2 -1-3 절) 또는 그림 3-19 에서 Llk = k'sin 0 = ksin 0 =~ (3-150) 이므로 역격자 공간, 죽 푸리에 공간에서 이 가상의 조리개의 반 경은 Llk = ksin 0 (3-151)

1IIII'|,.‘+'?_',A1':‘I

(a)

이 다. 그림 3-20 (a) 에 서 와 같이 4E 공간에서 국 좌표계를 사용 하여 이 조리개를 표시할 수 있다. 이 조리개의 투과 함수는 4r 공간에서 ¢따) = ¢(4kr, 4k8) = {10,, iillkkrr ~> iillkk == kk ssiinn 00 (3-152) 이다. 여기서 4kr 과 4k0 은 4r 공간에서 극 좌표계로 표시한 4r의 r 성분과 0' 성분이다. 상 면에서 회절 파의 크기는 푸리 에 공간의 투과 함수를 푸리에 변환하여 얻으므로 lfJ'(r , 0') = f¢(L1 k) exp {— 2m.4 r . P} d(4r) (3-153) 이때고실공간에 있는 반경 a 인 원형 조리개를 푸리에 변환했을 그 회절 파의 진폭은 (2 장 2-1-4 절) l[f(4 kr, 4k 。 ) = 7[a2 k(2277[ 4 [4 k Tkraa ) (2- 54 ) 인 것을 이용하여 lJf(r , 0') 를 구하면 lJf(r ' 初 = 7[|4 kI2 k(22r7r [r44 kk ) (3-154) 이다. 이것의 강도 분포를 그리면 그림 3-20(b) 에서와 같이 실공 간에서 반경이 r= 뿔인 에어리 Ai ry 원판을 만들고 첫번째 강도 최소가 r = 요L인lk- = k °s.i6n 1 0 = s0.i6n 1 A0 가 되고 최소 사이의 간격도 r =팔-이 된다. 그러므로, 물체 상에서 델타 함수로 표시되는 한 점은 산란 각이 0 인 유한 크기의 렌즈를 사용하여

결상울 하면 결상 면에서 반경이 r = 麟問인 에어리 원판을 만 들게 된다. 만일 물체 상의 또 다른 델타 함수로 표시되는 한 점이 존재할 때 이것 역시 결상 점에서 에어리 원판을 만들게 된다. 물체 상 의 두 점이 점점 접근을 하게 되면 결상 면에서 이 각 점에 해당 하는 에어리 원판도 점점 접근을 하게 된다. 두 에어리 원판이 접근하여 한 에어리 원판의 반경인 강도의 최소점이 다른 원판의 중심인 강도의 최고점이 그림 3-20(c) 와 같이 일치할 때를 상 면 에서 두 점을 구별할 수 있는 한계가 된다고 생각하고 이 한계를 회절로 인하여 생기는 분해능의 한계로 레일리 한계라고 한다(1 장 1-2 - 4 절)． 이때 두 최고치 사이의 간격은 오L인lk_ = s0.i6n 1 A0 이고 유한 크기의 렌즈로 생기는 회절 분해능의 한계는 or = s0.i6n 1 A0 (3-155) 로 표시한다. 이것은 조리개와 회절에 의해 만들어전 것이므로 조리 개 또는 회 절 분해 능 dif frac ti on resoluti on lim i t 이 라고 한 다. 현미경은 회절에 기초를 두고 있으므로 회절에서 얻을 수 있는 물체의 투과 함수에 대한 규모 scale 정보의 분해능은 윗식에서 대략 -1 /2 이다. 8r 츠 강에서 광학 현미경의 분해능은 대략 가시 광선의 파장 길이인 0.5µm 정도가 된다. 광학 현미경 사용 가능 배 율은 약 2000 배 가 되 는데 (즉 ½

으로 의미가 없는 세부적인 것만 더 보이게 된다. 한 렌즈가 물 체에서 수집할 수 있는 회절 정보의 양은 그 렌즈의 숫자 조리개 numeric a l a p er t ure(N.A. ）로 표시하는데 이것은 산란 각인 렌즈 의 수집 각 0 의 s i n 으로 N.A. = sin 0 (3-156) 로 나타낸다. 분해능은 숫자 조리개와 파장과 &= 0N..6AU. (3-157) 의 관계가 있다. 물체 상에서 델타 함수로 표시하는 점은 구면 수차가 있는 렌 즈의 (3 장 3-1-3 절) 상 면에서 혼돈 원반으로 나타나게 된다. 상 면에서 혼돈 원판을 물체의 면에서 원판 크기로 환산하면, 물체 면의 혼돈 원판의 반경은 Br = Cs 안 (3-96) 이고 G 는 구면 수차 계수인데 전자 렌즈에서 주로 수 mm 정도 되는 상수이다. 분해능은 각도에 아주 민감하게 각도의 3 승에 따라 변한다. 구면 수차 계수가 1mm 인 렌즈의 상 면에서 원자 간격의 분해능 8r = O .l nm 을 얻으려면 윗식에서 회절 각도 0 는

되는 전자가 원자에 의해 산란이 될 때 전자의 대부분은 1 0 미만 의 각도로 산란되므로 ( 2 장 2 - 3 - 2 절 )， 산란된 전자 파의 강도가 그다지 약해지지는 않는다. 실제 대물 조리개는 렌즈의 초점 면 에 있는데 그림 3-1 4 에서 보는 바와 같이 조리개가 초점 면에서 파를 제한하면 물체 상의 모든 점에서 광축과 어떤 각도 이상으 로 회절하는 파를 제한한다. 큰 배율을 만들기 위해서는 대물 렌 즈에 바교적 가까운 수 mm 거리에 물체를 두게 되는데 각도는 거의 결정되어 있으므로 이 거리에서 조리개의 크기가 결정된다. 예를 들어 조리개가 물체로부터 2mm 만큼 떨어져 있다면 조리 개의 반경은 rape rt u re = (2 mm)(5 X 10-3 r ad) = 10-2 mm = 10 µm (3-159) 이다. 조리개는 렌즈가 수집하는 회절 정보 중 회절 각이 일정 값 이 상인 파를 제한하므로 물체의 두과 함수의 고차 푸리에 성분을 제의시킨다. 그러므로, 조리개를 사용하는 경우 물체의 더 세밀 한 부분에 대한 정보를 잃게 되어 분해능이 나빠지게 된다. 조리 개는 역격자 공간의 원점, 죽 초점 면에서 초점 주위의 일정 부 분에서만 전자가 두과될 수 있도록 하는 역할을 한다. 실격자와 역격자 공간은 항상 역관계에 있으므로 역격자 공간에서 조리개 가 멀리 있는 정보를 차단하는 것은 실공간에서 아주 미세한 정 보를 없애는 것과 같다. 결정에서 브래그 회절된 빔을 보면 일반 역격자 벡터 gtk l 이 크면 클수록 |gtki l = 1/dhkl 이므로 실격자에 서 {hkl} 면 간격은 좁아질 것이다. 만일 조리개로 홍2 % 회절 빔 보다 밖에 있는 회절 빔울 제한하면 실공간에서 {220} 면 간격보 다 더 미세한 정보는 얻을.수 없다. 조리개가 제한하는 각도는 아주 작은 각도이므로, sin 0 ~ 0 가 되어 조리개와 회절에 의한

분해능은 or = 0.6(1) 11 (3-160) 이 된다. 구면 수차에 의한 분해능과 회절에 의한 분해능은 회절 각도에 따라 서로 반대로 변한다. 위의 두 가지 영향에 의한 두 분해능 의 합은 or = 0.61 강 + Cs03 (3-161) 이고, 위 값이 최소가 될 때 가장 좋은 분해능을 얻는 것이다. 이때의 각도는 f)* = 0.61 훑커다. 이 각도 값을 윗식에 대입하면 제일 좋은 분해능, 죽 최소값은 or = cs( 망 A )3 (3-162) 또는 Br = 0.7 Cs114tl 314 (3-163) 울 얻을 수 있다. 윗식을 살펴보면 구면 수차 계수가 작은 렌즈 를 사용하면 분해능이 향상됨을 알 수 있다. 또한 가속 전압을 높여 주면 파장이 짧아지므로 역시 분해능이 향상된다. 한 예로 300kV 현미경에서 파장은 1. 969 pm<가므로 구면 수차 계수 Cs 가 1. 8m 따면 얻을 수 있는 분해능은 8r == 02..47 (1X. 8 1 0X- 1100 -=3) 101.42(41 .n 9m6 9 X 10-12)314 (3-164)

가 된다. 분해능은 식 (3 - 163) 에서 구면 수차 계수의 1/4 승에 비례하고 파장의 3 / 4 승에 비례하므로 파장을 줄이는 효과가 수 차 계수를 줄이는 효과보다 훨씬 크다. 이것이 전압을 높게 하여 높은 분해능을 얻도록 하는 고분해능 고압 전자 현미경 hig h ~r e solu- tion hig h -volta g e electr o n mi cr oscop e 의 기 본 원 리 이 다. 위에서는 간단히 회절과 구면 수차에 의한 분해능 저하만 생각 하고 탈초점, 색 수차, 수령 반각은 무시하였다. 그러나 이런 무 시한 값들이 분해능에 영향을 미칠 경우가 많으므로 고분해능 전 자 현미경의 경우 이 모든 요소들을 다 고려하여야 한다. 고분해 능 현미경학에서는 상에 대한 구면 수차와 탈초점의 영향을 콘트 라스트 전달 함수로 표시하고, 콘트라스트 전달 함수의 절대값이 1/ e 보다 큰 공간 주파수 spa ti al freq u ency 범 위 가 최 대 로 되 는 때에, 원점울 제의하고 처음으로 전달 함수가 O 이 되는 공간 주 파수에 해당하는 거리를 쉬르처 분해 한계 Scherzer resoluti on lim i t 로 (or)scherzer = 0.7 C/14 11 314 (3-165) 로 정의한다 (3 장 3-3-2 절). 현미경의 분해능을 생각할 때는 그 결상의 방법에 따라 분해능 에 미칠 수 있는 모든 요소들을 다 고려하여야 한다. 명시야 상 과 암시야 상에서는 시편의 두께가 t일 때 식 (3-149) 에서 (3 장 3 -2-3 절) 혼돈 원반의 반경은 (or)t = t0 (3-166) 로 생각할 수 있다. 명시야 상이나 암시야 상에서 조리개나 유한 렌즈와 구면 수차가 있는 경우에 일반적인 명시야 상이나 암시야 상을 만드는 시편의 두께가 매우 크므로, 최종적으로 관찰되는

혼돈 원반의 반경은 시편 두께 t에 의해 지배된다. 그러므로 분 해능은 or = t0 (3-167) 라고 할 수 있다. 그러나 극단적으로 t가 아주 작은 경우에, 예 롤 들면, 굉장히 얇은 탄소 피막 위에 짧은 간격으로 있는 두 Pt 원자를 명시야 상으로 관찰할 때, 분해능은 시편 두께에 의 한 분해능 저하와 함께 구면 수차에 의한 분해능 저하 衍 = Cs 03 (3-96) 와 유한 렌즈와 조리개에 의한 수차에 의한 분해능 저하 or = 0.6。 U (3-160) 롤 함께 고려하여야 한다. 주사 전자 현미경 (SEM) 과 투과 전자 현미경에서 미소 빔 회 절이나 주사 투과 전자 현미경 scannin g tra nsmi ss io n electr o n m i crosco py에서와 같이 분해능 자체가 시편 위에 조명되는 전 자 탐침p robe 의 크기에 영향을 받는 경우에는, 분해능이 탐침 에 의해 만들어지는 혼돈 원반의 크기에 의해 결정된다. 탐침의 기하학적인 반경이 (8r)o 라고 하고 유한한 집속 렌즈나 조리개 에 의한 혼돈 원반 반경을 (or)d, 집속 렌즈의 구면 수차에 의 한 혼돈 원반 반경을 (or)s, 색 수차에 의한 혼돈 원반 반경을 (or)C 라고 하면 최종 탐침 혼돈 원반의 반경 or 은 다음 식 [4] (Br)2 = {(Br) 。 }2 + {(Br)d}2 + {(or)s}2 + {(Br)c}2 (3-168) 에서 구할 수 있다. 일반적으로 열 이온 전자 총에서는 탐침의 기하학적인 반경 (8r)o 와 구면 수차에 의한 혼돈 원반 반경

(or)s 가 최종 탐침의 혼돈 원반의 반경, 즉 분해능을 결정하는 데 주역할을 한다. 3-2-5 완전 결정의 운동학적 상 콘트라스트 주기적인 전위 V( p)을 가진 얇은 두께 8z 의 결정 시편에서 회 절 파의 전폭은 식 (3-145) 에 서 IJfg = 2m. fv; vg e xp {2m·c fa + 효*) • r} oz (3-145) 이다. 미분의 두께 dz 에서 나온 회절 파의 미분 전폭 d lJfg는 아주 작으므로 dl/ fg = 27ri- /v; Vg exp {2m·( ko + g*) • f} dz (3-169) 라고 할 수 있다. 일반 역격자 벡터 홍*에서 이월드 구까지의 거리롤 나타내는 편차 변수 5 가 0 이 아닐 때는 k'=ko+ 맑+홍 (3-170) 가 된다. 양 변을 자승하면 If'l 2 = Ifo + 접기 + 2|& ＋흉기 1 홍| cos a + |홍 |2 (3-171) 이고 여기서 a 는 & + 맑와 홍 사이의 각이다. 홍의 크기는 『( 와 홍덕 크기보다 훨씬 작으므로 윗식에서 셋째 항을 무시하면 I 評 = lfo + ff*12 + 21 fo + 효기 1 히 cos a (3-172) 이고

띠 =-I_2 評J f o — + 1f& f기 + c o효s 기a 2 (3-173) 이다. 여기서 :는 역격자 공간에서의 크기이므로 이와 유사하게 어떤 거리의 역수로 &1 = | & + 51 기 cos a 2n ilei2e vg (3-174) 로 정 의 하자. 여 기 서 E g를 소멸 거 리 exti nc ti on dis t a n ce 라고 하고 & = 2mh2e e Ii + 맡Vg | cos a (3— 17 5) 이다. 슈뢰딩거 파동 방정식에서 상대성 보정을 무시하고 k 를 구하면 식 (3-126) 을 얻을 수 있어 k2 = 2ml1e2e V (3-126) 이고 전자 현미경에서 전위 V = Vo + V(r) 이나 원자 전위 V(r) 은 전자 현미경의 가속 전위 Vo 보다 훨씬 작으므로 k2=h2~ (3-176) Vo= 2hm2ke2e 으로 쓸 수 있다. 전자 회절에서는 파장이 격자 상수보다 훨씬 짧아서 |&I }> ll 기이므로 |& + 홍기 즈 lfo l = I 짜 = k 라고 할 수 있으므로 식 (3-175) 에 서 gg = 2mh2e e ko cVogs a (3-177)

이다. 다시 쓰면 &=(昌o : ) 言 (3-178) 이고 여기서 식 (3-176) 을 대입하면 & = Vok 。c oVsg a (3-179) 이 다. 식 (3 ― 124) 에 서 Vg =~h2 Fg (3一 124) 이 고 식 (3― 177) 에 대 입 하면 & = 2mh2e e (I k, o c-o-s- a. )\ 2ml1n2eFeg Q (3-180) = 처 : o QF gc os a 이 고 식 (3-124) 을 식 (3-179) 에 대 입 하면 & = Vo cko 。 s a 2mh2 따F ge Q = 2 7fm he2 e요 Vok ocoFsg a (3-181) 이다. 전자 회절에서 1&I = |짜 > 1 효기이고 산란 각 0 가 1° 미만 의 작은 각이므로 & + 5* 와 홍 사이의 각 a 도 작은 각이다. 그러므로 cos a = 1 이라고 할 수 있으므로 식 (3-177) ~ (3-181) 에서 &= 2mh2e e 上vg

l12 短 1 2mee k 。 Vg k 。V vo g (3-182) Jrk o 요 Fg = 2mnh2e eQ 孟V回o 이다. 이 소멸 거리 tg는 여기에서 보면 vg 가 커짐에 따라, 죽 전자 빔과 시편과의 상호 작용이 심하게 되면 소멸 거리가 짧아 지고 Vg 가 작아짐에 따라, 죽 원자 번호가 낮아 상호 작용이 약 해짐에 따라 소멸 거리는 길어진다. 또 구조 인자 Fg = 2,f/1 exp (— 2m g*· r j)에서 원자 번호가 커짐에 따라 /J e1 은 커지고 4 따r 라서 Fg 가 증가하여 소멸 거리가 짧아진다. 같은 원소에서 k = g*가 커짐에 따라 /Je I(4F = g*）가 작아져서 소멸 거리가 길 어 진다. 또한 소멸 거 리 ~g는 동력 학적 회 절 이 론 dy n ami ca l dif fra cti on the ory 에 서 s = O 일 때 시 편 두께 가 변 함에 따라 투 과 빔 또는 회절 빔의 강도가 주기적으로 ()o] 되는 두께 사이의 거리이다. 즉 강도가 사라지는 두께 사이의 거리이다. 편차 변수 홍가 ()o] 아닐 때 ic' = ko + 접* + 홍 (3-170) 이고 거리 벡터 7 을 격자 벡터 rn 으로 간주하여 식 (3-145) 에 대입하면 :g = 2m· 흙 Vg exp (zm· 『'• r) oz = 21ri 長 Vg exp {21ri( ko + g* + 홍) • Pn} 8z (3-183)

식 (3-179) 에서 cos a = l 인 소멸 거리 &=——k 。M v—) g (3-184) 롤 대입하면 회절 파의 미분 진폭은 dlJ fg = 또Eg exp {27 fi( ko + ll * + 홍) • Pn} dz (3-185) 이다. 항 exp (27 fiko · r 김은 강도를 계산할 때 없어지는 위상 인 자이고, exp (27 fig* • rn) = 1 이므로 윗식은 d 깐g = 프- exp (27r i훈 킵 dz (3-186) ~g 로 된다. 윗식은 미분 두께에 대한 것이므로 두께 t인 시편에 대해서는 두께 t가 되도록 적분을 하면, lJfg = f fo1 exp (27r i홍 • Pn) dz (3-187) 이다. 전자가 산란할 때 일반적으로 아주 작은 각도로 산란하므 로 거의 수직으로 입사하면 S = Sz 이므로 홍· rn = sz 가 되어 윗 식은 깐g = 틀 itexp (21ris z ) dz (3-188) 이고 z 의 원점을 두께의 가운데로 잡으면 1/fg == 또프~-g Jft -½s;t ei n x p( 7 [(s2t m) .sz) dz (3-189) ~g • ;rst

이 된다. 이 식을 운동학적 적분 kin e mati ca l int e g ra l 이라고 하고 이 결과는 이제까지 해왔던 중절모 함수의 푸리에 번환의 결과와 유 사한 것이다. 배율을 고려하지 않으면 5* 에 해당하는 회절 빔에서 형성된 상의 강도, 죽 암시야 상의 강도 분포는 Jg( X', y') = /g( X, y) =福*=（근 )2~ (3-190) = 亢 s i급 (Jrst ) 이고 여기서 s 와 t는 각 원주 (x, y)에 따라 변하는 함수이다. 결정을 기울이거나 입사 빔울 경사시켜 회절상에서 투과 빔과 단 하나의 회절 빔만 강하고 나머지 빔들의 강도는 무시할 정도로 작게 되었다고 생각하자. 이와 같이 2 개의 빔만 있는 경우를 2- 빔 조건 tw o-beam condit ion 이 라고 한다. 앞에 서 입 사 파의 전폭을 1 로 생각하였으므로 입사 빔의 강도는 l 이고 모든 투과 빔과 회절 빔의 강도의 합은 1 이다. 죽 2- 빔 조건의 경우 명시야 상과 암시야 상은 상보 관계가 있다. 죽, Io(x, y) + ]g(X , y) = 1 (3-191) 이고 두과 빔의 강도, 죽 명시야 상의 강도 분포는 Io(x, y) = 1 -# Jg(,xz, y ) = 1 - s i급 (7rst) (3-192) 이다. 편차 변수 s 가 고정되어 있는 경우 암시야 상을 나타내는 식

(3-190) 과 명시야 상을 나타내는 식 (3-192) 를 보면 그림 3-21 (a), (b) 에 나타낸 것처럼 두께 t를 증가시킴에 따라 상의 강도 는 sin 함수의 제곱에 따라 진동하는 것을 알 수 있다. 그립 3 -21 에서 D 는 어두운 부분을, E 즌 밝은 부분을 나타낸다. 이와 같이 s 가 일정할 때 두께 t가 변함에 따라 상에서 생기는 밝고 어 두운 띠 모양의 콘트라스트몰 두께 줄무늬 thi c k ness fring e 라 고 한다〔 5]. 2- 빔 조건의 경우 암시야 상과 명시야 상의 대표적 인 두께 줄무늬 모습을 그림 3-21(c) 에 각각 나타내었다. 이것은 실리콘 시편을 관찰한 것으로 이온 연마로 얇아져서 밝게 보이는 시편의 모서리로부터 아직 연마가 덜 되어 두꺼운 어두운 곳으로 시편의 위치가 변함에 따라 밝고 어두운 줄무늬가 주기적으로 배 열되어 있는 것을 볼 수 있다. 편차 변수 s 가 001 면 회 절 파의 전폭은 식 (3-189) 에서부터 1J/g = —iE7g[t lxi -mO sin 7 [(s7t [ s t ) (3-193) =뜨~gL 1~ = .玩,._ J~g_ 이 된다. 그리고 t = ~g이면 파의 진폭 lJfg = 7r = 3.14 가 되어 본래 입사 파의 전폭 1 에 비해 3.14 배나 크다. 들어간 파보다 나온 파의 진폭이 더 크므로 이것은 두께 t = ~g이고, s = O 인 브래그 조건인 경우에는 운동학적 근사는 맞지 않게 된다는 것을 의미한다. 거리의 단위인 소멸 거리는 낮은 차수의 효 hkl 인 경우 대략 수십 nm이 다. 예를 들면, 알루미늄의 경우 다음 표 3-1 과 같다. 차수가 증가함에 따라 소멸 거리는 점접 증가하는데 이것 은 소멸 거 리 식 (3-182) 의 분모에 있는

lo

500nm

표 3-1 알루마늄의 경우 역격자 벡터에 대한 소멸 거리

Fg = ~/i exp {一 27r i (hu + kv + lw)} (2-240) 식에서 차수가 증가함에 따라 산란 각 0 가 증가하여 원자 산란 계수 fj가 점점 감소하기 때문이다 (2 장 2-4-3 절). 위에서 본 바와 같이 s = O 일 때는 운동학적 근사를 만족하기 위해서는 시편의 두께가 매우 얇아 1/fg

sin (nst)

험에서 S3 g•롤 0 으로 잡아주면 l g hkl 의 편차 변수는 식 (3-246) 에서 (3 장 3-3-3 절) &g• = 10-2 nm-1 이다. 시편의 두께 t가 100 nm 라면 s = 1/ t가 성 립 하여 sin (7rs t)/(Jr s t)의 값이 0 이 되 어 운 동학적 근사를 만족하게 된다. 이 경우 l g hkl 에서 편차 변수 s 의 크기가 1/ t로 001 아니기 때문에 lg h kt 빔의 세기는 상당히 약하 다. 그러 므로, 이 조전을 약빔 조건 weak~beam condit ion 이 라 고 한다. 그림 3-22(c) 는 이런 약빔 조건이 되도록 시편의 방향 울 조정한 후 대물 조리개를 이용하여 회절된 빔으로 암시야 상 울 얻을 때의 회절 조건을 나타낸 것이다. 시편 두께 t가 일정하고 편차 변수 s 가 변할 경우, 즉 시편의 격자면이 휘어져서 회전이 되면서 방향이 변하는 경우 식 (3 -190) 에서 회철 빔의 강도는 Jg = 접1 sin 2 s(21 rst ) (3-190) 이고 2- 빔 조건의 경우 명시야 상의 강도는 I。 = l —/g = 1 —」 sin 2 s(27[ st ) (3-192) 으로 그 강도가 sin 2 (7rs t )/s2 에 따라 변한다. 이 와 같이 그림 3 -23(a) 에 나타낸 것처럼 두께가 일정할 때 s 의 변화에 따라 나타 난 콘트라스트를 굴곡 줄무늬 bend conto ur 라고 한다. 그림 3 -23(b) 는 굴곡 줄무늬를 찍은 명시야 상이다. 전자 현미경 시편 은 매우 얇은 박판 형태를 가지는데 시편 자체의 무게 때문에 격 자면이 휘어져서 굴곡 줄무늬를 잘 만든다. 이 사전은 Si 기판 위에 분자선 에피택시로 성장시킨 Sio .s Geo.2 박막 충의 단면 투과 전자 현미경 사전으로 굴곡 줄무늬를 찰 나타내고 있다. 박막 충 에서 다결정인 부분에는 굴곡 줄무늬가 생기지 않으나 박막 총

Ig

중에서 단결정인 부분에는 굴곡 줄무늬가 나타나 있고 아러한 줄 무늬는 박막/기판 계면을 지나면서 연속해 있으므로 박막과 기판 이 정합 계면을 이루고 있음을 알 수 있다. 3-2-6 결함의 운동학적 콘트라스트 운동학적 kin e mati ca l 조건에서 균일한 두께의 얇은 시편에서 의 상은 콘트라스트가 없는 강도가 균일한 상을 얻는다. 만일 결 정 속에 결함이 있으면 이것이 콘트라스트 변화를 만들어 낼 수 있다. 이제까지 우리는 원자 하나 하나의 이동 벡터보다는 단위 포의 이동 벡터를 주로 이용하여 문제를 풀어 왔으므로 여기서도 결함에 의해 생기는 원자 하나 하나의 변위 d i s p lacemen t보다는 결정에서 단위 포의 변위를-생각하고 그 변위 벡터를 R(r) 로 표 시하자. 단위 포의 원래 위치 7 군] 결함의 영향으로 새로운 위 치 rn 으로 이동했다면 r~ = rn + R(r) (3-195) 이다. 여러 결함 중에서 적층 결함 s t ack i n g fa ul t은 이동 벡터 R(r) 이 위치에 따라 변하지 않고 일정하여 R(r) = R 이며 제일 간단하게 이해할 수 있으므로 적층 결함부터 공부하기로 하자. 그림 3-24 는 면심 입방정의 적층 결함을 보여주는 고분해능 전 자 현미경 사진이다. 그림에서 ABC 는 면심 입방 격자의 적충 을 나타내는데 결함이 없는 경우에 적층 순서는 ABCABCAB- CAB 가 되나 ABCA 다음의 모든 충을 강 <112> 로 이동시키면 적층 순서는 그림과 같이 . ABCACABCABC 가 된다. 그러므로,

그립 3-24 면심 입방정의 적충 결함을 보여주는 고분해능 현미경 사진.

적층 결함은 위치가 변하지 않은 윗부분의 결정과 위치가 R(r) 국 < 112 > 만큼 변한 아랫부분의 결정으로 양분한다고 생각할 수 있다. 그림 3-25 와 같이 적층 결함이 원주 (x, y)를 상하 두 부분 l 과 Il 로 나눈다고 생각하자• 윗부분 l 은 완전한 결정이 고 아랫부분 Il 는 단위 포가 새로운 위치 r~ = rn + R (3-196) 로 이동하여 적층 결함이 만들어졌다고 생각하자. 그러면 원주의 윗부분은 완전한 결정이므로 회절 파의 미분 진폭은

I

d 깐g == 뜨—g~i7-ggf eexx pp ({2z7mr i · (홍 접·* r n+) d홍z) • rn} dz (3-197) 이고 아랫부분은 단위 포의 위치가 새로운 위치로 이동하였으므 로, 회절 파의 미분 진폭은 dl/ f'g = 꼬Eg ex p {2TCi (g* + 홍)· 킵 dz (3-198) = 또~g ex p {2 7fi(효* + 홍)·( rn + R)} dz

이고 일반적으로 R ~ Pn 이고 홍 의 크기도 g*의 크기보다 작으 므로 흙 R 이 작아서 exp (2TC i 홍 .R) 즈 exp (0) = 1 이고 정*. f n 은 정수이 기 때문에 exp (2TCi g* • Pn) = 1 이므로, dl/ fg = 프 - exp (27ris · P,,) exp (27rig * • R) dz (3- 1 99) ~g 이다 [3-1, 3- 이. 항 ex p (27r i효 *.R) 은 위상 변화를 나타내고 a = 2 갭 *.R 로 표시하고 위상 각p hase ang le 이라고 한다〔 6]. 윗 면에서 적층 결함까지의 깊이를 원주에서 h 이라고 하고 전체 두

cos 2ns(i t -ti)

전자빔

접1 1

께 t에 대해 회절 파의 미분 전폭을 적분하면 회절 파의 전폭은 l/fg = f。t d1/ fg (3-200) = 嗣 l11ex p (27ris z ) dz + L1exp (27ris z ) exp (ia) dz} 이다[긴. 또한 상의 강도는 /g = 1/fg 1/fg * = (¾)2[sin 2 (7fSt + 망) + sin 2 (운) (3-201) —2 s in (운) sin (7fst + 운) cos {27 fs (½t —f1 ) }] 이다. 대괄호 속 첫 두 항은 적층 결함이 원주 (x, y)와 만나는 깊이 h 에 무관하고 세번째 항만 깊이 h 에 따라 변하여 그림 3 -26 과 같이 깊이 주기 1/s 로 된 cos 무늬를 만든다. 만일 적층 결함이 비스듬히 놓여 있어 h 이 변한다면 그림 3-27(a) 에 나타 난 적층 결함을 따라 같은 깊이에는 같은 콘트라스트로 마치 등 고선과 같은 무늬를 나타낸다. 실제 재료 내에서 관찰되는 예를 그림 3-27(b) 에서 보여주고 있다. 이 사진은 302 스데인레스 강 내의 적층 결함의 콘트라스트를 보여주는 명시야 상이다. 무늬 사이의 간격은 1/s 에 따라 변하므로 s 가 커지면 점점 줄어든다. 만일 이동 벡터 R 이 일반 역격자 벡터 접*에 수직이면 효 *.R = ()o]고 위상 각 a 도 역시 ()o] 되어 적층 결함이 시편 내에 존재해 도 윗식에서 h 에 따른 상의 강도에는 아무 변화가 없고 완전 결정의 경우와 같은 식이 되어 적충 결함에서 어떠한 콘트라스트 도 나타나지 않는다. 몇 개의 회절 빔을 각각 사용하여 상을 만 들어 위의 사실을 이용하면 적층 결함의 이동 벡터를 알 수 있

sc > O sC = 0 seff < o

다. 전위와 같이 위치에 따라 이동 벡터 R(r) 이 변하는 결함에 대 해서도 알아보자• 각 원주 (x,Y) 를 생각할 때 중요한 점은 깊이 z 에 따른 R(r) 의 변화 죽 변형장 s t ra i n fiel d 이다. 여기서 변형 장의 역할은 각 원주의 격자면을 d /3＝ dR(r)/dz 로 회전하는 것 이다. 이렇게 격자면이 회전하면 그 부분의 편차 변수가 그 부분 에서 바뀌는 것과 같다. 어떤 원주에서 격자면의 회전으로 생기 는 s 의 변화를 포함한 전체 편차 변수는 Serr = S + 흥 * • dRdz(r ) (3-202) 이다. 그림 3-28(a) 에서 결함이 없을 때 s= ()o]라고 생각하면 전 위 중심 dis l ocati on core 의 왼쪽 부분에서는 회전된 면의 수직 선 죽 역격자 벡터의 방향이 이월드 구의 안쪽으로 변하기 때문 에 Se ff가 양이고 전위 중심 오른쪽 부분은 회전 면의 수직선, 죽 역격자 벡터의 방향이 이월드 구의 바깥쪽으로 변하기 때문에 Se fr 가 음으로 변한다. 만일 결정을 반시계 방향으로 더 회전하여 전위 · 중심의 오른쪽 부분의 Se ff가 ()o] 되면 중심 주위의 Se ff변화 는 그림 3-28(b) 와 같고 전위 중심 주위의 강도 변화는 그림 3 -28 (c) 와 같다• Se ff가 0 일 때 그 원주에 해 당되 는 곳의 강도가 최대로 될 것이다. 이와 같이 전위 중심 주위에 강도 변화가 있 어 전위가 없는 곳과 콘트라스트 차이를 나타내게 되어 전위를 볼 수 있게 된다. 그림 3-29 는 Si 기판 위에 분자선 에피택시로 성장시킨 GaAs 박막 속에 생긴 전위들의 모습을 보여주는 명시 야상이다. 그리고 그림 3-28(c) 에서 보는 바와 같이 강도가 최대가 되어 전위 상이 만들어지는 곳과 전위 중심은 상당히 가까운 곳에 있

\

지만 반드시 일치하지는 않는다. 그림 3-28(b) 와 (c) 의 경우에는 전위의 상이 전위 중심의 오른쪽에 있게 된다. 이와 같이 전위의 콘트라스트는 s 변화에 따라 변하게 되므로 만일 굴곡 줄무늬가 전위 선을 지나가게 되면 전위가 나타나는 쪽이 바뀌게 된다. 시 편 내에 전위 환 d i sloca ti on loop 이 있을 때 이 전위 환은 대개 시편에 경사지게 놓이게 되는데, 전위 환의 상이 실제 전위의 밖 에서 만들어지는지 안에서 만들어지는지를 판별하여 전위 환이 고유성 int r i n s ic , 또는 의 부성 extr i n s ic 인 지 를 구별할 수 있 게 된다. 다.전 위버에거서스 주벡된터 의변 형방은향 이버 거효*스에 Bu수rg직e 이 rs 라면벡터 점 *.5 ¥ 로 되=어 있o 이 되어 콘트라스트가 생기지 않는다. 이것을 이용하여 버거스 벡터의 방향을 알 수 있다. 죽 2- 빔 조건으로 결정을 기울인 다

음, 암시야 상이나 명시야 상을 얻는다. 그리고 갑은 위치에서 또 다른 맑롤 이용하여 2- 빔 조건을 만든 다음 상을 얻고, 또 다른 맑롤 이용하여 같은 위치에서 상을 얻어 어떤 흉*에서 콘 트라스트가 없는지를 판별한다. 콘트라스트가 없으면 버거스 벡 터가 맑에 수직임을 나타낸다. 정확한 버거스 벡터의 방향을 결

그림 3-30 Al-4%Cu 시편에서 만들어진 석출물(화살표로 표시)의 2 - 빔

정하기 위해서는 적어도 2 개의 5* 에 대해 홍 * . b = o 이 되는 것을 찾아야 한다. 본래의 기지 체적보다 크거나 작은 체적을 차지하는 정합 coherent 석출물의 경우에, 주위의 변형장은 석출물 주위에서 대칭이라고 생각할 수 있다. 기지와 석출물의 주된 변위는 방사 상 rad i al 이 되어 모든 방향으로의 변위 R( y)이 만들어전다. 여 러 방향 중에서 반드시 효*에 수직인 R(r) 이 있어 이 R(r) 방 향으로는 ff*· R (r ) = ()o1 되어, 효*에 수직한 방향으로 콘트라 스트가 없는 선 line of zero contr a st 이 생 긴다. 이 렇 게 생 긴 작 은 석 출물의 상 콘트라스트는 커 피 콩 coff ee bean 과 같은 모습 울 지녔으므로 이를 커피 콩 콘트라스트라고 한다. 5* 롤 바꾸어 주면 항상 맑에 수직한 방향으로 콘트라스트가 없는 선이 만들 어진다. 그림 3 - 30 은 Al-4%Cu 시편에서 만들어전 석출물(화살 표로 표시)의 2- 빔 명시야 상 사전이다. 회절상에서 얻은 역격자 벡터가 효 2% 으로 사전에 표시되어 있고 석출물의 콘트라스트를 살펴보면 역격자 벡터 효 2% 에 수직인 방향으로는 콘트라스트가 생기지 않아 형성된 커피 콩 콘트라스트를 나타내고 있다. 또한 석출물 자체의 원소 구성이 기지와 상당히 다르면, 결정 전위 V(r) 이 기지와 상당히 달라져 이로부터 또한 콘트라스트를 형 성한다. V(r) 이 식 (2-168) 에서 본 바와 같이 구조 인자와 관 계가 있기 때문에 이 콘트라스트를 구조 인자 콘트라스트라고 한 다. 석출물이 반정합 sem i conheren t 석출물인 경우에는 석출물 주 위에 약간의 변위가 있으나 주된 콘트라스트는 석출물/기지 계면 에 있는 계면 전위 int e r fa cial dis l ocati on 이다. 따라서 반정합 석출물의 명시야 상이나 암시야 상에서 나타나는 상은 주로 실제 석출물 그 자체보다는 계면 전위의 상인 경우가 많다.

석출물이 부정합i ncoheren t 인 경우에는 석출물이나 기지에 변 위나 계면 전위가 없으므로 주된 콘트라스트는 석출물 자체의 원 소 구성이 기지와 달라서 생기는 구조 인자 차에 의한 구조 인자 콘트라스트가 생긴다. 일반적으로 정합 또는 반정합 석출물의 콘 트라스트보다는 약하다. 3-3 동력학적 이론 3-3-1 동력학적 방정식 실제 전자 현미경의 결상 과정을 설명할 때 지금까지 언급한 운동학적 이론을 적용할 수 없는 경우가 있다. 운동학적 이론에 서 입사 평면 파가 1flo'-= 1 exp (27rik o · r) (3-131) 일 때 회절 빔의 전폭은 1/fg = i7fg—tg sin T (s7tr st) (3-189) 이고 여기서 ~g는 소멸 거리로 gg= 먀요F cgo s a =_ 2mh2e e ko cVogs a (3-177) 이다. 회절 빔의 강도는 s=O 일 때 Jg = 福* = :2g:2 (3-203)

이다. 따라서 이때 회절 빔의 강도는 두께 t의 자승에 따라 증 가한다. t > ~g/Jf이면 회절 빔의 강도가 입사 빔의 강도인 1s!..다 더 크게 되어, 운동학적 이론을 전자 회절에 적용할 수 없게 된 다. 또 다른 예를 들면 운동학적 이론에서 나온 전위 상의 폭과 두께 줄무늬의 간격은 1/s 에 따라 변하는데 s 가 O 이 되면 줄무 늬 간격이 무한대가 되나 실제 일정한 값을 지닌다. 따라서 운동 학적 이 론은 s =f= 0 이 면서 s ~ O 일 때 성 립 하게 된다. 운동학적 이론에서는 산란 빔의 강도가 투과 범의 강도보다 매 우 약하다고 생 각하여 그림 3 ~ 3 1( a) 와 같이 산란 빔 이 다시 산란 하지 않는다고 생각하지만, 동력학적 이론에서는 한 번 산란된 전자 빔의 강도가 비교적 강하기 때문에 그림 3-31(b) 와 같이 다 시 산란이 일어날 수 있다고 생각한다. 완전 결정에서 동력학적 이론을 도출해 낼 수 있는 제일 간단한 경우는 하나의 브래그 빔 만 만들어지는, 즉 2_ 빔 근사의 경우이다. 더욱 간단히 하기 위 진해 폭산을란 각도각 두 % 번, 만l Jf일g라어고 난하다자고. 미가정분하 두자께. d투z 내과에 파서와 r산 방란향 으파의로 산란된 파의 증분 d lJfo 는 그림 3-31 (b) 에 서 처 음 산란에 서 fo 에 서 E 로 산란 때의 영향과 두번째 산란에서 r’ 에서 r 로 산란 때 의 영향을 합친 것이다. 그러므로, 퉁 = 뭉 % + 芳 lJf'g exp {21r i(홍* + 콩)· 기 (3-204) 로쓸수 있다. 여기서 ~o=~ 이다. 앞에서 공부한 바에 의하면 각 산란 과정에서는 항상 처 2 의 위상 변화가 있으 므로 exp (in/2 ) = i를 표시한다. 죽 처음 산란에서 두 산란 파 는 입사 파와 처 2 의 위상 차가 있고 두번째 산란으로 인하여 만

ko

들어진 두 산란 파는 맨 처음 입사 파와 7[의 위상 차가 있다. 운동학적 이론에서 회절 파는 lJfg = if; X 1 X (¥) (3-205) 로 표시하였는데, 여기에서도 산란이 되었기 때문에 i가 덧붙여 져 있다. 그리고 비례 상수로서 자~g가 표시되어 있다. 아와 유 사하게 동력학적 이론에서도 이 비례 상수가 처令 또는 처g o 라고 생각한다. 이 ~ g 와 ~o 는 구조 인자 Fg (4 k = 5* ）와 Fg (L lk = O) 에 각각 반비례한다〔 3-3]. 식 (3-204) 의 오른쪽 두번째 항에서 exp { 2 1r i (g나 홍)· r n } 은 파의 방향이 r’ 에서 r 로 변화하였기 때 문에 더해 준 것이다. 다음 미 분 두께 dz 내 에서 ic' 방향으로 산란된 파의 증분 dlJ !g 는 그림 3-3l(b) 에서 처음 산란에서 fo 에서 r’ 로 산란 때의 영 향과 두번째 산란에서 r ’ 에서 r ’ 로 산란 때의 영향을 합해 준 것이다. 그러므로 dd? = 틀 lfloe xp {2; ri(-g* - 홍)· 기 + 틀 lJ!g (3-206) 로 쓸 수 있다. 홍*. rn 은 정수이므로 exp (-27r i뭉*냐%) = 1 이 되어 dddz 1 zff o= = 一~—i~g1。 r 1,.%'f 'fuo e +x,.I p -'— ~i(, 1-gr 2 ,7.1,/,rf .g i• .se, x· p,킵 n(2, 1r+ ,i 홍— $•。 P n1)J fg ((33--220087)) d1J fg _ i7r ,rr ---~ / n --·~ -,., \ , i7r 가 되고 홍와 rn 방향이 z 방향과 유사하다고 생각할 수 있으므 로 홍. rn 츠 sz 이다. 그러므로,

—d—dzdW zo = = — E一g1~.7 。 [ lflfof loe x+ p —(~Z. 7一g [ 2W J gr isezx ) p+ (2 —7E [—ol.s z 1) /fg ((33--220190)) d 1/fg t.7[ 1.7 [ 이 된다. 위의 연립 방정식을 쉽게 풀기 위하여 적당한 위상을 더하여 다음과 같이 변환하자. 1Jof = 1Jfo( z) exp ( —i 7fz/ ~o) (3-211) 1Jf; = 1Jfg( z) exp (2m·sz — i7r z/~o) (3-212) 이 식으로 변환을 하면 식 (3-209) 과 식 (3-210) 에 서 뾰d=z 또1J~gf ; (3-213) 墨dz = 또~g - 1Jf0’ + 2m.s 1 Jf; (3-214) 이 된다. 식 (3-209) , (3-210) 과 식 (3-213) , (3- 2 14) 는 위 상 인 자만 차이가 나는데, 우리는 강도에만 관심이 있으므로 위 두 가 지 형태의 식들은 같은 강도에 대한 결과를 얻게 되므로 식을 변 환하여도 큰 문제가 되지 않는다. 우선 프라임을 계속 표시하는 것이 번거롭기 때문에 프라임 표시를 없애자. 그리고 이 방정식 울 풀기 위 하여 식 (3-213) 을 식 (3-214) 에 대 입 하여 lJfg를 제 거 하면 식 틀 -27f iS ! lJ}-+ (f;rl fl 'o = 0 (3-215) 울 얻는다. lJfo를 제거하여도 유사한 결과를 얻는다. 윗식의 해 가 exp (2 7'Ci rz) 의 형태를 지닌다고 생각하고 윗식에 대입하면 군 — S/ — (l/2~g) 2 = 0 (3-216)

의疾} 방정식이 되어 두 근 낀=召 s 一~) (3-217) 뿐=망 (s+~) (3-218) 를 갖는다. 먼저 근 7(I) 을 생각하자. 그러면 투과 파와 산란 파 의 진폭은 각각 %(I)(z) = Cj l) e xp (2m.Y(I)z) (3-219) 깐g (I) (z) = C&l) exp (2m.Y(I)z) (3-220) 이고 여기서 Cd1) 과 c 1,1 ) 은 식 (3-219) 와 식 (3-220) 이 본래 미분 방정 식 인 식 (3-213) 과 식 (3 - 214) 를 만족시 켜 야 한다는 조건에 서 결정 이 된다. 식 (3-219) 와 식 (3-220) 을 식 (3-214) 에 대 입 하면 C&l)/C81) = 2Eg Y (1) = 懿 —✓ l + £낡 = w —J I+z? (3-221) 가 되고 여기서 W = ~g S 는 동력학적 회절 이론의 소위 편차 변 수로 브래그 회절 위치에서의 변위를 나타내는 무차원의 변수이 다. |Col2 + 1Cg l 2 = 1 이 되도록 계수 Co 와 c g를 정하는 것이 보 통이므로 식 (3-221) 에서 두 계수를 정해 주면 어 = ｛방 (1 + 广구 )}ll2 (3-222) 다=園-言 )}1/2 (3-223) 이 된다. 마찬가지로 근 r(2) 에 해당하는 해를 구할 수 있는데 두 계수를 구하면

C 『 IC82) = 2Eg r (2) = w + g (3-224) Cd2) ={ ½(1 一 g干 ;)}ll2 (3-225) 떠 ={ ½(1 + 7IT7)}1'2 (3-226) 이 다. 근 r(i) (i = l, 2) 에 대 해 식 (3-219) 와 식 (3-220) 을 사용하 여 결정 속을 진행하는 파의 파동 함수를 표시할 수 있다. 파동 함수로 표시하면 B(i)( r) = 7J!o(i) exp (2m.r. r) + 7/!ii) exp {2Ki ( r + 5*) • r} = Cail e xp ( 2J rf

브릴루앙 대 g*

낸다. 벡터 r 의 궤적은 중심을 O 로 두고 반지름을 |짜로 하는 구이 다. Y( i )는 분산 면 dis p e rsio n surfa c e 의 2 개 의 가지 에 서 z 방향에 평행하게 그은 A 까지의 거리이다. 이월드 구의 중심인 A 가 I 짜를 반지름으로 갖는 구의 표면 위를 따라 변함에 따라 불로흐 파동 벡터 r ( i )는 분산 면의 2 개의 가지를 따라가게 된 다. 실제로, 전자 현미경의 파장은 몹시 짧으므로 대략 구의 반 경 |짜 ~5 이 5 기 정도가 되어 |FL 를 반지름으로 갖는 구는 브릴루 앙 대 Brill ou in zone 경계 근처에서 실질적으로 하나의 평면이 된다. 이 경우 2- 빔 이론에서 나온 분산 면의 2 개의 가지는 쌍 곡선의 2 개의 가지롤 벡터 흉*를 중심으로 회전하여 만들어지는 것이다. 이 쌍곡면은 앞에서의 O 를 중심으로 한 구와 역격자 점 g * 룰 중심으로 한 구에 점근 asym p o to t i c 한다. 분산 면의 개념은 결정 . 대의 블로흐 함수의 파동 벡터를 기하 학적으로 나타낼 때 편리하게 이용된다. 투과 전자 현미경에서와 같이 시편에 입사한 파가 다시 입사한 쪽으로 반사되지 않고 입 사한 반대쪽으로 투과를 하는 경 우를 라우에 경우라고 하는데 , 이 경우 입사 빔은 분산 면의 각 가지마다 한 개씩 2 개의 불로 흐 함수를 여기시킨다. 분산 면을 알면 그림 3-32 에서와 같이 파동 벡터 E 의 시작 점 A 를 지나면서 결정 표면에 수직한, 즉 z 방향으로 선을 그으면 결정 파동 벡터 rU) 를 알아 낼 수 있 다. A 를 지나는 수직선이 분산 면의 가지와 만나는 교접을 벡터 rU) 의 파점 wave-po in t 이 라고 한다. 본래 분산 면의 개 념 을 양 자역학적으로 도입한 베이터 Be th e 의 방법을 사용하는 것이 더 정확한 방법이나 [8, 9] 여기서는 결정 파동 벡터를 간단히 정하 기 위해서, 전자기 이론에서 계면에서의 두 파가 같아야 된다는 사실에서 결정 표면에 평행한 파동 벡터의 성분이 연속되어야 한 다는 조건을 이용한 것이다.

분산 면의 개념은 한 개 이상의 강한 브래그 빔 회절의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우 n 개의 파를 모두 고려해야 하므로 분산 면은 n 개의 역격자 점에 중심을 둔 반경 I f l 의 구에 점근 하는 n 개의 가지로 되어 있다. 3-3-3 라우에 경우의 해 정확한 브래그 조건에서 변위를 나타내기 위해 타카기 Takag i 가 제안한 표기를 사용하면 편리하다 [1 이. 식 w = cot /3 (3-229) 의 관계가 있는 변수 B 를 도입하자. 그림 3-32 에서 W = +00(/3 = O) 는 점 A 가 브릴루앙 대 계면에서 오른쪽으로 멀리 있을 경 우이고 w = 0(/3 = lf /2) 는 A 가 정확하게 브래그 조건에 있는 대 zone 계면에 있는 경우이다. W = -00(/3 = 7[)는 A 가 대 계면 에서 왼쪽으로 멀리 있을 경우이다. B 로 표시하면 Cd1) = ct > = cos 송 8, cj 2) = —C 상 = sin 步 (3-230) 이다. 결정의 상부 표면에 1 개의 파만 입사한다고 생각하자. 그 리고 전체 결정 파는 2 빔 근사에 따르면 1[f( r) = A(l)B(l)( r) + A(2)B(2)( r) (3-231) 이고 A(l) 과 A(2) 는 결정에서 여기된 두 블로흐 파의 전폭을 나 타낸다. 식 (3-227) 을 사용하여 전체 결정 파를 다시 나타내면 伊( r) = A(1)Ci 1) e xp (2m.r(I). r) + A(2)Ci 2) e xp {2m.r(2). r} + A(1)C伊 exp {21 (i(f<1) + 흉*)• r} (3-232)

+ A<2> c exp {2 7ri( f<2) + 점 * ) • r } 이 된다. 윗식에서 오른쪽의 첫 두 항은 결정에서 바로 투과하는 파를 나타내고 오른쪽의 두번째 두 항은 회절 파를 나타낸다. 결 정의 위 표면을 좌표의 원점으로 잡고 위 표면에서 투과 파의 진 폭을 툐- 회절 파의 진폭을 邸-로 잡으면 A(I) 다 + A(2)Cd2) = 1 (3-233) A(I)CE + A(2)C 『 = O (3-234) 이고 식 (3-230) 을 이용하여 윗식들을 다시 쓰면, A(l)2A(=`' =e os 2—1. s_8m2 D1 ((33--223365)) 이 된다. 이 두께 t의 결정에서 투과 파와 회절 파의 전폭울 계 산할 수 있다. 두과 파와 회절 파의 전폭은 각각 1/!o(t) = 홈, 2A( i )Cd i ) exp (27 [t.Y (i) t ) (3-237) 7/!g(t) = 흡, 2A( i )CE exp (2 7(합'. )t) (3-238) 이 다. 중요하지 않는 위 상 항을 제 의 하고 식 (3- 2 17) , (3-218) , (31/-f2o2(t9) )= , co(3s- 2(30)告 , 广(3-2더35) 와- n식 (3 -23s6i)n 을 ( 룹이l 용f하+w여2 )윗 식(3 을-23 9간) 단히 하면 t sm( 룹五丁군) 1J!g(t) = ~ (3-240)

가된다. 식 (3 一 240) 에 서 회 절 파의 강도 Ig 는 /g = lJlglfli; = 겹군 si(n 2습 1 r)t2 s (3- 24 1) 이고 5 는 s 의 유효 편차 변수로 5 = Js2 + gi2 (3-242) 이다. 식 (3-240) 을 운동학적 조건의 해인 식 (3-189) 와 비교해 보면 운동학적 조건의 해에서 S 대신 유효값 토로 대치되어 있는 것을 알 수 있고 S 는 브래그 위치에서 최소값 ti 1 을 갖는다. 따 라서 s 가 O 에 가까이 갈 때 운동학적 이론을 적용할 수 없었는 데 동력학적 이론에서는 이 한계점을 제거하였다. 식 (3-241) 은 2- 빔 동력학적 이론에서 나온 결정 회절의 강도를 나타내는 강도 곡선이다. 그림 3-33 (a) 는 운동학적 이 론의 회 절 강도 곡선을, (b) 는 동 력학적 이론의 회절 강도 곡선을 각각 모식적으로 그린 것이다. 운동학적 이론에서는 회절 강도 곡선의 중앙 최고 치의 폭이 s = 2/ t인 반면 동력학적 회절에서는 좀 복잡하다. t ~ tg인 경우 운동학적 결과에 근접하고 t > ＆인 경우 그림 3 - 33(b) 에 나타 나 있는 바와 같다. 진동의 의피 envelo p e 는 두께에 무관하게 반폭이 2/ tg이다. 그림 3-34 는 투과 빔과 회절 빔의 강도를 시 편 깊이의 함수로 모식적으로 그려 펜델뢰숭 Pendellosun g 효과 를 나타내는 모식도로써, (a) 는 운동학적 이론에 의하여 계산된 것이고 (b) 는 동력학적 이론에 의하여 계산된 것이다. 동력학적 인 경우는 s=O일 때 죽 브래그 위치에서 두과 빔과 회절 빔의 강도가 그림 3-34(b) 에서와 같이 진동을 한다. 강도가 깊이 주기

I

투과빔 회절 빔

tg로 ~ 1 사이에서 변한다. 투과 빔의 강도가 증가하면 회절 빔의 강도는 감소하고, 투과 빔의 강도가 감소하면 회절 빔의 강 도는 증가한다. 그리고 깊이 tg /2 에서 투과 빔이 전부 회절 빔으 로 산란되어 회절 빔이 소멸된다. 이 소멸은 쐐기 모양의 결정의 명시야 상 또는 암시야 상에서 관찰되는 두께 소멸 무늬 thi c k ness exti nc ti on conto u rs 를 만들어 내는 역할을 한다 [11, 1 乳 펜델뢰숭 효과는 그림 3-3 2 의 분산 면의 두 가지에 있는 불로흐 파의 파동 벡터 사이의 맥놀이 beati ng 때문에 생기는 것 으로그림 생 각3-할34 (수a) 는있 다운. 동학적 근사를 잘 나타내고 있다. 식m -241) 에서 회 철 파의 강도는 Jg = 百군 si(n 72[ 홍1 r)t2s (3-241) 이고 식 (3-242) 에서 5 = Js2 + Ei2 (3-242) 이므로 회절 파의 강도를 다시 쓰면 Jg = 휴 s21+ 1 sin 2 (K t:言~) =~sin2 (1 rt ¥) (3-243) 이다. 여기서 s 를 증가시키면 Jg가 어떻게 변하는지 알아보자. 브래그 위치에서 멀어지면 결정 파의 깊이 주기는 5 사g二-굶늪_ 줄어든다. w 가 클 때 이 값은 운동학적 이론에서와 같이 s-1 에 접근한다. 그러므로 회절 빔의 강도는 작은 반면에 두과 빔의 강 도는 1에 가깝다.

앞의 그림 3-34(b) 에서 설명한 것처럼 s = O 일 때 회절 빔의 강도는 주기 t = e g로 전동하고 최대 강도는 1 이 되어 펜델뢰숭 커브를 그리게 되고 이것을 그립 3-35(a) 에 나타내었다. 여기에 서 s 를 더 증가시키면 회절 빔의 강도 주기는 줄어들고 최대 강 도도 줄어드는데 이것을 그림 3-35(b) 에 그렸다. s 가 더욱 더 커 지면 회절 빔의 강도 주기는 더욱 더 감소하고 최대 강도도 그림 3-35 (c) 와 같이 더 줄어 든다. 전위가 있을 때 회절 빔의 강도가 어떻게 변하는지를 알아보기 위해 전위 주위의 격자면을 모식적으로 그림 3-36(a) 에 그렸다. ’ AB, CD 면 또는 AE 는 전위에 의해 격자면이 회전하지 않은 완전 결정의 격자면과 같다고 생각하고 다만 BC 면만 전위에 의해 격자면이 그립과 같이 회전되었다고 생각을 하자. 전위에 의해 격자면이 회전되었기 때문에 전체 유효 편차 변수는 식 (3 -202) 에서 Serr = S + g*d·R~(r ) (3-202) 이고 여기서 따: r) 은 변형장이다. 입사 빔 ko 가 BC 면에 Serr=0 으로 브래그 조건을 만족하면 서 입사한다고 생각하자. 그러면 AB 면, CD 면, AE 는 Serr~ 0 이고 BC 면에서는 Serr = 0 이다. 만일 전위가 없었다면 격자면. 은 AE 가 될 것이고 Serr~0 이다. 그러므로 회절 빔의 강도를 시편의 두께에 따라 그리면 앞에서의 그립 3-35(c) 의 경우가 되 어 약한 강도를 지니게 될 것이다. 이것을 그립 3-36(b) 에 점선 으로 그렸다. 빔이 AB 면에 입사를 하면 AB 면과 입사 빔 사 이의 각은 브래그 회절 조건에서 멀어져 있는 각도이므로 Serr ~

I

000 fg*

。 l 2 3 4 6 7 8 9 10

(}0] 고, 회 절 강도를 그리 면 앞의 그림 3-35 (c) 와 같이 약한 강도 롤 나타내게 되어 그림 3-36(b) 에서 AB 부분과 같이 강도가 나 타날 것이다. BC 면에 입사하는 전자 빔은 Serr = 이므로 회절 강도는 그립 3-35(a) 와 같이 큰 강도를 지니게 된다. 원주 근사

에 의해 AB 면에 입사하는 전자와 BC 면에 입사하는 전자는 하나의 빔으로 생각할 수 있으므로, BC 면에서 생긴 회절 강도 는 AB 면에 생간 회절 강도에 더해져서 그림 3-36(b) 의 BC 와 칼이 나타나게 된다. CD 면에 입사하는 전자 빔은 Serr ~ 0 이므 로 회절 빔의 강도는 그림 3-35(c) 와 같고 ABCD 면을 지나는 전자 빔을 원주 근사에서 하나의 전자 빔으로 생각할 수 있으므 로, 시편에서 CD 부분의 회절 강도는 BC 부분의 회절 강도에 더 해 져 서 그림 3-36 (b) 와 같이 나타난다. CD 부분에 서 평 균값 은 크게 증가되 었으나 전동 진폭은 그림 3-35 (c) 와 같다. 전위 주위에 있는 격자면의 휘어짐을 모식적으로 그리면 전위 의 중심에서 멀어지면 휘어지는 정도가 그립 3-37과 같이 점점 더 줄어들게 된다. 그림 3-37에 서 시편의 밀면에서 회절 강도를 비교해 보면 원주 3 의 경우 브래그 조건을 만족하여 Serr = 0 이 되어 최대의 회절 강도를 지니게 된다. 그러면 전체 편차 변수 Serr = 0£. 하기 위해서는 Serr = S + 홍* • dRdz(r ) (3-202) 에서 s = -g••Alljf)가 되어야 한다. 따라서, 그림 3-37 의 원주 혀서 최대 회절 강도가 나타나면 여기에서 s = -홍*. 접r ) 를 만족하게 된다. 윗식에서 보면 강도가 최대로 되는 원 주의 위치는 시편의 두께나 전위의 깊이 함수가 아니고 s 와 변형 장 R(r) 의 함수라는 것을 알 수 있다. 시편 면에 평행하게 있는 전위의 경우, 전위 중심에서 회절 빔 의 피크까지의 거리는

_ Xw= 告 {1+~} (3- 24 4) 이다〔 3 －산. 여기서 5 는 버거스 Burge rs 벡터이고 v 는 푸아송 비, K 는 칼날 전위 edg e dis l ocati on 에 대해서는 1, 나사 전위 screw dis l ocati on 에 대 해 서 는 0 이 다. 여 기 서 s 를 크게 하면 피 크의 위치는 점점 전위 중심의 위치에 더 가까이 가게 된다. 피크의 반폭 4x 는 홍· b = 2 일 경우 3 4x 측무 {1+~} (3- 24 5) 로 주어진다〔 3-5]. 윗식에서 s 를 증가시키면 피크의 반폭은 점점 줄어들어 강도 피크의 폭도 좁아지게 된다. 결정의 편차 변수 s 츠 0 인 일반적인 명시야 상이나 암시야 상 과, 전위 주위에서 Serr = 0 이나 결정의 편차 변수 s ~ O 인 상을 비교해 보면, s ~ O 인 상은 피크 반폭 4x 가 작기 때문에 콘트라 스트가 증가하고 피크가 좁게 나타나며 전위 중심에서 상까지의 거리 Xw 가 감소하기 때문에 전위 중심에 더 가까이 나타난다. 이와 같이 s ~ O 의 조건으로 결상을 하면 회절 빔의 강도는 상당히 약하게 되어 이 결상 조건을 약빔 조건 (3 장 3-2-5 절)이라고 한다. 이 약빔 조건으로 결상을 하면 콘트라스트와 분해능이 향상되 어 일반 명시야 상과 암시야 상 방법으로는 보이지 않던 면심 입 방의 부분 전위 pa rtia l d i sloca ti on 가 분리되어 있는 것을 명확 히 관찰할 수 있어 분리 거리로 적층 결함의 에너지를 측정할 수 있다. 또한 초격자 전위 sup e rlatt ice dis l ocati on 가 2- 중 또는 4 - 중으로 분리되는 것을 관찰할 수 있어 역위상 경계 에너지를 측 정할 수 있으며,전위의 조그j o g의 움직임, 전위 환의 형상, 점 결함 집합체 cluste r 등과 같은 미세한 부분까지도 관찰할 수 있

다. 최적의 약빔 조건은 ff*· b ::,;; 2 일 경우 s > 0.2 nm-1 이고, 시 편 내의 결함의 깊이에 따른 콘트라스트 폭의 변화를 줄이기 위 해 W = S~g ~ 5 이며 여타의 회절 점은 강하게 회절시키지 str o ng ly excit ed 않아야 한다. ng * 회 절 점 울 브래 그 조건 에 맞추었을 때 1 접*의 편차 변수 s 는 s = (n —21k)| 홍기 2 (3-246) 로 주어진다〔 3-6]. 3-3-4 비정상 흡수 시편이 두꺼워지면 전자는 비탄성 산란이 많이 일어나게 되는 데 이 비탄성 전자는 대물 조리개를 사용할 때 대부분 조리개 밖 으로 산란하게 되어 결상에 기여하지 못하게 되어 마치 전자가 시편에 흡수되는 것과 같은 효과를 나타낸다. 이 흡수 효과를 수 학적으로 표시하기 위해서 결정 전위에 허수 항을 더해 주는 것 과 같이 변수에 허수 항을 더해 주어 복소수 항으로 만들어 준 다. 2- 빔 이론에서, 2 불로흐 파 중에서 선택적으로 흡수가 일어나 는 경우가 있는데 이 선택적 홉수롤 비정상 흡수 anomalous absorpt ion 라고 하고 이 효과의 물리 적 설명 을 그림 3-38 에 나 타내었다. 그림 3-38 은 w = O 인 브래그 조건에서 분산 면의 가 지 1 과 2 에 속하는 2 개의 불로흐 파의 파형을 나타낸 . 것이다. 식 (3-222) , (3-223) , (3-225) , (3-226) 과 식 (3-227) 에 서 w = 0 일 때

가지言E l 블g로흐(l ) 파 가지>ro 2 블로(흐2) 파

BU)( r) = fz[ex p (27rif

적 허수부를 가지거나 또는 원자 산란 전폭이 복소수가 되도록 해주어야 한다(1 장 1-2 -1 절)． 이것은 소멸 거리를 다음과 같이 복소수로 만들어 주는 것과 같다. —g1。 圖 一t1o +,' — ti o (3-250) _t1g 一. 一t1 -g +, ' —ti ~ (3- 25 1) 여 기 서 흡수 거 리 absorpt ion dis t a n ce 는 &= 7[ kF 。A요 4coks) a (3- 25 2) 이고 여기서 Fg '(4k) 는 흡수 구조 인자이다. 전체 흡수 전위는 K= 一E刀6 (3-253) 이다. 식 (3-209) 와 식 (3-210) 에서 lJf; = lJ!c exp (27r is z) 라 하고 프라임을 없애 주면 다음 식 룽 = if; lffo + i-f; lffc (3-254) 룽 = 딸 lffo + 信 + 2TS) 伊g (3- 25 5) 울 얻는다. 윗식에 식 (3-250) 과 식 (3-251) 을 대입하고 식을 간 단히 표시하기 위해서 lJfo' = lJfo'e xp {-i 1r z( 太 + 志) } (3-256) w; = 깐~ exp {-i 1rz( 太 + 志)} (3-257)

이라 하고 정리하면 흡수가 있는 경우에는 롱 = i7[信 + 志) lJf; (3-258) 쨩 = i7f(古 + 志) lJf。' + 27f iSl J fg (3-259) 이 되 고 흡수가 없는 경 우의 식 (3-213) , (3-214) 와 비 교할 수 있다. 앞에서 한 것처럼 다음 미분 방정식을 만족하는 %＇ 와 깐; 룰 구하여야 한다. 틀 -21r is 릉 군나 -(」 )2 + 訖}炳' = O. (3-260) 윗식의 해가 exp (2 7fi rz) 의 형태를 지닌다고 가정하고 해를 구하 면해중의하나는 齊 = ½(s —志 건 + w2 + ~½(s ―志二- '~ • (3-261) =志 (w —jf +w2-? ~白~) 이 다. 여 기 서 (~~)2 를 무시 하고 ~g/~~가 1 에 비 해 아주 작다고 가 정하였다. 마찬가지로 두번째 해는 /(2) = ¾.{w + 广 + 2 詞~) (3-262) 이다. 이 두 해는 앞에서 흡수가 없는 경우의 해와 비교했을 때, 흡수가 없을 경우의 해에다 흡수를 나타내는 작은 허수부가 더 들어 있는 점이 다르다. 실제 흡수 계수를 얻기 위해서는 식 (3

-256) 과 식 (3-257) 에서 평균 흡수 항을 고려하여야 한다. 두불 로흐 파에 대한 진폭 흡수 계수를 구해 보면 K(I) = 7[(袁 一 ~) (3-263) K(2J = 7[(* + 詞~) (3-264) 이다. 분산 면의 가지 1 에 있는 파가 가지 葬] 파보다 흡수 계수 가 더 낮다. w=0 인 정확한 브래그 조건에서 두 흡수 계수간 의 차이가 최대가 되어 그 효과가 E6 = ft일 때 가장 크게 된다. 이 경우가지 1 의 파는흡수계수가 O 이 되고 가지 2 의 흡수 계수는 평균 흡수 계수의 배가 된다. 식 (3-252) 와 (3-253) 에서 E6 = g 8 는 F;(ilk ) = F;(O), 즉 흡수 능력이 그림 3-3 &>1]서 원자 위치에 델타 함수로 결정 격자에 분포되어 있음울 나타낸다. 전 자의 경우 회절 콘트라스트롤 £6 = Et 그리고 5& 츠 IO~ g로 가정 하여 주로 계산한다 [13, 14]. 3-3-5 흡수가 있을 때의 라우에 해 식 (3-263) 과 식 (3-264) 에 서 전폭 흡수 계 수를 알 수 있으므 로 앞에서와 같이 두께 t의 결정에서 두과 파와 회절 파를 계산 할 수 있다. 전체 결정 파는 1Jl( r) = A(1)B(1)( r) exp (_ K(I)z) + A(2)B(2)( r) exp (-K(2 )z) (3-265) 이고 결정의 윗면에서 앞에서와 같은 경계 조건을 적용하여 결정 내에서 여기되는 두 블로흐 파의 진폭을 구하면 앞에서와 같은

l6

A(I) 와 A( 2) 를 구할 수 있다. 그리고 투과 빔과 회절 빔의 진폭 울구하면 1/fo(t) = exp (교/e: a)(cos X -fITilT ) sin X (3-266) 鬪) = exp ( 국/e:a ) (3-267) 이고 여기서 x=Jt grV .l/. -I W- ~I +t~~ ~ (3-268) 이다. 흡수를 고려한 해 solu ti on 도 흡수가 없는 경우의 해와 형 식적으로는 거의 같다. s i n 과 cos 의 인수 ar gu men t가 식 (3

-268) 에 따라 복소수가 되고 평균 흡수를 나타내는 항 exp (-1C t/~r,)이 곱해져 있어 흡수가 고려된 것을 알 수 있다. 암시야 상의 강도는 /g = 1Jfg1Jfg*이고 이 /g를 일정 w 에서 t의 함수로 그라면 두께 줄무늬가 되고 일정 t에서 w 의 함수로 그리 면 로킹 곡선 rockin g curve 이 된다. 그림 3-3 9i:근 식 (3-266) 과 식 (3-267) 에서 일정한 결정 두께(t = 4~g )일 때 흡수가 ~g/~~ =' 0.05 일 경우 암시야 상은 점선으로 명시야 상온 실선으로 회절 강도 곡선을 나타낸 그립이다. 암시야 상 곡선은 좌우 대칭인데 비해 명시야 상 곡선은 좌우 대칭이 아니다• 3-3-6 결정 결함 콘트라스트 그림 3-40 에서 어떤 결함이 0 에 있고 결함 때문에 시편에 생 기는 원자 변위는 알고 있다고 생각하자. 여기에서도 원주 근사 를 사용하여 원주의 바닥 면의 한 점 B 에서 투과 파와 회절 파 를 계산해 보자 [15-17]. 결정 내의 좁은 원주 AB 에서 원자 변 위 함수 R(z) 가 깊 이 z 의 함수라고 하면 앞에 서 의 식 (3-209) 와 식 (3-210) 에 해당하는 식은 —dd1zJ fo = t•— gJ。r %nr +' i-• f~}J-gr1 Jnfrg exp (I2 J ri•s z +' 2 Jri• '-흉 ** • RM ) (3- 26 9) 룽 = i{;7Jfo exp (-27risz — 27 fig* • R) + ifolJfg (3-270) 이다. 이 식에는 운동학적 이론에서와 마찬가지로 지수 속에 원 자 변위 R(z) 가 포함되어 있다. 원자가 R 만큼 변위되면 회절 파의 위상은 exp (-2 7fi홍 *.R) 에 의해 변한다. 따라서 식 (3 -269) 에서 exp (+2 7fi홍 *.R) 은 회절 파가 두과 파로 되기 때문에

시편 위 A

들어가 있는 항이다. 마찬가지로 식 (3-270) 에서 위상 변화 exp (-2 7fi결 *.R) 은 투과 파가 회절 파로 되는 산란이기 때문에 들 어가 있는 항이다. 윗식을 두께 t의 결정에 대해 원주를 따라 적분을 하면 바닥 면에서 두과 파와 회절 파의 진폭이 나온다. 면 결함 적층 결함 2TCg *· R一 = a 는 위상 각이라고 한다. a = 7r 일 때를 7[_경계

시편위

boundary 라고 하고 이것을 제의한 R 때문에 생기는 떤 결함을 a 경계라고 한다. 먼저 적층 결함에 대해 알아보자. 그림 3-41 에서 적층 결함이 깊이 h 에 있고 위쪽 결정 1 은 완전 결정이고 아래쪽 결정 2 는 적층 결함으로 변위 벡터 R 로써 변위되어 있 댜 따라서 변위 함수는 R(z) = {R0, , 0 t~1 < z z~ \t 1)) (3-272) 이다. 윗식에서 위 표면에서 회절 파의 진폭 1Jfg (0) 이 0 이 아닌 어떤 값을 가져도 성립하도록 한다. 유사한 방법으로 하부 결정 2 에 대 해 식 (3-269) 와 식 (3-270) 을 적 분하면 투과 파와 회 절 _ 파의 전폭이 변위 R 이 들어 있는 것을 제의하고는 두께 t2 의 완 전 결정에서의 파의 전폭과 유사한 결과를 얻는다. 2 쟈ff *·R = a 를 적층 결함의 위상 각이라고 할 때, 일정 변위 R 은 완전 결

정에서 c~. ）가 결함이 있는 결정에서는 C¥) exp (―i a) 가 되도록 한다. 하부 결정에서의 두과 파와 회절 파의 진폭은 ( :~tt))) = ( 一 sin ;./3\: ( —t a) cos ½s::/3( 一 ia )) (exp (207 [iy%) exp (27Oriy < 2> t 2) ) (3-273) (二:/3/3 c一 0 SSI:::Xep x (p : :a))( :g((t;1) )) 이다. 윗식의 맨 오른쪽의 종 column 벡터는 식 (3-272) 의 결과 를 사용하면 적층 결함이 있는 결정의 투과 파와 회절 파는 몇 행렬의 곱으로 표시된다. 최상부에는 입사 빔만 있으므로 7/fo( 0) = 1, 7/fg{O ) = 0 라 놓고 중요하지 않은 위상 항인 exp {m(Y(1) + /(2>) t}를 생 략하고 계 산을 하면 lJfo(t) = cos(1rL1kt) — i cos /3 sin (1rL1k't) + t1 sin 2 /3 {exp (-ia)— 1 } cos (1rL1k't) (3-274) _1t sin 2 /3 {exp (-ia)- 1} cos (21rL1k't ' ) 1Jf'g(t) = i sin /3 sin (1rL1k't) (3-275) + t1 sin /3 {1 - exp (-ia) }{cos /3 cos (1rL1k't) -i sin (1rLlk't) } -t1 sin / 3{ 1 - exp (-ia)}{ cos /3 cos (2J rLl k't' )

—i s in (21CL1k't' )} 이 되고 t' = t1 - t /2 로 결정 중간에서 적충 결함까지의 거리이 고 ilk' = (l + w2)1'2/~ g이다. 결정에서 기울어져 있는 적층 결함 은 윗식들에서 t’이 변한다. 윗식들의 세번째 항을 보면 t’이 변 1 함에 따라 값이 진동을 하게 되어 상에서 줄무늬를 만들게 된다. 줄무늬의 깊이 주기는 5 사g二「굽 5 이다. a = O 또는 2n1C 이면 윗 식들은 완전 결정의 식과 똑같아 줄무늬가 나타나지 않게 된다. 흡수가 일어나는 경우에는 식 (3-274) 와 식 (3-275) 에서 ilk' = -K~tg 교\' ~~v'li +w2 (3-276) 라고 놓고 평균 흡수를 포함시키기 위해 lflo와 l/fg에 exp (―冠尼o ) 을 곱하여 새 식을 만들면 바로 흡수가 있는 경우의 식이 된다• 적층 결함의 상은 식 (3-274) 와 식 (3-275) 에서 a = 21r 접 *.R 값에 의해 결정된다. 면심 입방(fe e) 구조에서 {111} 면에 만들 어지는 적층 결함의 변위 벡터 중의 하나가 ½<112> 이다. 면심 입방(f ee) 구조에서 (111) 면에 변위 벡터 R = 강 (121] 을 가전 고유성 int r i n s ic 적층 결함에 대 해 생 각해 보자. 회절이 일어나 는 역격자 벡터 효* = ha* + kb* + le* 에 대해 ff*· R = (ha* 十 kb* + le*)· 강 (a- 2b + c) =靜 h —2k + l) (3-277) 이므로 a = 21C 흉 *.R 에서

a = 步 (h - 2k + l) (3-278) 이다. 면심 입방 격자에서 (111) 면에 변위 벡터 R = 士 ½[111] 인 적층 결함에 대해서는 ff*· R = (ha* + kb* + t c*).{ 土}偉 + b + 근)} = 닥 (h + k + [)이므로 a = 2 캡 *.R = 土f 1r(h + k + l) 이다. 면심 입방(fe e) 구조에서 회절이 일어나기 위해 서는 h, k, l 아 모두 짝수 또는 모두 홀수이어야 하므로 a 는 2n1r/3 이고 n = 0, 士 1, 土 2 등이다. a = O 인 경우 적충 결함은 보이지 않게 되어 각각의 회절 점을 사용하여 만들어진 상에서 적층 결함이 보이는지 안보이는지를 검사하여 변위 벡터 R 을 결 정할 수 있다. 또한 7[-적충 결함과 2 처 3- 적층 결함을 구별하기 위해 적층 결함의 위상 각을 결정할 수도 있다 [18, 19]. 적층 결함이 나타내는 상의 콘트라스트에는 다음과 같은 특징 이 있다. (D g *·R=0,l,2, …이면 줄무늬가 보이지 않는다. 줄무늬가 보이 지 않는 홍*를 적어도 2 개 이상을 구하여 R 을 구한다. ® 명시야 상에는 적층 결함이 시편의 표면과 만나는 선에 평행하 게 일련의 밝고 어두운 무늬를 만든다. 명시야 상에서 제일 바 깥 줄무늬는 모두 검게 또는 모두 희게 되어 대칭적으로 나타난 다. 그리고 흡수 때문에 시편의 중앙 부분의 콘트라스트가 감소 한다. 적충 결함의 줄무늬를 컴퓨터로 계산하면 명시야 상에서 좌우 대칭인데 비해 암시야 상에서는 대칭이 아니다. 시편의 위 표면 근처에서는 명시야 상과 암시야 상이 바슷하게 나타나고 시편의 아래 표면 근처에서는 명시야 상과 암시야 상이 서로 반

대가 되므로 이룰 이용하여 한 적층 결함의 명시야 상과 암시야 상을 사전 찍으면 적충 결함의 아래와 위를 구별하여 적층 결함 이 어떻게 기울어져 있는지를 알 수 있다 [20-22 〕• ® 암시야 상도 줄무늬를 나타내지만 제일 바깥 줄무늬는 한 쪽이 희면 다른 쪽 줄무늬는 검게 되어 바대칭적으로 나타난다. 같은 맑를 사용하여 중심 암시야 상을 만들면 시편의 위 표면t o p에 있는 줄무늬는 명시야 상과 암시야 상에서 같은 콘트라스트를 아래 표면 쪽에 있는 줄무늬는 반대의 콘트라스트를 나타낸다. 그러나 중심 암시야 상을 만들 경우 명시야 상을 만들 때 사용 한 접* 대신 -홍*를 사용하면, 위 표면에 있는 줄무늬가 반대 콘트라스트를 지닌다. ® 명시야 상에서 시편 위 표면의 첫 줄무늬는 흉 *.R 이 양이면 희 게, g *•R 이 음이면 검게 나타난다. 명시야 상에서 a= +2 짜 3 이면 제일 가장자리에 있는 줄무늬가 밝게, a= ― 2 자 3 이면 맨 가의 줄무늬가 어둡게 나타난다. 죽 제일 가장자리의 명암에 따 라 위상 각 a 의 부호가 결정된다. 비정상적 흡수가 있는 제법 두꺼운 시편의 경우에도 마찬가지로 생각할 수 있다. 명시야 상 의 제일 가장자리 줄무늬에서 위상 각의 부호를 결정하면 여기 에서 R 이 어떻게 되어 있는지를 알 수 있으므로 이로부터 적층 결함이 고유성 int r i n s ic 인지 의부성 extr i n s ic 인지를 알 수 있다 [21 , 22]. ® 시편의 두께가 변하면 줄무늬의 중심에서 줄무늬가 가지를 치게 된다. @ s = O 일 때 검은 줄의 수가 n 이면 시편 두께는 (n — 1)Eg 이다. ® 줄무늬가 관찰될 수 있는 최소 g *•R 의 값은 0.02 이다 [23]. ® 중심 암시야 상에서 적층 결함의 가운데에 홍*의 중심을 두었을 때 200, 222, 440 인 경우 적층 결함이 의부성이면 홍*가 바깥쪽 줄무늬가 흰 쪽으로, 고유성이면 홍*가 검은 쪽을 가리키고

400, 111, 220 인 경 우 반대 로 된다 . 면심 입방에서 적층이 ABCABC··· 가 되나 A 와 B 사이에 아 주 얇은 정합 석출물이 생기면 이 석출물 자체는 작기 때문에 측 정할 만한 회절상을 만들어 내지 못하나 기지에 변위를 일으킬 수 있다. 이 기지의 변위 벡터를 R 이라고 하면 적충 결함과 마 찬가지로 a=2 ;r룡 *.R 에 의해 a 줄무늬를 만들어 낸다. r- 경계 어떤 결정 구조에서는 적층 결함이나 역위상 영역 경계의 위상 각이 7[일 때가 있다 [19, 24-26]. 간단히 흡수가 없는 경우에 a = Rl 때를 생각해 보자. 석 (3 - 274) 에서 브래그 회절 조전에서 (/3 = 처 2) 투과 빔의 강도는 Jo(t', t) = cos2 (2 간/&) (3-279) 이고 2 처 3 의 경우에 같은 조건에서 두과 빔의 강도는 Jo(t', t) = ¼co 공 (高) 나 cos2 (21rt'/ ~g) (3-280) 이다. 식 (3-279) 에서 보면 t를 포함하고 있지 않으므로 쐐기 형 의 결정에서 T- 적충 결함의 줄무늬 명암 분포는 두께에 무관하 다. 그러나 2 자 3- 적층 결함의 식 (3-280) 에서 줄무늬의 명암 분 포는 항 cos2 (;rt/令)에 의해 t에 따라 달라진다. 된다역.위 상따라 경서,계 에기서본는 회변절위 점벡 터fu n dRa 은m e원nta자 l 와re fl원 ec자 ti o사n 이의 의효 *벡와터 가R- 의 곱은 g*• R = 0, l, 2, …이 되므로 a = 21rff *· R = o, 21r, 41r, … 등이 되어 콘트라스트에 기여를 하지 못하게 되어 역위상 경

계가 보이지 않게 된다. 그러나 역위상 영역에서 얻은 회절상에 는 초격자 회절 점이 있는데 이 초격자 회절 점의 점*와 R 의 곱 효 *.R = o,½ , 1, … 등이다. 그러므로 위상 각 a = 2 ;r효 *.R = 0, 7[, 2;r , … 등이 되고 a = 0, 2 ;r이면 물론 역위상 경계는 보이지 않고 a = ;r이면 역위상 경계가 보이게 된다. 이 역위상 경계를 7[-경계라고도 한다. 이 역위상 경계의 특징적인 콘트라스트는 다음과 같다. ® 역위상 경계는 기본 회절 점으로는 보이지 않고 초격자 회철 점 울 사용했을 때 (1 = 7[일 때만 보인다. ® 명시야 상과 암시야 상 모두 바깥 줄무늬가 대칭이 되어 모두 희든가 모두 검게 된다. ® 모든 시편 깊이에서 명시야 상과 암시야 상이 서로 콘트라스트 가 반대로 되어 있다. ® 줄무늬가 경계 면의 중앙 선에 평행하게 나타나고 두께 줄무늬 하나에 두 개의 줄무늬가 더 나타난다. ® 줄무늬 간격은 식 (3-279) 에서 방 Eg 이다. ® 줄무늬는 경계 환상 선을 따라 연속적이다. 8- 경계 두 영역 사이에 흥 값이나 접* 값이 약간 달라서 생긴 두 영역 사이의 경계를 8- 경계라고 한다. 두 영역 사이에 홍 값이 다를 때 줄무늬가 만들어지는데, 이 홍 값의 차이를 o = w1-w2 라는 변수로 나타내고 이 줄무늬를 8 줄무늬라고 한다. 이 줄무늬의 주요 특칭은 다음과 같다.

® 경계와 시편 표면과의 교선에 평행하게 줄무늬가 나타난다. ® 암시야 상은 대칭적이나 명시야 상은 비대칭이다. ® 시편 위쪽의 줄무늬가 희게 되거나 검게 되는 것은 두 영역의 편차 변수 차의 부호에 따라 달라진다. ® 콘트라스트는 편차 변수 절대 값의 함수가 아니고 두 영역의 편 차 변수 차의 함수이다. ® 상을 형성하기 위해 홍*대신 -효*를 사용하면 콘트라스트가 반 대로 된다. 이것은 편차 변수 차의 부호가 반대로 되기 때문이 다. ® 쐐기 모양의 결정에서는 줄무늬가 흰 두께 줄무늬에서 더해져서 만들어진다. ® 줄무늬 간격이 시편의 아래와 위에서 다르게 된다. ® 줄무늬의 가운데가 반드시 시편의 가운데가 되지는 않는다.

'i

임계 같은 상 ph ase 사이 의 경 계 를 보통 임 계 gr ain boundary 라고 하는데 업계 사이의 방향 차이가 1 ° 미만으로 아주 작을 때 두 임계 사이의 계면을 저각 low-an g le 입계라고 한다. 저 각 입계는 전위가 계면을 형성하고 있으므로 2 - 빔 동력학적 조건에서 결상 울 하면 전위 망 dis l ocati on netw ork 울 관찰할 수 있다. 두 부 임계 subg r ain 사이에는 편차 변수의 차이가 작아서, 하나의 g* 로써 상을 얻을 수 있다. 그리고 두께 줄무늬도 때때로 함께 나 타난다. 고각 h ig h-an g le 입계일 때, 한 결정립이 2- 빔 동력학적 조건 으로 결상이 되면, 다른 결정립은 대개 s 가 크게 되어 대부분의 회절 빔은 약하고 투과 빔만 강하게 되는 운동학적 조건이 된다. 이 경우 동력학적 2- 빔 조건인 결정립의 두께 변화가 계면에서 두께 줄무늬로 나타나게 되어, 임계의 콘트라스트는 두께 줄무늬 와 꼭 같고, 두께 줄무늬에서와 같은 식을 적용할 수 있다. 그림 3-42 는 동력학적인 조건으로 결상이 된 결정의 입계에서 생긴 두께 줄무늬를 잘 나타내 주고 있다. 계면에서 두 결정립이 겹쳐 있기 때문에 모아레 줄무늬도 함께 나타날 수 있다. 그림 3-43 은 GaAs 기판 위에 성장한 CdTe 결정들을 나타내 주고 있는 단면 고분해능 현미경 상인데, 위에 있는 CdTe 결정 사이의 입 계에서 생긴 모아레 줄무늬를 보여 준다. 쌍정 경계인 경우에도 한 결정립에서 2- 빔 동력학적 조건으로 결상을 하면 고각 임계와 마찬가지로 두께 줄무늬가 나타난다. 따라서 경사전 쌍정 경계는 두께 줄무늬를 그대로 나타낸다. 그 리고 쌍정 경계에 있는 쌍정 전위가 나타날 수도 있다.

그림 3-43 GaAs 기판 위에 성장한 CdTe 결정들의 고분해능 전자 현미

계면 다른 상 pha se 사이 의 경 계는 보통 정 합 coherent, 반정 합 semi co herent, 부정 합 inc oherent 계 면 int e r fa c e 으로 나뉜 다. 정합 계면의 경우 박막과 기판 또는 침전물과 기지 사이에 불 일치도 m i s fit가 작으면 홍의 작은 차이를 만들어 내어 8 줄무늬 를 만든다. 만일 불일치도가 더 커지면 a 줄무늬를 만들 수도 있 다. 반정합 계면의 경우에는 박막/기판 사이의 계면에 계면 전위가

있으므로 전위의 결상 조건에서 계면 전위를 볼 수 있다. 계면 전위의 분석도 일반 전위의 분석 방법과 유사하게 할 수 있다. 그림 3-44 는 Si 기판과 GaAs 박막 사이의 Si /G aAs 계면에서 생긴 계면 전위의 사진이다. Si 과 GaAs 의 격자 상수 차아로 인하여 계면 전위가 촘촘하게 배열되어 있음을 볼 수 있다. 석출 물/기지 계면인 경우에 기지를 2- 빔 동력학적 조건으로 결상을 하면 임계 때와 마찬가지로 기지의 두께 줄무늬가 나타난다. 두 상p hase 사이의 변위에 의해 생긴 변위 벡터 R 때문에 a = 2 갭 *.R 에서 생기는 a 줄무늬가 나타낼 때도 있다. 두 결정이 겹쳐져 있으므로 모아레 줄무늬도 나타날 수 있다. 부정합 계면인 경우에 기지의 회절 조건을 2- 빔 동력학적 조건 으로 맞추면, 석출물의 회절 조건은 대개 s 가 매우 크게 되어 회 절이 작게 일어나는 운동학적 회절 조건이 되어, 기지가 회절 강

Ga A s

도에 크게 기여하게 되고 계면에서 기지의 두께 변화예 따라 두 께 줄무늬가 석출물/기지 계면에서 나타난다. 2 전위 변위 장fi eld R 을 수학적으로 정확히 표현하기가 적층 결함보 다 어렵지만 , 전위 주위에서는 결정면의 굴곡이 일어나므로 이것 울 위상 각 a = 21r 효 *.R 로 표현하고 변위의 미분을 /3' = 吉뿔 = 읊{룡*.i? (z)} (3-281) 로 정의하자. 죽 결정면의 굴곡은 E 에 비례하고 이 굴곡은 국부 적으로 편차 변수를 변하게 하는 것과 같다. 식 (3-269) 와 식 (3 -270) 을 변환하기 위해 1Jfo' = 1Jfo e xp ( 급 7rz/ to ) (3-282) w; = 1Jfg exp ( 규 7rz/$。 + zm ·s z + 2 7rig * • R) (3-283) 라고 하자. 이렇게 변환하여 위상의 변화를 시켜도 강도에는 영 향을 끼치지 않는다. 그 다음 흡수의 영향을 고려한 식 (3-250) 과 식 (3-251) 을 대 입 하면 뿡=-훑炳'＋나-志)1.JJ'; (3-284) 룽 = 刊: 강) 1.JJo' + {-fa + 21ri( s + /3')} 1.JJ'; (3-285) 이 된다. 식 (3-284) 와 식 (3-285) 는 수학적으로 계산할 때 적분 단계마다에서 지수 계산이 필요없으므로 본래 식 (3-269) 와 식 (3-270) 보다 더 간단하다. 더 구나 식 (3-284) 와 식 (3-285) 는 변 위의 미분 B' 만을 포함하고 있는데, 변위 그 자체보다 미분을 계

산하는 것이 보통 훨씬 쉽다. 윗식은 변형 콘트라스트가 근본적 으로 회절을 일으키는 결정면의 국부적인 굴곡 때문에 생긴다는 것을 나타낸다. 그림 3-40 에서 시편의 표면에서 깊이 y에, 표면에 평행하게 있는 나사 전위를R 생= 각*하자t .an -1나 {사(z —전y위) / x주} 위의 원자 변위는 등방 성 탄성 이 론 iso tr o p ic elasti ci t y the ory 에 의 하면 5 (3-286) 이고 따라서 식 (3-281) 에 들어 갈 위상 각 a 는 a = 효* • b tan -1 {(z —y) /x} (3-287) 이다. 따라서 전위의 상은 ff*· b 에 따라 달라전다. 버 거 스 벡 터 가 격 자 이 동 벡 터 이 면 완 전 전 위 pe rf ec t dis l ocati on 라고 하고, 버거스 벡터가 격자 이동 벡터의 분수이 면 불완전 전위 im p e rfe c t dis l ocati on 라고 한다. 완전 전위에서 접*. E 는 역격자 벡터 ff* = ha* + kb* + t c* 와 격자 이동 벡 터인 r = ua + vb + WC( 여기서 5, 5, 5 는 기본 격자 이동 벡 터, U, V, W 는 정수)를 곱해 준 것이기 때문에 값이 0 이거나 정 수가 된다. 그러나 불완전 전위의 경우 버거스 벡터 5 가 분수 격자 이동 벡터이므로 ff*· b 는 0 이거나 분수 혹은 정수가 된다. 완전 전위나 불완전 전위의 경우 ff *·b 가 1,2,3 등의 값이 되 면 식 (3-287) 에서 a 가 일정 값을 지니므로 명시야 상에서 검은 선으로 전위가 나타난다. 점 *.5 가 분수가 되는 불완전 전위에 있어서는 경우에 따라 달라전다. 완전 전위나 불완전 전위의 경 우 점*. b = O 이면 명시야 상과 암시야 상에서 전위가 보이지 않 게 되어 실제 전위가 있어도 마치 전위가 없는 것처럼 보인다.

이것을 홍*· b = O 보이지 않는 조건 inv is ib i l ity crite r io n 이라고 하여 전위의 버거스 벡터를 결정하는 데 이용한다. 만일 ff*· b = o이 면 즉 5 가 회절 면에 있으면 전위는 보이지 않는다. 이를 이용하여 몇 개의 회절 빔 중의 하나씩을 각각 사 용하여 두 빔 조건을 만들어 두과 빔이나 회절 빔 하나로 명시야 상 또는 암시야 상 사진을 찍어 한 전위가 보이는지 안 보이는 지를 판별하여 그 전위의 버거스 벡터를 결정할 수 있다. 시편 표면에 평행한 혼합 전위의 원자 변위는 등방성 탄성 이 론에 의 하면 그림 3-4(p j] 서 R = 吉[ E0 + 5e 4?in _2 ?) + b X 겁 1_-2:) ln r + 흙프먼) }] (3-288) 이 고 여 기 서 )I는 푸아송 Pois s on 의 비 이 고 (J) = ¢ 一 r, b 는 전 체 버거스 벡터, be 는 5 의 칼날 ed g e 성분이고 규는 전위 선 방 향의 단위 벡터이고 r 은 전위에서의 거리이다. E* 가 박판 면에 있으면 g* ·(b x ii) = g*· bet an r 이고 위상 각은 a = 홍*. b

아니라면 그 전위는 반드시 보이지 않는 것으로 되는 것은 아니 다. 완전히 보이지 않는 것으로 되기 위해서는 효 *.5, 점 *.be 와 룡* • b x u 모두 다 0 이 되 어 야 한다. 그러 나 실제 ff* • b = o 이 고 접*. be 와 접*. bx u 가 001 아니면 전위는 일반적으로 약한 잔류 콘트라스트를 보이나 이것도 전위가 보이지 않는 것으로 간 주한다. 이것을 접 *.b=O 효과적으로는 보이지 않는 조건 eff ec tive inv is i b i l it y 이라고 한다. 대개 버거스 벡터를 결정할 때 이 조건을 사용해도 된다. 일반 전위의 실험 상의 정확한 해석을 위하여 컴퓨터를 사용하 여 시편의 여러 조건들을 전산 모사하여 얻은 전산 모사 상 comp u te r sim ulati on im ag e 을 이용한다〔 27-3 이. 식 (3-284) 와 식 (3-285) 에서 컴퓨터를 사용하여 적분하고 회절 빔과 투과 빔 의 전폭을 구하여 전위가 있는 상을 계산한다. 그립 3-45 는 w = 0 근처에서 효*. b = l 일 때 나사 전위의 상 분포를 나타내는데 명시야 상과 암시야 상의 강도를 나타내는 모식도이다. 모두 강 도가 배경보다 낮고, 비슷한 모양으로 하나의 검은 피크를 나타 낸다. 전위가 기울어져 있으면, 죽 y가 변하면 상도 변하게 되 는데 모양이 지그재그 z ig za g 모양이나 검은 점 사슬 모양을 나 타내접*게. b된 *다 〔O 1 인6, 완31전] . 전 위의 주요 특칭은 다음과 같다. ® 명시야 상에서 전위는 실제 전위 중심에서 약간 벗어난 곳에 검 은 선으로 나타나고 홍 *.Fxa 의 부호가 바뀌면 전위 상이 이동 한다. ® 비정상 흡수 때문에 시편의 윗쪽에서는 전위의 명시야 상과 암 시야 상이 서로 상보 관계에 있지 않게 된다. ® 시편의 표면 근처에 있거나 w ;;;; 0.1~1 .0 영역에서 많이 기울어

I

져 있는 전위는 지그재그 콘트라스트롤 나타낸다. ® 효*. b = 2 일 때 전위 상이 때로는 이중 (w 츠 0.1) 때로는 하나 (w 츠 0.1~10) 로 보인다. ® 2- 빔 조건이 정확하게 만들어지지 않았을 때 전위 상이 이중으 로 나타난다. 불완전 전위에 대해서는 면심 입방에서 상이 어떻게 나타나는 지 살펴보자. 쇼클리 Shockley 부분 전위의 E = 강 <112> 이고, 프랭크 Frank 부분 전위의 b =½<111> 이므로 ff*· b 는 홍*oJ]

따라서 0, 土½, 士송, 士 1 이 될 수 있다. 적층 결함의 양쪽에는 부분 전위가 있게 되는데, 앞에서 기술한 바와 같이 변위 벡터 R 에 따라서 적충 결함이 보이기도 하고 보이지 않기도 한다. 변 위 벡터 R 과 부분 전위의 5 사이의 기하학적인 관계 때문에 효 *.R 이 정수면 접*. 5 도 정수가 되고, 홍 *.R 이 분수가 되면 효*. 5 도 분수가 된다. 적충 결함이 보이지 않는 경우〔 32, 33], 효*. b = O 이면 나사 쇼클리 부분 전위는 보이지 않게 되고, g*. 5 = 土 1 이면 w :S: 1. 0 일 때 부분 전위는 보이게 된다. w :s;; 1.0, 효*. b = O 이며 m = 강ff*· bx u = 0.2024 인 칼날 프랭크 부분 전위는 보이게 되 나 경우에 따라 달라진다. 적총 결함이 보일 경우, 이 경우 ff*· r; = 土} 또는 土출가 된다. 호위 How i e 와 윌란 Whelan 은 여러 효*. 5 값의 나사 쇼 클리 screw Shockley 부분 전위를 연구하여 ff*· r; = 士 1/3 이면 효과적으로 보이지 않는 것이 되고, 뭉*. 5 = 士 2/3 이면 검은 선 으로 부분 전위가 나타나게 된다고 하였다〔 16]. 부분 전위는 두 께나 w 에 따라 보이기도 하고 보이지 않는 경우도 있다. 3 버거스 벡터의 결정 버거스 벡터의 방향은 전위의 상이 사라지도록 시편을 여러 방 향으로 기울이는 실험으로 얻을 수 있다〔 34, 35]. 여러 회철 빔, 즉 여러 효*에 대해 2- 빔 조건을 만들어 한 전위에 대해 명시야 상 또는 암시야 상 사진을 찍어 그 전위가 보이는지 안 보이는지 를 각 접*에 대해 판별하여 버거스 벡터를 구한다. 나사 전위의 경우 점*. b = o, 죽 버거스 벡터가 회절 면에 평행한 경우 전위

가 보이지 않게 된다. 이 판단 기준은 혼합 전위의 경우에도 특 별한 경우를 제의하고는 대개 그대로 적용할 수 있다. 혼합 전위 에서 l*· b = o 일 때 보이는 약한 잔여 콘트라스트를 효과적으 로는 안 보이는 것 eff ec ti ve inv is i b i l ity 으로 간주한다 [3-7~3 -9]• 전위가 보이지 않는 2 개의 효*를 구하면 버거스 벡터는 두 효* 룰 만드는 면에 공통으로 들어있으므로 버거스 벡터는 두 면의 정대 축이다. 표 3-2 는 면심 입방에서 여러 홍*와 5* 에 대한 접*. 5 의 값을 나타낸 것이다. 예를 들어 효* = 020 과 점* = 11T 에서 전위가 보이지 않는다면 [020]x[111] = IOI 에서 버거스 벡 터는 강 [101] 또는 표에서 5 = ½[101] 로 정 할 수 있다. 그러나, 효*. 5 효과적으로는 보이지 않는 조건을 사용할 때 주의해야 할 경우도 있다. w 가 1.5 이상이면 점*. b=l 인 경우의 전위의 콘트라스트가 효*. b = O 인 경우와 매우 유사하게 나타난 다 [36, 37]. 어떤 한 5 며 대해 버거스 벡터에 따라 하나는 ff*· t = 1 이고, 다론 하나에서는 ff*· t = 2 인 두 전위가 있을 경우에, w 를 증가시켜 맑· b = 2 인 전위를 잘 보이게 할 때 홍*. b = l 인 전위가 보이지 않을 수가 있다. 이 경우 l*· b = 1 인 전위가 보이지 않은 것을 홍*. b = O 으로 오인할 수 있다. 그 러므로 버거스 벡터 결정 실험을 할 때는 w 가 1 이하가 되도록 하여 전위가 보이지 않는 접*가 적어도 3 개는 되어야 한다. 부분 전위의 경우 버거스 벡터가 격자 이동 벡터가 아니므로 l*· 6는 정수가 되지 않을 경우도 있다. 적층 결함의 양쪽 경계 에도 부분 전위가 반드시 있다. 면심 입방(f ee) 구조에서 쇼클리 부분 전위 Shockley pa rti al dis l ocati on 와 프랭크 부분 전위 Frank pa rtia l d i sloca ti on 는 모두 홍*. 5 의 값이 0, 土 1/3,

표 3-2 면심 입방에서 완전 전위의 효* · 5 표

土 2/3, 土 l 등이 된다. 부분 전위의 버거스 벡터를 결정하기 위 한 실험에서는 부분 전위를 쉽게 관찰할 수 있도록 하기 위해 적 충 결함이 보이지 않는 조건을 선택하고, W 가 1 이하이면서 효 *.b=o 인 적어도 3 개의 밝을 구하도록 한다. 부분 전위에 서 효*. b = l 이면 전위가 보이는 것이 되나, 룡*. 5 가 土｝ 또는 ±출가 되면 부분 전위의 보이는 것과 보이지 않는 것을 구별하 기가 어렵게 되므로 될 수 있으면 효 *.5= 土§ 또는 土宁가 되 는 조건을 피하고, 피할 수 없으면 컴퓨터 상 전산 모사로 얻은 상과 실제 상을 비교하여 버거스 벡터를 구하는 데 이용한다. 4 석출물 석 출물 pre cip itat e 의 콘트라스트는 기 지 matr i x 와 석 출물 사 이의 관계가 각각 정합, 반정합, 또는 부정합인지에 따라 3 가지 로 나누어 생각할 수 있다. 기지 내에 정합 석출물이 존재하는 경우 석출물의 격자 상수가 기지와 달라 기지와 석출물에 변형장이 만들어져 회절 콘트라스 트롤 일으킨다 [38-40]. 이 콘트라스트롤 계산하기 위해서 반경 ro 의 구형 석출물 내의에 생기는 변형 R 은 R = {er면, r, :I ;t :i :~ :ro: (3-290) 이고 여기서 c 은 속박 변형 constr a in e d str a in 변수이다. 석출물 과 기지가 같은 탄성 계수인 등방성 탄성 이론에서는 이 c = 28/3 이고 8 는 석출물과 기지 격자의 부정합 변수 m i s fit pa rame-

ter 이다. r 은 석출물의 중심에서 반경 벡터이고 ro 는 석출물의 반경이다. 석출물 주위의 상의 동력학적 회절 계산을 하기 위해 서는 식 (3-290) 을 식 (3 -2 81) 에 대입하여야 한다. 석출물 주위 의 변형장 R 이 구형 대칭을 이루고 있으므로 석출물 상에서 홍* 벡터에 수직인 부분은 흉 *.R = O 이 되어 콘트라스트가 없는 선 이 형성되어 석출물의 상이 소위 커피 콩 콘트라스트 co ff ee bean contr a st 를 나타내 게 된다. 반정합성 석출물의 경우, 기지와 석출물 사이의 계면은 전위로 구성되어 있는데, 이때 나타나는 석출물의 콘트라스트에 기여하 는 것은 바로 계면에 있는 전위들의 콘트라스트이다. 부정합성 석출물의 경우, 변형장이나 전위가 계면 주위에 존재 하지 않으므로 이때 생기는 콘트라스트는 기지와 석출물의 구성 원소의 원자 번호의 차이 때문에 생기는 구조 인자 콘트라스트가 주된 콘트라스트가 된다. 3-4 고분해능 투과 전자 현미경학 3-4-1 두사 전하 밀도 근사 정 확하게 초점 이 맞는 가우스 상 면 Gaussia n im ag e pla ne 에 서 어떤 거리만큼 떨어져 있는 면에서의 상인, 약간 초점이 벗어 난 상은 프레넬 회절상으로 위상 정보를 얻을 수 있다. 탈초점 상의 진폭 분포나 강도 분포는 우리가 콘볼루션을 공부할 때 (1 장 1-2-4 절) 나온 것과 같이, 물체 위의 한 점이 탈초점 상에서 그 상의 진폭이 어떻게 변하는지를 나타내 주는 함수와 초점이 맞는 가우스 상 면에 있는 상과의 콘볼루션이다. 초접이 맞는 가

우스 상 면에 있는 상을 나타내는 파의 진폭은 바로 물체의 두과 함수로, 1/f(x ', y') = ¢(-x', —y') (3-4) 이고, 물체 상의 한 점이 탈초점 4 f에 따라 상을 표시하는 파의 전폭 변화를 나타내는 함수는 콘볼루션하는 함수로 식 (3-30) 에 入 1 Pz( x ',y ') = ik ~exp( 27 rik ~) (3-291) 이다. 윗식에서 지수 항 앞의 ik exp (42Tf ik 4 f) 己。 무시하면 탈초 점 면 위에서 파의 진폭 분포는 1fl'(x ', y') = ¢(-x', —y') • exp (zmk ~) (3-292) 이다. 투과 함수

I = l/fl/f* = {1 + J� v2 /3(p�, y')_}2

서 원자의 전하 밀도 분포를 볼 수 있게 되어 원자들을 관찰할 수 있 게 되는데, 이것이 바로 고분해능 투과 전자 현마경 hig h -resoluti on tra nsmi ss io n electr o n m i crosco py (HRTEM) 의 기본 결상 원리이다. 식 (3-297) 에 따르면 고분해능 현미경 상은 전자 현미경의 전위 Vo, 시편의 두께 &, 탈초점 Llf, 시편 내의 원자 종류 및 분포 p( -x', ―y'）에 따라 변하게 되는 것을 알 수 있다. 여기에서 제 한점은 물체가 매우 얇아 파동 벡터가 물체를 통과하면서 아주 조금만 변한다고 가정한 약상 근사이다. 식 (3 - 140) 에서 파의 전 폭이 1/f( r) =e xp [거 戶 + 갑 V( r) oz}] = exp [21ri{ -/v; V( r) oz}] exp (21r ik,。• r) (3-298) = exp if]( r) exp (21r i k-지 。 • r) 으로 위상 변화 (J( x, y )=21rk 。 :(:%z 가 처 2 의 상당 부분이 될 때는 1 에서 많이 벗어나 약상 근사가 맞지 않게 된다. 약상 근 사를 적용할 수 있는 한계를 위상 변화 (J( x, y) = 21rk 。 :(:) & 가 중의 갑-， 죽 젊라고 하면 약상 근사를 적용할 수 있는 최대 두께는 21r- fk V( r) az = 듦 (3-299) 에서 8zmax = 꼈1( 홍굶2 ; TTVo7 y = 랐A 5 V(V or ) (3-300)

가 된다. 300 keV 현미 경 에서 A = 1.96 9 pm = 1.96 9 x 10-12 m 기 고 Vo 는 3Xl05V 이며 고체 내의 원자 전위가 어림잡아 lOV라 고 하면, 이에 해당하는 시편 두께는 8Zmax = 1.9 6 9 2x0 10-12 뿐10 (3-301) = 9.85 x 10-10 m = 0.9 8 5 nm 이다. 약상 근사에서 시편이 아주 얇아야 하므로 사실 1nm 의 두께만 되어도 약상 근사가 성립하지 않는다. 그런데 이 두께는 기껏해야 원자 충 두 개 내지 세 개의 두께로 이런 시편이 고체 롤 나타낸다고 이야기하기 어렵다. 더 두꺼운 시편에 대해서는 8z 一 笠쵸i 하고 8z 를 정미분 pro p e r dif fere nti al dz 로 · 바꾸어 한충 한층 적분하여 물체 전체 두께 t에 이르도록 적분한다. 이렇게 하면 물체의 출구 면 z = t에서 파의 전폭은 식 (3-140) 에서 1Jf(x , y, t) = exp (21r i덥 f) exp {21ri- fv; lt V( x, y, z) dz} (3-302) 가 된다. 물론 정초점 상에서는 투사 전위 /t V(x,Y,z)dz 에 대 。 한 정보는 얻을 수 없지만 탈초점으로 상의 강도는 I = l + 훑 v2 1t V(-x', -y', z) dz (3-303) 이 된다. 항 v21。 t v( 군,-y ',z)dz 은 물체의 두사 전하 밀도 pr oje c t ed charge densit y 를 표시 한다. 이 경 우 전하 밀도의 두 사가 원자 구조롤 잘 나타내도록 하기 위해서는 입사 전자 빔의

$* ·•$ $* ' '*$: $.蒸 ·: '漆i· .蒸蒸· ·蒸蕩· :蒸蒸·· ·蒸禁··

그림 3-46 (b) 알루미늄을 [llO] 방향에서 찍은 고분해능 두과 전자 현미

방향을 결정의 고대칭 축으로 해야 한다. 예를 들어 면심 입방 (fee ) 구조인 알루미늄의 박판 시편에 [00 1] 방향으로 전자 빔을 입사시키면 전하 밀도의 두사는 그립 3-46(a) 의 위와 같이 되고 [11 이 방향으로 입 사시 키 면 전하 밀도 두사는 그림 3-46 (a) 의 아래와 같이 된다. 그림 3-46(b) 는 [11 이 정대 축으로 찍은 알루 미늄의 고분해능 투과 전자 현미경 사진이다• 여기서 점들은 원 자들의 위치를 나타낸다. 이 원자들의 원자 간격 이 얼마나 작은지 알아보자. 만일 가로, 세로 각 1cm 의 알루미늄 단결정 시편을 가로, 세로로 각각 500 km 로 늘일 수 있다고 가정을 해보자. 경부 고속도로의 길이가 대략 500km 이다. 알루미늄 원자 간격 중 사전에 표시되어 있는 것은 (002) 면간 간격 0.2 nm 이다. 1 cm 알루미늄 결정이 500 km 로 늘어난다고 가정하면 면간격 0.2nm 는 0.2 X 10 내 50100X-l 20 m3 m = 10-2 m 로 늘어 나게 된다. 죽 알루미늄 결정 1cm 가 서울에서 부산까지의 길이만큼 늘어나도 원자 간의 간격은 1 cm 정도밖에 되지 않을 정도로 아주 작은 것이다. 두사 전하 밀도 근사의 한계점은 회절 전자 빔이 더 이상 전위 와 같은 지역에 있지 않을 때이다. 전위의 주기는 면 간격 dhkl = 1/I 효 .hklI 과 관계 있으므로 전위가 있는 데서 분산 4x 가 Llx = t0 < dhkt =~ (3-304) 이어야 한다• 그림 3-47에 서 () = Llk/k = I 효 :k i l/k 이므로 두께의 한계치는 윗식에서 t < 0|51: u| =一|홍노 ~I _ _I 점누 : kl| = |효kl k t l2 (3-305)

• t• •

이고, 다시 쓰면 t<—dA2 (3-306) 이다. 파장이 4 p m 이고 면 간격 d 가 0.2 nm 일 때 l ff :kl| 은 5run-l 이 고 t < 10 -a m = 10 nm 이 면 얇 은 물 체 근 사 thin- obje c t ap pr oxim ati on 가 성 립 한다고 생 각한다. 금속의 경우 격자 상수가 비교적 작고 단위 포의 크기도 작으

I

.k‘」i“‘I.”‘.~’..‘’..‘..‘~..~.. .:;.ι..J..I “. ...，:‘~ ,.‘ ”~..， .. ;껴...;.: .~-'‘“ .- \~._.'’ ‘...! ..、..: ‘ ,‘κ ‘:~ - ‘r~~.- .‘ 1 .a-‘S' . O;.’~' -. ~.c.-;O ..lM“;' .'~oIl:.; r‘l,~1a;‘‘ . . ’‘ ’ tI i.1I.I•“I. 1f.,1. “， '., ‘ , :jι . _.·~.:;• _.,μ . . . - 0, (..'’: ’ ，:;,..，. ，-‘..:' ‘ !‘,• 1 '.' .l1.·.:o'. ‘ ' ’'.깐'. ν'. '‘ 4야' . ‘'..;'a '. ，''.~-t.';''';'' ~; “. -$M，f'\' l，.;‘ '«8，6-a o.，..c. ~J:， .. -,l'~，)，-~~. _ “: ..1，-o“ “-. ，j’.•. _a.‘μ. :.’t“tf p~o • l，._J nft i.i l:~ . e. H.~.~i:t.'.nlt “，‘ r’J ,.'J”.“. -.. ““잉.‘ .’~l·““,ι‘.u -e _l 1· ι l. .#. .ι.: ，. .. ’.!‘,_ . ‘,-,;...용 J..L J.‘ - :穩ζ찰 I:. .i -강d<‘ 。-

므로 해당하는 역격자 벡터가 크다. 한편, 현미경에는 수 개의 대물 조리개가 있는데, 회절상에서 브래그 빔들은 대개 제일 작 은 대물 조리개의 밖에서 만들어지게 되고, 그 다음 작은 조리개 내에 기껏해야 두 개 또는 세 개의 브래그 빔만 들어오게 된다. 이렇게 될 때 이것은 주기적인 전위 V( f) 또는 이것의 이차 미 분인 주기적인 전하 밀도에서 정보를 수집할 때, 브래그 빔의 개 수에 해당하는 두 개나 세 개의 푸리에 계수 vg 에서만 정보를 수집한다는 것을 의미한다. 브래그 빔의 개수를 많이 줄이면 전 위를 나타내는 푸리에 급수를 많이 줄이는 것과 똑같다. 그러면 상은 물체의 세밀한 부분을 나타내지 못한다. 한편 그립 3-48 (a) 와 같이 두과 빔 1JJo와 회 절 빔 1Jfg 하나가 대물 조리개 내에 포함되어 상을 형성한다면 만들어지는 상은 그 림 3-4 8 (b) 와 갇이 격 자면 hkl 의 주기로 나타내는 상이 다. 여 기 에서 푸리에 공간에 있는 두 개의 빔울 각각 두 개의 델타 함수 로 생각하고 렌즈가 푸리에 변환을 한다고 생각한다. 두 개의 델 타 함수의 푸리에 변환은 cos 함수이기 때문에 만일 우리가 x' 을 홍; 방향으로 잡으면 1/f(x ', y') = f{ a(Llk + ~) + a(Llk —~ )} exp (-21riL1 / c x') d (Llk) (3- 30 7) = exp (21rix '~) + exp (-21r ix 겔운) =2cos( 날~) 이고강도는 I = 4 cos2 (21rx’ ~) = 4 cos2 玉(孟) (3-308)

이고 상의 강도 분포는 그립 3-48 (c) 와 같이 면 간격 dhkl 의 주 기로 g *hkl 에 수직한 평행 줄무늬를 나타낼 것이다. 이 줄무늬를 격 자 줄무늬 상 latt ice fring e im ag e 이 라고 한다. 결정 이 10 nm 미만이고 입사 빔이 격자면에 평행하게 정렬되고 결정이 적당히 탈초점이 될 때 줄무늬의 위치는 그 면의 위치에 해당될 것이다. 그러나 대부분의 시편은 이보다 두껍기 때문에 투사 전자 밀도와 상에서의 원자 위치와 1 대 l의 대응 관계를 잃어버려 줄무늬의 위치가 실제 원자 면 위치에서 이동된 다른 위치가 된다. 그래서 줄무늬 상은 전위가 어떤 위치에 있다는 것을 나타내지만, 전위 중심과 같은 결함의 줄무늬 상에서 중심의 위치를 정확하게 해석 하기는 상당히 어렵다. 그림 3-48(c) 는 CdTe 에서 나온 두과 빔 000 과 회절 빔 111을 조리개에 포함시켜 얻은 격자 줄무늬 상이다. 계산에서 얻어진 것과 갇이 줄무늬로 나타난다. 시편 중에 칼날 전위가 있어서 잉 여 반면 extr a half pla ne 이 잘 나타나 있다. 3-4-2 콘트라스트 전달 함수와 외피 함수 고분해능 전자 현미경 상을 얻기 위해서는 시편의 두께가 매우 얇고, 현미경 렌즈의 수차가 매우 작고, 가속 전압과 렌즈의 전 류가 안정되고 전자 빔의 정합성이 좋고 현미경의 정렬이 찰 되 어 있어야 한다. 그러나 이 조건을 다 만족하여도 좋은 고분해능 현미경 상을 얻기 힘들다. 좋은 전자 현미경 상을 얻고 이 상의 해석을 정확하게 하기 위해서는, 시편에서 생기는 위상 차가 현 미경에서 결상시 어떤 과정을 통해서 어떻게 전달이 되는지를 이 해하고, 적당한 탈초점을 하여야 한다. 일반적인 시편은 일반 체로 생각할 수 있으므로 이 물체의 투

과함수는

이다. 여기서 진폭을 나타내는 항인 µ.a k(X) 의 앞에 있는 인자 cos x(Llk) 는 물체의 전폭울 상의 강도에 얼마나 잘 전달해 주는 지를 나타내는 인자로, 전폭 콘트라스트 전달 함수 am plit ude contr a st tra nsfe r fun c tion (ACTF) 라고 하고, 물체 의 위 상인 /3 4k(x) 의 앞에 있는 인자 sin x(Llk) 은 물체의 진폭을 상의 강도 에 얼마나 잘 전달해 주는지를 나타내는 인자로, 위상 콘트라스 트 전 달 함수 ph ase contr a st tra nsfe r fun cti on (PCTF) 라고 한 다. 여기서 위상 콘트라스트 전달 함수는 sin x(Llk) = sin [21r{— Llf J~ + CsJ3 ~}] (3-315) 이고, 고분해능 전자 현미경 상에서는 물체의 위상을 이용하여 결상하므로 이 위상 콘트라스트 전달 함수가 매우 중요하다. 이 위상 콘트라스트 전달 함수가 +1 이면 상의 강도가 전위가 있는 부분 죽 원자의 위치에서는 감소하므로 원자의 위치에서 주위보 다 검게 된다. 전달 함수가 -1 이면 상의 강도가 원자 전위 부분 에서 증가하므로 원자 위치에서 주위보다 밝게 되어 원자의 투사 전위의 위치가 바로 상의 위치가 되고, 전달 함수가 O 이면 원자 전위, 즉 위상에 대한 정보를 전달하지 못하므로 상에서는 원자 배열을 볼 수 없게 된다. 또한 이 위상 콘트라스트 전달 함수는 4k 의 함수이므로 x 축 울 4k 로 표시하고 y축에다 위상 콘트라스트 전달 함수를 그리 면, 각 4k, 죽 각 역격자 공간에서 위상을 얼마나 잘 전달해 주 는 것인지롤 나타내 주는 그립이 된다. 그림 3-49 는 가속 전압 이 200 kV이 고 구면 수차 계수 Cs 가 0.7 mm 인 JE OL JE M -2000EX 현미경의 위상 전달 함수의 변화를 각 역격자 공간, 죽 공간 주파수 spa ti al freq u ency 로 나타낸 그림 이 다. 그립 에서

콘트라스트 전달 함수

콘트라스트 전달 함수 contr a st tra nsfe r fun cti on (CTF) 는 전동 을 많이 하고 있는 가는 선으로 나타내었고, 진동 없이 감쇄하는 가는 선은 외피 함수를 나타내고, 두 함수의 곱을 굵은 선으로 나타내었는데 이 곱은 전체적인 콘트라스트의 전달을 나타내고 있다. 이 전달 함수가 대물 렌즈의 초점 면에 있다고 생각하면 그립에 나타나 있는 전달 함수를 이해하기가 더 쉽다. 이 그래프 의 영점에는 광축에 있는 투과 빔 00() o] 있다고 생각하고 각 브 래그 회절 점은 이 영점에서 L1k = g*에 해당되는 위치에 존재

한다. 그러므로, 4k 축 상에 있는 각 점에 해당되는 함수의 각 값들은 바로 회절상에서 그에 해당하는 위치에 있는 회절 빔이 실제로 현미경으로부터 받게 되는 영향을 그대로 · 나타낸 것이다. 실제 전달 함수는 비점 수차가 없으면 광축에 대해 원형 대칭 을 이루게 된다. 보통 이 비점 수차는 사용자가 수정하여 없앨 수 있다. 전달 함수의 값이 士 l 이면 이때는 전자 현미경의 렌즈 가 시편에서 만들어전 위상 정보를 렌즈의 수차 등에 의한 감쇄 가 없이 100% 그대로 전달하게 된다. 그러므로 원자의 배열, 죽 두사 전위가 있는 그대로 결상되기 위해서는 4k 의 많은 부분에 서 될 수 있는 대로 전달 함수의 값이 土 1 이거나 이에 가까운 값 이 되도록 하여야 한다. 이 전달 함수에 영향을 줄 수 있는 여러 변수 중에는 대부분 현미경이나 사용 조건에 따라 고정이 되어 있어 사용자가 변화시킬 수 없으나, 유일하게 렌즈의 초점은 사 용자가 원하는 대로 조절이 가능한 변수이다. 그러므로 주어진 현미경의 조건에서는 탈초점을 조절하여 전달 함수의 값이 士 1 에 가까운 값이 되도록 한다. 전달 함수의 모든 값이 동시에 土 1 이 될 수 없으므로 탈초점을 조절하여 전달 함수의 절대값이 l/e 보 다 크게 나타나는 4k 의 범위가 가장 넓게 될 때의 탈초점 값을 쉬 르처 탈초점 Scherzer defo c us 이 라고 하고 이 값은 LJ/s cherzer = 1.2( CsA)112 (3-316) 이고 구면 수차 계수와 파장에 의해 결정이 된다. 일반적으로 고 분해능 상을 얻기 위한 최적의 탈초점 조건은 바로 쉬르처 탈초 점 조건이다. 구면 수차 계수가 0.7mm 이고 가속 전압이 200 kV 인 현미경은 전자의 파장이 2.sx10-3nm 이므로 쉬르처 탈초 점 은 1.2( 0.7 X 106 X 2.5 X 10-3)112 = 50.2 nm 가 된다. 그림 3-49 는 JE OL JE M-2000EX 현미경에서 쉬르처 탈초접 조건인 탈초접

― 50.5nm 게서의 콘트라스트 전달 함수를 나타낸 그립이다. 이 쉬르처 탈초점 조건에서 콘트라스트 전달 함수의 값이 원점 이의에서 처음으로 ()ol 되는 4k 에 해당하는 간격을 고분해능 전 자 현미경 상에서는 분해능으로 정의하고 이를 쉬르처 분해 한계 Scherzer resoluti on lim i t 라고 부른다. 이 쉬 르처 분해 한계 는 ( or)scherzer = 0.7 C s114A31 4 (3-317) 로 계산되며 구면 수차 계수의 1/4 승에 비례하고 파장의 3/4 승 에 따라 변한다. 파장을 줄이면 분해능을 향상시킬 수 있다. 탈초점을 쉬르처 탈초점보다 음으로 계속 증가시키면 콘트라스 트 전달 함수는 진동을 심하게 하게 되고 전달 함수의 값이 처음 으로 土 1 이 되는 4k 의 값이 점차 감소하게 된다. 탈초점을 음으 로 계속 증가시켜도 마치 쉬르처 탈초점과 같이 콘트라스트 전달 함수의 절대값이 1/e 보다 크게 나타나는 4k 의 범위가 넓게 나타 나는 탈초점이 계속 있게 된다. 이 탈초접은 Llfn = (¥ Cst1 ) 112 (3-318) 이고 여기서 n 은 정수이고 n = O 일 때가 바로 쉬르처 탈초점이 다. 또한 n 은 콘트라스트 전달 함수 절대값이 1/e 보다 큰 4k 의 범위가 넓게 나타나는 밴드보다, 4k 의 값이 작은 공간 주파수에 서 전달 함수의 값이 土 1 이 되는 곳의 개수이다. 쉬르처 탈초점 조건에서 결상을 하면 원자의 투사 전위가 최대 의 공간 주파수 범위 내에서 상으로 전달되기 때문에, 일반적으 로 고분해능 상은 이 조건에서 결상을 하게 된다. 그러나 이때의 분해능의 한계는 쉬르처 분해 한계이다. 쉬르처 탈초점보다 더 음으로 탈초점을 잘 조절하여 콘트라스트 전달 함수의 절대값이

l/e 보다 큰 4k 가 넓은 범위에서는 생기지 않아도, 회절상의 브 래그 회절 점에 해당하는 4k 에서만이라도 콘트라스트 전달 함수 가 같은 부호로 각각 큰 절대값을 가지도록 하면, 각 회절 빔이 렌즈에 의해 결상이 될 때 콘트라스트롤 잘 전달하게 되므로 원 자의 위치가 그대로 상에 나타나게 된다. 이렇게 각 브래그 회절 점이 콘트라스트를 잘 전달할 수 있도록 조절한 탈초점을 무구면 수차 조건 aberrati on -fr ee foc usin g ( AFF) 이라고 하고〔 41 〕 4f AF F = 2 『 {(n + 0.115) + 言} (3-319) 로 주어지고 여기서 n 은 정수이고 면 간격 d 는 첫번째 브래그 회절 점을 만드는 결정의 격자면 간격이다. 당연히 무구면 수차 조건은 결정의 면 간격에 따라 달라진다. 무구면 수차 조건으로 결상을 하면 쉬르처 분해 한계보다 더 작은 간격에 대한 정보를 지닌 고분해능 전자 현미경 상을 얻을 수 있는 장점이 있고, 이 결상 방법은 비교적 상에서 거의 원자 의 위치를 그대로 정확히 파악할 수 있다〔 4 인. 하지만 이 무구면 수차 조건을 사용하는 데도 제약이 있다. 예를 들어, 일반적으로 브래그 회절을 일으키지 않는 결정 내의 여러 결함들은 회절시 회절 강도가 역격자 공간, 죽 회절상에서 확산되어 있으며, 이때 이에 해당하는 공간 주파수의 전달 함수의 철대값이 대개 0 에 가 깝다고 한다 [3-1 이. 이런 무구면 수차 조건에서는 결함 때문에 생기는 정보는 렌즈에 의해 완전히 무시되어 상에서 정확한 결함 에 대한 정보를 얻을 수 없다. 그러므로 무구면 수차 조건으로 결상을 할 때에는 브래그 회절 점에서는 물론이고, 결함 때문에 생기는 확산 회절 점 근처에서도 전달 함수의 값이 커서 결함에 대한 정보가 전달이 잘 되도록 탈초점을 조철하여야 한다. 재료

내의 여러 결정 결함을 연구하는 데 실제 이 방법을 적용해 왔다 [43-5 이. 그림 3-50 은 반도체 /금속 접 합을 만들기 위 해 반도체 GaAs (격자 상수 a = 0.5 6 5nm) 기판 위에 계면에서 한 개의 GaAs 격

GaAs

자 간격에 두 개의 금속 격자 간격이 일치하면서 두 격자 면이 평행하도록 하기 위해 격자 상수가 GaAs 의 반이 되는 금속인 CoGa( 격자 상수 a = 0.288run) 을 분자선 에피택시 방법으로 성장 시킨 시편의 단면울, 분해능이 0.21 nm 인 JE OL JE M- 2 000EX 전자 현미경을 사용하여 고분해능 전자 현미경 상으로 찍은 것이 다. 위에 있는 CoGa 의 고분해능 상에서 격자 상이 점으로 잘 나타나 있는데 여기서 제 일 넓은 {111} 면 간격은 0.166 nm 로 현 미경의 점 분해능 0.21nm 보다 작다. 그리고 콘트라스트 전달 함수가 ()o] 되는 4k 의 값은 n7[ = x(4r) = 27[ { _4fA (4:)2 + cSA3 (『 } (3-320) 에서 구할 수 있고, 전달 함수 값이 0 이면 콘트라스트를 전혀 전달하지 못한다. 윗식은 탈초점에 따라 달라지므로 콘트라스트 가 O 이 되는 4k 값들을 측정하여, 이 값과 콘트라스트 전달 함 수를 비교하여 탈초점 값을 알아낼 수 있다. 이 탈초점을 측정하 기 위해서는 고분해능 상에 반드시 시편 가장자리에 있는 비정질 상을 포함시키고, 이 비정질 상이 있는 음화 필름을 광학 회절기 에서 회절시킨 이 광학 회절상에서 콘트라스트 전달이 0 이 되어 강도가 O 이 되는 4k 를 측정한다. 여러 수차와 수령 각 분포를 지니는 현미경 전달 함수는 T(L1k) = L1k) exp {ix(L 1k)} exp {-½균(하 )2 tl 2(L1k)4} exp (-,r~q) (3-321) 이고 여기서 q = {-L1J. tlL1 k + C 검 (4k)3}2 (3-119)

아고, 탈초점과 구면 수차에 의한 위상 차 x(4E) = 27[ { -4/A (4广 + Cs -13 ~} (3-115) 의 영향은 앞의 콘트라스트 전달 함수로 나타내었다. 식 (3- 32 1) 에서 렌즈의 색 수차에 의한 세번째 항 exp {-｝군(하 )2A2(4k) 4 } 은 가우시안 감폭 함수로 표시되어 있고 이 함수를 4k 에 따라 그리면 콘트라스트 전달의 대략적인 겉모양을 나타내기 때문에 이 함수를 외피 함수라고 한다. 입사 빔의 수령 각 분포 때문에 생기는 영향은 네번째 항 ex p(―군『기에서 또한 가우시안 함 수로 표시되어 있고, 이 함수도 역시 또 하나의 의피 함수가 된 다. 이 두 함수의 곱도 역시 의피 함수가 되는데 그림 3-49 에서 이 의피 함수가 높은 공간 주파수에서 급격히 감쇄되는 모습을 가는 선으로 나타내었다. 이 의피 함수의 역할은 높은 공간 주파 수에서 전달 함수를 급격히 감쇄시키는 역할을 한다. 이 그림에 서는 lmrad 의 대단히 작은 수령 반각에서도 높은 공간 주파수 에서는 전달 함수가 급격히 감쇄함을 보여 준다. 그러므로, 좁은 간격에 해당하는 높은 공간 주파수에서는 콘트라스트 전달 함수 의 절대값이 크도록 탈초점을 잘 조절하여 분해능을 향상하고자 하여도, 의피 함수의 감쇄 영향으로 실제 콘트라스트의 전달이 잘 되지 않아 상에서는 분해능 향상이 조금밖에 되지 않는다. 죽 궁극적인 현미경의 분해능은 색 수차와 수렴 각 때문에 생기는 의피 함수의 감쇄의 시작을 비교적 크게 어디서 하느냐에 달려 있다. 그림 3-49 에서 실제적인 콘트라스트 전달은 콘트라스트 전달 함수와 의피 함수의 곱으로 표시되고 굵은 선으로 나타내었 다. 이 곱한 함수는 공간 주파수가 높은 경우 전체적인 대략의

모양을 나타내는 의피 함수의 영향으로 상당한 감쇄 효과를 나타 낸다. 이 의피 함수의 감쇄 효과는 상당하여 어떤 공간 주파수, 죽 4k 이상에서는 원자에서 생기는 위상 변화를 결상 과정에서 전혀 전달을 하지 못하게 하므로 실제 물리적인 조리개가 없을지라도 현미경의 결상시 렌즈 후방 초점 면에 가상의 조리개가 존재하는 것과 같은 효과를 지닌다. 또한 실제적인 조리개나 유한 렌즈의 여o궁 lo: T(4r) = gd( 4r) (3- 32 2) 도 하나의 의피 함수로 나타낼 수 있고 가상적인 조리개와 같은 효과를 나타낸다. 3-4-3 광학 회절과 상 처리 고분해능 전자 현마경 상의 분석에는 컴퓨터를 이용한 상 분석 울 많이 이용해 왔다. 컴퓨터와 더불어 간단하고 쉽게 사용할 수 있기 때문에, 광학 벤치 위에서 레이저와 여러 개의 렌즈와 조리 개 등을 이 용한 광학 회 절 기 op tica l dif frac to m ete r 를 많이 사용 한다. 광학 회절기의 기본 원리는 두과 전자 현미경의 기본 원리 와 똑같다. 그러므로, 전자 현미경의 기본 원리를 학교에서 교육 할 때도 광학 회절기를 주로 사용한다. 그림 3-51 에 나타낸 바와 같이 광학 회절기에서는 전자원 대신 정합성이 매우 좋은 레이저 광원을 사용하고 자기 렌즈 대신 광 학 렌즈를 사용한다. 전자 현미경에서는 시편을 사용하나 시편 대신 고분해능 상을 포함하고 있는 사전 음화를 사용하고 사진 중의 일부분만 조리개를 사용하여 레이저 광선이 지나가도록 하

E » I:; (\ :¢•’I [

여 렌즈를 통해 회절을 시키면 렌즈의 초점 면에 광학 회절상 op tica l dif frac to g r am 이 얻어진다. 광원은 주로 파장이 632.8 nm인 He-Ne 적색의 레아저를 이용한다. 사전 음화에 0 . 1mm 의 간격을 지닌 고분해능 상이 기록되어 있다면 브래그 법칙 n11 = 2dsin BBo J] 따라 회절이 일어나서 렌즈의 후방 초점 면에 회절 상을 만든다. 전자 현미경에서와 같이 광학 회절기의 카메라 상 수를 알면 광학 회절상을 전자 회절상과 똑같은 방법으로 분석할 수있다.

그림 3-52(a) 는 알루미늄울 공기 중에서 6oo·c 에서 5 분간 가 열하였을 때 알루미늄의 표면에 산화물이 형성되는데 이렇게 형 성된 알루미늄/ 비정질 산화 알루미늄의 계면을 찍은 고분해능 단면 두과 전자 현미경 사전이다. 아래는 알루미늄 결정 격자를 나타내 주고 위는 전형적인 비정질의 고분해능 상을 보여 주고 있다. 계면을 관찰해 보면 계면에서 수 nm 크기의 결정 상의 섬 이 생성되어 있음을 알 수 있다. 고분해능 사전 음화 중에서 이 결정 상의 섬을 중심으로 광학 회절기의 조리개를 이용하여 얻은 광학 회절상이 그림 3-52(b) 이다. 광학 회절상에는 알루미늄 기 판에서 나온 회절 점도 포함되어 있지만 결정 상의 섬에서 나온 회절 점도 포함하고 있다• 그림에서 산화물에서 나온 회절 점의 정대 축은 (001] 이고 알루미늄의 정대 축은 (110] 이다. 화살 촉은 산화물의 220 회절 점이고, 회절상에서 산화물의 200 회절 점은 나타나지 않으므로, 결정 상의 섬이 스핀넬 구조의 r 상 산화 알 루미늄임을 알아낼 수 있다. 이와 같이 광학 회절을 이용하면 수 nm 크기의 영역에서 회절 정보를 알아낼 수 있는 장점이 있다. 제한 시야 조리개의 경우 조리개의 크기가 대략 250run 정도이 므로 (2 장 2-4-6 절), 제한 시야 조리개로써는 광학 회절에서와 같 이 작은 영역에서 회절 정보를 알아낼 수 없다. 보통 전자 회철 에 사용되는 제한 시야 조리개는 상당히 넓은 영역을 포함하고 있으므로 조그만 결정으로 되어 있는 시편의 경우에 조리개 내에 많은 결정을 포함하게 되어 다결정이 나타내는 회절상을 보여 주 기 때문에, 알고자 하는 특정 결정에서 회절 정보를 얻는 것이 불가능하다. 그러나 광학 회절에서는 고분해능 현미경 사진 음화 위에서 조리개로 특정 결정을 선택하여 단결정에서 나오는 광학 회절상을 얻을 수 있으므로 특정 결정의 분석이 가능하다• 비정질 시편은 연속적인 여러 원자 간격을 포함하고 있으므로

띠lN이

그림 3-52 (b) 고분해능 사진 음화 중에서 결정상의 섬을 중심으로 광학

회절시 푸리에 변환이 되어 회절상에서 여러 4r, 죽 공간 주파 수에 대한 정보를 포함하고 있다. 전자 회절시 비정질 시편에서 훈륜 halo 이 있는 전자 회절상이 얻어지는 것과 마찬가지로, 여 러 원자 간격을 포함하고 있는 비정질 고분해능 현미경 상의 사 전 음화를 사용하여 광학 회절상을 얻을 수 있다. 비정질 상의 광학 회절상은 4r 에 대한 회절 강도의 분포를 나타내 주므로, 이 강도 분포에서 현미경의 렌즈가 원자의 투사 전위를 사전으로 얼마나 잘 전달해 주었는지를 알 수 있다. 현미경의 실제 콘트라 스트 전달 함수의 자승은 푸리에 공간에서 강도로써 나타나고 이 강도는 비정질 상의 광학 회절상의 강도 분포로써 측정할 수 있 다. 콘트라스트 전달 함수가 O이 되는 각 4r 에서는 회절 강도 가 0 이 되므로 비정질 상의 광학 회절상에서는 전달 함수가 0 이 되는 곳은 검게 나타난다. 앞 절에서 기술한 바대로 식 (3-320) 에서 탈초점에 따라 전달 함수가 O 이 되는 4r 가 달라지게 된 다. 따라서, 각 탈초점에 따른 전달 함수 분포와 비정질 상의 광 학 회절상을 비교함으로써 비정질 상의 결상시 탈초점과 기타 여 러 고분해능 상의 결상 조건들을 알아낼 수 있다. 예를 들면, 비점 수차가 있으면 광학 회절상이 원형 대칭을 나 타내지 못하고 타원형으로 방향성을 나타내어 찌그러져 있으며, 시편이 천천히 움직이고 있으면 d rifti n g 광학 회절상에서 움직이 는 방향으로는 콘트라스트를 전달하지 못하여 검게 나타난다. 비 정질 시편의 고분해능 상에서 콘트라스트 전달 함수를 알 수 있 으므로, 쉬르처 탈초점에서 고분해능 상의 강도 분포에서 전달 함수가 ()o] 되는 4r 를 찾아서 식 (8r)scherzer = 袁 = 十 (3-323)

에서 고분해능 상의 분해능인 쉬르처 분해 한계를 알 수 있다. 비정질 시편으로는 증착 탄소 박막이나 산화 실리콘 박막울 주 로 이용하나 결정의 고분해능 상의 결상 조건과 동일한 조건의 비정질 상을 얻기 위해서는 시편의 가장자리에 있는 얇은 비정질 충을 포함시켜 고분해능 상을 얻는다. 또한 그림 3-51의 광학 회절상에서 조리개나 특수 마스크 mask 를 사용하여 광축에서 멀리 떨어져 있는 회절 범과 상의 배 경 잡음 backg ro und nois e 때문에 생 기는 빔울 제 거 한 다음, 두번째 렌즈로 결상을 하면 렌즈의 결상 면에서 배경 잡음이 제 거된 깨끗한 상을 얻는다. 이 방법으로 본래 사전 음화에 직접 얻을 수 있는 상보다 배경 잡음이 제거된 더 선명한 상을 얻을 수있다. 전자 현미경 상의 컴퓨터 처리 im ag e comp u te r p rocess i n g는 현미경에서 직접 얻어전 상의 분석을 잘 하기 위해 상을 광학 회 절기대신 컴퓨터로 처리하는 기술이다. 상 처리의 기본 원리는 그림 3-51 에서 나타낸 바대로 광학 회절을 이용한 상 처리와 같 다. 광학 회절기에서는 사진 음화를 사용하여 상 처리를 시작하나, 상의 컴 퓨터 처 리 에 서 는 CCD (charge coup le d devic e) 카메 라로 인화된 사전 또는 음화 필름에서 상 처리 대상 상을 컴퓨터로 입 력하든가, 또는 전자 현미경에서 직접 광섬유 전선을 통하여 텔 레비전 수상기로 상을 전송한 다음 이 상을 컴퓨터에 입력하여 상 처리를 시작한다. 처리 대상 상의 강도 분포에서 투과 함수를 계산할 수 있고 이 투과 함수를 푸리에 변환을 하면 후방 초점 면의 회절파가 얻어진다. 이 회절 파와 그 공액 복소수를 곱해 주면 회절 파의 강도, 죽 회절상이 얻어진다. 전자 현미경과 컴 퓨터가 직접 연결되어 있으면 상을 얻는 죽시 회철상을 얻을 수

있다. 현미경의 비점 수차와 콘트라스트 전달 함수의 모양은 비 정질 상의 회절상에서 잘 나타나므로, 실시간 real tim e 에 컴퓨 터 처리된 비정질의 회절상을 직접 보면서 현미경의 비점 수차 수정과 탈초점 조절을 할 수 있는 큰 장점이 있다. 좋은 재생 상을 얻기 위해서는 현미경 전달 함수나 위상 콘트 라스트 전달 함수의 형태가, 관심 있는 영역에서 만들어전 정보 를 포함하고 있는 공간 주파수와 회절 점의 정보를 잘 전달하고 배경 잡음은 전달되지 않는 형태로 만들어 준다. 또한 배경 잡음 울 소거하기 위해 톱니바퀴 모양의 특수한 마스크를 만들어 배경 잡음 전달을 막아 주기도 한다. 이렇게 만들어진 현미경 전달 · 함 수와 회절 파롤 곱하고 이것을 푸리에 변환하여 상 면에서의 파 를 얻고, 이 파와 공액 복소수 파를 곱해 주면 상 면에서의 파의 강도 분포, 즉 배경 잡음이 소거된 재생 상을 얻는다. 3-4-4 현미경 상 전산 모사 현재 고급 투과 전자 현미경의 대부분은 보통 결정의 구조를 원자 규모로 분석할 수 있다. 앞의 절 (3 장 3-3-1) 에서 본 바와 같이 고분해능 전자 현미경 상의 강도는 식 (3-303) 에서 I = l + 훑리t V(-x', —y', z ) dz (3-303) 로 주어진다. 항 'v2 1。 t V (-x', -y',z ) dz 은 물체의 투사 전하 밀 도를 표시한다. 따라서, 상의 강도, 죽 현미경 상은 탈초점, 시 편 두께, 원자의 전위, 가속 전압에 따라 달라진다. 그림 3-53 은 200 kV의 가속 전압에서 한 장의 사전으로 찍은 r 상의 산화

그림 3-53 균J- 산화 알루미늄 결정의 고분해능 사진. (a) 와 (b) 는 두께의

알루미늄 결정 하나를 확대한 고분해능 사전들이다. 그림 3-53 (a) 와 (b) 는 모두 같은 탈초점, 원자 전위, 가속 전압의 조건이 나 두께의 차이로 인해 현미경 상에서는 많은 차이를 나타낸다. 일반적인 산화물이나 광물 시편의 경우 시편 두께가 5~10nm 정도로, 금속 시편의 경우에 수 nm 정도로 시편이 아주 얇을 경 우 고분해능 상과 시편 내의 원자 위치 간에 1 : 1의 대응 관계가 있다 [5 니. 그러나 시편의 두께가 이보다 더 두꺼우면 현미경 상 이 원자의 투사 전위를 그대로 나타내 준다고 생각하기 힘들다. 따라서 상의 해석을 정확하게 하기 위해서 여러 탈초점과 시편 두께에서 시편과 현미경의 조건으로 전산 모사로 얻은 상과 실제 실험에서 얻어전 상 ex p er i men t al i ma g e 을 비교 검토하여 시편

의 원자 구조를 해석한다. 특히 계면과 같은 결정 내의 결함이나 세라믹과 같이 원자 구조가 복잡한 경우에는 실험 상에서 직접 원자의 위치를 파악하기 어려우므로 고분해능 상의 전산 모사가 꼭 필요하다.

I—II I'•’

실제 현미경의 구성은 복잡하게 구성이 되어 있으나 앞(1 장 1 -1 - 3 절)에서 기술한 바와 같이 전자 현미경의 기본 구성은 전자 방 시편, 대물 렌즈 하나로 구성되어 있다(그림 1-6) 고 생각한 다. 상의 전산 모사 com p u t er im ag e sim ulati on 에서도 전자 현 미경 중의 여러 복잡한 결상계를 단순화시켜 그림 3-54 에 그린 것과 같이 전자 현미경을 전자 선, 시편과 대물 렌즈로 구성된 단순한 계로 생각한다. 처음에 시편에 입사하는 전자 빔은 평면 파로 간주하고 전체 렌즈 계의 수차는 대물 렌즈 하나의 수차로 생각한다. 실제 현미경에서도 대물 렌즈가 시편의 결상 및 회절 에 주요 역할을 하고 나머지 렌즈는 단순히 상을 확대하는 역할 울한다. 전자 현미경 전산 모사 상 계산에서는 모델 전자 현미경에서 물체를 나타내는 두과 함수, 후방 초점 면에서 회절 파를 계산하 기 위해 투과 함수의 푸리에 변환, 결상 면에서 파를 계산하기 위해 회절 파의 푸리에 변환 등의 계산이 필요하다. 투과 함수는 모델 시편에서 주어진 자료를 주로 사용하고 가속 전압의 값을 추가하여 사용한다. 후방 초점 면에서의 파는 투과 함수의 푸리에 변환으로 계산한다. 후방 초점 면, 죽 푸리에 공 간에서 렌즈의 수차, 수령 각 및 조리개 등의 현미경 조건이 포 함된 현미경 전달 함수 (3 장 3-1-3 절)를 후방 초접 면의 파에 곱 한다. 이 수정된 후방 초점 면의 파를 푸리에 변환하여 상 면의 파롤 계산한다. 현재 사용되고 있는 전산 모사 계산은 주로 다층 박판 법 mult isli ce me th od 을 사용한다. 이 방법은 시편의 전산 모사 계 산을 전체 두께에 대해 한꺼번에 하는 것이 아니라, 시편을 여러 개의 얇은 총으로 나누어 각 총에서 출구 파 ex it wave 의 전폭 과 위상을 계산한다. 어떤 시편이 두께 8z 의 N개의 얇은 충으

로 구성되어 있다고 생각하면 전체 두께는 t = Noz 이다. 각 얇 은 총의 결정 전위는 충이 아주 얇다고 생각하여 2 차원적인 평 면 전위 죽 투사 전위로 생각한다. 먼저 입사 파가 첫번째 박판 총을 통과한 후의 파를 계산하고 이 파를 다음 박판 충의 입사 파로 생각하여 다음 박판 충을 통과한 파를 계산한다. 이 계산을 박판 두께의 합이 최종 두께가 될 때까지 반복하여 계산한다. 시편이 결정이라면 원자가 규칙적으로 배열되어 있으므로 결정 의 원자 전위도 어떤 주기성을 가지고 있다. 그러므로, 결정의 원자 전위를 주기 함수로 생각할 수 있다. 푸리에 급수에서 주기 함수 V(r) 은 푸리에 급수로 V( r) = n~=00O Vn exp (27rin L 1le· r) (3-120) 로 표시할 수 있고 여기서 Vn 은 푸리에 계수이다. 브래그 법칙 에 따르면 결정은 역격자 공간에서 4r = 홍*일 때만 델타 함수 로 매우 강한 회절 파의 전폭을 갖는다. 그래서 투과 함수의 변 환, 죽 역격자 공간의 각 부분들 중에서 4r = 互*일 때만 중요 한 값을 지니고, n4r 도 일반 역격자 벡터 흉*에 포함되므로 (nLlk = g*), 푸리에 급수에 이것울 대입하고 모든 역격자 벡터 맑에 대해 합을 구하면, V( r) = Lg! Vg exp (21r i결* • r) (3-121) 이 된다. 식 (3-122) 와 윗식에서 푸리에 계수 vg 와 원자 산란 계수 fj의 관계식은 vg = ~2TChm2e e.Q ~fj exp ( 크 2TC i'효* • 7j) (3-124) = 21rmh2e eQ Fg

이고, 여기서 요는 단위 포의 체적아다. 먼저 원자의 종류(또는 원자 번호, Z) 와 위치를 정하여 원자 모델을 만들어 계산용 단위 포를 만든다. 윗식 (3-124) 에서 푸리 에 계수 Vg를 단위 포 내에 있는 모든 원자들에 대해 계산하여 얻는다. 윗식에서 원자의 전자 산란 계수 j el( LJ k) 는 식 (2-183) IeI(4 『) = (41k)2 2n;>:c 2 { Z -IX(4 r)} (2-183) 에서 원자 번호 (Z) 와 실험에서 결정된 x- 선의 원자 산란 계수 IX(4r) 를 대입하여 계산하여 얻는다. 푸리에 계수에서 원자 전 위를 구하는 식 (3-121) 에 위에서 구한 푸리에 계수를 대입하여 전자 빔 방향으로 투사된 단위 포의 투사 원자 전위 pro je c te d ato m i c p o t en ti al 를 계산한다. 역격자 공간의 원점에서 40nm-1 에 있는 모든 푸리에 계수를 포함하여 계산하면 대부분 정확한 계산 결과를 얻을 수 있다 [44]. 박판 시편 충은 매우 얇으므로 위상 체로 간주하고, 전자 파가 두과함에 따라 위상 체는 파의 전폭은 변화시키지 않고 파의 위상만 변화시킨다. 식 (3-139) 에서 전자 현미경 내의 얇은 시편인 순수 위상 체의 투과 함수는 ¢( r) = exp i/3 = exp 2TC i匡 冒 터 = exp 2TCi { (*)1'2V ( r) 터 (3-139) 이고, 이것을 2 차원 투사 전위로 표시하면 ¢(x, y) = exp 治 = exp 2m·{ ko 모晉근 터 (3-324) = exp 2TC i {(2 麟 )112 Vp( x, y) 8z }

으로 위 상 변화 /3( x, y)는 시 편 투사 전위 Vp( x, y), 시 편 두께 & 및 전자 현미경의 가속 전압 Vo 에 의존한다. 박판 시편을 나 와 자유 공간 z 를 지난 파는 2 차원에서 프레넬 전파자인 Pz(x,y ) = ik ~ex p{다(仁 “} (3-30) 의 영향을 받는다. 어떤 시편의 두께 t = noz 에서 시편 표면 출구 파는 두과 함 수와 프레넬 전파자를 사용하여 계산할 수 있다. n 충 시편 출 구파는 n< /J( x y) = {n 一 )

면 수차, 색 수차, 전자 빔의 수령 각, 조리개의 영향을 고려해 야 하는데 이 영향은 바로 역격자 공간에서 렌즈의 후방 초점 면 의 파에다 현미경 전달 함수를 곱하여 얻는다. 이렇게 수정이 된 후방 초점 면의 파는 1fJ'm (4 『) = 1Jf( 4r) T(4r) (3- 32 8) 이고, 여기서 앞의 여러 수차와 수령 각 분포를 지니는 렌즈의 현미경 전달 함수는 T(Llk) = ¢d(Llk) exp {ix(L lk)} exp { ―½균( 하 )2112(L1k) 4 } exp ( —7 [망 이 (3-329) 이고 여기서 §d(4r) 는 조리개 함수의 푸리에 변환이고, x(4 尸) = 27[ {— 4f A (4;)2 + cSA3 (4:)4} (3-115) 이며 q = {-Llf- 1. LJk + C 검 (4k)3}2 (3-119) 이다. 본래 이론적으로는 탈초점 4 f가 있으면 계산된 초점이 맞 는 상 면 파에다 탈초점 4 f인 프레넬 전파자를 콘볼루션하여 탈 초점 면의 파를 계산하나, 탈초점에 의한 위상 변화를 위의 식에 서와 같이 현미경 전달 함수에 포함하여 상을 계산하여도 똑갇은 결과가나온다. 초점 분산 s pread in fo cus( 하)은 실제 찍은 사진과 여러 개의 다론 초점 분산 값을 넣어 계산한 계산 상과 비교해서 구하기도 하고 식 (3-108)

하 = Cc{ （望 )2 + 4( 문 )2 + （景 )2}l l 2 = 4 (3-108) 에서, 색 수차 계수와 현미경 전압 및 렌즈 전류의 리플 r ipp le 과 필라멘트의 전자 에너지 분산에서 초점 분산울 구한다. 수렴 반각 a 는 초점을 맞춘 조명 상태에서 얻어진 회절상에서 식 (2 - 350) 을 사용하여 회절 점의 크기를 측정하여 계산한다. 구면 수 차와 전자의 파장은 주어진 현미경과 조건에서 정해진 값을 사용 한다. 렌즈의 상 면의 파는 수정된 후방 초점 면의 파를 푸리에 변환 하여 ffrm (x, y) = ffr(x , y) * T(x, y) (3-330) 이 되고 고분해능 상, 죽 상 면에서 강도 분포는 상 면 파와 그 공액 복소수를 곱하여 얻으므로 강도는 I = Wm(X, y) ffJ,: (x, y) (3-331) 이 된다. 그림 3-55 는 스핀넬 구조의 산화 알루미늄을 빔 방향을 [110] 방향으로 하여 JE OL JE M- 20 00EX 현미경 조건으로 전산 모사 1하5여, 2얻0, 은2 5고 ru분n 해이능고 현y 미축경은 상탈이초다점. 으x로 축 은一 24시 n편m 에두서께 로— 154, 5 1n0m, 까지이다. 시편의 두께와 탈초점에 따라 현미경 상의 많은 변화 롤 보여 주고 있다. 실제 전자 현미경에서 얻은 실험 상과 원자 모델을 사용하여 전자 현미경의 조건으로 전산 모사한 상을 비교함으로써 결정, 계면, 결함 등의 정확한 원자 배열을 알 수 있다. 그립 3-56 은 실험에서 얻은 알루미늄/산화물 계면의 고분해능 상과 계면의 원

—

t ..

자 모델을 사용하여 전자 현미경 조건으로 전산 모사한 전산 모 사 상을 보여 준다. 전산 모사 상은 실험 상 안에 삽입되어 있 다. 3-4-5 모아레 줄무늬 전자 현미경 시편에서 전자 빔 방향으로 두 개의 겹치는 결정 이 있을 때 모아레 줄무늬 Moir e fring e 가 관찰된다. 각 결정 에 서 강한 회절이 일어나 투과 빔과 회절 빔이 대물 조리개를 동시 에 통과하면서 서로 간섭을 일으켜 상 면에서 두 회절 점을 연결 하는 선에 수직인 줄무늬둘을 만든다. 같은 상p hase 의 얇은 두 결정이 서로 작은 각 a 로 회전이 되어 있는 관계에 있을 때 생 기는 줄무늬를 회전 모아레 줄무늬라고 하는데, 이런 회절 줄무 늬는 쉽게 벽개가 되는 박판 결정에서 많이 관찰된다. 그림 3-57(a) 와 같이 시편이 2 개의 결정 1, 결정 2 로 구성이 되어 있고 위에서 전자 빔이 입사한다고 생각하자. 그림 3-57 (b) 의 왼쪽에 있는 것은 결정 1 의 (h1kil 1) 면울 나타낸 것이다. 이 (h1kil 1) 면에서 생간 회절상은 아래에 표시되어 있는데 회절 점은 h1k1l1 이고 역격자 벡터는 岳 ;IkU1 이 된다. 그림 3-57(b) 오 른쪽에는 결정 2 의 (h2k2l2) 면을 나타내 었는데 결정 1 의 (h1kil 1) 면 보다 면 간격이 더 넓고 각도 a 로 회전되어 있다. 결 정 2 만 있으면 (h2k2l2) 면에 의해서 생기는 회절 점은 h2k2l2 이 고 역격자 벡터는 홍 :2k2lz 이다. 그림 3-57(c) 는 결정 1 과 결정 2 가 그립 3-57(a) 와 같이 겹쳐 져 있을 때 나타나는 모아레 줄무늬와 회철상을 나타낸 것이다. 먼저 결정 1은 (h1k 마) 면에 의해 회철 점 h1k il 1 을 만든다. 이 회절 점 h1k 마이 이중 회절 double d iff rac ti on 로 결정 2 에 두과

_::;

빔으로 역할을 하여 회절 점 晶 k2T2 를 만든다. 이 E2r2T2 점이 000 빔과 가까이 있으면 모아레 줄무늬를 관찰할 수 있는 가능성 이 많아진다. 결정 1 과 2 사이에 면간 간격의 차이가 작거나 회 전 각도가 작으면 결정 1 의 투과 빔 근처에 이중 회절 점이 만들 어질 가능성이 많아전다. h1k1l1 점에서 h2k2T2 까지의 역격자 벡 터는 이중 회절로 인하여 ―용 ;2k 가 2 이다. 투과 빔에서 이중 회절 점 h2k2T2 까지의 역격자 벡터를 45* 라고 하면 그림에서 4 점* = 효: ,k1l1 —ffl 2k 2l2 (3-332) 이다. 그림에서 원은 대물 조리개를 나타낸다. 앞에서 2 개의 회 절 점에서 격자 줄무늬를 얻는 것과 같이 (3 장 3-3-1 절) 투과 빔 과 이중 회절 점을 델타 함수로 생각하여 이것을 푸리에 변환을 하면 상에서 파의 전폭이 나온다. 상에서의 파의 전폭은 x' 방향 울 4 굵 방향으로 잡으면 lfl(x ', y') = 1:{ a(Llk + 묵) + 8(4k —꿍 * )} exp ( —27r iL l kx') d(Llk) = 2 cos (27rx' A(-) (3-333) 이고, 강도는 I = 4 cos2 (;rx' b) (3-334) 으로 4 흥*에 수직한 방향으로 평행한 줄무늬가 나타난다. 줄무 늬의 간격은 d, ig*이다. 이 줄무늬롤 모아레 줄무늬라고 한다. 그림에서

4 맑 = 홍: 1k il 1 - gh*2 k2l2 (3-332) 이므로 양 변을 제곱하면, IL1 점기 2 = lff :1k t1 1 l2 + lf f:2k 212l2 —2l ff 1i ,k1l1II 효 /?2! cos a (3-335) 이고 여기서 a 는 (hIklh) 와 (h2k2l2) 사이의 회전 각이다. 역격자 벡터의 크기는 면간 거리의 역수이므로 d;1g * =- dl i1k 1l 1 +,1 dl21k 가 2 —n,2_ , d1 i11 k i l1 dh21k2 l2 cos a (3-336) d] gd•1 ,ki l, =+ dl2k~2l2 —2파d h1kUl dh2k212 cos a 이 되고 따라서 모아레 줄무늬의 간격은 dg = (dt ki /1 + dl2k2d;2h —IkU2dld h1hk1l21d h2k2l2 cos a?12 (3-337) 로 주어진다. 회전 각이 0 이고 면 간격만 다른 경우에 생기는 모아레를 평행 모아레라고 하고, 이때 줄무늬 간격은 cos a = 1 01 므로 d4g *|dmk=UI 一 ~dh2k212 1 (3-338) 이고 이 평행 모아레 줄무늬는 박막 성장시 에피택셜 성장 또는 토포택 셜 top o ta xia l 성 장시 많이 관찰된다. 회 전 모아레 의 경 우 면 간격이 같으므로 dh,kil i = dh2k2l2 이므로 식 (3-335) 에서 dg = (1 —d2h 빠c os a)172 =- 2d sh iI nk U운I 츠 dhaI klll (3-339) 로 계산된다.

그림 3-58 GaAs 위 에 Au-Ge 합금을 증착하여 열처 리 한 후 GaAs 결 정

그림 3-58 은 GaAs 기 판 위 에 Au-Ge 합금 박막을 증착하여 열처리 후에 만들어전 계면의 모습을 보여주는 사진이다• GaAs 결정과 합금 사이의 반응으로 생긴 화합물이 GaAs 결정과 중첩 이 되어 모아레 줄무늬를 나타낸 것을 보여준다.

제 4 장 분광학 4-l x- 선의 원리 4-1-1 X- 선의 생성과 스펙트럼 지금부터 약 100 년 전인 1895 년, 음극선 실험용 진공관에서 고압 방전을 실험하던 독일 물리학자 뢴트겐 (Ron tg en, 1845 ~1923) 은 눈에 보이지 않는 일종의 투과 방사선이 음극선 시험 용 가스 방전관의 유리 벽을 통하여 근처의 사진 필름을 검게 하 는 것을 발견하였다. 뢴트겐은 이 방사선을 종래의 음극선과 구 별하기 위해 x- 선이라고 명명하였다. 이후 x- 선은 생명과 우주 의 물질 구조를 해석하는 데 커다란 공헌을 했다. 뢴트겐의 1901 년 제 1 회 노벨물리학상 수상은 <20 세 기 과학기술의 시작〉이라 는 상칭적인 의미도 담고 있다. 주목해야 할 점은 x- 선 발견의 배경에는 진공 기술과 사전 기술의 기반이 있었다는 사실이다. 가스 방전관에서는 잔여 기체 분자가 이온화함에 .따라 전자가 만들어지고 이 전자가 금속 양극으로 가속된다. 양으로 하전된

분자 이온은 음극으로 가속되어 이 음극에서 더 많은 자유 전자 가 충격으로 나오게 되고 이것이 양극으로 가속된다. 이 때 양극 에서 나오는 방사선을 x- 선이라고 하는데 금속에 전자가 충돌하 여 발생한다. 가스 방전관의 x- 선 발생은 이온화율과 가 스 압력 에 의존한다. 더 일반적으로는 전공 속에서 가열된 텅스텐 필라 멘트에서 열 이온적으로 만든 전자를, 냉각을 쉽게 하기 위해 접 지 전위로 유지한 금속에 가속시킴으로써 x- 선을 만든다. 전자 룰 금속에 가속시킬 때 진공 유지를 위해 될 수 있는 대로 얇은 베릴륨 (Be), 유리, 운모 등을 x- 선의 두명 창으로 사용한다. 빛 속도의 수분의 일 속도로 가속된 전자들은 움직이는 전하들 이므로 전류 i를 만들고 이 전류는 전자 유도 법칙에 의하여 자 계 H를 만든다. 이때 전자 궤적의 방향으로 단위 길이를 7 로 표시하면, 전자에서 거리 r 에 있는 어떤 점 p에서 순간 자계 값은 il = f~ = fi'v x f막 (4- 1) 이다. H 의 크기는 1/ 군에 따라 감소한다. 윗식을 비오 - 사바르 (Bi ot 1774~1862, Savart 1791~1841) 법칙이라고 하고 그림 4 -1 에 나타내었다. 전류가 속도 紅로 움직이는 점 전하 q 때문에 생긴다면, i d 「 = 뿜(길 dt) = dq v (4-2) 이고 따라서 자계는 H= 갑 vx f근쁜=감 vx f (4-3)

E

가 된다. 그러므로, 점 p에서 시간에 따른 자계 H 의 변화는 속 도의 시간적인 변화율, 즉 가속도 a = a 인 /a t 2 와 연관되어 있다. 그러나 전자계는 빛의 속도로 전파하므로 자계에서의 어떤 변화 가 점 p에 도달하는 데는 그림 4-1 에서 보면 시간 r'/C 가 걸린 다. 그러므로 점 p에서의 자계 fl(r, t)는 실제로는 시간(t― r'/ c) 에서 전하 q 때문에 생긴 것이다. 우리는 이 지연 속도 reta r ded veloc ity 롤 [v] = v(t ―딘 (4-4) 로 표시한다. 자계 H는 H == _집 4g7_ [ v巨x 上r 팔 8[8 tT ] (4-5) • + 촬 lxv(¾)} 이다. 여기서,

[ T] = 「(t -白 (4-6) 이f며i,(r , 자t) 계= 금fl(r (, o t, )o를, ~ 극(좌)'표 계8\ [(r], 0+ ' , ¢장 』)t를〔 ] 사S용1}?하, 『여 ) =다 시H ,:, 쓰(4면-7 ) 이다. 죽 fl(r, t )의 ¢ 성분만 0 이 아니다. 우리는 전자에서 멀 리 있으면, l/r2 ~ l/r 이므로 자계 fl(r, t)의 ¢ 성분 중 첫째 항은 무시하고 둘째 항만 생각해도 된다. 그리고 r' 츠 r 이므로. H(r, t) = H¢ = ~47r 4aPt2 -r~e (4-8) 이다. 맥스웰 Maxwell 방정식을 사용하여 해당되는 전계 E(r, t)를 구하면 E(r, t) = (o, 금 82』 {)~, o) = Ee, (4-9) 이다. 여기서 보는 것처럼 두 계 fiel d E 와 H 는 서로 수직이다. 82』 『 에 대해 더 생각해 보자. 전자가 단순히 일정 속도로 직선 울 따라 움직인다면 H 는 물론 0 이 되어 먼 거리 r 에서는 계가 없을 것이다. 하지만 더 정확히 이야기하면, 자계는 식 (4-7) 에 서 우리가 무시한 부분의 영향으로 l/ 군에 따라 감소한다. 전자가 시편과 만나면 시편 내의 원자와 빠르게 상호 작용한 다. 원자는 서로 반대 부호인 전자와 원자 핵으로 구성되어 있으 므로, 입사하는 전자와 이 원자 내의 핵과 전자들과의 상호 작용 은 탄성 충돌을 일으키는, 먼 거리에서도 작용하는 쿨롱 상호 작 용이다. 전자는 원자 내의 전자나 핵에 에너지를 주고서 운동 에

너지 E k 를 잃는다. 전자의 밀도가 Ne 일 때 에너지 손실률은 —dE dkz( z) = e8W7 [ egZ Ek1( z) ln Eak( 。zn ) (4-10) 이고, 여기서 Ek(Z) 는 전자 궤적의 어떤 점 z 에서 전자 에너지 이고 a 。 n 는 대략 원자의 이온화 문턱 ion iz a ti on thr eshold 값에 해당하는 평균 에너지 전달 값(약 lOZeV) 이다. 전자는 일정하게 운동 에너지를 잃고 있으므로 계속해서 감속이 된다. 50keV 전 자에서 평균 에너지 손실률 _ dE」 : z) 은 109evm - 1 이므로 전자 는 평균 깊이 z = (5 X 104 eV)/(109 evm-1) = 5 X 10-s m = 50 µm 에서 정지하게 된다. 전자가 시편에 z 방향으로 입사할 때 거리 dz 와 식 (4-1) 의 미 분 궤적 길이 dl 을 같다고 보면, a2』 t:] = a2z (t a :2 r / c ) = a(t : (4-11) 이고 여기서 a(t 一 r/c) 는 전자의 가속, 이 경우는 감속을 나타 낸다. 전계와 자계를 z 의 함수로 나타내면 E(r, t) = -4err ssci2n r 0' 82z(t a -t2 r/c) =~a( t-팁 =Ee, (4-12) fi(r, t) = —4e rsricn r 0' 82z(ta -t2 r /c ) =~a( t국 )=H, (4-13) 이다. 시간을 t에서 4 t만큼 감소시켰을 때 r 에서의 전계나 자계

는, t = t에서 r 을 4r = c4 t만큼 증가시켰을 때의 전계나 자계 와 같다. 즉 가속도는 a( t - Llt - 뀝 = a( t —r +c c4 t ) (4-14) 이기 때문이고, 이는 곧 그림 4-2(a) 에서 보는 바와 같이 먼 거 리에 있는 전자계는 더 이른 시간의 전자계에서 만들어진다는 의 가미이 다경.과 하한기편 전어 떤더 시작간은 4거 t리가 경(r과 —한c L l후 t )에r 에있서었의던 전것자과계 는갇 다4.t 즉가속도는 a( t + Llt —덩 = a( t —r —Cc4 t ) (4-15) 이고 시간이 지난 뒤의 전자계는 그림 4-2(b) 와 같이 조금 진행 해 작은 거리에 있었던 전자계가 전행되어 만들어진 것이다. 위 두 식의 성질에서 우리는 전계와 자계가 진행 파의 형태로 방사 되고 있다는 것을 보여준다. 그러므로, 가속 또는 감속하는 전자 는 전자계 방사를 발생한다. 이 감속하는 전자에 의한 전자계 방사 를 독일어로 브레이크를 거는 방사라고 하는 뜻인 브렘스트라홀릉 Bremsstr a hlung 이 라고 한다. 감속 전자에 의해 방출된 전자계 방사는 입사되는 빠른 전자가 상호 작용하는 전자나 핵에 가까이 있는 시간 동안의 감속 시간 에 걸쳐서 방출된다. 원자는 입자로 존재하므로 원자 하나 근처 에서 방출되는 전자계 방사는 하나의 펄스p ulse 나 파단으로 구 성되도록 한다. 양자 역학적으로 이것을 양자라고 하고 각 양자 의 에너지는 U = hv = h (J)／ 27r 이므로 u= 누 (4-16)

l(r, 1 )

이다. 현미경 내에서 입사된 전자가 시편 속의 전자나 원자 핵과의 단 한번 상호 작용 동안에 입사된 운동 에너지의 어떤 분율 f를 잃는다고 가정하자. 본래의 운동 에너지는 물론 전위 Vo 로 가속 되어 얻은 에너지 eVo 이다. 위의 상호 작용 때 방출된 x- 선 양 자의 에너지는 U=f =JeVo (4-17) 또는 A= 끄feV o (4-18) 이다. 전자가 잃는 에너지의 최대 분율은 / = l 이므로 최소 파 장은 /\mi n = 툴 (4-19) 이 고 이 파장을 단파장 단 short- w aveleng th lim i t 이 라고 한다. h = 6.6 X 10-34 Js, c = 3 x 108 m/sec, e = 1.6 x 10-19 C을 대 입 하 고, Vo 를 볼트 단위로 나타내면 11m112.4 n X= 10~-7 m= 가12 ~40n m (4-20) 이다. 해당되는 최대 x- 선 주파수는 !lma x = 운 = 2 X 1014 Vo S-1 (4-21) 이다. Am i n 과 l.l max 울 가속 전압의 함수로 광속에 대한 전자 속도

표 4-1 가속 전압에 따른 x - 선 의 단파장 단 (Am i n) 과 최대 주파수(I/ ma x ), 그

의 비와 함께 표 4-1 에 나타내었다. 시편의 첫 10nm 정도에서는 전자가 에너지를 전혀 잃지 않을 확률이 제일 크고, 에너지 전부를 잃어버릴 확률은 이보다는 작 다. 전자가 투과 현미경 시편 속으로 더욱 들어감에 따라 에너지 의 더 많은 분율을 잃어버릴 확률이 점점 증가한다. 식 (4 ― 10) 에 나타난 것처럼 추가 에너지 손실률 -dEk/dz 는 전자가 에너지를 잃어버림에 따라, 즉 Ek 가 감소함에 따라 증가한다. 시편에서 깊이가 점점 깊어짐에 따라 에너지 손실률 -dEk/dz 는 점점 증 가한다. 따라서 에너 지가 감소함에 따라 단파장 단도 증가한다. 이것을 그림 4-3 에 점선으로 모식적으로 나타내었다. 그러나 동 시에 방출된 x- 선이 시편에 흡수되는 것도 가능하다. 시편이 얇 은 경우 x- 선은 시편을 잘 두과하나 전자 빔이 시편에 들어가는 깊이가 깊을 때는 상당히 많은 흡수가 일어난다. 파장이 간, 죽 에너지가 작은 x- 선은 더 강하게 흡수되고 이 x- 선은 더 깊은 곳에서 생성되기 때문에 시편 밖으로 나오기 위해서는 표면까지 더 긴 거리를 시편 속에서 진행하여야 한다. 결과적으로 파장에 따른 x- 선 방출 확률은 그림 4- 筑 l 실선으로 나타낸 파장 분포 곡선이 되는데 이 연속 곡선은 모든 방출과 홉수 확률을 동시에

x- 선 발생 확률