도의 크기는 Vp =C+R= 〈떴貫굶:굶 3 으로 표시되며, 이 속 도가 지구의 인력권으로부터의 탈출 속도로 정의된다. 호도그래 프 상에서 위성의 속도 벡터는 반시계 방향으로 회전하며, 원점 에서 속도는 0, 위치는 무한대인 특이점이 나타난다. 쌍곡선 궤도에서는 호도그래프 상에서 위성의 속도 성분이 C= 广, R=e 訂), R>C 인 값을 갖는다. 이 경우 근지점은 Y 축 위에 존재하고, 속도의 크기는 Vp =C+R= ✓ G(?」 :麟 ;l) 로 나타난다. 쌍곡선 궤도에도 포물선궤도의 경우와 유사한 특이 점이 존재하는데, 이 경우에는 무한대 위치에서의 속도가 0 이 아 니라 v. . =『門三尸 의 값을 가지므로 아보다 작은 속도를 가지는 범위에서 특이점들 이 광범위하게 나타난다. 보통 이런 특이접둘이 존재하는 위치는 원점에 인접한 곳에 국한되며, 따라서 호도그래프의 형태는 한쪽 호가 없는 불완전한 원의 형태를 나타내게 된다.

2.7 ��� ��ٳX� �� ��� )����X� t�|� ������� M �� �\� xԬ��� ��X� ��

고이심근점각 E에 대한 타원 방정식은 r=a(1- e cos E) 이므 로

=— cos E+C=-2 jJI t Jk'( ke)cos kM 이 되고, cos E의 평균값이 c= 응이므로 cos E= －충 +2 훔*J /(ke)cos kM 이 된다. 따라서, ~=1— e cos E=l+f -2e 홈也 '(ke)cos kM 의 형태로 나타낼 수 있다. 마지막으로 sin E= 一1e (E_M) =—2e k2°=° l —k1 ]k( ke)sin kM 이 된다. 2.8 o0 _R0 2.8. 1 I 와 g의 급수전개 이 절에서는 위성의 궤도에서 위치와 시간 사이의 몇 가지 관 계에 대해 알아보자. 일반적으로 위성의 운동 방정식은 #=_ G(mrf m 2) r=-u7 2-78 의 형태로 나타나고, 여기서

u= G(m1r +3 m2) 으로 정의된다. 또한, 궤도를 따라 운동하는 위성의 위치 벡터는 시간의 함수 로 나타나므로 t =O 일 때의 위치를 丙라 하고, 임의의 시간 t에 서의 위치를 7 이라 하면, 위성의 위치 7 은 r + r-;+ r-;t +강希t 2 」 r-; (3)t 3+ 2-79 의 형태로 급수전개해 나타낼 수있다. t =O 인 경우에 위성의 운동 방정식은 r-;= -Uor-; 의 형태로 표시되므로, 식 2-79 를 미분하면 껑 3)= _ a 。r~― Uor-; 럼 4)= (-ii。+과) 芬 _2a 。范 r~(5 )= (_ u&3)+4Uoa 。) r~-(3 ii。_ u 젊 r-; 2-80 의 식들을 얻을 수 있다. 위 식들에서 # 이상의 항을 제거하면 r=J r- ;+g r ~ 2-81 로 표시되는데, 여기서 I 와 g는 각각 f =l-½uo t 2- 강 a 。t 3_ 감 (u 。_과) t4… g=t-강 Uo t 3_ 꿉 a 。t仁갑 (3u 。 -u 젊 ts· ••

으로 정의된다. 이제 I 와 g에서 U 이상의 항을 제거하기 위해 P 와 q룰 다음 과 같이 정의하자. ?,2 p = TI d(d 군t ) 2-82 r%=T1 d2d( t군2 ) 2-8 3 따라서, p, q는 각각 p=판= 7?? 2-84 q=: V2r- 2r 2u 2-85 의 형태로 나타낼 수 있으며, 이들의 시간에 대한 미분 역시 a= ―표r4 소d-t =-_ 표r4上 2- r d(d 규t ) 2-86 ?= 21r2 d2d( t군2 ) _上r3 d(d 규t ) 뿌dt 2-87 q = 」 T d2);:) 훔+수 말3 2) 2-88 과 같이 얻을 수 있다. 여기에 식 2-82 와 식 2-83 을 이용하면 u=-3uP 2-89 ?=q_ 2p 2 2-90 q= -(u p +Z p q) 2-91 가된다. 또한, u= —3( up + up ) 2-92

이므로, 여기에 식 2-86 과 식 2-87 을 대입하면 a=— 3 [u(q— 2P2)-3up2 ] 2-93 의 형태로 표시되고, 이룰 이용하면 f와 g의 값을 /=l-½uo t 2+½UoPo t도갑 (3uo q。 -l5uoP~+ u~) t4+ … 2-94 g= t -tl uo t 3+ tl uoPo t 4+ 國l (9uo q。 -45uoP~+ u~) t5+ … 2-95 으로 나타낼 수 있다. 만약, ro 과 f o 를 안다면 식 2-84 와 식 2-85 로부터 Po 와 q o 를 계산한 후, 식 2-91 과 식 2-92 에 의해 다음과 같이 위치 벡터를 얻을 수 있다. r=/r-;+g ~ 2-96 이 식에서 초기값인 r~와 r-;가 일정하므로 식 2-96 을 시간에 대 해 미분하면 그 순간에서의 위성의 속도 벡터 역시 I 와 g를 이 용하여 #=jr-;+gr-; 2-97 의 형태로서 나타낼 수 있다. 2. 8. 2 f와 g 급수전개의 해석적 표현 이 절에서는 앞에서 설명한 I 와 g 급수전개를 궤도 평면 좌표 계 (orbit pla ne coordin a te sys t e m ) 에 대 해 적 용해 보기 로 하자. 궤도 평면 좌표계는 인공위성이 운동하는 궤도면을 기준면으로 하여 나타낸 것으로 근지점 방향을 Xw, 근지점과 수직한 방향을

Yw, 궤도면과 수직한 방향을 %로 잡아 준 일종의 직각 좌표계 이다. 이 좌표계에서는 각 축 방향의 단위 벡터를 P, Q, w 로 정의하며, 다른 좌표계에 비해 계산울 하는데 큰 이점이 있고, 궤도 요소의 사용이 없이도 직접적인 방향의 표시가 가능하기 때 문에 현재 인공위성 궤도의 표시에 많이 사용된다. 이제 식 2-96 을 궤도 평면 좌표계에 대해서 다시 쓰면 위성의 위치 벡터는 rw =frwo + g fwo 2-98 의 형태로 표시할 수 있으며, 여기에 t WO 를 벡터곱하면 rw X fwo =frw o X 亢 WO 2-99 가 된다. 이때, YwoX fwo - 2 위성의 각운동량이므로 hW 로 대 치 하여 쓰면 식 2-99 는 YwX fw o=J hW =f /µp W 2-1 0 0 의 형태로 다시 나타낼 수 있다. 이것을 각각의 성분에 대해서 간단히 하면 (XwYwo-YwXwo) W=f. /µp W 의 관계가 성립하므로 f는 /=g ~ 2-101 의 형태로 표시된다. 마찬가지로 계수 g도 식 2 - 98 에 rwo 를 벡 터곱하면 아래와 같은 형태로 나타낼 수 있다. g=a ~ 2-102 궤도 평면 좌표계에서 임의의 시각에서의 위치 7 은 그림 2-3 과

같이 Xw 와 Yw 의 성분으로 분해할 수 있다. 죽, Xw= r COS !)=a (cos E— e) Yw = r sin !)= a .fi二 sin E 의 형태로 표시되고, 이를 시간에 대해 미분하면 仁=― a £sin E 2-103 Yw = aE /i 亡 군 cos E 2-104 가 된다. 이때, E=~r /v 교a 의 관계가 성립하므로 江와 y요는 iw =- #r~ sin £ 2-105 y w = 무r cosE 2-106 의 형태로 보다 간단히 나타낼 수 있다. 이제 위의 결과를 식 2 - 101 과 식 2-102 에 대 입 하면 I 와 g는 f= a(cos E ― e) 隔 cors oEM 。 + a 扇 s i n Esin E 。 2-107 g= a2 JI구 (cos E 。 -e)s i n E扇-a2 /i구 (cos E-e)sin E 。 2-108 의 형태로 표시되고, 이것은 다시 f= 1— ~[ 1-cos (E-E 。)] 2-109 r。 g= r_ JG (ma3l1+2 m2) [(E_E 。) _s i n(E-E 。)] 2-110

로 간단히 표시된다. 따라서, 초기의 위치와 속도만 알면 I 와 g 값을 구할 수 있고, 임의의 시간에서의 위치 벡터 7 역시 결정 할수 있다. 이와 유사한 방법으로 임의의 시간의 속도 벡터 戶도 쉽게 결 정할 수 있다. 앞 철에서 설명한 바와 같이 미래(또는 과거)의 임의의 위치 벡터는 r=f r o+g r -; 2- 11 1 의 형태로 표시할 수 있고, 속도 벡터는 t=j?컹+g r-; 2-1 1 2 로 나타낼 수 있다. 여기서, j= ✓ G(ml+m2)a s i n(E-E 。) 2- 11 3 rr 。 g =7[cos(E-E 。) _ Ce cos(E-E 。) +Se s i n(E-E 。) ] 2-114 Se=e sin Eo, Ce=e cos E 。 의 관계가 성립하며, 이 관계를 통해 결국 속도 벡터 역시 결정 할수있다. 2. 8. 3 2 체 운동의 계산 알고리즘 앞에서 알아본 것과 갇이 I 와 g 급수 전개를 사용하면 기준점 의 위치와 속도를 알 때 임의의 시간에서의 속도와 위치를 산출 할 수 있다. 이 절에서는 이러한 계산 과정을 알아보기로 하자. 가장 먼저 해야 할 일은 다음의 식들로부터 기본적인 물리량들 울 얻는 것이다.

ri= r 。· r 。 2-115 D 。 7{ 。•T 戶。 2-116 VµJ 소ro ·µ 一r· 。 2-117 上a _rl 。 ___모µi 2-118 e2=(1 ― ?)2 나 D~ 2-119 P=r 。 (2_ 톱)― D~ 2-120 2 q― 2r 。 -D~ 2-121 여기서, µ=GmE B, Vo 는 초기 속도, a 는 궤도의 장반경, e 는 궤 도의 이심률을 의미하며, Do, P, q는 계산울 편리하게 하기 위 한 매개 변수들을 의미한다. 위성의 궤도가 타원인 경우는 CSee==ee c soisn E Eaa==l—{ - 느a 22--112223 D 。 라는 변수를 정의할 수 있으며, 여기서 E 는 이심근점각을 의미 한다. 또한, 미래에 위성이 나타날 시각은 M-Mo= U 감) k/µIa312 2-124 M —M o=2g - Cesin g c osg + Sesin 2 g • 2-125 의 형태로 나타낼 수 있으며, M 은 평균근점각, g =(E-E 사 /2 를 의미한다. 여기서 케풀러의 방정식을 g에 대해서 뉴턴의 근 사 방식으로 계산하면, 미래의 어느 시각에서의 위성의 위치와

속도를 구해낼 수 있다. 죽, gn +1=g n _ gn +lS+e2 sSine 2 S gi nn -gCn CeO sSi ng , gl 一n cGos( 1gn— 三2 了s1 i n( 2 Mgn_ ) M 。) 2-126 n=l, 2, 3, … 의 관계식에서 gn +1- gn ~€ 의 범위를 만족할 때까지 반복 계산하 여 나온 g의 값을 가지고 다음의 계산 과정을 수행해 가는 것이 . 다. C=a[l-cos(E-E 사 ] 2-127 S= /fa= s1 i n-—(rE 。 -E 。) 22--112298 C g= *(roS+DoC) 2-130 r=ro+(1- 문 )C+DoS 2-131 J=-rr그。 s 2~1 3 2 g= l-~Cr 2-133 위의 식들을 통해 f, g, j, g 등의 값을 얻을 수 있고, 이 값 둘을 식 2-111 과 식 2-112 에 대입해 줌으로써 우리가 구하고자 하는 시각 t에서의 위치 벡터 7 과 속도 벡터 戶롤 결정해 낼 수 있다.

2.8.4 위성의 출몰 시각 인공위성의 제어 또는 송수신에 있어서 이미 궤도를 알고 있는 위성이 특정 지역에 출몰하는 시각을 알아내는 작업은 매우 중요 하다. 만약, 위성에 대한 궤도 요소와 추적 안테나의 지구상의 위치, 추적할 수 있는 위성에 대한 최소의 고도각 등이 주어진다 면, 이심근점각으로 된 위성의 출몰 시각을 산출해 낼 수 있다. 과거에 는 직접 미분 방정식을 푸는 축차 수치적분법으로 위성의 출몰 시각을 산출해 내었으나, 현재는 방정식을 직접 풀 수 있기 때문에 축차 수치적분법보다 25 배 정도 빠르게 출몰 시각을 산출 해낼 수 있다. 이 절에서는 위성의 출몰 시각을 결정하는 방법에 대하여 생각 해 보기로 하자. 그림 2-12 와 같은 관측p-자~r· Z -중= 심s i n좌 h표 계에서 위성의 고도는 2-134 의 형태로 나타낼 수 있다. 여기서 5 는 관측자에서 위성까지의 시선 거리 벡터, Z 는 측지 천정 방향의 단위 벡터를 의미한다. 또한, 그립 2-13 과 같은 적도 좌표계에서 단위 벡터 Z 의 성 분은 일반적으로 Zx=cos 8 cos ¢> Zy = sin 8 cos 8 Zz=sin ¢> 2-135 가 되며, 여기서 O 는 시간각, ¢는 측지 위도를 의미한다.

+zh

이제 위성이 지구 중심으로부터 r 만큼 떨어전 곳에서 원 궤도 를 운동하고 있다고 가정하면, 위성의 위치는 관측자, 위성, 역 학적 중심 사이의 관계를 이용하여 fi= r +R 2-136 의 형태로 나타낼 수 있다. 여기서 7 은 지구 중심에서 본 궤도 의 반경 벡터이고 R 은 관측자의 좌표 벡터이다. 이것을 식 2 - 134 에 대입하면 ( r + R) • 2 = p sin h 2-137 의 관계가 성립하며, 이때 R 은 X = -G 1 cos ¢ cos 0 Y = -G 1 cos ¢ sin 0 Z=-Gi si n ¢ 2-138 의 성분으로 분리되어 나타낼 수 있고, 계수 Gb G 는 각각 동 서선 곡률 반경, 추적 안테나에서 적도면까지의 곡률 반경을 나 타내는데, G✓ 11- (2f —=f)s~i n 2 ¢ 2-139 CnJ1= -(~2 f -= F)Gsin2 1 ¢ (l-/)2 2-140 의 형태로 표시된다. 이 식에서 REB 는 지구의 적도 반경, f는 Bessel 타원체의 편평률을 의미한다. 이들 관계를 식 2-137 에 대 입하여 정리하면 p sin h= (x-G1 cos 8 cos ¢) cos 8 cos ¢ + (y- G1 sin 8 cos ¢)sin 8 cos ¢

+ (z-C i sin ) sin 2-141 또는 x cos 0 cos

2.8.5 우주 속도 최근에 들어서 제 1, 제 2, 제 3 우쿠느 속도라는 말이 우주과학 관련 용어로 많이 사용된다. 이들은 인공위성이나 우주선의 발사 시에 이들의 궤도를 결정해 주는 주요한 세 가지 속도를 나타내 며, 발사 목적에 따라 적당한 속도가 선택된다. 제 1 우주 속도라는 개념은 지구 주위를 원 궤도를 따라 움직이 는 인공위성의 속도 Vi=P.곤 ;2 의미한다. 예를 들면, 지상 300 km 고도에서 원 궤도 속도는 Vi= 7.73 km/s 이므로 이것이 이 지점에서의 제 l 우주 속도가 된다. 제 2 우주 속도는 지구 인력권 탈출 속도라고도 불리며, 포물선 궤도 속도인 距{西門굽을 의미한다. 예를 들면 지상 300 km 고도에서 탈출 속도는 비행 방향에 관계없이 ½=10.93km/s 가 되며, 이 속도가 그 지점에서의 제 2 우주 속도로 정의된다. 이 돌 제 1, 재 2 우주 속도는 지구의 인력울 고려한 개념이다. 반 면에 제 3 우주 속도는 지구 인력권을 탈출한 후, 우주선의 속도 가 지구의 공전 속도와 합해져서 태양의 인력권을 벗어날 수 있 게 될 때 지구에서 가해 준 출발 속도를 말한다. 포물선 궤도의 경우에 있어서는 지구 인력권을 벗어난 후 속도가 0 이 되므로 제 3 우주 속도는 쌍곡선 궤도 속도가 되어야 한다. 그러나 실제로 는 지구가 태양 주위를 29.78km/s 의 속도로 공전하고 있으므로 우리는 태양계 탈출 속도에서 지구의 공전 속도를 빼준 29.28 km/sx (訖 -1) =12.34 km/s= V. . 만큼의 속도만을 가해 주면 태양계 탈출을 가능하게 할 수 있다.

제 3 의 우주 속도를 l/2= Vi +LlV 라 하면 에너지 보존 법칙으 로부터 ｝따 +4V)2_ G1??i = 2?門 : ） 국 v~ 이 성립되고, 이 경우 〔仁 G1;t e 이므로 2 祐 L1V+ (LlV)2= V~ 으로 간단히 정리할 수 있다. 지구 상공 300km 에서의 제 3 우주 속도는 2X10.93XL1V+ (LlV)2=12.342 이므로, 4V 에 대한 2 차 방정식을 풀어주면 L1V=-l0.93+J (10 . 93) 도 (12 .34 )2 =5.55 (km/s) 라는 값을 얻을 수 있다. 따라서, 이 경우 제 3 의 우주 속도는 ½=10 .93+5. 55=16.48 (km/s) 가 된다. 다시 말하면 지구 상공 300 km 에서 쌍곡선 궤도의 점 근선 방향이 지구의 공전 방향이 되게 16.48 km/s 로 발사된 우 주선은 약 1 일 후 지구 인력권을 벗어나고, 또 수백만 년 후 태 양 인력권을 벗어나 다른 천체로 비행하게 되는 것이다. 참고로 포물선 궤도의 탈출 속도 10.93km/s 로 지구 인력권을 탈출한 후에는 속도가 0 이 되지만, 쌍곡선 궤도의 속도 16.48 km/s 는 지구 인력권을 탈출한 후에도 Vco=12.34 km/s 의 속도가 남아 있게 되어 지구 인력권에 의한 속도 손실이 작다.

2. 8. 6 행성간 우주선 행성간 우주선의 항행 궤도는 4 체 문제의 운동 방정식을 수치 적분하여 풀어야 하지만, 이 절에서는 간단히 예를 보이기 위해 2 체 문제로 한정하여 항행 궤도를 설명하여 보겠다. 고전적인 Hohmann 궤도를 따라 다른 행성으로 항행하는 경우 에 우주선의 출발과 도착 지점은 타원의 근일점과 원일점이 된 다. 이러한 궤도는 여러 가지 천이 궤도 중 최소 에너지 궤도가 되지만, 반면에 항행 시간은 가장 길어지게 된다. 행성간 탐사의 경우에는 우주선의 운동이 크게 지구 중력권 탈 출, 태양 인력권에서의 천이 궤도 운행, 행성 인력권 전입의 세 부분으로 나누어진다. 우주선이 지구 궤도를 탈출할 때 우주선은 지구에 대해서 포물선 혹은 쌍곡선 탈출 궤도를 갖게 되며, 이 경우 지구 인력 작용권 구의 반경이 약 100 만 km 이므로, 이곳에 도착할 때의 우주선의 속도 (VOO) 와 지구의 공전 속도와의 벡터합 이 행성간 우주선의 항행 속도가 된다. 일반적으로 지구 상공 h=300km 의 주차 궤도에서 우주선의 속도는 Vp ark={ ：三 =V 霜~ =7.73(km/s) 가 되고, 지구R에so 1 대= 한re( 二인)력응 작=용 l.권 4의96 X반 1경0은8 (~t 2 늑 106km 의 형태로 얻어낼 수 있다.

이해를 돕기 위해 화성행 우주선의 최소 에너지 궤도를 예로 들어 생각해 보자. 위에서 밝힌 바와 같이 행성간 우주선의 최소 에너지 궤도는 지구에서 근일점이 되고, 화성에서 원일점이 되는 타원 궤도가 되어야 한다. 따라서, 그러한 궤도를 가정하면, 이 궤도의 장반경은 a1=(re+rm)/2=2.5237/2=1 . 26185(AU) 의 값 울 갖게 되고, 태양계 중력권 내에서 우주선이 지구로부터 출 발 하는 속도는 이 타원 궤도의 근일점에서의 속도와 같으므로 VP= ✓ Gm~ 信 ―f) =32.73 km/s 가 된다. 이 경우 지구의 공전 속도가 Ve =29 . 78km/s 이므로 지 구 인력권 탈출 후 속도 V. . = Vp -V e=2.95 km/s 가 더해져야 한 다. 지구 상공의 주차 궤도로부터 화성까지의 우주선의 항행 시 간은 케플러의 제 3 법칙에 따라 t 3 기 1 =1r~=259 일이 소요 된다. 앞에서 설명한 바와 같이 우주선이 지구의 인력권을 벗어나 화 성에 도착하기 위해서는 이 우주선이 쌍곡선 궤도를 따라 움직여 나가야 한다. 이 경우 우주선이 지구의 인력권을 탈출하는 데 필 요한 속도는 VOO= J Gm e /(-a e ) 이므로 이 식으로부터 쌍곡선 궤 도의 장반경은 a9= - 압 = —458 03 km 가 됨을 알 수 있다. 또한, 쌍곡선 궤도의 근지점에 해당하는 주 차 궤도 h=300km 에서의 속도 V 는 위에서 얻은 값들로부터 v= ✓ Gme( Re2+h + （一\;f} =11.32 km/s

가 된다. 이 쌍곡선 궤도에 있어서 궤도 이심률은 e=l+( —~a EB ) = l. 14 58 이 되고, 점근선의 각은 0oo=COS-l (—1) = 150.8° 의 값 을 갖는다. 또, 지구의 인력이 미치는 작용권 구의 반경은 Rso1= (- a m ) (e cash F— 1) 의 식으로부터 얻어지므로, 결국 F=cosh-1 [¥1+ (—~ )]=3.6846 가 되고, 이 값으로부터 쌍곡선 궤도로 지구 인력권을 탈출하는 데 걸리는 시간 t는 t= ~(esin hF — F) =3.44 (일) 이 됨을 알 수 있다. 표 2 - 2 는 행성간 우주선의 최소 에너지 궤도에 대하여 쌍곡선 궤도로― 지구 인력권을 탈출하는 속도, 지구의 인력이 미치는 작 용권구 내에서의 우주선 속도, 태양계 중력권에서 지구 공전 속 도와 합한 초기 우주선 속도, 그리고 행성까지의 편도 항행 시간 을 보이고 있다. 표 2-2 에 나와 있는 편도 항행 시간에는 쌍곡선 궤도로- 지구 인력권을 탈출하는 데 소요되는 시간과 목표로 하는 행성에 전입하는 시간은 포함되지 않았다. 주차 궤도 h=300km 에서 포물선 궤도로의 탈출 속도는 10.93km/s 이고, 쌍곡선 궤도

표 2-2 행성간 우주선의 최소 에너지 궤도

탈출 속도인 경우에는 포물선 궤도 때보다 약간 크다. 쌍곡선 탈 출 속도를 갖는 항성간 우주선은 지구 인력 작용권 반경인 100 만 km 에서의 속도 VOO 와 지구 공전 속도를 더하여 목표로 하는 행 성으로 항행하게 된다. 지금까지 우리는 행성간 우주선의 궤도에 대해서 생각해 보았 다. 여기서는 화성의 경우에 대해서만 예를 둘었지만 다른 행성 의 경우에 있어서도 이와 비슷한 형태의 궤도를 갖게 된다. 하지 만, 모든 행성에 대해서 이것이 다 똑같은 것은 아니고, 행성의 위치가 지구 궤도의 어느 쪽에 존재하느냐에 따라서 그 방향이 조금씩 달라지게 되는데 내행성간 우주선은 지구의 공전 방향과 반대 방향으로 쌍곡선 점근선 방향을 가지게 하여 합성 우주선 속도를 줄여야 하고, 의행성간 우주선은 지구의 공전 방향과 같 은 방향으로 점근선의 방향을 가지게 하여 합성 우주선 속도를 지구 공전 속도보다 크게 해주어야 한다.

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제 3 장 3 체 문제 와 N 체 문제 3.1 제한 3 체 문제 우리는 앞 장에서 2 개의 물체가 그들의 질량 중심 주위를 회전 운동하는 경우에 대해 살펴보았다. 2 체계의 경우 초기의 위치와 속도가 주어지면, 그 계의 운동 방정식을 풀이함으로써 임의의 시간에서의 그 물체의 운동을 예측할 수 있었다. 그러나 어떤 물 체의 운동에 관여하는 천체의 개수가 증가함에 따라 그 운동의 양상은 점점 복잡해지게 되어 3 개 또는 그 이상의 질점(천체)이 만유인력의 지배를 받고 있을 경우는 이들의 운동에 대한 일반 해를 얻을 수 없다. 하지만, 3 체 이상의 천체가 존재하는 경우에 도 질량 중심에 대한 등속 직선 운동의 적분 (6 개의 상수를 포함한 다)과 각운동량의 3 개의 성분, 에너지 적분(상수 1 개)은 반드시 존재하여 적분상수의 총수는 6+3+1=10 개가 된다. 앞에서 언급했듯이 3 체일 경우는 운동 방정식의 일반 해를 구 해낼 수 없으며, 오직 정삼각형 해와 칙선 해라 불리는 특수 해 들만이 존재한다. 이 중 정삼각형 해는 3 체가 정삼각형의 꼭지점

에 위치하여 전체가 질량 중심의 주위를 정삼각형의 평면 상에서 공전하는 경우를 말하며, 직선 해란 3 체가 일직선상의 특정한 거 리에 위치하여 이 계 전체가 질량 중심 주위를 공전하는 것을 말 한다. 그러나 이들 특수 해는 m1 과 ??Z2 가 유한의 질량을 가지고 있 고, m3 는 무시될 수 있을 정도로 작은 질량을 갖는 경우 이의에 는 모두 불안정한 성질을 나타낸다. 이처럼 m1, m2 로 이루어진 회전 좌표계에서 mI, m2 에 비해 무시할 수 있을 정도로 작은 m3 의 운동을 나타낸 것을 제한 3 체 문제라 한다. 이 절에서는 이와 같이 특수한 형태를 갖는 3 체계의 운동에 대해서 살펴보기 로하겠다. 3.1.1 원 궤도인 경우 한 질점 m3 가 다른 두 질점 m1, m2 에 비해 무시할 수 있을 만큼 작은 질량을 갖고 있다고 할 때, m3 의 관성 좌표계에서의 운동 방정식을 퍼텐셜의 함수 U 를 사용하여 기술하면 다음과 같이 나타난다. §=불 1.J. = aau1J t=a뿌g 3-1 여기서 U= 오쁘+요쁘녀 형태로 주어지고, r1 과 r2 는 m1 과 r1 r2 m2 로부터 m3 까지의 거리를 말한다.

하지만 이러한 관성 좌표계는 mI, m2 의 둘레를 회전하는 m3 의 운동을 나타내는 데 있어서 많은 불편함을 가지고 있으며, 방 정식의 형태를 단순화시켜 주기 위해서는 이 계와 함께 움직이는 새로운 좌표 체계의 도입이 필요하다. 이것을 위해 먼저 mb m2 의 운동이 질량 중심에 대해 그 주위를 원을 그리며 돈다고 가정하고, 그 질량 중심을 원점으로 하고 m1, m2 와 함께 일정 한 각속도 11 으로 공전하는 새로운 회전 좌표계 (x, y, z) 를 생 각하자. 이 경우 mI, m2 는 항상 x 축상에 있으며, 회전축이 z 축 (g축과 일치)이라고 하면 관성 좌표계와 회전 좌표계 사이의 변 환 관계식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. (x:) = ( _cos 二。 csoin s。 nntt 0J\0 (IEg11)\ n \' 3-2 __ 여기서 n=21r/P 이고, P 는 주기를 의미한다. 일반적으로 회전하는 계에서의 물체의 운동 방정식은 f+ 2nkx t+ nkx (nkx r)= 뿔 의 모습으로, 관성계의 경우에 비해 코리올리의 힘과 원심력의 영향이 첨가되어 나타난다. 이 관계식과 식 3-2 를 이용하여 관성 좌표계의 운동 방정식을 회전 좌표계에서의 운동 방정식으로 바 꾸어 줄 수 있다. x-2ny —n2x .= 一aaux_ y +2n i―같y=aa―uy 3-3

z.. = aauz 여기서 위의 세 식에 각각 x, y, 之울 곱하고, 그런 다음 세 식을 모두 더해서 시간 t에 대해서 적분하면 다음과 갇이 유용 한 식을 얻을 수 있다. }(X2 군군 )=½n2(x2 군)+ G:? +은 ~-c 3-4 이 것울 자코비 적 분 (Ja cobia n int e g ral ) 이 라 부르고, 여 기 서 C 는 에너지 적분상수에 해당한다. 식 3-4 는 회전 좌표계에서의 속도 v 롤 사용하여 다시 上2 #=보2 (x2 군) +요rl짝 +요r座2 _ C 3-5 의 형태로도 나타낼 수 있다. 이제 위에서 구한 자코비 적분을 쌍성계의 경우에 적용시켜 보 자. 먼저 질량 중심을 원점으로 잡았던 것을 주성인 m1 으로 좌 표계의 원점을 옮겨서 기술해 보도록 하자. 이런 좌표계에서의 자코비 적분은 다음과 같은 형태로 표시된다. 강#=-f [(x ― ~Y+ y 2]+ 亨L + 릉도 c 3-6 위의 식에서 m?:2 2 t 원점을 질량 중심에서 주성으로 이동시 킴으로 인해 생긴 항이고, a 는 궤도의 장반경이다. 식 3-6 을 전 개하면 靜=京 x2-~ 군)+亨 L+ 톤 -C 3-7

가 되며, 이때 ( m?:z 2)2 의 항이 생기지만 이것은 상수값이므 로 물리적으로 별 의미가 없어서 소거할 수 있다. 이 방법 의에도 자코비 적분은 다음과 같은 형태로도 나타낼 수 있다 (Szebehel y 1967). ½ v2= Gm1( 홀+-¾;) + cm2( 틀+〉) ＿올 (m1 十 加) 검― C 3-8 식 3_8 에서 G=l , a=l, m1+m2=l 로 놓고, r1 과 r2 가 x— y 평면 상에 있다고 가정하면 ½v2= (l-m2 ) （구나) + m2( 구+-¼)- c 3-8' 처럼 간단한 형태의 식을 얻어낼 수 있다. 이 경우 자코비 적분 은 오직 r1, r2 만의 함수가 되므로, 식 3-5 보다 m3 운동을 기술 하는 데 매우 편리하다. 3.l.2 타원 궤도의 경우 원운동이 아닌 경우에서 제한 3 체 문제는 훨씬 더 복잡해지기 때문에 지금까지 원 운동의 경우보다 연구가 활발하게 이루어지 지 않았다. 비원운동에서 제한 3 체 문제가 이렇게 복잡하게 나타 나는 데는 크게 두 가지 원인이 있다. 바로 m1, m2 의 운동이 더 복잡하고 자코비 적분이 사라지기 때문이다. 그러나 문제해결 의 방법이 전혀 없는 것은 아니며, 〈회전-전동 좌표계〉를 도입함 으로써 간단하게 계의 운동을 표시 할 수 있다• 회전-전동 좌표계는 다음과 같은 몇 가지 성질들을 가지고 있

z

다 (Marchal 1990) . a) OXY 평면은 2 개의 mI, m2 들의 궤도면이 된다. b) 어떤 임의의 시간에서도 단위 길이는 2 개의 mI' ”& 사이의 거 리가 된다. 따라서 단위 길이는 변하는 양이 된다 . c) mi . m2½ 은 고정된 횡축을 가지며, 이 축 위에서 고정된 위치 롤 가지는 X 축 위에 자리하고 있다. d) 일반적으로 원점은 m1 과 m2 의 질량 중심이나 mI, m2 중 어느 하나가 되지만, 다론 점이 될 수도·있다. 예를 들어 동일 축상에 있는 라그랑지 점들 중 하나가 이 좌표계의 원점이 될 수도 있다. e) 계를 기술하는 매개 변수는 시간이 아니고 궤도를 따라서 변화 하는 mI, m 려 진근접각 f가 된다. 따라서, 도함수들은 모두 전 근접각에 대한 미분들로 나타난다. f) si과 S2는 이 좌표계에서 mI, m2 에 대한 m3 의 위치 벡터를 나

타낸다. 이 벡터들은 fi= (\XI), S2=(\X2) 와 같이 세 성분으로 나눌 수 있으며, 여기서 x2=l+X1 , s1= ~Y1 2 • ' S2- = 끄1'1 넷2 의미하고 X1 과 X 2 는 고정되어 있다. 앞에서 살펴본 것과 같은 회전껏 1 동 좌표계에서 질점 m3 의 운 동 방정식을 전근점각의 독립변수로 표시하면 다음과 같다 (Marchal 1990) . 巧:) = (::':) = m1 麟\ : :2:2es!:\ _J/;i3) + ( :—::,) 3-9 여기서 e 는 m1 과 m2 의 궤도 이심률이고, '=d/dv 울 표시한다. 이 식에서 보면, 만약 e 가 0 이 되면 원 운동 제한 3 체 문제에서 의 운동 방정식과 같은 형태가 됨을 알 수 있다. 식 3-9 는 다음과 같은 해밀토니안 형태로도 표현할 수 있다. 汀 . =(:〉 5=(::> (::::) H= 강 [(x3- py)나 (y 3+ p김나꿇+p깁 m1(( 장m1++¾m2)) (+1 m+2e( 룬cos나 기) 3-10

여기서, 위에 사용된 각 변수들은 S1 = [ (x3 -X1) 2 + yj 녀]}, S2 = [ (X3 궁) 2 + yJ + 좌] } H=H(p, q, ))) 브d호)) =깝apL ' 4dE)) =- 인aq 과 감은 값을 갖는다. 식 3-10 은 질접 m3 의 복잡한 운동을 다루는 데 있어서 매우 유용하게 사용되며, 다음의 몇 가지 기본적인 성질들을 가지고 있다. 1) 궤도 이심률이 0 인 경우에 위의 해밀토니안 계는 간단하게 표현 된다. 죽, 이 경우 짚'afv. . =o 이므로 H 는 u 에 따라 일정한 값을 가 지며, 그렇게 되면 자코비 운동 적분 I'는 ― 2H 와 같아지게 된다. 2) 이 제한 3 체 문제의 해밀토니안 공식은 일반 해밀토니안 공식과 많은 유사점을 가지고 있다. 그러나 일반 해밀토니안 공식은 제 한 3 체에 응용되지 않으며, 매개 변수 E 가 모두 같은 모양으로 0 이 되고 aH/a Pi가 정의되어 있지 않다. 원 운동이 아닌 제한 3 체 문제의 주요 문제점은 자코비 운동적 분이 없어진다는 것이지만, 다행히도 이 적분에 관계된 정량적인 결과들이 보존될 수는 있다. 원 운동 제한 3 체 문제에서의 자코 비 적분은 식 3-5 로부터 에너지 적분상수 C 에다 -2- !-m1m2 를 더하 여 새로운 적분상수 I'를 얻음으로써 구해낼 수 있다. 이때, c 는 질량 중심에서 m3 까지의 거리와· r13, r23 와의 함수이지만, r 는 식 3-11 에서 보듯이 r13, r23 만의 함수로 표시된다 (Szebehel y 1967).

I'= m1(¾+ rl3)+ m2(¾+ Yi3 ) ― z: 구= C+½m 團 3-11 반면에 원 운동이 아닌 제한 3 체 문제의 자코비 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다. r= mIm+1m2(i +s f) + ~-;-+s1) —(1 +e cos 11) （ zl+x?+ y 32+ 검) 3-12 여기서 식 3-12 를 II 에 대해 미분하면 u 를 포함하지 않는 항들은 없어져서 —ddIv' =e sin v( zi +x?+Ya2+ 강) 3-13 과 같은 관계가 얻어전다. e=O 인 경우에는 v=n t이므로 식 3-12 은 I'= mIm+1m2 다 +sr)+ 二노 (¾+sl)_ （격+ 셔+ yg+ 처) 3-14 처럼 식 3-11 과 같은 형태로 표시되는데, 이것이 여기서 자코비 적분의 역할을 한다. 반면에 이심률이 타원에 해당하는 경우에는 I'는 일정한 값을 가지지 않게 되며, I'의 도함수의 변화에 대한 부호는 s i n/ 에 따라 결정된다. 위 식에서 11=Zk1r(k 는 정수)일 때는 최소값을 가지고, v=(2k+l)1r 일 때 I'는 최대값을 가진 다. 일반적으로 mI, m2 의 거리가 매우 가까우면 보통 血의 탈 출을 기대할 수 있다. 계가 불안정하지만 이런 계에 대한 수치 계산은 원 운동 제한 3 체 문제에서의 안정성에 대해 m3 의 안정 성은 거의 차이가 나지 않음을 나타내고 있다.

3.1.3 영 속도 곡선 계를 최대한 간단하게 만들기 위해 m1 과 m2 의 각 물리량들에 대해 다음과 같이 가정하기로 하자. G=l, m,+m2=l , m2=µ, m1=l— µ, a=l, n=l 여기서 a 는 mI, m2 사이의 거리, 죽 원 궤도의 반경이며 n= 21r/P 를 나타낸다. 이렇게 단순화한 계에서 자코비 적분은 식 3-5 로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다. v2= (x2+y 2 ) +~r1 +뚜r2- ― C 3- 15 이 식에서 rl= ✓ (x ―xJ2+7, r2=/(x-x2)2+ y 2 를 의미하며, 이 경우 x2+ y 2+2U-C=O 으로 놓거나 또는 v=O 으로 놓으면 영 속도 곡선을 찾을 수 있다. 그러면 식 3-15 는 갔+y 2✓ (+x-xl)~2+ y 2+ ✓ (~x ― X2=)2+ y C2 3-16 의 형태로 다시 나타낼 수 있고, 이 식의 해를 구함으로써 바로 영 속도 곡선을 얻을 수 있게 된다. 참고로 2 체 문제에서 에너지 적분식은 뇨2 2_ 요Mr_ _ =E 로 표시되는데, 이때 속도 v 가 0 이 되면 영 속도 곡선, 죽 등퍼 텐셜 곡선은 그림 3-2 와 같이 둥근 원의 형태로 나타난다.

/

이제 위에서 살펴본 영 속도 곡선을 3 체 문제에 적용해 보기로 하자. 제한 3 체 문제의 경우에서 영 속도 곡선의 형태는 C 값의 크기에 따라 그 모습이 달라지게 된다. 먼저 C 가 매우 클 경우에 대해서 살펴보자. C 가 매우 커지기 위해서는 식 3-16 에서 x, y가 매우 크거나, 또는 r1, r2 가 매우 작아지면 된다. 이렇게 되는 경우에 C 를 G 로 정의한다. 둘째, 여기서 C 값을 접점 감소시켜 나가면 (1-µ) 와 µ 주위 롤 둘러싸고 있는 타원체는 접점 팽창해 가고, 반면에 바깥의 타 원체는 그림의 중심을 향해 이동해 가게 된다. 그 결과 (1—µ) 와 µ주위를 둘러싸고 있는 타원체가 한 점에서 만나게 되는데, 그 때의 C 를 C1 으로 정의하며, 이때 타원체가 만나는 점을 LI 으로 표시하고, 내부 라그랑지점이라고 부른다. 셋째, C 가 점점 더 감소하면 결국 L 검은 없어지고, 두 개의 타원체가 붙어서 점점 커지다가 한쪽 타원체가 의부의 대원과 만 나게 되는데 이 만나는 점을 L 로 나타내고 의부 라그랑지점이 라고 부른다. 이때의 C 값은 G 로 정의된다. 만약, 어떤 물체가 내부의 타원체 안에서 L로 접근하면 점점 속도가 줄어들다가 L 2 를 지나는 순간 속도는 순간적으로 0 이 되고, 대원을 빠져나오 면 점점 속도가 증가하게 되어 이론적으로 거리도 무한대, 속도 도 무한대가 된다. 이런 설명은 쉽게 이해하기 힘들며, 실제 우 주에서는 대원 밖의 물리 현상은 잘 적용되지 않는다. 그 이유는 우주는 3 체만으로 이루어져 있지 않으며, 따라서 의부 천체들에 의한 섭동을 받기 때문에 실제로는 이 이론이 동일하게 적용되지 않는 것이다. 넷째, 만약 위의 경우에서 계속해서 C 가 작아지면 L점은 사 라져서, 한쪽 타원체는 완전히 열려 버리고 나머지 한쪽도 대원 과 만나게 되는데, 이 지점을 L로 정의하고 이때의 C 는 G로

나타낸다. 다섯째, C 가 계속해서 작아지면 결국은 대원은 사라지고 조그 만 폐곡선만 남아 mI, m2 와 정삼각형의 아래 위 꼭지점을 이루 는 곳에 위치하게 되는데, 이 지점을 L ◄, Ls 로 나타낸다. 이 경 우는 실제 우주의 천체 현상에도 나타나며, 그 대표적 경우가 목 성의 궤도에 위치한 트로이 소행성군이다. 그림에서와 갇이 태양 과 목성의 질량을 mI, m2 로 봤을 때 L4 점과 L 점에 이 소행성 들이 모여 있는 것이다. 지구와 달 궤도에서도 이와 비슷하게 L4 점에 쓰레기 같은 티끌들이 모여 있다. 그리고 1980 년에 발견된 토성의 새로운 위성 하나도 토성 (mI) 과 디오네 (m2) 와 함께 정 삼각형을 이루는 L4 의 자리에 위치하고 있다. 지금까지 영 속도 곡선의 변화를 이용하여 라그랑지 점들의 위 치를 살펴보았다. 이제부터는 Lb L, L, Lb 뇨점들의 위치를 수치적으로 구해보도록 하자. 앞에서 살펴보았듯이 자코비 적분은 식 3-4 에서 上2 （었+합+찼)=요 -C 3-17 요=브 (x2+ y 2) + Gm1 +요쁘 2 m r2 의 형태로 나타나며, 여기서 문제의 단순화를 위해 n=l 이라고 가정을 하면 다음과 갇이 정의된다. 요 =--2! -[(1-µ) rl+µr l]+lm= 白 Lr2 = f (r i, r2) 3-18 요=--!2- [ (1-µ) ( (x+µ)2 군) +µ( (x-1+µ)2+Y2) ]+느rl 끄+上r2 =--2! -[(1-µ) (x2+2xµ+µ2+y 2)

+µ(x 드 (1— µ )x+ (1 ― µ)2 군)]+느r1上 +上r2 =上2 田+y 2) +느m쓰 +上r2 (2 차원) 3-1 9 이 경우에 (1 一µ)러 µ(l -µ)2 의 항은 상수항이 되어 물리적으로 별다른 의미를 갖지 않기 때문에 모두 사라지게 된다. 따라서, 자코비 적분은 아래와 같이 단순하게 나타낼 수 있다. v2=x2+y 2 +1 Jl—r1 µ) +11r2:! __ C 3-20 앞에 보았듯이 위의 식에서 v=O 인 경우 0 속도 곡선을 얻을 수 있다. 이 경우 자코비 적분은 f(x , y) =x2+y 2 +1 i!—r1 µ) +k r2 =c 3-21 와 같이 x, y에 대한 함수의 형태로써 표시할 수 있으며, 라그 랑지점과 같은 안정된 지점을 얻기 위해선 다음의 두 조건을 만 족해야 한다. —88fx =0, —a8fy = O 3-22 따라서, 식 3-21 을 x, y에 대해 편미분하면 쿄ax - =x ― (1_µ) r(f x ?) _ µ(xr—: ~= O 3-23 lafy= y — (1— rfµ )y —쓱r2 =0 3-24 의 관계식을 얻어낼 수 있다. 이 경우 x 축 위에 있는 라그랑지 점들에 대해서는 y =O 로 놓으면 위 식은

x-(W1 -(µx)— (X xI-)x21)3) (Jµ ((xx--xx22)) 2 ) 3 =O 3-25 처럼 간단한 형태로 나타낼 수 있다. 이제 식 3-25 로부터 라그랑 지점들을 구해보기로 하자. i ) 먼저 내부 라그랑지점 L1 점을 구해보도록 하자. L1 점은 m1 과 m2 사이의 어느 한 지점에 위치하므로 초기 조건이 다음과 같 이 주어지며 x1

아보자. L 점은 1112 보다 더 먼 곳에 위치하므로 그 초기 조건은 x>x2 로 주어진다• ?? 22 에서 L 점까지 거리를 r 라고 하면 식 3-25 는 x_ (l 一(µ1)+ ( r1)3+ r) 一 4군= o 3-32 의 형태로 나타낼 수 있으며, 이것을 정리하면 l-µ+r(-l+~r) 2 _-1군 4; = 0 3-33 군( (11-+µ r)) 2r(21+— r3µ++ (r1)— -µ군 ) 2(rl3-+µ2)r 4—+µ ((l1+-µ r)) 2r=4+0 r5 3-34 -군 (l-µ) -µ(1+2r-군 ) =0 3-35 군+ (3— µ) r 나 (3-2µ) r3-µ 군 -2µr-µ=0 3-36 와 같은 최종적인 식을 얻을 수 있다. 식 3-36 의 해는 다음과 같이 급수전개된 형태로 표시된다. r= （꿈)門＋訂)\_祖)홍+… 3-3 7 iii) ½점의 경우 m1 에서 L 까지 거리를 1 一 r 라고 하면 (1- µ)X1+µx2=0 x=-(µ +1) + r 3-38 와 같은 관계를 만족하며, 식 3-25 는 x+ (1-(µl)- r(1)3— r) +• (2三-r) =O 3-39 의 형태로 표시된다. 여기에 식 3-38 의 관계를 대입하여 정리하면 다음과 같은 식들을 얻을 수 있다.

-(µ + l) +r+ 三(1 —+r) 2— ' (上2 —―r) 2 =0 3-40 (l- 2 r- 군 ) (4- 4 r+ 군 ) == 4r4- 一4 6r 군+ +r 25 -r22 — r 34+ r 4 + 군 4 -4r3+ r4 3-41 이 식 들 은 결국 r 드 (7+µ) r4+ (19+6µ) r 드 (24+13µ) 군+ (12 +14µ) r— 7µ =0 3-42 와 갇 이 정리할 수 있으며, 식 3 - 42 의 해는 다음과 같이 나타난다. r=—17 2 µ.r. + •I 210172376 µ.. 3 + … 3-43 iv) 이제 마지막으로 L4, Lr,점을 구해 보자. 이 경우에는 y가 0 이 아니므로 y_요rf 무 ＿ 꼬r: = 0 3-44 또는 1_ (l 규rf L) _ _rE:, = o 3-45 의 관계가 성립한다. 위 식을 만족하는 해는 오직 ri= r2=l 3-46 인 경우로서 제 3 천체는 m1 과 m2 로부터 정삼각형의 꼭지점에 위치 하게 된다. 일반적으로 천체는 2 체나 3 체만으로 이루어져 있지 않으므로 이제까지 다루어 온 이론들은 사실 잘 맞지 않는다. 여기서 생기

는 차이는 뒤에서 다루게 될 섭동론으로 풀어나가게 된다. 그렇 지만 아주 간단한 계일 경우는 제한 3 체 문제로도 풀 수는 있다. 3.1.4 천체물리학에의 응용 앞에서 기술한 영 속도 곡선이 실제로 많이 응용되는 분야가 쌍성의 진화 연구와 모델의 구성이다. L1 이 존재하는 첫째 경우 를 보면 내부의 영 속도 곡선이 바로 천문학에서 말하는 로슈로 브 (Roche lobe) 가 되는 것이다. 그리고 두 개의 질점이 위치하는 곳에 바로 쌍성들이 위치한다고 생각하면 하나의 쌍성계가 성립 된다. 먼저 두 별의 질량이 비슷한 경우는 한 쪽의 별이 조금 더 일 찍 전화를 해서 물질들이 그 주위를 둘러 싼 로슈로브를 채우면 더이상 갈 곳 없는 주성의 물질들이 L1 점을 통해 반대편의 반성 으로 흘러들어간다고 천체물리학자들은 생각을 하고 있다. 위의 단계에서 별들이 더욱 진화하면 L1 점은 없어지고 물질들 은 두 별의 합쳐진 로슈로브를 가득 채워 땅콩 같은 모양이 되어 버린다. 쌍성들이 이 상태가 되면 표피는 하나가 되고, 핵은 2 개 가 되어 양쪽 별의 중심에서 동시에 핵반응이 일어난다. 두 개 의 핵 연소 단계 (2 core burnin g ) 에 서 별들이 진화를 계 속 하면 이제 대원과 로슈로브가 만나 L2 점이 생기게 된다. 이 단 계에 이르면 이 L2 점을 통해 질량 방출이 일어난다. 이 방출된 물질들은 우주 공간으로 퍼져나가는데 쌍성계가 회전하므로 둥글 게 퍼져나가게 되며, 물질들이 다 방출되고 나면 중심은 핵만 남 아 백색왜성이 되고 오랜 시간이 지나면 방출된 물질들이 쌍성 주위를 도넛 모양으로 둘러싼 형태로 퍼져나가게 된다. 지금까지 기술한 모델들이 바로 행성상 성운의 기원과 전화를 설명하는 이

론 중의 하나이며, 행성상 성운의 중심부에서 백색왜성으로 이루 어진 쌍성이 발견된 경우가 있어 위의 이론을 뒷받침하고 있다. 위의 경우는 두 별의 질량이 비슷해서 전화 속도가 그다지 많 은 차이가 나지 않는 경우이지만 한 쪽이 매우 큰 질량을 갖고 있어 전화 속도가 반성에 비해 아주 빨라, 먼저 고밀도의 별로 되어버리는 경우는 이야기가 좀 달라전다. 이제 주성은 아주 빨 리 전화해 백색왜성이나 중성자성, 블랙홀 같은 고밀도의 별이 되고 반성은 현재 거성으로 전화를 해 로슈로브를 가득 채우고 있다고 하자. 거성의 물질들은 더이상 갈곳이 없으므로 반대편 고밀도의 주성으로 L1 점을 통해 흘러들어가 그 주변을 회전하며 가스 원반을 만들고 결국은 주성으로 떨어진다. 이것이 신성과 X 선 별의 기초적 모델이다. 신성은 주성이 백색왜성이며, 옆의 별로부터 물질이 유입되어 Accre ti on 에 의해 백색왜성의 표면에서 중력 에너지가 열 에너 지로 바뀌면서 신성 폭발을 일으킨다. 반면에 X 선 별은 주성이 중성자성 또는 블랙홀 상태이며, 유 입 물질의 운동 에너지가 Accre ti on 에 의해 더 큰 중력 에너지 가 열 에너지로 바뀌면서 X 선이 나온다고 생각된다. 3.2 3 체 문제 3.2.1 운동 방정식 이 절에서는 세 질점 ml, m2, m3 로 이루어져 있는 3 체계에 대해서 생각해 보기로 하자. 만약 이 세 질점이 상대적으로 무시 할 수 없을 만큼 커다란 질량을 가지고 있다면 이 계는 앞 절에

서와 같이 제한 3 체 문제로써 단순화하여 나타낼 수 없다. 이 경우 각 질점에 작용하는 힘은 틀= k2m2_ frl1—2 f+ k2m3 _flr1二3 丙 d;『 = k2m1.. fril—2 f+ k2m3_ fl—r233 쥰 3-47 dd 넛t 2 =k2m1 芹rf ~3 + k2m2 ..fri 검― 丙 의 형태로 표시할 수 있으며, 여기서 丙는 각 질점의 위치 벡터, r;,;는 m i와 mj 사이의 거리, k2=G 의 값을 나타낸다. 일반적으로 3 체 문제에는 모두 18 개의 운동 방정식이 존재한 다. #u 가 3 개, 六 u 가 3 개 해서 6N 개의 방정식이 있는데, 여기 서 N, 죽 질량을 가진 물체의 수가 3 이므로 18 개가 되는 것이 다. 그렇지만 적분상수가 12 개밖에 되지 않아 방정식의 개수에 비해 6 개가 모자라므로 일반 해롤 구할 수가 없으며, 특수한 경 우에 있어서만 해를 구할 수가 있다. 다시 말해서, 임의의 속도 와 좌표가 주어졌을 때 2 체에서는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선과 같은 일반화된 공식이 나오지만, 3 체의 경우에는 일반화된 공식 이 나오지 않는다. 이와 같은 3 체계에 있어서 세 질점에 작용하는 인력은 질량 중 심 좌표계에서 다음과 같이 각 요소에 대해 수식화하여 나타낼 수 있다. rJk = (x j -Xk) 도 (yj— Yk)2+ (zj -zk) 라 j=I=k 3-48 一ox」k ―rjk= －스二귬k 묘 3-49

mj dd2tx2 j _ = aaxuj 3-50 mj dd2ty2 j =_ aayuj 3-51 mj dd2tz2 j = _ —aazuj 3-52 여기서 U=k2( mlm2 + mlm3 + m2m3 )의 값을 의미한다. 이 경 r12 r13 r23 우 이 계에 작용하는 모든 힘의 합은 0 이 되며, 다음과 같은 형 태로 표시할 수 있다. 꼬ax1+ • 꼬ax2 +• a꼬x3 =O 3-53 ~ m j틀 =0, j= l, 2, 3 3-54 이때, 식 3-54 를 두 번 적분하면 아래와 같은 식이 얻어지고, ~ mj x j= Ai t +B1 3-55 나머지 경우에 대해서도 비슷한 과정으로 풀면 다음과 같은 결과 를 얻을 수 있다. ~ mj yj= Ai t+B 2 3-56 2 mj z j= A3t + B3 3-57 또한, 이 계에 있어서 각 질점들의 총 각운동량은 항상 보존되므 로 이 관계로부터 ~ m j (Y충 _z충 )=CI 3-58 2 m J( z총 _x 충 )=C2 3-59 ~ m j (x 뿔_y총 )=C3 3-60

의 식을 얻어낼 수 있다. 이 식은 면적 적분이라고도 불린다. 마지 막으로 식 3-50, 식 3-51, 식 3-52 에 각각 x , y , 之 룰 곱하여 세 식을 더해 주면 따 터로+Jljjij+.Zj之.j)=~a(x꼬j •x• ,j +• aayuj .y,' J• a+zj 꼬 -J이I =d뿌t 3-61 의 관계가 나타나며, 위의 식을 오일러 적분함으로써 다음과 갇 은 에너지 적분식을 얻어낼 수 있다. +2 ~ m j[(치탸(yJ 2+ (江 ]=u+c 3-62 이제까지의 과정을 통해 모두 10 개의 적분상수가 나타나며, 종 속변수 중 하나룰 독립변수처럼 사용함으로써 적분상수가 또 하 나 나오고, 교점 (node) 을 제거함으로써 마지막으로 적분상수 하 나가 나온다. 지금까지 나온 적분상수를 다 더하면 그 수가 12 개 가 되지만, 위에서 기술한 바와 같이 3 체에서는 적분상수 6 개가 부족하여 그 일반 해를 얻을 수 없다. 따라서 2 체의 경우와 같이 궤도의 형태를 알아낼 수는 없고, 다만 초기 조건 (3 체의 좌표, 속 도)이 주어진다면 수치적으로 그 다음 임의의 시간의 해를 구할 수있다. 3.2.2 라그랑지안 해와 오일러 해 라그랑주는 질점들 사이의 상호 거리가 일정한 3 체 운동을 발 견했으며, 오일러는 질점들 간 상호거리의 비가 일정한 해를 발 견하여 라그랑주의 해를 확장시켰다. 이 경우 3 체가 받는 가속도 는 모두 질량 중심을 향하게 되며 각각의 크기는 해당 반경 벡터

I( 질량 중심)

에 비례하기 때문에 이러한 질점들의 배열 상태를 중앙 배열이라 고부른다. 위와 갈은 경우에 해당하는 가장 간단한 것이 정삼각형의 형태 로 배열되어 있는 경우이다. 세 개의 물체가 각각 정삼각형의 꼭 지점에 위치하고 있다고 가정하자. 이 경우 질점들간의 거리는 모두 일정 (rA=ra=rc) 하며, 이들의 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 열[= —GM fjr1-3 기 ={A, B, C,} 3-63 이 방정식들은 전체 질량이 M 인 2 체계에서의 상대 운동의 벡터 가 r12 로 주어지고, 만약 세 질점의 상호 거리 rA, rB, re 가 같 은 2 체 회전을 한다면, 이 3 체계는 정삼각형 배열을 유지할 수

A

있을 것이다. 이 경우 제 3 체는 질량 중심을 축으로 동일 평면에서 같은 방 향으로 갇은 이심률, 같은 주기, 같은 근지점 통과 시각, 같은 인력 초접을 갖는 궤도를 그리게 된다(그립 3-4). 이 운동을 혼 히 라그랑지 안 3 체 운동이라고 부른다. 상호 거리비가 일정한 또 다른 해로는 동일선상 중앙 배열이 있으며, 이 경우 오일러 운동에서는 3 체가 질량 중심에 위치한 동일 인력 초점을 가지는 세 개의 대응 케플러 궤도를 그린다. 이 운동은 물론 세 개의 초기 평행선과 대응 속도, 대응 초기 가 속도가 필요하며, 이것으로부터 다음의 관계가 나오게 된다. d2~rf/l dt2 _= d2r i/fd t2 =_ d2f i/fd t2 3-64 乃乃 이러한 관계를 상대 평형의 조건이라고 부른다. 이러한 평형 조건이 성립하기 위해서는 다음과 같은 사항들이

만족해야 한다. A) 조건은 언제나 삼각형을 만족해야 하나 다른 삼각형을 만 족해서는 안 된다. B) m1 fi +m 홉 +m3 fi =O 과 ?d2건 m1 fi +m2 ri +m3 fi )=O 이 항 상 성립하므로 식 4-65 는 단 하나의 조건으로만 나타나고, 두 개 의 조건이 되지는 못한다. C) 각 질점 사이의 차이를 구함으로써 우리는 식 3-64 를 다음 과 갇이 상대 위치만의 항으로 표현할 수 있다. mI m2 m3 r23/r12=x (m1+m2)x5+ (3m1+2m2)x4+ (3m1+m2) 갔 = (m2+3m3)x2+ (2m2+3m3)x+ (m2+m3) d2 7r_1122 / dt2 = d2 7r_2233 /dt2 3-65 죽, m1 과 m3 사이에 m2 가 위치한 그립 3-5 의 동일선상 배열에 대해서는

그림 3-5 오일러 중앙 배열과 타원 오일러 3 체 운동

꿉? 23( 六喜)_ m1:f2m 2 ]=占 [ml( 志＿六)_ m2g:31n 3 ] 3-66 의 관계가 성립해야 한다. D) 마지막으로 Y13=Y12+Y23 이므로 우리는 상대 평형 조건에 대해 다음과 같은 근소한 비대칭의 표현식을 얻을 수 있다. m3r&(r:3_ r&) + mlr 젊 (d1- r?2) =m2 저 (r&— r김 ) 3-67 식 3-67 은 표현의 단순화를 위해 일반적으로 끄r12 =x ; lrh12 =l+x 잤 (m1+m2) +x4(3m1+2m2) +x3(3m1+m2) =갔 (m2+3m3) +x (2m2+3m3) + (m2+ m3) 3-68 와 같이 바꾸어 표시된다. 이 5 차 방정식은 언제나 단 하나의 양 의 근을 가지며, 따라서 세 개의 주어진 질량들에 대해서는 다른 두 개의 질량들 사이에 위치한 또 하나의 질량에 따라 언제나 단 세 개의 동일선상 중앙 배열이 존재하게 된다. 일반적으로 동일선상 중앙 배열에서 질량 중심의 위치는 세 질 점에 대한 위치만의 함수로 주어지며, 각 질량들 자체와는 무관 한 값을 갖는다. 사실 식 3-68 에서 r1/r12, 죽 [m2+m3(l+x)]/ M은 r1/r12= (x5+3x4+3x3)/(x4+2x3+x 포 2x+l) 3-69 의 형태로 주어지며, 이 식은 더 간단하게 x1 = (x 드 2x] + 17x2) I (저 一 10xg— 7) 3-70

로 나타낼 수 있다. 이 식은 그림 3-5 에서 m1 과 m2 를 가로 좌표 의 (-1) 과 (+1) 의 위치에 가져다 놓을 경우 m2 의 가로 좌표 X2 와 질량 중심의 좌표 x1 사이에서 성립하게 되며, 이 경우 xl 은 X2 가 -1 부터 +1 까지 증가할 때 十 1 에서 ― 1 까지 감소하는 값을 갖는다. 3.3 N 체 문제 지금까지 4 장의 앞 절들에서 2 체와 3 체 문제에 대해 생각해 보 았다. 그러나 우주 공간은 2 개 또는 3 개의 물체만으로 구성되어 있지는 않으며, 수많은 물체들의 상호작용으로 이루어져 있다. 이 절에서는 이러한 많은 물체들의 상호작용으로 이루어전 다체 문제에 대해 알아보기로 하자. 다체 문제는 최초로 뉴턴에 의해서 정확히 공식화가 되었다. 일반적으로 어떤 시간에서의 위치, 속도, 질량이 주어지면, 이것 울 바탕으로 미래의 시각의 위치와 속도를 계산할 수 있다. 그러 나 여기서 물체의 모양이나 그 내부를 이루는 성분까지도 고려하 여 준다면, 그것은 지구-달-태양 문제와 같이 더 복잡해지게 된 다. 이러한 이유로 지난 3 세기 동안 수많은 저명한 천문학자나 수학자들은 우주 공간의 물체를 질점으로 취급하여 이러한 다체 문제를 다루어 왔다. 보통 다체 문제는 3 체 문제나 2 체 문제보다 매우 복잡하며, 상 당히 근접한 두 질점의 상호인력에 의해 다양하게 변하는 중력장 에서 이들은 완전히 새로운 형태의 궤도를 갖게 되므로 우리는 이러한 충돌 과정도 설명할 수 있는 일반적인 식이 필요하다. 실제로 다체 문제에 관련된 몇 가지 일반적이고 유용한 식이

있지만, 그것들은 그들의 운동이 이미 알려진 적분 방법으로 구 체화됨으로써 가능한 것이었다. 이러한 계산 과정에 의해 나오는 적분상수를 오일러 적분상수라고 한다. 3 체 문제에 관한 특수 해 는 라그랑주에 의해 발견되었는데, 이 해는 초기 조건 가운데 어 떤 조건으로부터만 얻어졌으며 그 후 제한 3 체 문제의 연구에 있 어서 괄목할 만한 전보가 나타났다. 푸앵카레 (Po i ncare) 의 신기원을 아룩한 많은 연구들은 대부분 이 바로 이 문제를 연구한 것이었다. 지구와 달 사이의 우주선의 문제를 이 문제에 적용할 수 있고, 태양계의 경우는 행성간 상호 인력이 태양에 비해 무시될 정도로 작으므로 모든 행성은 태양 주위를 거의 완벽하게 타원 궤도로 움칙인다고 생각할 수 있기 때문에 이러한 2 체 근사로 행성 운동을 이끌어 낼 수도 있다. 이 러한 2 체 문제의 해에서 궤도 요소는 일정하게 유지되며, 만일 궤도 요소가 상호인력에 의해 변한다 하여도 그들의 변화를 미분 방정식으로 나타낼 수 있고, 또한 풀 수도 있다. 이렇게 궤도 요소로 나타낸 결과는 더욱 정밀한 근사를 얻는 데 사용할 수 있다. 실제로 이러한 방법은, 어렵긴 하지만 매우 빠르게 수령하여 3 차 근사룰 넘어가는 경우는 매우 드물다. 이렇 게 주어진 시간 동안에 잘 맞는 해석적 표현을 우리는 일반 섭동 론이라고 부르며, 이것을 이용하여 행성계의 과거나 미래의 상태 룰 유추할 수 있다. 이처럼 일반 섭동론은 인공위성, 목성에 의 해 교란받는 소행성군이나 행성의 위성 등의 운동에 적용 가능하 며 천체역학에 있어서 매우 강력한 도구이지만, 임의의 건 시간 간격에 적용할 경우 오차의 누적으로 인해 부적합한 결과가 나올 가능성이 있다. 다체 문제에 대한 또다른 접근 방법은 특수 섭동론을 이용하는 것이다. 이 방법은 고속 컴퓨터가 나오기 전까지는 대부분의 천

체역학 연구자들이 이용한 방법으로 계산을 할 때마다 운동 미분 방정식을 수치 적분해야 하는 어려움 때문에 과거에는 별로 쓰이 지 않았다. 그러나 이 방법은 물체의 개수나 궤도에 구애받지 않 고 어떠한 계에도 적용이 가능하다는 큰 장점을 가지고 있으며, 오늘날 모든 종류의 천체역학적 문제에 적용시킬 수 있다. 일반적으로 섭동론은 섭동 주기에 따라 크게 단주기와 장주기 의 주기적 섭동, 영년 섭동으로 나눌 수 있다. 일반적으로 기준 궤도의 교란 죽 회전 주기 동안 반복되는 교란을 주기적 섭동이 라고 한다. 보통 이러한 섭동은 정확히 같은 시간에 발생하지 않 으므로 주기적 섭동은 장기간에 걸쳐 일정하게 발생하게 되는데, 이러한 섭동 주기의 변화를 장주기 섭동이라고 한다. 이와 유사 한 것으로 영년 섭동이 있으며, 이것은 장주기 섭동과 유사하지 만 근지점의 이동이라든지 승교점의 역행과 같은 시간에 따른 변 화를 유발시킨다는 접에서 차이룰 갖고 있다. 장주기 섭동과 영 년 섭동은 모두 섭동 주기에 비해 관측할 수 있는 시간이 짧기 때문에 많은 경우에 있어서 이들을 구분하는 데 어려움이 따른 다. 위에서 언급한 섭동론적인 이유 때문에 우리는 N 체 문제를 다 루는 데 있어서 소수 개체 (few -body ) 문제와 다체 문제를 구분 해서 다루어야 한다. 태양계의 경우 일반적으로 소수 개체 문제 로서 다룰 수 있으며 이때 궤도들은 정확히 계산되고, N 이 크지 않기 때문에 통계적 혹은 정역학적 접근을 시도할 필요가 없다. 그러나 항성계의 경우는 다체 문제를 다루기 때문에 앞서 언급한 통계적 방법을 이용해야 한다.

3.3.1 운동 방정식 질량 ni;(i=l, 2, …, 1 t)인 n 개의 입자들로 구성되어 있는 다체계에 대해 생각해 보도록 하자. 이들의 운동 방정식을 세우 기 위해, 그립 3-6 에서처럼 등속 운동하는 원점 O 로부터 동경 벡터 R를 정의하면 상호간 동경벡터는 r ij에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다. rij= R一 j— R-,. 3-71 따라서, 원점 0 에 대한 각 질점들의 운동 방정식은 뉴턴의 운동 법칙과 중력 법칙에 의해

mk\ • •m , • • • • •• •• ••

m,E,=G j$= o m,r뿐 ij 7u (j수i, i=l, 2, …, n) 3-72 의 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 ru 는 m i에서 m j로 향하 는 거리 벡터, G 는 중력상수를 의미한다. 죽, ru=-r ji 3-73 의 관계가 성립한다. 식 3-72 에 주어전 각 질점의 운동 방정식을 n 개의 질점들에 대해 모두 더하여 주면 이 식의 우변의 값이 서로 상쇄되어 ~n m;R노; =O 3-74 i= l 의 형태로 나타낼 수 있으며, 이것은 이 계에 작용하는 전체 합 력이 0 이 됨을 의미한다. 또한, 식 3-72 에 R 를 벡터곱하여 n 개 의 방정식을 모두 더하면 n _ 츠 i~= I m;R;X R;=O 3-75 의 식을 얻을 수 있으며, 이 식을 통하여 2 장에서 설명한 바와 같이 다음과 갇은 각운동량 보존의 법칙을 이끌어 낼 수 있다. 2n mi R_ 2. X R~i = h- 3-76 i= l 이 식을 면적 적분이라고도 하며, 여기서 E는 상수 벡터를 의미 한다.

3.3.2 항성 역학에의 응용 일반적으로 항성계와 같은 다체계에 있어서 질량 중심을 지나 고 각운동량 벡터 E와 직교하는 평면을 불변면이라고 정의한다. 이 경우 앞 절에서 보았듯이 이 계의 각운동량의 합은 0 이 되어 계에 영향을 주는 의부 힘이 없는 것과 같으므로 총 각운동량은 보존된다고 할 수 있다. 일반적으로 각운동량은 궤도 공전 운동 과 자전 운동에 의해서 생기는데, 모든 물체가 연결되어 있지 않 고 강체이며 구형의 모양인 동시에 균질한 밀도를 갖는다고 가정 하면 자전은 어디에서나 일정하므로 공전에 의한 각운동량만을 고려해 줄 수 있다. 이런 경우에 이 계는 공전 궤도의 각운동량 벡터와 직교하는 불변면을 갖게 된다. 그러나 이러한 조건을 만 족하지 않는다면 궤도 운동에 의한 각운동량과 자전에 의한 각운 동량의 상호 교환에 의해 생긴 세차 운동과, 조석 마찰에 의한 효과에 의해 불변면온 일정한 것이 되지 않는다. 그러나 행성계 에는 이들 조건이 거의 만족되므로, 태양계에는 불변면이 존재한 다고 할 수 있다. 이 평면온 승교접 적경이 107° 이고, 궤도 기울 기가 1. 35° 인 궤도 요소를 갖는다• 이제 태양계에서 무시할 수 있을 정도로 작은 질량을 갖는 혜 성과 같은 천체의 운동 방정식에 대해 생각해 보자. 만약 태양 중심을 원점이라고 하고 7 가 혜성의 위치 벡터라고 하면 다음 과 같은 식을 얻을 수 있다. f =Mk: 강 m;k2(~二 ; |3 을) 3-77 여기에서 M 은 태양의 질량이고 우변의 합은 태양으로부터 멀어 지는 순서에 따른 9 개 행성의 질량의 합을 나타낸다. 혜성이 목

성 이의의 다른 행성에 근접하지 않는 한 우변에서 가장 큰 기여 롤 하는 행성은 ms 죽, 목성이며 다론 행성의 영향은 상대적으 로 작다. 따라서 우리는 식 3-77 을 이론적으로 단순화하여 나타 낼 수 있다. 혜성이 명왕성에 근접하지 않는다면 우리는 직접, 간접적인 영향이 매우 작은 명왕성(i =9) 을 고려하지 않아도 된 다. 그러나 수성의 경우에는 명왕성과는 다르며, 이 경우 직접적 영향은 무시할 만 하지만 간접적인 영향이 매우 크기 때문에 7 가 커져도 그 영향이 줄어들지 않는다. 수성에 의한 간접적인 영 향은 다음과 갇이 나타낼 수 있다. -Mm+m1m1k 21= r. 걸:1..r =l r 1.:.. , 3-78 여기에서 斤'은 수성과 태양의 질량 중심의 위치 벡터이다. 이와 같은 영향의 크기를 고려하면 식 3-77 은 다음과 갇이 간 단히 하여 나타낼 수 있다. 몰 7 —fi') +Mk2:言 m:k2 | ::: 13 섭 m 싶을 3-79 이 식을 보면 부분적으로 간접적인 영향을 제거함으로써 기준계 가 변환되었음을 알 수 있다. 죽 영향을 제의한 행성과 태양 간 의 질량 중심이 원점으로 바뀌어 나타나 있다. 실제로 혜성에 대 한 섭동을 계산할 경우 내행성 4 개(지구형 행성)의 직접적 영향 은 그 크기가 매우 작기 때문에 무시할 수 있다. 또한 이들 행성 의 간접적 영향은 그들과 태양 간 질량 중심의 원점 이동에 의해 고려된다. 그러나 태양계와 같은 행성계가 아닌 항성계롤 다루는 경우에는 각 성분별을 함부로 무시하거나 그 영향을 제거할 수

없기 때문에 그 방정식의 형태가 매우 복잡해전다. 이러한 이유 때문에 항성계 분야의 천체역학은 다른 분야에 비 해 상대적으로 매우 늦게 발전했다. 이런 분야의 역학을 항성 역 학이라고 하는데, 여기에서는 주로 구상 성단과 갇은 대칭적인 큰 규모의 성단 구조나 진화를 연구하는 것이다. 이러한 성단의 구조나 역학을 이해하고 모의 실험하기 위한 유일한 수단이 N 체 운동 방정식을 수치적으로 적분하는 것이며, 이것을 위해 빠른 컴퓨터가 필요했던 만큼 이 분야의 발전도 늦어질 수밖에 없었 다. N 체의 경우 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. m ,！ 츄•• = _ Gm 조l=n 1 m| lf '(i1-7 r_- ;1 컵13) ' n=l, 2, …, N 3-80 l*n 이 식은 일반적인 방법으로는 풀 수 없기 때문에 우리는 거시적 인 관점에서 이 식을 풀어야 한다. 통계역학이나 열역학의 경우 에는 N 체의 위치, 속도에 대한 6 개의 값이 모든 시간마다 필요 하지 않고 밀도나 압력 , 엔트로피 (ent ro p y) 등과 갇은 값 중 어 느 한 가지만이 필요하게 된다. 여기에서는 통계역학에서 이 문제를 푸는 두 가지 방법에 대해 생각해 보기로 하자. N 체 문제를 푸는 한 가지 방법은 몬테카를 로 (Mon t e Carlo) 방법을 이용하는 것이며, 다론 한 가지는 유체 역학 또는 운동학적 이론을 이용하는 것이다. 구상 성단의 경우 룰 생각해 보면 그 안의 모든 별은 두 가지의 서로 다른 힘을 느 끼며 궤도 운동을 하게 된다. 한 가지 힘은 계 전체를 유지하며 완만하게 변해가는 가장 보편적인 힘으로 구상 성단 내의 모든 별은 항상 이 힘의 영향을 받는다. 또한, 한 별이 이 계에 속한 또 다른 별의 근처를 지나가게 되면, 그 별은 쌍곡선 궤도를 그

리며 탈출하게 되는데 이는 바로 충돌에 의해서 나타나는 현상이 다. 이 사전은 성단 전체를 가로지르는 데 걸리는 시간인 횡단 시간보다도 매우 짧은 시간 동안에 일어나며, 이때 주고받는 에 너지는 성단 전체가 은하 중심 주위를 회전하는 동안 주고받는 에너지보다 훨씬 큰 값을 갖는다. 이러한 2 체간 상호작용(충돌) 은 불규칙하게 발생하며 속도나 최근접 거리와 같은 매개 변수로 써 그들 사이의 상호작용을 설명할 수 있다. 바로 이와 같은 사실에 몬테카를로 방법이 적용되었다. 일반적 으로 성단 내의 모든 별은 스스로의 궤도를 반드시 지키지는 않 으므로, 가상의 실험 별을 임의로 2 체 충돌 과정에 있게 하여 이 러한 N 체 문제를 해결하려 하였다. 만일 이러한 임의의 상호작 용이 이론적으로 계산한 것과 일치한다면 성단 전체를 수치적으 로 설명할 수 있게 된다. 이러한 시도는 1970 년대 미국과 유럽에 서 있었지만 고작 성단 내부의 일부에서만 일치하였다. 통계역학적 혹은 운동학적 이론을 이용한 접근은 해석적인 수 식을 사용해야 하므로 실질적으로 매우 어렵다. 이러한 유체역학 적 모델들은 전화를 알아내기 위한 정역학적 논증과 안정성 분석 울 위한 열역학적인 이론을 이용한 것들이다. 이러한 종류의 계 산은 그럴듯해 보이지만 중력 법칙의 특별한 특성 -1/ 군 법 칙에 따르지 않음一—때문에 물리적인 근거는 없는 것이다. 3.3.3 N 체 계산 N 체 계산울 하기 위해서는 우선 대용량 메모리의 컴퓨터와 운 동 방정식의 적분 방법, 그리고 초기 조건들이 있어야 한다. 따 라서, 이러한 N 체 계산은 컴퓨터가 등장함으로써 비로소 1960 년 대부터 시작되었다. 비록 1800 년대 후반 Bruns 와 Po i ncare 가 이

미 N 체 문제를 해석적으로 풀기는 했지만, 식 3-80 을 수치 적분 하는 방법이 더 빠르고 단순하므로 오늘날에는 해석적인 방법보 다는 이러한 수치적인 방법이 널리 쓰이고 있다. 서로 다른 질량 과 초기 조건을 이용한 수치 적분을 통해 우리는 어떤 계의 중력 장 안에서의 운동을 이해할 수 있으며, 만일 그러한 계의 중요한 일면을 수치 적분 방법으로 기술할 수만 있다면 실제 성단의 해 석도 가능할 것이다. 하지만 이러한 수치 적분 방법은 언제나 유용한 것은 아니며, 사용하는 컴퓨터의 기억 용량과 계산 시간의 제한 때문에 N값에 제한울 받게 된다. 일반적으로 계산 시간은 (NX 횡단 시간)만큼 요구되고, 횡단 시간 당 계산 횟수는 N2 정도임이 알려졌다. 따 라서 초기의 수치 실험에서는 고작해야 50 개 미만의 별들에 대해 서만 계산울 했었으며, 최근에 들어서는 컴퓨터의 발전으로 3 차 원 공간에 서 500-1000 개 정 도, 2 차원 에 서 는 104-1 한개 정 도의 계 산이 가능해졌다. 식 3-80 을 Rung e -Kutt a 방법으로 적분하는 경 우 두 가지 어 려움에 직면하게 되는데, 그 중 가장 큰 어려움은 우변의 합을 계산하는 데 있어 CPU 시간이 많이 소요되므로 계산시 비용이 많이 든다는 점이다. 이러한 단점은 좌변의 가속도에 대해서 급 수전개하여 계산함으로써 해결할 수 있다. 반면에 두번째 어려움 은 이 수치 적분을 적분 시간 간격의 크기와 직접 연결시켜 계산 하여야 한다는 점에서 나타난다. 보통 성단 전체가 전화 혹은 이 완되는 데 걸리는 시간 f relax 는 횡단 시간 !cross 보다 N 배 정도 길 며, 횡단 시간은 충돌하는 동안에 걸리는 시간 t coI1 보다 N 배 정 도 길다. 따라서 N 이 아주 커지게 되면 이 시간들 사이에는 tre Iax> tcr oss> tcoI I 3-81

과 같은 부등식이 성립하게 된다. 일반적으로 성단의 전화는 t r eIax 의 범위에서 일어나고, 별들의 섭동에 의한 변화는 t cou 의 범 위에서 일어난다. 이 경우 계산 시간을 줄이기 위해서는 !cross 의 단위로 시간 간격을 맞추어야 하므로 세밀한 상호작용은 자동적 으로 무시되며 이러한 경우 한 번의 충돌은 여러 번의 충돌을 대 표하게 된다. 지금까지 위에서 두 물체가 충돌하는 경우에 대해서 살펴보았 으며, 이제 이것을 3 체 충돌의 경우로 확장해 보기로 하자. 만일 두 쌍의 별이 서로 멀리 떨어져 있다면 f cross 시간 동안 나머지 별 둘에 의한 조석력에 의해 분리될 것이므로, 따라서 성단 전체의 역학에는 중요한 영향을 미치지 않는다고 볼 수 있다. 그러나 매 우 근접하게 쌍을 이룬 쌍성계의 경우에는 이들이 충돌할 때 상 대별의 운동 에너지를 흡수하고, 더욱이 3 체 충돌에 의해 만들어 진 다중성계의 경우에 제 3 체는 에너지 보존법칙에 따라 운동 에 너지를 얻게 될 것이다. 따라서 제 3 체는 이 과정에서 성단을 이 탈할 수 있게 되므로 근접된 쌍성계는 성단의 역학적 전화에 상 당한 영향을 미친다. 이러한 문제에 대한 해를 구하기 위해서는 더 짧은 적분 시간 간격을 사용해야 하지만 그만큼 계산 시간이 오래 걸리게 되므로 바람직하지 않다. 뒤에서 자세히 언급하겠지만 식 3-81 의 부등식과 같은 관계 때 문에 생기는 어려움-두 천체 간의 거리가 거의 0 이 되는 경 우, 죽 접촉 충돌하는 경우에 수학적으로 특이점이 발생하게 된 다 ― ――울 극복하는 방법이 있다. 이 방법에는 다음의 두 가지가 많이 사용되는데, 그 중 한가지는 퍼텐셜의 분모에 완화항을 넣어 특이점을 임의로 완화시키는 방법이며, 다른 하나는 시간에 종속 되지 않는 새로운 변수를 사용하여 특이점을 제거하는 방법이다. 이 중 전자의 경우에는 정밀한 계산이 불가능하다는 단점이 있다.

3.4 특이점과 정칙화 N 체 문제를 수치적으로 다루는 데 있어서 컴퓨터의 기술적인 측면 이의에 가장 어려운 문제는 특이점을 어떻게 다루어 주는가 하는 문제이다. 이러한 특이점은 두 질점간의 거리가 가까워져 충돌할 때, 다시 말하면 두 입자간에 중력의 힘보다 조석력이 더 큰 영향을 미치게 될 때에 나타난다. 이렇게 되면 운동 방정식과 같은 미분 방정식에서 분모가 0 에 가까워져 결과값의 정밀도를 떨어뜨리고 계산 시간이 현저하게 늘어나게 된다. 결국 이러한 수치적인 방법으로 N 체 문제를 다루게 될 경우 특이점이 발생하 게 되면 물리적인 상태가 변하기도 전에 계산값에 영향을 줄 수 있게 된다. 이러한 특이점의 문제를 해결하는 방법으로는 연속화 방법과 정칙화 방법이 있는데, 이것과 유사한 방법을 오일러가 최초로 소개하였다. 정칙화의 기본 원리는 다음과 같이 설명할 수 있다. 예를 들어 천체들로 이루어진 성단의 경우를 생각해 보자• 성단 내에는 수 많은 별들이 존재하며, 이들 사이에는 중력뿐만이 아니라 조석력 도 작용한다. 일반적으로 천체들 간의 거리가 어떤 거리 이상이 되면 뉴턴의 중력이 우세하고 어떤 거리 이하가 되면 조석력이 우세해진다. 성단과 같이 많은 천체들의 집합을 다루는 경우 우 리는 보통 천체들을 질점으로 보고 계산울 하는데, 이 가정은 뉴 턴의 중력 법칙에는 큰 무리가 없이 적용이 되지만 조석력을 다 루는 경우에는 질점을 어떻게 다루느냐에 따라 계산 결과값에 큰 차이를 보일 수 있다. 실제 성단에서는 별끼리 충돌하는 경우가 극히 드물지만 여기 에서는 수치적 어려움의 단면을 보이기 위하여 극단적인 예를 들 어 간단히 설명하겠다.

x 를 두 질점간의 거리라 하고 G(m1+m2)=1 아라고 가정하 면, 뉴턴의 중력 법칙에 의한 운동 방정식은 간단히 (皇)=―난) 3-82 와 갇이 쓸 수 있고, 총에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다. 불(信 )2= 다 )+c 3-83 식 3-82 와 3-83 의 경 우 만약 x 가 0 에 수령 하면 속도, 가속도 모 두 무한대에 가까워지게 된다. 따라서, 일반적인 수치 적분 방법 으로는 계산이 불가능하므로 이 값을 버려 특이 운동을 고려하지 않는데, 이러한 특이 운동의 제거를 정칙화라 한다. 그러나 실제 에서는 미분 방정식에서 특이점을 없애는 것이 불가능하므로 특 이 운동의 연속화 방법을 이용한다. 연속화 방법을 이용함으로써 수치 적분 처리를 향상시킬 수 있 으므로 결국 정칙화 기술은 해석적인 관점에서는 성공적이라고 할 수 있으나, 수치해석적으로는 그다지 만족스럽다고 할 수 없 다. 운동 방정식에서 발생한 변수의 변형 기술인 정칙화와 연속 화는 독립변수로 시간만을 이용한 것이며, 이는 Sundman(1912) 에 의해 최초로 시도되었다. 실제로는 독립변수와 종속변수 모두 를 변형해야 수치 적분에 더 유용하지만, Sundman 과 같이 식 3-82, 3-83 에 시간의 변형을 가해서도 효과를 볼 수 있다. dr=d~t 3-84 X 위 식에서 정의된 새로운 시간 r 는 실제시간 t뿐만 아니라 거리 변수 x 에도 의존하게 되는데, 이러한 사실은 수치 적분시 적분

간격 결정에 도움을 준다. 식 3-84 에서 x 가 0 에 가까워지면 t도 작아지므로 두 값의 비 는 매우 완만하게 변화하지만, 특이점을 완전히 제거하지는 못 한다. r 를 식 3-82, 3-83 에 도입하여 새로운 속도 dx/dr 를 구하 면 x'=( 총)=(총)（豊)= Xx 3-85 의 형태로 나타낼 수 있다. 식 3_82 에서 x 가 0 에 가까워지면 x· 는 무한대에 가까워지지만 x' 은 완만하게 변화한다. 여기서 식 3-85 의 결과를 이 용하면 식 3-83 은 (x')2=2x+2C균 3-86 으로 다시 나타낼 수 있다. 이 식에서 보면 분모에 있던 x 의 항 이 모두 제거되었으며, 따라서 특이점이 없어져 에너지 방정식의 정칙화가 이루어졌음을 알 수 있다. 만약 이 문제를 1 차원 충돌 모델로 단순화시킨다면 에너지와 운동 방정식의 적분 문제를 완벽하게 기술하여 그 해를 구할 수 있다. 이 경우 2 계 미분 방정식은 다음과 같이 나타난다. x= 틀)(創 =x( 길)i x 혹은 x=xx2+i 2 x 3-87 x:=. x(x_-—xX X' 2+x 크1 =)x0-2 33--88 98 ,2 이 미분 방정식은 해석적으로는

(xXI) 2 =2+2Cx 3-89' 의 형태로 표시할 수 있으므로 표준화되었다고 할 수 있다. 그러 나 2 차원, 3 차원의 경우 식 3-88 에서 (x')Ix 에 대응하는 항의 제 거가 어려우므로, 독립변수와 종속변수의 변환이 함께 필요하다. 식 3-89' 울 식 3-89 에 대 입 하면 x-2Cx— 1= 0 3-90 의 형태로 정칙화된 운동 방정식을 얻을 수 있으며, 음수값의 에 너지와 직선 궤도를 갖고 초기 조건을 만족하는 식 3-90 의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다• x= （풍)〔 l+cos J'G回 3-91 또한, x' 의 r 에 대한 종속성은 식 3-86 의 적분이나 식 3-91 의 미 분에 의해 x'= —詞 sin f(f}r 3-92 의 형태로 표시할 수 있으며, t와 r 의 관계는 식 3-84 을 적분하 여 다음과 갈이 쓸 수 있다. t =£rxdr= （풍 )[r+ /WJ s i n (틀] 3-93 위 식에서 보면 그 형태가 케플러 방정식의 형식을 취하고 있고, 이 경우 (2/xo) r 항은 궤도 운동 방정식에서 이심근접각 (E) 역할 을 하고 있다.

(2/xo) r 항이 7[의 값을 갖는 경 우 x ' 와 r 와의 관계는 그립 3-7, X 와 r 와의 관계는 그림 3-8 , X 와 t와의 관계는 그립 3-9 와 같고, X 와 t와의 관계는 그림 3-10 과 같이 나타난다. 이해롤 돕기 위하여 간단히 1 차원 충돌로서 단순화시켜 문제를 해결해 보자. 그립 3-11 과 같이 질량이 각각 mI, m2 인 두 물체가 거리 Xo 만 큼 떨어져 있고, 초기 속도 i o 가 0 이라고 하자. m2 가 m1 으로 접근하여 이심률 e 가 1 에 가까워져 거의 칙선 형태의 타원 궤도 로 운동하였다고 하면 그림 3-12 와 갇이 나타낼 수 있고, 여기에 서 에너지 적분은 v2= y~이므로 —a1 -=—X1o —y.·.o 2 이고, xo=a(l+e) 과 e= (xo-a)/a 이지만, 길쭉한 타원이 직선 궤도로 되면 xo=2a, e=l, y =O 이고, v2= 었이므로 _X2o __1a =x.o2 의 관계가 성립함을 알 수 있다. 그림 3-12 에서 m1 을 중심으로 한 가장 가까운 곳과 가장 먼 곳에서의 속도를 각각 y1 , y o 라고 하면 y l= 占言三 = ✓ a(1 〔 e) -｝귁멋y 1 一 OO Yo= 古言三= ✓ a (1: e) -: 권円 y。 一 。 의 형태로 나타낼 수 있고, 또한 점 A 와 점 B 에서의 속도 XA, YA, XB, YB 는

X’

x

-一 _________ 쓰_ __________ +-

XA= — ✓ a(11- e) = _ 갔 B ―니ie -m1 XA=-00 yA = _ ✓ a(11_ e2) = YB 一 lei 니m yA = _CX) 로 표시할 수 있다. 이와 같이 1 차원 충돌 경우 그 특이점을 길 쭉한 타원 궤도로 근사함으로써 간단히 정칙화할 수 있다. 일반적으로, 근집계의 정칙화 문제를 다루는 경우에는 각 쌍마 다의 질량 중심 좌표로 바꾸어 특이점을 없애는 자코비 좌표 변 환을 사용한다. 그림 3-6 에서와 같이 N개의 물체 중 k 와 l 이 가장 근접하여 위치한다고 가정하고, 벡터 Q, R 을 다음과 같이 정의하자. fQ mkmr-k;++mm111 'i ' R=r- -Z―召 3-94 여기서 식 3-94 를 두 번 미분하여 이로부터 k 번째와 [번째 물체 와관계있는 운동 미분 방정 식을 구하면 다음과 같이 나타난다. Q• • =mk 노 훔 mI(mkr1-급 - +m~- 글)-을 3-95 R=-(mk+m1) 업益 召+훔 m;(¥,-¥) 3-96 업 또는 R=-(mk+m,) 濬 )+F 3-97 의 형태로도 나타낼 수 있으며, 이 경우 F= 훔 m,( 등尸―望) }:1

의 값을 의미한다. 여기에서 보면 식 3-95 에는 Rkl 항이 없으므 로 특이점의 영향을 거의 받지 않으며, 따라서 이 식은 보조 방 정식의 역할을 하여 다른 운동 방정식에 의해서 풀리게 된다. 또 한, 식 3-94 에서 r-;와 召울 알기 위해서는 R 을 알아야 하며, 이 것은 표준화 변환에 의해 구해낼 수 있다. 만약, 각각의 물체에 m 개의 근접한 쌍이 있다면 식 3-94 에 의한 m 개의 변환식이 식 3-95, 3-96 의 형태로 변환되어 근접 상태를 해결할 수 있다. 지금까지 우리는 정칙화의 방법에 대해서 간단히 알아보았다. 이제부터는 연속화 변환에 대해서 생각해 보기로 하자. 연속화 변환은 정칙화와는 달리 특이점을 완전히 없애는 것이 아니라 자 코비 좌표 변환을 한 운동 방정식의 분모항의 지수 부분을 조절 하여 특이 운동을 완화시키는 것으로, 특이 운동 효과의 제거라 기보다는 감소시키는 변환을 말한다. 만약 t와 T 사이에 dt =gd r (g= Ra : a 는 상수) 3-98 와 같은 관계가 성립한다면, 식 3-98 은 다음과 갇이 나타낼 수 있다. 남)=情)（蓋) 틀)=(志)(룹 )-(R 臨)（뿐)남) 그러므로, 위 식을 식 3-97 에 적용하면 R_% R R’ + m잡 뿐 R =R2aji ' 3-99 의 식을 얻을 수 있으며, 이것을 1 계 미분만으로 나타내면 다음

과 같이 쓸 수 있다. R'=SRa S'=(-~R+F)Ra 3-100 이 경우 위 식에서 a 를 임의로 정하더라도, 식 3-99 에는 여전히 특이점이 남게 된다. 그러나 특이점이 완전히 제거되지는 않더라 도 그 효과가 다소 완화되었음울 볼 수 있다. 죽, 식 3-97 에서는 R3 항이 분모에 있지만 식 3 - 99 에서 a 가 3/2 이면 R 로만 남게 된 다. 이와 같이 특이점의 효과만을 감소시키는 변환을 연속화 변 환이라고 한다. 이러한 것을 섭동을 무시한 케플러 운동에 적용하면, a=l 인 경우는 이심근점각 (E) 을 독립변수로 사용하는 것과 같고, a= 2 인 경우는 전근점각(/)을 독립변수로 사용하는 것과 같다. 그러 나 인공위성 추적에 있어서는 a = l. 5 가 더 유용하게 사용되는 데, 그 이유는 전근점각은 근지접에서, 이심근점각은 원지점 부 근에서 더 효과적이기 때문이다. 이처럼 유용하게 사용되는 연속화 함수 g에는 여러 가지 형이 있다. Szebehel y (1967) 는 속도 함수의 역수를 사용하였고, He ggi허 운동 에너지와 위치 에너지를 y로 사용하였다. 3. 4. 1 Lev i-C iv ita 방법 두 질점간의 거리가 가까워짐에 따라 나타나는 특이점을 제거 하는데 수치적으로 유용한 방법은 1903 년 Lev i-Ci v it a 가 복소수 를 이용하여 2 차원 운동에 대한 독립변수의 변환 의에 좌표 변환 울 도입한 것이다.

죽, 식 3-98 에서 a=l 일 때 dt = R dr 3-101 의 관계가 성립하므로, R 벡터의 성분을 R1=u?-ut R2=2u1u2 3-102 라고 정의함으로써 새로운 종속변수 uI, U2 를 도입하였다. 따라서 이것을 이용하면 식 3-99 는 다음과 같이 나타낼 수 있 고, RII_ ER R+ mkR+ mlR=R2F 3-103 식 3-102 에 의 한 좌표 변환은 R=L(u) u L( u) =[:: -u~2] 3-104 의 형태로 표시할 수 있다. 이 경 우 Levi- C iv i t a 변환은 보통 z=w2 으로 쓰고, 여기서 z=R1+iR 2 , w=u1+ i u2 로 정의된다. 이제 이들 종속변수 w 와 독립변수 R 사이의 관계에 대해 생 각해 보자. 식 3-103 은 새로운 운동 방정식으로서, 독립변수만으 로 이루어진 결과이다. 이 식은 종속변수의 변환에 의해 상당히 단순화될 수도 있고 복잡해질 수도 있다. 일반적으로 복소수 표 식을 이용한 이 두 개의 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다. dt =g( z)dr

z=J ( w) 위의 두 식은 변형된 운동 방정식의 단순한 형태를 얻기 위해서 g =al 劇 2 3-1 0 5 의 관계를 만족해야 하며, 여기에서 a 는 임의의 실수 상수 를 의 미한다. 사실 위 식의 관계를 만족시키는 것이 운동 방정식의 표 준화에 반드시 필요한 것은 아니지만, 실제의 계산에서는 매우 중요한 위치를 차지한다. 일반적으로 시간의 변형은 g =R=~ 합 =|zl 의 형태로 나타나고, z=w2 으로 정의되므로 식 3-105 는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 鳩 -1=21wl 따라서, f와 g 사이의 관계는 g= 4a I w 12 or g= 4a I z I 의 형태로 표시할 수 있으며, 여기서 a=l/4 울 나타낸다. 지금까지의 과정에 의해 식 3-104 로부터 R'=2L(u) u 3-106 R=u f +u1= ✓ R f +R g 의 식을 얻을 수 있다. 위 식을 보면 汀 공간에서 상대거리 R 에 대한 표현시 제곱근의 계산이 필요가 없는데 이는 계산에 있어서 큰 이점을 가져다 준다. 또한, R 공간의 원점에서의 각도는 w

공간에서의 것에 비해서 두 배의 크기로 나타나기 때문에 R 공 간에서 한 물체가 다른 물체 주위를 1 회전하면 w 공간에서는 반 회전만 하게 된다. 이 상과 갇이 구해 진 Lev i -C i v it a 의 행 렬 L ( 汀) 는 다음과 같은 특 성을 가지고 있다. LT(u)L(u)=Rl 3-107a L'(u )=L(u') 3-107b L( u) v=L( v) u 3-107c (u· u)L(v) 汀 - 2( ii· v)L(ii ) v+( v · 汀 )L( ii) ii=O 3-107d (I : 단위벡터, g, 汀 : 임의의 벡터) 지금까지는 Lev i ...: C i v it a 의 변환 행렬을 이용하여 일상적인 X-Y 공간에서 수학적인 R 공간으로 변환함으로써 특이점을 정칙화하 는 방법에 대해서 알아보았으며, 이제부터는 이것을 실제적인 경 우에 적용시켜 보도록 하자. L( ii)를 이용하여 식 3-103 로부터 五 공간에서 다음과 같이 단위 질량당 2 체의 결합 에너지를 구할 수 있다. hh== 2(R ( 2핥R ) E_ ')u-( m—·uk-~2+ m mk+I)m <1o) 33--110088ba 또한, 식 3-103 에 의해 R 의 변환된 식은 R=2L( u) u+2L( u') u'=[2L( 汀) 五'] 의 형태로 나타나므로 다음과 같이 정칙화된 방정식을 얻어낼 수 있다.

汀―上2 正= ( g 2• fJ.l_L T ( u) F 3-109 이 경우 식 3-108b 에 특이점이 포함되어 있으므로 그로부터 결 합 에너지를 구하면 식 3-109 도 특이점을 포함하게 된다. 또한, 식 3-99 에 R 를 곱하여 R·R=RR 인 관계 를 이용하면 겁?. 仁. (mk; 교 ]=R·F 의 식을 얻을 수 있다. 즉, 썬dt =R·F 가 되며, 따라서 정칙화된 五 공간에서는 위치와 결합 에너지가 다음과 갇이 표현된다. R=L( u) a h'=2 (L( 江) E'· F) or h'=2( 五 '·E( 江 )F 3-110 지금까지에서 보면 식 3-101 , 109, 110 은 五와 t에 대해 정칙화 된 미분 방정식이고, 여기서 R 은 식 3-104 에 의해 구해낼 수 있 다. 또한, 식 3-110 의 결합 에너지는 4 차 혹은 5 차의 Rung e -Ku tt a 방법으로 구할 수 있으며 2 체 문제의 경우에는 섭동력 F 가 존재하지 않으므로 결합 에너지의 변화율도 없다. 이 와 같이 Lev i-Ci v it a 는 특이 접 이 존재 하는 일상적 인 공간 x, y 공간에서 수학적인 공간인 R 공간으로 변환한 후에 특이 접이 없는 五 공간으로 바꾸어 중으로써 2 차원 정칙화에 성공하 였다.

3. 4. 2 Kusta a nheim o-Sti ef e l 방법 1965 년 Kus t aanhe i mo 와 S ti e fel 은 3 차원 운동의 경 우에 알맞 게 Levi- Civi t a 변환법을 4 차원으로 일반화하여 3 체 문제의 해를 구하는 정칙화에 성공하였다. 그들은 이것을 위해 다음과 같은 관계에 있는 4 차원의 R 벡터와 汀 벡터를 도입하였다. R=L( 汀) 汀 U1 - u2 - U3 U4 I I R, I I U1 L(u)= UU32 UU14 - Uu4, - UU32 II '• R~ = II RR32 II ,• u= II UU23 Zl4 - U3 U2 - U1 I I R4 I I U4 위의 관계를 이용하면 두 질점간의 거리 R 의 성분과 크기는 RR12==u2r (U ―1 Uu2 g— _U쩌3 U +4u) I 33--111l11ha R3=2(u1u3+ u2u4) 3_11lc R4=O 3_111d R=~=ur+ul+ul+uI 3-112 의 형태로 나타낼 수 있다. 1933 년 Hurw it z 는 Lev i-Ci v it a 의 변환법을 3 차원으로 일반화 하는 것은 불가능하지만, 4 차원으로는 가능함을 보였다. 이 경우 벡터 i1의 4 개 성분 중 1 개는 임의로 정한 것이므로, R 이 주어 졌을 때 i1의 초기 성분을 어떻게 주느냐가 문제로 나타난다. 여 기서 u 의 성분들은 五 벡터와 R 벡터 간의 관계식들에서 결정 되고, 이로부터 u 를 결정해낼 수 있다. 식 3-llla 와 식 3-112 로 부터

ur+uf= —21 (R1+R) 3-1 1 3 의 관계를 구할 수 있고, 이것의 단순화를 위해서 U1 또는 m 를 0 으로 놓음으로써 한 성분을 정할 수 있다. 또한 식 3 - lllb 과 3-lllc 로부터 U2R 꼬R= I1++R~R3U 4, U. 3= R3RUl1+-RR2 U4 3-1 1 4 의 값을 구할 수 있다. 여기서 만약 R 이 0 보다 크거나 같다면 식 3-113 과 3-114 는 u 의 초기 값을 결정 하는 데 사용할 수 있다. 또한, 만일 R 려 음수라면 의미 있는 소수점 이하의 수치를 갖 도록 하기 위하여 다음의 관계식을 사용한다. u~+ 짜=—21 (R-R1) 3- 11 5 U1R2Ru=2-+RR~3lU 3, U. 4= R3Ru2--RRl 也 3 3-116 이 경우에 U2 와 U3 는 임의의 값을 선택할 수 있다. 이와 같이 u 의 성분들이 결정되면 식 3-106 과 식 3-107a 에 의 해 u' 은 五 '=-2AR: -L T ( u) R' 또는 u'=—21 LT (u)R..:.. 3-1 1 7 의 형태로 나타나며, 이 경우 시간 t를 얻기 위해서는

t'= R 3-118 의 관계식을 풀어주어야 한다. 우리는 식 3-109 를 풀어중으로써 u(r) 의 값을 알 수 있고, 식 3 - 112 를 r 에 대해 두 번 미분하여 R=2( 汀 ” • it) +2(it '· i t') 의 관계 를 찾아낼 수 있다. 위 식은 일반적으로 식 3-108a 와 3 - 109 에 의 해 다시 다음과 같이 나타낸다. R-2hR= (mk+ m1) +R[ it ·L1 ( it) F] 3-119 이 식은 만일 섭동력 F 가 존재하지 않는다면 안정된 상태에 있는 조화 진동자의 미분 방정식이 된다. 그러나 실제 N 체 문제 에서는 항상 섭동력이 존재하므로 안정성은 존재할 수 없고, 원 래의 운동 방정식에 비해 상당히 안정된 계의 변환식을 보일 뿐 이다. 이일제반 적K으-S로 방R법 의벡 터실와제 R계 벡산터 과의정 에모 든대 해성서분 이생 주각해어 졌보다자면. R= 서간十 R 궁 +R§ 의 형태로 나타난다. 여기서 만일 R1 이 0 보다 크거나 같다면 U4 는 0 이 되고, 나머지 u 성분은 u1=~ U2= （훑) U3= （훑)

의 관계를 통해 얻어낼 수 있다. 반대로 R 려 음수인 경우 t (3 는 0 이 되고, 나머지 u 성분은 다음과 같이 계산된다. UI=(~) u2= 訂 U4=( ~) 또한, u' 의 성 분은 식 3-117 로 부터 u, =+21 ( u1R1 + u2R2 + uaRa) u2=+21 (-u2R1+ u1R 辻 U4R3) u 는—12( - uaR1-u 4R2+ u1Ra) u4=2-1( u4Rl_ U3R2+ u2R3) 의 형태로 얻어낼 수 있다. 식 3-108a 에 의한 결합 에너지의 초기값은 h= R一 ·R--.. _ (mk+m1) 2 R 이 되므로 벡터 u, u’ 와 결합 에너지 h 를 이용하여 미분 방정 식 u i'_2 晶!＝요2 (L7F) 1

u;1_l!: ._U 2=E(LTF) 2 2 2 u3' __2h U3= 一R2 (LTF)3 u~' -42u 4 =1!2-- (L rF) 4 R —2h R= (mk+m,) +R ~4 (LT--F ) ;U; i= I 를 풀어 주어야 하며, 여기에서 (LTF) 1= u,F, + u2F+ U3A (LTF) 2= -u2F, + u 晶+ U4F3 (LTFh= - u3F1 - u,F2 + u1F3 (LTF)4=U4F广 U3F2+u2F3 를 의미한다. 五 공간에서 R 공간으로 변환하는 데 필요한 공식은 다음과 같다. R1=ur-u~-ul+uf R2=2 (u1u2-U 3U4) R1=—R2 R (u31=u 2f (- uu 12uu3+2 -u2uu3 .u) 3+ u. 파) R2=~R2( U2U1+ U1U2— U4 U3-U 3 파) R3= —R2 (U3U 日+ U4U2+ U1U3+ U2U~) 이 경우 해를 구하는 동안 다음의 거리와 결합 에너지를 항상 점

검해 주어야 한다. R=~4 u; 3- 12 0 i= l 4 h= 2 i~= I u; 드R ( mk + m1) 3- 12 1 여기서 결합 에너지 lt 는 다른 입자들에 의한 위치 에너지보다 월등하므로 거의 상수로 볼 수 있다. 따라서 식 3 - 121 은 R이 0 에 가까워질 때 잘 정의된 정칙화의 형태이다. 지금까지 우리는 K-S 변환에 대해서 살펴보았다. 물론 이 방 법에 단점이 없는 것은 아니지만, 일반적으로 계산상 중요한 수 치들이 없어지리라고 예상이 될 때 K- S 방법의 두드러진 장점이 다음과 같은 점에서 나타나므로 보통 3 차원 운동의 정칙화에 많 이 사용된다. 1) 쌍을 이루는 물체의 정칙화된 미분 방정식. 2) R의 결정을 위한 제곱근의 계산이 없다. 3) 원점에서의 각이 두 배로 나타난다. 이와는 반대로 K-S 방법에는 다음과 갇은 단점이 나타난다. 1) 근접계가 2 체를 넘는 경우 정칙화가 불가능하다. 2) 풀어야 할 또 다른 미분 방정식이 존재한다. 3) 좌표 변환에 시간이 많이 소요된다. 참고 문헌 Aarseth , S. and Zare, K., 1974, Celestia l Mechanic s , 10, 185. Ahmad, A. and Cohen, L., 1973, ]. Comp ut . Phys . , 12, 389.

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제 4 장 섭동론 4.1 특수 섭동론 두 개의 물체가 운동하고 있을 때에 제 3 의 물체와 제 4 의 물체 가 섭동을 하고 있다면, 이러한 문제는 일반 해를 얻을 수 없고 다만 수치적인 근사값에 해당하는 특수 해가 얻어진다. 우리는 이 방법을 섭동론이라고 부르는데, 이것은 특수 섭동론과 일반 섭동론의 두 가지로 나누어진다. 이 절에서는 그 중 특수 섭동론 의 경우에 대해서 생각해 보겠다. 특수 섭동론은 운동 방정식을 위성의 초기 위치부터 임의의 위 치까지 시간에 대해 칙접 수치 적분하여 미래의 어느 시각에서의 위성의 위치와 속도를 구하는 방법이다. 이 방법은 일반 섭동론 이 장기간 인공위성의 궤도를 예측하는 것과는 달리 상대적으로 짧은 구간의 궤도를 예측하는 데 적용되며 요구되는 정밀도 이내 로 궤도 예측이 가능하다. 특수 섭동론은 실질적이면서 빠른 계 산과 함께 필요한 정확도까지 궤도를 결정시켜 주는 장접이 있 다. 이러한 방법에는 Cowell 방법, Encke 방법 그리고 매개 변

수변화방법 등이 있으며, 여기서는 주로 Cowell 과 Encke 방법 에 대해서 설명하도록 하겠다. 4. 1. 1 Cowell 방법 어느 순간 인공위성의 위치와 속도를 정확하게 계산하기 위해 서는 섭동력을 일으키는 우주 공간의 환경을 정확하게 이해하고 분석하여 정량화함으로써 섭동력에 대한 수리적인 모형 을 만 들 어 야 한다. 이러한 모델은 결과적으로 각 섭동력에 의한 위성의 가 속도를 계산할 수 있도록 고안된 것이어야 하며 이렇게 해서 얻 은 섭동 가속도는 지구를 점 질량이라고 가정했을 때의 중심 가 속도와 합산하여 인공위성이 받는 총 가속도로 나타나게 된다. 일반적으로 인공위성이 받는 총 가속도는 2 계 미분 방정식으로 표현되고 이 방정식을 두 번 적분함으로써 원하는 시각에서의 인 공위성의 위치와 속도를 얻을 수 있다. 이러한 방법을 Cowell 방법이라고 한다. Cowell 방법은 정량화된 모든 환경 변수를 시간의 변화에 따 른 함수로 정량화하여 이들 환경 변수가 임의의 시간에서 인공위 성에 미치는 섭동력을 계산해 냄으로써 인공위성의 운동을 알게 되고, 또 제반 지상 추적 시스템을 운영할 수 있는 가장 기초적 인 자료를 제공하는 하나의 방법이다. 이 방법은 지구를 점 질량 으로 가정한 중심 가속도에 위성의 위치에 영향을 주는 모든 섭 동력을 더하여 2 계 미분 운동 방정식으로 표현한 후 위성이 받는 총 가속도를 시간에 관하여 연속적으로 적분함으로써 임의의 시 각에서 위성의 위치와 속도 등의 요소를 파악할 수 있도록 하는 데 그 목표를 두고 있다. 그러나 이러한 일련의 모든 과정이 컴 퓨터를 사용하여 처리되므로 시간이 경과함에 따라 오차가 누적

되어 결과적으로 위성의 위치를 예측하는 데 있어서 편차가 증가 하게 된다. 4. 1. 1. l 기본 방정식 Cowell 방법은 앞에서 설명한 바와 갇이 운동 방정식을 직접 산술적으로 적분하여 궤도의 운동을 계산한다. 일반적으로 위성 이 지구로부터 받는 가속도는 지구를 질점으로 보았을 때의 중심 력과, 섭동력의 합 i2=n I F i로 주어진다. 죽, t° +G(m 학- m) —r7尸 =2i=n I F一 i 4-1 가 되며, 여기서 m EB 과 m 은 각각 지구와 위성의 질량을 나타내 고, 섭동력은 지구의 중력 분포와 태양, 달의 중력 그리고 태양 복사압, 대지 항력 등에 관계된다. 위 식에서 보듯이 Cowell 방법을 이용해서 궤도 예측을 하는 데 필요한 계산 과정은 이 위성에 작용하는 섭동력을 계산하는 부분과 위성의 총 가속도를 적분하는 부분으로 크게 나눌 수 있 다. 여기서 섭동력을 계산하기 위해서는 지구의 중력 분포를 알 아야 하며 지구의 중력은 위성의 위치에 가장 큰 영향을 주는 요 소이다. 죽 인공위성이 받는 힘을 표현하기 위해서는 지구의 중 력장 분포에 의한 섭동을 필수적으로 고려하여야 한다. 지구의 중력 분포는 다음과 같은 중력 퍼 텐셜 (Kaula 1966) U =~r [1I + ~~22 im;~O (\ ~r r (C nmCOS mL + SnmSi n mL) P::' (sin l) ] 4-2 의 식으로부터 계산해낼 수 있으며, 여기서 L 은 경도, l 은 위

도, R ai 는 지구의 적도 반경을 의미한다. 또한, 지구의 비대칭 중력 퍼텐셜에 의한 가속도 # N S 는 지구 상공에 있는 위성의 위 치에 대한 함수로써 다음과 갇이 주어진다. #Ns= ［伊+ 伊]（：i〔 :l)+ 莊t )(_COs0:naa) 4-3 + [ rt'' + 樣t)] ( __ ss:cnn0: ::ns aa) 여기서 l 은 위성의 적위, a 는 위성의 적경을 의미한다. 식 4-3 에서 보면 많은 첨자들이 다양하게 사용되고 있는데, 이 중 위첨 자 z 와 t는 Zonal 과 Tesseral 을 나타내고, 아래 첨자 r, E, N 은 각각 동경 방향, 동쪽 방향, 북쪽 방향 성분을 나타낸다. 이 들은각각 r.. r= aaur rE= rco1s l aauL YN=—1 r a8ul 의 형태로 표시된다. 이 경우 지구 퍼텐셜 zonal harmon ic s 에 의한 가속도는 rT(Z)=K(r){3]2( 응 s i n2l ―강)+-8;- [4hs i n l( 응 s i n2l 당) +뚜] 4( 뿡 s i n4l- 부 s i n2l+ 강)]}

幻 E(Z) = O rN = -K ( r) cos t{3 ]2 sin l +-f¾- [h( 草 s i n 이 공) +-f¾-;4 sin l( 뿐 sin 2 l ―부)]} 가 되고, 여기서 K(r) 과 h 는 각각 K(r)= 망 (杓 )2 ]2= 1 082 . 7 X 10 막 f3= -2 . 56 X 10 막 f4= —1. 56 X 10-6 의 값을 갖는다. 반면에 지구 퍼텐셜 t esseral 과 secto ria l harmon i cs 에 의한 가 속도는 다음과 같은 형태로 표시할 수 있다. 합) = -K ( r) cos l{3PJ,~ > A2 +-¾-[4 (PJ. 'i'/J.1+ P{~l/3,3) +쁠 으 (Pl. 잉 A , 2+ Pj, ? f4,4) ]} #tt)= K(r) 〔 2PJ .앙 (S22 cos 2L-C22 sin 2L) +-¾-{P{'i'( S 31 cos L 一 S31 sin L) + 3 PJ.앙 ( S33 cos 3L-C3 3 sin 3L) ++ 4쏘Pr다 N 2 (SP4J 4,앙 c(o S4s2 4cLos- S2.L4 -siSn 4 2 4 sLi)n ] 2}L]) rV'=K(r) s i니- (6 cos l)/2 ,2+ 쁜{(茅 cos 기 -6)A1 —(45 cos2 l)/3 ,3+~ cos /[(21~ cos2 l-90)/4 .2

- (420 cos2 /) /4.4] }] 여기서 Pj, ~> =3 cos !, PJ .?=fsi n 21-f, PW=15 cos2 I /i，청 =cos l( 平 s i n2 l_¥), PJ. ~> =105 cos3 l lCnm22 ==1C m. 5m7C8O XS 1m0-L6 ,+ SnmSi nS 2 m2 = L —0 . 9 05 X 10-G C31 =2 .11 X 10-6, S31 =0 . 320 X l0 一 6 C33= O. l00 X 10-6' S33=Q . 198 X 10-6 cC4442 == 0— .` 007 . 40 0X1 11 0X- s1,0 - 6, Ss3312 = = OO .. 0104 48 9x X 1 01 0一 6- s 이 된다. 지구의 중력장에 의한 영향 의에도 인공위성에 작용하는 섭동 력에는 여러 가지 다른 요인들이 존재한다. 이들 중 태양과 달의 인력에 의한 힘이 크게 영향을 주어 인공위성의 위치가 변화하기 도 하는데, 이러한 힘에 의한 가속도는 戶 0 m= 흠 Gm;(~- 广句 4-4 의 형태로 나타난다. 여기서 i =l 일 때는 태양, i =2 일 때는 달 의 인력에 의한 가속도를 의미한다. 일반적으로 지구 이의의 제 3 체인 태양(또는 달)의 힘은 인공위성과 태양(또는 달)의 상대 위 치로 나타내며, 따라서 지구 중심 직교 좌표계에서 태양과 달의 위치를 계산할 필요가 있다(J PL DE200, DE403, DE404 등을 사용 하여 구함)． 태양과 달 이의에 다론 행성의 인력에 의한 영향도

있으나 이러한 영향은 매우 작으므로 무시할 수 있다. 또한, 태양은 끊임없이 의부로 복사 에너지를 방출하므로 태양 의 복사에 의한 힘도 인공위성의 섭동력으로 무시할 수 없는 큰 영향을 준다. 보통 태양 복사압에 의한 위성의 섭동 가속도 #SR 는 t sR= 요C (\ cR•• Amesfaft )I r7~3eE Bo0 4-5 의 형태로 표시되며, 여기서 c 는 빛의 속도, So 는 lAU 만큼 떨 어진 거리에서 태양상수, CR 은 위성 표면의 반사율에 비례하는 계수, A eg 는 위성의 단면적, r 懿o 는 지구에서 태양까지의 거리 룰 의미한다. 앞에서 설명한 바와 같이 Cowell 방법에서는 섭동 가속도를 2 체 운동 방정식에 더하여 총 가속도를 얻은 후 이를 두 번 적분 하여 임의의 시각에서 속도와 위치를 결정하는 알고리즘을 취한 다. 식 4 - 1 에서 왼쪽의 두번째 항을 오른쪽으로 옮겨서 인공위성 에 작용하는 총 가속도를 구해보면 그 기본 방정식은 다음과 같 이 나타t낼1 0 1수a1= 있i다cB .+ i±= l F ;= iC B+ 戶. NS 군국 #.0 + isR 4-6 위 식에서는 섭동에 의해 나타나는 가속도의 항들 중 중요한 4 가 지만을 포함시켰으며, 여기서 숭. CB 는 점 질량으로 본 지구와 무 한소 질량을 갖는 위성을 2 체 문제로 보았을 때의 가속도로서 f°c B= —G (mEB+ msat) —r7 T 4-7 의 형태로 표시된다. #o 와 #'m 은 각각 태양과 달의 중력에 의

한 가속도를 나타낸다. 식 4-7 에 식 4-3, 4-4, 4-5 의 결과롤 대 입하여 정리하면 이둘 5 가지 가속도에 의해서 나타나는 총 가속 도 P t o t al 은 皇=[ 戶 lz)+ 탸 1 呼+ 탸t)(― s i n a) +[ 平+ i ;k 이 (— sin l cos a) +Gm0(7 ;。 ° _一訂 틀 )+GmM(~一 -; 「틀) 덩 CR~)~ 二? |-G(11Z EI) +1nsa t)플 4-8 皇= [ #;z) + 伊]fr + 伊 (cos a) —[ i;kz ) + #k 이 (sin / sin a) +Gm0(~ 틀 )+Gmm(~ 충) 밍 CR~~-G(mEB+msa t)읍 4-9 皇=［平+ 伊 ]s i n l+[#kz)+ #).,t)] (cos l) +Gm0(7 ::그 |3 층 )+Gmm(~二 ; 13 층) +챙 cR 乞州巴告_ G (me+ msa t)을 4-10 처럼 각 성분에 대해서 나타내 줄 수 있다. 이와 같이 얻은 가속 도는 시간에 대한 2 계 미분 방정식이므로 이것을 시간에 대하여 두 번 적분함으로써 임의의 시각에 있어서의 인공위성의 속도와 위치를 지구 중심 직교 좌표계 (xyz , i, j;, z) 로 계산할 수 있 다. 여기에 사용하는 수치 적분 방법에는 4 차, 5 차, 6 차 그리고

7 차 Rung e -Kutt a 방법 (Fehlberg 1968) , Adams-Moulto n 다단계 적 분법 (Henric i 1962) 그리 고 Gauss-Ja c kson 다단계 적 분법 (Townsend 1963) 등이 있으며, 일반적으로 많이 사용되는 Rung e -K utt a 방법이 더 높은 정확도를 얻을 수 있으나 계산 속 도가 느리다는 단접이 있다. 4. 1. 1. 2 적 분 방법 비보존력장에서 고전적인 N 체 운동 방정식과 그에 해당하는 운동 방정식들은 해석적인 접근 방법으로는 해롤 구하기가 힘들 다. 따라서 인공위성 궤도를 결정하는 데 섭동력을 고려해 줄 경 우 수치적인 적분 방법을 사용하게 된다. 이러한 수치 적분 방법 이란 기본적으로 초기 조건이 주어질 때 다음과 같은 상미분 방 정식의 해를 구하자는 것을 그 목적으로 한다. 뿔=f (x, y) 4-11 일반적으로 수치 적분에서는 5 차 Rung e -Kutt a 방법이 많이 사용된다. 이 같은 5 차 Rung e -Kutt a 방법은 6 차보다 시간이 적 게 걸 리는 반면 끝자름 (tru ncati on ) 오차는 더 크게 나타난다. 보 통 정밀한 계산에서는 7 차 Rung e -Kutt a 방법을 이용한다. 이제 Rung e -Kutt a 방법을 사용하여 인공위성의 운동 방정식 을 수치 적분하는 실제적인 방법에 대해서 생각해 보자. 주어전 기 준점 to 때 인공위 성 의 초기 위 치 와 속도가 f;= (xo, Yo, Zo) , tJo= (uo, Vo, Wo) 라고 알려진 경우 식 4-1 은 다음과 같이 표현할 수 있다. t =-G(me+msa t)r 혹+i支= 1 Fi= 1 4-12

여기서 위 식을 각 성분으로 나누어 주면 硏d2x= —G ( 1129 + 1n sa t ) 픕1 + i~=4 I F,-=/1 굶d2y= -G (m 터 + 11lsat) 갈r -+ l2=4 I F),1 = f2 4-12 7d=2Z- G(112 $ +112sa t)r 유+ i2=4 I FZ1= f3 의 형태로 나타나며, 이것을 dt / dt= u, dy / d t = v 그리고 dz/ d t =w 인 관계를 이용하여 다시 쓰면 다음과 같이 쓸수 있다. 뿜=― G(1n (D +11Zsa t)r속 -+it= I Fx ;= /1 뿜7dvt= = -—GG (( n11Z'lEE BB + + 1n'nl ssaa tt ) )밖rr유 - ++ i2it=4= II1 FFy zi; ==ff2 3 4-14 여기서 f=f(t, x, y, z, u, v, w) 4-15 롤 의미한다. 이 경우 위 식들은 2 계 연립 미분 방정식 3 개가 서 로 꼬여 있는 상태 이므로 Rung e -Kutt a 방법을 적 용시 키 는 데 주의해야 한다. 지금까지 일반적인 Rung e -Kutt a 방법을 이용하여 미분 방정 식을 수치 적분하는 방법에 대해서 알아보았으며, 이제부터는 정 밀궤도 계산에 자주 쓰이는 7 차 Rung e -Kutt a 방법의 알고리즘 울 소개하겠다. 7 차 Rung e -Kutt a 방법은 일반적으로

뿜타(t, y) 4-1 6 의 형태로 주어전 상미분 방정식의 해를 t=t o+h 의 시간에서 구 하는 것을 그 기본 개념으로 한다. 이 방법은 1968 년에 Fehlber g가 시도하였는데, 그는 다음과 같은 과정을 통해 인공 위성의 운동 방정식을 풀이하였다. lo =f ( lo, Yo) /1=/( 三 h, Yo+h 꿈) /2=![ t o+ 강 h, Yo+ h( -f6l o+ 宣 11)] /3=![fo +½h, Yo+ h( 갑 I吐 강서] /4 ＝ f[t 0 군 h, Yo 十 h( 갑 -lo- 쳅 -/2+ 럽)] f5= f[三 h, Yo+h( 蔚 ++/a+½/ .i)] Is=![to + ¾h, Yo+h( 훑f나籠 /3 을f4+船)] lIs1==!![[ tt oo ++ t강 hh,, YY oo++hh((2 옮/fo-o 퉁+ A읊+f 뿡4-f§4f―5뿐+f陶5 )+ ]隱 f6 +3 f7)] /g=![to+ ½h, Yo+ h( 훑 lo+ 읊f3-醫/4＋船멜f6 톱f7 꿉/8）] /10 국〔fo +h, Yo+h( 繼fo-醫f3+黑f4-뿔f5+儒f6

을f7+읊-f8+影)] fu=! [lo, Yo+ h( 志fo-\f5 _ 志f6답-f7+곱f8+衍)] /12=t [to+h , Yo+h(- -H갈-륄h + 鬱鉉-빨f곱關f6 을正읊f8+丑f9+f1 1)] 이러한 과정을 통해 얻어전 식 4_16 의 해는 y=yo+ h( 蓋f5 + 훑f6+훑f7 + 畜I s+ 占f9+晶fu +晶fl 2) 4-17 의 형태로 나타나며, 여기서 h 는 적분 간격을 의미한다. 이 방 법의 끝버립 오차는 읊f0+fl 0_ fI I 玉 )h 4- 18 의 값을 갖는다. 일반적으로 Rung e -Kutt a 방법은 총 가속도를 시간에 대하여 적분하여 속도와 위치를 계산하는 알고리즘을 가지고 있기 때문 에 지정해 준 적분 간격, 죽 시간 간격에 따라 서로 다른 결과를 보여준다. 대체적으로 주기 /50 에서 주기 /100 까지는 큰 차이를 보 이지 않지만, 이보다 더 큰 경우에는 그 편차가 급격하게 증가한 다. 이러한 계산 결과에 의하면 주기 /70 이 가장 적당한 시간 간 격으로 알려져 있다. 지금까지 설명한 바와 같이 Cowell 방법은 인공위성에 미치는 모든 힘을 하나의 운동 방정식으로 통합하여 표현할 수 있으므로

그 계산 과정이 간편하고, 시간 간격을 줄여 줌으로써 원하는 정 밀도의 해를 얻을 수 있다. 또한, 이 방법은 어떠한 섭동력에도 쉽게 적용할 수 있고, 섭동 궤도가 큰 경우에 있어 더욱 좋은 결 과 를 나타내므로 대부분의 인공위성에 많이 적용된다. 4.1. 2 Encke 방법 이 방법은 1849 년 Bond 가 처음으로 개발하였으나 보통 Encke 방법이라는 이름으로 많이 불린다. 특수 섭동론의 여러 가지 방 법 중의 하나인 Encke 방법은 Cowell 방법에 비하여 그 형태가 복잡함에도 불구하고 반세기 이상이나 앞서서 1857 년에 개발되었 다. Encke 방법이 Cowell 방법보다 먼저 개발된 것은 그 당시 의 계산 능력을 고려할 때 물체에 미치는 가속도의 항을 전부 적 분하는 Cowell 방법보다는 섭동력만을 적분하여 주는 이 방법이 보다 쉬웠기 때문이다. 이 방법은 섭동력을 받는 실제 궤도와, 임의의 시점에서 2 체 문제의 실제 궤도에 접하는 기준 궤도를 설정하고, 이들 기준 궤 도와 실제 궤도와의 가속도 차이인 섭동력만을 적분해 줌으로써 두 궤도의 차이가 일정한 범위를 유지하도록 보정하는 방법이다. Encke 방법은 기준 궤도에 대한 항이 포함되기 때문에 Cowell 방법에 비해서 그 형태는 복잡하지만, 섭동력에 해당하는 가속도 가 비교적 작으므로 큰 적분 간격을 쓸 수 있어서 계산 횟수가 줄어들고 이에 따라 계산 시간이 줄어든다는 장점을 가지고 있 다. Encke 방법은 기준 궤도와 실제 궤도 사이의 거리가 커짐에 따라 그 효과가 줄어들기 때문에 주기적으로 축적된 섭동을 설명 하기 위해서 기준 궤도의 요소들을 다시 맞추어 주는 것이 필요 하다. 이 러 한 과정 을 궤 도의 교정 (recti fica ti on ) 이 라고 한다.

\ \ \ \ `` `'~l` `I`A 1 v_'주二。-,l _- -----l -- —__-x-=__ 二-X _-o ―了茂-- }--궤 -' 요— \二//// l

Encke 방법에서 쓰이는 기준 궤도는 보통 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 등으로 가정되고, 섭동이 포함된 실제 궤도와 한 번 이상 만나기 때 문에 〈 k i ss i n g 〉 의 과학적 용어 인 〈 oscula ti on 〉 을 써 서 접촉궤도 (oscula ti n g orbit ) 라고도 한다. 이와 관련해서 기준 궤도 롤 간단히 케플러 궤도로 택하지 않고 섭동항 중에서 주요 영년 항과 주기항을 포함한 기준 궤도를 쓰며 궤도 교정 간격을 늘리 기도한다. 그립 4-1 에서 나타낸 바와 갇이 섭동이 없는 경우 우주선은 계 산의 시간 간격 동안에 기준 궤도를 따라 움직이며, 이 경우 우 주선의 위치 벡터는 5 가 된다. 그러나 섭동이 고려되면 우주선 의 궤도는 보다 복잡하게 변화하게 되므로, 우주선의 위치 벡터 와 속도 벡터 역시 각각 다음과 같이 나타낸다. r=fJ + or v= if+o v 4-19

이제 궤도 계산에 있어서 남아있는 단계는 7 과 5 를 사용해서 앞 철에서와 같은 과정을 통해 운동 방정식을 계산하는 것이다. 이러한 과정은 전 궤도를 통해서 계속되며, 일반적으로 기준 궤 도는 f와 g 급수를 이용해서 계산한다• 4. 1. 2. 1 기본 방정식과 적분 방법 일반적으로 섭동을 받는 인공위성에 대한 운동 방정식은 다음 과 같이 표현된다. f+µ—r7 T =F一 4-20 여기서 r=r(x, y, z) 이고 µ=G(mEB+msa t)를 나타낸다. 이 경우 인공위성에 작용하는 섭동력 F 에는 지구의 비대칭 중력장 에 의한 섭동, 태양과 달의 인력, 태양의 복사압에 의한 섭동 가 속도가 모두 고려되어야 한다. 반면에 섭동을 받지 않은 2 체 문 제의 경우 그 운동 방정식은 'if+µJ!’r =o 4-21 pµ 의 형태로 표현되고, 여기서 5= 5(f, TJ, g)가 된다. 만약 인공위성이 다양한 섭동력을 받는다면, 식 4-19 에서 보듯 이 인공위성의 실제 궤도와 기준 궤도 사이에는 Br= r— p = 8xz+8y ]+o죠 4-22 만큼의 차이가 생기게 되며 이 식을 이용하여 식 4-20 에서 식 4-21 을 빼주면

~=F+µ 信―fa-) 4-23 의 관계식을 얻을 수 있다. 위 식에서 87 이 작아지기 위해서는 괄호 안의 값이 작아져야 하는데 이것은 인공위성이 기준 궤도를 벗어나지 않아야 함을 의미한다. 만약 임의의 초기점에서의 위치 와 속도 벡터를 안다면 그 점을 지나는 기준 궤도를 구할 수 있 으며, 이것을 섭동된 계산과 비교하여 4 t후의 인공위성의 위치 와 속도를 알아내면 다시 그 시각의 기준 궤도를 얻을 수 있다. 식 4-23 에서 우변의 항들은 급p군 =1+2 q 짜r = (1+2 q)-홍 =l- fq 4-24 晟―:)=꿈(fq r ― or) 4-25 의 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 r2=(x2+y 2 +z2), P2=( 판 +1J 2+ t 2) 을 의미한다. 위 식에서 이들을 Tayl o r 급수로 전개하 면 q와f는 q= 군2-pp 2 2 =써(~+亨 )ax+( 7J+우 )8y +(t우 )az)] /=3(1- 웅q+醫q 2_ 醫%+…) 4-26 으다시로 쓰구면해 낼다 음수과 있 다같.이 식표 현4-할26 의수 q있와고, f 를여 기이서용 해h서= y 식, ~4-큰2 3 수을 직 단반경을 의미한다.

~=F+hfq r -h8r 4-27 또한, 식 4-23 에서 그 우변항을 信―곱)= 〔냐―占)-릅 4-28 의 형태로 나타내고, 여기서 or • < r + p) = < r -p } • < r + p) = r2-p2 4-29 의 관계가 성립한다는 사실을 이용하면, 식 4-27 을 f에 관한 급 수를 피하여 나타낼 수 있다. 죽, 〉-눈(~)（군 +r p+p 2) =(W)(~ 「: ;P2) 4-30 =(~)(군~) 이 되므로, 식 4-27 은 다음과 같은 형태로 다시 나타낼 수 있다. 업 ;-=F+µ( Q~-합) 4-31 여기서, Q는 Q=(~컴g)(군~) • 4-32 의 값을 갖는다. 한편 식 4-31 의 수치 적분을 위해

d(dot r ) =ov 4-3 3 ~=F+µ( Q r- 뚜)=g(t fp’ -} , , P, r. F) 으로 두면, 식 4-33 을 수치적으로 적분해 중으로써 실제의 속도 벡터와 섭동을 받지 않은 속도 벡터의 차이와, 실 재의 위치 백더 와 섭동을 받지 않은 위치 벡터와의 차이 를 각각 얻어낸 수 있 다. 이 경우 일반적으로 Cowell 방법보다는 보다 차수가 낮은 4 차 Rung e -Kutt a 방법이 많이 이용된다. 벡터 5 와 5 는 이전 단계의 위치, 속도와 간기 때문에 각각의 적분 구간의 시작 단계에서 이미 알려져 있다. 따라서, 기준 궤 도와 섭동을 받은 궤도 사이의 차는 각각의 적분 단계에서는 적 은 상태를 유지한다. 이 경우 초기 조전은 실제 궤도와 섭동을 받지 않은 궤도가 같은 점에서 시작되므로 or=O ov=o 4-3 4 의 값을 갖는다. 이것은 결국 이러한 초기 상황에서 인공위성의 궤도에 실제로 영향을 주는 가속도 항은 F 밖에 존재하지 않는다 는 것을 의미한다. 한편, 시간이 경과할수록 섭동력 F 의 영향으로 식 4-34 의 값 이 접점 증가하여 실제 궤도와 기준 궤도는 점점 그 편차가 커지 게 되며, 결국에는 두 궤도의 중심력의 차이가 섭동력보다도 커 지게 되므로 식 4-33 이 섭동력에 별로 영향을 받지 않아 계산의 정밀도가 떨어지게 된다. 이러한 문제는 궤도 교정, 죽 실제 궤 도로부터 얻은 접촉 궤도 요소로 기준 궤도를 다시 설정함으로써 해결할 수 있다. 다시 말해서 궤도 교정 때는 식 4-34 가 성립하

고, 이후의 실제 궤도에 대한 위치 벡터와 속도 벡터는 계산된 8r 와 85 값에 기준 궤도의 위치 벡터와 속도 벡터를 더해 줌 으로써 얻어진다. 따라서, 식 4 - 26 에서 I 와 q를 구한 뒤 식 4 - 25 의 관계 를 이용하면 식 4 - 23 의 r 값을 구해낼 수 있다. 우리 는 지금까지 이 절에서 Encke 방법을 이용하여 섭동력이 존 재하 는 경우의 인공위성 궤도를 결정해 보았다. 이 방법은 Cowell 방법에 비해 적분 간격을 비교적 크게 취할 수 있으므로 오차와 계산 시간 을 줄 일 수 있다는 장점이 있다. 일반적으로 궤 도 주기의 10 정도로 시간 간격을 잡아주는 것이 가장 적당한 것으로 알려져 있으며, 계산 속도는 Cowell 방법에 비해 약 4 배 정도가 빠르다. 그러나 운동 방정식의 표현이 다소 복잡하고 2 체 문제를 반복적으로 풀어야 하는 단점이 있으며, 기준 궤도를 꼭 계산해야 되는 불편이 있다. 또한, 이 방법은 큰 섭동력이 존재 하 는 경우에는 오차가 크기 때문에 일반적으로 잘 적용되지 않 는 다. 4.2 일반섭동론 일반 섭동론이란 궤도 요소에 대한 라그랑주 (La gr an g e) 방정 식을 급수 전개시켜 해를 구하는 이론이다. 이것은 특수 섭동론 에 비해서 급수 전개되는 함수가 수백 개의 항으로 이루어져 있 어 아주 복잡하고, 정지 위성의 궤도 산출에 적용할 때 약 5m 정도의 오차값을 갖는 단점이 있지만, 영년 변화와 장주기 변화 룰 점검할 수 있기 때문에 수년 혹은 수백년 후의 위성이나 행성 의 궤도를 쉽게 예측할 수 있다는 장점이 있다. 기존의 방법에서는 일반적으로 모든 경우에 대해서 a, e, (J},

i, Q, M 의 6 개 궤도 요소를 사용하여 섭동의 양을 구하지만, 이 절에서는 궤도 이심률에 따라 그 경우 를 나누어 서로 다른 궤 도 요소를 적용할 것이다. 이심 률 e 에서 특 이점이 생기 는 경우, 죽 거의 원 궤도인 경우에는 a, i, 요, ec=e cos (JJ, es= c sin (JJ, l=M+ (JJ의 궤도 요소를, e 와 i에서 특 이점이 생기 는 정지 위성의 경우에는 a, ec=e cos W, es=e sin W, U'c = s in i cos 요, Ws=sin is in Q, L=M 틀(ii] = (JJ＋요)의 새 로운 궤도 요소 를 이용하여 섭동 방정식을 만들고 여기에 일반 섭동론옹 적용해 보겠다. 이와 같은 섭동 함수는 손으로 직접 전개하면 많은 시간이 요 구되지만, 현재에는 컴퓨터의 발전으로 인하여 Hearn(1 9 76), Dasenbrock(1982) 등이 개발한 컴퓨터에 의한 수식 처리 를 이 용하여 쉽고 빠르게 전개할 수 있게 되었다. 이것에 대한 방법은 4.3 절에서 자세히 알아보도록 하겠다. 4. 2. 1 매개 변수의 변화법 일반적으로 2 체 문제에 있어서 궤도 요소는 상수로 취급되지 만, 실제의 경우에는 이러한 값들이 시간이 경과함에 따라 조금 씩 변화하는 변수의 형태로서 나타나게 된다. 이러한 접에 착안 하여 섭동을 주는 천체의 위치를 산출하는 방법들이 다양하게 고 려되어 왔으며, 이 방법들을 흔히 매개 변수 혹은 궤도 요소의 변화법이라고 부른다. 이러한 매개 변수 변화법은 18 세기 L. Euler 가 목성과 토성 간의 상호 섭동을 구하는 데에 처음 사용 하여 그 연구 결과가 1748 년에 발표되었으며, 1752 년에는 그 효 용을 인정받아 프랑스 과학 아카데미의 대상을 수상하였다. 그후 J. L. La gr a ng e 가 매개 변수의 변화법을 개량시켜 그 이론을 완

성하였다. 이 절에서는 접 촉 궤도와 실제 궤도와의 관계 를 이용하여 직교 좌 표 계에서의 섭동 을 구하고, 이렇게 구한 섭동을 새로운 좌표 ~. t . TJ, iJ 로 나타내고 Lag ran g e 괄호 를 이 용하여 섭동 방정 식을 구하 는 방법에 대해서 생각해 보도록 하겠다. 일 반 적 으로 임의의 시각 t에서의 위성의 위치는 직교 좌표계 에서 X= X ( t, Ci , C2, Cs) y= y (t, Ct , C2, C5) z= z (t, CI, C2, 어 4-35 의 형태로 표 시 할 수 있으며, 이 룰 벡터의 형태로 나타내면 r=xz+y J+ z k r=r (l, Ci , C2, …, C5) 4-36 가 된다. 여기서 i, j, k 는 각각 x 축, y축, z 축에서의 단위 벡 터 를 의미한다. 보 통 위성이 케플러 궤도 를 그리는 2 체 운동을 하는 경우에는 식 4 - 36 에서 c,. ( k= l . 2, …, 6) 의 값은 일정하게 유지된다 . 그 러나, 다론 질량에 의한 섭동이 존재하는 경우에는 이것은 매우 천천히 변화하는 시간에 대한 함수가 된다. 케플러 궤도에서 C1 t 는 a, e, i, (J), 요, T 또는 이 요소들의 조합으로 이루어지며, 어떤 한 순간의 위성 관측으로부터 c,. 를 구한 궤도를 접촉 궤도 라고 한다. 만약, 그림 4-2 에서와 갇이 중심 질량 m1 의 주위를 질량 m 인 물체가 운동하고 있는 계에서 질량 m' 에 의한 섭동의 영향이 있 다고 하면, 위성의 운동 방정식은 앞에서 살펴본 바와 같이 일

z

반적으로 #＋r止 =VR 4-3 7 의 형태로 표시되고, 여기서 µ=k2(m1+m ) R=섬 m'( 上p xx'+~ ) 4-3 8 VR= 誓i+뿡J+뿔£ 의 값을 나타낸다. 이제 그립 4-3 과 같이 m 과 m' 이 반경 a, a'(a'>a) 을 가지고 중심 질량 m1 주위를 원운동한다고 가정하고, 이 운동의 x 성분 만을 고려해 보자. 만약 m' 이 없다면 , 짧은 시간 간격 r 에서 질 량 m 은 접촉 궤도 C1 을 따라 운동하므로 Xo 는 그 다음 순간에

! m

X1 이 될 것이다. 그러나, 실제로는 m' 의 영향 때문에 m 은 C 를 따라 움직이므로, Xo 는 x 가 되고, 이때 C 는 이 경우에 있어서 실제 궤도가 된다. 이때, 시간 간격이 매우 작아서 x 와 X1 의 값을 충분한 정확도 로 얻을 수 있다고 가정하면, x 와 X1 은 x=xo + 델)。 r+ (열)。f+ ·· · x1 =xo + 傳)。 r + (皇)。-f+ ·· · 4-39 의 형태로 구해낼 수 있다. 이 경우 m' 에 의한 섭동은 x —X1 = & = [(%)。- （틀)。] r+ [(皇)。- （皇)。]f 4-40 으로 나타내어진다. 여기서, 전미분은 실제 궤도, 편미분은 접촉 궤도를 의미하며, 실제 궤도는 궤도 요소들의 변화를 포함한다.

죽, 뿔홉정훑” 의 값을 의미한다. 또한, 접촉 궤도의 정의에 의해 Xo 에서의 속도는 접촉 궤도와 실제 궤도에서 서로 같으므로 델)。-（룹)。 =O 이라는 관계가 성립하고, 이것을 이용하면 식 4-37 은 (1:: )。＋뚱=(營)。 4-41 의 형태로 다시 나타낼 수 있다. 여기서 접촉 궤도에 대해 (信)。＋탭 =O 4-4 2 의 관계가 성립하므로, 식 4-41 에서 식 4-42 를 빼면 섭동 함수의 변화는 떨)。-(信)。=澤)。 이 된다. 일반적으로 식 4-40 으로 나타난 섭동은 식 4-38 을 적용하여 8x= 강전운)。=강 r li m'(~ _품)。 의 형태로 나타낼 수 있다. 만약 질량들이 매우 근접해 있다면, x'-x 츠 a' －프 나타낼 수 있고, y축과 z 축에서의 섭동은 무

시할 수 있다. 이 경우 시간 간격 r 를 m1 주위를 도는 m 의 주기 P 의 단위로 나타내면, 케플러 제 3 법칙 P2= 4k 군2m a 13 (m1~ m ) 에 의해 섭동은 다음과 같이 표시된다. ox=2 군 a3( 릅)(》『[ (a'] a) 2」 T] 4-43 이해를 돕기 위해 목성 주기의 1/2 의 주기를 가전 소행성에 미치 는 목성에 의한 섭동을 생각해 보자. 케플러 제 3 법칙에 의해 이 소행성은 a=3.3(A.U. ）인 궤도 장반경을 갖는다. 이 경우에 있 어서 목성의 장반경은 a'=5.2(A.U.), 이들 사이의 질량비는 부m1 =0.001 이므로, 목성에 의해 이 소행성에 미치는 섭동의 크 기는 8x 탁 0.16( 玉) 2 (A . U . ) 의 형태로 나타난다. 만약, 소행성 주 기의 0.1 %동안 이 섭동이 지속된다고 하면, ox=0.0016(A.U. ) =240000(km) 가 된다. 이런 종류의 섭동을 이용하면 수성과 목 성 궤도 사이의 소행성 궤도 고리에서 나타나는 간격의 원인을 설명할 수 있다. 이를 흔히 Ki rk wood 툼이라고 한다. 이와 비 슷한 현상으로 토성 고리의 카시니 간극을 둘 수 있는데, 이것은 토성의 위성 미마스 (M i mas) 에 의한 섭동의 결과로 생긴 것이다. 다시 섭동 방정식의 일반적인 내용으로 돌아가서, 시간 t의 함수인 Ck 를 포함한 식 4 - 37 로부터 위성의 속도 벡터 #는 戶＝불정是 4-44 의 형태로 나타나고, 여기서 Ck 는 다음과 같이 정의된다.

g是 -=O 4-45 또한, 접촉 궤도에서의 속도는 프8＝t 호-8t i +쁘8t ? J +쁘8t £ 가 되며, 이것은 실제 궤도에서의 속도 戶 = x z+ y] + z ii와 같 은 값을 갖는다. 식 4-44 를 시간 t에 대해 미분하면 r.: .: =a寄2 Tr +.J 홉..!. 8at82 cr k . 가되고, 이 식을 식 4-38 에 대입하면 인공위성의 운동 방정식은 信-+ µr< 강 ! :t2a:k ¢k =VR 4-46 의 형태로 다시 나타낼 수 있다. 여기서 식 4-46 은 접촉 궤도에 대해서 R=O 이고, Q는 상수이므로 릅 -+~=O 의 관계를 만족한다. 그러므로 이 경우에 있어서 식 4-46 은 결국 설1 :a:k ck=VR 4-47 의 형태로 표현될 수 있다. 또한, Ck 에 대해 식 4-45 와 식 4-47 을 풀면 궤도 요소들의 시 간에 대한 미분값을 직접 구해낼 수 있다. 식 4-47 에서 2 계 편미 분항은

:t28:k =〈(불)=是 로 표시되므로, 식 4-47 은 결국 홀1 望 Ck=VR 4-48 의 형태로 나타낸다. 여기서 식 4-48 과 식 4-45 의 양변에 각각 臺)와 (틀)를 곱하여 빼주면 홀!［불·*―if-·불] Ck= 'v R 불 (j=l, 2, …, 6) 4-49 의 식을 얻을 수 있으며, 이때 괄호 안의 항들을 라그랑주 괄호 라 하고 [CJ , Q]로 나타낸다. 이 라그랑주 괄호를 직교 좌표로 서 나타내면 [CJ , Cka(cj], =Ck) I~ a(c+j, Ck~) I +a(cj,~ Ck) 의 형태가 된다. 여기서 aa((cxj,, xC>k) =--- II aaacxxj aaacxxk acj ack 으로 정의되고, 이것은 y와 z 에 대해서도 같은 식으로 나타낼 수 있다. 식 4-49 의 경우 오른쪽 변은 Cj 에 대한 R의 편미분이므로, 식 4-39 는

}J1[C j, Ck] ＝營 (j=1 , 2, …, 6) 4-50 이 되며, 여기서 이들 6 개 방정식은 ¢ k 에 대해 구해진다. 이 방 정식에서 사용되는 라그랑주 괄호의 일반적인 성질은 다음과 갇 다. [ch cj] =O, [ck, Cj ]= 一 [c j, C 』 i'af [cj, ck]=O 4-51 지금까지 우리는 접촉 궤도와 실제 궤도와의 차이를 이용하여 직교 좌표계에서 인공위성이 받는 섭동에 대해 생각해 보았다. 그러나 실제적인 경우에 있어서 이러한 직교 좌표계는 별로 사용 되지 않고, 대신 2.8.2 절에서 설명한 바와 같은 궤도 평면 좌표 계가 많이 사용된다. 따라서 우리는 지금까지 살펴보았던 섭동식 들을 궤도 평면 좌표계로 바꾸어 주어야 하며, 그 변환 과정을 이제부터 살펴보기로 하겠다. 그립 4-4 에서 P' 은 근일점 방향의 단위 벡터, Q'은 11=90° 방 향의 단위 벡터, R' 은 궤도면에 수직인 단위 벡터라 하자. 그러 면 R'=P'x Q’이 되므로 각 단위 벡터들을 다음과 같이 궤도 요 소에 대한 식으로써 나타낼 수 있다. P'= (cos (J} COS 요 -s i n (J} sin 요 cos i) l Q. '= ++( - ((.ssciionn s (((JJJ}}} scsoiinns i!!)2J -k+~ -c so i ns ((JJ}} ssiinn 요Q ccooss ii)) j?l 4-52 ++ ((c-oss in(J} s(J}i ns iin ) !kJ. + cos (J} COS 요 cos i) J 4-53

z1 In- 축 —二 (x,` y , z )' o 근-r(지-~-.접 -TE J,- ?축;)

R'= (sin Q sin i) z+ (— cos Q sin i) J+ (cos i) k 4-54 여기서 t, j, i는 각각 x, y, z 축의 단위 벡터이다. 위 식에서 보듯이 이들 단위 벡터들은 궤도 요소 요, (J), i에 의존하지만, 궤도의 모양과 위성의 위치를 정의하는 a, e 등이나, 기준점 통 과 시각 T 와는 무관한 값을 갖는다. 따라서, Q는 각각 3 개씩 두 그룹으로 나누어 줄 수 있는데, 편의상 a, e, T 를 a1, 따, a3 라 정의하고, 요, (J), i를 BI, B2, B3 라 정의한다. 이 경우 라 그랑주 괄호는 [ar, as], [ar, fls], [fln fls] (r=l= s ; r, s=l, 2, 3) 의 세 가지 로 나누어 표시 된다. 식 4-52, 4-53, 4-54 를 다시 간단히 하면 PQ''==QP1i zz ++ QP22 J1 ++ pQ;; kf R'=Ri t+磁}+印i 의 형태로 나타낼 수 있으며, P', Q', R' 의 각 성분들은 x, y,

z 축과 이루는 방향 여현을 의미한다 (McCuske y 1963). 결과적으로 어느 한 순간의 위성의 위치 벡터는 r =xl+y J+ zk=; P'+ r; Q' 4-55 으로 표시할 수 있고, 여기서 5 와 n 는 궤도 평면 좌표계의 성분 을 나타낸다. 또한, 속도 벡터는 식 4-55 를 시간에 대해 미분해 줌으로써 t = x z+ yJ+ z ii= tP' + ~Q'+ tP + TJQ' 4-56 의 형태로 나타낼 수 있다. 접촉 궤도의 정의로부터, 戶=8―87t 이 므로 ~P.... '+ 77Q .... ' =O 이 되고, 이것을 식 4-56 에 대입하면 t=tf>+ 찌 4-57 y처, 럼y ,간 단z, 하갔게는 표 새현로할운 수좌 있표다 .E , 식g , 4-n5,6 과力 로식 나4-타57낼 로 부수터 있x으, 며i, , 또한 라그랑주 괄호 [ar, as] 의 정의로부터 [ar, as]= a8((axr,, ia)s) +I a8((ayr,, yas)) +I a8((azr,, zas)) = 8888aaixTT aaaaaaxxss I1II + 1III aaaaaayyrr 훑 읊+ 훑튤aaaaaazzss 4-58

가 된다. 또한 x 성분에 대해 (:;), (〔:)는 각각 —ac)a_x r =-—aa x~ -aaa~ r +'' —aaxr; — aaa— r;r aaaxr = 보a~ 흐aar+ ' a료~ 오aar 의 형태로 나타나고, 여기서 —aax~ = P,.....1.. ,, —aaxty = P1 호a=n Qi, 오8n후 =Q ; 의 관계가 성립하므로, 식 4 - 58 의 x 항은 (P i틀+Qi틀) (P i틀+Qi麟) (P 를+Q틀) (P 댈~+Qi틀) 로 바꾸어 나타낼 수 있다. 이는 y와 z 의 항에 대해서도 같은 모양을 갖는다. 이들 방향 여현둘은 일반적으로 상호간에 Pi2 + P22+P32=l Qi2+Qz 2+Q ? =l PiQ i + P2Q z + P3Q 3= Q 의 관계를 가지고 있다. 그러므로 식 4-58 에 주어전 라그랑주 괄 호는

[ar, as]= 효aaaaatrr 꿉aaaaatss III + III 호aaaaaTrrJ 蠶훑

이 되고, 이 관계로부터 ~=a[1-~ 『]― ae 7]=~— T) =na 鬪言(t― T) 의 값이 계산된다. 또한, 위 식을 시간에 대해 미분해 주면 £= —(1n _2ae) 2 (t _ T) i; =na 鬪言 의 값도 역시 얻을 수 있다. 여기서, 케플러 제 3 법칙에 의해 n2a3=µ 의 관계가 성립한다. 이해를 돕기 위해서 예를 들어 [ar, as]=[a, e] 라 하면 릅 =[1 ― n;{ i-― e〈 『 ]+a[ ― n( 틀1 )~ te :2T)2]-e 의 형태로 표시되고, 이 식은 t =T 에서 (틀)t =T=l ― e 의 값을 갖게 된다. 같은 방법으로 (틀)t =T= 훑[걸(仁 :))2l=T=[~ ―김 ]t=T =O (틀)t =T=[-~-al=T=-a (틀)t =T=[-~?~l=T=O

의 관계식을 쉽게 얻어낼 수 있다. 그러므로, 자코비안은 결국 迅a(a요, 요e) =O 의 값을 갖게 된다. 또한, 다른 성분들에 대해서도 (틀)t =T=O, (틀)t =T=- 꿍겁 (틀)t =T=O, (틀)t =T= (1 ― e;1 도 의 값을 얻을 수 있으므로, 問 ~=O 이 되고 이것을 통해 [a, e]=O 이 됨을 알 수 있다. 같은 방법으로, 나머지 궤도 요소들에 대해서 섭동 방정식을 구하는데 필요한 라그랑주 괄호를 구해 보면 [요, a] = na cos ;平 [(J}, a]=~ 尸 [e, 요]= naa2e cos i 4-61 [e, (J}］na=2e瓦 [i, 요] = -n a2 sin i ./f=e2 [a, T]= 亨

의 형태로 나타나고, 나머지는 모두 0 이 된다. 만약, 궤도 요소 T 대신에 6=_nT 를 사용하여 나타내면 [a, a]= 問 의 값을 얻을 수 있다. 일반적으로 식 4 - 61 에서 처음 4 개의 괄호 는 [ar, /3 s] 형, 5 번째는 [/Jr, /J s] 형, 마지막은 [ar, as] 형이라고 흔히 불린다. 4.2.2 섭동 방정식 우리는 앞 절에서 인공위성의 섭동을 구하고 그것들을 궤도 평 면 좌표계로 변환하는 방법에 대해서 살펴보았다. 이 절에서는 논의를 보다 더 발전시켜서 앞의 방법을 이용하여 인공위성이 받 는 섭동 방정식을 구해 보고, 새로운 세 단위 벡터 IR', §', W' 를 도입하여 이 섭동 방정식을 일반화시켜 보도록 하겠다. 식 4-61 을 식 4-50 에 대입하고, [ck, c;]=-[c;, ck] 의 성질을 이용하면 이들은 —21 naa. = a8R(J (½na~ 曰麟 )e= 뿔 (강 na cos 홉구) E ( 강펼 L) e — ( na2 sin 這구) 뿔 _뿔 (na2sin 這구)g=뿔 4-62

(-½na cos i平)g _(½na 平 )w - (½na) iJ=誓 (강롭情+（二 )w= 뿡 의 형태로 다시 표시할 수 있다. 그러므로 시간에 대한 미분은 a. = n2a aaRa 4-63 e=( 冒e 2) 誓_(?.)뿔 4_64 d=(_ 1n-ae2e2 胃j ae― 요na 뿌aa 4_65 Q=( na2s i n11· 투멉 4-66 m=( na2 s-icn o is /i i구 胃ai+ 1 (\ n工a2e리 j 쁘ae 4-6 7 뿜=( na2s:n? 노미뿔( na2s i n1這 구)醫 4-68 이 되며, 식 4-65 를 이용하여 평균근접각 M=n( t- T) =nt+ 6 룰 나타낼 수 있다. 이것은 결국 섭동 방정식을 R(a, e, (JJ, i, 요, M) 의 형태로 쓸 수 있다는 것을 의미하는데, 이는 R 가 M 으로 나타낼 수 있는 시간과 T 에 대한 함수이므로 가능하다. 여기서 평균근점각 M 을 시간에 대해 미분하면 M=n+ nt+ a=n+ 뿔 a t+ a 의 형태로 나타내어진다. 이때, d 는 식 4-65 에서 주어지며, 이 식을 이용하기 위해서는 먼저 강：의 값을 알아야만 한다. 휩흡는

케플러 제 3 법칙 µ=n½a 용에 의해서 M=µzI a-t3 t + a 이 되므로. 誓=（첼 )M+ 겔뿔=(핑江+(一붕)醫 4 一 69 의 형태로 표시된다. 또한, 식 4-69 와 뿔=―맵를 이용하면 평균근점각의 시간에 대한 미분은 M=n-l; 『 -(~;）誓 -¾(¥.-)M+ 픕핼 의 형태로 다시 나타낼 수 있다. 그러나 식 4-63 으로부터 d= 굶2 寄aR＝ 志2 詞aR 의 관계가 성립하므로, 이 식을 위에 대입하고 마지막 항을 무시 하면 M=n-(~ 邊一글뿔 )M 4-70 d= 占훑 4-71 이 된다. 이 식에서 M 이 6 대신 사용될 때는 식 4-65 와 식 4-63 을 각각 위 의 두 식 4-70 과 4-71 로 대 체 하여 줄 수 있다. 지금까지 우리는 인공위성이 받는 섭동의 방정식들을 스칼라 양으로써 나타내어 보았다. 이제 이 논의를 좀더 일반화하여 새 로운 세 단위 벡터들을 도입하고 이를 이용하여 섭동 방정식을

구하여 보도록 하자. u구 을 r 방향의 단위 벡터, u; 를 궤도 평면 에서 r 에 수직이고 V 와 g oo 보다 작은 각을 이루는 단위 벡터, t a 를 궤도 평면에 수직인 단위 벡터라 할 때, 이들 사이에는 uA=u--;.X u 11 의 관계가 성립한다. 만약, u= (JJ＋ v 를 중심과 승교점을 연결한 선에서 동경 벡터까지의 각이라고 하면, 인공위성이 받는 힘은 F一 = IR'u_r +§ 'u'e + W'uA 4-7 2 가 되고, 여기서 단위 벡터들은 직교 좌표계에서 다음과 같이 나 타낸다. iir= (cos .Q cos u-sin .Q sin u cos i) z + (sin .Q cos u +cos 요 sin u cos i) j iie= (+- c(soins .uQ ssiinn i u) —k sin .Q cos u cos i) i + (-sin .Q sin u+cos .Q cos u cos i) J iiA= +(s i(nc o .Qs sui ns i in) iz)+ k ( —cos 요 sin i) J+ (cos i) k 이 경우 섭동 함수 R에 의한 가속도를 성분별로 나타내면 VR= 뿔;＋磐J+뿔i 의 형태로 표시할 수 있다. R 에 의한 힘의 성분들은 편미분 짚aa ' 낌ae 등의 모습으로 섭동 방정식들(식 4-63~ 식 4-68) 에 적 용되며, 새로운 힘 F 로의 전환은 비교적 쉽게 이루어진다. 만약 C가 궤도 요소들 중의 하나롤 나타낸다면 다음과 같은 식을 얻

어낼 수 있다. —a8Rcj =V, ...,R,.., ·—a8 crj r= 죠+yJ +zk 위의 두 식은 결과적으로 언ac :j =F,. · 요acj 4-73 의 형태로 단순화시켜 나타낼 수 있다. 지의한 편예 미로써분 들힘을 의 이성용 분하 여IR ', ::§ '를, W구'해 과보,자 .식 식4- 634 -에5 5서 로 부식터 4 -71 까 r= 안)'+ 7]Q' 의 관계가 성립하므로, 위치 벡터의 반장경 a 에 대한 편미분은 끄aa =P~ ’ 延aa - +'QG :' a~a 이 되며, 여기서 P’ 와 Q’는 그림 4-3 에 나타낸 것과 같이 단위 벡터를 의미한다. 위 식은 식 4-73 의 우변항과 같은 형태를 취하 고 있으므로 이것을 식 4-73 에 대입하면 우리가 구하고자 하는 편미분의 값을 다음과 같이 얻어낼 수 있다. 誓 =F·P’ 릅 +F· Q'틀 4-74 이제 남아 있는 과정은 식 4-74 의 우변항들을 구하는 것이며, 이 값들은 식 4-59 와 식 4-60 에 의 해

효8a =cos E-e=s_a_ _ , ~8a= sin E If구=꼬a 4-75 의 형태로 얻어낼 수 있다. 또한, 식 4-62 에서 F= JR. 'u-;.+§'u걸 +W'uA 의 관계가 성립하므로 F·P'=IR.'c os v— §' sin v, F·Q' = IR.' sin v+§'cos v t= r cos v, 77= r sm v 의 값을 얻을 수 있다. 위 식들은 결국 F- • P;:;,' =-1r( IR'5— §'TJ) 4-76a F · Q'= +-r< 1R'TJ + §'~) 4-76b 처럼 단순화시켜 나타낼 수 있다. 이제 위에서 얻은 식 4-75 와 식 4-76 을 식 4-74 에 대 입 하면 최 종적으로 莖aa =IR'' .aI_ 의 형태가 되고, 이상과 같은 방법으로 다른 편미분들도 모두 구 할수 있다• 誓=_IR. 'acos 莊 S'as i n v 〔巨 a （ 1: 강) ] 8R IR'ea sin \S'a2 石구 言= g구 r 函8R =S'rcos i- W'rsin ic os u 4-77 쁘8(L) =S'r

寄aR =W'rs i n u 위에서 얻은 값들을 식 4-63 에서 식 4-68 까지의 방정식들에 대 입하면 우리는 각 궤도 요소들의 시간에 따른 변화율을 다음과 감이 모두 구할 수 있다. d = n2e ~sin• I.I I-R'+' 2a frn구 S' 4-78 e=sm I.I n: 구 IR' 十 ::[a2(1 ― ~]s' 4-79 6=[ (1_:2;eCOS I.I ―풀 ]IR'_ (1— ::e sin I.I[ 1+ a(1:e2) ]s 4-80 g = a2nsr ins m 깁 u 言2 W 4-81 m= -cosaI .nI 尸 +sin Ia.I :[1+ a(l:e2) ]S' _ ra: 麟n 룬 밑. W' 4-82 쁘dt= - a~2nW~ ' 4-83 식 4-78~83 에 따르면, 요와 i에 의해 주어지는 궤도의 부분적인 변화는 W' 성분을 가진 섭동력, a 와 e 와 6 는 R 과 S' 의 섭동 력이 가해질 때만 변한다는 것을 알 수 있다. 실제 위성 문제에 섭동을 일으키는 주된 힘은 제 3 의 물체에 의 한 섭동과 편구에 의한 섭동이다. 게다가 많은 인공위성 궤도의 경우 대기항력의 영향도 받게 되며, 편구와 제 3 의 물체에 의한 섭동이 보존되는 데 비해 대기항력은 보존되지 않는다. 따라서,

일반적으로 다음과 같은 두 가지 형태의 섭동 방정식이 실제 문 제에 많이 적용된다. 하나는 라그랑주에 의해 발전된 것으로서 섭동력은 스칼라의 변화로 쓰인다. 다른 하나는 가우스 (Gauss) 에 의해 발전되었으며 더욱 일반적인 것으로, 서로 다른 세 단위 벡 터에 의해 설명된 섭동 방정식의 형태이다. 4.2.2.1 라그랑주형 섭동 방정식 라그랑주는 섭동력을 속도에 무관한 스칼라 양으로 나타내어 이 섭동력에 의한 각 요소들의 변화를 구하였다. 이 절에서는 궤 도 요소들을 다음 10 가지의 경우로 변화시켜 각 경우에 대한 섭 동 방정식을 결정하였으며, 그 개략적인 결과들을 기술하면 다음 과 같이 나타난다 (Taff 1985) . l. a, e, (1), i, 요와 T[M=n (t -T)] 를 이용 ti=—2µa—2 oo—RT e=— µL2—2e —o8RT _ (1e-L 강 ) _8a_(R /) 0= (l;L장 ) （笠 言:＇ 짱) 4- 84 뿔=뚜.L (cos i邑醫) Q=트L 브華8t t=µ꼬 호aa +I 上µ2e: a호e 2. a, e, (/), i, 요와 6=一 nT[M=n t +a] 를 이용. 이 경우 단 d, ¢, t의 방정식만 변하고, 나머지 것들은 1 과

같은 형태를 갖는다. a. = n2a 88R6 e=~ 뿔 -(1µ-aee:) 년 4-85 6=-((µ 1ae-2e)2 1) 12 —aaRe — —n2a _aaR_a 3. a, e, (J}, i, 요와 島 [M=nU- to ) +Mo] 를 이용. . 2 aR a= 詞詞 e= 1n —a2ee2 8aMRo —(1 n-a2e2e ) tI —aaR(J} 硏=― coLt i 힙a노i -' (ln-ae2 e恒 I 합ae 4-86 쁘dt =또L 무a(인J} -L무 잎a 요 QMo==-L흐 na합82ie —ae _—na —aa (l-e2) aR 2 aR 4. a, e, w, i, 요와 c= w+a[w= (J}＋요, M=n t +a] 를 이 용. a. = n2a ooRc e= －무후 cos ¢t an( 운) 革 na2 ow ' na2 oc

젊 = Cn0a 나2 쁘8e + t an 信n).a 2 s ec ¢ a—Rai 4-87 쁘dt= -- csc nias2 e c ¢ 낌a요 i _ tan ([ ]2sec¢ ( 普룹) Q = csc nt aS~: c ¢ 述ai .c = —2na 誓 + c。 s ¢ tan(2In`운 a`J\ _,, _ 誓+ t an( 숭na )~ 2s ec ¢ 述oi 여기서 e =sin ¢의 값을 갖는다. 5. 독립 변수로서 진근점각 y를 갖는 a, e, (J), 1, 요와 Mo[M=1'l (t—to) +Mo] 를 이용. 皇=古信 )2 (1 ― 1강 )1/2 읊 총= (1 급: :1/2 (;『織 7 노(덩픈 dd(vJJ = n2a 털:;：강) 信 )2 誓+ n2 노(니誓 4-88 ddvi = ：운국디멜- n2a?e2) （니겔 썩d n흙 詞孔텁떨 뿡v =-告亭집앨 #a(1 2군 )ll 石/ r)\2 志aR 6. 이심률이 작은 경우, ec=e cos w, es=e sin w 인 경우. 앞의 4 번 경우에서 단지 e, 5 의 방정식만이 변화한다.

7. 궤.e도.es =경사다一­eos 각e¢gcc이 1=s 1伊:¢2작2』2a 이sceReeasse이莖e 은 ¢s2 ece c경 Io1t우Ia¢sr,1 s —2tang岭―a―RuaRac a c 2p (2 \=―2이 l1.\1c21/ 2 ss \1 e,i -_ne\C 1 )e i1¢s 2s l ¢i (¢n 誓 Q)— S챌 , cq2 l= 2 sin i c o4s-8Q 9 인 경우. 4 번의 경우에서 겅}, g의 방정식만이 변화한다. ) = cos( µia s)e 11c2 ¢ 쁘aq p cos i 2se (cµ2a () 숭1l2) sec (I aR志 ,+ aR걸 4-90 q, =_ _ cos( µia s)e 1cl2 ¢ 겅iJR q cos i 2se (cµ2a () 1숭/2) sec (I aR詞 ,+ aR길 8. 궤도 경사각이 작은 경우, P=t an is in Q, q=tan i cos 요 인 경우. 4 번의 경우에서 겅~, .Q의 방정식만이 변화한다. pq==-뿌Lse c후L3 i쁘a q商a R p sqe c et. Ssec2Z(L _2.etSc)22 .2t(_2 i_! Lc`醫) (`( —a+w a뿔+ R言aR ) \' _) _ 4-91

9. 이심률과 궤도 경사각이 작은 경우, ec=e cos w, es=e sin w, P=s i n i s i n 요, q =s i n i cos 요인 경우. ci., i의 방정식 만이 변화한다. ¢s= COnSa2¢ 뿔+ ec COt t t an\＼ 강) sec ¢ (폴+q營) — esCOS 少 sec2 信) 革 2na 8c ec= ＿털뿔_ esCOt it:：숭 )sec¢ (폴三) ec Cos ¢ sec2 信) 莖 2na 8c p= cos nias2 e c ¢ 革dq 4-92 _ p cos t se2cn2a\숭 ) ~ (ec 塾+ e 훌룹) q=_. COS nt as2 e c ¢ 莖ap q cos i s~뀝 sec¢ (틀틀룹) 10. 이심률이 작은 경우, ec=e cos (/J, es=e sin (/J, x=(/ J _nT 인 경우. ci =2 信)상뿔

¢s= (1 ―L궁 ) —aaeRc _ ec cLo t i —aaRi ¢c=_ (1 군L ) 産8es나 ecCLo t 1· 筑ai _ L[1 e+c ((11 구_ )e2) Il2] 한8:x 뿔 =L-1[co t i (ec 뿔― es 笠+뿔)― cos 겔] 4-93 Q=L호 한ai X.= L[l+\; :2e 2) 때(틀 +e 훑 )_2 信)년_ cT 뿡 4. 2. 2. 2 가우스형 섭동 방정식 가우스는 일반적인 문제들을 다루키 위해서 라그랑주의 방정식 둘을 더욱 확장시켰다. 그는 인공위성에 작용하는 섭동력을 크게 3 개의 수직 성분으로 나누고 이것들을 다음의 방법과 같이 새롭 게 계산하였다. 이제 I R.’을 동경 벡터의 성분(반지름의 거리가 증가하는 방향 이 +방향), S' 을 궤도 평면에서 IR' 에 수직인 성분(경도가 증가하 는 방향이 +방향), W' 을 궤도 평면에 수직인 성분(궤도 운동이 반시계 방향으로 나타나는 방향이 +방향) 이라고 정의하자. 또, r 울 동경 벡터, A 를 경도, z 를 궤도면에 수직인 좌표라 하면 섭 동력의 각 성분들은 IR'= 慕 S'= 뿔 w= 뿔 의 형태로 표시가 된다. 또한 a 를 6 개 궤도 요소 중의 어느 하 나라고 가정하면

莖aa＝ 안ar호 aa+ ' 革aJ썬 a-a ＋' a안z 호aa 라는 편미분이 성립하며, IR', S', W' 의 항으로 이루어진 위 식 울 계산하기 위해서는 타원 운동의 경우에 있어서 각 궤도 요소 에 대한 r, 11, z 의 편미분을 구해야만 한다. 이러한 경우 일반 적으로 흔히 사용되는 a, e, (J}, i, 요, T 의 궤도 요소들을 사 용하는 것보다는 a, e, w(=( J}+Q)i, 요, E(=M+w-nT=w _nT) 로 정의된 새로운 궤도 요소를 사용하는 것이 더 편리하 다. 이들 편미분들을 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있 다. —ddar =ar- ' —a der =_acos v —8<1a,1 = 2+1e_ ceo2s v sm. 11 훑=룹 (1 구 )1/2=~?: 겁 )2 函a-r = (1— a~e si.n v , aar& =―a꿇r —a8@A = 1— 88—Ac ' —88gA = _1+cos i 또한, u=v+(/} 로 나타낼 수 있으므로 수직 좌표의 변화량 dz 는 dz=r sin u di- r cos u sin i dQ 가 되고, 이런 관계식들을 이용하면 각 궤도 요소에 대한 섭동함 수의 변화는 결과적으로 oR r oR aa a or

뿔=― acos 홉-+(占三 )s i n 첼 a8R1. =r sm. u a8Rz 誓 = 『-빨）盆 誓+릉 (1 구 )1/2 뿔 4-94 普= 갑 e― s ;?) ：誓 +[1 ―판 (1 군 )1/2] 뿔 뿔= -r s in i cos 룹― 2 sin 2 (망)뿔 과 같은 형태로 얻어진다. 위 식들로부터 각 궤도 요소의 시간에 따른 변화량을 구해보면 다음과 같이 나타난다. 뿜= n(1: 강 )m(IR'es i n 11+ 군) —ddet = (l 구na )1 /2 [IR' sin v+§'(cos £+cos 11)] 간d-i = na2(1 군1 )mW'r cos u 뿜= na2 ?1뜨 ;2)1/2 W'r sin u 4-95 툼= (1— nae:) Il2 [— IR'cos 11+§'(j +1 ) sin 11] +2 펩 s i n2 (강) 뿜=_픕 IR'+ 1+(1e:g l/2 툼 +2(1 군 )1/2 뿜 s i n2( 송) 여기서, P=a (l_강)의 값을 갖는다. 이 밖에 다른 경우들에 있어서도 지금까지 설명한 과정을 그대 로 적용할 수 있으며, 여기에서는 그 과정을 생략하고 아래에 그 결과들만을 간단히 제시해 보도록 하겠다 (Ta ff 1985).

1. a, e, (J), i, 요와 <1 =-nT[M=n t+<1]를 이용. d = n2(e1 _sien 2 )V Il2 'R.'+ 2a (1 n군r) Il2S' .e (1 군 ~I R.'+~(완 r)s' m=_ (1 군; ;~IR'+~s i n 1.1 (1 급)§' —rs m. Lu cot t. w 쁘dt = rsLin u w 4-96 Q= r cscl.s.m u w d=- 』;_ (1-e2:cos v]IR'- 노白 ~1+ -f )s 2. a, e, w, i, 요와 c=w+a[w=(J )+Q, M=n t +a] 를 이용. a=~e lR. s i n11+ 處) e = (1-nea2) Il2 [IR' sin v+(1e++e?。 ~ )s'] 젊 =2Q sin 2 (강) + (1 —~[-IR' cos 11 + (1 급 )S' sin 」 쁘dt =rcLo suw 4~97 Q= r csclsm u w e=- 풀 E'+ 1+ (1e군 2 )1/2 젊 +2 .Q (1 구 )ll2s i n2 (당• ) 3. 또다론 형태로서 e=sin ¢룰 이용.

d= 군 )½[IR' t an ¢sin v+§'sec ¢(1+ ecos 11)] e= 군 )½cos v[IR.' sin 莊 §'(cos v+cosE)] 젊 = cs::l: 가 _ alR.' cos 나 cos 1.1 + r§' (2 + e cos v) sin 1.1 + rW' tan (선 sin ¢ sin u] id=t rWs(eµca) ¢1 12c os u Q= ~(µa) s1,2 in u 4-98 C = —(2µ raE'l 2 + 2 젊 s i n 信) + 2 Q cos ¢ sin 2 (王) P =2 r(?)½§, cos ¢ n = -~[IR.' sin ¢ sin v +§' (l + e cos v) ] 6 = (?a\ 沼~ [ (a cos2 ¢ cos v— 2r sin ¢) IR .'-r §' (2+ e cos 11) ] 4.2.3 섭동 함수 이 절에서는 섭동을 미치는 인자에 따른 섭동 함수 R 을 각각 의 경우에 대해서 구해 보도록 하자. 여기에서는 먼저 축대칭인 물체의 편구에 의한 퍼텐셜의 형태를 소개하고, 위도 l 과 경도 L 인 지구에 대해 퍼텐셜을 나타내어, 이를 다시 위도만의 함수 인 zonal harmon i cs 와 주로 경도에 의존하는 tes seral and secto ria l harmon ic s 로 나누어 정의하였다, 또한, 위성에 대해

섭동을 미치는 제 3 의 물체에 대한 퍼텐셜의 형태를 정의하고 이 때의 운동방정식을 간략하게 소개하였으며, 마지막으로 위성체에 미치는 대기항력과 태양의 복사압력에 의한 섭동 함수를 구해보 도록 하겠다. 4.2.3.1 편구에 의한 섭동 일반적으로 어떤 축대칭인 물체에 대한 의부 퍼텐셜은 U(r, 0, ¢)=r도 [1- in=22 ~] 4-99 의 형태로 주어전다. 여기서 z 는 대칭축으로서 z=r cos 0 의 값 울 갖고, m 은 총 질량, r 은 질량 중심에서 구면 좌표 r, 0, ¢ 인 임의의 점까지의 거리를 나타낸다. 이 경우에 있어서 축대칭 으로 가정하였기 때문에 식 4-99 는 ¢에 의존하지 않으며, 또한 질량 중심을 원점으로 하기 때문에 U 에 n=l 인 항이 존재하지 않는다. （더욱 정확하게 말하자면 이 항은 0 이 된다.) 만약, 이 퍼텐셜을 위도 l, 경도 L 인 지구에 대해 나타내면, U(r, l, L) =~[1 정 효 (~rPnm (sin l) ( Cnm cos mL + Snm sin mL) ] = Gmr 터 + Uz(r, l) + U1(r, l, L) 4-100 의 형태로 나타나며, 위 식에서 사용되는 상수들은 Gme=3 . 986005 x 1014 m3/s2=1. 407646853 x 1016 ft3/s 2 Re=6378 .16 km=2 . 092572178 x 107 ft

와 같은 값을 갖는다. 식 4-100 에서 Uz(r, l) 는 위도 l 의 함수 로 나타나는 퍼텐셜의 zonal harmonic 부분을 의미하며, 위의 상수들을 이용하면 그 값은 다음과 같은 형태로 주어전다. Vz(r, /)=-~ 홀 ]n( 은 )nPn(s i n l) 4~101 위 식에서 만약 m=O, ]n= ― Cno 의 값을 갖는다면 이 경우 식 4-101 은 Uz(r, l) = -ii7 fil -[Ji(전 )2R(s i n l) +k( 전 )3A(s i n l) +…] 4-102 처럼 풀이하여 나타낼 수 있다. 반면에 U1 (r, l, L) 는 경도 L 에 의존하는 함수로 t esseral 과 secto ria l harmonic 부분을 의 미 한다. 이 함수는 U1 ( r, l, L) =~r nnt=OoO o mmt=O 톤 )nPnm (sin l) ( Cnm cos mL +Snm sin mL) = Gmr ° (\ ~r yA2 (sin l) ( C22 cos 2L + S22 sin 2L) + … = —G ?e 론 )23 cos2 tlcfi+효 (~這- cos 2L 十 k:? 료 sin 2L) + … 4-103 = Gmr e (\& 1r -)33 JJ 2> cos2 l cos (2L— 2a ) +… 의 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 Ji 2) 는

I}2)= ― ✓ 璃 +S% = —j(l.5 78 X 10-6)2+ （ 一 0 . 905 X 10-6)2 =― 1.819 X 10-6 국 의 값을 갖는다. 위 식에서 B 는 지구 적도의 편평도로, /3= aeq - beq aeq 의 형태를 나타내며, 또한 식 4-103 에서 a= 강t an-•( 三S\ 22 =75 °18 ✓ c g 2+S g 2 의 값을 갖는다. 만약 지구를 적도면에 따라 절단했다고 가정할 때, 지구 적도면에서 지구 중심으로부터의 거리 r 과 적도면에서 의 장반경과 단반경의 차이는 16reJq f. s >u Rrf aE B c =e6~9R .e 6 +( m3)J f= >2 C2O8S (f(t2) L= -a2e9a —) abEe!l q 로부터 얻어낼 수 있다. 또한, 지구 형태에 대해 지구의 장반경 과 단반경의 차 ae-be=2l(km) 에 의한 J항의 값은 다음과 같 이 주어진다. ]2=1087.10-m6 呼=~ e =으3] k= ― 2.56X10-6 국 C; 仁춥 H k= —1. 5 8 x 10-6= -告 K= 툴

(]<0~= ZJ o,.n, aml =O) (OTe