이것을 좀더 자세히 기술해 보면 E 1) 식 (8.57) 에 의해 배위들을 차례로 생성해 나간다. 2) 관측을 하는 배위마다 구획 스핀 방법으로 일련의 재규격화 변 환울한다. 6i0 ) - + 어 I) -+ 어 2) … 3) 각기 다론 축척에서 결합계수들을 측정한다. 비열 같은 전체적 인 양을 측정하는 대신 몇몇 이웃 스핀들이 어떻게 변화하는지를 관찰한다. 작은 탐침으로는 원래의 각자의 결합계수들을 관찰하 고 큰 탐침으로는 구획 스핀들의 실효 결합계수들 µ'=(I'', J', K', L', …）을 관찰한다. 결합계수들을 측정하기 위해서는 스핀이 주어진 환경 속에서 어 떻게 변화하는지를 관찰해 봐야 한다. 예를 들어 상호작용의 영 역이 최최근접 이웃이라면 어느 스핀의 이웃은 여덟 개가 있는 셈이다. 작은 검침으로는 3X3 스핀들을 측정하는데 스핀이 전복 될 때까지 +1 상태와 -1 상태에서 머무르는 시간들 r+ 와 r- 를 측정하는 것이다. 비율 r+/r-=ex p (2Ba) 로부터 J, K, L 에 관 한 방정식을 얻는다. 예를 들어, 그립 8.9a 에서처럼 여덟 개의 스핀 모두가 +1 인 :+.…++ ·· ··0 수@·::.:+. `. .~ .. · ..· +++:.:.,.. + .,_.:+.J. . ··. .. ...... ..· ... e(..:::一' F . b ... .) · ·· . 1 1+· :. :: :: ::· +.:::.F+· ..· · · ·+··.+~··$·.·: -). . ..-.+:+..….. . .. . 그림 8. 9 세 가지 스핀 배위에서의 국부적 해밀토니안

환경에서는 Ba=4 (J +K+L) 을 얻는다. 또한 그림 8 . 9b 에서는 Ba= ― 4] 를 얻고 그림 8.9c 에서는 Ba=4(K-L) 을 얻는다. 따 라서 이렇게 다른 환경 속에서 r + /r- 를 측정함으로써 ], K, L 에 관한 독립적인 방정식들을 얻을 수 있다. r 는 기하 평균 ( r+ T_) II2 에 의 해 주어 진다. 큰 검침으로는 구획 스핀둘의 결합계수들을 측정하는데 구획 스핀 하나가 2X 2 스핀들로 구성된다는 것을 제의하고는 작은 검 침으로 측정할 때와 같다. 구획 스핀은 다수결의 원칙에 의해 +l 또는 -l 로 정해주는데 네 개의 스핀의 합이 영이면 무작위 로 +1 또는 -l 의 값울 준다. 이렇게 하여 실효 결합계수들 µ' = (I'', ]', K', L', …）을 측정하는 것이다. Ma 의 방법에서는 국부적인 성질들을 보기 때문에 격자의 크 기라든가 경계 조건들은 문제가 되지 않는다. 단지 검침둘이 경 계면에서 떨어져 있으면 되고 재규격화 군 변환을 충분히 여러 번 할 수 있을 정도로만 원래의 격자가 크면 된다. 임계지수 )I는 행렬 8K;/8K려 (K1=], K2=K, &=L) 최대 고유값 AT=2llu 에 의해 얻어진다. 또한 임계지수 1)는 행렬 aM/ahj 의 (h1=h : 의부 자장, h2=3- 스핀 상호작용) 최대 고유값 AH= 22 - T/ /2 에 의해 얻어전다. 이들 행렬들은 큰 검침으로 측정하면서 구획스핀들의 평균값들로부터 계산할 수 있다. 예를 들어 곱(J '+K'+L') =강f 1n( 다 /r:..) (8.61) 와 같이 얻을 수 있다. 여기서 고려한 네 개의 결합계수들보다 더 많은 결합계수들의 흐름을 측정하려면 검침을 3X3 보다 더 크게 잡아야 한다. 따라 서 위에서 측정한 재규격화된 결합계수들은 이러한 절단으로 인

한 부적확성이 내재되어 있다. 또한 임계지수들을 구하기 위해서 는 부동점을 찾아서 그 근방에서 시뮬레이션을 해야 한다. 이러 한 것들은 Ma 의 방법의 결점으로 지적된다. 8. 8. 2 Swendsen 의 방법 Ma 의 방법이 결합계수들을 국부적으로 측정하는 데에 역점을 두었는 데에 비해 Swendsen[l97 이은 재규격화 군 방정식에 의해 연결되는 각기 다른 크기의 물리계들에서의 상관 함수들에 역점 을 두었다. Swendsen 의 방법에서는 부동점을 반드시 알아야 할 필요가 없고 부동점 해밀토니안의 상호작용들의 유효 영역이 짧 다면 절단 효과가 작으며 많은 결합계수들은 고려하지 않고 원래 의 해밀토니안에 있는 것들만 고려해도 되는 장점이 있어서 실제 계산에서는 Swendsen 의 방법을 주로 사용한다. Swendsen 의 몬테카를로 재규격화 군 방법에서는 원래의 해밀 토니안에 의거 몬데카롤로 시뮬레이션을 하면서 일정한 MC 시 간 간격으로 각각의 배위에서 어떤 상관함수들을 측정해 놓고 그 배위에서 구획 스핀 방법을 적용하여 재규격화 군 변환을 수행한 다. 그리고 이 새로운 격자에서 정의되는 상관 함수를 또 측정한 다. 그런 다음 새로운 격자에 대해서 다시 재규격화 변환을 반복 하고 상관 함수를 측정하는 식으로 계속적으로 충분히 많이 반복 한다. 그러고 나서 그 다음 배위로 넘어가서 또 이러한 과정을 반복하는 것이다. 몬데카롤로 과정을 충분히 오래 계속해 보면 우리는 여러 가지로 다른 축척에서의 많은 고차항들의 효과들이 절단되지 않은 꽤 정확한 상관 함수들을 얻게 될 것이다. 이렇게 해서 얻은 여러 다른 축척에서의 상관 함수들을 안정 행렬과 연관시켜 그 행렬의 고유값들로부터 유용한 물리량들, 죽

임계지수들을 추출해내는 것이 Swendsen 의 방법의 핵심 요소이 다. 이차원 아이싱 모델을 다시 예를 들어 Swendsen 의 방법의 기 본 틀을 설명해 보자. 식 (8.20) 에 의해 주어지는 해밀토니안에 대해 재규격화 변환을 가해 보면 원래 해밀토니안에 있지 않은 상호작용 항들을 생성해낼 것이다. 부동점의 아주 가까운 근방에서 재규격화 군 방정식이 근사적 으로 선형화될 것이라고 가정하면 식 (8 . 49) 를 일반화시킨 다음 과 같은 점근식을 얻을 수 있을 것이다. K~n+I) ― K느 2 TaW(Kjn )-K;) (8 .62) 여 기 서 안정 행 렬 (sta b il ity matr i x ) Tap = [cJK ~n+I) /cJK ?>]* (8.63) 는 부동점에서 계산된 값이다. 앞서 논의된 대로 임계지수들은 다음의 고유값 방정식으로부터 결정한다. ~p

~= I K 갤* |-u (8 . 66) 또한 홀수차항의 결합계수들에 대한 T싫 의 가장 큰 고유값을 A=lYo 라 하면 y o=(d+2- 刀 ) / 2 이다. 위의 식들이 유용하려면 도함수들 aK?+1l/aKt )이 완만하게 변화하는 지역, 즉 반드시 부동점 근처가 아니라도, 선형인 지역 에서만 계산하면 된다. 또한 임계지수들을 계산하기 위하여 안정 행렬의 고유값들만 알면 되므로 부동점을 꼭 알아야 할 필요는 없다. 하지만 임계온도를 근사적으로 찾은 다음, 그 온도에서 임 계흐름을 따라갈 필요가 있다. 안정 행렬의 원소들인 이 도함수들은 다음의 연환 법칙들로부 터 수치적으로 얻을 수 있다. 8< 80K 1}nn+)l )> = 2 a8K~Kni+n )I ) a0< 0K 1inn ++ 1l)) > (8 . 67) 위의 식에서 상호작용 항들의 결합계수들에 대한 도함수들은 몬 테카를로 방법에 의해 얻은 상관함수들과 다음과 같이 관련이 된 다. 떻; 1) 〉 = -<0 1n+l)>< O }n)> (8.68) 問:? = — (8 . 69) 따라서 T싫 에 관한 위의 식 (8.67) 의 좌우변의 항들이 상관함 수들로 표현된다. 원칙적으로 T 싫는 무한히 많은 성분들을 가지 게 되지만 우리는 이들 중 극히 일부분만을 계산할 수 있어서 여 기서 근사적 절단을 하게 된다. Swendsen 의 몬테카를로 알고리즘을 구체적으로 설명하면,

尸 1) 메트로폴리스 또는 다른 방법으로 평형 상태의 배위들을 생산 2) 각 배위에 대해서 상관 함수들을 계산 3) 각 배위에 대해서 구획 스핀 방법을 적용하여 재규격화 변환을 시행 4) 재규격화된 계와 한 단계 전의 배위들에서의 상호작용 항들 사 이의 상관 함수들을 계산(식 (8.68) 의 우변의 첫번째 항) 5) 재규격화된 계의 현재 배위에 대해서 상관 함수들을 계산 6) 과정 3)-5) 를 계속 반복 7) 1) 로 가서 전화를 재개 이렇게 하여 식 (8.68-69) 의 우변둘이 얻어지면 상용적인 수치 계산법을 사용하여 식 (8. 67) 로부터 T싫 둘을 구할 수 있을 것이 다. 고차항들은 유효 영역이 짧아 부동점 근방에서는 그 효과들을 거의 무시할 수 있다는 것이 통상적으로 기대되는 바이다. 이러 한 근사가 적절한 것인지 적절하다면 어느 정도의 오차를 유발하 는지 사전에 확실히 알 수는 없다. 실험적으로 컴퓨터가 허용하 는 한 최대한으로 많은 상관 함수들을 계산해 보고 안정 행렬 T싫 의 a, (3가 높은 원소들을 계측해 봄으로써 근사적 절단을 추 인해 볼 수 있을 뿐이다. Swendsen 의 조잡한 계산 결과에 의하면 N=7 정도에서 이미 고차항들의 존재가 저차항들만 가지고 얻은 결과들에 거의 영향 을 끼 치 지 못하는 점 근성 이 나타난다. Swendsen 이 108 X 108 격 자에 대해서 축척 l=3 을 가지고 짝수차항을 세 개, 홀수차항을 한 개 포함하여 5 회의 주사마다 측정하여 6000 번 측정하여 얻은 결과를 표 8 . 2 에 나타낸다.

표 8. 2 Swendsen 의 몬테카 롤 로 재규격화 방법에 의한 계산 결과 RG 상호작용 Af L’ a’ Af 8 T/ 횟1수 개231수 222...888 550 258 111...000 644 847 ———000...00 1 992 478 7.7 0 5 13. 15 0.283 2 1 2.9 9 9 1.0 0 0 -0.0 0 1 7.8 2 8 14.75 0.2 5 4 2 3.0 2 5 0.9 9 2 0.015 3 3.0 2 1 0.994 0.0 1 3 3 1 2.9 2 6 1.023 -0.0 4 6 7.8 3 1 14.79 0.253 2 3.0 2 3 0.9 9 3 0.0 1 4 3 3.007 0.998 0.004 정확한값 3 1 。 7.845 15 0.25

여기서 사용된 짝수차의 상호작용들을 그림 8.10 에 나타낸다.

‘

8.8.3 임계점 찾기 Swendsen 의 방법을 사용하면 임계지수들을 계산하기 위해서 부동점의 위치를 정확히 알아야 할 필요는 없지만 다른 방법에 의해서 얻은 결과들과 비교하기 위해서 한번 찾아보기로 하자.

윌슨의 쌍격자 시뮬레이션 방법은 [W il son, 198 이 원칙적으로는 유 한크기 효과를 제거하고 부동점을 찾아 줄 수 있으나 시뮬레이션 에서 발생하는 통계적 오차로 인해 그 효용도가 제한되어 실제로 는 부동점에서의 저차항들의 임계 결합계수들을 찾아내는 데에만 유용하다. 하지만 초대형 컴퓨터의 개발로 인해 격자의 크기를 늘리고 표본추출 횟수도 늘려 통계적 오차를 줄이면 그만큼 이 방법의 효용성도 증대될 것이다. 이 방법에서는 크기가 서로 다른 두 개의 격자들에 대해서 독 립적으로 몬테카롤로 시뮬레이션을 하는데 초기 결합계수들에 똑 같은 수치값을 준다. 큰 격자가 작은 격자보다 lm 배만큼 크다면 큰 격자에 대해서 재규격화 군 변환을 n 번 한 상태는 작은 격자 에 대해서 (n-m) 번 한 상태와 같아야 할 것이다. 특히 그들의 유한크기 효과도 같아야 할 것이다. 두 격자들이 임계흐름 상에 있다면 L = s (8 . 70) 이 성립해야 할 것이다. 여기서 L 은 큰 격자, S 는 작은 격자를 나타낸다. 부동점의 해밀토니안 J(f*를 큰 격자와 작은 격자의 시발점으로 잡으면, 즉 %tO) =J e*, ]{f ~O)=%* 로 놓으면 큰 격자에 m 번 재규 격화 군 변환한 Jfft m)=%* 에서의 상관 함수나 작은 격자의 시발 점 %~o)=%* 에서의 상관 함수들은 서로 같을 것이다. 하지만 %t o) 와 J(f ~o) 가 %*에서 조금 떨어져 있어서 8Ki0 ) =Ki0 ) ― K: 라면 이로 인해 큰 격자의 상관 함수의 변화는 다음식 8< o ~n)> L = 구 떻; 0?L 8Kj0 ) (8 . 71)

에 의해 계산해 낼 수 있다. 여기서 상관 함수의 결합계수에 대 한 도함수는 위의 식 (8.68) 에 의해 표현할 수 있다. 작은 격자 에 대해서도 이와 똑같은 식을 쓸 수 있는데 그들의 차이룰 써 보면 일련의 선형 방정식들 〈 o~n) 〉 L- 〈 o~n-m) 〉 s= 구( 富。))〉 L _ 8< ? :;)>s ) 8Kj0 ) (8.72) 을 얻는데 이 식들을 풀어 KJ O) 를 계산함으로써 부동점에서의 결 합계수들에 대 한 근사값을 K: = K~0' + 0K~0> (8 . 73) 에 의해 얻을 수 있다. 이러한 과정을 반복하면 임계 결합계수들을 찾아낼 수 있으나 고차항들의 상관함수들을 계산함에 있어서 통계적 오차가 8K 보 다 훨씬 더 커서 실제로는 저차항들의 임계 결합계수들을 찾아내 는 데에만 유용하다. Pawley 등 [198 산은 윌슨의 쌍격자 방법과 Swendsen 의 방법을 결합하여 삼차원 아이싱 모델에 대해서 방대한 시뮬레이션을 하 여 상당히 정확한 결과들을 얻었다. 또한 Bl6te 등 [1989] 은 특별 히 제 작된 Delft Isin g Sy st e m Processor (DISP) 를 사용하여 좀 더 많은 상호작용들을 포함하여 계산하였으며, 현재까지 삼차원 아이성 모델에서 가장 높은 차수까지 계산된 예는 AMT DAP 울 사용한 Bail lie 등〔 1990] 의 1283 이다. 그들은 메트로폴리스의 방 법과 Wol ff의 송이 알고리즘을 사용하여 임계감속의 문제를 극 복하여 통계적 오차를 크게 줄인 정교로운 시뮬레이션을 하여 N =40 정도까지 가야 점근성이 나타나는 것을 확인했다.

표 8. 3 삼차원 아이싱 모델에 대한 몬테카를로 계산 결과 Pawley 등 Blote 등 Bail lie 등 크기 643 643 1283 짝수차항 7 36 53 홀수차항 6 21 46 Kc 0.2 2 1654(6) 0.221652(6) 0 . 221651 (9) u 0.629(4) 0.6 2 9 (3) 0. 63 6(3) n 0. 03 1(5) 0 . 027 (5) 0.044(2)

8.8.4 문제점들 위에서 사용된 식들은 선형화된 지역에서 성립하는 근사식들이 기 때문에 모든 계산은 부동점 근방에서 적어도 임계흐름상에서 행해져야 한다. 하지만 임계흐름상에 있는 해밀토니안들에 대해 서는 상관 거리가 무한대이고 감수율 또한 무한대로 발산할 것이 기 때문에 완화 시간이 무한히 길어져 몬테카롤로 시뮬레이션의 효율이 영으로 떨어질 것이다. 실제로 시뮬레이션할 수 있는 계 의 크기는 유한이기 때문에 엄밀한 의미에서의 임계점이 존재하 지 않을 것이고 완화 시간 또한 길지만 유한일 것이다. 하지만 통계적 오차를 줄이기 위해 계의 크기를 늘리면 의사 임계점에서 의 완화 시간이 길어져 시뮬레이션을 오래오래 해야 하기 때문에 원하는 정도의 오차를 얻기 위해 드는 계산량은 Ld 보다 훨씬 빨 리 증가할 것이다. 또 하나의 문제점은 현존의 컴퓨터의 연산 속도와 기억 용량으 로 유한 시간 내에(수 개월 내지 수 년) 시뮬레이션 해볼 수 있는 물리계의 크기가 충분히 크지 못하다는 것이다. 예를 들어 길 이 축척이 128 격자 단위라 해도 재규격화 군 변환을 두세 번쯤 하고 나면 격자의 크기가 너무 작아져 버려 결합계수들의 개수가

현저하게 줄어들고 유한크기 효과가 심각한 영향을 끼치게 될 것 이다. 재규격화 군 변환의 시발점의 격자가 충분히 커서 재규격 화 군 변환을 십수 번 정도는 할 수 있어야 부동점에 충분히 접 근할 수 있을 것이고 재규격화 군 흐름의 종점이 되는 격자들의 크기 또한 어느 정도 이상은 되어야 할 것이다. 16X l 6 격자에서 몬데카를로 주사를 수억 번 한다고 해서 믿을 수 있는 데이터룰 얻는다고 확신할 수는 없을 것이다. 그러한 크기의 계에서 임계 감속의 문제를 해결하는 데에 효율적인 알고리즘을 개발한다 해 도 초강력하고 기억 용량이 거대한 초대형 컴퓨터가 필요하다는 것은 의심할 나위가 없다. 그러한 컴퓨터는 현존하는 기술로는 병렬형 컴퓨터 구조밖에 없다. 참고문헌 [1 ]C .F. Bail lie, J Mod. Phys . C (l990) 111 [ 2 ] C.F. Bail lie, K.N . Baris h , R. Gup ta and G. S. Pawley , Nucl. Phys . B (Proc. Sup pl.) 17 (19 90) 323 [ 이 H.W.J. Blote , A. Comp a g n er, J.H . Croockewi t, Y.T.J. C . Fonk, J.R. Herin g a , A. Hoog la nd, T.S. Smi t and A.L. van W illige n, Phys i c a 161A (1989) 1 [ 4 ] T.W . Burkhardt and J.M .]. v an Leeuwen, Real Sp ac e Renormal- iza ti on , (Sp r in g e r, 1982) [ 5 ] C. Domb and D.L. Hunte r , Proc. Phys . Soc. 86 (1965) 1147 [ 6 J M.E. Fis h er, Rep. Prog. Phys . 30 (1967) 615 [ 7 ] M.E. Fis h er, Rev. Mod. Phys . 46 (1974) 597 [ 8 J M . Gell-Mann and F.E. Low, Phys . Rev. 95 (1954) 1300 [ 이 N. Goldenfe ld , Lectu r es on Phase Transit ion s and the Renor-

maliza ti on Group, (Addis o n-Wesley , 1992) [10] F.J.W . Hahne, Cr itica l Phenomena, (Sp r in g e r, 1983) [11] D.M . Hatc h , H. T. Sto kes, J.S . Ki m , and J.W . Felix , Phys . Rev. B33 (1986) 6196 U 끽 D.M . Hatc h , H.T. Sto k es, J.S . Ki m , Phys . Rev. B35 (19 87) 388 [13] J.T . Ho and J.D . Litst e r , Phys . Rev. Lett . 22 (1969) 603 U 산 L.P. Kadanoff , Phys ic s 2 (19 66) 263 [15] L.P. Kadanoff , W. Gotz e , D. Hamblen, R. Hecht, E. Lewi s, V. V. Palcia u kas, M. Ray l, J. Swi ft, D. Aspn es, and J. Kane, Rev. Mod. Phys . 39 (19 67) 395 [16] L.P . Kadanoff , Proc of 1970 Varenna Summer School on Cr itica l Phenomena, ed. M .S. Green (Academi c, New York, 1971) [17] J.S . Ki m , H.T. St o kes, D.M. Hatc h , Phys . Rev. B33 (19 86) 1774 ; ibi d , 6210 [파 L.D . Landau and E.M . Lif sh it z, Sta t i stica l Phys i c s , (Perga mon, 1980) [1 이 J.C . Le Guil lou and J. Zin n -Ju s ti n, ]. Phys . Pari s 48 (1987) 19 [20 ] K.C. Lee, Phys . Rev. Lett . 69 (19 92) 9 [21] S.K . Ma, Phys . Rev. Lett . 37 (1976) 461 [22] L. Mi ch el, Phys . Rev. B29 (1984) 2777 [23] L. Mi ch el and J.C . Toledano, Phys . Rev. Lett . 54 (1985) 1832 [24] T.H. Ni em eij er and J.M .J. van Leeuwen, Phys . Rev. Lett . 31(1973) 1411 [25] T.H. Ni em eij er and J.M .J. van Leeuwen, Phys i c a 71 (19 74) 17 [26] T.H. Ni em eij er and J.M . J. van Leeuwen, Phase Transit ion s and Cr itica l Phenomena, vol. 6, ed. by C. Domb and M.S. Green (Academi c Press, 1976) , 425-505 [27] G. Pawley, R.H . Swendsen, D.J . Wallace, and K.G . W ilso n, Phys . Rev. B29 (1984) 4030

[2 이 P. Pfe u ty and G. Toulouse, Intr o . Renormaliza ti on Groups and Cr itica l Phenomena, (W ile y, 1977) [2 이 M. Plis c hke and B. Berge rsen, Eq ui l ib r i um Sta tistica l Phys ic s , (Prenti ce -Hall, 1989) [30] H.E. Sta n ley, Intr o . Phase Transit ion s and Cr itica l Phenomena, (Oxfo r d Un iv. Press, 1971) 詞 H.T. Sto kes, D.M. Hatc h , J.S. Kim , Acta . Cry st . A43 (19 87) 81 園 H.T. Sto kes and D.M. Hatc h , Isotr o p y Subg ro ups of the 230 Cry st a ll og ra p h ic Spa c e Groups , (World Sc ien ti fic, 1988) [33] R.H . Swendsen; Phys . Rev. Lett . 42 (1979) 859 [3 사 R.H . Swendsen, Phys . Rev. B20 (1979) 2080 [35 ]J .C. Toledano, L. Mi ch el, P. Toledano, and E. Brezin , Phys . Rev. Bll (19 85) 7171 [36] J.C . Toledano and P. Toledano, The Landau Theory of Phase Transit ion s, (World Sc ien ti fic, 1987) [3 기 B. Wi do m, ]. Chem. Phys . 43 (1965) 3898 [38] K.G . Wi lso n, Phys . Rev. B4 (19 71) 3174 ; ibi d . , 3184 〔 3 이 K.G . Wi lso n and J. Kog ut, Phys . Re p. 12C(1974) 76 [4 이 K.G . Wi lso n, Rev. Mod. Phys . 55 (19 83) 583 [4 디 J.M . Yeomans, Sta tistica l Mechanic s of Phase Transit ion s, (Clarendon, 1992) [4 이 김두철, 『 상전이와 임계현상 』 (민음사, 1983)

제 9 장 운송 현상의 모사 방법들 2 차 대전 후 원자로에 관한 연구가 활발하게 진행됨에 따라 핵 분열 과정을 전산 모사할 필요성이 절실히 제기되었다. 또한 군 사적인 목적에서 개발되어 온 전자계산기가 빛을 보게 되었다. 울람과 폰노이만은 새로이 발명된 전자계산기가 나오자마자 곧바 로 원자로 내에서 중성자의 운송을 모사하는 데에 적용하였다. 그들은 확률적인 운송 현상을 기술하기 위하여 몬테카롤로 방법 울 택했다. 몬테카를로 방법이 통계역학에 응용되게 된 것은 그 보다 수년 후의 일이었다. 9.1 서론 7, 8 장에서 고찰한 통계역학 문제들에서는 주어전 분포 함수 에 의해 다차원 적분을 하는 것이 목표였다. 고전적 통계역학에서 어떤 순간에 입자들의 위치와 속도는 거의 임의적으로 보이지만 입자들간의 역학 법칙이 주어지면 그들의 시간에 따른 경로를 분

자역학에 의해 확정적으로 추적할 수 있다. 이에 반해서 자연계 에는 본질적으로 확률적인 과정들이 있다. 원자로 안에서 중성자 들은 주변의 원자핵들에 의해서 흡수되기도 하고 그들과 충돌하 여 감속 또는 가속당하기도 하고 또는 핵붕괴를 유발하여 더 많 은 중성자들을 만들어 내기도 한다. 이러한 과정들은 본질적으로 확률적이기 때문에 뉴턴 역학에 의해 기술할 수가 없다. 또한 고 에너지의 입자가 물질을 뚫고 지나갈 때 여러 가지 반응을 일으 키는데 얼마만큼 가서 어떠한 반응을 일으켜 어떠한 입자들을 생 성해내고 그들이 어느 방향으로 어떠한 속도로 움직일지는 미리 알 수가 없다. 이 과정 역시 확률적으로밖에는 예측할 수가 없다. 운송 이론의 목표는 모체 물질의 성분과 형상이 주어지고 추적 하고자 하는 입자들의 생성원의 위치와 강도가 주어졌을 때 모체 내에서의 그 입자들의 분포, 죽 임의 점에서의 밀도와 속도 분 포, 또는 그들로부터 모체로 침전되는 에너지 분포를 알아내는 것이다. 역으로 천체물리학이나 의료물리학에서는 측정된 입자 분포로부터 입자둘의 생성원 또는 모체의 성질들을 알아내는 것 이 목표가 된다. 운송 이론은 단순히 호기심을 채워주는 경지를 지나서 방사선 치료 또는 원자로의 시뮬레이션과 같이 실험이나 실수가 허용되지 않는 경우에 필요불가결한 도구가 되었다. 초기에 많이 개발되었던 해석적인 방법은 중요한 개념들을 정 립하는 데 공헌했지만 복잡한 물리계에 적용하기에는 실용적이지 못했다. 페르미 (Fermi ), 메트로폴리스 (Me t ro p o li s), 울람 (Ulam), 폰노이 만 (von Neumann) 등이 2 차 대 전 도중에 폰노이 만 등이 발 명해 낸 디지털 컴퓨터를 사용하는 수치적 방법을 개발한 이래, 이 새로운 몬테카를로 모사 방법이 전적으로 사용되게 되었다. 컴퓨터의 발전과 더불어 또한 실험 장치들의 스케일이 커지고 정 교로워짐에 따라 운송 프로그램도 점점 더 복잡해지고 방대해지

게 되었다. 이러한 패키지들의 예를 들어 보면 전자와 감마선을 추적하기 위해 개발된 EGS4 는 소립자 가속기 실험에서뿐만이 아니고 병 원에서 방사선 치료에 널리 사용하는 패키지이고 GEANT3 는 광 범위한 에너지 영역에서 많은 수의 입자들을 추적할 수 있는 거 대한 패키지로서 CERN 의 대규모 소립자 실험들에서 사용하고 있다. 또한 MORSE 나 MCNP 와 같은 패키지는 입자들의 수가 아주 많은 원자로 내에서의 중성자와 감마선을 추적하는 프로그 램 으로서 핵 실 험 연구소들인 Oak Ri dg e 연구소, Los Alamos 연 구소, 또는 Lawrence Live rmore 연구소 등에 서 널 리 사용하고 있다. 이러한 패키지들은 입자들을 추적하는 것은 물론 추적에 필요한 각 입자들의 성질 및 모든 원소들과의 반응에 관한 데이 터 베이스를 포함하고 있고 사용자가 자신이 관심을 가지는 실험 장치 또는 체계의 물질 성분과 모양을 쉽게 정의할 수 있도록 정 교로운 그래픽 인터페이스를 내포하고 있다. 현재 사용되고 있는 몇 가지 패키지들을 표 9.1 에 목록화하였다.

표 9. I 운송 현상의 몬테카를로 전산 모사 패키지 이름 소장 기능 AEGIS FNAL 물질과의 전자기 작용 COG LLNL 차폐 문제를 위한 중성자-광자 운송 EGS4 SLAC 전자구광자의 운송 FLUKA CERN 중입자폭포 HADRIN CERN 중입자-핵 상호작용 HETC ORNL 물질과의 중입자 상호작용 MCNP LANL 중성자-광자의 운송 LAHET LANL HETC 와 MCNP 의 통합 코드 GEANT3 CERN 일반적 감지기 모사 코드 HERMES KFA 일반적 중성자 모사 코드

비교적 소수의 입자들을 추적하는 데에는 각 입자들의 경로를 일일이 추적하는 유사 방법을 사용해도 되지만 이 방법으로 많은 수의 입자들을 추적하기에는 곤란하다. 9.3 절에서 소개하게 될 여러 가지 비유사 방법들이 사용되기도 하지만 원자로 내에서의 중성자의 분포를 찾는 경우에서처럼 입자들의 숫자가 압도적으로 많은 경우에는 운송 방정식을 세우고 이것을 수치해석법 또는 중 요 표본추출과 같은 방법에 의해서 풀어나가야 한다. 9.2 유사 방법 9.2.1 서론 유사 방법 (Analog Me t hod) 에서는 입자가 매질 내에서 생성된 다음, 다른 데로 이동하고 거기에서 매질의 원자들과 충돌하여 경로를 바꾸어 또 이동하는 과정을 되풀이하다가, 소멸되거나 또 는 관심 지역에서 이탈할 때까지 입자의 역정 (life h i s t or y)을 실 제 물리 적 인 과정과 유사하게 모사한다. 말하자면 입자의 운송 과정을 컴퓨터로 모의 실험하는 것이다. 입자의 운송 과정 자체 가 예측 불허의 확률적인 것으므로 몬테카를로 방법을 사용하는 것은 당연하다고 하겠다. 입자의 수가 적어서 〈주어전 〉 환경 속 에서 입자가 운송되는 선형 운송 현상에서 유사 방법은 적절하게 사용될 수 있다. 많은 수의 경로를 추적하는 목적은 뭔가를 관측하고자 하는 데 에 있다. 예를 들어 입자 감지기에 들어오는 입자가 감지되는 효 율, 방사선 차폐물의 효능 또는 원자로 내부의 각 부위에서의 중 성자의 밀도나 열 발생률 등. 이것은 입자의 경로를 추적해 나가

는 도중에 필요한 물리적인 관측량에 대한 기여를 더해 나가고 충분히 많은 경로를 추적하여 관측된 값들의 평균 값울 구함으로 써 얻어전다. 이렇게 하여 얻는 관측량의 추정치에는 경로의 수에 역바례하 는 통계적인 오차가 따를 것이다. 이 l/N 오차를 줄이기 위해서 는 아주 많은 수의 경로를 추적해야 한다. 실제적인 문제에서 차 폐 문제처럼 영에 가까운 양을 측정해야 하는 경우에 추적해야 할 경로의 수는 천문학적으로 커지게 된다. 따라서 모종의 중요 표본추출 방법을 기용할 필요가 있다. 9 . 3 절에서 그런 방법들을 논의할 것이다. 통계역학적 체계의 성질을 알아내는 데 입자들의 운동을 일일 이 추적하지 않고 분포 함수를 다루었듯이 운송 현상의 문제에서 도 입자들의 분포 함수들에 대한 볼츠만의 운송 방정식을 세우고 이들의 시간적 진화를 찾아나가는 방법을 사용하는 것이 더 경제 적일 것이다. 여기에는 입자들의 반응에 관한 확률적인 요소가 이미 내재되어 있지만 분포 함수에 관한 확정적인 방정식인 운송 방정식을 적분 방정식으로 변환하면 4 장에서 논의한 마르코프 전 이 확률을 따르는 임의 보행에 의해 . 그 해를 구하게 되어 몬테카 롤로 방법을 또다시 사용해야 하는 경우가 종종 있다. 9.2.2 유사 방법의 개요 유사 방법의 예로서 광자가 주어전 물질을 투과하는 행로를 살 펴보자. 광자가 일으킬 수 있는 반응둘은 광전 효과, 전자_반전 자 쌍생성, 콤프턴 산란 들이다. 광전 효과는 광자가 원자 궤도 를 돌고 있는 전자에 흡수되어 원자계를 여기시킴으로써 외곽 전 자가 원자 궤도로부터 분리되는 현상이다. 전자-반전자 쌍생성은

에너지의 덩어리인 광자가 원자핵의 정전장의 영향 하에서 전자 와 반전자로 물질화되는 현상이다. 이 두 가지 반응에서 모두 광 자가 소멸되고 다른 입자들이 등장하는 데에 반해 콤프턴 산란은 광자와 전자 간의 산란 현상으로서 광자가 전자에 일단 흡수되었 다가 원래보다 낮은 에너지의 광자를 배출하고 그 에너지의 차이 만큼 전자의 운동 에너지가 증가하는 현상이다. 그림 9.1 에서 보이듯이 광자의 에너지에 따라 이 반웅들의 반 응률둘이 크게 변하는 것을 알 수 있다. lMeV 이하의 저에너 지에서는 쌍생성은 불가능하고 광전 효과가 콤프턴 산란에 비해 지배적이나 에너지가 높아감에 따라 급격히 감소하여 l MeV 근 방에서는 콤프턴 산란이 가장 높은 반응률을 보이고 더 높은 에 너지에서는 두 가지 효과가 다 미미해지고 쌍생성이 지배적으로 된다.

1.e +5 PhRoato y -T lEePo liaget a chirl •一——•••• ••

에너지 E 를 가지고 모체를 지나가는 광자는 이 세 가지 반응 돌 중 어느 것도 일으킬 수 있으나 실제로 그 광자가 물질을 어 느 거리만큼 투과해서 어느 반응을 일으킬지는 총 반응률 및 각 각의 반응률의 상대적인 비율에 따라 확률적으로 결정될 것이다. 입사 에너지 E 에서의 광전 효과, 콤프턴 산란, 쌍생성의 반응 단면적을 각각 6r, 6c, 6 p라고 하면 총 단면적은 6t = 67 + 6c + 6p 이 다. 매 질의 밀도를 p, 분자량을 M, 아보가드로 수를 Na 라고 하면 광자가 단위 길이의 매질을 통과하며 일으키는 반응들의 거 시적 단면적은 2 = 情%t (9 .1) 에 의해 주어진다. 2 의 단위는 (길이 )-1 안데 균일 매질에서 광 자의 평균 자유 경로는 간단하게 A=l/~ (9 . 2) 가된다 위치 x 에 있는 광자가 물질 속에서 dx 의 거리를 지나가는 동 안에 반응이 일어날 확률은 L! (x)dx 에 의해 주어진다. dx 를 지 나간 이후 광자가 반옹을 일으키지 않고 그대로 남아 있을 확률 U(x) 는 L! (x)dx 만큼 줄어들었을 것이기 때문에 U (x + dx) —U ( x) = —U (x) L! (x) dx (9 . 3) 가 될 것이다. 이 방정식울 풀어보면 U(O)=l 이라고 둘 때 U(x) =exp (-1:r:L ! (s) ds) (9 .4)

가 얻어져서 광자가 아무런 반응을 일으키지 않고 지나갈 확률은 거리가 증가함에 따라 지수적으로 감소한다. 균일 매질에서는 ~(x) 가 상수이므로 U(x)=exp (— x/A) (균일 매질) (9.5) 가 될 것이다. 반대로 위치 X 까지 가는 동안 광자가 반응을 일 으킬 확률은 1-U (x) ==1l—— ee xx pp ((-―x/「。A ~) (s) d（s)균 일 매질) (9.6) 이고 위치 x 에서 dx 만큼 가는 데 반응이 일어날 확률 밀도는 뺏P1- =ex p (-1:r~ (s) ds)~ (x) (9 . 7) =exp (— xi A) IA (균일 매질) 가 될 것이다. 광자가 반응을 일으키는 지점 Xo 를 찾기 위해 상기의 확률 분 포에 의해 표본추출을 할 필요가 있다. 분포 함수가 간단하기 때 문에 역변환 방법을 적용하는 것이 가장 간단하다. 분포 함수를 균일 분포 난수와 같다고 놓으면 1-U (x) =~'=1-~ (9. 8) 가되고 U(x) =~=ex p仁〔~ (s) ds) (9 .9) 가 된다. 따라서

_ln E= 「。 ~ (s) ds (9 .10 ) =x/A (균일 매질) 이 되어 균일 매질의 경우 Xo 는 쉽게 xo=-A ln ~ (9 .11) 와 같이 얻어진다. 이렇게 하여 반응 위치가 얻어지면 세 가지 반웅 중 하나를 택 일하는데 각각의 반응률에 비례해서 확률적으로 선택해야 할 것 이다. 선택이 광전 효과나 쌍생성일 경우에는 새로이 생기는 전 자를 추적하고 전자가 다시 매질과 반응하여 새로운 광자를 생성 해내면 또 광자를 추적하게 된다. 따라서 광자만을 추적한다는 것은 물리적으로 완벽하지 못하다. 9.2.3 생성원 생성된 입자를 기술하는 데에는 입자의 종류, 입자의 좌표 및 속도를 나타내 줄 필요가 있다. 이를 위해 세 개의 공간좌표와, r=(x, y, z), 에너지 E, 그리고 운동 방향을 나타내는 두 개 의 방향 여현, Q=(fix, Qy, fiz), IQ l=l, 도합 여섯 개의 매 개 변수가 필요하다. 입자의 생성원을 기술하는 데에는 상기의 6 차원 좌표공간에서 의 입자 생성의 확률 밀도 함수, S(r, ii, E) 를 정해주면 된다. 주어전 확률 함수에 의해 몬테카롤로 방법에 의해 표본추출하는 방법은 이미 3 장에서 논의하였다. 생성 밀도 함수가 복잡하면 이 과정에서 꽤 많은 시간을 소비할 수가 있다. 실제적으로는 물리 적으로 각 좌표들에 대해서 입자들의 생성 분포가 서로 독립적인

그림 9. 2a 간단한 거절 방법

그림 9. 2b 복잡한 거절 방법

경우가 많은데, 이 경우에는 밀도 함수가 좀더 간단한 인자들의 곱으로 표시될 수 있어서 예상보다는 덜 복잡하다. S(r, Q, E)=s(r)·s(Q ) ·s(E) (9 .12) 분포 함수 s(r) 에 의한 표본추출에서 가장 문제가 되는 것은 입 자 생성원이 복잡한 모양을 가지고 있는 경우이다. 이런 경우 일 반적으로 적용할 수 있는 방법은 폰노이만의 거절 방법이다. 이 방법에서는 먼저 입자 생성 지역을 간단한 모양의 경계면으로 둘 러 싼다. 그립 9.2a 를 예를 들어 설명하면 생성 지역 A 를 직사 각형으로 둘러싼 다음 (x, y) 좌표가 직사각형 안에서만 균일 하게 표본추출되도록 한다. 이렇게 해서 선택된 점 (x, Y) 가 A 안에 떨어지면 수용하고 그렇지 않으면 버리는 방식으로 추출 해 나가면 수용된 점들은 지역 A 안에서 균일하게 분포될 것

이다. A 의 모양이 복잡하면 직사각형 하나를 가지고 둘러싸는 것이 비효율적일 것이기 때문에 3 장 3.6 절에서 정규 분포에 의한 표본 추출을 위해 사용했던 Marsa gli a 의 사각형-쐐기-꼬리 방법을 옹 용하여 작은 직사각형 여러 개를 모자이크로 만들어 에워싼다. 그림 9.2b 를 보자. 작은 직사각형들의 면적들의 합을 AR 이라고 하자. 우선 어느 직사각형을 선택하느냐를 결정해야 할 것이다. 한 점이 어느 직사각형에서 표본추출될 확률은 그 면적에 비례할 것이기 때문에 i번째 직사각형의 면적이 a i라면 확률 aJ A no Jl 의해 i 번째 직사각형을 선택한다. 그런 다음 점 (x, Y) 를 이 직사각형에서 선택하여 거절 방법을 적용하는 것이다. 이 방법은 간단하기 때문에 삼차원 공간에서 복잡한 모양의 생성 지역에 대 해서도 쉽게 적용할 수 있다. 많은 경우에 입자 생성 밀도가 동방성을 가지는데 이 경우에는 단순히 s( ii )=1/4 군]다. s( ii)가 각에 무관한 상수이므로 두 개의 각 (0, rp)를 구간 (0, 1[)와 (0, 21r) 에서 균일 추출해 내면 된다. 또 다른 많은 경우에 입자들이 빙의 형태로 관심 지역에 투입되는데 이런 경우에는 입사각을 고정시켜야 한다. 죽 s(ii ) = 8 (ii一ii o) . 입자 생성 밀도의 에너지 의존도는 매우 복잡다단한 것이 상례 이지만 특수한 상황에서는 입사 입자들이 균등 에너지롤 가지고 관심 지역에 들어울 수도 있다. 이런 경우에는 s(E)=8(E ― Eo) 가 된다. 입자들이 모체 내에서 반응을 일으켜 이차적인 입자들을 생성 해 내는 일반적인 경우에는 s(ii , E) 가 단순하지 않은 함수이고 인수분해되지 않는 경우가 대부분이다. 비교적 간단한 경우에는 역변환 방법에 의해 표본추출을 할 수 있겠지만 일반적으로는 거

절 방법 또는 혼합 방법을 사용해야 할 것이다. 9. 2. 4 반응점의 자유 경로의 추출 균등한 매질에서 입자의 반응률둘이 알려져 있는 경우에 반응 이 일어나는 지점까지의 자유 경로를 표본추출하는 방법은 식 (9.10) 에 요약되어 있다. 여기서는 입자가 매질의 성분이 다른 여러 지역을 통과할 때 자유 경로를 추출하는 방법에 대해서 논 의하기로 하자. 원칙은 식 (9 . 10) 을 일반화시키는 것이다. 즉, 자유 경로의 수 NA=1:~ (9 .13) 룰확률분포함수 F(N.1 ) =1— e xp (— N.1 ) (9 .14) 에 의해 표본추출하는 것이다. 논의를 간단하게 하기 위하여 각각 다론 매질로 구성되어 있는 n 개의 지역들이 그림 9.3 과 같이 평판 모양으로 되어 있고 각 지역 내에서는 매질이 균일하게 분포되어 있다고 하자. Xo 지점에 서 일어난 반응으로 인하여 입자가 이 지점으로부터 새로이 출발 한다고 하자. 그리고 입자의 운동 방향이 이 평판들에 대해서 수 직이라고 가정하고 그것을 x 방향이라고 하자. 또한 각각의 매질 에서 입자의 평균 자유 경로를 /\1, /\2, …, An 이라고 하자. 이 입자가 거쳐가는 경계면들의 x 좌표를 x1, X2, …, Xn 이라고 하 면 x 지점까지 진행하는 입자가 거쳐가는 자유 경로의 수는

Xo XI X2 X3 X4 X5

NA= 덩i= I x,·—A ,x· r l + x_AXj j - I (9 .15) 에 의해 간단히 나타낼 수 있다. 새로운 반응 지점을 찾는 방법 은 • NA= 一 In t에 의해 NA 를 표본 추출한 다음, • 식 (9.15) 를 풀어서 반웅 지점의 x 좌표를 구하는 것이다. 반응 지점의 x 좌표를 표본 추출하는 방법을 좀더 자세히 설명 하면 다음과 같다. 부호를 간단하게 하기 위하여 d;=X;-X i -1 이 라고 정의하자. 먼저 반응이 일어나는 지역 번호 j를 부등식 ji2=- 1l dI./Ai < —ln 5• < i2=j l dI./Ai (9 .16)

로부터 결정하고 다시 식 x=xj- 1 +11j( -ln ~-접 dJ A i) (9 .17) 에 의해 x 를 추출한다. 모양이 좀더 복잡한 매질에 대해서는 d; 를 입자의 진행 방향으 로의 매질의 두께둘이라고 해석하면 되는데 궤적마다 따로 계산 해 주어야 하기 때문에 기하적으로 복잡한 모양의 지역에서는 이 과정에서 계산 시간이 상당히 많이 걸릴 수 있다. 9.2.5 반응 후의 방향 입자들이 반응하여 이차적 입자들이 튀어나오는데 그들의 에너 지와 출사 각도는 미분 단면적에 의해 표본추출해야 한다. 이것 은 반응에 따라 각기 다르기 때문에 일반론을 펼 수가 없다. 여 기서는 운동학적인 면만 살펴보자. 입사 입자의 방향 여현이 (iix, iJY, Dz ）이고 출사 입자의 입사 방향에 대한 각이 (O, ¢) 라면 실험실 좌표계에서의 출사 입자의 운동 방향(gg, gg, g;) 은, 다음 식들에 의해 구할 수 있다. igi~논== ((ssiinn 00II//33)) (( i-iyi isxi n s i ¢n — ¢ i—izi ii iz xi i CyO SC O¢S) ¢+) i+ix i iCyO SC O(Sj 0 g논 (sin 0 x /3) cos + iiz co s (j /3=g (9 .18) 입사 입자가 정지해 있는 표적 입자와 충돌하여 산란하는 경우 가 자주 나오게 되는데 여기서 그 운동학적 관계식들을 정립해 두는 것이 좋겠다. 4- 운동량 R 을 가전 입자가 정지 질량 m 을 가

X

전 표적 입자와 충돌하여 4- 운동량 R 과 p4를 가전 입자들이 튀 어나온다고 가정하자. 논의를 간단하게 하기 위하여 그림 9 .4와 같이 좌표계를 설정해 보자. 이 좌표계에서 P,· 둘은 A = (E1, 0, 0, P1) (9 .19a) A= (m, 0, 0, 0) (9.19b) R= (E3, p3 s in 03, o, p3 C OS 03) (9 .19c) P4= (£4, -p4 s in 04, 0, p4 c os 04) (9 .19d) 와 같이 쓸 수 있다. 우리는 종종 E3 와 p 3 가 주어졌을 때 03 를 알기몰 원한다. 이것은 운동량 보존의 법칙과 관계식 Pl=m? 로 부터 cos 03= m~— m f — m2-m i 2+P 21P (3E 1 + m) £3— 2 E1m (9 . 20) 와 같이 얻을 수 있다. 또한 그립 9.4 의 대칭성을 이용하여 첨자 둘 3 과 4 를 교환함으로써 cos 04 에 관한 식도 얻는다.

9. 2. 6 입자의 소멸과 생성 입자가 매질에 흡수당하는 경우나 그 에너지가 미리 정해 놓은 기준값 이하로 떨어지는 경우 또는 입자가 관심 지역의 밖으로 이탈하는 경우에 그 입자는 소멸한 것으로 간주한다. 입자가 소 멸되면 현역 리스트에서 제거해야 한다. 입자가 매질과의 반응을 통해서 새로이 생성되는 경우에는 그 입자들의 종류, 위치, 속도 등울 현역 리스트에 추가하고 그들도 추적해야 한다. 그 많은 입 자들을 동시에 추적할 수는 없기 때문에 그 중 에너지가 가장 높 은 것 또는 가장 낮은 것 또는 무작위로 선택하는 방법이 있을 것이다. FORTRAN 언어처럼 프로그램 도중에 변수 메모리의 용량을 조절할 수 없는 경우에는 변수 행렬의 크기를 미리 크게 잡아두어야 하지만 C 언어처럼 프로그램 수행 도중에 메모리를 증가시킬 수 있는 경우에는 동적으로 메모리를 증감시켜가며 프 로그램을 수행시킬 수 있다. 비유사 방법에서는 필요에 따라서 적절한 무게 인자를 곱하여 소멸될 입자를 고의적으로 회생시키거나 존재하는 입자를 고의적 으로 제거하기도 한다. 자세한 설명은 9.3 절에서 논의하기로 한다. 9.2. 7 물리량의 측정 입자들의 운송을 추적함으로써 우리는 어떤 물리량을 측정하고 자 한다. 차폐 문제에서는 관심 지역을 빠져나가는 입자들의 퍼 센트가 문제가 된다. 입자 감지기의 설계 문제에서는 복잡한 모 양과 성분을 가지는 감지 장치계에 입자들아 입사하여 매질과 반 옹을 일으켜 어떠한 이차적인 입자들을 생성해 내고 정해진 경계 면을 얼마나 많은 입자들이 지나가면서 얼마나 많은 에너지롤 방

출하는지가 관심의 대상이 된다. 또한 암 환자에게 방사선을 두 사시키는 경우 환부에 방출되는 에너지량이 가장 큰 관심이지만 그밖의 부분에서는 정해전 양 미만의 에너지만 방출되어야 하는 것을 보장해야 한다. 원자로의 설계 문제는 아주 복잡한 것인데 그 중 문제가 되는 것은 핵분열 과정에서 나오는 중성자와 감마 선이 주변의 매체에 얼마나 많은 에너지를 방출하는가 하는 것이 며 중성자의 밀도가 임계값을 지나치지 않도록 하는 것이다. 일반적으로 우리가 측정하고자 하는 거의 모든 물리량들은 입 자들의 밀도 함수로부터 유도될 수 있는데 , 이 것은 좌표와 속도 의 6 차원 공간의 주어진 위치에서 발견되는 입자들의 수를 말한 다. 6 차원 공간의 점 (r, v) 근방의 체적소 d3rd3v 내에서 발견 되는 입자들의 수를 밀도함수에 의해 표현하면 n (x, y, Z ; Vx, Vy , Vz ; t) d3rd3v 이다. 밀도 함수 n 을 알면 공간의 주어진 점에서의 입자들의 밀 도, 흐름 또는 정해진 단면적을 지나가는 입자들의 수 등을 쉽게 산출해 낼 수 있다. 몬데카를로 방법에서는 입자가 탄생하면 그 행로를 추적하게 되는데 다음 반응 지점까지의 평균 자유 경로 개수, 반웅으로부 터 튀어나오는 입자들의 에너지와 출사 방향, 새로이 생성된 입 자들의 부수적 행로들을 끊임없이 추적한다. 생성원으로부터 탄 생한 이러한 임의의 주요행로를 N 개 추적한다고 하자. 그 과정 에서 가관측량 O 를 측정하게 되는데 유사 방법에서는 =l- ~N O(h) (9 . 21) Nh=1 과 같이 행로 h 로부터의 기여 O(h) 의 평균값으로 취한다. 원칙

적으로는 행로의 수 N 을 많이 늘리면 중심 극한 정리에 의해 〈 O 〉 에 대한 충분히 정확한 기대값을 얻을 수 있다. O(h) 를 측정하기 위하여 행로를 따라 가관측량에 대한 기여, 죽 득접(t all y)을 어떻게 기록하는지롤 알아보자. 가장 간단하게 어느 체적소 V 를 아무 방향으로건 단위시간당 지나가는 입자들 의 수인 스칼라 선속 (scalar flux )

= —1- LN ! Cv ( h) (9 . 24) Nh= I 이 방법에서는 입자가 체적소 V 를 지나가면서 반응을 일으켜 야만 득점에 연결되므로 아주 비효율적이다. 스칼라 선속의 물리 적 정의에 의해 입자가 그 체적소를 지나가기만 하면 득점을 하 도록 할 수도 있다. 죽 입자들이 체적소 V 를 지나가는 평균 트 랙 길이를 〈 Lv 〉라고 하면 관계식 r/Jv =< L v> / V (9 . 25) 이 성립한다. 이 식을 사용하여도 V 가 적으면 지나가는 입자들

의 수가 워낙 적기 때문에 유사 방법은 역시 효율성이 떨어전다. 개별 입자들의 운송을 추적해서 6 차원 공간의 어느 체적소에서 의 밀도 함수를 계산해 내려면 수없이 많은 입자들을 추적해야 되고 그 계산 시간 또한 엄청나다. 예를 들어 10-6 정도의 차폐 효과롤 원한다면 한 개의 탈출 입자를 찾아내기 위해 백만 개의 입자들을 추적해야 한다. 9.3 비유사방법 9.2 절에서 논의한 유사 방법은 몬테카롤로 적분으로 말하자면 직설적 방법과 같아서 관측량의 편차를 줄이기 위해서는 엄청나 게 많은 입자 행로들을 추적해야 한다. 때에 따라서는 그 계산량 이 현실적으로 불가능하게 되어 중요 표본추출 방법과 같이 적은 노력으로도 편차를 줄일 수 있는 방법을 사용하지 않으면 안된 다. 대부분의 비유사 방법 (Non-Analog Me t hod) 에서는 입자 행 로를 인위적으로 조작하여 원하는 결과에 기여를 많이 하는 행로 둘을 되도록 살려내는 방식을 사용하고 있다. 다음에 논의할 몇 가지 방법들은 흔히 사용되는 편차 감소 기 법인데 이러한 방법들을 좀더 효과적으로 적용하려면 중요 사찰 지역에 대해 사전 정보가 필요하다. 이것은 문제의 해답을 알아 야만 가능한 것이 되어서 자가당착적이다. 비슷하지만 더 간단하 고 해석적으로 풀 수 있는 문제의 해답으로부터 유추하거나 경험 으로부터 얻은 직관에 의존하거나 또는 유사 방법에 의해 대충 중요 지역을 알아내고서 계산이 진행되어감에 따라 점차적으로 조정해 가면서 윤곽을 파악해 나가는 것이 실용적일 것이다. 비유사 방법은 입자의 행로에서 사건이 일어날 때 주로 적용된

다. 이제 몇 가지 방법들을 고려해 보기로 하자. 9.3.l 흡수 억제 방법 입자의 운송 과정에서 그 행로가 종료되는 경우는 세 가지가 있다. 1) 입자의 흡수 2) 관심 지역 이탈 3) 입자의 에너지 쇄전 유사 시뮬레이션에서는 위 조건들이 만족되면 그 입자의 행로 롤 더이상 추적하지 않고 폐기시킨다. 비유사 시뮬레이션에서는 효율을 증대시키기 위하여 몇 가지 인위적인 조작을 하게 된다. 사건 1) 이 일어날 경우 입자를 파기하는 대신 그 입자의 현재의 무게 인자에 현 지점에서의 회생 확률을 곱하여 새로운 무게 인 자로 취하고 그 입자를 살려내는 방법을 사용할 수 있다. 입자 운송 행로의 i번째 단계에서 입자의 무게 인자가 W려 고 그 지점 그 단계에서의 총 단면적을 6, 홉·수 단면적을 야라고 하자. (i -1) 번째 단계에서 무작위로 표본추출한 결과 흡수 반응 이 선택되었다고 하여도 이것을 제거하는 대신 무게 인자 wi= Wi - 1 (J- 6a (9 . 26) (J 룰 부여하면서 살려내고 비흡수 반응둘 중에서 하나의 반응을 그 들의 상대적인 반응률에 따라 무작위로 선택하는 것이다 . 유사 방법에서처럼 단순한 득점 방법을 사용하면 이러한 인위

적인 조작으로 말미암아 전혀 실제와 다르고 무의미한 측정값이 얻어질 것이다. 따라서 인위적인 조작에 대한 보상을 해주어야 하는데 i번째 지점에서 물리량울 측정할 경우 유사 방법에서의 측정량 야에 무게 인자 W를 곱해 주어야 한다. Ona= W.·O a (9 . 27) 사건 2) 가 일어나는 경우에도 이와 비슷한 무게 함수 조정 방 법을 적용시킬 수 있으나 입자를 살려내는 과정이 더 복잡하여 계산 시간이 많이 걸리므로 1) 의 경우에만 사용하는 것이 상례이 다. 위의 식 (9 . 26) 을 사용하기 위해서는 i =O 에서의 무게 인자를 정의해 주어야 하는데 보편적으로는 Wo=l 로 잡는 것이 타당할 것이다. 하지만 생성원의 분포 함수 S(r, E, ti)가 너무 복잡 하여 직접적인 표본추출을 하지 못하고 이와 유사하지만 다루기 가 쉬운 다른 함수 Se(r, E, tJ)를 사용하여 표본추출할 경우 초기의 무게 함수를 臨= SSe((rr,, EE,, g요)) (9 . 28) 로 잡아주어야 한다. 홉수 억 제 (Absorpt ion Sup pr essio n ) 방법 을 사용하면 입 자가 소 멸되지 않으므로 입자 행로당 계산 시간이 늘어나지만 그보다 훨 씬 더 편차를 줄여 주기 때문에 이 방법은 거의 모든 몬테카를로 운송 코드에서 채택하고 있다.

9.3.2 러시아 룰렛 러 시 아 룰렛 (Russia n Roulet te) 은 흡수 억 제 방법 의 반대 로서 입자 행로를 폐기하는 데에 관한 방침을 결정한다. 흡수 억제의 방법을 사용하면 무게 안자가 점점 감소하게 되는데 너무 감소하 여 미리 정해둔 하한값 Wm 보다 낮아질 경우 계산의 효율을 위 해 인위적으로 폐기해 줄 필요가 있다. 무조건 폐기해 버리면 비 록 작지만 측정량이 과소 평가될 우려가 있기 때문에 보상을 해 줄 필요가 있다. 무조건적인 폐기 대신에 회생 확률 p= W;/Wo 에 의해 살리면서 무게 인자롤 초기값 Wo 로 잡아주는 방법을 러 시아 룰렛이라고 부른다. 죽 아주 작은 확률에 의해 회생할 기회 룰 주면서 대부분의 경우에는 폐기하는 것이다. 하한값 Wm 을 중요 사찰 지역에서는 낮게 잡아 주고 그렇지 않은 지역에서는 높게 잡아 줌으로써 이 방법의 효율을 높일 수 있다. 이 방법은 제거해야 할 입자 행로를 살려낸다는 점에서 편차를 증가시키는 경향이 있으나 중요하지 않은 행로를 조기에 제거함 으로써 행로당 계산 시간 r 를 단축시키기 때문에 효율 1/(r 군)을 증가시켜 준다. 9.3.3 분열 방법 러시아 룰랫이 중요하지 않은 입자를 제거하는 데에 반해서 분 열 방법 (S plitti n g)은 중요한 입자를 증식시킨다. n- 대 -1 분열 방 법은 입자를 임의로 n 개로 늘리고 새로 생긴 n 개의 입자 각각에 무게 인자 W i n 을 준다. 이 방법은 원하는 결과에 많은 기여를 하는 중요한 입자 행로를 증식시키기 때문에 중요 표본추출 방법

의 일종이라고 볼 수 있어서 편차를 줄여 주지만 더 많은 입자 행로를 추적하게 하기 때문에 계산 시간을 증가시켜 준다. 하지 만 전체적인 효율성 l/(w2) 은 증가시켜 준다. 분열 방법은 입자들이 매질 깊숙이 침투하면서 거의 소멸되는 차폐 문제에서 편차를 줄이는 가장 효과적인 방법이다. 입자들이 지역간의 경계면을 지날 때 분열 방법을 적용시키는 것이 상례인 데 경계면을 지나와서 증식시켰을 때 새로 생긴 입자들의 수가 거의 일정하게 유지되도록 n 을 결정하는 것이 가장 좋은 결과를 내주는 것으로 알려져 있다. 9.3.4 지수 변환 방법 위의 세 가지 방법 이의에도 ' 여러 가지 인위적인 편차 감소 기 법들이 있지만 그 적용 범위가 제한되어 있다. 지수 변환 방법 (Exp o nenti al Transfo r mati on ) 은 침 투 문제 에 서 효율적 이 다. 침투 문제에서는 대부분의 입자들이 여행 도중에 폐기되어 버 리는데, 선호되는 방향으로의 여행 거리를 확대시키는 방법을 생 각해 보자. 가령 x 방향이 선호 방향이라고 하면 그 방향으로의 거시적 단면적을 인위적으로 적절히 줄여 줌으로써 입자가 x 방 향으로는 실제보다 저항을 덜 받으면서 진행하도록 할 수 있다. ~p=~ (l-p cos 0) (9 .29) 여기서 ()는 입자의 진행 방향과 x 축 사이의 각도이고 o:::;; p :::;;1 는 선호율을 나타낸다. 이렇게 반응률을 줄인 데에 대한 보상으로 입자의 무게 인자, Wp 를 늘려주어야 할 필요가 있다. 그것은 입 자가 지점 s 로부터 s+ds 까지 진행하는 동안에 반응을 일으킬 확률 ~ex p (-~s)ds 가 보존되어야 한다는 원칙을 적용하여

~exp ( 一 ~s) ds = Wi후p ex p ( —~ ps ) ds (9 . 30) 가 성립하게끔 Wp 를 택하면 된다. 이로부터 무게 인자를 Wp = ~1-sp c os0 0 ) (9 . 31) 과 같이 얻는디 입자가 경계면에 도달하면 다른 보상을 해야 한다. 그것은 경 계면에 도달할 확률을 보존시킴으로써 찾아낼 수 있다. exp ( -~s) = Wp exp (—~pS ) (9 . 32) 로부터 Wp = exp (-p~ s cos 0) (9 . 33) 룰얻는다. 한 가지 주목할 접은 이렇게 해서 얻는 측정값의 편차가 0~ Pm~l 에서 최소값을 가진다는 것이다. 하지만 Pm 은 사전에 미리 알 수가 없고 경험적으로 추정해야 한다. 9.3.5 강제 충돌 방법 관심 지역이 너무 비좁아 입자들이 충돌없이 통과해 버릴 확률 이 클 경우 지수 변환 방법과는 반대로 충돌간 여행 거리를 줄이 는 방법을 생각해 볼 수 있다. 강제 충돌 방법 (Forced Coll isio n ) 에서는 무게 인자 W를 가지고 이 지역에 들어오는 입자를 더 작 은 무게 인자를 가지는 두 개의 입자들로 분열시키는데, 하나는 그냥 지나갈 입자이고 다른 하나는 강제로 충돌을 하게 될 입자 이다. 각각의 무게 인자를 결정하는 데 참조할 것은 입자가 충

돌 없이 지나갈 확률은, 그 지역의 통과 거리를 R 이라고 하면, ex p (-~R) 이라는 사실이다. 통과하는 입자에게는 무게 인자, We = W exp (-~ R) (9 . 34) 롤 부여하고 충돌해야 할 입자에게는 무게 인자, We= W[l— e xp (—~ R)] (9 . 35) 를 부여하면 될 것이다. 통과하는 입자는 무게 인자 We 를 가지고 충돌 없이 그 지역을 빠져나오는데 새 지역에서 충돌 지점을 찾는 데에 있어서 계속 살아 남아 있을 확률이 exp (—~ R) 만큼 줄어들었다는 것을 감 안해 주어야 한다. 충돌하는 입자는 증폭된 확률 밀도 p(s ) lZ— eexx pp ((—- ~2 Rs)) ' 。후 sR (9 . 36) 에 의해 관심 지역 내에서 충돌 지점을 찾도록 해주어야 한다. 간단한 지수 분포에 의한 표본추출 방법은 2.3 절에서 논의한 바와 같이 균일 분포 난수 g를 뽑아서 s= -支 ln [l— s(l 一 e-IR) ] (9 .37) 에 대입하여 나오는 s 를 사용하면 된다. 일단 충돌이 일어나면 그 입자에는 무게 인자 We 를 새로 부여해 주어야 한다. 한 가지 주의할 것은 관심 지역이 작으면 We 도 작게 되는데 이보다 작은 Wm 을 가지고 러시아 룰렛 방법을 동시에 적용해서 는 안 된다는 것이다.

9. 4 볼츠만 운송 방정식 9.4.1 개요 운송되는 입자들의 수가 너무 많아서 그들 자신이 환경을 만드 는 데 기여하는 비선형 운송 현상에서는 어느 입자의 행로롤 끝 까지 추적하고 나서 또 다른 입자의 행로를 추적하는 유사 방 법이 부적절해질 것이다. 아런 경우에는 입자들의 미시적인 운 동 방정식을 직접 풀어가는 확정적인 방법을 사용해야 한다. 예 롤 들면 그것들이 만들어 내는 전자장이 무시할 수 없을 정도로 강하거나 그들 자신이 표적이 될 정도로 수가 많아지는 경우들이 다. 또한 운송 현상에 관한 정확한 결과를 원할 경우에는 입자의 위치와 속도의 함수인 입자 밀도 함수 또는 충돌 밀도 함수에 관 해 확정적인 운송 방정식을 설정하여 이것을 수치적으로 풀어나 간다. 확정적 운송 방정식을 푸는 비교적 정확한 방법들로서, 이 산적 좌표 방법 (Disc rete Ordin a te s Meth o d) , 구면 조화 함수 방 법 (Sp h eric a l Harmonic s Meth o d) , 유한 원소 방법 (Fin i t e Element Meth o d) , 적 분 운송 방법 (Inte g ral Transpo rt Meth o d) 등 여 러 가지가 있다. 이 방법들에 대한 자세한 설명은 Dudersta d t 등 [197 아울 참조하기 바란다. 입자 밀도 함수를 n(r, v, t)라고 하면 6 차원 위상공간에서 (r, v) 근방의 체적소, d3rd3v 내에서 발견되는 입자들의 수는 n(r, v, t) d3rd% 이다. 많은 경우에 속도 대신 에너지 E 와 운 동 방향 g를 사용한다. (r, E, iJ) 근방의 체적소, d3rdEdQ 내에서 발견되는 입자들의 수는 n(r, E, iJ )d3rdEd요 이다. 체적소 d3rd% 내의 입자들의 수의 변화율을

1) 생성원 또는 흡수원 2) 매체 또는 다른 입자와의 충돌 3) 체적소 의부로부터의 유입 또는 방출 에 의한 변화율둘의 합으로 써주면 볼츠만의 운송 방정식을 얻 는다. 寄8n =s(r, v, t) +8需n Ic o1-v·'1 r n(r, v, t) --!f; ·'1v n(r, v, t) (9 .38) 여기서 입자의 위치 변화는 세번째 항에만 기인하고 네번째 항은 가속으로 인한 속도 변화를 나타내는데 의부 전자장 하에서 대전 입자가 운동할 때 유효한 항이다. 두번째 항이 대부분의 물리를 내포하고 있는데 이 항으로 인해 입자의 속도가 바뀌거나 입자가 소멸되거나 또는 새로운 입자가 탄생될 수 있다. 이것을 미분 산란 단면적과 연관시키면 틀 |col = Jd3v 'v'~ (r, V' -+ v) n (r, v', t) -v ~ (r, v) n (r, v, t) (9 . 39) 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 미분 산란 단면적, ~(r, V'-+ v) 를 속도에 관해 적분하면 거시적 산란 단면적, L! (r, v) =jd 3v ' L! (r, v' -+ v) (9 .40 ) 을 얻는다. 식 (9.40) 의 좌변은 식 (9.1) 의 우변과 같다는 점을 유의할 필요가 있다. 식 (9.38) 에서 입자의 속도 v 대신, 그 에너지 E 와 운동 방향

g를 사용하기로 하고 n 대신 각선속 (an gu lar flux ), (r, E, g)는 (r' E, ii) = ff! dE'd요 '~ (E' ---+ E, Q' - ➔ Q) cp (r, E', Q' )+s (9 . 44) 에 의해 정의된다. 또한 위의 식 (9 . 42) 에서 r 과 t 대신 r'=r ― Ri i와 t'=t— Ri v 를사용하면 》릅+g.짜=-孟 ¢(r', E, 요, t') (9 . 45) 가된다. 이제 식 (9.45) 의 양변에 적분 인자, exp [— 1R2 !t (r-R'ti, E)dR'] (9 . 46)

룰 곱해주고 R에 대해 적분을 하면 軒에 관해 다음과 같은 적분 방정식을 얻는다. 여기서 ~t는 총 단면적이다.

[fjfd E dQ'~꾼크 ?)_IP( r', E, Q')+ s(r', E, ii)] 또한 이 식의 해, rp( r, E, ii)로부터 어떤 가관측량을 계산하 고자 한다고 하자. 예를 들어, 7J (r, E) = 2!d ( r, E) /2! 1 (r, E) (9 . 50) 에 의해 정의되는, 감지기의 반응에 관심이 있다고 하자. I= 〈7J.¢ 〉 =ffd 3rdE dQ묘,’ 겁 ¢(r, E, Q) (9.51 ) 여기서 x=(r, E, iJ)라고 정의하면 위의 식둘이 다음과 같은 형식으로 되어 있는 것을 쉽게 볼 수 있다. ¢ (x) = fdx' ]{ (x', x) ¢ (x') + s (x) (9 . 52) H=j dx TJ (x) ¢ (x) (9 . 53) 5.3 . 4 절에서 원론적으로 논의했고 편차 감소 기법을 위해 9. 3 절에서도 논의한 홉수 억제 방법을 적용해 보기로 하자. 위상공 간의 접 x 에서의 흡수 확률을 r(x) 라고 정의하고 전이 확률 ]{(x', X) 를 다음과 갇이 몇 개의 인자들의 곱으로 써보자. ]{ (x', x) = [l-r ( x') ] p (x') K (x', x) (9 . 54) 여기서 [l-r(x') ］는 입자가 흡수되지 않고 산란될 확률이고 p (x) 는 보상 인자이며 K(X', X) 는 규격화된 전이 확률이다. K(x', x)fX=(x ',~ x) d x (9 . 55)

jJC (x', x) dx p( x') [1-Y(x') ] (9 . 56) 식 (5 . 55) 를 변형시켜 얻은 식 (5 . 75) 를 풀어서 다시 써보면 H= to fd x 。 ... dxn-1S(xo)(1-r(xo)]K(xo, X1) (9.57) …n( 1=O— Y( Xn-1)]K(Xn-1, Xn)Y(Xn)J (xo, …, Xn) 을 얻는다. 여기서 이 특정 행로에 대해서 주는 점수, Y(xo, Xn) 는 Y(xo, Xn) = 갑::} p( xo) …p( Xn-1) (9 .58) 에 의해 주어진다. 아것은 입자가 Xo 에 생겨서 x1 까지 간 다음, 거기서 또 충돌을 일으켜 X2 로 가고, 이런 과정을 반복하다가, 끝내는 n 번째 충돌에서 소멸되는 과정을 말한다. 위의 과정을 물리적으로 좀더 자세히 설명하면 유사 방법과 같 다는 것을 알 수 있다. 행로가 시작되기 위해서는 입자가 탄생해 야 하는데, 생성 확률 s(x)=s(r, E, iJ)에 의해 xo=(ro, Eo, no) 를 표본추출한다. 또한 새로 탄생한 입자에게 무게 인자 W =1 을 부여한다. 그런 다음 전이 확률 K(Xo, X) 에 의해 X1 을 표 본추출한다. 이것을 구체적으로 말하면, ~t(ro , Eo)ex p[一 r (ro, Eo, no, R)] 에 의해 R 을 표본추출하여 r1=ro+R iJ o 에 의 해 r1 을 계산한다. 이 시점에서 입자가 흡수될 수도 있는데 그 가능성을 배제하고, 이 행로의 점수와 입자의 무게 인자에 보상 인자, [1-r(x1)]=~s(ri, Eo)/~t( ri, Eo) 를 곱해 주기로 하고 무조건 산란만 시킨다. EI, g 1 은 산란 단면적으로부터 추출하는 데, E1 을,

fdQ ~ s4 7(Er~o s나 (r Ei, , Efoj)。 나J) (9 . 59) 에 의해 추출한 다음, 운동 방향 iJ 1 은, fd ~후 s(Eo (E -o 간E1러, ,Q 。 g-。 나QJ) ) (9.60) 에 의해 추출한다. 이런 방식으로 K(xI, x) 에 의해 X2 를 추출하 고, …, K(xn-I, x) 에 의해 Xn 을 추출한다. 이 과정을 계속하다 가, 입자의 무게 인자가 미리 설정한 하한값 이하로 떨어지거나, 입자가 관심 지역 밖으로 빠져나가면, 홉수 확률 짜 x) 에 의해 . Xn 을 표본추출하고 종료시 킨다. 참고문헌 [ 1 J B. Alder, Meth o ds in Comp ut a t i on al Phys ic s , (Academi c, 1963) [ 幻 J.F . Brie s meis t e r , MCNP: A General Monte Carlo Code for Neutr o n and Photo n Transp o rt : versio n 3A, LANL LA-7396-M (1986) [ 3 ] R. Brun, F. Bruy a nt, M. Mair e , A.C. McPherson and P. Zanarin i , GEANT3, CERN DD/EE/84-1 (1987) [ 4 ] S. Chandrasekhar, Rev. Mod. Phys . 15 (1943) 1 [ 5 ]S . Chandrasekhar, Radia tive Transfe r , (Dover, 1960) [ 타 J.J. Dudersta d t and W.R. Marti n, Transpo rt Theory , (W ile y, 1979) [ 7 ] M.B. Emmett , The 'MORSE' Monte Carlo Radia tion Transp o rt Code Sys t e m , ORNL-4972 (1975)

[ 8 ] E. Fermi , unp u bli sh ed (early 1930) [9 ]E . Inonil and P.F. Zweif el, Develop m ents in Transp o rt Theory (Academi c, 1967) [l 이 C. Jac oboni and P. Lug li , The Monte Carlo Meth o d for Semi - conducto r Devic e Sim ulati on , (Sp r in g e r, 1989) [11 ] H. Kahn, Ap pli ca ti on s of Monte Carlo, USAEC rep. AECU -3259 (RAND Corp. , 1954) U 끽 A.N . Kalin o vskii , N. V. Mokhov, and Yu.P. Ni ki t in, Passag e of Hi gh -Energy Part icle s thr oug h Matt er , (AIP, 1989) 園 E.E . Lewi s and W.F. Mi ller , Comp ut a t i on al Meth o ds of Neutr o n Transpo r t , (W ile y, 1984) 詞 I. Lux and L. Kobli ng e r, Monte Carlo Part icle Transp o rt Meth o ds: Neutr o n and Photo n Calculati on s, (CRC Press, 1991) [1 하 G.I. Marchuk and V. I. Lebedev, Numeri ca l Meth o ds in the Theory of Neutr o n Transp o rt , (Harwood, 1986) [16] N. Metr o p o lis, in Monte - Carlo Meth o ds and Ap pli ca ti on s in Neutr o nic s , Photo n ic s and Sta t i stica l Phys i c s , ed. by R. Alcouff e, R. Dautr a y, A. Forste r , G. Ledanois and B. Mercie r , (Sp r in g e r, 1985), pp.6 2-70 [l 기 H.A. Mey e r, Sy m p os iu m on Monte Carlo Meth o ds, (Wi le y, 1956) [18 ]W .R. Nelson, H. Hira y a ma and D.W.0. Rog e rs, The EGS4 Code Sys t e m , SLAC pu b. SLAC-265 (1985) [l 이 J. Sp a nie r and E.M . Gelbard, Monte Carlo Pr inc iple s and Neutr o n Transp o rt Problems, (Addis o n-Wesley, 1969)

제 10 장 광자와 전자의 운송 광자와 전자의 운송 현상은 저에너지 영역에서 광범위하게 옹 용되고 있다. 이들은 소립자이기 때문에 고에너지 영역에서도 그 둘의 운송은 복합 구조를 가지는 다른 입자들에 비해서 비교적 간단하다. 10 장에서는 이들의 운송을 어떻게 전산 모사하는지 자 세히 살펴본다. 10. 1 서론 9 장에서의 논의는 운송 현상을 기술하는 데에 필요한 좌표 및 환경 설정, 그리고 반응률이 주어졌을 때 원하는 확률 변수를 어 떻게 표본추출하는지와 같은, 운동학적이거나 방법론적인 것에 관해서였다. 운송 현상을 좀더 깊이 이해하기 위해서는 입자가 매질과 일으키는 반응들에 관한 단면적들이 필요하다. 매질을 두과하는 고에너지 입자들이 매질과 일으키는 반웅은 여러 가지가 있다. 이들에 관한 기본 물리 법칙들에 대해서는 핵

력이나 전자력처럼 잘 알려져 있는 것도 있으나 강작용처럼 아직 도 완벽하게 알려져 있지 않아 그것이 연구의 대상이 되는 수가 많다• 10 장에서는 가장 잘 알려진 전자기 작용을 하는 입자들에 한해서 논의하기로 하자. 광자와 전자는 소립자이기 때문에 그들 의 운송은 복합 구조를 가지는 다른 입자들에 비해서 비교적 간 단하다. 광자가 전자기력에 의해 매질과 일으키는 반응은 다양하다. 레 일 리 (Ray le ig h ) 산란, 광전 효과 (Photo e lectr i c eff ec t) , 콤프턴 (Comp ton ) 산란, 여러 가지 쌍생성들 (Pa i r creati on ), 전자-반전 자, 뮤언-반뮤언, 중간자-반중간자, 쿼크-반쿼크 등, 입사 에너 지의 크기에 따라 실로 많은 반응둘이 가능하다. 이들 중에서 콤 프턴 산란을 제의한 다른 반응들은 원자의 전하 분포에 민감하게 의존한다. 전자의 상호작용들은 궤도 전자로부터의 산란 (Moller 산란), 양전자로부터의 산란 (Bhabha 산란)， 양전자와 결합해서 두 개 이 상의 광자를 방출하는 쌍소멸 (Pa i r annih i l a ti on ), 원자핵의 정전 장의 영향 하에서 일어나는 제동 복사 (Bremss t rahlun g), 원자핵 과의 탄성 충돌에서 에너지를 잃지 않고 방향만 바꾸는 다중 산 란 (Mu ltip le 산란) 등이 있다. 이들 상호작용들 중에서 제동 복사 를 제의한 나머지들은 원자의 전하 분포와는 거의 무관하여 그 산란 단면적을 계산하기 위해서 점입자들의 파인만 (Fe y nman) 진 폭만을 고려해도 된다. 광자와 중성자는 전기적으로 중성이기 때문에 다시 원자들과 상호작용을 할 때까지 직전한다. 하지만 전자는 원자핵과의 다중 산란에 의해서 끊임없이 방향을 바꾼다. 또한 의부 전자장이 존 재할 경우에도 전자는 영향을 받게 된다.

10.2 원자로부터의 산란에 관한 정확한 공식 입사 광자나 전자를 산란시키는 표적이 점 입자이면 그 산란 단면적을 파인만 진폭으로부터 쉽게 계산할 수 있다. 하지만 원 자 또는 원자핵처럼 단순하지 않은 내부 구조를 가지는 표적으로 부터의 산란은 상호작용하는 동안 표적을 구성하는 개개 입자들 의 상태에 관한 정보를 필요로 한다. 비상대론적 영역에서 광자 나 전자의 전하 분포로부터의 산란 단면적에 관해서 고급 양자역 학 교과서들〔 Landau 등 , 1965 ; Beth e 등, 1986 ; Loudon, 199 아에 자세한 설명들이 나와 있다. 하지만 광자는 본질적으로 상대론적 인 객체이고 전자도 입사 에너지가 수 MeV 를 초과하면 상대론 적으로 되기 때문에 이들을 양자장론에 의해서 다루어야 한다. [B j o rken 등, 1964 ; Cheng 등, 1984] Drell 과 Walecka[196 사는 Be t he 와 Re it ler[193 산의 결과를 일 반화시켜 경입자가 입사하여 질량, 스핀, 형태 인자와 최종 상태 가 임의적인 표적 입자로부터 산란하는 경우에 대해서 적용할 수 있는 공식을 유도했다. 광자의 벡터성과 전하 보존의 법칙으로부 터 유도된 그들의 공식은 한쪽 끝에는 경입자가 있고 다른 쪽 끝 에는 원자핵이 있어서 그들 각각의 전류 밀도들이 가상 광자에 의해서 연결되는 일반적인 전자기 반응에서 모두 유효하다. （그림 10. la , b 참조) 이 공식을 사용하면 표적 입자가 편극화되어 있지 않고 그 최종 상태를 측정하지 않는 경우, 표적 입자들의 전하 분포로 인한 영 향은 운동량 전달 q와 에너지 손실 4 에만 의존하는 두 개의 구 조함수들 Wi(q러 4) 와 昭(q 2, 4) 에 의해 완전히 결정된다. 입사 광자의 편극 벡터와 4- 운동량을 e 과 k, 출사 전자의 에너 지와 4- 운동량을 E 와 P, 출사 반전자의 에너지와 4- 운동량을

제동복사 쌍생성

E+ 와 P+, 표적 원자의 질량과 초기 운동량을 m,., pi, 그리고 표 적 원자로의 4- 운동량 전달을 q라고 표시하면 미분 단면적은 da=e6~) 합충 ~7(LµWµ.,) (10.1) 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 Lµ(p , P+, c, k) 는 전자의 여러 가지 가능한 진행자의 평균으로서 디락 (D i rac) 의 r- 행렬둘로 구 성되어 있다. 전류 밀도 ].µ(X) 마 (0) 의 표적 원자의 상태들에 대한 기대값들 의 합으로 정의되는 행렬 원소 Wµ., 에 관한 식에서, 구조 함수들 Wi(q라 L1) 와 J.½(q러 L1) 가 다음과 같이 간접적으로 정의된다. Wµv=L !

여기서 I P, 〉 는 운동량 P 를· 가지는 표적 원자의 초기 상태를 나 타내고 |f 〉 는 보존 법칙들을 만족하는 표적 원자의 임의의 충돌 후 상태를 말한다. W1 은 표적 입자의 자기 분포에 관해서, 그리 고 W2 는 주로 그 전하 분포에 관한 정보를 포함한다. 원자(핵)의 구조를 무시할 수 있느냐 없느냐는 입사 전자 또는 입사 광자로부터 표적 원자(핵)에로의 운동량 전달 t=―#이 원 자(핵)의 반경에 비해 얼마나 큰 가에 달려 있다. t - o 인 극한 에서는 표적 입자가 점 입자처럼 보일 것이지만 tR ~ t om(nucl)>1 이 되면 원자(핵)의 구조를 고려해야 한다. 우리가 10 장에서 고려하 고 있는 저에너지 (<2GeV) 광자의 경우 또는 입사 방향 근방으 로만의 산란의 경우에서는 원자핵의 구조를 무시할 수 있다. 식 (10.1) 을 양전자로 표적 입자의 최종 상태들에 관해 적분하 면 제동 복사의 출사 광자의 운동량에 대한 미분 산란 단면적을 다음과 같이 쓸 수 있다. d 야=：醫f뭉f空 x 성 (k+P++P f -P 一p ;)A(k, P+, Pf, p, p;) (10.3) 그림 10.la 와 10.lb 는 바깥에 붙어 있는 다리들의 위치만 다 롤 뿐이지 위상적으로는 사실상 동일하다. 따라서 제동 복사와 쌍생성은 그 산란 단면적들이 운동학적인 인자들만 서로 다르고 그 행렬 원소들의 형식은 같다. 구체적으로 말하면 제동 복사에 서의 출사 광자와 입사 전자가 쌍생성에서는 입자 광자와 출사 양전자로 바뀌기 때문에 kµ-- kµ, pµ-- pµ와 같이 대체하고 쌍생성에서는 반응 후에 생기는 전자-양전자가 양자장론적으로는 구별 불가능하기 때문에 제동 복사의 단면적에 위상 인자 (— 1) 울 별도로 곱해 주면 쌍생성의 단면적을 얻을 수 있다. 죽, 대체

공식 ― A( 一 k, P+, Pf, -P, P i)을 식 (10 . 3) 에 적용하여 쌍생 성에 관한 미분 산란 단면적을 다음과 같이 얻는다. da p=뜻登f空f맡 (10 . 4) x 성 (-k+P++ Pf+p-pi) (— l)A(-k, P+, Pf, -p, PJ 표적 입자와 양전자의 운동량들에 관해 적분하여도 제동 복사 와 쌍생성의 미분 산란 단면적들은 다음과 같이 연관이 된다. d요 dab d k =_ 一 (( dd요 a dpp \) 午: 검:. kp23E (10 . 5) 10. 3 원자의 형태 인자 원자의 형태 인자는 그 용도가 광범위하기 때문에 연구가 많이 되어 왔으나 계산이 용이하지 않기 때문에 산발적으로 다루어져 왔다. Do y le 과 Turner[I968] 는 구면 대칭성을 가지는 54 개의 원 자들에 대해서 상대론적인 Hartr e e-Fock 파동 함수를 사용하여 6MeV 이하의 저에너지 영역에서 형태 함수들을 계산하였다. Cromer 와 Waber 는 나머지 원소들에 대해서도 저에너지 영역에 서 형 태 인자들을 계 산하여 그 결과를 Inte r nati on al Tables for X-Ray Cr yst a l log ra ph y (v. W, 1984) 에 수록하였다. Hubbell 과 Overvo [1979] 는 이들 여러 문헌에 산재되어 있는 자료들을 종합 하고 고에너지 영역에서의 값들을 추가로 계산하여 q의 광범위 한 영역에서 (0 . 1keV< q

지만 형태 인자가 구조 함수들 W1 과 w2 와 어떻게 관련되는지 그리고 간단한 경우에 어떻게 계산할 수 있는지 살펴보기로 하 자. 우선 W1 과 W2 를 규격화시켜야 하는데, da (e + Z -+d요 e d' +E a ny thi n g ) 4~ {입 醫 (W 2+ 2 t an 멸 Wi) (10 . 6) 가 되게끔 하는 것이 관례이다. 원자의 형태 인자를 무시할 수 없는 영역은 운동량 전달이 작 은 영역으로서 q -0 인 극한에서는 완전 차폐된 중성의 입자처 럼 보인다. 반대로 q - CX)인 극한에서는 전자 구름이 사실상 존 재하지 않는 것이나 마찬가지로 입사 입자는 발가벗은 원자핵의 전하를 느끼게 된다. W1 은 (q2 /2m;) G1 에 비례하기 때문에, q가 작아서 형태 인자가 중요한 영역에서는, vfi <{ W2 이 되어 m 뢴· 고려해도 된다. W2 는 W2

또한 비탄성적 부분은 Wdnel(t ' 빠) =8(En-E 。_Q o) I ,~o f

F( t) = (l+a5t /4 )-2 (10 .14a) G 홍 1( t) =[1_F(t) ] 2 (10.14b) c~nel([) =1— | F( t) 12 (10 .14c) 와 같이 얻는데 여기서 ao= (ame)-I 은 보어 반경이다• 그림 10.2 에 몇 개 의 대 표적 인 원소들 ('H, 2He, 6C, 80, Na, 14Si , 29C u, 53I, B2Pb) 의 형태 인자들과 Z=53 인 Thomas-Fermi 원자의 형태 인자를 스케치했다.

상대론적 Hart re e-Fock 원자 형태 인자

10. 4 광자의 상호작용 광자의 상호작용은 크게 세 가지로 구분할 수 있는데 그림 9.1 에 보이듯이 저에너지에서는 광전 효과가 지배적이고 고에너지에 서는 쌍생성이 지배적이지만 중간 에너지에서는 콤프턴 산란이 중요한 역할을 한다. 레일리 산란은 어느 에너지 영역에서도 지 배적이지 못하다. 저에너지 광자가 매질과 일으키는 상호작용에 관해서는 양자 전기 역학에 의해 거의 완벽하게 알려져 있다 [Re it ler 1954 ; Loudon 1990 ; Kalin o vskii 등, 1989] . 또한 산란 단면적 에 관해 방 대 한 데 이 터 도 NTIS [Saloman and Hubblell, 1986] 나 Brook- haven Lab [Ki ns ley, 1979] 또 는 Lawrence Li ve rmore Lab [Ple- chaty 등, 1978] 등에서 쉽게 구할 수 있다. 10. 4.1 콤프턴 산란 입사 광자가 정지 상태에 있는 자유 전자와 충돌하여 에너지의 일부를 전자에게 잃음으로써 산란되는 광자의 파장이 원래보다 길어지는 현상이 콤프턴 산란이다. Kle i n 과 N i sh i n 마 192 이가 최 초로 그 산란 단면적을 계산하였다. 입사 광자가 무극성일 때, 광자의 산란이 방위각에는 무관하므로 µ=cos 0 에서의 미분 산 란단면적을 훑 (a, µ) =21rr 근 )2( 꿉+f -1 + µ2) (10 .15) 과 갇이 나타낼 수 있는데, 여기서 a=k/mc2 은 입사 광자의 에 너지를 전자의 정지 질량의 단위로 잰 것이고 a'=k'/mc2 는 산

란광자의 에너지이다. re 는 전자의 고전적 반경이다 (re=e2/mc2 ::::::0 .2 8 A). 운동량 보존법칙을 사용하면 산란각 O 는 입사 광자의 에너지 a 와 산란 광자의 에너지 a ’ 에 의해 cos 0= (a+la) aaI '-a (10 .16) 와 같이 결정된다. 역으로 산란각 0 에 의해 a’ 를 표시할 수도 있다. a'= 1+ (1— ac os 0) a (10.17) cos 0 가 ― 1 과 +1 사이에서만 값을 가지기 때문에 산란 광자의 에너지의 최소값과 최대값은 dmI In= l+a2 a am’ ax=a 와 같이 얻어진다. 식 (10 . 15) 를 구간 [-1, 1] 에서 µ에 관해 적분하면 총 ` 산란 단면적을 얻는다. a=27r 머릉[ 2: 말!2- -In (1+2a)] +志 In (1+2a) —( 昌問 2} (10.18) 위의 식 (10.18) 은 비교적 간단하게 보이는 해석적인 식이지만 컴퓨터를 사용한 수치 계산에 있어서는 거의 비슷한 크기의 항들 이 서로 상쇄되어 유효숫자를 쉽게 잃어버릴 수 있고 또한 자연

대수 계산에 시간이 많이 걸린다. 이것을 빨리 계산하는 한 가지 방법은 이중 정확도에 의해 a 의 규칙적인 간격에서 6 를 미리 계 산하여 표로 만들어 둔 다음 원하는 a 값에서의 (5를 내삽시키는 것이다. 또 하나의 방법은 Has ti n g s[1955] 의 방식대로 식 (10.18) 을 유리식의 비율로 근사식으로 만들어 사용하는 방법이 다. 6=m2 7J3 +C1d 71/2 7+J 2 C+2d7J 2+n C+3 d3 (10.19) 여기서 매개 변수들은 다음 식들에 의해 주어진다. 7J = l + O. 222037a C1= 1.65 1035, C2= 9.340220, C3= —8 .325004 d1=12.501332, d2=— 1 4.200407, d3= l.69 9075 이제 산란각을 표본추출하기 위해서 확률 밀도 함수 p(µ)=la 一dd一µa 에 의해 µ룰 추출해야 한다. 식 (1 0.15) 가 겉으로 보기에는 간 단하지만 실제로는 µ의 복잡한 함수이다. 몇 개의 a 값에서 (da/dµ) 를 그림 10.3 에 스케치했다. 여기서 눈에 띄는 것은 a 값이 커짐에 따라 µ:::::::1 근방에서 곡선이 심하게 구부러지고 µ= 1 에서 (da/dµ) 가 최대값 4m 수를 취한다는 것이다• 거절 방법을 사용할 경우 적절한 거철 함수를 정해 주어야 하 는데 이것을 g(µ) =p (l) 로 취하면 간단하기는 하지만 곡선과의 사 이에 빈 공간이 많아 수용률이 매우 낮을 것이다. 간단한 거절 함 수를 찾을 수가 없을 때에는 3.6 철에서 논의한 사각형-쐐기-꼬리 의 방법을 응용하면 다소 복잡하기는 하지만 언제나 가장 효율적

2 r ddµ6

인 표본추출 방법을 얻는다. 하지만 a 의 값에 따라 확률 밀도 곡선의 모양이 변하기 때문에 매번 면적들을 계산해야 한다면 매 우 번거로운 일이다. 이런 경우에는 2.3.3 절에서 논의한 Bu t cher 의 합성 방법 을 사용하여 야 한다. Kahn[1954] 이 이 방법을 사용하여 개발한 알고리즘을 소개하 면 다음과 같다. Kle i n-N i sh i na 의 공식 (10.15) 에서 y =a/a’ 이 라고 두면 확률 밀도 함수는 p(y) =志 2(y -l+ 》군), l~y ~ (1+2a) (10 .15 ')

이 된다. 이제, 이 식을 두 개의 확률 밀도 함수들 P1(y ), P2(y ) 의 합으로 p(y) =¼P1(y) +志 P2( y), (10 .20 a) P1(y ) =¼,(y리), (10 .20 b) Pz(y ) = 孟2 2 (µ2+}) (10 . 20c) 과 같이 바꾸어 써준다. 여기서 KI, K초 jP i(y )dy =l 이 되게 끔 하는 규격화 상수들이다. 그런 다음, 확률 1r1=(1+2a)/ (9+2a) 를 가지고 PI, 또는 1r2=8/(9+2a) 를 가지고 P2 를 선택한 다. pi(y), P2(Y) 는 여전히 복잡한 함수들이기 때문에 이들과 비슷하면서도 간단한 비교 함수들에 의해 y를 일차적으로 표본추 출한 다음, 그것의 수용 여부를 pi(y), P2( y)에 의해 판가름하 는 전략을 세운다. （분포 -1) 이 선택되면 확률 밀도 함수 g1 (y ) =(1+2a)/2a y 2 에 의해 표본추출한 y를 PI( y)에 의해 수용 여부를 가린다. （분포 -2) 가 선택되면 정의구간 내에서 균일 분포 난수 y를 추출하여 P2(Y) 에 의해 수용 여부를 가린다. 입사 광자의 에너지가 낮을 때는 죽 a<3.5 일 때는, （분포 -2) 가 선택될 확률 이 더 크기 때문에 저에너지에서는 상당히 효율적일 것이다. Kahn 의 알고리즘을 요약하면 다음과 같다. 困 1) 세 개의 난수 &, 令 t3 를 추출하여 終 ;：나이면 y +-1+2a t2 로 놓고 2) 로 감

아니면 y +-1 2::a;2, µ +- 1 一 (y一 1)/a 라고 놓고 3) 으로 감 2) t 3~4( y -1- y -2 ) 이 성립하면 µ +-1 ― 2& 을 출력 아니면 1) 로 되돌아 감 3) t3~ (µ2+ y -1)/2 이 성립하면 µ룰 수용하여 출력 아니면 1) 로 되돌아 감 이 알고리즘의 표본 수용률은 a=2 에서 0 . 65 로서 수용할 만하 지만 에너지가 증가함에 따라 계속적으로 떨어져 a=20 에서는 0.34 정도가 되어 쓸모없게 된다. Kob li ng er[l975] 는 Bu t cher 와 Messel[1960] 의 혼합 방법을 이 용하여 azl+ /3에서 사용할 수 있는 직접적이고 효율적인 알 고리즘을 개발했다. 확률 밀도 p (x) 가 몇 개의 음이 아닌 항들 의 합으로 표시될 때, 죽 p(x ) = i~N= I cp; (x) (10.21) ¢i(x ) >O, i= l, 2, …, N 일 때, 이것은 언제나 식 (2.36) 또는 (2 . 37) 과 같은 형식으로 쓸 수 있다. 이런 경우, p (x) 에 따라 얻어지는 확률 변수 x 는 확률 p;=f¢;( x) dx 에 의해 i를 결정한 다음 확률 밀도 f1· ( x) = ¢i (x) /pi

에 의 해 표본추출하는 것 과 같다. 이 정 리 를 Klein - Ni sh in a 공 식에 적용하기 위해 식 (10.15) 를 다시 써보면 皇 =K(A+ 론+음+읍) (10 . 22) x=a/a', l~x~l+2a K= 굽 /a A=l/ 감, B=l ― 2(1+2a)/ 감, C= (1+2a)/a2, D=l 이 된다. 확률 밀도 p (x) = (J -Id( J／ dx 를 p (x) = L4!

P2 군 (1- 망 )In b, b=l+2a 와 같이 해석적인 형식이 얻어진다. 이제 각각의 ¢ , (x) 에 대해 역변환 방법을 쉽게 적용할 수 있 다. 죽 구간 [O, 1] *사이i:에 r 서rp ;(균t) 일dt = 분 t포 난수 g를 취한 다음 (10 . 25) 롤 x 에 관해 풀면 된다. 따라서 ¢1 에 대해서는 x=l+2as (10 . 26a) ¢2 에 대해서는 x=b' (10.26b) ¢3 에 대해서는 x= b/ (1+2at) (10.26c) ¢4 에 대해서는 x=l/n -cf (10.26d) 에 의해 확률 변수 x 를 구하면 된다. 다소 복잡하기는 하지만 a~l+ /3일 때는 Kahn 의 알고리즘 울 사용하고 a > l + ｛뭉게 서 는 Kobl i n g er 의 알고리즘을 사용하면 비교적 효율적인 방법이 얻어진다〔 Blom q u i s t 등, 1983]. 로소앨러 모스에서 개발하여 원자로 모사에 널리 쓰이고 있는 중성자-감마 운송 패키지인 MCNP 에서는 이 알고리즘을 채택하고 있다.

10.4.2 광전 효과 광전 효과는 광자가 원자에 흡수되어 소멸되고 이로 인해 들뜨 게된 원자로부터 전자가 튀어나오는 현상이다. 튀어나온 전자는 광자의 에너지에서 전자의 구속 에너지롤 빼준 만큼의 운동 에너 지를 가진다. 그림 9 . 1 에서 보이듯이 저에너지에서는 광자가 물 질과 가지는 가장 지배적인 반응이다. 광전 효과에 대한 상세한 설명과 입사 광자의 광범위한 에너지 영역에서 모든 원소들에 대해서 유용한 공식들 및 데이터가 Dav i dsson 과 Evans[l952] 의 평론에 나온다. 입사 광자의 세 개 의 에너지 영역에서 각기 다른 방법을 사용하여 산란 단면적을 얻는데 2 MeV 이상의 고에너지에서는 Hall [ l934] 의 공식이 유용 하다. Hulme 등 [1935] 은 구속 전자들에 대한 상대론적인 방정식 을 풀어서 광전 효과가 지배적인 중간 에너지 영역에서, 0.35 MeVsks2MeV, 정확한 산란 단면적 공식을 계산했다. 0.35 MeV 이하의 저에너지 영역에 대해서는 Sau t er[1931] 가 유도한 상대론적인 공식이 가장 정확하다. 최근에 나온 자료들로서 IsZslOO 사이의 원자들에 대해서 그리고 입사 광자 에너지의 IkeVskslOOMeV 영역에 걸쳐 S t orm 과 Israel[1970] 의 목록이 있고 또한 Sco fi eld[I97 외에 Hartr ee -Slate r 중심력 퍼텐셜을 사용하여 IsZsIOl 사이의 원 자들의 모든 원자 껍질들에 대해서 그리고 입사 광자 에너지의 1 keV 학후 .5MeV 영역에 걸쳐 상세하게 수치 계산한 결과들이 목록화되어 있다. 이들 자료들은 NIST 의 Cente r for Radia t i on Research 에 서 컴 파 일 하 였 는 데 [Saloman 등, 198 이 , BNL 의 NNDC(Nati on al Nuclear Data Cen t er) 의 컴퓨터를 통해 칙접 온 라인으로 얻을 수 있다. NNDC 데이터는 입사 광자 에너지의 1

keV 악 slOO GeV 영역에 걸쳐 lsZslOO 사이의 모든 원자들 에 대한 것이다. NNDC 데이터를 얻는 방법에 대한 자세한 설 명은 Chae 등 〔 199 이에 나와 있다. 수소 원자의 광전 효과에 대한 초보적인 설명은 Loudon[l990] 또는 Be t he 와 Jac kiw [l98 이 의 책 들에 나와 있는데 광전 효과 단 면적은 急= 2:;c 꿍 If 따 ex p(i k•r) €·vu ;d% 「 (10 .27) 에 의해 주어진다. 여기서 (1)와 e 은 입사 광자의 주파수와 편극 벡터이고 P f는 출사 전자의 운동량, u1· 와 U f는 표적 원자의 초 기와 말기의 상태 함수이다. 광자의 진행 방향을 z 축, 편국 벡터 e 이 x 축 방향으로 있다고 하고 출사 전자의 출사 각도를 (0,

표 10. I 식 (10.30) 의 계수들 “21 1l.. 56 2276a1481 XX 1100--99 ——25.. 6 ll8 O3bnXX 1l 00--1122 l4..1 07237C XXn 1l00--22 12p n 3 l.13 30 X l0-9 -2.1 7 7x 1 0- 12 2.0 1 3 X 10-2 3.5 4 一 9.12 X 10-11 。。 4

온라인 데 이 터 대 신 Sco fi eld 의 자료에 맞추어 K- 껍 질 광전 단면적 야에 대한 경험적인 식을 사용할 수도 있겠는데 頂 ubbell 등, 169K8 ~0]Z 5 n主~I aln + + c bnnZZ E~- Pn abta or mn (10.30) 이다. 여기서 입사 광자의 에너지 E 는 MeV 단위이고 매개 변 수들은 표 10.1 에 의해 주어진다. 야에 5/4 를 곱하면 총 단면적 이 얻어전다. 야의 간에 대한 비례성은 광전 효과의 일반적인 속성인데 원 자 번호가 큰 원소들에서는 광자의 에너지가 lMeV 근방에서도 광전 효과 단면적이 매우 커져 콤프턴 산란 단면적과도 비슷해지 는 것을 알 수 있다. 출사 전자의 출사 방향은 미분 단면적에 의해 표본추출해야 하 는데 식 (10.28) 은 ¢와 0 에 대한 인자들이 분리되어 있어서 편 리하다. ¢의 표본추출은 f(¢) ex: cos2 ¢ 에 의해 하면 된다. 0 의 표본추출은 f( 0) oc sin 2 0/[1— (vf / c)cos 0]4 (10 . 31) 에 의해 해야 되는데 sin 2 0 에 의해 표본추출한 O 를 거절 함수

g( 0) = (l— vf/ c)4/[l-(v f/ c)cos 0]4 (10. 32 ) 에 의해 수용 여부를 결정하면 될 것이다. 광전 효과 출사 전자의 각도에 따른 분포를 보기 위하여 그림 10 . 4 에 F(0) =sin 2 0/(l-{3 cos 0)4 (10 . 33) 를 스케치했다.

5

10. 4. 3 쌍생성 1933 년 에 Ni sh in a 와 Tomonag a [1933], Op pe nheim er 와 Plesset[ 1 933] 그리고 He it ler 와 Sau t er[l93 이에 의하여 쌍생성 전폭이 처음으로 계산되었다. 그 이듬해에 Be t he 와 Heit le r [1934] 가 보론 (Born) 근사법을 사용하여 쌍생성과 전자의 제동 복사 두가지 현상을 동일한 상대론적 방법으로 다루고 원자핵의 차폐로 인한 수정까지도 포함하는 공식을 계산하여 현재까지도 그 공식이 널리 통용되고 있다. 쌍생성에 관한 전통적인 평론은 Motz , Olsen, Koch[l96 이로서 상당히 체계적으로 다루어 고에너지의 상대론적인 영역에서 유용 한 단면적들의 근사 공식들과 도표들울 포함하고 있다. 하지만 저에너지 영역에서 유용한 공식은 도출해내지 못했다. SLAC 에 서 개발한 몬테카를로 패키지 EGS4 에서 사용하는 공식들은 이 평론에 나오는 공식들에 바탕을 두고 저에너지 영역과 비탄성 충 돌로 인한 효과를 보정하기 위하여 경험적인 인자들을 추가한 것 둘이다. Tsa i [l97 사의 평론에서는 Drell 과 Walecka[l96 사의 식 (10. 1) 을 사용하여 정확한 미분 단면적 공식들을 유도해 냈다. 그는 특 히 원자의 형태 인자를 비교적 완벽하게 다루었고 Motz 동 [1969 〕에서 무시한 전자 구름으로부터 쌍생성 효과를 포함했다. Tsa i의 공식은 완벽하지만 그 대신 너무 복잡하여 그것들을 사 용하여 컴퓨터에 의한 몬테카롤로 모사룰 하기에는 효율적이지 못하다. 그는 고에너지 좁은 생성각도 국한에서 유용한 공식을 유도하였는데 이것은 Motz 등의 공식에 전자 구름으로 인한 비 탄성항을 추가한 형태이다. 쌍생성에 관해 가장 최근에 나온 평론은 Hubbell 등〔 1980] 으

로서 입사 광자의 에너지 l MeV 부터 100GeV 까지의 영역에 걸 쳐 모든 원자들에 대해서 쌍생성은 물론이고 콤프턴 산란, 광전 효과, 레일리 산란을 포함하여 광범위하게 총 단면적을 소상하고 완벽하게 목록화하였다. 특히 다른 평론들에서 빠뜨린 저에너지 영역에서 유용한 공식들을 소개하였는데 총 단면적만 수록하고 있다. 미분 단면적은 나오지 않아서 운송을 모사하는 데에 부분 적인 도움이 될 뿐이다. 쌍생성에서는 광자가 전자 구름에 둘러싸인 원자핵 또는 궤도 전자들의 정전장과 반응하므로 그 산란 진폭을 계산하기 위해서 는 식 (10.1~2) 를 사용하여야 한다• 10. 4. 3.1 쌍생성 미분 단면적 식 (10.1) 을 반전자의 에너지와 산란각에 대해 적분을 시행하 고 지루한 대수 계산울 통해 식을 정리하여 얻는 전자의 에너지 와 산란각에 대한 미분 단면적을 좁은 쌍생성 각도 고에너지 극 한에서 m2/E 라 k·PIE 리 짜 /(k-E) 라 (k• p )/(k-E)2 에 관해서 전개하면 미분 단면적에 관한 Be t he-Re it ler 의 공식을 얻을 수 있다. [T sai, 1974] 蟲p =합(룹){ [ 2 강::)~) _1 2 {1: 군tl_] c.i (oo) +[합릅t 1 + 4l: ＼下 ] x [X— 2Z 2/c((aZ)2)]} (10.34) 여기서 x=E/k, l=E 냉 2/m 러 lm1n=[~ 問訂

이고, fc 는 쿨롱 보정항으로서 z=(aZ)2 라고 하면 le (z) =z n~c=o I [n (n2+z) ]-1 칙 . 202z-l. 0369 강 + 1. 0 08 강/ ( I + z) (10 . 35) 에 의해 주어지며, G (oo) = G 점 (oo) + G 評키 (oo) =Z2+Z (10 . 36) X=xel+xin e l (10 . 37) =f군 (1+ 1) 2 園(t) + Q nel(t )] 업 mInd t tm 1n' 아다. 따라서 원자의 형태 인자로 효과는 X 안에 모두 함축되어 있다. 이 식을 입체각에 관해 적분하면 운동량 p에 대한 미분 단면 적을 얻는다. 훌꾹ii codl[ 2x;;: fv-1-+~昌힌 j (X— 2 Z2/c) (10 . 38) 이 식 을 Be t he-Be it ler 의 공식 과 Wheeler-Lamb [193 이 의 공식 과 대조하기 위해 그들이 사용한 함수들 ¢I, ¢2 와 c/;1 , c/; 2 를 사용하 여 다음과 같은 형식으로도 쓸 수 있다. 출눅(붉검 x+l)[z2(

z2(¢ 2 - 방 ln z)=12l00- -dfwd t 00. 40 b) Z(¢< - lnZ )= 2 i OO (: ;nleI)2 dl (10 .40c) z(¢2-f ln z)=12 』 OO (i\In le;4 dl (10 .40d) 이다. 베데 (Be t he) 는 위의 식들의 우변에서 l 에 대한 적분을 하여 근 사식을 얻었다. EGS4 에서는 베데의 근사식에 Thomas-Fermi 원자의 형태 인자를 대입하여 ¢1, ¢2 를 계산하고 있다. 또한 Bu t cher 와 Messe 吐 196 이은 이렇게 해서 계산한 ¢I, ¢2 의 값들을 재현시키는 근사식들을 도출해냈다. 하지만 EGS4 에서는 #I, ¢2 룰 계산하지 않고 위의 식 (10.39) 에서 z 2 의 위치에 Z~(Z) 를 대입하여 추가함으로써 궤도 전자들로부터의 기여를 보완하고 있 다. Tsa i는 수소 원자에 대해 위의 식들 (10.40a~d) 를 해석적으 로 정확하게 계산하여 베데의 근사식과 비교하였는데 그 차이가 0~4% 에 불과하다는 것을 확인하였다. 그는 베데의 근사식에 Thomas-Fermi 원자들의 형태 인자를 대 입하여 Z 값이 큰 원자 들에 대해서 ¢1, 舊 #I, ¢'2 를 Z 와 p의 함수로서 계산하였다 . Tsa i는 Wheeler 와 Lamb 의 계산 결과와 대조해 보기 위하여 Z 와 p 대신 ¢1, ¢2 를 계산하는 데는 r=lOOmk/EE'Z113=2008/ (mZ113 ) (10 . 41a) 롤 사용하고 ,P1 , ,P2 를 계산하는 데는 e=lOOmk/EE'Z213 = 2008/(mZ213) (10 .41b)

를 사용하였다. 여기서 8=m2/[2kx(l-x) ］이고 E'=k ― E 이다. 그는 여러 가지 /, E 의 값에서 수치 적분을 하여 얻은 ¢I, ¢2 의 奭 ¢2 의 값들을 재현하는 근사식들을 설정했다.

사식을 손으로 유도한 다음 컴퓨터에 의한 수치 계산울 하는 것 이 현명하다. 쌍생성 총 단면적에 관해서는 원자물리학자들에 의해 많은 연 구가 행해져서 여러 에너지 영역에서 유효한 근사식들이 유도되 었다. 이에 대한 자세한 설명은 Hubbell 등 [198 이에 나온다. 또 한 이 참고문헌에는 Z=l 에서 100 까지의 모든 원소들과 l MeV 에서 100GeV 사이의 광범한 에너지 영역에서 쌍생성은 물론 광 자의 모든 상호작용에 대해서 총 단면적들이 수록되어 있다. 그림 10.5 에 몇 개의 대표적인 원소들 (6C, 1 ◄ s i, 29cu, e2 p b) 의 총 단면적들을 스케치했다.

l·e41_\.. ·... e`2 CscuPib ―亡―

10.4.3.3 쌍생성 미분 단면적에 의한 표본추출 EGS4 에서는 쌍생성 미분 단면적의 공식으로 식 (1 0 . 39) 에서

식 (10.43) 의 대괄호 안에 있는 부분을 다음과 같이 써 보자. g( x ; k, Z) =~i2= I a;f; ( x)g ;( x) (10 . 44) 식 (10 . 43) 이 이미 이러한 형식으로 분해되어 있는 것처럼 보이 지만 두번째 인자, —fx (1 ― x) 가 음수이기 때문에 이대로는 적 합하지 않다. 하지만 대괄호 안의 식들은 언제나 양수이기 때문 에 항들을 재배열하면 식 (10 . 44) 의 형식으로 쓸 수 있다. 이제 /1(x) =3x 2 一 3x+ t3 (10.45a) 91 (x) =Z2(¢1 ―방 In Z ― 4/c)+z(¢1_ 훙 In z) (10.45b) a1=— 32 (10.45c) f2( x) =6x(l-x) (10. 45 d) g2 (x) 루 z2 信―강 In Z— 4/c)+z(¢2 ―흥 In z) (10 .45e) a 튼 T1 (10 . 45f ) 와 같이 정의하면 식 (10.43) 은 dq pp( xd p; k, Z) =-

\\\o, 二三 Y1(x ; k：, Z=lO二 ) \| 1n2n:n:n 三g2 (x ; k, Z=lO) \

에 대해서 k=lO, 100, 1000 MeV 에서 이들 함수들울 그려보면 그립 10.6 과 같다. 또한 f1( x)g 1 (x ; k, Z) 와 /i(x )g 2 (x ; k, Z) 를 그립 10.7 에 나타냈다. 두 가지 분포 모두에서 Z 가 커지면 단면적이 매우 큰 것을 볼 수 있다. 또한 식 (10.46) 에서 l/k- 인자로 인해 k 가 작아지면 단면적이 커진다. （분포 -1) 에서는 /i (x) 와 gi(x ; k, Z) 가 서로 반대되는 성향을 가지기 때문에 출 사 전자와 양전자의 에너지가 o::;;; p ::;;;k/2 에 있는 k 。g 근방에 몰 리지만 k 가 작아지면 x=O 또는 x=l 근방의 아주 좁은 지역을

5.E 0o0 ( \ /014 .(2x ) 091.~ 4( x X \ ; 0k.,6 2Z .=5060.8 ) x1교~ E .5적~E~ o4· o,l 균 들일4을0하h..x28 (/게x 다/) 二시f~0g분kz. 4 =(포x Xa1 0;됨 i0 k에. ,을6 Z 곱 = 볼5해00. 8 )수\ ' 주 면있1 寧\ 寧

g,-( x ; k, Z) = i~=2 l a'; f,-( x) g,-( x ; k, Z) (10 . 49) 확률 변수 x 의 이차 함수인 /1 (x) 와 /2(x) 에 의한 표본추출 방법에 대해서는 2 장에서 충분히 논의하였으므로 여기서는 자세 한 논의를 생략한다. 출사 전자의 방향은 원칙적으로 식 (10. 34 ) 에 의해서 표본추출해야 하지만 전방 방향으로 날카롭게 분포되 어 있으므로 입사 광자의 방향에 대해서 0=m/k 로 취해도 지장 이 없다. 광자의 운송을 실제로 전산 모사함에 있어서 입사 광자의 주어 전 에너지에 광전 효과, 콤프턴 산란, 쌍생성의 총 단면적들의 비율에 따라 세 가지 중 하나의 상호작용을 선택하는데, 만일에 쌍생성이 선택되면 먼 1) 식 (10.49) 에서 a i과 a2 의 비율에 따라 두 개의 분포들 중 하나 롤 선택한다. 2) /i (X) 에 따라 x 를 표본추출한다. 3) gi(X ; k, Z) 에 의해 수락 여부를 결정한다. 매질이 단일 원소로 구성되어 있으면 전체 식에 곱해지는 인자 둘은 p의 표본추출에서 전혀 상관이 없다. 매질이 복합 원소들 로 구성되어 있으면 좀더 복잡해지는데 더 자세한 논의는 EGS4 매뉴얼을 참조하기로 하고 여기서는 단일 원소 매질에 대해서만 논의를 국한시켰다.

10. 5 전자의 상호작용 전자가 물질 내에서 일으키는 반웅들은 복잡하다. 전자와 전자 사이의 Moller 산란, 양전자와 전자 사이의 Bhabha 산란 및 쌍 소멸 원자핵의 정전장 내에서 감속당하면서 광자를 방사하는 제 동 복사, 그리고 원자핵과 끊임없이 일으키는 충돌에 의해 표류 하는 다중 산란 등이다. 10. 5. l 전자-전자의 산란 두 전자의 질량 중심 좌표계에서 상대론적인 극한에서의 Moller 미분 산란 단면적은 훑=을(1¥+-b+o/) (10.50) 에 의해 주어진다. [B j orken 과 Drell, 1964, eq (7 . 84 )] 여기서 S= sin (0/2), c=cos(0/2) 이다. 위의 식을 표적 전자가 정지해 있 는 실험실 좌표계로 로렌츠 변환하고 출사 전자의 에너지 E 에 관한 미분 단면적으로 다시 쓰면 훑= /3『;。r [ C1 나(尸― C2) +召+,- c2)] (10 • s1) 와이고 ,같 이그 된속다.도 를여 기V 라서고 T하o=면E 。 /_3m＝ v 로 i 서e 이 다입.사 c전=자T의/T o운=동(E 에— 너m지) / To 로서 출사 전자의 운동 에너지의 To 에 대한 비율이며 c'= 1 ― e 이다. 또한 r=Eo/m 이라고 하면 C1=[ (r-l) /r]2, C2= (2r-1)/ 군

이다. 식 (1 0.51) 은 c 과 c' 에 대해서 대칭이므로 e 과 c' 의 상한이 1/2 울 넘지 못한다. 또한 식 (10 . 51) 의 발산을 방지하기 위해서 E 의 하한값 Ee 를 설정할 필요가 있다. 총 단면적을 얻기 위하여 미분 단면적 (10 . 51) 을 적분해야 하 는데 적분 영역을 ((Ec-m)/To=ccScSch=0 . 5) 로 취해야 한 다. ~ (cc, ch) oc (C1 (ch-cc) +;:-+>—¼-C2 ln 톱) (10 . 52) 여기서 주의할 것은 출사 전자의 에너지가 Ec 보다 적어서 c

g( c)

거절 함수인 g (E) 은 c=0.5 에서 최대값을 가지기 때문에 이것을 규격화시키기 위하여, g( E) 대신에 g( E) =g (E)/ g(Q .5) 을 사용 하면 될 것이다. 확률 밀도 f (E) 에 의한 c 의 표본추출은 역함수 방법에 의해 c= 1 一 ~(lc c- 2cc) (10 . 56) 로부터 손쉽게 구할 수 있다. I(c) 에 의해 추출한 e 을 g (c) 에 의해서 수락 여부를 결정하여 그것이 수락되면 e 을 출력한다. 주어전 e 에 대해서 전자의 출사각 O 는 식 (9.20) 에 의해 결정 된다. 10.5.2 양전자-전자의 산란 쌍생성에 의해 생성된 양전자가 그 짧은 생애에서 궤도 전자와

산란하는 현상이다. 두 입자의 질량 중심 좌표계에서 상대론적인 극한에서의 Bhabha 미분 산란 단면적은 훑=툴 (1:4C4 占팥+宁) (10 . 57) 에 의해 주어진다. 〔 B j erken 과 Drell, 1964, eq ( 7. 87 )] 위의 식을 표적 전자가 정지해 있는 실험실 좌표계로 로렌츠 변환하고 출사 전자의 에너지 E- 에 관한 미분 단면적으로 다시 쓰면 훑=-f[~(~三 )+B2+ c:(c: B4 홀)] (10 . 58) 과 같이 된다. 여기서 T+=E+-m 로서 입사 양전자의 운동 에 너지이고, 그 속도를 v 라고 하면 /3＝ v i e 이며, c= T- / T+= (E_ _ m)/T+ 로서 출사 전자의 운동 에너지의 입사 양전자의 운 동 에너지에 대한 비율이다. 또한 y =l/(r+l) 이라고 하면 B1=2 ―y리 B2= (1-2y ) (3+y 2 ), B3=2(1_y ) (1_2 y)러 B4= (1- 2y )3 이다• 양전자와 전자는 구별 가능이기 때문에 c 의 상한은 1 이 된다. 여기서도 (10.58) 의 발산울 방지하기 위하여 E- 의 하한값 Ee 를 설정할 필요가 있다. 총 단면적을 얻기 위하여 미분 단면적 (10 . 58) 을 적분해야 하 는데 적분 영역을 ((Ec-m)/T+=cc :s;;€::;;타 =l) 로 취해야 한 다. ~(cc, ch) 나》(土―土)― Bl ln 뭉 +B2(ch-cc)

며(석i_우 )_c 창(데노-,)J (10.59) 앞 절에서처럼 출사 전자의 에너지가 Ee 보다 작아서 E

g( s)

e= 1-~(€lc- ec) (10 . 63) 로부터 손쉽게 구할 수 있다. 주어전 c 에 대해서 전자의 출사각 O 는 식 (9.20) 에 의해 결정 된다. 10.5.3 쌍소멸 전자-양전자 쌍이 소멸하여 두 개 이상의 광자를 배출하는 현 상을 통틀어서 쌍소멸이라고 하는데 광자의 개수가 증가할 때마 다 단면적이 a::::-:1/137 만큼씩 줄어들기 때문에 사실상 두 개의 광자를 배출하는 현상만 고려해도 된다. 전자와 양전자가 부딪혀서 에너지와 스핀이 각각 (k, e),

(k', e’) 인 광자들로 쌍소멸하는 반응의 질량 중심 좌표계에서의 미분 단면적은 읊= 8p + (a;k:E) [운+f +2-4(e•e')2] (10.64) 에 의해 주어진다. [B j orken 과 Drell, 1964, eq ( 7.80)] 여기서 E+ 는 양전자의 에너지이고 p+는 양전자의 3- 운동량의 크기이다. 위의 식을 표적 전자가 정지해 있는 실험실 좌표계로 로렌츠 변환하고 광자둘의 스핀들을 평균화시켜서 출사 광자들 중 하나 의 에너지 k 에 관한 미분 단면적으로 다시 쓰면 훑 =S(k) +S(A— k) (10 .65 ) 가 된다. 여기서 r=E+!m 이라고 하고 A=r+l, T~=r-l C1=a2/AT~, C2=A+2r/A 라고하면 S(k) =Ci[ -1+ (C2-l/k)/k] (10.66) 이다. 두 개의 출사 광자들은 구별 불능이기 때문에 k 의 상한은 가 용 에너지(전자의 정지 질량 단위) A 의 절반인 A/2 이고 k 의 하 한은 출사 광자가 입사 양전자의 반대 방향으로 튀어나오는 cos 0= ― 1 에서의 값으로서 km1n=Al(A+P+Im) 이다. 쌍소멸의 총 단면적은 He it ler 의 공식에 의해 다음과 같이 주 어진다.

a(E+)= ¾i[군 :~ln (y+尸言)－問] (10.67) 식 (10.65) 에 의해서 표본추출하기 위해서 식 (2.46) 의 형식으 로 다시 쓰면 뿔= ,t;; 1n [ (1 一 cc) /cc]/(c) g (c) (10 . 68) 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 c=k/A 이고 cc = km1n/A = l/ ( 汗 l + H 言) (10. 69 ) 이며 f(c ) ln [(1_ Cl c)/ Cc] —el , €cS€ScuS— A2 (10·(7100·、) 7 1 g( c) =l ― C+ 士 (2r_}) - .'I 이다. g(리울 몇 개의 r 값에 대해서 c 의 정의 영역에서 스케치해 보 면 그립 10.10 과 같다. g (c) 은 거절 함수이기 때문에 그 값이 0 보다 커야 한다. g (c) 이 0 보다 작을 수가 있는데 그림 10.10 에서 보듯이 r 의 값에 따라서는 상한값 (cu) 을 정해 주어야 할 필요가 있다. 또한 g (c) 은 c=l/A 에서 최대값을 가지는데 g( l/A) =1-2/A 저어서 1 보다 작다. 따라서 주어진 r 의 값에 대해서 식 (10.69) 에 의해 주어지는 cc 를 하한값으로 취하고 g(cu ) =O 을 만족하는 cu 를 찾아서 g (c) 의 값이 정의구간 (cc~€ ~cu) 에서 0 보다 크도록 해주어야 한다. g (c)=O 을 만족하는 cu 의 값을 r 의 함수로서 그립 10 .11 에 나타냈다. f (c) 에 의한 표본추출 역시 역함수 방법으로 할 수 있는데

g( e)

1.5 Eu

c= cc exp [~ In (1 —cc ) / cc] (10 . 72) 에 의해서 c 의 값을 얻을 수 있다. 그런 다음 g (E) 에 의해 수락 여부를 결정하고 c 이 수락되면 다른 광자에는 c'=l-E 을 부여하 면 된다. 또 한가지 언급해야 할 것은 양전자의 운동 에너지가 너무 작 아지면 식 (10.64) 가 발산하므로 p+의 하한값을 정해줄 필요가 있다. 이 경우 사실상 정지 상태에서 쌍소멸되는데 각각의 출사 광자에게 k=m 을 부여하고 그 방향은 서로 반대 방향으로 등방 적으로 분포되도록 해야 한다. 10.5.4 제동 복사 10. 5. 4.l 제동 복사의 미분 단면적 식 (10.5) 와 (10.34) 로부터 원자핵의 정전장 하에서 전자의 제 동 복사로부터 나오는 출사 광자의 운동량과 입체 산란각에 대한 미분 단면적울 다음과 같이 얻는다. 盆넒k 룹(를){[M,z+~」\》민 ]Gi(o o) (10. 73 ) +[2 (1만:f —4{ 갑* ]x[X ― 2Z2 fc ((aZ)2) J} 여기서 E 는 입사 전자의 에너지이고, 출사 광자의 에너지는 k, 그리고 출사각을 0k 라고 두면, y = k/E, l = E 냉t /m 러 lm1n= [ :：謨」 2 『 이다. G 와 X 는 식 (1 0.36~37) 에 의해 계산하는데 위에서 정 의 된 lm1n 을 사용해 야 한다.

또한 식 (10.5) 와 (10.39) 로부터 제동 복사의 출사 광자의 운 동량에 대한 미분 단면적을 다음과 갇이 얻는다. 言 =꾹胤§망y + y2) [ z2( ¢ 1- t In Z- 4 /c) +Z( 軒fi n z)] 내 (1 ―y) [Z2(¢1 玉) +Z( r/; 1 玉)]} (10 .7 4 ) 여기서 주목할 것은 쌍생성에서는 k 가 입사 광자의 에너지로서 초기 조건으로 주어졌고 E 는 출사 전자의 에너지로서 변수로 사 용되었는데 제동 복사에서는 E 가 입사 전자의 에너지, k 는 출사 광자의 에너지로서 그 역할이 반대로 되었다는 것이다. 하지만 두 가지 경우 모두 ¢1, 舊 r/;1, r/; 2 의 계산에서는 식 (10.41a ~b) 에 의해 정의되는 r, e 을 그대로 사용하여 식 (10.42a~d) 에 대입한다. 따라서 위의 식들의 우변의 중괄호 안의 원자 형태 인자와 관 련된 항들은 쌍생성의 경우와 똑같다. 하지만 그 앞에 곱해지는 y의 함수들은 이미 양의 수들이기 때문에 이미 식 (10.44) 의 형 식을 취하고 있다. 두번째 중괄호 안의 항은 (¢1 ― ¢2) 와 (r/;1 ―r/; 2) 를 포함하고 있어서 첫번째 중괄호 안의 항에 비해서 그 크 기가 매우 작다. 또한 전체 식에 곱해 주는 경험적인 인자, A' 는 쌍생성의 경우와는 별도로 얻어야 한다. 10.5.4.2 제동 복사의 총 단면적 Z=l 에서 100 까지의 모든 원소들에 대한 제동 복사의 총 단면 적들이 lMeV 에서 100GeV 사이의 광범위한 에너지 영역에 걸 쳐 Seltz e r 등 [1985] 에 자세하게 수록되어 있다. 그립 10.12 에 몇 개 의 대 표적 인 원소들 (6C, 80, 14Si, 29Cu, 53I, 82Pb) 의 제 동 복

12

사 총 단면적들을 스케치했다. 10.5.4.3 제동 복사 미분 단면적에 의한 표본추출 출사 광자의 에너지를 너무 낮게 잡게 되면 식 (10.73) 이 발산 하기 때문에 하한값 kc 를 설정할 필요가 있다. kc 이하의 연성 제동 복사 광자들은 일일이 추적하지 않고 10.5 . 6 절에서 논의하 게 될 연속적 에너지 손실에 포함시키는 것이 효율적이다. 또한 k 의 상한값은 전자의 운동 에너지인 ku=E-m 으로서 주어진 다. 따라서 y =k/E 의 영역은 kc/E~ y ~ku/E 가 된다. 식 (10.73) 에 의해 표본추출하기 위해서 쌍생성의 경우처럼 혼 합 방법과 거절 방법을 병행해서 적용하기 위해서 식 (10.73) 을 다음과 같이 써보자.

g(y; E, Z)= i~=2 l aJ ; (y )g;(y) (10 . 75) 9/11 ((yy )) 三= Z (24 (¢2 1:4-t) (I방n Z- 강 -4y/ +c ) y + 2 )z (¢1-½In Z) ((1100 ..7 766ab)) a1= (Ll2-Ll1) (10 . 76c) 4= t1 (4 y c -2Y 접+ y 망 ), 42 = i l -(4 y u — 2y i+yt) /2 (Y) 三 (44 _2 4) (l- y ) (10.76d) gi(y ) =Z2(¢1-¢2) +Z(cf;1 - cf;2 ) (10 .76e) a2= 정1 다 ― 4) (10 . 76f) Lla=2Yc - Y~, L14= 2Yu - Yi g.(y ; E, Z) 와 g2 (y ; E, Z) 는 정의구간 (ye, Yu) 에서 양의 값을 가지며 y = y c 에서 최대값을 가진다. Z=lO, 50 에 대해서 E = lO, 100, 1000 MeV 에 서 이 들 함수들을 그려 보면 그림 10 .13 과 같다. 또한 Z=lO, 50 에 대해서 /1(y)gi(y ; E, Z) 와 /2(y) g2( y ; E, Z) 를 그림 10 . 14 에 나타냈다. （분포 - l) 에서는 /1(y ) 와 g1( Y ; E, Z) 의 증감이 서로 상충되어 말안장 모양의 곡선이 나온다. 이러한 변화는 입사 전자의 에너지가 높아질수록 더욱더 심해진다. （분포 - 2) 에서는 g2( y ; E, Z) 의 모양이 입사 전자의 에너지가 높아짐에 따라 오목한 모양에서 볼록하게 변하는 것이 눈에 뛸 정도로 심하다. （분포 -2) 는 (분포 - 1) 에 비해서 크기가 100 분지 1 정도로 작기 때문에 출사 광자는 사실상 (분포 -1) 에 의 해 표본추출된다고 볼 수 있다. g i (y)를 거절 함수로 사용하기 위해서 그 최대값 g; (Y c ; E,

2200 g,(y ; E, Z=IOE) = l OOOj 80 gz( y : E, Z= l O)

Z) 로 나누어 주어서 규격화시키고 최대값들은 a,에 곱해 주어야 한다. gi(y ; E, Z) =gi(y ; E, Z)/gi (Y c ; E, Z) (10 .77) a,=aig 1 ( Yc ; E, Z) (10 . 78) g(y ; E, Z) = ~2 a'J i(y) gi(Y ; E, Z) (10 . 79) i= l 전자의 여러 상호작용 중에서 제동 복사가 선택되면 출사 광자 의 에너지를 표본추출하는 알고리즘은

3000 I, (y) g, (y ; E, Z=lO) 160 fz( y ) gz (y : E, Z= l O)

匠 1) 식 (10.79) 에서 a i와 a i의 비율에 따라 두 개의 분포들 중 하나 룰 선택한다. 2) /; (y~ 에 따라 y를 표본 추출한다. 3) g;(y ; E, Z) 에 의해 수락 여부를 결정한다. 출사 광자의 방향은 미분 산란 단면적 (10.73) 에 의해 표본추 출해야 하지만 전자의 방향 전환에 가장 큰 영향을 미치는 것은 다음 절에서 논의할 다중 산란이고 식 (10 .73 ) 에 의한 분포는 전

방 방향으로 날카롭게 분포되어 있기 때문에 광자가 입사 전자의 방향에 대해서 0=m/E 의 각도로 튀어나온다고 해도 지장이 없 다. 10.5.5 전자의 다중 산란 전하를 띤 전자는 매질을 뚫고 지나감에 따라 원자핵들과 탄성 충돌을 끊임없이 일으키게 된다. 이 과정은 주로 러더퍼드 산란 으로서 전자는 거의 에너지를 잃거나 얻지 않고 방향만 바꾸게 된다. 여기서 우리에게 관심의 대상이 되는 것은 전자가 두께 t 인 매질을 뚫고 지나왔을 때 누적된 산란각이 얼마냐 하는 것이 다. 다중 산란에 관해서 많은 연구가 진행되었는데 여기서는 Mo li ere [ l948] 와 Be t he[l95 인가 쓴 논문들을 참조하기로 하자. 10. 5. 5. 1 다중 산란에 관한 Mo li ere 의 이 론 Mo li ere 는 전자가 0 방향으로 튀어나갈 미분 산란 단면적에 대해서 다음과 같은 정확한 식을 설정했다. / ( 0, t) = 1 TJd TJ] o ( TJ0 ) X exp { —nt 1 a (x) xdx[l-]o ( TJx ) ]} (10 . 80) 여기서 6(x) 는 단일산란에서의 미분 산란 단면적이고 n 은 cm3 당 원자들의 숫자이며 lo 는 베셀 함수이다. x 가 충분히 커서 X>xo=XI(0 . 885aoz-113) 인 영역에서는 러더퍼드 산란처럼 a(x) 가 x-4 에 비 례 하여 감소하는 경 향이 있다. Mo li ere 는 6 (x) 에 서 이러한 인자를 따로 뽑아내어 ntC 1 (x) xdx =2x~xdxq (x) /X4 (10 . 81)

와 같이 나타냈는데 여기서 q (x) 는 실제 산란의 러더퍼드 산란 에 대한 비율을 나타낸다. 또한 Xe 는 x~=47rnte 4 Z (Z + 1) / (pv ) 2 (10 . 82) 와 같이 정의되는데 P 와 v 는 산란된 전자의 운동량과 속도이다. 위의 식의 두번째 인자에서 Z 대산 (Z+l) 을 사용함으로써 궤도 전자들로부터의 기여도 포함시키고 있다. 단일 산란에서 전자가 Xe 보다 더 큰 각도로 산란될 확률이 1 이 되기 때문에 Xe 를 단위 확률 각도 (unit pro babil ity ang le ) 라고 부른다. Mo li ere 는 또한 특성 차폐 각 (characte r is t i c screenin g ang le ) Xa 를 다음과 같이 정 의했다. —In Xa 玉 [1\ (x) dx/x +강 -In k] (10 .83) 베데는 x 에 대한 적분 영역을 세분화하여 각각의 영역에서 유 효한 근사식들을 사용함으로써 Mo li ere 의 식 (10.80) 을 좀더 간 단한 방법으로 유도했다. f ( 0) 0d0 = 11d111'yd y] o (11y ) ex 吐-¼y 2(- b + In -¼y2 )] (10 . 84) 여기서 b = In (xclXa) 도 l —2 C =l n (xc/x~) 2 (10 . 85) 인데 C=0.577 …는 Euler 의 상수이다. 또한 A=() ／ Xe 에 의해 정 의되는 A 는 ()의 단위확률 각도 Xc 에 대한 비율이다. 베데의 식 (10.84) 는 근사식이지만 산란각이 1 라디안에 비해 서 작은 영역에서는 매우 정확하다. 주목할 만한 점은 Molie r e 의 식 (10.80) 에서 유도된 베데의 공식은 매질과의 상호작용을

한 개의 매개변수 b 에 함축시키고 있다는 접이다• Mo li ere 는 Thomas-Fermi 퍼 텐셜을 사용하여 특성 차폐 각을 수치적으로 계산해 냈다. x 는 xHl .13+3 .76a2) , 검 =l.167x~ (10 .86) 여기서 a=Ze2/nv 이다. 이것을 위의 식둘 (10.82) 와 (10.85) 에 대입하면 eb= 효x;2= 66f3820 t A((1Z++31.)3Z4 百#I ) (10 . 87) 울 얻는다. 여기서 t의 단위는 g /cm2 이고 /3=v /c, 그리고 A 는 원자 질량 번호이다. 위의 식에서 A 가 z4 t 3 에 비례하고 a 는 작 은 수이기 때문에 마지막 인자는 사실상 Z 에 거의 무관하게 1 에 가까운 값을 가전다. 따라서 입사 전자의 에너지가 주어지면 매 개 변수 b 는 매질의 두께 t에만 의존하고 또한 산란각의 분포식 (1 0.84) 는 b 에만 의존하기 때문에 다중 산란에 의한 전자의 산 란은 매질의 원자 번호에는 거의 무관하고 두께 t에만 의존한다 는 결론을 얻게 된다. Mo li ere 는 식 (10 . 84) 를 계 산하기 위 하여 B— ln B=b (10 . 88) 에 의하여 매개 변수 B 를 정의하고 각변수 8 룰 f) = 0 I (xcB1'2) (10 . 89) 와 갇이 정의했다. Mo li ere 의 식 (10.84) 가 유효한 B의 영역은 보통 5 에서 20 사이인데 이제 식 (10.84) 를 l/B 에 관한 멱급수 로전개하면

/(0) 0d0=8d8[t< 0 >(8) +>I(I )(8)＋ 畜 I(2)(8) +…] (10.90) 룰 얻는데 여기서 f(n ) ( 8) =占ia, z t du] 。 ( 8u) exp ( ― -¼-u2)[ ｝같 In( 뉴 2)r (10 . 91) 이고 8 - 00 인 극한에서 f(n )(8) oc 8-2n-2 이다. Be t he 는 f(O )(8), f(I )(8), f (2)(8) 의 값들을 o::;;;13::;;;10 영역에 대해서 계산하여 목 록화하였다. 1O. 5. 5. 2 Mol i ere 의 다중 산란 단면적에 의한 표본추출 식 (10.90) 에서 f(O )(8), f(1 )(8), f (2)(8) 가 8 의 정의구간의 일부에서 음수가 되기 때문에 식 (2.46) 처럼 분해하기 위해서는 인자들을 약간 조정해 줄 필요가 있다. 식 (10.90) 에 의한 8 를 표본추출하기 위해서 EGS4 에서처럼 다음과 같이 분해해 보자. 3 g(rJ ; E)=~ aJ ;(rJ)gi(rJ) (10 . 92) i= l a1=l— 2 /B (10.93a) /i(r3) =2 exp ( -r32) r3, r3E (O, oo) (10.93b) g1 루 1 (10 .93c) a2=l .8/ B (10 . 94a) /2(8) =1, r3E (O, 1) (10.94b) g2 (8) 門\ (2 f (O)(8) +j(1)( 8) +j(2) (8)/B) (10 .94c) a3=0.9/B (10 . 95a) /3( ,3) =28-3, r3E(1, oo) (10 .95b) g3 ( 8) 門쩡84 (2f (O ) ( 8) +j(1) ( 8) +j(2) ( 8) /B) (10. 95c)

첫번째 인자는 가우스 분포와 비슷한데 B 가 큰 경우 지배적이 다. 또한 세번째 인자는 단일 산란의 말미를 나타내며 두번째 인 자는 중간 부분에 대한 수정이라고 볼 수 있다. B<4 . 5 에서는 Mol i ere 의 공식의 정확도가 떨어지고 또한 B 가 2 보다 작을 경우 a1 이 음수가 되는데 EGS4 에서는 B=2 까지는 공식 (10.92) 를 그대로 사용하고 B=2 에서 B=O 까지의 구간에 서는 B= 2— 2In 2 b 로 놓음으로써 임의적으로 선형 내삽울 하고 있다.

I

10.5.6 연속적 에너지 손실 앞 절에서 전자가 매질과 반응하여 하한 에너지 이하의 이차 입자들을 생성하는 경우에 대해서는 논의룰 미루어 왔다. 전자 또는 양전자는 매질을 지나면서 연성 제동 복사를 통해 저에너지 의 광자를 배출하거나 또는 궤도 전자들에게 미미한 에너지를 전 달함으로써 자신의 에너지롤 잃게 된다. 따라서 그 행로에서 끊 임없이 에너지를 잃는다. 단위거리당 평균 에너지 손실은 _（망 )T=-( 망 )bT_ （ 깥 )ae (10 .9 6 ) 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 첫번째 항은 하한 에너지 이하에서 제동 복사의 산란 단면적에 광자의 에너지를 곱한 것을 적분하여 얻는 것과 같다. ―(망 )br=1Eck( 웅 )dk (10 .97) 식 (10.96) 에서 두번째 항은 Moller 또는 Bhabha 산란에 의 해 일어나는데 저에너지에서는 원자의 에너지 준위들을 고려해야 하기 때문에 상당히 복잡하다. 여 기서는 Ber g er 와 Sel t zer 의 〔 196 사 제 한적 정 지 력 (restr i c t e d sto p ping po wer) 에 관한 공식 을 사용하기로 하자. _F-((r운, L)la) e == f-1, [一합1 +nIn~ [亨 (r -+LFl)L玉l,]+ rLJ/) (-r8—] 4 ) (10.98) +[f+ (2r+1)In (1 ―군)〕 7 (10.99)

F+(r, il) =In(ril) ―구 [r+2 il―훙i] 2 y (10 .100) _ (4 ―½,1 3) y드 (長 픕 4 도長)y 3] r=y - 1 y= l/(y+ l) €max= 최대 에너지 전달량 =(r- 강, r/2-e- ) 4= 제한적 최대 에너지 전달량 =m i n(cc, €max ) l= 이온화 에너지 8= 밀도 효과 수정 여기서 매질이 여러 원자들로 구성이 되어 있는 경우에는 이온 화 에너지를 이들 구성 원자들에 대해 적절히 평균을 취한 값으 로 대치해야 한다. 또한 밀도 효과 수정 인자는 저에너지에서는 무시할 수 있는데 입사 입자의 에너지가 높아지면 고려해 주어야 한다. [Ste r nheim er, 1952] 참고문헌 [ 口 M.J. Berge r and S.M. Seltz e r, Tables of Energy Losses and Rang e s of Electr o ns and Posit ro ns, NASA rep. NASA-SP -3012(1964) [ 2 ] M. J. Berge r and S.M. Seltz e r, Sto p p ing Powers and Rang e s of Elect ro ns and Posit ro ns, USDC NBSIR 82-2550- A (1983) [ 이 S.M . Seltz e r and M. J. Berge r, Nucl. Instr . Meth . B12 (1985) 95 [ 4 ] H. A. Beth e , Phys . Rev. 89 (1953) 1256 [ 인 H.A. Beth e and W. Reit ler , Proc. R. Soc. A146 (1934) 83 [ 6 J H.A. Beth e and R. Jac kiw , Inte r media te Qu an tu m Mechanic s , 3

rd ed., (Benja m i n/ Cummi ng s, 1986) [ 7 J J.D . Bjo r ken and S.D . Drell, Relati vis t i c Qua ntu m Mechanic s , (McGraw-Hi ll, 1964) [ 8 ] RN. Blomq u is t and E.M. Gelbard, Nucl. Sci. Eng . 83 0983) 380 [ 9 ] H. Brys k and C.D . Zerby , Phys . Rev. 171 (1968) 292 U 이 J.C . Butc h er and H. Messel, Nucl. P hys . 20 (1960) 15 [11] J.C . Butc h er, Comp ut e r J. 3 (1961) 251 U 끽 Y.S. Chae and J.S . Ki m , Comp ut e r Sim ulati on of Radia tion Shie l d, RIST Rep. R94011 (1995) [13] T- P Cheng and L-F Li, Gaug e Theory of Elementa ry Part icle Phys i c s , (Clarendon, 1984) [14] D.T. Cromer and J.T . Waber, Inte r nati on al Tables for X-Ray Cr yst a l log ra ph y , v.I V , ed. by J.A . Ibers and W .C. Hami lt o n , (Int. Unio n of Crys ta l log rap h y , 1984) [1 하 C.M. David s son and RD. Evans, Rev. Mod. Phys . 24 (1952) 79 [16] P.A Doy le and P.S. Turner, Acta Cry st . A24 (1968) 390 [17] S.D. Drell and J.D . Walecka, Ann. Phys . 28 (1964) 18 U 이 J. Fis c her, Ann. Phys i k 8 (1931) 821 [19 ] H. Hall, Phys . Rev. 45 (1934) 620 ; Rev. Mod. Phys . 8 (19 36) 358 ; Phys . Rev. 84 (1951) 167 R 이 C.J. Hasti ng s, Ap pro xim atz 'on s for Digital Comp ut e r s, (Prin c eto n Univ . Press, 1955) [21] W. Reit ler and F. Saute r , Natu re 132 (1933) 892 〔 2 끽 W. Reit ler , Qua ntu m Theory of Radia tion , (Oxfo rd , 1954) 〔幻 J.H . Hubbell and I. Overbo ]. Phys . Chem. Ref Data 9 (1979) 69 [24 ]J .H . Hubbell, H. A. Gi m m, and I. Overbo , ]. Phys . Chem. Ref Data 9 (1980) 1023 [2 하 H.R. Hulme, McDoug a ll, Buckin g h am, and Fowler, Proc. Roy.

Soc. (London) 149A (19 35) 131 [2 이 H. Kahn, Ap pli ca ti on s of Monte Carlo, USAEC rep . AECU -3259 (RAND Corp. , 1954) 核깐 A.N . Kalin o vskii , N. V. Mokhov, and Yu.P . Ni ki t in, Passage of Hi gh -Energy Partic le s thr oug h Matt er , (AIP, 1989) [28 ]R . Ki ns ley, ENDF/B-V, BNL- N CS 17541 (1979) [2 이 0. Klein and Y. Ni sh in a , Z. fur Phys i k 52 (19 29) 853 [3 이 L. Koblin g e r, Nucl. Sci. Eng . 56 (1975) 218 [3 타 H.W. Koch and J.W . Motz , Rev. Mod. Phys . 31 (1959) 920 區〕 E.E. Lewi s and W.F. Mi ller, Comp ut a t i on al Meth o ds of Neutr o n Transpo r t , (Wi le y, 1984) [3 이 R. Loudon, Qu antu m Theory of Li gh t, 2nd ed., (Oxfo rd , 1990) [3 사 I. Lux and L. Koblin g e r, Monte Carlo Part icle Transp o rt Meth o ds: Neutr o n and Photo n Calculati on s, (CRC Press, 1991) [3 히 H. Messel and D.F . Crawf or d, Electr o n-Photo n Shower Di stri- buti on Functi on , (Perga mon, 1970) [3 이 G. Molie r e, Z. Natu r jors ch A2 (1947) 133 〔 3 기 J.W . Motz , H. A . Olsen, and H.W. Koch, Rev. Mod. Phys . 41 (19 69) 581 園〕 W.R. Nelson, H. Hi ra y a ma and D.W.0. Rog e rs, The EGS4 Code Sys te m , SLAC pu b. SLAC~265 (1985) [39 ] Y. Ni sh in a and S. Tomonag a , Proc. Phys - Math Soc Jap 15 (19 33) 298 [40] J.R . Op pe nheim er and M.S. Plesset, Phys . Rev. 44 (1933) 53 [41] E.F. Plechaty , D.E. Cullen, R.K. Howerto n , Tables and Graph s of Photo n -Inte r acti on Cross Secti on s fro m O. l ke V to 100 MeV, Nuclear-Data Libr ary LLL-50900 (1978) [4 끽 E.B . Saloman and J.H . Hubbell, X-ray At ten uati on Coeffi cien ts ( Tota l Cross Secti on s) : Comp ar i so n of the Ex pe ri me nta l Data Base wi th the Recommended Values of Henke and the Theoreti-

cal Values of Scofi eld for Energi es betw een O.l~100 keV, US NBSIR 86-3431 or NTIS PB87-102422, 1986 [43] F. Saute r , Ann. Phys i k ll (1931) 454 [4 사 J.H . Scofi eld , Theo r eti ca l Photo i o n iz a ti on Cross Secti on s fro m l to 1500 ke V, Lawrence Liv e rmore Lab. UCRL-51326 0973) [45] J. Sp a nie r and E.M . Gelbard, Monte Carlo Pr inc ip le s and Ne utr o n Transp o rt Problems, (Addis o n- W esley, 1969) [4 아 R.M . Ste r nheim er, Phys . Rev. 88 (1952) 851 [4 기 E. St o rm and H. I. Israel, At om i c Data and Nucl. D ata Tables 70970) 565 〔副 Y.S. Tsai, Rev. Mod. Phys . 46 0974) 815 [4 이 J.A. Wheeler and W .E. Lamb, Phys . Rev. 55 (1939) 858; ibi d , lOlE (1956) 1834

부록 A 균일분포 난수 생성자 여기서는 본문의 여러 프로그램들에서 사용한 균일 분포 난수 생성 자들의 코드를 수록한다. 4 장의 몬테카롤로 적분, 5 장의 마르코프 사 슬에 의한 선형 방정식의 해와 적분 방정식의 해, 6 장의 다차원 몬테 카를로 적분, 7 장의 아이싱 모델, 10 장의 입자 산란 단면적에 의한 표본추출 등에 서 두루 사용한 난수 생 성 자는 Ang us, Fox, Ki m , Walker 의 Solvin g Problems on Concurrent Processors, (Prenti ce -H all, 1990) 에서 사용된 것으로서 여기서는 간단히 C3P 라고 명한다. 이 난수 생성자의 계수는 MOD=231, 승수는 MULT=1103515245, 증분은 ADD=l2345 로서, 그 최대 주기는 231 이다. 본문의 표들을 작 성 하는 프로그램들에서는 초기 화 과정 에 서 seed 를 12345 로 주었다. 다른 난수 생성자들에 대해서는 본문 제 2 장에서 설명한 그대로 코 딩을 했다. 이 서브루틴둘은 C 와 FORTRAN 사용자들 모두가 사용 할 수 있도록 배려했다. 난수 생성자들을 사용하는 프로그램을 my c ode . c 또는 MYCODE . f라고 하자. 또한 난수 생 성 자들의 코드 롤 따로 ra :1 d.c 라고 명명하기로 하자. unix 운영체계에서는 다음과 같이 컴파일한다. cc -c my c ode . c cc -c rand.c cc -o.my c ode my co de . o rand . o -Im • • • 또는 f77 -c MYCODE . f cc -c rand. c f71 -o MYCODE MYCODE . o rand . o FORTRAN 프로그램에서는 서브루틴 이름의 맨 끝에 있는 underbar 를 삭제 하고 사용해 야 한다. 예를 들어 rn_c3p _ 대신 rn_c3~ 춘 사용 해야한다. 한편 VMS 운영체계에서는 다음과 갇이 컴파일한다. CC my c ode.c CC rand.c

LIN J ( my c ode , rand 또는 FOR MYCODE . fo r C'C rand . c LINK MYCODE , rand VMS 운영 체계에서는 C 와 FORTRAN 의 서브루틴 이름에 차이를 두지 않으므로 똑같은 이름을 사용해야 한다. A.l 난수 생성자 선형 합동 난수열, X;+1 = (MULT*X;+ADD) mod M (A . 1) 울 계산함에 있어서 계수를 M=232 로 취하면 32 비트의 프로세서에서 는 코드를 X=(MULT*X+ADD) 와 같이 써도 내부적으로는 mod M 을 취한 것과 마찬가지이다. 하지만 계수를 M=231 로 취할 때에는 32- 번째 비트인 사인 비트에 신경을 써야 한다. X 를 (unsig n ed lon g)으로 선언하면 modulus 연 산 %를 사용해야 한다. 한편 X 를 (l on g)으로 선언하면 32- 번째 비트 가 1 일 때 X 가 음수로 취급된다. 따라서 식 (A.1) 은 X = (MULT*X+ADD) (A . 2a) if (X < 0) X = XNASK (A . 2b) wi th N ASK = (Ox80000000) (A.2c) 와 갇이 32- 번째 비트만 영 이 아닌 수, NASK 와 exor 를 취 함으로써 구현해야 한다. 식 (A. 2a-c) 의 과정들을 한꺼번에 해내는 방법이 있 는데 그것은 X = (MULT*X+ADD)&MASK (A . 3a) wi th M ASK = (Ox7f ffffff) (A.3b) 와 같이 32- 번째 비트만 영인 수, MASK 와 and 를 취함으로써 구현 할수 있다.

#def ine MASK (unsig n ed long ) (Ox7f ffffff) #def ine TWOTD31 ((double)MASK+1.0) !*============================================== Thi s 1S a random number ge nerato r used in C3P ==============================================*! #def ine MULT (unsig n ed long ) ( 1103515245) #def ine ADD (unsig n ed long ) (12345) double rn_c3p _ (seed) unsig n ed long *seed; { *seed = (MULT*(*seed) + ADD)&MASK; } ret u rn ((double)(*seed)/TWOT031); #undef MULT #undef ADD !*============================================== The l'Ecuy e r's random number ge nerato r The adder is set to zero here. ==============================================*! #def ine MULT (unsig n ed long ) 742938285 double rn_ecu_(seed) unsig n ed long *seed; { *seed = (MULT*(*seed))1/. M ASK; ret u rn ((double)(*seed)/(double)MASK); } #undef MULT #undef TWOT031

#def ine TWOTD32 (double) 4294967296. !*============================================= The Marsag l i a 's random number ge nerato r =============================================*! #def ine MULT (unsig n ed long ) 69069 #def ine ADD (unsig n ed long ) 1 double rn_mar_(seed) unsig n ed long *seed; { *seed = (MULT*(*seed) + ADD); retu rn ((double)(*seed)/TWOTD32); } #undef ADD #undef MULT !*============================================== The IMS's random number ge nerato r The adder is set to zero here. =============================================*! #def ine MULT (unsig n ed long ) 1664525 double rn_i m s_(seed) unsig n ed long *seed; { *seed = MULT*(*seed); retu rn ((double)(*seed)/TWOT032); } #undef MULT

!*============================================== Thi s is a random number ge nerat o r by usin g th e Mi tch ell-Moore seq u ence whi c h is def ined by X_n = (X_{n-24} + X_{n-55}) mod m where m = r32, n >= 55 =============================================*! #def ine INIT 55 #def ine MULT (long ) 1103515245 #def ine ADD (long ) 12345 double rn_mm_(seed) unsig n ed long *seed; { st a t ic i n t fl ag, j, k; st a t ic u nsig n ed long Y[INIT] ; in t J. ; /* Ini tiali z i n g a qu eue wi th t h e C3P ge nerato r *I if (fla g == 0) { Y[ 이 = *seed; fo r (i=1 ; i< INIT; ++i) Y[i] = (MULT 아〔i -1] + ADD)&MASK; fl ag = 1; j = 23; } k = 54; I* ge nerati ng and savi n g a new random number *I *seed = Y[k] = Y[k] + Y[j] ;

I* set ting th e qu eue po i n t e rs to next ones *I iiff ((----kj ==== 00)) kj == 5544;; } ret u rn ((double)(*seed)/TWOTD32); #undef ADD #undef MULT #undef !NIT #undef TWOT032 !*============================================== Thi s is th e random number ge nerato r usi n g th e Subt r act- wi th-B orrow met h od. X_n = (X_{n-22} - X_{n-43} - c) mod m =w==h=e=r=e =r=n ==== r=3==2= =-== 5=,= =n= =>=== =4=3= =================*! #def ine RINDX 43 #def ine SINDX 22 #def ine MULT (unsig n ed long ) 69069 #def ine !NCR (unsig n ed long ) 1 #def ine ADD (unsig n ed long ) 4294967291 #def ine TWOT032_5 (double) 4294967291. double rn_swb_(seed) unsig n ed long *seed; { st a t ic i n t j, k, fl ag, carry; st a t ic u nsig n ed long Y 〔虹 NDX 〕 ; unsig n ed long sd;

I* Ini tiali z i n g a qu eue wi th r n_mar_ *I if (sfdla g= =*=s ee0)d ; { fo r(j= O; j< RINDX; ++j) { Ysd[ j]= M= UsLdT;* sd + !NCR; } kj == ROI;N DX -SINDX; } fcla argr y = = 1 0; I* checki n g if carry occurred *I if (*Y[s e旦e d> == YY 〔[k旦] + carry) { - y[피 - carry; }} elsc*cesaae rre{rr dyy === YO1 ;;[ j] Y[k] carry + ADD; I* saYv[ki ]n g =t h* es ereadn;d om number to th e qu eue *I I* miioffv i n(( ++g + +tkj h ==e== qRRu IeINNuDDeXX p)) o kji n t== e OOrs;; to next ones *I } retu rn (double)(*seed)/TWOT032_5;

#undef TWOT032_5 #undef ADD #undef INCR #undef MULT #undef SINDX #undef RINDX !*============================================== MacLaren-Marsag l ia 's shuf flin g pro cedure wi th t w o ge nerat o rs , ran1 () and ran2 () Not e : af ter callin g in _sf l _ 0 , use rn_sf l _ () =============================================*! #def ine KAY 100 unsi gn ed long seedx, seedy ; double V[KAY] , (*rd1) () , (*rd2) () ; voi d in _sf l _(ran1, ran2, seed1, seed2) unsi gn ed long *seed1, *seed2; double (*ran1) () , (*ran2) () ; { int j; I* set ting fu nct ion po i n t e rs and random seeds *I rd1 = ran1 ; rd2 = ran2; seedx = *seed1; seedy = *seed2; I* in i tiali z i n g a qu eue wi th r an! () *I fo r(j= O; j< KAY; ++j) V [j] = (*rd1)(&seedx) ; }

double rn_sf l _ () { in t J; double y, retv al; I* choosi n g a qu eue po i n t e r wi th r an2 () *I y = (*rd2)(&seedy ); j = (int ) fl oor(KAY*y ); I* retu rn V[j] in th e qu eue and savi n g a new random number ge nerate d by ran1 0 *I retv al = V[j] ; V[j] = (*rd i ) (&seedx); } retu rn (retv al) ;

부록 B 몬데카를로 적분 부록 A 에서 소개한 난수 생성자들의 사용법을 예시하기 위하여 4 장 4.3.1 절에서 논의한 중요 표본추출에 의한 몬테카를로 적분 프로그램 울 아래에 수록한다. 똑갇은 프로그램을 C 와 FORTRAN 두 가지 언 어로 코딩했다. B.l C 프로그램 #inc lude #def ine PI 3.141592653589793 #def ine NPTS 10000 double w(x) I* Wei gh t fu nct ion *I double x; { } retu rn 6.*x*(1.-x); double rvar(y) I* Random varia ble *I double y; { double ang ; ang = acos(1 .- 2.*y ); retu rn cos(ang /3 .+4.*PI/3.)+0.5; } mai n () { in t i, n,seed,seed1; double a,b,dx,sam,hav,h[NPTS],tm ,dh,sig ma ; doubl e rn_ sf l _ () , rn_ c3p _ () , rn_mar_ () , xarg ;

pr i n t f( \n\tM C Int e g r ati on of Si n (Pi x)\n); pr i n t f(\t Inp u t in t e rval (Xlow,Xup p) => ); scanf( %lf%lf, &a,&b) ; pr i n t f(\t Inp u t Np o i n t s => ); scanf ( %d,&n); pr i n t f( \n\tM ont e Carlo st a rts .. . \n\n\n) ; seed = 762183; I* if yo u don't use shuf fli n g ge nerato r, *I seed1 = 12345; in _sf l _(rn_c3p _ ,rn_mars_,&seed,&seed1); I* remove th e li n es bet w een comment s *I dx = (b-a); fo r (i=O ,sam=O. ,hav=O. ;i

hav = dx*hav/(double)n; sam = dx*sam/(double)n; I* Comp u t ing Vari a nce *I fo r (i=O ,dh=O.;i < n;i+ +) { tm = 紅니 -hav; dh += tm *t m ; } sig m a = sq r t ( dx*dh/(double)n); I* Prin t ing out pu t *I pr i n t f (\tN= %5d Int e g r al=%11 . 8f ,n,hav) ; pr i n t f( Dh=%11.8f ,n,hav,sig m a); pr i n t f ( Si g_ S=%11 . 8f \ n , sig m a/sq r t ((double)n) ) ; pr i n t f(\t\tSi m p le MC:%11.Sf \ n,sam); } B . 2 FORTRAN 프로그램 PROGRAM IMP PARAMETER (PI=3.141592653589793,NMAX=10000) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,0-Z) DOUBLE PRECISION W,RVAR,H(NMAX) DOUBLE PRECISION RN_SFL,RN_C3P,RN_MAR EXTERNAL RN_C3P,RN_MAR C WRITE(*,1000) READ (*,FMT=*) A, B WRITE(* , 1100) READ (*,FMT=*) n WRITE(*,1200) 1000 FORMAT(//16X, 'MC Int e g r at ion of Si n (Pi x) ' ,/ + 20X, ' Inp u t in t e rval (Xlow,Xup p) => ' )

1100 FORMAT(20X,' In p u t Np o i n t s => ') 1200 FORMAT(//16X , ' Mont e Carlo st a rts .. . ' //) ISEED = 7612183 C IF YOU DON't USE THE SHUFFLING GENERATOR, ISEED1 = 12345 CALL IN_SFL(RN_C3P,RN_MARS, IS EED,ISEED1) C REMOVE THE LINES BETWEEN COMMENTS DX = (B -A) SAM= 0. HAV= 0. DO 1X0A0R GI == A1 , + ND X * RN_SFL() CCC FOR OTHERXXAA RRGGGE N==E RAAA T++O RDDSXX, ** RRNN__ISMWSB ((!ISSEEEEDD)) c C DON'T FORGET TO DECLARE THEM C SIMPLE SSAAMM P=L INSGAM + SIN(PI * XARG) C IMPORTANCE SAMPLING HXA( RIG) == RSVINAR(P(XIA R*G X) ARG) / W(XARG) HAV = HAV + H(I) 100 CONTINUE HSAAMV == DDXX ** HSAAMV // NN

C C 미 PUTING VARIANCE DH = 0. DO 200 I = 1, N TM = H( I) - HAv DH = DH + TM*TM 200 CONTINUE SIGMA = DSQ R T(DX*DH/DBLE(N)) WRITE(*,1300)N,HAV,SIGMA,SIGMA/DSQ R T(DBLE(N)) WRITE(*,1400)SAM 1300 FORMAT(8X, 'N=' ,IS, ' Int e g ra l=' ,F11 .8 , ' Dh=' , +F11.8, ' Si g_ S=' ,F11.8) 1400 FORMAT ( 16X , ' Si m p le MC : ' , F11 . 8) STOP END C WEIGHT FUNCTION DOUBLE PRECISION FUNCTION W(X) DOUBLE PRECISION X C W = 6. * X * (1. -X) RETURN END C RANDOM VARIABLE DOUBLE PRECISION FUNCTION RVAR(Y) PARAMETER (PI=3.141592653589793) DOUBLE PRECISION Y, ANG C ANG = ACOS ( 1. - 2 . * Y) RVAR = COS(ANG/3. + 4.*PI/3.) + .5 RETURN END

찾아보기

-1 가관측량 220 가우스 분포 85 각선속 306 감수율 200, 205 감마 분포 80 강제 충돌 방법 for ced coll isio n 302 거시적 단면적 285, 301, 305 거절-허용 방법 re j ec ti on meth o d 63, 165, 288 결합계수 248, 265 결합성 250 경계조건 210 계 수 modulus 27 공분산 covar i ance 18 광자의 반응 284 광전효과 ph oto e lectr i c eff ec t 330 NNDC 데이 터 330 미분 단면적 331 총 단면적 332 출사각 표본추출 332 광학적 깊이 o ptic al thick ness 307 교류성 communic a te 136 구조함수 316, 319 구획 스핀 block spi n 242 균일분포 확률변수 25

균일분포 의사난수의 데스트 46 간격 테스트 47 균등분포 테스트 46 부분 수열 테스트 53 순차성 테스트 47 스펙트럼 테스트 54 증감 테스트 52 직렬 상관 테스트 51 쿠폰 수집가의 테스트 50 포커 테스트 49 기 대 값 exp e cta t i on value 16 기 하적 분포 ge ometr i c dis t r i b u ti on 76 L 내부 에너지 203 노이만 수열 151 c: 다수결의 원칙 254, 267 다차원 몬테 카롤로 적분 165, 181 단충적 방법 str at i fied samp li n g 116 대 조 방법 anti the ti c varia t e s 12 3 대칭성 계보 250, 260

동등성 eq u iv a lence 136 동등성 부류 e q u i valence class 136 동시 확률 밀도 함수j o i n t pro ba- bil it y densit y fun cti on 15 동적 임 계 지 수 230 득점 tal ly 296, 309 등거 리 수 coord i na ti on number 198 DIVONNE 알고리즘 174 三 란다우 이론 244 Landau-L ifsh it z 규정 246 러시아 룰렛 Russia n roulett e 300 레 지 스터 자리 이 동 방법 Tauswor- the shif t reg ist e r meth o d 3 7 □ 마르코프 과정 Markov pro cess 129, 184 마르코프 사슬 Markov chain 130 임의보행 사슬 131 Ehrenfe s t 사술 131 도박사 사슬g ambler's ruin chain 132

출생-사멸의 사슬 b i r t h and death chain 132 대기 사슬q ueu i n g chain 133 가지 사슬 branch i n g chain 134 MacLaren-Marsag l ia 범 벅 40 Marsa g li a 의 방법 72 메트로폴리스 알고리즘 186, 206 몬데 카롤로 적 분 99 직설적 방법 101 표준편차 102 알고리즘의 효율 103 중점적 방법 108 무게함수 108 제어함수 방법 112 분산 113 단충적 방법 116 분산 117 대조 방법 123 표준편차 126, 128 몬데카롤로 재규격화 군 방법 263 Ma 의 방법 263 Swendsen 의 방법 268 무게 함수 108 무관 irr elevant 261 무작위성 34 효능 po te n cy 34 물리량의 측정 218

미소 가역성 186 미분 산란 단면적 305, 316, 319 M it chell-Moore 의 수열 36 닌 배위 130, 196 배위의 성질 136 범 람 overfl ow 28 범 벅 shuff ling 방법 39 Bu t ler 의 방법 70 Bu t cher 의 혼합 방법 71, 327 Bay s- Durham 범 벅 40 VEGAS 알고리즘 169 베르누이 21 베타 분포 93 보상 인자 309 보편성 univ e rsali ty 237 보편성 계보 237, 245, 262 볼츠만 운송 방정 식 304, 307 부동점 fixe d poi n t 2 5 5 부정확도, 수치적분의 100 분배함수 199 분산 varia n ce 17, 110, 113, 117, 124, 219 분열 방법 sp litting 300 분해 가능 사슬 redu ci ble chain 135

분해 불가능 사슬i rredu ci ble chain 135 불변 분포i nvar i an t dis t r i b u ti on 139 비교 함수 64 비열 204 비 유사 방법 non-analog meth o d 297 비틀림 skewness 17 빌려 빼 기 방법 subtr a ct- w i th- bor- row meth o d 38 뾰족도 kur t os i s 17 人 사각형 - 쐐 기 -꼬리 방법 87, 289 사영 연산자p ro j ec ti on op e rato r 254 산란 커널 307 상관거 리 correlati on leng th 227, 230, 256 상관계 수 correlati on coeff icien t 18 선형 방정식 140 선 형 합동적 방법 line ar con- grue nti al meth o d 26 세부적 균형 de t a il ed balance 186 Shepp e y 알고리즘 169

순환적 recurrent 13 7 순환적 단충 방법 recursiv e str a ti fied samp ling 177 스칼라 선속 scala flux 296 S ti r li n g의 수 50 스펙트럼 반경, 적분 커널의 161 승수 mul tip l i er 27 쌍격자 방법 274 쌍생성p a i r creati on 316, 334 미분 단면적 335 Beth e -Reit le r 공식 337 EGS4 의 공식 337 Tsa i의 공식 338 총 단면적 338 Hubbell 데이터 335 표본추출 344 쌍소멸p a i r annih i l at i on 350 미분 단면적 351 총 단면적 352 표본추출 352 。 안정적 부동점 246, 261 안정 행렬 261, 269 양전자 - 전자의 산란 Bhabha scat- ter in g 347

미분 단면적 348 총 단면적 348 표본추출 349 에 르고드 ergo dic 138 n - 단계 전이확률 135 역 전 환 방법 inv erse tra nsfo r mati on meth o d 61 연속 상전이 246, 260 와이불 분포 95 완화 이론 215 완화 함수 219 완화시간(본질적) 230 운동량 전달 317 운동 전산모사 패키지 281 운송 현상t rans p or t ph enomenon 279 유관 relevant 261 유동적 단충 방법 adap tive str tifica ti on 169 유동적 중점 방법 adap tive im p o r- tan ce samp ling 169 유명 난수 생성자들 34 데스트 결과 54 유사 방법 analog meth o d 282 유한크기 효과 227 유한크기 축척 이 론fi n it e-s i ze scali ng the ory 226 의사 안정 상태 216

이 항분포 b i nom i al dis t r i b u ~·o n 75 일단계 전이 확률 one-s t e p tra nsi- tion pro babil ity 130 일차원 아이성 모델 250 임 계 감속 criti ca l slowdown 2 30 임계곡면 257 임계온도 198, 216, 227 임계점 203, 236, 257, 272 임계지수 204, 230, 236, 244, 255 임계현상 235 임계흐름 256 임의 보행자 random walker 129 입자 밀도 함수 295 입 자의 반웅후 방향 292 입자 방출 밀도 306 입자 생성 밀도 287, 309 입자의 소멸과 생성 294 입 자의 역 정 , 행 로 pa rtic l e's life his t o r y 282, 295, 309 . 즈 자기화 199, 202 자동 상관계 수 auto c orrelati on co-eff icien t 19 자동 상관시간 220 자발자기화 204 자유 에너지 202, 249

자체 일관적 경 계 조전 212 Jac obi 반복 방법 141 참시 적 tra nsie n t 138 재규격화 군 방정식 renormali za - tion gro up equ ati on 247, 2 50, 252 재규격화 군 흐름 250, 252 적분 방정식 149, 307 적분 변환 149 적분 커널 150 전달 행 렬 tra nsfe r matr i x 201 전이 온도 228 전 이 확률t rans iti on pro babil ity 134, 209, 309 전자의 다중산란 360 Mol i ere 의 이 론 360 Be t he 의 근사식 361 단위 확률 각도 361 특성 차폐각 361 표본추 출 363 전자의 연속적 에너지 손실 365 제한적 정지력 365 전 자-전 자의 산란 Moller scatt er - ing 345 미분 단면적 345 총 단면적 346 표본추출 346 접근 가능성 accessib l e 136

철단 매개 변수 248 정 규분포 normal dis t r i b u ti on 8 5 제 동복사 bremsstr a hlung 317, 3 54 미분 단면적 317, 354 표본추출 356-359 총 단면적 355 Seltz e r 데이터 355 제 어 함수 방법 contr o l varia t e s 112 조건부 확률 밀도 함수 cond iti onal pro babil it y densit y fun cti on 15 주기 137 주기적 경계 조건 211 주방정식 mas t er eq u ati on 185 중심 국한정 리 centr a l lim i t the orem 21, 204, 219, 221 중앙 평방 방법 26 중점적 방법, 중요 표본추출 im p o rta n ce samp li n g 108, 144, 151, 160, 184, 206 증분i ncremen t 27 지수 법칙 236 지수 변환 방법 301 지 수적 분포 exp o nenti al dis t r i b u - tion 83 직설적 방법 101 질서 맺음 변수 order pa ramete r 216, 228, 244

犬 Chap m an-Kolmog o rov 방정 식 135 체비셰프의 부동식 20 초기 배위 214 초기 열적 완화 214 최대 주기 30-33 최대 차수 33 축적 가설 226 축척 법칙 scal i n g law 238, 240, 259 축척장 259 축척 함수 227, 239, 260 =? 카이평방 분포 96 카이 평 방 시 험 Chi- S q u are tes t 42 카이평방 확률 함수 43 코시-로렌츠 분포 92 콜모고로프-스미 르노프 시 험 Kol-mog o rov-Smi rn ov tes t 44 콜모고로프-스미르노프 함수 45 콤프턴 산란 322 미분 산란 단면적 322 총 산란 단면적 323 산란각 322

Kahn 알고리 즘 326 Koblin g e r 알고리 즘 327 큰 수의 법 칙 law of large numbers 20 工 편 차 감소 기 법 varia n ce reducti on meth o d 105, 297 평 균 순환 시 간 mean recurrence tim e 137 평균 자유 경로 285, 290 평균 트랙 길이 296 평형 상태 216 포갬 convoluti on 69 표준편차 sta n dard devia t i on 17 Fredholm 제 이 종의 적 분 방정 식 151 푸아송 분포 78 Fib o nacci 수열 35

_-o Haber 알고리즘 169 학생 의 t-분포 stu d ent' s t-d is t r i b u - tion 97 합성 방법 comp o sit ion meth o d 68 확률 기본 변환 법칙 14, 69 확률 밀도 함수 pr obabil ity densit y fun cti on 14 확률 변수의 생성 방법 61 확률 변수 random varia b le 13 확률 분포 함수p robab ility dis t r i - buti on fun cti on 14, 75 환원 온도 reduced tem p e ratu r e 227, 238, 257 형 태 인 자fo rm fac to r 319 수소원자 320 Thomas-Fermi 원자 321 흡수 배위 138 흡수 억 제 absorpt ion sup pre ssio n 298, 309 흡수 확률 310 홉인 골짜기 att ra cti on basin 261

김재삼 서울대학교 물리학과 졸업 캘리포니아 공과대학 이론물리학 박사 워싱턴 대학, 뉴욕 주립대에서 대동일 이론을, 존스홉킨스 대학에서 우주론을, 브리검영 대학에서 상전이 이론을, 캘리포니아 공대에서 병렬컴퓨터 등을 연구 현재 포항공과대학 물리학과 교수 저서 『 파인만씨 농담도 정말 찰하시네요 』 『 전산물리학 』 Solvin g Problems on Concurrent Processors 몬테카롤로 방법의 물리학적 응용 대우학술총서 자연과학 112 1 판 1 쇄 찍음— 1997 년 2 월 15 일 1 판 1 쇄 펴냄 -1997 년 2 월 25 일 지은이—김재삼 펴낸이-朴孟浩 펴낸곳一(주)민음사 출판등록 1966. s. 19. 제 16-490 호 서울특별시 강남구 신사동 506 대표전화 515-2000, 팩시밀리 515-2007 값 22,000 원 © 김재삼, 1997 물리학, KDC/420.15 Prin t e d in Seoul, K orea ISBN 89-374-3612- 4 (94420) 89-374-3000-2 (세트)

1 대우학술총서(자연과학)

1 소립자와 게이지 상호작용 김진의 2 동력학특론 이병호 3 질소고정 송승달 4 상전이와 임계현상 김두칠 5 촉매작용 진종식 6 뫼스바우어 분광학 옥항남 7 극미량원소의 영양 승정자 8 수소화봉소와 유기봉소 화합물 윤능민 9 항생물질의 전합성 강석구 10 국소적 형태의 Ati ya h-sin ge r 지표이론 지동표 11 Mucop ol y sacchar id es 의 생화학 및 생물리학 박준우 12 천체물리학 홍승수 13 프로스타글라딘 합성 김성각 14 천연물화학연구법 우원식 15 지방영양 김숙희 16 결정화유리 김병호 17 고분자에 의한 화학반응 조의환 18 과학혁명 김영식 19 한국지질론 장가홍

43 후리에 해석과 의미분 작용소 김도한 44 한국의 고생물 이하영 45 질량분석학 김명수 46 급변론 박대현 47 생체에너지 주충노 48 리이만 기하학 박을룡 49 군표현론 박승안 50 비선형 편미분 방정식론 하기식 51 생체막 김형만 52 수리분류학 고철환 53 찰스 다윈 정용재 54 금속부식 박용수 55 양자광학 이상수 56 효소반응 속도론 서정현 57 화성암 성인론 이민성 58 확률론 구자홍 59 분자 분광학 소현수 60 벡터속 이론 양재현 61 곤충신경 생리학 부경생 62 에너지띠 이론 모혜정 63 수학 기초론 김상문

86 등각장론 임채호 87 방사선생물학 남상열 88 석유지질학 이용일 89 베르누이 시행의 통계적 분석 배도선 김성인 90 신경세포생리학 강만식 91 생리활성을 가진 C ― P 화합물의 화학 김용준 강익중 92 생물유기화학 서정헌 93 조직배양 김승업 94 유가전이금속화합물 조남숙 외 95 실내환경 과학 김윤신 96 유한요소법 정상권 97 대수적 위상수학 우무하 김재룡 98 파인만 적분론 장건수 99 응용 미생물학 박무영 100 리보플라빈 이상선 101 노화 김숙희 ’ 김화영 102 매트릭스 격리분광학 정기호 103 신경계 조직배양 김승업 104 지구화학 김규한 105 은하계의 형성과 화학적 진화