조영현
조영현
대수기하학 
대수기하학
책 머리에 20 세기 수학의 가장 중십적 분야 중의 하나인 대수기하학을 공부하는 것은 다음의 관점에서 볼 때 매우 어렵다고 할 수 있다. 우선 대수기하 학은 수학의 거의 모든 분야와 연관되어 있고 또한 이들을 바탕으로 존 재하기 때문에 각 분야에서 사용되는 현대적인 수학용어나 지식에 익숙 해져야 한다. 1960 년대 이래로 Serre 나 Gro th en di eck 는 scheme 이나 cohomolo gy를 개 발하여 대수기 하학의 기초를 다시 정 리 함과 동시 에 새로운 기법으로 옛 문제들을 풀어서 큰 발전을 가져오기는 하였지만, 그 개념들이라는 것이 너무나 난해해서 본래의 직관적인 면을 찾아보기 가 힘들게 되어 있다. 따라서 필자는 범위를 좁혀 가환대수의 측면에서 이 논저를 쓰고 있 다. 특히 대수기하학의 고전적인 문제 중의 하나인 comp le te int e r sec- ti on 을 중심으로 다룬다. 역사적으로 보면 이 문제는 〈 k 가 체일 때 다 항식 k[Xi, … ,Xn] 상의 유한 생성 사영가군은 자유가군인가?〉라는 Serre 의 예상과 중요한 관계가 있었고 Serre 의 예상이 해결됨으로써 부 분적인 결과를 얻을 수 있었다. 이 논저는 네 개의 장으로 구성되어 있다. 제 1 장에서는 Mum fo rd 의 강의록에 나타난 것처럼, 층 (shea f)의 개 념을 사용하여 대수적 다양체를 정의하고 층의 기본적 구조를 살펴보는 데, 특히 국소적 완전교차 다양체의 한 예로서 중요한 의미를 갖는 비
특이 다양체에 초점을 맞춘다. 제 2 장에서는 가장 중요한 현대적 개념 중의 하나인 cohomolo gy로 Serre 쌍대성에 대해서 언급하며 국소적 완전교차 다양체는 Serre 쌍대 성이 성립함을 밝힌다. 이 장은 1978 년에 발간된 임덕상 교수의 서울대 학교 강의록 중 일부분을 기초로 하였다. 제 3 장에서는 마지막 장의 기초가 되는 가환대수적 정리를 다룬 것으 로 Serre 의 예상, Serre 의 분열정리, Mohan Kumar 의 정리 등을 소개 한다. 마지막으로 제 4 장은 완전교차에 관해서 얻어전 최근의 결과와 미해 결의 문제가 서술된다. 특히 제 3 장은 대학원 학생들과의 세미나를 통하여 공부한 것을 정리 한 것이며 서울대학교에서 열리는 대수학 세미나는 이 책의 여러 부분 울 새롭게 이해하도록 해주었다. 끝으로, 민음사 편집부에 감사하며 이 논저를 집필할 수 있도록 기회 를 준 대우재단에 깊은 감사를 드린다. 1991 년 3 월 조영현
대수기하학
• 차례 • 책 머리에 ―― 7 제1장 대수적 다양체 • ―― 11 1. 대수적 집합 • 11 2. 전다양체 (Prevariety ) ―― 25 3· 다양체 (Variety)와 그의 차원 ―― 44 4· 비특이 (nonsingular) 다양체 ―― 57 제2장 코호몰로지군 • 71 1. 준동조충 (quasicoherent sheaf) ―― 71 2. 코호몰로지군―― 81 3· 사영다양체의 코호몰로지군 ―― 100 4. Serre의 쌍대 정리―― 114 제3장 가환대수상의 중요 정리들 • 133 1. 국소에서 대역으로 옮길 수 있는 성질 ―― 133 2. 가군의 생성원 ―― 150 3· 사영가군에 대한 정리 ―― 157 4· 이데알의 여법가군에 대한 정리 ―― 175제4장 완전교차성 • 189
1. 아이젠버드-에반스의 정리 ―― 189 2. 훼란드의 정리 ―― 195 3. 곡선이 집합론적 완전교차가 될 곡선 ―― 212 4. pn의 다양체가 집합론적 완전교차가 될 조건 ―― 222 5. 완전교차 다양체가 될 조건 ―― 235 참고문헌 241 찾아보기 245제 1 장 대수적 다양체 이 장에서는 충의 개념을 사용하여 대수적 다양체를 정의하고 그 의 기본적 구조를 살펴본다. 특히 국소적 완전교차 다양체의 한 예 로서 중요한 의미를 갖는 비특이 다양체에 초점을 둔다. l 대수적 집합 k 는 대수적으로 닫힌 체라 하자. 이때 집합 {(a1,… ,a n)la;Ek, i= l,2,… ,n } 울 k 위 에서 의 아파인 n- 공간 (a ffin e n-spa c e) 이 라 하며 A: 혹은 간단 히 An 으로 표시한다. 정의 1 • 1 k 상의 다항식환 k[XI, … ,Xn] 의 유한 개의 다항식의 공통 해의 집합,
{xEAnl/1(x)= … =lm(x)=O,/.-Ek[X1, … ,X』 , lsis m} 을 A 떠 대수적집합이라 한다. 위의 정의에 나타난 집합은 구체적인 다항식 I' 들에 의해서 결정되지 않고 /들로 생성되는 이데알 ]=(f1, … , f m) 에 의해서 결정된다. 뿐만 아니라 k[X1, … ,Xn] 은 Noe ther 환이기 때문에 임의의 이데알은 유한 개의 다항식으로 생성되므로 An 의 임의의 대수적 집합은 이데알 Jc k[X1, … ,Xn] 에 대해서 V( J)1 >={xEAnl/(x)=O, V/El }
1) k[X1. … ,Xn] 의 부분집합 T 에 대해, V(T) 는 T 로 생성되는 이데알 I 에 대한 V (J）를 뜻한다.
로 표시된다. 한편, 임의의 이데알 ]a, ]1, ]2 에 대해서 ( i ) An= V({O}), ¢= V({l}) ( ii ) na V(Ja) = V(~a la) (iii) VU1)U V( J2 )= VU1 • '2) 가 성립되므로 V (J)를 폐부분집합으로 하면 An 은 위상공간이 되는데 이것을 A 떡 짜리스키 (Zaris k i) 위상이라 한다. 임의의 /Ek[X1,… , Xn] 에 대해서 (An)f= {xEAnlf( x )*O}=An-V (/)2>
2) 앞으로 V({/} ）를 간단히 V (j）로 나타내겠다.
라면, An-V (J )= U f e1(An) f이므로 {(An) f l f Ek[X1 , ·, Xn ] ｝은 A n 의 짜리스키 위 상의 개 기 (op en base) 가 된다. 일반적으로 짜리스키 위상은 Housdo rff가 될 수 없는데 A l 에 대해서 생각해보면 k[X] 가 주이데알 정역 (pr in c i pa l ide al doma i n) 이므로 Al 의 폐부분집합은 V( f), /Ek[X] 이다. k 는 대수적으로 닫힌 체 이므로 f= cIiT=n l (X 국), cEk, a ; Ek 이며 V(/)={a1, … ,an} 이다. 고로 Al 의 개 부분집합은 유한집합의 여집합이 된다. 반면 Al 은 무한집합임을 고려 하면 Al 은 Hausdo rff가 될 수 없음을 알 수 있다. 다음으로, A 적 부분집합과 k[XI, … ,Xn] 의 이데알 사이의 관계를 개 발하기 위해서, 임의의 ~cAn에 대해서 I(2)={/Ek[X1,… , Xn]l/(x)=O, 'i/x E~} 을 정의하자. 이때 I( 고)가 k[X1, …, Xn] 의 이데알임은 자명하다. 위에서 얻은 V 와 I 의 관계를 살펴보기 위해서 우리는 먼저 다음의 정리를 보기로 하자. 보조정리 1 • 2 (Nae th er 의 정규화정리 )3) k 는 체이며 A 는 k 상의 유한 형의 k 대수정역이라 하자. 이때 A 에는 대수적으로 독립적인 원 X1, … ,Xn 이 존재하며 A 는 k[X1, … ,Xn] 의 정수적 확대환(i n t e gr al exte n - sio n rin g ) 이 된다. 따름정리 1 • 3 k 는 체이며 A 는 유한형의 k- 대수라 하자. 만일 K가 k 를 포함하는 대수적으로 닫힌 체라 한다면 Hom,,,_a18(A , K) =I=¢이다. 증명 적철한 소이데알(pri me i deal) 로 A 를 나눔으로써 A 를 정역이 3) Ma ts umura 의 14 철 참조.
라 하여도 무방하다. 1. 2 의 정규화정리에 의하여 A 는 적철한 다항식환 k[ Yi,… ,Ym]=BCA 의 정수적 확대환이며, K 가 대수적으로 닫힌 체이 므로 제한사상 Homk-alg ( A,K) 기 Homk - a tg (B,K ) 는 전사이다. 이때 B 가 k 상의 다항식환이므로 Homk-a1 u( B,K) =t=¢이며 Homk-a1u (A, K) * ¢이 다. 정리 1 • 4 힐버트의 영점정리 (Hilb ert Nullste l lensatz Theorem). 임 의의 이데알 J ck[X1, … ,Xn] 에 대해서 IV(]) =.fJ (/]는 l 의 근기 (radi ca l) 이 데 알을 나타낸다) . 증명 .fJC ]V( J) 는 자명 하므로 IV (J) c .fJ울 보이 기로 하고 FEE. fJ 라 가정하자. A=k[Xi ,… ,Xn]IJ, f= F mod] 라 놓으면 f는 A 의 멱영 원 (nilp o t e n t element) 이 아니 다. 고로 A f 4) =I= 0 이 며 따름정 리 1. 3 에 의 해서,
4) AA =-환 A 를 집합 {1,/ ,/2, ...} 으로 국소화시킨 환을 나타낸다.
Homk-a1i A f , k) =!= ¢. 또한 이것의 필요충분조건은 {xEHom11-a1 i A,k)l/(x) =I= O} =I=¢이므로 자 연스럽게 얻어낼 수 있는 사상 VU)-Hom1r-a1i A ,k) 이 전단사 사상임울 고려하면 F(x) =I= 0 을 만족하는 xE VU) 를 찾아낼
수 있다. 그러므로 FEEIV( J). 위의 힐버트의 영점정리를 근기이데알 1 에 적용하면 IV(]) =ll=] 이다. 또한 임의의 An 의 대수적집합 2= V( J)에 대해서는 VI(~) = VIV(]) = V(.f J)= V( J)=~ 이므로 앞의 사실들을 종합하면 다음의 정리를 얻을 수 있다. 정리 ll.5 J앞에IJ에 서=서 의 k 정[X근의I기,…된 , 이X Vn데] 와 알 ] I 는[7 포 함l 관2계|대를2수 는 적서 A로집n 의합바 ]꾸 게 하면서 1 : 1 대응을 만든다. 예 (1) /가 k[X1, … , Xn] 의 양수 차수의 다항식 일 때 V(/) 를 초곡면 (h yp ersurf ace) 이라 하고 특히 n=2 일때는 아파인 평면곡선 (affine pla ne curve) 이 라고 부른다. 또한 /가 d 차 다항식 이 면 V(/) 는 d 차의 곡선이라 한다. (2) 폐부분집합 E 가 동차 (homo g eneous) 다항식들의 공동해로 주어질 때 고는 원접을 정점으로 가지는 원추 (cone) 가 된다. 정의 1 • 6 위상공간 X 의 부분집합 Y(* )가 주어졌을 때, 임의의 두 개의 Y 의 폐부분집합 ~Yi,½~y에 대해서 Y*EUE
일 때 Y 를 기약(i rredu ci ble) 이라 한다. 특히 A 떠 폐부분집합 2 가 기약일 때 2 는 기약 대수적 집합이라 한다. 이 때 , 뇌 에 써 의 분해 정 리 (Noeth e ria n Decomp o sit ion Theorem) 5) 에 의하면, 근기 이데알 J ck[ Xi,… ,Xn] 은 유일한 방법으로 J= in=h l pi 로 표현된다(여기서 모든 p,． 는 소이데알이며, i=Fj이면 P ictpj이다). 또한 임의의 소이데알 P 와 p~ ]1 p됴 h 인 두 이데알 J I,h 가 있다면 항상 p*A {n hpI 이 : 된: 다:. [1l:n ]} : { 찍고는 An 의 l 이 사실을 정리1. 5 에 적용하면, 기약 대수적 집합 는 1 : 1 대응을 이룬다. 뿐만 아니라, 임의의 대수적 집합 고는 I:= iU=k l I: i 로 유일하게 표시되고, 이때 ~i (l~ i ~k) 는 기약 대수적 집합이며, i 학이면 ~i
우선 이를 소개하고 그들 관계를 살펴보자. PJ; 혹은 간단히 p n 은 집합 kn+l\{(O, … ,0)} 을 다음의 동치관계 (xo,… ,Xn) ~ (axo,… , axn), aEk\{O} 로 나눈 집합을 뜻한다. (xo, … ,Xn) 은 그가 대표하는 p n 의 점을 나타내는 동차 좌표 (horn oge neous coordin a te ) 라 한다. 정의 1 • 7 p n 의 대수적 집합은 유한 개의 동차다항식의 공동해, 죽 {xEPl/1(x)=… =fm( x)=0, fi는 k[Xo, … ,Xn] 의 동차다항식, l 철< m} 울말한다. 만일 I 가 동차다항식이고 (xo, … ,Xn) 과 (axo, … ,axn) 이 동일한 p n 의 한 점을 나타내는 동차좌표라면 f(x o,···,xn)=O~f (a xo,… , @n)=O, aEk\{O} 이다. 따라서 P 떡 대수적 집합은 찰 정의된다. 뿐만 아니라 아파인 공간의 경우에 사용된 V 와 I 의 대응관계를 사 영공간에도 그대로 적용해 볼 수 있다. 단 이 경우에는 오직 동차 이데 알 (homoge neous ide al) 만 사용한다. 이데알 J ck[Xo;··,Xn] 가 동차 이데알이 될 필요충분조건들은 다음과 갇다.
( i ) J가 유한개의 동차다항식으로 생성된다. (ii) /=/r +/r+l+ … +/SE J이면 모든 i (rs i ss) 에 대해서 fi El 이 다. 이때 fi는 f를 이루는 1차 동차다항식이다. 고로 J ck[X1, … ,Xn] 가 동차이데알이라 하고 T 가 J를 생성하는 유 한개의 동차다항식의 집합이라면 V(/)={xEPnl/(x)=O, V/E T} 로 정의하고 ~c p n 에 대해서 I( 고)는 집합 {/Ek[Xi ,… ,Xn]l/(x)=O, VxE~, /는 동차다항식} 이 생성하는 동차이데알로 정의한다. 이때 아파인 경우와 같은 이유로 대수적 집합 V( J)를 P 떠 폐부분집합으로 하면 p n 은 위상공간이 된 다. 정리 1 • 8 { ~::；의합} : { f|J: ;;(k:;'0'『l } V 와 I 는 두 집합이 1 : 1 대응이 되게 한다. 증명 만일 ~c p n 가 대수적 집합이면 V (I(~))=~임은 자명하다. 그러므로 V 와 I 는 P 떠 대수적 집합과 ]=I(V(J )) (I. I)
를 만족하는 동차이데알 1 의 집합을 1 : 1 이 되게한다. 이때 조건 (1. 1) 을 만족하는 동차이데알이 근기이데알임은 자명하며 V((Xo,… , Xn))=
를 만족하므로 (i)의 경우에는 J =k[Xo,··· , X』 이 되고 I( V (J))=J이다. (ii)의 경우에는 ]=(Xo, … ,Xn) 이므로 고려하지 않는다. 마지막으로 (iii)의 경우에는 임의의 동차다항식 /Ek[Xo,·,Xn] 에 대 해서 /(x)=O, xE V( J) ¢:>/(x)=O, xE V* (J ) 이므로 (1. 2) 에 의하여 f eI(V( J)）이면 /EJ (V * (J ))=], 죽 I(V( J)) C J을 만족한다. I(V (J))=>]는 자명하므로 이 경우에도 I(V (J))=J이 다. 정의 1. 6 에 준해서 p n 의 폐부분집합 고가 기약일 때 기약 대수적 집 합이라 하며 이파인 경우처럼 동차이데알에 대해서 뇌에써의 분해정 리 6) 를 적용한다면 다음의 정리를 얻을 수 있다. 정리 1 • 9 앞의 정리 1. 8 의 대응에서 기약 대수적 집합은 (Xo,… ,Xn) 이 아닌 동차 소이데알과 대응한다. 또한 p n 의 임의의 폐부분집합 고는 유일하게 6) 동차이데알에 대한 뇌에써의 분해정리는 Na g a t a 의 1 장 8 철을 참조한 다.
2=Ui=k l 2i 로 표현된다. 이때 모든 i=f'j에 대해서 21 ct 2 j이며, 1: ;(l:,;; i ::;;k) 는 기약 대수적 집합이다. 1:i는 2 의 성분이라 부른다. 예 f Ek[Xo, … ,Xn] 가 °許차수의 동차다항식이면 V (f )c p n 을 초곡 면 (hy pe rsu rfac e) 이 라 하고 특히 f가 1 차이 면 V (f)를 초평 면 (hy pe r- pla ne) 이 라 한다. 「아파인 대수적 집합과 사영 대수적 집합 사이의 관계」 p n 은 n + l 개의 개부분집합 Uo,… , Un, U;={xEPnlx 의 동차좌표가 (xo, … ,Xn) 일 때 x;=t= O }, Osis n 으로 덮여지며 rp; : An-U;, O~i ~ n (xo, … X;,···,xn)-+(xo,···l, … Xn) 는 그의 역사상 (총총충) C(Xo,… Xi, … Xn) 을 갖는다. 이때 기호 (xo, … k i,… Xn) 는 X i를 빼는 것을 뜻한다.
···,Yn] 를 a(/)=/(1, Yi,…, Yn) 로 정의한다. 이때 k[Xo, … ,X才 은 k[Xo,···,Xn] 의 동차다항식의 집합이 다. 반대 로 동차화 사상 (homog e niz i n g map) `(3 : k[ Yi,…, Yn]--+k[Xo,·,Xn]h 을 /3(g )=x ig信·. ＇ 총) 로 정의한다. 이때 e 는 g의 차수이다. 2 가 An 의 대수적 집합이며 I=I(~)ck[ Yo,… , Yn] 일 때 I/Jc k[Xo, .. ·,X』 ={/3(g )l g E J(~)｝으로 생성 되는 동차이데알이라 하면 합= V(Jf i)c p n 으로 정의한다. 반대로 2 가 p n 의 대수적 집합이며 I=I(~)ck[Xo,… , Xn] 일 때 Ia 는 {a (f )l f El(~) ｝으로 생성되는 k[ Yi,… ,Yn] 의 이데알이라 면 L]a = V( Ia) cAn 으로 정의한다.
정리 1 • 101> (1) ~가 An 의 대수적 집합이면 짜~)=~p n u 이며 (합 )a=~ 이다.
7) Ful t on 의 4 장 3 절 참조.
(2) An 의 대수적 집합 ~I,~ 가 ~1C~2 이면 ~f c~~ 이다. F 의 대수적 집합 ~I 조 k 가 ~1,C~2 이면 ~1aC~2a 이다. (3) ~가 An 의 기약 대수적 집합이면 ~p도 p n 의 기약 대수적 집합 o] 다. k (4) ~CA 떨 때 ~=U~ 가 2 의 기약(대수적 집합으로의)분해라 i= l k 면 ~P=U~1 도 기약분해이다. i= l (5) ~가 An 의 대수적 집합이면 ~p는 cp(~)를 포함하는 최소의 pn 의 대수적 집합아다. (6) ~~An 이면 합의 성분은 H .. 에 포함되지 않고 H .. 를 포함할 수 없다. 여기서 H. . 는 p n\u 이다. (7)~CP 지며 2 의 성분이 H. . 에 포함되지 않고 H. . 를 포함하지 않 으면 ~a 됴 An 이며 (~al=~ 이다. 따름정 리 rp : An-+ U 는 동상사상이 다. 증명 平가 전단사임은 자명하다. ~CA 까 대수적 집합이면 앞의 정리 (1)에 의해서 짜 2)=2'n u 이므로 rp(~)도 U 의 폐부분집합이다. 반대로 Y 가 U의 페부분집합이 면 Y= Un~. ~c p n 은 폐부분집합이므로 ~= V(T), Tck[Xo,… , Xn]h 이다. 이때 rp- 1(Y)= V(a(T) ）이므로
广 2집합=,A n2 의* A대n수 적} -{ ~IH:OO 울; :포함 。广하 :지OO적 에;않 는?다.로 지 않고 } 뿐만 아니라, 임의의 대수적 집합 ~cAn 에 대해서, 할로 An 과 U 를 동일시 한다면, 정리 1. 10 의 (5) 에 의하여 고’는 2 의 p n 에서의 폐포 (closure) 가 되므로 합=효를 고의 사영폐포(p ro j ec ti ve closure) 라 한 다. 이때 ~= ~ nAn= ~'\.~ n V(Xo) 이며 효 n V(Xo) 는 I(~) 에 속하는 다항식의 최고차의 항들로 결정되는 p n-1 의 대수적 집합이다. 왜냐하면, xE~n V(Xo) ~xE V(Xo), ({Jg) (x) = O, g탁(~) g(Yi,… ,Yn)= 곱dg ;(Yi ,···,Yn), g;는 i차 동차다항식 (Os i sd) 이고 x= (xo, … ,Xn) 이면, (f3g)( xo,… , Xn) =x gg信,…＇총) =gd( x) 十 Xo gd -1(x) + .. •+ xtg o (x) 이므로 <=>xE V(Xo), xE V({ g의 최고차의 항|g E J(~)}). 예 ~=V( 尸 _x3)CA2 이면 홍 =V( 尸 Z_x3)CP2 이 되며 홍\~= {(O, 1,0)}. ~= V{X3+ 尸― l}CA2 이면 홍= V( 幻+ 尸_간 )c p 2 이 되 며 효\~= V(X 나 Y3)cP~
예 꼬인 3 차곡선(t w i s t ed cubic curve) 이라 불리는 2:!={(t,t 2, t가 l t E k} 의 1(2:! )= (XZ— Y2 ,) (l-y )이다. 그러나 앞의 예와는 달리 I(홍 )는 XZ-Y 2,) (l-Y W 만으로는 생성될 수 없다. 실제로 I( 합 )=(XZ-Y2, )(l- YW, X Y-ZW) 이며 만일 lfl : k[X, Y,Z, W] 냐 [s, t]가 1Jf( X)=st2 lfl( Y)=s2t, lfl(Z ) = s3, lfl( W) = t3 이 라면 I( 홍) = Ker lfl가 된다. 이 때 홍를 p 3 의 꼬인 3 차곡선이라 한다. 2 전다양체 (Preva riet y ) 먼저 아파인 대수적 집합 사이의 사상 (mo rphi sm) 을 정의하고 두 대 수적 집 합이 동형 (iso morp hism ) 일 조건을 보자. 정의 2 • 1 ~가 A 적 대수적 집합일 때, k[X i, .. · ,Xn] 의 다항식으로 주어진 고상의 k 값을 갖는 함수의 환 I'(~) = k[X i, •• · ,Xn]/I(~) 울 2 의 아파인좌표환이라 한다. 또한 /E I'(~)를 2 의 다항식함수 혹 은 2 의 단편 (secti on ) 이 라 한다. 앞에서 2 가 대수적 집합이면 I( 고)가 근기이데알이므로 I'(~)는 0 이 아닌 멱영원을 갖지 않게 되어 I'(~)는 피약 (reduced) 환이다.
정의 2 • 2 대수적집합 ~1CAn, ~2CAm 가 있다고 하자. 이때 임의 의 xE~1 에 대해서 a(x)=U1(x),… ,fm( x)) 가 되는 2 려 다항식함수 f1,…,fm 이 있을 때 a : ~1-~2 울 대수적 집 합의 사상이라 한다. 또한 사상 a : ~1-~2 의 대수적 집합으로서의 역 사상 (inv erse morp hism ) f3 : ~2-~ 려 존재 할 때 a 를 동형 사상이 라 하고 Z 즌 ~2 라 적는다. 이때 임의의 사상 a : ~1-~2 는 연속이며, 두 개의 사상의 합성 (comp o sit ion ) 사상도 역 시 사상이 다. 또한 사상 a : ~1-~2 는 준동형사상 I'(a) : I'(L!시--.I'(L! 1) 울 다음과 같이 유도한다 : 임의의 g E I'(고 2) 에 대해서 I'(a) (g )=g0 a, 무 a(x)=(/1(x),… , /m(x)), xE~1 이면 g0 a(x)=g (/ 1(x),··· , Jm (x )). 그러므로 I': L!-I'(L!)는 대수적 집합의 권 (ca t e g o ry)에서 피약 유한 형의 k- 대수의 권으로의 반변함수 (con t ravar i an t fu nc t or) 이다. 보조정리 2 . 3 대수적 집합 ~1CAn, L! 2CAm 에 대해서 Hom (표 ~2) --.Hom. (I'(~ 2),I' (~1 )) a--.I' (a)
는 전단사이다. 증명 ¢ : r(22)-.r(~1) 은 k- 대수 준동형이라 하고 모든 ls j sm 에 대해서 (Xj mod I(~2)) = /J라 하자. 이때 a:21 一 ~2 a(x)=(/,(x),… , /m(x)), xE~1 으로 놓으면 a 는 I'(a) = ¢를 만족하는 사상이 다. 반면 가환도식 (comm- uta ti ve dia g ram ) EI 1 a E2 l 一 (2 .1) Homk (I'(l!i),k ) 기 H omk (I'(l:2), k) 에서 자연스럽게 정의된 사상 ~i--+ Homk (I'(~ ;),k) , (i= 1,2) 는 전단사이므로 a--+ I' (a) 는 단사임이 자명하다. 또한 도식 (2.1) 은 자연스러우므로 다음의 결과를 얻는다. 따름정리 아파인 대수적집합 ~I 조 k 에 대해서 ~l::,::~2 일 필요충분조 건은 I' (~1)~ I' (~2) 이다. 뿐만 아니라, 임의의 피약 유한형의 k- 대수 A 는 적철한 근기이데알 J 에 의한 A=k[X1, … ,Xn]/ J의 형태이므로 A= I' (V (J)）이다. 위의 사 실들을 종합하면,
정리 2,4 I:-I'(I!)는 다음의 두 권을 서로 대응되게 하는 반변함수 []대다•수 적대 수집적합 의집 사합상과의 권 } 一r { k피- 대약수 유 呼한형형의사 상k 대의수 와권} 이때 2 가 기약이면 I'(I!)는 정역이다. 예 ~={(x, y )l y =x2}cA2 이면 7[ : ~-Al (x,y ) -x 은 동형사상이다. 일반적으로 고가 An 의 대수적 집합이며 /E I'(I:)이 면, gr / = {(x,/(x)) E ~ X kjx E ~} 는 An+I 의 대수적 집합이며 합성사상 gr f ...... ~xk-~ 는 ~-gr f-~과 9r f-~-gr f를 항등사상이 되게 하므로 gr I 와 고는 서로 동형이다. 예 두 대수적 집합이 동상이라고 해서 늘 동형이 되지는 않는다. 평면 곡선 C : y 2= 갔을 보자. (x,y} EC , (x, y)=t= (O,O) 이면 t=？라 놓으므로써
x=(민 2= t2, y=(-f) . 갔= t-1 • t4= t3 죽 C 는 a:A 닌 A2 t귁t러t 3) 의 상으로 표현된 곡선이며 g는 동상사상이다. 그러나 I'(a) : k[ T2, T 기 -+k[ T] 는 동형사상이 아니므로 A1i c . 앞에서 아파인 대수적 집합에 대해서 정의된 사상의 개념은 사영 대 수적 집합에서는 그대로 사용될 수는 없다. 예로, ~I 은 F 에서 XZ= 尸으로 주어진 2 차 곡선이며 ~2=P1 이라 하자. Po=(O, O, 1) 이면 PoE~1 이며 모든 Q E~1\{Po} 에 대해서 직선 Po Q=.t(Q)를 대응할 수 있으며 PO 를 지나는 직선들의 속과 p l 을 동일 하게 다루므로써 .t(Q)를 P1 의 점으로 본다. 그리고 점 Po 에는 Po 에서의 고려 접선을 대응하면, 앞에서 말한 사상 ~1-~2 는 (a,b,c) 가 PO 의 동차좌표가 아니라면(죽 a*O 혹은 b*O) (a,b,c)-+ (a,b)
로 주어진다. 만일 (s , t)가 F 의 동차좌표이면 위의 사상은 (A) {s=x t=y 로 주어지나 이것은 R 에서는 정의되지 않는다. 반면 (B) {s=y t= z 는 위의 사상을 A=( l, 0,O) 만 제의하고는 정의할 수 있다 . 뿐만 아니 라 ~I 에서는 xz= y 2 이므로 Po,P 1 두 점을 제의하면 (x : y) = (y : z) 이 므로 (A) 와 (B) 를 갇이 사용하면 ~1-~2 을 나타낼 수 있다. 이 예가 제시한 것 처럼 사영 대수적 집합 사이의 사상을 정의 하기 위해서는 먼저 국소적으로 정의한 후에 그것을 이어서 맞추어야 한다. 이런 작업을 위하여 우리는 아파인 대수적 집합이나 사영 대수적 집합 울 포괄하는 전다양체 (p revar i e ty)를 정의하고 전다양체상의 사상 (mo rphi sm) 을 정의한다. . 이룰 위해서는 충 (shea f)의 도입이 불가피하 다. 정의 2.5 X 가 임의의 위상공간일 때 X 상의 전충(p reshea f) 多 는 ( i )임의의 개부분집합 UCX 에 대해서 집합 $ (U) 와 (ii) 임의의 두 개부분집합 UlCU2 에 대해서 사상(제한사상) reSu.,ua : 6( U2)-6 ( U1) 으로 구성되었으며,
a) 임의의 개부분집합 U에 대해서 resu,u=Id,cu) 이며 b) 만일 개부분집합 U1C U2C U3 가 주어지면 다음의 도식 res:u(Il二 u u-23:( &) 따 U1) 은 가환이다. 또한 터,§카 X 상의 전충이라면 사상 (mo rphi sm) rp : 타 -➔ 62 는 모 든 개부분집합 UCX 에 대한 rp( U) : 61(U) _➔ 多 2(u) 의 모음울 말하 며, 이때 개부분집합 UCV 에 대해서 가환도식 re따S(v u Vj ) p( V) ‘ 多 j2r(e VSv) u 多 1(U) rp( U) r2(U) 울 만족하여야 한다. 정의 2.6 임의의 개부분집합 UCX 와 U=UU 가 되는 개부분집합 의 모음 {U i}에 대해서 다음의 조건이 성립할 때 위상공간 X 상의 전충 多를 충 (shea f)이라 한다 : 6(U) 一 II 多 (Uj )二 Ii,Ii 多 (um u) 는
완전 (exact) 하다. 바꾸어 말하면 ITreSu,u, : $(U)-+Il$(U;) 는 단사이며 그의 상 (im ag e) 은 IIfe Su,,u, n UJ : IJi ~ (U;•) -+i,nj ~(U;n uj )와 HresUJ ,u muj• : nj 多 (UJ )-+rjr,j 多 (uin uj )가 일치하는 집합이다. 위의 조건을 풀어 쓰면, (1) X1,X2E fl (U) 이며 임의의 i에 대해 reSu,u, X1=reSu,u, X2 이면 x1= X2 이다 (죽 $(U) 의 원은 국소적인 자료(l ocal da t a) 로 유일하게 결정 된다). (2) 임의의 i,j에 대해서 fe Su,,u,nu, Xi= r esu,,u,nu, X i인 {x;} (x;Ef l (u i)）가 있다면 resu,u , X=X i인 _xE1F(U) 가 존재한다(죽 〈적절한〉 국소 적인 자료가 주어지면 이것을 이어맞추어 5(U) 의 원을 찾는다). 또한 층의 사상은 정의 2.5 의 전충의 사상을 말하며 임의의 개부분집 합 UCX 에 대해서 PF(U) 가 군(환)이면 多를 군(환)의 충이라 한다. 이때 정의 2.5 의
$x= x브eu,uc x $(U) 로 정의된다. 이것은 x 를 포함하는 모든 개부분집합 U의 $(U) 가 그 들의 제 한사상들로 만드는 귀 납적 극한 (dir e ct lim it , ind ucti ve lim it) 을 뜻한다. 만일 위상공간 X 상의 충 多가 개부분집합 UCX 에 대해 多 (U) 는 U 상의 k 값을 갖는 함수의 집합으로 주어졌다면 $x(xEX) 는 x 동에치서관의 계함 수~의로 싹나(눈g e r것m)이 의다 집: 합/1이E다$(.U ),이 /때2 E $$(xV 는) 일xUe u, 때u e $x( f1U~)/2 를~ u다n음 의v 에서 f1=f2. 1 절에서 정의된 아파인, 사영 대수적 집합은 k 값을 갖는 함수의 충 의 부분층으로서의 구조를 다음과 같이 가질 수 있다. 먼저 2 는 A 떡 대수적 집합이라 하고 U 는 E 의 개부분집합이라 하 자. U 에서 정의된 k 값을 갖는 함수 h : U-+k 가 임의의 xEU 에 대해 서 x 의 근방 UxCU 가 있어서 적절한 fE I '(~), g E I'(~)에 대해서 hlux= 任 )|Ux (단 f(y)=I=0 ,y E Ux) 를 만족한다고 하자. 이때 {~3/ 1/EI'(~)}는 E 의 개기가 되므로 적절한 la 에 대하여, Ux= U ~la 로 되는데 UxC~ f이므로 ~fa C~ f이다. 또한 임의의 l/E aEA , N 에 대해서 2 fa CZI 코g=g a • I, gaE r(2) 8) ~f={ xE~l/(x)=t O}
이므로 hl 1:f a= 升 E fa =g무a •기 /1 :i: ta= -무 /요% |b a' aeA 죽 hl:E Ja EI '(~)fa, 정의 2 • 7 ~cAn 가 아파인 대수적 집합이고 U 가 2 의 개부분집합 이며 h : U-+k 라 하자. U의 피복 (cover i n g) {~1alfa E I '(~) a E /\｝와 적절한 g aE I'(~)가 존재하여 hba=(Jf r)II: f a' 1.la EN,aE I\ 일 때 h 를 U 에 서 의 정 칙 함수 (regu la r fun cti on ) 라 한다. U=La J U a0J 때 h : U-k 가 정칙함수일 필요충분조건은 hlua : Ua-k 가 모두 정칙함수이고 모든 개부분집합 Uc~ 에 대해서 @ 1: (U) 를 U 에서의 정칙함수의 집합으로 잡으면 @2 는 충이 된다. 정의 2 • 7 ~c p n 가 사영 대수적 집 합이고 U 가 2 의 개부분집 합이 며 h : U-+k 라 하자. U 의 피복 {~1al fa 는 동차다항식, aE/\} 와 적철한 동차다항식 g a 가 존재 하여 hl 1:fa = 情 )l 1:fa' VaEN,aE/\, g a 의 呼=f戶 a 의 차수 일 때 h 를 U 에서의 정칙함수라 한다. 이때의 충¢긁는 아파인 경우와 똑갇이 정의한다.
정리 2 • 8 ~가 An 의 대수적 집합이라 할 때 표준 (canon i cal) 사상 I'(~)f-+I'(~f, @ :i::), /E I'(~) 은 동형 사상이 다. 특히 I'(~) ~ & :i::(~). 증명 만일 7(vEN) 이 2 서서 0 이라면 g(~f )=O 이므로 (/ • g) (~)=O, 죽 r(2) 에서 f • g =O 이 된다. 고로 r(2) f에서 着=信 =0 이므로 정리의 사상은 단사이다. 전사임울 보이기 위하여 aEI '(~,, @E) 라 하자. 이때 적철한 피복(유한개로 잡을 수 있음) 2f = iU=d 2I I1 이 있어서 a|z/1=( 信 /I 匡:S:: d) 이 된다. 이때 ifj l:2i::mn n1 = (tf), ' | 2nJJ 이므로 2 g}에서 /gj-fjgj =0 이고 I'(:E)에서 f&(figj-fjgj)= O. fj, g를 f?, figi로 바꿈으로써 I'(:E)에서 d Ii gj _IJ gi =0 이라 하자. 또한 2 f=i나~fi이므로 적절한 kEN 에 대해서 d d I /c탁A , … ,/d) 이면, f= i2= la J• i일 때 g= i2= la G i로 잡으면 Iig = Zd Iiajg j J= l
=i2=d If j ajg i= Ikgi (l 철 ~d). 그러므로 伊 )l :i: .,1=( 웃 )|2 fI (1< i요 d) 이고 a= 》이다. 정리 2 • 8 을 이용하면, x= (a1, … ,an) 에서의 충 ¢2 의 줄기 ”른f쁘( X)*O , ”f(e ~I '(1E ) ) ~ Jim I I'(~)f 국 (~)(x,-a1, ···, xn-an) f( X)*O. fEI '( E ) 정리 2.8 과 유사한 내용을 사영대수적 집합에 전개시키기 위해서는 다 음의 용어를 가지고 증명을 똑같이 따라가면 된다. S 가 차수환(gr aded r i n g)이며 p가 S 의 동차 소이데알일 때 S(P) 는 S 를 T, T= {f l/ Et:p,f는 S 의 동차원소} 물에 론의 J해 E국ST 소, 환g시E 킨S ,/환E TS 일T 의때 0〕 차의 원차소수로는 구g성의 된차 수부―분f환의을차 수의미로한 다정.의 된다. S(P) 는 극대이데알이 p • sTns
이때 @I:,x ~I '(2!)(m x), 단 mx ={/j/E I '(2!), f는 동차원소, f(x )= O}. 또한 대수적 집합 2! 1CA 짝 2! 2cAm 과 k 값을 갖는 정칙함수의 충 @ZI J @22 와 연속사상 a : 2! 1- 2! 2 에 대해서 다음의 조건들은 모두 동치 이다. ( i ) a 는 정의 2.2 의 의미의 대수적 집합의 사상이다. ( ii ) IE I' (22,2) 이면 /0aE I'(2! 1,@ I: 1) 이다. (iii) 임의의 개부분집합 UC 2! 2 와 /E I' (U,@ :1: 2) 에 대해 f0 ae I'(a- l( u), I) 이다. (iv) xE2 !1, /E@ :1: 2,a
(ii) UcY 가 개부분집합이고 IE I' (U,@Y) 이면 I0aEI '(a- 1(U),0x) o] 다. 예 (Pn,0 김은 전다양체이다. 왜냐하면 pn = un_ u지 며 (정리 1.1 0 i= O 의 따름정리 참조) ¢i : (An' (!jA n):: :( U;, &pn lu,), 0~ i ~n 이기 때문이 다. m 대수적 집합과 똑같이 전다양체 X는 유일하게 X=UX로 표현되는 i= l 데 이때 X 는 기약인 X 의 폐부분집합이다. x ict X沮 학)이고, X를 X 의 성분이라 한다. 또한 전다양체 X 자체가 기약일 필요충분조건은 X 의 적절한 개부분집합 xi, 1 후. ;::;;;m 에 대해서 X=Um X로 표시되며 i= I 이때 모든 X 가 기약인 아파인 다양체이며 x.-nxi=1 =¢ u =f=j)인 것이 다. 또한 X 가 전다양체이며 Y 가 X 의 폐부분집합일 때 Y 상의 충 0 y를 다음과 같이 정의한다 : 임의의 Y 의 개부분집합 V 에 대해 &v(V)={h : V 丑|임의의 xEV 에 대해 열린 근방 UxCX 와 정칙함수 FE I' (Ux,&x) 가 존재하며 hiu xnv=Fluxuv 죽, hE (IJ Y(V)¢>h 는 국소적으로 X 의 정칙함수이다. 정 리 2 • 10 X가 아파인 다양체 일 때 ( i ) y가 X 의 폐부분집합이면 (Y,@Y) 는 아파인 다양체이다. (ii) y는 X 의 X정 태로 된 개부분집합일 때 (Xf ,Cxlx f)는 아파인 다양체이다. 단 Xf ={xEXl/(x) =t= O} 이다.
증명 ( i ) y가 X 의 폐부분집합이며 X 가 An 의 폐부분집합이면 Y 는 A 떠 폐부분집합이므로 @Y(V) 는 단지 V 상의 정칙함수의 집합임을 보이면 된다. {Xf l f E I' (X,0x)} 가 X 의 개기이므로 &v(V)={h : V 라임의의 xE V에 대해 X가 존재하고 FE I' (X,&x) f가 있어서 Flxfn v=hiX f n v} ={h : V 丑|임의의 xE V에 대해 Yf ( /EI '(Y, @v)), 와 g E I' (Y,@v) f가 있어서 gIw nv=hIwnv} = V 상의 정칙함수의 집합. (ii) X가 An 의 폐부분집합이므로 Xxk 는 An+1 의 폐부분집합이다. 고정된 /E I' (X,@x) 에 대해서 ~ = {(x,t) E X x klf( x ) t = l} 이라 하자. 이때 E 는 An+l 의 폐부분집합이며 I'(~)=I'(X )[t ]/ (tf -l)= I' (X)이다. 고로 (x, t )-x 로 주어전 사상 ~-x 는 동상사상 ~-xf 를 유도하며, 임의의 g E I' (X) 에 대해 I'(~g, fl i:) = I'(~)g = I'(X) 1g = I'(X1 nX g , fJ x) 이므로 (~,tJi:) ~ (X,,&xlxr) 이다. 따름정리 X 가 전다양체일 때 ( i ) y가 X 의 폐부분집합이면 (Y, tJ Y) 는 전다양체이다. ( ii ) u 가 X 의 개부분집합이면 (U, tJ xlu) 는 전다양체이다.
증명 X가 전다양체이므로 아파인 다양체 X,(1 조i
마지막으로 1Jf가 충으로서의 사상임을 보이기만 하면 된다. 이것은 다 음의 일반적인 정리로부터 밝힐 수 있다. 보조정리 2 .12 X가 전다양체이며 YcA 까 아파인 다양체일 때 맵 : X 가까 충으로서의 사상일 필요충분조건은 x i°1Jl (l 철 ~n) 가 모 두 정칙함수인 것이다. 여기서 x, 는 Ak 의 좌표함수를 말한다. 따릅정 리 X, Y 가 아파인 다양체 라면 X 와 Y 가 동형 일 필요충분조건 은 I' (X) 와 I'(y)가 k 때수로서 동형이다. 또한 정의 2.11 은 전다양체가 아파인이 될 수 없는 근거를 제시할 때 도있다. 예 V=A2\{(0,0) ｝이면 V 는 A2 의 개부분집합이므로 정리 2.10 의 따름정리에 의하여 (V, @Az/v) 는 전다양체이다. 이때 I'(V )= I'(V, tJA Z!v) =k[X, Y]= I' (A2) 이다. 왜냐하면 hEI '( V)=I '(Al UA;) = I'(Al ) n I' (A깅 =k[X, Y]xnk[X, Y]y 이므로 h= 운=長]고 이때 aY11=bX 떠다. k[X,Y] 는 U.F.D 이고 X 와 Y 는 서로소이므로 a=g X V , b=g Y V , gE k[X, Y] 이다. 또한 h= 沿=렀=g이므로 I' (V)=k[x, y]이다. 만일 V 가 아파인 다양체라 하고 i : V. ... A2 라면 정리 2.11 을 이용하면 적절한 j : A2-+V 가 존재하 여 io j=J dA2 가 된다. 그러나 실제로 이러한 j는 찾아낼 수 없다.
마지막으로 주어진 전다양체들을 이어서 새로운 전다양체를 만들 수 있는 것을보자. 정 리 2 • 13 (Gluein g Lemma of Prevarie t i es ) X는 집합이며 X= ux,이 라 하자. 임의의 U; (l 철:5:: n) 가 전다양체이 고 (집합으로서의) 전i= 단l 사 a : Xi 一 u, 가 존재하여 ( i ) 8, · (Xmxj )와 0AXmxj )가 U;, U; 에서 각각 개부분집합이며, ( ii ) 전다양체의 동형 사상
X~ Y= ix( X)U i°y( Y) 이다. X~ Y 의 개부분집합 U 는 값 (U), 갑 (U) 가 각각 X,Y 에서 개부분집합이 될 때로 정의하면 위상공간 X ~ y는 정리 2i.,1(3 X 대)n로 i ,(& Y(X) ~)-+X iy]( Y6)_[.[ y에 의 해서 다 음의 도식 이 가환이 되도록 유일한 전다양체의 구조를 갖게 되고 이것을 간단히 X :!1: Y 라 쓰자 . 예 X= Y=A1 이며 Xo= Yo=A1-{0} 이고 6 : A 드 {O}-A1-{0} (d2=Id) x) 1 X 이라 하자. Z1=A 넬 A1, Z2=A 넬 Al 는 우선 위상적으로도 다르는데, <12 Z1,Z2 는 다음의 형태이다. ZIO 실제로 전다양체로서 Z즌 F 이다. Z2 는 〈비이성적〉인 전다양체로서 다음절에서 정의할 다양체 (var i e ty)에서 제의된다.
3 다양체 (Va riety ) 와 그의 차원 먼저 전다양체 의 권 (Cate g o ry) 에 서 의 적 (pro duct) 의 정 의 부터 보자. X와 Y 가 전다양체일 때, 전다양체 Z 와 사상 p : Z-- +X , q : Z--+ Y 가 존재하여 임의의 전다양체 W와 사상 r : W--+X, s : W-+Y 에 대해 r=p 0 t , s= q야인 사상 t : W--+Z 가 유일하게 존재할 때 Z 를 X와 Y 의 적이라 하며 X x Y 라 적는다. w/ ----- >- -—\-z \ Y/ 여기서 우선 An 과 Am 의 적을 얻기 위하여 An 과 Am 의 직적위상을 생각하면 이것은 An+m 과 동상이 될 수 없다. 왜냐하면 간단한 예로 Al 과 Al 의 직적위상의 폐부분집합은 유한개의 수평선들과 수직선들의 합의 형태로 표현된 것 뿐이므로 일반적인 A 2 의 폐부분집합, Z( f), f=f(X ,Y), 모두를 Al 과 A 넥 직적위상은 폐부분집합으로 갖지는 않 기 때문이다. 다음의 정리에서 두 아파인 다양체의 적을 구하는 방법을 살펴보자. 보조정리 3 』 X 와 Y 가 아파인 다양체일 때 전다양체의 권에서 XX Y 는 존재하며, XX Y 도 I'(XX Y)= I' (X)® ,J' (Y) 인 아파인 다 양체이다. 증명 X 와 Y 가 각각 An 과 Am 의 폐부분집합이라 하자. 우선 집합
으로서의 적 X x YcAn + m 을 생각하자. An+m 의 아파인좌표환은 k[XI, … , Xn, Yi,… ,Y』 =I' (An)® J' (An) 이며 X X Y 는 이데알 (I (X) ,J(y))의 공통해이다. 고로 X X Y 는 An+m 의 폐부분집합이며 (X X Y) = I'(An )®J ( Am )/ (l(X ), /( Y)) ::::::: I' (X) 합( Y). 이때 X x Y 가 사영 p : X x y- .x, q : X x y -.Y 와 함께 적의 정의를 만족하는 것울 보이기 위하여 임의의 전다양체 W와 r : w-.x, s : w-. y에 대해서 오직 t= (r , s) 만이 조건을 만족하는 사상임울 보이면 된다. 그런데 정리 2.11 에 의하여 Mor ( W,X) x Mor( W, Y) ~ Homk-a1i I'(X), I' ( W)) X Homk-atg (I'( Y),I' ( W)), ~Homk-a/g ( I'(X )@kr( Y), I'( W)) ~Mor(W, Xx Y) (I'(W )=I '(W ,&w)) 이므로 증명은 성립한다. 보조정리 3.1 을 전다양체의 경우로 확장시키기 위해서 임의의 전다양 체 X, Y 에 대해서 집합 XX Y에 다음과 같은 위상울 주자 : 개부분집합 UcX, Vc Y 가 아파인 다양체일 때 UX V 를 아파인개적 (op en pro duct) 이라 한다면, wcxx Y 가 임의의 아파인개적에 대해서 wn (UXV) 가 UX V 에서 개부분집합일 때 W 를 XX Y 의 개부분집합이라 한다. 이것은 찰 정의된 위상으로서 UX V 에서는 본래의 아파인 다양체로 서의 위상을 유도한다. 왜냐하면 임의의 UX V 의 개기 중의 한 개부분
집합 W=(Ux V):i:1 is i, ~f;g ;E I' (U)®k I' (V) 에 대해서 (uX V) n(U'X V')= (un U') X ( Vn V') = u u; x v;, ( U;, v;는 각각 U', V' 에 a,/J 서 아파인 개부분집합)이므로 Wn(U'x V')= aU,p Wn(Ua,X 祐') = aU,fl ( Ua' X Vp, ) ,:resf, resg , 는 U'X V' 에서 개부분집합이기 때문이다 (res/;, res g;는 각각 f;lu a' g」% 룰 말한다). 이제 아파인 다양체 (UX V, f1 uxv) 를 고려하면, 이들 아파인개적의 집합은 XX Y 의 피복이 되므로 정리 2.13 에 의해 UX V 들을 이어서 붙이려면 Cuxvl(uxv) n (u'xv')~ & u'xv'l(uxv) n (u'xv') 이면 된다. XE(UX V) n(U'X V' ）이며 h 가 X 근방에서 I'(U )®I '(V) 의 분수형태로 적힌 정칙함수이면, (Ux V)n(U'X V')= U(U/X Vu'), /eI '(U' ), g e I' (V' ）이므로 h 는 I' (U/)X I' (V8' ）의 분수형태로 적히게 된다. 죽 h 는 x 근방에서 I' (U')® I' (V') 의 분수형태로 적히므로 위의 두 충은 표준적으로 동형이다. 이렇게 만들어진 전다양체 Xx Y 와 사영 p : Xx Y-+X q : Xx Y -+Y 가 XX Y 를 적이 되게하는 것을 보이려면 임의의 전다양체 W와 사상 r : W-+X, s : W-+ Y 에 대해 t= (r,s) : W-+XX Y 가 충의 사상 임만 밝히면 충분하다. 임의의 아파인개적 UX V 에 대해서 Wu,v=r-1
(U)xs-1(V) 라 두면 W=U Wu,v 이며 사상은 국소적인 정의이므로 결국 (r,s)lwu,v 가 사상임을 보이면 되기 때문에 r(W)c U, s(W)c V 로 가정 해도 된다. 이때 UX V 는 아파인 다양체로서의 적이므로 앞의 정리에 의해서 w ➔ ux v 는 사상이 되고 w ➔ ux v ➔Xx Y 는 원하는 대로 충의 사상이 된다• 정의 3.2 (Hausdorf f axio m ) X 가 전다양체라 하자. 임의의 전다양 I 체 Y 와 사상 Y二 二 X 에 대해서 {yE Yl f(y)=g(y)}는 Y의 폐부분집 g 합일 때 X를 (대수적)다양체라 한다. Y=XXX, f,g는 사영 사상 xxx-x 일 때 l::..=(Idx ,ldx) : X- XXX 이라면 t::.. (X)={zEXxXl/(z)= g (z)} 이므로 X가 다양체이면 t::.. (X) 는 XXX 의 폐부분집합이다. 뿐만 아니라 역도 성립하는데, 이 I 는 만일 t::.. (X) 가 XXX 의 폐부분집합이라면 임의의 Y 와 사상 K 二: g X 에 대해서 {yE Ylf( y) = g(y)} = (f,g)- 1( t::.. (X)) 이므로 Y 의 폐부분집합이 되기 때문이다. 주 (1) 다양체의 부분 전다양체는 다양체이다. (2) 다양체의 적은 다양체이다. (3) 아파인 (전)다양체도 다양체이다. (4) 전다양체 X가 있고 임의의 x, y EX 에 대해 x 와 y를 포함하 는 X 의 아파인 개부분집합이 존재하면 X 는 다양체가 될 수 있다. 이것을 이용하면 사영 (전)다양체도 다양체가 된다.
반예 X=A1~A',a=ldA\10} 라 하고 i1 : A 나 X i2 : A1-.X 라면 {yE A1l i 1( y )=M y )}=A1\{0} 는 폐부분집합이 아니므로 X 는 다양체가 아니 다. X 가 다양체 일 때 유리 함수 (rati on al fun cti on ) 의 집 합을 K(X), K(X)= 쁘!u I' (U, @x) (단, U 는 X 의 개부분집합으로 X 의 임의의 기약성분 xj 와 Unx注 ¢이다) 라 하자. X 자체가 기약이라면, K(X) = 쁘! I'( U, ti x) ;*ucx = ;*Uuc xI '(U ,&x)/~ 여기서, (h1,U1)~(h2,u사 ¢:}h i! u=h2lu, U 는 U1n U2 의 개부분집합. 또한 X가 기약일 때 (h,U) 가 U 상의 0 이 아닌 유리함수를 나타낸다 면, Uh={zE Ulh(z) =I= 0} 는 U 의 개부분집합이며 고로 X 의 개부분집합 이 되고 (-¼, uh) 는 유리함수를 나타내므로 K(X) 는 체가 된다. 그래 서 K(X) 를 X 상의 유리 함수의 체 혹은 X 의 함수체 (fun cti on field ) 라 한다. 여기서 2 가 X 의 아파인 개부분집합이면 K(X)=K(~)= (I'(~)) 인데 ,
원은 dim X=tr de gJ{ (X) 라 한다. 임의의 다양체 X 의 차원은, dim X=sup dim X ;, (X; 는 X 의 기약성분)이라 한다. XJ 만일 ¢*U 는 X 의 개부분집합이며, X가 기약이면 K(U)=K(X) 이 므로 dim U=d im X. 또한 ( i ) dim X=O ~ ( ii ) K(X)=k ~(iii) X 는 한 점이다. 정리 3 • 4 X 가 기약인 다양체이며 Y 는 X 의 폐부분다양체일 때 Y 도 X 이면 d i mY
dim X-1. 증명 UonZ =t=인 U의 아파인 개부분집합 Uo 를 잡고, R=I '(Uo , (1 X) 라 하며 I=resu,uo g ER 이라 하자. 또한 zn uo 에 대응되는 R 의 소 이데알을 P 라 하자. 가정에 의해 Z 는 {xEU jg (x)=O} 의 기약인 부분집 합 중 극대의 것이므로 znuo 역시 {xEUol f (x)=O} 의 기약인 부분집합 중 극대의 것이다 . 죽 針근 /를 포함하는 극소의 소이데알이 된다. 이 제 다음의 정리를 쓰면 결과를 얻게 된다. 보조정리 3 • r>(Krull 의 주이데알 정리) R 이 k 상의 유한형의 정역이 라 하고 f ER이며 針큰 f를 포함하는 극소 소이데알 (m i n i mal pr im e ide al) 이라 하자. 만일 f=t= O 이면 tr deg k R/p= tr deg k R-1.
9) Zari sk i -S amuel 7 장 7 절 참조.
정의 3.8 X가 다양체이며 Z 는 X 의 폐부분다양체라 하자. 만일 Z 의 모든 기약성분의 차원이 같다면 Z 는 순수한 차원(p ure dim ensio n ) 을 갖는다고 한다. 또한 cod i mxZ= di mX- di mZ 를 Z 의 X 에서의 여 차원 (co di mens i on) 이라 한다. 만일 Z 의 모든 성분의 X 에서의 여차원 이 같다면 Z 는 순수한 여 차원 (pu re cod im ensio n ) 을 갖는다고 한다. 정리 3.6 의 역도 성립함을 볼 수 있는데 이를 위해서 Z 를 기약다양 체 X 의 기약인 폐부분집합으로 여차원이 1 이라 하자. 이때 임의의 U nZ*¢인 개부분집합 U 와 Z 에서 0 이 되는 U 상의 함수 f (*O) 에 대 해 zn u 는 {xE Ul f (x)=O} 의 성분이 된다. 왜냐하면 만일 W 가 zn U 를 포함하는 {xEUl f (x)=O} 의 성분이라면 dim X>dim W
~dim Zn U=d im X-1 이므로 정리 3 .4에 의해 W=Zn U 이다. 따름정리 l X가 기약인 다양체이며 Z(~x) 는 X 의 기약인 폐부분집 합 중 극대의 것이라 하면 dim Z=dim X-1. 따름정리 2 (차원의 위상적 특성) X 가 기약인 다양체라 하고 ¢*X1 i X2 도· iX ri X 은 기약 폐부분집합의 사슬 중 최대의 것이라면 dim X=r 이다. 따름정리 3 X 는 기약인 다양체라 하고 Z 는 V(/1,… , Ir) (f1,…,fTE I' (X, (j X) ）의 기약성분이라면 cod im xZ:s ;;r . 증명 r 에 대해 귀납법을 쓰는데, Z 는 V, … ,/r-1) 의 기약인 폐부분 집합도 되므로 Z 는 V( /1,… ,/r-1) 의 적절한 기약성분 Z’ 에 포함된다. Z'n V(/r)C V, … ,Ir) 이고 Z 는 V (/1,… ,Ir) 의 기약 폐부분집합 중에 극대의 것이므로 Z 는 Z'n V(/r) 의 기약성분이 된다. 이제 귀납법을 적 용하면 cod i mxZ'~r-1 인데 Ir 은 Z’ 에서 항등적으로 O 는 아니므로 정 리 3.6 에 의해서 dim Z= di mZ'-1 이고, 따라서 co di mxZ~r 이다. 따름정리 4 U 가 아파인 다양체이며 Z 는 U 의 기약인 페부분집합이고 co di mxZ=r 이라 하자. 이때 Z 가 V(/1, … ,Ir) 의 기약성분이 되게 하는 Z1, ... ,fr 이 I'(U, tl u) 에 존재한다.
증명 실제로 우리는 다음을 증명하자 : Z1 급죠글 ... 급 Zr=Z 는 기약 폐부분집합의 사슬로서 codim xZ;= i (1 후.~ r) 라 하자 이때 f1,… ,Ir 이 I' (U,&u) 에 존재하여 Zs 가 만일 V(/1, … ,k) 의 기약성분이면 V(/r ,···Js) 의 모든 기약성분은 여차원 s 를 갖는다. 이것의 증명은 s 에 대한 귀납법으로 하는데 먼저 s=l 일때 0=!=/1E I(ZI) 을 잡으면 이것은 단지 정리 3.6 의 역에 해당하는 것이다. 고로 A,···, fs -l 이 조건에 맞게 선택되었다고 하자. 이때 Zs-1= Yi, ... , Yi 이 V(/1, … ,Is~1) 의 기약성분이라 하면 ZsmY, 이므로 I(Y;) l)J (Zs) 이다. I(Y, . ) 는 소이데알로서 iU= Il (Y;) ::D I(Zs) 이므로 lsEI(Zs)\iU= lI ( Y,,)인 A 를 선택할 수 있다. 만일 Y 가 V( /1,… ,Is) 의 기약성분이면 앞의 따름정리 3 의 증명과 똑같이 하면 Y 는 적절한 i에 대해 Y;n V(/s) 의 기약성분 이다. 또한 Is 는 E에 서 항등적으로 0 이 아니므로 d i mY= di mY;-1 이 며 co di mxY=s 인데, Is 의 선택에 의해 ZsC V( /1,… ,Is) 이며 Zs 가 V(/1 , … ,Is) 의 한 기약성분에 포함되고 둘의 차원이 갇으므로 Zs 자체가 V(h, … ,A) 의 기약성분이다. 앞에서 정의된 차원은 새로운 의미로 해석될 수 있다. 임의의 환 R 과 R의 소이데알 p에 대해서 p의 높이 (he ig h t)는, ht p =su p {nlP 。\i P1 \i…\i Pn=P, P i는 R 의 소이데알} 라 하고, 환 R 의 차원 (Krull dim ensio n ) 은 dim R= PEsSup pe r f l ht p 이라 하자. 여기서 S pe c(R)= {p b 는 R의 소이데알}이다. 또한 I 가 R 의 이데알이면 ht I=Pin e:.(l, p. e hspt. c R_ p으로 정의된다.
X가 아파인 다양체일 때 X 의 기약 폐부분집합과 I'( X) 의 소이데알과 대웅관계가 있으므로 따름정리 2 에 의해 d i mX=d i m I' (X) 이다. 같은 이유로 X가 사영다양체일 때는 d i mX= di m I' (X)-1 이다. 또한 X가 기약다양체이며 Z 는 X 의 기약인 폐부분집합일 때 fff z , x= 보~ @x(U) ucx , unz*; 라 정의하자. 이때 Z 와 만나는 X 의 아파인 개부분집합 U 를 고정하 면, @z,x= 브므 @x(UA UJ ,fER J ¢ P 츠 li mR f츠 Rp . ) fe RJ l!iP 여기서 R 은 U 의 아파인 좌표환이며 P=l(ZnU), 죽 Z 로 결정되는 R 의 이데알이다. 따름정리 5 국소환(l ocal rin g ) (!j Z,X 에서 di m (!j z,x= di mX- di mZ 이 다. 증명 n=d i m&z,x 라 하고 mz,X 가 @Z,X 의 유일한 극대이데알이라 하 자. (Krull) 차원에 대한 정리 10) 를 적용하면 mz .x= ✓ ,…,fn ) 인 f1,… ,In 을 (ff z,x 에서 찾을 수 있다. 이는 적절한 개부분집합 UCX 와 f1,… ,In 10) Mats u mura 5 장 참조.
을 I'(U, fj X) 에서 찾을 수 있게 하여 이때 ¢* unz= v( ti,… ,In) 이 되 는 것과 동치이다. 다음으로 따름정리 3 과 4 를 적용하면 이러한 최소의 수, 죽 n 이 d i mX-d i mZ 임을 알 수 있다. 그러나 일반적으로 임의의 y EZ 에 대해서 y의 열린근방 U 와 f1,…, In 이 I' (U, {ff X) 에 존재하여 zn U= VU1, … ,In) 이 되지는 않는다. 하지 만 우리는 다음의 특별한 경우가 성립함을 볼 수 있다. 정리 3.9 X는 아파인 다양체이며, I' (X) 는 U.F.D. 라 하자. Z 가 순수한 여차원 1 을 갖는 폐부분집합이라 하면 적절한 /E I' (X) 에 대해 서 Z= V(/) 이다. 다음의 일련의 정리들은, 앞의 정리둘을 사영다양체의 경우로 바꾼 것이다. XCPN 는 사영다양체라 하자. 정리 3,6' /Ek[Xo, … ,Xn] 는 상수가 아닌 동차다항식이라 하며 f또 l(X) 라 하자. 이때 di mX*O 이면, xn VU)*¢ 이며 X 에 대한 순수 한 여차원 1 을 갖는다. 따름정리 3' /1, … ,/rEk[Xo, … ,Xn] 은 상수가 아닌 동차다항식 이며 Y 가 xn V( ./2,… ,Ir) 의 기약성분이라면 cod im x Ysr 이다. 이때 di mX~r 이면 xn V(/1,… ,/ r)=t =¢. 따름정리 4' y는 X 의 폐부분집합이며 co di mxYsr일 때 상수가 아 닌 동차다항식 /1,… ,Ir 이 k[Xo, … ,Xn] 에 존재하여 Y 는 xn V(/1,… , Ir) 의 기약성분이 된다. 따라서 임의의 공간곡선 (P3 의 1 차원의 폐부분집합)은 두개의 초곡면 H1,H2 에 대해서 H1nH2 의 한 성분이 된다.
정 리 3 • 9' P 겨 있는 여차원 1 의 폐부분집합은 초곡면이다. 따름정리 4 와 4' 를 근거로 다음을 정의 하자. 정의 3 .10 X 는 An( p n) 의 여차원 r 의 아파인 (사영)다양체라 하고 ht (I(X )) = r 이 라 하자. ( i ) (Pn)A 적 (동차)다항식 A, …,fr 에 대해서 X= V(/1, …,fr ) 일 때 X 는 집 합론적 완전교차 (set- the oretic comp le te int e r sect ion ) 라고 한 다. 즉 X가 r 개의 초곡면의 교차가 될 때를 말한다. ( ii ) 적절한 (동차)다항식 f1,…,fr 에 대해서 I(X)=(/1, .. ·Jr ) 일 때 X 룰 이데알론적 완전교차라 한다. 혹은 간단히 완전교차라 한다. (iii) 임의의 xEX 에 대해서 (1 x,x 가 완전교차 국소환일 때 X를 국 소적 완전교차 (loc ally comp le te int e r secti on ) 라 한다. 여가서 극대이데알 쁘울 가전 국소환 R 의 완전교차에 관한 정의가 필요한데, 이를 위해 먼저 정칙환 (re gu lar r i n g)부터 보자. 국소환 (R, 쁘)이 정칙환이라 함은 dim R =dim k 쁘/썬 일 때를 말하는데 여기서 dimk 쁘／썬은 k- 벡터공간 쁘/쁘 2 의 차원이 다. 또한 국소환 (R,!!!:. ）이 완전교차임은 적절한 정칙국소환 (S, 쯔)과 이데 알 ]CS 가 있어서 R=S/I 이며 ht l=µ (I)가 될 때를 말한다. 앞으로 이데알 I 에 대해서 기호 µ(I)는 I 를 생성하는데 필요한 최소한의 수를 나타낸다. 또 임의의 환 R 이 국소 완전교차임은 R 의 임의의 극대이데알 !!!:.에
�t�� !ER.]o D��P�(� m���X�|� L�\
� �X�\��. �Ƭ��� �X� 3.10 ��� (ii)=?( i )@� � Dž��X� (ii )� 1���X�t� (jx,x=I'(X)mx, mx={/ � (X)l f (x)=O} t���\� {j x .x-ij D��P�(�� ���\� (ii)~(iii)ij 1���\��. � 1 2={( t 3, t 4, t 5)| t Ek} |� X�� x= (0,0,0) ~E | �X�t� I(~)=(XZ-Y2, X3-YZ, 2XYZ2-) t�p� 0x,xI(~'=)mx =(k[X, Y, Z]/(XZ-Y2, X3- YZ , X2Y-Z2))이고 Y 는 다음의 형태의 연립방정식 Xo+ a11X1 + …+ a1nXn =O Xo+a,,X1+ … +a t쵸 =O 의 해집합 (solu ti on se t)이므로 I(Y) 의 생성원의 수는 n-r 로 충분하 다. 예 3 1 절에서 우리는 A3 의 꼬인 3 차곡선 ~={(t,t2, t 3)lt Ek} 은 완전 교차이지만, P 떠 꼬인 3 차곡선 칭.는 완전교차가 되지 않는 것을 보았 다. 그러나 효는 2 차의 초곡면과 3 차의 초곡면의 교집합으로 표현될 수있다. 4 비특이 (nonsin gu lar) 다양체 국소적 완전교차 다양체의 한 예로서 비특이다양체를 살펴보기 위해 서 미 분 (differ enti als ) 의 충이 라는 개 념 이 필요하다. 정의 4.1 R 이 가환이며 A 는 R- 대수이고 M 은 A- 가군이라 하자. 이때 다음의 조건을 만족하는 사상 D : A--.M 을 R- 미분자라 한다. 임의의 a,bEA 에 대해서 ( i ) D(a+b)=D(a)+C(b). ( ii ) D(ab) = aD( b) + bD(a). (iii) 임의의 rER 에 대해서 D(r)=O.
(죽 D 는 ( ii ) 의 조건을 만족하는 R- 선형 사상이 다. ) 또한 A-M 의 R- 미분자의 집합을 DerR(A,M) 으로 표기하는데 M 이 A- 가군이므로 DerR(A,M) 도 A- 가군이 된다. 다음으로 R 상의 A의 Kahler 미 분형 식 (dif fere nti al for m) 의 가군, 요A lR 을 다음과 갇은 조건을 가진 A- 가군으로 정의한다 : 적절한 R- 미 분자 d : A- QA /R 이 존재하여, 임의의 A- 가군 M 과 R- 미분자 D 에 대 해서 유일한 A- 선형사상 / : QA J R[-M 이\ '존 재하여 D=/0d 가 된다. D M ,< J 정의에 의해서 (QA /R,d) 가 동형사상에 준하여 유일함은 자명하고, 실 제로 요m 은 다음과 같이 만들 수 있다. 먼저 F 는 기호 {da J aEA} 들로 생성되는 A- 자유가군이라 하며 M 은 F 의 부분군으로 {d(a+a')-da-da', d(ab)-adb-bda, dr} 로 생성된 다고 하자. 이때 요 4/R=F/M, d : A-FIM 은 d(a)=damodM(a 든 A) 이면 (F/M,d) 는 R 상의 A 의 미분형식의 가군이다. 또한 임의의 A- 선형사상 a : QA t R-M 에 대해서 a-+a (da) (aEA) 인 A-M 은 R- 미분자가 되고, 임의의 R- 미분자 D : A-M 에 대해서 B : 요A lR 一 M 은 8(2aid bi) =2ai D(b i )(a i ,b i EA) 로 정의하면, HomA (요A IR,M) 착 )erR (A,M) . (4.1) 반면, 8(a1®a2)=a1·a2.£. 정의된 환의 준동형사상 8 : A®RA 一 A 에 대해서 Kera 를 1 라 하면, I 는 A®RA- 가군이므로 IIF 은 (A®
RA)/1- 가군의 구조를 갖는다. 이때 (A© 피 )/I 츠 A 이므로 III2 은 A- 가 군이다. 그리고 임의의 aEA 에 대해서 d(a)=(a©l-l©a) mod I'으 로 정의하면 J : A 一 I/I2 은 R- 미분자가 된다. 뿐만 아니라. (1 /1 円 J) :::::: (QA IR, d) . 정리 4 • 211> (1) 가환 R 과 R- 대수 R', A 에 대해 A'=A®aR' 라 두면 요 4'/R :::::, 요A lR ® AA'.
11) 자세 한 증명을 위해서 Ma ts umura 의 10 장 참조.
특히 S 는 곱이 닫혀 진 A 의 부분집 합이 면 QA slR = (QA lR)s=g A lR®As. (2) 환의 준동형 사상 R-A— ¢-_ . B 에 대 해서 요A l R ® AB __➔ QB /R --+ QB / A ―― ➔ o da®b —내 • dt/J ( a) db -+d b 는 B- 가군의 자연스런 완전 열 (exact seq ue nce) 이 다. (3) J가 A 의 이데알이고 B=A/] 일 때 임의의 xE] 에 대해서 x-+ dA1RX®l 에 의해서 얻어전 사상 J-+QA J R®AB 은 J 2 을 0 으로 보내므로 B- 선형사상, 8 : J/J 2 一Q A!R®AB 울 유도하며, 이때
J /J 드8 QA / R®AB----+ 요B IR----+ 0 은 B- 가군의 완전열이다. (4) 만일 A 가 극대이데알 쁘울 갖는 국소환이며 A/ 쁘츠 k 가 A 에 포 함될 때 (3) 의 사상 8 는 동형사상이다. 죽 짠썬판요A lh®Ak 따름정 리 A 가 유한형 의 R- 대수이 거 나 그의 국소화 (loc aliz a ti on ) 로 얻은 환일 때 QA /R 은 유한 A- 가군이다. 예 A=R[X1, … ,Xn] 일 때 QA /R~ EBAdX흰 것을 보이기 위하여 i= l {dX; j ls i sn} 가 QA !R 을 생성하는 것이 자명하므로, 이들이 A 상에서 일차독립임을 보이면 된다. 고로 L! P;dX;=0(P;EA) 을 가정하자. 이 때 고정된 몌 대한 편미분자경玄는 Dere(A,A) 에 속하므로 적절한 A- 선형사상 / : 요A lR 一 A 가 존재하여 임의의 j (l 학s. n) 에 대하여 f(r DG) =~= 8u 이므로 O=f ( ~Pjd Xj) =P;. i는 임의로 잡을 수 있으므로 모든 P;=0,1 철 ~n 이다. 예 A=k[X1, … ,Xn]l(h, …,fr ) 이면 정리 4.2 의 (3) 에 의해서, (/1, …,fr ) 一d A dX.1 EB …E BA dX.n 一QA / I,,―에 은 완전열이 되므로,
QA /k 츠 (AdX@ … ®AdX사 /N (4 .2) 여기서 N 은 {df ; ?(-!)dXj l i =1,2,···r} 로 생성되는 A- 부분가군이 다. 정의 4,3 다양체 (X, (ff X) 가 있을 때 임의의 개부분집합 UCX 에 대 한 I'(U, @x)= I' (U) 는 U 상에서 k 값을 갖는 함수의 환의 부분환으로 kC I' (U) 이므로 k 상의 I' (U) 의 미분형식의 가군 요 mu)/h 울 얻을 수 있 댜 이때 임의의 개부분집합 UCX 에 대해 !Jx( U)=Q r (u)tk 로 두면 요는 X 상의 충이 되는데 이룰 X 의 미분의충이라 정의한다. 정의 4.4 다양체 (X,&x) 와 X 상의 충 多가 있을 때 다음의 조건이 만 족하면 多롤 &x- 가군이라 한다. ( i ) 임의의 개부분집합 UCX 에 대해 I' (U, 多)는 I' (U, tJ X) －가군이 다. (ii) 두 개부분집합 VCU 에 대해서 도식 I'( U,@x) lx I'( U,6)- 一 I'( Ul ,6) I'( V, @x) X I'( V, 6)- ―며 V,6) 은 가환이다. 뿐만 아니라, fl X- 가군의 준동형사상이란 모든 개부분집합 에 대해서 가군의 구조를 보존하는 층으로서의 준동형사상을 말한다.
앞에서 정의된 요는 (IJ x 가군이고 특히 IJx (U) 는 유한 I' (U) 가군이 다. 이제 임의의 다양체상의 비특이점을 정의하기 위하여 먼저 초곡면 ~CA 계 대해 보기로 하자. I(~)=(F) 라 하고 F=i tFi, Fm =t=O , Fd =t=O , F1 는 F 의 i차 동차부분이라 하자. 임의의 xE~ 를 원점으로 이동 함으로써 x=(O, … ,0) 으로 가정하면 F(O, … ,O)=O 이므로 m>O 이다. 적절 한 (ai,… ,an) Ekn\{(O, … ,0)} 에 대해서 직선 g={t (a1, … ,an)l t Ek} 와 2 가 만나는 점은 F(ta i, ·· · , tan ) =t mF,;,(a1 ,--- ,an)+ ……+t d-mFi a1 .---, an)=0 을 t에 대해서 풀 면 결정되는데, t =O 일 때는 교점은 x 자체가 된다. 이때 g와 2 는 x 에서 중복도 m 이상으로 만나며, Fm(a1, --- .an) =t= O 일 때 g와 2 는 x 에서 정확히 중복도 m 이다. 그러므로 m 은 고와 x 를 지나는 임의의 직선의 교점 x 에서의 중복도 중 최소의 값이다. m=l 일 때 x 를 2 의 정칙점 (reg ula r or sim p le p o i n t)이라 한다. 또한 {(a1,… ,a n)IFm(a1, ',an) = O} 울 x 에서 고의 접추면(t an g en t cone) 이라 할 때 정칙점 x 의 접추면은 i~= al 1X1=0 (a;= 픕 (0, … ,0) ）薛 초평면이 된다. 하지만 특이점에서 는 이 초평면은 의미가 없다. 이제 임의의 아파인 다양체 ~cAn 와 xE~ 에 대해서 직선 {x+atl t Ek} 가 x 에서 2 에 두 번 이상의 중복도로 만날 때 ii= (a1,… , an) EAn 울 x 에서 2 의 집벡터 (tan g e nt vec t or) 라 하자. 죽 벡터 5 는 입의의 / EI(2) 에 대해서 (움 )(x+ 뻬t =O=O
을 만족하며, 따라서 f EI(2) 일 때 훈j(長 )(x) =O 이다. 고로 접 aJ 羲 Emx={/E I' (~)l/(x)=O}. 그러므로 x 에서 고의 접공간(t an g en t spa c e) T: i: ,x 를, {a=(a1, … ,an)| 후蔚 Emx, fE !(~)} 라한다. 이때 B= I'(~)라 두면, B/mx 츠 k 이며 (4.1) 에 의해서 Derk(B,k) 츠 HomB( QB lk,k) 인데 (4, 2) 에 의해서 도 (BdX@ … E9Bd X.n) /N, 이 때 N은 E( 羲)dX.j l/E I(~)} 이다. 따라서 HomB (QB lk,k) = {(aI,· •· ,an)|Ea겅 ~E mx, IEJ (~)} =T:i:, x 한편 정리 4.2 의 (1) 을 이용하면, Der,. (B,k) 칙 Der,. (Bmx,k) =Der,.( tJ :i:,x ,k). 고로 T2 : ,x~Derk( fl E,x,k) 이다.
여기서 따 ,x 는 매입 (i mbedd i n g )~CAn에 무관하다. Y- X 2= 0 x 2_Y 2 _ x4= O (0,0) : 정칙점 (0,0) : 특이점 y= O : (0,0) 에서의 접추면 Y= 士 X : (0,0) 에서의 접추면 = (0,0) 에서의 접공간 A2 : (0,0) 에서의 접공간 정의 4 • 5 임의의 다양체 X와 xEX 에 대해서 Tx,x= D eri @ x,x,k) 롤 Zaris k i 접공간 이 라고 한다. 그런데, &x,x=B 라 두면, Derk(@x,x,k) =Deri B ,k) 츠 HomB( 요 8/k, k) = Homk (요B lk®Bk , k) . 정리 (4 . 2) 의 (4) 에 의하여 mx!mx2 三ig Blk®Bk 이므로 Der,.( 0 x,x,k) ~ Hom,.(mx/mx2,k). 이제 우리는 임의의 다양체 X 와 xEX 에 대해서 dim X=sup dim X, XEXi, Xi 는 X 의 기약성분,
라 하자. 만일 dim k mx!m/=d 라면 Nakaya m a 정리에 의해 mx 의 최 소의 생성원의 수는 d 이며 이때 적절한 x 의 아파인 열린근방 U 와 Ii, …,fd E I' (U) 가 있어서 (/1, …,fd )=mx 가 되므로 V(/1, …,fd )={x} 이다. 고로 dim xX~d=dim k mx/m/. 그런데 di mkmx/m/=d i mkTx,x 이므로 dim xX~dim k Tx,x• 여기서 등호가 성립할 때 x 는 X 의 비특이점이라 정의한다. 정리 4.6 임의의 다양체 X 와 xEX 에 대해서 다음의 두 조건은 동 치이다. ( i ) X 는 X 의 비특이점이다 .12)
12) 앞에서 언급된 정칙점은 비특이점이 되는 것을 알 수 있다.
( ii ) 요x ,x 는 @ x,x- 자 유가군으로 계 수 (rank) 는 di mxX 이 다. 정리의 증명을 위하여 여기에 필요한 대수적 사실을 인용해 보자. 우선 k 의 확대 체 (exte n sio n field ) K 가 k 상에 서 분리 적으로 생 성 된 다는 것은 초월기 (tra nscendence basis) I'가 있어서 K 는 k( I')에서 분 리 적 으로 대 수적 확대 체 (sepa rable alge b raic exte n sio n ) 임 으로 정 의 한 다. 보조정리 4 • 7 (1) k 는 완전체 (pe rf ec t fi eld) 라 하면 임의의 k 의 유 한생성 확대체 K는 k 상에서 분리적으로 생성된다. (2) K는 k 의 유한생 성 확대 체 라 하자. 이 때 , dimK Q K ,• ;;;-: tr deg ,.K 이며 K 가 k 상에서 분리적으로 생성될 때만 등호가 성립한다. (3) A 는 정 역 (int e g r al domain ) 이 며 국소환으로 잉 여 체 k 를 갖고 A 의 상체 (A)=K 라 하자. 만일 M 이 유한생성 A- 가군이며 dim ,. M
®Ak=d im K M®AK=r 이면 M 은 계수 r 의 자유가군이다. 이제 정리 4.6 의 증명을 하자. 편의상 기약다양체 X로 가정하고 x EX 라둔다. ( i ) => ( ii ) di m,.mx/mx2=d i mxX= di mX 이며 d i mX= di m@x , x 이므 로 &x , x 는 정칙국소환이다. dim X=r 이라 두면, 정리 4.2 의 (4) 에 의해 dim ,.Q x ,x®k = dim ,.g @x,xlk®k =dim ,.mx!m/= r. 반면 fl X,x 의 상체 ((!j X,x) 가 K 이면, 정리 'i . 2 의 (1) 에 의해 SJx,x ® (J x,xK= QK /lt., 이때 k 는 완전체이므로 보조정리 4.7 의 (1) 에 의해 K 는 k 상에서 분리 적으로 생성된고 정리 4.7 의 (2) 에 의해 dim KQ K ,,. = tr d eg ,J(, 그런데 Noe ther 의 정규화정리에 의해 dim fJ x,x= tr deg ,J( 이므로 정리 4.7 의 (3) 을 적용하면 요 x,x 는 계수 di mX 의 fJ x,x- 자유가 군이다. (ii)~( i )요x ,x 는 자유가군으로 계수가 &mX 이므로 정리 4.2 의 (4)
에 의해서 dirn k mx/mx2=d i rnX=d i mxX 이므로 x 는 X 의 비특이접이 다. 따름정 리 (Ja cobia n Crie t e r ia) X 는 An 의 아파인 다양체 로 J(X ) := (/1, …,fT ) 이며 xEX 이면, rank((¾;)(x))~n-di m xX. 이때 등호는, x 가 X 의 비특이점일 때만 성립한다. 증명 !=(Ii,… ,Ir) 이며 A= I' (X)=k[X,, … ,Xn]!I 라 하자. 이때 I!I2~AdX1E9 …@ AdXn 一Q A/k 一° 은 완전열이며 요루 AdX1 당· E9AdXn/(d/1, … ,df r ) 인데 df ;=책 ¼)dX; 이므 로 Derk( fff x,x,k) = Derk (Amx,k) =Deri A ,k) = HomA (QA Jk, k) ={(a1, … ,an)Ek 기判急 (x) • ai= O, i= l, …, r} = Ker(kn( _羲__ {x)냐 ) r) • 그러므로 dim k Derk(@x,x,k) 적 ~rank( 훑玉 )sn-d
dimk Deri (j x,x ,k ) = d<=>rank( 最 (x)) = n-d. 여기서 d= di m x X 로 놓으면 증명은 끝난다. X 의 모든 점이 비특이점인 다양체를 비특이다양체라 하자. 따릅정리 X는 비특이 기약 아파인 다양체이며 d i mX=n 이라 하자. xEX 이며 A, … ,Ir 은 mx 의 원으로 (dfi) (x) , … , (df r )(x) 이 요'x ,x l mx QX , x 에 서 일차독립이라면(죽 /1 mod m~ …, fr mod m: 이 mx ! m 詞]서 일차 독립) x 는 ~= V(/1 , … Ir) 에서 비특이점이며 d i m x ~=n-r 이며 I(~)x= (/i, •• • J r) x. 따름정리 X= V (f )cAn 이면 X 의 비특이점의 집합 Sin g (X ) = V(/, 羲-,·· ·,-If-）이 다. 정리 4 갤 X 는 비특이다양체 Y 의 폐부분다양체라 하자. xEX 일 때 다음의 조전들은 모두 동치이다. ( i ) X 는 X 의 비특이접이다. (ii) 9x,x=(/1 ,… ,/k) (k 는 x 근방에서 X 의 Y에 대한 여차원)이며 (d/i) (x), … , (d/k)(x) 는 .Q Y,x/m xf2 Y,x 에 서 일차독립 이 다. (iii) 0 국 9x/9~)x8~ ( & x® 산 Y)x--+ 요x ,x 一 0 은 완전열이며 fl x,x 상 에 서 분열 (sp lit) 된다. 여기서 Y 상의 충 §x 는 임의의 개부분집합 UcY 에 대해서 9x( U)=Ker(@ y( U)--+ flx (UnX)) 로 정의되며 dx 를 X 의 이데알충(i deal shea f)이라 한다. 죽,
fl x(U)={hlh 는 @y (U) 의 정칙함수로 hlunx=O}. 또한 i *@X 가 &x 를 X 밖에서 0 으로 연장시킨 Y 상의 충을 뜻한다면, 0-+ 9 x-+ @y -+ i* @x -+O § x/ E 구 @x 0 。 Y g一요 x 一 O 은 각각 &y, &x- 가군의 완전열이다. 정리 4.8 은 x 근방에서 국소적으로 결정되는 사실들이므로 Y 가 x 를 포함하는 기약 아파인 다양체로 잡아도 무방하다. 정의 4.8 의 증명 (i)¢:>(ii) X 는 각각 Y 와 X 의 비득이점이므로 mx/mx2 의 기저가 되는 f1,… ,In 으로 f1,…,jk 가 IIX 에 있도록 찾을 수 있 다 (k=d i mY-d i mxX). 이때 (/1, …,fk )cIIx,x 이며 앞의 따름정리에 의 해 x 는 ~= V(/1, …,jk ) 의 비특이점으로 di mx~=n 一 k= dirn xX 이며 J (~)x=(/1,' ,Jk ) 이다. Xc V(/1, … ,A) 에서 각각 x 는 비특이점이며 갇 은 차원을 가지므로 적절한 Y 의 개부분집합 U 가 있어서 xn u 드 V(fI , …,jk )nu 는 각각 기약이며 같은 차원을 갖게 된다. 따라서 xnu= VU1,·J k) n u, 죽 X와 V(/1, … ,A) 는 x 의 근방에서 일치하므로 IIX,x=( fI ,···, fh ) 이다. (ii) ⇒ (iii) C=IIx/IIx2 이라 두고 완전열 Cx一 8 ( tl x ® 。 y {Jy):Stx,x -+O 울 보자. (&x® % Qy )x 는 (J X,x- 자유가군이며 (d/1)(x), .. ·,(df , .)(x) 는 (&x® 어요 )x 의 k- 기저의 일부분이므로 !1, ... ,/,.는 (}X,x 상에서 Cx 를
생성하며 dI1, … ,dj k 는 ( @x® ~y fh )x 의 fl x , x 상의 기저의 일부분이다. 따 라 A1 o-c군 8 (@X© ~y fh )x- 요x ,x 一 O 은 완전열 이며 (j x,x 상에서 분열된다. (iii) ⇒( i ) (& x© c y요 )x 는 (j X,x- 지유가군이고 요x ,x 는 직화인자 (dire ct swnmand) 이므로 요x ,x 도 (j X , x- 자유가군이고 정리 4.6 에 의해서 x 는 X 의 비특이점이다. 따름정리 X 는 An( p n) 의 아파인(사영) 비특이다양체라 하자. 이때 X는 국소적 완전교차이다. 따름정리 X는 비특이다양체 Y의 폐부분다양체라 하자. 이때 다음 의 두 조건은 동치이다. ( i ) X 는 비특이다양체이다. (ii) O-dx i d i -&x©c yQy-SJx네온 완전열이고 임의의 xEX 에 대해서 (dx/di) x ,(dx© cy Qy )x, SJx ,x 는 모두 (j x,x- 자유가군이다. *이 장의 중요한 참고 문헌의 하나로는 Mum fo rd 의 책을 들 수 있 다. 생략된 증명을 위하여 이 책을 참조하기 바라며 이 장에서 쓰인 가 환대수는 Ma ts umura 를 참고하면 된다.
제 2 장 코호몰로지군 X=Pn 이며 w= &x(-n-1) 이라 하고 §는 X 상의 동조충이라 할 때 (*) Ex t'（혼이三가 r- i (X, 아(i책) 임을 밝힌다. 또한 X가 차원 n 의 사영다양체일 때는 적절한 동조충 w f<가 존재하여 (*)에 서의 w 의 역할을 할 때 X 가 Serre 쌍대성을 만족한다고 정의한다 면, 비특이다양체 X(c pn)가 Serre 쌍대성을 만족함을 보인다. 아 울러 X(c p n) 가 국소적으로 완전교차일 때도 Serre 쌍대성이 성립 함을 보인다. 1 준동조충 (qu asic o herent sheaf ) X 는 아파인 다양체로서 I' (X)=A 라 하자. 주어전 A- 가군 M 에 대 해서 M(Xf )=Mf (/EA) 를 만족하는 X 상의 유일한 충 M 를 다음과 같 이 만든다. 우선 X 의 개기 {Xf l f EA} 에서는 M(Xf )=Mf 로 둔다. 이 때
Xf C Xg< => V( f):) V(g ) <=>rad(/) crad(g) <=>/=ag, 'iiv~ l, aEA 아므로 자연스런 사상 Mg 一 Mf 》弓》=f,s (zEM) 을 얻는다. 이때 xexli1mJ ) e A Mf = Mmx 이다. 이제 X 의 개부분집합 U 에 대해서 M(U)={sls : U 가Ju Mmx, s(x)EMmx 'ilxe U (1.1) 그리고 적절한 la 들이 있어서 U=UX1a 이며 만일 xEX1a 이면 s(x)EIm (M,a-Mmx)} 로 정의하면 M(Xf )=Mf 임은 분명하다. 뿐만 아니라 두 개부분집합 V CU 에서 사영 JJu Mmx__. 見 ,Mmx 는 M(U)--. fJ (V) 를 유도하는데, 이것은 M 를 전충이 되게하기 위한 제한사상이 된다. 또 개부분집합 U=UUa 가있다면, ( i ) 만일 sEM(U) 이고 모든 a 에 대해서 slua=O 이면 s(x)=O (xE
U)o] 다. (ii) 주어전 s 후 M(Ua) 들이 겹치는 부분에서 일치하면 그들은 유일 한 J]U MrrrX 의 원소를 만들고 이것은 국소적으로는 M/ 들로 결정된다. 그러므로 M 는 X 상의 충이 된다. 정리 1. 1 ( i ) M는 &x- 가군이며 xEX 일 때 Mx=XE~U M( U)=M 도 ( ii ) I'(X, M)=M. (iii) X 의 개부분집합 U 와 /E I' (U,@x) 에 대해서 M( U) f츠一 I'( Uf , M). 증명 XIJE.U. @x ,x XX lEJU M mx_. XUE.U. M m x (1.2) 에서 Mmx 는 Amx( 츠 @X,x) －가군이므로 (1. 2) 는 제한사상에 대해 가환이 다. 따라서 I'( U, (ij x) XI '( U,M)-r( U,M) 는 H 를 (ij X- 가군이 되게 한다. 나머지 증명은 1 장의 정리 2.8 의 증명 과 유사하게 하면 된다. 정 리 1 • 2 . ( i ) M,N 이 A- 가군일때 대 역 적 단편 (glo bal secti on ) 을
택함으로써 얻어지는 사상 Homcx (M,N)-HomA(M,N) 은 전단사이 다. 여기서 Hom 었 (M,N) 는 M 一 N 의 &x- 가군의 준동형사상의 집합 울 나타낸다. (ii) A- 가군으로서 M-N-P 가 완전열일 필요충분조건은 @x- 가군 으로서 M 一 N 一 P 가 완전열이다. 증명 ( i ) 주어전 준동형사상 rp : M-N 에 대해서 준동형사상 (()f : M尸 Nf (/EA) 를 얻는다. 이것은 {Xf l f EA} 상에서 제한사상과 양립할 수 있는 사상 I' (U , M)-r(U,N) 를 만들고 모든 개부분집합 U 까지 확 장시킨다. 또한 이런 과정은 Hom 었 (M,N)-Hom A( M,N) 의 역이됨은 자명하다. ( ii ) it -R- fi가 완전열이다. ~M 빴규 N빴 기 P빴 가 완전열이다 (xEX). 또한 {mxlxEX} 는 A의 모든 극대이데알이므로 ~M 리 N 기 P 가 완전열이다. 따름정리 ( i ) A- 가군의 권은 M 형태의 &x- 가군의 권과 동치이다. (ii) 만일 M 一 N 가 &x- 가군의 준동형사상이면 그의 핵 (kernel), 여 핵 (cokernel), 상(i ma g e) 도 적절한 A- 가군 K 에 대한 K 의 형태로 주 어진다. 정리 1 • 3ll X가 다양체이며 多가 &x- 가군일 때 다음의 조건들은 모 두 동치이다. ( i ) 임의의 아파인 개부분집합 UCX 에 대해서 더 u~M 아며, M 은 I' (U,Cx) －가군이다. 1) 증명은 M umf ord 의 3 장 1 절을 참조.
(ii) X 의 아파인 개부분집합의 피복 {U,} 가 있어서 111u, 츠 M 서고 M, 는 I'( ui, D X )-가군이 다. (iii) 임의의 xEX 와 x 의 근방 U 가 있어서 &x i~ [ )-+& xl~1 ) . .... 11Iu ---+o 는 & xlu- 가군으로 완전열이다. 여기서 앞의 둘은 I, ]번 만큼의 직합 울말한다. (iv) 임의의 아파인 개부분집합 VCU 에서 표준사상 I'(U, fl )® nu,& X J I'( V, &x )---+I '( V, 多 )는 동형이다. 정리의 조건을 가전 & x - 가군을 준동조충(q uas ic oheren t shea f)이라 한다. 또 조건(ii)에서 모든 i에 대해서 M 눈 유한생성 I' (U i , & x) －가군 일 때 疾 를 동조충 (coherent sheaf) 이 라 한다. 만일 X가 아파인 다양체로 I' (X)=A 이면 M-+M 는 유한생성 A- 가 군을 동조 & x- 가군으로 보낸다. rp : X 기 Y 가 다양체의 사상이며 疾 는 X 상의 충이라 하자. 임의의 Y 의 개부분집합 V에 대해서 (
이 성립한다. 특히 연가 @Y- 가군이면 (f) -1(!} 도 p -l@Y- 가군이며 (1. 3) 에 의해서 사 상 p -1¢Y 一 ¢x 를 갖는다. 이때 ¢·업를 임의의 X 의 개부분집합 U에 대해서 rp*
2) 'P*$는 P* fj x- 가군이며, fly--+(j)*fl X 에 의하여 fly-가군의 구조를 갖는다.
가 성립한다. 뿐만 아니 라 g 가 준동조 (동조) @Y- 가군이 면 ¢* 엽 도 준동조 (동조) &x- 가군이며 多가 준동조 &x- 가군이면 안多도 준동조 &y-가군이 된 다. 하지만 P* 는 일반적으로 동조성은 유지시켜 주지 못한다. 다음은 사영 다양체상에서 앞에서처럼 준동조충을 만들기로 한냐. CO XCP 훈 사영 다양체이며 A=k[Xo, … ,Xn]II(X)=iE=O B A 라 하자. 주 어 진 차수 (grad ed) A- 가군 M 에 대 해 서 M(X ,n) = M(f) 3) (f는 양수차 수의 동차원소)를 만족하는 X 상의 유일한 충 M 룰 만들기 위해서 X 의 개기{x( n| f는 양수차수의 동차원소}에다 각각 Men 를 대응한 후
3) Xu1={(ao, …, a,.)=F O l/(ao, …, a,.)=t -0 }. Mv1=Mf 의 차수 0 인 원소의 집합.
보 M( n= M(따) XEX(/) 이므로 개부분집합 UCX 에 대해서 M( U) = {sls : u--+ xIeIu M(mxh s(x)EM(mx) VxE U 그리고 적절한 동차원소 /a 들이 있어서 U= UXva) 이며 만 일 xE Xif al 이면 s(x)E Im(M( f a)--+M 따)} 로 정의하면 원하는 M 롤 가진다. 정리 l • 4 ( i ) Mx=Mcmxh VxEX. ( ii ) 임 의 의 양수 차의 동차원소 /에 대 해 M|x(f) ~M~(f ). (iii) 만일 M 이 유한생성 차수 A- 가군이면 M는 동조 &x- 가군이다. 또한 임의의 차수가군 M=EBM 제 대해서 M( f)은 M 을 왼쪽으로 £ 만큼 이동시킨 가군(죽 M(£),·=Mm) 을 나타내며 이를 衣J큼 비꼬인가 군이라 한다. 따름정리 ( i ) X가 사영 다양체 일때 A 츠 &x. ( ii ) @x(n)=A(n) ～라 두면 &x(n) 은 X 상에서 가역인 충이다 (가역 인 충이란 국소적으로 계수 1 인 @x- 자유가군이다). 또한 @x(n)O (Jx tix( m)~ &x(n+m), n,mEZ 이 성립하고 M(n f츠 M ® (J x&x(n) 이다. 증명 ( i ) /가 양수 차의 동차원소일때 A(X(f > )=A(/)= fJx (X i/l). < ( ii ) A= n이=O An 에서 /EA1 일 때 Xif)상에서 gx (n)|x(f) 츠 A(n)~( f).
그런데 Am 는 A f의 차수 0 인 원소의 집합이므로 A(n)u> 는 A f의 차수 n 인 원소의 집합인데, }～〈匡 =r-1s (de g s=l) 는 Au)~A(n)
X’ 가 7[ -l(X) 의 An+I 에서의 폐포라면, X'=1r-1(X)U{O} 이다. 이때 X' 는 아파인 다양체로 I' (X')=A 가 된다. 또한 임의의 차수 A- 가군 M 에 대해서 M 는 준동조 &x’- 가군이 되어 1ri Ml1r-1(X)) 는 준동조 @X- 가 군아 되는데 개부분집합 U에 대해 [김 M i rr-Icx i)]( U) = I'(1r -1( U),M). 특히 I'(XI ), 1[*( MIr-I(X))) =I'(X ',, M) =M, =®M(n)(f) n =I'(Xc f> . En9 M(n) J. 죽 김 Ml n: -1cx i )=EBM(n f. n 따라서 I'(TC -1(X),M) =I'(X , TC*(Mln:- 1 (x))) =I'(X , EBM(n) ~) =I'*(M ). 단, M(n) =M(n) 이다. 정리 1 • 6 !l은 임의의 가역 @x- 가군이며 §는 준동조 (}X- 가군이라 하자. 임의의 mEZ 에 대해서 6(m)=6®~x !l”이라 두면, 임의의 / E I'(X , !l)에 대해서 표준사상 I'(X, gn 多 (n))( f )T(X f)， 多)
은 동형사상이다. 증명 요이 국소적으로 (j X 가 되도록 X 의 아파인 개부분집합의 피복 {U,} 를 잡자. 이때 다음의 완전열로 된 가환의 도식을 얻는다. 0 기I' (X, ＠l夕 (n))( f)一[紅 (U;, ~l$( n))] (f)一[紅 (u,. ln u” 軒 (n))]( f) n i n i.i 0-+I '(Xin, $) 一 er(umxf), §)一$IiJ' (U;n Uj n Xcn, $) 따라서 우리는 X를 아파인으로 가정하여도 무방하며 g도 @x 로 가정 하자. 고로 X는 아파인으로 I' (X)=B 라 하면 多는 준동조 @x- 가군이 므로 적절한 B- 가군 M 에 대해서 fnfi 6( n)=M[t, r1 f. 적절한 hEB 에 대해서 /=h t m 이라 두면 r(x, M[t, r 1]~) =M[t, t-l J(h t m ) (htm ) =Mh =I'(Xh , M). 따름정리 임의의 준동조 Cx- 가군 多에 대해서 표준사상 I'*（多) ~一 多는 동형사상이다.
2 코호몰로지군 먼 저 아 벨 권 (Abelia n cate g o ry) 에 서 의 일 반 적 인 호 몰 로 지 대 수 (homolog ica l al g ebra) 부터 시작해 보자. 아벨권의 예로는 아벨군의 권, R- 가군의 권, &x- 가군총의 권 등이 있는데 그의 상세한 내용은 H il t on-S t ammbach 의 2 장을 참고하자. 아벨권 U 에서의 쇄복체 (chain comp le x) A 는 대상 (ob j ec t) Ai (iE Z) 와 모든 i에 대해서 di+ I • d i =O 를 만족하는 사상 di : A i -+A i +I 들의 모임을 말하며, 쇄복체의 사상 I : A · -+B 는 쌍대경계사상 (cobounda ry map) d 과 교환가능한 사상 Ji : A i -+B 둘의 모임을 말한다. 이때 쇄복체 A 의 i번째 코호몰로지대상 (cohomolo gy ob j ec t) H i (A·) 는 Kerd '/ I m d i-i로 정의된다. 만일 I : A·-+B 가 쇄복체의 사상이 라면 f는 자연스런 사상 Hi (!) : H i(A' )-+H i (B·) 을 유도한다. 또한 두 쇄복체의 사상 /, g : A·-+B 가 있을 때 f닌 7 i =d 땅 +k i d i를 만족하는 사상 ki : A 나 B i -I (i EZ) 가 있다면 I 와 g는 호모토픽하다고 하고 I~ g라 표시한다. 이때 k={k i };ez 를 호모토피 작용소라 하는데 f ~g이면 Hi (f)= Hi( g) (i EZ) 이다. 주어진 아벨권 o/t, fl)와 공변함수 F : o/1-+fJJ가 가법적이라 함은 임의 의 %의 대 상 A, A' 은 Abel 군의 준동형 사상 Hom(A,A')-+Hom(FA, FA' ）을 유도함을 말한다. 그리고 F 가 가법적이며, 임의의 잉의 단완전 열 (short exact sequ ence) o-A' 걸 -A-o (2 . I) 에 대해서 %의 완전열
。 -FA'-FA-FA (2 . 2) 울 얻을 때 F 를 좌완전(l e ft exac t)하다고 한다. 또한 %의 단완전열 (2.1) 에 대해서 (2. 2) 대신 FA'-+FA-+FA-+O (2 . 3) 울 얻을 때 F 는 우완전 (rig h t exact ) 하다고 하며 F 가 좌완전 이 며 우완 전이면 F 는 완전하다고 한다. 뿐만 아니라 반변함수에 대해서도 똑같은 정의를 할 수 있다. 예로 F : %一昭가 좌완전이라 함은 F 는 가법적이며, 임의의 (2.1) 에 대해 入1 。 ➔ FA ➔ FA ➔ FA' 은 曲의 완전열임을 말한다. 예 %가 아벨권이며 AE 0/1일 때 함수 Hom(A, • ) : lilt一 Abel 군의 권 B 一 Hom(A,B) 은 좌완전 공변함수이며, Hom( • ,A) 는 좌완전 반변함수이다. 정의 2 』 %가 아벨권일 때 함수 Hom( • ,/)가 완전하게 되는 IE %를 입 사적 (inj e c ti ve ) 이 라 하며 %의 대 상 A의 입 사 분해 (inj e c ti ve resolu ti on) 는 쇄복체 f={Ji l i 20} 를 말하는데 이때 F는 모두 %의 입
사적 대상이며 사상 c : A-I · 가 있어서 o-A 기나 I 난 ... 은 완전열이다 . 또한 %에서 임의의 대상은 입사적 대상의 부분대상에 동형이 될 수 있다면 %는 충분한 입사적 대상을 갖고 있다고 말한다. 만일 %가 충분한 입사적 대상을 갖고 있다면 %의 모든 대상은 그의 입사 분해를 갖는다. 정의 2 • 2 2t,％는 아벨권이며 %는 충분한 입사적 대상을 가졌다 하 자. 좌완전 공변함수 F : 2t-+fJJ가 있을 때 임의의 대상 AE lt의 입사 분해 I 를 택한 후 H i (F( f)）를 만들어 이것을 R i F(A) 라 적자. 아때 A-+Ri F (A) (i책)을 F 의 우도래함수 (r ig h t der ive d fun c t or) 라 한다. R i F(A) 는 A 의 입사 분해 I 에 무관하며 가법적 함수 (ad diti ve fun c tor ) 이 다. 정리 2.3•) %,%는 아벨권으로 %는 충분한 입사적 대상을 가졌다 하고 F : ~-+%는 좌완전공변함수라 하자. 이때 ( i ) F 츠 R°F.
4) Hil ton -Sta mrnb ach 4 장 참조.
( ii ) 임 의 의 단완전 열 0----+A'-+A-+A-+O 와 i 착)에 대 해 서 자연스런 사상 참 : R i F(A)-+R i +IF(A') 가 존재 하여 … -+R i F(A') 키간 F(A)-+R i F(A)-참+ R i+ 1F(A' ）카 R i+ 1F(A) 一 … 은 장완전 열 (lon g exact sequ e nce) 이 다. (iii) 다음의 완전열의 사상
o-Al' 국l국 l -o 。 -B'-B-B''-o 에 대해서 (ii)에서 얻은 8j, 8片 근 아래의 도식을 가환이 되게 한다. R;F(A)- 一81 Ri + IF(A') R'. 』 (B'I 之 R i +1 」 (B') (iv) ~의 입사적 대상 I 와 i >O 에 대해서 R;F (I )=O 이다. 정리 2.3 을 좌완전 공변함수 Hom(A, • )에 적용하기로 하고, 우선 R;Hom(A, • )(B)=Ext; ( A,B), (BE~) 라 표시 하자. 이 때 사상 B-+B' 는 Hom(A,B)-+Hom(A,B' ）를 유도하 며 이 것은 Ex ti (A,B)-+Exe(A,B') 를 유도한다. 반면, A-+A’ 는 Horn (A',B)-+Hom(A, B) 를 유도하며 이것은 Ex t ;(A',B)-+Ex ti (A,B) 를 유 도한다. 이때 임의의 단완전열 0-+N'-+N-+N-+0 에 대해서 (ii)를 적 용하면, 0-+Hom(N,M)-+Hom(N,M)-+Hom(N',M)-+Ext1 ( N,M)-+Ext1 ( N, M)-+ ... 의 장완전열을 얻는다.
이제 우리는 다양체 X 상의 fJ X- 가군의 권에 대해서 생각해 보자. 이 때 유의할 점은, 임의의 fJ X- 가군의 사상 p : 多一업가 있을 때 임의의 X 의 개부분집합 U 에 대해서 (Ker
1-l _, … 1 g l 뜨 多같으$~ ·- !-…… 이 완전함이다. 또 §’가 §의 @x- 부분가군이면 U- 1ft (U) ／1ft '(U) 는 전충이므로 이 에 연관된 충을 夕/淡’라 두면 0--+ ,--+fffe--+fffe/$ '--+O 은 완전열이다. 정리 2.4 다양체 X 의 @x- 가군의 권은 충분한 입사적 대상을 갖는 다. 증명 이것은 임의의 @x- 가군 灰가 입사 @x- 가군 #에 내포될 수 있음을 보이므로써 충분하다. 임의의 xEX 에 대해서 @x,X- 가군 $x 는 적절한 입사 @x,x- 가군 L 에 내포될 수 있음은 잘 알려진 대수적 사실 이다. 이들 Ix 를 가지고 임의의 X 의 개부분집합 U 에 대해서 전충 9, f( u)=l ]UIX 를 정의하자. 이때 f1는 fl X- 가군이 되며 우리는 f1가 입사임을 보이기 로 한다. 먼저 임의의 (#X- 가군 연에 대해서 전단사 F, F : Hom ox( 업,/1)+--+ II Hom0x,x (gx ,L) XEX 를 다음과 같이 잡는다 : 임의의 xEU 에 대해서 Pu,x : 9(U)-Ix 는 사
영사상이라 하자. P § 이때 P 를 §의 U 상에서의 코호몰로지군이라 한다. 이때 정리 2.3 을 적용하면 다음을 얻는다. 따름정리 ( i ) H°(U ,6)~I '(U ,s). ( ii ) ’가 입사 tJ X- 가군이면 Hi ( U,.!l )= O (i ~O) 이다. 정의 2 • 5 6 가 fl X- 가군이고 임의의 X 의 개부분집합 U 에 대해서 제한사상 S(X)--.s(u) 가 전사이면 多를 산포(fl as q ue) 충이라 한다. 만일 多가 입사 fl X- 가군이라 하자, 임의의 개부분집합 U 에 대해서 g u 를 {gu (V)= ¢x(V), vcu tJ u( V)=O, V< t U 로 정의하면 (J u 는 X 상의 층이 되며 0--+¢u--+ g x 는 완전하다. 이때 多는 입사이므로 6(X)=Hom( (Jx ,6)--+Hom((J u ,6)= 6( U)--+O 도 완전해서 多는 산포충이 된다. 보조정리 2 • 6 0--+ 夢’―p一 多 _¢_ 』 rII--+0 가 완전하며 多'이 산포충이면 0-+S'(X)<—p( X’) S(_X )_i/—J ( X;) S(X) 때 도 완전하다. • exEHom (J X,x(dx,lx) 가 되며 F(0)={P
증명 I'(X, • )은 좌완전이므로 ¢(X) 가 전사임을 보이면 충분하다. 임 의의 단편 sE 6(X) 에 대해서 M={( t ,W)IW 는 X 의 개부분집합, tE 6(W) ip (W)( t )=s 나 울정의하고 (t, W) 작t', w')~ we W', t'lw = t 로 M 에 순서 조를 준다. 이때 ¢가 전사이므로 M*¢ 이며 Zorn 의 정 리를 적용하여 극대원소 (t•, w* ）를 M 에서 찾아낸다. 만일 w• =t= x 라 면 적절한 (t ',w' ）가 존재하여 W'
증명 적철한 입사 lff x- 가군 f에 대해서 완전열 0-$.._./1 _/I/$= 따 -o 을 보자. 정리 2.3 의 (ii)를 적용하면 장완전열 O-$(X) 一f (X) 국 $1(X) 거 H1(X, 所)기汗 (X,11 ）一 … 을 얻는다. 이때 H1(X,ll)=O 이며 보조정리 2.6 에 의해 ll(X)-$1(X) 는 전사이므로 H1(X,$)=0 이 다. 또한 i 22 라면, …一 H i -I(X, /I )-n i -l(x, 따)一汗 (X, 淡 )-H i (X, J)一…는 완전열인데 H i크 (X,ll)=H i (X, 11)=0 이므로 Hi - l(X, 터)-=츠-. Hi ( X, 5). 그런데 보조정리 2.7 을 이용하면 灰 1 도 산포충이므로 i에 대한 귀납법 울 쓰면된다. 多가 산포충이면, X 의 개부분집합 U 에 대해서 171u 도 산포충이 된 다. 따름정리 多가 산포충이면 임의의 i >O 과 X 의 개부분집합 U 에 대해 서 Hi ( U,~)=O. 이제 우리는 특수한 경우의 쌍대호몰로지를 구해 보기로 하자. 우선 다 음의 중요한 정리를 보자. Serr 택 정리 5) : X 가 다양체일 때 다음의 조건은 모두 동치이다 ( i ) X 는 아파인이다. (ii) 임의의 준동조충 多에 대해서 H i (X,$)=0 이다 (i> 0). (iii) 임의의 동조충 연에 대해서 H1(X,
앞의 정리에서 X 가 아파인의 경우의 쌍대호몰로지는 자명하므로 X 의 개부분집합 U에 대해서 생각해 보기로 한다. 아때 X\U= Y 라 하고 II 는 1 장 4 절에서 언급된 Y 의 이데알충이라 하자. 죽 .1 =Ker(0x 키: *0v), i : Y<-+X. 여기서 .1 lu= 러므로 임의의 nEN 에 대해서 llnlu= 0xlu 가 된다. 또 임의의 &x- 준동형사상 f : 11n 一多는 hlu : 9nlu-+~lu 을 유도하므로 ii(U ) : gn (U)= &x(U)-.6(U). 따라서 ii (U)(l) 든 6(U). 보조정리 2.9 X 가 아파인 다양체이며 그의 개부분집합 U 에 대해서 Y=X\U 라 하자. 幻가 Y의 이데알충일 때 임의의 준동조총 多에 대 해서 표준사상 1~Hom x(dn’ 多 )-+¥(U) ) n 는 동형사상이다. 증명 I'(X) =A, S=M, M 은 A- 가군이라 하자. 이때 ]=(J1,… ,Ir) 로 U=Xf l U … uxf r 이라 하자. 만일 f : 11n- iJ이 h(U)(l)=O 이라 하고, h : J ~M 는 底에 대응되는 A- 선형사상이라면 모든 i에 대해서
Mf I · 의 원으로 h( ff)/ff =0 이다. 따라서 충분히 큰 N 에 대해서 h( j/+n ) =/i.Nh (j{ n) = O 이므로 h (li N+m, …,f/ +n)=O 이고 h(J m +n)=O, m~O. 그러므로 정리의 표준사상은 단사이다. 역으로 sE I' (U,M) 라 하고 slx11=aJ ir, a ;EM 이라 하자. 이때 Mf w 에서는 a;/f t =a 싸 T 이므로 (j& )m (j있 a,_ ff a j )=O 이므로 fi%,-E a i로 n+ m 은 本프i 바꾸면 ffaj= ffai (:.*j)라 해도 좋다. 다음에 완전열, 。 ➔ Ker a ➔ F― a ➔ (N, …,fT n) ➔ 0, F=AT (c1,… , Cr)-+ i~=r lc Jr 로부터 s : F-M, s((c1,… , Cr))= i~= cl ;a; 울 정의하자. 만일 (c1,… , Cr)E Ker a(=N ) 이면 ~c Jr =o 이므로 s(H(c1,… , Cr))=~/J n c,a,=~cJ ra j= O. 또한 Artin -R~ 정리 6) 에 의해서 NnrF=r-r(NnFF), Vk~r 올 만족하는 r 이 있으므로 s(Nn/F)c s(J 17 1F)=O,k~O. 6) Mats umu ra 4 장 창조.
고로 §는 rF/(NnrF)-+M 을 유도하는대 rF/(N nrF) ~ (ri+ N)/N~r(F/N) =r(fin , •• ·,/:) 이므로 s : J k( f1가··,ff )-+M 을 유도한다. 그런데 적절한 f에 대해서 J k(f1 n, …,f?）그 ]l 이므로 s : J l-+M 인데 s-+s 이므로 정리의 표준사상은 전사 01 다. 앞의 정리는 X 가 임의의 다양체일 때도 성립한다. 이제 임의의 준동조충 §에 대해서 E(5)=~H) om 0x(tl x/ 11~5) n 라 하자. Hom6x((i jx //I n, • )과 li m 은 좌완전 함수이므로 I'y도 마찬가 n ) 지이며 E 의 우도래함수를 H t라 적는다. 죽 HK 阪)= lim ) Ext(J x i( tJx /g n ’$). n 그런데 O-dn- tJ x- tJ xf dn-o 은 완전열이므로 0 석 Hom6x (tlx/ lln,tJ ) -Hom 6x ( 'x ’多)가 Hom 'x(11n’s) 도 완전열이고 Iin~ ) Hom ~x( tJ xi 9n’ 多)키in m ) Hom ,X (g x, 夢)기in m ) Hom ,X ('n’ 尊) II II II I'y(6 ) 6(X) S(U)
도 완전하다. 이때 {li l i ~O} 가 §의 입사 분해이면, 모든 i에 대해서 l’ 는 산포충이므로 완전열 o--. I'y(Ji)一 l'(X) 기i( U)-o 울 얻는다. 여기에 각각의 코호몰로지를 택하면 0 一 H 앉多 )--.H0(X,5) 가J O( U, 多)규 HK 度)가汗 (X, 茨)규 H1( U, 多)_. ••• 는 장완전열이다. 정리 2 • 10 X가 아파인 다양체이며 그의 개부분집합 U 에 대해서 Y= X\ U 이고 I' (X)=A 이며 M 은 A- 가군일 때 o- 血 M) 기 M 나fl( U,M) 거 HUM) 내 은 완전열이며 Hi ( U,M)~HV1(M),Vi > 0. 단 Hf {M ) = lim ) Exti (A !r,M), Y= V( I). n 증명 H° (X, .M)=I' (X,M)=M 이며 Serre 의 정리에 의해서 Hi ( X, M)=O, i> O. 또한 Hi ( U,M) = HV1(M) = li mEx t d/ +l (@x/// 멜) 一n x = lim l Ext~ + 1(A/r,M) = HV1(M). n
다음으로 우리는 HP(X, 多)와 Cech 코호몰로지군 fI P(% ，多)의 관계 를 보기로 하자. 먼저 Cech 코호몰로지를 정의하자. X가 위상공간이라 하고 개부분집합 U 의 모음 ulf ={U; ji E J}가 X 의 피복이라 하자. 지표집합 I 에 정렬순서 (well order) 를 고정시킨 후 I 의 유한개의 지표 i o, …,ip에 대해서 u,.on u iI n u ip= u ioi1… ip 라 표시하자. 이때 多가 X 상의 Abel 군의 충이라면 가군으로 된 쇄복 체 C(% ，多)를 다음과 같이 만든다. CP(%,~)= io
이때 i앗앙,多)~I' (X, 多)가 된다. 왜냐하면 H( 앙 ,$)=Ker (d : co( 앙 ,~)--+C1( 양,多))이므로 만일 aEC0( 앙,多)가 {a;E~(U;. )} 로 주어 지며 O=(da)v=a;-a; U< j)이면 Ui n U 에서 a 와 aj 는 일치하므로 층의 공리에 의해 {a;} 는 I' (X, 多)의 원으로 연장되기 때문이다. 뿐만아니라 언'（앙,多)= II i*(S lu;,,. ......p ), p칙 0 i,,<•· ·< ..p 와 d : 합(%，多 )-re p”(앙,多)를 (2.5) 처럼 정의하면 우리는 충의 쇄복 체를 얻게 되는데 이때 I' (X, 향(앙 ,S))= CP( 앙 ,s), P 칙 o. 보조정리 2 .11 X 상의 Abel 군의 충 多가 있을 때 사상 c : 多 ➔ @° (압,多)가 있어서 0 ➔ 多―느한(앙,多) ➔ ~l( 앙,多) ➔ ...논 완전열이된다. 증명 우선 c: 多 ➔ ~o( 앙,多)를 자연스런 사상 多 ➔ t.*（多 |u i) (i EI) 의 적(p rodu ct)으로 잡는다. 이때 첫번째 단계의 완전성은 앞에서 말한 바와 똑같이 층의 공리로부터 나온다. P>O 의 ~p(%，多)에서의 완전성 울 보기 위해 임의의 xEX 에서의 s t alk 에서 완전성을 살피면 된다. 고 로 li E~P( 앙 ,')x 이며 d li =O 이라 가정하자. 이때 x 의 열린근방 W와 aE I' (W, 향(웹多)가 있어서 ax= li가 되는데 WCU1 이 되는 f울 잡을 수 있다. 또 Wn ub···i P -l= wn Ug ·ip-I n ul 이므로 PE I' (W, 영 P-1(%, 夢)）를 P ia 00• ip -1=a io- 00 ip -1l7) 로 정의한다. 그러면 O=(da)ia- •ip l 7) {io, … , ip} 중 갇은 지표가 되풀이되면 a,o … 1 p =O 으로 두고 6 가 치환이면 a'···,p = (-l)t1 a t1'···t1,p를 나타낸다.
= 2 (가 )a i,, . 요 ... i p l+ （거 )la g·ip O.i ;/t,i;p =o .i2;1 t .i;p( — 1)/3 1,, ... 7.. ..., p+ （거) lag ·ip 이므로 aio .. •ip= (-1) 1(df3k .. ;p가 된다. 따름정리 多가 X 상의 Abel 군의 산포충이면 임의의 X 의 피복 앙에 대해서 H p(앙 ,6)=0, P>O. 증명 분해 o-.s-~.( 앙,多)를 생각하면 多가 산포충이므로 ~p('Pl' 多 )도 모두 산포충이다 . 뿐만 아니라 보조정리 2.7 을 응용하면 o-~’ 一 g一g ’ '-.o 이 완전열일 때 깝 , g이 산포충이면 g도 산포충이므로 보조정 리 2.6 을 적용하면 o-r(x, 多)기I' (X, ~o( 양,多))기 ’(X, 언(앙,多)）一… 도 완전열이 된다. 따라서 H p(앙 ,S)=v, p>O . 이제 多는 다양체 X 상의 준동조충이라 하고 앙가 X 의 피복이라면 0 一紅一@.(압,多)는 완전하며 여기에 多의 입사분해 ’ . 를 고려하면 多에 서의 항등사상을 유도하는 쇄복체의 사상 a : @(앙,多)_.,.가 있다. . o--+ 多--+한(앙,低)--+한(앙,多)--+… Hd tcf 따 o--+ 多一 '0_91--+ ... 또한 위의 a 는 호모토피에 준해서 유일하게 결정된다. 위의 완전열에 함수 I'(X, • )와 HP 를 택하면 준동형사상
flP(o/ /,$ )-HP(X,$ ) 를 얻는다. 정리 2.12 X 가 다양체이며 %는 아파인 개부분집합으로 된 X 의 피복이라 하자. §가 준동조충이면 fI P(% ，多 )-HP(X, 多)는 동형사상이 다 (p:? :O). 증명 P=O 일 때 月(%，多 )=H°(X,5)= I' (X,5). P>O 이면 fF C (f}가 되는 산포충 업률 잡자. 완전열 o-5- (f}_:yr -o 로부터 임의의 E<… < ip에 대해서 uio .. • ip는 아파인이므로 H1(U i o --· ip ,5)=0 이어서 0 一 多 ( UI.0·· ·i p) --+
에서 H1(X,CS)=O 이므로 仕(%,$)-츠一 H1(X,$), 이때 X도 동조충이 므로 p에 대한 귀납법을 쓰면 된다. HP(X, CS)=O( p >O) 이므로 다음의 가환도식에서 HvP (%', :J{)호一 Hv P+I(%, $) HP(Xl,:J { .)- =~-+ HP.+.l.(X l ,$ ) 왼쪽의 사상이 동형이면 오른쪽도 동형이 된다. 따름정리 X는 n+l 개의 아파인 개부분집합으로 덮인다고 하자. 만 일 疾가 X 상의 준동조충이라면 p >n 에 대해서 HP(X,6)=0. 증명 앞의 정리에서 方 P(% ，灰 )~HP(X, 多)인데 실제로 HP( 앞 tJ) =O, p> n. 따름정리 X는 사영다양체라 하고 多가 준동조충이라면 p>d i mX 에 대해서 HP(X,:!F ) =O. 증명 dim X= r 이라 하면 X 가 r+l 개의 아파인 개부분집합으로 덮 일수 있음만 보이면 된다. XcP 저라 하고 A= I' (X) 라 두고 쁘 CA 는 모든 양의 차수의 동차원소로 생성되는 극대이데알이라 하자 이때 d i mA=r+l 이므로 r+l 개의 동차원소 /0,/1, … ,Ir 이 존재하여 rad(f o,…, Ir)= 쁘이 된다. 따라서 X= Xi 1a,U···U Xi 1rl 인데 x( n 는 아파인이다.
앞의 정리는 모든 다양체에 대해서 일반화 될 수 있다 (Gro th end i eck 참조). 3 사영다양체의 코호몰로지군 사영다양체 상에서 코호몰로지군을 살펴보기에 앞서 심도의 개념부터 보자. 정의 3.1 A 가 Noeth e r 환이며 M 은 유한형의 A- 가군이라 하자. I 가 A 의 이데알일 때 I 의 원소 a1, … ,a IJ들은 다음의 조건을 만족할 때 M- 정 칙 열 (M-regu la r sequ e nce) 을 이 룬다고 한다. ( i ) 모든 i =l, … ,v 에 대해서 a i는 M/(a1, … ,a;-1)M 의 영인자 (zero div iso r) 가 아니 다. ( ii ) M*(a1,… , av)M. 그리고 I 에 길이 k 의 M- 정칙열이 존재하면 I-dep th M~ f이라 한다. 다음의 정리로부터 I 에 속하는 M- 정칙열 중 극대의 것의 길이는 일정 한데 이 값을 dep thrM , 죽 I 에서의 M 의 심도라 한다. 정 리 3 • 2 I 는 Noeth e r 환 A 의 이 데 알이며 M 은 유한형 의 A- 가군 이라 하자. 이때 임의의 i
~let.P EAUss M.. P = M 의 영인자의 집합 Ass M={PI 적절한 O =l= xEM 에 대해서 p= Ann(x) 가 되는 소이데알} ~I 는 M - 정칙이 되는 원소를 갖는다. ~J-d ept hM 21 , n>l 일 때 a1El 는 M - 정칙이라 하자. 다음의 완전열은 a1 0--+M 一 M 一 Mla1M--+O x 一 a1•X 장완전열 …- +Exti (A /I, M) 一a1 Ex ti (A/I, M)-+Exti (A /I, M/a,M) 一 Ex t i+ '(A/I,M) 一··· 울 유도하므로 나께야마 정리를 적용하면 E¢:x}tEi (xAe (/A1,/MI,M) =/Oa1, MV)= iO <, n Vi < n— l ¢:}I-dept h M/a1M ~ n-l ¢:}I-dept h M ~ n. 따름정 리 A 가 Noeth e r 환이 며 M 은 유한형의 A- 가군이며 Y 는 Sp ec (A)8) 의 폐부부분집합이라 하자 (즉 Y= V( I)={ PIP:::)f, pE Sp ec 8) Spe c (A)= {p|底 A 의 소이데알}
(A)}, I 는 이데알). 이때 모든 n 착)에 대해서 다음의 조건들은 모두 동치이다. ( i ) Sup p (N)c Y 가 되는 유한형의 A- 가군 N 에 대해서 Ext iN, M)=O, Vi < n. ( i )' Sup p (N)c Y 가 되는 A- 순환가군 N 에 대해서 Exti (N ,M)=O, Vi < n. (ii) V (I )=Y 가 되는 이데알 I 에 대해서 Exti (A /1,M)=O, Vi < n. (iii) V( I)= Y 가 되는 이데알 I 에 대해서 I-dept h M;;:=:n. (iii)' V( J) c Y 가 되는 이데알 1 에 대해서 ]-dept h M;;:=:n. (iv) Y= V (I)일 때 HKM)= Jim Exti (A /fll ,M )=O, V i< n. u l 여기서 Supp (N)={PIPESp ec (A), Np =I= 0} 으로 N 이 유한형의 A 가군이면 Supp (N) = V(Ann(N)). 증명 ( i )~( i )＇ ⇒( ii )~(iii), ( i )'~(iii)', (iii) ' ⇒ (i v) 는 자명하므로 (i v) ⇒ (iii), ( ii ) ⇒( i )만 증명 하면 되는데 ( ii ) ⇒( i )은 N 의 생 성 원의 갯 수에 귀납법을 쓰면 된다. (i v) ⇒( iii) n=l 이면, Hom ,1 (A/I,M)cHomA(A /I2 ,M)c …이므로 O=H$(M)= lim Hom A(A /JV , M). ~ Hom A(A /IV,M )=O, Vv> O . ~ V l I-dept h M 긱 n>l 일 때 모든 i
O=H~-1(M)<=>Ext1 - 1(A/I ,M )=O, V 11 >O =>1-dept hM 2 n. 일반적으로 a1, … ,a, 이 M- 정칙열이면 a1111,… , a/'(v;~l, l~ i~f)도 M- 정칙열이다. 또한 a1, … ,al 이 M- 정칙열이며 ( i ) (a1,···,a,)crad(A) 혹은 (ii) A 가 차수환이며 M 은 차수 A- 가군이며 a1, … ,a, 이 동차원소이 면 임의의 치환 a 에 대해서 a6(I),… , a60 도 M- 정칙열이다. 이제 A 는 차수환이며 M은 처수 A- 가군이고 I는 동차이데알로서 f1, …,fl 은 M- 정칙열 중 극대의 것이라 하자. 또한 /i2 d i차의 동차원소 라 하자 (d;>O). 이때 임의의 v>O 에 대해서 /1 1/,…,ft도 F 에 속하는 국대의 M- 정칙열이다. 따라서 £개의 단완전열을 얻으므로 O-M_!_/1!_1/ . M( vd\1) >어 M /f11 1 M(!.1\ (d 1>+d2))… M/f1 M(1.1d 1) M/(f /J211 )M(1.1 ( d1+d2)) o/' \。 。/ \·o …M (li 11, … fz1 1-1)M(v(d1+… + dl)) 亨 \ M/(li 11,… , N)M(v(d1 + … +dI)) \ 。 Ex ti (A/111,M) 三냐 ~x ti -1(A/f ll ,M//111M( vd1)) 三己 •• • 우 Ex t 1(A/f ll ,M/(/111, …,f晶 )M(v(d1 + …+ d1-1)) 우 HomA (A /fll ,M /(/ III, … , N)M(vd)) 단, d= i'=jn;, _l d ;. 또한 다음의 완전열의 가환도식은
0---+I1M 一 hu M(vdj1A l)2~U M // 2 1j1A M(hv (d1+d2) ）一…f一lu M/(/1\j · f ·1·E , Nf)Ml (vd) o-M ✓/1 :1.1.++ 1 M, 1(11( !t t•- 1l )\ d1, ),/2:.+11 -+,1 一…j/一+ l M/( /111+ 1, ... , 1r1)M((v+l)d) 다음의 가환도식을 유도한다. Ext; .( Aj/ I,M)--옥-+ HomA (A /l ,M JI/( Hl io ,m · ·( · , /•z ih=) MI f(i) v d)) Exti (A /J~ +iM )---프-+ HomA (A /J~ +1/MU1~+I, , ,, 1r1)M((v+ l)d))) 그러므로 H/(M) = lim Ext1 ( A/IV,M ) u ’ ;;:; lim ) HomA(A/fll ,M /(r, .. , ,N)M( vd)). u 정리 3 • 3 A=k[Xo, … ,X』 (n 칙)이라 하고 I=(Xo, … ,Xn) 이라 하 자. 이때 임의의 i
여기서 A/(XoV, .. •, Xn11)( 11(n + 1) 尸IIX국i /(Xo11 +1,… ,Xn v+ 1)((v + l)(n+ 1)) 증명 {(Xo, .. ·,X리 lv>O} 은 {J lv>O} 의 cofi na l sub f am ily이므로 H/(A)= _l ~E) x t ~(A/(Xo11, … ,X리 , A) u 따라서 H/+1(A)= lim Hom(A/(Xo,… , Xn), A/( Xi。”,… ,Xn )(v(n+1))) ) =브 (AI(X。 )J,… ,X김 )( v(n+ 1)). IJ 또한 i
0, d>-(n+l) 일 때 dim 4HIn+1(A)]d={ (-d —nn -1 + n) =(-dn-l) =(-1)n(T), d~-(n+l) 일 때 단, [HIn+1(A)] 초 차수가군 HIn+1(A) 의 d 차 부분가군을 나타낸다. 그 리고 기호의 편의상 ~i o ··· i n 을 Yoio Y1-;1_ .. y갑 n 으로 나타내기도 하는데 이 때 HIn+1(A) 는 Yo, … ,Yn 의 음의 다항식 (neg a ti ve p ol yn om i al) 으로 구성 되었다고 할수 있다. 다음으로 사영다양체 XcP 의 쌍대호몰로지군을 보기 위해 도식 7(-l (X) c:..-+ An+l\{0} .JI, .JI, x~ 가” t 울 보자. 1 절에서처럼 X’ 가 7r-1(X) 의 An+I 에서의 폐포라면 X'= 1r-1(X)U{O} 이며 I' (X')=A 인데 A 는 X 의 동차좌표환이기도 하다. 이 때 임의의 준동조충 多에 대해서 $(v)= 多® 었 &x(v) 라 하면 임의의 A- 동차가군 M 에 대해서 7'{*( MI,r- 1 (X))=Gu M(v) 이므로 다음의 보조정리에 의해서
HP(X,EBM(v)) 학庄(,r -1(X),M), p~O . u 보조정리 3 • 4 /:X-+Y 가 아파인사상이라 하자(즉 Y 의 아파인 개부 분집합의 피복 {Vi}가 있어서 모든 i에 대해서 f -I(Vi )도 아파인이다). 만일 所가 X 상의 준동조충이라면 모든 p ~O 에 대해서 HP(X, 1')즈 H 밋 Y,f* 1'). 정리 3 • 5 X 는 사영다양체이며 I' (X)=A 이고 M은 A- 차수가군이라 하면 우리는 다음의 완전열을 얻는다. 0-+Hl i_( M)-+M 뺀 H0(X,M(v))-+H1(M)-+O (단, A=k[Xo,···,Xn]II 일 때 쁘 =(Xo, … ,Xn)/1 이다)． 또한 모든 i >O 에 대해서 ffui H i ( X,M( v)) ~ H~+l (M ). 증명 X’ 는 아파인이며 X'=1r-1(X)U{O} 이므로 7r-l(X) 는 X’ 의 개부 분집합이다. 그러므로 정리 2.10 에 대입시키면, o-+H( i }(M)-+M 키f' (1r-1(X),M)-+ Hi~ 1(M)-+O 은 완전열인데 H°(1 r-1(X), fit) ;;;,H°(X , EBM(v)) 학 BH° (X, M(v) ）이며 璋 )(M) ~ lim ) Exti (A/! !!:_11,M) II =H쇼 ( M) fufi H i ( X, M(v))=Hi ( X, fufi M (v))
=Hi( TC-1(X), M) ;;::HiW (M) = lim ExtA i ( Al!!!:_11, M) u ’ =Hf+ 1 (M). 정리 3 • 6 X=P 저라 하자 (n>O). 이때 I'( X)=A 라 하면 다음의 사실들아 성립한다. ( i ) 정리 3.5 에서 M=A 일 때 얻어전 준동형사상 A--.EBH0(X,@x (11) ）는 동형사상이다. (ii) 임의의 O< i
리 증3명.3 에 ( 의i )하 A여= kH[X 설(o ,A …)= ,X#n설 ] ( 이A)며= O.쁘 =따(라Xo서, … A,X—n )~ 인E데B H0n(X>O,& 이x(므11로)). 정 츠 ( ii ) 정리 3 . 5 에 의해서 i >O 이면 헝H i (X,@x(v) ）즈 H£+1(A) 인데 i< n 이면 H£+ 1 (A)=O 아므로 모든 vEZ 에 대해서 Hi ( X,(!}x(v))=O. (iii) EBHn(x,(!}x( J/)）학 1걸 +l(A) 이므로 앞에서 이마 밝혀졌다. (iv) H0(X,(!}x(v) ）는 {XollO … Xn J/ n|v 요 0, 2n V:=v} 를 기저로 갖는 k- 벡 i= O 터공간이며, Hn(X,(!}x(_n_1_v)) 는 {Yo(l +r o) …y집l+ rn)lrk 착), 2n ri= u } i= l 롤 기저로 갖는 k- 벡터공간이다. 이때 y5( 1+ro-Uo)… y;O + rn- lJn )EHn(x, IJx (-n —1 )) 이므로사상 (XOIIO… x/n, yi;<1+ ro)… y-;;
홈(가 )Id i mkH'(X,@x(v))={ ( v+n n\) ,1 I1I 느~ 0- 일(n +때l ) 혹은 0 , -(n+l)< v
0-->6l--> ~ -->1'--> O (深은 동조충) (3.2) 울 생각할 수 있다. (3.2) 로부터 장완전열 …H i ( X, ~ )기汗 (X, 多)규 H i +l(X, 深)_. ... 울 얻는데, 이미 모든 i에 대해서 H i (X,~) 는 유한차원이다. 따라서 i ~n 이면 H i +l(X, 筑)은 유한차원이라고 가정할 수 있으므로 Hi ( X,6) 도 유한차원이다. ( ii ) (3 . 2) 를 n 만큼 이동하여 완전열 O-&l (n )-i (n)-P(n)-o 울 얻은 후 다시 장완전열 …- ► H i (X, i (n) 가 H i (X,$(n) 규 H i +l(X, fll (n) ）一… 울 얻는데, 이미 n}>O 에 대해서 H;(X, i (n))=O 이다. 따라서 i:s: n 이면 n 詞에 대해서 H i +1(X,Pll(n))=0 을 가정할 수 있으므로 H i (X, 多 (n))=O, n}>O, 고로 적절한 mo 를 찾아낼 수 있다. (iii) x,(v)=~( ― l) idi mkH;(X,$(v)) 라 표시하자. 이때 임의의 동조 충의 완전열 0 一多'一多一多 ''-o 에 대해서 x., (v)=x.,, (v)+x.,,,(v) (vEZ) 이 성립한다. 또한 보조정 리 3.8 에 의하여 완전열
o-rFm-tF m -1-·· · -$1-$-0 울 얻을 수 있는데 임의의 i >O 에 대해서 $i= JEn=9 i I &x(lliJ) , 따라서 X ,, (v)= 꾸 (-1)IXIII(v) 인데 X11(v) 는 다게에 대해서 다항식이므로 x, (v) 도 마찬가지이다. 보조정 리 3 . 8 (H il be rt의 Sy zy g y 정 리 ) 9)
9) Zari sk i- S amuel 7 장 13 절 참조.
( i ) A=k[Xo,X1, … ,Xn] 일 때 유한생성 A- 동차가군 M 에 대해서 다 음의 완전열이 존재한다. O-+Fm-+Fm-1-+… -+FI-+F。 -+M-+O 이 때 F尸 EniB A(vu). j= I ( ii ) X=Pn 이며 多는 @X- 가군이라 하자. 이때 완전열 O-$m-$m-l-… -$1-$ 。 -$-0 이 존재하며 多尸 EnBi &x(llij) . j= I 성 따A름-정 차리수 가X군C이P면 宅 적 절사한영다 ll양o 가체 이있며어 서I ' (IIX~)ll=o 에A 라대 하해자서. MM., 이_—츠 유,H한°( X생,
M(1.1 )). 증명 정리 3.7 의 증명과 같은 이유로 X=P 저라 가정해도 좋다. 따라서 A=k[Xo, … ,Xn] 이 된다. 이때 정리 3.5 에 의하여 다음의 완전 열이 존재한다. o-Hl ti.( M) 기 1-H0(X,M( 1.1)）나 H. Ji.( M) 내 M 은 Noe ther 가군이므로, H1(M)cM 도 마찬가지이고 적절한 r>O 이 존재하여 쁘 rH~(M)=O 이 된다. 따라서 적절한 !l o 가 있어서 II::?: !l o 에 대 해서 H요 (M)v=O. 디음으로 유한생성 A- 가군의 완전열 0--+L--+E--+M 키) 울 생각하자 (E= 喜 A( 마). 이때 장완전열 … H삶 (E)--+H걸 (M)--+ 頃( L)--+ … 이 존재하는데 쁘 -de pth E= 쁘 -de pth A=n+l~2 이므로 H삶 (E) =O. 반면 H(L) 학詞 (X,L(v)) 인데 정리 3.7 에 의하여 1.1 ~0 에 대하여 H1(X,L( 1.1 ))=0 이므로 l{l(L)v =O. 따라서 H삶 (M)v=O, 11}>0. 그러므로 11}>0 에 대하여 Mu一 츠 H°(X ,M( 11)).
정리 3.7 에 의하여 임의의 i >O 와 11 ~ 0 에 대하여 H.-(X,M(11))=0 이 고 따름정리에 의하여 M11 - -츠-+ H0(X,M(v)), v 詞이므로 xii( v) =d i m 沮 0(X,M( v)) =dimk Mu, v~ O 인데 이를 나타내는 다항식이 바로 차수가군 M 의 힐버트 다항식이다. 4 Serre 의 쌍대정 리 F 에서 의 쌍대정 리 (Duality the ory ) 를 발전시 키 기 위 하여 그에 필요 한 호몰로지대수를 먼저 보자. 정의 4 • 1 li2t，部가 Abel 권일 때 반변함수 Ti : %一沼의 모음 T= {T，· I i킥 0} 가 다음의 조건을 만족할 때 T 를 반변 8- 함수라 한다. ( i ) 단완전열 o-A'-A-A-o 가 있을 때 임의의 i킥 0 에 대해서 참 : T,.(A')-T i + l(A) 가존재하며 ( ii ) 단완전열 o-A'-A-A' ＇켓에 대해서 장완전열 o-T0(A )-T 0(A)-T 0(A') ―so ➔ T1(A)_ ... … -T i (A) 一 Ti ( A')참_ T i +1(A ）一…
울 얻는다. (iii) o-A'_.A_.A_ 때 I I I L i i 。 -B'-B-B'' -o 의 완전열의 가환도식에 대해서 T i (A' ）참一 Ti + l(A) ?I fI 참 T i (B' ）一 Ti + l(B) 은 가환도식이다. 또한 반변 8- 함수 T=(Ti) : '&'--+f1I가 보편적 (uni versal) 이라 함은 임의의 다른 반변 8- 함수 T'=(T'i) : '&'--+％와 함수의 사상 F : To--+ T'o 에 대해서 유일한 사상의 열 {Ji : Ti- -+ T' i l i ~O} 이 존재하여 o-A'-A 길''네 이 완전열이면 모든 i：：：： 0 에 대하여 T i (A') ―참 ➔ Ti+ i(A ) I i』 | ji+l T'i( A ') ―8 i➔ T'i+ l(A) 도 가환도식임을 말한다.
만일 F 가 가법적함수일 때 T0=F 가 되는 보편적 반변 8- 함수 T= (T' ）가 존재한다면(동형에 준해서) 유일하게 결정된다. 가법적함수 F : %'-+fJJ가 coe ffa ceable 이라 함은 임의의 AE%' 에 대 해서 전사 u : P-+A 가 존재하여 F(u)=O 임을 말한다. 정리 4 • 2 T=( 1') : %一%가 반변 8 휴함수일 때 모든 i >O 에 대해 서 T 가 coe ffa ceable 이면 T 는 보편적이다. 증명을 위하여 Gro t hend i eck 울 참고하자. X = P 멜 때 w= &x (- n 리)라 두고 X 상의 동조충 多를 생각하자. 이때 주어진 사상 (fJ : $ -+w 는 Hn(X,cp) : Hn(X, 度 )-+Hn(X,w) 을 유도하므로 자연스런 pa ir - ing Hom(1' , w) x Hn(X, 多)거 Hn(X,w) 츠 k (4 .1) 울 생각해 볼 수 있다. 정리 4 • 3 X=Pn 이며 w= &x(-n-1) 이라 하고 多는 X 상의 동조 충이라 하자. 이때 ( i ) (4 .1) 로 부터 Hom(~.w)~Hn(X, 多 )v. ( ii ) （쌍대정리) 임의의 i ~O 에 대해서 함수적 (f unc t or i al) 동형사상 Ex ti(多 ,w)-츠+ Hn- i (X, 多 )v 이 존재한다. 이때 v 은 쌍대벡터공간을 뜻하며 특히 i =O 일 때는 ( i )
의 동형사상을 말한다. 증명 ( i ) $ = &x(v) (vEZ) 일 때는 Hom($,w);;:;H0(X,w( 一 v)) 이 n 므로 정리 3.6 에서 이미 밝혔다. 따라서 f¥ =EB fl x(ll i)일 때도 그대로 i= I 성립한다. 이제 多가 임의의 동조충이면 따一 8 。 -$-0 을 생각하는데 이때 &k(k=0,1) 는 @x( I.Ii)들의 유한적합이다. 이 완전열에 Hom( • , w) 와 Hn(X, • )v 을 적용하면 가환도식 o-Hom(l 多 ,w) 객 om( &』。 ,w) 나 Hom(』 &1 ,w) o-Hn(X,~)V 규 Hn(x, i o) 다 Hn(X, & 1)V 울 얻는데 오른쪽의 두 부분이 각각 동형이므로 Hom(6,w)~Hn(X, 多 )V 이다. ( ii ) {Exe( ' w)l i책}와 {Hn-i( X , • YI i착)｝은 각각 반변 8- 함수이 며 i =O 일 때는 ( i )에서 동형임이 밝혀졌다. 고로 두 반면 8- 함수는 보편적임만 보이면 되는데 이는 정리 4.2 를 쓰면 모든 i >O 에 대해서 Exti ( ,w) 와 Hn-i( X , • ) 까 coe ff aceable 임을 보이면 충분하다. 多가 임의의 X 상의 동조총이면 多는 8=®m@ x(_v), v>0 의 상으로 표현된 i= l 다. 이때 Exti ( f ,w) 츠 $mE xe( & x(-v) , w) i= l ~EmB Exe(Gx, w(v)). i= l 한편 임의의 동조충 多에 대해서
Hom(@x,$) 갑 (X,$) 이므로 모든 i에 의하여 Ext'. ( gx ,$) 츠 H i (X,$). 따라서 , Ext,. ( i ,w) 츠 $mH ,.(X, w(v)) i= l =O, i> O. 반면 sn-i( X , ~ )Y=EBHn-i( X, (px (-v))V =O, i>O . 이제 정리 4.3 의 결과를 이용하여 완전다양체 (comp le te varie t y ) 상에 서 Serre 쌍대성을 정의하자. 먼저 다양체 X가 완전다양체라함은 임의 의 다양체 Z에 대해서 사영사상 p : xxz-z 가 닫힌사상 (closed ma p)이 될 때를 말한다. 일반적으로 사영다양체는 완전다양체가 된다. 정의 4 • 4 X 는 완전다양체이며 d.i mX=n 이라 하자. 이때 만일 X상 의 동조충 wl 가 존재하여 임의의 동조충 多에 대해서 함수적 (fun cto r ial ) 동형 사상 ExttJ n- i (6,w왔 )프~ H i (X, 多 )v X 이 모든 i에 대해서 존재할 때 X 에서 Serre 쌍대성이 성립한다고 정의 한다. 이 때 짜를 X 의 쌍대화층( duali zin g sheaf) 이 라 부른다. 만일 X 의 w 웃가 존재한다면 특히 i =n 인 경우 임의의 동조충 多에
대해서 츠 Hom($ , w웃 ~ Hn(X, 아 가 동형사상이므로 w 웃는 동형에 준해서 유일하게 존재한다. 정리 4 • 5 Xc Y 는 비특이, 완전다양체들로서 dim Y=m, dim X=n 이라 하며 X 는 Y의 폐부분집합이라 하자. 만일 Y 에서 Serre 쌍대성 이 성 립 하여 w~ 가 가역 (inv ert ibl e) & y-가군이 면 X 에 서 도 Serre 쌍대 성이 성립하며 이때, w~= ~ xt :;n( & x, uA). 정리 4.5 의 증명을 위하여 이에 필요한 보조정리와 용어의 설명이 필 요하다. 먼저 多,연가 &x- 가군일 때 X 의 임의의 개부분집합 U 에 대해서 U 귁 Hom 。 XIU (히 u, (f} lu) 는 충 (shea f)이 되는데 이것을 多와 g의 Sheaf ;;t om 이라 하고 ;ffom OX( 多$）라 쓴다. 이때 임의의 @x- 가군 多에 대해서 ;/fom (6, • )은 좌완전함수이므로 ;/f om( 多, • )의 우도래함수를 Wxt !x (6, • )라 한다. 물론 8x t; . x( 多$）는 충으로서 만일 多가 동조충이며 모든 xEX 에 대 하여 Ixt : x($, 업)푸 Ex t !x,x($x, '8 x).
보조정리 4 • 6 S : C--.C ', T : C'-c' ＇ 는 좌완전함수이며 S 는 입사 적대상을 입사적대상으로 보낸다고 하자. 만일 a 가 C 의 대상이며 적절 한 p킥 0 가 존재하여 모든 n =I=p에 대해서 (R 망 )(a)=O 라 하자. 이때 [Rn(T • S)](a)={0 (R, nn-
Ext ;• _y, ,x_ ( & x,x, ~ x) = O. 또한 (p Y . :r상에서 (p X,I 의 사영 분해 (pro je c ti ve resolu ti on) 를 길이가 m-n 이하가 되게 잡을 수 있으므로 모든 i >m-n 에 대해서 Ext 나 (&x,x , i x)=O. 이때 ix t; Y (fJ x,W) 는 X 에서 대 (su pp o rt)를 가지며 &x t ~ Y ( & x, & )후 Ex t:y,/.,_ fj X,x, & x) 이므로 모든 i=l= m-n 에 대해서 i xt ; / & x, i ) =0 . (ii) §가 X 상의 준동조충이며 g가 Y 상의 준동조충이면 :!tom Dx ($,:!tom Dy (&x, i ));;;;:!tom <$,i ) 01 므로 Hom 었 (6,(l{' om ,.Y(&x,i) )~H om 。 Y(6,~). 이때 .1fom oy ( @x, • )는 @Y- 입사가군을 @x_ 입사가군으로 보내며 g가 국소적으로 자유가군이면 i *m-n 에 대해서 Wx t: y( flx, W) =O 이므로 보조정리 4.6 에 의하여 성립한다. 정리 4,5 의 증명 w~ Ixtd ~ -n(~x, 硏)라 두자. 싸는 국소적으로 자유가군이므로 보조정리 4.8 에 의하여 多가 X 상의 동조충일 때
Ext /xX- •. ( 혼 成)―;; :;. ..Ex t :;i(所 , ~). i~ n. 이때 Y 에서 Serre 쌍대성이 성립하므로 Ext? Y _,.( $ ,w fl~ 츠H i( Y,$)¥ 인 함수적 동형사상이 존재한다. 또한 H'’ (Y,$)V=H i (X, 아이므로 우리는 동형사상 Ex t ;x- i(혼 w웃 )츠~ H'.(X , 多) V 을 얻게 된다. 따름정리 XcP 훈 비특이 사영다양체라 하자. 이때 X 에서 Serre 쌍 대성이 성립한다. 증명 정리 4.3 에 의하여 p n 에서 Serre 쌍대성이 성립하며 w;n= tlp11 (-n-l) 은 P 망의 가역충이다. 여기서 우리는 비특이다양체 XcP 겨서 Serre 쌍대성이 성립함을 보이기 위하여 오직 사용한 것은 X 의 국소적 완전교차성임을 주목할 수있다. 따름정리 XCPN 는 국소적으로 완전교차라 하면 X 에서 Serre 쌍대 성이 성립한다.
이제 XcP 떠 비특이(기약) 사영다양체일 때 짜를 다른 방향으로 규명해 보자. 이를 위해 먼저 Koszul 쇄복체 (com p lex) 를 정의한다. A 는 임의의 가환이며 fI , …,fr 은 A 의 원소라 하자. 이때 K1 을 기저 e1, … ,e 웁 갖는 계수 r 의 A- 자유가군이라 하고 임의의 O~P~r 에 대해 入1 Kp = (\PKl 이 라 두자. 이 때 /\ PK1 은 K1 의 p번째 의 적 작용소 (exte r io r po wer) 로서 계수 (pr) 의 자유가군으로 기저 {eil, . ... ,.eip l l~ i1< i2< … < ip~ r} 롤 갖는다. 또한 경계사상 d : Kp -Kp -1 는 d(e;1/1 ... /\&p) =j~=p I (-l)i-1 f;jei l ^…/\ gij/\… /\e ip로 두면 A- 가군의 쇄복체 o-Kr 기 Kr-1- …카 Co-0 를 얻게 되는데 이를 f1,… ,Ir 의 A 상의 Koszul 쇄복체라 하며 K. (/1, … Ir) 로 표시한다. 만일 M 이 A- 가군이면 Koszul 쇄복체 K. (/1,… ,Ir ; M) 은 K. (/1, …,fr )®AM 이다. 보조정리 4.9 I 는 가환 A 의 이데알로서 길이 r 의 A- 정칙열로 생성 된다고 하자. 또한 M 은 A- 가군으로 국소적으로 자유라고 하자(죽 모 든 A 의 극대이데알 쁘에 대해서 M프 은 A 프-자유가군이다)． 이때 표준 동형사상
(\ ruII' )®A Ext~ (A/I,M)츠~ MIIM (4. 2) 이 존재한다. 증명 A, …,fT 은 A- 정칙열로서 (f1,… ,lr)=I 라 하자. 이때 Koszul 쇄 복체 K. U1, …,fT ) 은 A/I 의 A- 자유분해 (free resolu ti on) 를 유도한다. 10) 다시 말하여,
10) Mats u mura 7 장 참조.
Q--+ .I\ rAr--+ /\ r-lAr--+ … --+ /\ IAr--+ /\0Ar--+A/]--+Q e1^ ••• ^er 一접fj e1^ ••• ^ gj^ ••• ^eT 은 완전열이다. 또한 M 은 국소적으로 자유가군이므로 I-dept h M=r 이 성립한다• 따라서 n =I= r 일 때 Ext1 ( A/I,M)=Hn(HomA(K . (/1,… , Ir), M) =O 이며 완전열 HornA( /\ r-iA r,M)-+HomA ( /\ rAr,M)-+ExtX (A/I,M)-+O 에서 J (Ex t X(A/I,M))=O 이므로 AlI®HomA( J\ r-lAr,M)) 一a A/I®HomA( J\ rAr,M)---+Ext i(A/ 1,M)---+O
인데 a=O 이므로 M/IM 부 /I®Hom A( /\ rAr ,M ) ~ Extl (A /1,M). 위의 동형사상은 I 의 생성원 f1,… ,Ir 에 의존하므로 r(fl .•• • . Ir> : Ex t:;. (A/I,M}- ―흑 내 1/IM 이라 하자. 이때 I/F 은 계수 r 의 A/I- 자유가군이므로 ^T(I/F) 은 계 수 1 의 A/1- 자유가군이고 그의 생성원을 f1^ ••• A fr 라 하자. 따라서 A/1- 선형사상 /\ ru/]2)®AExF(A/I,M)-+ M/IM (f1K •• Af r)® 7J ➔ r（f l •••• g (n) 은 동형이다. 뿐만 아니라, I=( g 1, …,g r) 이며 gj= 2cijf j (l< i
접邸ji (1 年均)이다. 따라서 가환도식 ExtA I I r(A/I,M) ~nfMl , •• , .Ir)/ IlMd et( C ) Exti (A /1,M) ~r,gl, ” ’ , 9 r ) MIIM 울 얻게 되는데 특히 gl/1 ••• /\gr =det( C )/1 1 1···11/r. 따라서 (g1^ … 1 1g r) ®7 /= det( C )/l^ … ^lr®T J =d et( C ) r(Il ,. . g( n) = r(g1 ,· ··9 r)(n) 이므로 사상 (4.2) 는 I 의 생성원에 무관하다. 따름정리 X는 Y의 폐부분다양체로서 여차원 r 의 국소적 완전교차 다양체라 하자(죽 f x 가 X 의 이데알충이라면 임의의 xEX 에 대해서 §x,x 는 r 개의 원으로 생성된다)． 이때 g가 국소적으로 (i/y-자유가군 이라면, /\r(/l x/ 'x2)®~Yi x t r(&x, I )-三一 &x® yl • (4. 3) 다음에 (4.3) 의 양변에 ( /\ r( d xf d x2))Y = :lt'om 0/ /\ r( d x/ 9 x2), tl x) 과 t ensor 적을 잡자. 이때 ’x/dx2 은 계수 r 의 국소적으로 ex- 자유가
군이므로 ( /\ r(IIxf IIx2))v® 。 X( ^T (§x/II 갚)) ~ {l x. 따라서 ( /\ r(dx/dx2))Y ® ox(/\ r(dxi dx 2))® Dy I xt I / tJx , I ) ~ @x ®oy ixt ; y{& x,I ) 측 Ixt; / &x,I). 한편 (탁/ \& ro(dmx /Xd(x ^2 r)() 'v ®x•!/f@ x2x), ®g •xyO iY ) 8 ). 그러므로 앞의 따름정리의 조건하에서 i x t。 TY@x, 8) 츠:K' om0/ I\ r(dx i dx2), ti x®~YI). (4.4) 정의 4.10 X 는 차원 n 의 비특이 기약다양체라 하자. 이때 X 상의 미분의 충 !Jx 는 국소적으로 (J x- 자유가군이며, dim 1 c Hom,x,x (!Jx , :r ,k)=n 임이 1 장의 4 절에서 밝혀졌다. 따라서 !Jx 는 계수 n 의 국 소적으로 자유가군아다. 우리는 X 상의 가역충 Wx= I\ n !Jx을 X 의 표준 층 (canon ica l sheaf) 이 라 정 의 한다. 예 X=P 떨 때 Wx 을 계산해 보자. X 의 동차좌표환을 A= k[Xo,… , Xn) 라 하고 E 는 챠수 A- 가군 A{-l)n+l 으로 기저가 eo,… ,e n 이라 하자 (de g e;=l, O~i ~ n). 이때 e i一 x 흰 차수를 보존하는 준동 형사상 E-A 를 생각하고 그의 핵을 K라고 하자. 이때 차수 A- 가군
으로서 의 완전 열 0---+K-+E-+A 은 X 상의 충으로서 의 완전 열 o-R-e x(-1)+111)-+ @x-+O
11) n+l 개의 fl x(-1) 의 직합.
울 유도한다. 주의할 점은 E-A 는 전사가 아니지만 차수 1 이상에서는 전사이므로 대응되는 충의 사상은 전사가 되는 것이다. 뿐만 아니라 임 의의 i에 대해서 Ex,-Ax, 는 자유 Ax i-가군으로서의 전사 준동형사상 이므로 Kx, 는 {ei -(Xj /X)e i l j*i}로 생성되는 계수 n 의 자유가군이 다. 따라서 Ui =P福 라면 KIU t는 {(1/Xi )ej ― (Xj /차 )ed j*i}으로 생성 되는 자유 &u i-가군이다 (여기서 Kx, 에서 차수 0 의 원으로 만둘기 위 하여 l/X 를 붙였다)． 또 &u i츠 A(X i)이므로 요x |u i는 d(Xa/X,), …, d(Xn/X i)로 생성되는 @U i-자유가군이다. 따라서 p, : 요x lu i -Klu i를 rp ;(d(X)X))=(l/X/)(Xej _江)로 정의하면 硏i는 동형사상이 된다. 이때 uin Ui i*j)에서 임의의 k 에 대하여 (Xk/X;)=(Xk/XJ . (X)X;) 이므로 요x |u i n” 에서 d(Xk/X;)-(Xk/Xj) d(Xi X ;) = (Xii X;) d(Xk/Xj) 이므로 (/Ji를 좌변에 %를 우변에 적용하면 똑같이 (l/X1.x j )( Xje h _ Xke i)를 얻으므로 깜i를 이 어서 맞추므로써 동형 사상 요x --+K 를 얻는다. 그러므로 다음의 완전열을 얻는다. o- 요x 一 g x(-1)n+1 一 @x 一 O (4 .5) 여기에 다음의 보조정리를 적용하면
^n gx ®^1@x 츠 /\ n+10x( 一 l)n + l 이므로 Wx 츠 &x(-n-1). 뿐만 아니라, 정리 4.3 에 의하여 &x (-n- 1) 의 X 의 쌍대화충임이 밝혀졌으므로 X=P 떡 경우에 Wx;:;:;, 짜 =@x(_n_1). 보조정리 4 .11 휴 ,5, 11'”는 각각 계수 r,s, t의 국소적으로 @x -자 유 가군이라 하자. 이때 0- 1,'一多一多 -o 이 완전열이면 /\s 11'츠 /\r 多 ' ® ^ t灰 . 정리 4 • 12 X 는 비특이 사영다양체라 하자. 이때 X 의 표준충 Wx 와 X 의 쌍대화충 짜는 동형이다. 증명 X=P 멜 때는 앞의 예에서 이미 보여졌다. XcPm= Y 일 때 는 정리 4.5 에서 우리는 X 에서 Serre 쌍대성이 성립하며 짜 =lx t ;v (@ x ,wv) (r=m ― d i mX) 임을 보았다. 그런데 (4.4) 에 의하여 w 웃측'1i' om ox ( l\ r( d x/ d x2), & x® oy Wy), 반면, 1 장에서 우리는 다음의 완전열을 얻었다. 0-+dx/dx2-+ flx® oy 요y-+요x 一 0 여기에 보조정리 4.11 을 적용하면 I\m( &x® oy Qy)츠 (\T(9X/9x2)® 。 x ^ng x.
따라서 Wy ®y fl x 츠 /\r( fl x ifl x2)® ex Wx. 양변에 (/\r(9x/9x2))V 과 t ensor 적을 취하면 ^r@x/ 감 ))v® ex (& x ® cy Wy);;;;W x 탁 A r@x/ 감 ))v®(Y Wy ;;;;:lt'om (/\ r(9xi 9x 2), &x® &vwy ) ；；；；짜. 이제 XcP 까 비특이 사영다양체로서 완전교차일 때 Wx 를 구해보 자. 이를 위해서 사영다양체 X 에 대해서 (4.5) 의 일반화를 얻자. XCPN 가 사영다양체이며 A=k[Xo, … ,Xn]II(X) 가 X 의 동차좌표환 이면 요A lk 도 자연스럽게 동차 A- 가군이 된다. 이 때 X 상의 & x- 가군 gA 를 임의의 동차원소 /EA 에 대해서 QA( Xc f))=(QA / k) (f)가 되도록 잡 는다• 이 때 표준미분자 d : A 一gA lk 는 차수를 보존하므로 d : A f-(요 4/k) f 도 차수를 보존하며 A( f)一(요A lk)m 를 유도한다. 따라서 이는 A( f)－선형 사상 요A 0 一(요 4/k)( f)를 유도하므로 요x (Xn) 一gA Xn) 를 생성한다.고로 사상 d: 요x 一효 4 를 얻는다. 다음에 임의의 동차원소 aEA 에 대해서 a(a)=(deg a)a 인 미분자 a : A-A 를 생각하자. 이는 차수를 보존하는 사상 a : QA-A 를 유도 하므로 동시에 사상 d : QA -IJ X 를 얻는다. 정리 4.13 다음은 완전열이다.
d a o- 요x 一Q A 一 @x--+O (4 .6) 증명 (4 . 6) 은 국소적으로 완전열임을 보이면 충분하다. IEA 는 차수 가 1 이라 하자. 이때 A f =Am[ f.f -1] 이며 (.QA )/ =,, 요& =,, A1®Al. ll.Q A l/) ® AI(df/ f). 따라서 (요A )( f) = gA u 서 )Am(df /I) 뿐만 아니라 임의의 차수 m 의 동차원소 aEA 에 대해서 (da/r)=(l/r)d((a/r) • 尸) =d(a!r)+((deg a)a!r)(df/ 1 ). 고로 요x ( X，n) 一gA Xm) 는 QA l/1'-+(QA )( f)에 해당되고 gA Xm) 一 @x(xm) 는 사영 사상 (요A )( f)一 Am 에 해 당하므로 o- Qx ( Xin) 一효 4(Xn)-. tl x(Xcn)-o 는 완전열이다. 따름정리 xc p n 는 여차원 r 의 비특이다양체라 하고 p n 에서 완전교 차라 하자. 이때 동차이데알 /(X)=(/1, …,fT ) 이라 하고 deg fi=d i (1< i ~r) 라 하면,
Wx: :::: ¢짜 i~=’ d l ;-(n+1)). 증명 A=k[Xo, … ,Xn]/I(X) 라 두면 I(X)/I(X)2 은 A- 자유가군으로 E, … ,E 로 생성되며 deg T=di. 따라서 I(X)/I(X)2 학 1( ― d1)EB· ·· EBA(-dr). X는 비특이다양체이므로 0-+@ x (-d,)ffi … E9 0x(-dr)-+@x(-1t +1 -+Q A -+O 은 완전열이며 정리 4.13 에서 0 구Qx - tJA - @x-0 도 완전열이다. 이제 보조정리 4.11 을 쓰면 Wx= An-T요 x 츠 ^n+1-rg A 이고, wx®I \ r(@x(-di) E B… ® @x(— dr) ) 츠 I\n+ I@x(-l)n+l0 따라서 wx®l1x(-i~= ld ;)~ 11x•( -n-1)• 이며• Wx~ 11x( i2=! l d; ― (n+l)) 이 다. 이 장의 내용을 더 욱 상세 히 보충하려 면 Hart sh orne [끼 의 3 장이나 R im의 2 장을 참고하면 된다.
제 3 장 가환대수상의 중요 정리들 이 장에서는 다음 장의 기초가 되는 가환대수적 정리를 다룬다. 먼저 국소적 성질에서 얻어질 수 있는 대역적 성질들을 살펴 보며 그 결과로 정리 1. 15 의 Q u ill en 의 정리를 얻는다. 이것은 Horrocks 의 정리를 일반화 시킨 Q u ill en-Susl in의 정리를 끌어내는데 중요한 역할을 하고 Q u ill en-Sus li n 의 정리로부터 Serre 의 예상의 해를 얻는 다. 또한 사영가군에 관한 정리로 Serre 의 분열정리에 대해서 다루 며 마지막으로 이데알의 생성원에 관한 정리로 Mohan Kumar 의 정 리를본다. 1 국소에서 대역으로 옮길 수 있는 성질 먼저 국소적 성질로부터 대역적 성질을 끌어낼 수 있게 하는데 도움 을 주는 두 개념을 보자.
정의 1.1 가환 R 과 R 상의 가군 M1,M2,N 과 준동형사상 (l,. : N-+M, (i =l,2) 가 주어졌을 때 N 상의 M1 과 M2 의 화이버화(fi ber sum) 는 (S, /3 1, /32 ) 로 정의되는데 이때 S 는 R- 가군이며 /Ji : M 군 S (i =l,2) 는 준동 형사상으로 /3 1°Cl1= /32 °Cl2 이며 다음의 보편적 성질을 만족한다 : 만일 (T, ri ,r2) 가 (S, f3나%）와 같은 성질이라면 유일한 준동형사상 rp : S-+T 가 존재하여 ri=( f)0 / 3i (i=l, 2) 가 성립한다. ?M/1 言 N S … ➔ T > M2/ < 반면 쌍대적으로 화이버적 (fibe r produc t)을 정의한다. 죽 di : M i一 N (i =l,2) 이 있을 때 N 상의 M1.J 1t M려 화이버적은 (P, /3 1, /3 2) 로 a1° /3 1=a2° /32 이며 (P, /3 1, /3이과 갇은 성질의 (T,r1,Y2) 가 있다면 유일한 준동형사상 r/; : T-P 가 존재하여 %=/3;o r/ ; (i =l,2) 이 성립한다. M1 ~,,,,~ T·\·· ➔ p2 /N M2 이때 N 상의 M1.t j-M :려 화이 버 화를 M1 :!!:NM2 로 나타내며 화이 버 적을 M1IINM로 나타낸다. 물론 화이버화와 화이버적의 정의의 보편적 성질 (unive rsal p ro p e rty)은 그들 존재의 유일성을 유도한다. 정리 1.2 가군의 화이버화와 화이버적은 존재한다. 증명 화이 버 화의 경 우에 는 M1EBM2 의 부분가군 U={(a1(n),
-a2(n))lnEN} 로 S=(M1E9M2)/U 라 두고 /3; (i =l,2) 는 표준단사 M i一 M1E9M2 와 표준전사 M1E9M2--.S 의 합성이라 하자. 이때 /31 (ai( n ))= /32 (a2(n)). 만일 (T,r1,r2) 가 정의 1.1 의 조건을 만족하면 준동형사상 h: M1E9M2--. T,(m1,m2) 국 1(m1)+r2(m2) 가 존재하며 r1°a1=r2°a2 이므로 h(U)=O 이다. 따라서 h 는 준동형사상 q; :S-+T 를 유도하는데 po f 3i=% (i=l ,2). 또한 S= /3 1(M1)+ /32 (M2) 이므로 그러한 針근 유일하다. 화이버적의 경우에는 M1eM려 부분가군 P={(m1,mz)Ia1(m1)=a2(m2)} 와 표준 사영 사상 M1E9M2--.M;..9. j 제 한사상 f3i :P 一 M i를 생 각하면 (P, /3 1, /3갔는 화이버적의 조건을 만족한다. 위의 기호들을 유지하면서 화이버화의 성질에 대해서 살펴보자. 정리 1 • 3 ( i ) M1:!!:N 品켈 (Mi )+/3 2(M2). ( ii ) Ker([]시 = a2(Ker(a1)), Ker((31 ) = a1(Ker(a2)). 특히 a1 이 단사이 면 /32 도 단사이다. (iii) /3 1 은 동형사상 Coker(ai )；；；； Coker( /32) 을 유도하며 82 도 동형사상 Coker(a2) ；；；； Coker( (3 1) 을 유도한다. 특히 a1 이 전사일 필요충분조건은 /3가 전사인 것이다. (iv) a1@) 이 동형이면 /32 (8l) 도 동형이다. ( v ) ScR 가 곱에 대 해서 닫힌 부분집 합이 면 ((M넬 N 祐 )s, (/31 )s, (/32 )s) 는 Ns 상의 (M1)s 와 (M2)s 의 (a1)s 와 (a2)s 에 대한 화이버화이다. 즉 (M1 :!!: 晶 )s = (M1)s :!!: N,(M2)s. 증명 정의로부터 쉽게 얻을 수 있다. (iii)의 증명만 해 보자. C= Coker(a1)=Mi /a1( N), C'=Coker( /J2 )=M1:!!:N M:晶 (M2) 라 하자. 函 : M1-C' 는 8 다 표준전사 M 넬 NM2-C' 의 합성이라 하면 ( i )에 의해서
P1 는 전사이며 P1(a1(N))=O. 따라서 /3 1 은 전사 /3!' : C-+C' 를 유도한 다. 또한 m1EM1 에 대해서 函 (m1)=0 일 필요충분조건은 (m1,0)+ UE /32 (M2) 이므로 적절한 nEN, m2EM제 대해서 (m1,0) = (ai( n) , —ai( n )) + (O,m2). 따라서 m1Ea1(N) 이며 /3 1’ 은 단사이다. 화이버적에 대해서도 정리 1. 3 과 유사한 정리를 얻을 수 있다. 정리 1 • 4 ( i ) Ker( /3 1)nKer 儀 )=o. ( ii ) /3 1 은 동형사상 Ker( /3 2)~Ker(a! ）을 유도하며 /3 2 도 동형사상 Ker (/31) ~Ker(a2) 를 유도한다. 특히 /3 2(BI) 이 단사일 필요충분조건은 a1(a2) 가 단사인 것이다. (iii) a2 는 단사 Coker( /3 2)-Coker(a1) 을 유도하고 a1 은 단사 Coker (/3 1)-Coker(a2) 를 유도한다. 특히 a1(a2) 이 전사이 면 /3 2( /3 1) 도 전사이 다. (iv) a1@) 이 동형이면 /32 (BI) 이 동형이다. (v) ScR 가 곱에 대해서 닫힌 부분집합이면 ((M1ITNM2)s, (/31 )s, 儀 )s) 는 N잖 의 (M1)s 과 (M2)s 의 (a,)s, (a2)s 에 대 한 화이 버 적 이 다. 즉 (M1ITNM2)s = (M1)sIINs(M2)s. 증명 (iii)을 위해서 a2' : M2/82(P)-N/a1(M폰 ] m2+82(P) 一 ai ( m2)+a1(M1) 인 사상이라 하자. 만일 m 計/3 2(P)EKer(a2' ）이면 적절 한 m1EM제 대해서 alm2)=a1(m1) 이므로 m2=/3 z(m 1,m2) （이때 (m1, m2)EP) 이고 m2+ /l 2(P)= /32 (P) 이므로 a2’ 는 단사이다.
/,g ER 일 때 Sp e c (R) ”의 두 개부분집합 D(f) 2 ) D( g)상의 가군을 이어붙이는데 화이버적은 사용된다. 죽 M머 R/ －가군이며 M2 가 R g-가 군일때 (MI)g, (M2) 를 표준 동형사상 (R f )u~R fg츠 (R g)f에 대해서 Rf g-가군으로 간주하여 R fg-동형 사상
1) Spe c (R) 은 R의 소이데알의 집합으로 V (J)={p ES pec (R)IP ::J I} (I는 R 의 이데 알)를 폐부분집 합으로 갖는다. 2) D( j) = {plp E Sp e c (R) , p학}
a : (M1)g~츠 ( M2)f 가 있다 하자. 이때 N:=(M2)1 라 하고 a1 을 표준 준동형사상 M1-(M1)g 과 a 의 합성 이 라 하고 a2 : M2 귁祐 )I 를 표준 준동형사상이 라 두자. 정리 1 • 5 P=M1ITNM과 a1,a2 에 대한 화이버적이면 표준 준동형사 상 /3; : P--+M; (i =l , 2) 는 pf측 MI,Pg 힉祐을 유도한다(앞의 동형사상은 각각 Rf, R g-가군의 사상으로 본 것 이다) . 증명 정리 1. 4 의 (v) 에 의해서 P/~(M1)1IIN i M毒 이때 (M2)1---+NI 는 동형사상이므로 정리 1. 4 의 (i v) 에 의해서 P1~(M1)1 측 M1. Po 에 대해서도 똑같이 증명하면 된다.
정 리 1. 5 의 경 우에 P 는 D(/) U D(g) = D (fg)상에 서 M1 과 M2 를 이 어 붙인 것이라고 하는데 이것은 특히 D(/)UD(g) = Sp e c (R) 일 때 중요 한 역할을 한다 . 보조정 리 1 • 6 ( i ) 가환 R 과 R 상의 가군 M 이 주어 졌을 때 부분 가군 P, Q가 있다 하자. 이때 P= Q일 필요충분조건은 임의의 R 의 극 대이데알 쁘에 대해서 P쁘 =Q감이다. ( ii ) R - 가군의 수열과 사상 a 8 M 一 N一 ➔ P 가 완전할 필요충분조건은 임의의 극대이데알 쁘에 대해서 am /3m M꼬 一 N꼬 一 P! !! 이 완전한 것이다. 예 R - 가군 M 과 D(/)UD(g) = Sp ec (R) 을 만족하는 /,g ER 가 주어 졌다 하자. 만일 P 가 정리 1 . 5 에서처럼 Mf 와 Mg 를 이어붙인 것이라 면 M~P 이다. 왜냐하면 P 가 갖는 보편적 성질에 의하여 사상 a : M _.p가 존재하여 af : Mf - +Pf, ag : M g -+Pg 는 동형사상이 되며, D(/) UD(g) =Sp ec (R) 이므로 임의의 극대이데알 쁘에 대해서도 a므 : M므 一 P프 은 동형사상이 되므로 보조정리 1. 6 에 의해서 M 츠 P 이기 때문이다. 이제 국소적 성질로부터 끌어낼 수 있는 대역적 성질을 살펴보자. 정의 1 • 7 R- 가군 M 에 대해서 M 의 생성원의 집합 {mA}Ae/\ 에 대한
M 의 표시 (pr esenta t i on ) 는 다음의 완전 열 o-.K一 R ^ 一a M 네 울 말하는데 이때 a 는 R ^ 의 표준기저를 이루는 벡터 eA 를 mA(AE/\ ）로 보내며 K=Ker(a) 이다. 또한 K 를 {mA} 의 관계 (rela ti on) 의 가군이라 하며 임의의 K 의 원을 관계라 부른다. 정의 1 • 8 R- 가군 M 에 대해서 적절한 nEN 과 R- 가군의 완전열 0-+K 一 R 드 M 네 이 존재하며 K 가 유한생성될 때 M은 유한 표시된다 한다. 이때 만일 K 가 {vI, … , Vn} 으로 생성되며 v 를 행렬 A 의 행에 적는다 면 M은 A 로 완전히 결정된다. 이 행렬 A 을 M 의 관계행렬 (rela ti on matr i x ) 이 라 한다. 먼저 다음의 보조정리를 위해서 필요한 사상을 설명하자. 두 R- 가군 M, N 과 곱에 대해서 닫힌 부분집합 ScR 에 대해서 R- 선형 사상 HomR (M ,N)_.HomR. (M s,Ns) (a- ➔ as)31 은 Rs- 선형사상 h : HomR (M ,N)s - HomR.( M s,Ns) (s으 갸µ°ii。 ds)4) 3) 틀)=무 4) µs : Ns 潭 乃)=뿡
을유도한다. 보조정리 1. 9 ( i ) M 이 유한 생성 가군이면 h 는 단사이다. (ii) M 이 유한 표시되면 h 는 동형사상이다. c 증명 M 의 생성원 {m1, …m t}와 o-K― -R t _~M-0 을 잡자. ( i ) aEHomR(M,N) 과 sES 에 대해서 으s EKerh 라 하자. 이때 모든 k=l, …,t에 대해서 ~=O 이며 적절한 s'ES 에 대해서 s'a(mk)=O 이 된다. s'a=O 이므로 으s =0 이며 h 는 단사이다. ( ii ) M 이 유한 표시되면 K 가 유한 생성 된다고 가정해도 좋다. h 가 전사임 을 보이기 위해서 표준사상 iM : M-Ms, iN : N-Ns 를 보자. 만일 .f EHomR s( Ms,Ns) 이면 적절한 sES 가 존재하여, nk'= 卍(平 )E iN (N), (k=l,… ,t). nk'= 꾸, nkEN 일 때 8 : R t一 N 는 [J (ek)=nk(k=l, …,t)인 선형사 상이라 하자. 이때 적절한 s'ES 가 있어 (s' [J )(K)=0 임을 보이기로 한 다. 그러면 B 는 a(mk)=s'nk (k=l, …,t)인 선형사상 a : M-N 을 유도 하며 f =µs•s1 。 as 이다. f3를 만든 방법 때문에 Rt f3 I N c 』 』 iN M 一1M Ms 一Sf Ns
은 가환도식이며 i N( /3 (K))=O 이다. K 는 유한 생성되므로 s'ES 가 있어 서 s' /3 (K)=O 이 된다. 정리 1 • 10 D(/)UD(g) = Sp ec (R) 을 만족하는 / , g ER 가 있고 MI 는 R/ －가군으로서 유한 표시되며 Mg 는 R g-가군으로서 유한 표시된다 고 하자. 이때 M 은 R- 가군으로서 유한 표시된다. 증명 가정에 의하여 Rr 가군의 완전열 o-K一 R尸 6 M尸 0 이 존재하며 이때 K 는 유한 생성되고 보조정리 1. 9 에 의하여 a 는 R- 선형사상 Rn-M 으로부터 유도된다. 다시 말하면, R- 가군의 완전열 a 0---.. K一 F一 M (1.1) 을 얻고, F 는 유한 계수의 자유가군이며 (1. 1) 은 완전열 ~ K.,---+ F.,--a-f+ Mr 0 울 유도한다. 또한 Kf 는 유한생성 Rr 가군이댜 마찬가지 이유로 Mg 에 대해서도 (1. 1) 에 대웅되는 완전열 0- K'一 F' —d - +M (1.2) 울 얻는다. (1. 1) 과 (1. 2) 로부터 완전열
(a,_d) 0- U一 釋 F' ,M 내 울 얻을 수 있는데 이때 (a._d) 은 F 상에서는 a 로 F' 상에서는 ― a’ 로 작용하며 U=Ker(a,- a')이다. 보조정리 1. 6 에 의해서 (a,_d) 는 전사 이다• 마지막으로 U 가 유한 생성됨 만을 보이면 된다. a1°
정 리 1 • n ( i ) 만 일 동 형 사 상 i : M1 -M 2 이 있 다 면 aE Aut (F1 Ef> F2) 가 있어서 도식 Fa@l F2드— ( a1,0) 4M l iI (1. 3) F1©F2 M2 은 가환이다. 또한 K를 /3,(K ;) (j =l,2) 와 동일시 하면 a(K1EBF2)= F1EBK2. ( ii ) a(K1EBF i) = F1EBK2 인 aEAu t (F1EBA) 가 있으면, (1. 3) 을 만족 하는 동형사상 i : M1- M:과 있다. 증명 ( i ) F; (j; =l,2) 는 자유가군이므로 동형사상 i : M1- M:제 대 해서 i0a 1=a2°r1 a2= i 0a1°r2 를 만족하는 두 선형사상 ri : F1-F2 와 r2 : F2-F1 을 얻을 수 있다. (x, y )EF1EBF2 에 대해서 a'(x ,y) = (x,y - r1(x)),a' '(x ,y) =(x-r2 (Y), y)라 두자. 이때 a',ri 'EAu t (F1E9A) 이다. 우 리는 a= a' -1 。 a” 가 원하는 사상임을 보이면 된다. (ia1 ,a2)(a(x,y) ) = ia1 (x)-ia 1 rlY) + Q'l(y) = (i°(a 1,0))(x,y) (ia1, a2)(a '(x ,y) ) = ia1 (x) + ai( y)-a2 r1(x) =(O,a2)(x,y) 이며 a''=a' oa 이므로 (0, 야 )0a= i 0(a1,0). 또한 K1EBF2=Ker(a1,0) 이며 F1EBK2 =Ker(O, 따)이므로 a(K1EBF2) = FiEB . Ki.
(iii) 만일 a(K1EBF2)~F1EBK2 인 aEAu t (F1EBF2) 가 있다면 M1 이 /31 EBi dF 2 : K1EBF i-+ F1EBF2 의 여 핵 (cokernel) 이 며 M2 가 i dF,EB 函 F1EBK2-+F1EBF2 의 여핵이므로, (1. 3) 의 도식을 만족하는 동형사상 i : M1-+M2 를 찾을 수 있다. 따름정리 두 완전열 Fi'8一j E 一aj M크 (j=1 ,2) (1, 4) 이 있고 Fj , F/ 는 자유가군이라 하자. M흡 M2 일 필요충분 조건은 aE Au t (F1EBF2) 와 /3 EAu t (Fi ' EBF2EBF1EBF2' ）가 있어서 F1'EBrF2E B.F1((fE3 O 1,iB E dB,Fi, d 麟2r ,,-O)F) 1 EdBl f l (1. 5) F1 년j F2EBF1EBF2'-F1EBF2 이 가환인 것이다. 다음부터 M(rxs ; R) 은 R 상의 원소로 된 rXs 행렬의 집합을 나타 내고, GL(r,R) 은 가역인 rXr 행렬의 집합을 나타낸다고 하자. GL(r,R) 에 속하는 행렬은 행렬식이 단위원 (un it)이다. 임의의 환의 준 동형사상 R-R' 은 자연스럽게 R- 선형사상 M(rXs ; R)-M(rXs : R' ）과 군의 준동형사상 GL(r,R)-GL(r,R') 을 유도한다. 우리는 두 개의 행렬 A1,AzEM(rxs ; R) 가 동치라 함은 적절한 AEGL(r,R) 과 BE GL(s,R) 이 있어서
Ai = A • A2 • B-1 일 때로 정의하고 A1~A 로 나타낸다. (1. 4) 의 두 완전열이 Fj =R 찍 Fj ' =R TI.J ’ 이면 f] 1 은 n1' X n1 행렬 B1 으로 표현되고, f] 2 는 n i' X n2 행렬 B2 로 표현된다. 이때 두 사상 (/3 1EB i dF2,0) 와 (O, i dF,EB /32 ) 를 나타내는 rX s 행렬은 다음과 같다. (OBIOE:] (: >) (1.6) 이 때 r=n,+n2+n,'+ni', s=n,+n2, En, 는 nix ni 단위행렬이다. 위의 따름정리는 M 흡 M2 일 필요충분조건은 (1. 6) 의 두 행렬이 동치라 는 사실로 환언된다. 죽 BI,B2 가 같은 R- 가군을 표시할 필요충분조건 은 (1. 6) 의 두 행렬이 동치인 것이다. 이제 다항식환 R[X] 상의 행렬식 AEM(rX s : R[X] ）을 생각하고 R- 대수 T 의 원 y에 대해서 A( y)는 X 를 y로 치환함으로써 생긴 M(rx s : T) 에 속하는 행렬이라 하자. 특히 A(O) 는 X 를 0 으로 치환 하여 생건 M(rX s : R) 의 원소이다. 우리는 A,,/2 E M(rxs ; R[X]) 가 극대이데알 쁘에 대해서 국소적으로 동치이라 함은 AI,A 의 M(rx s ; Rm[X]) 에서의 상(i ma g e) 이 동치일 때로 정의한다. 보조정리 1 .12 곱에 대해서 닫혀진 집합 ScR 와 세 행렬 A1E M(r X s ; R[X]), A2EM(s X t : R[X]), &EM(r X t ; R[X] ）이 있다. A; (i =l , 2,3) 는 A i의 표준 준동형사상 R[X] ➔ Rs[X] 에 의한 행렬이며 A1 • Ai=/2이고 A1(0) • /2 (0)= /2 (0) 을 만족한다고 하자. 이때 적절한 sES 가 있어서
A,(sX) ·&(sX) =/2(s X). 정리 1 • 13 AEM(rxs ; R[X]) 가 A(O) 에 동치일 필요충분조건은 A 가 임의의 극대이데알 쁘에 대해서 A(O) 에 국소적으로 동치이다. 증명 A 가 모든 국대이데알에 대해서 A(O) 에 국소적으로 동치라고 가정하고 I 는 다음의 성질을 만족하는 aER 의 집합이라고 하자 : f-g EaR[X] 을 만족하는 모든 /,g ER[X] 에 대해서 A(/) 와 A( g)는(대역 적으로)동치이다. 이때 I 는 R 의 이데알인데 왜냐하면 a1,a2E/ 이고 f-g=(ria1 + r2a2)
5) Max(R) ={mlm 은 극대이데알}
A(X)=C ·짜衍· D 를 만족하는 CEGL(r,R꼬 [X]),DEGL(s,R꼬 [X] ）를 찾자(앞으로는 편 의상 -를 생략한다)． 여기에 부정원소(i nde t erm i na t e) Y를 사용하면, A(X+ Y) = C(X+ Y)A(O)D(X+ Y) = ccx+ Y)c(x)-1A(X)D(x)-1D(X+ Y)
C* = C(X+ Y) C(X), -i D* 칵 D(X)-1D(X+ y)라 두면 C* = C 。 (X) + C1(X)Y+… +Cm(X)Ym 이며 C;(X)EM(rxr ; R 프 [X]) (i=l ,… ,m ) 이고 C 。 (X) 는 단위행렬이다. 뿐만 아니라 D*, c• -1 , D* - 1 도 같은 형 식으로 전개된다. 또한 Y--.a'Y 로 치환함으로써 c·, D*, c•-1, D•-1 가 모두 R[X,Y] 상의 행렬의 상으로 표시되는 a'ER\ 쁘롤 찾을 수 있 다. 여기에 보조정리 1. 12 를 쓰면, C(X+ a' Y) C(X)-1, D(X)-1D(X+ a' Y) 는 R[X, Y] 상의 가역 행 렬 I'(X, Y) 와 6. (X, Y) 의 상이 되 는데 I'(X, O), 6. (X , O) 는 모두 단위 행 렬 이 다. 이 제 R.!!!.[X, Y] 상에서 A(X+ a' Y) = C(X+ a' Y) C(X)-1A(X)D(X)-1D(X+ a' Y) 이며 R[X] 상에서 A(X) = I'(X, O)A(X) ~ (X,0). 다시 보조정리 1. 12 를 쓰고 적절한 aER\ 쁘에 대해서 a=a'a 라 두면 R[X,Y] 상에서 A(X+aY)=I '(X, aY)A(X)1::,. ( X,aY) (1.7) 이 성립한다. (1. 7) 에 f-g =a 쩌춘 만족하는 /,g,rp ER[X] 를 대입하면 A( f) = A(g + arp )
=I '(g, a 아 1(g) 6 . (g, a rp) 이고 I'(g ,a q:i)와 6.(g ,a
6) Quille n 참조.
증명 가정에 의하여 R[X] ＿가군의 완전열 (]1 . . a1 R[X]m 一 R[X]n 一 M-0 (1. 8) 이 있다. (1. 8) 을 X 로 나누면 R- 가군의 완전열
Rm 一/31 Rn 一a1 M / XM-+O (1. 8) , 울 얻는다. 만일 BEM(mx n, R[X] ）가 표준기저에 대해서 /3올 나타 내는 행 렬이면 B(O) 는 函울 나타낸다. (1. 8) ' 울 R[X] 로 확대시키고 M/XM=N 을 적용하면 ff1[X ] _ _a 1[X] Rm[X] ―一 R[X] ―一 N[X] 一° (1.9) ' 이 되는데 이때 函 [X](a1[X] ）는 Rm[X] 의 다항식을 계수는 짜파울 적용하고 X는 X로 보내는 사상을 말한다. (1. 9)’ 은 R[X]m 一/32 R[_X] _ 드 a2 N[X]-+ O (1. 9) 와 같고 /3 2 는 B(O) 로 설명된다. 정리 1. 11 의 따름정리로 M 츠 N[X] 일 필요충분조건은 (2n ) X 2(n+ m) 행 렬 A = (OBOEOn) 와 (OEnB(oo:) 가 동치이다. 이때 두번째 행렬은 A(O) 에 동치이다. 따라서 정리 1.13 에 의해서 M~N[X] 일 필요충분조건은 A 와 A(O) 가 임의의 쁘 EMax (R) 에 대해서 국소적으로 동치이다. 완전열 (1. 8) 과 (1. 9) 는 쁘의 국 소화로 완전성이 보존되고 R[X] 꼬츠 R!!!.[X] 이므로 모든 쁘 EMax(R) 에 대해서 국소적으로 확대되어지면 M 은 R 로부터 확대된다.
앞의 정리 1. 15 는 사영가군에 관한 Serre 의 예상의 해결에 중요한 역 할을 한다. 우리는 이것을 3 절에서 다루게 된다. 2 가군의 생성원 M 이 유한생성 R 一 가군이면 M을 생성하는 부분집합의 원소의 수 중 최소의 수를 µ(M) 이라 표시한다. 만일 M 이 자유가군이면 µ(M) 은 당 연히 M 의 계수 (rank) 이다. 보조정리 2 .1 （나께야마 정리) I 는 R의 이데알로 모든 쁘 EMax (R) 에 포함된다고 하고 M 은 R- 가군이라 하자. 부분가군 NCM 에 대 해서 MIN 이 유한생성되고 M=N+IM 이면 M=N. 따름정리 R 이 쁘울 극대이데알로 갖는 국소환이라 하고 R/ 쁘 =k 이 며 M 은 유한생성 R- 가군이라 하자. 이때 m1 , … ,m t EM 에 대해서 다 음은 동치이다. ( i ) M=< m 1,· ,m 1> ( ii ) iii 1, …,iiit EM/ 쁘 M 은 k- 벡터공간으로서 M/ 쁘 M 을 생성한다. 따름정리 앞의 따름정리와 같은 조건에서 ( i ) µ(M)= cli m,,,( M,/쁘 M) ( ii ) m1, … ,m t은 M 의 최소 생성집합이다. ~iii 1, …,iiit EM/ 쁘M은 기저이다. (iii) {m1, … ,m t}가 M 의 최소 생성집합이며 ~r i m i =O(r j ER) 이면 rj E 쁘, i= l, …, t. i= l
(iv) m1, … ,mrEM 은 최소 생성집합으로 연장된다. 仁구fii I, …,fii rE M/ 쁘 M은 k 상에서 일차독립이다. 만일 p ES p ec(R) 아면 µp (M) 은 RP- 가군 Mp 의 최소 생성집합의 원소 의 수를 나타낸다. 또한 임의의 rEN 에 대해서 이데알 I(M,r) 을 다음 과 같이 정의한다. I(M,r)= ~ . Ann(M/
포함될 수 있다. 보조정리 2 . 4 M 은 R- 자유가군이라 하자. aEM 이 모든 쁘 EMax (R) 에서 기본적일 필요충분조건은 〈 a 〉=I= 0 이 M 의 직화인자이다. 증명 a 가 쁘 EMax(R) 에서 기본적이다. ~aR감 1] M쁘 의 직화인자 이다, 쁘 EMax(R). _一〈 a 〉는 M 의 직화인자이다. 이제부터 X는 R 의 J-스펙트럼 J (R) 이라 하자. J(R )={pj pE Sp ce (R), 底 적절한 극대이데알의 교집합} mEM 에 대해서 X(m)={PIPEX=J (R ), m 은 p에서 기본적이다} 으로 정의하자. 또한 이데알 ICR 에 대해서 V( I)= {PIPEX, p각) 라 하자. 보조정리 2.1 의 따름정리(ii)에 의하여 m 이 p EV (I)에서 기 본적일 필요충분조건은 m 의 상 mEM/IM 이 p에서 기본적인 것이다 (동시에 函는 P/1 에서 기본적이다). 정리 2 • 5 X 가 뇌에써 (Noeth e r) 공간이며 d= di mX
여기서 벡터공간 X가 뇌에써공간이란 X 의 폐부분집합의 사슬 (chain ) A1::::::>A2::::::> …이 있을 때 적절한 nEN 이 있어서 A=An, (i~ n) 이 되는 것으로 R 이 뇌에써환이면 J (R) 도 뇌에써공간이다. 또한 공 간 X 의 차원, d i mX 는 su p {nl¢*X1 도·됴 Xn, X , 는 X 의 기약폐부분집합} 울 말한며 R 이 뇌에써환이면 당연히 dim X
µm =max{µp( M) +dim V(p) IP E X(m)} 이라 두면, µp( M)+d i mV( p )=µm 을 만족하는 p EX(m) 는 유한개 있 다. 증명 µp( M)+dim V(p )=µm 을 만족하는 p EX(m) 을 생 각하고 µp (M)=r 이라 하자. 이때 r>O 이며 p:::>J( M,r-1), P::D l (M, r) . Pi근 X(m)n V (I (M,r-1)）의 최소 원소인데 왜냐하면 만일 qE X(m)n V (I (M,r-1)) 이며 p;?q인 q가 있다면 µq(M )=µp( M )= r 이며 µm =µ p( M) + dim V(p) < µq(M ) + dim V(q ) ;:::;; µm 으로 모순이기 때문이다. 이제 정리 2.5 에 의하여 X(m)n V( I(M , r-1) ）은 유한개의 최소 원소를 갖고 서로 다른 I(M,r) 의 갯수는 유한 개이므로 증명은 성립한다. 정의 2 • 6 M 의 부분가군 U 와 kEN 가 있다. p ES p ec(R) 에서 U 가 k 번 기본적이라 함은 µp( M)-µp ( MI U) 2 k 임을 말한다. 이것은 나께야마의 정리에 의하여 적어도 k 개의 Up 의 원소를 포함하 는 Mp 의 최소 생성집합이 있다는 말과 동치이다. 또한 mEM, U= 〈 m 〉일 때 U 가 p에서 한번 기본적인 것은 m 이 p에서 기본적이라는 것 과갇다.
보조정리 2 • 7 {m1, … ,m t }CM 이며 {P1, … ,Pr}CS pe c(R) 이고
이므로 U 는 p; (i < r) 에서 k,번 기본적이므로 a;=a/+ a /' a (i= l , .. ·, t -l) 로 두면 증명은 성립한다. 정리 2 • 8 X= J (R) 은 뇌에써공간이라 하고 d i mX < oo 이라 하자. M= 〈 m1,·,m1 〉이며 임의의 p EX(m,) 에 대해서 µp(M ) + dim V(p) < t 라 하자. 이때 적절한 aI, … ,a1-1ER 이 존재하여 M=< m ,+a,m1,·, m1-1+a1-1m1> . 증명 만일 X(m t)국이면 임의의 p EX 에 대해서 MP=< m 1,… , m t-i >RP 이고 특히 p EMax(R) 에서도 성립한다. 보조정리 1. 6 에 의하 여 M= 〈 m1, … ,m t -I 〉이므로 a1= ••• =a1-1=O 이면 된다. 만일 X(mt ) *¢이면, µ=max{µp ( M)+dim V(P)IPEX(m,)} >O 이고 t >2 이다. 따름정리 2.5 에 의하여 µp (M)+ di mV( p)=µ인 PE X(m1) 는 유한개 있고 보조정리 2.7 에 의하여 이들 p에 대하여 m1+ a1m 가 p에서 기본적이 되게 하는 · a1ER 이 존재한다. M'=M/ 〈 m1+a1m1 〉이 m2, … ,mt의 상 m 갑 ·m1’ 로 생성되며 X(mt ') CX(m t)이다. µp( M)+d im V( p)=µ롤 만족하는 p EX(m1) 에 대해서 µp (M')<µ p (M) 인데 이는 m1+a1m 가 이들 p에서 기본적이기 때문이 다. 따라서 µ'=max{µ p (M')+ di mV( p )IPEX(m/)}<µ 이므로 µ'
이면 정리는 t보다 작은 값에 대해서 이미 성립하므로, 적절한 a2,·· ·, a1-1ER 이 있어서 M'= 〈 m2'+a2m1', … ,m,-1 ' +a1-1m t'〉이며 M=< m 1+ a1m1,… ,m1-1 + a1-1m1 〉이 다. 따름정리 1> X= J (R) 은 뇌에써공간이며 dim X
7) Fors t e 다 Swan 참조.
3 사영가군에 대한 정리 사영가군은 자유가군의 직화인자이다• 두 가군은 여러 가지 성질을 공유하고 있는데 기하적인 측면에서 보면 사영가군은 벡터속 (vec t or bundle) 에 해당되며 자유가군은 자명한 벡터속에 해당된다. 정의 3 .1 ( i ) M 이 R 상의 사영가군임은 R 상의 가군 M' 이 있어서 MEBM' 이 자유가군일 때를 말한다. (ii) M 이 국소적으로 자유가군임은 임의의 쁘 EMax(R) 에 대해서 M!!!. 이 R!!!. 상의 자유가군일 때를 말한다. 정리 3 • 2 다음은 모두 동치이다. ( i ) M 은 사영가군이다.
(ii ) R- 가군의 전사 사상 a : A--+B 에 대해서 HomR(M,a) : Hom R(M,A) 표 HomR(M,B) (Ea 라)은 역시 전사 사상이다. (iii) R- 가군의 완전열 0--+C--+D--+M--+O 은 분열된다. 따름정리 M 이 유한생성 사영가군이라 하자. 이때 유한생성 R- 가군 M' 이 존재하여 MEBM' 은 자유가군이 된다. 정리 3.3 R 은 극대이데알 쁘을 갖는 국소환이며 M은 유한 표시되 는 R- 가군이라 하자. 이때 다음은 동치이다. ( i ) M 은 자유가군이다. ( ii ) R- 가군의 완전열 a /3 0--+K一 P一 M--+O 이 존재하고 이때 P 는 사영가군이며 a 로 유도된 K/ 쁘K -P/ 쁘 P는 단 사이다. 증명 (ii)~( i )만 보이면 된다. µ(M)=r 이면 완전열 a 。 8 。 0 一 K。 一 F。 一 M 네 이 존재하여 이때 Fo 는 계수 r 의 자유가군이다. 정리 3.2 의 (ii)에 의 하여 /3＝/3 0°C 가 되는 사상 e : P-.Fo 가 존재한다. 이들로 부터 유도된 7} 환도식 lP / 쁘P /\M /코 Fo/ 쁘F 。
이 얻어지는데 Fol 쁘 F。 -M/ 쁘 M은 전단사이다. P/ 쁘 P-Fo/ !!J: Fo 는 전 사이므로 Fo=c(P)+ 쁘 Fo, 따라서 나께야마의 정리에 의하여 Fo= E(P) 이고 c 는 전사이다. 또한 e으 로부터 유도된 c' : K-Ko 는 전사이 며 Ker c'= K er E (K 는 a(K) 와 같이 보자)． 따라서 다음의 완전한 행 과 열로 된 가환도식을 얻는다. 0LI 0LI F1 =F1 。一 KiI 그」 PLI 오 M 一。 (3.1) 。一 』 €' 』 c II KLI0 뿌」 FLIo 뿌+ M 一 0 0 0 M 이 유한표시 되므로 유한계수의 자유가군 F 와 유한생성 R- 가군 K1 으로 된 완전열 O-+K1-+F-+M-+O 을 얻는데, 이것을 0-+K-+P-+M-+ 0 에 대입시키면 Ko 는 K1 의 준동형상으로 K쵸 유한생성 된다. 도식 (3.1) 을 쁘으로 나누면 RI!!!:. 벡터공간으로서의 도식을 얻는다. F1/!!!:.F1 =F10/!!!:_F1 I I 。一 i i K/!!!:.K 一 P/!!!:.P-M/! !J:.M 네 l l II KO I!!!:. Ku --+ F。 !!!!:.F。 ~Ml!!!:.M 네 LI iI 0 0
(ii)의 조건에 의하여 가운데 행은 완전하며 Fo 는 자유가군이므로 。一 FI 一 P 一 F。 -o 은 분열하므로 두번째 열도 완전하다. 이제 K。 / 쁘 &-+Fo l 쁘 Fo 는 단사 이며, Fo l 쁘 F。 -+M/ 쁘 M 은 동형사상이다. 따라서 K。 / 쁘 Ko = 〈 O 〉이며 Ko 는 유한생성 되므로 나께야마의 정리에 의하여 Ko=< O >. 죽 M 즈 F。 이므로 M 은 자유가군이다. 따름정리 국소환 상의 유한생성 가군이 자유가군이 될 필요충분조건 은 사영가군이다. 따름정리 환 R 상의 유한생성 가군 M 에 대해서 다음은 동치이다. ( i ) M은 사영가군이다. (ii) M 은 유한표시 되며 국소적으로 자유가군이다. 정의 3 . 4 유한생성 사영가군 P 와 p ES p ec(R) 에 대해서 µp (P) 는 P 의 p에서의 계수 (rank) 라 불린다. 만일 임의의 p ES pec(R) 에 대해서 µp( P)= r 이면 P 의 계수는 r 이다. 따름정 리 P 가 유한생 성 사영 가군이 라 하자. 이 때 µp(P) 는 Sp ec (R) 의 연결성분 (connec t ed com p onen t)에서 상수이다. 증명 유한생성 사영가군 F 에 대해서 PEBP'~l 건이라 하자. 이때 임의의 p ES p ec(R) 에 대해서 µp (P)+µ p(P' )=n 이다. 따름정리 2.2 에 의하여 임의의 rEN 에 대해서
U = {pjpE Spe c(R), µp(P ) 도 까 은 개부분집합이다. U={p jpE Sp e c(R), µp(P' )2n 一 r} 이므로 U 는 역시 폐부분집합이다. 마찬가지로 {plp E Sp e c(R), µp(P )~ r} 도 역시 개부분집합이며 폐부분집합이다. 따라서 µp (P)=r 을 만족하 는 p의 집합도 마찬가지이므로 증명은 성립된다. 따름정 리 반국소환 (semi lo cal rin g ) 상의 유한생 성 가군 M 에 대 해 서 다음은 동치이다. ( i ) M 은 Max(R) 상에서 일정한 계수를 갖는다. ( ii ) M 은 자유가군이다. 계수에 대해서 좀 더 상세히 알아보자. 정리 3 • 5 P 가 유한생성 사영가군이라 하고 p ES p ec(R) 에서의 계수 가 r 이라 하자. 이때 f ER \p가 있어서 pf는 계수 r 의 Rf -자유가군이 다. 증명 {w1, … ,Wr} 은 PP 의 기저라 하자. 이때 우리는 W i를 w 「 EP 의 상으로 잡을 수 있다. 이제 완전열 a 0---+K--+Rr 一 P--+ C--+O 를 잡는데 이때 a 는 표준기저의 원소 e i를 w;* (i =l, … ,r) 로 보내며 K=Ker a, C=Coker a 이다. 가정에 의하여 C p=〈 O 〉이고 C 는 유한
생성 되므로 cf =〈 O 〉이 되는 /ER \t를 잡을 수 있다. 또 PI 는 사영 Rr 가군이므로 o-+ Kr -떄}---+ P尸 0 은 분열한다. 따라서 Kf 는 유한생성 Rr 가군이며 KP= 〈 O 〉이므로 Kf g=〈 O 〉인 g ER\ p가 있다. 고로 %는 계수 r 의 R fg-자유가군이다. 일반적으로 사영가군을 다음과 같은 방법으로도 만들 수 있다. D( f) UD( g )=S p ec(R) 을 만족하는 /,g ER 가 있고 R J상에서 유한 계수의 자유가군 R과 R g상에서 유한 계수의 자유가군 E 가 있다고 하자. 이 때 R fg-가군으로서 동형 사상 a : (F1)u--츠-+ （ F2) f가 있으면 정 리 1. 5 에 서 처럼 R과 F2 를 이어붙여서 얻은 R- 가군을 P 라 하면 P 는 사영가군 이 된다. 왜냐하면, 정리 1. 10 에 의하여 P 는 유한표시 되고, 또한 국 소적으로 자유가군이 되기 때문이다. 이제 우리는 다항식환 R[X] 상의 사영가군에 대해서 알아보자. 정리 3 • 6 (Horrocks 정리 )8) R 은 쁘울 극대이데알로 갖는 국소환이 라 하고 M은 유한생 성 R[X] －가군이라 하자. 또한 Mf 가 R[X] f-자유 가군이 되는 모닉다항식 /ER[X] 가 있다고 하면 M 은 R[X] －자유가군 이 된다. 증명 M 의 원소로 구성된 R[X]r 가군 Mf 의 기저를 잡고 이들로 생 성된 부분가군을 F 라 하자. 이때 P=M/F 라 두면 Pf =O 이므로 적절 한 nEN 이 있어서 rP=O 이고, 8) Horrocks 참조.
P ~ (M/F)/r(M/F) 츠 (MlrM)/((F+rM)/rM). 고로 M/rM 은 S= R[X]/(r) 상의 유한생성 사영 가군이다. 또한 f는 모닉다항식이므로 S 는 유한 계수의 R- 자유가군이기 때문에 M/rM 은 유한 계수의 R ―자유가군이다. (F+rM)/rM 도 R- 가군으로서 유한 생성 되므로 P 는 R- 가군으로서 유한표시된다. 만일 f가 f의 R/ 쁘 [X] 에서의 상이면 (F/ 쁘 F);=(M/! !J: M) 1 이므로 표준사상 F/ 쁘 F-+M/ 쁘 M은 단사이다. M 은 R- 사영가군도 되 므로 정리 3.3 을 완전열 0-+F-+M-+P-+0 에 적용하면 P 는 R- 자유가군 이 되고 M~FEBP 이다. 정리 3. 6 의 증명을 완성하기 위하여 P1, .. ·,iis 가 R- 가군 P 의 기저가 되도록 P1,·,PsEM 롤 잡고 {Ps+1, … ,P t}가 F 의 R[X] －기저라 하자. 만 일 s=O 이면 증명은 이미 끝나므로 s>O 이라 하자. k=l, … ,s 에 대해서 식 一 Xp k= i2=s al ki-p i+ i=2&n + l blr.iP j ( ak:·ER, blr.i E R[X]) (3.2) 울 얻을 수 있으므로, 임의의 관계식 iZ=s la i-p i+ i.= 2 Bt + I bjp j=O (ai, b jE R[X])
은 (3.2) 를 써서 i2=s la ip i+ i=2 _st_ + · b~J p J= O (aiE R, b~i E R[X]) 으로 된다. 이때 M~PEBF 이므로 a;=bj= O (i=l ,···,s,j = s+1,… ,t). 따라서 M 의 R[X]- 가군으로의 생성집합 {P1, … ,P1} 는 관계행렬로 (A+XEIB) A=(a,.;), B=(b 미 a,.;ER, blv ER[X] (3 . 3) 울 가질 수 있는데, 이때 E 는 단위행렬이다. 한편 B=Bo+(A+XE)B 를 만족하는 BoEM(sx (t-s ) ; R), BE M(sx(t- s ) ; R[X] ）를 잡은 후 (3.2) 식을 다음과 같이 바꾼다. (A+ XE)[ ( P:1) 1 기,Ps+: )11 ] I +B 。,P(s:+ ) I= O Ps Pt Pt 따라서 pi(i =l, … ,s) 를 적절한 p;(j= s+1, .. ·,t)의 일차결합으로 바꾼 후 (3.3) 의 행렬을 정리하면, B 의 원소들도 R 에 있게 된다. 보조정리 3 • 7 (A+XEIB) 의 모든 sXs 소행렬식 (m i nor) 으로 생생 되는 R[X] 의 이데알은 R[X] 자신이다. 증명 임의의 !!!:.EMax(R[X] ）에 대해서 M프 은 R[X] 쁘_자유가군이고 (M! .!1.)f=(~김f이므로 M표 F프 과 같은 계수 t _s 를 갖는다. 또한 완전 열 0-+K-+R[X] 쁘 1-+Mm-+O, (K 는 (A+XEIB) 의 행벡터로 생성되는 R[X]~ 의 부분가군)은 분열되므로 K 는 계수 s 의 R[X] 므-자유가군이 다. 행렬의 행벡터들은 R[X] 프의 기저로 연장될 수 있으므로 sXs 소
행렬식 중 적어도 하나는 R[X] 프의 단위원이어야 한다. 이 제 보조정 리 3 . 7 로 부터 g는 det( A + XE) 라 두고 I 는 B의 원소들 로 생성되는 R의 이데알이라 하면 R[X]=R[X] g +R[X]I 이다. g가 모닉다항식이므로 T=R[X]/( g)는 R- 자유가군이다. T= TI 이므로 I = R 이며 R 은 국소환이므로 적어도 한 개의 B의 원소는 R 의 단위원이 다. 행렬 (3 . 3) 에 기본적인 행(혹은 열)에 대한 작용을 하면 다음과 같은 형태로 변한다. 二二) (3.3) ' (A ' ,B' 는 R 의 원소로 된 행렬이며 E ' 는 (s 一 l)X(s-1) 단위행렬이 다)． 이때 (3.3)’ 에 대해서도 보조정리 3.7 은 똑같이 성립하며, 위의 작 용을 반복하면, (OIE) (E 는 sx s 단위행렬)의 형태의 행렬로 된다. 다 시 말하면, M 은 계수 t -s 의 R[X] ＿자유가군이라는 뜻이므로 정리 3.6 의 증명은 성립한다. 정리 3 . 6 을 일반화하면 다음과 갇다. 정리 3 • 8 (Qu il len -Suslin ) R 이 임의의 환이며 M 이 R[X] 상의 유 한 생성 사영가군이라 하자. Mf 가 R[X] f-자유가군이 되는 모닉다항식 /ER[X] 가 있다면 M 은 R[X] －자유가군이다. 증명 먼저 M 이 R 로부터 확대 되어졌음을 보인다. 임의의 쁘 EMax (R) 에 대해서 M프 은 유한생성 R므 [X] ＿사영가군으로서 (M프 b 는 자유가
군이다. 정리 3.6 에 의하여 M프 은 R프 [X] －자유가군이므로 당연히 R므으 로부터 확대된다. 여기에 정리 1. 15 를 적용하면 M은 R 로부터 확대되 므로 적철한 R- 가군 N 이 있어서 M 측 N[X] 이다. 이때 N 즈 M / XM 이 며 N[X]/(X-l)N(X) 츠 N 이므로 증명을 위하여 M/(X ― l)M 이 R- 자 유가군임만 보이면 된다. 이를 위하여 부정원소 x-1 로 된 또 하나의 다항식환 R[X 기울 생각하고 R- 동형사상 x-1 一_l_X_ 으로 R[x-1 ]x -1 과 R[X]x 를 같은 환으로 간주하며 R[X,X 기로 나타 낸다. R[x,x-1] 에서 두 원소 f= Xn+a1xn-1+··· +an g= l+a1X-1+… +anx-n (a 諱) 를 택하면 g =x-n1 이고 x-n 은 R[x,x-1] 에서 단위원(unit)이므로 R[x,x-1J f 츠 R[x,x-1Ju 인데 Mf 는 R[X] f-자유가군이므로 (Mx) f츠 (Mx) g는 R[x,x - 1] g-자유가 군아다. 또한 x-1 과 g는 R[x-1] 을 생성하므로 S p ec(R[X 기) = D(X 게 UD (g) . 한편 정 리 1. 5 에 의 하여 R[X-1] －가군 M' 가 존재 하여 M' g는 (Mx) g와 같은 계수의 R[x-1] g-자유가군이 되며 R[x,x-1] －가군으로서 M'x-1 와 Mx 는 동형 이 된다. 이때 정 리 1. 10 에 의하여 M' 논 유한표시 된다.
또한 임 의의 쁘 EMax(R) 에 대해서 (M' 김 x-I 츠 (M깊 x 는 R!!!.[X,X 기상의 자유가군이며 x-1 는 R[x-1] 의 모닉다항식이므로 정리 3.6 에 의하여 M 날은 R!!!.[x-I]- 자유가군이다. 고로 M' 는 유한표 시 되며 임의의 쁘 EMax(R) 에 대해서 국소적으로 확대되어지므로 정 리 1. 15 에 의하여 M' 는 R 로부터 확대된다. 죽 적철한 R- 가군 N' 에 의하여 M'=N'[X-1] 이며 이때 N' ~M'/X-1M' 익 M'/(x-1-l)M'. Mg '는 R[x-1]u- 자유가군이며 g= l mod(X-1) 이므로 Mu '/X -1Mg ' 익 M'/X-1M' 는 R- 자유가군이며, 따라서 M'/(X-1-l)M' 도 역시 R- 자유가군이다. 그런데 M/(X-l)M 킥 Mx/(X 거 )Mx ~ M'x-1/(X- 드 l)M'x-1 츠 M'/(x-1-l)M' 이므로 M/(X-l)M 도 R- 자유가군이다. 이제 우리는 다음의 정리를 증명할 수 있다. 정 리 3 . 9 (Serre 의 예 상) K 가 주이 데 알 정 역 (princ ipa l ide al
domain ) 이면 K[X1, … ,Xn] 상의 유한생성 사영가군은 자유가군이다. 증명 n=O 이면 주이데알 정역상의 유한 계수의 자유가군의 부분가군 은 역시 자유가군이므로 정리는 성립한다. 따라서 n>O 이라 하고 n ― 1 개의 변수의 다항식환에 대해서 정리가 성립한다고 가정하자. 만일 M 이 K[XI, … ,Xn] 상의 유한생성 사영가군 이며 S 는 모든 K[XI] 의 모닉다항식으로 된 곱에 대해서 닫혀진 집합 이라면 Ms 는 K[X1, … ,X泊 K[Xds[X2,' ' ',Xn] 상의 사영가군이다. 이때 K[Xi ] s 는 주이데알 정역이고 귀납법의 가정에 의하여 Ms 는 K[X1, … ,Xn]s- 자유가군이 된다. 정리 3.5 의 증명에서처럼 Mf 가 K[X1, … ,X』 f-자유가군이 되는 /ES 가 존재하므로 정리 3.8 에 의하여 M 은 K[X1, ·,X』 -저-가군이다. 정리 3.9 는 다음과 같이 더 일반화 될 수 있다. 죽 K 가 주이데알 정 역이며 R=K[ t 1, t 1-1, …,t m,t m-1,S1',Sn] 일 때 유한생성 R- 사영가군은 자 유가군이다 .9) 또한 R 이 정칙국소환일 때 유한생성 R[X] －사영가군아 자유가군인가 를 묻는 Bass- Qui llen 문제가 있는데, dim R=2 일 때는 M urthy lO) 가 증 명을 하였고 dim R=3 이며 ch R =t= 2,3 일 때는 Rao11 : 가 밝혔다. 9) Lam 참조. 10) Mu rthy 참조. 11) Rao 참조.
만일 자유가군이 아닌 사영가군이 있다면 우리는 가능한 한 최대의 계수를 갖는 자유가군을 그의 직화인자로 뽑아 내려고 애쓸 것이다. 아 런 관점에서 쎄어의 분열정리 (Serre's Spl i tt ing - o ff Theorem) 를 살펴 보자. 보조정리 3.10 P 와 Po 는 R 상의 유한생성 사영가군이며 Po 는 계수 1 을 갖는다고 하자. ( i ) P* = HomR(P,Po) 도 R 상의 유한생 성 사영 가군이 며 임 의 의 PE S p ce(R) 에 대해서 µp( P*)=µp( P ). ( ii ) 표준 R- 선형사상 a : p-. HomR(HomR(P,Po),P o ) 는 동형사상이다. 이때 a 의 mEP 에서의 상은 t EHomR(P,Po) 을 t (m) 으로 보내는 선형사상이다. 증명 ( i ) 적절한 r,sEN 에 대해서 PoeP。 至 ;Rr, P® P'옥 Rs 가 되 논 P。 ’ , F 를 잡는다. 이때 HomR(P,Po) 는 HomR(RS,Rr) 츠 R 의 직화인 자이므로 유한표시 되는 사영가군이다. 여기에 보조정리 1. 9 를 쓰면, 모든 p ES p ec(R) 에 대해서 Pp* 츠 HomRi Pp 1 ( Po)p) . Po 의 계수는 1 이므로 (Po) p축 RP 이고 Pp 는 RP- 자유가군이므로 P; 도 Pp 와 갇은계수를 갖는다. (ii) 보조정리 1. 9 에 의하여 며t 국소화 시켜서 보면 된다. 임의의 쁘 EMax(R) 에 대해서 a 로부터 유도된 사상 a.!!!.은 전단사이다. 왜냐하
면 P프은 자유가군이며 (Po) 프츠 R 프이고, 유한계수의 자유가군에서 그의 이중쌍대 가군으로 가는 표준사상은 전단사이기 때문이다. 이제 보조정 리 1. 6 을 쓰면 a 는 전단사이다. 정리 3 .11 에어의 분열정리) X는 환 R의 ]－스펙트럼이라 하자. X가 유한차원의 뇌에써공간이며 Po 는 계수 l 의 유한생성 사영가군이 라 하자. 만일 P 가 유한생성 사영가군아며, 임의의 p EX 에 대해서 µp (P)>d i mX 이면 적절한 R 상의 (사영)가군 P' 가 있어서 P~PoEBP' 를 만족한다(즉 P는 Po 를 직화인자로 갖도록 분열된다. ) 정리 3.11 의 증명을 위하여 기본적 원소 (bas i c elemen t)에 대한 다음 의 정리가 필요하다. 정리 3 .12 (아이젠버드-에반스 )12) X 는 S p ec(R) 이거나 R 의 ] － 스펙 트럼이라 하자. 또 X는 뇌에써공간이며 M 은 유한생성 R- 가군이라 하 고 m1, … ,m1EM 은 모든 PEX 에 대해서 µp( M)-µ p (M/ 〈 mI, … ,m t〉)책 m i n {t ,d i mV( p )+1} 을 만족한다고 하자. 이때 모든 p EX 에 대해서 m1+a2m2+… +atm t 가 기본적이 되는 a2,·,a1ER 가 존재한다. 정리 3 . 11 의 증명 : d.i mX=d 라 두자. {m1, … ,m t}가 P 를 생성하는 집합이면 t~ d+l. 여기에 F=PEB P'가 자유가군이 되도록 유한생성 가군 F 를 잡으면 12) Eis e nbud-Evans [1] 참조.
µp( F)-µp( F /
µp(M )-µp( M/
t >d im V(p) - 1 => µµqp(( MM)) —-µµpq ( ( MM)) 착 m i n {t,d i m V(q )+ 1} >dim V(p) + 1 이므로 모순이고 針근 AT(M) 에서 극소이다. 정리 3 • 12 의 증명 : 정리의 조건 하에서 임의의 sEN, l~s~ t에 대 해서 m~s> = m;+ j.= ~st + ·. aum; (i= l,… , s ; auER) 이며 또한 임의의 p EX 에 대해서 µp(M )-µp ( M/
이므로 m 은 p에 대해서 기본적이다. mIs),···,m y)를 만들기 위하여 s= t인 경우는 m1,···,m1 를 그대로 두면 된다. 만일 l
4 이데알의 여법가군에 대한 정리 환 R 의 이 데 알 I 에 대 해 서 R/l- 가군 II I'을 I 의 여 법 가군 (conor- mal module) 이 라 한다. 이 때 µ(I) ~ µ(II1 2) 인 것은 자명하다. 우리는 이 점에서 I 의 여법가군에 대한 정보로부터 I, 특히 µ(I)에 대해서 알아보기로 한다. 보조정리 4.1 뇌에써 환 R 과 그의 이데알 I 에 대해서 다음은 모두 동치이다. ( i ) 모든 n~l 에 대해서 I=F 이다. ( ii ) 모든 n~l 에 대해서 F/In+1=0 이다. (iii) I 는 R 의 멱등 원소(i dem p o t en t elemen t)로 생성되는 주 이데 알이다. 증명 ( i )과 (ii)가 동치임은 자명하다. 또한 (iii)~( i )도 자명하 다. ( i )~(iii)울 증명하기 위하여 I 의 생성 원소 a1, … ,am 을 잡으면 I=F 이므로 ai = 2m rik ak (i=1 ,… , m,r,,.E/) i= 1 라고 적을 수 있다. 이때,
det( E -(y,- ,.))a,.=O (k=l, .. ·,m). (4.1) 단, E 는 mXm 의 단위 행렬이다. 행렬식을 전개하면 적절한 aE] 에 대해서 det( E -(r;k)) = l-a 인데 a 는 ak 의 일차 결합이므로 (4.1) 로 부터 (1-a)a=O, 죽 a2=a 이 다. (1-a)a,.=0 이므로 a,.=a,,a (k=l, … ,m) 이고 l=(a) 이다. 정리 4.2 뇌에써 환 R 과 I 의 이데알 I 에 대해서 ht( I) s µ(I/I') s µ(I) s µ(I/I') + 1. 만일 µ(I I I')>di mR 이면 µ(I)=µ(I I I')이다. 증명 나께야마 정리에 의하여 임의의 PE V(I) 에 대하여 µ(Ip/ B) = µ(Ip) 이며 크를 (Krull) 의 정 리 13) 에 의 하여 ht( I p) < µ(Ip) 이므로 ht( I )<µ(I/F). 13) Mats u mura 5 장 참조.
반면 µ(1) ~ µ(1// 2) + 1 을 보이 기 위 하여 1/ I'에 서 의 잉 여 류 (resid u e class) 가 R/1- 가군으로서의 최소 생성집합을 이루는 원소 a1,--·, a mEI 울 생각하자. 이때 R=R/(a1,… , am), I=I/(a1, … ,am) 이라 두면 T= T 인 앞의 정리 4 . 1 에 의하여 T 는 주 이데알이며 I 는 m+l 개의 원으 로 생성된다. 다음으로, m=µ (I I I' )>d i mR 이라 가정하자. 다음의 보 조정리 4.3 에 의하여 a1, … ,amEI 이 존재하여 임의의 PE V(a1, … ,am) 로 서 p또 V(I) 이면 h t(p )~m 이 되게 할 수 있다. 지금 이 경우에는 V(a1, … , am)\V (I)=¢이므로 T 는 R 의 멱영 이데알(ni l p o t en t i deal) 이 다. 또한 T 는 멱등 원소(i dem p o t en t elemen t)로 생성되므로 T=0 즉 µ(I) =µ (II!2 ) . 보조정리 4.3 R 의 두 이데알 ]Cl 가 V( I)= V (J)이며 µ(I/J) =m 이 라 하자. 또 P1,···,PsES p ec(R) 이며 1< t UP j라 하자. 이때 다음의 조건 j= I 을 만족하는 a1, … ,amEI 을 찾을 수 있다. ( i ) I=(a1,… ,am)+] ( ii ) a 효 Up j (i=l ,… , m) j= l (iii) 만일 PE V(a1,·00,am) 이며 p또 V(I) 이면 ht( p) ~m. 다항식환의 이데알에 대해서는 정리 4.2 를 더 다듬을 수가 있다. 아 래의 증명에서는 사영가군에 관한 정리 3.8 의 결과가 이용되며, 다음의 보조정리를 필요로 한다. 보조정리 4 . 4 S 는 R 의 정수적 확대환(i n t e gr al exte n sio n ri n g)이라 하면 다음의 사실이 성립한다.
가 rp(p)=p nR 로 주어지면, ( i ) 습 전사이며 닫혀진 사상이다. ( ii ) pi, J>i ES p ec(S) 이고 P1CP2 일 때 rp( P1)= rp(拓)라면 P1=P2 이다. (iii) 습 Max(S) 를 Max(R) 로 보내며 rp -1(Max(R))=Max(S) 이다. (iv) dim R=dim S. 정리 4 . 5 1') P 는 di mP< (X)인 뇌에써 환이며 R=P[X] 라 하자. 만 일 R 의 이데알 I 가 모닉다항식을 포함하며, m = µ(III ' ) ~ dim RII + 2 라 하면 계수 m 의 유한생성 P- 사영가군 M 이 존재하여 I 는 M[X] 의 준동형 상으로 표시된다 .15) 특히, 임의의 유한생성 P- 사영가군이 자유 가군이 된다면 µ(I) = µ(II!2 ) 이다.
14) Mohan Kumar [까 참조. 15) 임의의 유한생성 P- 사영가군이 자유가군이 된다는 가정이 없어도 공식 은 성 립 한다 (Mandal 참조) .
증명 먼저 If 가 Rr 가군으로서 m 개의 원소로 생 성 되며 Jg =R g가 되는 D(/)UD( g )=S p ec(R) 을 만족하는 f,g EP 를 찾아보자. 이를 위 하여 a1El/ I'가 I/ I'의 최소 생성집합에 포함되는 a1 을 I 에서 택한다. 이때 필요하다면 I 에 있는 모닉다항식의 충분히 큰 멱원을 a1 에 더함으
로써, a1 이 모닉다항식이라 가정해도 좋다. S=R/(a,) 이라면 S 는 유한 생성 P- 가군이고, ]=InP, I* =I 의 S 에서의 상이라면, rnP=J =JS nP 이고 S/ JS 와 S/ 1*는 P/ J의 정수적 확대환이다. 따라서 보조정 리 4 . 4( i v) 에 의하여 dim R/I = dim S/I* =dim P/J =dim S/JS =dim S/]2 S . 한편 T 는 I 의 S/ ]2 S 에서의 상이 면 µ( TI T2) = µ(III 2)-l >dim R/1 =dim S/]2 S . 따라서 정리 4.2 에 의하면 T 는 m-1 개의 원소로 생성되므로 a;,… ,a : EF 가 있어서 I*=(a1,… , a:)+J S. (5.1) 이제 나께야마 정리를 적용하기 위하여 S 를 N=l+ J에서 국소화시킨 다. ]SN 이 SN 의 임의의 극대 이데알에 포함되는 것을 보이기 위해서는
보조정리 4.4 에 의하여 JP N 이 PN 의 모든 국대 이데알에 놓여 있음만 보이면 된다. l+ JP N 이 PN 의 단위원소로 구성됨은 자명하며, 만일 어 떤 쁘 EMax(P사 이 있어서 xEJ PN x$ 쁘이면 1=p 1 x+p 2, PIEPN, p 2E 쁘 이므로 P2=l- p 1xE 쁘 n(l+ JP.사 이어서 모순이다. 따라서 (5 . 1) 에 나께야마 정리를 적용하면 IJ = (a;,… , a:)sN, a2, … ,amEI 이 ar 를 나타낸다면, IN=(a1,… ,a m)RN. 따라서 /EN 가 존재 하여 h= (a1, .. ·,am)Rf . 여기에 g =l- f라 두면 g E J이며 ]g= Rg . 또한 f+g =l 이므로 D(/)U D(g) = S pe c(R) 이 다. 이제 원하는 P- 사영가군 M 울 찾자. 먼저 {a,,· .. ,a 나에 따르는 RI- 가 군 I1 의 표시를 보자.
。一 K 一 R7 一 I1 一 O (5 . 2) Jg는 R g-자유가군이므로 (5.2) 를 국소화시키면 분열되므로 Kg 는 Rfg =Pf g [X] 상의 사영가군이다. 또 완전열 O--+(Kg )a1--+(R1g 도 (I/g )aI--+0 에서 U1g )a1 =- (R1 g )a1a1 이므로 (Kg )a i은 (R1 g )a i =P1g [X]a1 상의 자유가군 이 다. a 1 은 모닉다항식 이므로 정 리 3 . 8 에 의 하여 Kg 는 R/g -자유가군이 고 다음의 보조정리의 조건에 맞게 된다. 보조정리 4 • 6 I 는 R 상의 유한 생성가군이며 디음의 조건에 맞는 m EN+ 과 f,g ER 가 있다고 하자. ( i ) D(/) U D(g) =S p e c(R) ( ii ) Jg는 m 이 하의 계수를 갖는 R g-자유가군이 다. ( iii) R/ －가군의 완전 열 /31 o-K 기 R 'J一 I/ 내 이 있고 Kg 는 R/g -자유가군이다. 이때 I 는 계수 m의 R- 사영가군의 준동형 상이 된다. 증명 F1=RJ F2=R:' 이라 하자. 조건 (ii)에 의하여 자유가군을 핵 으로 갖는 /32 : F2- Jg가 있다. Kg 가 Rf g-자유가군이므로 다음의 가환 도식 (5 . 3) 을 만족하는 Rf g상의 동형사상 a : (F1) 。프一 (F2) 가 있다.
(a11) g/昊I fg (5.3) (F2b (82)f 이제 두사상 a F14(F1) g一 (F2)1, 도 (F2)1 에 대 해서 (F2)/ 상의 R 과 R 의 화이 버 적 을 F 라 하자. I 는 I/ g상의 II 와 I( J의 화이버적이므로, 다음의 가환도식을 만족하는 h : F-. J가 존재 한다. ,-F I• h /31 /~)IJf \ F\F…… …2 ····~···I Ii Ifg 이때 h f는 /3 1 과 h9 는 /32 와 같고, /3 1, /32 는 전사 사상이며 D(/)UD(g) = S pec (R) 이므로 妃i 전사이다. 또한 Ff 츠 F1, Fg ~F2 이므로 정리 1. 10 에 의하여 F 는 유한표시 된다. 그리고 F 는 계수 m 의 국소적으로 자유가 군이므로 F 는 계수 m 의 유한생성 사영가군이다. 이제 F 를 만들어 내는 방법을 똑같이 정리 4.5 에 적용하면 I 와 g가 P 에서 선택되었으므로 F 는 국소적으로 확장된다. 정리 1. 15 에 의하여 F 는 대역적으로 확장됨으로 M~F/XF 에 대해서 F 즈 M[X] 이다. 그리 고 F 는 계수 m 의 R- 사영가군이므로 M 은 계수 m 의 P- 사영가군이다. 또한 I 는 M[X] 의 준동형 상이므로 정리 4.5 의 증명은 끝난다.
따름정리 K 는 체이며 I 는 K[XI, … ,Xn] 의 이데알로서 µ(I/F)~dim K[XI, … ,Xn]/1+2 라 하자. 이때 µ(/)=µ(I/I')이다. 증명 l =I= 0 이므로 필요하다면 변수 변환을 함으로써, I 가 P=K[X1, … ,Xn-1] 에서 계수를 갖는 Xn 에 대한 모닉다항식을 갖게 할 수 있다. 이때 P 상의 유한생성 사영가군은 자유가군이므로 정리 4.5 를 적용하면 따름정리가 성립한다. 앞의 정리들은 국소적 완전교차 이데알의 생성원의 수를 결정하는데 도움을 준다. 정의 4 • 7 f *R 가 뇌에써환 R 의 이데알일 때 ( i ) 만일 a1,… , amEl (m=h t(/)）이 있어서 Rad(/)=Rad(a1, … ,am) 일 때 I 는 집합론적으로 완전교차라 한다. ( ii ) h t(/)=µ(I)이면 I 는 완전교차라 한다(일반적으로 임의의 이데 알 I 에 대해서는 h t(/)~µ(/)를 만족한다 ).16)
16) Generali ze d Krull Pri ncipa l Ideal Theorem .
(iii) J c 쁘인 임의의 쁘 EMax(R) 에 대해서 I!!!. 이 R!!!. 의 이데알로서 완전교차일 때 I 는 국소적으로 완전교차라 한다. I 가 완전교차이면 집합론적으로 완전교차이며 국소적으로 완전교차 이다. 뿐만 아니라, 정의 4.7 은 1 장의 정의 3.10 을 X가 An( p n) 의 아파인 (사영)다양체일 때 k[X1, … ,Xn](k[Xo, … ,Xn]) 의 이데알 l(X) 에 대해서 옮긴 것이다. 또한 정의 4.7 의 ( i ), (ii)의 경우에 이데알 I 의 극소소인자(min im al prim e divi sor) 의 높이는 모두 같으므로, 완전교차나 집합론적으 로 완전교차 다양체의 모든 기약성분은 같은 차원을 갖는다.
그리고 다양체 X가 그의 점 .X 에서 국소적으로 완전교차이면 X 를 포 함하는 X 의 모든 기약성분의 차원은 역시 같다. 정리 4 . 8 K 는 체이며 I 는 K[XI, … ,Xn] 의 아데알일 때 I 가 국소적 으로 완전교차이면 I 는 n 개의 원소로 생성된다. 증명 R=K[X1, … ,Xn] 이라 두고 I =1= (0) 이라 하자. 이때 임의의 PE V (I)에 대해서 Ip 는 RP 에서 완전교차이므로 R p//p-가군 Jp//fi은 h(I p) sh( p)개의 원소로 생성된다. 따라서 µp(IIP ) +dim RIps n 01 다. 또한 V (I )=Su pp(//f2)이므로 포스터-스완의 정리에 의하여 µ(I/12 ) sn 이다. d= di mR/I 라 두고 dsn-2 인 경우부터 보자. 이때 µ(I/P ) sd+l 이면 정리 4.2 에 의하여 µ(I)s d+2sn 이고 µ(I/F)2d+2 이면 앞의 따름정리에 의하여 µ(I) = µ(I/P ) s n 이다. d=n 인 경우는 1=(0) 이므로 d=n-l 인 경우만 보면 된다. 이 때는 h t(I )=l 이며, I 는 높이 1 의 소이데알에 포함되므로 (F)*R 인 적 절한 F 와 h t (]')>1 인 이데알 I' 에 대해서 I=(F)I' 으로 표현될 수 있 다. h t(I ')>I 이므로 di mR/ I' ~n-2 이며 임의의 pE V (I'）에 대해서 µp(I') = µp(I) = ht( Ip) ~ ht( I'p)
이므르 I' 도 국소적으로 완전교차이다. I' 에 위에서 얻은 결과를 적용 하면 I' 는 n 개의 원소로 생성되며 I=(F)I' 도 마찬가지이다. 따름정리 X가 n- 공간의 아파인 다양체로서 국소적으로 완전교차이 면 이데알 I(X) 는 n 개의 원소로 생성된다. 1 장에서 비특이다양체는 국소적으로 완전교차 다양체임이 밝혀졌기 때문에 앞의 따름정리는 비목이다양체에 적용될 수 있다. 이제 이 절의 나머지 부분은 완전교차 이데알의 특성에 대해서 살펴 보기로 한다. 정의 4.9 환 R의 원소 a1, … ,am 이 다음의 조건을 만족할 때 독립적 (ind epe n dent) 이 라 한다. ( i ) (a1,… ,am)=!=R (ii) FER[X1, … ,Xm] 가 F(a1, … ,am)=O 을 만족하는 동차 다항식이면 F 의 모든 계수는 Rad(a1, … ,am) 에 포함된다. 보조정리 4 • 10 R 은 뇌에써 환이며 R*(a1, … ,am) 일 때 R 의 원소 a1, … ,a 군] R 에서 독립적 일 필요충분조건은 a1,… ,am, X가 R[X] 에서 독립적인 것이다. 증명 ($=) Rad((a1, … ,am,X)R[X])nR=Rad(a1, … ,am) 이므로 자명하 다. 回 a1, … ,am 은 R 에서 독립적이라고 가정하고 F(a1, … ,am)=O 인 R[X] 상의 동차다항식 FER[X][X1,·,Xm,T] 를 택한다. 여기서 F= v,+v2+·~ vm+v=d Pv, .. ,vm vXf1 .. ·X~ 子 (d=de g F, Pv, .. •Vm •vER[X])
I=(a1, … ,am), J=(I , X)R[X] 라 두자. 이때, 111+·· · +~um +..u.=d . Pu, ••• um• u( O)ar1···a 넓 mxu Ej d +l=J d+ I + J d X+… +1xd+xd+1R[X] 이므로 계수를 비교하면 JJt·· · +~vm_=Jd -J• J Pv1•· ·1J m •v (O )ar1··· a~mEJ d- v+ l (v=O,… , d). 가정에서 a1, … ,am 은 독립적이므로 모든 (J/ 1, …,J/ m , J/)에 대해서 p III … llm• v( O)ERad (J)이며, 따라서 P11, … llm•IIERad (j)이다. 한편 (a1, … ,am) =t= R 이며 a1 이 R의 영인자가 아닌 R 의 원소 a1,… ,a m 울 보자. R 의 전상환에서 부분환 R'= R[ai/ a1, · • ·,am/ai] 울 택하고 다음의 전사 사상을 만든다. a : R[½,… , Ym]--+R[ai/ a1, … , am/ai] a(Y;) = a;/a1,i= 2,… , m a 의 핵을 고라 하면 #그처도 (a1 Yi-a2 ,… ,a 1 Ym-am) 이며 임의의 FE 처에 대해서 arFE .d*가 되는 nEN 이 존재한다. 또, 동차 다항식 FER[X1, … ,Xm] 에 대해서 F(a1,',am)=O~F(l, Y2,… , Yn)E/.
따라서 aI, … ,am 이 독립적일 필요충분 조건은 (a1,·,am)C J>i룹 만족하는 임의의 p ES p ec(R) 에 대해서 .4 C p R[½, … ,Ym] 인 것을 밝힐 수 있다. 이로부터 aI, … ,am(m~2) 이 R 에서 독립적이면 a1,aa, … ,am 도 R,=R[a2/ aI] 에서 독립적임을 유도할 수 있다. 정리 4 .11 (a1, … ,am) =t= R 일 때 R 의 원소 a1, … ,am 이 독립적일 필요 충분 조건은 l=(a i,… ,am) 이 완전교차인 것이다. 증명 ]=(l ,X)R[X] 라 두면 h t(!)=ht (])+1 이고 a1, … ,am 이 독립적 일 필요충분 조건은 a1, … ,am,X 가 독립적인 것이므로 우리는 a1 이 R 의 영인자가 아니라고 가정해도 무방하다. (⇒) a1, … ,am 은 독립적이라고 가정하자. 임의의 I 의 국소소인자 P 에 대해서 h t(p )~m 이므로 h t(p )~m 을 보이면 충분하다. m=l 일 때 a1 은 영인자가 아니므로 h t(p )=l 인 것은 분명하다. 따라 서 m>l 이라 하고 m-1 개의 독립적인 원소에 대해서는 정리가 성립한 다고 가정 하자. 이 때 PR[ ½]는 JR [ ½]의 극소소인자이며, /3 : R[ Yi]一 Rh /3( Yi) = a2/a1 에 대해서 pR [ Yi ]::>Ker /3이므로 PR1 은 IR1=(a1,aa, … ,am)R1 의 극소소 인자이며 a1,aa, … ,am 은 R1 에서 독립적 이므로 ht( P R1)~m-1 이다. a1 Yi -a2EKer /3이며 a1 Yi -a2 는 R[ Yi]의 영인자가 아니므로 ht( p) = ht( P R[ Yi]) > ht( P R1) 칙 m_ 1 이 다. (¢:=)h t(l )=m 이라 가정하고 .Jt* =(a1 Yi-a 2,·· ,a1 Ym-alll) 라 하면, I
의 국소소인자 p에 대해서 .4* cpR [Y i, ... ,Ym] 이다. #＊는 m-l 개의 원소로생성되므로 fi'c p R [ Yi,,, Ym] 인 #*의 국소소인자 fi'에 대해서 h t(fi' )~m-l 이다. 이때 a1EE fl'인데 만일 a1E fi'라면 IR[ Yi,…, Ym]C fi'이고 ht( IR[ Yi,…, Ym] = ht( I)= m 이므로 모순이기 때문이다. 적절한 nEN 에 대해서 ar ..d c ..d *C fi>이므 로 ..d C fi> C pR [½, … ,Ym] 이다. 따라서 a1, … ,am 은 독립적이다. 위의 정리에서 Rad l=I 일 때는 다음이 성립한다. 정리 4.l2 17) R 은 쁘울 극대 이데알로 갖는 국소환이며 a,, ... , am 은 쁘의 원소로 I=(a1, … ,am) 일 때 Rad I=I 라 하자. 이때 다음의 사실들 은모두동치이다. ( i ) a1, … am 은 R 에서 독립적이다. ( ii ) I 는 완전교차이 다. (iii) a1, … ,am 은 R- 정칙열이다. (iv) r : R/I[ Xi,… ,Xm] 一 ne=..OF /In+1, r(Xi) =ai+ F (t·크,… ,m) 는 .동 형사상아다. 특히 (iii)¢}(i v) 는 임의의 이데알 I 에 대해서도 성립하고 R=k[X1, …, Xn] (k 는 체)일 때 (ii)¢}(iii)이 성립하며 임의의 Ass(R/1) 의 소이 대알은 같은 높이를 갖는다. 이런 이데알 I 를 순이데알 (unm i xed i deal) 이라 하며 k[X, … ,Xn] 에서 완전교차 이데알은 순성정리 (unmixe dness the orem) 가 성 립 한다고 한다. 17) Kunz 의 5 장 5 절 참조.
제 4 장 완전교차성 이 장은 아파인 다양체나 사영 다양체를 결정하는 이데알에 관한 결과를 정리한 것이다. 먼저 아이젠버드-에반스의 정리에서 An 이나 F 의 대수적 집합은 n 개의 초곡면의 교집합임을 보인다. 다음은 훼 란드의 정리를 이용하여 A 떡 국소적으로 완전교차 곡선은 두 초곡 면의 교집합으로 나타남을 밝히고 이 결과를 An 의 곡선으로 일반화 한다. 뿐만 아니라 ch k=P>O 일 때는 국소적 완전교차라는 조건 없 이도 앞의 결과가 사실임을 증명한다. 또, 코호몰로지를 이용하여 사영다양체가 집합론적 완전교차가 될 필요조건을 구한다. 1 아이젠버드-에반스의 정리 A 저나 F 에서 계수 r 의 선형방정식들을 만족하는 선형 다양체는 차원이 n-r 이며, 차원이 d 인 선형 다양체는 n-d 개의 방정식의 해가 된다.
하지만 일반적인 대수적 다양체(대수적 방정식들의 해집합)에서는 차 원과 방정식의 수의 관계를 알기가 힘들다. 따라서 앞의 선형 대수적 결과를 일반화 하기 위하여는 3 장에서 다룬 것과 같은 이데알론적 문제의 취급이 필요하다. 특히 다양체를 결정하 는 식의 수를 알기 위해서는 대응되는 이데알의 생성원의 수에 관한 정 보가 필요하다. 이런 관점에서 몇 가지 역사적 결과를 알아보면, 먼저 1882 년 크로네커 (Krnnecker) ”가 체 상의 다항식환 k[X1,·,Xn] 의 근기 이데알은 n+1 개로 생성되는 이데알의 근기 이데알임을 밝혔다. 죽 An 의 임의의 다양체는 n+1 개의 초곡면의 교집합으로 표현된다는 것이 다. 그리고 p n 에서도 마찬가지 사실이 성립함을 보였다. 크로네커가 그의 정리를 발표한 지 9 년 후 활렌 (Vahlen) 은 크로네커 의 결과에서 n+1 은 더 이상 작아질 수 없는 값임을 주장하는 예를 제 시했다. 그는 3 개 이하의 초곡면으로 표현될 수 없는 Pt (C 는 복소수 체)의 곡선을 보였다. 1941 년 환데르바르덴 (Van der Waerden) 이 크로네커의 정리를 현대 적으로 고친 다음해에 페론 (Perron)2) 은 활렌의 예에서 잘못을 발견했 다. 뿐만 아니라 그는 예에서 나타난 곡선은 3 개의 초곡면의 교집합임 을보였다. 1961 년 크네 서 (Kneser) 3) 는 임 의 의 3- 공간의 곡선은 3 개 의 초곡면의 교집합임을 증명함으로써 페론의 작업이 결코 우연이 아님을 밝혔다. 크네서의 논문에서 영향을 받아 아이젠버드-에반스 4) 등이 새로이 증명 울 하였는데 이를 살펴보자. 먼저 아파인 경우부터 보기로 한다. 1) Kronecker 참조. 2) Perron 참조. 3) Kneser 참조. 4) Eis e nbud-Evans [이 참조.
정리 1.1 환 S 에 대해서 R=S[X] 이고 R 은 차원 n 의 뇌에써 환이 다. I 가 R의 이데알일 때 Rad I=Rad( gi,… ,9n) 을 만족하는 gl, … ,gn E I 가 존재한다. 증명 d i mR=n 에 대한 귀납법을 적용하자. n=l 이면 S 는 아르틴 (A rti n) 환이고 N 이 S 의 멱영원근기 (ni lrad i cal) 일 때 R=R/NR=S/ N[X] 라 두고 R::J T= (I+N R)/NR 이라 하자. SIN 이 유한개의 체의 직적 (dire ct p roduc t)이므로 R 는 주 이데알 환이며 따라서 I 의 원소 g가 있어서 g의 상 g ET 가 T 를 생성 한다. 반면 NR 은 멱영집합이므로 R 의 임의의 소이데알에 포함되며 따 라서 Rad( g )=Rad/ 이다. n>1 이면 먼저 S 의 극소소이데알 p I, …,p,,_를 k 잡고 U=S\u pi라 하자. 이때 U 는 곱에 대해서 닫힌 부분집합이며 i= l Su 의 차원은 0 이다. 따라서 Ru=Su[X] 의 차원은 1 이며, 앞의 경우에 서 이미 보였듯이, g 1E/u 가 있어서 Rad(g1 ) = Rad(/u) 가 성립한다. 필요하다면, U 의 원소를 g 1 에 곱함으로써 g 1El 라고 가 정해도 무방하다. 반면, I 는 유한 생성되므로, uI~Rad(g1 ) (I .I) 이 되는 uE U 가 있다. 이때 uEE iU=k Pl , 이므로 di mS/(u)~n-2 이며 따
라서 d i mR / (u)~n-1 이다. R*=R/(u), !*=(I +(u)) / (u) 라 두면 귀납 법의 가정에 의하여 Rad I* =Rad(gi *,…,g;) (1. 2) 룰 만족하는 g2*,…,g;가 F 에 있다. g 2, … ,9n 이 g2*,…,g:울 나타내는 I 의 원소이면 Rad I=Rad( g 1, …,g n) 임을 증명할 수 있다. 죽 (91 , …,g n) 을 포 함하는 임의의 p ES p ec(R) 가 I 를 포함하면 되는데 p=:i(g 1) 이므로 (1. 1) 에 의해서 p그 I 거나 p그 (u) 이다. p=i (u) 이면 p*=p /(u) 드 R* 는 소이데 알이므로 (1. 2) 에 의해서 p*:J/*이다. 따라서 P=P+(u)2/+(u) 이므 로 p국 I 이다. 정리 1. 1 을 R=k[X1, … ,Xn](k 는 체)에 거듭 적용하면, d i mR=n 이므 로 다음울 얻는다. 따름정리 A 떠 대수적집합 X*¢ 는 n 개의 초곡면의 교집합이다. 다음엔 사영공간에서 앞의 따름정리와 같은 결과를 얻기 위하여 정리 1. 2 를 차수환의 경우로 바꿀 필요가 있다. 차수환(gr aded rin g ) S= 2S( i)에서 S 투 2S( i l 이라 하고 이데알로서 S+ 는 S(I) 으로 생성된다고 i.: O i> O 가정하자. 또 R=S[X] 이면 R( i)=孟 ks( j )Xk (i=O ,1,… ) 로 둠으로써 R 을 차수환으로 만든다. S 가 임의의 차수환일 때 S 의 관련 소이데알 (relevan t pri m e i deal) 은 s+ 를 포함하지 않는 소이데 알을 뜻하며 , p -d i mS 는 관련 소이 데 알이
이루는 사술의 길이 중 최대값을 말한다. 만일 S+ 가 멱영집합인 경우에 p - d i mS= 一 l 이라 하며 p- d i mS=n 이 면 p -d i mS[X]~n+l 이다. 정리 1 • 2 p -d i mS=n ― 1 인 처수환 S 가 있을 때 차수환 R=S[X] 이 뇌에써 환이라 하자. 이때 임의의 동차이데알 I 드 s+R 에 대해서 Rad J =Rad( g 1, …,g n) 을 만족하는 동차원소 g 1, …,g n 이 I 에 있다. 증명 아파인 경우처럼 역시 n 에 대한 귀납법을 적용하는데 n=O 이 면 S + 는 멱영집합이므로 RadI 는 R의 멱영원근기, 죽 (0) 의 근기이데 알이므로 자명하다. n 칙이면 먼저 S 의 극소 관련 소이데알 p I, …,p k 를 잡는다. 우리는 조건 ul 됴 Rad(g I) (1.l) ' k 울 만족하는 uES+\iu= I pi와 g 1El 이 있음만 보이면 정리 1.1 에서 식 (1.1) 다음부터 그대로 따르면 된다. 이를 위하여 Ii =(I+ pi R)/ pi R 드 R/p; R (i =l, … ,k) 라 두고 L 에서 X 에 대한 최소의 차수를 갖는 h? 를 나타내는 h i EI 를 찾는다. 또 임 의의 i에 대해서 u i ES+ 를 다음과 갇 이 택한다 : 만일 M=O 이면 p계 속하지 않는 임의의 동차 원소 U i를 택하고 h?*O 이면 pi로 나누면 h? 의 최고차의 계수가 되는 동차 원소 U 를 택한다. 이제 임의의 i에 대해서 s i EUk PA pi를 택하고 sES(I)\ J= I iU=k lP - 를 잡는다. 만일 S(I) 드 iU=k lP - i 이면 S+ 드 iU=k l P-i u i 2>Sl ( i)이어서 S+ 를 포 함하는 P i가 있게 되어 모순이므로 마지막 선택은 가능하다.
이제 적절한 S 의 멱원을 s i ,h i ,u, 에 곱함으로써 임의의 i,j에 대해서 deg( s;)=deg( s ;) deg ( h;)=deg ( h;) de g (u;)=de g (u;) 를 가정한다. 이때 g1 =~k s;h;, u=(s(~ks ;u;))N(N 은 충분히 큰 양의 정수)이라 두 i= l i= l k 면 퍄 EUP1이 다. 다음에 u 와 g 1 이 조건 (1. 1) ＇만 만족하면 되는데, 이 i= I 를 보기 위해서 g ?,u•,u?,h?,s t와 s* 는 g 1,u,U;,h i ,S i ,S 의 R/ pi R 에서의 상이라 하자. 그러면 gt E Ji는 s? 와 h? 의 곱이므로 gt의 차수는 L 의 원소의 차수 중 최소이다. 뿐만 아니라, N 이 충분히 크면 u*=(s*si• u?)N 는 gt의 최고 차의 계수의 충분히 큰 멱원의 곱이므로 u•Ii~ (gt) 일 수 있다. 따라서 모든 i에 대해서 ul ~ (s+R) n ((g1) +P iR ) 이고 R의 소이데알은 s+R 이나 piR 중 하나를 포함하므로 ul£;Rad(g1 ) 이 된다. 따라서 P 떡 대수적집합 X*¢ 를 좌표 변환에 의하여 (0, … ,l)EX 이 되게 한 후 k[X1,···,Xn] 에서의 X 의 이데알이 (Xo, … ,Xn-1) 에 포함되게 한 후 정리 1. 2 를 적용하면 다음이 성립한다. 따름정리 p n 의 대수적집합 X* 針큰 n 개의 초곡면의 교집합이다.
2 훼란드의 정리 본론에 앞서 R- 가군 M 의 사영차원(p ro j ec ti ve d i mens i on) 에 대해서 먼저 보기로 한다. 임의의 R- 가군 M 은 적절한 자유가군 F 로 다음의 완전열을 이룬다 . c o-K1 一 F 。一 M 켓, K1=Kerc (2 .1) 이것을 반복하면 완전열 0 一 K i규 F i -1 一… -+Fo-+M 네 (F i는 자유가군) (2. 2) 를 얻는데 여기서 K, 에 대한 (2 . 1) 의 완전열 0->Ki +I 키 F i기 K 리 울 붙이면 완전열 0---+Ki +I 구\ 군Ki r i -1---+ ... 귁 Fo-+M 네 울 얻게 된다. 따라서 자유(사영)가군 F,· (i =O,I, …）로 완전열 … -+F; +1-+F, . 一 … 一 F0 一 M 네
울 만들었을 때 이를 자유(사영)분해라 한다. 또한 M 에 대해서 사영 분해 o-Fn-Fn-1-… -F1- F.。 -M-0 가 존재 할 때 M은 유한 사영 차원을 갖는다고 하고 분해를 이루는 길이 n 중 최소값을 M 의 사영차 원이라 하며 PdRM 혹은 간단히 pd M 이라 적는다. 정리 2 • l5) ( i ) R 이 뇌에써 환이며 M 은 유한생성 R- 가군이면 pdR M= 깐 esMuaxp( R ) {p dR 떤 M나 . ( ii ) (Auslander-Buchsbaum 정 리 ) R 이 쁘을 극대 이 데 알로 갖는 국 소환이며 M 이 유한생성 R- 가군이고 pd M
이고 만일 pd M2
을 얻으므로 Ex t났 I,R) 은 R 의 전사상에 의한 상이므로 순환가군 (cy cl ic module) 이 다. 정리 2 . 2 XcA 까 여차원 2 의 완전교차 다양체이며 I(X)=I 라 하 면 다음의 사실이 성립한다. ( i ) I 는 국소적으로 완전교차이 다. (ii) I 는 순이데알이다. (iii) pd I 회이다. (iv) Ex tk( I,R) 은 순환가군이다. 이제 완전교차가 될 충분조건을 찾아보자. 보조정리 2.3 R 은 뇌에써 환이며 M 은 p dM<1 인 유한생성 가군이 라 하자. 만일 Ex tk( M,R) 이 순환가군이면 다음의 완전열 o-+R-+P-+M-+0 (P 는 사영가군) 이 존재한다. 증명 E 가 Ex tk( M,R) 의 생성원이라 할 때 E 로 얻어지는 확대류 (exte n sio n class) 0-+R-+P-+M-+O (2 . 4) 몰 택한다. 6) (2 .4)로부터 Ex t에 관한 완전열 6) Hi lton -Sta mmb ach 3 장 2 절 참조.
Homa (R,R8~ Extk (M,R) 키 Ex t k (P,R) 』 Ex tk( R,R) = O 을 얻는데 이때 8 는 1 을 5 로 보내므로 8 는 전사이다. 따라서 Extli (P , R)=O 이다. 반면 pd Psmax(pd R,pd M)sl 이므로 P 의 사영분해 。---+ PI---+ P0 一 P 구 0 울 얻는다. 이때 P,,Po 는 유한생성 가군이다. 또 Po,A 에 필요하다면 적절한 사영가군을 더함으로써 P1 츠 R t라 해도 좋다. 그러면 Exth ( P,A) 츠 Et BExtk (P ,R) = O 이므로 임의의 R 의 P에 의한 확대류는 분열되고 P®P1 츠 P0 이므로 P 도 사영가군이다. Ex t h(M,R) 의 생성원의 수에 귀납법을 적용하면 다음의 따름정리를 얻는다. 따름정리 M 은 p dM 후인 유한생성 가군이며 Ex t 1(M,R) 이 r 개의 원소로 생성되면 다음과 같은 완전열 o-Rr-P-M 네 (P 는 사영가군) 7) Mu rthy 떠 참조.
이 존재한다. 사실상 정리 2 . 2 의 조건 ( i )과 (ii)는 (iii)을 유도하는데 왜냐하면 I 가 순이데알이면 !!!:.:::JJ인 임의의 쁘 EMax(R) 에 대해서 µ(I m)=h t(~프 )=2 이므로 정리의 증명과 같은 방법으로 p dR 쁘I쁘 ~1 이고 pd I= 낀 EsMuBXp( R ) p dR 라조 1 이기 때문이다. 정리 2 • 4 R=k[Xi ,… ,Xn] (k 는 체)의 이데알 I 가 있고 h t(I )=2 라 하자. 이때 정리 2.2 의 조건 ( i ), ( ii )와 (i v) 가 만족되면 I 는 완전교 차이다. 증명 ( i )과 (ii)로부터 p d1 :5:: l 이 얻어지므로 보조정리 2 . 3 에 의하 여 완전열 o-R-P-]-o (P 는 사영 가군) (2. 5) 이 존재한다. (2.5) 에 R(o)=K 와 텐서 곱을 하면 완전열 o-K-P®K-I®K-o
을 얻는데 l®K 츠 K 이므로 P®K~K2 이다. 따라서 P 는 계수 2 의 사 영가군이다. 한편 우리는 R 상의 사영가군은 자유가군 8) 임을 보였으므로 P 츠 R 히다. 이때 I 는 R2 의 준동형에 의한 상이므로 µ(1 )=2 이다.
8) 이 부분은 Serre 의 예상의 결과를 이용한 것이다.
위의 정리를 An 에서 여차원 2 인 비특이 다양체에 응용하자. 일반적으로 XCA 까 여차원 r 인 비특이 다양체이고 k[X1,… , Xn]= R, k[X1, . . ·,Xn]/I=S (I =I(X) ）라 두면 2 장에서 W= (\n-rQ S /k ~ HomR //( I\ r(I /!2), R/1) = Extk (R /I,R) 이 얻어졌는데, Ext~ R/J, R ) ~Ext; -1 (1 ,R ) 이다. 정리 2 • 591 XcA 宅 순수한 여차원 2 의 비특아 다양체라 하고 I'(X) = S 라 하자. 이 때 X가 완전교차가 될 필요충분조건은 (\ n-2 Q_파 ~s 이다.
9) Serre 띠 참조.
증명 (키 I= (f,g)이므로 (2.3) 의 완전열 o-R ―1Jl +Rr,? 드 ¢ (/,g)- o
로부터 Ext~ (I,R ) 츠 R/Im Hom(¢,I d) =R/l=S 울 얻으므로 ^n -2Q s ,k ;; S 이 다. (티 X 는 비특이 다양체이므로 국소적으로 완전교차이고 I 도 국소적 으로 완전교차이다. 그리고 I 는 h t(I )=2 인 순이데알이므로 pd l~l 이 다. 뿐만 아니라 가정에서 Ext~ I ,R) ;; R/I 이므로 Ex t l (I ,R) 은 순환가군이다. 그러므로 정리 2.4 에 의하여 X 는 완전교차이다. 정리 2.5 는 쎄어가 증명한 것으로 그가 증명했을 때는 〈임의의 k[X1, … ,Xn] 상의 계수 2 의 사영가군이 자유가군이 된다면〉이라는 조건이 있 었다. 이제 정리 2 . 4 에서 조건 (i v) 가 빠진 경우에 대해서 보자. 죽 [CR 는 국소적으로 완전교차인 높이 2 의 순이데알이라 하자. 이때 임의의 Ic 쁘인 국대이데알에 대해서 I.!!!.은 완전교차이므로 정리 4 . 12 에 의하여 (I/F).!!!. 은 계수 2 의 자유가군이 다. 따라서 I/F 은 계수 2 의 사영가군이 다. 그리고 1\ 2 (1/J2)프츠 (R/1) 프 이므로 ^2(I/F) 은 계수 1 의 사영가군이다. 여기에 3 장의 보조정리 3.10 을 적용하면
w = HomR1 1( A2(1 I I') ,R /I) 도 계수 1 의 사영가군이다. w-1 = HomR JI( w,R//) 라 하면 w®w-1 ~R/I 가 된다. 정리 2 . 6 예란드 )10) Ick[XI, … ,Xn] 는 국소적으로 완전교차인 순이 데알로 h t(I )=2 라 하자. 이때 R- 선형사상 ¢ : 1/1 드 w=Ex ti(I ,R)
10) Ferrand [1] 참조.
이 있어서 ¢는 전사이며, Ker¢=]/ J2이라 하면, 완전열 o-.R-.P_.J_ . o 가 존재한다. 단 P 는 계수 2 의 사영가군이며 Rad J =Rad J이다. 증명 w 는 R/1- 사영가군이므로 1/ I' ~Ker 細 w 이며 Ke 다도 계수 l 의 사영가군이다. 일반적으로 R- 가군 M,N 에 대해서
/\n(ME9N)= . ~ /\'(M)®R/\i( N) i+i=n 이며 R- 가군 P 가 계수 1 의 사영가군이면 I\i(P )=O, i> 1 이므로 ^2(I/F) 즈 Ker rp @w 이다. 고로 Ker¢= /\2(J /J2)@ w-l ~w-1®w-1=w-2. 이제 J c 쁘인 쁘 EMax(R) 에 대해서 [E (I /12) 프가 (Ker¢) 프을 생성 하는 f EI므 울 잡으면, (f,g )=I!!!. 인 g E J!!!.를 찾을 수 있다. 왜냐하면 (I/F) 프은 계수 2 의 자유가군이므로 (I/I')!!!.= ((f,g) + I;)/I:프 2 인 g Elm 를 잡을 수 있는데 이때 I!!.=(/, g)+맡 이므로 나께야마 정리에 의하여 I쁘 =(f,g)이기 때문이다. 또한 f,g는 R!!.- 정칙열이며
UI12) 쁘= ((j) + 날 )/I므 2 O] 므로 J쁘= (f) + I쁘 2 = (!) + (f,g)2 = (J,g2) 이다. 따라서 ]도 국소적으로 완전교차이며 순이데알이므로 pdR J< 1 이다. 이제 Ex tk(J ,R) 이 순환가군임만 보이면 정리 2.4 의 증명에 의하 여 증명이 완료된다. Ext} i(J,R ) ~ HomRu( /\ 2(]/I' ),R /J) 이므로 ^ 2(J /F ) 즈 R/J 울 보이면 Ex t1(J ,R) 은 순환가군이 된다. ^2( J /F) 은 RI!- 사영가군이고 Ill 는 R/ J에서 멱영집합이므로 보조 정리 2.7 을 쓰면 I\ 2(1 I J2 )®RJJR II ~ R/I 울 보이면 된다. 죽 I\2( ]IIJ) ~ R/I 울 보이면 되므로 먼저 다음의 R/1- 사영가군의 완전열
0-+I2IIJ -+JII J -+JI1 2-+0 울 보자. 이 완전열은 분열하므로 ]/I] 츠 F/IJ® J/I 2 이다. 그런데 Ker¢= J /I2 츠 w-2 이며 Ill 츠w 인데 Ill 와 I' /IJ 는 계수 l 의 R/1- 사영가군이므로 표준 전사사상 IIJ© IIJ-- .J2/ If 은 동형사상이 되어 P J IJ 츠 w®w=w2 이다. 따라서 J I JJ ~w 딴 w-2 이므로 ^2(J/ I]) 츠 I\2(w 2EBw-2) =w 떻 w-2 ~R/1
이 성립한다. 보조정리 2 • 7 P 는 R 상의 계수 1 의 사영가군이라 하고 J cR 는 멱영 이데알이라 하자. 이때, 만일 P®RR!I~R/1 이면 P~R 이다. 증명 P®R/1 츠 P/IP 는 순환가군이므로 적절한 xEP 에 대해서 P= x R+IP 이다. I 는 멱영이데알이므로 나께야마 정리에서와 같은 증명을 적용하면, P=xR 이 된다. 따라서 전사사상 rp : R- ► P, l- ► x 을 얻는데 P 는 사영가군이므로 R 측 PEBKer rp 이다. 이때 P 의 계수는 l 이므로 임의의 쁘 EMax(R) 에 대해서 (Ker ¢)쁘 =0 이고, Ker cp =O 이다. 훼란드의 정리를 순수 차원 1 의 A3 에서의 곡선 C 에 적용하자. 따름정리 11l CCA3 는 순수 차원 1 의 국소적으로 완전교차 곡선이라 하자. 이때 C 는 두 초곡면의 교집합으로 나타난다.
11) S zpi ro 가 처음으로 증명 하였다.
증명 l(C)=I 라 하면 l/12 은 계수 2 의 RII (R=k[ Xi ,X2, 도]）상의 사영가군이고 w 는 계수 l 의 사영가군이므로 쎄어의 분열정리에 의하여 적절한 사영가군 Po 에 대해서
I/I2 二 w®P。 로 적힌다. 따라서 전사사상 p : I/I2 一 w 가 존재하며 훼란드의 정리에 의하여 완전열 0-+R-+P-+]-+O 가 있고 P 는 계수 2 의 사영가군이며 Rad/=RadJ 이다. 고로 정리 2.4 의 증명에서처럼 µ(J )=2 이므로 I 는 집합론적 완 전교차이다. 다음은 훼란드의 정리와 유사한 것으로 높은 차원의 공간에 응용될 수 있는 정리이다. 정리 2 갤 R 은 뇌에써 환이며 /CR 는 높이 2 의 국소적으로 완전교 차 이데알이다. 만일 IEI 가 있어서 ( i ) 1/ /2측 (RII)lEBw-1 ( ii ) 적철한 r 에 대해서 WT 츠 R/1 (wr=®w) 을 만족하면 다음과 같 은완전열 0---+R---+P---+r + RJ ---+ O
이 존재한다. 이때 P 는 계수 2 의 사영가군이다. 증명 R=R/ IR , l=I/IR 이라 두면 l ! l2 측 w-1 이다. 또한 FI IT + 1츠 @(IIF) 즈 w-r 츠 R/1 o] 므로 r+Rf = Rf + Rg + r+1 울 만족하는 gE Il- 있다. 이때 J=JT +Rf 도 역시 국소적으로 완전교 차이다. 나머지 부분은 훼란드의 정리의 증명과 똑같이 따르면 된다. 다음 보조정리에 앞서 환 R 로부터 군 KoR 을 정의하자. P 가 R 상의 사영가군일 때 P 가 속하는 동형류(i somo rphi sm class) 를 (P) 라 표시하자.이때 (P) 들로 생성되는 자유아벨군을 G 라 하고 (P ffiQ)一 (P) 一(Q), (P , Q는 사영가군) 로 생성되는 G 의 부분군을 H 라 하면 KoR=G/H 라 정의한다. 여기서 (P) 의 KoR 에서의 상을 [P] 라 하면 당연히 KoR 에서
[PEBQ ] = [P] +[ Q] 이 성립한다. 만일 KoR 에서 [P]=[ Q]이면 P 와 Q는 안정적으로 동형 (sta b ly i sormo rphi c) 이라 한다. P 가 Q에 안정적으로 동형일 필요충분조건은 적절한 nEN 에 대해서 PEBRn 츠 QE BRn 인 것이다. 그러므로 사영가군 P 가 안정적으로 자유가군임은 적절한 nEN 에 대 해서 PEBRn 이 자유가군일 때를 뜻한다. KoR~Z 일 필요충분조건은 임의의 유한생성 사영가군은 안정적으로 자유가군이며 R 이 기저불변성 (Invaria n t Basis Pro p e rty)을 만족하는 것이다. 기저불변성이란 RS 즈 R t台 s= t 을 의미하며 일반적으로 가환은 기저불변성을 만족한다. 보조정리 2 • 9 R 은 뇌에써 정역으로 KoR~Z 라 하자. h t (/)=2 인 국 소적으로 완전교차 순이데알 I 가 있으며 R/1- 사영가군 I/ J.2은 RI I®^2(I/F) 에 안정적으로 동형이다. 증명 pd I<1 이면 R 상의 사영가군은 안정적으로 자유가군이므로 충 분히 큰 n 에 대해서 완전열 0--+Rn-I-+Rn-+]--+0
가 존재한다. 여기에 R=R / 1 와 텐서 적을 취하면 완전열, o-+L-+Rn_ I- +Rn-+I/I2-+0 을 얻는데, I/I2 은 계수 2 의 R/1- 사영가군이므로 L 은 계수 1 의 사영 가군이다. 뿐만 아니라 KoR 에서 [I/I2 ] = [R] 드 [R]n-1 + [L] =[R]+[L] =[REBL] 이므로 I/I2 은 REBL 에 안정적으로 동형이다. 죽 적절한 t EN 에 대해 入1 I/I2®Rt 츠 R®L®Rt 츠f?t +IEBL 이고 ^ t +2(I/I2®R t)三 A2(I/F) (\ t+2 (f? t+ IEBL) 츠 L 이므로 ^2(I/F)~L 이다. 고로 II I'은 RI!EBA2 (1/I')에 안정적으로 동형이다. 특히 ICR=k[X1,X2,Xa,X◄ ] (k 는 대수적으로 닫힌 체)에서 ht( / )=2 이며 I 는 국소적으로 완전교차인 순이데알이면 1/ I'은 RIIEBI \2(1 I I' ) 에 안정적으로 동형일 뿐 아니라 III2 == R/Iffi /\ 2(1 I !2 )
이 성립한다. 정리 2.10 XCA4 는 국소적으로 완전교차인 곡면이라 하자. 이때 적절한 rEN 에 대해서 w 열 R/1 (R=k[X,,X2,X3,X4] I=I(X) ）이면 X는 집합론적 완전교차이다. 증명 이때 I/F 츠 RIIEB I\ 2(1 I !2 ) ~R/IEBw-1 이므로 정리 2.8 에 의하여 적절한 /El 가 있어서 o-R-P-r+Rf- 0 의 완전열을 얻으며, P 는 계수 2 의 R- 사영가군, 죽 계수 2 의 자유가 군이다. 따라서 µ(F+R/)=2 이다. 같은 방향의 증명으로 다음과 같은 결과도 얻을 수 있다. 정리 2 • 1112> XcA• 는 비특이 곡면으로 선직면 (ruled su rf ace) 에 양 유리적으로 동치 (bir a ti on ally e qu i valen t)라 하면 X는 집합론적으로 완전교차이다.
12) Mu rthy-S wan 참조.
3 곡선이 집합론적 완전교차가 될 조건 우리는 2 장에서 A3 의 국소적으로 완전교차인 곡선은 두 초곡면의 교
집합인 것을 보았다. 이제 이 결과를 높은 차원의 공간의 국소적으로 완전교차인 곡선에 대해서 확대시켜 보자. 환 R에 대해서 Rm 의 unim odular 벡터의 집합을 um(R) = {(b1,… , bm)I i~m= I b;R = R} 이라 하자. 이때 행렬로 곱함으로써 집합 um(R) 에 GL(m,R) 의 작용 (ac ti on) 이 자연스럽게 주어전다. 이 작용의 궤도 (orb it)는 PEBR 츠 Rm 을 만족하는 사영가군 P 의 동형류와 전단사적으로 대응된다. 만일 J : R-+S 가 환의 준동형 사상이 면 f는 사상 um(R)/GL(m,R)-+ um(S)/GL(m,S) 을유도한다. 앞으로 M 이 R- 가군이며 sER 일 때 M 의 원소 x 에 대해서 Xs 는 x 의 Ms 에서의 상을 나타내기로 한다. 보조정리 3.1 뇌에써 환 R의 이데알 I 에 대해서 다음의 두 사실은 동치이다. ( i ) µ(II!2 ) ~m ( ii ) (/,s)=R 을 만족하는 s 가 있어서 µR.(Is)~m. 따라서 만일 µ(I/J 2)sm 이면, 적절한 I 의 원소들 X1,···,Xm 과 s 가 있 어서 ls=(x1, … ,Xm) 이며 (I ,s)=R 이 된다. 이때 필요하다면 s 를 S 의 적 정한 멱원으로 바꿈으로써 sJ C(x1, … ,Xm) 이라 가정해도 좋다. 이제 {s, s')=R 이 되는 s'E J를 잡자. 특히 ss'E(x1, … ,Xm) 이며 (x1,… ,X m)ss'E
um(Rss' ）는 um(Rss')/GL(m,Rss’) 를 결정하는데 이룰 [x1 , ·· · ,Xm]ss’ 로 나 타낸다. 정리 3 • 2 [x1,… , Xm] ss'E um(Rss')/GL(m,Rss ' ）가 표준사상 Rs'-+ R ss' 로부터 유도된 사상 um(Rs ')/ GL(m,Rs')-+ um(Rss')/ GL( m,Rss') 의 상이라면, I 는 계수 m 의 R- 사영가군의 준동형의 상이다. 증명 가정에 의하여 r([X1, •• •,Xm]ss') = [a1,… ,a m]s 가 되는 [a1, … ,a 』 EUm(Rs’) 와 rEGL(m,Rss' ）가 존재한다. 여기에 다음의 두 전사사상을 정의하자. R 」三fs ,=Rs, R 꿍三 Is 이때 다음의 가환도식이 성립한다. R/1 , -[a-1,-…- ,a- m+]s lss, 리 II (rT 는 r 의 전치) [xi, ••• ,xm]ss, R~ -----+ ISS'
따라서 I 는 Rs,Rs' 상의 계수 m 의 자유가군의 준동형의 상이다. 앞에 서 (s,s')=R 이므로 동형사상 /T 로 이어붙이면 결과가 성립한다. 정리 3 • 3 R=k[ Xi,… ,Xn] 의 이데알 I 가 µ(I/F)sm 이면 Rad/= Rad] 이며 J가 계수 m 의 사영가군의 준동형의 상이 되는 ]Cl 가 존재 한다. 증명 m=O 이면 I=O 이므로 자명하다. m=l 이면, ]=I 로 두면 된 다. 따라서 m 헉 2 라 하고 정리 3.2 의 앞에서처럼 ls=(x1, … ,Xm) 이며 (I, s)=R 인 I 의 원 X1, … ,Xm 과 s 를 잡는다. J= (x1,… , Xm-i) +JCm -1)1 이라 두면 J CI 이며 Rad J =Rad J이다. 이때 (J ,s)=R 이며 ls = (x1, ' ' ' ,Xm-1,X~m-l) I) 이 다. 다시 (s',s) = R 인 s'E J로 [x1, … ,Xm-1,X信r -1ll] ss·E Um(Rss,) 이고 [x1, … ,nm-1,X M7' -lll]ss 는 Rss' 상의 자유가군을 결정한다 .13) 여기에 정리 3 . 2 를 적용하면 J는 계수 m 의 사영가군의 준동형 상이다. 따름정리 Jc R[X1,… , Xn] 는 국소적 완전교차 이데알로서 II I'이 RI 13) Suslin 참조.
J-자유가군이면 I 는 집합론적 완전교차 이데알이다. 증명 µ(I /12)=m 이라 하면 정리 3.3 에 의하면 µ(J )=m 이며 RadI= Rad] 가 되는 ]C J를 찾을 수 있다. 이때 dept h J =d ep th I = n 이므로 J는 정칙열로 생성된다 .14) 앞의 정리의 조건에 2d i mR/I+2 ：：：：：硏기라는 조건이 추가되면 µ(II!2 ) = ht( !) = n —d im R/I ~dim R/1+2 이므로 3 장의 정리 4.5 에 의하여 µ(I) =µ (II!2 ) 이 된다. 따라서 I 는 완전교차이다. 따름정리 X 는 A 덕 다양체로서 dx/d/ 이 계수 m 의 자유가군인 충이면 X 는 m 개의 초곡면의 교집합이다. 정리 3 . 415> XcAn 는 국소적으로 완전교차인 곡선이라 하자. 이때 X 는 n-1 개의 초곡면의 교집합으로 표현된다. 14) Kapl a nsky Th 125 참조 15) Mohan Kumar 참조.
증명 n=2 일 때, h t(p ; )=1 인 소이데알 pi ek[X1, … ,Xn] 에 대해서 J(X )=I= nk P, i= l 이면 P i는 주이데알이 되므로 I 도 주이데알이 되고 X 자체가 초곡면이 다. n=3 인 경우는 정리 2.6 의 따름정리에서 이미 다루었다. 따라서 n> 3 이라 하자. X가 국소적으로 완전교차 이므로 J/!2은 계수 n-1 의 RI I - 사영 가군이다. 고로 w, = HomR11 ( /\ n-1( 1/I 2),R/I) 도 계수 1 의 사영가군이며 여기에 쎄어의 분열정리를 적용하면 적절한 사영가군 P에 대해서 1/J.2 츠 PEB w1 가 된다. 그러므로 전사사상 p : I/F 一 WI 가 존재하며 Ker(()=]/ !2이라 두면, Radl=Rad] 이며 J는 국소적으로 완전교차이다. 뿐만 아니라 정리 2.6 과 같은 방법으로 ^ n-1(J/ F ) ~ R/J 임을 보일 수 있고, 고로
W J = HomRIJ( ^ n-I(J/ F ),R/J) ~R/J 이다. J/J 2 은 계수 n-l 의 R/ J-사영가군이므로 쎄어의 분열정리를 다 시 적용하면 적절한 사영가군 Q에 대해서 J/J 2 츠 Q EBw 흡 QE BR/J 이다. 분열정리를 거듭 적용하면, J/J 2 측 Q。 EB(R/ J) n-2 인데 Q o 는 계수 l 의 사영가군이다. 그런데 An-I( J /F) 측 R/ J이므로 (J/F ) 즈 (R/ J) n-1 이 며 따라서 J는 집 합론적 완전교차이 며 1 도 마찬가지 이다. 특별한 경우의 곡선은 항상 집합론적 완전교차인데 그 한 예는 다음 과같다. n1,n2,na 는 양의 정수로 최대공약수가 1 이 라 하자• A3 의 곡선 X가 매개변수 t로 X1= tn', x2= tnz , xa= tns (t Ek) 로 주어졌을 때 16) [Herzog ] 에서 곡선의 이데알 l(X) 의 생성원이 완전히 규명되었고 이데알은 항 상 3 개 이하의 원소로 생성됨이 보여졌다. 이 논문을 근거로 위의 곡선 둘을 항상 두 초곡면의 교집합임이 계산되어 질 수 있다. 다음 경우는 표수 (charac t er i s tic) p(p >O) 의 대수적으로 닫힌 체 k 상 의 아파인 공간의 곡선이다. 이때 k 상의 형식적 멱급수환(fo rmal 16) Herzog 참조.
po wer serie s rin g ) R=k[[X1,···,Xn]] 과 dim R/1=1 인 근기이대알 I 를 보자. 필요하다면 변수 변환을 통하여 B=R/1 는 A=k[[X1,X2]]/In k[[X1,X2]] 의 정수적 확대환이 되게 할 수 있다. 고로 di mA=l 이며 A 는 영이 아닌 멱영원을 갖지 않으며 따라서 Jn k[[X1,X2]]=g k [[X1, X2]] (g는 제곱 형태가 아님)이다. 뿐만 아니라 S 가 A 의 비 영인자의 집합이면 As=Bs 이다. 따라서 C=={xEBlxBCA} 이면 C 는 B 의 유일한 극대이데알에 대한 준소이데알(pri ma ry ide al) 이다. 죽 임의의 j (3~ j ~n) 에 대해서 Xj P(N)EC 가 되게 하는 양의 정 수 N 이 있다 (X 놈 xj 의 B 에서의 상을 나타내고 p (N) 은 #이다). 그 러므로 XJ P (N)-h j EI 를 만족하는 h i Ek[[X,,X2]] 가 존재한다. (A) g와 XFN)_h j (3 三j幻 n) 으로 생성되는 이데알을 J라 하면 Rad J =I 이다. 증명 As=Bs 이므로 u j는 g에 서로소이며 X沼 i -v i EI (3s j sn) 인 U i ,Vj Ek[[X1,X 니]에 대해서 Xurvi ERad] 임을 먼저 보인다. a = (Xiu j _ Vj) P(N) cb == (h XjuF fN ()N _) — hjv)j < u NF )N ) 이라 두면 a=b+c 이며 aE], bE] 이므로 cE] 이다. 그런데 cEk[[X1, X2]] 이므로 g는 c 를 나누므로 cE] 이다. 이제 bEJ , cE J이므로 aEJ 이고 따라서 X;u;-v;ERad] 이므로 다음의 도식 (3.1) 에서
AR\. /.. .R... Ra/d/' l] = B (3 .1) As=(R/rad f) s 가 성립한다. 그러므로 q그]이며 q::t)J인 qE Sp e c(R) 이 있으면 S p ec(R/ q)는 S p ec(R/rad])-S p ecA 의 한 화이 버 에 포함되 는데 R/Rad J는 A 의 정수적 확대환이므로 이는 가능하지 않다. 따라 서 Rad]=! 이며 우리는 다음의 정리를 증명하였다. 정리 3 나> k 는 표수 P 의 대수적으로 닫힌 체라 하자. 이때 I 가 R= k[[ Xi ,· ··,X』 ]의 근기이데알로서 d i mR/l=I 이면 Rad]=! 가 되는 완전 교차 이데알 J가 존재한다. (B) 만일 f Ek[[X1,X2]] 가 있어서 g로 나누어 지고 Lg 와 g는 서로소 라 하자. 그리고 r;, s; E k[[Xi. X2]] (3 ::s;;j::s;; n) 가 있어서 ri 는 g와 서 로소이며 ri xi P (N)-si EI 라 하자. 이때 f와 r;Xf N) — S j (3 학::s;; n) 로 생 성되는 이데알을 J라 하고 m T=R 一 U qi i= l 라 하자. 단 q志· I 를 포함하는 극소 소이데알이다. R/J -( R/J) r 의 핵을 P/ J로 나타내면 (a) P= J이며 (b) 모든 q.~ J의 극소 소이 데 알이고 (c) J는 J의 준소이데알 성분이다.
정리 3 • 611i k 는 표수 p (p > O) 의 대수적으로 닫힌 체 일 때 k 상의 아 파인 공간 An 의 곡선은 집합론적 완전교차이다. 증명 R=k[X1, … ,Xn] 이라 두고 곡선 X 의 이데알 I(X)=I 라 하자. 이때 변수 변환에 의하여 7[ X,_An 一 A2 가 유한사상이며 X가 A2 에서의 상 X’ 에 양유리적이 되게 할 수 있다. 단 7[는 사영사상으로 짜 X1, … ,Xn)=(x1,X2) 이다. /(X1,X2) 가 A2 의 X’ 를 결정하는 식이면 임의의 j에 대해서 f와 rj 는 서로소이면서 rjx jP( N)_ S ; E J인 r;,s;Ek[X1,X2] 가 있다(여기서 N 은 충분히 큰 양의 정수이 다). f와 rj X JP (N )-sj (3 학 sn) 으로 생성되는 이데알을 J라 하면 J의 해 는 X와 r3r4 … rn =F O 의 교집합이다. 뿐만 아니라 X 의 모든 기약성분은 J의 해의 기약성분이다. 따라서 P 가 J의 X 에 대한 준소이데알 성분 이면 P 의 해는 X가 된다 . 고로 우리는 먼저 P 가 국소적으로 n-1 개 의 원으로 생성됨을 보이자. 이룰 위하여 (B) 의 내용을 써야 하는데 그러기 위하여는 R 에 관한 것을 형식적 멱급수환의 것으로 바꾸어야 한다. 그래서 쁘 =(Xi -lli,…, Xn-an) 이 I 를 포함하는 하나의 극대 이데알일 때 R의 쁘에서의 완비 화 (com p le ti on)18> 환 R 을 택한다. 완비화에 의하여 p는 역시 戶 1 i 에 대한 준소이데알 성분이 되므로 앞으로 P 가 n ― 1 개의 원으로 생성 됨을 보이면 된다. 17) Cowsik - Nori 참조. 18) Mats w nura 참조.
이제 f Ek[XI,X2] 가 제곱이 없으므로 k[[X1-a1,X2-a2]] 에서도 제곱 이 없고 gk [[X1-a1,X2-a2]]=k[[X1-ai ,X 2-a2]] n f 이면 g|f이며 g와 Lg 는 서로소이다. 또한 k[X1,X2] 에서 f와 rj 는 서로 소이므로 k[[X1-a1,X2-a2]] 에서도 마찬가지이다. J::: 는 f와 rjx rN)-sj 로 생성되므로 (B) 에 의하여 p는 n-l 개의 원으로 생성되며 따라서 P 는 국소적으로 n-l 개의 원으로 생성된다. 이제 정리 3.4 를 여기에 적용하면 X 는 집합론적 완전교차아다. Dani el Ferrand19) 는 표수 p> O 의 체 상의 p 3 의 피 약 (reduced) 곡선은 집합론적 완전교차임을 증명하였다. 표수 0 의 체상의 아파인 공간의 곡선이 집합론적 완전교차임은 미해 결 문제이다. 4 p n 의 다양체가 집합론적 완전교차가 될 필요조건 이 철에서는 p n 의 다양체가 집합론적 완전교차가 될 필요조건을 보 기로 한다. 첫번째 필요조건으로 하트쇼온 (Ha rts horne) 의 정리부터 보 자. 정리 4• 1 p n 의 다양체 Z 의 차원이 d>O 라고 하자. ( i ) z 가 집 합론적 완전교차이 면 Z 는 연절 (connect ed ) 공간이 다. 19) Ferrand [이 참조.
(ii) z 가 집합론적 완전교차이며 Y 는 Z 의 여차원 2 이상의 부분다 양체이면 Z\Y 도 연결공간이다. 증명 ( i ) r=n 一 d 라 두고 R, … ,Fr 은 V(F1, … ,Fr)=Z 를 만족하는 k[Xo, … ,Xn] 의 동차다항식이라 하자. 이때 I=(F1, … ,FT) 는 당연히 동차 이데알이며 k[Xo, … ,Xn] 에서 완전교차이다. 뿐만 아니라 I 에 대해서 순 성 정 리 (urunix e dness the orem) 를 적 용하면 I 는 다음과 감은 준소이 데 알의 분해를 갖는다: s I=ni= I q; qi는 동차 준소이데알로 rad qi =P i의 높이는 r 이다(i =l, … ,s). 만일 V(p; ) = Z i라면 s Z=UZ.- i=J 이며 Z는 Z 의 기약성분이다. 이때 Z 가 연결공간이 아니라고 가정해 보자. 죽 적절한 t
이기 때문이다. 따라서 ae 있\ Us p 2와 be%\ut p I를 선택할 수 있고 i=t+l - i= l deg a=deg b 라 해도 좋다. s 고로 H=a+b 라 두면 HEEin= l p,이므로 ]=(F1, … ,Fr,H) 이며 높이는 r+l 이고 J도 완전교차이다. 다시 J에 순성정리를 적용하면 J의 모든 국소 소인자는 높이 r+l= n-d+l
이고 za =O (mod ])이다. 이때 Po 가 감 a=O (mod ]）를 만족하는 최소 의 수이면 p。 >0 이며 zzP(zoIP1I 01a 辛a )0= (Om o(md oJd) J) 이므로 임의의 zE 쁘는 K[Xo, … ,Xn]I J의 영인자가 된다. 따라서 (4.1) 이 성립한다. (ii) 우리는 Z 에 여차원 2 이상의 부분다양체 Y 가 있어서 Z\Y 가 연결공간이 되지 않는다고 가정하자. 이때 뇌에써의 정규화정리를 적용하면 Y 와 만나지 않고 Z 의 임의의 기약성분과 곡선으로 만나는 p n 의 선형다양체 uc p n 를 찾을 수 있 다 : Z 의 동차좌표환을 S 라 두고 1 가 Y 를 정의하는 S 의 이데알이면 뇌에써의 정규화정리에 의하여 다음의 조건을 만족하는 Yo, …,y dES 를 찾을 수 있다. (a) Yo,… ,y~ k 상에서 대수적으로 독립이다. (b) S 는 k[ y o, … ,Yd] 의 정수적 확대환이다. (c) 적절한 Os i sd 에 대해서 J nk[ y o, …,y』=(y o, …,yi) (d) deg y; =l, i= 0,00·,d. 이때 co di mzY=h t(I )::?:2 이고 h t(l)=i +I 이므로 i칙 1 이다. 따라서 U 가 Y2= …=y d=O 을 만족하는 다양체이면 dim U=n— d+l 이고 dim S/(y2 ,···,yd )=Z
이어서 dim (Zn U)=l 이다. 위의 사실은 Z 대신 Z 의 기약성분 Z: 로 바꾸어도 마찬가지이고 zn u 는 (n-d)+(d-l)=n - l 개의 식으로 나 타내지므로 zn u 는 집합론적 완전교차이다. 또한 (y o, …,y d)c J+(y 2,',Yd) 이므로 Rad(/+( y 2, … ,Yd)) 는 S 의 부적절 한 국대이데알이어서 YnU= 0 (i= l, .. ·,s) 이다. 만일 임의의 1::;: i ::;:s 에 대해서 dim Z;=(n-1)/2 이면 Z 는 완전교차이므로 정리 4 .1 에 의하여 Z 는 연결공간이다. 반면 dim Z1>(n-1)/2 이면 임의의 2 :S:::i:S::: s 에 대해서 dimZ 1 + dim Z; ::::: n
이므로 다음 보조정리에 의하여 Z1nZ; =l=¢이고 Z 는 연결공간이다. 보조정리 4 • 220> V 와 W 가 F 의 기약다양체일 때 vn w 의 임의의 기약성분 Z 에 대해서 d i mZ 각 d i mV+d i mW-n 이 성립한다. (단 d i m¢三 -1) 따라서 d i mV+d i mW 2: n 이면 Vn w*¢ 이다. 예 I C1 과 C2 가 F 의 곡선으로 만나지 않는다고 하자(예로서 두 개의 바틀린 직선 등)． 이때 C1U C2 는 두 개의 초곡면의 교집합으로 표현되 지 않는다. 예 2 F1 과 F2 가 P 떡 두 기약곡면으로 한 개의 교점을 가질 때 F1U F2 는 연결공간이지만 집합론적 완전교차가 될 수 없다. 왜냐하면 F1U R 에서 교점을 제의하면 비연결공간을 얻기 때문이다. 두번째 필요조건은 코호몰로지를 이용하여 얻어진다. 임의의 다양체 X 에 대해서 X 의 코호몰로지 차원, cd(X) 를 뻗 {nlH,.(X,$)=0, 모든 i >n 과 X 상의 동조충 하 으로 정의한다. 이때 cd(X):s:: d im X 20) Kunz Propo s it ion V. 3 . 9 참조.
는 잘 알려진 사실이며, 2 장의 쎄어의 정리로부터 cd(X) = O$:>X는 아파인 다양체 가 성 립 한다. 또한 q (X) 를 聽 {nlH.-(X, 多)는 유한차원의 k- 벡터공간, 모든 i> n 과X 상의 동조충 하 로 정의하자. 우리는 X가 사영다양체일 때 임의의 i에 대해서 dim kH.-(X,tF )
의 상충으로 표현된다. 증명 21) 적절한 no 가 있어서 n~no 이면 ~(n) 이 유한개의 대역적 단 편으로 생성된다. 따라서 완전열 N 庶 @x- tF (n) 때 이 있고 여기에 ® & x(-n) 을 하면, ®@x( ― n) ➔ 多 ➔ ° 울얻는다. 정리 4 . 3 의 증명 (ii) ⇒ (i) cd(X) 에 대한 증명을 보기로 하자 (q (X) 에 대한 증명도 비슷하다)． 우리는 모든 i >r 와 X 상의 동조충 多에 대해서 H i (X,~)=O 을 보여야 되는데 이것을 i에 대한 내림 귀납 법을 써서 한다. i ~ O 이면 (예로 i> dim X) 위의 사실은 성립한다. 만일 임의의 X 상의 동조충 筑에 대해서 H i+l (X 魏 )=0 이 성립한다 고 가정하고 X 상의 동조충 多에 보조정리 4 .4를 적용하면 완전열 o ➔m➔ 8 ➔ § ➔ 。 (4 .2) 이 있는데 8 는 국소적으로 자유충이며 筑은 동조충이다. 이것으로 부 터 코호몰로지의 완전열 o-Hi( X, W) -H i (X, 多)가[i+l (X, 筑)규 H i+ 1(X, 8 )-... 21) Ha rtsh orne[ 끽 p. 121 참조.
을 얻는다. 따라서 i >r 이턴 , H i (X,~)=O 이므로 H i (X,:¥)~H i+ 1(X 魏) 인데 H i +l(X 魏 )=0 이므로 H i (X, 多)도 0 이다. (iii)~( i )多가 X 상의 동조충이면 역시 (4.2) 형태의 완전열을 얻고 위에서 처럼 코호몰로지의 완전열을 얻은 후 귀납법을 써서 증명한다. 정리 4-5 p n 의 다양체 X가 폐부분집합 일 때 U=Pn\X 이라 하고 r20 이라 하자. 이때 다음의 사실이 성립한다. ( i )q( u)sr~dim kH1 ($ )
~dim kHf +1 (;!,)< oo, i/i> r 이 성립한다. 또 p (U) 학무 d i mkH i (U, 1' )
dim X=s 이면 p( U) = q( U) = cd( U) = n-s- 1 이 성립한다. 단, U=Pn\X. 증명 X는 차원 s 의 집합론적 완전교차이므로 초곡면 H 제 대해서 X=nn-sH ; i= l 로 표현된다. 이때 U 는 n-s 개의 아파인 개부분집합의 합집합이므로, 2 장의 정리 2.11 의 따름정리에 의하여 임의의 U 상의 동조총 多에 대해 入1 Hi ( U,6)=0, i2 n— s 이다. 따라서 cd(U)~n-s-1 이다. 반면 따름정리에 의하여 p (U)~n-s-1 이고 앞의 정리들을 쓰면 p( U)~ q( U) ~ cd( U) 이므로 p( U)= p( U)=cd(U)=n ― s 一 1
이다. 예 F 의 폐부분집합 Y= YiU Yi를 다음과 같이 잡자. Yi= {X1=X2=0} ½={k=X=O} 단 Xo,···,x4 는 동차 좌표이다. 이때 국소적으로 자유충 多 *O 와 U=P4\Y 에 대해서 di mkH'(u, 多)={ °00 :::,2 유한값 ,i=O 으로 계산되므로 l=p( U)< q( U)= cd(U)=2 이고 따라서 Y 는 집합론적 완전교차가 아니다. 계산의 예로 H2(u, el p 4) 를 구해보자. 먼저 장완전열 …--+庄 (P4'@ p 4)--+H2( u, (7 !'4)--+HK f}p ◄ )--+H3( p 4' % )--+… 에서 H2(F,@ p 4)=H3(F, gp 4)=0 이므로 Ir( U, tJ p.) ;;:; Ji3>{ flp• ) 가 성립한다. 다음에 국소 코호몰로지에 대한 메이어-빗토리스 완전열
…규 HY f nY2( tJp 4) 一島 (@P4)GH32(@P4) 一L+ H~& 긴一… 에서 Yin ½=(l ,o,o,o,o) 이므로 Hvfn v2 ( &p ◄ ) = lil'T! .) Ext:l i(R /(X i,X 2,X3,X)m,R) m = 0 (R = k[X1,X2,X,X4]) 이므로 j는 단사이다. 그런데 HYf ( ¢p4 ) =』모 Ext~ R /(X1,X2)m,R) m =노 Ex t ~R/(Xt ,X2m),R) m =~ HomR(R/(Xt ,X2m),(R/( 차 :X?,X3m))(3m)) m =~ (R/(Xt ,X f ,X 3m))(3m) m 이므로 di mk JI; l( (jjp .)=00 이다(Yi에 대해서도 똑같이 계산한다). 따라 入 1 dim kH3 ¢p4 )=00 O] 다. 주 F 에서 H2(U,W p ◄ )=I= 0 이며 q (U)=l 인 비특이 곡면이 존재한 다. 23) 정 리 4. 6 에 의하여 이 곡면은 집 합론적 완전교차가 아니다. 23) Harts ho rne [l] p. 119 참조.
5 완전교차 다양체가 될 조건 정의 5 』 R 이 체 k 상의 아파인 정역, 즉 k 상의 유한 생성 대수라 하자. 이때 적절한 양의 정수 N 에 대해서 R=k[ Xi,… ,X사 /I 이고 µ(I )=R 의 여차원 =N- di mR 일 때 R 은 추상적 완전교차 (abstr a ct comp le te int e r secti on ) 라고 한 다. 또한 아파인 다양체 X 에 대 해서 I' (X) 가 추상적 완전교차가 될 때 X는 추상적 완전교차라 한다. 완전교차 다양체가 추상적 완전교차임은 자명하다. 따라서 우리는 그 의 역을 살펴보자. 보조정리 5 • 2 가환 R 의 유한 생성 이데알 I 가 있을 때 I/F 이 RI I- 가군으로서 r 개의 원으로 생성된다고 하자. 이때 임의의 /ER 에 대 해서 이데알 (I, f)는 r+1 개의 원으로 생성된다. 증명 I 의 원소 a1, … ,ar 이 있어서 (51, …,ii r)=I/ !2이라 하자. 환 RI (a1, … ,ar)R 에서 이데알 l=I/(a1, … ,ar)R 는 I!12=0, 죽 I=F 울 만족 한다. 따라서 I는 멱항등원 h(hEI) 로 생성된다. 이때 I=(a1,… , ar, h)R 이며 h(l-h)E(a1, … ,ar)R 이고
(IJ) = (a1,· •· ,ar,hJ ) R 이다. J =(a1, … ,ar,h+(l-h) f)라 하면 (J,f)=J 가 된다. 왜냐하면 h+(I-h)/ 에 h 를 곱하면 h(I-h)E j이므로 h2E] 이다. 한편 h=h2+h(I-h) 이므로 hE J이고 J= h+(l-h)J+ h(/-l) 이므로 IE] 이다. 고로 J=(I,f)이다. 정리 5 겁 R 이 체 k 상의 아파인 정역으로 차원이 n 이라 하자. R의 상체 (qu oti en t fiel d) ~(R) 이 k 의 분리 확대 체 (sep a rable exte n sio n fiel d) 이면 R 이 추상적 완전교차가 될 필요충분조건은 요R lh 가 길이 1 이하의 자유분해를 갖는 것이다. 증명 (~) R=k[X1 … ,X사 //, µ(/)=N-d i mR 이라 하자. 이때 I 는 정칙열로 생성되므로 I/ I'은 R- 자유가군이다. 따라서 A=k[X1, … ,X사 이라 하면 완전열 o-+I/F-+ 요A lk®R-+ Q Rlk-+0 이 있는데 요 4lk®R 은 R- 자유가군이므로 요R lk 는 길이 1 이하의 자유분 해롤 갖는다. (¢:::) QR / I<는 길이 1 이하의 자유분해를 갖는다고 가정하고 R=k[X1,… ,
X사 /1 라 하자. 이때 A=k[ Xi,… ,XN] 이라 하면 완전열 I/F 一요A lk®R ➔ QR lk 一 0 에서 ~(R) 가 k 상의 분리확대체이므로 첫번째 사상은 단사이며 II I'은 사영가군이 된다 . 따라서 완전열 o-I/! 2-.QA !k®R- 요R lk 一 0 은 요A lk®R 이 자유가군이므로 사영분해가 된다. 또한 QR /k 는 길이 l 이 하의 자유분해를 가지므로 I/F 은 안정적 자유가군이다. 즉 적철한 m 에 대해서 J/J2E BRm ~ RN-n+ m 이다. 한편 k[Xi ,… ,X사 울 자연스럽게 k[X1, … ,XN+m] 에 매장시킴으로 써 R=k[Xi ,… ,XN+m]/ J로 표시하면 J/]2;;;I/I 2EBRm ;;; RN 내＋ m 이 된다. 다시 k[X1, … ,XN+m] 을 자연스럽게 k[X1, … ,XN+m+l] 에 매장시 키고 R = k[X1, •• · ,XN+m+i ] /K 로 표현하면 보조정리 5.2 에 의하여 µ(K)=N-n+m+l 이 된다. 따라 서 R 은 추상적 완전교차이다.
따름정리 XCA 뚝 차원 n 의 추상적 완전교차 아파인 다양체라 하 자. 이때 co di mX~2 이면 X 는 완전교차이다. 증명 N=n 이나 N=n+l의 경우는 자명하므로 N=n+2 의 경우만 본다. R= I' (X) 은 추상적 완전교차이므로 요m 는 길이 1 이하의 자유분 해를 가진다. 그리고 정리 5 . 3 의 증명의 두번째 부분을 그대로 적용하 면 o-1/J.2 --.QA 1k®R-Q a ,k-o 은 완전열이며 (A=k[X1,… ,X n+2], R=A/1) 적절한 m 에 대해서 f/I'EBR m ~ Rm+2 이다. 고로 R ~ I\ m+2(Rm+2) 츠 /\2(1 /J2)®/\ m(Rm) 츠 A2(I/F) 이 성립한다. 여기서 X 는 A;+2 에서 국소적으로 완전교차이며 w =H omR( /\ 2( 1I I') ,R ) 즈 R 이므로 3 장의 정리 2.5 에 의하여 µ(1 )=2 가 되고 X 는 완전교차이다.
정리 5 . 4 X는 n 차원의 아파인 비특이다양체라 하자. I' (X)=R 일 때 R 이 추상적 완전교차이며 XcAN(N~2n+2) 이면 X 는 AN 에서 완 전교차이다. 증명 R=k[XI,… , XN]!I (N 헉 2n+2) 일 때 R 을 k[XI, … ,XN-1] 에 동 형적으로 사영시킨 후 적절한 좌표변환을 하면 사상 k[X1, … ,XN-I]-+k[X1, … ,X사 과 ]=Ink[X1, … ,XN-1] 으로 츠 k[X1, … ,XN-1]/ f一 k[X1, … ,X사 /I 이 되므로 사상 R-R[X사 울 유도하는데 만일 T 가 I 의 R[X사 에서의 상이면 R--+R[X사 가 ?[X사 /I 는 동형이 된다. 따라서 l=(XN-t) R [XN] (t ER) 이므로 I=(J ,X N- t),t Ek[X1,···,XN-I] 이다. 또한 X 는 비특이다양체이므로 완전열 0 一J/J 2 一gA lk®R 一Q Rlk 一 0 (A=k[X1,… , NN-1]) 은 분열하는데, R 이 추상적 완전교차이므로 요 Rlk 는 안정적 자유가군이 며 고로 J/J 2 도 안정적 자유가군이다. 그런데 ]/]2의 계수 =N 一 l-n ~n+l 이므로 J/J 2 도 계수 N-n-l 의 자유가군이 된다. 따라서 보조 정리 5 . 2 에 의하여 µ(I )=N-n 이므로 X 는 AN 에서 완전교차이다.
앞의 두 정리로부터 di mX=l 인 비특이다양체 X는 AN(N~l) 에서 완전교차임을 알 수 있다. 따름정리 XCA 뚝 비특이다양체로 d i mX=n(N 헉 2n+2) 라 하자. 이때 X 가 AN 에서 완전교차일 필요충분조건은 Q R/k 가 안정적 자유가군 이다. 증명 ( ⇒ )R= I' (X)=k[X1, … ,XN]/1 이면 완전열 0-+I/ I'-+요'A 11,®R-+l2m-+O (A = k[X1,… , X사 ) 은 분열하고 II I'은 자유가군이므로 요R lk 는 안정적 자유가군이다. (<=）요m 가 안정적 자유가군이면 QR /k 는 길이 1 이하의 자유분해를 가 지므로 R 은 추상적 완전교차이다. 여기에 정리 5.4 를 적용하면 X 는 AN 에서 완전교차이다. 예 24) X 는 차수 n 의 p n-1 에서의 비특이 초곡면이라 하고 Y= p n-l_x 라 하자. 이때 Y 는 아파인이며 ^ n-1( 요y) :::< (!J pn -1 (-n)l y 이므로 w n:근 자명한 충이다. 여기서 n 이 4 가 아닌 합성수이면 !Jm (R=I '( Y)) 는 안정적 자유가군이 아니다. 따라서 Y 는 추상적 완 전교차가 아니다. 24) Mohan Kumar [1] 참조.
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찾 o f보 71
기 계수 I6o 관계가군, 관계행렬 I39 기본적 I5I k 번 기본적 I54 꼬인 3 차 곡선(twi s t ed cubic curve) 25 L 나께야마 정리 I50 높이 (heig h t) 52 C 다양체, 대수적다양체 47 아——파인, 차여 사원차영 원 _49 _50 37 대수적 집합 아파인- I2 사영- I7 기—약_―사_ 상 ,I 6,동 2형I 사상 26 독립적 I85 동치, 국소적 동치 다 4, I45
□ 미분자 57 닌 반변 8- 함수 II4 보편적 __- II5 분리적으로 대수적 확대체 65 비특이점 65 人 사영가군 157 사영분해 196 사영차원 196 사영폐포 24 성분 16, 21, 38 쇄복체 (chain comp le x) 81 순성정리 188 순이데알 188 심도 (de pth) 100 Serre· 분 열정리 170 쌍대성 n8 예상 167 정리 90
。 아이젠버드-에반스정리 I70 아파인 좌표환 25 안정적으로 동형 2IO 여법가군 I75 &x-가 군 6I 자유가군, 국소적 자유가군 I20 완전교차, 이데알론적 완전교차 55, I84 집합론적 —— 55, 184 국소적- 55, 184 추상적- 55, I84 완전교차환, 국소완전교차환 55 우도래함수 83 입사분해 82 x: 전———다양체사적사 (상상(p pr r e o v3d3a7uIr ci et)t y ) 44 37 전충(p reshe af) 30 접공간, Zari sk i 접 공간 63, 64 접추면 62 정칙열 IOO 정칙접 62
정칙함수 34 정착환 55 J-스펙트럼 I52 Zarisk i 위상 I2 大 차원(환) 52 초곡면 I5, 2I 충 3I 가역 —— 77, 120 동조―— 75 미분―― 61 산포 (flas qu e) —— 88 쌍대화- 88 이데알—— 68 준동조―― 75 표준 (canon ica l) —— 127 =, Koszul 쇄복체 I23 C코e호ch몰— 로지군9 5 88 ――차원 227 K:i hl er 미분형 식 의 가군 58 Quille n 정 리 I48 Qu ill en -Suslin 정 리 I65
고 포스터-스완 정리 I57 -lo 함수체 48 Horroeks 정 리 162
화이버화, 화이버적 I34 확대가군 I48 훼란드 정리 203 힐버트 다항식 IIO, II4 힐버트 영정정리 I4
조영현 서울대학교 문리과대학 수학과 졸업 미국 노스웨스턴대학교 이학 석사 및 박사 학위 받음 현재 서울대학교 수학과 부교수 대수기하학 대우학술총서 ·자연과학 68 찍은날 • 1991 년 3 월 30 일 펴낸날 • 1991 년 4 월 10 일 지은이·조영현 펴낸이·朴孟浩 펴낸곳•民音社 출판등록 1966. 5. 19 제 1-142 호 은행지로번호 3007783 우편대체번호 010041-31-0 5 23282 135-120 서울 강남구 신사동 506 강남출판문화센터 5 층 515-2000~2 (영업부) 515-2003~5 (편집부) 515-2007( 팩시밀리) © 조영현, 1991 자연과학 • 대수기하학 KD(긱 412 . 08 Prin t e d in Seoul, Korea 값 7,500 원
대우학술총서 자연과학 l 소립자와 게이지 상호작용 김진의 2 동력학특론 이병호 3 질소고정 송 승달 4 相轉移와 임계현상 김두 절 5 촉매작용 진종식 6 뫼스바우어 분광학 옥항남 7 극미량원소의 영양 승정자 8 수소화붕소와 유기붕소화합을 윤능민 9 항생물질의 전합성 강석구 10 국소적형대의 Aliya h- Si n g e r 지표이론 지동표 11 Muco po l y sacchar i de 쾨 생화학 및 생물리학 박준우 12 천체물리학 홍승수 13 프로스타굴라딘 합성 김성각 14 천연물화학 연구법 우원식 15 脂訪營養 김숙회 16 결정화유리 김병호 17 고분자의 화학반응 조의환 18 과학혁명 김영식 19 한국지질론 장기홍 20 정보이론 한영영 21 원자핵반응론 정운혁 22 파괴역학 김상철 23 분자궤도이론 이익춘 24 반응속도론 정경훈 25 미분 위상수학 이현구 26 磁器共鳴방법 조성 호 27 풀라스마물리학과 핵융합 최덕인 28 천문관측과 분석 이시우 29 석탄에너지 변환기술 김상돈 30 해양微古生物學 백광호 31 편미분 방정식론 김종식 32 대통일이론 소광섭 ,3 - 굴속접 XMI 의 - 다채 01 呂 & iIR , 34 액정중합체 진정일 35 복합재료권숙인 36 단백질 생합성 박인원 37 한국의 광몰졸 김수진 38 일반상대론 이철훈 39 레이저 광산란 분광학 김종진 40 복소다양체른 김상문 41 夜擧的 연구방법 김일순 42 핵구조톨리학 민동될 43 후리에 해석과 의미분 작용소 김도한 44 한국의 고생률 이하영 45 짙람분석학김명수 46 급변론 박대현 47 생체에너지 주층.lc. 48 리이만 기하학 박을룡 49 群표현른박승안 50 비선형 편미분 방정식른 하기식 51 생체막 김형만 52 수리분류학 고철환 53 찰스다윈 정용재 54 금속부식 박용수 55 양자광학이상수 % 효소반응 속도른 서정헌 51 화성암 성인른 이민성 58 확를른구자홍 59 분자분광학소현수 60 벡터속이른 양재현 61 곤충신경생리학 부경생 62 에너지띠어른 모혜정 63 수학기초른 김상문 64 신경과학 박찬웅 • 김승업 65 BCH 부호와 Reed - Solomon 부호 이만영 66 양자전기역학 김영덕