박재질 저자는 서울대학교 사범대학 수학과 및 동 대학원 수학과 를 졸업했으며, 미국 신시내티대학교에서 박사학위 를 취득한 후 동 대학교에서 연구원. 미국 텍사스대학교 방문 조교수 및 방문 부교수 그리고 독일 스튜트가르트대학교 방문학자 및 스페인 바르셀로나 캐팔란수학연구소연구원을 역임하였다. 현재는부산대학교사범대학수학교육과 교수이다. 환론에 관하여 다수의 논문이 있다.

군환론

군환론

책 머리에 군환의 이론은 환론에 있어서 여러 가지 홍미있는 예와 반례를 제 공해 줄 수 있기 때문에 상당히 중요한 과제가 될 수 있습니다. 이 책에서는 대학원에서 대수학을 전공하면서 환론에 관심이 있는 학생들이 군환의 이론과 그에 관한 응용에 대하여 개괄적으로 이해하 는 데 조금이나마 보탬이 되도록 내용을 선정하여 보았습니다. 물론 군환에 관하여 여러 가지 다양하고 보다 깊이 있는 이론을 이 해하는 데 있어서는 D.S. Passman 의 The Alge b raic Str u ctu r e of Group Rin g s (Wi le y and Sons, 1977) 가 상당히 좋은 책 이 지 만 이 책 의 내용을 이해하는 데 있어서는 환론 이의의 여러 가지 복잡다양한 기술적인 방법이 많이 사용되므로 대학원 학생들이 내용을 이해하는 데는 다소 무리가 있다고 생각되어서 이 책에서는 되도록 환론의 입 장에서 군환의 여러 가지 성질을 다루어 보고자 하였습니다. 이 책의 내용 중에서 일부분을 제의하고는 앞에서 언급한 Passman 의 책 내 용과 되도록이면 중복되지 않도록 함으로써 환론의 입장에서 전개되 는 군환의 이론으로 Passman 의 책 에서 소개 되고 있는 군환에 관한 여러 가지 이론을 보충하여 보고자 하였습니다. 이 책에서 이론의 전개 과정에 있어서 무리가 없는 한 정리의 증명 이 복잡한 것은 참고문헌만 소개하고 증명과정은 생략하였습니다. 아 울러 제 6 장에서는 군환의 이론을 다소 응용한 꼬임군환과 Galois 이 론을 조금 취급함으로써 군환에 관한 여러 이론들이 꼬임군환에 응용 되어서 Galois 이론에 어떻게 적용되어질 수 있는가에 관하여 소개하 였습니다.

저자는 이 책의 원고를 준비하면서 여러 선생님들께 감사를 드려야 하겠습니다. 저에게 대수학을 처음 지도하여 주신 전 서울대학교 사 범대학 수학과 김응태 교수님, 대학원에서 제가 환론을 공부할 수 있 도록 지도해 주신 전 서울대학교 자연대학 수학과의 고 이우한 교수 님, 저에게 군환, 꼬임군환 그리고 Galois 이론을 지도해 주신 미국 신시내티 대학교 수학과 J.W . Fis h er 교수님, 아울러 또한 환론의 이 론에 관한 몇 개의 과제를 공부할 수 있도록 지도 편달해 주신 미국 텍 사스 대 학교 수학과 E.P . Armendariz 교수님 께 심 심 한 사의 를 표 하고자 합니다. 끝으로, 이 책이 대우 학술총서의 자연과학 분야 전문서적 중의 하 나로 출간될 수 있도록 도와주신 대우재단에 깊은 감사의 말씀을 드 립니다. 1991 년 1 월 박재걷

차례

3.5 군환의 등멱원에 관한 광역적인 고찰 (Global Point of View for Idempotents of Group Rings) …… 114

6.4 Morita 컨텍스트(Morita Context) ··……………………… 220

제 1 장 군환의 배경 (Backg rou nd of Group Rings ) 이 장에서는 군환의 정의와 그 배경에 대해서 살펴보고 또한 앞으 로 군환에 대한 여러 가지 성질을 알아보기 위하여 환에 대한 간단한 용어도 몇 개 소개하기로 한다. 앞으로 언급되는 환 (r i n g)은 항상 단위원 l 을 가지며 특별히 언급 이 없을 경우에는 주어진 환의 단위원과 부분환의 단위원은 갇다고 생각한다. 1 .1 단순대수 (S i m p le Alge b ras) 우선 군환의 배경에 대하여 살펴보기 위하여 이 절에서는 단순대 수에 대하여 그 정의와 예 및 간단한 성질에 대하여 살펴보기로 한 다. 정의 1 . l . 1 환 K 를 가환환 (commu tati ve ring) 이 라 하고 R 은 환

으로서 K 위에서 정의되는 K- 가군 (K - module) 이라 할 때 A 가 K- 대 수 (K-al g ebra) 라 함은 K 의 임의의 원소 k 와 R 의 임의의 원소 a, b 에 대하여 k(ab) = (ka) b=a(kb) 가 성립할 때를 뜻한다. 예를 들어서 R 을 임의의 환이라 하고, Z(R) 을 R 의 중심 (cente r ), 즉

연수)라 하면 R 은 K 위에서 정의되는 대수, 즉 K- 대수가 되고 또 한 이 경우 R의 아이디얼 I 는 K 의 어떤 아이디얼 J가 있어서 I= Ma t n(]) 가 된다. 그런데 K 는 체이므로 ]=O 또는 ]=K 가 되어서 l=O 또는 R 자신이 된다. 따라서 R 은 K 위에서 정의되는 단순대 수가된다. 일반적으로 앞에서 증명한 방법을 사용하면 R이 K 위에서 단순대 수이면 모든 자연수 n 에 대하여 Ma t n(R) 은 K- 대수가 되고, 또한 Ma t n(R) 도 또한 K 위에서 단순대수가 됨을 알 수 있다. 좀더 홍미있는 단순대수의 예를 살펴보기 위하여 K 는 체로서 표수 (charac t er i s ti c) 가 0 이라 하자. 이제 K[ 저를 체 K 위에서 정의되는 다항식 환(p ol y no mi al ri n g)이라 하고 K 〔저에서 형식적인 도함수 (form al der i va ti ve) 를 다음과 갇이 정의한다 : 즉 f (x)EK[ 자에서 J(x ) =a 。 +a1x+ … +anXn 이라 할 때 J (x) 의 형식적인 도함수 o(/(x) )를 o(/(x))=a1+Zai. x+ …+ nanXn-l 이라 하자. 그러면 K[x] 에 속하는 다항식 f (x) 와 g (x) 에 대하여 a (/(x) +g(x ) ) = a(/(x) ) + a (g( x) ) 이고, 또한 8(/ (x) g( x) ) =f(x) 8(g ( x) ) +8(/(x) )g(x ) 가 성립함을 쉽게 알 수 있다. 이제 환 R 을

{l, Y, Y2,… …} 를 K[ 서 위에서 자유기저 (free bas i s) 를 갖는 K[x] －가군, 즉 R={ao(x) +ai( x) y + … +an(x)Ynln 은 자연수이고 a;(x)EK 티, i= O, l, ……, n} 이고 {l, Y, Y2, ……) 은 K[ 저 위에서 일차 독립, 다시 말하면 만일 ao(x) + adx)y + …… +ak (x)y k =O 이면 a.o( x) =a1(x) = …… =ak(x) =O 이 된다고 하자. 이때 또한 R 에서 곱셈을 분배법칙과 다음의 공식 ya (x) = a(x)y + o(a (x) ) 에 의하여 정의된다고 하면 R 은 K- 대수가 된다. 사실 R 은 교환 가능하지 않은 두 부정 원 (undete rm ina te ) x, y를 갖 는 체 K 위의 다항식 환 K[x, 파로서 yx= xy + l

을 만족하는 환, 즉 R 은 제 1 차 Weyl 대수 (the firs t Wey! alge b ra) 이 다. 이 경우에 R 은 K 위에서 단순대수가 될 수 있음은 별로 어렵지 않게 보일 수가 있다. 1 . 2 교차적 (Crossed Products ) R 을 환이라 하면 앞 절에서 이미 설명하였듯이 R 은 Z(R) 위에서 항상 Z(R) －대수가 된다. 이제 이 경우에 R 이 단순환 (s imp le ring), 즉 R 은 아이디얼로서 오직 0 또는 R 자신만을 갖게 될 경우 R 은 Z (R) 위에서 단순대수가 되고 또한 R 이 Z(R) 위에서 단순대수이면 물론 R 은 단순환이 된다. R이 단순환, 죽 R 이 Z(R) －단순대수가 되면 Z(R) 은 체가 된다. 이 경우 Zorn 의 보조정리 (Zorn's Lemma) 에 의하여 R 안에는 극대체 (maxim al subfi eld ) 가 존재 할 수가 있다. 사실 d={AIZ(R) 드 A 다 R 이고 A 는 체} 인 집합을 생각하면 Zorn 의 보조정리에 의하여 고는 극대인 원소를 가질 수가 있는데 이 극대인 원소가 R 안에서의 국대체가 되는 것이 다. 예를 들어서 R 을 실수체라 하고 H 를 R 위에서 정의되는 Ham ilton 4 원 대수 (Ha m ilto n qua rtem ion alge b ra) , 즉 H=R+Ri +Rj+R k

라 하면 Z(H) =JR이고 이때 lR+lRi , lR+J Rj, JR +Rk 는 H 안에서 극대체가 되는데 이러한 극대체는 모두 복소수체 C 와 동형이 된다. 정의 J .2. I 환 R 을 Z(R) －단순대수라 하고 K 를 R 안에서의 어 떤 극대체 K 가 있어서 K 가 체 Z(R) 의 Galois 확대체일 때 R 을 교 차적 (crossed pro duct) 이 라 한다. 특히 이 경 우에 • 국대 체 K 를 강조하 고자 할 경우에는 R 을 K- 교차적 (K-crossed p roduc t)이라 한다. 예를 들어서 R 위에서 정의되는 Hami lto n 4 원 대수 H 에서 극대 체 R+R i (=C) 는 R 의 Galois 확대체가 되므로 H 는 C- 교차적이 된 다. 다음의 정리는 교차적에 관한 성질을 설명하는 것인데 여기서는 군 환의 배경에 대하여 취급하기 때문에 정리의 증명은 생략하기로 한 다. 정리 _1.2. 2 환 R 을 K- 교차적이라 하고 군 G 를 K 의 Z(R) 위 에서의 Galo i s 군이라 하면 R 안에서 가역적인 원소(i nve rti ble element) {r11l<1 E G} 가 존재하여 R 은 K- 벡터공간 Kr t1의 직합 (d i rec t sum), 즉 R=EBdl E]C Krt1 가 되고, 또한 K 의 모든 원소 x 에 대하여

xr<1 = r<1a (x) 를 만족한다. 이제 군 G 의 원소 6, r 에 대하여 Xa,r = r1-1:I r r11rr 로 x6.r 를 정의하면 xc.r 는 K 의 원소가 되고 G 의 세 원소 6, r 와 p 에 대하여 X, r,r p Xr,P =X , rr, PP (x,r ,r ) 가된다. 이제 앞의 정리 1 . 2 . 2 와 관련지어서 환 R 위에서 군 G 의 교차적 (crossed pro ducts ) 을 정 의 하기 로 하자. Au t (R) 을 환 R의 자기 동형사상 (au t omo rphi sm) 전체의 군이라 하고 U(R) 을 환 R 에서의 곱셈하에서 가역적인 원소 전체 집합이라 하자. 이 경우에 함수 a : G---+ Au t (R) 와 r : cx c 一-+ U(R) 이 주어져서 G 의 모든 원소 x, y, z 와 R 의 임의의 원소 a 에 대하여 (1) r (x, y) r (xy , z) = y (y, z) a y (x, yz) 그리고 (2) r (x, y) aa( 자) =a a(y) a (x> r (x, y) 롤 만족한다고 하자. 단, 여 기서 r(y, z) a(x) 등은 r (y, z) 의 함수 a(x) 에 의한 상이다.

이때 R~ [ G ] 는 x 가 G 의 원소이고 r x 는 R의 원소이면서 유한개의 x 를 제의하고는 rx = O 이 되는 형식적인 합(fo rmal sum) ~ rx 굿 의 전체집합으로 정의한다. 따라서 이때 { 굿 | xE G} 는 R 위에서 정의 되는 R- 가군 R 託어의 자유기저 (free bas i s) 가 된다. 이제 R: ［어의 덧셈을 이미 언급한 바와 갇이 R 깁어 는 R- 가군이 고 {굿 | x EG} 가 R 위에서 자유기저이므로 성분끼리 더해 주는 것이 되고, 곱셈은 다음의 법칙 (rx 굿 ) (ry y ) = rx r;cx> y(x , y)x y 에 의하여 정의하여 주면 R! ［어 는 항등원을 r(l, 1) - 1I 로 가지는 환이 된다. 단, 여기서 1 은 군 G 의 항등원이다. 이와 같이 정의되는 환 R갑 G] 를 환 R 위 에 서 군 G 의 교차적 (crossed pro duct) 이 라 한다. 사실 이와 같은 교차적의 정의는 정리 1.2.2 로부터 아이디어를 얻 어서 정의할 수가 있었는데 이러한 교차적의 정의로부터 정리 1.2 . 2 는 다시 말하여 〈 R 이 Z(R) －단순대수이고 R 의 국대체 K 가 Z(R) 의 Galois 확대 체로서 G 가 Galo i s 군이 라면 R 은 극대 체 K 위 에서 군 G 의 교차적이다〉라는 것을 뜻하게 된다. 교차적에 대하여 좀더 상세한 설명은 참고문헌 [AKP] 를 참고하기 바란다. 다음 절에서 언급을 하겠지만 이러한 교차적의 개념을 특수화시킨 것이 군환(gr ou p ring ) , 꼬임군환 (skew grou p rin g), 그리고 비틀림군환 (twiste d grou p ring) 이 된다.

1 . 3 군환 (Group Rin g s ) 군환은 앞 절에서 살펴본 교차적의 특수한 경우가 된다. 사실 환 R 과 군 G 가 주어져 있을 때 함수 a : G-Au t (R) 를 군 G 의 모 든 원소 x 에 대하여 a(x) =l 로 정의하고 함수 r : GX G — -+ U(R) 룰 G 의 모든 원소 x, y에 대하여 짜 x, y )=l 로 택하면 환 R 위에서 군 G 의 교차적 R~ [ 어가 정의될 수 있는데 이때 R 깁 G] 를 R 위에서 군 G 의 군환(gr oup r i n g)이라 부르고 간단히 R 〔 어로 표시한다. 아때 {굿 | x EG} 는 군환 R [ G] 가 R- 가군으로서 R 위에서 자유기저 가 되며 또한 G 의 원소 x, y와 R 의 원소 a, b 에 대하여 (a 굿) (by ) =ab 귬 가 된다. 특히 G 의 원소 x, y에 대하여 xy = xy 가 되므로 x 와 굿를 동일시해서 군환 R 〔어의 원소를 ~rxX 라고 표기하는 대신 간단히 ~rxX 로 표시하기로 한다. 따라서 1 을 군 G 의 항등원이라 할 때 l 을 또한 군환 R[ 어의 항등원으로 표시할 수 있다.

이상에서와 같이 임의의 환 R 과 군 G 에 대하여 군환 R [ G ] 는 항 상 정 의 될 수가 있으며 군환은 환론 (Rin g Theory ) 의 연구에서 가끔 중요한 예와 반례를 제공하여 주기도 한다. 특히 환 R 이 체(fi eld) 가 될 경우 군환 R[ 어는 환론에서 굉장히 중요한 환의 일종이 되어서 여러 가지 다양한 성질을 갖게 된다. 군환 R[ 어에서 H 가 군 G 의 정규부분군 (nonnal sub gr ou p)일 때 군환 R[ 어는 환 R[ H ] 위에서 군 G / H 의 교차적이 될 수 있다· 실제로 {gi Le1 를 정규부분군 H 의 군 G 에서의 어떤 고정된 좌측 트 랜스버설(l e ft tran sversal) 죽 {Hg i} i e1 가 군 G 에서 부분군 H 의 서로 다른 좌측 잉여류 전체의 집합이라 할 때 I 의 원소 i, j 에 대하여 군 H 의 유일한 원소 h 와 I 의 유일한 원소 k 가 존재하여 g;g j = hg k 가 된다. 또한 G/H 의 원소 Hx 에 대하여 I 의 유일한 원소 i가 존재 하여 Hx= H g i 가 됨을 알 수 있다. 이제 이와 같은 사실로부터 함수 a : G/H ----+ Aut (R [H] ) 를 정의하기 위하여 Hx 를 G/H 의 원소라 하면 앞에서 언급한 바와 같이 I 의 유일한 원소 i가 존재하여 Hx=Hg ,

이다. 이때 a(Hx) 를 R [ H 〕 의 원소 S 에 대하여 a(Hx ) (s) =g;1 sg; 로 정의하여 주면 a(Hx) 는 A 따（ R 〔 H]) 의 원소 죽 a(Hx) 는 환 R 頂겨서의 자기 동형사상이 되고 따라서 a 는 군 G/H 에서 Au t (R 沮 ] )로 대응하는 함수가 된다. 또한함수 r : G/ H x G/ H — -+ U (R頂]) 를 정의하기 위하여 G / H 의 원소 Hx 와 Hy 에 대하여 I 의 원소 i, j 그리고 k 와 H 의 원소 h 가 존재하여 Hx=Hg ;, Hy =H& 이고 또한 gig j = h gk 가 되는데 이 경우에 r (Hx, Hy ) = g;g;g;1 라 정의하면 군환 R 〔어는 환 R[H] 위에서 군 G/H 의 교차적, 죽 R[G]=R[HH[G/H] 가 된다. 좀더 자세한 설명은 [AK 町를 참고하기 바란다. 이상에서 언급한 사실은 군환을 연구하는 데 있어서 가끔 사용되어 지는 중요한 도구가 된다. 특히 4(G) 를 G 의 유한공액군(finit e conju ga te grou p 간단히 f.c. grou p) 죽

LJ( G) ={ xE Gj [G : Cc (x )]

이면 (a 굿) (by ) = ab atx)귬 가 성립하기 때문에 x 와 굿를 동일시할 수 있어서 Ra[G] 의 원소를 ~rx 굿로 표기하는 대신에 ~rxX 로 표시할 수 있고 또한 이 경우 ( ax) ( by) ::::: aba< x> xy 로 쓸 수 있다. 꼬임군환을 T. Naka y ama 는 처음에 반선형군환 (se mi -l in ear grou p r i n g)이라 하였는데 1970 년대에 들어와서 환 R의 Galo i s 이론이 연구 되기 시작하면서 꼬임군환이라고 부르게 되었다. 꼬임군환의 한 예로서 뒤에 자세한 설명을 하겠지만 우선 K 가 체 이고 Au t (K) 를 체 K 의 자기 동형사상 전체의 군이라 하자. 또 G 를 Au t (K) 의 유한부분군으로서 위수가 n 이라 하자. 이때 함수 a : G 一 -Au t (K) 를 항동함수로 택하면 꼬임군환 Ka[G] 는 환으로 서 Ma t n(KG) 와 동형이 된다. 단, 여기서 Kc={aEKIG 의 모든 원소 g에 대하여 g( a) =a 이다} 죽 KG 는 K 의 군 G 에 의 한 Galois 부분체 (Galois s ubfi eld ) 이 다. 비 틀림군환(twi s t ed grou p ring)도 또한 교차적 의 특수한 경우가 된 다. 함수 er : G 一--+ Au t (R) 이 G 의 모든 원소 x 에 대하여 a(x) =1 이 될 때 교차적 R i [G] 를 환 R 위에서 군 G 의 비틀림군환(twi s t ed grou p r i n g)이라 한다. 여기서 R i[어라고 표기하는 대신에 단순히 R1[G] 로 비틀림군환을 표기하기로 한다. 비틀림군환 R7[G] 의 경우

G 의 원소 x, y와 R 의 원소 a, b 에 대하여 (ax) (by ) =abr( x, y) 공 가 된다. 따라서 G 의 원소 x, y에 대하여 굿 y=y ( x , y)귬 가 되어서 비틀림군환에서는 x 와 f 를 동일시할 수는 없게 된다. 비틀림군환도 역시 군환을 연구하는 데 가끔씩 사용되는 도구가 된 다. 비틀립군환의 예로서 군 G 를 위수가 4 인 Kle i n 군 즉 G= { l, a, b, C} 로서 a2=b2=c2 = l 이라 하고 R 을 실수체라 하자. 이때 i=1 , a=i, b=j 그리고 c=k 라 하고 함수 r : Gx G-+ U( iR )을 다음과 같이 r(l, a) =r(l, b) =r(l, c) =l, r(a, l)=r(b, l)=r(c, l)=l, r(a, b) = r(b, c) = r(c, a) = 1, r(b, a) = r(c, b) = r(a, c) = —1, r(a, a) = r(b, b) = r(c, c) = -1 그리고 rU, 1) =1 이라고 정의하고, 함수 a : G ― -+Au t (R) 을 G 의 모든 원소 x 에 대하여 a(x)=1 이라 하면 실수체 R 위에서 군 G 의 교차적, 죽 이 경우는 비틀림군환 RT 〔어를 정의할 수 있는데 이러한 비틀립군환

lR7 〔이는 실수체 lR 위에서 Hami lton 4 원 대수 (Ha mi l t on qua rt er n ion alge b ra) H=JR +lRi +JRj+l Rk 가 된다. 따라서 우리가 이미 알고 있는 Hami lto n 4 원 대수는 비틀 립군환의 일종이 된다. 앞의 3 절에서 언급한 바와 같이 군환 R 〔이에 있어서 H 가 G 의 정규부분군이 되면 R 〔어는 환 R[ H ] 위에서 군 G/H 의 교차적이 되었는데 특히 G 가 가환군 (commu t a ti ve gr ou p)이면 군환 R[G] 는 환 R 며〕 위에서 군 G/H 의 비틀림군환이 됨을 쉽게 알 수 있다. 따라 서 비틀림군환은 군환 R 〔어에서 군 G 가 가환군일 경우에 자주 사 용될 수 있는 도구가 된다.

제 2 장 다항 항등식을 갖는군환 (Group Rin gs with a Polyn o mi al Identi ty) 2 .1 다항 항등식을 갖는 대수 (P. I. Alge b ras) R 을 환이라 하고 Z 롤 정수환이라 하자. 이때 환 R 이 다항 항등식 울 갖는 환 (ring with a pol yn o m ial ide nti ty) 혹은 간단히 P .I.환 (P.I . ri n g)이라 함은 부정원 x i둘이 서로 가환이 될 필요가 없는 Z 위의 다항식 환 Z[ Xi , X 2, …」니에서 어떤 다항식 /(X1, X2, …, Xn) 이 존재하여 다항식 /(x1, ~2, …, Xn) 의 계수 중에서 적어도 하나의 계수는 1 이고 또한 R 의 모든 원소 a1, a2, …, an 에 대하여 항상 I(a1, a2, …, an) =O 이 성립할 때를 말한다.

R 이 가환환이면 R 의 모든 원소 aI, a2 에 대 하여 a1a2-a2a1=O 이 되므로 R 은 다항 / (xi, x2) = x1x2 -x 2x1 울 만족하는 P .I.환이 된다. 따라서 가환환은 P .I . 환의 득수한 경우가 된다. 이제 비가환인 P .I.환의 예를 들어 보기로 하자. 우선 R 을 가환환 이라 하고 R 위에서 정의되는 2X2 행렬 A 와 B 에 대하여 tr( AB-BA) =O 가 된다. 단, 여기서 t r(- ）는 주어진 행렬의 대각선 원소의 합이다. 따라서 R 의 원소 p, q 그리고 r 이 존재하여 AB-BA=(pr -pq) 가되고, 또한 (AB-BA)'= (p': qrp '~ qr) 죽 (AB-BA)2 은 스케일러 행렬 (scalar ma trix)이 된다. 그러므로

임의의 2 X 2 행렬 C 에 대하여 (AB-BA)2C-C( AB -BA)2 = 0 이 된다. 이제 여기서 다항식 /(xi, X2, X3} = (x1x2-x2x1)2x3-x3(X1X2 一 XzX1)2 일 때 R 위의 2X 2 행렬환 Ma t 2(R) 의 원소 A, B 그리고 C 에 대하 여 /(A, B, C) =O 가 되어서 Ma f 2(R) 은 비가환인 P .I환이 됨을 알 수 있다. P .I환에 관한 쉬운 성질로서 다음의 명제를 얻을 수가 있는데 증 명은 너무 간단하기 때문에 생략하기로 한다. 명제 2. 1. ] 환 R 이 P .I.환이면 R의 부분환도 P .I.환이 되고 또한 R의 상환(fa c t or· r i n g)도 역시 P .I . 환이 된다. P .I환의 한 가지 중요한 사실로서 D 가 디비 전 환(divi s i on ring) 이 고 이때 체가 되는 D의 Z (D)를 F 라 할 때 D 가 P .I.환이 될 필요충 분한 조건은 D 가 F 위의 벡터공간으로서 유한 차원이 된다는 것이 다. 이러한 사실은 [K] 에 의하여 밝혀졌는데 디비전 환을 연구하는 데 있어서 중요한 성질이 된다. 이제 이와 같은 사실을 증명 없이 소개하기 위하여 다음의 간단한

정의부터 살펴보기로 하자. 정의 2.1 . 2 R이 환이고 M을 0 아닌 좌측 R- 가군(l e ft R-module) 이 라 할 때 M 은 0 아닌 부분 R- 가군 (R-submodule) 을 M 이 의 에 는 가지 지 않을 때 M 을 단순 R- 가군 (sim p le R-module) 이 라고 부른다. 단순 R- 가군의 예로서 R 을 체라 하고 V 를 R 위에서 정의되는 벡터공간이라 할 때 V 가 단순 R- 가군이 될 필요충분 조건은 체 R 위에서 V 의 차원 (d i mens i on) 이 l 이 됨을 알 수 있다. 또한 이제 R 울 체 F 위에서 정의되는 nxn 행렬환, 죽 R=Ma t n(F) 라 하자. 단, 여기서 n>l 이다. 이 경우에 I={] ] aeF 는 R 의 : 좌측 아이디얼이므로 1 는 좌측 R- 가군이 되고 또한 I 는 단 순 R- 가군이 됨을 알 수 있다. 환 R이 주어져 있을 때 단순 좌측 R - 가군은 항상 존재할 수 있 다. 실제로 Zorn 의 보조정 리 (Zorn's lemma) 에 의 하여 환 R 에 서는 항 상 국대 좌측 아이 디 얼 (maxim al left ide al) 이 존재 하게 된다. 여 기 서 R 의 어떤 극대 좌측 아이디얼을 I 라 하고 R/1 를 R 의 I 에 의한 상 가군(fa c t or module of R by I) 이 라 하면 I 는 극대 좌측 아이 디 얼이므 로 R/1 는 단순 좌측 R_ 가군이 된다. 또한 이제 M을 단순 좌측 R- 가군이라 하면 M =l= O 이므로 M 의 원 소로서 m =l= O 이므로 m 을 택할 수 있다. 이때

Rm={amlaER} 은 M 의 0 아닌 좌측 R- 부분가군이 되고 또한 M은 단순 좌측 R- 가 군이므로 Rm=M 이 된다. 이제 함수 f를 J :R 一 Rm a--+ am 으로 정의하면 f는 R 에서 Rm 위로 대응하는 R- 가군 준동형사상이 되므로 RIKer (/) 츠 Rm = M 이 된다. 여기서 M 은 단순 좌측 R- 가군이 되므로 R 의 좌측 아이디 얼 Ker(/) ={aERlam=O} 는 R 의 극대 좌측 아이디얼이 된다. 따라서 단순 좌측 R- 가군 M 은 R 의 어떤 극대 좌측 아이디얼에 의한 상가군과 동형이 된다. 앞의 정의 2 . 1 . 2 를 이용하여 원시환(primiti ve ring)을 다음과 감이 정의할 수 있다. 정의 2. 1. 3 환 R 이 좌측 원시환(l e ft primitive ring)이라 함은 R 위에서 정의되는 어떤 단순 좌측 R- 가군 M 이 존재하여

AnnR(M) ={aERlaM=O} 가 0 일 때를 뜻한다. 여기서 AnnR(M) 을 R 에서 M 의 애니힐레이터 (annih ila to r of M in R) 라 부른다. 우측 원시 환 (righ t pri m itive ring ) 도 같은 방법 으로 정 의 될 수 있다. 죽 환 R 이 우측 원시환이라 함은 어떤 단순 우측 R- 가군 M 이 존재 하여 R 에서 M 의 애니힐레이터가 0 이 될 때를 뜻한다. M 이 환 R 위에서 정의되는 단순 좌측 R- 가군이면 R 의 어떤 극 대 좌측 아이디 얼 I 가 존재 하여 R- 가군으로서 M 츠 R/1 이 되므로 AnnR (M) =Ami R ( R/I) 가 된다. 그런데 여기서 AnnR( R/1) ={aER i aR 드J} 가 됨을 알 수 있고 따라서 AnnR (R /1) 는 I 에 포함되는 R 의 양측 아이디얼(tw o-s i ded ide al) 중에서 가장 큰 것이 된다. 그러므로 AnnR (R/I) = O 죽 AnnR (M) =O 이 될 필요충분 조건은 극대 좌측 아이디얼 I 에 포함되는 R 의 양측 아이디얼 중에서 가장 큰 것이 0 이 됨을 알 수 있다. 따라서 다음의 사실을 얻을 수 있게 된다. 명제 2. 1 .4 환 R 이 좌측 원시환이 될 필요충분 조건은 R 의 어 떤 극대 좌측 아이디얼 I 가 존재하여 I 에 포함되는 R의 양측 아이디 얼 중에서 가장 큰 것이 0 이 되는 것이다. 죽 I 에는 0 이 아닌 R 의 양측 아이디얼이 포함되지 않는다.

우측 원시환이면서 좌측 원시환이 되지 않는 예는 1964 년 G. Ber gm a 띠 Bl] 에 의하여 발견되었다. 실제로 Q를 유리수체라 하고 Q (x) 를 Q 위의 다항식환 Q [x] 의 분수체라 하자. 이때 함수 a 를 a : Q( x) ＿ ➔ Q( x) f(x ) ―나 (x2) 으로 정의하고 난 후 환 R 을 환의 준동형사상 a 에 의한 Ore 확장 (Ore exte n sio n ) 즉 R = Q (x) [y ; a] 라 한다. 죽 R={ao(x) +a1 (x)y +… +an(x)Ynla;(x) E Q( x), n=O, 1, …} 에서 {l, Y, y2, …}은 Q (x) －가군 R 의 자유기저 (free bas i s) 로 하여 덧셈이 정의되고, 곱셈은 Q (x) 의 원소 a(x) 에 대하여 다음의 법칙 ya( x) =a(a(x))y = a(x2)y 에 의하여 정의하면 R 은 환이 되고 이 경우 G. Ber gm an 은 R 이 우 측 원시환은 되지만 좌측 원시환은 되지 않음을 보였다. 이제 원시환의 정의로부터 다음 성질을 유도할 수 있다. 명제 2.l.5 R 이 좌측(또는 우측) 원시환이면 R 은 소환(pri me ri n g)이 된다. 죽 A 와 B 가 R 의 양측 아이디얼로서 AB=O 이면 A=O 혹은 B=O 가 된다. 증명 A 와 B 가 R의 양측 아이디 얼로서 AB=O 이고 B*O 이라 가 정하자. 이제 R 은 좌측 원시환이므로 R 의 어떤 국대 좌측 아이디얼

I 가 존재 하여 AnnR (RII) = O 이 된다. 죽 I 에 는 0 아닌 R 의 양측 아이디얼은 포함되지 않는다. 그런데 여기서 B =I= 0 이므로 B 뚜 I 이고 따라서 I~B+l 가 된다. 이 제 I 와 B+I 는 좌측 아이디얼이고 I 는 극대 좌측 아이디얼이므로 B+I=R 임을 알 수 있다. 가정에서 AB=O 이므로 A( 의기 =O 죽 A(R/J) =O 이 되므로 A 드 AnnR(R/ 1) 이다. 그런데 AnnR(RII) =O 이므로 A=O 이 되어서 R 은 소환이 된 다. 이제 소환은 항상 원시환이 되지는 않는다. 예로서 정수환 Z 는 소 환이 되지만 원시환은 아니다. 왜냐하면 2Z={2alaEZ} 는 정수환 Z 의 국대 아이디얼로서 0 아닌 아이디얼, 예를 들면 AZ 를 포함할 수 있기 때문이다. 일반적으로 R 이 가환환일 경우 R 이 원시환이면 R 은 0 아닌 국대 아이디얼을 가질 수가 없게 된다. 왜냐하면 R 이 어떤 0 아닌 극대 아이디얼 I 를 가지면 R이 가환환이기 때문에 I 자신이 0 아닌 아이 디얼로서 I 에 포함되기 때문이다. 따라서 가환인 원시환은 체가 된 다. 또한 R 이 체이면 물론 R 은 원시환이 된다. 그러므로 R 이 가환 환일 경우에는 〈원시환〉과 〈체〉의 개념은 일치하게 되어서 가환환일 경우에는 〈원시환〉이라는 개념은 따로 정의해 줄 필요가 없게 된다.

원시환에 대한 또 하나의 홍미있는 성질로서 다음을 얻을 수 있다. 명제 2.1. 6 단순환은 항상 좌측 그리고 우측 원시환이 된다. 증명 R 을 단순환이라 하면 R 은 0 아닌 양측 아이디얼은 R 자신 이의에는 갖지 않는다. 이제 I 를 R 의 어떤 극대 좌측 아이디얼이라 면 I i R 이므로 I 에 포함될 수 있는 R 의 양측 아이디얼은 0 뿐이므로 R 은 좌측 원시환이 된다. 마찬가지 방법으로 R 은 역시 우측 원시환 이 됨을 보일 수가 있다. 디읍의 예에서 좌측 원시환은 항상 단순환이 되지는 않는다. 예 2. l .7 V 를 체 F 위에서 정의되는 무한 차원 벡터공간이라 하고 R 을 EndF ( V) 죽 V 에서 V 로 대응하는 선형변환 전체의 환 이라 하자. 이 경우 자연스럽게 V 는 좌측 R- 가군이 된다. 이제 V 의 0 아닌 임 의 의 벡 터 v 에 대 하여 Rv={/(v) I/ER} 는 V 자신이 됨을 보이기로 하자. 실제로 V 의 임의의 벡터 w 에 대 하여 V 에서 V 로 대응하는 어떤 선형변환 / 죽 R 의 원소 /가 존재 하여 /(v) =w 가 된다. 따라서 wERv 가 되므로 Rv= V 이다. 이 사 실로부터 V 는 단순 좌측 R- 가군이 된다. 왜냐하면 W 를 0 아닌 V 의 좌측 R- 부분가군이라 하면 0 아닌 벡터 v 를 W 에서 택할 수 있 고 이때 Rv~ W 이고 또한 이미 Rv= V 이므로 W= V 가 되어서 V 는 단순 좌측 R- 가군이 된다. 한편 R 에서 V 의 애니힐레이터 Anne(V) 의 한 원소를 /라 하 면 /ER 이고 /( V) =O 이다. 따라서 /=O 이 된다. 그러므로 R 에서

V 의 애니힐레이터는 0 이 되어서 R 은 좌측 원시환이 된다. 그러나 여기서 R 은 단순환이 되지 않는다. 실제로 이 경우에 I={/ERldim f( V)

잘 알려져 있는 예로서 Q를 유리수체 그리고 iR을 실수체라 할 때 환 R=(~ ~)= ({: ~) I aEQ , b, cER) 은 좌측 A rti n 환은 되 지만 우측 A rti n 환은 되지 않는다. 물론 여기 서 환 R의 덧셈 및 곱셈은 행렬의 덧셈과 곱셈이다. 다음의 정리는 Wedderburn-Ar ti n 정리로 아주 유명한 정리다. 이 정리의 증명은 U 〕를 참고하기 바란다. 정 리 2 . 1 . B[ lst W edderburn-A rtin Theorem] 좌측 A rti n 환 R 이 단 순환이면 적당한 자연수 n 과 어떤 디비전 환 D 가 존재하여 환으로 서 R 은 Ma t n(D) 와 동형이 된다. 즉 R 츠 Ma t nW) Ol 다. 이제 이와 같은 결과에 의하여 단순환이고 좌측 Arti n 환이 되는 어떤 환의 구조를 완전하게 알 수가 있는데 다음에 소개되는 Ka p lansk y정 리 에 의하면 어떤 다항 항등식을 만족하는 원시환은 항 상 좌측 Arti n 환이면서 또한 단순환이 됨을 알 수 있다. 다음에 소 개 되는 Kapl a nsky 정리의 증명은 [H 〕롤 참고하기 바란다. 정 리 2 . l . 9 [Kap la nsky ] P .I.환 R 이 좌측 원시 환이 면 R 은 단순 환이 된다. 이때 체가 되는 R 의 중십을 F 라 하면 R 은 F 위에서

유한 차원 벡터공간이 된다. 실제로 R 이 만족하는 다항 항등식의 차 률 d 라면 d i mFR~[1 J2이 된다. 단, 여기서 [〔]는 팡를 넘지 않 는 최대자연수이다. 정리 2 . 1 . 9 에 의하여 P .I.환이 좌측 원시환이면 R 은 R 의 중심 F 위에서 유한 차원 벡터공간이 되므로 R 은 좌측(또한 우측) Ar ti n 환 이 된다. 그러므로 정리 2 . 1.8 에 의하여 적당한 자연수 1l 과 어떤 디 비전 환 D 가 존재하여 R 츠 Ma t n(D) 가 된다. 이 경우 D 의 중심도 또한 F 가 되는데 R 은 이미 F 위에서 유한 차원 벡터공간이므로 D 도 또한 F 위에서 유한 차원 벡터공간이 된다. 이제 원시환의 특별한 경우인 디비전 환의 경우를 생각해 보기로 하자• 주어전 디비전 환 D 가 어떤 다항 항등식을 만족할 경우는 앞 의 정리 2 . 1 . 9 에 의하여 D 는 중심 F 위에서 유한 차원 벡터공간이 됨을 알수 있다. 이제 소환(prim e ring ) R 이 어떤 다항 항등식을 만족할 경우에 대 하여 살펴보기로 하자. 앞에서 이미 언급하였듯이 환 R 이 소환 (prime r i n g)이라 함은 R 의 임의의 양측 아이디얼 A 와 B 에 대하여 AB=O 이면 A=O 혹은 B=O 일 때를 말한다. 따라서 가환환 R 이 소 환이 될 필요충분한 조건은 R 이 정 역 (int e g ral domain ) 이 되는 것 이 다. 비가환인 소환의 예로서는 n 이 1 보다 큰 자연수라 할 때 체 F 위에서 정의되는 nXn 행렬한 M야 (F) 는 소환이 된다. 정의 2. 1. 10 환 R 의 공집합이 아닌 부분집합 S 에 대하여 l(S) ={aERJ a S=O}

를 R 에서 S 의 좌측 애니힐레이터 (lef t ann ihila to r of S in R) 라 하고 r(S) ={aERISa=O} 를 R 에서 S 의 우측 애니힐레이터 (rig h t annih ila to r of S in R) 라 부 른다. 이때 물론 I(S) 는 R의 좌측 아이디얼이 되고 r(S) 는 R 의 우 측 아이디얼이 됨을 알 수 있다. I 가 R 의 좌측 아이디얼일 경우 I 를 좌측 애니힐레이터 아이디얼 (lef t ann ihi l at o r ide al) 이 라 함은 R 의 공집 합이 아닌 어 떤 부분집 합 S 가 있어서 I=l(S) 일 때를 뜻하고, 같은 방법으로 I 가 R의 우측 아이 디 얼 일 때 I 를 우측 애 니 힐레 이 터 아이 디 얼 (rig h t ann ihila to r ide al) 이 라 함은 R 의 공집 합이 아닌 어 떤 부분집 합 S 가 있어서 I= r( S) 일 때를 뜻한다. M을 환 R 위에서 정의되는 좌측 R- 가군이라 할 때 M 의 Goldi e 차원 (Goldie d i mens i on) 은 M 안에 0 아닌 부분 R- 가군의 직합(di rec t sum) 으로 포함될 수 있는 부분가군의 최대 개수를 말한다. 예를 들 어서 V 를 체 F 위에서 정의되는 벡터공간으로서 차원이 n 이라 하고 {V11 V2, …, Vn} 을 V 의 기저 (bas i s) 라 할 때 V=Fv@F&® …® FVn 이 되고 또한 이때 Fu i는 F 위에서 1 차원 공간이 되므로 V 의 Goldi e 차원은 벡터공간의 차원과 일치하여 n 이 된다 . 또한 다른 예 로서 정수환 Z 를 Z- 가군으로 생각할 때 Goldi e 차원은 l 이 된다. 왜냐하면 Z 의 0 아닌 아이디얼 I 와 l 에 대하여 항상 In J *O 이므로 Z 안에 직합으로 포함될 수 있는 0 아닌 Z- 부분가군 죽 0 아닌 Z 의 아이디얼의 최대 개수는 1 이 된다.

앞의 정의로부터 다음을 정의할 수 있다. 정의 2. 1 . 11 환 R이 다음의 두 조건을 만족할 때 R 을 좌측 Gol di e 환 (lef t Goldi e ring ) 이 라 한다. 1. I1 드 I2 드……가 R 의 좌측 애니힐레이터 아이디얼의 사슬이면 적 당한 번호 N 이 존재하여 IN=IN+l= …을 만족한다. 2 . 좌측 R- 가군으로서 R 의 Goldie 차원은 유한이다. 우측 Gold i e 환 (rig h t Goldi e rin g ) 도 같은 방법 으로 정 의 가 될 수 있다. Gold i e 환에 대하여 좀더 살펴보기 위 하여 Noe th er 환을 소개 하기로 하자. 환 R 이 좌측 Noe t her 환 (lef t Noeth e ria n ring ) 이 라 함은 R의 임 의의 좌측 아아디얼의 집합은 국대인 원소를 가질 때를 의미한다. 우 측 Noe ther 환(rig h t Noeth e ria n ri n g)도 같은 방법으로 정의된다. 따 라서 주어전 환 R이 좌측 Noe th er 환이 될 필요충분 조건은 다음과 같은 R의 좌측 아이디얼의 사슬 I1 드 I2 드 I3 드··· 에 대하여 적당한 번호 N 이 존재하여 IN=IN+I= …울 만족하는 것이 다. 좌측 Noe th er 환이 되 면서 우측 Noe th er 환이 되 지 않는 예는 다 음의 환 R={G ~) I a 는 정수, b 와 c 는 유리수} 인데 여기서 물론 환 R 의 덧셈과 곱셈 연산은 행렬의 덧셈과 곱셈의 연산이다.

앞에서 이미 소개한 바 있는 좌측(또는 우측) Arti n 환과 좌측(또 는 우측) Noe t her 환의 관계에 있어서 잘 알려져 있는 C. Ho p k i ns 의 정리를 소개하면 다음과 갇다. 상세한 증명은 [AF] 를 참고하기 바란 다. 정 리 2 . 1 . 12 [C. H 야 k i n 회 모든 좌측 （우측） A rti n 환은 좌측 （우 측) Noe t her 환이 된다. 정 의 2 . 1 . 11 로부터 모든 좌측 Noe th er 환은 항상 좌측 Gol di e 환이 될 수 있다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어서 F 를 체라 하고 X1, X2, …룰 서로 가환인 부정원 (unde t e rmi na te)이라 할 때 다항식 환 R=F[x1, x2, …〕은 분명히 좌측 Gold i e 환이 되지만 좌측 Noeth e r 환은 되지 않는다. 실제로 R 에서 아이디얼의 사슬 Rxl 됴 RXI + Rx2 도 RXI + Rx2+ Rr3 됴 ••• 가 존재하게 되어서 R 은 좌측 Noe ther 환이 될 수 없다. 다시 정의 2. I . I I 에서 정의되는 Gol di e 환에 대하여 살펴보기로 하 자. 죽 좌측 Gold i e 환이면서 우측 Gol di e 환이 되지 않는 예를 들어 보기로 하자. 예 2.1.13 K 를 체라 하고 협운 체 K 에서 K 로 대응하는 0 아닌 체의 준동형사상이라 하자. 여기서 이제 K[x ;

이고 {1, X, X2, ... }는 K- 가군 K[x ; rp]은 자유기저 (free bas i s) 이며 곱셈은 K 의 원소 a 에 대하여 다음의 법칙 xa=q ;( a)x 에 의하여 정의하면 K[x ; cp]는 환이 되고 또한 이때 K[x ; cp〕는 비 가환인 정역 (int e g r al doma i n) 이 된다. 이제 K[ X ; 이의 다항식 ／句 와 g (x) 에 대하여 g( x) =I= 0 일 경우 f(x ) =q( x)g (x ) + r(x) 이고 또한 r(x) =O 이든지 deg ( r(x))

정의 2. 1 . 15 환 R이 환 Q (R) 의 부분환일 때 다음 두 조건을 만 족하면 Q (R) 을 R 의 고전적인 좌측 분수환 (class i cal left quo ti en t rin g ) 이라 부른다. (l) R의 모든 정칙인 원소는 Q (R) 에서 곱셈에 대한 역원을 가진 다. (2) Q( R) ={a-1bla, b 드R 이고 a 는 정칙이다}. 같은 방법으로 고전적인 우측 분수환 (class i cal righ t quo ti en t r i n g)도 정의될 수 있다. 주어전 환 R의 고전적인 좌측 분수환이 존재할 수 있는 조건이 0. Ore 에 의하여 다음과 같이 밝혀졌는데 다음 정리에서 Q (R) 이 존 재 하는 필요충분 조건을 흔히 Ore 조건 (Ore condit ion ) 이 라 부른다. 정리 2. 1 . 1 6[0. Or 이 주어진 환 R의 고전적인 좌측 분수환 Q (R) 이 존재 할 필요충분한 조건은 R 이 좌측 Or e:조건 (left Ore condit ion ) 을 만족하는 것 이 다. 죽 주어 전 R 의 원소 a, b 에 대 하여 b 가 정칙이면 R 의 원소 aI, b1 이 존재하여 b1 은 정칙이고 b1a=a1b 가 성립할 때이다. 이 정리의 상세한 증명은 [D J를 참고하기 바란다. 환 R 이 반소환 (sem iprime ring) 이 라 함은 환 R 의 양측 아이 디 얼 A 가 A2=0 을 만족하면 A=O 일 때를 말한다. 이제 앞의 정리에 의하 여 다음의 Goldie 정리를 소개할 수가 있는데 실제로 Gol di e 의 정리 에 의하여 고전적인 좌측 분수환이 Matn , (D1)(±) .. ·(±)Matn ~ ( D,,) (단,

여기서 ?t I 는 자연수이고 D , 는 디비전 환이다)인 환 R 의 구조를 완 전하게 규정할 수가 있게 된다. 정리 2.1.17[A W.G oldie ] 환 R 의 고전적인 좌측 분수환 Q( R) 이 존재하고 또한 적당한 자연수 n1, n2, …, ?lk 와 어떤 디비전 환 D1, D2, …, DkoJ I 대하여 Q( R) 측 Ma t n, (D1) EB· '·EB M atn . ( D k) 가 될 필요충분한 조건은 R이 좌측 Gold i e 이고 반소환인 것이다. 특히 이 경우 자연수 n 과 디비전 환 D 에 대하여 Q( R) 츠 Ma t n(D) 일 필요충분한 조건은 R 이 좌측 Gold i e 환이고 또한 소환이 되는 것 이다. 이제 앞의 Gol di e 정 리 에 의 하여 반소환 Gold i e 환의 고전적 인 좌측 분수환이 어떤 특별한 형태를 가질 수 있음을 알 수 있었는데 이제 다항 항등식을 만족하는 소환에 대하여 다음의 정리를 소개하고자 한 다. 정리 2. 1. 1 8 [E.C. Posner] 어떤 다항 항등식을 만족하는 소환 R 은 좌측 그리 고 우측 Gol di e 환이 된다. 이 때 정 역 (int e g r al domain ) 이 되는 R의 중심 Z(R) 의 분수체를 F 라 하면 고전적인 좌측 분수환은 RF 가 되어서 실제로 고전적인 좌측 분수환은 고전적인 우측 분수환 과 일치하게 되고 또한 이러한 분수환도 역시 P .I . 환이 된다. 정리 2 . 1 . 18 에 의하여 어떤 다항 항등식을 만족하는 소환 R 의 고 전적인 좌측 분수환 Q (R) 의 형태는 자연수 n 과 디비전 환 D 가 존 재하여

Q( R) 三 Matn W ) 가 되고 이때 Q (R) 도 역시 P .I.환이므로 정리 2 . 1 . 9 에 의하여 D 는 체가 되는 D 의 중심 F 위에서 유한 차원 벡터공간이 된다. 앞의 정리 2 . 1 . 18 은 다항 항등식을 만족하는 반소환에 대하여는 성 립 하지 않는다. 즉 좌측 또는 우측 Gold i e 환이 되지 않는 다항 항 등식을 만족하는 반소환이 존재하게 된다. 예를 들어 lR 을 실수체라 하고 R 을 1R 의 무한 직적 (dire ct pro duct) , 죽 R=IIR 이라 하면 분명 히 R 은 가환인 반소환이므로 R 은 다항 항등식을 만족하는 반소환이 된다. 따라서 R 은 가환이 기 때 문에 이 제 Or~ 조건 (Ore cond ition ) 을 만족하여 R 의 고전적 인 분수환 Q (R) 이 존재하게 된다. 그런데 여 기서 R 의 정칙 원소는 R 안에서 곱셈에 대한 역원을 갖게 되므로 R = Q (R) 이 된다. 그러나 이 경우에 R 은 서로 직교하는 등멱원 (ide mp ot e n t elemen t)울 무한히 많이 갖게 되므로 Q (R) 은 어떤 디비 전 환 위에서 정의되는 행렬환의 유한개의 칙합은 될 수가 없게 되고 따라서 정리 2 . 1 . 17 에 의하여 R 은 Gold i e 환이 될 수가 없다. 이제 이 절의 마지막 부분으로 어떤 다항식을 가지는 반소환의 구 조에 대하여 살펴보기로 하자. 환 R 이 주어져 있을 때 가환이 아닌 부정원 따, X2, ... , Xn 울 가지 는 다항식환 Z[x1, x2, …, Xn] 에서 다항식 q(X i , X2, …, 和)이 환 R 의 다항 항등식은 아니면서 R 의 모든 원소 a1, a2, …, an 에 대하여 q(a i, a2, …, an)EZ(R) 일 때 q (x1, X2, …, Xn) 을 환 R 의 센트럴 다항식 (centr al pol yn o m ial) 이

라 부른다. 예롤 들면 앞에서 이미 살펴본 바와 같이 환 R이 가환일 경우 q(x ,, x2) = (x,x2-x2x,)2 은 환 Ma t2 (R) 의 센트럴 다항식이 됨을 알 수가 있었다. R 이 가환환일 때 임의의 자연수 n 에 대하여 행렬환 Ma t n(R) 의 센트럴 다항식의 존재성은 P .I.환의 이론전개에 굉장히 중요한 사실 이 되는데 E. Formanek[F] 에 의하여 R이 가환환일 경우 행렬환 M야 (R) 은 항상 센트럴 다항식을 가질 수 있음이 밝혀짐으로써 P.I. 환의 이론이 크게 발전할 수 있게 되었다. 실제로 이와 같은 Formanek 의 센트럴 다항식 에 의 하여 L. Rowen[R] 은 어 떤 다항 항 등식을 가지는 반소환의 구조를 규명할 수 있게 되었다. 정리 2.1. 1 9[E. Fonnane 비 n 을 임의의 자연수라 할 때 적당한 자연수 d 가 존재하여 다음의 조건을 만족하는 다항식 qn ( x1, X2, …, Xd) EZ[ Xi , X 2, …, x 』 가 존재한다. 단, 여기서 X1, X2, …, x 쵸: 비가환인 부정원이고 Z 는 정수환이다. 1. qn( X1, X2, …, x 이의 상수항은 0 이다. 2. 임의의 가환환 R 에 대하여 qn( x1, X2, …, Xd) 는 nXn 행렬환 Matn ( R) 의 센트럴 다항식 이 다. 이와 같은 다항식 qn( X1, X2, …, x 이를 흔히 Formanek 의 센트럴 다 항식 (Fonnanek's centr al pol yn o m ial) 이 라 부른다.

임의의 가환환 R에 대하여 k

환 R의 좌측(또는 우측) 아이디얼 I 가 닐(ni l) 이라 함은 I 의 임의 의 원소 a 에 대하여 자연수 n(a) 가 존재하여 an(a)=0 일 때를 말한 다. 찰 알려진 사실로는 R 의 좌측(또는 우측) 닐 아이디얼은 항상 Jac obson 래디컬에 포함된다. 따라서 환 R 이 반 원시적인 경우에는 좌측(또는 우측) 닐 아이디얼은 항상 0 이 된다. 좌측(또는 우측) 아 이디얼 I 가 멱영(ni l p o t en t) 아이디얼이라 함은 어떤 자연수 n 이 존재 하여 r=o일 때를 말한다. 따라서 좌측(또는 우측) 아이디얼이 멱영 아이디얼이면 물론 닐 아이디얼이 된다. 그러나 역은 항상 성립하지 는않는다. 환 R 이 좌측 Gol di e 환일 경우에는 다음의 정리가 성립하는데 자세 한 증명은 [L] 을 참고하기 바란다. 정 리 2-l . 21 [C.Lans 띠 환 R 이 좌측 Gold i e 환일 때 좌측 또는 우 측 닐 아이디얼은 항상 멱영이 된다. 다음의 정리에서는 환 R의 다항식환 R[ 자가 반원시적이 될 조건 울 소개하고자 하는데 자세한 증명은 [H] 를 참고하기 바란다. 정리 2.l.22[S.A . Amits퍼 환 R의 좌측 또는 우측 닐 아이디얼 이 오직 0 인 경우 R 〔자는 반원시적인 환이 된다. 이미 앞에서 언급하였듯이 환 R 이 소환이라 함은 R 의 양측 아이 디얼 A 와 B 에 있어서 AB=O 이면 A=O 또는 B=O 일 때를 말한다. 환 R 의 양측 아이디얼 I 가 소 아이디얼(prim e i deal) 이라 함은 환 R의 아이디얼 I 에 의한 상환 R/I 가 소환일 때를 뜻한다. 따라서 0 이 소 아이디얼일 필요충분 조건은 R 이 소환인 것이다. 주어전 환 R의 소 아이디얼 전체의 교집합을 소 래디컬(pri mera di cal) 이라 부르

는 데 잘 알려진 사실로는 환 R 이 반소환이 될 필요충분 조건은 R 의 소 래디컬이 0 인 것이다. 이제 앞에서 언급한 여러 가지 결과를 이용하여 다항 항등식을 가 지는 반소환의 구조에 관한 L. Rowen [ R 〕의 정리를 살펴보기로 하 자. 정리 2. 1. 2 3 [ L. R owen] 환 R 이 어떤 다항 항등식을 가지는 반소 환일 때 임의의 0 아닌 R 의 양측 아이디얼 I 에 대하여 InZ(R)=l= O 이다. 증명 우선 R 이 어떤 다항 항등식을 가지는 반원시적인 환아라 하 고 이때 다항 항등식의 차수 (de gr ee) 를 d 라 하자. 이 경우 정리 2. 1 . 20 으로부터 J(R ) =na{PalPa 는 R 의 좌측 원시적인 아이디얼} 이고 따라서 R 은 반원시적이므로 na{PalPa 는 R 의 좌측 원시적인 아이디얼 }=O 이 된다. 그러므로 R 은 환 ITaRIPa 의 부분환이 될 수 있다. 실제로 함수 8 : R 一 ► ITaRIPa 에서 naPa=O 이므로 Ker(8) =O 가 되어서 O 는 1-1 인 환의 준동형 사상이다.

이제 임의의 a 에 대하여 환 R ! Pa 는 좌측 원시적이고 또한 명제 2 . l . l 에 의하여 환 R / Pa 도 역시 P .I환이 된다. 그러므로 정리 2 l . 9 에 의하여 환 R / Pa 는 다항 . 항등식을 갖는 단순환이 되어서 적당 한 자연수 1% 와 디비전 환 Da 가 존재하여 R / P흡 Ma t ,,。 (Dc) 가 된다. 이때 R 이 만족하는 다항 항등식을 또는 R / Pa 도 만족하게 되므로 R/Pa 의 중심 Fa 위에서 R / Pa 는 벡터공간으로서 차원은 정 리 2.l . 9 에 의하여 [〔 ]2 보다 작거나 같게 된다. 이제 K톨 디 비 전 환 Da 의 극대 부분체 (maxim al subfi eld ) 라 하면 頂 Corollary , p .96 〕 에 의하여 적당한 자연수 ma 가 존재하여 R/Pa @ F . K 후 Mal m 。 (Ka) 이고 ma 틀 ]2 이 됨을 알 수 있다. 여기서 각 자연수 ma 에 대하여 Formanek 의 센트럴 다항식을 qm . (X1, X2, …, Xd•) 라 하자. 환 R 의 0 아닌 양측 아이디얼 I 에 대하여 naPa=O 이므로 적당한 a 가 존재하여 I 半 Pa 가 된다. 그런데 R!Pa 는 단순환이 되므 로 Pa 는 극대 양측 아이디얼이고 따라서 I+Pa=R 이 된다. 여기서 n=max{m11IP11+I=R}

이라 하자. 그러면 앞에서 살펴본 바와 같이 모든 m p에 대하여 m p틀 ]2 이 되므로 n4[ 거 2 이 된다• 따라서 적당한 m p 0 가 존재하여 m p .=n 이 되고 이때 Pp . + J =R 이 된다. 따라서 이 경우 R / Pp o @ FPoK, 루 Matn ( K.,。) 가된다. 이 경 우 Formanek 의 센트럴 다항식 qn (x1, X2, …, Xdn) 은 Maln( K.지의 다항 항등식이 아니므로 Qn (X1, X2, …, Xdn) 은 환 R ! Pa 의 다항 항등식이 될 수 없다. 따라서 R/P,0 의 원소 b1, bz, …, bdn 이 존재하여 qn( bI, b2, …, bdn) =f:-0 이다. 그런데 I+P/ fo =R 이므로 I 의 적당한 원소 a1, a2, …, adn 이 존 재하여 a1+P ,/Io =b1, a2+P ,/Io =f h, …, adn+P/Jo =bdn 이 되고 따라서 Qn (a1+P,o, …, adn+P, 。) =Qn (a1, …, adn) +Pi,。 =q n(b1 』 h, …, bdn) *O

이 된다. 그러므로 qn( aI, a2, …, adn) -=t= O 이고 이때 a=q n( a1, a2, …, adn)El 이다. 이제 임의의 좌측 원시적인 아이디얼 Pa 에 대하여 I 드 Pa 이면 qn( a1, a2, …, lldn) EPa 이므로 qn( ai, a2, .. .., ad.) +Pa = 0 이 되어서 Qn (a,+Pa, a2+Pa, …, adn+Pa) EZ(R/Pa) 이다. 이제 I 뚜 Pa 이면 Qn (a1, …, adn) +Pa=Q n (a1+Pa, …, adn+Pa) 는 R/Pa 의 원소가 된다. 그런데 이때 R/Pa®FaK후 Malm.(Ka) 이고 ma :S: n 이다. 따라서 ma< n 이면 %(a1, …, adn) +Pa=Q n (a1+Pa, …, adn+Pa) =O 이 되고, ma=n 이면 Qn (a1, …, adn) +Pa=Q n (a1+Pa, …, adn + Pa) 는 Z (R/Pa) 의 O 아닌 원소가 된다. 따라서 모든 a 에 대하여 Qn (a1+Pa, …, adn+Pa) EZ(R/ P.이 가 된다. 그러므로 (qn (a1+Pa, …, adn+Pa))a= (qn (a1, …, adn} +Pa}aEZ(ITaR/Pa} 죽 a= (a+Pa)aEZ(ITaR/Pa) nR=Z(R) 임을 알 수 있다. 따라서

0-=l= aEJ n Z(R) 이 되어서 In Z (R) -:t O 이다. 이 제 일반적으로 R 을 다항 항등식을 갖는 반소환이라 하자. 이때 I 를 R 의 닐 아이디얼이라면 임의의 소 아이디얼 P 에 대하여 L> E 는 R I P 의 닐 아이디얼이 된다. 그런데 R I P 는 다항 항등식을 가지 는 소환 이 되고 따라서 정리 2 . 1 . 18 에 의하여 RIP 는 좌측 Goldie 환이고 정리 2 . 1 . 21 에 의하여 L》 E 는 RIP 의 멱영 아이디얼이 된 다. 그런데 R I P 는 소환이므로 H/- =o 이 되어서 I 드 P 이다. 따라서 I 는 모든 소 아이디얼에 포함되므로 I 는 R 의 소 래디컬에 포함된다. 이 제 R 은 반소환이므로 소 래디컬은 0 이 되고 따라서 l=O 이다. 죽 R 은 0 아닌 양 측 닐 아이디얼을 가질 수 없으므로 정리 2 . 1.22 에 의하여 R[ :리 는 반원시적인 환이 된다. 이제 R 은 P .I.환이므로 R 〔서 도 물론 P .I . 환이 된다. 이제 I 를 R의 0 아닌 양측 아이디얼이라면 I 〔지는 R 〔자의 0 아 닌 양 측 아이디얼이고 이때 R 〔 지 는 반원시적인 환이므로 앞의 증명 에 의하여 ][x] n Z(R[ x] ) = ]〔 자 nZ(R) [x] =U n Z (R) ) ［자 * O 이 된다. 따라서 Jn Z(R) *O 이다.

2.2 다항 항등식을 갖는 군환 (P. I. Group Ri ng s) 앞 절에서는 다항 항등식을 갖는 환에 대하여 여러 가지 기본적인 성질에 대하여 살펴보았는데, 이 절에서는 다항 항등식 을 갖는 군환 에 대하여 지금까지 주로 Passman 등에 의하여 밝혀진 성전 을 소개 하기로 한다. 이에 대한 증명은 다소 복잡하기 때문에 상세한 증명은 D.S . Passman 의 [PA ]혹 은 [PIN 琦 참고하기 바란다. 먼저 필요한 몇 가지 용어에 대하여 살펴보기로 하자. 군 G 의 부 분집합을 T 라 하자. 이때 G 의 유한개의 원소 저, X2, ·•· , Xk 가 존재 하여 G = Tx1 U Tx2 U •• • U Txk 일 때 T 는 군 G 에서 지수(i ndex) 가 유한이라 한다. 물론 여기서 Tx;={tx ;l tE T} 를 나타낸다. 부분집합 T 가 군 G 에서 유한지수를 가질 경우 가장 작은 어떤 자연수 n 과 G 의 원소 YI, y2, …, Yn 를 택하여 G= Ty , U Ty 2U ••• U Ty n 이 되도록 할 수 있는데 이때 n 을 [G : T] 로 표시하고 n 을 T 의 G 에서 지수(i ndex) 라 부른다. 물론 여기서

G= Tx1U Tx2U···U Txk 룰 만족하는 G 의 원소 X1, X2, …, Xk 가 존재하지 않을 경우에는 T 는 G 에서 무한인 지수를 가진다고 하고 이때 [G : T] =oo 로 표시한다. T 가 G 의 부분군이 될 경우에는 [G : T ] 는 부분군 T 의 G 에서의 지수와 인치하게 된다. 군 G 의 원소 x 에 대하여 Cc (x) ={ gE G!gx =xg} 라 하면 Cc(x) 는 G 의 부분군이 된다. 이때 Cc(x) 의 G 에서의 지수 [G : Cc(x) ] 는 x 와 공액이 되는 원소의 집합, 즉 {g-1 xg lg E G} 의 원소의 개수가 된다. 이제 자연수 k 에 대하여 Llk(G)={xEGl[G : Cc (x) ] !S '.:k } 라 하면 Llk(G) 는 일반적으로 G 의 부분군은 되지 않는다. 그러나 G 의 임의의 원소 g와 Llk(G) 의 원소 x 에 대하여 다음의 사실 g-1 xg E L1,. (G) 이 성립함을 알 수 있다. 죽 4(G) 는 G 의 정규부분집합 (nonnal subse t)이 된다. 4(G) 의 정의로부터 앞에서 이미 언급한 G 의 유한

공액 군 (fini te c onju ga te grou p ) L1 ( G) 는 LJ( G) = Ucm L1k(G) k= l 로 나타내어질 수 있다. 군 G 에 대하여 LJ+ (G) ={xEL J( G)jo ( x) O 인 경우에는 G 의 정규부분군 A 가 존재하여 [G : A]

식을 만족할 때 유한지수를 가지는 군 G 의 정규부분군 H 가 존재하 여 H 드 4 ( G) 이 고 H/ Z (H) 는 가환 토전군 (abelia n tor sio n grou p ) 이 된다. 증명 M 을 환 R 의 어떤 극대 양측 아이디얼이라 하자. 이때 군환 R [ G ] 는 P .I환이므로 R 도 역시 P .I환이고 따라서 RIM 은 P .I환이 면서 단순환 이 된다. 따라서 정리 2 . 1 . 9 에 의하여 적당한 자연수 n 과 디비전 환 D 가 존재 하여 R IM ：：：： Ma t nW)0l 고 또한 D 논 백터 공 간으로서 체가 되는 D의 중심 F 위에서 유한 차원이 된다. 이제 T( 를 R 에서 RI M 위로 대응하는 표준 준동형사상, 죽 ii : R 一 R IM a 一 a + M 라 하면 T 를 자연스럽게 확장하여 다음과 갇은 함수 'ff : R [ 어 - (RI M ) 〔 어 ~a gg一' ~n(ag) g 를 정의할 수 있고 이때 元는 R 〔어 에서 (R I M) 〔 어 위로 대응하는 환의 준동형사상이 된다. 이와 같은 사실로부터 명제 2. J • I 에 의하 여 (R/M)[G] 도 P .I환이 되며 또한 (R/M) [G] 캘 a t nW) [G ]킥 Ma t n(D[G]) 임을 알 수 있다. 따라서 군환 F 〔어도 P .I환이 된다. 물론 앞에서 언급하였듯이 F 는 D의 중심이다. 이제 두 가지 경우를 나누어서 생각할 수가 있다.

(첫째 경우) F 의 표수가 0 인 경우인데 이때 F [ G ] 는 P .I . 환이므로 정리 2.2 . 1 에 의하여 4(G) 는 G 에서 유한인 지수를 갖게 된다. 즉 [G : Ll(G)]

[H : CH(X)] ~ m 이 성립하게 된다. 이와 같은 경우에 있어서 A' 는 H 의 부분군으로서 H'~A'Z(H) 가 되며 또한 H / Z(H) 는 가환군이 된다. 그러므로 H 의 모든 원소 x 에 대하여 Cu(x) 는 H 의 정규 부분군이 되고 아울러 H/Z(H) 는 군 IT x e HH / Cu( x ) 의 부분군으로 포함된다. 여기서 H 의 모든 원소 x 에 대하여 IH ! Cu(x)l s m 이므로 군 ITxeHH/CH(x) 의 모든 원소의 위수 (order) 는 m ! 의 약수가 됨 을 알 수가 있다. 곧 가환군 H/Z (H) 의 모든 원소의 위수는 유한이 되고 H 는 G 의 정규 부분군이며 아울 러 [G : 町

(x_aI)C 屈 …, x 』+… +(x-«n)C 屈 ···, Xn] 이다. 단, 여기서 a1, a2, ···, an 은 C 의 원소이다. 사실 Hil b ert Nulls t ellensa t z 를 증명하는 데 있어서 가장 중요하게 사용되어지는 성질은 C[x1, x2, …」나의 소 아이디얼(p r i me i deal) 은 환 C[x1, x2, …, 러의 원시적인 아이디얼의 교집합이 된다는 것이 다. Hil be rt Nulls t ellensa t z 의 증명에 있어서 앞에서도 언급하였듯이 C[x1, x2, …, Xn] 의 모든 소 아이디얼 P 에 대하여 P 는 좌측 원시적 인 아이디얼의 교집합으로 표시되므로 P 는 C[ X1 ,X 2' …」니의 반 원 시적인 아이디얼이 된다. 이와 같은 사실로부터 다음의 정의를 소개할 수가 있게 된다. 정의 2.3 . 2 환 R이 J acobson 환(J acobson r i n g)이라 함은 R 의 모 든 소 아이디얼이 반원시적인 아이디얼이 될 때를 뜻한다. 따라서 다항식환 C[x1, X2, ···, Xn] 은 J acobson 환이 된다. 다시 말 하면 Hil be rt Nulls t ellensa t z 의 증명 에 서 가장 중요하게 사용되 어 지 는 성질은 환 C[x1, x2, …, x 』이 J acobson 환이 된다는 사실이다. 이미 정리 2.1 . 18 에서 언급하였듯이 P.I . 환 R 이 소환일 때 고전 적인 좌측 분수환 Q (R) 은 역시 고전적인 우측 분수환이 되고 또한 어떤 자연수 n 과 어떤 디비전 환 D 가 있어서 Q( R) =Matn ( D) 가 된다. 이때 Q (R) 의 중심 Z(Q ( R)) =F 는 체가 되고, 또한 D 는

체 F 위에서 유한 차원 벡터공간이 된다. 정의 2. 3 . 3 P .I.소환 R이 G- 환 (G- ri n g)이라 함은 Z( Q (R)) 의 어떤 원소 u 가 존재하여 Q( R) =R 〔미가 될 때를 말한다. 또한 P.I. 환 R 의 소 아이디얼 P 가 주어졌을 때 환 RIP 가 G- 환이면 P 를 c- 아이 디 얼 ( G- id e al) 이 라 부른다. 환 R 이 가환환일 경우에 다항식환 R 〔자의 어떤 국대 아이디얼을 M 이라 하면 M n R 은 항상 R 의 G- 아이디얼이 된다. 역으로 R의 모든 G - 아이디얼은 R 〔간 의 어떤 극대 아이디얼 M 이 존재하여 M n R 인 형태 를 가지게 된다. 이와 같은 사실은 R이 P .I환일 경우 에도 성립될 수 있음을 쉽게 밝힐 수가 있다. 이제 다음의 정리에서는 G- 아이디얼의 개념을 이용하여 P .I.환이 J acobson 환이 될 수 있는 조건에 대하여 고찰하여 보기로 하자. 정리 2. 3 . 4 환 R이 P .I환일 경우에 다음의 조건은 동치가 된다. (1) R 은 J acobson 환이 다. (2) R 의 모든 G- 아이디얼은 국대 아이디얼이다. (3) 다항식환 R[ 지 위에서 정의되는 단순 R[ 자-가군은 유한생성되 는 R- 가군이다. , (4) 모든 자연수 n 에 대하여 다항식 환 R[xI, X2, …, Xn] 위에서 정 의 되는 단순 R [Xi , X 2, 따 Xn]- 가군은 유한생 성 되는 R ＿가군이다． (5) 모든 단순 R 터-가군 M 에 대하여 EndR[x](M) 은 Z(R/RnA) 위에서 정수적(i n t e gr al) 이다. 단, 여기서 A 는 R 〔자에서 M 의 애니 힐레이터이다. 증명 (1)=> (2) 환 R 이 J acobson 환이라 하고 I 를 G- 아이디얼이라 하면 R[ 자의 어떤 극대 아이디얼 M 이 존재하여 I=MnR 이 된다.

따라서 R [;니 / M= (R/ 1) 〔 x + M 達 단순 P .I.환이 되어서 정리 2. l 9 에 의하여 단순 Ar ti n 환이 되고. 또한 R / 1 는 P .I.소환이 된다. 따 라서 R[ x] /M =Q ( R/ I) 〔 x + M 河 됨을 알 수 있다. 이제 1·= x + M 이라 하면 R[ x] /M = Q( R/ I) ［피 가 되는데 이때 Q( R/ 1) 〔 u ] 는 단 순 A rti n 환이 되므로 v 는 Z(Q ( R/ 1) ) 위에서 대수적이 되고 적당 한 자 연수 n 이 존재하여 {1, V, V 러 …, vn - 1} 은 Q( R/ 1} 위에서 Q( R/ 1) [11 ] 의 기저 (bas i s) 가 된다. 그런데 여기서 (R/ I) [I'J = I간 . r] / M = Q (R / 1) 〔 미 이므로, R / J=Q (R / 1) 가 된다. 따라서 R /1는 단 순 A rti n 환이 되므로 I 는 R의 국대 아이디얼이 됨 을 알 수 있다. (2) ⇒ (3) S 를 단순 R 〔저 －가군이라 하자. 그러면 R [ x 〕 에서 S 의 애 니힐레이터 A 는 R[x ] 의 원시적인 아이디얼이 되고 따라서 정리 2. 1 . 9 에 의하여 A 는 극대 아이디얼이 된다. 이제 AnR 은 R의 G- 아 이디얼이므로 주어진 가정 (2) 에 의하여 AnR 은 R 의 국대 아이디 얼이 된다. 여기서 R 은 P .I.환이므로 정리 2.l . 9 에 의하여 R/A n R 은 단순 A rti n 환이 된다. 따라서 Wedderburn-Ar ti n 의 정 리 에 의하여 어떤 자연수 n 과 디비전 환 D 가 존재하여 R/ A n R = Ma t n(D) 가 되고, 따라서 (R / AnR) 〔지 =Ma t n(D 因)이다. 따라서 R[x] 의 국대 아이디얼 A 에 의하여 D[ 지의 어떤 국대 아이디얼이 유도되면 또한 이때 D 는 디비전 환이므로 D 〔 자의 국대 아이디얼은 Z (D )[x] 의 어떤 한 개의 원소에 의하여 생성된다. 따라서 x+ A 는 Z(D) 죽 Z(R/AnR) 위에서 대수적이 된다. 그러므로 S 는 유한생 성되는 R- 가군이다. (3) ⇒ (l) 임의의 단순 R[ 자-가군은 R- 가군으로서 유한생성된다고 가정하자. R 의 임의의 소 아이디얼 P 에 대하여 환 RIP 위에서도 앞의 가정은 성립할 수 있기 때문에 일반성을 잃지 않고 처음부터 R 은 P .I.소환이라고 가정할 수 있으며 또한 R 이 J acobson 환이 됨을 보이기 위하여는 원시적인 아이디얼 전체의 교집합, 즉 이 경우는 R 이 P .I환이므로 정리 2.1 . 9 에 의하여 극대 아이디얼 전체의 교집합

이 0 이 됨을 증명하면 된다. 이제 {M , } 를 R 의 극대 아이디얼의 전체의 집합이라 하자. Z(R) 의 0 아닌 원소 a 에 대하여 집합 {a 가 ~ = O 와 만나지 않는 아이디얼 중 에서 극 대인 아이디얼을 P 라 하면 분명히 P 는 소 아이디얼이 된다. 이재 S = R I P 라 하고 S 의 원소로서 a=a+P 라 하면 a 는 Z(S) 의 원소가 된다• 이제 Z(S) 의 O 아닌 원소 8 에 대하여 P 의 정의로부 터 (J S =t- (）임 을 알 수 있다. 따라서 S 의 어떤 원소 Y 가 존재하여 값=f3 r 가 되어서 T 캬 1 - •a kE Q (Z(S)) n s=z(s) 가 된다. 그러므로 8-1= Ya －宅 S 〔 g l ] 이므로 Q( S) =S [ a 가 가 된다. 이제 R 〔 치로부터 Q( S) 위로 x 를 a 로 대응시키는 함수 I 를 생각하고 A=Ker(/ ）라 놓으면 Q (S) 는 단순 Arl i n 환이므로 A 는 R [ x ] 의 극대 아이디얼아 되고 이 때 P = AnR 이 된다. 여기서 R [ 저 / A 는 유한개의 극소 우측 아이 디얼의 직합으로 표시되고 이 경우에 극소 우측 아이디얼은 단순 R [ 자- 가군이 된다. 이제 가정 ( 3 ) 으로부터 이러한 단순 R 〔 져－가군 즉 R [x]/ A 의 극소 우측 아이 디 얼은 R- 가군으로서 유한생 성 이 된 다. 따라서 R 〔짜 IA 는 P .I.소환 R / AnR 의 유한확장환이 되므로 R/AnR 은 Ar ti n 환이 되어서 AnR 은 국대 아이디얼이 된다. 그 런데 이때 aEEP 이므로 aEEnM ; 이 되고 따라서 결과적으로 (nM ;) nZ(R) =O 이 되어서 정리 2 . 1 . 23 에 의하여 nM ; =O 가 되어 서 R 은 J acobson 환이 된다. (l)=>(4) R 을 J a~obson 환이라 하자. 그러면 〔 W ］에 의하여 모든 자연수 k 에 대해서 다항식환 R[x1, x2, …, X 나는 J acobson 환이 된 다. 따라서 다항식환 R[x1, x2, …, Xn] 의 국대 아이디얼 A 에 대하여 AnR[x., X2, …, Xn-1] 은 R[x1, x2, …, Xn 니의 극대 아이디얼이 된 다. 이와 같은 방법을 계속하면 AnR 은 R의 극대 아이디얼이 된

다. (2)::::} ( 3) 의 증명 방법을 사용하여 R[ x1 , x2, …, Xn ] / A 의 원소 x .. +A 는 Z(R/ A nR) 위에서 대수적이 됨을 밝힐 수가 있다. 그러 므로 임의의 단순 R[x1, x2, …, x 』-가군은 R - 가군으로서 유한생성적 o] 다. (4)::::}(3}. g.. 분명하기 때문에 증명은 생략하기로 한다. (3)::::}(5) 주어진 단순 R[ 김-가군 M 에서 A 를 R [ x ] 에서 M 의 애 니힐레이터라 하자. 그러면 주어진 가정에 의하여 A n R 은 R 의 극 대 아이디얼이 되고 또한 M 은 R / AnR - 가군으로서 유한생성이 된 다. 그런데, 이제 R/AnR 은 단순 Ar ti n 환이므로 M 은 유한개의 단 순 R/AnR- 가군 M1, M2, …, Mk 의 직합으로 나타낼 수 있고 이 경 우에 각 M,는 서로 동형이 된다. 여기서 D=EndR(M, ）라 하면 D 는 디비전 환이 되고 또한 EndR(M) 츠 Ma t ,.(D) 가 된다. 따라서 J acobson 의 조밀성 정리 (Ja cobson Density Theorem) [J]에 의하여 어 떤 자연수 n 이 존재하여 R/AnR~Ma t n(D) 가 된다. 그런데 D 는 체인 중심 위에서 유한 차원이므로 EndR1x1(M) 는 EndR(M) 의 부분 환으로서 Z(R/AnR) 위에서 유한 차원이 된다. (5)::::}(2) R[x] 의 극대 아이디얼 A 에 대하여 단순 R[ 저 - 가군 M 이 존재하여 A 는 R[ 저에서 M 의 애니힐레이터가 된다. 이제 가정에 의 하여 D=EndR[x](M) 은 Z(R/AnR) 위에서 정수적이므로 체 Z(D ) 도 정역 Z(R/AnR) 위에서 정수적이 되고 따라서 Z(R/AnR) 은 체가 된다. 그러므로 AnR 은 R 의 극대 아이디얼이 된다. 2 . 4 Jacobson 환의 유한확장환 (Fin itely G enerate d Exte n sio n s of Jac obson Rin gs) 환 R이 J acobson 환이면 다항식환 R[ 저는 J acobson 환이 된다. 실 제로 이와 갇은 사실은 [W 〕에 의하여 이미 증명이 되었고 또한 앞 절의 정리 2.3.4 에 이 사실울 증명 없이 사용하였다. 그러나 [W 〕에

서의 증명 방법은 너무나 복잡하기 때문에 여기서는 R이 P .I.환일 경 우에 앞에서 살펴본 정리 2 . 3 . 4 의 증명 방법을 이용한 간단한 방법 에 대하여 고찰해 보기로 한다. 사실 정리 2 . 3.4 의 증명에서 (1) , (2) 그리고 ( 3 ) 이 동치가 되는 증명에 있어서는 [ W ] 에서 밝혀진 사실, 즉 R이 J acobson 환일 경 우 R [x] 도 J acobson 환이 된다는 사실을 실 재 로 사용하지 않았음에 유의하여 다음의 사실을 정리 2 . 3 . 4 의 증명 방법에 의하여 증 명할 수 있다. 정 리 2 . 4 1 R이 P.I. J acobson 환이 면 다항식 환 R 〔간 도 P.I. J acobson 환이 다. 증명 R이 P .I.환이므로 다항식환 R 〔지 도 역시 P .I.환이 된다. 이 제 R [ 서 가 J acobson 환이 됨을 보이기 위하여는 정리 2 . 3.4 에 의하 여 R [ x ] 의 모든 G- 아이디얼이 국대 아이디얼임을 증명하면 된다. 따라서 P 를 R[x] 의 G- 아이디얼이라 하면 다항식환 R[x, 짜의 어떤 국대 아이디얼 M 이 존재하여 P=R [ x ] nM 이 되고 또한 이 경우에 R[ x, y] /M = (R[x]/P ) [y + M] = (R/ R n P ) [x +P]〔y +M 向 된다. 정리 2.1 . 9 에 의하여 환 R[ x, 짜 / M 은 단순 A rti n 환이 되고 따라서 x +P 는 Z(R/RnP) 위에서 정수적이고 또한 y +M 은 Z(R 〔 자 I P) 위에서 정수적이 된다. 그러므로 x+P 는 Z(Q ( R/ R nP)) 위에서 대수적이고 y +M은 또한 Z( Q (R 띠 / P)) 위에서 대수적이 된다. 이제 Q (R/RnP) 를 생각할 때 R 社, 짜 / M 은 단순 Arti n 환이므로 R[x, y]/ M= Q( R/ R nP)[x+P][y+ M] 이므로 사실 RIRnP= Q (R/RnP) 가 되어서 R/RnP 는 단순 A rti n 환이 되어서, RnP 는 R의 극대 아이디얼이 된다. 따라서 R[x, y ]/M= Q (R 〔지 /P)[ y +M 〕이고 Q(R[x]/P) =R[ 김 /P 가 되

어서 P 는 R [x] 의 극대 아이디얼이 된다. 그러므로 다항식환 R[ x] 는 J acobson 환이 된 다 . 앞의 정리를 계속 되 풀 이 사용하여 다음의 따름정리 를 쉽게 oc1 멸0 수가있다. 따름정 리 2 . 4 . 2 R 이 P.I. J acobson 환이 면 모 든 자연수 )I 에 대 하 여 다항식환 R[ x1, x2, …』 나 도 P.I. J acob so n 환 이 된다 . R 이 S 의 부분환일 때 Cs(R) ={sES| 모든 rER에 대하여 ?-s= s r} 를 S 에 서 R 의 센트럴 라이 저 (cen tr al iz e r of R in S) 라 부른다 . 특히 S=RCs(R) 인 경 우에 S 를 R 의 확장환 (exte n sio n ring) 이 라 부른다. 어떤 주어진 카디널 a 에 대하여 S 를 R 의 a - 확 장환 (a -ex t ens i on ring)이라 함은 Cs(R) 의 어떤 부분집합 X 가 존재하여 |Xl~a 이면 서 S=RX 일 경우를 뜻한다. 단, 여기서 | XI 는 집합 X 의 카디널을 표시한다. 특히, 카디널 a 가 유한인 경우에 S 를 R의 유한확장환 (finitely g en erate d exte n sio n ring) 이 라 부른다. 이제 따름정리 2 . 4 . 2 로부터 C. Proces i [Pr] 의 결과를 쉽게 증명할 수있다. 정리 2 . 4 . 3 R이 P .I환 S 의 부분환으로서 S 가 R 의 유한확장환 일 때 R 이 J acobson 환이면 S 도 J acobson 환이 된다.

증명 P.I환 S 를 환 R 의 유한확장환이라 하면 집합 Cs(R) 안에 유한개의 원소 a1, a2, …, an 이 존재하여 S = Ra1 + Ra2 +· · · + R an 이 된다• 이제 P .I . 환 R 은 J acobson 환이므로 따름정리 2.4 . 2 에 의하 여 다항식환 R[ X1 ,X 2' …」 나 은 J acobs 야환이 된댜 여기서 환의 준 동형사상 / 몰 R[ X1 , X2' …」 검 으로부터 s 로 I(xi) =a1, I(x2) =a2, …, f(x n) =a n 그리고 R 의 원소 r 에 대하여 /(r) =r 로 정의할 수 있고 이때 f는 R 노 , X2, •••』 나 에서 S 위로 대응하는 함수가 되어서 환 S 는 J acobson 환 R 〔 저’ X2, •••』 니 의 준동형사상의 상이 되어서 S 도 역시 J acobson 환이 된다. 2 -5 J acobson 군환 (Ja cobson Group Rin g s) 이제 앞 절의 여러 가지 결과를 이용하여 이 철에서는 주어전 군환 이 어떤 조건 아래서 J acobson 환이 되는가에 대해서 알아 보기로 한 다. S 를 가환환이라 하고 I 를 어떤 주어진 집합, 그리고 n 을 어떤 자 연수라 할 때 {xt }( l~i, j~ n, aEI) 를 가환환 S 위에서 정의되는 교환가능한 부정 원 (undete rm ina te s ) 이 라 하자. 이 때 n 차 행 렬 /_xa _··IIr\a·a · n\In ain)n … … x I r

롤 S 위의 ux n 제네릭 행렬(g ener ic ma t r i x) 이라 부른다. 이와 같은 어떤 nX 11 제네릭 행렬의 집합과 S 에 의하여 생성되는 Mafn ( S[x5 ; l 철, js n, a 든 I ] ) 의 부분대수를 환 S 위에 1IX Il 제네 릭 행렬 대수 (an nx n ge neric matr ix alge bra over S) 라 부른다. 따라서 lXl 제네릭 행렬 대수는 S 위에서 정의되는 다항식환이 된다. 정리 2.5. 1 F 를 체라 하고 X 를 F 위의 11X 11 제네릭 행 렬둘 의 무한집합이라 할 때 제네릭 행렬 대수 F 〔 x 〕 가 J acobs 。n 환이 될 필 요충분 조건은 |Fl>IX| 인 것이다. 단, 여기서 I I 는 집합의 카디널 을 표시한다. 증명 우선 |Fl>IXI 라 가정하고 x 를 제네릭 행렬 대수 F[ x ] 위 에서 정의되는 어떤 부정원이라 하여 S 를 F[ X ] 위의 다항식환 죽 S=F[X] ［자라 하자. 이 경우 물론 제네릭 행렬 대수 F [ >. ? 는 P.I. 환이 된다. 이제 M 을 단순 S- 가군이라 하면 환 Ends(M) 은 F 위 의 벡터공간으로서 차원은 IFI 보다 작게 된다. 이제 aEEnds(M) 이라 하면 Ends(M) 은 F 위의 벡터공간으로서 차원이 |F| 보다 작기 때문에 { (a - s)-1}SEF,S*a 는 F 위에서 1 차 종속이 된다. 따라서 Amit sur[A 니의 방법에 의하 여 a 는 F 위에서 대수적이 되므로 Ends(M) 은 F 위에서 대수적이 되어서 정리 2.3.4 에 의하여 제네릭 행렬 대수 F[X 〕는 J acobson 환 이 된다. 이제 |F|~1x1 라 하자. 이때 p (x) 를 다항식 환 F[ 자의 기약 다 항식이라 하면 소 아이디얼(p (x) ）에 의하여 유도되는 국소화환

(loc ali za t ion ) F [ 저 (P(X)) 의 카디널은 |XI 를 넘지 못하게 된다. 그런데 이제 A 를 체 F 의 확대체로서 무한체라 할 때 Ma t n(A) 의 다항 항등 식을 만족하는 대수는 제네릭 행렬 대수 F [ X 〕 의 상환(q uo ti en t ring ) 이 되기 때문에 F 〔자 （ P(X ＂는 F 〔 X 겨 상환이 된다. 그런데 여기서 F 囚 ( P (X)) 는 c - 환으로서 정역이므로 체가 된다. 그러나 F 〔자（ P(X)) 는 체가 될 수 없으므로 정리 2 . 3 . 4 에 의하여 F[x](P(x) ）는 J acobson 환 이 되지 않는다. 따라서 F [ X ] 는 J acobson 환이 되지 않는다. 환 R 을 P .1 . 환이라 하고 X를 환 Z(R) 위에서 정의되는 어떤 nX 1 1 제네릭 행렬의 집합이라 할 때 환 R gZ( R)Z (R) [X ] 를 환 R 위에서 정의되는 nX n 제네릭 행렬환 (nxn gen er ic m at rix ring over R) 이라 부르고 R 〔 x ] 로 표시하댜 그런데 [R 이에 의하여 어떤 가환환 위 에 서 정 의 되 는 두 P .I.대 수의 텐서 곱 (ten sor pro duct) 은 역 시 P .I.대수이므로 R 〔 x 〕 도 역시 m 환이 된댜 환 R 이 환 S 의 부분환이고 R 과 S 의 단위원은 같다고 가정할 때 환 S 를 환 R의 유한 정 규 확장환 (finite nonnaliz in g exte n sio n ) 이 라 함 은 S 의 어떤 유한개의 원소 a1, a2, …, an 이 존재하여 S = Ra1 + Ra2+ • • • + Ran 이 되고 또한 모든 a, 에 대하여 Ra;=a,R 일 때를 뜻한다. 보조정리 2. 5 . 2 [SW, Remark 3 .1읽 환 S 가 환 R 의 유한 정규 확

장환일 때 환 R이 J acobson 환이 되기 위한 필요충분 조건은 환 S 가 J acobson 환인 것 이 다. 정리 2 . 5 . 1 과 보조정리 2.5 . 2 로부터 다음 정리를 쉽게 밝힐 수가 있다. 정리 2.5 . 3 R이 단순 P .I환이고 X 를 Z(R ) 위에서 정의되는 nXn 제네릭 행렬의 어떤 집합이라 하자. 이때 제네릭 행렬환 R[X 回 J acobson 환이 될 필요충분 조건은 |Rl > IX| 이다. R 이 P .I.소환이고 a 가 카디널일 때 R 의 G- 차원 (G - rank) 이 a 라 함은 Q (R) 은 R 위에서 환으로서 Z( Q (R)) 의 a 개의 원소로서 생성 이 되고 또한 Z( Q (R)) 의 a 개보다 적은 개수의 원소로서는 생성될 수 없을 경우를 뜻한다. 이 경우에 죽 R의 G- 차원이 a 일 때 G-rank(R) =a 로 표시한다. 이와 같은 정의에 의하여 R이 P .I.소환 일 때 R이 G- 환이 될 필요충분 조건은 G-rank(R) =1 이 됨을 알 수 있다. 정리 2.5. 4 R 을 P .I.환이라 하고 a 를 어떤 무한인 카디널이라 하 자. 이때 R[X 〕는 제네릭 행렬환이라 하고 R 〔 W] 는 다항식환으로서 IXl=IWl=a 라 하면 다음의 조건은 동치가 된다. (1) 제네릭 행렬환 R[X 〕는 J acobson 환이다. (2) 다항식 환 R [ W] 는 J acobson 환이 다. (3) R의 0 아닌 상환의 카디널은 a 보다 크고, 또한 R의 임의의 상 환으로서 소환인 B 는 G-rank(B) sa 이고 B~C~ Q (B) 를 만족하 는 Q (B) 의 부분환 C 에 대하여 G-rank(C) =I=- 1 이다. 증명 (1)=>(2) IXI=IWI 이고 Z(R)[W] 는 Z(R) [X] 의 준동형 사

상의 상이 되므로 R 〔 w ] 는 J acobson 환 副幻의 준동형사상의 상이 되어서 R[ W ] 는 J acobson 환이 된다. (2) = >(3) 우선 정리 2 . 5 . 3 에 의하여 R 의 0 아닌 상환의 카디널은 a 보다 크다. 이제 R의 상환 B 가 존재하여 B 는 소환이고, G- ra nk(B)~a 그리고 B 드 C 드Q(B)인 Q (B) 의 부분환 C 가 존 재하여 G- ra nk(C) 회이라 하자. 그러면 이때 Z(B) 의 어떤 원소 l t가 존 재하여 Q(B) = Q (C) = C [ u-1] 가 된다. 이 경우에 Q( B)= Q( BZ(C)) =B Z(C) [ u - 1 ] 이다. 실제로 q를 Q(B Z(C) ）의 원소라 하면 sE B 아고 t E Z(B) 안 원소 s 와 t를 택하여 q= sr1 로 표시할 수 있고 또한 이 경우에 C 의 적당한 원소 d 와 어떤 자연 수 k 가 존재하여 t~1 = duk 가 되게 할 수 있다. 따라서 d=r1u -k Ecnz( Q(B) )=Z(C) 이므 로 1-1 E Z(C) [U - IJ 가 된다. 그러므로 q= sr1EBZ(C) [u 기임을 알 수 있다. 한편 Z(B) 는 Z(C) 의 부분환이므로 Z(C) 의 어떤 부분집합 T 가 존재하여 Z(C) =Z(B)[T] 이고, 또 가정에 의하여 G-rank( B) ~a 이므로 Z( Q (B) ）의 어떤 부분집합 S 가 존재하여 ISl~a 이고 Q(B )=B[S] 를 만족하게 된다. 따라서 Q (B)=B[S]=BZ(C) 〔 u 기= BZ(B ) [T] [u-1] =B[TU{u-1}] 이다. 그러므로 S 의 임의의 원소 s

에 대하여 T 의 어떤 유한인 부분집합 Ts 가 존재하여 sE B[ T sU {u-1}] 가 된다. 이제 여기서 To= U Ts SES 라 하면 Q(B) =B[ToU{u-1} 〕 이고 ITo |

준동형사상을 생각해 보기로 하자. 단, F=Z( Q (R) ）이다. 여기서 dim F Q ( R)®FF[ v] 〔 切 ::;;a

이 된다. 여기서 C11={d1, d2, …, dn} 이라 하면 I/I EU Uo C/I | ~a 가 됨을 알 수 있는데, 이 경우에 Q( R) = R 〔 UC 니 가 된다• 실제로 R[UC,][ v。 ] =R[UC11 汀파 [U] =R 티 [미 = Q( R) [ V.。 ] 이고 Vo 는 Q( R) 위에서 Q (R)[v] ［미의 자유기저가 되므로, Q (R) = R [ UC 나 이다. 따라서 G-rank(R) ~a 가 된다. 앞에서 이미 살펴본 바와 갇이 Z(F[v ][ U 〕 ）는 체 F 위에서 대수 적이므로 특히 v 는 P 위에서 대수적이 된다. 그러므로 적당한 자연 수 k 와 Z(R) 의 원소 a, ao, …, a k -1 가 존재하여 a =f:- 0 이고 또한 av= a 。+ a1v+ …+ ak-lVk- l 를 만족하게 된다. 따라서 환 Q (R) 〔 v] ［미는 환 R 〔 u 汀 a 기 위에 서 생성원소 {1, v, …, Vk-1} 를 갖는 유한확장환이 되어서 〔 Lem ] 에 의하여 R[U] [a-1] 는 단순 Arti n 환이 된다. 여기서 S=Z(R[U]) nF 라 하면 S[ a- 1] ＝ F 이고, RS= Q (R 河 된다. 왜냐하면 만일 RS~ Q (R) 이라면 RS[a-1]=RF= Q (R) 이 되 어서 G-rank(R) =1 이 되므로 가정에 모순이 된다. 따라서 a-1ERS s;; R[ 띠가 되므로 R[ 미는 단순환이 되어서 P 는 극대 아이디얼이 됨을 알 수 있다. 그러므로 R[X] 는 J acobson 환이 되어서 증명은 끝나게 된다. 이제 정리 2.5 . 4 를 이용하여 J acobson 환의 무한 P .I.확장환이 어 떤 경우에 J acobson 환이 될 수 있는가에 대하여 다음의 정 리 에서 살

펴보기로 한다. 정리 2. 5. 5 무한인 어떤 카디널 a 에 대하여 W 는 P .I.환 R 위에 서 정의되는 서로 가환인 부정원의 집합으로서 IW1=a 라고 하면 다 음의 두 조전은 동치가 된다. (1) 다항식환 R 〔 W 〕는 J acobson 환이댜 (2) R 의 모든 P.I. a- 확장환은 J acobson 환이다. 증명 (1 ) 구 ( 입 환 S 를 환 R 의 P. I. a- 확장환이라 하면 S=R 〔 띠 ;e1, a;ECs(R) 이고 |Ilsa 인 집합 I 와 Cs(R) 의 원소 a i가 존재하게 된다. 이제 S 의 소 아이디얼 P 에 대하여 PnR 은 역시 R 의 소 아이디얼이 된다. 여기서 R 대신 소환 R/PnR 을 사용하여도 무방하므로 PnR=O 로 가정 할 수 있고 따라서 처음부터 한 R 은 P .I.소환이 라고 가정하여도 무방하다. 환 SIP 에서 u1=a1+P 라 하면 S/P=R 〔 U i]i타가 된다. 이때 Z(R) 〔 u 』i E/ 는 P .1.소환이고 IIlsa 이므로 Z(R) 〔 U;] i E/ 는 n 을 P .I.소환 Z(R) [u i]i e1 의 어떤 다항 항등식의 차수라 하면 제네릭 행 렬 대수 Z(R)[X 回 준동형사상의 상이 된다. 물론, 여기서 X 는 nxn 제네릭 행렬의 집합으로서 IXl=a 이다. 그렇기 때문에 R®ZCRi Z (R) [u』i E/ 는 R[X 펴 준동형사상의 상이 되고 또한 SIP 는 R[X 回 준동형사상의 상이 된다. 이제 정리 2 . 5 . 4 에 의하여 R[X] 는 J acobson 환이 되므로 SIP 도 J acobson 환이 되고 따라서 P는 S 의 반원시적인 아이디얼이 되어서 환 S 는 J acobson 환이 된다. (2) ⇒ (1) 다항식환 R[W] 는 물론 환 R의 P. l. a- 확장환이 되므로 가정에 의하여 R 〔 w] 는 J acobs 야환이 된댜

가환군 G 는 정수환 Z 위에서 Z- 가군으로 정의될 수 있다. 이 경 우 Q를 유리수 체라 하면 Q ®zG 는 Q 위에서 벡터공간이 된다. 이 때 벡터공간 Q ®zG 의 체 Q 위에서 차원을 가환군 G 의 토전프리 계 수 (tor sio n free rank) 라 부른다. 보조정리 2. 5 . 6 R 이 P .I.환이고 G 는 가환군으로서 토전프리 계 수가 a 라고 하자. 이때 W 를 R 위에서 정의되는 가환인 부정원의 집합으로서 |Wl=a 라 하면 다음의 조건은 동치가 된다. (1) 다항식 환 R 〔 w 〕는 J acobs 야환이댜 (2) 군환 R 〔어는 J acobson 환이다. 증명 가환군 G 의 토전프리 계수가 a 이므로 G 의 극대 자유 부분집 합 {fi}i EI 가 존재하여 |Il=a 를 만족하게 된다. 이제 H 믈 {/;}i E / 에 의하여 생성되는 군 G 의 부분군이라 하면 군 G/H 의 모든 원소의 위수는 유한이 된다. 이 경우에 군환 R[G 〕는 군환 R [ H 〕 의 정수적 인 확장이 된다. 실제로 b =a 1g 1+ a2g 2+ •• • + a 끊n 울 R[ 어의 원소라 하자. 단, 여기서 a i ER 이고 gi EG 이다. Ho 를 H 와 g1, gi, …, gn 에 의하여 생성되는 G 의 부분군이라 하면 군 Ho/H 는 유한군이 되고 bER[Hc。 〕가 된다. 이제 환 R 〔 H。 〕는 환 R[H] 의 유한확장환이 되어서 [RS] 에 의하여 R[H。 〕논 R[ H ]위 에서 정수적이 된다. 따라서 b 는 R[H] 위에서 정수적이 되므로 R[G] 는 R[H 펴 정수적인 확장환이 된다. 이에 i E J에 대하여 yi=fi+fi-I 라 하고 Y={ y, . }i eI 라 하면 R[Y 〕는 R[H] 의 부분환이 되고 이때 R[Y 〕는 부정원의 집합을 Y 로 가지는 다항식환이 된다. 이제 각 i에 대하여 yi=fi+f{ 1 이므로 ff=yJi -1 이 되므로 주어진 f1, f2, …,

In 에 대하여 R[ Y, /1, /2, …, f』 은 R[ Y ] － 가군으로서 R[ Y] 위에서 {ITF i l F 는 {l, 2 ....} 의 유한 부분집합}에 의하여 생성된다. 그러므로 R[ Y, /1, /2, ... , /,』 은 R[ Y 져 확장환이 되고 또한 R[ Y 」;, /2’ 따 f』 은 R[ 杓 위에서 정수적이 됨을 쉽게 밝힐 수가 있다. 따라 서 R [ H ] 는 R 〔피 의 정수적인 확장환이 되어서 R [ G ] 도 R[ Y ] 의 정수적인 확장환이 된다. 이와 같은 사실로부터 R 〔 어가 J acob s on 환이면 硏 w 〕 가 J acobson 환이 되고 역으로 R 〔 w 〕 가 J acob s on 환이 되 면 R [ G] 가 J acobson 환이 된다. 이제 이상의 결과로부터 Rl . 군환이 J acobson 군환이 될 수 있는 조 전에 대하여 다음의 정리에서 살펴보기로 하자. 정리 2.5 . 7 R [ 어 를 P .I.군환이라 하고 a 를 가환군 LJ( G)/LJ+ (G ) 의 토전프리 계수라 하자. 또한 W 가 서로 가환인 R 위에서의 부정 원의 집합으로서 I Wl =a 일 때 R 〔 어가 J acobson 환이 될 필요충분 조건은 다항식환 R 〔 w 〕 가 J acobs 야환이 되는 것이다． 목히 a 가 유 한이고 R이 J acobson 환이면 R [ 어는 J acobson 환이 된다. 증명 우선 군환 R [ 이가 J acobson 환이라 하자. 정리 2 . 2 . 1 에 의 하여 [G : Ll(G)]

따라서 보조정리 2.5 . 6 에 의하여 군환 R [ Z(H) ] 는 J acobson 환이 된다. 이제 1 . 3 에서 살펴본 바와 같이 군환 R [ H 〕 는 군환 R[ Z (H) ]위 에서 군 H / Z(H) 의 비틀립군환이 됩울 알 수 있다. 그런 데 정리 2 . 2.2 에 의하여 H / Z(H) 는 토전가환군이므로 군환 R [ H ] 는 보조정리 2 . 5 . 6 에서와 같은 방법으로 J acobson 군환 R [ Z(H) 〕 의 정 수적인 확장환이 되어서 R[H ] 는 J acobson 환이 되고 따라서 R[ H ] 의 유한정규 확장환인 군환 R[G] 도 J acobson 환이 된다. 앞에서 살펴본 결과와 정리 2 . 5 .7로부터 체 K 위에서 정의되는 P .I군환 K[ 어가 어떤 경우에 J acobson 환이 될 수 있는가를 다음의 결과로서 완전하게 규정지울 수 있다. 정리 2.5 . 8 K 가 체이고 K [ G ] 를 P .I.군환이라 하자. 이 경우 L1(G)IL1+(c) 의 토전프리 계수가 유한이면 K[ 어는 J acobson 환이 되고, 또한 L1(G)/L1+(G) 의 토전프리 계수가 무한인 카디널 a 라 하 면 군환 K 〔어가 J acobson 환이 될 필요충분 조건은 |Kl>a 인 것이 다. 증명 우선 LJ (G)/ LJ +(G) 의 토전프리 계수가 유한 죽 어떤 자연수 n 이 될 경우에는 따름정리 2 . 4 . 2 에 의하여 n 개의 부정원 X1, X2, …, Xn 을 가지는 다항식환 K[x1, x2, …, 리은 J acobson 환이 되고 따라서 정리 2 . 5.7 에 의하여 군환 K[ 어는 J acobson 환이 된다. 이제 LJ (G)/ LJ +(G) 의 토전프리 계수가 무한인 카디널 a 라 하면 정 리 2.5 . 7 에 의하여 K[G] 가 J acobson 환이 될 필요충분 조건은 K 위에서 정의되는 부정원의 집합 X가 |Xl=a 일 때 다항식환 K 〔幻 가 J acobson 환이 된다. 따라서 정리 2 . 5.1 에 의하여 군환 K 〔어가 J acobson 환이 될 필요충분 조건은 IKl>a 이므로 증명은 끝나게 된 다.

제 3 장 군환의 Idem p o t en t구조 (Ide mp ot e n ts of Group Rin gs ) 이 장에 서는 군환에 서 취 급되는 등멱 원 (ide mp ot e n t) 의 구조에 대 하 여 거시적인 입장에서 다루고자 한다. 군환을 연구하는 데 있어서 가 끔 등멱원의 구조를 조사할 필요가 있는데 이것은 등멱원의 구조에 따라서 군환은 유한개의 아이디얼의 직합으로 표현될 수 있기 때문이 다. 등멱원에 관한 미시적인 고찰을 위하여 군환의 궤적함수를 소개 하며, 또한 중점적으로 다루게 될 거시적인 방법을 위하여 축소 가능 한 대수와 Az 血 1a ya 대수의 응용적인 면도 소개할 예정이다 . 3 . 1 군환의 궤 적 함수 (Trace Map s of Group Rin gs) K[ 어를 체 K 위에서 군 G 의 군환이라 할 때 K[G] 의 원소 :E a gg의 궤적 (tr ace) 을 a1 으로 정의하고 tr(:Ea g g} =a1 으로 표시한다. 이때 tr을 군환 K[G ] 에서 K 를 대응하는 궤적함수 혹은 군환 K[G] 의 궤적함수라 부른다.

쉽게 얻어질 수 있는 성질로서는 궤적함수는 체 K 위에서 정의되 는 벡터공간 K ] 에서 K 로 대응하는 선형변환이 되고 또한 K [G] 의 원소 a, /3에 대하여 tr( a/3 ) =t r(/]a) 가 된다. 이제 군 G 가 유한군이고 G 의 위수 |Gl=n 일 경우 K [ G ] 는 체 K 위에서 차원이 n 즉 G 를 기저로 가지는 벡터공간이 된다. 여기서 G={l, g2, g3, …, gn } 이라 할 때 각 g에 대하여 {l·g; , g2g ;, g3g ;, …, g,.gt.} 도 역시 G 가 되어서 {gi, g 2g i, g 3gi, … , g끊i} 도 K 위에서 벡터공간 K 〔어의 기저가 된다. 그러므로 g,에 대하여 기저 {gi, g2g i, …, g,zg,,}로 대응시키는 K 위의 nXn 행렬 r( g, ）를 정 의할 수 있으며 이때 행렬 t(gi)의 원소는 0 또는 1 이 된다. 실제로 gi *1 이면 행렬 r( gi)의 궤적, 죽 주 대각선 원소의 합 tra ce(r (g;) ) 는 0 이 되고 trac e(r( l) ) =n=IG I 임을 알 수 있다. 일반적으로 K 〔어의 원소 a 에 대하여 K 위에서 정의되는 벡터공 간 K[ 어에서 K〔어로 대응하는 선형변환 아울 유도할 수 있다. 즉 K[ 어의 임의의 원소 8 에 대하여 ar(/3 ) =[3 a 로 함수 ar 을 정의하면 ar 은 선형변환이 되어서 ar 에 대응하는 nXn 행렬 r(a) 를 생각할 수 있다. 여기서 trac e(a) =tr ace(r(a) ）라 하면 a=~a gg라 할 때 trac e(a) =a,IGI 가 된다. 사실 trac e(a} =trac e(I! a,g ) = a1t rac e (l) +g I* !1 ag trac e (g}

=a1tr a ce(l) =adGI 가 됨을 알 수 있다. 따라서 tra ce(a) =t r(a)I 이임을 보일 수가 있 다. 이제 !GI 가 체 K 에서 0 이 아니라고 가정하자. 이때 aEK[ 어로서 어떤 자연수 m 에 대하여 am=o 이라고 하면 다음과 같은 부분공간의 수열을 생각할 수 있다: K 問 각〈 [ 어 a 각인어감국 .. 극 K[G]am=O. 그러므로 이 경우에 K 위에서 nXn 행렬 r( a) 는 주 대각선의 원소 가 모두 0 인 삼각행렬이 되어서 tra ce(a) =O 이 된다. 그런데 tra ce(a) =t r(a)!G| 이고 |GI 는 K 에서 0 이 아니므로 tr( a) =O 이 된다. 한편 I집 어의 원소 a 가 등멱원(i dem p o t en t)이면 K〔이는 K- 벡터공간으로 入1 K[G]=K 問籍 K [ G](l-a) 가 되고 또한 이때 벡터공간 K[ 이 a 의 기저와 K[G] (1-a) 의 기저 의 합집합은 벡터공간 K[ 어의 기저가 된다. 여기서 이제 a 에 의하 여 유도되는 선형변환 ar 은 K 〔어 a 위에서는 항등함수로 작용하고 또한 K[G](1-a) 위에서는 영함수로 작용하기 때문에 trac e(a)= di mK[G]a 이고 tra ce(a) =tr (a)IGI 가 되어서 다음의 결과를 얻을 수있다. 정리 3.J . l K 가 체이고 G 가 유한군으로서 |GI 가 K 에서 0 이 아 니고 a 를 군환 K[G] 의 원소라 하면 다음의 사실이 성립한다. (l) a 가 멱영원(ni l po t en t)이면 tr(a ) =O 이 된다.

(2) a 가 등멱원(i dem p o t en t)이면 tr( a) =d i m([( 〔 어 a) / IG| 이다. 정리 3 . 1 . 1 에 의하여 군 G 의 위수가 I( 위에서 0 이 아니면 군환 K 〔 어의 등멱원 a 의 t r(a) 는 항상 K 의 소체 (pr im e fi eld) 의 원소임 을 알 수 있다. 특히 체 K 의 표수가 0 인 경우에는 등멱원 a 의 t r(a) 는 유리수체 Q의 원소 즉 유리수가 되고 또한 o=:: ;;d im !([G ] a 되어이므로 o=:=;; t r(a) 三려울 알 수 있다. 앞에서 살펴본 궤적함수를 군환의 성질을 조사하는 데 사용하기 위 하여 이제 C 를 복소수 체라 하고 G 를 군이라 할 때 군환 C 〔어 의 궤적함수에 대하여 고찰하여 보기로 하자. C[ 어의 원소 a=~a gg와 /3＝ ~b gg 에 대하여 내적 (inn er pro duct) 와 노음 (norm) 을 다음과 같이 (a, E) =~agb g g 그리고 llall= (a, a) 1'2= (~Ja g l2 ) 1'2 g 로 각각 정의하고 a 의 절대치 (absolute value) lal 를 la|= 창 |a g l 로 정의하자. 또한 ii= ~II agg -1

라 하면 다음의 결과를 얻을 수 있다. 보조정리 3. l .2 군환 다 C ] 에 대하여 다음 사실이 성립한다. (1) C [ 어 위에서 정의되는 내적 ( , ）은 Hermi tian 내적이 되고 또 한 (a, /3) =tr(a P) =tr(P a) 이다. (2) C 印 ] 에서 정의되는 함수 a .._... 5 는 1-1_ 대_ 응함수이며 또한 a+ 8 =d+8, a8=8a 를 만족한다. (3) 다어의 원소 a, (3, r 에 대하여 (a, f3r )=(ay , /3) =(Pa, r) o] 다. 증명 성질 (1) 과 (2) 는 쉽게 증명될 수 있으므로 생략하기로 한다. 이제 C 印]의 원소 a, /3, r 에 대하여 (a, /Jr ) =t r(a( 函;)) = tr( (ay )ff)= (ay , /3)이고, 또한 (a, /Jr )=t r( (Pr)a)=t r( r(ffa ) ) =(Pa, r) 이므로 성질 (3) 을 밝힐 수 있다. L 을 복소수 체 C 위에서 벡터공간인 군환 C 〔 G ］의 부분공간이라 하고 r 를 C[ 어의 어떤 원소라 할 때 부분공간 L 과 r 사이의 거리 d(L, r) 를 d (L, r) = ianefL ll a -r ll 로 정의하면 다음의 사실을 얻을 수 있다.

보조정리 3. l. 3 L 을 C[ 어의 부분공간이라 하고 a, /3를 L 의 원 소 그리고 r 를 다어의 원소라 하면 I(/3, a-r) 부 |I /3 112(Ila-rll2-d(L, 합) 이 성립한다. 증명 /3＝ 0 일 때는 분명하므로 /3 *O 이라 하고 k= (a- r , /3) /11 /3 1 12 이라 하면 a-k/ 3 EL 이 되어서 d(L, r)2slla-k/3 - rll2 임을 알 수 있다. 그러므로 Ila-rll2-d(L, r)2 칙=( Iaa__ rrI,I 2a__IIar)__k/(3 —a —rl l2r _ k/3, a_T-k/3) =k(/3, a-r)+k(a-r, /3) -kk(/3, /3) = | (f3, a_ r) 12/II/3 11 2 가 되어서 증명은 끝나게 된다. 보조정리 3. 1. 4 a, /3를 군환 C[G] 의 원소라 하면 다음이 성립 한다. (1) ||a+ f3 11 회 |all+ll /3 11, la+Plslal+l/31 . (2) |tr(a ) |터 |all, (a, l) =tr(a ). (3l lla /3||회 |alll /3 1, la/3 l =lall/3I .

증명 (1) 보조정리 3 . 1 . 3 에서 L=C[G ] 라 하고 r=O 으로 택하면 d( 다 G], 0) =O 이 되고 따라서 C [ G ] 의 원소 a, /1에 대하여 |(/3, a)I ~11 /J llllall 가 된다. 그러므로 Ila+/3 |1 2 = (a+ /3 , a+/3 ) =Il a『 +(a, /J)+(/J, a)+II/3| 1 2 < I|a |l2+ 2 llallll/3l l + II/3 11 2 = (llall + II/3 |I ) 2 이 되어서 Ila+ /3 ll~llall+II /3 |I 가 성립한다. 그리고 |ct+/3 1 회 al+I /3 I 와 (2) 는 쉽게 밝힐 수 있으므로 증명은 생략한다. (3) G 의 원소 g에 대하여 g=g -1 이므로 C[G] 의 원소 a 에 대하여 llag ll = (ag , ag )1 ' 2= (ag g, a)112= (a, a)1'2=llall 가 된다. 또한 lag l=la| 임을 쉽게 알 수 있다. 이제 /3 =~b gg라 하 면 (I)에 의하여 lla/3 11 = ll~g abgg ll ~ ~gl labg[ JII = ~gl lalllbg l = llalll/31 이고 la/3 | = |~g abgg l = ~gl abgg l = ~gl allbg l = lall/31 이 된다. 군환 더 G] 에서 e 는 0 아닌 등멱원이라 하고 I=eC[G] 라 하면 C[G] 의 아이디얼 I 는 C[G] 의 부분공간이 된다. 이때 d=d( I, 1)

이라 하면 임의의 자연수 n 에 대하여 I 의 원소 fn 을 택하여 llln ― 1|12

회 |lnll!n< (d+2) /n 이 되고 또한 보조정리 3.1.4 (2) 로부터 (fn, f n— 1) = (fn, f n) -(f n, 1 ) =ll/nll2-tr U n) 이 되어서 r'=d+2 로 택하면 (1) 을 만족하는 음이 아닌 실수 r'를 얻게 된다. (2) 보조정리 3 . 1 . 2 로부터 llf ne -ell2=

이고 또한 tr( e) 2: l/e /1 2//e/2>0 이 된다. 증명 보조정리 3. 1 .4 (2) 와 보조정리 3 . 1 . 5 에 의하여 lll/nll2-tr ( /n) j =s; r'/n 그리고 !trU ne)-tr ( e) I:::;;: rI 11 임을 알 수 있다. 또한 fn EeC[G] 이므로 ef n = fn 이 되고 따라서 trU ne) =tr(e fn ) =trU n) 이 된다. 그러므로 lllfn ll2 -tr (e) l =s: ( r'+ r) In 이고따라서 tr(e ) =t뽀 ||lnll2 이 되어서 tr (e) 는 음이 아닌 실수가 된다. 이제 보조정리 3.1.4 (1), (3) 그리고 보조정리 3.l.5 (2) 로부터 llell ~lle 一 Inell+ 11/nell~ rIn+11/nllIel

울 얻을 수 있으므로 n-> oo 일 때 \le\\::;;( t r(e))1 1 2\el 가 된다. 따라서 tr(e) 칙 |ell2/lel2>0 이 되어서 증명은 끝나게 된다. 3 . 2 Passman 정 리 와 Zalesski 정 리 (Passman's Theorem and Zaless- ki's T heorem) 군환의 궤적함수를 이용하여 군환의 성질에 대한 고찰 중에서 홍미 있는 Kap la nsky 정리, Passman 정리 그리고 Zalesski 정리를 이 절 에서 소개하고자 한다. 정 리 3 . 2 . 1[ PA, Kap la nsky ] K 를 표수가 0 인 체 라 하고 e 를 군환 K[G] 의 등멱원으로서 e-: tO , 1 이라 하면 t r(e) 는 대수적인 실수이고 또한 t r(e) 의 대수적인 공액은 0 과 1 사이에 존재하게 된다. 증명 군환 K[ 어에서 e=~b gg를 등멱원이라 하고 이때 b g *O 인 g의 집합을 e 의 서퍼트 (su pp o rt)라 부르고 Supp (e) 로 표시하면 Su pp (e) 는 군 G 의 유한 부분집합이 된다. 이제 체 F 는 유리수 체 Q와 집합 {b g l g ESu pp (e) ｝에 의하여 생성되는 K 의 부분 체라 하면 분명히 eEF 〔어 드 K[ 어가 된다. 또한 F 는 복소수 체 C 의 부분 체 가 될 수 있으므로 eEF[G] ~ c[ 어가 된다. 이제 정리 3 . 1 . 6 에 의하여 tr(e ) >O 이고 또한 1 ― e 도 C[G] 에서 0 아닌 등멱원이 되기 때문에 I-tr( e ) =tr(1 -e) >O 이 되어서 tr(e )

스럽게 군환 C[G] 의 자기 동형사상 6 즉 ?J( ~agg ) =~a(ag )g 를 생각할 수 있다. 여기서 'if (e) 는 역시 C[G 〕 의 등멱원이 되고 또 한 tr('if (e))=

증명 군환 K 〔어의 원소 a, /3에 대하여 a /3 =1 이라 하면 e=/3 a 는 K 〔 이의 등멱원이 된다. 실제로 e2= fJ (a{]) a = {]a = e 임을 알 수 있다. 또한 이때 tr( e) = tr( f]a ) =tr( a/3) =1 이 되고 따라서 정리 3 . 2 . 1 에 의하여 e-:t- 0 , 1 일 경우 O< tr (e)O 일 경우는 아직도 미해결상태로 남아 있다. 그러나 다음의 Zalessk i의 정리에서' 체 K 의 표수가 P>O 인 경우에 동멱원의 궤적에 대하여 어느 정도까지 궤적에 대한 형태를 파악할 수가 있다. 자세한 증명은 [PA 〕롤 참고하기 바란다.

정리 3.2 . 4 체 K 위에서 정의되는 군환 K [ G ] 의 등멱원을 e 라 하면 e 의 궤적 t r(e) 는 K 의 소체에 포함된다. 3 , 3 축소가능 대수 (Comp re ssib l e Alge b ras) 앞의 절에서는 군환 K 〔어의 어떤 홍미있는 성질이 등멱원의 궤적 의 조사에 의하여 밝혀질 수도 있다는 것을 소개하였는데 이제 나머 지 절에서는 군환 K 〔어의 등멱원의 형태를 거시적인 입장에서 소개 하기로 한다. 환 R 의 중심을 Z(R) 이라 할 때, 즉 Z(R) ={aERIR 의 모든 원소 r 에 대하여 ar= ra} 일 때 , 환 R 이 축소가능환 (comp re ssib le ring) 이 라 함은 R 의 모든 등 멱원 e 에 대하여 Z(eRe)=eZ(R) 죽 환 eRe 의 중심은 eZ(R) 이 될 때를 뜻한다. 만일 R 의 등멱원 e 가 R의 모든 원소와 곱셈하에서 가환이면 Z(eRe)=eZ(R) 이 됨을 쉽게 알 수 있다. 따라서 환 R 의 모든 등 멱원이 Z(R) 의 원소 죽 센트럴 (cen tr al) 이면 R 은 항상 축소가능환이 된다. 그러므로 〈축소가능〉이라는 개념은 어떤 의미에서 환 R의 등멱 원의 센트럴리티 (centr al it y) 죽 등멱원이 어느 정도 R 의 중심 Z(R) 로부터 가깝게 놓여 있는가에 대한 척도가 된다. 본래 축소가능환의 개념은 연산자 대수에 사용될 수 있는 개념으로 S.K. Berber i an 〔底다에 의하여 처음 소개되었는데 Mori ta 불변성 (Mori ta inv ari an t p ro perty)을 만족하지 않는다는 것은 G.M . Berg- man[B2 〕예 의하여 밝혀졌다.

그러나 이러한 Ber gm an 의 결과에도 불구하고 다음의 사실을 밝힐 수가있다. 정리 3.3 . 1 R 이 가환환이면 모든 자연수 n 에 대하여 nx n 행렬 환 Ma t n(R) 은 축소가능환이 된다. 증명 A = Ma t n(R) 이라 하고 e 를 A 의 등멱원이라 하면 AeAn l(AeA) =O 이 된다. 단, 여기서 l(A eA ) 는 A 에서 AeA 의 좌측 애니힐레이터 이다. 행렬 e =(b u ) 라 하고 B=~buR , 죽 B 를 행렬 e=(bu) 의 원 소 bu 에 의하여 생성되어지는 R의 양측 아이디얼이라 하자. 한편 행렬 a 에 대하여 adj a 를 행렬 a 의 수반 행렬이라 하면 a(adj d) = (det a) ·1 이 됨을 알 수 있으며 특히 {3 a=O 일 경우 {3a (adj a ) =O 이 되고 따라서 /3 de ta =O 이 된다. 따라서 e(l-e) =O 으로부터 ed e t (1-e)=O 을 얻을 수 있으며 또한 이 경우에 B 의 어떤 원소 b 。 가 존재하여 de t (l-e)=l 一 bo 가 된다. 그러므로 e(l-b 。 )=O 죽 AeA (l -b 。) =0 이 됨을 알 수 있다. 이제 xEAeAn l(AeA) 라 하면 xEAeA 이므로 x(l-b 。) =0 이 되 고 따라서 x=xbo 가 된다. 한편 A=M야 (R) 이므로 bEB 에 대하여 스케일러 행렬 b·l 은 AeA 에 속하고 따라서 b 。 •lEAeA 가 된다. 그 런데 xEl(AeA) 이므로 xb 。 =0 이 되어서 x=O 이다. 따라서 AeA+ l(AeA) =AeA EB l(AeA) 가 된다. 더욱 나아가서 A=AeA ffi l(AeA) 가 된다. 실제로 e(l-e) =O 이 므로 e(l-e) adj( l-e) =O 이고 또한 (l-e) e=e de t (l-e )l =O 이 된다. 앞에서 이미 살펴본 바와 갇이 det( l -e) =l-bo 이고 boEB

이며, 또한 (1 ― b 。 )e=O 이므로 (l_b 사 lEZ(A) 이고 따라서 (l-b)•lEl(AeA) 가 된다. 그러므로 1 _ b 라 El(A eA ) 이다. 그런 데 b 。 ·lEAeA 이므로 lEA eA+ l(AeA) 가 되어서 A= A eA( ±) l(AeA) 임을 알 수 있다. 이제 AeA 와 l(AeA) 는 A 의 양측 아이디얼이므로 A 의 센트럴 등 멱원 p 즉 rp 2= rp이고 rp EZ(A) 인 rp가 존재하여· AeA = A

로 정의하면 AoP 는 또한 R 위에서 정의되는 대수가 된다. 이때 대 수 AoP 를 대수 A 의 반대대수 (o pp os it e al g ebra) 라 부른다. R이 가환환일 때 R- 대수 A 에 대하여 A·=A ® RAOP 도 R- 대수가 되는데 이때 Ae 를 A 의 피복대수 (envelo pi n g al g ebra) 라 부른다. Ae 의 원소 Za @ b i 와 A 의 원소 x 에 대하여 (~ai~ b ;)x=~aix b; I I 로 정의하면 A 는 좌측 Ae- 가군이 될 수 있다. R - 대수 A 가 분리가 능대수 (se p arable R-al g ebra) 라 함은 A 가 사영적인 좌측 Ae- 가군일 때를 뜻한다. 특히 분리가능 R - 대수 A 에서 Z(A)=R 일 경우에 A 를 Azumaya 대 수 (Azumay a alge b ra) 라 부른다. R- 대수 A 에서 다음의 함수 µ : A( 8)R A0P 一 A 2aig bi 一 2aib i 를 생각하면 분명히 µ는 Ae- 가군 준동형사상이 되며 또한 A 가 가환 이 아닌 경우에는 µ가 환의 준동형사상이 일반적으로 되지는 않는 다. 분리가능 R- 대수에 대하여 널리 알려져 있는 다음의 사실을 소개 하고자 한다. 정리 3.3 . 3 가환환 R 위에서 정의되는 R- 대수 A 에 대하여 다음 의 조건은 동치가 된다.

(1) A 는 분리가능 R- 대수이다. (2) Ae 의 좌측 아이디얼 L 이 존재하여 A 오가군으로서 L츠 A 이고 또한 Ae=Ker(µ) (B L 이 된다. (3) A 떡 등멱원 c 이 존재하여 µ(c)=l 이고 또한 Ae- 가군 A 의 모 든 원소 x 에 대하여 xc= c:x이다. 정리 3 . 3 . 3 의 (3) 에서 언급되는 등멱원 c 을 분리성 등멱원 (se p ara t­ ing ide mp ot e n t) 이 라 부른다. 분리가능 R_ 대수의 예를 들면 가환환 R 위에서 정의되는 nx n 행렬환 M아 (R) 은 분리가능 R- 대수이다. 정리 3 . 3 . 3 에 의하여 분 리성 등멱원을 구하면 되는데 실제로 j를 l 과 n 사이에 정해진 어떤 자연수라 하면 c= ~n eu® ej; EMatn ( R) e i= l 라 놓자. 단, 여기서 e iJ는 (i, j)원소는 1 이고 나머지는 모두 0 인 nXn 행렬이다. 이때 n n µ (s) = ~eij ej ; = ~eii = l i= l i= l 이고또한 n n ~ eu®ej;e 1r1 = e 서'8J ej 1 = ~ e1r,eu®eii i= l l=l 가 되어서 c 은 분리성 등멱원이 되어서 Ma t n(R) 은 분리가능 R- 대 수가된다.

분리가능 R- 대수의 또 다른 예로서는 G 를 유한군으로서 G 의 위 수 n 이 R 의 곱셈에서 역원을 가질 경우 군환 R [ 어 는 분리가능 R - 대수가 된다. 실제로 c = 낸흡C X - 1 리 라하면 µ (c) =凡곱 1)=1 이고또한 댑距國)=;(효y (x y)뿔 x y)=낸홉c yx 기러 이므로 c 은 역시 R[ 어의 분리가능 등멱원이 되어서 R[ 어는 분리 가능 R~ 대수가 된다. 정리 3.3 . 4 가환환 R 위의 Azurnay a 대수는 항상 축소가능환이 된다. 증명 A 를 가환환 R 위에서 정의되는 Azumay a 대수라 하면 Ae 칵 EndR(A) 이고 또한 A 는 유한생성인 사영적인 R- 가군이므로 따름정리 3.3 .2

에 의하여 A e 는 축소가능환이 된다. 또한 A 는 좌측 또는 우측 R- 가군으로서 A 의 어떤 부분 R - 가군 B 가 존재하여 A= R E BB 가된다. 이제 f를 A 의 등멱원이라면 f ® l 은 A e 의 등멱원이 되고 따라서 Z ( (/@ l ) Ae (/(8) 1) ) = (f~ l ) Z (Ac ) 가 되며, 아울러 Z (JA J ) ®R R 드JA! ® RR 이 된다. 그런데 A=R EB B 이므로 AoP 의 어떤 부분 R - 가군 C 가 존 재하여 A0P=R~ C 가되어서 !Af ® R R 탁~f ® RA0P 가 됨을 알 수 있다. 여기서 Z (JA J ) ® RR 의 모든 원소는 !Af ® R A0P 의 모든 원소와 곱셈하에서 교환 가능하고 따라서 z (fAf ) ®RR 드 Z (fA f®겁 OP) = Z ( (f®l ) Ae (f®l ) ) = (/(8)1) Z (A 이

가된다. 이때 t EZ (JA f)라면 t@ l = (f® l) (~ai@ bi) = ~fai@ bi 가 됨을 알 수 있다. 단, 여기서 ~a i ® b i든 Z(Ae) 이다. 사실 Ae 에 서 Endn(A) 로 대응하는 함수 0 즉, (8(~a;® bi) ) (c) =~aic bi 는 동형사상이 되며 이 경우에 0(~a;(8) b ;) EZ(EndR (A) ) 이다. 그러므로 0(2a i @ b, . ) 는 A 의 임의의 원소 a 에 대하여 a 에 의 하여 유도되는 좌측 곱함수 山 죽 aAEEndR(A) 로서 A 의 모든 원소 x 에 대하여 aA(x) =ax 와 우측 곱함수 a p와 교환 가능하게 된다. 그러므로 (O(~a;® 昴 • aA) (1) =0(~a;QS) b ;) (a) =~a;ab; 이고, 한편 (aA • 0 (Zai® b,·) ) (l) = a2aib i

이므로 A 의 모든 원소 a 에 대하여 ~a.-ab,=a(~a.-b,) 가 성립함을 알 수 있다. 이제 a p에 대하여 같은 방법으로 (2a,b,) a= 2a,a b 1 를 얻을 수 있으며 따라서 A 의 모든 원소 a 에 대하여 a (~aib i ) = (~a;b i) a 가 성립하게 된다. 그러므로 ~a;b;EZ(A) =R 이 된다. 따라서 t ® l=~ fa i ® b i이고 ~a i (8) b i EZ(A e ) 이므 로 0(t( 8 )1 ) (x) =tx이고 그러므로 A 의 모든 원소 x 에 대하여 0 (t(8) 1 } (x) = 0 (~fai® bi) (x) = ~fa ,x b 가 된다. 특히 x = l 일 경 우 에 t=f (~a i b i )E /Z (A) 이므로 A 는 축소가능환이 된다. 가환환 R 에 대하여 A 가 R- 대수일 경우 A 가 분리가능 R- 대수일 필요충분 조건은 A 가 가환환 Z (A) 위 에서 Azuma y a 대수이고 Z(A) 가 분리가능 R 대수이므로 정리 3.3 . 4 로부터 다음의 사실을 곧바로 얻을수 있다.

따름정리 3.3 . 5 가환환 R 위에서 정의되는 분리가능 R- 대수는 항상 축소가능환이 된다. 이미 앞에서 살펴본 바와 같이 R 이 가환환이고 유한군 G 의 위수 가 환 R 의 곱셈 아래서 가역이 될 때 군환 R 〔어는 항상 분리가능 R 대수가 되므로 따름정리 3 . 3 . 5 로부터 다음의 결과를 얻게 된다. 따름정리 3.3 . 6 R 이 가환환이고 유한군 G 의 위수가 환 R 의 곱 셈 아래서 가역일 때 군환 R 〔 어는 축소가능환이 된다. 군 G 의 위수가 R 에서 가역이 아닐 경우에는 군환 R 〔어는 축소 가능환이 되지 않는다. Moto s e[M ]oJ ] 의하여 K 를 윈소가 4 개인 체 라 할 때 군환 K[S4] 는 축소가능환이 되지 않는다는 사실이 밝혀졌 다. 축소가능환에 대하여 또 다른 홍미있는 결과는 다음과 같다. 정리 3.3 . 7 R 이 반소환이고 Q를 R의 극대 우측 분수환 (maxim a l rig h t quo ti en t ring)이라 할 때 Z(R) =Z( Q)이면 R 은 축소 가능환이 된다. 증명 . e 를 환 R 의 등멱원이라 하고 A=ReR 이라 하자. 또한 B 를 A 의 R 에서 우측 애니힐레이터 죽 B=rR(A) 라 하면 R 은 반소환이 므로 AnB=O 이고 또한 YR(A+B) =O 이 된다. 이제 t EZ(eRe) 라 하면 A+B 로부터 R 로 대웅하는 함수 f를 f(2 aje ci+ b) =2aJ cj

• 국대분수환의 자세한 정의는 제 6 장의 4 철을 참고하기 바란다.

와 같이 정의할 수 있다. 단, 여기서 a,, c, 든 A 이고 bEB 이다. 실제 로 만일 2a i ec1+b=0 이면 2a,ec,=0 이다. 또한 R 의 임의의 원소 r, s 에 대 하 여 (res) (2a,tc I ) = r (2esait c , ) = r(2te s a,ec,) = rte s (~a;ec;) =O 이므로 2a i t c,. eAnB=0 이 되어서 f는 함수로서 잘 정 의되어진다. 이제 ra(A+B) =O 이고 또한 /는 (R, R) － 양측 가군의 준동형사상이므로 Z( Q)의 어떤 원소 q가 존재하여 A + B 의 모든 원소 X 에 대하여 I(x) =qx 가 된다. 따라서 t= /(e) =q e 가 성립한 다. 주어진 가정에 의하여 Z( Q )=Z(R) 이므로 q EZ(R) 이고 따라 서 t EeZ(R) 이 되어서 Z(eRe) 드 eZ(R) 이 된다. 또한 eZ(R) 드 Z (eRe) 는 분명하므로 Z(eRe) =eZ(R) 이 성립되어서 R 은 축소가능 환이 된다. 정리 3 . 3 . 7 로부터 다음의 홍미있는 따름정리를 얻을 수 있다. 따름정리 3.3 . 8 (1) 입사적인 폰 노이만 정칙환은 항상 축소가능 환이다. (2) R 이 반소 P .I.환이고 Z(R) 이 입사적인 환이면 R 은 축소가능 환이 된다. 증명 (1) 환 R 을 입사적인 폰 노이만 정칙환이라면 R 은 분명히 반소환이고 또한 R= Q이다. 따라서 정리 3.3 . 7 에 의하여 R 은 축소 가능환이 된다. (2) R 이 반소 P .I환이면 Z(Q ) =Q (Z(R) ）이다. 그런데 Z(R) 은 입사적인 환이 되므로 Q (Z(R))=Z(R) 이고 따라서 Z( Q )=Z(R) 이 되므로 정리 3 . 3 . 7 에 의하여 R 은 축소가능환이 된다. 환 R 이 간소화된 환 (reduced ring)이라 함은 R 에는 0 이의의 멱영

원 (nilp o t e n t element) 이 존재 하지 않을 경 우를 말한다. R 이 간소화된 환일 경우에는 모든 등멱원은 항상 센트럴이라는 사실은 잘 알려져 있는 사실이므로 간소화된 환 R 은 분명히 축소가능환이 된다. 간소 화된 환 R 에서는 x 가 R 의 원소이고 n 이 어떤 자연수로서 xn=o 이 면 r=O 이 된다. 이제 환 R이 멱영지수(i ndex of nilp o te n cy) N 을 가 진다 함은 R 의 원소 x 와 어떤 자연수 k 에 대하여 갔 =0 이면 xN=O 이 될 때를 말한다. 따라서 멱영지수가 1 인 환은 바로 간소화된 환을 뜻하게 된다. 간소화된 환은 항상 축소가능환이 되므로 〈멱영지수가 유한인 자연수 N 을 갖는 환은 축소가능환이 될 수 있는가〉하는 문제 는 홍미있는 문제가 될 수 있다. 그러나 다음의 예에서 축소가능하지 않는 폰 노이만 정칙 P .I.환이 존재할 수 있게 되어서 멱영지수가 유한인 환은 축소가능환이 될 수 없다. 왜냐하면 폰 노이만 정칙 P .I . 환은 항상 유한인 멱영지수를 가 지기 때문이다. 예 3. 3. 9 K 를 체라 하고 A = {(aCnn dbnnl)n..= I an, bn, Cn, dnEK 이고 an, bn, Cn, dn 은 유한개의 항을 제의하고는 모두 0 이 된다} 라 놓자. 이제 IIMa t 2(K) 의 부분환으로서 R=A+K· 1 이라 하면 R 은 폰 노이만 정칙 P .I.환이 된다. 그러나 이 경우에

e= { G >(; >··· ···} 는 환 R의 등멱원이 되지만 Z(eRe ) *eZ(R) 이므로 R 은 축소가능 환이 되지 않는다. 3 . 4 축소가능 군환 (Comp re ssib l e Group Rin g s ) 이제 앞 철에서 살펴본 축소가능환에 대한 여러 성질을 이용하여 이 절에서는 축소가능 군환에 대하여 조사해 보기로 한다. 보조정리 3.4 . l 가환환 R 의 유한생성되는 아이디얼 I 가 J 2 =J이 면 R 의 어떤 등멱원 e 가 존재하여 I = eR 이 된다. 보조정리 3.4 . 2 R이 가환환이고 G 가 유한군으로서 G 의 위수가 R 의 곱셈 아래서 가역일 경우 G 의 비틀립군환(t w i s t ed grou p rin g ) Rt[어는 분리가능 R - 대수가 된다. 증명 G 의 위수를 n 이라 하고 R t [ G] ® RR1 [ G]0P 의 원소로서 e= 上n 2c 釋 X - l 라 하면 e 는 R t[어 ® RR t〔어 OP 의 등멱원이고 또한 µ (e) =µ(;정 釋 굿 - 1)=: 홍 X 戶 -1=l

이 된다. 이제 G 의 어떤 한 원소 Xo 에 대하여 Uo® l )e= (굿 & 1)( 上n 2c 釋 굿 -1)= 上11 2C 타 翼 =~n~c y(X o, X) 교 ® 굿 -1 ;걷y (Xo, X) 죠 ® Y(x - 1, x)-I 尸 =;걷 r(xo, x) r(x-1, x)-1 죠 ® 尸……… (a) 가 된다. 한편 (l ® 료) = (1 麟)(+z11 ~G k® r(k-1, k)-1P 굿。) =+n-~cr (k-1, k)-1r(k-1, Xo) k® ~ ………(~) 가된다. 이때 (a) 에 xoX=k 라 놓으면 x=xo1k 이고 따라서 (굿。 ® l) e= 上n ~cr (xo, x) r(x-1, x)-l 죠®? =:임 r(xo, Xo1k) r(k-1Xo, Xo1k)-lk®l ?x; 임을 알 수 있다. 그런데 y (k-1 , Xo) r (k-1Xo, Xo1k) = r (k-1, k) r (xo, Xo1k)

이므로 y(k-1 , k)-1r(k-1, Xo) = r(xo, x~1k) r(k-1Xo, Xo-1k)- 1 가 된다. 그러므로 G 의 모든 원소 X o 에 대하여 (Xo® l) e= (l ® 굶) e 가 되어서 e 는 RI 〔어 ® aR t [G]oP 의 분리성 등멱원이 되어서 Rt [ G ] 는 분리가능 R- 대수가 된다. 군 G 가 다중 순환군 (po lyc y c l ic grou p ) 이 라 함은 G 의 부분 정 규열 (subnormal seri es ) 죽 1 =G oL1G1L1~L1… … L 1Gn =G 가 존재하여 모든 i= O.1, 2, …, n-l 에 대하여 G;+1/G; 가 순환군이 될 경우를 말한다. 또한 군 G 가 유한에 의 한 다중 순환군 (po lyc y c l ic -by -finite gr ou p)이라 함은 G 의 어떤 부분군 H 가 있어서 H 는 G 에 서 유한지수를 갖고 H 가 다중 순환군이 될 경우를 뜻한다. 군환에 대하여 잘 알려져 있는 사실로는 K 가 체이고 군 G 가 유한 에 의한 다중 순환군이면 군환 · K[ 어는 항상 좌측 그리고 우측 Noe th er 환이 된다. 보조정리 3.4 . 3 환 R 이 환 S 의 부분환이고 R 과 S 의 단위원이 같다고 하자. 이때 환 S 가 좌측 그리고 우측 R- 가군으로서 유한생 성인 자유가군(fr ee module) 이면 S®RQ ( R) ~Q (S) 이다. 단, 여기서 Q( ）는 환의 극대 우측 분수환이다.

증명 [ Lorn ] 을 참고하기 바란다. K 가 체이고 A 가 K - 대수일 때 체 K 의 임의의 확대체 F 에 대하 여 A ® KF 의 Jac obson 래디컬이 0 일 경우 K - 대수 A 를 고전적인 분 리가능 대수 (class icall y sep ar able al g ebra) 라 부른다. 잘 알려진 사실로 는 K 가 체일 때 분리가능 K - 대수는 K 위에서 유한 차원 벡터공간 이고 또한 고전적인 분리가능 K - 대수가 된다. 보조정리 3. 4 . 4 K 를 대수적으로 닫혀 있는 체 (al g ebra icall y dosed fi eld) 로서 표수가 p > O 이고 G 를 군이라 하자. 이 경우에 G 의 어떤 유한군 H가 있어서 P II H| 이고 N=Nc ( H) 는 G 의 정규 부분 군이 며 또한 G I N 은 국소적 인 유한 (loc ally finite) 일 때 비 틀림 군환 R t 〔 어의 Jac obson 래디컬 J (R I[ 어)는 0 이 아니다. 증명 〔 Pra ] 을 참고하기 바란다. 이제 이와 같은 앞의 보조정리로부터 다음의 결과를 밝힐 수 있다. 정리 3. 4 . 5* K[G] 를 체 K 위에서 군 G 의 반 소군환이라 하자. 이때 G 가 유한 생성되고 또한 유한 공액군(f .c. gr ou p)이면 군환 K[ 어는 Azumaya 대수아다. 증명 G 가 유한 생성되는 유한 공액군이므로 G 의 중심 Z(G) 의 부분군 Z 가 존재하여 Z 는 토전프리 가환군이고 Z 는 G 에서 유한 지 수를 가지는 정규 부분군이 된다. 따라서 Z 는 다중 순환군이 되므로

• 반소군환의 자세한 성질에 대하여는 제 4 장 3 철을 참고하기 바란다.

G 는 유한에 의한 다중 순환군이 되어서 군환 K 〔 어는 우측 Noe th er 환이 된다. 이제 K [ G] 는 반소 Noe ther 환이므로 정리 2. 1. 17 즉 Goldie 정 리에 의하여 K[ 어의 고전적인 우측 분수환 Q (K [ 어)는 Ar ti n 환이 되고 또한 J acobson 래디컬은 0 이 된다. 또한 이때 Q (K [ G ] ) 는 K[G] 의 극대 우측 분수환이 된다. 한편 G 의 부분군 Z 에 대하여 군 Z 의 원소는 군 G 의 모든 원소와 가환이므로 제 1 장 3 절에서 살펴본 바와 같이 군환 K[G] 는 군환 K[ 어위에서 군 G / Z 의 비틀립군환 (twist ed grou p ring ) 이 된다. 즉 K[ 어 =K[Z 〕 t〔 G 따 가 됨을 알 수 있다. 여기서 K[Z 〕는 가환인 정역이 되는데 이제 F 를 K[Z 펴 분수체 라 하면 F t〔이 Z ］는 K[Z] t [G/Z 〕로부터 자연스럽게 정의될 수 있 으며 또한 보조정리 3 . 4 . 3 에 의하여 Q( K[G]) =Ft[ G/Z] 가된다. 이제 Q (K[ 어)는 Arti n 환이고 J acobson 래디컬이 0 이므로 Wedderburn-A rti n 정 리 [정 리 2 . 1 . 8 참고] 에 의 하여 어 떤 자연수 廊 n2, …, nk 와 디비전 환 D1, Dz, …, Dk 가 존재하여 Q( K[G]) =F1[G/Z] 킥 1a tn, W1)EB .. ·EBMatn . (D k ) 가 된다. 그런데 여기서 |G/Zl

여 기 서 F 를 F의 대 수적 폐 포체 (alge b raic closure) 라 하면 F@ F F1 [ G! Z] = F1 [이 Z 〕 힉3 k:: ) (F@ F Matn , ( D;) ) i= I = EhB M atn , (F@ F Di ) i= l 이고, 또한 D,는 F 위에서 유한 차원이 되므로 F ® FD i도 F 위에서 유한 차원이 된다. 이때 D i는 F 위에서 고전적인 분리가능 대수이 므로 F ® FD, 도 F 위에서 고전적인 분리가능 대수가 되어 F[G/Z] 의 J acobson 래디컬은 0 이 된다. 따라서 보조정리 3 . 4 . 4 에 의하여 IG / ZI 는 F 의 곱셈에 대하여 역수를 가지게 되므로 |G/ZI 는 또한 K [ Z 겨 곱셈에 대하여 역수를 갖게 된다. 그러므로 보조정리 3.4.2 에 의하여 K 〔 이＝ K 〔 Z]'[G/Z] 는 분리가능 ． K 〔 Z]- 대수가 된다. 따 라서 K[G ] 는 Z(K[G]) 위에서 Azumaya 대수가 된다. 이제 이와 같은 결과를 이용하여 체 위에서의 모든 반소군환은 축 소가능환이 됨을 다음의 결과에서 밝힐 수 있게 된다. 정리 3.4 . 6 K 〔이를 체 K 위에서 군 G 의 반소군환이라 하면 모 든 자연수 n 에 대하여 nXn 행렬환 M야 (K[ 어)는 축소가능환이 된다. 특히 반소군환이 되는 K[G] 는 항상 축소가능 군환이 된다. 증명 이제 S=M야 (K[G] ）라 하면 S=Matn ( K) 〔 G] 로 놓을 수 있다. 군 G 의 유한공액군(f .c. grou p) L1(G) 는 G 의 정규 부분군이므 로 S=M야 (K) [G] 는 제 1 장 3 철에서 살펴본 바와 같이 환 R= Matn ( K) [LJ( G)] 위 에서 군 G/ LJ (G) 의 교차적, 죽

S=R * (G/ lL(G) ) ���. ��0�� t� � {g ; } ;e / |� p� G ��� ����p� Ll(G) X� ��� �Ť� �� !� �Ҝ��„�$�t�|� �X� E |� X� S X� q��t��|�� X�Ր. t�� tEZE E()S