키口 여0 더기 캘리포니 아 ( 버클리 ) 주립대학에서 이 학사와 이학박사 학위를 받았다 . 1 963 년 이 래로 서 강대학교 이공대학 물리학과교수로있다. 논문 『 핵의 쿨롱 들에 서 광자로 파이 쌍을지 어 내기 』 저서 『 양자물리학 첫길 』 역서 『 춤추는 물리 』 등이 있다.

양자 전기역학

양자 전기역학

18~?8

책 머리에 그동안에 대학원 과정에서 가르쳐 오던 양자 전기역학을 책으로 엮 어 봤다. 이 양자 전기역학은 이론 물리에서 가장 큰 성공을 거둔 분 야아며 이 를 본삼아 양자 색역학과 양자 향역학이 이룩되었고, 이 또 한 센 힘과 여린 힘을 이해하는 데 요건한 구실을 하고 있다. 또 양 자 전기역학은 입자 물리의 기본이 될 뿐 아니라 둘 이론의 기초로서 양자 광학이나 고체 이론의 전개에도 매우 아쉬우며 따라서 그 기초 를 이 분야의 학생도 알아 둘 필요가 있겠다. 이런 사실을 감안하여 이 책에서는 양자 전기역학의 기본만을 추려 그 대략을 살피면서 입자 이론을 공부하는 학도들뿐 아니라 인접 분 야의 학도들도 아울러 이용할 수 있도록 꾸며 봤다. 그래서 여기에서 는 상대성 이론이란 예비에서 시작하여 디랙 방정식을 이끌어낸 다음 에 여느 정통 양자화 방법으로 들의 양자화를 살폈다. 이 수식론은 그대로 여러 가지 기본 입자의 전기역학 과정에 응용했다. 후반에서 는 이 이론이 이론다울 근거를 다자기 위하여 대중되잡는 문제를 다 루었으며 나아가서 길 적분을 통하여도 이 이론의 수식론을 살핌으로 써 양자 색역학과 아울러 양자 향역학에 이르는 길잡이 구실도 할 수 있도록 하였다. 마지막으로 이 책을 엮는 데 힘준 점 하나는 영어 용어를 쉬운 우 리말로 옮기려고 애쓴 일인데, 이 말들이 널리 쓰이기를 바란다. 1990 년 9 월 저자

양자 전기역학

제4장 파인만 도식 73

8.2 섭동 전개 152

제 1 장 상대성 이론과 파동 방정식 1.1 상대성 이론의 기본 상대성 양자 전기역학이란 이론은 상대성 이론과 양자 이론을 기초 로 하는 전자기 이론이다. 따라서 우선 상대성 이론의 기초와 그 쓰 임새를 훑어보기로 한다. 여러분은 이미 특수 상대성 이론을 알고 있 는 것으로 치고, 여기서는 그 기초와 기호를 다짐만 한다. 4 차원 시공간에서 두 점 (x, Y, z, t)와 (x+dx, y+ dy, z+dz, t+ dt) 사이 의 거 리 ds 는 다음과 같은 Lorentz 불변한 꼴로 주어 진다. ds2= c2d t드 (dx2+dy 2+ 썩) (1.1) 이제 계량 텐서 gµ 11 는 편리상 다음과 갇은 대각꼴 행렬로 잡는다.

(1l0\0 000 100010\0010 1) gpI I = + t� Ĭɷ P��|� h��

Tmn= gm ,.gn lT lt l= g m,.T:= g먀 T: (1.6) 등과 갇다. 두 4 차원 벡터 An 와 Bm 가 있을 때 그 스칼라 곱은 A •B = AnB = AnBn = AJ 3mJJnm = AnB'gn . . (1.7) 과같다. 연산 벡터 런나 8 는 다음과 갇이 주어진다. an= 훑= (a,, qz, ih, a,) =(:' : 玉 곱 )=(v, 남) (1.8) 이 에 따른 달람버션 (D'Alembert ian ) 연산자는 8· a= an 정 = gm nam 정 =g mnaman= 훑 2-v2 (1.9) 와같다. 입자의 4 차원 에너지 ―운동량 벡터는 JI'=(\, 흥), pp.= (-1, 훈) (1.10 ) 이며, 그 불변량은 p2= p %=—EC2 z -P-·P-=m2c 2 (1.11 )

와 같으며, c=l 로 놓으면 p2= E2_12= m2 (1.12 ) 로 주어진다. 1.2 로렌츠 변환 일반으로 XµXµ 값이 불변한 1 차 실수 변환을 Lorentz 변환이 라고 부른다. 그 일반스런 무리 L 안에 있는 행렬 M 이 있어서 벡터 x 를 X’ 으로 바꾼다면, x'=Mx (1.13 ) 이고, 이 M 이 로렌츠 변환일 때 Mg M =g (1.14 ) 가 필요, 충분한 조건인 것이다. 여기서 M 는 M 의 전위 (tra nspo s e) 이고 g는 gm n 의 행렬꼴이다. M 이 L 안에 들어 있다면 社 역시 L 안에 들어 있게 마련이며 Mg M =g (1.15 ) 이기도 한 것이다. 이 두 조건에서 M 에는 네 가지가 있는 것을 알 수 있는바, M 의

행렬식 det( M ) 값은 士 1 인 두 가지가 있고 d1 ,, M `‘I = (1Mu晶M \ 如如晶 laM止M \1) aa

(0—00O000\0 \ll0—00 00 0 ( 0|0_0011\o00 0\o0|0 |o _0o /( |O1\l000 0000u0001 \ 90'`0 i\ \0 _ l/ Sl = l/., 52= ., sl = 이들 사이 에는 다음과 같은 맞바꾸미 (commuta t o r ) 식 이 성 립 한 다. [ Ta, T,] = ca~ 놉 [ Ta, S,] = -C a flTT r ( 1.20 ) [Sa, S,] = -c anS1 이제 미소한 변환을 잡아서 (1.1 8) 식과 (1.1 6) 식에서 MMLL==l~I+oo8mu··TS (1.21 ) 의 경우를 보면, 이들의 유한 변환은 각각 L(u) =exp [A n • T] (1.22 ) R (fh ; 0) =ex p[一 Bfh • 강] 와 갇음을 알 수 있다. 여기서 允=브u- 이고 s i nhA=u/ 八=;%]다. 는 이r R·( u允=;o O 이) 는면 단이위 속 벡도터 ； 로佑 둘생레기로는 L0 만or큼en tz돌 리변는환 을변 환나을타,낸 다L.( u) 다음관계

((nm • •T 강)3 )3== (-n (•m T •) 강 ) (1.23 ) 룰 이용하면 (1. 22) 식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. RL @(分 ;) O=) [=I [ - l(+n (• nr •) 정 기) +기 (-n( •n T •) 강2c )o2scho sA8+- ((nn •• T정)) ssininh e A (1.24 ) 이 기호 대신에 다음과 같은 꼴로 이들 변환을 나타내면 편리하다. 7=_i 5 ; R= _ i T (1.25 ) 이에 따른 맞바꾸미 식은 다음과 갇다. [Ja, Jd = i ca{J T J T 따 K/J ]= —iCa ,TlT (1.26 ) [Ka, ffl] =i ca /J1 K T 이 낳으미 (g enera t or) 를 쓰면, R( 允; 8) 와 L(; ）은 각각 다음과 같다. R(m; 8) =exp [-i8m • 7] ; (m)2=1 L(u)=ex p[패町 ; 分=:,’ s i nhA= 志 (1.27 ) 더 나아가서 4 차원의 꼴로 이들 낳으미를 다시 적어 보면

Mmn=-Mnm M14=K1, M24=K2, M34=K3 (1.28 ) Ml2=]3, M23=]1, M3'=] i 와 갇이 표기할 때 맞바꾸미 식은 [Mm, Mp q] = i{gm qM nP+g PMmq _gm PMnq _gnq M mP} (1.29 ) 이 된다. 이 기호로 로렌츠 변환을 적으면 L=exp (-iyAm nMmn/2) (1.30 ) 이다. 여기서 y는 실수이고, A 는 반대칭한 텐서이다. 이제까지는 한결 갇은 (homo g eneous) 로렌츠 변환을 살폈는바 이 와 아울러 변위 변환 D(y) =exp (iy • 下)를 알아본다. 이 변환으로 입자의 자리 갔’는 y M 만큼 드티어지게 된다. 연산자 p m 은 다음과 갇은 맞바꾸미를 갖는다. [pm , p기 =o [Mmn1 p이 = -i[gmk p n _ g nk p가 (1.31 ) 1.3 스칼라 들 (F i eld) 과 벡터 들의 로렌츠 변환 (1. 31) 식의 나툼 (re p resen t a ti on) 은 미분 연산자로 표시하면

Pm = —i om = -i-.f xam (1.32 ) Lmn=xmp n- xnp m 이다. 다만 Mmn=L m n 이다. 이제 1Jf (x) 라는 스칼라 들이 있다고 하 자. 이 스칼라 들에 연산 D( y)를 해 주면, y n 만큼 변위가 생긴다. 곧 1/fo (x) =D (y) 1/f(x ) =exp (iy • p) 1/f(x ) = 1/f( x-y) (1.33 ) 한편 로렌츠 변환을 해 주면, 麟) =ex p(-강iyA 나 mn) l/f (x) = 1/f( M- 1x ) (1.34 ) 를 얻는다. 여기서 y는 실수이고 A 는 실수 성분을 가진 반대칭 텐 서이다. 이제 Smn 이 (1.1 9) 식, (1.25) 식, (1.2 8) 식에서 주어진 Mmn 의 한 특정 연산자라고 하고, Lmn 은 (1. 32) 식과 같을 때 Lmn +s m n = Jmn (1.35 ) 로 정의되는 J mn 은 역시 (1. 29) 식과 (1. 32) 식과 같은 맞바꿈이 식을 채운다. 따라서 J mn 은 변위를 나타내는 병진 변환을 내포하는 로렌 츠 무리의 새로운 나툼을 준다. 따라서 vm(x) 가 벡터 들이라면, 위 로렌츠 변환을 해 줄 때 새로 생기는 들은 Vi (x) = exp ( 검iyA ,,. J mn) V (x) ( 1.36 )

인바, 성분으로 보면 Vt (x ) =M:vn(M-1x) (1.37 ) 와 같으며, 연산 Smn 은 벡터의 성분에 걷리며, 연산 Lmn 은 변수 x 、 에 걸리게 된다. 1.4 디랙 방정식과 스피너 스핀이 ½인 입자의 상대스런 운동은 Dir a c 방정식으로 나타내는 바 이에는 Lorentz 무리 (grou p ) 아래 스피너가 갖는 변환 성질을 알 아야 한다. 스피너를 밝히기에 앞서 SU(2) 무리를 살펴보기로 한 다. SU(2) 무리는 행렬값 (de t erm i nan t)이 하나이고 아울러 하나로운 2X2 행렬로 이루어진다. 이들 행렬 U 는 다음과 같다. u=(: :) (1.38 ) 여기서 UU+=l, det U=l 이제 U 는 하나로우며, 그 행렬값이 하나이므로 ( :: ~: )=( _: -: ) (1.39 )

이어야 하므로 a*=d, b*=-c 이며, det U= I a I 2+ I b I 2 가 되므 로 u=( _;. :. ), I a I 2+ I b I 2=1 (1.40 ) 이다. 이 행렬은 2 차원 복소 공간에서 바탕 스피너 (basis spi no r) g=나)의 변환을 나타내는 행렬로 볼 수 있는 것이다. 이에 따라서 위 바탕 스피너 E=( :; )는 U 변환을 하면 E 一 UE, E+-eu+ (1.41 ) 이다. 이 때 다음 값은 불변이다. g넛= | ~I I 싸 I e2 I 2 한편, 룬=( )2!1•1 2 I ::~12 ) 一 澤 u+ (1.42 ) 와 갇다. (1 .4 1) 식에서 보다시피 E 와 g+는 u· 아래 다르게 변환하나, (정)는 E 과 마찬가지로 변환하는바, 따라서 紹~(:)(-戶) =(걸널) (1.43 )

와 같이 변환하며, 이 행렬을 -H 라고 적으면 SU(2) 아래 H —---+ UHU+ ( 1.4 4) 와 갇이 바뀜을 볼 수 있다. 이런 H 의 한보기로 h=7·7=(x Z+ iy x——z i y) (1.4 5) 롤 들 수가 있는바, 7는 Pauli 행렬이다. 곧 s =l (I0\` 11\, ’ 0더 : -;.), 나 _1°) (1.46 ) 이 --; • ---;은 SU (2) 변환 아래 에 르밋 (hermi tian ) 하며 , 그 자국값 (t race) 이 0 이다. det( a • r) 값은 불변이어서, 간+y '2+ 간=났+y 2+ 궁 ( 1.47 ) 임을 바로 알 수 있다. h 를 하나로운 변환 U 로 바꿔 줌으로써 위치 벡터 7 에는 회전 변환이 일어남을 볼 수 있다. 따라서 스피너 ( :: ) 를 바꿔 주는 SU(2) 변환은 위치 벡터 7 를 바꿔 주는 0(3) 변환에 맞먹는다. 다만 위치 벡터의 각 성분과 스피너 성분 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

x=½( 注 e?), y당 (e?+e1), z=e1e2 (1.48 ) 일반으로 위 두 변환 사이에는 다음과 같은 대응이 있다. U=e 러 =cos2o- + 1.-6 • 8~ s.in 2e- Q R=eiJ ·0 (1.49 ) 위 꼴에서 알 수 있듯이 이 둘 사이 에는 그 원소 사이 에 2 대 l 의 떠베낌 (ma ppi n g)이 있다. SU(2) 무리와 0(3) 무리 사이에 대응이 있듯이, SL(2, C) 무리 와 로렌츠 무리 사이에도 대웅 관계가 있다. 이 대웅 관계로부터 Dira c 식 을 알아내고자 한다. 상대 속도 v 로 x 축을 따라 움직 이 는 두 기 준틀 (fram e of refe r- ence) 사이에는 다음과 같은 로렌츠 변환이 있다. /'l!댔 \ —/'lC! _oS.sh_l¢ n\h¢s in h ¢ O0O\ 0l0(00 X|l\ IX\12x 3)x —Xxv 간 |l\/ = 。co。sh¢ )_ _ (1.50 ) 갔。 。 여기서 x0=ct, r= (1 군 /c 난 =cosh ip, {]=꿉 (1.51 ) 이 로렌츠 변환 아래 스피너의 변환에는 두 가지가 있다. 첫째 꼴 : (½, o) :7(강 )=子, 詞)＝효 /2

이제 이같은 스피너를 t라고 하자. 회전과 로렌츠 변환의 매개수 를 각각 (0, 1) 라고 할 때 E 는 다음과 같이 바뀐다. g➔ ex p(급 .7 J+: 구 )~=M~ (1.52 ) 둘째 꼴 : (o, 산 :7 庫f' ]?({-) = if 이같은 스피너를 n 로 놓을 때, 그 변환은 7J - ex p[급 · (右澤)]1J =N1 J (1.53 ) 과 같다. 이 두 로렌츠 나툼 (re p resen t a ti on) 은 한 가지가 아닌바 N=SMs-1 를 주는 행렬 S 가 없다. 사실 이둘 둘을 맺는 관계는 N=!M*~1 ; != 규(J2 (1.54 ) 로주어진다. 여기서 이들 행렬값은 l 이므로, M 과 N 은 2X2 복소 행렬이며, SL(2, C) 무리를 이룬다. 이들은 여섯 개의 독립된 매개수인바, 세 회전 각도와 로렌츠 변환 속도의 세 성분으로 주어진다. 이들 두 가 지 스피너 사이의 관계식이 바로 Dira c 식인 것이다. 곧 홀짝 (pa ri ty) 연산 아래 (j, 0) 나툼과 (0, j) 나툼은 서로 맞바뀌며, g와 n 가 이 연산 아래 맞바뀌므로 이 연산과 아울러 로렌츠 변환을 따질 때는 E 와 n 를 아울러 지니는 내 성분 스피너를 이용해야 한다. 곧

네 성분 스피너 1Jf를 lJf= I 1E\\|n )' (1.5 5 ) 로 도입하면 로렌츠 변환 아래 다음과 갇이 바뀐다. (:) 극 ( e 강 6 u - I¢) e{6·(0 마) ) ( : ) =(D;A) 万 ~A)) (!) (1.56 ) 다만 万 (A)= gD *(A) g -1 이며 여기서 t는 따 -;) (U7) 와 갇으며, A 는 로렌츠 변환이다. 홀짝 연산 아래 1/f은 다음과 같이 바뀐다. (: )一 (: ;) ( :) (1.58 ) 이 네 성분 스피너는 홀짝 연산을 더한 로렌츠 무리의 못 줄일 (irre duci bl e) 나툼이다. 이제 0=0 인 로렌츠 부추김 (boost) 연산의 경우에 국한하여 (1.56) 식을 자세히 살펴보기로 한다. 그리고 !, 1J

대신에 ¢R, ¢L 로 적기로 한다. 여기서 나중에 더 살피지만, R, L 은 각각 바른손인가 왼손인가를 나타낸다. 곧 로렌츠 부추김 아래 'PR - e½< f• ~'PR = [cosh( 운) +--; • 回 s i曲(운)] 'PR ( 1.59 ) 01 다. 이제 처음 ¢R(O) 는 가만히 있는 입자의 상태라 하고, 부추긴 뒤 얻은 운동량이 下라면 정의에 따라서 cosh( 운) = [ (r+ 1) /2]½, sin h (f) = 〔 (r-1)/2 社 ( 1.60 ) 이므로, (1.5 9) 식에서 紀下) =[ ( 丁 )½료 • p(平 )\¢R (O) 가 된다. 입자가 지닌 에너지가 E, 질량이 m 이라면 r=E/m(c=l) 이므로 위 식은 硏下) = E[2+mm(E++ 6m’ •) ]pt1’ ¢ R(O) (1.61 ) 이며 마찬가지로

. , 紀下) = E+m 一 6 • p마 5L(O) ( 1.62 ) [2m(E+m)] 万 를 얻는다. 가만히 있는 상태에서 ¢R(O) 는 ¢L(O) 와 같게 되며, 위의 (1. 61) 식과 (1. 62) 식으로부터 ¢R (一 p ) = E+6m 규; ¢L (一 p ) 'PL ( 一P ) =E~-m

r。 =( I0\` lO l )= r°CR, rl=( °6' _0( J' )= rfR ( 1.6 7) 라고 하면 (1. 65) 식은 다음과 같다. (r0E+ rip ; -m) lJl(p) =O ( 1.6 8) 곧

1.5 디랙 식과 7- 행렬 좌표 공간에서 Dir a c 식을 다시 적어 보자. (1. 69) 식에서 PM 대신 에 i aM 를 적으면 디음과 같다. (irµ aµ-m) l[f=O (1.72 ) 이것은 1 차 미분 방정식이다. 이제 i rµaµ 를 곱해 보면 [-

{rµ, r11}=2 g四 ( 1.7 4) 이어야 한다. 이것을 각 성분에 따라 적어 보면 다음과 같다. (ro)2=l, (ri) 2 =— 1, rµrv=— rvr µ(11:/=-µ) (1.75 ) Dir a c 스피너는 네 성분을 가진 열 벡터 인바 切= ( 1/fi, lfl2, If½, lJJ.) 이 맵의 에르밋 (herm iti an) 켤레는 열 벡터이며 W+=( 巫*' lfl2*, 炳• , 野)이다. 이 열 벡터에 ro 를 곱하여 딸림 (adjo i n t ) 스피너 酉널- 다 음 같이 정의한다. 華= 1Jl+ ro ( 1.76 ) Y- 행렬의 성질과 Dira c 식에서 이 河玉는 다음 식을 채운다. W( i r 며 µ+m) =O (1.7 7) 여기서 화살표 C 는 왼쪽으로 연산이 걸림을 뜻한다. Dira c 식을 이용하면 흐름 F 는 jµ= Wrµ1 fl (1.78 ) 이며, 이 값은 보존이 됨을 알 수 있고, J1)= 阮셋 1Jf= 1Jf+ 1Jf= I 1Pi I 2+ I Wz I 나 I lffa I 2+ I ~ I 2 이어서 J쟈는 양스럽고(p os iti ve) 확률 밀도를 나타냄울 본다. 또한,

가만히 있는 상태에서 Dir a c 입자는 다음 식을 채운다. r0Po 1/f =m 1/f (1.79 ) 곧

= ¢it¢R -¢k¢L 은 로렌츠 변환 아래 불변하나, 홀짝값(p ar ity)이 바뀌면, 그 부호가 바뀌 며 이 수량은 개 스칼라 (ps eudoscalar) 인 것 이 다. 한편 阮yµ l[f 는 그 시간 성분과 공간 성분이 또는 공간 회전 곧 (0-= t-O , r/J =O) 일 때 각각 불변, 벡터 회전을 하며, 그 홀짝값도 시간 성분은 불변, 공 간 성분은 부호가 바뀌는 것이다. 따라서 Wrµ lJf는 벡터와 갇이 행 세하면, 마찬가지 식으로 Wrµr5 l/f는 개 벡터 같고, 面 (rµY I/ _Y I/ Yµ) l[f는 반대칭 텐서와 같다. 이제 Dira c 입자의 일반스런 상태 를 이른바 손진 상태 (chir a l sta t e ) , 곧 戶의 고유 상태 R, ,PL 7} 아닌 다론 표준 나툼으로 구해 본다• 정지 상태에서 Dir a c 식의 평면파 풀이는 다음과 간다. 11J[ll ((xx )) ==u u<01..22 >J (( 00)) ee+-iiml ll tt 음양 에에 너너 지지 상상태태 (1.82 ) 여 기 서 두 스피 너 u(I,2) (0) 와 u(I,2) (0) 는 각각 u(1)(O) =( i ), u(2)(O) =( ; ), v(1)(O) =( : ), v(2)(O) =( ; ) (1.83 ) 이다. r- 행렬은 필요에 따른 여러 가지 나툼이 있으며, 여기서는 표준 나툼을 이용하면 편리하다. 표준 나툼에서 ro 는

(l_0_0O\0 lO0 0O0 \l00|_0 1/ v。' = = v0' Rs (1.84 ) 또는 줄인 꼴로 잡=( ; _ol) 로 적는다. 위 두 나툼은 서로 다음 관계가 있다. r~R=sr~Rs-1 ( 1.85 ) 다만 s= —l# /'|_l\ l l1\|'I) (1.86 ) 따라서 표준 나툼에서 본 스피너는 다음과 갇다. 1/l= S( :: )=¾ (: :~:: ) (1.87 } 로렌츠 부추김 (boos t)을 표준 나툼으로 적으면 MXR =S McaS-1

玉 」 )(e½:·P e: .. ,)吉(: ]) ( aco s·h (n 운s )i n h( 운) 7 • 8 cso i nshh(( 운운)) ) ( 1.88 ) 다만 cosh( 운 )=(E2:까 , s i nh 信 )=(E2一 m 까 (1.89 ) tan h ( ¢/2) = p/ (E + m) 곧

u(a) (p) u(a') (p) = 8aa' v

am 균 =a • r=I i Tr /11 ·… …… .. lin= O, 여기서 n 은 홀수임. Tr ( /ibl li) = -T r (b/illi ) +Z a • bTr (l/1) 1.6 맥스웰 식과 프로카 식 질량이 없고 스핀이 1 인 광자 갇은 입자를 다루는 식이 맥스웰 식 이며, 스핀은 1 이되 질량을 가진 위콘 입자 (weak boson) 등을 다루 는 식이 프로카 식이다. 이제부터는 편의상 계량 gµ v 를 (一－一+)에 서 (+---）로 바꾸자. 아다시피 맥스웰 식은 (-4 갑 ;=a= 了訂인 단위계에서 다음과 같은 4- 벡터 퍼텐셜 Aµ 를 도입하면, Aµ= (

AP 나 F21 + ihF a1 =p, 一뿔+값 B3_¾B 드 ]1 (l.10 1) 울 나타낸다. 이 들 방정식은 게이지 (ga ug e) 변환 아래 불변인바, 아무런 스칼 라 함수 x 로 다음과 같은 변환 Aµ _. Aµ+aµx (1.10 2) 울 할 때 돌은 불변이어서 Fµ - Fµ + (aµ 장 -aaµ)x=Fµ (1.10 3) 이다. 벡터 퍼텐셜 Aµ 를 써서 (1. 97) 식을 다시 적으면 口 All 一강 (a, Aµ) =jll (1.10 4) 이다. 이제 로렌츠 게이지 조건인 蠶=릅+'V ·A=O (1.10 5) 를 잡으면, 이 게이지 아래 (1 . 104) 식은 □ A,,.= j,,. (1.10 6)

를 얻는바, 이 식의 풀이가 Lie n ard-Wi ec hert 퍼텐셜인 것이다. 진공에서는 j µ=O 이며, 위 식은 □ Aµ=O (1.10 7) 와 같다. 질량이 있는 경우 위 식은 질량 항을 더한 프로카 방정식을 얻게 된다. aJ ,'µ11 + m2A 11 = 0 (1.10 8) 이제 8U 를 걷어 주면 a11a,, Fµ1 1 + m2avA11 = m2a11A11 = 0 (1.10 9) 를 얻으면서 a11A11 는 자동으로 0 이 되므로 게이지 불변을 잃게 된다. 곧 프로카 식은 게이지 불변이 아니며, Aµ 의 운동식은 (□ +m2)Aµ=O (1.11 0) a 갑 1µ=0 가 이됨상을에 서볼 수살핀 있 다여.러 가지 들 가운데 스칼라 들이 아닌 스핀 ½, 스 핀 1 인 들은 일차 파동식을 채우는바, 이것은 중첩 원리와 더불어 양 자스런 둘로 풀이될 때 큰 뜻을 지니게 된다.

제 2 장 라그란쟌 수식론과 대칭 앞마디에서 자유 입자의 고전 파동식을 알아보았다. 여기서는 이런 입 자 사이 에 힘 질 (int e r acti on ) 이 있을 경 우에 그 역 학이 라그란쟌 원리로 어떻게 다루어지며, 또한 그 힘질의 꼴이 게이지 원리에 따라 어떻게 주어지나를 살펴보기로 한다. 2.1 입자 역학에서 본 라그란쟌 수식론 이제 질량 m 인 입자가 x( t)에서 퍼텐셜 V(x) 안에 놓일 때 그 라그란쟌 L 은 L=T-V= 는델 )2-v (2.1) 이며, 여기서 T 와 V 는 각각 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지이다. 이

때 작용량 S 는 S=f t2Ld t (2.2 ) t1 인바, 이 작용량의 국소값을 얻는 과정, 곧 8S=O 에서 얻는 .Euler 방 정식에서 입자의 운동식을 얻게 된다. 위 경우에 운동 양끝이 고정된 상태에서 변분을 잡음으로써 얻는 운동식은 바로 mx=-V'(x) (2.3) 인 것이다. 자유도가 하나인 위 경우와 마찬가지로 자유도가 무한한 연속체의 경우에도 비슷한 수식론을 펼 수 있다. 그 한 보기로서 길이 l 인 막대의 세로 진동을 다루어 본다. 이 물 리 체계는 a 개의 용수철로 바꿔 놓은 다음에 그 극한으로 보고 문제 를 다루기로 한다. 이제 용수철 상수를 K, 질량을 m, 토막 길이를 a 라고 하고, 평형 위치에서 드틴 거리를 ¢i라고 놓을 때, 이 체계의 운동 에너지 T 는 T= 示1 iE=n lm ¢?• (2.4 ) 이며, 그 퍼텐셜 에너지 V 는 v=-122 i=nKO (¢ i +1 ―祠 (2.5) 이다. 따라서 그 라그란쟌 L 은

L= T-V=—2尸 12= m I #? __ 12 i2=n O K (¢i+ 1_¢i) 2 (2.6 ) 과 같다. 이 에 따른 Euler-Lag ran g e 식은 뉴턴 법 칙 인 mi fJ;= F; 를 준다. 이제 이것의 극한으로서 막대를 볼 때, 용수철 수를 무한히 키 우되, 밀도 M= 쁘a 를 고정한 채, 늘인다면 L=½ 훈(『#f)성훈 (Ka)(¥r (2. 7) 으로부터 a ➔ O, n ➔ oo 가 되는 극한에서 ¢i는 위치 함수, 곧 ¢i一 ¢(x) 가 되고 M=m/a 및 Y=Ka 로 놓을 때 위 라그란쟌은 L=½lldx[M 감드 Y(ax¢) 기 (2.8) 와 같게 되며 L=+M~2-½Y( 婦 )2 를 라그란쟌 밀도라 부른다. 이에 따른 진동식은 다음과 같다. M沿 묘 =O (2.9) 이 라그랑주 수식은 더 높은 차원까지 확장이 가능하다. 가령 Klein -Gordon 식을 얻는 라그란쟌 L 은 댜(統)따)-구 ¢2

(2.1 0 ) 간[(좌)드 (파 )2_m 初 인바, 이에 따른 최소 작용 원리에서 얻는 Euler-Lagr an g e 식인 훑니 ~]=o (2.11) 로부터 Klein - Gordon 식 aµaµ¢+ m2¢= 口¢+ m2¢= 0 (2.1 2 ) 를 얻게 된다. 이제 이 수식론에서 살필 수 있는 또 한 가지 결과, 곧 대칭과 보 존의 관계를 알아보기로 한다. 위 작용량 S 에서 그 변수 갔와 ¢가 어떤 대칭 변환 아래 바뀔 때 그 변분 결과를 보면 어떤 물리량이 보 존이 됨을 알 수 있고 이것이 바로 Noeth e r 정리라고 부르는바 양자 혀이 론준에다서. 가에령너 지작나용 량운 동(A량ct i o밖n)에 S전=하f L나( ¢스, 핀aµ < 등f;, 갔물 )리d량4x의 가 보있존어서을 그밝 변분을 잡아서 oS 가 8S=k{ 훑굽 [~]}8¢ d4x +1R{~ 〔 8 軒(紅 )8¢] (2.13) _[冠硏 ¢_8 t L] 다 daµ

와 같다고 하자. 여기서 R 은 적분 공간이며, oR 은 그 언저리 표면 이다. 이 표면 적분에서 온 변분 4 赤근 써= 8¢+ (8u¢) 8x (2.14) 이고 둘째 항은 에너지-운동량 텐서 Tt 를 나타내는바 T¢= 8(::¢) a#8tL (2.1 5 ) 로 적을 때 작용량의 변분 oS 는 oS=1 률이 8(福 ]}써 d4x (2.16) +1R [ 8(::¢) 써 -T t 8xu]d( Jµ 과같다. 이제 작용량 S 는 어떤 변환 무리 아래 불변이며, 갔와 ¢의 변분 값은 미소한 매개 변수의 변분에 따라 4갔 =x t 8 (J) l1, 4¢= 0µ8(JJ µ (2.17) 이라고 하자 . 더 일반스런 변환은 뒤로 밀기로 한다. 이제 운동 방정 식이 성립되는 경우 (2.16) 식에 (2.17) 식의 값을 넣으면 1R [這硏- Tf x! ]~(J) 1 1daµ=O (2.1 s )

을 얻는바, 8 (J)IJ는 아무런 값이므로 fft d아 =O (2 .19) 를 얻는다. 다만 Jt =a( 8絲L) ¢II-Ttx t (2.20) 이다. (2.13) 식은 Gauss 정리에 따라 f 8 ,Jt d4x=O 가 될 것이며 R 은 R 아무렇게 잡아도 좋으므로 다음 결과를 얻는다. aJt =O (2.21) 곧 Jt라는 흐름은 보존이 되며 보존되는(곧 시간에 달리지 않는) 짐 (charge ) Q가 존재 한다. QII =f 6 Ed( Jµ (2.22) 한 주어진 시간 t에서 이 값은 Q1/=fV]1 /d3 x 와 갇게 된다. 여기서 V 는 침이 들어 있는 부피이다. 이제 짐 QI/가

보존됨은 다음과 같이 알 수 있다. J:a, Jtd \= fv<1/ed 3x+fv a Jtd 3 x= O (2.2 3 ) 이제 둘째 항은 표면 적분으로 바꿀 수 있고 무던히 먼 곳에서 그 값은 0 이 되므로 짐의 시간 변화는 0 이 되며, 보존됨을 뜻한다. 곧 젊f]！西=웅 =O (2.2 4 ) 이다. 이것이 Noeth e r 정리이다. 이 정리의 한 보기로서 시공간의 원점을 드티는 변환의 경우를 살펴본다. 이 때 4 갔=당, 4¢=O (2.2 5 ) 라면 xt= 8 t, 0µ=O (2.26) 가되므로 Jt= -Tt (2.2 7 ) 와 같으며, 이에 따른 보존 법칙은

훑f TEd3x=O (2.28) 이다. 한편, Too 를 살피면 바로 에너지 밀도임을 알 수 있고 T共 는 그 공변꼴이므로 이것은 에너지-운동량을 나타내는 것이다. 이 결과 로 갔에 달리지 않은 라그랑주 체계의 에너지와 운동량은 보존이 됨 을 알 수가 있다. 스칼라 둘의 에너지-운동량 텐서는 두 지표에 관해 대칭임을 덧붙인다. 2.2 복소 스칼라 들과 전자기 들 : 그 기본과 대칭 Mi nk owski 공간에서 가질 수 있는 대칭은 병진, 시간 변위, 회 전, 로렌츠 변환 등이어서 그 밖의 대칭에는 스칼라 들의 변환이 아 쉬우며, 따라서 성분이 둘 이상이어야 한다. 우선 성분이 둘 (¢I, ¢2) 인 스칼라 들을 살피기로 한다. ¢1, ¢2 가 실수 함수일 때 다음과 같은 복소 들을 잡는다. ¢= (¢1+ i ¢2)/ 갭 (2.2 9 ) ¢•= (¢1- i 2)/ 갭 이에 따른 실수 라그란쟌 L 은 L= (aµ¢) (aP¢•)-m2¢•¢ (2.30) 이며, 이것으로 얻는 Euler 식에서 두 Klein - Gordon 식

(□ +m2)¢=0, (2.3 1 ) (□ +m2) *=O 을 얻는다. 이상에서 보다시피, 이 라그란쟌은 다음과 같은 변환 아 래 불변이다. ,P __. e-iA , P, ,P* 一' e”¢* (2.32) 여기서 A 는 실수이며, 위치에 무관하다. 이것을 첫 따위 게이지 변환 (Gau g e tra nsfo rm ati on of the firs t kin d ) 이라고 한다. 이 미소 한변환은 써= -iA¢, 핥 = iil.¢* (2.3 3 ) 이며, 이 때 시공 변환은 없으므로 위 변환을 흐름 식 (2 . 20) 에 넣으 면 r= i(•정¢_¢장¢*) (2.34) 롤 얻으며, 이 흐름의 4 차원 우러나기 (d i ver g ence) 는 0 이 된다. 곧 a,Jµ = O (2.35) 이 때 보존되는 전하량 Q는 Q=JF d3x= if(¢*풍홉 )d3x (2.36)

이다. 위에서 살핀 게아지 변환을 기하로 풀이하자. 실수 성분으로 라그 란쟌 (2.30 ) 를 다시 적 으면 L= (aµ¢1) (a,,¢2) + (a,,¢2) (a,,¢2) -m 2 (싸+ ¢D (2.37) 와 같으며, 2 차원 벡터 공간에서 바탕 벡터 ?, ｝를 도입하여, 백터 꼴로 복소들을 적으면 1=7¢1+1¢2 (2.38) 이다. 이것을 쓰면 L 은 다음과 같다. L= (8처 ) • (정강 )-m 영 • 1 (2.39) 이 때 게이지 변환은 ¢1 = ¢1 cosA + ¢2 sin A (2.4 0 ) ¢2 = -¢ 1 sin A + ¢2 sin A 와 같게 되므로 A 만큼 벡터 감를 돌려주는 변환이며 0(2) 무리를 이룬다. 또한 이 변환은 일차원에서 하나로운 행렬인 e” 로도 나타내 어지며, eiA (eiA )+=1 (2.4 1 ) 를 이루며, 이 무리는 U(l) 무리이다. U(l) 무리란 eia =cosa+i sin a 꼴로 주어지는 모든 복소수가 그 원소가 되며, cos2a+sin 2 a=l

이 되는 동그라미 공간에서 존재한다. 이제 A 는 시공에 무관한 수이므로 온데에서 같고, 이런 뜻에서 이 변환은 온데롭다(g lobal) 고 말할 수 있다. 한편, 상대론에 따르면 온 데에서 동시에 돌린다는 것은 불가능하며 이에 따라 시공의 함수로서 A (갔)는 시공 변수에 달려 있는 변환을 생각할 수 있으며, 이같은 군데로운(l oca l) 게이지 변환을 둘째 따위 게이지 변환이라고 한다. 이제 미소한 변환에서 A(xµ) <{ l 이라면 神0¢ += = - iAi A < / ¢*)는 ¢ 대신 ¢*를 넣은 항을 뜻한다. 이 결과로 oL 은 oL=aµ[a( 福 ](-iA¢) +-tfu (-£Aaµ¢ ―i陶) + (¢ -➔ ¢*) = -i A aµ[ 晟記]- t. 8( 福 따) ¢+ (¢ -➔ ¢•) 이다. 여 기 서 첫 항은 온 우러 나기 (tot a l div e rge n ce) 이 며 작용량에 이 바 지하지 않으므로 이를 무시하면

8L= i 8』 (¢*aµ¢-¢aµ¢*) =J µ8』 (2.4 4 ) 를 얻는다. 따라서 둘째 따위 게이지 변환인 군데로운 게이지 무리 아래 작용량에 변화가 생기며, 그 불변이 깨진다. 이것을 불변하게 만들려면 이 변화를 상쇄하는 다음과 같은 L1 을 더 도입해야 한다. Li= -erAµ= -ie(¢• aP¢-¢aP¢*)Aµ (2.4 5 ) 여기서 e 는 결합 상수이며, 합 lµ 와 aµ 가 같은 차원을 지닌다. 둘째 따위 게이지 변환에는 이와 동시에 벡터 퍼텐셜 Aµ 의 변환 Aµ-A 댜―1e aµ 11 (2.4 6 ) 을요구하기로 한다. 이때 8Ll== --ee((8oFr))AAµµ--e rF a(8,.,A1 µ) (2.4 7 ) 와 같게 되므로 이 둘째 항은 aL 과 상쇄한다. 그러나 oL+oL1 =- 2eAµ( 터)四 (2.4 8 ) 이 되므로 이것을 없애려면 또 다른 항 L2 = e2Ai. AP t/J * ip (2.4 9 )

가아쉬우며 oL2=2e2AµoAµ*=2eAµ( 昴 A) ¢•¢ (2.50) 로부터 oL+oL1+0L2=0 (2.5 1 ) 이 된다. 한편, 위처럼 ¢와 짝하는 벡터 퍼텐셜, Aµ 의 둘 텐서 FµII 는 스스 로 게이지 불변이므로, 스칼라 라그란쟌 L3= —¼F µvFµv (2.52) 롤 더한 온 라그란쟌 Lto t Lt ot = (8µ¢+ ieA µ¢) (8%._i eA %.) _m2¢*¢— +Fµ 11Fµ11 (2.53) 은 군데로운 게이지 변환 아래 불변이다. 다시 말하면, 게이지 불변을 요구함으로써 게이지 퍼텐셜 Aµ 와 스 칼라 들이 자연스럽게 짝하는 것을 살핀 것이다. 위 라그란쟌 (2.53) 과 원 자유 라그란쟌 (2.30) 을 비겨보면, aµ¢ 대 신에 (aµ+ i eAµ) 가 들어온 것을 보면 이것을 공변 미분 기호 Dµ 를 도입하여

Dµ< /J= %』+ ieA µ)

에서 샘 함을 주며, 이 식의 꼴에서 바로 볼 수 있듯이 그 우러나기 는 0 이 된다. 곧 aJto v= O (2.6 0 ) 게이지 불변한 이 이론에서 게이지 입자의 질량은 0 이다. 질량항은 m 껴』떠 꼴로 라그랑주에 들어오는데 이 항은 분명히 게이지 변환 아래 불변이 아니다. 이 게이지 이론은 더 큰 대칭 무리인 SU(2) 의 · 경우로 넓혀지는데 이 때 이 게 이 지 들은 맞바뀌 지 않는다 (non-abelia n ) . 1954 년에 Yan g과 M ill s 는 동위 스핀 대칭이 군데로운 대칭이라고 보고 세 성분을 가진 벡터 둘 감에 대한 변환으로 下一 g=1 -l x1 (2.61) 곧

울 할 때 그 라그란쟌은 비로소 공변하게 된다. 이 때 라그란쟌 L 은 L= (Dµ 감) • (Dµ1)-m 영 · 강-+-wµ • -wµ (2.6 4 ) 이다. 다만 Ww= dµWv-dvWµ+g W µXWv (2.65) 이 이론은 SU(3) 무리로 넓히면서 그대로 센 핵력을 다루는 맞바 뀌지 않는 (non-abe li an) 게이지 이론에 적용이 된다. 여기서는 더 자세히 다루지 않기로 한다.

제 3 장 고전 들의 양자화 3.1 실수 클라인-고든 들 앞마디 에 서 도 풀이 한바 Klein - Gordon 둘은 양자 이론에 따라 그 양자의 들 함수로서 볼 때 비로소 모순 없는 풀이를 할 수 있다. 여 기서는 우선 D i rac 에 따른 정통 (cano ni ca l) 양자화 방법으로 이 Klein - Gordon 들의 양자화를 꾀 한다. 고전 Klein - Gordon 스칼라 들의 하밀토냔 H 는 앞 마디 에서 살핀 에너지-운동량 텐서 Tµv 를 이용하면 H=f T00d 3x =H[ （좌)나합 • W+m2¢ 기간 X (3.1) 이다.

한편, 복소 K • G 들의 하밀토냔 H 는 H= f[(紹) (£1

[[¢¢TA(tt )) ,, p¢ss(( tt) ) ]] == i[8prsT , ( t ), Ps (t ) ]=O (3.6) 와 같으므로 부피 원소의 극한 8VT 一 0 에서, (경tr;) Ors --. o(x- 了')가 됨을 감안하면, 둘 연산자의 맞바꾸미 [[¢¢<(77,, nt),, ¢짜( 77,', tt))JJ == i[a7

rp( x)=j [(~2 7! )32 ( J)며 [J:,. (x)a( k)+ N(x)a+(k)] (3. 11 ) 인바, 이것을 뒤집으면 a(k), a+(k) 는 a (k) = }강 x [ (21r) 32( J)k ]}R (x) 파 (x) a+(k') =fd 3x'[(21r)32 (J) k’] 강 ¢(x') 후 (x') (3.12) 이다. 이제 위 식과 (3.7) 식을 이용하면 a 에 관한 맞바꾸미를 얻는다. [a (k) , a+ (k') ]= (27r) 32(J )k (下 _k') [a(k), a(k' )]= O, [a+(k), a+(k')]=O (3.13) 뒤에서 더 알아보겠지만 a(k) 와 a+ (k)는 각각 없애미 (annih i l a - ti on) 와 지으미 (creati on o pe ra t or) 라는 요건한 연산자이다. 다음에는 수 연산자 N(k) 를 알아본다. N(k) =a+(k)a(k) (3.14) N(k) 와 N(k') 은 맞바뀌므로 그 고유 상태로 바탕 벡터를 꾸밀 수 있다. 고유값을 n(k) 라면 N(k) I n(k) > = n(k) I n (k} > (3.15)

와 감고 다음 관계 [N(k) , a+ (k) ] = a+ (k) [N(k), a(k)]=-a(k) (3.16) 를 이용하면 NN((kk))aa+(k(k) ) I In n(k()k >)> == [[nn((kk)) —+ll]]aa (+k()k I) nI( nk)( k>) > (3.17) 를 얻으며, a+ (k)는 | n(k) >에 걸릴 때 그 수를 하나 더 지어내 며, a(k) 는 |n(k) >에 걸릴 때 그 수를 하나 없애주는 구실을 한다. 한편, 들 에너지 값을 주는 하밀토냔 H 는 H= f~。 퉁 [a + (k)a(k) +a(k)a+(k)] (3.18) =f~k o[N(k) 냐] 이고 마찬가지로 둘 운동량은 p=f~7i[N(k ) +강] (3.1 9 ) 로 나타낼 수 있으므로 N(k) 는 T 상태에 있는 들 양자의 수를 가 리킴울 본다. (3.17) 식을 보면 양자의 수를 a(k) 는 하나씩 줄이는 구 실을 하므로 | n(k) > 상태에 a 를 내리 걸어 주면 그 양자의 수가 O 인 상태가 있어야 한다. 아니면 숫자가 음수인 경우가 있게 되며, 이 제 3 장 고전 들의 양자화 ”

것은 N=a+a 의 고유값이 음수가 아닐 필수 조건과 어긋나는 것이 다. 이런 상태가 바닥 상태 10> 이며, 이 때 Na((kk)) II O O>> ==OO (3.20) 이다. 위에서 본 여러 관계 (3.15~20) 식은 양자 조화 진동의 경우와 비슷 함을 본다. 에너지 (3.18) 에서 무한 상수값을 뺀 하밀토냔 H 는 H=f ~(J)h (L ),.N( k) (3.21) 인데, 그 진공 기대값이 0 이며, 이것은 H 에서 모든 없앰이룰 바른쪽 으로 몰아 놓는 결과와 마찬가지이며, 이른바 바로된 차례질 (normal orderin g ) 이 라고 한다. 기 호로는 : : 롤 쓴다. 가령 들 ¢(x) 를 양 진동수와 음 진동수로 가르면 ¢ (x) = ¢(+l (x) +¢ <-l (x) (3.22) 다만 E¢< +>( x(x) )= = ff [d [( (22nn강 )b)3 2 3~2 (J() Jka])a, 百.]+ t ( (kk)) fN, . ( (xx)) 이며, 다음과 같은 들의 곱에서

: ¢ (x) ¢ (y) : = ¢(+) (x) ¢(+) (y) + ¢(-) (x) ¢(+) (y) +¢ (-) (y) ¢(+) (x) + ¢(-) (x) ¢(-) (y) (3. 23 ) 로 바로된 차례가 주어진다. 이갇은 바로된 차례질은 산란 이론에서 섭동 전개를 할 때 크게 쓰 인다. 진공 상태는 아무 입자도 없는 상태이며 지음이 a + (k1) 를 이 상태 벡터에 n 번 걸어 주면 운동량이 k1 인 입자가 n 개 있는 상태를 이루므로, 일반으로 n1 개의 k1 입자 상태, n 가의 k2 상태 등을 지닌 상태 벡터는 양자 조화 진동의 경우와 마찬가지로 다음과 같다. I n(k1), n(kz) ••• > ~[a+(k1)]n(kd[a+(kz)]n(k2) ... I O> [n( k1)! n(kz) ! …] 7 다만 = ( 2;r )3 2k ia3 (7 i—7i') (3.24) 이다. 이렇게 보면, 한 상태에 양자가 몇 개라도 들어갈 수가 있으며, 따 라서 이 양자는 보손 (Boson) 입자가 되는 셈이다. 다음에 보겠으나 페르미 (Ferm i on) 입자의 경우에는 한 상태에 입자가 하나밖에 들 수 없으며 바꾸미 꼴이 엇바꾸미 (an ti -commu t a t or) 로 바뀌는 것이다. 이 제 운동량이 P 인 상태 함수 1/f (x) 를 구하면 1/f(x ) =

=f(2 :(J}:; [ e-i k •x =+ Ie 0p•>•x e] -ik •x] =f강 ke- i k•xe3(k- p) = ei P •x (3.25) 이 때 로렌츠 불변한 4 차원 확률 흐름 sµ 는 Sµ= i( 1Jl*a µ1 /J') =2/>µ1 /l* 1/J' 이므로 만일 입자 하나가 부피 V 안에 들어 있도록 대중을 잡으면 f 2po 1 [J'*1[J'd 3r=l V 이어야 하며, lfl=(2一P」o)가7 - e i P•x 이어야 하나, 만일 부피 안에 2Po 입자 가 들어 있는 대중을 잡는다면 f2 P。 땀*lf.l d3r=2Po 이어야 하므로 이 때 1Jl= eiP •x 와같다.

다음에는 전기를 떤 입자를 기술하는 복소 들의 양자화를 알아본 다. 고전 들이 실수가 아니므로 양자 둘이 허미션이 아니며, 그 둘 연산자는 (x) =j~[ a(k)e-ik •x +b+(k)eik •x], cp+ (x ) =f~(J) ;[b(k)e- i k•x+a+(k)e.-k 지 (3.2 6 ) 와 같이 전개된다. 이제 이들 지으미와 없애미 사이에는 (3 . 13) 식과 같은 맞바꾸미를 잡아서 양자화를 꾀 한다. [[ba (( kk)) ,, ab++ ((kk'')) ]] == ((22 1합 () 3 22 ((JJ JJ kk a83 ((Tk_-kT'')) , (3.27) 다른 맞바꿈이는 다 0 이다. 아제 a 와 b 의 뜻을 알아보기 위해 전 하량 Q와 하밀토냔 H 를 구하면 다음과 같다. Q = if : ¢,+롭팔¢, : d3x = f (2 갑(J),. [a+ (k) a (k) -b+ (k) b (k) ] (3.28) H=f ~(J):;[a +(k) a(k) +b+(k) b (k)] (3.29) 이에 따르면 b, b+ 는 a, a+ 와 다른 전하를 갖는 반입자 구실을 함 을 알 수 있다. 맞바꾸미 (3 . 27) 식을 이용하여 맞바꾸미 (3.26) 식을

구하면 [¢(x), ¢+(y)] =f(요(J) ~[e- i k•(x- y )_e',..(X-Y) J (3.30) =iA( x_y ) [[¢¢((xx)) ,, ¢¢(+y()y ]) ]= I[ ¢xo+= y( ox =) O, ¢+ (y) ] =0 (3.31) 3.2 디랙 들의 양자화 Dira c 들의 입자는 페르미 입자이므로 그 통계에 따라 한 상태에 하나만이 들어갈 수 있으므로 그 양자화에는 맞바꾸미 아닌 엇바꾸미 롤 해야 한다. 정통 양자화법에 따라 라그란쟌 밀도에서 그 운동량의 둘을 우선 구한다. 라그란쟌 L 을 잡아서 L =i 1/f rµoµ 1/f-m 1/f 1/f (3.32) 이라면, 운동량 들 TC(X) 는 1r(x) =a~waL(x =) ilJ!+ (x) (3.33) 이다. 이 때 하밀토냔 H는

H= 1Jf당1Jf 와 같다. 이 값은 늘 양수는 아니며, 양자화로 이 점이 바로 잡힌다. Dir a c 함수를 그 평면파로 전개하면 1/f (x) =f 겁노노 [ba (k) ua (k) e - i1t•나 (k) vWei• • x] (3.3 4 ) 1ji(x ) =f息겁福困 (k)uWe ilt •x+da(k)vwe- ilt•가 u(I,2 ), V(I ,2)는 각각 양 에너지 및 음 에너지 스피너이다. 여기서 b 와 a 는 달리 적은바 전자와 반입자를 각각 가리킨다. 대전된 Dira c 들이기에 허미션이 아니기 때문이다. 이것으로 하밀토냔을 구해 보면 H= f읍군집 [b t (k) b(k)-da(k)d;(k)] (3.35 ) 여기서 둘째 항은 음 에너지를 줄 가능성도 있으며 이것을 막으려 면 엇바꿈이 (anti -co mmuta t o r ) , {A, B}=AB+BA (3.36) 룰 도입하여, 다음과 같이 양자화를 하면 좋다. {ba (k) , bt, (k') } ={ da (k) , d; (k') }= (2 간~m~ (k-k') 8aa'

{ba (k) , ba1 (k') } ={ bt (k) , 써 (k') } =O {da (k) , da1( k') } ={ d: (k) , dt, (k') } =O (3.37) 영접 에너지를 빼주는 바른 차례질로 하밀토냔울 구하면, 연산자의 자리 바꿈마다 부호를 달리 하면서 H =f 강 X : 1/f+ (x) i훑 1/f (x) : =f晶 fko 검 [ht (k) ba(k) +dt (k )da(k)] (3.3 8 ) 이 값은 늘 양수이며, 더구나 엇바꾸미 성질을 띤 위 연산자 b+ 나 d+ 로 진공 상태에 두 번 곱하면 Mbt I O>=O, dt dt I O>=O 동을 쉬 알 수 있고 따라서 Pauli 배타 원리도 곧바로 채움을 볼 수 있다. 이 때 총 전하량 Q는 Q=f西 :j o( x) : =fd3x : lJl+( x) lJf(x ) : (3.39) =f -f!p 麟 bt (k) ba (k) -d: (k) da (k) ] 와같다•

3.3 전자기 들의 양자화 자연은 스피너 들(경 입자와 릭 입자)과 게이지 들(광자, 위콘 입 자, 글루온 입자)로 된 기본스런 들로 이루어졌다고 생각된다. 위에 서 스피 너들의 양자화를 알아보았으며, 여기서는 게이지들 가운데 전자기 둘의 양자화를 알아보기로 한다. 전자기 들의 양자인 광자는 질량이 0 이며, 두 상태만이 가능하나 그들은 네 성분이 있으며, 게이지 조건을 더함으로써 공변꼴로 이론 울 전개하는 데 어려움이 따른다. 여기서는 특히 로렌츠 게이지로 전 자기 들의 양자화를 꾀하기로 한다. 공변하는 4 차원 전자기 벡터 Aµ 와 그 켤레 운동량 들 7[IJ 사이에는 다음과 같은 맞바꾸미로 그들의 양자화를 꾀한다. [[AAµµ ((xx,, tt)) ,, A다v x('x,', t)t ]) =] i=g[µv 다J x(3) , ( xt-),x '다) x', t)] =O (3.4 0} 여기서 군=訖, L= ― ¼Fµ11Fµ11 당(鬪 )2 (3.41 ) 이다. 라그란쟌 L 에서 더한 항은 이른바 게이지 고정항이며, 이 때 파동 방정식은 역시

Aµ=O (3.4 2 ) 이다. 다만 1[0 를 구하면 1[0= — aaAL_ 。 -= ― a』 ? (3.4 3 ) 로서 로렌츠 게이지에서 0 이 되므로 이 게이지 조건은 물리 상태에만 적용되는 것으로 하는 것이다. 곧 <1 Jl I as.Aµ I 1Jl>= O (3.4 4 ) 이제 (3 .4 2) 식의 풀이를 보면 다음과 같다. Aµ (x) = Jr&십& g亞 (k) [a (k) e-ilc •x+ a+ (k) ei, . .X ] (3.4 5 ) 여기서 편국 벡터 c 뿐, c 안, cg \ c?) 사이에는 다음과 같은 직교 관계가 있다. 뿐 • 장')=gAA' (3.4 6 ) 이제 광자가 셋째 축으로 움칙인다면 kµ=(k, 0, 0, k) 이며, 편국 벡터는

C(O)=( i ), C(I)=( i ), C(2)=( i ), C(3)=( [) (3 47) 와같이잡을수있고 下 ·7(I2)=O (3.4 8 } 이 다. 이른바 €(0) 는 시 간 같은 광자를, €(3) 는 세로 광자를, €(1), €(2) 는 가로 광자를 나타낸다. 이제 위 라그란쟌에서 운동량은 군 = ¼=F /J()-g/J() (011A11) (3.4 9) 이므로 ;r0= -A0+V • A, ;ri= aiA 0-Ai (3.50) 이 식을 맞바꾸미 (3.40) 식에 넣으면 [Aµ(X, t), Av(x', t)]=igµ1 18<3>(x-x') (3.51) 울 얻으며, A 겨 전개식 (3 .4기식을 여기에 넣어 중으로써 aU)(k) 등의 맞바꾸미를 얻는다. [aW (k) , a+ (k') ] = -g1-A'2 /« i (2 갑~ (7i-7?) (3.,2)

여기서 한 가지 문제가 생기는데, 시간 같은 광자의 경우 [d01(k), a(o>+(k')] = _2k 。 (2n)3a3( 下一 k') (3.53) 와 갇이 음수가 나타나며, 이에 따른 에너지의 기대값이 음수가 될 수도 있으며 이 것을 이 겨 내는데 Gu pt a - Bleuler 에 따라서 a, A( + ）기 1JT> =O (3.54) 롤 채우는 상태 I 1Jf>만이 물리로운 상태라고 AI:=3_O k µE~Ala(k) I 1/l> =O 라는 제약 아래 (3 .4 8) 식을 이용하면 [k% 뿐 a(O)(k)+k% 劇3 )a(3)(k) 〕 | 1/f> =O 곧

제 4 장 파인만 도식 이제까지는 자유 입자의 둘을 살폈다. 여기서는 서로 힘질 (int e r acti on ) 하는 입 자의 둘을 알아보고자 한다. 이 힘 질의 결과로 나타나는 여러 과정의 관측 결과를 양자 역학에서는 뭇 상태 벡터 I a>, I b> 등 사이에서 해당 연산자 0 의 행렬, 곧 등을 구함으로써 그 실험 결과를 이론으로 풀이하게 된다. 4.1 힘질 나툼 (Re p resen tati on) 양자 이론의 전개에는 흔히 세 가지 나툼을 하이젠베르크 나툼, 슈 뢰딩거 나툼, 그리고 힘질 나툼이 있다. 하이젠베르크 나툼에서는 물 리 연산자만이 시간에 따라 달라진다. 이 때 모든 상태 벡터는 시간 에 달리지 않으며 연산자 O (t)와 상태 벡터 | t>를 이 나툼에서 OH, l t >H 로 적을 때 그 운동식은

아(t) =i[HH , OH( t)] 商a | t>H =O (4.1) 와 같다. 여기서 H 는 하밀토냔이다. 한편, 슈뢰딩거 나툼에 0s( t)와 I t >s 의 시간 변화는 Hs I t >s= i갑 I t> s (4.2) Os(t) =O 와같다. 또 한 가지 나툼인 힘질 나툼에서는 그 운동식이 다음과 같다. 힘 질 나툼에서 하밀토냔 H1 를 둘로 갈라 H, = (Ho) 1+ (Hin t} / (4.3) 라고 두자. H i n t는 힘질을 나타낸다. 이 힘질 나툼에서 연산자 O 와 상태 벡터에 1 라는 토를 달아서 01< t>, I t >1 라고 적을 때 그 운동 식은 01(t) =i[(H o)1, 01( t)] Tat I t> 1=-iH , n, (4.4 ) 와갇다. 위의 식에서 Ho=O 이면 힘질 나툼은 슈뢰딩거 나툼과 갇고, H{n t =0 이면 하이젠베르크 나툼과 같다.

이제 힘질 나툼과 슈뢰딩거 나둠 사이의 관계를 살펴보자. 힘질 나툼의 각 기호에는 I 라는 토를 달고, 슈뢰딩거 나툼에는 S 라는 토를 달기로 한다. 하밀토냔 H=Ho+H i n t만은 편리상 토 S 없 이 그냥 적고 슈뢰딩거 나툼으로 한다. 이 때 힘질 나툼에서 상태 벡 터 | t >I 는 슈뢰딩거 나툼 I t >s 과 다음 관계가 있다. I t> 1=eiH ot I t> s (4.5) 이 하나로운(unit a ry) 변환 eiH ot 아래 연산자 사이에는 닮음 (sim i la rity ) 변환이 생 긴다. 01 (t) = eif fot O se-iH ot (4.6) 여기서 연산자 O (t)가 Ho 라면 위 닮음 변환 아래 (Ho) 1 = (Ho) s= Hi。 (4.7) 가 되며 한 가지임을 알 수 있다. 여기서 Ho 는 안 건드린 하밀토냔이라고 부르기로 한다. 이제 (4.5) 식과 (4.6) 식을 미분하면 -i61 (t ) = - 블 (e i Ho t Ose- i Ho t) =HoeiH ot o se-iH o t - e i Ho t ose- i Ho tlli。 =[(Ho)1, 01< t)] 과

』i요a t '| ·t,> '1 =— +i-a4 t- ei H ot I t> s =eiH ot (-Ho+H) I t> s =eiH otH in t I t> s =eiH otH . -n,e-iH ot eiH ot I t> s = (H.-n,U))1 I t> I (4.8) 인데, 이 석에서 보듯이 힘질 나툼에서 본 운동식은 슈뢰딩거 나둠의 운 동식에서 그대로 유도됨을 본다. 힘질하는 입자들 사이의 과정을 기 술하는 데에 힘질 나툼을 이용하면 편리하다. 4.2 S- 행렬 입자 사이에서 힘질로 일어나는 산란, 생성 과정은 힘질 나툼으로 표현된 상태 벡터 사이에서 관측 연산자의 행렬을 구함으로써 기술이 된다. 이제 이 글장에서 나툼은 힘질 나툼에서 본 것이며, I 라는 토 롤 생략한다. 곧 운동 방정식은 -나 I t> =Hin t (t) I t>, (4.9) -iH i n t = [Ho, Hi n t] (4.1 0 ) 이다. 여기서 Ho 와 H{n t는 둘 다 에르밋 (herm iti an) 하다. (4.9) 식의 Green 함수를 U(t, fo)라고 할 때 t 때의 상태 벡터 | t>는

I t> = U( t, to) I to> (4.11) 로 주어진다. 여기서 U(t, t o) 는 다음 식의 풀이이다. _村ft- u

이제 S_ 행렬은 이 U의 시간 극한으로 주어지는바 S= lim U( t, to) (4.15) tt ◄o ◄+m' 이다. 이 S- 행렬은 무한 과거의 상태가 어떻게 무한 미래의 상태로 진화 하는가를 나타내는 것이다. 곧 이 s- 행렬에서 처음 상태와 나중 상 태의 행렬 원소를 구하면 그 과정의 산란 진폭 (sca tt er i ng amp li- t ude) 을 알 수 있게 되는 것이다. 일반으로 힘질하는 들 사이의 S- 행렬을 구할 때 안 건드린 하밀토냔 Ho 란 자유로운 들로 주어지며 그 질량은 힘질하는 체계 안에서 주어지는 물리로운 질량이라고 하 면, Ho 의 스펙트럼은 H 의 스펙트럼과 같으며, s- 행렬의 극한울 잡 는 데 별 문제가 없게 된다. 이제 힘질 나툼에서 본 모든 들 연산자 는 자유 방정식의 풀이이며, 가령 스칼라 들 ¢의 경우에 ¢ (x) =f 강 E— 」 __ T (a,.e-ilc •x + a,.+e+il c •X) ( (2 ;r )32 (J),.)万 (4.1 6 ) =a (x) + a+ (x) 이다마.찬 가여기지서로 스a,._핀, a½,.+ 들등 로은 푸시리간에에 급달수리로지 힘않질는다 나. 툼에서 전개하면 'f/!(x ) ==u (x!) +~v(x) 홉} ba(k) 갑 (k) e-{/,,o)C +dt (k ) Va(k) ei/, ,•)C] (4.17)

여기서 ba(k), dt (k ) 등은 역시 시간에 달리지 않는다. 4.3 때-따른 곱 (T im e-Ordered Produc t), 바로된 곱 (Normal Product) , 맞줄임 (Contr ac ti on ) 여기서는 S- 행렬의 계산에 필요한 몇 가지 정리를 알아본다. 앞마 디에서 본 a(x), u(x), v(x) 등은 없애미가 들어 있는 반면에 그 따름이 (adjo i n t ) a+(x), u(x), v(x) 등에는 지으미만이 들어 있다. n 이들 연산자 하나를 XAx i)로 적을 때 때-따른 곱 in= lx i(지은 다음 과같다. T(X 晶) X2( 과 ·X따 ) =Op X p 1( Xp 1 )Xp2 ( Xp 2) ... Xp n( Xp n) 여기서 때 따라 줄선 XPi를 보면 tp1 ~ tp2 ~ tp3 ~… ~ tpn (4.18) ti=tj일 때 이 때에 달린 각 연산자의 차례는 (4.18) 식 양변에서 n 같게 둔다. 한편, ll_ X,(x,) 에서 바로된 곱 (normal p roduc t)이란 다 i= l 음과같다. : X1( .x 1)X2( 작 .. Xn 因 : 터p}(p 1(X pi )Xp 2(X p 2)·Xp n(X p n) (4.19) 여기서 바른쪽의 각 연산자는 없앵이가 바른쪽으로 오도록 바꿔 놓 은 것이다. 위 두 식에서 8p 는 페르미 연산자의 자리바꿈이 짝수이

면 +1, 홀수이면 _1 임을 뜻한다. 어떤 곱의 합에서 때-따른 곱과 바로된 곱의 합은 각 성분의 합과 같다. T(A+B) = T(A) + T (B) :A+B:=:A:+:B: (4.20) 이런 곱의 보기를들자. T ( 1/fa ( 1) 1/fp (2) ) ={ _1 / fa1 ([ fAl) 2 1)/ fp1 ([ 2fa ) ( l) tt1 1 족< tt22 (4.21 ) T(¢(1) ¢(2)) ={ ¢¢((21)) ¢¢((12)) tt1,<~ tt22 (4.22) : Wa(l) ~ (2) : = -u/1 ( 2) Ua (l) + ua(l) V/1 (2) +v a (I) V/J (2) + Va (1) u/1 (2 ) (4.23) 자 (1) ¢(2) : = a (l) a(2) +a+ (2) a (l) +a+ (l) a (2) + a+ (l) a+ (z) (4.2 4 ) 여기서 1, 2 는 xI, X2 를 뜻하며, a, /3는 스핀 토(i ndex) 를 뜻한 다. Xi (l) 과 X2(2) 사이에 Dy so n-Wi ck 맞줄임 (con t ra cti on) 을 정 의하는바 X1(l)X2(2) = T(X i(l )X2(2)) : X1(l)X2(2) : (4.25) 이다. 가령 ¢(x) 와 ¢(0) 사이의 맞줄임은

¢(x) ¢(0) ={ aa ((Ox)) aa++ ((xo)) ——aa++ ((ox)) aa ((Ox)) tt~O 이면 지수에서 음 부호를, t

적분 꼴로 나타낼 수 있다. DF(X)= －급사 -~d4k (4.3 0 ) 여기서 c 는 양 실수인 미소값이다. DF(X) 에서 양 전동수의 경우를 D+(x) 로, 음 진동수의 경우를 D-(X) 로 적으면 [¢(x) , ¢ (0) ] = -iD (x ) =D+ (x) -D-(x) (4.31) 와 갇음을 알 수 있으며, 여기서 D(x)= fd 3 三 e i k•T {4.3 2 ) 이다. 스핀 令 듬에서 마찬가지로 그 퍼트리미를 얻는다. 이 때 힘질 나 툼에서 1J!와 面의 엇바꾸미 (an ti -commu t a t or) 는 { lJla( x) , W, (O) } = {ua (x) , u, (O) } + {va (x) , v, (O) } = i (rµaµ+ m) a11D (x) = (y~ µ+m)a,CD+(x)-D-(x)) (4.3 3 ) 이다. 보존 둘의 경우처럼 1Jf (x) 와 W° (O) 의 맞줄임을 잡으면 TJl( x) W(0) == (-i?f(o-2M1br)+4m ~-)Dk F 나(x ()e m-ic ) -i1 c•xd4k

=SF(X) (4.34) 와 같다. 여기서 SF(X) 는 페르미 둘의 파인만 퍼트리미이다. 4.4 섭동 전개 이상에 도입한 여러 가지 관계식을 이용하여, 산란 행렬을 구할 수 있다. 우선 힘질 나툼에서 U( t, to)를 그 운동 방정식 _틀 U (t, k) = H;n , U ) U (t, k) (4.3 5 ) 에서 Hin t 대신 작은 매개수 A 를 도입하여 H i n t로 적은 다음에 A 의 제곱 급수로 U 를 전개하여 그 풀이를 구한다. U( t, k)=~nCA=OO nUn( t, k) (4.36) (4.35) 식에 이 급수를 대입하면 다음과 같다. _—11 —8at n~.=..A 0 nUn( t, to) =lliint ( 0) n~.=..A0 nUn( t, to) (4.3 7 ) 이 식에서 양변의 An 항을 비기면, n=O 일 때 나불 -Uo (t, to) =0, (4.38)

n~l 일 때 ―}：四나) =Hin t ( t) Un-I( t, fo) (4.3 9 ) 울 얻는다. t =O 에서 처음 조건인 U(to, to) =1 를 이용하면 UUon (( ttoo ,, ttoo)) ==O1 tn> lJ (4.4 0 ) 를 얻는바, (4.38) 식에서 Uo(t, to) =1 (4.4 1 ) 임을 다짐할 수 있다. (4.39) 식에서 n=l 의 경우에 풀이는 u1 ( t, f-0} = -iL t o'H in t ( t'} dt' (4.4 2 ) 이며 마찬가지로 n=2 의 풀이는 U2( t, to) = (―i )2 ftto dt I Jftto 1 d t平 (t1) Hin t (t2) = ( 나.) ~Ltot d t1 JL tot d t2 T (Hin t (t1) H i nt (t2) ) (4.4 3 ) 이다 . 다른 n 째 항도 이와 갇이 구할 수 있는바, 이 전개에서 ..l= l 이라고 둘 때 S- 행렬의 섭동 전개는 다음과 같다.

S= U ((X), _(X)) = 1_ t.fo o H,·m ( t) dt -OO +(~ -i 1) 2 :(d' ,t,1 (1 :' dt2 T (Hin t U 1) Hi n t U 2) ) (4.4 4 ) +널1_ :d t 1 1_ :d t2 1_ :d t 3 T(Hin t U 1)Hin t U 2)Hin t ( t)3 ) +·.• 실제로 아 계산을 할 때 T- 곱을 바로된 곱으로 바꿔 놓으면 편리 하며 이 두 관계를 밝히는 Wi ck 정리는 다음과 같다. T(X 훑 .. Xn) = : X,X2… X n : +++ …:: XX+,1 XX:2 2X·X ,따Xa2XX4 a•: XX+4n :• :XX +ni…X :2 Xa .. ·Xn : (4.4 5 ) 이 식 바른쪽에서 X 를 둘씩 짝한 맞줄임을 모든 경우에 다하여 더해 주면 된다. 4.5 파인만 도식 위에서 유도된 S- 행 렬의 섭동 전개에서 n 째 항 Sn 을 살펴본다. 특히 전자와 광자의 힘질을 다루는 양자 전기 역학의 과정에서 힘질 H i n t는 Hin t = : W(x ) rµ lJl (x) : AP (x) (4.4 6 )

와 같다. 이 때 Sn 마다 파인만 도식을 대응시킬 수 있으며, 실제 계 산을 하는 데 이 도식은 매우 편리하다. 이 도식에는 따, X2, …X n 등으로 표시된 꼭지점 (ver t ex) 이 있으며 물결선으로 그은 광자선이 있고 줄선으로 된 방향을 지닌 전자선이 있다. 이들 선은 두 꼭지를 잇는 안쪽 선일 수도 있고, 밖에서 한 꼭 지로 둘던가 나가는 바깥 선이 있다. 모든 꼭지에서 광자선은 하나만 그 끝접이 있게 마련이나 같은 꼭지점에 줄선이 들어올 때는 전자선 이고, 나갈 때는 양전자선을 나타낸다. 바로된 곱에서 인수 A (xs) 가 짝진 인수 가운데 있다면, 꼭지 점 Xs 에서 끝나는 바깥 광자선임을 뜻한다. 바로된 곱 안에서 짝진 인수 가운데 華 (xs) 가 하나 있다면 바깥 전자-양전자 선이 꼭지 Xs 에서 끝남을 뜻한다. 짝전 인수 속에 맞줄임 A(xr)A(xs) 이 들어 있다면 꼭지 xT 와 Xs 를 잇는 광자선임을 뜻한다. 흐름은 차례전 곱으로 주어짐으로 맞줄임 1Jl (xs) 1fi (xs) 과 같은 인 수는 없으므로 전자-양전자 선은 Xs 에서 비롯되어 Xs 에서 끝나는 것 은 없다. 이와 같은 규칙에 따른 도식을 짝전 인수마다 그릴 때 그 둘 사이에는 1 대 1 의 대웅이 있게 된다. 이런 도식에서 꼭지의 표시만이 다를 수 있을 경우가 있으며, 한 가지 도식이 n 째 항에 n ! 만큼 있게 마련이다. 이 때 각 도식에 대 한 적분값은 한 가지이므으로 이런 도식 하나의 적분값을 구하고 n ! 를 적분 인수에서 빼도 좋다. 마지막으로 살필 점은 이 도식들에 서 두 전자선을 서로 엇갈리지 않도록 그릴 수 있다는 점이다. 도식 가운데는 닫힌 올가미 (l oo p)를 이룬 전자-양전자 선이 있다. 이 때 Sn 적분에서 올가미 가운데 홀수만큼 꼭지점을 지닌 것은 그 적분값 이 0 임이 밝혀져 있다. 어떤 도식에는 바깥 선이 없으며, 이런 도식 은 전공 요동 (vacuwn fl uc t ua ti on) 을 나타낸다. 어떤 도식은 두 토막으로 되어 하나는 바깥 선이 없고 다른 토막과 전혀 연결이 안 된 것도 있는데 이것은 어떤 물리 과정이 전공 요동과 동시에 생김을

뜻하기도 한다. 이런 동떨어진 전공 도식은 모든 적분값에 공통 인수 로 작용하며, 관측 결과에 영향을 주지 않는다. 인수 짝짓기에서 바로된 곱으로 주어지는 연산자를 처음 상태와 나 중 상태 사이에 넣고 그 행렬값을 구한다고 하자. 이 때 짝전 인수 가운데 없애미 수가 처음 상태의 입자 수보다 많다면, 그 행렬값은 0 이다. 만일 없애미 수가 적다면, 살아남는 입자는 그 과정에 더불지 를 않게 된다. 따라서 관심인 과정에 맞는 연결된 도식만 계산하면 좋은 것이다. 어떤 도식의 적분을 할 때 운동량 나툼에서 셈을 하면 편리하며, 이 적분을 할 때 따를 이른바 파인만 도식을 열거한다. 이 도식을 그릴 때 바깥 선은 처음에 아래로부터 들어와서 중간 과정을 거친 나중에 도식 위로 입자가 나가도록 그리기로 한다. 주어진 도식 에 개 꼭지점이 있고 (1), (2), ……, (n) 등으로 표시했으며, 꼭지쌍 을 (kl) 로 표기하자. 각 선마다 운동량이 주어지고, k 째 꼭지와 l 째 꼭지를 잇는 선의 경우 그 운동량을 Rkl) 로 표시한다. 다음 관계를 갖기로 한다. K(u )= _K(lk ) 광자선 p(k l )= -P(lk) 전자선 들어오고, 나가는 선에는 기호를 달기로 한다. 이 때 주어진 도식 에 따른 S- 행렬값은 =

Ic 는 이 도식의 적분값이며, 모든 안쪽 운동량에 걸친 뭇 적분을 한 것이다. 이 도식의 꼭지와 선에 대한 적분 인수는 다음과 같다. (K) (l ) ; gµ (k) v (l) 怒 kn + ic = gµ (k)vmDF (K,m ) K(kl) (K) (l ) ; SF (Pckl) ) (Ryu )•) R 드u짜)++mi c PUI) Pckn) ; rµ(k)0(4)(Pcmk)+K(l k) -Pckn)) (K) ~Ui;, (p') ; 들어오는 전자 P 다 )=P' .PU.ml = PK(” {l:us, (p ) ; 나茂 전자 ``’/

(K) q '=P 다) {f;vs'(q ') ; 들어오는 양전자 (J)q' q =P (ho, ) {l:vs(q ) ; 나呼 양전자 (K) .J凶 ) = \f'1 K K i kl C1µ(k) 巴訂1汀 ; 들어오는 광자 K=K(k. . ) c;{'k) (K”)& 丙1汀 - ; 나 7 臣 광자 (K) 이 도식의 적분에서 각 인수의 차례는 다음과 같다. 때 각 전자선은 따로 친다.

때 도식 안의 전자선을 화살표를 따라서 적분 안에 바른쪽에서 왼 쪽으로 각 인수의 차례를 둔다• 回 전자선이 닫힌 울가미를 이룰 때는 각 인수는 때처럼 차례로 둔 다. 이 때 Dir a c 행 렬의 곱에 서 자국값 (tra ce) 을 셈 한다. 홰 광자선에서 나온 인수의 차례는 아무래도 좋다. 이와 같이 인수를 제 차례로 놓고, 각 울가미마다 자국값을 셈하 고, 각 선마다 스피너 공간에서 행렬 원소를 구한 다음에 µ(k) 를 l 에서 4 까지 더하고, 안쪽 운동량에 걸친 적분을 해 주어 도식의 적분 Ic 를 얻게 된다. c' 과 c'’ 은 광자의 편국 벡터인바 모든 광자의 처음 편국과 나중 편국은 가로 성분만 잡으면 된다. 인수 N은 대중 (norma li za ti on) 상수이며, 평면파 상태의 대중을 어떻게 잡느냐에 달렸다. 인수 6 는 부호인바 (J= (-1) L+P i( Ji./ (4.4 8 ) 이며 L 은 닫힌 울가미 수이다. 야六 처음과 나중 상태를 꾸민 방법, 곧 진공 상태에 지으미를 걸 어준 차례에 달린 士 1 부호값이다. 들어온 전자선끼리 또는 나간 전 자선끼리 뒤바꿀 때 이 부호가 바뀐다. 이 도식 적분에는 델타 함수 가 들어 있는데 운동량과 에너지 보존을 나타내는 인수이다. 이제 이 적분을 다시 적어 보면 M (ip> f= -&P <;4)> (=P(fJ - P. i;a)(2 •7 rM)1c1Ven lc (4.4 9 ) Pf =~K+~ P''+효 P,=~K'+ 짝P'+~q'

와같다. 처음 상태와 나중 상태가 주어진 과정의 전이 전폭인 M 을 알아내 려면, 이룰 바깥 선을 가진 동등하지 않은 도식을 다 그리고, 그 모 든 도식에서를 얻고, 그 합을 구해야 한다. M=IC : Mc (4.50) 실제 계산에서는 알맞는 근사안에서 합을 끊어야 한다. 4.6 산란 단면적과 수명 S- 행렬을 이용하여 두 가지 물리량, 곧 수명과 산란 단면적을 셈 할 수 있다. 우선 로렌츠 불변한 전폭 M 을

=( 27 f)4 o (Pf - P;) iM (4.51) 와 갇이 잡는다. 간단상 스핀이 0 인 두 입자가 처음 상태에서 나중 두 입자 상태로 흩어지는 홑진 경우를 살피자. 이제 입자 상태를 파동 뭉치 (wave packe t)로 보고 처음 상태 I i> =f~; ~/(k1)g( k2 ) I ki, k2> 로 두자. 곧 pI, 化라는 운동량에서 봉오리진 파동 뭉치의 운동량 kI, k2 는 k 혼 PI, k2~ 拓라고 하자. 나중 상태 | />= I P~, #>라고 하자. dk=d3k/(21r)32 성라고 적을 때 전이 진폭은

f潤)g (k2) = (27r)4i jdk,dk z /(k ,) g(k 2) o(p ;+p;- k, -k2) x M (p;, P2, k,, k2) 이고, 전이 확률 W 는 W= (2;r )8 j dk1d k2dq, dq J(k 1)g ( k2)f * (q1) g * (q2) x 성 (p; + R-k1 -k2) 성 (p; + # —ql _ q2) X M (Pi, Pz, k1t k2) M+ (pi, Pz, Qi, Q2 ) 이다. 여기서 둘째 델타 함수는 (k1+k2- q 1- q 2) 로 적어도 무방하고 I 와 g가 pI, 拓 둘레로 봉오리를 이루므로 M은 M(p~ , P2, Pi, P2) 이라 고 두어도 좋다. 편의상 좌표 공간에서 이 전이율을 적어 볼 때 푸리 에 변환 f(x ) =fdq e iq • xj( q), g (x) =fdq e i q • xg (q) 에서 I /(x) I 2= jdk1 dfi 1e i< k,-q, > •xf (k1)/* (q1) I g (x) I 2= fdk2d fi 2 ei( k,-qz ) •xg (k z)g • (qz)

이므로 W 는 다음과 같다. W=f d4x I f (x) 시 g(x ) I 2 區 )4S4(P1+Pz ― P1 ―Pi) X I M (P1, Pz, pi, Pz) I 2 (4.5 2 ) 이 식을 보면 처음에 두 입자가 산란 전 겹쳐 있는 정도를 I /(x) 12 I g (x)12 로 나타내며, 나머지 인수는 전이율이다. 이제 단위 부피, 단위 시간당 전이율을 보면 훑= l f (x) | 시 g (x) i 2(21r)4o (p;+Jh-p!_/h) x | M (pi, p;, pI, p2) | 2 (4.5 2 ) 이다. 이제 앞에서 본 대중잡기에 따라 단위 부피 안의 입자 수는 각각 I i(x ) I 22PY, I ff(x ) I 22 p%]다. 실험실 틀에서 IA=m 으로 잡고 이 때 들어온 입자 선속은 속도 X 밀도이므로 ¥x2pY I l(x)l2 즉 2 | 下니 | f (x) I 2 이 다. 한편, 산란 단면적 d6 는 다음 관계 ;갱〔크들어온 입자 선속) (과녁 밀도) Xd< J에서 da= (27C)4B4(P i+鈴-pi-4/m2' I12 P )1 ~I I M I 2 (4.54) 로 주어진다. m2 I P1 I 울 로렌츠 불변한 꼴로 바꿔 적으면

F=[(P1 • P2)2-mrm 당 ]7I =m~l1니 :실험실 툴 따라서, 나중 입자가 운동량 공간 d3P i d3 /h에 있을 산란 단면적은 d6= 빨f (2 7[1 :f ;i)° (2 7[福)° 성 (P i+鈴一 P1-P2) I M I 2 (4.5 5 ) 이다. 만일 처음 상태에서 스핀이 각각 Si, S2 였고, 처음 상태가 편극 되지 않은 상태였다면 |MI2 대신에 (2S1+1)~ 읊 | MJ , I 2 로 바꿔 적어야 한다. 페르미 입자의 경우에는 운동량 공간은 譯 로 바꿔 적으면 좋다. 이 공식은 나중 상태가 여럿일 때에도 그대로 넓혀 쓸 수 있다. 한편, 한 입자가 다른 모든 상태로 넘어가는 전이율의 역수는 바로 그 입자의 수명 r 가 된다.

제 5 장 기본 입자 과정 이 글장에서는 앞에서 살핀 이론을 전자나 광자가 함께 하는 몇 가 지 과정에 응용해 보기로 한다. 5.1 콤프턴 산란 전자가 광자를 흩어지게 하는 과정은 A.H. Com pt on 이 처음으로 실험에서 살폈기에 그 이름을 따서 콤프턴 산란이라고 부른다. 편국 이 a i이고 운동량이 p흰 전자와, 운동량이 ki, 편국이 0 인 광자가 부딪히고 난 뒤에 전자의 편극은 a1, 운동량은 p/, 광자의 운동량은 k1 편극은 c/ 이 되 었다고 하자. 파인만도식

Pi, a

콤프턴 산란

4.5 절의 공식에 따라서 이 과정의 산란 단면적은 d6= 강곱~ (27r)4o'41(Pf +kf -P i -k;) I M I 22 J07Z~ x md3p f (2, r)3 p } 이다. 이 식을 실험실 변수로 고쳐서 적어 보자. fd 3 p^성 (Pf +kf -p ;-k;) = (kJ )나 ~ l dn, dpJ + dk} =l+ 1 d(p} )2 dk} 玩} dk} =1+ 喜옮 [m2+ 따宣] =ppf}·kk Jf 와 같은 관계를 단면적 식에 넣으면

da= 습沮 u(Pt , a1) t w 노ii u( p;, ai) +u (P1, a1) t~t/U (p1 , 이 | 2(t: ydQ (5. 1) 이다. 분모를 유리화하고 디랙 식을 이용하면, 위 산란 행렬값은 다 음과같다. u (Ph af) (街玉干上구 냐 p, — 't=mtf) u (p;, a;) = u( Pf, 아 (i~告尸t, · -t I b12 ; f: ;fm t f) u (p1, m) = U( pj, aA [tJ 2( pi +:>:: ;:k,. ―t ,2( p i 갑 : ~]u(p;, a ;) 광자의 가로 편극 ci, c f는 시간축과 下에 수직하므로 위 식은 급 (Pf , «f> (~ + 겁宣 )u (p;a ;) (5.2) 가 된다. 이 식은 (g, ki) ___. (c1, -k,) 와 같은 변수 대치 아래 불변하며, 이른바 엇갈림 (crossin g) 대칭의 한 보기이다. 디랙 풀이 의 닫힘성을 이용하여 곧 뿐(p, a)Ut '(p, a) =(變)tt'

울 이용하며, 위 행렬의 제곱을 모든 전자 편극에 걸쳐 다 더하면 X=a 입 u(PJ (11 )Ou( p,이 | 2= t r(0 14/!-간 /2; 기 (5.3 ) 와 갇다. 다만 O=r•o+r• 이며, t r 는 디랙 스피너 성분에 관한 자국 값이다. 이 결과로 X= tr ( 선It;+ 갑E k나 信門 2:'1宣 + 릅：芳~ (5.4 ) 이 셈을 하는 데는 M=k J= O, 굵=c}= -1 이라는 성질과 ¢b= — h/i+ 2a • b 라는 공식을 이용하면 좋다. 이제 (5 .4)식의 전개항 가운데 다음 두 항을 구해 본다. tr [t#iki ( } i + m) 絲#f (Pf + m) ] = tr Uf tik i P,k탸 fP 기 = 2pi • kit r [ tftikit i £flf ] = 2pi • kit r H fk i街屈 =8p i • ki[ 2cf • ki • cfp f+ ki • pA =8Pj • 짜 2(cf • k;)2+kf • p;] 여기서 마지막 줄에서 운동량 보존을 나타내는 k; • Pf= kf • p;와 cf • Pf= cf • (p; +k;-kf) =cf 나?i (cf • p, .=Ej • P j =O 로 잡고)를 이용 하였다. 마찬가지로 tr [t#iki ( b i + m) k##i ( bI + m) ]

= tT[ cJC ik ,•( p i + m) k/ 학 o (pi + k2 _ k 汗 m) ] = t r[k i (l i +m)k##, t#사i +m)] +2kj • gt r( ti k i仇i kA -2 ki • cj tr (k,.bi k u) =2k, • p, tr( k#jt itft,.ti ) +8(kf • g) 2kiP i _8(ki • cA2Pik j • kJ =8ki • p ,kj • pA 2(cj • &)2_1l+8(kf • ci) 2kib i -8(ki • Ci )% • Pi 이다. 다른 항들은 이 두 항에서 엇갈림 대칭을 써서 구할 수 있다. 이리하여 X= 갑[운+훙 +4(cf • c;)2-2] (5.5 ) 를 얻게 되며, 이것을 산란 단면적 공식에 넣으면 훑읊信 )2[운 +f +4(E1 • £;)2-2] (5.6 ) 이 다. 여 기서 진동수 드팀 (shif t) 은 ki kf= ~l-cos0) 와 같은바 낮은 에너지 극한 k../m-+ 0 에서 (5.6) 식은 Thomson 공식 과 같게 된다. 쁘d0- ＝m요2 (cI • o)2' m으 =ro=2.8xl0-13cm (5.7)

5.2 쌍소멸 앞마디에서 다룬 산란 과정과 비슷한 쌍소멸을 살펴본다. K1, CJ K2, c2 K2, £2 K1, e1 Pi, a1 P2, a2 전자-양전자 쌍이 두 광자로 바뀌는 도식 이 과정에서 파인만 규칙에 따라 그 전이 행렬을 구하면 S1,;= —ie2 (2TC) •o (k1 +k2-P1-P2) X ii (Pza2) ｛住宁戶i 1+ t 1 rt=m 庫 (P1a1) (5.8) 사실 이 도식은 앞 마디의 콤프턴 산란 그립과 비슷함을 볼 수 있 고 알맞는 변수 대치로 앞 전이식에서 위의 전이식이 나올 수 있다. 이제 선속(fl ux) 인수는 4((P1 • ~)2-m~)½ 이며, 편극이 안 된 전 자-양전자의 경우에 통계상 2평 균으로 생기는 인수 T1 울 고려하면 이

과정의 산란 단면적은 d(1 = [ (pI ._拓? 22e: 값]½ 뉴( 걸꾼k 1 + 2:선 立릅 x( -[t;笠 + 2:산 k 2 言尸區 )•o<•>(k1+k2-P1_ Pi) x 2kd f 3(k21 討 2k!d(32k72C )3 (5.9) 여기 자국값은 (5 . 5) 식으로부터 다음과 같은 변수 대치로 구할 수 있 다. ((kkf;,, CCif ) ) 一-+ (( 一k2 k, 1, c2)c 1, ) ,u u( P (fp, ;, afa)1 )一 -+ a u ( P(pi, i, a2a)1 ) (5.10 ) 이 결과로, da= 一tf걸?[_（秦+信 )+4k1 • c2)2-2] x 1 e函4m | (2lr )2 4k1fk g d 0l d(kkffd + k1k !) (5.1 1 ) 를얻는다. 이제 에너지 및 운동량 보존으로 ~d=k! l+ 上2k! 브dkf丑 ~2_k1)2 =k1 詞• k2

k1 • k2=m(m+E2) =kr(m+E2 一 | P2 I cos e) 이므로 마지막으로 얻는 산란 단면적 곧 양전자 (E2, P2) 가 가만한 전자에 둘이천 결과로 광자쌍이 생기되 그 하나가 입체각 n 안에서 나올 산란 단면적은 言d6 町값 (m+E2-m |+ Ep22 | cos0)2f[fk2i +, ¼k,- 4(E1 ' E2)+2] (5.12) 이다. 이제 모든 광자 편국에 걸쳐 총 단면적을 구하려면 다음 관계 홉 2(c1 • 핥 =1+[1-( 閔룹)『 롤 이용하고, 온 입체각 4 7[에 걸쳐 위 미분 단면적 (5 . 12) 식을 적분 하여 얻는바, 이 결과로 6= 홀 [~ln(r+ 字)-틀] (5.13) 롤 얻는다. 여기서 r= 선 >1 이다.

5.3 전자 대 전자 산란 PI, P2, Pi P1 P2 P1 P2 전자와 전자 사이 산란 여기서는 전자 대 전자 산란을 위 도식에서 셈해 본다. s- 행렬 공 식에 따라서 S1;= (21r)4f t(pi+P 2-P1_P -z) (-i강) x[~(P1-PD2 터 )rIIuj _拓, c2) _ u (抗, C;) rIIu (p1, (PC1l)- U/h ( P)2 i , ci) rIIu (~] (5.14) 이다. 이에 따른 산란 단면적은 d6= [(pl • P짜2) 2-m q」區d3 )P3i E 『d國3#

X (2 갑참(pi+Jh-p!＿/h )e4 』 112 (5.15; · 와 같으며, 이 식에서 처음과 나중 편극에 관한 평균과 도합의 표시 는 생략했다. 이제 전이 행렬값을 구해 보면 IM 尸=4+g~ :g , IMl2 머t r(r11~ 따~)t r(r11~r p모) x 福亨1 門_ t,r ..( /Y ..u P12+mm 7..p l/ 22+m m .r. 11h2+mm 건:;기 ~+( p;— P2)} 이다. 또 자국값을 구해 보면 tr[r v(/;1+m) rp( / ;1+ m) ] =4 (P111P1p -g11p P 1 • P1+P1pP 1 11+ m2g vp ) tr[r 11(/;1+m) 짜 #+m) 〕 tr[ r11(/;2+m) rp( /h.+ m) ] =32[(P1 • Pz) 나 (P1 • Jh} 2+2m2(Pi • P2-P1 • Pz)] tr [ r11 (/;1 + m) rp( /h. + m) r11 (/Ji + m) yP (/;1 + m) ] =32[(p 1 • Pz)2-2m2P1 냐깁 이므로 이들 값을 써서 얻는 I M l 2 값은 I M l2= 旦2m4 (pll· •- 祠- [+( (Ppl 1 • -pP합1 +2)m 2기( 2 p l • 鈴 -PI • Pz) +{(P1 • 拓)나 (P1 • P1) 나 2m2(P1 • P1-P1 • Pz)}/ 〔(J/2 -P1) 기 2 +2{((P1 • Pz)2-2m2P1 • Pz)}/(P1-P1)2(f/2 - P1)2 (5.16)

여기서 불변항을 에너지 E 와 산란각 O 로 나타내면 PPPiii ••• PJPhi2,== = EE22E2((2ll-+—mc c2oo s s88)) +—mm22 ccooss88 이므로 전자 대 전자 산란 곧 moller 산란, 단면적은 훑같깝:--：『 [S1!40 一곡 e+ 益 2:)22(1+ 급눕)] (5.17) 이다. 극히 상대론스런 극한, 곧 m/E-+0 에서는 젊=京국-~++) =a교2 I sin 41 8 /2 +. cos410 /2 +1) (5.18) 이고, 비상대론스런 극한, 곧 E2~m2, u2= (E2-m2)/E2 에서는 蓋=信)軍국-곡) (5.19) 이다.

5.4 전자 대 양전자 산란 전자와 양전자의 산란 과정은 앞마디의 전자와 전자간 산란과 비슷 하며, 다음과 갇은 대치로 (5.14) 식에서 이 산란 전이값을 구할 수 있다. P{ e p{ _qi e+ 전자와 양전자의 산란 u (P1) - u (P1) , P! - P1 uu ((P拓1)) 一- uv ((qpDi) ,, 1p>2i -一 P-i q 1 (5.20) u(#) 一 v (ql) , # 一 -ql 질량 중십틀에서 이 과정의 산란 단면적은 詞da =~mI4eM4 l2

에서 I M I 드」「 PI • qi)2 + (pl • q l) 드 2m2( pi • ql_ p l • q; 2m4 [(pi_p I) 기 2 + (pl • qi)2 + (pl • pi)2 +2m2(p l • Pi+ pl • qi) [(p l+ q l) 기 2 +(p l-2 pi )2( p l ~刊 )2 } (5.21) 이다. 위 두 식에서 산란 단면적은 다음과 갇다. 쁘dn= -上2 [E2 iL4 _ E2(E 드8짜E)L m(14 一 cos0) (2E— m 2)2 + 2(E 2_ 짜 )2(Ecos0)2 2E4( _ l+2cos0+cos20) +4E 남 (l ― cos0) (2+cos0) +2m4cos2] + 16E4 (5.22) 초상대론 극한 (UR) 과 비상대론 극한 (NR) 에서 이 값은 각각 훑운[~입 ;/2 나(l+ cos'0) -2~] (5.23) 孟= （읍 )216v4sli n망 (l.24) 이다. 이 산란은 Bhabha 가 처음으로 셈했기에 바바 산란이라고 한다.

제 6 장 바깥 들 양자 들 의에 양자 안 된 바깥 전자에 들이 있는 경우를 알아본다. 곧 밖에서 걸린 둘이 자석국 사이의 자기 들이든지 축전판 사이의 전 기 둘이든지 핵의 전자기 들과 같이 주어진 거시 체계 속에서 전자가 움직일 경우 등을 다루는 방법을 알아보기로 한다. 6.1 쿨롱 산란 바깥 둘을 다루는 데는 앞에서 본 섭동 전개에서 힘질 하밀토냔 Hr 를 다음과 갇이 고쳐 적으면 좋다. H,n1 =e f dr I.,, (r, t)[ A (r, t) +AP(e) (r, t) ] (6.1) 여기서 Aµ 는 양자 들이고, Aµ(e) 는 밖에서 걸린 고전 둘이다. A t이

는 모든 들 연산자와 맞바뀌므로 바깥 들과 맞주릴 때 그 값은 0 이 된다. 파인만 도식에서는 이 바깥 들의 꼭지를 다음과 같이 표시한 다. 바깥둘의 꼭지 도식 여기서 두 매개수에 따른 전개를 하게 되는바, 하나는 양자 전자기 들과 전자의 결합 상수이고, 또 하나는 바깥 들의 세기이다 . 바깥 들 의 세기가 작지 않고 모든 차수를 다 셈해야 할 경우에는 주어진 바 깥 들에서 Dira c 풀이를 얻고 음양 에너지 상태 함수를 구한 다음에 다음과 같은 힘질 하밀토냔 H1 을 써서 섭동 계산을 할 수도 있다. H1 = ef dr Jµ {r, t) Aµ (r, t) F (r, t) =引 華 (x) rµ 1Jl-危 (x) rµ 河} (6.2)

p' + + p Coulomb 산란 위의 그립 Coulomb 산란에서 두 매개수는 a 와 Z 이다. 여기서는 aZ 의 1 차까지 포함하되 a 차수는 0 인 근사에서 계산을 하기로 한다. 이 때 가만히 놓인 들에서 산란 단면적은 I 2 (6.3) 로 주어진다. 여기서 [J는 들어온 속도이다. 이 때 전자의 경우 행렬 값은 8(E'-E) =去홉납a (p'))ie( q) u (p) 8(p '-p-q) d4q (6.4 ) 이다. 여기서 A?(q )Z=e ~n/ • nµnµ=-l (6.5)

이고, 이에 따른 행렬값은 I p> = (:：나: I P一' -仁P l2 u (P') /iu ( P) (6.6) 이며, 한 편국 상태의 전자가 입체각 dO 로 흩어지는 단면적은 E= rm 이라고 놓고 d6(II)= 急~JJ 訂'~ I u(p' )/iu( p) I 2 • 8(E'-E)d0 (4Z ~(fJr) ~ 4 라d)O dO (6.7 ) 이다. 전자의 편국이 관심 밖인 경우에는 위 식에서 전자의 처음 스 핀 상태를 평균하고, 나중 스핀 상태를 다 더하면 된다. 이 때 각도 O 로 홀어지는 전자의 경우 -2!- spI j!n I u (p') nu (p> I 2 =k(2(n • P>2 + P • p'+m 2) = r2 (1 璃 s i n 망) (6.8) 와갇다. 이에 따라 편극이 되지 않은 전자의 미분 산란 단면적은

ddaO(II ) zz 2rolT8_ ( uRL이2 2 . S2l2n(仁\s10 m\\2| I' )0) _ 2 (6.9) 이다. 비상대론 극한에서 Ruth e rfo rd 공식과 일치한다. 誓= z;검 ~ (NR) (6.1 0 ) 6.2 전자의 자기 모멘트 전자의 디랙 풀이를 보면 자기 모멘트 Mo 는 e/2m 이다. Dir a c 식 울 풀어 적으면 셋 (E-e) 7/!- r · (下― eA) 7/!= m' I/! (6.11) 이다. 표준 나툼에서 러; _:), 7=(°구 >1J l= C) (6.12) 이므로 위 식은 (E 국)( _: )-(下_e 祀)( °구 ~)( : )=m( : ) (6.13).

와 같고 두 식으로 갈라서 적을 수 있다. (E-eu (6.18) 이다. 여기서 7= p -eA 으로 적고, W=E 一 m 이라고 두면 Wu= 답 (7 • 7) (7 • 7) 국 ]u (6.19) 가 된다. -; • Aa .11=A • B+ia • (AXE) 이므로

(a . --;)=도 7(r1 •- 7erA+)ia 나 i• a (; r·X ( ; 1r)- eA) x (下 _e 刀) (6.20) 이기 때문에 둘째 엇갈린 항에서 px A+J txp =-inff x A=-in B (6.21) 울 이용하면 D i rac 의 두 성분식은 H= t,;i(p -eA)2+e¢- 훑a · 1J (6.22) 와 같다. 이 마지막 항은 전자의 자기 모멘트 /.1o가 꿉：임을 보인다. 이 값을 양자 전기 역학에서 더 알아보기로 한다. 바깥 전자기 들 Aµ 와 전자의 둘 1P'사이의 힘질 하밀토냔 H 는 H= i e f華高四7 (6.2 3 ) 이다. 이제 전류 F 를 궤도 전류 Jf와 편국 전류 Jt로 갈라 적으면 ]µ= —ie 荷 rµ lJl=JI µ+ J2 µ, ]1µ= 브2m- ［荷(江)― (aµw) 町 (6.24) J2µ =六 8u ( maµu lJl)

이므로 이에 따라서 H 도 H=H1+H2 Hl=- fM 尹 (6.25) H2= -송/1of w 나F µud7 와 같다. 여기서 비상대론 극한에서 H1=0 임을 바로 알 수 있으며 H저 서 전기 들 장 Aµ 가 들어 있는 항은 河의 크고 작은 성분의 곱 때문에 무시되며, H2 가 H'=- 시T/f (x)a 1Jl • H dr (6.26} 와 같다. 여기서 7= (623, 631, 6l2) 7/= (F23, Fsi, F12) 이다. 이 결과로 전자의 자기 모멘트에서 별내는 (rad i a ti ve) 수정량을 얻 으려면 위 H려 힘질을 고려해야 한다. 곧 운동량 공간에서 S(ll) 은 = -뉴-*7r u (p')

인바, 여기서 FPII(q} = i(qP All(q }-qllA P(q }) (6.28) 이다. 이에 따라 I P> =*f.1-0ii (p') Aµ< Iµ11 q 11 u (p) (6.29) 와 같이 된다. 다음 차수의 근사항 M(31) 를 알아본다. 비상대론 극한에서 ii(p')rµ u(p) A µ(q ) 꼴의 항은 무시되므로 M(31) 값은 =去 a (P') (令 zkA% 갑) u (p) {6.30) 와같다. 이제 (6.28) 식과 (6.29) 식을 비교하면, M(ll) 은 자기 모멘트 JJo를 주며, µ(31) 은 훑국] 해당하므로 이 둘을 더한 자기 모멘트의 값 µ 는