(der i va ti ve) 라 부르고 검巨), tt'(t), Du( t)등으로 나타낸다. (2) 약국한 w- 快나 (u( t。 +Ll t )-1,( t。)）가 촌재할 때 ‘‘u( t)는 t=t0 에 서 약미 분가능 (weakl y dif fere nti ab le at t=t0) 이 다”라고 말하고 이 국 한을 t=t0 에 서의 u( t)의 약미계수 (weak deri va ti ve at t=%）라 부른다. tt(t)가 각 t El 에서 약미분가능일 때 ‘‘U( t)는 I 에서 약미분가능이다'’ 라고 말하고 이 극한울 u( t)의 약도함수 (weak der i va ti ve) 라 부르고 w- 꿈 (t) 또는 w-Du (t)로 나타낸다. u( t)의 도한釋 검f, t¢’, DU 로, u( t)의 약도함수 를 w- 검干, w-Du 로 나타내 기 도 한다. u( t)의 우도함수 (r ig h t deriv a ti ve ), 좌도함수 (le ft deriv a ti ve ), 약우 도함수 (weak rig h t deriv a ti ve ), 약좌도함수 (weak left der i va ti ve) 도 정의할 수 있다. 따라서 u( t)의 페구간에서의 도함수와 약도함수를 정 의할 수 있다. 명제 1.3.3 I 를 개구간, t。 El 이라고 하자. 함수 u(t) : 1--x 가 t= t o 에서 약미분가능이고 IJu (t)1 1 :1--R 가 t=t 0 에서 미분가능이면 각 x*EF(u( t。)）에 대하여 (1. 8) llu( t。) ||*llu( t。 )11=( 문%), x*). 단, F 는 X 의 쌍대사상이다. 증명 x*EF(u( t 0)) 이라고 하자. 각 t El 에 대하여 (1. 9) (u(t) - u(t0) , x*) = (u(t) , x*)-(u(t 0) , x*) 칙 lu(t) II llx*ll-llu(to ) 112= llu(t) 111luC to) 11-1lu( t。) | 12 = llu(to ) II (I lu(t) 11-llu< to) 11). t>t0 일 때 (1. 9) 의 양변을 t-t0 으 로 나누고 t-t。+이 떤 톰(t o), x*) 칙 |u(to ) I I 운 lu(to ) 11

이고 to 에 대하여 llx-xdl

!균 (x) I = lxf (x ,.) - xf( x .--x) I 츠 며 (x.-) 1-1 균 (x 一 x.-) I = I IXi I I _ I Ix- 지 l = llx-(x 一 X,.) I I -I Ix _x,·I I ~llxll 一 211 .x -xd l>llxll-2t 이고 sup { lxt (x ) lnEN} 츠 Ixf< x ) I>llxll-2t. c>0 은 입의이므로 c-+0+ 이면 su p{!국 (x)lln E N} 츠 II .xii . 한 편 각 nEN 에 대하여 l x~ ( x) 1: ::;;11 자 II llxll = llxll 로부터 sup { lx: ( x) I ln E N} 三 llx11. 따라서 ||xll=sup { lxt (x ) I lnE N }. 죽 E * 가 구하는 집합이다. 정리 1.3.8 함수 u(t) : 1-x 에 대하여 다음 (1), (2) 는 서로 동치이 다: (1) u( t)는 가측이다. (2) 1'(t)는 약가축이고 거의 가분치적이다. 증명 (1) ⇒ (2) u( t)가 가측이므로 정 의 1. 3. 5 로부터 ln .i.m m Un(t) = u(t) a.e. t EI 인 단순함수열 {un( t)｝가 촌재한다. x * EX * 에 대하여 x*(u(t) ) =lni. .m ' x*(un(t) ) (a. e. t EI) 이 므로 x * (u( t)）는 가 축 이 고 u ( t)는 약X가o측=이U.. 다Un . (!) 이라고 두면 u_ u,. (I)는 가산집합이므로 Xo 은 가분이다. 그런데 nu=l ( I-E )cX0, m(En)== l O 0,1 Eel 가 촌재하므로 u (I -E) 도 가 분이다. 죽 u( t)는 거의 가분치적이다. (2) ⇒( 1) 측도가 0 인 집합을 계의하고 생각하면 되므로 u( t)가 가 분치적이라고 가정해도 좋다. 지금 Xo 을 u(I) 에 의해서 생성되는페선 형 공간이 라고 하면 Xo 은 가분 Banach 공간이 다. 戶손 Xt 01 라고 하자. 그러 면 정 리 L 1. 10 의 Hahn-Banach 정 리 로부

터 각 y EX0 에 대하여 x*( y)=y*(y)인 x*EX* 가 존재한다. u(I)CX。 이 므 로 각 t El 에 대하여 r(u( t ))=x*(u( t)）이고 가정에서 x*(u( t))는 가 축 이므로. y *(u( t)）가 가축이다. Xo 은 가분 Banach 공간이므로 명제 1. 3.7 로부터 각 y EXo 에 대하 여 1|y I1 =sup (I y :(y)1 |nEN} 인 {yt }cX f가 존재한다. 각 yE Xo, tE l 에 대하여 ie(t)-yE X0 이므로 llu(t) - Yll=sup (\y!( u(t) -y) I lnEN}. 그 인 대 y ! (u( t)-y))는 가측이므로 각 y EXo 에 대하여 llu( t)一 YII 가 가 축 이다. u(I) 가 가분이므로 (u,. } 를 u(I) 의 조밀가산집합이라고 하자. e>O 에 대하여 E;=(tE /1 \lu(t) - u;\l

lim ttn( t) =tt(t) (a. e. tE l), n 니' 터 llu (t) 따(t) lldm=o 인, I 에서 Bochner 적분가능인 단순함수열 {un( t)｝가 촌재할 때 u(t) 는 I 에 서 Bochner 적 분가능이 다”고 말한다. 이 때 L:, (t) dm = 터 /Un (t) dm 을 I 에서의 u( t)의 Bochner 적분이라 부른다. l=[a, 까이면 \ u(t) d m 율 \ u(t) dm 으로 나타낸다. 정리 1.3.11 자수 14(t) : I 一X 에 대하여 다음 (1), (2) 는 시로 동치 이다: (1) u( t)가 I 에서 Bochner 적분가능이다. (2) u( t)가 가축이고 llu( t )11 가 I 에서 Lebesg u e 적분가능이다. 증명 (1) ⇒ (2) u( t)가 1 에서 Bochner 적분가능이므로 정의 1. 3.10 으로부터 li. m. ' Un (t) = u (t) a. e. tE l, I,,i_m ~ J\ I 1|u(t) - Un(t) | |dm=o 인, I 에서의 Bochner 적분가능인 단순함수열 {un( t)｝가 촌재한다. 단 순함수는 가축이므로 u( t)도 가측이다. 또 ~) lu(t) I ldm: s:;~) lu(t) - un(t) lldm+ Ll lun(t) llIJ , En= {t E 特 <11u( t) 11 :s:;급} (n=l, 2, •~) 이라고 두면 {EnIn=O, 1, 2, ••• }는 서로 소인 가축집합이고 1= 鵬Q 0En. 또

는 (E革 \E.llu (t) lldm 이 /llu( t) lldm o 에 대하여 (1.1 0) 11 도(t )-u( t) I I2( <1 +m(~E.) ) ', tE E,.-N,. 인 En 에서의 단순 함 수 u , ,,.( t)가 촌재한다. 여기서 u,(t) = u,,,.(t) , tE E,. (11=I,2,… ), u,(t) = O (uEE 。)와 같이 u,( t)를 정의하면 u‘( t)는 I 에 서의 단순함수이고 (1. 10) 으로부터 (I.1 1) Lllu(t) - u,(t)l ldm=.t 1 ~E .llu(t) - u,,,.(t) ll dm계O 에1 . 3대. 1하2여 함다수음 u ((1t). 1:2 I) -를+ X만 가족 하I 에고서 l =B oUchE n.e r인 ,적 분서 가로능 소이인면 가임축의집의 •=l 함열 (E } 이 촌재한다 : 임의의 t nEE” 에 대하여 u,(t) = u(t.) (tE En), n=I,2,··· 와 같이 정

의 하면 u, (t)는 I 에 서 의 Bochner 적 분가능인 단순함수이 고 c1.1 2) L11uu)— u,( t) I jd m :::;e. 1 에서 Bochner 적분가능함수에 대한 몇 가지 성진을 열거하기로 하 자. 이에 대한 증명은 Bochner 적분의 정의와 Lebesg u e 적분의 성질울 이용하면 쉽게 할 수 있다. 정리 1.3 .13 (I) I 에서 Bochner 적분가능인 함수 u(t) 에 대하여 11 Lu(t) d ml 1::: ;L111,(t) I ldm. (2) I 에 서 Bochner 적 분가능인 함수 U1 (t) , U2( t)와 a1, a2ER 에 대 하여 a1U1( t )+a2u2( t)도 I 에서 Bochner 적분가능이고 L (a1U1 (t) + a 선% (t) ) dm = a1 Lt t1( t) dm + a2 Lu2 (t) dm. u (t()3 ) (aI . 에e. 서tE IB)o ,c hgn 를er 적ll t t분r. (가t) 능11 :인 함수열 {un (t) ) 에 대 하여 lni-mO ttn( t) = ::;g (t) a. e. tE I (n = 1, 2, …) 인 Lebesg u e 적 분가능인, I 에 서 의 함수라고 하면 u (t)도 I 에 서 Bochner 적 분가능 이고 터 11', . (t) dm = Lll (t) dm. (4) (I, J淸, m) 을 a- 유한측도공간 (Ii. oJ& 1, m1) , U2 갤%, m2) 의 직 적 측 도공간(p roduc t mea~ure sp a ce) 이 라고 하자. u (s, t) 를 I 에 서 의 Bochner 적분가능인 함수라고 하면 (a) v(s) =L1.2u (s, t )dm 과 a. e. sE/1 에 대 하여 존재하고 v(s) 는 I1 에 서 Bochner 적 분가능이 다. 에 서 (Bb)o cwh(n te)r =적L,1 분1 u(가s,눙 t )이d 다m. 군 ] a.e. t EI2 에 대하여 촌재하고 w( t)는 I2 (c) Lu(s, t)d m=L1(L/e(s, t)d m2)dm1 =L2(L1u(s, t)d m1)dm2,

실수 치 함 수 가 〔 a, b ] 에 서 철 대연 속 이면 a.e. 미분가능이지만 vecto r 치함수에 대해서는 일반적으로 이와같은 사실이 성립하지 않는다. 그러 나 회귀공간에서는 성립한다. [a, b 〕률 유제 페구간이 라고 하자. 정의 1. 3.14 (1) 함수 u(t) : [a, b]-+X 가 임 의 의 e>O 에 대 하여 o>o 가 촌재하고 시 로 소인 [a.-,b.-) c[a,b] (i =l,2, … ,n) 에 대하여 iE= l (bi- a.-)

| u( t。 +2h2h) -U( t o) _ u(k+I tI 「 -u(to) l = 言I \r-• | X(Io 나, 10+ 2h J - XC10, ,0+ AJ I dt = 1. u( t)가 t o 에서 미분가능이면 0=1. 이것은 모순이다. 따라서 u( t)는 t。 에서 미분가능이 아니다. 명재 1. 3.16 u( t)가 [a, 까에서 Bochner 적분가능이면 (1) 타 \'I i u(,) 一i,(t )lld, a.e.tEI . (2) 1~」 :+n u(,)d,=u( t) a. e. tE I. (3) 각 t EI에 대하여 v( t )=[u(,)d, 이라고 둘 때 v( t)는 [a,b] 에서 절대연속이고 a.e. t E[a,b] 에서 미분가능아고 v' (t )=u( t) a.e.tE [a ,b]. 증명 (1) 정리 1. 3.11 로부터 t 4( t)는 가측이고 정리 1. 3.8 로부터 u(t) 는 거의 가분치적이므로 짜〔 a,b 〕 -No) 가 가분이고 m(N0)=0 인 Noc [a, b ] 가 촌재한다. {u} 을 u([a , b ]-N0) 의 조밀가산집합이라고 하자. llu( t)-.x nll 는 [a, b] 에서 Lebesgu e 적분가능이므로 각 n=l, 2, …에 대 하여 뻗 서,t + la I ju( -r) -unlld-r = Ilu(t) - UniI 라(t E고[ a두,b면] -m N,(N） )이=고 O .m t( EN[,.a)=,Ob] 인- NN 이,.라c[고a, b하]자 가. 존이재 한때다 .각 nN==l,U••2= O, N …” 에이 대하여 tE [a, b]-N,” 이므로 (1. 13) 聽 *\門 lu('t') -unl ld't '= I lu(t) - unl I (n=I,2,… ). t E[a,b]-N 이므로 임의의 e>o 에 대하여 llu(t) - u.11< 웅인 u.E {U } 이 존재한다. 그런데 ~:+hl lu(t') -u(t) lld t라” i lu (-r) 一 U .. I Id,+ ~:+h llu(t) -u.lld-r <~:HI i u( t' )-u.lld t+쟝

와 (1. 13) 으로 부터 円 託 Ilu( -r )-u( t) IId 조 Il it(t) 一 U,.|1+ 궁 <융+궁 =e. e>o 은 임의이므로 뻥 }『 I !u( -r) 키(t )lld -r =O. (2) (1) 로부터 j1* \ t+ /' u ( T) dT_ u (t) l=ll 》『 h (u (-r) 군(t) ) d-r~ ::;;w ~ :lH+ h \ \ u (-r) - u (t) I \d -r -+ o (h-+0) . (3) [1\u(-r) I \d - r 가 [a,b 〕에서 철대연속이므로 v( t)는 [a,b] 에서 철대 연속이고 또 (2) 로부터 a . e. t슨〔 a,b 〕에 대하여 미분가능이고 v'(t) = u(t) a. e. tE [a, b]. 정리 1.3.17 v( t)가 〔 a,b] 에서 절대연속이고 a.e. t E[a,b] 에서 약미 분가능이면 v( t)의 약미계수 u( t)는 〔 a,b] 에서 Bochner 적분가능이고 v(t) =v(a) +[u(-r) d-r, tE [a, b]. 따라서 v( t)는 a.e. t E[a,b] 에서 미분가능이고 v'( t )=u( t) a.e.tE [a,b]. 증명 hn= -nb (b 군) (n=I, 2, …）이라고 두고 u.(t) = (l i (v( a+ih n ) —v(a + (i-I )h.)) (i~=E 1_,[ a2_, +••(•i ,- n1 _)~1•,• a+ih , .)) -J:(v (a+nh,.)-v(a+ (n 크 )h.)) (tE [a+ (n-I) h. , a+nh.]) 와같이 u.( t)를정의하면 가정에서 ”(t)-- 'u(t) a.e.tE [a,b]. u.( t)는 가축이 므로 u( t)도 가축이 다. v( t)는 〔 a,b 〕에서의 유계번동함수이므로 var(v(t) )

n=l, 2, …에 대하여 b n ra+,·A. LI |”(t) 1I dt =g \a+(E1)k | l14 ( t) 1ldt =.E” Il v(a+ih n ) -v(a+ ( i一 I)li n) II i= l ~var(v(t) ) o 이라 고 하자 단, m* 는 Lebesgu e 의측도 (ou t er measure) 이다. M>o 이라

고 하면 각 t든 N 와 임의의 e>o 에 대하여 o M llz, ,,I 인 싸 ,ER 이 존재한다. /,',=[t, t+ h,,.J 또는 [t+ h,,,, t]이라고 두면 {/,,,I tE N, e>O} 는 N 의 Vi tal i 의 coveri ng 이므로 Vi tali 의 정 리 로부터 (1.14) m*(N-Ui= I Iti ,.i)<2i m* (N) i이t= I 고|h I,서 ' 로l = i소E= l 인 m (/{,1/1,/ , '),>I iL =21m ,2*,( N…) ,.n }CII{v/(, ti, +'h ｝,이‘ '존)-재D한( t다j ).1I >M(I1.h1I4 i), '로i 1 부이터므 로 var(v( t))츠 El lv(ti + hh,)-v(tj) !I >Mif = lI l hi,=, I, , , I >설~* (N) . M>o 은 임의이므로 var(v(t) ) =oo. 그런데 v( t)는 [a,b] 에서 유계번 동함수이므로 이것은 모순이다 . 따라서 m*(N)=O. 죽 m(N)=O. 다음에 v( t)가 a . e. t E[a, 까에서 약미분가능임을 보이자. {rn}=[a, b]nQ 이타고 하고 Xo 을 {v(r) ln=I,2, …｝에 의해서 생성되는 페선형 공간이라고 하면 v( t)가 [a,b] 에서 연속이므로 v([a,b])CX0. 또한 X。 온 가분이고 회귀공간이다. 따라서 X t도 회귀공간이다. {x f}를 x: 의 조밀가산집합이라고 하자. x*EX* 이라고 하고 N ... = {tE [a, b 미뾰？ x 답 (v( t +h)-v( t)))가 촌재하지 않는다} 이라고 두면 m(N. .. )=0 이다. 왜냐하면, X*c 쟈이므로 정리 1.1.10 의 Hahn-Banach 정리로부터 군 EX; 에 대하여 y* (x)=x *(x ) (xEXJ 인 y *EX* 가 존재한다. y*(v( t))는 〔 a,b] 에서 철대연속이므로 Radon-mNi( kNo .d . •y) m= O정 이리다.로 부N터* =극U-N한자 이뿐 라뿐笠고 (두*(면v( tm +(INi )*-)v=(O t.) )가 a.e.tE [a,b] 에서 존재한다. 그런데 x*(v( t+Ji) -v( t))=y *(v( t +h)- . v( t)）이므로 n=l 鴨 (v( t +h)-v( t ))~

>o} 가 유계이고 tn (N)=O 인 Nc[a,b] 가 존재한다 . tE [a,b]-(N* UN) 이면 t eN*=uQ IN자 이므로 각 n=I,2,··· 에 대하여 극한 l}~xt (- ¼ 蠶 = I (v( t +h)-v( t))）가 존재한다. 따라서 각 .x *EX t에 대하여 극한 lim h-+O 댑 (v( t +h)-v( t)))가 존재한다. J : X--+x* ＊률 자연사상 (na t ural map ping ), Jv( t + h) =v** ( t+ h), J v( t)=군*(t)이라고 두면 각 x*EX*cX t 에 대하여 극한 뿐 *(v**(t+ h)-v**(t )) (x*) =fi뿐 x*(-¼

1. 4 Sobolev 공간 편미분방정식의 문제를 고찰하는 데 필요한 Sobolev 공간에 대한 간 단한 전과들을 열거하기로 한다. x,y E Rn, X= （따 ,X2, …， Xn), Y=(Y i, Y2, …,y）이라고 할 때 (x, y) =£i= I x,y,- , llxll= (x, x) 삼 와 같이 두고 a=(a1, a 2,… ,a n), a.-2 ::0 (i =I,2, … ,n) 일 때 Ia|=E”a , · 라 i= l 고 두자. xER, x= (x1, X2, …, X ) 일 때 x 도국' 자··~· 이라고 두고 D=(D1,D2,… ,D), D i=훑(i =I,2, … ,n) 일 때 D•=D?' D;,• •• D:n=— 0a 자· ,' —8ax·,· ,… a—ax·•: 이라고 두자. Q문 R 의 영역, r 를 9 의 경계라고 하자. r 를 원할 (smoo t h) 이라 고 가정한다. 정 의 1. 4. 1 함수 u : Q- +R 에 대 하여 sup p 11 = (xEQ j u (x) ~O} 이 라고 두고 sup p u 를 U 의 대 (sup po rt) 라 부른다. m 츠 0 이라고 하자. C•( Q)를 m 회연속미분가능인 9 에서의 함수전체, Co ' (il) 를 sup p u 가 간밀 (comp a ct) 이 고 sup p ucQ 인 함수 uEC. . (Q) 전 체라고 하자. m=oo 인 경우에 C•(!l) , C0( fJ)와 같이 나타낸다.

정 의 1. 4. 2 {cp,,} cC0 (Q) , cpE C0 (Q) 에 대 하여 다음과 같은 수림 성 을 구미한 C;( Q)를 D( Q)로 나타낸다 : (I) 각 n 1, 2, …에 대하여 su pp(cp一cp )CK 인 긴밀집합 Keil 가 존 재한다. (2) 각 a=(a1,a2, … ,a,,) 에 대하여 K 에서 평동적으로 lim D cp, ,=D•cp. ... 0 이때 ｛김은 :»(Q)의 의미에서

(1. 16) (t,1,, V) ' l=als 디m J a (Du) (Dv) dx 와 같이 정의한다. 명제 1.4 .6 l~P

4u 드 W ·1, :(Q ), (Ju, v) = -~ L 詞8tt 言8v dx, tt, 루 HJ (il) 이 다. 단 4= g훑 는 Lap la ce 작용소이 다. 증명 uEH1(Q ) 이므로 茅0 Ur EL?( Q)이고 따라서 4u= g 경 r8 ( 경죠8u- ). 명제 I. 4.11 로부터 LluEw-1,2(fl ). 각 供三댜(Q)에 대 하여 정 의 I. 4. 4 로부터 (4u, o 이 라고 하자. 'P : [O, T]-R 를 연속, 'P~ o 이 라고 하고 ¢EL1(0, T: R), ¢2:: 0 이라고 하자. 이 때 o~s< t ~T 에 대하여 몫 (t) 홍步 (s) 나 \,'P (t') o 에 대하여 'P‘ (t) = ½(a + e) 나 \ :

라고두면 盆d(cp ,t ) =cp(t)

(I. 19)

o 이고t =O 일 때 (1. 21) 은성립하므로 (I. 22) 를 [O, t]에서 적분하면 (1. 21) 윤 얻는다. 그런데 ((n-I- t )2+ t)삼 ~((n- t )2+ t)삼+ ((n- t )2+ t)가 (½-n+ t) 이므로 (1. 22) 가 성립한다.

마지 막으로 Mi n -Max 정 리 를 고 찰 한다. 먼 저 다움 명 제 를 생 각한다. 명제 1.5 .3 X, Y 를 Hausdorff 선형위상공간이라고 하고 EcX, FcY 를 긴밀집합이라고 하자. K: ExF-R 가 각 y EF 에 대하여 x-K(x, y)가 하반연속함수, 각 xEE 에 대하여 y --+K(x, y)가 상반연속함수 인 함수이면 다음 (1), (2) 는 서로 동치이다 : (1) X 。 E E, y 0EF 가 존재하고 각 xEE, y EF 에 대하여 K(x0, y) 집 K(xo, Yo) 입 K(x, Yo). (2) mei n mGa x K(x, y) =meaF x mi Ci E n K(x, y). 증명 긴밀집합에서 정의된 하반연속, 상반연속함수는 각각 최소치, 최대치를 갖는다. (I) ⇒ (2) 가정으로부터 각 y 에 대하여 K(x,y ) 는 E 에서 하반연속 로이 므m.로ea •x m `em .i E e_n i R n K K(x(,x y, y))가 가 촌 촌재재하 한고다 .또 또me한i cn mK'e( is xn , myfe )aFx 는 FK 에(x서, y )상도반 연촌재속 이하므고 항상 (1. 23) mea , x m.ei En K(x, y) ~m,ei , n m,ea F x K(x, y) 이다. (1)로부터 K(.xo , Yo)2 ::m ax K(.x0 , y)2::m i n max K(.x, y), e.- ”E E )e F K(.xo , Yo) 숙쩝T K(.x, Yo) 책떤t;F X 모~ K(.x, y) 이고 (1. 23) 과 함께 (2) 가 성 립한다. (2) ⇒ (1) (2) 로부터 max K(x0, y) =mi n max K(x, y) `er =a'=esm ,ae),xe rm, e si n K(x, y) =m,eis n K(x, y0) 인 X0EE, YoEF 가 촌재하고 따라서 각 xEE, y EF 에 대 하여 (1. 24) K(xo, Y) 후주 K(x, y0)

(1. 24) 에 x=Xo, Y=Yo 라고두면 K(-'o,Yo) = a 이므로 (1. 2 • 1) 로 부터 (1 ) 이 성립한다. 정 리 I. 5. 4 (M in- Max 정 리 ) X 를 유한차원공간, Y 를 Hausdorff 선형위상공간이라고 하고 EcX, FcY 를 간밀집합이라고 하자. K : ExF-,R 가 각 y EF 에 대하여 x--K(x, y)가 하반연속철함수, 각 xEE 에 대하여 y -+K(x, y)가 상반연속요함수 인 함수이 면 명 제 1. 5. 3 의 (1) , (2) 가 성 립 한다. 증명 명제 I. 5. 3 의 (2) 만 증명하면 된다. d i mX=N 이라고 하고 각 xEX 에 대하여 11. xl l = (txl)½ , .x= (.x1, .x2 , …, xN) 라고 두면 |1·112 : X-R 은 연속적철함수이다. 각 e>O 에 대하여 K. : ExF-R, f, : F-R 울 각각 각 xEE, y EF 에 대하여 K,f(..x (, yy)) ==mK i (n.x , K y), (+xe,l lyx)l l 리 `e· 와 같이 정의하면 각 y EF 에 대하여 x-K,(x, y)는 하반연속직철함수이 드 L 로 K‘ (:i, y) = mei ·n K, (x, y) 인 i EE 가 일의적으로 존재한다. :i =A y라고 두면 각 y EF 에 대하여 (1. 25) f,(y) =K.(A y , y) 이 다. 또 각 xEE 에 대 하여 y- K,(x, y)는 상반연속요함수이 므로 f. 도 상반연속요함수이고 f. (y') = my&a Fx /, (y)

인 y’E F 가 촌재 한다. 또 각 xEE, yE F, o

mi n max K(x, y) -Mi조 m i n ma_x K, (x, y) smax K, (x, 1) ~“K프 .(x>G ',Fy ’ )smi n K,(x, y’X)G 소 E m a,xe F mi n K, (x, y) fe F ”탸 >e F eE smax mi n K(x, y) +Me. 3GF xCE e>o 은 입의이므로 e-+O+ 이면 (I. 30) mi n max K(.x, y) ::;max mi n K(x, y) . ”라 : )e F )eF e5 (I. 23) 과 (I. 30) 으로부터 명제 I. 5.3 의 (2) 가 성립한다. (I. 28) 을 증명하자. x,=A((I -t)y1+ ty z) , y,=(I-i)Y 1+t y2 라고 두자. K. 의 정의와 (I. 25) 로부터 각 xEE 와 o

제 2 장 비선형작용소 본장에서는 미 선 형편 미분방정석을 고찰하는 데 많이 이용되는 비선형 작용소 (nonl i near op e rato r ) 중에 서 증대 작용소 (accre ti ve op e rato r), 단조작용소 (mono t one op e rato r), 함수의 열미분 (sub diff eren ti al) 에 대 하여 고찰하기로 한다. 2.1 증대작용소 X, Y 를 두 norm 공간, 짜를 X 의 공역공간이라고 하자. 정의 2.1 .1 X 의 각 요소에 대하여 단 하나의 Y의 부분집합을대웅 시키는 사상 (ma ppi n g) A : X--. p (Y) 를 작용소 (o p era t or) 라 부른다. 득히 X=Y 일 때 작용소 A : X-P(X) 를 X 의 작용소 (o p era t or of X) 타 부른다. 작용소 A : X--. p (Y) 에 대하여 GD(A(A) =) ={ [x{:,tE y ]XE iX A xx ~Y 십l: t,E RD((AA)) ,= xyU&EXA Ax,: t } 를 각각 A 의 정 의 역 (domain ) , 치 역 (rang e ), grap h 라 부른다.

작용소 A : x-p ( Y) 는 일반적 으로 다가 (mul ti -valued) 이 고 각 XEX 에 대하여 AxcY 이다. 특히 Ax 가 일접집합 (s i ng le t on) 일 때 A 는 일 가 (s i ng le-valued) 이 다. 작용소 A : X-P(Y) 는 G(A) 와 같은 것으로 보아도 좋다. 참으 I 2.1.2 두 작용소 A,B : X-P(Y) 와 艦 R 에 대하여 작용소 A+B, lA, A-1 : X-P(Y) 를 각각 A+B= {[x, y +미 EXx YI [x, y]E A, [x ,z ]EB} , lA= {[x, ly] E XX Yl [.x, 짜 EA} , A-1= {[.x, y]E Xx YI [y,x ] 슨 A} 와 같이 정의하고 X 의 작용소 A,B 에 대하여 AB 물 AB= {[.x, z]EXx Xl [.x, 까 EB, [y, z]EA 인 y EX가 존재 } 와 같이 정의한다. 이 때 D(A+B)=D(A)nD(B), D( AA )=D(A), D(A- 1 )=R(A), D(AB)= {xEXlxED(B), BxED(A)} 이고 각 x E.D (A+B) 에 대하여 (A+B)x=Ax+Bx= {y+ zEYlyE Ax, zEBx} , 각 xED(lA) 에 대하여 (lA) x=lA.x = {AyE Yl yE Ax} , 각 xED(A-1) 에 대하여 A-1x= {yE Xl xEAy } , 각 xED(AB) 에 대하여 (AB)x=A(Bx)= {zEXjy E Bx, zEAy 인 y ED(A) 가 존재} 이다. 정의 2.1.3 A 를 X 의 작용소라고 하자. 각 [따 ,Y1], [X2,Y 』 EA 와 각 l>O 에 대하여

i I (x1 _ 간) +l(Y1-Y2) ll ~ I IX1-X2ll 일 때 A 를 증대 작용 소 (accre ti ve o pera t or) 라 부른다. -A 가 증대 작용 소인 때 A 를 소산작용소 (d i ss ip a ti ve o p era t or) 라 부른다. 명제 2.1 .4 .x,y EX 이라고 하면 다음 (1 )-(4) 는 서로 동치이다: (1) 각 ;>o 에 대하여 llx +;yl l ~ll.xl l. (2) .-_,_ (x, y) 츠 0. (3) <.x, y 〉 5 츠 0. (4) F 를 X 의 쌍대사상이라고 하면 .x*(y)츠 0 인 x*EF( .x)가 촌재한 다 . 증명 .x =O 일 때는 분명하다. x 누 0 이라고 하자. 정리 1. 2.18 의 (2), ( 3 ) 으로부터 (2)-(4) 는 서로 동치이다. 따라서 (1), (2) 가 서로 동치임 울 증 명하자. (1) ⇒ (2) 각 l>O 에 대하여 11 .x +l y l | 2: 11 .x ll 이라고 하면 다 (.x, y) =lAi-+ m0+ 一i1 (ll .x +l y ll-11 .x ll) 2:0. (2) ⇒ (1) -r-1-( X, y) 2:::0 이 라고 하면 각 J> o 에 대 하여 t

정의 2.1.6 A 를 X 의 작용소라고 하자. 각 x E D(A) 에 대하여 I_A x l =inf {I IYI I I YEAx} , AOx= {yE XI IAxl =IIYIIJ 와 같이 두고 AO 을 A 의 국소부분 (m i n i mal sec ti on) 이라 부론다. 명제 2.1.7 X 의 증대작용소 A 와 i >o 에 대하여 X 의 작용소 ] 틀 I i =(l+lA)-1 (1는 X 의 단위작용소)와 같이 정의하면 (1) J』는 일가, D( Ji)= R( J+;iA ), R (Ji )=D(A) 이고 각 .x,yE D ( J,) 에 대하여 ll]i .X -1,YII 집 |x--yl l . (2) 각 xED( Ji) nD(A) 에 대하여 I lfix- .x1 1::;;i I Ax I 이고 각 xE D(A) n•>no DUi )에 대하여 l』 .i.m o+ ]i.x = .x. (3) 각 n=I, 2, ···와 xED(h) 에 대하여 |l J 1X_zII 적 nll]i x-xll. (4) 각 표 >O 와 xED (Ji)에 대하여 -f- x+ 구]i XED( J,.), J』 X= J,.(운 x+ 눅도)· (5) 각 l,µ>O, X 택(Ji), y ED (J,.)에 대하여 Il J2 x 」,.y II 三了듭 11 .x-J,.y||+了i平 ;-ll] i X 一 YII. 증명 (1) Ii 의 정의에서 D( JJ) =R(l+lA), R( JJ) =D(A).

각 xED (J l) 에 대하여 ]lX=Y1, ]lx=Y2 라고 하면 Yi, Y2ED(A) 이고 XE(Y1+).Ay 1 )n(Y2+.2 A y z) . A 가 증대작용소이므로 정의 2. 1. 3 으로부 터 IIY1-Y2II 책( Y1-Y2) ＋산 (x 먀 냐 (X-Y2))11=0. 따라서 Y1=Y2. 죽 J 2 는 일가이다. 각 x, y ED (J l) 에 대 하여 x=x1+lY1, y= x2+.2 Y 2 인 [X1, Y1], [X2 ,Y 』 E A 가 촌재한다. J』 x= 따, f l y=따 이고 A 가 중대작용소이므로 I IJl x -JlY l l = llx1-x 시 1:::;1 I (x1-X2) +l(Y1-Y2) 11 = I lx-yll . (2) xED( Jl) nD(A) 이라고 하자. x=x1+.2 Y 1 인 [X1 ,Y 1]EA 에 대하 여 ]lx=x1. (1) 로부터 각 yE Ax 에 대하여 Ilfl x -xlI=Ilx1-xiI = I IJiC x 1+lY1) 一 ]l(x+ .2y )II 직 l (.x1 +.2 Y 1) 一 (x+.2 y) ll =lllYI I 이고 따라서 ll]lx-xll:s;. 2 inf {llyll lyE Ax} =.21 Axl. 각 xED( Jl) nD(A) 에 대하여 (2.1 ) lim f,x =x. 나 o+ (1) 로부터 각 xED (A)n nDUi )에 대하여 (2.1) 이 성 립한다. 』 >O (3) xED(h) (n=I, 2, …）이라고 하자. 그러면 (1)로부터 l\hx-xl l::;In:- t I IJ, •-ix -J_:a - xll i=O ::;I-:t I l]Jx - xl I=nll]Jx - xlI. i= O (4) l, µ>O, :tE D (Ji) 이 라고 하자. 그러 면 :t=:t1+ lY1 인 [x1, yJE A 가 촌재한다. 이 때 ]i x= 따이고 -1J- x+ 눅도국(:t 1+lY1) +눅f!.....,x l =:t1+ µY1ER( I+µ A) =D( J,.),

J,.(-1J-x + 宁 I』 x)= J, .(X1+µY i) =X1=f 1X . (5) 1,µ>O, xED (J』), y ED (Jp)이라고 하자. v=* 이라고 두면 (4) 로부터 +i x-+' 느i ]J, ~-x~E -D V(J .•)n, ~µ. •• x' +느µ Jp yE D( J.) 이고 ]i x=].( -y x+ 누띠 =J.(급 Tx+ 급습 ]lX), J, y=J .(7Y+ 눅玉)=J.(급µy+ ;f,;-J,.y). (I)로부터 Il J』.x-f,.y l I = 111.( ;f,;- x+ 급王) 一]·(*y+ 了뉵Jpy) I I 택급 Tx+ 급군)-(급- ;;-Y+ ;f,;-Jpy)I I 今곱 1111x- f,.y l | +습 I IJi x -yl l . 정리 2.1.8 A 가 X 의 증대작용소이고 각 .:i >o 에 대하여 R (l +L4) 그鬪 이라고 하자. 그러면 각 xED(A), .:!, µ>O, n, m=O, I, 2, ··예 대하여 (2. 2) II Jr x-]';x i |s((n.:!-mµ) 나 nR+mµ2)¼IAxl. 증명 xED(A), .:!, µ>O 이라고 하자. 각 n,m=O,I,2,··· 에 대하여 a',.=Ilhx- Jr;.xi I 와 같이 두고 이중수열 {a' .. ｝에 대한 수학적 귀납법으 로 (2.2) 를 증명하자. 먼처 m=O 또는 n=O 이 면 명 제 2. 1. 7 의 (2), (3) 으로부터 a,.,o=llhx 一 zII 三 n i |Axl,

a 。, .. = 11.x -J::x 1 1:::;;m µj Ax l. 따라서 (2.2) 가 성립한다. 다음 a,.,._1 :::;;((nl-(m-I)µ)2+ni2 + (m-1)µ2)½ IA. xi, On- 1, .:::;; (((n-I)l-mµ) 나 (n-I)l2+mµ2)½ I Axl 를 가정 하자. 명 제 2. 1. 7 의 (5) 로부터 (2. 3) a.,.= II J~ x-hxl I = I IJd r -1x -JP J :- 1.x l I 터급 µI 1Jr- 1x-hx| | +丁눕 II J :x- J: -1 .x ll =*도 .. ＋급근 .. -I 소급노 (((n-1) i -mµ) 나 (n-I)l2+m 尹 I A.xi +言l (,,(-n-'l -(,-m- -— .1') µ ')•2 +. n--l·• 나 . (, m-1-),µ 2.). ½2 I Ax l. 그런데 oO 에 대하여 aa½+p b½ :::;; (aa +fib) ½이 _, 므-로- (, _2._3) , 에,, a= 了운µ T’ g-= 了)言. , a=((n-I)l-mu) 나 (n -l)l2+ mµ2, b=(nl-(m-1)µ)2+nl2+(m-1)µ2 와 같이 두면 (2.3) 으 로부터 a.' ＂ :::;;(aa 산 +합) 1Axl:::;;(aa+f3 b )¼ IA .xi 착 (nl-mµ)2+nl2+mµ2)¼| A.xi. 따라서 (2. 2) 가 성 립 한다. 명재 2.1.9 X 의 증대작용소 A 와 i >o 에 대하여 X 의 작용소 Al 를 Al=+(I -] l) 와 같이 정의하면 (1) A 』 는 일가증대작용소, D(Al)=D (J l) 이고 각 x, y ED(Al) 에 대

하여 ||AEX~A2 y I1 조규2 !x_ y II. (2) 각 xE D (Ai ) 에 대 하여 Ai x EA]ix . (3) 각 xED(AJ nD(A) 에 대하여 |IA 』 xll~IAxl. (4) 0<µ

(3) xED(Ai ) nD(A) 이라고 하자. 명제 2.1 . 7 의 (2) 에서 IIA 』 xll= }llx 一 ]2x11 三 lAxl• (4) xED(Ai) n D(Ap ) 이 라고 하자. 그러 면 lllAix l l = ll]ix - xl l sl l] i X- 一]p xl I + 11],.x-xll =II J,.(宁 x+ 구J 2x)_ JA I+II J ,.X 一 x ii < 11 구 (x- Ji x) 1l + I IJ, . x-xl l = 0-µ) I IAi x l I +µI IA,.xl I 에서 IIA i xll 직 IA 지 1. 정 의 2. 1. 10 X 의 중대 작용소 A 와 각 i> o 에 대 하여 명 제 2. 1. 7 의 Ji 륜 A 의 resolvent 라 부르고 명 제 2. 1. 9 의 Ai 를 A 의 Yooid a 근 사 (a pp rox i ma ti on) 라 부른다. 앞으로 목벨한 언급이 없는 한 J, ~ A 』 는 각각 A 의 resolvent, Yo-sida 근사이다. 정의 2.1.11 두 작용소 A,B: X-.Y 에 대하여 D(A)cD(B) 이고 각 xED(A) 에 대하여 AxcBx 일 때 B 륜 A 의 확장 (ex t ens i on) 이라 부르고 AcB 로 나타낸다. A 를 X 의 증대작용소라고 하자. AcB 인 X 의 증대작용소 B 에 대하 여 A=B 일 때 A 를 극대증대작용소 (max i mal accret ive op era t or) 라 부 론다또. A 가 X 의 증대작용소이고 각 i> o 에 대하여 R (J +M)=X 일 때 A 를 짜증대작용소라 부른다. -A 가 m- 중대작용소일 때 A 를 m- 소 산작용소라 부른다. 명제 2.1.12 (1) X 의 m- 중대작용소는 극대증대작용소이다. (2) X 의 m- 중대 작용소는 페작용소이 다.

(3) 다음 (a), (b) 는 서로 동치이다 : (a) A 가 X 의 m- 증대 작용소이 다. (b) A 가 X 의 중대작용소이고 R (J +;0A)=X 인 Ao>O 이 촌재한다. 증명 (I) A 를 X 의 m- 중대작용소라고 하고 B 를 AcB 인 X 의 증 대 작용소라고 하자. Bc :A 를 증명 하면 된다. [x, y ]EB 라고 하자 . x+l y EX=R (I +lA) 에서 x+ly= x1+ly1 인 [x1, y l]EA 가 존재한다. 그런데 AcB 에서 [x1,Y1]EB. B 는 증대작용 소이므로 I lx-x1I1::;;11 (x-x1) +l(Y-Y1) 11 =O 에서 X=X1 이고 따라서 Y=Y1- 죽 〔 x, y ]=[X1,Y i] 드 A. 죽 BcA 이고 A=B. 그러므로 A 는 극대증대작용소이다. (2) [Xn, Y 』 EA(n=I, 2, …), x-xo, y.-- +Yo 이라고 하자. A 가 증대 작용소이므로 각 [x, y]E A 에 대하여 llxn-X||::;;1I (x.-x) +l(yn -Y)11 . n 一CX)이면 llx 。 -x|1::;;11cx 。 -x)+l(Yo-Y)11. 따라서 B=AU {[Xo , Yo]] 라 고 두면 B 도 X 의 증대작용소이고 AcB 이다. (1) 로부터 A 는 극대증 대작용소이므로 A=B. 죽 [xo,Yo]EA. 따라서 A 는 페작용소이다. (3) (a) ⇒ (b) 분명 하다. (b) ⇒ (a) zEX 이라고 하고 작용소 T: X-X 를 각 xEX 에 대하여 Tx=— ,{,0{~ z--+ 'I —, {一,{i 。J l 와 같이 정의하면 각 x, y EX 에 대하여 IITx 一 Ty ll= g군삭 |l]i 0X 一Ji o y ll 三旦 :~llx- y ll. 충

따라서 각 i>층-에 대 하여 R( I+l A) =X. 문>총-이 므로 R( 다부서 =X. 위의 과정을 반복하면 각 i>宁누=룹오에 대하여 R( I+l A) =X. 문>씁-이므로 R(I+ 층)=X. 각 i>끌충=춥-에 대하여 R( l-1-lA )=X . 이 과정을 계속하면 각 i>강 (n=l, 2, …）에 대하여 R( I+ lA)=X. n--+oo 이면 각 l>O 에 대하여 R( l+l A)=X . 따라서 A 는 硏 증대작용소이다. 명 제 2. 1. 13 A 를 X 의 층대 작용소라고 하면 Ac.A 인 X 의 극대 증대작용소 A 가 존재한다. 증명 tB= {BIB 는 AcB 인 X 의 중대작용소} 라고 두면 (18, C) 는 부분적순서집합(p ar ti all y ordered se t)이다. gc 8 를 전순서집합(t o t all y ordered se t)이라고 하자. 지금 D(A) = U {D(A.) IA.Ea t} 라고 두면 각 xED(A) 에 대하여 xED(A) 인 A& 三어 가 촌재한다. 따 라서 각 xED(A.) 에 대하여 Ax=A.x 와 같이 정의하자. 그러면 巧=자인 각 X i, X2ED(A) 에 대하여 Ax1= Ax2 이다. 실제로 X i ,X2ED(A) 이면 x1ED(A.), x2ED(A,) 인 A.,A,E 어가 촌재한다. 따가 전순서집합이므로 A .. cA, 라고하면 따 ,x2ED(A,) 이므로 Ax1=A,xi, Ax2=A,x2. 그런데 X1=X2 이 므로 Ax1=Ax2. 또한 AcA 이다. A 가 X 의 증대작용소임을 증명하자. [x1,Y 』, [x2,Y 』 EA 라고 하면 A 의 정 의 로부터 [X1, Y1] E~., [X2, Y 』 EA, ~ A., A,E at가 촌재 한다.

어가 전순서집합이므로 A. c A~ 라고 하면 [x 나 ' 1] , [ X2 ,Y 』 E A p . A, 가 중대작용소이므로 각 -<>O 에 대하여 I I (X1- 지 +-<(Y1-Y2) 11 츠 llx1 一 X2I I. 따라서 A 가 X 의 증대 작용소이 다. 그리 고 A 가 ot의 상계 (up pe r bound) 이다. Zorn 의 보조정리로부터 8 의 극대요소 A 가 촌재 한 다. 이 A 가 Ac .A인 X 의 극대증대작용소이다. 실제로 AcB인 X 의 증 대 작 용 소 B 에 대하여 AcB 이므로 BEd3 이다. 그런데 A 는 8 의 극 대요소이 므로 .A =B 이다. 명재 2.1 .1 4 A 를 X 의 증대작용소라고 하면 (1) A 의 페포 (closure) A 도 X 의 중대작용소이다. (2) A 가 X 의 페작용소이면 각 l>O 에 대하여 R (l +lA) 는 X 의 페 집합이다. (3) C 가 X 의 페철집합이고 각 l>µ>O 에 대하여 R (l +µA) :J C 이고 (l+µ A)-1Ccc 이 면 R( I+l A) :JC 이 고 (l+lA )-1 CcC 이 다. 증명 (1) [U1, V 』, [u2, V 』 EA, l>O 이 라고 하자. n-+00 일 때 [u{n>, v1n i]-+[u1 , v 』, [u;), v 언]-+［ u2, v2] 인 [파\ v 탄], [uin ), v; ) ]EA(n=1, 2, …) 가 촌재한다. A 가 X 의 증대작용소이므로 I|u i n)_u ; n)|l 칙 | (u;n) _ ug” )) +A(vin ) -vin )) II. • n-+oo 이면 I lu1-U2I 1=::;;1 I (u1-Uz) +;.(v1-V2) I I. 따라서 A 가 X 의 증대작용소이다. (2) ;.>o, {z,,} cR( I+; .A) 이 라고 하자. n-+oo 일 때 z-+z 라고 하면 각 n=l,2, …에 대하여 %=u,.+;.v. 인 [Un,V 』 EA 가 촌재한다. A 가 X 의 증대 작용소이 므로 Un= (I+M )-lz” 이 고 llun-U ■ ll = I I (J +;.A)-lz” 一 (I+ ;.A)-1z.11 ::;; 1l zn-Z ■ I 1. 따라서 {u ｝은 수령한다. l. i. _m un=U 라고 하면 ”=(J+ M)-1z 이다. 죽

u E D(A) 이고 zEu+i A ucR( J+JA ). 그러므로 R (J+JA) 는 X 의 퍼1 집 합이다. (3) J> O, ]J= (J+.W )-1 라고 두면 명 제 2.1 . 7 의 (4) 로부터 Ji=],(끔 I+ 눅타). E C 라고 하자. 각 zEC 에 대하여 Tz= J~(-f u+ 눅도) 와 같이 T : C--C 를 정의하면 각 z1,z2 드 C 에 대하여 i !Tz1-Tz2II 군구 |lz1-Zzll. 정리 1.1. 13 의 부동정정리로부터 Tz=z 인 zEC 가 존재하고 z= L( 끔-tt+눅도)로부터 uEz+lAzcR(l+ 나)이고 Jiu= zEC. 따라서 R([+J A ):J C , ([+1A)-1CcC. 명제 2.1 .1 5 X* 를 평동철공간이라고 하자. A 를 X 의 m- 중대작용 소라고하면 (1) A 는 반페작용소이 다. (2) 각 xED(A) 에 대하여 li mllA 』 xll=IAxl. 』 -+O+ 증명 ’ (1) 정리 1. 2.5 와 정리 1. 2.6 으로부터 X 의 쌍대사상 F 는 일가이고 X 의 유계집합에서 평등연속이다. [x.,y. ] EA(n=I,2,… ), x”-->Xo, y”一y 0 이 라고 하고 [xo, y。 ]EA 임 을 증명 하자. A 가 증대 작용소 이 므로 정 리 2. 1. 5 로부터 각 [x, y]E A 에 대 하여 (y.-y, F(x,.-x))~ o. {x-x} 는 유계이므로 ”-->00 이면 (y。-y, F(x 。 -x) ） ~o.

명계 2.1 .1 2 의 (1) 로부터 A 는 극대증대작용소이므로 [X o,Yo] E A 이다. (2) 명제 2. 1. 9 의 (3) 으로부터 각 xED(A), ;>o 에 대하여 IIAi x ll ::;; I Ax I . 죽 {Ai X I A >O} 은 회 귀 공간 X 의 유계 집 합이 다. 명 제 1. 1. 6 으 로부터 A 나 -'-Y, ?. ........ O( n ....... (X)) 인 p.} c P>o} 가 촌재 한다. (1) 로부터 [x, y]E A . 따라서 l Ax I ::;;1 IYI 1::;;Ll !!!I ! Ai . xi I 겁ITmi lA i .xll 회 Ax l n_ ' n ➔ w l』에 i➔m O서+ l lAlii-mx ' l lll=A i! . Axlxl!=. !Ax!. 극한의 일의성으로부터 각 xED(A) 에 대하여 명제 2.1.16 X* 가 직철공간이고 A 가 X 의 m 국등대작용소이면 각 x 。 ED(A) 에 대하여 Ax0 은 X 의 페철 (closed convex) 집합이다 . 증명 정리 1. 2.5 로부터 F 는 일가이다. X0ED(A) 이라고 하자. {Yn} CAxo, Y,,-% 이 라고 하면 각 [x, y]E A 에 대 하여 (Yn-Y, F(x 。 -x))~ o. n->oo 이면 (Yo 一y ,F(x 。 _x) ）츠 0 이고 A 가 국대증대작용소 이 므로 [Xo ,Y o]EA. 죽 YoEA 짜 이 고 A. xo 은 퍼 1 집 합이 다. Y1,Y2EA 자, o=:; 조 1 이라고 하면 각 [.x,y ]EA 에 대하여 (aY1+ (1— a )y 2 -y, F( .x。―.x)) =a(y1 _y , F(x 。一.x)) + (1-a) (Y2-Y1, F( .x。 -x) ） 츠 0. A 가 극대증대작용소이므로 [x0,a y 1+(1-a) y』 EA. 죽 ay 1 +(I-a)Y2 EAx0 이 고 A. xo 은 철집 합이 다. 명제 2.1.17 X* 률 적철공간이라고 하고 A 를 X 의 m- 중대작용소 라고하자.이때 (1) X가 적 철공간이 면 A 의 국소부분 AO 는 일가이 다. (2) X가 회귀공간이면 D(A0)=D(A). 증명 (I) xED(A0) 이라고 하자. |Axl =O 이 면 A0x=O. IAx| 누 0, Yi. Y2EA0x 이라고 하자. 그러면 IIY1II=IIYzll= IAx|~o. 1°cA 에서 Yi, Y2EA .x 이 고 명 제 2. I. 16 으로부터 AZ 는 철집 합이 므로 송 (Y i +Y2)EAx.

따라서 IAx| s; ½IIY1+Y2II~ 당(l! Y il I + IIY2lI) = IAxl 에서 IIY1+Y2ll=l! Yi l l+ IIYzll. X가 직철공간이므로 Y1=aY2 인 a>o 가 존재한다. IIY1lI=IIY2lI 에서 a=I . 즉 Y1=Y2 이고 AO 는 일가이다. (2) xED(A) 이라고 하자. 명계 2. 1. 16 으로부터 Ax 는 페철집합이므 로 명제 1.1. 9 로부터 Ax 는 약페집합이다. |Axl 의 정의에서 IIYnll--+ IA .xi인 {Yn}cAx 가 존재한다• {y.｝은 X 에서 유계이고 X 는 회귀적이 므로 y T 키 인 {Yn1} C {y.} 이 촌재 한다. 따라서 yE Ax 이 고 I A.x i 직 !Yll s;i迪 .. _선 IYn;II = I A. x i 에서 IIYll=IA 가 죽 y EA0x 이고 xED(A0), D(A)CD(A0). 그런데 D(A0)cD(A) 이므로 D(A)=D(A0). 명제 2.1 .1 8 X* 를 직철공간, A 를 X 의 m- 중대작용소라고 하면 (1) 각 xED(A0) 에 대하여 A0x= (y EAx11IYI| 홀 (z, F(y) ), zEAx}. (2) X 의 작용소 T 를 각 xED(T) 에 대하여 Tx=F(A0x) 와 같이 정 의하면 T 는 일가이다. 증명 xED(A0), y EA0x 이라고 하자. A0xcAx 이므로 y EAx 이다. 명 제 2. 1. 16 으로부터 Ax 는 X 의 철집 합이 므로 각 zEAx 와 O

역으로 :xE D(A), zEAx 이라고 하자• ||y||홍 (z, F( y)）인 yE Ax 에 대하여 IIYll2 칙 |zll IIF(y) l l=llzll IIYII 에서 ||Yllsil z ll, |Ax|sllYlls inf {l lzlliz E Ax} = jA : xj. 따라서 IIYll=IA:x l . 즉 yE A0x. (2) Y1, Y2EAOx 이 라고 하고 F(Y1) =F(Y2) 를 증명 하면 된다. I IYd l = IIY2ll= IAx| 이므로 (1) 로부터 I IY2I 12= I IY1I l2s ( Y2, F(Y1 麟 I IY2I I I IF( Y1) I I = I IY2I I I IY1ll = I IY2l12 이고 (Y2,F(yi .))= IIY2I12. 따라서 F(Y1)=F(Y2). 죽 T 는 일가이다. 명제 2.1 .1 9 X* 률 평둥철공간이라고 하자. A 를 X 의 m- 중대작용 소라고하면 (1) 각 xED(A) 에 대하여 lim F(Aix )=F(A0x). J- +O+ (2) X가 직철공간이면 (a) lim A i x=A 났 •-+O+ (b) 福는 X 의 페철집합이다. 증명 (1) xED(A) 라고 하자. A 가 X 의 중대작용소이고 각 ..<>O 에 대하여 A i xEA] i x 이므로 각 y EAx 에 대하여 (y -A 』 x,F(x-] i x) ）2: 0, (y- Aix , F(Aix ))2 :0, ( y, F(Aix ) ) 츠 (A 』 x, F(Aix ) ) = I J Ai x l I 모 따라서 IIYII IIAix ll=IIYlll!F (A ix )I|2: (Y , F(Aix ))2 :II Ai x ll2 에서 |IAix llsllYII. {A i xP>o} 는 유계이고 X 가 회귀공간이므로 A 一y 인 An->O(n-oo), Pn} C P>o} 가 촌재한다. 그런데 Ai n xEA]in X , ]i x-x 이고 명제 2. 1. 15 의 (1) 로부터 A 는 반페작용소이므로 yE Ax. IAxlsllYII 칙n쁘-+o l lA i nxll 겁~ n!-+I . A i ., xllslAxl

에서또 III!YF I(IA =, .!xA)x 1!1 ==lI ni I➔ Am m J ! x Il AI :』: ; ;x I iAi 이xI고 에 서廻 A{0Fx.( A 』 ”,x) ln=I, 2, ••• }는 X* 에서 유계이고 차 는 회귀공간이므로 F(Aln,x)~y * 인 .<,.1-+0(n,--=), {l,.1}C {시가 존재한다. A 가 중대작용소이므로 (y一 Aln,X, F(x 一 ]l n, x) 츠 0, (y_ Al,X , F(A 硏 x) ） 츠(\, (Y, F(A 』 n i x)) 츠 (AJ n;X , F(AJn ; X)) = I IAJn ,.X l!2 에서 IIYI l2=li_ i➔r nm l IA 군• : I 匠;lii ➔ mm ( y, F(AJ n;.x)) = (y, y*) 이고 IIYll~IIY* I! . 또한 I IY* II 조~ 1i m | I F(A 』 ,. '; x i I =1!-!1- _;:1;;1; -I A 군 :II = IIYII 에 서 IIYll=IIY* II , IIYll2~(y, y * )되 I YIIIIY*ll~IIYII 언 따라서 (Y, y*) = I IYI 1 2= I IY*l12 에 서 y *=F( y)이고 F(A 玩 x) ....... F(y) . I |F(A 硏 x) 11 = I IAJ n ;X I 1-1 IYI I = I JF(y) 11 이 고 X 가 평 등철공간이 므로 명 제 1. 2. 9 로부터 F(Aln,.X) -+F(y) = F(Nx) . 극한의 일 의 성 에 서 l•-i+ mo+ F (A 』 x) = F(A0x) . (2) (a) xED(A) 이라고 하자. 각 J.> o 에 대하여 ||Al .xii회 A .xi이므 로 {AJ .x l J.> o} 는 유계 이 다. 2n 一 0, 2n>0 인 {A,,} 에 대 하여 Aln,X ....... y인 {니다니이 존재한다. (1)의 증명에서와 같이하여 y드 A°x. X 가 적철 공평간동이철므꽁로간 이AO므 는로 일A 가硏 X이-고+A 났y = A극 났한의 또 일 의II성A0에xl서I= i_ l-+i 1 am~i. .mlO I +AA lg n ; =.x A\I 이°x고. X 는 (b) 万 m芹 는 페집합이므로 万 U5 가 컬집합임을 증명하면 된다. D={xEXl li m J』 x=x} 이라고 두고 D=万 己) 임울증명하자. 명제 2. L .. O+ 1. 7 의 (2) 로부터 각 xE D(A)제 대 하여 Al. i.mo + ]ix= x 이 므로 xED. 죽 D(11)cD . xED 이 라고 하면 Al.i .m o+ J2 X=X. 각 i> o 에 대 하여 ]iXE D(A)

이 므로 xe 万혀). 죽 DCI J(A). 따라서 D= 万(A). D 가 X 의 철집합임울 증명하자. x,y E D, Ol-i+mO+ ]ix = x, 』 l.i. O m+ J』y=y이므로 I IJ1 zll~I IJ1 z-J1 xl l+ llhx-xl1 + llxl l 텍 z 一 x ii +I IJ1 x-xll+I!x ii = (1-a) llx-yl I + II J』 x-xll + llxl l 에에 서대 하瓦L .. o됴여+ I lf유i z계l이l~다(.1- aX)l가lx -회 y귀 ll+공II간x!이I. 므따로라 서]1. Z_{.],』Z zo}, 는.:i. > 충o분, 히An --작>O은 인 .:i(>.: lo.} 이 존재한다. ]1 廳 z-]1nX_.,Z 。 -x, ]1.z-]1.Y_.,z 。-y 에 서 (2. 4) llz 。 -x ii~쁘. !. -l 111. z 一]』 .x ii직i z-xlI= (1-a) 1lx-yl l , (2. s) llz 。 -YII~!!“!수 민 I JJ .z-] J .YII 회 lz- y ll =allx 一y I| 이고 (2. 4), (2. 5) 로부터 llx- y ll~llz 。 -xll+llz 。 _YII 집 -a)llx 一 Yll+allx 一 Yll=ll .x-y ll. 따라서 (2. 6) llz 。 -xll+llz 。 -Yll=llx- y ll. llzo-XII 착 1-a) I lx-yl I = (I-a) (I lz 。 -xl l + llzo-YI I) 에서 allzo-xll~(I-a)llzo-YII 이고 llz 。一 Yll~allx 一 YI l~a(Ilzo-xl I + I lz 。-y I I) 에서 (I-a)Ilzo-YIl~allz 。 -x ii. 따라서 (2. 7) ai l z 。 _xl l = (l-a) llz 。 _YI I. 또 (2. 6), (2. 7) 로부터 (2. s) allx- y ll=llz 。 -YII, (1-a) . llx 一 Yll=llz 。 -x ii. X 가 적철공간이므로 (2. 8) 로부터 z0=ax+ (I-a)y= z. 따라서 li. z ...... z. 극한의 일의 성 에 서 w-l나i m o+ ]iz= z.

J,z - J ,x ~z-x= (1- a) (Y-x) 에서 (I-a) Ily- x l1::=주:;;~I l f lz- J lxll 겁面A. i. oi+ l fl z- J l .x lI 직 lz 一 x i I= (1-a) lly- xll 이고 Ii mll JJ z- J』 xll= (I-a)lly- xll. X 가 평등철공간이므로 명제 1. 2. 9 나 0+ 로부 터 Ji m(] 』 z-] J x )=(I 一 a)( y― x) . 따라서 A 구 0 + lim J』 z= li m ]ix+ (I 군) (y一 x) 』 ➔ O+ • ➔O+ =x+ (I 一 a) (y- x) =ax+ (I-a)y= z. 죽 zED 이고 D 는 철집합 이다. 따라서 D(A) =D 가 철집합이다. 명제 2.1 .2 0 X* 룬 평동철공간이라고 하자. A 를 X 의 m- 중대작 용소라고 하고 A’ 를 D(A')=D(A), 각 xED(A) 에 대하여 |IA'xii ::; 'P ( I Ax l) oJ_ X 의 일 가작용소라고 하자. 단, 'P : [O, oo)-+ [0, C X)) 는 [O, oo) 의 각 유계페구간에서 유계이다. x 。 ED(A) , y0 EX 이 라고 하자. 각 xED(A) 에 대 하여 (2.9) (Yo 一 A'x, F(x 。 -X) ） ~o 이 면 [xo, Yo]EA 이 다. 증명 먼저 Yo=0 이라고 하자. 이 때 (2.9) 는 (-A'x,F(x 。 _x) ） ~o 이다. J』 X0ED(A) 이므로 (_A'l』 Xo,F(x 。 _L 지 )~o 에서 (2. 10) (A']JX o , F(A 따 ) _::;o. 그런데 A i x 。 EA] i Xo 에 서 I A]iX o l 회 | Ai X oll ::;; I Axo I , IIA' J석 | 요

O} 는 유계이다. X가 회귀공간이므로 A']i ,.X 。__.,y, i .. >o, .:i,. -o, p,.J c P>o} 가 존재 한다. A']i. X oEA]i. X o, ]i .x 。 -xo 이

고 명제 2. 1. 15 의 (I)로 부 터 A 가 반페작용소이므로 y E Ax 。 . ( 2 .10) 에 i ,.-+O+ 이면 명제 2. 1. 7 의 (I) 로부터 (y,F (A0x o )):: ;o. 명제 2. 1. 18 의 (1) 로부터 각 Y1EA0.x o 에 대 하여 I IY1l J2 ::;(y, F(yi )) = (y, F(A0xo)) ::;o 이 고 따라서 yl= 0 즉 O _ =A0x 。 EAx0. 그러 므로 [X o, O ]EA . 다음 Yo~O 이 라고 하자. A, A' 에 대 하여 X 의 작 용 소 B, B 저훙 각 xED(A) 에 대하여 각각 Bx=Ax-y0 , B'x=A' x ― Y o 와 같 이 칭 의 하 면 D(B)=D(B')=D(A) 이고 B 는 X 의 m- 중대작 용소, BI 는 B'xE B x 인 X 의 일가작용소이다. 함수 cp0 : [O, oo)-+[ 0, 00 ) 를 각 tE [O, oo ) 에 대 하여 cpo ( t) =sup {cp( s) I o::;s::;t} 와 같이 정 의 하면 % 는 증 가이 고 cp(t) 三 'P o( t)이다• |Axl::;1Bxl+IIYoll 이므로 각 xED(B) 애 대하여 (2.11) IIB'xll::;JJA '.xl l+ IIYo|| 숙 (I Ax l) + IIYoll ::;cpo ( !Ax I ) + I IYoll::;cpo ( I Bx I + I IYol I) + I IYol I. 함수 ¢ : [O, oo)-+[ 0. 00) 를 각 tE [O, oo) 에 대 하여 t/J(t) =cpo (t+ I IYol I) + IIYoll 와 같이 정의하떤 #논 [0, 0 0) 의 각 유계페구간에서 유계이고 (2. 11) 은 각 xED(B) 에 대하여 ||B'xiJ ::;cp( IBxI) . 또 (2. 9) 는 (_B1 x, F(x 。 -x) ）2:: 0. 전반부의 결과로부터 OEBx0= A x 。 _Yo 이고 y。 EA X 0 . 죽 [Xo, Y 。 ]EA. 명제 2.1.21 차를 평등철공간이라고 하자. A,B 를 D(A)=D(B) 인 X 의 짜증대작용소라고 하자. 각 xED(A) 에 대 하여 A0xn B0x~

명 제 2. 1. 20 으로부터 [Xo , Y o]EB. 따라서 AcB. 같은 방법 으로 BcA . 그러므로 A=B. 득 히 AO=BO 이 면 D(A) =D(A0) =D(B0) =D(B) 이므로 전반부로부터 A=B. 에 2.1. 22 (1) 단조 중 가 함 수 f: R--R 는 R 의 증대작용소이다. (2) 단조증가함수 f : R--R 에 대 하여 함수 J : R--R 를 각 .xE R 에 대하여 J(x ) = {yE RIf- (x)~y ~f+(.x)} 와 같 이 정 의 하면 J 는 R 의 m · 증대 작용소이 다. 단, f_ (.x) =lhl-i+ nO 에 대 하여 (.x1 -.Xz ) (f(.xJ -f(.Xz ))2 ::0. 따라서 I (.X1 -.X2 ) +l (f(.xi)-f(적) 12 = I.x i-.Xz I 2+l(X1-.X2 ) (f(.x 1)- f(지) +l2l f(지 -f.xz) 12 츠 | .X1 一.X 2l2 에서 I (x1-x J+l (f (x1)- f(치) 1 2:: IX i-미. 죽 f는 R 의 증대작용소이다. (2) (1) 의 증명과 같이 하여 J는 R 의 증대작용소이다. 또 각 yE R 와 l>O 에 대하여 y -xE 사 (x) 인 xER 가촌재한다. 이 때 yE x+l](x) CR(I+i J). 즉 R(l+ iJ )=R 이고 f는 R 의 'n·증대작용소이다.

(3) [u1, V1], [Uz, V 』 EA, l>O 이라고 하자. 그러 면 각 xER 에 대 하 여 衍 (x)E]( tt 1(x)), V2(x)E]( tt 2(X) ）이고 (2) 로부터 J는 R 의 m- 중 대작용소이므로 i u1(x) 一 U:(x) 1: :;;; 1( u1(x)-u2(x)) +l(v1(x) —V z(x)) I 에서 llu1-U2I|::;;;1I (u1-U2) +l(v1 ―다 11. 즉 A 는 X 의 증대작용소이다. 각 W 1., w2ER (J +lA) 에 대하여 (2. 12) ll (J+ lA)-1w1-( l+lA) 一 1Wzl I:s; ;ll w1-Wzl I. 또 W 슨 X 이라고 하자. 이 때 w(x) 슨 R(xER) . ]는 R 의 m- 중대작 용소이므로 u(x)+lv(x)=w(x) (xER) 인 u(x)ED(]), v(x)E](u(x)) 가 존재한다. (2.12) 로부터 u= (I +lA) - 1w 든 X. 따라서 WE( I+l A)ltC R( I+l A). 죽 R (I +lA)=X 이고 A 는 X 의 m- 중대작용소이다. 예 2.1 .2 3 X 를 Banach 공간이라고 하자. 작용소 S : D(S)c X--X 를 각 x, y슨 X 에 대하여 ||Sx 一 S y l1::;;;1lx- y lI 인 X 의 작용소라고 하자. 각 h>o 에 대하여 T,.= 숫 (I_S) 라고 두면 Th 는 X 의 중대작용소이고 D(S) =X 이 면 T,. 는 X 의 m- 중대 작용소이 다. 특히 A 가 X 의 m 증대작용소이면 각 l>O 에 대하여 A, 도 X 의 m- 증대작용소이다. 증명 정리 2. 1. 5 와 계 1. 2.19 로부터 각 x, y ED(S) 와 h>O 에 대하 여 ,) 각 (llx- y ll2-llx- y ll IISx-Sy ll ) 작 (llx-yl l 2-llx-yl l 2) = o. 죽 T .. 는 X 의 증대작용소이다. D(S)=X 라고 하자.

zEX, i >o 이라고 하자. 작용소 T: X-X 를 각 xEX 에 대하여 Tx= l+l h -S~- x+.' l+h h z 와 같이 정의하면 각 x, y EX 에 대하여 IITx ― T y ll 급拜,Ai - llx- y ll. 0< 국 T<1 이므로 정리 1.1. 13 의 부동접정리로부터 Tx=x 인 xEX 가 존재한다. x= A+;. h S~ x+. A+h1 L z 에서 z=x+,l. T hxER(/+,l. T h). 죽 R (J +;.Th)=X 이고 Th 는 X 의 m· 증대작용소이다. A 가 X 의 m· 중대작용소이므로 각 ;.>o 에 대하여 D( Ji)= X 따라서 전반부와 Ai 의 정의로부터 Ai는 X 의 m· 증대작용소이다. 예 2.1 .2 4 예 2. 1. 22 의 (3) 의 공간 (.X, 11·11) 는 Banach 공간이 된 다. X 의 작용소 A 를 D (A) = {ttE XI uEX} , Au=u, uED (A) 와 같이 정의하면 A 는 X 의 m· 소산작용소, 죽 -A 가 m· 증대작용소 이다. 증명 각 WEX, l>O 에 대하여 미분방정식 u(x)-lu,,( x)=w(x) (xE R) 는 일의져인 해 uED(A) 를 갖는다. 이 때 u(x) =급式~ e-1s-,12/-1' Tw (y) d y 이고 u= (I -lA) －畑이다. 또 각 u,vEX, J >o 에 대하여 ll( I-JA )-1u ―(J-J A)-1vl|:::;;11u- 미이므로 A 는 m- 소산작용소, 죽 -A 는 m 증 대작용소이다.

예 2.1 .2 5 Q를b R” 의 유계개영역, r 를 Q의 원활한 겅계라고 하자. /3를 OED (/3)안, R 의 국대단조작용소라고 하자. I~PO 에 대 하여 tt1 , U2, V1, V2E L1(Q ) 이 고 V1 (X) E /3 (tt1( x) ) , V2 (x) E/ 3 (u2 (x) ) a. X. eEQ , /3 는 R 의 단조작용 소이므로 I (u1(.x )-tt2( x)) +A(v1(x)-v2(x)) | 츠 | tt1 (.x )-tt2(X ) I 로부터 I | (t4l -U2) +A(vl-v2) I I p킥 |ul-t42 1 Ip. 따라서 B 는 U( Q)의 증대작용소이다. R (l +B)=U( Q)를 증명하자. vEU( Q)라고 하면 v(x)ER(xE Q)이 고 9 가 R 의 극대 단조작용소이 므로 u (x) + {3 (u (x) ) 3v (x) a. e. xEQ . v 가 가축함수, (I+B)-1 는 축소작용소, 죽 연속이므로 U 도 가축함수이 다. OED( /3)로부터 v(x)E/3 ( 0) a. e. xEQ 인 5ED 가 촌재한다. o+ /3( 0)3v(x) a. e. xEQ 로부터 (l+f3) - 1 v(x) =O a. e. xEQ 이 다. l u(x) I = I (/+{3)-1 v(x)-(/+{3 )- 1v(x) I ~ l v(x)-ii( x ) I a.e.xE Q로부터 uEU(Q) . 따라서 u+Bu3v. 그러므로 B 는 U(Q) 의 m- 증대 작용소이 다. 예 2.1.26 Q를 R 의 유계개영역, r 를 9 의 원활한경계라고 하자. I

m 증대작용소이다. 증명 예 1. 2. 21 로부터 각 U1, U2ED(A) 에 대하여 (Au1-Au2, F(u1-u2)) = L D (-L1u 1 + L1u2) F(u1 玉) dx =_＼홉 틀 (U1 玉) (u1\:: 긴 uu2\ i: -u: p -2 dx = II1 tl 」 %11;-2 誌 국(t4 l_U2) 훑((tt 1-U2)IU1-U2IP-2)dx = +I |(u1l4_ll_uU22| )It—-a2 o x 냐i ((1t玉 l_ ( U!2)t—8 1ax 리i 1u 1 )2-1u 2U1l '一-2 U)zd i xp- 2 이고 -0x,|. t 4 l_U2I E2= (P-2) 1u l-U2|p- 4(t4 l_U2)—a xi (ul_U 2) a a 이므로 (Au1-Au2, F( tt1 一 U2)) = 11 巧―;마 1;-2 \효(（습(t 41 집 )2lu1-U211-2 + (P-2) (u1-U2)2( 습(tt l-U 가 | ul 따 | ’-4)dx;;:::o. 또 Ag m on-Doug la s-Ni re nberg [2] 로부터 R( I+A )=R(l-:--A)=U(Q ). 따라서 명제 2. 1. 12 의 (3) 으로부터 A 는 U( Q)의 m· 증대작용소이다. 2.2 단조작용소 H 를 Hilb ert 공간이라고 하자. (·, .)를 H 의 내적, |I·11 를 llxll=(x, 군 (xEH) 인 H 의 norm 이라고 하자. H*=H 이다.

정의 2.2.l H 의 작용소 A 가 각 [X1,Y1], 〔 X 2 , y』 E A 에 대하여 (Y1-Y2 , 떠 ― X 2) 츠 0 일 때 A 를 H 의 단조작용소 (mono t one o p era t or) 라 부른다. A 가 H 의 단조작용소들의 집합에서 극대 (max i mal) 일 매 A 를 H 의 극대 단조작용소 (max i mal monoto n e ope rato r) 라 부른다• 명제 2.2.2 A,B 를~ H 의 단조작용소이라고 하면 (1) A-1 도 H 의 단조작용소이다. (2) 각 l>O 에 대하여 J A 도 H 의 단조작용소이다• (3) A+B 도 H 의 단조작용소이다. (1) A 도 H 의 단조작용소이 다. 증명 정의에서 분명하다· 명제 2.2.3 H 의 작용소 A 에 대하여 다음 (1), (2) 는 서로 동치이 다: (I) A 가 H 의 단조작용소이 다. (2) A 가 H 의 증대작용소이다. 증명 각 [x1, yl] , [x2, y』 EA, l>O 에 대 하여 (2. 13) ll (x1-X2) +l(Y1-Y2) ll2 =llx1- 지 l2+2l(Y1 一 Y2, X1-X2) ＋꾼| |Y1-Yall2. (1) ⇒ (2) 가정에서 (Y1-Y2,X1-X2) 2::: 0 이므로 (2.13) 으로부터 11 (x1-X2) +l(Y1-Y2) 112 츠| lx1-X2I I 언 따라서 ll(x1-X2)+l(Y1-Y2)Il 2:'.: llx1-X2II 이고 A 는 H 의 증대작용소이 다. (2) ⇒ (1) 가정과 (2.13) 으초난杓터 (2. 14) 2l(Y1-Yz’ 띠 -X2) +l 기 |Y1-Yzl 122 :'.:0 . (2. 14) 를 21 로 나누고 l-O+ 이 면 (yl -y2, xr-X2)2: ::0 . 따라서 A 는 H

의 단조작용소이다. 명제 2.2.4 C 를 H 의 페철집합, A 를 H 의 단조작용소라고 하자. yE H 이 라고 하자. 그러 면 각 [.xo, Yo]EA 에 대 하여 (2. 15) (y。 +x, x 。 -x)~( y, .x。_.x) OJ . xE C 가 촌재 한다. 증명 먼저 y= O 이라고 하자• 이 때 (2.14) 는 (Yo+.x , X 。 _x) 2:: 0 이 다. 각 [.xo, Yo]EA 에 대 하여 c 〔 x 나。］＝ {XE 이 (Y o+.x , X0- .x)츠야 이라고 두고 C[xo,Yo 〕가 유계페철집합임을 증명하자. 각 xEC[x0, Yo] 에 대하여 0 착 Yo+x, X0-.x ) ~(Yo, 。) + 11 .x。一 Yol11I .xi I-II .xi 12 에서 IIx11 三강 (Ilx 。 -Yoll+ ✓ llx 。 -Yoll2+4(Yo, X 。))． 따라서 C[.xo , Yo] 는 유계이다. {Xn} cC[.xo , Yo], 一 X 이 라고 하면 {Xn} CC, (Yo+Xn, X 。 -x ）츠 O (n= I,2, …）이고 n-+oo 이면 C 는 페집합이므로 xEC 이고 (Yo+x, .x。 -x) 츠 0. 죽 C[xo, Yo] 는 페집합이다. 떠, X2EC[xo, Yo] ,a 츠 0, /3츠。， a+ f3=尸祥七고 하면 따， .x2 EC 이고 (Yo+ 따 ,x 。 -1) 2:: 0, (Yo+Xz,X 。 -X2) 2:: 0 이다. C 가 철집합이므로 ax1+ fiX2 EC 이고 ( Yo+ax1+f3 x 2, .x。- (ax1+f3 x 2)) = (a(Yo+X1) +/3( Yo+Xz), a( .x。 -X1) +/3(.X。 -X2)) =aZ(Yo+X1, 자 -X1) +af3( Yo+X1, X 。 -X2) +afi( Yo+Xz, X 。 -X1) +/32 ( Yo+Xz, X 。-지 = (a2 +af3) (( Yo+X1 , .X。―玲 + ( Yo+xo, 자 -X2)) +a ,8 IIX1- 김 122 ::0. 따라서 a.X i+/3X 2EC[.x o, Yo] 이고 C[.xo , Yo] 는 철집합이다. 그러므로 C[xo,Yo] 는 유계페철집합이다.

(i) A={ 〔 x,-, y,〕 EHxH ii =I,2,···,n} 일 때. K= P=(J냐, …, An)ER 기 2n 는 1, J, 츠 O( i =I, 2, …, n)} i= I 라고두면 K 는 R 의 간밀철집합이다. 함수 f :KxK-+R 를 각 뇨 01, Az, …, i.), µ= (µ1, µ2, …, µn) EK 에 대 하여 f(l , µ) =E µ,·(y,.+ x(i) , x(i) -X,.), x(i) =2 i#j, i= l i~ t 와 같이 정의하면 f (A, i )~O(lEK) 이고 각 µEK 에 대하여 f는 A 의 연속 함 수, 각 ..

정리 2.2.5 H 의 작용소 A 에 대하여 다움 (1)-(3) 은 서로 동치아 다: ((12)) A각 는x, 극y E대H단 와조 작i용> o소 에이 다대.하 여 (2.17) ll (l+J A)-1x- (l +lA)-1 y ll 직 lx- y l l. (3) A 가 단조작용소이 고 어 떤 Jo> O 에 대 하여 R( l+J0 A)=H. 증명 (1) ⇒ (2) A 가 H 의 극대단조작용소이므로 각 i> o 에 대하여 J A 도 H 의 극대단조작용소이다. y EH 이라고 하자. 명제 2.2.4 로부터 각 [:co, Yo]EJ A 에 대 하여 ( Yo-( y- x) , x 。 _x) 츠 0 인 XEH 가 촌재한다. 따라서 y- xEJ.A x, y Ex+ J AxcR (l+.O 에 대하여 Z1=X1+ly1 ,2 2= x2+Ay 2 라고 두면 x1= (/+lA)-1 2 1 , x2= (/+lA)-1z2 이 다. (2.17) 로 부 E] I lx1-x2I I= 11 U+ .o 에 대하 여 R( l+.O 이 라고 두면 R( l+l0 A) =H. (3) ⇒ (1) B 를 H 의 단조작용소라고 하고 AcB 라고 하자. 각 [x,y ] EB 에 대하여 x+l 。y EH 이고 가정에서 (2. 18) x+l 。y Ex'+l0Ax1ex'+l0Bx1 인 x'ED(A) 가 촌재한다. 한편 x+lo y Ex+l0Bx 로부터 x'=( I+l 0B)-1 (x+ i。y) =x. (2. 18) 로부터 [x, y] EA. 죽 BcA 이 고 A=B. 따라서 A

는 H 의 극대단조작용소이다. 정리 2.2.6 A 를 H 의 단조작용소라고 하면 D(A)Cc굽 규D (A) 이고 AcA 인 H 의 극대단조작용소 A 가 촌재한다. 단, 굶죠 D(A) 는 D(A) 의 페철포 (closed convex hull) 이 다. 증명 A 를 H 의 단조작용소라고 하자. ff ={BIB 는 Ac B , D(B)c 雲V D(A) 인 H 의 단조작용소}라고 두면 AE!Y 이므로 '::\=95 . .‘ r’ 를 ff'C f f 인 전순서 (tot a l ly ordered) 작용소족이 라고 하면 Zorn 의 보조정 리로 부터 § 의 국내요소(r. .ax i mal element) A 가 촌재한다. AE!Y 이 므로 A 는 AcA, D(A)c 굶 nvD(A) 인 H 의 단조작용소이다. y EH 라고 하자. 명 제 2. 2. 4 로부터 각 [X o,Y o]EA 에 대 하여 ( Yo-( y-.x), .x。 -x) 츠 0 인 XE 굶귬D (A) 가 존재한다. A'=AU{[ .x,y-.x]｝라고 두면 A’ 는 AcA', D(A')c굶 귬 D(A) 인 H 의 단조작용소이다. 죽 A’Ef f. 고런 데 A 는 夕의 국대요소이므로 A'=A 에서 [x,y - x]EA, yE x+Axc R( l+A ), R( l+A ) =H. 정 리 2. 2. 5 로부터 A 는 구하는 H 의 극대 단조 작용소이다. 명재 2.2.7 A 를 D(A)=H 인 H 의 일가단조작용소라고하고 각 x, XoEH 에 대하여 w-. l..i 。m+A ((l-a)x+ax 。 )=Ax 이면 A 는 1f 의 극대단조 작용소이다. 증명 [x, y] EHx H가 각 x'EH 에 대 하여 (Ax'-y, x'-x)2:: 0 를 만 족한다고 하자. 각 x 。 EH 와 aE(O, 1) 에 대하여 x'=(l-a)x+ax0 이라 고 두면 (A((1-a)x+ax 。 )-Y,Xo-X) 츠 0. a-+0+ 이면 가정에서 각 x 。 —EH(A 에 x -대y) 하)2여::0 . (따A라x서- y ,1x1 。 -Axx)- y츠l l 02. =0x 이0 =고x -AAxx=+y y . 라따고라 서두 면A (는A x극-대y, 단조작용소이다. 명재 2.2.8 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하자• x ........ x, y ....... y인 [x' y』 EA, x, y EH 에 대하여 面귬y n, x) :: ;;(Y, X) 이면 [x, y] EA 이고 翼대지-

Iim ( Yn, Xn) = ( Y, x) . .... m 증명 A 가 단조작용소이 므로 각 [.xo, y。 ]EA 에 대 하여 (y。-y' x 。­ Xn) 츠 O (n=I,2,… ). 가정에서 n->oo 이면 (y。 -Y, .x。 -X)~o. A 가 극대 단조작용소이 므로 [x, y]드 A. 또 (y。 -Yn,Xo-X ）츠 0 (n=I,2, …）에서 I쁜 gy 'xn)~(Y, .x). 가정에 .).1 ( y, x) 짖쁘n 기'( , y' x) 척in 내m f '( y.,, 따) ~ ( y, x). 따라서 1 보( y“자) = ( y, x) . 2.1 에서 처럼 각 .:i >o 에 대하여 Ji= (l+lA )-1, A i국 (I- Ji) 와 같이 둔다. 정리 2.2 .9 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하자. 그러떤 (1) A - 1 와 각 l>O 에 대하여 L 도 H 의 극대단조작용소이다. (2) 각 xEH 에 대하여 lHiJO!+l ]1x=Pro i-m,군 (3) ~와 R 혀껴근 H 의 철집합이다. 증명 (1) A 가 H 의 국대단조작용소이므로 분명하다. (2) 각 xEH 에 대하여 x i=Ji x(l>o) 라고 두자. 그러면 L 의 정의에 서 [x 나 (x 군 )]EA . A 가 단조작용소이므로 각 [x', y ’]EA 에 대하 여 (2. 18) (f

llxil l2-(llxll + II 리 I-Al IY'I I) I lxil I-(I l xl 11lx'I I +Al lx'l11 IY'I I) 척 0. 따라서 {x 니 l>O} 는 충분히 작은 A>O 에 대하여 유계이다. H 는 회귀공 간이므로 1._.,Xo, A>O(n=l, 2, …), A”--o+ 인 {서 이 존재한다. (2.18) 로부터 ||x 』 II 홀 (x 크.y'. xi. -x') + (x 』' x'), Ilxol12::::; li mlIx i .II 홀 (x, X 。 _x') + (x0, x') n 내 이다. 따라서 각 x'ED(A) 에 대하여 (X-Xo, X 。一 X’)~o. 또한 각 x'EconvD(A) 에 대하여 (X-Xo, X 。 -X’) 츠 o. 명 제 I. I. 15 로부터 x0=Pro j눕 vD(A)X 이 고 i.一 Pro j =7D(A) x 이 다. 국한 의 일의성으로부터 w- li mxl=Pro j-;:;;-따 (A)X 이다. 나 o+ 한편 각 x'E 굶 nvD(A) 에 대하여 (2. 19) •l~iom+ /lxll| 홀 (x, x 。 -x') + (x0, x'). (2.19) 에 x'=x0 이라고 두면 面l .. 0 n+l lxll12~1lxol12. 또 w-lAi- m+o+ xl= 따 로부터 llxol 匠;l-i= am+|I • x J• •P . 따• 라• 서• l'-i+ mOl+ lx 』 ll=llxoll. 그러므로 (2. 20) l.Li+rOa + Xi = X0=Proic onvn cA>X . (3) XE 굶귬 D(A) 라고 하면 (2. 20) 으로부터 lim x,=x. 그런데 X 로 나 o+ D(A) 이므로 xED (A). 죽下굶구 D(A)c 万(A). D(A)c 굶 nvD(A) 이므 로 万 @5=convD(A). 죽互겨只는 H 의 철집합이다. A 가 극대단조작 용소이므로 A-1 도 극대단조작용소이다. 따라서 RCA)=~도 H 의 철집합이다. 명제 2.2.10 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하자. 그러면 (1) 각 x,y E H, i >o 에 대하여 A i는 H 의 국대단조작용소이고

(2. 21) IIA J x —A 』 YII 국 llx- y ll. (2) 각 J> o 에 대 하여 A 』= (A 나 +A) 칸 (3) 각 J ,µ>O 에 대하여 (A 』)p =A,+~· (4) 각 xED(A) 에 대하여 IIA, .x ll 는 i> o 에 관하여 단조감소이고 I IA,xl J:s;I I A0.x l I, liml IA,.x l I = I IA0.x l I , ,➔ o+ (2. 22) IIAzx-A0xll2~IIAOxJl 2-IIAzxll2, lim Ai x =A0x. ,➔ o+ (5) x E£: D(A) 이면 l, 血➔ o+ IIA i xll=oo. 증명 (1) x,y E H, l>O 이라고 하자. AlxEA Jl x 이고 A 는 H 의 던 조작용소이므로 (2. 23) (Alx-A 』 Y, x-y) = (Alx-AiY , lAlx- -lA』y) + (Ai x -AiY , Jl. x -JJ:J) 츠시 |Ai x -AlYl l2~0 에 서 Al 는 H 의 단조작용소이 다. 또 (2. 23) 으로부터 1I Alx-Alyl 1 1lx-y l I ~ (Ai x -Aly, . x-y)~ lllAlx-A,yll 2 이고 IIAlx-Alyl l ~+llx-yll . D(A 』 )=H 이므로 (2.21) 과 명계 2.2.7 로부터 A i는 H 의 극대단조 작용소이다. (2) 각 1>0 에 대 하여 A 』 cA Ji 로부터 A:.1cJ ,- 1A-1= (1+-lA) A-1=A-1+.2 . A - 1 도 H 의 극대단조작용소이므로 Al=(A-1+1)-1. (3)(2) 로부터 각 l,µ>O 에 대하여 (A 』),.＝ (A,1+µ)-l= (A-1+1+µ) =~+,..

(4) xED(A), .:i >o 이라고 하자. A 가 H 의 단조작용소이므로 (A°, -AJx , x- Ji x) 츠 0 에서 IIAix l l2~ (A0x, A J x) 三 IIA°x|IIIA i xll 이고 |IA i xl l 직 IA0xll. µ>o 이라고 하자. A i가 H 의 단조작용소이므로 같은 방법 으로 하여 IIA J+p xlI=11(A 』 )µll~IIA i xll. {A J xl .:l >o} 가 유계이고 H 는 회귀공간이므로 Ai .x ~y , .:i.> o(n=1,2, …) , i n 一 0+ 인 {2} 이 촌재 한다. Ai . EAJ J.x , ]i.x- >::c 이 고 A 는 반약 페작용소이므로 yE Ax. 따라서 IIA0x !I칙 |Yll~ li mllA 』 nx11 집im llA i .xll 집 A°x|I 'r + C n ➔ - 에서 y =A0x 이고 nI4 i m0l lA 나 :ll=IIA0xll. 극한의 일의성으로부터 Jl ➔im O+l IA,xl I = I IA0xl I. 또 l-+O+ 일 때 IIA,x-A0xl 12=IIA,xl| 드 2(A,x, A0x) +l.lA 0 xll2 ~IIA,xll2-2IIA,xll2+IIA11xll2 = I IA0xl l 드 | |A,xl l2-+0. 따라(5서) x. l..~i.m o+ D A(1Ax)=,A l0,x µ. >O 이라고 하자. (2. 22) 로부터 (2. 24) IIA,+,.x-A,xll2~IIA,xll2-IIAi+ xll2. 만일 1-+0+ 일 때 {IIA,xllll>o} 가 유계라고 하면 IIA 』 +µXII 회 |A J xll 에 l이서l0i n+므.l .Ai.로.m 0,+Ix Ix=AE,yx D 라ll(고 A가) .두 촌면이재 것하| 은|고x -가J따,정x 라에l I서 = 모ll 순I(A2이.,x2다4l )I. 에 로 서부 터나l im o+l나 i J m o,+Ax =2xx .가 A촌,x재E한A 다J』 X . 명제 2.2.11 A 가 H 의 극대단조작용소이면 A 의 극소부분 AO 는 A 의 주부분이다. 증명 B= {[x, y] ED 혀) xHI (A0x 。_y, x 。 _x) 츠 0, X0ED(A) ］라고 두 떤 AcB 이다. B71- H 의 단조작용소임울 증명하자. 각 [x i , Y 』, [X2 , y』 EB 에 대하여 x= 송(.x 1+X2) 라고 두면75(A ) 는 H 의 철집합이므로 XE万 . 각 XoED(A) 에 대하여

(2. 25) (x1-A0x 나 (x1-x2) +x-x 。 )~o, (2. 26) (x2-AOX0, 송 (x2 군) +x-x 。 )~o. (2. 25) 와 (2. 26) 을 변변 합하면 강 (Y1-Y2, X! －石)~ (Y1+Y2, X1-X 。) +2(A0x0, x-x 。). 각 i> o 에 대 하여 A,xEA],x 에 서 Xo=f ,x 라고 두면 (A0J ,x , x-J,x ) =l(A0J ,x , A,x)2 .:0 . 따라서 강1 (Y1-Y2, X1 군)건 (Y1+Y2, A 』 x). i -+0+ 이면 (Y1 一 Y2,X1-X2)~o. 죽 B 는 H 의 단조작용소이다• A 는 극 대단조작용소이므로 A=B 이고 [x, 까 EA. 그런데 D(A0)=D(A) 이므로 AO 는 A 의 주부분이다. 계 2. 2. 12 A, B 를 H 의 극대 단조작용소라고 하자. D(A) =D(B), A0=B 어떤 A=B. 증명 [.x,y ]EA 이라고 하자. 각 자 ED(A) 에 대하여 (A0x 。-y, x 。­ x) 츠 O. A0=B0, D(A) =D(B) 이므로 (B 남-y, x 。 -x) 츠 0. 그런데 BO 는 B 의 주부분이 므로 [x, y]E B.죽 AcB. 같은 방법 으로 BcA. 따라서 A=B. 정의 2.2.13 A 를 H 의 작용소라고 하고 ::c oEH 이라고 하자. ::c o 의 어떤 근방 V 에 대하여 xUev A ::c가 유계일 때 A 는 ::c o 에서 국소적유계 (loc ally bounded) 이 다”고 말한다. A 가 각 ::c EH 에서 국소적유계일때 A 는 H 에서 국소적유계이다고 말한다. H 의 각 유계집합· E 에 대하여 zU Ax 가 유계일 때 A 를 유계작용소

라부른다. 명재 2. 2.14 r>o 에 대하여 V(O, r) = {xEHI llxll:<:::;r} 이라고 하자. x”-o, IIY 』1-00 인 {x.}, {y }cH 에 대하여 lim( x,.,- x 0, y,.) =-oo i-+- 인 XoE V(O, 7) , {x”i} C {xJ , {y”i} C {임 아 존재 한다. 층명 명제가 성립하지 않는다고 하자. 그러면 각 xEV(O,r) 에 대하 여 (x_x, y n)~Cs(n=I,2, …）인 CsER 가존재한다. 따라서 kEN 에 대 하여 E .. = {x'EV(o, r) I (x,.-x', Yn) 츠― k(n=I, 2, … )} B라a고ir e -두H면au sVdo(roff, r의) =•_U정= 1 E리러 로다부.터 각V (xE0., 는e) =페 {집xE합H이I 므ll로x- x정0l리l~ e1J.c 1E..10 2 의인 e>o, koEN, X 。 E V(O, r) 가 촌재 한다. 각 xE V(x0, e) 에 대 하여 (2. 27) (2Xn+X 。 _x, y,.) = (xn+Xo, Y) + (%국, y )~C - s 。 _k 。 (x=I,2,… ). x-+0 에서 각 n 츠짜에 대하여 |lxnI | < ：인 n0EN 이 존 재한다. x=2xn+x 。一 z 라고 두면 각 n 츠짜와 | l z ll ~ 웅인 zEH 에 대 하여 llx-xoll~e 이므로 xEV(x0, e). c=c~o 라고 두면 (2. 27) 로부터 n 주 llzll~ 웅일 때 (z,Y ,,)2 ::c -ko, llzll~ 웅이면 또 II 一 zII< 웅이므 그로 러(므-z로, y n)22: :::n c0 一 일 k o 때에 서I IY 爲( 1z1,=Y1 1）~1학~: Ps 。/2 -| (c 운이 U고, Y n따) I라 ~서+ 1|( kz 。 ,_Yn c) Ij <회oo k. 。 _이cl 것. 온 IIYnll-+00 에 모순이다. 명재 2.2.15 A 를 H 의 단조작용소라고 하고 XI 를 D(A) 의 내접이 라고 하면 A 는 X’ 에서 국소적유계이다.

증명 (1) x'=O 일 때. 명 제 가 성 립 하지 않는다고 하면 x.--+O, IIYnll--+00 인 {xn} CD(A), Yn EAXn 이 존 재한다. {지온 유계이고 0 은 D(A) 의 내접이므로 V(o,r) ={xEH i llxllo 이 촌재한다. 명제 2.2.14 로부터 (2. 28) l'i-m· (y” Xm-X 。) = -0 0 인 X 。 E V(o,r), {x,,;}c{x,,}, {y ,,1}c{ y.｝이 존재한다. A 가 H 의 단조 작용소이므로 YoEA 에 대하여 (y., - Y o, X 蠶 ,-X 。)츠 0. y= O 이면 (y,,h 따서, -Y%o~)O 츠. 0( 2이. 2고8) 1에i i ➔ m ~서( y m,x;-Xo) 츠 o. 이것은 (2.28) 에 모순이다. 따라 -co 책쁜( Yo, X‘ 군)幻떤 (Yo, X;-X 。) 조 l, i~ m-( y”i, X 丁냐 )=_00 이고 마라서 1im (yo ,x”i_ Xo)=-OO. 또한 딴포|(y o,x-X 。 )l=oo. 임의 '니' 의 M>o 에 대하여 흐i o 일 때 1( y o,Xn,_x 。 )l>IIYollM 인 EN 가촌 재한다. 요건 o 에 대하여 11. x.; -Xoll2=:: Is(u p 福I (Y ox, ‘. . x-.;X-. 。X) 。|) >1 M lly l l=! 에서 |IXN;ll>M+llxoll-M 은 입의이므로 M-+oo 이면 lii .m.- l lx,.;ll=oo. 이 것은 모순이다. 따라서 A 는 0 에서 국소적유계이다. (2) X 삼 rO 일 때. y 'EAx’ 이라고 하고 H 의 작용소 B 를 D(B)=D(A)-{x'J, Bx=A(x+x 。), xED(B) 와 같이 정의하면 B 는 H 의 단조작용소이고 0 은 D(B) 의 내접이다. (I) 로부터 B 는 0 에서 국소적유계이고 따라서 A 는 X’ 에서 국소적유 계이다.

정리 2.2.16 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하자. 그러면 다음 (1), (2) 는 서로 동치이다 : (1) R(A)=H. (2) A-1 가 H 에서 국소적유계이다. 증명 (1) ⇒ (2) A 가 H 의 국대단조작용소이므로 A - 1 도 H 의 국대 단조작용소이다. (1) 로부터 D(A - 1)=R(A)=H 이므로 각 xEH 는 D(A 가)의 내접이다. 명제 2. 2.15 로부터 A - 1 는 각 xEH 에서 국소적 유계이고 따라서 A - 1 는 H 에서 국소적유계이다. (2) 수 (1) H 가 연결공간이므로 R(A) 가 H 의 개집합인 동시에 페집합 입을 증명하면 된다. 먼저 R(A) 가 H 의 페집합임을 증명하자. y ER 간 5 이라고 하면 Yn-+y 인 {y .,)cR(A) 가 존재한다. (2) 로부터 A - 1 가 y에서 국소적유계이므 로 xEA 1y. , llx.11::;M(n=I, 2, …)인 M>o 이 촌재한다. H 는 회귀공 간이 므로 x,. i一 x, n,.-+ 00 인 {n,.} 가 촌재 한다. A 가 단조작용소이 므로 각 x 。 EA ·· 1 y o 에 대하여 (x,. ，一 Xo, y,.i군)츠 0 이고 i-+ 00 이 면 (X-X0, y一 Yo) 츠 o. A -1 가 극대단조작용소이므로 xEA ·1y 이고 yE R(A). 따라서 鬪 =R(A). 죽 R(A) 는 H 의 퍼 1 집합이다. 다음 R(A) 가 H 의 개집합임울 증명하자. YoER(A) 라고 하고 XoE A 짜 이 라고 하자. (2) 로부터 A- 1 가 Yo 의 r- 근방 V(Yo, r) 에 서 유계 라고하자. y EV( y 0,r) 이라고 하자. 각 e>0 에 대하여 R(1++A)=H 이고 X0+ +y탁{이므로 x0+-¼y E x,++Ax, 인 x.ED(A) 가 촌재한다. CX 。+y E ex,+Ax‘ 에서 z,= y +e(x 。 -Xe) 이라고 두면 A 가 H 의 단조작용소이므로 (Yo-Z,, X 。 -x. ）2: 0 이고 다라서 (Yo-Z,, z, 一y)2: 0. (Yo-z., z,-Yo+Yo- y)2:0 에서 II Yo-Z;I 12::; (Yo-Z,, Yo-Y) 칙 |Yo-z,I II IYo-YI I 이고 |IYo-z,I1::;1IY 。 -YllO(n=I, 2, …）인 {e) 이 촌재한다. z, 의 정 의 로부터 ze._:.y 이 다. A 一 1 가 H 의 극대 단조작용소이 므로 xEA-1y 이고 yE R(A). 죽 V(Yo,r)cR(A) 이고 R(A) 는 H 의 게집합이다. 계 2.2.17 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하자. A - 1 가 유계이면

R(A)=H. 증명 정 리 2. 2. 16 으로부터 분명 하다. 계 2.2.18 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하자. D(A) 가 유계이면 R(A)=H. 증명 R(A-1)=D(A) 가 유계이므로 A 一 1 가 유계이고 계 2.2.17 로부 터 R(A)=H. 명제 2.2.19 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하면 다음 (1), (2) 는 서 로 동치이다: (1) A 1 가 유계이다. (2) liml lA0xll=o ::>. 裝院?^? 증명 (1) ⇒ (2) (2) 가 성립하지 않는다면 1|x,.||--+=, IIA0 .x ,.ll~M 인 {x,.}cD(A), M>o 이 촌재한다. {AO .x ,.}cR(A) 이므로 (1) 로부터 {A-1 AO 디 는 유계 이 다. 그런데 {x,.} C {A-1A0.x ,.} 이 므로 {x,.} 은 유계 이 다. 이 것은(2) 모⇒순 (1이) 다. .(1 ) 이 성립하지 않는다면 IIY,.ll~M(n=l,2,… ), 1|x,.|I--+C X), x,1 EA -ly“ 인 {x,.}, {y,.}, M>O 이 촌재한다. y,. EAx,., I|A°x,.|l~IIY,.|I (n=l, 2, …). 이것은 모순이다. R(계A )2 =.2H.2. 0 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하고 zI1lExiOl 1m C.l.A -!l A0xll=oo 이면 증명 명제 2.2.19 로 부터 A-1 가 유계이고 계 2.2.17 로부터 R(A) =H 이다. 계 2.2.21 A 를 H 의 극대단조작용소라고 하자.

11l;i;;m.' .: ~ ( A°x,I lxx l―I x 。) =OO xGD( A ) 이면 R(A)=H 이다. 증명 A - 1 가 유계임울 증명하자. A 一 1 가 유계가 아니라면 IIYnll~ M. J lx 나 1--oo, x.EA 一 l y“인 {y.}, {x}, M>o 이 촌재한다. 가정에서 OO=l i m(A 땄' xn- 지

재 한다. ([+ A) 크 가 H 의 축소작용소이 고 µ(S}O 에 대하여 (/+A rYl )-l 는 L2(S;H) 에로의 (/+AA)-l 의 연장이다. 증명 명 재 2. 2. 22 로부터 어는 L2 (S;H) 의 극대 단조작용소이 다. 각 uEL2(S;H) 에 대하여 o=(I+ 旗 ) - lu 라고 하면 따 3 f (u-v). 따라 서 ot의 정 의 로부터 Av(s)3f (tt(s )-v(s)) µ-a . e. sES~ 죽 v(s) = (1 + JA ) 거 1u (s) µ-a . e. sES. 또 역으로도 성립한다. 예 2.2.25 T>o 이라고 하고 L2(0,T;H) 의 작용소 A 를 D(A) = (tt드 W 나 (0, T;H) Iu(0) =uo} Au= 쁨, uED(A) 와 같이 정의하면 A 는 U(o,T;H) 의 극대단조작용소이고 각 U 드 E (O,T;H) 에 대하여 ]iu= (l +lA)-1u=e--+Uo++\ 남 !u(s) ds. 。 증명 A 가 £2( 0, T;H) 에서 단조작용소임울 증명하자. 각 U1,UzE D(A) 에 대하여 『。 (Au1-Au2) (마 -u2) dt = \：틀 -씀) (u1-142) d t=서남 (u1 一杓 )2d t

카 (u1(T)-u2(T))2 츠 0. 각 i >o 에 대하여 R(l+AA)=L2(0,T;H) 임울 증명하자. 각 UEL2 (0, T;H) 에 대하여 Ui+ lAUi = U 인 U i는 U i +l 감 =U 로부터 Ui = e--+u 。 +-tte-S - 1u (s) ds. 따라서 U』 =]1 i1=(I+i A)-1u=e- 도나 !;e 누 1u(s)ds. 그러므로 A 는 £2(0,T;H) 의 국대단조작용소이다. 2.3 열미분작용소 H 를 Hilb ert 공간이라고 하자. H 의 극대 단조작용소의 중요한 례 이 며 옹용에 필요한 철함수의 열미분에 대하여 고찰하기로 한다. 먼저 X 를 Banach 공간, X* 를 X 의 공역 공간이 라고 한다. 정의 2. 3.1 C 를 X 의 철집합 (convex se t)이라고 하자. 함수 cp : C -+R 예 대하여 (1) 각 x, y EC 와 a+/3 = 1, 0:S a ,/3 :Sl 인 a, {3 ER 에 대하여 cp( ax+f3 Y ) :sa cp ( x) +/3cp(y) 일 때 cp 를 철함수 (convex fu nc ti on) 라 부른다. (2) 집합 {[x,l]EHxRl cp (x) 三i}를 cp의 e pig ra p h 라 부르고 e gcp라 고둔다.

정의 2. 3. 2 함수 cp : X---R 에 대하여 (1) Xn-->Xo 인 (Xn } C X, X 。 EX 에 대 하여 cp (x 。) Xo 인 {xn} CX, xEX 에 대 하여 (2. 29) -I;;-i=_;!;!;!-. < •p = sun 츠p I ini,:nf 뻑n-+<0 , p (x,.) 이고 (2. 29) 로부터 각 n=l, 2, …에 대하여 cp (x 。)>cp (X;o) 인 ~n 이 촌 재한다. lo= cp (X;o) 이라고 하면 x 。 ~Ei 。 이것은 모순이다 .

(1) ⇒ (3) 함수 (J) : Xx R-.R 나운 각 [x, A] EX x R 에 대 하여 (2. 30) (J)( x, A) =

계 2. 3. 5 xEX 라고 하자. 함수 cp : X-R• 7} X 에 서 Frechet 미 분 가능이 면 p 는 x 에 서 Gat ea ux 미 분가능아 다. 증명

(o 에 대하여 x+ ty 를 두면

ax1+ (l-a)x2ED(

(2. 34) 를 a 로 나누고 a-+O+ 이면 각 zEH 에 대하여 cp (z)- cp(%)츠 t(y -x0,z 군). a cp의 정의에서 XoED(a cp)이고 y -XoE+a cp (x 。). 따 라서 YEXo 나 a cp(石) . (2) ⇒ (I) (2) 로부터 cp (x 。) o 이 존재하므로 (2. 35) 로부터 {x ｝은 유계이다. H 는 회귀공간이므로 Xm 一 xI, n,.-+ 00 °,l {n,.} 가 존재한다. 각 k=l, 2, …에 대하여 Ek= 굽굽v{ x,.,I i ?::k} 라고 두면 E,, 는 페철집합이므로 명제 1.1. 9 로 부터 E” 는 약페집합이다. 따라서 x'EE,, 이고 각 k=l,2,··· 에 대하여 II 자 -xIll< t l 따 Econv{ :x ,.,I 학}가 존재한다. x; 는유한개의 x,.i( i

츠 k) 의 철결합 (convex combin a ti on ),

-oo. (2)(1) 로 부터 -oo

./n一ll x1, ,11 X”-+O 이 고 cpo 가 하반연속이 므로 -1< cp。 (0) 캠쁩 cp。(言노야백만 효) =-OO. 이 것은 모순이 다. 따라서 l1Jx1i1m 수 _ ~I인Ix>|I >-~. 즉

o 에 대하여 J』=(I+.:i a (-oo’ 에를 정의하면 'Pi 는 Frechet 미분가능첨 함수이고 (2. 38) 'Pi(X ) ='P( L(x) +½I IAi xl l2. (2) o'Pi = Ai. 뿡(3 <)p i(각x ) =x o 에 관하여 단조감소이고

(4) 福=万접). 층명 (1) 정리 2.3.11 로부터 A 는 H 의 극대단조작용소이고 명제 2.3.9 로부터 각 xEH 에 대하여

(2. 43) I 'Pl (y) -파) -(A,x, y- x) | 조 +11 y― x112. 따라서 rpl 는 Frechet 미 분가능함수이 다. x,y E H, t E(O,I) 이라고 하자. 그러면 (2.43) 으로부터 읊rpJ(t x+ (1-t)y ) = (AJ (tx+ (1-t) y), x-y) 이 므로 t1 ~t2 , t1, t2 E (O, I) 일 때 jrdr pJ (t2x + (I 감)y)-ifrd p, (t1x + (1-ti)y) =(AlCt2 x+ (I-t2) Y), x-y) -(A,Ct1 x+ (I라)y) , X 一y) = (AJ (t2x + (I-t2 )Y)-AJ (t1x + (l-t1) Y), x- y) 걱 0. 따라서 7td' PJ(t x+(1- t)y)는 t에 관하여 단조증가이다. 즉 cp l 는 철함 수이다• (2) (2.40) 으로부터 A,ca

dist (x , L 詞) =inf {llx-yl l I y E .D(A)'} 에 서 lJ(iifc . D(A). 한편 D(A) cD( rp ）이므로 D(A)cD( 짜 그러므로 D(rp) =D(A). 정리 2. 3.13 rp : H ..... (_00, 00] 를 軒논 00 인 하반연속철함수, A=arp 라고 하면 다음 (1) ― (6) 은 서로 동치이다 : (1) 'elr D iIIm(- A . 。) 오|Ix요11 -=oo. (2) 각 x 。 E D (

따라서 lim IJA 0xlI=oo. !설 b?A ; (4) ⇒ (5) a cp는 H 의 극대단조작용소이므로 (4) 와 명제 2. 2.19 로부 터 (5) 가 성립한다. (5) ⇒ (6) B=(A 한 이라고 두면 BcA-1 이므로 B 는 H 의 일가유계 작용소이고 계 2. I. 7 로부터 D(B)=D((A-1)0)=D(A-1)=R(A)=H. (6) ⇒ (1) [x, y ]EA 이라고 하고 각 x'EH 에 대하여 ip( x')= c p( x' ) -cp (x)-( y ,x'-x) 와 같이 g를 정의하면 O 는 cp와 같은 가정 윤 만 족 하 고 H 에서 ip2::0 이다. 따라서 H 에서 cp 츠 0 이라고 해도 좋 다. (6) 으로 부터 B 는 유계 작용소이므로 M>o 에 대하여 c= sup I j B yj I 라고 두면 llyy le l =/ I2 '1 f 0 후 c

정의 2. 3.14 H 의 작용소 A 가 X0=X“ 인 각 xo, X1, x2, …, xED(A) 와 y,. 드 Ax‘ · (i =1,2, … ,n) 에 대하여 I; (y;, X;-X;-1)20 i= I 일 때 A 를 주기 단조작용소 (c y cl ic all y monoto n e o p era t or) 라 부른다. 명제 2.3.15 (1) H 의 주기단조작용소 A 는 H 의 단조작용소이다. (2) cp : H-(-00,00] 를 cp ~ oo 인 철함수라고 할 때 a cp는 H 의 주기 단 조작용소이다. 증명 (I) 각 따, .x2 E D(A) 와 Y1 E A 따, Y2 E AX2 에 대하여 Xo=X2 일때 (xl_Xo, y1) + (x2_X1, y2) 2 :0 에 서 (yl_ y2 , xl_Xz)2 :0. 죽 A 는 H 의 단조작용소이 다. (2) 각 Xo, 따, x2,… ,X nED(8

증명 (I) ⇒ (2) [xo, Yo]E A 이라고 하자. 각 x E H 에 대 하여

자. 그러면 다음 (1), (2) 는 서로 동치이다 : (I) A 가 H 의 주기단조작용소이다. (2) A* 를 A 의 adj oint 작용소라고 할 때 A*= A. 이 때 A=ocp . 단, 각 xEH 에 대하여 [강 IIA½xll2 (xED(A½)) (2.44) 尹)=\ oo (그의). 증명 (1) ⇒ (2) A 가H 의 극대단조작용소이므로정리 2.3.16 으로부터 A=o

o 에 대 하여

츠 (A½ x, A½y ) - (A½ x, A 삼 x) = (Ax, y) 一 (Ax, x) =(Ax, y군) 이므로 Aca cp이고 A 는 H 의 극대단조작용소이므로 A=acp. 명제 2. 3.15 의 (2) 로부터 A 는 H 의 주기단조작용소이다. 예 2. 3. 19 (S, J, µ) 를 유한축도공간이 라고 하자. cp : H-+ （一 oo, oo] 를 cp $ 00 인 하반연속철함수라고 하자. 각 uEL2(S;H) 에 대하여 (/) (u) = \\cp (u (s) ) dµ (s) (cp (u) EL1 (S) ) oo (기타) 와 같이 함수 f/>: L2(S;H)-+(-oo, oo] 를 정의하면 O 는

)도 포함하므로 (/) $ 00 이 다. 0 가 하반연속함수임 을 증명 하자. lER 와 L2(S;H) 에서 Un-+U 인 {u,.} cD( f/>)와 uEL2(S;H) 에 대하여 f/>( u.)~l 이라고 하자. 그러 면 u.;(s)-+u(s) µ-a. e. s E S 인 {n.} , 'li-+ oo( i -+00) 가 촌재한다. [xo, Yo]E acp 라고 하자. 함수 cp : H-+( -o o, oo] 를 각 :.c EH 에 대하여 (p (x)= cp (x)- cp (x 。 )-(Yo,x-x 。)와 같이 정의 하면 O는 하반연속철함수이 고 (p $ oo, (p2:'.:0 이 다. 따라서 cp츠 0 라고 해 도 좋다. cp가 하반연속함수이므로 cp (u(s)) ＜받프cp (Un;(s)) µ-a. e. SES. i-+ m 그런데 rp (u(s)) 는 J-가축함수이다. 실제로 O 가 H 의 개집합이면 집 합 {sESlu(x)EO} 는 J-가축집합이다. p가 하반연속이므로 각 aER 에 대하여 집합 {x EHl rp (x)>a} 는 H 의 개집합이다. 따라서 각 aER 에 대하여 집합 {sESl rp (u(s))>a} 는 J-가측집합이므로 rp (u(s)) 는

A· 가축함수이다. Fato u 의 보조정 리 로부터

0에 대하여 짜) =강 1l oti ulIL•cs; m+(] J((J+..:101,)- 111) 러 s I IAi u (s) 1l 바 (s) + )s'P (Jiu (s) ) dµ (s) =\(강 IIA i u(s) ll2+< p(Jiu (s)))dµ(s) =\ s 'Pi(u (s) ) dµ (s) . 예 2. 3. 20 fJ 를 Rn 의 유계 개 영 역 , r 를 9 의 원할한 경 계 라고 하자. j : R-(-oo, oo] 를 하반연속철함수, j ~ oo 이 라고 하고 P=aj 라고 두자. 함수

(-oo,oo] 를 각 uEL2( Q)에 대하여 'P(•) =(凡 lgr ad u|2dx+\rj( u)dr(u E H 델),j (u)E L1(r)) oo (기타)

와 같이 정의하면 (1) 습 하반연속철함수, 'P $ 00 이 다. (2) D(arp ) = (rt E H2(Q ) 1 릅+f3 u 크 o a. e. I'}, arp ( u)=-Llu (u E D(acp )). 단, 릅는 u 의 의 법 선방향도함수이 고 4 는 Lap la ce 작용소이 다. (3) 상수 c1, c2 가 촌재 하고 각 fl E D(acp ) 에 대 하여 I|u1|n2(D) 三 cd|-A U+u||L2(D)+c2· 증명 (I) j가 R 에서의 철함수이므로 j는 a ffi ne 함수에 의해서 아 래로 유계이다. 따라서 각 uEL2( Q)에 대하여 cp( u)>-oo 이고 또 j 3-'= 00 이 므로 cp 3-'= 00. 또한 j 가 R 에 서 의 철함수이 므로 cp 도 철함수이 다. p의 하반연속성울 증명하기 위하여 U( Q)에서 limU n=U, cp( Un)::;A n 니`°’ 라고 하자. j가 R 에서의 철함수이므로 각 cER 에 대하여 (2. 45) j(c )2 ::a c+b 인 a,bER 가존재한다. U( Q)에서 li mUn=U 로부터 limu ,.,(x)=t, ( x) n 니 O I`o a. e. x E 요 인 {un.-J C {u} 이 촌재 한다. 이 때 (2. 45) 로부터 j(1'n; (x) ) - auni ( x) 一 h 2':: O a. e. x E Q. j 가 하반연속이 므로 O~ j (u(x))-au(x)-b~!!_! 프V (un, (x))-aun,(x)-b) i-+~ a. e. X E n. Fat ou 의 보조정 리 로부터 \r(j( u(x)) 一 au(x) _b)dr 三 li m\ (j(u” i( x)) _au,(x)-b)dI' . 눕 r 따라서 ~r j( u(x))d I'랩 ~~/(un iC x))d I'. 한편 또한 FatLo u I의 g r a 보d 조u (정x) 리l2 로dx부 莘터 ~L I gra d Un, (X) I 2dx.

p의 정의로부터

R( I+A ) =L2(Q ) 이므로 A 는 E(9) 의 극대단조작용소이고 따라서 A=o lf!이다. (3) Brezis [12]. 예 2.3.21 Q를 R 의 유계 7 사영역, r 를 9 의 원할한 경계라고 하자. 2:s ;p< oo, ip·나q =1 이라고 하자. (I) 작용소 A : W 만(Q)--+ w - l,9( Q)를 각 u, vE W i ·1( Q)에 대하여 (Au, 正) =gL I 릎 I p - 2 훑훑- dx 와 같이 정의하고 합수 'P : Wb·P(Q ) -+(-00, 00) 를 각 u EWb · P( Q)에 대 하여 ,tlL I 릅 IP dx 와 같이 정의하면 p는 W 낡(Q)에서의 하반연속철함수이다. 또 t.p는 W 망(Q)에서 Gat ea ux 미분가능이고 긱. u,vEW 낡(Q)에 대하여 lEimo ~t

―aauxn;I (x) 一aa―xu; (x) a.e.xEi l 인 {Unj c {u} 이 촌재 한다. Fato u 의 보조정 리 로부터

O 에 대하여 축소작용소 ]~ : D(]J cx-x 의 족 (fam i ly) {JJ Il>0} 가 각 l, p >0 과 xED 야)에 대하여 R( 千 +(1-7) JJ )c D( J,.), (2. 46) ]ix= J ,.(-f-x+ (1 子)]J x)

일 때 {JJ i > 0} 를 X 의 의 _resolvent (ps eudo-resolvent) 라 부른 다. 예 2.4.2 A 를 X 의 증대작용소라고 하고 각 l>O 에 대하여 Ji= (I+lA)-1 라고 두면 {J시 1 > 0} 는 X 의 의 -resolvent 이 다. 증명 명 제 2. I. 7 의 (4) 로부터 분명 하다. 명재 2.4.3 {JJ Il>0} 를 X 의 의 -resolven t라고 하면 (I) 각 l,µ > O 에 대하여 R( JJ) =RU~). (2) X 의 중대작용소 A 가존재하고 각 i >o 에 대하여 JJ=(I+l A)-1 이다. 증명 (I) l,µ>0 이라고 하자. y ER (J l) 이라고 하자. 그러면 y= JAx 인 xED (Jl ) 가 존재한다. (2. 46) 으로부터 J=Jlx =J ,. (7x+ (1 子)J lx)ER (J,.) 이므로 R 야 )C R(J,. ). 같은 방법으로 R( J,. )c R (J l) 이 다. 따라서 R( Jl) =R(J,. ). (2) 각 l,µ>O 에 대하여 (2. 47) }(J드 I)=}( J--드I). 왜냐하면 y ER (J1 ) 라고 하자. 각 XE],1 y에 대하여 xED( J,), J,x =y 이므로 (2. 46) 과 (1) 로부터 -fx+ (1-+)J1 X E ];1 ]1X, y1 (xy- J( ,x x)-yE )一 µE1( —]µ 라 ·(],鼻- lX y 一-y ])1 .x ), 1 1 따라서 十 U;l y-y )C .µ.L (f;l y-y).

같은 방법으로 —µI (J;l y-y)C - y1 (J;-1 y -y). 따라서 (2. 47) 을 얻는다. X 의 작용소 A 를 D(A) =R( J,), l > 0, Ax=+(J ;-1 x-x), x E D(A) 와 7같 이 정의하면 J, x= (I +}.A)-IX 이다. A 가 x 의 층대작용소입울증 명 하자. 각 [x1 먀〕’ [X2 ,y 』 EA 에 대 하여 J,(x 1+J . Y1) =x1, J,(x 2+-< Y2) =x2 이고 J』는 X 의 축소작용소이므로 I lx1-X2I I = I IJiC x 1+. i!yJ-Ji(x2 +J yz) I I :::;11 (x1+.: i Y1)-(x2+l Y2) II =II (X1-X2) +l(Y1-YJ 11. 따라서 A 는 X 의 증대작용소이다.

제 3 장 비선형반군 X 를 Banach 공간, X* 몰 X 의 공역 공간이 라고 하자. 본 장에 서는 X 의 비선형축소반군과 이들 반군에 대한 표한 그리고 비선형축소반군 의 생성에 대하여 고찰하기로 한다. 3.1 축소반군 정의 3.1.1 CcX 이라고 하자. 각 호 0 에 대하여 작용소 S(t) : C-C 7} (I) S(O) =l 이 고 각 s, t;? :o 에 대 하여 S(s+t ) =S(s)S(t), 를 (2만) 족각할 x때E C {에S( t )대I t하 ;?여:o} 를l' .i.mo +C S 의(t ) x 반=군x (sem i-gr ou p on C)이라 부론 다. C 의 반군 {S(t) I t;?: o} 가 (3) 각 x, y드 C 에 대하여 (3. I) IIS(t) x -S(t)y ll ~llx-,11 를 만족할 때 {S(t) l t~ o} 를 C 의 축소반군 (con tr ac ti on sem i-gro up on

C) 이라 부른다. 정의 3.1.2 CcX 이라고 하고 {S( t )I t츠이룬 C 의 축소반군이라고 하자• D(A 。) = {xECIlEi0m+ .t! .(x-S( t) x) 가 촌제 i A 。 x= lEi 0m+ 4t (x-S(t )x ), xED(A 。) 일 대 Ao 를 {S(t) I t츠 0} 의 생 성 작용소(i n fi n it es i mal g enera t or) 라 부론 다. 또 D(A') = {xEClw-I I. i. m0 +- ½t ,.(x-S (t )x) 가 존재} A'x = w- Il .i. m 0+ 上t (x-S( t )x), xED(A') 일 때 A’ 를 {S(t) i t2::이 의 약생 성 작용소 (weak inf i ni t es im al ge nerato r) 라부른다. 이에 대하여 Ao 를 {S(t) I t2:'. 0} 의 강생성작용소 (s t ron g inf i ni t es im al g enera t or) 라 부르기 도 한다. 명제 3.1.3 {S( t )I t:2: 0} 를 CcX 의 축소반군이라고 하면 (I) D(A 。 )cD(A' ）이고 각 x 든 D(A 。)에 대하여 A 。 x=A'x. (2) Ao. A' 논 X 의 증대 작용소이 다. 증명 (1) 정의에서 분명하다. (2) F 를 X 의 쌍대사상이라고 하면 (3.1 ), 예 2.1 . ~3 과 정리 2. I. 5 로부터 각 x, y EC 에 대하여 (3. 2) (+(x— S(t ) x ) 나(y -S( t)y, X* )2::0 인 x*EF(x 一y)가 존재한다. (3. 2) 에 t -+O+ 이면 각 x, y ED(A’) 에 대 하여 (A’x_A'y, x*)2 ::0. 따라서 정리 2.I.5 로부터 A’ 는 X 의 증대작용소이고 (1) 로부터 Ao 도 X 의 증대작용소이다.

C 를 X 의 퍼 1 집합이라고 하고 (S( t )I t츠 0} 를 C 의 축소반군, A0,A’ 를 각각 {S( t) I t츠 0} 의 생성작용소, 약생성작용소라고 하자. 정리 3.1.4 (3. 3) D= {XEC IH liom+ .t! .llx-S' (t) xll o 에 대하여 S( t )xED(A 。)이고 -idf -S(t)다 -AoS( t )x=O a. e. t> o. 층명 (1) .x ED 라고 하고 l_ i_m .!..11 .x -S( t )xll=L 이라고 두자. 그러 눕t 떤 임의의 e>O 에 대하여 i; llx-S(h.) 지 l0(k=I,2,···),h .1r --+O+ 인 {h .1r｝가 촌재한다. 각 t ,h~O 에 대하여 (3. 4) I IS(t+ h)x-S( t).xl l = IIS(t) S (h).x - S(t)x l lsl lS(li) .x-.xll . h>o 이 라고 하고 osh 一 1

:$;:El l JS (h1)x-xl I =n1I IS(h1)x-xJ I i= l 이 므로 (3. 5) 로부터 I IS(h) x-x ll :::디 IS(h-njh j) x-x l I + nj l IS (h.) x-xl I =IIS(h-n1h1)x 一 xll+n1h1 函1 IIS(h1)x-xll O 은 임의이므로 e-o+ 이면 IIS(t+ h)x— S (t) x l!::;;;Lh. (2) (2) 의 우번을 D1 라고 두면 (I)로부터 DcD'. xED' 이면 IIS( t +h)x-S( t )xlI 쿠 'h( t, h 2': 0) 에서 t= O 이라고 두면 IIS(h)x-xll:::;; L'h 이 고 ;;!:i;.ij!+!! h.i 11x-S(h)xlI 쿠 'o 에 대하여 t llS( t )x-S( h) S( t)지 I =tl lS( t )x-S(h+ t)지 I =ti IS(t). x- S(t+ h)xl I =tI IS( t) x -S(t)S (h).x l I 악 11 .x一 S(h)xl l 로부터 喆 *1IS( t).x -S(h)S( t).xi I 탤쁩ti l .x -S(h) .x llo 에서 미분가능이고 Ao 의 정 의 에 서 S( t )xED(A 。) a. e. t> o 이 고 군~(t )x+A0S( t).x =O a. e. t> o. 명제 3.1.5 (3. 3) 의 D 에 대하여

(1) D(A 。 )cD(A')c fJ. (2) X 가 회귀꽁간이면 b 召 5= 万혀 1=D. (3) X 가 직철회귀공간이면 D(A')=D. (4) X 가 평동철공간이면 D(A 。 )=D(A')=D 이고 A0=A'. 증명 (1) X 든 D(A’) 이 면 {*(x -S(h)x) Ih>o} 는 h--O+ 일 때 유계 이 다. 따라서 xED 이 고 D (A') cD. (2) X 슨 D 이 면 정 리 3.1 . 4 의 (3) 으로부터 S( t )xED(A 。) a. e. t> o. 그런데 l ,i ➔m oS+ ( t )x=x 이므로 x 드万 01a). 따라서 De 万乃 -o) 이고 De 雲). (1)로부터 (2) 가 성립한다. (3) X 。 ED 이라고 하고 {}(x 。 -S( t )x 。) |t --+O+ ｝의 약집적접전체의 집 합을 D' 라고 하자. X 의 작용소 A 를 D(A)=DU {지, Ax= 『 x (무) (xED(.A )) 言V D' (x=X 。) 와 같이 정의하면 A 는 X 의 증대작용소이다. 정리 3. 1. 4 의 (3) 으로부 E1 idt S(t) x 0 +A0S(t) x 0=0 a. e. t>o. AocA 이므로 7dt S( t):c。 +AS( t):c。 30 a. e. t> o. A 가 X 의 증대작용소이므로 각 y EA :co 와 어떤 x* EF(x 。 -S( t):c。)에 대하여 (y_꿈(:c。 _S( t):c。), x*)2 :::0 a. e. t> o, (3. 6) (옮-(:c。 _S( t):c 0), :c*)三(y, :c*) a. e. t>O. 명 제 I. 3. 3 과 (3. 6) 으로부터 11 :c。 -S( t )xoll 운 IX 。— S( t )xoll

착y, x*) 회 IYIIllx*II=IIYIIllx 。 -S( t )xoll a. e. t> o 이고 7d江 X 。 -S( t )xoll 집 IYII a. e. t >o 이다. 따라서 (3. 7) ~dl lx 。 -S( t) x 。 ll ~ I Axo l a. e. t> o . (. 3. 7) 을 [o, 디 에서 적분하떤 (3. 8) llx 。 -S( t )x0ll~ t l .A xo l. t> o. X 는 직철회귀공간이고 Ax0 는 X 의 페철집합이므로 명제 I. 2.10 으로 부터 ||Yoll=IAxol 인 y oEAxo 가 일의적으로 존재한다. y E .A Xo 이라고 하면 y Ecm 규 D' 이다. 먼저 yE D' 일 때 *(x 。 -S (t”活)一 Y, t,. >O(n= 1,2,… ), t ,.-.o+ 인 {t鵬}이 존재한다. 이 때 (3.8) 로부터 |Ax 。 I = IIYol |직 IYI I 직~i mt+,l.l x 。 -S( t .)x0ll~ I Axo l 로부터 IAxol=IIYoll=IIYII 이고 따라서 Y=Yo• 또 y EconvIY 이면 y는 D' 의 유한개의 요소들의 철결합 (convex comb i na ti on) 이므로 y=ye YE 굶 nvD' 일 때도 Y=Yo• 그러 므로 굶 nvD'= {y。} . 그런데 w ―눕 1i m- 1t( x 。― S( t活) , w - E-li0 m1+ 一t (x 。 _S( t) x 。) Ec—on—V D' 이므로 w-~ li mL t( x 。 _S( t )x 。) =w- ,l수i +교o +t (x 。 _S( t )x 。) =Yo- 따라서 w-I l .i. m0 +~ t( x0-S( t )x 。 )=Yo 으로부터 X0ED(A'), 즉 DcD(A'). (I) 로부터 D(A') cD 이 므로 D(A') =D. (4) (3) 의 기호를 그대로 사용하기로 하자. X0ED(A')=D, y0 EAx1 에 대하여 y0 = w-,l-_i;mO +- ½ t -(: x。 -S (t) x 。) 이고 (3.8) 로부터 IIYol|~:$~-t} Ilxo-S( t )xol1::; g타 ||x 。 -S( t )xoll 익 Xol =IIYoll

이므로 IIYoll= }l뿐 {-llx 。 -S( t )x 。 II. X 가 평등철공간이므로 명제 1. 2. 9 로부터 y 0= tl .i. mO+- ½t -(x 。一 S( t )x 。)이고 X 。 ED(A 。). 죽 D(A')CD(A 。). (1) 로부터 D(A 。 )=D(A')= l>이고 A0=A'. 정리 3.1 .6 X,X * 를 평등철공간이라고 하자. xED(A 。)이면 ((12)) 각S (t t :)2 'x.0 E 에 D (대A하 。) 여( t:~2d :0+( ) . t )x 가 촌재하고 ~d+ ( t)x+A 0S(t)x =O. (3) IIAoS( t )xll 는 흐 0 에 관하여 단조감소이고 AoS( t )x 는 t:2'. 0 에 관 하여 우연 속 이다 . (4) 각 tE [O, =) -E 에 대 하여 7d tS(t) x +A0S(t) x =O 인 '‘많아도 가산인 집합 '’(a t most counta b le set) Ec[o, =)가 촌재하 고. A0S(t) x 는 tE [O, =) -E 에 관하여 연속이 다. 증명 (1) x0ED(A0) 이라고 하면 정리 3.1 . 6 의 (4) 로부터 X0ED, 정 리 3. 1. 4 의 (3) 으로부터 S(t) x 0ED(t~ O). 다시 정 리 3. 1. 6 의 (4) 로부 터 S( t )x0ED(A 。) (t~ O ). (2) (1) 과 A 。 의 정의로부터 분명하다. (3) (1)과 정 리 3. 1. 4 의 (3) 으로부터 a. e. t >o 에 대 하여 S(t) x E D(A 。)이고 젊 S( t )x+A0S( t )x=O. h>o 이라고 하자. 옮 -(S (t +h)x-S( t )x) = —(A 0S(t+ h) -A0S(t) x ) a. e. t> o 이 고 명 제 3. 1. 3 의 (2) 로부터 Ao 는 X 의 증대 작용소이 므로 (-fdt- - o 인 x * EF(S (t +h)x-S( t )x) 가 촌재한다. 명계 1. 3.3 으로부터 IIS( t +h)x-S( t )xl| 젊 -IIS( t +h)x 一 S( t )xll~O a.e. t> o

이고-adt IIS( t +h)x-S( t )xll 착 a.e. t >o. o:::;;s 척에 대하여 이 식을 적분하면 llS(t+ h)x-S(t)x l l:::;;I IS(s+h)x ― S(s) 지 l. t -+O+ 이 면 s-+0+ 이고 (2) 로부터 l 남(t)祖훑 S(s)x ij 기고 IIA0S( t )xll:::;;IIA0S(s)xlI 이다. 죽 IIA r,S(t )xll 는 t츠 0 에 관하여 단 조감소이다. IIAaS( t )xll 가 t2::0 에 관하여 단조감소이므로 IIAoS( t) xll 는 t 츠 0 에 관하여 우연속이다. |IAoS( t )xll:::;;IIA 。 x ii에서 {A0S( t) xl t츠이는 유계이 고 X 가 회귀공간이므로 (3. 9) w-lim A oSU1) =Yo, &수~ ti>O (k=I, 2, 00•), lki-m+- ti=t0 인 단조감소수열 {ti} 가 존재한다. 따라서 (3. 10) IIYol I 칙쁘 IIAoS( t .)xlI =面굽 |A0S( t.)지 | =IIAoSUo)xll. k-m k-~ 명제 2. I. 13 으로부터 A 를 A 。의 X 의 극대중대작용소라고 하면 명제 2.1 .1 5 의 (I) 로부터 A 는 X 의 반되 1 작용소이고 lk .i.m _ S(tk )x=S( t0) x 이 므로 YoEAS( t0) X. 한편 A 가 X 의 증대작용소이고 A0cA 에서 ;左 S( t )x+AS( t )x30 a. e. t> o 이 므로 각 xED(A 。)와 yE Ax 에 대 하여 (틀절(t )x)- y, F(x-S( t ;x) ：三 0 a. e. t> 0, (곱 (x-S( t )x), F(x-S(t) x ) _::::;;(y, F(x-S(t) x )) ::::;;IIYII llx-S(t)x ll a.e.t> o. 명제 I.3.3 으로부터 llx-S( t )xll 꿉 llx-S( t )xll::::;;IIYllllx-S( t )xll a. e. t> o, 옮 -llx-S( t )xl| 집 IYII a. e. t> O, (3.11) 젊 -llx-S( t )xl|:;;IAxI a. e. t> o.

(3.11) 을 [O, t]에서 적분하면 llx 국(t)지 l 집 IA .xi 이고 巨li m0+- ½t -llx-S( t )xll 칙 Axl. 죽 llA o:t ll 집 Ax1. 그런데 A 。 X 슨 Ax 에 서 |Axl ~ IIA 。 xll. 따라서 IIA 。 xll=IAxl 이고 A 。 x=A0 .x. 각 xED(A 。) 에 대하여 S( t )xED(A 。)이므로 A0S(t) x =A0S(t). x. (3.10) 과 YoE AS (t 0)X 로부터 I IY oll~I IAoS(%) 지 I = 1I AoS( t)지 l~I IYoll 이고 IIYolI=1IAoSC to )xlI. 따라서 y 0=A0S( t。 )X. (3. 9) 와 (3.10) 으로부 E1 w-lim A0S(ti )x =A0S( t0) .x , k 수~ liml IAoS(ti) .xl I = I IA0S( t。)지 1. k 수~ X 가 평동철공간이므로 명제 I. 2.9 로부터 lEi m-A0 S( t .)x=A0S( t。 )x. 극 한의 일의성에서 li mA0S( t) x=A0S (t。 )x. 따라서 A0S( t )x 는 t ~O 에 대 I .. to+ 하여 우연속이다. (4) ~dS (t)x +A0S(t) x =O (a. e. t >o) 를 적분하면 t, h~O 에 대 하여 (3. 12) S(t+ h)x-S(t) x =-~:l++hhA 0S(s)xds. (3) 의 증명에서처럼 IIAoS( t )xlI 가 연속인 접 t에서 A0S( t )x 는 연속이 다. 그런데 |IAoS( t) xll 는 t에 관하여 단조감소아므로 많아도 가산인 집합 Ec[o,oo) 에서는 불연속이다. 따라서 A0S( t )x 도 E 에서 불연속 이고 A0S( t )x 는 [O, oo)-E 에서 연속이다. (3.12) 로부터 [O, oo)-E 에 서 겁~(t )x 가 존재하고 옮(t )x+A0S( t )x=O. 예 3. 1. 6 t2::0 이 라고 하자. S(t) : R-+R 를 각 xER 에 대 하여 S(t) x ={max(0,X-t) (x>0) x (x~O) 와 같이 정의하면 {S( t )I t2:: 0} 는 R 의 축소반군이다. 또 D(Ao)=R 이

고 각 xED(A 。)에 대하여 A 。 x={ i ((xx>~oo)). 여 I 3. 1. 7 X=C[o, 디이 라고 하자. t 츠 0 이 라고 하고 S(t) : X- X 를 겨. xEX 에 대하여 (S(t) x ) (e) =f(t+J-1 (x(f; ))) (f;E [O, l]) 와 같이 정의하면 [S( t )I t츠 0} 는 X 의 축소반군이다. 단, f: R - R 는 각 刀슨 R 에 대하여 f(7J)＝昌 霜} 인 함수이다. 이 때 D(A')= [XE 지각 e 탁 0, 1] 에 대하여 x( f;) 츠 0 또는 각 e 드〔 0, 1] 에 대하여 x(t;) < o} , (A'x)(e)={: (각 E 탁 0, 1] 에 대하여 x(e) 걱 O) 2 (각 f;E [O, 1] 에 대하여 x(t;) < o) 이다.

[O,증 l]명Cl ) 이x 므슨로 D( A각I )0 라 슨고 NB V하[면O, AI]I 에X= 대W-하l‘-여 i+ mO+ . .xt ! *. 슨(x짜-S(는 t ) x각) 이 다x.E XX 에* =i 대 N하B여V (x*, X) =『。 x( f; )dv( f;) 이다. 따라서 (3. 13) \。 (A'x) (e)dv(f;) =~~뿡 +~:(x( f; )-(S( t) x) (f;))d v(e) 이고 v=Xcc,1J ( CE[O, 1] ）이라고 두면 vENBV[O, 1] 이고 (3.13) 은 (A'x) (t;) = Eli0m+- ¼ t -( x (t;) - (S (t) x) (t;) ) 이고 -(l) NB V[o, 1] = {11EB V[o, 1] ( 11(0)=0}

(A'x) (守) = { 12 ((C( 탁E { Ee \I xx ((Ee)) 츠O 에 대하여 T,.=* (l -T) 라고 두떤 (1) 각 xEC, t2 0 와 mEN 에 대 하여 (3. 14) 곰 T( t )x+ (I-T ) T(t) x =O, (3.15) II T( t )x-T•x11 착 (m- t )2+ t) ½llx-Txll, (3.16) IIT(m)x-T•xll~./mllx-Txll 인 C 의 축소반군 {T( t )l t 20} 가 일의적으로 촌재하고 생성작용소는 ! -T 이다. (2) 각 xEC, t2 0 와 h>o 에 대 하여 움 T( t )x + ½(l-T )T(t)x =O, 111 '(t).~ -T[+]x i i착.;五표 )II T.,.x ii 인 C 의 축소반군 {1'(t )l t 20} 가 일의적으로 존재하고 생성작용소는 T,. 이다. 증명 (1) xEC, t。 20 이 라고 하자.

'l'= {uEC([O, oo) ;X ) lu(t) E C, o=::; t후} 이라고 두면 꾼는 C([O,oo);X) 의 페철집합이다. ff : 'l' -+7 를 각 t4 E7 에 대하여 (3. 17) (f fu) (t) =e- 1 x+ ~。:e •-1 Tu (s) ds 와 같이 정의하면 각 U1,U 투꾼에 대하여 II (ffU1 ) (t) - 따) (t) 11 조 ~:e• -' 11 Tu1(s) -Tu2(s) lids 。 바' 기 l1J1 (s) 군 (s) lld s , IIYU 군判 |r 三 \? e ’-1ds| Iul-U2 1| r 。 = (I-e-' ) I lu1 一 U a ll rr 단, II 마 Ir= sup llu( t ) ll (uE

II T (t )x ― x ll~ t l l x 一 Txil . 먼처 Tx=x 이면 T (t )x=x 이므로 (3.15),(3.16) 은분명하다. 다음 Tx 푸이면 In 드 N 에 대하여 !Ix — T .. x ii 효' II T.- - 1x-T.-xll 척 mllx-Txll, i= l T(t) x -T. . x=e - '(x 一 T .. x) +~:e•-1(TT(s)x-T •x)ds 。 에서 I I T(t) x — T'xll~e-'llx-T .. xll +~:e' 기 I T(s)x-T•-1.x l Ids 적 ne - II Ix_ Tx| 1+ \'。e ' 기 | T(s)x-T .. -1. xl Ids. llx 一 Tx i l~ O 이므로 (3. 19) II 〈{:프 Yx? ；· x|I 도 - '+\;e' - t IIT{ f麟 :-T: ； 一 ~s. cp.(t)= IITl(ltx) X- T- TxmllX i 1 라고 두면 (3.19) 는 cp. (t) ~me- • + [e•-•cp. _1 (s) ds 。 이다. 명제 I. 5.2 로부터 cp.(t) ~((m-t)2 +t) ½, I I T(t) x 一 T•xl l 착 (m 크) 2+ t)서 |x-Txl l. (3.15) 에 t= m 이라고 두면 (3.16) 이 된다. C 의 축소반군의 일의성은 분명하다. (2) (I) 에 서 의 C 의 축소반군 { T(t) l t:2::o } 에 대 하여 T(t) = T(i) (t2;:0, h>O) 와 같이 두면 {T( t )I t츠 0} 은 C 의 축소반군이고 생성작용소는 T” 이고 각 xEC, 와 t2;: 0 와 h>O 에 대하여 읊 T( t )x+ 꿉 (1-T)T( t )x=o.

따라서 각 xEC, t;::: :o, h>o 에 대 하여 IIT=( ftr+)]h 나ll ( T[,*T](Isi ) )xXIl1l 조ds ~詞\ '[ 티곰 All T Th(xsll)dlsl ds ~hll T,xll 이고 한편 (3 . 16) 으로부터 111 '([-k]h )x-T[+.-]x ll=IIr ([ f ])x-T 다 ]xl1 킹Ti 1x-Txll= .,It硏| T.xll 이므로 ll 'T(t )x-TC+ J x|| 텍 T( t )x 一t([f ]h)xll +ll f([서시 x-T 다 ]xll ::;hll Th xl l + ./Viii T1axll =(.;tli+h ) 11 T1axll. 정리 3.2.2 각 h>0 에 대하여 A(h) 국(l -S(k)), E= {xECI IIA(k)xll=O(I), h-+O+} 라고 두자. xEE 라고 하면 (1) 각 k>o 에 대하여 A(k) 를 생성작용소로 갖는 C 의 축소반군 {S,.(t) I t2:: o} 가 일의적으로 존재하고 (3. 20) S(t) x =~li~ mo+S h (t).x 이다. 단, 이 수령은 각 E 유한구간에서의 평등수령이다.

(2) S( t )x=;~만 ((1- t )l+ t s(¼)) x. 단, 이 수령은 [O, 1] 에서의 평동수령이다. 증명 (1) xEE 라고 하자. 각 h>o 에 대하여 (3. 21 ) lls(t) x -S(J i) 匠 ]x ~ = [ S( t) x-S([ 서 h) xii 내 S([ 사 h)s( t -[*]h)x-S([ 사 )h) 계 테 s( t -[*]h)x-x / /. 또 명제 3. 2. I 의 (2) 로부터 (3. 22) IISA(t) x -S(h) 〔+〕 x ii착 ..JTii+ h) IIA(h)xll 인 C 의 축소반군 (SA(t) l t츠 0} 가 일의적으로 촌재하고 생성작용소는 A(h) 이 다. (3. 21) 과 (3. 22) 로부터 11S( t )x 접 (t)x | |직 |S(t) x — S(h ) [flxl l + I ISA (t)x -S(h) [Ji]x l l 키亨[사시 x-x ~ + ( 潭 +h) IIA(h) 지|. l: 내정 때 t一[서 h-+0 이고 IIA(h)xll 는 유계이므로 각 t-유한구간 에서 평둥적으로 S(t) x =li m SA (t)x . h. .. O+ 각 t2:=o , Ti> o 에 대하여 S(t) , SA( t)는 C 의 축소작용소이므로 각 xEE 에 대하여도 S(t) x =hl. i .mO + SA(t) x 이고 이 수령은 각 t-유한구간에서의 평등수령이다. (2) aE[O, l], h>o 이 라고 하자. Th (a) = (I -a) l+aS(h) , Ah (h) 카(I -T,. (a) ) 이라고 두면 각 x, y EE 에 대하여 1J Th (a)x-Th (a)y l l =s ;a l IS(h)x-S(h)yl l =s ;ll x-yl l

이 므로 Tn(a) 는 축소작용소이 다. xEE 라고 하자. 명 제 3. 2. 1 의 (2) 로부터 (3. 23) 11sh,.(t )x -Th (a) [½J x11 착 ✓ tii. +h) I IAn(a)xl I 인 C 의 축소반군 (SA,.(t) 1 t 2:: 0} 가 일의적으로 촌재하고 생성작용소는 A. (li)이 다. 또한 (3. 14) 로부터 읊 A , .( t) +A 。(Ji )SA,a( t) =Q. 그런데 A.(h)=aA(h) 이므로 (1) 의 증명으로부터 A(h) 를 생성작용소 로 하는 C 의 축소반군 {Sk (V) 1t ’2::0} 에 대 하여 훑요) +A(h)Sn( t') =O, 곱 n (at) +A(h) SA (at) = O. 축소반군의 촌재의 일의성으로부터 Sn,.(t) = Sn (a t) . (3. 23) 으로부터 (3. 24) IISn(at) x -Tn (a) [flx1 1::;( ✓ tii. +h) 1la A(h)xl I 드 ( ✓ tli. +h) I IA(h)xl I. (3.24) 에 t= I 이라고 두면 (3. 25) 11s.(a)x-((I-a)I+aS(h))[Dx11::;( ✓ 7i +h) I IA(h)xll. 따라서 IIS(t) x -((I-t)I +tS (h)) [紅 x i i ::;11s(t) x -Sn(t) x l l + I IS1 i(t)x -(( 1-t) J+tS( h)) [¼]xii . (3. 20) 과 (3. 25) 로부터 [O, 1] 에 서 평 동적 으로 S(t) x = lim ( (l-t) I + tS (h) x) [tJx . h. .O + h= ｝이라고 두면 [0, 1] 에서 평동적으로 S( t )x=!~판 (c1- t )I+ t s(-;,)rx. S( t)는 C 의 축소작용소이므로 각 xEE 에 대하여

S( t )x= l}!빵 (1 크 )l+ t s(¼))x 이고 이 수령은 [o, 1 ] 에서의 평등수령이다 . 3.3 축소반군의 생성 본 철에서는 각 J >o 에 대하여 R (l+JA) 그万겅了를 만족하는 X 의 증 대작용소 A 가 축소반군을 생성하는 것과 생성작용소, 약생성작용소를 구하는 것을 고찰하기로 한다. 전과 같이 각 J >O 에 대하여 ]i= (l+AA)-1, AA 카 (I ― L) 라고 하자. 정리 3.3. 1 A 를 X 의 증대작용소라고 하고 각 J >O 에 대하여 (3. 26) R (I+J A) 그灰万 이 라고 하면 각 XE 万回 5 에 대 하여 국한 lim f i[+ ]X (t2:'.0) , ➔ o+ 가 촌재한다. 단, 이 수령은 각t-유계구간에서의 평동수령이다. 각 XE 亨에 대하여 S( t )x= ,l~io m+] 持J x (t~O ) 라고 두면 {S(t) I t2:: 0} 는 万혀戶의 축소반군이고 각 xED(A) 에 대하여 11S( t )x-S(s)x|| 직t -sl IAxl (t, s~O). 증명 xED(A), l,µ>O, n,m=O,I,2,•·· 라고 하면 정리 2 . 1.8 로부 터 (3. 27) II J: x- J?후 ((nl-mµ)2+nl2+mµ2)*IAxl. n=[4], m=[: ］라고 두면

0<+-1<[}] 국, o< f -1< 〔:]국 이 므로 (3. 27) 로부터 IIJ. [+Jx -JJ +Jx l | 테信 ]A- 戶 )2+ [+]A2+ [紅각 I Ax l. l::5 ;µ 이떤 | I J』[ +]x- J翼〔+J xll ::5;((t- (t-µ ))2+t (A+µ)) ½I Axl = (µ2+t (A+µ))½ I Axl . µ::5;A 이떤 111 J[티 x- JJ〔+〕 x|| 착 A2+ t(A+µ))½ I Axl. 즉 l,µ>O 에 대하여 111,[+]x-], [+ 〕 x ii착 (A+µ) 나t (A+µ))4 |Ax|. 따라서 각 t규良]구간에서 평동적으로 思 |II,[ 닌 x- J/+J xll=O (xED(A)). X 는 완비공간이므로 각 t-유계구간에서 평동적으로 극한 li0 m+ J』+J.x (xED(A) ）가 촌재한다. 그런데 Ji는 X 의 축소작용소이므로 각 XE 万 C5 에 대하여 각 t一유계구간에서 평등적으로 국한 lim J,[-;-].x •➔ o + 가 촌재한다. 각 XE 万(A), t ~O 에 대하여 S(t) x =l& ➔i m 0+ J,타 ]X 라고 두면 {S( t )I t:2:: 0} 는 万간 5 의 축소반군이다. 이것울 증명하자. (3.26) 무부터 각 XE D{A)에 대하여 ]J+J xED(A) 이고 S(t) x = lirn Ja [ 급 x 럭尺万이 다. 즉 S(t) : 万간 5 一万간 5 이 다. 각 x, y E J5()硏l 나 O+ 대하여 I1S(t) x -S(t)y l I =眠 II J,[-+J x- J,[급y| l 三 1 |x-y| l.

각 x 든 D(A), t ,s 츠 0 에 대하여 n=[f] , m= ［군], .<=µ라고하면 (3. 27) 로부터 충분히 작은 -1> 0 에 대 하여 s::;;t 이 면 Ill 』[+J x- J,[+］후(([+Ji-團 )2+[}] i 2 +[중 ]12)¼1Axl 착(t -s+ J. )2+ (t +s)l) 삼 凶 x1. t:$ ;s 이 면 | I J A[+]X- J'타 ]xl l:$;((s- t +l) 나 (t +s) J.)사 Axl . 즉 각 t ,s 츠 0 에 대하여 Ill 』[+J x- J,[+뇨 1| 착 (l t -sl +l) 나 (t+ s)l)½IAxl. 1---+0 어 떤 각 t, s 츠 0 에 대 하여 IIS( t)x -S(s)xll:$;lt- s l IAxl. 각 xED(A), t츠 0 에 대하여 S( t )x 는 t에 관하여 연속이고 S( t)는 축 소작용소이므로 각 XE 万(A), t츠 0 에 대하여 S( t )x 는 t에 관하여 연 속이다• xED(A), t, s 츠 0 이라고 하자. n= ［侍], m= 〔王]+〔 T] ; i=µ라고 두면 (3. 27) 로부터 충분히 작은 1>0 에 대 하여 111J[ !:f-!J x -l+J1 ! 다] x ll = J1 [먼 x- J,[+J +[-+]xi i 三(([開-(［丹]+〔f])i『+［宁]i 2+([ f]+［齊)\ :$; (4 간 +2 (t+ s) i) ½I Axl 이고 IIS( t +s)x-S( t )S(s) 지 1 직 IS( t +s)x-] 』〔 무 ]xll+II J,[!:f-! ]X 一]J+J 1l타 ]x ii +1I JA[ +]L다 ]x- f ,C+J s(s)xll+II J』다] S(s)x-S( t )S(s)xl I 칙 |S(t+ s)x— J.[ LF]xll+ (412+2(t+ s)l)¼ IA 지 + 111』 ~ +]x-S(s)x i I + I IJ, [+Js (s)x-S(t)S (s)xiI .

i -o+ 이 면 각 xED(A), t, s2:' .0 에 대 하여 S(t+ s)x=S(t) S (s)x 이고 S( t)는 축소작용소이므로 각 XE 万겅J, t ,s 츠 0 에 대하여 S(t+ s)x=S(t) S (s)x. S(O)=I 이므로 {S(t) l t츠 0} 는 万 P5 의 축소반군이다. 정의 3.3.2 A 를 X 의 증대작용소라고 하고 각 .i >o 에 대하여 R( I+ M) 그万C 汀일 대 정리 3.3.1 에서의 万 U5 의 축소반군 {S(t) It 츠 0} 을 -A 에 의 해서 생 성 되 는 万 P5 의 축소반군 (con t rac ti on semi grou p ge nera- ted by A) 이 라 부른다. 명제 3.3.3 A 를 X 의 증대작용소라고 하고 각 .:i >o 에 대하여 R( J+ lA) 그万 m 祚라고 하자. {S( t) l t츠 0} 를 -A 에 의해서 생성되는 5m”의 축소반군이 라고 하면 각 XE 万간 5, [X o,Y o]EA 에 대 하여 :ip-ml 던t ,. 증명 각 l>O 와 k=l, 2, ···에 대하여 짜국 (J }-IX 一J !x) 라고두면 짜 =A JA k-IXEA J }x. A 가 X 의 증대작용소이므로 정리 2. 1. 5 로부터 [xo, y』 EA 에 대하여 (y。-y』 ,k, 규 )~o 인 x*EF(x 。-Ji x) 가 촌재한다. 그런데 (Y1,t, x*)=+(J ~ -1x-nx, x*) 극 (x 。 -nx-(x 。 -n-Ix), X*) 국 ((x 。 -nx, x*) 一 (x 。-JJ -1x, x*)) 각 (llx 。 -nx112-llxo- JJ -1x1111x 。-f ~x1 1)

걸 (I1 도 ]!x ii드 llx 。一]』 Hxll2) 이고 k~r<(k+l)J 인 T 에 대하여 J,[+]=J1 이므로 (3. 28) 1|x 。 _nx11 드 |1 도 ]1-1xll2 후i(y 2 , k, x*/ 후 A(Yo, X*) 후 2 〈 도 ]!x, Yo> s =2\(k2 사 1) i 〈 X 。一] , [+J X, Yo> sd T. t 건 일 때 k=I, 2 , …, [+]에 대하여 (3. 28) 을 변변 더하면 (3. 29) 11 .x。_J』다 ]x ii드| |x 。 _x112 후\ 』 ~[+]+l)l 〈 X 。一]'[+J X , Yo> ,d i. 계 1. 2. 19 로부터 <·,.> 3 는 X 에 서 상반연속이 고 l 〈 X 。-J詞 X, Yo> ,l s llx 。_J詞.xii IIYoll s (llx 。-.x ll + ll .x一]』〔 7 J xii ) IIYoll <(I |x 。 _x ii +-rI A xoI ) IIYoll 이므로 (3.29) 에 E0+ 이면 정리 1. 3.13 의 수림정리와 정리 3.3.1 로 부터 (3. 30) ! Ix 。 _S (t) xll 드 | |x 。-재 2s2 『〈 X 。 -S( -r) x, Yo> ,d i-. 。 그런데 각 x*EF( .x -x 。)에 대하여 (S( t )x 군, x*) = (S(t) X -Xo, x*)-(X-Xo, .x*) sllS( t).x -x 。 II Ilx-Xo||-Ilx_xdI2 악 (11S( t )x- .x。 I |2_ I |x_x 。 112) (2) 이 므로 (3. 30) 으로부터 (3. 31 ) (S(t) x -.x, x*) 테 1 〈 X 。 _S( -r).x, Yo> ,d i- . 。 또 S( t).x가 호 0 에 관하여 연속이고 <·,. 〉 s 가 상반연속이므로 〈 X 。­ S(- r )x,Yo 〉'는 T 에 관하여 상반연속이다. 따라서 임의의 e>0 에 대하여 os-.

〈 X 。― S( i- )x, Yo 〉,<〈 X 。 _X, Yo> ,+ c 인 o>o 가 촌재한다. (3. 21) 로부터 o ,+ e) 이고따라서 훑? -x. ） 惡 (+(S( t).x-.x), .x*）三〈 X 。 -x, Yo> '+ e. E>O 임의이므로 e-+O+ 이면 r•!~P -x,> ~(+(S (t)X -X), X*) 후 o-X, Yo> ,. 명제 3.3.4 A 를 X 의 증대작용소라고 하고 각 ..:1 >0 에 대하여 R( l +.:1 A) 그福라고 하자. {S( t )I t츠 0} 를 -A 에 의해서 생성되는 万혀了 의 축소반군이 라고 하자. (3. 32) D (A) = {xE 灰A) ll=i m ll Ai x ll

부터 각 x*EF(x-x 。)와 [xo,Yo]EA 에 대하여 ~(+cs(t)x -x), x* ）三〈 X 。 -X, Yo> s, (3. 35) §ii (-+l lx -S (t )xllllx ― Xoll)< 〈 X 。군 ,Yo 〉 Xo= f ,x , Yo=A 』 x 라고 두면 〈 X 。 _X, Yo> ,= sup { (Yo, x*) I x*EF(x 。一 x)} = sup { (A,x, x*) I x*EF (J, x 국) } === 크s—uAp i I{nI A(f A ,{x,(lxAl2, , xx*, )- I½ 냐x* x)* lE냐 F(A x,*xE)F }( A,x)} 이 므로 (3. 35) 로부터 크 'lT io m+ it llx ― S( t) xllllA,xll~ 一J. IIA,xll 리 ! I A .＇ 지|~lii=: mii+ it 11x-S(t)지 I, (3. 36) A面 ➔ 0i+ l lA i x 店 ;눕li m눕~ tI lx-S( t)지 |o 에 대하여 R(I 十 lA):::, 万 U5 라고 하자. {S( t )I t츠 0} 를 -A 에 의해서 생성되는 万 m5 의 축소반군이라고 하자. XE D(A)이면 각 t;;: ::o, [xo, y。 ]EA 에 대하 여 (3. 37) I Ix 。 -S( t )xll ::;;llx 。 -x i i + 『。 다 (x 。 -S( -r )x, y。 )d -r

이고 각 i> o, t츠 0 에 대하여 (3. 38) IIS( t )x- Jl xl 다국 )II Jl x -x II + f~:IIS (-r) x-xlld , . 증명 A 가 X 의 증대작용소이고 }(J:- IX-J! x ) E Anx(k=1, 2, …)이 므로 정 리 2. I. 5 로부터 [xo, Yo]EA 에 대 하여 (3. 39) •+(x 。 -] 1 , Yo 나 u 1 -1x- ff x)) 츠 0. 정 리 I. 2.1 8 로부터 (3. 39) 는 T_(x 。 _nx, 11-1 .x -nx):::;; i다 (x 。 -nx, Yo). 따라서 k=I, 2, ···에 대하여 llx 。_J :x||_Ilx 。 _n-111:::;;11x 。一] ! .xii＿다 (x 。 _nx, x 。 -n-lx) = IIx 。 _nxl l +-r _(x 。_J :x, JAk- I X_Xo) =-r _(x 。 _nx, x 。_f: x+ Jf -lX-X 。) =c(x 。_J 1x, JA k-IX_ J :x) 척다 (x 。― ] 1 x, Yo). k:::;;-r< (k+I )i 인 T 에 대하여 J居느 R 이므로 (3. 40) !Ix 。_Ji xl1_IIx 。一 n-111 척다 (x 。_]1 x, Yo). =『 D\+(x 。_J,[+J x, Yo)d-r . t건일 때 k=I,2,… , [선에 대하여 (3.40) 을 변변 더하면 (3. 41) llxo 과+J xll-llx 。려 테( [+]+1} 』+ (x 。-J』[타, Yo)d-r . 또 정 리 I. 2. 18 로부터 다(•, .)는 X 에 서 상반연속이 고 1 다 (x 。 -11[ 수 ]x, y。) l~IIY 。 II 이므로 (3.40) 에 l-+O + 이면 정리 1.3 .13 의 수령정리와 정리 3.3.1 로 부터 ||x 。 -S( t )xll 一 ||x 。 -x ii키t다 (Xo-S( t )X, y。 )d t 。 이고 (3. 37) 이 성립한다.

또 (3. 37) 을 다른 식 으로 표시 하면 Dl lx 。 _S( t)지 I~ 다 (x 。 -S( t) x, y。) . Xo=J J.x, Ya=AJx 라고 두면 정 리 1. 2. 18 로부터 (3. 42) DI IJi=. x--r +S((It 』 x). x-lS l 우( (t )]x,J f x-t) x-]Jx ) ) 나 (11 .x一 S( t )xl l-ll J』 x-S( t )xll) 악 (2 l lx-S( t )xl 1-11. x-JJx ll) . (3. 42) 의 양면을 [o ,t ] 에 서 적 분하면 II J』 x-S( t )xlI-IIx- J』 x i i~-J니 J o: 1lx-S( -r )xlld -r -+Ilx-] J xlI 에서 (3. 38) 을 얻는다.

(3) D 는 4 개 의 D i n i도함수의 하나이 다.

명재 3.3 .6 A 를 X 의 중대작용소이라고 하고 각 A>O 에 대하여 R (J +AA) 그万召5 이라고 하자. {S(t) I t ~O} 를 _A 에 의해서 생성되는 福의 축소반군이 라고 하면 각 XE 万겅予에 대 하여 (3. 43) l’:i. -m:._- ! t_ IIS (t )x 一 xll= l』:i. m-: . llA i xll=d(o, R(A))<•>, (3. 44) l '타 |1S( t )xl|= ！터만 }II J』 xll=d(O, R(A)).

(4) d(O, R(A)) =inf ( ll z lll zER(A)}.

증명 d=d(O, R(A)) 라고 하면 각 XE 万召 5 와 i> o 에 대 하여 A 』 X 는 A]i xCR(A) 이므로 IIA i xl|~d 이고 ]i mllA i xll 츠 d. 하한의 정의로부터 』니,‘ 임의의 e>o 에 대하여 llzll

etI> x-0-- 은 AA. i x임-- 에. 의,, 서이,, 므로 面,..급. IIA i xll~d, 죽 I, i. m..| |A 』 x ii =d. 그런데 fJix= II A,xll-f llxl | 국 II J,x1 1 국 llxll + IIAi: rl I 이고 i -OO 이면 쁜나 ll fl :r ll=d. zER( A)라고 하면 [y ,z]EA 인 yE D(A) 가 촌재한다. 이 때 Y= J,(y +lz) 이고 각 k=l, 2, …에 대하여 (3. 45) llnx-yll = 11nx-Ji (y+ lz) 11 ~1,n-1:r -(y+ lz) ll~IIJ1 - 1x-yl l +lllzll. t2 i 일 때 k= I, 2, …, 行t] 에 대 하여 (3. 45) 를 변변 더 하떤 Ill,[+]x-yl l ~ll:r -yl| + [}]서 lzll 회 lx-yll +tllz ll, 1-0+ 이면 I IS(t) x -y! l ~llx-yl ! +tl !z l l, IIS(t) x -xl1~21!x-yl I +ti lz lI. 따라서 t面 .. - 5 ..t! ..IIS( t )x- :r ll~llzl| 이고 zER(A) 이므로 판 -}IIS( t) x-xll 학. 한편 명제 3.3.5 로부터 각 표三 DF}에 대하여 llf ,x-: --xll ~I IS(t) :r-x | |~ll~_(t) x -f,x l l 뱌 令) I I J』 x-x| | +宁 ~:I IS(-r) x-xl ld-r, IIS(t )x-xllz fl l.l. f~ ,- x-x-l| - 리l J oI IIS(T)X-X|ldT 격-t 111lx11-+1| 지 I)-+\ 。 IIS( -r )x-xlld -r • .i -+00 이 면 (3. 43) 으로부터 IIS(t) x -xllztd 이 고 -}IIS(t) x -xllzd. 따 라서 쁨냐 IIS( t )x-xll 츠 d .. 그 러 드로 뿐 -}I IS(t) x -xl l =d. 그런데

t llS( t )x-xll- t llxll 라 IIS (t )xll 석 -IIS( t )x-xl l+t llxll 이므로 t一CX)이면 E판 t 11S( t )xll=d . 죽 (3. 43), (3. 44) 가 증명되었다 c 명재 3.3.7 A 를 X 의 증대작용소라고 하고 각 1>0 에 대하여 R(I +lA) 그 D了 刀라고 하자. {S(t) I t 츠 0} 를 -A 에 의해서 생성되는 万혀 5 의 축소반군이라고 하면 각 xE J5겨), t> o, 도 >0, 갔 EF( f (x- J~)) 에 대하여 (3. 46) (+ex 一 S( t )x, x :I')츠 1zlIx- J 1xl12- 궁 llx-]1xll 這 11 .x -S (T') xl ldT, (3. 47) (;U~x 一 x) 나 (S( t )x-x), xT ) 드µ우 111』 x-xl l2- 令| IJ)x -xl l tt 『o I IS(t) x-.il ld t. 증명 XED (A), l, µ>O 이 라고 하자. (.x- S(t).각x , .x -If l). x= -(J.x1.-x ]l 112.x- ,f .x IrI )J +1 x야-S x(-t)Sx (ll t )I. lx.,x -다 /)1 xl I. 명제 3.3.5 로부터 t ,l>O 에 대하여 (+~작 (.txi- IS lIxx( --t])J1 . 1xx. )x ,ll l1.x22f-- )1f t l( I(J1 1 令 x-S )(ltl).x x 一l 1 J1 I1 .xx 1 -I J1 xl I =f+r l+ Il x [-1J oJ l1 ..xx l- 1 S2-( 옵T'). x I lIl xdT-)] 11lx.xl I-tJ) )x: l1l l x-S(t) xl ldt. 따라서 (3.46) 이 증명되었다. 또 명제 2.1.7 로부터 II J』 x- J ,.x ii= Ill,.(웃 x+ 上뜬 -]1 .X)一J, .x ii 텍 1- 운) Ill』 x- .x l I (l>µ>O)

이므로 각 갔 EF(+ o 에 대하여 R (l + -

증명 (1) xED(A) 이라고 하면 명제 3.3.6 으로부터 Elii0:n+ ~ t llx-S(t) 지 \ =la.i .m 0+ _ il _l lx-]ix l ! o}, {＋타 ],x) l.:l> o}, {xt lµ >O} 는 t-+ O+, ..:1- +0+, µ-+O+ 일 때 각각 X 의 유계집합이다. X가 회귀공간 이 므로 명 제 I. I. 6 으로부터 X* 도 회 귀 공간이 고 w-1im T1 (x _ S(tn ) x) =y, n ➔= •n w- nl i수 m~ ―i1. (x 나다 =z. w-k l_i mm 자 =x* 인 y, zEX, x*EX*, t., i.> o, µi>O , t국)+, L-+O+, µ11-++0, {t.} , {서 , {µ .. } 가 촌재한다. 명 제 3. 3. 7 로부터 (土릅 (x -J -I』 lx.x-) J+p .-. xf:l (1.2x 급 -S ( tI .I)x .x-) J, ,x,1 ~.x )l I t~:•1l .x - S(r).xl ldi-. n->oo 이떤 (y+ z, 적) ~--3µ;i- I l x-J,. k x| I 언 k-+oo 이 면 명 제 3. 3. 6 으로부터 (y+ z, X*)~ 2d2, d=d(o, R(A)). 또 명제 1.1 ..4와 명제 3.3.6 으로부터 IIYII 책보-+;;러-. . -. llx-S( t ,.)xll=d, llzll:::;;下li=m i + 11x-J) . xll=d,

11 .x *II~ 반k ..민 ~ 1 호 II=브 k .므. ~값 11 .x-J, ,,,xll=d. 이므로 2d2 조(y +z, x*)~ lly+ zll11.x * ll~(IIYll+ llzl l) ll .x *ll~2d 언 따라서 lly+ zll=IIYII+llzll. 한편 2d 홍 (IIYII + Ilzl I) 11. x* I I 츠 (IIYll +d)d=dl lYll +d2 에서 d:$;1IYI| 이고 ||Yll=d. 같은 방법으로. llzll=d. 즉 IIYll=llzll. X 는 직철공간이므로 y= z. 그러므로 w-l-i+m ~ — tI ( x— S (t,. ).x) = w-l. i.m m — A 1 ( x ―J규) =y. 극한의 일의성으로부터 (3. 49) w-Eli0m+ — 1t ( x-S(t) x ) =w-l나im 0+ — i1 (x-]ix ) =y. 각 xED(A) 에 대하여 Ax=w-lt . i.. om+ 上t (x— S(t ) x) 라고 두면 (3. 49) 로부터 xED(A/ ）이고 &=A'x. 한편 xED(A’) 이 떤 xE i.50!-)이고 극한 w-思 판 (x-S( t )x) 가 촌재하므로 xE fJ (A) 이 고 A'x=.A x . 그러므로 b(A)=D(A/ ）이고 A=AI. 또한 IIYll=d 의 증명과 같은 방법으로 각 xED(A') 에 대하여 |IA 'xll =d.