그러므로, P : S ―-► GL ( V) , a 1-------? P (a) 는 S 의 충실한 n 차의 F- 표현이 다. 표현 P 에 의하여 정의된 G에 관한 행렬표현 x : S 一 GLn(F), 元 (a) = [P(a)]! II 는 Sn 의 충실한 n 차의 F- 행렬표현이다. 여기서, 각 6ESn 에 대하여 행 렬 1C (o) 는 치 환행 렬 이 다. 실제 로, 각 j = 1, …, n 에 대 하여 , 행 렬 1C(u) 의 제 1 열의 성분은 (a(j) ,j) 성분만이 1 이고 그 밖의 것은 모두 O 이다. 예를 들어, 3 차의 대칭군 s3 = {1, (123) , (132) , (12) , (13) , (23) } 에 대하여, 요의 행렬표현 元 :S3_GL3(F) 는 다음과 같이 정의된다 (예 I. 3. 3 참조). x(1) = I, 1C((123)) = [o; :o :1]1, X((132)) = [ro: 1니 o 1C((12)) = [1o 100 O1] ' x((13)) = [r0o o1 1O7] , 元 ((23)) = [nO oOo 1] O O 1J I1 O OJ LO 1 0 체 F의 標數가 0 일 때, F 위에서의 群의 表現論울 흔히 通常表現論 (ordin a ry rep re senta t i on the ory) 이 라 한다. 또, 체 F 의 標數가 素數 P 인 경 우 F 위 에 서 의 群의 表現論을 Brauer 表現諾 또는 modular 表現論 이라 한다. Brauer 表現論온 실질적으로 PIIG| 인 경우에 通常표현론과 크게 달라진다. 이 책에서는 通常表現論에 대해서만 논하기로 한다.

* 문재 1.3 1. 예 ].3. I 의 (1) 에서 행렬표현

福) = [尸 _:걱} '!fl'a( Y) = [~ ~] (3) '!'ffl'r (:x G) =― ➔ [: GL,-( I;C ) 를[ 다_음 []과' '같l[ I'이(y ) 정= 의[:된 :행 렬;표 현[이]라 하자 . 이 때, 다음 조건을 만족시키는 正則행렬 MEGL4(C) 을 구하여라. M一 l '!fl' (x)M= [~1(x) '!fl'~( x)J . M-l'!fl '(y) M= ['l[IO'I( y) 'l[I'?(y)] 5.

T(x) (w) E W 일 때, W 를 (표현 T에 관한) V 의 部分表現空間 (subre p resen t a ti on sp ac e) 이 라 한다.

위의 정의에서, 각 정칙선형변환 T(x)EGL(V) 의 부분공간 W 에 의 축소사상 T1 (x) = T(x) 1w : W-W, T1 (x) (w) = T(x) (w ) 는 W 위의 正則선형변환이다. 즉, T1(x) EGL(W) 이다[現代代戱 學 , 定理 7. 4. 4 참조 l 또한, 사상 T1 : G-GL(W), x-T1(x) 은 群준동형사상이고 따라서 T1 은 G 의 표현아다. 이 표현 T1 을, W 를 표현공간으로 갖는 T의 部分表現 (subre p resen t a ti on) 이 라 한다. 다음에 劍餘공간 V/W 를 생각하고, 각 xEG 에 대하여 사상 T2(x) : V/W ― ➔ V/W 를

의 꼴로 유일하게 표시 될 때, V 를 부분공간 W1, …, W. . 의 (內的인) 直

면표현공간 V 는 直合 V= W EB U 로 분해 되지 만, 일반적으로 U 는 V 의 부분표현공간이 아니다. 한편, 6'2 = {u1 + W, …, t{『+ W} 는 乘j餘표현공간 V/W 의 F- 기저를 이룬다[現代代數學, 定理 7.4.6]. 다움에 ,Jr : G - GLn (F) 몰 T 에 의 하여 정 의 된 기 저 땅 에 관한 행 렬표현이라 하면, 행렬표현 P 와 ,Jr는 서로 同値이므로 적당한 正則행 렬 MEGLn(F) 이 존재하여 'l{r (x) = M-1cp (x) M (xEG) 이 성 립 한다 (정 리 I . 3. 3) . 이 제 'l/r1 : G - GL. . (F ) , 'l/r2 : G - GL, (F) 를 각각 부분표현 T1 : G ― -GL(W) 과 ｝削除 표현 T2 : G 一- GL(V/W) 에 의하여 정의된

위의 결과에 따라서, 행렬 표 현 의 紙約性과 可約性을 다음과 같아 정 의 한다. 정의 1.4.4 'P :G_Ma t n(F)·롭 群 G 의 F 정렬표현이라 하자. 적당한 正則행렬 MEGLn(F) 이 존재하여 M-1'P @) M 규 (x) = [中 I (x) 1fJ' (x) ] (x e G) 0 '1'2 (x) 의 여꼴기로서 표'1시'1될 : G 때 —,- GrpL 를. ,(可F約), 行'1列'2 表: G 現 ―이 ➔라 GL한,다(.F ) 는 G 의 F- 행렬표현 이 고, n = m+r, ,n~ l. r~l 이 다. 또, rp 가 可約이 아닐 때 'P 를 段約 行列表現이 라 한다. 정의에 의하여, 표현 T 가 親約이면 T 에 의하여 정의된 행렬표현 rp 는 親約이다. 또, 이 逆도 성립한다. 다음에는, 앞의 결과에 이어서 특히 T: G-GL(V) 가 完全可約인 경우를 생각해 보자• 이 때, V 는 완전가약이므로 V= W®W’ 인 V 의 부분표현공간 W’ 이 존재하고, 이 경우에

T(x) (wi ) = i~= ' I a;i ( x) w; (j = l, …, m) T (x) (w~) = ~r r;j ( x ) w; (j = l, …, r) i= l 이 때 T1 (x) (w1) = T (x) (w;) , T; (x) (w; ) = T (x) (w; ) 이므로, 다음이 성립한다. ,fr1( x) = [a;1 (x) J .. x .. , ,fr; (x) = [r;j ( x ) ]rX r ,fr' (x) = 〔中 1 (x) 0 } (x 든 G) 0 ,fr; ( x) 위의 결과에 따라, 행렬표현의 完全可約性을 다음 과 같이 정의 한 다. 정의 1.4 .5 cp : G ― ➔ GLn(F) 를 群 G 의 F- 행렬표 현 이라 하자. 행렬표현 cp가 ,fr : G ― ➔ GLn(F), ,fr (x) = [,fr~。 x ) ,'1f/1r' 2( (x x)) ]( XE G) 와 갇은 꼴의 행렬표현 中와 同値인 경우에는 반드시

예 1.4.2 群 G=D3= 〈 x, y lx3=1, y 2=1,x :1 =x-1 〉의 C- 표현 T : G - GL ( V) , V = Cv 1 EE) Cv2 가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자(여기서, Q는 1 의 한원시근). T(x) (vi) = wvi T(y) (vi) = V2 T(x) (v2) = w2v2 T(y) (v2) = Vi 이 표현에 의하여 정의된 G 에 관한 행렬표현 cp : G_-GL2(C) 는 cp (x) = [;w ~} cp (y) = [~ ;] 으로 정의된다(예 . ].3.3 의 (2)). 이제 T 및

정리 1.4.7 T: G-GL(V) 를 群 G 의 完全可約 F- 표현이라 하면 표현공간 V 는 유한 개의 親約부분표현공간 WI, …, W. . 의 直合 V = W181· •· 81 W. . 으로 분해된다. 증명 n=:=d i mFV 에 관한 귀납법으로 증명한다. 표현공간 V 의 부분표현공간 중에서 次元이 가장 작은 부분표현공간 W 며 ={0} 를 택하면, W1 은 競約 부분표현공간이다. 이 때, 정의 1.4.3 에 의하여 V= W1E9U 인 V 의 부분표현공간 U 가 존재한다. 먼저 U= {O} 인 경우에는 V 자신이 筑約이므로 정리의 결과가 성립한 댜 다음에 U =I= {O} 이 라 하자. 이 경 우에 정 리 1. 4. 6 에 의 하여 U 는 완 전가약이고 dim FU< d i mFV=n 이다. 따라서, 귀납법 가정에 의하여 U 는 U 의 紙約부분표현공간 W2, ···, W. . 의 直合 U= W2E9 .. ·E9W. . 으 로 분해된다. 한편, U의 紙約부분표현공간은 물론 V 의 紙約부분표현 공간이다. 따라서, V 는 V 의 親約부분표현공간 W1,… , W. . 의 直合 V= W1E9 .. ·E9W ,. . 으로 분해된다. 실제로는 위의 정리의 逆도 성립한다(정리 1. 8.19 참조). 이 정리를 행렬표현에 관한 정리로 고쳐 쓰면 다움과 같이 된다. 따름정리 1.4.8 cp : G ― ➔ GLn(F) 를 群 G 의 完全可約 F- 행렬표현 이라 하면, 적당한 正則행렬 MEGLn(F) 이 존재하여 M-1cp (x) M = ,fr (x) = l「 합~ X) ,fr2。~ X ) …: 二 -;;,~ (x) l」 (x E G) = ,fr1 ( x) EB· • ·EBi/ rm C x) 의 꼴로 표시된다. 여기서中‘ : G —-G L., (F) (i = 1, …, 1n> 는 G 의 紙約 F- 행렬표현이다.

예 1. .4. 3 G =

l.5 유니타리表現 群의 表現은 복소수體 C 에서 다루는 경우가 가장 많다. 이 절에서 F 는 실수體 R 또는 복소수體 C 를 나타낸다. 또, 임의의 복소수 a=a+ i b (a,bE JR.)에 대하여, 그 켤레복소수를 a=a-ib 로 나타낸다. 정의 1.5.1 V 를 체 F 위의 벡터공간이라 하자 (F= JR.또는 F= C). 다음 조건을 만족시키는 사상 (·, ·) : Vx V_ ➔ F, 를 V 위 의 內稽 (inn er pro duct) 이 라 한다. ( i ) (vi +v2, w) = (v1, w) + (v2, w) , (av, w) = a (v, w) ( ii ) (v, w1 +w2) = (v, W1) + (v, w 시 , (v, aw) = 죠 (v, w) (iii) (w, v) = (v,w) (iv) 모든 vE V 에 대하여 (v,V)~o 특히 (v, v) =0 ~ v=0 또, 벡터공간 V 위에 특정한 內積 (·, .)이 정의되어 있을 때, V 를 內積空 rsi (inn er pro duct sp a ce) 이 라 한다. 독히 , F = C 인 경 우 內積공 간 V 를 유니타리 空 Fsi (unit ar y sp a ce) 이 라 한다. 예 1.5.1 F=R 또는 F=C 일 때, 벡터공간 F = {(a1, …, a) Ia1, …, an E F} 는 다음과 같이 정의된 內積 (·, .)에 관하여 內稙공간을 이룬다. v = (a1, …, an) E F, w = (/31 , …, f3n ) E Fn 일 때, (v, w) = 1~= 1 a 沼‘ 이 內積올 F” 의 標準內積이 라 한다.

마찬가지로, F- 벡 터공간 Matn (F) 위에 標準 內積 (·, .)을 다음과 갇 이 정의한다. (〔 aI 』 n x n, 〔/3，』 nxn) = gg aI J겹 정의 1.5.2 V 를 체 F 위의 n 차원 內積공간이라 하자 (F= JR. 또는 F=C). 다음 두 조건을 만족시 키 는 8 = {vI, …, Vn} 를 V 의 正規産交基底 (orth-onormal basis ) 라 한다. (i) G 는 V 의 F- 基底이 다. (ii) (V, , Vj) = 0,1 (i,j = 1, …, n) 일반적으로, 체 F 위의 n 차원 內積공간 V 는 n 개의 벡터로 이루어진 正規直交基底 (B = {V1, …, Vn} 를 갖고, 또 이 때 (*) 偉따i, 홉I f3리 겔포 가 성립한다[現代代 數 學, 定理 7.8.10]. 역 으로, 체 F 위 의 n 차원 벡 터 공간 V 가 基底 G = {vI, …, Vn} 를 가 질 때 , V 의 임 의 의 벡 터 v = }: a1v1, w = ~ /3,v , 에 대 하여 (v, w) 를 I= ! i= I (*）와 같이 정의하면 (·, ·) : Vx V-F 는 V 의 內積이고 또 이 內積 에 관하여 V 는 G 를 正規直交基底로 갖는 內 積 공간이다. 內 積 공간 V 에서, 벡터 vE V 의 노름 (norm) llvll 를 II V II = ,./(v,v) 으로 정의한다. 임의의 v,wE V에 대하여 V 와 W 사이의 거리 d(v,w) 를 d(v, w) = llv-wll 로 정의하면 다음 성질이 성립한다• (i) d(v, w) :2::: 0 특히 d(v, w) = 0 ¢==> v = w (ii) d (v, w) = d (w, v) (iii) d(v, w) ::;; d(v, u) +d(u, w)

內積空間 V 는 거리함수 d : Vx V ― -F 에 관하여 거리空間 (me t r i c spa c e) 을 이 룬다. 예 1.5.2 F= 교 또는 F=C 라 할 때, 標準內租이 정의되어 있는 內苗공간 F 에 서 임 의 의 V = (cti, ···, ctn) E F, W = (/31 , …, f3n ) E F 에 대하여 d(v, w) 를 d(v, w) = (설 I l ct,-/3 ,12) 성 으로 정의하면, Fn 은 이 거리함수 d 에 관하여 거리空間을 이룬다. 마찬가지로, 內積공간 Ma t n(F) 는 다움과 같이 정의된 거리함수 d 에 관하여 거리空間을 이룬다. d (A, B) = 倍 I ct,j-/3記 )7 여 기 서 A = 〔 a; 』 nxn, B = [{3]nX n 정의 1.5 .3 V 를 체 F 위의 內積이라 하자 (F=R 또는 F=C ). 이 때, V 의 임의의 부분집합 S 에 대하여 S.L = {v E V| 모든 w E S 에 대 하여 (v, w) = O} 는 V 의 부분공간을 이룬다. 이 부분공간 S.L 을 S 의 直交補空 r버 (orth o g o nal comp le ment) 이 라 한다. 다음 정리가 성립함을 쉽게 증명할 수 있다[現代代數學, 定理 7.8.12, 따름定理 7.8.13]. 정리 1.5. .4 V 를 체 F 위의 유한차원 內積공간이라 하자 (F= JR. 또 는 F=C). 이 때, W 를 V 의 임의의 부분공간이라 하면 V= WE f)W .L, (W .L).L = w dim FW + dim FW .L = dim FV 다움에는, 內積공간 위에 정의된 특수한 선형변환에 대하여 생각해 보자.

정의 1.5.5 V 를 F 위 의 유한 차 원 內 81 공간이라 하고 fE EndF(V) 라 하자 (F= R. 또는 F= C) . 다음 조건을 만 족 시키는 / * EEndF(V) 를 f의 隨伴선형변환 (ad j o i n t) 또는 에르밋트 隨伴선형변환 (Herm iti an ad j o i n t)이라 한다. 모든 v,w 든 V 에 대하여 (f(v) , w) = (v, f* (w ) ) , (v, f(w) ) = (f* (v ) , w) 정의 1.5 .6 V 를 체 F 위의 유한차원 內 積 공간아라 하자. 선형변 환 fE End F (V) 가 V 의 內 積 울 보존시킬 때, 죽 (f(v) , /(w))=(v,w), v,w 드 V 가 성립할 때 (1) F=C 인 경우, f를 유니타리(線型)變換 또는 유니타리(線型)作用素 (uni ta ry op er ato r) 라 하고, (2) F= R 인 경우, f를 直交 ( 線型 ) 쫓換 또는 直交(線型)作用素 (or t h o­ go nal op er ato r) 라 한다. 유 한 차원 內 積 공간 V에 대해서는 다음 정리가 성립한다[現代代數學, 定理 7. 11. 2]. 정리 1.5 .7 V 를 F 위의 유한차원 內 積 공간이라 하고 fE EndF(V) 라 하자 (F=R 또는 F=C). 이 때, 다음 명제는 서로 동치이다. (1) f는 유니타리 變 換[直交변환〕이다. 죽, (f(v) ,f(w) ) = (v, w) , v, w E V (2) f는 노름을 보존시킨다 . 즉, 11/(v) I I = llvll, vE V (3) fof * = f*o f = lv, J-I = f* (4) V의 임의의 正 規直交 기저

정의 1. 5. 8 행 렬 A = [a; j]n xnE Ma t .(F) 에 대하여, 행 렬 AT = [a j』 nXn 를 A 의 轉置행렬 (tra nsp o se) 이 라 하고, 행 렬 A* = 겨 T = [a ij *] nx n , ai1 * = 죠ji 를 A 의 隨伴행렬 또는 共朝轉置행렬이 라 한다. 특히 , A E Mat. (JR.) 이 연 A* = AT 이 다. 정의 1.5.9 행렬 A=[a, . 』 n X nEMa t n(F) 에 대하여, AA* = A*A = I, A-• = A* 가 성립할 때, 죽 •I=n; I Cl.;k c ijk = O;j (i, j = 1, ···, n) 가 성립할 때, F=C 인 경우 A 를 유니타리行列이라 하고, F=JR . 경우 A 를 直交行列이라 한다. 위의 정의에 의하여, 행렬 A= [ct ,1].x.EMa t .(F) 가 유니타리行列 [直交행렬〕이기 위한 필요충분조건은 A 의 행들로 이루어진 행벡터 Ai = (au, ···, a1n), …, An = (anl, …, a'.n n) 이 內積공간 Fn 의 正規直交基底인 것아 다. 특히 AEMa t n(C) 가 유니타리行列이면 IIAII= ✓ n, ldet A I =1 이고, AEMa t n( lR.)가 直交行列이면 IIAII = ✓ n, det A = 士 1 이다. 다음 정리가 성립한다〔現代代敷學, 定理 7.11 .6 ]. 정리 1.5.10 V 를 체 F 위의 n 차원 內積공간이라 하자 (F=C 또는 F= JR.). 이 때, f EEndF(V) 라 하고 G 를 V 의 正規直交기저라 하면 (1) [f이!II = [f]; (2) f는 유니타리變換〔직교변환]~[f]!II는 유니타리行列[直交행렬]

이제까지 논한 內積공간에 대한 특성을 이용하여, 유한群의 C- 표현을 다시 생각해 보기로 한다. 정의 1.5.11 T: G ― ➔ GL(V) 를, n 차원 複素 內積공간 V 를 표 현공간으로 갖는 群 G 의 표현이라 하자. 모든 xEG 에 대하여 T(x)EGL(V) 가 유니타리 裵換일 때, T 를 G 의 유니타리 表現 (un it ar y rep re senta t i on ) 이 라 한다. 마찬가지로, 'P : G_GLn(C) 를 群 G 의 n 차의 C- 행렬표현이라 할 때 , 모든 x E G 에 대 하여 'P (x) E GLn (IC) 가 유니 타리 行列인 경 우 'P 를 G 의 유니타리 行列表現이라 한다. 위의 정의에서, 8= {vI, …, Vn} 를 內積공간 V 의 正規直交基底라 할 때, 유니타리 표현 T에 의하여 정의된 基底 G 에 관한 행렬표현 霞 : G-GLn(IC) 는 유니타리 행렬표현이다(정리 1.5 .10). 정리 1.5.12 임의의 群 G 에 대하여, G 의 유니타리 표현〔유니타리 행렬표현〕은 모두 完全可約이다. 증명 T: G-GL(V) 를 群 G 의 n 차의 유니타리 표현이라 하자. 이 때, 각 xEG 에 대하여 T(x) EGL(V) 는 유니타리 변환이므로 정리 1.5.7 에 의하여 다음 등식이 성립한다. (T(x) (v) , w) = (v, T(x) * (w) ) = (v, T(x-1) (w) ) , v, w E V 이제 W 를 V 의 T에 관한 부분표현공간이라 하자. 임의의 如三 W .L 와 t U 드 VV 에 대하여 (T(x) (v) , w) = (v, T(x-1) (w) ) = 0 (x E G) 아므로 모든 x 든 G 와 v 든 W .L 에 대하여 T(x) (v)E W .L 이다. 따라서 w .L는 V 의 T 에 관한 부분표현공간이다. 한편, 정리 1.5.4 에 의하여 V= WEBW .L 이다. 따라서, T 는 완전가약 표현이다. 유한群에 대해서는 다음이 성립한다.

정리 1.5 .13 G 물 유한群이라 하자. (1) V 물 임의의 n 차원 C- 벡터공간이라 하고 T:G-GL(V) 를 G 의 표현이라 할 때, V 에 적당한 內積 <·,. 〉을 정의하여 = , xEG; v,wE V 가 성립하도록 할 수 있다. 이 때, T 는 內稽공간 (V,< ·,. 〉）를 표현공 간으로 갖는 G 의 유니타리 표현이다. (2) G 의 임의의 C- 행렬표현 'P : G-GL(C) 에 대하여, : Vx V ― ➔ F 를 = I: (T(x) (v) , T(x) (w) ) (v, w E V) 츠 EG 으로 정의하면, <·,. 〉는 F- 벡터공간 V 의 새로운 內積이다• 또, 각 xEG 에 대하여 = ~ (T(y ) (T(x) (v)), T(y) (T(x) (w))) yE G = ~ (T(yx ) (v) , T(yx ) (w) ) = yE G 그러므로, 특히 F=C 인 경우 각 T(x) 는 內積공간 (V,< ·,.> ) 위의 유니타리變換이고 따라서 (1) 이 성립한다. 이제 '&' = {w1, …, Wn} 를 內積 <·,. 〉에 관한 V 의 正規直交基底라하고 'P : G —-G Ln(F)' ,fr : G-GLn(F) 를 각각 T 에 의하여 정의된 基底

F= C 인 경우에, ,fr (x) 는 유니타리 행 렬이고, F= R 인 경우에, ,fr (x) 는 直交행 렬이 다. 이로부터 (2), (3) 이 성 립 함을 알 수 있다. 앞의 정 리 1. 5. 12 와 정 리 1. 5. 13 에 의 하여 다음 정 리 가 성 립 한다. 정리 1.5.14 G 를 유한群이라 할 때, G 의 C- 표현 〔 C 행렬표현〕은 모두 완전가약이다. 앞 정리의 증명에서는 복소수體 C 의 특성이 이용되었으나, 후에 제 2.1 절에서는 체 F 의 標數 가 0 인 경우나 또는 F 의 標敗가 |GI 를 나누 어 떨어뜨리지 않는 경우에도 유한群 G 의 F 에서의 표현은 모두 完全 可約임을 증명한다. 예 1. 5. 3 G = 〈 x 〉를 무한循環群이 라 할 때 , 언 : G 一 GL2(C),

정의 1.6 .1 G 를 群이라 하고 F 를 체라 하자. 함수 f: G-F 가 G 의 각 공액 류 에서 일정한 값을 가질 매, 즉 (*) f(y-•x y) = I(x) (x,y E G) 일 때 , f 를 類함수 (class fun cti on ) 라 한다. 위의 정의 1.6. I 에서, 조건 ( * )는 다음 조전과 동치이다. (**) f(x y) = I(y x ) (x,y E G) 실제로, 임의의 x, y EG 에 대하여 x-1(xy )x= y x 이므로 (*)= ⇒ ( * *) 가 성립한다. 역으로, (**）가 성립한다면, 임의의 x, y EG 에 대하여 f(y-1 x•y ) = f(y-y-1x ) = f( x) 이 므로 (*) 가 성 립 한다• 제 1.2 절에서 말한 바와 갇이, 서로 닮은 두 12X?1 행렬의 트레이스는 같다. 이 사실을 이용하여 f가 11 차원 F- 벡터공간 V 위의 선형변환일 때, V 의 임의의 한 基底 G에 관한 f의 행렬이 [1 ]! B=[ a; 』 nXn 인 경 우에 f의 트레이스 t r f를 tr f = t r 〔刀요 = 2 aI· 급료 정의한다. i= l 정의 1.6.2 T:G-GL(V) 를 群 G 의 n 차의 F- 표현이라 하고, rp : G ― ➔ GLn (F) 를 T 에 의 하여 정 의 된 (적 당한 기 저 에 관한) F- 행 렬 표현이라 할 메, 함수 x:G-F, X (x) = tr T (x) = trr :p (x) (xEG) 를 T 의 [cp 의 ] 指標 (characte r ) 또는 T 에 의 하여 [cp 에 의 하여 ] 정 의 된 (af for ed) G 의 F 偉標라 한다. 특히 , T 가 [cp 가] 親約일 때 X 를 設約指標 (irr educib l e characte r ) 라 한다. 위의 정의에서, 1 t을 X 의 次敦라 하고 이것을 de g X 로 나타낸다. 죽, deg X = dim FV = deg T = deg cp 또, T 의 核을 지표 X 의 核이라 하고 아것을 kerx 로 나타낸다. 죽, ker X = kerT = ker cp = {x E G I T(x) = 1v}

또, T 가 충실한 표현일 때, X 를 忠實한 指標라 한다. 정리 1.6.3 T: G — ➔ GL(V) 를 群 G 의 F- 표현이라 하고 X 를 T 의 n 차의 指標라 할 때, 다음이 성립한다. (1) X : G-F 는 類함수이다. 즉, X (y-1xy) = X (x) , X (xy) = X (yx ) (x,y E G) 특히, F 가 標數 0 의 체이면 X(1) =deg X =dim FV (2) S : G ― ➔ GL(W) 를 T 와 同値인 G 의 F- 표현이라 하면, S 의 指標는 X 이다. 증명 (1) 모든 x, y EG 에 대하여 T(y- 1x y ) = T(y) -10 T(x) oT (y) 이므로, 정리 1.2.8 에 의하여 X (y-1 xy ) = tr T(y- 1x y ) = tr T(x) = X (x) 특히, F 가 標數 0 의 체이면, Zc Q드 F 이므로 X(l) =trT (l) =trlv =t rl =n=dim FV (2) T~S 라 가정하자. 이 때, 적당한 F- 同型사상 f: V_ ➔ W 가 존재하여 S(x) =foT( x) oJ- 1 (xEG) 를 만족시키므로, 정리 1. 2.8 에 의하여 tr S(x) = tr f0 T (x) 0J- 1 = tr T(x) = X (x) (x E G) 따라서, S 의 지표는 X 이다. 위의 정리에 의하여, 지표 x : G-F 는 類함수이다. 그러나, 일반 적으로 지표 x : G_-'>F 는 어떠한 종류의 準同型사상이 아니다. 다 시 말하면, 일반적으로 X (xy) -=I= X (x) X (y) , X (xy) -=I= X (x) + X (y)

예 1.6 .1 G=< x, y l x3=1, y2 =1, xY=x-•> 라 할 때, |GI=6 이고 G 는 3 개 의 공액류

예 1.6.3 s. 웅 n 차의 對稱群이라 하고 P : Sn ·一 GL(V), x : Sn-GL.(F) 를 예 1. 3. 6 에 서 정 의 한 Sn 의 F- 표현 및 F- 행 렬표현 이 라 하자. 이 때 , X= {1, … ,n} 아라 놓으면 P 및 亢의 지표 X : Sn_ ➔ F 는 다음과 같 이 정의된다. X((l) = | {i E X : 야) = i} I =(l에 의하여 고정되는 i EX 의 갯수 체 F 위의 모든 1 차 이상의 다항식이 F 안에서 근을 가질 때, F 를 代敏的 閉體 (algebraically closed field) 라 한다. 복소수體 C 는 標數 0 의 대수적 閉體이다. 정리 1.6.4 G 를 유한群이라 하고 F 를 대수적 閉體라고 할 때, x : G-F 를 G 의 11 차의 F- 지표라 하면 입의의 xEG 에 대하여 X(x) 는 1 의 IC| 제곱근들의 합이다. 증명 X 가 G 의 F- 표현 T: G ― ➔ GL(V) 에 의하여 정의된 지표라 하자. 이 때, F 는 대수적 閉體이므로 T(x) 는 n 개의 固有値 Ai, ·· ·,An EF 를 갖는다. 이제 m = IGI 라 놓으면, La g ran g e 의 定理에 의하여 x• = 1 이므로 T(x) = T(x') = T(l) = lv 따라서, ;!j = 1, …, ;i'; = l 이 다. 그런데 tr T(x) 는 T(x) 의 固有値 A1, …, An 의 합이 므로, X(x) = tr T(x) = A,+… + An 이고 각 A i는 1 의 IC| 제곱근이다. 따라서, 정리가 성립한다. 유한群 G 의 복소수體 C 에서의 指標는 다음 성질을 갖는다. 앞으로, 복소수 a=a+b i EC 에 대하여 a 의 켤레복소수 a-b i를 E 로 나타 낸다.

정리 1.6.5 G 를 유한群아라 하고 x:G ― - c 를 n 차의 C - 표현 T: G_ ➔ GL(V) 에 의하여 정의된 C - 지표라 할 때, 각 xEG 에 대 하여 다음이 성립한다. (1) X(x) 는 1 의 IG| 제곱근들의 합이다. (2) I X (x) I ~ X (1) = n (3) IX(x) I = X(l) <==> 적 당한 .:l E C, l.:ll = 1 에 대 하여 T(x) = .:llv (4) X(x-1) = 福 또한 kerX = kerT= {xE GIX(x) = X(l) = n} 증명 m= IGI 라 하면, 정리 l.6.4 의 중명에서 보는 바와 같이, (*) T(x) .. = 1v 가 성립한다. 또 T(x) 는 n 개의 固有値 ii 1, … ,AnEC 를 갖고 X(X) = ii1+ … +-1., iii = ••• = A::' = 1 이므로 (1) 이 성립한다. 분명 히 | Ad = … = | A 』 = 1 이 므로 IX(.:c) i = l-11 +… +AnI < |Ad +…+ liiI = n 이 되어 (2) 가 성립한다. 일 반적 으로, 임 의 의 두 a, f3 E C 에 대 하여 , l a +/3| = | a l + I /31 이 기 위한 필 요충분조건은 /3＝ aa 인 양의 실수 a 가 존재하는 것이다. 따라서 IX(x) I = n <===> ii1 = … = An 먼저 ii 1= … =An=A 라 가정하자. 이 때, liil = 1 이고 선형변환 T(x) 의 固有다항식은 (X- 사 .. (X-ii. ) = (X-ii) E C[X] 이고 또 (*)에 의하여 T(x) 는 다항식 X .. -1 을 만족시킨다. 따라서, T(x) 의 最小다항식 (mi ni m um p ol y nom i al) 은 다항식 (X-ii) 과 X .. -1 의 약수이다[現代代數 學 , 定理 7.3.2, 定理 7.5.6]. 그런데 다항식 X•-1EC[ X]는 C 에서 重根을 갖지 아니 하므로 T(x) 의 최소다항식 은 X-i{ 이 고, 따라서 T(x) -iilv = Ov 죽 T(x) = iilv 이 다.

역으로, T(x) =Alv (AEIC* ）이면, 분명히 T (x ) 의 固 有 値 A1,… , An 은 모두 A 와 일치하므로 IAI = 1 이다. 따 라 서 , (3) 이 성립한다. 한편, T(x-1) = T(x)- 1 이 므로 T(x- 1) 의 固有値는 A 「\ …, ,1; 1 이 다. 그런데 |A;I =1 이므로 A , 1= 것 1 아고, 따라서 X(x-1) = trT (x)-1 = 깃 1+··· 김 n = Al+… + An = 福 그러므로 (4) 가 성립한다. 정의에 의하여 kerX=kerT= {xEGIT(x) =1 사이므로, xEkerX 이면 X(x) =trT( x) =n=X(l) 이다. 역으로, X(x) =n 이라 하자• 이 때, (3) 에 의하여 T(x) =Alv 인 AEC ' k 가 존재한다. 이 경우에 n=X(l) =trT( x) =An 이므로, A=l 이 고 따라서 T(x) = lv 즉 x 든 ker X 이 다. 그러 므로 ker X = {x E G I X (x) = X (1) } 다음에는 群 G 의 類함수에 대하여 논하기로 한다. 정리 1.6.6 G 를 群이라 하고 F 를 체라 하자. 집합 Cf F (G) 를 群 G 의 類함수 f: G ― ➔ F 전체의 집합이라 하면, Cf F(G) 는 다음과 같이 정의된 덧셈, 스칼라 곱셈, 곱셈에 관하여 F- 多元 環 을 이룬다. 모든 f,g ECf F(G) 와 aEF 에 대하여 ( i ) f+g : G -F 는 (f+g) (x) = f(x ) + g (x) 로 정 의 된 類함수 이다 . (ii) af : G ― ➔ F 는 (af) (x) = af (x) 로 정 의 된 類함수이 다. (iii) Jg : G 一 ➔ F 는 (fg) (x) = f(x )g (x ) 로 정 의 된 類함수이 다. 득히, G 가 7 개의 서로 다른 공액류를 갖는다면 Cf F(G) 는 r 차원 F- 다원환이다• 증명 CfF (G) 가 F- 다원환을 이룬다는 것은 분명하다. 여기서, 덧셈 과 곱셈에 관한 항동원은 각각 다움과 같이 정의된 상수함수이다. 0:G ― ➔ F, O(x)=0 1:G_~F, l(x)=1

이 제 왕 1, …, 당 r 를 G 의 서 로 다른 공액 류라 할 때 , 각 i = 1, …, r 에 대하여 類함수 f‘ : G_F 를 fi (x) = {1, x 든 %‘ 인 경 우 0, X ($_ <{j', 인 경 우 로 정 의 하자. 이 때 /1, •• · , /, 는 분명 히 F- 일 차독립 아 고, 또 X; E 三 %‘ 라 할 때 임의의 類함수 1eCf F(G) 는 I= i~=r I f(x;) f; 로 표시된다. 따라서 {fI, · ··,fr } 는 C/F(G) 의 F킹 꿈底이다. 그러 므로, C/F (G) 는 r 차원 F- 다원 환이 다. 일반적으로, 체 F 의 標數 charF 는 0 또는 素數이다. 유한群 G 에 대하여 charFt IG| 이면, 체 F 안에서 IGl =t= O 이므로 1/IGIEF 이다. 정의 1.6.7 G 를 유한群이라 하고 F 를 charF t IG| 인 체라 하자. 임의의 類함수 f,g ECJ F (G) 에 대하여 (/, g )G 를 (f, g)G = 畜編f (x) g (x-1) 로 정의한다. 특히 F 가 복소수체 C 일 때, C J F(G) 를 C J (G) 로 나타내고 또 임의 의 類함수 f,g ECJ (G) 에 대하여 [f, g〕 G 룰 [f,g ]c = 蓋;f ~/(x) 詞 로 정의한다. 사상정리 ( ·,1 .·6)c.B : CGf 를F( G 유) x한C群/F이(G라) — 하-고F , F 를 charF t IGI 인 체라 할 때, (f,g)G = 高곱c f (x) g (x-I) 는 非退化 對稱 雙一次形式 (nondeg e nerat e sy m metr i c bil ine ar for m) 이 다. 죽,

( i ) U1 +!2, g) C = Ui , g) C + U2, g) C (f, g1 + g2) c = (f, gi) c + (f, g2) 。 (af, g)c = (f, ag ) c = a( f, g)c (ii) (f, g) c = (g, f) c = (iii) 모든 f E Cf F ( G) 에 대 하여 (f, g) c 0 이 성립한다면, 반드시 g =O 이다. 0==0며 (i)가 성립함은 분명하다. 또, (I, g)c = I(硏꿉f (x) g (x-I) = T: 「훑~f (x-1) g (x) = (g, /)c 이므로 (ii)가 성 립한다. 다음에 모든 f든 CJF (G) 에 대하여 (f,g )c=0 이 성립한다고 가정하 자. 정리 1.6.6 에서와 같이 ~I, … ,~r 를 G 의 서로 다른 공액류라 하 고 A, …,fr 를 이들 공°석류에 대응하는 類함수라 하면, X 沃三왕‘ 라 할때 0 = (f,,g)c = 禍溫f ,(x) g (x-1) = 붕尸g (x,1) 죽g( x11 ) = 0 (i = 1, …, r) 그런데, {x,1, ···,X 가는 공액류 왕 I, ••• , cc, 의 代表元의 完全系를 이루므 로, 위의 결과에 의하여 g( x) =0 (xEG) 이다. 따라서 (iii) 가 성 립 한다. 특히 F=C 인 경우에는 다음 정리가 성립한다(정의 1.5.1 참조). 정리 1.6.9 G 를 유한群이라 하자. 이 때, (1) 사상 [·,.] G : C/(G) X CJ (G ) ~ C, [f,g〕尸 回1 훑c f (x) 詞 는 C- 벡터공간 Cf (G) 의 內積이다. 죽, ( i ) [/1 +/2,g ]c = 〔f l …인 c+ [/2, g〕。 [af, g]c = a[f, g]c (ii ) [/, gl +g』 G = [f, g1 ]c+ [f, g』 c, [f, ag ]c = a[/, g]C

(iii) [f, g]c = ~ (iv) 모든 IE Cf (G ) 에 대 하여 [f, !]c 2 0 이 다. 또 [f, 刀 c=O~ f =O 특(2히) ,G 의內 積임 의[· ,의 . 〕 Cc -는 지 표內 積X공, 간s 에C f대 ( G하) 여의 非退化 雙一次形式 이다. (X, s) c = 布1T 도 일C X (x) 詞 = [X, s]c 증명 정의에 의하여 (1) 의 (i), (ii), (iii)가 성 립한다. 또, 임의의 f ECf (G) 에 대하여 [f, /Jc = 蓋? c f (x) 問 = 曲닳 If (x ) I2 타 [f, !]c= O ~ f(x ) = 0 (x E G) ~t=O 따라서, (1) 의 (i v) 가 성립한다. 끝으로 정리 1.6.5 의 (4) 에 의하여 s(x-1) =？荀, xEG 이므로, (2) 가 성립한다. 1.7 콤팩트群의 表現 이 절에서는 位相群에 대한 표현과 指標에 대하여 논하기로 한다. 정의 1.7.1 집합 G 가 다음 조건울 만족시킬 때, G 를 位相群(t op o- log ica l grou p ) 이 라 한다. (i) (G, .）는 群이다. (ii ) G 는 位相공간이 다. (iii) 사상 / : G x G - G, f(x ,y ) = x-1y 는 연속이 다.

또, G 와 H 가 位相群일 때, 群준동형사상 f: G-H 가 연속인 경 우에 f 를 速積인 群準同型寫像이 라 한다. 群준 동형 사상 f : G —--+ H 가 位相寫像 (homeomor ph i sm) 일 때, f를 位相群同裝寫像이라 한다. 또, G 에서 H 위로의 位相群同型사상이 존재할 때, G 와 H 는서로位相群同型 아라 하고 G~H 로 나타낸다. 정의 1.7.2 X 를 位相공간이라 하자. 위상공간 X 의 임의의 開被覆 (op en coverin g ) X= U {Odi E I} 에 대하여, X 가 유한 개의 O,,, … ,0, ．둘의 합집합 X=O,,U … uo j.으 로 표시 될 때 X 를 콤팩트학비 (comp a ct sp a ce) 이 라 한다. 또 位相詳 G 가 콤팩트空 ra1 일 때, G 를 콤팩트群 (com p ac t gr ou p)이라 한다. 位相群과 콤팩트群의 例를 둘기에 앞서 몇 가지 群을 정의한다. 정의 1.7.3 임의의 체 F 에 대하여, GL.(F) 의 부분群 SL. (F) = {A E GL. (F) I det A = 1} 몰 F 위 의 n 차의 特殊線型群 (sp e cia l line ar grou p ) 이 라 한다. 또, nxn 유니타리行列 전체로 아루어진 群 U(n) = {A E GL. (C) I AA* = A*A = I} 을 n 차의 유니타리群 (un it ar y g rou p)이라 하고, nxn 直交행렬 전체로 이루어진 群 O(n) = {A E GL. (ll?.) IAA1 = ArA = I} 을 n 차의 直交群 (orth o g o nal gro up ) 이 라 한다. t羊 SU(n) = {A E U(n) ldet A = l}, SO(n) = {A E O(n) ldetA = 1} 를 각각 n 차의 特殊유니타리群 n 차의 特殊直交群이라 한다.

위의 정의에 의하여 U(l) = {..1 E C I l.-1 1 = 1} = {exp (i0) I O ~ 0 < 2 지 , 0(1) = {1, -1} 또한 다음 정리가 성립한다〔現代代數 學 , 定理 7.11 .1 5, 例 7.11.1]. 정리 1.7.4 임의의 체 F 에 대하여 SLn (F)

F = C) , 一般線型 裝換群 GL (V) 는 位相群이 다. 또, (B = {v1, ·• ·, Vn} 를 V 의 임의의 基底라 할 때, <1)51 : GL ( V) -GL (F) , <1)91 (f) = [/]91 는 位相群同型사상이 다. 정의 1.7.5 G 를 位相群이라 하고 F=R . 또는 F=C 라 하자. V 를 n 차원 F- 벡터공간이라 할 때, 連敏인 群준동형사상 T : G ― ➔ GL(V) 를 G 의 n 차의 F- 표현이라 한다. 마찬가지로, 連紹인 群준동형사상 cp : G ― ➔ GL (F) , cp (x) = [a,1 (x) ] nxn 를 G 의 n 차의 F- 행렬표현이라 한다. 위의 정의에서, 사상 cp : G-GLn(F) 가 연속이라는 말은, 모든 i, j = 1, …, n 에 대 하여 Cl1J : c-F, X -Cl11(X) 가 연속임을 뜻한다. 마찬가지로, G= {vI, … ,Vn} 를 V 의 임의의 F- 基 底라 하고 각 xEG 에 대하여 T (x) (v;) = iI=” : l {3,; (x) v; (j = 1, …, n) 일 때, T: G-GL(V) 가 연속이라는 말은 모든 i,j =l, … ,n 에 대하여 /3ij : G 一 F, X 一 %(x) 가 연속임을 뜻한다. 그러므로,

位相群에 관한 표현의 부분표현, 부분표현공간, 표현의 同値, 位性, 표현의 槪約性, 표현의 完 全 可 約 性에 대한 정의 및 정리는 제 I. 3 절과 제 I. 4 절에 제시된 것과 同一하다. 또, 位相群의 표현에 대한 指 標 도 정의 I.6 . 2 과 마찬가지로 정의한다• 특히,

(ii) 모든 xEG 에 대하여 f(x)20 이면, f f (x)dx>0 이다. (iii) 모든 三 G에 대하여 f(x ) =1 이면, fC f(x)dx=1 이다. (iv) fct(yx) dx =fct ( x ) dx (y E G) C 위의 정리에서, 7--} f ECF(G) 에 대응하는 F 의 원소 f f (X)dx 를 C f 의 不젖積分 (inv aria n t int eg ra l) 이 라 하고 沮膳E dx 를 不姜測度 또는 Haar~f tiJ度라 한다. 不變적분은 다음 성질을 갖는다. 정리 1.7.7 G 를 콤팩트群이라 하고 F=JR . 또는 F=C 라 할 때 모든(((321) )) 연Lffc 속L ft. 함( (X0x ,수~y )1 f )d fdx=x:I = = = G0 f f이―cc t면 ➔t( (x x F)f ) d dcc에x fx , (x 대 ) d하x여)O 다이(y 음 다E.이 C )성 립한다. (4) ifcf ( x )dx| 갑~ lf (x ) ldx 內예로 1 .7놓.1으 면G 가L 유f(한x ) d콤x=팩 트갑群곱인 c f경 (우x), 이 다각. xEG 에 대하여 dx 를 예 1.7.2 G 를 평면 향 위의 回轉전체로 이루어진 群이라 하자. 원 점을 둘레로 한 回轉角 0 의 回轉을 m 로 나타내면 G= {r,10~0<21r} 이다. 이 때, x=ro 의 측도는 dx= ½de 이고 또 Lf(x )dx = 古f :xf (r,)d0 정리 1. 5.14 는 콤팩트群의 C- 표현에 대해서도 그대로 성립한다. 정리 1.7.8 G 를 콤팩트群이라 할 때, G 의 C- 표현 [C- 행렬표현]은 모두 완전가약이다.

증명 분명히, 콤팩트群 G 에 대해서도 정리 1. 5.12 가 성립한다. 또, 정리 1. 5.13 의 증명에서 V 의 새로운 內積 <·,. 〉룹 = fcc = (x E G ; v, w E V) 가 성립한다(정리 1.7, 6 참조)． 따라서, 정리 1.5 . 13 은 콤팩트群 G 에 대해서도 성립한다. 그러므로, G 의 C- 표현은 모두 완전가약이다. 유한群 G 에 대한 정리 1.6.8~ 정리 1.6.9 와 유사한 정리가 콤팩트 群에 대해서도 성립한다. 정리 1.7.9 G 를 콤팩트群이라 하자. 집합 CJ (G) 를 G 의 連積인 類 함수 / : G-c 전 체의 집 합이 라 하면, CJ (G) 는 C- 다원환이 다. 또한, 다음이 성 립 한다. (1) 사상 (·, ·)c : C/(G) x C/(G) ― ➔ C, (f, g)c =LG t (x )g ( x-1)dx 는 C- 벡 터 공간 Cf (G ) 위 의 非退化 對稱 斐一次形式이 다. (2) 사상 [·, ·Jc : C/(G) x C/(G) ― ➔ C, [/, g ]c=L t (x) 詞 dx 는 벡터공간 Cf (G) 의 內積이다• 증명 Cf (G) 가 C- 다원환임은 분명하다. 또, (1) 과 (2) 는 정리 I.7 .6 과 정리 I. 7.7 을 이용하여 중명한다. 위의 정리에서, g ECf (G) 가 g( x-1) =g[i) (xEG) 를 만족시킨다면 (/, g) G = [/, g]c , fE Cf (G ) 가 성립한다.

예 1.7.3 C= {rolO .-S: 0 < 2 지 를 평면 앙 위 의 回 젊料 이라 할 때, f : G 一 SO (2) , f(r o) = [csoins 00 -scoins °0] g : G ― ➔ U(l) , g (ro) = exp (i0) = cos 0 + i sin 0 는 群同 型 사상이다(정리 1.7.4 의 (3) 참조). 임 의 의 정 수 n E Z 에 대 하여 Xn : G -C* 를 Xn (ro) = exp (i n 0) , ro E G 로 정의하면, Xn 은 1 차의 親約지표이다. 또, Xn(ro') =exp (-in0 ) = 료石집이므로 (Xn, X,. ) G = [Xn , X .. ]c = 去J : ,. Xn (ro) 江冠 d0 = 去f : r ex p(i n0)ex p(-i m0)d8= {1, n=m 인 경우 0, 11*m 인 경우 群 G 의 2 차의 C- 행렬표현 rp : G 一 GL2 (IC) , rp (ro) = [scions e 0 -scoins eo] 는 충실한 행렬표현이지만 競 約이 아니다. 실제로, 정리 2. 3 .1 에 의하면, Abel 群 G 의 親約 C- 표현은 모두 1 차 의 표현이고, 따라서 G 의 紙約 C- 지표는 모두 1 차의 지표이다. 그러나, G 의 2 차의 R- 행렬표현 1P' : G 一 GL2 (R) , ,fr (re) = [csoins 00 -scoins 00] 는 충실한 紙約 행 렬표현이 다. 실제로, 回轉 rs (Os0<21r) 는 실수인 固有値를 갖지 않는다.

1.8 多元環의 表現과 加 詳 이 절에서, F 는 체를 나타내고 모든 F- 벡터공간은 유한차원이다. 이제까지 논한 群의 표현 개념은 多元 環 에 대해서도 정의할 수 있다. 정의 1.8 .1 A 를 F- 다원환이라 하고 V 을 유한차원 F- 벡터공간이라 하자. 다원환 준동형사상 T : A —-E ndF(V) 를, V 를 表現空 ra1 으로 갖는 A 의 11 차의 F- 表現이 라 한다. 마찬가지로, 다원환 준동형사상

독히 kerT = {O} 일 메 , 죽 T 가 1 대 1 일 때 , T 를 A 의 忠袁한 表 現이라 한다• 행렬표현 cp : A-Ma t n(F) 에 대해서도 위와 유사한 성질이 성립 한다 . 이제 T: A-EndF(V) 를 F- 다원환 A 의 표현이라 하자. 이 때 V 의 임의의 기저 @= {v1, … ,vn} 에 대하여 (f)!II : EndF ( V) -Mat . CF) , (/)51 (/) = [f]翼 는 다윈완 동형사상이므로(정리 1.2 .7 ), T 와 03 의 合成사상 cp =

마찬가지로, 사상 VxA _ ➔ V, (v,a)-v·a 가 정의되어 있고 또 이에 관하여 다음이 성립할 때, V 를 右 A - 加群 (rig h t A-module) ) 또는 A 위 의 右加群이 라 한다. ( i ) ' (v+w) ·a = v·a+w·a (ii)' (av) ·a = a(v·a) = v· (aa) (iii) ' v· (ab) = (v·a) + v· b (iv) ' v· (ab) = (v·a) ·b (v)' v·1 = v (a, b E A ; v, w E V, a E F) 위의 두 정의의 본질적인 차이점은 조건 (i v) 와 (iv) ’ 에 있다. 群의 作用에 대한 경우와 마찬가지로, 左加群과 右加群에 대한 이론은 서로 평행히 나아간다. 앞으로는左 加群에 대해서만 논하기로 하고 左加群울 간단히 加群이라 부르기도 한다[現代代數 學 , 제 4.6 절 참조]. 위의 정의에서 A- 加群 V 는 유한차원 F- 벡터공간일 필요가 없으나, 이 책에서는 유한차원인 것만을 다루기로 한다. 정리 1.a.3 A 를 F- 다원환이라 하고 V 를 F- 벡터공간이라 하자. V 가 A- 加群이면, 加群 V에 의하여 A의 F- 표현 T : A _---+ EndF(V), a ~ T(a) T(a) (v) = a·v (a E A, v E V) 가 정 의 된 다 (aff or ded) . 역으로, T: A-EndF(V) 가 A의 F- 표현일 때, 모든 aEA 와 VE V 에 대하여 a·v 를 a·v = T(a) (v) 로 정의하면 V 는 A- 加群을 이룬다. 증명 V 가 A- 加群일 때, 각 aEA 에 대하여 사상 T(a) 를 T(a) : V ― ➔ V, T(a) (v) = a·v 로 정 의 하면 정 의 1. 8. 2 의 (i) , (ii) 에 의 하여

T (a) (v + i/J) = a • (v + i/J) = a • v + a • i/) = T (a) (v) + T (a) (w) T (a) (av) = a • (av) = a (a • v) = a ( T (a) (v) ) 즉, T(a)EEndF(V) 이다. 또, 정의 1.8.2 의 (iii )~(v) 에 의하여 T(a+b) = T(a) +T(b), T(cta ) = ctT (a), T(ab) = T(a) 0T(b), T(l) = lv. 따라서, T: A-End p (V) 는 A 의 표현이다. 역으로, T: A-EndF(V) 가 A의 표현일 때 모든 aEA와 VE V 에 대하여 a·v 를 a·v= T(a) (v) 로 정의하면 정의 1.9.2 의 (i )~(v) 가 성립한다. 예를 들면 (ab) ·v = T(ab) (v) = (T(a) 0T(b)) (v) = T(a) (T(b) (v)) = a· (b·v) 위의 定理에서, 표현 T의 核을 A 에서의 V 의 零{t이데알 (ann i h i la t or) 라 하고 Ann.1 ( V) 로 나타낸다. 죽, Ann,1 (V) =kerT= {aEAlT(a) =Ov} = {aEAi 모든 vE V에 대하여 a·v=0} 또, T 가 충실한 표현일 때, 즉 Ann,1 (V) = {O} 일 때, V 를 충실한 A- 加群이라 한다. 정의 1.8.4 V 를 F- 다원환 A 위의 加群이라 하자. V 의 부분집합 W 가 다음을 만족시 킬 때 , W 를 V 의 部分加 U (submodule) 이 라 한다. (i) w 는 F- 벡터공간 V 의 부분공간이다. (ii) a E A, w E W==> a· i루 W 정의 1.8.5 V 를 F- 다원환 A 위의 加群이라 하고 W 를 V의 부분加 群이라 할 때, V/W= {v+WlvE V} 는 다음 연산에 관하여 A- 加群울 이룬다. (v1+ W) + (v2+ W) = (v1+v2) + W a(v+ W) = av+ W a· (v+ W) = a•v+ W (aEA, aEF)

이 加群 V/W 를 V 의 W 에 의한 칩餘加群(fa c t or module) 이라 한다. 정리 1. 8. 6 U 를 A_ 加群이 라 하고 W1, …, W, 처~ V 의 부분加群이 라 할 (1때), W 따 •• n w. 은 V 의 부분加群이 다. (2) W1+… + w. . = {w1+ … +Wnlw 후 W1,… , WnE W. . ｝은 V 의 부분 加群이다. (3) {W,l i EI} 를 V 의 부분加群둘의 집합族이라 할 때, 2 W' = {to,, + … +w,.lw,1 든 W, m = l, 2, …} 는 V 의 부분加群이다. 정의 1.8.7 V 를 A- 加群이라 하고 W1,… , W. . 을 V 의 부분加群이라 하자. V 가 F- 벡터공간으로서 부분공간 W1, …, W. . 의 直合일 때, V 를 부분 加群 W1, ···, W. . 의 內的인 直合 (int e r nal dir e ct sui:n ) 이 라 하고 V= W1EB···EB~. . 으로 나타낸다. 또, 이 경 우에 W1, •, W. . 을 V 의 直合因子 (dir e ct summand) 라 한다. 실제로, V= W1+… +w. . 일 매 다음 조건은 서로 동치이다[現代代 數學, 定理 4. 6. 5, 定理 4. 6. 16]. (1) V= W1EB···EBW. . (2) 각 VE V 는 V=W1+… + w. . (w ,E W,) 의 꼴로 유일하게 표시 된다. (3) W1+… +w. . = O (t U g三 W‘) 이면, W1 = … = tU. . = 0 이 다. A- 加群 V 위의 A- 준동형사상 :1e : v-v 가 군=亢를 만족시킬 메 元 를 射影 (pr oje c ti on ) 이 라 한다. A- 加群 V 가 두 부분加群 WJ , w2 의 直合 V = W1EBW2 로 분해 될 때 , 각 VE V 는 V = W1 + W2 (W1 E Wi , W2E W2) 의 꼴로 유일하게 표시되고 이 때 :r : V ― ➔ V, :1e( w1+w2) = W1 은 다음 조건을 만족시키는 射影이다. W1 = im :r = {wE Vl:r (w ) = w}, W2 = ker 元

이 元를 W1 위로의 射影이라 한다〔現代代數 學 , 定理 4.4.9]. 역으로, :JC : v-V 가 射影이연 V= i m :JC EB ker :JC로 분해된다. 일반적으로, V= W1EB· ··EBW . . 일 때, 亢‘ : V ―➔ V, 7C;(W1+… +w. . ) = W; 는 W‘ 위로의 射影이고, 7! 1+ …+亢 .. ＝ lv 이다. 정의 1.s.8 V, W 를 F- 다원환 A 위의 加群이라 하자. 사상 f: V-W 가 다음 조건을 만족시킬 때, f를 A- 準同型寫像이 라 한다. (i) f는 F- 線 型사상이다. (ii) f(a ·v) = a- f(v) (a E A, v E V) A- 準 同型사상 f : V_ W 가 1 대 1 대응일 때, f를 V 에서 W 위 로의 A- 同型寫像이라 한다. 또, V 에서 W 위로의 A- 동형사상이 존재할 때, V 와 W 는 서로 同型인 A- 加群이라 하고 v~ ... w 로 나타낸다. 다음 정리가 성립함은 분명하다. 정리 1.8 .9 V, W 를 F- 다원환 A 위의 加群이라 하고 J: v-w 를 A- 준동형사상이라 할 때, f의 核 ker/= {vE Vlf ( v) =0} 는 V 의 부 분加群이고 f의 像 im f= {f(v) IvE V} 는 W 의 부분加詳이다. 또한 Vi ker f브 Aim f 두 A- 加群 V, W 에 대하여, V 에서 W 로의 A- 준동형사상 전체의 집 합을 HomA (V, W) 로 나타내 고, 특히 HomA (V, V) 를 End,1 ( V) 로 나타 내자. 집합 HomA(V, W) 는 다움과 같이 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈에 관하 여 F- 벡 터 공간을 이 룬다〔現代代數學, 定理 4. 6. 22]. 임의의 f,gE HomA(V, W) 와 aEF 에 대하여 (i) f+g : v-w 는 (f+g) (v) =f(v) +g (v) 로 정의된 A- 준동형 사상이다. (ii) af : V ― ➔ W 는 (af) (v) = af ( v) 로 정 의 된 A- 준동형 사상이 다.

실제로 HomA(V, W) 드 HomF(V, W) 이고, Hom, i( V, W) 는 F- 벡 터공 간 HomF(V, W) 의 부분공간이다. 집합 EndA(V) 는 덧셈, 스칼라 곱셈 및 곱셈 o 에 관하여 F- 多元環을 이룬다. 여기서 (iii) g0 f: V ― ➔ V 는 (got )(v ) =g(f (v)) 로 정의된 A- 준동형사상 이다. 실제로 EndA(V) 드 EndF(V) 이고. End ,i (V) 는 F- 다원환 EndF(V) 의 부분다원환이다. 제 1. 2 절에서 정의한 바와 같이, 群 G 와 체 F 에 대하여 群多元環 F[G] = {~ a'x l a' E 三 F} zEG 가 정의된다. 이제 群 G 의 F- 표현과 다원환 F[G〕의 F＿ 표현 및 F[GJ - 加群과의 관계 를 논하기 로 한다. 정리 1.B.10 G 를 群이라 하고 V 를 F 벡터공간이라 하자. (1) T: G ― ➔ GL(V) 가 群 G 의 F-표 현일 때, 사상 T' : F 〔어 ― ➔ EndF(V), T' (~ a츠 x) = ~ a:r T (x) :rE G :rE G 는 다원환 F[G] 의 F- 표현이다. 여기서 T'(x ) = T(x) (xEG) (2) T' : F[G] ― ➔ EndF (V) 가 다원 환 F[G] 의 표현 일 때 , 사상 T : G 一 ➔ GL(V), T(x) = T'(x) 는 群 G 의 표현이다. 증명 (1) 群다원환 F[ 띠와 그 표현에 대한 정의예 의하여 분명하다 (제 1. 2 절, 정 의 1. 3. 1, 정 의 1. 8. 1 참조) . 실제로, T’ 는 T 를 線型的으로 확장한 것이다. 죽 T' (츠I E:C a rX) = 드I E:C a'T' (x) , T' (x) = T(x)

또, 모든 x, y EG 에 대하여 T' (xy) = T (xy) = T (x) 0 T (y) = T' (x) 0 T' (y) (2) T’ 는 다원 환 준동형사상이므로, 특히 T'(l) =lv 이어야 한다. 그런데, 각 xEG 에 대하여, T(x) 0 T(x-•) = T' (x) 0 T' (x-•) = T' (xx-•) = T' (1) = lv 이므로 T(x)EGL(V) 이다. 또한, 모든 x, y EG 에 대하여 T(xy) = T' (xy) = T' (x) 0 T' (y) = T(x) o T(y) 따라서, T: c-GL(V) 는 群준동형사상이다. 즉, T 는 G 의 표현이다. 위의 정리에 의하여, 群 G 의 F- 표현과 群다원환 F[G] 의 F- 표현 사이에 1 대 1 대옹이 존재한다, 한편, 정리 1.8.3 에 의하면 F[ G ] 의 F_ 표현과 F[G] －加群 사이에도 1 대 1 대응이 존재한다. 이 두 정리로부 터 다음 정리를 얻는다. 물론, 이 정리를 칙접 확인할 수도 있다. 정리 1.a.11 G 를 群이라 하고 V 를 F- 벡터공간이라 하자. (1) T : G-GL(V) 가 G 의 F- 표현일 때, (~ax) ·v = ~a 츠 T(x) (v) 특히 x·v = T(x) (v) (xEG, v E V) 로 정의하면, V 는 F[ 어-加群을 이룬다. (2) V 가 F 園-加群일 때, 加群 V에 의하여 G 의 F- 표현 T: c-GL(V) T(x) (v) = x·v (xEG, vE V) 가 정의된다. 위의 정리 I.8 .11 의 (2) 를 좀더 자세히 논하여 보자. 이제 V 를 F 〔切一加群이라 하고 n=d i mFV 이라 하자. 이 때, 加群 V 에 의하여 정의된 G 의 표현 T : G ― ➔ GL(V), T(:c) (v) = :c· v

는 G 의 n 차의 F- 표현이다. 한편, (E= {V i ,···,Vn} 를 V 의 임의의 F귈 꿉 底라 하면, 각 xEG 에 대하여 X·Vj (j= l, … ,1l) 는 다음과 같은 꼴의 VI, …, Vn 의 F- 일 차결 합으로 표시 된 다. x· vi = i~=n I ai i(x ) v, (j = 1, …, n) 그런데 T(x) (vi) =x 따이냐 따라서, cp를 T 에 의하여 정 의된 G에 관한 G 의 F- 표현이라 하고 X 를 T의 [cp의] F- 指標 라 하면 , 이들은 각각 다음과 같이 정의된다. cp : G-GLn(F), cp( x) = [0'.1j ( X)] nx n X:G-F, X (x) = trr p (x) = ~” a;; (x) i= l 위의 행렬표현 T ~ s ¢:=> 'P ~ 中 (3) X, s 를 각각 V, W 에 의하여 정의된 群 G 의 F- 지표라 할 때, V 9:: P[G]w 이면 X=s 이다. 증명 표현 T: G-GL(V), S : G-GL(V) 는 각각 T(x) (v) = x·v, S(x) (w) = x·w (xEG, vE V, wE W) 로 정의된다. 따라서,

f(x •v) = f(T (x) (v)) = (f0T (x)) (v) x·f (v ) = S(x) (f(x) ) = (S(x) 0f) (v) (xEG, vE V) 한편, 모든 a= ~axxEF 〔어에 대하여 f(a · v) = ~a.,f( x •v), a·f (v ) = ~a.,x•f (v ) 이므로, 다움 두 조건은 서로 동치이다. (i) /0T(x) = S(x) 0/ (xEG) (jj) f(a ·v) = a, J(v ) (aE F[GJ , v E V) 그러므로, (1) 이 성립한다. 따라서 정의 1.8 .8, 정의 1.3.2 와 (1) 에 의하여 V ~ F[G] w ¢=::::> T ~ S 이 다• 또한, 정 리 1. 3. 4 에 의 하여 T ~ s ¢=::::>

群 G 의 F- 표현 T: G-GL(V) 의 段約性과 完全可約性은 각각 이 표현에 의하여 정의된 F[G]- 加群 V 의 紙約性과 完全可約性과 일치한 다 (정 의 1. 4. 2, 정 의 1. 4. 3) . 정리 1.a .14 (Schur 의 보조정리) A 를 F- 다원환이라 하고 V, W 를 卽約 A- 加群이라. (1) V 와 W 가 A- 同型이 아니면, Hom,1 ( V, W) = {O} (2) D = EndA ( V) 라 하면, D 는 F- 多元 體 (div i s i o n alge bra) 이 다. 죽, D 는 나눗셈環인 F- 다원환이다. 증명 /E HomA(V, W), f=I= 0 이 라 가정하자. 이 때, ker/=I= V, im /=I= {O} 이므로 V 와 W 의 匠約性에 의하여 ker/= {O}, im /= W 이 다. 따라서 , f는 A- 同型사상이 고 f 의 逆사상 /-1 도 A- 同型사상이 다. 그러므로 V 와 W 가 A- 同型이 아니면 HomA (V , W) = {O} 이다. 또, 각 IED=EndA(V), I =t= 0 은 逆元울 가지므로 D 는 F- 多 元監 이다. 따름정리 1.a.15 F 를 대수적 閉證 라 하고 A 를 F- 다원환이라 하자. 이 때, V 를 親約 A- 加群이라 하면 EndA(V) = {-1l vl-1 E F} = F·Iv 브 F 증명 정리 1. 8.14 에 의하여 EndA(V) 는 F- 多元體이고, 또 분명히 F· Iv 드 EndA (V) 이 다 . 이제 f EEndA(V) 라 하고 n=d i mFV 라 하자. 이 때 f는 n 차원 F- 벡터공간 V 위의 선형변환이고 F 는 대수적 閉 體 이므로 f의 固有다항 식은 F 안에서 근.il EF 를갖는다. 여기서, A 는선형변환f의 固有値 이므로 f'=J--1 Iv 는 正則선형변환이 아니다〔現代代數 學 , 定理 7.2.4]. 한편, f' E 三 EndA ( V) 이 고 EndA ( V) 는 F- 多元 體 이 므로 [' = Ov 죽 f =Alv 이다. 위의 정리 1. 8.14 와 따름 정리 1. 8.15 를 群의 表現에 관한 정리로 고쳐 쓰면 다음과 같이 된다(정리 1.8.12 참조).

정 리 1. 8. 16 (Schur 의 보조정 리 ) G 를 群이 라 하고 F 를 체 라 하자. T : G - GL ( V) , S : G - GL ( W) 를 G 의 F- 표현이라 할 때, F- 선형사상 /: v-w 가 S(x) 0/ = f0 T(x) (x E G) 를 만족시킨다면 다음이 성립한다. (1) T,S 가 서로 同値가 아니면 f는 零사상이다. (2) /가 零 사상이 아니면 f는 F寸 司型사상이고 따라서 T~S 이다. 따름정리 1.s.17 G 를 群이라 하고 F 를 대수적 閉體라 하자. T: G ― ➔ GL(V) 를 群 G 의 卽約 F- 표현이라 할 때, F- 선형변환 fE EndF(V) 가 T(x) 。f = f0T (x) (x E G) 를 만족시킨다면, f는 다음과 같은 꼴로 표시된다. f= Alv, AEF 끝으로, 完全可約 A- 加群에 대 하여 논하기 로 한다. 다음 정 리 의 중명 은 본질적으로 정리 1.4.6 의 중명과 동일하다. 정리 1.a .18 A 를 F- 다원환이라 하고 V 를 A- 加群이라 하자. 이 때, V 가 완전가약이면, V 의 모든 부분加群 (=:/={O} ）과 모든 刺餘 加群(=:/= {O}) 은 완전가약이 다. 증명 U=/={0} 를 V 의 부분加群이라 하고, W 를 U 의 임의의 부분加 群이라 하자. 이 때 W 는 분명히 V 의 부분加群이므로 完全可約性의 정의에 의하여 V= W® W’ 인 V 의 부분/J u 群 W’ 이 존재한다. 한편, Dedek i nd 의 法則에 의하여 U= W®(W'n U) 이고 w1n u 는 U의 부분加群이다〔現代代數學, 問題 4.3.3]. 따라서, U 는 완전가약이다. 다음에 V/W 를 V 의 잉여加群이라 하면, W 는 V 의 부분加群이므로 V= W®W’ 인 V 의 부분加群 W’ 이 존재하고 이때 V/W~W’ 이다. 따라서, 앞의 결과에 의하여 W' 죽 V/W 은 완전가약이다.

정리 1.8.19 A 를 F- 다원환이라 하고 V =f= {O} 를- A-}J II 群이라 할 때, 다음 명제는 서로 同値이다. (1) V 는 完全可約 A- 加群이 다. (2) V 는 유한 개의 紙約 부분加群 W,, ···, W. . 의 直合 V= W18 ;)•··8;)W . . 으로 분해된다. (3) V 는 적 당한 筑約 부분加群둘의 합으로 표시 된 다. 즉, V=~w. (W; 는 紙約부분加群) 증명 (1)= ⇒ (2) 정리 1. 8.18 을 이용하여 정리 1.4.7 과 동일한 방 법으로 증명한다. (2)~(3) 이는 분명히 성 립한다. (3)===>(1) V= I:W , (W 초 기약 부분加群)이라 가정하고 W 를 V 의 임의의 부분加群이라 하자. V 는 유한차원 F- 벡터공간이므로, 조건 wnW'= {O} 을 만족시키는 V의 부분加群 중에서 極大인 W’ 을 택할 수 있다. 이제 W+W'= V 임을 증명하기만 하면, V= WEBW’ 으로 되어 증명이 끝난다. 실제로, W+ W' -=I= V 라 가정하면 W 끊二 w+ w’ 인 Wi 가 존재하고 이때 W‘ 는 紙約이므로 (W+W')nW,= {O} 이다. 그러나, 이는 wn (W'+ W,) = {0}, W'+ w, ::> W' 임을 뜻하게 되어 W’ 의 極大性에 모순된다. 따라서 W+W'= V 이다. 1.9 有限次元 半單純多元環 이 결에서는 체 F 위의 有限次元 多元環의 構造에 대하여 논한다. 이제 A 를 체 F 위의 다원환이라 하고 VJ ,…, Vn 을 A- 加群이라 할

때 , vI, …, vn 의 外的인 直合 (exte r nal dir e ct sum) V = V1EB···EBV = { (v1, …, vn) 1v1 드 VI, …, Vn E Vn} 은 다음과 같이 정의된 A- 加群이다. (V1, ·••, Vn) + (v;, …, v:) = (v1 +v;, …, Vn+v:) a (V1, …, v.) = (av1, …, avn) , (aEF) a (V1, …, v.) = (av1, …, av.) , (aEA) 이때, (vi, 0, …, 0), (0, V2, ···, 0), ·••, (0, …, 0, Vn) 울 각각 vI,v2, … ,Vn 과 同一視한다면, V.,···, Vn 은 V 의 부분加群이고 V 의 각 원소 V = (Vi , …, Vn) 는 v = vi+ … +Vn (V; E V.) 의 꼴로 유일하게 표시된다. 이러한 의미에서 V 를 부분加群群 VI, …, vn 의 內的인 直合으로 불 수 있다. 보조정 리 1. 9. 1 A 를 F- 다원 환이 라 하고 V1, …, Vn, W1, …, W .. 을 A- 加群이라 하자. 이때, V= V@ …( ±)Vn, W= W@ …( ±)W. . 이라 하면 Hom,(V, W) 프 [HHoomm1A1((VV1J, , WW.1 . )) ···HHoomm1A1((VVn:,, WW1. .) ) ] F- 벡터공간으로서 특히, v(n) = V®··@V 이라 하면 EndA ( V

각 행렬 [

증명 V 는 완전가약 A- 加群이므로, V 의 부분加 갑f. Av= {avlaEA} 에 대하여 V= AvEBW 를 만족시키는 V 의 부분加群 W 가 존재한다. 이제 n : v-V 를 Av 위로의 射 影 이라 하면 분명히 nEEndA(V) =B 이다(정리 1.8.7 의 다음 부분)． 그런데 n(v) =v 이므로 f(v ) =f(n( v)) =n( f(v ))Ei m n=Av 따라서 f(v ) =av 인 aEA 가 존재한다. 정 리 1. 9. 3 (Ja cobson 調密性 定理) A 를 F- 다원 환이 라 하고 V 를 紙約 A- 加群이 라 하자. 또 B = End.t ( V) 라 하고 n = 1, 2, ••• 라 할 때, 각 W1, … ,wneV 와f EEnda(V) 에 대하여 f(w ;) = aw; (i = 1, …,n ) 인 aEA 가 존재한다. 증명 V(n) = V®… ® V 라 하고 C = EndA (V (rp (v) ) = rp (f(v1 ) , …, f(v .) ) = (rpo /) (v)

가 성립한다. 죽f (n) 。

보조정리 1.9 .4 A 를 유한차원 F- 다원환이라 할 때, EndA (A) = EndA (AA) 프 A” (F- 다원 환으로서 ) 증명 각 a E A 에 대 하여 , 사상 ,fr。 : A -A, ,fr。 (x) = xa 는 분 명 히 正則加群 AA 위 의 A- 준동형 사상이 다. 죽, ,fr。 E End,. (A) 이 다. 또 임의의 a,bEA 와 aEF 에 대하여 다음이 성립한다. ,fra+ b = ,fr。 + % % = a,f ro i/rab = i/r &0 ,fr。, ,fr1 = 1,. 1 t。 = 1A 仁=~ a = 1 한편, 임의의 ,fr EEnd ,. (A) 에 대하여, ,fr(l ) =a 라 놓으면 ,fr (x) = ,fr (xl) = x,f r (1) = xa = ,fr。 (x) (x E A) 이 므로 ,fr = ,fr。 이 다. 그러므로, 사상 A•P _-En d,. (A) , a ~ ,fr。 는 다원환 동형사상이다. 일반적으로, D 가 F- 多元體(죽 나눗셈環인 F- 다원환)일 때, D 위의 左加群 V 를 흔히 D- 벡터공간이라 부른다. 이 경우에 V 의 D- 基底 및 d i mDV 를 정의할 수 있다. 보조정리 1.9.5 D 를 유한차원 F- 多元體라 하고 V 를 d i moV=n 인 左 D- 벡터공간이라 할 때, Endo ( V) 욱 Matn ( D•P) 증명 {v1, … ,Vn} 를 V 의 D- 기저라 하면, V= Dv1EB···EBDv ~ DEB… @ D (D- 加群으로서) 이므로, 보조정리 1.9.1 과 보조정리 1. 9.4 에 의하여 EndD ( V) 욱 Matn (EndD (D) ) ~ Mat n ( D01)

다원환 A 의 이데알이 {O} 와 A 자신 뿐일 때 A 를 單純다원환이라 한다. 有限次元 單純多元環에 관한 다음 세 定理는 그 결론이 서로 同値임 울 보여주고 있다. 정리 1.9.6 A 를 F 위의 유한차원 單純多元環이라 하고 V 를 段約 A- 加群이라 하자. 이 때, D=End ,1 (V) 는 유한차원 F- 多元體이고 다음이 성립한다. A 브 Endo ( V) ~ Mat (D 야) n = dim DV ~ dim FV 특히, F 가 대수적 閉體이면 A 욱 EndF(V) ~ Matn (F), n = dim FV 증명 D = EndA ( V) 드 EndF ( V) , dim FEndF ( V) = (dim F V) 2 이 므로, D 는 유한차원 F- 다원환이 다. 또, V 는 親約 A- 加群이 므로 Schur 의 보조정리 (정리 1. 8.14) 에 의하여 D 는 F- 多元體이다. 따라서, 스칼라 곱셈 DxV-V 를 Jr•V = x(v) (xED, vE V) 로 정의하면 V 는 左 D- 벡터공간을 이룬다. 한편, V 는 유한차원 F- 벡 터공간이고 또 F~Folv 드 D 이므로, V 는 유한차원 D- 벡터공간이고 n = dim DV~ d i mFV이다. 段約 A- 加群 V에 의하여 정의된 A 의 표현 rp : A ―➔ EndF(V), rp( a) (v) = av 는 F- 다원 환 준동형 사상이 다 (정 리 1. 8. 3) . 분명 히 ker rp =/= A 이 고 A 는 單純다원 환이 므로, ker rp = {O} 이 되 어 rp 는 1 대 1 이 다. 한편, 모든 a E A 와 1r E D = EndA (V) 에 대 하여

그러 므로,

fJ (ax) = af1 ( x) = 0 이므로 ax=0 이다. 그러므로, 모든 j =l, … ,n 에 대하여 IL1= {O} 이다. 따라서 I= IA = IL1+… + ILn = {0} 그러므로 A 는 單純다원환이다. 따름정리 1.9.9 D, E 를 유한차원 F- 多元體라 할 때, Matn ( D ) ~ Mat . . (E ) 이 면 D ~ E, n = m 증명 D•P, E” 를 각각 D', E' 으로 나타내 면 D' 과 E’ 은 유한차원 F- 多元體이 다. 또, V 를 n 차원 D'- 벡 터 공간이 라 하면, 보조정 리 l. 9. 5 에 의하여 Ma t n(D) 브 EndD'(V) 이다. 이제 A 욱 Ma t n(D) 이 라고 하면, 정리 l.9.7 에 의하여 V 는 槪約 A- 加群이고 A 는 서로 동형인 抵約 左 이 데 알 L i, ···, L. 의 直合 A = L1©···©L. (L;~AV) 으로 분해되며 D' 브 End,.(V) 이다. 따라서 , A 브 Matn ( D) 브 Matn (E) 이 면 D•P ~ End,1 (V) 브 End.4 (L1) 프 Eop dim oA = n2, dim EA = m2 이므로, D 브 E, n=m 이다. 정의 l.9.10 A 를 유한차원 F- 다원환이라 하자. 正則加群 AA 가 완전가약일 때, 죽 A 가 유한 개의 紙約 左이데알 LI, …, L .. 의 直合 A = L181· ··EBL ” 으로 분해 될 때 , A 를 半單純多元環 (semi si m p le alge bra) 이 라 한다 (정 의 1. 8. 13 참조) . 정리 1.9 .11 A 를 유한차원 F- 다원환이라 할 때, 다음 두 명제는 서 로 同値이다. (1) A 는 半單純다원환이다. (2) A- 加群은 모두 完全可約이다.

증명 (1) ~ (2) A = L1< ±>· •· (±) L (L; 는 紙約左이 데 알) 이 라 하고 V = Fv1(±)··· (± )Fvn 이 라 하면, V=AV=~' ~ L 따 i= l }=I 각 납에 대하여, 사상 f: L i一도 f(a ) =avi 는 L, 에서 L 따위로의 A- 준동형사상이다. 따라서, L, 의 紙約性에 의 하여 L1vj = {O} , 또는 L 흡 L1V j 이 다. 다시 말하면 L1vi = {0} 이 거 나 또는 L,v j는 紙約 A- 加群이다. 그러므르, V 는 유한 개의 低約 A 부분 加詳의 합이다. 따라서, 정리 1. 8.19 에 의하여 V 는 완전가약이다. (2) ==> (1) 은 분명 하다. 이제 有限次元 半單純다원환의 구조와 대하여 논하기로 한다. 보조정리 1. 9.12 A 를 체 F 위의 유한 차원 半單純다원환이 라 하면, 다음이 성립한다. (1) 임의의 紙約 A- 加群 W 에 대하여, W 브 AL 인 A 의 親約 左이데 알 L이 존재한다. (2) 임의의 卽約 A- 加群 W 와 A 의 임의의 紙約 左이데알 L 에 대 하여 W 프 AL 또는 LW= {O} 증명 (1) w E W, w =t= 0 이 라 하면 , Aw = {aw l a E A} 는 W 의 부 분加群이고 Aw =t= {O} 이므로 W 의 槪約性에 의하여 W= Aw 이다. 따라 서 /: A-W, f(a ) =aw 는 AA 에서 W 위로의 A- 준동형사상이다. 이제 l=ker/ 이라 놓으면, I 는 A 의 左이데알이고 w~ 파 /I 이다. 한편 파는 완전가약이므로, 정의 1. 8.13 에 의하여 A = IEBL 인 A 의 左이 데 알 L 이 존재 한다. 그런데 , W ~ A/l 욱 L 이 므로, L 은 A 의 親約 左이데알이다. (2) A(LW) =LW 이므로, LW 는 紙約 A- 加群 W 의 부분加群이다. 따라서, LW= {O} 또는 LW= W 이다• 이제 LW= W 이라 가정하면, Lw =t= {O} 인 wE W 가 존재하고 Lw

는 紙約 A- 加群 W 의 부분加群이므로 Lw= W 이냐 따라서, (1) 에서 와 마찬가지 방법 으로, 사상 f : L - W, f(a ) = av 가 A- 同型사상임 을 알 수 있 다. 즉, L 욱 A w 이 다. 정리 1.9 .13 A 를 유한차원 F- 다원환이라 할 때, 다음 명제는 서로 동치이다. (1) A 는 單純다원 환이 다. (2) A 는 半單純다원 환이 고, 또 모든 競約 A- 加群 (따라서 A 의 모든 紙約 左이데알)은 서로 同型이다. 증명 (1)~(2) A 를 單純다원환이라 하자. 정리 l. 9.6 과 정리 l.9.7 에 의하여, A 는 서로 同型인 親約 左이데알 Li, ... ,Ln 의 直合 A = L1< :B···<:BL n 으르 분해 되 므로 A 는 半單純다원환이 다. 이제 W 를 임의의 紙約 A- 加群이라 하면, 보조정리 l. 9.12 에 의하 여 W 브 AL 인 A 의 紙約 左이데알 L 이 존재한다• 각 i= 1, … ,n 에 대 하0 *여 亢1jC (I L: ) A드 ― L ➔j 로 A 된를 다.L 1 이위 로때 의, L 射과影 L이j 의라 槪하約면,性 에적 당의한 하 여1 C jL에 ~ 대,1L 하j 여임 울 알 수 있다. (2) ~ (1) 는 정 리 l. 9. 8 에 의 하여 분명 하다• 일반적인 유한차원 半單純다원환 A에 대하여, 紙約 A- 加群둘의 同 型類 (iso morph i s m class) 를 구하는 문제 를 생 각해 보자. 이 문제 는, 紙 約 A 加群의 同型類의 代表元들로 이루어진 代表系를 찾는 문제와 일치 한다. 보조정리 l. 9.12 에 의하여 紙約 A- 加群은 A 의 적당한 親約 左 이데알과 同型이므로, 이러한 代表系로서는 A 의 槪約 左이데알중에서 서로 同型아닌 것들을 택하여 만든 代表系가 다루기에 편리하다. 다음 정리에 의하면, 유한차원 半單純다원환에 대한 代表系는 유한 집합이다. 정리 1.9.14 A 를 체 F 위의 有限次 元半單純다원환이라 하면 다음 이 성립한다. (1) A의 紙約 左이데알 중에서 서로 同型이 아닌 것들은 유한 개 뿐 이다. 죽, 이들을 L1, … ,L, 라 하면, 임의의 低約 A- 加群은 (A 의 紙約

左이데알을 포함하여) L,, …, LS 중 어느 하나와 동형이다. (2) A, = ~{L 드 AIL ~ AL i}이라 하자. 죽, A, 는 A 의 紙約 左이데 알 중에서 L, 와 동형인 것들 전체로 生成된 A 의 左이데알이다. 이 때, A, 는 A의 이데알이고 또 A, 는 F 위의 유한차원 單純다원환 이다. 실제로, A, 는 유한 개의 L, 와 同型인 A의 左이데알 L' …, Ljn ‘ 의 直合이다. 죽, A; = L;1E8···E8L, .. (L;j ~ AL;) (3) A = A1E8···E8A,, A,Aj = {O} A = LIl®···®Lh@ ···® Lsl@·@L,n» (4) 1 = e1+… + es (ei e Ai) 라 하면, 검 = e;, e;ei = eie ; = 0 (i =I= j) 또, e i는 A의 中心 C(A) 에 속하고 單純다원환 A i의 單位元이며 e,A =A, =Ae, (5) V, ½ V 浮근 AL{ 인 卽約 A- 加群이 라 하면 V‘ 는 經約 A, －加群이 고 v, = AIvi = eiv i, Aj v i = {0} (더= j) EndA ( V,) = EndA, ( Vi) 증명 {L;l i EI} 를 A의 紙約 左이데알의 同型類 전체의 한 代表系 라 하고, 각 i El 에 대하여 A, 를 (2) 에서와 같이 정의하자. 보조정 리 l. 9 」 2 의 (2) 에 의 하여 , i =I= j 이 면 A;A ; = {O} 이 다. 半單純 다원환 A 는 유한 개의 紙約左이데알의 直合으로 분해되므로 분명히 A = LA‘ 이 다. 따라서 A& 드 A,A = A;A 쵸; AA, = A; 이 므로, A‘ 는 다원환 A 의 이데알이다. 다원 환 A 의 1 은 유한개 의 합 1 = I: e; (e, E A;) 의 꼴로 표시 되 므로, 예를들어 1 = e1+… + es (e; E A;, e, -=I= 0) 이 라 하자. 이 때 , 물론 i = 1, …, s 에 대 하여 A‘ =t= {O} 이 지 만, 임 의 의 kEI-{1, … ,s} 에 대해서는 A.= {0} 이다. 실제로, xEA. 이면 x = lx = (e1+… + e,)x = e1x+… + e,x = 0

이로서 (1) 이 성립하고 또 A=A1+ … +As 이다(보조정리 I. 9.12 의 (2) 참조). 한편, A;A i = {O} (i=f=j)이므로, A 의 임의의 원소 a 에 대하여 a=a1+… + a, (a‘ 드 AI) 라 하면 다음이 성립한다. e1a = e1 (a1 + …+ a,) = e 沿 = (e1+… + %)a, = la, = a, 마찬가지로, ae, = a,e, = a, 특히, e; = e1, e,ej = 0 (i =t= j) 이제 A = A@ … ®As 임을 증명하기 위하여 0 = a1+… +a, (a, E A,) 이라 가정하면, 0 = e,(a1+… + a,) = e,a, = a, (i = 1, …, s) 따라서 A = A1EB···EBA, 이고 또한 (4) 가 성립한다. 앞에서 본 바와 같이 1.* j이면 AJ A i = {0} 이므로, 다원환 A‘ 의 卽 約 左이데알은 모두 A 의 紙約 左이데알이고, 반대로 A i에 포함되는 A 의 紙約 左이데알은 모두 A i의 親約 左이데알이다. 따라서, 정의에 의하여 A i는 A, 의 紙約 左아데알둘의 합이므로, 정리 1. 8.19 에 의하 여 A‘ 는 半單純다원환이다. 죽, A, 는 유한개의 A의 紙約 左이데알 L,1, …, Lin , 의 直合으로 분해 된다. 한편, 이 러 한 匠約 左이 데 알둘은 LJ , …L,.,, L··S· ,L중,. .,어 는느 모하두나 와L, 와동 형동이형이어다야. 하그고러 므또로 A, ,n정A리1 =1 {.O9}, 8( i에= t의=j하)여이므 로4, 는 유한차원 單純다원환이고 또 (2), (3) 이 성립한다. 끝으로, V i를 V홉~ AL‘ 인 親約 A- 加群이라 하면, 보조정리 1.9.12 의 (2) 에 의하여 A1V .= {O} (j=t=i)이므로 V,=A V. =A,V‘ 이다. 따 라서, vi는 紙約 A i-加群이다. 또한, 입의의 v,E V‘ 에 대하여 v, = lv, = (e1 + …+ e,) v, = e,v, 이 므로, e, v‘ = V尸 = A‘ V‘ 이 다. 더 우기 , A1V, = {O} (더= j) 이 고 또 A = A1EB···EBA, 이 므로 /E EndA(V,) ~IE EndA,(V i) 따라서 (5) 가 성립한다.

위의 정리에서, 半單純다원환 A 는 單純다원환인 이데알 Ai , ···,A, 의 直合 A=A@ … @A3 으로 분해된다. 이 때, A1, … ,As 를 A 의 單純成分 (sim p le comp o nent) 이 라 한다. 따름정리 1.9.15 A 를 체 F 위의 유한차원 半單純다원환이라 하고 A=A@ …® A,, (A i는 單純成分) 이라 할 때, C (A) = C (A1) E8 .. • E8C (A,) 이고, 각 C(A,) 는 F·l 를 포함하는 體이다. 증명 A;Ai = {0} (i=I=j)이므로, C(A) =C(A1) ffi···ffi C(A, ）아다. 이제 B=A; 라 놓고 單純다원환 B 의 中心 C(B) 가체임울증명한다. 분명히, F·l 드 C(B) 이고 또 C(B) 는 可換環이다. 임의의 cEC(B), c =I= 0 에 대하여, cB = Be =t= {0} 이고 cB 는 B 의 이 데 알이므로 cB = Bc= B 이다. 따라서, c 는 역원을 c-1 를 갖고 또 c-1 E C(B) 이다• 따라서 C(B) 는 체이다. 따름정리 l.9 .16 A 를 체 F 위의 유한차원 半單純다원환이라 하고 정 리 1. 9. 14 에 서 와 같이 L1, …, L, ; A1, …, A, ; e1, …, e, 를 정 의 하자. 이(1때) ,W A; -= 加{群W 드V =Vt= I{ Ow} 에9 : ! A대L;하} 여이 라다 음하이자. 성죽립 한다W.. ½ L; 와 동형 인 V 의 부분加群 전체로 生成된 부분加群이라 하자. 이때, W; 는 直合 w, = W/m,ff i· .· EB W,m, (W,j ~ AL,) 의 꼴로 표시 된 다 (W, = {0} 일 수도 있 음) . (2) V = W1E E>···EE>W , (3) W, = A,V = e,V, A;W, = {0} (i =t= j) 증명 정리 I. 9.14 의 기호를 그대로 사용하기로 한다. 정리 I.9. II 에 의하여 V 는 완전가약이고 따라서 각 W 다도 완전가약 이다.

이제 W 를 V 의 임의의 紙約부분加群이라 하면, AW= W 이고 도 A 는 槪約 Ln, …, LInI, LsI, …, L,n‘ 의 直合이 므로 적 당한 Li j 에 대 하여 L여i jwW 브= A WL i 로j욕 A된LI다 이. 므그로,런 데,W 드이 W경 곱우三에 W 보l +조 …정 +리 w ‘1 .이 9 .다1.2 의그 러(2 )므 에로 ,의 하v 의 完全可約性에 의하여 V= W1+… + w, 이다. 보조정리 1. 9.12 의 (2) 에 의하여 A,Wj = {O} = e;Wj (i =I= j) 이므로, e,V=e;W‘ 이고 또 임의의 w,E W 서 대하여 w, = (e1 + …+ e,) w; = e;W; 이 다. 따라서 W; = e,W, = e;V = e; (AV) = A,V 이 다. 다음에 V= W1@··EBW, 임을 증명하기 위하여 0 =.w1EB··•EBW. (w, E W,) 이라 가정하면, O = e;(w;+ ···+w,) = e;w; = W; (i = 1, …, s) 따라서 (2), (3) 이 성 립한다. 다음에 W 를 W 머 임의의 匠約부분加群이라 하면, W 는 물론 V 의 親約부분加群이므르 앞에 밝힌 바와 같이 W는 L1,… , L, 중 어느 하나 와 同型이다. 그러나 w.nwj = {O} (i*i)이므로, W 프 AL1 이어야 한 다. 따라서, w, 의 完全可約性에 의하여 W; 는 L; 와 동형인 유한 개의 槪約 부분加群 Wi J, …, W,m, 의 直合으로 분해 된다. 그러 므로, (1) 이 성 립한다. 물론, W 브 ALi 인 V의 부분加群 W 가 없을 경우에는 W,= {O} 이다. 이제까지 얻은 결과를 종합하면 다음 정리를 얻는다. 정리 1.9.17 (Wedderburn 의 定理) A 를 체 F 위의 유한차원 半單 純다원환이라 하면 다음이 성립한다. 型인(1 ) 것紙을約 同A一-視 加하群여 )중．에 서이 들서을로 V同1型, …이, v아, 닌라 것하면들,은 임유의한의 개 槪뿐約이 다A(- 同加 群은 (A 의 槪約 左이데알을 포함하여) Vi, ···, V, 중 어느 하나와 동형

이다. (2) A, = ~{L 드 AIL ~ A v.}이라 하면, A’ 는 A의 이데알이고 A = A1EB···EBA,, A,A; = {O} (i =I= j) (3) A, 는 F 위 의 유한차원 單純다원환이 고 V‘ 는 槪約 A- 加群이 다. 실제로, A,V, = V., A;V . = {O} (j =I= t) 또, D, = EndA ( V‘) 는 유한차원 F_ 多元體이 고 D, = EndA, ( V,) 이 며 A 무 EndD‘(V,) 프 Ma t n‘(D 안), ni = dim DIV‘ 특히, F 가 대수적 閉體이면 A, ~ EndF ( V.) 욱 Mat. , (F) , n, = dim F V. 증명 정리 l.9.14 의 (1) 에서 L1, … ,Ls 대신에 VJ, …, v. 로 바꾸어놓 으면, 정리 1.9.14 의 (1), (2), (3), (5) 로부터 이 정리의 (1), (2) 및 (3) 의 첫 부분을 얻는다. 한편, 정리 l.9.6 에 의하여 정리의 (3) 이 성립한다.

제 2 장 有限群의 表現 이 장에서는 有限群의 表現 및 指標에 대하여 상세히 논한다. 제 2.1 절에서는 제 1. 9 절의 결과를 群多元環에 적용하여, 群의 紙約 표현에 관한 기초 사항을 확립하고, 제 2.2 절~제 2.6 절에서는 유한群 의 지표에 관한 일반 이론과 예를 상세히 논한다. 群의 표현 및 지표와 부분群의 표현 및 지표와의 關聯性에 대하여 고 찰하는 것은 대단히 중요하다. 제 2 .7절~제 2.9 절에서는 이에 대한 사 항을 논한다. 끝으로, 제 2.10 절과 제 2.11 절에서는 지표에 관한 Brauer 의 정리와 絶對紙約표현에 대하여 논한다.

2.l 半單純群多元環 이 절에서는 유한群 G 의 F- 표현과 群多元環 F[G] 에 대하여 논한다. 정리 2.1.1 (Maschke 의 定理) G 를 유한群이라 하고, F 를 charFt !GI 인 체라 하면 다음이 성립한다. (1) 群多元環 F[G] 는 F 위의 有限次元半單純다원환이다. 즉, F[G] －加群은 모두 완전가약이 다. (2) G 의 F_ 표현 및 F- 행 렬표현은 모두 완전가약이 다. 증명 (1) 입의의 F 〔이케 0 詳 V =t= {O} 가 완전가약임을 증명하기로 한다. W 를 V의 입의의 F[G] －부분加群이라 하자. 이 때, V 는 유한차원 F- 벡터공간이므로, F- 벡터공간으로서 V= WEBU 인 V의 F- 부분공간 U 가존재한다. 이제 x: V ― ➔ V 를 F- 부분공간 W 위로의 射影이라하면 (*) W = im x = {w E Vl x (w) = w} , U = ker x 가 성립한다(정의 l.8.7 의 다음 부분).

다음에 F- 선형군변 *(환v) 元= 를— IG이I용 하./I e:여tc x, -1 . 사(x상(x •xv*) ):, Vv ―E ➔V V 를 1 로 정의하자. 여기서, charFt IGI 이므로, F 안에서 IGI =I= 0 이고 따라서 t片는 F 의 원소이다. (i) 군 : V ― ➔ V 는 F[G] －준동형 사상이 다. 정의에 의하여 군는 분명히 V 위의 F- 선형변환이다. 이 사상 :n:*가 F[ 어-준동형사상임을 증명하려면 군 (x•v) = x·x* (v) (xEG,vEV) 가 성립함을 밝히면 된다(정리 1.8 .12). 실제로 임의의 xEG 와 vEV 에 대하여 x-1. (군 (x·v)) = 붉끓 x-l y -1• (1e(y• (x·v))) = 값 I 훑~(y x)-1.1e(( y x) ·v) = —IG1— I r E~G z-1.7C(z·v) = 군 (v) 즉군 (x·v) =x• 군 (v) 따라서, 군 : v-v 는 F 〔띠－준동형사상이다. (ii) 1e*2 = 1e*, im 군 = W 실제로 W 는 F[G] －부분加群이므로, 모든 xEG 와 wE W 에 대하 여 x·wE W 이고 따라서 (*）에 의하여 x(x·w) =x·w 이다. 그러므로, 모든 wEW 에 대하여 다음이 성립한다. ;r*( w) = 蓋」G z-I· (元 (x•w)) =—|G1 I XIE:cX -1· (x•w) =—lG1一 | XIE:C w =w 또한, 임의의 xEG 와 vEV 에 대하여 1e(x·v)Ei m 1e= W 이고, w 는 F[G] －부분加群이 므로

군 (v) = 一|G L| X2EC x-I. (n(X·V)) E W 위의 두 사실에 의하여 i m 군= W 이고 또 군(근 (v)) =군 (v) (vEV) 죽, x*2 = x* 아 다. 위의 (i)에 의하여 군 : v-v 는 F 〔어－준동형사상이므로 W'= kerx* 는 V 의 F 〔어－부분加群이다. 또, (ii)에 의하여 V= WEBW’ 이 다(정의 1.8.7 의 다음 부분에서 A=F[G] 인 경우이다). 그러므로 V 는 완전가약 F[ 어-加群이다. (2) 群 G 의 F- 표현과 F- 행렬표현은 본질적으로 동일하다. 또, G 의 F- 표현 T: c-GL(V) 의 完全可約性은 이 표현에 의하여 정의된 F[G] －加群 V 의 完全可約性과 일치한다. 따라서, (1) 에 의하여 (2) 가 성립한다. Maschke 의 定理에 의하여, 특히 F 가 標數 0 의 체인 경우에는 임의 의 유한群 G 에 대하여 F 〔이는 半單純다원환이고, 또 G 의 F- 표현 및 F- 행 렬표현은 완전가약이 다. Maschke 의 定理에서 ‘charF t IGI' 이라는 조건과 ‘G 는 유한군’이 라는 조건은 반드시 필요한 조건이다. 정리 2.1.2 G 를 유한群이라 하고 F 를 체라 하자. 群 G 가 r 개 의 서 로 다른 共腕類 <(/I, …, <(f, .를 가질 때 , 각 당‘ 에 대 하여 C, = I; xEF 〔이 츠 E‘’ 이라 놓으면, 群다원환 F[G 〕의 中心 Z(F[ 어)는 {C1, … ,C,} 를 F- 基底 로 갖는 r 차원 F- 벡터공간이다. 증명 Z=Z(F[G] ）라 놓자 임의의 g EG 에 대하여 g -1C. g =C‘이 므로, C1, … ,Cr· 은 모두 中心 Z 에 속한다. 더우기, C1, .. ,,Cr 은 서로 소인 집 합 'i&'I, …, 당 r 의 원소들의 합이 므로 F- 일차독립 이 다.

이제 a= ~ ClxX 를 Z의 임의의 원소라 하면, 모든 g EG 에 대하여 ag =go, 죽:r E aG =gag -1 이므로 I: a... x = I: arg x g -1 = I: ag- lzg X rEG zEG zEG 따라서 모든 x, g EG 에 대하여 a,,=a g -lz g가 성립한다. 그런므로, z 의 원소 a 는 C1,···,Cr 의 F- 일차결합 a=a1C1+… + arCr (a“ 三 F) 의 꼴로 표시된다. 위의 두 결과에 의하여, {C., ... ,Cr} 는 F- 백터공간 Z 의 기저이다. 정리 2.1.3 G 를 유한群이라 하고 F 를 charF t !GI 인 대수적 閉體 라하자. 群 G 가 r 개의 서로 다른 공액류를 갖는다면, 群다원환 F[G] 는 정 확히 r 개의 서로 同型이 아닌 紙約 F 〔 G 〕케 H 群울 갖는다（同型인 것을 同 一視하여 ) . 이 러 한 紙糸~ F 〔이기J U 群을 VJ , …, Vr 이 라 하고 n; = dim F V. 라 하면 다음이 성립한다. (1) F[G] ~ Mat. , (F) EB· •· EB Mat. , (F) , !GI = nf+ … +n~ (2) T. : c - GL ( V;) 와

2.2 指標의 直交關係 이 결에서는 제 1.6 철에 이어 有限群 G 의 지표에 대하여 논한다. 이 절에서 F 는 주로 charF t IGI 인 대수적 閉體이다. 보조정리 2.2.1 G 를 유한 群 이라 하고 F 를 체라 하자. 또 V, W 를 匠約 F 〔어－加群이라 하고 T:G----+GL(V), S:G ― ➔ GL(W) 를 각 각 v, w 에 의하여 정의된 G 의 親約표현이라 하자. 이 때, 임의의 F- 선형사상 f: V ―- ➔ w 에 대하여 F- 선형사상 f*: v-w 를 f* = ~ S(x)-10f0T(x) xEG 로 정의하면 다음이 성립한다. (1) V$F[G]W 이면, f * 는 '本 사상아다. (2) F 가 대수적 閉體이고 V= W, T=S 이면, f*는 f* = A 1v (A E F) 의 꼴로 표시되고, 이 때 nA = IGI tr/ , n = deg T= dim FV 증명 모든 幻三 G 에 대하여 f* o T(x) = I; S( y)-)。 /0T( y )0T(x) yE G = I; S(x) 0S(x)-10S( y)니。f 0T( y x) yE G = S (x) 。 I; S (yx) 니 。f 0 T (yx) = S (x) of* yE G 이 성립하므로, f * 는 F[ 어-준동형사상이다(정리 1.8.12). 따라서, 정 리 1. 8.16 에 의하여 (1) 이 성립한다. 다음에, (2) 의 조건이 성립한다 면, 따름 정리 1.8.17 에 의하여 /*=.ii lv 인 .ii EF 가 존재하고, 이때

tr/ * =훑~t r T(x) 니。 /oT(x) =훑~t r/= IGltr / , tr AI v = An, n = dim F V 이므로 (2) 가 성립한다. 보조정리 2.2.2 G 를 有限群이라 하고 F 를 체라 하자. 이 때, 'P : G _-GL n (F) , cp (x) = [a;i ( x) J ¢ : G ― ➔ GL .. (F ),

따라서 (1) 이 성립한다. (2) F 가 대수적 閉體이면, 임의의 f: V ―-v 에 대하여 f*=.illv , n.il = I G ! tr f 가 성 립 한다. 고정 된 r, s 에 대 하여 답 u] = [8k8 j』 인 f 를 택하면, t r f=&：이므로 이 f에 대하여 f*=.illv, n.i l= IGlo r:r가 성 립따 라한서다,. c특h히a r, Fr t= ! Gs I인 이 경면 우 의F f안 에에 서대 해I G서l 는-=t = fO*이 =므 .로il lv ,F n .안il =에 서I G I n이 *다. O 이 되어 」완 EF 이다. 결론적으로, F 가 대수적 閉體이고 charF t !GI 일 때, 고정된 r,s 에 대하여 f를 위와 같이 정하면 X~E c T(X- 1) 0j 0 T(x) = J* = ~n1 v 이제 양변의

L X(x)s(x-1) = L Ln a;;(x)m~ /31 i ( x-1) :rE G :rE G i= I j= l = ~ L a;;(x)f3 ii(x -1) = 0 i,j :rE G 다음에, F 가 charF t !GI 인 대수적 閉體라 하자. 이 때, (X, X)c = 畜곱C X(x)X(x-I) = 詞1 꼽n 흡m 훑 Ca,, (x)(3 ii(x -1) =詞1 흙n ~|G=| 1 또한, 정 리 1. 8. 12 에 의 하여 v ~F[G] w 이 면 X=s 이다. 한편, V 뚝〔 G]w 일 때 X=s 이라고 가정하면 위의 두 동식으로부터 모순을 얻게 된댜 따라서 (2) 가 성립한다. 정의 2.2.4 G 를 유한群이라 하고 F 를 체라 할 때, 群 G 의 類함수 f: G ―- F 전체의 집합을 CfF (G) 로 나타내고 또 G 의 經約 F- 지표 전 체의 집합을 IrrF(G) 로 나타낸다. 득히, F= C 인 경우에는 Cf p( G), Irr p (G) 를 각각 Cf (G ), Irr(G) 로 나타낸댜 群 G 가 유한群일 때, F 가 charF t IGI 인 대수적 閉體이면 群다원 환 F[G] 는 F 위의 IGI 차원 半單純다원환이다. 따라서, 위의 정리와 정리 2. I. 3 에 의하여 다음 정리가 성립한다. 정리 2.2.5 G 를 유한群이라 하고 F 를 charF t IGI 인 대수적 閉體 라하자. 群 G 가 r 개의 서로 다른 공°서류를 가질 때, VJ , …, vr를 서로 同型 이 아닌 親約 F[G] －加群이 라 하고 X1, …, Xr 를 각각 VJ , …, V, 에 의하 여 정의된 G 의 筑約 F- 지표라 하면 다음이 성립한다. IrrF(G) = {X1, …, X,}, IIrrF(G) I = r = (G 의 서로 다른 공액류 전체의 갯수) IGI =nf+ · ··+n:, n, = deg X; = dim F Vi 특히 G 의 서로 다른 紙約 F- 지표는 r 개의 X1, … ,X 저본이다.

따름정리 2.2.6 G 를 유한群이라 하고 F 를 charF t !GI 인 대수적 閉體라 하자. 이 때, G 가 Abel 群이기 위한 필요충분 조건은 G 의 親約 F- 지표가 모두 1 차의 지표인 것이다. 구=CJ<:1 G 가 r 개의 서로 다른 공액류를 갖는다 하고 IrrF (G) = {X1, …, X,} , llrrF (G) I = r 이라 하면, 정리 2.2.5 에 의하여 !GI = Ir: nf, n, = de g짜 = X,(1) ~ 1 l=I 한편, G 가 Abel 群이기 위한 필요충분조건은 공액류의 갯수 7 이 |GI 와 갇은 것이다. 그런데 r = 1G I = 설I n? 두 n1 = … = 1l, = 1 따라서, 따름정리의 결론이 성립한다. 정리 2. 2. 7 (直交關係 II) G 를 유한群이라 하고 F 를 charF t !GI 인 대수적 閉體라 하자. 群 G 가 r 개의 서로 다른 공액뷰 (6,JJ , ••• ''(i',울 가질 때, IrrF (G) = {X1, …, X,} 이라 하면 다음이 성립한다. (1) (X,,Xj )c = 詞1도 일~ X,(x)X J (x-1) =D1J (i, j = 1, ···, r) (2) 각 i =1, … ,r 에 대하여 xIE 땅 1, Ih= 1 왕 ‘1 라 놓으면, $ xk (Xi) X1 (X?) = 으{j」요- = 61j i Cc (xj) &=I 'ij 특히 홉~ 1 xk (. . 江 (.y - l.). = C( c~0 tx) I ((xx 와와 yy가가 공공액액인이 경아우닌) 경우) 근＝이<며 동식 (1) 은 정리 2.2.3 의 결과를 다시 쓴 것이다.

다음과 같이 두 rxr 행렬 B= [b‘ 』와 C= 〔 C; j]를 정의하자. bij = 懿「 X; (x11) , cij = Xj ( x,) 등식 (1) 을 이용하여 곱 BC 의 (i,j)성분을 구하면 訖 Ck j=흙 晶 x 詞)亨) = 一|G1 | X~EGx 記 )X J · (x) =% 여기서, 각 X‘ 는 類함수이므로 공액류 %k 에 속해 있는 hk 개의 원소 x 에 대 하여 X; (x-1) = X; (x;;') , Xj (X) = Xj (Xw) 가 성 립 한다. 위의 결과에 의하여 BC 는 rxr 항동행렬이고, 따라서 곱 CB 도 rxr 항등행렬이다. 곱 CB 의 (i,j)성분은 o; j이므로 8u = 곱『 IC;kbk j = 麟'. @) 훑 Xk (x71) 이고, 한편 정 리 l. l. 6 에 의 하여 hj = |~;I = IG:Cc(X;)I =志編 이므로 (2) 가 성립한다 . 정리 2.2.8 G 를 유한群이라 하고 F 를 charF t IGI 인 대수적 閉體 라하자. 群 G 가 r 개의 서로 다른 공액류를 가질 때, lrrF(G) = {X1, … ,Xr} 이 라 하면 다움이 성립한다. (1) 사상 (·, ·)c : C[F(G) x C[F(G) ― ➔ F, (f, g)c = 詞1훑 ~f (x) g (x-1) 는 F- 벡 터 공간 Cf p( G) 위 의 非退化對稱 雙一次形式이 다. (2) IrrF (G) 는 r 차원 F- 벡 터 공간 CJ F ( G) 의 F겁 邸꾼이 고 또 (X‘, Xj) c = 8iJ (i,j = 1, …, r) 죽, Cf F( G) = FX, Ef> ••• Ef> FXr

증명 정리 1.6.8 에 의하여 (1) 이 성립한다. 정리 1.6.6 에 의하여 C[F(G) 는 r 차원 F- 벡터공간이다. 또, 정리 2.2.7 과 (•, •)G 의 정의에 의하여 (X1,X1)c=% 아다. 정리 1.6.3 에 의하여 G 의 지표는 모두 類 함수이 므로, 특히 IrrF (G) 드 Cf F (G) 이 다. 이 제 ~r a,X,=0 (ct.,E F) i= I 라 가정하면, 각 j =l, … ,r 에 대하여 0 = (t, a,X,, 덧 = t. ct; (X,, X;) G = ctJ I= ! ' i= l 죽 a1 = … =a,=0 이므로, X1, … ,X,· 는 F- 일차독립이다. 그러므로, IrrF (G) 는 Cf F ( G) 의 F- 기 저 이 다. 정리 2.2.9 G 를 유한群이라 하쟈 群 G 가 r 개의 서로 다론 공액 류를 가질 때, lrr(G) = {X1, ... ,X,} 를 G 의 槪約 C- 지표 전체의 집합이 라 하면 다음이 성립한다. (1) 사상 [·, 내 G ; Cf (G ) X Cf (G ) ― ➔ C, [f, g ]c= 樹 z2EG f (z) 詞 는 C- 벡터공간의 內積이고, 따라서 Cf (G) 는 內積공간이다. 특(2히) ,G 의內 積임 의[· ,의 · JcC -는 지 非표 退X化, s 雙에 一대次 하形여式 이 다. [X, <] c= (X, s) c (3) Irr(G) 는 7 차원 內積空間 Cf (G) 의 正規直交基底아다. 즉, [X‘, XJ J c = (X‘, Xj) c = 8dj (i,j = 1, …, r) 증명 정리 1.6.9 에 의하여 (1), (2) 가 성립한다. 또 (3) 도 성립한다- 일반적으로 임의의 群 G 의 1 차의 F- 표현 T: G_ ➔ F* 에 의하여 정

1의 차되의는 F지- 지표표는를 본 同래의一 視표하현기과로 같한다다.고 따볼라 서수 있1 차으 므F-로 지 표1 차x의 : GF-— 표-현F과 * 는 群準同型사상이고 또 圓約지표이다. 득히, 지표 le : G - F* le (x) = l 를 G 의 單位指標 (pr in c ip a l characte r ) 라 한다. 체 F 의 標數가 O 이면 Zc Q드 F (Z 는 整數環) 이므로, 각 F- 지표 X 에 대하여 X(l) EF 는 X 의 次數 de g X 와 일치 한다. 즉, X(l) = deg X 이 다. 정의 2.2.10 G 를 유한群이라 하고 F 를 標數 0 의 대수적 閉體라 하자. 群 G 가 7 개 의 서 로 다른 공액 류 'C1 = {1} , …, 당 r 를 가질 때 , IrrF (G) = {X1, …, X,} , X1 = le 이 라 하고 따 E 'C1 라 하면 r x r 행 렬 [X1 ( x;) ] E Mat, (F) 가 정 해 진 다. 이 행 렬 을 F 에 서 의 G 의 指標表 (characte r tab le) 라 한다. 群 G 의 指標表를 흔히 다음과 같은 표로 나타낸다. <{j'I ………… 땅, X1 I 1 ·…… ..... 1 x, I X,(1) ………… X,(x,) X, I X,(1) ………… 又 r(x,) 제 1 행은 單位지표 X1=lG 의 함수값인 1,1, ... ,1 로 이루어져 있고, 제 1 열에는 각 X‘ 의 차수 X1(l) = 1, …, X,(1), …, X,(l) 이 나열되 어 있다. 물론 X,(1) 는 양의 정수이다. 정리 2.2 .7의 증명에 의하여 rxr 행렬 [X,(x j)］는 正則행렬이다.

예 2.2.J G=D3= 〈 x, y lx3=l, y 2=1,x :1 =x-• 〉 불 位敵 6 의 正二 面體群이라 하자. 群 G 는 3 개의 공액류

증명 T: G-GL(V) 를 Abel 群 G 의 紙約 F- 표현이라 하자. 임 의의 xEG 에 대하여 T(y) 0 T(x) = T(yx ) = T(xy) = T(x)oT(y) (yE G) 가 성립하므로, 따름정리 1. 8.17 에 의하여 T(x) 는 T(x) = A(x)lv (A(x)E F) 의 꼴르 표시된다. 그런데, T 는 紙約이므로 이는 dim FV= 1 임을 뜻 한다. 따라서 T 는 1 차의 F- 표현이다. 일반적으로, 임의의 群 G 의 1 차 F- 지표 x : G---+F* 는 群준동형 사상이고 또 紙約지표이다. 정의 2.3.2 G 를 Abel 群(무한 또는 유한)이라 하고 F 를 체라 할 때, G 의 1 차의 F- 지표 전체의 집합, 죽 群준동형사상 X : G---+F* 전체의 집합을 G = Hom (G, F*) 으로 나타낸다. 임의의 X, g EC 에 대하여 곱 泣:를 XC : G ― ➔ F*, (X,s) (x) = X (x) C( x) 로 정의하면, 분명히 X g eC 이고 또 C 는 이 곱셈에 관하여 Abel 群 울 이룬다. 실제로, C 의 항등원은 單位지표 1c 이고 또 각 XEG 에 대하여 X 의 逆元 x-1 는 x-1 : G-F*, x-1(x) = X(x)-1 로 정의된다. 이 Abel 群 G=Hom(G,F*) 를 G 의 F 에서의 指標群 (characte r grou p ) 이 라 한다. 정리 2.3.1 에 의하여, F 가 대수적 閉體인 경우 C 는 Abel 群 G 의 紙約 F- 지표 전체로 이루어진 群이다.

예 2.3.1 G=Cn= 〈 x i x=1 〉이라 하고 F=C 라 할 때, 다음이 성 립한다(예 1.3.1 참조). G= Hom (G, IC*) = {le, X, X2, …, xn-1} = ~ G 여기서 £EC 은 1 의 한 원시 n 제곱근이고 었 : G ― ➔ IC* , X1 @ ) = (당 Y (i,j = 1, …, n) 유한 Abel 群에 대해서는 다음과 같은 기본 定理가 성립한다[現代代 數學, 定理 1. 3. 6, 定理 1. 3. 9]. 정 리 2. 3. 3 G 를 位數 n (n 2 2) 의 유한 Abel 群이 라 할 때 , (1) G 는 循環부분群 GI, …, G‘ 의 直積 G = G1 x ---x G,, !GI =P:' 로 분해된다. 여기서, p I, …,p‘는 素數이고 이들 중에 같은 것이 있을 수도있다. (2) G 는 循環부분群 HI, …, H, 의 直積 G = H, x ••• x H,, IH,I = e, 이바 ··le., IGl = er •• e, 로 분해된다. 정리 2.3.4 G 를 유한 Abel 群아라 하고 F 를 체라 하자. ((12)) F임 의가의 c h체a rFF t에 IG대I 하인여 대 수1적G | <閉體 |G이I면 , Hom(G, F*) = {; ~ G 증명 정리 2.3.3 에 의하여 G 는 循環부분群 GI, … ,G1 의 直積 G=G,x… X GI, G‘=< x, >, IG,I =m, 로 분해된다. 이 때, 準同型사상 X : G-F* 는 X(x1), … ,X(x‘) 에 의 하여 완전히 결정된다. 한편 각 x‘ 의 位數는 m‘ 이므로, X: '=1 이고 따라서 X(x1) ' ‘ = X(x;') = X(l) = 1

죽, 각 X(x i)는 F 안에서 1 의 712‘ 제곱근이다• 그러므로, X( 功)가 택할 수 있는 값은 m‘ 개 이하이다. 따라서 IG I ~ m1--·m, = IGI 이므로, (1)이 성립한다. 이제, F 가 대수적 閉體이고 charF t IGI 라고 가정하자• 이 때, F 안에서 1 의 m‘ 제곱근은 ??t;개 존재하므로 IGI = IG| 이다. 또, £서문 1 의 한 원시 m‘ 제곱근이라 할 때, G 의 각 원소 x=x?···x? 에 대하여 X :i: :G-F* 몰 Xz (x,) = e~• (i = 1, ... , t) 로 정의된 준동형사상이라 하면, X 나三 C 이고 또 f : G ― ➔ G, f(x ) = X 츠 는 분명히 1 대 1 群準同型사상이다. 한편, |GI = IG| 이므로 f는 同型사상이고, 따라서 G 옥 C 로 되어 (2) 가 성립한다. 다음 정리는 이미 찰 알고 있는 群의 準同型사상에 대한 정리이다. 정리 2.3.5 G,H 를 群이라 하자. 또, N

정 리 2. 3. 6 G 를 유한 Abel 감’t 이 라 하고 F 를 char F t I C | 인 대 수 적 (1閉 ) 體N 라 = 하n자 .{k er이 X I때 X, E 다G움} 이이 라성 놓립한으다면. , N = {1} 이 다. (2) 서 로 다른 두 원 소 x, y E G 에 대 하여 X (x) =I= X (y) 인 X E C 가 존재한다. 증명 (1) 모든 X E C 에 대 하여 kerX 극 N 이 고, 또 ker X

상임을 쉽게 밝힐 수 있다. 한편, xEker/ 이라 하면, 모든 XEG 에 대하여 X(x) = 1 이므로 XEn {kerXIXEG} = N 이다. 그러나, 정리 2. 3. 6 에 의하여 N= {1} 이므로 x = l 이고 따라서 kerf = {1} 이 다. 그런데, 정 리 2. 3. 4 에 의하여 |GI = !GI = IHom(G, F*) | 이므로 f는 同型사상이다. 다음에는 몇 가지 유한群의 C- 지표를 결정하기로 한다. 먼저 다음 정리를 생각하기로 한다. 정리 2.3.8 G 를 群이라 하고 N

정리 2.3.9 G 를 群이라 하고 N

증명 임의의 원소 g EG 에 대하여 g = X1Y1 = X2Y2 (xi, X2 E H; Yi , Y2 E N) 이라 가정하면 Xzl 떠 = ）다'? E Hn N = {1} 이 므로 X1 = 石, Y1 = y2 로 되 어 (1) 이 성 립 한다. 또, 모든 X, X1 E H 과 Y, Y1 E N 에 대 하여 X1Y1XY = (xix ) (yfy) 이므로, 1e : G_一 H, 1C(Xy ) =X 는 준동형사상이고 (2) 가 성립한다. 정리 2.3.12 유한群 G 가 半直積 G = NH= HN, N <] G, HnN= {1} 으로 분해되고 F 가 임의의 체라 하자. IrrF(H) = {g, 1,···,9 처라 할 때, 모든 i =l, …,t에 대하여 사상 X; : G ― ➔ F, X, (:cy) = 울 G 의 交換子 (部分) 群 (commuta t o r subg rou p ) 이 라 한다.

交換子群에 대해서는 다음 定理가성립한다〔現代代數學, 定理 ].4.5 ]. 정리 2.3.14 G 를 群이라할 때, 다음이 성립한다. (1) G'

이제 특정한 유한群의 복소수體 C 에서의 指標表를 구해 보자. 다음 정리는 정리 2.2 .7을 복소수體 C 에서의 정리로고쳐 쓴것이다. (정 리 1. 6. 5 참조) . 정리 2.3.16 G 를 유한群이라 할 때, Irr (G) = {X1, …, Xr} , X1 = le x, E

Abel 群 G/G’ 는 다음과 같은 4 개 의 1 차의 C- 지 표 x;, 자, x;, x~ 를 갖 는다(예 1. 3. 4 참조). G' XGI yG ' xy G ' X111111 1111 111 XX -- ll -11 자-1 이제 元 : G_G/G’ 를 標準준동형사상이라 하고 X, =X; 。元 (i = 1, 2, 3, 4) 라 놓으면, XI, X2, X3, X4 는 G 의 1 차의 C- 지 표이 고, 이들의 각 공액류 에서의 함수값은 다음 표와 같다.

예를 들어 1·1 + 1·1 + 1·(-1) + 1·(-1) + 2a=0 이므로 a=O 이다. 위 의 指標表를 이 용하여 G 의 正規부분群을 ker X, 로 나타내 면 다음 과 같다. ker X1 = G, ker Xs = {1} kerX2 = ~1U~2U~s = ker Xs = ~1 LJ ~3 LJ ~s = {1, 썼, xy, x3y } kkeerr Xx2. n=k ~er. XU3 ~=s U{1 ~, x.2 }= ={ l〈, x군2〉, y=, x 2Zy( }G ) (2) H = QB = ker Xa = <(!1 U <(!s U <(/s = kkeerr XX.,2 n=k < />= Z(H)

예 2.3.3 G=A, 를 4 차의 交代群이라 하자. 群 G 는 4 개의 공액류 W1 = {l}, W2 = { (12) 。 (34) , (13) 0 (24) , (14) 。 (23) } , Ws = { (123) , (134) , (142) , (243) } , w, = { (132) , (143) , (124) , (234) } 를 갖고, 또 다음이 성립한다〔現代代數 學 , 例 2.13. 6, 例 5.5.5 ]. G' = W1 UW 2 = V,, G/G' = <(1 23) G'>브 <(1 23) >르 C3 循 環群 G/G’ 는 다음과 같이 정의된 3 개의 1 차 C- 지표 x;, 자,자를 갖는다. 여기서 Q드 C 는 1 의 한 원시 세제곱근이다. x; ( (123) G') = 1, x; ( (123) G') = w, x; ( (123) G') = w2 따라서 , 표준준동형 사상 X : G _ G/G' 와 x; 의 合成사상 X1 = X;ox (i = 1, 2, 3) 는 1 차의 C- 지 표이 다. 한편, 12 = IGI = l2+l2+l2+32 이므로, G 는 XJ ,X 2,X3 이외에 3 차의 經約 C- 지표 x, . 를 갖는다. <(/I <&'2 땅 3 당 4 X1 1 1 1 1 Xxx432 131 1a1 a8”2 ”r2 위의 표에서, 등식 Ik4=;I Xk (l) Xk (Xj ) = 0 (xj E 땅j, j =t= 1) 를 제 1 연 과 제 J' 열 (j = 2, 3, 4) 에 적 용하여 a, g, r 를 구하면, a= -1, {3 =0, r=0 위의 指標表에서 알 수 있듯이 다음이 성립한다. ker X1 = A4, ker X, = {1} = Z(A4) ker X2 = ker Xs = {l, (12) o (34) , (13) o (24) , (14) o (23) } = V4

예 2.3.4 G=S, 를 4 차의 對稱群이라 하자. 群 G 는 5 개의 공액류 <€'1 = {1}, <€'2 = { (12) , (13) , (14) , (23) , (24) , (34) } <€'3 = { (123) , (132) , (124) , (142) , (134) , (143) , (234) , (243) } w4 = { (12) 0 (34) , (13) 0 (24) , (14) 0 (23) } <€'5 = { (1234) , (1243) , (1324) , (1342) , (1423) , (1432) } 를 갖고, 또 다음이 성 립 한다[現代代數學, 例 2. 13. 3, 例 5. 5. 5]. G' = A,, G/G' = <(1 2) G'> 브 <(1 2) >~ C2 따라서 G 는 2 개의 1 차의 C- 지표를 갖는다. 한편 N = {l, (12) o (34) , (13) 。 (24) , (14) 0 (23) } = v, H = {l, (123) , (132) , (12) , (13) , (23) } 트 S3 트 D3 라 놓으면, G=.N H, H

<(/I ({j'2 <(l3 땅 4 <(i'5 X1 l1231310 1 1121r1-08 8 X2 1 ll x3 -1 xx5, -aa’ _ff33 2 r 다움에 등식 l~=5 l hkX, (xk) 福 = 0 (i =I= j, h. = I f{i'• I) hi = 1, h2 = 6, /z3 = 8, h. = 3, hs = 6 올 제 1 행과 제 4 행, 제 2 행과 제 4 행, 제 3 행과 제 4 행에 적용하면, 3+6a+8g + 3r+68=O 36 - 6cr -+8 B//33 ++ 63rr -6 0 == oo 이 성립한다. 이 연립방정식으로부터 /3 = 0, r= -1, a+o=O 을 얻는다. 또한등식 I5; X11 (x;) X11 (x1) = 0 (t.*j ,xE 떨J A=I 올 제 2 열과 제 5 열에 적용하면, ao= -1 을 얻으므로 a=l, o= -1 이다. 따라서, C 에서의 G=S, 의 指標表는 다음과 같다 당 1 <(/2 <(j's 왕, 당 5 11213130 11111 10102 1111 0112 XX21 __ I

위의 指標表에 의하여 다음 사실을 얻는다. kerX1 = S,, ker X2 = <(f1U <(fs U < (f, = A,, ker 짜 = 를 位數 2n 의 正二面體群이 라 하자 (n ~ 3) . (1) n 이 홀수인 경우 群 G 는 다음과 같은 2+ 으궁 L 개의 서로 다른 공액류를 갖는다. {l}, 窮 = {x1, x-J} , 1 S: j. < —n룬-1一 <(l = {x'yl i = o, 1, …, n-1} 또 Z(G) = {1} , G' = = , G/G' = ~ C2 따라서 G 는 다음과 같이 정의된 두 개의 1 차 C- 표현 TI, T2 : G __ 를갖는다. Ti (x ) = Ti (y) =l T2(x) = l, T2(Y) = -1 한편 eEC 를 1 의 한 원시 n 제곱근이라 할 때, 다음과 같은 n;1 개의 2 차의 C- 행렬표현은 서로 同値가 아닌 槪約행렬표현이다. S,:G 一 GL2(C), 1 학< n;1 S, (x) \\?』, S, (y) = [~ ;] 실제로, 각 S‘ 가 紙約이 아니라고 가정하면, 적당한 1 차의 C- 표현 'PI ,'P 2 와 정칙행렬 MEGL2(C) 이 존재하여 M-is , (x)M= [cp~ (x) cp2 o(x)] ,M -I 요(y )M= [~i(y:2 ~Y)]

이 성 립 하여 야 하므로 C = 드 ker S, 이 다. 그러나, e‘ * 1, 1::;: i::;;:구 이므로, 7--)- s. 는 紙約이다. 또한 1님 三j (mod n) 일 때, s‘(x) 와 S1(X) 의 固이有 제値 는X i, 서 X로2, s,다 ·르를 므각로각 SIT 와i , TS2, j S는, 에同 의値 가하여 아 니정다 의. 된 G 의 匠約 C- 지 표 라 하면, C 에서의 G 의 指標表는 다음과 같다. {1} ……… 窮 당 X1 11.:2 11 11 Xg:2‘ · ·· · · · £ H …£ +u …0 여기서 l~ i~구, 1~ 료구 이고 £드 C 은 1 의 한 원시 n 제곱근이다. (2) n 이 짝수인 경 우 (n = 2m) 群 G 는 다음과 같은 m+3 개의 서로 다른 공액류를 갖는다. {l}, 'C; = {x1, x-i} , lsjs m-1 {xm}, re = {x2'yl i = o, 1, …, m-1} 'C' = {x2>+1y li = 0, 1, …, m-1} 또 Z (G) = , G' = 〈팠〉, G/G' 브 C2 X C2 이 사실을 이용하면, (1) 의 경우와 마찬가지 방법으로 群 G 가 다음 과 같이 정의된 m+3 개의 서로 同値가 아닌 匠約 C- 행렬표현을 갖는 다는 것을 증명할 수 있다. ST,, :: GG ―一 ➔ GCL*,2 (Ci) ,= l1, 2학, 3, s4 m-1

여기서, T1(x) = Ti (y) =1 T2(X) = ·1, T2(Y) = -1 T3(X) = -1, Ts(Y) = 1 T.(x) = T2(Y) = -1 si (x ) = [E0.\ °-IJ, Si (y) = [~ ~] 이제 XI,X2,X3,X4, s i물 각각 TI, T2, T3, T4, S 에 의하여 정의된 G 의 錢約 C- 지표라 하면, C 에서의 G 의 指標表는 다음과 같다. {1} … … 窮 · … • • {x} <(j' <(i'' XX2I 11 ............ 11 .... ..... ... 11 -11 -11 X3 1 … … (-l) i • • • (-1) .. 1 _1 x4 1 ……(一 l) J … (一 1) -1 1 g, 1 1 .» eij J-e -ij … e .. +e-,. 。。 여기서 m= 꿍-, 1< i <1n 」, l:::;:j :: :;:m-1 이고. eEC 는 1 의 한 원시 n 제곱근이다. * 문제 2.3 1. G 를 유한群이라 하고 F 를 임의의 체라 하자. 이 때 , 임 의 의 紙約지 표 X E IrrF (G) , X =f= le 에 대 하여 ~ X (x) = 0 :rE G 임을 보여라. 2. T 를 유한群 G 의 C- 표현이라 하고 X 를 T에 의하여 정의된 C- 지 표라 할 때, 사상 det X : G ― ➔ G*, (det X) (x) = det T(x) 는 G 의 1 차 C- 지표임을 증명하여라.

3. 예 2.3.2 에서 다음이 성립함을 보여라. (1) G = D, 일 때 , det Xs =I= le (2) G = QB 일 때 , det Xs = le 4. 位數 27 의 非 Abel 群은 다움 중 어느 하나와 同型이다. M3 (3) = M(3) = 다음을 종명하고, C 에서의 G 의 指標表를 구하여라. (1) G = M3(3) 라 할 때, (i) G' = Z(G) = 〈썼〉, (ii) G 는 11 개의 공액류를 갖고, 두 개의 3 차 C- 지표를 갖는다. (2) G = M(3) 라 할 때 , (il G' = Z(G) = (ii) G 는 11 개의 공°석류를 갖고, 두 개의 3 차 C- 지표를 갖는다. 2. 4 表現과 指標의 重複度 이 절에서는 유한群 표현 및 지표의 重複度에 대하여 논하기로 한다. 이 철에서도 체 F 는 주로 標~ o 의 대수적 閉體이다. 정의 2.4.1 A 를 체 F 위의 多元環이라 하고 V 를 A- 加群이라 하자. V 의 부분加群둘의 列 {O} = w;。 C W1 C… c w. . = V t에io서n s각er ieW s ), /이W 라;- 1 하이 고紙 約W 1A/ W- 加o, 群…일, W 때. . ,/ w이.. - 1 列을을 VV 의 의組 組成成因列子 ((ccoomm pp ooss ii­- tion fac to r ) 라 한다. 특히, V 가 完全可約 A- 加群이면 V 는 유한 개의 紙約 부분加群

W1,… , w_ 의 直合 V= W1 (±) .. ·EB W :. . 으로 분해된다. 이 경우에 {0} C W1 C W 흡 W2 C …C W1 (±) .. ·EB W .. = V 는 V 의 組成列이 고 그 組成因子는 각각 W11 W2, …, W. . 과 同型이 다. 정리 2.4.2 G 를 유한 群 이라 하고 F 를 체라 할 때, 다음이 성립한다. (1) V 를 F[G] －加群이 라 하고 {0} = ~。 亡 Wl C …C W .. = V 를 V 의 組成列이라 하자. 이 때 , X, (,i, …, g. . 을 각각 V, W1/ Wo, …, W .. / W. . -1 에 의 하여 정 의 된 G 의 F- 지표라 하면, x=s1+···+s. . 이다. (2) W1, …, W. . 을 F[G] －加群이 라 하고, OI, …, 0. . 을 각각 W1, …, W .. 에 의하여 정의된 G 의 F- 지표라 하면, （外的인) 直合 V= W1 E8···E8W. . 에 의하여 정의된 G 의 F- 지표는 0l+… + 0. . 이다. 증명 (1) n = dim FV, n; = dim FW, (i = 1, …, 111) 이 라 할 때, W1 에 서 n1 개의 원소를 택하고, W2-W1 에서 n2_n1 개의 원소를 택하고, •••, w.-w-1 에서,fr (xn). . =_n l. ., -f1r :개 (x의) ,f원r2 소( x)를 택하여 V 의 F- 基底 당(x를E G만) 들 수 있다. 이 때, ,fr : G-GL.(F) 를 V 에 의하여 정의된 당에 관한 행렬표현이라 하면 * ... * O …* n:x) ] 여기서 각 i 1(X) 는 W./W,-1 에 의하여 정의된 행렬표현이다(제 1. 4 절 의 처음 부분 참조). 따라서, X (x) = tri / r (x) = 1~=' 1. tr i/•r ; (x) = ~i= ' I s; (x) (xEG) 죽 X=s1+… +g ..

(2) V = W1 (±) .. ·(±) W. . 이 라 놓고 W1, …, W. . 을 V 의 부분加群으로 생각하면 V 는 부분)J n 群 W1,… , W. . 의 內的인 直合으로 볼 수 있다(제 1. 9 전의 처음 부분 참조)． 이 때, 각 i에 대·하여 땅「몰 W고 1 F- 기처 라 하면 'tf'= ~1U···U~. . 는 V 의 F- 기저이다. 또 ,fr : G ―➔ GL. (F) , cp, : G — ➔ GL ., (F) 룰 각각 V, W‘ 에 정의된 당,당 4 에 관한 행렬표현이라 하면 다음이 성립 한다(따름정리 1.4.8 의 기호 참조). ,fr (x) = ,fr1( x) EB· •· EB ,fr .. (x) (xEG) tr , fr (x) = ~m tr cp, (x) = ~m s, (x) (xEG) i= I i= I 따라서 W1EB···EB W.. 에 의하여 정의된 지표는 01+… +0. . 이다. 체 F 가 標數 0 의 대수적 閉體이면, 임의의 유한群 G 에 대하여 F[G] 는 유한차원 半單純다원환이고 따라서 F[ 어-加群 V 는 모두 유한 개 의 段約부분加群둘의 直合으로 분해된다. 정리 2.4.3 G 몰 유한群이라 하고 F 를 標數 0 의 대수적 閉體라 하자. 群 G 가 r 개의 서로 다른 공액류를 가질 때, XI, ···,Xr 를 각각 서로 同型이 아닌 卽約 F 〔어－加群 VI,… , V, 에 의하여 정의된 G 의 紙約지표 라 하면, 다음이 성립한다. (1) V 를 F 園-加群이라 하고 X 를 V 에 의하여 정의된 지표라 할 때, V 를 槪約부분加群둘의 直合으로 분해할 경우에 나타나는 直合因子 중에서 Vi 와 同型인 것은 (X,X,)C 개 있다. 또, m,= (X,X,)c 라 하면 X = m1X1+… + mxr, m‘ 2 0 V 욕 V, EB···EB Vi EB···EB V, EB···EB V, =mIVI@@mrvr (여기서 m,V .= V,EB···EBV, 은 V, 이 m‘ 개 들어 있음을 나타낸다.) (2) V, W 를 F[G] －加群이라 하고 x,, 를 각각 V, W 에 의하여 칭의 된 지표라 할 때, V~F[G]w <==> X = '

증명 가정에 의하여 F 〔어는 유한 차 원半 單 純다원환이므로, V 는 V= W 홉 · · EBW.. （ w, 는 町 約 부분加群) 지와표 같라은 하꼴면,의 s直1合, ·· 으·, s로“ 三분 해{X된1다, …., X이,} 제이 고SI (를정 리W ‘ 2에. 2. 의5)하, 여또 정정의 리된 2.旺 4.約 2 에 의하여 x=s1+···+s. . 이므로 (X, X,) c = (s1, X1) c + ... + Cs .. , Xi ) c 한편, 정리 2.2.3 에 의하여 wj 브 F[C] Vi 늑 Xi 0의 일 重때複 ,度 라vi 를한 다 V. 의 莊約成分 (irr educib l e consti~ tu ent) 이 라 하고 X, ½ X 의 莊約成分이 라 한다. 따름정리 2.-4 . 5 G 를 유한群이라 하고 F 를 標數 0 의 대수적 閉體라 하자. IrrF(G) = {Xi , ···, X,}, IIrrF(G) I = r 이 라 하면, 다음이 성 립 한다.

(1) 類함수 x : G -F 가 G 의 F- 지 표이 기 위 한 필요충분조건은 X 가 X=m1 쩌 + ... + m,X, (m,EZ, 느 0, 적어도. 한 m8 三 양의 정수) 의 꼴로 표시되는 것이다• (2) 群 G 의 F- 지표 X=m1X1 + … + ?n,X, 에서의 X‘ 의 중복도는 m ; = (X, X,)c 이 다, 증명 群 G 의 F- 지표는 반드시 F[ 어-加群 V 에 의하여 정의되므로, 정 리 2. 4. 3 에 의 하여 (1) , (2) 가 성 립 한다. 정의 2.4 . 6 G 를 유한 群 이라 하고 F 를 標數 0 의 대수적 閉體라 하자. IrrF(G) = {X1, …, X,}, ilr rF(G) I = r 이 라 할 때 C/F(G) 는 IrrF(G) 를 基底로 갖는 F- 벡터공간이다(정리 1.6 .6, 정리 2.2.8). 죽, C[F (G) = FX1 EB… ® FXr 특히, X1, … ,Xr 의 Z - 일차결합 a1 쩌+… +a 『 X,, (a , EZ) 를 群 G 의 _般指標 (ge neraliz e d characte r ) 라 하고, G 의 一般지 표 전체 의 집 합을 z [l rrF(G) 〕로 나타낸다. 죽, Z[IrrF (G)J = ZX1 EB···EB ZX, = {a1 쩌+… +a,X,la1, … ,a, E Z} 위의 정의에서, G 의 지표는 물론 一般지표이고 또 一般지표는 두 지 표의 차로 표시된다(따름정리 2.4.5). 또한, 類함수 f: G-F 가 G 의 一般지표이기 위한 필요충분조전은, 모든 X,EIrrF(G) 에 대하여 (f, XI) c E Z 인 것 이 다• 정리 2.4.7 G 를 유한群이라 하고 F 를 標數 0 의 대수적 閉體라 할 때, 群 G 의 일반지표 X : G-F 가 紙約지표이기 위한 필요충분조건 은 다음 두 조건이 성립하는 것이다. ((iii)) X(X(,l )X )> c = 0 1

증명 IrrF(G) = {X1, … ,x,} 이 라 하면, 일반지표 X 는 X = m1X1 + ••• + m,X, (m, 든 Z) 의 꼴로 표시된다(.X, X이) G 메=, (홉I m.xi, 홉 l ??tJX j ) c = gl mt 따라서, 다음 조건은 서로 동치이다. (1) X E IrrF (G) (2) m1, …, mr 중에서 꼭 하나만이 1 이고 그 밖의 나머지 것들은 모두 0 이다. ) > 0 (3) (X, X) c = 1, X (1