朴乙龍
亢 數學科 (1949),
리이만 기하학 
리이만 기하학
序文 微分幾何學의 한 分科로서의 R i emann 기하학은 어느 새 고전적인 기 하학인 듯한 인상을 주기도 합니다만, 現世紀에 접어 들면서 이를 시기 적으로 살펴보면 각 시기마다 뚜렷한 득칭이나 경향을 볼 수 있는 것이 사실입니다. 수학의 다른 여러 분과에서도 그러하듯이, 각 분야 사이의 경계가 뚜 렷하지 않게 되어 가는 것이 현대 수학의 연구경향이라고 할 수 있을 것 입 니 다. Ri em ann 기 하학도 지금 광범 위하게 , 또 급속도로 발전하고 있는 많은 인접 분야, 예컨대 大域的 理論, 代數幾何學의 첨단 분야, 偏 微分方程式論 그리고 Lie 群論 等과의 관련에서 많은 성과가 얻어지고 있는 것을 보면, 앞에서 말한 고전적이란 〈생명력이 길고 왕성하다〉는 뜻으로서 다시 실감케 하는 돗싶습니다. 미분기하학을 논하는 바탕을 다양체의 이론에 두는 것이 가장 산뜻하 거] 전개할 수 있다는 것이 거의 정설처럼 되어 있읍니다. 이 Riem ann 기하학도 이 수법율 따르기로 했읍니다만, 원래 多樣體의 理論 차체가 방대한 발전을 보이고 있는 지금 이것을 필요한 만큼 정리하여 기초로 삼는 일은 실제로 매우 힘드는 일이었다고 고백 . 아니할 수가 없읍니다. 이 책의 목차에서 보듯이 제 1 장에서 緖論的으로 다양체의 기초론을
소개하였고, 제 2 장의 微分形式과 t ensor .I芬울 전제로 하여 제 3 장에서 본격 적으로 Rie m ann 다양체를 다루었옵니 다. 그리 고 본래 의 기 하학적 인 성질인 曲率, 測地線等울 재 4,5 장에서 교찰한 다음 다시 제 6 장에 서 부분 다양체를, 끝으로 근태 활발하게 확장되어 가고 있는 복소다양 체의 대략을 제 8 장에서 시도하여 보았읍니다• 특히, 부분복소다양체, Hermi te 다양체 , Kaehler 다양체 , 그리 고 이 들의 부분다양체 동도 고찰 해 보았는데, 최근에 많은 성과가 얻어지고 있는 이 분야의 연구자에게 다소나마 참고가 되었으면 하는 배려이기도 합니다. 그러나, 얻마 만큼 이나 성공하였는지 자신이 없읍니다만 독자諸賢의 기란없는 비판을 기 다릴 따름입니다. 이 책의 원고를 작성하는 동안의 白龍培 博士와의 여러 차례의 大田, 東鶴寺에서의 세미나는 잊을 수 없는 추억입니다. 이 책의 내용의 취사 선택의 결정에 큰 도움을 주신 데에 대하여 진십으로 감사의 뜻을 表하 는 바입니다. 1987 년 10 월 冠岳山競에 서
리이만 기하학
차례 序文 4 제 1 장 다양체 11 1 미분가능다양체 11 2 미분가능함수 19 3 接 vector와 接 vector 場 24 4 1經數變換群 34 5 미분가능사상 41 6 vector束 48 * 연습문제 53 제 2 장 미분형식과 tensor장 55 7 共變 및 vector 場 55 8 미분형식 60 9 tensor 66 10 tensor 場 70 11 미분형식의 미분 79 12 미분형식의 적분 88 * 연습문제 92 제 3 장 Riemann 다양체 95 13 Riemann計量 95 14 affine 접속 101 15 Riemann 접속 11116 Cartan의 구조방정식 115 * 연습문제 118제 4 장 곡률 121
17 곡률 121 18 단면곡률 128 19 정곡률 공간 132 * 연습문제 137 제 5 장 측지선 139 20 측지선 139 21 지수사상 144 22 국소대칭공간 152 23 측지변분 157 24 Jacobi장 163 * 연습문제 168 제 6 장 부분다양체 171 25 유도접속과 제2기본형식 171 26 Gauss, Codazzi의 방정식 177 27 전측지 부분 다양체 182 28 전제적 부분 다양체 186 29 Euclid 공간의 초곡면 191 * 연습문제 199 제 7 장 변환군 201 30 affine 변환 201 31 등장변환 203 32 공형변환 206 33 사영변환 213 34 무한소 변환군 219 * 연습문제 226 제 8 장 복소다양체 229 35 복소다양체 229 36 개복소다양체 236 37 Hermite 다양체 245 38 Kaehler 다양체 25039 K 공간 263
40 Kaehler 다양체의 부분 다양체 271 * 연습문재 280 참고문헌 . 283 찾아보기 . 287제 1 장 다양체 Rie m ann 기 하 학 에 서 취 급하는 공간은 곡면을 일반화한 미 분가능인 다양 체 이 다. 이 것 은 Euclid 공간으로부터 유도된 국소좌표에 관하여 미 분 연 산 이 의미를 갖는 位相空 間 이다. 여기서는 이 책을 통해서 기초가 되 는 多 樣體 上의 C 기 函數 , vecto r i);.1 , Lie 群 및 vecto r 束울 준비 한다. 1 미분가능다양체 다양체 를 정의하기에 앞서, 그 예비로서 Euc li d 공간에 대해 고찰한다. R 을 실수의 집합이라 하고, R 을 n 개의 실수의 순서조의 집합, 죽 , ( 1 ) JR:::: {(x\ …, x) I 갔 ER, i= l, …, n} 이라 한다. R 의 2 點 x= (x1, •··, x), y= (y1, ···, y) 에 대 하여 R 의 거 리 (dis t a n ce) d 를 ( 2 ) d(x, y)=〔 (Xl 군)도 •+(x- y ) 2 i =llx 一 Y I! 와 같아 정의하면, JR 은 完 備 (com p le t e) 인 거리공간이다. 이때, R 을 n 차원 Eucli d 공 간이 라고 말한다. R 상의 미분가능성은 解析 學 에서의 마분의 정의에 기초를 둔다. JR
의 7 사집합 U 에서 청의된 함수 f: U --+ :R은 n 개의 년수 X1, ... ,X 의 함수 f(x 1, ... , x) 으로 표 시 된다. 이 때 , r l 情까 지 의 (! 굽tr,1;函 數 (3) (ax6l Y『 , +'·…·· +'! ~' (r1+ … +r 학 , r, 츠 0) 가 존재하고 연속일 때, f를 C 『함수 또는 r 희미분가능인 함수라고 말 한다. 특히, 임의의 정수 r>o 에 대하여 Cr 함수일 때, f 를 C ' 함 수 또 는 (黑限번)미분가능인 함수라고 한다. U 상에서 정의된 함수 f가 각접 a=(a\ … ,an) 드 U 에서 Ix 仁 - a'I
( U,
Fu(x1, ... , x) =forp- 1(x\ …, x) Fv (Y\ …, y) =f앤 -l (y\ …, y) 이라고 두면, Fuo
RnI < ~.-` -.. .. --W0--O0- O-받--1-J` `-`. ,, . `합 l Rn
그림 1.1
이상을 종합하여 미분가능다양체를 다음과 같이 정의한다. 정의 n 차원위상다양체 M 에서 좌표근방계 U={(Ua, ¢.)}aeA 가촌재 하고 다음의 조건을 만족할 때, U 는 M 상에 微分可能潟造 (d iff eren ti able s t ruc t ure) 를 준다고 말한다. (( iii) ) u{U. .n}. uEA 규 는접 M 이 의면 개( U과.부, ¢이.)다 , .( U죽,,, ¢ ,)M 는= UCamE 양AU립a 이 이 다다.. 죽,
¢6° cp. - 1 : cp. (U.n U6) 一 ¢,(Um u,) 는 미분동형사상이다. (iii) u 는 (i), (ii) 를 만족하는 좌표근방의 극대집합이다. 즉, 모든 (U.,
D"= {(x\ & , x")ER 0� (.xi)����� +(x" )2 < 1} t� �, �� ����@� �L��� ��. (p,)+-I(x\& , X") =
(c;)p-l(x1, & , x") =(xi, " " " , x'-1, /.l-((x1)2+���+(x" )2,) _xi+1, & , x"). 0�|�� U={(Ut,cpt), (U 0,cp;)}i : l' & '" +I @� S" ��
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l�p�|� �X� X��, �����\� S" @� n (���䲑Ŵ�t��. ���� 1.2 \ո�, S" ���� �@� �`�)���<�\��������l�p�|��`��ij���. S" X� ��m�D�p +=(0,���,0,)1, ����D�p -=(O
, & ,0,_1) t�|� X��, U+= S"-{ p-J, U-=sn_{ p0��� T ��. ��0� ����� �,+ : u-++R", - : u--+R" D(¢,+)-l (y1, …, y) = (ef,- )-l (y1, …, y•) = 1+ 11l y 가 1(2 y1, •·•,2 y, 1-IIY I I!) 이다. 여기서 y=(y1,···,y）에 대하여 |IYll2=( y1 )2+ …+(y •)2 이다. 그 리고, (-) o (¢,+)-l(y) = (p+) (q,-) -l(y) =굽 이냐 따라서 V= {(U 나+), (U겁 -)} 은 S 상에 미분가능구조를 정의한다. S 의 좌표근방계 U, V 는 동치이 다(문제 1).
.... ___ ,IIMi //· _I ,, ,.,. / I
그림 1.3
예 3 M=GL(n,R). n 차의 正則行列의 집합 GL(n, R)= {(a;j)E M(n, n) la;iE R, de t (a; j)수아 은 행렬의 積에 대하여 群울 이룬다. 이것이 -般線形群(g eneral lin e ar gro up ) 이 다. 여 기 서 , A= (a,•J , B= (b;j) EGL(n, JR)에 대 하여 d(A, B) =[I: (a, • i -b 說]}
라 두면, GL(n, JR)은 거리공간이고, 따라서 Hausdorff 공간이다. ef> : GL(n, R) 一 R2 울 ¢(A) = (a11, …, a1n, a21, …, a2n, …, anl, …, ann) 과 같이 정의하고, 6 : R2-R 을 6. (Xu, •• •, Xnn) ~f_(- 1 ) 따, d(l)X2· 0(2) ••• x` C(n) 로서 청의한다. 여기서 S 은 ?1 문자의 순열의 집합이다. 또, 스는 연속 함수이고 60 ,P (A)=de t A 이다. 따라서 (GL(n, JR))=D, -l( jR一 (O)) 은 R2 의 개집합이고, {GL(n, JR), ¢i}는 미분가능구조 를 정의한다. 그러 므로, GL(n, JR)은 군 차원다양체 이 다. 다음, 11 차원다양체 M 의 개집합 H 를 생각한다. H 는 상대위상에 의 하여 Hausdorff 공간이다. 즉, H 의 개집합 V 라는 것은 M 의 개집합 U 가 촌재하여 V=UnH 가 되는 것을 의미한다• 지금, M 의 좌표근 방계를 U= {(Ua, .)}ae; A 라 하고, V.= U.nH, B.=a1V a 라 두면, {(Va, oa)}a e A 는 H 위에 미분가능구조를 정의한다. 이렇게 얻은 다양체 H 를 M 의 開部分多樣體라고 말한다. 여 1 4 H={(x i ,x2)Ix2>0} 은 R 녀 개부분다양체이고, 그 자체 2 차원 다양체이다. 다음, M,N 을각각 m 차원, n 차원의 다양체라하고, 그좌표근방계를 각각 U={(Ua,a)}aeA, V={(V,,O,)}l e B 라하자. 이때, 칙적공간 MxN 은 Hausdorff 공간이 고, { ( Ua x V,) l aEA, /3E B} 는 M x N 의 개 피 복 이다. 사상 ¢a : U「 내t驛과 0, : v,-R 에 대하여 그 적 aXO, : UaX V,-+R .. xR 을 (¢,., x O,)( p, q) = (¢,., ( p) , O, (q) ) , ( pE U.,, qE V,) 와 같이 정의하면, {(U.,xV,,¢,.,xO,laEA, {3 EB} 는 M x N 상에 미분가 능구조를 정의한다. 따라서 MxN 은 m+n 차원의 다양체이다. 이때, MxN 을 다양체 M,N 의 積多樣體라고 한다. 같은방법으로, 다양체 M,N,••·,L 의 적다양체 MxNx•••XL 을정 의할 수 있다.
예 5 r2=s1xs1 은. com p ac t인 적다양체이다. 이것을 輪環面(t orus) 이라고 한다. 그리고 T=S1 x s1 x … xS1(n 번)은적다양체이고 이것을 n 차원 to rus 라고 한다.
T:=S` X Sl
그립 1.4
2 미분가능함수 다양체상의 함수로서 가장 중요한 것은 각 접에서 미분가눙인 경우 이다. 정의 다양체 M 상의 함수 f : M--JR 에 있어서, 접 p EM 에 관한 좌 표근방 (U,¢) 에 대하여 f o cj> -1 가 접¢ (p )ElR 에서 미분가능일 때, f를 접 P 에 서 ｛찼分可能函數 또는 c~ 1 函數라고 말한다. 위의 정의에서, 미분가능성은 접 p든 M 의 좌표근방 (U, ）의 선택에 무관하다. 왜냐하면, 점 P 의 또 하나의 좌표근방을 (V, 卓)라 하면 ( 1 ) foc p- 1 = ( fop -1 ) ((U) 에서의 함수이므로, ＂변수 X\ … ,x 의 함수 f( x1, · ··,x) 으로 표시할 수 있다. 이것을 좌표근방 (U,
\f
그립 1. 5
x\ … ,x 에 대하여 미분가능임을 의미한다. 이것은 국소좌표계의 선택 에 무관하다. 다양체 M 상의 미분가능인 함수의 전체집합을 ff (M) 으로 표시한다. f,g럽 (M) 에 대하여 f十g, .:lf(.:IE R), fg를 다음과 같이 칭의한다. ( f+g) ( P) =f(P) +g ( p) ( PEM ) Of ) (P)=.: lf(P ), (fg)( P)=f( p)g(p). 따라서 ff (M) 은 R 상의 환의 구조를 가진다. 예 1 구면상의 함수 f: S2 ..... R 을 점 x=(x 1, x2,x3)ES2 에 대하여 f(자,군 ,x3)= （자)나갔으로 정의하자 . 이 때, 훈의 접 P=(O,0,I) 에서 f는 미분가능이다. 왜냐하떤, 접 P 의 좌표근방 (U, 'P)를 (U3+ , ¢; )( §1 의 예 2 참조)로 잡으면, ¢(자 ,/,x3)=(x 1, x2) 이다. 따라서 ip-1 (u1, u2) = (u1, u2, ..; 1-(U 1) 드 (u2) 2) 이므로, foq ,-l (ul, u2) = (ul) 나 ,/ 1-(u1 ) 드 (갑) 2 이다. 이것은 접
는 정 P 에서 미분가능이다. 같은 방법으로, f가 S2 의 모든 점에서 미 분가능임을 확인할 수 있다. 다양체 M 상에는 C .. 함수가 무수히 존재한다. 이때, 국소적으로 주 어전 C. . 함수를 조작하여 다양체전체위의 C. . 함수를 만드는 방법이 있 다. 이것에 쓰이는 편리한 정리가 단위의 분할이다. 이것울 증명하기 위하여는 및 개의 보제가 필요하다. 禪 1.1 o
IIIII_II-a
그림 1.6
z-: c며::, 함수 a1 : R--+R 울 (2) a1(t) ={ oe+ : :t: t:= ::;>o 0 와 같이 정의하면, a1 은 C. . 함수이고, t> o 이떤 a1(t) > o 이다. 다음에 (3) ait ) =a1( t -a)a1(b 一t) 라 두면, 아 는 C. . 함수이 고, t~ a 또는 t츠 b 이 면 아(t) =O 이 고, a 라 두면, a3 : R-+[ 0, 1] 는 c~ 함수이 고, ts a 이 면 a3(t) = l, t츠 b 이 연 a3(t) =O 이고 a 증명 보제 I. 2 에 의하면, 접 P 드 C 에 대하여 P 의 근방 Vp (Vp C Up ) 와 M 상의 cm 함수 fp가 존재하여 다음을 만족한다 : Vp 상에서 fp= I, U ; 상에서 fp = O, M 상에서 o~ f p~I. 한편, C 는 com pac t이므로, C 의 유한개의 접 P1, …, p k 를 잡아 ccVp1 u .. ,u vp * 가 되도록 할 수 있다. 이때 ( 7 ) J=tcf p l +• ••+J P,) 라 두면 f는 구하는 함수이다. 다음, 위상공간 X 의 개피복 {U.laEA} 가 다음의 조건을 만족할 때 {U .|a 드 A } 는 局所有限이라고 한다 : 〈 X 의 각 접 P 에 대하여 {U. l aEA} 의 유한개와 만나는 P 의 근방 W가 존재한다. 〉 그리고, X 의 두 개피복 {U.laEA}, (V 니庭 B} 가 주어지고, (V 』}의 임의의 원 V i가 적어도 하나의 {U. ｝의 원 U. 에 포함될 때, {V2} 를 {U.} 의 畑分이라고 한다. 한편, 위상공간 X 가 Hausdorff 공간이고, 다음의 조건을 만족할 때, X는 par acomp ac t 라고 말한다 : 〈 X 의 임 의의 개피복 {U 』 aEA} 에 대하여, 그 제분 (V i llEB} 를 적 당히 잡으면, { V 』 | lEB} 는 국소유한이 된다. > 다양체 M 이 위 상공간으로서 pa racomp a ct 이 면 M 을 pa racomp a ct 인 다양 체 라고 말한다. 이상의 준비하에 단위의 분할을 다음과 같이 정의한다. 정의 다양체 M 의 국소유한인 개피복 {U.laEA} 에 대하여, M 상의 C 합수족 {f.la EA} 가 다음의 조전을 만족한다고 가정 하자 : ( i ) 각 aEA 에 대하여 0
정리 1.4 . p aracom p ac t인 다양체 M 의 국소유한인 개피복 {U 』 aEA} 에 대하여, 각 U. 의 페포 Ua 가 com pac t이면 {U.laEA} 에 관한 단 위의 분할 (f .laEA} 가 촌재한다. 禪 M 이 pa racomp a ct 이면 M 의 개피복 {U. ｝에 대하여 W.cu., v.cw겁 l M 의 7 사피복 {W』 , {V. ｝이 촌재한다. 여기서 U. 가 com- pa ct 이 므로 Wa, v. 도 comp a ct 이 다. V.c w. 에 대 하여 보제 1. 3 을 적용하면, c- 함수 g. : M-+R 이 촌재하여 Os g조 ;1 이고, g.(p) =l : PEV., g. (P)=O : P 드 WE 울 만족한다. 여기서, g.의 대를 su pp(g.）로 표시하면 sup p(g. )c W.c U. 이다. M 의 국소유한인 개피복 {U 屯 EA} 에 대하여 p EM 을 잡고 g( p) =_E g。( p) Q EA 라 두면, g는 M 상의 C. . 함수이다. 더우기 {V 』 aEA} 는 M 의 개피복 이고 항상 g.(p)츠 0 이고 또 V. 상에서 g a>O 이므로 g(p )>o 이다. 여 기서 f.( P) =g。( P)/g( P) ( PEM) 라 두면 {fa laEA} 는 실수치함수 1 의 분할이다. 단위의 분할정 리 는 Rie m ann 계 량의 존재 및 a ffi ne 접 속의 촌재 와 같 온 존재정리의 기초가 되고 있다. 여기서 다양체는 항상 p aracom p ac t이 타고 가정한다. 3 接 vecto r 와 接 vecto r 場 R 의 접 P 에서의 vec t or 를 사라 하고, 접 P 의 근방 U 에서 정의 된 C. . 함수를 f라 할 때, f의 접 P 에서 Xp 방향의 방향미분을 ( 1 ) X,f = X, • P'f 와 같이 정의했다. 여기서 f'f는 f의 구배 (gr adie n t) vec t or 이다. 한 편, R 의 평행좌표계 (x1, ... , x ）에 대하여 X,=(a\ …, a ）이라 하탄
(1) 은 다음과 같이 표시 된다. ( 2 ) Xp f= i=f~ ,,l a '... w a f · 이때, Xp 는 f,g E ff (p)에 대하여 Xp (a f + bg ) =aXp f+ bXp g (a, b 헉 R), Xp ( fg) =f( p) Xp g+g( p) Xp f 릎 만족한 다 . 따라서 X p는 ff (p)에 대하여 미분연산자의 역할을 한다. ; ［ 건의 방향 미 분 의 개 념을 추 상화하여, 다양체 M 상의 접 vec t or 를 다 음과 같 이 정의한다 . 정의 다양체 M 의 1 점을 P 라 하고, ff(p)를 점 P 의 어떤 근방에 서 정의된 c w 함수의 집합이라 한다. 사상 Xp : ff (p )--R 이 다음의 조 건을 만족 할 때 , Xp 를 M 의 접 P 에 서 의 接 vecto r (ta n g en t vec t or) 라 고말한다: (i) Xp (a f + bg ) =aXp f+ bXp g, (ii) Xp ( fg) = (Xp f )g( P) +f( P) (Xp g). 여 기 서 f, g슨 ff ( p), a, bE]R 이 다. 한편, Xp , 따를 M 의 접 p에서의 접 vec t or 라 하고, Xp + Y.,, ).)(p (A ER ) 를 (Xp + Yp )f= Xp f+ Y.,f, (.
때 , (급:） p는 접 vecto r 의 조전 (i) , (ii) 를 만족하므로, 접 P 에 서 의 접 vecto r 이다. 예 1 구면상의 함수 f : s2--JR 을 f(자, x 라 갔) = (xl)2+x3 으로 정 의 하고, P=(1/../2, o, 1/ ✓ 2) 이라 한다. (U,¢) 를 좌표근방 (U J ,¢n (§1 의 예 2) 으로 잡으면 ¢(x\ x2, x3)=(x 1, x2) 이다. 이때 , cp(p )= (1/../2, 0) 이고 (f0¢- l) (t4\ u 이 = (Ul) 나 J l -(ul) 드 (u2) 2 이므로, 다음을 얻는다. 틀)p f=_]__( ;;？ 一 2_ (1/ ./2, O) = ./2-1 (-b),J=~(I/./2 , O)=O 특벌히, x.-: U--R 를 x,.(P)= tl'°(
a : M_,R 이 촌재한다. xEW 이면 (ha) (x) =h(x)a(x) =O•a(x) =O=h(x). X 旺 W 이떤 (ha) (x) =h(x)a(x) =h(x). 따라서 모든 xEM 에 대하여 ha=h 이다. 그러므로 Xp ( h) =Xp (h a) =h( p) Xp ( a) +Xp ( h)a(p) =O. 補題 1.6 . (X1, … ,xn) 을 접 p EM 의 좌표근방 (U,) 의 국소좌표계라 하고, x;(p )= =0 (i =1, … ,n) 이라 한다. 이때, 모든 f드#(p)에 대하여 (4) f=f(P )+f :: 江, f;(p)=8( 孟汀 를 만족하는 cm 함수 A, …,f .E !Y(p)이 U 상에 촌재한다. 증명 f E :f (p)에 대하여 F= f c- 1 이라 두면, F 는 R 의 원접 O 에 서의 개구 B={xER 기 l xll
정리 1.1. M 을 n 차원다양체 라 하고, (자, …, x ）을 접 PEM 에 관 한 국소좌표계라 한다. 이때, {(경:-)p' …, (궁：사는 접공간 따 (M) 의 기를 이룬다. 따라서 d i mT p (M)=n 이다. 증명 황(玉 )P=O 이라 두면, （습)p x/ 군에 의하여 쳤 =2 k. （훑)/i=Q (x i )=O. 따라서 (급)p' …, （戶)p는 1 차 독 립 이 다. 다음, i를 실수타 하면 X p ET p (M) 에 대하여 X p(J )=O 이다. 한편, 모든 i에 대하여 x• · ( p)=s;: O 이면 y .-=X’ . -x' . ( p)라 둔다. 이때, yi(p)= O (i =I,···,n) 이 성립하고, 보제 1. 6. 에 의하면, f드 ’ (p)에 대하여 f= f (P)+E y'f셀 f/E f f( P) 가 촌재한다. 따라서 Xp (f) =Xp ( f( P) +E yif,-) =고 i [X p (y')f.-(p) +l( p) Xp ( f.-)J =꾸 X p (X i군( p))f;( p) =泣p (X')( 玉)/ 여기서 f는 임의의 C .. 함수이므로 (7) Xp = I; Xp (X ;) (끓-)p 울 얻는다. 죽, x, 는(읊깁p' ... , (겁 T)P 로 생성된다. 그러므로 {(:)P …,여 ( 기급 서) } {’는（ 글 )Tp p' ( …M), 의( 圭기),를} 이를루 고U 의T p 접 ( M)P 의에 서차 의원 은自 然11標 이潟다 .(n atu ral fr ame) 라 하고, X,(x’) 몰 자연표구에 관한 X p의 성분이라고 한다. 접 vecto r X p ET,(M) 에 대하여 X p@)＝선라 두면 Xp =합(言) P 로 표시된다. 한편, 접 P 의 다몬 좌표근방 (V; y\…,y）을 잡으면,
V 의 접 P 에 서 의 자연표구는 {（습)p' ... , （공)p} 이 다. 여 기 서 Xp (y{) =7J’ 라 두면 X=I : 7J’.（급)p로 표시할 수 있다. unv~0 이므로, 두 자연표구 사이에 (8)(`9~ 情)p=릅릅-( P)( 玉), 틀)p=녀룹(p)틀)p (i,j=1 ,… , n) 인 관계식이 성립한다. 따라서 X p ET p (M) 의 성분 (Ei ), （가) 사이에는 (lo) #=E 芸ay‘ E, } E=더 톱# (i=1 , …, n) 인 변환법칙이 성립한다. 다음, 다양체 M 상의 곡선의 접 vec t or 에 대하여 고찰하기로 한다. R 의 개구간 l=(a, b)(O
a b R
그림 1.7
예 2 구면 훈상의 곡선 r(t ) =( sin 0 。 cos t, sin 0 。 sin t, cos 00) 은 위도 Oo 인 평행원을 나타낸다. 이 곡선의 접 vec t or 는 r(t) =( -sin o 。 sin t, sin 0 。 cos t, 0) 이다. 한편 훈상의 법 vec t or 를 N 이라 하면 N=r (t)이고, N,f( t)= O 이므로 짜)는 접 P=r( t)의 접평면 Tp (S2) 상에 있다. 정의 다양체 M 의 각접 P 에 대하여 접 vecto r X p ET p (M) 을 대옹 시 키 는 사상 X : p-- Xp 를 M 상의 vec t o 며 (vecto r field ) 이 라고 말한다.
그립 1.8
f E ff (M) 에 대하여 Xf는 (Xf )(P)=Xp f에 의하여 정의되는 M 상 의 함수이고, 모든 f드空 (M) 에 대하여 Xf E ff (M) 이면 vec t or 장 X 는 미분가능이 라고 말한다. (x\ …, x) 을 ( U,
X p는 Xp = 21 e j(p)틀)p 로 표시된다• 여기서 (단,…,f）은 U 에서 정의된 n 개의 함수의 組이 다.( 1이4 ) 것을 vec t or 장 X 의 (xx\ =… in ,ExgF . )' ( 에 훑관)한 성분이라 말하고 와 같이 나타낸다. 여기서 한,…,언이 모 두 c~ 함수이면 X 는 미분가능 인 vecto r 장이 다. 앞으로, 미 분가능인 vecto r 장만을 생 각하기 로 한다. M 에서 정의된 미분가능인 vec t or 장의 전체집합을 !!f (M) 으로 표시 한다. X, YE !!f (M) 에 대하여 (X+ Y)p= Xp + Yp, (A X)p= J Xp (AE JR) 와 갑이 X+Y, J X 를 정의하면, !!f (M) 은 실 vec t or 공간을 이룬다. 그리고 f E ff (M) 에 대하여 ( f X )p=f( p)X p 라 두면, !!f (M) 은 ff (M) 상의 加群의 구조를 가전다. 국소좌표계 ( U, x\ …, xn) 에 대 하여 vecto r 장 X 가 X= ~ f'. (：가로 표시될 때, Xf는 (15) Xf ='i;, t·iaff r I 로 표시되고, 다 룹가 U 상에서 C° 함수이므로, X J는 C' 합수이 다. 그리고 X( f+g)= Xf + Xg , (f,g점 (M)) X( lf)= l(Xf ), (..
X =x1( 占) +x2( 志), Y =x3(-b ) 이라 하면, 다음을 얻는다. f X = (xl) l .x 2.x 3( 훑) + （자) 2( 군) 2x3( 습) Xf 국 (2 .X l 年) 군(.x l)2 .x 3=3( .x l)2 年 Yf =x3(.x1 )2.x 2 =J , X(rf) =3( .x 1)2 年, 정의 X, YE fI (M) 에 대하여 사상 [X, Y] : ff (M)--+ :7 (M) 운 다 음과감이 정의한다: (16) [X, YJ J= X(Yf ) -Y(Xf ). (/E:7 ( M)) 이때, [X, Y] 를 X, Y의 括孤積 (bracke t)이라고 부른다. 補題 1.8 X, Yi력 (M) 이면 [X ,Y ] 랍 (M) 이다. 증명 M 의 각점 p에 대하여 [X, YJ ,,f=X ,,(Yf ) -Y,,(Xf ). 이므로 [X, YJ ,,(f+g)= [X, YJ ,,f+[ X, Y 〕凡 [X, 幻 p (A f )=A 효, Y 訂. (AER) 한편, Y,,( fg) =f( p) Y,, g+g( P) Y,, f 에 서 [X, Y J,,(fg)김，，（ Y(Ig ))-Y,,(X( Jg)) =X訂 Yg 一g Yf ) 一 Y,,( fX g -gX J ) =f(p)[ X, YJ ,,g+g(p)[ X, YJ ,,f. 따라서 [X, Y] ，，로 (M). 補題 1.9. X, Y,Z 력 (M) 에 대하여 다음이 성립한다. (a) [X, Y] ＝一 [Y, X J. (b) [X+Y,ZJ = [X,ZJ + [Y,ZJ . (c) [X, [Y, ZJ J+ [Y, [Z, X JJ+ [Z, [X, YJ ]= O. (Jac obi 의 항등식 )
(d) [fX,g Y J = fg[ X, YJ + f(X g ) Y-g( Y f) X. 증명 (a), (b) 는 명 백 하다. (c) /E ff (M) 에 대하여 [X, [ Y, Z ]Jf=X ([Y, Z]f )-[Y, ZJ (X f ) =X(Y(Zf ))-X(Z(Yf ))-Y(Z(Xf )) +Z(Y(Xf )). X, Y, Z 를 순환적으로 교환하면 Jac obi 의 항등식 을 얻는다. (d) [JX, YJ h =f X (Yh)-Y(fX )h =fX( Yh) -f Y(Xh) -( Yf ) • (Xh) =(f [X, YJ - (Yf ) X)h. 이것으로부터 결론을 얻는다. 다음, 국소좌표계 (U; 자,… ,x ）에 있어서, 〔훑':f=틀-훑꿈 =0 (fEf f(M ) 이 성립한다. 따라서 자연표구에 대하여 (17) 〔훑급기 =o 임을 알 수 있다. 또, 좌표근방 U 에 서 X, Y 갑 (M) 을 X=~ ~j(읊갑, Y= 꾸#(급깁 로 표시하면, (18 ) [X, Y 도따릅국룹)읊 이 되는 것을 알 수 있다. 여 I 4 M= JR 2 에서 X=x1x2( 蓋), Y=x2( 궁)이라 하자. 임의의 fF.:ff (M) 에 대하여 [X, Y] f =x1 갔습(갔훑f )-X2 급(年룹)
==-x亨2x1 )—aa xf21 • ~ 一 x2x1 」 ― 난(군 )2~ 틀 따라서, 다음을 얻는다. [X ,Y 〕＝一 xlx2( 읊) . 정의 多 를 R 상의 vec t or 공간이라 하고, 왕 의 두 원 X, y에 내하 여 [X ,Y ] 가 정 의 되 어 있고, 보제 I. 9. 의 (a), (b), (c) 를 만 족한 메 , 8 를 Lie 環 (Lie alge bra) 이 라고 말한다. 위의 정의에 의하면, 다양체 M 상의 모든 vec t or 장의 집합 !r (M) 은 R 상의 vecto r 공간이 고, 괄호적 [X, Y] 에 관하여 Lie 환을 이 룬다. 참고 11 차원다양체 M 에서 두 국소좌표계 (U; 자,… ,x) 과 (V; 렀, …, x ）가 만난다고 하면 Ci) unv 에서 다음이 성립한다. 丙a「 =꾸_a iax1A iJaxh (i= I, …, n). (ii) vecto r 장 X 의 U 와 V 에 서 의 성 분을 각각 (e \ ..., e )과 (한, … ,E ）이라 하면, unv 에서 다음이 성립한다. t A= 꾸릅국' (h=I, …, n). 이들은 각각, 앞에 나왔던 자연표구와 vec t or 의 성분의 변환식을 unv 에서 표현을 바꾼 것이다. 4 1 웹數變換群 l=(a,b) 를 R 의 개구간이타 하고, cp : I--M 을 M 상의 Cm 곡선이라 하자. 곡선
¢( t) == E ( d( x/;'P) ), （훑)\0 (1) 로 표시할 수 있다. 정의 다양 체 M 의 개집합 U 에서 vec t or 장 X 가 주어져 있을 때, 모 돈 t E I 에 대하여 ( 1 )
多/
그림 I.9
(x\ …, x) 을 U 의 국소좌표계라 하고, 합(t )=x i(q>(t)), X= 꾸 E( 옮-) 라 두면, 조건 (I) 은 다음과 같이 표시된다. 뀝t) 국(q> 1( t), •••, q>(t)) 따라서, 'Pi(t)는 미분방정식의 계 ( 2 ) 접 국(파•·, u) (i= I, 2, ···, n)
의 해이다. 그러므로, 1 계상미분방정식계의 해의 존재성과 일의성에 의하여 다음을 얻는다. 정리 1.1 0 다양체 M 상에 vec t or 장 X 가 주어져 있을 때, 임의의 첨 PEM 에 대하여 e>o 이 존재하여, cp (O)=P 안 X 의 적분곡선 cp : (-e, e)-+M 이 一意的으로 촌재한다.
그림 1. 10
예 1 R2 에서 vec t or 장 X=- y닝 ~+x 급：가 주어져 있을 때, rp( O)=(1, 0) 를 만족하는 X 의 적분곡선을 rp(t)= (x(t ), y(t)）이 타고 하면, dx_ .. dy 言 =-Y, 겅 =X 울 만족해야 한다. 여기서 초기 조건 rp( O) = (1, 0), rp( O) = (0, 1) 울 고려하면, X 의 적분곡선은 rp(t)= (cost, sin t ), 즉, 원이다. 다음, 가군 A 가 실수 k 三 R 에 대하여 A={a1} 로 표시되고, 가법이 a,+a,=a1+, 로 주어질 때, A 를 l fil;數群 (I- p arame t er g rou p)이라고 한 다. 이때, A 의 단위원은 a 。이고, a1 의 역원은 a_, 이다. 다양체 M 에 있어서 각 a‘EA 가 M 의 변환이 되는 경우를 생각한다. 정의 임의의 실수 t에 대하여, 다양체 M 의 동형사상 ¢,가 주어지 고, 다음의 조전율 만족할 때, {¢,|t드 R} 를 1m 數變換群 (I- p arame t er grou p of tra nsfo r mati on s) 이 라고 말한다 :
(i) rp 1o
로 나타낸다. 예 2 JR2 의 표준좌표계를 (x\ 균)라 하면, vecto r 장 X=o/ox1 에 의 하여 생성되는 1 경수변환군 {서는 접 P 도 (a t ,a2) 에 대하여 ,(P)= (a1+t, a2) 이 다. 한편, M=J R— {O} 이 라고 하면, P= (x1, o) 에 대 하여 t =-xl 에서 ¢,(p)가 청의되지 않으므로, X 는 M 에서 완비가 아니다. 예 3 R 나감의 vec t or 장 X= ？ 三oa一x +x 一da一y 에 의하여 생성되는 1 경 수변환군을 {¢iit E R } 라 하자. P=(x, y)라 하면, ¢,( P) = (x cos t—y sin t, x sin t+y cos t) 이다. 따라서 ¢t는 반경 1 인 원상의 4-t 만큼의 회전을 나타낸다. 그 리고 vec t or 장 X 를 j안 의 개부분다양체 M={(x, y)J x2+ y 2<1} 상에 제 한하면 X 는 M 상에서 완비이다. 예 4 (x\ … ,xn) 을 Rn 의 표준좌표계라 하고, A=(a}) 를 nx?1 행렬 이라 하자. 이 때, R 상의 vec t or 장 X 를 X=i ,E j= l a}x' 그6x—· 로 정의하면, X 는 완비이고, (6) (Exp tX ) ( P) = exp t A 广 1 (:p) ] 갔(.p) 이다. 여기서 ex pt A 는 행렬 A 의 지수함수이다. (6) 의 우변을 ¢I( p)로 표시하면, ex pt A 는 정칙이므로 ¢I( p)는 R 상의 정칙선형변환이다. 따라서
의 성분 (dx1(9,(P)) / d t ),=o 은 I: a ; x i(p)와 일치한다. 따라서 ( ¢, )의 무 한소변환 Y 는 X 이다. 그러므로 (6) 을 얻는다. 다음, vec t or 장 X 가 완비가 아니면, X 가 생성하는 1 경수변환군 {이는 촌재하지 않는다. 그러나 다음에 정의하는 국소 1 경수변환군은 존재한다. 정의 U 를 M 의 개집합, I,=(-£ , e)(e>O) 를 R 의 개구간이라 한 다. 寫像 ¢ : I, X U— ,M , ¢(t, p) =,( p) 이 다음의 조건을 만족 할 때, {¢J,드 I , } 를 M 의 局 FJ f 1 理數變換群 (1- pa ramete r local gro up of tra ns fo r mati on s) 이 라고 말한다 : (i) , : u--+¢,( U )는 미 분동 형 사상이 다. (ii) t,s , t+ sEI, ; P, ¢, (p )EU 에 대하여 ,+,C P) =,( P) • ¢,( p). 1 경수변환군과마찬가치로, 국소 1 경수변환군은 M 의 개집합 U 에서 칭의된 vec t or 장 X 를 유도한다. 이때, 다음과 같이 그 여도 성립한다. 정리 1.1 1 X 를 M 의 vec t or 장이라 할 때, 각점 P 든 M 에 대하여 P 의 근방 U 와 정수 e>O 를 적당히 잡으면, X 에 의하여 생성되는 국소 1 경수변환군 {¢,ltE l,( - i, e ), ¢,(I ,)cU} 가 일의적으로 존재한다. 증명 (Y. Mats u shim a p. 83 를 참고하라. ) 정 리 1. 12 M 이 comp a ct 이 떤 M 상의 모든 vecto r 장은 완비 이 다. 증명 각접 p EM 에 대하여 U( p)를 P 의 근방, e(P) 를 vec t or 장 X 가 1,(p) X U( p)상에 서 국소 1 경 수변환군을 생 성 하는 양수라고 하자. M 이 com p ac t이므로, M 의 개피복 {U( p .)IP.EM} 는 유한개의 개피복 {U 야)|i =1, …, 기울 가진다. 여기서 e=mi n{ eep 1 ), …, c( p,)｝이라 두면, <하/>여,( pt)=는 t1I+, …x M+ 에t,,서 jt정;l 의 <된 e다 (.i= l임, ·의·•의, r ) 라접 두p E고M 과 임의의 t E ]R에 대 ,( p) =11( p) or p, 2( p) o… 0¢t, ( p)
정의 vec t or 장 X 가 임의의 t 에 대하여 라 하면, ¢t( p)는 RxM 상에서 정의된다. 따라서 X 는 완비이다. (
이다. 특히, [X ,幻 =0 이 성립하기 위한 필요충분조건은 ¢,0#s= 卓潟 5I 가 성립하는 것이다. 층명 약 (Y. Kobay a shi- N omi zu , I, p.1 5 참조. ) 5 미분가능사상 다양체상의 미분가능함수를 일반화하여 다양체 사이의 미분가능사상 윤 다음과 감 이 정의한다. 여기서 M,N 을 각각 m 차원, n 차원의 다양 체라 가정한다. 정 의 사상 ¢ : M---,N 이 다음의 조건을 만족할 때 , ¢ 를 徵分可能寫像 또는 C 꿈tt양 이 라고 말한다 : (i)
二c8:lu(eU > ) '1'0 4 >0 0。- 1 << 'l(v V)
그립 1.1 2
다음, (x\ … ,x) 을 (U,O) 의 국소좌표계, (y l,', y)을 (V, 'P)의 국 소좌표계라 하면, C 사상 rp o
으로 표시할 수 있다. 따라서 변환식 ( 1 ) y°=y° (x\ …, x') (a=l, ···, n) 울 얻는다. 여기서 y a 는 m 년수 x1, ... ,xm 의 cm 함수이다. (I) 을 cm . 사 상 ¢, : M-+N 의 局所表現이라고 한다. 예 1 사상¢ : s2-- p 2 을 ¢(.만,군,X3)=[ 자 ,x2,x3] 로 정의하자. 여기서 [x\x 라리은 R3 에서 원접 O 와 점 (x 1, X 라갔)을 지나는 직선을 나타낸 다. ¢(x\x 리 ,,:3)=¢( 一 xl 广一군,_군)이므로, ¢는 2 대 1 의 cw 사상이다. 補題 1.1 5 ¢ : M-+N이 C .. 사상이 되기 위한 팔요충분조전은 임의의 f드ff (N) 에 대하여 f 0
를 의미한다. 좌표근방 ( U, 0) , ( V, 卓) 의 국소좌표계 를 각각 (x\ …, x') , (y\ …, y) 이라 하면, U 상의 연속함수 ¢*y a 는 ( 5 ) ¢*y=
*g) (!, g!TE (N ) ; a, bER) 정의 cp : M-N 이 동상사상이고, ¢와 ef,- 1 7} C~ 사상일 때, ¢를 徵 分同形寫像이라고 말하고, 미분동형사상 ¢:M-N 이 존재할 때 M 과 N 은 篠分同形 (d iffe omor p h i c) 이 된다고 한다. 다음, C' 사상 ¢, : M-N 이 주어져 있을 때, 접공간 사이의 사상을 유도하자. XET p (M) 에 대하여
/~M ¢ • : 广N ¢ I ll 마
그립 1.1 3
울 할 수 있다. x,=8/8x'., Y,=8/8 yi라 두면, {X1, … ,Xn) 은 Tp ( M) 의 기를 이루고, {Y1,… , Y,‘} 은 Tw>(N) 의 기릉 이룬다. 이때 cp*X..= j.=E I (rp* X.-) (yi) Y, 이라 두만 행렬 (8) (로)(yi)=~ (i= l, ... ,m;j = l,… , n) 울 얻는다. 이것은 사상 ¢*의 J acob i행렬이다. 사상 ¢*의 계수, 즉 행 렬 (8) 의 계수를 사상 ¢의 접 P 에서의 계수라 한다. 이것윤 rank p
(10) (*)p X p =X 冠 인 관계를 만족하면, X 와 X 는 ¢-관계 (¢-rela t ed) 에 있다고 말한다. 그리고 (10) 은 (11) (X'f) orp = X( for p ) 와 동치이다. 補題 1.1 7 C' 사상· : M-.N 에 대하여 X, YE?£'(M) 가 각각 X', Y' E fl (N) 와 ¢-관계에 있으면, [X, Y] 와 [X', y汀가 ¢-관계에 있다. 증명 임의의 J E ff (N) 에 대하여 凶 YJ (f0¢ )=X(Y(f o< j >))— Y(X(f oe f ,)) =X( Y' forp ) -Y(X'fo < J> ) =X'(Y'f) o9 -Y'(X'f ) 엔 =([X', Y'Jf )o
(a) (b)
그립 1.1 4
매입 또는 매장된 상 (M) 의 위상은 반드시는 N 의 부분공간으로서 의 위상, 죽 상대위상은 아니다. 다음의 예는 유명하다. 예 3 cp : R--+T2=S1 x S1 을 cp (t) = (e2,;1, e2•i• ') 와 같이 정의하면
C
그립 1.1 5
다음의 정리는 매립이 국소적으로 매장이 라는 것을 나타낸다. 정 리 1. 18. ¢ : M ....... N 을 매 입 이 라 한다. 이 때 , 임 의 의 접 PEM 에 떠 하여, p의 개근방 U 와 q==if>(p)의 좌표근방 (V, 卓)가 존재하여, rp( U ) = (YE Vl (M) n V= {廻 VI#m+1( y)=…=#(y )=0} 의 형으로 할 수 있다. 정의 두 다양체 M,N 에 대하여, 매입 ¢ : M-+N 이 촌재할 때, M을 N 의 매입된 부분다양체 (subman ifold) 라고 말한냐 한편, M,N 사이 에 매장 ¢, : M-+N 이 존재할 때, M 을 N 의 매장된 부분다양체라고 말 한다. 매입 또는 매장된 부분다양체를 단지 부분다양체라고 한다. 그리 고, M 의 위상이 N 의 부분집합으로서의 위상과 일치할 때, M 을 N의
正則部分多樣體 (re g ular subman ifold) 라고 한다. 위의 칭리 1. 19 로부터 다음을 얻는다. 정리 1.20 M 을 N 의 부분다양체라 하면, 접 PE lvf에 대하여, 다음 의 조건을 만족하는 N 에서의 P 의 근방 (V; y\…,y）이 촌 재한다. ( i ) Y1 ( P) = … = y. ( p) = O. (ii) Mn V= (qE Vl y다!(q) =…=y,,(q) =O). 예 4 f : R+1-+R 을 미 분가능함수라 하고, M= ( PEJ R+l If( P) =O} 이라 둔다. M 의 모돈 접 p에 대하여 (flf)( p)=i;:O 이 면 M 은 R '’ -t 1 의 부분다양체이다. (M 을 f에 의하여 정의된 초곡면이라고 말한다. ) 가령, 반경 r 인 구면 훈은 f(x , Y, x)=xz+ y z+za_ 규 =O 에 의하여 정의된 R3 의 초곡면이다. 한편, 2 중추떤 C= {(x, Y, z) 1x2+y 2 -z2=0} 은 R3 의 부분다양체 가 아 니다. 왜냐하면, 원접 O 에서 (J7f )(0)=(2x,2 y ,-2z)(O)=O 이 되기 매 문이다. 6 vecto r 束 vecto r 속을 다루기 에 앞서 , 먼처 Lie 군 에 대 하여 고찰한다. 정의 G 가 가산기를 갖는 다양체로서 군이고 동시에, 군연산 ; ( i ) G x G-+G, (a, b)-+ab (ii) G-+G, a-+a-1 가 미분가능사상일 때, G 를 L i e 群이라고 말한다. L i e 군은 다양체의 위상에 대하여 위상군이고, 가산기를 갖는 국소 comp a ct 군임 을 우리 는 알고 있 다. 예 1 aff ine 공간 R 은 다양체 이 고, 동시 에 가법 에 관하여 Abel 군 이 다. 그리 고 군연산 ; (x, y)一 x+ y, X 一 X 一 1 은 C .. 사상이 므로, R 은
L i e 군이다. 예 2 일반선형군 GL(n, R ) 은 승법에 대하여 군을 이루고, 동시에 R2 의 개부분집합으로서 다양체이다. a = (a;) E GL(n, R) 에 대하여 x사;(상a) c=p a: }((ai,, jb)= —I •,a b… 에, n )있 이 어라 서고 x두jo면 c , p= rp(;x 라; ） 는두 면GL (rpn} ,( al ,R )b )상 는의 a좌b 의표 계(i ,이 j )다.이 다. 이때, cp) (a, b) = Ik :츠 ’x t ( a) 자 (b) 에 의하여 'P｝ 는 a,b 의 좌표에 관한 다항식이다. 따라서 'P｝는 Cm 사상 이고, p도 C OO 사상이다. 같은 방법으로, cb : a-a - 1 은 COO 사상이다. 그 러 므로, GL(n, ]R)은 Lie 군이 다. 목 하 직 교군 O(n) = (aEGL(n, ]R) l'aa=l} 은 GL(n, R ) 의 L i e 부분군 을 이룬다. L i e 군 G 의 원 a 에 대하여 ( 1 ) La(x)=ax, Ra(X)=xa 를 만족하는 La : G~G 를 左移動 (l e ft t ransla ti on) 이타 하고, R. : G-+G 를 右移動 (r ig h t t ransla ti on) 이라고 말한다• L i e 군 G 의 vec t or 장 X 에 대하 여 ( 2 ) (L.)* X= X, (R.)*X=X 가 모든 a 드 G 에 대 하여 성 립 할 때 , X 를 각각 左不變 vec t or 場, 右不벚 vec t or 場 이 타고 말한다. Lie 군 G 의 좌불변 vecto r 장 X 의 전체 집 합을 多 라 둔다. 이 때 , X, YE '9'i ; .:I ,µER 이면 (L.) * (.:IX +µ Y) = 1. (L. ) * X+ µ (L.) * Y= J.X+µ Y (L.)* [X , Y]=[ (L . )* X, (L.)*YJ = [X, YJ 이 므로, .:IX +µYE,, [X, Y ] 든웅 이 다. 따라서 多 는 R 상의 vecto t 공간을 이룬다. 그리고 엽 는 괄호적[ 〕에 대하여 L i e 환을 이룬다. 이 것 을 Lie 群 G 의 L i e 環 (Lie alge bra) 이 라고 한다. 정의 L i e 군 G 가 다음의 조건을 만족할 때, G 는 M 상에 작용한다, 또는 G 를 M 상의 Lie 變換협이 라고 말한다.
(i) 모든 aEG 는 M 의 변환을 유도한다. 이것을 x ...... xa 로 표시한다. (ii) (a, x) EG x M-+xa 슨 M 은 C~ 사상이 다. (iii) (xa)b=x(ab) 가 모든 a, b 드 G 에 대 하여 성 립 한다. 예 3 L i e 군 R 상에서는 Lll=Rc( g드 I 건)은 평행이동 X-+z+g 를 나타낸다. 그리고 R 상의 좌불변 vec t or 장은 X=I ; iTxa f (左 :R) 이 다. 한편, a= (a;)EGL(n, JR), (x\ …, x)ElR 에 대 하여 cp( a, .x) =xa= (I; alx;, ···, I; a7x') 을 정의하면, GL(n, JR)은 Rn 상의 L i e 변환군이다. 정의 다양체 M 상의 vec t or 束 (vec t or bundle) 은 다양체 P 와 다음의 조건을 만족하는 연속사상 TC : P-M 을 말한다 : (i) 각점 xEM 에 대하여 P 상의 TC-1(X) 은 유한차원의 실 vecto r 공 간의 구조를 가진다. (ii) 각접 xEM 에 대하여 그 근방 U 와 미분동형사상 (3)
P
그립 1. 16
vec t or 속 rr : P-+M 에 대하여 연속사상 T : M一 P 가 촌재하여 11:0 ,= i d( 항동사상)를 만족할 때, T 를 절단 (cross sec ti on) 이라고 한다. 철단 t는 M 으로부터 ,(M) 에의 동상사상이고, 특히, 각접 xEM 에 대하 여 P~ 의 영원 0 을 대응시키는 사상도 철단이다. 이것을 零切斷아라고 말한다. vec t or 속 P 의 절단의 전체집합을 ,(P) 라 두고, (J，p E,(P) 에 대하여 (<1+p) (x) =<1( x) +p(r r) (xEM) (M) (x) =,{<1( x) (JE JR) 윤 정 의 하면, -r (P) 는 R 상의 vecto r 공간이 다. vecto r 속의 구조군 GL(n, JR)은 R 상에 다음과 같이 작용한다. a = (a}) EGL (n, JR) , x = (x\ …, x) ER 에 대하여 (5) xa= (~ alxi, …, E a?x) i 이다. 에 4 積束. n 차원다양체 M 에 대하여, 척다양체 P=Mx JR•울 생각
한다. 사영 .rr : Mx ]R ~M 을 rr(.x , y) =. x 로 정 의 하면, rr-· 1 ( .x ) = {x) x Rn~Rm 은 1/t차원 vect o r 공간이다. 그리고 ,.-1 (U)=UxJr ~ -• Ux Rm 인 국소자명 사상은 항등변 환이 다. 따라서 (P, M, IT) 는 vect or 속이 다. 이것을 稽束(p roduc t bundle) 이라고 한다. 예 5 接 vec t or 束. ?1 차원다양체 M 의 집 vect o r 의 전체 집 합을 ( 6 ) T(M ) = U Tp (M ) p.: M 라 두고, rr : 1(M) 一 M 을 모든 X p E T p (M) 에 대하여 rr(X p )=P 와 간 이 정의하면, p드 M 에 대하여 ,.-1( p )=T p (M) 은 n 차원 신 vect o r 공 간이다. (x\ …, x) 을 M 의 좌표근방 (U, cp)의 국소좌표계라 하면, 모든 pe U 에 대하여 {(;訂p' …, (급訂p}은 접공간 Tr(M) 의 기 이 다. 따라서 ,.-1(U) 의 모든 vect o r X 는 X= 꾸 a'(X) （훑)p 로 일의적으로 표시된다. 여기서 a1(X), … ,a(X) 는 X 에 의하여 정해 지는 실수이다.
다음,는 T(M) 상에 미분가능구조를 정의하므로, T(M) 은 2n 차원의 다양체 이다. 그리고
촌재한다. (b) g(p)= O, xEW 에서 g( x)=I 인 미분가능함수 g : M- JR이 촌재한다• 7) 사상 f: R 드 R2 을 f(x ,y ) =(x2-2y , 4x3 y 2) 로 정의하고, 사상 g : R 드 R3 을 g( u, v) = (tt2v +v2, tt-2 v3, v 강)로 정 의 한다. (a) 접 (1,2) 에서 f 1 의 행렬을 구하타. (b) 접 (0, I) 에서의 g ,(4a/ox ― 8/6 y)를- 구하라. (c) R3 에 서 의 vecto r 장 X= ye1 +ye2 + 2 e3 의 적 분곡선운 구하라. 8) X, Y 를 접 PoEM 의 근방 U 에서의 vec t or 장이라고 한다. 작은 t2::0 에 대 하여 곡선 a( t)를 다음과 같이 정 의 한다 : 점 Po 으로부 터 p 1 까지 X 의 적분곡선이고, 접 P1 에서 접 P2 까지 Y 의 적분 곡선이고, 접 P2 에서 접 p 3 까지 -X 의 적분곡선, 접 p 3 에서 a( t)까지 -Y 의 적분곡선이다. 이때, r( t) =a( -.It)이면 T,(O) =[X, Y ] p.이 성립함울 증명하라. 9) 두 다양체 M,N 에 대하여, ¢b : M ― ,MxN 와 ¢,. : N-.MxN 을 각각 b(x)=(x, b),if> .(y) =(a, y)로 정의한다. 여기서 XEM, yE N; a, b 는 각각 M,N 의 1 정이다. 이때, (M,¢b), (N,¢a) 은 MxN 의 부분다양체이다. 10) M=R 막의 1 경 수변환군 {¢1} 를 ef>, (x, y) = (xe21, ye- 3') 로 정 의 할 때, {¢,｝의 무한소변환 X 를 구하라. 11) C* 를 O 아닌 복소수의 집합이라 한다• Z=(x,y) , Z'=(x',y' ) EC* 에 대하여 (Z, zI)--+ZZ'= (xx’ 一yy I, XIy + xyI ) z-z-1= (x/x2+y 2, -y/x 2+y 2) 으로 정의할 때, C* 는 L i e 군임울 증명하라. 12) X 가 좌불변 vecto r 장, Y 를 우불변 vecto r 장이 라고 하면 [X, Y J =O 이 성립함울 증명한다. 13) M 을 戶낸 다양체라 한다. 접 PEM 에 대하여 n:-1 (p )= Tp( M) 온 접 vecto r 속 T(M) 의 부분다양체 임 울 증명 하라. 14) f : M-N 을 C' 사상, n: : Q -N 을 N 상의 k 차원 vec t or 속이라 한다. P= ((x, v)EMx Ql f( x ) =짜 (v)} 라 두고, n:* : P-M, f' : P- Q를 자연사영이라 한다. 이때, P 는 M 상의 k 차원의 vec t or 속이 되는 것울 증명하타.
제 2 장 미분형식과 t ensor 장 다양체상의 대여적 성질과 위상적 성질을 조사하는 경우에 미분형식 올 이용하면 매우 유익하다. 그리고 다양체상의 여러 가지 현상과 상황 윤 국소적으로 표현하는 경우에는 t ensor 를 써서 기술하면 매우 편리하 다. 여 기 서 는 Rie m ann 기 하학을 연구하는 데 필요한 미 분형 식 과 ten sor 장에 관한 기본성질과 대수적 연산을 취급한다. 7 共벚 vecto r 場 정의 V 를 R상의 n 차원 vec t or 공간이라 한다. V 상의 함수 a : V-+ R 가조전: (i) a(u+v)=a(u)+a(v) (u,vEV) (ii) a(At t) =).a(u) (-
와 감이 칭의하면, a+f3 E V*, Aa 드 V* 이다. 그리고 a 。 EV* 가 모든 U EV 에 대하여 a 。 (u)=O 을 만족할 때, ao 을 V * 의 零 元이라 하고, 이것 윤 O 로 표시 한다. 따라서 V* 는 R상의 vecto r 공간윤 이 문다. V * 를 vecto r 공간 V 의 登對空間 (dual spa ce) 이 타고 말한다. 補題 2. 1 V 를 11 차원 vecto r 공간이 라 하면, 그 쌍대 공간 V * 도 n 차 원 vec t or 공간이다. 증명 {e1, … ,en} 을 vec t or 공간 V 의 기타 하면, (1) cpi( ei) = oj (i,j=I ,… ,n ) 을기 가만 되족는하 는것 을까 밝…히, c면p宅 : V충*분 가하 다촌.재 한첫다째., E여n a기, cp서'. = O {이합,라 … ,두 합면}, 이 입V의 *의 의 i: l e j드 V에 대하여 O=~in=a l ; 합 (e j )=Ea,8}=a j (j=1 , …, n) 따라서 cp1, ... , cp 은 1 차 독립 이 다. 다음, 임의의 a 드 V* 에 대하여, a(u) =a(~xie .-) = 2:;x ia (e.-) cpi( u) =cpi(l;;x ie i ) = ~x 떻@) =xi J J 이므로 (2) a(u)= 꾸 a(e,-) cp ;(u). (a(e;) E R ) 여기서 u= I; x i e; 는 V 의 임의의 vec t or 이므로 a= I; a(e;) ip ; 를 얻는다. 이상의 결과에서 {ip\ …, 합}는 V* 의 基를 이루고, dim V*=n 이다. (I) 에 서 정 의 한 V* 의 基 {ip1, • • ·, 'P} 윤 V 의 基 {e1, …, en} 의 뜨 對基타고 한다. 이 때 , 임 의 의 covecto r aE V * 는 (3) a=a1tp 1 +… + ac p (djE R) 와 같이 일의적으로 표시된다. 여기서 (a1, … ,an) 을 기 {
vec t or 공간 V* 의 쌍대공간을 (V*) ＊로 표시하면, 이것은 vec t or 공간 V 와 동궁]임을 뀝키 증명한 수 있다. 따라서 V 의 원은 V* 로부터 1R 에 의 선형사상으로 생각 간 수 있다. 다음, (c1, …, C,,} , （러, …E ,,} 를t V 의 기 라 하고, (합, …, p} , ｛執 …, ¢가 을 각각 그 쌍대기라 하자. 이 때, 기 사이의 변환율 g,= Ea;e,., ¢i= Eb;'P' 라두면, o}=c pj( e;) = I; b 尉 (I;a~ e,) ==II kh:: IbIi: a b ; i a 낡I (e,) k 이 성립하므로, 행렬 A=(a,) 와 B=( bi)는 여행렬의 관계가 있다. M 을 1l 차원 다양체라 하고, 접 PEM 에서의 접공간 Tp (M) 의 쌍대 공간을 T p• (M) 으로 나타내고, 이것을 접 P 에서 共덫接空 r. ., (cota n g en t ~pa ce) 이 라고 말한다. 따라서 공변 vecto r apE T; (M) 은 선형 사상 a, : T p(!vl )국 R 윤 나타내고, X p ET p (M) 에 대하여 ap (Xp ) = 이다. M 의 각접 P 에 대하여 공변 vecto r w 흡따 (M) 을 대응시키는 사상 w : p—' W p 를 M 상의 共몇 vecto r t,l팡이 라고 말한다. 공변 vecto r 장 w 에 대하여 (5) (w(X))p= wp ( Xp ) (X럽 (M)) 라 두면, w(X) 럽 (M) 이다. 이때, w(X+ Y) =w(X ) +w(Y ) (X, YEfZ (M)) w( fX) =f w (X) (f찰 (M)) 가 성립한다. 따라서 공변 vec t or 장 o 는 선형사상 w : fZ (M) 군 (M) 을 의미한다. 한편, M 상의 꽁변 vec t or 장 0h W2 오} f드夕 (M) 에 대하여 (w1+w2)(X) =w1(X) +w2(X) (X 탁fZ M)),
(f(J)1) (X) =f(J)1 ( X) 라 하고, M 의 공변 vec t or 장의 집합을 g[ *(M) 으로 표시하면, 9-'* ( M) 은 ff (M) 가군을 이룬다. (x\ …, xn) 을 접 PEU 에 관한 국소좌표계라 하면, {(겅： 一 )p, …, (국)p}는 접공간 T p (M) 의 자연기이다. 여기서 (6) (dx') p(습)p =8! 라 두면, ((dx1)P, …, (dx)} 는 {(겅틀)p, …, (궁合)p}의 쌍대기 이고, 공변접공간 따 (M) 의 기이다 . 따라서 M 의 임의의 공변 vecto r w p 는 U 내에서 wp =I;w; (p ) (dx;)p i= I 로 표시된다• 그러므로 U 내의 공변 vec t or 장 o 는 (7) w=In ;w; dX' i= l 로 표시할 수 있다. 여기서 o 가 미분가능이라는 것은 w.-=w(o / ox ' ) 가 미분가능인 함수인 경우를 말한다. 이것은 국소좌표계의 선택에 는 무관 하다. 앞으로, 미분가능인 공변 vec t or 장만을 취급하기로 한다 . 다양제 M 상의 미분가능인 공변 vec t or 장을 특별히 徵分 1 形式 (d iffe ren ti al I- for m) 이 라고 말한다. 다양체 M 상의 Cm 함수 f에 대하여 전미분 d f를 (8) df (X ) =Xf (XEg [°(Af)) 와 같이 정의하면, df E fE *(M) 이다. df (국)=（玉)f=훑 이므로, d f의 성분은 (::,…,(군仁)이고, a f의 국소표현은 다음과 갇다. (9) df =,i=~' !I, Faf - dx ' 한편, 동형사상 if, : T p (M)-+T;(M) 을 사용하여, M 상의 C 거함수 f에 대하여
(10) (Vf )p= 9-l(df) p M로 써에 대정 한의 되국 는소 좌v표ec계to r ( 장x\ …/7,f 를Xn ) 에f 의 대句 하~여 ( gdr afd= ie In ,: t) 으a 라x Ldi 고 x' · 한이다 다.. 접따 라P서E f 의 구배 vecto r 장 /7f 는 (I I) v f=I:률)훑 로표시할수있다. 예 l ; 안에 서 X1=2: 군:, X2=3 글 -2: 라 두면, {X1, X2} 는 향의 한 기 이 다. {Xi. X2} 에 대 한 쌍대 기 를 {(J)\ (J)2 } 라 두면, (J)’. (X i) =8; 에 서 다음울 얻는다. (1) l= 군 1+ 》 dx 라 w2= l7d x 드 17. dx 2 두 다양체 M,N 사이의 사상 ¢ : M-,N 이 주어쳐 있을 때, ¢,* : Tq • (N)- ► T t (M) (q= rj> (p)）를 a q ET q (N) 에 대하여 (12 ) 9* (aq ) (Xp) = aq (9,. (Xp) ) (XpE Tp( M)) 와 같이 정의한다. 이때,
(U)cV 인 점 q의 좌표근방이라 하자. 여기서 (13) cp* (dy ') = 'f.' D~y '( d¢ ) x1 (i= 1, …, n) j= l 이 성립한다. N 상의 공변 vec t or 장 a 를 a=Ei=m 1 a,.d y'·이라 하면 ¢* (a) = 챙 a i흙 )dx J m 이므로, ¢*(a)=E f3J dx J이라 두면, j= l (14 ) /3j =E 了Oy‘ a, . (j=1 , …, m) i= l 인 관계식이 성립한다.8 미분형식 다양체 M 상의 미분 1 형식울 일반화하여 미분 r 형식을 다음과 같이 정의한다. 정의 1 t차원다양체상 M 에서 다음의 조건 (i)' (ii)를 만족하는 사상 (J) : ff(M ) X …x !!J.' (M ) (r 번)一 :7 (M) 울 M 상의 役分 r 形式 (dif fer enti al r-fo r m) 이 라고 말한다 : (i) (J)는 7 중선형이다. 죽, 임의의 i E{l, … ,r} 에 대하여 w(X1, …,fX,' + g Y j, …, X,) (f,gE :7( M)) =fw(X 1, …, X,·, … , X,) +g(J)(X 1, …, Yi, …, Xr) (ii) w(X1, …, X,) 은 교대 적 이 다. 죽, r 문자 {1, …, r} 의 모든 치 환 (J 에 대하여 o(X6(l), …, XC(n)) =Sg n (a)w(XI, …, X,) 여기서 Sg n(a) 는 치환 6 의 부호수이다. 즉 6 가 우치환이면 Sg n (a)=l 이고, 6 가 기치환이면 S g n(a)= ― 1 이다. 다양체 M 의 접 P 에서의 미분 r 형식 o 의 값 W p는 交代인 線形寫條 (I) Wp : Tp (M ) X … x T p (M)(r 번)一 R 을 나타낸다. M 상의 미분 r 형식 w 의 전체집합을 D'(M) 으로 표시한 다. %W2ED'(M), f탑 (M) 에 대하여 (w1+w2) (X1, …, X,) =w1CX1, …, X,) +w2(X1, …X ,) Cfw1 ) (X1, …X.) =fw1 ( X1, …, Xr) 윤 정의하면, D'(M) 은 !F (M) 가군의 구조를 가진다. 여기서 D0(M)= !F( M), D1(M)= ff*(M ), Dh(M)=O(k>n) 이다. n 다음, D(M)=ED'(M) （직합)이라 두고, 의적을 다음과 같이 정의한 다. r=O
정의 W1 E D ' (M ), W 2E D 1 (M) 에 대 하 여, (2) (w1 / \w~ ) ( X1 , … , X. , X. +1 , ···X.+1 ) = ―k上!l!_ , GSE k + 1 S g n (6)Wl(X.(I), …, X.(k))O2(X.(k+ 1) , … ,X ,(k.; I )) 에 의 하 여 정 의되 는 0l /\ W2 ~를 W1 과 w2 의 外 積 (ex t er i or p roduc t)이라고 말한 다. 위의 정의 에서 w1 A w 2 는 미분 형 식의 조건 (i), (ii) 를 만족하므로, w1A {J ) 2 국t (M ) 이 다. 여 기 서 w1, w2 ED 1 (M) 이 면 (3) (w1 A { J)2 ) ( X1, X2) =w1(X1 )w 2 (X 2 ) 一 w 1 (X2) w 2 (X 1) =l °!(X I) w2( XI)| ,j) I ( X2 ) 막 (X2) 일 반 적 으 로 , W1, …, Wk ED 1 (M) 이 면 (4) (w 凶 ·•Aw k ) (X1, …X k ) = det( w ; (X i) ) =1 야?. (（X혼1만) , .•… :．w한k ( 전X LIr) I . 가 성 립한다. 補題 2.2 M 의 미분형식환 D(M) 에서 다음이 성 립한다. (a) (w1 A w 2 ) A w3=w1A(w2^ 빠 (b) (fw1+ g w 2) A w3=f w1 Aw3+g w 1Aw3, (叫 뿌 ED•(M)). (c) w1 E D k (M ), w 2 ED'(M) 이면 w1Aw2= (-1) •1w2Aw1. 증명 (a), (b) 는 명백하므로, (c) 만울 증명한다. a1, …, a 후 D1 (M) , /31, ... , /3,텍 (M) 에 대 하여 (JJ1 =a1/\ ••• /\ak, (JJ2 =/3 1 /\… ' /3, 일 때만 보면 된다. (JJ1 /\/31 = (a1/\ …/\야)/\/3 1= (-1)•/31 /\(JJk 이것을 l 번 시행하면 (JJ1 /\(JJ2 = (a1/\… / \ak) /\ (/31 /\… /\/3,)
= （가 )kl( p l /\ … /\PI) /\ (a1/ \, .. /\아) = (— I) kIQ 2/\W1. 예 1 야,… ,o,1ED1(M) 에 내하여 0‘=Ea, J O j(i =I, … ,n) 이면, w,.( \ jc.c l 0 i= o, o, . (\W j=一 W j (\w,· 이므로 ()1/\… A()n= (ga lJW j) A… f\ (I:an j W j) =det (a u)w1/\···/\wn 이 성립한다. 다음, (x 1, ·••,X ）을 접 PEU 에 관한 국소좌표계라 하면, T p (M) 의 기 {（옮)p' …, (경:) ) ｝의 쌍대기는 {(d 자)p, …, (dx)P} 이냐 이때, nCk 개의 미분형식 {(dx'.%A… I\(d xi• )p} (1후, …, ::s;;n ) 은 D4(M) 의 기이다. 따라서 D•(M) 의 차원은 Ck 이고, D(M) 의 차 원은 2 이다. (5) Cl)(（습)p' …, (志)p)=U)硏•i k( p) 라 두면, 임의의 U)p드 Dk(T p (M) ）은 국소적으로 다음과 같이 표시 된다. wp =I;w;1 .. ·;.k(p) (dx;1) p (\•··/\(d 正)p. 여기서 i 1< i 2< …
補題 2.3 M 의 개집합 U 상에서 미분 1 형식 야,…야가 일차 독립이 되기 위한 필요충분조건은 U 의 각 접 P 에서 W1(\W2(\… (\ Wk°' FO 이 성립하는 것이다. 증명 %…，아가 이차 독립이 아니타고 가정하면, 그 중의 하나, 가 링 W i·는 w,=a1w1+ … +ak-l 야 -I 로 표시된다. 따라서 wl^w2A … ;\wk=O 이다. 역으로, W1, … Wk 가 일차 독립이면 미분 1 형식 Wk+1, … ,Wn 을 첨가하여 {w1, …W k, Wk+l, …, 니 이 Tp • (M) 의 기 가 되 도록 할 수 있 다. 따라서 w;= ~ a;; dx1 (i= I, …, n) 1= 1 라고 두면 , 함수행 렬 식 det (a‘.J) 는 U 상에 서 0 아 아니 다. 따라서 W1/\ …/\ w.= det (a.-;) d.x 1 /\… / \d.x =t-O 이 다. 득밀히 , 0l/\ ••• /\Wk =f. 0 이 성 립 한다. 補題 2.4 (Carta n) a1, ... ,a*- 를 M 의 개지합 U 상에서 일차 독립안 미분 1 형식이라 한다. 만일 k 개의 미분 1 형식 W1, … ,Wk 가 U 상에서 꾸 a,.^0 i =O (i= 1, …, k) 율 만족하면, W i는 w.-=jI =k: l a{ a; (i= I, ···, k) 로 표시된냐 여기서 (a{ ）는 대칭행렬이다. 층명 {a1, …, ai , ai + 1, ••• , 다 울 T; (M) 의 기 라고 하면, 0i 는 O j= Ejk= al {ai+ l=EAn+ l bia l (i=1 , …, k) 로 표시된다. 여기서
Ea,./\w;=O, E (a 仁 -a j )d i /’\ a j+ E b:a,./\ a ,=O i
9 ten sor V1,… , V 를. R 상의 vec t or 공간이라 한다. 직적집합 V1X••·X V, , 강의 함수 f : Vi x …X V,--+J R 이 각 변수 v i EV i(i =1, … ,r) 에 대하여 선형일 때, 즉 (1) f(v 1, …, av;+bu;, …, vr) =af( V i , …, v,., … , v,) +bf (v 1, …, 14,, …v ,) 을 만족할 때, f를 V1X… x v, 상의 r 重 線形函敗라고 한다. 앞으로, V1= … =V,=V 라 두고, 편의상 r 개의 직적집합 Vx… x V 를 V 『로 표시한다. 정의 V 를 n 차원의 실 vecto r 공간, 그 쌍대공간을 V* 라 하고, V*r x vS 상의 함수 F : V*rx VS 一R 가 (r+s) 중선형일 때, F 를 V 상의 (r,s) 型의 ten sor 또는 反 빛 r 次 (contr a varia n t r-order) 공변 s 차 (covaria n t s-order) 의 ten sor 라고 말 한다. 위 의 정 의 에 따라 (0, 0) 형 의 ten sor 를 scalar (ER) , (1, 0) 형 의 ten sor 는 vecto r , (0, I) 형 의 ten sor 는 공변 vecto r 라고 부른다. vecto r 공간 V 상의 (r, s) 형 의 ten sor 의 전체 집 합을 V: 로 나타내 기 로 하자. 임의의 F,GEV: 에 대하여 (F+G) (a1, …a, , v1, • .. v,) =F(a1, .., , a 산 1, …V s) +G(a1, …, ar, v1, …, vs) (lF) (a1, • • •, a 산 1, …v ,) = lF(ai, …, a,, V1, …, vs) (a,EV*, V1EV, lE]R ) 와 같이 F+G, lF 를 정 의 하면, F+G, WE V: 이 다. 한편 F 。 EV: 가 모 돈 a i EV*, t)J EV 에 대하여 Fo( 아,… ,a,,U1, … ,v,)=O 을 만족하면, Fo 을 v: 의 零 t ensor 라 하고 0 으로 표시한다. 이때, v: 는 R 상의 vec t or 공
간 을 이룬다 . 여기서 V8 =iR . V? =V *, V i = V 를 동일시한다. 예 1 V 룰 R 상의 ?1 차원 vecto r 공간이 라 하고, 사상 < ,> : Vx V* ― ► R 를 〈 v,a 〉 =a(v) 드 lR 와 같이 정의하면, < , 〉 은 Vx V* 상의 쌍 선형함수 이다. 따라서 < ,〉 EV: 이다 . 한편, { e1, … ,e, , ) 을 V 의 기, (cp\…,cp) 울 그 쌍대기라 하면, vEV,a E V * 는 v=Ea'e,, a=Eb/cp I 로 표 시된다. 이때,
(6) F(a1, ···, a 『, V1' …, v,) = (iI,-;· i r)a :,… a f,b { •· ··b! ' F; ：다; ( j,~j•) 이다. 예 2 {e1, …, en} , {e1, …, 다 룬 V 의 두 개 의 기 라 하고, {cp\ …, cp} , (¢\ ••• ,#''｝를 각각 그 쌍기라 할 때, 궁i =2 A{Cj , ¢i =E B;cp) J 인 관계가 있으면, (A{), (B j)는 서로 타의 역 행렬 이다. 지금, F E V 책 대하여 F(ip0 , eb, e,) =F6~, F( 쌉, gj, tk) =F;k 타 두면, Fjh = I: B 와 :A f Fb : o, b, c 인 관계가 성립한다. 이것은 ten sor F의 成分의 엇換 式이다. 補題 2.6 FEV: 논 S 중선형사상 F' : Vx ••• x V(s 번)-+ V 와 동일시된다. 증명 {e1, … ,en} 을. V 의 기, {cp\…,cp｝을그쌍대기라하면 , F EV! 는 F= I:;F J ,- j, e;@ cp1 i(8 )···®cp'' 로 표시할 수 있다. 한편, F 는 사상 F: V*x `V x••_· X V』 --R 이고, Vi, ···,v,EV 에 대하여
FI(cj, `…, eI ) = iE=n lF ;, ~/ ,e, (F,' ,- J ,드 R) 가 성 립 하고, FI(ejl ’ …, e1,)=v 0J. v 드 V 가 단 하나 존재한다. 아 I 3 F 를 V 상의 (1,1) 형의 t ensor 라 하면, V의 기 {e1, … ,e,. ｝과 그 쌍대 기 {cp1, ... , cp기 에 대 하여 F=2Fje @ c pJ j, J 로 표시된다. 이때, 행렬 (F} ）로 표시되는 V 상의 선형사상을 P 라 하 면, FI(e J)=幻 F;e, (j=1 ,… ,n ) 이다. 따라서 임의의 v 드 V에 대하여 F(v) =F'(v) 와 같이 표시하기로 한다. 마찬가지로 F己 V: 은 선형사상 F : V*--V* 오1 · 동일시할 수 있다. 다음, ten sor 적 ®에 대 하여 좀더 자세 히 고찰하자 . V 상의 ten sor E 드 V:, F 든 V:, 에 대 하여 E 와 F 의 ten sor 積 E®F를 다음과 같이 정 의한다: (E®F) (a1, …, a,+t, vI, …, V,+u) =E(a1, …, a,, V1, …, v,)F(a,+1 , …, a,+1, V,+1, …, tts+ u). (a1, ·••a,+1 E V*, v1, …, vs+ . EV) 따라서 E®F 드 V;:': 이 다. E, F의 V 의 기 (e1, …, en} 에 관한 그 성분을 각각 E= (E}·,:~~)I F= (F t:-갑) 라 하면, E®F 의 성분은 (E®F) ti;t:~~ = Ej ::j; • Ft, •::1',; 이다. 따라서 일반적으로 E®F*F®E 이다. 補題 2.7 t ensor 적에 대하여 다음이 성립한다. (a) (aE+bF)(8 )K =aE(8 )K +bF(8 )K (E, FEV~)
(b) E@(aF+bK) =aE@ F +bE@ K (F, KE V;) (c) E@(F@K)=(E 詞 )®K 증명 생략함. ten sor 적 의 정 의 에 의 하여 , V 상의 (r, s) 형 의 vecto r 공간 V: 를 v@···@v@V*®… ®V* (r 개의 V, S7 사의 V*) 로 표시하기도 한다. 예 4 u, v 를 vec t or 공간 V 상의 1 차독립 인 vec t or 라 하면, 1‘~AV (i ER) 이다. 지금, V 의 기 {e1, …디에 대하여 u=Eaie , ., v=2bic , i I 라두면 14®v = I; aib i e ;@e; ;, i 그리고 v®u= 표 a i b i ei® eJ 로표시된다. 또 b{~~a’'. 이 므로 a i b i누 b,·a i, u® 뚜 v®u 이다. 10 ten sor 場 vec t or 공간 V 상의 ten sor 대신에 다양체 M 상의 t ensor 장에 대하여 고찰한다. 정의 n 처원 다양체 M 상에서 r 개의 !I *(M) 과 s 개의 !I (M) 의 직 겨집합상의 사상
K : ff*( M) X …X ff*( M) X ff(M ) X …x ff(M )-+f/ ( M) 이 (r+s) 중 선형일 때, K 를 M 상의 (r,s) 형의 te nsor 場 _=L' 亡-- 反變 r 次, 共變 S 次의 ten sor 場이 타고 말한다 . M 상의 (r,s) 형의 t ensor 장의 전체집합을 T;(M) 또는 T: 로 표시하면, T;(M) 은 . r;r (M) 가군의 구조를 갖는다. 여 기 서 는 기 호의 통일상 Tg (M ) = .:7 (M) 라고, 또 Tb (M )= !Y( M), n(M)=!1J , *(M) 따위로 나타낸다 . 한편, M 상의 접 P 를 고정하떤 T p (M) 상의 (r,s) 형의 ten sor Kp : Tp· `( M) X …—X Tp (M/ ) X '{`p ( M) X` ••• X Tp ( M)-+R 이 정해진다. T p (M) 상의 (r,s) 형의 t ensor 의 집합을 T~( p)로 표시하 면, T~( p)는 lR 상의 vec t or 공간이고, t ensor 적 Tp( M)@ ··•@ Tp ( M)@ T;(M)@ ··•@T;(M) -----、 과 동일시한다. 여기서 T g(p )=R 이다. 다음, (x\ …, x ）을 접 PE U 에 서 의 국소좌표계 라 하면, U 상에 vec- t or 장 {궁~. ···,-i나와 미분 1 형식 {d 라 ·•,dx ｝이 존재한다. U 상에서 (I) X= IJ: f1a8 x T, 값 =2hk {dxk 라 둔다. 여기서 fk lii E 三 r ( U) 이 다. 이때, (2) K(a\ …, a', X1, …X ,) =I:K (dx;,, …, dx'r’ 급 T, …, 급 T)h\···Il tfi l···I i’ 를 얻는냐 여기서 (3) KJ ::} ~ =K(dxi1 , ••• , dx i,검늪 …, 궁금 라두면 (4) K(a1, •• •a', X1, …, x,) = 幻 KJ ::j~ hl1· •· hr.f {1… fi’ 올 얻는다. 이때, 어떤 a .. 또는 X가 접 P 에서 0 이면 K(a1, •••a', Xi, …, X,) (P) =O
이다. 한편, 경~-··®궁꿈 -@dx1'®·••®dx1, 국 (M) 윤 (5) (급홉 •·®¼@dx1•®···®dx1•)
에 의하여 T 를 정의하면, T' (X1, … ,X,)E fl' (M) 이다. 따라서 TI: ¥(M) X … x fl' (M)(s 번 )--¥(M) 이고 이것은 S 중선형사상이다. 이와 같은 사상의 집합을 K 라 하고, ¢ : T~(M)-+K 를 T-+T' 와 같이 정의 하면 ¢는 동형사상이다 . 이때, TI( 습, …,志 )=ET;,- J,훑. 예 1 다양체 M 상에서 모돈 vec t or 장 X 에 대하여 l(X)=X 를 만 족하는 (1, 1) 형의 t ensor 장 I 가 존재한다. 이때, I 를 M 상의 단위 t ensor 場이타고 말한다. I 는 임의의 국소좌표계에서 성분 화를 갖는다. 예 2 다양체 M 상에서 (1, 1) 형의 t ensor 장 J가 존재하여 1 도 ]o f=一 I 를 만족할 때, J를 探複緊器造 (almos t comp le x s t ruc t ure) 라 말하고, M 을 槪懷素多樣體라고 한다. 개복소구조 ]의 PEU 에서의 성분을 ]ji라 하고, 행렬(JI ’’ ) 의 고유치 률 A 라 하면 J/X i = ).X'. 여기서 X’ 는 A 에 1 대응하는 고유 vec t or 이다. 양 변에 (J,시불 곱하면 -X·=J !J/X i= ).f/X i = ).ZXk 따라서 꾼= —1 에 서 ).=i 또는 크’ 이 다. 고유치 i, —i 의 重複度는 n 이 고, 이것에 대응하는 일차 독립인 고유 vec t or 도 각각 n 개이다. 따라 선 개복소 다양체는 우수차원이다. 補題 2.9 n 차원 다양체 M 의 un v=/=¢ 인 국소좌표계 (U; x1, • ·•,x), (V 군, …y）에 관한 t ensor 장 TET~(M)의 성분을 각각 (Tj ,,각), (차,다 ~r) 라 하면, un v 에서 변환식 (8) 麟 r= 더운·等 릎 .. 等 TJi ::::;;
이 성립한다. 증명 unv 에서 言8 걸言8xi 7187 , d y•=녀若 dx' 이것올 Tt, --l~•= T(dy1 1 , …d y kr , a 合 …, 습) 에 대 입 하면 (8) 을 얻는다. 補題 2.10 M 의 두 국소좌표계 (U ; x1, ... , .~), (V ; y\ .. ·, Y ）에 서 각각 n'+ ＇개의 함수계 (Tj,, :j;), (T t,--1:,）가 주어지고, un v -=1= 0 일 때 이들 사이에 변환식 (8) 이 성립하면, U 에서 (Tj 1‘ 다;）를 성분으로 갖는 (r,s) 형의 t ensor 장 T 가 촌재한다. 증명 ( U : X\ …, x) 의 각 접 P 에 서 Tp =I: Tj :::J :(P) （국)p®···®(공)p ®(dx iI) p ®·8(dx i'), 라고둔다. 변환석 (국)p=거올(p )(-¼,-)P, (dx~) p=다릅(p )(d y% 와 (8) 을 위의 석에 대입하면 Tp =ET?( p)（습),®···®(급티p ®(d y 1%® … ®(d y 1,) p 를 얻는다. 따라서 Tp 는 P 를 포함하는 좌표근방의 선택에 무관하고 - 意的으로 정해진다. 따라서 M 의 각 접 P 에 대하여 따를 대응시키면, 성분 (Tj ,•다;）를 갖는 (r,s) 형의 t ensor 장 T 를 얻는다. 다음, ten sor 장에 대 한 대 수적 연산을 다음과 같이 정 의 한다. (D ten sor 장의 합 S, TET~(M) 에 대하여 s+T 를
(S+ T) (a\ …, a', X1, …, X,) =S(a1, , .. , a', X1, …, X,) + T(a\ …, a', X1, ···, X, ) 와 같이 정 의 한다. 여 기 서 a;E 겔'* (M) , Xi E !Z (M) 이 다. 또한, 국소카 표 게에서의 성분이 S= (S}: : j;) , T= (T j,＇ 다:) 이면 S+ T= (S;: 김 :+ Tj :다;) 이다. (2) t ensor 장의 f 곱 /E .'Y' ( M), T E T ~ (M) 에 대하여 J T 를 (!T) (a 도··, a', X1, …, X,) =J T( 갑, …, ar, X1, …X ,) 와 같 아 정 의한다. 이때, T=(TJ :：：j; ）라 하면 J T= (! TJ: ~::}:) 이다. (;-0 t ensor 적 SE T; (M ), ~갑 : , (M) 이라 할 때 t ensor 적 S®T 를 (S® T) (바··, a', /3\ …, /31 , Xi , …, X,, Y1, …, Y.) =S(a\ …, a', X1, …X ,) T(/3 \ …1 /3\ Y1, …, Y.) 와 같이 정의한다. 따라서 S®T 드 T; 갑 (M) 이다. 한편, S=(S}::t) , T =(T f, t 갑)이떤 S® T= (Sk:r, • Tt ::f;) 이다. te nsor 적 에 대 하여 다음이 성 립 한다. fS® T=f (S ® T) , /Eff (M) (S1 +S2)@T=S1@T+S2@T S® ( T1+ T2) =S® 따 +S®T2
S@(T® W) = (S®T)® W (S@T)®W 를 S®T®W 와 같이 나타내기도 한다. 예 3 a=E;“=m I df , X=jE= 1 X’ 0 자8 (a,., X { 학 (M)) 의 ten sor 저 a®X 은 函 X= E a,Xj dx i®忘8_ . ;.j = I 따라서 a@XETl(M) 이 다. 그리 고 (a 翼) (급•• dx') = ~a;X i dx•· ( 급기 dx1( 급기 =aiX ' 이다. © ten sor 場의 축약 R 상의 t ensor 공간 T~( p)가 주어쳐 있을 때, 선형사상 Cj : T~(P) - T:: l( P) (1적 ~r, l~j ~ s) 를 S p =e1®··•®e, (8)'P l® …®'P 'ET~( p)에 대하여 Cj( S p )=
S = I: S;:~= i~ e, 1® •® e, ,@
칭이라 하고, <1 T::::-T 이면 T 는 X,,X, 에 대하여 교대라 고 말한다. §8 에서 취급한 미분 r 형식은 교대인 r 차의 공변 t ensor 장 을 나타낸다. 예((ba ))5 SA((TXXE,, TYY g)) (==Mtt) (이(TT면((X X ,다, YY음))이 +一T T(성(Y립Y,,한XX다)) . ）） 라라 두두면, S 는 대칭이다. 면, A 는 교대이다. (c) T=S+A 補題 2.11 TET g( M) 가 임의의 XE f£ (M) 에 대하여 T(X,X)=O 을 만족하면, T 는 교대이다. 증명 임 의의 X, Y 든fJ, '(M) 에 대하여 O= T(X+ Y, X+ Y) = T(X, X) + T(X, Y) + T(Y, X) + T(Y, Y) :. T(X, Y) + T(Y, X) =O 따라서 T 는 교대이다. 補題 2.12 TE Tg (M) 에 있어서 T(X, Y,Z)=T(Y,X,Z), T(X, Y,Z)=-T(X,Z, Y) 이면 T=o 이다. 증명 T(X, Y, Z) = -T(X, Z, Y) = -T(Z, X, Y) = T(Z, Y, X) = T(Y, Z, X) =-T(Y, X, Z) = -T(X, Y, Z) 따라서 T(X, Y,Z)=O 이다. 補題 2.13 RET?(M) 에 있어서 (a) R(X, Y,Z, W)=-R(Y,X,Z, W). (b) R(X, Y,Z, W)=R(Z, W,X, Y). (c) R(X, Y, Z, W) +R(X, Z, W, Y) +R(X, W, Y, Z) =O. (d) 일차 독립인 vec t or 장 X, Y에 대하여 R(X, Y,X, Y)=O 울 만족하면 R=O 이다.
증명 X 를 고정하고 S E n(M) 를 S(Z, W)=R(X, Z, X, W) 로서 정의한다. (b) 에서 S(Z, W)=S(W,Z) 이다. Y=Z+W 를 R(X, Y,X, Y)=O 에 대입하면 S(Z, W)+S(W,Z)=O 이다. S 가 대칭이고 교대아므로 S=O 이다. 다음 X=A+B 를 R(X,Z,X, W)=O 에 대입하 떤, R(A, Z, B, W) +R(B, Z, A, W) =O 한편, (a), (b) 에 서 R(X, Y,Z, W)=-R(X, Y, W,Z) 따라서 R(X, Y, Z, W) +R(X, Z, W, Y) +R(X, W, Y, Z) =3R(X, Y, Z, W) 을 얻고, (c) 에서 R(X, Y,Z, W)=O 이다. 11 미분형식의 미분 다양체 M 상의 미분 r 형식의 전체집합 D'(M) 의 직합을 D(M)= I:; _D'(M) 으로 표시한다. 이때 D(M) 은 의적에 대하여 R 상의 환율 이 '= D 문다. 정의 D(M) 에 서 다음의 조건을 만족하는 마 분연산 d 를 外微分 (ex· ter io r deriv a ti ve ) 이 라고 말한다 : ( i ) d : D'(M)-+DH(M) 은 선형사상이다. (ii) f ED0(M) 이면 df 는 f의 전미분이다. (iii) w1ED'(M), w2ED'(M) 이 면 d(W1/\W2) =dW1/\W 計 (一 I)'W1/\dW 2. (iv) d2=0. 위의 조건을 만족하는 의미분 d 는 일의적으로 정해전다. (x1, •••, X ）을 좌표근방 (U사 )에서의 국소좌표계라 하고, wED'(M) 이 U 에서
w= I; w 도 ’ ’ , dx W 도 ·/\dx 1 ' 로 표 시되었다고 하자 . 이대, w 의 의미분 dw 는 위의 성질에 의하여 ( 1 ) dw= E dw,.1~. ,. r d x'.IA … A dx'r 이다. 여기서 dw, . l- i TEDl(M) 은 ( 2 ) d t U,. I- 1 . r= 꾸a^ tU눅 ,. • dx• 로 주어진다. 특 히 , W 가 미 분 1 형 석 이 고 w= ~wi dxi 로 표시 되 면 (3) dw= 詞 dw j Adxl=E 롯 _dx'. Adx l =i~(총 -릎 )dx‘Adx J 이다. 예 1 J ED0(M) ＝ sr (M) 이면 df = ~1 a~xj xi 이고, d2f 는 d2f =E 훑 dx j /\dx j =g(궁-훑노 )dx ' /\dx J =O 이다. 예 2 wED2(M) 의 성분을 (W ji)라 하면 w=jE,jw j j dxJ/ \dx’ 로 표시된다. 이때, dw 는 dw= ti.,통딘 x•/\dxIAdx i 캘i(붉_쿵＋릉 )d/^dxIAdx'
이다. 따라서 dw 의 성분을 W;;,1 라 하면 Wµ,k= 경a W. J I,_ 경a T 叫. +. 경a 7 W1 i 와갑다. 일반적으로, wED'(M) 에 대한 의미분 dw 에 대하여 다음의 공식을 얻는다. 정리 2.14 wED'(M) 에 대하여 의미분 dw 은 다음의 성질을 갖는다. ( 4 ) dw(X0, Xi , •··, X,) =下片떡 (크)iX; (w(X0, …요, …, X,)) _E (크)i +lw([X;, X.』, Xo, …, 요 …g, …X ,)]. 증명 Kobay a shi- N omi zu I , p. 36 참조. r=I 이면 (5) dw(X, Y)=½[Xw(Y)-Yw(X)-w[X, YJ )J. r(6=2) 이d면w (X, Y, Z)= t[Xw (Y,Z)-Yw(X,Z)+Zw(X, Y) -w([X, YJ , Z)-w([Y,, 幻, X)-w([Z ,X J , Y)J 이다. 外微分演算 d 는 d2=0 을 만족하므로, n 차원 다양체 M 의 미분형식 이 만드는 환 D(M)의 계열 : D0(M) ....:!_따 (M) ~D2(M) 一…… …… ~Dr- l(M ) ~D'(M) ~Dr+l(M)— + 에서 d(D 다 (M)) 은 집합 {wED 『 (M) ldw=O} 의 부분집합이 된다. dw=O 을 만족하는 wED'(M) 을 閉 (closed) 微分形式이 라 하고, 그 집 합을 Z'(M)= {뚜갑 (M) ldw=O} 이라고 둔다. 이것은 vec t or 공간 D'(M) 의 부분집합아다. 한편, wED'(M) 에 대하여 w=da 를 만족하는 aED r-l (M) 이 촌재 할 때, W 를 完全 (exac t)微分形式이라 하고, 그 집합을 B'(M)= {wED'(M) lw=da, aED'-1(M)}
로 표시한다. 이때 다음의 포함관계가 성립한다. B 『 (M) cZ 『 (M) 덱 '(M) . 여기서 D'(M) 은 ff (M) 加群이므로, B 『 (M) 은 Z'(M) 의 部分加群이다. 정의 11 차원 다양체 M 상의 미분형식이 만드는 環 D(M) 에서, 완전 미분형식의 집합 B 『 (M) 의 閉微分形式의 집합 Z 『 (M) 에 관한 商 vec t or 공간 (7) H'(M) =Z'(M)/B' (M ) 을 M 의 r 次元 cohomolog y 群이 라 하고, 그 차원 B,=d i mH 『 (M) 을 r 次 元 Bett i 數라고 말한다. M 의 cohomolog y 群은 다양체 M 의 위상적 성질을 연구하는 데 중 요한 역 할울 한다. 특히 3 차원 Eucli d 공 간 R3 내 의 방향가능인 페곡면 (2 차원 다양체) M 에서의 Euler 의 標數 X(M) 은 다음과 같다. X(M) =b 。 _b1+b2=2. 예 3 M=R 에서 (t)를 좌표계라 할 때, f EDD(R) 에 대하여 df = O 이면 fE R 이다. 따라서 Z0(JR ) =R, B0(R)={O} 이므로 dim H0(JR ) =dim J R= l. 다음, wED1(M) 은 w=hd t (hE ff (M) ）로 표시된다. 여기서 dw=O 이므로df Z1(R)=Dl(R) 이다. 한편, h= 브d tL 。J C .. 함수 f가 존재하므로 w= 言d t =df 이다. 따라서 Z1(R)=B1( ]R)이므로 dim H1 (]R) = dim {O} = O 이다. 정의 다양체 M 상의 vec t or 장 X 를 고정할때 다음을만족하는 사상 ix : D'(M)--D 다 (M) 을 X 에 의한 內a:Jl ll( i n t er i or p roduc t)이라고 말 한다: (i) fE D0(M) 이 면 ixf =O .
(ii) wED'(M), (r>o) 이 면, X1, …, X, _ 1E 켈 (M) 에 대하여 (ixw ) (X1, …, X 『 - 1) =w(X1, …, X,-1). 위의 정의에서 wED1(M) 이면 i xw=w(X)= 〈 w,X 〉를 나타낸다. 補題 2.15 M 상의 vec t or 장 X 에 의한 내부적에 대하여 다음이 성 럽한다. (a) ix( /w1+g w 2) =fixw 1+g i xW 2. (f, gE D0(M), W1, w2ED'(M)) (b) ix( W/\0) =ixw /\0+ （一 1) 『 w/\ i x8. (wED 『 (M), BED'(M)) (c) ix2 =0. 증명 (a) 는 명백하므로 (b), (c) 물 증명한다. (b) W1, …, w,ED1 (M) , Xi , …, Xr 학 (M) 이 면 (ix1 (w1/\… / \w,)) (X2, …, X,) == d (Wet 1 (w/\;… ( X/ \iw) ), .) (X1, …, Xr) 이 행렬식을 제 1 열로. 전개하면, I; (-l).-+1 w.-(X1) (w1/\ …心,. ••• /\w,) (X2, …, Xr) i= l 을 얻는다. W;(X1)= i x,W 산]고 X1, ... ,X, 는 임의의 vec t or 장이므로, X = X1 이라 두면 ix ( W1/\00 •/\W,) = I; (-l) i+l (ixW ;) (w1/\ …W ;• •• /\W,) j; l 이 성립한다. W=W1/\… A Wr, 0=01/\… /\O s (0,·ED°(M)) 라두면 ix( w(\8) = I: (一 1)'+1( i x Wi) (W1A··· 心 r··A t Ur/\O) i+= lI : ( 一 1y +; +1 (ix8 ;) (w/\81/\00 ·0r ·/\8,) =ixw /\8+ （크 )'w/\ i x8. 임 의 의 wED'(M), OED' (M) 은 각각 ¢IA···A 합, 'PjI( \oo•/\
정의 다양체 M 상의 의미분 d 와 내부적 i x 에 대하여 (8) Lx=dix +ix d 라 두고, Lx 를 X 에 의한 L i e1 쌌分 이라고 말한다. 정리 2.16 다양체 M 상의 vec t or 장 X 에 의한 L i e 미분은 다음의 성 질을 가전다. (a) Lx : D 『 (M)-+D'(M) 은 선형 사상이 다. (b) Lxf = Xf (!ED0(M)). (c) Lx (w(\8) =Lxw/\O + w/\L 셉 (wED' (M) , OED' (M) ) . (d) (Lxw) (X1, …, X,) =Xw(X1 , ... , X,) -~w(X1, ... , [X, X.-J, …, X,). ;=1 중명 (a) D'(M))~Dr+l(M) 모 D'(M), D'(M) 그, D 『 -1(M).'!___• D'(M) 에서 &d 와 d i x 는 미분형식의 차수를 보촌한다. (b) Lxf = dix f +ixdf = O+df (X ) =Xf. (c) dix ( w/\0) =d(i xw /\0+ (-l)'W/\t.x 0) =dix w /\O+ (-l) r-lixw /\Bd+ (-l)'dw/\1.x0 + (-1)2'wj \dix 8 . ixd (w/\O) =ix(d w/\0+ (— l)'w/\d0) =ixd w/\0+ (— 1y + 1dw/\&8+ (-1) 『t. xW/\do + (-1) 2 『 w/\d i x8. 따라서 두 식을 합하면 (c) 를 얻는다. (d) 정리 2.13 과 정의 (ii)에서 얻을 수 있다. 다음, Li e 미분의 기하학적 의미를 고찰한다. p를 M 상의 미분동형 사상이 타 하고, wED' (M) , X1, • •· , :X『 E !!t (M) 이 라 한다. 이 때 , F=w(
죽, F= (p- l) *G 가 성 립 한 다 . 그 러 므로 ( 9 ) (cp* w ) (X1, …, X,) =c p* (w (cp * X 1, …, cp* X,)) 가 성립한다. 정리 2.17 vec t or 장 X 에 의하여 생성되는 M 상의 1 경수변환군 을 { ¢ ,｝라 하면 입의의 미분 형 식 w 의 L i e 미분 L x w 는 다음의 성질 을 가 진다 . (10) Lxw =l ,:i;mo · 4 t - (¢ ,• w —w ) . 증 명 핀 이상 . w E D ~ (M) 에 대하여 증명한다 . 임의의 X1,X 투 !!l (M) 에 대하여, (l1) lIi ➔떤 {- {rp, • (w((
(LxK) p =l‘ 적i mo +t (J도 (¢,K)p) (PE M ) 와 같이 정의한다. 여기서 ¢,:T(9;-1( p ))-•T( p)는 (g,K ) p= §1( K4,-I(p )) 롤 나타낸다. 위의 청에에서 X가 완비가 아니면, ｛심률 국소 1 경수변환군으로 수 정하여 Li e 미분을 정의할 수 있다. 임의의 J E !7 (M) 에 대하여 ¢*((¢*X) f) =X(¢*f) , ¢-1f= ¢*f. 이것은 M 상의 임의의 변환 ¢에 대하여 만족한다. 따라서 (¢, ) * X =X 이브로 꿉 (Xf ) =X(¢-;1 f). 죽, ¢-;1(Lxf ) =Lx
(Lxw) (Y) = F,_ (X 겁탑 +w, 信 )y h 를언는다. 여기서 Y 는 임의의 vec t or 장이므로, Lxw 감 (x’ 碧 +w 」씀 )dxh 를얻는다. 예 4 (1. 2) 차의 ten sor 장 S 의 국소표현을 S= I; S {j., 這홉 dx;@dx i 라 한다. 이때, Lx(+ 尹 Et — a®8xxd1ix 훈 —a )a d/g h x ®i )d =x 꾸'® ( d 一x 읽j+ ) 21 —a훑8xx_1j _ ® d_8xax_h @ ®dxdlxi ® dx' 이 성립한다. 따라서 LxS 의 성분은 다음과 같다. LxS;~= 꾸 (X t :s: 'I _ 뭉눕,+첼눕t~+뭉요) 補題 2.18 X, Y 를 임 의 의 vecto r 장아라고 하면 LxY=[X, YJ 가 성립한다. 층명 정의에 의하여 LxY= lRi mo- ½t -[Y ―@*四 이다. f를 M 상의 C., 함수라 하면, f·
이므로 터[ Y-(
계없이 W 만으로 결정된다. 다고증명 하 면g,.w 그 의 대대 를가 포두함 좌하표는근 개방집 {합 U ;w 자c, …uxn vJ , 를{ V 덱; y할\ …수, y 있} 에다 .속 한w 에서 g.w =w(x1, •••x)dx1^… A dxn =w(yl , …, y) dyl ^ … A dy 이다. 여기서 w(y1 , …, y) =w(x1(y1 , •··, y), •··, x(y \ …, y)) ~8((자y, \ •…•••,, x y)) 이고, J acob i행렬식은 W 상에서 양이라고 가정할 수 있다. 이때, ( 3 ) ~w=~w( 라 • •, X ）經望뮤y l/\···/\d y 은 중적분의 변환공식이다. 따라서 w 의 적분 (2) 는 g .w 의 대를 포함 하는 근방 U,· 의 선택 에 는 무관하다. 다음, M 의 개피복 {V j사}을 잡고, 이것에 대응하는 단위의 분할을 {g'}라 하자. 이때, {U.n V,} 는 M 의 피복이고 이것에 대응하는 단위 의 분할은 g.g,' 이 다. 따라서 뿐 w=El g.g ;w, 꾸g ;w=El g.g ;w 이 성립한다. 이것은 적분 (2) 가 M 의 개피복과 그것에 대응하는 단위 의 분할에 독립임을 나타낸다. 적분의 정의에서 다음은 명백하다. 補題 2.20 W i,따를 M 상의 com p ac t인 대를 갖는 미분 n 형식이라고 하면(a ) L
정의 D 를 다양체 M 의 부분집합이타 한다. 접 p ED 에 대하여 다음 의 성질 (i) 또는 (ii)를 갖는 近傍이 촌재할 때, D 문 正則境界몰 갖는 영역이라고 말한다 : (i) p는 D 에 완전히 포함되는 근방울 가진다. (ii) (u\ … ,u)· 울 좌표계로 갖는 P 의 좌표근방 U 가 존재하여, unD = {q EDIu( q)츠갑(p)｝을 만족한다. (i)의 성질을 갖는 접 P 를 D 의 內話이라 하고 (ii)의 성진을 갖는 점 울 D 의 경계접이라고 한다. 그리고 D 의 경계접의 전체집합윤 D 의 境 界라고 말하고 oD 로 표시한다. 정칙경계를 갖는 영역의 겅계는 정칙으 로 매장되는 페부분 다양체이다. 만일 M 이 방향가능이면 그 경계 aD 도 방향가능이다. 다음, D 를 정칙경계를 갖는 영역이라 하고, 또 com p ac t이라고 가정 한다. 다음을 만족하는 목성 함수 ’i 를 생 각하자 : h(p )= { 1 : pE D 0 :PEM-D 이때, M 상의 미분 n 형식 w 의 D 상의 적분을 다음과 같이 정의한다. (4) Lw=\hw. 정리 (Sto k es 의 정 리 ) M 을 방향가능인 n 차원 다양체 라 하고, tU 를 com p ac t인 대를 갖는 M 상의 미분 (n-1) 형석이라 한다. 이때, 정칙 경계를 갖는 영역 D 에 대하여 다음이 성립한다. (5) \Ddw=\aDw. 증명 {Ui }를 M 의 개피복인 좌표근방계라 하고, ui n 8D=g 또는 정 의의 성질 (ii)를 만족한다고 하자. 그리고 {g}를 이에 대응하는 단위 의 분할이 라고 한다. oD 와 D 는 comp a ct 이 므로 그들의 각각은 g. 의 대의 유한개와 만나게 된다. 이때, LDw= 꾸 \ aDk.w,
\Ddw= P\ d(g. w ) 가 성립한다. 따라서 w 의 대가 좌표근방 U, 에 속한다는 가정하에 (5) 룬 증명하면 충분하다. (tt1, •·•, ti)을 du1/\ .. ·/\du>o 을 만족하는 U,· 의 국소좌표계라 하고, tu= 2 (-1)E1 a jd ul/\ .•./ \d^u )/\… / \du j 라 둔다. 여기서 ^ 는 제거되는 항을 나타낸다. 이때, dw= II ;O쓰u ~J du1(\ … (\du 이다. 먼저, u, n aD= 0 인 킹우룹 생각한다. 이때, (5) 의 우년은 0 이다. 집 합 U’ 는 M-D 에 속하 거나 D 의 내부에 속하게 된다. U 도카 L-D 이면 h=O 이므로 (5) 가 성립한다. U, 가 D 의 내부에 속하면 h=I 이고 (5) 의 좌변의 적분은 다음과 같 다. }od w= 麟 (층 )du1/\· ··/\dtt . 여기서 C 는 그 내부에 w 의 대 를 포함하는 좌표 U j의 공간내의 입방체 근방 (cube) 이다. 이때, C 가 부동식 |tt시 ~m 을 만족하도록 충분히 큰 수 111 을 잡을 수 있다. 따라서 冒문 du1• .. du= 士 \F j回 (u t, …, ui- 1, m, ui+ 1, ···, u) _a j(갑, …, 14j -1 , —m , ui+ i, …, u)]dz,1•••dui- l dz/+i .·· du. 여기서 F i는 입방체근방의 적당한 면의 합이다. 따라서 위의 적분은 0 이고 (5) 가 성립한다. 다음, u i가 정의의 성질 (ii)를 갖는 경우를 생각한다. aD 가 un=o 로 정의되는 부분집합에 포함된다고 가정한다. un( p)츠 1 일 때 h(P)= 1 이다. 좌표 u i의 공간에서 C 를 I t‘시 ~m, (k=l, …, n-1 ; o~un~m) 을 만족하도록 잡고, w 의 대가 그 내부와 변 u=O 의 합에 포함되게 한다. 그러므로,
昌吾 dt t 1· • ·dtt •- l =0 (k =I , …, n -1) 臼운 du1•··d tt= (-l)-1 ~00a,,(u1, …, 14 -l, O)duL .. du -l 을 얻는다. 이때, 우변은 \8DW 와 같다. 예 1 M 을 R 며 유계정칙인 영역이라 한다. 축, 단일패곡선에 의하 여 둘러싸인 평면의 有界안 개집합의 페포를 말한다. ITil領 城 및 1l]環領 域은 그 예이다. M 상의 미분 1 형식을 w 라 하면, w=f d x+g d y (f,gE:: !F (M) ）로 표시된다. 이때, dw=( 릎〈白 dx;\d y 이다. S t okes 의 청리에 의하여 \L ( 톨_嗣 dx;\d y= ),M (fdx +g d y ) 이 성립한다. 이것은 선적분을 계산하기 위한 편리한 방법이다. 이것을 Green 의 定理라고 말한다. * 연습문재 (2) 1) JR째 서 a1=x1dx 나 -x2dx 러 a2=x2dx1+x1dx2 가 1 차 독립 이 되 는 부분집 합 U 를 결정 하고, U 상에 서 짜, a2 에 쌍대 인 vecto r 장을 구 하라. 2) X, YEfZ '(M ), wE fZ' *(M) 에 대 하여 w(X) =t race[X 키 w(X) YJ 가 성립함을 밝혀라. 3) G=GL(n, JR)상에서 11, i=~y ,kdxk J로서 정의되는 covec t or 장 K=l 11;1(I~ i,j ~n) 을 생각한다. 여기서 Y=( y,.)는 X=( 간)의 역이다. 이때, 6 jj는 A=(a;1) 에 의한 우이동 & : G-.G 에 대하여 불변이 다. 4) 좌표근방 (U; 자,… ,x ）에서 n2 개의 C .. 합수 {T'} ｝가 주어져 있고,
임 의 의 (0, 2) 형 의 ten sor 장 S= (S Jk ) 에 대하여 E TUsJE =Kk 가 t ensor 장이면, T=(T ）는 (2,0) 형의 t ensor 장이다. 이것을 ten sor 장의 商法則이 라고 말한다. 5) aij 가 대칭, b j k 가 교대인 t ensor 이면 a11b1 i =O 이다. 역으로, 임의 의 대칭 t ensora'1 에 대하여 a’1bn=0 이면, bA 는교대이다. 6) ten so r • a;j i 에 대 하여 a;; k X;X;X4=0 이 임 의 의 vecto r X 에 대 하 여 성립하면 b,n = a;jk + aR i + aki j + a,kj + akj i + ahv= O 이다. 득 히, a ij k 가 대칭이면 a; j 1=0 이다. 7) FE T/(M), X, Y E 9: (M) 에 내하여 N(X, Y) =[FX ,FY ]-F [FX, YJ -F [X, FYJ + F2[X, Y] 라 두고, N 을 F 의 Ni jen huis 의 te nsor 라고 말한다. 이 때 , 다음 이 성립한다. (a) N( fX, g Y) =fgN (X, Y) , (f, gE f f (M) ) (b) F 의 성분을 F J h 라 하면 N 의 성분은 Np ' ‘=F J k( 습기 -F,k( 尹 F/')-( 금 F, k - 금 F/)Fl 이다. 8) 원 S1, 구떤 훈 의 cohomolog y 군은 다음과 같다. dim H0(S1) =I, dim H1(S1) =I dim H0(S2) =I, dim H1(S2) =O, dim H2(S2) =I 9) AEDl(M) ; X, ~술 (M) 에 대하여 (LxA) Y=Lx(AY)-A(LxY) =[X, AYJ -A [X, YJ 이 성립한다. 그리고, LxA=O 이 되기 위한 조건은 [X,AY]= A[X, Y] 이다. 10) X, Y 술 (M) 에 대하여 다음이 성립한다. (a) LxLy W -Ly L xw=Lcx YJ W (b) Lxiy W -iy L xw=i cx YJ W
(c) Lxdw=dLxw (wED'w) 11) M 이 단연결이고 동시에 연결일 때, wED1(M) 이고 dw=O 이면, M 상에 w=df 인 f찰 (M) 이 존재한다. 12) w 를- 영역 Q ={(x, y)IO 조 XSI, OSYS 마상에서 정의된 미분 1 형 식이라 하고, B 를 Q의 시계침의 반대방향을 갖는 경계라 한다. 이때, Sto k es 의 정리 \0dw=~8w 가 성립함을 계산하라.
제 3 장 Ri em ann 다양체 Ri em ann 7] 하학에 서 취 급하는 공간은 Ri em ann 계 량과 이 것 으로 써 정 해 지 는 Ri em ann 접 속을 갖는 미 분가능다양체 이 다. 여 기 서 는 Ri em ann 계량과 Ri em ann 접속에 관한 기본개념과 그 성질을 다문다. 13 Ri em ann 計 료 다양체 M 상에는 2 접 사이의 거리를 정하는 계량이 일반적으로는 주 어져 있지 않다. 또, 접 p에서의 접공간 Tp (M) 은 vec t or 공간이지만 Euclid • vecto r 공간은 아니 다. Tp ( M )상에 Ri em ann 계 량울 도입 하여 , 계량을 갖는 다양체를 만들 수 있다. 정의 n 차원다양체 M 상의 (0,2) 형의 t ensor 장 g가 다음의 조건을 만족할 때 , g 를 R i emann 計 it 이 라고 말한다 : (i) 대칭성 : g( X, Y)=g ( Y,X), (X, YEf r(M )) (ii) 양정치 : 모든 X p ETp (M)( p EM) 에 대하여 g( Xp, X.,)~ o 이고, g (Xp ,Xp )=O 은 Xp = O 일 때 한한다. Ri em ann 계 량 g 가 주어 진 다양처] M 을 R i emann 多樣體라고 말하고, 이것을 (M, g)로 표시한다. 위의 정의에서 Ri em ann 다양체는 접 PEM에서의 접공간 Tp ( M)
울 g( Xp , Yp )에 의하여 정의된 내적을 갖는 Eucli d- vecto r 공간으로 생 각하는데 그 중요성이 있다. 다음, 정 PEM 의 좌표근방 (U; 자,… ,x ）에서 g의 성분율 (1 ) g;;=g(훑습) 라 두면 Rie m ann 계량 g는 (2) g= E/,J g,.jd x '.® dxJ 로 표시할 수 있다. 한편, 행렬 (g,.j)의 역행렬 (gij )-l 을 생각하고, ( g'.j) = ( gu ) -l 라두면, (3) IJ: g,·;g ik= O~ 인 관계가 성립한다. U 내에서 vec t or 장 X, Y 를 X=~. x-a-xk{ ,' Y=4, Y'-81 x:ir 로 표시할 때, (4) g( X, Y) =E g,-jx , · y1 '·,J 를 X, Y 의 內積이라 하고,
(7) L(c)=[..J ~ dt= Dlc (t)\ \dt. 여기서 t(t)는 곡선 c 상의 접 c (t)에서의 접 vec t or 를 나타낸다. 임 의의 t든〔 a, b] 에 대하여 (8) s(t) =[..J~ dt 라 두면, s (t)는 [a,b 〕상에서의 c~ 함수이다. 이때, s=s( t)를 곡선 c 의 호의 길이라고 한다. (8) 을. t로 미분하면 ( 9 ) 겅ds= ✓ g (c( t), c(t) ) >o 이므로, s=s (t)의 역함수 t=t (s) 가 촌재하고, 곡선 c 에 경수의 변환 l= t (s) 에 의하여 얻는 곡선 r 은 미분가능인 곡선이다. 곡선 r 을 호장 s 로 경수표시한 곡선이라고 말한다. 이때, 릅 ll = 1、 / g(총 옹 )=1 죽, 호장 s 를 경 수로 갖는 곡선 r(s) 의 접 vecto r 쓰dsL 논 단위 vecto r 아다. 다음, 곡선 c : [a,b]-+M 이 좌표근방 (U; X\ … ,x ）내에 있을 때, c 의 국소표현을 xh=xh( t)라 하면, (7) 은 다음과 같이 표시된다. L(c)= 『。 ✓ g II(x( t)）잎 멈t. 이것을 간단히 (10) L(c)=\: ✓ gi/탭 뜹/ d t 와 같이 표시 한다. 따라서 (9) 는 다음과 같다. 偉) 2 명g;j뜹엷 여 기 서 U 내 의 가까운 2 접 p, q 를 잡고, 그 좌표를 각각 (x,.), (x 니 -dx,.) 라 하면, 2 접 p,q를 맺는 미분가능인 최단곡선의 호의 길이 ds 의 자 승 ds2 은 근사적으로
(11) ds2= ,2, J g,.jdx '.dxJ 와 같이 표시 된다. 이 것 을 Ri em ann 다양체 (M, g) 의 線素 (line element) 라고한다. 참고 Pseudo-Ri em ann ft甄 다양체 M 상의 (0,2) 형의 t ensor 장 g가 대칭이고 비되화일 때, 즉, (i) g( X, Y) =g(Y , X) (ii) g( X, Y)=O이 모든 YE f/, ' (M) 에 대하여 성립하면 X=O 이다. 를 만족할 때 , g 를 pse udo-R i em ann 計묘이 라고 하고, ps eudo-Ri em ann 계 량을 갖는 다양체 를 pse udo-Ri em ann 多 樣體 라고 말한다. g 가 대 칭 이 므 로 행렬 (g;J)p의 고유치는 실수이고, 양인 갯수를 r, 음인 갯수 를 s= ?t一 r 이 라고 하면, (r, s) 는 접 P 의 선택 에 무관하다. 이 매 , (r, s) 를 g 의 符號數라고 한다. s=O 이면 g는 양칭치, r =I= 0 이면 부정이고, r=O 이면 g는 읍칭치이다. 부부호수호 수( 1(,n ,n 0一) 를1) 갖또는는 ps( enu—d o1-,R i1 e) m을 a n갖n 는다양 p체s e는ud oR-iR emi eam nann 다n 양다체양 이체 다 의. pse udo-Ri em ann 계 량을 Lorentz 계 량이 라 한다. 일반상대 성 이 론에 서 의 4 차원시 공은 Lerentz 계 량을 갖는 4 차원 pse udo-Ri em ann 다양체 이 고 그 부호수는 (1,3) 이다. 예 1 Euc li d 공간 R 에서 (x\ … ,x ）을 직교좌표계라 하면, Rn 의 선소는 ds2= (dx1) 나…+ (dx)2 이 고, R 의 Ri em ann 계 량 g 의 성 분은 g;;=g (e;, e;) =oij 이 다. 따라서 R 은 n 차원 Ri em ann 다양체 이 다. 예 2 Euclid 공 7.} R3 에 서 (자, x2, x3) 을 직 교좌표계 라 하고, x1=cos u1 cos u2, 갔 =cos u1 sin u라 x3=sin u1 으로 표시되는 구면 (S2, g)를 생각한다. 이때, R3 의 선소
ds2= (dx1) 나 (d 군) 나 (dx3) 2 을 계 산하면 ds2 = (du1)2 + cos2z 간 (du2) 2 이다. 따라서 g의 국소좌표계 (u\ 正)에서의 성분은 (g;j) =( i co 詞) 이 다. 따라서 (Sz, g) 는 2 차원 Ri em ann 다양체 이 다. 다음, 국소좌표계 ( U ; 자, …, x ) 에 서 Ri em ann 계 량 g 의 성 분을 g,.} 타 하면 g,.j= g (8/8x'., 8/8x’) 이 다. 지금, un v=1= 0 인 국소좌표계 (V ; y\ …, y）에 서 Ri em ann 계 량 g의 성분을 g k/ 라 하면 gu =g ( 0/Oy \ 8/Oy ') 이다. unv 에서의 좌표변환식을 yl:=y h( 차 ,• ••,X ）이라고 하면, (gu ) 와 (晶) 사이에 (12) g u=E 守ax' O万xg’ .•J 인 관계식을 얻는다. 한편, (giJ)의 역행렬을 (g마라 하면, (gij)와 (g k l ) 사이에 (13) g kl= 점i,i8보X ’. 8보xg1 '' 인 관계식이 성립한다. R i emann 계량 g를 사용하여 t ensor 環에 대해서도 內積을 정의할 수 있다. K, LET;(M) 의 국소좌표계 (자, ••• , x ）에 대한 성분을 각각 Kj: :J~, L}::r , 라 할 때, K 와 L 의 내적을 (14) g( K, L) =g,古 •• g,.『『 gh h •••g h ! , Kj ::j: Lf: :f: 와 같이 정의한다. 이때, IIKll=g ( K, K) 삼
이라 두고, 이를 g에 관한 t ensorK 의 길이라고 말한다. 다음, (M다 ) , (M2, g 2) 를 Ri em ann 다양체 라 할 때 , 이 들의 적 다 양체 M1 X M2 상에 Ri em ann 계 량 g 를 다음과 같이 도입 한다. M1XM2 로 부터 M1, M2 에의 射影 (15 ) 떠 : M1 X M2--Mi , 'TC2 : M2--M2 을 (p1, p 2) EM1XM2 에 대하여 떠( p1, p2) =Pb 따( p1, p2) =P2 로 칭한다. 한편 rc/gi , 11: 2* g 2 울 M1XM2 상에 유도된 계량이라 하고, M1 X M2 상의 (0, 2) 형 의 ten sor 장 g 를 (15) g= rr1*g 1 +r. 2* g 2 라둔다. 이때, 임의의 XE! f(M 1 X M2) 에 대 하여 Xp 1=rr1* 福,p 2), X g =r2* 福 ,P2h ((P1,P2)EM1XM2) 라 두면, P=(P1,P2) 에 대하여 gp( Xp , yp) =g1, P1 (Xp \, Yp 2) +g2, p ,( X;2 , Y;2) 울 얻는다. 따라서 g (X,Y) 는 M1XM2 상의 c= 함수이고 g는 M1XM2 상의 Ri em ann 계 량이 다. 이 때 , (M1 X M2, g) 를 (M1 , g1 ) , (M2, g2 ) 의 R i emann 積이 라고 말한다. 한편, (M1, g1 ) , (M2, g2 ) 의 선소를각각 dsf= ;2, j (gl) ,.jd x'.dx j, ds 는 2;, j ( g2) ,.jd y idy ’ 라하면, (M1 X M2, g) 의 선소는 ds2= dsH ds 꿍= ‘~.,J (g1) ;idx ;dxi + ~i, j (g2) iidy '° d y 1 이다. 예 3 M1=R, M2=S1(a) 의 선소를 각각 dsr=(dx) 라 ds 앙군 (d y )a 이라고 할 때, 적공간 RxS1 인 원주면의 선소는 ds2=(dx )2 +a2(d y)서 다. 그 성분은 다음과 같다. 0a)z g=(i
다음, 다양체 M 은 pa racomp a ct 이 라고 가정 하고, 단위 의 분할정 리 를 이용하여, R i emann 계량 g의 존재성을 증명한다. 정리 3.1 임의의 다양체 M 상에는 항상 R i emann 계량 g가 존재한 다. 중명 M 의 임의의 점 P 문 포함하는 좌표근방 V p에서 그 펴]포 V p가 comp a ct 인 것을 잡는다. M= U Vp 이므로 {V p l PEM} 은 M 의 개피 복이 다. M 이 pa racomp a ct 이 p므E 로 .\f , { Vp} 의 세 분 중에 서 국소유한인 {U 』 |A E A} 가 존재한다. 각 u, 는 어 민 V p에 포함되고, V p는 좌표근 방이므로 V:, 의 국소좌표 (X1, … ,x) 을 U 』에 제한하면, U i는 좌표근 방 (U 』;자,… ,x ）윤 갖는다. 이때, §1 의 정리 1. 4 에 의하면 개피복 {U 』 1 艦 A} 에 대한 단위의 분할 {f』 |AEA} 이 존재한다. 1 점 PE Ui 문 잡고, 입 의 의 vecto r Xp = I; X’ . ( 훑댜, Yp = I; Y' （습) p 를 U 내에서 잡고 g~ (Xp, Yp ) = I; X•Y• i= I 타 둔다. 다음에 gp (X p, Yp) = I:f,( p)g; (Xp, Yp ) = l'[e:,A / ,( p) fj,: 1_ x ;y ; 라 두면 f』(p)는 유한개의 i를 제의하고는 0 이고, f,(p)~ o 이므로 gp 는 T p (M) 내에 내적을 정의한다. 대웅 p-gp에 의하여 정해지는 ten sor 장을 g라 한다. 그리고 점 P 의 충분히 작은 좌표근방 U 를 잡으면 unU,=\=9 5o J U, 는 유한개분이다. f l 의 대 ((Pl f ,(P) -=l= O} 의 페포)는 U 세 포함되므로 좌표근방 U 에서의 g의 성분 gi’는 gij= EAe, 1f 』gi; 이고, 우번은 유한개의 합이고 c~ 함수이다. 따라서 g는 M 상의 Ri e- mann 계량이다. 14 af fine 접속 aff ine 접 속온 Levi- C i vi t a 가 Euclid 공간의 평 행 성 의 개 념 을 일반화
하여 , 다양체 에 도입 한 중요한 개 념 이 다. 보다 고전저 으로는, Eucl i d 공 떤간 R성n 분 의 Y두'.a , vX ehc t를 or 갖장는 X v 와ec tYo r 가 장 주al어'x 질 를 때얻, 는X다 (를여 Y기 률서 ,따 X라h서, Yh미 는분 하각 각 X, Y의 성분이고, a.-=a/ax'). 그러므로, n 차원 다양체 M 상에 두 vec t or 장 X 와 Y 가 주어질 때 앞에서 생각한 연산 a y x 에 상당하는 미 분연산을 이 다양체상에서 정의코자 한다. 이것은 M 상의 2 점 p,q에 서의 접공간 Tp ( M), Tq ( M) 사이의 관계를 명확히 해 줄 것이고, 또 평 행 vecto r 장의 정 의 를 가능케 한다. 정의 n 차원 다양체 M 상의 vec t or 장의 전체집합을 tc (M) 이라 한 다. 사상 17 : fJ,(/vl) x !r (M)-+ 9, (M) 이 다음의 조전 (i), (ii), (iii), (iv) 를 만족할 때, F 를 M 상의 a ffi ne 接 m (a ffi ne connecti on ), 또는 線形接 {겁이 라고 말하고, 組 (M, /7)를 af fine 접 속을 갖는 다양체 라고 한다 : X, Y, ZE!£( M) ; f찰 (M) 를 임 의로 잡고, V(X, Y) 물 기호 /7x y 로표시하면 (i) /7x ( Y+ Z ) = /7x Y+ /7x Z (ii) f1x +YZ= vxZ+ J7yZ (iii) 17X( fY ) =fJ7x Y+ (Xf ) Y (iv) /71 x Y=fJ 1x Y x, 위Y의력 정 (의M에) 서에 대다하음여의 성질이 성립함을 알 수 있나. ( 1 ) X=o 이 면 /1x Y=O, Y=O 이 면 fi'xY =o. ( 2 ) f1a x Y= a/7 x Y, f1x (a Y ) = a11x Y (aER) . 補題 3.2 /7를 다양체 M 상의 a ffi ne 접속이라 하고, U 를 M 의 개 집합이라 한다. vec t or 장 X,X', Y, Y' 가 U 내에서 X=X', Y=Y, 이 면, 임의의 접 PEU 에 대하여 (/1x Y ) , = (/1x ' Y') p 이다. 증명 vec t or 장. X, Y 가 U 내에서 X=O, Y=O 을 만족할 때. (/1x Y),
=O 임을 증명하면 충분하다. X=O, Y=O 이 U 내에서 성립한다고 하자. 임이의 접 PEU 를 잡고, M 상의 C 저함수로서 h(P)=I, uc 상에서 h=O 을 만족하는 h 를 잡을 수 있다(연습문제 (1)-b.). 이때, X'=hX, Y'=hY 라 두면 U 상에서 X'=O, Y'=O 이다. (I) 에 의하여 f7x 'Y'=O 이다 . 한편, 정의 (iii), (iv) 에 의하여 O= /7x ' Y1 = h (It/7 x Y+ (Xh) Y ) 가 성립한다. 우번을 접 P E U 에서 생각하면 h(P)=I, (Xh) p =O 이므 로 (/7x Y )p= O 을 얻는다. 위의 補題 3. 2. 에 의하여, FxY 의 접 p에서의 값 (VxY) 는 접 P 의 근방 U 에서의 X, Y 의 상대에만 관계하여 정해진다. 따라서 X 와 Y의 좌표근방 (U; 자, ••• ,xn) 에서의 국소표현에 의하여 VxY 의 국소표현을 구할(x\수 … ,있x다 ). 을 (U, if>)에서의 국소좌표계라 하고, E;=a/a.x i(i= 1,… ,n ) 타 둔다• 이때, ( 2 ) FEI·E j = E I'?iEh h 라 두고, u 상의 C., 함수 r 십 를 r 의 (x1, • •• , X ) 에 관한 Chri sto f f el 의 기호 또는 接領係數 (coe ffici en t of the connec ti on) 라고 말한다. U 에 서 vecto r 장 X, Y 의 국소표현을 각각 X= I: XhEh, Y= I: PEh h 라하면, ( 3 ) /7x Y= 꾼 hx J(~+ 핥 7; Yi) Eh 이다. 이것은 FxY 의 U 에서의 국소표현이다. 여 11 M=R 에서 임의의 vec t or 장 Y 논 어떤 fi E 多 (R'' ）에 대하 여 Y=~ f' E; 로 표시된다 . Rn 상의 a ffi ne 접속울 VxY=~(X /i )E; 로 정의한다. 이때, E,, E i에 대하여 FE,E,=0 이므로, 모든 h, i,j에 대하 여 I't=O 이다. 이와 같은 접속을 平坦(fl a t)인 접속이라고 한다.
다음, M 에 서 un v~0 인 두 좌표근방 (U ; 처, …, x), ( V ; y\ …, y) 울 잡고, a ffi ne 접속 F 의 U와 V 에서의 접속계수 를 각각 r 십,ftj 라 한 다. 그리고 U 와 V 에서의 자연표구를 각각 {E,}, {E;} (i= 1, ···, n) 라고 하자. 이때 (4) Ea= 潟릅 E; (a=I, …, n) 이고, ( 5 ) FEiE j = Er?iE h, rEAEb=EF;bi 라 둔다. (4) 를 (5) 에 대입하고, 접속의 성질을 이용하면, un v 에서 입；b 訂=핥馨릅詞 죽, (6) F 弓홉(함흥信+晶) 울 얻는다. 이것을 r 의 접속계수의 변환식이라고 한다. 여기서 접속계수 r? i는 ten sor 장의 성 분이 아님 을 알 수 있 다. 위의 사실의 여울 다음과 같이 정리화한다. 정리 3.3 n 차원 다양체 M 에서 그 개피복 {U.laEA} 은 좌표근방 (U. ; 자,… ,x: ）으로 주어져 있다고 하자. 각 U 상에서는 n3 개의 cm 함 사수이 r에 십 (a변) 가환 식주 어(지6)고 이, 성u립.n한 u다,~고0 하 인자 .U a, 이u때, ,상 의M c 상m 에함는수 ra! fif(i a n e), 접r 싫속(/ 3r) 가 촌재하고, u. 상에서의 F 의 접속계수는 r 십 (a) 이다. 증명 기 호의 편이 상, u, u, 의 국소좌표계 를 각각 (자, …, x) ' (yl, …, y) 이 라 하고, ua, u, 의 자연표구를 각각 (E1, …, En}, {E1, …, En} 이 라고 하자. vecto r 장 X, Y 의 u., u, 에 의 국소표현을 각각 X= I: X 따 X=2XCEc, Y= 따 YhEh, Y=mYCEc 라 둔다. 이때, u.n~, 에서의 변환식
Ec= g흙 X’. , Yc= 업을 Y1 이 성립한다. 이 두 식과 변환식 (6) 에서 ( 7) 꾸 XA (霜+ 꾸 F ; 기 =潟 暮 X’( 합:멀 r: j Y') 〕 을 언는다. 가 U. 내에서 국소표현 ( 8 ) Z= 합' . (~꿀+ 곡 ni y;) E;, 훈 갖는 vec t or 장 Z 가 (7) 에 의하여 M 상에 존재한다. 여기서 Z=VxY 라 두면 VxY 는 aff ine 접 속의 정 의 의 조건을 모두 만족한다. 따라서 M 상에서 a ffi n e 접속 V 가 존재한다. 다음, C : I--M 울 개구간 IcR 에서 정의된 C' 곡선아타고 하자. X(t) =c(t ) (t탁) 라 두면 Xcr> =X(t) , Yc(I) = Y(t) 를 만족하는 M 의 vec t or 장 X, Y 가 존재한다. 아빠 (9) (FxY)c(I)=o (tE I) 를 만족할 때 , Y(t) 는 곡선 c( t)를 따라서 X(t) 에 平行이 라고 말한다. M 의 좌표 근방 [J ; x1, •··, x) 에서 vec t or 장 X, Y 를 X=I :X' E;, Y= 2 Y'.E i 로 표 시 하면, VxY= 합'(皇h + 芬 E fj Yi)E h 이 다. U 에 서 곡선 c( t)의 국소표현을 Xh= 갔(t)라 하면, X(t) =c( t)의 성분은 x i=쉽戶 표시된다. 따라서 (9) 는 (10) 맡+휴門勞 Yi =O 으로 표시된다. 이것은 곡선 x( t )=(xA( t)）를 따라서 vec t or 장 Y 가 평 행이 되기 위한 조건이다. 다양체 M 상의 2 점 P, q¾._지나는 두 곡선을 C1,C2 라 하면, x( t)는 C1, Cz 에 서 상이 하므로, vecto r X(p) (P=c1(0) =c2(0) ）를 Ct, Cz 에 따라 서 평행이동하여 점 q에서 얻는 vecto r X( q)는 일반적으로 다르다. 따
P
그립 3.1
라서 평행성은 이를 따른 곡선에 종속된 성질이다. 정의 M 상의 COO 곡선울 C : J --.M 이라 하고, C 상의 접 vec t or 장 X( t)=t(t)가 C 를 따라서 평행일 때, 축 M 상의 a ffi ne 접속 F 에 대해 (11) flxX =O 울 만족할 때 , 곡선 c 를 M 상의 測地線 (ge odesic ) 이 라고 말한다. 좌표근방 (U; 자,… ,x) 에서 곡선 c 의 국소표현을 갔 =Xh( t)라 하면, c( t(1)2) =꾸움 -Eh 이므로—d t측2 +지Ei선.i I의 'h —d 방 t 정—d식t =은 0 다음과 같다. d2 갔 dx' dx1
그립 3.2
예 2 구면 훈의 북극을 N, 적도상의 2 정을 A,B 라 하고, N 과 A, A 와 B, B 와 N 을 지나는 大圓의 호를 각각 r1,r2,T J이라고 하자. N 에서의 rl 의 접 vec t or 를 X 라 하고, X 를 r1,r2,r3 을 따라서 평행이동 시켜 다시 N 에 몰아오게 했을 때의 vec t or 를 X’ 라 하면, X’ 는 X 와 다르다. 또 X 낼+ X 의 交 fil 은 접 N 에서의 n 과 r3 의 교각 O 와 같다. 여기서 O 는 구면 3 각형 NAB 의 면적과 같다. 정 21 3. 4 c : [a, b 〕 -+M 을 접 vecto r 장 T 를 갖는 M 상의 곡선이 라 한다. 이때, 접공간 Tc(a)(M) 상의 각 vecto r Y 에 대하여 Y(a)=Y 이 고, Y( t)가 C 를리 따라서 평행인 c 상의 vec t or 장 Y( t)가 일의적으로 존 재한다. 여기서 ,. ,(Y) =Y( t)에 의하여 정의되는 사상 •a,t : Tc(a)(M) 一 Tc(I) (M) 은 동 형 사상이다. 이것을 c(a) 로부의 c( t)까지의 c 물 따라서의 평행 이동이라고 말한다. 증명 (U ; X 도··, x) 을 c(a) 에 대한 국소좌표계라 하고, (E1, …, E.} 윤 Tc ( a ) 의 기 vec t or 장이타고 하자. 지금 c : [a,b1 〕 -+U 라 하고, U 상 에 서 Y(t) = I: Y; (t) E, (c (t) ) , T( t) = I:t 쓰d쓰t -E; (c (t) ) 라 두면 , Y(t) 가 c 룹 따라서 평행이 되기 위한 조전은 (10) 에서 (10) 맡멀尻팝y; =O (t슨 [a, b1]) 이다. 조전 Y(a)=Y 는 초기치 Y j (a) 를 정의하고, 상미분방정식론에 의하여 [a ,b1 〕상에서 위의 방정식 (1 0) 을 만족하는 C° 함수 Yj (t)의 접 합이 일의적으로 촌재한다. 따라서 평행 vec t or 장 Y( t)가 일의적으로 촌재한다. 한편, t E[a, t급에 대하여 (10) 은 선형이므로 't a, t도 선형이다. c([a, t서] )U는, nco um,. p+ a1c* tg 이 므이 로라, 한다유.한 개다의음, 좌U표1,근 ··방·, UUi 내1, ·에··, 서u .c 로([ a피, t복』된),다 ·.··( [t여i-1기, t]）를 따르는 평행이동을 각각 다,t l’Th, t 2' …,'r 11-1,1 라 할 때, ra ,t= ra ,t1 • rt, t,•••••rk -1, t 라 두면, 'l a, t는 곡선 c : [a, t ]-+M 을 따라서의 평행이동이고, 동형사 상이다.
다움, 입의의 vec t or 장 Y 의 공변미분 FxY 의 기하학쳐 의미 를 고간 한다. 정리 3.5 M 를 a ffi ne 접속 r 를 갖는 다양체라 하고, X, Y 를 M 상 의 vec t or 장이라 한다. 접 PEM 에서 X#0 이타 가정한다. ¢> : s 一 ~l i (s) 를 P=(O) 를 지나는 X 의 적분곡선, m 를 곡선 ¢를 따라서 P 로부더 9(s) 에의 평행이동이타 한다 . 아때 (13) (VxY )p= l’i ➔m o ~s (,;1Y9('>-Yp ) 가 성립한다. 증명 s(>o) 를· 고정하고, zp (O)=,;1Y,c,) 를 만족하고 곡선 ¢ 를 마라 서 평행인 vec t or 장 ZKI) (0< t三 s) 를 생각한다. z1(t) = E Zi (t) (E,.) 4 (I), YKI) = E Y i (t) (E,.) ¢ (I) 라 두면, 관계식 (l4) {zk(t) + r8Xi( t)Z i( t)= O (0 年t
¢를 따르는 평행이동이라고 한다. 따슨 Tp • (M) 이면 모든 X 드 T9(M) 에 대하여 ,o 야 ET/(M) 을 (16) (r-a p) (X) =ap( ,-1,X) 로써 정의한다. 한편, K 를 (r,s) 형의 t ensor 장이라고 하고 T·K 투 T;(M) 을 다음과 칼이 정의한다 : (17 ) (-r• Kp ) (a1, …, a,, X1, …, X,) =Kp (-r-1 a1, …, -r- la,, -r-1 X1, …, T 一i x,). (aiE Tq {M ) , Xi E T; (M) ) XE fr (M) 룬 P 덕에서 X p ~O 이라 가정한다. 이때, 정리 3.5 에 다 라서 K 의 공변미분을 다음과 같이 정의한다 : (18) (/7x K) p = lim ~ [,;-1K~,,) 一 K 』 . - ➔ O S 정라 3.6 공변미분 Fx 는 다음의 성질을 만족한다. (a) f7x 는 ten sor 환 위 에 서 의 미 분연산자이 다. (b) rxf =X f , (f럽 (M) ) (c) [7x 는 ten sor 장의 형 을 보촌한다. (d) fi' x 와 축약 c 는 가환이다. 층명 (Kobay a shi- N omi zu I . p.1 23 참조. ) 위의 성질 (d) 에 의하여 wED?(M) 이떤 /i'xW (Y) = (VxW) (Y) +w(vxY) 에서 다음을 얻는다. (19) (f7x W) ( Y) = f7x W ( Y) 一 w (f7x Y) . 그리고 TET i( M) 이면 (20) (li'xT ) (w, Y, Z) =li'xT (w, Y, Z)-T (rxw, Y, Z) -T(w, li'x Y , Z) -T(w, Y, li'xZ ) 가 성립한다. 좌표근방 (U ; x1, •·•, x) 에 서 (19), (20) 의 국소표현은 다음과 같다.
(19)' {1x W1=I :Xk (akw,-I :I'tw, ). (20)' vxT t;=I: X1(akT,년 조 :n,T 십一 Er; i T tj一I: r L n,). 다양체 M 에 a ffi ne 접속 F 가 주어지면, r 에 의하여 다음의 중요한 두 t ensor 장 T,R 이 정의된다. 정의 a ffi ne 접속 4 를 갖는 다양제 M 에 있어서, (i) T(X, Y) ={7x Y-f7y X -[X, Y] (ii) R(X, Y)Z ={7 x {7 yZ -{7y f7x Z-vcx Y)z (X, Y, z 슨 g건 (M)) 의 각각에 의 하여 정 의 되 는 T 를 열 몰 ten sor (tor sio n ten sor) , R 운 곡뮬 t ensor 라고 말한다. 특히, T=O 인 F 를 대칭접속이라고 한다. 정의의 (i)에서 T 는 사상 ¥(M) x ?J, '(M)---, 9, ·(M) －울 나타내고, 다 음의 성질을 가진다. T(X, Y)=-T(Y,X), T( fX, g Y) =fg T(X, Y) (f, g루 (M) ) , T(X, Y+Z) = T(X, Y) + T(X, Z). 따라서 T 는 M 상의 (1 ,2) 형의 t ensor 장이다. 한편, 정의의 (ii)에서 R 은 사상 R : ¥(M) x¥(M) x¥(M)-+¥(M) 울 나타내고, 다음의 성질을 가전다. R(X, Y)Z=-R(Y,X)Z. R(X, Y+Z) W+R(X, Z) W. R(X, Y) (Z+ W) =R(X, Y)Z+R(X, Y) W. 그리고 f슨ff (M) 에 대하여 R (fX, Y) Z=f R (X, Y) Z R(X, Y)f Z =f R (X, Y)Z 가 성립한다. 따라서 R 은 M 상의 (1,3) 형의 t ensor 장이다• 다음, (U; x1, ... ,x ）을 M상 의 좌표근방이라하고, {(E1)p ,…, (En)p} 를 접 PEM 에서의 접공간 Tp (M) 의 기 (bas i s) 라 하자. 이때, T(E;, E1) = 1:: T;,Eh h
라 두면, Ti ?는 U 에서의 T의 성분이다 . 여기서 [E;,E 』 =0 이다. 한 편 T(E‘ , Ej ) = E (r:J - r 십) Eh h 이므로, (21) 따 =r8 ― r 싶 가 성립한다. 따라서 a ffi ne 접속 F 가 대칭이 되기 위한 조건은 r!i= I'jj 이 다. 다 음 , 곡 물 te nsor R 의 국소표현은 다음과 같다. FEkEi = Er1iE h h 에서 FE.t F mE, = 꾸 (훑 m)Eh+ E,.h m r,IEh 이다. 여 기서 R (E1, E.) Ei = ~h Rt •En 라 두 면, R 의 U 에서의 성분은 (22) R 노훑 r t, 一읊 r } ,+Pr7 t r ii _E, rm 이다 . 15 Ri em ann 접속 (M, g) 를 R i emann 다양체라 하고, M 상에 a ffi ne 접속 r 가 주어져 있다고 하자. 이때, F 가 /ig =O 을 만족할 때, a ffi ne 접속 r 를 계량적 (metr i c ) 이 라고 말한다. 여 기 서 P'g= O 은 임 의 의 X, Y, Z E.fE (M) 에 대 하여 ( 1 ) (P'xg ) (Y, Z) =Xg ( Y, Z)-g( VxY, Z)-g( Y, flxZ ) =O 이 성립함을 의미한다 . 따라서 M 상에 계량적인 a ffi ne 접속 r 가 주어 져 있으면 R i emann 계량 g논 평행 t ensor 장이 된다. 이것은 다음과같 은 기하학적 의미 룬 가진다.
補題 3. 7 Ri em ann 다양체 (M, g)상의 aff ine 접 속 F 가 계 량저 이 라는 것은 다음과 동치이다:
속이라고 한다 : ( i ) V 는 대 칭 칙 이 다. 즉, 『 x Y-v y X = [ X , Y] . (ii) F 는 계량적이다. 죽 Xg ( Y, Z) =g(V x Y , Z) +g(Y , VxZ) (X, Y, ZE :!Z (M)). 다음, Rie m ann 다양체 (M, g) 에 서 의 기 본적 인 정 리 를 증명 한다. 청 리 :J. 8 (Rie m ann 기하학의 기본정리) R i emann 다양체 (M, g)상에 는 Rie m ann 접속 F 가 인의적으로 존재한다. 증명 (i) 존재 상 임의의 X, YE 9: (M) 에 대한 /7 xY 를 입의의 ZE g_ · (M) 에 대 하여 다음과 같이 정의한다 : ( 3 ) 2g ( /7x Y, Z) =Xg ( Y, Z) + Yg ( Z, X) —Z g ( X, Y) -g(X , [Y, ZJ ) +g ( Y, [Z, XJ ) +g(Z , [X, YJ ). g가 각 점에서 非退化이므로, 이것은 항상 가능하다. (3) 에서 얻는 사 상 (X, Y)- •f ix Y 는 aff ine 접 속의 조전운 모두 만족한다. (3) 에 서 X, Y 를 교환하여 감하면 T(X, Y)=O 을 얻고, Y,Z 를 교환하여 더하면 g(/7x Y, Z) +g(Y , /7x Z) =Xg ( Y, Z) 죽 [lg =O 을 얻는다. 따라서 (3) 아 의하여 얻어지는 a ffi ne 접속 F 는 Rie m ann 접 속이 다. (ii) 일의성 . aff ine 접속 /7 가 T=O, 17g = O 을 만족한다고 하자. 이 때, 정의의 (i), (ii)를 (3) 의 우변에 대입하면 좌변과 같다. 따라서 (3) 이 성립하고, 좌변은 R i emann 계량 g만으로 정해지는 식이므로, r 는 일의적으로 존재한다. 다음, Ri em ann 접 속 f7 의 국소표현을 구하기 로 한다. (U ; .x\ …, x) 을 M 의 한 좌표근방이라고 하면, R i emann 계량 g의 성분은 g,.j= g(E ;, Ej ), (E,·=8/8x;) 이 다. 이 때 , Rie m ann 접 속의 접 속계 수 I'?i 를 구한다. (3) 에 서 X=E;, Y=E1, Z=E• 라 두면 [E,., E 』 =0 이므로
2/ .鬪 •Jgo • a• = 塗ax•탸 1묘 ax土i -_ O꼬Xk 운 얻는다. 여기서 행렬 (g,. j)의 역행렬을 (g）로 표시 하 고, 위의 양면 에 g”를 곱하여 k 에 대하여 합하면, r!)=½ fg h k( 롭군 + 告一홍보) 울 얻는다. 여기서 접속계수 r? i는 R i emann 계량 g만으로 정해진다. 이 와같이 Ri em ann 계 량 g 만으로 정 해 지 는 Chris t o f f el 기 호 물 { } 로 표시한다. 즉 (4) {{}} =½꾸g”(롤드봉-문) 아 다. 따라서 다음을 얻는다. 補題 3.9 Ri em ann 다양체 (M, g) 의 Ri em ann 접속 F 의 접속계수는 g에 의하여 정해지는 {5} 이다. 예 1 R 딱 구면 S2(1) 에서 ef,- 1(u1, u2) =X(u1, u2) = (sin u 1 co stt러 sin u 1 sin r t2 , co~ u1 ) 이라고 하면, R i emann 계량 g의 성분은 gu =l, g1 2=0, g2 2=sin 2 tt 1 이다. 그리고 R i emann 접속 7 의 접속계수는 固=固 =co t u 리 {2\} =— sin u 1 cosu· 이고, 나머지 {t}는 모두 0 이다. an예n 계2 량R gi em가 a n모n두 다 양정체수 이(면M,, g )(의4) 에좌서표 근{t방}= {o U 이 ;다 X.1 , •••, X } 에 서 1 선i em 역으로, M 상에서 {십 }=0 이라고 하자. (I) 에서 X=Ei, Y=.E., Z=Ei 라 두면 (5) 姜= 퍼삽 gh j + {t} ghi]= o
이 성립하고, g,j는 모두 정수이다. 따라서 Euc li d 공간 R 에서는 {t} =O 이다. 예 3 R i emann 다양체 (M, g)의 좌표근방 (U; 자,… ,x ）에서 /7g= O 은 다음과 동치이다. /7k g ,.j= O, /7k g '.j= o. 한 편 , (5) 에 gij 를 곱하면 휴g'J澤 )=2{[니 아다 . 이것으로부터 다음을 얻는다. (6. 、,'( 7 正|g l= 士澤)g'J 、’/ {십=특 16 Carta n 의 구조방정 식 E. Car t an 은 a ffi ne 접속윤 일반화하여 새로운 접속이론을 확립 했 다. 여 기 서 는 Carta n 에 의 한 접 속형 식 과 構 造方 程 式울 고찰한다. F 를 n 차원 다양체 M 의 aff ine 접 속이 라 하자. {E1, …, E,, } 을 좌표근 방 (U; x1,•··,x} 에서의 기 vec t or 장이라 하고, U 의 각 접에서 :::i. 쌍 대기 문 {(l)\…,(l)＂}이라 한다. 이때, U상 에서 r 와 관련된 접속형식 (connecti on for m) 아 를 다음과 같이 정 의 한다 : ( 1 ) /7 xE i=꾸아 (X)E.-, (X 력 (M)) 여기서 접속 F 의 성질에 의하여 아는 선형이고 c= 인 미분 1 형식이다. 왜냐하면, XE fE (U) 에 대하여 /7x E;EfE ( U) 이고 (I/｝ (X)= (I/i (VxE j)드 ff (M) 이 되기 때문이다. 한편, (1) 에서 X=E• 라 두면 FskEj = En iE ,.= E( I/} (E.) E; 이므로, rij = ¢} (Ek) , (I)}= Ek rb(I), ,
듣언는다. § 14 aff ine 저 속에 서 정 의 한 열 룹 ten sor T 와 곡률 ten sorre R 은 쌍대기 {(l)\ ••• ,(lJ ’ '}로써 표시할 수 있다. 죽 U 상에서 미분형식 0 i와 D}· 를 다음과 같이 청의한다 : (2(``3’ '`~ T(X, Y) =I:6,. (X, Y)E,. R(X, Y)Ei= I:D J (X , Y)E ,- . 여 기 서 (}'’ 를 열률형식 (tor sio n for m), D} 를 곡효형식 (curvatu re fo rm) 이 라고 말한다. 미분형식 w\ 아,(}i'g}는 열물형식과 곡물형식의 정의에 l 1• H u'i가 되는 Car t an 의 구조방정식에 의하여 관계가 정해진다. X, YE :[( U) 에 대하 여 E (}; (X, Y) E,· = 11x Y-17yX — [X , Y] =/7x (I;wi ( Y)Ei- /7Y ( I: 硏 (X) Ej ) _2oj( [X, 幻 )E j =1: [X 硏 (Y)-Y파 (X)-w i ([X, YJ )] Ei + I: [파 ( Y) w}(X) 군 (X) 어 ( Y) JE, . 따라서 (};(X, y) 의 성 분은 다음과 같다• (4) (};(X, y)-（도아/\wi )(X, Y)=Xw;( Y)-Y.아 (X)-w '([ X, Y] ). 여기서 우변은 0 i의 外微分 do‘· 와 같다. 죽, dw,.(X, Y) =Xw;(Y)-Yw;(X) 군 ([X, YJ ). (4) 에서 X, Y 는 임의의 vec t or 장이므로 를 (얻5는) 다. 이것을 Car t and 의(J )i=제 一 1 2구’( J조 )}방/\(J정)i+식 O이' 라고 한다. 다음, (3) 에 서 다음을 얻는다. ~.Qj(X , Y)E;=/7 x /7 yE i _/7Y/ 7 x Ej- /7ex Y)E/ =/7x (I: (l)}( Y)E;)-/7Y (I: (l))( X)E,) _E(l) }( [X, YJ )E ;. 여기서 (l) }(X) 와 (l) }(Y) 는 C .. 함수이므로 꾸D,j (X, Y)E,= 꾸 (X(l )} (Y)-Y(l) } (X) 국 ([X, YJ )) E;
=~+ dIh:w 어j ( (X Y, )Y (J)) l E(X;-)EE ; (-어E/k \어야 ()X ()X (J,) i Y(Y)) EE,, =~dw ; 一 Ew'/\ 야 (X, Y)E;. k 여기서 X, Y 는 입의의 vec t or 장이므로 ( 6 ) dw}=~w,/\wi +D } k 문 얻는다. 이것을 Car t an 의 제 2 구조방정식이라고 한다. 이 상 을 종합 하여 다음을 얻는다 징 리 3.10 (Car t an 의 구조방정식) 다양체 M 의 열물형식을 01, 곡물 형 식 을 Q}라 하면, 다음을 얻는다. (a) dw‘' = 一 고 아 /\w; + oi. (b) d 어 =2아 /\w i+fl}. 정 리 3. 11 (M, g) 를 n 차원 Ri em ann 다양체 라 하면 , Carta n 의 구조 방정 식은 다음과 같다. (a) dw,-=- 1;: w;^ 파 (b) dg ,.j= E (w fg u+ 아g u). 층 멍 (a) ()j =0 에서 명백하다. (b) Vg = O 에서 Ek g, .j= Ekg ( E‘, E,) =g(F Ek E, ., E j ) +g(E ,., r E k E j ) =2 (I'kg u +riig , j). 따 라 서 다음을얻는다. dg ij = 2' (Ek g•, j 詞=~ (w\g r;+w }g u ). 補題 3.12 {어… ,w} 을 · 정규직교기 {E1, … ,E ｝의 쌍대기라 할 때, 다음의 조건을 만족하는 미 분 1 형 식 아(1:::;;i, j :::;;n) 가 촌재 한다. (a) dw''= 一 표아/\硏 (b) wf+ w i =O . (c) dw i 一 ~w,/\w i =~•
증명 g;j =g (E;, Ei ) =o,., 이 드로 (a) 와 (b) 는 명 백 하다. 다음 (c) 는 R(Et, E,)Ej= 1:R }.,E;=1 :!1j(Ek , E,)E, 에 서 .Qj(Ek , E,) =R}., 이므로 n; = E R;kIOk^w' l< i 울얻는다. 예 1 dim M=2 일 때, {E1,E2) 를 정규칙교기라 하고, 그 쌍대기를 {어머라 한다. 이때, Gauss 곡물 K 는 K=R(Ei, E2, Ei . E2) =R1212. 한편, g,·;= g(E ,·, E ;) =o;; 이 므로 9 는 퍄 12Wl^ 硏 =R1212W1/\w2 이다. 보제 3.12 에서 이+어 =0, 아 =w~=O 이므로 Ek wf /\w }=O. 따라서 dw 는 :n~=Kw1/\w2 울얻는다. 예 2 쌍곡공간 H= {(자, ••• , x) l x>o} 에 서 g u= g(읊 玉)=튤 으로 정의한다. 또, E, · =X （읊), w'=(fn )d .x ' (i= I, …, n) 와 같이 정의한다. 이때, 보제 3.13 에서 요 {=d (I){― 2( I)f/\(I)i= -(I)’./\(J)j k 을얻는다. 이때, 곡률은 정곡률 K=-1 이다. * 연습문제 (3) 1) g,g’를 M 상의 Ri em ann 계 량이 라 할 때 , t, s 가 양수이 면 tg + sg '
도 M 상의 Rie m ann 계 량이 다. 2) JR3 내 의 to rus T2 를 좌표계 (u, v) (O
라 두면, L,'· 논 M 상의 한 aff ine 접 속 F 의 접 속계 수이 고 f7g= O 이 다. 10) Ri em ann 다양체 (M, g)상에 서 H 를 (1, 1) 형 의 ten sor 장아 라 하 고, KH=l 를 만족하는 (1, 1) 형의 t ensor 장 K 가 존재한다고 가정 한다. 이때, M 상에 a ffi ne 접속 F 를 다음 식으로 정의할 수 있음 울 밝혀라. Vx Y=K(/7x HY ) .
제 4 장 곡률 Eucl i d 공간의 곡선과 곡면의 곡률을 일반화하여, §14 에서 곡물 ten -sor R 을 정의했다. 여기서 는 R i emann 다양체의 성질의 연구에 알맞게 곡뮬 ten sor 및 단면곡품윤 정 의 하고, 그들의 성 질을 다문다. 17 곡률 te nsor (M, g)를 1l 차원 Rie m ann 다양 체 라 하고, F 를 M 상의 Rie m ann 접 속이 라 한다. (M, g) 상의 곡 뮬 tc! ls o r 장 R : fZ (M) x fZ (M) x ¥(M) 一 ¥(M) 을 다음과 갇이 정 의 한다 : ( 1 ) R(X, Y)Z=f7 x f7y Z -f7y f7x Z-f7c x YJZ (X, Y, Z 력 (M)). 이때, R( fX, gY ) (hZ) = (fgh )R(X, Y)Z (f, g, hE.: !7, X, Y, ZEfZ (M)) 이 성립하는 것을 알 수 있다. 그러 므로, R 은 (1, 3) 형 의 ten sor 장이 다. Rie m ann 다양체 (M, g) 의 곡률 ten sor R 을, 특히 Rie m ann-Chris t o f f e! 의 ten sor 라고 말한다. 補題 4. 1 곡률 ten sor R 은 다음의 성 질을 갖는다. (a) R(X, Y)Z=— R(Y , X)Z.
(b) R(X, Y)Z +R(Y, Z)X+R(Z, X) Y=O. (Bi an chi 의 제 1 항등식 ) 증명 (a) R의 정의에서 명백하다. (b) R(X, Y)Z+R(Y, Z)X+R(Z, X) Y =!7x [Y, Z] ＋詞 Z, X 狂『 z[X, Y]_F(X Y)Z-F(Y Z)X-F(Z X)Y =[X, [Y ,Z 끄 +[Y, [Z ,X 끄+〔 Z, [X, Y]] =O. 한편, 곡물 ten sor R 에 서 (0, 4) 형 의 ten sor 를 같은 R 로 나타내 고, 다음과 같이 정의한다: ( 2 ) R(X, Y, Z, W) =g( R(Z, W) Y, X). 이 정의에 의하여 다음이 성립한다. 補題 4. 2 (0, 4) 형 의 곡률 ten sor R 은 다음의 성 질을 갖는다. (a) R(X, Y,Z, W)=-R(X, Y, W,Z). (b) R(X, Y, Z, W) =— R(Y, X, Z, W). (c) R(X, Y, Z, W) =R(Z, W, X, Y). (d) R(X, Y, Z, W) +R(X, Z, W, Y) +R(X, W, Y, Z) =O. 증명 (a), (d) 는 보제 4.1 에서 명백하다. (b) 대산에 이것과 동치인 R(X,X,Z, W)=O 울 증명한다. 여기서 X, z, w를 자연표구 {E1,… ,E n} 중에서 덱하면 충분하냐 이때 醫, W J= 0 이고, Z g(X,X) 를 미분하면 W(Zg ( X, X)) =2W(g (pz X, X)) =2g ( PwPzX, X) +2g (pz X, PwX). 따라서, g( PwPzX, X) =½WZg ( X, X)-g( pz X, PwX). 여기서, [Z, W] g (X,X)=O 이므로 g (PwPzX, X) =g (p z 『 wX, X) 가 성립한다.
따라서 R(X,X,Z, W)=O 이다. (c) (d) 의 좌변을 B(X, Y, Z, W) 라 두떤 B(X, Y,Z, W)-B(Y,Z, W,X) 一 B(Z, W,X, Y) +B(W, X, Y, Z) =O. R(X, Y,Z, W)-R(Y,X,Z, W)-R(Z, W,X, Y) +R(W,Z, X, Y)=O. 여기서 (a), (b) 를 적용하면 (c) 를 얻는다. 다음, (U ; x1, •··, x) 을 M 의 한 좌표근방이라 하고, 그 자연표구를 {E1, … ,E,, ）이라 한다. 이때, R(E., E,)E;=I ::,R jk /E i 라 두고, R;k1 운 곡률t ensor 장 R 의 U 에서의 成分이라고 한다. §14 에 서 R j k/ 은 다음과 같다 ( 5) R}kl= 占{ji} －국-{i. l } +꾸({』 {jl}- {t} {k}) 이메, 보제 4.1 은 다음과 같이 된다. ( 6 ) RJ i,= -RJ, i ( 7 ) R}k1+Rt /j+ R/jk =O 한편, (0, 4) 형 의 곡률 ten sor R 의 성분을 R,·/k l=g( R(E., E,)E1, Ei) =~g11 RJ •1 t 로 표시하면 보제 4.2 의 성질은 국소적으로 다음과 같이 표시된다. RR;;jjkk 11== —-RR.-jj i k,k l R;ik 1=Rmi Ruk1+R.-k1i + Raik =O 다음, (1)에서 R(X, Y) 를 ( 8 ) R(X, Y) =f1x f1 y-f7yf1x -f1c x Y) 와 같이 두면 아것은 ZE fl (M) 에 대하여 R(X, Y)ZE fl (M) 인 변환
울 나타낸다. 따라서 R(X, Y) 는 X, Y 륜 지정하면, ＼ 신환 R(X, Y) : !r(M )-,!r (M ) 울 나타내는 (1, 1) 형의 t ensor 장이다. 이것은 곡률의 변함이라 할 수 있 다. 한편, (8) 대신에 ( 9 ) R(X, Y) == [f7x , f7라 _f7e x YJ 로 표시하면, R(X, Y) 는 fl. ' (M) 상의 미분연산이기도 하다. 補題 4.3 입의의 vec t or 장 X, Y,Z 에 대하여 다음이 성립한다. (IO) (flxR ) ( Y, Z) + (flyR ) (Z, X) + (flzR ) (X, Y) ==O . (Bi an chi 의 제 2 항등식 ) 증명 (9) 에서 [v'z, R(X, Y)J -R ([X, YJ , Z) =[/1z, [f7x , /1띠-〔f7 z, r(X m]-[F(X Y), rz] +F((X Y),Z) =[rz, [F x,F y ]]+ F((X Y),2) 이 성립한다. 여기서 X, Y,Z 를 차례로 교환하여 순회합 S 믈 잡으면, jac obi 의 항등식 에 의 하여 S([[ X ,Y], 幻 } =o, s{[vz, [rx, f1y]]}= O 이므로, (11) S([/7z , R(X, Y)]} -S{R([X, Y], Z)} =O 이다. 한편, (pz R)(X, Y)=[/7z ,R(X, Y)J -R ([X, 巧 ,Z) 의 순회합 S 을 잡으면 (11) 에 의하여 (10) 을 얻는다. Bia n chi 의 제 2 항등식 을 국소표현하면 (10)' r .. R}k/+rkRj, .. +/1IR }m k= O 이다. 다음, fE (M) 상의 미분연산 R(X, Y) 를 확장하여 ten sor 환 위에서의 미분 연산율 다음과 같이 정의한다 :
K E T : (M) 에 대하여 (12) R(X, Y) ·K=FxFYK-rYFxK 一 F(X Y)K 라 두고, 이것을 R i c ci의 공식이라고 한다. 예 1 f는.'Y (M) 울 임 의 로 잡으면, [X, Y] 의 정 의 에 의 하여 R(X, Y) •f:::::/7x /7 yf-/7y/7x f- /7(X Y)f :::::X(Yf )― Y(Xf )국 X, Y] f 이 므 로, (13) R(X, Y) ·f=O 이 성 립한다. 다음, a 드 !f *(M) 을 입 의로 잡으면, (12) 에 의하여 R(X, Y) •a= [ 7x /7 ya'-/iy/7x a-/7( X Y)a 이다. 임의의 Z E. 'T (M) 에 대하여 (R(X, Y) •a) (Z) = ([7 x /7y a 一/7 YPxa 一 V(X Y)a ) (Z). 한편, et (Z) 슨 :T (M) 에 대하여 (13) 을 적용하면, (p x f7y a 一/7y/7 xa_ /7 ex na) (Z) +a(R(X, Y)Z) =O. 따라서 다음이 성 립 한다. (1-1) (R(X, Y) •a) (Z) =-a(R(X, Y)Z). 예 2 F 를~ Ri em ann 다양체 (M, g) 의 Rie m ann 접 속이 라고 하면 , V g =O 이다. 따라서 임의의 YE ff (M) 에 대하여 f7yg =O 이 성립한다. R icci의 공식 (1 2) 를 g에 적용하면 다음을 얻는다. R(X, Y)•g = O 일반적으로, t ensor 장 K 가 평행이면 R(X, Y)-K=O. 이 성립한다. 다음, (U; 자,…，갔)을 M 의 한 좌표근방이라고 하고, Ri c ci의 공
식을 국소표현하면 다음을 얻는다. (15) Fkr,f_ /71/ Td =O. Fmk/r7 II OXm’ .__ E mFk(Uxm’ = = — EE RR ' kk1ImmWxm i.· m V1/T 1 K ?-/T1 /Tk K, = E R2 , .. K 尸 I: R71;K!. m m r k r,T8 ― VIFkT, } =2R 뇨 T,? _2Rr/, · T::,; ―E J?r ,;T;~. m m 정의 임의의 X, YETp (M)( p EM) 에 대하여 (16) S(X, Y) =tra ce(V-R(V, X) Y) 라 두고, S 를 Ric c i 의 te nsor 라고 말한다. 그리 고 (17) r=tr a ce S 을 scalar 곡률이 라고 말한다. 보제 4.2 의 (b) 에 의하여 선형변환 V-+R(X, Y)V 의 t race 는 0 이므 로, V-+R(V,X)Y 의 t race 와 V--R(V, Y)X 의 t race 는 같다. 따라 A1 (18 ) S(X, Y) =S(Y, X) 가 성립한다. (U ; X\ …, x) 을 M 의 좌표근방이 라 하고, 접 PEU 의 접 공간: T(M) 의 정규직교기를 {£1,···,En} 이라고 하면, (16) 은 (16)' S(X, Y) =I:R( E,., X) Y, E,-) i= l 로 표시되고, (17) 은 (17)' r=I ;”S ( E;, E;) i= l 로 표시된다. 특히, n=2 이면, G=½r 이다 . 여기서 G 는 Gauss 의 곡 률이다. 한편, ( U ; 자, …, x) 에 서 R i c ci의 ten sor S, scalar 곡률 r 의 성 분은 다음과 같다. Rr=i 1E= j .l .gE jg1jRJ ,jR l ,·m = .E Rjk 1 i,k
여기서 R,1 은 S 의 성분을 나타낸다• 정 리 4. 4 연 결 인 Rie m ann 다양체 (M, g) 에 서 , Ric ci 의 ten sor S 가 S=-l g (-l탑 (M)) 로 표시되떤 k 는 정수이다 (n=d i mM>2). 증명 Bi an chi 의 제 2 항등식 rRjJ u +FkR,.j1 m+FIRim =O 의 양면에 g 'k 를 곱하고, i와 k 에 대하여 더하면 FmRj l + FjR i j1m _ FIRj m= O. 다시 양변에 gi l 를 곱하고, j와 l 에 대하여 더하면 (n— 2).. l ,. =O 을 얻는다. n>2 에서 ..l., =O. 따라서 i는 연결인 다양체 M 상에서 정수 이다. 정 의 Ri em ann 다양체 (M, g) 에 서 Ric ci 의 ten sor S 가 (19) S=ag (aEJ R) 로 표시될 때, (M, g)를 E i ns t e i n 공간이라고 말한다. 예 3 2 치원 다양체 (M, g)에서는 항상 S= .lg가 성립한다. 그러나 A 는 M 상에서 일반적으로 C' 함수이다. 따라서 (M, g)는 E i ns t e i n 공간 이 아니다. 한편, R3 에서 M=S2(a) 라 하면, s= 싶g가 성립한다. 따라서 구 떤 훈 (a) 는 Ein s te i n 공간이 다 . n 차원의 Euc li d 공간 R 에서 평행좌표계 (x\ … ,x ）에 대해서 계량 ten sor 의 성 분 g,.j 는 모두 정 수이 다. 따라서 곡률 ten sor 의 성 분 Rfj k 는 모든 접에서 0 이다. R=O 이 성립한다. 정의 R i emann 다양체 (M, g)에서 R=O 일 때, M을 국소평탄(l ocall y flat ) 또는 국소 Euclid 공간이 라고 말한다.
Euclid 공간 R 에 서 직 교좌 표 계 (x\ …, x) 에 대 하여 계 량 ten s or 의 성분은 gij =8, j이다. 일반적으로 R i emann 다양체에서는 1 점 P 에 서 〈 E,,Ej 〉=g,j(p)=%가 되도록 T p (M) 의 기 {E1, ... ,E , , ） 을 잡을 수 있 으나, 접 P 의 근방에서 항상 g ,1 = 8, i가 성립하는 국소좌 표계 의 존재는 보장할 수 없다. 그러나 R=O 인 국소평탄공간에서는 그 존 재문 증명할 수 있다. 정리 4.5 국소평탄인 R i emann 다양체는 그의 각 점에서 g,) :::::(?, , 가 되는 좌표근방울 갖는다. 증명 (Tachib a na p. 82 참조) . 예 4 n 차원 윤환떤 T=S} x SJ x … x S 느= {P= (Oi , ···, 0,.) IO;E S l) 에 서 0i 는 단위원 S} 의 중심 각이 다. S} 는 dS=dO.-인 1 차원 Rie m ann 다양체이므로, Tn 의 계량을 직적계량 dS2=dOH···+do~ 으로서 정의하면 T 은 국소평탄이다. 한편, 2 차원 윤환면 T2 을 R3 으로부터 유도된 계 량 ten sor 에 관해 서 생각하면 국소평탄이 아니다. 18 단면곡률 3 차원 Euclid 공간 R3 oJ :의 곡면의 Gauss 곡물을 확 장하여 Rie m ann 다양체 (M, g)의 단면곡물울 고찰한다. 정의 R i emann 다양체 (M, g)의 임의의 접 P 에서의 접공간 Tp ( M) 의 2 차원 부분공간을 단면 (pla ne secti on ) 이 라 하고, 단면 c 의 정 규직 교기를 {X, Y} 라 할 때, ( I ) K(a) =R(X, Y, X, Y) 문 6 의 단면곡률 (sec ti onal curvatu re) 이 라고 말한다.
먼저, 단면곡률 K(a) 가 접 P 에서의 단면 6 의 정규직교기의 선덱에 무관계임을 밝힌다. a 의 다론 정규직교기를 {X1, Y1} 라 하고, X=aX1+bY1, Y=cX1+dY1 라 두면, R의 성질에 의하여 ( 2 ) R(X, Y, X, Y) = (ad-bc)2R(Xi, Yi, Xi . Y1) 이다. 여기서 (ad 一 be)z= (az+bz) (cz+dz) 一 (ac+bd)2=1 이므로, R (X, Y, X, Y) = R (X1, Yi. Xi , Yi) 이다. 補題 4. 6 단면 0 의 임 의 의 기 {X, Y} 에 대 하여 (3) K(o) = g( X, XR)(gX ( ,Y YY, X),- gY () X , Y)Z 이 성립한다. 증명 {Xi, Y1} 을 6 의 정규직교기라 하고, X=aX1+bY1, Y=cX1+ dY1 이라 두면 (2) 에서 K(11) = R (X, Y, X, Y) / (ad-bc) 2 이다. 한편, g( X, X)g ( Y, Y)-g( X, Y)2 =(ad 一 bc)2{ g (X 냐)g (Y1 , Y1)-g ( X1, ¥;訥 =(ad 一 bc)2 이 므로, (3) 을 얻는다. 補題 4. 7 (0, 4) 형 의 ten sor 장· S, T 가 보재 4. 2 의 조건 (a), (b), (d) 를 만족한다고 하자. 이때, 1 차 독립인 vec t or 장 X, Y에 대하여, S(X, Y, X, Y) = T(X, Y, X, Y)
를 만족하면, S=T 이다. 층명 A=S-T 라 두면, A 는 보제 4. 2 의 조건 (a), (b), (d) 를 만족 하고, A(X,Y,X,Y)=O 이다. 따라서 보재 ?.13 에 의하여 A = o 이다. 예 1 M 을 Eucl i d 공간 R 내의 연결이고 방향가능인 곡면이라 한다. 점 PEM 의 좌표근방을 (U, 4>)라 하고, (t4l, 14 이를 그 국소좌표계 라 한 다. 원접 O 로부터 접 q>- 1 (ul, ie2 ) 까지 의 위 치 vecto r 를 X 라 하면 , X=X( tt냐)는 곡면의 방정식이다. 지금, {EI,E2) 를 접공간 T p (M) 의 기라 하면, M 의 제 1 기본형식은 g1 1=g ( Ei, E1), g1 2=g ( E1, E2), g2 2=g ( E2, E2) 이고, 제 2 기본형식은 hu=g ( N1 , Ei ), h12=g ( N1, E2), h22 = g ( N2, E2) 이다. 여기서 N 은 점 p에서의 단위법 vec t or 이고, N;=oN/ort'° (i= I,2) 이다. 이때, K= 쁘맛止= ’LIIJt 2 2-ltIg . , det( g;i) -g11 g z 2-g 1~ 을 M 의 Gauss 곡률이라고 정의했었다. 여기서 행렬 (h;,） 의 고유치를 Pi, P2 라 하면, K=PiP 2 가 성 립 한다. 한편, 곡면 M 에서 곡률 ten sor R 은 {E1,E2} 에 대하여 0 아닌 것은 土 R)E1, E2, E1, E2) 이 다. 여 기 서 [E1, E 』 =0 이 므로, R(E 나겁, E1, E2) =g(V E1VE2E2-VE2VE1E2, E1) 이고, E1=X1, E2=X2 이므로 VE1E2=X12-g ( N, X12)N, VE2E2=X2z-g ( N, X22)N 이다. 따라서 R (Ei, E2, E1, E2) =g (X221, E1) -g (X122, E1) 궁 (N, X22)g ( N1, E1) +g(N , X12)g ( N2, E1) 와 같이 나타내 면 여 기 서 X221=X122, g (N, X22) = -g (Nz, X2) , g (N, X12) =-g(N 2, X1) 이 므로
R1212 = R(EI, E2, EI, E2 ) = ItI I It 2 2 _ (ltn )2 이다. 따라서 Gauss 곡률 K 는 단면곡물 K(u) 과 일치한다. (U ; X 도·•, X 기울 M 의 한 좌표근방이타 하고, 단면 6 의 기 vecto r X, Y의 성분을 각각 (X''), (Y‘) 라 하면, 단면곡률 K( <1)의 국소표현은 (4) K( <1E (g),'k g j/= _ g,.~,g jk ) 宁X ’ Y1 Xk Y' 로 표 시된다. 곡융 t ensor 장 R 이 0 이면, M 의 모든 접에서의 모돈 단면 6 에 대한 단면 곡뮬 K(6) 은 0 이다 . 역으로, K(a)=O 이 모든 6 에 대하여 성립하 떤 R = O 이다. 일반적으로, 보제 4.6 에서 단면곡률 K( <1)가 Tp (M) 의 모든 단면 6 에 대하여 주어져 있을 때, 곡률t ten sor R 은 점 P 에서 일 의적으로 결정됨을 알 수 있다. 정 리 4. 8 Rie m ann 다양체 (M, g) 의 1 접 P 에 서 의 모든 단면 6 에 대 하여 K(a) =c (c 는 정수) 이면, 접 P 에서의 곡률 ten sor R 은 R=cR1 이다. 여기서 R1 은 다음과 같다. ( 5 ) R1(X, Y, Z, W) =g( X, Z)g ( Y, W)-g( X, W)g ( Y, Z). 증명 보제 4. 5 에 의 하여 모든 X, YETp (M) 에 대하여 ( 6 ) R(X, Y, X, Y) =cR1(X, Y, X, Y) 이다. 그리고, 보제 4.6 에서 R=cR1 이 성립한다• 정리 4. !l (Schur) (M, g)를 n( 츠 3) 차원의 연결인 Rie m ann 다양체라 한다. 만일, M 의 각 접에서의 단면곡물 K(a) 가 정수이면, M 전체에 서 K(a) 는 정수이다. 증명 정리 4.8 에 의하여, 각 접 PEM 에서 Kp (<1 )=l( p)인 C' 함수 가 촌재하여 R=lR0 이 성립한다. 여기서 Ro 은 R 。 (X, Y)Z =g ( Y,Z)X
-g (X,Z)Y 에 의하여 정의되는 t ensor 장이다. 또, i가 칭 수 입을 밝산 다. R 머 R i emann 계량 g에 의하여 정의되고, 17 g =O 이므로 임의의 vec t or 장 X 에 대하여 VxR=(X.?)R 。 이 성립한다. 따라서 (17xR) (Y, Z) = (X.?)Ro(Y, Z) =X.?(g ( Z, Y)X-g ( Z, X). Bia n chi 의 제 2 항동석 에 서 ( 7 ) (X.?)Ro (Y , Z) + (YJ )R 0(Z, X) + (ZJ) R 0(X, Y) =O. 여기서 접 p EM 에서 임의의 단위 vecto r X 에 대하여 {X, Y,Z} 가 정 규직교기가 되도록 Y,Z 를 잡는다. (7) 을 Z 에 적용하면 (Xl) Y-( Y .?) X= O 울 얻는다 .. X, Y 는 일차독립이므로 X J =YA=O 이므로 J는 정수가 된 다. 19 정곡률공간 Schur 의 정 리 4. 9 에 의 하면, dim M> 2 인 연결된 Rie m ann 다양체 (M, g)는 각 접에서 단면곡물 K( <1）가 定 數 이면, (M, g)상에서 정수 c 와 같고, 곡률 ten sor R 은 cR1 과 같다는 것을 알고 있다. 이와 같은 공간은 Ri em ann 7] 하학에 서 중요한 model 공간이 다. 정의 Rie m ann 다양체 (M, g) 에 서 곡률 ten sor R 이 M 의 모든 접 에 서 정수 c 일 때, 죽 ( 1 ) R(X, Y, Z, W) =c(g( X, Z)g ( Y, W)-g( X, W)g ( Y, Z)) (X, Y, Z, WE Tp (M) ) 로 표시 될 때 , (M, g)를 定曲率空間 (spa ce of consta n t curvatu re) 이 라 고 말한다. 정 곡물을 갖는 Rie m ann 다양체 를 空間形 (s p ace for m) 이 라 고 하고, 때로는 정 곡물을 갖는 완비 이 고 단연결인 Rie m ann 다양체를 空間形이타고 정의하는 경우도 있다.
주의 2 차원 Rie m ann 다양체 에 서 는 곡률 te nsor 가 ( 2 ) R(X, Y, Z, W) =K(g ( X, Z)g ( Y, W)-g( X, W)g ( Y, Z)) 으로 표시된다. 여기서 Gauss 곡률 K 는 정수가 아니므로, 정곡물공간 은 아니다. 예 1 R 내의 반경 a 인 구면 S(a) = {(x1, …, x+1)ER 미 (xl) 나···+ (x 묘 )2=a 가 웁 생각하자. S(a) 의 개집합 U= {( x\ …, x•+l) ES(a) I x+1>0} 내의 접 (자,… ,x+l) 에 대하여 (x\ … ,x ）을 대응시켜서 U 내에 국소좌 표계 {x\ … ,x 기울 도입한다. 이때, (xl)2+ … +(x•+1)2=a2 에서 (dx+1)2= 一 @d:., 나 ···+x''dxn)2 a 드 [(x1) 탸… +(x) 인 이므로, S(a) 의 선소는 다음과 같다• ( 3 ) dS 드 (dx1) 나•··+ (dx) 나 a 드@〔d（x았l+)…나 +… x +d(xx))22] 따라서 S(a) 의 R i emann 계량 g의 성분은 (4)’/、(5 gu =6,.j_ a2 국 (xl) 도x‘g j ·+(xn) 汀 g;j =8; j-뭉:_, (i,j=l ,··•,n) 이다. 이것을 이용하여 곡물 t ensor 를 계산하면, ( 6 ) {{}} =fzxl• g ,.;, ( 7 ) RM J.[감(g다-g n g u) 이 다. 따라서 S(a) 는 양의 곡물 K=I/a2 인 정곡물공간이 다. 예 2 R 의 반공간 H•= {(x1, …, x) lx>O}
에서 선소를 (8) dS2 (dx1) 나( .x.n. )+ 2 (dxn) z 으로 정의하면, H 은 Ri em ann 다양체이다. 이대, 곡률 t ensor 는 ( 9 ) RMj t=-(ghj g,*-ghk g ,.j) 이다. 따라서 H 온 음의 곡률 -1 을 갖는 정곡률공간이다. H 을 雙 曲空 rai (h yp erbo li c sp a ce) 아 라 말하고, 특히 , H2 를 登曲平面 또는 Poin - care 平面이 라고 말한다. 예 3 Eucli d 공 간 Ru 에 서 선소를 (10) dS2=(dx1)2+… + (dx)2 으로 정의하면, (11) g;j=O ;j, I't=o (h, i, j= I, ... , n) 이고, R=O 이다. 따라서 R 은 곡물 0 인 정곡물공간이다. 정 곡물 K 0,1 Rie m ann 다양체 에 서 K>o 이 면 稽圓的, K
정리 4.10 M 을 완비이고 단연결인 정곡률 K 를 갖는 공간형이라 하 자. 이때, M 은 K>o, K=o, K
방법으로, R1213+R1223=R1323=0, 따라서 정규직 교기 {E1, E3, E3} 에 서 Ri ju= a/2 (8,.k8 p - 8i1% ) 울얻는다. 이때, 자연표구 {E1,E2,£3} 에서는 R,.ju =a/2 (gikg JI _g ,,,g ,.) 이므로, M 은 정곡물공간이다. 補題 4.12 (M, g)를 정곡률 K 인 R i emann 다양체라 하면, 곡윤형식 。 T Q {=K(J )’.^(J)’ 로 표시된다. 층명 Ruu=K(g ,.k g J1 _g ,.I g jk) 를 Car t an 의 구조방정식에 대입하면 Q{=요 ,1= I: R,· iil(J) k/\ (J) 1=K (J)’ . /\(J)i k
* 연습문제 (4) I) 또내의 회전포물면 2Z=X2+ y 2 에 있어서, Gauss 곡률 K 및 Rie- mann 곡률 ten sor R 율 구하라. 2) 쌍곡공간형 H=(xEJR I |지
제 5 장 측지선 Eucl i d 공간에서 직선은 매우 중요한 성질을 갖고 있다. 죽, 직선은 (a) 평 면곡물이 0 이 다. (b) 2 접 사이 의 최 단거 리 이 다. (c) 접 vecto r 는 모두 평행이다. (d) 2 접을 지나는 직선은 단 하나 존재한다, 등등. 이상의 성질을 갖는 직선을 다양체상으 1 곡선에 확장한 것이 측지선이 다. Rie m ann 기 하학에 있 어 서 측지선은 중요한 역 할을 하고 있다. 20 촉지선 r : I--M 을 R 의 개구간 I 에서 정의된 M 상의 cm 곡선이라고 하자. 곡선 r 상에서 정의된 접 vec t or 장 r( t)가 r 을 따라서 평행일 때, 즉, Riem ann 접속 V 에 대하여 (1 ) r#=O 을 만족할 때, 곡선 r 를 測地線(g eodes ic)이라고 §13 에서 정의했다. M 의 좌표근방 (U ; X\ …, Xn} 에 서 x;(t) =x;(r(t) ) (i= l, ···, n) 라 두면, 측지선의 방정식은 ( 2 ) 꿈며{}} 뚱뜹 =0 (k=l, …, n) 으로 표시된다. 여기서 곡선의 겅수 t는 중요한 역할울 한다. 지금, 다 론 경수 s 를 잡고 변환 t=t (s)(d t /ds>O) 를 생각한다. 이때, 새로운
곡선 r(s) =r( t (s) ）를 얻는다. 여 기 서 (3) r;-(s)f ( s) = 뿔 i(t) + ( 겔 )2r;-(I)’’(t) 에 의하여, 곡선 r(s) 가 역시 측지선이 되기 위해서는 7ds22t =0. 즉, t= as+b (a>o,b 는 정수)가 성립하여야 한다. 따라서 (1) 을 만족 시키는 經數는 a ffi ne 변환을 제의하고는 인의적으로 정해전다. 이와갇 은 경 수를 측지 선의 aff ine ~數라고 한다. 한편, rf(t )f(t)= O 이라 두고, 일반적인 경수 s=s( t)를 잡으면 (3) 에 入1 (4) Ft( s )f (s ) =
i (O)=X 를 만족하는 측지선 r(t) (l ti
예 1 구면 Sfa ) = {( 군, X러 x3) ElR 기 (Xl) 2+ (균) 2+ (x3) = a 기 의 Rie m ann 계량 g의 성분은 g,J국,i +a 드 [(xxl'x) 1프 (x2) 기 (i,j=l ,2) 으로 주어 지 고, Chris t o f f el 기 호는 {5} 감갔g, .j 이다. 따라서 측지선의 미분방정식은 堡+fz xh=O (/z=l, 2) 이다. 이것을 풀어서 (8) 갔 =Ahs i n~a +Bhcos~a, (Ah , Bh 는 정수) 롤 얻는다. 따라서 구면상의 측지선은 대원이다. 예 2 쌍곡평면 H2={(x\x 이드 R2|x2>0} 의 R i emann 계량 g의 성분 은 g;i=o ,·J/ (x2) 2 이 고, Chris t o ff el 기 호는 다음울 제 의 하고는 0 이 다. {/2} = {2\} = 一 {121} = {z2 2} = 퀄 따라서 측지선의 미분방정식은 (뿔一촐잎앞 =o 릅나(亞)드믈(운 )2=0 이것을 풀어서 해 (10) 자(t) =a+b tan h(rt) , x2=b sech(rt) 또는 (11) x1(t) =c, 군(t) =deh' 를 얻는다. (10) 은
(X1(t) ― a) 포 (.x2 (t) 一 0)2=b2 에 의하여, 중십이 (a, O) 이고 반경 \b\ 인 상반 원음 나타내고, (11) 은 자축에 수칙인 직선이다.
二\\
그립 5.2
쌍곡평 면은 비 Eucli d 기 하학의 model 로서 매 우 중요하다. 쌍곡평 면 에서 직선은 위에서 얻은 반원과 수직선으로 생각하고, 2 직선이 H2 내 에서 만나지 않을 때 평 행 이라고 약속한다. 이때, 주어전 직선 밖의 I 접 을 지나서 그 직선에 평행안 직선은 무수히 촌재함을 알 수 있다. aff ine 경수 t를 갖는 측지선 r( t)가 (-oo< t
이다. 그런데, 이 해의 촌재범위는 —1
XETp (M) 에 대하여 지수사상 Exp X 가 정의되어 있다고 하자. 이 때, Ex pt X(O ~ t ~ I) 은 정의되므로, r( t )=Ex pt X 라 두면 r : I-+M 은 M 상의 측지선이다. 한편, ||r II 는 측지선 r 를 따라서 정수이므로, r(O) 에서 r(1) 까지의 길이 L 은 L= ~:ll rl l dt= ~:IIXl! d t= IIXII. 따라서 Ex p X 는 X 에 의하여 결정되는 유일한 측지선 r( t)상의 접이 고, r( t) 룹 따라서 접 P 로부터의 거리는 X 의 길이와 같다.
그립 5.3
위의 정의에시 R i emann 다양체 M 이 완바일 때는 개구간은 (_OO, oo) 이므로 t= I 이라 두고 Ex p XEM 이 정의된다. M 이 완비가 아니 떤 T p (M) 에서 0 의 어떤 근방 U p가 촌재하고 각 XEUp 에 대하여 Ex pt X 가 [-1, 1] 을 포함하는 개구간상에서 정의되어 있다고 생각한 다. 예 1 Eucl i d 공간 IR 은 완비이므로 항상 지수사상 Ex p X 가 정의된 다. 그러 나 R 에 서 1 접 P 를 제거하여 얻는 다양체 M=R 一 (P} 내의 1 점 q를 잡을 때는 vec t orX q ET q( M) 에 대하여 Exp X q는 정의할 수 없다. 예 2 일반선형군 G=GL(n,R) 은 R' 의 개부분 다양체이고, 행렬
a=(a j)의 군개의 성분은 G 전체에서의 좌표이다. G 의 곡선 a( t)에 대 하여 각 접에서의 접 vec t or 는 da/d t이다. 여기서 A=a( t) -1:우 라 두면 A 는 점 e 에서의 접 vec t or 이다. 이때, a(O)=I,, 이다. 다라서 Exp : A 굽 A= J +A+2A~!2 + .. ·EG1 이므로 Ex p A 는 군와 같다. 지수 사상이 란 말은 위와 같이 GL(n, JR) 이 다양체 의 북벌한 경 우로 사용되 키 때문이다. 모든 PEM 에 대하여 0p E T,(M)cT(M) 로써 접 P 에서의 영 vec t or 를 나타내기로 하자. 이때, 미분방정식계의 해의 촌재성과 일의성에 의하여 다음을 얻는다. 題補 5.4 모든 PEM 에 대하여, 양의 실수 C p와 T(M) 상에서 o, 의 개집합 V p가 촌재하여, 다음의 조건을 만족하는 사상 ( 1 ) ap : [-EP, ep] X Vp- + M 이 촌재한다• 임의의 XEV p와 모든 t E[-e,, 김에 대하여 rx( t )=a p(t ,X) 로 정의 되는 ( 2 ) rx : [-ep, e 니 ..... M 은 M 상에서 유일한 측지선이고 (3) rx(O) =P, fx (O) =X 울만족한다. 우리는 미분방정식과 그의 초기 조건과의 관계에서 다음의 성질을 알 고있다. 補題 5.5 모든 XEV1 와 s,t ER 에 대하여 sXEV,. ltl < e,, 1s t|三 C p 를 만족하면, a,x(t) =ax(st) 이 성립한다.
다음, PEM 에 내하여 T(M) 의 부분집합 ( 4 ) Wp = {XE T(M) I t-1 XE V1, t2::ep } 는 T(M) 에서 O p의 개근방이다. 따라서 W= lJ W, , , ,三 , \/ 논 T(M) 의 개부분집합이다. 위에서 모든 P 드 M 에 내하여 Sp = wn Tp ( M) 은 이룰 중십으로 갖는 Tp (M) 의 성상(星狀)개집합이다. 여기서 Sp 7 } T,(M) 의 성상개집합이라는 것은 모든 q ES, 에 대하여 선분 万규가 s, 에 포함되는 것을 의미이다.
그림 5.4
지수사상 Exp : W-M 은 다음과 같이 정할 수 있다. 임의의 XEW 에 대하여 XEWp 인 접 P 가 촌재하고 e;1XEVp 이다. 따라서 보제 5.5 와 축지선의 일의성에 의하여 접 ap (e p, e;1X) =a;-1X(ep) E M
온 M 의 접 P 의 선택에 무관하다. 따라서 (5) Exp X =ap( e p, ep- 1 X) 가 성립한다. 독벌히, 모든 PEM 에 대하여 Expp : S p一 M 이다. 여기서 Ex pp는 아를 P 에 옮기는 사상이므로, 그 미분은 다 음과 같은 접공간 사이의 사상이다. (Expp ) * : Top ( Sp ) 一 따 (M) 補題 5. 6 모든 PEM 에 대 하여 (Exp p) ＊는 전단사이 다. 증명 선형사상
하여 (Exp p) : Np -- Up 가 미분동형 사상이 되는 T p ( M) 상의 °근] 개근 빙 . N p와 M 상의 P 의 개근방 U p가 촌재한다. Eucl i d 공간 Rn 에 있어서는 평형좌표계에 대한 계량 t ensor 의 성분 온 모두 정수이고, 직선은 1 차식 x1=a' t +b 의 형으로 표시된다. Rie · mann 다양체 (M, g)에 있어는 일반적으로 이와 같은 편리한 좌표계는 존재하지 않으나, 1 접의 근방에서 그 접을 지나는 측지선이 모두 1 차 석으로 표시되는 좌표계가 존재한다. 먼저, 이와 같은 좌표계의 존재를 고찰한다. 정 리 5. 7 에 의 하면 , 접 P 의 접 공간 Tp ( M) 의 영 vecto r Op 의 충분 히 작은 근방 N p오} M 상의 접 P 의 근방 U p에서 지수사상 Ex pp가 정 의되고, Expp : N p -.U p-철 - 미분동형 사상이 되도록 하는 Np 와 U; 가 존재한다. 근방 U p를 이용하면, U p에 포함되는 임의의 접 q에 대하여 Exp X =q인 vec t orXE 따 (M) 가 일의적으로 존재한다. 이때, X=Ea' . E, · 라 두고, 접 q에 대하여 ( 7 ) Y'.(Exp ( Ea;E,)) =a'. ( I 적．三 1l) 안 (a\ … ,an) 을 대응시키면 U p내에 하나의 좌표계 [y1,···,y｝을 정의 한 수 있고, {Up ; y\…y가은 M 의 한 좌표근방이다. 이때, p를 시접 으로 하는 측지선은 (7) 에서 ( 8 ) y;= a.-t (1:::;i: :: :;n) 로 표시된다. 정의 M 의 접 P 의 근방 { Up ; 자, …, x} 에 대 한 지 수사상 Expp 가 Tp ( M)의 근방 Np 로부터 U, 상에의 미분동형사상일 때, X=2 y . E,· 의 성분 (y\ …, y)를 점 Expp X 의 표준좌표 (normal coordin a te ) , 따를 p 의 표준 좌표 근방이 라고 말한다. 측지 선 y '. =a it에 서 ~;=a'/llal l (llal l2= (a1) 나…+ (a ）이 이 라 두면, 측지선은 다음과 같이 표시된다. (9) f= e•s, ·1w 11=1
여기서 s 는 호의 길이른 나타낸다. 역으로, p EM 의 근방 {Up ; y\…,y’'}에서 P 를 지나는 측지선이 (9) 로 표시되었다고 하자. 이것을 a ffi ne 경수 t= as (a 는 정수)에 의하여 y’·다’.t (ltl < e) 로 표시할 수 있다. XETp (M) 에 대하여 X=E#E,· 라 하면, Exp pX =(yl( l), …, yn (1)) =(가, …, ?）이고, Exp p X 의 좌표는 X 의 좌표와 일 치 한다. 따라서 {y1, ···, y} 은 표준좌표계 이 다. 이상을 종합하여 다음을 얻는다. 정리 5.8 {y\…,y｝이 점 P 에 관한 표준좌표계가 되기 위한 판요충 분조건은 P 를 지나는 측지선이 항상 y'=:, . s( i =1, … ,'1) 의 형으로 표시 되는 것이다. 정리 5. 9 Rie m ann 다양체 (M, g)에 서 {y1, ···, y) 이 표준좌표계 가 되 기 위한필요충분조건은 (10) 홈{J }lY;=O 이 다. 여 기 서 {5} 는 {y1, •· ·, y} 에 관한 Chris t o f f el 기 호이 다. 증명 측지선의 방정식 皇+{'｝뿔뭉 =O 이 해 yi =Es 를 갖기 위한 팔요충분조건은 (11) 潟} @s, …, es)E,· 틴 =o 이다. 여기서 양변에 s2 을 곱하면 (1~) 을 얻는다. 한편, 접 P 의 표준좌표계에 있어서 (10) 이 성립하므로, s=O 이라 두면 H{J }pl;if;i=O 이다. 여기서 {J}={》}이고 선가 임의이므로
(12 ) 關 }P=O 윤 얻 는다. Chris t o f f el 의 기 호가 모두 0 인 좌표계 {y1, • • ·, y} 을 測地座 相系라고 말한다. 따라서 표준좌표계 는 측지좌표계의 일종이다. 한편, 정 리 4.16 에 의하여 접 p에서 는 계량 ten sor g의 성분율 g, . j=％되도 록 잡을 수 있다. 이상을 종합하여 다 음을 얻는다. 정라 5.10 접 P 의 표준좌표근방 {U; y\…,y｝에서는 {lJ가 J P =0 이다, 그리고 P E U 에서 g ,1( p )=0, . 1 인 계량 ten sor g가 존재한다. 여 I 3 구면 S2(k) = {x1, x2, x3) I (x1)2+ (xz)2 + (:x 3)2=k 가 의 북반구 Ut 에서는 {b 갑 =>xa g bc 이므로, 북국 P(x1=x2 = 0) 에서 는 {/c}=O 이다. 따라서 {.:c, l xz,X 익은 P 의 측지좌표계이다. 한편, E{ 갑 죠 c = 합 X g bcXbXc 온 P 이의의 접에서는 0 이 되지 않으므로 {자 ,x 가은 표준좌표계가 아 니다. 한편, 훈 (k) 의 측지선은 a ffi ne 경수 t에 대하여, 다음의 형으로표시 되었었다. x0=A0s i n({ t )+B•cos 따 (a=l, 2). 여기서 Aa,Ba 는 정수이고 g bc 잤 x'=l2( 정수)이다. 복국 P 에서 t =O 이 라 두면, P 를 지나는 측지선은 Ba=0 이므로 갔 =A0s i n({ t) 이 다. 그리 고, 었=f A•cos({ t)에 서
x•(o) =+kA ·=e· 이다. 다음, l2= g bc 찼 x<= I;g bc(O) 한 ec=2&& 넛 c= 탸당 이므로 l=(EeT)l/2 을 윗식에 대입하면 죠fe s i n 使) =~•sfo (~t). 여기서 표준좌표계 {Y 가는 y •=e t라 두고서 얻을 수 있다• 여기서 u=@ yby b ) II / k 라두면, x•=~t1t y• s in u 이다. 이것을 y a 에 대하여 풀기 위하여 윗 식의 양변의 제곱의 승을 만들면, _E.x0 . x =k2sin 2 t t (u~o. 1r 츠 u 츠 0) 이므로, s in u={@ 죠) 싣 =f(x) 라 두떤, u=s i n-1 f (x) 이다. 이것을 y a=;蓋 ux· 에 대입하면, y a= 曲 n-1f 요갔 (a=l, 2) f(.x) 이 된다. 따라서 {yl, y2} 은 북극 P 의 표준좌표계 이 다. 22 국소대칭공간 Rie m ann 다양체 M 의 1 정 P 의 표준좌표근방울 U 라 하고, U=Exp N 에서 N={XET1(M)1IIXll
(i) 갑은 항등변환이다. (ii) 접 P 는 고립된
I
그립 5.5
權題 5.11 R i emann 다양체 M 의 접 P 에 관한 국소측지대칭을 야라 하떤 (i) 아 *(X p )=-X p, (ii) ap( E xp X p ) =Exp ( -Xp ) 가 모돈 vecto r Xp ETp (M) 에 대하여 성립한다. 증명 야이 항동변환이므로 Tp (M) 상에서 (아 *)2 도 항동변환이다. 이 것은 Tp (M) 상에서 아*의 고유치가 士 1 임을 의미한다. 만일, 아*의 고 유치가 +1 이면 아 *(X,)=Xp 인 vecto r X,~o 이 존재한다. 입의의 등 장변환 F : U---U 에 대하여 측지선이 보촌되므로 FoExp = Exp o F* 가 성립한다. 이것은 아 (Ex pt X)=Ex pt X 를 의미하고, 초기방향이 x, 인 접 P 를 지나는 측지선의 모든 접이 부동접이다. 따라서 접 P 는 6 p의 고립된 부동접이 아니다. 그러므로 아*의 고유치는 +1 이 될 수 없고 아 *=-1 (1는 항동변환)이다. 한편, 아 는 동장변환이 므로, 아 (Exp X,) =Exp ( a,*(X,)) =Ex p(一 X,)
이다. 이것은 (]p가 P 를 지나는 측지선을 그 자신에 반대방향으로 변환 하는 것을 의미한다. (X 1, •••,X ）윤 접 P 에서의 표준좌표계라 하면, 측지대칭 (]p는 6p ( x\ ••. , x) =( -x\ ••. , 一 x) 으로표시할수 있다. 정 의 Rie m ann 다양체 M 에 서 곡률 ten sor R 이 Levi- C i vi t a 의 접 속 에 대하여 평행일 때, 죽 rR=O 을 만족할 때 M 을 국소대칭공간(l ocall y sym meti c spa ce) 이 라고 한다. M 이 국소대칭공간이면 R 은 M 상의 어떤 곡선을 따라서도 평행이고 {X;(t)}가 곡선 X t를 따라서 평행인 정규직교기일 메, R 의 {X‘ · ( t)}에 관한 성분은 모두 정수이다. 정리 5.12 R i emann 다양체 M 이 국소대칭공간 (17R=O) 이 되기 위한 필요충분조건은 M 의 각 접 P 에 대하여 그 근방에서 국소측지대칭 cp 가 존재하는 것이다. 증명 17R=O 을 가정한다. 접 P 의 접공간 Tp (M) 에서 F(X)=-X 라 하면 F 는 곡률 ten sor R 을 보촌한다. 죽, R(-X, -Y)(-Z)=-R(X, Y)Z. F 는 등장선형변환이므로 P 의 근방 U 의 둥장변환 (1p로서 (1p(p) =P, 아 *=F 인 것이 촌재한다. 이때 (1p는 명백히 측지대칭이다. 역으츠~, 각 접 P 의 근방에서 측지대칭 (1p가 촌재한다고 하자. (1p는 Levi- C i vi t a 의 접 속을 보촌하므로 곡률 ten sor R 및 그 공변미 분 ten sor rR 을 보촌한다. 따라서 P 에서 (Jl_z R)(-X, -Y)(-W)=-( 福 )(X, Y)(W) 울 만족한다. 여기서 좌변은 (17zR)(X, Y)(W) 와 같으므로 (JlzR )(X, Y)(W)=O 이 성립한다. 따라서 17R=O 이다. 정리 5.12 R i emann 다양체 M 이 국소대칭공간이 되기 위한 필요충분 조건은 단면곡률 K 가 모든 평행이동에 대하여 불변이 되는 것이다.
증명 M 이 국소대 칭 공간이 면 계 량 ten sor g 및 곡물 ten sor R 은 모든 평행이동에 대하여 불변이다. 따라서 보제 4.7 에 의하여 단면곡물 K 도 모든 평행이동에 의하여 불변이다. 역으로, K 가 모든 평행이동에 대하여 불변이라고 하자. M 의 2 접 p,q를 맺는 곡선을 C 라 하고, C 를 따라서 P 에서 q까지의 평행이동을 T 라 한다. 이때, X, YETp (M) 에 대하여 gp( Rp (X , Y)X, Y) =gg{R q (, X, -rY),X , -rY ) gp( Rp (X , Y)X , Y) =gq(-r(R p (X , Y)X ), -rY )) 이다. 여기서 B(X, Y, Z, W) =gq( Rq (, X, ,Y),Z, -rW ) 一gq(-r (R p (X, Y)Z ), TW) 라 두면, B 는 보제 2.13 의 조전 a), b), d) 를 만족한다. 따라서 B=O 죽, , (Rp ( X, Y) X ) =R q ( -rX , -r Y) (-rZ ) 이다. 따라서 ,oR p =R 군]고, 임의의 V E: T p (M) 에 대해 VvR=O 이다. 다음, 측지대칭 6 p가 다양체 전체에서 성립하는 경우물 생각한다. 정의 연결인 R i emann 다양체 M 에서 각 접 P 에서의 (大域)측지대 칭 ap : M-M 이 존재 할 때 M 울 대 칭 Rie m ann 다양체 (sy m meti c Rie m annia n manif old ) 또는 대칭공간 (s y mme tri c s p ace) 이라고 한다. 예 1 S'’ 을 Rn+1 내의 단위구면이라고 한다. S 에서 (大域)측지대칭
그립 5.6
3 차원 구면 S3= {(20, z1)EC2lz 。 %+Z1Z1=I} 상에서 S1xS1 의 작용을 ((e'°I'•, e;I', ) , (20, 21) ) E (S1 x S1) x S3- ► (e;'0z0, e'., 』 Z1) ES3 로서 정의한다. 다음, S1xS1 에서 순환군 Z., : {( e2•ir /n, e2• i l 『/) | r= I, …, m} 울 생각한다. 이때, S3/Z. . 은 다양체이고 아것을 lens 공간 L(m, I) 이 라고 한다. 여기서 l 은 I~l
증명 M 이 측지적으로 완비가 된다는 것을 밝히면 충분하다. c( t)는 구간 〔0, t o] 에서 정의된 측지선이고 c( t。 )=P 라 한다. 이때, (
대하여 a( t1 ,v)=r, ’ 는 M 상의 곡선 을 나타내고, a 는 모든 tl ,V 에 대하 여 곡선 r 를 포함하는 곡선군을 나타낸다. 이때, 각 곡 선 rU 를 r 의 변분곡선이라고 한다.( Ya)목 > 별히, r- 의=_ 곡u 。선변 분곡선(이b) 모두广詞 측지선 ‘ 인 경우에 a 를 r 의 측지변분이라고 말한다. Y_, 'h \' V- 곡선 그림 5.7 변분 a 에 대하여 곡선 r 의 양끝을 고정하면, 모든 V 에 대하여 (3) a(a, v) =r(a), a(b, v) =r(b) 가 성립한다 . 변분 a 를 따르는 vecto r 장 (8/8u, 8/8v) 가 정 의 되 고, (4) YG) =a* (0/6v) (u, 0) 라 두면, Y(u) 는 곡선 r 를 따르는 vec t or 장이다. 이것을 a 의 변분 vecto r 장 (varia t i on al vecto r field ) 이 라고 말한다. (3) 이 성 립 하면 , (5) Yca,=0, y(b )=O 이 성립한다. 한편, X= a* (8/Ou) (' o) , Y= a* (0/Ov) (U, o) 라 두면, X 는 변분곡선 r0 의 접 vec t or 장이고, Y 는 곡선 a(u) : I,-+ M 의 접 vecto r 장이 다. 변분 vecto r 장 Y{u) 는 Yc•, o) 을 의 미 한다. 정의 M 상의 변분곡선 r0 : u-+a(u, v) 의 길이를 ( 6 ) L(v)=~:납 (a* （玉), a* 틀 ))du=\: Jg( X, X)du 라 할 때,
( 7 ) L'(O ) =（뿔 )• = O ' L(O) =（읍 )•=O 을 각각 변분 a 에 관한 제 1 변분, 제 2 변분이라고 말한다• 특히 L'(O )=O 일 때, 곡 선 r 를 변분 a 의 停留曲線 (s t a ti onary curve) 이라고 말한다. 먼저, 년분 a 에 관한 제 1 변분 L' (O) 윤 구하기로 한다. (8) F= F(u, v) = ,./i(x,X) 라 두면, u 는 곡선 r 의 길이를 나타내 는 경수이므로 F(u,O)=l 이 다. (6) 에서 변분곡선의 길이 L(v) 는 『 Fdu 이다. 따라서 a 웅 =\\Fdu=[F.du 여기서 F = 言aF＝ 芹l 겹a;F-2= f_r g1( f7 .X, X) 한편, 훑 =u, 훑 =V 라 하면 Vua* V -fi'v a*U-a*([U, VJ ) = T(a*U, a*V) =O 이므로 fi' u X= fi' uY 가 성립한다• 따라서 움깁:g(fi' uY, X)du 윤 얻는다. 여기서 v=O 이라 두면, F(t1, 0)=1, X= f (u) 이므로 변분 a 에 관한 제 1 변분은 ( 9 ) L'(O) =》『g(/7 /-Y, 사 du a 이다 . 이것으로부터 다음을 얻는다. 정리 5.11 입의의 곡선 r 의 변분 a 에 대하여, 그 변분 vecto r Y 가 r 를 따라서 평행이면 r 는 정류곡선이다. 다음, 변분의 양끝울 고정하떤 Y(a)=Y(b)=0 이고, (9) 의 우변은 부 분적분법에 의하여
『g(/7心 )du= 〔g (Y, 戶)〕t―[g (Y, 17, .r)d u a a 이므로, a 에 관한 제 1 변분은 (10) L'(O) = 상\:g (Y, 17; .i-)d u 과같다. 따라서 (10) 으로부터 다음을 얻는다. 정리 5.12 곡선 r 가 측지선이 되기 위한 필요충분조건은 양끝윤 고 칭한 모든 변분에 대하여 r 이 정류곡선이 되는 것이다. 정리 5.13 곡선 r 이 그것을 포함하는 개집합 U 내에서 r 와 양끝을 공유하는 모든 곡선 중에서 최단의 길이를 가지면 r 은 측지선이다. 증명 곡선 r 이 위의 가칭을 만족한다고 하자. r 을 따라서 양끝에서 0 이 되는 임의의 vec t or 장 Y에 대하여, 그것을 변분 vec t or 장으로 하 는 변분 a 를 생각하면, (10) 이 성립한다. 따라서 다음이 성립한다. (11) 『a g (Y, /7; -r)du=O 다음, 므로 (F,.o) o=O=g ( VYVrX, X) +g( vy X , VYX)-(g ( VYX, X))2 =g (VYVx Y, X) +g (Vx Y, Vx Y) - (g (Vx Y, X) ) 2. 따라서 변분 a 에 관한 제 2 번분을 얻는다. (12) L (o) =[[g(V rV1- Y, r) + I IV1- Y I I 드 (g( V1- Y , i)) 2J du . a 다음, L(O) 의 다론 형을 구한다. Ri cci 의 항등식 FYF i- Y=r i-『y Y+R(Y, 사 Y 문쓰면, g (VYFt Y, r) =g (F;./7 y Y, 十) 一 R (十, Y, r, Y) 이므로 (13) L(O) =g따 Y, r)] 는 \:g(/7#, /7r Y)dtt +『a [Il /71-Y[ I 드 c°g( 17,Y, f)) 2-R(f, Y, f, Y)]dtt 묵히, r 이 축지선이면, 제 2 번분은 (14) l(O)=g— (Rf7(r f Y, ,Y f,) f〕 Y: +) ]『d a [ ull f 7 ;-Y i12-g (17 心 )2 울얻는다. 다음, vecto r Z 물 Z= Y-g ( X, Y)X 와 같이 정의하면, 이때, r 상에서, Z= Y-g( Y, r) 戶 이므로 Z 는 Y 의 戶에 수직인 방향의 성분이다. 지금, r 를 측지선으로 잡으면, JT, Z=JT , Y-g ( JT, Y, r) r 따라서 IIJT , Zll2=1 /JT; -Yl12-g( JT;- Y, r)2
이므로, (14) 은 다음과 같다. (15) L(O) =g( r, J7y Y) I!+ 『a [I IJ1; -Zl l2- RU, Z, r, Z)]dtt. 특히, 양끝을 고정한 변분은 다음과 같다. (16) L(O)=\ b [|| 17,ZII2-IIZll2K( f,Z )]du. 여기서 K 는 단면곡률이다. 정의 곡선 r : [a, 까 -+M 상의 2 접 P=r(a), q =r(b) 를 고정한 입의 의 변분 a 에 대하여 r 의 길이가 항상 변분곡선의 길이의 극소치인 때, r 을 그 2 점 사이 의 相對的母短練이 라고 말한다. 정리 5.14 Ri em ann 다양체 (M, g)의 단면곡률 K 가 X, YETp (M) 에 대하여 K(X, Y) 책 일 때, (M, g)의 임의의 측지선은 그 위의 임의의 2 접 사이의 상대적 최단선이다. 증명 r 를 (M, g)의 임의의 측지선이타 하고, 그 위에 입의의 2 점 P=r(a), q =r(b) 를 잡는다• P 와 q를 고정하는 변분을 a, 그 변분 vec t or 를 Y 라 하고, r 를 따라서 Z=Y— g(f, y)白라 둔다. 이때, (16 ) 이 성립하고 K(X, Y)~o 이므로 Ln(o) 츠 0 이다. 다음, £H (O)=O 이라고 가정하면, II /7 ,Zll=O 이고 /7 ,Z=O 이다. 따라 서 Z 는 r 를 따라서 평행이다. 한편, 변분 a 는 P 와 q를 고정하고 있 으므로, Zp = Z9=0 이 고 Z=O 이 다. 따라서 Y=f f 이 성 립 하여 야 한다. 그러나 상대적 최단선의 정의에 의하면 a 의 변분 vecto r Y 는 r 상의 적어도 1 접에서 十와 일차독립이므로, Y= f r 는 성립 될 수 없다. 따라 서 Ln(o)~o 이다. 죽 £H( o)>o 이다. 그러므로 r 는 p,q 사이의 상대적 최단선이다. 예 2 정리 5.14 는 K(X, Y)>O 인 경우에는 성립하지 않는다. 가령, 구면 모의 1 접 P 와 그 대극접 q를 잡으면, P 와 q롤 맺는 측지선은 무수히 촌재하고, 이들은 같은 길이의 대원의 반이다. 따라서 P 와 q를 맺으면 어떤 축지선도 P 와 q의 상대적 최단선은 아니다.
24 Ja cobi 장 변분의 특별한 겅우로서, 변분곡선이 모두 측지선이 되는 경우를 생 각한다. 정의 R i emann 다양재 (M, g)의 주어진 측지선 r : tt국 (u)(u E: [a,b]) 의 년분 a : [a, b ] X [_c' C 〕 一 M 에서 조건 : 각 V 에 대하여 변분곡선 au : tt-> a(tt, V) 는 U 를 aff ine 경수로 하는 측 지선이다. 울 만족 할 메, 변분 a 의 변분 vec t or 장 Y 을 r 을 따르는 J acob i장이라 고말한다. 정리 5.15 r 을 따르는 J acob i장 Y 는 방정석 ( 1 ) v~Y+R(Y, f( u))r(u) =O 을 만족한다. 위의 (1) 을 J acob i의 방정식이라고 말한다. 증명 r 을 따르는 vec t or 장 Y 를 §22 와 마찬가지로 생 각한다. 먼저 X= a* (a/au) , Y=a*(o/ov) 라 두면, X(u,0) 크이고, X. =Y. 가 성립한다. 따라서 r 간 Y=v.v.X= v.r . Y+ R(X, Y) X. 각 V 에 대하여 a(tt, V) 는 tt 를 aff ine 경 수로 하는 측지 선이 므로 /7. X =O 이다. 따라서 r.r.X=o 이고, v=O 에서 생각하면, X 급이므로 17~Y+R(Y, i)f=O 을언는다. r 를 따르는 Jac obi 장의 집 합 ]r 는 R 상의 vecto r 공간 ¥(r) 의 부분
공간이다. aER 에 대하여 a f는 r 를 따르는 J acob i장이 되는 것은 명 백 하다. 다라서 17.f = O, R( r, f)r =O 이 다. X, YE], 이 면 I1.[g (1 7. Y, X)-g( Y, 17.X)] =g (/7합, X) +g (F Y, rUX) _g (FU Y, rUX) 一g ( Y, v=X) =g(1 7=Y, X)-g( Y, p~X ) =-g(R (Y, f)f, X) +g( R(X, r)r, Y) =O 따라서 g( 17. Y, X)-g( Y, 11.X) 는 칭 수이 다. 득 히 X 급 이 라고 두면 g (17.Y, 까)는 정수이다. 한편, a,bER 에 대하여 g( Y,r)1. = 0, g( 17.Y, r),b=o 이면 g (Y, f )=O 이다. 왜냐하면, 17. g (Y,r)= g (17.Y,,')=O 이 기 때문이다. 같은 이유로 a,b( 土 )EI 에 대하여 g (Y,0,a=O, g (Y, 사 lb=O 이면 g (Y, f )=O 이 성립한다. J acob i의 방정식 (I) 의 해의 존재성과 일의성은 초기 조건 Y(a), (FY)a 에 의하여 결정된다. 이것은 (I)을 보통의 2 계미분방정석계로 고쳐서 생각하면 쉽게 알 수 있다. 측지선 r(u)(a=:;u=:;b) 의 시접 r(a) 에서 접공간의 기 (E1, … ,En) 를 잡고, 이것을 r 를 따라서 평행이동하여 얻은 vec t or 장률· (Ei( u) , …, E(u) ｝로 표시한다. 이때, r 를 따르는 vec t or 장 Y 는 Y= Ii=; I
( 2 ) R(Y(u), r(1t) )r (u)=I :R> ( u)
(u W(v)) , (uE[ a, b], V E[— E, e ]) 라 둔다. 여기서 Ex p ,(u) 는 접 /3 (v) 에서의 지수사상이고, 그것이 모돈 r1W(v) 에 대하여 정의되도록 충분히 작게 c 를 잡는다 (M 이 완바이면 이것은 불필요)． 이때, 변분 a 에 의하여 정해 지는 변분 vec t or 장을 Z
r(b)
그릴 5.8
타하면, ( 6 ) Z(a) = Y(a) , (/7U Z) 。 = (/7 Y) 。 가 성립한다• 따라서 (1)의 해인 Z 는 Y 오} r 을 따라서 일치한다. 예 1 M=J R, r : 1-+M 을 축지선이라고 하면, R=o 이다. (1) 에서 r 을 따르는 모든 J acob i장은 17~Y=O 을 만족한나 다음, u 。 El, V, W 드 T『 (u0)(M) 를 잡고, A = I:; a,.E,., B= E b'.E ,. 인 r 을 따르는 평행 vec t or 장 A,B 를 V=A(u0), W=B( tt。)이 되도록 한다. 이 때 , Y( tt。) = V, (17 Y) (tto) = W 인 r 을 따르는 Jac obi 장 Y 는 다음과 같이 A,B 의 1 차결합으로 표시된다. Y(u) = (tt-u 0)B(tt) +A(tt) 예 2 d i mM=2 에서 r : I-M 을 축지선이라 하자. X를 g( X,r)=O, IIXll=l 인 r 을 따르논 평행 vec t or 장이라 하면, g (Y ,r )=O 인 r 을 따르는 임의의 J acob i장 Y 는 Y=ip X (ip =g( X, Y) ）로 표시된다. 따라 서 곡면에서의 Jac obi 의 방정식은 다음과 같다. 습 +K ip =O 여 기 서 K(s) 는 접 r(s) 에 서 의 Gauss 의 곡률이 다. 다음, J acob i장과 밀접한 관계가 있고, 측지선의 대국적 성질 및 R i emann 다양체의 위상적 성질의 연구에 중요한 역할울 하고 있는 축 지선의 공액접에 대하여 고찰하기로 한다. 정의 측지선 r 상에 2 접 P=r(O), q =r(L) 를 잡고, r 를 따라서 항동 적 으로 0 이 아닌 Jac obi 장 Y(s) (os ;ss ; L) 가 촌재 하여 Yp = Yq = O 을 만족할 때, 접 q를 접 P 의 공액접 (con j ug a t e p o i n t)이라고 말한다. 위의 정의에 의하여 접 P 는 겁 q의 공액접이고, J acob i장 Y 는 ?’에 수칙이다. 접 P 의 충분히 작은 좌표근방 U 내에는 점 P 를 중십으로 하는 표준좌표계가 촌재하므로, 다음의 사실을 알 수 있다. 〈측지선 r 상의 접 P 의 충분히 작은 근방내에서는 공액접이 존재하지 않는다〉.
한편, 경우에 따라서는 측지선 7 상의 접 P 의 꽁야 1 점 q가 P 와 일치하 는 경우도 있다. Eucl i d 공간 Rn 에서는 공엑접이 촌재하지 않는다. 측지선 r 상의 접 P 의 공액접을 q라 하자. 이때 r(s) 에 수직인 Jac obi j-pj y 가 p, q 에 서 0 이 되 는 일차독립 인 수를 P 의 공액 정 q 에 서 의 연恒 度라 한다. 중복도는 기하학적으로 r 의 근방에서 P 와 q를 지나는 측지 선이 몇 개 촌재하는가에 대한 양적 관계이다. 예 3 반경 a 인 구면 양상의 1 접 P 를 중십으로 하는 측지극좌표 (r,O)(O
p
그림 5.9
일반적으로, 곡률 K>o 인 n 차원 구면 S” 의 1 접 P 를 지나는 임의 의 측지선 r 에 대하여 접 P 의 공액접은 그 대극점 q이고, 그 중복도 는 n-1 이다. 한편, 측지선 r 상의 2 접 P=r(O), q= r(S1) 사이에 접 P 의 공액접 이 촌재하지 않으면, r 는 P 와 q 사이에서 상대적 최단선이 된다는 것 이 알려져 있다(石原 p.1 37 참조).
* 연습문제 (5) I) (x\ 곳)를 R2 의 좌표계라 하고, JR2 의 aff i n e 접 속 을 「 1 ~ =n1=1 을 제외하고는 rh=0 이라 둔다. 이때, R 2 에서의 측 지선의 방정 식을 구하고, 특별히, g( O)=(2, 1) 을 지나 고 g ( O )= 〕\ +〕:인 축지선을구하라. 2) 쌍곡공간형 H=(xE ]R기 |xl
(국)라 하면, (Ex pp) * (t A’) 는 각측지선을 따르는 J acob i장이 다. 여기서 (어 •·•,w ）은 Tp (M) 의기 (e\ … ,en) 의 쌍대기이다. 9) 정곡물공간 (M, g)의 곡률이 k~O 이면, (M, g)의 임의의 측지선 c 에 대하여 c 상의 임의의 접 P 의 공액접은 존재하지 않는다. 10) 측지 선 c 를 따르는 Jac obi 장에 대 하여 다음이 성 립 한다. (a) X 와 Y 가 Jac obi 장이면
제 6 장 부분다양체 여기서는 R i emann 다양체의 부분다양체의 기하학적인 기본개념과 중 요한 성질을 다문다. 部分多樣體의 성질은 R i emann 다양체로부터 유도 되기 때문에 일정한 종속성을 가진다. 25 유도접속과 제 2 기본형식 M 을 1n 차원 Ri em ann 다양체 (M, g)에 等長埋入되는 n 차원 다양체 라 하자. 여기서 m=n+r, r>o 이라 둔다. 등장매입을 (1) i :M 훑 로 나타낸다. 여기서는 국소적으로 다루기 때문에 필요하다면 i를 M 으로부터 M 에의 埋藏으로 생각하여도 무방하다. 아때, M 의 像 i(M ) 을 M 의 부분다양체라 하고, 다양체 M 과 동일시하기로 한다. 그리고 X 를 M 의 vec t or 장이타고 하면, 그 상 i *X 는 i (M) 의 vec t or 장이고, 이것도 X 와 동일시한다. M 상에는 등장매입 i에 의하여 (2) g=i*g 인 계량 ten sor g가 도입된다. g가 M 의 R i emann 계량이므로 g도 R i emann 계량이 된다. 이때, g를 M 상의 誘導 計量(i nduced me tric)이 라고 말한다.
접 PEM 에서 財의 vecto r l; 가 모든 XE T p (M) 에 대하여 g(X , [;) =O 을 만족할 때, 3 를 접 P 에서 M 의 법 vect o r 라고 한다. M 속의 M 의 단위 법 vecto r 장을 법 절 단 (normal secti on ) 이 라고 한다. T(M) l. 을 M 의 모든 법 vec t or 가 이루는 법 vec t or 속이라고 하면, r 개의 1 차독립인 법철단 f 1, …,!;,.를 T(M) l.에서 덱할 수 있다. 앞으로 f1, … , e 셋~ M 의 각 접에서 정규직교계를 이룬다고 가정한다. M 의 접 vecto r 속 T(M) 을 M 에 제한하면 T(M)w= T(M)(f )T (M)1. 와 같이 두 vecto r 속의 직 합으로 표시 된다 .
그립 6.1
F 를 (M, g)상의 Rie m ann 접 속이 라고 한다. 정의 임의의 X, YE P£ (M) 에 대하여 (3) VxY=11xY 표 (X, Y) 라 두고, 이것을 Gauss 의 곡식이라고 말한다. 여기서 J7x Y, h(X, Y) 는 각각 PxY 의 접성분, 법성분을 나타낸다. h 를 M 의 재 2 기본형식 (second fun damenta l for m) 이 라고 말한다. 補題 6. 1 J7 는 (M, g)상의 Ri em ann 접 속이 다.
증명 F 가 선형집속인 것은 쉽게 증명할 수 있다. 다음, VxY=vxY+h(X, Y) Vy X =17y X +h(Y, X) 라 둔다. X,Y 를 각각 X, Y의 阮에의 연장이라고 하면, [X,Y] 의 M 에의 제한은 [X, y〕오卜 일치한다. 따라서 撲, Y]p= [X, YJ (pE M) 이고, M 상에서 VxY=VxY, VrX=Vy X 이나. 따라서 FXY_ F EX-[X, Y] =/7x Y 一/i' YX_ [X ,Y ] +h(X, Y)-h(Y, X) 여기서 카년은 0 이므로 (4) /1x Y-17yX -[X, 四 =o (5) h(X, Y)=!z( Y,X) 이다. 따라서 F 는 연물 0 이고, h 는 대칭이다. 한편, ttg =o 에서 X, g( Y, Z) =g(ftxY , Z) +g(Y , VxZ) 이고, g(ftxX , Z) =g(J7x X+h(X, Y), Z) =g(J7x Y, Z). 마찬가지로, g (Y, J7 xZ)= g (Y, J7 xZ) 가 성립하므로 (G) X,g ( Y,Z)=g (J7x Y,Z)+g ( Y,J7 x Z). 죽, J7g =O 을 얻는다. 따라서 F 는 M 상의 유도계량 g의 R i emann 접속 이다 . 다음, 법성분 h(X, Y) 의 기본성질을 조사한다. M 의 미분가능인 법 vec t or 장의 전체집합울 ff (M) l.로 나타낸다. 이것은 R 상의 vec t or 공 간이고, sr(M) 상의 환이다. 補題 6.2 사상 h: ft (M)X ff (M) 一또 (M) l.온 대칭이고, sr(M) 상
에서 쌍선형이다. 증명 h 의 대칭은 이미 증명하였다. X, Y 에 대한 가법은 Rie m ann 접 속 F 에 서 명 백 하다. f든:Y (M) 에 대 하여 V1x Y+ li (JX , Y) = V,; Y=f ilx Y =f(V xY+h(X, Y)) 따라서 (7) h( JX , Y) =fh(X , Y) 그리고 대칭성에 의하여 h(X, fY)=fh(X , Y) 을 얻는다. 점 PEM 에 대하여 ’tp: Tp (M)xTp (M)--Tp (M) .I.을 P 에서의 제 2 기본형식이라고 한다. M 을 M 에 매립되는 초곡떤이라고 하면, 접 PEM 의 근방 U 에서 단 위 법 vec t or 장 e 를 잡을 수 있다. 임의의 vec t or 장 X, YEr(U) 에 대하여 (8) h(X, Y) =a:(X , Y)~ 라 두면, a : ¥(U) X¥(U)-+ ff (U) 는 대칭이고 JY (U) 상의 쌍선형사 상이다. 여기서 단위법선 vec t or 장 e 를 국대적으로 잡을 수 있으면, a 는 사상 fZ (M) X¥(M) 一夕 (M) 로서 국대적으로 정의할 수 있다. 일반적으로, M 울 여차원 r 인 부분다양체라고 하면, 각 접 P 드 M 에 서 국소적으로 r 개의 정규직교계를 이루는 법 vec t or 장 G, … ,er 을 잡 을 수 있다. 이때, (9) h(X, Y)= 효 (X, Y)& i= I 라 두면, r 개의 제 2 기본형식을 얻는다• 정의 입의의 XE!! E( M), f술 (M) .l.에 대하여 (10) Vxe=— A, (X) +Dxe 라 두고 이것을 We i n g ar t en 의 공식이라고 말한다. 여기서 -AE(X) 와 Dxe 는 각각 Pxe 의 접성분, 법성분을 나타낸다.
補題 6. 3 사상 A : :!l:(M ) X:!£(M) .1.-:!l: (M) 은 t7 (M) 상의 쌍선형 이 고, A(X,e)=A,(X) 로 표시하면, (11) g( A,(X), Y)=iJ( h(X, Y),e ) 가 성립한다. 증명 X 또는 e 에 관한 가법성은 명백하다. 임의의 f E ff (M) 에 대 하여 i1x Ue) =f• Vxe + (Xf ) e = 一f (A,((X)) +f·D xe+ (Xf) e, fx (ff ) =_Af c (X) +Dx(fe ) . 두 식에서 점성분과 법성분을 비교하면, A11(X) =fA, (X), Dx( fe) = (Xf )t;+f•D xe 를 얻는다. 한편, 같은 방법 으로 FIXe 를 계 산하여 A,( fX) =f·A ,(X), D,xe=J •D xe 를 얻는다. 따라서 A1(X) 와 Dxe 는 각각 x,e 에 대하여 쌍선형이다. 다음, 임의의 YE !r (M) 에 대하여 g (Y,e)=O 이므로 g(V XY, e) +g(Y , i1x e) =O. g(/7x Y+h (X , Y), e)-g( Y, A,(X) +Dx/;) =O. 한편, g(r xY, e)=g (Y ,Dxe)=O 이므로 g(h (X, Y), e) =g( A,(X), Y) 을 얻는다. 여기서 h(X, Y) 가 대칭이므로, A, 도 대칭이고 g( A,(X), Y)=g( X, A,(Y) 가 성립한다. 위에서 정의한 A 를 M 에 수반된 第 2 基本形式 간단히, M 의 제 2 기본 형식이라고도 말한다. 補題 6. 4 사상 D : f.l (M) X f.l (M) .L->f.l (M) .L을 D (X, e) =Dxe 로 정 의하면, D 는 법 vec t or 속 T(M) .L상의 유도계량에 대한 계량접속이다.
증명 보제 6.3 의 증명에서 D 는 T(M) .I.상의 선형 접속 이다. 임의의 t, 7J c !l, ·(M) .I.에 대하여 Vx~=-A1(X) +Dx~. i7재 =-A,(X) +D x7J 이므로, g(D xe, r;) +g(e , Vxr; ) =g(Vx e, r;) +g(~, Vxr; ) =X· g(€,까 따라서 D 는 T(M) l.상의 계 량접 속이 다. 예 1 M 을 3 차원 Euclid 공간 R 뎌 부분다양체 인 곡면 이 라 하고, 그방정식을 X=X(t41 , u2) 라 하자. M 상의 1 접 P 에 서 X1=uX/ou1, X2=uX/ot4 2 라 두면, {Xi, X2} 는 접공간 T p (M) 의 기이다. R 막의 계량과 선형접속을 각각 <,> , D 라 하고, M 상의 계량 t ensor 와 선형접속을 g ,r 라 하자. 이때, g (Xi, Xj ) =
X(u1, tt2) = (cos1t 1 cosu2, cosr,1 sin u 2, sin u 1) 이라고 하면, X1=oX/ott 1 = (-sinu 1 cosu2, -sinu 1 s i nu 러 cosu1) X2=oX/ou2= (-cosu1 s i nu 리 cosu1 cosu2, 0) 이다. 따라서 gu =I, g1 2=0 g 22=cos2 마 이다. 다음, 법 vecto r e 윤 내부로 향하는 것으로 정하면 e=_X 이다. Xu= (-cosu1 cosu2, —cos u1 s i nu 广 s i nu1) =t XX2122 == ((s 一in cu o1s us1in ct to2 s, u2-, s—inuc 1o s cuo1s us 2i n, u0 리). ) . 따라서 Lu=-1, L12=0, L22=cos2u2 이다. 한편 ~1=-X1, &=一 X2 이므로 L(=l, L1 = 0, Lf =O , L1=1 이다. 따라서 S1(1) 의 Gauss 곡물 K, 평군곡물 H 는 K=det( L j) =I, H=½t ra ce(Lj) =1 이다. 26 Gauss, Codazzi 의 방정식 (M, g)를 (n+r) 차원 R i emann 다양체 (M, g)에 둥장 매입되는 n 차 훤 Ri em ann 다양체 라 하자. 먼저 , M, N 의 곡물 ten sor R, R 의 관계 를 조사한다. 여기서는 국소적으로 취급하기 때문에 M 에 대한 법 vec t or 장 &,…, Er 을 잡고, 이들은 M 의 각 접에서의 법공간에서 정규칙교기를 이룬다 고 가정하자. 그리고 a i를 e,·(1 갛 ~r) 에 관한 기본 제 2 형식이라 하고, A.-=Au 로 표시한다. 임의의 X, Y,ZE f,l (M) 에 대하여
FXF}.z=Fx(VYZ+Ea'.( Y , Z)습) =Vx(fly Z ) —iE= l a '.( Y , Z)A, (X) i= l F(X Ylz=+F (江X Y X•laz•+·(2 Y[,a Z'.()F + xaY,., (ZX), —fl ya Zi)( F 〕Y紅,X +, Z2) 갑]&( Y, Z)Dx~;, i= l i= I 이다. 이것을 (1) R(X, Y) Z=Vx ily Z-V yil xZ 구 (X YJZ 에 대입하고, 접성분을 구하면 다음과 같다. R(X, Y)Z +,E [ a,.(X, Z)A ,(Y)-a ,.(Y, Z)A ,(X.)] W 찰 (M) 이면, &,… ,er 이 정규직교기이므로, g( R(X, Y)Z, W)=g ( R(X, Y)Z , W)+ .E回 (X,Z)a,.(Y, W) -a,.(Y, Z)a,.(X, W)] =g(R (X, Y)Z, W) +g (h (X, Z), h(Y, W)) -g(h (Y, Z), h(X, TV)). 따라서 다음을 얻는다. 補題 6.5 X, Y,Z, W 줍 (M) 에 대하여 (2) R(X, Y, Z, W) =R(X, Y, Z, W) +g(li(X , W), lz(Y, Z)) -g(h (X, Z), lz(Y, W)) 윤 얻는다. 이것을 Gauss 의 방정식이라고 말한다. 한편, (1) 에 서 법 성 분을 구하면 다음과 같다. R(X, Y)Z l.=(戶 )(Y, Z)- （戶 )(X, Z). 여기서 (Vx h) (Y, Z) =Dxh(Y, Z)-h(VxY, Z)-h(Y, VxZ) 이므로, 이것을 위에 대입하여 다음을 얻는다. 補題 6.6 R(X, Y) Z 의 법성분은 (3) R (X, Y) Zl. = (l1xh)( Y, Z) -( 17y h ) (X, Z)
=Dx h( Y, Z) 一 D y h(X, Z) 一 h([X, 幻, Z) _h( Y, /7x Z) +h(X, /7Y Z) 이다. 이것을 Codazz i의 방정식이라고 말한다. 다음, M 의 법 vec t or 속 T(M) l.의 곡률 ten sor R 1.를 X, Y 슨 !!r (M), f드 요 ’ (M) l.에 대하여 (4) R1 .( X, Y)f; = DxDy f;- Dy D x;-Dcx,Y1f; 로 정의한다. 이때, R(X, Y)t;= VxVy f;- Vy V xt; — P(X Y) 존 =Vx ( —A , Y+ Dy f;) 一 Vy ( 一 AeX+Dxf; ) -(－꼬 X, YJ +D ex,Yi f) =R1 .( X, Y)f;-h (X, AeY ) +h(Y, AeX) - (VxA) 1 Y+ (f1yA ) 1X 病透·(Af)J.이라 하고, [A,,A 』 =A,A 一 AA, 라 두면 -g(h (X, At Y), TJ) +g( h(Y, A1X), TJ) =-g(A X, A, Y ) +g(A Y, A,X) =-g([ A,, A 』 X, Y). 따라서 , 다음을 얻는다. 捕題 6. 7 M 의 법 vecto r 속 T(M) .l의 곡률 ten sor 는 (5) R(X, Y, e, 7J) =R. l(X , Y, e, 7J) +g(따, Ar]X, Y). 이다. 이것을 R i c ci의 방정식이라고 말한다. lW (c) 를 정 곡률 C 를 갖는 m 차원 Rie m ann 다양체 라 하고, M 을 M(c) 의 n(m>n) 차원 부분 다양체라 하자. M 의 곡률 t ensor 는 Gauss 의 방정식에서 (6) R(X, Y, Z, W)=c[g ( X, Z)g ( Y, W)-g( Y, Z)g ( X, W)] +g(h (X, Z), h(Y, W))-g( h (Y, Z), h(X, W)) 이다. 한편 g( h(X,Z),h(Y, W))-g( h(Y,Z),h(X, W)) =,E [g(h (X, Z), e.)g ( e., h(Y, W)) -g(h (Y, Z), e 。)g (e., h(X, W))]
= I; [g (AaX, Z)g (A. Y, W) -g (A. Y, Z)g (Aa X, w) ] a 이므로 (I)은 다움과 같 이 표시된다. (7) R(X, Y,Z, W)=c[ g ( X,Z)g ( Y, W)-g ( Y,Z)g ( X, W)] + I; [g (AaX, Z)g (Aa Y, W) -g (Au Y, Z)g (A.X, W) ] . a 다음 S 를 M 의 Ric c i ten sor 라고 하면 , (7) 에 서 (8) S(X, Y)= (n-I)cg ( X, Y)+ Lg ( A.X, Y)tra ceA. —2 g ( Aax, AaY) “ 。 이 다. 그리 고 scalar 곡문은 다움과 같 다. (9) r=n(n 一 I)c+ I; (tra ce A.)2-I; trac e A~. 여기서 I;(t raceAa )2은 M 의 제 2 기본형식의 길이의 자승과 같다. 이 것을 IAl2 으로 표시하면 (10 ) II i I 2= I; g (h (e.-, ei) , h (c; , c ;) ) = I A l ~ ;, j 이 성립한다. 다음에 우리 논 m 차원 Ri em ann 다양체 (M, g) 의 n 차원 Ri em ann 부 분다양체 (M, g)의 구조방정식을 구한다. (M, g)상의 정규직교계 {cb ···,e. . ｝을 M 에 계한했을 때 C1, … ,en 이 M 의 접 vec t or 이고, en+I,… ,c' 이 M 의 법 vec t or 가 되도록 정한다. 여기서 {e1 , … ,e .. ｝의 쌍대기를 {w\ …, 0} 이 라고 하자. 앞으로, 지표는 다음과 같이 약속한다. A, B, C, …= 1, …, m ; i,j, k, …= 1, ···, 11 ; a, b, c, …= n+I, …, m. 이때, M 의 구조방정식은 다음에 의하여 주어진다. d 값=－아/\값, 어 +w i =O, d 야 =_(1)g^(1)$＋따 떠=강 R}CDwc^ (1) D• 이것을 M 상에 제한하면 (1) a=0 이고, O=d(1 )°=_(1)?A (1 )i 이다. 따라서 (11) (J)?=h'tj(J)i, Mi= h'J, 을 얻는다. 여기서 hf;=g (Aae,.,e/ ）이고, h fi는 ea 에 관한 기본 제 2 형 식 Aa 의 성분이다. 따라서 Aa 는 (n,n) 행렬 Aa=(h '/j)로 생각할 수 있
다. 이때, 다음을 얻는다. (12 ) d (J)도=一(J) A/\ (J)\ (J)t+w t =O , (13) d (J);=_(J) 1/\ (J)因 +n;, n;=½R;kI(J)k /\(J )’, (14) R;u=R;hI 一 2(h?kh? ― h& h'J.), (15) dwg =-(J):/\(J)°i + m, m= 장1 R g/(J) k/\ (J)/, (16) R;u=R:? (I& l 뱌 ― M 1 M.). 방정식 (9) 는 Gauss 의 방정석 (2) 의 국소표현이고, 방정석 (11) 은 Ri cc i 의 방정식 (5) 의 국소표현이다. 미분 1 형식 (어)는 M 의 Ri em ann 접속윤 정의하고, ( 아)는 M 의 법 vec t or 속 T(M) .L 의 유도접속을 정 의안다. M 의 제 2 기본형식은 ]l? ） 아硏 ea 로 표시되고, 이것은 때때로 그 성 분 ll ?, 로 나타낸다. 제 2 기 본엉 석 이 가환이 되 기 위한 필요충분조건은 모 는 a, b, i, k 에 대 하여 EKILf, It }k _ IgJ ttJ) =0 이 다. 만일, 모든 a, b, k, l 에 대하여 R;:, .i =O 이면, M 의 법접속은 평탄이다. M 의 평균곡물 vecto r 1il 은 上11 @• ;,l t 如%)이다. 만일 Ig, 칸 (입 l :h) 8,J 이 면 M 은 全買的 (§28 참조)이고, 모든 a 에 대하여 (17) 2h;k= o l: 이 연, M 은 극소적 ( 極 小的)이다. 한편, It?i 의 공변 미 분 Vkh?} 를 liflk 로 표시 하면, (18 ) Ii ?) . /=dl따 一 I t?，아 -h 'iJo :+Ii ?;w t 이다 . 모든 지표에 대하여 ILf ik= 0 이면 M 의 제 2 기본형석은 평행이다. 예 1 M 을 3 차원 Eucl i d 공간 R 내의 곡면이라고 하면, 다음의 공 식이 성립한다. (a) Rf jk= L ,kL 尸. L/jL :. (Gauss 의 방정 석 ) (b) LiJ , k_ L,.k, j =P ( {{사 L,l j —{t} 나 (Codazzi- Main ardi 의 방정식 )
증명 Gauss 의 공식 X,.j= E {5}x,+LuN 을 미분하면 xi i,•=I: {상, kxh+r : {t1} xhk+Lii ,.N +L;jN . =E {}}, KXh+E {::} {;:tk} xm+E {5}LnN =I+:( L{?ii ,j k},N k 一- IL;; L j; Lj L白 +iX E h 鬪 {,,:\})xh +(L,J` k +E {:}}Lhk)N. 한편, 곡면을 적어도 C3 급의 부분다양체로 생각하면, xi j,k =X,'k,i 가 성립한다. 위의 등식에서 접성분과 법성분을 비교하면, {t}, .-L;1L~+ 罰 {:나 = {십, ,— L;.L7+ {7k} {나 L;i,k +r : {{1}Lhk=L,k ,＋나나 L hf. 이것을 정리하면 (a), (b) 를 얻는다. 예 2 M 을 2 차원 곡떤이라고 하면, 예 1 의 (a) 에서 R1ij /c=g,h Rtj 1c =L .. ,.L/ j-L ,-jL1 /c . 여기서 l=j = I, i =k=2 라 두면 R1212 =LuL22-L21L12 =det ( Lii ) =det( ( LD (gk ;)) =det( L j) de t( gki ) =Kg 을얻는다. 27 전측지 부분다양체 정의 부분다양체 M 의 제 2 기본형식 h 가 항상 0 일 때, 즉 h=O 을 만족할 때 , M 을 全測地的 (tot a l ly ge odesic ) 이 라고 말한다. 부분다양체 M 이 전축지적이면 Gauss 의 공식에 의하여 (1) PxY=f1 x Y 가 성립한다• 따라서 VxY 는 M 의 접 vec t or 장이 된다. 그리고 열분
ten sor 와 곡률 ten sor 의 정 의 에 의 하여 (2) T(X, Y) = T(X, Y), R(X, Y)Z =R(X, Y) Z 가 모든 X, Y,Z E ?I (M) 에 대하여 성립한다 . 따라서 전측지적인 TuT uE . 다양체 는 Rie m ann 다양체 의 가장 단순한 부분다양체 이 다. 정리 6.8 M 의 부분다양체 M 이 전축지적이 되기 위한 필요충분조건 은 M 의 측지선이 M 의 측지선이 되는 것이다. 층명 h= O 이 라고 가정하면 M 의 입의의 접 vec t orX에 대하여 VxX =/7 xX 가 성립한다. r(s) 를 M 의 한 축지선이라고 하면, F#=0 이 성 립하고 F#=0 을 얻는다. 따라서 r(s) 는 M 에서도 축지선이 된다. 역으로, M 의 측지선이 M 의 측지선이 된다고 가정한다. Xp E Tp( M ) 을 접 P 에서의 단위 접 vec t or 라 하고, r(O)=P, r(O)=Xp 를 만족하는 M 상의 측지선 r(s) 를 잡는다. 이때, V,r= /7 #=0 이 성립하고 h(Xp , Xp )=O 이다. h 는 대칭이고 쌍선형이므로 임의의 접 P 에서 h=O 이다. 補題 6.9 M 룹 연결인 R i emann 다양체라 하고, G 를 M 의 등장변환 군이라고 한다. G 의 부동접의 집합을 F(G,M)={PEMlg (p)= P,g E G} 라 하면, F(G,M) 의 연결성분은 M 의 전축지적인 페부분 다양체이 다. 증명 F(G, M) 국 이 면 명 백 하므로, F(G, M) =I=-¢ 을 가정 한다. PE F(G,M) 에 대하여 V p를 G 의 모든 원에 의하여 불변인 vec t or 로 이 루위지는 T p (M) 의 부분공간이라고 하자. 정리 5. 7. 에 의하여, Expp : u ..... M 가 미분동형사상이 되는 T p( M) 의 0 의 근방 U 가 촌재한다. U=Ex pp (U) 라두고 U 는철집합 (convex) 이라하자. 이때, unF(G, M ) =Expp ( Vn Vp) 이 고, pE F(G, M) 의 근방 un F(G, M) 는 부분다양체 Expp ( Vn V p)입을 알 수 있다. 따라서 F(G,M) 는 M 의 부분다양체로 이루위진다. 그리고, F(G,M) 가 페집합이라는 것은 명백하다. 다음, F(G,M) 상의 가까운 2 접 p,q를 유일한 최단측지선 r(s) 로 맺 어질 수 있는 접이라고 한다. 각 g EG 에 대하여, (g or)(s) 는 역시 p,q 를 맺는 측지선이다. 죽 g or 는 바로 r 이다. 따라서 이 측지선의 모든
접은 임의의 g EG 에 의한 불변점이 되어야 한다. 그러므로 , F(G.111) 의 연결성분은 전축지적이다. 예 1 JR 3 에서 있군-평면을 M 이라 하면 M 은 간의 개부분 다양재이 다. 이때, ~=(0, 0, 1) 은 lR 내 에서 M 의 단위법 vecto r 이 다. Dx? = O 이므로 A=o, 죽 h=O 이다. 따라서 M 은 R3 의 전축지부분 다양체이다. 일반적으로, R 의 개부분다양체 M 은 전축지지이다. R 와 마찬가지 로, Rie m ann 다양체 의 개 부분다양체 도 전축지 척 이 다. 정의 n 차원 부분다양체 M 에서 H=__!1_l t raceh 를 M 의 평균곡 릅 vec t or (mean curvatu r e vec t or) 라 하고, H三 0 일 때 M 을 극소적 (m i mal) 이 라고 말한다. {E1, … ,E ）을 T p (M) 에의 정규직교기라 하면, M 의 평균곡물 vecto r H 는 (3) H=-n l.i =t I h(E .-, E.-) 로 표시되고, 이것은 기의 선덱 에 무관계이다. 한편, T p (M) J.의 기 {&, …, e. . -} 에 대 하여 HE 따 (M) J.이 고 (4) H= 一n1 m2.=- l (tra ce A.)&=_n1 2.=( I 2i(= AI aE,.,E j) & 으로표시된다. 예 2 M 을 R 대의 곡면이라 할 때, 법 vecto r e 에 대한 제 2 기본형 식 Ar 의 성분을 L} 라 하면 강t race (LD = 늄i L, . j 이다. 따라서 M 이 극소적이 되기 위한 조건은 다음과 같다. g1 1L22-Zg 1 2L12+g 2 2Lu=O. 다음의 곡면이 극소적인 것은 쉽게 증명할 수 있다. (a) X(u1, u2) = (u2cos 갑, u2sin u 1, au1) (heli co id )
(b) X(u1, 1,2) = (coshu1 cosu2, coshu1 sin u 2, u1) (cate n oid ) 예 .? (x, y, z) 를- ；한 의 표준좌 표 계 , (l, 1& u3, 1t4, u5) 를. R6 의 표준좌 표계라 할 때 사상 ul=(§)'yz, 142=(})}2X, 1 t 3 =( 강)상 x y u4= （喜)｝았-y 2), 145 캬 (x2 + y 2-2 군) 운 생각한다. 이것은 훈(✓ 경)으로부터 S4(1) 의 등장매입을 정의한다. S2( ✓ - J )의 2 접 (x, y, z), (一 x, -y, -z) 는 S4(1) 의 같은 검 에 사상되고 이것은 실사영평면 P2 으로부터 S4(1) 에의 매장을 7 정의한다. 이와같이 S4 애 매장되는 신사영평면울 Veronese 곡면이라고말한다. 이것은 S4(1) 의 국 소곡면이다. 예 4 S q (r) 을 만 정 r 인 Rq + 1 내의 q차원 구면이라 한다. n, p는 P< n 인 自 然放 이 타고 한다. M p,n - p 문 MP, n - p =SP( ✓ !) x s -'（건국E_) 와 같은 적다양체로 정의한다. Mn,n- p를 s•+l(1) 에 다음과 같이 매장한 다. (X1, X2)EMP,n- p 에서 짜지은 각각 R P+ l(R•- P+ l) 에서 길이 J面; (V(1E- p )/?1) 인 vec t or 라 한다. 그리고 (x1'%) 를 Rn+2=RElXR-p+ 1 에서의 단위 vec t or 로서 생각한다. 이때, Mp ,n ―p는 s•+1c1) 의 극소부 분다양체 이 다. 이 것 을 S +l(l ) 의 Cli fford 극소초곡면 이 라고 부유는다. 목히 , n=2, P=l 일 때 M1,1 은 훈 (1) 의 평탄인 국소곡면이다. 이것을 Cli fford tor us 라고 말한다. 補題 6.10 M 을 R .. 의 com pac t인 ?1 차원 부분다양체라고 하면, 입 의의 XET p。 (M), XFO 에 대하여 h(X,X) -=f:- 0 인 점 Po 든 M 가 존재한 다. 증명 x( p)를 점 PEM 에 대응되는 R .. 의 점의 위치 vec t or 를 나타 낸다고 하자. 'P（p)=〈 x( p ),x( p)〉 /2 라 두고, M 상의 미분가능인 함수 'P가 Po 에서 최대치를 갖는다고 하자. 죽, Po 은 R 에서 원접으로부터
최대거리룬 갖는 접이고 x(Po)=Xo 이다. P 가 Po 에서 국소최대치를 갖 는다면 다음은 명백하다. Po 의 근방 U 가 R' 에 매장된다고 가정하고, p EU 와 x( p)를 동일시한다. 따라서 cp(p)= 〈 p,p 〉/ 2 이다. U 상의 vec t or 장 X 에 대하여 X p는 vec t or 치함수이고 X 문 나타낸다. 따라서 x i'=〈 X, p〉이고 Po 에서 이것은 0 이다. 즉, 〈 X p。 ,Po 〉 =0 이다 . X 는 임 의 의 vecto r 장이 므로, vecto r Po 은 Po 에 서 M 의 법 vecto r 이 다. 고리 고 점 p° 에서 DxX=vxX+h(X, X) 이므로 x2cp =
(1) At = AI (2 찰 (M)) 을 만족할 때, M 을 E 에 관하여 제적 (umb ili c) 이타고 하고, M 이 모든 법 vec t or 장에 관하여 제적일 때, M 을 M 의 全膜的部分多樣體(t o t all y umbil ic a l subman ifold) 이라고 말한다. 위의 정의에서 전측지 부분다양체는 전제적 부분다양체의 득벌한 경우 (A =O) 임 을 알 수 있다. 補題 6.1 2 부분다양체 M 이 전제적이 되기 위한 필요충분조건은 접 vecto r X, Y 에 대 하여 (2) h (X, Y) ::::g (X, Y) H 가 성립하는 것이다. 여기서 H 는 M 의 평군곡률 vec t or 이다. 증명 M 울 전제적 부분다양체라 하면, (1)에서 임의의 법 vec t or 장 E 에 대하여 (3) g( h(X, Y), 0 ::::g( AcX, Y) ::::g( AX, Y) ::::Ag ( X, Y) 가 성립한다. 한편, 겁 PEM 의 접공간 T p (M) 의 정규직교기를 {E1, … ,E.) 이라 하고, 위의 식에서 t race 를 취하면, (4) g(n H, ~) =n2 :. 2=g (H , O. 이것을 (3) 에 대입하여 h(X, Y)=g( X, Y) H 를 얻는다. 역으로, M 의 모든 접에서 (2) 가 임의의 X, YE !1E (M) 에 대하여 성 립한다고 하면, g(h (X, Y), l;) =g(A rX, Y) 에 의하여 (5) g(g( X, Y)H , t;) =g( X, Y)g (H, t;) =g(A rX, Y). 여기서 g (H, l; )=l 라 두면 Ar=U 를 얻는다. 예 1 R 네의 단위구면 훈(1)에서 법 vec t or 장 e 를의부(또는내부)
로 향하는 단위 법 vec t or 로 잡으면 l;p =OP( 또는 ― OP) 이므로 A,=T (또는 ― I) 이다. 따라서 훈 (1) 은 R 3 의 전제적 부분다양체이다. 일반적 으로, R 의 전제적 부분다양체는 초평면 또는 초구면이라는 사실이 다 음의 §29 에서 밝혀진다. 정리 6.13 정곡물공간 M 의 전제적 부분다양체 M 은 정곡 물 공간이다. 증명 M 이 전제적이면 h(X, Y)=g(X , Y) H 가 임의의 접 Yecto rX, Y 에 대하여 성립한다. 이때, M 의 곡물 t ensor 는 다음과 같 나. (6) R(X, Y,Z, W)=(c+IHl2)[g ( X,Z)g ( Y, W) -g(Y , Z)g ( X, W)] 따라서 d i mM>2 이떤 M 은 정곡 률 c+IHl2 를 갖는 부분다양체이다. 한편, dim M= 2 이 면 h (X, Y) =g (X, Y) H 를 Codazzi 의 방정 식 에 대입하여 (7) g( Y, Z)DxH=g ( X, Z)Dy H 을 얻는다. 여기서 Y=Z ..l_ X 로 되도록 잡으면 DxH=O 이다. a=IHI 률 평군곡물, f를 H= 짜인 단위 법 vec t or 장이라고 하면, (8) (Xa) e+aDx~=O. 여기서 Dxe 와 E 는 직교하므로 a 는 일정하다. 따라서 |H1 = 정수 이므 로 M 은 정곡률공간이다. 정리 6.14 실공간형 R .. (K) 의 n 차원 전제적 부분다양체 M 은 R, ,(K ) 에서 전축지적이거나, R'(K) 의 n+I 차원 전축지 부분다양체의 초구 면에 포함된다. 증명 M 을 곡물 K 인 공간형 Rm(K) 의 전제적 부분다양체라 하면 정 리 6.13 의 증명 중에서 평군곡률 vecto r H 는 일정한 길이를 갖는다. (i) H=o 이면 h=O. 따라서 M 은 전축지적이다. (ii) H~o 이라 가정한다. 이때 M 상에 국소적으로 m-n 개의 칭규 직 교 법 vecto r 장 &, ••• , e,._” 을
(9) H= \H\€1 되도록 잡을 수 있다. M 이 전제적이므로 令, ••• ，도에 관한 제 2 기본형식 A2,···;A .. - n 은 0 이다. 죽 (IO) A2=···=Am- n= O Codazzi 의 방정 식 과 (2) 에 서 g( X, Z)Dr~1=g ( Y, Z)Dx~1 울 얻고, 임 의의 vec t or 장 X 에 대하여 (11 ) Dxf 1= 0 이다. 이것은 e1 과 H 가 법 ve ct or 속(束)에서 평행임을 나타낸다. 따 라서 (1 0) 에서 令,… ,em-n 에 의하여 생성되는 법부분공간이 JR •(K) 의 접속 F 에 대한 평행이동에 대하여 불변임을 알 수 있다. 죽, (12 ) Vx(~2(\ ••• (\f.,_n ) =O 이 임 의 의 vecto r 장 X 에 대 하여 성 립 한다. 다음, K=O, K>o, K
(ii) K=l . 증명을 단순화하기 위하여 R'(1) 윤 §19 에서 주어전 타원 공간형 으로 생 각한다. 그리 고, 1R 마 나] 의 I군 ' (1) 의 중십 (0, …, 0, 1) 에 관한 위치 vecto r X 를 생각하자. 각 접 P E][ 군 ' (I) 에 대하여 r; =X 는 R i emann 계량 g에 대하여 R' +l내에서 R' (1)의 단위 법 vec t or 이다. 이 때, Rm(1) 에 접하는 vec t or 장 W 에 대하여 F I~ n=W 가 성립한다. 여 기 서 r* 는 계 량 g*= (dx1) 2 + …+ (dx'+1) 2 으로부터 유도된 Ri em ann 집 속인 Rm+1 상의 Euclid 접 속이 다. 더 우기 , 17~ V=11uV-g * (U, V)r; 가 R' (1)상의 vec t or 장 U, V 에 대하여 성립한다. 독벤 히, M 상의 임 의의 vec t or 장 X 에 대하여 F.'g r = Fxfr , r=1, 2, …, m— 1 1. 따라서 M 은 Rm+1 에서 전제적이다. 물론, M 은 Rm+1 의 (n+I) 차원 vec t or 공간과 Rm(1) 의 교집합에 포함된다. 이것으로부터 M 은 Rm(1) 의 (n+I) 차원 전측지 부분공간의 초구면에 포함됨을 쉽게 알 수 있다. (iii) K= 리. 앞에서 증명한 (ii)에서 R'(l) 대신에 Rm( ― 1) 을 취하 고, 위치 vecto r X 를 Rm+1 내의 Rm( 一 1) 의 접 (0, …,0 , ― 1) 을 중심으 로 잡으면, 같은 방법으로 결과를 얻는다. 주의 곡률 K 의 공간형 JR .. (te)의 n- 구면은 R'(K) 의 (n+I) 차원 전축 지 부분공간의 초구면을 의미한다. 만일, R'n(K) 의 ?l- 구면이 Rm(K) 의 (n+I) 차원 전축지 부분공간의 大超球(소초구)이면, 이것을 Rm(K) 의 대 n- 구면 (gr eat n-sph ere) (소: n- 구면) 이 라고 부른다. 따라서 정 리 6. 14 으로부터 공간형 R'(K) 의 모든 전제적 부분다양체 M 은 R'(K) 의 ?l- 구면에 포함되는 것을 알 수 있다. 예 2 R'+l 내에서 반경 a(>o) 인 m 차원 구면 S' (a) = {XEJ R'+l I (X, X> = a 가 울 생 각한다. R'+l 에 서 서 로 수직 인 단위 vecto r b1, ···, b,._ 에 대 하여 S'(a) 상의 부분다양체 L(r) 을 다음과 같이 정의한다. L(r) = (XES'(a) |
여 기 서 (d1, …, d .. _n) : \(0, …, 0) 이 고, r2=a2-dr— …— d~ ->o (1 < n
L(<
그림 6.2
제 2 기본형식 a 와 A 의 관계는 g (Y, f )=O 에서 a(X, Y) =g( AX, Y) 이고, 여기서 a(X, Y)=a(Y,X) 이므로 g( AX, Y)=g (AY,X) 가 성립 한다. 다음, Gauss 및 Codazzi 의 방정 식 은 (3) R(X, Y)Z=g ( AY, Z)AX 궁 (AX, Z)AY, (4) (/7x A) ( Y) = (/7yA )(X) 이다. 예 1 M 상의 법 vecto r 장 e 를 a;E, r(M ) 에 대 하여 ~= (a1, …, an+ 1) 이라 하고, (a1) 나… +(an +1 )2=1 을 만족한다고 하자. 사상 'P : M ― ► S 울 cp( P)=(a1(P), ···, an+1CP))ESn 으로 정의하고, 이것을 Gauss 사상 또 는 구면사상 (s p here ma p)이라고 한다. 지금, a( t)를 XET p (M) 의 적분 곡선 (a(O)=P,
예 2 (i) M 을 R 내 의 초평 면이 라고 하면, 단위 법 vecto r e= (a1, •••, an+l) 은 정 vecto r 이 다. M 의 모든 접 vecto r X 에 대 하여 L(X) =Dx~= (Xa1, …, Xa.+1 ) =0 이 다. 따라서 L=O, 죽 A=O 이 다. 그러 므로 R+l 의 초평 면은 평 탄이 고 모든 접이 廣點이다. (ii) M 을 R 내의 만경 1 인 초구면 S 이라고 하고, 5 믈 M 의 의 법선으로 잡는다. 즉, P=(a … ,an+l) 이면 e( p )=(a1( p ),•••,a•+l( p))이 다. 이때, Gauss 사상 p는 항동사상이므로, 모든 X 에 대하여 L(X)= - AX=X 이다. 따라서 L=-A=l 이므로 초구면 S 은 모든 접이 제 접이다. 예 2 의 역을 다음과 같이 증명할 수 있다. 정리 6.15 M 을 R+1 에 등장매입되는 완비이고 연결인 초곡면이라 하자. 이때, M 이 전제적이면 초평면 또는 초구면이다. 증명 먼처 국소적으로 결과를 증명한다. 즉 U 를 접 PoEM 의 근방 이라 하고, 그상 i (U) 가 초평면 또는초구떤상의 개집합임을증명하자. U 의 모든 접이 제접이면 U 의 각 접에서 A=U 인 cm 함수 E 가 존재한 다. 입의의 X, YE !'f (M) 에 대하여, (5) (f7x A) ( Y) =f7x (A Y)- A(Vx Y) =Vx(-
다음, PEU 를 Rn+1 에 대옹하는 점의 위치 vec t or 와 동일시하기로 하고, 3 를 M 의 단위 법 vec t or 장이라고 하면, p +e p는 U 상의 R'1+1 値 vec t or 함수로 생각할 수 있다. 이때, (7) DxOP+e) =AX+Dxe =AX+ (一 AX) =O. 이것은 l p+~가 정 vec t or 임을 나타낸다. 여기서 a=l p+：라고 둔다. (i) l=O 이면 임의의 vec t or 조l- X 에 대하여 (8) X·
=
r 이 M 상에서 접근측지선이 되는 것이다. (ii) JR• +l 에서 측지선이 아닌 M 상의 곡선 r 이 M 에서 측지선아 되 기 위한 팔요충분조건은 D ;-r가 7 을 따라서 M 에 수직이 되는 것이다. 증명 (i) Gauss 의 방정식 에서 (9) Dr f= V,r+a(r, 사 e. Dd=O 이기 위한 조건은/7;-f =O, g( Af ,f)= O, 죽 r 는 점근측지선이다. (ii) /7;-f =O 이기 위한 조전은 D;-r=a(t, f)~, 즉 D ;-r가 M 에 수직이 되는 것이다. 다음, R+1 의 초곡면에 대한 약간의 성질을 설명한다. 각 접 PEM 에서 AI, ••• ,An 을 T p (M) 의 대칭변환 A p의 고유치라 하자. 이때, AXj =J,X. (1 척 ~n) 을 만족하는 T p (M) 의 정규직교기를 {Xi , •··,X ｝이라 한다. (10) R(X;, X1)X.=g ( AX1, Xk)AX ,-g(A X;, X.)AX1 =四j kx‘ 一祐 8, . kxi ={-A0 鬪 :: kk= 감,i j 2j2 /xi : k=j 따라서 R( X. ,X/ ）는 교대행렬 (11) .t./Jl_ .l t'\^.J 功J. l\_\/_ 으로 나타낼 수 있다. (10) 에서 평면 Xj /\xi 의 철단곡률 k(X j /\xj )는 다음과 같다. (12 ) k(X,./\xj) =A,·ij . 그리 고 고유치 Ai, •··, l” 을 접 P 에 서 의 주곡률이 라고 말한다. 만일 k;* A j(i감)이면, l,· 에 대응하는 방향이 정해지는 단위 고유 vec t or 를 접 P 에서의 주방향이라고 한다.
어(t ),•··,a. (t)를 t=(t 1,···, t）에 대하여 다음과 같이 정의한다 : <어13 (( tt)) ==i <~ I i;< t ;kl , ; tj
상하 원 E 에서는 K=O. 일반적으로, to rus T2 에서 E 의 의측에서는 K>o 이고, E 의 내측에 서는 K
z
그립 6.3
다 음 , JR +l 의 초곡면 의 Ric ci ten sor 를 구한다. 補題 6.18 M 을 R +l 의 초곡면이라 하면, 접 PEM에서의 Ric c i te ns or S 는 다음과 같다. S(X, Y) =g(A X, Y)tr a ce A-g( A2X, Y), (X, YETp ( M)). 층명 Ric ci ten sor 의 정 의 에 의 하여 、 S(X, Y) =t race 따 R(Z, X) Y] 이다. 여기서 R(Z, X) Y=g ( AX, Y)AZ 궁 (AZ, Y)AX 이 므로, tra ce[Z-+g (AX, Y)AZ] 는 g (AX, Y) tra ce A 와 같고, tra ce [Z-+g ( AZ, Y)AX 〕는g (A(AX)), Y) 와같다.따라서 S(X, Y) 를얻는다 . 정리 6.19 M 을 JR +l 의 초곡면이라 하고, M 이 E i ns t e i n 공간 : S=
pg이떤 다음이 성립한다 (n 츠 3) : (a) p= O 이 떤 M 은 국소 Euclid 공간이 다. (b) p >O 이면, M 의 모든 접은 제접이고 M 은 국소적으로 초구면이 다. 층명 S=p g 이면 보제 6.18 에서 (tra ce A)A-A2=p l. 여기서 I 는 항등변환이다. 접 PEM 에서 AE,=A;E, · 인 정규직교기 {E1, … ,E ｝을 잡는다. 이때, 위의 방정식은 (Ei ‘. )2;— A 7=p , (I 학 ~n) s=~A;=tr a ce A 라 두면, Ah …, An 은 방정식 22-sJ. +p= O 의 근이 다. (i) p= O 이면 J.( s-A)=O 이다. 따라서 모든 A, 가 O 이되거나 2 i를 재 배연하여 Al= … =2r=s 누 0, 2r+1=… =J.n= O (l ~r~n) 이 성립한다. 후자 에 있어서 rs=s 이므로 r=I 이다. 따라서 A 의 고유치는 0 또는 A1 누 0 이다. 그러므로 접 P 에서 R=O 이고 P 는 임의의 점이므로 M~ 국소 Euclid 공간이 다. (ii) p> O 인 경 우에 모든 Ai 가 같음을 밝힌다. A1 누 A2 인 Ai, J.2 가 존재 한다고 가칭하자. 이때, 모든 A i는 ).1 또는 A2 이서, A1,).2 의 중복도를 각각 k,l 라 한다 (n=k+l). 따라서 J.1 +J. 2 =s=kJ.1 +lA2 죽 (k-l)J.1 + (/-l)J.2 =0 硏 2= p >0 이다. 硏 2>0 에서 A i ,Az 는 같은 부호를 가지고, k=I,l=I 을 얻는다. 따라서 n=2 이고 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 모든 A, ．는 같다. 참고 R+1 의 Ei ns te i n 초곡면 M 에 서 S=p g 이 면 p;? :O 이 성 립 한다. (Ko bay a shi- N omi zu , II , p. 37 참조) 정리 6.20 M 을 Rn+l(n 츠 3) 에 등장매입되는 완바이고 연결인 초곡면 이라 한다. M 이 일정한 단면곡률 K(*O) 를 가지면 M 은 초구면이다. 증명 A 의 고유치 11,···,An 에 대한 고유 vec t or 로 이루어지는 정규
칙교기 {E1,···,E.} 을 잡는다. K(E , AE j )=2 j 2 i에서 n 츠 3 이고 K 가 일정 하므로 A1=··· 크,，이다. 따라서 ,r, >O 이다. 한편, 정리 6.19(b) 에 의하 여 단면곡률 K 가 일정하면 M 은 E i ns t e i n 이므로, M 은 초구면이다. * 연습문제 (6) 1) X, Y 를 M 상의 vec t or 장이라 하고, X 와 Y 를 각각 X, Y의 연 장이라한다. 이때, [X, 幻 IM 은연장에 무관하고〔 X,Y]1M=[X,y〕 이 성립한다. 2) M 을 'n 차원 Rie m ann 다양체 M 의 n 차원 부분다양체 라 한다. 이때, M 속의 M 의 법접속 D 가 평탄이 되기 위한 필요충분조건 은 각 ea 가 평행인 국소적으로 m-n 개의 서로수직인 단위 법 vecto r 장 ea 가 촌재하는 것이다. 3) n(>2) 차원의 E i ns t e i n 공간의 전제적 초곡면에 있어서 평군곡률은 7 4) 일M정'’하 의다 .선 소가 ds2= :g:lgab d x adxb 이 면 x= 일정 인 초곡면은 전축 지적이다. 여기서 g ab 는 자, ···,x-1 만의 함수이다. 5) M 의 선소가 ds2=(x)2a .Inb-;=1 I g ;1dx0dx 나 (dx)2 이면, x= 일정 (=FO ) 인 초곡면은 전제 적 이 다. 여 기 서 ga.b 는 xi, ···, x-1 만의 함수이 다. 6) M 윤 Eucl i d 공간 R 내의 곡면 : x1=rcos
와 같이 청의한다. 그리고 매장 ¢ : M p,-p ...... 5n+1(1) 을 다음과 같이 정의한다 : 접 (X i, X2) 는 MP,-P 의 접이고, 따온 JRP+ l 의, 길이가 야尹;인 vec t or 이고, X2 는 R- p +1 의, 길이가 J (1 t_p)／五 인 vec- t or 이다. 그리고 (X1,X2) 를 R+2=R p +1XR- p +1 내의 단위 vecto r 로 생각한다. 이때, Mp ,-p는 S+l (l)의 극소 부분다양체가 된다. (Mp , -P 를 Cliff or d 의 극소초곡면 이 타고 말한다) 9) M 을 공간형 JR +l(c) 의 초곡면 (n>2) 이라 하고, M 을 Ei ns te i n 공간 : S= pg라 한다. 이때, 다음이 성립한다. (a) p> (n-I)c 이면 M 은 제곡면이고 일정곡률 p (n-1) 윤 갖는다. (b) p =(n-I)c 이면 M 은 정곡물공간이다. (c) p< (n-I)c 이면 c>o, p= (n-2)c 이고, M 은 국소적으로 R p(孛는) x R-{n~c), (1
제 7 장 변환군 다양체 M 상의 기하학적 대상을 불변으로 하는 변환군의 연구는 미분 기하학에서 매우 중요하다. 여기서는 계량 ten sor g, aff ine 접속 r, 각, 그리고 측지선을 불변으로 하는 변환군 둥을 고찰한다. 이들 변환 군의 연구에서 Lie 미분의 개념은 가장 기본적인 역할울 한다. 30 aff ine 변환 다양체 사이의 사상에 의하여 계량 ten sor, aff ine 접속은 일반적으로 변한다. 여 기 서 는 aff ine 접 속을 불변으로 하는 사상을 고찰하기 로 한 다. 정의 M, M 를 각각 a ffi ne 접속 r,F 를 갖는 다양체라한다. 미분동 형사상 ¢ : M-+M 에서 a ffi ne 접속을 보촌할 때, 죽, (1) r=#(7) 를 만족할 때 , ¢ 를 M 으로부터 M 에 의 af fine 寫像이 라고 말한다. 득 히, M 으로부터 그 자신에의 a ffi ne 사상을 M 상의 a ffi ne 변환이타고 한다. (I) 에선 ¢ 에 의한 M 상의 유도접속~(&')가 r 와 일치할 때, 죽 임의 의 X, YE~(M) 에 대하여
(1)' /7x Y= ¢>; 1 (V~ • x*xef >* Y) 를 만족할 때 , ¢ 는 aff ine 사상이 다. 다음 (1)’ 를 국소표현하기로 한다. 접 p 드 M 의 좌표근방 {U; x1 ,···, x 가, 접
증명 X, Y, ZE ff (M) 에 대하여 *R(X, Y)Z) ===¢*(*(
의 동장사상윤 等長變換이라고 말한다. 위의 정의에서 ¢*g는 g로부터 ¢에 의하여 M 상에 유도된 계량 ten sor 이 다. (1) 은 임 의 의 X, YEf r(M ) 에 대 하여 (2) g (X, Y) =g (cp* X,
{{j} =O 이 다. 따라서 R 상의 aff ine 변환은 8x8’2.8y x a 1 =O 에서 y a=~n A 얽 +b0(a=1, ···, n) i= l 이고, det( A '/)::f tO 이다. 이것이 등장변환이 되기 위한 조건은 ds2= I;dy 0d y 0 =I : (~Af dx ') (~A1dx1) = Ia: I;A' ;A1)dxa id ,x 1= I:;dx ;dx.-=ds3. '•J a Ea Af A ?=8,.j 마라서 R 의 등장변환은 행렬 (A?) 가 직교행렬이 되는 것, 죽 합동 변환아다. 정 라 7. 5 동장사상은 측지 선을 축지 선으로 옮기 고, 이 때 aff ine 경 수 는 불변이다. 증명 등장사상은 aff ine 사상이 므로, 정 리 7. 2 에 서 명 백 하다. 꾼으로, 둥장변환에 관한 중요한 성질을 열거한다. 정라 7.6 R i emann 다양체 (M, g)에서 등장변환의 전체 l(M, g)는 군을 이 루고 특히 comp a ct 6, l 개 위상에 대 하여 Lie 변환군을 이 문다. 증명 (Kobay a shi- N omi zu , I , p. 239 참조. ) 정 리 7. 7 완비 인 Ri em ann 다양체 (M, g) 에 서 Fjr ,#+K¢g i;= 0, K= 정수 >0 을 만족하는 함수 ¢가존재하면, (M, g)는 반지름1/ K 인구면 S 에 등 장적이다. 증명 Obata (l) 참조.
32 공형변환 등장사상은 vec t or 의 길이와 두 vecto r 사이의 각을 보촌한다. 그러 나 각을 보촌하는 미분동형 사상이 항상 등장사상이라고 말할 수 없다. Euclid 평면 향 에서 상사변환 : (x, y)- +(ax, ay) (a>o) 은 각을 보존하 지만 동장변환은 아니다. 각을 보존하는 사상에 대하여 고찰한다. 정의 n 차원 다양처] M 의 두 개의 R i emann 계량 g, g' 에 대하여 (1) g'=p2g 를 만족하는 C. . 함수 p 가 촌재 할 때 , g 와 g’ 는 共形 (confo r mal) 이 라고 말하고, 특히, p가 정수이면 g와 g'는 相似 (homo t he ti c) 이라고 한 다. g와 g'가 공형이면 임의의 vec t or 장 X, Y에 대하여 g'( X, Y) =p2g ( X, Y) 가 성립한다. 공형인 g와 g'로 측정한 vecto r X 의 길이, X 와 Y 가 이루는 각을 각각 IIXII, IIXII' ; 8,8' 라 하면 IIXll'= p가 |XII, 『 =O 가 성립한다. 다음. 다양체 M 상에 공형인 R i emann 계량 g, g이 주어져 있을때, Rie m ann 접 속 r 와 F1 사이 의 관계 , 곡률 ten sor R 와 R' 의 관계 륜 구 하기로 한다• 먼저, 임의의 vec t or 장 X, Y 에 대하여 (2) K(X, Y) =v~ Y-vx Y 라 두면, K 는 (1,2) 형의 t ensor 장이다. 여기서 (3) K(X) Y=K(X, Y) 라고 다시 두면, K(X) 는 (1 ,1) 형의 t ensor 장이다. Vxg = O, 17'xg '= O 에서 (4) g( K(X) Y, Z) +g(Y , K(X)Z) =2a(X)g ( Y, Z)
율 얻는다. 여기서 a 는 (5) a=d(logp ) 에 의하여 정해지는 미분 1 형식이다. (4) 에서 X, Y,Z 를 차례로 교환 하면, (4') g( K(Y)X, Z) +g( X, K(Y )Z ) =2a(Y )g( X, Z). (4,') g(J(( Z)X, Y) +g(X , K(Z) Y) =2a(Z)g ( X, Y). (1) + (4') -( 4) 문 계 산하고 K(X) Y=K( Y) X 를 적 용하면 (6) g( K(X) Y, Z) =a(X)g ( Y, Z) +a(Y )g( X, Z) —a(Z )g ( X, Y) 을 얻는다. 여기서 a 에 대응하는 vec t or 장을 U 라 하면, a(Y) =g( Y, U) 가 모두 vec t or 장 Y 에 대하여 성립한다. 이때, a(Y)g ( X, Z)-a(Z)g ( X, Y) =g( Y, U)g ( X, Z)-g( Z, U)g ( X, Y) =g(g(Y , U)X-g( X, Y) U, Z) =g (X/\ U) Y, Z) . 여기서 X/\U 는 다와과 같이 두었다. (7) (X/\U) Y=g ( Y, U)X 궁 (X, Y) U. 따라서 (6) 에 서 다음을 얻는다. (8) K(X) =a (X) l+ X/\ U, (9) K(X) Y=a(X) Y+a(Y)X 궁 (X, Y) U. 위의 사실을 국소표현하기로 한다. (x1, ••·, X } 을 접 P 의 좌표근방 U 에 서 의 국소좌표계 라 하고, (E1, ••• , En} 을 접공간 T p (M) 의 칭규직교기라 하자. 이때, Vs,-E j=; {t}Eh , v;;E j=꾸 {t}'Eh 타두면 K(E;)Ei =꾸({t},-{t })En
이다. 그리고 p;=fi';lo g p, l=I; p;g;h ’ 라 두면, (9) 의 국소표현은 (9)' {:1r= {t} +p‘어+pj O~- p hg i/ 와같다. 다음, g와 g’에 의하여 정의되는 곡률 ten sor R,R' 의 관계 를 조사 한다. 임의의 vec t or 장 X, Y,Z 에 대하여 /7; 17;Z= (/7x +K(X)) (f7y+ K( Y))Z 를 계산하는데 (9) 를 쓰고, 그것을 R' (X, Y) Z=/7 ~/7,Y Z -/7 'Y /7 , \ ,Z -F'(X, Ylz 에 대입하면, 다음을 얻는다. (10) R'(X, Y)Z=R(X, Y)Z +(l7xa ) (Z) Y+a(Y )a (Z)X -g(Y , Z)a(U)X+g ( Y, Z)a(X) U-g( Y, Z)rxU - (17y a ) (Z) X 국 (X) a (Z) Y+g (X, Z) a ( U) Y -g(X , Z)a(Y) U+g ( X, Z)l7rU. 이것을 간단히 표시하기 위하여 (11) BX=-g( X, U) U+rxU+ 강 a(U)X =-cx(X) U+rxU+ 뇽 (U)X 라 두고, (1, 1) 형의 t ensor 장 B 를 정의하면, (10) 은 다음과 같다. (12) R'(X, Y)Z=R(X, Y)Z-(B)(/\Y)Z+(X/\BY)Z. 다음, g, g' 의 Ric ci ten sor S, S' 사이 의 관계 는 (13) S'(X, Y)=S(X, Y)-(n-2)fi( X , Y)-(tra ceB)g ( X, Y) 이다. 여기서 p는 B 에 대응되는 (0,2) 형의 t ensor 장이다. 죽 g( BX, Y)=f3 ( X, Y) 이다. 그리 고 g, g' 의 scalar 곡물 r, r' 사이 의 관계 는 다음과 같다.
(14 ) p2 r'= r -2(n-l)tr a ce B 위의 관계를 국소 표현하면 다음과 같다. 관계식 (9)' 를 곡률 ten sor 의 정의식 R1 (E, , EJ ) E * = Ft, F 같 /E· -F ”,F 납i E f = 2 Rf jkE h 에 대입하고, g ( (E,’, E J ) =g (BE, , Ej ) =F jp , -p,'P j + }PIPtg 1j 에서 p;j를 p;j =f ljp; -p;pj + 한1 PIP' gjj 라 두면, R 겁와 R ? i k 의 관계식은 (l2)' R'fjk = R ,''j k _ 6: p,j +8} g , .k - g,.jp:+g빠. 여 기 서 p;' =g hi p ,.j 이 다. 따라서 (13 )' R;i = R ,-i- (n-2)p ii-giiP: (14)' p2 r' =r-2 (n-I) p : 을얻 는다. 이상 을 종합 하여 다음을 얻는다. 정리 7.8 공형인 R i _ emann 계량 g,g' 에 의하여 정의되는 Rie m ann 접 속과 곡률 ten sor 에 대 한 관계 식 은 다음과 같다. ( i ) /7~ Y =/7 x Y+a(X) Y+a(Y)X— g( X, Y) U (a=d log p, a(X) =g(U , X)) (ii) R'(X, Y)Z=R(X, Y)Z-fi( Y , Z)X+fi (X , Z) Y -g(Y , Z)BX+g ( X, Z)BY (BX= -a (X) U+ /7x U+ 강 a ( U) Y, fi (X, Y) =g ( BX, Y) ) (iii) S'(X, Y) =s(X, Y)-(n-2)fi( X , Y)-(trac e B)g ( X, Y) (iv) r'=p - 2(r-2(n-l)tr ac e B) 정 의 Rie m ann 다양체 (M, g) (dim M~3) 에 서 C(X, Y)Z=R(X, Y)Z+l(Y, Z)X 크 (X, Z) Y
+g(Y , Z)LX 궁 (X, Z)LY. 에 의 하여 정 의 되는 (1, 3) 형 의 te nsor C 를 Wey l 의 공형곡 률 ten sor(con- for mal curvatu re te nsor) 라고 말한다. 여 기 서 I, L 은 l(X, Y)=- 군군 (X, Y)+~g( X , Y}, g( LX, Y) =l(X, Y) 이다. 정리 7.9 g와 g’가 공형이면, g와 g’의 We y l 의 공형곡물 te nsor c,c’ 은 같다. 층명 정 리 7. 8 의 (ii), (iii), (i v) 에 서 r'g' ( X, Y) = rg (X, Y) -2 (n -l) tra ce B g (X, Y) . 이것과 (iii)를 l'(X, Y)=- 下득 S1(X, Y)+ 2(n一;;@-tfg '(X, Y) 에 대입하면 l'(X, Y)= __11느 -2- S(X, Y)+p (X , Y2)(n-+1) (n~-2) g( X, Y) =l(X, Y) +fi(X , Y) 를얻는다. 이들을 C'(X, Y)Z 에 대입하면, C'(X, Y)Z=R(X, Y)Z-p( Y , Z)X+p (X , Z) Y 궁 (Y, Z)BX +g(X , Z)BY+l(Y, Z)X+p (Y , Z)X-l(X, Z) Y -p(X , Z) Y+g ( Y, Z) (LX+BX) 一g (X,Z)(LY+BY) =C(X, Y)Z 여기서 X, Y,Z 는 임의의 vec t or 장이므로 C'=C 이다. 평탄한 계량 g에 대해서는 C=O 이므로, 이것과 공형인 g 1 에 대해서 도 C'=O 이 성립한다.
Wey l 의 공형 곡물 te nsor C 에 대 하여 다음이 성 립 한다. ( i ) C(X, Y) Z= 一 C(Y, X)Z (ii) C(X, Y)Z +C(Y,Z)X+C (Z ,X)Y=O (iii) g( C(X, Y)Z , W)=-g( C(X, Y)W ,Z) (iv) g( C(X, Y)Z, W) =g( C(Z, W)X, Y) 補땝 7. 10 3 차원 Rie m ann 다양체 (M, g) 에 서 는 C=O 이 다. 증 명 1 접 P 에서 접공간 T p (M) 의 정규칙교기 {E i, E2,E3) 을 잡고, 이 것에 관한 C 의 모든 성분이 0 입을 밝히면 충분하다. 지금, C(E.-, E;)Ek=r :q.E h , g ,h q k=C 叫 라 두고 , g, . j =8,r 를 대입하면 c,in =R,1jk + R,18i + Rik 8,1 _ Ri j8,k _ R,k8,.j _ 칭R (O,J6 ,k 一 8ij 8u ) 이다. 여기서 C,I J k 는 성질 (i)~(i v) 을 만족한다. (i v) 에 의하여 2C,ij =O 이다 . 한편 R,.j= 2R,u1, r=ER, i에 주의하여 C1212,C1213••· 울 계산 하면 모두 0 입을 확인할 수 있다 . Wey l 의 공형 te nsor C 는 n=3 일 때 항등적으로 0 이 되므로, C 에 대치 한 양이 필요하다. 여기서 n=3 일 때 C 대신에 D (X, Y) Z= (/1x l) ( Y, Z) —(/1y /) (X, Z) 라 두면 , D 는 Rie m ann 다양체 (M, g) 상에 정 의 되 는 (0, 3) 형 의 ten sor 장이 된다. 정리 7.11 n=3 일 때, g와 g'가 공형이면 D=D' 이다. 증명 D'(X, Y)Z == (( vf;~.l -S' ) ') (( YY, , ZZ)) 一- (( V17~~lS')1 )( X(X, ,Z Z)) -~2(n-( l)g '(Y , Z)17~r'-g '( X, Z)v;' 다 =D(X, Y)Z+(n-2)a(C(X, Y)Z )
가 ?z>2 에 대하여 성립한다. ?t= 3 이면 D'(X, Y)Z=D(X, Y)Z 울 얻고, X, Y,Z 는 임의의 t ensor 장이므로 D'=D 이다. 정의 n 차원 R i emann 다양체 (M, g)에서 n>3 이면 C=O, n=3 이면 D=O 을 만족할 때, (M, g) 를 공형적으로 평탄 (con fo rmall y fl a t)이 라고 말한다. (M, g)가 공형적으로 평탄이면 g에 공형인 g 1 에 내 해서도 공잉 적으 로 평탄이다. 한편, n>3 인 경우에 C 가 항등적으로 0 이 면 D 도 0 이 다. 왜냐하면 g((/7w C) (X, Y)Z, W) = (n-3)D(X, Y)Z 가 성립하기 때문이다. 정리 7.12 정곡물공 -7J - (n 츠 3) 은 공형적으로 평탄이다. 중명 (M, g)가 정곡률공간이므로 R(X, Y)Z)=n(n--~1) (g( X , Z) Y-g( Y, Z)X) S(X, Y) ＝드n g ((X , Y) l(X, Y)= 옵：硏 (X, Y) 이것으로부터 C(X, Y)Z=O, D(X, Y)Z=O 을 얻는다. 정의 R i emann 다양체 (M,g ), (M, g)에 있어서, 미분동형사상
예 1 반지름 a 인 구면 S(a) = ((x1, …, x+1)E JR미 (Xl) 도··+ (x+1)2=a2) 은 R +1 로부터의 유도계량에 의하여 정곡률공간이다. Rn 을 x+1=0 인 Eucli d 공 간이 라 하고, S(a) 의 북극 Po(O, ···O, a) 로부터 의 사영 을 ¢ : S(a) 一 {Po} 一 lRn 라 하면, ¢는 미분동형 사상이고, 동시에 공형사상이다• 한편, R 상 에서 입의의 공형변환 ¢룰 생각하면 p스 P' 二q:玉 에 의하여 ¢ - I 。仲 0¢ 는 S(a)-{Po} 상의 공형변환이다.
P 。
그립 7.1
33 사영변환 a ffi ne 변환에 의하여 측지선은 측지선으로 옮겨지나, 역으로 이와같 은 성질을 갖는 미분동형 사상은 aff ine 사상에 한한다고는 할 수 없다. 여기서는 측지선을 축지선으로 옮기는 사영사상을 고찰한다. 정의 n 차원 다양체 M 에 두 개의 a ffi ne 접속 V 와 J7 1 가 주어져 있 고, V 에 관한 축지선과 F 에 관한 측지선이 일치할 때, V 와 J7 I 는 射 影的 (pr oje c ti ve ) 이 라고 말한다. 여기서 생각을 간략화하기 위하여 a ffi ne 접속은 모두 대칭이라고 가 정한다. 먼저, F 와 J7 1 가 사영적일 때, 이들의 접속계수 사이의 관계를 조사하자. 지금, 임의의 vec t or 장 X, Y에 대하여
(1) II(X) Y= r : Y 一 「 x Y 라 두면, H 는 (1,3) 형의 t ensor 장이다. 이때 곡선 .t'(t)= (X1(t) ,•••, x( t))가 F,r’ 에 대하여 측지선이 되기 위한 조건은 Fx.i: = a(t)x , f7'xx =p(t).i• 이다 . 여기서 t는 입의의 경수이다. 이것을 성분으로 나타내기 위하여 x( t) =e(t) = （한, …, en) 이타 두면, (2) —dde—t +• Et;r{ 'I f ' . E=a( t)안, (3) 쁩+'F/' 십f ‘ . E= /3(t)안. ,.J 여기서 a 'l;=I'입 _r 십, r(t) =p(t)- a(t) 타두면 Ea!ie’ . e j= r(t)e /t i.j 울 얻는다. 양변에 단를 곱하면, 우번은 h,k 에 대칭이므로, h,k 를 교 환하여 감하면 (4) 2 (6 ? a 8 - 8 f a 십 ) 紋 T= o /,i,j 을얻는다. 한편, 측지선은 임의의 접 P 를 지나서 임의의 방향令로 일의적으로 존재하므로, (4) 는 입의의 fh 에 대하여 성립한다. 따라서 i,j 에 대한 대칭성분은 0 이고 (ota ~ i- o ~ati) + (a,a,i- o ?at) + (o,at1 - o,af1) =O 여기서 h=l 이라 두고 k 에 대하여 1, … ,n 울 대입하여 합할 때, (5) cp;= I;a! ;/n + I 이타고두면, (6) a 십=
논 공변 vec t or 장
여기서 L 은 (10 ) L (X, Y) =( f7x cp ) ( Y) -ip (X) cp ( Y) 로 정의되는 미분 2 형식이다. 한편, (5) 에서 'P，=下뉴偏}'-덟〕 이므로
R'(X, Y)Z=R(X, Y) Z ―+~―nn [一느-S l1 - 1[S(1Y(X,, ZZ)) XY-— SS ((XY ,, ZZ)) XY]] 이다. 이것을 정리하면 P'(X, Y)Z=P(X, Y)Z 를 얻는다. Wey ! 의 사영 곡물 ten sor P 는 다음의 성 질을 만족한다. ( i ) P(X, Y)Z= 一 P(Y, X)Z (ii) P(X, Y)Z +P(Y, Z)X+P(Z, X) Y=O (iii) tra ce(Z-+P(Z, X) Y) =O 補題 7.16 n=2 이면 P=O 이다. 증명 위의 성질 (i)' (ii)' (iii)에서 명 백 하다. n=2 이면 P=O 이므로, n=2 일 때 사영곡물 t ensor 를 벌도로 정의 할 팔요가 있다. 지금, 임의의 X, Y,Z 든!Z (M) 에 대하여 (14 ) Q( X, Y) Z=( 福 )(Y,Z)-( 福 )(X,Z) 라 두면, Q 는 M 상의 (0, 3) 형 의 ten sor 장이 다. 補題 7.17 n=2 일 때 Q'=Q이다. 증명 V 와 /1’ 가 사영적이면 Q' (X, Y)Z =Q ( X, Y)Z + (n 一 l) rp (P(X, Y)Z ) 가 성립한다. 여기서 n=2 이면 P=O 이고 따라서 Q'=Q이다. 정의 n 차원 Rie m ann 다양체 (M, g) 에 서 n>2 이면 P=O ; n=2 이떤 Q= o 울 만족할 때, (M, g)를 사영적으로 평탄(fl a t)이라고 칭의한다. 정리 7.18 n(>I) 차원 R i emann 다양체가 사영적으로 평탄이 되기 위 한 필요충분조건은 M 이 정곡물 공간이 되는 것이다.
증명 M 을 사영적으로 평탄인 다양체라고 하면 P=O 이므로 (15) R(X, Y) Z= 下득 [S(Y, Z)X-S(X, Z) Y]. 이것을 g( R(X, Y)Z, W) ―g (R(Y,X)W,Z)=O 에 대입하면 (16 ) S(X, Y) ＝높 (X, Y) 이고, 이것을 (15) 에 다시 대입하면 R(X, Y)Z =fn [ g(Y , Z)X-g( X, Z) Y] 를 얻고, M 은 정곡률공간이 다. 한편, n=2 이 면 (15) 를 Q= o 에 대 입 하면 r 는 정수이므로 역시 M 은 정곡물공간이다. 역으로, M 이 정곡물공간이면 P=O(n>2) 및 Q =O(n=2) 윤 쉽게 계 산할 수 있다. 정의 : (M, g)-+ (M , g)를 Rie m ann 다양체 의 미 분동형 사상이 라 하 자. 이때, (M, g)상의 측지선을 항상 (M, g)의 측지선으로 옮길 때, ¢ 를 射影寫像이 라고 말한다. 특히 , M=M, g=g 이 떤 ¢ 를 射影딪換이 라 고한다. 다음은 사영사상의 정의에서 명백하다. 補題 7.19 미분동형 사상 ¢, : (M,g ) --.(M, g)가 사영 사상이 되기 위 한 필요충분조건은 ¢'7=/7' 에 대 하여 /7~ Y= /7 xY 뉴 (X) Y+rp ( Y)X 를 만족하는 C. . 함수 'P가 M 상에 존재하는 것이다. 여기서, /7와 F 는 각각 g, g 로 주어 전 Rie m ann 접 속이 다. 정리 7.20 aff ine 접속은 사영변환이다. 증명 a ffi ne 사상이면 r=F1 이므로
34 무한소 변환군 G 를 M 상의 변환군이라 하고, 임의의 실수 t에 대하여 ¢,EC 를 대 응시킬 때, (i) ¢,0=e (e 는 G 의 단위원) (ii) c/>1 +,=< J,,¢,, (t, sER) 을 만 족 하면, (/)（t )={¢,, E CI t E ]R }은 G 의 부분군을 이룬다. 이것을 G 의 1 겅 수부분군이라고 정의하였었다. 다음, 다양체 M 상에 1 경수변환군
(2) Lxg = O 즉 Lxg j':::Fi x ,+F,X,=O 울 만족할 때 , X 를 Ki lling vecto r 또는 무한소등장변 환 (inf i ni t es im al iso metr i c tra nsfo r mati on ) 이 라고 말한다. 정 리 7. Zl (M, g) 상의 vecto r 장 X 가 Ki lling vecto r 가 되 기 위 한 필요충분조건은 X 가 생성하는 국소 1 경수변환군 (심의 모든 원 ¢,가 (M, g)의 동장변환이 되는 것이다. 증명 Lx g =O 이면 Li e 미분의 성질에 의하여 g는 X 가 생성하는 멘 환군 (십에 대하여 불변이다. 역도 명백하다. X, Y 를 (M, g)상의 Ki lling vec t or 라 하면, Lxg = O, Ly g= O 이므로 Lax+brg = aLxg + bLy g= O (a, bE]R ), Lcx,Y Jg =LxL yg一 L y Lx g =O. 따라서, aX+bY, [X, Y 〕도 Ki lling vecto r 이 다. (M, g)상의 Ki lling vec t or 의 전체집합을 y (M) 이라 두면, .,y (M) 은 R 상의 Li e 환이다. 정 의 Ri em ann 다양체 (M, g) 상의 vecto r 장 X 가 (3) Lxli' =O 죽 Lx{ji } =li' 1 li' ;Xk+R J값 =O 을 만족할 때, X 를 aff ine Ki lling vecto r 또는 무한소 aff ine 변환이 라고 말한다. Li e 미분의 정의에 의하여 다음을 얻는다. 정 리 7. 22 Ri em ann 다양체 (M, g)상의 vec t or 장 X 가 aff ine Ki lling vec t or 가 되기 위한 필요충분조건은 X 가 생성하는 국소 1 경수 변환군 {¢t} 의 모든 ¢1 가 aff ine 변환이 되 는 것 이 다. 정 리 7. 23 Rie m ann 다양체 (M, g) 의 Killing vecto r X 는 aff ine Ki l- ling vecto r 이 다. 그리 고 X 는 곡물 ten sor R 을 불변으로 한다. 즉, LxR=O 이다. 증명 X 를 임 의 의 Ki lling vecto r 라 하면, J7x g = O 이 성 립 한다. 따
라서 rk(Lxg J,) ＝佐{t})g .. ;+(Lx{ 다)gJ .. 이 성 립 한다. 여 기 서 Chris t o f f el 기 호를 계 산하는 방법 에 의 하여 Lx{ji } 국g hm[ fi' 1(Lx g;.,) +/7,( Lxg 1 m)-f7 .. (Lxg 1 ;)] =O. Ri em ann 접속 7 에 대하여 L 寸鬪 =f7j/7, Xh+RJ; .X k 에서 亨 Ui })-v j(니십 ) =LxR},k 이 성립하고, 따라서 LxR=O 을 얻는다. 다음, (M, g)상의 aff ine Ki lling vecto r X, Y에 대하여 Lax+bYV=O, Lex Y1V=O 이므로, aX+bY, [X ,Y 〕도 aff ine Ki lling vecto r 이 다. 따라서 (M,g ) 상의 aff ine Ki lling vecto r 의 전체집합을 A(M) 라 두면, A(M) 은 R 상의 L i e 환이다. 예 2 n 차원 Euclid 공간 Rn 에 서 Ki lling vecto r 장을 구하기 로 한다. {자, ••• , x} 을. R 의 직 교좌표계 라면, Ki lling vecto r X 의 성 분 xh 는 (4) f7iX +f7 ,-Xj= O, f7;f7iX h+R.,jk Xk=O 울 만족한다. 한편, R 의 직교좌표계에서는 gji=O j i, I'7;= 0, Rt k= O 이므로 위의 식은 다음과 같다. ajx .-+a,.Xj = o, aja ix h=o 제 2 식에서 Xi = ai; x ;+bi( aii, bi 는 정수)
올 얻고, 이것을 제 1 식에 대입하면, a, j +a j ,=O 을 얻는다. 따라서 Ki lling vecto r X 의 성분 (Xj )는 (5) Xj = ajix '. +bj, aji +a ,.j= O (i, j= I, …, n ; a,·h b j헉 R) 을만족한다. (5) 에서 b j =O 이면 X 는 무한소회전을 나타내고, X 가 생성하는 1 경 수변환군은원접 (0,···,0) 을 중십으로 하는 회전이 이루는 1 경수변환 군이다. 정 의 Ri em ann 다양체 (M, g) 에 서 vecto r 장 X 가 (6) Lxg = 2p g, 죽 f7iX;+J7; Xj = 2p gii 울 만족할 때 , X 를 共形 Ki lling vecto r 또는 無限小共形젖換이 라고 말한 다. 정 라 7. 24 Ri em ann 다양체 (M, g)상의 vecto r 장 X 가 공형 Ki lling vecto r 가 되 기 위한 필요충분조건은 X 가 생 성 하는 국소 1 경 수변환군 {아가 국소공형 변환군이 되는 것이다. 증명 임의의 접 PEM 를 잡고 p(t)=ip,(p)라 두면 방정식 (6) 은 미 분방정식 (7) 言d〔 (cp -1)*( g PCI)) 〕t =a=2 p(p)gp 와 동치이다. 여기서 P 대신에 p (s) 를 대입하면 言〔d' P-t) *gPC t+ s)] t=o =2p (p(s ) )gPC •>· 양변 에 (
이 미분방정식을 풀면 ( =FkP' 야 -FjP i 8 H -g ,.k ( FIPh) -gjj (FkPh) . LxRi j = -( n -2 ) fi';pj-g;1 (f7m Pm) . 한편, 양변에 gij를 곱하면 &gii=-pgii이므로 Lxr = Lx (giiR; j) = -2 (n -l) f7m p m -2p r . 이 상의 결과를 LxCtj k 에 대 입 하면 LxC?jk = 0 을 얻는다. 정의 Rie m ann 다양체 (M, g) 상의 vecto r 場 X 가 (10) 니싶=g?＋
Ki lling vecto r 의 전제 집 합을 P(M) 이 라 두면 P(M) 은 R 상의 Lie 환 이다. * 연습문제 (7) 1) JR내의 두 곡면 s,s' 가 등장적이면, 대응접에서의 Gauss 곡률은 같다. 2) Rie m ann 다양체 (M, g) 상의 Ki lling vecto r X, Y 에 대 하여 , 1 접 p슨 M 에서 Xp = Yp, (VX) =( fi Y) 이 성립하면 X=Y 이다 . 단 M 은 연결이라고 가정한다. 3) Rie m ann 다양체 (M, g) 상의 Ki lli n g vecto r X 에 대 하여 다음이 성립한다. F,x··= 0 , gjirj v ,X’: +R:x,'=O 4) Rie m ann 다양체 (M, g) 에 서 공형 변환이 동시 에 사영 변환이 면 그 것은 상사변환이다. 56)) 공ei 형가 적2으 차로원 평E u탄c인lid 공Ei간n s teR i n2 의공 간공은형 정K 곡i l률lin공g 간 v이ec 다to. r 가 되 기 위 한 필요충분조건은 한, 한 가 Cauchy -R i em ann 의 방정 식 ae1 ae2 a~2 a 찬 言=경了, 言=一극汀 울 만족하는 것이다. 여기서 (x, y)는 R2 의 칙교좌표이다. 7) 공형 Ki lling vecto r X 가 생성하는 국소 1 경수변환군의 궤도를 c 라 하면 lltl I X//2=2p l I X/ 12 이 성립한다. 여기서 Lx g =2 pg라 한다. 8) n 차원 Ein s t. :i n 공간 (n>2) 의 꽁형 Ki lling vecto r X 는 X= Y- 으앞:..!2.. p님등 형으로 표시된다. 여기서 Y 는 Ki lling vecto r 이고, r, i=pj 8H+
9) n 차원 Ein s te i n 공간 (n 츠 2) 의 사영 Ki llin6 vecto r X 는 X= Y一 il (刀2 k一 1) cp ,.8—x; i 형 으로 표시 된다. 여 기 서 Y 는 Ki lling vecto r 이 고. Lxr 午i =p,햐 +cp,0 7, k= tO 이 다. ! O) Ri em ann 다양체 (M, g) 에 서 Z(X, Y) W=R(X, YW 一 ?I (I:r — 1) 료 ( Y, W)X-g ( X, W) Y] ' GX= Q X- 드 X ?t 라 둔다 . 여기서 Q는 g(QX , Y)=S(X, Y) 를 만족하는 R i c ci의 연 산자이 다. 이 때 , z 문 공원 ( J탑색 )곡뭉 ten sor 이 라고 말한다. G=O 이 되기 위한 조건은 M 이 Ein s te i n 공간이 되는 것이다. 11) n 차원 comp a ct 인 공형 적 으로 평 한인 Ri em ann 다양체 M 에 서 Ric c i 의 ten sor S 의 길이 가 일정 하고 r/ ..;；二「보다 작으면 M 은 정곡물 공간이다. 12) Ri em ann 다양체 (M, g) 에 서 Ki lling vecto r 의 전체 집 합을 /(M) 으로 표시하면 d i m/(M) 三 n(n+1) 2 이 성립한다. 그리고 M 이 정곡률공간이면 dim /(M)=2 ~ 이 성립한다.
제 8 장 복소다양체 複 素 vec t or 공간상에서의 대수적 성질을 토대로 하여 복소다양체를 정의하고 개복소구조를 갖는 여러 가지 개복소 다양체의 기본성질을 조 사한다. 득히 , 득수한 Rie m ann 계 량을 갖는 Hermi te 다 양체 , Kaehler 다양체, K 공간 둥을 정의하고, 그 목성을 연구한다. 35 복소다양체 V 를 R 상의 vecto r 공간이 타 하고, 이 것 으로부터 C 상의 vecto r 공간 vc 를 다음과 같이 구성한다 : (1) vc= {tt+iv l u, vE V, i= ..;=T} 라 두고, 다음의 연산울 정의한다. ( i ) u+i v =u'+iv ' ~ u=u', v=v'. (ii ) (u+iv ) + (z, 나-i v') = (u+1,1) +i(v +v') . (iii) (a+ib ) (u+iv ) = (au-bv) +i(bu +av)~ (u+iv , u'+£v 'E Vc, a+ib E C) 이때 VC 는 C 상의 vec t o 국간을 이루고, u=u+ i O(OEV) 이리 두면 vc vC 이 다. 여 기 서 VC 를 V 의 複素化 (com p lex ifi ca ti on) 라고 한다. Z=u+ iv EVc 에 대하여 Z=u- i v 를 V 에 관한 Z의 공액이라고 한다.
vc 에 있어서의 부소공액 z_.z 에 의하여 청의되는 사상온 공액선형 이다. 즉, Z각 가V= z+W, 力2 - z =}Z(2 드 C) 이 성립한다. V 를 n 차원 vec t or 공간이라 하고, {e1, … ,cn} 을 R 상의 V의 기라 하자. u,vEV 에 대하여 u='z :,a ie 1, v= 'z;:. b1 터라 두면 11 + iv = I; (a1e1 + ib1 e1) = I; 21e1 (21EC) . 여기서 쳤=a i+i b1 (j =I, ···, n) 이다. 만일, e1, … ,en 을 VC 의 원으로 생각하면, 이들은 VC 상에서 일차 독 립 이 다. 왜 냐하면, E ii e j =O( ij =a'+ i b' ）라 두면 Ealc,=O, Eb i C j =0 이 고, ai= f!=O , 죽 2;=0 (j =I,···,n) 이 성립하기 때문이다. 따라서 {cb …, en} 은 VC 의 한 기 이 다. 실 vecto r 공간 V 상의 자기 준등형 J 가 (2) F= 一] 를 만족할 때, J를 V 상의 樣菜 닮 造 (com p lex s t ruc t ure) 라 한다. 여기 서 I 는 V 상의 항등변환을 나타낸다. V 룬 복소구조 ]룹 갖는 실 vec- t or 공간이라 할 때, -<=a+ i bEC 와 XEV 의 scalar 적 -
라 두면, [Z1, …, Z,., Z1, …, zn} 는 VC 의 기 -론 이 루고, (4) ]Zk= i Z1 , ]Zk=-iZ 1 (k=l, …, n) 이다. 따라서 v1,o= [Z 든 Vcl]Z= i Z), V0•1= [Z 드 vc11z= ―i Z) 라 두면 vc=v i ,o+vo,1( 직합)이다. 1f l,O=V 꼬이고, ZEVC 에 대하 여 z= 강 (Z— i ]Z ) 나 (Z+ i]Z ) 이고, 우번의 제 1 항은 v1,o 에 속하고 재 2 항은 vo,1 에 속한다. 그러 므로 다 음을 쉽게 언는다. V1•0= [X-i] X I X E V), V0•1== [X+i] X IXEV). 실 ve ct o r 공간 V 의 쌍대 공간을 V* 로 표시 할 때 , V * 의 복소화 V*C 를 구성할 수 있다. 이대, V * C 와 V의 복 소화 VC 의 쌍대공간 VC* 를 동일시할 수 있다. V 상의 복 소구조 ]에 대하여
(6) （골)p=강{(국) p _1. ( 습) ^ }, (골) p =강{(골) p+i (국나 라둔다. (dx*)p =t {(dz•)p + (d 칸)p) ' (d y?맡 {(dzk) p— (d 한 ) p ) ' (8/ 紀) p= (8/8 강) p+ (a/ 記) p, (8/ay k) p= 一 H (8 /8 군 ) p一 ( a / 6 칸 ) J 이 므로 { (8/8 강) p, (8/8 한) p, …, (a/az) p, ca;a 합 ) p) 와 { (d 간 ) p, (d 간 ) p, …, (dz) p, ( d 합) p} 는 각각 T; 와 Tp · C 의 기 이 다. f를 C 의 개집합 D 에서 정의된 복소함수라 하고, f의 신부, 51 부 를 u,v 라 하면, f(p)=tt(p)+ i v ( p)이다. 여기서 u, v 가 C ° 급 이면f 를 Cm 급이라고 한다. D 의 각 접 P 에서 (df ) P=(du) P+ i (dv)P E T p• c 이고, (a/axk) pf= ca;xk) ptt + i (a/axk) pv, (a/ayk ) pf = (a/ al) pt t + i (a/ al) p v 로 정 의한다. 마찬가지로 (골)pf=바(습)pf―t (습) p f} (골)pf=꿈{（강)尸 (급)pf} 와 같이 정의한다. 이때, 간단한 계산에 의하여 (7) (df) p = (di, ) , + i (dv) p = .E (골)/· (dz•) , + (골)/ · (d 한) p} 을얻는다. 한편, D 를 복소평면 C=C1 의 개집합이라 하고, D 에서 정의된 복 소함수 f 가 D 의 접 Zo 에 서 正貝 l j (holomorph ic ) 이 라는 것 은 lhi-m+ 0 f( z-o +}ih) - f (z 。) (hEC) 가 촌재할 때를 의마한다. f가 D 의 각 접어 1 서 정칙일 때, f는 D 에서 정 칙 이 라고 말한다 . f( z) 가 Zo 에 서 정 칙 이 되 기 위한 조건은 14, V 가 Z 。 에 서 전미 분가능이 고 Cauchy -R i em ann 의 방정 식 톰 ).D=( 룹).。, (응 ).o=-( 을).,
울 만족하는 것 이다. 이 때 , f'(z o) =c= 김 _ {（ 총 (20) +i층 (z 。 ))-1 (층 (20) +i릉 (z 。))} \(玉 ), 0 f ― t 틀 ), 0 f} 가 성립한다. 따라서 (8) f' (zo) = （玉) 20 f 이 성 립 하고, Cauchy -R i em ann 의 조건은 (9) (玉 )Zo f =O 과 동치 이다. 다음, D 를 Cn 의 개집합, f를 D 에서 정의된 복소함수라 한다. D 의 각 점 p에서 (골 )/=O (k=I, …, n) 을 만족할 때, f를 D 에서 정의된 正則函數라고 말한다. f가 D 에서 정칙이면 f는 해석적이다. 죽, f는 D 의 각 접의 근방에서 멱급수로 전개된다. 그리고 f의 실부 및 허부는 .xi,y\… ,x, y n 의 해석함수이다. 한편, ¢를 C 의 개집합 D 로부터 C 에의 寫像 이라고 하면, ef,( z)= (I(z), … ,¢m(z)) 으로표시되고, 여기서 각¢' . 는 D 에서 정의된 복소함수 이다. 각 삼가 D 에서 정칙일 때, ¢를 D 로부터 Cm 에의 正則寫像이라 고말한다. 이 상의 준비 하에 복소다양체 를 다음과 같이 정 의 한다. 정의 M 을 Hausdor ff공간이라 하고, {U』 aEA} 를 M 의 개피복이 라 한다. 이때, 다음의 조건 : (i) 각 U0 에 대하여, u” 로부터 C 의 개집합 Da 에의 동상사상 ,P.가 (ii촌) 재u한. n다 .u, -:t ro 이 면 C 에 서
¢8°¢a-I : ¢。 (Um u,) 一 ¢,(U.n u,) 및 ¢a0¢;l : ¢,(Um u,)--¢.(U.n Up ) 가 정칙사상이다. 을 만족할 때, {(U.,9 。 )laEA} 룬 M 의 정칙좌표근방제라 하고, M 운 복소차원 12 인 拉緊多梅祖 (com p lex man ifo ld) 라고 말한다. C 을 R2 와 동일시할 때, C 의 개집합으로부터 개집합에의 정치사 상은 향의 개집합에의 사상으로 생각하면 해석적이다. 따라서 복소 n 차원의 복소다양체는 貸 2n 차원의 해석다양체이다. M 을 복소 n 차원 복소다양체라 하고, {(U 다 s.)Ia 든서문 그 정칙좌 표근방계라 한다. M 의 개집합 U 와, U 로부터 C'’ 의 개집합 D 에의 동상사상 ¢ 가 다음의 성질을 갖는다고 하자 : 〈 Unu푸 fo (aEA) 이면 ¢(Un U:。)로부터 ¢a(Unu ）에의 사상 ¢a0¢- l 및 ¢,.(UnU. ）로부터 ¢(unua) 에의 사상 ¢09 간이 다같이 정칙이다.〉 이때, (U,¢) 를 M 의 정칙좌표근방이라고 말한다. q EU 에 대하여 efi(q)= (zl(q) , ···, z(q )) 라 두면, zk(k=I, …, 1 t)는 U 상에서 정의된 복소함수이고, (zl, …, zn) 을 U 에서의 M 의 複素局所座濕菜 (com p lex local coordin a te s y s t em) 라 고한다. (갑, … ,z), (w\ … ,w ）을 1 점 P 의 근방 U 에서 정의된 2 조의 복소 국소좌표계라 하면, U 의 각 정 q에서 w•(q) =F•( 강(q), ···, 검(q)) 인 관계가 성립하고, F•(z 1, ···,z ）은 복소변수 강,… ,z 의 정착함수이 다. 다음, 복소 n 차원의 복소다양치l M은 실 2n 차원의 다양체이므로, M 의 각 접 P 에서의 접공간 T p (M) 과 그 쌍대공간 T;(M) 이 정의되 고, (감, …, z) 을 P 의 근방에 서 의 복소국소좌표라 하고, 감 의 실부, 허 부를 f,y k 라 하면, {(o/oX1)p, (o/oy % …, (a/ax),, (o/o y),}는 Tp (M ) 의 基이고, {(dx1),, (dy1 ),, …, (dx),, (d y),｝는 T,•(M) 의 基이다. 이 때(d , 칸 )C , 률 의 정경 의 우 하와면, 마{찬 (8가/8지 강) 로 ,, ((85/)8 칸, )(6 ,), 과••• , (같o이//z () 8,,/ 8( 강a);a pz, () 8,}/ 칸는) ,,巧 (d ( 강M)) ,
의 기 를 이루고 ((d 간) p , (d 칸)p, …, (dz)p, (dz)p} Tp- c(M) 의 기를 이 룬다 . 다음, M 의 접공간 T p (M ) 의 선형년환 ]p 를 (IO) L (8 / 紀 ) p = (a/a l) p ]p ( a/a y2 ) p= - (o / 紀 ) P (k= I, …, n) 와 같아 정의한 다. ] h 의 정의는 복소 국소좌표계의 선댁에 무관계이다. L 의 정 의로부터 명백히 (11 ) E= 一 I 룹 만족한 다. 따라서 M 의 각 전 P 에 대하여 T9(M) 의 선형변환 ]p를 대 응 시키는 대웅 J 는 M 상의 복 소구조이다. 에 1 C 은 부소다양케 이 라 하면, c” 의 개부분 집합도 복소다양체이 다. C 상의 복소구조 ] 릎 (10) 과 같이 정의하면 P=-I 이고, J는국 소좌표계 (자, …, g, y도 • ·, y ) 에 대 하여 I= (-01 i) 로 표 시된다. 예 2 R3 에서 단위구면 S= {(x1, x2, x3) I (x1) 프 (군)나 (군 )2=1) 에 ]언 의 부분공간으로서 의 위상을 도입 하면 Hausdorff 공간이 된다. P=(0,o,I), P'=(0,o, 一 1) 라두고, U1=S— (p), U2=S-( p'）라둔다. 이 때 , 동상사상 ¢1 : u1--c1. ¢2 : u2 -- c1 을 다음과 같이 정 의 한다. c/11 ( .x) =~亨 , (.xE U1) 琦)＝무릅. (.xE U2) 여 기 서 .xE U1 n U2 에 대 하여 'P1 (.x) t/J2 (.x) = I 이 성립한다. 따라서 {(U;, cp ;)l i =I,2} 를 정칙좌표근방계로 갖는 S 는
복소차원 1 인 복소다양체 이 다 . 이 것 을 Rie m ann 球面이 타고 말한다. 예 3 집합 C+1_{0} 에서 동치률을 다음과 같이 정의한다. z==( 군), W==(wk) 틱 C': + 1 一 {O} 에 대하여 Z==J .W 즉, Zk== J. W*(k==O,I, … ,n) 인 복소수 A(~o) 가 촌재할 때, Z 와 W 는 동치라 하고 Z~W로 표시한 다. 이 동치율에 의하여 얻어지는 동치류의 집합을 n 차원 複菜射影空 問이라 말하고, CP 으로 표시한다. CP'’ 의 위상은 자연적인 商位相에 의하여 정의된다. U;'== {z : 김 *O} cc•+l_ {O} 라 두고, uj 률 사영 c•+l— {O} 一 CPn 에 의 한 Ui· 의 상이 라 한다. 이 때 , 사상 i : Ui -->C 을 겁 -:/=O 인 z 의 동치 류에 (zO/ 김, …, 2 i -1/ 건, zi+ i I zi, … ,z/z i)인 C 의 접을 대응시키는 것으로 정하면, {(Ui, < />1)lj = =0 ,1, … ,1 가온 CP 의 복소좌표근방계이냐 따라서 CPn 은 복소차원 n 인 복 소다양체가 된다. 국소좌표계 (zOJ zi , ···, zi- 1 Izi, z i +1I 건, ···, z ／감)를 CP 의 非齊次座標系라 하고, g, …, z ）을 CPn 의 齊次座標系라고 말한다. 36 개복소다양체 복소다양체를 좀더 이해하기 위하여 이것을 일반화한 개복소다양체를 고찰한다. 정의 M 을 貨多樣體라 한다. M 상의 (1, 1) 형의 t ensor 장 ]가 M 의 각 점 P 에서의 접공간 T p (M) 의 자기준동형이고 (1) !2= -1 를 만족할 때, I 를 M 상의 槪複素橋造 (almos t comp le x s t ruc t ure) 라고 말한다. 그리고 개복소구조 I 를 갖는 다양체 M 융 槪複素多樣體라 하고 (M, J)로 표시한다. 모든 개복소다양체는 偶數次元이다. 모든 복소다양체 M 은 개복소구조를 허용하는 것을 증명한다. 지금, (z1 ...z ) 을 접 PEM 에서의 근방 U 상의 복소국소좌표계라 하고, zl= xi+ iyi(j=1 , ••• n) 라 둔다. 접공간 T p (M) 의 자기준동형 J를 (2) J(o /oxi) =o/oy1 , J(a /ay' ) = -(o/ox1) , U = I , …, n)
와 같이 정의한다. 이 정의는 복소국소좌표계의 선덱에 무관계임을 밝 한다. T;(M) 를 Tp (M) 의 복소화라 하고, J를 T;(M) 에 확장한다. (3) (a;a 감) =} {(詞) 국 (a/a yi)}, (a;a 합) =} {a/ 莊) +i(8/ Oy J)} 라 두면, (4) JJ ((aa;;aa 킨 갑)) == i리(8 ( /88/z8j )진 ,) , (j =1 , ••• , n) 을 얻는다. 따라서 ZET;(M) 가 (8/8 감)(j =I, … ,n) 만의 일차결합이면 J z= i z 이고, z 가 (8/8 천)(j =1, … ,n) 만의 일차결합이면 ]z=- i z 이다. 지금, (w\ … ,w) 을 P 의 근방 U 에서의 다몬 복소국소좌표계라 하 고, wk=u•+ iv k(k=l, … ,n) 라 둔다. 이때, T p (M) 의 자기준동형 J’를 ]'(a/ 記) =a;av\ J'( a/avk) =-(a/a u •), (k=I, …n ) 와 같이 정의한다. f'문 T;(M) 상에 확장하면 ]' (a;awk) = i (a;awk) , ]' (a/ 寧) = -i (a/ 寧) , (k = l, …, n) 이다. 한편, PEM 에서 土 = 꾸 ~ ( P) 읊 , 士 = 蟲 ~ ( p) -b , (k=l, …, n) 이 고, d/W 냐 와 8/8 元나 는 각각 8/8 건, 8/8 킨 의 일차 결합이 다. 따라서 J(a /aw') =i(a/ aw'), J (a/ 寧) = ―i (a/ 寧). 이다. 따라서 I 와 ]’는 PEM 에서 일치하므로, J는 P의 근방에서의 복소국소좌표계의 선택에 무관하다. 명백히 I2= 一 1 이므로, I 는 M 상 의 개복소구조이다. 다음, (M, J)와 (M', J'）를 개복소다양체라 하고, 사상 J : M-+M' 에 있어서 (5) J'of* =f*o ] 를 만족할 때 , f 는 槪複素 (almos t com p lex) 가 된다고 말한다. 補題 8.1 M 과- M’ 를 복소다양체라 한다. 사상 f; M-+M’ 가 칭칙이 되기 위한 필요충분조건은 f가 M 과 M’ 의 복소구조에 대하여 개복소
가 되는 것이다. 증명 J와 ]I 를 각각 M 과 M 의 개복소구조라 한다. （간,… ,z) 과 (w\ … ,w ）을 각각 접 P 든 M 과 f (P)EM' 의 근방에서의 복소국소좌 표계라 하고, z•=xk+iy \ wk=uk+ i갑 (k=I, ... , n) 라 둔다. 그리고 f*u i= ai( x1, ... , x, y\ …, y) f마=pi (x1, ... , x, y\ …, y) U=I, …, 'z) 이라두면, f* (8/8xk) = E {( 8a. j/紀) ( p) (8/0W) + (8 (3j/紀) ( p) (8/8 V i ) } , f*( 8/Oy k) =E {8a.J/ a yk ) (p) (8/Ou}) + (8 첩 /8}'k) (p) (8/avl)} . 여기서 f*(J (8/8xk) ）와 JI (k(8/8f ), 그리고 f *U/(a/a y?)와 JI (f* (8/O y k) ）를 비 교하면, f 가 개 복소가 되 기 위한 조건은 모든 j, k 에 대 하여 (oaiJ ax •) ( p) = (of3 j/a yk ) ( p) , (Bai/ o )'k) ( p) = - (o f3i I 紀) ( p) 이 다. 이 것 은 f *w i=f *u i+if *v i =a i+i업 의 Cauchy •R i em ann 의 방정 식 이냐 따라서 f가 개복소가 되기 위한 조전은 f가 정칙이 되는 것이 다. T;(M) 을 접 PEM 에서의 복소접공간이라 하고, T f (M) 의 원을 P 에 서 의 복소집 vecto r 라고 말한다. (M, J)를 개 복소다양체 라 하면, T:(M)=T}.o(M)+Tg· I( M) （직합) 으로 표시된다. 여기서 T~0(M) 과 T~·1(M) 은 각각 고유치 i와 一i 에 대 응되 는 I 의 고유 vecto r 공간이 다. 복소정 vecto r 가 T;·0( M) （또는 T g •1(M) ）에 속하면, (1, 0) 형 (또는 (0, 1) 형)이라고 한다. 복소접 vecto r Z 가 (1,0) 형 (또는 (0, 1) 형)이 되기 위한 조건은 어떤 XETp (M) 에 대 하여 z=X- iJ X( 또는 Z=X+ iJ X) 로 표시되는 것이다. M 을 개복소구조 J를 갖는 실차원 2n 인 다양체라 하고, (z1, ···, zn) 울 복소국소좌표계라 한다. (4) 에 의하여 {o/oz1, ··•o/oz 가온 T},0(M) 의 기이고, {a/a 한, ••• ,8/82} 은 T~·1(M) 의 기임을 알 수 있다. T p (M) 의 쌍대공간 T p• (M) 의 복소화를 T/c(M) 으로 표시하고, zi= xi+ iyi(j= 1, … ,n) 라 두면,
(6) dz1=dx1+i dy 1, d 컨 =dx/ 一i d y 1 이 고, (dz\ …, dz, d 간, …, d 합} 은 T;c (M) 의 기 이 다. 다음, 다양체 M 상의 미분 r 형식의 공간을 D'(M) 이라 하고, D'(M) 의 복소화 C'(M) 울 C 『 (M)= (w1+i w 2IW i, w 투 D'(M)} 로 정의한다. w <= C'(M) 을 M 상의 복소 r 형식이라 하고, 이것은 접 PEM 에서의 /\'T p• C(M) 의 원이다. 따라서 M 상의 복소 r 형식이 이루는 복소 vecto r 공간은 미분 r 형석이 이루는 실 vec t or 꽁간의 복소화와 동일시된다. V-를 ~ R 상의 vecto r 공간이 타 하면, V* 의 복소화는 V*c = Vt, o + Va, l (직합)으로 분해된다. 外禎代鼓 /\V i, o 과 I\ V 。 ,1 은 I\ V*C 의 부분환이 라고 생각할 수 있다. /\p,q V*C- 를 a/\ f3로 생성되는 I\ V*C 의 부분공간 이라 하자. 여기서 a 드 /\PV1'0 /3E /\9Vo,1 이다. 이때, 분해 I\ V*C=,i~ o / \ 'V*c, /\'V'c=p +Iq:= r /\p,q v 포 롤 얻는다. T;c(M) 에 이들 결과륜 적용하여 다음과 같은 분해를 얻는 다. C(M)=.E C '(M)= I;C M(M), C'(M)= I; CP,q( M). r= o p,q= O p+q=, 여기서 C(M) 은 M 상의 복소미분형식의 공간이다. CM(M) 의 원을 (p,q)형의 복소형식이라고 한다. 북소 1 형식 W 가 (1, 0) 형이 되기 위 한 조건은 (0, 1) 형의 모든 복소 vec t or 장 Z 에 대하여 w(Z)=O 이고, W 가 (0,1) 형이 되기 위한 조건은 (1,0) 형의 Z 에 대하여 w(Z)=O 이 되는 것이다. C(M) 은 co,ocM), Cl,O(M) 와 co,l( lvf)에 의하여 국소적으로 생성되 므로. (7) dC0• 0( M) cC1• 0( M) + C0• 1( M) , dC1•0(M)cC 냐 (M) +Cl,l(M) +co,2(M) dC0•1(M)cC2•0(M) +c 모 (M) +co,2(M) 이 성립한다. 이들 포함관계에서 다음을 얻는다. (8) dCM (M) cCP+ 2, q크 (M) + CP+ l, q (M) +CP, m (Jvf) +GP-1, q요 (M) . 다음, M 을 복소다양체 라 하고, (z\ …, z) 을 M 의 복소국소좌표계 라 한다.
d' : CM(M)-.CP +l ,9(M), d : CP,9(M)-CM+l(A f) 을 다음과 같이 정의한다. dw=d'w+dw (wECP,9(M)) 이때, (d')2=0, (d)2=0, d'd+dd'=O 이 성 립 한다. (p, 0) 형 의 형 식 W 가 dw=O 을 만족할 때, W 를 정칙이라고 한다. W 를 국소좌표계 (z1, ... ,z ）로서 표시하면 w= I: fi 1 •- ip dz i』/\ ••• /\dz1,. 와 같다. 따라서 d/I w =O 이 되기 위한 조건은 d,,fj l~j , = 0 이다• M 상의 임의의 함수 f에 대하여 df = I: (o f /a 건) d 겁 + r; (o f /a 친) d 친, 이므로 d'f= I; (of /o z1) d 건, d,,f= E (8 f /8 학) dzf• 이다. 따라서, dw=O 이 되기 위한 조건은 afj1 -1, J o z1=0U=l, ... ,n) 이다. 그러므로 W 가 정칙이 되기 위한 조건은 W 의 계수 fj 1 ~ Jp가 모두 정칙z, 이W E되T;는·0 것(M이)다 에. 대하여 醫, W 〕 E T; ·0(M) 이 면 T; ·O(M) 은 包含的 (i nvolu ti ve) 이라고 말한다. 그리고 Z, WET g • 1(M) 에 대하여 [Z , W ] ET i ·1(M) 이면 n·l
(c) I 의 열률은 0 이다. 증명 복소 vec t or 장 Z=X+i Y , W=X'+i Y ' 에 대하여, [Z ,W J= ([X, X 汀 - [ Y, Y/]) + i([X, Y 汀 +[Y, X']). 이고, [Z TV] =[Z, W 回댜 따타서 ＠）오t (b) 는 동치이다• 다음, (a) 와 (c) 의 동치를 증명한다. X, Y 를 실 vec t or 장이라 하고 Z= [X— i]X , Y- i ]Y ] 라 둔다. (a) 가 성 립 하기 위한 조전은 ZET~0 (M) 이다. 한편, Z+i] Z = —N (X, Y) 一i ]N(X, Y) 이다. Z+ i ]Z=O 이 성립하기 위한 조건이 ZET f 0(M) 이므로 (a) 는 N=O 과 동치이다. 위의 정리 8.2 에서 개복소구조 J가 적분가능이 되기 위한 조건은 N=O 이다. 정리 8.3 (M, J)를 개복소다양체라 한다. 이때, 1 가 복소구조가 되 기 위한 조건은 N=o, 죽 J의 연물이 0 이 되는 것이다. 증명 (x\ … ,x2) 을 M 의 국소좌 고계 라 한다. 이것에 대한 N 의 성 분 Nj k 는 다음과 같다. Nj k= ,,E~2n1 (l;oh] l 一 ]Zahl; 一]i 8 j R+] i 0kl?). 여기서 ]｝는 ]의 성분이다. 1 가 M 상의 복소구조이면 (2) 에 의하여 J 의 성분은 정수이다. 따라서 N }k =O 이다. 역 은 이 객 의 정 도를 넘 는다. 완전한 증명 은 Kobay a shi- N omi zu ( JI ) , Mats u shim a 를 참조하라. 정리 8.4 (M, J)를 실차원 2n 인 개복소다양체라 한다. 다음의 조건 울 만족하는 M 의 개피복 {U. ｝가 존재한다고 가정한다 : 〈 U. 의각점에서 J(a /axi) =a/ayi , J(a /ayi ) =-(a/ axi) , i= I, …, n.
을 만족하는 국소좌표계 {x1,•··,x,)'\ …,y）이 존 재한다. 〉 이때, M 은 복소다양체이다 . 라 증한명다 . (xu\n y' ’ )V와t= JZ(5u 상\ V에'. ） 서를 t위ti의= a l조(x건k,을 yk ) 만, 족v1하=(는3 j (x Uk,, yV 이 상라의 둔국다 .소 좌이 표 때 계 , 8/8xi = E {( 8 군 /OX j) (o/o t t •) + (0/3 : '/o Xi ) (o/ oV k ) } , 8/8y1 = Ekk {( 8aV8y 1) (0 / 詞) + (8/3 k /8 y l) (8/Ovk) }. 위의 석의 양변에 f를 작용하면 8/8y j = E {( 8 군 /8x j) (8/avk) 一 (8 합 /8x1 ) (8 / 6 군) } , k 8/8xi= _ E ( (3ak/Oy ’) (8/ 6v k) + (8 g k 1 莊) (8/ 8t t k) } . k 이들 식에서 다음을 얻는다. 합 /8x1 =8 합 /8 yj, 8ak/8y1 = —(8g k/ 6x l) . (j, k = 1, …, n) 여기서 zi= xi+ iyi, w i =u i+i v i라 두면, （강,… ,z), (w 1, ••·,w) 은 각 각 U 와 V의 복소국소좌표계이다. 그리고 wk = f k (z\ …, z), fk =a•+i /3k (k=I, …, n) 이고, 여기서 P 는 정칙이므로, M 은 복소다양체이다. 다음, M 상의 vec t or 장 X가 Lx]=O 을 만족할 때, X 를 계복소구조 J 의 해 석 적 vecto r 장 (analyt ic vecto r field ) 이 라고 말한다. 여 기 서 Lx 는 X 에 관한 Li e 미분이다. M 상의 임의의 vec t or 장 X, Y 에 대하여 (Lx]) Y=Lx]Y 一 ]LxY=[X, J四-J [X, Y]. 이므로, 다음이 성립한다. 補題 8. 5 M 상의 vecto r 장 X7} M 상의 계 복소구조 ] 의 해 석 적 vec- t or 장이 되기 위한 필요충분조건은 M 상의 모든 vec t or 장 Y 에 대하 여 [X,J Y J =J[X , Y] 이 성립하는 것이다. 정리 8.6 if,,를 복소다양체 ' M 상의 1 경수군이라 하고, X 를 ¢1 의 무 한소변환이라고한다. X 가 M 상의 개복소구조 ]의 해석적 vec t or 장이
되기 위한 팔 요 총 분조건은 61 가 각 t에 대하여 M 의 정칙동형이 되는 것이다. 증명 M 상의 임의의 vec t or 장 Y 에 대하여, 認 ]Y L _ f認＇ Y] p = lim +[(]Y)P_@ )d]Y)4,-l(p) I 마 _L(Y p _@ * Y¢ t크(p))〕 택恩仇] p ( (¢,) * Y p,니(p ) 一 (,) * (JY ) p,- l(p) ] 가 M 의 각 전 P 에서 성립한다. 따라서 보제 8.1 에서 !pt 가 정칙동형 이면 [X ,]Y ]=J[X ,Y ] 이다. 따라서 X 는 해석적 vec t or 장이다. 역으로 , X 를- 해석져 vec t or 장이타 가정한다. M 상의 임의의 vecto r 장 Y에 대하여 w(t ; Y) =](¢1)*Y 규 ¢t ) 기 ,]Y 라 두면, [d( /)( t; Y),fdt ]1= 0 =0 이 다. 한장
N(X, Y) = 〔 J X , J四-J[J X, Y] 이다. 여기서 [IX, J Y J = J [JX , Y ] 이 되기 위한 조건은 N(X, Y) =o 이 다. 다음, 복소다양체 . M 상의 (I ,0) 형의 복소 vec t or 장 Z 가 주어져 있 고, 국소적으로 정의된 모든 정칙함수f에 대하여 Z f가 칭칙 이면 Z 를 정 칙 vecto r 장이 라고 말한다. z= E fJ (8 / 8 감) 라 두면, Z 가 정칙이 되기 위한 조건은 F 가 모두 정칙함수가 되는 것 이다. 補題 8.8 M 을 개복소구조 J를 갖는 복소다양체라 한다. X 가 M 상 의 J의 해석적 vec t or 장이면 X 크J X 는 정칙 vec t or 장이다. 증명 ½(X 크 ]X) =Ef ’(8 /8z’), >(Y _iJ Y )= E gi (8/8 강) 라 두면, [X ,J Y ]=][X ,Y 回 성립하기 위한 조건은 2 망 (8F/8 칸 )=o U=l, ... ,n) 이다. Y 는 임의의 vec t or 장이므로 모든 j ,k 에 대하여 a/i /az k=o 이 다. 따라서 X-i]X 는 정 칙 vecto r 장이 다. Z 를 M 상의 정칙 vec t or 장이라고 하면 Z= 합 (8/8 감) = 柱 (ai (8/8xi) + 압 (8/8y i) } 냐떡 伊 (8/8x’) 군 (8/8y I) } , 가 성립한다. 여기서 fi =a1+ i집이다. X=E{a i (8/8x i)＋첩 (o/a y 1)} 라 두면 Z 간 (X- i ]X) 이다. 여기서 X 는 좌표근방의 선덱에 무관하다. 모든 j, k 에 대하여 8f j /82k=0 이므로 모든 Y에 대하여 [X ,] Y 〕＝互 X, 巧이고, X 는해석적 vec t or 장이다. I 의 해석적 vec t or 장의 Li e 환으로 부터 정칙 vec t or 장의 L i e 환에의 사상 O : X-+ 강 (X- i]X ) 을 생각한다. 이때, 1 의 해석적 vec t or 장 X, Y 에 대하여 J[ X, YJ = []X, Y J =[X, J幻, [J X, JY] ＝굿 X, Y] 이므로
0([X, YJ) =[ 8X, OY ] 울 얻는다. 여기서 O 는 1 대 1 이므로 동형사상이다. 여 I l S을. [R. +l 내의 단위구면이라 한다. K i rchho ff는 S 이 개복소 구조를 가지면 S +l은 절대평행성을 허락한다는 것을 증명했다. 한편, Bor 이와 Serre 은 n ::'i;: 2,6 에 대하여 개복소구조를 허용하지 않음을 증 명하였다. 훈은 복소차원 1 인 복소다양체이므로 자연적인 방법에 의하 여 개복소구조 ]를 허용한다. 그리고 S6 은 §39 에서 개복소구조 ]를 허용하는 것이 증명될 것이다. 에 2 M 을 2 차원의 가방향인 다양체라 한다. Xt :-o 인 M 의 1 접 P 의 근방에서 임의의 vec t or 장 Y 는 X 와 IX 의 1 차결합으로표시된다. 이때, M 상의 개복소구조 J에 대하여 N(X, JX ) = 一 [JX , X 曰 X, JX ] +J[X, 幻 -][IX, ] 幻 =O 따라서, M 상의 개복소구조 J는 적분가능이다. 예 3 G 가 군이고 동시에 복소다양체이고 군연산, (a, b) EG x G-+ab-1E 三 G 가 정칙사상일 때, G 를 복소 L i e 군 (com p lex Lie g rou p)이라고 한다. GL(n,C), C 은 복소 L i e 군의 예이다. 쑤소 Lie 군 G 의 복소구조 J 는 사상 La : X-+ax, Ra : X-+Xa, ad (a) : x-.axa-1 에 의하여 불변이다. X 가 좌불변 vec t or 장이면 J X 도 좌 불년 vecto r 장이 다. 따라서 J 는 G 의 Lie 환 夕에 서 의 복소구조를 유도 한냐 이 복소구조 ]는 모든 X, YE ;T에 대하여 [IX, y〕국 X, J Y] 를 만족하고, ad(X) J=J •ad(X) 이다. 따라서 7 는 복소 Li e 환이다. 역으로, G 를 L i e 환 夕가 복소구조 I 를 갖는 L i e 군이라고 하자. 그러 면 , J, ad(X) =ad(X) o], XE !T로부터 Joa d(a) =·a d (a) o], aEG 를 얻는다. 이 때 , G 가 복소 Lie 군 의 구조를 갖는다 (Koba y as hi -Nom i zu 2, p.1 31 참조). 37 Hermi te 다 양체 개복소 다양체 M 상에는 R i emann 계량 g가 항상 촌재하며, 이 Ri e-
mann 계량 중에서 개복소구조 ]에 려하여 불변인 , 이른바 Herm it e 계 량을 갖는 경 우를 연구한다. 정의 개복소다양체 (M, J)에 있어서, (1) g( ]X, ]Y) =g( X, Y) (X, YE.2 '(M )) 을 만족하는 Ri em ann 계 량 g 룹 M 상의 Hermi te 계 량이 라고 한다. 그리 고 Hermi te 계 량을 갖는 개 복소다양체 문 개 Hermi te 다 양체 (almost Hermi tian manif old ) 라 하고, Hermi ~o (Z::'i ;=O ). (iii) g( Z, W) =O (Z 는 (1, 0) 형 의 vecto r 장이 고 W 는 (0, 1) 형 의 vec t or 장). 역으쵸~, (i)' (ii)' (iii)을 만족하는 모든 복소대칭 t ensor 장 g는 M 상의 Herm it e 계량의 자연적인 확장이다. 다음, (M, J)를 Hermi te 계 량 g 를 갖는 개 Hermi te 다 양체 라 한다. 이때,
(3) {[)( X , Y) =g ( X. JY) (X, YE .'!l' ( M)) 로서 정 의 되 는 (0, 2) 형 의 ten so r 장 0 문 개 Hermi te 다 양체 (M, J) 의 基本 2 形式 (fun damenta l 2-f o r m) 이 라고 말한다. 이 때 , g 는 Herm it e 계 량 이므로, (4) ([J(JX , JY) =r/J( X, Y) 가 성립 하고, (/)는 교대 t e nsor 장이다. 즉, (5) {f)( X, y)=—fP( Y, X ). 한 전 , g 는 양정치 이 고 ] 는 각 접 에서 비 목 이 (nons i n g ular) 이므로, (1JP =(f ;/ \(/j/ \ … /\(/) (p 개) (I~p ~ n) 온 M 의 각 접 에 서 0 이 아니 다 (d i m jl;J = 2n). 따라서 다음을 얻는다. 뉴這 8. i O M 을 2n 차원의 개복 소 다양 체 라 하면, M 은 방향가능아다. 예 1 g 릎 개 복 소다 양 제 (M, J) 상의 Rie m ann 계 량이 라 한다. (z1, ••• ，강 ) 을 UcM 에서 의 복 소 국소 좌표계라 할 때, g . p =g (a ;a 검, 6 / 6 리, g ., =g (a;a 검, a / 8 한) g iij =g (a / 6 참 , 8 /6 리, g ., =g (a;a 참, 8/ 紀) (a, /3= 1, …. n) 라 둔 다. 이 들 은 (간 , ••• ,z ）에 관 한 g의 성분이다. 이때, 다 음 이 성립한다. g.p= gp. , g. ,= g,. , g 어 =g;., ft a ft =g러, g.,=g.,_ 한편 , g 가 Hermi te 계 량이 면 g.,= g., =O 이 성립한다. 역도 성립한다. 다타서 R i emann 계량 g가 Herm it e 계량 아 되기 위한 필요충분조건은 복소국소좌표계에 관한 g의 성분에 있이 서 g.,=g., = 0 (a,/3 =1 , •• ·,1l) 이 성립하는 것이다. 예 2 C 은 복소다양체 이 고, C 의 Ri em ann 계 량은
g= (dx1)2 + (d y 1) 나…+ (dx) 탸 (dy ) Z =dz1•d 한+… +dz,dz 이다. 이때, g.~=g( u/az•, a/ 紀) =O, g a= g (0/8 참, 8/8 한) =o 이 므로, g 는 Hermi te 계 량이 다. 정리 s.11 (M, J)를 개복소다양체라 한다. 이때, M 이 복소다양제가 되 기 위한 필요충분조건은 f']= O 와 T=O 을 만족하는 aff ine 접 속 F 가 존재하는 것이다. 여기서 T 는 F 의 열률이다. 증명 M' 상에 l7]=O, T=O 을 만족하는 aff ine 접 속 F 가 촌재 한다고 하자 이때, X, YE !r (M) 에 대하여 [X ,幻 =FxY 一/7y X, J7x f Y =f f1x Y 가 성립한다. 따라서 N(X, Y)=[]X,J Y ]-J[ X,J Y ]-J[ ]X, 幻 _[X, Y] =ff1,x Y-J/7 ,yX -]2l7x Y+J f7,yX -Jl 7 ,x Y+]2/ly X -f7x Y+f7 yX =O. 정리 8.3 에서 M 은 복소다양체이다. 역으로, M 을 복소다양체, 죽 N=o 이라 가정한다. 먼저, T=O 인 a ffi ne 접속 F 을 취할 수 있다. 지금, A (X, Y) = (/lx] ) Y-(P 'y]) X, S(X, Y) = (l7x]) Y+ (/7y])X. 라 두고, A,S 를 사용하여 l7~ Y=f7 x Y++4[ A(X, JY )-]S(X, Y)J 라 둔다. 이때, r1 가 구하는 a ffi ne 접속임울 증명한다. 명백히, FI 는 M 상의 a ffi ne 접속이다. 그러므로 다음은 17']=O, T'=O 을 밝힐 차례 이다. M 상의 임의의 vec- t or 장 X, Y에 대하여
(17~J ) Y=J7 ~ ]Y -]17'x Y =V+xJ]AY ( 一X],f 1J xYY)- _+!S_4_ (X[A,( YX,) ]Y ) +]S(X, ]Y) = ({xJ ) Y- 강 [(Fx]) Y+](Fx)J Y ] 컨[(f7 x J) Y-J( V x])J Y ] 한편, ](f7 x]) J Y= ff7 x f2 Y 一 ]2 f7 x]Y=- Jf7 xY+(Vx]) Y+]f7x Y =(Vx]) Y 이므로, 17~]=O 을 얻는다. 다음, T=O 이므로 A(]X, Y)+A(X,]Y)=-[X, Y]+[ JX ,J Y ]-][JX , Y]-J[ X,J Y ] =N(X, Y) 이 성립하고, T1(X, Y)=V;Y-V~-[X, Y] =T(X, Y) 나 [A(]X, Y)+A(X,J Y )] 국 N(X, Y). 따라서 N=O 이면 T'=O 이다. 補題 8.12 (M, J)를 Hermi te 계 량 g를 갖는 개 Hermi te 다 양체라 한 다. g 에 의 하여 정 의 되 는 Ri em ann 접 속 F 에 대 하여 , 기 본 2 형 식 O 와 J의 열률 N 사이에 다음의 관계식이 성립한다. 2g ( (l7x]) Y, Z) 一g(J X, N(Y, Z)) =3d(!)(X, JY , ]Z)-3d(f) ( X, Y, Z) (X, Y, Z 력 (M)) 증명 개복소구조 J에 대하여 다음을 얻는다. (/7x ])J Y =-J(/ 7x ]) Y, (/7x rf) ) (Y, Z)=g ( Y, (/7x ])Z), N(Y, Z) = (/71 Y !)Z -(fli z]) Y+J (/7z ]) Y-J( /7yJ)Z . 한편, 의미분의 정의에서
3d(JJ ( X, Y, Z) =X(
정의 개복소다양에 (M, J)에서 Herm it e 계량 g에 관한 기본 2 형식 (/)가 닫혀 있을 대 , 죽 d (j}＝ 0 을 만족합 때, g룹 ;~2 ehler 계량이 라고 한 다. 그리고 Kaeh! e 戶기량 g푼 갖는 개복소다양계를- 개 Kaehler 다양체라 하고, l(achler 계 량 g -홍 갖는 부 소다양체 륜 Eaehle.· 다양체라고 말한다. 掃四 8. 14 Hermi te 다 양체 (M, J) 가 Kaehler 다양체 가 되 기 위 한 궐 요 충분 조건은 ]가 평행이 되는 것이다. 죽, V]=O 이다. 층명 정 리 8. 13 에 서 N=o 일 때 dr/J = O 과 /7]= 0 은 동치 이 다. 위의 보제 8.14 에 의하여 Ri em ann 다양체 (M, g)가 개 Kaehler 다양 체가 되기 위한 조전은 다움과 같다. F=— I , g( ]X, ]Y) =g( X, Y), /7]= 0. (다 …, z) 을 M 의 복소국소좌표계라 하고, za=8 /8 검, Z.=Z.=a/a 합 (a=I, …, n) 라 둔다. 이때, Herm it e 계량 g를 접공간 T;(M) 상의 복소대칭형식으 로 착장할 수 있다. 죽, (1) gA a=g ( ZA, Za) (A, B=l, …, n, I , …, ii) 라 두면, g .b= g a i. =O 이고 (g ob) 는 (n,n)-Herm it e 행렬이다. 이때, 이다(2 ). 부소 vec t or 장 z, dws2 에= 2대Ia. :b하 g a여bd zd 천 Z= I; (d 감 (Z)Z.+d 합 (Z)Z.), W= I; (d 강( W)Zb+d 합 (W)Zb), a b 로 표시하면, M 의 기본 2 형식 炳는 fP( Z, W) = 一 i2a.b g a5 一 (d 감 (Z) d 칸 ( W) -d 검 ( W) d 한 (Z) \ 이므로, (3) 0= -2t.aE .b g .5dzaAd랐 이 다. 한편, g 가 Kaehler 계 량이 면 drJJ = O 이 므로 ag a t/ 8 f =8 g c5/8 검, 8g a 5/azc =8g ac/8 단.
가 성립한다. 예 1 복소 ’2 공간 C 에서 Rie m ann 계량 ds2= 1;: dz j d친 는 Herm it e 계량이다. 이때, 기본 2 형식 O 는 = 一i Edz i Ad 힌 이 고 d
울 얻는다. 이때,
on=(/)^ …^([) (n 호]) 라 둔다. 이때, O 의 정의에 의하여 0'' 은 M 의 모든 점에서 0 이 아니 므로, M 은 방향가능이 다. 여 기 서 (/)>o 이 라 하자. 따라서 \(/J >o 이 다. M 은 comp a ct 이 므로, Sto k es 의 정 리 에 의 하여 On 은 완전형 식 이 아 니고, H 2(M ) 에서 〔(/}汀온 o 이 아니냐 그러므로＇ 〔(/)汀 EH 먀 (M)(k =I,···,u) 은 0 이 아니고, H2k(M)-:/:-0 이다. 그리고 H0(M) -:j:. O 은 명 백하다. 예 5 위 의 보제 8. 15 에 의 하여 comp a ct 인 Kaehler 다앙체 M 의 우 수차원의 Bett i 수는 0 이 아니 다. 한편, Hodg e 에 의 하여 그 Bett i 수 가 모두 양이라는 것이 밝혀졌다. 단위구면 S2P+l 과 S2q+ 1 의 적 S2P+ l X S2H l 은 복소구노을· 갖는 다. Calabi- E ckmann 에 의 하면 복소 다양체 S2P +l X S2Hl 의 Bett i 수 B2.(0~ k~ p+q)는 0 이다. 따라서 52P+lX52 q +l 은 P=q = O 인 경우를- 제의하고 논 Kaehler 계 량을 갖지 않는다. M 을 개 복소구조 ]와 Kaehler 계 량 g 를 갖는 실 2n 차원의 Kaehler 다양체 라 하고, R, S 를 각각 M 의 Ri em ann 곡률 ten sor, Ric ci te nsor 라 한다. 이때, 다음을 얻는다. 補題 8.16 Kaehler 다양체 M 에서 다음의 성질이 성립한다. (i) R(X, Y)J =JR (X, Y), R( JX , JY) =R(X, Y), (ii) S( JX , JY) =S(X, Y), S(X, Y) ＝랑(t race _ JR(X, JY )). (X, y랍 (M)) 증명 (i) 17J = o 이므로 R(X, Y)J Z =J R (X, Y)Z 가 모든 ZEfl ( M) 에 대하여 성립한다. 다음, X, Y,Z, WE !7f (M) 에 대하여 g(R ( JX , JY )Z, W) =g( R( W, Z)J Y , JX ) =g(JR ( W, Z) Y, JX ) =g( R( W, Z) Y, X) =g( R(X, Y) Z, W) . 따라서 R( JX , JY ) =R(X, Y) 이 다. (ii) {e1, … ,e2} 을 M 의 정규직교기라 하면, S(J X , JY ) = 4g (R (e.-, JX )J Y , e,) = 4g (R ( Je; , JX )J Y , Je,- ) =4g (R (e.-, X)J Y , Je.- ) =4g (JR (e.-, X) Y, Je,- )
=~g(R (e;,X)Y,e,-)=S(X, Y). 다음, Bia n chi 의 제 1 항동식 에 서 S(X, Y) =I;g( R(e;, X) Y, e;) =一 I;g(JR (e;, X)J Y , e;) =I;냐(J R(X, JY)e; , e;) +g(JR ( JY , e;)X, e;)] =i냐(J R(X, JY)e.- , e.-) +g(JR ( JY , ]e;)X, ]e;)] = I;[g(JR (X, JY )e;, e;) +g( R( Y, e;)X, e;)] = (tra ce JR (X, JY )) 一 S(X, Y). 따라서 (ii)의 재 2 식을 얻는다. 補題 8. 17 Kaehler 다양체 M 의 Ri cc i ten sor S 는 다음을 만족한다. (f7z S)(X, Y) = (f7x S)( Y, Z) + (fiJYS ) (IX, Z). 증명 補題 8.16 의 (ii)의 제 2 식과 B i anch i의 제 2 항동식에서 다음 윤언는다. (/7z S) (X, Y) =尸꾸g(f(/7 ZR) (X, JY )e;, e;) =坪g(l(/7 xR)(Z, ]Y)e;, e;) +강꾸g(l(/7/y R)X , Z)e;, e;) =(/7x S) (Y, Z) +(/7,yS ) (JX , Z). 補題 8.18 M 을 실 2n 차원의 Kaehler 다양체 라 한다. M 이 정 곡률 공간이면 M 은 평탄이다 (n>I). 증명 이 M 이 정곡률 c 를 가지면 R(X, Y)Z= 습 (Y, Z)X 궁 (X, Z) Y] 가 성립한다· 보제 8.16 의 (i)의 제 2 석에서 R(X, Y) Y=c[g ( Y, Y)X-g( X, Y) YJ =c[g ( ]Y, Y)J X -g( ]X, Y)J杓 =R(]X,]Y)Y. 이것으로부터 (2n-I)cX=cX, 죽 2(n 一 I)c=O 이다. 따라서 n>I 이면 c=O 이다.
위의 성질에서 Kaehler 다양체 에 있 어서 정곡률 의 개념은 본 질적 으 로 의미가 없다. 따라서 Ka e hl e r 다양체에 있어서 는 정 정칙 절 단 곡률 의 개념을 도입하기로 한다 . 이 것을 위하여, 개 복 소구조 를 갖 는 실 vecto r 공간상에서 선형사상에 대한 대수 적 성 질 을 준비한다. V 를 복소구조 j 를 갖는 2n 차원의 실 vec t or 공간이라 한다. 다음의 조전율 갖는 선형사상 B : Vx Vx Vx V-R 를 생각한다. ( i ) B(X, Y, Z, W)=-B(Y, X, Z, W) =-B(X, Y, W, Z), (ii) B(X, Y,Z, W)=B(Z, W,X, Y), (iii) B(X , Y, Z, W) +B(X, Z, W, Y) +B(X, W, Y, Z) =O , (iv) B( JX , JY , Z, W) =B(X, Y, JZ, JW ) =B(X, Y, Z, W). Kaehler 다양체 의 Ri em ann 곡률 te nsor R 이 조건 (i) , (ii) , (ii i) , (iv) 를 만족하는 것을 쉽게 알 수 있다. 補題 8.19 B 와- T 를 위의 조건 (i), (ii), (iii), (i v) 를 만족하는 선형 사 상이라 한다. 모든 XEV 에 대하여 B(X, JX , X, JX ) = T(X, JX , X, JX ) 이면 B=T 이다. 증명 여기서 T=O 이라 두고, B(X, JX ,X, J X)=O 을 가정하여, B=O 울 증명하면 충분하다 . X 대신에 X+Y 라 두면, (4) 2B(X, JY , X, JY ) +B(X, JX , Y, JY ) =O. 한편, (i) , (iii) , (iv) 에 서 B(X,JX , Y,J Y )-B(X, Y,X, Y)-B(X,J Y ,X,J Y )=O. 위의 두 식에서 다음을 얻는다 . (5) 3B(X, JY , X, JY ) +B(X, Y, X, Y) =O. 따라서 (6) 3B(X, Y,X, Y)+B(X,J Y ,X,J Y )=O. 그러므로, (5), (6) 에서 B(X, Y,X, Y)=O 을 얻는다. 제 2 장의 보계
2.13 에서 B=O 을나걷는다. 다음, v 상 의 Hermi te 계 량을 g 라 하고 B 。 (X, Y, Z, W) =7 냐 (X, Z)g ( Y, W) 一g (X, W)g ( Y, Z) +g( X, JZ )g ( Y, JW )-g( X, JW )g ( Y, JZ ) +2g ( X, JY )g ( Z, JW )]. 라 둔다. 이때, Bo 은 조건 (i), (ii), (iii), (i v) 를 만족한다. 그리고, 또 다음을 만족한다. B 。 (X, Y, X, Y) 카[g (X,X) g (Y, Y) —g( X, Y)2+3g ( X, J Y) 언, B 。 (X, JX , X, JX ) =g( X, X)2. . a 를 V 상의 평면이라 하고, X, Y 를 a 상의 정칙직교기라 한다. 여기서 K(a) =B(X, Y, X, Y) 라 두면, K(a) 는 평면 a 에만 관계하고, a 의 정규직교기의 선덱에 독 럽이다 . 즉, J a=a 이고 (X, J X} 는 a 상의 단위 vecto r X 에 대하여 a 에 대한 정규직교기를 이문다. 따라서 보제 8.19 에 의하여 다음을 얻는 다. 補題 8. 20 B 를 조건 (i) , (ii) , (iii) , (i v) 를 만족하는 선형 사상이 라 한 다. K(a)=c 가 모든 ]불변평면 a 에 대하여 성립하면 B=cB0 이다. 이 상의 대 수적 컬과를 개 복소구조 ]와 Kaehler 계 량 g 를 갖는 Kaeh. ler 다양체 의 Rie m ann 곡률 ten sor R 에 적용한다. 접공간 T(M) 내 의 각 평 면 a 에 대하여 단면곡물 K(a) 는 a 의 정규 중교기 {X, y}에 대하여 K~a) =R(X, Y, X, Y)=g ( R(X, Y) Y, X) 와 같이 정의된다. 평면 a 가 I 에 의하여 불변이면 K(a) 를 I 에 의한 正則斯面曲平 (holomor p h i c secti on al curva t ure) 이라고 말한다. 따라서 정 칙 단면곡물 K(a) 는 (7) K(a) =R(X, JX , JX ) =g( R(X, JX )JX , X) 으로 주어진다. 여기서 X 는 a 상의 임의의 단위 vec t or 이다. 보제 8.19
에서 T,(M) 내의 모든 J-불변평면 a 에 대한 정칙단면곡률 K(a) 는 점 PEM 에 서 의 Ri em ann 곡물 ten sor R 을 결정 한다. K(a) 가 모든 J-불 변평면 a 와 모든 접 PEM 에 대하여 정수일 때, M 을 定正則斷面曲率空 問 또는複素空間形 (com p lex spa ce fo rm) 이라고 말한다. 때때로 복소공 간형을 정정칙 단면곡물을 갖는 단연결이고 완비인 Kaehler 다양체로서 도 정의한다. 다음에 Schur 의 정 리 와 유사한 Kaehler 다양체 상의 다음의 정 리 를 증명한다. 정리 s.21 M 을 복소차원 n(n>I) 의 Kaehler 양체라 한다. T,(M) 상 의 J불변평면 a 의 정치단면곡물이 정 P 에만 의촌하면, M 은 복소공 간형이다. 중명 R0(X, Y,Z, W)=-}[g ( X,Z)g ( Y, W)-g( X, W)g ( Y,Z) +g (X, ]Z)g ( Y, J W) 一g (X, J W)g ( Y, ]Z) +2g ( X, JY )g ( Z, JW )J 라 두면, 補題 8.20 에서 R=cR 군]다. 여기서 c 는 M 상의 함수이다. 이때, M 상의 Ric c i ten sor S 는 S= 방 (n+I)cg 로 주어진다. Schur 의 정리에 의하여 c 는 n>I 일 때 정수임을 알 수 있다. 위의 정리 8.21 에서 다음을 얻을 수 있다. 정리 8.22 Kaehler 다양체 M 이 정칙단면곡물 C 인 공간이 되기 위한 필요충분조건은 M 의 Ri em ann 곡를 ten sor R 이 (8) R(X, Y)Z= .오4..[ :.gg(J (YX , ,ZZ))]XY-+ g2 (g Y(,JXZ ), XY+) J(Z J X ] ,(ZX), ]YY, ZEfE ( M)) 로 표지되는 것이다. 정리 8. 23 정정 칙 단면곡률을 갖는 Kaehler 다양체 M 은 Ein s te i n 공 간이다.
증명 {e1,···,e2n} 을. M 의 정규칙교기라 하면 (8) 에서 S(X, Y)=~g ( R(e;, X) Y, e,) 국 (n+ l) c g (X, Y) 이 다. 따라서 M 은 Ein s te i n 공간이 다. 다음, M 윤 복소차원 n 인 복소구조 ] 를 갖는 Kaehler 다양체 라 한다. M 상에서 국소정규직교기 {e1, … ,e.,e1*=]e 1, ···,e.*=]e} 을 잡고, 이 기에 대하여 쌍대기를. {w 1, •··,w,w1*, … ,w*} 이라한다• 그리고 w=(w j） (i,j =I, … ,2n) 를 M 의 접속형식이타 하면, (9) w6=w6:, w,!.=-wg •, w6=-w!, w6.=w!., (a,b=l,… ,n ) 이다. 그리고 n=( 와)를 곡률형식이라 하고 Q} = l2. k E.l R }klwk^w:. 타 둔다. 다음, (IO) &=감 (e 。-i e.*), &＝강 (e.+ i e.*), 0°=0°+io a *, 0a=wa_io 0 * 타 두반 (&)는 T;•0(M) 의 복소기를 이루고, (&)는 T!A(M) 의 복소 기를 이문다. 이때, Kaehler 계량 g는 g= Ea0 °®0a 로서 주어진다. 그리고 o:=w:+ i w 판, Oi= w Z-iw :*, ¢:=n:+w 안, ¢:=9F i 9 던 라 두면, 다음을 얻는다. d0a= _ E0;/\ob, o:+of= o , d0:= _ E0:A0;+% ¢t= EKtc 3° C/\oa, c.d K:,a =강撲 :,d+R:.,d. +i(R c,d.-R:.,d)J. 따라서 M 이 정정치단면곡률 C 인 공간형이 되기 위한 필요조건온
K&J = }c (8ac 如 + 8ab8a) , 죽, (11) 少 ;=}c(0a/\06+oab 꾸 oc/\oc) 이다. 다음, M 상에 복소국소좌표계 {감,… ,z 가율 잡고, Za=o/o 검, Za=Za=o/o 합 (a=l, …, 1') 라 두고, T~(M) 상의 Hermi te 계 량 g 를 gA s=g ( ZA, Zs) (A, B=l, …, n, I , ... , n) 라 한다. T;(M) 상의 공변미분 V 에 대하여 v',c Zc= ,EA I'~::ZA 라 두면, F¢c=r;c 을 얻는다. ]Z.=iZ a , ]Za=-iZ1 1, 그리고 fl]= O 에서 n~=I '~c= O 이다. J는 振率 0 이므로 r;c=m, r&=r:5, 그 의 는 r:c=O 이다. 따라서 r¢c 는 다음과 같이 계량 g에 의하여 결정된다: ,E g。 2r:c =Og ab/8 감, E g adr t =8g d5/8 합. a a 다음, R(Zc, ZD)Za= .Ar; K :cDZA, KAacD=g (R 냐) Za, ZA) , KABCD= l:g AEK옮 D• E 라 두면, 補題 8.16 에 의하여 R(Zc, · L%) 는 J와 가환이고 K:,d=K~ca=O, KABcd=KAsaa=O. Ki co =K ~co=O, Kabco=Kdco=O, 이다. 그리고성분 Kg ,a; K:u, Kt ,il, Kf ~d, Ka5cil, Ka5u, Kacil, Kou
논 모 두 0 이 아니다. 다 음, R( X, Y)Z 크 /7 XE]Z-V(X Y]Z 에서 X=Z, Y=Za, Z=Zb 라 두면, KC,a= 一 8 다 /a 간, Ko&a= 릅블궁 g: oI 릅누 이 다. 여 기 서 (g a5 ) 는 E g ab g ,5=8 尸긴 (g ab) 의 역 행 렬이 다. M 의 Ric c i ten sor 의 성 분 KAB 는 K 。 5= 一 Ear;,/8 칸, Ka b=K .i;, K.b= K .,i;= O 로서 주 어진다. G 를 행렬 (g. ；； )의 행렬식 이라 하면, G2=!g A al=!g a bl2 이고, 후Oza =G b江,c g b< ~8 검 이다. 그리고 다음을 얻는다. 입C r;c = Ol Oozga G ’ Kai= 一 겅정? !lof gf G- · 다음, M 의 Ric ci 의 ten sor 장 S 에 관련된 R ic이 형 식 울 임 의 의 vecto r 장 X,Y 에 대하여 p( X, Y) =S(X, ]Y) 로써 정의하면 p =-2 i 2a,Kbo 5dza/\d칸 , 죽, p =2 i d'dn1o g G 로 표시된다. 그리고 모든 Kaehler 계량은 국소적으 로 ds2=2L g.i dzdzb 와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 어떤 실함수 f에 대 하여 go 5= (82 f /azaa 합) 이 다. 정리 8.24 (1) 입의의 양수 c 에 대하여, 복소 사영공간 c p 2 은 정 칭 칙 단면곡물 c 인 Kaehler 계량을 갖는다. 비제차좌표계 (z1;•••,Z) 에 대하여 c p 2 의 계량은 ds2=c4- (1 + Ez· 합) (Edz(1d+ 합E )z-·( 꾼E )22. dz·) (Eg d 참)
로써 주어진다. (2) 입의의 음수 c 에 대하여, C 상의 단위 개원판 D 은 정정칙 단 면곡률 e 인 Kaehler 계 량을 갖는다. C 의 좌표계 (z\ …, z) 에 대 하여 그의 계량은 ds2=-4 (1_ Ez2°) (Edz.d 참) + ffizdz •) (I;z• dz•) c (I 一I; z•z•)2 로써 주어진다. 증명 먼처, (1), (2) 의 (g아)는 각각 다 c) (l 土 EzT) 2go '= (1 土 .E zT 칸)로 z•z,, 로서 주어진다. 이 식을 8/8 감, a21az 땅한 에 대하여 미분하고, zl=z2= …= z=O 이라 두면, g'=（국 )8 雪,, ag. , /oz7=0, aaz2rgo z1' =- 으C (8'8r8 + 8d8,r) . 따라서 다음을 얻는다. K.,r,= 곱梧-『? ?z혼 •’ 룀느 =- i;1- c (g ., g,, +g.,g,r ) . 이것으로부터 계량 ds2 은 원접 z1=•·•=z=O 에서 정정칙단면곡물 e 를 갖는 것을 알 수 있다. CP 와 D 은 정칙등장변환의 추이군을 허용하 므로, ds2 은 정정칙 단면곡물 c 를 갖고 완비이다. 마지 막으로, 다음을 증명 한다. 정리 8.25 정정칙단면곡물. c 를 갖는 단연결이고 완비인 Kaehler 다 양체 M 은 c>O, c=O, c
완비인 Kaehler 다양제논 서로 정칙등장이 됨을 밝히면 충분하다. M 과 M' 를 위와 같은 두 개의 Kaehler 다양체라 하고, M 의 접 O 와 M 의 접 O' 를 잡는다. 이때, 계량과 개복소구조를보촌하는선형동형사상 F: T 。 (M) 라 ' (M') 은 O 에서의 M 의 펀 r t ensor 를 0' 에서의 M' 의 곡물 t ensor 로 사상한다. 이때, f( 0)=0' 이고 df =F인 M 으로부터의 유일한 a ffi ne 동형사상 f가 존재함을 알 수 있다. M 의 겁 P 에 대하 여, 점 O 와 P 를 맺는 곡선 T 를 잡고, P'=f( p), r'= f (r) 라 둔다. r 를 따르는 평행이동은 f에 의한 T 믈 따르는 평행이동에 대웅되고, M 과 M 겨 계 량 ten sor 와 개 복소구조는 모두 평 행 이 므로, aff ine 동형 사상 f는 M 의 계량 t ensor 와 개복소구조를 M 의 계량 t ensor 와 개복소구 조에 사상한다. 그리고 補題 8.1 에 의하여 f는 정칙이다. 39 K 공간 槪 Hermi te 多 樣體 중에서 개 Kaehle,. －L 양체가 아닌 이른바 K 공간 에 대하여 고찰한다. 정의 M 을 개 복소구조 J 와 Hermi te 계 량 g몰 갖는 개 Hermi te 다 양 체라 한나 M 상의 계량 g에 관한 공변미분 /7에 대하여 ( 1) (/7x l) Y+ (/7yf) X= O (X, YEX(M) ) 만족할 때 , M 을 간단히 K 空間 또는 nearly Kaehler 다양체라고 말한다. (I) 은 다음과 동치이다 : (2) (/7x ])X=O. 한편, 개 Hermi te 다 양체 M 에 서 (3) (FxJ ) Y+ (FJx ])J Y =o 을 만족할 때 , M 을 qu asi- K aehler 다양체라고 한다. M 을 K 공간이라고 하반 다음이 성립한다. (4) (fi'xJ ) Y+ (fi',x ])J Y =O, (rx] )J Y =-J( fi'x] ) Y. 다음, N 을 J의 열룰 t ensor 장이타고 하떤 간단한 계산에 의하여 다 음율 얻는다.
N(X, Y) =— 4](r x] ) Y, (5) N(X, Y) +N(Y, X) =O, g( N(X, Y), Z)+g ( N(X, Z), Y) =O, N( JX , JY ) +N(X, Y) =O, g( N(X, ]Y), ]Z) +g( N(X, Y), Z) =O 예 1 A 를 기 {I,e0,e1, …다울 갖는 Ca y le y수의 환이라 한다. 여기 서 I 는 A 의 단위원이다. A 상의 乘法表는 다음과 같다. e1=_J, e,··C j = _Cj .%(i*j), i, j = o, 1, ···, 6, e 。 .e1=e2, e 。 .e3=e4, e0•e5=e6, e1•e.=e5, e1•e3=e6, e2•e3=e5, e2•e4= -e6 나머지 e,.e j =ek 는 순환적인 방법에 의하여 주어진다. 따라서 A 는 바 결합적이다. A 의 임의의 元은 xl+X, X= I9: 감, · (x, x'.ER) C=O 로 표시된다. 만일, X=O 이면 그 원을 純虛 Ca y le y수라고 말한다. 모 돈 순허 Cay le y 수는 A 의 7 차원 부분공간 E1 을 이 룬다. 다음, X= E6x '.e., Y= E6 y' . e, 드 E1 i=O i=O 에 대하여 X, Y=-
웅 생 각하자. E 7 상의 sca la r 적 은 찬 상의 계 량 ten so r 장 g 문 유 도한 다. X 드 훈 에서의 접공간 T x (S6) 은 X 에 직교하는 E7 의 부분공간과 등일시할 수 있다. 여기서 T x( S6) 상의 자기준동형 Ix 를 fxY =Xx Y (YETx(S6)) 와 같이 정의한다 . 이때, JiY =f x( X x Y)= Xx (Xx Y) =X·(Xx Y)= X·(X·Y)+ < X , Y> X = (X· X ) • Y= —< X ,X> Y =-Y 이므로, n = -1 이다 . 따라서 대응 X-- J x 는 ] 2= 一 1 인 t ensor 장 ]를 정의한다. 이때, g(JxY , fxZ ) =g(Y , Z) (Y, ZETx (S 6)) 를 만 족하므로, S6 는 개 Hermi te 구 조 (J, g) 를 갖는다. 한판, Fukami -I s hih a ra, Al most Hermi tian str u ctu re on S6 ( 19 55) 에 의 하면, S6 는 Kaehler 구조 를 갖지 않으나, nearly Kaehler 구조 를 갖 는다는 사실이 밝혀쳐 있다. 다음, T 를 (0, 2) 형 의 ten sor 장이 라 하고, 임 의 의 vecto r 장 X, Y 에 대하여 (6) T( JX , JY) = T(X, Y) , 울 만족할 때 , T 를 混血 (h y br i d) 이 라고 말하고, (7) T( JX , JY )=-T(X, Y) 를 만족할 때 , T 를 純 血 (pu re) 이 라고 말한다. Ni ih= g ( N(e;, eJ , eh) 라.두면, (5) 에서 Nj ih 는 j, i와 i, h 에 대하여 교대이고 순혈입을 알 수 있다. 그리고, t ensor 장 T=(TH) 가 순혈이 고 S=(S i,）가 혼혈이면 Tj ,-S i ,-=O 이 성립한다. 補題 8.2 6 K 공간 M 의 N ij enhu i s 열물 N 이 0 이면 M 은 Kaehler 다 양체이다. 증명 (5) 에서 N(X, Y)=-4l(l1xl) Y= o 이므로, N=o 이 면 (FxJ ) Y
=O. 따라서 P'x f =O 이다. 보제 8. 14 에서 M 은 Kaehler 다양체 이 다. K 공간 M 의 R i emann 곡뚤 t ensor 장을 R 이라 하면, (8) g( R(X, Y)Z , W) =g( R(X, Y)J Z, JW )-g( (P'x] ) Y, (P'z] ) W) 이 성 립 한다. 따라서 다음을 얻는다. (9) g (R (X, Y) Y, X) =g (R (X, Y) J Y, JX ) +g ((P'x] ) Y, (P'x ]) Y) , (IO) g( R(X, Y)Z , W)=g ( R( JX , ]Y)JZ, JW ). 다음, Q를 M 의 R i c ci작용소, 죽 Q X=EE(X,e j )e, · 라 할 때, g(Q* X, y)=-강~g (R(X, JY )e;, ]e;) 라 두고, C 를 M 의 Ric ci* 작용소라고 말한다. 여 기 서 {e,.} 는 M 의 칭규직교기이다. t ensor 장 S 를 S=Q -Q* 로서 정의하면, (11) g( SX, Y)=I ;g( (Vx])e;, ( Vyf)e ;), tra ce S= 정수 >0 울 얻는다. 앞으로, R;1,.,=g ( R(e,, e1)e,., e,) =g(R (e,., e,)e,, e1) 라 둔다. 이 것 은 제 3 장에서 정의한 곡률 t ensor 의 성분과는 부호가 다르다. 그리고 Rij = g(QC j, ej) . R*,.j= g(Q* cj, ej) , Su=g ( Sej, ej) 라 두면, RiJ , R*,.J, S j j논 i,j 에 대하여 대칭이고 혼혈이다. t ensor 의 성분율 써서 (8), (10), (11) 을 나타내면 다음과 같다. (8)' Ruu=Rij ab hI}-(F J ? )FJ ,., (10)' Ri ju= R.bcdRRJ iI1 , (11)' Su=Ru-R*ij =F J o b(FJ ”), R*u= -상 RbbchF, trac e S=r,.Jj h(F iJ /h ) =r-r* ＝정수 >0. 여 기 서 r=tr a ce Q=g'1R ;;, r*=tr a ce Q*=g'1R % 이 다. 임 의 의 교대 t ensor 장 T 마 에 대하여 Tij Ar ,R j m =0 이므로 (12) (r'P) 7,Rj m = O
이고, /7, .r*=2/7 I R*u 에서 (13 ) /7/ (Ri j-R* ij ) 권/7,; (r-r* ) = O. 補題 8.27 K 공간 M 에서 다음이 성립한다 . S'1 (Rkji h -5R kjh a]Ui ) = 0. 증명 (8)’ 와 (10)’ 에 서 2 (Vh] i') Rj i11 = -S;; V ,J, ,. 이 방정식에 Fh 를 작용하면, (12), (13) 에서 2 (f'hf' AP ') R1;,, = -S;;V hf ',],,. Ri cci 의 항등식 과 S“F,FJ , r= 0 에 서 2 (FhFhF) Rm1 = S; (Rh3aIR-Rh'R) . 이 식에 ]i를 곱하여 t 에 대하여 축약하면, 2n (Vhf 'h] i ') R1;, 1= Shr (Rh llr-Rh 11a1 Jl: ) . 한편, (14) V'V,]7 = ]'(Ri, -R*11) 이 성립하므로, 위의 식은 다음과 같다. 2J lJ { S aI.Rj js1 =Shr (RhsEr-RhsIof iR) . Bia n chi 의 항등식 에 서 2]iJ iS” (Ri1 j ' + Rt j;,) =S” (Rh3kr-R AIIaJ U 9 . 여 기 서 J!.S= -J5a J 를 고려 하면 4] l]lR ,;,·,S •I=S1'(R.,.,-RA,1a]lJ :) 율 얻는다. 여기서 구하는 식이 나온다. 정리 8.28 M 을 Kaehler 다양체가 아닌 K 공간이라 한다. 이때,
sj1 = Rj i-R *g = ag l’ 이면 M 은 E i ns t e i n 공간이다. 증명 보제 8. 27 에서 Rj ‘ =5R*p , r=5r* 이다. r_r*::: ::n a 이므로 RJ E = (r/n)g; ; 이 다. 따라서 M 은 Ein s te i n 공간이 다. 앞으로, 다음과 같은 작용소률 도입 한다. on＇ 간 (8? ] ?f}) , *O?} 칸 (o'f'o i+ Jrf J) . 이때, 다음이 성립한다. O't} R ab=O, 0 입j R*ab=O, *Of JfTa ]b=O. 이들 식에서 다음을 얻는다. E (5R*r;-R,i) F hF = o. 여기에 Fh 를· 작용하떤, (FhFhF) J K5R* 『 ;-R,;) =O. 따라서 (14) 에서 다음을 얻는다. 補題 8.29 K 공간에서 다음이 성립한다. (R ii一 R%) (5R*ji -R ji ) =o. 갈은 방법으로 다음을 얻는다. (15) R*i; (Ri‘ 一 R* ji) =Rkji ho ;:Rkj1 s. 또, 補題 8.29 와 (15) 에서 (16) (Rj j-R %) (R J드 R* ij) =4Rkjn 0iM R ki II 를얻는다. 한편, 입의의 주어진 정수 a,b 에 대하여 다음과 같이 둔다. (17 ) Tk;;n=Rk ii h 군(g khs g-gj hsk j +gj , · Skh- g k j%) +b(r-r*) (gu g 1 ;-gJ k g. ,.), (l8) UkJ jh= OKTkj1 ,.
그러면, 이들 T 와 U 는 K 공간에서 다음과같은중요한역할울한다, 補題 8.30 n 차원 K 공간 M 에서 다음이 성립한다. uk}ih U *lih = Rkji hQ )~R.,,, + 2 [ (n 一 4) a 드 2a]Sj .- S1.- + [2a 나 2b-4 ( n-2) ab + n (n-2) b 汀 (r-r* ) 2 증명 ukji hu kji h= TkJ1 .h o :; Tkj1 s = Rkji ho :; TkJI ,-ag khsj/ O K Tkjt , + a gj AS“O: 江 Tkjt , -a gi ,.S•ho: 口 Tk jt s+a g “S j ho: i. Tk jt 3 + b( r-r* )g thg i iQ);. T.i,, - b (r-r* ) gihg k iO l: , Tkit , = Rk)ih o::, Tkjt , - 4ag 1S1'0 lt . T kjt , + 2b (r-r* )g thg ii01 i. Tkit ,. 한편, 간단한 계산에서 다음을 얻는다. R*ii ho :;. Tk jt , = R* iih o :;.Rkjt , - 2aSj i + b (r-r* ) 라 一 ag H Sii O) :, T.;,, = >[(n 국) a2-a 踏 ,s p 난 [a 드 (n -2) ab] (r-r* ) 언 이 둘 식으로부터 구하는 식을 얻는다. 이상을 정리하여 다음과 같이 간략하게 나타내기로 한다. (19 ) ukji hu kji h= AS11Sj i+ B(r-r*)2, 여기시 A,B 는 다음과 같다. A=2(n 국 )a2-4a+¾, B=2a2+2b 국 (n-2)ab+11(n-2)b 언 補題 8.31 n 차원 K 공간 M 에서 A+nB=O 이면 다음이 성립한다. uk J Ihuk j 1h=A 〔요一 (r ] lr* )g ,,][sp _ (r_r*) 디 주의 (i) A+nB=o 을 만족하는 실수 a,b 가 존재할 조건은 ?i츠 6 이 다. (ii) n=6 이면 정수 a,b 가 존재한다. 가령, a=I/2, b= l/ 8 이면 A +nB=O 을 만족한다.
정리 8.3 2 6 차원의 K 공간 M 은 E i ns t e i n 공간이다. 증명 補題 8. 31 에 서 다음을 얻는다. S;;=RH-R;;*=¼(r-r*)gN 따라서 r-r* 는 정수이므로 M 은 E i ns t e i n 공간이다. 補題 8.33 M 을 Ein s te i n K 공간이라 하면, M 의 scalar 곡물 r 은 양 의 정수이다 . 증명 補題 8.29 에서 5S;; 향 =4 R j , sji 이고, 따라서 S j훈=5브n (r 一 r*) 이다. (11)’ 에서 r>O 을 얻는다. 다음, 정 정 칙 단면곡률을 갖는 K 공간을 취 급한다. 단위 vecto r X 에 대한 정칙단면곡물 H(X) 는 H(X) =g(R (X, JX ) JX , X) 로써 주어진다. 여기서 B(X, Y,Z, W)=g ( R(X, Y)Z , W) 나[g((P' x l) W, (Py ] )Z) _g(( FxJ )Z , (7YJ ) W) 一 2 g((P' x]) Y, (P'z]) W)J 라 두면, B 는 §38 의 조건 (i) , (ii) , (iii) , (iv ) 를 만족하는 선형 사상이 다. 이때, B 。 (X, Y,Z, W) 나+[4 gg(Y (,Y ],ZZ))g g ( (XX,, JWW )) -궁g( (XX,, ZJ)Zg ) g( Y ( Y, ,W J)W ) -2g ( X, JY )g ( Z, JW )J 라두면,
B0(X, ]X, X, JX ) =g(X , X)2. 지금, M 을 정정칙 단면곡물 e 를 갖는 공간이라 하면, 입의의 단위 vecto r X 에 대 하여 B(X, JX , X, JX )=g ( R(X, JX )JX , X)=c 이 다. 보제 8. 13 에 서 B=cB0 이 다. 따라서 다음을 얻는다. 정리 8.34 M 을 정정칙 단면곡물 C 를 갖는 K 공간이라 하면, 다음이 성립한다 . g( R(X, Y)Z, W)=¼c[g ( Y,Z)g ( X, W) -g(X , Z)g ( Y, W) +g(Y , JZ )g ( X, JW ) -g(X , JZ )g ( Y, JW )-2g ( X, JY )g ( Z, JW )] 나[g((fl x]) W, (flyJ )Z ) -g((flx] )Z, (fly]) W) -2g ((flx] ) Y, flz]) W)]. 정리 8.35 M 을 Kaehler 다양체가 아닌 K 공간이라 한다. 이때 6 차 원을 제외하고는 정정칙 단면곡물을 갖는 M 은 존재하지 않는다. 증명 Yano and Kon(p. 153) 을 참조. 정리 8.36 4 차원의 K 공간은 Kaehler 다양체이다. 증명 (19) 에서 ”=4, a=l/8, b=-/16 이라고 두면, Sli =R 1;-R*1;=0, r=r* 따라서 (11)' 에서 FJ h =0 이므로 M 은 Kaehler 다양체이다. 40 Kaehler 다양체의 부분다양체 2mM) 인 을 K개a e복h소ler구 다조양 체J 와라 K한a다e.hl eMr 계 율 량 Mg 를 속 에갖 는동 장복매소 입차 되원 는 m실 (차실원차 원”
인 R i emann 다양체라 한다. 여기서 M 상에 유도되는 R i emann 계량 te nsor 장을 M 의 계 량 ten sor 장 g 와 같은 문자로 표시 하기 로 한다. M 상의 접 vec t or 장 X 에 대하여 (1) JX =FX+PX 라 둔다. 여기서 FX 는 J X 의 접성분이고, PX 는 ]X 의 법성분이다. 이때, F 는 접 vec t or 속 T(M) 상의 자기준동형을, P 는 접 vec t or 속 T(M) 상의 범 속치 (法깃準) 1 형 식 이 다. 다음, M 의 법 vec t or 장 C 에 대하여 (2) JC =tC +f C 라 둔다. 여기서 t C 는 J C 의 접성분이고 f C 는 J C 의 법성분이다. 이 때 , t 는 법 vecto r 속 T(M) .l.상의 접 속치 (接束値) 1 형 식 이 고, f 는 법 vec t or 속 T(M) .l.상의 자기준동형이다. 명백히, F 는 T(M) 상에서 교 대적이고, f는 T(M) .l.상에서 교대적이다. (1) 과 (2) 에서 F2=-I-tP , PF+f P= O Ft +tf=O , !2= -1-Pt 이고, P 와 t 사이의 관계 (3) g( PX, C) +g(X , tC ) =O 울얻는다. 정의 M 을 Kaehler 다양체 M(, J,g)의 부분다양체라 한다. M 의 접 p에 대하여 JT ,(M) c T,(M) 이면, M 을 ]에 의한 M 의 不變 部分多樣體(i nvar i an t subman ifo ld) 라고 말한다. 한편, M 의 접 P 에 대하여 JT ,(M) c Tp (M) J. 이면, M 을 J에 의한 M 의 反不變 部分多tiff (an ti-i nvar i an t submani- fo ld) 라고 말한다•
浦題 8. 37 Kaehler 다양 체 (M, J, g) 의 불 변 부 분 다양 체 M 은 Kaehler 다양체이다. 증명 M 이 M 의 불년 부분다양체이면 (1) 에서 P=o 이다. 따라서 JX =FX, F 도 _1 이므로, M 은 개복소구조 F 를 갖는 복소다양체이 다. 그리고 g( FX, FY ) =g ( ]X, JY) =g(X , Y) g( X, FY ) =g( X, JY) =r/J( X, Y) 이 므 로 , M 은 Kaehler 다양체 이 다 . 위의 전 과에서 Ka e hler 다양체 M 의 불변 부분다양체를 Kaehler 部分 多 i紅體 라고도 말한다. 다음, Kaehler 다양체 M 의 Rie m ann 접 속을 V 라 하고, M 의 입 의 의 v e c t or 장 X, Y에 대하여 (4) V x Y=vxY 나 (X, Y) 라 둔다. 여기서 FxY 는 fl xY 의 접 성 분 을, lt(X , Y) 는 PxY 의 법성분 을 나타낸다. 이때, F 는 M 상의 R i emann 접속을 정의하고, h 는 M 의 제 2 기본형식이다. M 상의 임의의 vec t or 장 X, Y 에 대하여 (5) Vx]Y=]VxY, h(X, JY ) =]h(X, Y) 가 성립한다. M 상의 입 의 의 법 vecto r 장 C 에 대 하여 (6) VxC=-AcX+DxC 라 둔다. 여기서 -AcX 는 VxC 의 접성분을, DxC 는 VxC 의 법성분을 나타낸다. 이때, g( h(X, Y),C)=g ( AcX, Y) 인 관계가 성립하고, (5) 에서 (7) ]AcX=-AcJX =A,cX 를 얻는다. 그리 고 D 는 분 vecto r 속 T(M) .t상의 계 량접 속을 정 의 한다. 補題 8. 38 Kaehler 다양체 M 의 Kaehler 부분다양체 M 은 극소(極小)
부분다양체이다. 증명 각 접 공간 T,(M) 상에 정 규직 교기 {e1, …, en, Je1 , …, Jen ) (dim M=211) 을 잡는다. (5) 에서 tra ceh = I: [h (e;, e;) + h (Je; , ]e;) ] = O 이므로, M 은 극소 부분다양체이다. 다음, R, R 를 각각 M, M 의 Rie m ann 곡률 te nsor 라고 한다. M 이 M 의 Kaehler 부분다양체이면, M 상의 임의의 vec t or 장 X 에 대하여 (8) g( R(X, JX )JX , X) =g(R (X, JX ) JX , X) 一 2 g (h(X, X), h(X, X)) 이 다. 따라서 다음을 얻는다. 補題 8. 39 M 을 정 정 칙 단면곡률 C 를 갖는 복소공간형 M(c) 의 Kae- hler 부분다양체라 한다. 이때, M 이 전측지적이 되기 위한 필요충분조 건은 M 이 정정칙 단면곡물을 갖는 공간인 것이다. M 을 정정칙 단면곡률 C 를 갖는 복소 ”2 차원의 공간형 M. . (c) 의 복소 n 차원의 Kaehler 부분다양체라 가정한다. 이때, Gauss 및 Codazzi 의 방정식은 각각 다음과 같다. (10) R(X, Y)Z=f c[g ( Y, Z)X-g( X, Z) Y+g (JY , Z)JX -g(JX , Z)J Y +2g ( X, ]Y)JZ ] +AhcY,z,X-Ahcx,z, Y, (11) (f'xh ) ( Y, Z) = (Ji'yh ) (X, Z) . 그리고, R icci의 방정식은 C,DET(M) .I.에 대하여 (12) g( R(X, Y)C, D) +g(따, Ac]X, Y) =방 cg (X, JY )g (JC , D) 이 다. (10) 에 서 Ric ci ten sor S 와 scalar 곡률 r 은 다음과 같다. (13) S(X, Y) ＝강 (n+I)c g (X, Y)- 꾸g (h(X,e;),h(Y,e,)), (14 ) r=n(n+I)c-~g ( h(e,, e1), h(e;, e1)). 1,J (13) 과 (14) 에서 다음을 얻는다.
補題 8.40 M 을 복소공간형 M'(c) 의 복소 n 차원 Kaehler 부분다양 체라 한다. 이때, 다음이 성립한다. (i) s-½
여기서 Q는 g(QX , Y)= S(X, Y) 를 만족하는 M 의 Ric c i 의 작용소이 다. 다타서 다음을 얻는다. 21 t (R(e;, X)S) (e;, Y) =c[nS(X, Y) —½r g( X, Y)J 一 2E 냐(Q AaAaX, Y)-g( AaQ A aX, Y)J. a 이때, scalar 곡률 r 이 일정하면 (15) 에서 (16 ) g(v'2Q , Q) =c[n I Q l2 강규]- 꾸 | [Q, A』 R 울얻는다. 정리 8.41 1\1 를 정정칙 단면곡 률 c(c
접 , · e c t 01 킹L X 에 대하여 D; :V = t rX) J V 인 1 형석 t 가 존 재한다. 따 라서 (1 3) 에서 (/7x A)vAv Y+ (X)A1vAvY+Av(/1x A) vY + (X)AvA1vY=O 이다. 이것과 (7) 에서 (18 ) (/7x A)vAvY+Av(l1xA)vY=O. 다음, 접 P EM 에서 Av 의 고유치를 ;i,µ라 하고, T 』 = {XE Tp ( M) : AvX=-l X ) , Tp = {XETp (M ) : AvX=µX} 리 둔 다 . 이 때 , }.-:j.µ이면 T,nT p ={O) 이다. YET, 이면 (1 8) 에서 Av (flxA ) v Y= 一 (Vx A) vAv Y= 크 (flxA ) v Y. 따라 서 YE T 』 이 면 임 의 의 X 에 대 하여 (/lxA ) v YE T-』 이 다. (a) 店µ일 때, X, YET, 라 하면 Codazz i의 방정식에서 (f7x A )v Y E L,n Lµ 이므로 (VxA)vY=O 이 다. (b) J= µ~O 일 때, X, Y E T 라 하면 (FxF)vYE T- · 』 이고 (/lxA )v (Px A )vYET, 이다. Codazz i의 방정식에서 (flxA ) v (/7x A) v Y= CVcrxA>v YA) vXE T 구· 마라서 (VxA)v(VxA)vY=O 에서 (/lxA )vY=O 이다. (c) ,l =µ=O 일 때, PEM 에서 X,YE 따를 잡으면, 이들 을 P 에서 F 에 관한 공년정수인 M 상의 국소 vec t or 장에 확장한다. 이때, (18) 에서 g ( (/7x A) v (/7x A) v Y, Y) = O 이 모로 , (fl xA)vY=O 을 얻는다. 이상의 켈과에서 /7 A=O 을 얻는다. 다음 (ii)~(iii)를 증명한다. 만일, M 이 Ein s te i n 이면 M 의 Ric c i ten s or S 논 평행이고, 제 2 기본형식은 평행이다. 역으로, 제 2 기본형식 이 평행이면 (16) 에서 c[nl Q I 드강기 =0. 여 기 서 c::/=O 이 면 M 은 Ei ns te i n 이 다. c=O 이 면 (17) 에서 M 은 전측지 적 이 다. 따라서 M 은 Ein s te i n 공간이 다.
다음, 복소차원 m 인 Kaehler 다양체 (M, J, g) 의 n 차원의 반불변 부분다양체 M 을 생각한다• 이때, (1) 에서 F=o 이므로 fP= O, /2= -I +P t이다. 따라서 (19) f3 +f =O 을 얻는다. (19) 를 만족하는 f 를 f f 풍 造라고 말한다. 그러 므로, 법 vecto r 속 T(M) .l.상에는 f구조를 허용한다. Kaehler 다양체 M 상에 국소 정 규직 교기 {e1, …, en, en+l, …, e .. , e~ = Je 1, … ,e:=Je ' … ,e:=Je ' ｝를 잡고, 이것을 M 에 제한했을 때 e1,•••,Cn 이 M 에 접하도록 한다. 이때, en+l, … ,c', … e; 는 M 의 법 vec t or 장 이 다. ｛어 …, w ; w+l, ••• , 硏 ; w1*, •• · , w* ; w+l*, …, 0'*} 을 쌍대 기 타 한다. 앞으로, 편의상 다음과 같이 첨자의 법위를 약속한다. i, j, k, l=I, …, n ; a, b, c, d=n+I, …, m, I*, …, m* ; a, /3, r=n+I, …, m ; ·i, 1J, 11=n+1, .. ,, m, (n+ I)*, …, m*. 이때, 다음을 얻는다. (l)}+(l){= O, (l)}=;:, (l)「 =아, (l);+(l);= 0, (l)'=(l):s:, (l)?=(l)r, (l)'f+(l)?= 0, (l)'t=(l)::, (l)~·=(l)? •. CJ) ?=h i'CJ)i에서 다음의 관계가 성립한다. (20) hh=h ii =h 심. 여기서 h}:- 를 hh 로 표시한다. 이때, M 의 제 2 기본형식 A 는 AJ X Y= JA xY 를 만족한다. M 를 정정칙 단면곡물 c 를 갖는 Kaehler 다양체라하면, Gauss 의 방 정식은 (21) Rj. 1= ¾c(o;.01,-ouo1.) + ~ (hr,h'},_hth k ) 이 다. 따라서 Ri cc i ten sor 의 성 분 R;I 와 scalar 곡률 7 은 다음과 같다. (22) R,1 =-i4- (n -I)c oii + Ea.k (h 訪曰內) , (23) r=-½4- n(n 一 1)C+a2.i. (j hth ' j1 - Mih 1 1). 이것으로부터 다음을 얻는다.
補 맵 8. 43 M 윤 복소공간형 M'(c) 의 n 차원의 반불변 부분다양체라 한다. 이때, M 이 전축지적이 되기 위한 필요충분조건은 다음 중의 하 나가 성립하는 것이다. ( i ) M 은 정공물 十:인 공간이다. (ii) s= 뉴 (n 크 )c g (iii) r=14n (n-l)c. 다음, M 의 만불변 부분다양체 M 에서 제 2 기본형식이 가환, 죽 AaAb=AbAa 이면 정규직교기 {e1, … ,e.) 을 h};=O( i::j::j)이 되도록 잡을 수 있다. 이때, t=i=j 아닌한 hl i =h; i에 의하여 hl i =O 이다. 따라서 A, 가 A,e, ＝心, A,e,=O(t~ s)(t= I, …, n) 을 만족하는 정규직교기 {e1, … ,e.) 을 잡을 수 있다. 補題 8. 4 4 M 을 복소차원 m 0J KaehlF>r 다양체 M 의 n 차원 (n>I) 인 반불변 전제적 부분다양체라 하면, M 은 전축지적이다. 증명 가정에서 ’z\ i =o; i(t raceA1)/n 이다. 따라서 M 의 제 2 기본형 식은 가환이고, t=i=j가 아닌 한 hl i =O 이다. 한편, h: j=i 18 ij /n 이고 t~i=j라 두떤 11=0 을 얻는다. 따라서 M 은 전측지적이다. 예 1 S1(r;)={Z;ECI IZ 泊=대 (i =I, … ,n) 을 반지름 r; 인원이라 한다. C 에서 M=S1(r1) x ••• x S1(r,.) 울 생각하면, M 나본 명백히 평탄이다. C’’ 에서 M 의 위치 vecto r X 는성분 X= (r1cosu1, r1sin u 1, ···, rncosu, r,.sin u ) 을 가진다. 여 기 서 X;=8;X=8X/aui 라 두면 X;=r;(O, •··, O, -sinu ;, cosui, 0, •··, 0), (i= l, , .. , n). 한편, M 의 직 교하는 단위 법 vecto r 로서
V.-=-(0, •··, O, cosil , sin tl, O, …, 0), (i= I, …, n) 을 잡을 수 있다. 이때, 다음을 얻는다. JX .-=r.-V.-( i= I, …, n). 따라서 M 은 Cn 의 평탄인 반불변 부분다양체이다. 그리고 핑겅연 평 군곡물 vecto r 와 평 단법 접 속을 갖는다. 한편, Cn 은 전축치 적 이 고, Mn 은 법 vec t or 속에서 평행인 f구조를 갖는 C' ( m>n) 의 만불년 부 분다양체이다. 예 2 C 에서 M=S1(r1) x… x S1(rp) xR 一p (1< p습 라 둔다. R 一p 는 CP_p 의 전측지 적 인 반불변 부분다양체 이 므로, M 은 C 의 평탄인 반불변 부분다양체이다. 그리고 M 은 평행이고 가환 인 제 2 기본형식과 C .. (m>n) 의 평행 f구조를 갖는 반불변부분다양체 이다. * 연습문재 (8) 1) com p ac t이고 연결인 복소다양체 M 상의 정칙함수는 정수에 한한 다. 2) 개복소다양체 M 에서 개복소구조 J가 적분가능이면 다음이 성립 한다. (a) dC1• 0( M) cC2• 0(M) +c 나 (H) , (b) dC0• 1( M) cC1• 1( M) +c0, 2( M) , (c) dCP,q( M) cCP+ I,q( M) +CM 묘 (M) (p, q= O, 1, …, ?i). 3) Herm ite 계 량 g 가 Kaehler 계 량이 되 기 위한 조건은 다음과 같다 랄」붕 =O (a, {3, r=I, ···, n) 4) 모든 개복소다양체 M 은 N=8T 를 만족하는 개 복소 a ffi ne 접 속 F 를 허 용한다. 여 기 서 T 는 aff ine
접속 r 의 인물를 나타낸다. 5) Kaeh l e: 다양 체 M 이 정 정 칙 단면곡물을 갖기 위한 필요충분조건은 다음과 같 다:
15) M 을 복소사영 공 7.J .- CP .. +1 의 comp a ct 인 Kaehler 초곡면이 라 한 다. M 의 scalar 곡물 r 이 일정하면 M 은 CP 또는 복소초곡면 Q이다. 16) 복소사영 공간 CP 의 n 차원 (n>I) 의 comp a ct 인 반불변국소 부분다양체를 M 이라 한다. S=n(n+I)/(2n-l) 이면 M 은 cp 2 에 서의 S1xS1 과 같다. 17) M 을 단연결이고 완비 인 복소공간형 M+1(c) 의 n 차원 (n>1) 인 완비인 BJ :불변 부분다양체라 하고, M 이 평행이고 가환인 제 2 기본형식을 가진다고한다. 이때, M 이 전축지적이 아니면 M 은 C 에 서 의 Py tha g o ras 積 (a) S1(r1) X .. • X S1 (rn), 또는 (b) S1(r1) X••·XS1(rp) xRn -p (l:::;;p> n) 이 된다 .
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기 가우스의 공식 (Gaussia n form ula) 172 가우스의 방정식 (Gaussia n eq ua ti on ) 178 가우스곡문 (Gaussia n curvatu r e) 196 각 (an g le) 96 개복소 구조(槪複素 淸造, almost co- n ple x str u ctu r e) 236 개복소(槪複 素 , almost comp le x) 237 개 에르미르 다양 체 (almost Hermi tian manif old ) 퍄 개 복소 다양체 (槪複 素 多樣體, almost comp le x manif old ) 236 겅 계 (境界, boundary) 90 곡문 텐서 (curvatu r e ten sor) uo 곡물 형 식 (curvatu r e for m) 116 공변 접공간(共變 接空間 cota n g en t spa ce) 57 공번 벡터 장(共嬰 covari an t vecto r fiel d) 57 공액 정 (共願点, conju g a t e po in t ) 166 공형 변환(共形, confo rm al tra nsfo r mati on ) 206 공형 사상 (con fo rmal map) 212 공형적 평탄(平坦, confo rm ally flat ) 212 구조 방정 식 (構造方程式, str u ctu r e equ ati on ) 116, u7 구면 사상(球面, sph ere map, Gauss map ) 192 구배 (句配, gra die n t) 59 국소 대칭 공간(局所對稱空間,
locally sy m metr i c spa ce) 154 국소 좌표계 (局所座 樣 系, local coordin a te sys t e m ) 13 국소 측지대칭(局所 測地 對稱 local ge odesic sym metr y ) 153 국소 표현(局所表現, local repr e senta t i on ) 42 궤 도(軌道, orbit ) 37 극소저 (極小的, mi ni m al) 184 1- 나이 엔하이 스 텐서 장 (N ij enhu i s) 93, 240 내 부저 (內 部積, int e r io r pro duct) 82 내 적 (內租, inn er pro duct) 67 내 접 (內点, int e r io r po in t ) 90 r: 단면곡문(斯面曲率, secti on al curvatu r e) 128 단위의 분할(單位의 分양 l, pa rti tion of unit y) 23 대칭 리이만 다양체 (對稱, sym metr i c Rie m annia n manif old ) 155 대칭 접속(接綾 sym metr i c connecti on ) no 등장 사상(i some tri c map ), 변환 203 등장적 (等長的, iso metr ic) n2 '2. 렌조 공간(l ens spa c e) xs6 리 이 군 (Lie gro up ) 49, 223 리 이 만 계 량(Ri eman ni an metr ic) 9S
리 이 만 구면 ( 球ii'ii , sph ere) 236 리이만 다양체 (Ri em annia n manif old ) 95 리 이 만 접 속 ( 接f:11 , connecti on ) u2 리이만 • 크리스토델의 텐서 (Ri em ann-Chris t o f f el 's ten sor) 121 리이 변환군 (Lie tra nsfo r mati on gro up ) 49 리 이 부분 군 (Lie subg r oup ) 49 리이 환, 리이 대수 (Lie rin g , alge bra) 49, 223 릿 찌 의 공식 (Ric ci'S for mula) 125 릿 찌 의 방정 석 (Ri cc i ' s eq u ati on ) 179 n 매 입 (埋入, im mersio n ) 45 매 장(埋 藏, im beddin g ) 45 무한소 공형 변환 (confo r mal Ki lling vecto r ) 222 무한소 변환(無限小 덫換 (i n fi n it es i mal tra nsfo r mati on ) 37, 219 무한소 사영 변환 (pro je c ti ve Ki lling vecto r) 224 무한소 아과인 변환 (aff ine Ki lling vecto r) 220 미분가능 구조 (dif fer enti ab le str u ctu re) 14 미분가능 다양체 (dif fer enti ab le manif old ) 15 미분가능 사상 (dif fere uti ab le map ) 41 미분가능 함수 (dif fere nti ab le fun cti on ) 12 미분 동형( 微 分同形 dif feo morp h is m ) 12 미 분 형 석 (dif fer enti al for m) 58, 81
닌 반면 벡터 장 ( 反멋, cont ra varia n t ) 66 반 상변 부분다양체 ( 反不맞 , anti -inv aria n t) 272 방향 가능(方向可能, orie n ta b le) 64 법 팩 터 (norma l voccto r) 172 법 전단 ( 法切詩t , normal secti on ) 172 베 네 로오게 곡면 (Vene rosc, 曲面) 185 벡 터 번등(벡 터 束 , bundle) 50 번분, 년분곡선( 몇分 ) 157 복소 공간형(空間形, com p le x spa c e for m) 25 8 복소 구조 ( t묘·; l}'澤 , com p le x str u ctu re) 230 복소 국 소 좌도계 (局所, local) 234 복소 다 양체 ( 政素多匠삽요 , comp le x manif old ) 229, 234 뽀 앙까래 평 면 (Poin care pla ne) 134 부분 다양 체 ( 部分多樣體 submanif old ) 47, 171 불 변 부분다양체 (不 꽂 , inv aria n t) 272 비제차 좌표계(非齊次, nonhomog en eous) 236 A 사영 곡 문 텐서 (Wey l' s pro je c ti ve curvatu re ten sor) 216 사영 변환군 (pro j_e c ti ve tra nsfo r mati on gro up ) 225 사영 적 평 탄(射影的 平坦,
po rje c ti ve ly flat ) 217 상대 적 최 단선 (相 對的 最短線) 162 상사 변환(相似, homoth e ti c) 206 상사 사상 212 쌍대 공간 (嬰對空間, dual spa ce) 56 쌍대기(閔對~. dualbasis ) 56 선 성 접 속 ( 線形接積 , aff ine connecti on ) 102 성 상 집 합(星狀渠合, sta r ) 147 순천 (純血, pu re) 沿 스케일러 곡물 (scalar curvatu re) 126 。 아인슈타인 공간 (E i ns t e i n) 253 아카인 경수(經戱, aff ine pa ramete r ) 140 아 파인 사 상 (ma p)， 변환 (tra nsfo r mati on ) 201 아과인 접 속(接敏, aff ine connecti on ) 10.:i 야코마 장(J acob i an vecto r field ) 163 에 르미 트 계 량(it晶, Hermi tian metr i c ) 먀 에르미트 다양체 (Hermi tian manif old ) .23 4 에 프 • 구조(f-t꿉造, f-s tr u ctu re) .27 8 여접 팩터 번들 (cota n g e nt vecto r bundle) 53 연 물 형 식 (換率, tor sio n for m) x 16 열 룹 텐서 (tor sio n ten sor) no 완비 (完備, comp le te ) 143 와일의 공형 곡물 텐서 (Wey l 's confo r mal) .21 0 외미분(外微分, exte rio r deriv a ti ve ) 79 의 저 (exte r io r pro duct) 61
위 상 다양 체 (位相, top o log ica l manif old ) 12 유도 계 량(誘휴計:@:, ind uced metr i c ) 171 유크럿 공간 (Eucl i dean spa ce) n 의사리이만계량(擬似, pse udo-Ri em annia n metr i c ) 98 의 사 리 이 만 다양체 98 일반 선형 군(一般 線形群 ge neral lin ear gro up ) 17 인경수 변환군 (1-經敷 몇換群, !-pa ramete r gro up of tra nsfo r mati on s) 36 ;;,:. 자연 표구(自然標腐 natu ral fram e) 28 적 다양체 (福 multip le manif old ) 18 츠4 번물(積束, pro duct fon dle) 52 적 분 가능(積分可能, int e g r a ble) 240 적 분 곡선 (積分曲線, int e g r al curve) 35 전계적 (全 廣的 , toa lly umf ilica l) 181, 187 전 측지적(全測地的, tot a l ly ge odesic ) 182 접 빅터장(接, tan g e ut vecto r fiel d) 25 접 벡터 번들 tan g e nt vecto r bundle) 53 접속계수(接續係數, coeff ieie n t of connecti on ) 103 접속 형식(形式, connecti on for m) 115 정 곡물 공간(定曲率空 F버 ) 2I8 정류 곡선(停留曲線,
sta t i on ary curve) 159 정 칙 부분 다양체 (正 RU, reg u lar submanif old ) 48 정 칙 (holomorph ic ) 232 정칙 단면 곡문 (holomorph ic secti on al curvatu r e) 257 정칙 벡 터 장 244 제 적 부분 다양체 ( 國的 , umbil ica l) 函 계 2 기본 형식 (second fun dament al for m) 172 주곡 윤 (主曲率, pr in c ipa l curvatu re) 195 주방향(主方向, pr in c ipa l dir e cti on ) 195 중복도(冀援度, (multip li c i t y) 167, 198 지수사상(指數, exp o nenti al map ) 144 文 초곡면 (超 曲 面, hy pe rsurfa c e) 191 축약(縮約, contr a cti on ) 76 축지선(測地線, geo desic ) 106, 137 축치 변분(ill. I] 地 쫓 分, ge odesic varia t i on ) 15S 측지 좌표계 (測地, ge odesic ) 151 구 캐엘러 다양체 (Kaehleria n manif o ed) 250, 251 캐 엘 러 부분다양체 273 캐 앨 러 계 량 (me t r i c) 251 캐이 공간 (K-spa c e, n early Kaehleria n
manif ol d) 沿 코닷찌의 방정석 (Codazzi' s egu ati on ) 179 코호문로지 군 (cohomolog y gro up ) 82 코닷찌 • 마이나 르 디의 방정식 (Codazzi- M ain a rdi) 181 크리스토 텔의 기 호 (Chris t o ff el ' s sy m bol) 103 쿨리프드 국소 조곡면 (Cliff or d hyp e r-surfa c e) 1 S5 킬 랑 벡 터 (Ki lling vecto r ) 16S, 220 E 텐서 장(t ensor, ten sor fiel d) 71 텐 서 적 (t1. te nsor pro duct) 69, 75 .lI. 페 러 콤 팩 트(p aracom p ac t) 23 평 균 곡융(平均曲 率 ) I96 평군 곡물 빅터 (mean curvatu re vecto r) 184 평 탄(平坦) 103 평행 (平行) 105 평 행 이 동(平行移動) 107 표준 좌표계 149 표준 좌표 근방(探叫 近傍) 147 굽 해석적 벡터 장(解析(Ilg, analyt ic) 24 2 형 장용소(形作用 素, shap e op e rato r) 191 호의 길 이 (arc leng th) 97 혼혈 (混血, hy b rid ) 265
朴乙龍 高知高校理科 甲 類 (日本) (1945) 京 城 大 學豫 科理 科 申 (1946), 서 울 대 (文理大) 수학과 (1949) 이 학박사(서 울 대 , 1969, 徵 分 幾 何 學 ) 경 북대 교수 (1949~1965). 서 울대 교수 (1965~ 현재 ) 대한수학회 이사, 부회장, 회 장 저서 『미분기하학』 『집합론 입문 』 의 다수 논문 「 Pseudo-R i em fa nnean Manif eld s 에 관한 연구」의 다수 리이만기하학 대우학술총서 • 자연과학 48 찍 은날 I987 년 IO 월 30 일 펴 낸 날 I987 년 II 월 IO 일 지은이 朴乙龍 펴낸이 朴孟浩 펴낸곳 民音社 출 판등록 1966. 5. 19 제 1-142 호 우편대체계좌번호 010041-31-523282 110 서 울시 종로구 관철동 44-1 734-2000, 735 - 8524( 영 업부) 734-6110 • .(234( 편집부) * 파본은 바꾸어 드립니다 . 값 6,000 원 © 1987, 朴乙 龍 자연과학 • 수학 • KDC/410. 7
대우학술총서 • 자연과학 l 소립자와 게이지상호작용 金鎖義 뭏값 3. 600 원 2 動力學特論 李丙홋값 5, 400 원 3 질소고정 宋承達 著 값 2, 800 원 4 相轉移와 臨界現 象 김두철 著 값 2. 800 원 5 觸媒作用 陳宗植 著 값 2.8 00 원 6 뫼스바우어分光學 王恒南著 값 2.800 원 7 극미량원소의 영양 昇正子 著 값 6. 500 원 8 水素化峴素와 有機해素化合物 尹能民 著 I 값 5,000 원 9 抗生物質의 全合成 姜錫久 著 값 9, 000 원 . lO 국소적 형태의 A ti y ah-S i ng er 지표이론 지동표공할 , 800 원 11 Mu c o p ol y sa cc har i des 의 生化學및生物理學 박쫑꽁 값 3,800 원 12 ASTROPHYSICS ( 天體物理學 ) 洪承樹著 / 6i 4, 700 원 13 프로스타글란딘 합성 金梵旺著껍 k3 , 60 0 원 14 천연물화학연구법 禹源植著값 7,000 원 15 脂防營養 金淑喜著 값 6,300 원 16 結晶化유리 金炳 思 著 값 4, 500 원 17 高分子의 化學反應 趙義煥 著 / 값 4,000 원 18 과학혁명 金永植 훌값 4,200 원 19 韓國地質論 韋基弘 著 껍 ) 4. 000 원 20 정보이론 한영열 꽁값 4, 500 원 21 原子核反應論 鄭雲赫 著 값 8, 500 원 22 破壤力學 金相哲 著값 4,700 원 23 분자궤도이론 이익준著 값 3,300 원 24 반응속도론 정 경훈警서 4, 000 원 25 미분위상수학 휘球 훌갔 2 g n 원 26 자기공명방법 좌 i호룰썼 4. 800 원 27 플라스 D 虐·리학과 핵옹합 최덕 인 警갔 4 , 800 원 28 천문관측과 분석 李 時雨 著깝 4,800 원 29 석탠서 1 너지 변환 기술 金 相 敦 警갔 6 . 500 원 刃海洋徵古生物 學 白射춥 警 / 값 6,400 원 31 편미분방정식른 김용警 ro 4,ooo 원 32 大紅理 論 這 警 ro s , ooo 원 33 金 屬電 子系의 多體理 論 金德洲 警 / 값 6,600 원 쏴 엑정 중 합체 陳政 - 홀갔 6 , 200 원 35 복합재료 11 肅仁훌 ro s . 200 원 36 단백질 생합성 朴 仁源 훌깝 9 ,000 원 37 한국의 鑛物種 金 洙鎭 훌깝 7, 000 원 넷 일반 상 대론휘 韓훌 / 값 5,000 원 刃 레이저광산란분광학 金 劇 훌 ro s. ooo 원 40 복소다양체론 金相文 훌 / 값 7, 000 원 41 역학적 연구방법 金駐舜 흡값 4 , 2 00.원 42 핵구조물리학민탉 n i / 값 5, 300 원 43 후리에해석과 의미분 작용소 김도한 暑 / 값 5 , 800 원 44 한국의 古生物 李河樂 舊 / 값 9,000 원 45 질량분석학 김명수警 / ~6.800 원 46 급변론 뿌祀 훌 ro s , ooo 원 47 생체에너지 朱忠魯춥값 8,500 원 48 리이만기하학 박을용웁값 6 , 00 礎 49 群襄現 諭 朴勝安랗~ 6.200 원