김도한

저자는 서울대학교 전자공학과 및 同대학원 수학과를 졸업하고, 러트거즈대학에서 이학박사학위를 취득했댜 과학 재단의 지원으로 퍼듀대학 수학과에서 교환 연구를 했으며 현재는 서울대학교 부교수로 재직중이다. 저서로는 『 대학수학 』 이 있으며, 논문으로는 Global solvabil ity in and examp le s of P DEs witho ut nonconsta n t s olu ti ons 외 10 여편이 있댜

후리에 해석과 의미분 작용소

오늘의 저를이 있책게을 하바여칩니 주다.신 부모님께

후리에 해석과 의미분 작용소

김도한

民音社

책머리에 수학의 모든 분야 중에서 후리에 해석만큼 넓게 사용되는 분야는 많 지 않을 것이다. 좁은 의미의 후리에 해석은 후리에 급수의 수령성과 후리에 변환의 이론을 뜻하나 넓은 의미로는 표현이론과 조화해석으로 부터 다른 한쪽으로는 국소 후리 에 해 석 (Lo cal Fourie r Analys i s) 이 라는 이 름으로 70 년 이 후 급격 히 발전 된 미 국소 해 석 (Mi cr olocal Analys i s ) 까지를 포괄하고 있다. 이 모든 분야를 망라한 책을 집필하는 것은 불가능한 작업이므로 이 책에서는 선형편미분 방정식과 밀접한 관계를 갖는 쪽의 후리에 해석 분 야를 중점적으로 다루었다. 제 1 장에서는 여러가지 시험함수 공간, 제 2 장에서는초함수공간을 제 3 장에서는 1 장과 2 장에서 다룬 여러가지 공간에서의 후리에 변환의 성질에 대해 논했다. 특히 이 부분에서는 희 르만더 교수의 룬트대학 강의록인 『초함수론과 후리에 해석』을 따라 위 상벡텨 공간의 지식이 없이도 초함수론과 후리에 해석을 이해할 수 있 도록 기술했다. 또한 해석개론 정도의 지식을 갖고 있는 독자도 노력하 면 이해할 수 있도록 예제를 많이 포함하였고 될 수 있는 한 쉽게 쓰려 고 했다. 마지막 제 4 강에서는 의미분 작용소이론과 국소 후리에 해석 의 초보이론을 다루었다. 여기서는 여러가지 의미분 작용소의 이론을 종합한 회르만더 교수의 대저인 『편미분 작용소 해석』을 참조하였음을 밝혀둔다 . 끝으로 박사학위 논문으로 바쁜 데 도 불구하고 교정 등 많은 도움을 준 김준기, 이은구 두 조교와 처음부터 끝까지 원고를 정서하여 준 아 내에게 감사하며, 서울대 • 연세대 • 과학원 등 합동으로 매주 열리고 있 는 편미분 방정식 세미나의 모든 분둘과 항상 따뜻한 분위기를 만들어 주고 있는 서울대 수학과의 선후배 교수들께도 감사드린다. 그리고, 기 초과학 분야 발전에 많은 도움을 주고 있는 대우재단과 출판을 맡아준 민음사에도 깊은 감사를 드린다. 1987 년 봄, 김도한

후리에해석과 의미분 작용소•차례

3.4 위의 후리에 변환 166

제 1 장 시 험 함수 (Test fun c tion s) 1.1 기호와 정의 Q 를 n 차원 유클리 드공간 Rn 의 열 린 (op en ) 집 합이 라 하고, x= (Xi , … ,Xn) 은 R 의 좌표 축을, lxl= ✓ x f+…＋자은 유클리드 노음을 나타 낸다. C(O) 는 O 에서 연속인 모든 함수들의 집합을 뜻한다. k 가 양의 정수이거나 양의 무한대일 때 Ck( Q)는 k 차까지의 모든 편도함수가 연속 인 함수의 집합을 뜻한다. 다시 말해서 지표(i ndex) i1, … ,0 가 1 과 n 사이의 임의의 자연수라 하면 모든 양의 정수 ]i ~k 에 대하여 (1) ai1 . .. a11u 가 존재 하고, 연속일 때 uEC,, (0) 라 한다. 그러 면 편도함수 (1) 은 미 분순서에 관계 없아 항상 같다. k=n=2 일 경우에만 보이면 충분한데 평 균값정리나 후비니 정리의 응용으로 쉽게 증명할 수 있으므로 독자에게 맡긴다. 따라서 편도함수 (1) 대신에 8 f l … a:• 꼴의 편도함수를 다루는 것으로 충분하다. 고차편도함수를 다룰 때는 슈와르츠의 다중지표기호 를 쓰면 편 리 하다. 다중지 표란 음이 아닌 정 수의 n 짝 (n-tu rple ) a= (a1, …, an) 를 말하는 것으로, xERn 에 대 하여 다음과 같이 약속한다. lal=a1+… + an aau=of• …a :•u xa=x~• ••• x:· 여기서 |al 는 a 의 길이라고 부른다. 위의 다중지표기호를 쓰면 C 占 (O)

도 다움과 같이 쉽게 나타낼 수가 있다. c~(n)={!; 모든 |al~k 에 대하여 장/가 존재하고 연 속 } 또 다변수 C° 함수 /는 원점에서 n=l 일 경우와 거의 같은 모양의 잉여항을 가진 형식적인 테일러 전개식 (2) f(z ) =Ia2l O 0, t~ O 을 생 각하자. t=\ =0 일 때 oif( t) (j=l , 2, …) 가 존재 하고 t ➔ 0 일 때 ajf( t) ➔ 0 이 므로 /EC00 (R1) 임 을 쉽 게 알 수 있 다. 이 함수의 예 로부터 다음의 중요한 도움정리를 얻는다. 도움정리 1 요가 Rn 의 열린 (o p en) 집합이고 XoEO 라 하자. 그러면

西) >0 이고 cp착), fcpd x=l 을 만족하는 cp E@@) 가 존 재한다. 증명 닫힌 공 (ball) B(xa,r)={x; lx-xal~r} 이 O 에 포함되도록 상 당히 작은 r>0 을 잠자. f를 (3) 으로 정의된 함수라 할 때 cp (x) =f (r2-lx-x 。 12) 이 라 놓으면 cp (Xo) =f(규) >0 이 고 cpE C00, sup p cpC B (xa, r) 인 것 도 쉽 게 알 수 있다. 또 fcpd x 의 값으로 나누어 줌으로써 fcpd x=l 이 되 도록 cp 를 잡을 수 있다. I 도움정 리 1 로부터 다음의 중요한 정 리 를 얻는다. 정리 2 f,g드 C( !1)이고 f/cpd x=fg cpd x, 루혼 (!1) 라 하자. 그러면 J=g 증명 ’z= f-g라 놓으면 위의 가정에 의하여 (4) fh cp d x=O, cpE G :° (0) 실수값을 갖는 함수에 대하여 (4) 가 성립한다고 가정해도 충분하므로

또 다른 증 명방 법 으로는 귀 류 법 을 사용하면 쉽게 증 명이 된다• 만야 h (Xo ) 4=0 이 라고 가정 하자• 그러 면 rp (xo) 4=0 이 고 sup p rp 가 Xo 의 충분히 작은 근방에 포함되 어 hrp 가 이 근방에 서 부호가 바뀌 지 않도록 ¢eG° (O) 를 잡을 수 있으므로 fh

= P( f) ei< z,e> 이므로 다항식과 상수 계수 편미분 작용소와는 1-1 대응의 관계가 있 다. 여기서 = X 1f 1+ …+ Xnf n.

정리 3 f,gE C00 이면 P(D) (fg) =정町~p ca J (D)g 여 기 서 P(a) (f) =8fP (f) 증명 미분의 곱의 공식 (5) 를 계속 사용하면 다음의 동식 P(D) (fg) =Lac aDa( fg) (7) =Ia; D JQ. (D)g , f,gE ~ 몰 얻는다. 여기서 위의 두번째 등식은 (7) 의 배열을 달리하여 D0 f의 a 에 관하여 정리한 것에 지나지 않는다. 그런데 Q .(D) 를 결정하기 위 해서는 Q .(71) 를 결정하면 된다. 이를 위하여 특히 f(x ) =ei<:r,f>, g(x ) =e; 를 (7) 에 대입하면 (6) 에 의하여 P (f + 71) = ~f•Q. (71) 그런데 테일러 공식에 의하여 Q. (기) = 잡 aaP (1/) 그러므로 P(D) (fg) =？町감p ea) (D)g ’ 주 원래의 라이프니츠 공식은 P(D)=( iD )0= 앙일 때를 말한다. 죽, 모든 다중지표 a 에 대하여 (8) ag (f g) : f3 ! (aa: f3) ! 3'f8 C -'f3j 여 기 서 /3< a 는 f3i< a,, 1 작

예제 4 뿌앙까례 부등식 R) 0 가 존재한다. 증명 (7)

삽Jn0 l x;r,p (x) 12d 미· 녀-Jn 따 l2dx] + .0,가 유계이므로 sup lx d::;:cl 이 존재한다. 그러므로 XEO J。 Ic p (x) I2 dx 후 [J。 I cp (x) I 2dx 宣J。 l o,cp l2dx] } f식0o의1 c p (양 x) 변J2을 dx =cOf。0 이 l cp면 ( x ) 부J 2등dx식〕 七로(1 0)나 은누 어당 연(하10다) .을 f얻o 는 l다cp .( x ) Pdx*O 이면 ^휘

= (k+11) ! ak+1c p( O) 그러므로 함수 #는 R 위에서 연속이 된다. 식 (13) 와 (14) 에 의해서 lxl~M 이면 I

증명 숙 후비니 정리에 의하여 쉽게 얻을 수 있다. ¢: (4) 의 우변에 x+ y를 새 변수로 치환하면 fh 'P d x=f ff(x_ y )g (y) 'P (x) dxdy =I(ff (.E y ) g (y) dyJ 'P (x) dx, 'P EC 쩐.) (후비니 정리에 의하여) 정 리 1. 1. 2 에 의 하여 h (x) =ff(x -y) g (y) dy ’ 정리 1 은 단지 포 7심 의 정의로 (1) 과 (4) 가 동등하다는 것을 뜻한다. 정의 (4) 를 쓰면 포 7심 의 연산의 가환성은 Rn 상의 덧셈의 가환성으로부 터 다음과 같이 쉽게 얻을 수 있다. f(f * g) cpd x=f ff(x) g (y) cp (x +y) dxdy =ffg (y) f( x) cp (y +x ) dyd x =fCg *f)cpd x 여기서 두번째 등식에 다시 후비니 정리를 사용했다. 같은 방법으로 포갬의 연산의 결합성 (3) 은 Rn 상의 덧셈의 결합성으 로부터 쉽게 얻을 수 있다. 정의 (1) 을 이용한 결합성의 다른 칙집 증 명은 역시 후비니 정리를 응용하면 쉽게 얻을 수 있으므로 독자에게 맡긴다. 도움정리 2 fE Cl, gE C° 이고 둘 중 적어도 하나가 긴밀한 받침을 가 지면 f*gE C' 이고 (5) a,(f* g) = (a.n * g, i= l, …, n 종명 (1) 의 우변에 a,. 률 적분기호 안으로 작용시킬 수 있다. 그러므 로 (6) aJ t

제 1 장 시험함수 19

위의 적분은 분명히 연속이므로 f*gE C1 이고 (5) 를 얻는다. I 위 의 도움정 리 2 의 국소적 분가능한 함수의 공간인 L&C 로의 확장을 다루겠다. 먼저 L1 노(Q)를 정의하자. O 를 R 녀 열린 집합이라 하고 f를 임의의 긴밀한 집합 KCC Q에 제 한시 킨 것 이 항상 적 분 가능할 메 f 를 국소적 분가능한 (loc all y int e - gra ble) 함수라 한다. 0 위 의 모든 국소적 분가능한 함수들의 집 합을 L1 뇨(.0)로 나타낸다. 다시 말해서 Moc (D.) = {f;f•X KEL ', VKe en} 여기서 짜)＝鳥 雷〔 또 O=R 일 때 L~oc (R) 을 간단히 L!oc 로 쓰기 도 한다. 정 리 3 f드 C!, gE L.1o c 이 면 f * ge cj /EC!, gE Ck 이면 f*gE Ci+ k 이고 !al~j, 1/31 ~k 에 대하여 (7) a 아’ (f * g) = (a0f ) * ca~g ) 증명 g EL}“ 일 때 f가 긴밀한 받침을 가지므로 자동적으로 적분영 역이 긴밀한 집합이 되어 (6) 에서와 같이 적분기호 안으로의 미분이 가 능하다. 위의 과정을 반복하면 lal< j인 미분 작용소 합도 적분기호 안 으로 들어갈 수 있기 때문에 앙 (f * g) = (a0f ) * g, l a l 업 를 얻고 f*gE CJ 도움정 리 2 에 서 gE C1 이 라 하면 가환성 (2) 에 의 하여 g 에 도 미 분을 할 수 있다. |alsj, IPlsk 이면 위의 방법을 반복사용하여 a 아’(/*g) =a0J * a'g 이고 이다. f*g EC 泊 ’

20

포갬은 다음 정의에시 보는 바와 같이 함수를 미분 가능성이 더 좋은 함수로 근사시 키 는데 많 이 쓰인 다. 이 러 한 과정 을 정 규화 (regu la riz a ti on ) 라고 한다. 먼저 포갱의 받침에 대하여 다음 정리가 성립한다. 도움정리 4 f,g드 C(R) 이고 둘 중의 하나가 긴밀한 받침을 가지면 (8) sup p (f * g) csup p f+ sup p g = {x +y ; xEsup p f, yE sup p g} 증명 x 。 ~su pp /+ sup p g 라 하면 임 의 의 yE sup p g 에 대 하여 Zo -y순 s다u시p p /말. 해그 서러 므Xo로~ sxu p가( p/ *(Xgfo * )의 g ( )x 적)=당f t한( x근- y방) 에g( y)속d 할y = O때 ’ 주 (f*g) (x) =J,up pf(Y )f (x -y) d y 인 사실에서도 이를 쉽게 증명 할 1up pg 수 있다. 또한 정의 (4) 를 써도 증명이 가능하다. 정리 5 0~¢EC? 이고 f¢dx =l 이고 fE C{ 이면 m) fd= f 나 EC 혼, 回 sup p ¢ ➔ {O} 이 면 | a |

제 1 장 시험함수 21

여 자명하다. 십 가정에 의하여 su ppc/> E{ y ;l y l0 이 존재한다. lof ,( x) -of ( x) I = I{,l,y,1 << d (of ( x-y. ) -oaf ( x))cf> (y)d y I ssup lo f (x -y) -of (x ) I. IyI ➔ {O} 일 때 8 ➔ 0 이므로 lsyul 든 U (R ) 이 고, llt- 11 ,= llf * 쎄 ,s llf ll, llc/>l l1 = 11/11, 또 CC (R이이 LHRn) 에서 조밀 (dense) 하므로 임의의 e>0 에 대하여 11/-g ll ,

Jx1r (f * g) (x)

Y4R

(f * g) (x) =Jex=;) 2+ a2 • 급 dy 켓巴fr [ (x-z) 나 1리 (z 냐) dz =2 따〔（ X － (a+b)i) {x+ (a-b) i)2 bi + a(x+(1a+ b)i) ] 1e(x-( a-b)t) (a+b)x+i (a 2-b2) #+ (a-b) 2 • ab (x2+ (a+b) 2) = a1be[[x(12ae++(b a)(+a 썼b+)+b ) 2(]a -b) (a2-b2)] ’ ab(x2+ (a-b)2) (x 나 (a+b)2) 1.3 절단함수와 단위분할 초함수론에서는 임의의 함수를 상당히 큰 긴밀한 집합 위에서는 그대 로 두고 긴밀한 받침을 가지는 함수로 적당히 고쳐서 원래의 함수를 근 사시키는 경우가 많다. 이러한 작업은 다음 정리에서 보이는 바와 같이 주로 절단 함수 (cut- o ff fun cti on ) 를 곱함으로써 이 루어 진 다. 정리 1 !l cRn 이 열린 집합이고 K 가 O 의 긴밀한부분집합이라 하면 R) O 악회 이고 K 의 근방에서는 1 인 함수 ¢E@@) 가 촌재한다. (t..) I a·0 을 잡 을 수 있다. 다시 말해서 (1) lx-yl z . 4e , xEK, yE 0° U 를 K 의 2e- 근방 K2,={y ; 크 xEK, lx-yl <2e} 의 표시 함수 (characte r is t i c f un cti on ) 라 하자. 죽 u=XK“ 그리 고 B (O, 1)

f=¢{xd;xl =xll 을<1 }만 을족 하단는위 공이EC 라:고 (B (0하, 자1.) ) 가정 존리재 1한.다1..1 에 의하여 ¢~0 이고 (2) 鉉)=강¢(+) 라 놓으면 su pp ¢,cB(0,e)={x; i x|< 라이고 준=y로 치환하면 f¢ ,dy =1 임을 쉽게 보일 수 있다. 우리가 원하는 #를 cp= u *

(4) ¢=jE= k l ¢j 를 만족하는 싼 E c:' (01)(l~ j ~k) 가 존재한다. 만약 ¢2. 0 이라면 모든 'PiZ.0 이 되도록 참을 수 있다. 증명 먼저 supp ¢ cU K1 이고 Kj cc0 젝 긴밀한 집합 K i, ···,K 갑t j= l 잡을 수 있다는 것을 보이자. Rn 이 국소적으로 긴밀 (loc ally comp a ct ) 하기 때문에 모든 xEsu pp¢에 대하여 어떤 Qj에 포함되는 긴밀한 근 방을 잡을 수가 있다. 또 보렐-르벡 정리에 의하여 K 를 덮는 유한개의 긴밀한 근방이 존재한다. 우리가 원하는 Kj 는 위의 유한개의 긴밀한 근 방 중에서 .OJ에 들어가는 근방들의 합집합으로 얻어진다. 위의 정리 1 에 의하여 0<#J< 1 이 되고 KJ 의 근방에서는 1 인 #j E@3( Qj)가 존재 한다. 그러면 함수 ¢J는 다음과 같이 얻어진다. ¢1= 셉 'I ¢2=¢(l-¢1)O , 2Ir ¢j<1 이고 K 의 J= 근l 방에서 1 인 J= l ¢JE C (Oi ) 가 존재 한다.

리들은 성립한다. 그러나 보렐군 1 백 정리에 의하여 단지 유한개의 o j로 만 정리 2 의 su pp¢,와 정리 3 의 K 를 덮을 수 있기 때문에 결론에서 는 단지 유한개의 ¢j만이 0 이 되지 않는다. 정리 3 에 나오는 함수 ¢j 를 K 에 서 의 단위 분할 (pa rtit ion of unit y) 이 라고 한다. 다음은 편미분 방정식론에서 자주 쓰이는 간단하지만 교묘한 단위분 할을 중명하자. 정리 4 K 를 정입방체 {x 든 R; lx j l ::S::랑-, j =l, … ,n} 이라 하자. 그 러면 K 의 임의의 근방 O 에 대하여요 .¢,(x- g )=1 이 되는 함수 ¢EC (0) 가 촌재한다. 여기서의 합은 모든 격자점, 죽 좌표가 모두 정수인 점에서의 합을 나타낸다. 증명 정 리 1 에 의 하여 O::S ::cf;::S::l , K 위 에 서 cf;= l 인 함수 ¢드@' (0) 를 잡을 수 있다. ~(x)=~

cp (x) = 갑:｝ 라 놓으면

o1f =a 1f, ai= o1f (O ) 위 에 서 미 분 방정 식 을 j= l, 2, …, n 까지 순서 대 로 풀면 /(0) =1 이 므로 (3) I(x) =e, ( 여 기 서 는 2n i의 배수가 되어야 한다. 죽 a= 茅, (여 기 서 로 Zn) 따라서 우리가 원하는 다음과 갇은 전개식을 얻을 수 있다. (5) tt(x ) =2 cue 무T VEZ• I={x;O

급수라 한다. 여기서 다음의 두가지 질문이 생겨날 수 있다. h) C” 가 (7) 로 주어졌을 때 급수 (5) 은 수렴하는가? 티 수렴한다면, 등식 (5) 가 맞는가? (게에 대한 해답은 다음 정리에 의해 얻을 수 있다. 정리 1 tt EC(R) 이 주기 2xT 인 주기함수라 하면 (7) 에 의하여 주 어 진 후리 에 계 수 cU 는 V 드 Z n ➔ CX) 일 때 0 ( | 기 -k) 이 다. 증명 다음 적분의 피적분함수는 주기함수이므로 부분적분법을 |al 번 행하면 (8) (2 元}) n JI (a·U (x) ) e- 무 -d .x= (누 )ac., l a | 설 여 기 서 부분적 분을 할 때 나오는 경 계 항 (boundary ter m) 들은 피 적 분함 수들이 주기 함수이 므로 Xj = O, X j =2 元 T 일 경 우의 항들이 서 로 상쇄 된다. (8) 의 좌변이 유계이므로 우변도 유계이다. 다시 말해서 |(법더 .Cul< M, a= (0, 0, k, 0, …, 0) 를 택 함으로써 le.I::M;;T:,~. , I 급수의 적분시험에 의하여 k>n 이면 #2.o —lvAl r< oo 이므로 정리 1 에 의 하여 uecn+1 이면 우리는 m) 에 대한 긍정적인 해답을 얻게 된다. 질문 십에 대한 답은 다음의 유일성 정리로부터 얻을 수 있다. 2I정cu리| <2o o u라 가 하연면속 인등 식주 기(5함) 를수 이얻고는다 C.u 가 (7) 로 주어진 후리에 계수일 때 증명 f (x)=u(x)- L! c.e~ 쓴다 하면, 가정에 의하여 항별 적분이 가 능하므로 (6) 에 의하여 f의 모든 후리에 계수는 0 이 된다.

P(x) =JI=T” I ek~J +IeXJ ~ 넷 (cos*)2 라놓자. 그러면 임의의 양의 정수 k 에 대하여 PIr 는 유한개의 주기 특 성함수의 합으로 나타낼 수 있다. 그리고 O~P(x) ~1 (9) P (x) =l-¢=> 급尸 EZn P(x)=l- （뷰 )2+0(IXI'), X 책 임을 쉽게 알 수 있다. f의 후리에 계수가 모두 0 이므로 모든 양정수 k 에 대하여 (10) 0=IIP (x-y) T(y) dx=f I mlo 인 부분에서는 적당한 양수 c 에 대하여 |P(y) Io, lyl

fl•l n 이다. 그러면 2Icu| 112 lvk>l lnc .에l ·7주 可1-의 r하 <면oo ’ 정리 3 과 정리 4 를 합하여 바이어슈트라스의 M- 시험식을 쓰면 다음

정리 3’ 을 얻는다. 정리 3' uEC+1(R) 이 각 변수에 대하여 주기 2 元 T 인 주기 함수라 하면 u 의 후리에 급수는 함수 U 로 군일하게 절대수령한다. gIE: Z 예( 2제g +s 1)-f2 ( 를x) 계=mg 산E i Zn하 l라x-.2 1Cg l 라 할 때 f의 후리에 계수를 구하고 풀이 C g=去J:f (x)e-8dx =-bJ: f(x ) e-''1dx I 중, g= O = l 슬o , ,g= 짝g수=,홀 g수= \=O 여기서 I:leg ! <+oo 이므로 정리 2 에 의하여 f(x ) =으2 _上亢 g 2E Z (2g +1 1)2 e‘ 1C(2‘+1)X 따라서 O= f (O)= 도2 -요7C g~2 Z (2g +1 l)2 그러므로 훑z (2g : l)2 =千 위의 예제와 다른 많은 예들에서의 계산은 초함수를 쓰면 훨씬 간단해 진다. 그러므로 다른 예들온 다무지 않고, 다음 절에서는 C':'에 속하는 함수보다 조금 일반화시켜 무한대에서 상당히 작아지는 함수들의 후리 에 전개식을 계속해 다루겠다. 그러면, (4) 와 갈은 꼴의 유계인 특성함 수, 죽 (3) 에서 a 가 순허수인 경우의 목성함수 항들의 전개식으로 나 타낼 수가 있다. 이 때의 방법은 임의의 비주기함수를, 아주 큰 주기를

계 1 장 시험함수 33

가지는 함수들의 극한인 경우로 보는 관점에 의존한다. 먼저 적 분가능한 함수의 후리 에 변 환 (Fourie r tra nsfo r m) 울 다움과 같이 정의하자. 정으 1 6 fE L1 (Rn) 일 때 f의 후리 에 변환 f는 (12) 따) (f) 다 (f) =fe_,< x ,~> f(x )d .x , fE R 로 정의된다. f드 @(Rn) 이라 하고 T 를 충분히 크게 잡아 su pp/에서 모든 j에 대 하여 Ix 기

주 仁)에서는 f의 미분가능성과 f의 t =oo 근방에서의 차수와의 관계 를 밝혀주고 있다. 증명 (7) 먼저 정의에 의하여 Daf( f) =fDaf ( x) e-1< z,f> d x 이므로 윗식을 1 이번 부분적분하면 (14) 를 얻는다. (15) 는 아래 식에 서 적분기호 안으로 미분할 수 있으므로 다움과 같이 얻어진다. Def( f) =Def f(x) e -i d x =f(국露 e 키〈 z, f〉 dx 回 ((L）은 앞의 정리 1 과 정리 3 의 같은 의미를 갖는다) 식 (14) 에 |al=k 라 놓으면 Daf E ~이므로 |Dall 는 상수 M 에 의하 여 유계이다. f ➔ 00 일 때 f~ IJ (t) l~M 이므로 (16) 을 얻는다. I 다음에 는 제 일 중요한 공식 인 후리 에 반전 공식 (Fo urie r inv ersio n fo- rmula) 을 /E0 ,+1. ( R 이 에 대 하여 중명 하자. 정리 8 f드Q ”(Rn) 이면 식 (12) 로 주어지는 후리에 변환 f는 적분가 능하고 후리에 반전공식 (17) f(x ) ＝날리茂 )e i d f, xERn 이 성립한다. 증명 f드Q +1 이므로 위의 도움정리 7 십에 의하여 1/(f) I 후 (1+ lfl) -C n+l ) 윗 식 의 우변은 적 분가능한 함수이 므로 l

/(x)=/r(x)=~ 합 (+)e 푸 = (2 노 屈f (+)e 무.表〕 =글W J (f) e'(z, f> d f 앞의 정리 8 은 Q +1 에 속하는 임의의 함수를 특성함수의 연속합(다 시 말해서 적분)으로 분해하는 문제를 해결해 준다. 그러나 f와 J 사이 의 대칭성의 입장에서 긴밀한 받침에 관한 가정을 빼고 앞의 정리보다 더 일반적인 정리를 증명하도록 하자. 먼저 정리 2 와 같은 의미를 가 지는 다음 정리를 증명하자. 정리 9 /를 R 에서 적분가능하고 연속인 함수라 하자. 식 (12) 로 정 의된 후리에 변환 1 가 적분가능하면 후리에 반전공식 (17) 이 성립한다. 이 정리를 중명하기 전에 간단하지만 중요한 다움의 도움정리를 먼저 증명하자. 도움정리 10 f,gE L1(Rn) 이면 (18) Jf(x) g( x) dx=J 茂) g (t) df 증명 (18) 의 양변은 모두 후비니 정리에 의하여 절대수렴하는 적분 과 같다. fff(x)g (~) e_, d xdf ’ 정리 9 의 증명 hE C:'이면 도움정리 7 에 의하여 (19) h* ( x) =ffi (~) e1<-z,f> d ~ = (2 元) h (一 x) 식 (18) 에 g= h 라고 놓아 (18) 을 계 속 사용하면 (19) 에 의 하여

fi (x) h (x) dx=f J (f) h( f) df == f(2f:,(r x) )1 hf (x()x )d hx ( 국) dx = (2:, r) ff( 국) h (x) dx. 그러므로 정리 1.1.2 에 의하여 (2x)f ( -x) =i(x) =fJ(f )e_, 〈 z, 國 , 정리 2.1.3 을 사용하면 정리 9 에서 연속성의 가정을 빼고 다음의 정리 9’ 를 얻을 수 있다. 정리 9' f,J가 적분가능하면 후리에 반전공식 (17) 이 거의 모든 점 (almost everyw here) 에 서 성 립 한다. 증명 정 리 9 의 마지 막 단계 에 서 정 리 1. 1. 2 대 신에 2 장의 정 리 2. 1• 3 을 사용하면 된다. I 1.5 슈와르츠 공간 』에서의 후리에 변환 앞 절의 청리 1.4.9' 에서 보인 바와 같이 I 와 f가 적분가능한 함수 이면 후리에 반전공식 (1) f(x ) = (2;) n J간파 (f) df 이 성립한다. 그러나 f의 성질로부터 f가 적분가능한가, 그렇지 않은 가를 판별하는 것은 거의 불가능하다. 그러므로 만족할 만한 꼴의 후리 에 반전공식을 얻기 위해서는 다음에 정의되는 슈와르츠 공간 』가 도입 되어야 한다. 3 장에서는 』의 쌍대공간인 초함수 공간 』에서의 후리 에 해석을 다루겠다. 정의 1 ,J 또는 .J (Rn) 으로 나타내 는 Rn 위 의 슈와르츠 공간은 모든

다중지표 a, f3에 대하여 (2) Pap (¢) =S !J .P I xPDa (x) I <0 0 ER 를 만족하는 coo 함수의 집 합을 나타낸다. 4 의 원소를 슈와르츠 함수 또 는 급감소 (rap idl y decreasin g ) （시 험 ) 함수라고 말한다. 그 이 유는 모든 Da (x) 는 lxl ➔ 00 일 때 임의의 자연수 N~O 에 대하여 |x| 내보다 더 급히 감소하기 때문이다. 주 이 책에서는 위상 벡터 공간의 성질을 되도록 다루지 않으려고 했 으나 참고로 말하면 (2) 에 나오는 R, 는 4 에 서 의 반노음 (semi no rm) 이 된다. 이 때 4 는 이 반노음들로 칭의된 위상으로 후레셰 (Frechet) 공 간이 된다. 연속성과 위상에 관한 것은 3 장에서 다루겠다. 예제 2 h) C';' c 』 cC00 이 므로 모든 간 밀 한 받침 을 갖는 C° 함수 g Re a>0 일 때 e-•lzl2 지금부터 여러가지 서로 다른 증명을 통하여 슈와르츠 공간 』에서 후 리에 반전공식이 성립하고 후리에 변환은 』상에의 전단사 (b ij e cti on) 가 된다는 것울 보이겠고, 뒤의 3.2 에서는 동형사상(i somor p h i sm) 이 된다 는 것을 보이겠다. 도움정리 3 hl .J는 미분연산과 단항식 x• 를 곱하는 연산에 대하여 닫혀 있다. 回 』는 Enc3 의 부분공간이다. 증명 h) 은 정의 1 과 라이프니츠 공식에 의해 명백하다. 다 'P릭이면 정의 1 과 (게에 의하여 임의의 다중지표 a, /3에 대하여 뿐t. (1+ |x|) n+1 Ixaap' P (x) I

:s;;:s up ( l+ lxl) cn+o lxaa p한 x) lf ~< oo 특히 a={3 =0 일 경 우로부터 (t..:)을 얻 는다. I 수 위있의 다 .증 .명Jc에 V서 n보c 0는0 이 바 므와로 (

예제 5 xER 일 때 f(x ) =e 검 이 라 하면 f (f) = ✓ 玩 e_ g 풀이 / A (f) ==JJro~-:oc0 o0급 e-f- (ix+'1ff d)x2 dxe-? -co z2 위의 적분을 계산하기 위하여 전 평면에서 해석인 함수 e-2을 그립 1.2 의 닫힌 경로 r 롤 따라 적분하자. .,E‘ III 다., II 국0 I R 그림 1.2 코시 적분정리에 의하여 Je-~d z=O T R ➔ 00 일 때 II 와 N의 경로에 대한 적분이 0 이 되므로 「 e- 상(츠+if )'d .x=「 e 주 dx -(X) -(X) 위의 적분값을 A 라고 하면 후비니 정리에 의하여 (6) A2==JJ :~0-c 0 JoJ0 0e~ -e~ d-~xJr d-:(Xr )d건 0= d2 yx= J}간(판 )d .x dy 이므로 A= J孟 또 다음과 같은 방법으로도 증명할 수 있다. J(.x) =e-드t 2 이 미 분방정 식

(x+i D) f =O 을 만족하므로 양변에 후리에 변환을 취하면 (-D+~)/ (t) =0 그러므로 J (f) =Cd(f) =C1e 섬 여기서 Ci= J (0) =J ~00e 주 dx= 墨 ’ -oo 다음은 후리에 반전공식 (1) 의 두번째 증명을 하자. 정리 4 의 두번째 증명 cp E 』 (R) 일 때 g를 계산하자. 그러면 슘 (-x) =fe'<:r, 뗄 re p (y) e-id y, cp E 』 (Rn) 를 계산하여야 한다. 이 이중적분은 르벡 측도 d f에 대하여 절대 수령하지 않기 때문에· 적 분순서를 바꿀 수가 없다. 그러므로 적분순서를 바꿀 수 있게 하기 위 하여 帖三.J, ¢(0)=1 인 f의 함수 ¢(f)를 도입하면 르벡 수렵정리에 의 하여 다음을 얻는다. fe{< :r,r> p( f) d f=~마 (ef) p (f) e' d f =태¢ (E:t) cp (y) eid yd t 지금 위의 이중적분이 절대 수렴하기 때문에 후비니 정리에 의하여 f에 대해 먼저 적분을 하면 f令 (f) ei@ dt =l £i-m,。 f' P (y) 마루)강 dy (7) =¥£ ➔~ 0f cp (x +e z) if; (z) dz =rp (x)fi f; (z) dz

상수를 결 정 하기 위 하여 여d f =( 2x 下 (x) ’ 다음은 후리 에 반전공식 (1) 의 세 번째 증명 으로 회 르만더 (16] Vol. 1 의 교묘한 방법을 소개한다. 정리 4 의 세번째 층명 먼저 증명에 필요한 여러 보조정켜를 증명하도 록하자. 도움정리 6 ¢e& 이면 (x) 국 (y) = ~ (xi- Yi) j (X) 가 되는 함수 ¢j E 』가 있다. 증명 y를 중심으로 반지름이 3 인 구 안에서는 ¢(x) 규(y) =J틀(t x+ (1 구)y )d t 가 성립하므로 ¢ (x) _ ¢ (y) = 2 (xj- yj) #j (x) 를 만족시키는 COO- 함수 #j가 존재한다. 또 x* y의 경우에도 (8) 症) = (¢(x) 국(lxy)-y) l2 ( xj- yj) 라 놓으면 역시 위의 조건을 만족하는 것을 알 수 있다. 이제 X 를, y를 중심으로 반지름이 1 인 구 안에서는 1 이고반지름이

2 인 구 밖에서 0 이 되는 C 포함수라 하자. 그러면 는 바라는 조건을 만족시키¢는j= X 함#수j + 가 ( 1 된_다 x.) PJ ’ 도움정리 7 T : 』 ➔ 』가 (9) TD 沖 =D1T

T¢ (x) =c (x) r/> (x) 가 되고 당연히 c 는 ¢에 의존하지 않는다. 그런데 ¢>0 이고 ¢E .J인 ¢가 있으므로 c 는 COO 함수이다. 여기서 이므로 c 는 상수이어야O =함D;을T < f알, - T수D 沖있다=. ( DJc ) ¢ ’ 정리 4 의 세번째 증명의 끝부분 식 (4) 에 의하여 후리에 변 환 사상을 F 로 나타내면 F2 은 4 를 4 로 보내고 미분연산 D j 와 X j의 곱연산과는 반 교 환 적이다. 그러므로 R¢ (x)= (-x) 로 나타내면 T=RF2 은 Dj와 X j의 연산과 교환이 가능하 므로 도움정리 7 에 의하여 RF2=c 가 된다. 상수 C 를 결정하기 위해서 ¢(x)=ex p(－봅니를 잡자. 그러면 예제 5 의 결과를 2n 번 사용하여 c=(21 t) 이 되는 것을 알아 증명이 끝났다. , 다음은 코시 적분정리를 사용하여 c 를 결정하는 다른 방법을 설명한 다. 먼저 n>1 이면 f를 A( 지·,.fn &) 을 생각하면 되므로 n=l 인 경우 만 생각하면 충분하다. /(f)=fe- 1 , tf (x) dx, ~ER 의 적분을 두 부분으로 나누고 부분적분법을 쓰면 l (f) =F+ (f) +F _ (f) 가 된다. 여기서, F+ (t) ==Jf~0。了i 39 fl(_+x) .eI - • fr（ ''d궁 (x )02 ) +I Jroc:o / (x() 꿈e )-l2:t :ld x =통 +O(l f l-2), t ➔ 00, I年 0, F_ (t) =J~c。 :o f(x ) e-1r 'd x -o, =~+O( l~l -2), 도 Imt ~O

~- p la n e

이 제 /E G ° 라 하면 F+ 와 F- 는 모두 전해 석 (enti re ) 함수가 된 다. 그 림 1.3 에서와 같이 rR 을 시계 반대 방향의 원; lzl=R, r 뚱 울 각각 상 과 하반 평선상의 반원이라 하자. 그러면 코시 적분정리에 의하여 J茂 )d f =lR i ➔ m oo JJ R-R {F澄 ) +F_(f) } df ==ilR i玉m~0 만 J m마 上 . _Ftg+뽀 (s d) sd s-J, ..+ F _ (s) d< J =2 라 .(0) 가 된 다. 따라서 반전 공식 (inv ersio n form ula) 에 서 의 상수와 코시 적 분 공식에서의 상수는 같다. , 다음은 4 위의 후리에 변환의 기본적이고 중요한 성질을 모아 증명 하자. 정리 8 ef>,

(14) ( cp * ¢) (x) dx =ffe-,< z -:1. f )e-i<:1, f )c p (x-y) ¢ (y) dxdy =cj, (f) ¢ (f) 마지막으로 (14) 의 중명은 (13) 식과 후리에 반전공식에 의하여 굽〕의 후리에 변환은 (2;;r )n 'P (-x )cp ( -x) 그리고 수*g의 후리에 변환은 (2;;r )I 한 -x) (2:;r ) n'P (-x) 이 되 므로 명 백 하다. g 』는 힐버트 공간 L2(Rn) 에서 조밀하므로 위의 정리 8 의 (12) 에 의하 여 후리 에 변환은 L2 (Rn) 상의 유니 타리 (unit ar y) 작용소로 임 의 적 으로 확장시킬 수가 있다. 후리에 변환의 연속성 및 여러가지 위와 관련된 성 질은 3 장에서 자세히 다루기로 하겠다. ‘ 위의 공식들 의에 후리에 변환의 정의로부터 직접

{p( f) 이 고,

함수의 곱셈 이동수수유계 특성함수에 의한 곱셈.

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다음은 이 철에서 가장 중요한 후리에 반전공식 (1) 을 대신에 실 비퇴화 (non de g enera t e) 쌍선형 형식일 때도 확장시킬 수 있다는 것 을 보이겠다. 정리 9 B(x, t)를 실 비퇴화쌍선형 형식이라 하면 f (x) 의 일반화된 후리에 변환 J(t)를 다음과 감이 정의할 수 있다. J (f) =fe-iB C: r,f)I (x) dx 그러면 일반화된 후리에 반전공식 f(x ) ＝뿔訂e i 8( :r，야(t )d f 을 얻는다. 증명 우리는 선형대수에서 쌍선형 형식과 nxn 행렬이 1-1 대응한다 는 것을 배웠다. 그러므로 실 쌍선형 형식 B(x, f)에 대응되는 행렬을 B 라 하면 B (x, f) = x, fE Rn B(x, f)가 비퇴화라는 조건에서 B 가 정칙행렬이라는 것을 쉽게 얻을 수 있다. 그러므로 J (f) =Ie-If(x )d x =fe-If(x )d x =J(tBt ) 여기서 felB< z, 야 (~) df =fe’

그러므로 f(x ) ＝뿜홉Je lB(z, 아(f )d t ’ 정리 1.43’ 의 응용으로 후리에 해석에서 상당히 중요한 쁘아송의 합 공식을 증명하기로 한다. 정리 10 쁘아송의 합 공식 cpE . J (R) 이 면 (15) v~ez-• ~• (v) = (21r) v~ez-•< p (21CV) 증명 급수』골 .r(x+2 1r:v)는 P 가 급격히 감소하기 때문에 C' 함수 f (x) 로 절대 및 균일수령한다. f (x) 는 명백히 주기함수가 되고 (15) 의 양변은 모두 수령한다. f( x)= UIE:Z •< p (x+2 1r:v)는 각 변수에 대하여 주기 가 %인 주기함수이고 fE C°(Rn) 이므로 정리 1.4.3' 에 의하여 f의 후 리에 급수 I: c.ei<: r. u> vEZ• 는 f (x) 로 절대 균일수렴한다. 여기서 후리예 계수 C 톤급기、T f (x) e-idx 냐.글:

d x 갤굽닌2 m+TP (x) e-I<:r ,u >dx =奇JR . 'P (X) e-1~: r ,u >d x =갱1 근 (v) 그러므로 후리에 급수 u 끓틀 (V) el(z,u) 가 f (x) 로 수령하므로 x=O 울 대입하여 (15) 를 얻어 중명이 끝났다.

예제 11 h) f(x ) =e 막 x 탁 a, b] ;f(x) =O, 璋:〔 a, 사, abER cER 의 후리 에 변 환 • 올구하라. (y f(x )=c*I, Re a)O 일 때 코시 적분공식을 이용하여 후리에 반전 공식이 성립함을 보여라. (7)풀 /이 ( f) ==JJ::aee -< '-'.•e +t ec c >'d'dxx b a b = c-1 꿈 e(c-U),: 「• =一느 _[e

때 유수정리에 의하여 王훑 d f =2 元 C- x0 의 경우와 똑같은 방법으로 J: 信: ;:O d0 크 임을 보일 수 있다. 그러므로 2aJ :' ~ df = 21r: e0 따라서 f(x ) =志J~o:,J (f) ei:r •e dx=e-•1:r l -co 예제 12 Re a)O 일 때 일변수함수 f(x ) =e-az2 의 후리 에 변환 /(f) = 폰a e- 운인 것을 해석 접속성을 이용하여 보여라. 풀이 a>0 의 경우는 예제 5 와 y =✓ ax 의 변수변환에 의하여 (16) J

a 가 Re a> 0 인 복소수의 경 우 룹 생각하자 . ( 16 ) 의 오 른쪽은 명백 하 게 {a;Re -a ) O} 안 에서 해 석적 이다. 또 한 왼 쪽 도 J (f) =fo~o0 0 e-•i 'e -i x 'd x -c o 의 괴적분함수와 그것의 a 에 관한 도 합 수가 적분가능하여 J(f)는 a 에 관하여 복 소수 미분이 가능하다. 이와 같이 (16) 의 양 쪽 은 모두 다 {a; Re a ) O} 인 오른 쪽 반 평 면에 서 해석적이 된다. 그런데 {a; Re a)O}n R 에 서 (16 ) 의 오른쪽과 왼 쪽 이 같으므로 해석접속성에 의하여 {a; ’Re a> 0 } 전 체에서 같아진다. f다(시f) =말J해 ~ e서- 운Re a)O 에 대하여도 위 정리 10 과 예제 12 의 응용으로 정수론, 타원함수론, 통계역학에서 중요한 역 할 을 하는 야코비의 등식을 증명하기로 하자. 정리 13 야코바 등식 다음에 정의되는 CO (17) Q (z)=-~coe 국 는 Re z)O 에 대하여 해석함수가 되고 Q(z +2m) =Q( z) (18) Q( z) =J;Q(구) 여 기 서 제 곱근은 2= 元 일 때 1 이 되 는 가지 (branch) 를 택 한다. 증명 Q (z) 는 바이어스트라스 정리에 의하여 당연히 임의의 Re z)O 인 부분의 긴밀한 부분집합에서 균일하게 수렴하므로 해석함수가 되고, Q (z) 가 주기 2m를 가진다는 것은 자명하다 .. 이 제부터 야코비 등식 (18) 올 증명하기로 하자. 쁘아송의 합공식 (15) 를 쓰기 위 하여

그러 므로 n=l 일 때 의 쁘아송의 합공식 (15 ) 룹 사용하면 홀 OOc-4Rn 2 E= 2; 石 n:OOe 군 위 식에 z 대신겨들를 대입하면 효 e-n’z= 홍 J투무 n=-~ n=-~ 2 즉 (18) 식을 얻어 증명이 끝났다. 마지막으로 3 장 2 절에서 복소수의 경우까지 확장될 아주 중요한 ; 우스 함수 e 一〈 Az,z 〉의 후리 에 변 환을 구하기 로 하자. 예제 14 A 가 실, 양의 정 부호 (po sit ive defi ni t e) 인 정 칙 대 칭 n x 행렬일 때 !IF( e-/ 2 )( f) =~e- /2 풀이 (기) n=l 일 때는 예제 12 에 의하여 Je - 2/ 2dx= J互a e 옹, a> O 디 A 가 대각행렬, 죽 A=(a‘%), ad>0 일 때는 e- 〈 Az,z 〉 /Z=e-(•1z1 나···+•.다 )/2 =e-0 마 /2 ... e -o. 다 /2 따라서 후비니 정리에 의하여 !if (e-/ 2)( f) =空 (e-a 아 /2) (f1) • •• 多 (e-a. 다/ 2) (fn) =陶\(문 ••나 문 )/2 a1···an = （언노-〈 A-l f,f〉 /2 ✓ de t A

(다 일반적인 경우는 UAU-1=D( 대각행렬)이 되는 직교행렬, 다시 말해 서 'UU=ld 를 만족하는 행렬 U 가 존재하므로 e- 〈 Ar, 츠〉 /2=e- 〈 U-IDUX,z 〉 /2=e- 〈 DUx, Uz> /2 따라서 !F (e-/2 )( f) =Je- l(z, f )e - /2 d x y =Ux 로 치환하면 =e -/2 |de:U I dy =!F (e-/2 )( Uf ) (니의 결과에 의하여 h ff(e- / 2 )( f) = （완긴:. e 一〈 D-Iu f ,u8/2 ✓ de t D = 먼 c-/2 ✓ de t A 예제 14 의 결과는 e-1 〈 A :r,:r〉에 대하여 3.2 와 3.3 에서 확장될 것이다. * 연습문제 1. a= (aJ, …, an) 일 메 la곱 N 걸=릎 임 을 보여 라. 2. R 녀 임 의 의 닫힌 집 합은 C 잇 Rn) 에 속하는 함수의 영 점 (zero) 이 되는 것을 증명하라. 3. a,bEC\R 이고 m,n 이 자연수일 때 _ (x-ma!) +1 * (x-nb!) n+1 =C2 i元 (x-(am-+bn)) . .! + n+1 여기서 C= 土 1 또는 o.

재 1 장 시험함수 53

4. f 1 과 /2 가 R 에서 국소적 분 가 능 하고 받침이 모두 R+ 에 포함된다고 하자 ·· 그러면 h) /1 * f2 는 찰 정 의 되 고 이 함수의 받침 도 같은 성 질을 갖는 것을 보 여라. {L..) [H (x)았 ] * [H (x)Y !], [H (x)e• 인 * [H(x) eb 디를 계 산하라. 5. .J (R) 에 속하는 두 함수의 포 7심 은 다시 』 (Rn) 에 속하는 것을 보여 라. 6. 다음 함수들의 후리 에 변환을 구하라. h) /(x) =X[-a, a] 십 f(x )= cos1h ax 回f (x)= 굼 使) 위 의 문제 (c)과 예 제 1. 4. 11 {L..)을 이 용하여 예 제 1. 2. 7 {L..)을 보 여라. · 7. 유리함수 f가 V(R) 에 속한다고 하자. 그러면 적당한 상수 C>O, e>0 이 존재하여 il( f) l sCe- 이 ~I 인 것을 보여라.

제 2 장 초함수 2. 1 정의와 기초적 성질 0 가 Rn 의 열린 집합일 때 O 에서의 초함수 u 는 다음과 같이 정의 한다. 정의 I 0 에서의 초함수 u 는 임의의 긴밀한 부분집합 Kcc0 에 대 하여 상수 C>O 와 음이 아닌 정수 k~O 가 존재하여 (1) l u () I ::;;:~l a4l~ t sup l oa I , E C ;' (K) 를 만족시키는 선형 형식 U 를 말한다. Q에서의 모든 초함수의 집합을 ~'(0) 로 나타낸다. 모든 Kee .a에 대하여 같은 양의 정수 k 가 존재 하여 식 (1) 을 만족시키면 u 는 k 보다 작은 차수를 갖는다고 한다. 이 러한 초함수들의 집합을 @',,(0 ) 로 나타내고 또 이러한 ~'(O) 의 합집 합 ~~(O)=U~'@ ）은 모든 유한 차수 초함수의 집합을 나타낸다. 위의 정의에서 U 가 @3( Q)상의 선형 형식이란 u (arp +b cp ) =au (rp) +b u (¢) ; a, bEC, rp, 赤드@ @) 를 만족하는 함수 u:C :(.O) ― ➔ C 를 말한다. ~'(0) 는 다음과 같이 덧셈과 스칼라 곱셈의 연산 (tt +v ) (rp) =u (rp) +v (rp) , (au) (cp) =au (rp) , aEC, u, vE~' (.0) , cpE C ': (0)

을 정의하면 벡터공간이 된다. 주 기호 @'(0) 는 슈와르츠가 그의 대저〔 25) 에 도입한 것으로, G°(O) 에 LF 위상을 준 공간을 @@)라 하였고 @'(0) 는 @(Q)의 쌍대 (dual) 공간을 나타낸다. 다음에는 간단하지만 중요한 두 가지 예를 들겠다. • 예제 2 디락 측도 R) O 드 O 라 할 때 ,

쭙이 h) 먼저 (2) _ I u ('P) | = | aa'P (xo) | 후 u p l aa'P I , 'P탁곤 (K) 이므로 u 의 차수는 la| 보다는 같거나 작다. 이제 u 의 차수가 1 이보다 작지 않다는 것을 보이기로 하자. 00 일 때 @@)에서 O 와 모든 음이 아닌 정수 k 예 대하여 (1) 이 성립하지 않는 긴밀한 부분집합 Kee .a가 존재한다

고 가정하자. 특별히 C=k= j로 잡으면 l u (rpj) | ~j_ i_s up l oarp j (x) I IaIk 에 대하여 p a=O 인 것과 u 의 차수가 k 보다 작은 것은 동치이다. 증명 충분성. O 의 임의의 간밀 집합 K 에서 0 이 아닌 유한개의 함수를 pa., •••, pa” 이 라 하자. 그러 면 cpE C :'(K ) 에 대하여 lu (

여기서 h= sup ia; I 1~ ;~N 필요성. u 드 @1( Q)라 하고 긴밀집합열 K1cc .O는 0= UK 1, K1cclnt K1+1 을 만족한다고 하자. 정 리 1. 3. 1 에 의 하여 Kj 위 에 서 1 이 되 는 함수 X j E@( Q)를 잡는다• #l=XI, j> 1 일 때 #j= Xj -X k1 이라 놓으면 요 의 각 점에서 2# j =1( 여기서의 합은 유한합이다)이므로 rp= 2¢jrp , 巫 E@( Q) 또 sup p (¢1rp ) csup p ¢1 이 므로 초함수의 정 의 (1) 로부터 적 당한 상수 C1 와 증가하는 상수 k j가 존재하여 O3 03 l u (rp) l ~j ~= l l u (c•p -j<' p) I ~ j찍= lC j·1 saul~ pkJ I 앙 (k, 이면 K‘ 위에서 pa= O. 따라서 |a+ /3 |

u1 : C';' (O) ＿ ➔ C

h (x) =h (x)Jc p (y) dy =Jh (x) rp( ~근 )辛 (6) =J(h (x) -h (y) ) 王(쿠)우 +fh (y ) 꾼근)우 (6) 의 두번째 적분은 가정 (4) 에 의하여 0 이 되고, 첫번째 적분은 (5) 에 의하여 거의 모든 x 에 대하여 t가 0 으로 갈 메 0 으로 수령한다. , 정리 7 uE g) 1•( .Q)이면 U 는 유일한 방법으로 모든 tp EC!(K) 와 적당 한 상수 C 에 대하여 식 (1) 이 성 립되도록 C!( .Q)의 선형형식으로 확장 할 수가 있다. 증명 cpE C! (O) 라 하면 정 리 1. 2. 5 에 의 하여 sup p cp 의 고정 된 긴 밀 한 근방 K 안에 받침을 갖고, 巨 00 일 때 다음 조건 (7) la~ l9- s u p I a·(rp -rp.) |― ➔ O 을 성 립시키는 수열 cp i E@ 3 ( Q)를 잡을 수 있다. (7) 을 자세히 보면 u( cp)는 다음과 같이 정의되어야만 한다. u (cp) =lim u (어 i ➔ CO 우선 위의 극한값이 존재하는 것을 보이자. 식 (1) 에서 lu(rp ;) -u(rpj) I = Iu(rp, -< pj) I 죠 la2l~ i sup I 양 (언＿rp 1) I i,j ➔ 00 이면 (7) 에 의해서 윗식은 0 으로 수령한다. 또 이 국한값은 함 수열의 선택에 의존하지 않는 것을 삼각 부등식에 의하여 쉽게 알 수 있 으므로 u(

하는 C~(.0 ) 위의 선형 형식이므로 위의 정리 7 에 의하여 우리는 ~/0 (.0)와 0 위의 라돈 측도의 공간을 감이 볼 수가 있다. 또한 합수와 초 함수를 같이 보는 것은 적분론에서 보통 함수 f와 측도 fd x 를 같이 불 수 있기 때문이다. 그러 나 양의 (po sit ive ) 초함수는 항상 측도가 된다는 것을 보이 기 위 해서 다음의 정리가 필요하다. 정 리 8 초함수 uE~' (.0.) 가 모든 음이 아닌 함수

O 다시 말해서 (9) lu(cp) l~u(X)sup l cp l , cpE C :(K ) 일반적으로

다른 한 방법은 다음과 같다. 먼저 e'0u( cp)가 실수가 되도록 O 를 잡 는다. 한편 (8) 에 의하여 cp가 실함수이면 u( cp)도 실수가 되므로 u (Re e10c p) =Re u (e'0c p) =u (e;6c p) Re e'.0c p 를 (9) 에 대 입하여 윗식을 이용하면 그러므로 uE~'0 l u (e'0c p ) I = l u (Re e'0c p ) I ’ ~u(X)sup Ic pl 이 강의 나머지 부분에서는 함수의 여러가지 연산과 성질을 초함수공 간으로 확장하는 것에 대해 다루기로 하겠다. 먼저 받침의 개념을 초함수로 확장하자. il1ci l cR 이고 u 든 @’(0) 이면 단순히 이 선형 형식의 정의역을 0, 1 로 제한시켜 0, 1 위의 초함수 를 얻을 수 있다. 다시 말해서 u In , (

정의 10 tt든@’ (Q) 일 때 sup p u 로 나타내 는 u 의 받침 은 a 의 제 한이 0 이 되는 근방을 갖지않는 O의 점들의 집합으로 정의된다. 1.1 절에 나오는 받침의 정의와 위의 정의는 정리 1. 1.2 에 의하여 같 아지는 것을 쉽게 알 수가 있다. 위의 칭의에서 .O \su pp u 는 U 가 0 이 되는 근방울 갖는 점들로 이루어진 열린 집합이므로 정의 10 에 의하여 U 는 .O\ sup p u 에 서 0 이 고 .0\ sup p u 는 U 가 O 이 되 는 모든 열 린 집 합 울 포함한다. 그러므로 (10) sup p u ns up p rp국 이 면 u (rp) =0 받침의 개념과 밀접한 관계를 가지는 특이받침 (sin g ula r su pp or t)을 정의하자. 정의 11 uE~' (.0) 일 때 sin g supp u 라고 나타내 는 u 의 독이 받침 (sin g ula r sup po rt) 은 u 의 제 한이 C° 함수가 되 는 근방울 갖지 않는 Q 의 점들의 집합이다 . .O\ sin g su pp u 의 모든 점은 U 가 C3 함수가 되는 근방을 가지므로 u 를 .O\ sin g sup p u 에 제 한하면 C° 함수가 된 다. 예제 12 o 몰 디락 측도라 하면 sup p o=sin g sup p o= {O} 주 정 의 10 와 11 에 의 하여 sup p u 와 sin g sup p u 는 O 에 서 닫힌 집 합이라는 것을 쉽게 알 s수in g 있 다su.p p 또uc su u는pp .u0 \ supp u 에서 0 이 된다. ’따 라서 C0 함수가 되므로 끝으로 초함수의 두 가지 예를 둘기로 하자. 이 초함수들은 초함수의 미분에 관한 다음 절에서도 중요한 역할을 하니 찰 익혀두기 바란다. 예제 13 다음에 정 의 되 는 적 분의 주치 (pr in c ipa l value; 主値) 는 초함 수가 되는 것을 밝히고 차수를 결정하라.

=lei ➔m o j· J lz1 : ;, ;, 오묘X _ d x , cpE C :(R ) 쿨이 먼저 cp E C';' (R) 이고 K=s up pcpc {xER; \x\ :5:: M} 이라 하자. 예 제 1. 1. 5 에 의 하여 cp (x) = cp (0) +X < p (x) 讓인 -1 인 i! EC 에 대하여 다음과 같이 정의되는 함수 x i=广 ’x>O x:= {kIA, z<0 0, x~O 0, x~O 는 R 위의 초함수를 정의하는 것올 보여라. (t...) Re A>-1 이면 cpE C :(R ) 에 대하여 (11) I:Xi< p (x) dx=f ;따 (x) -

제 2 강 초함수 65

(c) 이것을 일반화시켜 짜 는 단순 국 (s i m p le p ole) 을 ..:l= -1, -2, .. 에 갖는 유리 형 (meromorph i c ) 함수로 해 석 연 속 (analyt ic conti nu ati on ) 이 가능한 것을 보여라. 품이 H) ReA>_1 이면 짜, x2 는 국소 적분가능함수이므로 예제 2 의 仁)에 의하여 초함수를 정의한다. {L) 식 (11) 은 ReA>_1 이면 J。 xAdx= ¾i 이므로 쉽게 얻어진다. 식 (11) 의 오른쪽 둘째 항은 모든 A, 세째 항은 A=\=_1 인 모든 A 에 대하여 정의할 수 있고, 첫째 항은 ReA>_2, A=\=_1 인 A 드 C 에 대하여 정의 할수 있다. 왜냐하면 예제 1.1.7 에 의하여

- 1 에 대 하여 의 미 가 있 다. 한편 l(A) = =J O。 O 죠 (x) dx 의 A 에 대 한 미 분은 f:갔 Inx

66

의한 곱을 도입한다. 다음에 정의되는 초함 수의 마분은 항상 가 능 하며 이 점이 초함수론의 가장 큰 장점이라 할 수 있다. 동시에 우리는 곱을 정의하는데 이 절의 끝의 예제에서 보이는 것처럼 곱은 항상 정의할 수 있는 것은 아니다. 그러나 한쪽 인자가 C° 함수이면 곱은 찰 정의될 수 있다. 먼저 초함수의 미분을 정의하기 전에 u 든 C1( Q)라고 가정하자. （실은 OjU , j= l, …, n 가 국소적 분가능한 함수이 면 충분하다. ) 그러 면 부분적 분법에 의하여 f(oku) rpd x= -fUOk< p d X,

정리 2 uE~' (0,) , /EC 킷Q) 라고 가정 하자. R) aJ3 Au=8>a ju g a» (fu) = (o.J) u+f (o ~u) (디 (ou) (cp) = (-1) lalu(oc p), cpE C ;'(0,) (己) sup p (Ju) csup p tn s up p u 증명 R)

O 0, x

십 (log l x i ) ' (rp) = -( log l x I) (rp') ==--1£「 i➔m- o e· fxJ , l loz gl~ I£x lo| g협 1 x(1x<) pd'x(x )dz =-｝四{t o g Ix i尹) [~+lo g lxl 西) 「-fl xl > 릅표} =l£i ➔m o• lo g- I•e |• [-r,p (• e )• - rp, (• -e)• ]- + 1£ i➔m o JJ lz1 ~£ 브X 江 = (p. v. +) (rp) 여기서 둘째 줄에서 셋째 줄로 넘어갈 때는 Xc1zJ: ;;,:e)lOg IX I

= -J im f 1lxx--xxooll )) ££ U (x) rp' (x) dx (르백 의 적 분정 리 ) =!i1c-+!O'1 (u (xo+ e) rp (x0+ e) —u (x 。― e) rp (Xo-£) +fi|xx--Xx ooll>> ,£ v (x) rp (x) dx) =(u(x o+ 0)-u(x 。 _0))& 。(rp) +v(rp) I 위의 정리 4 는 점에서의 미분 만으로 특이점에서의 중요한 점을 간과 할 수도 있다는 것을 보여준다. 그러나 초함수적인 도함수와 COO 계수를 갖는 많은 상마분 방정식의 경우에 있어서는 고전적인 해와 초함수 해 가 일치한다는 것을 다음 정리에서 보이기로 하자. 정리 5 .0가 R 에서의 열린 구간이고 uE~'(.0 ), u'=0 이면 u 는 상 수이다. 증명 u'=O 이면 다음과 감이 쓸 수 있다. u' ('P) = -u ('P') =0, 'P드@' (Q) X 든@@)라 하면 방정식 'P＇ =X 의 해는 X 의 적분꼴로 나타난다. 독히 X 의 받침 왼쪽에서 0 이 되는 풀이는 'P (x) =J:-0o0o X (t) dt 로 유일하게 존재한다. 또 이러한 'P가 C3(O) 에 속할 필요충분조건은 'P (x) 가 X 의 받침 오른 쪽에서도 0 이 되는 것이다. 다시 말해서 l(X) =J~0-0o0 o0 X (x) dx=O. 그러므로 l(X) =O 이면 u(X)=0 이 된다. 이 제 부터 는 u=C, 죽 모든 cpE C ': (!1) 에 대 하여 u (正) =CI(cp) =J0~-0o0 o0 Ccp (x) dx 가 성립하는 상수 C 가 존재하는 것을 보이기로 하자. 왜냐하면 l(cpo )= 「-o o< po (x)dx=l 이 되는 #후@@)를 고르면 cp- l(cp)< po 의 적분은 0 이

된 다. 다시 말해서 l(cp- l(cp)< po )=0 그러므로 따라서 u=C=u(cupo ()c p- I(cp)

kxk 행렬이라 하면 방정식계 (3) 은 웅 +au=/ 로 나타낼 수 있다. 정리 6 에서와 마찬가지로 E 를 방정식 E'=Ea 를 만족하는 정칙인 kxk 행렬이라 하자. 그러면 상미분 방정식계의 존재정 리 에 의 하여 E 드 C° 이 고 (3) 에 의 하여 EuEC1. 그러 므로 uEC1 (.0.) .1 정 21 8 OcR 일 때 uEC(.Q ), aEC '(.Q), (5) aju + au=/EC (!l) 라 가정하자. 그러면 모든 점 .x드 0 에서 a j u(.x）가 존재하고 연속이다. 또한 방정식 a j u+au= f는 모든 점에서 보통의 의미로 성립하게 된다. 이 경우는 uE~'( !1)이 아니라 uEC( !1)를 가정한다. 증명 위 의 방정 식 (5) 는

분에 서 의 유한부분 (fini t e par t) 과 리 이 스 (M. Rie s z) 의 해 석 연속성 을 이용한 xA 의 확장에 대하여 다루기로 하자. 이 개념들은 초함수론이 나 오기 전에 이미 나온 이론으로써 초함수 의미의 미분법의 중요한 예가 된다. 다음 예 제 9 는 예 제 2. 1. 14 와 거 의 같은 리 이 스의 xi 의 확장에 대 하여 다루는데 두 방법의 다른 점은 식 (2.1.11) 대신에 미분법을 사용 한 것에 지나지 않으니 간략히 설명하기로 하겠다. · 예제 9 x i는 예제 2.1.14 에서 정의된 함수라 하자. 다시 말해서 ReA>_1 인 복소수에 대하여 x i=〔났0,, • xx>:5:O 0 명백히 다음의 두 성질을 만족시킴울 알 수 있다. ((78)) x—xdix = x xii+ + 11 , =(A+1)xi ReA)-1 d 식 (8) 은 정리 4 에 의하여 성립한다. 지금부터 우리는 ReA>-1 인 복 소수에 대하여 정의된 초함수 짜 가 위의 두 가지 성질 (7) 과 (8) 이 될 수 있는 한 유지되면서 모든 복소수에 대하여 확장되기를 바란다. 예제 2.1.14 에서 밝힌 바와 같이 정의된 함수 A 一 L (rp) = (x 도) =「났。

- 1 일 때 A 에 대 하여 해 석 적 이 다. (8) 과 미 분의 정 의 에 의 하여 ReA)-1 이면 < xi+ t, = -( A + 1) , rpE C: (R) 죽, (9) 庫) = - mIA+I (< p') , Reil ) -1, -1 인 경우에 정의되어 있지만 오른쪽은 Re(il+ l))-1, 죽 ReA>-2, A*-1 인 경우에도 해석적임을 주의하

기 바란다. 예제 2. 1. 14 에서와 같이 해석연속에 의하여 우리는 l1( cp)를 ReA)-2, A =t= -1 인 경우에까지 (9) 에 의해 정의할 수 있다. 위의 방 법을 반복하면 ReA>-1 와 자연수 /8 에 대하여 (10) 庫)= 麟?.浮羅 그러므로 위와 같이 해석 연속에 의하여 I.( 'P）를 Re.i i> 一 k-1, .i!= \=-1, …, -k 인 경우에 까지 (10) 에 의하여 정의할 수가 있다. 또 (10) 에 의 하여 우리는 L 가 k 보다 작은 차수의 초함수임을 알 수 있다. 이와 같 이 (10) 에 의하여 Re. i!) -k-1, .i! =\=-1,···,-k 인 경우에까지 확장된 초함수를 짜 로 나타낸 다. .il= -k 에 서 의 함수 A ➔ IA ('P) = 의 유수 (resid u e) 는 (10) 에 서 의 茅납의 계 수, 죽 ((I--lk%) (…¢(( k-1))) =- ¢((kk--1I))( 0! )_-= (-1)k-(1k<-18;)E ! l),'P > 가 된다. 그러므로 xi 의 .il= -k 에서의 유수는 (-1(k) -k1-1)8 ;!E I) 가 된다. 이제부터는 .il =-k 에서의 따, 죽 x;h 를 정의하기로 하자. 이것은 -k 근방에서의 ’I. 1('P)에서 위에 계산한 독이부분을 템으로써 얻어진다. 다시 말해서 .il +k=e ➔ 0 일 때 (10) 에 의하여 짜)_롱 (크) 1rI, (cpC >) cp( Tr-1 ) (0) (e+1-k) ···e (k-1) !e (11) = (크) Trj0 Co) ((xe 드+ 1l-) k

= (k-11) ! 紅설 T +o( 강) ] £ ➔ 0 으로 갈 때 (11) 식의 첫째 항은 르백의 적분정리에 의하여 T: 각汀 f~(log x ) rp< k)(x)dx, 둘째 항은 (k-11)! P(k-1)(O) ／설1 }- 로 수령하게 된 다. 그러므로 x? 는 다음과 같이 정의된다. (12) 따) = (k_1 1 ) ! 다C: 0 (log x) rp'k ' (x) dx 꿉 k-1)(O): 刊 지금부터는 위와 같이 모든 복소수에 대하여 정의된 짜는 식 (7) 과 (8) 을 만족시킴울 보이기로 하자; (7) 과 (8) 의 각각의 항들은 음의 정수를 제의한 전 복소수 평면에서 확장이 가능하고 해석적이며, 또 (7) 과 (8) 의 왼쪽과 오른쪽은 Re il >-1 인 복소수에 대해서는 같으므로 해석연속 에 의하여 음정수를 제의한 전복소수 평면에서 같게 되어 (7) 과 (8) 을 만족한다. A 가 음정수일 경우의 식 (7)' 다시 말해서 (13) = 가 위성에립서함 을갑 를보이 끌자.어 내기 위한 계산과비슷하게 양변에서 a?;Irk::i° :2)! 를 빼고 A ➔ _k 로 극한울 취해 얻을 수도 있으나 여기서는 (12) 의 정 의로부터 칙접 계산을 통해 증명하기로 한다. (13) 의 오른쪽 (14) 댜) ! J~(l o g x) cp CH)(x)dx+1 二2 )2 챕 섭十 을 염두에 두고 계산하면 왼쪽 = =字-雷1J 。° ° (log x) [x< p c k)( z) +k

+ 냐) ! 합 -2) (0) (對 I1+) (15) = (k 二 }) ! J~ (log x) (xcp < H >( x) ) 'dx + T2-15 T (Iog x) cp( k-1)(x)dx+ cp(( k\2)2챕 (십f) (14) 와 (15) 를 비 교하면 (k 毒 Jo00(lo g x ) (x cp (k-1)(x))'dx+ 합통 =O 울 보이면 충분하다. 이것은 위의 적분에 부분적분법을 함으로써 쉽개 나오므로 증명 이 끝났다. 마지막으로 A 가 음정수일 때 (8) 을 증명하기로 하자. 단, A=-1 인 경우에서는 (8) 의 왼쪽은 oo, 오른쪽은 0 이 되어 (8) 자체는 성립되지 않는다. 그러므로 약간의 변형을 받아들여야 한다. (16) £맛k (玉 따 +kxi- 1) =]~떤p +k) 걸 =A ➔l -imk - 1 (-1+ k+l)xi= (~-kl!) ko . f' 마지막 식은 쇼 의 il= -k-1 에서의 유수가 ―(下-1「)~― 8{ 坪)인 것으로부터 나 왔다. 그러므로 (16) 의 첫째식의 두 항에서 상쇄가 되는 것운k -8;h) 를 빼중으로써 (17) 훑죠=＿藍+틀 8;h) 가 얻어졌다. (17) 은 식 (12) 를 이용하여 직접계산으로서도 쉽게 얻어 진다 . I 다음은 예제 9 를 다른 방식으로 해석하고 있는 아다마르의 발산적분 의 유한부분에 대해서 설명하겠다.

예재 10 예제 9 에서 보인 바와 같이 ReA>0 이먼 (8) ' (xi) 1=il xi - 1 우리는 지금 ReA>-1 인 경우에도 (8)’ 의 꼴로 된 식을 원하나 이 경 우는 불가능하다. 왜 냐하면 짜 는 Lfo c 예 속하여 (xi) ’ 는 초함수 를 정 의 하지 만, 오른쪽 Ax{-1 은 Lto c 에 속하지 않으므로 초함수물 정 의 하지 못 하기 메문이다. 그러나 Re ;i.>― 1 일 때 x i의 초함수 의미의 미분을 칭 의에 의하여 구하도록 하자. (18) （짜) ’( rp) ==l -j뿡x i-(J rp: ')꿉 = - (x)「。 dx꿉 (x) dx °’ 군 댜 (e) + 11J ~xH r p (x) dx) =！뽀 댜 (0) + i!fo~o x Hc p (x) dx) (예제 1.1. 5 에 의하여) (18) 의 마지막 표현을 발산적분 AJ OO 다 -1 cp (x) dx 。 의 유한부분이라 한다. 위의 발산적분을 예제 1. 1.7 과 르백의 적분정리 , 를 사용하여 간략히 하면 (xi) ' (cp) ==~l~im떤 (AJ강c Op O(OxA) -+Tc pii ( Jx)~ -xcHp (c pO ()x])d dxx ) £➔ 0 J • =i!f~。 x1 -1 [cp (x) -cp (O) Jd x 더 일반적으로 임의의 복소수 A 에 대하여 초함수 따를 다루기 위해서 는 (18) 의 마지막 줄을 적분의 꼴로 나타낸 I, (cp) =J~x 1cp (x) dx, cpE C ';' 올 다루는 것이 자연스럽다. 여기서 x i의 유일한 목이점인 x=O 의 근 방은 제거되어 위의 적분은 찰 정의되어 있다.

만일 A 가 음정수가 아니라면 (18) 에서와 같은 부 분적분 의 반복과, 'P(j)(E.)을 cp의 도함수들이 원점에서 갖는 값으로 표현하기 위한 테일러 공식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. (19) It ( cp) = (-1) •J~~cp (x) dx + i2- 1 Aj cp(j) (O) ei+ 1 +j + 0 (1) , e ➔ o J= O 여기서 k 는 Re( .il +k))-1 을 만족하는 가장 작은 정수이고 A i는 위의 계산에서 쉽게 얻을 수 있다 . 다음은 I,( cp)는 e ➔ 0 일 때 I. (cp) =B 吐 I;BJ c AJ + o (1) 의 꼴의 다론 표현은 가능하지 않다는 것을 보이겠다. 도움정리 11 Ai, ... , .il1 ; 가 복소수이 고 Re &>O, Ai* O 이 라 하자. 상수 Co, … ,c. 에 대해 (20) Co+~/1r C;e-A; ➔ 0, e ➔ O 이 성립하면 Co= … =C1r=O 이다. 증명 우선 모든 A i가 순허수일 경우를 생각하자. 임의의 실수 t에 대 해 [e ➔ O] 과 [ee_ ， ➔ 이은 동치 이 므로, Co + L! C; (ee-1) 一 A J ➔ O (e ➔ 0) 에 대 해 증명하면 된다. 로 주어지는 수열을 생각하자. en ➔ 0 이고 <( e;;2I, …,e ;;2*) > 는 r*rs 1 안의 수열이다. 그런데 rkr s1 은 긴밀집 합이 므로 < (e 근, …, e;;1 을) >는 수령 하는 부분수열 < (e;;4A 도 .. , e 굽2 *) > 를 갖는다. 그러면 각 e 건는 어떤 값 r i로 수령하고 en, ➔ O 이다. 또 가 le;;..tJ I =1 이므로 lr11=1 이다. 그리고 en, ➔ O 이므로 Co + L! C; e.;;..tJ eA Jt ➔ 0 ➔ Co + I&: C;r ;eAJ1 =0 1

員 이것은 모든 실수 t 에 대해 성 립하고 Co+~C j r j e -l 1Z 는 복소평 면 전체 에서 해석인 함수이므로 해석연속에 의해 모든 복소수 z 에 대해서도 Co+ ~k Cjr je A J Z =O I 이 성립한다. 0 이 아닌 Q들이 존재한다고 가정하면 그러한j들 중에 서 凶|가 가장 큰 j가 존재할 것이다. 그렇게 되면 z 를 허수축을 따라 OO 로 보냈을 때 위의 식이 성립할 수 없게 된다. 따라서 모든 Cj =O이 어야 한다. 일 반적 인 경 우에 는 (J1 =Max Re Ai 라 놓고 £ ➔ 0 이 면 e(11 (Co + Ik; C i e 카) _ 。 1 임을 생각하자. £q, (C 。 + Ik; C j e 카) = 2 C j£이 -A j + 2 C jg러J l - ReA J=이 . ReAJ <어 와 같 이 되 는데 e ➔ O 일 때 2 C j e이 -A J ➔ O 이 고 eu1 (C 。 + Ik; Cie -AJ ) 一 ➔ O 이 R 야

(xi) '=Axi- 1 임을 쉽게 끌어낼 수 있다. A 가 음정수일 때의 -1 일 때 다음과 길 이 정의된다. x2=[ l°xli x쇼 = 가 됨을 쉽게 알 수 있다. x2 의 모든 복소수에 대한 확장은 쇼의 확칭 올 그대로 따르면 쉽게 끌어낼 수 있으므로 독자에게 맡간다. I 예제 12 hl u 를 Rn_{0} 에서 정의된 연속함수로써 u(tx ) =t-u (x), t> 0, x=\=O 이 라 하면 다음 적 분의 주치 (pr in c ip a l value) (21) 曲) =l~im+O JJ lz l)eu (x) 'P (x) dx 가 모든

=J .M 十 깁 wl =I u (w) cp (rw) dw) dr. (u (rw) =r-•u (w) 이 므로) 테일러 공식에 의하여 rp (rw) =cp (O) + t1=J1 :° ( 1-t) 타, (trw ) dt, ¢‘=릎 그러므로 (22) L,:,:| 싶 u (x)

정의 13 P= la2lS:: m a0 합 물 상수 계수를 갖는 편미분 작용소라 하자. PE=o 를 만족하는 초함수 E 든@’ (Rn) 을 P 의 기 본해 (Fundamenta soluti on ) 라 한다. 먼저 코시-리이만 (Cauch y -R i emann) 작용소의 기본해를 구하겠다. 일 반화된 코시 적분정리로부터 얻을 수도 있으나 여기서는 극좌표로의 죄 표변환을 통한 초보적인 방법을 사용하도록 하겠다. 예제 14 코시-리이만 작용소 휴=갑(¾+i~訂의 기본해는 E(x, y )=17 言=1 言이1다 . 풀이 |E(x,y) I=: ✓ 군들 - 은 0 근방에서 적분가능하므로 L 뇨 (R2) 에 속하여 초함수물 정의한다.

82

의 기 본 해 를 11 츠 3 의 경우에 풀기로 하자 . n =2 의 경우 도 이와 같 으니 연습문제에서 풀 어보기 바란다. 예재 15 라플라스 작용소의 기본해 (24) E, (x) = 〔志 lo g | x |; n=2 _ (n-2)n|x1n-2 , n 느 3 는 라플라스 작용소 a2 a2 4= 瑟+· · ·+言 의 기본해임을 보여라. 여기서 ”n 은 R n 상의 단위구의 표면적이고 lxl2 =x~+ …+자, n~3 인 경우만 다루기로 한다. 풀이 (24) 에 정의된 En(X) 는 모든 Rn 위에서 국소적분가능하여 초함 수를 정의한다. x*O 에 대하여는 oEn _ Xj o2En _ lxl2-n 떠 瑟= UnIxP ' 言= Un|x|n+2 울 얻어 L1 , ,E n=O 은 쉽게 계산이 된다. 이제 En 에 의하여 정의된 초함 수에 대하여 작용소 4 을 작용시키면 다음을 얻는다. 'P드 @TRn) 이면 (LfnE n) (C 麟) L1nr p (x) dx =limJ ( 르백(E의n (적분판정리 (x)) 국) L1nEn (x) ) dx £➔ O J l:rl ~ £ (적 분영 역 에 서 L1nEn=O 이 므로) =!뿡J, zl=£ (-En 롭+ 뚱키 dS (그린의 정리)

제 2 장 초함수 83

여기서 걸 =2 옵경는 1 고 dS 는 구면상의 적분소를 나타낸다.

0 이고[우운 -dS=l 이므로 그러므로 AEn=o 。 Jl zl= t뿔~cp dS= cp (O) +O(c) ’ 다음은 n=2 일 때 의 파동 작용소 (wave ope rato r ) 口=a言2 -4 의 기본해를 구하도록 하자. 예제 16 표悟 작옹소E의(z ,기 t)본 =해 [+, t_ |x1 >O 0, t- lxl

a= 타일 경우의 뭉 (ay, y) =a 흥 (ay, y) + 릅 (ay, y) 에 의하여 □ E( cp） = 占같-(y, y) dy -+J:한-y, y) dy =cp (O, 0) =8 。 (cp) , cpE C : (R2) 그러므로 口 E=oo ’ 예제 17 열 작용소의 기본해 (x, t) ER x R 를 Rn 위 의 변 수라 하면 E(x, t)=[~'-뿐, t>O 0 , t< O 열 작용소 01-L1n 의 기본해인 것을 보여라. 쿨이 먼저 t >0E 일( f,때 t) =x 에Ig -,관t .z한 (E4( 」x), nt/2) 의e 뿐후리 d에x 변환을 구하면 =e 나|f 1’ E 는 국소적분가능이므로 초함수를 정의한다. 그러므로

0 (x 에 관한 파쎄발의 공식 정리 1.5 .8)

제 2 장 초함수 85

=굴JJ― 훑 (c_ iI f1 ’ 醫 , t) ) df dt =ffji (f, 0)' >dof = cp (0) , (후리 에 반전 공식 ) I 3 장에서는 모든 상수 계수 를 갖는 편미분 작용소는 초함수 풀이를 항 상 갖는다는 말그랑즈-에렌프라이스 (Mal g ran g e-Ehren p re i s) 정리의 회르 만더에 의한 기묘한 증명을 보이고자 한다. 이제 마지막으로 초함수 사 이에는 일반적으로 곱을 정의할 수 없음을 보이겠다. 예제 18 로랑 슈와르츠 초함수 공간 @1(R) 에서는 결합법칙과 교환법칙을 만족하는 어떠한 종류의 곱도 존재 하지 않는다. 풀이 먼저 a (x) o (x) =a (0) o (x) , (25) x(p. v . +)=l 임을 쉽게 알 수 있다. (25) 는 정의로부터 rp E G;' (R) 이면 x(p. v . +) (rp) =p.v .+ (xrp ) =p .v .j프쁜 dx =Jrp (x) dx=l (rp) 위의 두 식에 의하여 O=Ox (p.v . +)= (xo(x))p .v .+ =o(x)x(p. v . +) =8( 파(p .v. +))=o(x) 그러나 이것은 명백한 모순이다. •••

2.3 긴밀한 받침을 가진 초탑수 0 위에 정의된 초함수는 모든 연속함수 uEC( .Q)가 초함수 cp 一fu ?d x , cp全 (.Q) c;,(.Q)＿ ➔ C 룹 정의할 수 있도록 @’(.Q)상의 선 형형 식으로 정의되었다. 그러나 위 의 적분은 su pp u 가 긴밀한 집합일 때는 모든 硏드 C°( Q)에 대하여 정 의된다. 또한 임의의 초함수에 대해서도 다음과 같은 유사한 정리를 갖 는다. 정리 1 u 든fJ '(O) 이고 su pp u 가 긴밀집합이라 할 때, 짱드 @3(O) 이면 u( cp) =u (cp) 이 고, sup p u n sup p cp=

ii, (jl a2l~ Js uKp |a a'P j1.

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상수를 곱해 도 이 부등식 은 성 립 하므로, u ( =- = 왜냐하면 =<'P U, ¢>, ¢EC(O) 이므로 # 의 함수로 보았을 때 위의 양변은 모든 #E C'°(,0,)에 대하여 같게 되는 간밀한 받침을 갖는 초함수이기 때문이다. 특히 ¢=1 을택함 으로써 (3) 을 얻게 된다. 따라서 =[O, su pp unsu pp'P국 u (cp) , uE@' (,0,) , cpE C : (,0,) 또한 (4) 를 만족하는 모든 uE@' (,0,) , cpE C '° (,0,) 에 대 하여 (2) 는 성 립 한다.

예제 4 u 든&' (R ) , vE ! 1,!J' (R) 이 고 sin g sup p u n sin g sup p v=rp 이라 가정하자. 그러면 sup p unsup p v=rp 이 면 가 유일하게 정의된다. 쿨이 UJ , u2 를 sin g sup p ucD.c U2, U2 n sin g sup p 펴 =0 을 만족하는 유계인 열린집합이라 하자. 정리 1. 3.1 에 의하여 U1 위에서는 a=l 인 aE C:, (U2) 를 잡을 수 있다. 그러면 avEG :', (1-a) uEG :'. VE@’, UE8' 이 므로 의 정의는 함수 a 를 잡는 것과는,무관함을 역시 철단함수를 찰 잡음으 로써 보일 수 있으니 독자에게 맡긴다. 만약 sup p V n sup p v= 이 면 u(av)=v((1-a)u)=0 이므로

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(6) (uv) (¢) =u (v¢) , ¢EC ;' (Y) 로 정의된다. 또한 uE C'° (Y) 이고 vE C'° (Y) 라 하면 정의 (5) 와 정의 (6) 은 U 와 v 의 곱과 같게 되므로 (uv) y e@1(Y) 로 유일하게 정의된다. 따라서 정리 2.1.8 에 의하여 유일한 초함수 uv 드 @1( Q)가 존재한다 .1 이제부터는 한 점에 받침을 가진 초함수를 구하기로 한다. 정 리 6 uE~'• (.O) ,

을 증명하면 된다• K, 의 정의에 의해 y EKc 에 대하여 Ix_y I<£ 을 만족하는적당한 xE K 를 잡을 수 있다. 따라서 |al=k 인 경우 가정에 의해 앙cp는 K 위에 서 0 이 되고 군일연속이므로 (7) 이 성립한다. 또한 |al

= laI1;9 u (X (x) (x -x o) /a ! ) oc p (Xo) a.=u(X(x) (x-xo)/a! ）u이 (라rp) =하.l면 a ~l 9 a .or p (xo) ’ 2.4 공간 @’의 약 위상 이제까지 우리는 위상 벡터 공간의 개념을 의식적으로 피해 왔는데 그 이유는 초함수론을 다루는 데 위상 벡터 공간의 개념 없이도 가능하 다는 것을 강조하기 위해서였다. 그러나 이 절에서는 쌍대 공간에서의 약 위 상 (weak top ol og y) 을 다루기 로 한다. 정의 1 (Uj ) 를 초함수열 (seq ue nce) 이 라 할 메 uE~' (O) 가 존재 하여 모든

정의 2 (U;) 는 초함수열이다. 이 메 임의의 cp E C: (O) 에 대하여 (tt; (cp) ) 가 코시 수열 이 면 {u;} 를 @’ (.0.) 의 코시 열 이 라 한다. 다음 정리는 위상 벡터 공간에 관한지식을 요구하는 것이다. 이 책에 서는 이 정리를 사용하지 않을 것이나 독자의 이해를 돕기 위해 증명해 보기로 한다. 정리 3 @'(.0.)에서의 코시열은 수령한다. 증명 (u j)를 코시열이라 하자 . 정의에 의하여 임의의 cp E C:칸 0) 에 대 해 (u; (cp) ) 는 복소수 상의 코시 수열 이 므로 다음의 함수 tt : C:' (O) 一 C 를 U(

예제 4 £>0 에 대하여 Tc= 멍 -lxl'-1 이라 할 메 ~'(R) 에서의 T= l£➔ im 0 T, 을 구하라. 풀이 먼저 e>0 에 대하여 함수 |xl'-1 은 국소적분가능이므로 R 위에서 초 함수를 정의한다. cp E~(R) 이고 sup p =꿍J:났% (x) dx+ 꿉J °-M (-x) C% (x) dx 그러므로 < T., rp)=fJ:갔따 (x) +rp( -x)]dx 예 제 1. 1. 5 에 의 하여 rp (x) =rp (O) +파 (x) 麟庫) 1죠 댐십인 rp' (x) I 을 만족하는 cpE C(R) 이 존재 하므로 cp( x) +cp( -x) =2cp ( O) +x(cp( x) 국 (-x)) 그러므로

예제 5 h) e>O 일 때 f, (x) =Log (x + ie) =Log lx + ie l + iA rg (x + ie) , xER 이 라 하자. 그러 면 £ ➔ o+ 일 때 f, 은 !0'( R) 에서 초함수 fQ= {Log x , x>O Log lx l +ix, x0 일 때 f,는 국소적분가능하므로 /,E~'(R). lx+ie l)l 이면 (1) ILog l x+ie :I I=Lo g lx+ ie:|거랑 Lo g (x2+1), E.< l lx+ie :I <1 이면 (2) ILog lx +ie l l=Lo g ~~l Lo g詞1 회 Lo g lxll cpE C ':' (R) 이 면 ffc (x) 'P (x) dx=J Log l x + ic.l c p (x) dx + ifArg (x + iE.) cp (x) dx =l1+il 2 그런 데 (1), (2) 와 르백 의 적 분정 리 에 의 하여 e ➔ o+ 일 때 I. ➔J L og l x l'P( x)d 또한 x>0 이면 l£i ➔ m o •A r g (x+ ie: )=0 이고 x

그러므로 l£➔i m ~ J/,,==J/o o==l ~LLoo;gl xx l +i元, xx>O 이면 Z 의 한 점 Zo 를 잡아 다음 적분을 생각한다. • F(z) =『t n f(~) d,, zEZ f는 Z 에서 해석적이므로 위의 적분은 찰 정의된다. 또한 F 도 Z 에서 해석적이고 F'(z)=f ( z). 이때 위의 적분을 먼처 수평방향을 따라서, 다 음에는 수칙방향을 따라서 하면 O 는 유계라 가정할 수 있으므로 {|F(z) 1죠 (Im z)-(N-I), N>1 IF(z) ls-Clog Imz+C N=l 그런데 N=l 이면 Io gt는 0 근방에서 적분가능하므로 F(z) 의 적분은 Z

에서 연속임을 알 수 있다. N 이 음이 아닌 정수일 때는 N+l 번 적분을 하여 Z 에서 연속이고 Z 에서 해석적이며 GCN+ I) (z)= f (z) 을 만족하는 해석함수 G 를 얻을 수 있 다. 그러면 터f (x + iy) if> (x) dx=\떤 fc cN+n (x + iy) 'P (x) dx = (-1) N+1,l,.i..m.o · IG (x+ iy) 玉~ef> (x) dx 죽