키口 사0口T
키口 사0口T
저자는 경북대학교 사범대학 및 同대학원을 졸업하고, 미국 뉴욕주립대학교에서 이학박사학위를 취득했으며, 현재 서울대학교 자연대학 수학과교수로재직중이다.
복소다양체론
복소다양체론
머리말 일차원 복소다양체의 분류 및 변형에 관한 연구는 거의 만족스러운 결과에까지 도달하였다고 생각된다 . 그러나 다차원 복소다양체의 분 류나 변형에 대한 연구는 아직 초보단계에 머물러 있다고 생각된다. 이 책에서는 다차원 복소다양체의 분류와 변형을 연구하는 데 기본 적인 도구가 되는 수학의 및 개 분야에 대한 기초적인 사항을 기술하 고, 이를 이용하여 복소다양체의 변형 및 분류에 관한 초보적인 것을 기술하였다. 이 책에 기술된 내용은 복소다양체의 연구에 필요한 정도의 다변수 복소수함수론, 쉬프를 이용한 호모로지, 벡터 속의 접속, 켈러다양체 의 곡률, 복소다양체 상의 조화형식, 벡터속 값을 가지는 조화형식, 불변 거리 (벨그만 계량, 카라데오도리 계량, 코바야시 계량) 등을 포 함하고 있다. 위의 사항들을 바탕으로, 복소다양체의 변형에 관한 것을 기술하고 켈러다양체의 특수 경우인 하지다양체가 대수적 다양체임을 증명하였 다. 또한 유계영역을 단순피복공간으로 갖는 복소다양체가 대수적 다 양체임울 증명하였다.
복소다양체론 • 차례
머리말 -- 7 제 1 장 다변수 해석함수의 기본 성질 1 다변수 해석함 -- 11 2 해석사상과 음함수 -- 17 3 와이에스트러스 정리 -- 29 4 복소다양체의 구성 및 예 -- 37 5 복소다양체의 변형 -- 53 제 2 장 쉬프 코호모로지 1 벡터속 -- 63 2 미분형식 -- 72 3 쉬프 -- 85 1 쉬프와 프리쉬프 85 2 쉬프의 예 90 3 쉬프의 완전열 93 4 쉬프 코호모로지 97 5 패러컵팩트공간의 쉬프 코호모로지 104 4 복소다양체의 무한소변형 -- 119 제 3 장 조화형식 1 켈러다양체 -- 149 2 집속 -- 1593 미분형식과 접속 -- 166
4 레비시비타 집속 및 곡률 -- 173 5 에르미트 집속 및 곡률 188 6 조화형식 -- 209 7 에르미트 속 상의 조화형식 -- 223 8 하지정리 및 세레쌍대정리 -- 228 제 4 장 코호모로지의 소멸 및 매장정리 1 특수좌표 -- 237 2 접속과 조화형식 -- 246 3 1차원 속의 코호모로지 소멸정리 -- 267 4 코다이라 매장정리 -- 286 제 5 장 불변 거리 1 벨그만 계량 뽀앙까레 계량 -- 311 2 카라데오도리 거리, 코바야시 거리 -- 328 참고문헌 -- 342 색인 -- 343제 1 장 다변수 해석함수의 기본 성질 이 장에서 우리는 다변수 해석함수의 기본적인 성질을 기술하고, 이 를 이용하여 앞으로 우리가 연구하고자하는 복소다양체 및 해석적 복 소다양체족을 정의하고, 이들의 보기들을 구성하고자 한다. 제 1 절 다변수 해석함수 n (~1) 개 의 복소변수 Z1, …, % 의 함수 f( z1, …, 다 울 고찰하고자 한 다. 실수체를 R, 그리고 복소수체를 ¢로 표시하자• 함수 f의 정의 구역은 복소평면 ¢ 의 n 개의 직적 (dir e ct pro duct) ¢n 에 속하는 개 집 합으로 잡고, ¢ n 내 의 1 점 z 를 n 개 의 복소수 (z1, …, Zn) 으로 표시 한다. 이때, Z J는 다시 두 개의 실수 X J ,Y J를 사용하여 ZJ =XJ +iJJ로 표시할 수 있다. 따라서 ¢’’은 XI, … ,Xn,YI, …,y n 을 변수로 갖는 2n 차의 유클리드 공간 (Eucl i d s p ace) 으로 볼 수 있다. 복소수 Z J의 절대 값은 |Z J I 로 표시하고, ¢n 의 1 점 z 에 대하여 |lzll 와 |zl 을 다음과 같 이 정의한다. lzl = max{lzJI : l~j~ n}, llzll = CI :1=1 lzJl 2 )2 .
¢n 에 속하는 다중원판 (p ol y d i sc) 을 다음과 같 이 정 의 한 다; (1. 1) P(w;r) == P{(zwe,¢, n… ,: W|Znj; r- 1W, … j1 , <1%r)j , 1 < J 도 n}. 이때, W 를 다중원판의 중심, 그리고 l'= (r1, …, rn) eRn, rj > O 를 다중원판의 다중반경이라 한다. P(w;r) 의 폐포 (closure) 를 폐다중 원판이라 하고, P(w;r) 으로 표시한다. n 개의 연결개집 합 DJ C ¢ 의 적 집합 D = D1XD2X ••• XDnc ¢n 를 다중영 역 (op e n po lyd omain ) 이 라 한다. 정의 1.I f (zI, …,%）를 개집합 Dc¢n 위에 주어진 복소함수라 하 자. D 에 속하는 입의의 한 점 w 에 대하여 멱급수 전개 (1.2 ) /(z) = “1, …I, : v. ~o a., ..... ( 21-w1)1 ··· (Zn_W n) • 이 수령하는 개근방 wEU 가 존재할 때, f를 해석함수 (holomor ph i c or analyt ic fun cti on ) 이 라 한다. 식 (1.2) 로 표시되는 멱급수가 W 를 포함하는 하나의 개집합 U 위에 서 수령할 때, P(w;r)C U 인 P(w;r) 를 택하면, 이 다중원판 위에서 멱급수는 절대 평등수령한 다 (absolute l y and unif or mly converge s ) . 따 라서 D 위 에 서 의 해 석 함 수는 D 위에서 연속인 함수임을 알 수 있다. P(w;r) 위에서 전대 평등수렴하는 멱급수 (1.2) 가 주어져 있다고 하자. 이때 이 멱급수의 합의 순서를 바꾸어서 f(z ) = 표00 g n· (z;-w;) 으로 표시하자. 여기서 g n 는 ZJ 이의의 다른 (n-1) 개만의 함수이다.
(z1, …, Zj -h ZJ+ 1 , ••• % ） 을 고정하면, f는 z j에 관한 해석함수이다. 그 리고 이 려급수는 lz1-w 기 < r J인 범위에서는 수렴한다. 죽 f가 z= (Zi, ···,Zn) 의 해 석 함수이면, ZJ 이외의 변수를 고정할 때 일변수 z J의 해 석 함수이다 . 이 사실의 역도 또한 성립한다. 우리는 여기서 1 가 연 속이라는 가정하에서 위의 사실을 증명하자. 이것의 일반적인 증명은 약간 번거로운 점이 있으므로 피하기로 한다• 정리 1.2 오스구드 (Os g ood) 개집합 Dc ¢n 위에 연속함수 f가 주 어졌다 하자. 이때, 모든 j= l,2, … ,n 에 관하여 Zj 이외의 변수를 고 정할때 f가 Z j의 해석함수이면, f는 z=(z1, ••• '%)의 해석함수이다 . 증명 C 를 D 에 속하는 일점이라 하고, P(c;r) 를 D 에 속하는 폐다 중원판이라 하자 . F(c;r) 를 포함하는 적당한 개집합 위에서 f는 각 변수 zi, j =l , 2, ···, n 에 관한 해석 함수이 다. 이 때, 한 변수에 관한 코시 적 분정 리 (Cauchy int e g r a l fo rmula) 를 반복하여 사용하면, zEP(c;r) 에 대하여 (1. 3) J(z) = ~J~J~ .. J~J(w) |0I- 이 = r, l w, - 이 = r t I 마 -c.l = r. 이다. 여기서 z 몰 고정하면, 피적분함수는적분영역인 간밀집합 (com pac t set) 위에서 연속함수이다. 따라서 반복적분 (1.3) 은 적분 순서 에 관계없이 아래와 같은 다중적분으로 표시된다• (1. 4) f(z ) = （吉 )nIT (w〈 오 1 f ? . I:; 〈 W:%) ’ 단, T = s1 X • • • X Sn, s, = {w. ; l w. _ 이 = r,} . 이제 zEP(w,r) 를 고정하면, 1 ;：一_C C: | < 1. 따라서 급수전개 (1. 5) (wl-zl) …1 ( Wn-Zn) =- u1 「 .흥. ,~ .~ o (w1(z-1C 국1))1+ u11 ·•·• · • ((Wznn --Cc nn)) u•.• + l 은 적분 (1.4) 의 적분 영역에서 w 에 관하여 절대 평동수렴한다. 위
의 (1.5) 식을 (1.4) 식에 대입하고, 각 항별 적분을 행한 후에, 급수 에 관한 합을 구하면, f (z) 는 다음과 같은 멱급수로 표시된다. f(z ) = Ut , ··~·u. , ~O au,•••u . (21 一 C1) 1· • • (Zn -Cn) •, (1. 6) a., •• . = （습 )n j ,I Jr (w1 一 {\? 1판 ?. • (:nw노 ) u.+ I 위의 멱급수 전개에서 z 는 P(c,r) 에 속하는 임의의 점이다. 바꾸어 말하면, 멱급수가 P(c,r) 위에서 수렴한다• 따라서 f는 D 위에서 해 석 함수이 다. （증명 끝) (1.4) 식을 미분하여 다음 식을 얻는다. aziI3kk L1+ •·•·· a+z kn. k. =_ (k 나()2 亢…i)( k 김) g~ f( (wl 玉f )(kw1 +) dLw··1(··w·dnw_n g )k.+1 Iwr-cj| =rj 위의 식과 (1.6) 식을 비교하여, f (z) 의 멱급수 전개 (1.2) 의 각 항의 계수가 (1. 7) a 마 ·• u• = (v 나) …1 ( vn !) OZa1 비 1+ ··- ·-·0+Zu n (c) 로 주어짐을 알 수 있다. 코시-리만방정식 (Cauchy -R i em ann e q ua ti on) 은 일변수 함수의 해석 성을 판정하는 데 유용한 식이다. 오스구드 정리의 응용으로 다변수 함수의 해석성을 판정하는, 확장된 코시-리만방정식을 도입하자. 복 소수값을 취하는 n 복소변수 함수 1(zI, …,%)를 f( x1+i y1, … ,Xn+ 功) 로 표시하면, f를 2n 개의 실변수를 갖는 함수로 볼 수 있음을 알고 있다. f가 2n 개의 실변수 함수로서 미분가능일 때, f (z) 를 미분가능 이라 한다. 코시-리만방정식을 표현하는 데 사용할 1 계 편미분 연산자 (firs t order lin e ar dif fer enti al op er ati on ) 들을 다음과 같이 정 의 한다. (1. 8) 훑=방(훑--갑), 훑 = 宁(국 -+1끓 ), 단, Zj = Xj + 1.Y j
일변수 복소함수 f의 실수부와 허수부를 분리하여 f(z ) = ~(x,y ) +iv(x ,y) 으로 표시하자. 그러면, 훑=虹(군룹)+t(릅틀)〕 = +鬪-틀)+t.（틀+룹)〕· 죽, 롭 ~=0 일 필요 충분조건이 aOUx = aayv ' OayU =-aavx 으로서, 코시_리만방정식을 만족시킨다• 어 정있리고 ,1. 3 j =코l,사2,리 …만 , n판 에정 대복한소 함편수도 함f수가가 영:역[- ,Dc：¢ 姜n가 위 에D 위정에의되서 연속이라 하자. 이때 f가 D 위에서 해석함수일 필요 충분조건은 함 수 f가 n 개의 편미분 방정식 (l. 9) 풀 =0, j= 1,2,… , n 를 만족시키는 것이다. 증명 편도함수들이 모두 연속이니, f는 D 위에서 연속인 함수이 다. D 위의 각 점에서 Zj 이의의 모든 변수를 고정하고, f를 Zj 만의 함수라고 생각하자. 이때 f를 실수부와 허수부로 나누어서 f(z ) = tt (z) + £v (z) 로 표시하면, 2 훑f (z) = （틀-룹)+i(릅+룹) 라는 식을 얻는다. 따라서 (1. 9) 식은 f (z) 가 Z j의 함수로서 코시-리 만방정식을 만족시키는 것을 뜻한다. 그리고 주어진 조건에서 U 와 v
의 1 계 편도함수는 연속이다. 따라서 f는 변수 Zj ,j=l ,2, … ,n 의 해 석 함수이 다. 여 기 서 정 리 1. 2 에 의 하여 f 가 z= (zI, …, zn) 의 해 석 함 수임을 알 수 있다. （증명끝) 일변수 해석함수들의 합성함수는 해석함수임을 알고 있다. 같은 사 실이 다변수 함수에서도 성립한다. D 를 ¢”에 속하는 영역, 그리고 D’ 를 ¢”에 속하는 영역이라하자. D 에 속하는점을 2=(21,… ,%), 그리고 D 저 속하는 점을 w=(w1, … ,Wn) 로 표시하자. 임의의 사상 G:D~D 은 (l. l0) 『 0l = gl .(?' …, zn) ,' 1V .. = gm (zI, …, %) 라는 m 개의 함수에 의하여 표시된다. 이때, m 개의 함수 gi, ··· , g. . 이 D 위의 해석함수이면, 사상 G 를 해석적 사상이라 부른다. 정리 1.4 G : D-D' 이 해석적 사상이고, f가 D' 위에 정의된 해 석함수라면, 합성함수 J oG 는 D 위에 정의된 해석함수이다. 증명 (1.9) 식에 의하여 주어지는 함수들을 실수부와 허수부로 분리 하여 gj(z) = u(z) +iv(z ) 라 쓰자. 주어진 함수들은 모두 편도함수들이 연속인 함수이다. 합성 함수의 미분법을 적용하여 다음과 갇은 식을 얻는다. 하(：回 걸(姜릎률奇) =홉방(읊-률)룬 +효+（姜 +1 푹)운 =효(姜登+읊곱~) 위에서 f와 g,,는 모두 해석함수이니, 모든 첨자 j와 k 에 대하여
후 =0, a 따 證 =O 이다. 따라서 n 개의 변수 Z j에 대해 o f (G(z))/oz j =o 이라는 식을 얻는다. 코시-리만 판정법에 의해 f (G(z) ）는 해석함수이다. (증명끝) 일변수 복소함수 t와 g가 영역 De¢ 상에 정의되어 있고, 만일 f 와 g가 D 내의 공집합이 아닌 개집합에서 일치하면, f와 g가 D 상 에서 일치함을 알고 있다. 다변수 해석함수의 경우도 같은 사실이 성 립한다. 증명방법도 일변수의 경우와 다른 점이 없으므로 증명은 생 략한다. 정리 1.5 f와 g를 영역 Dc¢n 위에 정의된 해석함수라 하자. 만 일 D 에 속하는 공집합이 아닌 개집합 U 위에서 f와 g가 일치하면, f와 g는 D 위의 모든 점에서 일치한다. 제 2 절 해석사상과 음함수 복소다양체를 연구하는 데 필요한 해석사상에 대한 몇 가지 중요한 사실들을 기술하고자 한다. U 를 ¢n 에 속하는 영역, 그리고 f :U 一¢', (2. 1) f(z i, •• :, z.) = [/1 (z) , !2 (z) , …, f. (z) ] 를 해석사상이라 하자. 이때 행렬 (2. 2) 단Al '_크ZIO'훑a 2I’·· · · · . 述ZnOa:姜 ·.l\rl ' l1j (= OafA· —’z ) 'nr 8
을 야코비 안 행 렬 (Ja cobia n mat ri x ) 이 라 부른다. 점 zED 에 서 야코 비안 행렬의 계수 (rank) 가 국대일 때, 족 계수가 m 혹은 n 과 일치할 경우에, 해석사상 I 를 z 에서 정규 (nons i n g ular) 라 하고, D 의 모든 점에서 정규일 경우에 f를 D 상에서 정규라 부른다. 함수 IA 와 변수 Zr 를 각각 실수부와 허수부를 분리하여 [A = uA+i vA = l(/A, Zr = Xr+i y, 라 쓰면, 2n 개의 실변수 .x , . ,Yr 에 대한 2m 개의 실함수 14A,vA 를 얻는 다. 이때 만일 m=n 이면, 두 개의 함수 행렬식 de t(姜), det[ a顔 (x JI ， , yvJJ,, ……,, xunn,, yv nn) ) ]= aa((ux,, yv )) 를 얻는다. 정리 2.1 /가 Dc¢n 에서 ¢n 에로의 해석사상이면 麟? = |de t(姜 )12L0. 증명 f는 Dc ¢n 에서 ¢n 에로의 사상이므로, 다음과 같은 2nx2n 함수 행렬식을 얻는다. (2. 3) det (J,) = det (濁（)姜);;다다:: : ::.:: 틀邊 ));;다다:: .: : : :::) 정의에 의하여 姜=}(姜-풀),
遊국(姜+t姜)· J1 의 (n+µ) 열을 µ열에 더하면det( fJ) = det (i tit::t!) f행라µ . =에 열는u서 울 , + 식 (빼iv ,을 1,면 +이,얻µ 므 d )는로다et 열 ,냐( d음 ]에 et (I식n)따— 1+을/ A_라＿A뻬) ）서 2면== 얻행 , n는 d을 l다 e- n nt .d /,'e () o,t행f姜鬪昌훑에 nd \ 2더L .,하X( '고µt'훑姜 훑約,t_1.. ( L그yp-打革ay뚜a-E 2X.런. P 훑yp)뚜姜a姜다e`j1 음t) ,`1 ! /) )행을 (n+/)) det ( J1) = det ( : !)p = oo((xu,, yv) ) f가 해석함수이므로 o f/ o 궁 µ=0 이다. 따라서 (2.3) 식의 둘째 식을 생 각하여 det( ]1) = Id e t(姜) |2 = oo((xu,, yv))
라는 결과를 얻는다. (증명끝) 위의 결과는 일변수 함수 f( z)=u(z) +i v(z) 에서 det (i 1) = det (i i) = lf' (z ) 12 라는 관계식을 일반화한 것임을 알 수 있다. 이제 f를 영역 Dc¢n 상에 정의된 해석함수라 하자. 그러면 일점 wED 의 근방 P(w,r1, … ,rn) 에서 평등수령하는 멱급수 전개 (2. 4) f(z ) =· . 1co: a'…v . (zL-W1) v, ••• (Zn _ Wn) v. ”l· ···· , uE=o 이 존재한다. 이때, (2. 5) 1 기 = l/1+ 112+… +% 이라 두쟈 만일 모든 1 까.:S:: k-1 에 대하여 a 마 .. v.=0 이고, 적어도 하 나의 |기 =k 에 대하여 av, .. ,v.=\=0 일 경우 점 w 에서 함수 /의 전위수 (tot a l order) 가 k 라 부른다. 위 의 멱 급수 전개 (2. 4) 식 에 서 Z1=W 1, Z2=W2, …, Zn-1=Wn-l 로 두면, /(w1 , •• ·, Wn-1' %)의 멱 급수 전개 (2.6) /(W i,·• ·;Wn-1'%) = 홉l an:(zn-Wn)n 룰 얻는다. (2. 6) 식에서 n
정리 2. 2 점 WE ¢ n 에 서 % 에 대 한 위 수가 k 인 해 석 함수 f 가 P(w,r) 상에 정의되어 있다고 하자. 그러면 모든 점 (a1, …, an-1)E P (w;81, 02, --·, On-I) 에 대 하여 % 의 해 석 함수 f(a 1, …a n-I' %) 이 원판 {zn : Iz n -w 』 <&}에서 중복도를 계산하여 정 확 하게 k 개의 근의 갖 는 P(w;&, … ,On- i )CP(w;r) 를 택할 수 있다. 증명 표현을 간단하게 하기 위하여 w 를 ¢n 의 원점이라 하자. 가 정 에 의 하여 zn=O 는 f(O , …, 0, Zn) =O 의 k 중근이 다. f(0 , …, 0, %) 은 Zn=0 에서 0 이므로, 일변수 해석함수의 영접둘은 고립집합 (d i scre t e set) 을 형 성 한다는 것 으로부터 O
6 를 충분히 작게 잡으면 {z : lz-zal::::;;o} 에서 Zo 만을 /(z) 의 영점이 되게 할 수 있다. 그러면 (2. 9) Zo = ~Jlrl =dz·~dz 라는 식을 얻는다. 이 사실을 이용하여 다음 정리를 증명한다. % 정에리 대2 .한3 위I 수를가 P (1w (;fr()wc) =¢O ,상 :에[ -주(t어u) 진 =I= 0)해 이석 라 함 하수자로.서 이 점때 적w 에당서한 P(w;o)cP(w:r) 을 택하면 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 해석 함수
(2) 差- (w) = o/, i, j = 1, 2, …, k 라는 조건을 만족시킨다 하자. 이때 적당한 다중원판 P(w;o)cP(w; r) 을 택 하면, 모든 점 (z1. …, %) EP(w;o) 에 대 해 f(Z i , ···, Zn) =0 이 될 필요 충분조건이 Zj = cpj (zk+1, …, z.) , j = 1, 2. …, k 가 되는 k 개의 해석함수 cpj둘이 P(w;ok+ l , ….&) 상에 일의적으로 정의된다. 증명 k=l 인 경우에는 정리 2.3 에서 f와 Zn 을 f]과 z] 으로 생각 하면 정리가 사실임을 안다. 따라서 주어진 함수 f‘들이 k_1 개일 때 정리가 옳다고 가정하자. 이제 k 의 경우를 생각하자. 먼저 A 과 z, 에 정리 2.3 을 적용하면, 하나의 적당한 다중원판 P(w;o')cP(w;r) 에 대하여 zEP(w;o/ ）일 때, f 1(z)=O 일 필요 충분조건이 Z1=cp ( z2, ….%)인 유일한 해석함수 ¢가 P(w:02,···,o ,J 상에 정의되어 있다. 이제 P(w;o') 상에 정의되는 (k_1) 개의 함수 f; (z2, …, zn) :....= Ii (c p (z2, …, Zn) , Z2, …. %) , 단, j = 2, •• · , k 에 대하여 생각하자. zEP(w;o') 에 대하여 f1( z)=0, j =2,···,k 일 필요 충분조건은 21 = cp (z2. …, zn) , J;(z 2, ···, z.) = 0, j = 2, …, k 이 다. 한편 f;. …,ft은 (z2, …. %）의 함수로서 정 리 2. 4 의 조건을 만 족시킨다. 귀납법의 가정에 의해 적당한 다중원판 P(w;o)cP(w;o') 에 대하여, zEP(w;o) 일 때 f(z )=O 일 필요 충분조건이 ZJ =
라 두자. 그러면 rp 1. …,rp k 와 P(w,o) 는 종명하고자하는 사실들을 만 족시킨다. （증명끝) 정리 2.5. /1. …,t”을 ¢n 의 원점 근방에 정의된 m(n:?:m) 개의 해 석함수로서 (1) fj(0) = 0, j = 1, 2, …, m, (2) 행 렬 (길~ (0) ）의 계 수 (rank) 가 m 이 라 하자. 이 때 ¢ n 에 W; = ~jaij Z j , t = 1, 2, …, n 으로 표시되는 적당한 좌표변환을 행하면, 적당한 다중원판 P(O;o) 을 택할 때 wEP(w;o) 에 대하여 E(wI, …, Wn) = 0, j = 1, 2, …, m 이 될 필요 충분조건이 W j =
돌의, 원점에서의 야코비안을 구하자. 그러면, 墨awj (0) = L1r b,,. 언a10 ~j (O) = 2k,s b i k 姜 -(0) •.a', 1 =81 를 얻는다. ¢n 의 좌표를 (w 도 .,,wn) 으로두면 {g,}는 정리 2.4 의 조 건들을 만족시칸다. 그런데 g,( z)=O, i= l,2, … ,m 라는 것과 f,( z)= 0, i= 1;2, … ,m 라는것은 동치이다. 따라서 정리 2.4 를 gj,j=l ,2, … ,m 에 적용하여 정리 2.5 를 얻는다. （증명끝) 정리 2.6 음함수 정리 /j(j=l , 2, …, n) 들을 P(w;r)c ¢n 상에 정의 된 해석 함수들로서, P(w;r) 상의 모든 점에서 mxn 행렬 (운), j= l, …, m, i= l, 2, …, n 의 계수가 k 라 하자• 일반성을 잃지 않고 de t(姜), 따 따 이 0 이 아니라 가정할 수 있다. 만일 점 w 에서 모든 j=l,2, … ,m 에 대하여 f1 (w)=0 이라면, 적당한 w 의 근방 P(w;o) 을 택할 때, zE P(w;o) 에 대하여 fj (zJ, …, z.) = 0, j= l, 2, …, m 일 필요 충분조건이 Zj = Pj( zIr+1, …, z.), j= I, 2, …, k 가 되는, k 개의 해석함수
라고 가정 한다. 행 렬 (롭 :(0)) 의 역 행 렬을 (a;i) 라 두자. 이 때 g, (z) = 區j aij f j , i = 1., 2 , …, k 라는 함수족을 생 각하자. 그러 면 g;( z) =0, i= l, 2, …, k 일 필요 충분 조건은 [;(z) =0, i= l, 2, ···, k 이 다. 그리 고 활은 = 2 a,j 位 (z) = Si 이다. 따라서 적당한 P(O;o)cP(O;r) 을 택하면, P(0;8k+1, •••. &) 상 에 k 개의 해석함수
하여 백터 a/k+t = (똘’ 펩, …, 뜻) 은 하 1, … , . o fk 들의 일차 결합으로 표시된다. 구간 O~t ~ l 상에서 j= 1, 2, …, k 에 대 하여 dfj d(ut ( t) ) = ‘g=1 와 azi 무dt =0 이다. 죽 벡터 (롱,…, dudnt( t ) )J =- 으d t 는 벡터 (붉 急 …, 善), j= 1,2,… , k 에 수칙이다. 따라서 하k +L 도 역시 검于에 수직이다. 구간 0 집 sl 에 서 리분 =0 이니, fH i(it(t))는t의 상수함수이다. 따라서 fH i(U (t) ) =0 이고, M 상에서 fk + t은 0 인 상수함수이다. 이로써 우리는 원하는 사실울 증명하였다. （증명끝) 정리 2.7 역함수 정리 f=(fJ,…,fn ) 가 P(a;r)c¢ 에서 ¢n 에로 의 해석사상이고, 점 a 에서 야코비안 행렬 (乾 -(a)), i, i, = 1, 2, ···, n 의 계수가 n 이라 하자. 이때 (1) I : N 一f (N) 은 전 단사 (bij ec ti ve ) , (2) f (N) 은 개집 합, (3) 1-1 :f (N) 一 N 은 해석사상이 되는 a 의 개근방 N 을 잡을수 있다.
증명 a=O, 그리고 /(0) =0 이라 가정하자. 이와 같이 가정하여 도 증명의 일반성이 상실되지 않음은 명백 , 하다. 그러면, de t(姜) I터 =i= O 이니, 치역과 정의역에 각각 변수 변환을 행하여 蔚 -(0) = o{, i,j = l, 2, …, n 라 가정할 수 있다. 이때, 치역의 변수를 W1,W2, …, wn, 그리고 정의 역의 변수를 zI,z2, …,% 이라 하자. 이제 ¢2n 의 원점 근방에 정의되 는 n 개의 해석함수 h;(z, w) = fJ (Z i , …, Zn) -W;, j = 1, 2, …, n 들을 생각하자. 그러면 이 n 개의 해석함수들은 h; (0) = 0, j = 1, 2, …, n, 그리고 (총) (O) = o{, i,i = 1, 2, …, n 이라는 조건을 만족시킨다. 따라서 정리 2.4 에 의하여 충분히 적은 8>O 를 잡으면, n 개의 해석함수 gj(W 1, …, Wn), j = l, 2, …, 가 P(O;o) 상에 정의되어서, h;(z, w) = 0, j = l, 2, …, n 이 될 필요 충분조건이 Z; =g;(W 1, …, Wn), j = l, 2, …, n 이다. 바꾸어 말하면, h(g ( w), w) = 0, f(g( w)) = 0
가 된다. 죽 g=J-1 그리고 N= g (P(O;o) ）라면, 증명하려는 결과를 얻는다. （중명끝) 제 3 절 와이에스트러스 정리 및 응용 영역 De ¢ 위에 일변수 해석 함수 f가 주어져서 f( zo)=O, f羊 0 이 연, Zo 의 근방에서 f (z) = (z -z o) g (zo) , g (zo) =\= O 이라는 표현을 얻는다. 위의 표현으로부터 f의 여러 가지 성질을 알 수 있다. 같은 방법으로 다변수 함수에서는 와이에스트러스 정리 (Weie r str a ss Theorem) 로부터 해 석 함수의 국소표현을 얻 고, 또한 영 점 집합의 기하학적 모양을 알 수 있다. 예비정리 3.1 I 를 영역 Dc ¢n 상에 정의된 해석함수로서 일점 tE D 에서 1 의 전위수가 k(
f루 0 이므로, 원점의 임의의 근방 N 을 잡으면, fi (a1, … ,a.) =I= 0 인 (a1, …, an) =a=I= O 를 N 내 에 서 잡을 수 있 다. a=I =0 이 니 , (3. 1) 식 을 만족시키는 nx (n-1) 개의 상수 b ij가 존재한다. Z; = a;sn + I-:1 b,;~j, i = l, 2, …, n j= I 에 의하여 새로운 좌표계 (
정리 3. 3 와이에스트러스 준비정리 (Weie r str a ss pre p er ati on th eorem) ¢ 의 원점 근방에 원점에서 w 에 대한 위수가 d 인 해석함수 f가 정의 되어 있다고 하자. 이때 적당한 원점의 근방 N 을 택하면, f는 N 상 에 서 차수 d 인 w 의 와아 에 스트러 스 다항식 과 h (O) =O 인 해 석 함수의 곱 f=g ·h 으로 표시된다. 또한 이 표현은 일의적이다. 증명 주어진 함수 f( z, w) =f(z1 , …, Zn-I, W) 는 원점 근방 U={(z, w) : llzll
는 N=P(O ; E,r)={(z,w) : 11211
일의적으로 결정된다. 따라서 g와 h 는 모두 일의적으로 ' 결정된다. (증명끝) 이제 위의 정리를 이용하여 ¢n 의 원점 근방에 정의된 해석함수 f 의 영점집합의 기하학적 형태를 알아보자. 이제 f (O)=O 이고, f는 원점에서 전위수(t o t al order) k 를 갖는다 고 하자. 이때 좌표계 (zI, … ,zn-1,w) 를 택하는 거의 모든 방법에 대하 여 f (z,w)=0 가 되는점 (z,w) 는 정확히 하나의 와이에스트러스 다항 식 g(z , w) = wk+a1 (z)wk-1+ …+ a. (z) 의 영점이다. 또한 G(w)= g (z,w) 를 w 의 다항식으로 생각할 때, 정 리 1. 3 에 의 하여 이 방정 식 의 근들 b, (z) , i= l, 2, …, k 는 G (w) =O 이 중근을 갖지 않는 점 z 들의 적은 근방에서 z 의 해석함수이다. 방정 식 G(w)=O 의 판별식은 z 의 해석함수이니, 10 에 대한 위수가 k 인 해석함수 f (z,w) 의 영점집합은 국소적으로 G(w)=O 의 판별식이 0 이 되 는 점 에 분기 (branch) 를 갖는 w=O 라는 초평 면의 k- 옆 피 복면 Ck-sheete d coverin g ) 이 다. 정리 3.4 와이에스트러스 분할정리 (We i ers t rass Divi s i o n Theorem) ¢ 의, 원점을 포함하는 개집합 상에 차수 k 인 w 의 와이에스트러스 다 항식 g (z,w) 가 주어져 있다고 하자. 그러면 원점 근방에 정의된 임의 의 해석함수 /는 적당한 원접 근방에서 다음과 같은 표현을 갖는다. f(z , w) = g(z , w) ·h(z, w) +r(z, w) , 단, r(z,w) 는 차수가 (k;_1) 을 넘지 않는 w 의 다항식 증명 가정에 의하여 f와 g는 원점을 포함하는 개집합 N 상예 정와 되 어 있다. 지 금 e>O, 8>O 를 충분히 작게 잡아서 D = {(z, w) : llzll < e., lwl < o}cN~ 그리고 모든 점 (z, w) ED = { (z, w) : llzl| ~ e., l w l = o}
예 대 하여 g (z, w) )0 이 되 게 할 수 있 다. 이 때 h(z, w) = 2 元 ✓1 ~fir fr(z z, u言) .. 亡_!E!-. l•l= d 라두면, It 는 D 상에 정의된 해석함수이다. 따라서 r= f-g h 라 두면 r 역시 D 상에 정의된 해석함수이다. r(z,w) 는 다음과 같이 적분으로 표시된다. r(z, w) = f(z , w) -g(z , w) ·h(z, w) =古]1 〔f (z,u)- g (z,wf)(z~ , )u) 〕d下u lul=d = 27r 長」儀싶〔 g (z, u 仁 :(z, w) ]du l•l=d 와이에스트러스 다항식의 정의를 고려하면 마지막 식의 괄호 내부는 다음과 같은 형태로 표시된다. p (z, u, w) = {g (z, u) -g (z, w) } / (u-w) = (uk-wk) +aI (z) (uEI-wEI) + …+ aLI (z) (u_w) (u-w) 여기서 p (z,u,w) 가 모든 변수에 관한 해석함수이고, 특히 w 에 관한 (k-1) 차 이하의 다항식임은 명백하다. 따라서 r(z,w) 도 역시 w 에 관한 (k-1) 차 이하의 다항식이고, 또한 D 상의 해석함수이다 . •（ 증명끝) 와이에스트러스 준비정리를 증명하는 과정에서 우리는 ¢n 상의 채 석함수의 영정집합의 모양에 관한 것을 얼마간 알았다. 이와 관련된 간단한 보기를 들고 몇 가지 응용을 생각하자. 보기 3.5 ¢2 상에 주어진 해석함수f (z i, z2)=z1z2 를 생각하자. f는 원점 (0,0) 에서 전위수가 2 이다. 그러나 z1 이나 z2 에 관한 위수는 OO 이다. 변수변환 z = z,+z2,
w = z1-z2 을 행하면, f (z,w)=z2-w2 로서, f의 z 나 w 에 관한 위수가 모두 2 이 다. M= {(z, w) : f(z , w) =0} 를 보면, w2-z2=0 죽 w= 士 z 에 서 알 수 있는 바와 같이 z=O 의의 모든 점 z 에 두개의 w 값이 대응된다. M1 = {(z, z) : zE¢} UM2 = {(z, -z) : 라} 이 f의 모든 영점들의 집합을 이루고, Mi -{(0,0)}, j =l,2 는 복소평 면에서 원점을 제거한 집합과 같은 모양이다. 또한 M=M1UM2 는 w=O 라는 초평면, 죽 {(z,0) : zE 아를 원점 의에서 이중으로 피복 (2 sheete d cover) 하고, 원 점 은 분기 점 이 다. 정리 3. 6 리만 확장정리 (Ri em ann Exte n sio n Theorem) 다중원판 P(O;t) e¢n 상에 해석함수 f (z,w) 가 정의되어 있고, 또한 P(O; t)-{f =0} 상 에 유계 해 석 함수 (bounded analyt ic fun cti on ) g (z, w) 가 정 의 되 어 있 다고 하자. 그러면 g는 P(O;t) 상의 해석함수로 확장된다. 증명 X 든 {/=0} 에 대하여 적 당한 x 의 근방 N 을 택하면, 모든 접 z EP(O, t)에 대하여 g (z,w)= g (z,w) 이고, 또한 (P(O;t) -{j=O })UN 상에서 해석적인 함수g가 유일하게 존재함을종명하면 충분하다. 이 때 x=O 이라고 가정하고, 또한 f (z,w) 는 원점에서 t 0 에 관한 위수가 d(
상에서 10 의 해석함수이다. 그런데 · llzll
이면, Hkc(P(O;r)-P(O;o)) 이고, H. 는 개집합이다. f (z,w) 는 H1r 상에 정 의 되 어 있고, (zo, w) EHk 이 면 , {(zo, w) : lwl
에 서 1¢ ? 에 로의 동상사상 (homeomorph is m ) z : U— -¢\ (; : p-> z(p) E ¢) 울 국소적 복소좌표 (loc al comp le~ co~rdin a te ) 라고 한다. 그리 고 z (p) = 〔강 (p) , …, 검 (p) ] 를 X 의 국소좌표라 부른다. 정의 4.2 국소적 복소좌표 Zj :_ Uj_一 ¢n 둘의 집합 {z J }El 가 다음 조건들을 만족시킨다 하자. (1) X= U Uj, (2) Uj n ujEk 1 =I= ¢ 이 면, ff,, .kj == zzj ,.o°z갑? :: z컴,. c(Uuij nn uU,,..)) ·―― ➔ ➔ zz j, c.(uUj k nn uU,j. )) , 들이 해석사상. 이와 같은 경우 {Zj}J EI 를 X상에 정의된 국소적 복소좌표계라 부른 다. 정의 4.3 X 상에 정의된 두 개의 국소좌표계 {z1}J E I, {zA}-!EA 가 동 치라 함은, 사상 zj (p)·~ 있을 때마다 이것들이 모 두 해석적 사상임을 의미한다. 정의 ..c. 4 X 상에 정 의 된 하나의 국소좌표계 동치 류 (eq ui v a lent class) 를 복소구조 (comp le x str uc tu r e) 라 부른다. 정의 4.5 초긴밀 하우스도프 공간 X 와 그 위에 정의된 하나의 복 소구조를 합하여 복소다양체라 부른다. 보기 4.6 n- 차원 복소공간 ¢은 복소다양체이다. 그리고 ¢”에 속 하는 임의의 개집합은 복소다양체이다. 보기 ... 7 복소평면 ¢ 에 무한원점 OO 를 추가한 집합을 X 라 하자.
이때 21 : ¢一¢, 21(p) =p 22 : (X-0) —맥, Z2 (p ) = 士 로 각각 정의하면, {z J ,z2} 는 X 위에 정의된 국소좌표계이다. 따라서 (X,{21,22} ）는 복소다양체에다(이때, {z J ,z2} 는 복소다양체를 정의하 는 동치류의 대표원이라 볼 수 있다)． 그리고 X 는 ¢ 의 일점 추가 긴 밀 공간 (one poi n t comp ac ti fica ti on ) 이 다. 도움말 복소다양체를 정의하기 위하여는 복소구조를 정의하여야하 나, 복소구조 대 신 이 복소구조에 속하는 하나의 복소좌표계 만 정 의 하는 것이 보통이다. 우리도 이러한 동례를 따르기로 한다. 보기 4. 8 복소 사영 공간 (comp le x pro je c ti ve spa ce) P 円 위 상공간 ¢n _ {0} 에 속하는 두 점 pq == ((qp o°,, pq1도, … ··,, qPn)) , 에 대하여 P = cq, 죽 섬 = cq i, i = 0, 1, …, n 이라는 관계를 만족시키는 0 이 아닌 복소수 c 드(¢一 {0} ）가 존재하 면, P 와 q는 동치관계에 있다고 하고, p~q로 표시한다. 그러면 p• = ( ¢ •+i _ {O} ) /~ 는 하나의 긴밀 하우스도프 공간(H ausdor ff s p ace) 을 이룬다. PE(¢ -{ O} ) 에 대 하여 i 는 P 를 포함하는 동치 류 (eq uiva lent class) 라고 하 자. 이때 uj = {k EPn : #=f=O } 이라 룬두다면., uUJ j 상 는에 F국 의소 좌개표집 합이고, {Uj }f<”는 Pn 의 피복 (cover ing)을 ZJ = {z}, …, z1-I, z1+1, …, zj}
를
려 =pA1 p j 에 의하여 정의한다. 그러면 Z j (Uj )=¢n 이다. 이메 `T /jh : z.(p ) 一 Z j(p) z~ = 검 /z f,, il=i=k , j {1/z{, ' A = k 에 의하여 주어진다. 죽 단순히 p k/ pi를 곱한 것이다. {UJ. , z j}j위의 정의에 의하여 N 이 M 의 복소 부분다양체, T 가 N 의 복소 부분다양체이면, T 가 또한 M 의 복소 부분다양체임을 알 수 있다. 복소 부분다양체도 복소다양체임을 쉽게 알 수 있다. 정의 4.11 복소다양체 M 의 부분집합 S 가 해석적 부분버라이어티 (analyt ic subvarie t y ) 라는 것 은, S 에 들어 가는 각 점 s 에 대 하여 적 당한 개집합 sEU 를 택하면, U 상에 r(~1) 상에 해석함수 fh I
를 하기로 하고, 우선 이 정의로 만족하기로 하자. 정으| 4.12 M 과 일치하지 않는 하나의 해석적 부분버 라이어티 S 를 맨 집합 (M-S) 상에서 f는 복소수 값을 가지는 함수이고, 모든 점 q EM 에 대하여 q를 포함하는 적당한 개집합 U 를 택하면, U 위 예 정의된 두 개의 해석함수 g와 l1 가 존재하여 U-S 상에서 /(P)= g(p )/h( p)와 같이 표시될 때, f를 M 상의 메로모픽 함수 (meromor ph i c fun cti on ) 라 부른다. 보기 4. 13 ¢ 2 상에 서 (1) f(zI , z2) = zI/z2, (2) g( z1, 22) = (zf+ 2 D/2122, (3) h (21 , 22) = P (zi, 22) /Q (21 玉) , 단, P, Q는 다항식 (4) I: M一 p• = ¢ U{oo} 인 해석사상. 도움말 Gunnin g and Ross i [2 〕에 의하면, M 이 n- 차원 복소다양체 일 경우 메로모픽 함수 1($0) 를 국소적으로 정의하는 함수 g ,h 가 모 두 0 이 되는 집합은 M 에서 극히 적은 집합이다. 지금부터 복소다양체 M 상에 작용하는 해석적 자기 동형사상 (anal yti c au t omor p h i sm) 군에 관한 것을 연구한다. 1- 차원 복소다양체의 종류 와 다양체상의 함수에 관한 연구는 모두 자기 동형사상군의 연구를 바탕으로 이루어졌다. 복소수 평면 ¢ 상의 해석적 자기동형사상군에 관한 서적은 많이 있으나, 입문서로서 적당한 것은 레너 (Lehner)[8] 를 들 수 있다. 정의 4.14 ,f 가 복소다양체 M 에서 M 에로의 전단사 (one to one, & onto ) 해석사상일 때, f를 해석적 자기 동형사상 (anal ytic auto m - or p h i sm) 이라 부른다. M 의 해석적 자기동형사상 전체는 사상의 합 성 을 연 산으로 하여 군 (grou p) 을 이 룬다• 이 군을 Auto (M) 으로 표 시한다. 다음부터는 해석적 자기동형사상이라는 말 대신 단순히 자기 동형 사상이 라는 말을 쓴다.
보기 4.15 M={z : z=x+ iy,y )O} 이 라 두면, Auto ( M) = {az+b/cz+d : ad-bc=t= O , a, b, c, d 는 실수} 라는 것은 찰 알려진 사실이다. p1 =¢ U {oo} 라 두면, Auto ( P1) = {az+b/cz+d : ad-bc=t= O , a, b, c, d 는 복소수} 라는 것도 역시 찰 알려진 사실이다. 정의 4.16 G 를 Au t o(M) 의 부분군이라 하자. 이때 입의의 한 쌍의 긴밀집합 K 1, K2SM 에 대하여 {gE:G : gK 1 nK2=f =
((21)) quE, U의 ,,폐 포 (closure) 는 긴 밀 집 합, (3) U;+1C u,, (4) { U,} 는 q 의 근방계 의 기 (basis of the neig h borhood sys t e m ) 라는 조건들을 만족시키는 {U,} 들을 택할 수 있다. 그러면 G. . = {g : gU . . n U.=I= } 는 유한집합이다. 이때 G .. +1CG. . 임은 명백하다. 이제 단위원이 아닌 g 가 모든 G. . 에 속한다면 모든 m 에 관하여 g u., n u. . =I=¢ 이 니 , g (q) =q, 죽 q는 g의 부동점이라는 모순이 생긴다. 따라서 충분히 m 이 크면 G. . 은 단위원만을 가지는 집합이다. 따라서 모든 pl= I=p2 , pJ,p2 드防에 대하여 §1 =I= P2 이고, q드 Uj 라는 조건들을 만족시키는 Uj 몰 택할 수 있다• Uj를 충분히 적게 잡아서 Uj 상에 M 의 국소좌표 zj : Uj ― ➔ ¢n, dim (M) = n 이 정의되어 있다고 할 수 있다. 이매 사상 亢 : Uj _~a j를 1t(p) =P 에 의하여 정의하면, 元는 UJ 상에서 전단사이다. 컴 :U j一 ¢n, 컴 : :JC- lozj 라 두고, 컴는 U j상에 정의된 M 의 국소좌표라 두자. 그러면 {gj}는 lVl 의 국소좌표계를 이루고, ilI는 M 과 같은 차원을 갖는 복소다양 체이다. （증명끝) 보기 4.19 M 을 복소평면 ¢ 라고 하자. M 상의 부동점을 갖지 않 는 불연속군을 G = {g : g( z) = z+n+m ✓ -=-i, m, n 든 Z} 라 두자. 그러면 F = {z : z = .x + iy, 0 ~ .x ~ 1, 0 ~ y ~ 1} 이라는 정사각형의 마주보는 변을 붙여서 만든 토러스(t orus) 는 바로
M/G 임을 알 수 있다 . 여기서 P = {z : z = x + iy, 0 < x < 1, 0
를 참고하기 바란다. 도움말 보기에서 든 4 가지 종류 이외의 일차원 복소다양체들의 피 복공간이 H 라는 사실을 이용하여, f: ¢_¢ 가 해석사상이고, f(¢)에 두 개의 복소수가 속하지 않는다면, f는 상수함수라는 소 피 카드 정리 (Littl eP i cardTheorem) 를 증명할 수 있다. 그러나 이린 방 법에 의한 증명은 대수적 위상기하학의 지식을 요구한다 . 보기 4.2 2 호프다양체 (Ho p f manif old ). M=¢1-{0}이 라 두고, G = {g .. : mEZ, g (z1, …, Zz) = (a,21, …, aiZ z) , O< a . <1 } 이라 두자. 그러면 G 는 M 상에 부동점을 갖지 않는 불연속군이다. MIG 는 l 차원 긴밀 복소다양체이다. l=l 이면 MIG 는 토러스이고, 일반적 으로 S' x s2i- 1 과 미 분동형 (dif feo morph i~ ) 인 다양체 이 다. 보기 4. 23 대 수적 부분다 양체 (Alge braic submanif old ) . pn 울 보기 4.8 에서 정의한 복소 사영공간이라 하자. p=(p o, p도 •• ,p n) 드 (¢n+1 -{ O}) 이 라면 p 의 동치 류 (eq u iv a lent class) 인 § 는 pn 의 한 점 이 다. §=[p°,p도 •• ,p n] 이라는 기호를 쓰기로 하자. (a0,a 도 ··,an) 드 (¢n+1_ {O} ）을 고정하고, H= {[p o, p도 ··,P 기 EPn : a0p 0 +a1p 1 +… +anp n = O} 이 라 두자. 이 때 H 를 사영 초평 면 (pro je c ti ve hy pe r-surfa c e) 이 라 부 른다. 이제 H 가 p n 의 (n-1) 차원 부분다양체임을 보이자. U; = {[p o, p도··,pj, …,p가 EPn : pi=I=O } 이라면, Zj (p) = （끔 씁 ..· , 多 L, 多 L, …, 응), ZJ : U1_ 구 ¢n 은 切상에 정의된 국소좌표이다. ¢n 의 점들을 (g도··〈”)에 의하여 표시하자. 만일 [po ,p ', ···,P 인 E(Hn Uo) 이면, p o =t= 0 이므로
로 a t씁+… +a 을= -a 。 라는 관계식을 얻는다. 한편 Zo([p0 , p \ …,p汀) = （강 …, s) = s 라 두면, Sj = pl/p o 이 므로, [po, p i, …,P ]EHn u。 일 필요 충분조건은 〈가 a1s1+a2s2+… + ansn = -a 。 라는 식을 만족시키는 것이다. 만일 따,… ,an 중에서 적어도 하나가 0 이 아니면, 위의 방정식을 만족시키는 g둘의 집합은 ¢n 의 (n-1) 차 원, 어파인 선형공간 (a ffi ne lin e ar subs p ace) 을 이룬다. 만일 a1=a2= … =an=O 이면, UonH 는 공집합이다. 다론 uj nH 들에 관하여도 위 와 같은 사실이 성립함을 곧 알 수 있다. 따라서 H가 p n 의 (n-1) 차원 복소 부분다양체임이 명백하다. F 의 부분다양체에 관한 것을 더 연구하기 위하여 제차다항식을 정 의하고, 이들의 영점집합의 성질을 조사해 보자. /(Xo, …, X.) = I: a;, ..., .X t •X t도 .x;”, •o·· •+ i .= k 단, k 는 음이 아닌 정수 위의 식으로 정의되는 다항식을 Xo, … ,Xn 에 관한 k 차 제차다항식 (ho mog e neous po lyn o mi al) 이 라 부른다. fJ, …, J, 이 각각 차수 k1, …, k 섹 다항식일 때, W = {[p도 ·,P 엽 EP : /1 (P0, …,pn) = … = fr(P °, …,p•) = O} 에 관하여 생각해 보자. 보기 4.23 에서와 같이 [po, … ,P ]EUonW 이면, 싸 끔 …, 끔) =0,
f2( 1, p’ …, fa-) =0, l
따 끔一p …, 씁 )=O 라는 r 개의 식이 성립한다. o g = (gl, …, gn) = （끔 …, 씁) 라두면, fl ( S) = fl ( 1, g도 .. , s) = o, f2 ( g) = f2 ( 1, g도··, s) = o, fr( g) = fr( 1, g도 .. , sn) = 0 이 되고, {fi}는 ¢n 상의 다항식이고, g는 이들 다항식의 영점이다. 또한 U;n W (j=2 , …n ) 에 관하여 도 위 와 같은 사실이 성 립 한다. 정 의 4.11 바로 다음에 주어진 도움말에 의하여, 만일 함수행렬 (¾)i다:;; :: .• ;;’ 의 계수가 U;nw, (j=O ,l,… , n) 상에서 일정한 상수 m 이면, W 는 F 에 속하는 (n-m) 차 복소 부분다양체 이 다. 정의 4. 2 4 N 과 M 을 복소다양체라 하고, f: N ― ➔ M 을 단사적 해 석사상, f (N) 은 M 의 복소 부분다양체, 그리고 1-1 : f (N) ➔ M 이 해 석적 사상일 때, f를 해석적 매장 (anal yti c embedd i n g)이라 한다. N 혹은 f (N) 을 매장된 부분다양체라 부른다. 정의 4.25 어떤 n 에 대하여 해석적 매장 f: M~P 이 존재하는 긴 밀 복소다 양체 M 을 사영 적 대 수다 양체 (pr~ je c ti ve alge braic mani- fo ld) 라 부른다. 도움말 초우의 정 리 (Chow's Theorem) 에 의 하여 , 만일 M 이 F 에매장된 긴밀 복소다양체이면, M 은 P J-에 정의된 제차다항식들의 영 점 집 합으로 표시 된 다. 거 닝 로시 (Gunnin g Rossi) [2] 울 참조하기 바 란다. 주어진 복소다양체들로부터 이와는 다른 복소다양체를 얻는 방법 중 가장 많이 이용되는 집합 (sur g er i es) 에 관한 것을 연구하고자 한다. 접 합 중에서 가장 간단한 경우만을 기술한다. 이 방법에 익숙하여지면 이것을 변경시킨 여러가지 방법을 독자 스스로 체득하기가 어렵지 않 으리라 생각한다. M 을 복소다양체, ScM 를 긴밀 부분다양체, 그리고 W 폴 S 의 개 근방이라 하자. W 가 다른 하나의 복소다양체로서 S 라는 긴밀 복소 부분다양체를 포함하고 있고, 더우기 f: W_s_w_s 라는 해석적 동상사상이 주어져 있다고 하자. 이때 M=(M-S)UW 에서, 각 점 g드 w_S 를 z= f@）과 같은 점이라 하면 A1 은 복소다양 체의 구조를 갖게 된다. 이 복소다양체는 M 에서 W 를 제거하고 W 를 사상 f에 의하여 W 대신 넣어 준 모양이다. 이 절차를 접합 (surge rie s ) 이 라 부른다.
f三
보기 4. 2 6 G={nz+m ✓ =I : m,nEZ} 라 두면, G 는 ¢ 상에 작용하 는, 부동점을 갖지 않는 불연속군이고, ¢/G 는 토러스입을 알 수 있 다. P1 울 일차원 복소 사영공간이라 하고, M=P1xT 로 주어지는 2 차원 긴밀 복소다양체라 하자. 이제 M 에 다음과 같은 집합 (sur g er i es) 을 생각하자. 먼저 pi = ¢U {oo},
s={O}XT, . W=DxT, 단, D = {z : IzI < I} 라 두자. 그리고 W= {(z, [<]): zED, 〔집 ET}, S={O}XT 라 두자. 실제로 w,s 는 각각 w,s 와 같은 공간이나 집합을 정의할 때 일어날 수 있는 혼란을 피하기 위하여 다른 기호로 표시하였다. O
라는 분할 및 접합을 생각하자. T 는 S1xS1 과 위상동형이다. [:]드 T 이고, g =x+ ✓ 二 I y이면, s1 = X> + ✓ 二 YI, 0 < xl < 1, 0 < Y1 < 1 이고 [인=[〈』인 점 g1 이 오직 하나 있다. 이때 x-X1 과 y-y1 은 모두 정수이다. 그리고 T 는 F = {x+iy : 0 ~ x ~ 1, 0 ~ y ~ 1} 이라는 사각형에서 마주보는 변들을 붙여서 얻는다. 여기서 [x, ✓ 걱짜, [x+l, ✓ 걱y], [x, ✓ 견(y +l)], … [x+n, ✓ 二(y +m) 〕 둘은 모두 T 에서 같은 점인 것에 유의하자. M-W 에 W=DxT 를 침가하여 1답 를 얻을 때, W 의 점과 M-W 의 점을 같다고 보는 것 (ide nti fica ti on ) 은, D 의 경 계 , 즉 B= {e'0 : 0~0~2 라 x T 에 서 일 어 난 다. 물론 B 는 W 에 속하지 않으나, 만일 이것이 W 의 경계에 있다 고 생각하면, B 내의 점들이 (P1-D) XT 에 들어 있는 B 내의 점들 과 어떤 형태로 동일시되는가 알아보자. 이제 W 의 경계에 있는 B 를 B 라 표시하고, B 내의 점을 (e'0,x, y)로 표시하자. 여기서 £+ ✓ 二 IY 는 T 의 점 이 라 생 각한다. 그리 고 (e'8, x, y) 로서 Be (P1 x D) x T 의 점들을 표시하자. 그러면 x=x^ + 경;0 ' y=y 일 때, (e;0, i, y) 와 (e”, x, y) 는 동일한 점이 (M 에서) 된다. 이때 T=S1xS1 이라 두면, f와 x 는 첫째 S1 위의 점이고, }와 y는 둘째 S1 위의 점이라 생각할 수 있 다. 따라서 M=KxS1 의 모양을 가진다. 여기서 K 는, 향 (=Pl) 를 대 (base) 로 가지 고, 파이 버 (fibe r) 가 S1 인, ss 의 호프 파이 버 분해 (Hop f fibe ri ng ) 로 K= 안 이 다.
(호프 파이버분해를 위와 같이 분해하여 설명한 서적으로는 후 (Hu) 〔선가 있다.） 따라서 M 는 S3x51 과 동상이고, b1(M)=l 이다. 따 라서 M 과 M 는 동상이 아니 다. (증명 끝) 보기 4. 27 2 차 변 환 (qu adric tra nsfo r mati on or blowi ng up) 복소 2 차원 다양체 M 의 일점 p를 P1 으로 대치한 복소 2 차원 다양체 M= (M-p) LJ P1 을 정 의 하자. 복소좌표 W= {(z.,z2) : lzil
f :w 컷 -w- p 는 해석적 동상사상이다 . 만일 (zJ, z g 1 〈깁슨 (w_5) 이면, z1 과 z2 중 적 어 도 하나는 0 이 아니 다. 그리 고 (zI, z g1. g 2) 와 (zI, z Z2, zI) 는 w_S 의 동일한 점을 나타내는 좌표이다. 따라서 f-I : (zI, z2) 一 (21 , 22 ; 22, 21) 라는 사상이 정의되고, 이것이 해석사상임은 명백하다. 그러니 접합 의 정의에 의하여 lvl=(M-p) LJP 1 이라는 복소다양체를 얻는다 . 일반적으로 복소다양체 M 의 차원이 n~2 일 때도 같은 방법으로 2 차 변환을 정의한다. 죽 W = { (21, …, %) : 12,I < e, i= l, 2, …, n} 단, 21 (P) = …= % (p) = 0 그리고 w x p n-1 의 (n_1) 차원 부분다양체 W 를 W= {(zI, …, % ; SI, …, g n) : zig j_giz j = O, 1 학,j ~n} . 에 의하여 정의한다. 또한 {Q} X pn -1=5, 그리고 사영 元와 f를 전 과 같이 정의하자• 그러면 f: w^ -^ s-w-p 는 위에서와 같이 해석적 동상사상이다. 따라서 lvl=(M-p) U p n-1 은 점 P 를 (n-1) 차원 복소다양체 p n-1 로 대치시칸 다양체이다. 제 5 절 복소다양체의 변형 (Defo rm ati on of comp le x manif old ) 복소평면 ¢상에서 wE¢ 를 고정하고, 함수 g .,n(z)=z+mw+n 을 생각하면, g. . ,n 은 ¢에서 ¢에로의 일대일 해석함수이다. 이때 lm(w) *0 인 w 에 대하여, G = {g' 간 (m, n) EZ x Z}
는 ¢상의 불연속군을 이룬다는 것은 명백하다. 이제 TTV = ¢/G 라 두면, Tw 는 하나의 토러스(t orus) 이다. 이때 토러스의 집합 { T。 : wE¢, Im (w) =t=O } 는 매개변수 w 에 의하여 결정되는 토러스족 (a fa m il y o ft or i)임을 알 수 있다. 이 에 관한 상세 한 이 론을 원하는 독자는 알포스 (Ahlfo rs ) [l] 를 참조하기 바란다. 위의 예에서와 같이 복소다양체를 정의하는 매 개변수에 의존하여 다양체의 구조가 변하는 예들이 많이 있다. 또 다 른 예로 F 의 초평면들을 들 수 있다. F 의 임의의 초평면 Md = {g : f(g) = O} 은 함수 f = 2 ako·· ·k . g g?…g, 단, k 。 +k1+···+kn = d 에 의하여 결정된다. 이때 Md 는 llko •·• k. 에 해석적으로 의존하여 결정 된다고 볼 수 있다. 이 해석적 의존이라는 말을 아래에서 정의하 자. 단, 이 절에서 논의되는 복소다양체는 모두 연결다양체 (connecte d ma nifold ) 라 가정 한다. 정의 5.1 복소다양체 µ에서 복소다양체 B 에로의 복소 해석사상 1C : µ_ ➔ B 이 정의되고, 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. (5. I) 각 점 t EB 에 대하여 1e-1( t )=M, 는 복소다양체에다. (5. 2) µ 상의 각 점 에 서 元 의 야코비 안 행 렬 위 수 (rank of Jac obia n ma tri x) 는 다양체 B의 차원과 같다. 이때, M t는 t에 해석적으로 의존하여 결정된다고 하고, {M, : tE B} 를 복소해석 다양체족(혹은 해석적 다양체족)이라 부른다. 보기 5.2 해석적 다양체족의 예를 둘어 보자. 위에서와 같이
BGTw == = {{ w¢n /+G:m I,m w (:w n) , m>E0 }Z , lm(w) > O}, 이라 두자. Bx¢ 상에 고정점을 갖지 않는 불연속군으로 H= {h .. ,n : h., , 다 (w,z) 一 (w, z+mw+n)} 룰 생각하자. 그러면 µ=Bx¢/H 는 복소다양체이다. 그리고 사영 亢:µ― ➔ B 는 해석적 사상이고, 元 -1(w)=Tw, 이때 元는 µ상의 각 점에서 야코 비 안 조건인 위수 (rank) 2 라는 조건을 만족시킨다. 따라서 {Tm : WE B} 는 해석적 다양체족이다. 보가 5.3 위에서와 같이 Tw=¢/G 라 정의하고, 사영 ¢― ➔ ¢/G 를 2 ―구티 로 표시 하자. 단위 개 구를 D= {t : lt l
기가 W 가 아니고, 뿔인 토러스이다• 정의 5.4 M 과 N 을 긴밀 복소다양체라 하자• 이때, 만일 M 과 N 을 요소로 갖는 복소해석 다양체족 {M, : t EB}=µ 가 존재할 때, 죽 M,0 = M, M,, = N, to, t,탁 B 라는 조건을 만족시키는 µ가 존재할 때, N 을 M 의 변형이라한다. 이 책에서는, 주어진 다양체 X 상에 도입할 수 있는 모든 복소구조 는 무엇인가, 그리고 주어진 긴밀 복소다양체 M 으로부터 얻어지는 모든 변형은 무엇인가, 또한 다양체 M 의 충분히 적은 변형은 무엇 인가라는 문제들을 주된 목표로 하고 있다. 정리 5.5 µ={M, : t EB} 를 복소해석 다양체족이라 하자. 그러면 임 의 의 두 점 to, t 1 든 B 에 대 하여 M/o 와 M,, 은 미 분동형 (dif feo mo- rp h i c) 이다. 증명 우리는 정리를 증명하는 데 1C : µ— -B 라는 사상이 COO- 사상이고, 이것의 야코비 안 위수(J acob i an rank) 가 B 의 차원과 같다는 사실만 사용한다. （지금부터 제시하는 증명과 유 사한 논법을 구사하여 다양체의 동형을 증명한 책으로 밀노 (M i lnor) [이 를 들 수 있다) . 우리 는 to 와 t1 을 매 장된 곡선 (embedded arc) r : (-e., l+e) 一 {r(s) : sE(-e., l+e)} 로 연결한다. 그리고 t o 와 t1 을 잇는 곡선은 긴밀집합이니, t o 와 t1 이 하나의 국소좌표에 포함되어 있다고 가정하여도 무방함을 알수있다. 또한 r 는 매장된 곡선이고, 우리는 to =(0,···,0) 근방에 국소좌표 (s, t2, …,t. . ）가 정의되어 있고, r 는 t= (s,0, … ,0) 으로 표시된다고 생각 할 수 있다 . 사상 元의 야코비안 위수가 B의 차원과 같으니, 7r-l(r) =1C-l{(S,0,… ,0 ) : -e
은 µ의 부분다양체이다. 여기서 Jr- I(r) 에 속하는 임의의 일접을 잡 으면, 그 점의 적당한 근방 uj 상에 µ의 국소좌표 {s,x;, ···,x j｝을 잡 을 수 있다. 이때 uj 상에 (감:)j로 주어지는 벡터장을 생각하면, 이 벡터'장은 元*(훑)j=훑 를 만족시킨다. M,0 는 긴밀집합이므로, 위에서와 같은 조건을 만족시 키는 유한개의 {Uj }에 의하여 피복된다. 이계 {cpj}를 {Uj }에 종속하 는 C' －단위분할이라 하고, 벡터장 X = ~ cpj(훑-)j 를 정의한다. 그러면 µ에 있어서의 Mt 0 을 포함하는 개집합 U 상에 X 가 정의되어서 라 (X) =一aas 를 만족시 킨 다. 그리 고 t。 EB 의 근방에 는 (s, x2, …, xn) 형 의 국소좌표 가 정 의 된 다. 그러 면 상미 분 방정 식 의 기 본정 리 (fun damenta l the orem of ordin a ry dif fer enti al equ a ti on ) 를 사용하기 위 하여 M10 상의 긴밀 근 방 V 상에서 1 이고 µ-U 상에서 0 인 Cm- 함수 cp를 택하여 Y=cp X 라 두자. 그러 면 Y 는 µ 상에 정 의 된 완비 벡 터 장 (comp le te vecto r fi eld) 이다. 따라서 다음 조건을 만족시키는 coo- 사상 cp : Rxµ __카 t 가 정의된다. (5. 3) aER 에 대 하여 p—~cpa (P) =cp (a, p) 는 µ 에 서 µ 에 로의 사 상이다. ((55.. 54)) a, /3E R, p든µ 이言 면ac p'P (a s+, ,p ()p )= = 'YP(。p () c p, (P) ) (5.4) 식에 의하여 'P．는 µ에서 µ에로의 동형사상임을 알 수 있다.
독히 s=O 이면,
(5. 7) Mo=I =M I 임을 보이자. 먼저 (5.6) 식을 증명하자. W 상에 좌표변환 (」z ) 一 (\/t :) (::) = (z;:t) 를 생각하자. 그러면 (t』 (二) (\/t :) = （二) 라는 관계식으로부터 t=t= O 이면, M,=M1 임을 알 수 있다. 이제 (5.7) 식을 증명하자. 이 증명을 위하여 W=¢2-{(0,0)} 상에 정의된 임의의 복소 해석함수는 ¢2 상의 복소 해석함수로 확장되 고 확 장하는 방법이 유일함을 기억하자. 이제 M1=Mo, t=t= O 이라고 가정 하자. 그러면 M1 에서 Mo 에로의 해석적 동형사상 j: M, 一 M 。 이 존재 한다. W 는 M t 와 Mo 의 단순연 결 피 복공간 (univ e rsal cover- ing man ifo ld) 이니, f는 해석적 동형사상 f: w ―구 W 를 유도하고. 다음과 같은 교환 가능인 도표 f W』 G I一 W』 G 。 Mt _::7 M 。 f 를 유도한다. 따라서 Gt =f-Io G0°f. 이제 G t의 하나의 생성원(g en e rato r ) 을 gt 라 놓으면 ; gI = f -I g춘 I f. J :w-w 를 f(z I, z2) = [A (zI, z2) , f2 ( zI, z2) ] 라 두자. 그러면 fA (zI,z2) 는 위에서 언급한 바와 같이 ¢2 상의 해석함 수로 확장된다. 이 확장된 함수를 F i라 두자. 그러면, F=[F.,F2] 는
¢2 에서 ¢2 에로의 해석사상이다. 1-1 의 확장을 F 라 두자. 그러면 z 든 W 에 대하여 F(F(z))=z, 그리고 F(F) 의 연속성에 의하여 F(F(O)) =O 이 다. 만일 F(O) =I=0 이 면 F(F(O)) =J-1 (F(O)) =I= O 가 되어서, 모순이 생긴다. 따라서 F(O)=0 임을 알 수 있다. 이제 FA 를 멱급수 전개하면, Fi (zi, z2) = F~z1 + F 祐 + FM+ F~z1Z2 + ... 우리는 f(g ,(z))= g춘 1( f (z) ）임을 알고 있다. 따라서 F[g, ( z)J = (0 ~)±1F(z). 이 식을 다시 쓰면, F1 (az1 + tz2 , az2) = a 士1Fl (zI, z2) , F2 (Ci2I +t22, Ci22 ) = Ci士 1F2 (21, 22) . 이 식을 전개하여 일차항들에 관한 관계식을 쓰면 倒 겁) (o !) = (g 罰껍 蜀 를 얻는다. 위의 관계식이 성립되는 것은 t =O 일 경우뿐이다. 따라서 Mt =f= M대 을 알 수 있다. 보기 5.7 이제 P1 상에 정의되는 P1 을 파이버로 갖는 반들에 관한 보기를 들기로 한다. 이제 P1 = {s : s E ¢ LJ {co} } 으로 표시 하자. 이 때 g 는 F 의 비 제 차좌표 (nonhomog e neous coor-
에 대하여 만일 s1 = zrs2, 21 = 一Z12 일 때, (zh Sl) 之 (z2, g2) 라 정의하자. 그리고 AfCm ) = { U1 X P1} LJ { U2 X P 사/之 이라 두자. 이제 m>l 이라 하자. 그러면 Mo=MO, t *0 인 모든 t 하에고 ,관 한 M=M( t)인 변형이 있음을 증명하자. k=--2¼ -(m- l)로 고정 Zl= 一Z12 SI = Z2s2+t z; 라는 관계가 있을 때 (zJ, g1) 소 (z2, g2) 라 정의하고, M, = { U1 X P1} U { U2 X P1}/,!_, 이라 정의한다. 그러면 {M, : t E¢} 는 복소해석 다양체족이고, Mo= M( .. )임을 쉽게 알 수 있다. t=I= 0 인 경우에 M,=Mc i)임을 보이자. M 겨 정의에 나오는 U1xP1 의 Pl 위에 새로운 좌표 giz=ts '1극- t 몰 도입하자. 그리고 U2xP1 의 P1 위에는 g; = tzm -kg +t2 라는 좌표를 도입한다. 그러면
Zg1lZ 2= = z 참l, '2+ t z; 로부터 S; = zm-:z. S ; 라는 관계식을 얻는다. 따라서 새로운 좌표 사이의 관계식은 ZIZ2 = 1, SI = 2~S2· 따라서 t=i=O 이면, M1=M'1) 이다.
제 2 장 쉬프 코호모로지 제 1 절 벡터속 이 절에서는 앞으로 응용될 벡터속에 대한 기본적인 사항들을 기술 하고, 유용한 몇 개의 예들을 들고자 한다. 이 절에서 K 는 실수공간 R 혹은 복소공간 ¢를 표시한다. 정의 1.1 1r: : E ➔ X 가 하스도프공간 E 에서, 하우스도프공간 X 상 으로의 연속사상일 때, 다음과 같은 조건이 만족되면, (E,X, 元)를 위 수 r 인 벡 터 속 (vecto r bundle) 이 라 한다. (1) p든 X 에 대하여 E p=7r: -l( p)는 r 차의 K- 벡터공간이다. Ep를 P 상의 파이 버 (fibe r) 라 한다. (2) 각 점의 p EX 에 대하여 p를 포함하는 하나의 개집합 U 와 하 나의 동상사상 (homeomorph i s m ) h : 亢 -I ( U) ➔ U x K 겨 존재 하며 , h(Ep) c PxK', 그리고 합성함수 hP : E p_ ➔ PxK' ~ K' 은 K- 벡터 공간의 동형 사상 (iso morph i s m ) 이 다. 위의 정의에서 주어진 (U,h) 를 벡터속의 자명한 국소좌표(l ocal tri- v i al i za ti on) 이라 한다. 벡터속 1r: : E ➔ X 가 주어졌을 때, E 를 전공 간, X 를 대 (base s p ace) 라 하고, 그리고 E 를 X 상의 벡터속이라고
도 부른다. GL(r,K) 로 역원을 가진 7 차의 행렬둘이 이루는 군을 표 시하자. 두 개의 자명한 국소좌표를 각각 (Ua,ha) 와 (Up ,h, ）로 표시 하면, ha0hp- 1 : (Uan Up ) xK~ 一 (Uan Up ) xK ' 는 동상사상이고, 이 동상사상에서 유도되는 사상으로 ((11.. 21)) gg.app (:p )u =.n / zU~ o p (➔hi )G-LI ( :r ,KK') ➔, K 라는 사상들을 얻는다. 이 때 사상 ga~ 를 벡 터 속의 변환사상 (tra nsit ion fun cti on ) 이 라 한다. 벡 터 속 JC : E-X 의 변환사상은 다음과 같은 조건을 만족시 킨다 : (1. 3) ggg,ro g ra = L, L 은 행렬의 항동사상을 값으로 하고 Uanu,nur 상에 정의되어 있다. (1. 4) gaa = L, L 은 U. 상에 정의된다. 정리 t.2 JC :E ➔ X 를 위수 r 인 K- 벡터속이라 하자 . 이때 E,X 가 cco.- 다양체, 元가 CCO 사상, 국소좌표가 CCO- 미분동형사상이면, 이것을 C- 벡터속이라 한다. 같은 방법으로, 해석적 벡터속, 복소해석적 벡 터속, 그리고 C 『-벡터속들을 정의한다. (여기서 er 은 어떤 사상의 r 째 편도함수가 모두 연속함수임을 의미한다.) (1. 3) 그리 고 (1. 4) 를 만족하는 변환사상을 이 용하여 벡 터 속을 만 드는 방법을 알아보자. cco- 다양체 X 상예 개피복 (o p en coverin g ) {Ua} 가 주어져 있고, 공 집합이 아닌 Uan u, 에 대하여 C 포함수 ga, : Uan U, 一 GL(r, K) 가 주어져서 조건 (1.2) 그리고 (1.3) 을 만족시킨다고 하자. 그러면
{g.p}를 변환함수도 가지는 벡터속 7C : E ➔ X 를 만들 수 있다. E= U u.xK ' a 라 두자. 여기서 U. 와 U, 가 서로 다른 집합이면, U.xK•nUp x K' 는 공집합이라고 생각한다. (x,V)EUp x K', (g ,w)EU.xK 『 일 때, y= x 그리고 w= g.p (x)v 일 때, 한하여 (x,v)~( g ,w) 라고 정의하면, 이것은 E 상의 하나의 동치관계를 이룬다. 동치관계 ~를 E 에 적용 하여 얻 어 지 는 상공간 E=E/~ 에 상위 상 (qu ati en t top ol og y) 을 주고, JC : E ➔ X 를 JC (x,v)=x 라고 정의한다. 그러면 E 는 COO- 다양체이고, 또한 위수 r 인 COO- 벡터속임을 알 수 있다. 보기 1.3 U 를 Rn 상의 개집합이라 하고, 그리고 (X1, …… ,Xn) 을 R 의 좌표함수라 하자. 이때 점 P 에서의 임의의 집벡터 (tan g e nt vecto r ) 써는 V p=ti a;¾IP 로 표시된다. 점 p에 주어진 모든 접벡터의 집 합을 T p (U) 라 하면, 이것은 n- 차원 벡터공간을 형성한다. (l. 5) T(U) = pUE U T p ( U), 라 두고 JC : T(U)-U 를 7C(V p )=P 에 의하여 정의하면, (1.5) 는 CCO- 벡터속을 이문다. 이때 ¢ : T(U)-U xRn 을 ¢(도궁숙上 )=(aI, …… ,an) 에 의하여 정의하자. 그러면 #는 마 분동형사상이고, 또한 #는 벡터공간 Tp (U) 를 Rn(=PxRn) 으로 가져 가는 벡터공간의 동형사상임이 명백하다. 보기 1.4 M 이 다양체일 때, :r :MxK 『一 M, 울 :r (m,v)=v 로 정의하면, (MxK',M, :,c)는 벡터속을 이룬다. 이와 갇이 벡터속의 전공간이 대와 벡터공간의 직적으로표시되고, 元가.Al 영 사상일 때 벡 터 속을 자명 한 벡 터 속 (trivi a l bundle) 이 라 한다.
보기 1.5 M 을 다양체라 하자. Tp (M) 을 점 p EM 에서의 전벡터 (tan g e nt vec t or) 들의 집 합이 라 하자. 그리고 T(M) = pEU M T p ( M) 이라두고, 1e: T(M) ―며 을 tc( v)=P, vET,(M) ，에 의하여 정의한다. T(M) 이 벡터속을 이 루는 것을 보이 자. 다양체 M 의 하나의 국소좌표를 (Ua, ha) 라고 하 자. 그리 고 국소좌표를 (x1, …, Xn) 이 라 하면, PE Ua 에 대 하여 T, (M) 은 n 차원 벡터공간이고, 꿉 1C-1(Ua) = T(Ua)~ UaxRn 을, dha (v,) =~ a, 명ka- 1 에 대 하여 ha'
i d 는 Rn 의 항등사상일 때, H 。 o rp a 를 T(U.) 상의 국소좌표사상으로 보는 것이 옳다.) 보기 1.6 지금 M 을 n 차원 복소다양체, (zi, Z 2,Z3, ••• '%）을 정 p를 포함하는 개집합 U 상에 정의된 국소복소좌표라 하자. 지금 M 을~ 2n 차의 실다양체라 하면, 보기 1.5 에서 정의된 점 p에서 실접속벡터들 은 2n 차원 벡터공간을 이루고 Zj = Xj +iyj 라면, TR,p ( M) = R{ 훑「' 곱} 로 표시된다. 여기서 {了:―’ 了尉-}j =l,2, … ,n 은 이 공간의 기저(b as es) 임을 나타내고 있다. 따라서 TR(M) 은 위수 2n 의 벡터속을 이룬 다• T¢,p ( M) = TR,p ( M) ®따 여 기 서 鷄 는 덴 서 적 (ten sor pro duct) 을 표시한다. 그러면 Tt, p( M) = 이훑 옳} =이훑훑} 로서 2n 차원 복소벡터공간을 이룬다. 그리고 Tt (M)=UTt ,p (M) 은 pE M 위수 2n- 차의 복소벡터속을 이룬다. Tp (M) = 이훑} 는 점 p 에 서 해 석 적 집 속벡 터 공간 (holomorph ic tan g en t spa c e) 라고 부른다. 그리 고 Tp (M) = 어궁計 를 점 p 에 서 공액 접 속벡 터 공간 (anti ho lomorph ic tan g e nt spa c e) 이 라고 한다. 그러 면 Tt, p (M) = Tp (M) EBTp (M) 죽, 직화 (d i rec t sum) 로 표시됨온 명백하다. 이때
T(M) = PUEM T p (M) 은 위수 n 인 복소백터속이다. 이때 벡터속 T(M) 을 정의하는 변환사 상이 복소해석함수임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 T(M) 은 복소해석 공간, 사영 1e : T(M)-M 도 복소해석사상이다. 벡터속 T(M) 은 해 석 적 벡 터 속 (holomorph ic bundle) 이 다. 도움말 이때 T(M) 는 M 을 실다양체 (r~al man ifo ld) 로 본 T(M) 과 다른 기호이다. T(M) = U T'p( M) pE M 역시 위수 n 인 복소벡터속이나, 복소해석 벡터속은 아니다. 정의 1.7 C 오벡터속 따 : E ➔ x, 그리고 따 : F ➔ X 가 주어졌다고 하자. C CX)-사상 f : E ➔ F 가 다음 조건을 만족할 때 C CX)-벡 터 속준동형 (ho momorph is m of C00-bundle) 이 라고 한다• (1) E元 s \一 I ! 따F X 죽, 사상 f는 fibe r E, 몰 F, 로 보낸다. (2) f는 E, 상에서 K- 선형사상이다. 복소해석 벡터속 혹은 해석적 벡터속의 준동형도 감은 방법으로 정 의한다. coo- 준동형 f: E-F 가 주어졌을 때, J-1 : F-E 가 역시 coo 一 벡터속준동형이면, f를 coo- 벡터속동형이라 한다. 두 개의 K 젝터 공간 A 와 B 가 주어졌을 때, 다움과 같은 새로운 벡터공간을 구성할 수 있다. 예를 들면; (1) AE E)B , 벡 터 공간의 직 화. (2) A@B, 벡터공간의 텐서적. (3) A*, A 에서 K 에로의 선형사상. (4) /\$A, 벡 터 공간 A 의 s 위 외 적 (exte r io r pro duct) .
위와 같은 연산을 모두 벡터속에 연장 할 수 있다. 지금 위수 k 안 벡터속 E 가 (1.2), (1.3) 을 만족하는 변환사상(g a, ）에 의하여 주어 졌고, 또한 위수 l 인 벡터속 F 는 (ha, ）에 의하여 주어졌다고 하자. 그러면 (1)/ 변환사상 J.a, = (g0' u?,) E GL (K 떤 K') , 에 의하여 주어지는 E®B, (2)' 변환사상 J.a , = g a 足 ) h 야 E CL (Kk®K') , 에 의하여 주어지는 E®F, (3)/ 변환사상 ja, = I g김 E GL (Kk) , (여기서 t는 전치행렬을 표시한다.) 에 의하여 주어지는 E* , (4)/ 변환사상 J.a, = /\'gap 에 의하여 주어지는 /\SE 를 구성할 수 있다 . (5) 특히, E 가 복소벡터속일 때, 변환사상 m= 죠 EGL(¢k) 에 의하여 정의되는 복소벡터속을 E 로 표시하고 (벡터속 E 의) 공액 벡터속이라고 부른다. 정의 1.8 元 : E 一 X 를 CC0 벡터속이라 하자. 이때 E 의 부분다양체 F 가 다음 조건을 만족하면, F 를 E의 CC0- 부분벡터속이라 한다. (1) F/ \Ep 는 Ep 의 부분벡 터 공간 (2) KIF : F-x 는 벡터속 E 의 구조에 의하여 유도된 벡터속의 구 조를 가진다. 죽, E 와 F 의 국소자명한 좌표들을 적당히 택하면 아 래 와 같은 도식 (dia g ram ) 이 성 립 한다.
EItl u- U IxiKd x' j Flu_-U xKs, s 찰, 여 기 서 j 는 부분벡 터 공간 KS 를 Kr 에 포함시 키 는 (inc lusio n ) 사상이 고, 또한 i는 부분공간 F 를 E 에 포함시키는 사상이다. 벡터속의 준동형, 동형들에 관한 이론을 전개할 때, 종종 선형공 간른에서 사용되는 용어를 사용한다. 예를 들면, f: E-F 가 공간 X 위에 주어진 K 젝터속들의 준동형사상일 때, 다음과 같은 것을 정의 한다. Kerf = U Ker/, pE X Im f= U Im fp pE X 더욱, fp가 E p _-F p에로의 선형사상으로 P 에 관계하지 않는 상수 위수 (cons t an t rank) 를 가질 때 f는 X 상에서 상수위수를 가진다고 이야기한다. 정리 1.9 f: E-F 를 C CX)-벡터속준동형이라 하자. 만일 1 가 X 상 에서 상수위수를 가지면 Ker/ 와 Im f는 각각 E 와 F 의 C CX)-부분벡 터속이다. 특히 f가 단사 혹은 전사 (sur j e cti ve) 이면 f는 상수위수를 가진다. 위 정리의 증명은 쉬우므로 독자에 맡긴다. 다음과 같은 공간 X위에 주어진 벡터준동형열이 주어졌다고 하자. E__!__F~G-… 이때 Ker g =lm f이면, 준동형열은 F 에서 정확하다 (exac t)고 한다. 벡터준동형열 o_E __J > F 一g G ― ➔ O,
에서, 이 준형열이 E, F 그리고 G 에서 모두 정확하다면, 이것을 단 정 확열 (short exact seq ue nce) 이 라 한다. 위 와 같은 단정 확열 에 서 , f 는 단사, g는 전사, 그리고 Im/=Ker g는 E의 부분벡터속이다. 단 정확열은 호모로지 (homolo gy)론에서 특별히 유용할 것은 명백하다. 벡터속을 이해하는 데 도움이 되논 일반화된 함수개념을 정의하고 자한다. 정의 1.1 0 1e : E-X 를 coo- 벡터속이라 하자. 元 0s=lx 를 만족시 키 는 COO- 사상 s : X-E 를 벡 터 속의 C 포섹 션 (secti on ) 이 라 한다. 일반적으로, x : E-X 가 해석적 혹은 복소해석벡터속이면, 해석 적 섹션, 혹은 복소해석섹션 동을 정의할 수 있음이 명백하다. X 상 의 모든 섹션을 표시하는 데 I' (X,E) 라는 거호가 흔히 쓰인다. 보기 1.1 1 M 을 cco- 다양체, 그리고 MxR 을 자명한 벡터속이라 하자. 그러면 모든 cco＿ 섹션의 집합 I' (M,MxR) 은 M 상에 정의된 cco- 함수들의 집 합과 같다고 볼 수 있다. 또한 I' (M, Mx R) 은 M 에 서 Rn 으로의 cco －사상의 집 합과 같게 볼 수 있음을 알 수 있다. 벡터속 1r : E ― -x 가 주어졌을 때 X 의 개집합 U 에 대하여, U 상 의 벡터속 Elu=U E p를 생각할 수 있음은 명백하다. 벡터속 지 E. : pE U Elu ― ➔ V의 모든 섹션의 집합을 I' (U,Eu) 로 표시한다. 그리고 fE I' (U,Eu) 이면 f를 벡터속 1r : E-X 의 U 상의 섹션이라 부른다. 도움말 1r : E ― ➔ X 가 C( 혹은 해석, 복소해석)속일 때 I' (X,E) 는 cco( 혹은 해석, 복소해석) 섹션들의 집합을 표시하는 기호로 쓴다. 때 에 따라서는 I' (X,E) 가 특별한 섹션, 예를 들면, 연속적 섹션 혹은 C 『-섹션 등을 표시하는 기호로 쓰일 때도 있다. I' (X,E) 가 어떤 섹 션들의 집합인가는 대개의 경우 문맥에 의하여 알 수 있다. 그렇지가 못할 때는 I' (X,E) 에 대한 설명을 붙이기로 한다. 도움말 cco- 벡 터 속 1r : E-X, Ceo －섹 션들의 집 합 I' (X, E) 가 주
어졌을 때, (1) s, t E I' (X,E) 에 대하여, s+ t를 (s + t) (p) =s (p) + t (p) , pE X, 로 정의하면, s+ t도 역시 I' (X,E) 에 속한다. (2) I: M — ➔ K 를 cco- 사상이라면, f os 를 (/0s)(p) = f(P ) • s (p) , pE X 로 정의하면, f0s E I'(X, E). (3) aEK 일 때, as 를 (as) (p) =a(s( p)）로 정의 하면 as 역 시 cco- 섹션임이 명백하다. 또한(1 ),( 1()3 )과 에 (2의) 하에 여의 하I' 여(M ,IE') (M 는, EK) 는상 의C 00벡 (M터)공 =간 {을M 상이의름 이K 값 명을백하 가고,지 는 cco- 사상} 상의 가군 (module) 임 이 명 백 하다 . 이 와 같은 섹 션 들의 집합의 대수적 구조는 M 의 구조를 연구하기 위하여 여러가지 호모 로지 (Ho molog y) 이론을 도입할 수 있게 하고, 또한 유용하게 쓰임을 곧 알 수 있게 된다. 제 2 절 미분형식 이 절 에 서 는 앞으로 쓰게 될 미 분형 식 (dif fer enti al for m) 에 관한 것 울 간략하게 기술하고자 한다. M 을 n- 차원 C00- 다양체라 하자. 그 러면, 앞절에서, 접속벡터 T(M)-M 그리고 이것에서 유도된 T*(M) 一 M, /\1T * (M) 一 M 및 /\1T(M) 一 M 등을 구성할 수 있음을 알았다. U 를 M 에 속하는 하나의 개집합이라 하자. 이때, ^'T*(M) 에 있어서 U 상의 C『-단면 (secti on )
접 t EU 일 때, 점 t 근방에 정의된 국소좌표계를 x=(x 1, ···,x) 이 라면, 위수 P 인 미분형식 로 표시 된다. 그런데 양rp a, ••· a,/OXPOX 0 는 /3, a 에 대하여 대 칭 이고, d 갔 /\d갔 는 의 사대 칭 이 다 . 따라서 ddrp = O 을 얻 는다. (2. 3) 의 표현은 국 소좌표 x 가 정의된 영역상에서 유효한 식이다. 이 표현이 국소좌표에 관계 없이 정의됨 (well de fi ned) 을 보이는 것은 독자에게 맡긴다. 또 한 안남의 정의에 의하여 주어지는 식 (2.2) 에 d 의 연산을 행하면, 굶q,a!{ ,a,(~ c/JfJ, ··· fJ o+ rp a, • • • a, 합r ) fJI, •••• f Jq dxa I\ dxa1 I\…I\ dxa, I\ dxfJ1 / 사 • ·/\ dxfJ• = 」p!q! a ,a I2, ... ,a , a 中a아xa ·· a, #fJI. .. fJq d xa I\ dxaI I \…I\ dxa, I\ fJ,. … .f Jq dxP1 /\···/\ dx fJ •, +꿉 a, 곤 , a,(-1) 隔 a,~dxa,I\ ···I\ fJl· ••• ,fJq = ddrp x ^a, I#\+ d x(a— I 1\) d1xrPp 1I I\\ d…¢,I \ dxfJ • 죽 (2.2) 를 얻는다. (증명끝) 정리 2. 2 뽀앙카레 예비정리 (Po i ncare Lemma) 개집 합 WcRn 이 0 에 대 하여 성 형 (sta r shap e d) 이 라 하자. 만일
d
로 표시 된 다. dw=O 이 나 aw 아 .. a,/o;'\,'=0 이 라는 식 을 얻 는다. 따라서 w 는 x .. 에 관계없는 (x\… … ,x .. ）만의 함수이다. 따라서 수 학적 귀 납법 의 가정 을 적 용하여 w=da 인 a 를 얻는다. 결국 cp= d(
도움말 (1) 표현 (2. 6) 에서 텐서적 ( ® )은 의적 (^）으로 대치하여도 벡터공간으로서 동형인 것을 얻는다. 따라서 (2.6) 의 ® 는, 앞으로 나오는 미분형식에서는 외적 A 로 되어 있다고 생각하여 사용할 때가 많다. (2) d 강 와 dzP 는 혼용한다. cp 가 l\ lT t (M) 의 하나의 단면이면 cp (z) E p圈+qf= l \ PT: (M) @l\qf: (M) ] 임을 알 수 있다. ^1T t (M) 에 대한 M 상의 모든 cco- 단면을 A' 로 표시하자. 그러면 AM (M) = {
로 표시될 때; a5<
라는 관계를 만족시킨다. 증명 a>0 일 때 U(zo,a)={z: lz-a|< 라이라고 하자. 지금 일접 zoEU 를 고정하고, U(zo,2E)cU 를 만족시키는 e>0 을 택한다. 그 리 고 LI (zo, 2 든) 밖에 서 0 만을 취 하는 g1 ( z) , 또한 LI (zo, 리 내 에 서 0 값만을 취하는 g 2(Z) 의 택하여 g (z) = g1 ( z) +g2 ( z) 가 되도록 하자. 그러면 f2( z) = 2 元 ✓l 각I Ug 2(w) dww/\-dzw 는 U(zo, e) 상에 서 COO- 함수이 다• 또한 U(zo, e) 상에 서는 훑f2 (z) =2 亢;국{½(만 )dw/\dw=O 가 성립한다. 죽 f2 (z) 는 U(zo,e) 상에서 복소해석함수이다. 또한 g 1(Z) 는 U(zo,2e) 상에서만 영이 아닌 값을 취할 수 있으니, 2 亢됴Ju g I (w) dww/\_: 교 = 巧1 J¢g 1 (w) dwW/ 一\ dZ 귬 = 2 元 ¥TJ 8 (U+z) du: 円 (단, u = w-z) 라고 쓸 수 있다. 극좌표 u=re10 에 의한 변수변환을 행하여서 f1( Z ) = 감J g1 ( z + re18) e-10dr /\ d0 로 표시하면, [1(Z) 가 z 의 C°- 함수임이 명백하다. 그러면 멀z ) = -i L 롱 (z+re10) dr /\ d0 = - 겁깁릅「 dww/\_: 교 ’
라는 식 을 얻는다. 이 식 에 일 반화된 코시 적 분공식 (Generali ze d Cauchy Inte g ral Formula) h(z) =~각fa u~dw+~ 각 l 을 dw/\d 石, 라는 공식을 적용한다 . 그런데 g1 은 aU 에서 0 이니, at I /8Z= g I(z) 라 는 결과를 얻게 된다. （증명끝) 지 금
rp = 士 a( 11dz1 I\ d7J 1 ) 임을 알 수 있다. 따라서 정의를 (0,q ) 미분형식의 경우에만 증명하 면 된다. 먼저, P 가 U(r) 상의 (0,q ) 미분형식으로서 i3tp =O 이면, s
라 두자. 그러면(정리 2.4) 에 의하여 경a기 r (z) =
心 k+1 = a+5g 라두면, ¢• E Ap ,q-i (U(r)) 이고, U(rk) 상에서 秘=cp 이다. q에 대한 수학적 귀납법으로 증명하고자 한다. 위와 같이 #k 를 경 의하였다고 하자. 그리고 aEA0• q-i (U(r) ）로서 U(r 1r+ 1) 상에서 aa=cp 가 되는 a 를 택하자. 그러면, U(r,,) 상에서, 5(#k-a) =O 이다. 만일 qz:2 이면, {3 EA0• q -2(U(r) ）이고, U(r 1r-1)상에서 ap = 1q- a 를 만족시키는 8 를 택할 수 있다. 다시 心/r＋ I = ct+ a/3 라두면, 秘 +I = act =
8¢ = cp 이다. 이제 q =l 인 경우를 증명하자. 이때 aEC00(U(r) ）이고, ci a= 平리 는 식이 U(r.+1) 에서 성립되는 a 를 택하자. 그러면 #h_a 는 U(r.) 상 에서 복소해석함수이다. 따라서 원점 근방에서 멱급수 전개가 가능하 다. 이 멱급수의 유한개의 항으로 만들어진 다항식 f3를 택하며, I (
제 3 절 쉬프 1 쉬프와 프리쉬프 (shea f and pre sheaf) 이 절에서는 앞으로의 연구에 필요한 쉬프의 이론과 쉬프코호모로 지 (sheaf cohomolog y) 이 론들을 약술하고자 한다. 다음과 같은 용어 둘이 이 절에서 사용된다. X 를 위상공간이라 하자. 위상공간 X 의 개 집합족 {Ua} 가 X 의 기저 (bas i s) 라 하는 것은, X 의 임의의 개집합이, 주어진 집합족에 속하는 개집합들의 합으로 표시되는 것을 뜻한다. {U;} 가 위상공간 X 의 개피복 (o p en cover i n g)이라는 것은, 각 u, 가 개{U집;}합 가이 고온,당 한X( p가 r o {pU e;r}) 의피 복합이으라로는 표것은시,되 는첨 자것 i을,j 가의 미다한르다면. u,개 와피 u복j 가 상이한 집합임을 말한다. 개피복 {Uj }J E J가 개피복 {U,},e1 의 세 분이라는 것은, 각 u j가 적어도 한개의 U; 의 부분집합임을 뜻한다. 두 개의 개피복이 호상세분 (con fi ne) 이라는 것은, 각각이 다른 하나의 세분임을 뜻한다. 정의 3.1 • .J= (S,x,X) 가 다음 세 가지 조건을 만족시킬 때, 』를 X 상의 쉬프라 한다. (1) S 와 X 는 위상공간이고, x : S ― -x 는 연속인 전사사상이다. (2) 각 a 든 S 에 대하여, a 를 포함하는 적당한 개근방 UcS 를 택 하면, 사상 러 u : u-x(U)cX 는 동상사상이 다• 지금 x-1(x)=Sz 라 표시하자. 이때 s ;r를 x 상의 줄기 (s t alk) 라 한 댜 (3) 각 줄기 Sz 는 가군 (abelia n ·gr ou p) 이 다. a, PESz 일 때 , a 士 8 ESz 이고, 이 연산 -와 +는 모두 연속이다. 도움말 ® 위의 정의에서 군의 연산아 연속이라는 것은, S(E >S ={(a, 8)ESxS : x(a)= 짜 8) ｝가 SxS 의 부분공간으로서 위상을 가질 때, (a, p)＿ ➔ (a- p)에 의하여 정의되는 사상 S EE> S-s 가 연속이라는 것을 뜻한다. ® (1) , (2) , (3) 에 의 하여 z __x 0z (Oz 는 줄기 Sz 의 zero element)
에 의하여 정의되는 사상 x-s 가 연속임을 알 수 있다. ® 위의 정의에서 (3) 을 변경하여서, 각 줄기가 임의의 대수적 구조 를 가지는 쉬프를 정의할 수 있다. （예 를 들면, 환 (r i n g)의 구조를 가 진다라고 정의한다.） 이때 대수적 연산이 모두 연속일 것을 요구한다. @ 이 절 에 서 각 줄기 s' 가 환 K 의 K- 가군 CK-module over the fixe d rin g K) 임을 요구할 때가 많다. 이 경우에는 위의 조건 (3) 에, aES:c, kEK 일 때, ka 든 S', 그리고 a-ka 에 의하여 정의되는 사 상 s-s 가 연속임을 추가한다. ® 앞으로 모든 쉬프는 가군쉬프, 혹은 K- 가군쉬프(단, K 는 고정 된 환임)임을 가정한다. 그리고 모든 이론은 가군쉬프일 경우에 증명 한다. 그러나 각 증명을 적당히 변경시키면, K- 가군쉬프의 경우도 성 립함을 쉽게 알 수 있다. 정의 3.2 .J =(S,x,X) 와 1=(5,x,X) 를 X 상의 쉬프라 하자. h : 』一J가 쉬프준동형이라는 것은, 다음과 같은 조건을 만족시키는 것을 뜻한다. (l) h : S 一 S 는 연속사상이다. (2) 7!=7th, 즉 각 xEX 에 대하여, h 는 S.,, 를 s.,, 로 보낸다. (3) 각 루 X 에 대하여, h 를 S.,, 상에 제한한 사상 h.,,:S.,,_ 홉조 는 가군의 준동형이다. 위의 조건 (1), (2) 에 의하여 h 가 S 를 5 로 가쳐가는 국소동형 (loc al homomorph is m ) 사상임을 알 수 있다• 만일 lt z 가 모두 1 대 1 사상일 때 lt 를 단사라고 한다. 또한 h 가 전 사라 함은 hn 가 모두 전사임 을 뜻한다. 그리 고 h 가 동형 사상 (iso mor- phi sm) 이라는 것은 h.,, 가 모두 동형사상임을 의미한다. 위상공간상의 쉬프는 다음에 정의하는 프리쉬프를 사용하여 구성 하는 경우가 대부분이다. 쉬프를 직접 구성할 수 있을 경우도 프리쉬 프를 동하여 구조를 보면 쉬프의 구조가 더 명백히 보이는 경우가 많 다.
정의 3.3 위상공간 X 의 하나의 기저 {U}=U 에 대하여, UE{V} 이면 하나의 가군 Su 가 대응되어 있고, 주어진 기저에 속하는 두 개 의 개집합 Uc U에 대하여, 군의 준동형 ri : Su 一& 가 대응되어서, 이들 군과 준동형이 다음의 두 가지 조건을 만족하면 프리쉬프라 한다. (1) U 가 공집 합이 면, Su 는 영 (zero) 하나로 된 군이 다. (2) rg : Su 一 Su 는 항등사상이 다. 만일 Wc Vc U 이 면 , rl? = r:or~ 이다. X 상에 프리쉬프가 정의되어 있을 때 항상 그것에서 유도되는 쉬프 를 구성할 수 있다. 위의 정의에서와 같이, X 위에 프리쉬프가 주어 져 있다고 하자. (i) xEX 에 대하여 x 를 포함하고 (프리쉬프의 정의에 주어진) 기 저에 포함되는 개집합족을 U 츠로 표시하자. Ur 에 속하는 집합은 포 함관계 에 의 하여 부분순서 족 (pa rti al ly ordered fam i ly ) 을 이 룬다. 따 라서 우리 는 직 극한군 (dir e c t lim i t gro up ) Sr = dir . lim Su UEU 드 를 정의할수있다. 지금 S t =UUESUzu 라두고f ESu, 그리고g ESv 일 때, 만일 WEU 츠, wcunv, 그리고 제(f )=r1~( g)를 만족시키는 W 가 존재하면, t와 g가 동치관계 (~）에 있다고 한다. 그러면 s:1~=S.,, 즉 s: 를 ~에 의하여 분류한 동치류의 집합이 S 갑이다. fE Su 이면, f 는 s 에 들어가는 하나의 요소 f. ,ES., 를 결정한다. 이때 f.,·를 f에 의하여 결정된 점 x 에서의 붕아(g erm) 라 한다. 위의 정의에 의하여 f ESu, g ESv 일 때, f츠=g.,일 필요충분조건은 적당한 W 에 대하여 서(f) =r1~(g) 이 다. (ii) rCf : Su 一요 를 rCf (fu) = f.,, 죽 fE Su 를 f 에 의 하여 정 의 된 점 x 에서의 붕아에 대응시키는 사상이라 하자. f군와 g=김(g v) 의 + 연산울 생각하자. 이때, wc un v, WEU 거면, 서(fu ) 와 r:( g v) 가 정의된다. 그
러면 f너-g:r＝댐(제(fu )+ 서(g v) ）로 정의한다. 이 +에 대하여 S :r는 가군이다. (iii) S=US' 의 위상온 다음과 같이 정의한다 . .zE X fu ESu 이면, 모든 점 y드 U 에 대하여, fu 는 S y 3/y =제(fu ) 를 결정 한다. 따라서 각 fu 에 대하여, U( f)={fy :y EU} 는 S 의 부분집합 이다. 이 {U (f)x}를 S 상에 주어질 위상의 기저로 잡는다. (iv) 7C : s-를 7! (/:r) =x 라고 정 의 한다. 위 의 (i) ' (ii) ' (iii) 과 (iv) 에 의 하여 정 의 된 (S, 7!, X) 가 쉬 프가 됨 은 명백하다. 이것을 프리쉬프 {Su,r~} 에 의하여 구성된(＝유도된) 쉬프라 한다. 도움말 번거로운 설명을 피하기 위하여서, 이하 프리쉬프를 논할 때의 기저는 위상공간의 모든 개집합들로써 구성된 경우라 생각한다. 정의 3. 4 'Jl= {Su, r~} , 'Jl= {Su, r~} 가 X 위 에 주어 진 프리 쉬 프들이 라 하자• 이때 각 개집합 U 에 대하여, 준동형 hu : Su-Su 가 주어져 있고, U:::::>V 이면, 다음과 같은 도표가 옳을 때, s, —hu ? Su 』 r8 』 7 t Sv _!:_누 ➔ Sv 죽 hv· 셉 =h 硏 r t가 성립할 메, h={hu} 를 프리쉬프 준동형이라 한다. 준동형 h 가 단사(전사, 동형)이라는 것은 hu 가 단사(전사, 동형)임 을뜻한다. 프리쉬프 %가 프리쉬프 元의 부분프리쉬프라는 것은, 각 개집합 U 에 대하여 Su 가 Su 의 부분가군이고, VcU 일 때 r~ 는 7 t를 Su 상에 제 한 (restr ict i on ) 한 사상과 같음을 뜻한다. % 가 屈 의 부분프리 쉬 프이 면, 상프리 쉬 프 (qu ot ien t pre sheaf) 5l/% 는 각 개 집 합 U 에 Su/Su 를 대옹시켜서 정의할 수 있다. 만일 h: 筑~筑’가 프리쉬프준동형이라 면, h 의 핵 (kernel) 과 h 의 상 (im ag e ) 은, 각각 ':Jl 와 筑’ 의 부분프리 쉬 프이다. h 의 핵은, 각 개집합 U 에 hu 의 핵을 대응시키는 프리쉬프이
고, h 의 상은, 각 U 에 hu 의 상을 대응시키는 포리쉬프이다. 쉬프 .J =(S,x,X) 와 .J =(5, if ,X) 가 각각 프리쉬프 ?t와 젊로부터 구성된 쉬프라 하자. 그러면 준동형 h : 'Jl - i는 』로부터 3 에로의 준동형을 유도한다. 이 준동형을 역시 h 로 표시하자. 이때 유도된 준동형 h : 』_.J는 준동형 h:x: : S_ 一 .5z 에 의하여 결정된다. 만일 aES:x: 가 fES u 에 의 하여 결 정 된 붕아이 면 , 붕아 h:x: (Cl) 는 hu (fu) 드 5U 에 의하여 결정된 것이다. 위의 방법에 의하여, 준동형 {h 서둘의 직국 한 (dir e ct lim it ) h:x: : S ― ➔ s 가 정 의 된다• 지금까지 프리쉬프로부터 쉬프를 구성하는 방법에 관한 것을 이야 기하였다. 이제 쉬프가 주어졌을 경우에, 프리쉬프를 얻는 표준적인 • 방법에 관한 것을 이야기하고자 한다. 정의 3.5 U 를 위상공간 X 의 개집합, 그리고 .J =(S,1r,X) 를 주어 진 쉬프라 하자. 이 경우, s : u ― ➔ S 가 연속사상, 그리고 s 를 U 상 에서의 쉬프 』의 단면 (sec ti on) 이라 한다. 이제 X 의 각 개집합 U 에 대하여, U 상의 단면(쉬프 』의 단면) 전 체집합을 I' (U, 』)로 표시한다. 그러면 I' (U, 』)가 사상의 덧셈에 대 하여 가군임은 명백하다. 두 개집합 VcU 에 대하여, ri: I'(U, .J ) 一I' (V, 』)를, U 상의 단면 s 에 대하여, s 를 V 상에 제한한 (res tri_ cted ) 단면을 대응시키는 방법에 의하여 정의하면, r i는 가군의 준동 형이다. 이 경우 V 가 공집합이면, I' (V, 』）는 영원으로된 가군가는 모든 요소를 영원으로 사상한다고 생각한다. 그러면 {I' (U, 』 ),r 깝가 하나의 프리쉬프임은 거의 명백하다. 이 프리쉬프를 쉬프 』의 표준적 프리쉬프라 한다. 이 경우 표준적 프리쉬프로부터 다시 유도된 쉬프 는 원래의 쉬프 』가 된다(더욱 정확히 이야기하면 』와 동형인 쉬프 가 된 다) . 이 들 이 론의 더 욱 상세 한 설 명 을 참고하고자 하면 (Gu nning Ross 超〕） 등이 비교적 평이하고, 이 책에서 논하논 이론에 도움이 될 것으로 생각한다.
2 쉬프의 예 이 책에서 많이 쓰이는 쉬프의 예들을 들어 보기로 한다. 대부분의 경우 쉬프를 표현하는 것보다, 쉬프를 구성하는 데 쓰이는 프리쉬프 를 표현하기가 쉽다. 따라서 대부분의 경우 프리쉬프에 의하여 쉬프 를 표현하기로 한다. 보기 3. 6 상수쉬프 (consta n t sheaf) X 를 위 상공간, 그리 고 A 를 가 군이라 하자. 줄기 A 를 가지는 X 상의 상수쉬프는 (XxA,z,X) 로 표시되고, 1e : XxA ― ➔ X 는 1e(x,a)=x 로 정의된다. 이 경우 A 에 디 스크리 트 (dis c rete ) 위 상을 주고, X x A 에 는 적 위 상 (pr oduct top o_ log y) 를 준다. Xx A 에 있어 서 (x, a) + (x, a') = (x, a+a/) 으 로 정 의 한다. 보기 3. 7 복소변수연속함수쉬프 (sheaf of comp le x conti nu ous fun ct ion s) X 를 위상공간이라 하자. 임의의 개집합 U 에 대응하는 가군 Su 를, U 상에 정의된 연속복소함수로 잡는다. VcU 인 두 개의 개집합에 대응하는 군의 준동형 r~: Su-Sv 는 fu ESu 를 V 상에 제한시킨 함 수로 정의한다. 그러면 프리쉬프 {Su,r~} 가 얻어지고, 이것으로부터 유도된 쉬프 C(X) 를 복소연속함수쉬프라 한다• 이 경우 X 상의 하나 의 단면 h 는 X 상의 연속함수이다• 보기 3.8 M 을 cco- 다양체, U 를 M 의 개집합이라 하자. (1) C00- 함수쉬 프 (sheaf of C00 fun cti on ) C00 (M) 가군 C ( U) = U 상의 cco- 함수 짜: C00(U) 一 C00(V) 는 U 상의 함수를 V 상에 제한시킨 함수 이 경우 {C00(U),r i}로부터 유도되는 쉬프가 C00(M) 이다. (2) 위 수 p-미 분형 식 쉬 프 (sheaf of C p for ms) A' AP(U)=C00-p 미분형식의 집합 게 =V 상에 제한 사상 {AP(U),r 깝에서 유도되는 쉬프 AP.
(3) 위수 p홉 1] 미분형식 쉬프 ZP V ( U) = U 상의 위 수 P 인 폐 미 분형 식 (closed for m of order P) ri의= v집 상합에 제한사상에 의하여 구성된 프리쉬프에서 유도되는 쉬프. (4) 승법 함수쉬 프 C* (sheaf of multip li ca ti ve gro up of nonzero CCX> fun cti on s) C* ( U)=U 상에서 0 값을 가지지 않는 coo- 함수들의 곱에 대한 군, ri= v 상에 제한 사상, 에 의하여 유도되는 쉬프. 보기 3.9 M 을 n- 차의 복소다양체, E-M 을 복소해석벡터속, 그 리고 U 를 M 에 속하는 임의의 개집합이라 하자. （이하 가는 모두 제한사상이니, 기술을 생략함) (1) 복소해 석 함수쉬 프 (sheaf of holomorph ic fun cti on s) 0 O(U)=U 상의 해석함수. (2) 승법 복소해 석 함수쉬 프 (sheaf of nonzero holomorp h ic fun cti on s) O* O* ( U)=U 상에 정의된 0 을 취하지 않는 함수 집합으로 승법 에 대한 가군. (3) 복소해 석 p 미 분형 식 쉬 프 (sheaf of holomorph ic p form s) Q1 QP (U)=U 상의 위수 P 인 복소해석적 미분형식, 죽 국소적으로
typ(e5) (p5,-q)p ,z( )q) �� �� ��� �� l ��(s heaf of a-cloeds C00-orfms fo ,,q ,z,q(U)=U ��X� ~-(p,q) �������� ���� ��������� (closed form
) x� �� �X� �� i�. (U.X ¢m 에서 [rp l 따감, …,
이다. (3) 각 xEX 에 대 하여 , :,c' -1=S/\:,c- 1 (x) 는 :,c- l (X) 의 부분군이 다. 도움말 』’는 쉬프이다. (1) s 를 U 상의 』 에 대한 단면, s(U)cS 를 s 의 상(i ma g e), 그리 고 aEs(U)/\S'. 그러면 (1) 에 의하여, U 에 속하는 :,c (a) 의 개근방 V 를 적당히 잡으면, 모든 xEV 에 대하여 s(x)ES 를 만족시킨다. 또한 위의 사실과 (2) 에 의하여, X’ 이 국소동상사상임을 알 수 있 다. 그리고 (3) 은 S 에 있어서 군의 연산이 연속이라는 것을 말한다. 따라서 』'도 역시 쉬프이다 . ..J= (X, 1l, X) 로서 xEX 의 각 점 에 서 줄기 가 영 원 (zero element) 하나로 되어 있는 쉬프를 표시한다고 하자. 그러면 이 쉬프를 영쉬프 (zero sheaf) 라고 한다 . .J =(S,K,X) 와 1=(5,n,X) 를 X 상의 쉬프, 그리고 h : s-s’ 를 쉬 프준동형 이 라 하자. 이 때 , S'= {h;크 (0) I xEX, OES 나 라 하자. :::z.. 리고 1e'=1els’ 라면, .J'= (S', '균, X) 는 준동형 h 의 핵 (kernel) 이 라 불 리어지는 』의 부분쉬프이다. 만일 S'=h(S) 라 두고, 元'=iri s ’ 라면 h 의 상이 되는 J의 부분쉬프 11=(5’,n',X) 를 얻는다. {A,} 를 가군(쉬프 혹은 프리쉬프) 열, 그리고 {h,} 를 준동형 (h 근 A,_ 귓i +1) 열 이 라고 하자, 만일 hi+ 1 의 핵 과 h, 의 상 (상 h i=핵 h.+1) 이 프리쉬프열이면, 완전열이라는 뜻은, X 에 속하는 각 개집합 U 에 대하여, hi 에 의하여 정의되는 가군열 (3. 3) 一 sg -1) 一 s~ 드―> S8+1) _ ••• 가 완전열이라는 뜻이다. 만일 A, 들이 모두 X 상의 쉬프 ,J '=(S 냐 ,X) 완전열이라는 뜻은, 각 점 xEX 상에 A i의 줄기 s~ 와 lt i로부터 유도되는 준동형들이 만 드는가군열 (3.4) ― ➔ s~-1 一 ➔ S~ ― ➔ S~+ l ~ •••
이 완전열임을 뜻한다. 완전 열 의 칙 극한 (dir e ct lim i t) 도 역 시 완전 열 이 다 (Gunnin g rossi [2]) . 프리쉬프가 주어지면, 이것의 직국한으로 쉬프가 정의된다. 따라서 다음 정리를 얻게 된다. 정리 3.11 ― ➔ 'Jln ~ 'Jln+ I 느 9ln+2 _ ••• 를 X 상의 프리쉬프 완전열이라 하자. 이매 각 筑‘로부터 유도되는 쉬프를 』i라면, 一쉬프 .J의n 一완전열 . Jn+ I —+ 』 n+2 一 ... hn hn+1 믈 얻는다. 도움말 정의 3.3 에 의하여, 프리쉬프 준동형 h; 로부터 유도되는 쉬 프준동형 h; 가 주어진다. 정리 3. 1 2 .J'와 4 를 X 상의 쉬프, 그리고 o— -.J' _h_' 』 라는 쉬 프열 이 4' 에 서 완전 (exact) 이 라 하자 (즉 I1’ 의 핵 이 0-sh e af) . 그러면 (3.5) 0 一一 4' 一h' 仁. 一h 4 '' 크 가 완전열이 되는 X 상의 쉬프 4'’ 이 일의적으로(동형을 무시하고) 결정된다. 증명 주어진 조건에서 h'( .J')은 4 의 부분쉬프이고, 또한 h'( .J')은 』’과 동형인 쉬프이다. 따라서 우리는 』’을 4 의 부분쉬프라고생각 한다. 그러면 개집합 U 상의 』’의 단면으로 형성된 가군 I'(U, .J ') 은 가군 I' (U, .J)의 부분군이다. S~= I' (U, .J )I I' (U, .J'）이라 정의하
면, 완전열。 一I' (U, 』’)— ➔ I' (U, 』)一 I'(U, 』’'）一 ° 울(re s얻tr는 i c다 t i. on Uh의om o부m분or개p h집 is합 m )( o p ~In' ( sVu, b』s)e t—) -Vr 에 ( U 대, 하』)여 는, 제I'한 ( U ,준 』’동) 형을 I' (V, 』’)으로 보낸다. 따라서 하나의 준동형 r~ : s~ 一 S '~ 를 유도한다. 그리고 {S~, 가}가 하나의 프리쉬프롤 이룸은 명백하다. 따라서 이 프리쉬프로부터 얻어지는 쉬프를 S 아라고 하자. 그러면 정리 3.11 로부터 (3.5) 가 완전열임을 알 수 있다. 그리고 』'’ 이 일의 적이라는 것은 o ― ➔ Ser~ Ser_!!_ s: — ➔ O 이 완전열, 그리고 S 의 위상은 사상 h : s-s'’ 의 상위상(q uo ti en t t o p olo gy)이라는 두 사실에서 곧 알 수 있다. 이제 쉬프완전열의 예를 몇 개 알아보자. 보기 3.13 M 을 n 차원 복소다양체라 하자. 그러면 다음과 같은 완 전열을 얻는다. (I) - 。一 Z 一h °~一 h°' *一 0, 여기서 O 와 0 * 는 보기 3.9 에서 주어진 쉬프이고, Z.- E 프리쉬프 {Z(U)=U 상예 정수값을 가지는 함수}로부터 유도되는 쉬프로서, 만 일 M 이 연결집합 (connec t ed se t)이면, MxZ 와 동일하다. Z 는 0 의 부분쉬 프이 는 h 는 매 장사상 (im beddin g ) 이 고, h' (f) =e2' ' 에 의 하여 。츠_。：가 정의된다. (2) 。一 Z 一k D~ ―k' ➔ D * 一° 여기서 D 는 프리쉬프 {D(U)=U 상에 무한번 미분가능한 복소함수} 에 의하여 유도된 쉬프이고, D * 는 프리쉬프 {D * (U)=U 상에서 0 의
값을 취하지 않는 무한번 미분가능한 함수}로부터 유도되었고, 준동 형 k 와 k’ 은, 위 (1) 에서와 같은 방법으로 정의되었다. 그런데 O 와 0* 은 각각 D 와 D * 의 부분쉬포아니, 다음과 같은 교환가능한 도표 (commuta t i ve dia g ra m) 을 얻 는다. 。一 Z! ― ➔ O'> .― ➔ 0L * — ➔ O o― ➔ Z 一 D ― ➔ D* ― ➔ O , 보기 3. 14 M 을 미분가능한 12 차원 다양체라 하자. 그러면 뽀앙카 레 예비정리 (정리 2.2) 에 의하여 다음과 같은 완전열을 얻는다. 。 一 AO ——d- ,> Al —d ~ A2 ―수 … 一 ➔ An-1 一d~ An ― ➔ O 여기서 A 나근 위수 1’ 인 먀분형식, 그리고 d 는 정리 2.1 에서 정의된 의미분이다. 4 쉬프코호모로지 이 절에서 프리쉬프 %의 코호모로지를 정의한다. 그리고 쉬프 』 의 코호모로지는, 쉬프 』의 표준프리쉬프 %의 코호모로지라고 정의 한다. %={Su, 짜}를 X 상의 프리쉬프, 그리고 U={Uj }J E/ 를 X 의 개 피복이 라 하자, jq+ I 을 ]에 속하는 임의의 q개 (중복을 허락함)의 문 자들로 이루어진 집합 (]야 1=]X•·•X]) 이라 하자. 그러면 (jo,… ,jq) E]q+1 에 대하여, UJ O n… n u1 q는 하나의 개집합이고, S(Ujo n … n u jq)는 프리쉬프의 정의에 의하여 하나의 가군이다. 정의 3.15 C} ]야 1 예 속하는 입의의 (jo,A , …,jq)에 가군 S(Ujo , 이… , u첨j 자q) 에{ jo,속 … 하, j는q} 에하 나대의 하 여요 소의 ( 사lj O,대 … ,칭j (qs률k ew대 응s시y m키 m고e,tr ic또) 이한 면 ,이 c대q 응를 q-코체 인 (q-c ochain ) 이 라 한다. q-코체인은 하나의 함수여다• 따라서 이 코체인을 대응하는 상의 집 합 (im ag e set) 을 이 · 용하여 cq = ((ljO, … , jq) ' (ljO, … , Jq E S ( Uj o, … , Ujq )
로 표시한다. 특히 0-코체인은 C0={u;}, U;ESu; 로서 의사대칭의 조 건은 어떤 구실도 하지 않는다. 그러나 1- 코체인 C1={u jk} 에서는 U;k = -U k; E (Su.AU J = Su.AuJ) 임을 요구한다. 피복 []에 대응하는 모든 q-코체인의 집합은 가군을 이 룬다. 이 가군을 Cq ([J）로 표시 하기 로 하자. 코호모로지를 정의할 때, 늘 요구하는 코바운더리 사상 : 8 : Cq( [J) 一 0+1 ([J) 를 정의하자. 0- 코체인 C0={u;} 에 대하여 oC0={T ;k }={uk-U j}로 정 의하고, 1- 코체인 C1={6 서에 대하여 8Cl={T j u}={u k t _6 jt +6 사로 정 의한다. 일반적으로 C q ={u ; o, …, 사이면 oC q ={T ; o, …,사, Tj 0, … ,Jq + l = I: (一 1)kqj O, •••• ?.'… ,Jq+ I 로 정의한다 . 여기 j,..는 ]. k 가 없음을 뜻한다. 8Cq = 0 이 면 Cq 를 q-코사이 클이 라 부른다. 그리 고 모든 q-코사이 클 로 된 가군을 Zq( D) 로 표시 한다. 이 때 88=0 이 니 8Cq -I (U)C Zq( U) 이다. 따라서 q-코호모로지군을 다음과 같이 정의한다. (3. 6) Hq (U, X) = zq ( U) ;so-1 (U) . 만일 』가 쉬프이면, 이 쉬프에 대응하는 표준프리쉬프의 q-코호모 로지를 쉬프 』의 q-코호모로지라 하고, Hq (U, 』）로 표시한다. 즉 위 의 정의에서 SuJ OA … AUj q를 I' (U10/\ … ^U1 q,..J )={U1o/\ … AUj q상 의 모든 단면}으로 대치하여 얻어지는 코호모로지가 쉬프코호모로지 이다. 개피복 V={V..1 }Je A 가 U={Uj} JE J 세분이면, VAC Us(A) 가 되게 사 상 s:A_ 一J를 정의할 수 있다. 그러면 준동형사상 짜 U, V ) : Cq (U) ― ➔ O ( V) , tr (U, V ) {q10 , ···,J ,} = {TAo, ···, J.} , 를
-r;,. ..; . = (l,(사) … ‘야)| V7,/\···I\ Vi. 에 의 하여 정 의 한다. 여 기 I 는 함수를 V 싸I\…I\ VA. 상에 제 한 (restr - i c t)한다는 뜻이다. 이럴 때 q ~O 에 대하여, 다음과 같은 교환되는 도 표를 얻는다: cq ([ J, %) 二 cq (V , %) 시 시 C 야 I( [J,%）그 c 야 l(V,%), on(U~ , V~ ) = n(U, V)o 이 다. 이 것으로부터 n([J, V) 는 Z q([/)를 Zq (V ) 에로 사상하고, 그리 고 6C q -1( [J）를 8C q -I(V) 로 사상함을 안다. 따라서 n(O,v) 는 코호 모로지군의 준동형 n* ( [J, V) : Hq ([J, %)一 庄 (V, %) 를 유도한다. 예비정리 3.16 준동형 군 (D,V) : Hq ([J， %)-H q (V,%) 는 세분사 상 s : A ―一]와 독립적으로 결정된다. 증명 지금 f,g : A- J를 두 개의 세분사상이라 하자. 그리고 ao, … ,a 투 A 라 하고 다음과 같은 기호를 도입한다. VV '= = VVaa, ,/ /\\……^^ Vfat, ,/ \…^ Va,, Vil = U1(a0) /\…^ U/(a1) /\ Ug (a j) /\• •• W = …Uf I(\a ,)U /g\( … a,) /I\\… U/I(\a jU) /g\( a .uh g(a 1 ) /\…/\ U g(a .) 등의 기호를 정하여 둔다. 또한 rv 를 V 상에 제한사상이라 두고, (k(J ) A 건q = pI0=;0O _ ( -l) P-lrv(J / Ov·•·/ ( A1)g( A1)·· ·1 ( ,¼) 라 정의하자 . 그리고 t와 g에 의하여 유도되는 元 (U,v) 를 각각 元 (f)와 1e( g)로 표시하자. 8 와 k 의 정의를 사용하여 조금 계산하면
다움식을얻는다: [(o k + ko) a] a000 • a• = rvag( ao) ··· g( a q) -rva/(ao)00, J(a q) • 위의 식은 (3. 7) [ (ok + ko) (J]야 ... a . = 〔1r.(g)(J－亢(f)(J〕 a0 .. ,a9 라 쓸 수 있다. 그런데 k (J는 의사대칭이 아닐 수 있다. 따라서 이것 이 의사대칭이 되도록 T' 사 .. ,1. = (k'-.) 사 ·· A. = 꿉 sig n(;::::;:) 타 1 µ。 라 정의한다. (3.7) 의 우변에 나타난 요소, 그리고 8 (l는 모두 의사대칭이나, 이 식에 k 대신 k' 울 넣어도 등식이 성립한다. 이것을 기호로 표시하면, [ (ok' =+ k('o짜) ( ]ga), •(·J·a —• 찌 ( f) (l) a,•·· a0 라는 관계식이다. 만일 ou=O 이면 ok'(J = 7r(g ) (J－亢(f) (J 드 8Cq - I (V) 라는 결과를 얻으니, 1r:(g)=1r:(f)임을 알 수 있다. (증명끝) 위의 예비정리에서 1l(U, ii)는 오직 피복에만 의존함을 알았다. 그 런 데 X 의 피 복 전 체 는 반순서 집 합 (pa rti all y ordered set) 을 이 루고, W또한 가 임존의재의 한 다두. 피따복라 서U 와피 복V집에 합대은하 여하나 이의것 을유 향동집시 합에 ( d세ir e분 ct하e d 는 s e피t) 복이 다. 따라서 다음과 같은 정의를 할 수 있다. 정의 3.17 %를 X 상의 프리쉬프라면, 프리쉬프코호모로지 Hq ( X, 況) 를 X 의 피 복 U 에 대 응하는 Hq (U, %) 들의 적 국한 (dir e ct limi t) 으 로 정의한다. 그리고 이를 기호로
Hq (X, %) = liurn Hq (U, %) 로 표시한다. 쉬 프정의코 호3.모18로 지.J 를H qX (X 상, 』의) 를쉬 프H,q (X그, $리)고 라 고젊 를정 의』 한의다 .표 준즉프 H리q쉬 (X프, .라J) 면= Hq (X, 5l) 이 다. 도움말 프리쉬프 %에서 유도된 쉬프를 』라 하고, 』의 표준프리 쉬프를 젊 라 하자. 만일 X 가 초긴밀공간(p aracom pac t s p ace) 이면, Hq (X, %) = Hq (X:, 5l) = Hq (X:, .J) 라는 증명을 할 예정이다. 우리는 쉬프의 응용에서 종종 표준프리쉬 프가 아닌 프리쉬프코호모로지를 생각하는 것이 편리한 경우를 만나 게 된다. 이제 %와 젊를 X 상의 두개의 프리쉬프라하자. h:% ＿元가 프리 쉬 프준동형 이 면 , {era 。 ... a ,} 드 C q (U, %) 를 {h (cra,…a ,) } 드 C q (U, 元) 에 대응시키는 방법에 의하여 준동형 lz* : Hq (U,%)-Hq (U, 元)가 얻어 진 다. 이 준동형 은 준동형 h* : Hq (U, %) ＿庄 (U, 元) 를 유도한다. 만일 V 가 U의 세분이면 다음과 같은 교환가능한 도표가 성립한다. Hq (D, %) 느 Hq (D, %) (3. 8) 1e (D, v) 』 』元 (D, V) Hq (V, %) ~ Hq (V, %) 따라서 칙국한으로 얻어지는 코호모로지에 사이의 준동형 (3. 9) h* : H9 (X, %) - H9 (X, 5i) 가 (3유. 도10된) 다. 。 __ ➔ %' ——> 筑 __> %'’ —o X 상의 프리쉬프 완전열, h' ~ h 에 대한 코호모로지를 연구하자. U 를 X 의 개집합, 그리고 SU,Su,Si
몰 프리쉬프 %''%,% 이 U 에 대옹시키는 가군들이라 하자. 그러면 상군 Su/Su 은潟와 동형인 가군이다. 따라서 각 피복 U 에 대하여, 완전열 (3.10) 는 코체인 완전열 (3 미) O ―표년 ((0, 蜀)스 C q (U,% ）스 C q (U,%) — ➔ O 울 유도한다. 호모로지대수의 이론에 의하여 완전열 : (3.12) 0 一 H0(U, 蜀)소 H0(U,%) 느 庄 (U,X) 프 (H1 (U, 的)~ H1 (U, %) —표._ ➔ Hq (O, X') _!:L Hq (U, %) 느 Hq (U, %) 프~ H야 1 (0, 蜀) —표 • 울 얻는다. 이것은 물론 호모로지이론을 이용하지 않고 칙접적인 계 산으로도 가능하다. h*I,h* 사상은 명백하다. 다만 어에 관한 것을 알 아보자. 임 의 의 코호모로지 류 (cohomolog y class) [a ]E Hq (U, %) 은 하나의 코체인 oEC q (U,% ）에 의하여 표시되고 물론 8c=0 을 만 족시 킨 다. (3. 11) 이 완전 열 이 니 , h* (r) =a 가 되 는 TECq (U, %) 를 선 택할 수 있다. 그런데 8TEC q +1(U,%) 이고, 여기예 (3.11) 의 q를q+ 1 로 대치한 완전열을 생각하면, 8T 가 C 야 1(U,X') 의 상에 속함을 알 수 있다. 따라서 oaEO(U,X') 이 h*(a)=r 이라면, 88T=0 이라는 사 실을 (3.11) 의 첨자가 (q +2) 일 때 얻는 완전열에 적용하여 o(a)=O 임을 알 수 있다. 그러면 8& 〔 a]=[a]EH야 l(U, 蜀)로 정의한다. 피복 U 의 세분 V 가 주어졌다고 하자. 그러면 (3.12) 에 U 대신 V 를 대입한 코호모로지완전열을 얻는다. 그러면 이들 두 개의 코호모 로지완전열 사이에는 교환도표 : (3.13) Hq (U, 筑)~ H야 I(U,%') 1C(U, V) 』 v| 1 C(U, V) Hq ( V, 따) ~ H 야 l (V, 蜀) 가 성립한다. 따라서 이들 가군의 칙극한으로 얻어지는 프리쉬프코호 모로지 사이에, 각 q ~O 에 대하여 준동형
o\ : Hq (X, 蜀宁―~ Hq (X, 蜀) 을 얻는다. 준동형 hI 와 h 에 서 유도된 교환가능도표 (3.13) 과 (3. 8) 은, 펴 복 U 에 대응하는 코호모로지완전열 (3.12) 에서 V 에 대응하는 (3.12) 에 로의 준동형 1e (D, v) 가 완전 열 준동형 (교환가능도표) 임 을 뜻한다. 죽 다음과 같은 교환가능도표가 성 립 한다 : (3. 14) H몐 炯)쓰냐 Iq (U, %)~Hq( D, %)소硏 (U, 蜀) l 亢 (U, V) 』元 (U, V) 』元 (U, V) |1e (D, ii) Hq ( V, 蜀)―h*一/ H q (V, %)—h *- Hq( V, %)＿&一 Hq +1 (V, 蜀) 여기에 완전열의 직국한은완전열임을적용하여 다음정리를 얻는다. 정리 3.19 위상공간 X 상에 주어진 프리쉬프완전열 0 __대 L'-% 一% ~一 0 에 대하여 다움과 같은 코호모로지완전열이 주어진다: (3. 15) 0 一 H0 (X, 蜀) ―갤 0 (X, %) 一 H0 (X, %) 一 H1 (X, %1)-… · ― ➔ Hq (X, %') 一 Hq (X, %) ― ➔ Hq (X, %11) —+ 느 Hq + 1 (X, 蜀) ― ➔••· 정리 3.20 만일 。 __➔ %리' 一 h' %
증명 정 리 3. 18 에 의 하여 도표가 교환가능임 을 종명 하면 충분하다. 우리는 Hq (X, X) 소 ➔ H야 l (X, 蜀) 』cp Y /e Hq ( X, 2) 으'-'» H야 ' (X, 2') 라는 부분의 교환가능성을 증명한다. 다른 부분의 증명은 거의 명백 하다. 지금 아' EH q (X,%) 이라 하자. 그러면 적당한 피복 W 에 대하 여 코사클 OEZq ( W, %) , 그리 고 코체 인 tq드 C q (W, %) 이 존재 하여 자' =[C q/'〕 (죽 아’ 은 Cq “ 이 라는 대표원을 갖는다)， 그리고 Cq = lztq 라 는 관계를 얻는다. 따라서 &아'=〔 o tq]이다. 그런데, r:p 'o* 7J ' '=〔 #a t가 =〔 o rpt이. 그리고
면, 각 Cj)j들의 토대와 U의 교집합이 공집합이 아닌 CJJJ는 유한개 이다. X 가 초긴밀공간이면, 이의 피복에 대응하는 단위분할이 존재함은 잘 알려진 사실이다. 아래에 우리는 이 사실을 사용하게 된다. %를 위상공간 X 위에 주어전 프리쉬프라 하자. 그러면 2 절에서 %에서 유도된 쉬프 』를 생각하였다. 지금 U 를 X 의 개집합 Su 를 프리쉬프 %의 정의에 의하여 주어지는 U 상의 가군이라 하자. 이 경 우 f드&이면, 이 f에 대응하여 r 1j(f)=fr 라는 붕아가 U의 각 점 x 에 대응됨을 알았다. 이 경우에 (x— -fr : X 든 U) 는 쉬프 』의 U 상 예 정의된 단면을 이룬다. 따라서 이것을 fu 라 하자. 그러면 fu 는 U 상의 모든 단면의 집합 I' (U, 』）에 속한다• 지금 Su ――h ➔ I' ( U, .J) 를 h (f)=fu 에 의하여 정의한다. 그러면 h 는 프리쉬프 %에서 』의 표준프리쉬프 X={r~ : I' (U, 』)}에로의 프리쉬프준동형이다. 이와 같 이 정의된 h : %―一옮를 자연적 준동형이라고 부르자, 따라서 이 h 는 모든 q~O 에 대 하여 하나의 코호모로지 준동형 h* : Hq (.X, %)- Hq (X,X)=H q (X, 』）를 유도함은 물론이다. 이 경우 h* 를 역시 자연 적 준동형이라고 부르자. （위상수학에서 자연적 준동형은 몇 가지 조 건을 만족시킬 것을 요구하나, 번거러움을 피하고자 생략한다•) 이제 초긴밀공간의 쉬프이론에 중요한 다음 정리를 종명하기로 한다• 정리 3.22 %를 초긴밀공간 X 상에 주어진 프리쉬프, 그리고 4 를 %에 의하여 생성된 쉬프라 하자. 그러면 자연적 준동형 h* : Hq (X, %) 一 Hq (X, .J) 는 동형이다. 위의 정리에 의하여 초긴밀공간의 프리쉬프코호모로지는 프리쉬프 筑에서 유도된 쉬프 4 에 의하여 결정됨을 알 수 있다. 위의 중명에 필요한, 다음 예비정리를 중명하자.
예비정리 3.23 X 를 초긴밀공간, 그리고 X 상에 주어진 프리쉬프 %에 의하여 위도되는 쉬프 』가 영쉬프(』 ,,={O}) 라 하자. 그리고 U={U,},er 를 X 의 개피복, 그리고 (J드 C q(tJ,%）라 두자, 그러면 코체 인 다(J EC q (V, %) 가 영 코체 인 (zero cochain ) 이 되 도록 U 의 세 분 V= {Vj }j E J와 세분사상 T :J一 -I (VJ c UT< j)）를 선택할 수 있다. 증명 %={Su,r~} 라 두자. xEX 에 대하여 U 를 X 의 개근방, 그리 고 gE Su 라 하자, 그러 면 』 가 0- 쉬 프이 니 , rl{ g= O 이 되 는 x 의 적 당 한 개근방 V 를 택할 수 있다. g든 Su 에 대하여 g를 V 의 요소를 본 다고 함은, 바로 r~( g)로 본다는 뜻이다. 아래에서 이 개념을 사용한 다. 피복 U={U;} i E1 가 주어졌을 때, 코체인 (T EC q (U, 況)는 각(q +l) 개의 첨자 (io, …,t.q)에 대하여 S(U,o/\ ... /\u• • ）에 속하는 하나의 원소 C io ··· i.를 대응시키는 것이다. X 가 초긴밀공간이니, U 가 국소유한 (loc ally fi n it e) 이라 가정할 수 있다. 또한 이 초긴밀이라는 성질에 의하여 W 仁 :u; 를 만족시키는 세분 W={W,},er 를 택할 수 있다. 이 W 를 이용하여 정리에서 요구하는 V 를 만들자. 이제 J =X 라 두고 사상 r : J― -I 를 단순히 xEWTc :r)를 만족시 키 게 정 의 하자. 그러 면 각 xEX 에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 x 의 개근방 v,, 를 택 하라. (1) 만일 xEU, 이면, v됴 드 U; 만일 xEW, 이면, V 투 w. ((23)) 만만일일 xvE,U,n,0w .n 가. .. n공 U집,.합 이이면 , 아니CIo면 · ·· ,i. 를 V,S,vczU 의,, 요소로 볼 때는 영 원이다. 위에서 조건 (1) 과 (2) 는 U 와 W 가 각각 국소유한이고, wiC U‘ 라는 성질에서 곧 얻을 수 있다. 그리고 조건 (3) 은 쉬프 』가 영쉬 공프아집니이이 니제합라 이고다V 면( :가j e를정명c 하백충 q (자 하분V.,다히 況. ) V작x가따o 게n 라0 만V서 x임 . 택가을V하 x공0보 면n집일 … 합된 n다수이. V x 아있., 다니O. ~니 k ,만 ~q일(1 가) 에 V모 Z의o두 n하 ••여공 n 집 vV x합.x0 이가 n W命 )도 공집 합이 아니 다. (2) 에 의 하여 V:r0 C Ui- c x.), O~k~q 이 다. (3) 에 의하여 (Ti- (lo)· t(‘•)를 Sv 츠 0 의 원소로 볼 때 0 원이다. 이것은 바로 더
욱 작은 집합 Vz,n ... n Vz. 에 대하여 생각하면 다 6 가 0 원임을 이야 기한다. （증명끝) 이제 정리 3.21 을 증명하자. 屈를 쉬프 』의 표준프리쉬프, 그리 고 h : %＿元를 자연 준동형이라 하자· 그러면 다음과 같은 프리쉬 프완전열을 얻는다. O ―一%/_-%―h> 昴~ ― ➔ %― ➔ 0, 여기서 犯은 h 의 핵, 그리고 % 은 元/%에 의하여 얻어지는 프리 쉬프이다. 이 경우 %I 와 % 에 의하여 얻어지는 쉬프는 모두 영쉬프 임은 명백하다. 그0런 ―데― ➔ 5완(,1전 一열 % 一 h(%) 一 ° 。 _> h (%)-% 一 % —-o 을 생각하자, 그러면 예비정리 에 의하여 Hq (X:,蜀 )=0, 그리고 Hq (X , %) =0 을 얻 는다. 이 사실을 (3. 15) 에 적 용하여 Hq ( X:, %) ―一庄 (X, h(%) ）와 Hq (X, h(%)) ―수庄(X:,%）는 동형사상이다. 그런데 이 동형 사상의 합성으로부터 얻어지는 싸 : Hq (X, %) _나iq (X:효) 는 역시 동형사상이다. (증명끝) 정리 3. 24 초긴밀공간 X 상에 쉬프완전열 °一』’h一' .Jh一 .J -o 가 주어졌다°면一, 다H음0 (과X, .같J')은 — 코 ➔ 호H0모 (X로, 지.J완) ＿전- ➔열 H을0 (X얻,는 .J다). 느 H1 (X, .J')-· ·· 一 Hq (X, 』’) _대q (X, 』) 一 庄 (X, 』”)―8 느 Hq ( X,' 』 ’) _ … 증명 X 에 주어진 각 개집합 U 에 대하여, r(U, 』’)과 r(U, 』)를 U 상의 쉬프 』’과 』에 대한 단면들로 생성된 가군이라 하자. 그러
면 O― ➔ I'(U, .J')― ➔ I'(U, .J)一 S'i一 ° 이 라는 가군의 완전 열 을 얻 는다. 여 기 서 S'~ 은 상군 (qu oti en t gr oup ) I' ( U, .J) /I' ( U, .J') 을 표시한다. 이 경우에 쉬프 』'’ 은 프리쉬프 {r~,S 삶에 의하여 생성 된다. 지금 %'과 %를 』와 』’의 표준프리쉬프라 하고, %={r~,s~} 이 라면, 다음과 같은 프리쉬프완전열을 얻는다. (3.16) 0 一%,_這一%—대, 그러면 정리 3.18 에 의하여 프리쉬프코호모로지완전열을 얻는다. 또한 정 의 에 의 하여 Hq (X, 蜀) =Hq (X, .J') , Hq (X, %) =Hq (X, 』) 이 다. 한편 X 는 초긴밀공간이니 Hq (X,%)=H9(X, 』’'）이다. 따라서 (3.16) 에서 얻어지는 프리쉬프코호모로지완전열은 쉬프코호모로지완 전열로 표시되어서 정리에서 원하는 결과를 얻는다. （증명끝) 따름정리 3.25 패러o—컴 팩트夕-공 _간 X,- I위 _에_ > 다 夕'음’ 과一 같 0은, 쉬프완전열둘의 교환가능도표가 주어졌다 하자 : (3.17) 0 一』一』'一』 '1 一° 그러면 다음과 같은 쉬프코호모로지의 교환가능도표를 얻는다. 0 —대입)—내나)—潭(』”)소며(』’)一 … o-H0@ ) 一 HO@) 一 H0( !!T）느 H’ 衍)—> … 증명 (3.17) 의 쉬프완전열을 (3.16) 과 같은 프리쉬프완전열로 대치 시켜서, 정리 3.19 를 적용하고, 정리 3.23 에서와 같이 다시 쉬프코호 모로지에 관한 것으로 해석하면, 원하는 결과를 얻는다. （증명끝) 도움말 쉬프완전열 (1) 0 一』'_h一' L 』―h一 』 ''-o
이 주어졌다고 했 을 경우에, U 를 X 의 개집합이라 하면, (2) 0 一 I'(U, ..8'h)'~ I'(U, .J)h— ➔ r(U, ..81 1) 라는 가군열을 생각할 수 있다. (1) 이 완전열이라도 (2) 에 있어서 h 가 전사 (on t o) 가 아닌 경우가 있다. 따라서 쉬프 』’,』 그리고 』'’으 로부터 유도되는 표준프리쉬프를 각각 況’,筑 그리고 況” 라 할 때 (3) °一:JL'h一' 混_一 :Jh 1, ' ’ 에 있어서 h 가 전사가 아닌 경우가 일어난다. 이런 까닭으로 정리 3. 23 의 증 명 에서 S~ = I '(U, .J)/I'(U , 』’)을 생각하였다 . 예로서 복소 평 면(3에. 1서8) 원점을 제o거—한 ~공z간 을~ OX 라~ 하O자. * 그— 리~고o 쉬 프완전열 울 생 각 하 자 . 여기서 O 와 0 * 는 보기 3.9 에서 말한 쉬프이다. Z 는 (Xx { 정 수}）로 이루어진 상수쉬프이다 . 그리고 h’ 는 매장(i mbedd i n g), 그리고 h 는 h (I )=ex p (2n if)에 의하여 정의한다. 그러면 (3.18) 은 완 전 열이다 . I' (X,O * ) 에는 f (z)=z 라는 함수가 속한다. 그러나 gE I' (X, O) 이 면 h (g) =I 는 불가능하다. 만일 h (g) =I 라면 (g= 검킵 o g z+ a, a : 정수)가 되겠고, lo g z 는 X 상에 정의된 함수가 아니댜 따 라서 (3.18) 에서 유도되는 표준프리쉬프열은 완전열이 아니다. 위에서 쉬프코호모로지의 정의와 이에 관련된 몇 가지 정리를 이야 기하였다 . 그러나 실제로 쉬프코호모로지를 위의 정리 및 정의들을 이용하여 계산하는 것은 지극히 어려운 일이다• 여기서 쉬프의 결정 열 (resolu ti on) 을 이용하여 쉬프코호모로지를 계산하는 방법을 연구한 다. 우리가 이용하여야 할 대부분의 쉬프코호모로지 이론은 상수쉬프 의 결정열 (resolu ti on) 과 관련된 쉬프의 이론이다. (3.19) 0 一上노』。上』 I~ 나上+… 를 초간밀공간 X 상에 주어진 쉬프완전열이라 하자• 만일 모든 q~ l, 그리고 모든 p ~O 에 대하여 HP(X, .J ,)=0 이면, 위의 쉬프열을 쉬프
』 의 결 정 열 (resoluti on ) 이 라고 부른다. . 쉬프의 결정열을 얻기 위해서는 어떤 경우에 (3.19) 에 주어진 쉬프 _J P 의 1 위 이상의 코호모로지가 0 이 되는가를 알아야 하겠다. 다행 히 이 사실을 만족시킬 충분조건이 알려져 있다. 따라서 이와 관련된 쉬프의 정의를 하고자 한다. 정의 3.26 ..J를 초긴밀공간 X 위에 주어진 쉬프라 하자. 임의의 국소유한 개피복 (X 의 피복) fJ ={U;},er 에 대하여, 다음 조건들을 만 족시키는 준동형사상족 {I ti}i EI, hi : 』＿』가 존재할 때 4 를 우성 (fine ) 쉬 프라 한다 : (1) 각 iE I 에 대 하여 , x$A1 이 면 h1 (S:r) =0, 그리 고 Ac: u‘ 인 X 의 폐집합 A‘ 가 존재한다. (2) iIE :l h 다 항등사상 정리 3.27 ,J를 초긴밀공간 X 상의 우성쉬프라 하자. 그러면 q~ l 에 대하여 Hq (X, .J )=O 이다. 증명 X 가 초긴밀공간이 니, U= {Ui }i EI 가 국소유한 개 피 복, 그리 고 況가 』의 표준프리쉬프일 때, 모든 q ~l 에 대하여 Hq ( U,X)=O 를 증명 하면 충분하다. q~ l 에 대 하여 하나의 준동형 (=호모로피 연 산자) kq : Cq (U, 況) 一 ➔ 0-1 (U, X) 를 다음과 같이 정의한다. oEC q (U, 況)라 하자. 코체인 k q u 는 q개의 첨 자 (io, i 1, …, iq- 1) 에 대 하여 U,o n ••• n U,.-) 상 에 』 와 단면 (kqo -) ,0… ‘q- 울 대응시킨다. 각 i EI에 대하여, 'C ;,lo,I i, •• • ,l q-l 을 UIon •• n u1· 기상의 란 면으로서, 조금 작은 개집합 U,n U10n ••• n U1._, 상에서는 hi( 0i, io, ···i. _,) 과 같고, 이 작은 개집합 밖에서는 0 이라 하자. h, 는 (1) 과 (2) 를 만 족시키는 준동형이다. (k9u) lo, •.•, I . 』 = 젊 'C 1, lo, ···l,-1
로 정 의 한다. aq 몰 코경 계 사상 (coboundary ope r ato r ) 0 (D, %) - C 야 l(D, %) 라 하자. 그러면 qz:l 에 대하여 k 야 1a q +8 q -Ik q는 항등사상 이다. 따라서 모든 qz:1 에 대하여 Hq (U,%)=0 을 얻는다. (증명끝) 보기 3.28 X 를 초긴밀공간, 그리고 C(X) 를 보기 3.7 의 복소연속 함수쉬프라 하자 . 또한 U={U i}i Er 를 국소유한 개피복, 그리고 {'Pi}I EI 를 U 에 대응하는 단위분h,할 :이 C라(X )하—자 -•C (그X러)면 각 'P‘는 준동형 를 다음과 같이 정의한다. 지금 Su 를 개집합 U 상에 정의된 복소연 속함수 (= U 상의 C (X) 단면 ) 가군이 고, fE Su 이 면 , h1 (f) ='Pif 로 정의한다. 그러면 h , 는 프리쉬프 {Su,r~} 상에서 자신으로의 준동형을 정의한다. 따라서 h1 는 쉬프의 준동형이라고도생각된다• 그리고 2h. 가 항동사상임은 명백하다. 또한 R(X) 를 위에서 복소수를 실수로 바꾸어서 정의되는 실연속함 수 쉬프라 하자. 그러면 같은 방법으로 R(X) 가 우성쉬프임이 증명 된다. 보기 3.29 X 를 coo- 다양체라 하자. 그리고 U={U,}, 탁를 국소유한 개피복이라 하면, U 에 대응하는 단위분할 {
로 표시하자. 그러면 (1) q칙 에 대 하여 Hq (X, 』) 브 h i 의 핵 /l1t- 1 의 상, (2) H0 (X, 』) 브 (Iti ) 의 핵 이라는 식이 성립한다. 증명 I ti의 핵=I' (X, 』), 죽 X 상에서 』의 단면임은 명백하다. 임 의의 쉬프 』 에 대하여 H0 (X, 』)의 정 의 로부터 H0(X, ,,J) =I'(X , ,,J) 임을 쉽게 얻는다. 따라서 (2) 는 증명하였다. 이제 Kp 를 쉬프준동형 ltP : 』p_-,,Jp +I 의 핵이라 하자. 그러면 pzO 에 대하여 X 상의 쉬프 완전열 (3. 20) 0 一 KP _?% 一 Kp + I _켓 울 얻는다. q zl 이면 H q (X, ,,gp )=0 이니, (3.20) 으로부터 (3. 21) qz 2 이 면 Hq - l (X, K p +I 淨 Hq (X, Kp ) 를 얻는다. Ko= 』이니 (3.21) 을 반복하여 적용하여 다음 결과를 얻 는다. (3. 22) H1 (X, Kq -1 浮 Hq (X, .J) , q~ l, 식 (3.20) 에서 P 를 모두 q -l 로 대치한 쉬프완전열에서 얻어지는 코호모로지완전열은 다음과 같은 부분을 포함하고 있다. 즉 (3. 23) H0 (X, 左) ―h-*-q- , 1► H0 (X, Kq ) -H1 (X, Kq _ 1) ―찌 또한 H0 (X, Kq ) 는 hi 의 핵 , 그리 고 H0 (X, 』q -1) =r (X, .Jq-1 ) 이 다. 죽 H1 (X, Kq -l ) ~ht 의 핵/Jz*q -1 의 상 이라는 사실을 얻는다. 이것을 (3.22) 에 대입하면 (1) 을 얻는다. (증명끝) 정 리 3. 29 의 응용으로 앞으로 많이 이 용될 , 달부정 리 (Dolbeult's Theorem) 와 람정 리 (de Rham's Theorem) 를 증명 한다. M 을 n 차원 다양체, C 를 상수쉬프 (MxC) ， 그리고 AP 를 위수 p 인 미분형식쉬프라 하자. 그러면 다음과 같은 정리를 얻는다.
정리 3.31 (de Rham' s T heorem) M 을 n 차원 다양체, 그리고 d 를 미 분연산자라 하면 (3. 24) 0 ― ➔ C — ➔ AO —d— > A1 — ➔ ···― ➔ A - 。 는 쉬프완전열이다. 또한 AP 는 우성쉬프이고 (3. 25) Hq (M, C) 프 HdH0°( M(M,d, ANq- -1 I)) 이라는 식을 얻는다. 증명 주어진 쉬프열이 완전 (exac t)임을 보이자. dd=O 임은 명백하 다. 따라서 Q가 M 상의 개집합 U 상에 정의된 위수 (p ~l) 인 미분 형식이라 하자. 이 경우 dw=O 이면, U 에 속하는 개집합 V 상에 da=” 를 만족시키는 미분형식 a 가 존재함을 증명하면 충분하다. U 를 충분히 적게 잡아서, V 가 Rn 에 속하는 성형개집합 (s t ar shape d op en set) 이 라 가정 하고 증명 해 도 된다. 정 리 2. 2 Poin c are's Lemma 에 의 하면 위 의 조건을 만족시 키 는 a 가 존재한다. 따라서 주어진 쉬프열이 완전열임을 안다. 이제 p ~l 인 AP 들이 모두 우성쉬프임은 보기 3.28 에서 설명하였다. 그리고 M 상 에 주어진 임의의 쉬프 』 에 대하여 I'(M , ,,J) =H0(M, 』)이니, 정리 3.29 에 의하여 HP (M, C) = HdH0 0( M(M, ,d AAPp -- •I)) 를 얻는다. (증명끝) 도움말 Q가 U 상에 정의된 미분형식이고, dw=O 를 만족시킬 때, ” 를 폐 미 분형 식 (closed form ) 이 라 한다. 또한 U 상에 da=w 안 미 분 형식 a 가 촌재하면 ”를 완전미분형식 (exac tfo rm) 이라 한다. 따라서 위의 정리를 다시 말하면 HP(M,C)=~ 상의 위수 P 인 폐미분형식} {M 상의 위수 P 인 완전미분형식} 라고 표시된다. 그리고 만일 상수쉬프 C 대신, 실수 상수쉬프 R(= MxR) 을 사용하면, 위에서 쉬프 AP 를 모두 실미분형식쉬프로 바꾸 어서 같은 모양의 정리를 얻는다.
이제 M 을 n 차원 복소다양체라 하자. 그리고 Q P 를 위수 p-인 복 소해석마분형식쉬프 보기 3.9, 그리고 A” 를 (p,q)미분형식쉬프라 하자. 그러면 다음과 같은 정리를 얻는다. 정 리 3. 32 (Dolbeult's Theorem) M 을 n 차원 복소다 양체 라 하자, 그 러면 쉬프열 。 一 g _a_ > Ap ,o —a~ AP•I -…― ➔ AP• _켓 는 QP 의 우성 결 정 열 (fine resoluti on ) 이 다. 그리 고 . Hq ( M, Q P) 브 HaH00( M(M, ,d AAPp •,qq- - 1 l)) 증명 먼저 주어진 쉬프열이 완전열인 것은 예비정리 2.4 a-Poin c a- re' Lemma 를 이용, 정리 3.30 과 꼭 같은 방법으로 증명된다. 그리 고 A” 가 모두 우성 쉬 프 (fine sheaf) 임 은 보기 3. 2 8 에서 알아보았다. 따라서 코호모로지군 Hq (M 갑'J P) 를 정리에서와 같이 표시할 수 있음은 앞의 경우와 꼭 같은 방법으로 증명된다 . 보기 3.9 에서 벡터속의 값을 가지는 미분형식에 관한 것을 알아보 았다. 여기서는 벡터속의 값을 가지는 미분형식쉬프의 코호모로지 계 산을 위하여 그것을 좀더 자세히 알아 보기로 한다. 복소다양체 M 상에 차수 m인 복소해석적 벡터속 7C:E 一 -M 가 정의되어 있다고 하자. 이때 Ui 와 Uk 를 복소벡터속의 자명한 국소 좌표가 정의된 개집합이라 하자. 그러면 7e-l (U1) ~ U1 x ¢ ' = U1 x {e1, …, e. . }, 7e-l ( U,,) 즈 U요 < ¢ ' = U,, x {e;, …, e;} , 여기서 {e1, … ,e.} 과 {e'l’ … ,e 나은 각각 {e,} 와 {아들로 생성된 m 차원 복소벡터공간을 표시하자. a 를 복소벡터속 E 의 Ui 상에서의 단면이 라면 (3. 26) a = ~m. hJe ..1 ..:t= l
와 같이 표시할 수 있다. 만일 ujn u. 가 공집합이 아니라면 a 는 Uk 상에서 (3. '27) a = 2ml 2te ; µ=1 으로 표시된다. a 가 복소해석적 단면이라는 것은 각 h} 와 h~ 들이 복 소해석적 함수라는 것을 의미한다. 정의 1.1 에서 이루어진 사상 T: U;X ¢_-u~ x ¢ 룰 각 파이버에 적용하여 (3. 28) T(ei) 걸f T (a) = •,z=3' ! hj T (e 』) = A2m= I h ff如jk eµ 따라서 (3. 29) ht = .2l=m l f 1j k h 1 를 얻는다. E 가 복소해석벡터속이라 함은 f§j k 가 정의역에서 복소해 석함수임을 뜻한다. 또한 P 가 U1 상에서 E 값을 가지는 (p,q)미분형 식아라는 것은 (3. 30) ¢ =홀 l#}eA 로 표시되고, 씨가 Uj 상에서 (p,q)미분형식임을 뜻한다. 그리고¢ 는 U1r 상에서 . (3. 31) .
라는 관계식을 만족시킨다. 관계식 (3.32) 는 (2.8) 에서 이미 이야기 하였다. 위의 #에 대하여 연산 5 를 (3. 33) 神 = A2m= l, (5#j) eA 라고 정의한다. f§j k 는 ujn uk 상에 정의된 복소해석함수이니, 하검 k =0 이다• 따라서 (3. 32) 에서 (3. 34) 紹 =µ2=m I f맙沼 라는 관계식이 ujn u1r 상에서 성립됨을 안다. 죽 a cp IUJ 는 a cp Iu. 와 umu,, 상에서 일치함을 뜻한다. W 를 M 상의 임의의 개집합이라 하 4자u .j가 가 # (E가3. 의30W ) 국 로상소 에표자 시정명되의한고된 , 좌 E표또 값가한을 정w가의n지된 u는 j 개n ( 집up, ,합 ,가일q ) 공때미집,분 합형w이식이 n라u아는j 니 상면것에은 서,식 w(3.n3 2u) j이 상 성에립서되 (는3. 3것3) 을에 의뜻하한여다. 정 의W한 상다에. 정그의러면된 식# (에3. 34대) 하는여 a cp祝l w in를u 는 a cp lwnu* 와 wnuj nu,. 에서 일치함을 뜻한다. 따라서 W 상에 神 가 정의된다. 위에서 논의된 바와 같이 E 값을 가지는 미분형식 tp=~cpj eA 의 臥# 는 각 (p,q) 미분형식 祝범에 의하여 정의하였다. 따라서 E 값을 가지 는 (p, q) 미 분형 식 에 관한 6- 뽀앙카레 예 비 정 리 (cJ- Poin c are' Lemma) 가 성립된다. 이의 증명이 복소수값을 가지는 a 뽀앙카레 경우예비정 리 2.5 와 다를 것이 없음을 알 수 있다. 따라서 다음 예비정리를 얻 는다. Po예in c비 ar정e'리 L e3m.3m3a( 벡fo터r 속b값un을dl e가 v지alu는e d 미fo분rm 형) 식에U =관 U한( ra)- = 뽀 {앙z카 : 레l z J 예 I <비r 정, 리j= (a 1,2,… ,n , zE¢ 가 상에 복소해석벡터속 E 값을 갖고 a¢=o 인 cco- (p,q) 미분형식 ¢가 있다고 하자. 벡터속 E 의'국소자명좌표 UJ 가 원점을 포함할 때, O
n 차원 복소다양체 M 상에 복소해석벡터속 E 가 주어졌다 하자. 그 러면 0P(E) 위수 P 인 복소해석적 미분형식쉬프 A’ 며 (E) 를 E 값을 가 지는 (p,q) 미분형식쉬프(보기 3.9(7) ）라 하자. 이 경우 AP 며 (E) 는 우성쉬프이다. 이의 증명은 AP, q의 경우와 같다. 그리고 예비정리 3.32 에 의하여 。一Q P (E) 一 A p,° (E) ―3一 A p, 1 (E) _…_수 A’,n (E)-~o 가 QP (E) 의 우성 결 정 열 (fine resoluti on ) 임 을 알 수 있다. 따라서 다 움과 같은 돌부정리의 일반화된 정리를 얻는다. 정리 3. 3 4 M 를 복소다양체, 그리고 E ― ➔ M 을 복소해석적 벡터속 이라 하자. 그러면 Hq ( M,Q P (E)) =aH0 (M, ~AP• q-i (E) ) 라는 관계식이 성립된다. 최후로 H1(M, 』）의 계산에 자주 쓰이게 되는 정리를 들고 쉬프코 호모로지에 관한 기술을 끝내고자 한다. 초긴밀공간 X 상에 주어진 쉬 프 』 에 대 하여 H1 (X, .J) =dir . l im H1 ((J, 』） 로 정 의 하였다• 적 국 한의 정 의 에 의 하면 준동형 7! ((J) : Hl ((J, .J) -H1 (X, 』） 가 주어 진 다. 그리고 다음 명제가 성립한다. 여기서 피복은 모두 국소유한피복 이다. 명제 3. 35 준동형 K (U) : Hl (U, 4) ― ➔ H1 (X, .J) 는 단사적 사상이 다. 증명 hEH1 (U, .J) =Z1 (U, 』) /8C° (U, 4) 라 하자. 그러 면 h= {
보는, 세분사상으로 사용하자, 그리고 'Z C iJ )C jµ)=-z-iJj µ=rw1 .l nIV Jµ(T서 라 두면, 검 h={ t w) 아)}이다. 쳐 ! h=O 이니, {Tu j µ}=8{Tu} 가 된다. 죽 TiA =Tjµ _Tu 이 다. 'Z°iJjµ= rw1-l n WJ µ (Tij= 0 이 니 , 우리 는 W;i n Wj µ 상 에서 Tu=T jµ를 얻는다. u‘=UAw a 이니, -z-• •를 각 W 상에서 T i=요 에 의하여 정의하면, T i는 I' (U., .J)의 요소이다. 그러면 (Tij=-Z-;-'Zj 이니 h=O 이다. （증명끝) 도움말 위의 명제에 의하여 H1(X, 』）에 속하는 하나의 요소의 표 현은, 적당한 피복 U 에 대하여 Hl( [J,』）에 속하는 하나의 요소를 표 현하면 된다는 것을 알았다. H1(X, 』)를 실제로 계산하는 데 유용하게 쓰일 다음 명제를 중명 하자. 명제 . 3.36 피복 U={U1} 에 있어서 만일 모든 첨자 j에 대하여 H1 (U .J) =O 이 면, H1 (X, .J) =Ifl (U, 』) 이 다. 증명 우리는 H1(U, 』)를 H1(X, 』)의 부분군으로 볼 수 있음을 알 았다. 따라서 임의의 국소유한피복 V={V. i }가 주어졌을 때, W= {W; .i +U;nU. i}에 대하여, 자 : H1{D} ―一庄 (W) 가 전사임을 보이면 충분하다. 지금 (Ji A jµ+(Jj µh+ (J &u=0 인 1 코사이클 {qUk J EH(W, 』)에 대하여 알아보자. 지금 i를 고정하면, {(Ji A iµ}는 u, 의 펴복 {W 사에 대 하여 1 코사이 클이 다. HI (u,, ,J) ===:O, 그리 고 H1 (W;A, ,J) 드 H1 (U,, 』)이니, 각 t에 대하여 H1{W1 .1,.,J }=0 을 얻는다. 따라서 각 i에 대 하여 (Ji A iµ='l'iµ-'l''를 만족시키는 읽 ,.E I' (W, A,,J)가 존재한다. -r= {m} 를 W 상에 코체인이라 두자. 그러면 {(J＇ m.}={ (J Uku}-8T 는 W 상 에 1 코사이클을 정의하고, H1(W, 』)에서 (J와 같은 코호모로지류를 정의한다. T 의 장의에 의하여 (J＇i A i µ=O 이다• 따라서 (J'+(J'iµk + (J'*.1 .1 = 0 으로부터 (J＇ lµb= (J＇i Ak 』 를 얻는다. 같은 방법 으로, (J'iAk •=(J '; µh 를 얻 는다. 결 국 (J'.~=(J'iAk =( J'iukL , 그리 고 (J';1 rEI ' ( U, n U,., ,J) , 우리 는 가 ((J'n) =(J'iAkU 가 되 는 (J'4Ir 을 얻 었 다. 그런 데 {(J'dA ku} 는 {(J“나 와 갇은 코호모로지류를 이룬다. 따라서 따i는 전사이다. （증명끝)
제 4 절 복소양체의 무한소변형 제 1 장의 4 절에서와 같이, 해석적 긴밀복소다양체족 M={M,ltE B} 가 주어져 있다고 하자, 이때 B 의 좌표를 (ti,t 2, …,t n) 으로 표시 하고, 복소다양체 M1 가 t에 따라서 변함을 측정하는 양 으결 L 를 정 의하고자 한다. aMI/8 t라는 양은 다양체 M떠 해석적 벡터장의 봉 아로서 주어지는 쉬프의 코호모로지로 표시된다. M 을 12 차원 복소다양체, 그리고 U 를 국소좌표 (z 도 ··,z) 이 정의 된 개집합이라 정의하자, U 상의 복소해석벡터장은 이 위에 정의된 n 개의 복소해석함수 F, … ,F 에 의하여 (4. l) 0= f곱근 ... +r 훑 로서 표시된다. 제 1 장에서 해석적 벡터속 T(M) 을 정의하였다. O 는 U 상에 정의된 T(M) 의 해석적 섹션이다. T(M) 의 해석적 섹션들의 붕아로서 이루어진 쉬프를 Q로 표시하고, 이것을 해석벡터쉬프라고 부른다. (aM t /8 t『)를 정의하는데, 먼저 B={ t :l t l
t(p) =P(p) , 그리고 Uj ={p: lz'f (P ) I 라는 관계식을 얻는다 . 이 적에 명:＿를 곱하여 a 에 대해 합하면, %=广뿔훑=곤뿔옳-+홉뿔읊 =%+0“' 즉 증명하고자 하는 관계식을 얻었다. (증명끝) 정의 4. 2 (dMt !dt ) = {0,, (t) } EH1 (M1, Q1 ) . 위에서 {%(t)｝를 정의하는 데 국소좌표 {각}를 사용했다. 따라서 dM,/d t가 좌표함수에 의존하지 않고 다양체 M 에 의하여 일의적으로 정의됨을 보이기 위하여 다음 명제를 증명하였다. 명제 4.3 dM,/d t는 국소좌표 {zr} 의 선택에 관계없이 일의적으로 정의된다. 증명 { VA} 를 { Ui} 의 국소유한세 분 (loc ally finite refi ne ment) 으로서 각 VA 상에 좌표계 (f'.i,t)가 정의되어서 다음과 같은 관계식 Vi = {(fA, t) : lf'.i l < eA, ltl
로 표시된다. 따라서 {기J r} 와 {0Ar} 가 동일한 코호모로지류를 형성함을 보이면 충분하다. 이것을 증명하는 데는 • (4. 4) 기i r (f) -0 ir ( t) = 0r (t) -0 i (t) 를 만족시키는 코체인 {a 』}가 존재함을 보이면 된다. VA 드 uj ,j =s(x), 이니, z j=g?（슭,t)라는 관계를 만족시키는 해석함수 gj=(g~' …,gj) 가 V i상에 정의된다. 그리고 vin vr 위에 다움과 같은 관계식이 성 립됨은 명백하다. gj [cpir ( fr, t) , t] = gj (fi, t) = z~ = f~, .(z,., t) = I?h 〔g,.(쵸 t)J 이 식을 t에 관해 미분하여서 다음식을 얻는다. 표p a旦f1 2 a 판t _ ＋ 4at = 표g a麟zt 쁘a Lt 그a도t 위의 식에 (了均)를 곱하여 합치면 誕운틀)롱-＋일뿔읊 강불(:릉-＋때롱끓 라는 식을 얻는다. 따라서 기 Ar = 녀블(읊-) 롱 라놓은면, v. I nVr 상에 7 며:홍〔끓;] =검황[끓 ]+0 .I r, 라는 식이 성립한다. 따라서
Q』(I) = 표 릅근[급已 라 두면, 1/A r-eAr = er-eA 라는 관계식을 얻는다. (증명끝) 위의 명제로부터 M={M,l t EB} 에 대하여, 단 하나의 코호모로지 류, 라분든 H1(M,, Q,)가 정의됨을 안다. 이 코호모로지류를 M 의 무한소변형이라 부른다. 만일 B 상에 새로운 좌표계 s 가 정의되고, t=t (s) , 그리 고 t' (s) =t=O 이 면 dMt ( s) dMt dt ds -dt ds 가 성립됨은 명백하다. 이 제 B 가 112 차의 연 결 복소다 양체 (connecte d comp le x manif old ) 일 경우를 생각하자. bEB 에 대하여, b 를 포함하는 개집합 L1(cB) 상예 서국 소다좌음표 (1()t 과도· ·,( 2t)” )가 이 성정 립 의 된 되다 어고 있생다 각고하 자하.자. (1또) 한p 기4 (L를1) =적 u당 u히j , 그잡리아 고 . 防 둘은 fiI 에 속하는 국소좌표근방 (coordin a te neig h horhood) , (2) 각 uj 상에는 국소좌표 (z;, ... ,z'}, t도··,t .. ）이 정의되어 있고, 또 한 Ui ={(z i,t ):lz 집
뿔 감릅 EH1(M,, Q,) 라고 정의한다• 정의 4.5 긴밀복소다양체족 M={M,l t EB} 가 국소적으로 자명하다 는 것은, 각 점 bEB 에 대하여, b 를 포함하는 적당한 좌표근방 4 를 택하면 p-i(t1) =MbX t1(복소다양체로서의 직적)로 표시할 수 있음을 뜻한다. 이 경 우에 는 좌표변 환함수 2?=f fk (zk , t) 가 t 에 대 하여 독립 이 되 도록 (즉, ：倍 =o) 좌표계 (zJ, t) 를 잡을 수 있다. 만일 M 가 국소자명다양체이면, M t는 모두 Mo 와 복소해석적 동 형이다. 그리고 aM,/o f =O 가 성립되니 다음 정리를 얻는다. 정리 4. 6 M 가 국소자명한 긴밀복소다양체족이면, aM,/o t =O 이다. 도움말 M 에 있어서 각 lvl, ; 가 Mo 와 복소해석적 동형이면, aMJ o t =O 이라는 것이 증명되어 있다. 무한소변형들에 대한 몇 개의 예를 들자. S 를 긴밀리만면 (comp a ct comp le x manif old of dim ensio n one) 이 라 하자. 그러면 실계수 코후 모로지 H1(M,R) 은 벡터공간을 이룬다. 이때 H1(M,R) 이 2 g차원의 벡터공간이면, S 를 지너스(g enus) g의 리만면이라 한다• 그리고 이 때 S 의 오일 러 지 표 (Euler characte r is t ic ) 를 E (S) 라고 표시 하면 , E (S) =2-2 g이다. 긴밀복소다양체 S 의 지너스가 g일 때 이것은 보 동 구면에 g개의 핸들(h andle) 을 첨가하여 얻어진다고 한다 :
s ~S
위 그림은 지너스 3 개의 리만면이다.
지금 S 를 분기점 (branch poi n t ) 두 개를 가지는 S 의 그 중 피복면 (coverin g sur face) 라면 5 는 그림으로서는 아래의 모양을 하고 있다. 따라서 S 의 지너스가 g일 때, 5 의 지너스는 2 g이다.
@
긴밀복소공간 S 상에 정의된 메로모픽 (meromor p h i c) 함수를 f (z) 라 고 하자, 그러면 f'(z)If (z)dz 는 S 상의 메로모픽 미분형식 (meromo - r(ppho il ec ) d들if을 fe r eSn 에ti a서l fo제r m 거) 하 이고 다. 난 이 나미머 분 지형 부 식분 의을 영D 점 라(면ze,ro fpaoo i fn 't ) ( z들) I과f (z풀 ) aD dz=O 임을 이용하여 f (z) 의 폴의 갯수와 영점의 갯수가 같음을 증명 할수 있다. 위의 사실과 다음에 사용될 리만-로호(Ri emann-Roch) 공식에 관한 것 은 리만면에 관한 기본적인 기술서에는 어디서나 증명이 되어 있다. 보기 4.7 이제 S 를 지너스 g인 리만면이라 하자. 지금 S 상에 두 개의 점을 a 와 b 로 표시한다. W 를 점 b 의 근방에 정의된 국소좌표 (해석적)로서 w(b)=0 을 만족시킨다 하자. 이제 S 상의 점 a 와 p에 분기점을 가지는 S 의 2 중피복면을 M p라고 하자. 이럴 때 w(p )=t 이면, Mp 는 P 에 의하여 결정된다. 따라서 t에 의하여 결정된다고 불 수 있다. 이와 같이 얻어진 {M1} 에 대하여 dM t! d t가 0 이 아님을 보 이고자 한다. S 상의 b 점 근방에 다음과 같은 세 개의 개집합을 정의 하자. wb = {w: lwl
교그 (리Uj고 ) nUW jo ( i국=2 ,가3, 되···게,m ) 하을자 .덱 하M여1, ( lt|M <1=+U)o U상 U에1 U 다U음마 ·과· LJ같 U은M 이국고소, 좌표계를 도입한다. Uo 상에, Zo = ✓ 굶二t, u1 상에, 21 = ✓ 굶, 그리고 Uj (j22 ) 상에는 t에 대하여 독립인 임의의 국소좌표를 도입 한다. uj 상의 국소좌표를 Z J라고 하면, 다음과 같은 좌표변환식 f 를 얻는다. Zo = /01 (21, °t) = ✓ w=-t = ✓ 국 그리고 (j,k) ti .{( 0,1), (1,0) ｝이면, Z j=fj k@) 로서 t에 대하여 독립 적이다. 따라서 {0 j k( t)}에 있어서, % 이외의 것은 모두 0 이고, 001 (t) = 윌(읊) = 2 ✓ 노(玉) = 三노(玉) Vo = Uo, Vi = 晶 luj 라고 두면, {001( t)｝는 M머 피복 {Vo, V!} 에 대옹하는 하나의 코호 모로지류를 이룬다. 죽 {001(t) } EH1(Vo, Vi,Q,)드 H1(M,, Q ,)1 dM1/dt =0 라고 하자. 그러면 vj 상에 벡터장 0 j(t)가 정의되어서 001 (t) = 01 (t) ....:. 0o (t) 를 만족시킨다. 따라서, 01 (t) = - 志-(志) + 0 。 (t) • M1-P 에서는 해석적이고, p에서는 단순폴 (s i m p le p ole) 을 가지는 벡 터장 기(t)를 M1 상에 다음과 같이 정의할 수 있다. 기(t) = (~\〔:)+0 。(t) V 。상에
M겨 지너스는 2 g이니, 만일 g칙 1 이면 2g - 12l)O. 따라서 리만 로호정리에 의하여 Mt 상에 2(2 g )-2 개의 영점을 가지는 해석적 미분형식 rp( z) =h(z)dz 가 존재한다. 그런데 1/(z ) =y(z )d/dz 라 두면 v (z) 는 Zo=O 에 단순풀을 가지는 벡 터 장이 다. 따라서 f(z ) =h(z) y (z) 는 2(2 g )-2~2 개의 영점과 1 개의 폴울 가지는 메로모픽함수이다. 그러 나 긴밀리만면 상의 메로모픽함수의 영점의 갯수와 폴의 갯수는 갇으 니 , 이 는 모순이 다. 따라서 dMi /dt= 4=0 이 다. 위의 예제에서 다음과 같은 명제를 얻는다. 명제 4.8 긴밀리만면 S 의 지너스 g가 1 보다 크면, S 의 2 중피복 으로부터 얻어지는 긴밀복소다양체족 {M1} 에 있어서 간밀복소다양체 족 {M1} 에 있 어 서 dM,!dt= 4=0 이 다. 다른 예 를 만드는 데 필요한 M= ¢ x P 나강의 해 석 적 벡 터 장에 관한 고찰을 하고자 한다. 명제 4. 9 다양체 M= ¢ x P' 상의 해 석 적 벡 터 장 (ho lomorph i c vecto r fiel d) 은 0 =g(z ) 틀)+ 〔 a(z) f 2+b(z) f +c(z) 〕훑 의 형을 가진다. 단, (z,f )E ¢ xP1, 그리고 a,b,c 는 모두 z 의 해석 함수이다. 증명 1 차원 사영 공간 F 상의 비 조화좌표 (nonhomog en eous coor-din a te ) 를 f 라 하자. f= oo 에 서 , F 의 국소좌표를 1J 라면 7]= 1/f 로 표시된다. M=¢xP1 상에 주어진 해석적벡터장 O 를, ¢xP 드 ¢x oo(=¢2) 상에서 생각하면, 0 =g(z , f) （훑 )+h(z, f) (紀 라는 형태를 가진다. 여기서 g와 h 는 모두 ¢2 상의 해석함수이다. o 는 00 에서 다음과 같이 표시된다. e = r(z, 1J) （훑)+/3 (z, 1J) (¾), 단 f =l/ 기, 그리 고 r 와 /3 는 모두 해 석 함수이 다. f =l/ 기 이 니 (a/a1J )
=-한 (aa/ f)이다. 따라서 00 에서 0 = r (z, 1/) （훑)-f 2 f3 (z, 1/) (紀 의 형을 가진다• g( z,1/ )= r(z,1/ ), 그리고 g (z, 1/)는 ¢ xP1 상에서 해 석 적 이 니 , P J-에 해 석 함수는 상수라는 사실로부터 , g (f, 1J) =g (z) 라 는 것을 알 수 있다. 또한 Ii (z, f)=-f 2 f3 (z, 1/)라는 사실에서 h(z,f ) 는 00 에서 2 차 (order 2) 이하의 풀을 가짐을 알 수 있다. 따라서 h(z, f )=a(z) f 2+b(z) f +c(z) 의 형태를 가지고 있다. (증명끝) 보기 4.10 2 차원 복소다양체 M.I 를 다음과 같은 방법으로 구성한 다. Uj = ¢ x P1 , (j=l , 2) , 그리 고 (Zi , f1) E U1 과 (22, f2) E U2 사이 에, m~2k,k~l. m 과 k 를 고정하고, z1=l/z2, f 1=z if 2+ t z 성 라는 관 계가 있을 때 (z 1,f I) 과 (22, f 2) 가 동치관계 (~）에 있다고 정의한다. U1UU./~=M1 라고 하면, MI 는 t에 의존하여 정의되는 2 차원 긴밀 복소다양체이다. 여기서 dM, l d t가 t =O 에서 0 이 아님을 보이고자 한다. Mo 의 피복으로 주어진 {Ui, U2} 를 택하자, 그러면 dM, ldt l ,=o = 0 (0) E H1 ( U1 , U2, Qo ) ~ H1 (Mo, Qo ) . 여기서 두 개의 좌표변환사상 fl = fi2( g , z2, t) , z, = f& (f2, z 2) 에 의하여 012(0) 를 계산하면 012 (0) = (왕)t =O( 京) = z 臼~) 은 U1nU2 상의 해석적 벡터장이다. 만일 t =O 에서 dM,/d t =O 라면, U1=¢ xP1 과 U2=¢ xP1 •상 에 각각 01 과 02 라는 해석적 벡 터장이 주어져서, 012 (0) = 02-01 이라는 관계식을 만족시킨다. Mo 에서, f1 =zrf2 , 그리고 Z1=l/% 이니, (¼)=짜흙)·
(玉) = mzl f l( 끓-） 국(플-), 라는 관계식을 얻는다. ¢ xP1 상의 해석적 벡터장의 형태에 관한 명 제물 인용하여 다음식을 얻는다. 02 (따) I f,= o = 02 (22, O) = g2 ( 22) (玉) + C2 (22) 玉) = C2 (22) 22 (京), o! (z, 鈴 1& = 3 = OI (zI, 0) = gI ( zI) (玉) + cI (zI) (-¾-), 012 (O) = 각 (京). f2= f 1= 0 에서, 식 012(0) =02-01 에 나타나는 (경\-)의 계수를 비 교하여 다음 관계식을 얻는다. 2; = z?Q ( z2) 궁 I (21) = 22C2 (22) -Ci ( 1/22) 여기서 C j (2 j)는 z j의 해석함수이다. 위의 식을 급수전개를 하면, 걸 = n2o=o O c 2nZ?+n=°- °O 2 cIn~1lT · 그런데 가정에서 O
증명 위의 명제 4.9 에 의하여 0EH0[M''),0] 이면, 각 UT 상에서 0 = 0, = g, (z,) (읊-) + ar (zr) 합 + br (zr) fr + cr (zr) （플) 의 형태를가자고, U1nU2 상에서 01=02 이다. 주어진 좌표변환식에서 (끓-) = z 白訂 (읊-) = m21 f 1( 끝) 국(읊) 이라는 관계식을 얻는다. 따라서 02 = -zly 2( 읊一) +mz 효(京) + (a2zf m 휴+ b 후 + C2) Z i(국-) = _ z fg 2( 훑) + [a2zif i+ (b2 +mz1g 2) f1+ c2z1m] （흙) = 01 =Y1( 玉)+ (a1f r+ b1f I+ C1) （끝). 言a' 합 l' 言a들 의 계수를 비교하면, g1 (21) = -zfg2 (z2) , a1 (21) = z 詞 (z깁 , bi (z1) = b2 (z2) + mz1g 2 (z2) , C2 (z1) = ZiC 2 (z 김 . 위의 함수들은 모두 z1 평면상에서 해석함수이다. Z1=00 에서 함수들 의 모양을 조사하자. z2=l/z1 이라는 관계를 이용하여, g1 은 무한원 점 00 에 서 2 차이 하 (order~2) 의 풀을 가지 고, a1 - 은 00 에 서 m 차 이 하의 폴울 가지며, C1 은 00 에서 영점 (zero) 울 가짐을 안다. mz :1 이 라 가정하면 다음과 같은 표현을 얻는다. gl = gl0 ZH+g n Zl +gl2 , a1 = a,oz'i '+a uz~-1+… +aIII’ CI =O 위에서 cl=0 이라는 것은, 전평면에서 유계인 해석함수는 상수라는
정리로부터 얻어진 결과이다. 이제 b1 과 b2 항의 관계식을 보면, b1 = nIe=x;, 0 b1nZ'/ = n찍=°o b2n ―21? -m g 10Z1-m g u-m g (l/z1), 따라서 b1 (21) =-mg 1z oz1b10• 벡 터 장 O는 (g10 ,g 11 ,g 12 , a10, ···, a1 .. , b10) 에 의하여 결정된다. 따라서 O 는 m+5 차의 벡터공간을 이룬다. (증명끝) 따름정리 4.12 n=t= m 이면, 복소다양체 M'( ..> .tj- M(” 은 복소해석동형 이 아니다. 도움말 위의 정리 4.11 에서와 같이 MI 를 슭 = zif 2+ t z~ , 21 = l/22 에 의 하여 정 의 하고, M= {M,EC} 라 하자. 그러 면 Mo=M' .. ), 그리 고 제 1 장 4 절의 결과로 Mt =M(2m_2Ir) 이다. W. Fis c her 와 H. Grauert (1965) 의 정 리 〈 M 까 Mb 와 복소동형 이면 dM,/d t =O 〉을 인용하면, dM,/dt = {*O, t=O =0, t=l=O 임을 알 수 있다. 그러나 Ms2 를 f1 = z2f 2+ s2z~, 21 = l/22, 에 의하여 정의하고, {Ms2Is 드아라는 복소다양체족을 생각하면 Mo = M
라는 결과를 얻는다. 이 사실의 역은 성립하지 않는다. 죽 dM,/dt= O 이라고 하여, M1 가 t에 대하여 독립이 아님을 알 수 있다. 도움말 한편 Kodair u 와 Sp e ncer (1985) 에 의 하면, dim H1 (M,, Q1 ) 가 t에 대하여 독립적이고, 모든 t와 r 에 대하여 aM J 8 f =0 이면, {MI, t드 B} 는 국소적으로 자명함을 증명하였다. 따라서 MI 는 t에 대 하여 독립이다. 정리 4.13 M 을 긴밀복소다양체, M,0=M 인 임의의 해석적 복소다 양체족 {M,l t EB} 에 대하여, 언제나 M,0=M, 를 만족시키는 t o 의 근 방 N 이 B 안에 있을 때, M 을 강성 (r igi d) 다양체라 한다. （죽 P : M ➔ B 라면, p -1(N) 이 NXM, ．와 복소동형임을 뜻한다.) 정리 4.14 H1( M,Q )=0 이면, M 은 강성다양체이다• 증명 M={M,ltE B}, 그리고 Mo=M 이라는 해석적 복소다양체족 이 주어졌다고 하자• 그러면 dim B=l 일 경우의 증명과 B 가 다차원 일 경우의 증명은 거의 비슷하다. 그러나 1 차원의 경우에는, 다차원 에 기안하여 일어나는 기호들의 복잡성을 피할 수 있다. 따라서 우리 는 1 차원의 경우에만 증명하고자 한다. 그리고 정리의 성격상 B= 를{t: l적t l절 < r히} 이택 라하면고, 가u정j=하 {여 (z도j, t ) 무: I방 z?하 l 다< .ej , IL t l|e <=e{}t : 를 lt l만
를 w;= t ;,.(w,., t)에 대하여, 동치관계 (w1, t) ~ (wa, t) 룰 w~= f ;,.(w 나 ,0) 에 의하여 정의하자. 그러면 MxB=L ! (UJ +B)/~ 로 표시된다. 표현을 간단하게 하기 위하여 g;,. (w1 i) = f~,. (w., 0) 라 정 의 하면 , w?=g ?k (wk) 이 다. MxB=L ! (UJ xB) 라는 표현을 사용하여, 중명하고자 하는 정리를 다시 이야기하면 : 〈충분히 적은 8 를 택하면, 다음 조건들을 만족시키는 사상 cp가 존재한다. (a) cp는, p -1(L16) 에서 Mx.t1 6 상에로의 해석적 동형사상이다. (b) rp 는 p-1 (t) 를 M x t 상으로 사상한다. (c) rp : M=P-1 (0)-Mx O는 항등사상이 다. > 지금 8 를 적당히 택하여,
라는 관계식을 얻는다. 따라서 각 仇상에 관계식 (4.4) 및 cp~ (zj, 0 ) =0 을 만족시키는 해석함수 cp ~(z i,t)를 구성하면 정리는 증명된다. 지 금부터 위에서 말한 조건들을 만족시키는 cp~를 구성하자. 간편한 표현을 얻을 수 있도록,
로 표시된다. 따라서 (4,7).,=I 은 (4. 9) f~k ll (z11) 겅불라 (z.) -cp~, 1 (z1) 를 만족시키는 rp를 구하는 것에 귀착된다. 한편 0jk = 江 (활 )l=O( 奇) = 2 ffk I1( 곱) 는 H1(M, Q)에 속한다. 그런데 H1(M, Q)=O 이니, {%}는 0 코호모 로 지류이 다. (4. 9) 를 다시 쓰면, 0jk = rp k l1-rp jlI 이다. H1(M,Q ) =O 이니 이 조건을 만족시키는 '?jlI 과 'Pk lI 이 존재한다. 따라서 귀납법 의 첫째 과정을 만족시키는 P 가 있음이 증명되었다. 이제 (4.7) .. 식까지를 충족시키는 'Pi (Z j,t)가 구성되었다 하자. 이 것을 식으로 표시하면 (4. l0) P7 (fjk) - gjk (P 7) m=+I rjkt .. +1 이다. 이제 (4. 7) .. +1 을 만족시 키 는 rpi l .. +1 (Zj) 를 결 정 하여 야 한다. 다 시 말하면,
g?*(rp간안 1 .. +1 t ,.+ l)m~ 此 (rp'f:) + 댜유〔rp': (z., t)]rp~l m + l .. +1' cp'f: (zk, t) = Z 너+ … 등의 식을 이용하여, (4. 12) （아 (fj.) + rp1 1 .. +I (zj) t•+I) 의 a 성 분은 파@ ＋녀봅rpfl m +I(z.) t +i, I 이라는 식을 얻는다. (4.10) , (4.11) , (4. 12) 에 의 하면, 만일 r詞 ) = 汀불안 1 .. +I (z,) -cp~l m +I (z) 이 되게 'PY lm+l 를 정 할 수 있다면, ((4. 7) .. +1) 식 이 성 립 됨 을 알 수 있 다. 지금
시 말하면 r?,, (z ,) = n1 (z,) + 8~=n 1 ―aaz2土1a r!， ， (z1r) 임을 증명하면 충분하다. r,k 의 정의에 의하여 I';,. (z,) t .. +1==r pT [f j,. (z,., t) ]- g,Ir [?? (zIr, t) ], m+l 따라서 g,k (
r:i.( z,) = r~J( z1) ＋녀를 r fk (z j) 를 얻는다. (증명끝) 이것으로 언訂j k(zIr, t)〕=g〔cp 1r(z,., t)]라는 관계식을 만족시키는 형 식 적 멱 급수 (form al po wer serie s ) cpi• 언 z(1zj E, tt1) ; =n z M;+, c ptj]1j1 (nz1 M)t += … {, zj: lz;I < 1} 의 구성이 끝났다. 이제 형식적인 멱급수 P j가 수령함을 보이면 된 다. 수령성을 몇 단계의 예비정리로써 증명한다. 예비정리 4.16 o)O 가 충분히 적을 때, 멱 급수 'Pi(z , t)는 It| <8 일 때 수령한다. 증명 수령 하는 급수로서 , 멱 급수
'Pi11 (zi) t ~A(t) =i'6b- {t+…} 임을 보이고자 한다. 이것을 증명하는 데 |rp~ 11(zj) I~b/16 을 보이면 충분함이 분명하다. (4.7) .. =1 을 쓰면, 녀훌라 (z,,)- 야 1(z) =f~1tll( 21, ) 를 얻는다. M 이 긴 밀 다양체 (comp a ct manif old ) 이 고, uj 는 M 의 피 복이니, 필요하면, uj 둘을 더 작게 잡아서, f!)들이 유계할 수 있 게 된다. 또한 같은 방법으로 'Pi lI(Z j)들이 모두 유계인 함수들이라 가정 해 도 무방하다. 따라서 b 를 충분히 크게 두면 (4. 15) .. =1 이 성 립 한다. (4.15) .. 이 성 립 했다고 두자. (4.15) .. +1 울 증명 하자. 이 제 중명 에 쓰일 정의 및 기호들을 다시 생각하여 보면,
uj 및 u~ 의 정의를 다시 생각하자. fUJ;J == {{z (z;:;, ltz) 기 1 2< 집 l<+ r1}, ,lt l < e}, U;=Mn fJ;, M= u u~= u U;.
그리고 P j(z J,t)는 U i상에 정의되어 있다. 또한 gJ 1r(Z,,) 는 u~nu: 에 정의된 해석함수이다. 따라서 Y = (Y1, …, Yn), ly l < r, z,, E U1n Ui,, 일 때, gJ.는 z.+ y의 해석함수이다. 필요하다면, r 를 충분히 작게 잡아서, (4. 17) gi,.(z ,.+y ) ~mI00= : O l (y. +y2 + .. ·+y.)• 을 만족시키는 r>O 가 있음을 안다. rpr (z., t) -z . = ¢. (z., t) 라 두고, m+1~2 일 때, 〔gj k( 이제 I'jk (z j) f'+l=
(Jjk ( zh, t) = fjh (z k, t) - Zj « A 。 (t) = 그16누co 릅;;1 (Cmot2 ) (4.15) .. 01 성 립 된다는 가정 에서, 아 -Z j = ~?jlµ ( Z1)tµ « A (t) = 홉 aµ!µ. 각 cpj lµ 는 해석함수이니, 다음과 같은 급수전개를 가진다. 'Pilµ (Zi + Y) -cpjlµ (zi) = n+~·· ·+ r .=1 C r, - ·· r ■ YP'Y' 여기서 c,, ••. ,. = （습 )nf ···I ;걸:?.jy:깊 dy, • •·dYn• |ya l=p IYal, 상에서 1
cpj[/; 1r(z,,, t), t],. +I « A( t)품 . +r J--¥--J n+ ·· ·+r. = A(t) {〔효(강 )T 『 -1} (4.17) 에서 Ao (t) r ::;;; (bo/Co) r-iAo (t) 를 얻는다. 따라서 [효(1- )1-1 ::;;: [결 1 》(응 )r-1Ao(t )『 -1 = [1++ 나/f3 Co A 。(t )r- 1. Co 를 택하는 데 주어진 제약은 A 。 (t) » fjk (zk , t) _zk 이었다. 따라서 Co 를 충분히 크게 택하여 bo/2co< 겅겨 되게 할 수 있다. 그러면 [효 (+Yr-1 « [1 + -j-Ao (t) r-1 = 누 A 。+(;)(묵유 )2+ …+（유유) n 弓 ~Ao( t), 단, K흡 (n, {3, bo, Co) 에 만 의 존하는 상수이 다. 따라서 [cp? [/;1r (z,,, t) , t]] .. +1 근 ~A (t) A 。 (t) . A(t) 에 나타나는 상수 b, C 와 Ao(t) 에 있는 bo, Co 에 관하여 b>bo, c>Co 라고 가정 하여 도 무방하다. 그러 면 A (t) »A 。 (tj , 따라서 +A 。(t )A( t) « 뭉 +A( t). 끝으로위에서 계산한cp? 및 gp둘의 추측을 이용하여, 모든 zEUj nu.
에 대하여 rjk f• + I = 〔아 따 (zk, f) , f]] .. +1-[g jk[< p /r (z/r, t) 〕］마 1 《(유 -2l2 리 (b/c)A(t) 라는 식을 얻는다. 따라서 r j k 에 관한 추측으로, 모든 zEUJ nu,, 에 대하여 rjk f . . +1 ~ K1(!f t-+2l 2n2) (b/c) A (t) 임을 얻는다. 이제 위에서 계산한 r 의 값을 이용하여, 'P ~lm+I(Z J)를 추측하고자 한다. 앞에서의 정의를 다시 상기하면 rJak = 녀를'P ~lm+I (zk) -rp;lm +I (z;) 로 의하여 정의되어 았다• 앞에 r j.의 구성에서 사용한 바와 같아 다 = : 巧~ (z i)(읊-), 'JJjl . . +1 = 판 ?lm+l(o/oz~) 라고 두자, 그러면 I'jk = 안 I .. +1_P j l 마 1 라 쓸 수 있고, r= {rjk} 는 하나의 1- 코사이 클 (1-cocy cl e) 임 은 알고 있다. 여기서 r j k 는 u;nuk 상에 정의된 해석적 벡터장이다. 각 Ui 상에 해석적 벡터장 {¢j}가 정의되어서, #={#j}가 O- 코체인을 이룬 다고 하자. 우리는 다음과 같은 노름움 정의한다. m = Jm,k a x us1unpu .m a ax/m (zj) /, |I¢ll = max sup max | ¢7 (zj) | , I •EUJ a 예비정리 4.17 M 을 긴밀복소다양체라 하자. 그러면 다음 조건을 만족시키는 상수 K 가 존재한다.
(1) 1- 코사이 클 r 가 O- 코 호모로지 류에 속 하면 , 11¢11 :::;:KIII' II, 그리 고 싸 =r 가 되는 1- 코체인 {cpj}가 있다. (2) K 는 r 에 대해 독립적이다. 증명 위 에서 우리는 Ui = {zi: lz~I <1}, 그리고 Uj = {zi: Jz ~I <1-{3} 라 정의하였다. 이제 예비정리가 성립하지 않는다고 가정하자. 1: (I') = inf {llcpll : ocp = I'}
위의 예비정리에 의하여 -llc p .. +111 ~ KIII' II, 와 다 = cp1 r I 마 1- cp 11 .. +1 을 만족시키는 K 와 {cp1 1 .. +1} 을 택할 수 있다. 그러면 cpj I 마 1(z j)t+1 K1(2l2n 나불 )+A( t), 또한 c 를 충분히 크게 잡아서 KK1 (2l2n2+kdf3 ) (b/c) : r1 (a) =Mb_ 溫 는 항등사상이 다.
주어 진 (M, B, 1e) 에 대 해 , Tb= {：日 겁} =mg 1Cr( 了운)} 라 두자. 그러면 Tb 는 b~B 에서의 해석적 접속벡터공간이다. 이메 하나의 선 형 사상 Pb : Tb-H1 (Mb 요) 가 Pb : (a/at) 一 caM,/ot) b E H1 (Mb 요) 에 의하여 정의된다. 코다히다 스펜서가 다음과 같은 정리를 증명했다. 정리 4.20 만일 p b(Tb)=H1(Mb, Q)이면, (M,B,1e) 는 점 b 에서 완 비이다.
제 3 장 조화형식 이 장에서는 복소다양체상의 조화형식 (Ha rmonic Farms) 및 복소 다양체의 기하학을 연구한다. 제 1 절 켈 러 다 양체 (K 죠 hler Manif old ) M 을 n 차원 복소다양체라고 하자. 각점 p EM 에서 해석적 집벡터 들이 이루는 n 차원 공간을 T,(M) = {11111 = ~ a‘ 훑-} 으로이제 표 시T,하(M여) 왔상다에. 다음과 같은 조건을 만족시키는 내적 <. >,가 주어졌다고 하자. (1) <11,11> ，걱 0, 등호가 성립되는 경우는 1/ =0 일 때 한한다. ((32)) <<1. /, >g>,,는, =제 <일g성, 1분/>에, 대하여 선형이고, 제이성분에 대하여는 공액(4 )선 형< ,( c>o,nj는u g P a t의e lCin°e -a r급) 이함 수다.이 다.
이때, 내적 < >는 T*(M) ® T*(M) 의 COO-섹 션 (I. I) ds2 = I; g,1 dz' d 궁 i,J= I 으로 표시된다. 이때 조건 (1) 은 (1) I I: g;j (z) 기’可j느 0, 동호가 성 립 되 는 것 은 기 =0 일 때 한한다. 그리고, 조건 (2) 는 (2) ' 궁•J = gji, 그리고, 조건 (4) 는 (4) ' g‘J (z) 는 z 의 COO- 함수이 다. 등으로 표시된다. 따라서, 우리는 다음과 같은 정의를 한다. 정의 1.1 (1)’, (2)’, (4)’ 을 만족시 키는 T* , (M)®T*(M) 의 단면 (secti on ) ds2 = 1,~J =n l g,1 dz' d 강 를 M 상의 에 르미 트 계 량 (He rmi te Metr i c ) 이 라 한다. 지금부터 M 상에 에르미트 계량이 고정되어 있다고 가정한다 . 2 에르미트 계량 ds2= I: ,1 g ,;dz;dz; 가 주어졌다면, 이것으로부터 유 도되는 (1, 1) 미분형식 w= ✓ 걱 2 g,j dz'^d 궁 를 생각할 수 있다. 이때, w 는 ds2 의 허수부의 (-2) 배이다. 죽, w = -2[. . (ds2) . 따라서, Gu=2 g,i라고 두면, w = -I,. . (2 G‘j d z' d 궁 9 이 다. 미 분형 식 W 가 dw=O, 죽 폐 미 분형 식 (closed for m) 이 라는 것 이 , 코호모로지 이론에 있어서 중요~ 갖게 됨을 곧 알게 된다.
따라서, 우리는 다음과 같은 정의를 한다. 정의 1.2 M 상에 주어진 에르마트 계량 ds2= 홉 I gij dz'd 겅로부터 유도되 는 미 분형 식 w= ✓ 二 I ~ g,1 dz1/\ d 강 가 폐 미 분형 식 (dw=O) 일 때 , ~ G1 J dz1 d 궁 =2 2 g1j d zi d 궁i 를 켈 러 계 량 (K 덤 hler Metr i c ) 이 라 부 른다. 그리 고, W 를 켈 러 형 식 (Kahler Form) 이 라 한다. 도움말 정의에 의하여 w= ~,tl,J = I, G,1dz1/\d 간 이다• 또한, w = -Im (~ G,; dz' d 간) 이다. 지은이에 따라서, w 는 여기서 정의한 것의 (土 1) 배, 혹은 (士 2) 배가 되어 있다. 그리고 처음부터 G 서만을 정의하는 경우도 있다. 정의 1.3 복소다양체 M 상에 켈러계량을 도입할 수 있으면 M 을 켈러다양체라 부른다. 도움말 M 이 복소다양체이면 언제나 에르미트 계량을도입할수 있 다. 그러나, 켈러계량을 도입할 수 없는 다양체가 있다. 예를 들면, M 을 n 차원 긴밀 복소다양체라고 하자. 그러면, dw=O 이고, 또한 w 는 완전미분형식 (exact fo rm) 이 아님울 증명할 수 있다(정리 1.3 참조). 따라서 , 적 어 도 우수차의 베 티 수 (Be tt i number) 는 0 이 아니 다. 따 라서, M 이 켈러다양체이려면, 우수차의 베티수가 O 이 아니라는 위 상적 조건 (top ol og ica l condit ion ) 을 만족시 켜 야 한다. 보기 1.4 ¢n 을 n 차의 복소평면이라 하자. 한편, ¢n=R” 이고, R 상의 유클리드 계량은 (1. 2) g = 2n (d.xJ) 나 In; (dyi ) 2, J= I J= l ZJ = X1+i Y1
로서 주어진다. 보통 (1. 3) .. G = j~=” I dz i d 궁 를 C 상의 켈러계량이라고 한다. 이때 ds2 는 G 의 실수부, 즉 (1. 4) ds2 = Re(G) 이 다. ds2 를 형 식 적 으로 T¢ (M) 상의 쌍일 차 형 식 (bil ine ar for m) 으로 확장시켰다 하자. 그러면, g(훑 훑 -)=O g(훑 훑)=占 8. J 이다. 따라서, g;j=g<경a 7 , 경컫8 〉>라 두면, 에르미트 계량 (1. 5) ?i>,i. g,j dz' d 궁 = ..2.L 2J dzj d 궁 를 얻는다. 더욱 ( 1. 6) G.1 = 2g ,1 라는 관계식도 얻는다. 정의 1.2 에서 2 gij dz i d 강의 2 배를 켈러계량 이라고 정의하는 이유가 여기에 있다. 정리 1.5 임의의 복소다양체상에는 에르미트 계량을 도입할 수 있 다. 증명 M 을 주어진 n 차원 복소다양체라 하자. 그리고, {Ua} 를 국 소유한인 (locally fini t e) M 의 피 복으로, 각 Ua 상에 는 국소좌표계 {z\ … ,z 가이 주어졌다 하자. 각 Ua 상에는 G. = ~” dz1d 강 /=! 라는 에르미트 계량을 도입 할 수 있다. {cp。}를 피복 {U ｝에 종속되는 단위 분할(p ar titi on of unity) 이 라 하자. 그러 면,
ds2 = I: cp. G. 는 에르미트 계량이다. 지금 PEM 에서 기A(( p p)` ` '/= = 흡ngI 긴,^j j a言훑 가 주어졌다 하자. 그러면, ds2 (..:l, 可) = 2
형식, 죽 a# = 2l,j #u dz' I\ d 강 라면, ＃서가 복소해석함수임을 안다. 따라서, (2 장, 정 리 2. 6) 에 의 하면, U 상에는 a# = d기 = a1/ 를 만족시키는 해석적 (1,0) 미분형식 기가 존재한다. 결국 a[# 키 7] = 0 울 얻는다. (2 장, 정리 2.5) 에 의하여 af =¢-기 를 만족시키는 C1X1 의수 f가 U 상에 존재함을 알 수 있다. 위의 사실 둘을 정돈하면, cp= a¢ = a( 간하) =aaJ = a5(_f) 라는 결과를 얻는다. (증명끝) 따릅정리 1.7 에르미트 계량 ds2= I:g .;dz'd 망가 복소다양체 M 상 에 정의되어 있다 하자. 각 점 p EM 에 대하여, P 의 근방 U 를 충분 히 작게 잡으면, U 상에서 w=aaK 를 만족시키는 C00- 함수 K 가 U 상에 존재하는 것이, w= ✓ =I I;g ,;dz'/\d 강가 첼러계량이 될 필요 충분조건이다• 정 리 1. 8 1/ 차 복소사영 평 면 (comp le x pro je c ti ve spa c e) P 은 켈 러 다양체이다. 증명 ¢ n+1 에 속하는 임 의 의 점 을 t= (to, t1, …, tn) 에 의 하여 표시 하 자. 그러면, V1 = {tit = (to, ti, …, tn) I tj=I=O },
Pn = un v j J= O 으로 표시된다. 이때, 각 vj 상에 국소좌표 ZJ = (다, z}, ... , zt 1, z?1, …, zj) , z; = ti/t1 가 정의된다. V J상에 Kj 를 다음과 같이 정의하자. Kj = log ( l+ ~ lz}l2) l,j ,J = log ( ~n ltil 2) -log lt 11 2. 그러면, vjn v. 상에서 l=O Ki -K • = log lt . /til2 = lo g!러 12 = log z,+ log 각. ujn u . 상 에서 a 하(j -aaK.=o. 따라서, 각 v j 상에 w = io cJK j 라 두면, w 는 P J-에 정의되고, 또한 dw=O 이다. 지금 Vj 상에서 w= i 2 g a,d 검 /\d 간 라 두자. 그러 면 g.,=g,0 임 은 명 백 하다. 이 제 ~ g.8 dz dz~ 가 정 부 호형 식 (po sit ive defi ni t e) 임 을 보이 자. 이제 j =O 의 경우 2a=zf 라 두고, 이 사실을 증명하자. 그러면, Ko = (log ( 1+ In: Iz•12) a=I 繼= 2 g d 궁 1+ I: lz 기 2 , 그리고, 寧o = 12d+z2aI/z\ed| 꿍2 - 2 (궁1 '+dz2'|z^.2P 집)2 Z • (1 + 21| zT) 2 2 (8g, (1 + Iz ° F) -간 ) dzg/ \dz'.
그러면, (1. 8) ~ (Oap (l + lzal2) -궁감 )sa 던 = Cs, s)2(1+ (z, z) 이 - I Cs, z) 12, 단, (g, z) = 2n g a 궁. a=l 스발쯔 부등식에 의하면, (t, t)2 (z, z)2-I (t, z) 12 ~ 0 이다. 이것은 〈가 O 벡터가 아니면, (1.8) 식이 양수임을 표시한다. 이것으로 2 g a,dzad 강가 정부호형식임이 증명되었다• (증명끝) 예비정리 1.9 켈러다양체 M 의 부분다양체 (＝복소부분다양체)는 역 시 켈러다양체이다. 증명 N 을 M 의 부분다양체, 그리고, W 를 M 상의 켈러형식이라 하자. 그러 면 , w 를 N 에 제 한한 미 분형 식 (restr ict e d for m) a=w I N은 N 상의 미분형식이다. 또한, dw=O 이니, 물론 da=dwlN=O 이다. 그리고, w 와 연관되어 있는 에르미트 형식 죽, w = i~g ; i dz;/\d 강, ds2 = ~ g;1 dz; d 강 에 있어서 ds2 는 M 상에서 정부호형식이니, 물론 ds 이 N 도 정부호형 식이다. （증명끝) 도움말 w 를 다양체 M 상의 n- 미분형식 (n- fo rm), 그리고 Xo, … ,Xn 을 점 pE M 근방에 정의된 (n+l) 개의 벡터장이라면, 다음과 같은 관계식이 성립한다. (I. 9) +d~w ( (-X1o),' +…1,w X(n[)X ,=, ¥j』I= :,O X(-o,l )… i,X X;w‘, (XXio +, 1…, …, g, ijj, ,… x, jX+n] ,) …, Xn), 단j<,J ex,, X1J = x,xj- xjx , 〈 1.9) 식을 이용하면, da=dwlN 임을 쉽게 알 수 있다. (증명끝)
따름정리 1.1 0 대수적 다양체는 켈러다양체이다• 증명 M 을 대수적 다양체라 하자. 그러면, 정의에 의하여 M 은 어 떤 P'’ 의 부분다양체이다. 따라서, M 은 켈러다양체이다. （증명끝) M 을 복소다양체라고 하자. 그러면, 임의의 점 p EM 에 대하여 p 를 포함하는 좌표근방 (coordin a te neig h borhood) U 를 참을 수 있다. 좌표근방 U 상에 정의된 좌표함수가 (z 도 ··,z ), 그리고 좌표근방 V 상예 정의된 좌표함수를 ( t도··,t)이라 하자. 이때, • 간 = x2j ~ 1+ ✓ 걱 z2 j, xi = y21 -1 + ✓ 걱 Y2 j 라 두면, 이들 사이의 좌표변환에 따르는 야코비안 행렬식은 de t(룹) = [de t澤)『 >O 이다. 그러므로 M 은 방향부 가능다양체 (or i en t ableman ifo ld) 이고, 이 때 (x 도 • ·, x2) , (y\ …, y2n ) 등은 양의 방향 (po sit ive ly orie n te d ) 의 좌 표들이다. 이 제 M 이 더 욱 긴 밀 켈 러 다양체 (Comp ac t K 五 hler Ma nifold ) 라 하 자. 그러면, M 상에 켈러형식 W 가 정의되어 있다. 죽 U 상에서 w = I; g;i dzi /\ d 궁 으로 표시된다. 그러면, 간단한 계산에 의하여 硏단, =g 2=n n d! egt ( dgxi1j )I \> .. O. .I \ dxn, (여기서 g >0 인 것은 ds2=~ g , ;dz'dz; 가 정부호형식이라는 것으로 부터 얻어진다.) 따라서, (1. l0) JM硏 >O 이라는 식을 얻는다. 이 결과를 이용하여 다음 정리를 증명할 수 있 다.
정리 1.1 1 긴밀 복소다양체 M 에 있어서 우수번 배티수들 (even Bett i numbers) 은 양수이 다. 즉, b2 후 1, k=l, 2, …, n. 증명 wn 은 2n 차 다양체 M 상에 서 2n-미 분형 식 (2n-fo r m) 이 다• 따 라서, d 硏 =0 이고, 만일, dcp = wn 이 라면, IAI 硏 =I8M¢ J라는硏 =스0 토이크라정는리 결(s과ta k 를e 's 얻t h는e다or.e m)이 를는 사(1용.1하0)면 식,에 aM모 순이된 공다.집 합따이라므서,로 M d¢=wn 이라는 관계를 만족시키는 ¢는 존재할 수 없다. 더 우기 , w•=wl \…l\w 라 두면, d'P = Wk 를 만족시 키 는 'P 는 있을 수없다. 만일, w•=d 'P라면, dw=O 이니, 硏 = Wk/\Wn-k == ddr(p < p/ \^ w Wn-nk- k)1 라는 식을 얻는다. 여기서
N=8T, 그리고, T 가 M 에 매장된 부분다양체라 하자. 또한 W 를 M 상의 켈러형식이라 하자. 그러면, c1. 11 ) o
(2. 2) ve. = j~=” l w{®ej (단, 짜는 1 위의 미분형식) 으로 표시된다. 이때 (2. 3) w = (w{) 를 접 속 F 의 집 속행 렬 (Connecti on Matr i x ) 라 한다. 접 속은 벡 터 속 E 의 단면들을 미분하는 방법의 일종이다. 지금 다양체 M 의 점 x 에 있어서 접벡터를 VET: r (M) 이라면 (2. 4) Vve, = In: w{( V) ei J= I 라고 정의한다. 임의의 단면 1/ = 2n 1 /iei i= I 에 대하여는 (2.1) 식을 이용하여 (2. 5) F 때 = I: d71;(V)e,+Ii ,;j 71i ( V)w{(V)ej 를 정의한다. 그러면 이 J7 v 1J는 1J의 V 방향에로의 미분계수라 볼 수 있냐 실제로 Fv 1J를 1J의 V 방향 공변미분계수 (covar i an t dif fer enti a- tion ) 이 라 부른다. 지금 X, YET:r ( M), /EA0(U), 그리고, g,1J든 A0(E, u) 라 하자. 그러면, r 가 다음과 같은 법칙을 만족시키는 것을 알 수 있다. (2. 6) ((21)) VJ7xx + (Ys1 J+= = 7 J) V=x1J J+7x Vsy + 1J Vx1J ((43)) JJ771x x (7J/ Y ) fJ=7x I 1} J 7x Y+ X (/) Y 도움말 접속 7 을 정의하는 대신, (2.6) 식을 만족시키는 Fx 를 정의 하고, (2.2) 식과 (2.4) 식을 이용하여 F 를 유도할 수 있음은 명백하 다. 위에서 우리는 일반적인 벡터속의 집속에 관한 것을 알아보았다.
이제 M 을 n 차의 실다양체 (real manif old ), 그리고, E(=T(M)) 을 접 벡 터 속, 그리 고 M 상에 는 리 만계 량 (Rie m annia n Metr i c ) ds2= I: g 1 j dx i dx j가 주어졌다 하자. 그러면, 임의의 벡터 X, YET,(M) 에 대하여 내적
단, Yf = df (Y ) 라는 관계식을 생각할 수 있다. 정의 2.3 T(M) 상에 접속 7 가 정의되어 있을 때, 관계식 (2.9) 를 만족시키는 T* ( M) 상의 접속 r * 를 접 속 F 의 상대접속이라 한다. 일반적으로 T*(M) 상의 F* 를 F 와 같은 문자로 표시하고, F 와 F* 를 합해서 하나의 집속이라 생각하는것이 보통이다. 우리도 그 관 습을 따르기로 한다. 도움말 (M,ds2) 를 리만다양체라 하고, T(M) 상에 계량접속 /7(= (2.8) 식을 만족시킨다)가 주어졌다 하자. 그러면 기* ET:(M) 일 때, 모든 YET,,(M) 에 대하여 (2. 10) 기 * (Y) =
(F; 기*) ( Y) = 삽 Vxp (기*) , Y> 라는 관계식이 모든 Y 에 대하여 사실이다. 결국 (2 .10) 식에 의하여 F; 기* = p- l (Vx p (기*) ) 라는 관계식을 얻는다. 앞으로 반들 E*, 혹은 E 에 접속이 정의되어 있을 경우, (2.11) 식과 감은 방법으로 다론 한쪽 반들에 접속을 유도 하는 방법을 몇 번 쓰게 된다. 정의 2.4 반들 E, ➔ M 상에 접속 F‘ 가 각각 정의되었다 하자. 이때, E1®···@E,,. 상에 접속 V1® … ®rm 을 다음과같은 관계식에 의하여 정 의한다. (2. 12) CV1®···®V .. )x (Vl®… ® V. . ) = Im: Vi® ···®V1xV1®···®V., J= I 단, vj 는 개집합 U 상에 정의된 단면, 그리고, X 는 집벡터이다. 일 반적으로 f11 ®·®f1 .. 를 단순히 f7로 표기한다. M 에 속하는 개집합 U 상에 정의된 텐서 (t ensor) 들의 공변미분에 관한 것을 알아보자. 지금 T*=T*(M) 이라 두자. 만일 K 가 U 상 에 정의된 반들 T一*®― . .1 ·®-T *®-T®m·®-T 의 단면이면, K 를 (7) 텐서라 한다. K 를 U 상에 정의된 (~) 텐서라 하자. 만일, U 가 충분히 작으면 (예를 들면, 국소좌표계가 정의되는 개집합, U 상에서 1 위의 미분형 식(=(!) .텐서)들 W; 를 이용하여 K=w1®… ® w .. 으로 표시된다. 또한 X, X,, (i= 1, 2, …, m)
를 U 상에 정의된 ?)1 개의 벡터장 ((5) 텐서)이라 하자. 그러면 K (Xi. ·;· · ,X. . ）은 U 상예 정의된 C°-함수이다. 정의 2:4 와 식 (2.9) 및 미분연산의 라이프니찌 법칙을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻는다. XK(Xi. X2, …, X .. ) = X(w, (X,), w2(X2), …, w. . (X .. )) = I;' W1 (X1) …w ,-1 (X,-1) • (Xw, (X,) ) …w . . (X .) i= l = Ii=m: l W1 (X1) …i-1 (X~-1) • (J7x w, (X.) +w (J7x xi) ···w .. (X .. ) .. = i~= l W1 (X1) … w 니 • (VxW;) (X;) …w . . (X .. ) +Iim=: I w1 (X1) …w ;_1 (X,-1) ·w,(J7 x X,) …w (X. . ) = Fx(wl®… ® w,.) (XI, ···, X .. ) + 2i=m I (wl®… ® w. . ) (XI, …, Fxxi, …, X .. ) = (J7x K) (Xi, …, X .. ) + i~=m l K(X1, …, Fxxi, …, X .. ) . 명제 2.5 信) 텐서 K 의 공변미분은 다음과 같은 관계식을 만족시 킨다. (J7x K) (X1, …, X .. ) = X[K(X1, …, X .. ) ] _ 2m K(XI, …, Fxxi… X ..) l=l 위에서 (i) 텐서 K 의 공변미분 FK 를 정의하였다. FK 는 (1~1) 센서이니 2 차 공변미분 p-(P' K)= P' 2K 도 정의되어 있다. 이제, p- 2K 가 어떤 양인지 알아보자. 위에서와 같이 U 를 M 에 속 託 개집합, 그리고 U 상에 1 차 독립인 n 개의 벡터장(단, M 은~ n t}원 다양체) e1, … ,en 이 주어졌다 하자. 그러면, ve. = JI=: l w{®e1
으로 표시됨은 알고 있는 사실이다. 목별히, K=e1 일 경우에 F (J7e 1) = 17 (I:w{ ® e J) = I:JVw {® e J+ I: w}®w {® e• . J.• 이때, X 와 Y 를 U 상에 주어진 임의의 벡터장이라 하자. 그러면, (J7%) (;X; Y) = ~ (VxW{) (Y) •e1+~ w}(X)w{(Y)e,, j,1 1 = ~Vx(w{(Y)) •e1+ I; w}(X)w{(Y)e,, J,t -~w{(J7 x Y) •e;. 한편, P'xW re1) = P'x( I: w{ (Y) ·e;) J = I: Wxw{(Y)) •e;+ I: wj( X) w{(Y)e1. j, k 위의 계산에 의하면, (2. 13) (J72 e1) (;X; Y) = llxllre1-llPxYe1 이 라는 결과를 얻게 된다. 위의 관계식을 임의의 텐서 K 에 관하여도 물론 성립한다 .• (J72 K) (;X; Y) 대 신에 F&YK 라는 기 호를 쓰기 도 한다. 그러 면 다음과 같은 명제를 얻는다. 명제 2.6 K 를 (i) 텐서, 그리고 X, Y 를 벡터장이라 하면, 다음과 같은 식이 성립된다. (2. l4) F 났 K = FxrYK_FrxYK. U 상에 국소좌표계 (따, … ,Xn) 이 주어져 있을 경우, (9) 텐서 K 는 K= LK아 .. a,dza•®···® 硏 으로 표시된다. 그리고 집속행렬의 인자들 역시 2 f dz0 으로 표시된 다. 따라서,
(2. 15) (J72 K) = ~ J(.마 ·m.2 d:8l···®dxa•®···®dx'·• 라 쓸 수 있다. 이때 (2. 16) (J72 K) == 파I; mK아I ··( m:아 j :i · ·da tx d i x®‘dx®d j ®xd@xda戶 웅울 @d @rdlxa 1 라는 표현을 쓰는 경우가 있다. 따라서, (2. 17) P',P'jKa ,•••a , = (p-2K ) 에 나타나는 dx'®dx1®dz • ®•••®dxa, 의 계수, V j K 아 • • a, = (VK ) 에 나타나는 dx@dxa,®… ® dxa’ 의 계 수 이 다. 따라서 , r 옮궁~=t= O 아 면, 11,11J (a ,•••a , 과 F 옮 F읊 -K 에 나타나는 d x 1®· · ·®d z’의 계수와는 다르다. 그러나 M 이 복소다양체인 경우 T(M) 상에 F 占占 =0 가 되는 접속을 도입할 경우가 많다. 이 경 우에는 F 2으a .• a上zP K = F 上a.• •F 으a:P_ K 가 되어서 (J7a P' ~Ka1-• • a,) 을 어떻게 보든지 관계 없다. 제 3 절 미분형식과 접속 앞으로 연 구할 조화형 식 (ha rmonic for m) 을 연 구하는 데 필 요한, 미분형식과 접속과의 관계를 연구하고자 한다. n 차원 다양체 M 상에 접속 7 이 주어쳐 있고, 지금 개집합 UcM 상에 일차 독립 (각 점에서)인 n 개의 벡터장 V1, …, Vn 과 w'(Vj) = o} 를 만족시키는 개의 미분형식 w\ … ,wn 이 주어졌다고하자. 그러면 VV . = l: 0{V1 (i = 1, 2, …, n) j= l
이라는 식이 성립되고, 이때 0{ 를 접속행렬이라고 하였다. 0{ 는 1 위 의 미분형식이니, (3. 1) 0{ = ~i=l I '{,W1 로 표시된다. 따라서 (3. 2) Fv.vi = 2” 0{(W Vj J= I = /2=nl r{‘Vj 라는 관계식을 얻는다. 접속이 대칭이라면, (3. 3) Fv.vi- Fv‘V k = O 이라는 관계식으로부터 (3. 4) rk-rt= O 이라는 식을 얻는다. 역으로, (3.4) 식이 성립되면, /7이 대칭임은 명백하다. 따라서, (3.4) 식은 접속이 대칭일 필요 충분조건이다. 이제 특별히 개집합 U 상에 국소좌표 (따, … Xn) 이 정의되어 있다고 하자. 그라면 w' 대 신 dx', 그리 고 V‘ 대 신 x.= 덩:물 사용할 수 있 다. 이제 주어진 텐서 T 의 교대적 (alte r nati ng p roduc t)을 al t (T) 라 표시하자. 그러면 다음과 같은 명제를 얻는다. 명제 3.1 J7이 M 위에 주어진 대칭접속, 그리고 W 가 M 상의 미분 형 식 이 면 , alt ( p'w) =dw. 종명 위에서와 같이 국소좌표가 정의된 개집합 U 상에서 증명한다. 특히 w = fd 났 /\ … /\ dX’, (f는 U 상의 함수) 인 경우를 생각하자. 그러면
(3. S) f7w = df @ dx1 ^ … A dx’ -~ ~p fn . dx1®dx1 ^ … I\ dx 乃\ … I\ dxP I,•=1 i= l- ((] 따라서, alt (J Tw ) =- 2d f I2• ,\ dfxr1L I \dx …t I /\\ d dxXI ’I \ … l\ d 났 I\ … l\ dx1 l,s=l i= l [이 여기서 둘째항에 나타나는 rL 는 1 과 s 에 관하여 대칭이다. 따라서 rL dxt /\ …I\ dx ' /\ … /\ d 따 r& dxs /\ … /\ dxt /\ … /\ dx' 의 두 항은 합쳐서 0 이 된다. 결국, alt (J 7w ) = df /\ dx1 /\ … I\ dx' =dw 라는결과를얻는다. 일반적으로p-미분형식은 w 형태의 미분형식의 몇 개의 일차결합에 지나지 않는다. 따라서 일반적인 경우의 증명도 위 와 동일하다. . (증명 끝) 정의 3.2 E➔ M 을 다양체 M 상에 주어진 n 차속, 그리고 E* ➔ M 을 상대 속 (dual bundle) 이 라 하자. 개집합 UcM 상에 n 개의 단면 (E 의 단면) V i, ···,Vn 이 주어지고 모든 점 p EV 에 있어서 .Vi (p), ···, vn · cp )가 일차독립인 벡터들이라면, VI, …, Vn 을 U 상예 정의된 틀(fr ame) 이라 한다. 그리고 U 상에 정의 된 E* 의 단면 w i ,···,wn 들이 모든 니에 관하여 w i (V;)= 하라는 관 계식을 만족시키면, w 도 ··,wn 울 상대틀 (dual fr ame) 이라 한다. 명제 3.3 • M 을 n 차 다양체, W 를 M 위에 주어진 미분형식이라 하 자. 그리고 개집합 UcM 상에 T(M) 의 툴 V i, ···Vn 과 상대를 wI, … ,w 이 주어졌다 하자. ． 그러밉 dw = l~=l w' /\ P'v, w.
증명 U 상에서 V,=X,=a ax '' 그리고 w'=dx’ 의 경우 식 (3.5) 에 의하여 r 효a w=— e8xf t dz1 ^… / \dz' -Ij=: I 1Ip=: 1 fr:.dx1 ^ …/ \d[xI] ' ^ …A dxp 를 얻는다. 여기서 w 는 명제 3.1 의 증명과정에 주어진 특수한 경우 이다. 따라서, 1g=I d xt /\7효 3 W = 홉훑 dx1 I\ dx1 I\ …A dX’ -2t=n I s2=n I ;2=p ! frL dzt / \ dx1 /\ …/ \dx[이 '/\ …/ \dx'. 둘째항에서 JI';, dx1 /\ …/ \ dx' /\ …/ \ d此 fr: t dx ' I\ …/ \ dxt I \ …/ \ dx' 는 서로 상쇄된다. 따라서, 이 경우에 명제가 옳음은 명백하다. 일반 적으로 V,= J~=, la { 정8 7 , w1 = In: bLdx~ k=l 라 두면, w'( V. )=ol 라는 관계식으로부터 ~.bia ~ = ol 룰 얻는다. 이 식을 이용하면, I; w'/\17v,W == 2j~.貞 i [[ I2,; j b}b } a d 산x Jd] x ^J I \2 Fkx a.? WFx ` W
= Z 8} dx j I\ Fx · t u l, j = 2J dxj ^Ex* W =dw. 따라서 임의의 들에 대하여 w = fdx 1 I\ … /\ dx' 형이면, 명제가 성립함을 증명하였다. 명제 3.1 의 경우와 같이 일반 적인 경우에도 성립됨이 명백하다. (증명끝) 반들 E-M 상에 집속 7 이 정의되어 있다면 F 는 J7 : ·% 0 (M, E) —홉 (M, E) 라는 사상이다. 이때 접속 F 를 이용하여 di' : %r (M, E) ~%r+l (M, E) 를 다음과 같이 정의한다. 죽 개집합 UcM 싱어] E의 툴 Vi, ·· ·, Vn 이 주어져 있다면, U 상에서 E 값을 가지는 p-미분형식 ¢는 n ¢= i2= l# @v‘ = 2” V@#d l= l (단, ¢서는 P- 미분형식) 으로 표시된다. 이때, (3. 6) dF¢ = 2 d¢@v‘+ (-1)P 2 4‘AFV‘ = 2 Vj® d#‘ + 2 F V‘ ^ #4 로 정의한다. 여기서 L!
정의 3.4 dV : %P(M,E) —켈p +l(M,E) 를 공변의 미분연산자라 부 르고, W 가 E 값을 갖는 P- 미분형식일 때, dVw 몰 w 의 공변의미분 (covaria n t exte r io r dif fer enti al) 이 라 부른다. （이 때 p=O 이 면 dP=d 이다.) 도움말 E=RxM 이면, UcM 상의 E의 단면은 함수이다. 이 경 우에는 %p (M,E)=%P(M) 이라 볼 수 있다. 특히, M 상에서 상수값 1 을 갖는 함수 e 는 M 상에 정의된 E의 단면이다. 또한 17e=O 인 E 상의 접 속을 생 각할 수 있다. 이 메 fE% 0 (E) 이 면, df= rf, 그리 고 dV=d 이다. n 차원 다양체의 접벡터속 T(M) 상에 접속 7 이 주어져 있고, 또 한 m- 차원 속 E ➔ M 상에 접속 F' 이 정의되어 있을 경우에 r®r’ 은 T(M) ® E 상의 접속이다. 이때 %P(M,E) 는 AP(T(M))®E 의 단면 둘을 붕아로 갖는 속이다. 또 ^P(T(M))@EcT-(M)P®···®T-(M)® E=T(M)®P@E 로 볼 수 있다. 한편 F 는 T(M)®P 상에 확장되는 정 속임을 앞에서 이야기하였다. 따라서 F®r’ 은 T(M)®P@E 상에 정의 된 집속이다. 이때 Al t (F®F') 과 dP' 사이에는 특별한 관계가 있을 것 이 예상된다. 만일 F 가 대칭접속이면, Alt C V®V') = dP' 이라는 사실은 거의 명백하다. 우리는 이 사실을 확인하고자 한다. 명제 3.5 M 을 다양체, 속 T(M) 상에 대칭접속 r 이, 속 E ➔ M 상에는 ' 접속 F' 이 주어졌다 하자. 이때 dP' : 筑『 (M, E) —這 r+1 (M, E) 를 공변의미분, 그리고 W 를 개집합 U 상에 주어진 E 값을 갖는 미분 형식이라 하면, 다음 관계가 성립한다. (3. 7) Al 任 W®/7 ') w] = dr'w 증명 E ➔ M 을 n 차원 속이라 하자. 그리고게집합 UcM 상에 E 의 를 VI,… , v군 ] 정의되어 있다고 하자. 그러면 ’ •
FIv 尸= J2”= I 0{ VJ 으로 표시된다. 이제 W 를 U 상에 정의된 E 값을 갖는 p-미분형식이 라면, w= /b=wl 1®V1 로 표시된다. 그러면 정의에 의하여 dP'w = J}=: ;l dw1®V1-+ (-1)1}j=: ;l w1I \V'V 1 = JL”= l dw1®V1-+ (-l)Pl~,J w1/\Oj ® Vl 또한 r®v1 의 정의에 의하여 (J7® m w = 2n FW i vi+ 2n 0j® w@v‘ j= 1 j,i=1 위에서 Alt (J7w ') = dw1, 그리고, Alt ( 0 處)硏) = 0} ^ wJ = (-l)Pwi /\ 0} 이다. 따라서, 명제가 성립됨은 명백하다. (증명끝) 도움말 명제에서와 같이 속 E 값을 갖는 미분형식 w 가 U 상에 정 의되어 있고, 또한 U 상에 (p +1) 개의 벡터장 Xo,X1, … ,x, 가정의되 어 있다고 하자. 그러면 (dP'w) (Xo, Xi, …, X,) = !p; (-l)ip 'X lw(Xo, …, XJ, ··,X,)] J= O + ‘I<:j (-1) '+iw ([X,, XJ ], Xo, …, 요, …, gi, …X ,) 로 표시된다. 위의 식으로 dP' 을 정의하는 경우도 있다.
제 4 절 레비시비타 접속 및 곡률 M 을 n 차원 다양체, g= 2 g 4 j dx'dx J를 리만계량, 그리고 F 를 T(M) 상에 주어진 집속이라 하자. 우리는 7 가 모든 벡터장 X, Y,Z 에 대하여 (4. 1) Vz
= X< Y, Z) + Y
라는 식을 만족시키고, 또한 이 식에 의하여 유일하게 결정된다는 중 명이 많이 사용된다. 정의 4.3 T(M) 상에 접속 /7가 정의되어 있고, 또한 개집합 UcM 상에 벡터장 X, Y 가 주어져 있다고 하자. 이때 곡률텐서 (curvatu r e ten sor) R 을 다음과 같이 정 의 한다. (4. 3) R (X, Y) = -/7y/7x + /7x /7 r + [X, Y] 도움말 지은이에 따라서, R(X, Y) 는 (4.3) 식의 (-1) 배로 정의한 것도 있다• 명제 4.4 T(M) 상에 계량 g, 레비시비타 접속 V 이 주어져 있을 때, 곡률텐서 R 은 다음 식을 만족한다• (1) R(X, Y)Z+R(Y, X)Z= 0 (2) R(X, Y)Z+R(Y,-4 ) X+R(Z, X) Y= 0 (3)
이므로, 위의 식에서 첫째항과 여섯째항은 서로 - 상쇄된다. 같은 방법 으로 둘째항과 세째항이, 네째항과 다섯째항이 서로 상쇄된다. 결국 원하는 결과를 얻는다• (3) 식을 증명하는 데는
(4. 4) R (X, Y) T = I: /X 망 ®R (X, Y) X 껑 •· ®X p~ I @w1®·®w + qIm= :l fX1@ .. ·®X®w 망 ··@R(X, Y)w 땅 @w• 즉, R(X, Y) 는 텐서대수상에 데리베이선임이 명백하다. （중명끝) 이제 R(X, Y) 의 국소적 표현을 얻기 위하여 개집합 UcM 상에 를 (fram e) {Vi, V2, …, Vn} 과 상대 틀 (dual fram e) {w1, w2, …, w 가 이 정 의 되어 있다고 하자. 이제 T 를 (~) 텐서, 즉 fw1 @···@w .. 의 일차 결합으로 표시된다고 하자. 명제 4.6 T 를 UcM 상의 (』)텐서, 그리고 XI,X2, … ,x. 을 m 개 벡터장이라 하면, [R ( X, Y) TJ (X1, …, XII) = -I/=m:I T(X1, …, R (X, Y) X,, …, X.) ) . 증명 번거로운 표현을 괴하기 위하여 m=l, f가 상수함수 1 인 경 우를 생각하자. 또한 R(X, Y)T 는 X, Y, T 들의 점 p EM 에서의 값 에만 의존하여 결정되는 양이다. 따라서 [X ,l 汀 =0 이라 가정하고 증 명하여도 일반성을 잃지 않는다. 그러면 R(X, Y) = _FyF x+FxFy, T=w, X1=Z 라 쑬 수 있다. (4. 5) ( WxP 'r) w) (Z) = [P'xW rw) J( Z) = X(CJ 7r w) (Z)) - CJ7r w) WxZ) = XY(w (z) ) -Xw (J7r Z) -Y 짜 P'x Z) +W (J7r P'x Z ) .
위의 식에서 X 와 Y 의 순서를 바꾸어서 다음 식을 얻는다. (4. 6) ( WrVx) w) (Z) = YXw (Z) - Yw CVxZ) -Xw (Vr Z) + w (VxVrZ) 따라서 (4.5) 식에 (4.6) 식을 합하여서 (R (X, Y) w) (Z) = -w (R (X, Y) Z) 증명하고자 하는 결과를 얻었다. （중명끝) 위에서와 같이 UcM 상에 툴 {V1, …, Vn} 이 주어졌다 하자. 그러면 (4.7) R(V i, VJ) V,,= Zn Rd Vi !=l 라는 표현을 쓴다. 지금 (w\ … ,w ）을 상대틀이라면, 명제 4.6 에 의하여 [R(V 나성리 (Vs) = -w~(R(V 나, VJ ) V.) = -Rij s* 를 얻는다. 따라서 (4. 8) R ( V., V1) W 무 -l~=n l. R,1/ w1 이 라는 결과를 얻게 된다. 도움말 이 제 텐서 둘의 축약 (contr a cti on ) 을 이 용하여 R/}1 둘의 각 첨자(i ndex) 사이의 관계를 조사하자. 만일 EI, …, E. . 을 M{. ｝에 주어 진 속이 라 하고, Et 들을 E, 의 상대 (dual) 속이 라 하자. (4. 9) E@ …® E. . ®Et® · •· ®Et 그러면 각 점 p EM 의 파이버는 (4. 10) V1®··•®Vn®Vi* (8)… ®V,* 와 같은 벡터공간의 적으로 표시된다. 이때 (4.10) 식에 속하는 하나 의 요소는 (4: 11) 짜8) ··•®v,®·••®v@ 기 1®·.· ®77 ,®·.·®111
과 같이 표시된다. (4.11) 식에서 (4. 12) w' (v,) v1®· .. ®v,-1®V1 +1 ®·®vn ®기 1® ·®1/ ,-1® 기 ;+1® ·®기t 라는 요소를 만들면, 이는 (4. 13) V1®···@V,_1@ Vi+1 ®···@Vn®V i* @· •· @V,혼 @v,~1( 간 ·®Vf 예 속하는 요소이 다. (4.11) 에 서 (4. 12) 으로 가는 사상은 속 (4. 9) 에 서속 (4. 14) E1@···@E;-1@E;+1®···@En @Et @ ···@Et .1® Et +1 ®···@E1 에 로의 속사상 (homomorph is m of bundle) 으로 확장된 다. 이 사상 을 C: 축약사상이라고 정의한다. 만일 E1= … =En 일 경우는, 임의의 q(i.:::;;: n, j::: ;;:l) 축약이 정의된다. 따라서 개집합 U 상에 정의된 속 (4.9) 의 단면 司)을, (4.14) 의 단면 T(1 각)으로 가져 가는 사상이 유도 된다특.별 히이 사T(상M도)® Q@축T*약(이M)라®I고 의 부 른단다면. (i) 텐서에 Q축약이 정의됨을 안다. 위에서 주어진 UcM 의 툴 {V;}, 둘의 상대들을 {w;} 라고 하자. ::::z.. 리고 M 상에 주어진 리만계량을 g라 하면, g =gijw® wJ 로 주어진다. 그러면
이 라 두면, Ruu 은 ( 1) 텐서 와 ( ~ ) 텐서 의 축약 (contr a cti on ) 으로 얻어지는 (:) 텐서의 계수이다. 명제 4. 4 및 (4.15) 식을 이용하여 다 음과 같은 관계식을 얻는다. (4. 16) (1) Ri ju = -Rji u = -Rij u, (2) R,;u + RJ rn + Ru;i = 0, (3) Ri ju = tR kti j• wET:(M), 그리고 VET,(M) 이라 두자. 그러면, (4. 17) p(w ) (V) =
T%0 ·· · 야 . (혹은 T•bc 가 ... ) 로 표시한다. 단위에서는 b 자리 (혹은 8 자리)에 대하여 축약하였다. (4. 20) 식 및 (4.16) 식을 이용하여 R1411 = -R 儒 = R1j lk 라는이제 식 을따 얻 는(다~.) . Rl그kIJ리 를 고 R l(k1I1 )로 텐표서시둘 하의기 도계 수한다를. 각각 T, T。 , TapT 라 두자. 그러면 (4.4) 식에 의하여 다음과 같은 식을 얻는다. (4. 21) (1) R(V‘, vj) (2gT avg) = 2 (R1jA aTA) V。 a,J = -( E (Rj/ J T1) Va) , a,J (2) R ( V,, Vi) CI:.T.w) = -Ia ,;A (R ／겁 T； ； w° = aI,;p ( R 싶／ T;; wa, (3) R ( V,, V1) (a ,~{J . r Ta{J A U la®w'® V,) = a,{2J ,r ,..i( R; iJ TA fJT +R 십iJ TeAr-R; ij Tag )w a®w'®Vr 특별히, 모든 i,j에 관하여 FvJ 3 -Fvjv ‘ = [V‘, VJ ]= o 인 둘 {V'} 가 도입되어 있을 경우 (4. 22) R ( V‘, vj) = FvJr w-FvdFvJ =F%v‘-F%J 가 된다. 이를 이용하여 식 (4.21) 의 (3) 식을 (4. 23) Fjr ,Tag -F drJT apr = 임 腐 TA fJ r 따 臨 Ta .l r 김 腐 컵 로 표시할 수 있다. 이런 표현은 를 {u, ｝가 국소좌표에 의하여 (궁~) 로 주어져 있고, 또한 V 가 레비시비타 접속(혹은대칭접속)인 경우에 주로 사용된다.
정의 4. 7 M 을 계 량 g= 2g u dx@ dxj 이 주어 진 11- 차원 다 양체 라 하고, 일차독립인 두 벡터 X, YE T:r (M) 이 펄치는 평면을 P 라고 하 자. 이때 k(PIIXll)·IIY=ll-
이제 UcM 상에 틀 (X1, … ,Xn) 과 상대툴 (w 도 · · ,wn), 및 계량 g=~g,1 w'®w101 주어져 있을 경우에 S 의 {X,} 에 의한 표현을 얻 도록 하자. 위에서와 같이 {e1, … ,en} 을 점 T,,(M) 에서의 단위직교계 라 하자. 그러면, ej = 2” a}xA, (j = l, 2, …, n) A=l XA = ~n b~ej, (il = 1, 2, …, n) j= l 라 두자. 그러면 ej= 12,Aa }b5e‘ 로부터 ~ ajb ~ = 05. A 또한, ej (e ,) = % 라 두면 e7 = ~ b~wA A 임을 알 수 있다. 이돌 관계로부터 (4. 25) % = 2A b WA (ej) = 2A,µ b 요 합 µ
wl(Y ) = ~• gl µ
Z = i~=n l S(e,, e,) = l~'F l. k(P,1) 롤 스칼라곡률이라 부른다. 그리고 임의의 vETz(M) 에 대하여 S( v ,v)/llvll2 를 V 에 대한 리치곡률이라 부른다. (4. 26) 식 과 (4. 28) 식 에 의하여 (4. 29) z = I: gAµ s (X;, Xµ) A,µ = A~,µg Aµ Ri p 를 얻는다. 특히 Z 는 단위기저의 선택에 관계 없이 결정되는 양입을 알수있다. 이상으로 리만다양체상의 곡률텐서에 관한 기술을 마친다. 이제 일 반 벡터속에 관한 곡률텐서의 정의에 관한 것을 알아보자. M 을 n 차원 다양체, 그리고 M 상에 l 차원 속 E ➔ M 이 정의되어 있다고 하자. 그리고 F 를 E ➔ M 에 정의된 접속 (connec ti on) 이라 하 자. I' (U,E) 는, 개집합 UcM 상에 정의된 속 E 의 단면들이 이루는 집합(벡 터공간)， 그리고 I'(U, T(M)) 는 U 상에 정의된 접벡터장이 이 루는 집 합이 라 하자. 모든 X, Y든 I'(U, T(M)), VEI '(U, E) 에 대 하여 (4. 30) R (X, Y) V = (-Vx~r + P'rP 'x + P'cx , rJ) V 라 정의하면, R 은 속 (bundle) 값을 갖는 (~) 텐서가 된다. 정의 4.10 (4.30) 식으로 주어지는 텐서 R 을 벡터속 E ➔ M 에 정 의된 접속 F 의 곡률텐서라 부른다. UcM 상에 주어진 T(M) 의 틀을 {XI, …, Xn}, 그리고 상대를올 {w1 , ···,w 가이라 하자. 또한 U 상에 주어진 E의 둘을 {Vi, ···, Vi}이라 하자. 그리고 'TJ E I' (U,E) 라면, I 7=2 1J OV。 a=l
로 표시된다. 그리고 . dP1J = f71J = aI=’;I d1J•a Va + a,{~J ’= I . 0! 1/a Vp 로 표시된다. 우리는 (dP)2 와 R 과의 관계를 알고자 한다. 3 절의 (6) 식에 의하여 다음과 같은 결과를 얻는다. dP (d 때) = _ 곤~ d1J a /\ 0! Vp + ~{Jo g1 J a v, -a2,{J 0L• /\d1J• a v,• -a ,2{J, r 0t 1Ja /\ O vr 윗식에서 첫째항과 세째항은 상쇄된다. 나머지 항들을 정돈하면, (d) 2 == aIaI,,;;rr ((dd00~~-+} ,ZP:p; 00~~ //\\ %0~)) 기기 a a vVrr 여기서 (4. 31) ¢~ = d0~+ ;;; 0~ /\ Ot = d0~-I//JJ; 0~ I\ 0~ 라 두고 (¢0 를 곡률형식이라 부르기도 한다. 우리는 행렬(¢;)와 R 과의 관계를 알고자 한다. 한편 R(X, Y)11 를 직접 계산하자. (4. 32) l/i7' rx /17J x= 기 =Ia; I(a;X Y기.() XV 기0. +) a V2,p . +0? Ia(;,Xr 0)~ 기(.Y v), , (X기 a) Vr + 2a,{ J Wog ( X) 〕기- 0 v•, + 2a, {J 0g (X) (X 기 a) V, +a ,IfJ: , r 。g (Y) o g (X) 기a v (4. 33) P' cx,Y) 기 = la: ([X, y]갑-) K+a2,{J 0g ([X , Y 硏 av,. 한편, ((44.. 3345)) d0g (RY , (XX,) Y=) 1 n/ =0 g(( -xF )x ]r- yX + [ F0yg F ( xY + ) F][X-0, Yg] )( [1Y/ I , X' ]). (4. 32) 식 및 (4. 33) 식을 (4. 34) 식 에 대 입 하면, (4. 32) 식의 첫째, 둘
째, 그리고 세째항은 모두 상쇄된다. (4.35) 식을 이용하여 나머지 항 들을 정리하여 다음 식을 얻는다. (4. 36) R (X, Y) 기 = a-,t/30 , r 託[ d(0XC) ( eYg, X ( Y)) +] 기0p av ( rY ) 0C (X) = -a~ ,r [ (d0C-4/3 ' , egI \ 0j) (X, Y) ]간r = 一 .~,,r cp~ (X,· Y ) 기 a vr. 다시 , R (X,, X;) Va= Ir; R,1a7 Va 라 두자. 그러 면 (4. 37) R (X;, Xi ) TJ = a~,r R11ar 기 a vr 라는 식을 얻는다. 여기서 R, J ar 는 i,j첨자에 관하여 의사대칭 (ant sy m metr i c ) 이 므로, 원 한다면 (4. 37) 식 에 서 R (X, Y) 기 = 1,1~,a, r [R,ia r w'(8) w i ] (X, Y) 기 a vr 이라는 표현을 얻는다. 이것과 (4.36) 식을 비교하여 (4. 38)
리치곡률 동 기하학적 의미를 갖는 중요한 사항에 이르러서는 정의가 일치합을 볼 수 있다. 제 5 절 에 르미 트 집 속 및 곡률 M 을 n 차원 복소다양체라 하자. 이때 M 의 복소구조에 의하여, 네 개의 접벡터속 T(M) : T (M) = {~ a 곱태 T (M) : T,, (M) = {~ a. 훑} T¢ (M) : T¢. (M) = {~ a 귈 r+ ~ b 을나 TR(M) : TR.(M) = {~ n 훑-+~ r-¾} 을 정의할 수 있음을 알았다. 정의 s.1 M 을 복소다양체, E ➔ M 을 해석적 복소 벡터속이라 하 자. 이때 각 점 zEM 의 과이버 E,, 상에 에르미트 계량 h(z)=(,) 가 주어져 있고, 또한 개집합 UcM 상에 주어진 E 의 둘을 g=(gI, …, g,,) 라 할 때 , h,; (z) = (s, (z) , s; (z) ) 가 c c:o-함수이 면 , h 물 속 E 의 에 르미 트 계 량 (he rmi tian metr i c ) 이 라 부르고, (E, h) 를 에 르미 트속이 라 부른다. 이제 UcM 상에 E의 를 e={e1, … ,en} 이 주어져 있고, 또한 각 e‘ 둘 이 해 석 적 단면 (ho lomorph i c secti on ) 일 때 , e 를 해 석 적 툴 (holomor- phi c fram e) 이 라 부른다. 정의 s.2 E➔ M 을 에르미트속, 4 를 E 에 주어진 집속이라 하자. 모든 개집합 U 상에 주어전 임의의 해석적 둘 {e1, … ,en} 에 대하여 Fe‘ = 2 0}ei
에 나타나는 접 속행 렬 (2 0{ ej) 가 A1• 0 (U, E) 에 속하면 (즉, 0{( 경a r ) l,J =0, a=l,2,… ), F 를 복소 구조에 동반되는 접속이라 한다. 정의 5.3 에르미트속 E 에 주어진 접속 V 가 모든 단면 g ,7 에 대 하여 d (g, 1J) = (rg, 1J) + (g, r1J) 를 만족시키면, F 를 계량에 동반하는 접속이라 한다. F 가 복소 구조 및 계량에 동반하는 접속이면, F 를 에르미트 접속이라 부른다. 도움말 F 가 복소 구조와 동반하는 접 속이 라는 것은, {ej} 가 U 상 예 정의된 해석적 툴일 때 (Fei= 2 0{e j)가 E 값을 갖는 (1, 0) 미분형식 이 라는 말과 같고, 또한 U 상에 좌표계 {z1, …, zt} 이 정 의 되 어 있으면 각 0‘ 가 (1, 0) 미분형식, 죽 0{ = 2f ad zg a 라는 것과 같다. 정리 5.4 E ➔ M 이 에르미트속이면, 단 하나의 에르미트 접속이 존 재한다. 증명 eI, ••• ,en 을 U 상예 정의된 해석적 들이라 하자. 그리고 정리 의 조건을 만족시키는 접속 7 가 존재한다 하자. 그러면 (5. 1) Fei = 2n 。 :e, t= l 에서 0: 는 (1,0) 미분형식어다. 또한 dh,1 = d (e,, e1) = (2 0; eI, ej) + (ei, 2 0 乃) l=l • l=l = 2‘ 0:Itu +2‘ 6}hiI 라는 식을 얻는다. o; 는 (1,0) 미분형식이니, 윗식의 3 행에서, 첫째 항은 (1,0) 형식, 그리고 끝항은 (0,1) 형식이다. 따라서
(5. 2) 8hi j = 2 0: Izt j, (5. 3) a,1ij = 2I‘ 6;. Jtit 를 얻는다. (h tj)의 역행렬을 (l간 ) 라 두자. 그러면 (5.1) 식 에서 2j aI2i j 硏 = 2j,t a: I2t j Izj k =20;8t= 0t. t 따라서, (5. 4) °’ = 2I a. hij h” 또는 (5. 5) 0 = oh·h-1 로 표시할수 있다. (5.4) 식은 (5.2) 식의 유일한 해 (solu ti on) 이고, 동시에 (5.3) 식의 유일한 해이다. 따라서 정리의 조건을 만족시키는 F 가 있으면 이것은 (5.4) 식에 의하여 유일함을 안다. • (5.역1)으 식로에, 의(5하.4여) 식정으리로하 면주 어F지 는는 E O상 를의 접에속르행미렬트로 집 속갖이는다 .집 속이 때F 를r 가 M 상에 대역적으로(g loball y) 정의됨을 알아야 한다. 이것은 에르 미트 계량 h 가 M 상에 정의되어 있다는 성질에서 곧 알게 된다(그러 나 독자의 편의를 위하여 아래 에 설명한다). （증명끝) 이제 e={e1,… ,e n}, e'={e;, …, 라울 U 상에 정의된 E의 두 개의 둘이라 하자. 툴 e 에 의하여 결정되는 7 의 집속행렬을 0 라고 하자. 그리고 e', = ~ a,j e j, ~ aij j aj k = or J 라 하자. 그러면 Fe; == 22j d(adia•j eij•j + ai J2j , +l a a1ijj 00}} eaL ”) e;. ,,k,I
따라서 F 의 e’ 에 대한 집속행렬을 0' 라 하면, (5. 6) 0' = daa-1 +aea-1 이다. 즉 어떤 접속 F 가 M 상에 일반적으로 정의될 필요충분조건은 임의의 두 개의 툴 에 의하여 주어지는 접속행렬이 (5.6) 식을 만족시 키는 것이다. 이제 정리 5 . 4 의 경우 를 살피기 위하여 를 e 와 e1 이 해석적 툴 (holomorph i c fram e) 이 라 하자. 그러 면 a;j 는 해 석 함수이 다. 따라서 (5.6) 식의 da 는 oa 와 갇다. E의 에르미트 계량을 (,）라면 h~i == I(e:~ ,a iel~ ·h) u,•aj,, 따라서, h' = (h;j ) = ah군. (단, t 는 행 렬 의 전 치 행 렬 (tra nspo s ed matr ix) 을 표시한다.) 이제 (5 . 5) 식으로 주어지는 U 를 계산하면, 01 = oh' . h1-1 == o( o(aah· 간h 균 +)aa (Iat a· ht +군ah )-8I 군 ) (a•h• 간 )-I 행렬 a 의 요소는 모두 해석함수이니, a 군 =0 이다. 따라서 o' = oaa-1 +a(oh·h-1)a-1 = oaa-•+a•0•a-l 를 얻는다. 죽 (5.4) 식 (또는 (5 . 5) 식)으로 정의되는 행렬은 (5.6) 식 을 만족시킨다. 따라서 (5.4) 식의 행렬로 접속을 정의할 수 있다. r 을 에르미트속 E ➔ M 의 에르미트 집속이라 하자. A ' (E) 로 E 값 을 갖는 k- 미분형식 쉬프를 표시하자. 그리고 UcM 상에 주어진 E 의 해석적 둘을 {e1, … ,e 나이라 두자. 만일 기가 A'(E) 의 U 상의 단면 N(E, U) 에 속하면, 기는 1/=Ia; 기a e.
= Ia; e 고 1a 으로 표시되고, 7J a 는 U 상의 k- 미분형식이다. 이때 (5. 7) dP7J = aI;,_(J e 며 ^ 7/~ + I.a: ea d7J a . 한편 E 는 복소다양체 M 상의 해석적 속이니, a: A(p,q ) (E) ― ➔ ACM+ l) (E) 가 정의되어 있다. 그리고 물론 a7J = I:ea (87j a) 도 찰 정의되어 있다. 따라서 (d) ' = (d) -a 라 두자. (5.7) 식에서 0 f는 (1,0) 미분형식이므로, (dP) ' : ACP ,q) (E, 切 ― ➔ Ac p+i, q> (E, U) 임을 안다. 물론 (dP) ' : XCM) (E) 一 XC P+ l, q) (E) 이다. 이제 dP = D, (dP)' = D' 라는 기호를 쓰기로 하자. 그러면 (5. 8) D = D'+o (5. 9) D' : ACM> (E) -_키 rAc p +1, q) (E) (5.l0) 8 : Ac p,q )(E) ―카깁 c p,q +1)(E) 라는 표현을 얻는다. 도움말 위에서 (p,q) 미분형식 기드 Ac p,q )(E) 등을 생각할 때, E의 둘은 언제나 해석적 툴을 사용한다. 그리고 X0(E) 의 경우에는 D=P ' 임을 기억하자. 또한 D'=(0+o) 로 표시할 수 있다. 복소다양체 M 에 대응하는 벡터속 T(M) 은 해석적 벡터속이다.
T(M) 상에 에르미트 계량 g = 1,2j” = I g1j dz4®d 강 이 주어져 있다고 하자. 그러면 T(M) 은 에르미트속이다. 따라서 T(M) 상에는 에르미트 집속 V 이 주어지고, 또한 유일함을 안다. 개집합 UcM 상에 해석적 국소좌표 (z, ···,z) 이 정의되어 있으면, (훑-,…곱 T) 는 U 상에 정의된 T(M) 의 해석적 틀이다. 또한 (dz1, … ,dzn) 은 U 상에 정의된 T*(M) 의 해석적 툴이다. 그러면 7 은 (5. 11) r 훑-=홉°{훑 로 표시된다. 에르미트 접속의 정의에 의하여 0} 는 (1,0) 미분형식이 다. 따라서 (5. 12) 0{ = l2=” l r;j dz k 으로 표시된다. 또한 (5. 13) 釋言a 三곱 rt, -izaT 울 얻는다. 한편, Z;=-f zr-, Z‘= ：슬, 그리고 dzl=w', d궁 =石‘ 라는 기호를 채용하자. 그러면 0{ 가 (1,0) 형식이므로 (5. 14) 17,,Zk = 0 를 얻는다. 한편 연산자 r 은 텐서의 축약과 교환가능함을 이용하여 P' v, [w1 ( Vk) ] = (J7z , wi) (Z.) + w1 (J7z , Zk) , 0 = (J7z I WJ ) (Zk) + r{眞 라는 식을 얻는다. 따라서 (5. 15) rzI WJ = -l2=n l r{1 w ' 이라는 관계식을 얻게 된다. 같은 방법으로 (5.14) 식을 이용하여
(5. 16) flz, wi = 0 이라는 식도 얻는다. 이제 T(M) 상의 집속 /7을 이용하여, T(M) 상의 접속을 정의하는 방법을 연구하자. 이미 우리는 T(M) 은 T(M) 의 공액속 (con j u g a t e bundle) 임울 알고 있다. 이제 p : T(M) — ➔ T(M) 을 공액동행 사상 (conju g a te lin e ar iso morph is m ) 이 라 하자. 그러 면 p : 겅I,_검 ?k 이다. 또한 T*(M) 과 T(M) 사이에도 공액동행사상이 존재한다. 이 것도 역시 p라 표시하자. 그러면 p : 귬i __油 ‘ 임은 물론이다. 이제 T(M) 상의 접속 F1 을 (5. 17) /7~ B = P-1 (J7pA pB) 에 의하여 정의한다. 그러면 Vz, z_ ,. = (JI = n;I r:k Z j) = 2n I'{hz j J= I 그리고, F'zl= wzL) = (2n 0gz k ) k=l 등을 얻게 된다. 이제 F' 대신 F 울 같이 사용하기로 하면, 다음과 같 은 식을 얻는다. (5. 18) FZ‘zk = 12=”1 rt Z h Fz‘z 頁 =O
그리고, (5. 19) Vz‘ 石J = -2n r:l 硏 FZ‘ 굶j = 0. J= I T(M) 상에 정의된 계량을 이용하여 (ZI, zk) = p-I (ZI, zk) = 궁 a = gu 라 정의하면, T(M) 상에는 궁 = ~l,k g1k dz1®d 강 라는 계량이 도입된다. 도움말 위에서 T(M) 상의 접속을 에르미트속에 정의되는 유일한 접속으로부터 유도하였으나, 이와는 달리 T(M' ）의 단면에는 a 연산이 정의된다는 것으로부터 유도하는 방법이 있다. 또한 에르미트속 E의 단면에도 3 연산은 정의된다• 따라서 어느 경우에나 이 a 연산울 이용 하여, r 을 정의할 수 있다. a 연산을 이용하는 방법이 더욱 간편하나, 유일성을 증명하는 과정을 거치게 되면, 복잡한 정도가 거의 같을 것 으로 짐 작된다. 이 방법 에 관한 것을 알고자 한다면, Kodo hi ra[7 〕룰 참작하기 바란다. 이제 복소다양체가 켈러다양체인 경우에 T(M') 상의 에르미트 접속 에 관한 것을 알아보려고 한다. 위에서와 같이 UcM 상에 국소좌표 (zl’ 균, … ,z' ）이 주어져 있을 경우에 z j =X j+iyj라 두자. 여기서 t. 는 J걱을 표시한다. 이때 TR(M) 은 2n 차원 벡터속임을 알고 있다. 만일 (5. 20) ]（嗣=훑 J(嗣=-훑 이라고 정의하면, 이 1 연산은 좌표의 선택에 관계 없이 정의된다. 이 연산을 확장하면,
]: TR(M) 一따 (M) 를 따 (M) 상예 정의되는 동형 (iso morph is m ) 연산으로서, J 2=- ,I 를 만족시킨다. 또한 이 연잔은 T¢(M) =T(M)Et )T (M) 상으로 확장되 고, J(옮-)=i(옮) f(嗣 = -t.（옮-) 라는 관계식을 만족시킨다 . 우리는 하나의 벡터 VE(T¢(M)) p가 J (V)= i V 를 만족시키면 (1,0 ) 벡터라 한다. V 가 (1,0 ) 벡터일 필요 충분조건은 V= 효 (a« 훑니 로 표시되는 것임을 알 수 있다. 또한 ](V)=- i V 이면 V 를 (0,1) 벡터라 한다. 이제 T(M) 상에 켈러계량 G = I; 2 g,i dz'®d 궁 이 주어져 있다고 하자. 따라서 w = ✓ 걱 2 gij dzi A d 간 라 두면 dw=O 이다. 이제 G 를 이것의 실수부와 허수부로 분리하여 G = Re(G) +ilm (G) =g+iQ 라 두자. 그러면 (5. 21 ) g = ~ g,J dz1(8 )d zl + ~ 궁ij d 합 ®dz J, (5. 22) ✓ 걱 Q = 2 gij dz 宅 )d5 j_ 2 궁ij dz@dzj 라는 표현을 얻는다. 그러면 g는 TR(M) 상의 리만계량이다. 따라서
우리는 g 를 실켈러 계 량 (real Kahler metr i c ) 이 라 부르기 로 한다. 우 리는 z1=xj+ ✓ =-Iyj라는 국소좌표가 주어져 있음을 가정하고 있다. 이때 g는 TR(M) 상에 주어진 실쌍일차형식 (real bil ine ar fo rm) 이고, 동시 에 Tt (M) 상에 주어 진 복소쌍일 차형 식 (comp le x bil ine ar for m) 으로 생각할 수 있다. (5.21) 식과 (5.22) 식에서 g (zi, zk) = 0, gQ ((zzii,, 궁z kk)) == g0i,t , Q (z i,하 = - ✓ 걱g u 라는 식을 얻는다. 따라서 임의의 점벡터 X, Y에 대하여 (5. 23) Q( X, Y) = g( X, JY ) 라는 관계가 있음을 안다. 또한 g (JZL , JZI r) = gt» 라는 것으로부터 (5. 24) g (JX , JY ) = g (X, Y) 임을 알 수 있다. G 를 T~(M) 상의 쌍일차형식으로 보면 (5. 25) G (X, Y) = g (X, Y) + ig (X, JY ) =g(X , Y) +iQ( X, Y) 어라진고 에쑬 르수미 트있다 속. 이이라제 보 면T,( M)에 을르 미에트르 미집트속 계V 량이 2주 어g,진j 다dz. i ® d그 강러가면 주r 이 복소구조와 동반한다는 것으로부터 (5. 26) 171 = 0 라는 식을 곧 알게 된다. V 이 계량과 동반하는 (5. 27) VG=O 이다. 이것은 레비시비타 접속의 경우와 같은 방법으로 증명된다 .. (5. 25) 식 으로부터 (5. 28) J7'g = 0,
VD=0 라는 식을 얻는다. 위에서 얻은 결과를 정리하여 다음 정리를 얻는다. 정리 5.5 M 을 복소다양체라 하고, T(M) 상에 에르미트 계량 G/2 가 주어 져 있다. 또한 g= Re (G) , Q= Im (G) , 그리 고 J 를 복소구조 라하자. 그러면 T(M) 에 주어진 에르미트 접속 r 은 p-g= VJ =p-Q =0 라는 관계식을 만족시킨다. 도움말 위에서 G/2 대신, G 라 두어도 정리가 성립됨은 명백하다. 이제 에르미트 접속 r 과 켈러형식 w(dw=O) 과의 관계를 알아보자. 정리 5.6 T(M) 상에 에르미트 계량 G/2=~ g ap dz0 (8) d 간가 주어 져 있고, w=2 iga, dza®d 간 라 하자• 이때, 에르미트 집속 7 이 대칭접속일 필요 충분조건은 G 가 켈러 계량 (dw=O) 인 것이다 . 증명 w 의 정의에 의하여 dw = i~ 急딸I\ dz0 I\ dz' + i 녀 붑떨 I\ dza I\ dz'· (5. 4) 식과 (5.12) 식 에 의하여 I'fa =, ~as~ gtP 를 얻는다. 이 식의 양변에 g ’A 를 곱하고, 8 에 대하여 합치면, 릅=》 m g ,A 를 얻는다. 양변에 공액연산을 행하면,
툴 = rI 'fa g~ p• 이들을 위의 dw 에 관한 식에 대입하면, 다음 식을 얻는다. dw = 슝 2 g s,(r&-r 따 a)dzA A dza A d 간 + 숭 2 g as 나 -r 陣p) d 합 I\ dz I\ d 간. 결국, dw=O 일 필요 충분조건이 r;p= r>a, 즉 V 이 대칭접속인 것이 다. （중명끝) 위의 정리 5.5 와 정리 5.6 에서 T(M) 상에 에르미트 계량 G/2= 2 g a,dza ® d 간가 주어져 있고, G 가 켈러계량일 때, 에르미트 접속을 r 이라고 하면, J7g =O( g =Re(G) ）이고, 또한 7 은 대칭이다. 따라서, 이 r 을 TR(M) 상의 접속으로 보면, F 은 리만계량 g에 대한 레비시 비타 접속임을 안다. 따라서, 다음 정리를 얻는다. 정리 5.7 F 울 T(M) 상에 주어진 에르미트 계량 G/2 에 대한 에르 미트 접속이라 하자. 이때 7 이 TR(M) 상에 정의된 g =Re(G) 에 대한 레비시비타 접속이라는 것과, G 가 T(M) 상의 켈러계량이라는 것은 동치이다. 에르미트 계량 G/2 로부터 유도되는 리만계량 g =Re(G) 는 g( X, Y) =g(JX , J Y) 라는 관계식을 만족시키고 있음을 이미 알고 있다. 이제 역으로, M 을 복소다양체라 하고, TR(M) 상에 (5.24) 식 g (X, Y) = g (JX , ]Y) 을 만족시키는 리만계량 g가 주어져 있다고 하자. 이때 이 g를 T,그(M리) 고 상, 에경 복 Ta =소Z쌍.일 라차 형두 자식. 으 로그 러확 면장 시(5 .키 2 자4). 식 에 의 하여 g (Z., Z,) == g - (g]Z(Z. .J, ZZ, ),)
에서 g( Za, Zp )=O 임을 안다• 같은 방법으로 g( Za, Z p )=0 라는 것도 안다. 결국, 임의의 (1, 0) 벡터 V에 대하여 g( V, V) =g(V, V) =O, 임을 안다. 이제 (5. 29) ga, = g (Za, 홍,) =
G =g+i!J 라는 식을 얻는다. 이제 (,) = L!g a p d 감®따 를 T(M) 상에 에르미트 계량이라 두면 (5.29) 식으로부터 (5. 34) (Za, z,) = g (Za, Z,) 라는 관계식을 얻는다. 이 사실들을 정리하여 다음과 같은 명제를 얻게 된다. 명제 5.8 복소다양체 M 의 따 (M) 상에 (5.24) 식을 만족시키는 리 만계량 g가 주어져 있다고 하자• 이때, (5.29) 식 및 (5.30) 식으로 G 를 정의하고, G/2 를 T(M) 상의 에르미트 계량이라 하면, 다음과 감 은 사실이 성립한다. (1) RR(M) 상에서 g =Re(G) 이고, . Tt ( M) 상에서 Re(G)=(5.21) 식이라면, g =Re(G) 이다. (2) T(M) 상에서
체상에서 계량, 집속 동을 이야기할 때, 언제나 계량은 리만계량 g( =ReG), 그리고 접속은 례비시비타 접속(＝에르미트 접속)을 의미 한다고 하자. 명제 5.9 M 을 복소다양체, r 을 T(M) 상의 에르미트 접속, 그리 고 R 을 곡률텐서라면 R (X, Y) 。] = J0R (X, Y) 를 만족시킨다. 더욱 M 이 켈러다양체이면, R (]X, JY ) = R (X, Y) 라는 식도 만족시킨다. • 증명 F 의 정의에 의하여 V]=O. 따라서, Vv]U=]VvU 이다. 이것 과 R 의 정의 R (X, Y) = -FxFr + Fr4x + F[X, Y) 로부터 바로 ]oR=Roj 임 을 안다. 켈러다양체인 경우에는, 위에 증명된
이 선 형 사상의 혼적 (tra ce) 을 계 산하자. 그러 면 trK (Y, X) = I1,1; g11 < R(Y, Vi)X , V,> +I1;,1 g1'
때, V. = 감 {e. 군=Ife .} 라 두자. 그러면
= 2 Ag UA • ar (gAr ) A,V = IA: AI 'L. 명제 s.10 M 을 켈러다양체, 그리고 (z 도 .. ,z 기을 UcM 상의 국소 좌표라 하자. 그러면 리치텐서의 계수는 (5. 40) R 刃=a言2 lo g A (단, A = det ( gaf 3 ) ) , 이다. 증명 l=l, 2,_.. . , n 에 대 하여 궁꿈 =z t 이 라 두자. 그러 면 Vz,Zµ = Z 門µ z,. VzvVz,Zµ ={J Z Z. (I'1µ) Zp, Vz,VzvZ µ = 0.{J 곡률텐서의 정의와 위의 식을 사용하여 (-VzvVz, +Vz,Vz) Zi = (-1) 2 Ri m Zt = (-1)~I Z& （다 )z, . ‘ 따라서 Rzm ( =m )2• =R :R,1: ,=A, Zu(2• r:J. (5. 39) 식 에 의하여 Rv.l = Zv (ZA log A) . (증명끝) 도움말 위에서 R,A 는 다음 식으로 주어졌다. R,A= t2,n, g < R(V», vJV t, v‘>
= ~tn, s g
켈러다양체의 경우를 모방하여, 리치텐서의 계수 X,1(=-X1,) 를 다음 식으로 정의한다. (5. 45) x,l = a2,f l h.’ (R (ZJ, Zi) e,, e.) . 그리고 (5. 46) (R (ZJ• Z,) ep, ea) = R 準 라 두자. 그러면 (5. 47) R1,p .1 = Z;Zi (hp, ) + L hir z ; (h1') Z, (hp, ) . r.‘ (5. 45) 식 과 (5. 46) 식 에 서 m Xq = PI:= l R갑. 이 제 특히 E 가 1 차원 에 르미 트 속일 메 hij =h 라 두면, (5. 44) 식 에 (5의. 하48여) X,1 = -+ ·麟 (h) + ¾z-Z , (h) 乞j (h) 라는 식을 얻는댜 이 사실을 명제로 하자. 명제 5.11 에르미트 속 E ➔ M 의 리치텐서의 계수 X처 를 xij = 2a, p h ” (R (Zj, Zi) eo, ee) 라 두자. 그러면 E 가 1 차원일 경우에 h 를 에르미트 계량이라면 X Il = -홍j Z, (log h) 이다. 도움말 에르미트 계량의 표시법으로 hap = (ea, ep) , 그리 고 hap 의 역 행 렬 을 hpa ( =h 때) 죽 ~{J h 떄 hB1=8eA (= 2/J hag hpA ) 라는 표현을 쓰는 경우가 많다. 여기서 번잡성을 피하기 위하여 (-）기호 를 생략하였다.
이제 에르미트 속의 곡률형식을 정의하고, 계향과의 관계를 알아보 자. 우리는 (4. 38) 식 에서 d0,-2 og^ °§ = -2i,j Rrja W® 硏 라는 표현을 얻었다. 정의 5.12 속 E ➔ M 의 집속을 r, 그리고 7 의 접속행렬을 (0~ 라 할 때, • cp =d0-0/\O = (0f -0 ~ I\ 0~) 를 F 의 곡률형식이라 부른다. 특히 에르미트 속의 곡률형식은 간단한 표현을 갖는다. (5.4) 식에서 0~ = ~ oha, h''. 따라서, (5. 49) d0t -8 g/ \ O 尸 = a( 2r ah.r h”) -2r ah.r /\ (ah”) -Og ^ 0§. 한편, ~ h76•h6µ=o” 에서 d I: ohr6 •h 6µ -~ hr6 • oh6µ = o. 그러니 -2 h”·8h6µ = 2 8hT6.h6µ· 양변에 h” 를 곱하여 µ에 관하여 합하면, -~ hµp h r6 · oh6µ = ohrp. d,µ 이 식을 (5.49) 식의 제 4 항에 넣으면, o g/\％가 되어서 끝항과 상쇄 된다• 따라서 다음 명제를 얻는다. 명제 5.13 에르미트 속 E의 에르미트 계량을 (h., ）라 하면, E 의 곡률형식
cp~ = d0~-0~ 1\0 ~ = a( 0~ 이다. 특히 모든 o 와 ’에 관하여 hcc(p) = % 그리고 dh(T ,(p) = 0 인 경우에는 ¢: (p) == a-aohaah, (ap,)( p) 이다. 명제 5.u E ➔ M 을 1 차원 에르미트 속, 그리고 Q를 에르미트 접 속 7 의 곡률형식이라 하면, Q = ~ !2,1 dz' /\ d 간 = ~ X,1 dz' /\ d 강. 군＝=가c:며, 명제 5.13 에 의하여 Q = ao 려 (ohh-1) 려 (o log h) = -aa (log h) = ~ X,J d z' /\ dzi. (증명 끝) 제 6 절 조화형식 이 절에서 복소다양체상의 조화형식을 정의한다. 먼저 다양체상의 접 속 (connecti on ) 과 관계 없는 형 태 로서 의 조화형 식 을 먼저 연구하고 자한다. 이제 M 을 복소다양체, 그리고 M 상에 에르미트 계량 2 g떄d,z e®dz8 가 주어졌다 하자. 위의 계량은 UcM 상에 주어진 국소좌표 z=x2•-1 +i x20 , a=l, 2, …, n 에 대 한 표현이 다. 아 때 G = 2 I: gaP dz@dzP 그리고 w=i ~gap d z/\dzP
라 두자. 그러면 g = Re(G) = 22n gu dx 宅 ) dx J i,/ 는 집벡터속 TR(M) 상의 리만계량임을 이미 알고 있다. 이 계량은 g (JX , JY ) = g (X, Y) 를 만족시 키 고, 또한 T~ (M) 상으로 확장시 키 면, g(을 훑-)=g떄 그리고 g(울 훑 -)=0, 를 만족시킨다. 이때 g에 의한 M 의 체적요소 (volume elemen t)는 V = ✓ de t (gdj ) dxl /\ dx2 /\ …I \ dx2n = zndet (gaf J ) dx1 /\ … I\ dx2n ’ 임을 쉽게 알 수 있다. 한편 짜' = 2 n ! det ( gap ) dx1 I\ … I\ dx2 이다. 앞으로 리만계량에 의한 내적을 g대신 <, ＞로 표시하자. 그리 고 g는 de t(g a p)를 표시하기로 하면 v== 2nwg !-n dx1 I \ … /\ dx2 이라 쑬 수 있다. 또한 에르미트 계량(g ap dza®d 강)에 의한 내적을 (,) 라고하면, (6. 1) (X, Y) =
1: gPa gaµ = oi 라 두자. 그리고 g대 = (d 감, dzfl) =
라 두고, ( 증명 (6.4) 식을 만족시키는 선형사상이 있으면, 이것이 유일함은 거의 명백하다. 미분형식을 간단히 쓰기 위하여 다음과 같은 기호를 도입하자. (6. 8) A, = (a1 , ... , ap ). «1 < … 라는 기호를 도입하자. 그리고 #가 (6.9) 식으로 주어질 때 (6. 14) 짜 = ( i) n ( 크) 令 n(n+ I) +;n A~, gA qA •-• B,B•-p tpB ,p A• dzA•-• I\ dzE i;::; 라 두자. 그리고 이 (*)가 (6.4) 식을 만족시키는 것울 증명하자. = dz1 I\ dz'I\ ••• I\ dzn I\ dz( 一 1) -n-(-n--1r-) . 위의 계산들을
* （맹) = （伊 (-1) tn(n -l)+n(n-q) s g n( 左点) A q(파 )A •. pB •.• = （크) n+n(n-q) +q( n-q) +p( n-p) + np
증명 처음 세 식은 거의 명백하다. 우리는 5 * 가 5 의 공액 연산자 임을 증명하자. 이제 平드 A( p,q기)， 그리고 少드 A( p,q)라고 하자. 그러면 인/\ * g는 (n,n— 1 ) 미분 형 식이다 . 따라서 da ((rPp //\\ **<¢ft )) == aO, ( rp /\ *¢ ) 라는직이 성립한다. 이제 M 울 긴밀다양체라 하자. 그러면 oM~ 공집합이다. 따라서 다음과 같은 계산을 할 수 있다. 0 =JM a (P/\ *¢) · = IA15 (P /\ *¢ ) = f}rp /\ *cf + JMr p / \ ( —1 ) 때 (*¢ ) = ({)rp,
이 口(口 혹은 스)의 핵 (k ernel) 에 속하면 이를 각각 口亡〕 혹은 ~) 조화형 식 (harmonic for m) 이 라 부른다. 라플라스 연 산자들이 타원 연 산자 (ellip tic op e rato r ) 임 을 증명 하는 · 데 필요한 다음 명제를 증명하자• (5*#) (p)는, ¢의 접 P 근방에서의 값에만 의존하므로, 다음 증명에서 M 을 긴밀다양체라하여도 무방하 다. 명제 6.5
결국, (a*#) 하 .. a,fJ1 . . ·/J• = (-1),+1;흥 (훑-＋宁 룹)¢파 ·· a, pg 1 • •• p. = －효 (a,++a gg)#p aI ••• a,pI ••• pq. (중명끝) 음이 아닌 n 개의 정수 a, (i = l,2, … ,n) 가 주어져 있을 경우 a = (aI, …, an) 이 라는 기 호를 다중첨 자 ( (multi ind ex) 라 한다. 이 제 다중첨 자 a 가 주어져 있을 경우 Dg = （을 )a\ •• (훑-) 라고 정의한다. 그리고 lal = a1+… +an 올 이 미분 연산자의 위수 (order) 라 한다. 일반적으로 (6. 18) . lal~~m CaD 를 위수 m 의 선형미분 연산자라고 부르고, lal~=m CaDa 를 (6. 18) 의 주부 (pr in c ip a l pa rt) 라 한다. 미분 방정식에 있어서 연산자의 주부의 모양이, 그 미분 방정식의 해의 성격을 결정하는 경우가 많다. 특히 조화형식을 연구하는 데, 연 산자 巳口,스의 주부를 아는 것이 대단히 중요하다. 따라서 우라는 다음 명제를 중명하자. 명제 6. 6 A= (a1, …, a~) • B= ({)1, …, gq) 라 하자. 그러 면 다 )AB = 홉g?：볼 +A'(
(단, ' A' (
성립함을 증명할 수 있다. 따라서 다음 명제를 얻는다. 명제 6.7 §} = -~gP.fJ훑+ (위수 ~ 1). 명재 6.a aa * +a * a 는 1 위의 미분 연산자이다. 증명 명제 6.6 의 증명에서 (5* cp ) 아 .. a , 瓦 = (-1) p+ I ~µ,.pg P.{Ja ,cpa I ...a , 파 • /J q - 1 + (위 수 0) . (oa*c p ) a,···a , {J, . .. = (-l) P+I µI;,_{J g P.{J {aa,a{Jc pa Ia2. . . a a I cp a, 야 · + …} +（위수 ::::;:1). 같은 방법으로 (a*a c p ) a, ... a, p 1 구 = ( 一 1) ’ µ2,{ J gi /Ja , {8a,cpa l··· p. p I - … } + （위 수 ~ 1) . 위의 두 식을 합하면, 위수 2 의 항은 상 쇄 된다. (증명끝) 명제 6.9 .6. = □ + □ + （위수 ~ 1) = -2 I;g PP 눅a2 + (위수 ~ 1). 증명 d=a+a, 따라서 d* = o* + a*. .6. = (a+a) (o* + a*) + (o* + * ) (a+a) = □ + □ + (aa* + a*a ) + (aa* + a*a ) = □ +口+ (aa* + a*a ) + (aa* + a*a ) . 위에서 증명한 명제 6.8 을 인용하면, 원하는 결과 를 얻는다. (증명끝) p (0) = l•ll2tl~ m Cs I D S 口 라는 연산자가 주어졌을 경우에 만일 모든 기슨R n 에 대하여
Re ( 2 Cs17 '/'7'/') =f=O |sII1l
h = (h -i김 , h-ip = (ei, e,) 가 주어쳐 있다고 하자. 이제 기= ,l2=' l 기 Ae 』 을 E 의 단면 (secti on ) 이 라고 하면, ll7J II == hI; (1h JJ, p1 .1J})A 1 }p. 로 주어진다. 6 전에서와 유사하게 (E) 의 계량(I;g a p dza@dzP 와 h=(ha fl)）에 관한 공액 연산자를 정의하고자 한다. 따라서 (7. 4) caEc p, ¢) = (cp, at¢) 를 만족시키는 5* 를 찾아야 한다. 이제 cpE A 기 = ),IN;: = I hI. 때 _ lA IA\ *.,.'Pn 는 M 상에 정의된 (n,n 크)형의 미분형식이다. 따라서 d기 는 2n 형의 미분형식이고, d 기=衍기이다• 그러니 O=L,dZ=f }z (7. 5) = J M~h 샤 acpA I \ *7+ (-1) p+q]M 2 cpA ^ a (hAji .*#µ) . 한편, (7.3) 식과 (7.4) 식에서 (7. 6) (cp, 5;#) = J 2 h1 터 ^ * (a 짜) µ M == J(OMME ~< p , h< 誠p)c p A I\ *;p. (7.6) 식과 (7.5) 식에서 2µ aµA* (5 詞) µ = (-1) p+q+ 1 (a 2II hII1 (*#.) ) 이제 (h P. A) 를 (h 피의 역행렬이라 두자. 그러면 * (
속 E 상에 에르미트 접속 7 가 주어져 있을 경우에 (5.7) 식을 다시 쓰면 d 때 = 2a,{ J eao• u^까• '+I:a e a(a+a) 기 a = Ia:,p.e a (•0 p• ^ 기•p + a 기• a) + Ia: e. 硏 이다. 또한 OE = 2 I한 (81tg r, .) µ 임을 알고 있다. (7. 7) 식은 (7. 8) (ti}
다시 말하면, • (0, 1) * = -* (1, 0) * 라는 사실이 성립된다. 명제 7.2 E_---?M 을 에르미트 속, 그리고 (ha p)를 에르미트 계량이 라 하자. 그러면, dP = a+ ce~) +aE = D'+ae 로 표시되고, 5E 의 (ha p)에 관한 공액 연산자를 5* 라 하면, % = _* D /*. 또 한 , %는 (7.8) 식으로 표시된다. 명제 7.3 E-M 을 에르미트 속 (ha p)를 E 상의 에르미트 계량, 그리고 2g ap d 2a® dzp 를 T(M) 상의 에르미트 계량이라 하자. 이때 {)E 에 대한 공액 연산자를 %, 그리고 다=顔 g +a:az 라 두자. 그러면 다 = -~g Paaz 텅a2겹 -+ (위수 ::;;: 1). 증명 (7. 8) 식 으로부터 (81
제 8 절 하지정리 및 세례쌍대정리 (Hodg e the orem and Serre duali ty) 우리는 6 절, 그리고 7 절에서 연산자 D 은 타원형 연산자 (ell ipti c op era t or) 임을 알았다. 앞에서처럼 A( p,q )(A( p,q )(E)) 불 M 상예 정의 된 원활한 (=Ceo) (p,q) 미분형식들 (E 값을 갖는 (p,q) 미분형식)이 이루는 벡터 공간이라 하자. 이 절에서 M 은 언제나 복소다양체를 표 시한다. 그러면 M 상에 정의된 타원형 연산자 D( 및 스)에 관한 다음 과 같은 정리를 인용하고자 한다. 정리 e.1 M 을 긴밀 복소다양체, E 를 M 상에 정의된 에르미트 속 이라 하자. 그리고, KKCq M=) ({ = (rp, dd*
Zq = {
(E) EE) aA q -l(E)®a*A 야 I(E), 그리고 우 변의 세 공간은 서로 수직이다.
정리 8.5 E 를 긴밀 복소다양체 M 상의 에르미트 속이라 하자. QP (E) 를 E 값을 갖는 해 석 적 p-미 분형 식 (holomorph ic p-form s) 붕아 로 이루어진 속이라 하자· 그러면 Hq (M, QP (E) ) ~ KCp , q) (E) . 증명 2 장의 쉬프 이론에서 Hq (M, QP (E) ) 브 Z/aAcp, q- o (E) 임을 증명하였다. 단, 여기서 Z 는 z = {
E 의 를 {e1,… , e. . ｝이 주어져 있을경우, U 상에서 라 (eµ)=o, p를 만족 시키는 E* 의 들 {et, …, e! ｝를 생각하자. 이때, {e,} 와 {e, ｝는 모두 U 상에서 해석적인 들이라고 하자. 그러면 U 상의 E의 단면 1/에 대하 여 E* 의 단면 p(1f)를 다음과 같이 정의한다• 기 = g1/ Ae 수p (11) = 도1/ f e,. 위 에서 h,17 = (ei, er) 라고 생각한다. U 상의 E* 의 단면 g와 f에 대하여 ('' f) = (p- I C) , p-I (f) ) 라 정의하면, 이것은 E* 상의 하나의 에르미트 계량이다. 또한 이 계 량에 의한 내적을 (e!,e t )=hlµ 라 두면, (h .iµ)는 (h -1;;.)의 역행.렬이 된 다. 죽, I: h.1p .h p.{ J = OA6• µ 전과 갇이 KK<
죽, bo# : A
# : KCP, q) (E) KCn-, pn- q ()E * ) ��,�
�� b ; KCn-pnq,-) E*() N K을 알 수 있다. 따라서
두면, H1(M, 0) = H1(M, O(T)) 욱 H0 (M, .QI (T*) ) H' (M, e) = =! 3LgH- 03 ( M;: 2M, O 의:( T:g*.e®n :Tu:s* !)~) 2 이 다. 따라서 (8. 5) 식 으로부터 단, 여기서 g는 M 의 g enus 를 표시한다.
제 4 장 코호모로지 의 소멸 및 매 장정 리 제 1 철 특수좌표 우리는 접속 (connec ti on) 을 이용하여 다양체 상의 조화형식을 가능 한 한 간단한 형태로 표시하고자 한다. 특히 펠러다양체의 경우에는 라플라스 연산자 0 은 간단한 모형으로 표시된다. 그러기 위하여 먼 저 다양체 상의 각 점에서 특수좌표를 연구할 필요가 있다. 이제 M 을 리만다양체 (실다양체)， 그리고 pE M 근방에 국소좌표 쓰(x자\ .… ,또xn한) 이 7 주을어 레져 비있시다비고타 하접자속., 이<때, ＞편을의 리상만 X계=량 경이:라_ 하라자는.기 법을 정의 1. 1 점 p슨 M 근방에 주어 진 국소좌표를 (x\ …, xn) , 그리 고 x.= 귈曰曰백 이때, (1. 1) ((VXx, ,, X~ ;立)
Fxxxj = 2n r:jx k k= I r:j = 늙 :A g Ak[ 봉_+룀〈몸] 墨 = I:i(g l i r?k+ gi鬪) 라는 사실이 성립한다. 이 사실은 어떤 미분기하학 책에도 다 나와 있으므로 기술을 생략한다. 이 사실들에 의하여 위의 (1.1) 식은, (1. 2) gij (p) = 6ij , dg ;; (P) = 0, i,j = 1, 2, …, n 과 동치임을 알 수 있다. 또한 미분기하학 서적에서, ex p을 T(M) p의 0 근방에서 정의된 exp o nenti al 사상이라 하고, (y도··,y)을 T(M)p 의 직 교좌표라면 , x'= y' 0ex p가 (i= l, …, n) 는 (1. 1) 식 을 만족시 키 는 좌표계라는 것이 찰 알려져 있다. 이제 점 p 근방 U 상에 T(M) 의 툴 {VJ , …, vn} 이 주어져 있다고 하자. 그리고
음과 같이 정의하자. (1. 5) Vi = ~iaW i = 1, 2, …, n. 그러면 (1.4) 식에서, (al) 은 p 근방의 각 접에서 직교행렬, 따라서 {Vi} 는 p 근방에 정의된 표구이다. 그리고 V;(p) =v, (i= l,2, … ,n) 이다. 이재 (1.3) 식을 만족시키도록 (아)을 정의하여야 한다. 전과 같이 (1. 6) 17w,Wi = ~r:1W. & 라 두자. 그러면 간단한 계산에 의하여 다음 관계식을 얻는다. Dv.V ; = 2k3 {2I 3a)(W 따)• + 21,ma :a?'} w. (1.3) 식이 성립할 필요 충분조건은 윗식의 오른편아 점 p에서 0 인 것이다. 한편, a j(p )=o} 이므로, 오른편이 0 일 필요 충분조건은 모든 k,j = l, 2, …, n 에 대하여 (1. 7) 2I3 (WzaJ+ n) (p) = 0. {W,, W i}=%에서, rE 는 (j ,k) 에 대하여 의사대칭이다. 즉, r:j +釋 =O 임을 알 수 있다. 따라서 각각의 i =l, … ,n 에 대하여, 상수행렬식 (consta n t matr i x ) Bi = {r8(p) } 는 (j ,k) 에 대하여 의사대칭이다. 이 제 점 p 근방에 정 의 된 국소좌표 {x', i= l, 2, …, n} 가 모든 i= l, 2, … ,n 에 대하여 x;(p) = 0, 言a( p) = W,(p) 를 만족시킨다 하자. （이러한 좌표를 정의할 수 있음은 이미 언급하 였다.） 그리고 A={a J｝를 다음 식으로 정의한다. A = ex p {-~,~1B 라·
그러면, 간단한 계산에 의하여, 이 A 가 (1. 4) 식과 (1.7) 식을 만족시 킴을 안다. （증명끝) {V i }를 점 p에서 정규인 표구라 하자. 그러면 F 가 레비시비타 집 속이므로, [V., Vj] (p) = (DvYj - Dv1V .) (p) =0 에서, (1. 8) [V., V』 (p) = 0 이라는 사실을 얻는다. 그리고 {V , } 의 상대표구를 {W'} 라 하자. 그 러 면 W'(V;) =o,;, i, j= l, 2, …, 11 에 서 , Fv‘V j = 2k rE Vk 라면, /7v ,W; = 잡 ,.r{,.w,. 를 얻는다. 따라서 (l. 9) (/7v ,Wi ) (p) = 0, i, j = 1, 2, …, n 이라는 관계식도 얻는다. • 이제 M 이 복소다양체인 경우를 생각하자. T(M) 상에 에르미트계 량 2 gij dz@d 긍J 가 주어졌다고 하자. 만일 점 p 근방에 정의된 국소좌표 (zl, … ,zn) 이 모든 i,j=l ,2, …, n 에 대하여 (I. l0) 2dgg ,; ((pP)) == %0 를 만족시키면, 국소좌표 {z'} 는 점 p에서 정규라 한다 . 위의 (1.10) 식에서, 모든 점 p EM 에 정규인 국소좌표가 존재하면, 이는 켈러계 량임을 안다. 이것의 역인 다음 명제를 증명하자.
명제 I.3 p 를 켈러다양체 M 상의 임의의 점아라 하자. 그러면 접 p에서 정규인 국소좌표가 점 p 근방에 존재한다. 증명 이 제 {z'} 를 p 근방에 정 의 된 국소좌표로서 , 감 (p) =0, i= l, 2, …, n 이 라 두자. 이 제 G = ~ G, j dz'@d 강 1,/ = 22 gij dz i ®d 건 라 두면, 에르미트 계량의 성질에서, 모든 i,j =l,2, … ,n 에 관하여 (1. 11 ) G;j = Gji 가 성 립 한다. 또한 Gij (p) =8ij 라 가정 하여 도 무방하다. w= ✓ 걱 2 g i j dz i Ad 망라 두면, 첼러계량의 성질 dw=O 로부터 (1. 12) aG ;;Ja 강 = 8Gkj/ az‘ aG ij /8 강 = aG i k/8 건. 새 로운 국소좌표 {wJ } 를 다음과 갇이 정 의 한다. w• = z'+ +I:j ,k 웅 (p )z 망, i,j = 1, 2, …, n. 그러 면, (1. 12) 식 을 사용하여 모든 i= l, 2, …, n 에 관하여 (1. 13) dwi = dzi+ 詞~ (p) 간 dzk 를 얻는다. G = 2i, J C ij dw®d 硏 라고 표시 하면, (1.12) 식 과 (1. 13) 식 에 의 하여 , 모든 i: j, k=l, 2, ···, n 에 관하여 aC ij /a 강 (p) = 0 임을 안다. 따라서 aG,1(P) = o 이고, (1. 11) 식 에 의하여
ac;1(p) = o. 따라서 dG,j(p ) = o. 또한 Gij (p)=% 및 w' 의 정의에 의하여, G,j ( p) = oil• (증명끝) M 을 켈러다양체, 그리고 G = 2~ g ,;dz'®d 궁 를 켈러계량이라 두자. 그러면 g = Re(G) 로서 정의되는 g는 TR(M) 상에 주어진 리만계량이고, 복소구조 텐 서를 J라 두면, g (X, Y) = g (JX , JY ) 임을 이미 알고 있다. 전갈이 g( X, Y)=
하면 Vv,vj = 2r:Ivk 임을 알 수 있다. 또한 o = vj < vj, Vk> =
는 유니 터 리 행 렬 (unit ar y matr i x ) 이 다. 이 제 A= {a{} , 그리 고 w,= I:ja{V j, i =l,2,···,n 이라 두자. 그러면 간단한 계산에 의하여 {w;} 는 p 근방에서 정의된 표구이고, 점 p 에서 정규임을 안다• (증명끝) 도움말 {V} 를 점 p에서 정규인 표구라 하자. 그리고 {w i}를 상대 / 표구, 죽 w1(Vj )=%라 두면, (1.14) 식에 대응하여 다음 식이 성립 된다. WwW j) (p) = (Fv 굽갑) (p) == ((VV v따 記ij)) ((pp)) =0. 이제 복소다양체 M 상에 정의된 에르미트 속 E ― ~M 에 관하여 생 각하자. E 상에 주어진 에르미트 계량에 의한 내적을 (,）로 표시하고 r 을 에르미트 집속이라 하자. 개집합 UcM 상에 r 개의 해석적 단 떤 (holomorph ic secti on ) {e1, …, er} 이 주어 져 있고, 각 점 q든 M 에 서 {e1 (q), …, er( q)｝가 Eq 의 기 (basis ) 를 이 룰 때, {e;} 를 U 상에 정 의 된 해석적 표구라 한다. （지금 E 의 경우, 표구의 정의에서 계량에 관한 사항이 빠져 있다. 이는 해석적 단면이라는 성질과, 동시에 계량과의 관계 를 보존하는 벡 터 장을 택 하기 가 불가능하므로, 그 중에 서 중요한 성질인 해석성만을 강조한 것이다.） 해석적 표구 {e. ｝가 모든 a, f3에 관하여 ( l. 16) ((Ve.e, ae) ,)( p()p )= = 0 oa, 을 만족시키면, {ea} 는 점 p에서 정규라 한다. 위의 (1. 16) 식과 동치 인 관계 식 을 생 각하자. 이 제 h.,= (ea, e,) , 그리 고 (ha’) 를 (ha,) 의 역 행렬, 죽 2AheAhA’ = &, 라 두자. 그러면 Fee = 2}=Iote ,, 그리고
0 仁 = 2A (ah.A) hA, 임은 이미 알고 있는 사실이다. 따라서 {e. ｝가 점 p에서 정규일 필요 충분조건은, 모든 a, /3에 대하여, (I. 17) hoahpa (pp( p) )= = o 0야 가 성립되는 것이다• 명제 1.5 E_ ➔ M 을 에르미트 속, 그리고 P 를 M 상의 입의의 한 점이라 하면, 접 P 에서 정규인 해석적 표구 {다가 접 p 근방에서 존 재한다. 증명 {ea} 를 개집합 U크 P 상에 정의된 해석적 표구라 하자. 그리 고 U 상에는 국소좌표 {강, … ,z 가이 정의되어 있다고 하자. 더우기 (e., ep) (p) = Oap, a, /3 = l, 2-.. , r 강 (p) = 0, i = l, 2, …, n 이라 가정하여도 무방합은 명백하다. 이제 행렬 A={a;} 를 a; = 8
명제 1.5 에서와 같이, {다가 점 p에서 정규인 표구일 경우, 접 p 에서의 곡률형식 ¢; = dO;-2Ao; /\ 0; 은, 0~ (p) =0 와 (1. 17) 식 으로부터 (1. 18) #; = ao; = aahcrr = -aacrr 를 얻는다. 제 2 철 집속과 조화형식 이 절에서 우리는 접속을 이용한 조화형식의 간단한 표현을 얻고자 한다. 먼저 가장 간단한 경우로, 방향부 가능인 (orie n ta b le) 실다양체 M 의 경우를 생각하자. 이제 M 상에 리만계량 ds2=2 gij dx 宅 )dx j가 주어져 있고, 또한 레비시비타 접속 r 이 주어져 있다고 하자. 또한 V = ✓ i硏(i:J dx1 /\…I\ dxn 울 체적요소라 하자. 그러면 미분계식 'P #€:A p에 대하여 (2. 1) <
(2. 5) (군) =fM 습 b> V 로 정의한다. 도움말 M 이 실 다양체 인 경 우에 , cp든 M’ 는 C0 겔 미 분형 식 (COO-real dif fer enti al for m) 이 다. 제 3 장 6 절 에 서 복소다양체 의 경 우에 * 를 정 의하였다. 제 3 장 (6.5) 식과 (2.1) 식은, v= 쓰n!亡 임을 생각하면, 완전 히 일 치 한다. 또한 (1. 3) 식 은 n 이 짝수 (even) 인 경 우에 &= -* d* 로 서, 제 3 장 6 철에서 주어진 8 와 일치함을 알 수 있다. 만일 {VI,… , Vn} 을 M 상의 표구, 그리고 {w 도 ·,w 가울 w'(Vj) = %인 상대표구라 하면, V = 土 WI I\…I\ wn 이다 . 특히 V=w•/\ · ··/\wn 이 되도록 Vd 의 순서를 정하였다고 하 자. 그러면 * (WI /\…/\ wP) = wP+I /\…/\ wn 이다. 물론 제 3 장 6 절에서와 같이 (g이를 이용한 *의 표현도 얻을 수 있다. 상세한 것은 de Rham[lO] 을 참조하기 바란다. 명제 2.1 平드 A p이면, **rp= (-1)nP +prp 이다. 그리고 M 이 긴밀 다양체이면, 8 는 d 의 공액 연산자, 죽 #드 AFI, ¢드 AP 이 면, (drp , cp) = (rp, ocp) 이다. 증명 도움말에서와 같이 V=w1/\ .. ·/\w 이라 두자. 특별히 rp( P) = w1 /\ .. ·/\ wP 인 경우에
**
명제 2.2 M 상에 국소적으로 주어진 표구 를[ - {V., ···, V}, 그리고 이의 상대표구를 {w1 , ···,w 가이라 하자. 그러면 (2. 6 ) d = ~;W;/\f7 v , (2. 7) 8 = -2JI (Vj) Fvj 단, l(V i)는 내부적 (int e r io r pro duct) , 죽 기가 p 미분형식, 그러면, l(X) 기는 다음 식으로 정의되는 p-1 미분형식이다. {l(X) 까 (Y1, …, Yp -1 ) = 기 (X, Y1, …, Yp - 1), 증명 여기서 7 은 대칭접속이다• 제 3 장 명제 3.2 와 (2.6) 식은 일 치한다. 이제 (2. 7) 식울 증명하기 위하여 8o = -2jl (Vj) Fvj 라 두자. 그러면 먼저 oo 는 표구 {V j}의 선택에 의존하지 않는 연산 이다. 실제로 {Y j}를 다른 하나의 표구라 하자. 그러면, Y‘ = 2ia {Vj 로 표시되고, {a{ ｝는 직교행렬이다. 따라서, -I:l(Y j)f 7y, = -~ (파 }l(V.) ） 표어 rv‘ j • = -I:1t ,1( I:쩌아 )l(V,.)Vv, = -2k,L8“I(Vk)rVg = -~,.l(V,.)Vv.=o 。• xEM 을 고정하고, 점 x 에서 6=8 려울 증명하자. {V1 , ... , V,.} 을 점 x 에서 정규인 표구, {W i}를 상대표구, 그리고 {VI,… , vn} 은 M 의 오리 엔테 이 션 (orie n ta t i on ) 과 일 치 한다고 하자. 그러 면 점 x 에 서 oo (fw1 I\…I\ WP) = -~jl(V 1) (V1f )w 1/\ .. •/\w1 = -I:1(V if) ~ (-l)Hw1 /\…I\ w•(V1)/\, .. I\ w' = ~p -(-l)j( V1f )w 1 I\…I\ DJ I\…I\ w’ j= I 단, 允i는 w J가 없음을 표시한다.
한편, *(WI/\·••/\WP) =wP+I/\•••/\Wn E.= (-1)np+ n+J 이라 두면, 점 x 에서 8 (fw1 /\…/\ w') = e*d (fwP + 1 /\ ••• /\ wn) n = -E. * (~ w' /\ l1v,)/wP+1 /\· • ·/\ wh i= I = E.*~p (VJ ) w' /\ wP+I /\… A wn i= I = e!p: (-1) (p- l)(n-P+ D +Cp -i) (V.f) WI /\·••/\ W' /\••· / \ WP n=I = l~=p l (크) ; (VJ ) w1 /\···/\ w; I\…I\ zuP = o 。 (/WI I\…I\ wP) 으로서, 미분형식이 fw1 l \. . ·l\ wP 인 경우에, (2.7) 식이 사실임울 증명 하였다. 일반적인 경우 P- 미분형식은 위에서 주어진 모양으로된 형식 둘의 일차 결합으로 표시된다. 따라서 일반적인 경우의 증명도 위의 경우와 유사하다. (증명끝) 명제 2.2 의 증명 방법을 알아보면; (i) 원하는 식은 특정한 표구에 관계 없이 정의되는 식이다. (ii) 점 x 에서 정규인 표구를 사용하면, 모든 1 위의 공변미분이 0 이 되어서 계산이 간단하다. (2.6) 식은 이미 증명되었으나, (2.7) 식을 모방하여 중명한다면, (i) 번 절차를 거치고, (ii)번 절차에서 x 에서 정규인 표구 대신에 x 에서 정규인 국소좌표를 사용하면 된다. 위에서 말한 (2.6) 식과 (2.7) 식의 증명 방법이 종종 사용된다. 그때 절차 (i)을 설명 없이 생 략하는 경 우가 많다. r§y = FxFy _ Frxy , Rxy = _ Fx4 + Fl'Fx + F[X, Y]
라 두자. 그러면 다음 정리를 얻는다. 정리 2.3 M 을 (방)향이 주어진 (or i en t ed) n- 차원 리만다양체, M 의 향과 일치하는 국소적 표구 {V1, …, Vn} 과 상대표구 {w‘} 가 주어졌 다 하자. 그러면 (2. 8) L1 = -~;V 競+~i,J W;/\l(V1)Rv,v1. 특히, 함수와 n- 미분형식에 대하여 (2. 9) L1 = -i.I=” :1 v i,v , . 증명 위의 식들의 오른편은 표구 {V.} 의 선택에 관계 없이 정의된 량이다. 따라서 점 xEM 울 고정하고, x 에서 정규안 표구 {V.} 에 관 하여 식들이 옳음을 증명하면 충분하다. {V i}는 x 에서 정규인 표구 이니, 점 x 에서 모든 i,j에 대하여 다음 식들이 성립한다. (2. 10) F;,v/ = Fv,FvI’ (2. 11 ) Rv,v1 = -/7v, /7 v 1+/7 v 117v,. 따라서 점 x 에서 다음과 같은 등식들이 성립한다. 8d = _ 2 I(Vj) Fvi( 2$.w i A Fv;) === —_— 222iii ,F ( jJJ[77 (;W J V71j v)+ , _( 2t 02i aAJ)t 'U ^iJ 7/v \J[J (l7V(w V) J) jJ) 1J1v jJv1j rv w . ) 이 제 do 을 계 산하자. 기=Jt UI I\… /\WP 라 두자. 그러 면 점 x 에 서 , 모 든 j ,k 에 대하여, 다음 식이 성립한다. I(Vj ) Fv지 = I(Vj) (VJ )tUW \···1 \ tUp = I:1( -1)H (Vd)w1 /\···/\ w1(Vi) ^… /\w' = [VvJ ( Vj) ]71 따라서 점 x 에서 (2. 12) ICV서 P'v. = Vv,J ( Vj) , j, k = 1, …, n.
따라서 d8 = -2iw ‘ 1\ Vvi 2 J ·I ( VJ) VvJ] = -2i, jwi /\ l(Vj) Vv‘Vvk 결국, 4=d8+8d = 죠;/7 ~1V1 + l:,jWi /\ l(Vj) (-VviV vi+ VviV v‘) = -2EF 秘+ 2i ,jwi /\ l(Vj) RWVk 따라서, 우리는 (2.8) 식울 증명하였다. 이제 (2.9) 식울 증명하자. 먼 저 f가 함수이면, Rv,vd=O 이니, (2.9) 식이 성립된다. 만일 #가 n- 분형식이면 wi /\ l(Vj) # = 8;¢. RWVJ #도 역시 n- 미분형식이므로, l:,,jW' /\ l(Vj) Rv,v;
. 명재 2.4 M 을 n 차원 리만다양체, 그리고 {Vi }를 M 의 향과 일치 하는 국소적 표구라 하자. 그러 면, (2. 13) -..:11 ¢,12 = 2I :,IJ 7 v ,¢12+2<¢, I:,/7~ 1v,¢). 증명 (2.13) 식의 오른편은 표구 · {Vi }의 선택에 관계없는 것을 쉽 게 알 수 있다. 따라서 {Vi }를 점 x 에서 정규인 표구라 가정하여도 무방하다. (2. 9) 식 을 이 용하면, -Al12 = ~;P't,v, 1¢12 = 2 i Fv'Fm<¢ 사 b> = 2'Fv,2<¢, Fv,¢> = 2I :,IP ' v, ¢,l2+2I: ,<, r~,v,¢>. (증명끝)
명제 2.5 명 제 2.4 와 같 은 가 정 하에서, ¢ 믈 조화형식이라 하자. 그러면 -L11¢12 = 2~, IJ7 v ,¢ 12+2<¢, ~ w' I\ l(V;) Rv,v 1< />). ;,} 증명 ¢가 조화형식이면, 4¢=O. 이것을 이용하여, f12v ,v‘ 항을 계산 하여, (2.13) 식에 대 입하면, 명제의 결과를 얻는다. （증명끝) 이 제 M 을 n- 차원 켈러다양체, G=22 gij dz 운 )d 겅를 주어전 첼러계 량이라 하자. 그러면 <, > = g = Re (G) 는 겔러계량 G 에 수반되는 리만계량이다. < , ＞는 복소 벡터속 T¢(M) 상까지 확장된다. 그리고 * 연산 역시 복소 미분형식들 ACP,q ) 상으로 확대된다. 이 확장된 연산 * 는 제 3 장 6 철에서 정의한 *연 산과 일치한다. 명제 2.6 M 을 켈러다양체, {VI, …, Vn} 을 국소적으로 정의된 (1,0) 형 표구, {w 도 ··,w 가울 상대표구, 그리고 f7을 g에 의하여 주어진 례 비시비타 접속(＝에르미트 집속)이라 하자. 그러면 ((((2222.... 11115764)))) aaaa**== == 2I :-- ,뼈 I귬2?: jj^Allr (( ~VVF· vj.j ')) ’, VF vv1J·, 증명 명제 2.2 의 (2. 6) 식 과 (2. 7) 식 d = 2iw i I\ Pv‘’ &= _ 2JI (Vj) Vvj 을 각각 (1. 0) 성분 및 (0.1) 성분으로 분리하면 위의 식들을 얻는다. (증명끝) 켈러다양체 M 상에 정의된 국소좌표를 {z 도 ··,z 가이라 하자. 그리 고 {V‘} 와 {w,} 는 위의 명제에서 정의된 벡터장들이라 하면,
v‘= 2Ia: 경a T ’ V;= 麟훑己 w' = I;,b:d z1, 귬; = 215:d 궁, 2/a:b1 = 8{, I;;a/ ai = g11 라는 관계가 있냐 따라서 견：一 =azt 라 두면, (2. 14) ' a = I;.dz /\ P'z. , (2. 15) ' a= 2,d? A F2g, ((22.. 1116)) '' ao** == --II ;;gg //JJIIJJ ((ZZ1p) ) Vfi'zzp,,. (2. 14) 식 과 (2. 15) 식 에 서 다음 명 제 를 얻 는다. 명제 2.7 켈러다양체 상에서 cp = 굶「l;
연산자 A : A( p,q)_一 A( p -l, q -l) 를 다음 식에 의하여 정의한다. cp = 言1 L cp a, .. ,a, P, ... P.dza, /\…I\ dzP, 일 메, • ^尸= (p- 1) 1! (q- 1) ! 2 ✓ 걱g/J a rp aPa2 • · · 야 ·· /Jq dz 야 /\…/\ dzP•. 위의 정의에서 ( Ac p) 야 .. ,a, p, ... p. = Ia;,Jg gP1 1c pa Pa2•. . a,fJ, ... p. = (-1) p-l I: a, pigP1 1c pa a, .. ,a, pp , ... p. 임을 알아 두자• 명제 2.9 켈러다양체 M* 상에서는 (2. 18) (釋) = (\ (
= i(- 1) p- l~a,~g Pa {Va,rp a a,••· B -Va,rpa a1a,••• B + …} . 다시 명제 2.7 에 의하여, (ocp ) aoa, .. ,a,p, ...p . = Va 。cp aI ..• g, ...B . -FaI cp a 。 아 ' . + v'a,c p a oa,a, ••• - …, 그리고, (/\ %) a, .. ,a, B = (-1) Pi L g Pa (ocp ) aa, .. ,a, ps . 따라서 (aA c==p - iiA((a-% *lc ))pP) 아아- 1 •• 야a ~ ,a., .p..gp {• J . a racp a I ... a ,{JB (중명끝) 정리 2.10 켈러다양체 상에서는 6. =2 □ =20. 증명 口=== ai-{aai* {(+aaa/o* \a/- \-/\a a/) \+a+ (aa//\\a--/\1 a\ )a a하 } , 口 == ia{aa *a- ^a *크aj /\a+a/\a-Aaa} = -i{aa /\ +a/\a- 硏 ^a-Aaa}, 결국, 口=口, 그리고 6. === ad(aao*++ +ao)d a *(aa *++ aaa**) ++ a *(aa* +a*) (a+a) + aa* + a*a + a*a + aa* = 口 + □ +aa+a*a+a*a+aa*. 한편,
i(a a*+a*a) = 8(aA - Aa) + (aA-Aa)a =0. 따라서 aa*+a*o = 0 aa*+a* a = o. 결국, 6. = 2[] = 2 門. (증명끝) 정리 2.11 M 을 켈러다양체, {V ; } 를 국소적 (1,0) 형 표구, {w'} 를 상대 표구라 하자. 그러 면 (2. 21 ) 0 = —2 j v t ,1 一 2 녀한 AI(V j) v‘Vp (2. 22) D = -~ ,V~1v,-~ Rv,v , + ~w; /\ l( V;) Rv,Vr i,j 증명 (2.22) 식이 증명되었다고 하자 . 그러면 (2.22) 식에서 {V‘} 가 점 x 에서 정규일 경우, F&v1_ R vIw = _Fv,F v , 를 대 입 하고, 식 의 양변 에 공액 연 산 (conju g a te op er ati on ) 을 행 하여 D= 已을 아용하면 (2.21) 식을 얻는다 .. 따라서 (22.2) 식만을 증명한 다. (2.22) 식의 오른편식은 (1,0) 형 표구의 선택에 관계 없이 정하여 지는 일정한 양이다. 따라서 {V.} 를 점 x 에서 칭규인 (1,0) 형 표구 라 하고, 이 점에서 {V,} 에 관하여 이 식을 증명하자. 다음 계산은 모두 점 x 에서만 성립되는 식이다. aa* = -2 wi /\ rw (I(Vj) Fvj) . i,j (2.12) 식 에 의하여 aa* = 一I: w' /\ l(Vj )FvIr 乃 a*a == --22l,IJ J(IV (Vi)i ) (F wv‘ j^( 2 Fivw JF' /w\)P 'v , ) l,J = -2 ‘Fv‘Fv‘ + 2 ,' jw ‘ 1\ l( Vi) FvJF v, = -2 ‘F&v‘-2 iR WV‘ +2 ,. jw i /\ l( Vj) FvJF vr
따라서, 口== a—a2* +iF a t* , av , _ 2iR v.v‘+ 210' ^ I(Vj )R 따 (증명끝) 명제 2.12 M 을 n 차원 켈러다양체, 그리고 ¢ 를 (p, 0) 또는 (n, q) 미분형식이라면, (2. 23) 댜= -피쟈 ,vr 만일, ¢가 (0,q ) 또는 (p ,n) 미분형식이라면, (2. 24) 口¢ = -2 iF %i _ 2 iR WV,¢ 증명 ¢ 가 (n, n) 또는 (0, 0) 형 일 경 우에 Rv,v ,< /> =0 이 다. 따라서 ( 2.23) 식과 (2. 24) 식은 그러한 경우에는 일치하는 식이다. 또한 (2.24) 식은 (2.23) 식에 공액연산을 행하여 얻어진다. ¢가 (p ,O) 형일 경우 Rv,v, 역시 (p ,O) 형이니, (2.23) 식을 얻는다. 만일 #가 (n, q)형이 면 , 선 형 연 산 (line ar alge b ra) 에 의 하여 2Oi / \l( V;)
+ 21=p 1 •2=q I ,2,aR ;,p,< pa , ... a, -rra,,,. .. f l,_,;;p.,,· ··P . -.Lq . ~ R;.rpa ,. .. p을-,,p,., ... p., 단, Ri= ;I =' 2g T ARg A· 증명 z t=훑라 두고, (2.21) 식에서 ( i ) -I :.rt ,v‘ = _ A표, ug i VF:,UFz, (((iiiivii))) wVV•.. === III;;;A..aat?? dZZz.. ,,, u ((vvi)) I귬;도 Aa=? AI~: r=A: od{ 군 , 등을 대입하여 계산하면, 원하는 식을 얻는다. (증명끝) 이제 우리는 켈러다양 체 상의 조화형식의 특성, 죽 口=亡 l 을 이용 하여 코호모로지 Hr (M, ¢) 와 Hq (M, QP ) 사이 의 관계 를 연 구하고자 한다. 여 기 서 QP 는 해 석 적 p-미 분형 식 붕아 (ge rms of holomorp hic p-fo rms) 로 이루어진 쉬프임을 상기하자. 정리 2.14 M 을 긴밀 켈러다양체라 하자 . 그러면 (i) H q (M, 釣핵 (M, Qq), (ii) H' (M, ¢) 브P +Eqf )= Hr P (M, Qq) . 증명 제 3 장 정리 8.5 에 의하여 HH1q ( (MM,, QQqP )) 브학 KK<
HT (M, ¢) 익 K' = 탸 E AT’ 묵 = O} . 한편, Ar = ® A(p, q). '+=r rp EAT 이면, rp=p+섭 rP 야)． 또한 口은 A<,, q)에서 A
b2u +1 =0 (mod 2) . 증명 정리 2.14 에 의하여 hCp ,q) = h(q, p)' 그리고, b21r+1 = ~ h
¢3 = { (21, z2, Zs)} = {ZIZ = （田) }. 그리고 GL(3, ¢)의 부분군 G 를 • G = {g = (\ 『 ;:) , g』 = m, + in, , m,, n) = 정 수} 에 의하여 정의하자. 그러면 Gc¢3cGL(3,¢) 이고, G 는 ¢3 의 기닌 _터건 군이다. 이때 G 를 ¢3 상에 작용하는 변 환 군으로 보면, G 는불연속군 (dis c onti nu ous grou p ) 이 다. 단, gE G 의 ¢3 상의 변 환 (map ping ) 은 Zg = (『 !gl Z2 +gf;g3Z 1) 로서 정의한다. F= {（鬪 갭 |z=x,+ i y,, 0 亨 1,0~} 라 두면, F 는 G 에 대 옹하는 기 본영 역 (fun damenta l domain ) 이 다. 따 라서 상공간 ¢3/G 는 긴밀` z복i = 소Z다 l+양g체 b 이 다. Zg = Z' 이 라면, z; = z2+g 2 +g 3Z 1 , z; = z3+g 3· 그리고, az1 = dzi, dzi = dz2+g sd z1 = dz2+ (z;-zs)dzi, dz; = dz3· 위의 식으로부터, cp = d z 논 z;dz1 = dz2-zadz1
은 ¢3 상에 정의된 해석적 미분형식으로 군 G 에 대하여 불변임을 알 수 있다. JC : ¢3 一 ¢3/G = M 울 ¢3 에 서 상공간으로의 표준적 사상 (cannonic a l map ) 이 라 하자. 그 러면 M 상에 해석적 미분형식 #가 군(¢) =cp 에 의하여 정의된다. 또한 JC* (r)=dz1, x*( 기 )=d% 에 의하여 T 와 기 도 정 의 된 다. dz3/\dz1 =I=0 이 니 , T/\ 기=I= 0 이 다. 그러 나 dcp = dz2 /\ dz1. 따라서 d
분형식 平 eA( p , q )(E) 가 주어졌다 하자. 개집합 상에 정의된 E 의 해 석적 툴 (holomor ph i c fr ame) 을 {다, 그리고 rp=I;ea rp 0 라 쓰자. 만일 {V i}를 T(M) 의 (1,0) 형 표구 r 을 켈러계량에 대한 례비시비타 접 속이라면, (2. 25) 다rp = I;.ea (Or p0 ) +- aII, r;;, aJ, e ;, (D(lv(,eVai ) )(J요7 v^ ff I)( Vj )?.). 단, D 는 A 아q) 상에 정의된 몽상적인 복소 라플라스 연산자 <=aa* + a*a ) , 그리고 D 는 E 에 정의된 에르미트 접속이다. 증명 식의 오른편은 {ea} 및 {V,} 의 선택에 관계없이 결정되는 일 정한 양이다 . 따라서 {ea} 와 {V;} 를 점 x 에서 정규라 가정하고, 점 x 에서 식이 성립함을 증명하자. 점 x 에서 가정에 의하여 오른편 식의 둘째항은 0 이다. 따라서 (2. 26) 다rp = I;& ~ Pa) + 2 ea (I(Vj) % A I(Vj ) Pa) a,r,j 임울 증명하면 충분하다. 아래의 식들은 모두 점 x 에서만 성립한다. 顔;
(2. 28) * (wi /\*# ) = I(Vj ) #. (위의 등식은 {V‘} 가 점 x 에서 정규가 아니더라도 성립된다.） 이제 0 t를 硏의 일차 결합으로 표시하면, wA;& =(x )2 =J A O&. W J, (2. 28) 식 을 사용하여 <)* ( 0~A 군) = a2 沿;j l(V 評° = 2j 5 A;/ A I(Vj ) 위 에 서 e=a log h 임 을 사용하였 다. 그리 고 (2. 25) 식 의 오른편 제 3 항은 다음과 같이 표시된다. (2. 30) Leil ( Vi) D /\ [(Vj) cpl ==== r,rLL22,,,µaaeee e I1 il gggX r£a마이 dX z ((aiZµZi . adI))z\ Q i( iIA ~ (I ,/ZI\I X\ T l lA()µZ( < -ZpTdIZ .)r )A
제 3 절 1 차원 속의 코호모로지 소멸정리 M 을 긴밀 복소다양체, 그리고 E-M 을 1 차원 에드미트속이라 하 자. 이때 D 를 E 의 에드미트집속이라 할 메, D 의 곡률형식 Q는 Q = IA:,µ XA;;.d 검 A dzji. = -oa log h 로 주어진다. 우리는 곡률형식이 특별한 경우 H8(M, Q P(E)) 가 0 가 됨울 증명하고자 한다. E 가 1 차원속일 경우, E 의 계량 h 는 실제로 어떠한 함수인가 알아본다. 이제 u,, uj 몰 M 에 속하는 두 개의 개 집합, 그리고 e,,e i를 각각 U;, uj 상에 주어진 E 의 해석적 틀이라 하 쟈로있 다 주계고어량 진하 h다자 는.. 그Uu;, 러 n상면u 에1 서상u는,에n 서hu 1j =f상(,e e에;;,e=서1f ) i,e 1 ,그 리그리고 고u j f;상=에f1서jf는J 라h는i= (관e1계,e 가i) h,l/1j l 2 = hi 라{f는1j} 는 관 계각가 u ,있 n음 u을j 상 안에다 .주 어이 진때 해h 석 J 는함 수U이J 상고,에 서또 한C D{ f1양i}수 c H함1수 (M이,다 0.*) 임을 알 수 있다. 우리는 {fij}를 속 E 의 코호모로지류라 부른다. 그 리고 이것을 (E) 로 표시하자. Z 를 µ 상의 정 수쉬 프, 그리 고 O 를 해 석 함수쉬 프 (sheaf of ge rus of holomorph i c fun cti on ), 그리고 어 를 영 이 아닌 해석 함수쉬프 (she af of ge rus of non-vanis h in g holomorph ic fun cti on ) 라 하자. 이 때 O* 의 줄기 (=01 ）는 곱에 대하여 군을 이룬다. 이메 다음과 같은 쉬프완 전열이 주어진다. ° ➔ z ➔ ° ➔ O* ➔ 。 이때 0 ➔ 0* 는 exp 2xi( )에 의하여 주어진다. 2 장의 코호모로지이 론에 의하여 ― ➔ H1 (M, 0) ― ➔ H1 (M, O*) 으-:> H2 (M, Z) ―수
라는 코호모로지 완전열을 얻는다 . 위에서 E의 코호모로지류 (E) 는 8* 에 의하여 H2(M, Z) 에로 간 다. 이 때 o* ( E) EH2 (M, Z) 를 E 의 천 클라스 (Chern class) 라 부른 다. 앞으로 c (E) =o* (E) 라는 기 호 몰 사용한다. 한편 람정리에 의하면 R : H2(M, ¢)三器 Q2 = {cpl cp E A2, dcp = O}, 그리고 dA1 = {d'P I' P E A1} 이다. 한편 Zc ¢ (＝복소상수쉬 프) 이 니 , 사상 ;i : H2 (M, Z) __나 I2 (M, ¢ ) 가 정의된다. ;i (c(E))=c(E) t라 두자. （이것 역시 천클타스라 부른 다.） 그러면 우리는 람정리에 의하여 R(c(E) t)는 M 상의 미분형식으 로 표시됨을 안다. 우리는 이 R ( c(E) t)가 곡률형식 9 와 특별한 관계 에 있음을 보이고자 한다. 정리 3.1 M을 7 긴밀복소다양체, 그리고 E ➔M을 7 M · 상에 주어진 1 차원 에르미트 속이라 하자. 그리고 9 를 에르미트 집속 D 의 곡률형 식이라 하자. 그러면 R 에 의한 c(F)~ 의 상은 ~Q = 幸l: X. :i µdZA /\ dzii 에 의하여 대표된다. (즉, R(c(F) t)와 효뇨 9 는 동일한 코호모로지 류이다.) 증명 속 E 가 코사이클 {f뱌 EH1(M,0* ）에 의하여 주어진다 하자. 그러면 c(E) = [{C 여] 단, 짜 = 21iz {log f,J+ log IJ1r + log Ii마 . 우리는 (Rc(F) t)를 대표하는 rE Q를 알고자 한다. 만일 각 UJ상 에 정의된 매끄러운 (=C00) 1 위의 미분형식 (Jj가
益 d log fjk = (Jk _(J j 룰 만족시킨다 하자. 그러면 r = d(J j = d(Jk 이다. 우리는 |fjkI2 =hk/h1, 그리고 X샤 =-3A5µlo g h j임을 알고 있다. Rr.1 = oroA log A, A = det (g.~) . 따라서 log fjk+ 同汀; = log hk -log hi 그리고 d log fjk = a log f1k = a log hk-log hi 따라서 (J k= 검ri a log hk 라 두자. 그러 면 r = d(Jk = -¼ao log h k = -겁 EaAa log d 검 A dzii = z¼TI:XA ;;di I\ dzii. (증명끝) M 을 긴밀 켈러다양체, 그리고 켈러형식을 iJ;g a fl dZa/\dzP 라 두자. 이 때 개 집 합 uj 와 Uk 상에 국소좌표 (z}, … z'}) 및 (zl, ••• 각) 이 정 의 되 어 있다 하자. 그러면 ujn u[ 상에 k = Uj, } , Jj, = 麟’' ::: :;; 이라는 해석함수가 정의된다. 만일 M 을 국소좌표가 정의된 개집합 {Uj }로 피복하면, 이에 대웅하여 생기는 k 는 1- 코사이클, 죽 KE H1(M, Q*）이다. 실제로 k 는 (/\T(M) ）에 대응하는 코사이클이다. 그리 고 주어 진 켈 러 형 식 을 2I: gap d zd/\dz' 라 하자. Ri 1 = 궁을, det (gaf l ) I u1 = A1
라 두자. 그러면 숫 =lm| 만 또한 det ( gP a) l u1 = A;- 1. 그 리 고 웅 =l J감 1 2 . K * ={] /kl } 는 I\ T*(M) 에 대응하는 코사이클이다. 편의상 K 와 K* 를 이것들에 대옹하는 1 차원속의 기호로사용하자. 그러면 /\T* ( M) =K * 의 천클라스에 c(K* ) 에 대응하는 R(c(K * ) ）는 정리 3.1 에 의 하여 z¼T (-oa log A-1) = 幸(해 lo g A) == ¼一2K1I1 ~;1R, µ ~ pa. .ai2dz zdIA Ao agIz z \pA. d zAP. I\ dzP. 로 주어진다. 여기서 최후의 등식은 5 절의 명처 r 5.10 로부터 얻어 진다. 정의 3.2 M 이 복소다양체일 때, 1 차원속 I\T * ( M) =K 의 천클 라스를 M 의 천클라스라 부르고 C1(M) 으로 표시한다. 앞으로 C('E )' c(E)e, R(c(E)e) 들을 모두 천클라스라 부르고, 동일한 기호 c(E) 로 표시하기로 한다. 명제 3.3 M 을 긴밀 켈러다양체, 그리고 M 의 천 클라스를 C1(M) =c(K) 라면 c1(M) =c(K) = 2Rji Ad zA A dzE A,µ 단 ,R r,,02idet=( g~ar ,·)
정리 3.4 켈러다양체 M 상에 1 차원 해석적 속 E 가 코사이클 {fp} EH1(M,O * ) 에 의하여 정의되어 있다고, 또한 r=r, dr=O 그리고 [r J =c(E) 를 만족시키는 미분형식 r = ~2m A~,µ r-i;,. d zA /\ d2i 가 주어져 있다고 하자. 그러면 r= ¼해 lo g h 를 만족시키는 E의 에르미트 계량 h 가 존재한다. 증명 개집합 uj, ukcM 상에 E 의 해석적 툴 e J와 %가 각각 정의 된다고 하자. 그리고 h 를 E의 임의의 에르미트 계량이라고 하자. 그 러면 h 는 uj 상에서 lij, 그리고 Uk 상에서 hk 라는 양 함 수이고, 또한 iij = lfj . I 2h. 라는 식을 만족시킨다. 이제 uj 상에 X..i µ = -aAOµ log hj 라두고 t = zfn.Z:XA r, d zA /\ dzP 라 정의하자. 그러면 정리 3.1 에 의하여 . ［친 = c(E). 印와 〔끼는 갈은 코호모로지류이다. 따라서 f -r=d cp를만족시키는 1 위의 미분형식 cp가 존재한다. 또한 f ,r 가 모두 (1,1) 미분형식이니 d cp는 (1,1) 미분형식이다. 또한 조화형식의 이론에 의하여 다음식을 만족시키는 (1,1) 미분형식 1/,
47=20 기 =0, 따라서 d기 =d * 기 =0. 또한 dd rp =O 이니 dtp = 기 + 송 (dd* + d*d) rp. 따라서 (3. I) 0 = dd* dr p . 그러니 (d*dcp , d*dcp ) = (d
따라서 1]= 0. (3. 1) 식 을 사용하여 O= (od^¢는 M 상예 정의된 C 함수이다. 따라서 f=？노(\＃라 두면 f -r= 습하. f=g, r= f이니 f- r=f - r =_2」1r a0 f =¾21-ra af. 따라서 (f-r ) = 눕해(f+f) 이고, f+f=g라 두면, g는 실함수이다. 끝으로 r= f-志 _aag = ½(log l i ;- g). hj = hje -g 라 두자. 그러 면 r= 志훑 lo g h;, 운= l/;1rl2. (증명끝) 정의 3.5 긴밀 복소다양체 M 상에 정의된 1 차원해석적 속 E의 천 클라스들 c(E) 라 하자. 만일 M 상에 다음 조건들 (a), (b), (c) 를 만 족시키는 미분형식 r 가 존재하면 E 를 정부호(p os iti ve) 라 한다. r = 盆 md 검 /\ dzfi ((ab)) r［=김 r=, cd(Er)= 0
(c) (r,1;;. ) 는 M 상의 각 점 에 서 정 부호 (po sit ive defi ni t e) . 도움말 (1) E 가 M 상에 서 정 부호속이 면 w= i Lr ,1 ;;.dz 』 /\dz ii 는 M 상의 켈러형식이댜 따라서 M 는 켈러다양체이다. (2) E 를 긴밀복 소다양체 M 상에 주어 진 정 부호속 (po sit ive bundle) 이 라 하자. 정 리 3.5 에 의하여, 적당한 에르미트 계량 h 를 택하면, I1 에 대한 곡률형 식 !J =LX, 1 ;;.dzA/\dz ii =-oalo g h, 에서, (X티 가 정부호이다. 이제부터 긴밀 켈러다양체 M' 위에 주어진 에르미트 속 E 값을 갖 는 (p,q) 조화형식 공간 RM(E) 가 O 임을 보이고자 한다. 이를 위하 여 2 절에서 도입된 연산 A 를 새로운 관점에서 해석할 필요가 있다. w= i L g a p dza/\ 따 돌 켈러 형 식 이 라 하자. 그러 면 임 의 의 (p, q) 미 분형 식
—-A CP+l,q+ I). 다시 (Lg ,, cp) = (g,, L*cp ) 에 의 하여 L* 를 정 의 하면 (3. 3) L* : A( p, 서) _ ➔ Ap -1,q- l 2 절에서 정의된 연산자 A : A’'q _ ➔ Ap - 1,q- 1 은 실제로 L* 와 일치한다. 죽 l\ =L* 이다. （실제로 A=L * 를 알기 위하여서는 A 와 L 이 모두 국소좌표(검, … ,zn) 에 대하여 독립적으로 정의된 연산임을 확인한다. 이는 거의 명백하다. 그 다음은 (z\ …,z ) 을 점 xEM 에 서 정 의 된 국소좌표라 하자. 그러 면 w=i I;dz Adz& 이 다. 이 경우에 L* 와 A 가 점 x 에서 일치함은 거의 명백하다. x 는 M 의 임의의 접이다. 따라서 I\= L*.) 이제 위에서 생각한 연산 L 을 AM(E) 에 확장한 연산자 역시 L 로 표시한다. 죽, L : cpE AM (E) _➔ W l\ cp E A1+1, 아) (E) . 그리고
L* : Ap ,q (E) ＿ ➔ A,-1,q~ I (E) . 2 절에서 U 와 a, a* 사이에 관계식을 구한 바 있다. 여기서는 이러 한 관계식을 E 값을 갖는 미분형식상의 연산들에 확장을 시도한다. 이를 위하여 먼저 d0 : A' (E) __i , A•+• (E) 를 연구할 필요가 있다• 단, D 는 E 에 정의된 에르미트 접속이다. UcM 상에 정의된 E 의 툴 {eI, •••, 다이 해석적 툴일 경우에 Dea = I:0!e 8 8 로 표시되고, 0} 는 (1,0) 미분형식임을 알고 있다. 그러나 {다가 해 석적 틀이 아닌 임의의 C°- 단면들로 이루어진 를이라면, 0: 는 (1;0) 형식이 아닐 것이다. 이때 0 仁의 (1, 0) 요소를 0;p 그 리고 0; p를 (0,1) 요소라 하자. 그러면 0t = 0:p+ 0;F 으로 표시된다. 이 경우에 #EA p,q (E) 이면, dDr p = dD (~rp •e 。) a = 표a r•p .% + a표,p 0 : /\ cp'e . = 2n (8Pd + 2, 07 /\ cp') e. + ~n (<)• cp나 파B 0 i’ a /\ cp') ea. 아제 DD1'l<
00'c c pp == aL江,:_/ l 0 0';;'a / I \ \ c cppP 'ee a . a,fi 라는 기호를 도입하자. 그러면 다음과 같은 표현을 얻는다. (3. 4) l;D, 二 ::0?'’ D = c3+0 (3.4) 식에서는 (3. 5) ,’O-a. 'ee . = =28aat ePae aaea e.o 라고 약속을 한 셈이다 . 특히 {e 나가 해석적이면 (3. 6) {D' = a+0 D=o 임을 알고 있다. (3.6) 식의 경우, 이전예 dD 를 취급할 때 나온 aE, 8E 등을 여기서는 기호의 번잡성을 피하기 위해 단순히 8,5 로 표시 한셈이다. 정리 3.6 M 을 긴밀 켈러다양체, 그리고 E 를 M 위에 정의된 에르 미트 속이라 하자. 또한 L* 를 (3 . 3) 식에 의해 정의된 연산이라면 [L * ,D ]= -1D1* . 단, 여기서 D* 는 (D ip,cp)=(
== L(*L 명( a-+tJ0 L) *< ) p<-p+( o(+L0* 0) -L 0*
원 속이면, {ea} = !e} 이고, (3. 8) (d 낍 2e == ((d-o0a- Il;o 0g I h\) e0 ) e =ee 단, h 는 E의 에르미트 계량, 그리고 O 는 곡률형식을 표시한다. ((33.. 87)) 식식 에에서 서 (edD=') 는-a a(1l,o 1 g) 요h 이소니로,만 O표 는시 된(1 ,다 1.) 미따분라형서식 이D다'.D ' =따 0라. 서물 론 aa=o 이다. 이것을 정리하여 정리로 두자. 정리 3.7 . E 가 복소다양체 M 상에 정의된 1 차원 에르미트 속이라 하자. 만일 e1 을 0 값을 취하지 않는 E의 해석적 단면이라면 (dD) 2 = D'a + aD' 로 표시된다. 만일 cp드 A p,q (E) 이면 (dD) 2 =
라 두면, 켈러형식 w = 1.2X Ap. d zAI \dzµ 가 된다. 이때 w=i -e = _a5log k 라는 관계가 있댜 한편 8 전의 조화형식의 이론에서 HP (M, Qq (E) ) = KM (E) 임을 증명하였다. 이제 개집합 UcM 상에 e 를 E의 해석적 툴 (=0 값을 갖지 않는 해석적 단면)이라면, 이 툴에 대하여 d0 = D' + a, D = a 로 표시되고, a rp =o 이다. 따라서 (dD) 2< p = O ^ 'P = == -—((DD ''D*< 'p *, t U= 숭 P ‘ ^P j 는 켈러형식이고, 또cp한a1 ^임…의^의
Bk(
(3. 10) 야 (dz ' /\ dzK) = {~dz ' /\ dzK kE] 0 k~J 결국, (3. 11) t.& +egk = 2. 비슷하게 하여서 ;i+t k 궁 l = 2. 이제 만일 k =I=l 이면, (3, 12) ike i (dzk I\ dz ' I\ dzK) = ik ( dz1 I\ dzK I\ dz ' /\ dzK) = 一 tk( dzk I\ dz1 I\ dz' I\ dzK) = -2 (dz1 I\ dz ' /\ dzK) = -2ei ( dz ' /\ dzK) = -e tik (d zk I\ dz ' /\ dzK) . 만일 kf/ :.] 이 면, i,e . (d 겅 /\ dzK) = eiik (d z ' /\ dzK) =0. 따라서 k#l 이면, (3. 13) ekti + tie~ = 0. 이제 Lcp = 느2'i K:n.= .ld z ~ I\ dzK I\ cp = (十효표) (
[L, L*] = 上4 (2k·' e kekEa 一 2“ tLae k5») = 上4 k2* l (ekekt a _ t &e 러) + -44 -~h (eke1c t «i1c -t k ekek) 윗식에서 첫항은 (3.13) 식에 의하여 0 이다. 한편, e&- ·7 t•k = ed2_ 7t 타- ) = 2e,.1,. -e k t kekh 같이 하여 i-; -1ri . 1 re1 re1r = 2-i; - 따 - - t. I reIr1g. - 한편, e.-i:-. =-i:-,.e a 이 니 , eIr-t· Ir-e·k t·k = _t .k ek. - 따라서 [L, L*] = -12 -Ik; (e.i# -t #e# ) = 上2I -::; (2 국 e.- 표) =n- 송 Z( 와隨) (3. 9) 식과 (3.10) 식을 이용하여 I: (i1re1r + ;라) (d 겁 I\ dzK) k = 2I : dz1 I\ dzK + 2I : d 김 /\ dzK ka ,J ka ,K = {2(n- · # J) +2(n-#K)}d 겁I\ dzK 여기서 #는 첨자의 갯수를 뜻한다 . 따라서 rp EA 언이면, [L, L*] = p+q- n 따라서 [L*, L] = n-p- q (증명끝)
위 의 정 리 3. 9 에 서 세 례 쌍대 정 리 (Serre duali ty) 를 이 용하여 여 러 가지 경우에 코호모로지가 소멸된다는 결론을 얻을 수 있다. 1 차원 속 E * 가 정부호일 경우에 우리는 E 를 부부호 (ne g a ti ve) 라 부른다. 그러면 우리는 다음 정리를 얻는다. 정리 3. to E 를 n 차 긴밀 복소다양체 M 위에 정의된 1 차원 에르미 트 속, 그리고 K=/\T * (M) 이라 하자, 그러면 다음과 같은 세 가지 경우의 코호모로지가 O 이다. (a) E 가 부부호, 그리고 p+q
(c) 의 경우 E* 가 정부호. 세레쌍대정리에 의하여 Hq ( M, O(E)) ~ H-9(M,.Q (E*)). (n-q) + n)n. 둘째식은 0 차원이다• 죽 q
울 하지 다양체 (Hodg e manif old ) 라 부른다. 하지다양체가 대수적 다양체임을 증명하는 데 필요한 다음 정리를 증명하자. 정리 4.2 M 이 하지다양체일 필요충분조건은 M 상에 정부호 1 차 원 속 (po sit ive lin e bundle) 이 존재 하는 것 이 다. 증명 E ➔ M 을 정 부호속 (po sit ive lin e bundle) 이 라 하자. 그러 면 이 E 는 {f a 서 든 H' (M, O* ) 에 의 하여 결 정 되 고, E 상에 ha= l t야 I2 hs 에 의하여 정의되는 적당한 에르미트 계량을 h 라 하면, E1 의 천클라스 c(E) 는 c (E) = 益 X ,ip dz' /\ dzP. 에 의하여 주어지고, x샤 = 훌 Io g h 이고, 또한 X ,1터는 M 상의 각 점에서 정부호이다. 이때, g샤 = (l/21e ) X.i p. 에 의하여 M 상에 하지계량을 정의할 수 있다. 이것은 2 절 정리 2.3 의 내용을 다시 쓴 것이다. 역으로 M 이 하지계량을 가진다 하면, 죽 • [rw(c: 雲〈 ZaC:d;fJ 2 (M, Z) (g a p)는 M 상에 정부호 이제 M 상에 1 차원 속 E 가 있어서 E 의 천클라스 c(E) = [피라 하 자. 그러면, c (E) ~iI:g,ip.dz A /\ dzP.. 따라서 c (E*) ~쇼 I: (21eg, ip) dzA/\dzii
여기서 E* 는 E의 상대속 (dual bundle) 이다. 결국 E* 가 M 상에 주어진 정부호 속이다. 결국 역중명은 r(O)= 〔미일 때, c(E)=[w] 를 만족시키는 속 E 가 있음을 보이면 충분하다. 임의의 1 차원 속 E 는 H1(M,O * ）의 요소 에 의하여 결정됨을 알고 있다. 쉬프 완전열 O--z 一 0 — ➔ O* ― ➔ O 로부터 유도된 다움의 코호모로지 완전열을 다시 생각하자. (4. 1) -H1 (M, 0* ) 一 H2 (M, Z) 上나i 2 (M, O) — ➔·•· 이 완전열로부터 우리는 r(c)= ［岡]일 때, u(c)=0 임을 보이면 충 분하다. 한편, (4. 2) H'(M,O) 一庄 (M,\\OZ) 도 (M,0) 一 C \ H2(M, ¢) \ lR de Rahm cohomolog y 에 서 r=RAo, c=Rrao. 속 {E} 가 Ua,}EH1(M,0* ）에 의하여 정의되면, c(E) = roo({ fa,}) . (위에서 [피 EH2(M, ¢)라고 표시할 때는 실제로 람정리 R:H2(M,¢) 一웁「, Q2 = {
이라 두고 Hr .1 (M , ¢) = R-1( Q망), Hr .1 (M, Z)] = ro![H f .1 (M,¢ )] 라두자. 그러면 R 기 [w ]E Hr .1 (M, ¢ ) 이다 . 그리고 갑 [w] E Hr .1 (M, Z) 이다 .. 우리는 이제 (4.2) 에서, (4. 3) o(H' (M, 0*) ）크 Ht 1(M , Z) 임을 보이면 충분하다. (4 . 3) 울 증명하기 위해서는 U(Hf. 1 (M,Z))=O 임을 보이면 된다. 이 증명을 위하여 다음 교 환 가능 쉬프열을 생각 하자 . ¢ z /一. 。~ 이 쉬프열로부터 유도되는 교환가능 코호모로지열은 H2(M, ¢) r1 / ~ H2 (M, Z) ~ H2 (M, O) 한편, Hf ,1( M, ¢)cH2(M, ¢)이고, 이것은 H f. 1(M,Z) 의 ro 에 의한 상이다. 그리고 u=bro 이니, u (Hf. 1 (M, Z) ) = b (Hf, 1 (M, ¢ ) ) 따라서 Hf .1 (M, ¢)의 b 에 의한 상이 H2(M,O) 내에서 0 임을 보이면 충분하다. 이 제 다음 쉬 프 결 정 열 (resoluti on of sheaf ) 을 생 각하자.
0 —➔ ¢---- ➔ xo —d+ 찌 ―d ➔ x2 一d 筑 3_>··· o __ + 0J __➔ x4o 元, 。o —8— ~ xLo. X ,I _8_ ~ xi• ,x 22 - -::8;:- ➔ x41 ,x s3_ _> … 여 기 서 'J(,P 는 P- 미 분형 식 쉬 프, 그리 고 'J(,0, q 는 (0, q) 미 분형 식 쉬 프 이다. 여기서 1Cq : 'J(, P.-xo, p는 일점에서 p미분형식 봉아 a 를 a 의 (0, p) 요소에 로 사영 하는 사상이 다. 따라서 b : H2(X, ¢)一 H2(X, 0) 라는 사상은 임의의 2- 미분형식을 이 cp의 (0,2) 요소로 사영하는 사 상에 해당한다. 따라서 H2(X, ¢) 내부의 H~.1(X, ¢)가 b 에 의하여 H2(X, Q)의 O 요소로 사영됨은 명백하다. （증명끝) 도움말 위 의 최 후의 증명 에 서 사용된 sheaf resol~ti on 은, 2 장에 서 의 sheaf resoluti on 에 의 한 코로모로지 표현을 참조하면 쉽 게 이 해 될 것이다. 명제 4.3 M 을 긴밀 복소다양체라 하자. 그러면 o(H'(M,0*))= Ht 1( M,Z) 증명 3 절의 정리 3.1 에 의하여 (드) 관계가 증명되었다. 그리고 위의 증명 과정에서 (2) 가 중명되었다. （증명끝) 이 제 부터 정 부호속이 qua dri c tra nsfo r mati on 에 대 하여 어 떤 변 환 을 받는가 알아보려 고 한다• 먼저 2 장에 서 정 의 한 바 있는 qu adric tr ans fo rma ti on 의 정의를 상기하자. 이제 M 을 n 차원 복소다양체, pE M 그리 고 z= (zI, …, %) 을 p 의 근방에 정 의 된 국소좌표로서 2 (p) =0. 이제 pn -1 을 복소 (n-1) 차 사영 평면 (pro je c ti on pla ne) 그리고(ti, t2, ···, t）을 pn -1 의 조화좌표 (homo g eneous coordin a te ) 라 하자. 그 리고 W = { (z, t) I (z, t) E Ux pn -i, zitµ = zµ!i, A, µ = 1, 2, …, n}
이라면 W는 ux p n-1 의 (n-1) 차 부분다양체 亢 : W_s ― ➔ U-p= U-0 (z,t) 一 z 는 복소동형이다. W 상에서 ;c (z, t )=z 라 정의하면, ;r-1 (Q) = S = {Q} X pn- 1 ~ pn -J M 의 점 p 에 서 qu adric tra nsfo r m M 는 M = (M-P) U W/ 亢 에 의하여 정의되었다. 이때 M= Qp (M) 이라는 기호를 도입하자. 그 리고 M 에서 M 으로의 사영 역시 元로 표시하자. 그러면, ;c :M 一 M 은 해석적 사상이다. 이제 S 는 M 의 긴밀 부분다양체이다. s~ p n-1 로서 n 차원 복소 다양체 M 의 (n-1) 차 부분다양체이다. 이때 만일 M 가 개집합 {U1, … ,Un} 으로 회부되고 각 U/ 상에 f/라는 해석함수가 존재하여、 sn u = {k(z) = 이 zE U 자 로 표시된다고 하자. （물론 S 의 경우에 그러한 해석 함수가 존재함 울 보일 예정 이다. ) 그리고 더욱 u.nuj 상에서 f, l fj가 O 이 아닌 해 석 함수라 하자. 그러면 t.j = tJfj, ui n uj 로 주어지는 {f야는 H(M,0*) 에 속하는 요소라고 볼 수 있다. 이때 {fij}는 하나의 1 차원속 L 一 M 를 결정한다. 이 속 L 을 S 에 의하여 결정되는 속이라 부른다. 그리 고 보동 L=[S 〕라는 기 호를 사용한다. 이 제 pn- 1 의 조화좌표를 [tI, … , t n] 이 라 할 때 H0 = {x E pn -J I t, ( x) = O}
이라 두면, H° 는 p n-’ 의 부분다양체이다. 이때 H° 에 대응하는 p11 -1 상의 1 차원속을 H 라 표시한다. 즉, 頂汀 =H. q( z, t) =t ((z, t) EWc Ux P-1) 에 의하여 6 : W- ―나 )n- J 을 정의하면, (J는 pn -1 상에로의 해석사상이다. 명제 4.4 M,N 을 복소다양체 그리고 f ;M 一 N 을 해석적 사상이라 하자. 이때 만일 N 위에 해석적 벡터속 a;E-N 이 주어져 있다면, 다음 도표가 성립하는 해석적 벡터속 aI : E1 _― ➔ M 이 존재한다. E1- LE a’ 』 』 a M ―f ➔ N 이때 g는 벡터속 준동형이다. 그리고 다른 벡터속 E 가 위의 관계 를 만족시키면 E’ 과 E 는 동형이다. 증명 E'= {(x,e)EMxElf( x ) =a(e)}. 그러 면 다음과 같은 자연적 사영 사상 (natu ra l pro je c ti on ) 이 정 의 된 다; g : E 仁― ➔ E, g( x, e) = e, a' : E' ~ x, a (x, e) = x.
각 E 는 ={x} xE/(:,:) 상에 E f (:,:)CE 로부터 유도되는 벡 터 공간의 구조 를 준다. 그러면 M 의 각 점 X 위에 하나의 벡터 공간이 정의된다. 만일 (U,h) 가 벡터속 E의 국소 자명한 좌표 Elu ―h― ➔ Ux ¢n 울 정의하고 있다면, (4. 4) E'I1-•( Cf)一 1-1(U) X ¢n 은 E' 상에 국소 자명한 좌표들을 정의한다. (4.4) 로부터 정의되는 국 소 좌표들로써 정의된 벡터속 E 는 명제의 조건을 만족시킨다. 만일 다른 하나의 벡터속 E-M 이 E~E &l 』 a M~N 룰 만족시킨다 하자. 그러면 h (궁) = (a, g( e) ) E (a (e) ) x E) 라 정의하면, f(a (e))=(a(e) xE) 로부터 h(e)EE’ 을 얻는다• 따라 서동 형lz사 : 상E이-다E.’ 따는라 하서나 의h 는 벡벡터터속속 의준 동동형형이사다상.이 다더.욱 h ; E（_증-명E끝';. 는 위에서 1W=Q p( M), 1r : fil -M 임을 정의하였다. 이때 x-•(p) = S 라면 s~p n- 1 이고, S 는 M 상에 1 차원속 L 을 결정함을 알았다. 이 때 우리는 L=[S] 라는 기호를 사용하였다. 또한 W = { (z, t) I (z, t) E Ux pn -•, zit k = zktz , k, l = 1, 2, …, n} 에서 (l ; w-pn - 1
을 정의하였다. 이제 H 는 P - ＇상의 1 차원 속 이니, 명 제 4 .4 에 의하 여, W 상에는 a* H * 라는 1 차원속이 정의된다. 이 들 두 개의 1 차원 속 사이예는 다음과 같은 관계가 있다. 명제 4. 5 W 상에 서 L 과 a* f·1 * 는 인 치 한다. 증명 pE UcM, 그리 고 U 상에 는 국소좌표 z= (z,, z2, ••• ' %) 이 정 의되어 있고, z( p )=0 이라 하자. p n-1 이 조화좌표를 〔t.,···,t』이라 면, 7r-l(U) 는 WCUXPn-1 로 표시된다. W 에 속하는 임의의 점은 {(2,t) 1& tj =z iti}로 표시된다. 그리고, uxp • -I 내에서 Jr- I(p) = 5= 0 X pn- 1 은 Z1=Z2=… = zn=0 으로 표시 된다. 이제 Va={ 〔t 1, …,t』,t.=t= O} 이라 두면, {V.} 는 p n-1 의 개피복을 이 루고, 각 V0 에 는 pn- 1 의 국소좌표 (tl/ ta, …, t./t。) 가 정 의 되 는 초평 면을 HO 라면, Ho 는 v./\pn - 1 내에서 방정식 [t ,l t .=0] 에 의하여 표 시된다. 이제 Hoc p n-1 에 의하여 결정되는 1 차원 속을 H_Pn 이라 하 자. 그러면, Van v, 상에서 속 H 의 변환식 (tra nsit ion fu nc ti on) 은 u.8 = (운) (+.)-J = t 8/ t。 로 주어진다. (l : W-pn -i, u(z, t) = t 이 니한,편 ,(J *sHn 의 ( U(xU xVa V) nan W V p는) n 방W정 상식에 서〔 Z 의．＝ 변이으환로식 주역어 시진 다/2.., 이 따다.라 서 S 가 결정하는 1 차원속 L 의 변환식은 (Ux Van V~) n W 상에서 g.$ (2, t) = _zz , 로 주어진다. g., = (L.,) -1 이 니 , L i n- = (J* H* 이 다. (증명끝)
M 을 다윈 복소다양체, 그리고 T ( M) 응 M 상의 (1,0 ) 접벡터들 이 이 루는 n 차원 해 석 적 벡 터 속 이 라 하자. 그러 면 (\ T* (M’) 은 M' 상 의 1 차원 해석적 속이다. (\T*(M) 을 M 의 표준속 (cannom i cal bu- ndle) 이 라 부른다. uj, u ,. 상에 각각 국소좌표 (겨, ... , z~) 과 (7/1, ... , 1/r.) 이 주어져 있다고 하자. 이때, Uj n uK 상에서 표준속의 변환식은 麟~ =de t(틀) 로 주어침을 이미 알고 있다. 지금부터 다양체 M 의 표준속을 KAI 으 로 표시한다. 그리고 이때 dz1 I\…I\ dzn 은 Uj 상에 정의된 K의 해석 적 단면임을 기억하자. 명제 4.5 에서 정의된 L 을 L p로 표시한다. 그리고 따는 명제 4.6 에서 亢와 같은 뜻을 가지는 기호라 하자. 명제 4.6 M 을 긴밀 복소다양체라 하자. 그러면, KQ , M = 검 KAI®L;-1. tI, 증…명, tn) 위에의 의명 하제여 4. 표5 시에 하서면와, 같(이zI , tu2x/ tIp, …n- 1, t에n/ tI속) 을하 는U x점 V을1 n(zW I, ••상• ,z의n 해 석 적 좌표 (holomorph i c coordin a te s ) 로 잡을 수 있다. 따라서 , /1 = dz1 I\ d( 운)^ ... /\ d( 운) 은 (Ux Vi ) n W 상에 정의된 KM(M= Qp M) 의 해석적 단면이다. w 룹 정 의 하는 식 (t ,z;= ti미 를 쓰면, /1 = (21) 1-dz1 /\ .. ·/\ dz 입을 알 수 있다. 일반적으로 Ux VanW 상에서 KM 의 해석적 단면 (또한 0 이 아님)으로 • la = (zd) l-ndz1 I\…I\ dzn 을 택할 수 있다. 따라서 속 Kklw 의 변환 함수들 (g a,) 는, fa = ga/II ,
로부터 얻을 수 있고, g.p = (z./zp) n -1. 명제 4.5 에서 L 의 변환 함수와 비교하여 Kii [w = Ln-l[w 임을 안다. KM 은 U 상에서 Ux ¢n 형이다. 따라서, Kii lw = Ln-l[w ~ in-1 @ Kulw, 라는 관계식을 얻는다. 또한, L[M- w ~ (M-W ) X 硏 이니, K if|M -IV 브 K f@ Ln~1 IAI - IV· 따 :M-S 一 M-P 는 동형사상이니, K it l iit-s = 검 K A I I ,II- s. 결국, Kf1 브 Ln-1 ® 랴 K .u. (증명끝) M 에 속하는 두 개 의 점 p, q (p=f=q) 에 대 하여 Qq Qp M 과 QpQqM 을 비교할 때, O p라는 수속은 점 p의 임의의 작은 근방내부에서 다양체 의 모양을 변경시키는 수속이다 . 따라서 QpQq M 과 Q q Qp M 은 일치 한다 .. 사영 (pr oje c ti on ) Q P Q 9M ―펄q M 과 사영 Q9 M-M 을 합성 한 사 영 QpQq M― 깊꼬一 M 을 元pq 라 표시 한다. 주 ( {p} U{q} ) 에 대 응 하는 1 차원 속을 L” 로 표시한다. 명제 4.7 E 를 긴밀 복소다양체 M 위에 주어진 정부호 1 차원속, 그리고 P 와 q를 M 에 속하는 서로 다른 임의의 두 점이라 하자. 그 러면, µ~µo)O 일 때, 다음 세 개의 1 차원속;
(i) 군 E ® L 翼 ) K t,, (ii) 검 E 정 (L t 澤 K t, (iii) 자.q E ® L !, q ® K i-.t. 단, (i) , (ii) 에 서 M = QP M, 그리 고 (iii) 에 서 M = QpQq, 둘이 모두 정부호속이 되는 µ11 가 존재한다. 증명 F 를 M 상예 정의된 1 차원 에르미트 속이라 하자. 이 때 F 가 정부호 속일 필요충분조건은 이의 곡률 형식이 e = ~X)., ,d zA /\ dz 일 때 , (X 씨 가 M 상의 각 점 에 서 정 부호 행 렬 (po sit ive defi ni t e mat- r i x) 일 것이다. 따라서 우리는 주어진 1 차원속들의 곡률형식을 연구 하고자 한다. 속 F의 곡률형식을 e(F) 로 표시하자. 속 F 가 {Fa p}든 H' ( M,O *) 로 주어지고, 속 G 가 {g야 }EH'(M,O * ）로 주어졌다고 하 자. 그리고 에르미트 계량들이 F 상에서는 p .I 뇨 |2 = pp, G 상에서는 ra| g갑 =r,. 로 주어 졌 다고 하자. 그러 면 속 F®G 는 {fa,g a' } EH’ (M, 0* ) 에 의 하여 정의되고, Para Ig a' fa p | = p,r , 로부터, Para 는 (F ® G) 의 에르미트 계량이 되고, e (F® G ) = 一 oo log (rap .) = -oa log ( r.) -aa Iog (pa) = e(F) +e(G) 따라서, (4. 5) e(F®G) = e(F) +e(G). 우리는 먼저 1 차원속 L, 의 곡률형식에 관한 것을 알아본다. 전과
갇이 p의 개근방 U 상에 국소좌표 z=(21, · ··,Zn), Z( p )=0 이 청의되어 있고, 11 1 에 있어서 JC -I( p)의 하나의 근방이 국소적으로, W = {Ux P-1lz.t i = zi, , t,j = l, 2, …, n} 형 으로 표시 된 다고 하자. z=O 을 포함하고 폐 포 (closure) 가 U 에 속 하는 다른 하나의 개집합을 U1 이라 두자, u1 상에서 1 이고, U 밖에서 0 값을 취하는 하나의 COO 함수를 p 라 두자. 명제 4.5 에서 취급한 1 차원속 H_-M 의 곡률형식을 생각하자. p n-1 을 조화좌표 拓,…,t』 으로 표시 하고, Va= {t lla=I =0 } 라 둘 때 , H 는 {hap = l,/ta} EH' (P-1, 0) 에 의하여 정의된다. 따라서 AaI 마=나…~+ It. Il 을 H 의 에르미트 계량으로 이용할 수 있다. 그러면, Q (H) = -a3log lhI2 」 (:.1;| t n|2 = I;XJ ;, .dz• /\ dz;,.. tO 는 Pn 기 상에 정 의 된 표준적 계 량 (Funbin i stu d y metr i c ) 에 대 한 켈 러형식이다. 따라서 (X -1;;.)는 Pn 기 상의 정부호 행렬이다. 명제 4.5 에 의하여 Llw= (J *H* 이니, ho 를 H * 상의 계량이라면 h1= (J *ho 를 L*lw 상의 계량으로 사용할 수 있다. L*IM-u, 은 자명한 속(t r i v i al bundle) 이니, 이 위에서 임의의 양의 상수 h2 를 계량으로 쓸 수 있다. 위에서 정의한 p를 이용하여 (4. 6) h=p h 1+(l-p) h 2 라 두고, h 를 L* 상의 계량으로 정의한다, 그러면 Wl=UIXPn-In w 상에 서 는 ll=lt1 이 다. 따라서 W 갑에 서 e (L*) =0 (u*H) , IiiI -w 상에서 e(L*) = 0. 이제 K. 11=/\T*(M) 에 임의의 에르미트 계량을 주면, 명제 4. 6 에 의하여 다음 식을 얻는다. e(MM) = e( 군 KM) + (n-1)0(L).
따라서, O (갔 * E @ L *® K%) = µ0 (元 * E) + ne (L*) + e (군 K t,) . 전과 같이 U1X pn -1 에 좌표 (z, t)를 주고, 마분형식 (4. 7) µe (1e* E ) + e (u*H) 몰 생각하여 보자. 0( :Jr * E) 는 변수 t에만 의존한다. 이때 이들 미분형식에 나오는 계 수 행렬은 각각 정부호이다. 따라서 이들의 합으로 이루어진 미분형 식 (4.7) 은 U1xP-1 상에서 정부호이다. 이와 같이 하여 이들을 W 상에 제한하여도 물론 정부호이다. U-U1 상에서 0( :Jr * E) 는 정부호이 다. 따라서 µ2:µ1 (p) 이 면, (4. 8) µe (국 E) + e (Lt) 가 M 상에서 정부호가 되는 µ1 이 존재한다. M 은 긴밀다양체 그리 고 E 는 정부호이니, 충분히 큰 µ2 를 택하면, µ2e (E) +e (KM) c> O) 은 M 상에서 정부호이다. 이제 µq (p) = µ2 + nµ, (p) 라 두자. 이때 µ~µq이면 (4. 9) µe (국 E) + ne (Lt ) + e (감邸) 은 M 상에서 정부호이다. 연속성에 의하여 충분히 작은 개집합 U2(PEU2CU1) 를 · 택하면, 모 든q EU2 에 대하여 µ>µ,이면, µ8 (국 E) + e (Lt) 가 M 상에서 정부호가 됨을 알 수 있다. M 은 7 긴밀공간이니, 이러 한 유한개의 (U2 종류의) 개집합들로 회부된다. 따라서 Uo 을 이에 대 옹하여 생기는 숫자 (µ3 종류의)들의 최대치로 잡으면, 모든 PEM 에
대하여 (i)식이 성립된다. (ii)식과 (iii)식도 똑같은 방법으로 증명 된다. (ii)식의 증명에서, （나 )2=L t ® 냐 역시 L t와 같이 정부호이 고, 7[ -1( p)에서 국均가 정부호가 아닌 것을 보충한다. (iii)식에서는 (i)식에서 행한 수속을 두 점 p,q(p*q)에서 행하고 (i)식에서와 같이 공간의 긴밀성과 수속의 연속성을 이용하여 증명한다. （증명끝) E 를 긴밀 복소다양체 M 위에 주어진 1 차원속, 그리고 O(E) 를 E 의 해 석 적 단면 봉아 (ge rms of holomorph ic sec tion of E) 로 이 루어 진 쉬프, 그리고 p,q(p * q,p,q든 M) 에서 0 점을 가진 해석적 단면 봉 아로 이루어진 쉬z프 =롤f= p , .J =z O*( qE 이- 면p- 』q：：) =라 는O (기E)호 .,.로 표시하자. 이때, Sp = {cp E O (E) p l cp (P) = 0} . S9 = {¢ E O(E) 기cp(p) = 0}. 따라서 다음과 같은 쉬 프 완전 열 (Exact seq u ence) 를 얻 는다. (4.10) 0 一』一 O(E) 一 4' ―지, 단, .J' = O(E)/.J. 만일 z=t =p, z=f =q 이 면 .J~ =O 임 은 명 백 하다. 그리 고 점 p 에 서 해 석 함수의 급수 전개를 생각하면 4 浮프¢, 각프¢라는 것도 명백하다. 이때, H0(M, ,J')는 M 상에 정의된 4' 의 단면아니, H0(M, 』/)= ¢ EE) ¢ . (4. 10) 에 대 응하는 코호모로지 완전 열 은, (4. 11) 0 一 H0(M, ,J)그나i 0(M, O(E)) 고 ¢®¢ —대 (M, .J)—표· 위의 완전열에서
M 에서 M 으로의 사영 을 Jt ,C= 亢 - l( p), D= Jt -1( q)라 두자. 그리고, 1t*E =E, .J =O(E-C-D ) 를 C 와 D 상에서 0 인 E 의 단면 붕아둘 로서 이루어진 쉬프라 하자. {3가 전사임을 증명하는 데 다음 명제를 사용할 예정이다. 명제 4.8 H'(M, O(F-C-D)) = O 이면, H'(M,O(F-p- q)) =0. 증명 우리는 쉬프 코호모로지 이론에서, H' (M, ,J) = Jim H’ (%, ,J) 임을 알고 있다. 따라서 임의의 피부 % 에 대하여 H’( 맹,,J )=O 임을 증명 하면 충분하다. 이 제 1- 코사이 클 cp= {cp.j} EH’ (맹, 』) 에 서 , p,qE u.nu1,
gUj ~ 0. 따라서 각 [J‘상에 쭙‘j =P i _P j라는 관계를 만족시키는 J의 단면 ¢i 가 존재한다. J =O(E ― C-D) 이니, 少서는 C 와 D 상태에서 0 인 단면이다. 만일 U,cM- p국이면, 亢 : U i_ ➔ U; 는 해석적 동형 사상 (b i holo morph ic map) 이 다. 따라서 #론군 (rp;) =rp,o 7C 라는 관계 를 만족시 키 는 U, 상에 정의된 E의 해석적 단면 P i가 단 한 개 존재한다. 만일 p EU, 이면 1e: (U,-C) 一 (U,- p) 라는 사상은 해석적 동형이다. 따라서, ¢, I u,- c = rp, I u,-p 라는 관계물 만족시키는 E 의 해석적 단면 rpi가 Ui _ P 상에 단 한 개 존재한다. 필요하다면 U를 줄여서, E 는 Ur 상에서 자명한 속 수(=라E l볼u, =수U ,있x다C). 라핫 가도정그할 (H a수 r to있 g 다 's. ) 정따 리라 에서 의' P하i여는 uP,i -는 p 상u,의 상 의해 석해 석함 함수로 확장된다. 이 확장시 킨 함수를 역 시 'P‘ 라 표시 하자. 그러 면 군(언)＝언 07C 는 U‘ 상에 정의된 해석 함수이고, u‘_C 상에서 ¢g와 일치한다 . C 는 U i보다 1 차원이 낮은 부분다양체이니, 연속성에 의 하여 군 (rp,) =cp려 다. 결 국 우리 는 ¢i=근 (rp;) 를 만족시 키 는 (언 는 』의 단면) a 코체인 {rp,}가 존재함을 증명하였다• 따라서, 군 (rp,j) = 군 (rp,) _ 군 (이 亢는 전사이다. 따라서
.J = O(E-2p) 로 표시하자. 이때, (4. 12) p.J ,= t== z 이{cp 면l c,p ( z.)J ,,= = ~ Oa( 사E )••z• z , ••···zt• , (k1+… +kn ~ 2), cp E O(E),} 따라서, .J' = 0(F)/ 』 에서, (4. 13) {zz =* PP 이이 면면,, ..JJ~'z == O{r,p l rp = a 。+ 2na f } k=l 이제 쉬프 완전열, °一』一 O(E) ― ➔ .J,＿ ➔ O 으로부터 대응되는 코호모로지 완전열, (4. 14) 0 —H0 ➔ ( MHO, (.JM’ ,), 一』 )~ HH' 0(M(, M.J,) 一 O( ..E. ))L • 을 얻 는다. (4. 13) 식 으로부터 (4. 15) H단,° (Mn ,= 』’ d)i m 브 ( M¢ )n +1, 울 얻는다. 위의 식에서 H'(M, ,J )=O 이면 f3는 전사이다. 우리는 f3 가 전사가 되는 경우를 이용할 예정이다. 따라서 다음 명제를 증명하 고자한다• 명제 4.9 H'(M, O(F- 따이 )=0 이면, H'(M, O(F-2p )) =0 이 다. 증명 명제의 O(F-2[ 이)는 C 상에 위수 2 이상의 영점을 갖는 (F 소) 해석적 단면 봉아로 이루어진 쉬프를 표시한다. 이 명제는 명
제 4.8 의 증명과 같은 방법으로 증명된다• 오직 점 p에서 그위의 0 점 올 갖는 단면을 'P라면, x*( 'P)는 C 상에서 적어도 그 위의 O- 접을 갖 고, 이의 역은 성립된다는 것을 이용하여 증명하면 된다. （증명끝) 이제 M 을 n 차원 복소다양체, N 을 M 의 (n-1) ＊ 차원 긴밀 부분 다양체라 하자. 그리고 M 의 개피복 {U;} 에 대하여 U; 상에 해석 함 수 fi가 정의되어서 U;nN={ f;(p)=이p든 Ui }, fi/fj둘이 Ui nuj 상 에 서 0 이 아니 라고 하자. 그러 면 {f,j=fg} eH’ (M., 0*) 로 서 , N 에 대 응되는 1 차원 속 LN 을 정의함을 알고 있다. 한편 E-?M 을~ M 상 에 정의된 1 차원 해석적 속이라 하자. 이때 E@LN 은 M 상에 정의 된 1 차원 속이다. 이때 N 을 정의하는 함수족 {k} 들을 이용하여서 O(E-N) 과 O(E@L 사이 동형인 쉬프임을 쉽게 알 수 있다. 우리 는 3 절 정 리 3. 10 에 서 E®K* 가 정 부호, q> 1 이 면, H9(M, O(E)) = O 이라는 사실울 증명하였다. 한편 명제 4. 7 에서 µ>µo 이면, (4. 16) 검 #@LP釋 K .ii. (4. 17) 국 Eµ@( 나) 2®Kil 가 모두 정부호임을 증명하였다. 이제 EP=F 라 두면, 죠#µ = 군 (F) = F, L(:,나q )= 2 = Lc u(DL,c )2 = L2c 라 두자. 그러면, F®LcuD®K;., F®L2c®Ki.t 둘이 모두 (µ~µo, F=Eµ) 일 경 우에 정 부호 속이 다. 따라서 정 리 1. 10 에서 q =l 의 경우를 이용하여
(4. 1B ) H' (M=, HO'( MF,® OL (cuFo-) C) -D)) =0, (4. 19) H' (M=, H O ( (FM® , LO 2c()F ) -2p )) =0 이라는 결론을 얻는다. 이 사실과 명제 4.8 과, 명제 4.9 를 합해 우 리는 다음 명제를 얻는다. 명제 4.10 E 를 긴밀 복소다양체 M 위에 주어진 정부호 속이라 하 자. 그러 면 µ~µo, F=E 젠 메 모든 점 p, q (p=l=q, p, qE M) 에 대 하 여 H'(M, O(F-p- q)) = 0, H'(M, O(F-2p) ) = 0 울 성립시키는 µo 가 존재한다. 정리 4. 11 코다이라 매장정리 (Kodair a embeddin g the orem) 하지 다양체 는 대수적 다양체다. 증명 M 이 하지다양체이니, M{} 에는 1 차원 정부호속 E 가 있다. 이 E 는 {fij }EHI(M,0 * ) 에 의하여 정의된다. 이제 명제 2.10 을 이 용하기 위하여 m~µ 。 (µo 는 명제 2.10 의 상수), F=mE 라 두자. 이때 dim H0(M, O(F)) = N+l 이 라면, H0(M, O(F) ）의 기 (bas i s) 를 이루는 H0(M,O(F) ）의 요소, {f3o , f3I , …, f3사 울 잡을 수 있다. E 는 M 의 피복 {Uj }에 대옹하는 {f머 EH'(M,0) 들다.에 따의라하서여 f3정r l 의u1 되=었 f3다r1 . 라 그두러면니 F 는 {(fij)다에 의하여 정의되어 있 f3rj = (EIr) .. {3,,,. 이라는 관계에 있고, 각 /3 r j는 Uj 상에서는 해석 함수이다.
다음 두 경우에는 모두 M 이 하지 다양체임을 증명하여서 대수적 다양체임을 보인다. 정리 4.12 H2(M,0)=0 인 긴밀 켈러다양체는 대수적 다양체이다. 증명 쉬프 완전열, O ――➔ Z 一°一 O* 一° 로부터, 다음 코호모로지 완전열 …一 H' (M, 0* ) — ? H2 (M, Z) — ➔ O 을 얻는다. 이로부터 H2(M,Z) 에 속하는 모든 요소는 어떤 1 차원속 의 천클라스라는 사실을 알 수 있다. 이제, Fk 를 bk 에 의하여 생성 된 자유군, 그리 고 T 를 H2 (M, Z) 의 유한 위 수 (fini t e order) 불 갖는 요소로 이루어진 부분군이라 하자. 그러면, H2(M; ¢) = ¢b)+… + ¢b. . 으로 표시된다. 이때 각 b k 는 어떤 1 차원속의 천클라스이니, b ，，는 (1, 1) 미분형식이고, &=b; 라고 가정할 수 있다. 이제, w = t. 2 g a g d 검 A dzP 를 M 에 주어진 켈러형식이라 하자. 그러면, w~~p Ab A. 여기서 ~는 동일한 코호모로지류에 속함을 뜻하고, PAER( ＝실수)이 다. 이제 e>0 이라면 다음 조건을 만족시키는 정수들 kA 들과 r 가 존 재한다. IPA 一 ~kr l
w1 = r 파 ~r~ pi b1- 조 (P1- 부) bA = 2krb 』· 결국 굽 EH2(M,Z), 즉 O 는 어떤 1 차원속의 천클라스이다. 한편, tt = rWI 에서 a 는 켈러형식이다. 결국 굽는 M 의 하지 계량으로부터 얻어지 는 켈러형식이다. 따라서 M 은 7 대수적 다양체이다. (증명끝) 이 제 N 을 ¢ n 에 속하는 유계 영 역 (bounded connecte d ope n set) 이 라 하자. 그러면 N 상에는 벨그만 계량 B = ds2 = I;gap d z /\ dzP 가 존재한다. 이 계량의 성질을 이용하여 다음 정리를 증명하고자 한 다. 이 계량의 존재와 이 계량이 가지고 있는 성질들을 다음 장에서 상세히 증명할 예정이다. 우선 우리는 이 계량이 갖는 몇 가지 성질 울 이용하고자 하며, 이것을 나열한다. (i) 영 역 N 을 N 상으로 가져 가는 복소 동형 사상군 (analyt ic auto - morph ism grou p) 을 I' 라 두자. 그러 면 모든 dEI ' 에 대 하여 , z'=d(z) 이라 둘 때, K(z) = jde t ~)) |2K(z') 을 만족시키는 양함수인 벨그만 핵함수 K(z) 가 N 상에 존재한다. (ii) ga~ (z) =안 l~og K ( t) 라 두면, (g a g)는 정부호 행렬이다. 따라서, ds2 = I;ga~ dz /\ dzP 는 N 상에 에르미트 계량이다. 그리고 2ds2 은 물론 켈러계량이다. (iii) rEI ' 이 면, r* (ds2) = ds2
이 계량은 r 에 대하여 불변이다. 위에서 열거한 성질을 갖는 계량이 N 상에 존재함을 가정하고 다음 정리물 중명하자. 정리 4.13 ¢n 의 단순 연결 유계영역 N 을 피복공간 (cover i n g ma- n ifo ld) 으로 가지는 긴밀 복소다양체 M 은 대수적 다양체이다. 증명 M 의 피 복 변환군 (coveri ng Transfo r mati on gr oup ) 을 G 라 두자. 그리고 N 의 복소 동형사상군 N 이라 두면, G 는 N 의 부분군 이 고, M=N/G 이 다. 이제 L 을 M 의 표준속 (cannom i cal bundle) 이라 두자. {Uj }를 N 의 개피복으로, 각 防상에서 사영 (JC : N-M) 의 역사상 µJ=7!-1 이 정의되는 개집합이라 하자. 이때 만일 p EU1nuR 이면, µ. (p) = r1• Cµ1 (P) ) 를 만족시 키 는 r （드 G) 가 존재 한다. 표준속 L 은 1- 코사이 클 f1~ =de t(붉) 에 의하여 정의되고, (i)에 의하여 K(z1) = lf1 • l 2K(z.) , 이 다. 따라서 1/K(z) 는 표준속 L 의 계량이고, K(z) 는 L* 의 계량이다. 따라서, c (L* ) = 갈- o (1.2) 식과 (1. 3) 식을 사용하여 (1. 4) . 0A) g( z ) 12dµ) i1 2 요 (M) ,12+ 11/11 +1. 위의 식은 모든 긴밀집합상에서 성립되는 식이다. 따라서 긴밀집합의 중가열 An ~ A .. +1, n=Uc o lA n = M 울 생각하자. 모든 n 에 대하여 An 상에서 (1.4) 식이 성립한다. 따라 서, 01g 12dµ) 112 ~ µ (M) 112 + 11/11 + 1, M 죽, gE H(M) 이 다. 그러 니 Ilf _gII = !＼민』/f n (z) -g(z ) /2dµ =f!-~+a)l fn ( z) -g(z ) J2 dµ M =0 따라서 f와 g는 L2(M) 에서 일치한다. 죽 H2(M) 은 폐부분공간이다. (층명끝) zoEM 을 고정 하고, H(M) 에 속하는 모든 함수들의 점 Zo 에 서 터 급수 전개 와 정 리 1. 2 를 참작하면, H(M) 은 가분 (sep er able) 인 힐 버 트 공간임 을 알 수 있다. 따라서 H(M) 은 가부번개 (counta b le) 로 이 루어 진 완전 정 규 칙 교계 (comp le te orth o normal sys t e m ) 를 가진다. 정리 1.3 {cp1,cp 2, …,cp n, …｝을 힐버트 공간 H(M) 의 완전 정규 직 교계라 하자. 그러면 O3 (1) 급수 n2= l cp n(z) 굽접 T 는 MxM 의 긴밀 부분 집합상에서 평등 수 령한다.
(2) 위의 급수의 합을 K(z,~) 라면, K 는 정규직교계의 선택에 관계 없이 결정되는 함수로서, K 는 z 및 :의 해석함수이다. (3) 임 의 의 /EH(M) 은 j(z ) =J喜, 0f ( g) dµ(g) 사 로 표시된다. 증명 zEM 을 고정하고, H(M) 에 속하는 각 f를 f (z) 에 대응시키 는사상; H(M) 3 f 一 f(z ) 는 H(M) 상에서 연속인 선형사상이다. 따라서 모든 fE H(M) 에 대 하여 (1. 5) f(z ) = ftcs) 尸威) M 라는 관계를 만족시키는 KEH(M) 이 존재한다. {'P n} 은 완전정규칙 교계이니 CX) (l. 6) K,, (s) = ~ an'P n (s) n=I 로 표시 된다. 위 의 식 에 서 우변은 좌변함수에 노름 수령 (No rm con-verge ) 한다. 그리 고, (1. 7) an =fK,, (,)~dµ(s), n = 1,2, … M 한편, 명제 1.1 에 의하여, M 내의 임의의 긴밀집합 A 와 입의의 'EA 에 대하여, (1. 8) IK,,(s)- 효 an 'P n<,) I ~ NIIK,,- 효a n 'P nll 이라는 식이 성립한다. 여기서 m 을 OO 로 보내면, 우변은 0 에 수렵 한다. 따라서 (1.6) 식의 우변은 M 상의 긴밀집합 위에서 평등수령한 다. 따라서 K(') 는 I: a 平(g)로 표시되는 g에 관한 정칙함수이고,
또한 g 의 함수로서 H2 (M) 에 속한다. 한편 (1.5) 식에서 1=
0 이 존 재하며, A 의 임의의 점 g를 중심으로 하는 다중원판 C = {z: lz.-s.l s e, 1 s v s n} 이 D 에 포함되게 할 수 있다. 이때 명제 1.1 에 의하여 (1. 9) fitl 2d µ z xe2 l/(s) 12 C 이라는 식이 임의의 :EA 와 fE H(M) 에 관하여 성립한다. 그러니 2i,= l| 'P» (g) P = Il 121m= 1 ' P. (g) 'Pu |I2 = 』 I 철?• (z) 言 | 뱌 (z) ~ 7re .2 (Lm Ir p. (s) 12) 2. 11=1 따라서, 121m=1 1 'P u( g )12< 눅1, m=l,2,…
이라는 식이 임의의 g eA 에 관하여 성립한다. 그러니 zEA 에 대하 여, 2oo1
0 가 존재 하며, 걸CX) l
그러니 ,~,0=0 1l rp. ( z) 12 은 A 상에서 평등수렴한다. 결국 (1) 의 주장을 중 명하였다. 이제 (2) 를 증명하자. 증명과정에서 K(z,C) 가 z 의 해석함수이고 또 한 C 의 해석함수라는 것을 알았다. 또한, Kz( g)는 완전정규직교계의 선택과 무관하게 결정됨을 알고 있다. 따라서 K(z,C)= K:©도 칙교 계의 선택에 관계 없이 결정된다. （증명끝) 정의 1.4 위의 정리에서 정의한 함수 K(z,l) 를 유계영역 M 의 벨 그만 핵함수라 부른다. 보기 1 D={lzd2+ … +lznl2
증명 이제 f,g EH(N) 이라 하자 . 그러면, ((f야) = 릎 (g o ,Jr를 )M =Jt(中 (z)) g(中 (z)) 틀 |2dµ = fMt (w) ·i(w) dµ N = (f,g)N • 위의 식은 곱가 H(N) 에서 H(M) 에로의 내적을 보존하는 동형사상 임 을 표시 한다. 또한, ,,,.-1 가 존재 하니 ,,,.-I 는 몹 의 역 사상을 유도한 댜 따라서 곱가 힐버트 공간 사이의 동형 사상이다. （증명끝) 명제 1.6 M,N 및 中를 명제 1.5 에서 주어진 영역들과 사상이라 하고, KM 과 K茂 M 과 N 의 벨그만 핵함수라 두자. 이때, KM ( z, C,) = Kn (t, 1J롭다 가 성 립 한다. 단 t=,fr (z) , 1/=中 (S) . 증명 {hi, ... ,hn …}을 H(N) 의 완전정규직교계라 하자. 그리고,
증명 K 의 정의로부터 K(z, 궁 )~o. 어떤 점 ZoEM 에 대하여 l( (z, 궁) =0 이 라 하자. 이 때 {
증명 K(z, 궁)는 실수이니, ~=h,,( Y ,X) 이다. 먼저 h,,(X,X) 책임을 보이자. 항별 미분운 행하면 훑 -lo g K(z,z) = 숫흠'P n(z) 통운 또한, 훑귈 -;lo g K(z, 궁) = －古릎I;cp n 릎-＋紅릎릅 = -畜言릎釋 cp n 룹-＋岭 로혼 롱 릎 = 슭g m ( cp n 롤- _a .. 롱)(cp훌 -cp .. 높-) 따라서 (I. 11) hi: ( X, X) = 컨g요 (cp n 룹~-cp릅문 )8) X 偉 1( 'P n: 등 -만층)fJ) = -h-효(효('P n 릅-cp층)아 ~o. 1이, 제Z1 , …h,, ,z(,.XE,HX)(M=O) 이이 라니 ,하 자H.(M 이) 의때 완X전=O 정 임규직을 교보계이 자{.
c‘ j=O호Z,노-1 ' (2 .:S:: i,j .:S:: n+1) 이다. 한편 h,,(X,X)=O 을 가정하였으니, (1. 11) 식 으로부터 홉('P n 높국 .. 층-)f' = O (n)m). 윗식에서 n=j, m~l 이라 두면, 철弓탑 = 감
이고, d=a+a, a2=a2=aa+aa=o 이니, dw=O 죽 d전 은 켈러계량이다. ds2 이 해석적 자기동형 사상에 대하여 불 변인 것은, 명제 1.6 으로부터 곧 얻는다. （중명끝) 정의 1.1 0 정리 1.9 에서의 ds2 을 M 의 벨그만 계량이라 부른다. 보기 3. ¢n 의 단위 개구 D = {zl ~n l2il 2
이제 f (O)=0 이라논 가정 없이, f :D-D 를 임의의 해석 함수라 하고, 한 점 zED 를 고정하고, 다음과 같이 정의되는 D 의 자기동형 g와 h 를 생각하자. g( s) =옵등, sED, h(s) = 仁島; , 〈든 D. 이 메 합성 함수 F=hof og 는 D 를 자신으로 가져 가는 해 석 함수이 고 또한 0 을 자신으로 가져간다. F(O) = O 이고, F' (0) = h' (f (z) ) f' (z) g' (0) , F' (O) = 占):;)\ 2f ' (z) • 따라서, 같~ 1/'Cz)I ~1, 또는, 1-fI'f (z( )z )|2 <,/ 1-I1z |2, z 드 D. 우리는 다음 결론을 얻는다. 정리 1.11 /가 단위 원판 D 를 자신으로 가져가는 해석 함수이면, 1 』d ()12 < 릅z \2 , zED. 그리고 한 점 z 에서 등호가 성립하면 /는 D 의 자기동형이다. 정의 1.12 D 를 복소평면 ¢에 속하는 단위 원판 D = {zl l z l
일 때, ds2C=l-~i1z ld 2) zd 궁 몰 D 의 뽀앙까례 계량이라 부른다. f: D ➔ D 를 해 석 적 사상이라면, · 정리 1.11 에 의하여 f*( ds2) ~ ds2 임을 안다. 따라서 우리는 다음 정리를 얻는다. 정리 1.1 3 D 를 복소평면 ¢에 속하는 단위 원판, 그리고 ds2 을 뽀 앙까례 계량이라 하자. 그러면 . ( 1. 12) f* ( ds2) ~ ds2 그리고, 한 점 zED 에서 등호가 성립하면 f는 D 의 자기동형 사상 이 다. 계 량이 2hzz 로 주어 질 경 우 가우스 곡률 (Gaussia n curvatu re) 온
(1. 13) (」-n ) 8. a 2lzoa 깐z . 로 주어지니, 뽀앙까례 계량의 가우스 곡률은 (-4) 이다. 따라서 계량 (1. 14) -ds2= · ~A(l-z 궁 궁 )2 는 가우스 곡률이 (-A) 이 다. . 알포스 (Ahlfo r s) 는 (1. 12) 식 을 곡률과 관계를 가진 정리로 일반화하였다. 이 알포스의 정리는 많은 학자들 에 의하여 다차원의 경우로 확장되었고, 지금도 이에 관한 많은 연구 가 진행되고 있다. 정리 t.1 4 (Ahlfo r sJ 1 차원 복소다양체 M 상에 가우스 곡률이 (크 3) 를 넘지 않는 겔러계량 ds2M 이 주어져 있고, D 상에는 (1.14) 식으로 정의되는 ds2 이 주어져 있다고 하자. 그러면 임의의 해석사상 f: D ➔ M 에 대하여f*d si ~ iAj- ds2 이 성립한다. 증명 D={zl lzl<1, zE¢} 상에 함수 U 를 f*ds i ~ uds2 에 의하여 정의하자. 그러면 u~O 이다. 그러면 임의의 점 z 。 ED 에서 u(zo) 에를 보이면 된다. 이제 Zo 를 고정하자. 그러면, O~zo
u(z1)=0 이면 정리가 성립한다 . 따라서 u(z1) 이 0 가 아니라고 생각궁l 자. 그러면 점 Z1 근방 U 상에서 f는 해석적 동형 사상 (b i holomor p h i c ma p)이니, D 조 : ¢의 복소좌표 z 를 f (U) 의 국소좌표로 쓰자. 이러한 조건하에 f(U ) 상에 서 dsi= 2hdzd 궁 라면, U 상에서 f* (dsi) = 2hdzd 궁 이다. ds i의 곡률은 k=- 一n1 a2azloag 궁 h • ds;=2g dzd 궁 라 두면, 이 의 곡률은, -A= __g1 o2alzoag 궁 g 이다. 가정에 의하여 k:5 :- B 이고, Ur=h/g 이니, a2alozag 궁 ur == -안ka zhloa-g 궁A hg _ a2alzoag 궁 g 2: Bh-Ag . 점 Z1 에서 U 는 최대이니, ( 일 ;1 기 (z1) :5: 0. 따라서 점 Z1 에서 。 2Bh-A g A/B 2 h/g = Ur 이다. U 의 최대치가 겅흡 넘지 않는다. 따라서 D/ 상에서 Ur 은 검—를
넘지 않는다. 결국 D 상에서 U~ -Aj- 임 을 알았다. (중명끝) 앞에서 이야기한 바와 같이 위의 정리는 여러 가지 형태로 일반화 되어 있고, 이 정리의 일반화를 많이 연구하고 있다. 이에 관한 것을 알고자 하면, 코바야시 〔 6 〕와 야우〔 14 〕롤 참조하기 바란다. 이 책에서는 뽀앙까례 거리가 D의 자기동형사상에 대하여 불변이 라는 사실만을 주로 사용할 예정이다. 제 2 절 카라데 오도리 거 리 (The Carath e odory dis t a n ce) , 코바야시 거 리 (Kobay as hi dis t a n ce) 앞으로 정의할 거리들을 연구하는 데 필요한 D= {zllzl<-1,zE ¢} 에서의 뽀앙까레 계량, ds2d=zdz~ 에 의하여 유도되는 거리와 이의 특성을 알아보자. D 내의 임의의 두 점 (z J ,z2) 를 연결하는 C1 곡선들의 집합을 r(z J ,z2) 로 표시한다. 정의 2.1 P (z1, z2) = Jgtfds 단, C 가 (x(t) ,y(t)), 0~t ~ 1 로표시하면 lds = f; (1-:2 J(운 )2 + （응 )2d t 이다.
P(z1, z2) 를 Z1 과 Z2 사이의 뽀 <.,k 가레 거 리 (Poin c are dis ta n ce) 라 부 른다. 명제 2.2 ZI, z2 든 D 이면, (1) P(21, 2 2) =lo g✓ (~1-Iz i -P ) (1-미Iz 2 P) (2) 특히 2,=0, 22=Xo, O
임 을 증명 하면 충분하다. (2 . 1) 식에 의하면 A* (ds2) = ds2 그러니, fds = fA* (d s) = fds. A(C) C C 결국 P(A(21), A(22)) =P(21, 22) 임을 알았다. 이제 (2) 식을 증명하자. D 의 자기동형사상 A 를 A(z) = 1Z-- Z궁 IIZ 라 두면, A(z1) =0, A(z2) = ~1- 궁 1Z 2 (3) 식에 의하여, (2. 2) P (zi, z2) = P (A (z1) , A (z 십 ) =P(o, 틀). 한편 zo=Xoei', OS :xo S :l 이 라면, A (z) =e-i0 z 는 D 의 자기 동형 사상 이고 A(zo) = Xo = lzol 이 다. (3) 식 을 사용하여 (2. 3) p (0, Zo) = ½10 나 나 깁 를 얻는다. (2.3) 식에서 Zo = Z2_zI 1- 궁 1Z2 라 두고 (2.3) 식을 사용하면,
P(zi, z2) = y1 l, _o g_ llll -국z,z미2I -+ Ilzz22--zzIi lI =log ll-z1zl~ + lz2- 미 (중명끝) 명재 2.3 P 는 D 상의 거리이다. 즉, 다음 공간을 만족시킨다. (1) P (zI, z2) LO, 동호는 21=22 일 때 만 한한다. (2) p( 21, 22) +p(2 2, 23) 느 P(zI, z3) (3) p (21, 22) ::::::: p (22, 21) . 증명 P의 정의에 의하여 위의 세 가지 공리가 성립함은 명백하다. 이제 M 을 임의의 복소다양체라 하자. 그리고, F= {f: M 一 Ol f는 해석함수} 라하자. 정의 2.4 임의의 p,q EM 에 대하여, CM (p, q) = sup P (f(p) , I(q) ) /EF 라 두고, CM 을 M 상의 카라데오도리 거리 혹은 카라데오도리 의사 거 리 (The Carath e odory pse udodis t a n ce) 라 부른다. 도움말 일반적으로 CM 은 거리 공리의 (1) 과 명제 2.3 의 (1) 을 만족 시키지 않을 경우가 있다. 예를 들면, M 이 긴밀 복소다양체일 경우, CM=O 이다. 이러한 이유로 의사 거리라는 명칭이 붙어 있다. 이제 특별히 M 이 ¢n 에 속하는 유계 영역인 경우에 C J/의 성질을 조사하자. 명재 2.5 M 이 ¢내 속하는 유계 영역, 그리고 p,q EM, p=#=q이면 O
CM(p, q) = lim PUn (p),fn (q )) n ➔ 03 이다. 아제 D 의 자기동형사상 Aa(Z) 을 다음과 같이 정의한다. Aa(Z) = 仁 :z , |a| <1. 그러면 임의의 n 에 대하여
하나의 iE {l, 2, ... , n} 에 대 하여 /. (p) *f. (q) 이 다. 따라서 CM (p, q) >O 이다. （증명끝) 도움말 위의 증명과정에서 p,q든 M 이면, C1t1 (P, q) = P(rp (p),
명제 2.8 f: M ―삶을 복소 다양체 M 에서 N 에로의 해석적 사 상이라 하자• 그러면, p,q EM 에 대하여, CM (P, q) ~ CN (f(p) ,f(q) ) 증명 G 를 N 에서 D 에로울 모든 해석사상들의 집합이라 두자. cp EG 이면 cp o f는 M 에서 D 에로의 해석사상이다. 따라서, CN (p, q) = sup P (cp (p) , cp (q) ) = sq,uE pG P (f(cp (p) ) ,f(cp (q) ) ) s PCEMc (p, q). (증명끝) 위의 명제에 의하여 만일 복소다양체 M 이 복소다양체 M' 의 부분 다양체이면, p,q든 M 에 대하여, CM (p, q) ~ C}.,(p, q) 임을 알 수 있다• 보기 1 M 을 ¢n 의 단위 개구 (un it Op en ball), 즉 M={z: lzd2+ … +l2nl2
하는 모든 해석 함수들의 집합을 F 라 두자. 어떤 fE F 가, (2. 6) f(0 ) = o, Ic p (q) I ~ lf(q ) I 를 만족시키면 (2.5) 식에 의하여 CAI(O, q) = 令 lo g }니:{$ i 습 1? Io g E1+ ||ff((qq)) || = P(O, f(q)) :::;: CM(O, q) 따라서, (2. 7) lcp( q) I = lf(q ) I. 모든 Z1EDCM 에 대하여 g (z1) = cp (Z1 , 0, …, 0) 이라 두면, g(O ) =0, g : D 一 D 스발츠 예비정리에 의하여, Icp( q) I = Icp( k, o, …, 0) I = lg( k, o, …, O) I :s;;:jk l =k. 만일 f(Z 1 ,Z 2)=z1 이라 두면, 이 f는 (2.6) 식을 만족시킨다. 따라서 (2.7) 식이 성립되어서 lcp (q) l=k 임을 알 수 있다. 이제 (2.5) 식에 의 하여 CM(O,q ) = y1 ,l_o g Hl + k =令 lo g븐롭 M 의 임 의 의 점 z= (Zi , Z2, ··•, Zn) 을 (||zII, 0, …, 0) 으로 사상하고, O 울 0 으로 사상하는 해석적 자기동형사상 A 가 존재함은 쉽게 알 수 있다. A 를 사용하여,
CM (0, z) = CM (0, A (z) ) = yl lo g -lt+=1-Itzw|| -. (증명끝) 이제 카라데오도리 거리와 유사하게 정의되는 코바야시 거리 (Koba- yas hi dis t a n ce) 를 정 의 하고, 이 것 의 성 질 을 연 구하자. 전과 같이 D 를 복소평면 ¢의 단위 개구, P 를 D 상의 뽀앙까례 거 리라 둔다. 복소다양체 M 에 속하는 임의의 두 점 p,q에 대하여 점열 (2. 8) P = Pa, p1, P2, …, Pn = q 와 D 에 속하는 점열, (2. v) ai, b11 a2, b2, …, an, bn, 그리고 /, (a,) = pi-I, /, (b,) = p; 를 만족시키는 해석 함수열 (2. JO ) /, : D 一 M, i = 1, 2, …, n 이 주어져 있을 때, (2.11) P(ai, b ,)+P(a2,b2)+… + P(an,bn) 이라는 값을 생각할 수 있다. p, q든 M 을 고정 하고 가능한 모든 점 열 (2. 8) , (2. 9) 와 함수열 (2. 10) 을 동원하여 (2.11) 식으로 얻어지는 최소값 Y( p,q)를 코바야시 의사 거 리 (Ko baya s hi Pseudodis ta n ce) 라 부른다. 만일 모든 p=t=q, p, qE M 에 대하여 Y( p,q ))0 이면, Y 를 코바야시 거리라 부른다. 지금부터 M 상의 코바야시 거리 (혹은 의사거리)를 YM 으로 표시한다. YM 의 정 의에서 바로 다음 명제를 얻는다. 명제 2.9 f: M-N 을 복소다양체 M 에서 N 에로의 해석사상이 라 하자. 그러면 모든 p,q EM 에 대하여,
YM(p, q) ~ YN (f(p),f(q)). 따름명제 2. 10 / : M-N 이 해 석 적 동형 사상 (Analyt ic o ne to one, int o map ) 이 면 , YM (P, q) = YN (f(p) ,f(q) ) . 따률명제 2.11 M 이 N 의 부분다양체이면, YM(p , q) ~ YN(p, q), 단 p, q E M. 명제 2. 1 2 YM 은 다음 공리(=의사거리 공리)를 만족시킨다. (1) YM(P, q) 2 0 ((32)) YYMM ((pp,, qq)) += YYMM ( q(q, ,r )p ) z YM (p, r) . 증명 정의에 의하여 YM 이 위의 세 개의 식을 만족시킴은 명백하 다. （증명끝) 명제 2.13 D 를 복소평면 ¢의 단위 개구라면, CD= YD=P 즉 카라데오도리 거리, 코바야시 거리 및 뽀앙까레 거리들이 일치한다. 증명 D 내의 임의의 두 점 Z1,Z2 를 잡으면, A (z1) = 0, A (z) = x ~ 0 울 만족시키는 D 의 해석적 자기동형이 존재한다. A 를 이용하여, CD (zi, z2) = CD (O, x) p (zi, Z2) = p (0, X) 를 얻는다. 그런데 명제 2.2 의 (3) 식과 보기 1 에 의하여, CD(O,x)=P (0,X) 임을 알 수 있다. 따라서 CD=P 이다. 제 1 절 정리 1.13 에 의 하면 임의의 해석 함수 f :D- ―나)에 대하여 (2. 12) p (Zi , Z2) ~ P (f(z1 ) , f(z 2) )
가 성립한다. CD 의 정의와 (2.12) 식을 함께 생각하면, CD (z1, z2) ~ P (zi, z 깁 를 얻는다. D 의 항등사상과 CD 의 정의를 고려하면 cD (zI, z2) < P (zI, z2) 임을 알 수 있다. 따라서, cD (zI, z2) = P (zI, z2) . (증명끝) 정의 2.14 각 다양체에 의사 거리를 하나씩 주는 체계가 있어서 다 음 조건을 만족시키면, 이 체계를 스발츠구리크 체계 (Schwarz-Pi ck Sy st e m ) 라 부른다. (1) 단위 개구 De¢ 에는 뽀앙까례 거리를 준다. (2) h 를 다양체 D1 에서 D2 에로의 해석사상, 그리고 P1 과 P2 를 각각 D1 과 D2 에 주어진 의사거리이면, p2 ( h (x) , h (y) ) ~ P.1 (x, y) . (증명끝) 예를 들면 카라데오도리 의사거리 및 코바야시 의사거리는 스발츠 픽크 체계이다. 명제 2.15 스발츠-픽크 체계로 주어진 의사거리들 중에서 최대인것 은 코바야시 의사거리이고, 최소인 것은 카라데오도리 의사거리이다. 증명 PM 올 스발츠-픽크체계에 의하여 주어전 M 상의 의사거리라 하자. p,q드 M, 그리고 f: M— 석)를 해석사상이라 하자. 그러면 정 의 2.14 의 (2) 식에 의하여 Pu (P, q) :?: P (f(p) ,f(q) ) 이다. 한편 CM (P, q) = sIEuFp P (f(p) ,f(q) )
단, F 는 M 에서 D 에로의 모든 해석사상이다. 따라서, Pu (P, q) ~ CM (p, q) 한편, g :D-M 은 임의의 해석사상이라면, 모든 p,q ED 에 대 하여, P (p, q) ;;::: pAJ (g (p) , g (q) ) . 이제 YM 의 정의와 위의 부등식에서 곧, YM (g (p) , g (q) ) ;;::: PM (g (p) , g (q) ) 임을 알 수 있고, 또한 YM~PM 이라는 사실도 쉽게 알 수 있다. (증명끝) M 을 ¢n 에 속하는 유계 영역, 그리고, B,(x) = {yE ¢nllly- xll(r} 이라 두자. 명제 2.16 스발츠-픽크 체계에 의하여 주어진 M 의 의사거리를 PM 이라면 다음 사실들이 성립한다. (I) yE B, (x) :s;:M 이 면, PM(x,y ) :s;: ta nh-1(¥)- 만일 y EMcB,(x) 이면, /)M(x,y ) ~ ta nh-1(¥)- (2) y, zEM 책 (x) 이 면, t anh-1( 主훈) ~ PM (x, y) . 7－ 이c며:, (1) 의 첫째식을 증명하자. 이제 y=I= x 일 경우 t(,) =x+r: 요lI y-제
라면 /는 D = {sE¢ : lsl
llx-yl l< r 이 성립되는 £>0 이 존재한다. {xn} 을 PM 에 의 한 코시 점 열 (Cauchy seq ue nce) 이 라 하자. 그러 면 n>N 일 때 PM(XN 따) < £되게 하는 충분히 큰 번호 N 이 있다. 또한 h(XN )E S 인 M 의 자기동형사상 h 가 존재한다. pM ( x,y )~ PM(h(x), h( y)）이나, {p M(h( 다)} 역시 PM 에 대한 코시 점열이다. n>N 이면, p (h (xN) h (x.) )
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색인
-, 개 피 복 (op en coverin g ) 85 개피복의 세분 85 결 정 열 (resoluti on ) r ro 계 량접 속 (metr i c connecti on ) 161 곡률텐서 (curvatu r e ten sor) 175, 185 공변 외 미 분 (covaria n t exte r io r dif fer enti al) 171 공액 집 속 벡 터 공간 (anti ho lomorph i c tan g en t spa c e) 67 교대 적 (alte r nati ng pro duct) 167 국소적 복소좌표 38 국소적 복소좌표계 38 국소좌표 38 기 본영 역 (fun damenta l domain ) 45 기 처 (basis ) 85 L 내적 212 드 다중반경 I2 다중영역 I2 다중원판(p ol y d i sc) 12 단면곡률 (secti on al curvatu r e) 182 단위분할 104 단정 확열 (short exact seq u ence) 71 달부정 리 (Dolbeult's Theorem) 114 대 칭 집 속 (Sy m metr i c connecti on ) I6I a- 라플라스 연산자 218 5- 라플라스 연산자 218 -8 권止앙카레 예 비 정 리 (.o빼 -Poin c ar~ lemma) 80 동반접 속 (comp at i bl e connecti on )
I6I 동상사상 38 E! 람정 리 (de Rham's Theorem) 113 레 비 시 비 타 정 속 (Levi- C i vi t a Connecti on ) 161 리 만접 속 (Ri em ann Connecti on ) 161 리 만 확장정 리 (Ri em ann Exte n sio n Theorem) 35 리 시 곡률 (Ri cc i curvatu r e) 185 리 치 텐서 (Ri cc i ten sor) 182 口 매장된 부분다양체 (embedded Submanif old ) 48 메 로모픽 함수 (Meromorp h ic fun c tion ) 42 미 분 영 역 (dif fer enti al form ) 72 닙 벡터공간의 동형사상 63 백 터 속 (vecto r bundle) 63 벡터속의 자명한 국소좌표 63 벡터속 준동형 68 변형 56 변 환사상 (tra nsit ion fun cti on ) 64 복소구조 38 복소다양체 (comp le x manif old ) 38 복소 라플라스 연산자 218 복소 해석 다양체족 54 부동접을 갖지 않는 군 43 부부호 (neg a ti ve ) 287 부분 벡터속 69 부분쉬 프 (subsheaf) 93
불연속군 43 붕아(g erm) 87 뽀앙카레 예 비 정 리 (Poin c ar~ Lemma) 74 人 사영적 대수다양체 (pr oje c ti ve alge b raic manif old ) 48 사영초평면 46 상대속 (dual bundle) 168 상대 를 (dual fram e) 168 상프리 쉬 프 (qu oti en t pre sheaf) 88 세 례 쌍대 정 리 (Serre duality ) 231 섹 션 (Secti on , 단면) 7~ 쉬프의 단면 89 쉬프 준동형 86 스칼라 곡률 (Scalar curvatu r e) 185 。 야코비 안 행 렬 (Ja cobia n matr i x ) 18 에 르미 트 계 량 (Hermi te m etr i c ) 150 역 함수 정 리 (Inverse fun cti on Theorem) 27 영 쉬 프 (zero sheaf) 94 온당한 피 복 (pr op er coverin g ) 85 와이 에 스트러 스 다항식 (Weie r str a ss pol yn o mi al ) 30 와이에스트러스 분할정리 33 와이에스트러스 준비정리 3I 완비 (comp le te ) 147 의 미 분 (exte r i or deriv ati ve ) 73 의적 73 우성쉬프(fi ne sheaf) no 위 수 (order) 220 위수 m 의 선형미분연산자 220
음함수 정 리 (Im p lici t fun cti on Theorem) 25 1 계 편미 분 연산자 (firs t order pa rti al dif fer enti al op e rato r ) 14 일변수 뽀앙카레 예 비 정 리 (o-Poin c ar~ lemma in one Varia b le) 78 x 자기 동형 사상 (auto m orph is m ) 42 자연적 준동형 105 접 속 (connecti on ) 159 접 속 행 렬 (connecti on matr i x ) 160 집 합 (surge rie s ) 49 정 규 (nonsin g u lar) 18 정 규 (normal) 237 정 부호 (po sit ive ) 273 정 확하다 (exact) 70 제 차다항식 (homog en eous pol yn omi al ) 47 제차좌표 40 조화형식 (harmonic for m) 218 주부 (pr in c ip a l pa rt) 220 적 극한군 (dir e ct Lim i t gro up ) 87 구 켈 러 계 량 (Kahler metr i c ) 151 펠러다양체 I5I 켈러형식 (K 패 lher form ) 151 코다이 라-나카나 소멸 정 리 (Kodair a - Nakana Vanis h in g Theorem) 278 코다이 라 매 장정 리 (Kodair a embeddin g Therem) 305 코시 -리 만판정 (Cauchy -R i em ann) 15 코체 인 (cochain ) 97
드 타원 형 연 산자 (elli ptic op e rato r ) 223 토대 (sup po rt) 104 고 과 이 버 (fibe r) 63 폐다중원판 I2 프리쉬프 87 프리쉬프 준동형 88 프리 쉬 프 코호모로지 IOO (p, q) 마분형식 77 근 하지 계 량 (Hodg e metr i c ) 286 하지 다양체 (Hodg e manif old ) 287 해석 벡터쉬프 II9
해석적 다양체족 54 해 석 적 단면 (holomorp h ic secti on ) 188 해 석 적 매 장 (analyt ic embeddin g ) 48 해 석 적 부분 버 라이 어 티 (analyt ic subvarie t y ) 41 해석적 사상 16 해 석 적 자기 동형 사상 (analyt ic auto - morph is m ) 42 해 석 적 접 속벡 터 공간 (holomorph ic tan g e nt spa c e) 67 해 석 적 들 (holomorp h ic fram e) 188 해 석 함수 (holomorph ic , analyt ic fun cti on ) 12 호상세 분 (confi ne ) 8.5
金相文 경북대학교 사범대학 및 同 대학원 졸업 미국 뉴욕주립대학교에서 이학박사학위 취득 현재 서울대학교 자연대학 수학과 교수 ,\ i-- -t- · ·-f· · -- ·-· · -l· I. .. -.. --- . 대 우학술총서 자연과학 40 복소다양체론 찍 은날 1986 년 11 월 l5 일 펴낸날 I986 년 II 월 30 일 지은이 金相文 펴낸이 朴孟浩 펴낸곳 民音社 출 판등록 1966 . .5. 19 제 1-142 호 우편대 체 계 좌번호 010041-31-.52 3282 110 서 울 종로구 관철동 44-1 734-2000, 73.5 -8.52 4 (영 업 부) 734-4234, 734-6110 (편집 부) ”가본온 바꾸어 드립 니 다. 값: 7, 000 원
대우학술총서 • 자연과학 l 소립자와게이지상로작용 金鎭퓸 물 /~l3,600 원 2 動力學特論 李炳奧 /~l 5 . 400 원 3 질소고정 宋承達 콥 /~l2.800 원 4 相輯移와臨界現象 김두절 물 /~l2.800 원 ”觸媒作用 陳宗植뭄/값 2,800 원 6 뫼스바위겨分光學 玉恒南 吾/~ 2 , 800 원 7 국마량원소의 영양 昇正子 뭄 /~l 6 , 50J원 8 水素 1 t醫景와 有禮胃慕 1 t合物 尹能民 뭄 /~l 5 . 000 원 9 抗生物質의 全合成 姜錫久 뭄 / ;{9, 000 원 10 국소적 형태의 A tiy ah-S ing er 지표이론 지동표 물 / 값 2 , 800 원 11 Muco p ol y sacchar i des 의 生 1 t툰 및 生物理툰 박준우 뭄 / 값 3, 8 00 원 12 ASTROPHYSICS ( 天體物理룬 ) 洪承i섬 뮴/값 4,700 원 13 프후타글란딘합성 金 ~I 玉著/값 3. 600 원 14 천연물화학연구법 禹源植 픕 / 값 7, CXX)원 15 脂訪營養 숲淑喜 뭄 /~l6 . 300 원 16 結晶化유리 십치룬 물 / 값 4, 500 원 17 高分子의化學反應 趙義煥콥 /~l4.000 원 18 과학혁명 金永植 뮴 /값 4,200 원 19 輯룹地質論 登基弘 뭄 /~l 4.000 원 20 정보이른 한영열 흘/값 4,500 원 21 原귀 m 諭 鄭雲赫흘/값 8,500 원 22 푈壤禪 金相哲 홀 / 값 4, 700 원 23 분자궤도이른 이익준흘/값 3.300 원 24 반응속도론 정경훈 흩/값 4, IXXJ원 25 미분위상수학 李鉉求훌/값 2.500 원 26 자가공명방법 조성호흩/값 4.700 원 27 ~潘리학파 빼웅할 죄덕인 흩P,,J. 4, 額원 28 천문권혹파 분석 李時雨 흩心 4, 紅원 29 색座접 변환 기술 金相敦 흩 / 값 6, 500 원 30 潟洋畵古生物學 白光浩흩 값 6,400 원 31 뺀분빵정색른 김총식 흘/값 4, IXXJ원 32 大-建諭 소광섭 흩 / 값 5, 000 원 33 金屬電子系의 多＂理論 金德洲 흄/값 6,600 원 34 액정중합체 陳政 -/ 값 6. 紅)원 35 복합재료 檔肅仁/값 5,200 원 36 단백짙 생합성 朴仁源/값 9,000 원 37 한국의 鑛物種 金洙鎭/값 6.300 원 38 일반상대론 李哲勳/ 값 5,000 원 39 레이저광산란분광학회 II 값 5, 야達!