an a mal y)이 라 부르기도 한다. 4. 2. 2 RKKY- 프리 멜 진동 앞 항목에서 얻은 결과의 응용으로서 자유전자 기 체 에 델 타 함 수적인 정적 자기장 H, (r) = VH,o (r) (4. 2. 21) 이 걸려 있을 때 전자가 어떻게 자화되는가 를 보 자 . 이 자 기장은 좌표 의 원점 r=O 에만 있다. (4.2.21) 에서 V 가 나오는 이유는 o(r) 이 1/V 의 차원o을(r) 갖=고 — V있 기LqJ e때iq ·문 r.이 다. 이 델타함수는 (1. 5.26b) 와 (같4. 이2. 22푸) 리 에 전개할 수 있다. 다시 한 번 쓰면 1 여기서 q에 관한 총합은 제적 V인 입방체 상자에 대한 주기적 경계조 건을 만족하는 (1.1. 7) 과 같은 파수전체에 걸쳐 행하여 야 한다 . 1 차원 인 경우부터 시작하여 이 (4.2.22) 를 확인하는 것은 독자의 과제로 한 다. o(r)=o(x)o( y )o(z) 임에 주의하자. 따라서 (4.2.21) 은 다음과 같이 고쳐진다. H, (r) = LJ H,eiq • r (4. 2. 23) q 이 자기장에 대한 선형응답인 자기화는 = ＋꾸〈 M, (q) >ei q •r == ¥+1 平~갑q (qF , (Oq))e eini qH •r , (4. 2. 24) (4.2.24) 의 최종결과에 나오는 q에 관한 적분에 T=O 에서의 F( q)에 대한 (T4.2. 꾸20 )F 의( q 표)e현 i tJ • r을 = 대—입T하7면_ 다음과 같이 (계2산kF된r)다4 . 1 6m1N(O) sin (2k~) -2kF'J · cos (2kFr) == F(r) (4. 2. 25)

여기서 n 은 체적 V 내에 있는 전자의 총 수이다((1. 3.1 ) 참조)． 이 계 산은 초등적으로 할 수 있으니 독자의 연습문 제 로 하 기로 한 다. 그립 4-2 에 이 (4. 2. 25 ) 의 젼 과를 그렸 다. 좌표의 원점 에 델 타 함수 적

F(r) /N (O)

인 자기장을 걸면, 그 주변에 이렇게 진동하면서 작아져 가는 자기화 7} 생기는 것이 다. 이 그림에서는 kF = 0.5xl08/cm 이 라 두었다. 이 결과 ­ 는 처 음에 루더 만 (Rudermann) 과 키 텔 (Ki ttel) 이 금속 중에 서 원 자핵 스핀이 만드는 바로 델타함수적인 자기장에 의하여 전도전자가 어떻게 자기화되는가를 연구하여 발견하였다 .2) 그 후에 가쓰야 3 ) 와 요시다 4) 가­ 각각 희 토류금속과 희 박합금 (d il u t e alloy ) 에 서 국재 된 원자스핀 에 의 한 자기장에 의하여 전도전자가 어떻게 자기화되는가하는 문제에 이 결 과를 적용하였다. 그래서 이 (4.2.25) 를 RKKY 진동이라 부른다. 곧 뒤 에서 보게 되듯이 실은, 금속 중에 점전하(p o i n t char g e) 를 넣을 때, 2) M. A. Ruderman and C. Ki ttel, Phys . Rev. 96, 99(1954). 43)) KT.. YKoassiud ya a, , PPhryos g. . RTevh.e o1r0c6t ., P89h3y(s 1. 9 5176),. 45(1956).

그것을 차폐하기 위하여 모이는(혹은 쫓겨나는) 전자의 입자수 밀도가 (4.2.25) 처럼 된다. 따라서 이것을 처음 논한 프리텔 (Fr i edel)5 ) 을 따 라 프라델 진동이 라 부르기도 한다. 4. 2. 3 s-d 모델 : 희토류금속과 자성합금 앞 항목에서 나왔고, 또 금속의 자기불 논하는 데 있어 중 요한 모 델 의 하나인 s-d( 혹은 s-f) 모델을 여기에 소개한다. 금속 내에 하나의 국재스핀이 있어서, 주변의 금속전자의 스핀과 교 완 상호작용하는 경우를 생각한다. Cu 중에 불순물로서 Mn 원자 한 개 둘 넣으면, Mn 의 전자 (3d)5(2s)2 중 5 개의 3d 전자가 움직이지 않 고 Mn 원자의 자리에서 크기가 S=5/2 인 국재스핀으로 행세하는 것 이다 . 이때 Cu 의 전도전자인 S 전자의 스핀 밀도 (1（ r) 과 국재스 핀 S 사이의 교환 상호작용은 다움과 같이 쑬 수 있겠다. &set = -JJ(r -R)S(R) •u(r)drdR (4. 2. 26) 국재스핀의 위치가 Ri 라면 S(R) = Si o (R-Ri ) (4. 2. 27) 이고, J (r-R) 는 교환 상호작용인데, 가장 간단하게는 다움과 같이 둔다. J( r-R) = J훑 o(r-R) (4. 2. 28) 즉, 전도전자가 국재스핀과 겹칠 때만 교환 상호작용이 작용한다고 하는 것이다. 여기서 V/N 는 한 개의 원자가 점유하는 체적임에 주의하자. 이렇게 두면 J는 eV 정도의 크기가 된다. 국재스핀이 직접 전도전자와 교환 상호작용하는 것은 그 주위의 V/N 정도의 영역에서임을 알자· 이 렇게 하면 (4.2.26) 은 다음과 같이 된다. Jfs d = -]--jV: rSi •(1(R i ) (4. 2. 29) 이 결과는 다음과 같이도 쓸 수 있다. J'l,d. = -J {-µBa(r)} •Ht1, (r)dr (4. 2. 30 a) 5) J. Fr ied el, N11ovo Ci 1n e11t o, Sup pl. 2, 287(1958).

Hr1(r) = -—µ—lB —NV ]S io (r-Ri) (4. 2. 30 b) 즉, 국재스핀은 전 도전자에 대하여 (4.2.30b) 과 같은 텔라함수적인 자기장의 역할을 하고 있는 것이다· 그러니까 위치 R; 에 있는 국재스 핀의 주변에는 그립 4-2 와 같은 전도전자의 RKKY 자기화가 생긴다. 다음에, 또 다른 국재스핀 한 개가 R1 에 있다고 하자· 그러면, 그립 4-3 에 있는 바와 같이 R i에 있는 국재스핀 S i에 의한 전도전자의 s· 그림 4-3 RKKY 자기화는 R f에까지 와서 거기에 있는 국재스핀 S1 와 교환 상호 작S용i 을 에 하의게 하 여된 다.이 루이어 지에 는너 지R를K K구Y체 스적핀으 로분 극구 (하sp여 in 보p자o l.a ri za ti on ) 을 ½ 이 라 하면 (4. 2. 24) , (4. 2. 25) 와 (4. 2. 30) 에 의 하여 = 2 峰 )S i F(r-R i) (4. 2. 31) 이 〈a i (r) 〉과 Sj 와의 상호작용의 에너지는 (4.2.29) 에 의하여 ~ RKKY = ---j,V-] < . sj = 려玉 )2VF(R j -R i )S i .s j (4. 2. 32) 이것을 국재스핀 사이의 RKKY 상호작용이 라 부른다. 국재스핀이 서로 떨 어져 있는 희박자성 합금이나, 직접적인 교환 상호작용이 약한 희토류 금속의 4 £ 국재 스핀 사이 의 상호작용은 이 (4. 2. 32) 의 RKKY 상호작용 으로 주어진다. 이 상호작용이 다음과 같은 크기임을 확인하자. 峰 )2VIF(R) I = 0( 운감읊p-)

희토류 금속에 대해서는 (4.2.32) 를 i,j에 관 하 여 총합하 면 되는 데 , (4.2.25) 로 돌아가 다음과 같이 쓸 수도 있다 ((2.5.4) 참조). JfR KKY = -2+ 깝 구(강 )2F( q )e iq ·(R,-R ,) s i .s j = -宁 고(강 )2F( q )S( q) •S(-q) (4. 2. 33) q 이 결과에서 g(q) =+ (-i,-)2F (q) 라 두면 (2. 5.19) 과 같 은 형식 이 된 다. 자유전자에서는 그립 4-1 에 있는 바와 같이 g(q)가 최대가 되는 것 은 q =O 일 때이다· 그러나, 실재의 희토류금속의 전도전자에 대해서는 q ~O 일 때, F(q) 따라서 g(q)가 최대가 될 수 있다. 이때, 2.6 에서 논한 screw 같은 스핀질서가 가능하게 되는 것이다. (4. 2. 26), 혹은 (4. 2. 29) 등을 s-d 해 밀토니 안이 라 부르는데 , 이 것을 천자에 관하여 제 2 양자화 형식으로 표현하여 두자· 이때 전자스핀 연 산자에 대 하여 (1. 1. 19' ）의 (1土 몰 도입 하고, Si 에 관하여 서 도 (2. 5. 12) 에 있는 S i±를 쓰기로 하면 (4.2.29)~(4.2.30) 은 다음과 같이 된다. Jft'sd. = -][〔포 (Ri ) + 강 {Si+ a-(Ri ) + Si- a+ (Ri ) } ] = 一N Ir kI.J q eiq •H '[ S i, (ak +ta kH.+-ak-ta kH,-) +Si+ a k-ta k+

총칭 하여 콘도효과 (Kondo eff ec t) 혹은 콘도문제 라 부은 다. 그런데 필자는 1960 년에 이미 국재스핀이 전 도전 자의 자화융에 주는 영향을 ] 의 2 차까지 계산하고, J2 z‘ Cfk (一c . k- --‘c) k (4. 2. 36) 에 비례하는 기여가 나오는 것을 지적하고 있었다 . 7 ) f (E k ) 는 페르미 분포함 수아 다. 그러나 나는 이 (4.2 . 36) 의 표현을 그 대 로 두었던 것 이다. 콘도가 한 것은 이 (4.2.36) 에서 K 에 관한 적분을 가장 간단한 근사로 실행하 고 그것이 ::::C F 잉 매 T->0 에서 ]2N (O) ln (룹) (4. 2. 36') 와 같 이 된다는 것운 지적한 것이었 다. W 는 전도전자의 에너지의 폭이다 . 실은 이 문재에 관한 실패는 또 한 번 있었다 . 제 5 장에 서 우리 들은 전자격자 상호작용 .5f'ep 를- 매 우게 되 겠 으나, 多 ’sd 와 Yt'ep 는 그 물리 적 구조가 대 단히 비 슷하다 . 전자가 국 재스 핀에 의하여 산란되는가 또는 포논에 의하여 산란되는가 의 차이 뿐이 다. 그런 데 , J/le p 에 관하여 서 는 하나의 전 자가 방출한 포논을 다른 전자가 흡수하는 과정에 의하여 전자간에 인력이 생긴 다 (8.5 참조). Jil sd 에 관 하여서도 비슷한 결과가 나온다는 것을 필자가 지적한 것이다. 2 개의 전자가 ~ 재스핀의 반전 ( s pi n flippi n g) 을 주고받고 함으로써 그 사이에 자기적 상호작용 이 이루어진다는 것이다. 이 연구결과 룹 얻은 것은 1964 년이었으나 당시 누구도 찬성하고 지지하여 주 지 않았다. 논문을 쓰기는 했으나 두고하기를 주저하고 있는 사이에 나의 결과에 가장 강렬하게 반대했던 바로 그 본인이 나와 같은 내 용 의 결과를 담은 논문의 p re p r i n t 를· 보내 왔 다. 1964 년 12 월 의 일이다. 그래서 나 자신의 논문은 1965 년 1 월 교오또대 학에 서 한 구두발표의 요지 로서 나왔을 뿐 이 다. 8) 이 논문은 그후 1966 년에 미국 잡지에 발표하였다 . 9) 그랬더니 이 결과로부터 전기처항의 콘도효과가 곧바로 나온다는 것이 히거에 의하여 지적되었다 .10) 이 렇게 하여 나는 두 번이나 귀한 기회 를 놓친 것이다. 젊은독자들에 대한교 훈으로서 나의 실괘 담을 말하였 다. (4.2.36') 과 같은 발산은 ]의 더욱 고차까지 고려하면 없어진다는 것이 밝혀 지고 있다. 그러나 여기서는 이 이상 이 문제에 관하여 논하지 않기로 한다. 7) 金德洲 II'物性論硏究』 2 집 8 권 49(1960). 8) 金德洲 『物性硏究』 vol. 3, 435(1 9 65 년 3 월호). 190)) AD.. JJ.. KHie me g, e rP, hiyn s . S oRfei au. S1t4a 9t ,e 4P3•h1 (y1 s9i 6c 6s ). . vol. 23, F. Seit z, P. Turnbull and H. Ehrenreic h , (eds.) (Academi c, New York, 1969), p. 284. 11) K. G. Wi ls on, Reu. Mod. Phys . 47, 7'iJ (19 75).

4. 2. 4 자유전자의 전자밀도 응답 : X~c ( q, w) 자유전자 기제에 외부로부터 전하 포텐셜을 겉 때 전자가 어 떻게 응답 하는가 를 보자. 금속 중에 불순물 원 자를 넣으면 그 주변의 전자밀도가 어떻게 변하는가 하는 것이 문제이다. 일반적으로, 금 속 내에서 각 이온 의 주변에 전도전자가 어떻게 모이고, 또 이온이 움직이면 전자는 그것 에 어떻게 따라가는가 하는 것이 고체물리학의 기본적인 문재이다. 이 런 문제를 다루기 위한 기본을 여기서 준비한다. 밖으로부터 걸리는 전하 포 텐셜 이 U(r, t) = U(q) e'ne-i .. t (4. 2. 37) 라고 하면, 이 포텐셜에 대응하는 섭동의 해밀토니안은, 제 1 장의 방법 에 의 하여 ((1. 5.27) 이 하 참조) 후' = -eJ ¢1 ( r) U( q )e 저 (r)dre- i oC = -eU(q) n(-q) e -i .. t (4. 2. 38) 여기서 아미 (I. 5.30) 에서 정의했듯이 n (q) = Jn (r) e-iq• ,d r = 硏(q) +n-(q) = ~(ak +ta kH,+ + ak-ta k+ 11,-) (4. 2. 39) 는 전자밀도의 푸리 에 변환이 다. 4. 2.1 에 등장한 스핀 밀도의 푸리 에 변환 (4.2.6) 을 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 알아두자. }e iq • r=

加 〈 ak a t Gk + q ,a 〉 = <[a k a ta k+ q, o, , 3 타 ]〉 + 。〈 〔 ak a t ak + q , o , !)Fe’ ] > (4. 2. 42 ) 새로 나온 교 환자 는 (4.2.10 ) 을 이용하면, [akat a k+ q, 念 e'] = -eU(q) e -iw t X (a k at a ka - ak+q , ata k+ q, a ) (4. 2. 43} (4. 2. 9) 와 (4. 2. 43) 을 (4. 2. 42) 에 넣 으면 h(J )< a / ak+ q, d > = (ek +q - ek) -e U( q) e-i'i ( o< “k a> - o ) (4. 2. 44} 이리하 여 최종철과 는 <11. ( q ) >= <11 ( q, (J)) 〉 e- 다 = 2F( q, w) •eU ( q ) e- 타 (4. 2. 45) 여 기 서 전 하 감수울 (electr i c charg e suscep tibi l ity) 을 다음과 같이 정 의하 자 . Xec (q, 0) = -e -< nU ((qq, ) w )> (4. 2. 46) 그러면 상자성 상태에 있는 자유전자의 전하감수율은 다음과 같아 된다。 Xe~ ( q, w) = 2e2F (q, w) (4. 2. 47) 이 결 과를 자유전 자의 자화웅, (4. 2.16) 의 x& (q, <.V) 와 비 교하여 보자* 상수인자를 빼면 완전히 같지 않은가. 자유전자의 선형 응답함수는 페~ 미 면에서의 전자의 상태밀도인 것이다. 자기장을 거나, ． 전하포텐셜을­ 거나, 그것에 응답할 수 있는 것은 페르미 면 근처에 있는 전자들뿐이 니, 이것은 당연한 결과이다. (4.2.47) 의 결과의 응용으로서 금속 중에 크기 Ze 의 점전하몰 넣었 을 때 그 주변의 전자밀도가 어떻게 변화 하 는가를 보자. 점전하의 위처 ) 를 좌표U의( r)원 =점 에—r 두면, 그 포텐셜은 (4. 2. 48} Ze 이것의 푸리에 변환은 (1. 5.24) 에 의하면

U(r) = I] U(q) e ;q., U(q) = \ 4: = -거1 T :p Xc~(q , 0) U(q) e•n q = -\꾸 2e2F( q)붕巨 · r, (4. 2. 50) 이것이 공간적으로 어떻게 변동하고 있는가를 보려면 수치계산이 필요 하다. 주의할 것은 (4.2.24), (4.2.25) 의 경우와는 다르다는 점이다. RKKY 진동은 (4. 2. 50) 에 서 U(q) 가 q 에 의 존하지 않는 상수일 때 나 온 것이었다. 그런데 점전하 Ze 의 주변에 모여드는 전자의 총수는 얼마냐 될까. (4. 2. 50) 에 의 하면 -eJ, d r= -수꾸 盆(q, 0) U( q)J, are iq•『 그런데, 우변의 적분은 (1. 5.26) 에 있는 바와 같이 VotJ, o 따라서 -ef d r= -I}q-, 0! Xc~ (q, 0) U(q) = -2e2N(O) lqi-m o V~q 2 = -o oZ (4. 2. 51) Z>O 인 때, 점전하 Ze 의 주변에 모여드는 전자의 수가 무한대라는것 이다. 이 결과는 이상하다. 우리들은 이 풀러스의 전하 Ze 를 중화시키 는 데 필요한 Z 개의 전자가 모여들기를 기대한다. 이렇게 잘못된 결과가 나온 근원은무엇인가. 선형응답으로문제를 다 루었기 때문일까. 뒤에서 보게 되듯이 그렇지 않다. 우리들이 한 계산 자체는옳은것이다. 다만, 출발점이 옳지 않았다. 전자사이의쿨동반 발력을 넣지 않고 출발한 것이 (4.2.51) 와 같은 잘못된 결과에 도달한 원인인 것이다. 이것은 교훈적이다. 우선, 옳은 출발점으로부터 출발해야 하는 것이 다. 그렇지 않으면, 도중의 계산을 아무리 착실히 하여도 잘못된 결말

이 된다. 다음 절 에서 전 자간 쿨롱 상 호작용 을 넣 고 금속전자의 여러가지 선형 응답을 논하기로 한다. 4.3 전자간 상호작용과 선형응답 우리들 은 전자밀 도의 응 답을 전 자간 상호작용을 무시하고 계 산하면 어 떻게 비 합 리적인 결 과가 나오는가 를 보았다. 그리고, 제 3 장에서는 금속 전자의 자화윤 이 전자 간 교 환 상호작용에 의하여 어 떻 게 중대되는 가도 배웠 다. 이 절 에서 우리들 은 이러한 선형응답에 대한 전자간 상호 작용의 영향을 계 통 적으로 공부한다. 4. 3. 1 쿨롱 상호작용의 평군장 근사 4.2 에서 우리들은 (4.2.4) 의 방법을 써서 선형응답을 계산하였다. 이 방법에 있어서 전자간 쿨동 상호작용 炎 %를 넣으려면, 자화율을 계산할 때는 (4.2.8) 의 우변에 그리고 전자밀도 감수울을 계산할 때는 (4.2.42) 의 우변에 <[a k at a k+'念 이〉 (4. 3.1 ) 이란 항 을 추가하면 된다. 그런데 이 (4.3.1) 의 기여를 엄밀히 계산한 다는 것은 불가능하다. 그래서 또 평군장 근사를 도입한다. 이미 제 3 장에서 災 %를 어떻게 평군장 근사하며 또한 하트리-포크 근사가 무엇 인가를 배 웠 다. 복습하면 (1. 5. 25) 의 전자간 쿨롱 상호작용은 평 균장 근사에서는 다음과 같이 되는 것이다. JliPC m = I)' V(/C ) a kJ a k- k.l.‘,u . / -k ,lE,c,o', o' v(/C) < ak ,ta 1+,.• , )a1,,,t a k-,.. (4.3.2) 우변 제 1 항은 (3. 2.4) 의 하트리 항이고, 제 2 항은 (3. 2.10) 의 포크 항 이다. 전자는고전적인쿨롱반발력이고, 후자는교환상호작용이다. 제 3 장에 있어서는 (4.3.2) 에 나오는 평균치에 관하여 (3.2.6) 과 같은 제 약을 하였 다. 즉, 대 상이 되 는 계 가 공간적 으로 균일 (homog e neous) 하 다고 하였 다. 그러 나, (4. 3. 2) 를 (4. 3. 1) 에 넣 은 후, (4. 2. 8) 이 나 (4. 2. 42) 의 우변에 추가할 때 (3.2.6) 을 가정하여서는 안 된다. 공간적으로 변

그림 4-4 는 V(O)N(O)=V 의 값이 1 에 가까울수록 유기되는 자기화 의 공간적 분포가 V=O 인 때(그림 4-3 과 같음)와 크게 달라지는 모양 울 보여 주고 있다. 자기화가 크며 또한 멀리까지 도달하고 있다. 왜 그 렇게 되는가? 유기되는 자기화가 커지는 것은 Xzz( q ,O)>x zz 0( q ,0) 이기 때문이다. 그런데 그립 4-1 에 보듯이 자유전자의 F( q)는 q의 감소함 수이 므로, x. . (q, o) 는 q 가 작을수목 더 욱더 교환 상호작용에 의 하여 중 폭된다· 그러면 (4.2.24) 와 같은 x. . (q ,o) 의 푸리에 역변환은 실공간(袁 空間)에 있어서 r 에 따라 감소하는 것이 보다 늦게 된다· 그림 4-4 에 서는 kF=O.5x108/cm 몰 가정하고, y(q)의 q의존성을 무시하고 (4. 2. 24) , (4. 2. 25) 에 대 응하여 = 2µB2H,F (r) 이 라 두었 다. 강자성 상태 에 서 의 RKKY 진동은 어 떻게 될 까. (4. 2. 24) 에 서 Xz 션 (q, 0)

대신에 (4.3.16) 의 Xzz( q ,0) 을 넣으면 되겠다. 자유전자 벤드 (ek= li 2k 키 2m) 에 대하여 자발 자기화 M/M0 을 변화시키면서, 좌표 원점에 건 델 타 함수적 자기장에 의하여 생기는 자기화의 공간의존성 M(r) = ( -) (4. 3.18) 을 계산한 결과가 그립 4-5 이다. 여기서 Mo 는 가능한 최대의 자기화 이고, 자기장의 크기는 (4.2.21) 에서 H=l /( µBN(O) ）로 하였다. kF= -0 .5x108/cm 로 하고, M/M0 의 변화는 온도는 T=O 에 고정한 채 V ( O) 를 변화시킵으로씨 이루어지게 하였다(그림 3-5 를 참조)． 물론, 강자성상태에서는 그립 3-5 에서와 같이 n+>n-, 죽 111=n+-n->O 을 가정한다. 또 여기서도 V(q) = V(O) 이 라 두었다. 그림 4-5 륭 보면, 금속 중에서 에너지 밴드의 스핀분열이 커짐에 따라

R(r)

델타함수적 자기 장 에 의 하여 유기되는 자기화의 공간의 존성 이 아 주 현처 하게 변화되고 있다. 실제 , Pd 속에 소량의 Fe 불 순 물을 섞 은 합 금에서, 그와 같은 현상이 관 측 되고 있다 .13) Pd 자신 만으 로는 강 자 성 이 되지 않으나, Fe 를 섞으면 강자 성 이 된다. 이 문제는 4.2.3 에서 소 개한 s-d 모델로 논할 수 있는데, Fe 의 양이 많을수 록 , 강자성상 태에서의 벤드 의 스핀분열이 커진다. 따라서, 각 Fe 원자 주변에 유기되는 Pd 의 전 도전자의 자기화의 분포도 Fe 의 농도에 의하여 변하여 가는 것 이다. 그림 4-4 의 결과가 널리 알려져 있는데 반하여 그림 4-5 의 절 과의 유 용성온 아직 잘 이해되어 있지 않다 . 4. 3. 3 자기장에 대한 전하응답 : Xem (q, (J)) (4. 3. 14) 에 의 하면 +< n _(q) > = I +v(qF.-_) +. [ (Fq+, (J(q)) ,- (JF))_ -_ _+. f(qf_, ((J) q) , (J))] X µBH(q ) e-i .. t (4. 3. 19) F + ( q ,o)~F_( q ,w) 인 강자성상태에서는, 자기장은 전자밀도의 분극도 이룬다는 것이다. 土스핀전자의 자기장에 대한 응답은 그 페르미 면에 그서의림 3상-5태 에밀 도보 듯N이 土 (0)N 에+ C비O) 례-N 하_고 ,(O ) ~부o호 이는 기 반때대 문인이데 ,다. 강자성상태에서는 여기서 자기장에 대 한 전하밀도의 응답함수 (elec tri c charge respo nse to mag n eti c fiel d) 를 X,m (q, (J)) = 궁 () (4. 3. 20) 과 같이 정의하면 12) Xem (q, (J)) = eµB l +v (Fq)+ [ (Fq~+, ( (Jq)) ,- (JF)) _+ (Fq_, ( (Jq)) , (J)) ] (4. 3. 21) 상자성상태에서는 물론 Xem=O 이다. (4.3.21) 의 결과는, 강자성상태의 금속 중에 자기적 불순물원자를 넣 으면, 그 주변에 전하밀도의 분극도 생긴다는 것을 뜻한다. 13) G.G. Low and T.M. Holden, Proc. Phy s. Soc., 89, 119(1966); D.J. Ki m, B. B. Schwartz and H. C. Praddaude, J. de Phys q iiie, Colloq u e Cl, 818(1971).

여기서 주의할 것은, 다음의 결과이다. lim Xem (q, (J.)) = 0 (4. 3. 22) q- 0 그러니까, 자기장에 의하여 유기되는 전자밀도를 공간적분하면 언제냐 영 이 다(자기 장 H(q) 가 l/q2 에 비 례 할 때는 다르다). 4. 3. 4 상호작용하는 전 자의 전 하감수율 Xee (q, W) 와 가리 기 상수 e.(q, w) 4.2.4 에서는전자간상호작용을넣지 않고, 전하포텐셜에 대한전자· 밀도의 선형응답 X 갑(q ,w) 를 논하고, 그것이 (4.2.51) 과 같은 곤란한 ­ 접을 가짐을 보았다. 여기서는, 전자간 쿨롱 상호작용을 넣고 같은문제 몰 다룬다. 또, 전자가 강자성 상태에 있을 때의 Xee( q ,W) 도 는한다. 우리들의 방법 (4.2.4) 에 의하면, 전자밀도 응답의 계산에 전자간 상호. 작용의 효과몰 평 군장 근사로 넣 으려 면 , (4. 2. 42) 혹은 (4. 2. 44) 의 우변 에 <[a k,tL 1k+g ,,~ c 니〉 를 추가하면 되겠다· 그 결과는 자화율을 계산할 때의 (4.3.10) 에 대응· 하여, 다음과 같이 된다. 〈따 (q) > = Fa (q, (J)) [e U (q) e-i .. t _v (q) (+ ) + V (q) ] (4. 3. 23) 이 결과를 (4.2.45) 와 비교하여 보자. 전자간의 반발력은 전자가 모아 는 것을 방해하고, 교환 상호작용은 거구로 전자가 모이는 것을 돕고­ 있다. (4.3.10) 에서와 마찬가지이다. (4. 3. 23) 으로 다움의 결 과가 나온다. = e -i .. i = ~Fc (q, (J)) ¢U (q) e-io t l+v(q) [F +(q,( J))+ F_(q, (J))] (4. 3. 24) 따라서 (4.2.46) 으로 정의되는 전하감수울은 Xee (q, w) = e2 Uv(瓦q) ([qF2+ 아 )(q +, wF)_ + (qP, _0 ()q , w) ] (4. 3. 25)

이 결과는 강자 성 상태에서도 성립하나, 득히 상 자성상태에서 는 Xu(q, w) = e2 1+22vF((q q) F,인(q , w) = e2 1+[2v(q2) F-(Vq.-, (w q)) ]F (q, w ) (4. 3. 26) 이 상자성상태의 결과 를 전자간 상호작용 을 무 시한 때의 결 과 (4. 2.47) 과 비교 하 여 브자. 우리 들 이 얻은 (4.3.25) 나 (4.3.26) 의 결 과는 대단히 유용하다. 제 5 장이 나 제 6 장 에서 전개될 이론의 기 초 가 바로 이 (4.3.25) 임 윤 보게 된다. 그에 앞서 여기서는 이 전자밀도 감수 울 의 기본적 성질을 몇 가 지 보아 둔다. 처음에 (4.2.51) 의 난점이 어떻게 해결되는 가를 보자. (4.2.51) 의 x 검(q ,0) 대신에 (4.3.25) 을 넣 으면, 접전하 Ze 의 주변에 모이는 전자 의 총 전하량은 -ef d r= -11u:-1o ; Xe e (q, 0) U(q) = -lqim一 ° 1+ 뿔e〔 F2 ＋(q, 0~) 무(q , 0)J .上呪흐 = -Ze (4. 3. 27) 이렇게 하여 비로소 옳은 결과가 나왔다. 이 결과가 강자성, 상 자 성 양 상태에서 성텁한다는 점에 주의하자. 전하 포텐셜에 대한 응답을 논할 때 자주 등장하는 것이 유전 율 ( 誘電 率 , die l ectr i c consta n t) 혹은 가리 기 상수 (screenin g consta n t) 란 양 이다. 이것을 어 떻 게 이해할 것인가. 우선 상자성상태에서 보기로 하면, (4.3.24) 는 다음과 같이 된다. = + = l +Z2vF ( q()q ,F (~q, e(.I)) U( q )e- 나 터 2F (q, (I)) • ee (Uq(, qw ) ) e-to t (4. $. 28) e(q, w) = 1+ (2v(q) -V~ (q) )F(q, w) (4. 3. 29)

즉, 전자간 쿨롱 상호작용의 역할은 전하포텐셜을 U( q)로부터 U(q )/ c( q ,w) 와 같이 가리는 데에 있다고 볼 수 있다. 그래서, 응답함수는 상 호작용이 없는 대와 마찬가지라고 보는 것이다. 이렇게 하여 유전율 혹 은 가리기상수 c( q ,w) 가 (4.3.29) 와 같이 도입된다. (4.3.29) 에서 교환 상호작용의 효과를 무시한 결과는 잘 알려져 있다. 특히 토마스-페르미의 정적 (w=O) 가리기상수는 다음과 같이 간단히 된 것을 말한다. erF(q) = 1+2v(q) N (O) (4. 3. 29 a) 실은, 교환 상호작용까지 고려하면, 무엇과 무엇 사이의 전하 포텐셜을 가리는 것인가에 따라 가리기상수의 표현이 다르게 된다. 이에 관해서

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는 뒤에서 논한다. 강자성 상태 에 서 의 가리 기 상수는 어 떻 게 될 까 ? (4. 3. 28) , (4. 3. 29) 에 대응하는 것은 = F, (q, o) ee,U(q(, qw) ) e-io t (4. 3. 30) ~.(q, w) = [1-V(q) F.(q, w)] { l+v(q) 〔瓦(q, w) +ft_ (q, w) ]} (4. 3. 31) 인데, 이것은 가리기상수가 스핀에 의존하게 된다는 것이다. 죽 , 원래 는 전하 포텐셜은 스핀에 의존하지 않는 것이나, 강자성상태에서는 가 려진 전하 포텐셜이 스핀에 의존하게 된다. 이 강자성상태에서의 정적인 가리기상수 Eo(q ,0 ) = e 。(q)를 자유전자 밴드에 대하여 자발 자기화를 변화시키면서 수치계산한 것이 그립 4-6

0.0 0 2

이다. 수치계산에는 그립 4-5 에서와 같은 모 델을 썼 다. 벌써 (4.3.31) 로부터도 예측할 수 있었으나 그림 4 꿈에서 우리들은 어느 한쪽 스핀의 %(q)가 q 가 작은 영역에서 마이너스 부호몰 갖게 되 는 것을 발견한다 . 이것은, 그립 4-6 의 경우, 외부에서 풀러스의 점전 하 륭 강자성 상태의 전자기체 중에 넣었을 때 원래는 전자를 그 주변으 로 끌 어들일텐데 마이너스 스핀을 가진 전자는 거꾸로 그 주변에서 쫓 겨난다는 것을 뜻한다. 가리기에 의하여 인력이 반발력으로 변하여지는 것이다 . 이 것을 더 구제적으로 보기 위하여, 그립 4-5 나 4-6 에서와 같은 강 자성상데의 전자기제 중에 +의 단위 집전하를 넣을 때, 그 주변에 + 와 一스 ;i 의 전자가 어떻게 분국하는가를 계산한 결과가 그림 4-7 이 다 .12) 집전하의 근처에서 一스핀 전자의 밀도는 마이너스가 되고 있는 점에 주의하자 . 더 알기 쉽게 하기 위하여 풀러스의 단위 접전하의 주변에 모이는 전 자의 총수를 각 스핀에 대하여 계산하여 본다.

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“소 = J@± (r)>d r = 1qi-m 0 e I+4WTe2 [F~F+ ±( (qq, , 00)) +F~_ (q, 0)] .」V프q 2_ =N+ (0) N+= N(O-)( 0〔 ) 1 --2VV~( O(O)) NN 干+ ( 0(O) )〕 N_ (O) (4.3.32) 이 결과를 그림 4-5 등에서와 같은 전자개스 모델에 대하여 수치계산한 것이 그립 4-8 이 다 .l2) n-<0, 죽, - 스핀의 전자는 + 의 점 전하에 의 하여 쫓겨나고 있다. 그러나 n++n-= 1 (4. 3. 33) 임은 물론이다. 이것은 벌써 (4.3.27) 에서 보았다. 4.3.5 전하 포텐셜에 대한 자기적 응답 : Xme (q , w ) 앞 항에서 공부한 결과에 의하면, 강자성상태의 금속에서는, 전하 포 텐셜에 대한 응답에 있어서 〈 n+Cr) 〉누 @-(r) 〉이 다. 죽 전하 포텐셜에 의하여 자기화가 생기는 것이다. 전하 포텐셜에 대한 자기적 응답함수 를 다음과 같이 정의하자. Xme (q, o) = -µB(<“ +(q,Uo )(>q ) - ) (4. 3. 34) 여기에 (4.3.30), (4.3.31) 의 결과를· 넣으면 그 결과는 (4.3.21) 과 마 찬가지의 표.현이 된다. 죽 Xme (q, w) = Xem (q, w) (4. 3. 35) 강자성상태의 금속 중에 풀러스의 단위 점전하를 넣었을 때 그 주변의 전자가 어떻게 자기화되는가물 계산한 것이 그립 4-9 이다 .12) 그림 4-5 등에서와 마찬가지의 전자기제 모델을 쓴다. 이 결과는 그립 4-7 에서 의 硏 (r) 과 n_(r) 의 차에 대응하는데 (4.3.18 참조), 형식적으로는 -µB 〈iJ (r) 〉=令꾸 Xme(q, 0) 검~ e iq • r (4. 3. 36) 플러스의 단위 점전하 주변에 유기되는 총 자기화는

0012

-나 M(r)dr = I!~ Xme(q, 0) 붉 q국 三 -µB N+ CO) +NN-(+0 )( 0-2)-VN_ (O(O) N)+ CO) N_ (O) = -µs(n+-n-) (4. 3. 37) 이미 그립 4-8 에 n+,n- 와 함께, n+-n- 를 나타내 두었다. 그립 4-8 에 의하면 M 가 작을 때는 n+» 1, n_«-1 (4. 3. 38) 이어서 “+-n_ >> 1 (4. 3. 39) 이란 사태가 일어난다는 것이다. 1 개의 전자가 가질 수 있는 자기화는

1µB 이다. 그런데, 단위 점전하를 강자성상태의 금속에 넣으면 수십 µB 의 자기화도 유기될 수 있다는 것 이다. 물론 이때 접전하 주변 에 모여 드는 전 자의 총수는 (4. 3. 33) 에 서 본 바와 같 이 1 이 다. 위와 같은 사실이 금속의 강자성의 이해에 큰 역할을 할 것은 몰 림없 댜 그러나 필자들이 발견한 이러한 사실이 아직도 널리는 알려져 있지 않다. 4.3.6 전하 포텐셜 응답과 전자간 교환 상호작용 그런데 왜 (4.3.39) 와 같은 현상이 일어나는가. 이것을 쉽게 이해 할 수는 없는가. 위에서 고찰한 강자성상태의 금속 중에 단위 점전하 를 넣는 경우 , 전 자의 분국의 푸리에 성분 〈 11.( q)〉가 다음과 같은 두 가지 값을 가질 수 있다고 가정한다. ( i ) = liq, = % ( ii ) = 5vq, = -3Vq 그런데, 전자간 쿨롱 상호작용은 평군장 근사에서는 (4.3.6) 과 같이 볼 수 있었다. 위의 두 가지 분극의 가능성 중 어느 쪽이 낮은 상호작용 에 너지를 가질까 ? ( i )' (ii) 경우 모두 += = 2vq 이다. 물론 〈 n.(- q)〉=〈 11.( q)〉이다· 그러니까 (4.3.6) 우변 제 1 항의 고전적 쿨롱 반발력의 에너지는 (i), (ii) 사이에 차이가 없다. 그러나, 계 2 항의 교환에너지에는 다음과 같이 큰 차이가 생긴다. ( i ) -½V(q) ［자타] = -V( q)자 (ii) -송 V( q) [(5%) 나 (一 31111)2] = -l7V( q)자 이 밖에 전자의 운동에너지가 어떻게 되는가 등도 물론 고려하여야 하므로 이상의 고찰은 완전하지 않다. 그러나, 교환에너지를 낮게 하 기 위하여 (ii)와 같은 사태가 실현 가능하다는 것이 가장 본질적인 점 이다. 또 주의할 것은 (4.3.27) 에 있어서 설혹 교환 상호작용을 무시하여도 결과에 아무 영향이 없다는 점이다. (4.3.23) 을 보면 교환 상호작용은 전자일도가 분극하는 것을 돕고는 있지 만, 분극(응답)의 총량을 크게 하

는 것은 아니다 . 분국의 총량은 같되, 그 공간 분포에 영향을 주는 것 이다. 이와 같은 사정은 상자성상태에도 있다 . (4.3.26) 을 보 자 • 그런데, V( q)가 q의 어떤 함수가 될까 . V( q )는 (4.3.5) 에서와 같아 도입된 양 이니까 본 래의 쿨롱 상호작용 v( q)와 같 이는 q에 예민하게 의존하지 않 겠다 · 그리고 , 뒤에서 보게 되 듯이 , 더욱 고차의 근사에서는 교환 상호 작용은 스크린된 다. 이러한 2 중 의 이유로 V( q)는 q에 민 감하게 의존 하지 않는 다. 그래서 v( q )=4ne2/V# 에 대하여 /C。 ~kF 이라 하고 다음 과 같은 표현웅 가정할 때가 있다. V~ (q) = 77( 감4 7!따깐 ) (4. 3. 40) 이 렇 게 V( q) 를 정 하고 (4. 3. 26) 을 보자. q ~ ► 0 의 영 역 에 서 는 Xee (q, (J)) 에 대한 V( q)의 영향은작다 . 그러나 q ~kF 의 영역에서는 v( q )~V( q) 가 되고, 그래서 V( q) 의 덕택으로 Xc c ( q,(J)）가 커진다. 즉, 점전하를 넣 었을 때 , 점전하 바로 근처 (r$I/kF) 에서 전자밀도의 분극이 증폭되는 것이다. 마지 막으로 (4. 3. 40) 과 같은 표현이 (4. 3. 29 a) 의 토마스-페 르미 가 리기상수로부터 유도되는 것을 알자. 죽 ErvF( q(q) ) -_ V (81re24Nrre (2O ) + q2) (4. 3. 41) 이니까 ICTF = ~ (4. 3. 42) 이 라 두면 (4.3.41) 은 (4.3.40) 의 형식이 된다· 또 자유전자의 상태일 도 (1. 3. 5) 를 (4. 3. 42) 에 넣으면 ICTF = kF( 』;:以 :2m )1 /2:: :::kF (4. 3. 43) 또, 이 (4.3.41) 을 푸리에 역변환하면 꾸 T 분눅 e i q • r = 우 e-‘TFT (4. 3. 44) 이것은 스크린된 쿨롱 포텐셜, 혹은 유카와 (Yukawa) 포텐셜이 라 볼리고 있다.

4. 3. 7 가리 기 상수와 교환 상호작용 금속이나 반도체의 전자집단 속에 밖으로부터 점전하륭 넣었응 때, 이 전자집단이 어떻게 반응할까는 고체물리학에서의 가장 기본적인 문 제의 하나이다. 이 둔제에 대한 일반의 상식적 이해는 (4.3.29a) 의 토 마스-페로미의 가리기 상수와 그에 대한 (4 . 3.41)~(4.3.44 ) 의 결과이 다. 다음으로 발전된 것은 가리기상수 를 (4.3.29) 대신에 e0(q, w) = l+2v(q) F(q, w) (4. 3. 45) 이라 하는 것이었다. 그 다음에 발전된 것은 전자간 교환 상호작용까지 고려한 (4.3.29) 의 결과이고, 또, 강자성상태에 대한 (4.3.31) 의 결과 이다. 그런데 교환 상호작용까지 넣고 가리기상수를 논하면 무엇과 무엇 사 이의 상호작용을 가리는가에 따라 그 결과는 크게 다르다. 이것 을 보기 위하여, 처음에 외부 점전하와 외부 집전하 사이의 상호작용, 그리고 다음 에 외부집전하와전자사이의 상호작용이 어떻게 스크란되는가고찰한다 (i) 외부 점전하 사이의 상호작용의 가리기 금속중에서 점전하 Z1e 가 R1 에 있다고 한다. 여기에 제 2 의 점전하 Z2e 를 R2 로 갖고 을 때, 이 Z2e 에 대한 포텐셜을 W12(R2-R! ）이 라 하면 W12(R2-R1) = W12°(R2 述) _z2e2 J-f麟)r>I dr. (4. 3.46) 여기서 W12°(R2-R1) =~ (4. 3. 47) 이고, 〈 n1(r) 〉는 접전하 Z1e 에 의하여 유기되어 있는 금속전자의 분국 이다. （거꾸로 먼처 Z2e 를 생각하여도 결과는 같다)． 그러니까, 그 푸 리에 성분은 e<“ 1 ( q) >= Xee (q, 0) U1° (q) (4. 3. 48) 여기서 점전하 Z1e 에 의한 금속전자의 포텐셜 U1°( q)는 U0(r-R1)= Z1e/lr-R1I 의 푸리에 변환이니까((1. 5.24) 참조) U1° (q) = 等 e- iq .Rl (4. 3. 49)

(4.3.46) 의 양 번 을 (R1-R 2) 에 관하여 푸리에 변환하고 (4.3.48), (4. 3.49) －강 넣으면 W12(q ) = W 갑(q)〔 I- -W:- x ce ( q ,0)] = I +v(q) [F+W (1q2,° O(q) )+ F_ (q, o)] (4. 3. 50) 물론, W12 ° ( q) = 41rZ1Z2 깐 /Vq z (4. 3. 51 ) (4.3.50) 우변의 분모가 가리기상수인데, 점전하 Z1e 의 크기 (와 부호) 가 e- i ., ,의 시간면화 몰 하는 경우몰 생각하면, 다음과 같은 동적 가리기 상수가 얻어진다. ee( q , w ) = l+v(q) [F+ (q, w )+F_(q, w )] (4. 3. 52) 특히, 상자성상태에서는 ee( q , w) = 1+2v(q) 1-V~F(q(q), F w()q , w) (4. 3. 53) 이 결 과는 (4. 3. 31) 이 나 (4. 3. 29) 의 결 과와 아주 다르다. 상자성 상태 에서 보면, 교환 상호작용에 의하여 (4.3.29) 에서는 가리기상수가 작아 졌는데 (4.3.53) 에서는 커지고 있다. 강자성상태에 있어서도 크게 다르 다. 그런데 (4.3.31), (4.3.29) 는 외부 점전하와 전자 사이의 가리기상 수였었다. 이것을 다음에 새로이 검토하여 보자. (ii) 외부 점전하와 전자 사이의 가리기 금속 내에서, R1 에 있는 점전하 Z1e 에 의한 포텐셜 U0(r-R1) 이 스 크린되어 U(r-R1) 이 된다고 하자. UO( q)는 (4.3.49) 와 같다• 이 Z1e 에 의한 스핀 c 의 전자밀도 따 (r) 의 포텐셜에너지는 -eJ n.(r ) U(r 述 )dr = -ef n.(r ) TP(r-R1)dr +J v (r-r') n. (r) n (r') drdr'. (4. 3. 54) v(r-r’) 는 전자간 쿨롱 상호작용이고, n(r’) 은 점전하에 의한 금속의

전자밀도의 분국이다. 이 표현은 다음과 같이 푸리에 변환으로 고쳐쓸 수있다. -e 2.] na (-q) U( q )e- iq떠 = -e 2.J 11a(-q) uo (q) e-iq• II , q q +I]V( q ) na(-q) n(q) (4.3.54') q 여기서 아직 n q(-q)나 n(- q )=11+(- q )+11_(- q)가 (4.2.39) 와 같은 제 2 양자화 형식의 연산자임에 주의하자. 4. 3. 1 에 서 는한 바에 의 하여 , (4. 3. 54') 의 우변 재 2 항은 다음과 같 이 평균장근사된다. v(q) nq (-q) n(q) 탁(q) n .(- q) -V (q) ? 1.( -q) (4. 3. 55) 여기서 통계평균 〈…〉는 접전하 Z1e 에 의한 포텐셜까지 포함한 해밀로 니안 밑에서 취한다. 그러니까 〈 n( q)〉는 (4.3.48) 로주어지고, 는 (4.3.24) 에 의하여 계산된다. 이 결과들을 (4.3.54') 에 넣으면 총합 기호 안은 공동인수 ex p(-iq •R1) 를 빼고 다음과 같이 된다. -enq (-q) U(q) = -enq (-q) U0(q) +[v(q I +v (q)) ｛瓦 (q,~ O) +F_ (q, O) } -V(q) I+v(q) {F~+F(qq (,q ,0 )0 )+ F~_ (q, 0)} ]enq (-q)U 0(q) (4. 3. 56) 이 결과는 (4.3.31) 의 가리기상수 e q(q,a,)를 쓰면 다음과 같이 된다. U(q) = e 問~ (4. 3. 57) 이상에서 (4.3.55) 의 우변 제 2 항을 무시하면, (4.3.56) 우변 괄호 안의 제 2 항이 나오지 않으며, 이렇게 되면 가리기상수는 (4.3.52) 의 ee( q,aJ)와 마찬가지가 된다• (4.3.54) 에서 ”q (r) 를 시료전하, n(r) 을 가 리기 전하라 볼 수 있는데, 시료전하와 가리기전하 사이의 인력적인 교 환 상호작용의 효과가 e q(q ,o) 에는 들어 있다. 시료전하가 전자가 아니 고, 불순물 원자의 핵전하인 경우에는 그러한 시료전하와 가리기전하

사이의 교환 상호작용은 있을 수 없다. 이렇게 하여 교환 상호작용은 두틀 종류의 가리기상수가 있게 하는 것이다· 그러면, 왜 상자성상태에서는­ 교환 상호작용에 의 하여 ee (q, w) 는 커 지 고, e (q, w) 는 작아지 는가· 또, 왜 강자성 상태에서 e e( q ,w) 는 스핀에 의존하지 않는데, c 。(q ,w) 는 스핀 에 의존하게 되는가. 독자 자신이 이제는 그 답을 낼 수 있을 것이다. 4.4 선형응답과 집단 들드기 정적인 선형응답의 발산이 상전이와 관련되는 것을 우리들은 보았다도 자화율의 발산, x,,(0,0)=00 는강자성의 발생을뜻한다. 더 일반적으로, . q ~ O 에 대 한 X,, (q, 0) = oo 는 스핀 밀 도파 (SDW; sp in densit y wave) , 또 Xce (q, 0) = oo 는 전 하밀 도파 (CDW; charge densit y wave) 의 발생 을 뜻한다. 각각 무엇을 뜻하는지는 자명하겠지만, 제 5 장에서 또 는한다. 그런데, 동적 선형응답의 발산, x( q ,w)=oo 은 무엇을 뜻할까. 그것 은 외부에서 자기장아나 전하포텐셜이 걸려 있지 않아도 진동수 o, 파수 _ q의 자기화나 전자밀도의 진동이 생긴다는 것이다. 즉, 에너지 ho, ~ 수 q의 들뜨기가 있음을 뜻한다. 사실 이렇게 하여 Xee( q ,w)=oo 으로부­ 터 전자기체의 풀라스마 진동(p lasma osc ill a ti on) 의 분산식을 도출할 수 있다. 여기서는이 방법으로전도전자강자성체의 스핀과를논한다 .14) , 4. 4. 1 가로 자화율 : X+-(q, w) 2.5 에 의하면 국재스핀계의 스핀과란, 그림 2-5 에 있는 바와 같이,. z 축 방향을 향한 스핀들이 서로 공간적 위상관계를 갖고 x- y평면에서 시계방향으로 세차운동 하는 것이었다. 이러한 운동윤 강자성상태 (n+> _)의 금속전자에서 일으키기 위하여서는 다음과 같은 외부자기장이 ~ 구된다(스핀의 방향과 자기장의 방향은 정반대임에 주의). H = -H 菌 cos( a,t+q •r) -ysi n (a, t+q• r)] (4. 4.1) 오 ,9 는 x, y축 방향의 단위벡터이고, H>0 이다. 이 자기장에 의한 저t . 만에너지는 (4. 1. 28) 과 같이 하여 홉 = 무 [a+(- q )e i.,t +a_( q)e-i.,t] (4. 4. 2) 14) 제 3 장의 인용 문헌 3.

도 실험적으로도 완전히는 해결되어 있지 않다. 잠고문헌 선형응답이론에 관하여서는 제 1 장의 참고문헌 R.1 .5 , R. 1. 6 , R.1.8 , R.1 .9 , R.1 .1 1 에 해설이 있다.

제 5 장 전자격자 상호작용:격자진동에의 자성의 영향 5.1 서론 금속이란 규칙적으로 배열된 이온이 배경에 있고, 그 속을 전자가 운 동하고 있는 것으로 볼 수 있다. 금속전자의 운동을 다루는 데 있어 가 장 간단하게는 이 이온들은 움직이지 않는다고 근사한다. 이 책에서 우 리들은 지금까지 그런 입장을 취하여 왔다. 예를들면, 금속의 자화율을 계산하는 데 이온이 웅직아고 있다는 것을 완전히 무시하여 왔다. 그러 나, 문제에 따라서는 이온이 움직이고 있다는 사실이 기본적으로 중요 하다는 것을 우리들은 알고 있다. 예를 들면 순수한 금속에서는 전도전 자는 바로 이온의 운동 때문예 산란되는 것이다. 또 하나의 예는금속의 초전도이다. 초전도의 근본원인은 이온의 격자진동을 매개로 한 전자간 의 인력이다. 금속의 탄성 (elas ti c ity)이나 열적 성질이 더욱 직접적으로 격자진동에 관계하고 있는 것은 물론이다. 이 장에서 우리들이 논하려는 것은, 금속의 격자진동에 자성이 어떤 영향을주느냐하는문제이다. 이문제는이해하기가어렵지 않다. 격자 진동이란 이온과 이온 사이의 상호작용에 의하여 결정된다. 그런대 금속 내에서는 이 이온간의 쿨롱 상호작용은 전도전자에 의하여 스크린된다. 제 4 장에서 본 바와 같아, 이 스크란 효과에 전자의 자기적 성질이 반 영되는 것이다. 이러한 관점과 성과를 토대로 하여 우리들이 논할 수 있는 문제는 많다. 격자진등은 소위 무른 포논 이란 기구를 통하여 구조 상전이 (str uc tu ral ph ase tra nsit ion ) 에 관련 된 다. 최 근 Peie r ls 전 이 니 혹은

CDW( 전하밀도파)이니 하는 술어를 자주 듣는다. 우리들이 이 장에서 전개하게 될 이론은, 이런 구조 상전이의 기구가 기본적으로 자성에 관 련되어 있음을 밝혀낸다. 강자성 금속의 탄성 에 관하여 서 는 Invnr 문제 란 것 이 있 다. FeNi 합금 이나 FeP t합금에서처럼, 두 원소의 특별한 혼합비에서는 열팽창률이 대단히 작거나 마이너스가 되는데, 그 기구가 무엇이냐는 문제이다. 이 런 성질을 가진 금속을 Invar 합금, 혹은 간단히 Invar 라고 부르는데, 그런 물질은 한 개 두 개가 아니고 대단히 혼하다. 그래서 확실한 것은 Invar 문제가 자성과 긴밀히 관련되어 있다는 점이다. 아직 Invar 문제 에 대하여 만인이 수긍하는 정통이론은 없다. 우리들은 이 문제에 대하 여 하나의 해답을 제공하게 된다. 그런데, 위 경우와는 거구로, 격자진동이 금속의 자성에 어떤 영향을 줄 수는 없는가? 세상은 이 의문에 대하여 압도적으로 부정적이다. 그 러나, 그러한 세상의 다수의견과는 반대로 격자진동과 전자와의 상호 작용, 죽 전 자격 자 상호작용 (electr o n-ph onon int e racti on ) 이 금속의 자 성에 아주 결정적으로 중요한 영향을 준다는 것을 다음의 제 6 장에서 는 증한다. 제 5 장의 여러 결과는 이 제 6 장을 위한 준비이기도 하다. 이러한 이론 전체의 기본은 과수 q인 격자진동의 진동수 Qq에 대한 다음의 식이다. O g2 = QI I2_ lg( q) |2i ee (q, 0q ) (5. 1. 1) 요g는 스크린되기 전의 격자진동수, g(q)는 전자격자 상호작용의 크기, 그리고, Xee (q, w) = Xee (q, w) /e2 (5.1 . 2) Y..ee (q, W) 는 (4. 3. 25) 의 전 하감수율이 다. 죽 굿 ee( q ,W11) =l +v (q) [F+ Cq, w~) +F_ (q, w11) ] (5.1.3) (5.1.1) 의 우변 제 2 항이 전도전자에 의한 스크린효과의 기여인데, 자 성의 영향은 Xee( q ,W) 에 들어 있다. 우리들은 우선 (5. 1. 1) 을 도출하고 ,1) 그래서 이 식을 로대로 하여 여 러 가지 문제를 논하여 간다. 1) D. J. Kim, J. Phy s. Soc. Jap a n 40, 1 幻, 1250(1976).

5.2 전자격자 상호작용 5.2.1 격자진동 우선, 이온의 격 자 진동에 관한 지식을 정리한다. 우리들의 대상이 되 는 고체 내에 있는 이온의 위치벡터를 Ri, (i= l,2, ... ,N), 그 질량을 M 이 라고 하자. 일 반적으로는 결정구조의 최소단위인 단위세포 (un it cell) 에 2 개 이 상 의 종류 가 다른 이온이 들어 있을 수 있다. NaCl 이 그 예아다. 그러나 우리들은 위와 같이, 이온의 종류는 하나밖에 없는 경우 만 을 생 각한다. 이온의 운 동량을 P i =M R;(R; =dR i / d t)라 두면, 이온계의 에너지는 다음과 같 이 된다. 念 p = 고tN= l 2―1M P i 2+2~I L더] W(Ri - R1) (5. 2. 1) W(R i -R i )는 이온 사이의 상호작용의 포텐셜이다. 이온의 평 형 우1 치를 Ri 0 라 두면, 이온의 위치벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다. Ri = Ri 0+ ui (5. 2. 2) 이온 사이의 포텐셜은 이 변 위 (dis p l a cement) Ui 에 관하여 다음과같 이 전개된다. 도2 j W(R;-R1) = 上2 L더J [W(R;0-R f°) + { (u; • Ji;) (u; • Ji;) + (u;•P ';) (urP'1 )} W(R ;O -RJ °)] 三 -2l -iI수 ]]· W(R;O-RJ °) +上2 학i.j u ;A;1u1 (5. 2. 3) r i는 R i 0 에 관한 nabla 이다. U i 등의 1 차의 기여가 없는 것은 R i0 등 이 평형위치이기 때문이다(Vi W(R i 0-R;°)=0). Ui 등이 작다고 하고 2 차의 기여까지만을 고려한다. 행렬 A ij의 내용은 명백하겠다 . 자세 히는 Aix , 등과 같이 표시되어야 할 양이다. (5.2.3) 의 포텐셜로 이온의 운동방정식은 다음과 같이 된다. Mui = 홉 A iJ U j (5. 2. 4} ]

여기서 자명한 다음의 관계를 썼다. Ai j = Aj i (5. 2. 5) (5.2.4) 는 고전적인 뉴튼 (New t on) 의 운동방정석이기도 하지만 다음의 양자역학적 교환관계로부터 유도되는 양자역학의 하이젠베르크 운동방 정식 임에 주의하자 ((5.2.50) 참조). [園Rµiµ, , RP jJ』,] == [[t1tt;i µp,, 1P ( j 시』 == 。i ftoiµ , je } (5. 2. 6) µ,11 는 x,y 혹은 z 이다. (5.2.4) 를 풀고 고유벡터 (normal mode) 와 그에 대응하는 고유진동 수를 구하는데, U i를 다음과 같이 둔다. Ui = ()泣1 戶- I곱RZ Eq AQ qA eiq ·r ,. (5. 2. 7) 여 기 서 이 온의 고유진 등 좌표 (normal coordin ate ) , Qq, o::: ex p(-£Q간) (5. 2. 8) 는 파수 q, 편극 (po lariz a ti on ) , 즉 진동하는 방향의 단위 벡 터 가 eq1 인 평면과의 진폭이다. 지금의 경우, 각 q에 대하여 A=l 과 A=2,3 에 대 응하는 하나의 종파 (e qi//q)와 2 게의 횡파 (e q다-q)가 있다. q에 관한 총합은제 1 브릴루앙 영역에 한한다· 그러니까(q ,A) 는 3N 개 있게 된다. (5.2.Q7q)l 의= (역앞변)환 은l/2 t U; e g , e-itz· R ,• (5. 2. 9) i= I (5. 2. 9) 는 u(q) = (I/NM) 112 L ] eq1 Q q1 라 두면 Ui 의 단순한 푸리 에 변환이다. u( q)를 l=l,2,3 인 3 개의 고유진동 성분으로 분해한 것 이다. 이온의 운동량에 대해서도 다음과 같이 고유진동 운동량을 도입한다- Pi = （홍) 1/2 'q..i롭 P qi E qi e;'0 (5. 2.10) pql = ~1 곱N P i ·C q 2C- iq ·P, 0 (5. 2.11) 그러면 (5.2.6) 에 대응하여 다음의 교환관계가 성립한다.

[[QQqqA)., , Qpq ¢냐x' ]J == [ iPhq8 A q ,+ 0P'. o 리 8 ,2 ’ = 。 } (5. 2.12) (5.2.7) 등은 교환관 계 가 위 와 같이 간단히 되도록 정 의된 것이다. 다음에 이온 사아의 포 텐셜 도 푸리 에 변환한다. WW((kR)) == +IJk JW (Wk) ( eRik ) • Re -ik •8dR ((55.. 22.. 1143)) 여기서는 R 이 연속변수이므로, k 는 제 1 브릴루앙 영역 안에 재한되 지 않는다. 이 렇게 하 면, (5.2.3 ) 에 의 하 여 AA;i ; j == -고k 꾸 k k蟲W( kk.)keW i( kk ( R )‘ 0e - i Rk· J 등임에 주 의 하자 . k·k 는 그 xy 요 소가 &kv 인 행렬이다. 죽, kr k·k = : II )(k r, k y, k2) (5. 2.17) 위와 같이 하면 (5.2.4) 의 운동방정식은 다음과 같이 된다. M I2BZ QqE cqi e iq · R t C Q qi ql = I] I] k • k W( k) eik •c R,• - R ,” II P Z] Qql eq , ei q • R1' j(*i) k q. i -I] I] k.kW(k)eik ·< R ,'-R1 '>1 IB]Z Qq, eq, eiq • il,') (5. 2.18) j( i )k q, l 여기서 처음에 j에 관한 총합을 실행하는 데 (2.5 . 9) 의 관계 를 상기한­ 다 ((2.5.9) 에서는 R i 0 를 그냥 Ri 라 썼다)． 그러면 좌, 우변에서의 독­ 립변수 Qq l 의 계수가 같다고 하여 다음의 최종 결과를 얻는다. Mi l11b1 11 = N I][ (q+ Kn) ' (q +Kn) W(q + Kn) A. -Kn • Kn W(Kn) ]Cq l (5. 2.1 9 )

Kn 는 역격자 벡터이다. 이 방정식으로 각 q에 대하여 고유진동수 .Qq,< 와 고유벡터 ea 가 결정된다. 분명히 이 고유치방정식은 에르밋 행렬의 그것이니까, Q감은 실수이 고, 또 고유벡터는 직교한다. eqH eql ’ = 8) .,)’ (5. 2. 20) 또, (5.2.19) 의 양변에 왼쪽으로 Cq if 를 곱하고, )에 대하여 합하면 M Li ]Q검 = NW(q) q2 +N KLnJ O 멜(q+J( r.) (q+ l(n)2 - W(l(n) K,,2] (5. 2. 21 ) 여 기 서 는 (5. 2. 20) 과 (5. 2. 17) , 죽 ~ eq, t (k • k) eq, = k2 A 등의 관계 를 썼 다. 이 (5. 2. 21) 은 진동수에 대 한 합규칙 (sum rule) 이 다. 이상에서 도입한 격자진동의 정준좌표를 쓰면 (5.2.1) 의 이온계의 해 밀토니안은 다음과 같이 된다. J>/'p = -21t, JL “R Z] (Pq itP q i+ilq,2Qq,tQ,,,) (5. 2. 22) 이 결과를 확인하는 것은 독자의 과제이다. 여기서 Pq H = P-q2 , Qq, 긴 = Q-q, 1 (5. 2. 23) 이고, 이온의 평형위치에서의 포텐셜에너지는 상수이므로 생략하였다. (5. 2. 22) 는 조화진 동자 (harmonic oscil lat o r ) 의 해 밀 토니 안임 을 알자· 이 (5. 2. 22) 는 QPqq ii == i(*()무t ) }((b bqi q +간b - 갑b_)q i) } (5. 2. 24) 라 놓으면 다음과 같이 된다 . ?rp = 곱 麟 ).(b qit b qi+송) (5. 2. 25) 새로운 연산자 b q건 ,b q.1에 대해서는 (5.2.12) 에 대응하여 다음의 교환

관계가 요 청된 다. [固bq,) ., bb qq,') ,. ’’ ]汀 == [ %bq ,.f,gb q, t l ’ ] = 0} (5. 2. 26) 이 교환관계는 보존의 생성 • 소열연산자에 대한 (2.5.34) 의 교환관계와 일치한다· 그러니까, b q,t는 (q A) 로 특징지 어지는 보즈 입자를 1 개 만 들어 내 는 연 산자이 다. 이 입 자를 포는 (ph onon) 이 라 부른다. bq, tbl /i 가 포는의 수연산자임을 알면 (5.2.25) 의 뜻은 명백하다. 여기서 상수항 拉Qq, 는 영 점 진동 (zero po in t osc ill a ti on) 의 기 여 이 다. 양자역 학의 불 확정 성 원 리 (uncerta i n ty pr in c iple ) 에 의 하여 , 이 온은 완전 히 정 지 하고 있을 수가 없 다는 데에 서 이 영점진 동의 기여가 나오는 것이다. 이상에서는 이온의 격자진동운 일반적으로 논하였다. 이 일반론에 의 하여 구 체적으 로 포는의 진동수 스펙트럼 둥을 얻으려면 결정구조, 실 제의 아온 사이의 상호작용 W(Ri - RJ ) 등을 넣어야 한다. 그러나, 이 책에서 이하의 부분에서는 이온의 결정구조를 무시한다. 즉, 아온의 공간적 분포는 액체에서처럼 되어 있다고 하는 것이다. 이 렇게 하면, (2. 5 .9) 대신에 다음의 관계가 성 립된다. 2JJ eiq • R, • = Noq, 0 (5. 2. 27) 이 것 은 (5. 2. 19) 나 (5. 2. 21) 에 서 K죠 : 0 인 역 격 자벡 터 의 기 여 가 모두 없어지는 것을 뜻한다. 그러니까, (5.2.19) 나 (5.2.21) 에 대응하여 MQ 감 e qJ = Nq •q W(q) s(l1 (5. 2.19') lVI LJ Q검 = NW(q) q2 (5. 2. 21') i (5. 2. 19') 로 부터 횡 파의 진동수를 구하여 보자. (5. 2. 19') 에 서 .<=t 인 경우에 e qtJ_q인 e qtt를 이 식의 양변에 왼쪽으로부터 곱하면 Q記 =0 (5. 2. 28) 어온이 주기적으로 배치되어 있지 않다면 가로 포는(횡파 포논)의 진동 수는 영이다· 그렇다면 (5.2.21') 에 의하여 E qt /l q인 길이 포는(종파 포논)의 진동수는 곧 다음과 같이 얻어진다. Q記 = (훑-) W(q) q2 (5. 2. 29)

이온돌을 질량 M, 전하 Ze 를 가진 집전하로 이루어진 기체라고 하자. 이때 이온 사이의 포텐셜은 W(Ri - RJ) = IRz i 2-eR2 기 이 니까, 그 푸리에 변환은((1. 5.24) 참조), W(q) =41~rZ 냥 따라서 이온기체의 종파진동의 진동수는 (5.2.29) 에 의하여 9 記 = 411r\ZII 양V N =%L2. (5. 2. 30) 이것을 이온 풀라스마 진동수(i on ic pla sma freq u ency ) 라 부른다. 그런데 금속의 이온전동을 논할 때는 전도전자의 존재를 무시할 수 없다. 이온의 + 전하를 중화시키는 ?z=NZ 개의 전자가 반드시 있어 야 한다. 전도전자가 있기 때문에 금속 내의 이온의 진동수는 매우 큰 영 향을 받는다. 이온의 종파의 진동수도 (5.2.30) 의 풀라스마 진동수와는 아주 달라진다. 이러한 문재를 다음 항에서 공부한다. 5.2.2 전자격자 상호작용과 포논 진동수 R i에 있는 이온과 r 에 있는 전자 간의 상호작용의 포텐셜을 U(r-Ri) 라 하자· 그러면, N 개의 전 이온과 하나의 전자 사이의 상호작용은 다 음과 같이 전개된다 (FR‘=_ fl r 임을 주의). iL:N= ] i U(r-Ri) = iIN=} l U(r-Ri0 ) -IiN=} l Ui •P'rU (r-Ri 0) (5. 2. 31) 우변의 재 1 항은 이온의 평형위치에서의 전자에 대한 포텐셜이므로, 이 것은 전자의 벤드 계산에 들어갈 기여이다. 문제는 제 2 항인데, 이것이 전자격자 상호작용 Jf7 e p의 기원이다. 이 Jf7 e p를 전자에 관하여 제 2 양자화 형식으로 고쳐 쓴다. 주기적인 이온포텐셜 안에 있는 전자의 파동함수는 다음의 슈뢰딩거 방정식을 만 족시 키 는 블로흐 (Bloch) 함수

[검:四꾸 U(r-R 이

te p = qI,k ],a g (q) ak, 1llk-q, ,Qq = Iq] g(q)n (-q) Q11 (5. 2. 37')

g(q) = -（ 옵)년_)+J dr e-iv- r /7 rU(r) (5. 2. 38') 이 근사에서는 종파만 나오드로 포논의 분극을 표시하는 i는 생 략하 였다. 이온을 접전하라고 하면 U(r-Ri) = -| r_ZeR3 i I = -2q 4rvcZqe2 2 eiq· (r-R,) (5. 2. 39) 이온을 접전하라 하고 그 위치가 공간적으로 (5.2.27) 과 같이 비결정적 이 라고 할 때, 이것을 금속의 젤륨(j e lli um) 모델이 라 부른다. 이온과 전자가 섞여져서 젤리 모양으로 되어 있다는 뜻이다. 이 젤뮴 모델에서 는 (5. 2. 38') 은 다음과 같이 된 다. g(q) =i(읍)나쁜 (5. 2. 38) (5.2.37') 은 (5.2.24) 에 의하여 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다. ,?t'ep = qI,k ],o a(q) a k,ta k-(/,.(b(/+b-qt ) (5. 2. 40) a(q) = (金) ½g (q) (5. 2. 41) 이 (5. 2. 40) 은 그림 5-1 에 그린 바와 같이 대 단히 직 관적 인 내 용이 되

k,O' k,a-

고 있다. 전자가 파선(波線)으로 그린 도는을 홉수하거나 발생시키고 산란되는 것이 다. (5.2.37') 도 이온의 평형위치 로 부터 의 변위 Qq 와 전 자의 분극 n(- q)과의 상호작용임을 명백히 표현하고 있다. 끝으로 명심할 것은 젤륨 모델에 있어서 도, (5.2.37') 이나 (5.2.40) 에서의 q에 관한 총합은 제 1 브릴루앙 영역에 상당하는 범위에 제한된 다는 점이다. 이것은, N 개의 이온아 갖는 운동의 자유도의 총수 이상 · 으로 포논의 종류는 있을 수 없기 때문이다. 이 렇 게 하여 우리들이 지금부터 대상으로 할 포논에 관한 해밀토나 안은 Jrp = —21 IBIq]Z (Pq tP q +QiQqtQq) (5. 2. 22'} 혹은 念p = 흥tzfJq (b qt b q+½) (5. 2. 25') q 와, (5. 2. 37') 혹은 (5. 2. 40) 의 J>t'ep 의 총합이 다. 문제 는 이 Ptep 에 의 하여 포는의 진동수가 9 q로부터 어떻게 변하여지는가 하는 것인데, (5.2.12) 의 교환관계에 주의하면서 Qq에 대한 하이젠베르크의 운동방 정식을 다음과 같이 세운다(하이젠베르크 운동방정식에 관하여서는 (5. 2.45) 이하를 참조). 言aQ2( l+Q(l 2 Q(l = -g(-q)n (q) (5. 2. 42) 우변이 전자격자 상호작용의 효과를 표현하고 있는데, 이것으로 인하여 포논의 진동수가 요q에서 W q로 변한다고 하자. 그러면 (5.2.8) 대신어i 다음과 같이 된다. Qq oc exp (국야) (5. 2. 43) 이 W q를· 구하자는 것이다. 우리들의 모델에 대해서는 (5.2.42) 는 엄밀한 방정식이다. 여기서 ~ 변의 n( q)도 연산자임에 주의하자· 그러니까 (5.2.42) 를 풀려면 n( q)에 대한 운동방정식도 필요하게 되어 결국 이 방정식을 엄밀히 다루기는불 가능하다. 우리들은 아래와 같은 근사몰 도입한다. 전체 이온이 평형위치에 있다면 전자밀도는 군일하다는 것이 우리들-

의 모델이다. 즉 qc\= O 에 대하여 =0 이다· 이온이 평형위치로 부터 움직여서 이온전하의 분포가 균일하지 않게 되면, 〈 n( q)〉c\= O 이 된 다. (5.2.42) 의 우변에 나오는 n( q)는, 이와 같은 이온의 변위에 의하 여 유기되는 전자밀도의 변화라고 하여 그 동계기대치 〈 n( q)〉로 근사 한다. 거기에 또 이 〈 n( q)〉를 선형응답으로 근사하는 것이 다. (5.2.43) 을 (5.2.37') 에 넣어 보면, 이것은 바로 (4.2.38) 의 형식이 된다. 즉 -eU(q) e-i<11 t ~g(q)Q11 의 대응이 성립한다. 따라서 (4.2.40) 의 전하밀도 감수율을 쓰면 = e_ io .t = -Xcc(q, Wq )g(q)Qq. (5. 2. 44) 굿 ee 의 정의는 (5. I. 2) 에서 하였다. (5.2. 44) 를 (5. 2. 42) 우변의 n(q) 대신에 넣고, (5.2.43) 에 주의하면, (-(J)q 2+ 따)Qq = lg( q) l2Xee(q, (J)q)Qq 이 렇 게 하여 (5. 1. I) 이 나은다. 전 자밀 도감수율 Xee (q, (J)q) 는 (5. 1. 3) 에 주어져 있다. gq를 맨 (bare) 포논 진동수, (J)q물 가려진 포논 진동수라 부른다. 관측되는 포논 진동수는 (J) 8] 다. 이 (5. 1. 1) , (5. 1. 3) 의 기 본결 과가 어 떻 게 풍부한 내 용을 갖고 있 는가 를 이제부터 자세히 본다. 여기서 (5.2.42) 를 도출하는 데 쓴 하이첸베르크 운동방정식에 대하 여 복습하여 두자. 일반적으로 A 란 물리량의 양자역학적 기대치는 (1. 4. 5) 와 같이 파동함수를 알면 구하여 진 다. 그런 데 과동함수는 (1. 4. 1) 과 같이 슈뢰딩거 방정식을 따라 시간변화한다. 또 한 번 쓰면, K 를 총해밀토니안이라 하면, ifz 꿉

A (t) = (

ill (q, (1)) = 1 구2 F(q()q F, w ()q , (1)) (5. 3. 3) iZ2 도 자화율이 라 부르기 로 한다. (5.3.1) 에 의하면, 상자성상태의 포논 진동수는 전도전자의 자화율에 아주 직접적으로 관련된다• 이것은 대단히 놀라운 발견이다 .I) (5.3.1') 을 보면, 자화율이 커질수목 포논 진동수는 작아진다. 이것 윤 포논의 mag n eti c so ft en i n g이 라 부르자. (5.3.1') 의 우변 제 1 항은 어떤 뜻을 가진 양일까. 이온을 완전히 점 전하라고 하면 맨 포논 진동수는 (5.2.30) 의 이온 풀라스마 진동수와 같아진다. 죽 젤륨에서는 Qq2 = %t2 (5. 3. 4) 이며, (5.2.38 ) 에 의하면, jg(q) j2/ V(q) = {)pl2 (5. 3. 5) 이므로 Qi-l g(q ) 12/v(q) = o (5. 3. 6) 이 다. 따라서 (5. 3. 1') 은 다음과 같이 된 다. Og 2 = l+v(qQ) pi.l 2 . (q-,- w--q ) (5. 3. 7) = ee(%q, lW2 q ) (5. 3. 7') Ee( q,(J)）는 (4.3.53) 에 주어진 상자성상태에서의 가리기상수이다. 특히 이 가리기상수가 (4.3.28) 과 달라, 외부전하 사이의 상호작용에 대한 것 이었음을 상기하면 (5.3.7') 의 뜻은 명백하겠다. 접전하이온 사이의 쿨 몽 상호작용뿐이면, 그 포논 진동수는 9p L 인데, 그것이 전도전자에 의 하여 스크린된 것이다. 가리기 혹은 전하응답에 있어서 교환 상호작용의 효과를 무시하면 (5. 3.7) 은 다음과 같이 된다. 따 = 1+2v(qQ)p FL2 (q, (L)q) (5. 3. 8) 이것이 교과서에서 우리들이 보는 표현이다. 이러한 결과와 우리들와

결과인 (5.3.7) 사이에는 아주 큰 차이가 있다. (5.3.8) 에서는 포논 진 동수와 자화율 사이의 그 긴밀한 관계가 나타나지 않는다. 그런데, 실제의 이온은 점전하가 아니다. 원자핵 주위에 전자의 폐각 이 있어서, 이온 사이 밋 이온과 전자 사이의 상호작용은 아주 복잡하 다. 그래 서 (5. 3. 6) 이 성 립 하지 않는다. (5. 3. 6) 좌변 이 어 느 부호몰 갖게 될지 안다는 것도 쉽지 않다. 그러나, q- ► O 의 극한에서는 (5.3.6) 이 성립하겠다. 왜냐하면, 이온과 이온, 이온과 전자 사이의 상호작용은 서로의 거리가 멀어지는 극한에 서 쿨롱적 이 될 것 이 기 때 문이 다. 그러 니 까 q 가 작을 때 (q« l/a, a 는­ 평균 이온간 거리)， 다음과 같이 둘 수 있을 것이다. ili-lg ( q) l2/v (q) = ~s 。2 q 2 (5. 3. 9) 다음 절에서 유도하지만 s 。 = ilpi/ (81re2N(O) / V) 2I (5. 3.10) 는 (5.3.8) 에 대응하는 젤품에서의 음속 (sound velo city)이다. 이것을· 봄 스타버 (Bohm Sta v er) 음속이 라 부른다. f 는 그 크기 가 1 정 도의 양 인데, q가 작을 때 q에 의존하지 않는다고 생각된다. (5.3.1') 로 돌아가 보면, 어느 금속에서 ~>O 이면 그 금속의 포논은· 첼융의 그것보다 단단하고, e

수 있 다. 이 렇 게 하는 것 을 단열 근사 (adia b ati c ap pr oxim ati on ) 라 부 은다. 이 근사 밑에서 (5. 1. 1) 이 나 (5.3.1) 은 다음과 같이 된다 . 따 = Qq드 |g(q) l2Xc c( q, 0) (5. 3. 12) 따 = (Qq 2 一 |gv((qq)) |2 ) + l +|gv( q(q)) P il/lv ((qq, ) 0 ) (5. 3. 13) 언제나 단열근사를 써서 좋 은 것은 아니다. 다음 절 에서, 포는 진동 수의 허수부가 바로 전자 응답의 비단열성으로부터 나오는 것을 우티들 은 보게 된다. (5. 3.1') 이 나 (5. 3.13) 은 근사적으로 다음과 같이도 쓸 수 있 다. 따 = (Qq 2_ g記) + 1+v(q: ::Z2( q , (J)q) (5. 3. 14) 口 (Qq 2_ f2갑) + l+v(;~ piz2,( q , 0) (5. 3. 14') 이 식들의 뜻은 명백하겠다. 5. 3. 2 전하밀도파 (CDW) 와 스핀밀도파 (SDW) 3.3 에서는 스토너 자화율 X zz( 0,0) 가 OO 로 발산하는 것을 강자성에 의 상전이로 이해하였다. 마찬가지로, q ~O 에 대하여 Xzz (q, 0) = oo (5. 3. 15) 이면, 국재스진계에 관해서는 벌써 보았듯이 (2.6 참조)， 그것은 밖에서 자기장을 걸지 않아도 ::l;:0 (5. 3 . 16) 가 됨을 뜻한다. 즉 〈 m(r) 〉=〈 Cz( q)〉 ex p(iq •r) 과 같이 공간적으로 진동 하는 정적인 스핀밀도의 질서가 자발적으로 생기는 것이다. 이것을 스 핀 밀 도과 (sp in densit y wave; SDW) 라 부른다. 2) 그 발생 조건은 (4. 3. 17) 과 (5. 3.15) 에 의 하여 I-V(q) F (q) ~ O (5. 3. 17) {5.3.17) 에서 q= O 이 라 하면 스토너의 조건이 나온다. 다음에 어느 q ~O 에 대하여 2) A. W. Overhauser, Phys . Rev.128, 943(1962).

Xcc (q, 0) = 00 (5. 3.18) 이 면 어떤 사태가 일어 날까 . 그것은, 밖에서 전하포텐셜을 걸지 않아£ ::1 ;::0 (5. 3. 19) 가 됨을 뜻한다. 〈 n(r) 〉 = 〈 n( q) 〉 ex p(iq •r) 과 같은 정적인 전하밀도파 (charge densit y wave; CDW) 가 생 긴 다는 것 이 다. (4. 3. 26) 에 의 하면 (5. 3.18) 이 실현 되기 위해서는 다음의 조건이 요구된다. 1+ [Z v(q) - V(q) ]F (q) 책 (5.3.20) v이 ( qC) >DWO 인 발 생이 의상, 조(건5. 을3. 1S7D) 이W 실발 생현 되의 지조 건않 고( 5.( 53.. 31.7 2) 0과) 이 비실 교 현하 되여 기 는보자 .불· 가능하다. 그러 면 CDW 는 있을 수 없 단 말인가. 아니 다· 보통 (5. 3.18) 혹은 (5.3.20) 윤 CDW 발생 의 조건으로 하는데 그것이 잘못인 것이다. 어느 q:1;= 0 에 대하여 포는 진동수가 영, 즉 W q = 0 (5. 3. 21) 이면 어떤 사태가 일어날까? 이온의 공간적 배치가 cos( q •r) 과 같은새 로운 주기성을 갖게 된다는 것이다. 그러한 상태를 실현하는 데 에너지 가 불필요하 다는 것이다. 이때 전자밀도도 이온과동일한 공간적 주기성 을 갖게 되는 것은 물론이다. 그러니까, CDW 발생의 조건은 (5.3.18} 이 아니고 (5.3.21) 의 푸른 포논의 조건으로 주어지는 것이다. 푸른 포. 한편, 공간적 주기성의 변화는 바로 구조 상전이가 아닌가. 는, CDW, 구조 상전이는 이 렇 게 관련되어 있다. (5.3.21) 의 조건을 구제적으로 보기 위하여 (5.3.13) 으로 돌아가자. 포는 진동수는 자화율과 긴밀히 관련되고 있으니, SDW 와 CDW 의 발 생도 서로 관련되고 있다. (5.3.13) 을 보면 SDW, CDW 의 어느 쪽이 실현되는가는 우변 제 1 항, 즉 (5.3.9) 의 부호로 결정된다는 것을 안다. 결론을 정리하면, ( i ) ~>O Xzz (q, 0) =oo 이 면 SDW 가 실현된다. 그러 나 CDW 의 조건온 실현불 가능하다. (ii) ~

먼처 실현된다. (iii) ~=0 이 젤뮴의 경우에는 SDW 와 CDW 가 동시에 실현된다. CDW 에 관련하여서는 최근 1 차원 금속이 홍 미의 대상이 되고 있다. 문자 그대로의 1 차원 금속이란 없지만, 금속아온을 포함한유기분자고 체에 있어서, 금속이온의 배치가 사슬처럼 되고, 사슬둘 사이의 거리가 멀어서 상호작용이 약한 경우, 이것을 근사적으로 1 차원 금속으로보는 것이다. 1 차원이란 것이 중요하게 되는 이유는 1 차원의 린드하느함 수는 q= 2 kF 에서 발산하기 때문이 다. 그러 면 Xcc ° ( 2llF, 0) =2e2F(21lF) -40 0 이니 CDW 가 발생한다는 것이다. 그러 나 이러한 결론이 옳 지 않다 는 것을 이제는 독자도 다 아는 바이다. 이 상에 서 는, 상자성 상태 로부터 의 SDW, CDW 상전 이 를 논하였 다. 아주 비숫하게 강자성상태에서의 SDW 1.-} CDW 도 생각할 수 있고, 또 우리들은 그것을 구체적으로 논할 준비를 다 하여 두었다. 5.3.3 강자성상태에서의 포논 (5. 1. 1) 을 강자성 상태 에 대 하여 고쳐 쓰면 따 = [Qq2 _ I： ：업 2 ]+ 1 + v (q) [>:::: :q:입_ (q, (J)q) ] (5. 3. 22) =〔 Qq드 맙;} \卜 1 +v (q) 오 (:,p\2 ) +F_ (q, 0) ] (5. 3. 23) 상자성상태에 대한 (5.3.13) 이나 (5.3.14) 에 비하면 이 결과에서 포논 진동수와 자성의 관계는직접적이 아니다· 자기화의 변화에 따라 F 土(q ,0) 가 변화하며 그래서 포논 진동수가 변화하는 것이다. 이 강자성상태의 결과에 관해서도 앞 항에서와 마찬가지로 여러 문제 를 논할 수 있으나, 이것은 독자들의 과제로 한다. 5. 4 금속중의 음파와 자성 : Invar 문제 와 전 자격 자 상호작용 5.4.1 금속 중의 음파 지금까지 우리들은 금속의 포논 진동수가 그 금속의 자기적 성질에 °

떻게 의존하는가를 논하여 왔다. 주어전 금속에 대하여 F(q, w ),V(q) , f)q, g (q) 등의 양을 알면 (5. 1. 1) 에 의 하여 포는 진 동수 Wq 를 계 산해 낼 수 있다. 그래서 그 결과를 중성자 회절의 방법으로 관측한 실제의 포는 진동수와 비교하여 볼 수 있다. 사실 이러한 노력이 여기처기서 시작되 고 있다. 그러 나 실재의 금속, 특히 전이금속에 대하여 W q를 수치계산하는 것 은 쉬운 일이 아나다. 또 W q를중성자회절로결정한다는실험도어디서 나 할 수 있는 일이 아니 다. 그러 나 장파장 즉 q 0 이 어 야 한다. 이 rq 가 어 떻게 나오는가를 보자. 구보 이론을 공부할 때, 밀도행렬에 대한 (4. 1. 17) 의 초기조건에 대웅 하여 응답함수에 있어서는 (4. 1. 35) 와 같이 놓아야한다는것을배웠다. 그렇게 하면 동적 응답함수, 예를 돌면 전하밀도 감수울은 다음과 같이 허수부분을 갖게 된다. Xee(q, w+i O+ ) == R Ree XXeeee((qq, , w硏)+ +i iQ I+m) + Xiee I(mq, X(/)e) e(q, w+i O+) (5. 4. 3) Re, Im 은 각각 실수부와 허수부를 취하라는 뜻이다. 이것을 (5. I. I) 에 넣으면,

썩 = Q/-lg (q) l3 Re x,, (q, (J)g) -i lg (q) 12 Im Xcc (q, (J)q) (5. 4. 4) 이 기본방정식을 풀면 (5.4.1) 과 같이 복소수의 포논 진동수가 얻어지는 데, 우선 이 (5.4.4) 가 뜻하는 바를 정확히 이해하기로 하자. (5. 4. 3) 은 원 래 실 수의 o 에 대 하여 서 만 정 의 되 어 있 다. 그러 나 (5. 4. 4) 에서 · ImXee( q ,w)=;:0 인 이상, 실수의 범위 내에서

에 대하여 (5.4.8) 을 적용하여 보자. 린드하드함수의 허수부가 필요하 게 되는데, F(q, (J)+iO+ ) == RR e(qF, ((qJ),) (+J )i+l i(Oq+ ,) (+J)) ilm F(q, (J)+iO+ ) (5. 4.10) 라 두면 (4. 2. 14) 에 의 하 여 I(q, (J)) = Im 2k Ckf + q(一이li k--fh( e(Jk)+ 一 qi ) O + = r 고k (f(미 -f (e k+q ))o(ek+ q -Sk- 加(J)） (5. 4.11 ) 여기서, 적분을 할 때 잘 알려진 x 土li 0 + = P-:xl; -+ i1e o (x) (5. 4.12) 의 관계 를 썼 다. P 는 적 분하는 데 주치 (主値; princ ip a l value) 를 취 하라는 뜻이고, o(x) 는 물론 델타함수이다(부록 A 참조). (5.4.11) 의 결과를 (5.4.8) 에 넣는데, g(q) 대산에 (5.2.41) 의 a(q) 를 쓰기로 하면, 2rq = 누 |a( q) l2( 운) X [2 Lk Jf(미 (1-f( e k+ q) )o(ek+ q- ek-nWq ) -2 IJ /(ek+ 1 1) (1- f(미 ) 8 (ek+q - ek -hoq) ] (5. 4.13) k 여 기 서 , 양자역 학에 있 어 서 상태 의 전 이 확률 (tran sit ion pro babil ity) 에 관한 페르미의 황금률 (Ferm i 's go lden rule) 을 상기하자. 그러 면 (5.4.13) 우변의 제 1 항은 그림 5-2(a) 에서와 같이 파수 q의 포논이 전자에 의하여 흡수당하여 소멸되어 버리는 확률에 대응하는 것을 안다. 이때 전자의 상태는 (k <1)로부터 (k+ q,<1)로 전이한다. 제 2 항은 거꾸로. 파수 q의 포논이 전자에 의하여 생성되는 확률을 주고 있다. 이 두 가· 지 과정의 차로서, 포논의 수명 -r = l/2rq 가 결정된다는 것을 (5.4.13} 은 가르쳐 주고 있는 것이다. 실은, (5.4.13) 은 단순한 황금률의 결과보다 훨씬 풍부한 내용을 갖 고 있다. 첫째, (5.4.13) 에서는 전자와 상호작용하는 포논은 진동수 9

k,a'