P++P-=1 l/f ±=P士 l/f (1. 83) 울 준다. (1. 83) 은 맬가 맵士로 나뉘어지는 것울 보이는 것으로 임의의 4- 성분 스피노가 주어지면 언제나 7Jf = P+7 ff + p_7Jf (1. 84) 로 나누어 생각할 수 있다. 이제 로렌쯔 변환이 맵士에 어떻게 작용하 는가 알려 면, 먼처 답 (J리 = O 로부터 〔 P土 , 6µv]=O (1. 85) 이므로 P+ (J µv p+筋 三 (Jt µ IJf (1. 86) 이며, 맵+에 작용하는 로렌쯔 변환 낳음이는 다로 6 t V 임을 말한다. 구 체적으로 c g V 를 계산해 보면 6 曰[士:: 士 s-s- 캠=강[士 ::: 士 .,as.lls - (1. 87) 이다. 일반적인 임의의 로렌쯔 변환을 {)µ,=({)ij={ )k, {)。 k=

7f!+= ( : ) 로 합의 두번 반복에 불과한 때문이다. 그런데 건 =O+ iJ로써 임의의 복소수 벡터이므로 ci.i.jj는 합자국(t race) 이 영인 임의의 2X2 복소수 행렬이다. 이것이 바로 SL(2C) 리 대수의 정의이므로 2- 성분 스피노 는 바로 SL(ZC) 의 나품이 되며, S0(3,1) ：：：：：： SL(2C) 가 1 : 2 여럿일 치형이 되는 소이이다. 이제 M +1/).+를 보면 M+1 Jf+= (~:::~:) (1. 90) 이어서 미세변환이 SL(ZC) 로 됨을 명확히 보여준다. 다시 M+.9 -} M- 로 되몰아가면, M+1 jf+ = (((00 ++ i1< f¢a)) ·기•< 1rp/ , M-1J[_ = (\ -((00 一공i= ({)+i) ·(lx (1. 92) 로 ／土 그리고,

나듬이다. 그러나 순수로렌쯔 변환에 대해서는 (1. 94) 만이 성립되므 로, p와 x 가 서로 다론 나툼으로 되는 것이다. m小 렬은 대동일이몬에서도 자주 쓰이며, 그 특성을 익숙하게 구사 할 필요가 있다. 여기서 한 예로서 아중 62 만이 허수행렬이고, 반대 칭 행렬임을 사용해서 l 士의 상호관계를 구하는 방법을 소개한다. 야다(1 2= (1 2 ex p(승 (O+ iif>) •ii*) (12 =ex p(금 (O+ iif>) •a) = l+ (1. 95) 이 유도에 서 {0-2, 0-1} = {0-2, o-a} =O 를 사용했 다. 이 제

보이는 것이다. 이 변환을 카이탈 변환이라 하고, IJJ' =e xp (-if3r s) IJJ (1. 99) 이며 f3는 임의의 실수이고, 이 변환에 대하여 물리현상이 대칭성을 가지 면 카이 말 대 칭 성 (Chir a l S y mme t r y)이 있 다고 한다. 이 변환의 성질을 살펴보면 7[J't=河t e ip Ts (1.1 00) 에서 l/ftljf가 불변량인데, ijrI1 j! =e -2ip T si jrljf (1.1 01) 이 므로 'ijr7JJ.는 카이 랄 불변 량이 아니 다. 이들을 2 정분 스피노로 알아보면 T5 7/f土 = 土 7fJ士 (1. 102) 로부터 1fl'.i.= e-•P1/ f+ ' 1/f'_ =e•P1 /f- (1.1 03) 가 되어 1jf土가 서로 반대의 위상(p hase) 을 가지고 변환한다. 그리고, fJJl/f = W+lf l_ + fJJ_l/f+ ifr rµ 맵 = iJr+ ?T+ +@-rµlj f- (1.1 04) 이므로 (1. 103) 을 써서 歡1[f는 불변이 아니지만 i/J rµw 는 두 개의 불변 량으로 나누어침을 본다• 이들을 rp.9-}- X 로 고쳐 써보면 1jf+= [ : ] , 맵- = [ 니 에서

다. 전하 (elec ti c char g e) 가 * O (1. 106) 으로써 카이말 대칭성이 깨지고, 게이지 보촌에 질량을 줄수있어 원 하는 대칭성 깨침을 만든다. 카이 랄 대칭 성 과 관련된 다론 중요한 개 념 으로는 ABJ 비 정 상 (Adler­ Bell-Ja c kiw anomal y )12> 과 인스탄돈(i ns t an t on)13 > 동이 있다. 바정상 울 간단히 소개 하기 위 하여 1J[의 변환을 다시 보기 로 한다. 로렌쯔 변 환과 독립된 변환으로 앱' = ex p(-i a- i{3 r6) 맵 (1.1 07)

이 U (l )XU (l)군을 이룬다. a 는 U(l) 게이지 군의 변환이고, p는 카이랄 변환을 주는 양이다 . 이들의 변환에 대응되는 흐름 벡터 (curr· en t)는 a: 祐µ앱 (1.1 08) /3 : 祐 5Tµ 航 (1.1 09) 가 되어 각각 벡터와 둘벡터의 특성을 갖는다. 질량이 없올 때는 라 그란지 안이 U( I) X U (I)에 대 해 서 대 칭 이 므로, 얼핏 보기 에 (1. 108) 와 (1. 109) 의 흐름 벡터가 보촌될 것으로기대된다. 그러나 실제로화 인 만 도형 (Fe y n man d i a g ram) 을 써 서 구체 적 인 계 산울 하면 ifrrs rµIJJ ' 는 보존되지 않는 벡터량임이 둘어난다. 이는 정상적으로 기대되지 않 는 것이었으므로 ABJ 비정상이라 부르게 되었다. 따라서 U( I) X U (I)一 U (I) 으로 카이랄 대칭성이 깨어진다. 대통일장론에서는 일반적으로 카이랄 게이지 모형을 선택하는 경우 가 많으며 ABJ 비 정 상아 있으면 기 술적 인 문제 로 재 규격 화 (renor­ maliz a ti on ) 가 불가능해 진다• 그러 므로, 이 런 때 는 ABJ 비 정 상이 없 어지는 득별한 게이지 군의 나품을 선택해야 되며, 이는 상당히 강력 한 제약 조건이 되어 모형을 만드는 데 큰 도움이 된다. ABJ 비 정 상이 나타나는 수학적 이 유는 게 이 지 장의 형 태 론(t o po­ lo gy)에서 찾을 수 있으며, 형태론적 입자인 인스탄본(i ns t an t on) 해 (solu ti on) 의 존재에 기 인한다. 이 인스탄돈은 카이 랄 대칭성 깨침, AB J-비정상 의에도, 강한 상호작용의 CP 불변성, 악시온 (ax i on) 둥 과 밀접하게 관련되어 있다. 게이지, 카이탈, 그리고 같음꼴 대칭성 이 셋의 공통적 특성은 모두 가 입자의 질량 그리고 장론의 재규격화와 깊은 관련이 있다는 접이 다. 게이지 이론의 획기적 발전은 이 문제를 극복함으로써 이루어졌 고, 카이탈 대칭성은 기술적으로 많은 발전이 있었으나 아직도 DSB 둥에서 확고한 이해가 되지 않고 있으며, 같음꼴 대칭성온 기본 방향 이 설정되지 못한 형편이다. 각도를 달리해 말하면 질량과 재규격화

가 현대 소립자一장론 발전의 핵십적 과제로 여전히 남아 있는 것으 로 볼 수도 있겠다. 카이랄 대칭성은 페르미온의 속박상태(b ound s t a t e) 에서 특 히 중요 한데, Q CD 에서는 쿼크들의 속박상태인 중간자나 중립자들의 이해를 위해 필요하고, 대통일이론에서는 복합모형 (comp o sit e model) 에서 문 제가된다. (4) 전하짝 대칭성 지금까지는 연속적인 변환에 해당하는 리 군 (L i e g rou p)을 취급 했 지 만 이 항에 서 는 띄 엄 띄 엄 대 칭 성 (dis c rete sym metr y ) 이 만드는 유 한군(fi n it e g rou p)을 다루기로 한다 . 먼처 시공간에서 좌우 대칭성을 주는 흉짝 대 칭 성 (par ity)울 보도록 하자. 그 정 의 (t', x') = (t, -x) (1.1 10) 로부터 1J!' = H 1J!라 할 때 n-1rll= (r0, -f) (1. 111) 이 되는 H 를 찾으면 된다. ro 가 곧 이 성질을 만족시키므로 ljJ'( x') =rOlJ J(t, 조) =rOlJ J(t', －조') (L 112) 로 P- 변환이 정의된다. 그리고, ro t =r0 를 쓰면 ifr'( x') = ifr(x )r0 (1. 113) 가 나옴으로 光갭 r 와 ijr T5Tµ 征가 P- 변환에 대 해 서 둘스칼라와 돌벡 터 임 을 알수 있다. p-변환에 대해서 맵士가 어떻게 변환되는지 알아둘 팔요가 있다. 간 략하게 하기 위해서 시공간 부분은 생략하고, 맵 ;=n 맵 +=To 뷰口1/f= (모) crow) = (航 I) e-) (1. 114) 이 얻어지며, 이를 다시 쓰면,

n7[f± = (lllJJ) 干 (1. ll5) 이다. 이는 마치 왼편과 오른편이 P- 변환에서 맞바뀌듯이 河+와 硏-는 P에 의해서 서로 바뀌는 상태임을 보여준다. 흐름 벡 터 (curren t)의 변환을 보면 cifr+ Yr,, (1JJ+ Y = (ifr') -r,, (1JJ')- (1.1 16) 가 되므로 (+）흐름이 (-）흐름으로 바뀐다. 이로부터 벡터 흐름과 돌 벡터 흐름이 Vµ = Wrµlf != W+r 尤 + iir-r µlf !- Aµ = Wrsr1,lf! = W+rµlf !+ - iir-r µlf !- (1.1 17) 이므로 V~=Vµ, A~=--'-Aµ 로 서로 부호가 달리 바뀜을 본다. 전하짝 대칭 (charge conju g a te ) C 는 c-'rPC= -rµT (1.1 18) 를 만족시키도록 정의되며, 비요르켄-드렐의 표기를 택할 경우 C=ir z ro= -C7'= -Ct = -c-1 (1.1 19) 가 된다. C 는 일반적으로 SO(Zn) 의 스피노 나듬에는 언제나 정의되 며 ijr와 fir e 가 같은 SO(Zn) 변환을 하도록 만드는 것 이 다. 우리 의 경 우 S0(3,1) 이므로 맵' =exp ( 숙(J) µ,6µ') lf!, W' = Wexp ( f(J)다 이고, 따라서 W'C=Wexp ( 거(J) 6µ') C =iirc [c-1exp (-f(J),.,u ) c] =WCex p(f(J)µ•러 (I. 120) 가 되어야 한다. 실제로

c-1,µVC= -O'µv (1. 121 ) 임을 구체적으로 . r 행렬을 써서 보일 수 있다. 맵의 전하짝 상태를 7j! C 로 표기하면 그 정의를 다음과 같이 할 수 있다.* we = C7 /fT = Cf 07 J f* (1. 122) 이로부터 罪=-맵 Tc-l (1. 123) 임을 보일 수 있다. 대통일이론에서 주로 쓰게 될 표기법은 1JJ土오1- 1JJ~이므로 이 기호의 정확한 정의를이곳에서 해두겠다. 먼저 기호의 우선 순위 를 정함으 로써 혼동을 피할 필요가 있다. 가령 1JJ$라 하면 C 와 +중 어느 것을 먼저 해야 되는지 모를 수가 있다. 그 순서는 l/fg =( 1/fC) + =(平) . C(W )T (1. 124) 이고, 呼三薄巧.+ (1. 125) 이며 -울 제일 나중에 해야 한다. 죽 우선 순위가 {C-+ 土一-}로 정해져 있으며 이 순위가 안 지켜질 때는 명백하게 ( ）를 써서 ( ) 안의 연산자를 먼저 행하는 것으로 한다. 이상의 정의를 써서 다음 공식들을 유도 또는 확인함으로써 이들 기 호에 숙달케 되리라 본다. lff~= C(W_y , l/f _=C 潭 DT ~= -c w_y c -1, w-= - cw~y c -' (1.1 26) 이 들 사용법 의 연습으로 ffrlff와 fJr rµ lff의 표현 법 을 생 각해 보자.

iJrlJf =i ir뱃+ + 抗+맵_ = (-)wfc -l 1j[++iJr +C評 (1.1 27) Wr//f = 1f! +r 尤 + 1]r -rµ 앱~ == iiifr r+r+ 尤깁仁- +i~i 7rJ ~Jtcf~µ-I1Jf7f µ C( 約 )T = ifr汀尤 -評 7µ 1/ff (1. 128) 이 식에서 얻어지는 중요한 사실은 멜1JJ_｝를 한 조로 쑬 수도 있지 만 {7Jf+, IJJ~}를 한 조로도 쑬 수 있다는 접이다. 대통일이론에서는 후자를 주로 쓰는 경향이므로, 이 기호를 숙지하는 것이 좋겠다. 끝으로 CP 변환울 생각해 보자. 그 정의는 7/f一 roc ijr T = r07J fC (1. 129) CP 이며 @—맨 TCro= 匠 (1.1 30) 이들을 이용하여, 한 예로저, 다음을 증명할 수 있다. 恥 'µWk 一ifr 9rorµrow~ = -iffi平河, (1.1 31) 여기서 F= Cr0, （一)f)를 의미한다. ·(5 ) 마조라나 페르미온 로렌쯔 변환의 스피노 나툼을 l 로 표시하면, ?ff'= llff, 崩'=崩 l-1’ W'C= (l/fC) Z-1 (1. 132) 로 변환이 나타난다. 세번째 석은 C 의 정의가 ijJ와 WC 가 같은 로렌 쯔 변환이 되 도록 만들어 진 데 서 나왔다. 마조라나 페 르미 온 (Ma j orana Ferm i on) 의 정 의 논 iff=1J!TC (1.1 33) 이다. 죽 로렌쯔 변환이 같을 분만 아니라, 완전히 일치하는 스피노

가 되도록 강한 조건이 들어간 것이다. 그런데, (1. 123) 에서 ij c= 맵 TC 이므로, 마조라나 페르미온은 航=河C (1. 134) 죽 그 자신이 스스로의 전하찍 · 상태를 이룬다. 따라서 입자, 반입자 의 구분이 없고, 자유도 (de g ree of fr eedom) 가 2 밖에 없다(보통 디 락의 征는 4 임). 이제 새로운 표기 방법으로 니 니」 T=(

이제 이들 맵 M 을 맵루 쪼개는 경우를 알아보자. 도 (부)1j! M= 송 (:* ) (1.1 41) 1jfM - 三 (부)1/f M= 상 (- (( *가 서로 독립이 아님은 *= -(J2 (

자주 쓰게 되는 표기 방석을 따라서 7/f-, 맵으로 질량항을 고쳐써 보 떤 M讓 안 cw_+ iir_ ciir ~T ) +M” 맬으 C 7Jf ~T+ 7/f!따) (1. 147) 이 된다. 이 표기법은 대통일이론 중 특히 요의 질량 문제를 다물 대 유용하게 쓰이게 된다. 이 장 전체에서 브죠르켄―드렐의 표기를 써 왔는데, 문제에 따라서 다른 표기를 써야 될 경우가 많으므로, 여기서 중요한 두표기법을소 개하겠다. 마조라나 나툼은 마조라나 패르미온이 실수 스피노가 되도록 정의 된다. 죽 1j!t=1JJT (1.1 48) 이 며 , fif M=w i c 에 서 fifM =f ifhr 0 = 1JJJC (1.1 49) 이 므로 C=ro 가 되 는 나둠이 다. S0(3, 1) 의 경 우 ro = 01 ®0 2, r1 = i(} 1®0 3 rz=i (} 3®I, r3= 국亦訖 (1. 150) 으로 잡으면 C=ro=r0 가 c-1rµC=-r~ 롤 만족시킵을 본다. 이 경우 모든 rµ 가 허수행렬임울 주의하라. 이 표기법에서는 炳》는 복소수 4- 성 분이 고, 航江온 실수 4- 성 분이 며 , 따라서 2 개 의 마조라나 스피 노를 써서 하나의 디락 스피노를 만들 수가 있다. 카이랄리티와 관계해서 가장 편리한 표기법은 바일 (We y l) 의 나툼 으로 ro= [+I j =0 1®I r= [ _ jj jj] = i0 2®i f (1.1 51) 이 며 rs=ir 0 r1r2r3= (-)(l 3®I 이 다. ljf±는

lfJ+= (부) ( ~ )= ( : ), If!_= ( 니 (1.1 52) 가 되어 1jf土가 각각 2 성분

라그란지 안은 로렌쯔 변환, U (l)－변환(맵士_一 C 'a 炳요, c, P에 대 하여 대칭성을 가졌고, m=O 인 경우에는 카이랄 U (l)(航士―一 C 土j/I炳士) 및 같음꼴 변환에 대해서 대칭이다. U (l)－변환을 국부 게이지 변환으로 만들면 막스웰―디락 라그란지 안이 얻어지는 바, 오 -D = 구 -Fµ , Fµ • + ifr(i'iJ 一 eA) 1Jf + mif r1Jf (1. 157) 가 된다. 이로부터 막스 웰 -디락 방정식을 유도 할 수 있으며, 이들이 가지는 대칭성은 위에 말한 것과 동일하다. 대동일이론에서는 m=O 인 경우를 주로 다루게 되므로 여기서 간단 히 이 경 우의 라그란지 안을 다루어 보자. 7JJ+와 IJJ-는 완전히 독립 되 어 지 므로, 7JJ-만 생 각해 보면, £。 = ij_iiJ7JJ_ (1.1 58) 로부터 iiJ曹 _=0 가 나오며 , 양에 너지 (po sit ive energy ) 평 면과 해 를 보 떤 7JT(츠)= 馮국 .2E u( p) • e- i (E t구 ·X) (1. 159) (Er 드軒) • (틀 )u (p )=O (1. 160) 이다. 이를 좀더 풀어써 보면 [EE -구P:•:ii 二:；二:::;][ (~;-~,-,] =0 (I.1 61) 죽

보여준다. 따라서 u(-) 는 오론 회전 뉴트리노 (r ig h t handed neutr i n o ) 에 해당된다. 그리고, 우리의 표기법인 1fl士는, 일반적으로 1fl~ 즉, 1fl+~7/fL, 7/f_<--+1f!Ro ] 된다. 라그란지 안(1. 152) 는 C 와 P에 대해서 대칭이 아니지만, CP에 대해 서는 대칭이다. 그리고, 국부 개이지 변환이 가능하며 1fl(- )(x)-+eja (z) 硏 (x) 에서 !t = ifr-C io 一 W) IJJ (-) (1. 164) 로 쓰면 된다. 물론 이 경우 Wµ 를 주고 받는 상호작용은 C 와 P를 깨 는 견과가 나온다. 그리고, 질량을 주려면 마조라나 질량항을 넣음으 로써 가능해지는데, 페르미온 수를 보존하지 않는 항이 된다. 구체적 으로써 보면 £ma j orana= iiJ(ig _W) 맵 -+m 맵또 C ljf너 -h.c. (1.1 65) 이고, 만약에 )) ))µ, ）） r 가 모두 질량이 영이 아니면 이들 상호간에 전 환도 가능하게 된다. 끝으로 입자물리 현상과 관련해서 중요한 사실 몇 가지만간추려 말 하고자 한다• 지금까지 발견된 입자들은 경입자와 쿼크로 기술되며, 이들의 전자기적 상호작용은 Q ED 로써 정확히 기술되고 있다. 이들 이 가지는 전하는 ))(O) e(-1), u( 출), d( 二」-）이며, 아 의에 µ-및 1:-계 열 입자가 있다. 이를 간략히 표기하면, Jt M 으로 나타낼 수 있 으며 JlM = 一硏%+§硏 u+--= 간硏 (1.1 66) 로 쓸 수 있고, 대응하는 라그란지안은 각각의 입자에 대해서 쓰면 된 다. 여 기 서 u 는 좀더 자세 히 쓴다면 lf! u 라고 해 야겠지 만, 혼동의 염 려가 없으므로 일반적으로 단순한 표기를 사용한다. 이런 입자들의 QE D 만 보면 전하의 보존분만 아니라, 각입자의 수 (죽 ））수, 전자의 수…)와 C, P 둥이 보존된다. 그러 나, 이 들의 대 부 분은 약한 상호작용에서는 깨져 버리므로, 이런 대칭성의 만족 여부 에 따라 서로 다론 상호작용이 구분된다.

실험적으로 측정된 광양자(p ho t on) 의 질량은 6X10-22 MeV14) 보다 작다. 죽 거의 영이며, 다른 뜻은 U( I) 게이지 대칭성이 완전에 가깝 게 지켜진다는 의미다. 왜 같은 게이지 대칭성 중 어느 것은 깨어지 고, 어느 것은 완벽에 가깝게 그대로 유지되는지, 그 근원을 이해하 는 것이 대동일 이론의 중요 과제 중의 하나다. 제 1 장 참고문현 1) S.L. Glashow, Nucl. Phy s. 22(1 9 61), 579; S. Wein b erg, Phy s. Rev. Lett . 19(1 9 67), 1964; A. Salam, in Elementa ry Partic le Theory: Relati vis t i c Group s and Analyt icit y (Nobel Sy m p o siu m No. 8), edit ed by N. Svarth o lm(Almg u is t and W iks ell, Sto ckholm, 1968), p. 367. 2) G.Arnis o n et. al. , (UAl collaborati on ), Phy s . Lett . 126B( l98 3), 398; P. Bag n aia et. al. , (UA2 collaborati on ), Phy s. Lett . 129B(l983), 130. 3) A.D . Sakharov, Sov. Phy s. Doklady 12(1968), 1040. 4) S.L.Adler, Rev. Mod. Phy s. 54(1982), 729. 5) S. Kobay a shi, and K. Nomi zu , Foundati on s of Di ffere nt ial Geometr y (Wi le y , N.Y., Vol. I, 1963; Vol. II., 1969). W . Drechsler and M. E. Maye r, Fi be r Bundle Techniq u es in Gaug e Theorie s , Lectu r es in Math e mati ca l Phy s ic s at the Univ e rsit y of Texas at Austi n, edit ed by A. Bohm and J.D . Dollard. ( Sp ri n g e r-Verlag , Berlin , 1977). 6) R. Penrose and M. A .H . MacCallum, Phy si c s Rep o rts 6(1 9 72), 241; L.P . Hug h sto n , Twi st o rs and Parti cle s(Sp r in g e r-Verlag , N.Y. , 1979). 7) P.A . M. Di ra c, Proc. Roy . Soc. A133(1 9 34) 60; Phy s Rev. 74(1948), 817. 8) T.T. Wu and C.N. Yang , Phy s. Rev. D12(1975), 3845. 9) G.'t Hooft , Nucl. Phy s . B79(1974), 276. 10) C. Dokos and T. Tomaras, Phy s. Rev. D21(1 9 80), 2940. 11) J.D . Bj or ken and S. Drell, Relati vis t i c Qu antu m Mechami cs (McGraw, N.Y. 1964) ; Relati vis t i c Q u atu m Fie l ds (McGraw, N.Y. 1965). 12) S.L. Adler, Phy s. Rev. 177. (19 69), 2426; J.S . Bell and R. Jac kiw , Nuo 奴 o Ci m ento 60A(1969), 47. 13) A. Belavin , A. Polya kov, A. Schwartz , and Y. Ty u p k in , Phy s . Lett . 59B( l975 ), 85. G.'tH ooft , Phy s . Rev. Lett . 37(1 9 76), 8. 14) A.S. Goldhaber and M.M. Ni et o , R

제 2 장 약-전자 통일장 : SU(Z)XU( l) 게이지 장론 1 약한 상호작용과 재규격화 약한 상호작용은 핵의 8- 붕괴에서 처음 관찰된 이래 뛰어난 여러 물리학자들의 노력을 통하여 그 비밀이 접차 벗겨져 왔으며, 이 과정 에서 자연의 깊은 신바를 우리에게 가르쳐 왔다. 현재에도 소립자 물 리학의 중십 과제라고 불릴 만큼 활발히 연구되고 있고, 특히 근년 에 들어 비아벨군을 쓰는 게이지 장론으로 전자장과 통합에 성공함으 로써, 대통일이론의 방향을 시사하는 바 크게 되었다. 그러므로, 이 장의 목표는 대동일이론을 염두에 두고, 작은 통일의 연습을 하는 데 있으며, 성공적인 이론이 갖추는 개념과 수식화체계(fo rmal i sm) 를 배 우고, 조사하도록 해 야겠다 • 약한 상호작용의 발전 과정을 잠깐 훑어보면 입자물리학에 얼마나 큰 역할을 해왔는지 알 수 있다. 먼처 p붕괴에서 ))의 존재를 처 음 침작하게 했으며 (Paul i ),1> P와 C 가 최대한으로 깨어지며 (Lee and Yang ), 21 CP도 아주 약하게 깨어졌음을 보여줬다 (Cron i n and Fit ch ). 3> 상호작용의 독성 은 처 음 페 르미 (Ferm i)가 4- 페 르미 온의 흐름 상호작 용 (curren t i n t erac ti on) 으로 기 술한 이 태 , 카비 보 (Cabb i bo), 화인만 (Fe y nman) 과 겔―만 (Gell-Mann), 4> 젤도비치 (Zeldovic h ),5> 수다샨 (Sudarshan) 과 마르삭 (Marschack),6 》 그리고 리 (Lee) 와 양 (Yan g) 둥 의 기여를 통하여 흐름벡터 (curren t)의 특성이 서서히 밝혀졌다. 이 흐름 상호작용이 하나리 성 (un it ar ity)에 위 배 되 고, 재 규격 화가 불가능

인 결과가 글라쇼우 (S. L. Glashow)” 에 의한 SU(Z)XU(I) 대칭군의 도 입 과 와인버 그와 살 람(W e i nber g and Salapl .) 이 8) 힉 스 장을 쓴 국 부게이지 변환과 대칭성 절로 깨접을 써서 이론의 완성을 보였으며, 그후 트후프트(t' Hoo ft)와 리 (Lee) 및 전—처스틴 (Z i nn- J us ti n)10 ) 이 이 이론의 재규격화 가능성을 증명함으로써 널리 인정받게 되었다. 이 이론은 실험적으로는 중성흐름 (neu t ral curren t)이 예측대로 관측 되었으며, W 떡 zo 보존이 기대하는 질량을 가지고 있음이 밝혀져서 신빙성이 높아졌다. 그러나, 아직 힉스장이 관측되지 않았고, 이에 의한 대칭성 철로 께침이 이론적으로 만족스럽지 못한 접에서 이 GWS 이론은 아직도 문제점이 있다고 봐야겠다. 막스웰 방정식에서 자연의 깊은 원리와 개념이 도출되었듯이, 만약 에 GWS 이론이 자연현상의 일부를 찰 기술한다떤 그로부터 일반적 이고 강력한 아이디어를 얻을 수 있을는지 모른다. 그러므로, 약-전 자 동일장 및 그를 포함하는 표준 모형 (sta n dard model; 강한 상호작 용 포함)을 상세히 공부하고, 또 새로운 눈으로 다시 보는 일을 몇 번이고 거듭할 가치가 있다고 본다. 대통일이론의 입장에서는 대칭성이 가장 중요한 관전이므로, 약-전 자 GWS 이론도 역사적 발전 과정이나, 실험적 입증순서를 따르지 않고 먼저 군론부터 출발하기 로 한다. (1) SU(2) 의 나툼 소립자에서 주로 다루는 군은 SU(n) 인데, 그중제일 간단한 SU(Z ) 는 이미 회전군과 각운동량에서 다루어지므로 이곳에서는 논의의 연 속성을 위하여 간략한 복습을 하는 정도로 그치겠다. SU(Z) 군의 정의는 2X2 행렬의 집합으로서 {ulutu =l, det u=l} (2.1) 를 만족시키는 집합이다. 이 군의 리 대수는 2x2 행렬둘의 대수와 일 치하며 이들이 만족시켜야 될 관계들은 u=e-iH , Ht = H, trH =O (2.2)

이다. H 는 일반적으로 H=¥ •6 만 (81 0' 1+82 0' 2+83 야) (2. 3) 로 쑬 수 있으며, 여기서 더 1 1], (J가 가 어 1 -1] (2. 4) 이 고, 0 i는 실수 (real number) 이 다. 이 들이 만드는 리 대 수는 뒤 바꿈 관계 식 (commuta t i on relati on ) [뚱 운) = i E.j k앙 (2. 5) 으로 결정지어지며, 회전군 S0(3) 의 [L;, L;] = iEm Lk (2.6) 의 대수와 완전일치형(i somor p h i sm) 이다. SU(2) 군의 기 본 나둠은 2 차원 복소수 벡 터 공간의 변환으로. 정 의 되며, 한 벡터를 a]로 표기하면 니:: (2. 7) 로 세 로 벡 터 (column vecto r ) 이 며 , 이 의 변환은 입 '=e 令 0.%, 또는 6v= （금(}·(T)? (2. 8) 가 된다. 이 기본 나툼을 써서 여타의 못줄임 나품들을 만들어 가게 된다. 먼저 입= {다를 벡터로 볼 때, 텐서 꾼 b t·”가 역시 나품 공간을 이루 는데 가장 쉬운 예로 2 계 텐서 va6 물 생각해 보자. 임의의 vab 는 반대 칭 (A) 과 대칭 (S) 성분으로 언제나 나눠지며, va6=Aa6+Sab (2. 9) 로 쓰면, Aab 와 Sob 는 각각이 SU(2) 의 못줄임 나툼이 된다. A·b 는 AlZ= -AZl 한 성 분분이 므로 사실상 1 차원 벡 터 에 불과하며 , Sob 는

812=821,s11,s22 세 성분이 있다. 이들의 변환을 보면 oAab= (구 ·( J') aa ’A” + (금{} .( J') bb ,Aab , = (구•(1 )°a'Aa'b- (금타) ” 'Ab'a= O (2.10) 이다. 이는 Aob 가 SU(Z) 에 관하여 불변임을 보이는 것이며, 다시 말 하면 SU(Z) 의 외 짝 (s i ng le t) 나툼이 된다. 한편 Sab 는 os•b= (구·(J )aa,S.,b+ ( 子(J )bb,Sab' (2. 11) 로부터 3 차원 벡 터 로 회 전함을 볼 수 있 다. 죽 {S11, S2 2, sl2} 가 {x, y, z} 처럼 SU(Z) 의 요임을 약간의 계산으로 보일 수가 있다. 2 계 텐서로부터 일반적인 n 계 텐서 v•, ••• ”으로 쉽게 넘어갈 수가 있 다. 반대칭 성분은언제나스칼라가되므로결국대칭성분만이 8U ( 2) 의 나툼을 이 룬다• 실제 로 모든 8U(2) 의 못줄임 나툼은 sc• 1·· ·•· ) 즉 n 계 대칭 텐서로 구성되며, 각운동량의 용어를 쓰면 l= ½ n (n=l, 2,… ) 되는 나툼이다. 일반적인 SU(n) 에는 없고, SU(2) 에 특유한 성질의 하나는 v * 가 독립된 나툼이 아난 점이다. 이를 보기 위하여 v* 의 변환을 보면 V'*=e{-o • a• v--*' -= e_ -{-o • (- a') v * (2·12) 인데 6*= 균이 므로, 이 경 우 낳음이 (g enera t or) 가 T6 一_一7jj — T 로 바 뀐 셈이다 (2.8 식 참조)． 그런데 파울리 행렬의 특성으로 (i(J'2) 子_6T (i(J'2) t = T5 (2.13) 이 성 립 한다. 이 는 따라 ＊간에 하나리 변 환 (un it ar y tra nsfo r mati on ) 이 성립한다는 뜻이므로 이 둘은 동등한 나툼 (e q u i valen t re p . ）이 된 다. 죽 (i (!2V*) 와 V 는 같은 나툼이 며 , v' = e-{-o • a v, (i(J'2v *') = e 令 D • a (i(J'2v *) (2. 14)

이 다. 결론적으로 SU(Z) 의 모든 뭇줄임 나툼은 S 아 •• ”으로 기술된 다. 그러나, 이 결론은 SU(Z) 에 한정되며 SU(n), n~3 일 때는 전 혀 성립되지 않음을 강조한다. (2) SU(2)LXU(l) y과 입자의 나툼 소립자들이 어떤 군의 나툼으로 분류되어야 할 깊은 이유는 아직까 지 발견되지 않았다. 사실 1960 년대에 겔만 11) 이 SU(3) 로써 소립자의 분류를 시도했을 때 처음에는 널리 받아들여지지 않았을정도이다. 최 근의 경향은 모든 기본 입자가 내부 군의 나툼으로 분류하는 것이 당 연시되는 것을 넘어서 마치 철칙이라도 되는 것처럼 받아들여지고 있 으나, 이런 신념 내지는 유행을 뒷받침할 깊은 철학 같은 것은 없다 고 보아야겠다. 또한 내부 군의 존재를 인정한다고 해도 그것이 어떤 특정한 군이어야 된다는 법칙도 없으며, 일단 군이 결정됐다고 치더 라 도 . 그 군의 어떤 나툼이 입자의 분류에 소용되는 것인지 결정하는 방법도 없다 . 현재까지 사용된 방법은 (가) 이미 발견된 입자들의 일부를기본 입 자로 가정하고 (나) 임의의 적당한 군을 내부 군으로 상정하며, (다) 그 군의 나툼중 기본 입자와 일치하는 것이 있는가를 겅토한다. 이를 여러번 시도해서 맞는 답이 얻어질 때까지 하는 것이며, 상호작용을 잘 기 술하는가도 따져 봐야 한다. 약한 상호작용의 경우 여러가지 군이 제시되었었으나, 글라쇼우의 SU(2)LXU(l) y 약-전자 통일군이 성공적인 것으로 밝혀졌다. 대통 일에서는 아직까지 군의 선택에 결정적 성공이 없으며, 전반적 방향 자체까지도의십해 볼필요가있는상황이다. 여기서는글라소우의 방 법에 따라 입자들을 SU(Z)xU (l)의 나툼으로 분류하는 것을 간단히 복습하기로 한다. 먼저 경 입자족(l e pt ons) 을 보면 ))는 질량이 없고 ))L 만 있으며, 약한 상호작용에 서 ())L, eL) 이 짝으로 나타나고. eR 은 약한 상호작용이 없다. 그러 므로 SU(2)L 의 다음과 같은 나툼으로 보면 제 일 간단하다. 죽 [ :: ]=SU(2)L 스피노, eR=SU(2)L 의짝나툼 (2.15)

이제 U (l)y의 나툼울 주어야 하는데, 알려져 있는 것은 U(l),m 의 전 하 Q이고, 구하는 바는 U(l),mcSU(2)LXU( _ l) y로 동합을 하려는 것 이므로 Q를 Y와 I3(I3 는 SU(Z)L 의 제 3 낳음이)의 적 당한 조합으로 줄 수 있는가 시도해 본다, Q= al3+bY (2. 16) 이미 주어전 값은 Q (eL)=Q (eR)=-1, Q())L )=O, /3())L )=½, l3(eL)= 극」 /3 (eR) = O, Y())L ) = Y(eL) = Yd, Y(eR) = Y,, 이므로 이들을 대입해서 방정석을 풀면 a, Yd, Y’ 를 구할 수 있다 . .b 는 Y의 단위 (norma li za ti on) 를 주는 약속에 따라 결정되므로 임의로 기준을 잡아 b=l 로 한다. 그러면, Q= ls+Y (2. 17) 가 나온다. 그리고, Y,=-1, yd = 二장- 이며 이들을 그림으로 나타 내 면 그립 2-1 과 같고, 표는 아태 와같다. I3 y l_2 y .2!. I, eVLL 7- J12_ .7..-.. 2:1:1 . . eL _7l VL eR I 。 _1 ”.,._1 지금까지 발견된경입자들은 3- 세 대 *(g enera ti on) 로 나뉘 어 지 며 , 그립 2-1 eL, ))L , eR 의 13, Y값 [ 디, [ 디, [ :: ]; e 다군 R (2.18) 이들을 각각 e-, µ-, -r:-계 경입자라 부른다. 쿼크의 경우도 역시 3- 세대가 존재한다고 믿어지며, 이들은 * ge nerati on 또는 fa m i l y(입 자족).

[ :: ], [ 디 , [ ;: ] ;u R, cR, tR , dR, sR, bR (2. 19) 이다• 3- 세대가 상호작용의 성질은 다 같으나 질량만 다른 것이 특칭인 데, 왜 이런 세대들이 촌재하며, 얼마나 많은 제대가 더 존재하는지, 서 로 얼마나 섞 이 는지 (Cabbib o m i x i n g의 일반화)， 이 들의 질 량은 어 떻게 결정되었는지 둥이 전혀 실마리조차 못 찾고 있다. 이 문제들은 그 해결이 대통일이론에서나 기대되는 자연의 깊은 비밀인 것이다. (3) 페르미 이른과 재규격화의 문제 페르미이론은 {3－붕괴 둥 낮은 에너지의 약한 상호작용을 취급하기 위한 한 방편으로 도입되었으며, 흐름 벡터 (curren t)간의 결합으로 나 타난다. 라그란지 안으로 쓰면 2w= 방- 을{JJ, (x) JP (x)+ 長)J가 (x)} (2.20) 으로 GF 는 실험 데 이 타로부터 결 정 되 는 결 합상수 (cou p l i ng consta n t) 이 다 (GF:::'.: l. 027 x 1Q- 5M;2 ; MP 는 양성 자 질량)． 초기 의 약한 상호작 용의 발전은 주로 흐름벡터 J거 성질을 규명하는데 있었으며, 많은 전전이 있었지만 아직도 완전히 해결된 것은 아니다. 예로서 잘 알려 진 경입자 e 와 µ의 Jµ를 보면. Jµ =erµ(1-r5) ）） +#rµ(1-r5) ）） '=e 따）） L+µ 따））1. (2. 21) 이 고, 이 들을 써 서 µ一붕괴 나 ))e ->))e 등의 가장 단순한 화인만 도형 을 다음과 같이 그릴 수 있다.

µ

이 페르미 이론은 하나의 계산방법에 불과하고 이론체계가 될 수 없 다. 그 까닭은 하나리 성 (un it ar ity)을 만족시 키 지 못하고, 재 규격 화 가 불가능하기 때 문이 다. 예 로써 그림 2-3 과 같은 도형 에 서 나타나는 무한대를 처리하는 체계적 방법이 도입될 수 없기 때문에 무의미한 도형이 되는 것이다•

그립 2-3 무한대가 나오는 도형의 예

이 러 한 문제 를 개 선하려 는 노력 으로 중간 벡 터 보존(i n t ermed i a t e vecto r boson; IVB) 을 써 서 Q ED 와 유사한 이 론체 계 를 구성 하려 는 시도가 있었다. 그러면, 라그란지안은 f£= ~(JP W 》一)+J: w~+ l ) (2. 22) 이 며 그림 2-2 의 도형 들은 그림 2-4 처 럼 바뀐다.

µ

IVB 의 퍼 치 개 (pro p a g a to r) *는 Dµ, _g µkv2+ — 모M 2 / M2 (2.23) 로서 k2<〈 M 멜 때는 페르미 이론으로 근사되며, 2 GF/ ✓ 짱=겹了 (2. 24) 를 *따 pr옴o p a ga to r : 퍼드리는 것 또는 퍼치는 것 〈개〉는 지우개, 랴개 등으로 쓰이는 〈개〉

의 관계로 실험상수 GF 가 기본적인 양인 g와 M 으로부터 유도된다. 이 이론은 하나리성과 재규격화에 상당한 개선을 주지만 퍼치개가 갖고있는 kµkv/M2 (2. 25) 항 때문에 k->oo 갇 때 결국은 치유될 수 없는 무한대 문제가 나오므 로 이 역시 이론체계로 받아들일 수 없었다. IBV 이론은 Q ED 와 달 리 보존의 질량 M 이 있고, W 켜 게이지 보존이 아니므로 게이지 대 칭성이 없다. 바로 이 문제를 개선한것이 와인버그-살람의 이론이다. 2 절에서 GWS 의 약전자 동일장론을 들어가기 전에, 이 이론이 냐 오는데 가장 중요한 동기를 제공한재규격화에 대해서 언급할 팔요를 느낀다. 원래 재규격화는 Q ED 를 만들 때에 나오는 무한대 양을 처리 하는 임시 방편으로 도입된 것에 불과했었다. 아직도 많은 사람들은 재 규격 화가 팔요없는, 죽 무한대 가 나오지 않는 이 론이 나와야만 전정 한 의미에서의 자연의 기본 법칙이 될 수 있다고 생각한다• 그럼에도 불구하고, 약한 상호작용에서는 재규격화 불가능한 이론을 가능한 이 론으로 바꾸려고 노력한 것이 큰 결실을 본 셈이다. 재규격화와 자연의 기본 방정식과의 관계는 과연 무엇인가? 재규 격화를 이론이 만족시켜야 하는 요건으로 내세우며, 모든 이론은 재 규격화를 필요로 한다고 볼 것인가? 아니면 처음부터 재규격화가 팔 요없는 유한(fi n it e) 이론을 만들어야되는것인가? 대통일이론에서는 앞의 견해 죽 QED 와 GWS 이론의 경험을 그대로살리고 있다. 중력 장론의 경우 둘 중 어느것인지 알 수가 없다. 아인시타인의 방정식을 단순히 양자화하려는 시도는 페르미 이론처럼 재규격화가 불가능하므 로 아인시타인 식을 하나의 근사식으로 보고 개선채울 시도할 수 있 겠다. 그러나, 반대의 견해를 택하면 중력장은 상대성이라는 깊은 철 학에서 나온 기본 법칙이고, 재규격화는 현 계산능력의 부족에서 나 오는 기 술적 인 문제 에 불과하다. 따라서 중력 장의 양자화는 지 금까지 의 Q ED 에서 쓰던 방안을 뒤어넘는 더 깊은 방식으로 해야 되며, 그 경우 모돈 물리량은 유한하게 계산되어져야 한다고 생각할 수도 있다. 재규격화가 기술적이고 지엽적인 우연인지, 아니면 깊은 원리를 내 포한필연안지는물리학이더 발전한후에나판가름이 날것 같다. 여

기서는 마하의 원리 (Mach's p r i nc ip le) 와 비교해서 독자의 관십을 불 러일으키는 정도로 끝맺고자 한다. 재규격화에서는 {e,m} 동과 같은 기본량들은 대단히 큰 운동량 공 간이 결정하게 된다. 마하의 원리에서는 물체들의 질량(또는 관성)은 아주 멀리 있는 공간의 물체들에 의해서 생겨난다. 그러므로 이 둘은 운동량 공간이냐 시공간이냐만 다를 분 대단히 흡사하다고 볼 수 있 다. 결국기본물리량(질량동)은 우주전체, 운동량공간전체가 결정 하는 양이며, 국부적인 현상만의 결합으로 알수있는 것이 아닌샘이 다. 이를 받아들인다면 질문은 정반대로 돌아간다. 어떻게 멀리-큰 세 계가 주는 영향이 몇 개의 양만 (m,e, 동)으로 뭉뚱그려질 수 있는가? 2 GWS 이론 GWS 이론으로부터 대동일이론에 이르기까지 비아벨군 게이지 장 론의 모형을 만드는 일반적 과정은 가) 게이지 군의 선택 나) 페르미 입자들과 군의 나둠 연결 다) 힉스장의 도입과 라그라지안 결정 라) 대칭성 깨접 도입 마) 물리량의 계산 및 예측

여 기 서 L 은 SU(2) 의 나품으로서 [L;, L;] = i E 따 Lk (2. 27) 을 만족시키고 O(x)=(O i, 02,03) 는 변환량울 주는 X 의 함수이다. 함께 변환 미 분 (covar i an t deriv a ti ve ) p-µ1ff는 (P'µ1Jf )->U( p-µ1/l)로 1jf와 p-µ1/l가 함께 변환되도록 정의한다. 이들의 변환관계를 유도는 생략하고 결과 만쓰면 앱 '=U 맵 (2.28) A~·L=U(Aµ•L)Ut _ ~g( aµU)Ut (2. 29) f7넵 T' = Ul7µ 맵 (2. 30) flµ?/! =( aµ-ig A ;, • L) 맵 (2.31) 이며 Aµ·L=A!,L1+A!Lz+A t L3 이다. 이로부터 SU(2) 게이지 불변 페 르미 온의 라그란지 안이 2F= Wir µ 1 1µ1 fl (2. 32) 로 되며 lJJ (x) 一 -+U(x) 1f! (x) 에 대하여 불변이다. 게이지 보존 A£ 의 라그란지안은 F t.의 정의로부터 시작한다• 죽 F} , =%A;] +gcj j k Ai A t (2. 33) 인데 , [ ]는 반대 칭 임 을 나타내 고, c ij k 는 SU(Z) 의 구조상수 (s t ruc t ure cons t an t)이 다. 이 정 의 에 서 F~. ·L=UFµ,•LUt (2. 34) 임을 보일 수 있다. 라그란지안은 !£=-—41 Fi ,F … (2. 35) = 4T-1(L )Tr( Fµ, ·L) (F •L) 이고, T(L)o0=Tr(DL l)이다.

끝으로 힉 스 장의 경 우는 caµ¢) caµ¢) 를 간단히 aµ 一 Fµ ; (Fµ¢) (Fµ¢) 로 대 치 (2. 36) 불변 라그란지 안이 얻어진다. 이 의에도 m2¢2, A¢4 등은 그대로 쓸 수 있고 일반적인 V( ) 는 SU(Z)XU( I) 불변이므로 일반

적으로 다음과 같이 된다. V(rp) =µz rptrp+;.(西 )2, A>0 (2.49) 실제 문제에서는 패르미온은 ）） ’e 의에 다른 경입자와 쿼크를유사하 게 넣어야 하고, 힉스 입자는 여러 개를 도입할 수도 있을 분 아니라 군의 나툼이 다론 힉스 입자들을 쓸 수도 있다. 이렇게 하면 구체적 인 현상에서 차이가 나오지만 기본 뼈대는 바뀌지 않으므로 여기서는 간략화된 라그란지안으로 그치기로 한다. (2.45), (2.46), (2.48) 에서 g'의 계수가 각각 다른 이유는 Q= I3 +Y에 서 Y(lL)= 크 /2 Y(lR)=-I Y()=1/2 (2.50) 이기 때문이다. 그리고 A 거 상호결합에 ½이 따라다니는 아유는 강군 가 SU(2) 의 나품이 기 때 문이 다. 힉스장 ¢에서 ¢+와 ¢o 는 전하가 각각 +1, 0 인 복소수 장이다. 그 런데 SU(Z) 의 특성 으로 ¢와 i따¢*가 같은 나툼을 이 루어 니 _: ; ][ : :-*)] = [(-:0¢二 ] (2. 51) 가 SU(Z)XU (l)의 나툼이 된다. Y 값은 (二구)이 된다. ¢는쿼크의 질량을 주기 위하여 필요한 항이므로 여기서는 쓰지 않았다. 끝으로 이 라그란지안을 양자화할때 게이지 장의 목수성 때문에 나 타나는 파데 브一포포프 (Faddeev-Pop o v g hos t)항이 팔요하므로 .f£G bo,c 항을 첨가해야 한다. 우리는 이 문제에 벌로관여하지 않아생략했다. (2) 대칭성 절로 깨짐 비아벨 군 게이지 장론으로써 하나리성과 재규격화를 만족하는 약­ 전자 동일이론을 수립하였는데, 이 이론의 핵십을 그대로 살리면서 게 이지 보존의 질량을 줄수 있는 방안으로서 대칭성 절로깨집 (s p on t a-

neous sym metr y breakin g ; SSB) 을 12-3) 와인버 그와 살람이 사용하였 다. 이에 대해서는 리 (B.W. Lee)14) 에 자세히 취급되었으므로 간략히 취급하되 대동일이론에서도 거의 유일한 대칭성 깨침 방안으로. 쓰이 기 때문에 그 기본 개념만은 확실히 알아 두어야겠다. SSB 는 힉스장의 포텐셜 V( O 이므로, µ2 는 0 의 부호에 따라서 〈¢〉의 값이 나오게 된다. 일반적 인 〈¢〉가 <¢>=[: : ] = 州 ~ ] (2. 53) 로 쓸 수 있음은 V( 〈¢〉)가 SU(2)XU(I) 불변이므로 되는 것이며, 득히 v 는 실수 (real) 로 잡는 것 이 보통이 다. 그러 면 V를 V 로 표시 하면 V=~2 균+소4 감 (2. 54) 이다. 이 V의 최소값은 {v=O, v=0 一 T µ2>0 일 때 v= 금 L 운, v= ✓~ µ2<0 일 때 (2. 55) * <,,>= , v.e. v . of rp

가 된다. 따라서 µ2<0 이면 〈¢〉가 SU(Z)XU (l)의 대칭성을 깨게 된 다. 그러나, 완전히 다 깨진 못하고 (2.53) 을 불변하는 대칭성은 그 대로 남게 된다. 이 남은 대칭성을 찾으려면 먼처 ¢가 SU(Z)xU (l)에 대하여 (2, 강)의 나둠이므로 먼처 SU(Z) 와 U( l)을 따로따로 보면 0SU(2) +*(: ) = -Jz( V:1) ) (2. 58) 가 되어, 원태 4 개의 독립된 장 ¢가 1J 하나만 남고, 나머지 셋은 계 이 지 보존에 흡수된다. 7)로 V(

m%= 一 2µ2> 0 (2. 60) 임 을· 보인다. 이 T 상이 양자장이 되 는 이 유를 그립 으로 보면 2-5 (b)처 럼 ¢가 <¢> 부근에서 작은 요동(fl uc t ua ti on) 하는 것이 입자로 관측 되는 것이며, 〈¢〉에서 테일러 전개시 첫 항죽 2 차 항이 바로 질량의 크기를 말한다. V(¢) I I I I I ``\\\\\\\\ \\ \ / , I ,.I I I I ¢ ```` I 一,/，， / ¢ ',\I 1`\/.¢ µ'> o. i< O (a) (b) 그립 2-5 (a) µ2>0, 대칭성 유지, 0 부근의 작은 요동 (b) µ2<0, 대칭성 깨짐, <¢> 부근의 작은 요동 없어전 ¢의 자유도들이 어디로 갔는가를 보려면 라그란지안에서 운동 에너지 쪽을 보아야 된다. (D 劇 (Dµ rp)＝강 (oµ+ igf · Aµ+ i합터 (0, v+1 )) (@―ig궁 •Aµ 판터 ( V:1) ) 에서 A 파 B 거 질량을 주는 항만 뽑으면 아래와 같다. 訓::'+tA 1 广갑]＋ ~[Bµ Bµ]}[ 니「 =상{|思 (A t-i A 功 )1 군+|(내- A i+정터내 건(亨) (A t-i A i )(A t+i An+ 강 ~(-gA :+g 'B µ )2 (2.61)

이 된다. 여기서, 새로운 장의 정의를 W!=(A 巨i A i)/효 Zµ-g=A i +~g'B µ (2.62) 을 도입 하면 (2. 61) 식 은 (2. 61) = （유니 W t W(-) 나 +~zµzµ (2. 63) 가 되며, 이들의 질량이 각각 組=뉴냥 M;= (g2 +4g '2 )v2 (2. 64) 이다, 이로부터 세 개의 게이지 보존 W±, Z 가 질량을 얻었으며, 이들 은 대칭성 깨침의 크기를 나타내는 v 에 정 비 례하고, (Dµ

이 되어, Z- 보존의 질량이 더 크다• 인와버그 각은 다음에 나울 중 성흐름과 관련하여 실험적으로 직접 측정이 되며, GWS 모형의 입증 과 관련하여 중요한 역할을 했었다. (3) 중성흐름 약한 상호작용의 군을 발견하는 데 어려움이 있었던 이유는 µ-붕괴 등 많은 낮은 에너지의 현상들이 전하떤 흐름 (char ged curren t s) 의 존 재를 뚜렷이 보였지만 중성흐름 (Neu t ral Curren t s ) 은 없는 듯이 보였 었기 때문이다. 다시 말하면 W 겨울 주고받는 반응만이 보였지 Z 가 들 어가는 현상이 나타나지 않았던 것이다. 이로 말미암아 많은 추측과 혼선이 생겼던 것이며, GWS 이론아 나오자 중성흐름의 존재 여부가 곧 이론의 성공 여부를 좌우하는 핵십척 예 측 으로 등장하게 되었다. 그래서 실험의 관십이 (가) 중성흐름의 존재 여부 (나) 만약 존재한 다떤 GWS 이론의 예측과 일치하는지 여부에 집중되었으며, 70 년대 후반에 긍정적인 것으로 판명이 나게 되자 달리 제안된 많은 이론들 은 사라지게 되었다. 그러나, 아직도 중성흐름이 Z 하나로써 완전히 끝나는 것인지, 또는 다론 중성흐름이 더 있을 것인지는 미지수이고, 이의 결론 여하에 따라서 대통일이론의 체계에도 지대한 영향을 미치 므로 중성흐름의 연구는 계속 활발히 논의되고 있다. 15) GWS 이 론에서 흐 름 늘의 관계 를 보기 위 하여 라그란지 안 (2. 37) 로 돌아가면 .feF =lLiP h+ 탸 PeR 에서 게이지 보촌과 결합하는 항만 뽑으면 (回 )rµ[ g공 4 꼴 Bµ] [ :: ］玉(一g 'Bµ)eR = Cv 냐)카 [:;;;:;1;) ::AA};- t:더 (: : ) +eRr(-g'B µ)eR (2.69) 에 서 W t, At = -cos (Jw Zµ + sin (Jw Aµ, Bµ = si.7. (Jw Zµ +cos fJ wAµ 를 대 입

하면 (2. 69) =윤 @rµeLW t+eLrµ))Lw~-)) (2. 70 a) + (C-) 따 ~vLrµ ),I LZµ (2. 70 b) + (~ [eLrµeL-( 룹 )erµe] Zµ (2. 70 c) + ( ,.;言) @rµe)Aµ (2. 70 d) 로 된다. 여 기 서 (a), (b), (c), (d) 는 각각 전하를 떤 흐름, V 의 중성 흐름, 전자의 중성흐름, 그리고 전류임을 본다. 이를 좀더 간략히 써 보면 (2. 69) =~(Jtvt W託 J¢ WL-))- Jg2 ; gI 2 腐 +(-b)JfMAµ (2. 71) 로, 여기서 J¢ =2 g LT 야, (2. 72 a) J~ = VLT 따 - gLT 따 + 2(erPe)si n2 0w (2. 72 b) Ji M=(-) 硏% (2. 72 c) 이고, 전자기 결합상수는 e=,./ggz~g +' g =gsin 8w (2. 73) 이다. Z- 보존의 주고받기에 따른 중성흐름은 일반적으로 쓰면 J~= I'n: l.Jfmr µ[ I3 (l+ T 5) 一 2 q m 책 12° 라l.Jf' m (2.74) 로 되며, (2. 72b) 는 V~e 에 적용된 예이다. 쿼크나 다른 경입자에도 이 식을 적용할 수 있으며, q m 은 전하를 e 를 단위로 했을 때의 값이다.

주고받는 운동량의 크기가 Mw 나 Mz 에 비하여 아주 작을 때는 흐 몸간의 직접작용으로 근사되는 바, 잡 ell= 틀(J옮品 +서%) + 융(J~Jz µ) (2. 75) 로되며, JG—F2 _= 8gM2 옮 _= 2l _v_ 2 (2. 76) 으로 GF71- 정의된다. 이제 실험치와 비교하기 위하여 먼저 관계식들을 정리하여 다시 모 으면 g= e/sin 8 w M 싶=g 2/(4 ✓ 詞) Mz=Mwf co s8w (2. 77) 이 며 , e, sinO w, GF 가 실험 적 으로 측정 이 되 므로 Mw 와 Mz 는 각각 예 측되 는 양이 다. «,m = l/137. 035, sin20 w = O. 227, GF=.l . 027 x 10-5M -;2 를 쓰되, 이들 값이 운동량이 0~lGeV 정도에서 측정된 값이므로 재 규격화 군이론을 따라서 Mw:;::;;;BOGeV 정도의 값으로 바꿔써야 된다. 이 값은 대략 ~a1n(1 慕硏 :;::;;;5% 정도가 되므로 정확한 계산에는 무시할 수 없는 양이다. 이론적인 Mw, Mz 의 값은 Mw=B3. 0 士 2. 8 GeV Mz=93. 8 土 2. 3 GeV (2. 78) 이 다. 1983 년에 CERN 의 UAl 과 UA2 실험 보고에 의 하면, 이 들의 값 이 16-17) Mw={80. 0 士 1. 5 土 2. 4 (UA1) 81. 0 土 2. 5 土1. 3 GeV (UA2) Mz= {95. 2 士 2. 5 (UA1) 91. 9 士1. 3 土1. 4 GeV (UA2) (2.79) 이며, 이론적 예측치와 잘 일치함을 볼 수 있다. 이로써 GWS 모형은

강력한 뒷받침을 얻었으며, 힉스 장에 · 관련된 분야만 입증이 된다면 Q ED 와 같은 완성된 이론으로 받아들여질 것이다. 그러나, 아직까지 힉스 장 자체가 발견되지 않았을 문 아니라, 이로부터 결정되는 제 현상이 이론적으로도제대로 이해가 안된형편이다. 이 중에 특히 대 동일이몬과 관련해서 중요한 페르미 입자들의 질량 문제를 생각해 보 자. (4) 페르미온의 질량 라그란지 안 (2. 37) 에 서 SSB 의 효과를 고려 한 항들은 £g} £g였고, 이 제 끝으로 !£Yuk 항을 조사할 차례 이 다. 식 (2. 41) 에 서 ¢ 대 신에 <¢>+ 禪대입하면 £Yuk =f(% 6L) [극。慧 ― l eR+H.C. =(f(言 )또 +H.C. = -f=zv( ee) +合 ee 7J (2. 80) 가되어 m,=0, m,=J~f 2 v (2. 81 ) 가 되었다. 특기할 사항으로는 v=(~) (2. 82) 이므로 f~ 0( 정笠-）가 되어 대단히 작기 때문에 유카와 결합에 의한 힉스 입자의 발견 가능성이 대단히 희박한 접이다. 그리고, 전자의 질 량이 힉스 입자와 관련되어, 이론적 계산이 될 수 없는 정도 불만족 스런 일이다• 전자분 아니라 µ, .. 가 라그란지안에 함께 들어올 때를 고려해 보자. 가장 일반적인 유카와 항은

£Yuk=f ... l(m)L[ 글 ]e(n 》 R+H.c . =e(,.)L~ec.,R+H.C. =ELMER+ (ELFE道 +H.C. (2. 82) 로 쓸 수 있고, ec .. ,=(e,µ, i-)를 나타내고, fm n 은 3X3 행렬로 일반적 으로 복소수 행렬이며, ER l= (e(1\J,.`、e)(R 2e( R\3 ,R ) (2. 83) 이고, M .. 翼=f-·군낭, Fm.=( f,니효)로 정의됐다. 여기서 문재가 되 는 접은 f.거 대 각행 렬 (d i a g onal ma t r i x) 이 아니므로 e(I), e(2), c(3 ) 가 실험실에서 관측되는 e,µ, ～와 일치하지 않는 접이다. 그러므로 M 의 대각화 e(il 'e,µ,T 로 보내는 하나리성 변환이 필요하다. 이를 위하여 AlMA,=MD=[m, m, m. l (2. 84) 가 되는 하나리 행렬 AL 과 AR 을 구해야 되는데, M 뚝 M 일 때는 AL :,;:AR 이 다• AL 과 AR 을 구하려 면 AlMMt A L=AkMt M AR=Mi > (2.85) 에서 AL 과 AR 이 구해진다. 그렇지만 AL 이냐 AR 이 완전히 결정되는 것은 아니고, (2.85) 에서 e-ip, &=AL[ e-i' ' e-I''l =ALKL (2. 86) 나,

&= [ e-iO , 「 ‘o, e-IO'lAR=KRAR (2. 87) 울 대입해도 여전히 성립됨을 본다. 이를 (2.84) 에 대입하고, MD 가 양수(p os iti ve)0, 1 조건을 쓰면 (¢i-f)i)는 임의로 잡을 수 없는 것을 안다. 따라서 (서-f)i)만 임의의 위상(p hase) 으로 남게 된다. 또는 ¢, 를 임의로 잡으면 ()i는 결정되어 버린다. l이제 페르미온의 질량항과 1j데르미£온Y u결k=합 (항e, 은g, 준대) [각m화, 가m , 되었.으J므 [로~ C e(i) 대신에 e,µ, 다(2를.8 8써)서 가 되며, n- 항도 윗식에(*기를 곱하면 얻어진다. 힉스입자 7J는 경입자의 질량에 비례하는 결합상수를 가지므로t一붕괴나반응에서 더 잘 발견되리라고 본다. 이 제 대 각화된 e, µ, 'C로써 Jt M 과 J;를 다시 쓰려 면 (2. 72 b) 와 (2. 7 2c) 를 그대 로 반복하면 된다. 단 J;는 GWS 이 론과 같은 특별한 경 우 에 성립되며, 일반적으로 반드시 그렇지는 않다.＊ 전하떤 흐름 Ji(;는 島 ==22(E L다T 믹냐 )A i rµ[ :: l 먀 L = 2(eq P vL + P. LTµ 바 + 꾼 LTµv'i ) (2. 89) 로 쓸 수 있다. 여기서 Vo 는 관측된 뉴트리노가 아니며, 오직 v,v1'V 이 실제로 약한 상호작용을 통해서 관측되는 입자들이다. 이들은 질 량이 없는 입자이므로 (Al.A ID =(v, v', v )T 으로 정의하여 Al 이 새로 운 V 의 정의에 흡수되므로 물리적 관측이 안 되는 양이다. GWS 이몬에서는 AR 은 최종 라그란지안에 나타나지 않으므로 역시 고려할 필요가 없다• 그러나 좀더 일반화된 이론에서는 그 효과가 나 타나는 모형을 만들 수 있다. 이상으로써 경입자에서는 AL 이나 AR 이 * 일반져으로는 Flavor Chang ing Neutr a l Curren t가 촌재한다.

나 결과적으로 고려할 필요가 없게 된 셈이며, 처음부터 대각화된 e, µ,'t'로 출발해도 되었을 것이다. 다음 절에서 취급할쿼크에 있어서는 사정이 달라지며, 중요한 물리적 의미가 있을 뿐 아니라 대통일이론 에서도 큰 역할을 하게 된다. 득히 J;에 관해서 계보 바꾸는 중성흐름 (Flavor Chang ing Neutr a l Curren t)을 어 느 정 도 억 압할 것 이 냐가 모 형 결정에 중요한 역할을 하게 된다. 그리고 CP 대칭성을 어떻게 깬 것인가도 힉스 장의 유카와 결합과 관련되논 문제이다. (5) GWS 이론의 성공과 문제점 GWS 모형은 크게 두 요소로 나눠 생각할 수 있다 : （가) SU(Z)X U( l) 국부 게이지 장론에 따른 게이지 보존과 페르미온 입자들의 라 그란지안, （나) 힉스 장울 도입하여 대칭성 절로 깨침을 일으켜 입 자들에 질량을 주는 방안. 이 중 (가)의 군이론에 입각한 부분은 이 론적으로도 간결하고, 완벽하며 실험적으로는 중성흐름의 측정, w 士, Z 입자의 발견 동으로 확립되었다. 그러나 (나) 쪽은 먼저 이론 측 면에서도 불완전하여 결정 안 되는 많은 계수들이 들어오는 둥 깨끗 하지가 못할 분 아니라 실험적으로도 입증된 것이 거의 없는 실정아 다. 그러므로 GWS 통일이몬은 군이론적인 (가) 부분에 대해서 크게 성공적인 반면 (나)에 해당하는 많은 문제접듈이 해결울 기다리고 있 는 상황이다. 이러한 문제점의 핵십은 물론 SSB 의 방법에 기인한다. 대칭성을 깨 는 방법으로는 일반적으로 세 가지가있다. 첫째는라그란지안 자체에 대칭성이 없는 작은 항을 삽입하는 방법으로 CP 를 7.l실 때 둥에 사용되 는데, 국부 게이지 대칭성을 깨는 데는 쓰이지 않는다. 둘째가 GWS 모형에서 쓰고, 대몽일이론에서도 채택하는 SSB 방안이다 .12) 사실상 게이지 대칭을 깨는 유일한 실용적 방안이지만 이론에 임의계수(fr ee p arame t er) 가 들어오는 둥 문제접이 없지 않으므로 세째 방안인 동력 학적 대칭성 깨침 (Dy n ami ca l Sy m metr y Breakin g ; DSB)15-19) 이 연구 되고 있다. 이 DSB 는 힉스 장을 기본입자로 도입하지 않고, 게이지 보촌과 페르미온만으로 출발하여 이들의 동력학적 관계로 대칭성이 깨집을 유도하려는 것이다. 대단히 의욕적이고, 이론적으로- 더 매력

적이지만 문제가 어려워 계산을 못하고 있는 형편이디. GWS 이론의 개선 방안으로 DSB 에 입각한 아아디어가 계안이 되 었으나, 아칙 실험적 뒷받침이 전혀 없고, 대통일이론과 잘 연결이 안되어 역시 문제에 봉착하고있다. 이와유사한측면을가지면서 전 혀 새로운 접근은 GWS 이론을 근사이론으로 취급하고, w 土 ,Z 가 실 은 기본 입자가 아니고, 그보다 더 기본적인 페르미온의 복합입자 (comp o sit e p ar ti cle) 로 보려 는 것 이 다. 이 경 우는 대 개 TeV 정 도에 서 w, z 의 흥분상태 (excit ed sta t e ) 가 관측될 것 으로 보는 것 이 다 20)• 이상과 같이 힉스 장이 없는 아론을 만들어 보려는 반면에, 힉스를 기본 입자로 보고 과연 어떤 나툼의 스칼라 입자가 얼마나 많이 있을 것인가를 생각하는 연구들도 있다. 이들은 GWS 이론의 힉스 장보다 더 많은 입자들을 들여움에 따라서 FCNC, Mt /M;=cos2% 의 변화, CP 깨침 둥을 폭넓게 생각해 보는 것이다. 대체로 이들은 기본적 문 제를 해결하기보다는 이론을 복잡하게만 만드는 경향이 있다. 지금까지는 주로 힉스와관계해서 생각했지만현재 잘확립된 SU(Z) xU(l) 군 자체에 대해서 의문을 제기한 연구도 적지 않다. 가장 자 주 인용되는 것으로는 SU( Z) L XS U(Z)RXU( I) 둥 L-R 대칭성을 살 리 는 모형 이 나 21> SU(3) 또는 SU(Z) x U(l) x U(l)' 동을 생 각해 보는 둥 여러 가지가 있는데 이들이 입증되려면 가속기의 에너지가 TeV 정 도로 올라가야 되므로 현재는 이론적 연습에 그치고 있다. 3 표준 모형 강한 상호작용의 연구는 핵의 존재를 인식하게 되면서부터 시작되었 으나 아칙도 완전한 이론이 확립되지 않은 상태이다. 이 작용을 이해 하기 위하여 술한 이론들이 제안되고 사라져 갔다. 그 중 중요한 몇 가지 만 열거 해 보면 : 유카와의 중간자 주고받기 모형 , S- 행 렬 이 론, 22) 분산 이 론 (d i s p ers i on th eory) , 23' 복소수 각운동량과 레제 모형 (Re gg e model),24' 이 중공명 모형 (dual resonance model)25) 둥이 다. 이 의 에 현상론적 인 측면이 강조된 PCAC(Parti all y Conserved Axia l Vecto r Current) , 26' 흐름대 수 (curren t alge bra), 21' 카이 탈 역 학 (ch i ral dy n a-

mi cs rs) 등은 낮은 에 너 지 ―운동량에서 강입 자 반웅들을 잘 기 술하므 로 새로운 이론의 정립에 큰 기여를 해 왔다. 강한 상호작용의 획기적 발전계기는 역시 SU(3) 서문 쓴 기본입자의 분류라고 보아야겠다 .29) 이로부터 자연스럽게 쿼크의 개념이 처음에 는 수학적 개념으로 도입되었다가 접차 물리적 입자로 발전하게 되었 다 .30) 퀴크 모형은 기본입자의 스팩트럼을 찰 설명할 분만 아니라, 그들의 붕괴 및 충돌반웅들의 규칙성까지도 성공적으로 예측 또는 설 명하였다. 그러나 쿼크를 써서 기본입자들의 질량, 복합상태, 붕괴 울 등을 자세히 계산하는 것은 불가능하였다. 왜냐하면 이들은 군이 론을 넘어서 쿼크들의 상호작용을 주는 역학 체계를 필요로 하기 때 문이다. 이러한 팔요에 부응해서 나온 이론이 바로 SU(3)c 게이지 장론으로 서 이 를 QC D(qu antu m chromod y nam i cs) 라 부른다. 이 로써 지 금까지 알려진 상호작용들은 모두 게이지 장론으로 기술이 된다는 결론이 나 온 셉이다. 죽 전자기는 U (l)－게이지 장론이고, 약-전자 동일이몬은 SU(Z)LXU (l)y으로 되고, 강한 상호작용은 SU(3)c 로 기술된다.*

* 중력장도 역시 계이지 장은으로 보려는 겅향이 있다. 31~32)

지금까지 관측된 패르미온(경 입자 및 쿼크)은 모두 SU(3)cXSU(Z)L X U (l )r 의 나툼으로 쓸 수 있으며 , 상호작용들은 이 군의 게 이 지 보 촌의 주고받기로 기술된다. 이를 표준모형이라고부르는데, 지금까지 의 실험 데이타들은 적어도 정성적으로는 모두 이로써 설명이 되지만 자세한 사항들을 보면 충분히 이해가 안된 접둘이 적지 않다. 이것은 장론을푸는기술적 불완전성에기인하는것으로간주되고, 이론자체 는 올바르다고 보는 것이 현추세이다. 아 절에서는 먼저 SU(3) 군 이론과 Q CD 를 간략히 조감하고, 표준이론을 설명한 후 그 문제접들 울 논하기로 한다. (1) SU(8) 군과 QC D SU(3) 군은 겔만과 네만이 기본입자의 분류를 위하여 도입했기 때 문에 널리 알려졌는데, 여기서 다루는 SU(3) 는 이것이 아니고, 쿼크 들의 국부 계이지 대칭성에서 유래되는 SU(3)c 군이다. 아래붙임 C

는 Q CD 에 나오는 C 를 상기시키는 표시이며 군이론 자체와는 아무 관계가 없다. SU(3) 를 낳는 리 대수는 8 개의 낳음이 (g enera t ors) 로, 보동 겔만이 잡은 -1000--0r-oo0ho-~0ho-1 - A1= [: \ ],A2 = [; -t 〔十 A3 =6=1 _0 0010r o000--0O-0.0 -O. -Ol1 0O-0O--0l00 2.O 10 A4 = r5^=_ A8= _一 A『^ --o o-o t1 00 i A7 = 1. t0- ’ _ · _1효 (2.90) 울 택한다. 이들은 모두 trA , =O , A:=k 임을 알 수 있다. 그리고, trA µ A u= 28µv (2.91) 가 성립한다. 위의 8 개의 낳음이들 중 에서 {J.3, 서 : 대 각행 렬 임이 SU(3) 의 중요한성질로서, 이들은 서로뒤바뀌며, 두개이며( 이 숫자 2 를 SU(3) 의 위계 (rank) 라 함), 따라서 이들은 SU(3) 의 아 벨 부분군이 된다. 이 부분군을 카르탄 (Car t an ) 부분군이라고 부르기도 한다. SU(3) 의 나품은 이들 낳음이를 벡터 공간의 연산자로 여럿대웅형 사영시킬 때 이루어진다. 예로서 기본 나툼은~ 3 차원의 복소수 벡터 공 간으로 A i 가 바로 변환 연산자(t rans fo rma ti on o p era t or) 가 되는 것이 다. 이 벡 터 공간의 고유상태 와 고유값들울 보면 A3e1 터 3[0; lI =1(\;0) , A8el= 눈 l

A3e2=A3[:l =(-1)e2, A&= 泊 A3e3 교 3 [ : l = O, A8e3 를 e3 (2. 92) 1 이바탕댜이 죽되 는기 본상나태툼들은은 {e고 i, 유e2,값e3 }(1 을, 군바깁탕으 ;로 ( 一하 1,는 - :백h터)공 ;간 (o이, 고~,순 이)로들 특칭지어지며 이 고유값을 군이론에서는 무게 (we ig h t)라고 한다. SU(2) 에 서 는 복소수-짝-나품 (com p lex conju g a te rep re senta t i on ) 이 독립 된 나듬이 아니 었으나, SU(3) 부터 는 상황이 다르다. 이 를 기 본­ 나툼에서 보면 z'=ex p(-i o. 令 )z z*'=ex p(+국 )z*=ex p(― 0a( 강 )Z* (2. 93) 에서 Aa __ A 戶=-i.로 낳음이가 바뀜을 알 수 있다. 여기서 z 는 임 의의 3 차원 벡터이고, z'=uz 는 SU(3) 변환을 의미한다. 이제 카르 단부분군도 {-i3, - i8}= {-A3, -서이 되므로, 기본-나툼의 복소수 -짝은 그 무게가 (一 1, 7¼), (+I, ；十》 (o, 군) (2. 94) 로 된다. 이들 두 나툼의 무게를 그림으로 나타내떤 그림 2-6 과 같으 며, 이를 무게-도형이라 한다. 기본-나툼들 외의 다른 나툼둘은 (p,q)로 쓸 수 있는데 기본-나툼 이 p번 대칭-곱되고, 복소수-짝-나툼이 q번 대칭-곱된 나툼둘이다. 이러한 표기법들은 자주 쓰이치 않을 것이므로 설명을 생략하며, 필 요한 경 우 좋은 참고서 둘을 참조하면 될 것 이 다. 33~35) 대동일이론에서 자주 쓰일 나툼법은 텐서를 쓰는 것인데, 1/f k 를 3 차 원 복소수 벡터로 할 때 맵 1= 때는 맵 /k= [e- i U 쑥-]t!lJf l (2. 95)

A. `^I

로 그 변환이 정의된다. 그러면 1f!* ' = u * 1JJ*는 1JJ' * k = [e- i'주리 H 1JJ *l 이므로곧 1/f*'=1/f k 로 쓰면 1/f ' k = 1/f 1[e- j,둑노] 1k (2. 96) 임을 본다. 그리고 1f! ’k 1JJ / k = 1JJ k 1f! k 로 불변임도 명백하다. 이 표기법을 쓰면 임의의 나툼 ( p,q ) 는 (p, q) 一 7[fg::::t : I (2. 97) 로 써지며 (k1, .. k p)와 (l f ··l q)는 각각 P 계 및 q계 대칭 텐서를 말한다. 대칭 텐서만 고려하고, 반대칭을 따질 필요가 없는 이유는 아래와 같다. 맵 lm 을 반대 칭 텐서 라 하면, 그 변환은 7/f'l ''' =ul'lum'rn7 JfIm (2.98) 인데, uESU(3) 이므로 det u =l 이어서 강 ’I' ..' ul'lul'lum'm = Eli m (2. 99) 이다. 또한 u t u=l 을 풀어 쓰면 u*i' i ui 'I = 011 (2.100)

이므로, 이 둘을 종합하면 ¢EI, .. ,1/f'l' m' = u*P'l(:llml jflm (2.101) 이 나오고, 맵 k=€k/' 7/f' .. (2.102) 의 정의를 도입하면 맵 'F= 앱 kU 학 'k (2.103) 이 되어 (2.95-2.96) 과 일치한다. 그러므로 SU(3) 에서는 반대칭 벤 서를 생각할 필요가 없으나, 이것이 일반적인 SU(N) 에는 적용되지 않는다. 이제 Q CD 를 위해서는 SU(3) 의 수반-나툼 (Ad j o i n t rep r esenta t i on ) 을 생각해야 된다. 이는 낳음이 행렬들이 바로벡터 공간을 형성하며, 동시에 변환 연산자 노릇도 하는 나툼으로서, 그 연산 방법은 뒤바꿈 관계식을 쓰게 된다. 임의의 한 벡터는 G= i.=8E l G•J_A 느2 (2.104) 로 쓸 수 있으며 , ：눙가 벡 터 공간의 바탕(b ase) 노릇을 하고, 각성 분 G 는 접착자장(g luon fi eld) 의 성분으로 쓰일 때는 G 넓로 된다. G 의 행렬을 G ii =Ga p로 하면 G'P;=U*flP 'Uaa'Gp 또는 G'=UGUt (2.105) 로 변환을 하게 된다. G 討춘 접착자 장으로 잡을 때, 곧 Ft . =oµGt -o,Gt +g,fmG t Gt (2. 106) 로 쓸 수 있는데, f;ji는 SU(3) 의 뒤바꿈관계석에서 나오는 구조상수 이다. 쿼 크의 장은 SU(3) 의 기 본나툼 요으로 주어 지 며 , 일반적 으로 q만 q만 qW 등 Red, Blue, Wh it e 의 첫글자를 따서 표기 한나 이 들의 반입 .

자는요다 ’ 로기본냐룹의 복소수짝나툼이 된다.이 경우함께변환미분은 (Dµ 泣=釋 c p 一 1.g ,G 片 A7k =oµo 야_ig,뭉 (2.107) 이다. 접착자와 쿼크가 SU(3) 국부 게이지 변환에 대해서 불변이 되도록 라그란지안을 만들면 !t'QC D = --_-1t- F t . F µ•; + qil:Jq 一 (moq q) (2.108) 이 되 며 , 이 의 에 기 술적 인 항으로 .ft' Gho, t항과, !L' o 항 둥이 있으나 생 략하겠다. 자연에는 쿼크가 u,d,·s, c ,b 동 적어도 5 종류가 있는 것이 확실하고, t-쿼크도 있을 가능성이 대단히 크다.＊ 그러면, (2.108) 에서 qiEJq는 꾸 ( q . iEJq.)로 그리고, m0 qq->q .(m .'1)q루 일반적으로 쓸 수 있다. 여 기 서 질량 mo_ 행 렬 은 QC D 입 장으로 보면 상수에 불과하고, 따라서 임 의 계수( fr ee p arame t er) 로 볼 수 있다. QC D 라그란지안은 u,d,s,c,b 쿼 크를 서 로 결 합시 키 는 상호작용이 없으므로 u- 수, d-- 누, S-' 누… 둥 을 보존한다. 그리고, mo 항에서 mu=md 로 보면 SU(Z)1 대칭성이 있으며 , 이 를 아이 소스핀(i sos pi n) 보존이 라고 한다. 이 의 에 C, P, T 등에 대해서 불변이기도 하다.

* t네크가 발견되었다는 CERN P-P 실험결과 보고가 나왔음 .

Q CD 는 입자 스펙트럼을 처음부터 고려해서 만들어전 이론인데, 이 외에 산란 현상에서 특히 성공적이라고 여겨지는 것은 이른바 파돈 (pa rto n ) 모형 을 SU(3)c 게 이 지 이 론으로 설명 할 수 있게 되 었기 때 문이 다. 파튼 모형 은 36) e+ p一 e+X 산란반응에서 전자가 양성자계에 주고받는 운동량q가 Q 2=- q 2 一 -+00 로 대 단히 크게 갈 때 , 양성 자가 마치 접 입 자(p o i n tli ke p ar ti cle) 로 구 성된 것처럼 행동하며, 이들 점입자와 전자 간의 QE D 상호작용으로

설명이 된다는 모형이다. 그리고 이 정입자가 스핀이 강인 패르미온 일 때 데이터가 찰 맞으며, 이를 파돈이라고 명명하였다. Q CD 가 과돈 모형을 설명하게 되는것은 비아벨군계이지 장론이 갖 는 목성인 〈큰 운동량을 주고받을 때 상호작용이 줄어드는〉 현상 대 문이 다. 이 를 〈고에 너 지 자유〉 (asrmp tot i c f ree dom; A F. ）라 한다. 37) 이는 주고받는 운동량의 크기에 따라 상호작용 결합상수가 줄어드는 경향을 나타내며 a,( Q 2)= -£r(Q 2) 가 Q 2--+00 일 때 a,( Qi)一 같~ . [rn~)J-1 (2.109) 로 Q 2»A%] 년 사실상 영에 접근하여 마치 상호작용이 없어집과 같다. 여기서 A2 은 적당한 기준 운동량인데, 이의 정확한 정의나 측정이 없 는 상태이며, (2.109) 의 자세한 내용은 추후 대통일이론에서 다시 나 올것이다. 그러 므로 Q 2->oo 일 때 는 섭 동이 론(p er t urba ti on t heor y)이 적 용되 며, 파튼 모형의 설명이 가능해진다• 그런데, Q CD 의 문제는Q 2_--->O 가는 경우에 많은 노력에도 불구하고 이론적 계산이 확실하지 않다는 점이다. 왜냐하면 결합상수가 커지므로 섭동이론이 적용되지 않기 때 문이다. 이로 말미암아 작은 운동량을 주고받는 현상들(가장 중요한 것으로.는 기본입자들(양성자, 중성자, tc ,k …)의 질량 계산을 들 수 있다)이 QC D 기본 방정식으로부터 설명되지 않는 접이다. 왜 쿼크 가 또 접착자가 발견되지 않느냐도 설득력 있는 해가 없는 형편이고, 이 른바 쿼 크 갇험 (qu ark confi ne ment) 개 념 도 하나의 제 안에 머 무르 고 있는 실정 이 다. Q2 _--->O 부근의 QC D 연구는 아주 활발한 분야이 고, 장론 발전에 획기적 전기를 마련할지도 모르는 일이다. 쿼크의 질량 mo ― -o 일때 L,R 따로따로쿼크수가보존되므로 SU (n)LXSU(n)R 카이랄 대칭성이 있게 된다. 이 대칭성이 어떻게 깨지 는가도 Q CD 의 중요한 문제이다. 대체로 A- 정도의 운동량에서 대칭 성 질로 깨침 (spo nta n eous sym metr y break i n g)이 일어 나며 , tc, k, 'fJ는 골드스돈 보촌으로 질량이 없는 입자가 된다. 실제로는 mo 가 작은 값 울 가지므로 T 동이 작은 질량을갖게 된다. 이러한 방안은흐름대수 (current alge bra)2 71 및 카이 탈 역 학 (ch i ral d y nam i cs)2 8) 을 정 성 적 으로

설명하고 있으나, 세부적인 수치의 계산은 Q 2_--+O 의 이론이 정립된 후에나 가능할 것으로 보인다. Q CD 는 정성적으로는 대부분의 강한 상호작용을 이해할 수 있는 바 탕을 제시하고 있으나, 수량적인 계산이 불가능에 가까와 입증할 수 없는 이론체계이다. 해석적 방법이 어렵기 때문에 근래에는 콤퓨터를 쓰는 수치해석 방법이 널리 시도되고 있다. 아칙 획기적이라고 할 만 한 계산 결과는 없으나 불원간 좋은 성과를 이룰 것으로 기대된다. 끝으로, 형 태 론적 (top o log ica l) 입 자인 인스탄톤(i ns t an t on) 의 효과 가 CP- 대칭성 및 카이 탈 대칭성 UA(l) 둥에 깊은 관련이 있음이 알 려졌다. 대통일이론에서는 액시온 (ax i on) 과 관련되어 이런 문제가 다 루어질 것이다. (2) 표준 모형 강한 상호작용과 GWS 의 약-전자 통일장을 합한 것이 표준 모형인 데, 이는 국부 게이지 장론으로서 그 군은 G,=SU( 3 )cXSU(Z)LX U(l)Y 이고, 결합상수는 g,,g,g' 이 각각 다른 값을 갖는다. 이 모형은 QC D 로 설명되는 강입자 반응들과, GWS 이론으로 기술되는 약-전자 현 상들이 합쳐 진 경 우, 죽 쿼 크들의 약-전자 상호작용까지 도 모두 성 공적으로 이해할 수 있다. 앱-입자의 발견을 동한 C --2서크의 확립 , : S) 쿼크들의 중성흐름 확인 15) 둥이 중요한 성공의 예이다. 이 의에도 경 입 자가 포함되 지 않는 기 본 입 자들의 약한 붕괴 (nonlep ton ic hyp e ron and kaon decay s) , KL-Ks 의 질량 차이 및 CP- 깨어침 등도 상당한 전전이 있었다. 표준 모형에서의 게이지 보존은 Q CD 와 GWS 에 나온 보존 그대로 이며, W 적 Z 는 질량이 크고, 광양자와 QC D 보촌들은 질량이 없다. 이들의 결합상수는 이론적으로는 유도되지 않으며, 실험적인 값은 a, :::::o . 3, 아：：：：： 0. 03, a, ：：：：：。． 。。阿 다. 39) 왜 이 들이 서 로 크게 다른가는 대 동일이론이 설명해야 하는 중요한문제이며, SU(5) 이론을포함한대 부분의 경우도 이 값을 현상론적 수치로 받아들여 대칭성 깨침의 에

너지 크기를 정하는 데 쓴다. 페르미온의 나품은 경입자와 쿼크로 나누어지며, 세 개의 세대가 되풀이된다. 죽 제 1 제 대 : ( Ve ) L, eR ; ( uda a ) L, URa, daR 제 2 세 대 : ( vµI ) L, µR ; ( Sca a ) L, cR, si 제 3 세 대 : ( )i)-” ) L, ~‘ R •• ( bta a ) L, t;, b.n 들이다. 여기서 〈 a 〉는 SU(3)c 의 Red, Blue, Whit e 셋을 나타내는 약자로 쓰였으며 , 경 입 자들은 3 세 대 가 확인되 었으며 , 쿼 크들도 t-:.거 크의 발견으로 확립되었다. 각 제대마다 모두 15 개의 입자가 있는데 경우에 따라서는 l) R 울 도입하여 16 개로 할 수 있으나 아직까지 vR 이 존재한다는 증거는 없다. 이들 페르미온의 약켜1 자 상호작용은 흐름벡터를 써 보면 그 특성 이 금방 나타난다. 먼처 JI M 은 J IM=( 출硏 u -½年 d 一 e 西)+제 2 및 제 3 세대에도 유사 한 항 (2.110) 이고, 중성흐름 J~는 J; = (urPuL -dLrµdL +vLr 야 국자따) ＋유사 항 _ Zsi n2 0w JIM (2. 111) 이 된다. J;에서 중요한 특성은 계보를 바꾸는 중성흐름 (Flavor chang ing neutr a l current; FCNC) 이 없다는 접이다 • c- 쿼크가 처음 예 견 된 것 도 SCNC 가 없 다는 접 (absence of str a ng e ness chang ing neutr a l curren t)에 서 착안된 것 이 고, 이 를 확장한 FCNC 가 없 다는 법 칙은 t-쿼크의 발견에도 밀접하게 관련되어 있다. 전하를 떤 흐름 (char ged curren t s) 의 경 우 세 대 간의 섞 임 이 허 용되 는 변환을 하게 되며 이에 따라 계보 바꾸는 전하떤 흐름이 존재하게 된다• 이를 간략히 설명하기 위하여.

U=[:: H;l· D=[;:H~l E= [ :: l 王 ], N= [ ~: ] ~ [ :~ l (2.112) 로 U,D,E,N울 도입하면, Jt;. =2ElrµNl + 2DlrµUl (2.113) 로 쓸 수 있는데, 여기서 〈O 〉를 붙인 것은 아 상태가 질량 고유상태 (mass eig e n sta t e ) 가 아니 고, 약한 상호작용 고유상태 (weak int e r ac• tion -eig e n s t a t e) 임 을 의 미 한다. 물리 적 으로 관측되 는 입 자들은 질량 고유상태에 해당되며, Uf = Ai'. U L, Df = At D L, Ef = Af E L (2.114) 로 하나리 변환관계가 주어진다. 그러면, Jit= Z ELrµC A f tN D +zf5 L rµCAt tA i' .) UL = 2ELrµNL + 2DLrµAc UL (2.115) 로 쓸 수 있고, 뉴트리노는 질량이 없으므로 언제나 A i,t N f를 실제 관측된 뉴트리노로 볼 수 있고, Ac=A tf A .i는 카비보 (Cabb i bo) 행렬 이라부르며, 측정가능한 양이다. 카비보가 40) 제 안했을 때는 u,d,s 만이 알려졌었는데, GIM 미 FC NC 없음을 위하여 C - 쿼 크를 도입하여 2- 세대 모형이 되었었다. 이 경 우는 Ac 는 단순한 2- 차원 평 면 회전으로 Ac = (:s :: _ co:?) (2.116) 로 되며 0 , '.'.::'.13.17° 로 측정되었다. 이 각도가 아직까지 이론적으로 계 산되지 못하고 있는 것은, 이것이 GWS 모형의 힉스 장과 관련되어 있기 때문이다. 코바야시 와 마스카와 42) 가 카비 보 이 론을 확장해서 3 째 1 대 의 경 우에

는 CP- 대칭성을 깨는 각도가 들어음을 보였다. Ac= [:1\ ;:21:32+s2s3e 군 c:::2_C2s3 「 ‘8] (2.117) S1S3 C1CzS3 -S2C3e-i• C1S2Ss + czC3e-i• 에서 c i는 os0 i를 s i는 sin 0 i를 줄인 표기이며, ex p(-i o) 가 바로 CP- 깨는 각도를 준다. 이들의 값은 p-붕괴, KcKs 질량 차이, A 나 K 둥의 붕괴 , K- 입 자들에 서 나오는 CP- 깨 는 양 €의 측정 , KL-µ+µ- 붕괴울 동 실험치로써 정하며, 특히 최근에는 b- 쿼크의 붕괴와 관련 해서 연구가 활발히 진행되고 있다 .43) 이제 표준 모형을 끝맺으며 이 이몬에 대한 전체적 평가를 하면서 대통일이론의 필요성을 생각해 보고자 한다. 표준 모 형은 아직까지의 고에너지 현상들을 대부분 잘 설명하고 있으며, 실험사실과 정면으로 위배되는 예는 없다. 그러나, 이 이돈이 확립되려면 적어도 크게 두 부분의 이해가 선행되어야 한다. 하나는 Q CD 부분의 정량적 예측이 가능해야만 기본입자들의 스펙트럼을 제대로 알 수 있을 것이며, 그 의에 카이탈 대칭성 깨접 동 강한 상호작용의 독성을 제대로 이해할 수 있을 것이다. 둘째는 힉스 장을 쓰는 대칭성 절로 깨짐의 불완전 성이다. 힉스 장의 도입에 따르는 많은 임의계수로 인하여, 페르미온 질량, 코바야시—마사까와 행렬 동 중요한 물리량이 전혀 계산될 수 없는 것이 현 이론의 큰 난접이다. 이상의 두 가지 문제가 어느 정도 전전을 보인다고 하더라도 표준 모형은 자연의 궁극적 기본법칙이 될 수 없는 본질적 문제접들이 있 다. 무엇보다도 게이지 군 자체가 제 개의 군의 곱으로 주어졌고, 이 들 군이 서로 독립적이란 사실은 결국 세 개의 상호작용이 서로 무관 하게 있다는 얘기와 같다. 그러므로 g,,g,g'은 서로 관련지어질 수 없 고 따라서 sin Ow 도 계 산할 수 없다. 다음으로 페 르미 온의 나툼이 왜 그렇게 되어야 되는지 설명이 없다. 또 왜 3 개의 세대가 존재하는지 알 수가 없다. 페르미온의 전하 (elec t r i c char g e) 도 왜 쿼크의 전하가 경입자 전하의 송을 가지는지 설명할 수가 없다. 끝으로 힉스 장에 관계되는 일체의 양들이 표준 모형에서는 계산이 불가능한 것으로 남을 것이다. 이 접은 대통일이론에서 일부 개선될

수도 있겠으나, 역시 문제거리로 동장한 것으로 보아 힉스 장이 필요 없 는 이 론의 연구가 되 거 나, 초대 칭 (sup e rsy m metr y ) 아 론처 럼 머 큰 대칭성의 도입으로 해결하거나 해야 할지 모른다. 제 2 장 참고문현 1) W. Pauli, Op e n lett er to the radio a cti ve gr oup at the reg ion al meeti ng in Ti ibi n g e n (19 30). 2) T. D . Lee and C. N . Yang , Phy s. Rev. 104(1 9 56), 254. 3) J.H . Chris t e n son, J.W . Cronin , V. L. Fit ch , and R. Turlay, Phy s . Rev. Lett s. 15(1 9 65), 73. 4) R.P . Feyn man and M. Gell-Mann, Phy s. Rev. 109(1 9 58), 193. 5) S.S . Gerschte i n and J.B . Zel'dovic h , Sovie t Phy s . J E TP 2, (19 57), 576. 6) E.C . G . Sudarshan and R.E . Marshak, Phy s. Rev. 109(1 9 58), 1860. 7) S.L . Glashow. I-1). 8) S.W ein b erg; A. Salam I-1) . 9) G. 'tHo oft , Nucl. Phy s. B33(1 9 71) 173; B35 (19 71), 167. 10) B.W. Lee and J. Zin n -Ju s ti n, Phy s. Rev. D7(1 9 73), 1049; B.W. Lee, Phy s. Rev. D9 (19 74), 933. 11) M. Gell-M ann, and Y. Neeman, The Ei gh t fold Way (Benja m i n, New York, 1964 ). 12) J. Goldsto n e, Nuovo Cie m ento 19(1 9 61), 15; Y. Nambu and G. Jon a-Lasin o , Phy s . Rev. 122(1 9 61 ) 345; 124(1961 ), 246. 13) P.W . Hi ggs , Phy s . Rev. Lett . 12(1 9 64)132; 13(1 9 64), 508. 14) E.S . Abers, and B.W . Lee., Phy s . Rep o rts C. 9(1 9 73), 1. 15) J.E . Ki m et. al. , Rev. Mod. Phy s. 53 (19 81 ), 211. 16) G. Arnis o n et. al. , Phy s. Lett . 122B (19 83), 103. M. Banner et. al. , Phy s . Lett . 122B( l98 3 ), 476. 17) I-2). 18) L. Susskin d , Phy s. Rev. D20(1 9 79), 2619. 19) S. Wein berg, Phy s. Rev., D13(1 9 76), 974. 20) For Revie w , see M. Peskin , Comp o sit en ess of Qu arks and Lep ton s, Cornell pre pr in t , CLNS 81/516(1 9 81). 21) R.N . Mohapa tr a , in New Fronti ers in Hi gh Energy Phy s ic s , ed. by B. Kursnog lu et al. (Plenum, N. Y . , 1978), 337. 22) G.F. Chew, S-matr i x Theory of Str o ng Inte r acti on (W. A . Benja m i n,

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제 3 장 SU(5) 대동일이론 1 SU(5) 군과 그 나툼 전자기, 약, 강 상호작용들이 경우에 따라 달리 보일 분 한 상호작 용의 여러 양상에 불과하다고 보려는 것은 물리학의 전통과 속성에 따른 당연한 기대이다. 만일 어떤 형태로든 이들을 동합하는 이론이 수립된다면 이는 물리학 발전의 최 기적 계기가 될 것이며 한 걸음 더 나아가 철학을 비 롯 한 인류 문화활동 전반에 큰 영향을 미칠 수 있을 는지도 모른다. 역사적 의미를 갖는 큰 발전이 이루어지려면, 자연현상을 바타보는 새로운 눈, 즉 새 개념과 체계가 들어오는 것이 보통이다. 그런데, 죠지一글라쇼우 (Geor gi -Glashow G-G) 가 1974 년에 제창한 SU(5) 대동일이론과 I) 그 후에 나온 많은 유사한 연구결과들은 뚜렷한 새로 운 개념이 들어온 것이 없다. 다만 이미 제 1,2 장에서 고려한 계이지 장론의 기술적 확 장이 시도되었을 분이다. 물론 양성자의 붕괴, 전하 의 양자화 관계 동 뛰어난 결과가 없는 것은 아니나, 이들도 이론으로 부터 유도되는 현상적 결과일 분, 이론 자체의 수립이나 이해 물 위하 여 새로운 개념이 도입된 것은 아니었다. 반드시 이러한 이유 때문이 라고 할 수는 없으나 G-G 모형 이후 활발한 연구에도 불구하고 아무 런 이론적 전기가 마련되지 못했고, 실험적으로도 긍정적 결과가 없 는 형편이다. 따라서 대동일이론을 공부하는 목적은 완성된 학설을 배우는 데

에 있지 않고, G-G 의 SU(5) 이론을 안내자 역으로 삼아서 대통일을 어떻게 시도하며, 그에 따라 기대되는 결과와 문제접둘을 익히고, 동 시에 새로운 이론을 어떻게 찾아넬 것인가 모색하는 계기를 삼으려는 것이다. G-G 에 의하여 널리 관십을 끌게 된 대통일이론의 방안은 (가) 적당한 단순군 (s i m p le g rou p)을 선택하여, 재규격화가 가능한 국부 게이지 장론을 만들며 (나) 페르미온을 이 군의 나 툼 으로 결정하고 (다) 알맞은 대칭성 절로 깨짐을 도입하여 낮은 운동량 ( Q 2 ::::::;lOO GeV2) 에서 표준 모형과 일치하도록 하며 (라) 페르미온의 질량, 세대간의 섞임 둥을 유카와 결합으로 계산 한다. 이러한 경우 핵십적 문제는 어떤 군을 선택할 것이냐에 있는데 이 점에서 G-G 의 SU(5) 가 가장 간단한 것이면서 대통일이론이 갖 출 제 조건을 다 가졌기 때문에 득히 의미가 있는 것이다. 그러므로, 우리 는 이 장에서 G-G 모형을 상세히 논할 것이며, 다음 장에서 그의 일 반화된 S0(1 0 ) 및 SU(N) 이론들을 생각해 보고자 한다. (1) SU(5) 리 대 수 SU(5) 군의 정의는 {UI Ut U =I, det U =l, U=5X5 행 렬} 로 주어전 집합으로서 군의 연산은 행렬의 곱으로 정의된다. 임의의 하나리 행 렬은 언제 나 에 르밋 (Hermi te) 행 렬의 지 수함수로 쓸 수 있 으므로 (u=e ; H, H t= H) U=ex p(-접(3k V) = exp (-沿 •L ) (3. I) 로 표시할 수 있다. 여기서 {L 시는 5X5 에르밋 행 렬의 바탕(b ase) 을 이루는 24 개의 행 렬 둘이고, (3k 는 임의의 실수이다. 이 돌 E 는 그들의 뒤 바꿈 관계 식 (commuta t i on rela ti on) 이 SU(5) 의 리 대수를 이루며 다음 조건을 만 족 시킨다.

L•t= L•+--+ Ut U =l t rL•=o 一 de t U=l (3. 2) 이 외에 편의상 적당히 크기의 기준을 정할 수 있으며, 여기서는 trL •Lm = 42 okm (3. 3) 을 쓰기로 한다. 구체적으로 E 를 아는 것이 실제 계산이나 수식화체계의 이해에 필 요하므로 여기에 한 예를 들면 가) 대각행렬 D3=dia g . ½(1, -1, 0, 0, O) D8=dia g . 갑(1, 1, -2, 0, O) D15=dia g . 국(1, 1, 1, -3, O) D24=dia g . dwo, 1, 1, 1, -4) (3. 4) 나) 대칭행렬 10O0Oo0Oo0Oo Oo o oo010100000000 000 00 0 sI 3 = 1_2 (3. 5) 이 의 에 유사하게 S”, S”, S”, S”, S2S, S”, S35, S45, 모두 10 개 의 대 칭 행렬이 있다. 다) 반대칭 행렬 o-zo00o00oo00o 000r o 00o0 o0 0 .to oOIoOoO-oO O 0000 A1 2 = 12一 ’ 一 (3. 6)

등 유사하게 정의된 A … A45 까지 모두 10 개의 반대칭 행 렬이 있다. 이상의 {U} = {D, S, A} 는 모두 Lt = L, trL =O, t rL1L1=½o ij를 만족시키는것을하나하나 검토해 볼수있다. 득히 대각행렬의 경 우, 이러한 것 외에도 얼마든지 달리 잡을 수 있으나, (3.4) 식은 기 본 나둠의 무게 (we ig h t)들이 기 하학적 으로 정 다면체 를 이 루도록 만든 것이다. 위의 예는 하나하나의 E 가 에르밋 행렬이 되도록 바탕을 잡았지 만, 반드시 그렇게 잡을 필요는 없다. 자주 쓰이는 예를 들면, l oo1o00o00Oo00 O000IO0 0O0 -O0鬪 0 00o0o00o000of0 0o0 0 00 0 L 21= ’ L l』 〈’ et c j 村l LL l접 ==dd ii aa g g .. ((+구_, '같 一4一, 5 건내건구-―51 , ’ 구구)) (3.7) 이와 유사하게 모두 25 개의 L~ 를 얻을 수 있는 바, 이들을 간략히 쓰 면 (L~)cd=Oac 如-강 8ab6cd (3. 8) 이다. 여기서 L: 는 5 개 중 하나는 독립이 아니다. 죽

인 것을 (3.8) 을 써서 일일히 계산해 보일 수가 있다. 리 대수에서 리 군을 얻으려면 {Lt } 一 exp (-iO:L D 리 대수 리 군 의 지 수화 (exp onen ti a ti on) 를 취 함으로써 되 는데 , 행 렬 〈씨 이 타〉 8= {0; ｝가 에르.밋 행렬이 되도록 함으로써 하나리 군의 조건을 만족시킨 다. {L;} 는 리 대수의 정의를 주는 것이며, 이의 나몸은 백터 공간의 변환 연산자 {Tt} 가 (3. 9), (3. 10), (3. 11) 에 해 당하는 조건을 만족시 키면 연어진다. 곧 I•=;; l T~ =O, (Ti: )t= T! 〔穴, T다 =odT; 一 obT ；； (3. 12) 를 만족하는 연산자들이 {L: ｝의 나듬 대수가 되는 것이다. SU(5) 대수는 그 안에 여러 종류의 부분대수를 가지며, 이것들은 SU(5) 의 나툼이나 물리적 해석에 중요한 역할을 하게 된다. 이들 중 먼저 아벨리안 부분군을 생각해 보면, 대각행렬 {D\D:,D3,D 사(또는 {Ll,L 접 ,L~,L!} ）들은 서로 뒤바꿈이 가능한 부분대수믈 형성하는 것 을 알 수 있다. 이 {D i}를 SU(5) 의 카르탄 (Car t an) 부분대수라 부르 며, 4 개의 독립된 낳음이가 있으므로 이믈 SU(5) 군의 위계 (rank) 라 부른다. 일반적안 SU(N) 의 위계는 (N-1) 이며, 다른 말로 하면 (N _1) 개의 대각행렬이 있는 것이다. 그런데 24 개의 {L 사중 s1 나 Ak 중 에는 {D} 전체와 뒤바꿈이 가능한 행렬이 없다는 접이 중요하다. 바 로 이 접 때문에 그의 나듬에서 각 벡터는 {D i}의 고유상태를 바탕으 로 삼을 수가 있다. 죽 {D' ｝의 고유값 (e ig en value) 을 무게 (we ig h t)라 하고, 그에 해 당하는 고유상태 로 나툼 공간의 바탕 (base) 을 잡게 된 다. 이는 양자역학에서 임의의 상태를 고유상태로 전개하는 것과 꼭 같은 이치이다. 구체 적 인 예 로 바탕나품 (bas i c re p resen t a ti on) 울 고려 해 보자. 벡 터 공간은 5 차원 복소수 공간이고, 변환 연산자는 바로 {L 사들이다. 이

공간의 바탕벡터들을 l1I0I0-0 00l 10i00l o「­oo o 1 싸= ’ 硏 -- ’ ·· · ¢5 = j (3. 13) 로잡으면, 이들이 (3.4) 로 주어전 {D i}들의 고유 벡 터가됨 을 금방본 다. 이들의 무게를 계산하면 D¢ 널 (D3, D8, D15, D”)¢l =+(1, ~. 꿉 志)

SU(5) 의 부분군으로서 특히 중요한 물리적 의미를 갖는 것은 QC D 의 SU(3)c 와 GWS 의 SU(Z)LX U(l) y이 다. SU(5) 에 SU(3) 나 SU(2) 의 부분군을 넣는 방법은 여러가지가 있을 수 있다. 여기서는 G-G 의 SU(5) 이론에서 사용한 방법을 소개하고자 한다. SU(5) 의 정의에 사용된 5X5 행렬을 아래와 같이 1 1 2 3 4 5 a, b, cE {1, 2, 3, 4, 5} 2 I SU(3)c a, {3, rE {1, 2, 3} …34 …5 … ………… 1 ••. … ………· r, s, tE {4, 5} .: SU(2)L 땐서 SU(3)c 는 처음 셋 (a=l,2,3) 을 그리고 SU(2)L 는 나머지 둘 (a=4, 5) 을 차지 하도록 한다. 그리 고 L!, U, L: 는 각각 SU(5), SU (3)c, SU(2)L 의 낳음이 들을 말하며 , (a, b, c), (a, (3, r), (r, s, t)는 SU (5), SU(3)c, SU(2)L 의 지표를 의미하는 것으로 한다. 그러면, SU (5) 의 낳음이 L! 중 SU(3)c 의 낳음이 는 Le 一 ½L~oe, a, {3, r=l, 2, 3 (3.16) 그리고 SU(Z)L 의 낳읍이는 L:- 강虛, r, s, t= 4, 5 (3.17) 가 된다. 다시 구체적으로 쓰면, SU(3)c 의 낳음이 : {Lf, LL L~, L~, L:, L~, Ll-+L~=dia g . (十, 구-, 구-, 구-, 구-) 쉽 -d i a g. （운, f, 운, 구-， 구-) =dia g . (十, 구-， 구-, o, o)

L~-+Lf = dia g . (구_， 운, +, o, o) L: 쉽 -L f =dia g . (같_' 같_， 웅, 0, 0)} (3. 18) 이며, SU(Z)L 의 낳음이 : {L:, Lt, Lt -½ L:=dia g . (0, 0, 0, ½, 구) L:-+L:=dia g . (o, 0, O, 구_' +)} (3.19) 가된다. 하이퍼전하 Y는 다음과 같이 결정된다. SU(3)cXSU(2)L 의 대 각행 렬은 모두 합해서 3 개분이다 (SU(3)c 에서 2 개, SU(2)L 에서 1 개만 독 립된 대각행렬임)． 그런데, SU(5) 에는 4 개의 독립된 대각행렬이 있 으므로, 나머지 1 개가 Y의 낳음이가 되며, SU(3)cXSU(2)LXU( l)r 묘군을 만들게 된다. 이 를 찾으려 면 dia g . (울-, 二간, 二근, 0, 0). dia g . (구다 웅, 구-, 0, 0) , dia g . (0, 0, O, 圭 같) 에 동 시에 수직인 행렬을 찾으면 된다. 이러려떤 Y= dia g . (a, a, a, b, b) 꼴을 가지면서 tr Y=3a+2b=O 이므로 Y=dia g . (금 L, 급!_, 금 L, 十, +) (3.20) 이 바로 원Y하=—는 3 — 행L 렬:이+다—. 2 - L이: 를 L: 로 나타내면 -1 1 (3.21)

로된다. {L; ｝는 모두 24 개의 바탕 행 렬이 있는데, 이 중 12=8+3+1 은 SU (3)cXSU(2)LXU(l)Y 의 부국논대수를 형성하고, 나머지 12 개는 C- 공 간과 L- 공간을 섞는 변환을 주며, 물리적으로는 쿼크와 경입자의 변 환, 나아가서 양성자의 붕괴를 주는 연산자가 된다. (2) 텐서 나툼 군의 나툼을 다루는편리한 방법 중의 하나가 텐서 나툼이다. SU(5) 리 대 수를 정의한 5X 5 하나리 행렬이 작용하는 5 차원 벡터를

업*는 각각 {L 사와 {-L 다를 낳음이로 하는 나툼이다. 구체적으로 {-L 다가 나품임을 보이는 것은 (3.12) 를 만족하는가 따져 보면 된 다. 자주 쓰는 표기 방법으로 #a= 少 *a (3. 26) 가 있다. 이제 SU(5) 의 기본 나툼(fu ndamen t alre p.）을 생각해 보자. 이들은 완전 반대 칭 텐서 (comp le te l y anti sy m metr ic t ensor) 들로서 ¢읽 #뎃 ¢aOr,¢a0” 가 있으며 지표 a,{3 , ••• 들 중 어느 것이돈 두 개를 바꾸면 (-）가 되는 텐서들이다. 이들은 각각의 공간 차원에 따라서 요'lQ., lQ.*, 요*로 표기 하거 나 또는 텐서 의 위 계 (order) 에 따라서 [l], [2 ], [3], [4] 로 쓰기도 한다. 다시 말하면 ¢+--+[l]＝요, #야一 [2 〕＝迫 ¢a 衍+--+ [3] = 坦＊’ ¢a +----+ [4] = 요* 가 흔히 쓰이는 표기법이다. 이들의 SU(5) 변환은 텐서의 정의에서 나온다. 곧 ¢마 =U야 Up v¢µv 또는 싸 a p= (一 iO • L) 아

게 이 지 장론에 서 가장 중요한 뭇줄임 나듬은 물론 수반 나품이 다. 이룰 텐서 나품으로 보면 {¢;}, aE=5 I¢ :=O (3. 29) 가 되며, 공간의 차원 수는 24 이다. 이의 변환은 8¢;; = （급 O•L)am ,P b+ (-i(}• (-L1 ))b n,P ~ (3. 30) 이다. 즉 요®요＊로 변환한다. 이 수반나툼은 텐서 대신에 행렬로 볼 수도 있다. [¢디를 합자국이 0 인 5X5 에르밋 행렬로 취급하여 a 를 가로지 표 (row ind ex) b 를 세 로지 표 (column i ndex) 로 잡으면 or/J= (-i() ·L) r/J一 O(_ i ()•L) = [키· ()·L, r/J] (3.31) 로 뒤바꿈 관계식으로 변환이 주어진다. (/)는 리 대수의 낳음이 Lk 로 전개할 경우 (/)=2 ¢kL· (3. 32) k 이 되며, 이를 써서 (3. 31) 을 보면 써 kLk= (一i )O,

m C'm•V (3. 33) 로, 리 대수 자체가 곧 수반 나툼의 공간을 이룸올 보며, 변환 연산 역시 리 대수로 주어지는 것이다. G-G 의 SU(5) 이 론에 서 수반 나툼은 게 이 지 보존에 , 기 본 나툼은 페르미온에 적용된다. 힉스 장들은 이러한 나툼을 쓰는 의에 더 복잡 한 못줄임 나둠을 쓰기도 한다. 간략히 몇 가지를 소개하기로 한다. 가) 완전 대 칭 텐서 (comp le te l y sym metr i c ten sor) ¢야), ¢야), …, ,p< a,••• a .)… (3. 34) 아들은· 지표들을 서로 바꿔도 값이 안 바뀌는 텐서둘이며, 공간의 차 원에 따라서

¢야)=拉, ¢야)=쁘,…… 으로 쓰기도 한다. 나) 임의의 못줄임 나툼은: 기본 나툼의 대칭곱 (s y mme t r i c pro duct) 으로표시할수 있다. 죽 I;q1t[k ] =[q i, qz, q3, q』 k = q1 [ 1] E0q z[ 2JE 9q3 [3J + q~ [4] (3. 35) 온 [1]이 q l 번, [2] 가 q 2 번 둥 각각의 기본 나툼의 대칭 곱을 한 것 이 다. 예로서 [1] 一 [I, 0, 0, OJ, [2J -[O, 1, 0, OJ, [3J .. 一 [O, 0, 1, OJ, [4J -[O, 0, 0, I], 수반 나툼.- [1, 0, 0, lJ, !§.-[2, 0, 0, OJ, 쁘- [3, 0, 0, OJ 등으로표시가된다. 이 표기법을 딩 킨 (Dy n kin ) 표기 ::::: [qi,q2, q3, q』 라고부른다. 일반적으로 두 개의 못줄임 나툼의 곱은 몇 개의 못줄임 니툼으로노 나누어지며, 이를 계산하는 것은 쉽지가 않다. 간단한 SU(2) 군의 경 우 양자역 학에 서 배 우는 클렙 시 ―고든 (Clebsch-Gord~n) 계 수를 구하는 것이 바로 이 문제이다. SU(5) 군에서는 유카와 결합 항을 쓸 때 페 르미온의 곱 ¢®¢가 들어오므로 기본 나툼의 곱을 알아야 된다. 이런 간단한 경 우는 영 의 표(Y oun g Tableau) 를 이 용하여 어 렵 지 않게 계 산할 수 있다. G-G 모형의 경우 페르미온은 요*와 坦울 쓰므로 필요 한 것은 5*(8 )5 *, 5*(8 )10 , 10 (8) 10 이 다. 기 본 나둠의 영 의 도형 이 요- □ 迫 -1=1 이고, 5*®5*-{ □ ® □} *=I= 「®工*

=[O, 1, 0, 0]*+[ 2, 0 , 0, OJ* = [0, 0, 1, 。〕 + [O, 0, 0, 2] (3. 36) 5*(8 )1 0= 三 ®l=1= □ Ef>三 = [1, 0, 0, OJE B [O, 1, 0, 1] (3. 37 ) 10®1o=l=l®I 三 I =EI 三 IEBI 二 I 그®二 = [0, 2, 0, 。〕ffi [l, 0, 1' 이 ®〔 0, 0, 0, 1] (3. 38) 등이 된다. 참고로 이 들의 차원 수를 보면 다음과 같다. 口그― E 二-1二-1 I -45* |二一 1_ — 1 一텐 I 〔 I 三一섣 (3. 39) 2 죠지―굴라쇼우 모형 G-G 의 SU(5) 이론은 단순 군 (s i m p le g rou p)을 게이지 군으로 하는 대통일이론 중에서 제일 간단한 모형이라는 장접이 있다. 분만 아니 라 대통일 게이지 장론들이 보이는 제반 특성, 성공적인 면과 문제가 되는 면들을 이미 고루 갖추고 있어서 G-G 이론 이후에 나온 모형들

은 동일한 데마의 변주에 불과하다고 볼 수 있을 정도이다. 이 철에 서는 G-G 이론의 뼈대가 되는 부분을 다루고, 현상론이나, 페르미온 질량, 자기홀극 둥은 뒤에서 취급하기로 한다. (1) 게이지 보존 게이지 보존은 수반 나툼에 속하므로 24 개가 있으며, 이를 간결하 게 SU(5) 리 대수의 낳음이를 써서 표시하면 -J=l 2 A A =. Ei.=.3 .I.A' iL ’ (3. 40) 로 A 는 5X5 에르밋 행렬이고, 따라서 At = A, trA =O (3.41) 울 만족시 킨다. 」『울 붙인 까닭은 tr A2=E24 (Ai) 2 · (3.42) i= I 가되도록편의상도입했다. 라그란지안은 Lv= --f1- 1 刃 , Fi µ •= -t_—1 tr F µ,Fµ• (3. 43) 이며 여기서 言1 Fµ.= 걷f i VLi (3. 44) 이고, A 파 관계는 다음과 같다. Fµ,=oµA,-튤 꼬µ _ ＠구))） (3. 45) A 의 성질을 자세히 알려면 구체적으로 행렬로 써 보논 것이 좋다. 처 음 1, 2, 3 행 과 열은 SU(3)c 에 , 다음 4, 5 는 SU(Z)L 에 속하도록 냐 누는 선을 그어 표하면 다음과 같다.

Gl-,-.2/3B=0 G~ G~ x.1 y1 Gf G 접--,.2=/3B=0 Gi X2 Y2 A='G! G~ Gt __-2./3B_ 0 X3 Y3 X1 X2 x3 모J2 노 澤브 w+ Y1 Y2 y3 w- 크J 2+ 브必 30_ , (3.46) 이제 A 행렬의 각 요소를 하나씩 선명해 가기로 하자. 먼저 대각행렬 을 보면 B 가 di ag . (-2, _2, 一 2, 3, 3) -;I J蜀울 쓴 것 이 눈에 띈다. 이는 (3.20) 에서 Y=dia g . (4-, 二간, 국古 랑-, })이었으므 로 B 장이 SU(3)cXSU(2)LXU (I )r 의 U(1) y의 게이지 장임울 말하는­ 것이며, dia g . 틀 훑,一/3 一20 ' 言3' 꼴=¾oy (3. 47) 로 한것은크기를 1 로만든때문이다. 그러므로 여기서 쓴 Bµ 와 GWS 이론에서 쓴 Bµ 논 같은 장안데 다만 크기의 단위가 다름에 유의해야 한다. SU(3)c 부분의 내 각행 렬을 보면, (3. 4) 에 서 D3 단(1, -1, 0, 0, O) D8= 급(1, 1, -2, 0, O) 이고, 따라서 (3. 40, 3. 46) 으로부터

Gt '(;3+ 요J:3 lg- G 축 =_ 1一2 -G3+JG-B=3 G~ -2JG3 8 이 되어 Gl=- Gj3z +. ~GB , G 는급운+유 G;= -V2G一68 (3. 48) 로S GU3( 와Z) 의G8 으대로 각 행표 현렬된은다 .d ia g . (o, 0, 0, 겅-, 二간) 이 므로 」합 A= WSdia g . ( 0, 0, 0, 圭 구) +o t hers 에 서 (3. 46) 에 는 士 硏/ J전가 나타난다. 이 제 엇 대 각 요소들 (o ff -d i a g onal elemen t s) 을 보면 A 가 에 르밋 행 렬이기 때문에 G~t = G~ etc . (3.49) 가 성립하며, 득히 SU(Z) 부분에서는 w :I:J=2」 =(硏干i WZ) (3. 50) 을 나타낸다. 끝으로 A:, A:, A:, A 흡 고려 하자. 이 들은 (4, 5) 가 SU(2)L, • a 가 SU(3)c 의 지 표들이 므로 약한 작용과 강한 작용을 연 계시키는 장들이다. 대통일이론에서는 이들을 X, Y로 부르며, 정의는 A!=X«, A!=Y« A,=X, A;=Y (3. 51) 로 하며 x...-x, y..._ y의 관계 는 W(-\ ―潭 r(+ ）처 럼 서 로 반입 자 (anti pa rti cle ) 이 다.

이들 게이지 보존을 SU(3)cXSU(2)LXU (l )r 의 성질에 따라 분류 하면 게 이 지 보촌 IS U(3)c } SU(2)wl U(l)Y Gi 8 I 。 w 士 ,w3 1 3 。 BA f. s = (Xa, J?a ) 13 12* -5。/ 6 A 상 =ex., Y.) 3* 2 5/6 이 다. 여 기 서 U(l) y-값이 士 5/6 가 나오는 까닭은 Y=dia g . (스크3_ ' 구广三손, 감-, +)로정의되었으므로 Y(A!)= 랑--(二군-)=응 인 때문이다. 이 분석을 행렬 대신에 텐서로하면 일목요연해진다. a,b 를 SU(5) 지 표, a, ~, …를 SU(3)c 지 표, r, s, t를 SU(2)L 지 표로 쓰면 A; =A;®A:®A;®A: 터급 LA: +-½-A:) (3. 52) 가되어 A~ 一 SU(3)c 접 착자 A(!•구 ―- +AS:U(+2+)LA 보:촌) .=....W..-B 土, w3 A~• ― ➔ cxa, ya) A~ .......-(Xa, Ya) 임은 지표만 보면 그 변환 성질이 분명하므로 쉽게 얻어진다. A: 가 어 떤 전하 (elec t r i c char g e) 를 갖는자 알려 면 Q= I3+Y =dia g . (0, 0, 0, ~ , 구) +dia g . （강, 구:나 ½) =dia g . (구_＇ 구一, 구-, 1, o) (3. 53)

을 써서 계산해야 된다. 결과는 Q( An=o, Q( B)=O Q( AD=l, Q( AD=-1 Q( A:) =Q( X) =극f- -1= 크쓴 Q( An =Q( Y) =―- T1- -0= 극-1广 (3.54) 가된다. 끝으로 함께 변환 미 분 (covar i an t der i va ti ve) 을 요= [I]와 요*= [1* ] 에 대해서 쓰면 [Dµ

입자 I SU(3)cXSU(2)LX U(l)Y \ Q (af, dt ) I (3, 2, +) (十'구) ULC a (3*, 1, 구) (구-) d£a (3*, 1, ½) (송) ())L, eL) (1, 2, 구) (0, -1) e£ (1, 1, 1) (I) 과 같으며 전하 Q는 1 급 Y로 부터 나오며 참고삼아 써넣었다. 이계 SU(5) 의 기본 나툼으로, 이들이 얻어지는가 알아보기 위하여 [1]= 요*와 〔 2 〕s5＝l *1 迫= 울 / _3조_* ’\ 사s해C’.aL L 보113一 자 L`.1d| )® 텐 (서1(,e L,2방 *-,¢법) ii ) rL구 으) 로) (3. 58) 로 된다. 끝의 (eL, -VL) 이 얻어지는 이유는 SU(2)L 에서 [ :: ] =요, [一:: ]= 요* ; [_:: ] =(iq2 信 ] (3. 59) 의 관계 로 그들이 동등한 나툼이 되 기 때 문이 다 (2 장 참조). 유사하게 [2] ＝拉울 분석 하면 ¢迫ia b = (3*, ¢i야 I, 구-) ® (3, 2『, +) ® (1, ¢41;, 1) af : (따, i d.i ) eir (3. 60) 로 짝지어진다. 여기서 ¢야가 3* 임은 SU(3) 에서 [2]=[T]= 요＊인 대 문이고, cjJ 45 가 SU(Z)L 의 스칼라임은 반대칭성 때문에 cjJ 45= 강(

로 되어 SU(2) 불변량이 되는 것이다. 이상과 같이 5*EB10 으로 e- 세 대 경입자와 쿼크가 신기하게 들어맞는다. 이를 달리 표현하면 다=[;: - J) JL , (3. 61) 꼬=仁=去[° ? :: ＿二 :3: 〔一:~ ] 0 JL (3. 62) 가 된다. 坦에서 대각선 아태는 반대칭임을 강조하는 뜻으로 빈 칸으」 남겨두었고, 군합과 (一)부호들은 편의상 잡은 것에 불과하다. 자연에 는 e_ 제 대 의 에 도 µ-, 1:-세 대 입 자들이 더 있으므로노 요*®坦 울 세 번 되풀이해서 써야 된다. 물리적으로 관찰되는 e 는 이들 셋의 적당한 섞임으로 될 수가 있으며, 이것은 힉스 장과의 유카와 결합에 의해서 결정된다. 이 문제논 뒤에서 자세히 다루기로 한다. 페르미온의 라그란지안에 들어가기 전에 요*®坦 나품에 대해서 몇 가지 접을 고려해 보기로 한다. 이 목별한 나툼이 실제 자연에 촌재 하는 페르미온과 일치하는 것은 놀라운 일인데, 이것이 우연의 일치 인지 필연인지 G-G 모형은 아무런 말을 하지 못한다. 다시 말하면 왜 • 다른 나품들 깐산 §4§ 둥이 페르미온으로 나타나지 않는지 알 수 없다. 그러나 이 접에 대해서 완전한 설명은 안되더라도 왜 흐＊®坦이 되었 는가에 대한 부분적 이해는 가능하기 때문에 참깐 이를 논해 보기로 하자. 이는 뒤에 나올 SU(5) 의 일반화에서 자세히 다룰 것이므로 자 세한 설명은 빼고 결과만 말하려 한다. 먼저 자연에 촌재 하는 페 르미 온은 SU(3)c 에 대 해 서 요, 요*, ..L만 있다고 가정한다면, SU(5) 의 나툼 중에서 오칙 기본 나툼 [1], [2], [3J = [2J, [4 J =[T] 만 가능하냐 죽 완선 §4§ 둥둥은 모두 이 가 정에 위반하는 입자가 있게 된다. 다음으로 라그란지안이 재규격화

가능한 장론이 되 려 면, 아들러 ―벨―쟈키 우 (Adler-Bell- J ack i w) 의 비 정 상 (anomal y)”이 없어 야 된다. 그러 려 면, 각 나툼의 비 정 상 수가 합 해서 0 이 되어야 한다. 그런데, A( 호 )=-1, A( 요 *)=+1, A(N) =1, A(N*)=-1 로 비정상수가 주어지므로 4) 가능한 조합은 요*®迫 (또는 요+迫*）가 있고, 이 의에 요*®요나 拉*®迫이 가능하다. 끝 으로 요*®요나 迫 *®N 과 같은 나툼은 실수 나툼 (real re p.）이 라 하여 일반적으로 이런 경우는 페르미온이 아주 큰 질량을 얻게 되어 낮은 질량의 쿼크나 경입자를 논할 때 제의된다 .5) 이상의 세 가지 조건을 써서 요*＋坦이 결정되는 과정을 간략히 써 보았으나, 이들은 반드시 그래야만 된다는 깊은 자연의 원리가 아님 온 물론이다. 뒤에 이 조건들에 대한 좀더 상세한 · 설명과 SU(N) 이 론에 어떻게 응용되는가를 보이기로 하겠다. 이제 본론으로 돌아가서 페르미온의 라그란지안을 논하면 앞 항에 서 정의한 함께변환 미분 (3. 56), (3. 57) 을 써서 .feF =

홉 [Xa Ya] (_:: ) +（紅, 玉) (;:)d:.} =군査 @d fp-（모)(판) ( :: ) -譯2 d f «Bd f« +譯3 (VLVL+ 따 L)B +a£XaeL+¢LXdf a -J z«YaVL-VLY«d 요} (3. 64) 로 각 게이지 보존에 따른 결합이 보이도록 나눠 썼다. 때로는 [유 ]=Gk. 훌 (3. 65) 와 Jfrµd r = -'JR rdR (3.66) 울 써서 더 익숙한 형태로 바꿀 수도 있다. 약간 복잡하지만 구체적 인 계산을 해보는 것이 언제나 좋은 연습이 되므로 N 에 대해서도 분 석을 일일이 하단 210= ( '\/겅-g )¢ab A.,

무 . ‘luon= -./2g (ifJ a p G 硏 +¢a,G 맡) = 효g G~ {강 €a p µU f @u t v 냐 (u i .u f+ di a dD} =*= {-Uf pu i +utu L a+atd La } Gi (3.69) 이다. G:=O 가 첫 항을 구할 때 쓰였다. 그리고, (3. 66) 을 u 에 적 용 하면 .fi'10,g luon = *網 G p ua+ df Gp dL •) (3. 70) 이 되고, L 의 접착자 항과 합하면 !£,g luon= g (u~+d 우 d) (3. 71) 로 간략히 되어 a 와 d 가 SU(3) 게이지 결합하는 것을 명확히 보여준 다. W를 주고받는 SU(2)L 을 보면 210,w = 효g{cfi,,,(혼등)싸'+ifJ ,r( 홍문-)'‘러 = -l zg {강 [ua, J』 L[ 홍운] [ ;: ]L} =*（다 )L 팥 (;)L \ (3.72) 이 된다. t r( 분) =0 가 사용되 었고, 멘 끝에서는 SU(3)c 지표는 생 략되었다. W 주고받는 결합을 모두해서 따=g {Cv, 亨 )L 무( : )L+( 다 )L 무 ( ; )」 (3. 73) 이 되어 표준 모형과 완전히 일치함을 본다. 유사한 방법으로 B 항을 구하면 따= 떨J판 {c 一 )+(VLV 나華)++＠군부) +½URUR-½ 표 -&eR} (3. 74)

이 얻어진다. 여기서 rµ- 행 렬둘이 생 략되어 있음을 다시 한 번 주의를 환기하며, dz··· 대신에 dR …울 (3. 66) 에 따라서 썼다. 끝으로 X, Y 항을쓰면 !e x= 격J _2 X a{aRae$+aLae t+&p ra t Tu t} (3.75) £f=격J_2 Y” {— a R ））운 -ULae '.i + e«p rU l rdt} (3.76) 이고, X, Y 항은 윗 식들의 H.C. 로 금방 나온다. 지금까지 나온 게이 지 결합항들을 모두 모으면 fec =fe cl aon+f ew +.f eB +f ex +fe x +fe y+fey (3. 77) 이 되어 처음 셋은 SU(3)cXSU(2)LXU( I)y 표준 모형의 상호작용을 말해주고, 나머지 X,Y 보존을주고받는상호작용은 SU(5) 이론의 둑 성 을 말해 주논 새 로운 항이 다. (3. 75) 와 (3. 76) 에 서 바로 보이 듯이 X, Y는 쿼 크와 경 입 자를 서 로 바꿔 주는(l ept a- q uark) 작용과 쿼 크 두 개를 없애는 두개 쿼크 (d i-q uark) 작용이 있어,[ 중입자<수(b ar y on number) 와 경입자수를 깨는 일을 한다. 이들을 화인만 도형으로써 표시 하면 그림 3- i과 같다.

二

SU(5) 대칭성이 깨지지 않았다면 X, y 보존도 질량이 없을 것이고,

따라서 쿼크와 경입자가 서로 변환되며, 양성자나 기타 강입자들이 붕괴할 것이다. 그러나, 실제 자연에서는 양성자가 대단히 안정되어 있으므로 SU(5) 대칭성이 깨져야만 되고, X,Y 보존둘은 큰 질량 을 가져야 한다. 양성자의 수명이 1030 년쯤 된다고 보면 MxzMy ~ 1014GeV 정도의 업청난 질량을 갖는 것을 말한다. 만약 힉스 장윤 씨 서 SSB 를 쓴다면 SU ( 5)-SU(3)cXSU(Z)L X U(l) y로 깨는 힉스장의 V . E . V. 가 l014GeV 정도의 크기를 가져야 X, Y 보존에 그러한 질량 울 주게 될 것이다. 힉 스 방안에 의한 대칭성 철로 깨침의 문제는 뒤 에 다루기로 하고, 여기서는 10 GeV 정도에서 SSB 가 일어난 것을 받아들일 때 결합상수들이 에너지에 따라 어떻게 변화되는가를 다루 기로한다. (3) 결합상수 결합 상수 g는 라그란지 안에 이론 적 상수로 들어온다. 그런데, 실재 로 이 양을 물리적으로 관측할 때는 경우에 따라 다른 값이 얻어지게 된다. 그 이유는 모든 측 정은 시공간상의 한 접에서 이루어지지 않고 실 험 에 따르는 적당한 크기의 영역에서 이루어지며, 이 영역 내에서 일어나는 양자 현상들은 일 종 의 평군화로서 결합상수 둥에 영향이 나 타난다. 따라서 측정되는 결합상수는 그 측정을 특정짓는 〈길이 또는 질량 〉 을 함께 말해야만 의미를 갖게 된다. 이 결합상수를 실질적 결합 상수 g.”라 부르며, 이의 성질은 주어전 라그란지 안으로 계산할 수 있 는 재규격화군 (renormal i za ti on g rou p)으로부터 얻어진다. a=g 2 /41r : 로, M을 질량, t =lnM으 로 할 때, 재규격화군에서 {3(g) = 급을(무 c2(G) -방 _T(R)) + 0(g5 ) (3. 78) 뿜 =-a2[ 불 C 2 (G)_ 궁 _T(R)] +…… (3.79) 굶『=盆+ [풍 c2(G)_ 군 _T(R)]In 훑 (3. 80) 이 나오는 것을 알 수 있다 .6) 이 식은 페르미온과 게이지 보촌만 있

는 라그란지안의 경우이며, 힉스장이 있으면 항이 더 들어가지만 실 질적인 영향이 적으므로 생략하는 것이 일반적이다. 이 식은 한 고리 전개 (one loop exp a nsio n ) 까지 만 고려 한 것 이 며 , 대 통일 이 론에 서 는 보통 이 이상을 취급하지 않는다. Mo 와 t o 는 임의의 질량기준이고, M과 t는 원하는 또는 측정하는 실험의 특성을 주는 질량이다. C2(G) 는 수반 나툼에 나오는 군의 상수이 고, T(R) 은 데 르미 온의 나툼 R 에 해당되는 군의 상수이다. 이들은 군에 따라 일정한 값을 가 지며, 우리가 앞으로 쓰게 될 예를 들면 아래와 같다. (가) SU(N) Cz (G )=N T(R) : T#( R) II ½ [1] [강2 ](…N -…2)… …붉[m ] 2C m 키 (나) SU(N) C2(G)=N-2 T(N ) = T(vecto r) = l T(spi no r) = 2무 군의 상수 T(R) 이 갖는 특기할 만한 성질 중의 하나는 부분군으로 나누어 생각해도 값이 불변인 접이다. 예로써 SU(5) 의 경우 부분군 SU(3)c 에 대해서 검토해 보자. [1]을 보면 SU(5 ) 에 대해서 ½이다. 그런데 [l]s=[l] 요 [O J 3E9[0 J 3 로 나눠지므로 T{[lJ s} =½이고, 나머 지는 0 이므로 맞는 결과를 준다. [2 J s 를 분해하면 ¢ab=¢ap® ¢a@#'’ [2] 6 = [2] sEB2 [1] aEB [OJ 3 (3.81) 이므로 T[R] 을 보면 T{[2]5} ＝웅, T{[2]3} ＝강, T{[1]3} ＝강, T{[0]3} =O 가 되어 역시 일치한다. SU(2)L 부분군에 대해서 계산해도 역시 같은 값이 나옴을 볼 수 있다. 이상의 내용을 받아들여, G-G 모형에 적용해 보자. 먼저 질량의 기 준접, 그리고결합상수를측정할질량을 정해야겠다. 기준접은 SU(5)

대칭성이 깨지는 에너지를 Mo 라 놓으면 이는 X,Y 보존둘의 질량과같 온 정도일 것이므로 M尸 距 MY (3.82) 으로 하고, 측정접은 lGeV 정도가 한 값이 될 것이지만 그보다는 표 준 모형의 대칭성이 유지되는 질량, 죽 Mw$Mz 크 OOGeV 정도를 잡 는 것이 논의상 더 편리할것이다. 그러므로주고받는운동량이 M¾ 와 M읊 의 사이에서 M옮 <; Q2 $ M¾ SU(3)cX U( l)y一 (-SU(3)cXSU(2) i X U(ll)Y- 크 U( 5) 영 역 영역 영역 결합상수들이 어 떤 실질적 값을 갖는지 알아 보자. g 5= g (Mx) 로, g3 , g2, g l 을 각각 SU(3)c, SU(2)i, U(l) y의 실질 결합상수라 하면 gK 1Q 2 ) ＝省+습(컬 Lx3+ 누 )ln( 쌍-) (3. 83) 가 SU(3)c 의 결합상수로 나온다. 여기서 F는 T( 요 *)+T( 坦)=〉+훙 =2 인데, 세대가 셋이 있으므로 6 이다. 물론 만약 Mw 와 Mx 간에 더 많은 쿼크가 발견된다면 이 값은 M 에 따라 달라질 것이고, (3.83) 도 그에 맞게 고쳐야된다. 이 값을현재 알고있는대로 6 으로할경우 _13 1 X3+ 一23 X6=-7<0 (3.84) 이 된다. 이는 SU(3)c 의 실질 결합상수가 M 이 커침에 따라 접접 줄 어듦울 보인다. 이러한 경향이 성립하는 최대의 F 값은 Fmax= [무] =16 (3.85) 이 다. 이 는 SU(3)c 의 쿼 크 갇힘 (qu ark confi ne ment) 이 가능한 최 대 의 쿼크 종류 수가 16 임을 말하는· 것이다. SU(2)L 와 U(1)Y 에 대해서는 *=걸＋志(극 Lx2+ 량기다운 (3.86)

*=寺+습(운기 In 뭉 (3.87) 가 된다. g려에서 C z( G)=O 인 까닭은 U(1) y가 아벨리안군이기 때문 이다. g 5 는 전혀 알 수 없으므로 이를 소거하고 나면 吉-½=志(던 )ln( 봉) 습-잡=志(국도 )1n( 양) (3.88) 이 된다. 이들 결합상수를 Q떡 함수로나타내면 그림 3- 幻1 럼 된다. 이 그립이 보여주듯 SU(S) 이론은 왜 as»a=T 듦-인지를 설명할 수 가 있는데, 이 접이 표준 모형에서는 해결 못하는 것을 동일이론이 어떻게 푸는가를 보이는 좋은 예이다. 이를 정량적으로도 맞는지 보 이 려 면 Q두 (100GeV) 2 정 도에 서 실험 값 a 펴 아울 (3. 88 ) 식 에 대 입 했을 때 어떤 Mx 가 나오는가 보아야된다. 그런데, Mx 는 이미 양성 자 붕괴와 관련하여 10GeV 정 도라는 것 이 요구되 므로 (3. 88) 에 서

gl

나온 값과 일치하거나, 적어도 서로 상치되는 결과가 나와서는 안될 것이다. 실제 계산 결과 이 두 Mx 값이 일치 또는 유사하게 나오므 로 SU(5) 모형의 신빙성이 아주 높아지게 됐다. 결합상수와 관련된 중요한 양의 하나가 와인버그 각 %인데, 아것 도 표준모형에서는 전혀 계산할 수 없는 양인데 대통일이론에서는 기 본적인 양으로부터 유도할 수가 있다. G-G 모형이 이 값을 실험치와 근사하게 맞추기 때문에 또 한번 경탄을 하지 않을 수 없다. 이를 실 제로 계산하기 위하여 sin 28w 의 정의를 상기하면(g'=gy, g=gz) *

를 GWS 모형에서는 (g,g’)을 썼는데, 여기서는 편의상 (g 2, gy)로 바꿈 .

sin2 ()w =---gd덤J+!-g} (3. 89) 과 같고, gy와 g l 의 관계 는 Y- 장과 B- 장의 정 의 에 서 오는 gyY <->dia g . (금 L, 금 L, 금 L, +, +) (3.90) g 1B 一 d i a g . (구_：간, 구-， 宁, +) ✓ I cs. 91) 차이 때문이며, 따라서 g喜=gy (3. 92) 를 얻는다. 그러 면, (3. 89) 에 서 sin2 %[ Q2 J 5 g홍 (Q3gZ ) f +(Q 3g2 ) f (QZ ) (3. 93) 로 쓸 수 있고, 특히 Q 2 츠 Mi 에서는 g l= g 2= g가 되므로 sin2 0t =¾ (3.94) 이며, 이를 〈본래 와인버그 각(b are Wein b erg an g le) 〉이라 한다. 실험치와 비교하기 위해서는 e 를 사용하는 것이 더 편리하므로 e=g 2 s in ()W =gy cos ()w= ✓ ?g lcos ()W (3. 95)

를 써서 (3. 88) 을 고쳐 쓰면 읍=sin 20w+ 훑(극) In 망, (3.96) 了5 言e2 =cos2(}w+ 福5e2 T ( 국-3一3 )lnM~§. (3. 97) 이 된다. a=e2/41r: , a,= g U4 1r:로 aa':읽 =¾(1- 告 -ln 방), (3.98) sin 20w= 웅 (1 규릅 ln 쨩) (3. 99) 를 최 종적 으로 얻는다. 7-8) 실험치는 sin2 8w=O. 229 士 0. 009 이므로 Q2 =1 GeV2 , a= *71 _울 넣 어 계 산하면 M¾ 가 대 략 Mx:::::::101 ◄ GeV 이 나온다. 이 는 양성 자 수명 다 ~10 J o y r 에 해당되어 바로 맞는 값이라고 추정되었었다. 그러나, 최 근 양성자 수명 실험 결과가 이러한 기대를 부정하게 되어 SU(5) 모 형에 대한 신뢰가 떨어지게 되었다(양성자 붕괴 참조). (3.98) 에 대한 실험적 데스트는 사실상 불가능하다는 편이 옳겠다. 왜냐하면 a,(Q z ) 의 실험적 측정이 직접적으로 하기가 어렵고, 간접적인 측정은 이론­ 적 불완전성으로 다같이 받아들일 수 있는 정의조차 없기 때문이다. 3 힉스 장 G-G 모형에서 대칭성을 깨는 방안과 쿼크, 경입자에 질량을 주는 방안은 다같이 힉스 장울 기본 입자로 도입하여 시도한다. 이 방법은 GWS 이론을 그대로 답습하는 것인데, 2 장에서 이미 언급했듯이 힉스 장에 관계되는 내부분은 이론적으로 깨끗치 못할 분 아니라, 실험적 인 증거도 없어서 현재로서는 이론의 결함 요소로 여겨지고 있다. SU(5) 이론에서는 약접 정도가 아니라 문제접이라고 해야 옳겠다. 그 첫째 이유는 대칭성이 깨지는 질량의 정도가 SU(5)-SU(3)cX

SU(2)LU( l)y __~ SU(3)c X U(l),m 에서 각각 l014GeV 과 l02GeV 이므 로 그 차이가 현격하게 크다는 접이다. 왜 이렇게 큰 차이를 두고 있 논지 근본적 이해가 안 되어 있고, 힉스 포텐셜을 써서 계수들을 알맞 게 조정해야만이런 일이 일어나도록 할 수 있는데 그것도 한 고리 이 상 양자 효과가 들어오면 재규격화 때문에 지켜질 수 없는 것이다. 이 문제는 아직껏 근본 해결은 없고, 초대칭이몬에서는 해결될 가능성아 있으나 받아들일 만한 모형은 아직 발견되지 않았다 .9) 둘째, 히스 장의 문제는 쿼크와 경입자의 질량이 유카와 결합으로 생길 경우 실험치와 맞지 않는 접이디 - . 이 문제 역시 아직것 해걷의 실마리가 보이지 않고 있다. 이 두 문제를 (1) 항과 (2) 항에서 각각 다루고자 한다 .10) (1) 대칭성 절로 깨짐*

* 이 항의 계산율 머 상세히 알려면 11),12) 의 참고문헌을 보면 된다.

만약 기본장으로 힉 스장이 있다면 얼마나 많은종류가 있느냐를결 정할 아무런 근거나 조건을 아직까지 갖지 못하고 있다. 다만 원하는 형태의 대칭성 깨짐을 위하여 필요한 최소의 힉스 장은 무엇인가라는鬱 질문은 할 수 있다. G-G 모형의 경우에 답은 깐®으이다. 이를 최소 SU ( 5) 모형 (m i n i mal) 이 라 한다. 이 제 수반 힉 스를 행 렬로 표기 하고 o= 〔 0 다 = [] ba, tr =O (3.100) 요를 Ha 로 쓰면, 이들이 만드는 가장 일반적인 포텐셜은 V(2 H (3.101 ) 이 다. t r 3 의 항은 생 략했는데 , 보통 一- (3. 102) 을 포텐셜의 대칭성으로 잡기 때문이다. 물론 반드시 _-+- 대창

성이 필요한 것은 아니며, 이 항을 넣으면 결과가 달라질 수가 있으 나, 여기서는 문제를 간략히 하는 의미에서 생략했다. 이 V(3 °4 5 一, 一 6: .,=0 이 며 , a 들은 모두 실수이 다. 동시 에 u'=dia g . ( ei9 • , e 떤 …, ei9 ') (3.104) e i (EI+··· 나王 =1 이 되는 변환을 써서 H‘ 불 전체적인 복소수 위상만 남기 고 실수로 고칠 수가 있다. 죽 Ha=xH^ a xec (3.105) .5t cfI •) 2 =1, fI..E R (3.106) •=I 이며, 이들을 써서 V를 다시 보면 V(

이면 남는 대칭성은 SU ( 4 ) XU (l)이 되고, dia g . (x, X, X,, 릅죠, 릅죠) (3. 109) 꼴이면, SU(3)xSU(2)XU (l)이 남는다. 다음에 H는 분해하면 Ha=H 띤 )H' 도 (3, 1, 구) EB(l, 2, +) (3.110) 이 므로 H’ 가 바로 GWS 모 형 의 ¢에 해 당한다. 그러 므로 〈 Ha 〉 =0 이 어야만 QC D 대칭성이 그대로 보존되고, 〈 H5 〉=r;: O 이면 표준모형처럼 SU(3 ) cXU(I) 이 최 종 대칭성이 될 것이다. 이상에서 우리가 원하는 대칭성 을 가지려면 〈 H 〉=〈다〉 *O 가필수적 이다. 따라서 우리는 x= 〈다를 독립 된 계수로취급하고, V 를 X 의 함 수로 결 정하게 될 것이다. 8 의 부호에 따라서 (/J노여(/J: (a= l, …, 4), {3>0 (/J巨츠(/J: (a =l,… , 4), {3<0 (3.111) 로 하는, 포텐셜에 마지막 항의에는 H. 가 없으므로 6H. 에 대해서 V 가최소값을 갖는 것은 〈 H. 〉 2( 〈r/) 5 〉 2 一 〈 o. 〉 2) =0, a= l , …,4 (3.112) 일 때이고, 이때의 최소값은 ( {3항만) {3l 1 2(/ ) ~ (3.113) •=I 이 된다. 이제 Z rJ) a=O 라는 제한 조건이 들어 있는 최소화 문제를 p항 과, X 만 있는 항율 제의하고 생 각해 보면 라그란지 안 방법으로 국홀r/) a 를 대입하면 F= 꿈 2 2o: 국(年 )2+ 운 2 gg o 。 (3. 114) 를 60a 를 취하여

(-µ'2+ aC_sI= :l< /Jt +2b r/J!) 1 2+a5~ 9>討 +2b =* 。o :}, a=l, …,4 (3.117) 그리고 = (3.118) 가 나온다. 이는 바로 GWS 모형과 꼭같은 형의 대칭성 붕괴를 주므 로, (/)와 H의 일반적 포텐셜은 원하는 결과를 주는 것을 알 수 있다. { }가 택 할 수 있는 값은 {((/)1> ,•• • , 〈 (/)4 가 들은 최 대 한 3 개 의 다 론 값 (01, 02, 03) 을 취 할 수 있으나 01+02+03=0 를 만족시 켜 야 되 고, 〈 (/)5) 는 2 〈 Oa 〉 =0 에서 구해진다. 그러면 모두 4 가지 가능성이 있는 바 ((가나)) ddiiaa gg .. ((oo,, oo,, oo,, 각o, 一구 4o) 마 6( 국은기) (다) dia g . (o, o, o( l+E ), o(l+E), -2o(2+E)) (라) dia g . (o, o, o(-1+E), -Eo, -o) (3.119) 둥이 다. 이 들 중에 서 SU(3) xSU(2) X U( l)-S U(3) X U (l)으로 가는 경 우만울 고려 하고, 나머 지 는 생 략하기 로 하겠 다. (（가), （다), （ 라))* (3. 115) 와 (3. 116) 에 서

* 구체져 계산 후에야 (다), （라)가 원하는 답이 아님을 알 수 있음.

( 2< /)5, 1:S :a :S :4 (3.120) 가 나온다. 이 중에서 2 개만이 독립된 방정석이기 때문에 이를 {

따 2 (3.124) 이다. 이제 방정식 (3.121) 을 써서 6 를 구하면 되는데, 물리적으로 우 리가 원하는 것은 닿 <<1 아므로 (J)＜< 1 에서 (3.123) 을 풀면 EE12 ==짱 — -(23 J )- —+ 100 ( (J )+2 )0 ((1)2 ) (3.125) -5 (J) 가 된다• 이 제 0 — --+O 일 때 cD E2 를 (3.119) 에 대 입 해 보면 (나, E1) dia g . (ii, ii, ii, -청 6, 一 村 (3. 126) (나, E2) dia g . (ii, ii, ii, 一 4 ii, ii) (3.127) 이 각각되어 E1 : SU(5) 一 SU(3) xSU(2) x U( l) E2 : SU(5) 一 SU(4) X U(l) 의 대칭성 형태를 준다. 그리고, (3.111) 에 의해서 E1._/3 <0 ; E2.-f3> 0 (3.128) 일 때 최소값을 주는 것을 본다. 그리고 CV--+0 일 때 V(

Vo( 국沿 b, b>0 일 때 SU(3)xSU(Z)XU (l)이 되도록 생기고, a>O, b 군 -b, b>O, /3<0 , 뿐 «1 일 때 SU(5) 一82 SU(3) xSU(Z) X U (l@)>一2 SU (3) X U( l) 의 대칭성 붕괴가 일어난다• 지금까지 〈 x 〉와 6 를 독립변수 취급을 했는데 이들을 ))와 µ로 표시 하려면 ~oV= 0 에서 l,)2 =A< x > 2 +15«02내 碑 +6 /3생 2+e~02(4«+2 /3) (3.130) 를 얻고, (3.121) 에서 µ2=2a 〈 x 〉 z+ao2( 분 +2E f) +2bo2( f -2E1+ 이 (3.131) 이 나오며 E1'.::-:3'. ~) 이 다. 이 제 µ, v, ;i, …등 등을 잘 선정 하면 2 /82 一 10-12 정도로 작게 만들 수 있율텐데 그러려면 이들 계수가 0(lo-12) 정 도로 찰 맞춰 놓아야 된다. 그러 나 라그란지 안에 서 이 렇 게 특별한 값을 가지는 계수들을 선정해 놓았다 할지라도 한 고리 이 상의 양자화가 들어오면 헛일이 되어 버릴 것이다. 그러므로, 이 문 제는 근본적인 해결이 안되는 SU(5) 이론의 · 단점으로 남았다. 이 문 제의 근본 원인인 Mx:::::::1014GeV ; Mw:::::::IOOGeV 라는 게이지 보존간의 큰 질량의 차이를 힉스 포텐셜의 계수의 미세 맞춤(fi ne f un i n g)으로 해결할 수 없다는 것을 의미한다. 초대칭 이론

에 희망을 거는 이유중의 하나는 한 고리 이상의 효과로 계수에 재규 격 화 (renorma li za ti on) 가 생 기 지 않기 때 문에 , 어 떤 이 유로든 처 음 에만 라그란지안 계수의 미제맞춤이 일어나면 되기 때문이다. 어쨌든 이 문제는 대통일을 연구하고자 하는 사람들은 다각도로 깊이 생각해 볼 가치가 있는 문제이다. (2) 페르미온의 질량 페르미온이 어떻게 질량을 갖게 되는가는 오렌 역사를 가전 문제이 나 아직껏 해결의 실마리가 보이지 않는 과제로 남아 있다• 최초로 알 려진 페르미온인 전자의 질량 을 이해하려는 노력은 고전 전자기 때부 터 Q ED 에 이르기까지 계속되면서 풀지는 못했지만 물리학의 발전에 기여한 바 컸었다. 그리고, 다론 기본입자들의 발견으로 문제가 더욱 일반화되었고, GWS 이론이나 G-G 모형에서 십각한 과제로 대두되 었다. 여기서는 힉스 장과 페르미온 장의 유카와 결합으로 질량을 만 드는 방안을 검토하겠다. 물론 이 방식은 성공적인 것이 아니었으므 로 전체의 흐름을 파악하는 데에 중접을 두고, 잡다한 기술적인 면까 지 논하지는 않겠다. 질량은 힉스와 유카와 결합에서 생기모로 이를 써 보면

Cabcdc 는 완전 반대칭 텐서로 SU(5) 의 변환이 C.bcdcuaa'ubb'uccgu ddgu ec,= e0'&'c.d'‘ 틀이 되어 불변이므로 둘째 석이 가능한 것이다. m,n 은 페르미 온의 1,2,3, 세대를 말해 주는 지표로서, 계보 상호간의 섞임이 일반 척으로 가능하며, 물리적으로 관찰되는 입자들은 질량행렬을 대각화 함으로써 얻어진다. 둘째 석은 페르미온 수를 보존하지 않는 항이므 로 양성자 붕괴에 기여를 하게 된다. 이계 SSB 가 일어났을 때 〈 OIH•IO 〉=J」2 따 (3.135) 이므로 아를 (3.133) 에 대입하면 꿈 Tmn(dmRd•L+ 료후) +H.C. = -dRMddL 一탸 M•e t +H. C. (3. 136) 로되고, dL= [ ;: lL, et= [ :[lL , (3. 137) M'=M•=~[ [rr21 22 r1r32-r33 3- r32 (3. 138) 이 쓰였다. 이들을 대각화한 것이 곧 d1, d2, d3 一 d, s, b e1, e2, e3 一 e, µ, 7: Md 一 d i a g. (md, m,, mb) M• 一 d i a g. (m,, mµ, mr) (3. 139) 이다. 중요한 결론은 md=m, m,=mµ mb= (3. 140)

이며, 언뜻 보기에는 실험 사실과 동떨어전 결과처럼 여겨진다. 그러 나, 실험적으로 관측되는 입자의 질량도, 결합상수처럼 실험을 득칭 짓는 길이 또는 운동량의 크기의 함수인 것이다. 그리고, (3.140) 은 SU(5) 대칭성이 성립하는 Q2 ~M¾ 일 때 의 값이 고, m( Q 2) 은 재 규격 화군 (renormal i za ti on g rou p)으로 계 산을 해야된다. 이는 페르미온 질량연산자의 비정상 차원 (anomalous d i mens i on) 으로 결정지어지는 바 다음과 같다. rm~ 맵+맵 +r 업 (3.141) T 업는 각각 SU(3), SU(2), U(l) 에서 연유한다• 이들은 껍 (Q2 ) = 합 [1-릅 -1n (1 + 옹)] (3.142) 이며 [ ] 안의 내용은 Q 2 가 페르미온 질량 m 데 유사할 때의 변경되 논 양을 가리킨다. 랩는 핼」같 l, 쿼크 。 , 경입자 (3.143) r 언=-읊i2g홍 (3.144) 맵=- 8 군(3응 ) (T3-Q ) h(Ts-Q ) 1Ag ~ (3.145) 이고, r g Il 에서는 [ ］의 변경을 무시했다. 그리고 r 언에 나오는 (½)는 응g~=차에서 비못된 것이고 T3- Q에 나온 Q는 전하 연산자 이드로 운동량 Q 2 과 혼동이 없기 바란다. 각 페르미온에 대해서 r~l .. , . ,=言_g1 f, (Q=웅, (T3)L=½, (T3)R=O) 맬d .$,b= 言1 . gf ; r~! .. , ,.,,,=O

r.(,I;) t ,P,•= 言-g9 f (3.146) 이 됨을 확인할수 있다. 칼란一시 만찍 (Callan-S ym anz i k) 의 13) /3-함수를 다시 상기 해 보면 p 0》(Q 2)= －읊 {11- 웅꾸 [1-6 량] + (1I+2m4mi /HQQ' D ,l_n ,✓. 1;+1+44mm i協/Q/ 2~+l} ......, (3.147) p C) ＝거울(두음f-…) p 0= －읊(구-f-…····-) (3.148) 이며 허스. 장의 효과와 기타 높은 위계의 보정은 ……으로 표시했다. 질량의 재조정을 계산하는 것은 쉽지 않으나, [ ］을 무시해 버리 떤곧 ln[ 따 , c,,( Q Z)] ：：：：：： ln[mu,,,,(M2)] + (~)l n [ 뀝? ] + 882_78J In( 꼭巴틀(텍안) (3.149a) ln[m ,1 ,, , b( Q 2)] ：：：：：： ln[ma,, , 詞)] + 土합 ln (~) 3 + 882一 7 8f ln( 전 2) ) + 굽v- 1n(~) (3. 149 b) Jn [m,,µ, r(Q 2 )] ::::::ln [m• . µ., (M2)] +글듦 ln( 연?” )＋울티 ~) (3.149c) 로 나오며, 따는 SU(5) 결합상수이며 M2~M¾- 롤 말한다. 우리가 여기서 관십있는 양은 (d,s,b) 와 (e,µ,,.) 의 질량의 비이므로 ln(~] =ln(~]

+ 1142f ln 텟국 ln~+-····· (3.150) 3 의 관계를 얻는다. 구체적 수치의 비교를 위해서는 m( Q Z) 의 정의와 a,( Q Z) 의 정의, 그 리고 쿼크의 종류가 얼마인가(f)가 결정되어야 한다. 그러나, 이 중 어느 것도 확실치가 못한 형편이다. 대강의 아이디어를 얻기 위해서 부정 확 한 대로 이들을 정하는 보동 방법을 말하떤 다음과 같다. 먼저 쿼크 질량은 혼히 mq (QD , ..;m=2m q(Q~)을 쓰면, b,C 에는 찰 맞고, s 는 그런대로 견딜 수 있지만, u,d 는 사용할 수 없다. a,( Q Z) 은 앞에 서 이미 언급 했 듯이 정설이 없고 a,'.:::::0.1~0.3 의 값을쓰면 QZ '.:::::l~10 GeV 2 에서 될 것이다. 쿼크의 종류는 현재 발견된 것은 5 이지만 6 을쓰 는 것이 이론적으로기대되며, 8 이나 10 을 시험삼아 써볼수도 있겠다. m,=l . 8GeV 를 쓰면 mb'.:::::4. 8 一 5. 6GeV 가 나오므로, 이 는 지 금까지 대통일이론들의 성공적인 계산으로 손꼽히고 있다. 실은 이것 의에는 성공적이라고 불 수 있는 것은 전혀 없는 말하자면 〈우연〉일 수도 있 는 것이므로 여기에 지나치게 집착해서는 안 될 것이다. mp .= 0. 105GeV 를 넣으면 m,'.:::::0. 4~0. 5GeV 가 나오는데 , 이 는 보통 강입자 스펙트럼에서 나오는 0.15GeV 에 비하면 상당히 를리는 값이 다• m 려 값은 더욱 계산이 부정확해지므로 재규격화 계산을 했다해도 무슨 의미를 부여할 수 있을것 같지 않다. 다행히도 md/m, 는 재규격 화의 영향을 거의 안받으므로 통)＝뭉=畜 (m4/m,)'.::'.i 41 (3.151) 이론 실험 와 같이 현격한 차이가 있다. (md/m,)· 신협 “이란 중입자나 중간자들의 스펙트럼에서 간접적으로 얻어진 값을 의미한다. 이 문제를 해소하기 위하여 힉스 장을 더 도입하는 시도가 많이 있었지만 일부 성공했다 해도 과연 의미있는 일인가 의십하지 않을 수 없다. 문제가 있다는 접만 지적하고 u,c,t 쿼크의 질량 문제로 넘어가자. 식 (3. 134) 로부터

*）） OFm n ea 衍霞 C¢,; t +H. C. = --J- 4-=2 ) )oI 'mnU mRU,.L + H. C. =-URM 먀 +H.C. (3. 152) 이며, M•= 브J2 나 =M• 길 (3. 153) 로 대칭행렬이 된다. I'm n 과 rm, , 이 독립된 계수이므로 (u,c, t ) 의 질량 은 (d,b,s) 나 (e,µ, 1: ) 의 질량과 전혀 연결이 되지 않는다. 이 접도 G-G 모형의 부족한 일면이라 할 수 있다. 힉스 장과의 유카와 결합을 써서 페르미온 질량을 이해하려는 노력 은 G-G 이론은 물론 다른 더 큰 군을 쓴 모형들에서도 대체적으로 실 패했다. 득히 t구]크의 질량의 예측이 많은관십을모았었지만 m,~20 GeV 인 접이 밝혀진 오늘날에는 이런 방향의 시도에 대한 의문이 높 아졌다. 우리는 이 실패를 계기로하여 질량의 의미를 깊이 생각해 볼 팔요가 있다고본다. 4 양성자 붕괴 양성자와 중성자는 물질을 구성하는 기본 요소이기 때문에 양성자 의 안정은 곧 물질의 불멸을 의미하고 따라서 우주의 생성과 미래에 대한 철학적 견해에까지 영향을 미치게 된다. 그래서라고 말할 수까 지는 없지만, 양성자의 안정성은 오렌 동안 물리학의 주요 흐름에서는 문제시된 바가 없었고, 파티一살람 (Pa ti -Salam) 이 14) 진지한 이론으로 써 반-단순 군 (sem i -s i m p le grou p)을 쓴 대통일이론을 제창했을 때 양성자의 붕괴가 나오는 것이 그 이론의 못마땅한 접으로 여겨지기도 했었다. 그러나, SU(5) 이론을 필두로 대통일이론들이 나오면서 양성 자 붕괴는 단연 기본입자 물리학계의 관심의 초접이 되었고, 양성자 붕괴를 바탕으로 한 우주 물질의 생성이 활발하게 토의되었다. 양성자의 안정은 중입자수(b ar y on number) 의 보존으로서 이해되

며, 이는 자연에 어떤 대칭성이 있기 때문이라고 생각된다. 만일 중 입 자 수에 해 당하는 국부 게 이 지 대 칭 성 (loc al ga ug e sym metr y ) 이 있 다면 여기에 대응하는 게이지 보존이 있을 것이다. 그러면, 의트뵈스 (Eotv o s) 실험 에 서 중력 과 새 상호작용 힘 이 중력<---+질량 새 게 이 지 보존력 <---+중입 자수 의 관계가 성립하므로, 중력질량과 관성질량이 달리 보일 것이다. 이 로부터 리―양 (Lee and Yan g)이 실험 분석으로 야三 10-9G 而p ' ：：：：：：：： 6 x 10-48 울 얻었다. 이는 중입자수 보존에 해당하는 게이지 보존이 없는 것과 마찬가지임을 말하는 것이다. 다시 말하면 중입자수의 보존 즉 양성 자의 안정성은 전하의 보존과는 달리 역학적 이유 때문임을 시사한다. 대통일이론은 바로 이 이유를 제시하는 것이다. 양성자는 Q 2 之 M紗 에 서는 전혀 안정된 입자가 아니고, Q 2~lGeV2 에서 안정되어 보이는 까 닭은 게 이 지 보촌의 질 량 Mx 가 대 단히 커 서 장호작용이 (Q 2/ J,,,f웃 )2 로 작아지기 때문이다. 물론 대동일이론이라고 해서 모두가 양성자 붕괴를 필수로 갖게 되 는 것은 아니며, 붕괴되더라도 수명이 이론마다 크게 차이가 나게 된 다. 그러나, 양성자가 철대 안정되거나, 수명이 l030 y rs 보다 훨씬 큰 이론들은 그 이론을 입증할 만한 다론 예측이 거의 없기 때문에 그야 말로 공론(空論)에 그칠 우려 가 많다. 다라서 G-G 의 SU(5) 이 론이 실험적으로 입증이 가능한 l031y rs 정도의 양성자 반감기를 제시했을 때 이의 측정은 곧 이 이론의 핵심적이며 거의 유일한 증명이 되는 것 으로 많은 관심을 모으게 되었다. 여러 곳에서 양성자 붕괴 실험을 진행 중인데, 그 중에서 IMB (Irvin e -Mi ch ig a n-Brookhaven) 실험 조가 G-G 의 SU(5) 예 측치 를 부 정하는 실험 결과를 얻게 되었다 .15) 이 실험은 8,000 톤의 물을 쓴 체 렌코프 (Cerenkov) 검 출기 를 클리 블렌드 (Cleveleand) 의 소금 광산 지 하 2, OOOf t(l, 570m wate r e q u i valen t)에서 130 일 간의 운영 결과를 분 석한 것이었다. G-G 의 SU(5) 이론에 의하면

j>--+e+ 1 t0, 40%Br. 이고, ~2X10 2 9 y rs 인데, 이 이론이 맞다면 1MB 실험은 약 103 개의 p--+ e+ 군을 보았어야 했을 것이나 실은 하나도 보지 못했 다. 이 들 은 ”~1. 0Xl03 2 y rs 에 히 1 당한다. 이로써 SU(5) 이론은 설형 입증의 가능 성이 희박하게 되었고, 많은 사람들이 이 이론의 타당성에 회의 를 갖 게 되었다 . 양성자 붕괴의 미발견이 곧 SU(5) 모형이나 여타 대동일이론 들 의 부정을 의미하는 것은 물론 아니다• 문제는 대 동 일이론을 입증할 가 장 직접적 수단이라고 여겼던 실험이 없어침에 따라 이 이론 들 이 수 학적 연습에 불과한 상황에 처했다는 점이다. (1) 양성자 붕괴 도형 약한 상호작용에서 Q 2/M읊 «1 이면 게이지 작용이 페르미의 흐름 상 호작용으로 근사시 킬 수 있듯이 Q2 /M l __➔ o 일 때 흐름간의 결합으 로 볼 수 있다. SU(5) 의 경우 _£eIr= 言4G [{Ea p rUZTr 나} {2e!r 沮+따쵸} - {Eap ru z r rdi} {Virµ d.R } ] + H. C. (3.154) 가되고 G= 팝命 (3. 155) 논실질적 결합상수가되며, Mx=Mr 를가정했다. 이런계산에서 유 용한 석으로 피어르쯔 (F i erz) 항동식이 있는 바 #ILrµ¢2Lg 3Lr µ¢4L = #ILTµ¢4Lg 3LT µ¢2L (3.156) 이 (3.154) 를 유도하는 데 쓰였다. 실제로 양성자 붕괴의 확률함수를 구하려 면 카비 보 섞 임 을 고려 해 야만 한다• c=cos Oc, s=s in Oc 를 써 서 (3.154) 를 이 경우에 맞게 다시 쓰면 아래와 같다.

국?.If4=G言 [(Ea p ru i: rµuD {[(1+c2) e t +c sp. t]r µdi, + [(1+ s2) p,! + sce !] rµsi, + eJir µ dR + P,Jirµ sR} - {eapr u i: rµ (cd{ + ssf) } {ii~n rµdR + iill R T 표} ]+ H. C. (3.157 ) 이상의 실질적 라그란지안은 B 와 L 을 따로따로는 보존시키지 않지 만 B- L-은 보존시킴울 불 수 있다. 따라서 p一g+보촌둘 }7 冷 p-. e 가보촌들}불가 ）） C ＋보촌들 v+ 보촌둘 이고 IBM 실험에서 p―국 +1C 별 검출하려고시도한 까닭도침작할 수 있다. 이의에 L1S=O 또는 L1S=-L1B 가 성립한다. 그러면, n---+e+ K(- ) 등 K 입 자 물 포함한 붕괴 는 금지 되 고， p---+）） CK+ 는 가능하다. 와안버그, 윌책, 찌 (Zee)16> 등은 한 세대의 페르미온으로:구성되는 연산자로서 L1B=LIL, L1SI.d B =0, -1 을 만족하는 경우는 극히 제한된 몇 개분이며 특히 게이지 보존을 주고받아 생기는 것은 단 두 개임을 보였다. 이들은 SU (5) 나 S0(10) 모형들을 넘어서 대단히 일반적인 결론이므로 중요한 의미를 갖 는다. 이들은 다음과 같다. 。 l=Oek+0 마 02=OeL (3.158) Oe, := (eapr u 'f rµuD (eJir µdR) 0먀 == (-eapr u f rµ df ) (iiRr µdR) O-£,l=e=l r(=ea —pJ r 파2 . T(r2Pu0 f,); .(+ e to r ,µ;+ dOD vl) +H. C. ((33..115690)) SU(5) 모형 의 (3. 154) 를 다시 보면 4G 임을 불 수 있다. 이들 연산차의 대칭성을 분석하면 붕괴율의 비를 알 수 있다. 예를 들면 I'@一야 1e0) = ½I' (n 一굼t 1e- ）는 연산자의 아이 소스핀(i sos pi n) 대칭성을 따져 보면 알 수 있다. 그러나, 이런 일반적 분석으로는 얻

UURL edt R \二二