김종식
김종식
저자는 서울대학교 문리과대학 수학과 및 同대학원을 졸 업 하고, 미 국 퍼듀대학교에서 이학박사학위 를 취득했다 . 공군사관학교교관 과 럿거스대학교 객원교수를 역임했으며 현재 서 울 대학 교 자연대학 수학과 교수 로 재직중이다 . 「격자 준동형의 판별법」 외 20 여편의 논문 이 있 다.
편미분방정식론 
편미분방정식론
머리말 선형편미분방정식이론은 20 세기 후반에 이르러 두 가지의 커다란 혁명을 맞이하였다. 그 가운데 하나는 1950 년에 L. Schwar t z 에 의해 서 정립된 초 함 수 (d i s t r i bu ti on) 의 이론이며, 다른 하나는 1970 년 이 후 의미분 각 옹소, 후리에 적분작용소 또는 사또의 초함수 (Sa t o hy pe- r fu nc ti on) 라는 이름 아래 개발된 코탄젠트 번들에서의 초국소해석이 론 (mi cr olocal analys i s ) 이 다. 초 함수이론은 라돈 측 도, 디락함수등 단편적으로 수학과 물리학에서 쓰이던 여러 도구와 개념이 통합되어 통일적인 체계가 정립된 〈일반 화된 함수 〉 의 이 론으로, 흔 히 쉬 와르츠의 공간이 라고 부르는 완만한 초함수의 공간 4' 에 후리에변환을 확장함으로써 선형편미분방정식의 일반이론을 가능케 하였다. 초함수이론에 기초한 편미분방정식론은 미국의 Ehrenp re is , 프랑스 의 Ma!g ra ng e, 스웨 덴의 Hormander 등에 의 해 서 발전 되 었 다. 이 들 의 연 구결 과 가운데 가장 중요한 것 은 Ehrenp re is 와 Malgr an g e 에 의한 상수계수 선형편미분작용소의 기본해의 존재정리 (1954), C°'(.C l) 에서 P( 불 )u= f의 대역해의 존재와 열린 집합 O의 P(;:) －볼록 함 이 갇은 뜻을 가침 을 밝한 Malgr an g e 의 존재 정 리 (1956) , 열 린 분 록집 합에 서 과조건 (overdete r mi ne d) 상수계 수 편미 분방정 식 의 모든 해 를 후리에-라프라스변환으로 기술한 Ehren p re i s 의 기본원리 (fun -damenta l pri n c iple ) (1960) , 준타원 형 작용소를 판별하는 Hormander 의 조건 (1954) 등을 들 수 있다. 초국소해석이론은 코시문제에서의 해의 유일성에 관한 Calderon 의 이 론과 At iya h-Sin g e r 의 지 표이 론 (ind ex the ory) 으로부터 개 발되 어 스웨 덴의 Hormander, 미 국의 Treves, 소련의 Eg o rov, Maslov 등에 의해서 발전되고 있으며, 현대적 선형편미분방정식이론의 핵을 이루 고 있다. 초국소해석이론에 기초한 편미분방정식의 주요 이론으로는 주요형의 선형편미분작용소가 국소로 풀릴 필요충분조건인 Ni ren berg
-Treves 의 조건 (P) (1971), 파면집 합 (wave fron t set) 및 목이점의 전 파에 관한 Hormander 의 결 과들을 들 수 있 다. 초함수이론과 초국소해석이론에 바탕을 둔 현내의 선영편 미 분방장 식론의 연구는 현대수학의 핵심분야로 성장하여 비약 적 인 맡진을 이 루고 있을 뿐 아니라, 그 연구 방법은 수학의 거의 모든 분야 의 깁난 이론을 사용할이만치 다양하다. 이러한 까닭으로 최근 만드되고 있 는 연구결과와 대학원 수준에서 강의되는 편미분방 정석의 일반 이 돈 사이에는 현격한 차이가 있다. 이러한 차이룰 메우 는 \ .•： 껏 우수한 저서로 Hormander : Tlze Analys i s of Li ne ar Partia l Dt ffc;-o : t,a l Op er a- tor s I , II , III (1983) (ill 은 근간예 정 ) Treves : Intr o duc tion to Pseudodi_ (fer cnt ial Op er ato r s <:Jill Foune ,. f;zteg r a l Op er ato r s I , II (1980) Chazarain & Pir io u : Intr o ducti on a la tlz eorie des c;q 11a t, 01 1s al! x aenvees par tie ll es ltne air e s I , IT (1979) ( II 는 근간예 정 ) 을 둘 수 있다. 그러나 이들 처서는 내용이 너무 많고 수준이 높아 접근하기 어려운 책으로 알려져 있다. 이와 같은 실정을 감안하여 필자는 이 논저가 읽기 쉽고 간결하낸 서 1950 년대 이후의 현대적 선형편미분방정식론 연구의 주요 길과 돕 소개하고 현대의 연구동향을 전해 줄 수 있도록 다음과 같은 기준으 로 책을 엮었다• 1) 초함수이론에 의한 함수해석학적인 토대 위에서 1930 년내와 1960 년대에 얻어진 주요 결과로는 선형편미분방정식론에서 가장 아 음 다운 정리로 알려진 Mal g ran g e 의 존재정리를 택하고, 초국소해석 이 론을 기초하여 1970 년대 이후 발전되어 오고 있는 현대의 편미분방 정식론의 최근 연구결과로는 비교적 마무리가 찰 되어 있으면서도 핀 미분방정식론의 기본을 이루는 Ni re nberg- T reves 조건 (P) 를 댁하여 이들을 중심으로 현대의 편미분방정식론의 연구동향을 조명한다. 2) C00 (.0,) 의 바 교적 간단한 함수해 석 학적 인 구조 위 에 서 밝힐 수 있는 Mal gr an g e 의 존재정리는 완벽한 형태로 증명을 제시하나 의미 분작용소론과 후리에적분작용소론 등 어렵고 또 많은 양의 준비불 필
요로 하는 N i renber g -Treves 의 조건 (P) 에 관해서는 구체적인 일계 선형편미분방정식을 통하여 직접 그 핵심을 파악한다. 이와 갇은 기준 아래 엮어진 이 논저는 4 장으로 나뉘어 있다. 계 1 장에서는 일계선형편미분방정식을 통하여 현대의 선형편미분방 정식론이 다루는 문제들 가운데에는 어떠한 것들이 있는가를 이해할 수 있도록 하였다. 제 2 장에 서 는 Ni re nberg- T reves 의 조건 (P) 가 어 떻 게 하여 선 형 편미분작용소가 국소로 풀릴 필요충분조건이 될 수 있는가를 Mi zo hata 작용소옵 중심으로 설명하였다. 제 3 장에 서 는 Malgr ang e 의 존재 정 리 를 층명 하였다. 마지막으로 제 4 장에서는 Mal g ran g e 의 근사정리를 증명하고 이 정 리와 Mal g ran g e 의 존재정리에서 이꿈어내어지는 다항식해의 근사 이론을 다루었다. 이 논저에서 3, 4 장의 내용은 역사적으로 1, 2 장의 내용에 앞서 발 견되었으나 1, 2 장의 내용이 브다 구체적으로 다루어져 있다는 점에 서 이들은 앞에 내놓았다. 필자는 또 이 논저를 읽은 독자는 Harm-ander 의 논문 Pseudodif fer enti al op e rato r s of pr in c ip a l type （인 용 문헌 Hormander[7] ) 을 통하여 Nir e nberg- T reves 의 조건 (P) 에 관한 일반적인 증명에 집할 수 있기를 희망한다. 이 책의 내용은 1983 년 한 학기 동안 서울대학교 대학원에서 강의 한 내 용을 바탕으로 했으며 , 특히 , Treves : Locally Convex Sp ac es and Lmear Partia l Di ffere nti al Eq ua ti on s 와 1979 년 서 울대 학교에 서 열린 한 • 미수학 Worksho p에시 행한 Treves 의 강의록을 항상 참조 하였다. 또, 매주 열리고 있는 서울대학교의 편미분방정식론에 관한 세미나는 이 책의 여러 부분을 새롭게 이해하는 데 도움울 주었다. 이 책을 쓰는 동안 캐나다에 유학중이면서 바쁜 툼에도 자료를 보 내 준 아내와, 합께 시간을 보내지 못했음에도 참아 준 아돌 진수에게 감사한다. 마지막으로 이 논저를 집필할 수 있도록 기회를 준 대우재 단과 이 책의 출판을 맡아 준 민음사에 깊은 감사를 드린다. 1984 년 9 월 김종식
편미분방정식론
차례머리말 3기호해설 9제1장 일계선형편미분방정식 111 일계선형편미분작용소의 표준형 112 초함수의 기본성질 213 이변수 일계선형편미분방정식 414 국소해를 갖지 않는 편미분방칭식 505 편미분방정식의 해의 정성적 성질 666 자명한 해만을 갖는 동차 일계선형편미분방정식 75제1장의 도움말 81제2장 선형편미분작용소가 국소로 풀릴 필요충분조건 831 함수해석학적인 필요조건 832 국소로 풀리지 않는 선형편미분작용소 913 국소로 풀리는 선형편미분작용소 984 국소로 풀리기 위한 회르만더의 필요조건 1115 국소로 풀림에 관한 일반이론 121제2장의 도움말 129제3장 선형편미분방정식의 대역해의 존재조건 1351 국소볼록공간의 스펙트럼 1352 전사사상정리 1503 C∞ 함수공간에서의 대역해의 존재조건 1614 초함수가 이루는 후레쉐공간 1755 상수계수 선형편미분방정식의 대역해의 존재조건 185
6 P-볼록함 1947 초함수공간에서의 대역해의 존재조건 198제3장의 도움말 213제4장 선형편미분방정식의 근사 단순해의 존재 2171 근사정리 2172 열린부분집합에서의 해의 존재와 근사 C∞ 해의 존재 2243 근사 다항식해의 존재조건 2314 근사 다항식해의 존재에 관한 정리 2375 지수다항식해에 의한 근사 2456 Cⁿ의 볼록부분집합에서의 해의 존재 2497 C∞ 함수공간에서의 연속 우측역작용소의 존재 252제4장의 도움말 256이 책에 이어 읽어야 할 문헌 259참고문헌 260색인 265* 기호해설 RN N 차원 유클리드 공간 Q 한의 열린부분집합 O'c:co 0’ 은 0 의 상대적으로 긴밀한 부분집합 f!J'=f!J' (R) Rn 에서의 모든 초함수가 이루는 공간 !!J' (!l) 0 에서의 모든 초함수가 이루는 공간 C'=81(R) R 에서 긴밀한 대룹 갖는 모든 초함수의 공간 g’( O) 0 에서 긴밀한 대 를 갖는 모든 초함수의 공간 CCO(!l ) O 에서 정의된 무한히 미분가능한 모든 함수 의 공간 Coco(n ) 0 에서 정의된 무한히 미분가능하고 긴밀한 대를 갖는 모든 함수의 공간 L( 2.(n ) ) OE 에(O서) 에정 서의 의된 내재 적곱 , 이 (11적, v)분 = J가O능 11한11d x 모든 함수의 공간 H'(sE R) 쏘볼레브공간 : (1+l f l2)' / :ac f)의 제곱이 적분 가능한 R” 에 |I • l1, H서의‘ 에 서모의든 완노만음한 ; ||초uI함I,=수[의t .공(1간+ If I 2) Iu(f) J2 df ]} L ss.uin p gp sf upp u fu 의의 목대 이(s u대p p(os irnt )g ula r sup po rt) 8 원접에서의 디락측도 a= (ai, a:, •··, a,.) EN“ 일 때 • lal =a1 +a2 +… +a. a!=ai! a2 !·••a,.I X= (Xi. X2, ···, X,.) 일 때 • Xa=X1a1X2 야 ···X,.a. 峰).=(읊 -)a' （읊 )a 도·(죠) DD.j ,==++(( 울志))= (+ 훑· + 읊~, ••• , + 읊) = (D1, D2, …, D.)
D 똔 =D f 'D 뿐 ··D~• P (x, 출) 門요,.,Q (x) （訂 (c 。 (x) : C'' 함수) 틀 )=la~ .. c 틀 )a (c. : 복소상수) 따 훑凡표 ,.,C g(t ) (룹 )a P(a) 8) =（끓)• P(t) 라이쁘니쯔공식 P 틀 )IIv=a 홑“습 [P ca) 틀 )l i]峰 )a v J f의 후리에번찬 J (f)=fc- • r•lf (x )dx (x·f = x,f1 + ···+x.;.) P‘ P 의 전 치 사상 (tra nspo se) ;
제 1 장 일계선형편미분방정식 선형편미분방정식의 해가 갖는 여러가지 성질은 일계선형편미분방정식의 해 에서 가강 두드러지게 나타난다. 이 장에서는 일계선형핀미분작용소를 표준형으로 변형한 다음, 일계선형편 미분방칭식이 어떠한 경우에 해 를 갖고 어떠한 경우에 해를 갖지 않는가를 구 체 적인 예를 거쳐 이해해 보자. 해는 초함수공간에 속하는 것으로 한다. 아울러 선형편미분방정식이론에서 중요한 뜻을 지닌 준타원성, 일의적 접속 동의 정성적 성질을 일계선형편미분방정식을 동하여 이해해 보자. 』 1 일계선형편미분작용소의 표준형 이 전에서는 선형편미분방정식의 정성적 이론을 밝히는 데 알맞도 록 일계선형편미분작용소몰 표준형으로 변환하여 보기로 한다. RN (N~2) 을 N 차원 유클리 드공간이 라고 하자. 앞으로 O 는 항상 RN 의 열린부분집합을 나타내는 것으로 약속한다. 또, 대부분의 경우 에 O 는 원점을 포함하는 것으로 가정한다. RN 에 속하는 점의 좌표 는 (zI, X2, ••• , XN) 또는 (yi, Y2, ... , YN) 등으로 나타내 기 로 한다. 이제 (1.1 ) L=.fN, Cj ( X) 言a + co (x) J= I J 를 O 에서 정의된 일계선형편미분작용소라고 하자. 여기서 c j (x) 는 복 소수값을 갖는 9 위 의 COO 함수로 가정 한다. ， 곧,
Cj ( X)EC'(!1 ), i= O, I, ···, N 이 때 , 복소백 터 장 (comp le x vecto r fiel d) (1. 2) Lo=j2=N I c j (x) 一axaj 를 L 의 주요부(p r i nc ip al p ar t)라고 한다. 우리는 Lo 이 0 위에서 조건 (1. 3) JIN=: I lc1(x) |=\=O 많든Q 을 만족시 켜 퇴 화하지 않는 (nondeg e nerate ) 것 이 라고 항상 가정 한다. 편미분방정식론에서 L 이 갖는 여러가지 성질은 그 주요부 Lo 에 의하여 결정될 때가 많으므로 L 에서 0 계의 상수항 Co(X) 을 우시한 Lo 에 관하여 먼저 고찰하여 보자. 지급, (1. 4) CN (O) =t=O 라고 하면, O 에 포함되는 원접 0 의 근방 U 가 존재하여 U 에 속하 는 임의의 x 에 대해서 lcN(x) I 6o)O 이 성립한다. 따라서, U 에서 Lo 를 Lo=CN(x) {¾ +jtl ~ 깊 국} 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 n 은 n=N ― 1 로 둔 정수이다. 도움정리 1.1 초기값이 주어진 연립상미분방정식 (1. 5) 왑 =R‘(*) (Xi , X2, ·••, Xn, t) (1. 6) X1 l1=0= 처 (j=l , 2, …, n) 은 0 의 근방 V 가 충분히 작으면, V 에서의 유일한 COO 해 x= (Xi , X2, •·•, X,.) =x(x', t)
를 갖는다. 단, R‘(::) 는 :: 의 실수부, x' 은 (자 치, …, x,’) 을 나타낸다. 증명 위의 도움칭티는 연립상미분방정식의 해의 존재정리, 유일성 정 리 및 초기 값에 관한 CCX ) 의 존정 리 (C00 dep en dence on ini t ial condi- ti ons ) 을 적용하여 얻을 수 있다 . I)
1) Coddin g ton 과 Levin s on[1) 계 1 장 창조.
지금 x 를 연벡터 x= (j:)’ x ' 을 열벡터 r'=(j:: ) 으로 두무 라:. 5\,면 , 식 f(F11. (( X5r,), t와 t)) = =R( l(.,f~6( *ncI,v \)::: Fcx,( tx) ,, t) (1.6 )' xl,=o=x ' 로 나타낼 수 있다. F 는 x 에 관하여 c1 함수이므로 원점 0 의 근방 W (Wc .n)를 충분히 작게 잡으면, W 의 임의의 원소 (x, t), (y, t)에 대해서 F(y, t)- F(x, t)= {D:r F (x, t)} (y- x) +G(y - x, t) 여기서 D: rF : R->R 은 F 의 x 에 관한 도함수이고 lim lly -x ll-1 G=02> y ➔ z 이다. 0 의W 에근서방의 V |를ID ,.충,F분(x,히 t )11작” 게의 잡최아대.값 V을 에 서K 라고 하면, W 에 포함되는
2),3) IIY- 제의 노옹 II·II 은 R• 에서의 노옹운 뜻하고 IID J(.i,t )II 의 노옹 II·U 은 R•2 에 서 의 노옹운 뜻한다.
IIF(y, t) -F(x, t) II~ (K+c) 1/y- xll, (c)O) 이 성립하도록 할 수 있다. 위 부등식은 F(x, t)가 V 에서 덮쉬츠 (Lip s chit z) 조건을 만족시 킵을 보이고 있다. 따라서 초기 값 문제 (1. 5)', (1. 6)’ 은 연속인 유일한 해 x=x(x' , t) 를 갖는다. 증명 처음 에 말한 바와 갇이 x=x( x',t)가 x', t에 관하여 C'° 함수임은 해가 초기값에 원활하게 의존함을 밝혀 증명할 수 있다. （ 증 명 끝) 도움정리 1. 2 도움정 리 1. 1 에 서 주어 진 초기 값 문제 (1. 5)-(1. 6) 의 CC0 해 를 x=x (x', t) 라고 하면 , 야코비 행 렬 (Ja cobia n mat ri x ) (1. 7) (急-(x', t))J,) =1,2,···· • 은 t =O 에서 nxn 단위행렬 L 과 일치한다. 증명 x1=x1 (x', t) (j=l , 2, •··• n) 은 x', t 에 관해 서 C'° 함수이 므로 i에 관한 테일러공식에 의하여 x1(x', t) =x;(x', 0) ＋블 (x', f)t 여기서 f는 0 과 t 사이의 실수이다. 그런데, Xj ( x,0)=X/ 이므로 꾹(x', 0) =o{ (j, k=l, 2, ···, n) 따라서, t= O 에서 야코비 행 렬 {;\曰 x, O)} 는 n x n 단위 행 렬 L 이 다. （증명 끝) 위의 도움정리 1,2 에 의해서 원점 0 의 열린근방 V 가 충분히 작으 면 , V 에 서 ` 야코비 행 렬 (그도 (f, t) ) 은 가역 (inv erti bl e) 이 axIr' J, Ir=1, 2, •••, • 다. 따라서, 음함수정리에 의해서 방정식 x=x (xi' , x 止 ••• , Xn1, t) 를 십 (k=l, 2, ···, n) 에 관해 서 풀 수 있다. 그러 므로 x= (x., X2, •··, x” 石) 좌표를 처 =처 (xI, x2, .•• , x,., 石) , (j=l , 2, ... , n)
t=X N 을 따라 정의되는 (x', t)좌표로 변환시키는 V 에서의 극소좌표변환 (loc al coordin a te s chang e ) 이 존재한다. 이 사실로부터 다음 정리를 얻는다. 정리 1.1 RN 의 원접 0 의 열린근방 U 에서 정의되는 복소벡터장 Lo= 1~N=1 . cj (X) 下a (ci (x) EC' (U) ) 에 대해서 cN(x)*o, \:/xEU 라고 하자. 그러면, U 에 포합되는 원점 0 의 열린근방 V 와 V 에서의 국소좌 표변환 (Xi, X2, …, Xn, X.y ) ―一 (지, x2’, …, x.', t) 가 존재하여 Lo 는 (1. 8) Lo=CN(x', t) {a잡 흡• I b i (X’, t)a詞 나 ‘) 의 꼴로 변형된다• 여기서 CH( x',t)는 V 에서 0 의 값을 갖지 o며.\ ;-,T _ coo 함수이고 b1( x',t)는 V 에서 정의된 실수값을 갖는 coo 함수이다.
4) 식(1. 8) 는 L. 융 P0+ i P, 의 복소수배로 나타내어 PI, P2 가 실벡터장이 되도목 할 수 있음을 뜻하고 있다 (N i renber g [1] 참조).
증명 U 에 포함되는 원점 O 의 열린근방 V 와 V 에서의 국소좌표 변환 (Xi, 따, •••, Xn, XN) 一 (xi' , 따, •··, x/, t) 의 존재는 앞에서 밝혔다. 합성함수의 편미분법에 의해서 爾a =_.;,g 言a 럽ax1― , +a 言a럽xN 여 기 서 t=XN 이 므로 구분 -=1 이 고 또, x' = (xi' , x/, ···, x .. ’) 이 고정 되 었을 때의 편미분 ：운의 값은 도움정리 1.1 에서 초기조건 X1l1=0=
x/ 일 대의 ：누의 값과 갇다. (1. 5 ) 로부터 뚱 =R,(*) (X1 t ···• Xn, t) 이므로 훑=훑갤 IR.( 뭉 )(x) 국 한편, i
(1. 9) 와 (1. 9) ’ 을 각각 L 과 Lo 의 표준형이 라고 한다. 앞으로 L 과 Lo 는 항상 표준형으로 주어진 것으로 생각하고 x1 을 X 로 나타내기로 한다. (1) 실함수를 계수로 갖는 경우 지금 O 에서의 복소벡터장 Lo 에 대해서 복소수값을 갖는 C' 함수 h 가 존재하여 hLo 가 실벡터장을 이룬다고 하자. 단, 이때 h 는 요애 서 영의 값을 갖지 않는다고 가정한다. 이 때 , 실 벡 터 장 /zLo 에 대 해 서 정 리 1. 1 의 방법 을 적 용하면 I .. (h 옹 )=0 (j=l , 2, ... , n) 이므로 /t L 。의 표준형 Lo 는 충분히 작은 원점의 열린근방 V 에서 hLo=hcN 훑 곧, (1. 10) Lo=CN 훑, 또는 CN-1 Lo= 훑 의 꼴이 된다. 그러므로 이 경우에는 Lo 를 (1. 10) 의 꼴로 국소로 변형함으로싸 Lo 와 L 의 국소적 성질을 쉽게 파악할 수 있다. Lo 을 (1. 10) 을 만 족시키도록 변형할 수 있을 때, L 은 본질적으로는 상미분작용소라고 할 수 있다. 훑본로질적 변으형로되 므실로함 수항 상계 수Cc를o 인 갖국는소 해일를계 선갖형는편다.미 분일작반용으소로는 P 이(x와, ¾ 같이) 가 실 함수 계 수를 가진 주요형 (pr in c ip a l type ) 의 선 형 편미 분작용소이 면, f가 COO 함수일 때 沿 훑 )I t=f 는 CCX ) 인 국소해를 가침이 밝혀져 있다. 5) 5) Hormander [1] 참조.
예 일계선형편미분방X정 —a식x + (y+ l)—a y =xy az az 의 국소해를 원점 0=(0, 0) 의 근방에서 구해 보자. Ci ( x, y) =x, C2 (X, y) =y + l 이라고 두면, C2(0,0)=1=\=0 이므로 주어진 편미분방정식은 충분히 작 은 0 의 근방 V 에서 C2( 응훑+훑 )z=x y 라고둘수있다. 이제 y=t라고 두고 초기값을 갖는 상미분방칭식 {뚱=웅 곧, （웅=급丁=급 xl,=o=x' xI1=o=XI 올풀면. x=x' (t+ l) 따라서 {;:;' (t+ l) 또는 [X' =급 t=y 예 의해서 정의되는 V 에서의 좌표변환 6) (x, y) —-(x ' , t) 를 얻고 이 변환에 의해서 주어진 편미분방정식은 (y +l) 붑 =x y 곧, 6) (xx, =yx)'가(t +정 l )(,x ',yt=) =t(에x'서, yx)=로( 옮y +김l)을x’ 보을인 다얻.는 다. 이것은 칙선 x==(y + l)x' 위의 겁
—aazt = tx' 으로 변형된다. 이것을 풀면 z =Jtx' d t +
vc
또, /가 V 의 모든 점에서 실해석적이면, CN(C 는 복소수체)의 열 린부분집합 vc(vcnR N =V) 가 존재하여 f는 VC 에서 해석함수 (analyt ic fun cti on ) /(21, z2, ... , ZN) 으로 확장될 수 있다. 지금 .(1. 1) 로 정의된 일계선형편미분작용소 L 의 계수 Cj ( X) (j=O , 1,··•,N) 가 O 에서 모두 실해석적이라고 하자. 그러면 CN 의 열린부 분집합 Q C 가 존재하여 ocnRN= .Q이고 .Q C 에서 C1(z) 는 해석함수가 된다. U 를 cN(x) 가 영이 아닌 O 에 포함되는 원점의 열린근방이라 하고 uc(ucnRN=U) 를 CN(Z) 가 영이 아닌 해석 함수로 확장되는 QC 에 포함되는 원접의 열린근방이라고 하자. 이 때 , 실 계 수를 갖는 연 립 상미 분 초기 값 문제 (1. 5)-(1. 6) 대 신 에 다 음의 복소계수 연립상미분 초기값 문제 (1. 11) 붑-＝웅 (Zi , Z2, ·••, Zn, t) (1. 12) 김 t= o=W J 를 UC 에서 생각할 수 있다. 여기에서 t는 복소평면의 원점 근방에서 움칙 이 는 복소변수로 보고, = (h 2, …, Q) 은 C” 의 원 점 근방의 원소로 본다. 초기값을 갖는 연립상미분방정식 (1. 11)-( 1. 12) 는 앞에서 다문 도 음정리 1. 1 에 대응하는 복소영역에서의 상마분방정식의 해의 존재와 유일성에 관한 정리에 의해서 t= O 근방에서 유일한 해석함수의 해 .zi= z1 (w, t) (j=l , 2, ···, n) 를 갖는다. 그러 므로 정 리 1. 1 에 서 설 명 한 방법 을 따라 (w, t) 좌표를 (z, %) 좌표로 국소변환하면 CN 의 충분히 작 은 원점의 근방 vccvccuc) 에서 (1.1 3) L=cN 言a +Co 이 되도록 L 을 변형할 수 있다. 따라서 L 의 계수와 f가 싣해석적 일 때에는 (1. 13) 을 사용하여 (1.14) Lu=f 를 다음과 같이 원점의 근방에서 풀 수 있다. 곧, f를 먼저 VC 에 해석 함수로 확장하여 (1. 14) 를
(1. 15) —aaut -r u=— cfN 의 꼴로 변형한다. 여기서 r=r(w, t)=오Q_ (w, t)이다. (1. 15) 를 풀면 CN (1. 16) U (w, t) =ef: r
를 0 에 서 연 속이 고 긴 밀 한 대 (comp a ct sup po rt) 를 갖는 복소수값을 취하는 함수 전체의 집합이라고 하면 C g(Q)는 복소선형공간을 이룬 다. 지 금 U 를 C$ (Q) 위 의 선 형 범 함수 (line ar fun cti on al) 라고 할 때 , U 가 f ~O 인 CS(O) 의 원소에 대하여 u(f )~o 을 만족시키면 이 tt를 양의 선형범함수(p os iti ve lin e ar fun cti on al) 라고 한다. q(O ) 위에서 정의된 양의 선형범함수에 대해서는 다음과 같은 리 이 즈의 표현정 리 (Rie s z rep r esenta t i on the orem) 가 성 립 한다. 정리 2.1( 리이즈의 표현정리)” U 를 q( O) 위에 정의된 양의 선형범 함수라고 하자.
8) 리이즈의 표현정리와 그 증명에 관해서는 Rud i n[!] 을 참조할 것.
이때, O 의 모든 보렐집합 (Borel se t)을 포함하는 (J－대수 血과 血 위의 유일한 양의 정칙인 측도 m 이 존재하여, 임의의 /ECS(O) 에 대해서 u( f)=f0 t dm 이 성립한다. q(O ) 위의 양의 선형범함수 전체의 집합을 P 라고 하면, P 는 추 (cone) 를 이룬다. P 가 생성하는 복소선형공간 (2. 1) R(Q ) =P-P+i (P -P) 를 Q 위의 라돈측도 (Radon measure) 공간이 라 하고 R( O.)의 원소를 라돈측도라고 한다. 요 우1 에 정의된 복소함수 f가 Q의 임의의 긴밀부분집 합 (com p ac t subset) K 에 대 해 서 JxK lfl d µ
(2. 2) f(cp) =Jcpfdµ 로 정의하면, f는 Cg (Q ) 위의 선형범함수이고 R( .0.)의 원소가 된다. 역 으로, 라돈-니 코딩 의 정 리 (Radon-Ni ko dy m the orem) 에 의 하면 르 벡측도에 대해시 절대연속인 0 위의 라돈측도는 (2.2) 식에 의하여 c g(Q)에 작용 하는 L(oc(D ) 의 원소로 나타내진다. 이 와 같 이 L(oc ( D ) 를 R (.O.) 에 매 장 (embed) 하여 국소로 L1 인 함수 를 라돈측도의 하나로 간주할 수 있으므로 라돈측도라는 개념은 함수 라는 개념을 확장한 것이라고 볼 수 있다. 이러한 관점을 더욱 발전 시켜 함수(엄밀히 말하면 국소로 L’ 인 함수)개념을 라돈측도 밖에까 지 확장하여 보다더 큰 일반화된 함수공간을 구성하려는 노력이 20 세기 중엽에 시도되었다• 이 러한 시도의 한 방법으로 Cg( .O.) 위의 양의 선형범함수 전체의 집 합 P 대 신 C 훈 (.0.) 위 의 양의 선 형 범 함수 전 체 의 집 합 P 를 택 하여 R( .O.)에 서와 마찬가지로 R(D) =P-P+i (P -P) 를 얻는 방법을 생각할 수 있다. 그러나 실제로는 P=P 이 성립하므 로 9) R (Q) =R (O) 이 되 어 이 러 한 방법 으로는 R (.O.) 보다 더 큰 일 반 화된 함수공간을 얻지 못한다. 1950 년 프랑스의 수학자 로랑 쉬와르츠 (Lauren t Schwar t z) 는 리 이츠의 표현정리를 다른 각도에서 해석함으로써 R( .O.)보다 더 큰 초함수공간을 구성하는 데 성공하였고, 이 공적으로 횔드상 (F i elds p r i ze) 을 수상하였다. 쉬와르츠의 초함수이론을 아래에서 설명하여 보자. O 를 R 의 열린부분집합이라고 하면, Q에 속하는 긴밀부분집합열 {K;}1 =1,2,• .. 를 택하여 (i) 임의의 i에 대하여 K‘ 는 K‘+1 의 내부에 속하고 00 (ii) 0=U'=1 K‘ 9) Hormander [8] Theorem 2. 1. 7 참조.
를 만족시키도록 할 수 있다. 지금 k 를 음이 아닌 정수 또는 co 라 하고 C; ( K i )를- K i에서 긴밀 한 대 (su pp or t)룹 갖는 R 011 정의된 ck 함수 전체의 집 합이 라고 하 면, C~( K;)는 k
10) 이 정의에서 V 가 볼록할 것을 가정하지 않으면, 벡터 위상이 정의되지 않는다.
쉬와르츠위상에 관해서 g(Q)의 원소로 이루어진 함수열 {f}이 수령할 필요충분조건은 (i) 0의 긴밀부분집합 K 가 있어 sup p f,. cK (n=l, 2, ···) (ii) {f｝이 여 (K) 에서 수령할 것이다. 여기서 sup p /,”은 함수 f. 의 대 (sup po rt) 를 나타낸다.
예 f EC~(R1) 이고 sup p /c[O,1] 일 때, In=-} f (x-n+l) 로 정 의된 함수열 {f}은 C~(R1) 에서 수령하지 않는다.
1,. ' ~? 3 4
임의의 fl= O,1,2, ... ,co 에 대해서 C~( .0)에 쉬와르츠우]상을 주었을 때, 매장사상 t.k, I (2. 5) t.m : c; ” (Q) ―구 C 印 (Q) (l=O , 1, 2, ···, =) 는 연속이고 i k, t에 의한 c~+l( ,Q)의 상은 c g(.n)에서 조밀하다. 쉬와르츠위상을 사용하면 라돈측도공간 R(D) 를 댜(Q)의 쌍대공간 (dual spa c e) 으로 이 해 할 수 있다. 정리 2.211> 라돈측도공간 R(D) 는 C~(D) 에 쉬와르츠위상을 주 었을 때 cg (n ) 위의 연속선형범함수가 이루는 댜(Q)의 쌍대공간 .[C t (Q)]’ 과 일치한다. 곧, (2. 6) R(O) =[Cg (Q)]’ 쉬와르츠는 정리 2.2 를 확장하여 다음과 같이 Q위에서의 초함수 공간을 정의하였다. 정의 2.2 C;;(O) 에 쉬와르츠위상을 주었을 때, C;;(O) 위의 연속 선 형 범 함수전 체 의 집 합을 9 위 의 초함수공간 (sp ac e of dis t r i b u ti on s) 이 라 하고 @'(0) 로 나타낸다. 또, ~'(0) 의 7..j- 원소를 0 위의 초함수 (dis t r i b u ti on ) 라고 한다. 11) Treves (2) 참조.
이제 다이어그램
g' (0) --=,, ---R (0)
을 생각해 보자. 다이어그램에서 매장사상 i의 상 t .• 〔 C 훈 (0 ) 〕 는 C3(0) 에 서 조밀하므로 i 의 전치 사상 (tra nsp os e) i1 : R (0)-0>' (0) 는 만 사사상이다. 따라서 라돈측도는 초함수의 목별한 경우로 볼 수 있다. ~'(O) 가 R(O) 를 진부분집합으로 포함함은 R(O ) 에 속하는 원점에서 의 디 락측도 (Di ra c measure) 8 의 도함수가 ~ ' (0) 에 는 속 하지 만 R(O) 에는 속하지 않음을 보여 밝힐 수 있다. (1) 초함수의 편미분 CC0 함수공간 사이에 정의되는 선형편미분작용소 를 초함수공간 사이 의 선형편미분작용소로 확장하는 방법을 생각해 보자. CC0 함수물 계수로 갖는 선형편미분작용소는 (2.7) 따 훑 )=|a 곱ffl c 。 (x) （훑『(志 )a\ •• （藍) 으로 나타낼 수 있다. 여기서 a=(a1, a z, ... ,a) 은 중복지수 (mul ti i ndex) 이고 lal=a1+az+ ••• ＋어울 나타낸다. 또, c.(x) 는 0 위에 정 의된 C 함수이다. 따라서 초함수공간 사이의 선형편미분작용소 를 정의하고자 하면 P(x, 웁「)=훑-일 때와 沿훑 )=c(x) 일 때만 정의하면 된다. 정의 2.3 다음 다이어그램
~' (.0.) (~-士)’ fJ' (.0.)
에서 편미분작용소 -¾; : c:co) _ ➔ c:co) 의 전치작용소 (-圭)t를 궁~ :@'(.Q) ―一헬(Q)로 정의한다. 위의 다이어그램으로부터 1 t든 @I( .Q)이고
=
〈〔룹], 'P〉=J。 f' (x) 'P (x) dx = [f(x) 戶) ]혼 cc -J。 f(x ) cp' (x) dx 가 성립한다. 둘째 등호는 부분적분법에 의한 것 이다. 그런데 위의 식에서 sup prpc n 이므로 [f(x) r p (x)] 혼 cc=O 이다. 따 라서, 〈[룹]. 'P〉=J。f (x) [국 (x)]dx =
=[cp( x)]7 =cp(O ) =< o (x ) ,
(2) 긴밀한 대를 가진 초함수 함수 f에 대해서 그 대 (su pp or t)를 sup p /= {x lf(x ) =\=O} 의 폐 포 (closure) 로 정의할 수 있는 바와 같이 초함수 u 에 대해서도 그 대 su pp u 를 정의할 수 있다. 정의 2.4 U 를 0 위에서의 초함수라고 할 때, O 의 열린부분집합 V 로서 C;;(V) 의 임의의 원소
위의 정리로부터 우리는 아래와 같은 다이어그램을 얻는다.
헬 (.0) _!_ 홉 (.0)
위의 다이어그램에서 매장사상 i는 연속이고 i (C 。°(Q)）는 C~(!l ) 에서 조밀하므로 j=i’는 단사사상이다. (3) 급히 감소하는 함수와 완만한 초함수 L2(R ）를 R 위에서 정의된 제곱이 르벡적분 가능한 함수, 곧 E 함 수 전체의 집합이라고 하면, L2(R ）의 원소 /에 대해서 그 후리에번 환 (Fourie r tra nsfo r mati on ) (2.12) !7/(f) =i(f) =JRR•. e-i:s: • rf (x )dx 가 정의된다. 여기서 x·f = x1f 1+ x2 슭+ … +x. . fn, dx=dx1dX2···dxn 을 뜻한다. L2(R ）에서의 후리에변환 .fl:' : L2(R :r:)― ➔ L2(R t)에 대해서는 다 음의 프란셰 렐 -파시 발정 리 (Plancherel-Parseval the orem) 가 성 립 한다. 정리 2.4( 프란셰렐-파시발정리) 후리에변환 多 : L2 (R:) 一 L2 (R;) 는 위 상 및 선 형 동형 사상 (top ol og ica l line ar iso morph i s m ) 이 다. 곧, f, gE L2 (R;) 일 때 , J f (x) 詞 dx= 霞曰 R 康)詞 )d f (프란세 텔) R• IIf (x ) 11 i=霞눅國) |IL (파시 발) 이 성립한다.
U(R) 은 L i oc(R) 의 부분공간이고 L 뇨 (R ）은 @’(R ）의 부분공간 이므로 L2(R) 은 ~'(R) 의 부분공간이다. 위의 정리에 의하여 후리에변환 茨는 L2(RD 와 L2(R;) 사이에 위 상 및 선형동형관계 물 준다. 。］러한 뜻으로 L2(R•) 은 후리에변환에 관하여 불변인 (inv aria n t) 9' (R ) 의 부분공간이 라고 한다. 후리에변환 忽룹 가능한 한 확장하여 L2(R; ）보다 더 큰 @’(R;) 의 어 떤 부분공간 E' 에 대 해 서 E; ..q. Ei= =!!J (E;) 가 위 상 및 선형 적으로 동형이 되도록 할 수 있을까? 곧, U(R ）보다 더 크며, 후리 에변환에 관해서 불변인 !0 '(R ）의 부분공간 E' 이 존재하는가? 이러한 문제는 후리에변환이 편미분방정식의 이론에서 차지하는 역 할의 중요성 에 비 추어 함수공간을 초함수공간으로 확장합에 있어 반 드시 해결되어야 할 문제가 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 U(R ）에 포함되고 후리에변환에 대해 서 불변인 공간 E 를 찾는 것으로 충분하다. 이때 L2(R ）이 자기 공액 (self adjo i n t ) 이 므로 다음 다이 어 그램
,.,
에서와 같이 $' : E/- ＿나감 을 얻고 또, U(R) 에서 多=多 1 이므로 夕t를 E'’ 에서의 후리에변환 多=多 1 로 정의하면 E' 은 L2(R ）을 포 함하여 후리에변환에 관해서 불변인 9J '(R ）의 부분공간을 이룬다. 지금 x=(xI, x2, ••• , 石 )ER 일 때, lxl = （국+검+ …+ x2)T 이라 두고 N 을 음이 아닌 정수 전체의 집합을 나타내는 것이라고 하 자.
또, 앞으로는 a= (aI, a2, ••• , a ) 드 Nn 일 때, (2. 13) 틀 )a =(읊 -)a,( 志)야 ... (훑) 와 갈이 간단히 나타내기로 하자. 정의 2.5 f를 R 에서 정의된 복소수값을 갖는 c a)함수라고 하 자. 임의의 중복지수 p= (P1 tp2, •··,p ,.)EN 와 임의의 정수 k~O 에 대해서 l!i 뜨 'x 1& l( 훑)pf (x) |= O 을 만족시 키 는 함수 f 를 급감소함수 (rap idl y decreasin g fun cti on ) 라고 한다. 또, R 에서 정의된 급감소함수 전체의 집합을 흔히 』=.J (R) 으로 나타낸다. 』에는 반노음 (2.14) 1/1 •. *=譯틀| (l+ I 자틀)'f (x) I) (단, nz, k=O, 1, 2, ···) 이 정의하는 국소볼록위상을 줄 수 있다. 이 위상에 의해서 』는 후 레쉬 1 공간을 이룬다. 급감소함수의 정의로부터 P(x) 를 임의의 다항식이라고 할 때, 임 의의 중복지수 PEN” 에 대해서 뿔,. |P (x) (귈 7) pf (x) |
동형사상이다. 이때, 茨의 역변환 f; -1 은 (2. 15) (f;-'g ) (x) = ~JR. elr •t g (f) df 로 주어진다. C: (R ）은 』의 부분공간을 이루므로 (2. 16) C 훈 (Rn) c 』 cL2 (Rn) 의 관계가 성립한다. 위의 관계에서 매장사상 (embedd i n g) t : C:; (R) ―一』 j : 』 一 L2(R) 은 연속이며, i와 i의 상은 각각 』와 L2(R) 에서 조밀하다. 여기서 C~(R ）과 』의 쌍대공간 ~'(R) 과 』’을 택하면
~' (Rn) ( 1' .J'
의 관계로부터 연속인 매장사상 it : 』'一£2' (R) 을 얻는다. 곧, 』’ 은 헬 (R) 의 부분공간으로 볼 수 있다. 정의 2.6 R 위의 급감소함수 전체의 집합 4 에서 정의된 연속인 선 형범함수 전체가 이루는 4 의 쌍대공간 4' 을 R 위의 완만한 초함수 공간 (sp ac e of tem p er ed dis t r i b u ti on s) 이 라고 하고 4' 의 원 소를 R ... 우] 에 서 정 의 된 완만한 초함수 (tem p er ed dis t r i b u ti on ) 라고 한다. R” 의 초 함수 U 가 완만한 초함수일 필 요충분조전은 1t 가 충분히 ~ x 의 값에 대해서 어떤 다항식보다 완만하게 증가하는 유한개의 연속· 함수의 도항수들의 합으로 나타내 어 질 것 이 다. 다음과 같은 초함수들은 완만한 초함수이다. (i) 긴밀한 대를 갖는 초함수
(ii) 충분히 큰 x 에 대해서 다항식보다 완만히 중가하는 연속함수 (iii) V(R) (l~P< +oo) 의 원소
정의 2.7 다음 다이어그램
에서 .J(R'; ）에서의 후리에변환 ;P :
(4) 콘볼루션 (Convoluti on ) f와 g를 R 에서 정의된 복소수값을 갖는 두 연속함수라 하고 t와 g 가운데 어느 한쪽은 긴밀한 대를 갖는 것이라고 하자. 이때, t와 g의 곤볼 루 신 f * g는 (2.18) (/*g) (x) =JRRJ• ( x-y) g(y)d y 로 정의 한 다. 이 정의에서 f 또는 g가 긴밀한 대를 가지므로 오른편 의 적 분값은 유한하다 . 콘볼루션 은 다음 방법으로 초함수의 범위까지 확장할 수 있다. 제 1 단계 T 를 R 에서의 초함수,
룹 T 와 P 의 콘볼루션이라고 정의한다. 여기서 〈 T:,,
=
.i '(R) 에서 @’(R ）으로 사상이며, 한편 SE ff '(R ）이드로 전치사상에 의한 S 의 상을 @’(R ）에서 구할 수 있다. 이 상을 T 와 S 의 콘볼 루션이라 하고 T*S 로 나타낸다 .l4)
14) S*T 도 (ii)를 써서 갈은 방법으로 정의한다.
이 관계는 다음과 같이 다이어그램을 써서 나타낼 수 있다.
Tn*S < nS
이와 같이 두 초함수 T 와 S 가 주어지고 그 가운데 어느 한쪽이 긴 열한 대를 가지면 항상 콘볼루션 T*S 를 만들 수 있다. 콘볼루션이 갖는 중요한 성질을 정리하면 다음과 같다. (i) TE~' (R ) 이 고 SE< f' (R ) 이 면 , T*S=S*T (ii) sup p T*Scsup p T+ sup p S 단, T 와 S 는 긴밀한 대를 갖으며, 오른편의 +은 벡터합을 뜻 한다.
있다. 지금 8 룹 원점에서의 디락측도라고 하고 P( 了\) 룹 상수계수를 가 진 선형편미분작용소라고 할 때, 초함수 EE 요 '( R ) 가 존재하 여 (2. 20) P( 훑 - )E=o 를 만족시킨다고 하자. f몰 C 훈 ( R ）의 원소라고 하고 u=E *f를 생각하면, 콘 블루션의 성 질 (iv) , (v) 에 의 해 서 P( 훑 )u=P( 훑) (E* f) =〔 P( 훑 )E] * I =o*f =I 곧, 상수계수를 갖는 선형편미분작용소 P( 궁〔）와 긴밀한 대를 갖 는 C CX)함수 1 에 대해서 u=E * f는 편미분방정식 P( 훑 )u=f 의 하나의 해가 된다. 정의 2.8 따 걸)를 선형편미분작용소라 하고 8 를 원점에서의 디락측도라고 할 때, 沿훑 )E=o 를 만족시키는 초함수 EE fJ '(Rn) 을 P(x, 경a니 의 기본해(f undamen- tal soluti on ) 라고 한다. 선 형 편미 분작용소가 기 본해 를 항상 갖는가 하는 문제 는 1950 년 대 초반의 편미분방정식론에서 핵심적인 과제였었다. P(x, 궁:）가 cco 계수를 가진 경우에는 일반으로 기본해가 존재하지 않음은 반대의 예
를 들어 밝힐 수 있다. 그러나 P(x, 궁王)가 상수계수 를 가진 선형 편미분작용소 P( ：王)이민 P( ：訂는 항상 기본해 룹 가질 것이 예 상되었다. 이 예상이 참임은 1953 년 말그랑쥬 (Mal g ran g e)15) 와 1954 년 에렌 프라이스 (Ehren p re i s)16) 에 의해서 독립적인 층명이 주어져 현대적 편 미분방정식론의 초석을 이루고 있다. 정리 2. 7 11, p(훑)가 상수계수를 가지는 선형편미분작용소이면, P( 훑-)는 항상 기본해 EE~'(R) 을 갖는다. 일반적으로 기본해 E 는 긴밀한 대를 갖지 아니한다. 그러나 f EC::'( .O)이면, 콘볼루션 E * f는 항상 정의되므로 앞의 설명에 따라 다음을 얻는다. 따름정리 P( 감)가 상수계수를 갖는 선형편미분작용소이고 /EC~ (R ）이면, 선형편미분방정식 P( 훑 )a= f 는 적어도 하나의 초함수해 u=E* f를 갖는다. 중요한 상수계수 편미분작용소의 기본해는 다음 표와 같다.
편미분작용소 기본해
15) Malgr ang e [l] 참조. 16) Ehreop re is [ l] 창조 . 17) 이 정 리의 증명은 Hormaoder [4] 또는 Rud i n[2] 을 참조할 것.
쉬뢰딩어작용소 Ji _쵸a Lt _ Az H(t) e xp [-i(n -2) f]
이 표에 나타난 기 호는 다음과 갇다. J: n 차의 단위행렬 A:nxn 복소행렬 H(x) : 해바사이드함수 Ar=A=( 훑 -)2+( 志 )2+ ... +(읊 -)2 r= ✓ i x J I 나 |X2I 나 ···-+-IxI2 IS 거 : n-l 차원 단위 구의 표면적 주 기본해는 유일하지 않으므로 위의 표에 나타나지 않은 기본해도 존재한다. 파동작용소의 기본해를 n=l,2,3 일 때만 구체적으로 나타내면 다 음과 같다. n=l 일 때, E (t, x) =.12.. . H(t) H ( t2 구) n=2 일 때, E(t, x ) = [틀-규) -+ (r
구해 보자. R2 에서의 편미분방정식 (2. 21) 후ax+ ia흐y =8 를 생각하고 이 편미분방정식을 y변수에 관해서 후리에변 환 하여 18) 상미분방정식으로 바꾸면 (2. 22) —aa一Ex _ f/ E^ =o(x) 를 얻는다.
18) 여기서 후리에변환은 공식 f(z .1 / ) = i e-I마 (:c, y)d y 올 따라 y변수를 1/변수로 변환한다.
식 (2.22) 는 일계상미분방정식이며, 이 방정식의 기본해는 위의 표 로부터 H(x) en …기 지 만 (2. 23) E= (H(x) +c (11) ) e~' 의 꼴도 모두 기본해가 된다. 여기서 c( 기)은 기에 의존하는 상수이다. E 가 완만한 초함수가 되어 후리에역변환이 가능하도록 19) <2. 2 4) c(7)={-10 ;; 171><00 일일 메때 로 정하면. ’ _(2. 25) E={H_H(x()-ex )e ;; 기기 ><00 일일 때때 를 얻는다. 따라서 E (x, y) =六 [H( x) fa , e( 다iy)• d기 -H(-x)l。 C X) ecz+ly) ~ d17] = 21 tc . x+1 i.y
19) 이와 같이 C( 1/) 들 택하는 까닭은 다움 3 절에서 보다 자세히 선명한다.
그러므로 코시-리이만작용소 ::＝-½-(¾-+i:〉) · 의 기본해는 亢 (x1+ iy) 로 주어진다. 3 이변수 일계선형편미분방정식 L이 일계선형편미분작옹소일 때, 방정식 (3. 1) Lu=f 의 퐁립 (solvab il ity)에 대한 어떤 느낌을 얻기 위해서 변수가 물인 아주 간단한 예 를- 자세 히 다루어 보자. 지금 N=2 라고 하면, 1 전의 방법을 따라 주어진 편미분작용소 L 은 (3. 2) L=Lo=— Oot +..ib. (, x , t.), —ao—x 와 같이 표준형으로 변산된다. 이 절에서는 득히 (3. 3) L=— aat + .i.t.. • —aax 의 꼴을 가진 작용소를 분석하기로 한다. 여기서 k 는 0,1,2, ... 와 같 문 음이 아닌 정수몰 나타내는 것으로 한다. 작용소 (3.3) 은 계수가 실해석함수로 되어 있으므로 f가 실해석합 수이면, 1 절에서 밝한 바와 같이 코시-코발레우스키 정리에 의해서 (3.1) 은 신해석 함수인 해를 갖는다. 특히, J=O 인 경우 (3. 4) Lz=O, zl,=o=X 의 유일한 해는 (3. 5) z=z (x, t) =x-z 言tt+1 로 주어진다. 심제로 실변수 x 를 복소변수 S 로 두고 초기값 문제
겅ds =£bCs, s). sI,=o=s' 을 풀면. t=J。, slds+s'=s' +i'틀 마라서, (s, t) 좌표를 관계식 [S=S'+ i白 t= s 를 따라 (<’,s) 의 좌표로 바꾸면, Lz=O, z I tc o=s 는 훑 =0, z,=o=s' 으로 변형된다. 위의 식을 풀면 z=s' 이것을 (g,t)의 좌표로 나타내면 z=s-i.— ktk++— 1l g의 범위를 실수범위로 국한하여 x 로 나타내면 z=x-i ktt++1l 을 얻는다. 지금 f (x, t)를 원점 0 의 근방에서 실해석적인 함수라 하고 f(x ,t) 를 복소공간 c2 의 원점 주위로 확장한 해석함수라고 하면
(3. 6) 20> tt (x, t) =tt0 ( z (x, t) ) +{I J~ (x -i tH~ l _t'k+,l t') dt' 은 편미분방정식 L tt=J의 해임을 직접 대입하고 계산함으로써 확인 할 수 있다. 여기서 lt o 는 복소평면 C 의 원점 주위에서 정의된 임의 의 해석함수이다. 특히, 이때 실선 R 의 x=O 주위에서 (3. 7) u (x, 0) =uo (x) 임을 알 수 있다.
20) 공식 (3.6) 에서 :c,t 및 t’은 복소수이며. 적분은 0 과 t를 잇는 입의의 호에 따른 선적분아다. 1 전에서 밝힌 바와 갈이 z 와 t를 실수로 국한한 결과 얻는 u(z. t)가 Lu= f의 해이다.
(3.6) 이 Lu= f의 해임을 1 절의 방법을 써서 다음과 같이 보일 수 도있다. 앞에서와 같이 관계식 t=t'+isk言+1 , t=s 에 의해서 (g,t)좌표를 (g ’,s) 좌표로 변환하면, Lu=/ 는 룹=J(감’, s)-t( s ', s)) =l( t'+i곱十, s) 이므로 u (s', s) =J: 1 (,1 + i蒼七 s) ds + u (s') 이다. 따라서 u(s, t) =u(,- i-昌)+J。tf(g크끔 r+ i훑, s)ds 를 얻는다. 여기서 g를 z 로 두면 (3.6) 식을 얻는다. 위에서 알아본 바와 같이 선형편미분작용소 L 이 (3.3) 과 같을 때, 만일 t가 실해석함수이면, 편미분방정식 Lu=/ 는 원점 주위의 적당 한 근방에서 해를 갖는다. 이제 t가 실해석함수가 아니고 cco 함수일 패, Lu=/ 의 해의 존재에 대해서 살펴보자. 우리는 1 가 R2 에서 정
의되고 원점의 어떤 작은 근방 V 밖에서는 f =O 을 만족하는 경우를 생각하겠다. 편미분방정식 (3. 8) 통파뭉=f 를 푸는 데 가장 적철한 방법은 위의 식을 x 에 관하여 후리에변환하 는 방법이다. x 에 관한 후리에변환 (3. 9) & (f) =「O O e-% (x) dx 에서 o 가 C;:'(R) 에 속하면, ”는 .J (R.,) 에 속하므로 4 에 대한 프 란셰렌정리에 의해서 &는 .J (R t)에 속한다. 곧, 임의의 음이 아닌 정 수 r,l 에 대해서 (3.10) 빨 (1+ ltl ) 'I 麟 ,~ M,,1<00 이 성립한다. 이때, 후리에역변환은 (3. 11) w (x) = 六J_ OOOO eiz t & (t) df 로 주어지며, 또, 색=.J (R,,) 에 대해서 (3. 12) _1t_ - aag& =-.X^Q . (3.13) (十총)^=f& 이 성 립 한다. 2 절 에 서 실 명 한 것 과 같이 위 의 공식 (3. 11) , (3. 12) • (3. 13) 은 ..J (R,.) 의 원 소 ” 에 대 해 서 뿐 아니 라, ..JI (Rz) 의 원 소에 대 해서도 변함없이 성립한다. 이 제 식 (3. 8) 의 해 를 ..J' (R,.) 에 서 구해 보자. (3. 8) 식 을 x 에 관해 서 후리에변환하면 (3.13) 에 의해서 (3.14) 룹-t Ir f a=J (f, t)
를 얻는다. 위의 식은 (3. 15) 훑 (e- f끔 i) =e 국끔j 로 (3쓸. 1수6) 있으므로 u이( 것f, 을t) =풀L어 /( ~3.14f) (의 f하,나 s)의 d s 해로 : i& ·I_S •• I ,0 몰 구할 수 있다. 여기에서 아주 중요한 유의점을 이해하자. 앞 절에서 선명한 바와 같이 f 변수에 관한 모든 초함수가 Z 변수에 관한 초함수의 후리 에 번 환은 아니다. 우리는 후리에변환을 .J '(x) 까지 확장하였으므로 f에 관한 초함수가 x 에 관한 초함수의 후리에변환이 되려면 이 초함수가 f에 관해서 완만한 초함수일 것이 필요충분하다. 곧, 이 초함수는 l f l 一 +OO 에 따라 |f l 의 어떤 멱 |f lA' 보다 완만하게 증가하여 』’(f)에 속해야 한다. 따라서 식 (3.16) 에서 u(x, t)가 초합수이기 위 해서는 ll ( f,t ) 는 .J'(f)에 속해야 한다. 한편 식 (3.16) 에서 아래끝값 to 는 혼 에 의존하여도 좋다. 곧, k 는 t의 함 수 t o( f)로 생각해도 된다. 그러므로 식 (3.16) 에서 피적분함수 에 나타난 지수가 다음 조건 (3.17) 't。(f)와 t 를 잇는 선분 사이의 모든 s 에 대해서 f(tk+ 1-sk+1) 족 0' 을 만족시키도록 t。(f)를 택할 수 있으면 tt(f,t)는 .J'(f)에 속한다. 조건 (3.17) 은 k 가 짝수일 때는 가능하다. 실제로 T>0 을 • (3. 18) ltl > T 일 때, f(x , t) =0 을 만족시키는 실수라고 할 때, (3. 19) {ff<>O 0 일일 때때,, ttoo(( ff)) ==T-T 로 정하면 t o( f)는 (3.17) 을 만족시킨다. 그러나 k 가 홀수일 때는 (3.17) 이 만족되도록 t。(f)를 택할 수가 없다. 곧, t >0 일 때는 t。(f )=O 으로 두면 sk+1 독t k+1 의 관계가 0 과
t를 잇는 선분 위의 모든 s 에 대해서 만족되지만 혼 ~o 일 때는 (3.17) 을 만족시키는 t o( f)를 택할 수가 없다. 그러므로, k 가 홀수일 때는 편미분방정식 (3.1) 의 해는 .J '(x) 에는 존재하지 않는다. 이러한 고찰 은 홀수인 k 에 대해서 편미분방정식 (3.1) 이 초함수해를 갖지 않는 다는 것을 . 밝히고 있지는 않으나 그 가능성을 시사하는 것이라고 할 수 있다. 우리는 이 가능성이 참임을 다음 절에서 밝힐 것이다. 이제 k 가 짝수일 경우로 돌아가서 이 경우의 (3.1) 의 해를 구해 보자. (3.19) 에서 정의된 t o( f)를 택할 때 z?.( f,t )E .J (R J이므로 그 역변 촨울 취하면, (3. 20) u (x, t) =吉J_ OOOO e“ 내 (f, t) df =+ 六-六J Jf < 0f J>O ‘- JT ’eT ef { ('一구탁)f )l(ct f,, s) s d) sd s (3.18) 에 의해서 lsl>T 이면, J ee.s)=0 이므로 위의 식에서 T 를 +OO 로 바꾸어도 된다. 또, f(f, s) =JOO e-k.v 'f(y, s) dy -OO 이므로 이 관계식을 대입하여 (3.20) 을 정리하면 (3. 21) u(x, t)=－吉 ]OOJ J +00e f[i (x- .v一무] /(y, s)dy d sdf +吉「-O O JI yJe yREJ R °fJ= -fO=OO e f [i(츠-y)＋무] /(y, s) dy d sdf 위의 식은 x*y, s* t일 때 t에 관해서 적분할 수 있다. 그 밖의 경우에도 형식적으로 f에 관해서 적분하면, (3. 22) u(x, t) =½JIJl2 ~ dy ds x-y_ t k+1 _ 올 얻는다. 우리는 이 적분에 득별한 뜻을 부여하여 그 결과가 (3.20)
에 바추어 항상 의미를 갖도록 할 수 있다. 이를테면, 우변의 적분이 코시 의 주치 (pr in c ip a l value) 를 갖는 것 으로 정 하면 피 적 분함수가 x=y , t =s 예서 국을 갖는 경우에도 ii (x, t)의 후리에변환은 u( 춘,t)가 된다. 식 (3. 22) 는 ll=O 일 때 목히 중요한 뜻을 갖는다. 이때, ` (3. 23) u (x, t) =芸JJR ’ x-y~- i(t-ds ) yds 의 꼴을 얻는다. 여기서 z=t+ ix 라 고 두면 /＊습=六fJf(y, s) ~ dy ds -五-JJ 8- yf)(y...:길 -s) dy d s 이므로 ll (X, t) =f*2, 元 (t1 + ix) 임을 알 수 있다. k=O 일 때 (3. 3) 식은 L= 훑+i훑 =2a 의 꼴이 된다. 여기서 5 는 코시-리이만작용소 경a7 이다. 2 절에서 밝 힌 바와 같이 a 의 기본해는 7 1표 ~이므로 L= 경a T + i경a； 의 기본해는 놉이다. 곧, (3. 24) (울+블)(吉 t노 )=8 가 성립한다. 그러므로 2 절에서 설명한 바와 같이 (3. 25) 2au=f 의 해는
(3. 26) u=f* 2x(tI+ ix) 로 주어침을 확인할 수 있다. 일계준선형편미분방정식 일계선형편미분방정식 一aa+ut i••t• •aa―ux =f (x, t) 는 일 계 준선 형 편 미 분방정 식 (qu asi-l i n e ar pa rti al dif fer enti al eq u ati on ) (3. 27) P (x, y, z) 瑟az- + Q (x, y, z) 경a ~z =R (x, y, z) 의 특별한 경우로 불 수 있다. P, Q ,R 을 실수값을 갖는 연속함수라 하고 (3.27) 의 해를 구해 보자. (3.27) 의 C1 해를 z=z(x, y)라하고 ”=z-z(x, y)라고 두면 R3 에서 곡면 =0 에 대한 법선벡터는 Vw= (-z,,-Zy, 1) 로 주어지고 곡면 w=O 을 따론 중분 (dx,d y ,dz) 에 의해서 (3. 28) ―aaxz dx+ ―aazy d y一 dz=O
룹 만족한다. 그러 므로 (3. 27) 과 (3. 28) 에 서 (3. 29) dpx =_ dQy _= dRz 를 얻는다. 연립미분방정식 (3.29) 를 풀어서 얻는 해를 (3. 30) {uv ((xx,, yy,, zz)) ==cc2I (단, u, v 는 CI 함수) 라고 하면, 방정식 (3. 27) 의 해는 (3. 31) c,=F(c2) （단, F 는 임 의 의 갑 함수) 로 주어진다. 위의 방법은 편미분방정식 (3.27) 에서 x, y ,z 가 복소수인 경우로 확 장할 수 있다. 곧, x, y ,z 가 복소수이고 P, Q ,R 이 x, y ,z 에 대해서 해석적일 때, x, y에 대하여 해석적인 복소함수해 z=z(x, y)는 (3.29) 를 z 에 관해 풀어 얻을 수 있다. 이때, w=z-z(x,y)의 그레디언~ Vw 는 법선벡터로서의 기하학적인 뜻은 갖지 않지만 식 (3.28) 은 다· 변 수 복소함수에 관한 합성 함수의 미 분법 (chain rule) 에 의 해 서 변 함 없이 성립한다. 예 핀미분방정식 爾au + itk i aiu =0, z I i= o=X 를 위의 방법을 따라 풀어 보자. 이 방정석은 P=l, Q=itl, R=O 인 경우이며, P, Q ,R 은 x, y에 대해 실해석적이므로 x, y를 복소변수 로 보면 해석함수가 된다. dl t =id-t.kr = doz
를풀면. x=J 。: itkd t + c1=f u +c1 z=c2 여 기 서 c2=F(c,) 로 두면 z=F(x- i昌) 그런데 초기조건으로부터 F(x)=x. 따라서 구하는 해는 z=x-t. ktk++ 1l 임을 알 수 있다. 4 국소해를 갖지 않는 편미분방정식 우리는 1 절에서 일계선형편미분방정식 Lu=f 는 선형작용소 L 의 계수와 비등차항 f가 실해석적이면 국소로 신해 석적인 해를 가침울 보았다. 이 와 같은 사실은 L 이 1 계 일 때 뿐 아니 라 임 의 의 n1 계 선 형 편미 분작용소일 때도 성립한다. 1 철에서 말한 바와 같이 이러한 결과는 코시-코발레우스키 정리의 일부로서 19 세기 후반에 일찌기 알려져 있 었다. 초함수론을 창안한 로랑쉬와르츠는 이와 같은 사실이 c .xi의 범주 (cate g o ry) 에 서 성 립 하는가 하는 물음을 미 해 결 문제 (op en pro blem) 로 제시하였다. 곧, 편미분작용소 L 의 계수와 비동차항 f가 C' 함수일 때, 편미분방정식 Lu= f가 초함수인 국소해를 항상 갖는가 하는 문 제였다. 쉬와르츠의 문제를 보다 업밀하게 이해하기 위해서 편미분작용소의 국소가해성이라는 개념을 다음과 같이 정의하자.
정의 4.1 요 를t Rn 의 열린부분집합이라 하고 선형편미분작용소 따 훑 )=la~mCa(X) 을 의 계수 C0 ( X ) 를 0 위에서의 C' 함수라고 하자. XoEO 일 때, Xo 의 열린 근방 VCN 가 존재하여 임의의 f (x)EC 。익 (V) 에 대해서 편미분 방정식 Pu=f 가 @’ (V) 에 속하는 해 a 를 가지 면, 편미 분작용소 P(x, ::)는 Xo 에 : 서 국소로 풀린다(l ocall y solvable) 고 한다. 또, 위와 같은 Xo 의 열린 근방 Ven 가 존재하지 않으면 편미분작용소 P(x, 」:)는 Xo 에서 국소로 폴리 지 않는다 (loc ally unsolvable) 고 한다. 회 르만더 의 카데 고리 (cate g o ry) 에 관한 결 과를 쓰면 , 21 ) C' 함수를 계수로 갖는 선 형 편미분작용소 P(x, -fx-)가 XoEO 에서 국소로 풀리 지 않을 때는 V 에 의존하지 않는 하나의 함수 /EC:;(O) 가 존재하 여 편미분방정식 Ptt =J 가 Xo 의 임의의 열린근방 V 에서 초함수해롤 갖지 않음을 밝힐 수 있 다. 골 적 결 한 함수 /EC'(O) 가 존재하여 임의의 O 의 열린부분집 합 V 에 대해서 Jlv ~P~'(V) 가 성립한다.
21) 회르만더 [4] 정리 6.1 .3 참조.
그러므로 쉬와르츠의 문제는 C' 함수를 계수로 갖는 선형편미분조'L 용소가 항상 국소로 풀리는가 하는 물음이라고 할 수 있다 . 이 물음은 최초에는 긍정적인 것으로 예상되어 긍정적인 방향의 중 명을 찾으려고 노력되어 왔으나 1957 년 한스 례바 (Hans Lew y)가 유 명 한 레 바 방정 식 (Lewy eq u ati on ) 을 발견 함으로써 이 예 상이 참이 야 님이 밝혀졌다. 레비방정식은
틀+룹 )+2 i (x+ iy)룹=f 의 꼴인 R3 에서 정의된 편미분방정식으로 레비는 이 방정식이 R3 의 어떠한 점의 어떤 작은 열린근방에서도 f를 C(R3) 에서 적당히 덱하 면 초함수해를 갖지 않음을 밝혔다. 따라서 레비의 작용소 L=( 훑+t출 )+2 i (x+ iy)훑 는 C 함수물 계수로 갖고 있으나 국소로 풀리지 않는 편미분작용소 이다. 레비작용소의 발견 이후 보다 간단하면서 국소로 풀리지 않는 방정식 들이 발견되었는데 그 중 가장 간단한 것으로 마조하타작용소 (M i zo hata ope rato r ) (4. 1) M= 一aat +a ―aax 를 들수 있다. 미조하타작용소는 원점에서 풀리지 않을 뿐 아니라 편미분방정식론 의 여러가지 이론에서 중요한 예가 되므로 아래에서 그 성질을 자세 히 살펴보기로 한다. (1) 미조하타편미분방정식 M 이 (4.1) 로 정의되는 미조하타작용소일 때, 선형편미분방정식 Mu=/ 를 마조하타편미분방정식이라고 한다. 아래에서 미조하타작용 소는 원점에서 국소로 풀리지 않음을 밝혀보자. 정리 4.1 f(x , t) EC::'(R2) 가 다음 성 질, 곧, (4. 2) 모든 (x, t) 에 대 해 서 f(x , -t ) =f(x, t) ((44.. 34)) f의 대 supJ pJ K/Z f가( x x, t축) d과xd t만 =\ 나=0 지 않는다. 을 만족시키면, R2 에서 주어진 미조하타편미분방정식 (4. 5) Mu=/
는 초함수의 범위에서 해를 갖지 않는다. 층명 우리는 (4. 5) 식 이 @’ (R :x:）에 서 값운 갖 는 t 에 관한 C1 함수인 해를 갖지 않음을 밝히겠다. 이것은 (4.5) 식이 초함수해를 갖지 않음 을 보이는데 충분하지 않은 것처럼 보아지만 실제로는 (4.5) 식의 해 는 모두 @’(R :x:)에서 값을 갖는 t에 관한 C1 함수임이 밝혀져 있으므 로 22) 이 사실만 밝히면 충분하다. 지금 (4.5) 식이 앞에서 말한 성질을 만족하는 해 u(x, t)를 갖는다 고s= 一가t22 이정 해라 고보 자하.면 ,조 건 (4.2) 로부터 f가 t에 관해서 우함수이므로 F(x, s) =J(x , t) 단, s=-t y2 ~O 이라고 놓을 수 있다. 1t 는 기 함수와 우함수의 합으로 나타낼 수 있으므로 tt (x, t) =v (x, s) + tw (x, s) 로놓으면, 브at+ ita브x =룹t +w+ t 2 톰+it(릎+t룹) =(틀+i룹)t +w+2s 통 +2 i s 릎 =F 이다. 따라서 U 가 (4.5) 식을 만족시키려면, v, w 는 ((44.. 76)) 2s— a—s—a asv + +wt+. _ 2aavx_is —= a Oz =F OW . . n •~ OW 를 만족시켜야 한다. 이 때, (4. 7) 은 s>0 에 대해서 22) Grushin [ 1] 참조
J근문+ 2;; 10+ tJ근퉁= &F 곧, (4. 8) _£ (일: w) + 1 a (;:w) = 2 ✓\ (s >O ) 로 변형된다. 그러므로 지금 O 를 R t ={(s,x)ls)O} 에서의 su pp F의 여집합이 라고 하면 (4.8) 식으로부터 ✓ sw 는 0 에서 s+ i x 에 관한 해석함수 임을 알 수 있다. 이때 조건 (4.3) 으로부터 su pp F 는 R t에 포함된 다. 또, ✓了 1U 는 {(s,x)ls~O} 에서 칭의된 연속함수이며 s=O 일 때 그 값은 영이다. 이제 O 를 0 의 유계가 아닌 연결성분이라고 하면 ✓ 了t U 는 O 에서 해석적이고 0 의 경계의 일부인 x 축에서 그 값이 영이므로 쉬바르쯔 의 반사원리 (Schwarz's refl ec ti on pr in c ip le ) 에 의 해 서 x 축에 대 하여 O 와 대칭인 영역에까지 해석함수로 확장될 수 있다. 확장된 이 해석함수가 x 축에서 그 값이 영이므로 일치의 정리에 의 해서 ✓ sw 는 0 에서 그 값이 항동적으로 영이 되어야 한다. 특히, ✓ s w 는 sup p F 를 그 내 부에 포함하고 Rt 에 포함되 는 닫힌곡선 r 위에서 그 값이 영이다.
s
다라서 적분 I= ff 冠 訂- dxds =JJ.up p F 麟 dxds =JJ. up p」 a( 일~+i ~]dxds 을 생 각하고 이 것 에 스톡스 (St ok es) 정 리 를 사용하면 l== --Jfrf. 'uu✓pp pp s FF wdd ( ✓x + sw iJ)r d✓x s+w ifdfso d ( ✓ s w) ds =O 룹 얻는다. 곧, JJR! f(x , t) dxdt =2JJ R! ~尻) dxds =2 ✓ 2 JJ冠 ~ dxds =0 이 것 은 조건 (4. 4) 와 어긋나므로 방정식 (4. 5) 는 ~'(Rr) 에서 값을 갖고 t 에 관해서 c1 함수인 해 tt 를 갖지 못한다 . （증명 끝) 앞 정 리 4.1 에서 우리는 R 2 전체에서 주어진 편미분방정식 Mu=f 룹 생각했으나 원점을 포함하는 R 2 의 열린부분집합 0 위에서도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따름정리 Q를 윈접을 포함하는 R2 의 임의의 열린부분집합이라고 하자. f(x , t) 드 S (Q) 가 다음 조건 (4. 2) ' f(x , t) =\=O 인 모든 (x, t) 에 대 해 서 f(x , -t) =/(x, t)
(4.3)' f (x, t)의 대 su ppf는 x 축과 만나지 않는다. (4. 4)' JJ。 f(x , t) dxdt* O 을 만족시키면, 0 위에서 검의된 미조하타편미분방정식 Mu=f 논 헬 (Q) 에 속하는 초함수해 를 갖지 않는다. 위의 따름정리는 미조하타편미분작용소경'ya- +.i..t 경a ；가 원점에서 국 소로 풀리지 않음을 밝히고 있다. 곧, 임의의 원점의 근방 O 에 대 해서 f가 C~(O) 에 존재하여 Mu=/ 는 g '(O) 에서 해를 갖지 아니 한다. 이 절 앞 부분에서 설명한 것처럼 미조하타작용소 M 이 원접에서 국소로 풀리지 않을 때는 하나의 함수 /EC~(O) 를 택하여 임의의 원 점의 근방 Vc .O.에 대해서 Mu=/ 가 V 에서 초함수해를 갖지 않도 록 할 수 있다 . .O.= R2 라고 하고 이 러한 t를 다음 정 리에서 구성해 보자. 정리 4. 2 자연수 n=1, 2, 3, •·· 에 대해 서 Kn 을 R!= {(x, t) lt> O} 에 속하는 서로 겹치지 않는 긴밀한 부분집합이라고 하고 nl-i +m0 0 K,.= { O} 이 성립한다고 하자. 또, K.- 를 K;;= { (x, -t) I (x, t) EK,.} 으로 정하자. 함수 f (x,t )EC;:'(R2) 가 다음 조건, 곧, (i) 모든 (x, t)E R2 에 대해서 f(x , -t) =f(x, t) (X> CO ((iiii)i) sJuJpR p, ff( x가, t ) {dUnx= dI Kt,: .:\} = 0U {Un= I K 김의 폐포에 속한다.
을 만족하면 미조하타편미분방정식 Mu= 一aOUt+ i•. •t.• . 一OaUx =f 는 원점의 임의의 근방 V 에서 초함수해를 갖지 않는다. 증명 주어진 긴밀한 부분집합열 {K,.} 은 서로 겹치지 않으므로 V 에 포함되는 원점의 열린근방 V’ 을 참아 적당한 자연수 N 에 대해서 n>N 이면, K,.cV' n~N 이면, K,.nV'= 이 되도록 할 수 있다. 이제 Mu= f가 V 에서 초함수해 14 를 가지면, ulv’ 은 V' 에서의 해 가 되므로 Mu= f가 V' 에 서 초함수해를 갖지 않음을 밝히면 충분하 다. 그러므로, 주어진 K,. 은 모두 V 에 속한다고 가정해도 좋다. 지금 I'(n =l, 2, 3, … ） 을 Kn 을 그 내부에 포함하고 그 밖의 K j(j=F n) 을 포함하지 않는 R~ 의 닫힌곡선이 라 하고 정 리 4.1 에서 의 증명과 같은 방법을 쓰면 JJ짜 ~dxds =n=訂l r . {(- ✓ sw)dx+ i swds} =0 이므로, JJR, f (x , t) dxdt =2 ✓ 2J JR? ~ dxds =O 따라서 Mu=/ 는 @’(V) 에 속하는 초함수해를 갖지 않는다. （증명 끝) 우리는 정리 4.1 에서 미조하타편미분방정식 Mu=/ 는 〈일반적인〉 fE C~(R2) 에 대해서는 초함수해를 갖지 않음을 보았다. 그러므로 이
방정식이 C~(R2 ) 의 어떠한 원소에 대해서는 초 함 수해 를 가지며 또 어떠한 원소에 대해서는 초함수해 를 갖지 않는가 하는 문제는 자연스 러우며 중요한 문제가 된다. 이것에 관해서는 아직 일반적인 결 과가 알려지지 않았지만 다음과 같은 부분적인 결과 를- 얻을 수 있다. 정리 4.3 C~(R2) 의 원소 f에 대해서 (4. 9) Kf ( x) ＝令「仁』: 0 exp (ixf -따 ' )l
I'L
(ii) t
따라서 f> 0 일 때, i2(f, t)는 al, 言-tf 11 =[룹]-tf u+o( t) [uct, o+) -z,Cf , o-)J 곧, (4. 16) 爾a-o tf1i =f+o (t) [zt( f, o+) -nee. 0-)J 의 해 이며, (4.10) 의 해가 아니다 . 한편, f
이므로 (4.17) 은 (4.18) 뭉+＃틀=f -o( t )Kf (x) 로 쓸 수 있다. 그러 므로 R 밋 x, t) 의 접 (xo, to) 가 t。 ::\:::0 으로 주어 지 면 u (x, t) 는 (Xo, t。)의 적당히 작은 열린근방에서 미조하타편미분방정식 Mu=/ 의 해가 된다. 이제 t o=O 일 때를 생각해 보자. 겅j- H( t )=o( t)이므로 M[H(t) Kf (x ) ] =o (t) Kf ( x) + itH (t) (Kf ) ' (x) 그러므로 (4.19) M 〔짜 x, t) +H(t) K f (x )] =f(x, t) + itH (t) (Kf ) ' (x) 를 얻는다. 그런데 가정으로부터 KJ 는 x 에 관해서 실해석적이므로 충분히 작 은 t ~O 에 대하여 (4. 20) v (x, t) =Ji。: s (KJ ) '(x-i¥ )ds 물 정의할 수 있다. t
w(x, t)는 c1 함수임 을 알 수 있다. （증명 끝) 정리 4.3 에서 정의한 KJ 는 }(f,t)를 후리에변환공식으로 나타내고 f에 관해서 적분하여 (4. 24) Kf (x ) =t;-JJ: :ex p日 ( x- y) +i江]f(y, t)d y d td f =六JJR 2 xf-(y y+ , t;2t2 dy d t 의 꼴로 나타낼 수 있다. f( x, t)가 t 에 관해서 기 함수이 면, j(f, t)로 t 에 관해서 기 함수이므 로 Kf (x) 는 항동적으로 영인 함수이다. 이때 Kf (x) 는 실해석함수이 므로 정리 4.3 으로부터 다음을 얻는다. 따름정리 f( x, t) 가 t 에 관해 서 기 함수이 면 미 조하타편미 분방정 식 —aaut +#—aaxu =f 는 항상 국소해 를 갖는다. f (x, t)가 t에 관해서 기함수일 메는 위의 따름정리를 더욱 확장할 수 있다. 곧, 이 경우에는 미조하타편미분방정식 (4.5) 를 R2 에서 대 역적으로 풀 수 있다. 실제로 f(x , t) =tg (x, s) 단, s=f 으로 나타내고 Mu= f의 해 U 를 u (x, t) =w (x, s) + tv ( x, s) 와 같이 우함수와 기함수의 합으로 나타내면, Mu=/ 는 s~O 에서 o 와 w 에 대한 편미분방정식 통-+릅~=g 2 s_a&一 vs - +.v.+ 'n2 i.s ~aavx= O
으로 변형할 수 있다. 여기서 g (x,s) 는 s~O 에서의 연속함수가 된다. 첫째식의 해를 2o 라 하고 둘째식의 해로 v=O 을 택하연 u (x, t) =w(x, f) 은 Mu=[ 의 대역적인 해가 된다. (2) 레바의 편미분방정식 이 절의 맨 앞에서 설명한 바와 같이 례비의 방정석 23) (4. 25) 瑟au_ +. t. 言 au +' 2n i • (, x +' i•y )' ifauj- = f(x, y, t) 는 언의 어떤 접의 어떤 열린근방 U 에서도 적당한 /EC~(U) 에 대 해서 초함수해물 갖지 않는다.
23) Lewy [l ) 참조. 식 (4.25) 에서 t 대신 -t륭 생각하여 좌변의 세번째 항의 부호륭 -로 댁해도 좋다.
이와 같은결과는 제 2 장에서 설명할 니렌버그-트레브스조건 (N i ren berg- T reves' condit ion ) 에 의 해 서 밝혀 지 지 만, 이 절 에 서 는 우선 초 보적인 방법으로 레비방정식이 c1 해를 갖지 않음을 밝혀보자. 설명을 간단하게 하기 위해서 z=x+ iy로 두고 u.,= 경a;u, U y=경au了 동으로 나타내기로 한다. 그러면, tt z= 릅국(릎 +1층 ) 이 므로 (4. 25) 식은 (4. 26) U r +. ~t7 ut = 1_2f 와 같이 쓸 수 있다. 지금 a,b 를 고정된 양의 실수라고 하고 Q룰 D= {(x, y, t)E R3lx2+y 2
R 내서 원점의 임의의 열린근방 U 는 적당한 a,b 에 대해 앞에서 칭한 O 를 Beu가 되도록 항상 포함하므로 이 결과는 례비의 방정 식이 원점 주위에서 c1 국소해 를 갖지 않음을 보인다. 또, R3 의 임의 의 점을 원점에 평행이동하여 같은 방법을 씀으로써 R3 의 임의의 점 에 대해서 같은 결론이 성립함을 알 수 있다. ,fr((l ,T) 를 두 실변수 (l ,T 에 관해서 연속적으로 미분가능한 복소수 값을 갖는 함수 곧, C 나갑수로서 직사각형 O
(4. 29) -f b J。J。· 2 u (寸 0 국) dp d0 dt 난 J\ J。J。。 f곱 d p d0d t 몰 얻는다. 지금 (4. 30) U(p, t) ＝广。 zud0 로 두고 /를 0 에 의존하지 않는 것으로 가정하면, 中 역시 0 에 의존 하지 않으므로 -J-bb f r a0 U( 中 .＿t-f,) dpd t 너- bJf 0 o f곱 d p d t 따라서, 위의 식의 좌변을 부분적분하고 정리하면, 『-b JJ :0 (U.+ i U,- 감)f d p d t =O 을 얻는다. 그런데 中는 O
그런데 V 는 0
0 일 때) 。 (t~ O 일 때) 로 정의하면 f(t)는 C CX)함수이지만 실해석적은 아니다. 따라서 방정 식 (4.26) 은 이러한 /에 대해서 c1 해를 갖지 않는다. 5 편미분방정식의 해의 정성적 성질 지금까지는 일계선형편미분방정식의 해의 존재를 주로 다루었으나, 편미분방정식의 이론에서는 해의 존재 밖에도 여 러가지 해의 정성적 성 질 (qu alit at i ve pro p e rti es ) 을 고찰한다. 그 중 가장 중요한 것 으로 다음과 같은 것을 생각할 수 있다. 아래에서 L 은 선형편미분작용소라 하고 편의상 R2 에서 생각하기 로하자. 준타원성 (hy po ellip tici t y) O 를 R2 의 열린부분집합이라고 할 때 임의의 uE !?J '(0) 에 대해서 Lu 가 O 의 임 의 의 열 린부분집 합 V 에 서 C' 이 면 u 도 V 에 서 C' 인 가? 곡선을 따른 일의적 접속 (un iq ue conti nu ati on across a curve) 2 을 OcR2에 포함되는 Cco 곡선이라고 하고 l t드@'(Q)가 요에서 Lu=O 을 만족시키며 2 의 한쪽에서 영이라고 하자. 이때 a 가 2 을 포함하는 어떤 열린근방에서 영이 되는가? 한 점에서의 일의적 접속 (un iq ue conti nu ati on from a po in t )
u 운 O 에 서 의 Lu=O 의 해로시 Q에서 충분히 원활한 함수(이룰데 면 C1 함수)라고 하자. 지금 U 가 Q의 한 점 (xo, t。 ) 에서 평탄한 합수 (flat fun cti on ) 일 때 , (xo, lo) 가 포함된 O 의 연 결 성 분에 서 u (x, t) =z t (xo, lo) 인가? 어떤 함수 u(x, t)가 평탄하 다고 함은 임의의 정수 N~O 에 대해서 CN 이 존재하여 l u (x, t) -t t (Xo, lo) I ~CN I (x, t) - (xo, lo) I N 이 성립함을 뜻한다. 위의 문제 가운데 첫째 문제는 특히 중요한 뜻을 지니고 있어 이 문 제에서 요구하고 있는 성질을 만족시키는 편미분작용소를 준타원형 (hy po ellip tic) 작용소라고 한다. 이제 위의 문 제들을 미조하타작용소 M=— aat + .• •i.•.t —aax 에 대해서 생각해 보자. 우선 위의 여러 문제들은 국소적인 문제이므로 R2 의 임의의 접 (Xo,lo) 의 어떤 열린근방에서 그것이 참인가 거짓인가를 밝히면 충분 하다. 만일 t。 *O 이면, s= 운의 관계식을 따라 (Xo, t o) 의 적당한 열린근 방에서 좌표를 변환할 수 있다. 이와 같이 (x, t)를 (x,s) 로 좌표변환 하면, M 은 沒(훑+i훑) 로 변환되어 코시-리이만 작용소 a 국(훑+t훑) 에 비례한다.
코시 -리 이 만 작용소는 타원 형 작용소）로서 준타원 성 을 만족시 킴 이 알려져 있다 .25) 또, ti u=O 의 해는 해석함수이며, 해석함수는 〈일치의 정리〉에 의해서 곡선에서 일의적으로 접속된다 . 따라서 t o=\=O 이면, (xo, t o) 의 적당한 열린근방에서 미조하타작용소는 준타원형이며, 이 열린근방에서 곡선을 따른 일의적 접속이 가능하다. 그러므로 위의 처음 두 문제는 t o=O 일 때가 문제가 된다. 그런데 미조하타작용소 M 은 x 축을 따른 평행이동에 대해서 불변이므로 우 리는 Xo=O 이라고 가정해도 좋다. 곧, (Xo, t o)=(0,0) 일 때만 해결하 면 충분하다. 정리 5.1 미조하타작용소 M 은 원점의 임의의 열린근방 U 에서 준 타원형이 아니다. 증명 z 를 초기값을 갖는 미조하타편미분방정식 (5.1) Mz=O, z I ,=o=X 의 유일한 해석함수인 해라고 하면, z=x- i. T t2 이다. 이 때, I. z~O 이므로 (5. 2) w(x, t)＝죠=小雪 을 w 의 펀각 ar g w 가 -중 ~ar g w~O 이 되도록 정의할 수 있다. W 는 c1 함수는 아니지만 Mw=O 의 해임을 밝혀보자. 우선, (x, t) =\= (0, 0) 이 면, aw 1 言=쟈言 따라서, 2245)) 제H o2r m장a n도d움er 말[2] 참참조조.龜
;li:.m ~· —a a—x w(x, 0) =+co 이것은 w(x, t)가 C1 함수가 아님을 보인다. 지금 Vc 을 U에 포함되고 중심이 원접이며 반경이 £인 원의 내부 라 하고 Xc 을 COOO(V,) 의 원소로서 원점 근방에서 1 인 함수라고 하 자. 그러면, 임의의
세번째 문제도 미조하타의 작용소 M 에 대해서 참이 아님을 알 수 있다. 지금 (5. 3) u(x, t) =ex p [-(x- i운)〕냐 을 생각하여 z- t·운 =re i 0( 단, -1r~e~o) 로 두면, 0~- 망독충이 다. 따라서 양의 실수 Co 가 존재해서 (5. 4) R,(x- i운 )-½=r 성 cos f ~cor-½ 이것으로부터 (5. 5) l u (x, t) l ~exp (-cor-I: r) (5.3) 에서 주어진 함수 u 는 R2 에서 Mu=O 의 해이며 원점을 무한 차수의 영 점 으로 갖는다 (vanis h es to inf i ni t e order) . 그러나 이 함수 u 는 R2 에서 coo 이고 R2\{0} 에서 실해석적이며, R2\{0} 에서 영의 값을 갖지 않는다. 따라서 미조하타작용소 M 은 원점에서 일의적으로 접속되지 않는다. 마지막으로 미조하타작용소에 관해서 앞에서 제시한 두번째 문제를 생각해 보자. 이 문제를 해결하기 위해서는 다음과 감은 정리가 필요한데 이 정 리는 다음 전에서 다룰 국소로 상수인 해밖에 없는 편미분방정식이 론의 기 본이 되 므로 국소상수성 원 리 (loc al consta n cy pr in c ip le ) 라고도 부른다. 정리 5.2( 국소상수성원리) O 를 R2 의 연결된 열린부분집합으로 대칭 변환 (x,t) - (x, -t)에 관해서 불변인 집합이라고 하자. 만일, /t EC1(O) 가 O 에서 — Mh= ..aa:;ht! ; -- +• £••t oahx =O
을 만족하면, 임의의 (x, t)드요 에 대해서 h (x, t) =h (x, 크) 가 성립한다. 증명 Q와 x 축, 반평면 t> O, 반평면 t =(훑이응+(훑미롭 +it[(훑미뭉+(훑 l2}) 룹] =Mz( 훑fi±) +Mz( 훑 -h±) 여기서 Mz=O 이고, 또, Mz= (M-M)z=2 it 호az =2 it 이므로 t =\=O 이면 겅a T I i도 =0 이다. 다시 말하여, h+ 와 k 는 0 에서 2 에 관한 해석함수이다. 그런데 이 두 함수 硏와 k 는 z(S) 에서 일치하고 z(S) 는 공집합 이 아닌 실선의 열린부분집합이며 영역 0 의 경계를 이루므로 쉬바르 쯔의 반사원리를 h+_ii -에 적용하여 O 에서 硏 (z)=h-(z) 임을 알 수 있다. 한편, (x, t)_ ➔ z(x, t)는Q+또는 o- 에서 O 로의 전단사함수이므 로 이것은 h(x, -t) =h(x, t) 몰 뜻한다. （증명끝) 정리 5.3 0.를 원점을 포함하는 R2 의 열린부분집합, 2 를 0 에 포 함된 C' 곡선으로 O 를 두 열린부분집 합 요 I( 0. 1::\=0) 과 요 3( Q 2*¢) 로 나누는 것이라 하자. U 를 O 에서의 Mu= 一aOtU+ i...t aO一xU =O 의 C 젤라고 할 때. n1 에서 U 가 항동적으로 0 이면 a 는 요전체에서 항동적으로 0 이다. 층명 (i) I: 와 z 축이 만나지 않는 경우 :
2=X- t. t?2 一 으로 두면 !1 \{(x, t )I t =O} 에서 u 는 z 에 관한 해석함수 이다. 지금 편의상 2 와 01 이 반평면 t >0 에 속한다고 하면, U 가 01 에 서 U=O 이면 U 는 nn{(x, t )l t )O} 에서 u 루 0 이다.
E
한편, U 는 z 에 관해서 .a n{Cx, t )I t >o} 과 .O \{(x, t )l t
E
또, U 는 nn{(x, t )l t >O} 에서 z=x- t. ―t22_ 에 관해서 해석칙이므로, nn{x, t )l t >O} 에서 U=O 이다. 독히, U 는 Un{(x, t )l t >O} 에서 1¢=O 이다. 그런데 U 는 t에 관해 대칭이며, U 에서 Mu=O 이므로, (x,t) E U 일때 u(x, t) =u(x, -t) 따라서 U 에서 ti =0 이다. 또, U 는 nn{(x, t )l t
만일, 沿 훑 )u=O 의 초함수해 1 t가 n1 에서 항동적으로 영이연 2 의 열린근방 N 이 존재하여 u 는 N 에서 항동적으로 영이다. 홍그렌의 정리를 쓰면 정리 5.3 은 Mu=O 인 초함수해 u 에 대해서 도 성립함을 알 수 있다. 6 자명한 해만을 갖는 동차 일계선형편미분방정식 앞 절에서 다룬 정 리 5.2( 국소상수성원리)는 매우 간단한 정리이지 만 첫이째 로정 리L로=부M터+ t다t음po一a가x― 일같 은때 ,유 곧익 한 결과를 얻을 수 있다. (6. 1) L= 言a+ it {l+ p (x, t)}a言 일 때, 동차 일계선형견미분방정식 (6. 2) Lu=O 는 상수함수만을 해로 갖는다. 둘째로 편미분방정식 (6. 3) Mu=ru 의 유일한 해는 tt =O 뿐이다. 위에서 p와 r 는 앞으로 구성할 적당한 cco 함수이다. 먼저 니렌버그의 방법을 따라 p불 구성해 보자. 지금 {K'n, p}를 반평면 R~ = {(x, t) l t )O} 에 속하는 긴밀한 집 합의 삼중 집합열로서 다음을 만족하도록 한다. 곧, (6.4) 집합 K.,n,, 의 x 축에 내린 정사영은 서로 경치지 않는다. (6.5) m,n 을 고정했을 때, 뿐 K,., n, ,= { (x .. , , t .. , ) } （단: t., .. ) O) 이 존재한다. (6.6) m 을 보고정 (x했.,을 n, t메 .., , n) = (x., t.) (단, t_ >O )
(6. 7) 이 존재한다. 보 (x .. , t.) = (0, 0) 이 성립한다. 이때, p EC00(R2) 를 다음 성질을 갖는 함수라고 한다. (i) R2 oJ] 서 p~ O. (ii) U K .. ',.,' 의 밖에 서 p= O, •P (iii) 각각의 (m,n, p)에 대해서 Km.' p의 어떤 점에서 p> O. 위와 같은 p에 대해서 다음 정리가 성립한다. 정리 6.1 언의 원점의 연결된 열린근방 W 가 존재하여 W 에서 C1 함수인 U 가 Lu 녹a~u +%!(1+p (x , t))au言 =O 을 만족시키면. u 는 W 에서 항동적으로 상수값을 갖는다. 층명 {K• .•, '}에 관한 조건으로부터 충분히 큰 mo,no,Po 를 구하여 m>m 。, n)no, P>Po 이면 다음 사실이 참이 되도록 할 수 있다. 곧, R., .. ’를 a.,,..,
라 할 때, 0 노,p를 요.,.,p의 바깥부분의 연결된 성분 곧, R ... n,p 9J 상대적으로 긴밀한 부분집합이 아닌 성분을 나타내는 것이라고 하자. 악 ,,n, p는 연결된 열린집합으로 t에 관해서 대칭이다. 이제 W 에서 Lu=O 이라고 하면, R ... ,.,,\K. .. ,.,p에서 L=M(M 은먀 조하타작용소) 이 므로 요 : , n, p 에 서 Mu=O 이 다. 따라서 국소상수성 원 라 에 의해서 Q노,p에서 u (x, t) =tt (x, -t) 룹 얻는다. 지금 I'를 와 ,. , Pn{(x, t )I t >o} 에 속하고 K• . ,.,＇를 그 내부에 포합 하는 원활한 닫힌곡선이라고 하자. 우리는 (6. 8) Jrr u (x, t) (dx -z td t ) =O 을 밝히겠다. r’ 를- 사상 (x, t )--(x,- t)에 의한 r 의 상이라고 하면, u(x,t )= u(x, -t)이므로 (6. 9) Jrr u (x, t) (dx -i tdt ) =fr ,,' ( x, t) (dx -i tdt ) 이제 사상 (x, t) -z=x- i Tt2 에 의해서 위의 적분을 복소평면에 옮기면, (6.9) 는 (6.10) J. . a(z)dz=J /td i 로 변 환된 다. 여 기 서 u (z) =u (R,z, ✓ 二 2 I. z) 이 고 w=z (I') =z (I'') 이다. 그런데 r' 위와 그 내부에서 M tt =O 이므로 0 위와 그 내부에서 호az =0 이다. 그러므로 적분 (6.10) 의 값도 영이고 따라서 적분 (6. 8) 의 값도 영 이다. 관계식 (6.8) 에 스독스정리를 쓰면, fJi.,r 따 (x, t) (dx-it dx ) l=O
여기서 좌변은 JV (J:., r [룹 dt/ \ dx-뭉 (it) dx/\dt] = -JJJ.,r Mudxdt 로 쓸 수 있으므로 (6. 11) fJi.,r M udxdt =O 한편, 곡선 r 의 내부에서 (6. 12) Mu=- itpaaux一 이고 R •. ,.,,\K',.., 에서는 p =O 이므로 (6. 13) JJI. .... , tp릎 dxdt = O 울 얻는다. 여기서. (6. 14) 言au (x., ,., t., ,.) =0 임을 보이자. 조건 (6.5) 으로부터 임의의 c 에 대해서 충분히 큰 P 를 잡아 K.,.,p 에서 |a rg 룹 (x, t) -arg 릎 노, .. , 도) |
라고 두면 (6.13) 으로부터 R. =[eJ-1J0I• • -..J ..J. JtKKp_ . l,_. 룹,_, tp ( xl c, ot)s (문0 (x, dt)x -d0t] . , ,.) dxdt =O 그런데 위의 식에서 e 이 충분히 작으면 cos(0(x,t) - 0. . ， )>0 이므로 p (x, t ))0 인 K ... 'p의 접 (x, t)에서 롭 ~(x, t )=O 이 성립해야 한다. 이러한 점들은 K .. ，'，예 적어도 하나씩 존재하드로 p -oo 일 때의 극한을 취해 보면 겅au (x.,,., t.,,.) =O 곧, (6.14) 식이 성립한다. 이것을 Lu=O 에 대입하면 爾au (x.,,. ， t., ,.)=O 임을 알 수 있다. 따라서 (x.,,., t.,.）에서 du= （릎 통 )=O 을 얻는다. 한편, t =\=O 이면, L 은 타원형이다. 따라서 뉴랜더-니렌버그의 정리 (Newlander-Ni re nberg' s the orem) 28) 에 의 해 서 (x., t.) 의 근방에 새 로운 좌표 (f,T/)를 택하여 L=w(f, T/) (울+을) 로 변경할 수 있다. 여기서 ”(f,T/)는 위의 근방에서 영이 되지 않는 C' 함수이다. U 는 Lu=O 을 만족시키므로 s= f+tT/에 관해서 해석적이고 28)만 N작ew용l소an로de r변-N형i r할e n b수er g있 다[I.] 참조. 타원형 일계선형미분작용소는 국소로 코시-리이
du= 퉁 ds+ 롱도충 ds 이다. 그런데 앞에서 알아 본 것과 갇이 (x .. ,t. . ）에 수령하는 무한히 많은 점 (x.,.,,t . . ')에서 du=O, 따라서 롭 ~=0 이고, 또 롭宁-는 S 에 관 한 해석함수이므로 (x .. ,t. . ）의 근방에서 룹f =o 이 성립한다• 이것은 u 가 이 근방에 서 상수함수임을 보이고 있다. U 는 w+={(x, t )EWl t )O} 에서 국소로 8+m 에 관한 해석함수이고 w+ 에 포함되는 (x., t)의 열린근방에서 상수함수이므로 W+ 전체 에서 상수함수이다. 여기에 국소상수성원리를 적용하면, U 는 W\(K. . ''pu k. . ,. . ,p)의 바 깥부분에 있는 연결성분에서 상수함수임을 알 수 있고 다시 t =\=0 일 때 U 가 국소로 f+t1/에 관한 해석함수임을 써서 W 전체에서 상수합 수임을 알 수 있다. （증명 끝) 정리 6.1 의 증명가운데 우리는 다음 사실을 사용하였는데 이것은 그 자체로도 중요한 정리룹 이룬다. 정리 6.2 K 를 반평면 R t ={(x, t )l t >O} 의 긴밀한 부분집합이라고 하고 p=p(x , t)를 p~O . ¢,=\=sup p pc K 를 만족시 키 는 COO 합수라고 하자. L= 丙a 묘 {l+ p (x, t)}a言 일 때, Lu~O 의 임의의 c1 해를 u 라고 하고 r 를 K 를 :::z. 내부에 포 함하는 Rt의 원활한 닫힌곡선이라고 하면, frr u(x , t) (dx-ztd t ) =O 이다. 정 리 6. 1 의 증명 에 서 (6. 12) 식 을 Mu=p u 로 바꾸고
fft. ... ,p ud xdt = O 임을 사용하면 다음 정리를 얻는다. 정리 6.3 R2 에서 원점의 연결된 열린근방 W 가 존재하여 W 에서 정의된 c1 함수 u 가 Mu=p u 믈 만족시키면, W 에서 U=O 이다. *제 1 장의 도움말 제 1 장의 내용은 대체로 니랜버그가 N i renber g[!]에서 처음 밝힌 것으로 Treves 〔 6] 과 〔 1 이에서 자세한 설명이 주어져 있다． 이 장에서 다룬 해의 존재에 관한 논의는 앞으로 더욱 자세히 다루지만, 준타원 성 등 다른 정성적 이론은 더 이상 다루지 않으므로 여기에 참고자료 를 제시하겠다. 준타원성에 관해서는 Treves[6 〕울 참조하면, 현재 어느 정도까지 이 론이 개발되어 있는지를 알 수 있다. 대체로 주요형 (pr in c ip a l type )29> 의 편미분작용소가 준타원형일 필요충분조건아 알려져 있으나 중복독 성 집 합 (multip le characte r is t i cs ) 30) 을 가전 편미 분작용소에 대 해 서 는 거의 알려진 바가 없다. 준타원성의 문제는 정칙성 (re gu lar ity)의 문 제라고도 불리며 편미분방정식이론에서 해의 존재 다음으로 주요한 부분을 이룬다. 곡선을 따른 해의 유일한 접속문제는 Zu i l y [l] 을 참조하면 좋다. 아 문제는 코시의 초기값 문제의 해가 유일한가를 판별하는 데 직접적으 로 응용되며 80 년대에 와서 중복목성집합과 관련하여 활발히 연구되 29) 제 2 장 (5. 7) 참조. 30) Tay lo r(l] 참조.
고있다. 국소로 상수안 해밖에 없는 편미분방정식에 관해서는 변수가 둥인 경우 그 현상이 Treves[l 디에 의한 국소상수성원리로 명확히 선명이 되나 변수가 셋 이상인 경우에 대해서는 국소상수성원리에 대응되는 일반 이론이 개발되어 있지 않다. 제 1 장에서 주요한 예를 제공해 준 미조하타작용소 爾a +.1 t. 겅a 를 일반화한 작용소 훑+it'훑 를 일반화된 미조하타작용소라고 한다. 일반화된 미조하타작용소에서 k 가 홀수이면, 제 1 장에서 미조하타작용소에 대해 얻은 결과는 번함없 이 모두 성립한다. 이에 관해서는 D. Ki m [l], J. K i m[ 산, J. Ki m - D. K i m [l]을 참조하는 것이 좋다.
제 2 장 선형 편미 분작용소가 국소로 풀릴 필요충분조건 이 강에서는 주요형인 선형편미분작용소가 국소로 풀릴 필요충분조건인 나 렌버그-트레브스의 조건 (P) 를 이해하기로 한다. 이러한 이해 를 위해서 먼저 L= 爾a+ i.. b. (,., t ) a 言 와 갇은 간단한 일계선형편미분작용소가 국소로 풀릴 조건과 풀리지 않을 조 건을 찾아보고 여기서 얻은 결과 를 일반적인 m 계의 선형편미분작용소에 확장 한다. 재 2 장에서 전개되는 이론에는 코탄젠트번들에 관한 미분기하학적인 이해가 도움이 된다. 1 함수해석학적인 필요조건 우리는 제 1 장 4 절에서 COO 계수를 갖는 선형편미분작용소 따 훑)가 주어졌을 때, 방정식 Pu=/ 가 일반적인 COO 함수 f에 대해서 초함수해 U 를 국소로 갖는가 하는 문제를 다루고 이러한 문제에 관한 부정적인 예로 레비의 방정식 Lu= 릎+i틍 +2 i (x+ iy)룹=f
는 R3 의 임의의 점의 어떤 작은 열린근방에서도 적당한 COO 함수 f에 대해서는 초함수해를 갖지 않는다는 것과 미조하타방정식 Mu= —oaut +.' 1,. .t 0a一1x1 =f 는 안에서 x 축 위의 임의의 점의 어떤 작은 열린근방에서도 적당한 C 함수 f에 대해서는 초함수해를 갖지 않는다는 것을 알았다. 이와 같이 선형편미분방정식 Pu=/ 는 일반으로 국소로도 초함수해를 갖지 않으므로 그러면 어떠한 선형 편미분작용소 P(x, ¾)가 모든 C 함수 f에 대해서 국소초함수해 를 갖는가 하는 문제, 곧, 선형편미분작용소가 어떤 조건 아래에서 국소로 풀리는가 하는 국소가해성에 관한 판별법이 중요한 문제로 대 두된다.
이 문제논 주요형 (pr in c ip a l typ e) 의 선형편미분작용소에 대해서는 1980 년에 국소가해 성 에 관한 필요충분조건이 밝혀 짐 으로써 완결을 보 았다. 니렌버그-트레브스의 조건 (P) 라고 불리는 이 판별법이 발견되 기까지의 역사적인 주요 사실을 밝혀보면 아래와 같다. 1950 년 : 로랑 쉬 와르츠, 초함수이 론 (Theorie des dis t r i b u ti on s) 출 판, 횔드상 수상, 1954 년 : Ehrenp r eis 〔다， 상수계수 선형편미분방정식은 기본해뭉 가지며, 따라서 국소로 풀 수 있음을 보임, 1955 년 : Hormander [1], 실수값을 갖는 Ca: , 함수를 계수로 갖는 주 요형의 편미분방정식은 국소로 풀림을 증명, 1957 년 : Hans Lewy [1], 례비의 방정식은 국소로 풀리지 않음을 발견, 1961 년 : Hormander [2], 준타원형작용소는 국소로 풀림을 발견, 1970 년 : Ni re nberg- Treves [1], 니 렌버 그-트레 브스 조건 (P) 를 발 견하고 편미분작용소가 C 계수를 갖는 주요형이고그 주요심볼(p r i n cipa l sy m bol) 의 허 수부가 실 수부의 특성 대 를 따라 무한차의 영 점 을 갖지 않으면, 조건 (P) 는 이 작용소가 국소로 풀릴 필요조건임을 밝힘,또, 편미분작용소가 신해석함수를 계수로 가지면, 조건 (P) 는 이 작용 소가 국소로 풀릴 충분조건임을 밝힘, 1973 년 : Beals-Feff er man [l], 선형 편미 분작용소가 C'° 계수를 갖 는 주요형일 때, 조건 (P) 는 이 작용소가 국소로 풀릴 충분조전임을 u히L 히C , 1980 년 : Hormander [7], 모이 어 (Moy er ) 에 의 하여 C' 함수를 계 수로 갖는 주요형의 선형편미분작용소가 국소로 풀릴 필요조건은 조 건 (P) 임이 증명되었음을 밝히고 미발표된 모이어의 증명을 완벽한 형 태로 제시. 위에서와 같은 역사적인 자취를 살펴보면 선형편미분작용소의 국소 가해성에 관하여는 주요형의 경우에 국한하기는 하지만 그 문제 제기 로부터 해결에 이르기까지 3 명의 흰드상 수상자, 쉬와르츠, 회르만 더, 휘녀만이 관여하고 있음을 알 수 있다. 이것은 선형편미분작용소 의 국소가해성이 얼마냐 난해한 문제이었던가를 보여주는 하나의 증 거라고 할 수 있다. 우리는 제 2 장에서 니 덴버그-트레브스가 조건 (P) 를 도출하게 된 과정을 비교적 쉬운 예을 동하여 이해하여 보기로 하다. 이러한 이해 의 최초의 단계로 회르만더가 발견한 함수해석학적인 어떤 포괄적인 도움정리를 인저 다루기로 하자. 제 1 장에서와 같이 O 를 Rn 의 열린부분집합이라 하고 L 을 선형 편미분작용소라고 하자. 앞으로 제 2 장에서는 L 을 일계인 작용소로 가정하겠으나, 이 질의 내용은 L 이 임의의 m(m~l) 계 선형편미분작 용소일 때도 변함없이 성립한다. 우리는 앞으로 두 개의 국소로 블록한(l ocall y convex) 위상선형공 간 E 와 F 를 도입하겠다. 결과부터 정리하면 공간 E 와 F 는 어떤 거리함수에 의한 위상이 주어지고 E 는 이 위상에 대해서 완비 (comp le te ) 되어 있으나 F 는 완비되어 있지 않다. 또, F 는 E 와 집 합으로서는 같지만 E 의 위상으로부터 도입된 위상과는 다른 위상을 가질 예정이다. O 를 유계라고 하고 E 를 RN 에서 정의된 복소수값을 갖는 C' 함수 로서 RN\ .Q에서 영이 되는 함수라고 하자. 곧, E 는 요의 폐포 (cl o-
sure) 에 서 대 (sup po rt) 를 갖는 모든 cco 함수의 집 합 Co00 (fi) 이 다. 우리는 E에 다음 노음을 정의한다. II f |b=MZaxIa 곱 A I( 읊 -)af (x) I 여기서 k=O, 1,2, ••• 이고 틀 )a=( 읊)q晶)” ... （읊) 이다. 함수열 {fj} (j=l , 2, …) 가 fo 에 E 에 서 수렴 한다 함은 모든 k~O 에 대해서 }四 11/;-/oll,=O, 곧, f1 의 각 도함수가 fo 의 각 도함수에 평 등하게 수령 함을 뜻하는 것 으로 정 한다. 또, 함수열 {g1} (j=l , 2, …) 가 E 에 서 코시 열 (Cauchy se q uence) 이라 함은 주어진 임의의 실수 e>O 과 임의의 정수 k;?,O 에 대해 서 /)=1 1(e, k) 가 존재하여 j, l;?,11 이 연 I|g j-gJh
에 의해서 정의될 수 있음을 밝힘으로써 보일 수 있다. 이상을 정리하면, E 는 다음 성질을 가지고 있다. (i) Uk,C 이 볼록하므로 E 는 국소로 볼록하다. (ii) E 는 거 리 화가 가능하다. (iii) E 는 완비되어 있다. 일반적으로 위의 (i)' (ii)' (iii)을 만족하는 위상선형공간을 후리 1 쉐공 간 (Frechet sp ac e) 이 라고 하므로 E 는 후레 쉬 1 공간이 다. 이제 또 하나의 위상선형공간 F 를 구성하자. 앞에서 말한 바와 같 이 F 를 선형공간으로서는 E=F 되도록 택하나 F 에는 E 의 것과는 달리 다음과 같은 위상을 정의한다. 지금 L 을 (1. 3) L= 홉~ ,.Ca (X) (훑y, caECOO (Q) 라고 하자. 우리는 Ca 가 실제로는 0 보다 큰 열린집합 0’ 로서 (1. 4) Qc :c:O' 을 만족시키는 0' 에서 정의된 것으로 가정하겠다. 식 (1. 4) 에서 CC' 는 O 의 폐포가 G 에서 긴밀한 부분집합임을 나타내는 기호이다. 작용소 L 에 대 해 서 L* 를 (1. 5) L*u=la 곱 m (-1) !al( 훑 )a(CaU) 로 정의하자. 여기서 ca 는 Ca 의 복소공액함수를 나타낸다. (1. 5) 에 서 정 의 한 L* 를 L 의 수반작용소 (adjo i n t op e rato r ) 라고 히 는데, u,vEC~(O') 일 때 부분적분을 쓰면, (1. 6) I (Ltt ) vdx=Iu (Vv) dx 의 관계식을 얻는다. L 과 L* 는 E 에서 E 로의 연속선형사상이다. 이제 F 에 반노음 (1. 7) IIL*ull. (단, k=O, 1, 2, ···) 이 정의하는 위상을 주자. 이 위상은 사상 L*:F 一 E
가 연속이 되도록 하는 F 위의 가장 약한 위상이다. E=C 훈 (.fi) 는 (1. 4) 에 의 해 서 C~ (.0.') 에 연 속적 으로 매 장 (embed) 되므로 단사사상 i: E 一 C :i» (O') 을 전치하면, 전사사상 i' : g'e n') _ ➔ E'(E 의 쌍대공간) 을 얻는다. 사상 t' I 가 전사임은 한-바나하 정리에 의해서 쉽개 증명 된다. 또, 〈 u ,f〉를 초함수 1t 와 cco 함수 f의 쌍대 관계 를 나타내 는 것 이 라 고 하면 부분적분법에 의해서 관계식 (1. 6) 은 (1. 8)
1) 제 1 장에서 정의한 〈 Lu= f가 정 Zo 에서 초함수해 문 갖는다〉는 조 건 과
그러 면, (1. 8) 로부터 fltl 2 dx=< f,7 >=
다음 도움정 리 는 베 어 의 카 데 고리 정 리 (Bair e ' s cate g o ry the orem) 를 기초로 한 것으로 앞으로 필요한 것이다. 도움정리 1.2 E1 과 E2 를 두 개의 국소로 볼록하고 거리화가 가 능한 위상선형공간이라 하고 E1 과 E2 중 어느 한쪽이 완비되어 있 다고 하자. 例를 E1 과 E2 의 적 E1XE2 에서 정의된 쌍선형범함수 (bil ine ar fun cti on al) 라고 할 때 忽 가 각각의 변수에 관하여 연 속 (sep a rate l y con ti nuous) 이면, 忍 는 두 변수에 관하여 등시에 연속 (joi n t l y conti nu ous) 이 다. 위의 도움정리에서 忽가 각 변수에 관해서 연속이라 함은 (i) [EE1 이 고정되어 있을 때, g ― ➔ &a(f,g) 가 E, 로부터 C 로의 연속사상이고.
(ii) gE E2 가 고정되어 있을 때, f-― ➔ $([,g) 가 E2 로부터 C 로의 연속사상임을 뜻한다. 증명 E2 가 완비되어 후레쉬 1 공간을 이룬다고 가정하자. E1 이 완비 되어 있을 때도 같은 방법으로 증명하면 된다. 적공간 E1XE2 는 거리화가 가능한 공간이므로 (1. 10) (f, g) —-$ (/, g) 가 함수열 에 관하여 연 속 (seq u enti al ly conti nu ous) 입 을 밝히 면 충분 하다. 이제 {C/n,g n )} (n=l,2, ···)를 (fo , g。)에 수령하는 E1XE2 의 함수 열이라고 하자. 가정으로부터 모든 /EE 에 대하여 sup SJ (f, gn ) 은 유계이다. 그런데 h( f) =sun p $(/, g) 은 E 에서 정의된 선형범함수를 이루므로 평등유계원리 (unif or m bou-ndedness pri n c iple ) 에 의 해 서 연 속이 다. 따 라서 lz (f.,-fo) 는 n ―➔ 00 일 때 영으로 수렴한다. 한편, l % (f,., g,.) -f'll (/o, g。) I 획 f'1I (/o, g,.) -&.I (/o, go) I + I f'1I (/,., g.,) -f' 1I (Jo, g,.) I 이 성립한다. 이 부등식에서 우변의 첫째항은 가정으로부터 영으로 수령하고 둘째항은 관계식 l f'll (f,. -g) - 例 (fo, g ) l 독 1%( f-f o, g,.) | ~h( f.,-fo) 으로부터 영으로 수령한다. 따라서, (f,g)~ 두 변수에 관하여 동시에 연속이다. (증명 끝) 위상선형공간 E; (j =l,2) 의 위상이 반노음 P;,.(v=l,2, ••• ）로 주어 졌을 때, 쌍선형범함수 例가 연속이라 합은 음이 아닌 정수 v, v'과 상수 C>0 이 존재하여 모든 (f,g )EE1XE2 에 대해서 (1. 11) lf'l l (/, g) | 독 CI| f Ih.u|| g |I2.v 이 성립함을 뜻한다 . 이제 모든 준비가 끝났으므로 회르만더에 의한 다음 도움정리를 증 명해 보자. 도움정리 1.3 L,n,n’ 이 앞의 설명에서와 갇다고 하고 조건(1. 9) 가 성립된다고 하자. 이때, 음이 아닌 정수 k,l 과 상수 C 가 존재하여 O 밖에서는 영이 되는 모든 CC0 함수 /,g EC(O') 에 대해서 c1. 12) IJ /공 dx l 러亨끓 .I (훑 )0/ (x) I} {M:x 훑: ;;l |( 훑:) L*g (x) I} 가 성립한다.
증명 (1.9) 의 가정 아래에서 쌍선형범함수 (f, 궁) 一 ff궁 dx 가 ExF 에서 각각의 변수에 관해서 연속임을 밝히면 충분하다. 실 제로 이것이 밝혀지면 도움정리 1. 2 에 의해서 위의 쌍선형범함수는 두 변수에 관해서 동시 연속이므로 관계식 (1. 12) 가 성립한다. 지금 궁룹 고정하면 f一ffg dx 는 분명히 연속이다. 또, f가 고정되어 있을 때 가정 1.9 로부터 Lu=f 인 u 룰 택하면 ffgd x=< Lu ,궁 〉=〈 U, 巧〉 가 성립한다. 그런데 u 는 E 위의 연속인 선형범함수를 정의하여 주므로 工万； EE 에 대한 범함수로서 연속이다. 따라서 F 위에 정의된 선형범함수 궁一fJg dx 는 F의 위상에 관해서 연속이다. （증명 끝) 다음 전에서는 도움정리 1. 3 을 일계선형편미분작용소에 적용하여 보겠다. 2 국소로 풀리지 않는 선형편미분작용소 이 절에서는 도움정리 1.3 을 써서 어떤 종류의 선형편미분작용소는 국소로 풀리지 않음을 밝혀보자. 그 첫번째 예로 R 벽 열린부분집합 요가 x 축 t =O 와 만날 때,
k 가 홀수이고 L= 훑+tt沿- 이면 일반화된 미조하타편미분방정식 (2.1) Lu=/ 은 c :;o (n) 에 속하는 적당한 f에 대해서는 0 에서 초함수해를 갖지 않음을 밝혀보자. O 가 x 축과 만나므로 O 는 x 축 위의 한 점 (Xo,O)ER2 를 포함한 다. 그런데 x 축을 따른 평행이동에 대해서 편미분작용소 L 은 변하지 않으므로 우리는 Xo=O 이라고 가정해도 좋다. 곧, O 는 R2 의 원점을 포함하는 것이라고 가정하고 위의 사실을 밝혀보자. 먼저 코시의 초기값 문제 Lz=O zl,=o=X 의 유일한해 z=x-i . k tk++ 1 l 을 생각하여 함수 (2. 2) {JJ ==xz(+l i-꾼2 五)+召 ~+x2- 걸2 :+11)\ ] 을만든다. 이때, 양의 실수 8>0 이 충분히 작으면, (2.3) l t l
(2. 4) lxl
~ (1 + p) Hle- coP 족 ck+1 e- 완p 가 성립한다. 이 관계 식 을 (1. 12) 에 대 입 하면 CCX ) (0') 에 속하고 .O'\.O 에 서 영 의 값을 가지는 임의의 f에 대해서 (2.10) IJ J1c x, t)t(x, t)e' P'(:r:, 0 dxdt l 독 C,'e- 청 P 뿐 홉』 (훑)j(룹)J'f (x, t) | 을 얻는다. 이제 함수 /를 C~( .O.)에 속하는 어 떤 정해진 함수 F 에 대해서 (2. 11) f(x , t) =F(px , pt) 를 만족하는 것으로 택하여 보자. O 는 (2.4) 에서 정의된 직사각형이므로 lxl> 工p- 이거나 |ti>p~ 이면 f (x, t )=0 이다 . 그러므로 p >O 를 아주 크게 잡아서 fE G°(Q) 가 되도록 하자. (2.10) 의 좌변에 있는 적 분에 서 y=px , s=p t 로 치환하면 다음을 얻는다. 숭 I JJ F( y ,s) t(f• f )exp [ipw (f , f)]dy d sl ~Ci' (l+ p )•e- 꿍p 챙뿡 j+?』 (출)J峰 )1'F( y, s) I 그런데. p2 (l+ p )e －윙p ；；；； C 유 P 인 C, 가 존재하므로 (2.12) l ff'(宁今 )ex p[ip停 t)]F (y, s)dy d s\
갈* ',Ie- 윈 P 룰 얻는다. 한편, (2. 2) 로부터 p(+· f) =p[（f)(i-~)+i{릅+ (k+sE1+)1p k+1 - (k+s;;k:;： 야 1)}] 이 성립한다. k 는 홀수라고 가정하였으므로 k~l. 따라서 (y ,s) 가 F 의 대 su pp F 에 있을 때 l p w 停 t)-yl;;; ; c onst + 이다. 그러므로 (2.13) :,..!..+~cco o-s\ (+p •- +p) I exp• [Lip ' w \( fp , - +p) ]=e'Y 이것을 써서 (2.12) 의 우번은 p_ OO 일 때 IJ Je'Y F (y, s) dy ds l 에 그가러까므와로 감懿을 :c알 훈 (수0) ,있 다JI. rpd y d s=l 인 ¢를 택하여 F( y ,s) 를 F(y, s) =e-'Y< f,(y, s) 로 정해 주면 p _OO 일 때 (2.12) 의 좌변은 1 을 국한값을 가지고 우변은 영을 국한값으로 갖게 되므로 이 결과는 모순을 일으킨다. 이것은 편미분방정식 (2.1) 이 국소로 풀린다는 가정으로부터 얻어 진 모순이므로 (2.1) 은 국소로 풀 수 없다. 앞에서 얻은 결과를 (2. 14) L=— aat -+ib(t ) —aax 의 꼴을 가진 선형편미분작용소에 확장해 보자. 여기서. b( t)는
C°([T I,T 』) (T1
(2. 18) B (t) [1-e0 B (t) ]> .12_ B (t) 가 되도록 하고 ”를 (2. 19) =궁+i e 記 =x[l 一 2eoB (t)〕 +t.[B (t) + e0x2-e0B( t)인 으로 정하자. 그러면 (2. 5) 에서와 같이 (2. 20) I .. ~eo 군 + 송 B (t) 믈 얻는다, 또, 함수 t (x, t)는 다음과 감이 엄밀하게 정의한다. 곧, g。 (x)EC 훈 ((-r,r) ）이고 x=O 의 근방에서 t。 (x)=l 인 함수 So(X) 와 s1 (t) EC::' ( ( T., T2) ) T, ＋웅
의해서 (2.9) 식에 대응하는 부등식을 얻는다. 이 이하는 앞에서 B( t)=tt (k : 홀수)일 때 다룬 것과 같은 방법을 쓰고 또, (2.16) 에 의해서 lsl~T<+= 일 때 I 짜f) I ~ const +, 임에 유의함으로써 다음 정리를 얻을 수 있다. 정리 2.1 n 를 칙사각형 (2. 22) lxl
(3. 3) b (t) 60 이라고 하자. 지금, B (t) =f~T.1 b (r) dr 라고 하면 B (t )~o 이다. (3.1) 을 x 에 관해서 후리에변환하면 言aa -b(t) fz1= f 곧, [exp ( -eI> (r- )d r-)〕(룹 -b(t) fu) = [e xp (-ff~1b ( r-) dr- )]f 따라서. 훑甘 ex p(-fJ> cr) dr)} u] =[exp (-니 `;1b (T) dr)]J 이것으로부터 e-c8(t) i (f, t) =J t e- f 8( 야 (f, s) ds t( C) 곧, t2 (f, t) =J:I co ef{ s c,)-s(,)J J (f, s) ds t(t) 여기서 E>0 이 면, t(f) =+oo f< .0 이 면, t(f) =-oo 로 택하여
(3. 4) tt (x, t) = -_ 2¼ J :(=00 e •z fJ 「I e ft B( t )-B(s)I i (f. s) d sd.,= + 六 J:=-0:: C ' 도 f f :~e;{B ( I)-B ( .>l f (f, s) dsdf 곧,( 3. 5) u(x, f) =麟_1 JrJr R , ~f(y, sd) yd s 를 (3.1) 의 해로 얻는다. b(x, t)가 신해석함수일 때에는 위의 사실을 다음 칭리에서와 같이 확장할 수 있다. 정리 3.1 b (x, t) 를 직 사각형 R= {(x, t) lx1
z= f-벼 (단, f, 1/ 는 실 함수) 로 나타내자. (3. 8) 에 의 해 서 t= O 일 때 , ::= \=0 이 므로 r 와 5 를 충분히 작게 잡아 원점의 근방 U 에서 실해석적인 좌표변환 (3. 9) e:;(x,t) s=t 를 택할 수 있다. 이 좌표변환에 따라 코시의 초기값 문재 (3.8) 의 해 z 를 y ,s 로 나 타내면, (3.10) z=y+ i 와 같이 쓸 수 있다. 여기서
A= 붑+i b(x, t)훑=-훑 를 얻는다. 이때, y는 실함수이므로 위의 식의 양변에서 허수부분을 비교하면 (3.12) b(x,t )=-~ 틀 )-I 울 얻는다. 우리는 원점에서 롭 :=\=0 이라고 가정하였으므로 (3.7) 에서의 r 와 8 가 충분히 작으면 U 에서 롭 ~*o 이다. 그러므로 위의 관계식 (3. 12) 로부터 정 리 에 주어 진 성 질 (P) 는 다음 성 질 , 곧, (3.13) 〈열린구간 (-?,?）에 속하는 임의의 y에 대해서 함수 s ―一鬱 ¢.(y ,s) 는 |sl
성립한다. 곧, 훑@+t1/ )=0 이다. 그러므로 목히 ：仁 0, t) =0. 이 것으로부터 t 축에 서 f= const. 이 다• 그런데 f(x ,0)=x 특히 , f (0,0)=0 이므로 t축에서 f =O 이다. 이것은 좌표변 환 (x, t)―-(y ,s) 는 t축 (x=O) 을 s 축 (y =O) 으로 옮김을 나타내고 있다. 따라서 y =O 이면 x=O 이고 b(0, t )=0 이므로 (3 . 12) 에 의해서 ¢.(0, s) =0 이 다. 또, x > 0 일 때 b(x , t) ~ o. x
(3.16) 함수 s ―....:,
같다.
-r -Y
이제 f 를 직사각형 (3.17) 에서 대 를 갖는 R2 위의 임의의 coo 함수 라고 하자. 우리는 편미분방정식 (3. 6) 을 이 함수 f에 대해서 풀려고 하는데 이것은 (y,s ) 좌표계에서 (3. 20) 一abus + A( y, s) ~aouy =f(y, s) 믈 푸는 것과 같다. 또, 편미분방정식 (3.20) 은 (3. 21) (¾ +A 훑 )(u( y, s)-f /CY , a)d(l ) = -Aro 률) (y, a) d(l 라고 쓸 수 있으며, (3. 2 0) 을 푸는 것은 (3. 21) 을 푸는 것과 같다. 그런데 A=-l+~i¢ ,, 는 수직선분 L J에서 항동적으로 영이므로 (3. 21) 의 우변 은 LJ 에 서 영 이 다. 방정식 (3.21) 에서 v (y, s) =u (y, s) -fJCy , u) du -6 g(y, s) =-.iif. 룹) (y, u)du
로 두면 (3. 21) 식 은 (3. 20) 식 과 같은 꼴이 되 므로 우리 는 (3. 20) 식 에서 f는 L j에서 f= O 를 만족시킨다고 가정하고 (3.20) 식을 풀면 충분하다. 이러한 가정 아래에서 사상 z= y+i¢(y ,s) 에 의해 f를 A 로 옮겨보 자. 각 L1 에서 f투 0 이고 2 는 각 R j에서 위상동형사상이므로 f를 A 로 옮겨 얻는 함수 1(z)” 는 A 밖에서는 영이라고 두어 복소평면 C 전체에서 정의된 함수로 확장할 수 있다. 이렇게 하면 함수 i (z) 는 교에서 긴밀한 함수대를 갖는 E 함수가 된다.
2) f(y ,s) 룹 z 의 함수로 나타낸 것웅 f (z) 로 나타내고 있다. 1
이때, 흘宁묘(y ,s) 응 =0 이므로 편미분방정식 (3.20) 은 (3.22) {봅 +A( y ,s 틀}릎=f 로 변형된다. 또, A ―aazy― = -―aasz― 이므로 톱=-것(룹) 따라서 (3.22) 는 (3. 23) 2 i[I.지충붑=J 로 쓸 수 있다. 한편, 릎=훑 (y-½¢) =l 크¢, I.A= 一릅 임을 쓰면, (3.23) 는 (3.24) (-급)¢톱 =l
곧, (3. 25) 붕 =-½-[
3) u(z) 는 긴밀한 대룹 갖는 해이다. (3.28) 식에 대해서는 본 증명의 다음에 자세한 선명울 주었다.
(3.26) 의 식을 y ,s 로 나다내기 위해서 z'=y ' +irp(y', s') 로 두면, 麟'. ::} =『_ _t :: ::,,i¢y' 1=2 i섭 이므로 (3. 27) dz'/\dz=2 i¢., dy '/\ ds' 이고, F 의 정의에 의해서 (3. 28) u (y, s) =u(y+ i
4) 위의 피저분합수는 y=y', 에서 국용 가지므로 (y',s') 주위에서 코시의 주치 을 생각한다.
산을 하지 않더라도 u( y ,s) 는 사상 (y, s) 一 y+i
몰 만족시킨다고 하자. X=Xo(x, y)를 O 에서 1 의 값을 갖고 그 밖에서는 영의 값을 갖는 O 의 독성 함수 (characte r is t i c fun cti on ) 라고 하면, 라이 쁘니 쯔공식 과 (3. 29) 로부터 (3. 30) 훑 (Xnu)=Xn f +u 틀리 몰 얻는다. (3.30) 의 양변에 나타난 함수들은 긴밀한 대를 가지므로 ::의 기 본해물 쓰면 Xnu= 吉 *(Xo f) +[불귓 o]* 높 의 관계가 성립한다. 이 제 경:az- Xo 룹 구해 보자. O 는 원판 (d i sk) 들의 합집합으로 접근시킬 수 있고 또 Xn 는 가법 적 (add iti ve) 이므로 우리는 요가 원판일 때만 이 값을 구해 보면 충분 하다. 따라서 .0.를 원접이 중심이고 반경이 R 인 원의 내부라고가정 하자. 지 금 ¢EC000 (.0.) 이 면 , 극좌표를 사용하여 〈플 Xn,¢ 〉=－끈훑¢〉 = _ +f :z f。k e'0(¢r+ +¢。 )rdrd0 을 얻는다. 그런데, Jf::。 ¢X,er d%r=d0¢= (R-,t f0 :)¢R -(r{, :Oif>)e ( ir0, d 00 )dr (단, if> (r, 0) =¢ (r cos 0, r sin 0) ) 이므로
〈훑 Xn, ¢>=-占 R J:남 (R, 0) d0 위의 식은 (3. 31) 〈훑 x? 〉= _ 吉f ao
5) a o.의 내부를 왼편으로 보는 방향.
(3.31) 을 (3.30) 에 대입하면, (x, y)드 0 일 때, (3.32) u(x, y)=밉 FF。 f(x',y') ~ -효1 r J( aou..( l x.'. f, y..I \ 'dx)' + !dy~ ' 을 얻 는다. 이 것 을 비 동차 코시의 공식 (inh omog e neous Cauchy for m- ula) 이라고도 부르는데, 관계식 z=x+ty , z=x-iy dz/\d 궁= -2id x /\dy 를 사용하면, (3. 33) u(x, y) =六JJ0 훑 u (x', y') ~:,':『 +급 ;Lou(x'• y')~ 와 독같히이 (보3.3다3) 대식칭에적서인 u 꼴가로 해 나석타적낼이 면수 도―ao ―uz있 다=.0 이므로 찰 알려진 코 시의 공식 (3. 34) u (x, y) =습-f aou (x'' y') ~ 을 얻는다. 또, U 가 a .a에서 영이면, (3. 35) u (x, y) ＝五-JJ0 룹 (x', y') ~
을 얻으며, 이 관계식으로부터 정리 3.1 위 증명 가운데 나타난 (3.28) 식이 얻어진다. 4 국소로 풀리기 위한 회르만더의 필요조건 지금까지 우리는 일계선형편미분방정식을 다루었으나 여기서는 N= n+l 개의 변수에 관한 m(mGl) 계의 선형편미분작용소몰 다루겠다. 이러한 편미분작용소는 (4. 1) P (x, D,,) = I: C« (x) (D 츠) ° lal;;; m 의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 작용소가 O(OcRN ) 에서 정의되었을 때 Ca(X) 드 COO( Q)이고 D!=D!:D!;··· · ··D!; =(十훑 )a, （十 읊)” ... (十읊) 이다. 선형편미분작용소 P(x, D:,: ）를 (4.1) 과 같이 나타냈을 때, p(x ,f) = a~:.. , C a(x) 혼 (단, ea= t 1 이 e2a'••• t Na•) 을 선형편미분작용소 P(x,D:,:) 의 십볼 (s y mbol) 이라 하고 특히 (4. 2) p.( x, t) =,a 표 (x) e 몰 P (x, D') 의 주요십볼 (pr in c ip a l sym b ol) 이 라 한다. 주요심 볼 p. (x, f) 는 fj 변수에 관해 서 차수가 m 인 동차다항식 (homog e neous pol y- nornia l ) 이 고 그 계 수는 x 의 Cco 함수이 다. 예 라프라스작용소 A=( 읊 -)2+ (志) 2+ ••• + (값) 2 온
ll=-(D r+DH00•+Di ) (단, D j=十奇 j= l,2, ... ,N) 으로 나타낼 수 있으므로 A 의 주요심 볼은 -(ff+흙+···+ft) =-lfl2 이다. 주요심 볼 p. . (x, t) 는 RN 을 유클리 드공간 RN 의 쌍대 공간 (dual spa ce) 이라 할 때 OXRN 위에서 정의된 coo 함수라고 볼 수 있으며 OxRN 은 O 의 코탄젠트속 (co t an g en t bundle) T*(0) 로 간주할 수 있다. 주요심볼은 요가 미분다양체이고 선형편미분작용소 P(x, D,,) 가 요에 서 정의된 경우에도 확장된다• 이때, 그 주요심볼 p. . （ x, f)의 f는 국 소좌표가 바뀜에 따라 코탄젠트벡터 (cota n g e nt vec t or) 로서의 변환을 따른다. 주요심볼을 나타내는 코탄젠트벡터 f=(f1,f2, ' ,f N)ERN 은 경우에 따라 1J,¢ 등 다른 기호를 써서 나타낼 때도 많다. 예 코시-리이만작용소 5= 」a Lz 는 5 국(훑+불)＝둥 (D 츠+i D :1) 이 므로 주요심 볼을 (f, 1/) 로 나타내 면 >(if-1/) 이다. p(4 (.x ,3 )t )와 q (x,{ fp)가, .qO x}R걸N (에서블 룹정-의_된 :C:OOi 함률수)일 때 {p,q}를 로 정의하고 이것을 뽀아송 괄호 (Po i sson bracke t)라고 부른다. 회르만더는 다음 사실을 증명하였다. 정리 4.1 XoEO, 합 ERN\0 에 대 해 서
(4. 4) P. (xo, 합) =0, {p .. , P. . } (xo, 한) *O 이면, Xo 를 포함하고 있는 임의의 열린부분집합 U(Ucn) 에 대해서 /EC 훈 (U) 가 존재하여 편미분방정식 (4. 5) P(x, Dr)u =f 는 U 에서 초함수해를 갖지 않는다. 층명 우리는 P ( x,Dz) 가 일계선 형편 미분작용소일 때만 증명하겠다. 일반적인 증명은 회르만더 〔산룰 참조하면 좋다. UocU 일 때 /EC~(Uo) 에 대해서 P(x,D')u= f가 초함수해를 갖 지 않으면, I드 C 훈 ( U) 이고 P(x,D')u= f는 U 에서 초함수해를 갖지 않으므로 U 는 충분히 작게 택하여도 좋다. P(x,D' ) 가 일계선형편미분작용소이면 제 1 장 1 절의 방법을 써서 P(x, D') 는 (4. 6) L= 寄a포 합ni (x, t)a言 와 영의 값을 갖지 않는 C ex,함수의 곱으로 변형할 수 있다. 그러므로 정리에서 주어진 P(x,D,,) 는 L 과 같다고 하고 증명하면 충분하다. L 의 주요심볼은 ~ (x, t, f, r-) =f r 一 J}=”: ; I bj ( X, t) f1 로 주어 짐 을 쉽 게 알 수 있다. L 의 교환자 (commut at o r ) [L, L] = LL-LL 을 계산해 보면, 〔 L,L]=-2 겁 층 (x, t)훑 따라서, [L,I J의 주요십불은 2~1 뿔fJ 이고 이것은 -」t g ,A} 와 같음을 알 수 있다. 곧,
(4. 7) -N� {��, .il} ��� � baJ (z, t
)fj |� �Ŕ��. |��<�\� �ָ������ǩƌ� P(x,Dr) � �ȴ���� ��X� �Ȕ���t� P.(x,f) |� L� ,Char P= { (x , f) EU x R�� f =\=O, P .. ( x, f) =O} � |P X� ��1���i� (charac t er i s ti c set) |�� \�.� t�@t�� �@� �X�|� �� ���Xt�, A=O x� L X� ų1���i�@� n (4. 8) r-=0, ~ bj (X, t) tj=O J=1 D� ̹q�XՔ� �tX�,,� f T) ,X� �i�t��� .t���� (x � �$�М��p�� ��� Ȭ� 4.1 �� t� (4.4) \���0� �Ƭ��� (4. 9) (4.10) I:bj (Xo, to) tJ=O J=I i X� (xo, t o) O ~x*oj=I at t� 1���\��� ��t�ij ���. t�� �Ʌ�D� �貈� X�0� �t�� Xo=O, to=O, i�= (1, 0, ... , 0) t�ٳ�� f ����� |�� P��X� �� ��X��. ���\�( x,t) ������X� �Ӊ�� X �t�� |���x� ���Ɣ� X�� ����\��� \ļ� ��� �)���. �@� �@�라고 두면, (4. 9)’ 과 (4.10)’ 으로부터 (4. 11) b1 (0, 0) =O, /31 (0) =i=O 을 얻는다. 이것은 두 벡터장 x= 훑 f3j (O) 瑟-a; • Y= j학 bi ( O, 0) 志a 7 가 일차독립이거나 Y=O 임을 보이고 있다. 이제 원점 (0,0) 에서 새로운 좌표를 도입하여 X= 」：이 되도록 하고 Y:::\=O 일 때에는 Y= —aax―2 가 되도록 하자. 이렇게 하면 L 은 (4.12) L= 훑+it훑+t. (kg 1 x /r L /r+t 2L 。) 또는, (4.13) L= 훑먀읊+읊-)+t.(효도心) 가운데 어 느 한쪽으로 변형 된다. 여 기 서 Lo, Li, ···, L,. ·은 x 변수에 관 한 벡터장아다. (4 . 12) 와 (4.13) 으로 주어지는 두 벡터장은 정성적으로 서로 다르 다 . 이 를테 면, (4. 13) 에 서 L 과 E 가 원 접 에 서 일차독립 인 반면 (4. 12) 에서는 L 과 E 가 원점에서 일차종속이다. 이 제 L*w=O 의 근사해 를 구해 보자. 먼저 j= l, 2, ···, n 일 때 편미 분방정식 (4.14) Lz;=O 의 해를 초기조건 (4. 15) ZJ I1 =o=X1 아래에서 구해 보자. 이 해는 초기조건 (4.15) 에 의해서 Zj = Xj + aE2Z ~ •2=co l cj, a ,etg
인 형 식 적 인 멱 급수 (for mal po wer serie s ) 로 나타낼 수 있 다. 차수가 l a l + k 인 각각의 단항식 x•t• 에 대 해 서 (：計 (x°tk ) 는 | a l + k -1 의 차수를 가지고 (출+터尉 )(x• t•)도 |al+k-1 의 차수를 갖는다. 그러 나 t(훑), 김 ~k, t2L o 등은 x•t• 에 작용시 키 면 차수를 줄이 지 않 기 때문에 식 (4.14) 와 (4.15) 로부터 형식적인 멱급수의 계수를 결정 할 수 있다. 그런데 우리는 L *w =O 의 근사해를 구하고 싶어하므로 Z j에 있어서 Zj = Xj + A; t + B; f2 으로두어 (4.16) 〈 k~3 이거나 |al~l 이며 k~l 인 t *xe 를 법으로 하는 근사해〉 를 구해 보자. k, a 가 (4. 16) 에 서 와 같을 때 의 L (t k 갔) 를 무시 하면 (4. 12) 로부터 Lzj= Aj +itoj l + 2B;t (단, 8j1 은 크로네 커 델 타 (Kronecker delta ) 함수) 을 얻고 이것으로부터 Aj =O , Bj = -+iOjl 을 얻는다. 그러므로, (4.12) 의 경우 (4.16) 에서와 같은 t •x0 를 법으 로 한 근사해는 (4.17 ) 『i- 울it' j= Xj (단, j= 2, 3, ···, n) 이다. 마찬가지로 (4.13) 의 경우 (4.16) 에서와 같은 t •x 霧를 법으로 한 근 사해는 (4.18) f Z1=X1-+it 2
\Z2 로-it Zj = Xj (단, j= 3, 4, ···, n) 로 주어진다. 이(4 .제 1 9)( 4. 12) 의 경 우o = 궁 1+ i K I.: 적 (단, K>O) J= I 이라고 두면, 차수가 3 보다 작지 않은 항을 법으로 W=X1+i Tt2 +iK Bj=n l 자+t J따n= Ij x J 룰 얻는다. 따라서, uo(UoCU) 를 충분히 작은 원점의 열린근방으로 잡고 K 를 충분히 크게 하면 적당한 양수 C1 이 존재하여 Uo 에서 (4. 20) I.w~C1 (lxl2+t 2) 이 성립한다. (4. 13) 의 경 우에 는 w=zf+ iK ~ 자 -(a- 죠)국 (단, K>O) J* 2 으로 두면, 차수가 3 보다 작지 않은 항을 법으로 (4. 21) 루사 H 一t22 +f ,2=•: I U;XJ +iK 2 : x}-(a 一i e) (x~-t2 + 2 it石) i* 2 풀 얻고, 이때 I.=t2_2 +t j2= I (I.uj) Xj +K I; 자 -2 atx 2 +E .( x!-t2 ) J* 2 이다. 여기서 a= －방 I.u2 로 댁하면
I .. w=(+-e)t2 + K J~* 22 x~+ex 는心j= 1 (I. . tlj)X J 이다. e 을 O< e.<꿀-를 만족시키도록 정하고 U 。 (U。 cu) 를 충분히 작은 원점의 열린근방으로 택했을 때, K 를 충분히 크게 잡으면, (4. 13) 의 경 우에 도 앞에 서 와 같이 (4. 20) 이 Uo 에 서 성 립 한다. 이 다음의 증명 과정은 약간의 수정을 가하면 2 철에서의 방법과 비 슷하다. 그러나 2 절의 경우와는 달리 여기서는 b;(x, t)가 실해석적이 아니므로 Z j몰 수렴하는 무한급수로 나타낼 수 없다. 그래서 (4. 22) ZJ = xi+ l a.l HL< M... C ;,a,1rxatl r 와 같이 나타내고 (4. 23) Lz;=O((lxl + ltl )M) 을 만족하는 근사해를 구한다. 여기서 M 는 뒤에 충분히 크게 잡을 정수이다. 그러면, (4.19) 와 (4.21) 의 어느 경우에도 Lw=O( (lxl + ltl )Ai) 가 만족된다. 한편, L* 는 적당한 함수 c(x, t)에 대해서 L*=-L+c(x, t) 의 꼴을 갖는다. 여기서 hc.,,1) 를 hc.,, o = I: lza, kxatk Ial +k
-L * (ehw) = (l -c) (e hw) =강 (Lh-c) w=ehLw 이므로 (4. 25) L* (ehw) =0 ( ( ! x i + I t i) Ji) 를 얻는다. 이제 U。 (UocU) 를 O 에 포함된 윈접의 열린근방으로 (4.20) 이 성 립하는 것이라고 하자. g를 C 훈 (Uo) 의 원소르서 원접의 근방에서 s=l 인 함수라고 하고 (4. 26) g= ,eh+IP• 로 두면, L*g = -( L() eh 선 P + sL* (eh+IP•) = -e h+IP [E s+ S (I 강) e 접 + (ehL* (e•••) = -[ eh +1p (Ig) -S 강 (L* -c ) (e1••) ] +seh+••'O( (I XI + I t I) M) =-eh+‘ 門 (Ls) +ps 01 ((lxl + ltl ) M) + sOz ( ( l x l + l t l ) Ai) ] 단, 여기서 01 과 야는 괄호 속에 있는 변수와 갑은 차수의 양을 나타낸다. 한편, I g는 원점근방에서 영이므로 M 가 어떤 정수입에 관계없야 항상 O((lxl + ltl ) Af ) 보다 작다. 따라서, (4.27) 충분히 큰 p에 대해서 |x i +l t l~0 이면, L*g= eh+•PQ (p( IxI + Iti )Ai) 이다. 이것으로부터 (4. 28) lal 밑 틀 )e( 을)j L* g l ~ce-P/.'[1 + 1(lxl + ltl )M -• 를 얻는다. 그런 데 (4. 20) 으로부터
I.w~C1 (lxl2+ t이 이므로 r= ✓ |xP+ t 2 으로 두면 (4. 29) lal 표. I( 훑 )O( 출)i L* g| ~Ce-c''ty + 1r.1 1-• 여기서 M 을 충분히 크게 잡아 (4. 30) M=3k+2+2M 이 되 도록 하면 (4. 29) 의 우변은 우변 =Ce-C,,,,., (pr2 ) H1+2Me -2M ~C'p- 2 M 의 관계식을 만족시킨다. 지금 Lu= f가 C~(Uo) 의 임의의 원소 f에 대해서 초함수해 u 을 Uo 에서 갖는다면 1 절의 결과로부터 (4. 31) { If f(x, t )g( x, t) dxdt 1 족 C0 판팅x la|g S» I(¾). 틀)j L* g l 땄 옳J S / I( 훑)’(훑)'ti 를 만족시켜야 한다. 특히 , f(x , t) =F(px , pt) 로 두면 (4. 31) 식 은 (4.3 2 ) { I~JcJpF-2 ( Jyl +, s l +)• +(I 챙g뚱강 )훑J（ :;戶;;I I )( e 라출) *'d틀 y d)s|i F(y, s) I 와같은식이된다. 그런데 (4. 32) 식에서 2M)l+n+l 이 되도록 M 을 택하면, (4,32) 식의 우변은 p_ ➔ +oo 일 때 영으로 수렴하는 반면, w(x, t)에서 일차항은 따 이므로 좌변은 A=eh
로 수렴한다. 그런데, A*O 이 되는 F 가 존재하므로 (4.32) 식은 이러한 F 에 대 해서 성립할 수 없다. 곧, f EC f (U) 인 모든 f에 대해서 Lu=f 가 초함수해 tt 를 갖지 못한다. （증명 끝) 5 국소로 풀림에 관한 일반이론 아 절에서는 계수가 m(m~l) 인 일반 선형편미분작용소의 국소가해 성에 관한 몇 가지 정리를 주요형의 작용소물 중심으로 알아보자. 먼저 정리 3.1 에서 얻은 충분조건 (P) 와 정리 2.1 및 정리 4.1 에 서 얻은 필요조건을 종합해 보자. 지금 P(x,D,,) 를 (4.1) 에서 정의한 선형편미분작용소 P(x, D,,) = I: Ca(x)D! laI 도 .. = JaI l~; m C 。 (x)D f 'm'•·•D':: 라고 하자. P(x,D) 의 주요심볼은 a,b 를 실수값을 갖는 함수라고 할때 p. (x, f) =a (x, f) + ib ( x, f) 와 같이 나타낼 수 있다. 이때, 갑 {p ... p.} = {a, b} 이므로 조건 (4. 4) 는 (5.1) a (xo, 한) =b (xo, f0) =0 {a, b} (xo, 합) *O 과 같아진다. 일반으로 .O xRN 에 정의된 실수값을 갖는 COO 함수 a(x, f)가 주어 졌을 때
H든 j2=NI —aaaf j —8ax j __a —axaJ — —afa— j 로 정의되는 벡터장을 a 의 해밀톤장 (Ham i l t on i an fi eld) 이라고 한다. !l xRN 을 O 의 코탄젠트속 T*( !l)로 생각하면 T*( !l)의 탄챈트속은 %=｛읊 읊-, ···, 읊-· 京기 끓-, ···, 끓} 에 의해서 생성되므로 해밀튼장 H. 의 %에 대한 성분은 (붉 흙-, …, 흙-, -릅 -훑-, .... 훑) 이다. 뽀아송괄호와 해밀튼장사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. 곧, a (x, f) 와 b (x, f) 가 O x RN 에 서 정 의 된 Cco 함수 일 때 • {a, b} =H.b= -Hba 이다. p. . (x, f) =a(x, f) +ib(x , f)가 선형 편미 분작용소 P(x, D ;r)의 주요심 불일 때, 조건 (4.1) 은 H. (xo, 한) =\=O 울뜻한다. 이 때 (Xo, 한)를 지나는 벡 터 장 Ha 의 적 분곡선 (int e g ra l c urve) 울 r(t) : (x (t) , t(t) ) 라고 하면, r( t)의 접선벡터는 (움. …. 뚱-, 움 ..... 탕; L) 이고 이것이 H. 와 일치해야 하므로 J= l,2, ... ,N 일 때 {뚱=툴 (x, t) (5. 2) —ddft 1 — __= -a—oxaJ (x,t)
이 성립한다. 또, 이 곡선 r( t)가 (xo, 합)를 지나려면 (5. 3) X (0) =Xo, f (0) =한 이 만족되어야 한다. 그런데 H.(xo, 한 )*O 이므로 초기조건 (5.3) 을 가진 연립상미분방 정 식 (5. 2) 의 해 는 실 제 로 한 접 으로 퇴 화하지 않는 (nondeg e nerate ) 곡선을 나타낸다. 연립상미분방칭식 (5.2) 는 특성대를 결정하는 중요한 방정식으로 해밀톤-야코비 방정식 (Hami lto n -Ja c obi eq u ati on ) 이 라고 한다. 한편, H. 는 H. 의 적분곡선의 접선방향을 따른 방향부도함수에 비 례하고 H.a=O 이므로 a 는 H. 의 적분곡선 r(t) 위에서 상수값을 갖는다. 그런데 조 건 (4.I) 로부터 a(xo, 한 )=0 이므로 a 는 r(t) 위에서 영이다. 일반적으로 a 의 독성집합 C (a) = { (x, f) E. O x (RN\ {O} ) l a (x, f) =O} 의 점을 지나는 해밀튼-야코바 방정식 (5.2) 의 적분곡선을 영특성대 (null bic h aracte r is t i c • str i p ) 또는 간단하게 특성대 (bic h aracte r is t i c str i p ) 6) 라고 한다.
6) 해밀튼-야코비 방정식의 저분곡선을 모두 목성대라고 하나 영목성대가 중요한 의 미운 갖게 된 이우 영목성대만을 목성대라고 하는 경우가 많다.
따라서 이 용어 를 사용하면, 조건 (4.1) 은 다음과 같이 나타낼 수 있다. (5.4) 〈접 (xo, 한)을 지나는 a 의 독성대를 따를 때, b(x, f)는 (Xo, 합) 에 서 0 이 지 만 b (x, f) 의 일 계 도함수는 0 이 아니 다. > 조건 (5. 4) 는 r (t) 위 에 서 b (x, f) 는 • (Xo, 한) 를 일차의 영 점 으로 갖 고 따라서 (Xo,f 0 ) 주위에서 부호를 바꿈을 보이고 있다. 이제 L= 훑+i b( t) 을「를 약간 변형한 P=—i 1 - L~= -— i1 —aat +' bV (\t/) —oax
믈 생각해 보자. P 의 주요심볼은 p (x, t, f, -r) =-r + ib ( t) f 이 므로 R,p= a, I.p= /3 라고 두면 a=-r , /3=b (t) t 의 관계가 성립한다. 그러므로 p. . =0 이면 -r =O 이다. 한편 조건 (4.4) 에서 한 =0 인 경우 는 제의하고 있으므로 조건 (4.4) 를 만족시키는 점 (xo, t o, 한,-r o) 를 구 해 보면, 이 점은 (5. 5) r-0 =0, 한 *0, b (to) =0 을 만족시켜야 한다. 이때 Ha= 겅宁로 주어지므로 a 의 특성대는 칙선 t― ➔ (Xo, f, 한, 0) 로 주어진다. 단, 여기서 한 *O 이다. 따라서 선형편미분작용소 L 이 풀리지 않을조건인 정리 3.1 의 (P) 는 다음을 뜻한다고 할 수 있다. 곧, (5.6) 〈t가 구간 (TJ, T2) 에서 변할 때, a 의 특성대를 따라 g는 부호를 바꾸지 않는다. > 위의 성질 (5.6) 은 선형편미분작용소가 P(x, 훑)=宁훑 +b(x, t)훑 의 꼴일 때에도 생각할 수 있다. 이때, a=r, {3= b(x, t)f 이므로 이 경우에 정리 3.1 의 조건 (P) 는 다음과 같이 표현될 수 있다. (P) 〈 x1
조건 (P) 는 m(m~l) 계의 선형편미분작용소에 대해서도 일반화하여 생각할 수 있다. 조전 (P) 가 성립하면 조건 (5.4) 가 참일 수가 없을 뿐 아니라 더 일반으로 3 는 a 의 특성대물 따를 때 유한한 홀수차의 영접을 가질 수 없다. 이러한 관찰을 동해 보면 조건 (P) 는 선형편 미분방정식의 해가 존재하는가 하지 않는가을 판별하는 데에 대한 중 심적인 성질임을 알 수 있다. 그러나 조건 (P) 룹 생각함에 있어서는 몇 가지 유의해야 할 것이 있다. 첫째로 a 의 목성대가 존재하려연 da=\=O 이어야 한다. 그러므로 d p =\=O 일 것이 필요하다. 그러나 이것만으로는 충분하지 않음이 밝혀 져 오늘날에는 다음과 같은 성질을 기술적인 이유로 가정하고 있다. 곧, (5. 7) 〈 d p“걸롤 -dx J+쏠朔)가 N J~= 1 fjdXj 와 p ,.=O 인 모든 (x,f ) (단, 손 *O) 점에서 일차독립이다.〉 조건 (5. 7) 이 만족되 는 선 형 편미 분작용소를 주요형 (pr in c ip a l type ) 의 작용소라고 한다. 예 O 를 R2 의 열린부분집합이라 하고 P=+ {a (x) 읊- + b (x)¾} 를 .0. 에 서 정 의 된 선형 편미 분작용소로서 계수 a(x), b(x) 가 O 에 서 동시에 0 이 되는 점은 없다고 하자. 이때 작용소 P 는 O 에서 퇴화 하지 않는다 (nondeg e nerate ) 고 한다. 퇴 화하지 않는 작용소는 주요형 의 작용소임 은 다음과 같이 보일 수 있다. P 의 주요심볼은 P=a(x)t 1+ b(x)t 2 이므로
d p=(흙-+릎 -)dx1+( 흙- + 릎 -)dx2 +a(x) df 1+ b (x) df 2 이다. 그런데, a(x), b(x) 는 동시에 0 이 되지는 않으므로 d p는 ~2 f;d x;=f 1d x1 +f2dx 2 J= l 와 일차독립이다. 이와 같이 주요형의 선형편미분작용소는 퇴화하지 않는 선형편미분 작용소를 일반화한 것이라고 할 수 있다. 예 p. =0 인 점에서 (5. 8) dtP . . = 훔 繁- dfJ * O 이면 p.울 주요심볼을 갖는 선형편미분작용소 P 는 주요형이다. 그러 나 R2 에 서 정 의 된 트리코미작용소 (Tric o mi op er ato r ) (5. 9) T= y(훑)+훑 에서 알 수 있는 것처럼 그 역은 참이 아니다. 작용소 (5. 9) 의 주요심 볼은 P= - (y한 + 1/2) 이다. 따라서 P=O 이면서 (f,1/ )*(0,0) 인 T의 목성집합의 점 (x, y, f, 1/) 는 y= O, 11=0, f*O (x 는 임 의 ) 로 주어진다. 그런데 이 점에서 d p=-한 dy 이므로 d p는 fdx + 11dy =fdy 와 일차독립이다. 그러므로 T 는 주요형인 선형편미분작용소이다.
그러나 P=O 이면, d(,~P= (-2yf , 271) =O 이므로 (5. 8) 을 만족시키 지 않는다. 아상에서 알아본 주요형에 관한 문제 밖에도 조건 (P) 에 대해 유 의할 점으로 다음을 생각할 수 있다. 조건 (P) 물 보면, a, B 는 내 재 적 인 의 미 (int r i n s ic meanin g ) 를 갖 고 있지 않다. 이 를테 면, 작용소 P 에 t.= ✓ 二 I 을 곱하면 a 에 -B 가 대응되고 8 에 a 가 대응된다. 이와 같은 까닭으르 조건 (P) 에 대 한 보다 세심한 기술이 필요하다. 지 금 O 를 (x, f)一공간 n x (RN\{O}) 의 열 린부분집 합이 라 하고 q(x , f) 룰 O 에서 정의되어 있고 O 에서 영이 되지 않는 C' 함수라고 하자. O 에서 정의된 선형편미분작용소 P 가 다음 성질 곧, (i) p .. 을 P 의 주요심볼이라고 할 때 R.(qp . . ） =0 인 0 의 임의의 점 에 서 dR. (qp) 과 IN: fjdXj 는 일 차독립 이 다. 1=1 (ii) I .. (qp .. ) 은 R. (qp .. ) 의 특성 대 을 따라 부호를 바꾸지 않는다. 를 만족시킬 때 P 에는 0 에서 성질 (P) q를 갖는다고 한다. 또, 0 에서 정의되고 O 에서 영의 값을 갖지 않는 어떤 C' 함수 q가 존재하여 이 q에 대해서 P 가 O 에서 성질 (P) q올 가질 때, P 는 O 에서 성질 (P) 를 갖는다고 한다. 마지막으로 우리는 다음과 같은 정의를 도입한다. 정의 5.1 XoE .0.라고 하자. |한 |=1 인 RN 의 임의의 접 합에 대해 서 (xo, 한)의 열린부분집합 0 가 존재하여 O 에서 P 가 성질 (P) 를 가질 때, 선형편미분작용소 P 는 Xo 에서 성질 (P) 를 갖는다고 한다. 빌 즈 (R. Beals) 와 훼 휘 만 (C. Feff er man) 은 다음 정 리 7) 를 증명 하 였다. 정리 5.1 주요형인 m 계의 선형편미분작용소 P 가 Xo 에서 성질 (P) 를 갖는다고 하자. 그러면, Xo 의 열린근방 U 가 존재하여 L2(U) 에 7) Beals-Feff er man [l) 참조, 일계선형편미분작용소의 경우에는 Treves [4], [5] 참조.
속하는 임의의 f에 대해서 방정식 Pu=f 는 U(U) 에 속하는 해 U 를 갖는다. 이때, 임의의 중복지수 a 에 대 해서 |al~m-1 이면 (훑 )0uEU(U) 가 성립한다. 위의 정리에서 |a|~k 인 모든 중복지수 a 에 대해 (::).f드 U(U) 이면 If3| ~k+m-l 인 모든 중복지수 8 에 대해서 (¾-Yu 든 U(U) 임이 알려져 있다. 이러한 결과는 선형편미분작용소 P 의 계수가 신 해 석 적 일 때 에 는 Ni re nberg- T reves 〔 n 에 , P 의 계 수가 C 일 때 에 는 Beals-Feff er man [디에 자세 히 논의 되 어 있다. 정 리 5.1 은 조건 (P) 가 주요형 의 선형 편미 분작용소가 국소로 풀릴 충분조전임을 보이고 있다. 조건 (P) 가 주요형의 선형편미분작용소가 국소로 풀릴 필요조건임 은 모이어 (R. Mo y er) 가 증명한 다음 정리로부터 알 수 있다. 정리 5.2 p를 O 에서 정의된 주요형의 선형편미분작용소라고 하 자. O 의 점 (xo, 한)를 지나는 R,p . . 의 독성대에서 (Xo, 합)를 포함하 는 임의의 호 (arc) 를 택했을 때, 이 호 위에서 I .. p .. 이 (Xo, 한)에서 부호를 바꾸면 Xo 를 포함하는 임의의 열린집합 U(UcO) 에 대해서 f EC CX) (U) 가 존재하여 편미분방정식 Pu=f 는 U 에서 초함수해를 갖지 않는다. 단, p .. 은 P 의 주요심볼이다. 위의 정리는 I .. p.이 R.p .. 의 특성대를 따라 (Xo, 합)에서 무한차의 영 점 을 갖지 않는 경 우, Nir e nberg- T reves 〔디에 자세 히 증명 되 어 있다. 일반적인 경우의 증명은 모이어가 증명하였으나 그가 이 결과 를 발표하지 않은 까닭으로 회 르만더 가 Hormander [7] 에 자세 한 중 명을 주었다. 정리 5.1 과 정리 5.2 는 주요형인 선형편미분작용소가 국소적으로 풀릴 필요충분조건이 조건 (P) 임을 밝힘으로써 주요형의 선형편미분 작용소의 국소가해성에 관한 완벽한 해답을 주고 있다.
*제 2 장의 도움말 이 장의 핵심을 아루는 두 정리 5.1 과 5.2 의 일반적인 증명을 이 책에서 주지 못한 까닭은 이들의 증명이 심볼 (s y mbol) 에 관한 깊은 분 석 과 심 볼로부터 도입 되 는 의 미 분작용소 (ps eudodif fer enti al op er ato r ) 와 후리에적분작용소 (Four i er int e g ra l o p era t or) 의 이론을 필요로 하 기 때문이다. 심볼이라는 코탄젠트속 .0. xR// 에 정의된 CCO 함수를 생각하게 된 것은 초함수이론아 편미분방정식론에 혁명을 가져다 준 바에 견줄 만 한 제 2 의 혁명으로 평가되고 있다. 이제 P(x, Dr) 를 (4.1) 에 서 정의한 선형편미분작용소라고 하면 ::z. 심볼은 p (x, 혼)로 나타내지는 g에 관한 다항식이 된다. p (x, f)는 f 에 관해 미분하면 f에 관한 차수가 하나씩 작아지는 특성을 가지고 있다. 이 러한 독성을 일반화하여 m 이 실수일 때, S”( Q)를 .O. xR// 에 서 정 의 된 CCO 함수 a (x, f) 로 .0. 의 임 의 의 간 밀 부분집 합 K 와 임 의 의 중복지수 a,~ 에 대해서 (1) I Dt D~a (x, t) | 획 C •. ~ (K) (1 + lfl) .. -lal (단, xEK, fE R//) 을 만족하는 것 전체의 집합으로 정의하고 S( Q)를 'n 차 이하의 모든 심볼의 집합이 라고 한다. 심볼로부터 얻어지는 몇 가지 개념을 설명해 보자. (1) 타원형작용소 P(x,D,,) 를 O 에서 정의된 선형편미분작용소 (2) P (x, D:r ) = ~ c. (x) D~ laI 독 m 라고 하면, P 의 주요심볼은 (3) p,.( X,f )= la~l=m Ca(X) 「
로 주어진다. P(x,Dr) 의 목성집합 (4) C (P) = { (x, f) E .O x (RN\ {0} ) IP . . (x, f) =0} 이 공집 합 ¢ 일 때 . P (x, Dr) 는 요 에 서 타원형작용소 (ellip tic op e rato r ) 라고한다. 코시국키이만의 작용소 또는 라프라스의 작용소는 타원형이다. 타원형작용소는 다음과 같은 중요한 성질을 가지고 있다. (i) 타원형작용소는 항상 국소로 풀린다. (ii) 타원 형 작용소는 준타원 형 이 다. 어느 선형편미분작용소가 타원형인가 아닌가는 :::L 작용소가 가진 대수적인 성질임에 비해 국소가해성이나 준타원성은 대수적인 성질이 아니다. 그럼에도 타원형이라는 대수적 성질이 대수적이 아닌 위와 같 온 성질을 뜻하는 것은 깊은 의미를 지니고 있다. (2) 의 미 분작용소 8) 편미분작용소 (5) D:=( 十훑)간- 읊-)” ... (十 읊) 을 함수
(8) cp (f) =Je-1 :1 •'cp (y) dy 올 사용하여 얻은 것이다. 마찬가지로, P(x,Dr) 를 (4.1) 로 정의된 m 계의 선형편미분작용소 라고하면, (9) p(x , f) = I: c.(x)~ ial :. m 라고 할 때 (10) P (x, D)
(3) 후리 에 적 분작용소 10) 의미분작용소 A(x,Dr) 를 정의하는 공식 (11) 에서 우변의 괴적분합 수에 나타난 e 의 지수i (x- y)•f를 위상함수(p hase fu nc ti on) 라고한 다. 이 위상함수물 보다 일반적인 ¢(x, y,f)로 확장하여 식 (11) 이 뜻 울 갖도록 한 작용소 A (x, D,,) , 곧, tt드@' (Q) 일 때 , (12) A (x, Dr) ll= ~IIe~(r, y, Oa (x, f) u (y) df dy 에 의해 정의되는 작용소 A(x,D 츠)를 위상함수가 ¢이고 심볼이 a(x, f) 인 후리에적분작용소 (Four i er int e g r al op er ato r ) 라고 한다. (12) 식이 의미를 갖고 ~/(0.)에서 ~'(0.)로의 연속사상을 정의하리 면, ¢(x, y,f)는 특별한 조건을 만족시켜야 한다. 5 절 에 서 말한 바와 같이 정 리 5. 1 과 정 리 5. 2 의 증명 의 핵 심 은 Ni re nberg- T reves 〔디에 제시되어 있는데 이 증명의 요점은 m(m~l) 계의 선형편미분작용소의 국소가해성을 의미분작용소와 후리에적분 작용소를 사용하여 일계선형편미분작용소의 국소가해성의 문재로 환 원시키고 제 2 장에서 증명한 방법과 같은 방법으로 이를 증명하는 것 이라고 할 수 있다. 국소가해성의 문제를 푸는 과정에서 도입된 의미 분작용소와 후리에적분작용소의 유용성은 선형편미분방정식이론 전반 에 걸쳐 두드러지게 나타나 이들의 연구는 현대적 선형편미분방정식 이론의 핵심분야를 이루고 있다. 이러한 작용소의 연구는 미분기하학 에 관한 깊은 이해를 필요로 하는 것이 특색이다. 주요형의 선형미분작용소가 국소적으로 풀릴 필요충분조건 (P) 의 발견 이후 자연스럽게 문제되는 것으로 다음 세 가지를 둘 수 있다. 첫째로 어떤 선형편미분작용소 P(x,:: ）가 국소적으로 풀리지 않 는다는 것은 어떤 열린집합 Q가 존재하여 일반적인 Iec:( Q)에 대 해서 방정식 Pu=/ 가 요에서 풀리지 않는다는 것을 뜻하므로 적당 한 f드 C7( Q)에 대해서는 방정식 Pu= f가 초함수해 U 를 가질 수 있다. 따라서 국소적으로 풀리지 않는 주요형의 선형편미분작용소 P(x 울)가 주어졌을 때 어떠한 I 드 C7( Q)에 대해서 방정식 10) Hormander [5], Duis t e nnaat- H ormander [1], Treves (12] 참조.
P (x, :訂 u= f 는 적 어 도 하나의 초 함 수해 tl 드@' (Q) 를 갖는가 하는 f의 판별이 문제가 된다. 이 러한 문제는 거의 연구가 되어 있지 않 다. 미조하타의 편미분작용소에 관해서는 Ki m J.- Kim J.S .-Shin [1] 에 부분적인 결과가 주어져 있다• 둘째로 국소로 풀리는 주요형의 선형편미분작용소 P(x, :〔)가 주 어지면, 방정식 Pu= f는 국소로 항상 초함수해 tt를 갖는다. 이러한 초함수해 U 를 구체적으로 구성하는 일반적인 방법의 개발은 편미분 방정식론의 궁국적인 목표라고 할 수 있다. 이 러한 방향의 연구로 가장 중요한 것은 제 2 장의 4 철에서와 같이 해 를 구체적 으로 구성 하여 적 분으로 표현하는 방법 을 일 반화한 Treves [8 ], 〔 이가 있다. 그리나 이 결과는 일계선형편미분방정식에 대한 부 분적인 결과이므로 일반적인 신형편미분작용소에 대해서는 보다 많은 연구가 필요한 것으로 보인다. 세째로 주요형의 선형편미분작용소 P(x, ::-)가 Q에서 정의되어 있을 때, 이 작용소가 임의의 f드 C~( .0.)에 대해서 Q 전체에서 대역 으로 풀릴 (glo bally solvable) P 에 관한 조건은 아직 알려져 있지 않 다. O 의 임의의 상대적으로 긴밀한 부분집합 n’ 에서 해물 가질 조 건 , 곧, P 가 Q 에 서 준 대 역 으로 풀 릴 (semi glo bally solvable) 조건 은 Hormander [6] 에 부분칙 인 결과가 나와 있으며 D. Ki m 目]에도 부 분적인 대역적인 결과가 주어져 있다. 위에서 열거한 모든 문제들은 주요형의 선형편미분작용소에 관한 것이며, 주요형이 아닌 선형편미분작용소, 이를테면, 중복특성집합 1 1) (multip le charac t er i s ti cs) 을 가진 선형 편미 분작용소에 대해 서는 국히 초보적인 결과 이의는 알려져 있는 것이 없다. 중복목성집합을 가진 선형편미분작용소의 연구는 가까운 장래에 가장 중요한 선형편미분방 정식론의 연구분야를 이물 것으로 예상된다. 11) Tay lo r [1] 참조.
제 3 장 선형편미분방정식의 대역해의 촌재조건 이 장에서는 임의의 fE CC 앗 0) 에 대해서 C0 계수의 선형편미분방정식 따 훑 )u= f 가 해 uECOO(O) 를 가질 O에 관한 필요충분조건을 구해 보기로 한다. 위의 문제를 함수해석학적인 문제로 바꾸어 보면 따 훑 )COO(0)=COO(0) 일 0 에 관한 조건을 구하는 운제가 되고 이것은 또, 선형작용소 따 훑) : CC0 (O) 一 COO (O) 가 전사사상이 될 Q에 관한 조건을 찾는 문제가 된다. 이 문제는 말그랑쥬, 하아바 등에 의해서 풀렸으며, 초함수이론이 편미분방 경식이론에 도입된 이후 가장 중요한 결과로 알려져 있다. 이 장의 이론은 함수해석학적인 방법을 토대로 하는 것이 특색이다. l 국소볼록공간의 스펙 트럼 E 를 복소수체 C 위의 벡터공간이라고 하자. E 에는 가법 ExE_-+E (x,y) 一 x+ y
와 복소수 스 칼 라곱 CxE ―― ➔ E (a, x) ―--- ➔ ax 가 정의되어 있다. 지금 복소수체 C 에는 흔 히 쓰이는 위상, 곧, 거리 함 수 d(a,f3 )= la- /3 1 로 정의된 위상이 주어져 있다고 할 메, E 에 어 떤 위상 7\ 가 정의되어 있어 벡터공간 E 에서 정 의된 위의 두 연산이 7\ 에 관해서 연속이면, 이러한 위상 夕 를 갖 춘 벡 터공간 E 를 위상선형공간(li near top ol og ica l spa c e) 이 라고 한다. 위상선형공간 E 에서의 위상을 정 의하려연 E의 덧셉 에 관한 항등 윈 OEE 의 근방계 (sy st e m of neig h borhood) 을 밝 히 면 충 분하다. 이 때, E의 임의의 원소 .r 에 대한 근방계는 0 의 근 방 계를 평 행이동하 여 얻어진다. 0 을 포함하는 E 의 열린부분집합의 집합 %가 있어 O 의 임의의 근방이 %의 원소를 적 어도 하나 포함할 때, ％ 를 0 의 근방계의 기저 (base of the neig h borhood sys t e m ) 라고 한다 . 0 의 근방계 는 0 의 근방계의 기저에 의해서 유일하게 결정된다. 이때, E 의 부분집합 G 가 열린집합일 필요충분조건은 G 에 속하는 임의의 원소 x 에 대해서 忽의 원소 U 가 존재하여 x+ U= {yE Ely- xEU} cG 일 것이다. 이제 U 를 E 의 부분집합이라고 하자. 임의의 x, y EU 와 임의의 실 수 t (O~ t ~l) 에 대해서 tx + (1-t) yE U 일 때 U 를 블록하다 (convex) 고 한다. 또, 임의의 xEU 와 임의의 복소수 c(le|~1) 에 대해서 cxEU 일 때 U 는 균형을 이루었다 (balanced) 고 한다. 임의의 xEE 에 대해서 실수 t(t )O) 가 존재해서
x 든t U= {ty l y드 U} 일 때 U 는 흡입 적 (absobbin g ) 이 라고 한다. 위상선형공간 E 가 볼록하고 균형을 이루었으며 흡입적인 0 의 근 방계의 기저를 가질 때, E 를 국소로 볼록(l ocall y convex) 한 공간이 라고한다. 국소로 볼록한 위상선형공간의 위상을 구성하는 한 가지 중요한 방 법을 알아보자. E 물 선형공간이라고 할 때, 함수 p : E-R 이 (i) p (ax) = l a l p (x) (단, aEC, xEE) (ii) p( x+y ) ~p(x ) +p(y) (단, X, yE E) 를 만족시키면, P 를 E 위에서 정의된 반노음 (sem i -norm) 이라고 한다. 위의 정의로부터 p (O)=0 이고 O~p ( x) +p( -x) =2 p( x) 이므로 xEE 에 대해서 p (x)~o 의 관계가 항상 성립한다. 이제 E 위에서 정의된 반노음으로 이루어진 어떤 집합 뽀물 생각 하자. 임의의 xEE 에 대해서 p드#가 존재하여 p (x):.\=0 일 때. 뽀는 E 울 분리 한다 (sep ar ate ) 고 한다. E 룹 분리하는 반노음의 집합 伊에 대해서 {xlp (x )
이제 E 와 F 를 두 벡터공간이라 하고 u:E-F 를 선형사상이라고 하자. 이메, 우리는 다음과 같은 가환 다이어그램
E u- I .. u ,J F
을 생각할 수 있다. 여기서 j는 I.u 에서 F 안으로의 자연스런 매장사상이고 ¢는 E 에 서 상공간 E/ Ke r u 위 로의 표준적 인 전사사상이 다. 사상 안 는 u= j앤 의 관계에 의해서 유일하게 정의되는 사상이며, 사상 a 는 위의 다이 어그램이 가환이 되도록 유일하게 정의되는 사상이다. 다이어그램에 서 안는 전사사상이고 a 는 단사사상이면서 동시에 전사사상인 전단사 사상이다. E 와 F 가 국소로 볼록한 우]상선형공간일 때에는 E/Keru 에는 상
위 상 (qu oti en t top ol og y) 을 줄 수 있 다. 이 때 E/Ker u 의 부분 집 합 U 는 E 의 열린집합의 ¢에 의한 상일 때 또 그때에만 E/Keru 에서 열린집합이다. I .. u 에는 F 에서 유도된 상대위상을 줄 수 있다. 아와 감이 하면 u : E-F 가 연속일 필요충분조건은 ti 또는 안 가 연속일 때임을 쉽게 알 수 있다. 이제 앞으로 우리가 계속 사용하게 될 몇 가지 용어를 정의하자. 먼저 tt는 연속사상이라고 가정한다. 이때, u 가 준동형사상 (hom o morph is m ) 이 라 함은 U 가 열 린 사상 (op e n map ping ) , 곧 열 린 집 합을 열린집합으로 옮기는 사상임을 뜻한다. 이것은 ti의 역사상이 연속임 과 같은 뜻 을 갖는다. 또, U 가 준동형 사상일 때 , U 가 단사사상이 면 U 를 모노모피즘 (mono-morph is m ), u 가 전사사상이 연 U 를 에피모피즘 (epi mo rp h i sm) 이 라 하 고 a 가 전단사사상이 연 동형사상(i somor ph i sm) 이 라고 한다. 이들 준동형사상, 모노모피즘, 에피모피즘, 동형사상은 각각 위상 적인 뜻으로 사용한다. 따라서 대수학에서 이들 개념이 뜻하는 바와 는 달리 위상적 구조까지 보존할 것을 요구하고 있음에 유의하자. 앞으로 제 3 장에서 E 와 F 는 항상 복소수체 위에서 정의된 국소불 록 하우스도르프 (Hausdorff) 공간을 나타낸다. 정의 1.1 E 위에서 정의된 모든 연속반노음의 집합을 E의 스펙트럼 (s p ec t rum) 이 라 하고 이 집 합을 Spe c E 로 나타낸다. 정의 1. 2 Sp e c E 의 부분집 합 2 가 E 에 서 연속반노음의 기저 (ba sis ) 라 함은 임의의 q ES p ecE 에 대해서 PE~ 와 실수 C>O 가 존재하여 q ~Cp 를 만족시킴을 뜻한다. E 위에서 항등적으로 영인 함수는 E 위의 연속반노음이다. 일반으로 E 위에서 정의된 모든 연속선행범함수가 이루는 E 의 쌍 대공전을 E 이 라고 하면, x'EE' 일 때 (1.1 ) 1 리 (x)=|
(1. 2) p~q ~ p( x) ~q( x) (단, xEE) 와 같이 정 의 함으로써 준순서 (pa rtia l order) 를 E 에 도입 할 수 있 다. 또, p, qE Sp ec E 이 면 sup (p, q) ESp ec E 이 다. E 의 각 노음 P 에 대해서 (1. 3) Up = {xEElp( x ) <1} 을 열린 단위준구 (o pen unit semi -b all) 라고 하고 (1. 4) VP= {.xEE l p (x) ~ 1} 울 닫힌 단위준구 (closed unit semi -b all) 이 라고 한다. 반노음 P 에 대해서 p가 연속일 때 또 그 때에만 U p는 원점의 열 린근방을 이룬다. 이 경우 up는 배털을 이룬다. 역으로, E 에 배럴 T 가 주어지면, 이 T에 대응하여 연속반노음 (1.5 ) pr( x)=in f {a Ia>0, xEaT} 를 정의해 줄 수 있다. PT 를 배럴 T 가 정의하는 민코우스키법함수 (M ink owski fun cti on al) 또는 T 의 게이지 (ga ug e ) 라고 한다. PT 의 닫 힌 단위준구는 T 이다. 연속반노음에 대해서는 한-바나하정 리 (Hahn Banach t heorem) 에 유사한 다음 정리가 성립한다. 정리 1.1 V 를 E의 부분공간, P 를 E 위의 연속반노음이라 하고. q몰 P 보다 크지 않은 V 위의 연속반노음이라고 하자. 그러면 q는 P 보다 크지 않은 E의 연속반노음 5 로 확장된다. 증명 Up (Up cE) 와 Dq (Uq cv) 를 각각 P 와 q의 E 및 V 에서의 닫힌 단위준구라고 하고, T 를 UP 와 U q를 포함하는 가장 작은 E 의 배럴이라고 하자. 지금 5 를 q( x) =pr (x) =lnf { a l a ) O, x 든 a T} 로 정의하면 T=::,Up , rn V=Uq 이 므로 구하는 연속반노음이 된다. (증명 끝)
정리 1.2 A 를 균형을 이룬 (balanced) E의 닫힌부분집합이라 하고 K 를 A 와 공통부분을 갖지 않는 E 의 긴밀부분집합이라고 하면, E 위에는 xEA 이 면, p(x ) ~1 xEA 이 면, p(x ) )1 을 만족시키는 연속반노음 P 가 존재한다. 증명 E 에서 균형을 이문 원점의 열린근방 U 를 잡아 A+U={x+y lx EA, y E 마 와 K+U={x+y lx EK, yE U} 가 공통부분을 갖지 않도록 할 수 있다. 이때, K+U 는 열린집합이므로 刀丁汀와 만나지 않는다. 刀工 T 는· U 를 포함하므로 원점 0 의 근방이고 또 배럴을 이룬다. 따라서 배럴 万工 U 의 게이지 p右 (x) = lnf {a l a ) O, xEa (A+U) } 는 구하는 연 속반노음이 다. （증명 끝) 정리 1.3 다음 성질들은 서로 대등하다. (i) E 는 배럴공간이다. 곧, E 의 원점의 근방계는 배럴로 이루어진 기저를 갖는다. (ii) Sp ec E 의 임 의 의 부분집 합 S 에 대 해 서 함수 q= sup {P IP 든 S} 가 E의 각 점에서 유한이면, 곧, 모든 xEE 에 대해서 (1.6 ) q(x )=sup {p(x ) IPES}
T(A) = n {Vp l PES} =互 (단. q= sup {pI PES}) 울 대응시키고, 균형을 이룬 닫힌집합 A 에는 A 를 포함하는 닫힌 단 위준구를 갖는 연속반노음의 집합 S(A) 를 대응시키자. 정리 1. 2 에 의해서 A=T(S(A)) 가 성립한다. 더우기 이때 q =su p {PIPES} 가 E 의 각 점에서 유한하다는 것과 A 가 흡입적 (absorb i n g)이라는 것 (따라서 A 가 배 럴 을 이문다는 것)은 같은 뜻을 갖는다. 또, q =su p{p I p ES} 가 연속이라는 것과 A 가 원점 0 의 근방이라 는 것은 같은 뜻을 갖는다. 이 두 사실로부터 정리가 쉽게 이끌어진다. （증명 끝) 지금 P 를 S p ecE 의 원소라고 하자. 반노음 P 만에 의해서 정의된 위상을 갖는 공간 E 를 E(p) 로 나타내 고. E(p) 로부터 유도된 노음공간을 E,=Ec,>/Ker p 로, E, 를 완비 (comp le te ) 시 킨 바나하공간을 E, 로 나타내자. 또, E, 의 노음을 i로 나타내자. 이때 E 로부터 E p에는 다음과 같은 연속사상의 열을 합성하여 얻 는 표준적인 사상 안가 존재한다. (1. 7) E 一I E,,> ＿ ➔q E, _J ➔ E^ , (1. 8) ¢,=poq oi 여 기 서 i 는 항등사상이 고 q 는 상공간에 로의 표준적 인 사상 (qu oti en t map ping) 이 며 , j 는 완비 공간에 로의 표준적 인 단사사상이 다.
일반으로 ¢p는 준동형사상이 아니며, 단사도, 전사도 아니다. q를 E 위의 다른 연속반노음으로 (1. 9) q~p 를 만족하는 것이라고 하자• 이때, E(p) 에서 Ecq ) 로의 항등사상은 연속이 며. (1. 10) Kerp cK erq 의 관계가 성립한다. 이 항동사상을 상공간과 그의 완비공간에까지 확장하여 노음이 1 보다 작은 사상 (1. 11) <1>: : E, — ➔ E q 을 얻는다. 이와 같은 사상에 대해서는 다음 관계가 성립한다. 곧, IJ~ r~p 일 대 (1. 12) ¢~=¢;。¢? (1. 13)
를 만족시킬 때, 이 단편 s 는 정칙 (re g ular) 아 라고 한다. S 가 S p ecE 의 부분집합일 때, S 위의 정칙단편 전체의 집합을 I' (S) 로 나타내고 엄밀한 표기가 필요할 때에는I' (S,E) 로 나타낸다. E p의 선형구조를 사용하여 I' (S) 에는 선형공간의 구조 를 줄 수 있 다. 또, S 위 에 서 의 점 상위 상 (top o log y of po in t w ise converge n ce) 에 의해서 I' (S) 는 완비된 국소볼 록 하우스도르프공간 을 이룬다• 점상위 상이 갖추어진 I' (S) 는 사상 ¢; (단, q~p, p, qE S) 에 의한 바나하공간 E p의 사영국한I) ( p ro j ec ti ve li m it)과 일치한다. E 에 서 Ep 로 의 사상
x
증명 U 가 모노모피즘이면, F의 위상으로부터 유도된 상대위상윤 갖춘 tt (E) 와 E 는 위상동형이다. 그러므로 S p ec£ 에 속하는 입의의 연속반노음 p에 대해서 r : u(x) _냐 (x) 는 tt (E) 에 정의된 반노음으로 F 의 위상으로부터 유도된 u(E) 의 상 대위상에 관해서 연속이다. 이것은 F 위에 정의된 연속반노음 q가 존재하여 r (u (x) ) =P (x) ~q (tt (x) ) 가 모든 xEE 에 대해서 성립함을 뜻한다 . 그러므로 정리 1. 1 에 의해서 r 은 S p ecF 에 속하는 연속반노음 r 로 확장된다. 이때, E의 모든 원소 x 에 대해서 u*r (x) =r (u (x) ) =r (u (x) ) =P (x) 이므로 u*r=p 를 얻는다. 곧, a* 는 전사사상이다. 역으로, u* 가 전사사상이면, Sp ec£ 에 속하는 임의의 연속반노음 p에 대해서 S p ecF 에 속하는 연속반노음 q가 존재하여 u* q=p가 성 립한다. 곧, 임의의 xEE 에 대해서 p(x ) =q( u(x)) 인 qE Sp e c F 가 존재 한다. 이때, u(x)=O 이면, 임의의 p ES p ecE 에 대해서 p (x)=O 이므로 x=O 이고 U 는 단사사상이 된다. 한편, PES p ecE 일 때, p의 열린 단위준구 U, 의 u 에 의한 상 a(U,) 는 u(U,) =Uq n u(E) 를 만족시키므로 u(E) 에서 열린집합이다. 그러므로 U 는 모노모피즘 이다. (증명 끝)
위 의 정 리 로부터 정 리 1. 1 과 같은 뜻을 갖는 다음과 같은 따름정 리를 얻을 수 있다. 따름정리 E 뭉 F의 부분공간이라 하고 E 에 F 에서 유도된 상대우} 상을 갖추자. j : E-F 를 표준적 인 모노모피 즘이 라고 하면 j* : Sp ec F —-+ Sp ec £ 는 전사사상이다. 이재 다시 연속선형사상 u : E ― -+F 를 생각하자 . q ES p ecF 라고 하고 It 룹 Ec. •q ) 에 서 F(q) 로의 사상으로 보면 , U 는 등장사상 (iso me- t r y)이 다. 곧, q (u (x) ) = (u*q ) (x) 가 성 립 한다. 그러 므로 (1. 7) 에 서 와 같이 E<• •q ) 와 F(q) 의 상공간을 댁 하고 그것을 완비시키면, 우리는 등장사상 (1. 22) qU : Eu•q 一 F'q 웅 얻는다. 일 반으로 pE Sp ec E 가 u* q ~p 를 만족시 키 면 u 는 E(p) 로부터 F(q) ` 로의 연속선형사상이다. 아 U 를 앞에서와 같이 E( p)와 Fc q)의 상공간 및 완비공간에 이르도록 확장하면 그 노음이 1 보다 작은 연속선형사상 (1. 23) u~ : E^ , 一 F^ q 물 얻게 된다. 이때 (1. 24) q U= zt서 .q 이며, 독히, U 가 E 에서의 항등사상이면 (1. 25) p~q 일 때 u:=<1 >: 의 관계가 성립한다. 우리는 앞으로 위에서 정의한 여러가지 사상들을 체계적으로 다루 게 될 터인데 이러한 사상에 대해 다음 다이어그램이 가환임을 기억 해 두는 것이 편리하다.
E ¢. Ep ¢t Ep'
단, 위의 다이어그램에서 p, p'E Sp ec E, q, q'E Sp ec F 이고 P'~p . q'~q. u*q ~p. u*q '~ P' 이다. 정리 1. 6 E, F 가 국소볼록 하우스도르프공간이 고 u : E-F 가 연속선형사상일 때, 다음 성질들은 서로 같은 뜻을 갖는다. (i) u(E) 는 F 에서 조밀하다. (ii) u* : Sp e c F 一 S p ec £ 는 단사사상이 다. (iii) 임의의 q ES p ecF 에 대해서 등장사상 qU : Eu•q _ ➔ Fq 는 전사사상이다. 증명 (i) ==> (ii) S p ecF 에 속하는 임의의 p,q 에 대해서 u*p = u*q 라고 하자. 이때, P 와 q는 u(E) 에서 일치한다. 그런데 P 와 q는 연속반노음이며, u(E) 는 F 에서 조밀하므로 P 와 q는 F 에서 일치한다. 곧, P= q가 성립한다. (ii) ==> (i) u(E) 가 F 에서 조밀하지 않다고 가정하면, F/ u[E)는 {0} 과 같지 않은 하우스도르프 위상선형공간을 이룬다. 그러므로 이 위상선형공간에는 항동적으로 0 은 아닌 연속반노음 q 가 적어도 하나는 존재한다. 이제 元 :F ―나 7/ 詞
를 표준적인 에피모피즘이라고 하면, 군지는 u(E) 에서는 영의 값을 가지나 항동적으로 영은 아닌 F 위의 연속반노음이 된다. 그런 데 u* （군q ) =O 이 므로 u* 는 단사사상이 아니 다. 이것은 모순이므로 u(E) 는 F 에서 조밀해야 한다• (i)=~ (iii) 다음 다이어그램
E 一t/,u• 1 요.q
는 가환이므로 등장사상 qtt는 Eu• q의 부분공간 ¢••q (E) 를 F q의 부분 공간안 ¢q (u(E) ）위로 옮긴다. u(E) 는 F 에서 조일하고
2 전사사상정리 앞 절에서 약속한 것과 감이 E,F 를 두 국소볼록 하우스도르프 위 상선형공간이라 하고 (2. 1) u:E-F 를 연속선형사상이라고 하자. 이 전에서 우리는 tt가 어떤 조건 아래에서 전사사상이 되는가 하 는 문제물 다루기로 한다. 먼저 U 가 전사사상이라는 것보다는 더 강한 성질을 도입하겠는데. 이 성질은 E, F 가 후레쉬 1 공간일 때에는 tt가 전사라는 성질과 같은 뜻을 갖는다. 이제 S 를 S p ecE 의 부분집합이라고 하자. E 와 F 를 각각 위상선 형공간 E 와 F 에 대응하는 화이버공간이라 하고 S 위에서 정의된 E 의 단편 s 에 대해서 (tt*) -1(S) 위에서 정의되는 F 의 단편 (2. 2) (u*) -, (S) —-F^ q q 一 qu (s(u*q )) 을 us 라고 나타내 자. qU 의 정 의 는 (1. 22) 에 주어 져 있 다. 이 단편 US 를 단편 s 의 사상 u 에 의한 직상 (d i rec t i ma g e) 이 라고 한다. s 가 S 위에서 정의된 정칙단편이면, us 는 (u*)- i (S) 에서 정칙단편 이 된다. 특히 (2. 3) s-us 는 r(S, E) 에서 I'((u *)-1(5), F) 안으로의 연속선형사상이 된다. 또, s 가 E 의 원 소 x 에 의 하여 (1. 6) 식 을 따라 Sp e c E 에 정 의 된 정 칙 단 편 £ 을 S 에 국한시 킨 것 이 면 , us 는 F 의 원 소 u (x) 에 의 해 서 (1. 6) 식을 따라 정의된 Sp e cF 위의 정칙 단편 u/(/s`)` 를 (u*)-•(S) 에 국한시 킨 것이 된다. B 를 S p ec£ 의 부분집합이라 할 때, S p ecE 에 속하는 연속반노음 P 가 존재하여 B 의 모든 원소 q에 대해서
q~p 가 만족되 면 , B 는 유계 (bo unded) 라고 한다. 정의 2. 1 연 속선 형 사 상 u : E-F 가 준전사사상 (qu asi- s urje c tive ma ppi n g ) 이 라 함은 S p ecE 의 임의의 유계 부분집 합 B 와 임의의 yE F 에 대해서 B 위에서 정의된 E 의 정축단편 s 가 존재하여 (2. 4) us=y l (••)·1(8) 곧, (2. 5) 9u (s (u* q ) ) =¢9 (y) (단, u* q E B) 믈 만 족함 을 뜻한다. 정리 2.1 연속선형사상 u : E ― -F 가 전사이면, u 는 준전사이다. 증명 y풀 F 의 임의의 원소라고 하면, U 가 전사아므로 xEE 가 존재해서 u(x)=y 가 성립한다. 이때, S p ec£ 의 임의의 유계집합 B에 대해서 u (x IB ) =y I (u•) 기 (B) 가 성럽하므로 1 t는 준전사이다. (증명 끝) 정리 2.2 연속선형사상 u : E ― -F 가 준전사사상이면, u(E) 는 F 에서 조밀하다. 증명 q 몰 Sp e c F 의 원 소라고 하고 p= u* q 로 두자. y EF 라고 하면 집합 {p}는 S p ec£ 에서 유계이므로 U 가 준전사사 상이라는 가정으로부터 {p} 위의 정칙단편, 곧, E p의 원소 ip가 존 재해서 u 에 의한 이 단편의 직상은 }를 (zt *)-1({P} ）에 국한한 것과 같다. 따라서, (2. 5) 에 의해 서 (2. 6) qu ( ·합 =Cfq (y) 가 성립한다.
이것은 (2. 7) 9u(E^, ):::::> F9 임을 보인다. 그런데 F q는 ftq에서 조밀하고 q U 는 등장사상이므로 q U 는 전사사 상이다. 따라서 정리 1. 6 에 의해서 u(E) 는 F 에서 조밀하다. （증명 끝) 다음 도옹정리는 바나하에 의해서 증명된 것으로 이 절의 주요정리 를 이끌어내는 데 쓰인다. 도움정리 2.3
8 과 忽에서의 거리는 d(x,y ) 동으로 나타낸다. 가정으로부터 B (f(xa , 1/ (a 。) ) C f(B (Xo, a 。) ) 이므로 y 드 f(B (Xo, a 。) ) 이다. 따라서 y 를 중심으로 하고 1/ (aI) 을 반경으로 갖는 닫힌 구 안 에 는 f(B (xa, a 。) ) 의 원 /(x!) 이 존재 한다. 곧, X1 드 8 이 존재 해 서 d (xo, 지 ~a 。, d (f(지 , y) 독기 (a1) 이 성립한다.
f ..
같은 방법으로 B (f(xi ) , 7J (a1) ) c ~) 이므로 따드 8이 존재해서 d (X1 , X2) 독 aJ, d (f(X2 ) , y) ~ 71 (a2) 가 성립한다. 이와 같은 과정을 반복하면 8 에 속하는 점열 {x .. ｝을 잡아 d (xn-J, x) ~a. . -1, d (f(xn ) , y) 독기 (a,.) 이 성립하도록 할 수 있다. 이것은 정열 {Xn} 이 코시점열임을 보인다. g은 완비되어 있으므로
{x .. ｝은 닫힌 구 B(xo, E.'）에 속하는 어떤 원소 x 에 수령한다. 그런데 f는 연속함수이므로 n 이 커짐에 따라 /(x ）은 /(x) 에 수령 한다. 한편, 기 (a) ― -o 이므로 /(x) 은 y에도 수렴한다. 따라서 y=f(x) 이고 y는 B (f (x), 기(희)의 임의의 원소이므로 B (f(xo ) , 기 @) cf (B (xo, E.1 ) ) 의 관계가 성립한다. （증명 끝) 정리 2.4 E 와 F 를 국소볼록 하우스도르프공간으로 설정하고 u:E 一 F 를 연속선형사상이라고 한다면, 아래의 성질 사이에는 (i) <== (ii) <==> (iii) 의 관계가 성립한다. 특히, F 가 배럴공간이면, 아태의 세 성질은 같은 뜻을 갖는다• (i) u 는 준전사사상이다. (ii) Sp ec E 의 유계 부분집 합의 u* 에 의 한 원 상 (pre im ag e ) 은 S p ecF 의 유계 부분집합이다. (iii) E의 원점의 임의의 근방 U에 대해서 硏 u y는 F 의 원점의 근방이다. 증명 먼저 성질 (ii)를 그와 같은 뜻을 갖는 성질로 바꾸어 보자. 성 질 (ii) 는 다음과 같은 뜻을 갖는다. 곧, 〈임 의 의 p E Sp ec E 에 대 해 서 q E Sp ec F 가 존재 하여 r E Sp ec F 가 u*r~ p이면 r~q 이 성립한다.〉 지금 U 와 V 를 E 와 F 에서의 열린 단위준구를 나타내는 것이라고 하면 위의 성질은 다음과 같이 쑬 수 있다. (ii) ' 〈임 의 의 p E Sp ec E 에 대 해 서 q E Sp ec F 인 q 가 존재 하여 rES p ecF 가 u간 iJ c V, 이면 Vq eV,
이 성립한다.〉 실제로 (ii)’ 에서 u * r~ p이권, u*r (x) ~P (x) 곧, r (u (x) ) ~ p (x) 이다. 따라서, p (x)~1 이면, r(u(x))~1 이므로 u(Up ) C V, 이고 Vr 가 닫혀 있으므로 tt( Up ) C Vr 이 성립한다. 마찬가지로 교 ~cV. 이면, u*r~ p임을 밝힐 수있다. 이제 성질 (ii)가 성립한다고 하자. q= sup {r l u*r~p } 라고 두면, {rlu*r~ p}는 S p ecF 에서 유계이므로 q는 연속반노음이 되어 S p ecF 에 속한다. 이때, q의 정의로부터 n {VJ u*r 학} =vq 이 성립한다. 또, 앞에서 밝힌 것처럼 Vq = n {V, l u*r 학} 므 詞 가 성립한다• 여기서 y~~인 y EF 를 생각하면, 정리 1. 2 로부터 값에서는蓬 1 q(y) )1 인 S p ecF 의 원소 5 가 존재한다. 이것은 u* q~p이지만 Y~ v~ 임을 보인다. 곧, y~ n
이다. 따라서 一V 혼 u( U= p ) 가 성립한다. 그러므로 _ _ Vq = u(Up ) 이다 . 위의 사실을 정 리하면 (ii)는 (ii)’' 〈 임의의 p E S p ecE 에 대해서 q E Sp ec F 가 존재하여 訂 =v q이다.〉 를 보이고 있다. 역으로 (ii)” 이 만족되면 분명히 (ii)’ 이 성립하므로 (ii)가 만족 된다. 따라서 (ii) 와 (ii) ” 은 같은 뜻을 갖는다. 이 와 같이 (ii) 를 그와 같은 뜻을 갖는 (ii) '’ 으로 바꾸면 (iii) 에 서 의 U 는 연속반노음의 닫힌 단위준구만을 생각해도 좋으므로 (ii)’’ 과 (iii) 이 동치 임 은 분명 하다. 이 제 (ii) ” 이 (i) 을 뜻함을 보이 자. p E Sp ec E 를 덱 하고 (ii) ” 을 가정하면, q ES p ecF 가 촌재하여 u(U p )=V q이다. 그러므로 U 는 Ec p)의 닫힌 단위준구를 F( q)의 닫힌 단위준구의 조밀한 부분집합 위 로 옮긴다 . 따라서 E(p) 및 F(q) 의 상공간과 그것의 완비 공간을 택 하면 (1. 23) 에서 정의된 u: : E p -Pq 는 E p의 닫힌 단위구 를 pq의 닫힌 단위구 의 조밀한 부분집합 위로 옮긴다. 여기서 도움정리 2.3 을 uE 에 적용 하면, u: 에 의한 E, 의 닫힌 단위구의 상은 F q의 원점의 근방(실제 로는 pq의 열린 단위구)을포함한다. 이것은 따가 전사사상임을 보이 고있다. 특히, y EF 일 때, f EE, 가 존재해서 따(f)=
그러므로 P ' ES p ecF 이고 P'~ p일 때, s (p') =¢:, (f) 로 정의되는 정칙단편 s 는 P 보다 크지 않은 S p ec£ 의 임의의 부분 집홉 B 에 대해서 us= 針 (u•)-1(8) 를 만족시킨다. 이것은 U 가 준전사사상임을 보이고 있다. 마지막으로 F 가 배 럴공간이면 (i)은 (ii)를 뜻함울 보이자. pE Sp ec E 라고 하고 B 를 tt*r ~ p 인 Sp ec F 의 모든 원 소 r 의 집 합이라고 하자. 임 의 의 yE F 에 대 해 서 가정 (i) 로부터 {p} U {u* (B) } 위 의 정 칙 단 편 s 가 존재하여 us=J ls 룹 만족시킨다. 그러므로, rEB이면, r (y) =u*r (s (u*r) ) ~P (s (p) ) 이 성립한다. 따라서 sup {r (y) J rEB} 는 임의의 y EF 에 대해서 유한하다. 그런데 F 는 배럴공간이므로 정 리 1. 3 에 의해서 q= sup { rlrEB} 는 연속반노옹이고, 이때, u*r~ p이면 r~q 가 성립된다. 곧, u * 에 의한 S p ecE 의 유계 부분집합 B 의 원상온 S p ecF 에서 유계이다. （증명 끝) 정리 2.4 로부터 다음과 같은 전사사상정리를 얻는다.
정리 2.5( 전사사상정리) E 와 F 를 후례수~ l 공간이라 하고 U 를 E 에서 F 로의 연속선형사상이라고 하자. 이때, 다음 성질은 같은 뜻을 갖는다. (i) u 는 준전사사상이 다. (ii) S p ecE 의 임의의 유계 부분집 합의 lt* 에 의한 원상은 Sp e cF 의 유계 부분집합이다. (iii) u 는 전 사사상이 다. (iv) u 는 에피모피즘이다. 증명 후레 쉬 1 공간은 배 럴공간이 므로 정 리 2. 4 로부터 (i) 과 (ii) 는 갇 은 뜻을 갖는다. 또, 정리 2.4 의 성질 (iii)은 도움정리 2.3 을 E 와 F 에 적용하여 (i v) 와 같은 성질임을 알 수 있다. 따라서 정 리 2. 4 로부터 (i) , (ii) , (iv) 는 같은 뜻 을 갖는다. 마지 막으로 (iii) 과 (iv ) 는 바나하의 열 린 사 상정 리 (op e n map ping the orem) 에 의 해 서 같은 뜻을 갖는다• (증명 끝) 앞으로 우리는 전사사상정리를 (i ) =~(iii)의 방향으로만 사용하겠 다. 이제 준전사사상에 관한 두 가지 판별법을 이끌어내어 보자. 우선 정리 2.4 로부터 다음을 얻는다. 정리 2.6( 판별법 I) Sp ecE 의 임의의 유계집 합의 硏 에 의한 원상이 S p ecF 의 유계집합이면 U 는 준전사사상이다. 따름정리 E 와 F 가 후레쉬 1 공간이 연, 정 리 2. 5 에 주어진 각각의 성 질은 U 가 전사사상이기 위한 필요충분조건이다. 앞으로 우리는 전사사상정리 2 . 5 를 편미분방정식의 해의 존재뭉 판 벌하는 데 사용하려고 하는데 이물 위해서는 판별법 l 을 둘로 나누 어 생각하는 것이 도움이 된다. 이러한 필요에 따라 편미분방정식론에서 사용되는 다음 개념을 정 의하자. 정의 2. 2 국소볼록 하우스도르프공간의 순서 쌍 (E, F) 가 u -볼 록 (u-convex) 하다 함은 임 의 의 pE Sp ec E 에 대 해 서 qE Sp ec F 가 존 재
하여 임의의 rES p ecF 에 대해서 (2. 10) u*r~p 이 면 Ker qc Ker r 의 관계가 성립함을 뜻한다. 정리 2.7( 판별법II) 만일 (i) 순서 쌍 (E, F) 가 1 t-볼록하고, (ii) 임의의 q ES p ecF 와 임의의 y EF 에 대해서 xEE 가 존재하여 (2. 11) u (x) -yE Ker q 가 성립되면, tt는 전사사상이다. 증명 p ES p ecF 이고 y EF 라고 하자. 조건 (i)에 의해서 q ES p ecF 가 존재해서 rES p ecF 이고 u*r ~ p 이 면 Ker qc Ker r 의 관계가 성립한다. 또, 이때 조건 (ii)에 의해서 y와 P 에만 의존하는 xEE 가 존재해서 u*r ~ p 이 면 u (x) -yE Ker r 이 성립한다. 이와 같은 r 에 대해서 cp, (u (x) ) =cp, (y) 곧, ,u (¢u•, (x) ) =
증명 ll 가 전사사상이연 분명히 (ii)가 만족된다. 또, tt가 전사사상이면, 전사사상정리에 의해서 S p ecE 의 유계 부 분침합의 a* 에 의한 원상은 S p ecF 에서 유계이다. 따라서 u * r~ p이면 S p ecF 에 속하는 원소 q가 존재해서 r~ q가 성립된다. 이 q에 대해서 Ker q cKer1· 이 되므로 (i)이 만족된다. 역으로, (i)과 (ii)가 동시에 만족되면, U 는 준전사사상이고 E 와 F 가 후레쉬 1 공간이므로 U 는 전사사상이다. （증명 끝) 판별법 Il 는 많은 경우에 아주 유용하지만, F 가 적어도 하나의 연 속노음을 가질 경우에는 (i)은 저질로 만족되고 (ii)는 ll 가 바로 전사 사상임을 뜻하므로 특별한 의미가 없다. 지금까지는 U 가 전사사상일 조건을 Sp e cE 또는 S p ecF 에 있어서 의 쌍대조건으로 구하였으나 이제는 연속선형범함수가 이루는 E 와 F 의 쌍대공간 E' 및 F' 에 있어서의 쌍대조건으로 구해 보자. 이를 위해서 우선 다음 도움정리를 밝히기로 하자. 도움정리 2. 9 S p ecE 에 속하는 임의의 반노음 P 는 E 의 원소 x' 이 정의하는 P 보다 크지 않은 반노음 lx'I 의 상한과 같다. 증명 한-바나하정리에 의해서 임의의 xEE 에 대해서 x'EE' 이 존 재하여 |
(2. 13) Iu' (y') I ~P 이 면 |y' / ~q 가 성립한 다. 또, 이 두 성 질 중 어느 한쪽이 성립하면, U 는 준전사사상이다. 위의 정리 2.10 은 도움정리 2.9 와 판별법 I 로부터 얻어진다. 정리 2.11 ( 판별법 II ') 다음 성 질 은 서로 같 은 뜻을 갖는다. (i) 순서 쌍 (E , F) 가 14- 볼 록 하다. (ii) 입 의의 p드 S p ec£ 에 대해서 q ES p ecF 가 존재해서 모든 y'E F 에 대하여 (2. 14) I u' (y') I ~P 이 연 Ker qc Ker y' 이 성립한다. 위의 정리도 도움정리 2.9 와 판별법 II 로부터 얻어진다. 1 3 C' 함수공간에서의 대 역해의 존재조건 O 를 Rn 의 열 린부분집 합이 라 하고 CC0(Q ) =8(Q) 를 O 에 서 무한하 미분가능한 복소수값을 갖는 함수 전체가 이루는 공간이라고 하자. 이 함수공간에 서의 위 상은 반노음 (3. 1) 2) ¢ 드 COO (Q) 一 p,,n ' (¢) =C~kf a, 1( 훑)i¢ l2dx) 令 으로부터 유도된 국소볼록 위상으로 정의된다. 단, 여기서 Q’은 Q 에서 상대 적 으로 긴밀한 임의의 부분집합(곧, O ' ccn) 이고 k 는 음 이 아닌 정수이다.
2) 이 반노움은 제 1 참 2 절에서 C00(n) 에 정의한 반노음과 일치한다.
제 1 장 2 접에서 알아본 것과 같이 Q’은 (3. 2) O= U” 요, O;CC0;+1 •=I 이 되는 가부번개의 열린부분집합 !l;(i=l ,2, ••• ）에 국한하여 생각해 도 C'( !l)의 위상을 변화시키지 않으므로, 가부번개의 반노음 {p •. n.} 에 의해서 정의된 위상을 갖는 C'( !l)는 거리화가 가능하며 실제로.
후레쉬 1 공간을 이룬다. C o:, (O) 의 쌍대공간 (dual s p ace) 은 O 에서 긴밀한 대를 갖는 모든 초함수가 이루는 공간 cf '(0) 이다. 이제 .0.'C C.0 . 와 P=P•,O’ 가 주어 졌을 때, (3. 3) E=C(.O ) 라두고
(3. 4) Ecp> =C00 (.0) /Ker P 라 하자. 또, E(p) 를 P 로부터 유도된 노음에 관해 서 완비 시 킨 공간을 E p로 나타내자. Q’이 충분히 원활한 경계를 가지고 있으면, 위의 완비공간 E p는 쏘볼례 브공간 (Sobolev spa c e) (3. 5) Hk (O') = {z 로’ (.0.’) |（ 훑)jt lEL2 @) , 0 족 | j 1리 와 일치한다. Hk( 요'）의 위상은 노음 p.,n • 를 Hk(O') 전체에 확장한 것에 의해서 정의되며, H•(O’) 은 힐버트공간의 구조를 갖는다. H•(O') 에서의 C::'(O') 의 폐포 (closure) 를 H~ （요')로 나타내고, H~(O') 의 쌍대공간을 H-k( 요')로 나타낸다. C;;'(O' ）은 H~(O') 에서 조밀하므로 H-k(O') 은 @'(.0.’)에 포함된다. 한편 H~ (O') 은 힐 버 트공간이 므로 H~ （요'） 으로부터 H_k (O') 으 로의 표준적 인 전 단사사상이 존재 한다. 또, 이 사상을 써 서 H-k (O') 에 는 혈버트공간의 구조를 줄 수 있다. 이때, C;;'(O' ）은 H-k(O' ）에 포함 되며 조밀한 부분공간을 이룬다. H~( O')에서 H 자 0' ）로의 표준적인 전단사사상온 (3. 6) uEH 岡) 一 a=I J곱• (-.1) Iii(훑 )5 로 주어진다. 실제로 i가 u 에 대응된다면, vEC~(n’) 일 때, (3.7 ) (u , v()£ it(}'H(~!(1' !）1와' )C의~ (내n'적 ）)와 의 쌍대관계)이 성립해야 한다. 그런데, (u, v) = 11 곱 .Ia, 〔(훑)넓〕 〔끊\] dx 겁Jn , {(-1)I ii峰 )u}vdx 이므로 (3. 8) 도蓋 k (-1) Iii (훑) i 이다. 위의 a 의 표현에서 E 는 L2( Q’)의 원소이므로 H- I,(Q’)의 원소는 E (요/) 에 속하는 함수들의 k 또는 그 이 하의 도함수들의 유한개 의 합 이라고할수있다. 이 절에서 다루고 있는 열린집합 Q 1 은 R,. 의 열린부분집합 O 의 상 대적으로 긴밀한 부분집합이지만, 지금까지 다룬 쏘볼례브공간에 관 한 여러가지 정의와 성질은 G=R,. 일 때도 변함없아 성립한다. 이때, (3. 9) H• (R) =H', H-• (R) =H-• 와 같이 간단히 나타내고 (3. 10) Pt, R •(tt) =llull, 로 나타내 며 , H-1r 의 노음을 흔히 |I 11-,, 로 나타낸다. 독히, O'=R 일 때 H~ (R) = Hk (R) =Ht, 의 관계가 성립한다. 이 사실은 L2(R ）에서 C~(R ）이 조밀함을 가 하학적으로 생각해 보면 쉽게 이해할 수 있다. 이제 이 절의 처음에 가정한 것과 같이 O 를 R” 의 열린부분집합, Q’을 요에서 상대적으로 긴밀한 열린부분집합이라고 하자. V 드 8'(O) 라고 하고 P y를 앞에서 정의한 것과 같은 C'(O) 에서와 연속반노음이라고 할 때, |vl
라고 하면, 임의의 ¢ECr(O \ fi')에 대해서 PA,o•(¢)=0 이므로
=[溫 k J0 ' \（훑)나이t 족 :L.I( 훑)나미+ =11¢llt 따라서 vE H-k 이 고 독히 I|v1|-k 족 1 임 을 알 수 있다. 이상의 과정을 역으로 생각하면, v E:cff '(0) 이고 supp v cfi ' VEHJ IIv|l-k 족 1 이연 lvl
(3. 18) P=P(x, 훑) : Cco@) 一 C (O) 에 적용하여 보자. 정리 3.1(Harvey )3 > P(x, 감\)를 R 의 열린집합 O 에서 정의된 cco 계수를 갖는 선형편미분작용소라고 하자. 그러면 다음 성질은 서 로 같은 뜻을 갖는다• (i) 0 의 임의의 긴밀한 부분집합 K 와 임의의 정수 /l~O 에 대해서 O 의 긴밀한 부분집합 K' 과 정수 k'~o 및 상수 C>0 이 존재하 여 임의의 1 t드 8'( Q)에 대해서 (3. 19) sup p P'ucK, P'uEH-,, 임은 (3. 20) sup p ucK', ttE H-,,,, llull-1i1
같은 뜻을 갖는다. 〈임의의 O 의 긴밀부분집합 K 와 정수 k ；；；；。에 대해서 O 의 긴밀 부분집합 K' 와 정수 k';;;; O 및 상수 C>0 이 존재하여 임의의 uEif ' (.0.) 에 대 해 서 sup pP 'ucK, ptuE H-k, IIPtu ll-w~l 이면, sup p ucK', uEH-,,,, llull-v ~c 가 성립한다. 〉 또, 이 조건은 |IP ' ull-k ~l 인 조건을 재의하면 다음과 같이 쓸 수 있다. 〈임의의 O 의 긴밀부분집합 K 와 정수 k ；；；；。에 대해서 Q의 긴밀 부분집합 K', 정수 k'; ;;; 0 , 상수 C>0 이 존재하여 임의의 uEc f' (.0.)에 대해 서 sup p P'ucK, P'uE 硏 이면, sup p ucK', uEH-1r, |Iu1|- K 독 CI|PI1 t||_& 가 성립한다•〉 따라서 정 리 3.1 이 증 명된다. （증명 끝) 다음은 정리 2 . 11 의 판별법 II' 을 동해서 전사사상정리를 (3.18 ) 의 P=P(x, 훑)에 적 용하여 보자• 판별법 Il’ 의 조건 (i )에 나오는 〈위 상공간 E, F 의 순서 쌍 (E, F) 의 tt-볼록함〉 이라는 조건은 P의 경우 〈열린집합 Q의 P- 볼록함〉 이라는 조건으로 바꿀 수 있다. 이 새로운 개념을 아래에서 정의하자. 정의 3.1 P=P(x, 훑)가 선 형 편미분작용소일 때, R” 의 열린부 분집 합 0 가 P- 볼록하다 (?-convex) 함은
〈임의의 O의 긴밀부분집 합 K 와 임의의 징수 /,60 에 대해서 O 의 긴밀부분집합 K' 이 존재하여 임의의 1 t드 &'(R ）에 대해서 sup p P'ucK, P111EH- 占 이면 sup pu cK' 이 성립함.〉 을뜻한다. 정리 3.2 R 의 열린부분집합 Q가 P(x, 궁:)-볼록할 필요충분조 건은 순서쌍 (C(O),C00(0)) 가 P(x, ~\)-볼목할 것이다. 증명 C(O) 에서의 연속반노음의 기저는 {Pk,n•lk60, O'ccn} 으 로 주어지므로 정 리 2.11 에 의해서 순서쌍 (C00(0), C(0)) 가 P- 볼복 함은 다음과 같은 뜻을 갖는다. 곧, 〈임의의 Q에서 상대적으로 긴밀한 열린부분집합 요'과 임의의 k60 에 대해서 Q의 상대적으로 긴밀한 부분집합 Q'’과 정수 k'60 이 존재 하여 모든 ttE g ’ (Q) 에 대 해 서 (3. 21) IP'ul
정리 3. 3 P(x, 玉) 를 R 의 열 린부분집 합 Q 에 서 정 의 된 COO 함 수를 계수로 갖는 편미분작용소라고 하자. 이때, (i) .Q 가 P- 볼록하고, (ii) 임의의 GCCO 와 임의의 g ecOO( Q)에 대해서 f드 COO( Q)가 존재해서 Pf= g 가 G 에서 성립함은 P 가 전사사상, 곧 P(:c, 훑 )COO (Q) =COO (Q) 일 필요충분조건이다. 증명 주어진 조건 (ii)는 〈 임의의 연속반노음 pk.g 과 g eCOO(x) 에 대해서 f드 COO( Q)가 존 재하여 Pf -gE Ker P•.n' 을 만족시킨다.〉 와 같은 뜻을 갖는다. 따라서, 앞에서 다룬 정리 3.2 와 정리 2.8 에 의해서 (i)과 (ii)가 동시에 만족되는 것은 P 가 전사사상일 필요충분조건이다. （증명 끝) 정리 3.3 의 조건 (ii)가 만족될 때, 선형편미분방정식 따훑)f=g 는 g드 C00 (.0) 에 대 해 서 준대 역 으로 풀린다 (semi -glo bally solvable) 고 한다. P 가 상수계수를 갖는 편미분작용소이면, P 는 기본해를 가지 므로 항상 준대역으로 풀린다. 지이 금사 실.O온' c c다n음 과라 같하이고 보gE일: C수00( .있0다).라 고 하자. n’ 에서 ¢=1 인 C;; (Q)의 함수 ¢몰 택하여 ¢g를 만들면, ¢gE: C~( .O)이므로 P 의 기본 해 E 와의 콘볼루션
f= E*¢g 가 정의된다. 이때, P (J) =P (E 짜g) =P(E)*¢g =O*
아닌 정수라 하자. 정의 3.2 p를 l~p ~ +co 인 수라고 할 때 m 보다 크지 않은 모든 계수 (order) 의 도함수가 LP( Q)에 속하는 O 에서의 초함수의 전체의 집 합을 H p,(Q)로 나타낸다. ttE HP, .. (.0.) 이 면 uEU (.0.) 이 므로 1t 는 O 에 서 국소로 적 분이 가능 하다. H p,(Q)에는 자연스런 노음 (3. 22) zt 一 (요』 |( 훑). u (x) 『 dx) 令 이 정의되는데 이 노음을 llul|' .. 으로 나타낸다. P=2 일 때, H2,.(Q ) 은 목별히 중요한데 이 경 우에 는 H2• (.0.) =H'(.0. ), llulb .• =llull .. 이 라고 간단히 나타낸다. 노음 (3. 22) 에 의 해 서 Hp , (Q) 는 바나하공간을 이 룬다. p= 2 일 때 H2, ,. (.0.) 에 는 (3. 23) (zt, V) =I• 맡틀). ll (X) （훑). v (z) dx 로 정의되는 내적을 갖는데 이 내적에 관해서 H .. (.Q)=fl 2,.( .Q)는 힐버트공간을 이룬다. Hp , (Q) 를 LP (Q) 또는 @’ (.Q) 에 매 장시 키 는 자연스런 단사사상은 연속이다. 또, m1 全 1n2 이면 H p .m1( Q )CH p.ffl:(Q)의 관계가 성립하며 이때 처음 공간을 둘째 공간에 매장시키는 단사사상의 노음은 1 보다 크지 않다(실제로는 1 과 같음을 쉽게 알 수 있다). Hp ,(Q)에 대해서 유의할 점은 일반적으로 C~( .Q)가 H p ,.(O) 에서 조를밀테 하면지 , m못=O하, 다P는 < 점+ 이oo다 이( 거이 나 사 P실 <은+ oo일, 반.O적= 인R 경 인우 경에 우만는 참이C~다 (..Q ) 는이 flP, • (.Q) 에 서 조밀 하다) . 정의 3.3 l~p ~ +oo, m~l 일 때, Hp ,(Q)에서의 C~(O) 의 폐포 를 H t ·m( .Q)라고 정한다. H t ·m( .a)도 H p ,(O) 와 같이 노음 |Iu|I p ,m 에 의해서 바나하공간을 이 루며, 내적 (3.23) 에 의해서 Ho(0)=H~·m(0) 는 힐버트공간을 이 룬다.
H 『 (O) 가 일반으로 H p,(Q)의 진부분공간 ( p ro per subsp a ce) 임 을 알아 보려면 O 가 R 의 유계 부분집합이고 P=2, m=l 일 때 를 살피 보면 좋다. 이때 H&l( Q)에서 C~(O) 와 직교하는 공간은 H2,l( Q)에 속하며 모든 ¢EC~(O) 에 대해서 (u,¢)=O( 단, ( , ）은 H2,l( Q)이\ 서의 내적)을 만족시키는 원소 tt로 구성되어 있다. 그런데, (tt,
<1t , ¢ 〉 =/a 곱,,, C-l) la/J g.( x) 틀)• ¢(x)dx 이 성 립 한다. 여 기 에 횔 더 의 부등식 (Holder' s ine q u ality ) 을 쓰면 | l 즉 훑 m I| g』|L'' II 틀 )0 ¢ ll L’ 독 CI|¢I| .. ,P 를 얻는다. 이것은 함수 ¢_一〈 U,¢ 〉가 H g ·m( Q)에서 정의되는 유일 한 연속선형범함수 1 t로 확장됨을 보인다. 이 와 같이 HP',-m(Q ) (l~P< +oo, m~l) 의 원소 U 는 H 『 'm( Q)의 쌍대공간 (H 『(Q)＊의 원소. a 를 결정한다. 대응 u_a 는 Hr,-.. (Q )에서 (Hb·m(0)) ＊로의 전단사사상이며 실제로 다음 정리가 성립 한다 . 정라 3.4 p ~l 을 유한한 실수라 하고 m 을 1 보다 작지 않은 정수 라고 하자. 그러면 표준적인 대응 u __수 a 은 H p ',-m(D) 에서 H 『'(Q)의 쌍대공간 (Hb·'(D))* 위로의 1 : 1 선 형사상이다. HP'~( .Q)의 원소 lt 에 대해서 (3. 25) llull p •.-m = i n f (1.;곱 m|I gJ Ir,,)} (단, inf 는 u=,a t;.,(훑 )a g •. g투 LP'( Q ) 로 표현되는 모든 {g냐에 대해 취함) 와 같이 노음을 정해 주면, 정리 3.4 의 선형대응 u-~a 는 등장사상 (iso metr y ) 을 이 룬다. 이제 p =2 일 때를 보다 자세히 살펴보자. H 巨Q)는 힐버트공간이므로 그 쌍대공간 (H t ,m( Q))＊와 반신형 동형 (anti lin e arly iso morph ic ) 이 다. 그런 데 , (Ht ·m ( D) ) * 와 H2, -.. (Q) 는 선형동형이므로 H 『'(Q)와 H2,-( Q)는 반선형동형이다. 이 반신 형동형대응을 u-v 라 하고 대응 lt _5 를 택하면, H 꾼'(Q)에서 H2, -.. (D) 으로의 표준적 인 선 형 동형 사상 (line ar iso morph i s m ) 을 얻 는 다. 이 사상은 구체적으로
(3. 26) u 一 !a2l :, m (-1)IaI( 훑 )u 로 주어짐을 밝힐 수 있다. 또, 이 사상은 등장사상이다. C:;(O) 는 H;,m( Q)에서 조밀하므로 위의 결과로부터 C 훈(Q)는 H2,-.. ( .a)에서도 조밀함을 알 수 있다. 정리 3.5 임의의 m=l,2,··· 에 대해서 C:;(n) 는 H2•-(0) 에서 조밀하다. 이제 O=R 일 때를 생각해 보자. 이 경우 가장 중요한 결과는 . C7(R ）이 HP, .. (R ）에서 조밀하여 (3. 27 ) H~•m(R) =HP, .. (R) (단, P*oo) 가 성립하는 점이다. H'· • (R) cV (R ) 이 므로 HP, ., (R) 에 속하는 초함수는 완만한 초함 수이다. 마찬가지로 H p ,-(R ）에 속하는 초함수도 완만한 초함수임을 정의로부터 알 수 있다. 위의 사실로부터 k 가 임의의 정수일 때, HP,k(R ）의 원소에 대해서 는 후리에변환을 취할 수 있다• 이때, 다음과 같은 결과를 얻는다. 우리는 P=2 일 때만 생각하겠다. 정리 3.6 k 를 임의의 정수라고 하자. 이때 uEH2, t (R) 일 필요충분조건은 u 의 후리에변환 ti가 (3. 28) JRR•. Iu (f) 12(1+ If I2 )kdf < 00 을 만족시키는 것이다. 관계식 (3.28) 은 k 가 임의의 실수일 때에도 의마를 갖기 때문에 다 음과 같은 공간을 자연스럽게 정의할 수 있다. 정의 3.5 s 를 임의의 실수라 할 때 HS 또는 H•(R ）은 완만한 초함 수 U 로서 그의 후리에변환 a 가 JRR_• l u ( f) 12 (1 + l f l2) 'df
앞에서 설명한 것과 갇이 s 가 정수이면 (3. 29) H·=H' (Rn) =H2• ' (Rn) 이 성립한다. 그러나 s 가 정수가 아닐 때에도 HS 는 H 나 (R ）와 마찬가지로 내적 (3. 30) (u, v) =JR. z1 (f) v (;) (1 + I; I 2) 'd; R• 에 의해서 힐버트공간을 이루며 C:;(R ）은 HS 에서 조밀하다. 또, H-’ 는 HS 의 쌍대공간을 이룬다. 실수 s 룹 매개변수로 하는 함수공간 HS 는 초합수의 정칙정도 (re g ular ity)를 측정하는 데 유용하게 쓰인다. 실제로 C:;(R ）과 @’(R) 사이에 다음과 같이 H•(R”) 을 끼어 넣을 (int e r po late ) 수 있 다. C:;(R”) =… cH1cH0=L2 (RD) cH-1cH-2c••·C!5 J' (R) 위의 관계에서 (3. 31) C:;(Ra) 득 nH• (3. 32) @F’ (R) 三 ’U H ' ’ 가 성립한다. 단, @F’(Rn) 은 유한차수”를 갖는 R 에서의 모든 초함 수가 이루는 공간이다. 특히, m 이 m~O 인 정수이고 s>m+ 망이면 H’ 의 원소는 R 에 서 m 번 미분가능한 함수가 된다. 이 사실 을 쏘볼레브의 도움정리 (Sobolev lemma) 라고 하며 , H2, ,, (D) , H• 등을 동틀어 서 쏘볼레브공간 (Sobolev sp ac e) 이 라고 부른다. 4 초함수가 이루는 후레쉬 1 공간 이 절과 다음 절 5 절에서는 말그랑쥬 (Mal gr an g e) 에 의해서 밝혀진 5) 제 3 장 7 질 식 (7 . 35) 참조.
상수계수 선형편미분방정식이 대역적인 CCO 해 룹 가질 필요충분조건, 곧 P( 훑 )C (0) =C (!1) 일 필요충분조건을 다루기 로 한다. 우리 는 이 조건을 C (O) 공간을 일 반화한 공간인 A1oc (O) 에 서 구 하려 하지만 C(O) 에 대해서만 홍미를 가진 경우에는 4 절을 생략하 거 나 4 절 에 서 다루는 여 러 가지 정 리 가 A1oc (0) =C (0) 일 몌 성 립 함 을 확인해 보는 것으로 충분하다. @’을 R 에서의 초함수공간, 8' 을 R 에서 긴밀한 대 를 갖는 초함 수 전체가 이루는 @’의 부분공간이라고 하자. uE@ ' 이 고. vEC' 이 면 콘볼루션 U*V 가 정의되며 사상 (4. 1) (u, v) - U*V : ~' x {f' -_합 은 쌍일 차사상 (bil ine ar map ) 이 댜 따라서 %' 은 콘볼루션 에 만해 서 8' －가군 (module) 을 이 룬다. 이제 @'의 부분공간으로 다음을 만족시키는 공간 A 를 생각하자. (i) A 는 콘볼루션에 관해서 8' －가군을 이룬다. 곧, uEA, vE< ff' 이면 U*VEA 이다• (ii) 임 의 의 R,. 의 국소로 유한개 인 (loc ally fini t e) 열 린 피 복 (op e n coverin g ) {U,} 에 대해서 이 피 복에 따르는 AnC00 에 속하는 단 위원의 분할(p ar titi on of unit y) · {g,. ｝가 존재하여 각각의 i에 대 해서 g,A cA 가 성립한다. 여기서 단위원의 분할 {g.}가 피복 {U,} 에 따른다고 합은 각각의 지수 i에 대해서 sup pg,c U,
임을 뜻한다. 또, g써는 uEA 일 때 u 와 g.의 곱 g沮 전체의 집합을 뜻한다. 예 CC0, C7, @’, 8' 은 위 의 조건 (i) ' (ii) 를 만족시 킨 다. 또, @F, 를 R 에 서 유한차수를 갖는 모든 초함수의 집 합이 라고 하면 @F' 도 위의 조전 (i)' (ii)를 만족시킨다. 예 d 믈 d>1 인 실수라고 하자. r(d) 룹 다음 성질을 갖는 R 에서 청의된 모든 CC0 함수 ¢의 집 합이 라고 하자. 〈 R 의 임의의 긴밀부분집합 K 와 임의의 £>0 에 대해서 상수 B>0 이 존재하여 임의의 중복지수 P 든 N 과 임의의 xEK 에 대해서 (4. 2) l( 훑-)’
정리 4. 2 R 의 원 점 O 의 임 의 의 근방 U 에 대 해 서 pE A nC 00 인 함수로써 ((44.. 34)) p~J OR.. ps ( uxp) pd px c= l U 인 것이 존재한다. 증명 uo 를 U 의 내부라고 하고 uo 를 포함하는 R” 의 국소 로 유한 개인 열린 피복을 택하되 0 의 어떤 근방 V 가 uo 와는 만나지만 피 복을 이 루는 다른 원소와는 만나지 않도록 하자. 이 피복에 따르는 단위원의 분 할 을 Anc°° 에서 잡고 q 운 이 분 할 함수 가운데 uo 에서 함수대 를 갖는 것이라고 하자. 그러면 V 에서 g =l 이다. 따라서 p(x ) =(JR_ g(y) dyr l g( x) 라면 g (x) 는 정 리 에 서 요구하는 조건을 만족하는 함수이 다. （ 증 명 끝 ) 정의 4.1 n 를 R 의 열린부분집합이라고 하자. Q에 서 정의된 초 함수 U 로서 상대적으로 긴밀한 임의의 O 의 부분집합 Q1 에 대해서 (4. 5) Q’ 에 서 lt= U1 을 만족시키는 tt 'EA 가 존재하는 것 전체가 이무는 공간웅 A1oc(O) 타고 정의한다. 예 A=C'° (R ) 이 면 A1oc (0) =C'° (0) 이 고, A=!'2 '' (R ) 이 면 Aloc (Q) =책 (0) 이다. 예 A=r(d) (단, d>1) 이면 AIoc@) 는 K 를 O 에 속하는 임의의 긴 밀부분집합이라고 제한했을 때, 이 K 에 대해서 r(d) 의 원소가 만족 시켜야 할 조건안 (4.2) 를 만족시키는 C'° 함수 전체가 이루는 공간 T(d) (Q) 와 같다.
A 의 원소로서 O 에서 대를 갖는 초함수 전체가 이루는 공간을 Ac(O) 라고 정 의 한다. O=R 일 때 는 Ai oc (R) 또는 Ac (R ) 을 간단히 A1oc 또는 Ac 로 나타낸다. 정리 4.3 0 ' 을 O 에서 상대적으로 긴밀한 열린부분집합이라고 하 고 K 를 0’ 의 O 에서의 긴밀한 근방이라고 하자. 그러면 K 에서 대 몰 갖는 함수 g EAnC 가 존재해서 (4. 6) .0.' 에서 g= l, (4. 7) gA i oc (.0.) CAc (,0,) 을 만족시킨다. 이 정리는 Anc°° 에 속하는 단위원의 분할이 존재함과 정의 4.1 로 부터 바로 이끌어진다. 득히, t1 드 A1oc(O) 이면 g ueAc( Q)이고 O' 에 서 g u 三tt이다. 정리 4.4 쌍일차사상 (u, v) —-U *V 는 Ac x @’ 과 Aloc x 8' 을 A1oc 로 옮긴다. 증명 Acx@ ' 에 대해서만 중명하자. O' 을 R 의 임의의 유계인 열 린부분집 합이 라 하고 gE C:;(O) 를 sup p u-0’ 의 근방에 서 1 안 함수 다고하자. 그러면 (u,V) 드 Acx@' 일 때, O ' 에서 U*V 는 U* g V 와 같고, tl*g V 는 A에 속한다. 따라서 Z:* V 는 A1oc 에 속한다. (증명 끝) 여기서 A1oc(O) 에 다음 조건을 만족시키는 위상을 도입하자. (*) A1oc(O) 는 O 에서의 〈초함수가 이루는 후레쉬 1 공간〉이고 (**) At oc (O) 의 위 상은 국소적 (loc al type) 이 다. 조건 ( * ）는 AIoc( Q)에 도입한 위상에 관해서 A1oc(O) 가 후레쉬 1 공간 일뿐더러 자연스런 매장사상 (4. 8) A1 •• (0) ― ➔ ~'(O)
가 연속일 것을 요구한다. 이러한 조건을 만족시킬 때 A,o c( Q)룹 〈초 함수가 이루는 후레쉬 1 공간〉이라고 한다. 조건 (*) 를 만족시 키 는 A1oc (O) 의 위 상은 유일 함을 밝혀 보자. 이 제 A1oc (O) 를 A1oc (O) 와 같은 공간으로 (*) 를 만족시 키 면 서 Akc (Q)의 것과는 다른 위상을 가진 공간이라고 하면, A1oc(O) 와 A1oc(O ) 를 @’(Q)에 옮기는 자연스런 단사사상은 모두 연속이므로 A1oc(O) 에 서 AIoc(O) 로의 항등사상은 닫한그래프 (closed g ra p h) 를 갖는다. 따라 서 이 항등사상은 연 속이 다. 그러 므로 A1ac (O) 와 AIoc (Q) 를 바꾸어 생 각하면 이 항등사상은 동형사상임을 알 수 있다. 조건 ( ** ）에서 A1oc(O) 의 위상이 국소적이라 합은 A1oc ( O) 의 임의의 연속반노음 p에 대해서 O 의 긴밀부분집합 K 가 존재하여 K 의 근방 에서 0 이 되는 모든 uEA1oc(O) 에 대하여 p(u )=0 임을 뜻한다. 예 C 악 O) 에서 흔히 생각하는 cco 위상은 위의 두 조건을 만족시 킨다. 그러나 ~'(11) 에서의 강한 쌍대위상 (s t ron g dual t op olo gy)이 나 약한 쌍대위상 (weakdual t op olo gy)은 ( ** ）를 만족시키지만 (*)을 만족시 키 지 않는다. 따라서 이 전에 서 앞으로 다루게 될 정 리 는 ~' (.O.) 에 적용되지 않는다. 예 r(d) (,0,) 에 반노음 (4. 9) f一 s~ p[첼~{(p !)-de-lPI |（ 훑)pf (x) |}] 예 의해서 정의되는 위상을 주면, 이 위상온 위의 두 조건 (*), (**) 를 만족시킨다. 정리 4.5 부분공간 Ac( !l)는 Aloc( Q)에서 조밀하다. 이 정리는 조건 (**）와 정리 4.3 으로부터 이끌어진다. 이제 K 를 O 의 임의의 간밀부분집합이라고 하자. 이때, Ac(K)
를 K 에 포함되는 대를 갖는 초함수로 이루어지는 Ac( il)의 부분공간 으로 정의한다. 매장사상 A1oc( fl)-@'(il)가 연속이므로 Ac(K) 는 A1oc( il)의 닫힌 부분공간이며 따라서 A10,( fl)에서 유도된 상대위상에 의해서 후레쉬 1 공간을 이룬다. 그러므로 Ac( il)에는 c~@) 에서와 마찬가지로 O 의 긴밀부분집합 K 가 정의하는 후례쉐공간 Ac(K) 로부터 유도되는 LF 위상(쉬와르츠 위상)을 줄 수 있다. 이 렇게 하면, Ac( il)의 어떤 볼록집합 U 가 Ac( il)의 원점의 근방일 조건은 임의의 K 에 대해서 unAc(K) 가 Ac(K) 에서 원접의 근방일 조건과 갇다. Ac( il)와 A1oc( il)에 위상을 정의해 주었으므로 이어서 이들 공간의 쌍대공간을 생각해 보자. 이 쌍대공간에는 Ac(il ) 또는 A1oc( fl)의 유 계집합 위에서의 평등수령이 결정하는 강한 쌍대위상 (s t ron g dual top ol og y) 이 주어 진 것 으로 가정 한다. 일 반으로 (Ac (n) ) ’ 과 (A1oc (il) ) ’ 는 초함수가 이 루는 공간이 되 지 않지만 본질적으로는 @’(n) 와
또, (A1oc(n:))’ 에 대해서는 초함수의 경우에서와 마찬가지로 O 에 서 긴밀한 대를 갖는 (Ac@))' 또는 (Ac)’ 의 원소가 곧 (Ai o c(fl ))’ 를 이룸을 쉽게 밝힐 수 있다. 다음 절에서 상수계수를 갖는 선형편미분방정식의 해가 A1oc( fl)에서 존재함을 밝힐 때 사용할 콘볼루션의 연속성에 관해서 알아보자. 정리 4. 6 A1oc X
(4. 16) sup p (Zt* lz ) csupp /z - sup p u 의 관계로 이끌려 나온다. 일 반으로 대 (sup po rt) 에 관해 서 는 콘볼루선의 정 의 와 정 리 4. 6 으로 부터 (4. 16) 을 일 반화한 다음 사 실 을 증명 할 수 있다. 정리 4.7 TE(Ac)’ 이고 uE@' 일 때 T 와 l' 중 어느 한쪽이 긴밀 한 대를 가지면 (4. 17) sup p ( T* tt) Csup p T+ sup p u 가 성립한다. 다음에 다루는 여러가지 사실에서는 편의상 콘볼루션의 두 요소 T 와 U 가 모두 긴밀한 대를 갖는다고 가정하겠다. 그러나 이들 사실은 둘 가운데 어느 한쪽이 긴밀한 대를 가져도 변합없이 성립한다. 정리 4. 8 ti' 의 원 소 u 에 대 해 서 T- ― ➔ T*U 는 (A1oc ) ’ 에서 그 자신에로의 연속선형사상이다. 또, uEAc 이면 위의 사상은 (Ai o c)’ 에서 C7 로의 연속선형사상이다. 증명 사상 T-T * it는 연속선형사상 h 一 u * h 의 전치사상(t ransp ose ) 이므로 연속선형사상이다. 득-히, ilE Ac 아 면 1z-1t* l l 는 정 리 4. 6 에 의해서 @' 에서 A1oc 로 의 연속선형사상아므로 그의 전치사상인 T __➔ T*U 는 (A1oc)’ 에서 C 춘로의 연속선형사상이다. （증명 끝) 지금 cp를 A1oc 의 임의의 원소라고 하면,
는 8' 에서 (A10,)’ 으로의 연속선형사상이다. 단, 홉과 (Aloc)’ 에는약 한 쌍대위상이 주어진 것으로 생각한다. 정리 4.10 Ac(O)nc 훈 (0) 는 Ac(O) 와 C 훈(Q)에서 함수열로 조밀 (seq u enti all y dense) 하다. 증명 정리 4.2 에 의해서 Ancco 에 속하는 함수열 {p,}(e.= l, i기 十,…)을 택하여 supJ pR p. ,Pc c {(xx)1 d1xxI= 요l } 이 되도록 할 수 있다. 이때 임의의 rp EC 。C0 에 대해서 P,*r p E Ac 이 성립하여 p,*rp는 P 에 수령한다. 득히, £_-o 임에 따라 p C * P 의 함수대는 rp의 함수대에 수렴한다. 따라서 Ac(O) nc~(O) 는 C~(O) 에서 함수열로 조밀하다. 이 제 rpE Ac 라고 하자. g’ 에 서 Pc 는 디 락측도 8 에 수령 하므로 정 리 4. 6 에 의 해 서 P,*r p 는 A1oe 에서 rp에 수령한다. 한편, sup p (p,*rp) csupp rp + {x 11 x I 후} 이 성립하므로 Ac(0) nC~(0) 는 Ac(O) 에서 함수열로 조밀하다. (중 명 끝). Aloc( Q)는 Ac(O) nc~(O) 를 포함하며, Ac(O) nc~(O) 는 C~(O) 에서 함수열로 조밀하고 또, C~(O) 는 ~/(0) 에서 함수열로 조밀하 므로 다음을 얻는다. 따률정리 A1oc(O) 는 ~'(0) 에서 함수열로 조밀하다. 위의 따름정리에 의해서 자연스런 매장사상 A1oc (O) ―수 헬 (0)
는 조밀한 상을 갖는 연속단사사상을 이룬다. 그러므로 이 사상의 전 치사상을 택하여 다음을 얻는다. 따름정리 C~(O) 는 (AI oc( Q ))’ 에 연속으로 자연스럽게 매장된다. 5 상수계수 선형편마분방정식의 대역해의 존재조건 R 에서 정의된 상수계수 선형편미분작용소를 P 틀 )=la 곱 'C g(훑 )a 로 나타내 자. 여 기 서 a 는 중복지 수 (n-tu p le s) a= (ai. a2, ... , a,.) 을 나 타내 고, | a l =a1 + a2 + .. · + an 틀 )a =(玉 ~)aI( 志 )a,·••( 읊) 이며, g는 복소수인 상수이다. 이 절에서는 (5. 1) P( 훑 )CC0( .0.) =cco(.0. ) 가 성립한 O 에 관한 조건을 구하기로 한다. P 가 변수계수를 가질 때의 조건은 이미 3 절에서 다룬 바 있으나, 상수계수를 가질 때에는 그 조건이 아주 간단한 꼴로 변모한다. 이 절의 견과는 말그랑쥬 (mal g ran g e)” 에 의한 것으로 초함수이론 이 편미분방정식론의 발전에 기여한 가장 두드러지고 아름다운 결과 로 알려져 있다. 우리는 이 결과를 COO(O) 보다 조금 일반화된 At o c(O) 에 대해서 증명하기로 하지만 C00(0) 에 대해서만 홍미를 가진 경우에 는 Ato e (0) =C00(0) 로 생 각하여 이 절의 내 용을 이 해 하면 충분하다. 앞 절의 정리 4.1 에 의하여 사상 (5. 2) u 一 P( 훑 )u 7) Malgr a ng e [2] 참조.
는 A1oc( .O.)에서 그 자신으로의 연속선형사상임을 알 수 있다. 실제로 이 사상은 A1oc (.O.) 를 그 자신 으로 옮기 며 , 사상 (5. 2) 를 A1oc (.O.) 에 서 g' (.O.) 로의 사상을 볼 때 연 속이 다• 따라서 (5. 2) 을 Aloc (Q) 에 서 그 자신으로의 사상으로 볼 때 닫힌그래프롤 가지며, 닫힌그래프칭리에 의해서 후레쉬 1 공간 A1oc( .O.)에서 그 자신으로의 연속사상이 된다. 위의 , 사상 (5. 2) 를 전치하면 (A1oc(.O .))’ 에서 그 자신으로의 연속선 형사상을 얻는데, 이 전치사상을 (5. 3) P(- 훑-) 로 나타낸다. 전 치 사상 (5. 3) 에 대 해 서 는 다음 관계 식 이 성 립 한다. 곧, TE (A1oe) ' 이고 uEAc 이면, (5. 4) [P( -훑 ) 가 lt = T* [P (출 )u] v =P(- 출 )(T * i) 위의 관계식의 두번째와 세번째 항에 나타나는 P(:\) 와 P(-¾) 는 초함수에 관한 편미 분의 뜻으로 작용하고 있다. 이제 상수계수를 갖는 선형편마분작용소 P(::.) 에 대해서 〈 P( 불)볼록하다〉라는 개념을 간단한 개념으로 바꾸어 보자. 정리 5.1. Rn 의 열린부분집합 요에 대해서 다음 성질들은 서로 같 은 뜻을 갖는다. (i) n 는 P\훑 )볼록하다. (ii) n 의 임의의 긴밀한 부분집합 K 에 대해서 O 의 긴밀한 부분 집합 K' 이 존재하여, 모든 rpE Ac(i1 ) nC00 에 대해서 (5. 5) sup p P(-- 훑)cp C K 이 면 sup pcpc K' 이 성립한다. (iii) 요의 임의의 긴밀부분집합 K 에 대해서 O 의 긴밀한 부분집합
K' 이 존재하여, 모든 T 드 (Aloc( Q))’ 에 대해서 (5. 6) sup p P( －출) T c K 이 면 supp T c K' 이 성립한다. 증명 (i)==>(ii)임은 임의의 정수 k 에 대해서 C 춘 ( .Q) C H-l 이므로 정의 3.1 에 의해 서 분명하다. 또, 정 리 4.10 에 의해서 (ii i)= =>(i)01 성립한다. 이제 (ii ) == ⇒ ( iii)임을 밝히자 ( 이것이 밝혀지면 〈 A =C CX)일 때 (ii) 가 성립함 〉 은 〈 A=C'° 일 때 (iii)이 성립함〉을 뜻하므로 정의 3.1 에 의해서 (i)이 성립하여 ( ii ) ==>(i ) 이 직접 증명된다). 지 금 (ii) 가 성 립 한다고 하고 함수열 {p,} (e=l, 쉽-, +, ... )를 Amc CX)의 원소로 아루어진 것으로 supp ,o, nB J,P=, d {xx 든= lR ll x l ~e} 인 것이 라 하자. （정 리 4.10 증명 참조) TE(A.1 o c(i1 ))’ 이 sup p P( 一훑 )TcK 룹 만족시키면 정리 4.7 에 의해서 P( 급訂 (T * p, *p , •) = [P( －훑) 기 *P<*P•' 의 대는 K+B,+B, 세 포함된다. 여기서 e 과 e’ 이 충분히 작으면 이 내는 어떤 고정된 Q의 긴밀집합 K1 에 포함된다. 그런데 정리 4.8 에 의해서 T* p,는 C7 에 속하므로 £이 충분히 작 으연 O 에 포함된다. 따라서 £' 도 충분히 작으면 T* 戶 e* p C' 은 Ac(.n ) nc CX)에 속한다. 여기서 K 접 (ii)를 적용하여 보자. (ii)에 의해서 K1 에 대응하는 요의 긴밀부분집합 K' 이 존재해서 £과 £’ 이 충분히 작으면
sup p (T 셉, * p ,, ) cK' 이 성립한다. 그러므로 £― -o 으로 덱하면 sup p ( T* p ,) cK' 이 성 립 한다. 여 기 에 다시 £— -o 으로 하면 Pc 는 £’ 에 서 디 락 측 도 & 에 수령하고 정리 4.9 에 의해서 T * p,는 (A1oc)’ 에서 약한 쌍 대위상에 관하여 T 에 수렴한다. 이것은 sup p TcK' 임을 보인다. （증명 끝) 정리 5.2 정리 (5.1) 의 성질 (i)' (ii). (iii ) 은 각각 후레쉐공간의 쌍 (A1oc(.O ), A t oc( .O))가 P( 곱깁-볼록함과 같은 뜻을 갖는다. 증명 선형위상공간의 쌍이 P(: 〔)-볼 록 하다는 뜻 은 2 철 정의· 2. 먼2 에저 정정의 리되 5어. 1 의있 다.조 건 (iii) 이 (A1oc (.0) , A1oc (.0) ) 가 P(:\) －볼록 함을 뜻함을 보이자. P 를 AIoc( Q)의 임의의 연속반노음이 라고 하자 .• TE (Ai o , (.0) ) 1 이 모든 ¢드 AIoc (Q) 에 대 해 서 KT, P( 王¢ 〉 1 학(¢) 를 만족시키면, Aloc( Q)의 위상이 국소적이므로 su pp P 仁:〔 )T 는 Q의 한 긴밀부분집합 K 에 포함된다. 이때 K 는 P(: 〔)와 Q에 만 의존한다. 그러므로 정리 5.1 의 조건 (iii)에 의해서 K 에만 의 존하는 O 의 긴밀부분집합 K' 이 존재하여 sup p T 는 K' 에 포 함 된다. 따라서 (Aloc(Q ), Aloc(O)) 가 P(: 〔)-볼록함울 보이 려면, Aloc(Q ) 위에서 정의된 연속반노음 Q가 존재해서 모든 ¢드 Aloc( Q)에 대하여 Q (¢)=0 이면 K 의 근방에서 ¢=0 임을 밝히면 충분하다. 실제로 이 것이 밝혀지면 KerQ 에서 T 루 0 이므로 정 리 2.11 에 의해 서 (Aloc( 요), Aloc (Q) ) 는 P( 룹)볼록하다. 이러한 관점에서 다음 도움정리몰 증명해 보자.
도움정리 5.3 ,0,의 임의의 건일부분집합 K' 에 대해서 ~'(0) 의 연 속반노음 Q가 존재하여 모든 uE~'(O) 에 대해서 이 만족된다• 증명 d 를 d>1 인 실수라고 하고 0’ 을 K’ 을 포함하는 상대적으 로 긴밀한 O 의 열린부분집합이라 하자. 또, [/,g( d) (.{)') 을 모든 중복지 수 a 에 대 해 서 뿔ii(훑 )·¢(x) I 독 (a!)· 를 만족시 키 는 모든 ¢드 Cr (0’) 의 집 합이 라고 하자. 그러면 gj Cd)( .Q')은 er@) 에서 유계이며 한편으로는 rc(d)(G) 을 포함하는 선형공간을 이룬다. 그런데 정리 4.10 에 의해서 rc(d)(O') 은 cr( Q’)에서 조밀하므로 어떤 초함수 1 t가 $Cd)( .Q'）에서 영의 값을 가지면 C 훈(.Q')에서도 영의 값을 갖는다. 따라서 ~/(.Q)에서의 연속반노음 Q (u) =sup { !
인 rc(d)(O) 의 임의의 원소라고 하면 P(--¾-)¢ 는 7c(d)( Q’)에 포함 된다. 따라서 적당한 상수 C>0 에 대해서 C 忍 (d)( Q'）에 속하게 된다. 이 것으로부터 O 의 모든 초함수, 특히 모든 uE ::A 1oc (0) 에 대 해 서 l@( －훑)¢, t¢>, ~CQ ( u) 를 얻는다. 여기서 (Aloe(0), A1oc(0)) 가 P( ：訂-볼록하다는 조건을 사용하 면, Aloc(O) 위에서 정의된 연속반노음 P 가 존재하여 〈모든 uE :K er p 에 대 해 서 <¢,u > = O> 이 성립된다. 그런데 Aloc(O) 의 위상은 국소적이므르 Q의 긴밀한 부분집합 K' 이 존재 하여 sup p ucO\K' 인 모든 lleAloc (Q) 에 대 해 서 <¢,tt >= 0이 다. 그러므로 정리 4.10 에 의해서 이것은 모든 uEcl'(O\K') 에 대해서도 성립한다. 따라서 0\K' 에 서 ¢=0 이 다. 이 사실은 정 리 5.1 의 성질 (ii)가 A=r(d) 일 때 성 립 함을 보인다. 그러므로 성질 (i)이 임의의 A 에 대해서 성립하고 동시에 임의의 A 에 대한 (ii)와 (iii)도 성 립 한다. （정 리 5. 2 의 층명 끝) 이제 모든 준비가 끝났으므로 우티가 목표로 한 말그랑쥬의 존재정 리를 증명하자. 정리 5.4( 말그랑쥬의 촌재정리) O 를 R’ 의 열린부분집합, P(: 〔)를 상수계수를 갖는 선형편미분작용소라고 하면 다음 성질들은 같은 뜻 울갖는다. (i) n 가 P( 겅計볼록하다. (ii) p(훑 :-)Aloe (.{l) =A1oc (.Q) (iii) p(읊)~' (0) ::JA 1oc (0)
증명 우리는 정 리 5. 2 에 서 (i)은 후레 쉬 1 공간의 쌍 (A10c(0)' A1oc(O)) 이 P(7 玉)－볼록함과 같은 뜻을 가침 을 보았다. 그러므로 정리 2.8 에 의해서 (i)을 가정했을 때 (ii)가 성립함을 보 이려면, P( 嗣 : A10,(0) —”1Ioc (Q ) 가 준대역으로 전사사상임 (semi -glo bally sur j ec ti ve) 을 보이면 충분 하다. 그런데 A10,(0) 의 위상은 국소적이므로 이것을 보이려면 Q에서 상 대 적 으로 긴 밀 한 임 의 의 부분집 합 0' 과 임 의 의 /EA10, (0) 에 대 해 서 /1 EA10c (O) 가 존재 해 서
의 집합이었음을 기억하자. 도움정리 5. 5 F 를 다음 성질을 갖는 초함수 전체의 집합이라고 하 자. 곧, (i) F 는 Q에서 정의된 초함수가 이루는 후례쉐공간이고, (ii) F 의 위상은 국소적 이 며, (iii) n 의 임의의 열린부분집합 요'에 대해서 Fn8'( Q)는 ti'(.0,’) 에서 조밀하다. 이러한 경우, P 싹 (.0,) ::)F 이면 다음 사실이 성립한다. 곧, 〈임의의 긴밀집합 KCO 에 대해서 긴밀집합 K'cn 가 존재하여 모든 ¢EC 훈 (.0,) 에 대 해 서 sup p P1¢cK 이 면 , sup p
를 생 각하자. 여 기 서
sup pcf,c K' 을 얻는다. （증명 끝) 아닌말 그임랑 의쥬 의의 다존항재식정 일리 가때 , 의P미( ：를王 )갖에는 대것 해은 서 P (PX(): 가\ )항 －동볼적록으한 로R 0 은의 열린부분집합이 우수히 많이 존재하기 때문이다. R 자신은 이러한 조건을 만족하는 열린집합 가운데 하나인데 일반으로 다음 사십이 성 립한다 . 정리 s.6 P(X) 를 항등적으로 0 은 아닌 11 개의 변수 X=(X1, X 2, 부••• 분,X집 ） 합에이 관 라한고 다하항면 식O이는라 고P (하:자:. ） 볼Q록룹하 다R .의 임의의 볼록한 일란 이 사실은 함수대에 관한 리옹스 ( L i ons) 의 다음 결과 8) 로부터 분명 l 하다. (co도n움v정ex리 h u5l.l )7 과¢ sEuC p p훈 (PR( ＿） 이경 a면기 s¢up를 p cf포, 를함 하포는함 하최는소 의최 볼소의록 집볼 합록은집 일합 치한다. 위의 정리 5.7 의 쉬운 증명은 회르만더 [산 도움정리 3.4.3 또는 트레브스〔디 정리 2.7 을 보면 좋다. 6 p-볼록함 앞 절의 마지막 정리 5.7 에서 P(X) 가 항등적으로 영은 아닌 다힝 식일 때, 임의의 열린 볼록집합은 P( ：土)－볼록함을 보았다. 그러니 일반으로 열린 부분집합은 P( 급王)볼록하지 않다. 정리 6.1 R2 에서 원점의 여집합 R2\{0} 는 궁:－볼록하지 않다. 증명 임의의 e>0 에 대해서 X, 을 집합 (6.1) {(Xi, X2) ER2 Ix f+따 ;§;l, x2~e} 8) L1ons[l) 참조.
의 그특러성면 ,함 수경 (訂ac-h a rXaec 의te r i대s t 는i c f단un위 ct원i o의n ) 라둘고레 하자. x f +x 는 l 에 포함되 므로 R2\{O} 의 한 고정 된 긴밀부분집 합에 포함된다. 그러나 su pp X, 은 R2\{0} 의 어떠한 고정된 긴밀부분집합에도 포합 되 지 않는다. （증명 끝) 앞 철에서 알아본 것과 같이 상수계수를 갖는 선형편미분작용소 P(훑 )에 대해서 열린집합 Q가 P( 궁〔）－볼록함은 선형편미분방정 식 P( 훑 )u=v 가 임의의 vEC'( fl)에 대하여 uEC'( fl)를 대역해 (glo bal soluti on ) 로 가질 필 요충분조건이 다. 그러 나 변수계 수를 갖는 선형편미분작용소에 대하여는 충분조건이 되지 않음을 정리 3.3 을 브 아 알 수 있다. 변수계수를 갖는 선형편미분작용소 P(x, *）에 대해서 0 가 따 훑-)-볼록함은 편미분방정식 沿 훑 )u=v 가 O 의 한 정 XoEf l 구위에서 국소로 해를 가질 충분조건도 되자 않움을 밝혀보자. 우리는 제 1 장에서 레바의 작용소 (6. 2) L=— aax l + 1 근dax 2 +2 i(x ,+ix 2뱌)a따~ 는 R3 의 어떠한 점의 주위에서도 국소로 풀리지 않음을 보았다. 곧 P R3 의 어떠한 열린부분집합 U 에 대해서도 L 싹 (U)~C~(U) 이다. 그러나 Q룹 적당한 R3 의 열린부분집합으로 택하연 Q가 L 귀순록함 울 보일 수 있다.
정리 6. 2 L 을- 레비의 작용소라고 하자. 그러면 R3 의 열린부분집합 (6. 3) !1= { (X1 , X2, X3) ER3 I X3 ) 0} 은 L- 볼록하다. 증명 우리 는 Hormander 〔산 도움정 리 5. 3. 2 에 주어 진 다음과 같은 도움정리를 증명없이 사용하겠다. 이 정리는 회르만더가 홈그렌의 정 리를 일반화한 것이다. 도음정라 6.3 n 를 R” 의 열린부분집합이라고 하고, P(x, ¾) 를 요에서 정의된 해석적인 계수를 갖는 111 계의 선형편미분작용소로서 (습)·의 계수가 O 에서 영은 아닌 것이라 하자. 임의의 실수 t에 대해서 (6. 4) 11,= {xE111xi< t} 라고 둘 때, O 에서 정의된 임의의 초함수 u 에 대해서 (6. 5) o t에서 沿 훑 )u=O (6. 6) (sup p u) nn ,ccn 이면 O 에서 U=O 이다(단, Ace .a는 A의 폐포가 O 에서 긴밀한 부분집합임을 뜻한다).
위의 도움정리를 P(x, ¾-)=L'(단, E 는 L 의 전치작용소)에 적 용하면 n 가 (6.3) 과 같아 주어졌을 때. 임의의 uE tf'(.Q)에 대해서 su pp u 는 su pp L'u 를 포함하고 좌표면에 평행한 면을 갖는 가장 작은 평행육면체에 포함된다• 따라서 정리 6.2 가 성립한다. 마지막으로 국소로는 COO 해를 갖지만 대역적으로는 COO 해를 갖지 않는 선형편미분방정식의 예를 들어 보자. 실제로 다음 정리는 국소 로는 COO 해 를 갖지 만 준대 역 으로 (semi -glo bally) C00 해 를 갖지 않는 선형편미분방정식이 존재함을 보인다. (정리 3.3 참조)정리 6.4 n 물 R2 에서 의 원 접 의 여 집 합 R2 \ {0} 라고 하고 (6.7) 훑 =(X i +x D - i [X1 훑 -X2 값] 라고하자. 그러면, 편미분방정식 (6. 8) 言a u=v, vEC00 (0) 는 0 의 임의의 점 주위 에 서 국소로 CCO 해 를 갖지만 O 에서 준대역 으로는 CCO 해 를 갖 지 않는다. 증명 펀미분방정식 ( 6 . 8) 이 국소로 플립은 O 의 충분히 작은 열린 부분집 합 0' 에 서 V 를 0 에 관해 서 적 분하면 0' 에 서 의 CCO 해 를 얻 게 되므이제로 분경a 『명 의하다 .전 치작용소 (6. 9) -경 iaJ - : C' (O) 一 g’ (요) 를 생각하자. 지금 구멍 이 있는 원판 (annulus) (6. 10) { (r, 0) I O
이것은 정리 3.3 에 의해서 편미분방정식 (6.8) 이 준대역으로 C00(!l ) 에서 풀리지 않음을 보인다.” (증명 끝)
9) 정리 3.3 의 중명에서 알 수 있는 바와 갈이 준대역으로 풀리는 작용소는 조밀한 상을 갖는다.
7 초함수공간에서의 대역해의 존재조건 O 를 R 의 열린부분집합이라 하고 P=P( 겅:）를 R 에서 정의된 상수계수를 갖는 선형편미분작용소라고 하자. T 가 O 에서 정의된 초함수일 때, 닫힌집합 F 가 T 의 록이대 (sin g u lar sup po rt) 라 함은 O\F 에 서 T 가 CCX ) 함수가 되 는 가장 작은 닫힌집합 F 를 뜻한다. T의 득이대는 흔히 sin g sup p T 라고 나타낸다. 이 절에서는 vE !iJ '(0) 일 때 편미분방정식 (7.1) P( 훑 )u=v 가 ~'(O) 에 속하는 해 U 를 가질 O 에 대한 필요충분조건, 곧 (7. 2) P( 읊)헬 (0) =싹 (0) 일 O 에 대한 조건을 구하기로 한다. 먼저 다음 도움정리를 증명하자. 정리 7.1 6 개의 O의 긴밀부분집합 H-1cH0cH1 ; K-1cK0cK1 과 ¢3 의 두 개의 연속반노음 p,q를 생각하자. 우리는 다음이 성립한다고 가정한다. (H l) K-1 은 KO 의 내 부 (int e r io r ) 에 포함된다•
(H2) 임의의 u 갑 (R ）에 대해서 su pp P(- ：王)무 H-1 이 면. su pp ucK 가 sin g su pp P(- 훑-)무 H-1 이 연, sin g sup p ucK-1 이 성 립 한다. (H3) 임의의 cp EC~(O) 에 대해서 q(cp) ~sup {l cp (x) 1lxEO} (II4) 임의의 ¢EC~(O) 에 대해서 su pp ¢cK0 이면. P( ¢,) ~ q(P (국 \)서 그러면 임의의 e>0 에 대해서 C 훈 (O) 의 연속반노음 q’ 이 존재하여 모든 ¢EC~(O) 에 대해서 다음을 만족시킨다. (i) q' (¢) 갑 (¢) , (ii) sup p ¢CH-• 이 면, q' (¢) = (l+e)q (¢), (iii) sup p ¢CK 1 이 면 , p (¢) 요 ’(P( 一 훑-)이 증명 O 를 선형공간 (7. 3) E= {¢EC~ (0) I sup p ¢cK 1} 울 반노음 (7. 4) q (P( －훑)이 (7. 5) sup {! (+x- rP( －훑)
그러므로 가정 (H3) 에 의해서 O 는 L2(Kl) 에 연속으로 매장된다• E 를 COO(O) 로 옮기는 선형사상 ¢一따훑)¢ 를 O 의 함수를 U 에 국한시키는 사상 ¢一 ¢Iu 와 따합라성서하 면임,의 의0 에U서E 0C O에O (U대) 해로서의 P연(속-¾선형-)사u상 는을 U얻 에는서다.의 COO 함수가 된다. 이것은 sin g su pp?(－훑 )ucH1 이 성립함을 보이고 있다. 여기에 가정 (H2) 를 적용하면. sin g sup p ucK-1 이 되므로 임의의 uEO 는 V=.O \ K-1 에서 cco 함수이다. 그러므로 닫 힌그래프의 정리에 의해서 요에서 V 로 국한시키는 사상은 연속선형 사상 0 一 C a:, (V) 를정의함을알수있다. 지금 r 이 CC0(U) 에서의 임의의 연속반노음일 메 (7. 7) q= (1+e)q + r 로두면 H-1nU=¢ 이므로 도움정리의 (i)과 (ii)가 항상 만족된다. 따라서 위에서와 같이 택한 임의의 r 에 대해서 도움정리가 성립하 지 않는다고 하면 (iii) 이 참이 아니 어 야 하므로 sup p ¢,1cK1
인 C ;;x' (O) 의 함수열 {싼}룹 택하여 (7. 8) P(i ) ~l+e (7. 9) q( P(-훑) ¢i) <1 (7. 10) P(- 훑-)¢j一° 이 되도록 할 수 있다. 단, 위에서 P(-¾) <1> 1- ― ➔ O 은 C o:, (U) 에서 의 수럼을 뜻한다. 집합 {¢i}는 O 에서 유계임이 분명하므로 L2(K' ）에서도 유계이다. 그러므로 {¢j}의 부분합수열을 택하여 L2(K1) 에서 ¢로 약하게 수렵 하도록 할 수 있다. 한편, C o:, (U) 에서 P( －훑)싼一° 이므로 U 에서 P( －훑 )¢=0 이다. 여기에 조건 (H2) 를 쓰면, sup p¢ cK-1 이 되어 V 에서 =0 이다. 자연스런 단사사상 J :
으로 1 의 값을 갖는 함수라고 하자. 조건 (Hl) 에 의해서 이와 같은 X 는 존재한다. 앞에서 밝힌 것과 같이 C 훈(0.)에서 십 =(1-X) ef,j 一° 이므로 C~( O.)에서 P( －훑)ef,j'一° 이 성립한다. 여기서 합 '=X ef,j 라고 두면 함수열 {cf,j}를 취한 방법에 따라 충분히 큰 j에 대해서 (7.11) p(합'） 학+宁 e (7.12) q (P( 국訂합 ')~l+ 운 이 성립한다. 그런데, su pp
(7. 15) 11IIL•~cllP( 훑 )¢IIn 가 성립한다. 정으 I 1.1 D.를 R 의 열린부분집합, P( ：訂룹 상수계수를 갖는 선형편미분작용소라고 할 때, Q가 강한 뜻으로 P( 검;)-볼록하다 (str o ng ly P 틀 )-convex) 고 함은 (i) O 가 P( 훑)볼록하고, (ii) n 의 임의의 긴밀한 부분집합 H 에 대해서 O 의 긴밀한 부분 집합 K 가 존재하여 R 에서 정의된 임의의 긴밀한 대을 갖는 초함수 u 에 대해서 (7. 16) sin g sup p P( －훑 )ucH 이 면 smg sup p ucK 가 성립함을 뜻한다. 위 에 나타난 P( 〕訂-블록함의 뜻은 정 리 5. 1 을 참조하면 된다. 정리 7. 2 Q 가 강한 뜻으로 P(::) 볼록하면 (7. 17) P( 출)g (요) =~, (D.) 가 성립한다. 위의 정리를 증명하려면 Cr(O) 위에서 정의된 임의의 연속반노음 p에 대해서 C;;'(D .) 위의 연속반노음 q가 존재해서 모든 C 훈(Q)의 원소 ¢에 대하여 (7. 18) 奭) 요 (P( －훑)¢) 가 성립함을 밝히면 충분하다. 실제로 T 를 Q 위의 임의의 초함수라고 할 때 P 를 l
가 되도록 택하고 위의 관계식 (7.18) 을 쓰연, P(-¾-) C~(O) 에 서 정의되는 선형사상 (7.19) P( －훑)¢一〈 T,¢ 〉 는 C~(O) 에서 유도된 위상에 관해서 연속이다. 그러므로 한-바나하정리를 따르면, 위의 선형사상은 C~(O) 전체 에서 정의된 연속선형범함수 L 로 확장되어 (7. 20) I L (#) | 학 (#) , 임을 뜻한다. 여기서 cp =P( 一걸~)¢ 로 택하면. (7. 22) > 가 성립하므로 (7. 23) P 틀 )S=T 이다. 정리 7.2 의 증명 C7(Q ) 위의 임의의 연속반노음 P 에 대해서 조건 (7.18) 을 만족시키는 연속반노음 q를 무한번의 과정을 밟아 구성하자. H1( j=l , 2, …）를 단조중가하는 O 의 긴밀한 부분집 합으로 Q 의 임 의의 긴밀부분집합은 어떤 HJ 에 포함되도록 택한다. O 는 강한 뜻으로 P( 겅另-볼록하므로 각각의 }에 대해서 요의 긴 밀한 부분집합 KJ CO 가 존재하여 모든 uE fJ '(R) 에 대해서
(7. 24) sup p P(- 훑 )ueHJ 이 연 sup p ucK1 (7. 25) sin g sup p P(-훑 -)l t eH j 이 면 sin g sup p ucK1 가 성립하도록 할 수 있다. 더우기 이때 KJ 는 Ki +I 의 내부에 포함된 다고 가정해도 좋다. 이제 {나룹 양인 실수의 열로서 (7. 26) ICO: E.1 <00 J= I 인 것이라 하자. 정리 7.1 에서의 H-1, H°, H1 ; K 가 K0, K1 대신에 HJ - I, Hf , Hj + 1 ; KEI, Kj , Kj + 1 을 택 하고 j=O 일 때 에 는 (7. 27) H-l=HO=K-l=KO=r/> 로 두며, C훈(Q)의 연속반노음으로 (7. 28) q湜) =sup { l ¢ (x) I l xEO} 에 의해서 정의되는 q o 를 택하자. HEl, Hj , Hm ; Kj - 1, Kj , Kj + 1 에 대 해 서 정 리 7. 1 의 조건들은 분명히 만족되므로 Cr( Q)에서 정의된 연속반노음 %를 귀납적으로 계속 만들어 (7. 29) sup p rpc Hi- 1 이 면 qi+I (¢) = (1 + E.i) qi (¢) (7. 30) sup p ¢cKi+ 1 이 면 P(¢) ~qi +l(P(- 훑-)이 가 성립하도록 할 수 있다. 이제 임의의 ¢EC~( .Q)에 대해서 (7. 31) q (¢) =lj-i+m00 gi (¢) 로 두면 , sup p 가 성립한다. 이것은 q가 C~( fl)에서 연속반노음임을 보인다. 한편 임의의 ¢EC~@) 에 대해 자연수 j 가 존재해서 sup p¢ cH1 가 성립한다. 이것은 sup p P (-D) ¢cHi c HJ+ 1 을 뜻하므로 sup p¢ CKi+ 1 이다. 그런데 (7. 32) 에 의해서 sup p ¢cHJ 이 면 q (¢) > qj+I ( (7. 34) I T Cs) I 학 C (l + ls l ) 'eAII.t; I 물 만족시키는 것이다• T 를 R 에서의 초함수라고 하고 U 를 R 의 열란부분집합이라고 할 메, U 에서 T 의 차수가 을 넘지 않는다고 함은 임의의 중복지수 p(단, |Pl~w) 에 대 해서 U 에서 정의된 측도 µ,가 존재하여 U 에서 (7. 35) T= 훑 틀)’써 로 나타낼 수 있음을 뜻한 다. 독히 , T 의 차수 ( order) 라 함은 T 가 위의 꼴로 나타내질 수 있는 가 장 작은 Q의 값을 말한다. 정리 7. s TEq J' (R) 이 라 하고 OEsin g sup p T 라 하자. 그러 면 임 의의 정수 N(O~N
의 차수는 N0 보다 크지 않다. 여기서 A=( 급:『+ ... +(;〔 -)2 은 라프라스의 작용소이 다. 식 (7. 37) 의 후리에 변 환 을 취하면 (7. 38) g (f) = (1 + I 汗) -kg k ( f) 몰 얻는다. 한편, g Ir 의 차수가 No 를 넘지 못하므로 (7. 39) g ~=IPl~N o ( 言a) P µp 라 나타낼 수 있고 따라서 (7. 40) gi, (f) = lp~l .S N o ( if) P;;., (f) 가 성립한다. 여기서 µp는 |x i
정리 7. 6 P(: 訂g' (.Q) =~' (.Q) 이 면 임 의 의 uEc f' (.Q) 에 대 해 서 sin g sup p u 에 서 O 의 경 계 에 이 르는 거 리 는 sin g sup p P(-¾)u 에서 O의 경계에 이르는 거리는 같다. 증명 O 의 경계를 an 로 나타내자. sin g sup p tt=¢ 이 면 정 리 가 의 미 를 갖지 않으므로 l:E8' (Q) 이 고 禪 C:;(O) 라고 가정하자. 지금 이러한 u 가운데 sin g su pp u 로부터 aQ 에 이 르는 거 리 d 가 sin g sup p P(-¾)u 로부터 aO 에 이 르는 거리 a 와 7같 지 않은 것이 있다고 하면, d~d 가 항상 성립하므로 이 u 에 대해서 d
tIE =X&t t 라고 두자. 그러면 콘볼루션 T*it . 가 구 (s p here) lxl
(A) u*S, 의 차수는 구 {x i lxl
생각하자. lal +d.=(1 나 -)lal +d. =(1-++~)d ~d-d. 이므로 V.c{xl lxl
의 차수와 같아지므로 0+| p u-1 日내를 넘는다. 그러므로 v. 에서 (7.44) 로 주어진 급수의 합의 차수는 j=li인 항 (7.49) 의 차수와 같고 이것은 u_OO 임에 따라 +OO 에 가까와진다. (증명 끝) 정리 5.4 와 우1 의 정리 7.6 로부터 다음을 얻는다. 정리 7. 7 P( 곱)qJ' (.0.) =g’ (Q) 이 면 .0. 는 강한 뜻으로 P( ：닌 불목하다. 정 리 7. 2 와 정 리 7. 6 를 합하면 .0. 가 강한 뜻으로 P( 감左)-볼록할 필 요충분조 건 은 임 의 의 uEC' (.0.) 에 대 해 서 sin g sup p u 로부터 a.0. 에 이 르는 거 리 와 sin g sup p ?(-:訂 U 로분터 a.0. 에 이 르는 거 리 가 같 울 것임을 알 수 있다. *제 3 장의 도움말 제 3 장의 여러가지 정리들은 함수해석학에 관한 충분한 이해를 바 탕으로 하고 있으나 우리의 주제가 편미분방정식론인만큼 함수해석 학과 연관된 여러가지 정리에 대한 지나치게 자세한 설명은 피하였다. 선명 이 불충분한 부분은 Kelley -N ami ok a[l], Treves[2J, Treves[3] 을 참조하는 것이 바람직하다. 3 장에서 소개된 말그랑쥬의 존재정리(정리 5.4), 하이비의 존재정 리 (정 리 3. 1) , ~/ (0) 에 서 의 대 역 해 의 존재 정 리 (정 리 7. 2 와 정 리 7. 5) 등은 초함수이론이 편미분방정식론에 도입된 이후 1950 년대와 1960 년대에 얻은 결과 가운데 가장 대표적인 것으로 간주되고 있다. 이들 결과는 초함수이론에 의해서만 가능했던 것으로 초함수이론의 유용성을 확고히 해준 결과라 할 수 있다. 말그랑쥬 및 하아비의 존재정리는 최근 리군 (L i e grou p ), 이를테면 토러스(t orus), 위에서 정의된 선형편미분방정식의 대역해의 존재정리 등으로 확장되고 있다. P( 훑)－볼록함에 대해서는 R2 에서 비교적 기하학적인 성질이 밝
혀져 있으나 고차원의 R(,z~3 ) 에 대해서는 거의 알려져 있는 것이 없어 많은 연구가 필요한 부분 가운데 하나이다. 칭 리 7. 2 는 원 래 Ehren p re i s [ 2] 에 서 O=R 일 경 우가 증명 이 되 었 으며, Mal g ran g范]에 의해서 il 가 볼록한 열린집합일 경우까지 확 장되었다. 정리 7.2 의 일반적인 경우와 정리 7.5 는 Hormander[3] 에 의해서 완벽하게 증명된 것으로 3 장에서 주어진 증명은 회르만더의 증명을 따른 것이다. 따 훑)가 변수계수를 갖는 선형편미분작용소일 때, O 가 강한 뜻으로 沿 훑)－볼록함이 (1) 따 훑)9)' (Q) =£0' (Q) 일 필요충분조건인가는 아칙 미해결문제로 남아 있다. 0 가 강한 뜻으로 P(x, ：는)－볼록 함이 (1) 이 성 립 할 충분조건 임 은 Treves 〔디에 주어 져 있으나, 이 조건이 필요조건은 아닐 것으로 예상되고 있다. 이와 같은 문제가 어려운 까닭은 LF 공간 C 훈 (0) 와 그 쌍대공간 !!J '(0) 의 위상이 구체적으로 접근하기에는 지나치게 복잡하기 때문인 것으로 알려져 있다. 제 3 장에서 다루지 않은 결과로 중요한 것은 (i) n 가 P( 곱)볼록하면, P( 훑 )L f oc (Q) ::JL ~o. : (0) (ii) n 가 P( 겅左)-볼록하면, P( 훑)화 (0) ＝화 (0) （단, 화 (0) 는 유한차수를 갖는 모든 초합수의 공간) 을 들 수 있다. 또, 제 3 장의 결과들과 관련된 문제로 T 가 선형작용소일 때 •• T8' (0) =8' (0)
또는 T 햏 (.Q) =~' (.Q) 이 성립하면. T : tfJ'' (11) — ➔ tfJ'' (11) 또는 T : 9J' (0) ― ➔ 9)' (0) 는 열린사상 (o p en ma ppi n g)임이 알려져 있다. 이들의 쉬운 증명은 Chi- C ho-Ki m [ l], Ki m J .[3] 에 주어쳐 있으며, 잘 알려진 후례쉬]공간 에서의 열린사상정리 룹 확 장 시키고 있다.
제 4 장 선형편미분방정식의 근사 단순해의 존재 초항수가 이루는 두 공간 E 와 F(EcF) 를 생각하자. uEF 가 동차선형편미분방정식 따훑 )u=O 의 해일 때. 같은 편미분방정식의 해 V 를 E 에서 구하여 u 와 U 를 얼마든지 가깝게 할 수 있는가 하는 문재는 E 의 구조가 단순할 때 U 를 v 의 국한으로 구성할 수 있다는 뜻에서 중요하다. 우리는 이때 v 를 u 의 근사 단순해라고 부은다. 이 장에서는 P( ：닌가 상수계수 선형편미분작용소일 때, 다항식의 공간 P , 지수다항석의 공간 EP. 지수형 정함수의 공간 Exp , 정함수의 공간 H, COO 함수의 공간 8 을 생각하고 Pn C EP C Exp C HC 8 의 각 단계에서 앞에서 제시한 운재 곧, 근사 단순해의 존재에 관한 해답을 얻기로 한다. 1 근사정리 제 3 장에서 다룬 C (X) (0) 와는 다른 여러가지 함수공간에서의 선형편 미분방정식의 해 또는 근사해의 존재를 살펴보기 위해서 그 기반을 이룰 함수해석학적인 기본정리를 이끌어내어 보자.
Eo, Fo, E. F, L 을 모두 국소볼록 하우스도르프공간이 라 하고 a, b, i, tlo , U 를 아래의 다이어그램에서 정의된 연속선형사상이라 한다.
E 。一a E u
우리는 다음을 가정한다. (1.1 ) b 의 상은 F 에서 조밀하다. (1. 2) i 는 단사사상이 다. (1. 3) 위 의 다이 어 그램 은 가환이 다. 곧, i0b ou0=11°a 가 성 립 한다. 이때 다음 정리가 성립한다. 정리 1. 1 (근사정리 ap pr oxim ati on the orem) ) 다음 가정 , 곧, (i) 따 는 단사사상이 고 :::z.. 상은 Eo’ 의 약한 위 상에 관해 닫혀 있다. (ii) E 와 F 는 후레쉬 1 공간이다. 의 가정 아래에서 다음 두 성질은 같은 뜻을 갖는다. (a) 임의의 Yo'EFo’ 에 대해서 〈퍼 (yo') Eat ( E') 이 면 Yo'Ebt ( F') > 이다. (f3) (f31 ) 임의의 y EF 는 접열 {b0u0(x,.)} 의 F 에서의 극한이다. 단, 여기서 {x ｝은 Eo 의 점 열로서 점열 {a( .x,.)｝이 E 에서 수령 하는 것이다, (f32 ) {x ｝을 Eo 에서의 점열로서 i -10U0a(X) 이 F 에서 0 으로 수령하는것이라고할때, a(x) 이 xEE 에 수렴하면, Eo 의 점 열 {x'} 이 존재 해 서 , 모든 n 에 대 해 서 Uo (x,.') =0 이 고 {a (x,.') } 은 x 에 수렴한다. 주 : 정리에서 (/3 1) 이 성립하면 (1. 4) u (E) ::Ji (F) 임에 유의하자.
증명 이제 공간 G 를 (1. 5) G= {xEEl u (x) 탁 (F)} 라고 정하고 사상 x— ~:G —~E (1. 6) (1. 7) x 一 1-10u ( x) :C 一 F 가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상을 G 에 도입하자. 그러면 G 는 ExF 에서의 관계 (rela ti on) u(x)= i(y)의 그래프와 위상동형이다. 그런데 이 그래프가 후레쉬 1 공간 ExF 에서 닫혀 있으 므로 G 는 후레쉐공간을 이룬다. 이때, 조건 (1. 3) 에 의해서 (1. 8) a(E 。 )cG 가 성립한다. 이제 합성사상 i-• ouoa : E 一 F 와사상 a:Eo_ 갤 몰 G 가 공변역이 되거나 정의역이 되는 연속사상으로 분해하여 보자. Go 를 a(E 。)의 G 에서의 례포 (c;osure) 라 하고 G 에서 유도된 상대 위상을 Go 에 주자. 또, v 물 사상 1-IOU 를 Gu 에 국한시킨 것이라 하자. 사상 (1. 9) a : E 。— ➔ c 。 는 조밀한 상을 가지므로 (1.l0) 의 전치사상은 단사사상이다. 따라서 다음과 같은 다아어그램을 얻는다.
11'
위의 다이어그램의 쌍대다이어그램을 만들면 다음을 얻는다.
El 。 U o a ➔ G 。\ rd /-➔1 0GU - -Id- ➔ Ev u
G 에서의 위상의 정의 에 따라 XEEo 일 때 점열 {a(x.)} 이 G 에서 x 에 수령 함은 {a(x) ｝이 E 에서 x 에 수렴하고 (1. 12) i- •0uoa (x) =bou 。 (石) =t’oa (xn) 이 F 에서 y =v(x) 에 수령함과 같은 뜻을 지닌다. 따라서 다음과 같은 동치관계물 얻는다. (/31 ) 仁 =~v : G 。― -F 가 전사사상이 다. (f3서 ~a (Kerno) 가 G 의 위 상에 관해 서 Ker i’ 에 서 조밀 하다. 우리는 정 리 1.1 울 증명 함에 있어 (/3 1) 과 (f3 2) 를 위와 같은 뜻으로 이해하겠다. (a) ===> (8l) V 가 전사사상임을 밝히려면 첫째, v' 가 단사사상임과, 둘째, V' 의 상이 Gn’ 에서 조밀함을 보이면 충분하다. 그러면, Go 와 F 가 후레쉬 1 공간이므로 잘 알려진 바나하정리 1) 에 의해 v 는 전사사상이 된다. v' : F' ― ➔ G 。’ 가 단사사상임은 씨와 b' 가 단사사상이며, 다이어그램 (1. 11) 에서 a10v'=u0°b1 가 성 립하므로 분명하다. 이제 (1. 13) v' (F') = [a (Ker u0) ] 0 임을 밝히자. 여기서, 국집합(p olar set) [a(Keru 。)〕 0 은 G' 에서 택힌 것이다. 1) Bourbaki [l] 참조.
우선, VI(F ' ) 드〔 a(Ker !lo) ] °임 은 분명하다. Go 는 G 의 선형 부분공간이므로 선형공간 ExF 의 부분공간으르 이해할 수 있다. 그러므로 Go 에서의 모든 연속신형범함수 A 는 ExF 에서의 연속선형범함수 (x', y'）으로 확장된다. 따라서 임의의 xEGo 에 대해서
그러므로 (1. 13) 이 성립하고 v'(F ' ）는 약한 위상에 관해서 Go’ 에서 닫혀 있다. (a) ===> (/32 ) 앞에서 우리는 (ii)의 가정을 사용하지 아니하고 (a) 는 [a( Keru0)]° =v'(F' ）을 뜻함을 보였다. 이 사실로부터 [a ( Ker u0) ] 0= (Ker v) 0 이 성립한다. 오른편의 국집합은 Go’ 에서 택한 것이다. 따라서 a(KerUo) 는 Go 의 위상에 관해서 Kerv 에서 조밀하다. (/31 ) 과 (/32 ) ===> (a) YoIEF 。’ 을 u o(y。 ’)Ea'(E' ）인 것이 라 하자. 그러면 E 위의 선형 범함수를 Go 에 국한시켜 얻는 ;!EC 。’ 이 존재 해서 u~(yo ') =a' (A) 를 만족시킨다. 먼저 k 三 #(F' ）임을 밝혀보자. 조건 (ii)로부터 Go 와 F 는 후레쉬 1 공간이 며 (~1) 에 의해서 v 는 G 。 예서 F 위로의 전사사상이다. 그러므로 v'(F') 은 약한 위상에 관해서 닫혀 있다. 이 사실과 (B2) 로부터 v' (F') = (Ker u) 0= [a ( Ker tto) J0 의 관계를 얻는다. 위의 국집합은 Go ' 에서 택한 것이다. 한편, Ub(Fo’) 은 조건 (i)에 의하여 약한 위상에 관해서 닫혀 있 으므로, (1. 19) 따 (Fo' ) = (Ker u0) 0 을 얻 는다. 여 기 서 국집 합 (Ker u0) 0 는 Eo’ 에 서 택 한 것 이 다. 그런데
a1 (..1) El 서 (F 。’) 이므로 AE[a (Ker tto) J0= v'(F') 이 성립한다. 마지막으로 u& (yo') =a 맛..1) =a% v' (F') =tt&ob 1 (F') 이 성립하고 따는 단사사상이므로 YoEb'(F') 운 얻는다. 이것은 성질 (a) 가 성립함을 보이므로 정리 1. 1 의 증명이 끝난다. （증명 끝) 위의 증명 가운데에 나타난 몇 가지 중요한 점을 유의해 두자. 첫째로 E 와 F 가 후레쉬 1 공간이 아닌 임의의 국소볼록 하우스도르 프공간일 때에도 정리 1. 1 의 다른 가정이 만족되면, 성질 (a) 는
(1. 21) 〈따 가 단사사상이 고 tt0( Fo’) 이 Fo’ 에 서 약한 위 상으로 닫혀 있 다 (weakly closed) . > 는 조건은 Uo 가 전사사상일 필요충분조건이다. 증명 Eo 와 F0 이 후레쉬 1 공간일 때에는 바나하의 정리로 잘 알려 져 있으므로 증명을 생략한다. 지 금 Eo 와 Fo 의 쌍대 공간 Eo’ 과 Fo’ 이 후레 쉬 1 공간이 라고 하자. Uo 가 전사사상임은 (1. 22) <1l b가 약한 위 상으로 모노모피 즘〉 임과 같은 뜻을 갖는다. 그런데 후레쉬 1 공간 사이에서는 약한 위상으로 모노모피즘임과 강한 위 상으로 모노모피 즘임 이 같은 뜻을 가지 므로 (1. 22) 는 (1. 23)
가 전사사상이어서 (2. 1) PC00 (0) =C° (O) 가 성립한다고 가정한다. 이제 O 의 열린부분집합 0’ 을 생각하자. 1 전에서 다룬 근사정리 1.1 을 사용하견 동차 편미분방정식 (2. 2) Pu=O 의 Q’ 에서의 C0 해를 O 에서의 C' 해로 근사시킬 수 있는 조건을 구 할 수 있다. 지금 정리 1. 1 에서 Eo=Fo=C' (Q) L=E=F=C' (0) i =F 에서의 항등사상 idF Uo=P 라 두고 a,b 는 G 에 국한시키는 사상, 1 t는 편미분작용소 P 를 C' (n') 에 국한시 킨 작용소라고 하자. 그러면 근사정리 1. 1 의 모든 가정은 만족된다. 실제로 b 의 치역 (ran g e) 은 Co0: , (0') 을 포함하고 C;;'(O’) 은 C;;'(O)’ 에서 조밀하다. 더 우기 Ea,Fo,E,F 는 후레쉬]공간이며, 정리 1. 2 에 의해서 정리 1. 1 의 조건 (i) 이 만족된 다. 성질 (a) 를 위의 경우에 적용하여 다음과 같은 개념을 얻는다. 정의 2.1 열 린부분집 합 Q’ 이 상대적으로 P 을닫록하다 (rela ti vel y ?-convex) 라 함은 임 의 의 초함수 1 t드 8/ (Q) 에 대 해 서 (2. 3) sup p P'uc.O .’ 이 면 sup p uc.0 .' 가 성 립 함을 뜻한다. 정리 1. 1 의 성질 (a) 가 상대적인 P- 볼록함과 같은 뜻임은 쉽게 알 수 있다. 또, 정리 1. 1 의 증명 가운데 나타난 공간 Go,G 와 사상 u 는 Ga=G=C' (요’) , v=P 로 주어진다.
정 리 1. 1 의 성 질 (/31 ) 과 (g2) 를 위 의 경 우에 맞도록 해 석 하여 다음 정리를 얻는다. 정리 2.1 PC00(0) =C00(0) 일 때, 다음 성 질 (a) 와 (f3) 는 같은 뜻 을갖는다. (a) n' 이 상대 적 으로 P- 볼록하다. (/3) (/31 ) PC00(0 ') =C00(0') (/32 ) 동차 편미분방정식 Pu=O 의 C CX)(Q’)에 속하는 해는 C CX) (O) 에 속하는 해의 C CX) (0' ）에서의 국한이다.
위의 정리로부터 PC CX)(Q )=C CX)(Q)일 때, O' 이 상대적으로 P- 볼록 하면 0’ 은 P- 볼록함을 알 수 있다. 실제로 우1 의 칭리에 의해서 0' 이 상대적으로 P- 볼록하면, PC00(0')=C00(0' ）이 성립하고 이것은 제 3 장 정리 3.3 에 의해서 0' 이 P 국운록함을 보인다. 우리는 상대적인 P- 볼록함에 대한 이와갇은사실을보다 발전시켜 상대적인 P- 볼록함이 보장될 필요충분조건을 찾아보기로 한다. K 를 O 의 긴밀부분집합이라 하고 k 를 음이 아닌 정수라고 하자. 또, sup p P1ucK 이 고 p1u 의 차수가 k 를 넘 지 않는 모든 초함수 싹三 II' (0) 의 초함수대 의 합집 합을 I'p (K, k) 로 나타내 자. 정리 2.2 PC00(0)=C00(0) 의 가칭 아래, 임의의 긴밀한 부분집합 K 와 입의의 정수 k~O 에 대한 다 (K,k) 는 X 의 긴밀부분집합이다. 증명 편미분작용소 P : C CX)(Q)_ ➔ C00(0) 가 전사사상이므로 제 3 장 정리 3.3 에 의해서 O 는 P 국순록하다. 그런데 uEc f' (O) 가 유한 차수를 가지 면 U 는 @F’ (R ) 에 속하고 제 3 장 (3.31) 에 의해서 fg/ (Rn) = UH :.c 이 성립하므로 U 는 적당한 s 에 대해서 HS 에 포함된다. 여기에서는 증명하지 않겠지만 제 3 장 3 절의 쏘볼레브의 도움정리 를 쓰면 실제 로는 다음과 같은 결과가 성 립 한다. 곧, uE< f' (D.) 의 차 수가 k 를 넘지 못하면 적당한 정수 s(s~O) 이 존재하여 t (EH5 를 만 족시킨다. 이때 s 는 k 에만 의존한다.이 사신과 P- 볼록함의 정의 제 3 장 정의 3.1 을 쓰면 「p (K, k) 는 - 0 의 한 건일부분집합 K1 에 속함을 알 수 있다. 따라서 정리 2.2 를 증명하려면 I'p (K,k) 가 닫혀 있음을 보이면 충 분하다. 이제 x 룹 다 (K, k) 의 집적점 (lim i t p o i n t)이 라 하고 V 룹 x 의 한 근방이라 하자. x 가 sup p P1ucK 이 고 P1tt 의 차수 학 인 어 떠 한 초함수 1 t슨cf' (.Q) 의 대에도 포함되지 않는다면, 위와 같은 조건을 만족하는 초함수열 {1k} 와 0 으로 수렴하는 엄격하게 단조하는 실수열 {사가 존재해서 모든 t에 대해서 (i) 구 B (x, r,) = {y J Jy - x J
를 생각하면, 급수 (2.6) 은 c 주 ;2 기이므로 &'(K) 의 노음에 관해서 수령한다. 급수 (2. 6) 의 합을 ve8Ir’ (K) 라고 하자. P 가 전 사사상이 므로 임 의 의 ¢EC 악 O) 에 대 해 서 cpE Cco (n) 가 존재 하여 ¢=Pep 가 성 립 한다• 따라서 <'2 =NI cil ti , ¢>= <,2= NI ciP t 1t , #> 을 얻고 이것으로부터 2 c i lk 는 8'(K') 에서 P1 tt =V 를 만 족 하는 u 에 수령함을 알 수 있다. 앞에서 설명한 바와 같이 K' 은 r p (K,l; ）를 포 함하는 O 의 긴밀부분집합이다. 이제 우리는 xEsup pt( 임을 밝히겠다. 이것이 밝혀지면 ve8k’(K) 이므로 X 드 D(K,k) 이고 이것은 우리가 처음에 .妖도「p (K,I;) 라고 가정 한 사실과 모순이므로 정리 2.2 가 증명된다. = ci+ 2 ci< I tj ,¢i> J>‘ 이므로 c, 의 정의에 의해서 l(u, ¢싸죠 (1-2 2- j)즈웅 >O 가 성립한다. 그런데 ¢i의 대가 X 에 수령하므로 x 는 su pp u 에 포함된다. （증명 끝) 위의 정리와 정리 6.1 로부터 다음을 얻는다. 따름정리 PC00 (.0.) =coo (.0.) 일 때 , 다음 두 성질은 같은 뜻을 갖는 다. (i) n'cn 가 상대 적 으로 P- 블록하다, (ii) 임의의 G 의 긴밀부분집 합 K 와 임의의 정수 k~O 에 대해서 0’ 의 긴밀부분집합 K' 이 존재하여 모든 u 드 8'( Q)에 대해서 sup p P1ucK, P1u 의 차수 학 이면 sup pu cK'
이 성립한다. 증명 (ii) = ⇒ (i) 은 분명 하다. (i)==(ii)는 K'= I'p (K,k) 로 두어 밝혀진다. （증명 끝) 앞에서도 말한 바와 같이 PC00(0)=C00(0) 일 매 O'cO 가 상대적 으로 P- 볼록하면 O 이 P- 볼록하므로 따름정 리 의 (ii) 가 모든 1 t드 8' (R) 에 대해서 성립한다(제 3 장 P- 볼록함의 정의 참조)． 그런데 위 의 따름정리는
서 해석적임을 뜻한다. 해석적으로 준타원형인 선형편미분작용소로는 해석적인 계수를 갖 는 타원형작용소 (Hormander [산 정리 7.5.1 참조)와 일계선형편미분 작용소 _a_xa1_ +.i.x . 먼. a一xa2 (k=O, 1, ···) (Mi zo hata 口〕 참조) 등이 알려져 있다. 정리 2.3 P 를 해석적으로 준타원형인 Q에서의 선형편미분작용소 라고 하고 K 를 O 의 긴밀부분집합, I?o 를 !l \K 의 상대적으로 긴밀 한 연결성분과 · K와의 합집합이라고 하자. 그러 면 , Ko 는 sup p PucK 인 모든 t/E 8' (.Q) 의 대 sup p tt 를 포함 한다. 특히 , P l=O 이 면 Ko 는 sup p PucK 인 tIe g ’ (Q) 의 대 sup p u 의 합집합과 같다. 단, 여기서 1 은 항등적으로 1 의 값을 갖는 합수이다. 증명 sup p PucK 인 초함수 uE< ff' (!l) 와 !l\K 의 상대 적 으로 긴 밀 하지 않는 연결성분 O 를 생각하자. O 에서 Pu=O 이므로 U 는 0 에서 해석함수이다. 그런데 su pp u 가 긴밀하므로 공집합이 아닌 O 의 어떤 열린부분집 합에서 U=O 이고, 따라서 u 는 0 전체에서 영이어야 한다. 그러 므로 sup p ucKo 이 성 립 한다. 역으로, O 를 !l \K 의 상대적으로 긴밀한 연결성분이라 하고 µ를 0 의 특성 함수 (characte r is t i c fun cti on ) 라고 하자. 그러 면 O=sup p u 이 고, 특히 P l=O 이 면 sup p PucK 이 성 립 한다. (증명 끝) Ko 는 O의 긴밀부분집합이므로 다음을 얻는다. 따름정리 P 가 O 에서 해석적으로 준타원형이면, O 는 P' －볼록 하다. 지금 P 를 O 에서 해석적으로 준타원형인 작용소라고 하자. 또, 요’을 O 의 열린부분집합으로 어떤 긴밀부분집합 Ken' 에 대
해서 K 。守Q 1 인 것이 라 하자. 만일 Pl=O 이면 Q 1 은 O 에서 상대적으로 P' －볼록하지 않으나 따 름정리에 의해서 P' －볼록하다. 구체적인 예로서 O. =R2 로 택하고 .O'= {(x., x2) lx12+xl=r= O } P= 函-a; -..+ ia瑟 로 두면 위의 사실을 확인할 수 있다. 3 근사 다항식해의 존재조건 ,1 변수에 관한 복소수 계수를 갖는 모든 다항식이 이루는 공간 (3. 1) fi'n= C[X1 , X2, …, X 』 을 생각하자. P! 를 차수가 k 를 넘 지 못하는 다항식 들이 이 루는 fflJn 의 부분공간. 곧, (3. 2) fJJ!= {AEfJ J,. I deg A~k} 으로 정하면, #S 는 노음 IIAll=A 의 계수의 결대값 중 가장 큰 값 에 의해서 바나하공간을 이룬다. 이때, f/J ~C 二뽀 KC 多;=… C#:e··· 伊= *CU~O1 뽀: 가 성립하므로 多,.은 바나하공간의 열 {#;｝가 결칭하는 LF 공간으 로서의 구조를 갖는다. #,.에서 정의된 선형범함수는 각각의 多:에 국한시킨 선형범함수 가 항상 연속이므로 LF 공간 夜,.의 쉬와르츠위상에 관해서 연속이다. 그러므로 꾼,.에서는 위상적 쌍대공간과 대수적 쌍대공간 (al g ebr ai c dual) 은 일 치 한다.
fj' n 과 더불어 n 개의 년수에 관한 복소수 계수를 갖는 형식적인 멱 급수 (for mal pow er serie s ) 가 이 루는 공간 (3. 3) Q n=C 託Y 1, X2, ···, Xn]] 을 생각하자. Q,의 원소 B 는 (3. 4) B= aE~N • B.X0 (단, X0=X~'Xf '··· X~·) 으로 나타내질 수 있고 각각의 계수의 수령이 정의하는 위상(t o p olo gy of converge nce of each coeff ici e n t) 에 의 해 서 우라냐] 공간을 이 문다. 여기서 이를테면, (3.4) 로 나타내어진 B 가 0 으로 수립한다 함은 B 의 계수 B. 가 모두 0 으로 수령한다 함과 같다. LF 공간 꾼 또는 후레쉬 1 공간 Q군기 유계인 부분집 합은 긴밀한 피]포 를 가지드로 &,.과 Q,.은 몽텔공간(?\fo n t el s p ace ) 이다. 그러드로, 독 히 #n 과 Q,. 은 재귀 적 (refl ex iv e ) 이 다. #과 Q,.은 쌍일차형식 (3. 5) =a ~~v • +a!, A(a) (0) BC•) (0) 에 의해서 쌍대관계를 갖는다. 우리는 (3. 6)4) A(0=(: 一 )aA=( 국 )a, （ 晶 )a\ .. （궁 )A 의 기호를 사용하고 있다.
4) 훑는 업일하게는 궁운로 표기하여야 하지만 관례를 따라 대문자 X 대신 소문자 X 을 사용했다. 이을테 면 —Ua_X I- (Xt )=2 X1 이다.
쌍대관계 (3.5) 에 의해서 夕은 Q,.의 쌍대공간을 이루고 Q n 은 f!IJ 의 쌍대공간을 이룬다. 지금 꾼 또는 Q. . 에 정의된 상수계수를 갖는 선형편미분작용소 (3. 7) P=P(¾)=P( 읊가 ••• :」 을 생각하자.
P 의 전치사상 P 는 (3. 8) P1 : A-P( X )A (다항식 P(X) 와 A 의 곱) 으로 주어진다. 실제로 P ( X)=X1 인 경우를 생각해 보면 〈(蓋 )/A, B> = 8훑 B 〉 〈(급「 )/A, B> = ~ -¼ Aca) (0) (겔汀 a) (O) = .aI : ~aA! (a) (0 ) B
(ii) Q”의 경우 Q”은 후레쉬]공간이므로 p : Q.-Q. 이 전 사 일 필 요충분 조 진은 전 치사상 F 가 단사이며 약한 위상에 관해서 닫힌 치역 (ran g e ) 를 갖는 것이다. 그런데 PT 는 #n 의 원소에 다항식 P(X) 를 곱하는 사상이므로 단사사상이다. 한편 P1 의 치역 P1 꾼 n 은 〈 유한 차원 〉 인 하우스도르프 위상선형공 간 伊 E 가 정의하는 LF 공간의 부분공간이므로 약한 위상으로 닫혀 있다. 실제로 夕의 아이디얼 P t #n=P(X) 忽 n 이 약한 위상으로 닫혀 있음을 보이려면 (3. 9) pt9n '=[ K erP J 0 임을 보이면 충분한데, 우리의 경우 이것을 꾼:에 국한해서 보이면 충분하고 유한 차원의 공간에 대해선 (3.9 ) 가 항상 성립한다. （증명 끝) 주 정리 3.1 에서 P( ：訂룹 g, n 에 작용시킬 때에는 P(::) 가 형식적인 멱급수로 정의된 작용소 (3.10) P 틀)= ~ c.( 訂 로 확장해서 생각해도 좋다. 이때에도 P(¾)9.= flJ.은 변함없이 성립한다. 일반으로 P( 겅:）가 임의일 때에는 근사정리 1. 1 을 다음 다이어 그램
P#l “ 一 Ql p (단, L=Q )
에 적용할 수 없다. 실제로 이 경우 근사정리 1. 1 의 가정은 모두 만족되지만 성질 (a) 만은 임의의 P 에 대해서 성립하지 않는다(가정 가운데 (i)은 #“아 재귀적인 후레쉬 1 공간 Q”의 쌍대공간이므로 정리 1. 2 에 의해서 성립
한다). (3. 11) 의 경 우 정 리 1. 1 의 성 질 (a) 는 (a') 〈임의의 형식적인 멱급수 u 에 대해서 P(X)u 가 다항식이면 l t도 다항식이다.〉 와 갇은 뜻을 갖는다. 우리는 선형작용소 P( 감左)가 성질 (a')을 가지려면 다음 성질 곧, (a) 〈다항식 P(X) 의 모든 기약인자가 원접에서 영의 값을 갖 는다.〉 가 성립할 것이 필요충분함을 보이겠다. (ct’) =수 (a’’) 의 증명 지 금 P (X) =Q (X) R (X) (단, Q (X) , R (X) 는 다항식)라고 하고 다항식 R(X) 는 상수가 아니며 R(O) =I= 0 을 만족시 킨다고 하자. 그러면 〔 R(X) 〕-1 은 다항식이 아닌 형식적인 멱급수인 반면 P(X) IR(X) 〕 -1 은 다항식이므로 모순이다. （증명 끝) (a”)= 수 (a’) 의 증명 이것을 증명하는 데에는 아래의 두 도움정리가 필요하다. 도움정리 3. 25> tt, v, tu 를 형 식 적 인 멱 급수로 UV=tU 를 만족시키는 것이라고 하자. 이때 u, w 가 O 의 근방에서 수령하면 V 도 0 의 근방에서 수령한다. 위 의 정 리 는 해 석 적 기 하학 (analyt ic ge ometr y ) 에 서 나오는 예 비 정 리 (pre p ar ati on the orem) 의 독수한 경 우인 데 증명 은 생 략한다. 도움정리 3. 3 P(X) 를 원점 에서 영 인 기 약다항식 이 라고 하고 H(z) 를 정함수 (en ti re fu nc ti on) 로 H(z)/P(z) 가 원점의 근방에서 해석적 인 것이라고 하자. 그러면, H(z)/P(z) 는 정함수이다. 5) Treves (1] , Lemma 4. 2 참조•
증명 V= {zEC I P (z) =0} 라고 두자. P 가 기약이므로 V 는 기약인 해석집합 (anal yti c set ) （곧, V 의 칭 척 점 (reg u lar p o i n t)의 집 합 vo 아 연결되 어 있는 집 합) 이 된다. 함수 H(z) 를 vo 에 국한한 함수는 vo 에서 해석적이고 H(z) 는 V 에 포함되는 원점의 근방에서 영이므로 vo 전체에서 영이다. 한편, vo 의 점들은 정칙이므로 z0EV0 일 때 C” 의 변수를 선형변 환하여 감의 적당한 근방에서 P (z) = (z _ z~) p (z, z0) , p (z, z0) =I=O 이 성립하도록 할 수 있다. 그런데 이것이 성립하면, 적당한 k~l 에 대해서 zO 의 근방에서 H (z) = (z -z ~) k!z (z, z0) 이 성립해야 한다. 따라서 H(z)/P(z) 는 · 강의 근방에서 해석적이어야 하고 그 결과 H(z)/P(z) 는 C\V1 (단, vl=V\v°) 에서 해석적이어야 한다. 한편, H(z)/P(z) 는 메로모르픽 함수 (meromor ph ic f unc ti on) 이 므로 만일 이 함수의 극(p ole) 의 집합이 공집합이 아니라면, 이 국의 집합 은 복소수의 뜻으로 여 차원 (codim ensio n ) 1 을 가져 야 한다. 그러 나 V 흔 적어도 2 인 여차원을 가지므로 H(z)/P(z) 는 국을 갖지 않는 다 (증명 에 사용된 용어 는 Gunnin g -R ossi 〔다 울 참조) . (증명 끝) 이제 (a)=>(a’) 임을 보이자. 지 금 uEQ n , QE ?n 이 라 하고 Pu=Q 가 성립한다고 하자. 그러면 도움정리 3.2 에 의해서 1 t는 원접의 근방에서 수령한다. 여기서 P 가 기약이라면 도움정리 3.3 에 의해서 u(z)=Q ( z)IP(z)· 는 정함수가 되어야 한다. 그런데 리우비으정리 (L i ouv ill e's t heorem) 에 의하면 유리형함수가 정함수인 경우는 다항식일 때뿐이다. 따라서 u (z) 는 다항식 이 다. ((a) ==> (a') 의 증명 끝)
지금 Pi , P2 ,· ··, P, 울 기약다항식이라 하고 이들 모두가 원점에서 영 의 값응 갖 는다고 하자. 그러 면 (a’’) =⇒ (a’) 을 잇 달아 적 용하여 P2… P ,u, P3 --• P,11, ···, tt 가 모두 다항식 임 을 알 수 있다• 따라서 이 와 감은 P 에 대해서는 성질 (a' ）이 . 성립한다. 그러므로 위와 같은 P 에 대 해 서 근사정 리 1. 1 을 적 용하연 다음 정 리 를 얻 는다. 정리 3.~ p(훑)을 상수계수를 갖는 선형편미분작용소라고 하자. 그러면 다음 두 성질은 같은 뜻을 갖는다. (a) P(X) 의 모든 기 약인자는 원점에서 영의 값을 갖는다. (/32 ) 편미 분방정식 P( 훑 )u=O 의 모든 형식적인 멱급수해는 같은 방정식의 다항식해의 Q예 서의 국한이다. 위의 정리는 정리 1. 1 에서 Go=G= Q,.<김에 유의하면 바로 증명된 다. (/3 1) 은 정 리 3.1 에 의 해서 항상 만족된다. 4 근사 다항식해의 존재에 관한 정리 이 절 에 서 는 P( 훑)를 복소변 수 Zi , Z2, ·••, Z,. 에 관한 복소수계 수를 갖는 선형편미분작용소 P( 훑)= 혼 g(훑 )e = 꾸 Ca( 읊 _)aI( 읊 -)a:•••( 읊 -r· 이라고 하자. 우리는 다음과 같은 공간들을 생각한다. &'n=C[Zi, Z2, ... , Z』 루 n 개의 복소변수에 관한 모든 다항식이 이루는 공간, Ex p =C 에서 정의된 지수형의 정함수 전체가 이루는 공간, H=C 에서 정의된 정함수 전체가 이루는 공간.
이들 공간에 대해서는 아래에서 자제히 설명하겠으나 다음과 같은 다이어그램이 성립한다.
伊 _-Ex p —-H
공간 # .. 에는 R 에서와 마찬가지로 쉬와르츠 위상이 주어진 것으 로 생각한다. 공간 Ex p와 그 위상은 다음과 같이 정의한다. C 에 서 정 의 된 정 함수 (enti re fun cti on ) f 가 지수형 (exp o nenti al typ e) 이라함은적당항실수 A,B)O 이 존재해서 모든 zEC 에 대하여 (4.1) 1/(z) I ~Aea1~1 몰 만족시킵을 뜻한다. Ex p는 지수형의 정함수 전체가 이루는 공간 을뜻한다. 이제 실수 B 가 주어졌다 하고 Ex p (B) 와 |l f ||B 를 (4. 2) Exp (B )={/EHl3A)O, YzEC lf( z ) l ~AeBlrl } 및 (4. 3) ll/lls=sup {e-81 rl lf( z ) I lzEC} 으로 정의하자. 그러면 (4.3) 은 실제로 Ex p (B) 에서 노음이 되며, 이 노음에 관해 서 만E일xp (B B<) B는' 이바면나,하 공우리간는을 자이 연룬다스.런 단사사상 Exp ( B)— -Ex p ( B') 을 얻는다. 이 사상은 분명히 연속사상이지만 모노모피즘은 아니다. 곧, Exp (B) 의 노음은 Exp (B') 에 서 유도된 노음과 대 등 (eq u iv a lent) 하지 않다. 그러나 이 경우에도 Exp = UB E xp (B) 이므로 우리는 Ex p에 Ex p (B) 에 의해서 정의되는 귀납적 국한(i nduc t1v e limit) 위 상을 줄 수 있다.
공간 H 는 엄밀히 써 줄 필요가 있을 때는 H(C) 으로 냐타내며, C 의 긴밀부분집합 우]에서의 평등수령에 의한 위상이 갖추어져 있다. Ex p와 H 는 서로 쌍대공간임을 알 수 있다. 실재로 uEH' 이 라 하고 후리에-라프라스변환 6) u_ 一g -1 t 을 (4. 4) §u (t) = (단, z, sEC, z·s=z1s1+···+z,,s,,) 로 정의하면, f드 Ex p, lzEH 일 때 (4. 5)
6) Treves [2] 참조. 식 (4.5) 에 의해서 fF H'=Ex p가 성립한다.
한편, &.cExp, HcQ . 임 은 분명 하다. 이 때 f드 #n 이 면 (3. 5) 에 서 주어진 뽀과 Q n 의 쌍대관계는 (4.5) 에서 주어진 Ex p와 H 의 쌍 대관계와 일치한다. H 는 몽텔공간이므로 목히 재귀적이다. 그러므로 (4. 6) (Exp )' ~H 가 성립한다. 이제 우리가 다루게 될 공간에 대한 여러가지 성질을 알았으므로 이들 공간에 대해서 근사정리 1. 1 을 적용하여 보자. 먼저 근사정리 1. 1 온 실변수에 관한 선형편미분작용소 P( ：訂에 대해서 도출했었 으나 이 정리가 복소변수에 관한 선형편미분작용소 P(:: ）에 대해 서도 변함없이 성립함에 유의하자. 마찬가지로 뽀'Q”에 대해서 얻은 여러가지 결과도 P( 겅王)에 대해서 성립한다. 정리 4.1 다항식 P(Z) 의 모든 기 약 인수가 원접에서 영의 값을 가 지면 선형편미분방정식 P( 훑 )u=O
Ex p에서의 해는 갇은 방정식의 다항식해의 Ex p에서의 극한이다.
증명 다이어그램
에 정 리 1. 1 을 적 용한다. 그러면 성질 (Ci)는 〈임의의 uEQ n oJl 대해서 P(Z)uEH 이면 uE 가 I 이다〉 의 성질과 같은 뜻을 갖는다. 여기에서 도움정리 3.2 와 도움정리 3.3 을 사용하면 위의 성질은 (a) 〈다항식 P(Z) 의 모든 기 약인수는 원점에서 영의 값을 갖는 다.〉 와 같은 뜻을 갖는다. 한편 정 리 1. 2 와 3. 1 에 의 해 서 정 리 1. 1 의 조건 (i) 이 만족된 다. 또, 자연스런 단사사상 #n 一 Ex p 의 전치사상은 단사이므로 忽은 Ex p에서 조밀하다. 그러므로 근사정리 1. 1 의 증명 다음의 첫째로 유의할 점에서 밝힌 바와 같이 (a) 는 (f32 ) 를 뜻한다. （증명 끝) 근사정리 1. 1 의 다른 응용을 얻기 위한 준비로 다음 정리를 증명 하자. 도움정리 4.2 P(Z) 를 다항식이라고하면 실수 C>O 이 존재해서 C” 의 모든 정함수 h 와 모든 zEC” 에 대하여 (4. 7) llz(z) I ~C sup { I P (z')h(z') 111 z-z' I <1} 이 성립한다. 증명 변수의 선형변환을 취하여 P(Z)=Zr+ (Z1 에 관한 m-1 차 이하의 항)
의 꼴 로변 형할 수있으므로 Z2, ••• ,zn 울임의로고정하여 일변수 Z t 에 관한 경우를 증명하면 충분하다. 곧, 일변수 Z1 에 관한 다항식 P1 (Z1) 이 P1 (Z1) =Zi+ (m-1 차 이 하의 항) 의 꼴일 때 복소평면 위의 모든 정함수 ¢와 모든 Z1EC1 에 대해서 I¢(21) I~sup {P 1(zi' )(zi' ) 11 I21'-zd <1} 이 성립함을 보이면 충분하다. 그러 므로 Zi = O 으로 평 행 이 동하고 최 대 값 원 리 (maxim um pr in c ip le > 룹 쓰면 (4. 8) 1¢ (0) | ~sup { I P1 (zi' ) ¢ (zi' ) 11l z1' l =l} 만 밝히면 충분하다. 이제 E 를 P1 과 같으나 모든 계수를 공액복소수로 바꾼 다항식야 라고하고 Q (t) =t•pI U -1) 로두자. lz1'l =l 이 면, I Q(집) l=IP! （십) |이 고 Q( O) =1 이다. 따라서 식 (4.8) 은 IQ ( O)¢(0) I~su p {I Q (z i')¢(집) | llzi' l= l} 과 같아지는데 이 사실은 분명하다. （증명 끝) 정리 4.3 P(- 훑-) : Ex p一 Ex p는 전사사상이다. 곧, P 틀 )Ex p =Ex p 가 성립한다. 증명 도움정리 4.2 로부터 C 의 임의의 긴밀부분집합 K 에 대해서 sup { lh(z) I lzEK} ~su p{/P( 김)/!（김) lld(z', K)
이 성럽한다. 아것은 사상 I i _-Ph 가 H 에서 자기 자신으로의 모노모피즘임을 보인다. 그러므로 /l_ ＿나기i의 전치사상은 에피모피즘이다. 한편, H 와 Ex p는 쌍대관계에 있으므로 /i _Ph 의 전치사상은 {3. 8) 에 의 해서 P( 嗣 : Ex p一 Ex p 로 주어진다. 따라서 P( 걸:）는 전사사상이다. （증명 끝) 이 제 정 리 1. 1 을 다이 어 그램 틀)』Ex p — — ➔ Hl (단, L=H ) Exp -> H 에 적용하자. Ex p는 후레쉬 1 공간 H 의 쌍대공간이므로 정리 1. 2 에 의해서 정리 1.1 의 조건 (i)이 만족된다. 또, Exp 는 H 에서 조밀하다. 마지막으로 정리 1. 1 의 성질 (a) 는 Ex p와 Ex p를 포함하는 더 큰 공간인 H 에 대해서는 항상 만족됨을 보이자. 성질 (a) 는 이 경우 (a) 〈임 의 의 l!EH 에 대 해 서 PhEExp 이 면 lzEExp 가 성 립 한다〉 와같다. 그런데 h 드 H 이고 PhEEx p이면 도움정리 4.2 에 의해서 lh(z) | ~c sup {A eBlt+ ,,,11 iz' I <1} ~C'eBltl 가 성립한다. 따라서 hEEx p임을 알 수 있다. 이상의 설명으로부터 다음 정리를 얻는다. 정리 4.4 p(훑)를 상수계수를 갖는 복소변수에 관한 선형편미분 작용소라고하자.
그러면, P 틀 )H=H 가 성립한다. 또, 편미분방정식 P 峰 )u=O 의 H 에 속하는 해는 같은 방정식의 지수형 칭함수해의 H 에서의 극· 한이다. 정 리 4. 4 와 정 리 4. 1 을 합치 면 Exp 를 매 개 로 해 서 다음 정 리 를 얻 는다. 물론 이 정 리 는 # 과 H 에 직 접 근사정 리 1. 1 을 적 용해 서 언을 수도 있다. 정리 4.s P( -iz-)룹 상수계수를 갖는 복소변수에 관한 선형편미분 작용소라고 하자. 다항식 P(Z) 의 모든 기약인자가 원접에서 영의 값 을 가지면, 편미분방정식 P 틀 )11=0 의 정함수해는 같은 방정식의 다항식해의 H 에서의 극한이다. 지금까지 다룬 4 절의 내용은 복소공간 C” 에서 정의된 함수에 관한· 것들이었다• 이제 Rn 에서 정의된 C 함수의 공간cf =C(R ）과 앞에 서 다문 여러 공간 사이의 관계를 알아보자. H= l-l (C ）의 원소를 R” 에 국한시키면 C00(R ）의 원소가 되므로 우 리는 자연스런 단사사상 (4. 9) H(Cn) —-c o:,( Rn) 을 얻는다. 단사사상 (4.9) 는 조밀한 상을 가지며 그 전치사상은 (4. 10) ~'=~' (R~) 一 H'=:F -1 (Exp ) 로 주어진다. （단, 多는 후리에-라프라스 변환)
사상 (4.9) 에 의해서 우리는 다음과 같은 다이어그램을 얻는다.
틀)』伊 _-E x) p - H) ―一 8l p(+x- )
이 다이어그램으로부터 얻을 수 있는 여러가지 공간의 쌍에 대해서 근사정리 1. 1 을 사용할 수 있다. 이를테면 다이어그램
P(울 )E』x p -glp (* ) (단, L=8)
올 생각해 보자. 이 경우 정리 1. 1 의 모든 가정이 만족됨을 쉽게 알 수 있다. 또, 이때 성질 (a) 는 〈임 의 의 hEG' 에 대 해 서 PhE!i 78 ' 이 면 l t든空 8 이 성 립 한다. > 와 갇다. 여기서 多는 후리에-라프라스 변환을 나타낸다. 그런데 펠리국 1 1..--J정리에 의하면, PhE!i 7G ' 일 필요충분조건은 상수 A,B,N 이 존재해서 모든 zEC 에 대하여 IPh(z) |~A(l+ lz l) HeBIR 러 이 성립하는 것이다. 그러 므로 PhE!i 7G ' 이 면, lh(z) l~AC 챔f 1 (1+ lz+z'l) H eBIRh+r >I 곧, l h (z) | ~A' (1 + l z l) HeBIR,•I 이 성 립 하고 hE!F
정리 4.6 p(훑) 를 상수계수물 갖는 선형편미분작용소라고 하자. 그러면 P( 훑 )11'=11' 이다. 또, 편미분방정식 P( 훑 )u=O 의 8' 에서의 해는 P( iz )u=O 의 Ex p의 해를 R 에 국한시킨 것의 g’ 에서의 국한이다. P( 훑)를 정의하는 다항식 P(X) 의 기약인자가 원점에서 영일 때 에는 정리 4.5 와 유사한 정리가 8 에서도 성립한다. 5 지수다항식해에 의한 근사 이 절에서는 다항 식 P(Z) 에 특별 한 조건을 주지 않고 지수다항식 인 근사해의 존재에 관한 정리를 증명하겠다. P=P( 훑)는 상수계수 를 갖는 복소변수에 관한 선형편미분작용소 이며 우리는 동차편미분방정식 P( iz )u=O 의 해를 C 에서 생각하 겠다. 지수다항식 (exp o nenti al pol yn omi al ) 이 란 zEC” 에 대 해 서 (5. 1) f(z ) = _I: er•'t, (z )
(5. 2) EP= EB c=•t; g, ¢EC· 을 지수다항식 전체의 공간 (sp a ce of exp o nenti al -po lyn omi al s) 이 라 하고 EP 에 직합위상 (dir e ct- s um top ol og y.) 을 준다. 여 기 서 직 합위 상이 라 함은 어떤 볼록집합이 원점의 근방이 될 필요충분조건을 이 볼록집합 과 각 칙 합인자 (dir e ct fac to r ) e 궁(!JJ,. 과의 공통부분이 e,:• 였% 에 서 원 점의 근방일 것으로 정한 위상이다. EP 의 쌍대공간은 (5. 3) (EP)'= IT (e2. 였%)’ CEC· 으로 주어진다. 그러므로 EP 에서 정의된 연속선형범함수는 각 칙합인자에서의 연 속선형범함수에 대응하는 형식적인 멱급수족 {u,} (sEC ）에 의해서 일의적으로 결정되며 이 쌍대관계는 (5. 4)
을 얻는다. 여기서 다는 따f (z) =f(z -s) 로 정의되는 g에 의한 평행이동을 나타낸다. (5. 6) 을 정 리하면
EP - Exp
에 근사정리 1.1 을 적용하자 정 리 1. 1 의 성 질 (a) 는 〈임 의 의 uEEP 에 대 해 서 P'uE(Exp )’ 이 면 uE(Ex p)’이 성 립 한다〉 와 같다. 한편, e'f( z )EEP 이 면, (5. 7)
=
(r-_ ,P) u,=r- -, h 가 만족되면, g EH 가 존재하여 임의의 :EC· 에 대해서 u,=- r-,g 가 성립한다.〉 와같다. 그러나 만일 (T_CP) tt c=T-rh 이면, 임의의 · 고정된 S 에 대해서 tt c 는 〈· 의 근방에서 수렴하는 두 멱급수의 상(q uo ti en t)으로 나타내진다. 그러므로 도움정리 3.2 에 의해서 tt c 는 g의 근방에서 수렴하는 떡 급 수가된다. 이것은 lz(z)/P(z) 가 임의의 〈 ECn 에서 해석적임을 보이므로 Jz (z)/P(z) 는 정 함수 g 와 같다. 이와 같이 어떤 정함수 g에 대해서 h=Pg 가 성립하므로 임의의 〈에 대해서 U 든름=,_,g 를 얻는다. 이상의 설명으로부터 EP, Ex p에 정리 1. 1 을 적용하면 P 에 특별 한 조건을 줌이 없이 (a) 가 항상 성립함을 알 수 있다. 실마제찬로가,지 로(5 .7정) 로리 부1터.1 의선 조형건편 미(분i)작도 용임소의 의P (P 경 a에; ）대의해 서전 치만사족상된 다F. 에 대해서 (5. 8)
=<( -r_ ,P) u,, f> 가 성립한다. 식 (5.8) 로부터 pt가 단사임은 분명하다. 또, (-._,P) Q”은 Q”에서 닫혀 있으며 n, (5.8) 에 의해서 pt(E P)'= _TI (r_,P)Q ,. 'EC· 7) Trevrs [3] Theorem 28. 1 참조.
이 성 립하므로 P'(EP)’ 은 (EP)'= IT Q,. ~EC• 에서 닫혀 있다. 따라서 득히 P'(EP)’ 은 (EP)’ 에서 약한 위상으로 닫혀 있다. 이상의 설명과 정리 1.1 다음의 첫째주를 사용하면 다음을 얻는다. 정리 s.1 (말그랑쥬) P( 감닌불 상수계수를 갖는 복소수변수에 관한 선형편미분작용소라고 하자. E 를 Exp 또는 H 라고 하면, 편미분방 정식 P( 훑 )u=O 의 E 에서의 해는 같은 방정식의 지수다항식해의 E 의 위상에 관한 국한이다. E=Exp 에 대 한 정 리 5. 1 은 앞에 서 증명 하였다. E=H 일 때는 Ex p를 매개로 하여 정리 4 . 4 를 적용하면 된다. 6 C 의 볼록부분집합에서의 해의 존재 Q 를 C” 의 열 린 볼록부분집 합이 라 하고 P(:: ）를 상수계 수를 갖는 선형편미분작용소라고 하자. 우리는 요에서 해석적인 모든 함수의 공간 H(O) 에 속하는 f에 대 해서 편미분방정식 (6. 1) P( 훑-)tt=f 의 해 U 를 H(O) 에서 구하는 문제를 생각하기로 한다. 이제 다음 다이어그램
H ;, H(O)
을 생각하자. 여기서 사상 H-H(n) 는 f든 H 의 정의역을 O 에 국 한시키는 사상이다. O 가 볼록집합이면 O 는 링계영역 (Rung e doma i n) 이므로 이 단사사상은 조밀한 상을 갖는다. H 와 H(O) 는 긴밀부분집합 위에서의 평등수렴이 정의하는 위상에 관해서 후레쉬 1 공간으로 동텔공간을 이룬다. 정리 4.4 에 의해서 선형편미분작용소 (6. 3) P( 훑 ):H 一 H 는 전사사상이므로 근사정리 I. I 의 조건 (i)과 (ii)는 (6.2) 에 대해서 는 저절로 만족된다(정 리 I. 2 참조). 한편, 근사정 리 1.1 의 성질 (a) 를 (6. 2) 의 경우에 대해서 풀이해 보면 〈임의의 uEH' 에 대해서 P(-¾)u 가 .0.에서 정의되면 U 도 O 에서 정의된다.〉 와 같다. 일반으로 어떤 해석법함수 8) ¢드 H’ 이 열린집합 0 에서 정의된다 (carrie d by .0.) 라 함은 ¢ 가 H (.0.) 의 연 속선 형 범 함수로 확장됨 을 뜻 한다. 또, 어떤 해석범함수 ¢EH' 이 긴밀집합 K 에서 정의된다 함은 ¢가 K 를 포함하는 임의의 열린집합에서 정의됨을 뜻한다.
8) H’ 의 원 소를 해 석 범 합수 (analyt ic fun cti on al) 라고 한다. 해 석 범 함수의 성 질 에 관 해서는 Treves [2] 들 참조한다.
이제 요가 볼록하면 (a) 는 항상 성립함을 밝혀보자. 우선 어 떤 해 석 범 함수 D 가 열 린 집 합 .0. 에 서 정 의 되 면 v 는 .0. 에 포 함되는 어떤 간밀한 집합에서 정의된다. 실제로 V7)- H( .0.）에서 연속 이므로 .0.에 포함되는 긴밀부분집합 K 가 존재해서 적당한 상수 C 에 대하여 (6. 4) I
도움정리 6.19> K 를 내부가 공집합이 아닌 C 의 긴밀부분집합이라 고하자. 해석범함 수 妖든 H' 이 K 에서 정의될 필요충분조건은 K 의 국집합 (po lar set) f단 의 경 계 의 거 의 모든 접 a* 에 서 lz,, (a*) ~ 1 일 것 이 다. 정 리 에 서 ll, 는 해 석 범 함수 u 의 지시함수(i nd i ca t or fu nc ti on) 로 (6. 5) h,(z ) = ii~m ...s OuO p { r-1log l ff v(r z) I} 정의된 것이다. ( 6.5 ) 에시 多는 후리에-라프라스변환을 뜻한다. 또, 위 의 정리에서 국집합 KO 는 (6. 6) K0= {a* I vaE K, R. ~1 } 로 정의된다. 지금 u 든 H' 이면 훗住 (-훑 )u (z)]=P ( z),fJ 'u( z) 이드로 l% （국) (z)=}~먼 ~u p [r-1lo g /P(rz) I +r-1log /ffu( rz) /] 가 성립한다. 만일 z 가 P의 모든 동차항에 대한 공통근 (common zero) 이 아니 틴 , 적 당한 k~O 에 대해서 r-+co 일 때 I P (rz) I ~rk I Pk (z) I (단, Pi 는 P 의 k 차 동차항) 이 성립한다. 그러므로 l 血 [r- 1log / P(rz)1 ]=0 이고 h p(－士 )u (z) =0+1im~ + sc 따o [r- 1log l !!T tt(r z)I ] 이다. 이것은 거의 모든 점에서 9) Marti ne au (1) Theorem 4. 1 참조.
(6. 7) h p(국) (2) =hu (z) 임을 보인다. 이제 (a) 가 성립함을 밝히자. uEH' 이고 P(- 겁 ~)11 가 열린 볼 록집합 O 에서 정의되면, P(- -iz )u 는 내부가 공집합이 아닌 어떤 O 의 긴밀부분집합 K에서 정의되고 이 K 의 국집합 KO 의 경계 위의 거의 모든 점 a* 에서 l%( 글) (a*) ~ 1 울 만족시킨다. 따라서 (6. 7) 에 의 해 서 KO 의 경 계 위 의 거 의 모든 점 a* 에 서 hu(a*) ~1 이 만족된다. 이것은 1 t가 K 에서 정의됨을 뜻하고 따라서 요에서도 정의됨을 뜻한다. 이와 같이 (a) 가 성립하므로 근사정리 (1. 1) 을 (6.2) 에 적용하면, 다음을 얻는다. 정리 6.2 0 를 C” 의 열린 볼록부분집합이 라 하고 P(:: ）룹 상수 계수를 갖는 선형편미분작용소라고 하자. 그러면, (/31 ) p(훑 )H(O) =H(O) (/32) p(훑 )u=O 의 H(O) 에서의 해는 같은 방정식의 H 에서 해 의 H(O) 의 위상에 관한 극한이다. 7 C CX)공간에서의 연속 우측역작용소의 존재 O 를 R 의 열린부분집합이라 하고 (7. 1) P=P(x, 훑) : C00 (0) 一 C00 (0) 를 변수계수를 갖는 선형편미분작용소라고 하자.
우리는 이 절에서 (7. 2) PG=id 를 만족하는 P의 연속 우측역작용소의 존재에 관해서 알아보기로 한다. 정리 7.1 작용소 P 가 연속인 우측역작용소를 가질 필요충분조건은 (i) p가 전사이고 (ii) Ker P 가 위 상적 인 보공간 (comp le ment) 을 갖는 것 이다. 위 의 정 리 는 열 린 사상정 리 (op en mapp ing the orem) 와 다음 도움정 리로부터 얻어진다. 도움정리 1.2 E 와 F 를 두 위상선형공간이라고 하고 U 를 E 에서 F 로의 연속선형사상이라고 하자. 그러면, U 가 연속인 우측역사상을 가질 필요충분조건은 U 가 에피 모피즘이고 u 의 핵이 위상적 보공간 V 를 갖는 것이다. 층명 만일 U 가에피모피즘이면 F 는 E/Kera 와동형이고 또 이 공 간은 V 와 동형이다. V 를 F 와 V 의 동형관계를 주는 F 에서 V 위로의 사상이라고하자. 그러면 uov=id 가 성립한다• 역으로, V 를 u 의 연속인 우측역사상이라고 하자. 그러면, u 는 분명히 에피모피즘이고, V0U 는 연속인 사영 (pro je c - ti on) 이 다. 따라서 Ker v0u=Ker u 는 위 상적 보공간 I. vou 를 갖는다. （증명 끝) 정리 7.3 O 를 R(n~2) 의 열린부분집합이라 하고 P=P(r, 걸~) 를 다음 성질을 갖는 O 에서의 선형편미분작용소라고 하자.
(i) .0,의 임의의 열린부분집 합 O' 에 대해서 l t든요'(.0,)가 O' 에서 Pu=O 의 해이면 u 는 .0,’ 에서 해석적이다• (ii) .0,의 임의의 점 x 에 대해서 x 의 열린근방 U(Uc .n)에 PI 를 국한시킨 사상 pi : ~'(U) ―_표강 ’(U) 은 단사사상이 아니다. 그러면, P 는 연속인 우측역작용소를 갖지 않는다. 증명 P 의 연속인 우측역작용소 G 가 존재하여 C00( .0,)에서 (7. 3) PG=id 가 성립한다고 한자. K 를 공집합이 아닌 내부 O 를 갖는 .0,의 긴밀부분집합이라고 하 면, G 가 연속이므로 .0,의 긴밀부분집합 H 와 정수 k 가 존재해서 모 든 ¢EC00 (.0,) 에 대 하여
(7. 4) stK1 p !G ¢• l ~ Co rd IL;1. :;k suH p l L 沖 | 를 만족시킨다. 여기서 {L j}는 유한개의 선형편미분작용소이다. 한편, O 는 긴밀하지 않으므로 H 의 Q에서의 여집합에는 한 점 x 。 가 존재한다. U 를 조건 (ii)를 만족시키는 Xo 의 O 에서의 열린근방 이라고 하자. 이때 우리는 U 가 H 와 만나지 않으며 0 가 O\U 를 만나지 않도록 U 를 충분히 작게 택할 수 있다. 이제 ¢름 임의의 C;,'(U) 의 원소라고 하고 U 의 긴밀한 부분집합 V 를 택하여 O\V 가 연결되어 있고 sup p영이며 따라서 O 에서도 영이다. 이것은 0 에서 P (G¢) =0 곧, ¢=0 임을 뜻한다. 이와 같이 ¢는 O 에서 영이고 또, O 는 D. \V 와 공집합이 아닌 열 린집합에서 만나므로 G¢ 는 D. \ V 에서 영이다. 곧, G¢EC~(U) 가 성 립한다. 지금까지의 설명에 의해서 P : C 훈 (U) 一 효 (U) 는 전사사상을 이루게 되는데 P의 전치사상 P' : ~'(U)_-@'(U) 을 택하연, P 가 전사사상이므로 F 는 단사사상이 된다. 이것은 모 순이므로 정리 7.3 이 성럽한다. （증명 끝) 위의 정리는 Rn(n62) 의 P- 볼록한 연결된 열린부분집합 O 와 Q에 서 정의된 상수계수 또는 해석함수계수의 타원형편미분작용소 P 에 응용할 수 있다. 이때, Pu=O 의 COO(O) 에 속하는 해는 위상적 보공 간을 갖지 않는다. 이러한 경우의 좋은 보기로 t:.. =P 를 택하연 조화함수의 집합은 우] 상적 보집합을 갖지 않음을 알 수 있다. 마지막으로 연속인 우측역작용소가 존재하는 보기를 들어보자. 지금 R 에시 정의된 선형편미분작용소 (7. 5) P( 훑)=（훑) .. + 홉 A J(읊i, ···, -i닌(국)--J (단, A i는 n-1 변수에 관한 ]·차의 다항식) 을 생각하자. 우리는 P 가 (1,0, ···,0) 의 방향으로 엄밀한 뜻에서 쌍곡형 (str i c t l y hy pe rbolic ) 10) 이 라고 가정 한다. 여기서 회르만더가 발견한 다음 정리를 증명없이 사용하기로 하자. 정리 7.411' p(훑)를 R 에서 정의된 상수계수 선형편미분작용소 10) Treves (7) 참조. 11) Hormander (4) Chap 5, §5, 6 참조
라고 하자. P( 급)가 (1, 0, ···, 0) 의 방향으로 엄 밀 한 뜻으로 쌍곡형 이고 /ECCO(R ）이면, 편미분방정식 P( 훑 )u= f 는 X1 축에 수칙인 초평면에 주어진 초기조건 (蓋)i u(O, f') =0 (단, O~j ~ m-1, 혼 'ER,.-l) 아래에서 유일한 해 uECco(R ）을 갖는다• 위의 정리를 선형편미분작용소 (7.5) 에 적용하면 P( 〕〔）의 우측역 작용소 G : f_—‘ 를 얻는다. G 의 그래프는 분명 히 닫혀 있으므로 G 는 P( 」:）의 연 속인 우측역 작용소를 이 룬다. *재 4 장의 도움말 제 4 장에서 다룬 내용은 대부분 말그랑쥬에 의해서 밝혀진 것으로 Malgr a ng e [2] 에 처 음 발표되 었 다. 말그랑쥬에 의한 이들 결과에 대한 자세한 해설서로는 Treves [3 ] 이 가장 체계적이다. 제 4 장에서 다룬여러가지 근사단순해의 존재에 관한 정리는모두 근사정리 1. 1 에 바탕을 두고 있으며, 근사정리 1. 1 을 실제 문제에 응용할 때에는 주로 해석적 기하학 (anal yti c g eome t r y)인 다변수 복 소해석학의 결과를 이용하고 있다. 이 장에서 쓰인 다변수 복소해석학의 여러 결과에 대한 자세한 설 명을 위해서는 Gunnin g -R ossi 口]을 참조함이 바람직하다. 또, 근사 정리 1. 1 을 증명할 때 쓰인 위상 선형공간에 관한 여러 정리의 증명 을 위 해 서 는 Bourbak i [1] 을 참조하는 것 이 좋다.
근사정 리 1.1 에 대한 새로운 해석을 준 결과로는 ]. K 血 〔l J이 있 으며, 이 장에서는 다루지 않았지만 지수단항식의 집합 EP 와 상수계 수 선형편미분작용소 P( 감:）에 대해서 P 틀 )EP=EP 가 성 립한다. 12) 이 창에서 소개된 여 러가지 정 리로부터 알 수 있듯이 상수계수를 갖 는이 밝선혀형져편 미있분지작만용 소CC에O 계대수해를서 는갖 는거 의일 반완선벽형한편 미근분사 작단용순소해 의P (존x,재 ¾조건) 에 대한 근사 단순해의 존재조건은 거의 알려져 있다. 또, 상수계수를 갖는 선형편미분작용소의 경우일지라도 실제로 군 사 단순해를 어떻게 구성할 수 있는가 하는 문제에 대해서는 일반적 인 이론이 개발되어 있지 않다. 아와 갇온 문제들은 앞으로 선형편미분방정식의 근사 단순해를 연 구합에 있어 주요한 문제로 대두될 것으로 보인다. 12) Treves [3] 참조.
이 책 에 이 어 읽 어 야 할 문헌 *본 논저에 이어 읽어야 할 문헌으로 다음을 추천할 수 있다. (a) 초함수이론에 관한 것 1 Tre ves F. [2] 2 Schwartz L. [1] 3 Hormander L. [8] (b) 선형편미분방정식의 일반이론에 관한 것 1 Treves F. [7] 2 Hormander L. [4] 3 Chazarain J. and Pir i o u A : Intr o ducti on a la the orie des equ a ti on s aux deriv e es pa rtie l les line air e s, Univ . de Nic e , 1979. (c) 의 미 분작용소와 후리 에 적 분작용소에 관한 것 1 Treves F. [12 ]
2 Hormander L. [5] 3 Duis t e r maat J. and Hormander L. [1] 4 Tay lo r M. E. [1] (d) 정성적 이론에 관한 것 1 Ni re nberg L. [1] 2 Hormander L. : On the exis t e n ce and regu la rit y of soluti on s of line ar pse udo-d iffer enti al equ ati on s, L'Enseig n, Math . 17, 79 -16 3 (1971) . 3 Zuil y C. [1] (e) 국소가해성에 관한 것 1 Ni re nberg L. and Treves F. [1] 2 Hormander L. [6] 3 Hormander L. [7] (f) 대역해에 관한 것 1 Treves F. [1] 2 Hormander L. [8]참고문헌 Beals R. and C. Feff er man : [1] On local solvali lity of lin e ar pa rti al dif fer enti al equ ati on s. Ann. of Math . 97, 482 켜 98 (1973) . Bourbaki N. : [1] £s pa ces Vec t o r ie l s Top o log iqu es I , II . H~ rm ann. Paris , (1953-55) . Chi D.P., Cho T.G. and Ki m J. : 〔다 Surje c ti vi t y of the tra nspo se d map. ]. Korea n Math . Soc. 16 (1) , 39-47 (1979) . Coddin g ton E.A . and Levin s on L. : 〔디 Theory of Ordin ary Di ffere n t i al Eq u ati on s. McGraw-Hi ll, New York, 1955. De Wi ld e M. : [1] Sur le th fo r eme du grap h e fer me. C.R . Acad. Sc. Paris 265, 376-379 (1967) . Duis t e r maat J. and Horma nd er L. : [1] Fourie r int e g r a l op e rato r s II . Acta Math . 127, 183-269 (1971) . Ehrenp r eis L. : [1] Soluti on s of some pro blems of div i s i o n I . Ame r. ]. Math . 76, 883-903 (1954) . [2] S oluti on s of some pr oblems of div i s i o n m. Amer. ]. Math . 78, 685-715 (1956) . Grushin V.V. : [1] A certa i n examp le of a dif fer enti al equ ati o n s wit ho ut soluti on s. Mat. Zame tk i 10, 125-128 (1971) =Math . Note s 10, 499-501 (1971) . Gunnin g R. and Rossi R : [1] Analyt ic Functi on s of Sev e ral Comp le x Varia b les. Prenti ce Hall, Eng le wood Cli ffs, 1965. Harvey C.M. : [l] On domi na ti on esti m ate s and glo bal exis t e n ce. ]. of Math . and Meehan. 16 (7) , 675 (1967) . Hormander L. : [1] On the the ory of ge neral pa rti al dif fer enti al op e ra- tor s. Acta Math . 94, 161-248 (1955) . [2] Hy po ellip tic dif fer enti al op e rato r s. Ann. Inst. Fourie r Grenoble 11, 477-492 (1961) . [인 On the Rang e of Dif fer enti al and Convoluti on Op e rato r s. Inst. for Adv. Stu d y, Prin c eto n , 1961. [산 Lin e ar Partia l Di ffere nti al Op e rato r s. Sp r in g e r, New York, 1964. — [5] Fourie r int e g ral op e rato r s I . Acta Math . 127, 79-183 (1971).
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색인
기 강한 뜻으로 P-봅 목 (str o ng ly P-con-vex) 203 강한 쌍대 위 상 (str o ng dual top o log y) 180 국소 설-목 (loc ally conv e x) 137 국소로 풀 리 지 않음 (loc al unsolvabi- lity) 51 국소로 풍 립 (loc al solvabil ity) 51 국소상수 성 원 리 (loc al consta n cy pri n - cip le ) 70 귀 납적 국한 (ind ucti ve lim i t) 238 균형 윤 이 문 (ba lan ced) 136 근방계 (sys t e m of nei g h borhoods) 136 근방계 의 기 저 (base of th e neig h bor-hood sys t e m ) r 36 근사 다항식 해 (ap pr oxim ate po lyn o - mi al soluti o n ) 237 근사 단순해 (ap pr oxim ate sim p le soluti on ) 217
근사칭 리 (ap pr oxim a ti on the orem) 2I8 급감소함수 (rap idl y decreasin g fu nc- tion ) 32 기 본해 (fun damenta l soluti on ) 37 긴 밀 한 (comp ac t) 22 긴 밀 한 대 (comp a ct sup po rt ) 22 L 뉴렌 더 -니 렌 버 그의 정 리 (Newlander-Ni re nberg the orem) 79 니 렌 버 그-트레 브스의 조건 (Ni re nberg- Treves condit ion ) (P) 84, 127 C 단위 원 의 분할 (pa rtit ion of unit y)176 단편 (secti on ) 143 닫한그래 프정 리 (closed grap h the o- rem) 182 닫힌 단위 준구 (closed unit semi -b all) 140 대 (sup po rt) 29 대 역 으로 풍림 (glo bal solvali lity) 133 대 역 해 (glo bal soluti on ) 161 동형 사상 (iso morph is m ) 139 등장사상 (iso metr y) 147 디 락측도 (Dira c measure) 28 근 라든-니 코딩 의 정 리 (Radon-Ni ko dy m th eorem) 23 라돈측도 (Radon measure) 22 라이 쁘니 쯔공식 (Leib n iz for mula) 109 라프라스 작용소 (La p lac i an ope r ato r ) 39 레 비 의 방겅 식 (Le wy equ ati on ) 51, 63 레 비 의 작용소 (Lewy op e rato r ) 52 리 우비 으정 리 (Liou vil l e the orem) 236 리 이 즈의 표현 정 리 (Ri es z rep re senta - tion the orem) 22 덮 쉬 츠 조건 (Lips chit z condit ion ) 14 口 말그랑쥬의 존재정리 (Malgr a n ge exis t e n ce th eorem) 190 매 장사상 (embeddin g ) 23, 33 모노모피 즘 (monomorp h is m ) 139 몽텔 공간 (Monte l spa c e) 232 미 조하타작용소 (M izo hata op er ato r ) 52
미조하타 편미분방정식 (M izo hata pa rtia l dif fer enti al eq u ati on ) 52 민 코우스키 범 함수 (M ink owski fun cti on al) 140 닌 반노응 (semi -n orm) 137 배 럴 (barrel) I 37 배 럴 공간 (barrelled spa c e) 137 보공간 (comp le ment) 253 복소벡 터 장 (comp le x vecto r fiel d) 12 볼록 (convex) 136 비 동차 코시 의 공식 (inh omog e neous Cauchy for mula) I 10 뽀아송괄호 (Po i sson bracket) 112 人 사영 국한 (pr oje c ti ve lim i t) 144 상공간 (qu oti en t spa ce) 142 상대 적 으로 P- 볼록 (relati ve ly P- convex) 22.5 선 형 범 함수 (line ar fun cti on al) 22 수반작용소 (adjo i n t op e rato r ) 87 쉬 뢰 딩 어 작용소 (Schrodin g e r op e ra- tor ) 39 쉬 바르쯔의 반사원 리 (Schwarz's refl ec ti on pr in c ip le ) .54 쉬 와르츠위 상 (schwart z top ol og y) 24 스펙트럼 (spe ctr u m) 139 실 해 석 함수 (real analyt ic fun cti on ) 19 심 볼 (sym b ol) II I, 129 쌍대 공간 (dual sp ac e) 2.5 쌍대 관계 (duali ty) 27 쌍선 형 범 함수 (bil ine ar fun cti on al) 89 쏘볼레 브공간 (sobolev spa c e) 170
쏘볼레 브의 도움정 리 (Sobolev lemma) 175 。 약한 쌍대 위 상 (weak dual top ol og y) 180 양의 선형 범 함수(p os iti ve line ar fun cti on al) 22 에 피 모피 즘 (ep im orph is m ) 139 LF 공간 (LF sp ac e) 24 열 린 단위 준구 (op e n unit semi -b all) 140 열 린 피 복 (op en coverin g ) 176 영 목성 대 (null bic h avacte r is t i c str i p ) 123 완만한 초함수 (tem p e red dis t r i b u ti on ) 33 완바 (comp le te ) 87 우측역 작용소 (rig h t inv erse ope rato r ) 252 원 상 (pre im ag e) 154 위상선형공간(li near top o log ica l spa ce) 136 위 상함수(p hase fun cti on ) 132 유계 (bounded) 1 51 1I- 볼록 (11-convex) 158 의 마 분작용소 (ps eudodif fer enti al ope r ato r ) 1 31 일계선형편미분작용소(li near pa rt ial dif fer enti al op e rato r of the firs t order) 11 일계선형편미분작용소의 표준형 (canonic a l . for m) 11 A• 자기 공액 (self adjo i n t ) 31 재 귀 적 (refl ex iv e ) 232
전 사사상 (surje c ti ve map ) 150 전 사사상정 리 (surje c ti ve map ping the orem) 158 전 치 사상 (tra nspo se) 26, 36 점 상위 상 (top ol og y of po in t w i se converge nce) r 44 칭 최 단편 (reg u lar secti on ) 144 겅 최 성 (reg u larit y) 81 정 함수 (enti re fun cti on ) 235 조밀 (dense) r44 주요심 봉 (pr in c ip a l sy m bol) 1 r r 주요형 (pr in c ip a l type ) 8r, r25 준대 역 으로 풀 립 (sem i -g lo bal solv-abil ity) 133, r 69 준동형 사상 (homomorph is m ) 139 준선형편미분방정식 (qu asi- l in e ar pa rti al dif fer enti al eq u ati on ) 48 준 전 사사상 (qu asi- s urje c ti ve line ar map) r51 준타원성 (hy po ellip tici t y) 66 준타원 성 작용소 (hy po ellip tic op er ato r ) 67 중복 지 수 (multi -ind ex) 29 중복특성 집 합 (mu!ti pie characte r is t i c set) 8r 지 수다항식 (exp o nenti al po lyn omi al ) 245 지 수형 정 함수 (enti re fun cti on of exp o nenti al type ) 238 직 상 (dir e ct im ag e ) r50 칙 합인 자 (dir e ct- s um fac to r ) 246 칙 합위 상 (dir e ct- s um top o log y) 246 초* 함수 (dis t r i b u ti on ) 25 초함수공간 (spa ce of dis t r ibu ti on s) 25
초함수의 대 (sup po rt of a dis t r i b u - tion ) 29 초함수의 미 분 (dif fe r enti at i on of dis t r i b u ti on s) 26 초함 수의 차수 (or der of a dis t r i b u - tion ) 207 더 코시 ~리 이 만작용소 (Cauchy -R i em an op er ato r ) 38 코시 의 주치 (Cauchy 's pr in c ip a l val-ue) 47 코시 -코발레 우스키 정 리 (Cauchy - Kovalevska the orem) 21 코탄젠트속 (co t ang en t bundle) 112 콘분루션 (convoluti on ) 35 드 타원 형 작용소 (ell iptic op e rato r ) 68, 130 트리 코미 작용소 (Tric o mi op e rato r ) I26 특성 대 (bic h aracte r is t i c str ip) 123 특성 집 합 (characte r is t i c set) 114 특성 함수 (characte r is t i c fu ncti on ) 109 포 파동작용소 (wave op er ato r ) 39 펠 리 -위 너 정 리 (pa ley -w i en er the orem) 206 폐 포 (closure) 29 프 란셰 렐 -파시 발 정 리 (PI ancherel-Parseval the orem) 30 피 복 (coverin g ) 176 P- 볼록 (P-convex) 167 P- 볼록함 (P-convexit y) 194
굴 함수대 (sup po rt of a fun cti on ) 29 해 밀 돈-야코비 방정 식 (Hami lton - Jac obi equ ati on ) 123 해 밀튼장 (Hami lt o n ia n fiel d) 122 해 석 범 함수 (anal,rt:i c fun cti on al) 250 헤 비 사이 드함수 (Heavis i d e fun cti on ) 28 형 식 적 안 멱 급수 (for mal po wer serie s ) 232 홈그렌의 칭 리 (Holmg r en's the orem)
74 화이 버 (fibe r) 143 화이 버 공간 (fibe red spa c e) I43 후레 쉬 1 공간 (Frechet spa ce) 87 후리 에-라프라스 변환 (Four i er- Lap la ce tra nsfo r mati on ) 239 후리 에 변 환 (Fourie r tra nsfo r mati on ) 30,34 후리 에 적 분작용소 (Fourie r int e g r a l op er ato r ) 132 흡입 (absorbin g ) 137
김종식 서울대학교 문리과대학 수학과 및 同대학원 졸업 미국 퍼듀대학교 이학박사 공군사관학교 교관 및 럿거스대학교 개원교수 역임 논문 「격자준동형의 판별법J 외 20 여편 현재 서울대학교 자연과학대학 수학과 교수 대한수학회 부회장 및 편집위원 편미분방정식론 찍 은날 I985 년 7 월 I5 일 펴낸날 I985 년 7 월 3I 일 지은이 김종식 펴낸이 朴孟浩 펴낸곳 民音社 충판등록 1966. 5. 19 계 1-142 호 우편대체계좌번호 010041-31-523282 110 서웅 종로구 관천동 -1 734-2000-4234-6110, 735- 85 24 * 파본은 바구어드립니다. 값 '-000 월
대 우학술총서 • 자연과학 1 소립자와게이지상호작용 金鎭義 著 /~1 3,600 원 2 動力學特論 李炳룻 /~15.400 원 3 질소고정 宋承達 뭄 /~ 12.800 원 4 相 .輯 와臨界現象 김두절 著/;i 2 , 800 원 5 觸媒作用 陳宗植 뭄 / ~1 2 .8 00 원 6 뫼스 H 유어分光學 玉恒南 著 / 젊 2,800 원 7 국기량원소의 영양 昇正 子 뭄 /~16 . 500 원 8 水慕 1 t틀慕와 有禮룹素{t合物 尹能民 著 / ~1 5. 000 원 9 抗生物質의 全合成 姜錫久 著 / ~J 9.000 원 10 국소적 형태의 A tiy ah-S ing e 『지표이론 지동표 著 / 값 2.800 원 11 Muco p ol y sacchar i des 의 生 1 t툰 및 生物理툰 박준우 著 / 값 3, 800 원 12 ASTROPHYSICS ( 天體物理學 ) 洪承i점著 /~14.700 원 13 프로스타글란딘 합성 金 한표 著 / ~1 3. 6 00 원 14 천연물화학연구법 禹源植 著 /;15 , 300 원 15 脂訪營養 金淑喜 著 /~16.300 원 16 結晶化유리 金炳屋 뭄 /~J 4,500 원 17 高分子의化學反應 趙퓸煥뭄/값 4,000 원 18 과학혁명 金永植 뭄/~J 3,200 원 19 韓國地質論 章基弘 著 /값 4.000 원 20 정보이론 런영열 著 /~14,500 원 21 原子核反應論 郞雲林 著 22 破壤力學 金相哲 著/~J 4,700 원 2 3 분자궤도이론 이 익준 著 / ~1 3. 300 원 24 반응속도론 정경훈 著 /값 4,000 원 25 미분위상수학 李鉉求 著 /~1 2,500 원 26 자기공명방법 조성호 뭄 27 터摩학과핵융합 죄덕인 著 28 천문관측과문석 李睦雨 著~ 4. 800 원 29 석탠게너지 변환 기술 金相敦 著 30 海洋微古生物學 白光浩콥 31 편미분방정식론 김종 식 著 32 大統_理論 소광섭 著 33 한국의 古生物 이하영 著