미분위상수학 이현구 저자는 서울대학교 문리과대학 수학과 및 同대학원을 졸업하고, 미국커넥티커트대학교에서 이학박사학위 를 취득했으며, 현재 서울대학교 자연대학 수학과교수로 재직중이다.
미분위상수학
머리말 미분위상수학은 미분동상사상에 의하여 불변인 다양체의 성질을 연 구하는 분야이며, 미분기하학이 접속, 곡률 등 공간의 국소적 현상을 다루는 것이라면 미분위상수학의 연구대상은 다양체의 대역적 성질에 관한 것이다. 그리고 사용하는 도구 중에서 강력하고 유용한 것은 대 수적 위상수학이다. 그러나, 시간과 지면의 제약 등으로 인하여 대수 적 위상수학을 써야만 하는 부문에 관해서는 다루지 못하였다. 이 책은 다양체와 사상, 사상공간, 횡단성, 벡터束 등 네 부분으로 이루어져 있으며, 그 내용은 金倫圭교수의 강의의 일부를 기초로 하 여 엮은 것이다. 한글로 쓰려고 노력하였지만 통용되는 용어의 부족과 본인의 얕은 지식 때문에 생경스럽고 어색한 표현이 많은 것을 부끄럽게 생각합 니다. 이 책을 쓰는 동안 많은 도움울 주신 서울대 수학과 교수 여러분과 훌륭한 강의와 내용을 마련하여 주신 김순규선생님께 깊은 감사를 드 립니다. 끝으로, 민음사 편집부에 감사하며, 좋은 기회를 주신 대우 재단에 심심한 사의를 표합니다. 1985 년 3 월 이현구
차례
머리말 3 제 1 장 다양체와 사상 1 기본정의와 정리 11 2 接束과 매장 20 제 2 장 사상공간 1 C2(M, N) 위의 강위상과 약위상 38 2 근사화 (approximation ) 46 제 3 장 횡단성 1 Morse-Sard 정리 73 2 횡단성 (transversality ) 81 제 4 장 벡터束 1 벡터束 92 2 벡터束의 구조 105 3 벡터束의 분류 121 4 有向벡터束 134 5 깃과 관상근방 147 참고문헌 159 색인 161제 1 장 다양체와 사상 1. 기본정의와 정리 이 결에서는 앞으로 사용할 기본적인 용어의 정의와 기호를 소개하 려고한다. R 은 n 차원 Euclid 공간 R={ （따, 石, …, z,.) |x,ER, i= l, 2, …, n} 을 표시 하고, (x1, …, x,.) 을 (x1, …, x,., 0) 으로 간주하여 R 을 R,.+1 의 부분공간으로 본다. R+= { (X1 , …, x,.) ER l x,.~0} 은 R 의 폐 반공간 (closed half spa c e) 이 고, S={xER+11llxll=l}, llxll=(~;~f x. 2 )lt 온 R 마) 에 서 의 단위 구면 (unit sph ere) 을 나타낸다. 또, D 가 1={xER +i l llxl~l} 은 R+l 에서의 단위구 또는 원판(unit d i sk) 을 표시한다. (1.1) 정의. AcR 일 때, 함수 f: A~_ 카t가 C 級 徵分可能(diff er 효 n ti able of class Cr) 또는 간단히 f가 C 이다라는 것은 A 를 포합하
는 어떤 개집합 U 에 대하여 함수g: U_ ➔ R 가 존재하여 gl A=f 이 고, U 상에서 r 차까지의 편도함수가 모두 연속임을 뜻한다. 사상 g : U_R} C' 급 미분가능이 라 함은 g 의 좌표함수 (coordi- nate fun cti on ) g1 , …, g겁울이 C 『 급 미 분가능일 때 를 말한다. 보통, r=oo 일 때 g 는 미분가능하다 또는 매끈하다 (smooth ) 고 말하고, r=(), 일 때는 연속임을 뜻한다. R 의 개부분집합 U 에서의 미분가능사상 g : U 一 ➔ RP 가 g( x) = (g1 ( x), ... , g, (x)) 로 주어졌을 때, XoEU 에서 g의 Jac obi 행렬은 (틀 (x,))=D,(x,)= (皇: .….....二 오요) OX1 ax,. 1 Xo 이다. n=P 일 때, D g의 행렬식을 IDcl 로 나타내고, D g (Xo) 의 階 段 (rank) 를 Xo 에 서 의 g 의 계수라고 한다. AcR, BcRP 일 때, 사상 g : A~B 7}- 同相 寫 像 (homeomorph - ism ) 이 고, g 와 g-1 가 C1 이 면 g 를 徵分同相寫像 (dif feo morph i s m ) 이 라고한다. A 가 R 의 개부분집합이고, n=P 일 때, 미분동상사상 g : A-B 가 존재하면 B 는 RP 의 개부분집합이다 . 이것은 領 域 不 礎 性定理 (inv aria n ce of domain ) 나 역 함수정 리 (inv erse fun cti on the orem) 로 부터 얻어진다. (1.2) 역함수정리. U 를 R 의 개부분집합이라하고, f: U-R 가 c,- 사상, r~l, 이 라 하자. x 。 EU 에서 D f (xo) 의 계수 (rank) 가 n(non sin g ular , 非特異) 이 라고 가정 하면, U 안에 Xo 의 近傍 (neig h borhood) V 가 존재하여 f는 V 로부터 R 의 개부분집합 W 로 가는 미분동상 사상이 되고 1-1 : w― ➔ V 는 C 『이다. (1.3) 정의. X 를 위상공간아라 하자• XoEX 일 때, Xo 를 포함하는 개집합 U 와 U 로부터 R 또는 R+ 의 개집합으로 가는 동상사상
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atl as a 의 임의의 두 char t가 C 『로 겹칠 때 atl a s a 는 C 이라고 한다. f3 와 r 가 a 를 포함하는 c•-atl as 라면 /3 Ur 도 C•-atl a s 이 다. 따 라서 Zorn 의 보조정리 (Zorn's Lemma) 에 의하여 C• n-atl a s
함하는 최 대 C 『 n-atl a s '\If 가 존재 한다. 실제 로, 맡 는 0 의 각 chart 와 C 로 겹치는 모든 char t둘의 집합이다. X 위 의 최 대 C' n-atl a s 를 X 위 의 n 차원 C 녀탔分構造 (dif fer enti al str u ctu re on X of class C 『) 라고 한다 (보통 C 를 생 략한다) . 11 차원 位相多樣體 M 과 M 위의 C- 미분구조 a 와의 짝 (M,a) 를 n 차원 C' 급 미 분가능다양체 (dif fer enti ab le manif old of class C 『) 또는 간단히 C- 다양체라고 한다. 또 r 全 l (r= CX))일 때 (M,a) 는 매끈하다 (smoo t h) 고 한다(cpjcp ,-1 가 實解析的일 때, (M, a) 는 해석적 다양체 (analyt ic man ifol d) 라고 불린다). n- 다양체 M 의 점 x 에 관하여 좌표계 (cp, u) 가 존재해서 cp (U) 가 R+ 의 개부분집합이고, cp (x)ER-1(=R+ 의 境界) 를 만족하는 모 든 점 x 들의 집합을 M 의 境界 (boundar y)라 부르고 8M 으로 나타 낸다. XEaM 이면 역함수정리에 의하여 x 의 좌표계는 모두 위의 성질을 갖는다. M 과 N 을 각각 m, n 차원 c•- 다양체, r 全 1 라 하고 A 는 M 의 개 부분집 합이 라 하자. 사상 g : A-_ ➔ N 에 대 하여 , (cp, u) 와 (
다 (이 러 한 구면 을 異貿球面 (exoti c sph ere) 이 라고 부른다) . 그러 나, S\ ll=O, 1, 2, ... , 6, 위 에 서 는 어 떠 한 두 미 분구조도 미 분동상이 다. 참 고로, Kerva i re 와 M i lner 에 의하여 밝혀진 S 위의 미분구조의 갯수 를 살펴보면 다음 표와 같다(〔히, [9], [1 0]참 조)• 구(S조) 의n 갯 수 l| 51 61 728 28 9s 610 9191 2 112 313 214 1156 256 a 를 M 위의 CS_ 미분구조라 하고, r 을 l~r) 는 Cr- 다양체 이 고, AcM 이 라 하자. 임 의 의 점 x 드 A, X 드 Anu 와 (
존재성이 밝혀졌다. 독히 주목할 것은, R4 와 동상이지만 미분동상아 아닌 매끈한 다양체가 존재한다는 것이다 (Donaldson 〔산’ Freedman [司, Gomp f [6]) . (1. 6) 예. (a) 단위 구면 S 위 에 아래 와 같은 atl as 에 의 하여 C'- 미분구조를 줄 수 있다. j= l, 2, ... , n 에 대하여 U2Uj 2- 1j == {{xx E든S Snn lI Xx ij <> OO }} , 라 하고, i= l, 2, ... , 2n+2 에 대하여 사상
{(cpl unv, un V) I (rp, U) Ea } 로 주어진다. (c) RPn -울 實射影空間이 라 하고, p : sn_~RPn 를 被覆寫像이 라 하자. p 는 각 開半球面을 동상적 으로 사상한다. { (cp., u.) } 를 Sn 위 의 atl a s 라고 하자. 그러 면 , {cp. (P I u‘ 尸 : p( U‘) ― ➔ Rn} 온 RPn 의 atl as 가 된다. (d) A,B 가 다양체이고 8A=¢, aB*¢ 이라면 AxB 는 미분구조 를 갖고 o(AxB)=AxoB 이다.
0 I
aA*¢, aB*¢ 일 때, AxB-(oAxoB) 도 자연스런 미분구조를 갖는다. (1.7) 모서리 펴기 (str a ig h t en i n g ang le ). 경계를 가진 두 미분가능 다양체의 直積 (car t es i an p roduc t)은 모서리를 펴서 미분구조를 갖도 록 한다. 이것을 밝혀 보자. R+= {x 든 R1 l x~O} 이라하고, -. : R+xR+ ＿ ➔ Rx R+ 는 동상사상으로서 아래의 사상이 미분동상사상인 것이라 하자 : -. : R+ x R+-(0 , 0) __➔ R x R+-(0 , 0) 예를 들면, 다음과 갇은 것이다. -.(p, 0) = (p, 20), O 척족중
B 은 위상다양체이고, B 에서 폐집합이고, 경계를 가지지 않는 부분다양체로서 다음 조건을 만족하는 M-2 가 있다고 하자. (i) B-M-2 는 미분구조를 가진다. (ii) B 넷에 M-2 의 근방 U 와 동상사상
Bn
't1 : M-2 X R+ X R+ 一 M-2 x R x R_. 울
!'' (x, y, z) = (x, -r (y, z) ) 로 정의된 사상이라 하자. 그러면, TIrp : U 一 M,.-2 x R x R+ 는 동상사상이다. (1. 6) 의 (d) 에 의하여 MHxRxR+ 위에 미분구 조가 존재 하고, U 위 의 미 분구조로서 -r'면 M 은 칙선과 미분동상이다• 8. C' m- 다양체 의 被覆次元 (coverin g dim ensio n ) 은 기 껏 해 서 m 이 다. 공간 X 가 기껏해서 m(at most m) 인 피복차원을 갖는다는 것은 X 의 임의의 개피복 (o p en cover i n g)이 위수 (order) 가 기껏해서 m 인 細 分 (refi ne ment) 을 가질 때 이 다. 세 분의 위 수가 기 껏 해 서 m 이 라는 것 은 세분의 m+l 개 이상의 원소에 들어가는 X 의 원은 없음을 의미 한다. 2. 接束과 매장 이 전에서는 따로 언급이 없는 한, 모든 다양체는 경계를 가지지 않는 것으로 정해 둔다. (2.1) 정의. (M, )를 cr+I- 미분가능다양체, 0 습 ~co 라 하고 -
7 \
TM 을 M 의 모든 접벡터들의 집합이라 하자. 사상 P=PM: TM一 M 울 p ([x, i,이 )=X 로 정의한다. 또 M 의 부분집합 A 와 xEM 에 대해 p-1 (A) = T.t (M) , p-•( x) = T' (M) =M' (M'~ R) 로 표시한다. 이제, TM 위에 미분구조를 주려고 한다. UcM 가 개집합이라면 (U, lu) 도 Cr+1- 다양체이다. 따라서, TU 는 U 의 모든 집벡터들의 집 합이 다. TU 와 Tu (M) 을 등화한다. 죽, TuM=TU 로 본다. 임 의 의 chart (
인 동상사상이다. 따라서, TM 은 각 cp‘룰 동상사상으로 만도는 位 相울 갖는다. 더 우기 , (Tcp 1 ) (Tcp , )-1 가 C 『-미 분동상사상이 므로 chart 둘의 집합 { ( Tcp ,, TU,) }I EA 는(p ro TjeM c t i위 on의 ) pC ;『 - Ta tM la —s 이 ➔다 M. 는따 라c서· 이, 다.T M이 은T Mc• -을 다 양M체 의이 接고束 사(ta영n 사g e상 nt bundle) 이 라고 부른다. xEU, 일 때, 합성사상 M,, 一C: TU 广T국
는 갑에 대해서는 독립적이다. 따라서, 사상 Tf : TM-TN 가 존재 해서 Tf l TU, = (Tl) 4J 이 다. f( x)=y 라고 하면, Tf 는 M: r를 N: 1로 사상하고, Tf 의 제한인 T: rf: M: r一 N :r 는 선형사상이다. 아래 의 좌측 도식 (dia g r am) 이 가환 (commuta t i ve ) 임 은 곧 알 수 있다.
pT M널 M-----T-f -=--TN曺p N ;ITN~
즉, fop M =p N oTf. 더우기, /: lvi-N . g : N-Q 가 c•+l 이면 T(g of ) = T(g) 0 T( f) , T(id M ) =idrM 임을 알 수 있다. McN 이 cr+I- 부분다양체일 때, j : M~N 를 포함사상이라고 하 면 Tj : TM~TN 는 C'- 포함사상이다. 따라서, TM 을 TN의 C 『 부분다양체로 간주한다. 목별한 경우로서, McR 일 때는 TM 은 TRn=RxR 의 부분다 양체이다. (2.2) 정의(몰입과 매장). M,N 을 —C'- 다양 체라 하고. f: M-N 를 c1- 사상이라 하자. 각 xTE,.JM : M에 '대하 ~여N ' 가 단사 (inj e c ti ve ) 일 때 f 를 沒入 (imm ersio n ) 또는 몰입 사상이 라고 부르고, f가 물입이고, 또 M 을 동상적으로 f (M)cN 으로 사상할 때 , f 를 埋藏 (embeddin g, im beddin g ) 또는 매장사상이 라고 부른다. 주의. 몰입은 국소적으로는 매장이지만 대역적으로는 매장이 아니 다(역함수정리와 문제 3 을 참조).
sl R'
(2.3) 정의(정칙값). f: M .. ＿ ➔ N” 를 C1- 사상이라고 하자. xEM 에 대하여 T,,, J :M,,,_ 책/(:,:)가 전사인 선형사상일 때, x 를 正則點 (reg ula r poi n t) 이 라고 부른다. 또, 정 칙 점 이 아닌 x 를 臨界誌 (criti ca l poi n t ) 이 라고 하며 , f(x ) 를 임 계값 (criti cal value) 이 라고 한다 . yE N 가 임계값이 아닐 때 (y$J (M) 이더 라도) y 를 f의 정칙값 (re gu lar value) 이 라고 부른다. yE f (M ) 가 f의 정 칙 값일 때 J-l (y) 를 正則 等位面 (reg ular level surfa c e) 이 라고 한다. m
::,,----------~-~----•
(2.4) 정의. A 를 미분가능다양체 N 의 부분다양체라고 하고, 사상 J :M — ➔ N를 미분가능다양체 M 에서 N 으로의 c1- 사상이라 하자. 만일, f(x ) =yE A 이 면 항상 A:1 ® T., (f) (M.,) =N:1
일 때 f 는 A 에 棋斷的 (tra nsverse to A) 이 라고 말한다. 죽, y 에 서 의 N 의 집공간은 y에서의 A의 집공간과 x 에서의 M 의 접공간의 像 (im ag e) 으로 생 성 된다.
. 횡반직 ::,
(2. 5) 정리. f : M .. _~N” 를 Cr- 사상, r~l, 이 라 하고, Aq c N 롤 er- 부분다양체라 하자. f가 A에 횡단적이면 1-1(A) 는 M 의 er_ 부분 다양체이다. 또, M 에서의 1-1(A) 의 여차원은 N 에서의 A 의 여차원 과같다 증명. (rp, w) 을 y=f(x )EN 에서의 좌표 chart 라 고 하자. 그러 떤, rp (W) 는 uq X vPcRq X RP, q+ P=n 으로 나타낼 수 있으므로, f는 M 에서 (UxV, UxO) 으로의 사상으 로서 f( x)=O 인 것으로 간주할 수 있다. 따라서, f: M-UxV 가 UxO 에 횡단적일 필요충분조건은 합성사상 / 元 M一 UxV一 자 가 0 을 정칙값으로 갖는 것이다.
T:,;( f )(M」
즉, T,, (/) (M,,) + Uoxo= ( U X V) co, o> 일 필요충분조건은 T,,( 감) (M,,) =Vt 이다. 따라서, 문제 5 에 의하여 (감)-i (0) =J-1 7r-1 (0) =J-1 (Ux 0) =J-1 (A) 는 m_P 차원 부분다양체이다. 따라서, M 에서 1-1(A) 의 여차원은 P 이고 N 에서 A의 여차원과 같다. 미분가능다양체를 Euclid 공간 속으로 매장하는 방법에 대하여 알아 보자. 우선 보조정 리 들을 층명 하자. (2, 6) 보조험리. {다f(음x)과= O ,같 은x 독 C 0O O또- 함는수 후 / :1 R일 _ _때➔ , R 가 존재 한다. f(x ) )0, O
。 l
증명 함수 g : R ―-R 를 g (x) = {。터 ,, xx 독>0 0 일일 때때, . 로 정의한다. 그러면 g는 coo 이다. f(x ) =g(x )g ( I-x) 로 정의하면, f는 구하려는 coo- 함수이다. (2.7) 보조정리. 다(음O~<과;;{ E(같x)L 은< I.C, 포~O함;<수!x; <1AI :: 일R: _때~. R 가 존재한다 :
lE----------
증명 보조정 리 (2. 6) 의 조건을 만족하는 COO. － 함수 f(t) 를 잡고 A(x) = JJ:°0。 1rf f((tt ))dd tt 로 정의하자. 그러면, A 가 구하려는 함수임을 쉽게 알 수 있다. ’ (2.8) 보조정리. COO 一사상. µ : R,.~R 로서 µ-1(0)={xi llxll:::: :1 }, ,µ.(0)=1 이고, O
O
로 정의한다. 그러면, 집합 B,=;i ,-1 (l)cU,, i=l. 2, ···, k 둘은 M 을 피복한다. 왜냐하면, xEM 이라면 어떤 i에 대하여 • xElnt 'P; -1 (D (1) ) 이 므로 .i!, (x) = l, 죽 xEB1, 따라서 Mc UB ‘ 이 다‘ 사상 fi :M 一 R 를 f, (x) ~ {i.' (x) • 'P, (x) , XE U, 일 때 • 0, xEM-U‘ 일 때. 로 정의하자. 또, g,= (f,, 서 : M 一 R X R=R+1 라 놓고, g= (gi, …, g,.) : M ― ➔ R+ t X ••• X ~11+t = R1' C 11+1 ) 라 하자. 그러 면 g 는 er- 사상이 다. xEB, 이 면 g. 는 x 에 서 몰입 적 (im mersiv e ) 이 다 . 따라서, g 는 몰 입이다. g가 단사사상임을 보이기 위하여 x=\=y , y E 요 라고 하자. xEB, 이 라면 f, I 타 =P‘ 1B ‘ 이 고, P‘ 가 동사상이 므로 g (x) =\=g (y) 이 다. x 손 B‘ 이라면 A,(y) =l=\=A,(x) 이므로 g( x)= t=g(y) 이다. 따라서, g는 1-1 er- 물입이고, M 이 com p ac t이므로 g는 매장사상이다. 실제로 Wh it ne y는 q를 2n+l 로 줄일 수 있음을 밝혔다. (2. 11) 정 리 (Whit ne y 매장정 리) . M 을 comp ac t C 『 n- 다 양체 , 2~r. 라 하자 (aM 국)． 그러면, M 을 R2 .. +1 속으로 넣는 er- 매장사상이 존 재한다. 증명 정리 (2.10) 에 의하여 M 은 어떤 q에 대하여 Rq 속으로 매장 된다. q= 2n+l 이면 증명은 끝난다. q> 2n+l 이라 가정하자. M 을 매장사상에 의한 像으로 보아서 M 을 R 며 er- 부분다양체로 간주하고 Rq - 1 을 { xER 이 X q =O }로 보자. 정리를 증명하기 위해서는 M 이 Rq - 1 속으로 매장됨을 보이젖 충 분하다.
vERq - Rq -i 에 대 하여 fo : Rq _ Rq- 1 는 v 에 평 행 한 사영 (pro je c - ti on) 사상을 나타낸다고 하자.
M
단위벡터 V 로서 사상 f,,IM : M— ➔ R q -1 이 C' －매장이 되는 V 를 찾으려고 한다. 첫째 조건으로 이러한 벡터 v 는 단사사상 f, ,IM 을 유도해야 한다. 즉, x*y 이면 v* ||xx--yyII • 둘째 조건으로 f니 M 은 몰입사상이어야 한다. 즉, 선형사상 f다키 核은 V 를 지 나는 직 선이 므로, 집 벡 터 z=[ X, t , a]E M,,가 끄（f，，) 의 핵에 들어가는 것은 z 가 v 에 평행할 때 뿐이다. 따라서, 다음 조건 이 만족되면 f니 M 이 몰입 임이 보장된다 : 0 아닌 모든 zET(M) 에 대하여 펴=―llzl느l 이다. 여기서, z 는 a 든 R q 와 등화시킨 것이다. f. ,111 이 단사가 되는 V 를 얻기 위하여 다음 사상을 생각하자. u : MxM-A 一죠q -I
(l(x, y) = llxx 一-yy l l 여기서, A={ (x,y )E MxMlx=y } 이다. 따라서, V 가 첫번째 조건을 만족할 필요충분조건은 v~Im((l) 이다. 한편, MxM-A 가 M 의 개 부분다양체이므로 (l는 C'_ 사상이다. 또, d im (MxM 김 =2n
T(M)cMxR9 이므로 T1(M)cMxS9-I 이다. 그래서, T 를 사양 사상 1r : Mxs q-i一s q -I 룰 TI(M) 위로 제한!한'=: re것 I으 T1( M로 ) : 정T1의 (한M다). — 7즉,s q- l 이다. 그러면 T 는 Cr-1 이다. 한편, dim T. (M) =2n-l
라 하자. XcU 가 측도 0 을 가지면 f (x) 도 측도 0 을 가진다. 증명 각 점 xEX 에 대하여 開球 BcU 로서 B 위에서 IIDJ (x )11 가 평 등적 으로 유계 (unif or mly bounded) 인 것이 존재 한다. 예 를 들 어 h>0 에 의하여 유계라고 하면, 모든 x,y E B 에 대하여 IIJ ( x) -J(y) ll~hllx-yl l 이다 . 따라서, CcB 를 한 변의 길이가 A 인 n-cube 라고 하면 f( C) 는 한 변의 길이가 ✓ 五 la=LA 보다 작은 n-cube C' 에 포함된다. 죽, _µ (C') ~ Lµ (C) 이 다. 00 X=UX1 l 로 놓자. 여기서, 각 xj 는 B 의 comp ac t 부분집합이다. 각 e>0 에 대하여 Xj CUC,, k 이 다. 여 기 서 , ck 는 n-cube 이 고 ~,.µ (C,.)
증명. g (A°) 가 측도 0 을 가지는 것을 밝히면 충분하다. 그래서. ueRa 가 개집합이고 J: U_-Rb 가 C1, a0 일 때, par acomp ac t n- 다양체는 R2' 속으로 매장된다. 또, n>1 이면 R2n-I 속으로 몰입 된다. 정리 (2.11) 에서 조건 r~2 는 r~l 로 개량할 수 있다. 왜냐하면 cl- 다 양체 는 C1- 미 분구조와 양립 하는 (comp at i bl e) C00- 미 분구조를 가 지기 때문이다(제 2 장 (2.15), (2.16) 참조). 끝으로, 현재까지도 많은 수학자들이 이 정리를 개선하려고 노력하 고 있다는 사실을 부기하여 둔다. (2.16) 따름정리 (近似定理, Ap pr oxim ati on Theorem) . 임 의 의 C•- 사상 g :Mn 一記 k 혹 n+l 와 임의의 e>0 이 주어졌을 때, 모든 xEM 에 대하여 11/(x) -g (x) II
는 er- 매장이고, g는 H 와 사영 元의 합성사상이다. 즉, g=:,co H : M— H키 건 X Rs —元키 간. M 을 H(M)cRk +• 과 등화(i den tify)할 수 있으므로 元를 C'- 사상으 로 근사시킬 수 있음울 보이면 충분하다. 元 는 선 형 사영 사상 (lin e ar pro je c fi on ) 들의 합성 , 죽 1e : R'·xRs 一 RkXRs-l-·••-RXR1 ＿ -R ，， 이므로, s 에 관한 귀납법에 의하여 McRHs 이라면 k+s)2n+l 일 때 Rk+s-1 로의 어떠한 선형사영사상도 M 을 매장하는 선형사영으로 근사됨을 보이면 된다. 이 사실은 Whit ne y 정리의 증명에서 곧 알 수 있다. 주의. 이 근사정리는 k=2n 인 경우로 개선될 수 없음을 유의하기 바란다. 예률 들면, f: sI ――갸i 2 의 像이 8 자 모양이라고 하면, f는 · 어떠한 매장사상으로도 근사시킬 수 없다. (2.17) 주. 다양체들이 경계를 가지고 있는 경우에는 앞의 정리~ 을 다음과 같이 쓸 수 있다. 문제 (s)'. M,N 을 경계를 가진 C'- 다양체, r~l, 이고 f: M― ➔ N 룰 C- 사상이라 하자. y든 N-oN 가 f와 f laN 의 정칙값이면 1-l(y) 는 M 의 C'- 부분다양체이고 au-i(y ))=J-l (y) naM 이다. 문제 (5) 의 조건에 추가한 조건 y 가 f laN 의 정 칙값도 되 어 야 한 다”는 것은 필수적이다. 왜냐하면 이 조건을 가정하지 않으면 일반적 으로 1-l( y)는 다양체가 아니다. 예를 들면, 다음 面의 그립에서와 갈이 f를 속이 찬 tor us(soli d t orus) 에서의 사영이라 하자. 그러면 y는 f의 정칙값이지만 f laM 의 정칙값은 아니다. 이 경우 에 f_ I( y)는 경계에 있는 한 점을 공통점으로 하는 두 개의 원판으로 되어 있으므로 다양체가 아니다.
f
정리 (2.s)'. AcN 를 C- 부분다양체라 하자. 또, A 는 다음 중 어 느 하나를 만족한다고 가정하자. oA=A no N, AcN-oN, AcoN. 만일 f :M― 책가 C 『-사상이고 f와 f laM 이 A 에 횡단적이라면 f-1 (A) 는 er- 부분다양체 이 고 a u-1 (A) ) =1-1 caA) 이다. 정리 (2.11)'. • M” 을 comp ac t C' 一다양체, r 칙, 이라 하자.， 그러면 8McaR2 ;+1 인 M 으로부터 반공간 R 2; +1 으로의 매장사상이 존재한다. * 문 제 1. 각 n~O 에 대하여 미분동상사상 T(S) x R _슨_ ➔ S X R 이 존재한다 (T,,(S) XR~R+1 을 생각하여 보라). l 2. （자연스런) 미 분동상사상 T(MxN)~T(M) x T(N) 이 존재한다.
3. A 가 M 의 미분가능부분다양체이면 포함사상 A-..'. 三나 W 은매장 이고, 역으로 f: M1_➔ M 가 매장이고 J(M 1)=A 이면 A 는 M 의 미분가능부분다양체이다. 4. J : M— ➔ N 가 c1 一사상이 고 M 이 comp a ct 이 면 f의 정 칙 값불 의 집합은 N 의 개부분집합이다. 5. / : Mm — ➔ N” 를 C- 사상, 후 1, 이 라 하자. yE J (M ) 가 f의 정 최값이면 f의 정칙등위면 1-l(y) 는 M 의 C 도부분다양체이고, 차원 은 m-n 이다. 6. 구면 들의 직 적 (pr oduct of sph eres) 은 차원 이 하나 높은 Euclid 공간 속으로 매장할 수 있다. 7. Mobiu s band 를 평 면 속으로 넣 는 몰입 은 존재 하지 않는다. 8. M 을 comp a ct er- 다양체 라 하자. 모든 c1- 사상 M ― ➔ R 은 적 어도 두 개의 임계점을 갖는다. 9. J : (M, oM) 一 (N, oN) 는 C- 사상이 고, AcN 는 aA=AnaN 을 만족하는 부분다양체 라 하자. A 〔또는 aA J의 각 점 이 f[또는 J: oM― 국 N J의 정칙값이라 하면 ,J-1 (A) 는 M 의 er- 부분다양체 이 고 au-1(A))=J -1 (A) naM · 이다. 10. M 을 aM 국인 다양체라 하자 . xEaM 일 때, MxO U Mxl 의 두 점 (x,0) 과 (x,1) 을 등화시켜서 만드는 MxO U Mxl 의 동화 공간(i den tifi ca ti on s p ace) 을 M 의 double 이 라고 부른다. 이 double 은 경계를 가지지 않는 co- 다양체이고(차원은 같다), 그 속에 M 이 매장되어 있다. 11. aM 극이면 M 은 어떤 경계를 가진 다양체 N 의 경계이다. 즉, oN=M. 그러 나, M 이 comp a ct 일 때 comp a ct 인 N 을 찾는 것 온 불가능하다 (M 의 차원이 0 일 때를 생각해 보라). 12. dim (M) =1 이 고 aM*¢ 이 면 M~[O, 1] 또는 뿌 [0, 1) 이 다. 13. 미분동상인 다양체들은 미분동상인 경계를 가진다. 14. T=S1 X ... X S1 이 라 할 때, T-｛ 한 점 } 은 R 속으로 몰입 된다.
제 2 장 사상공간` 이 장에서는 M 에서 N 으로 가는 사상들의 공간의 위상에 관하여 고 찰한다. 주된 목적은, dim N<2dim M 이면 M 에서 N 으로 가는 어 떤 사상도 매장사상으로 근사시킬 수 있음을 밝히는 것이고, 또한 l~r
W' (f ; (cp, U) , (cp, V) , K, E.) 올 다음을 만족하는 사상 gE C' (M, N) 들의 집 합으로 정 의 한다 : g( K)cV 이고, x 든cp (K), k=O, 1, …, r 에 대하여 IIDk (싸Jcp -1) (x) -Dk (韓gcp-•) (x) 11 이고 모든 k~2 에 대하여 Dk( f)= Dk(g) =O 이다 . 따라서 우리가 찾 는 조건은, 모든 xEK 에 대하여 위의 두 부동식의 우변이 모두 £보 다 작은 것이다. 한편, K 가 comp ac t 이므로 충분히 작은 £’ 이 존재 하여 모든 니에 대하여 |a1 j -b 서|<£’ 이면 구하려는 부등식이 성립 한다. (2) f : R ―키t 는 f(x ) =O 으로 주어 지 고, g : R~R ~ 다항함수 g(x ) =a 。 +a1X+ … +akxk, ak=\=O 라하자. 그러 면 /, gEC CO (R1 . R1) 이 다. 그리고 ~dr=g r!a,(r++1~) !a 『 +1x+ (r+2!2 ) ! a 『 +2 썼+…+k汀! 모 E 이 다. 이것 이 comp ac t 집 합 K=[O 지 위 의 f의 E- 근방에 있기 위 하여 는 m~x{lail } <융 이면 충분하다. Whit ne y 매 장정 리 의 중명 으로부터 다음의 근사정리는 쉽게 증명된 다. (1.3) 정리. M 을 comp ac t C'- 다양체, 2 습 ~co, 라 하자. 그러 면, q) 2dim (M) 일 때 M 에서 R q로 가는 모든 매장사상의 집합은 .C';v( M, R q)에서 조밀하다. M 이 comp ac t 가 아니 면 약위 상은 at inf i ni t y (M 의 모든 comp ac t 부분집합의 밖)에서의 사상의 작용을 제어하지 못한다. 이러한 난점 을 극복하기 위하여 C'(M,N) 에 강위상을 사용하는 것이다. (1.4) 정의. C 『 (M, N) 위의 강위상 (s t ron g top ol og y) 다.다 양0=체{ 는 （平 ,p aur ai)c} o, EmAp a를c t M 이 므위로의 국국소소유유한한 (l oca atll lay s 라fin i 하t e자) .a tl a죽 s, 를 M갖 는의 각 접은 오직 유한개의 u, 와 만나는 근방을 가진다 . K={K;},EA 를 K,cU.'ti com p ac t부분집합족이라 하자. 또 맡={(#i, v i)}．터를 N 위의 ch art족이라 하고, e={e‘},EA 울 0 보다 큰 수둘의 집합이라
하자. J EC'(M,N) 가 각 K i를 V i로 보낼 때 w·(f ; O, 밥, K, £) 올 다음 조건을 만족하는 C 『-사상 g : M ― ➔N 둘의 집 합으로 정 의한 다. 모든 t·드 A 에 대하여 g( K.)cV‘ 이고, 모든 xEcp . (K1), k=O, 1, ···, r 에 대하여 IIDk ( 이므로, Imm1(M,N) 이 C i (M,N) 에서 개집합이라고 하면 Imm'(M ,N) 온 C;(M, N)에서 개집합이다. c;(M,N)cC 십 (M,N) 이기 때문이다. 따라서, Imm1(M,N) 이 C1(M,N) 에서 개집합임을 증명하면 충분하 다. 임의의 /Elmm1(M,N) 에 대하여 Imm1(M,N) 에 포함되는 f의 근 방 昭 (f ; o, .If, K, e) 을 찾아야만 한다. .If0 = { (
W1 (f ; , 'Ill', K, e) clmm1 (M, N) 이 증명되었다. 주. c1- 사상 f : M— ➔N 가 submersio n 이 라는 것은 각 점 xEM 에 서 선 형 사상 T 도 (f) : Mx —一 Nz 가 전 사 (surje c ti ve ) 임 을 뜻한다. 위 의 증명 과 비 슷한 방법 으로, M 에 서 N 으로의 모든 C'-submer- s i on 둘의 집합도 역시 C;(M,N), 1:s; ;:r :s; ;:o o, 의 개부분집합임을 보일 수 있다. Emb 『 (M,N) 이 C;(M,N) 에서 개집합임을 보이기 위하여 다음의 보조정리를 먼저 알아보자. (1.7 ) 보조정리. UcR .. 물 개집합이라 하고, WcU 를 com p ac t閉 包 Wcu 를 가지는 개집합이라 하자. /: U-R 를 c1- 매장사상 이라 하자. 그러면, £>0 이 존재해서, g : U-R 가 c1 이고 모든 x 에 대하여 IIDg (x ) -Df (x ) ll
(un ifo rml y)수령한다. 한편, gn o] 매장사상이 아니므로 각 n 에 대하 여W c서 u 로 가 다co른m p a두c t 이접 므 로a ' bn_E ＿ 간 ➔V 0 0이 일존 때재 하a여n- 一g ➔ na (Ean U) ,= gbn (— b-) b이E 다. U . 라 하여 도 좋다. 그러 면 g n- ―가 이 므로 f( a) =f(b) 이 다. 또 f 가 매 . 장사상이 므로 a=b 이 다. 단위벡터 v“ 나:二 ::II , a 도,. 둘의 列이 단위벡터 vES .. -1 로 수렴한다고 가정해도 된다(필요하다면 . 부분렬을 택한다) 그러면, II (Dg n (bn) -Df (b,.))v,.I| 一° 이므로 II ( g (a;： 二f: (bn) _D f(다니 一 0, llg ,, (a,.)-gn (bn)-Df (b ,.) (a,.-b) II·7 ia:=1 7iJ 一° 이다. 따라서, Df ( b)v,,-o 이다. 또 Df ( bn)Vn_-Df ( b)v 이므로 Df ( b)v=o 이다. 그러므로 f는 몰입 이 아니다. 이것은 모순이다. (1.8) 정리. 집 합 Emb'(M,N), YG1, 온 C~(M,N) 에서 개집 합이다. 증명 r=l 인 경우만 중명하면 된다. f드 Emb1(M,N) 이라 하자. 그러면, fE i m m1(M,N) 이고 정리 (1. 6) 에 의하여 Imm1(M,N) 은 C1(M,N) 에서 개집합이므로, lmm1(M,N) 안에서 f의 근방 No, No=W1( f; ,'\Jr ,K,e) 를 찾을 수 있다. 여기서,
f가 매 장사상이므로 /(K,) 와 f (M-U,) 는 서로 素 (d i s j o i n t)인 펴} 집합이다. 따라서, 각 i EA 에 대하여 A, n B,=¢. f(K ,) cA,, f(M -U ,) cB, 인 N 의 개부분집합 A1,B1 가 존재한다. 또, A,,B1 가 개집합이므로 f의 근방 N1 으로서 아래의 조건을 만족하는 것을 C1(M,N) 안에서 . (실제 로는 C 奴 M, N)) 찾을 수 있다 : gE N1 이 면 g (K,) cA,, g (M-U ,) cB,. 따라서, NonN1 은 댜 (M,N) 에서의 1 의 근방이다. 이제, NonN1cEmb1(M,N) 임을 밝히자. gE NonN1 이라고 하자. g든 A% 이므로 g는 몰입 이다. g가 단사임을 보이기 위하여 x= t=y x,y E M, x 루라고 하자. gE U, 일 때는 g lu, 가 단사이므로 g (x) =I=g (y) 이 다. 또, yE M-U , 일 때 도 g (x) Eg (K;) cA,, g (y) Eg (M-U ,) cB, 이 므로 g (x) =t=g (y) 이 다. g : M 一g (M)cN 가 동상사상임을 밝히기 위하여 {y,.｝이 M 안의 列일 때 g(yn )-g( x ) 이면 y,, _-:)X 임을 보이면 된다. 이것은 역사 상도 연속임을 보여준다. xEK‘ 라면 g (x)EA‘ 이다. 따라서 오직 유 한개의 g(y）만이 B‘ 안에 있을 수 있다. 그래서 {yn} 중에서 유한개 를 제외한 모든 원이 U i에 포함된다. 한편 gl u, : u‘_-g( U‘) 가 단 사이므로 y— -x 이다. (1.9) 정의. 사상 / : M― ➔N 가 임의의 com p ac t집 합 KcN 에 대 하여 J- 1(K) 가 M 에서 com p ac t인 성질을 가질 때 f를 固有사상 (pro p e r map ) 이 라고 한다. M 에 서 N 으로의 모든 er- 고유사상들의 집 합을 Prop ' (M, N) 으로 나타낸 다. M 에 서 M 위 로의 모든 er- 미 분동상사상들의 집 합을 D iff『 (M, N) 으 로 표시하기로 한다. 다음의 두 결과는 중명 없이 적는다. 이것의 중명은 쉽게 발견할 수 있을 것아다•
(1.10) 정리. Prop '( M, N), r 책 은 Cs(M, N) 에서 개집 합이다. (1.11) 정리. M,N 이 경계를 가지지 않는 C- 다양체, r~ l 일 때 Dif f'(M ,N) 은 Cs(M,N) 에서 개집합이다. M,N 이 공집합이 아닌 경계를 가질 때에는 D i W(M,N) 은부분공간 Cs(M, oM; N, oN) = {/EC 깁 (M, N) I f(o M) coM} 에서 개집합이다. * 문 제 1. C; (R, R) , r~O, 은 어 느 점 에 서 도 가산기 저 (counta b le base) 를 갖지 않는다. 따라서 거리화공간이 아니다. 2. {fn } 을 g에 수령하는 c;(M,N), rL .o, 에서의 사상列이라 하 자. 그러면, com p a 여집합 KcM 가 존재해서 모든 n 과 xEM-K 에 대하여 f,. (x)=g (x ) 이다. 2. 근사화 (app r oxim ati on ) 이 절에서는 모든 다양체는 경계를 가지지 않는 것으로 한다. (2.1) 정의. f: M― 켓 몰 연속인 실수값함수 (real valued fun c tion ) 라 하자. f기 (R-0) 의 閉包몰 f 의 받침 (sup po rt) 이 라 부르고 Sup p (/) 로 표시한다. Su pp(/)의 여집합은 그 위에서 1 가 0 이 되는가장 큰 개집합이다. (2.2) 정의. M 을 C 『-다양체, 0 습 ~oo, 라 하고 6/f ={U.}•EA 를 M 의 개피복이라 하자. 피복 %에 종속적인 1 의 C~ 분할 (C 『-p ar ti on of unity subordin a te to 6/f) 은 다음 조건을 만족시 키 는 c·- 사상 A‘ : M一 〔 0, l], iE A, 들의 집 합이 다. (i) Supp (-11 ) c U,, i슨 A. (ii) · {Su pp야)} iE A 는 M 의 국소유한(l ocall y fi n it e) 피 복을 이 룬다. (iii) ‘e:EA- 1, (x) =1, xEM.
r=O 인 경우에는 미분가능성은 의미가 없고, 국소유한성에 의하여 각 점은 그 위에서 유한개를 제외한 모든 A i가 0 인 근방웅 가진다. 즉, 2Ai (x) 는 유한합 (fini t e sum) 이 다. (2.3) 보조정리. %={U J ,E , 서 r M 의 개피복이라 하고 Y= {Va}aEA 몰 % 의 세 분 (refi ne ment) 이 라 하자. 7 가 7 에 종속적 인 1 의 C'- 분할을 가지면 %도 같은 것을 가진다. 증명 Pa}aEA 를 少?에 종속적인 1 의 Cr_ 분할이라 하자. f가 맹 의 세분이므로 각 Va 는 어떤 U 투%에 포함된다. 사상 f: A ―一 V 를 각 aEA 에 대하여 f (a)EA 가 VaCU1ca) 를 만 족시 키 는 것 이 라 하자. 죽, 각 Va 는 한 원소 U1ca)EV l/ 에 포함된다. 그러나 U; 는 7 의 여러 원소를 포함할 수도 있다. 각 i EA 에 대하여 사상 µ, : M-[0, 1 ] 를 x 든 M 에 대하여 µ, (x) =aE IJ: -1 ( 1) Aa (x) 로 정의하자. 그러면, µ;는 C 이고 이 {µi}i EA 가 우리가 구하려는 것이다. 이것을 밝히자. 우선 Sup p( µ;)cU. 임을 보이기 위하여 xE :S up p (回 =µ.-1 ( (0, 1] ) 라 하자. 그러면, x 의 임의의 근방 W 는 ye µ‘-1([0 ,1])인 y를 포 함한다. 한편 µ. (y) =aE ~J -l .(. i.) A. (y) 이므로 어 떤 aEJ - 1(i) 에 대하여 Aa(Y) )0 이다. 즉, yE . ila- 1([0, 1]) 이다. 따라서 XEAa-1 ( (0, 1] ) =Sup p (Aa) C Vac U, 이다. 이제 {Su pp (µ,)};e ,1가 국소유한임을 보이자. 만약 x 의 모든 근방에 대하여 집합 { iE A I wn Supp (µ,) *¢ } 가 무한이라면 무한개의 i에 대하여 µ,(y)* 0, yE W 이다. 그런데 .µi (y)* 0 인 것은 i=J(a ) 이고 A 。(y )*o 일 때뿐이므로 {Sup p( Aa)}aEA
가 국소유한이라는 사실에 모순이다. 각 x 든 M 에 대하여 ~µ;(x) =~A.(x) =1 a 임은 명백하다. 또 이 사실은 {Su pp (µ,)};eA 가 M 의 피복이 되는 것 을 보장하고 있다. 실제로는 iEU A Int ( Sup p (µ1) ) =M 이다. 왜냐하면, xEM 이면 어떤 i가 존재하여 µi(y) >0 이므로 xE :In t ( Supp (µ,) ) 이 다. 따라서 {Int (Sup p (µ,) ) }i e A 는 M 의 국소유한 개피복아고, 맹 의 shrin k in g 이다(피복 {V.}iE , I 가 피복 {UJ ,E A 의 shr i nk i n g이라는 것은 각 i에 대하여 V,cu‘ 임을 뜻한다). 다음 정리는 미분위상수학에서 사용하는 기본적인 도구 중의 하냐 로서 대역적인 정리를 국소적 형태로 줄이는 데 자주 쓰인다. (2.4) 정리. M 을 er- 다양체, O 습 ~00, 라 하자. M 의 임의의 개피 복은 종속적 인 1 의 C 『-분할을 가진다. 증명 Olf ={U,} i EA 를 M 의 개피복이라 하자. M 의 국소유한 atl a s. { ('Pa , va) } aEA 로서 {Va} aEA 가 맹 률 세 분하는 것 이 존재 한다. 또한 'P。 (V.) cR 는 유계 이 고 VacM 가 comp ac t 라고 가정 해도 좋다. 그 러 므로 //= { V.} aEA 의 shrin k in g { W.} ae11 가 존재 하고 각 W.c v. 는 comp ac t 이 다. 따라서, 보조정 리 (2. 3) 에 의 하여 7 에 종속적 인 1 위 er- 분할을 찾으면 된 다. 각 aEA 에 대하여 'Pa ( Wa) C 'Pa ( Vg ) CR 이고 %(Wg )가 comp ac t 이므로
COO- 사상 .ila,i : R_ ＿吐 0, 1], j= l, 2, ···, k (a) , 몰 다음 조건을 만족시 키는 것으로 덱한다. Aa,j ( X) )0 일 필요충분조건은 xEi nt (B (a,;)) 이다. 이러한 COO- 사상의 존재성은 1 장의 정리 (2.9) 에 의한다. 사상 A 。 : R” 一一〔。f이 를 k(a) Aa=~ Aa,j : R-— >[0, o o] j= I 로 놓자. 그러 면, xE
0 이고, X 드 R- kU(a)B (a, J) J= I 이면 .-1. (x)=0 이다. 사상 µa:M ―컨 0, 찍를 µa(X)={A~:
0 이다. 또 한 Su pp (Ua)cV 집은 명백하다.
'Pa (VJ
끝으로 사상 % : M ― ➔ [O, 1] 룰 xEM 에 대하여 %(x) = aIE:Aµ aµ(。x ()x ) 로 정 의하자. 이 {%}aEA 가 구하려 는 1 의 분할이 다. 죽, Sup p (va) =Supp (µ。) c Va, aEA 이 고, f/ 가 국소유한이 므로 {Sup p (va) } aEA 도 국소유한이 다. 또, xEM 일때
~ Va(X)=l aEA 이고, 이 사실로부터 {Su pp (va)}aEA 가 M 의 피복임을 알 수 있다. (2.5) 따률정리. cr- 다양체 M 위에 고유사상 p: M-R 가 존재한다. {U증,}c명 계 종{속U;적} ,인EA 를1 의각 C 'U- 분 가할 c{oAm1} pi EaAc t를 인 잡M는 다의. 피 함복수이 라p : 하M자— . -R이 를 xEM 에 대하여 p (x) = I; i..:l, (x) iE ,I 로 정의하자. 그러면 p는 잘 정의된 C 『-사상이다. 자연수 j에 대하여 p( x)~j 이면 함수 A1, …, A1 들 중에서 적어도 하 나는 x 에서 0 이 아니다. 왜 냐하면, A1 (x) =… =Aj ( X) =O 이 라 하면 p(x ) =Ilo=o: J + Ii, ,l;( x) = (j+ 1) Aj+ 1 (x) + (j+2 Hj + 2 (x) + •·• ~ (j + 1) Ioo; ;i1 ( x) i=J+ I =j+l )j 가 되어 모순이다. 그러므로, p-1 ([-j, j]) C jU=j l { . x 든 Ml ;i, (x) =f=O } c jC=j J1 Sup p (,,l,) cU1J= U1 1 이다. 따라서, u‘ 가 com p ac t이므로 p -1( 〔-]』〕) 의 폐포가 comp ac t 이 고, 곧 p-1 ([급, j]) 도 comp ac t 이 다. K 를 R 의 임의의 com p ac t부분집합이라고 하면, 어떤 자연수 j가 존재해서 Kc[- j머 이고 p -l(K) 는 p -1( ［국기)의 폐부분집합이다. 따라서 p-l (K) 는 comp ac t 이 다. 즉, p 는 고유함수이 다• 각 (i2 .에6) 대따 름하정여리 .g , : Qu/1 ,= _{_U, 가}tIE 를A 를 e rC- 사-상 다이양 체라 M하자 의. 개그피러복 면,이 라이 하g고‘ ,들 울 서로 붙여서 er- 사상 f: M_R 를 만들 수 있다.
증명. % 에 종속적 인 1 의 C 『-분할 {A,} 1EA 를 잡자. 그리 고 사상 f :M ― ?R 를 f (x) = I: .:!, (x) g, (x) ZIEEAU ‘ 로 정의한다. 그러면 이 f는 찰 정의된 C 『-사상이다. (2. 7) 정리. M 을 C- 다양체, l~r~c: o, 라 하자. 그러 면 C'(M, R) 온섭 (M,R) 에서조밀하다. 죽, 임의의연속사상f :M-R 는강 위 상에 서 C'- 사상으로 군사시 킬 수 있다. 증명 IEC 。 (M, R ) 이 라고 하자. C~ (M, R ) 안의 1 의 어 떤 근방 W( f ; , 'llf, K, e) 도 C'_ 사상 g : M一 R 를 포함함을 보이 자. 죽, {Ua}aEA 를 M 의 국소유한 atl a s 라 하고, 각 aEA 에 대하여 ea>O. % : Ua_-R 이 고 K= {K.,} , K.,c u., 는 comp ac t 라 하자. 모든 aEA 에 대하여
定値사상 (consta n t map ) g' : U' ― ➔ R 물 gi. (y) =f(x) 로 정 의 한 댜 피복 {U,,} :r EA( 와 사상족 {g r} 에 다시 부호를 붙이면 M 의 개피 복 f/ ={V;} i E ,l와 다음 성질을 갖는 C'- 사상 g, : M-R 를 얻는 다. 즉, yE V, nU a 이 면 ||g, (y) -f(y) II
UCRm 를 개집합이라 하고, /: U-R 는 사상이고 U11={ xEUI B11(x)cU} 라하자. O와 f 의 合成積 (convoluti on ) 을 다음과 같은 사상 e*f 로 정 의 한다 : 0*f : Uv 一 R, e*f ( x) =IsvB(vOCO))0 (y)f(x -y) dy, (xE Uv) • 여기서, x-yE U, 적분은 Lebes g ue 적분, d y는 R 에서 보통 쓰는 측도 (usual measure) 를 표시 한다. 주. 모든 yE aBC(O) 에 대하여 0(y) =O, 곧 0(y )f(x -y) =O 이다. 따라서, B,,(O) 밖에서는 0(y )f(x -y) =O 라고 정의하여 0*f 를 R• 위 로 확장할 수 있다. 죽, xEU,, 에 대하여 0*f ( x) =jR •。 (y)f (x- y )dy . 또, 고정된 xEU,, 에 대하여 z=x-y 라 놓으면 0*f ( x) =IB (O)O( y)f (x- y )dy =JB 土 )0(x-z) f (z) dz 이다. 이것도 B,,(x) 밖에서는 0(x-z)f ( z)=0 이라고 정의하여 0*f (x ) =JR •。 (x-z)f (z ) dz 로 쓸 수 있다. 사상 0 : R .. 一 R 가 O( x) ~o 이 고 comp a ct 받침 을 갖고, JRR• •0= 1 인 성질을 가질 때 O 를 合成積의 核 (kernel) 이라고 부른다. 임의로 주 어진 받침반경의 C 포합성적의 핵이 존재하는 것은 곧 알 수 있다. U 가 R .. 에 서 개 집 합이 고 f : U_.-R 를 C' －사상이 라고 할 때 , 임 의의 부분집 합 KcU 에 대하여 기호 |1/11,,K 는 11/11,,K=Sup { IID,.f (x ) 11lxEK, O~k~ 가
롤 나타낸다고 하자. 여기서, k>0 에 대하여 D11f (x ) : R .. X ••• X Rm 一 ➔ R 는 k- 선형사상 Ck-lin e ar ma p)이고 IID11f ( x) II 는 R 에서 단위구면 위1 의 벡터 m, … ,xk 에 대한 IID•J (x ) (xi, ..., x,,) H 의 최대값이다. D11J (x) 가 k- 선형사상인 실례를 둘기 위하여 사상 f: R3 一 R2 f(x I, x2, x3) = (fl (x I, X2• 찌 , /2 (x1, X2, Xs) ) 를 생각해 보자. 그러면, D2f ( x) = (Jf\h ff&t2 ff &b ff출} 1 l If&~ ff~晶J) (x) 는 D2f ( x) : Rs x Rs-_ 갸i 2 인 2- 선 형 사상이 다. (2.9) 정리. 0 : R .. -―카t가 받침반경 (J＞ O 를 갖는다고 하자. 또. UcR 는 개집합이고 f: U-R 를 연속사상이라고 하자. 그러면 합성 적 e*f : u- 一카t 는 다음 성 질을 갖는다. (a) 0 I i o t (Su pp(B))가 C\ l~k~oo, 이 라면 0*f 도 (,、 k 이 다. 그리 고 유 한인 k 에 대하여 D11 (0*I) = (Dk0) *f. (b) I 가 Ck 이면 D'(0*/) =0*(Dkl) . (c) f는 C', O 습 ~00, 이 라 가정 하고, KcL 를 comp a ct 라 하자. 주어진 e>0 에 대하여 KcU 인 (J>0 가 존재하고, 0 가 받침반경 (J/l 의 C,- 핵이라면, 0*f 은 C 이고 ||0*I-fl 1 n K
증명 (a) 각 xEU,,. 에 대하여 0*f (x ) =JRR_• 0 (x-z)f (z ) dz 이고, 0 가 c1 이므로 Le i bn it z 법칙과 (D10 와 f의)합성적의 정의어} 의하여 D1 (0*/) =JRR_• D 1 0(x-z)J (z )dz = (D10) *f(x) 이다. 따라서 k 에 관한 귀납법에 의하여 D• (0*/) = (D•0) *f 이고, 0* f의 C 묘 1 분가능성을 얻는다. (b) xEU,,. 에 대하여 0*f ( x) ==JJRRll_oo• 0tt S S (uuppy pp(() OOf)) e(x( y-)yf) ( dxy -y) dy 이 다. f가 C1 이 므로 Leib n iz 법 칙에 의하여 D1 (0*f) (x) =J0( y )D 1f ( x-y) dy = 0*D1/(x) 이다. 따라서 k 에 관한 귀납법에 의하여 (b) 가 얻어진다. (c) (c) 의 결 과가 연 속사상에 대 하여 성 립 한다면 모든 C'- 사상에 대 해서도 성립한다. 왜냐하면, (b) 에 의하여 ll0*f -fll,,x =Sup { IID•(0*f) (x)-D•f( x)II lxEK, 0 학작} =Sup { ll0*D•f (x )-Dkf (x ) II lxEK, 0 학습 } 이고, D•J 가 연속이므로 |l0*f -JIIn K
하여 KcU,, 이도록 U 를 택할 수 있다. 이 0 에 대하여 0 : Rm_ 一 R 의 받침은 B,,(O) 에 포함된다. f가 K 의 comp a ct 근방에서 균일하게 연속이므로, xEK 이고 |x- y I 독 6 이면 ||f(x )-f( y)l l
를 U 를 피 복하는 국소유한 comp a ct 집 합족이 라 하고, e= {e‘}IEA, £‘>0 이라 하자. 그리고 W' (f,K,e) 을 각 i EA 에 대하여 ||g-JIIr , K‘
IlDk¢(X) ||독 A,012P합 IIDP;/(x) II· 뀝麟 ||Dq
증명 정리 (2.10) 의 증명에서 본 바와 같이, V=R 이라 가정해도 좋다. AcU 를 K-W 를 포함하고 !IA 가 CS 인 개집합이라 하자. 또 W。 CU 는 개집합으로서 K— Ac W。 c W 。 C W 를 만족시키는 것이라 하자.
u
그러면, {W. u-Wo} 는 U 의 개피복이다. {Ao, 사을 {W, u-Wo} 예 종속적 인 1 의 C 드분할이 라 하자. 죽, .:lo, .:l1 : U-[0, l ] 은 C- 사 상으로서, 모든 쌌三 U 에 대하여 入。 (x)+ .:l 1(x)=l 이고, U-W 의 근 방에서 Ao(X)=0, Wo 의 근방에서 .:l1 (x)=O 이다. 사상 G : Cs(U, R)— -cs (U, R) 를
G(g) (x)=Ao(x)g ( x) +Ai ( x)f (x ) 르 정의한다. 그러면 사상 G(g) : u-R 는 G (g) I wo=g , G (g) l u-w=f 이다. 또 그 위에서 I 와 g가 CS 인 모든 개집합 위에서 G( g)도 C 이 다. 왜냐하면, Ao,A1 이 Cs 이기 때문이다. 한편, G (f) (x) =A 。 @f(x) + Ai (x)f (x ) =f(x) 이고, J EW' 이므로 Cs(U,R) 에 f를 포함하는 개집합 Wo 으로서G ( W 硏) c w 『 울 만족시 키 는 것 이 존재 한다. 또한 정 리 (2. 10) 에 의 하 여 C'(U, Rn)=C;(U, Rn), 0 찰三 OO 이므로 w; 은 C'(U,R ）의 원소g를 포함한다. 그래서 g는 CS- 사 상이다. h=G( g)드節 라 놓으면 이 h 는 요구하는 조건을 만족시킨다. 죽, hlw,=g , K-AcWo, hlu-w=f 이고 h=G( g)=.x o g+짜 는 K 의 근방에서 c•o] 다 .. 자 이제 기본적인 근사정리를 증명하자. (2.12) 정리. M 과 N 을 CS- 다양체, l~s~ 따 라고 하자. 그러면, C•(M,N) 은 Cs(M,N), O~r
go =/ 라 놓으면 Wo 국 이 므로 go 는 자명 하게 조건을 만족한다. g,, EW', O~k
Um 느 0Vm
u. 과 V” 이 각각 R .. , R 과 er- 미 분동상이 므로, 정 리 (2. 11) 을 c방;에cu서., vC.) 이 에고 적 용U. 하. -면w C. . s위(U에. . ,서V ) g에 ..서 -I 과g .-일1 치의 하임는의 의c ~-근 사방상은,을 C포 의함 근한 다. 죽, H 의 부분집합 {hEHI h 는 C 의 근방에서 C} 은 H 에서 조밀 하다. 따라서, 개집합 T-I(Wr) 은 이러한 사상 h 를 포함한다. 이 h 에 대하여 g .. =T(h) 로 정의한다. 그러면, g. EWr 이고 조건들을 다 만족시킨다.
끝으로, 사상g :M-N 를 g( x)=g ‘o (x), 여기서 K(x)=max{k I xEU 나 로 정의한다. 각 점 xEM 의 근방으로서 그 위에서 g=g,(,:) 가 만족 되는 근방이 존재한다. 따라서, g는 C 이고 gE W' 이다. (2.13) 따릅정리. M 과 N 을 C- 다양체, l~s~co, 라 하고 dim M
UD'' (h rp . -1) (y) -D• (frp.- 1) (y) II
v
y=rp,( x), XEU 일 때만 Dh(hrp . -1) (x) 가 의미를 가진다. 그래서 y~rp.( U.-U) 이고, flu EW 임은 명백하다. U 가 pa racomp a ct 공간이므로 국소유한 폐피복 {C 냐가 존재해서 각 Q는 오직 유한개의 K , 와 만나고, xECanK‘ 에 대하여 b 가 존재하여 d(rp. (x), rp, (U,-W )) 느 b>O. 이다. 따라서 W 의 각 원소는 기저인 개집 합 (bas i c op e n set) （강위상 에서)을 가지므로, Cs(U, V' ）에서 W 는 f lu 의 근방이 된다. 사상 T : W-Cs(M, V) 룰 T(g )={g, U 위에서, f, M-U 위에서. 로 정의하자. 이 사상 T 가 찰 정의되었는가를 밝혀야만 한다. 즉, T(g) ECs (M, V) 임 을 보여 야 한다. Bd(U) 의 근방에서의 er_ 미분가능성만이 문제가 되므로 각 사상 (T(g) -f)rp.- 1 : rp .(U.) ― ➔ R,. 이 er 임 을 밝히 면 충분하다. 각 iE .A 에 대 하여 .il,= (T(g) -f) rp,- 1 라 하자. 그러면
더gcp ‘-I- fcp ‘-I, cpK U) 위에서, 0, cp, (U,-U) 위에서. 이 고, A‘ 는 cp. ( U,) 위 에 서 C 『 이 다. gE W 이 므로, yE c p‘ (Ki) , 0 학습 에 대 하여 11n•(gc p.- 1) (y) -D (fcp.- 1) (y) ll
다른 하나는 alw 와 양립하는 CS- 구조 /3 |w 이다.
u
C 『-미분동상사상 0 : (U, alu)-U' 로서 0lw : (W, Plw)-W' 가 C(S0-, 미U) 분 는동 상B 사와 상C이 로 되경 는천 다.것 이 따라존서재, 한 다BU고 U 가위정의 하 자cs.- atl 그a s러 p 면U (0c,h Uar)t 는 a 에 포함된다. 이것은 (B, p)의 최대성에 위배된다. 그러므로, B=M 이어야 한다. 상 이제0, : (U0,l wal u: )(—W -.uP l'w 룰) -W만들'자 가. C보S조- 미정분리동 (상2.이14 ) 를되 는C' - 다C'양- 미체분 동U 와 0ECs(U, U’) 에 적용하면
정 리 (2.12) 에 의하여 C1((W , /3), W' ）이 C~((W, /3), W') 에서 조밀 하므로 C- 미분동상사상 0 。든.At onCH(W, /3）, W' ）가 존재한다. 이 0。 에 대하여 T(0o)=0 라 놓으면, 0EDi W (U, U’) 이고 eIw=T(0o) Iw=0 。 은 W 위 에서 CS- 미분동상사상이 다. 유일성에 관한 증명은 연습문제로 남겨둔다. 정 리 (2. 13) 과 (2. 16) 으로부터 다음의 중요한 정 리 를 얻 는다. (2.17) 정리. (a) l~r
lim F,..0,.. : F(A)-lim F(A 。) ( ( 온 전단사사상이다. 여기서, IJm F (A.) = { (a.) E IT F (A 。) | AaCA, 이 면 aa= FAa, (a,) } . E-- a 주. 각 a 에 대하여 사상 Pa : lEi m F(A.) ―一 Aa 가 존재하고, AacA, 이면 다음이 성립한다 : FAaAp P P=Pa, Pa ~
A'cA, FA1A (a) =a’ 이 면 (A', a') ~ (A, a) . 函手의 연 속성 에 의 하여 S 의 임 의 의 전 순서 부분집 합은 상계 를 가진 다. 따라서 Zorn 의 보조정리에 의하여 S 는 최대원 (A*,a*) 를 가진다. A*=X 임 을 밝히 자. 만약 A*= i=X 라 하면 국소적 확장가능성 에 의 하여 BE<'§ 와 bEF(A* UB ) 가 존재 해 서 FA.,A.us(b) =a* 이다. 그러나 (A* UB , b) >( A*, a*) 이 되므로 (A*,a*) 의 최대성에 위배된다. 따라서 A*=X 이다. 다음 정리도 대역화 방법을 쓰는 한 예이다. (2.20) 정리. M 과 N 을 er- 다양체, l 독 r 독CXJ, 라 하자.
두 사상은 동치 라고 한다. A, BErJ , AcB 이 면 각 B-ge rm 은 유일 한 A-ge rm 에 포함된다. 이 대 응관계 는 사상 FAB : F(B) _―나 ?(A) 를 정 의 한다. M 위의 구조函 手 (F, 연)가 연속임은 쉽게 알 수 있다. (F,~?) 의 국소적 확장가능성 을 밝혀 보자. a 드 F(A), a= [f파 하자. 그러면 A 의 개근방으로서 f lu 가 몰입 인 U 가 존재하고, f든 W 이다. 만약 A= t=M 이라면 K 후 A 인 K i가 존재한다. a 를 AUK. 위로 확장하려면, A 의 어떤 근방에서 f와 일 치하고. AUK . 의 근방의 몰입이 되는 사상 rJE W 를 찾아야 한다. 이것은 다음과 같은 방법으로 구한다. Be u. 는 원판 (dis k ) 으로서 J(.c lnt (B) 를 만족시 키 는 것 이 라 하자. 그이러므면로, 정f리(B (1).c 3)V .에, V의‘ 하는여 R f의|B :개 B집— 합-v과 ‘ 는미 분몰동입상사이상고으 로n~ 2Cd2_im 근 M사 시킬 수 있다.
Int (B)
Y 위에서 S(g )=g 이다. S(f l B)=I 이고 S 가 연속이므로, g가 flB 에 충분히 가까우면 S(g ) EW 이다. 또한 Z 위에서 S(g )=f 이므로 S(g )=f=a EF(A) 이다. 더우기, Y 위에서 S(g )=g 이므로 S( g)는 Y 위의 몰입사상이 다. '실 제로, g가 f lB 에 충분히 가까우면 S( g)는 K, 의 근방의 몰입이 다. 왜냐하면, X 는 K; -Y 의 근방이고 X 가 U 에서 comp ac t 라 하자. 그러 면 flu 가 물입 이고 Xcu 가 comp ac t 이므로 f의 근방 W1 이 존 재해서 ’iEW 1 이면 hlx 는 몰입사상이다. g가 1 에 충분히 가까우면 S(g ) EW1 이고 S(g ) Ix 는 몰입 이다. 그래서 이러한 S( g)는 AUK‘ 의 근방의 몰입이다. 이것은 (F, 연)가 국소적으로 확장가능함을 증 명한다. 정리 (2.19) 에 의하여 F(M)=\=¢, 죽 W 는 몰입사상을 포합 한다. M 이 com p ac t가 아니면 매장사상들은 CHM,N) 에서 조밀하지 않 다. 예를 들어, f: Z ― -R 를 정수에서 정의된 사상으로서 f (Z) 가 유리수 좌표를 갖는 점들의 집합이라 하자. 또, g : Z-R 를 IJg (n) -f(n) II
(2.22) 정리 (Wh it ne y 매장정리). n 차원 C- 다양체, l~r~oo, 는 R2n+1 의 폐부분다양체와 C'- 미분동상이다. 증명 보조정 리 (2. 5) 에f 의: M 하— 여 ~고R c유R사2n상+ 1( pro p er map) 가 존재한다. 죽, /EProp; ( M, R2+1). 따라서 정 리 (2. 21) 에 의 하여 f에 가까운 매장사상이 존재한다. 이 장을 완결하기 위하여, 공집합이 아닌 경계를 가지는 다양체와 다양체 의 짝 (manif old pa ir ) 에 대 한 근사정 리 (app ro x im ati on the orem) 둘을 증명없이 소개한다. (2.23) 정의. M 과 N 은 CS- 다양체, l~s~oo, 이고 aM= I=¢, aN= I=¢ 라 하자. O~r 가 er- 미분동상이면 이들은 CS- 미분동상이다.
(2. 26) 정리 . (M, Mo) 를 C- 다양체의 짝이 라 하자. O
제 3 장 횡단성 이 장에 서 는 여 러 가지 횡 단성 정 리 (tra nsversality the orem) 에 관하 여 알아보자. 이 정리는 부분다양체 AcN 를 횡단하는(t ransverse) 많은 사상 f : M ― ➔ N 둘의 촌재 를 보증한다. 이 것은 미 분위 상수학의 기본정리로서 이와 비슷한 결과는 위상다양체나 다면체의 이론에서는 빠 성립하지 않는다. 횡 단성 정 리 롤 증명 하는 데 가장 주요한 보조정 리 는 Morse- Sa rd 정 리 이다. 이 정리는, f: R 드＿가간 가 er, r)max{O,n-k} 이면f의 입계 값의 집합의 R1r 에서의 측도는 0 임을 알려준다. 이것의 증명은 r=oo 인 경우만 한다. 이 장에서 나오는 모든 다양체와 부분다양체는, 명기하지 않는 한, 모두 C'- 다양체 로 가정 하여 둔다. 이 미 알고 있듯이 이 것은 그리 심 각한 제한은 아니다. 1. Morse-Sard 정 리 1 장의 정의 (2.13), (2.15) 를 상기해 보면, 부분집합 XcR 의 축 도가 0 인 것은 임의의 e>0 에 대하여 X 를 피복하는 n-cube 족이 존 재해서 모든 n-cube 의 측도의 합이 £보다 작을 때이고, C00 n- 차원 다양체의 부분집합 X 가 측도 0 울 가지는 것은 각 chart (cp, U) 에
대하여 집합'P (UnX)cR 의 측도가 0 일 때이다. n--c u be 의 측도는 0 이 아니 므로 축도가 0 인 부분집 합은 내 접 (in- t er i or) 을 가지지 않는다. 따라서, R 또는 다양체 M 의 폐부분집 합 X 가 측도 0 을 가지면 X 는 疏이다. 죽, Int( X.)= lnt( X )=¢. 좀더 일 반적 으로, 부분집 합 XcM 는 측도 0 을 가지 고 (l~c omp ac t 라 가정 하자(폐집합일 필요는 없다)． 죽, X= UO3 K ,, Kj 는 comp ac t, ‘=1 µ (X) = 파CO (K,) =0. 1=1 그러면, 모든 i =l,2,··· 에 대하여 µ(K.)= 0, 곧 K, 는 疏이다. Ba ire Ca t e g or y정리에 의하여 X 는 M 에서 疏이다 (M 이 완비거리 공간이므로 Bair e Ca t e g or y정리를 적용할 수 있었다). X 의 여집합은 M-iUC=X ) l K .=l =CnXl) (M-K,) 이고, 각 M-K‘ 는 M 에서 조밀한 개집합이다. 죽, X 의 여집합은 가산 (counta b le) 개 의 조밀 한 개 집 합들의 교집 합 (int e r secti on ) 이 다. 부분집합 XcM 가 가산개의 조밀한 개집합의 교집합을 포함할 때, X 는 잉여 (res i dual) 이다 라고 말한다. 곧 알 수 있듯이, 잉 여인 부분 집 합들의 가산교집 합 (counta b le int e r secti on ) 도 잉 여 이 다. 1 장의 (2.14), (2.12) 에서 밝힌 바와 같이 , 집 합 XcR 의 측도 f가: MO 이— 면~ NC 1 가- 사 상c1 _I 사: 상R이1고~ Rdim 의 ( M像) 양체라 하고, f: M-N 를 C- 사상이라 하자. r)max{O,m-n} 이 면 f(l: 1) 는 N 에서 측도 0 을 가진다. f의 정칙값들의 집합은 잉여 이 고, 따라서 조밀하다. 정리를 증명하기에 앞서서, 특별한 경우를 들어 정리가 내포한 의 미를 음미하자. (i) /: R 一 R 를 C1- 사상이라 하자. y든 R 가f의 정칙값이면 Rxy 는 f의 gra p h 에 횡 단적 이 다. 왜 냐하면, 만일 R xy 가 f의 grap h 에 횡 단적 이 아니 라면 T:x :f : R:x :- Rtc :x:> 는 전사가 아니 다. 따라서 y 는 정칙값이 아니다.
RJ (x )
따라서 , 정 리 (1. 1) 은 대 부분의 수평 선 (horiz o nta l line ) 들이 f의 _gr ap h 에 횡 단적 임울 말해 주고 있다. 1 장의 (2. 3) 을 상기 해 보면, f(x ) =yE A 일 때 A,,(f) T ,,(f ) (M,,) =N:1 이면, c1- 사상f :M― 켜 V 는 N 의 부분다양체 A 에 횡단적이다. (ii) / : R2 一 R 를 c2- 사상이 라 하자. 그러 면 r=2)max{O, 2-1} 이 므로 정 리 (1. 1) 은 “대 부분의 수평 면 (horiz o nta l pla ne) R2 x z 둘 은 1 의 g ra p h 에 횡단적이다. 주의. H. Whit ne y [1 이는 c1- 사상 / : R2 ― ➔ RI 로서 f의 입계접의
RI
집 합은 위 상적 호 (top ol og ica l arc) I 를 포함하지 만 fi r 가 상수함수가 아닌 것이 있음을 밝혔다. 죽, µ(f(Z 1))=\=0 이다. 이것은 정리 (1.1 ) 에서 r=max{O, m 키가 일 수 없음을 말해 준다. 정리(1. 1) 의 증명. C°'- 사상에 관해서만 증명한다. 국소적 으로 증명 하면 충분하다. 죽, 개 집 합 WcR 에 서 R 으로의 , C°' －사상 f: w― ➔ R 를 고찰하면 된다. 만약 m
모든 i =l, … ,n 에 대하여 L1f , (P)=O 을 만족하는 모든 점 PEE/ 들의 집합, E2 는 어떤 i와 계수가 2 보다 갇거나 큰 어떤 미분작용소 4 에 대하여 4f ‘(p):: \=O 을 만족하는 모든 점 PEE/ 들의 집합, E3 는 어 떤 니 에 대하여 롭 E-( p )::\=O 을 만족하는 모든 점 PEE/ 들의 집 합. EI,E2,E3 의 정의로부터 E1=E1 UE 2 UE s 임 울 알 수 있고, E2 는 E,, E3 와 공통부분을 가질 수도 있다 (n=m=l 이면 E1=E1 이다). 우선 µ(f(E 1))=0 임을 밝히자• µ를 µ;;;;m i n 인 것 중예서 가장 작은 정수라 하자. PEE1 에서 f의 µ차 Ta y lor 전개식을 생각하면, p 의 근방에서 f( x) =[f(p)+ f' (p) (x-p) +…] + ~ (x-p) • =f(P) + 므~ (x 一p)•. f의 도함수들이 연속이므로, p의 근방 UcW 가존재해서 pe 2IOU 이고, q EU 이면 11/(p ) -/(q) ll~Bllp -qll, B20 이다. U 를 한 변의 길이가 A 안 n-cube 로 잡는다. 21 은 이러한 U 둘로 피복되므로 µ(f(U nZ,))=0 임을 증명하면 충분하다. s 를 큰 정수라 하자. U 를 한 변의 길이가 A/S 인 s 개의 cube 들로 나눈다. 그리고, 이 cube 들 중에서 21 과 만나는 것을 C~, k=l; ···, t, t~ s .. 로 표시한다. 그러면 각 C» 는 중심이 Un21 의 점, 반경이 (A/S) ✓ 굶 인 球에 포함된다. 그러므로 f (Ck) 는 한 변의 길이가 2B( 순 ✓ m)•=A( 순). 보다 크지 않은 cube C'i,c R” 에 포함된다. 왜 냐하면, PEZ,n u. qE U
에 대하여 11/(p ) -f(q) ll~Bllp- qll , B 걱 0 이기 때문이다. 따라서 µ(f (U 園) 조h (C' ，，) ~sAn( 순 )=sm-,“AA 이 다. 또, m-vn 이므로 0 은 0f 1 의 정칙값이다. 따라서 X=(0f 1 )-1(0) 는 m-1 차원 C 호부분다양체이다. z1nXcZ11, 이므로 귀납법의 가정에 의하여 µ(f(Z) 11,)=O 이다. 이것으로부터 µ(f(Z 2-Zs))=0 이 층명된다. 이제는, µ(!(Zs))=0 을 증명하는 일만 남았다. 각 점 p드 S3 에 대 하여 p의 근방 UcW 로서, 어떤 니에 대하여 U 위에서는 으afx!j - *o 인 근방 U 가 존재한다. 따라서, 역함수정리에 의하여 아래의 성질을 만족하는 U 를 택할 수 있다 : 개집합 AxBcRn -ix R 와 C' －미분 동 상사상 h : AxB ― ➔ U 가 존재해서 다음 도식이 가환이다.
AXB ,n u
즉, 바꾸어 말하면 (따, …, X .., t) EA x B 에 대 하여 f, (Xi , ·••, X .., t) =t 이다. 표기의 편리를 위하여 R 의 좌표의 순서를 다시 정해서 J.=f,. 이 되도록 한다. h 에 의하여 U 와 AxB 를 등화(i den tify)한다. 그러면 f lu 는 다음과 같은 꼴이 된다 : R .. 기 xR::::)AxB~ Rn -Ix R f(x , t) = (U1 (x) , t) . 여기서, 각 tE B 에 대하여 U1 : A 一 ➔ R-1 는 CCO- 사상이다. f의 마지막 좌표는 포함사상이므로, (x, t)가 f의 임계점일 필요충 분조건은 X 가 U1 의 임계점인 것이다. 따라서 J:1n (AxB)=L J (臨 x t) 1E8 이다. dim (A)=m-l 이므로 귀납법의 가정으로부터 다음을 얻는다. µ .. -1 ( U, (J;u, ) ) =0, 여 기 서 , µ .. -1 은 R-1 에 서 의 Lebesg ue 측도를 표시 한다. 여 기 에 Fubin i
정리를 쓰면 멜f (Zu, X t) ) =J/n -1 ( U, (Zu,) ) dt =J0B o dt= o 이다. 이것은 µ(f(lJsn U))=O 임을 보여준다. Morse-Sard 정리를 써서 다음 정리를 중명한다• 이 정리의 위상적 인 형태는 대수적 위상수학의 정리를 써서 증명되어 있다. (1.2) 정리. M 을 8M*¢ 인 매끈한 comp ac t n- 다양체라고 하자. 그러 면 retr a cti on M 一 8M 은 존재 하지 않는다. 증명 만일 retr a cti on g : M_ 캣 M 가 존재한다고 하면, 8M 의 근 방에서 Cco 인 retr a ct ion f : M~aM 를 찾을 수 있다. f는 oM 의 근 방에서 f와 일치하는 Cco 一사상 lt : M . ―一 aM · 로 근사시킬 수 있다. 그 러 면 I1 도 retr a cti on 이 다. 정리 (1. 1) 에 의하여 h 의 정칙값 y eaM 가 존재한다. 그래서, h-1(y) 는 M 의 1 차원 com p ac t부분다양체 V 이고 av=vnaM 이다. h 가 retr ac ti on , 죽 hlaM=id 이므로 y eaV 이다. 따라서 V 의 y를 포합 하는 연결성분 (com p onen t)은 폐구간과 미분동상이다. 그러므로 아 . 연결성분은 y와 경계점 zeaM 룰 반드시 포함하여야 한다. 그러나, h (z) =z, zE :h- 1 (y) , h (z) =y 이므로 모순이다. 이 정리의 특별한 경우로서 다음 사실이 성럽한다. retr ac ti on nn~ann=sn-l 은 존재 하지 않는다. ” 이 정리는 그 유명한 Brouwer 부동점정리를 증명하는데 쓰인다. 다양체 위의 사상을 조사 연구하는 방법으로 미분위상수학에서 자주 쓰이는 기본적인 형태는 CC0- 사상으로 근사시키는 것, 정칙값을 찾는· 것, 정칙값의 逆像울 이용하는 것 등이다.
한 중요한 확장은 정 칙 값을 쓰지 않고 부분다양체 에 횡 단하는 사상 을쓴다. *문 제 1. YoEN 일 때, l~r~oo 에 대하여 집합 {/EC'(M,N) IYo 가 1 의 정칙값} 은 C5(M,N) 에서 조밀한 개집합이다. 2. M 을 aM 국인 다양체라하고 KcM 를폐집합이라하자. K의 근방 UcM 는 M 의 매끈한 부분다양체인 K 의 폐근방을 포함한다. 3. MncRP 을 미분가능다양체라고 하면 M 과 횡단적으로 만나는 초평 면 (hyp e rpl a ne) 이 RP 에 존재 한다. 4. R 에 서 Rn+1 으로의 전사인 C CI)-사상은 존재 하지 않는다. 5. M 을 comp ac t 다양체 라 하고, / : Mn~R” 를 CCI ), O 학 (M) 이라 하자. 그러면, Rn+1 의 원점을 지나는 직선이 존재하여 f (M) 과 오직 유한개의 점에서만 만난다. ?i 횡 단성 (tra nsversalit y) 이 절에서는 횡단성정리에 관하여 알아본다. M,N 을 er- 다양체, 0 습 ~00, 라 하자. 집합 CtJ= { (L, U, V) I UcM, VcN 는 개 집 합. Leu 은 M 에서 폐집합} 에서 집합족 y로의 함수 所 : 연-_ ➔ Y 를 아래와 같이 정의한다. (L, U, V) 드연 에 대하여 ~(L, U, V) 는 다음 성질을 만족시키는 사 상들의 집 합 %i(U , V)cC 『 (U, V) 이다 : 사상 /EC' ( U, V) 가 fE ~i ( U, V) 인 것 은 (L,, U,, V,) E 三연 와 사상 fk 三 究 L‘(U i. vi) 로서, 모든 t 에 대하여 LcUL‘ 이고 L‘ 의 근방에서 f=f, 인 것들이 존재한다. 이 러 한 함수 % 를 (M, N) 위 의 C- 사상류 (mapp ing class on (M, N) )
라고 부른다. 또, M, N 의 개 피 복 IJ/l, f/ 로서 UEIJ /l, V 슨 r, 이 고 LcU 이 comp ac t 일 때 P£°L (U, V) 가 C;v(U, V) 에서 조밀한 개 집 합 인 것이 존재할 때 사상류함수 % 는 rich 하다고 말한다• (2.1) 정리. 度 를 (M, N) 위 의 ric h 한 C- 사상류함수, 0 족 r 독 OO, 라 하자. 폐집합 LcM 에 대하여 (a) P£° L(M,N) 은 Cs(M,N) 에서 조밀한 개집합이다. (b) L 이 com p ac t이면 度 L(M,N) 은 C; v (M,N) 에서 조밀한 개집합 이다. 증명. L 을 M 의 폐부분집합이라 하고 /EC'(M,N) 이라 하자• = { (g,,, U,) } IEA 를 M 위 의 국소유한 가산 (counta b le) atl a s 라 하 고, K iC Ui 는 comp a ct 집 합들로서 L= Ui EA Ki 인 것 이 라 하자. 또, '\IJ'= { ( 개집합이다. ~L(M, N) 의 조밀성울 증명하기 위하여, 각 iE A 에 대하여 e‘>O 가 주어져 있고 fE C'(M,N) 이라 하자. W= W 『 (f ; , W, K, e) 률 강위상에서 f의 근방이라 하자. 여기서, K={Ki} ,EA, e={ 나. j EA 를 고정하고 E= U1 n J-1 (V1) 라 하자. 그러면, K;cE 이고, ％가 r i ch 하므로 집합 ~K1(E, VJ )는 C';v ( E, V;) 에서 조밀하다. A : E-[0, 1 ] 를 comp a ct 받침 (su pp or t)을 갖고 Kj 근방에서 A=l 인 Cr_ 사상이라 하자. flE EC~v(E, VJ) 이므로, C~(E, V;) 에서 f IE 의 근방 B 를 작게 참아서 아래의 사상 I'가 찰 정 의되도록 할 수 있다: I' r: B(g 一) C(x)' = ( M{f~,( ;:Nx ~)) ,+ A (x) (g (x) -f(x) ) , :x:E!M 일-E 때 일 때 여기서, gJj를 통해서 VJ 와 R 의 개집합을 동화시켰다. 약위 상으로 g_一f l E 이 라면 강위 상으로 I' (g)-t 이 다. (주의 : I' (g) 는 대 역 사상 (glo bal map) 으로서 약위 상으로는 f 에 집 근하지 않을 수도 있다.) ~K1(E, 杓)가 조밀하므로 B 는 한 원소 gE ~K1(E, V1) 를 포함한다. B 를 더 작게 참아서 (필요하면), I'(g)가 f의 근방 W 에 둘어가도록 한다. Kj 위에서 I'(g)=g 이므로 I'(g)E ~K1(M,N) 이다. 이것은 모 든 t. EA 에 대하여 집합 ~K,(M,N) 이 C;(M,N) 에서 조밀함을보여주 고 있고, 이미 알고 있는 바와 같이 이것은 C5(M,N) 에서 께집합이다. 따라서 , Bair e cate g o ry 정 리 에 의 하여 nf Z K, (M, N) 이 Cs (M, N) 에 서 조밀하다. 또 fZ L L 이 comp a ct 이면 L=UK‘ 가 유한합(fi n it e un i on) 이므로 1 의 개 근방으로서 W= ni W r (J, K1, e1) n 를 택할 수 있고, 위에서와 같은 방법으로 약위상에서의 조밀성을 중 명할 수 있다. (2. 2) 사상 / : M 一 N 를 C 『 이 라 하고 AcN 를 부분다양체 라 하 자. KcM 일 때 기호 f血 A 는 f가 K 를 따라서 A에 횡단적임을 뜻 한다. 죽, xEK 이 고 f(x ) =yE A 이 면 접 공간 (tan g e nt spa c e) N:1 는 A :1와 T:i :(/) (M') 로 생성된다. K=M 일 때는 간단히 f rhA 로 쓴다. 정리 (2. 5) '· 1 장의 정 리 (2. 5) 1 을 다시 말하면 다음과 같다. J : M— 십 가 C•- 사상으로서 Jrt)A , f laMrhA 이고, aA=AnaN 또는 AcN-oN 일 때 1-1(A) 는 C 『-부분다양체이고 au-1(A))=1-1(aA) 이다. 이 정리는 횡단성의 중요성을 말해 주고 있다. 앞으로 다음과 같은 기 호를 사용한다. rhK(M, N ; A) = {/EC'(M, N) I f血 A}, 而 (M,N; A)=rh 따 r(M,N; A). 횡단성정리를 알아보기 전에 먼저 다음의 보조정리를 증명하자. (2.3) 보조정리 집합 K 를 다양체 U의 com p ac t부분집 합, R•cR 를 선형부분공간, VcR 를 개집합이라 하자. 그러면, 1~ 店급 00 에 대하여 집합 (1)1 /U, V ; R•n V) 는 Cw(U, V) 에서 조밀한 개집합이다. 증명 C:-V ( U, V) 가 Cw(U,R ）에서 개집합이므로 V=R 인 경우만 증명하면 충분하다. 
Rn- a
7r: : R 一 R/R• 를 사영사상이라 하자 .. f E Cr(U,R ) 이고 xEU 일 때 f血: Ra 일 필요충분조건은 (i) f(x ) 숙 Ra 이 거 나, (ii) f(x ) ER 이 고 x 가 亢 0 f : U_R /R0 의 정 칙 값이 다. f(hK R· 라 가정하면, 각 y든 K 는 다음 성질을 갖는 근방 K :1 cK 를 가진다 : 모든 xEK :1에 대하여 (i)이 성립하거나, 어떤 xEK:1 에 대 하여 (ii)가 성립한다. (i)이 성립하면 f(K :1) cR~R° 이다. 그래서 fE (hK )U,R ; R•) 이 고, 약위상에서 1 의 근방이 慣K y (U, R ; R°) 안에 존재한다• 또 (ii)가 성립할 때도 약위상에서 /Eff ik )U,R• ; R•) 의 근방이 ffi1<) U,R;R•) 안에 존재한다. 따라서 (t\K y ( U, R• ; R•) 는 C'w(U, Rn) 에서 개집 합이 다. K 가 comp a ct 이 므로 유한개 의 K:1 의 근방들로 K 가 피 복된다. 따 타서 집합 (t\K (U,R ; Ra)=0 (前K y (U, R ; Ra)) Ky 도 C~v(U, R) 에서 개집 합이다. 血 (U, R : Ra) 의 조밀성울 증명하기 위하여 Ca , ( U, R) c (h K( U, R ; R•) 임을 보이자. 그러면 C~(U, R)=C~(U, R)c(h K (U, R : R)
이므로 市 &(U, R ; Ra) 는 C~v(U, R) 에서 조밀하다. gE C00 ( U, R) 이 라 하자. 또 {y,,} 는 R 의 점 열 (seq u ence) 로서 y.一 0 이고 元(y,.)가 1e0g : u-R/R0 의 칭칙값이 라 하자(이 러한 정 열 은 Morse-Sard 정 리 에 의 하여 존재 한다) . 사상g.: U-R 를 g,, (x) =g (x) -y,. 로 정의한다. 그러면 C~v(U,R ）에서 g._＿갱 이다• 그리고, 또한 g .E 제 \rK(U,R ; Ra) 이다. 이것을 보이기 위하여 L 을 y，，를 지나고 Ra 에 평행인 초평면이라 하자. 그러면 7C( y,,)가 7eo g의 정칙값이므로 grt)L 이다.
Rn 낸
따라서 g1,=g-y» 는 반드시 K 를 따라서 Ra 에 횡 단적 이 어 야 한다 죽, g1, E 테 \K(U, R ; R•) 이 다. 따라서 gE (hK (U, R ; R•) 이다. 죽, C00(U, R)c 血 (U, R ; R•) 임이 증명되었다. 자 이제 횡단성정리를 증명하자. (2. 4) 횡단성정리 (Transversali ty Theorem). M, N 은 다양체 이 고, AcN 믈 부분다양체 라 하고, l~r~co 라 하자. (a) 前 (M,N; A) 는 강위상과 약위상에 대하여 C 『 (M,N) 에서 양 여이다(따라서 조밀하다).
(b) A 가 N 에서 폐집 합일 때, LcM 이 펴 1 집 합이면 [comp ac t 이면〕 血 (M,N ; A) 는 C;(M,N) 에서 [C~v(M, N)에서] 조밀한 개집합이다. 증명 먼저 (b) 를 증명하자. aN=¢ 라 가정하고 이 경우부터 증 명한다. (f}= { (L, U, V) I UcM, VcN 는 개 집 합, Lc UcM, L 은 폐 집 합} 이 라 하고, (M, N) 위 의 사상류함수 Cfj : .fb― ➔ f/ 를 1 학족 OO 에 대 해 6ll(L, U, V)=( ti~ (U, V; AnV) 로 정의하자. 사상 f: U ―➔ V 가 L 을 따라서 Anv 에 횡단적이고, L= n L,, L;C U;, V;cR 이라면 flu , : u‘ 一➔ v‘ 는 L i를 따라서 Anv 에 횡단적이다. 이것은 %가 사상류함수임을 보여준다. aN=¢ 이므로 (N,A) 의 char t들로부터 얻어지는 N 의 atl a s OlJ의 원은 R 과 동상이다. M 의 개피복 맹률 잡고, UEO IJ, VE f/이고 LcU 이 com p ac t라고 하면 보조정리 (2.3) 에 의하여 집합 ¥(L, U, V) = rhr ,( U, V ; An V) 는 C~(U, V) 에서 조밀한 개집합이다. 이것은 %가 r ic h 함을 뜻한다. 따라서 정 리 (2.1) 에 의하여 ffir,( M,N; A) 는 C1(M,N) 에서 조밀한 개집합이고 L 이 com p ac t일 때는 C~y (M,N) 에서 조밀한개집합이다. A 가 N 에서 폐집합이고 aN=¢ 라 가정하자. 어떤 큰 자연수 q에 대하여, N 을 R q속으로 매장시킬 수 있으므로 N 을 R q의 부분다양체 라고 가정 해 도 좋다. 그러 면 , C' (M, N) cC' (M, Rq ) 이 므로 C'(M, N) 위의 강위상과 약위상은 각 각 위상공간 C1(M,R q)와 C~(M,Rq ) 로부터 유도된다. A 는 R q에서도 폐집합이고 aRq =¢ 이므로 이미 앞 의 경우에서 밝힌 바와 같이, ffi1,( M,Rq ; A) 는 C1(M,R q)에서 개집 합이고, L 이 com p ac t이면 ffir,(M ,Rq ; A) 는 C~ y (M,R q)에서 개집합 이다. 한편,
血 (M, N ; A) =C'(M, NJ n ml ,(M , Rq ; A) 이므로, ffiL (M,N; A) 는 C;(M,N) 에서 개집합이고, L 이 com p ac t일 때는 C~v(M,N) 에서 개집합이다. 이 집합이 조일함을 보이기 위하여 No=N-oN, Ao=A-oN 이라 놓으면, oNo=cp 이고 A 。 cNo 는 폐부분다양체이다. 따라서, 위 에서 밝힌 사실에 의하여 市 L(M,No ; Ao) 는 C;(M, No) 에서 조밀하고 L 이 com p ac t일 때는 C~(M,No) 에서 조밀하댜 한편, C'(M,No) 는 C'(M,N) 의 부분집합으로서 강우]상, 약위상 두 위상으로 조밀하므로 血 (M,No ; Ao) 는 (hL (M,N; A) 의 부분집 합으로서 강위상에서 조밀 하고, L 이 com p ac t일 때는 약위상으로 조밀하다. 이제 (a) 를 중명하자. 이 경우에서는 A 는 폐집합이 아니어도 된 다. A:t A 위 의 comp ac t 인 좌표원판 (coordin a te dis k ) 들의 가부번 족 (counta b le fam i ly ) 이 라 하자. 그러 면 , (X) A=U Ak, k=l 而 (M,N; A)=0n0 mr(M,N; Ak) k=I 이다. AIr 가 폐집합이므로 (b) 에 의하여 r!)'( M,N; A,.) 는 C;(M,N) 에서 조밀한 폐집합이다. 따라서, r!)' (M,N; A) 는 강우]상에서 잉여 이다. M 이 com p ac t가 아닐 때는 약위상에 대하여 (b) 의 결과를 직 집 적용할 수는 없다. 그래서 M= 0U0 MJ , MJ 는 comp ac t J= l 로 나타내면, 00 rh'(M, N ; Aw) = n 而 (M1, N ; Aw) /=l 이 다. M1 71- comp ac t 이 므로 (b) 에 의 하여 모든 而 (Mj , N ; A~) 는 -C: - V( M, N) 에서 조밀한 개집합이다. 따라서, 각 k 에 대하여,
(\)'(M,N; A.) 는 약위상으로 잉여이다. 즉, 이것은 (\)'(M,N ; A) 가 약위상으로 잉여임을 보여준다• (2. S) 정의. 다양체 N 의 두 부분다양체 A, B 가 일반적 위치 (ge neral p os iti on) 에 있다는 것은 포함사상 B_:_ 三. N 이 A에 횡단적이라는 뜻 · 이다. 즉, xEAn B 일 때 A:x: + B:x: = N:x: 이다. A 와 B 가 일반적 위 치에 있으면 AnB 는 A 와 B 의 부분다양체이다. 횡단성온 두 다양체를 일반적 위치에 있도록 한다. 이것은 미분위 상수학의 매우 중요한 특성 중의 하나다. (2.6) 정라 A 와 B 를 C 『-부분다양체, l~r~oo, 라 하자. Cs(B,N) 에 서 포함사상 is : B_:. 三나 V 의 근방은 A 에 횡 단적 인 매 장사상을 포합 · 한다. 증명. c·_ 사상은 cco- 사상으로 근사시 킬 수 있으므로 r=oo 라고 가드 정 하자. isE Embco (B, N) 이 고 Embco (B, N) 은 Cs (B, N) 에 서 개 집 합 . 이다. 또한 정리 (2.4) 에 의하여 (\)'(B,N; A) 가 Cs(B,N) 에서 조밀 하므로 Embco (B, N) n rt) • (B, N ; A) =t=¢ 이다. 즉, 이 교집합의 원소는 A 에 횡단적인 매장사상이다. 때때로, 다양체에서 다양체로 가는 사상으로서 몇 개의 부분다양체 에 횡단적안 사상이 필요하다• (2.7) 정리. Ao,AI,···,A 서를 c·- 다양체 N 의 c·- 부분다양체, l~r~oo 、 라 하자• 각 A,, i=O , ... , k, 에 횡 단적 인 c·- 사상 M ― ➔ N 둘의 집 합 前 (M, N ; Ao, …, A.) 는 Cs(M, N) 과 C~v(M,N) 에서 잉여이다. 증명. (hr (M, N ; Ao, ···, A1r) = n* (I)r (M, N ; A,) 1=0 이 고, 정 리 (2. 4) (a) 에 의 하여 각 i 에 대 하여 (h r (M, N, ; A,) 는 강 위상과 약위상에서 잉여이다. 따라서 mr(M,N;Ao, ... ,Ah) 도 잉여다-
유의. 집합 m 『 (M,N; Ao, … ,Ak) 는 Cs(M,N) 에서 조밀하기는 하지 만 개집합은 아니다. 그러나, 7-} A‘ 가 폐집합이면 정리 (2.4) 에 의 하여 前 (M,N;Ao,···,A.) 는 Cs(M,N) 에서 개집합이 된다. 또한, YA‘ 가 comp ac t 이고 {A i}가 부분다양체의 복체 (submanif old comp le x) 이 면 前 (M, N ; Ao, ···, A.) 는 C~(M, N) 에 서 개 집 합이 다. 부분다양체족 {A i}가 다음 조전을 만족시킬 때 {A.} 를 부분다양체 의 복체 (submanif old comp le x) 라고 부른다. (i) Ao 는 폐집 합이고, 瓦：; -A,=AoUA1U···UA, ; (ii) dim A,
이 정리는 vEV 로서 사상 F(v) : M-N 가 A 에 횡단적인 접 v 폴 찾을 수 있도록 하여준다. * 문 제 1. 몰입 사상 f : M_-N 가 일 반적 위 치 (ge neral pos it ion ) 에 있 다 는 것은, 임의의 정수 k~2 에 대하여 f( X1) =f(X2 ) =…=f(X l) =y 이고 떠, ••• ,Xh 가 서로 다르면 Ny 는 T( f) (Mx,), t1n-= 11 T(f) (Mx1) 로 생성된다는 것이다. 일반적 위치에 있는 몰입사상들의 집합은 Imm;(M,N ), l~r~oo, 에서 조밀한 개집합이다. 2. 사상 f : M- ―가[ 가 부분다양체의 복체 {A.}i= O',. 에 횡단적 이면, J-I (iU=k O A i) 도 부분다양체의 복체가 된다. 3. 사상 p : V-M 몰 C1-submersio n 이 라 하고, J : M― ➔ V 를 p 의 c·- 단면 (즉, Pf= idM ), l~r~oo, 이 라 하자. AcV 를 c•- 부분다 양체라고 하면 C~(M,N) 에서 f의 근방은 A 에 횡단적인 cco- 단면을 포함한다. 4. 사상 f : M ―켜 V 가 사상 g : A-N 에 횡 단적 (tran sverse) 이 다(f(hg로 표시한다)는 것은 f( x)=g (y)= z 이면 T,, (f)와 T:1 (g) 의 像이 N., 를 생성한다는 뜻이다. f(hg일 필요충분조건은 사상 f x g : - MxA-NxN 가 대각선 A(N) 에 횡단적인 것이다. 5. M 을 경계를 가진 다양체라 하고 AcN 를 미분가능부분다양체 라 하자. 그러면, 연속사상 J: M-N i=- 아래의 조건을 만족시키 는가 지사는상 미g 분: M가능 ―부 ➔ 분N 다에양 체ho이m고oto p a icc g이 - 다 1( . A즉)),= gg -- 11 ((AA)) ncaMM 는이 다.경 계 를
제 4 장 벡터束 1 장에서 미분가능다양체의 집束(t an g en t bundle) 을 정의 했었다. 이 장에서는 집束을 위상공간으로 일반화한 벡터束 (vec t or bundle) 을 정의한다. 미분가능다양체의 중요한 불변량(in var i an t)의 대부분은 집 束과 깊은 관계를 갖고 있다. 이 불변량의 계발을 위하여 벡터束의 일 반이론이 요구된다. 다양체와 벡터束은 기본대상 (ob j ec t)들을 특정한 종류의 사상들로 _ 결합시켜서 만들어진다는 점에서 유사하다. 다양체에 대해서는 기본 대 상은 R 의 개 부분집 합들이 고 결 합하는 사상 (glu in g map ) 들은 미 분동상사상이다. 벡터束에 대해서는 기본대상은 자명한 束(t r i v i al bundle) U x R ―元 ➔ U 이 고, 결 합하는 사상은 아래 와 같은 morph is m , 둘이다. UxR-UxR, (x, y) 一 (x, g (x)y ) 여기처, g : u-GL(n) 이다. 1. 벡터束 (1.1) 정의. 사상 p : E ― ➔ B 를 위상공간 E 에서 B 로의 연속사상-
이 라 하자. (p, E, B) 상의 n- 벡터 束 chart ( n-vecto r bundle chart) 는 게 집 합 UcB 와 동상사상 (homeomorph is m )
P-1 (u)· /'Pu U XR1'
여 기 서 , 元 1 (x, y) =x. xEU 에 대하여 동상사상 cpfr : p -1(x) ＿ ➔ R 를 합성사상 p-1 (x) 그~ x x R- 프 ➔ R 으로 정의한다. 따라서, yE p -1 (x) 이면 'Pu (y) = (x, 'Pu ( y) ) 인 관계식을 얻는다. (p, E, B) 상의 벡 터 束 atl a s (vecto r bundle atl a s)
� n- ��0�ga_t las |�t� ��t�h��q� {g��|� ���, � t��
@ ��L� �� �D� ̹q��¨��. g ,1 (x) g 1,. (x) =g,,. (x) , (xE U. n U1
=x ) ( ;; ag)
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���D t ̹q�`� L�, O @� Ṕ� ٳX�|�� й\�� . .xEu1nvi �� �X���, gkj(x) =#;(�� -l �� �֬���t��, ���� �� a1 : u1 n v"_ �' GL (n) �� �ō��.t �tǃ�@� �貈� йt�� P� ��0�_g a tl sXa� i���i�ij (p,E,B) ��X� �� 0�_g a tl as |��� ��t��. �� 0� _gatls �aX� ٳX� X�|� (p,E B,) ��X� ��0� _gl�p� (vector bundle -struc utre) |� \�.� ( ,p,BE �)�X� ��0�_gl���p |ٳ X���X � �ǔE, 기 저 공 간 (base spa ce) B 를 갖는 ?2- 벡터 束 (vecto r bundle) 이 라고 부른다. xEB 위의 fi ber 는 공간 p - 1(x)= f:r =E :r이다. f:,:에 깎 : f:,:＿一 R 가 동형사상(i somor p h i sm) 이 되게 하는 벡터공간구조를 준다. 이 f:,: 위의 벡터공간구조는 (cp;, u.) 드 0 의 선택에는 독립적이다. 주. 위의 정의 에서 조건 cp;（cp n-1EGL(n) 을 빼고, R 을 임의의 위 상공간 F 로 바꾼 경 우에 t= (p, E, B, F) 를 fibe r F 를 갖는 fibe r 束 (fibe r bundle) 이 라고 부른다. 메 때 로, n- 벡 터 束 f= (p, E, B, ) 를 n- 평 면束 (n-pl a ne bundle) 또는 R －束 (R-bundle) 이 라 부르고, 보통 O 는 생 략한다. AcB 가 부분집합일 메, p -l(A) 를 츤 A. fIA,EA,Eh 등으로 표시한 다. A 위로의 g의 제한은 벡터束 tIA = (Plg , gA, A, 0A) 이다. 여기서, 0A 는 (cp, u)E 에 대하여 'Pl r•
r
(ii) xE Uj nJ -1 ( Vk) 이 고 F,, : f。 X __정 :1/C :r:) 가 F 에 의 해 유도된 사 상이라면, 궁 k j (X) =
F
이 경우에, F 는 X 위의 fi ber 를 f(x ) 위의 fi ber 로 보낸다. 죽 .. F:r: : foz — f1/Cz ) 이 다. 각 Fz 가 선형이면 F 를 벡터束 mor ph i sm 이라고 부른다 . F 가 mor-- ph is m 이 고 각 Fr 가 단사이 면 F 를 monomorph i s m , F' 가 전사이 면 F 를 ep im orph is m 이 라 하고, Fr 가 전 단사이 면 F 를 bim orph is m 또 는 束사상 (bundle map ) 이 라고 부른다. F 가 동상사상 f :B 。―수 BI 를 피복하는 束사상이면 F 는 벡터束 의 동치관계라고 불린다. Bo=B1=B 이고 i dB 륭 피복하는 束사상-
F : f。一f 1 가 존재 하면 두 벡 터 束 fo 와 f1 은 동링 (iso morph ic ) 이 라 하고 츤 o 브f 1 으로 나타낸다. B 상의 자명한 n- 벡터束(t r i v i al n-vecto r bundle) 은 £ii=(p,B XR, B,0) ，이고 여기서, p : BxR,.- ―나 3 는 보통의 사영이고, 0 는 BxR 의 항등사상을 포함하는 유일한 최대 벡터束 a tl as 이다. 좀 더 일반 적 으로, 벡 터 束 혼 가 %와 동형 일 때 t 는 자명하다 (tri v i a l ) 고 말한다. 또, 이 런 동형 사상을 f 의 자명화 (tri v i a l iz a ti on ) 라고 한다. 고정된 er- 미분가능성, 1 독 r 독 oo, 에 대하여, er- 벡터束울징의할수 있다. 위의 정의에서, 모든 공간이 er- 다양체이고 모든 사상이 er- 사 상인 벡터束을 C- 백터束 (C'-vec t or bundle) 이라고 한다. 이런 방법으 로 er- 束사상과 er- 벡 터 의 er- 동형 사상을 정 의 할 수 있다. 두 벡 터 束 g,기가 Cr_ 동형일 때 f브기 로 표시한다 (1.2 ) 예. cr- 벡터束―접束 M 을 n 차원 cr+ J-다양체라 하자. 1 장 의 정의 (2 . 1) 에서 정의한집束 p: TM-M 를 생각해 보면, TM 은 C 『一다양체 이 고 P 는 Cr_ 사상이 다. M 의 각 chart (
TX (M) C p- l (U) T' T s.( u` `j_ e _i'`u 4` i ix R n
는 가환도식이다. 그래서, xEUn V 에 대하여 Dc p. ,Dc p '-1 : R_ 캬 -1 cun v)-R· 은 D( cp.,。
TU\ —X ~ (xu一, / Dr p' (X ) ) ➔ U X R n
위 에서, 1C1 (a, b) =a. f : M― ➔ N 가 Cr+ 1 一사상이 면 T( f) : TM 一 ➔ TN 는 c·- 벡 터 束 mo rp h i sm 이다. 또, f가 몰입, submersio n , 또는 미분동상임에 따라 각각 T( f) 는 monomorph is m , ep im orph is m 또는 동치 이 다. 주. 다양체 M 이 공집합이 아닌 경계를 가질 때, M 상의 접束을, M 의 double 상의 집束을 M 위로 제한한 것으로 정의한다. 다양체 M 의 double 은 M 과 꼭 같은 두 다양체 의 直合 (dis j o i n t unio n ) 으로부 터 경 계 들을 등화 (ide nti fy) 해 서 얻 는다. 자, 이제 Cr- 벡터束에 관한 기본정리를 증명하여 보자 . (1.3) 정라 f와 7 는 B 상의 두 Cr- 벡터束이고, /: E( f)―-➔ E(17) 는 Cr- 사상으로서 각 fibe r fx 를 대 응되 는 fibe r 기 z 위 로 동형 적 으로 사상한다고 하자. 그러면, 반드시 f는 c·- 미분동상사상이다. 죽, f브기, (O~r~oo) , 이 다. 증명 (
¢
b 드 unv 라 하자. 다음의 합성사상 (Un V) x R —cp - P 칸 un V)_.:'.j_.> P11 한 개근방 W; 가 [에 존재한다. 이제 m 에 관한 귀납법을시행하자. m=l 인 경우는 이미 증명되었 다. 따라서 m>1 일 때, [O, t 2]_ 의 근방으로서 ti V X I 가 자명한 ]C[ 가 존재함을 밝혀야 한다. 이런 방법을 유한번 시행하면 ti VX/ 가 자명함 을 알게 된다. 그러 므로 ?n=2 라 가정 하면 충분하다. W1=[0, b], W2=[a, 1], O
눌l
NX O 二) uxo C UXI C NXI
여기그서러,면 ,f 와c· -g 사은상 C'h － :이 N다.x l—- P 가 존재해서 hlNxo=f 이고 Vxl 위에서 h=g 이다. 증명. Vc u 이 므로, c·- 사상 A : N ―一〔 0, 1] 로 서 U 안에 받침 을 갖고 A(V)=l 인 A 를 찾을 수 있다. c· －사상 h : Nx[ 一 -P 를 h (x, t) = {g (x, A (x) t) , xE U 일 때 , f(x ), xEN-U 일 때. 로 정의한다. 그러면 Bd(U) 위에서 A(x)=O, g( x,0)=f (x ,0) 이다. 따라서 h 는 잘 정의되었고, h l Nxo=f , h l vx1=g l vx1 이다.
(1. 7) 정리. Z 를 정 규공간 N 의 폐 부분공간이 라 하자. f : N-P- 를 연속사상이라 하고 g : Zxl_ _가 ) 를 f lz 의 homoto p y 라 하자. 만 약 Z 의 어떤 근방 U 에 대하여 g가 /Iu 의 homo t o py로 확장된다면 g는 f의 homoto p y h : NxI-P 로 확장된다. 독히, Z 가 N 의 개 집 합의 rectr a ct 이면 이 경우가 된다. 증명. Zc VcVc u 인 개 집 합을 잡으면 보조정 리 (1. 6) 으로부터 곧 결과를 얻는다. 위 의 보조정 리 는 Cr- 사상에 대 한 homoto p y 확장성 질 (homoto p y exte n sio n pro p e rty ) 이 다. 이 것 을 써 서 벡 터 束과 homoto p y 의 기 본관 계 인 피 복 homoto p y 정 리 (coverin g homoto p y the orem) 를 증명 한다. (1.8 ) 정리. f를 BXI 상의 C 『-벡터束, O~r~ 쵸:,이라 하자. B 가 pa racomp a ct 라고 가정한다. 그러면, f는 벡터束 @Isxo) XI 와 er- 동 형이다. fl sxo=(p, E,B) 라 할 때 (flBX O) XI 는 벡터束(p x i d1, Ex/, Bx/) 를 의미한다. 증명 束사상
E (e ) EX [
울 찾아야한다. fIs .x o =(p, E ,B) 를 7 로 나타낸다. 것이{X라,} 고를 B하 자의. 국각소 x유,한 는인 f l폐 v,x피I 복가으 자로명서한 X근서 방둘이 v,c다B음 를성 갖질는을다 .갖 는이 것은 보조정리 (1. 4) 를 쓰면 얻을 수 있다. 이것으로부터 @Iv,) xJ 가 자명함은 곧 알 수 있다.
ri={ ScBIS=UX,} 라 하자. 그러면 BErJ 이고 USaEr i 이다. 반변函手 F: 연 _Y 를 다음과 같이 정의한다 : SErJ 라 하자. s 의 근방 NcB 과 C- 동형 사상 f : fl N XI_-(7/I N) x [ 의 짝 (f ,N) 들을 생각한다. 두 개의 짝 C/ c,No) 와 (fJ ,Nl) 에 대하여, S 의 근방 ScMcNanN1 으로서 flM x I 상에서 /o=/1 인 M 이 존재 하면, C/o, No) 와 (f1, N I) 은 같은 S-ge rm 을 갖는다고 한다. 이 것은 동치 관계 이고, 그 동치 류를 S-ge rm 이 라 부른다. SErJ 일 때 모든 S-ge rm 둘의 집 합을 F(S) 로 표시 한다. ZEr i 이고 ScZ 이면 S 로의 제한은 사상 Fsz : F(Z) 一 F(S) 를 유도한다. 이와 같은 방법으로 구조函手 (F, 연)가 정의된다. 이 구조函手 (F, 연)가 연속임은 명백하고, 보조정리 (1.4) 에 의하여 non-tr ivi a l 이 다. 또, X, Y, ZEr i 이 고 Xc YcZ 이 면 Fxz=FxrFrz, Fxx=i dF cx> 임을 쉽게 알 수 있다. 다음, (F, 연)가 국소적으로 확장가능함을 밝 히자. 죽, xEB 에 대하여 xES 인 SErJ 가 존재해서 모든 YE ri에 대하여 사상 FY , YUS : F(YU S) —--+F (Y) 가 전사임을 밝혀야 한다. [g ,N'] 이 Y- g erm 이라면 Y 위로의 제한이 [g ,N' ］인 (YUS) - g erm [0,N]EF(YUS) 이 존재함을 보여야 한다. 죽, snY- g erm 을 S-ge rm 으로 확장하여 야 한다. S 를 B의 피복 {X,} 의 한 원소로 택하면, S 의 근방 N 으로서 ’ tlx xr 와 (기 IN) x[ 가 동형 인 N 이 존재한다. 자명한 束의 동형사상들은 GL(n) 으로 가는 사상으로서는 같은 것 이므로 아래의 가환도식을 얻는다 :
NXO :::) UXO C UXI C NXI
여기서, g는 gl uxo=f 인 추이함수, U 는 snY 의 근방이고, ` lEGL(n) 은 단위행렬이다. 따라서, (L6) 에 의하여 snY 의 근방 V 로서 snYcVcVcU 인 것이 존재하고, hlvxr=g 인 확장 h : (NxJ ,N xO)-(GL(n),l) 가 존재한다. 사상
* 문 제 1. t= (Po, Ea, B) , 71= (pi, Ei, B) 를 par acomp ac t 공간 B 상의 벡 터 束이라 하고, AcB 는 폐집합이라 하자. idA 상의 束사상 f: t lA- 기 IA 는 A 의 어떤 근방 WcB 에 대하여 idw 상의 束사상 g : t lw 一수기 |w 로 확장된다. 2. f= (P, E, B) 를 pa racomp ac t 공간 B 상의 벡 터 束이 라 하고, A 는 可縮인 폐부분집합이라 하자. A 는 t lw 가 자명한 근방 WcB 를 가진다. 3. 문제 (1) , (2) 는 C'-cate g o ry, l~r~oo, 에 대 해 서 도 성 립 한다. 4. p”을 n 차원 실사영공간이라 하자. xEScRn+I 와 x 의 배수인 벡터 vERn+I 로 된 모든 ({士 x},v)EPxR 기 들의 집합을 E(r!) 이 라하자. 사상 p : E(r!)-P 를 P({ 土 x},v)={ 士 x} 로 정의한다. 그러면, fibe r p- 1({ 土 x}) 는. R+l 에서 x 와 -x 를 지나는 직선과 등화시킬 수 있다. 이러한 직선에 보통의 벡터공간구조가 주어져 있다. E(r!) 이 벡터束임을 밝혀라(이것을 P 상의 標準直線束 (cano ni cal line bundle) 이 라고 부른다) . E(r! ）은 자명하지 않음을 밝혀라. 5. 벡터束 f =(P,E,B) 가 자명할 필요충분조건은 각 beB 에 대해 S1(b),···,S,,(b) 가 일차독립인 n 개의 단면 요, ••• ,S,, 이 존재하는것이 . 다. 6. R3, sI, SS 들은 平行性울 가침 (pa ralleliz a ble) 을 밝혀 라. 2. 벡터束의 구조 이 절에서는 벡터束을 수반하는 몇 개의 기본구조에 대하여 알아보 자. 미분가능성을 r 급, O~r~oo, 으로 고정하고, er -c a t e g or y에서만
생각한다. r=O 에 대해서는 위상공간과 연속사상만을 취급한다는 뜻 이고 r>0 에 대해서는 c·_ 다양체, C 『-사상과 C 『-벡터束만을 다룬다. (2.1 ) 정의. f=(p ,E,B) 를 벡터束이라하고 B’ 은 B 의 부분집합이 라 하자. 이미 소개한 바와 같이, f 의 B' 위로의 제한 (res t r i c ti on) 을 f l g으로 표시하고 fIs •= (plr •(B'),p -l (B'), B') 으로 주어진다• fibe r (f Is' ）드 는 대응되는 fi ber t r 와 같고, 또 같은 벡터束구조가 주어져 있다.
E
예를 들면, M 이 Cr+1- 다양체이고 U 가 M 의 개부분집합이면 接束 T(U) 는 Tu(M) 과 갇다. 벡터束 f=(p ,E,B) 의 부분束 (subbundle) 은 같은 기저공간 B 상의 벡 터 束 fo= (Po, Eo, B) 로서 E 。 cE, Po=P l i.。 이 고, 다음 성 질 을 가지 는 f의 벡터束 atl a s
tx
(2. 2) 정리. (a) f 를 er 一벡 터 束이 라 하고 to 을 f 의 er- 부분束이 라 하자. 그러 면 포함사상 E 。_C—= 나: 는 idB 상의 monomorp hism t o_ ➔ f 이다. (b) f와 기를 같은 기저공간 B 상의 C- 벡터束이라 하자. 만약 F: 기一홍 가 idB 상의 monomorph is m 이 면 F 에 의 하여 유도된 벡 터 束구조를 가진 F(71) 는 f 의 부분束이 다. (c) t 와 기 를 (b) 의 것과 같은 것 이 라 하고, F : 11~? 를 ep i- morph is m 이 라 하자. 1J' (E) = U ker F~ .zE B 로 잡고, 사상 q : 7/' (E) ＿ ➔ B 를 q(k erF:r) =x 로 정의하면, 기'= (q, 기’ (E), B) 는 기의 부분束이다. 증명. (a) 는 명백하고, (c) 의 증명은 독자들에게 맡긴다. (b) 의 증명을 위해 t와 기가 자명한 벡터束이라고 가정하여도 좋 다. 즉, t= (t.1, B x R, B) , 1/= (1e2, B x R\ B) , k~n 이라하자. monomorph i s m F : B x Rk~B x R 는 F(x, y) = (x, F'.:,; (y) ) 형 이고, 여 기 서 F : B~L(R\ R) 는
F(x)=Fi1 1 ~=F:c : 기:c =Rk 一 w= 기 r 로 정의되고, F 는 C 이다. xEB 를 고정 하고, F:c (l간 ) =EcR~ 라 놓자. 일 반성 을 잃 지 않고 E=R• 이 고, F:c 는 포함사상 Rk_ 드기t 이 라고 가정 해 도 좋다. x : R －一 R• 를 정 사영 (orth o g o nal pro je c ti on ) 이 라 하자. x 의 개 근방 UcB 로서 모든 zEU 에 대하여 김검 : R k - 一 Rn_ 一 R'‘ 가 동형사상인 U 가 존재한다. KcR 를 亢 의 핵 (kernel) 이 라 하자. 그러 면, R=Rk X K 이 다. 사싱
cp (z, (v, w) ) = (z, 김라 (v) , w) 로 정의한다. 그러면, cp는 f의 er- 벡터束 chart 이고, cp는 F의 像 울 Ux R~ 로 보낸다. 따라서 F( 기) 는 f 의 부분 束 이 다. (2. 3) 정의 . 벡 터 束 morph is m 둘의 完全列 (exact seq u ence) 은 tdD 를 피 복하는 morph is m 둘의 列 (seq ue nce) ... _一f d-] 一F,_f, i. _F_, 냥 i. +I-F_,. ➔, ·•· 으로서 각 xEB 와 모든 i에 대하여 im ag e (F,-]) 표 =kernel (F,) ,, 를 만족시키는 것이다. 벡 터 束 morph is m 둘의 간결한 완전렬 (short exact seq u ence) 은 다음 과 같은 꼴의 완전렬이다. 。一t一F7 / _G_ > S 一° 여기서, 0 은 B 상의 0 차원 벡터束울 나타낸다. 앞에서와 같은 간결한 완전렬에서 g를 monomorph is m F 의 商束 (qu oti en t bundle) 이 라고 부른다. 모든 monomorph ism 은 商束울 가지고 이것은 동형인 것을 제외하고서는 유일하다(문제 (10) 참조). 득 히, fC 1J 가 부분束이면 상束의 fi ber 둘을 벡터공간 기 zit' 로 간주하 고 상束을 기/f 로 표시한다. 간결한 완전렬 。一f _F_ ]―G― X’ 一° 에 서 , GH=id , 를 만족시 키 는 monomorph is m H : s_ ＿저 가 존재 하 거 나, ep im orph is m K : 기―군 가 존재 해서 KF=id e 일 때 주어 진 완 전렬은 分解된다 (s p l it)고 말한다. (2.4) 정의 (Wh it ne y合, 直合). f와 g를 같은 공간 B 상의 벡터束 이 라 하자. xEB 위 에 서 의 fibe r 가 f석天〈도 인 벡 터 束 f@g 를 f 와 g 의 Whit ne y 合 (Whit ne y sum) 또는 直合 (dir e ct sum) 이 라고 한다. ? 와 ¢를 각각 f와 g에 대한 개집합 UcB 위의 char t라고 하면 g@g 에 대한 U 위의 chart 0 를 아래와 같이해서 얻는다. 0,,=< p,,(:Bcp,, : t츠@g「一 R .. ®R,. 벡터공간들의 완전렬 F드 GZ 。一f z __> f석®g도一 :'-o 온 분해되는 완전렬 F . _ G O 一一f―― ➔ t EB t -=-- ➔ s 一° 을만든다. (2. 5) 정의. f= (pI, EI, BI) 와 기= (P2, E2, B2) 를 벡 터 束이 라 하자. g 와 g 의 直積 (carte s ia n pr oduct) 은 사영 사상이 P1 XP2 : E1 X E2-_ 나 11 x B2 이고, (x, y)에서의 fi ber 가 (p1 xp z) -1 (x,y) =~요에y 인 벡터束 f x기 이다. :
주• M 며 M 흡 c•+l- 다양체라 하면 T(M1 X M2) = T(M1) X T(M2) 이다. f= (P, E, M) 를 cr+ I- 벡 터 束이 라 하자. M 과 0- 단면 (zero secti on ) 을 동화시켜서 M 을 E 의 부분다양체로 간주하자. 그러면, T(M) 은 TM(E) 의 er- 부분다양체이다. 각 fibe r f,.는 원점이 x 인 벡터공간이 다. 그래서 f,.와 T,.( f,.)를 동화시킨다. 따라서 f는 Tu(E) 의 부분 束이다. 벡터束의 간결한 완전렬 。一t― ➔ TM(E) 뜨i T(M) ― ➔ O 은 morp h is m T(t) : T(M)-TM(E) 에 의하여 분해되고 있음을 일 수있다. 이것으로부터 다음의 정리를 얻는다. (2.6) 정리 f =(P,E,M) 를 C'- 벡터束, O~r~oo, 이라 하자. mor- ph is m T(t) : T(M) ＿김 (E) 에 의하여 자연스럽게 분해되는 (natu a lly sp lit) er- 벡터束의 완전렬 。一f一 TM(E) ― ➔ T(M) 一찌 이 존재 한다. 따라서 自 然스런 C 『-동형 사상 (natu ral C•-is o morph is m ) ht : TM (E) ~f~T (M) 이 존재한다. 특히, f는 TM(E) 의 자연 부분束 (natu r al subbundle) 이다. 여기서, 자연 __ ,'(na t ural) 은 c•+1-mor phi S ffi에 대하여 다음의 사실을의미한다: f= (p, E, M) 와 11= (q, F, N) 가 c,+1_ 벡 터 束이 고 f : f_1/ 가 C•- mo rp h i sm 일 때
f
가 가환도식이라면 아래의 도식이 가환이다.
T~, E T(f) TN(F)
부분束 tcT u(E) 의 자연성 (na tura lity)은 쉽게 확인된다. 다음의 명제는 벡터束에 관한 가장 유용한 것 중의 하나이다. (2. 7) 정리. 기 저 공간이 par acomp ac t 인 C 『-벡 터 束＇ 。；；；； r ；；；； 00, 들 의 간결한 완전렬은 분해된다 . 증명 간결한 완전렬
。一f―크F `기一G 〈一一。
울 고려하자. 그러면, 다음의 가환도식을 얻는다.
E (O) 캣 E (f) ~E (TJ) ___ -E (t) -효 (0)
마 상의 monomorph i s m F : f―一기 가 좌역 원 (lef t inv erse) 을 가짐 울 증명 하여 야 한다. F 가 monomorph is m 이 므로 정 리 (2. 2) 의 (b) 에 의하여 F( f)는 f의 부분束이다. 그래서, 까의 char t둘로서, B 를 피 복하고 (기 |u, f lu) 를 (UxRn, UxR 이로 보내는 것이 존재한다. 선형 retr a cti on Rn-Rk 가 존재하므로 U 상의 F 의 좌역원을 찾 을 수 있다. 즉, F 는 국소적으로 좌역원을 가진다. 한편, B 가 par a- com p ac t이므로 {U} 에 종속적인 1 의 분할을 써서 이 국소역원 (loc al inv erse) 들을 붙여 서 (glu e tog e th e r) F 의 역 원 을 얻 는다 (2 장 의 (2. 6) 을 참조). (2. 8) 정의. f= (p, E, B) 를 C 『一벡 터 束이 라 하자. f 상의 Cr 급 直交 掃造 (orth o g o nal str u ctu r e of class C•) 는 다음과 감은 내 적 의 모 임 a= {a:r:} xEB 이 다. ax 는 벡터공간 E,, 상의 內積(i nner pro duct) , 즉 對稱인 斐線形 正 値 2 次形式 (sy m metr i c bil in e ar pos it ive defi ni t e 2-fo r m) 이 고 아래 와 같이 정의된 사상 0 가 C 이다. 0 : { (x, y, z) EB x E x EJ x=p (y) =P (z) }-R, e( x, y, z) =a,, (y, z) B 가 p aracom p ac t이면 1 의 분할을 써서 B 상의 벡터束의 직교구 조 a 를 만들 수 있다. 벡 터 束 f 와 f 상의 직 교구조 a 의 짝 (f, a) 를 直交벡터 束 (orth o g o nal vecto r bundle) 이 라고 부른다. M 이 c•+I_ 다양체 이 면 T(M) 상의 Cr_ 직 교구조는 M 상의 C 홉 Ri em ann 計표 (Rie m ann metr i c ) 이 라 한다. (f ,a) 를 칙교벡터束이라 하자. y ,z 가 같은 fibe r f:r:에 있을 때, a 츠(y ,z) 를
(dir e ct summand) 이 다. 이 것 을 증명 하여 보자. (2.9) 정라 (f ,a) 를 er- 직교벡터束이라 하고, 기를 f의 부분束이 라 하자. 그러면 기.1.= (p, E (기.1.) , B) 온 f 의 부분束이 다. 더 우기 , B 가 pa racomp a ct 이 면 f 는 Whit ne y 합 1/ ® 硏과 동형이다. 증명 늘 쓰는 ep im orph is m f-f/기 는 기.1.을 동형 적 으로 f/기 로 사상하고, 각 f:r는 기:r와 깎·의 직합이다. 따라서 벡터束의 분해되는 완전 렬 。一기一f一 ➔ fj1} (브기.1.) 一° · 이 존재 한다. 즉, 年브기®硏 이 다 (문제 10 참조). 이 제 , 기.1.의 국소적 자명 성 (loc al tri v i a l ity ) 을 증명 하자. 주어 진 점 .X o 든 B 에 대하여 U 를 Xo 의 충분히 작은 근방으로서 까 u 와 f lu 가자 명 한 것 이 라 하자. 죽 자명 화 (tri v i a l iz a ti on )
f lv 의 칭규직교단면 Si, S 2, ·· ·,S,.,S. . +I, •••,Sn 을 얻는다. 이 제 자명 화 (tri v i a l iz a ti on ) 를 아래 와 같이 정 의 한다. h : 1/.L I v_ ➔ V x Rn-.. , h (e) = (p( e) ,
지고, 역으로 f에 직교 a t las 가 주어 지 면 각 中i x 를 등장사상으로 만 드는 유 일 한 칙교구조가 존 재한다. 두 직교벡터束이 동형(i somor ph i c) 이라는 것은 둘 사이에 내적을 보 존 하 는 백 터 束 동 형 사상이 존재 함 을 뜻 한다. 다 음 의 보조정리 는 벡 터 束 의 직 교구조는 본질 적 으로 유일함울 보여 준다. (2. 13) 보조정리 . f1 = (p,, E,, M) , i= O, 1, 을 벡 터 束이 라고 하고, I: f o 一f I 를 동 형 사상이라 하자. f o 와 f 1 이 직교구조 를 가지고 있 다고 가정 하면, f는 벡 터 束 사상들을 통해서 칙교벡터束 동형사상에 homoto p ic 이 다. 증명 우선 f o 와 f1 이 직교 束 으로서 자명하다고 가정한다. 그러면 f는 아래와 같다. O (n) 이 GL (n) 의 변위 fr:e tMfgr a( x x:c ,Rt M y 이 )— =一므 ?로(xG, M Lgg x ((는nxR)) y.h ) :, M— -O (n) 와 homoto p ic 이 다. 더 우기 , 이 homoto p y 는 g-1 (0 (n) ) 에 대 하여 homoto p ic (relati ve to g-1 (0 (u) ) ) 하도록 택 할 수있 다. 이 러 한 homoto p y 를 {g,}, 0 집 ~1. go =g , g1 =h 라하고, f‘ : MXR 一 MxR, 0 획 ~l 를
f(t) (x, y) = (x, g, (x) y) 로 정의한다. 이것은 t로부터 직교束동형사상으로의 벡터束 동형사 상들의 homoto p y 이 고, 이 미 f 가 칙 교라면 f,=f 이 다• 일반적인 경우는, f olu1 와 f du J가 자명한 직교束인 M 의 국소유 한 개피복 {U j}의 각 원소상에서 위의 특별한 경우물 계속해서 적용 하면 증명된다.(2. 14) 정의 (유도束 또는 pu llback) . f= (p, E, B, ) 룰 벡 터 束아 라 하 고, f : B 。 -B 를 사상이 라 하자• 유도束 (ind uced bundle 또는 pul l-back) f*f= (Po, Eo, Bo, 。) 는 아래 와 같이 정 의 된 다. 전공간을 Eo=E( f*f) = { (x, y) EB 。 x Elf ( x) =P (y) } 라 놓고, 사영사상을 Po : E 。_ ➔ B 。 Po(x,y) =x 로 정의한다•
^f
(2.15) 주. f가 er- 벡터束이고 f가 er- 사상이면 Eo 는 B 。 xE의 C' －부분다양체이고, 따라서 f*f는 er- 벡터束이 된다. (2.16) 보조정리. G : 기_f 가 束사상이고g : B( 기)― -B( f) 가 기 저공간들 사이의 대응되는 사상이라면 7 는 유도束 g*f에 동형이다. 증명. 아래의 가환도식을 생각해 보자.
E (g*~) ` `i\·E 1(n) G ~E(lpf)
사상 h : E(71)-[£(g* t) 를 아래와 같이 정의한다 : h (e) = (p, (e) , G (e) ) . gp ,(e)=PG(e) 이므로 h 는 잘 정의되었고 연속이다. 또, h 는 1/:,:를 대응하는 fi ber( g*f).,로 동형적으로 보낸다. 따라서, (1.3) 에 의하여 It 는 동상사상이 다. 즉, h 는 동형 사상이 다. (2.17) 에 f: M一 N 를 M 에서 Ri emann 계량을 가진 다양체 N 속으로의 몰입사상이 라 하자. 그러면, NIo 는 T.,(f ) (M.,) 와 이것 의 직교보공간의 직합 (d i rec t sum) 이다. 따라서, 유도束 f *T(N) 은 T(M) 과 동형 인 부분束과 補部分束 (comp le menta r y subbundle) v1 의 Whit ne y 합으로 분해된다. 죽, f*T (N) ~T(M)Et )v1 이다. 벡터束 J,I I 를 몰입사상 f의 法束 (normal bundle) 이라고 부른다. 다음 정리는 유도束에 관한 주요정리로서 정리 (1. 8) 의 따름정리이다. (2. 18) 정 리. B 가 par acomp ac t 공간이 라고 가정 한다. f, g : B_-M \ /가* fh 와om og t* of p i는 c 하동다형고 이 다하.고 ,특 히t 를g 가M 定상値의 사벡상터 (c束on이st라a n t 하 m자a.p ) 이그 면러 면r,e 는 자명하다.
증명. H: BxI-M 몰 J로부터 g로의 homoto p y 라 하자. 그러 면, H* f는 BXI 상의 벡터束이다. 따라서 정리 (1. 8) 에 의하여 H* f브 (H* f l sxo) x f= (f*f) x J, H*f ~ (H* f l sx1) xl= (g* f) xJ 이다. 이것으로부터 f*f르g냥 임을 안다. (2.19) 따률정리. 可縮인 p aracom p ac t공간의 임의의 벡터束은 자명 하다. (2. 20) 정리. Bo 를 pa racomp a ct 공간이 라 하자. l : f o-_ 수흙 륭 f의 : hBo 。mo一to Bp 1 y 라를 피하 자복.하 는그 러m 면or ,p h i i s 의m 이ho 라m o하to 고p , y mHo :r pBh 0 i sx m I -으B로서1 H물 를f 피 복하는 B : fo x I-f1 가 존재 한다. f가 monomorph is m 이 거 나 epi mo rp h is m 또는 bim orp h is m 이 면 R 도 따라서 같은 성 질을 갖는다 . 증명. 사상 G : B 。 x J --B1x f G (x, t) = (H(x, t) , t) 를 피복하고, B0xO 상에서 f로 주어지는 morph i s m G : fo xI-f1 x/ 를 찾으면 된다. 죽, 아래의 도식을 가환이게 하는 C 를 찾는다.
E (t0) XI G E (f1) XI
다음의 가환도식을 고찰한다.
G* \/ .f lxbI` `'/ A .. ^G
morph is m fo x I_ 켜 1 지 울 얻 기 위 하여 morph is m H' : fox l 一➔ G * (f1 x l) 울 찾는다 . 그리 고 H’ 과 C를 합성 해 서 구하려 는 morp h is m G : fo xl-f1 xl 몰 얻는다. 정 리 (1. 8) 에 의 하여 G* (f1x l) 픽 G*(f 1 XI) ls0xo X[ 이 다. 따라서 morph is m h : °f o_➔ G* (f1 x [) l s0xo 가 존재한다. H'=hxid 1 로 잡으면 된다. 정리의 마지막 부분은 명백하다. (2.21) 주. 이제까지 다룬 것과는 다른 벡터束의 구성 이 있음을 부 기하여 둔다 . 예를 들면, 두 벡터束 f와 1/의 t ensor 積 f®1/, 雙對 벡 터 束 (dual vecto r bundle) Hom (f, e•) 둥이 다. 그러 나 여 기 서 는 이 것들을 정의하지 않는다. * 문 제 1. p나는 k 차원 실사영공간을 나타내고, 합을 P 상의 자명한 칙선 束, 죽 e1=P•xR1 이라 하고 f를 p• cpH l 의 法束이라 하자. 그러면
E.18 :)T (Pk) 브f®·®f 이다. 2. (a) n 이 홀수일 때 T(S ) 은 0 아닌 단면 (nonvanis h in g secti on ) 올 가지고, T(S)= e:나기 이다. 여기서 합 과 기 는 각각 S 상의 자명 한 칙선束과 (n 一 1) 평면束이다. (b) n=4m-1 이면 T(S) 브 £3+11 이다. 여기서, £3 는 자명한 R3_ 束이다. 3. T(S)EBe :1 은 자명하다 (T(SxR)cT(R+1) 을 생각해 보라). 4. T(M) 이 0 아닌 단면 을 갖고, T(M) Et)e:1 과 T(N) EB 합 이 자명 하면 MxN 은 평행성을 갖는다(p arallel i zable). 5. 모두 0 보다 큰 차원을 갖고 적어도 하나는 차원이 홀수인 둘 또는 그 이상의 구면들의 곱은 평행성을 갖는다. 6. S1xS2, S1xS' 의 接束의 자명화를 구체적으로 명시하라. 7. f= (P, E, B) 를 par acomp ac t 공간 B 상의 벡 터 束이 라 하자. 그 러면, B 는 각 flu , 가 자명한 가산 (coun t able) 국소유한 개집 합 족 {U;} 로 피복된다. 8. f 1 과 f 2 를 같은 공간 B 상의 벡터束이라 하자. d : B-BxB 를 d(b)=(b,b) 로 정의된 사상이라고 하면 d* (f1 X f2) 3:!f1E 8f 2 (Whit ne y 합) 이다. 9. f : M — ➔ N 를 C'-submersio n 이 라 하고, E(KI)=:,U:EM T:,:(f) , T:,:(f) : M:,: 一 N/(:,:) 라 하자. KI 는 벡터束이다. M 이 Ri emann 계량을 가지면 T(M) ~K 圈 *T(N) 이다. 10. 주어진 두 벡터束 7C f에 대하여 f /11 가 국소적으로 자명함을 보여 라. 7 가 직 교束이 면 기.l브f/기 이 다.
3. 벡터束의 분류 이 절 에 서 는 CS-k 평 면 束의 분류정 리 (classif ica ti on the orem) 를 증 명하려고 한다. 이 정리는 다양체 상의 임의의 C' 궁 R 은 보편束(uni versal bundle) 의 pu llback 과 동형 임 을 밝혀 준다. (3.1) 정의. St iefe l 다양체 (또는 varie t y ) 는 階數가 k 인 모든 선형 사상 T : R __가 t 의 집 합이 다. 즉, { TEL (R, R) l rank ( T) =k} 이다. 이것을 V'k 또는 V,.(R ）으로 표시하고, 다음처럼 위상을 준다 : 임의의 TEVn,1c 는 nxk 행렬 M(nxk) 에 대응하고, 행렬 M(nxk) 는 Rnx … xR=R 의 원소로 간주할 수 있다. cI, … ,c& 를 M(nxk> 의 k 개의 열벡터라고 하자. 그러면, {C i, •••C1c} 는 R 에서 일차독립인 벡터들이다. 이러한 일차독립인 k 개의 벡터들의 짝 (cI, … ,c,.) 를 R 에 서 의 k-fr am e 이 라고 한다. R 에 서 의 모든 k-fr am e 들의 집 합인 v'& Rnk 브 L(R,R ） 의 개부분집합이다. 즉, v ＇남상의 위상온 R 의 부분공 간위 상 (subspa c e top ol og y) 이 고 V' ,. 는 nk 차원 C 『-다양체 , O~r~oo, 이다. Grassmann 다양체 G' ,. (또는 G,. (R) ) 는 R 의 모든 k 차원 부분공간 들의 집 합이고, G',. 에 다음과 같이 商위상(q uo ti en t t op olo gy)을 준 것이댜 각 k-fr am e 을 그 k-fr am e 으로 생 성 된 k- 평 면으로 보내 는 표준사 상 (canonic a l map ) q : Vn,,.- ― ➔ Gn,11 에 의하여 유도되는 상위상을 G,,,,. 에 준다. 즉, U 가 G'» 에서 개집 합일 필요충분조건은 q -l(U) 가 V'k 에서 개집합인 것이다. (3.2) 정리. Grassmann 다양체 G' ，，는 k(n-k) 차원 comp ac t Haus- dorff er- 다양체 이 다. 증명. Hausdo rff성질은 공간의 정의로부터 곧 나온다. G,* 가 comp ac t 임을 밝히기 위하여 Vn,a 의 부분집합
V~,,,= {(Ci , ·••, C1r) EV,,,,.I (c1, ···c,,) 는 정 규칙 교 fram e} 을 생각한다. q o 는 q를 V!, ＊상으로 제한한 것이라 하자. 죽, q o= q lV~ , ,,· 그러면, q o 는 G,'Ir 에 상위상을 주고, 이것은 q에 의하여 유도되는 위상과 같 다. 이 사실은 아래의 가환도식으로부터 곧 알 수 있다.
·.G r am-Schmi dt 조작
한편, v:,k 는 R” 의 유계인 폐부분집합이므로 com p ac t이다. 따라 서 G,.,,.=q o (V~) 도 comp a ct 이다. 각 점 XoEG',. 가 Rk(-k) 와 동상인 근방 U 를 가짐을 증명하자. Xo 가 R 의 k 차원 부분공간이므로 R 은 Xo 와 Xo 의 직교보공간 Xl 의 집합이다. 죽, R 욱 XoEBX t 이 다. p : XoEBXt ~ Xo 를 정 사영 (orth o g o nal pro je c ti on ) 이 라 하고, U={YE 요 ,,.1 Ynxt ={ O}} 라 하면, U 는 Xo 의 개근방이고 모든 YEU 에 대해 p(Y )=Xo 이다.
x; Y
사상 T : U 一 Hom(Xo, Xf ) ~RkC,.-k) 를 각 YEU 에 대하여 T(Y) : X 。 _-x t가 g ra p h 가 Y 인 선형변환 (lin e ar tra nsfo r mati on ) 인 사상으로 정 의 한다• T 가 C'- 미 분동상사상 임을 밝히자. X1, …, 따 를 Xo 의 고정 된 정 규직 교기 저 (orth o normal basis ) 라 하자. 그러면, 각 k- 평면 YEU 에 아래의 조건을 만족시키는 유일한 기저 Y1 t ···,y,.가 존재한다 : p (y1) =x1, …, p (yk) =X1, . k-fr am e (yi, ···,J k) 는 Y에 따라 연속적으로 변하고, y론자+ T(Y) 따, i= l, ···, k 이다. y‘가 Y에 대하여 연속이므로 T(Y)x1EX t도 Y 에 대하여 연 속이다. 따라서 T 는 연속이다. 같은 방법으로, T-1 도 연속임을 알수있다. 따라서 T 가 동상사상 이다. T 의 C'- 미분가능성은 쉽게 알 수 있다. J 주. 다음 사실은 쉽게 밝혀진다. GmT 르 G'-, 이고, 특별히 V,.+1,1=S-1,· Gn+I,1~G .. +1, .. ~RP 이다. (3.3) 정의. Rco 는 벡터공간 Ra ,= { (Xi , X2, …) | x‘ER, 유한개 를 제 의 한 모든 Z‘ 는 O} 을 표시 한다고 하자. 무한차원 Grassmann 다양체 G.=G. (Rco) =Geo' 들
는 Rco 의 모든 k 차원 선 형 부분공간의 집합으로서, Gk,kCGk+1,kcGk+2,ke·· · 의 귀납적 극한 (d i re ct l i m it)으로 위상이 주어져 있다. 다시 말하면, G 며 부분집합이 개집합〔폐집합〕일 필요충분조건은 모든 n~k 에 대 하여 그 집합과 Gn , h 의 공통부분이 G'k 의 부분집합으로서 개집합〔폐 집 합]인 것이다. 이것은 G,.=U Gn,,. n 츠 k 이므로 사리에 맞는다. 독별한 경우로서, 무한차원 사영공간 RP'=G1=Gc :o, l 은
RP1cRP2cRP3c••· 의 귀납적 극한이다. (3.4) 보조정라 M 을 q차원 er 一다양체라 하고 K 롤 M 의 부분 F집:합 M이 —라 +V하자 'k. 로 k확+장q 된~ 다n• 이 면 임의의 사상 f: K-V'’ 는 사상 증명. n>k>0 이라 가정하자. 이 이의의 경우는 명백하다. Mo] 원 판 (dis k ) D9 들의 국소유한족 (loc ally fini t e fam i ly ) 으로 피 복되 므로 확장을 계속하면 M=D 옌 단순한 경우로 귀착된다. 따라서, M=Dq - 인 경우만을 증명한다. D q :::>K― ➔ Vn,,,cL(R\ R) =R• 이므로, t는 사상 F : Dq _ -R 로 확장시킬 수 있다. 즉, FIK=f 。 l 다. F 를 F(D9)cV ＇들 를 만족시키도록 택할 수 있음을 보이자. A=L(R, R)-V,.,• 라 하자. 그러면A=~ U-1 L(R\ Rn : p), p= D 여기서, L=(R1r,Rn ; p)= {TEL(R\Rn)lrankT=p }. A 가 Rnk 의 폐부분집합이므로 F-1(A) 는 D q에서 폐집합이고. F-1(A)nK 극이다. 따라서, 부분다양체 MoCD9 가 존재해서 F-1(A)cMo, 祐 nK=
이고, p< k, p< n 이 므로 dim (L(R\R))-dim (L(R\R ; p) )=~ ((nn—- p()k ( -k1-))p ) ( k-(k 크)) =n-k+l 이다. 그러므로, dim D9=q ~ n-k
-G : M 一 -'>Vs,k 가 존재하고, 이것은 사상 G,,=G (x) : Rk_ ➔ R• 가 단사임을 뜻한다. 즉, G : E(f) =Mx Rk_--'>Mx R• 는 idM 상의 er- 벡 터 束 monomorph is m 이 다. 일반적인 경우는 대역화정리 (제 2 장, 정리 (2.19)) 를 써서 중명한 댜 이 증명은 연습문제로 독자에게 맡겨 둔다. (3.6) 따름정리. M 을 n- 다양체라 하고, 1/를 Mxl 상의 er RA- 束 이라 하자. i =O,1 에 대하여 F, : 1/I Mx,-Mxi x R• 몰 C'-monomorph i s m 이 라 가정 하자. 이 때 , s) k + n 이 라면 Fo 와 F1 은 C•-monomorph is m F : 1/ __가 4xRS 로 확장된다. 증명 정리 (1. 8) 에 의하여 Fo 와 F1 은 Mx{O,1} 의 근방 UcMxl 로 확장된다. Mx{O,1} 이 Mxl 에서 폐집합임을 유의한다. 즉, idu 몰 피 복하는 C'-monomorph is m F' : 기 |u_ ➔ UxR• 울 얻는다. s:2:' :k +n 이므로 정리 (3.5) 에 의하여 U 안에서 Mx{0,1} 의 어 떤 근방에 서 FI, F2 와 일 치 하는 idM XI 상의 C'-monomorp hism '1/＿ ➔ MxlxRs 가 존재한다. 정 리 (3. 5) 의 다른 따름정 리 는 逆束 (inv erse bundle) 의 존재 성 에 관 한 정리이다. (3.7) 정리. f를 n- 다양체 M 상의 C' Rk 려t, 0 孟 r 독 00, 이라 하자. 그러면, 釋기르 e;k 인 M 상의 C' R 명다가 존재한다. 여기서 . E.&”는 M 상의 자명한 Rn+k 궁 R 을 나타낸다.
증명 f가 국소적으로 자명하므로 개집 합 UcM 와 idu 를 피복하 는 동상사상이 존재한다. 즉,
\FI lT(
가 가환도식이다. 그러므로 F' : E/ (f lu )-UxR +k 는 idu 상의 c·- monomorph ism 이다• n+k~k+dim M 이므로 정리 (3. 5) 에 의하여 어 떤 근방 Vc U 에 서 F' 과 일 치 하는 C 『 -monomor ph i sm F: f-― ➔ eMH 가 존재한다. 자명한 束 터 ?=MxR” 에 표준직교구조로주고 기를 따％北]서 F( f)의 직교보공간 F( f).L로 생각한다. 그러면, 정리 (2.9). 와 정리 (2.7) 에 의하여 간결한 완전렬 。一f-―며 e& ―수합―찌 이 존재하고 t®tl.브 ek 이다. (3. 8) 정의 (Grassmann 束 또는 音返束) · 보편束 (the univ e rsal bundle} 온 Grassmann 다양체 Gs,,. 상의 Rk- 束 rs,,. 로서 아래 와 같이 정 의 된 다:전공간은 E(r,,,.)={(P, x)EG,,,. xR Jx EP~R}cG,,,.x R• 이고 사영사상 7! : E(r,,,.) ―一 G,, 員
는 R 에서의 k- 평면 P 에 대하여 x(P,x)=P 로 정의되고, P 상의 :fibe r 元 -1 (P) = (r 어 k) p ~P~R,, 의 벡터공간구조는 t1( P, X1) +t2(P , X2)= (P, f山+t 2X2) 에 의해서 주어진다 . x 의 국소자명성 (loc al t r i v i al ity)을 밝혀 보자. P 。드 Gs,k 라 하고, R 딸 P@P 寸 으로 나타내 자. 또, P1 : P 。 ®P t― -Po 울 첫 번째 성 분으 로서 의 사영 사상 (pr oje c ti on ) 이 라고 하자• U= {Q드 c., k 1Q nP t -= {O} } 로 놓자. 그러면, P 。 EU.이 고 U 는 Gs,k 에서 개집합이다. 동상사상 h : UxP 。-r. -l(U) 를 lz(Q , x)=(Q, y) 로 정의한다. 여기서, yEQc R• 는 P1(y ) =x 인 Q 의 유일한 원소를 표시한다. 각 QE U 는 선형 변환 T(Q) : p。― -P t 의 gra p h 로 간주할 수 있 으므로 h(Q, x) = (Q, x+ T(Q )y) 이다. 그러므로, h 는 연속이다. 더우기 lt-I : 元 -1(U) 一 UxP 。 ~UxR\ 1i-• (Q, y) = (Q, Pi ( y) ) 도 연속이다. 따라서, rs,k 는 G. ，員 상의 C' R•- 束이다. 주. rm=r 노 이다. r!-1 은 1 절의 문제 4 에서 기술한 적선束이다. f 가 er- 다양체 M 상의 C 기간-束일 때 idM 상의 C 『 -monomo rp h i sm F : ~一E. ~1=Mx R•, s~n+k 가 존재함을 이미 알고 있다.
사상 g : M 一귁 3s, I, 상의 벡터束사상 rp : f _rs,k 를 아래와 갇야 정의한다.
.E ® ,
각 yE M 에 대하여 g(y)를 k- 평면 F(&) 브 F(Rk)cR• 이라 하자 죽, g(y) =F(f:1 ) 드 Gs, ，， 라 하자. 사상
또는 Grassmann 사상이 라 부르고, 또한 g 는 f 를 분류한다 (class ify)고 한다. 자 이제 분류정리를 증명하자. (3. 9) 정 리 (分類定理, classif ica ti on th eorem) . s~k + n 이 라면 n- 다양체 M 상의 임의의 C' k- 평면束 f는 f프 R(rs,k) 인 분류사상 ft : M — ➔ G.,,, 를 갖는다. 실제로, f laM 에 대한 분류사상 aM_G,',. 는 f에 대한 분류사상으로 확장된다. s ) k + n 일 때 fe 의 homoto p y 類 (homoto p y class) 는 유일 하고, ? 를 M 상의 다른 k- 평 면束이 라고 하면 ft:::::'.fq 일 필요충분조건은 年르'T/ 이다. 증명 분류사상의 존재 성 은 이 미 밝혔고, .사 상 aM 壘 ~Gs, Ii 가 사상 M— 范 s,~ 로 확장되는 것은 깃 (collar) oMx [O, l)cM 과 정리 (3. 5) 를 쓰면 된다(깃의 존재성은 5 절에서 증명될 것이다). s)k+n 일 때는 따름정리 (3. 6) 에 의하여 A 의 homo t o py류는 유 일하다. fe:: :::'.fq 라 하면 정리 (2.18) 에 의하여 R (rs, Ir) 브 R (rs, ») 이다. # : 기브f 라 가정하고, 'I' : f~ r.,.¾ ft 를 피복하는 束사상이라 하자. 아래의 도식에서,
¢
R(rs, 尹국, R(m) 눅 이다. 한편, R(r.'&) 브기 이다. s)k+n 일 때 분류사상의 homoto p y 뮤가 유일하므로 k=f, 이 다.
주. 이 정 리 는 M 상의 R － 束 과 homoto p y 류 M 一 ➔ G , , ,,, （ 즉, 집 합 [M, Gs, ,J) 사이 에 1 대 1 대 응을 준다• (3.10) 정리. C'- 다양체 위의 임의의 c·- 벡터 束 f는 양립하 는 (com pa ti bl e) C'- 束 구조를 가 지 고, 이 러 한 구조는 COO- 동 형 을 제 외 하면 유 일하다. 증명. g : M-c. .• 를 f에 대한 C 仁분류사 상 이라 하자 . 그러면, g 는 COO- 사상 11 로 근사시킬 수 있다. 이것은 g가 11 에 homoto p ic 임을 의미한다. 따라서 f뜨g * (rs, ,.) 브 h* (r,, ,.) 이다. 한편 h*(r• . ,.)가 COO 려 근 이므로 f는 COO- 구조 를 갖 는다. 'TJo 와 'TJ근] COO- 束이 고 COO- 동형 이라고 하면 이 들 은 homoto p ic 한 coo- 분류사상들을 갖는다. 또 이 사상들은 C-homoto p ic 하다. 이 homo t o py를 H: Mxl 一 G,. 라 하자. 그러면 H* (rs,k) 神 * (r.,k) IM xo~H* (r.,k) I MX I 이다. 따라서 정리 (1. 8) 에 의하여 00 00 H*(rs,~) IMxo 브기 o, H* (r ,.~) IMx1 9::기 1 CX) 이 므로 1/0 ~1 /1 이 다. (3.1 1) 정의. 무한차원 Grassmann 다양체 Gk=Goo,k 는 정 의 (3. 3) 에서 R CX)의 모든 k 차원 선형부분공간의 집합으로 정의되었다 . Gk 상 의 표준束 (canonic a l bundle) rk 를 아래 와 같이 정 의 하고, 이 m 를 보편束 (unive rsal bundle) 이 라고 부른다 . 전공간은 E(r,.) = { (P, x) EG,. x R00 I PcR00 는 k- 평 면 , xEP} cc,, XR 00 이 고, 사영 사상 tr : E(r,.) -G,. 는 tr (P, x) =P 로 정 의 하고, fibe r 의 벡터공간구조는 앞에서 한 것과 같이 정의한다. 앞에서 한 것과 비슷한 방법으로, r,.==( 7t,E (r,.),G,.) 가 k- 평면束임 을 보일 수 있고, 다음의 정리도 증명된다.
(3.12) 정리. c·- 다양체 M 상의 임의의 Rk- 束 f는 일반화된 Gauss 사상 g : M-G,, 위 의 束사상 rp : 순_캬 k 롤 수용한다. 죽, g욱g *(r,.) 이다. 더우기 f는fg M ―一 Gk 의 유일한 homo t o py류를 결정한다. 즉, ff~g, 이라면 f~ft (r,.) ~짜 (입 이다. (3. 13) 주. 이 절 의 정 리 들은 유한차원 CW 복체 (comp le x) 상의 벡 터束에 대해서도 성립한다. 그 증명도 거의 같다. 보다 일반적인 공간상의 벡터束의 분류에 관해서는 다음과 같이 쓸 수 있다. 공간 X 상의 R,. －束의 동형 류(i somor p h i sm class) 들의 집 합을 Kk(X) 로 표시 하자. 사상 (natu ral map) ex : J(k (X)-[X, Gs,.] 가 대응관계 J.....-f*( rs,k) 에 의하여 유도된다. X 가 pa racomp a ct 이 면 피 복 homoto p y 정 리 예 의 하 여 ex 는 잘 정 의되었다 (well -d e fi ned). 그래서 다음 사실을 종명할 수 있다 : X 가 차원 이 s 국 보다 작은 CW 복체 의 homoto p y 형 (type ) 을 가 지면 O 는 전단사이다. * 문 제 1. (a) i : G, .• -一 ➔ Gul,k+l 물 포함사상이 라 하자. 그러 면 t* (rs ... 1, k . .. 1) 브 r •. •®eh .... (b) X 를 다양체라 하자. dim (X)
에 대응한다. 2. f,1/ ,S 를 다양체 M 상의 束이고 f®1/브f®〈 라고 하자 e dim f) dim M 이면 1/琴 이다• 3. 다양체 M 상의 두 벡터束 f와 1/가 안정적으로 동형 (sta b ly- iso morph i c ) 이 라는 것은, 어 떤 m, n 에 대 하여 f @£M 브1/ @e?f 임울 말한다. K(M) 을 M 상의 束둘의 안정동형류 (s t able iso morph is m class) 들의 집 합이 라 하자. Whit ne y 합의 연 산은 K (M) 에 abelia n 群 의 구조를 유도한다. 4. S 상의 Rk 궁 R 은 각 chart 의 영 역 이 반구 (hemi sp h ere) 를 포합 하는 오직 두 개의 char t를 포함하는 벡터束 a t las 를 가진다. 이러한 char t의 짝에 대한 추이함수는 적도 (e q ua t or) S-1 를 GL(k) 로 보내는 사상으로 제한한다. 이 방법으로 k,n 에 제한을 두지 않는 동형사상 Kk (S) 똑;;rk-1 (GL (k) ) ~;;rk-1 (0 (k) ) 이 확정 된 다. 여 기 서 , ;;ck (X) 는 X 의 k 차 homoto p y 군을 표시 한다. 5. E( f)一 S 을 aE;;r ,. _1(GL(k)) 에 대응하는 k- 평면束이 라 하자. 만약 1/_一 S 이 f의 역원소(;;r ,._1(GL(k) ）에서)에 대응된다면 忽 D 가 ’ 는 자명하다. 6. S 상의 모든 벡터束은 자명하다. 4 有向벡터束 V 를 실 (real) 유한차원 벡터공간이라 하고, dim V=n>O 이라 하 자. V 의 두 기저 (base) (eJ, ea ••• , e) , (fJ, f2. …, fn) • 이 주어지면 T(e,)=f, , i =l, … ,n. 를 만족시키는 유일한 자기동형사 상 (auto m orph i s m ) T : v~ V 7} 존재 한다. V 의 두 기 저 (ei, ···, e) 과 (/1, •••.Jn) 이 동치 (eq u iv a lent) 라는 것 은
T(e,)=J ‘ 를 만족시키는 자기동형사상 T에 대응하는 행렬의 행렬식 이 양수 (po sit ive ) 인 것 이 다. V 의 向 (orie n ta t i on ) 은 기 저 들의 동차 뮤 [e1, …, c] 이 다. 예를 들면, a= {(1, 0) , (0, 1)}, /3= {(-1, O) , co, -1)}, r= {(1, O), co, -1)} 를 R2 의 기 저들이 라 하자. 그러 면, T(l, 0) = (-1, 0), T(O, 1) =(O, -1} 인 자기동형사상 T「: ;R 2__-R:]2, 에d e대t 「응;하 는 _행~렬]=과I 그 행렬식은 이므로 a 와 /3는 동치이다. 그러나 a 와 r 는 동치가 아니다. dim (V) )0 일 때는 오직 두 개의 向이 있다. 그 중 하나를 a 로 표시하면 -Q는 다른 하나를 나타낸다. L : v-w 이 벡터공간동형사상이고, =[e1, ••• ， 리이 V 의 向아 라고하면 L(w) =[L(e 1),···, L(e,.)] 은 W 의 (유도된) 向이 된다. dim (V)=O 이면 V 의 向은 단순히 +1, -1 중의 어느 하나를 의 미한다. Q가 V의 向일 때, 짝 (V, (JJ）를 有向 (o ri en t ed) 벡터공간이라고 부 론다. (V,w) 와 (V''' ）이 주어져 있을 때, 동형사상 L : V-V' 이 L (w) =w’ 을 만족시 키 면 L 을 向울 보촌하는 (ori en ta t i on pre servin g) 사상이라 하고, 그렇지 않으면 L 은 向울 바꾸는 (or i en t a ti on reversin g} 사상이라 한다. R”, n>O, 의 표준 向 은 [e1, …, e 』, e,= (0, ···, 0, 1, 0, …, 0) 이고, RO 의 표준向온 +1 이다. 。一 V'~v~v'’~ 。 을 벡터공간의 간결한 완전렬이라 하자. V' 과 V” 의 向이 각각
w'=[e1, …, e. . ], Q ’'=UI, ••• ,f』 으로 주어져 있으면, V 의 向 Q는 아래와 갇이 칭의된다: Q=[cp( e1),·· ·, cp( e .. ), gi, ··•,g』 여기서, gI, ••• ,g” 은
O > V/ 0 > V ¢ > Vf / > O
이것은 T 에 대응하는 행렬의 행렬식이 1 임을 의미한다. 따라서 (cp (e1) , ···,
을 硏= {Qr } ZEB 로 정 의 한다. 여 기 서 Q z 는 fibe r f:r:= E,,~R 의 向으 로서, f는 아래의 성질을 만족하는 백터束 atl a s
/ Rn \
xEU 에 대하여, f( x)=y 이고
/*(A:1 w ), f * (µ11w) 는 모두 일치한다. 이는 A#o=µ 다) 임을 뜻한다. (4.5) 정리. 단순연결 (sim p ly connecte d ) 다양체 M 상의 모든 벡터 束온 可向이다. 증명. XoEM 를 택하고 o 를 f lXo= 쇼에 대한 임의의 向이라고 하 자. 각 y든 M 에 대하여 ..1:1 : I-M 를 Xo 로부터 y로의 p a t h 라 하 자. 혼y 상의 向 Qy 를 A Q 로 정 의 한다. 죽, Qy= A. 여 기 서 Ay 는 Q 를 Ay 를 따라서 퍼 지 게 한 것 (pr op ag a ti on ) 이 다• M 이 단순연 결공간이므로 정리 (4 . 4) 에 의하여 Qy는 A y의 선택에는 무관하다. (rp, u) 를 M 의 chart 라 하고 y EU 라 가정한다. 각 y EU 에 대하 여 A' y=룹 y로부터 z 로의 직선 p a t h(
여기서, UcB 는 개집합이고 f lu 는 可向이며, O 는 f lu 의 向이다. 그러면, f( x,w)=x 로 주어지는 자연스런 사상 f: B_B 가 존재한 다. 용=f * f 로 정의하자• 그러면 아래의 가환도식을 얻는다.
E ~5—— ~E ^f E
용의 자연스런 向은 아래와 갇이 정의된다 : 주어진 (x,w)EB 에 의 하여 向 f * (w) 를 l i e:,: p)에 준다. 개집 합 UcB, f lu 의 向 0 에 대하 여 D={(x,0:,:)}zEU 가 B 의 기저인 개집합 (bas i c ope n se t)이므로 f * 0 는 f lu 의 向이다 . 따라서 용는 可向이다. 유의. 단면 (secti on ) B ― ➔ B 는 f 의 向과 같다. 따라서, B 가 단순 연결공간이면 B=B 이고 f는 可向이다. (4.9) 정리. 벡터束의 간결한 완전렬 。一f'一f一t一° 에서 f,f',f 중에서 어느 둘이 可向이면 나머지 하나도 可向이다. 증명 예를 들어, ’,0'’ 을 각각 f' 과 f 의 向이라 하자 . .:::::z..라 면, f의 fi ber 둘의 向들의 집합 硏={,.}:z: EB 를 Q=='석 ®w'’= 로 놓아서 얻는다. 국소적 자명성에 의해서 Q는 coheren t이다. 따라 서 는 f의 向이다 . (4.10) 정의. 다양체 M 의 接束 T(M) 이 有向 벡터束일 때 M 은 可向 (or i en t able) 이라고 한다. M 의 向 (o ri en t a ti on) 은 T(M) 의 向을 의미하고, 가 M 의 向일 때 짝 (M, ）를 有向 (or i en t ed) 다양체라고
한다. -Q를 M 의 向으로서 모든 xEM 에 대하여 (-w) 곤=-三 인 것으로 정의한다. 여기서 Q:r, -도는 x 에서의 M 의 接공간 T.,(M)=M 츠 의 向이다. M 이 有向 연결공간이면 M 은 오직 두 개의 向 ' -w 를 갖는다. 또한, 단순연결 다양체는 可向이다. (M, w) 와 (N, 0) 를 有向다양체 라 하자. 미 분동상사상 J : M~N 에 대하여 T( f) : (T(M) , w) —~ (T(N) , 0) 7]- 向울 보존할 때 f는 向을 보촌한다고 말하고, f( w)=0 로 쓴다. ~ 편, T( f)가 向울 바꾸면 f는 向을 바꾸는 사상이라고 한다. M 을有向 연결다양체라 하고, g : M 一 M 를 미분동상사상이라 하자. Q와 _{JJ를 M 의 두 向이라고 하면 g( w)=w, g( -w) =-w, 이거나 g( w)=-w, g (-w)= 아 이다. 바꾸어 말하면 g는 두 向울 모두 보존하거나 두 向을 모두 바 꾼다. (4.11) 예. 직교선형 연산자 LE :O (n+l) 로부터 얻어지는 S 위의 마 분동상사상을 생각해 보자. L|D··l : D,.+1 一 D,.+1, Li s-: S,. ＿一 S 이다. LlD• • 1 이 向울 보존할 때 즉, L 이 R .. ”의 向울 보존할 때에만 dLeit s • L 온 > O 向 이올 다 .보 존특한히다 ,. 초따평라 면서 (h yL pei sr• p이l a n向e)을 에 서보 존반할사 사필상요 (충re분fl e조c t건i o은n ) 은 항상 向을 바꾸고 ; S 의 對心사상 (anti po dal map) 은 n 이 홀수일 때는 向울 보촌하고, n 이 짝수일 때는 向울 바꾼다. 그 이유는 대십 사상에 대응하는 행렬이 -I+1,n+1 이기 때문이다. (4.12) 정리. 임의의 다양체 M 은 有向 이중피복공간 M 를 갖는다. 증명. T(M) 이 벡터束이므로 정리 (4.8) 에 의하여 T(M) 은 有向 이 중피 복 T
福)=f *(T(M)), E=E( f*(T (M))), M={(x,w)lxEM, w 는 M,, 의 向}, f( x,w)=x 이므로 M( 츠 ,w) 와 T(M) lc:1:, w ) 사이에 동형사상이 존재한다. 따라서 정 리 (1. 3) 에 의하여 f汀균)와 T(1W) 사이에 동형사상이 촌재한다. 죽, T(M) 는 可向이다. 주. M 이 可向이면 M 의 각 向은 단면 (secti on ) s., : M 一流 s., (x) = (x, w,,) 울 정의하고, 역으로 단면은 M 의 向울 정의한다. (4.13) 정리. M 을 공집합이 아닌 경계 aM 을 갖는 다양체라 하자. 그러면, M 에서의 aM 의 대수적 法束 타즌 자명하고, 따라서 可向 이다. 증명 (2.10) 에서 v=TaM(M)/T(oM) 이었다. dim (M)=n 이라하고, R+= {xER l x,~O} 으로 놓고, x : R-R 롤 사영 (pro je c ti on ) x (x) =xi 이 라 하자. {(cp,, U,)}, cp, : U‘ 一 R+. 를 aM 을 피복하는 M 의 chart 족 이 라 하자.
Rn-l
morph is m F, : T(M) lau, 一 au,xR
늘 군 F, (y) =D (1r
는 N 의 부분다양체이고 학 A)=M 이다. 겨에서 M 의 法束은 N 에서 M 의 法束 l.l의 제한이므로 /)는 고에 A] M 의 法束도 된다 . 따라서 정리 (4.3) 에 의하여 /)는 자명하다. 같은 방법에 의하여, E 는 N 의 부분다양체이고 aB=M 이다. 따라 서 AUE 는 N 에서 폐집합이다. 한편 AnB=M 이므로 AUE 는 N 에서 개집합임을 알 수 있다. 따라서 AUB=N 즉, N-M 에는 A,B 가 아닌 다른 연결성분은 없다. (4.16) 정리. N 을 연결다양체라 하고, McN 은 여차원이 1 인 연 결 폐부분다양체이고 aM=¢=aN 이라 하자. M 이 N 을 분리할 때, N 이 可向이면 M 도 可向이다. 증명 벡터束의 간결한 완전렬 。一 T(M) ―汀 M(N) 一/)_찌 울 생각하자. N 이 可向이므로 T(N) 도 可向이다. 따라서 TM(N) .:S:... 可向이다. 더우기, 보조정리 (4.15) 에 의하여 /)는 可向이다. 따라서 정리 (4.9) 에 의하여 T(M) 도 可向이다. (4.17) 정리. N 을 단순연결 다양체 라 하고, McN 은 여 차원이 1 인 comp ac t 연결부분다양체이고 aM=¢=8N 이라 하자. 그러면, M 은 N 을 분리한다. 따라서 M 은 可向이다. 증명. Xo, 떠 EN-M 이 라 하고, f : I-N 를 Xo=f (O ) 로부터 X1=/(l) 으로의 C CX)-p a t h 라 하자. f는 M 에 대하여 횡단적이라고 가 정해도 된다. 그러면 1 장의 정리 (2.4) 에 의하여 /-l(M) 은 여차원이 1 인 I 의 부분다양체 이 다. 따라서 1-1 (M) 의 농도 (cardin a lity ) 는 유 한이다. J- 1(M) 은 공집합일 수도 있다. L(xo, 따,J)를 1-1(M) 의 원소의 갯수(농도)를 2 를 법으로 나타낸 것 (reducti on mod .2) 이 라 하자. L(xo,X 1,f)는 pa th f의 선택에는 종속적이 아님을 밝혀 보자. g : I― ➔ N 를 Xo 에서 X1 으로의 pat h 라 하고, f*g 라 하자. N 이 단 순연결이므로 두 pa th f와 g는 두 끝점 {xo,X1} 에 대하여 homoto p ic 이다. 즉, 연속사상 H:lxI-N 로서
H( t, O) =f(t) , H( t, l) =g (t) , H(O, t) =xa, H(1, t) =x1 을 만족시 키 는 것이 존재한다. 근사화 (a pp rox i ma ti on) 에 의하여 H는 COO 이고 M 에 횡단적이라고 가정하여도 좋다. 그러면, 1 장의 정리 (2. 4)' 에 의하여 H-1(M) 은 Ixi c R2 의 일차원 com p a ct부분다양체 이 고, 그 경 계 는 (f-1 ( 0) X 0) LJ (g- l (0) X 1) 이 다.
·•I I Ig ; -----I ·, W촌재 ' (M하 ’)
H~l(M) 의 연결성분은 두 끝접을 IxO 또는 Ixl 의 어느 하나에서 둘 다 가질 수는 없 다. 따라서 , f-1 (M) 과 g- l (M) 의 농도가 같다. 위 에서와 같은, L(Xo, Xi ,f)= 1 인 Xo, XI, f가 존재한다. 예를 들어 저, Xo 와 떠 온 서로 M 의 반대쪽 (o pp os it e s i de) 에 있고, M 에 횡단 적 인 작은 호 (arc) 에 있는 것을 잡는다. 그러면, Xo 와 X1 은 N-M 의 서로 다른 연결성분에 있어야 한다. 만일 같은 연결성분 안에 있다면 N-M 안에서 Xo 와 X1 을 잇는 pat h g가 존재한다. 이러한 pat h g는 · COO 이고 M 에 횡단적이도록 만들 수 있다. 그러면 L (xo, 따, g) =O=L (x0, Xi , f) =l 이 되어 모순이 생긴다. M 의 可向性 (orie n ta b il it y ) 은 정 리 (4. 16) , (4. 5) 로부터 나온다. (4. 18) 따릅정리 . McRn” 이 S 에 미 분동상인 부분다양체 이 면 M 온 Rn• l, n~l. 을 분리 한다. (4.19) 정리. 경 계를 갖지 않고, 可向이 아닌 comp ac t n- 다양체는 경계를 갖지 않은 단순연결 (n+l) －다양체 속으로 매장할 수 없다. 목 히, 1 우 1 일 때 실사영 2n- 공간 RP2 이은 RP2n+I 속으로 매장되지 않 는다.
증명 정리의 앞부분은 정리 (4.17) 로부터 곧 증명된다. 정리의 뒷부분을 증명하기 위하여 RP2” 이 可向이 아님을 밝히자* RP2’ 을 대 심 사상 A 에 의 한 S2” 의 등화공간 (ide nti fica ti on sp a ce) 으 로 보고, p ; S2·-RP2 룹 사영 사상이 라 하자. 예 (4.11) 에서 밝힌 바와 같이 S2” 의 대심 사상 A 는 向울 바꾼다. 만약 RP 2 의 向 w 가 존재한다고 가정하면, s2” 의 유일한 向 0 가 존재 해서 모든 xES2 에 대 하여 T,, (p) (0,,) =wp c :r i 이다. 그러나, 이러한 O 는 대심사상 A 에 의해서 불변일 것이고, 아 것은 불가능하다. 따라서 RP2” 이 可向이 아니 다. 유의. RP“ ” 은 可向이다. RP2 는 R3 속으로 매장시 킬 수 없다. * 문 제 1. f가 임의의 벡터束일 때 f®f는 可向이다. 특히, 다양체 M~: 접벡터束 T(M) 의 전공간(t o t al s p ace) 은 다양체로서 可向이다. 2. n~l 에 대 하여 , sl 상의 R －束의 동형 류 (iso morph is m class) 는 정확히 2 개 있다. 이런 두 束이 동형일 필요충분조건은 둘 다 可向 이거나 둘 다 可向이 아닌 것이다. 3. MxN 이 可向일 필요충분조건은 M 과 N 이 둘 다 可向인 것이 다. 4. McN 이 여차원이 1 인 폐부분다양체이고, aM*¢, aN=¢ 이 고 M, N 이 연결공간이 면 N-M 도 연결공간이 다. 5. McR·1 이 comp ac t n 一다양체이고 oM=¢ 이 면 M 은 유일한 R“” 의 comp ac t 부분다양체를 경계짓는다 (bound). 6. McN 을 여차원이 1 인 neat 폐부분다양체라 하자. 그러면, N 에서 M 의 法束이 자명할 필요충분조건은 M 이 M 에 의하여 분리되 는 임의로 작은 근방을 N 에서 가지는 것이다. 7. McN 을 여차원이 1 안 com p ac t 폐부분다양체라 하고, aM=¢ 라 하자 만일 M 이 N 에서 한 점으로 可縮 (con t rac ti ble) 되면 M은 N 을 분리한다.
5. 깃과 관상근방 (5.1) 정의. McN 을 부분다양체 라 하자. N 에서 M 의 管狀근방 (tub ular ne ig hborhood) 은 아래와 같은 벡터束 f와 매장사상 f: E 一 N 의 짝 (f，f)이다 : f=(p,E ,M) 는 M 상의 벡터束이고, /: E- ―키 V 는 매장사상으로 서 다음 조전을 만족시킨다. (i) f lAI= 파, 여기서 M 은 P 의 0- 단면과 등화되었다. (ii) f (E) 는 N 에서 M 의 개근방이 다.
N
때때로, 개집합 W=J ( E)cN 를 N 에서 M 의 관상근방이라고 부 른다. 이 경 우에 W 에 관련된 사상은 retr at i on q : W― ➔ M 로서 이 q 에 대하여 (q, W,M) 을 벡터束으로서 0- 단면이 포함사상 M~M 인 것으로 이해한다. M 의 부분관상근방 (pa rti al tub ular neig h borhood) 은 아래 와 같은 J,f, u 로 된 짝 (J,f, u) 이다 : f=(p,E ,M) 은 M 상의 벡터束이고, UcE 는 0- 단면 의 개 근방이 고, J : U-N 는 f| .ll=idM 이 고 J( U) 가 N 에서 개집합인 매장사상이다. (5.2) 보조정리. (J,f, u) 를 McN 의 부분관상근방이라하자. 그러 면, N 에서 M 의 관상근방 (g, f)로서 M 의 근방에서 f=g 인 것이 존재한다. 증명 정의의 조건을 만족시키는 g를 만들기 위하여, f 상의 칙교
구조물 고정 한다. 사상 p : M ― ➔ R+ 를 yE f,. =Er 이 고 IY l
E
A : [0,oo) 一 [O, 디를 미분동상사상이라 하고, 0 의 근처에서 항등 사상과 같다고 하자. 사상 h : E-E 를 각 yE EP<::1 ) 에 대하여 k(y )=!p(:.(y)) ·A( p(福 )·검, y* 0 일 때, 0, y =O 일 때. 로 정의한다. 그러면, h 는 찰 정의된 (well-de fi ned) 매장사상이다. 또 yE E 에 대하여 h (y) Ef pc .,>=EP<::1 >• l h (y) I ~p (p (y) ) 이므로 h(y) E U 이다. 따라서 h(E)cU 이다. 더우기, y가 M 어] 충 분히 가까우면 h(y) =p(p(y)) p(>y(Iy ))곱 =y 이다. 즉, h 는 M 의 근방에서는 항등사상이다. 이제, g=fh 로 놓으 면 이 g가 구하려는 매장사상이다. (5. 3) 정리. McR 을 경 계 를 가지 지 않은 부분다양체 라고 하자. 그러 면 M 은- R 에서 관상근방을 갖는다. 층명 위의 보조정리에 의하여 부분관상근방울 찾으면 충분하다. k=n-di m M 이라 하고, G'k 상의 Grassman 束 rn,k 를 생각하자. E (r,., .) = { (P, x) EG,., • x Rk l xEP) }
임을 유의하자. 사상 v : M ―范 'k 를 아래와 같이 정의한다 : 각 xEM 에 대하여 接 (n-k) －평면 M,,cR 는 R 예서 k- 평면인 칙교보공간 M;-을 가진다. 그래서, v(x) 를 M;-으 로 정의한다. 그러 면 亨 )EG' ，， 이다. f= v* (r. . , i) = (p, E, M) 으로 놓자. 그러면, f는 M 상의 벡터束이고 E= { (x, (P, y) ) EM x E (r,., k) 1v (x) =P, yE P} 브 {(x,y ) EMx Rl y탁 (x)}, 여 기 서 , v (x) 는 R 에 서 의 k- 평 면 이 다. 사상 f: E ―一 Rn 를 f( x,y ) =x+y (y탁 (x) ）로 정의한다. Mx {O}cE 는 P 의 O- 단면이 다. (x, 0)EMx {O} 일 때, 선형 사상 TO O) (f) : T(z, O) (E) 一 T츠 (R ) 프 R 를 고찰하자. T 안 )(E)~M홉 (x), f(x ,y )= x+y 이 므로 Tcz, O) (f) 는 M,, 와 v (x) 상에 서 항등사상이 다. 따라서 , 0-단면 Mx {O} 의 모든 점에서 T (f)의 계수 (rank) 는 n 이다. 따라서, f는 · O- 단면의 어떤 근방의 몰입 (i mmers i on) 이다. f lM= t dM 이므로 E 에서 M 의 어떤 개근방 U 에 대하여 f lu 가 매장사상임은 쉽게 알 수 있다. 따라서 (f,f, u) 는 R 에서 M 의 부분관상근방이다. 정리 (5.3) 에서 얻은 M 의 관상근방을 R 에서 M 의 法관상근방 이 라고 부른다. 그리고 또, 사상 v : M-Gn. 나는 v(x) 를 M,, 에 횡 단적인 k- 평면 (R 의)으로 택해서 정의할 수 있다. (5.4) 정리. McN 을 부분다양체라 하고 aM=¢=aN 이라 하자. 그러면 M 은 N 에서 관상근방을 가진다. 증명. 어떤 큰 수 n 에 대하여, N 을 R 의 부분공간으로 간주할수 있다. 그러면, N 은 R 에서 관상근방울 가진다. 이것은 N 의 근방
W 와 Ca, - retr a cti on r : W― 치 이 존재 함을 의 미 한다. N 에 R” 으로 부터 유도된 Rie m ann 계 량 (metr i c ) 을 주고, /)= (p, E, M) 을 N 에 서 M 의 法束이라 하자. 따라서, Ec TM (N) c Tu (R) =Mx R 이 고, 각 fibe r /)'=E' 는 x x R 에 포함된 다.
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각 xEM 에 대하여 Uz= { (x, y) E/)z l x +yE W} 라 하고, U=zUE M Uz 라 놓는다. 그러면, 사상 g :E ― ➔ R• g (x, y) =x +y (yE v,,) 에 대하여 U=g - 1(W) 이다. 따라서 U 는 E 에서 M 의 개근방이다. f: U 一 ➔ N 를 (x,y )E U 에 대 하 여 f(x , y) =r (x +y) 로 정의한다. 그러면, 정리 (5.3) 의 증명에서 사용한 논법 을 써서 / 가 E 에서 M 의 어떤 근방 V 의 매장임을 알 수 있다. 이것은 N 에서 M 의 부분관상근방 (f, f, V) 를 준다. 따라서 , 보조정 리 (5. 2) 에 의 하여 N에서 M 의 관상근방이 존재한다 . (5.5) 정의. f o 와 f1 을 다양체 P 에서 다양체 Q로의 두 매장사상 이 라 하자. fo 와 f1 사 이 의 homoto p y F : P x l_ ➔ Q ; F(x, 0) =f0 (x ) , F(x, 1) =f1 (x )
가 존재하여, 관련사상 (rela t ed map) P:PxI-Qx l P (x, t) = (F(x, t) , t) 가 매장사상일 때, fo 는 f1 에 iso to p i c 하다고 말한다. 이 경우에 homoto p y F 를 fo 로부터 f1 으 로의 iso to p y 라고 부른다. AcP 일 때, 모든 (x, t)E Axl 에 대하여 F(x, t) =F(x, 0) =fo(x ) 이 면 F 를 A 에 대 한 상대 iso to p y (iso to p y relati ve to A) 라고 부 른다. f 가 g 에 iso to p ic 하다 라는 관계 는 推移的 (tra nsit ive ) 이 다. 왜 냐 하면, F 와 G 를 각각 Fo 로부터 F1 으로, Go 로부터 G1 으로의 iso to p y 라 하고 F1=Go 라 하자. 사상 H를 아래와 같이 정의하자. H:Px[ 一Q, 。w lt wl 1_2 H(x, t) = \FG((xx,, 22T1 : ((tt)) )크 , . ), T1 ~t~ l 여기서, -r- : I ―수 I 는 cco- 사상으로서 i=O , 1 에 대하여 i의 근방을 i로 오그라들게 (colla p se) 하고 T( 방)＝갑 인 것이다. 그러면, H 는 찰 정의되었고 매끈한 (smoo t h) 함수이다. 또한편, H(x, 0) =F(x, 0) =Fo (x) , H(x, 1) =G (x, 1) =G1 (x) 이 므로 H 는 Fo 로부터 G1 으로의 iso to p y 이 다. 같은 방법으로, 상대 i so t o py관계도 동치관계입을 알 수 있다. (f냐=.= (P,, E,, M) ) , i= O, 1 겹 r McN 의 두 관상근방이 라 하자. (fo , f o) 로부터 (f h f l) 으로의 관상근방의 i so t o py는 Eo 에서 N 으로 의 M 에 대한 상대 iso to p y F 로서 다음 성질을 만족시키는 것이다 :
Fo=f o, F1 (Eo) =/1 (E1) , 1-1F1 : E 。―따 (Eo) =f1( E )) 一 E1 는 벡 터 束 동형 사상 f o_ ➔ f 1, F(E 。 xl) 는 Nx[ 에서 개집합이다. 마지막 조건은 8M 국 일 때는 자동적으로 성립한다. {F(Eo, t )},er 몰 한 개의 매개변수 (one p arame t er) 를 가진 M 의 관 상근방의 모임이라고 여긴다. 또, F 는 Nxl 에서 Mxl 의 관상근방 (F, f oxl) 를 정의한다. 다음 정리는 fi ber 를 fi ber 로 선형적으로 사상하면서 부분다양체의 관상근방을 다른 것으로 옮길 수 있음을 말해 주고 있다. (5. 6) 정리. McN 을 부분다양체 라 하고, aM=¢=oN 이 라 하자. N 에서 M 의 입의의 두 관상근방은 i so t o pi c 하다. 증명 (f,,f,= (P1,E,,M)), i =O,1, 을 McN 의 두 관상근방이라 하자. 우선, /o(Eo)c/1(E1) 이라고 가정한다. 그러면, 합성사상 g=f广f。 : E 。一 /o (Eo) C/1 (E1) ―澤 는 매끈한 사상이다. 한편, 정리 (2.6) 에 의하여 TM (Eo) = T(M ) E9f o, TM (E1) = T(M) 懿 이므로 T(g) : Ty ( Eo) =T(M) Et)f。一 ➔ T( M) E9 f1=TM(E1) 는 morph i s m 이 다. 따라서 , g 의 fibe r 도함수 (deriv a ti ve )
로 정의한다. ~(x) 가 g의 도함수이므로 H 는 찰 정의되었고, C' 이 다. 이 증명은 독자에게 맡겨 둔다. 그리고, H(x, 0) =~ (x) , H(x, l) =g (x) 이다. 또한, fj가 매장사상임을 곧 알 수 있다. 따라서 H 는 O 와 g 사 이 의 iso to p y 이 다. 자 이제, homoto p y F : E 。 XL ― ➔ N 를 F(x, t) =f1H( x, l-t) 로 정의하자. 그러면, (x,t) E MxJ 일 때는 fo 와 f군] M 상에서 항 등사상이므로 fIH (x, t) =(h( g(尸 ), 0< t족 1 f1 (x) , t= O =fl (z ) =f。 (X) 이다. 죽, F 는 M 에 대한 상대 i so t o py이다. 그리고. Fo (x) =F(x, 0) =f1H( x, 1) =f1g ( x) =fi[11f o ( x) =fo( X ) , F1 (E0) =F(Eo, 1) =f1H( eo, 0) =f1 ( Eo) =!1 (E1) , f11 F1 : E 。―一 ➔ F1 (Eo) =/1 (E1) ―-- ➔ E1 은 f o 에서 f 1 으로의 벡터束동형사상이고, F(E0x[) 는 Nxl 에서 게 집 합이 다. 따라서 , F 는 (fo, f o) 로부터 (fh f l) 으로의 관상근방 iso to p y 이다. 일반적인 경우를 증명하기 위하여, iso to p y G : E 。 XI_- ➔ Ea 을 아 래와 같이 정의한다: G(y, t) = (1-t) y+th( y) , 여기서. h : Eo~Eo 는 h(y )=[-¥+f-]Y 로 정의된 사상이고 o : M — ➔ R+ 는 COO- 사상으로서 [oh (Eo) C/1 (E1) 이 되 도록 충분히 작 게 잡은 것이다.
그러 면, G (y, O) =y. 죽, G (y, O) =ida. 이 고 G (y, l) =h (y) 이 다.이 제 , homoto p y F : E 。 x J- N 롤- F(y, t) =foG ( y, t) 로 정 의 하자. F(y, O) =foG ( y, O) =fo( Y ) , F(y, l) =JoG (y, l) =foh ( y) 이므로 F(Eo, 1) =Joh (E 。) C f1( E1) 이다. 따라서, (fo , f o) 와 Uoh, f o) 는 iso to p ic 관상근방이고, 위에서 밝힌 특별한 경 우에 의 하여 (Joh , fo) 는 (fJ, gl) 에 iso to p ic 하다. iso to p ic 한 관계 가 추이 적 (tra nsit ive ) 이 므로 (fo, f o) 는 (fI, fI) 에 iso to p ic 하 다. (5.7) 정의. M 을 8M 국 인 다양체라 하자. M 에서 aM 의 깃 (coll ar) 은 매 장사상 (embeddin g ) J : oM 자 0, co) ― ➔ M 으로서 f(x , O) =x 를 만족하는 것 이 다.
M
경계 aM 은 M 에서 관상근방울 가지지 못한다. 그러나, 관상근방 의 반쪽과 같은 깃을 가진다. 다음 정 리 를 깃달기 정리 (collarin g the orem) 라고 부른다. (5.8) 정리. M 몰 다양체라 하고 aM=\=¢ 라 하자. 그러면, 8M 은 것을 갖는다. 증명 이 정리를 자세히 증명하려면 지루하고 장황한설명이 따라야 하므로 여기서는 증명의 개요만을 살펴보기로 한다. 첫 째 로, aM 의 근방에 서 aM 위 로의 C'-retr ac ti on r : w-aM 이 존재함을 밝힌다(표준적인 대역화수법을 쓴다).
둘째로, aM 의 근방 U, WcUcM, 물 찾고, 사상 g : U 一 [O,oo) 로서 g( oM)=O 이고, 0 을 정칙값으로 가지는 것을 찾는다(이것은 1 의 분할을 써서 구한다). 세째로, 사상 h=(r,g) : W一 aM 맷 ,oo) 는 oM 의 근방을 미분동상적으로 근방 /z(W)caMx[O,oo) 위로 보내 고, xxoM 에 대하여
몰 a만N 족은시 차키원는 이 것d이im (존N재) 한-1다 .인 다양체 이 므로, q~ 2dim (N) -1 인 r 에 대하여 aN 을 Rq- 1 안으로 매장할 수 있다. 이것을 매장사상 oNx I-Rq- l x [0, c o) =R\ (x, t) 一 (x, t) 로 확장한다. aN 의 접에서 W 에 수직인 Rq 에서의 벡터와 oN 의 점에서 wnM 에 수직인 벡터가 Rq - 1 에 있도록 WcRt 라고 가정할 수 있다.
R!
R i로의 W 의 매장을 N 의 매장으로 확장할 수 있다. 따라서, 이제 N 은 R 접 nea t부분다양체이고, N 과 M 은 8N 과 aM 을 따라서 Rq- 1 과 수직 으로 만난다. 이제, R 며서 N 의 법관상근방울 구할 수 있고, 정리 (5.4) 의 증 명과 같은 방법으로 정리가 증명된다. 정 리 (5.10) 의 확장을 증명 없 이 적 는다. (5.11) 정리. McN 을 neat 부분다양체라 하자. 그러면, 8N 에서 aM 의 관상근방은 N 에서 M 의 관상근방과 aN 의 공통부분이다. (5.12) 정의. McN 을 관상근방 U, f=(p ,E,M) ）을 가진 부분다 양체라 하자. f상에 주어진 직교구조에 대하여 D.(f) = {xEEI lxl 후}
를 t 의 반경 이 e 인 원판 부분束 (dis k subbundle) 이 라고 부른다, 부분 다양체 M 의 반경이 e 인 폐관상근방은 짝 (J ,D,( f))이다. 여기서, f: D,( f)― ➔ N 는 f: E — ➔ N 의 제한사상이다. 폐 관상근방에 관한 iso to p y 정 리 는 다음과 갇다. (5.13) 정리. McN 을부분다양체라고 하고, (/냐~,=(p ,,E,,M)), i =O,1, 을 M 의 두관상근방이라하자. e>O, 8>0 이라하자. 그러 면 관상근방의 iso to p y F, : E-N. O~t ~ l. 로서 Fo=f a, F, (D, (fo) ) =D6 (f) 를 만족시 키 는 iso to p y 에 의 하여 Uo, fo ) 와 (J1, t1) 은 iso to p ic 하다. 이 정리의 증명은 정리 (5.3) 과 보조정리 (2.13) 을 써서 증명한다` 자세한 증명은 생 략한다. * 문 제 1. C 『-관상근방과 C•-iso to p y, 1::;;:r::;;:00, {문 정 의 하라. neat c·- 다양체는 C- 관상근방울 가진다. 또, 이것은 C'-iso to p y 를· 제외하고 유일하다. 2. Mo 와 M1 을 일반적 위치에 있는 N 의 neat 부분다양체라 하자. N(f ‘에’ f서‘) ,M ot= nON , 11 ,의 룰 관M상‘ 0근ll A방1 M(of, n fM o E1B f의 )) 으관로상서근 방f이lf , 라= / •하. 자t=. O , 1그, 를러 면만, 족하는 것이 존재한다. 상 3J. :M (NcN,M )울_ -여( 차S원\이p) 로k 서인 n정ea칙t 값 폐이부 분p다이양고체 r-라1 ( p하 )자 =.M 그 인러 면사,상 사 ·f 가 존재할 필요충분조건은 M 이 자명한 法束을 가지는 것이다.
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색인
-, 可向 (orie n ta b le) 137, 140 ·Gr assmann 다양체 121 무한차원- 124 -Gr assmann 사상 131 고유사상 (pro p e r map) 45 관상근방 (tub ular neig h borhood) 147, 155, 157 부분- 147 폐- 157 구조函數 (str u ctu r e fun c tor ) 66 근사화 (ap pr oxim ati on ) • 34, 46, 51, 56, 60, 71 깃 (collar) 154 기 하적 法 束 (ge ometr i c normal bundle) 114 E: 단면 (cross secti on ) 72, 95 대 역 화 (glo baliz a ti on ) 58, 66-8, 71 동치 (eq u iv a lence) 14, 134 동형 (iso morph is m ) 97-8, II5 대 수적 法束 (alge braic normal bunale) 114 己 Ri em ann 계 량 II2 CJ 매 장. 매 장사상 (embeddin g ) 23 애장정리 7I
모서 리 펴 기 (str a ig h te n in g ang le ) 17-8 Morse-Sard 정 리 74 몰입 , 몰입 사상 (im mersio n ) 23 미 분구조 (dif fer enti al str u ctu r e) 14 이 질 (exoti c )-1. 5 미 분동상사상 dif feo morph is m 12 l=I 받침 (sup po rt) 46 받침 반경 (sup po rt radiu s ) 52 法관상근방 149 벡 터 —束 (vmecotrop r h ibs um n dle96) 31, 92, 97 一―-구조 (一 str u ctu r e) 94 직교一―- 112 분류사상 (classif ying map ) 130 분류정 리 (classif ica ti on the orem) 131 A 사상류 (ma ppi n g class) 81, 87 submersio n 43 束 (bundle) 法束 (normal bundle) u7 보편束 (un i versal bundle) 128, 130, 132 부분束 (subbundle) 106 逆束(i nverse bundle) 127 평면束, R 束 9.5 유도束 (ind uced bundle) 116 표준束 132 束사상 (bundle map) 9.5, 96 Sti efe l 다양체 121
。 iso to p y 151 약위 상 (weak top o l og y) 40-41 양 립 하는 (comp at i ble wi th -) 64 여 차원 (codim ensio n ) 15 有向 (orie n te d ) 137, 141 이 질 구면 (exoti c sph ere) 15 일 반적 위 치 (ge neral pos it ion ) 89 임계값, 임계접 24 잉 여 (resid u al) 74 정칙’값 , 정칙접 24 정 칙 동위 면 (regu lar level su rfac e) 24 좌표계 (coordin a te sys t e m ) 13 좌표근방 (계 ) (coordin a te neig h borhood) 13 직 교구조 (orth o g o nal str u ctu r e) 112
犬 추이 함수 (tra nsit ion fun cti on ) 93 .n 퍼 침 (pro p ag a ti on ) I38 피 복차원 (coverin g dim ensio n ) 20 - 근 합성 적 (convoluti on ) 53 ―의 핵 (kernel) 53 向 (orie n ta t i on ) 135-7, 140-41 횡 단성 (tra nsversality ) 81 횡 단성 정 리 (tra nsversalit y t매h e개 o r적em (p) a ra8m6 etr i c ) —— 90 Whit ne y 매 장정 리 29, 71 Whit ne y 합 IO9
이현구 서 울 대 학 교 문리대 수학과 및 同대학원 졸업 미국 커넥티커트대학교 이학박사 현재 서울-대학교 수학과 부교수
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□ l 분위상수학 찍음 1985 년 5 월 15 일 펴냄 1985 년 5 월 30 일 지은이 1 현구 펴낸이 朴孟浩 펴낸곳 民音社 출판등옥 1966. 5, 19 재 1_I42 호 우편대체계좌번호 010041-31-.52 3282 110 서 울 종로구 관천 동 44-1 734-2000 • 4234 • 6110, 73.5 -8.52 4 *파본온 바꾸어드립니다 . 값 2,500 원
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