지동표 저자는 서울대 공대와 미 국 템플대학을 졸 업했으며, 펜실 바니아대학교에서 수학박사 학위를 받았다. 미국 M. I. T 대학 교환교수를 역임했고, 현재는 서울대 수학과 교수로 재직 중이 다 . 저 서에 는 「工業數學」이 있다 .
국소적형태의
국소적 형 태 의 Ati yah -Sin g e r 지 표이 론
A] 문
At iyah -Sin g e r 지 표이 론은 1958 년에 소련의 Gelfa n d 가 제 기 한 문제 에 대 한 At iya h 와 Sin g e r 공동 노력 에 의 한 해 답으로서 탄생 된 이론이다. 이런 형태의 이론 중 목별한 경우인 19 세기에 얻어진 Gauss-Bonnet 정 리 나 20 세 기 의 Hirz ebruch 의 Sig na tu re 정 리 등은 이미 수학에서의 사고에 주류가 되어 왔었다. 아렇게 단편적으로얻 어진 중요한 결과들을 모두 포괄하는 질문을 Gel fa nd 가 만들었고 A tiy ah 와 S i n g er 가 아 질문에 대한 해답을 하였을 분만 아니라그 결과를 이용하여 그때까지 미해결 문제로 남아 있던 많은 중요문재 들을 해결할 수 있었다. 이 업적으로 A tiy ah 에게 수학의 최고 영 예 인 Fie l ds medal 이 수여 되 었 다. 분만 아니 라 At iyah -Sin g e r 지 표 이론은 20 세기 수학에서 가장 아름다운 이론으로 꼽히고 있는 것 이다. 1963 년에 At iyah 와 Sin g er 에 의 하여 주어 전 지 표이 론은 대 역 적 인 방법을이용하였다. 특히 그 당시 만들어진지 얼마 안되는 Cobor d i sm 과 K- 이론이 중요하게 쓰여졌다. 그 이후 이돈 전개에 많은 발전이 있어 왔다• 특히 1968 부터 나온 일련의 논문에서 A tiy ah 와 Sin g e r 는 Cobordis m 을 쓰지 않고 이 론을 전개 시 켰다. 그리 고 At iyah 와 Bott 는 지 표이 론을 이 용하여 소위 Lefs c hetz 부동접 이 론을 일반화시켰고 갈은 논문에서 국소적 형태의 지표이론 전개 가 매우 중요하다고 언급하였다. 이런 국소적 형태의 지표이론은 역사적 관접에서 수학의 큰 맥락을 이루는 것이다. 국소적으로 얻 어진 것을 적분하여 대역적 불변량을 얻는다는 것은 19 세기부터 수 학에 서 가장 아름다운 이 론 (예 를 들어 앞에 서 언급된 Gauss- Bonne t정리)으로 여겨지고 있는 것이다. 국소적 형태의 At iyah - S i n g er 지표 이몬은 바로 이런 수학적인 태도의 최종의 결정판인 것 이다. 이에 대한 노력은 처음으로 Mc Kean 과 S i n g er 에 의하여 시 도되었으나 큰 성과는 없었다. 그후 인도의 Pa t od i에 의하여 처음으로 부분적 안 해 결 을 보았고 곧 Prin c et o n 의 Gil k ey 에 의 하여 해 견되 었으며 다시 At iya h, Bott , Pato d i 에 의 하여 가장 완 1 tj 한 형 대 로 주어지게 되었다. 국소적 형 태 의 At iph- Sin g e r 지 표이 론의 문 제 는 매 우 복잡한 형 태로 주어지는 해석적 지표의 적분원이 이미 잘 알려진 적분원과 일 치한다는 것을 보이는 것이다. 이 문제를 해결하기 위하여 Pato d i 는 여러 대수적 관계에 의하여 복잡하게 주어진 적분원의 여러 항이 서로 상쇄되어 우리가 찰 아는 적분원으로 된다는 것윤 보였고 Gil ke y 는 이 를 combin a to r ic 한 방법 으로 해 결하였 다. 이 에 비 하여 At iyah , Bott , Pato d i 는 19 세 기 말에 수학에 서 중요한 위치 를 차지 하였 건 inv aria n t the ory 를 써 서 매 우 자연스러 운 증명 운 주었 다. (이 inv ari an t th eory 는 Mumf or d 에 의 하여 다시 개 발되 어 현 대 수학에서 중요한 위치를 차지하고 있으며 이 공로로 Mum fo rd 에게 Fie l ds medal 이 수여 되 었 다. ) 국소적 형태의 지표이론은 수학분만 아니라 물리학 특히 최근 입 자 물리학에서 가장 중요한 위치를 차지하고 있는 ga ug e t heor y에 서 도 중요한 역 할을 하고 있 다. Yang -M i lls 방 정 식 의 pa ramete r 갯 수에 대 한 엄 밀하고 간략한 증명 을 줄 뿐아니 라 Adler amomaly 에 대하여 자연스러운 설명을 마련해 준다. 이 이의에 Gr i vov 의 모호 성 을 찰 설명 해 주며 영 국의 Hawkin g 등에 의 한 Black hole 이 론에 큰 공헌을 하고 있으며 qu antu m chromody n ami cs 에 서 의 최 대 난 문제 인 cofi ne ment 에 대 하여 그 유용성 도 시 사되 고 있 다. 이 책은 저자가 지난 5 년동안 서울대학교 대학원에서 강의나 semi na r 둥을 통하여 만들어졌던 강의록을 다시 체계적으로 엮어 놓은 것이다. 제 1 장에서는 A tiy ah-S i n g er 지표 이론을 이해하기 위 한 기본적인 미분 기하 목히 R i emann 기하학을 설명하였다. 여기 에 서 는 주로 connecti on 과 곡률에 대 하여 자세 히 언급하였 다. 제 2 장에서는 국소적 형태의 지표이론을 설명하고 증명하는 데 필수적 인 수단인 의미분 연산자에 대하여 설명하였다. 이미 의미분 연산 자가 해석학의 가장 중요한 분야의 하나로 꼽히고 있으며 이에 대 한 많은 책들이 나와 있다. 우리는 여기에서 우리에게 필요한 사실
에 대하여 증명을 생략하지 아니하고 완벽하게 주어졌다. 여러분들 에게는 여기에 씌어전 내용만으로도 지표아론을 이해하는 데 충 분하다고 생각된다. 제 3 장에서는 국소적 형태의 지표 이론에 대한 증명 이 주어 졌 다. 본인은 여 기 서 At iya h, Bott , Pato d i 에 의 하여 주 어 전 증명 을 좀더 자세 히 기 술하였 다. 특히 inv aria n t th eory 가 어 떻 게 적 용되 는지 자세 히 밝히 였 다. (At iya h, Bott , Pato d i 의 논문 에서 보다 더 자세히 계산을 수행하였다.） 그로卜고 본· 증평에서 필요한 다론 중요한 사실들은 다시 부록에서 자세히 언급하였다. 특히 AJ . 비 스러 운 Sp ino r 이 론에 대 하여 At iyah , Bott , Shap iro 논문에 주 어전 이론을 쉽게 다시 설명하였다. 또한 고급 미분기하와위상수 학에 서 필수적 인 여 러 종류의 characte r is t i c class 에 대 하여 미 분 기 하적 표현을 밝혀 놓았다. 원래 지표이론의 물리학에의 응용에까지 언급할 예정이었으나 지면관계상 이를 포함시킬 수 없어서 유감이다. 대신 많은 참고 문 헌을 제시하였으므로 관십있는 분은 이것을 참조하시기 바란다. 아 책을 쓰는 데 있어서 많은 분들의 도움이 있었다. 어렵고 지 루한 강의와 sem i nar 에 열십히 참석하여 날카로운 질문을 아끼지 않았단 서울대학교 자연대학 수학과 대학원 학생들에게 감사드리 며 특히 원고의 교정과 몇 가지 찰못을 지적하여 주선 박사과정에 계 신 김명수군과 금종해군에게 감사드립니다. 끝으로 지극히 고귀하 나 의로운 분야인 순수 수학에 큰 관십을 가지어 물십양면의 협조 를 아끼지 않으시며 특히 이 책의 출간을 가능하게 하여 주신 대우 재단에게 십십한 사의를 표합니다. 1983 년 2 월 관악산에서 지동표
국소적 형태의 Atiyah-Singer 지표이론
서 문 3 제 1 장 Riemann 기하학 : 접속과 곡률을 중심으로 1 Frenet-Serrct 공식 9 2 R 의 부분 다양체 (submanifold) 상의 벡타 장의 미분 13 3 공변 미분 공식 18 4 XP Y와 벡타 장의 미분 20 5 Riemann 다양체에서의 미분 23 6 곡률 텐서의 정의 30 7 Rieman 접속과 미분 형식 32 8 R3에 있는 곡면의 기하학 34 9 표면의 한 점에서의 주 곡률(principal curvature) 39 10 곡면의 Gauss 곡률 및 평균 곡률 41 11 Gauss의 기본정리 (Theorema Egregium of Gauss) 45 12 Riemann 곡률 텐서의 기본 성질 49 13 곡률 미분 형식과 구조 방정식 55 14 공변 텐서의 미분 62 제 2 장 의미분 연산자 1 Sololev 공간 69 2 의미분 연산자 75 3 의미분 연산자의 대수 (algebra) 80 4 타원형 연산자 87 5 좌표변환에 대한 의미분 연산자의 불변 법칙에 대하여 91 6 긴밀 다양체상의 타원형 연산자 937 타원형 복체 97
8 긴밀 및 Fredholm 연산자 99 9 Poincar 쌍대 대응 (duality) 103 10 무계 연산자 (unbounded operator)의 함수 해석 105 11 다양체상의 타원형 연산자의 Kernel 함수 109 12 타원형 복체에 대한 지표 정리 117 제 3 장 지표 정리의 증명 1 미분 연산자 123 2 중요 타원형 미분 연산자 125 3 유한성 정리 131 4 지표의 해석학적 공식 133 5 Hodge 이론 및 고전적 연산자의 지표 138 6 고전적 군의 불변량 143 7 측지 좌표계 (Geodesic Coordinates) 147 8 곡률 불변량 152 9 비중이 0인 불변량에 대하여 159 10 벡타 번들의 곡률 불변량 168 11 Euler 지표 정리와 Hirzebruch 부호정리 173 12 기타 고전적 연산자 179 13 일반적 지표 정리 191 제 4 장 부록 1 Clifford 대수(algebra) 195 2 Chern 클라스, Pontryagin 클라스 및 Euler 클라스 204 참고문현 234 색 인 237제 1 장 Rie m ann 기 하학 ―접속과 곡률을 중십으로 제 1 장에 서 는 At iya h-Bott -P ato d i 에 의 하여 주어 전 국소적 형 태 의 지표이론을 이해하기 위하여 필요한 미분 기하에 대하여 공부한 다. 필자는 독자들이 이 미 다양체 의 정 의 , 접 백 타 공간(t an g en t vecto r spa c e), 접 벡 타 번들, 여 접 벡 타 번들 (co t an g en t vecto r bundle), 외적 미분 (ex t er i or deriv a ti ve ), Li e 미분(Li e der i va ti ve) 과 같은 미분 기하학의 기초 개념에 익숙해져 있다는 가정을 하고 있다(지금 언급된 개념에만 익숙하면 된다). 접속 (connec ti on) 을 설명하는 데 있어서는 R i emann 접속에 한정시 켰고, 처음에는 유클리드 공간에 놓여 있는 Ri em ann 다양체에 대 하여 접속을 설명하였다. 접속이란 미분 기하에서 가장 이해하기 어려운 개념 중의 하나이다. 따라서 필자가 여기서 취한 방법은 여 러분들에게 접속이 좀 더 자연스럽게 보이도록 노력한 것이다. 접속을 설명한 다음 이를 이용하여 곡률 (curva t ure) 을 정의하였 다. 그리고 우리가 직관적으로 찰 알 수 있는 R3 에 놓여 있는 곡 면에서의 곡률들, 특히 Gauss 곡률과 추상적으로 정의된 곡률 사이 에 어떤 관계가 있는가를 보여 주었다. 그리고 텐서 장의 공변미분 에 대 한 공부를 함으로써 이 장을 끝마치고자 한다. 1 Frenet- S erret 공식 C 를 R3 에 있는 C3_ 곡선이라 하고 파라미터 t에 대하여 x(t) =
(x1~ t) , x2(t) , x3( t) ） 로 주어졌다고 하 자 . 이때 어엔 고정된 접 x 。 =x(% ）로부터 의 호의 길이 는
s=[II( 。 x(t), x(t) ) V2dt
로 주어 진다. 따라서 ds/dt= (x(t ), x(t) )l/2 이 다. 만일 s 를 과라 미터로 사용한다면 ds/d t =l 이 되어 x(s) 는 단위 길이를 가전 곡 선이 접 벡 타가 된다. 이 벡 타를 T(s) =x(s) 로 표시 하자. 호의 길 이나 T(s) 는(어떤 직교 좌표계를 쓰돈지 관계 없이) x(s) 상의 R i emann 구조에 의하여 정하여지므로 s 나 T(s) 는 주어전 곡선 의 기하적 불변량이 된다. (T(s), T(s))=l 을 미분하여 2(T(s), dT/ds) 三 O 를 얻는다. 따라서 dT/ds 는 0 이든지 또는 T(s) 에 수 직한 벡타가 된다. 우리는 곡률 k 〈 S) 를 k(s)=lldT / ds ll 로 정의한 다. 그리고 만일 k(s) ::li= O 이떤 단위 벡타 N(s) 를 dT/ d s=k(s)N(s) 로 정의한다. 또한 k(s)::li= O 일 때 제 3 의 단위 백타 B(s) 를 T(s), N(s), B(s) 가 주어 전 R3 의 표준적 방향성 을 주는 정규 직 교계 가 되도록 택한다. 따라서 이 세개의 백타는 k(s) ::li= O 인 경우 주어전 곡선율 따론 정 규 직 교 후레 임 의 장(fi eld) 을 형 성 한다. k(s) 三 0 인 경우에는 다음의 정리가 성립한다. 정리 : 주어전 정의구간에서 k(s)=O 이면 x(s) 는 직선이 되고, 역 으로 직선이면 k(s) 三 0 이다. 증명 : 주어 전 곡선이 직 선이 면 이 는 x'(s) =a;+b'.(s ) (i= l, 2, 3) 3 로 주어지고 kI=;l ( bk) 도 1 이 된다. 따라서
T=I 3: b;a/ax;
가이면 되 어T 는dT /dTs= 三 표 0 이dx '.된I다ds.· 8역/8 으x i로에 서만 일― d죠2kX( ~s‘.) = 三O 0 (이 i 면=l ,죽2, 3d)T 을/d얻s 三는 0 다. 따라서 갔 (s)=a;+b;s (i=I, 2,3) 이 되어 주어진 정리가 증명되 었다. C 이 정리논 R3 에서분만 아니라 임의의 R 에 대하여도 성립 함에 주의하라.)
T(s), N(s), B(s) 를 각각 F1(s), Fz (s) , Fa(s) 로 표시 하자. 따 타서 특히 (F;(s), F i (s)) 三 8u 가 성 립 한다. 이 항등석 을 s 에 관하 여 미분하면 임의의 i, j에 대하여
(운, F.ls )) + (F;(s), 망) 三 0
가 성립한다. 그런데 F1, F2, F3 가 정규직교 후레임이브로 x(s) 상 의 임의의 백타는 이들의 일차 결합으로 주어처야 한다. 따라서 목 히 어떤 a j에 대하여
브d노s =:Ek aj F k(s)
가 된다• 이 식과 위의 석을 결합하면
(꾸 따 Fk, Fj) +(F.-, 꾸 a 忠 )=O
즉 모든 1 작, j ~3 에 대하여
a{(s) + a}(s) 三 O
가 성 립 한다. 따라서 (a}(s)) 로 주어 지 는 행 렬은 의 대 칭 (skew-sym - me t r i c) 이 된다. 그런데 정 의 에 의 하여 dT/ds=k(s)N 이 므로 파 (s) =k(s), a!(s) 三 O=a?(s) 가 된다. 그리 고 a~(s) =-r (s) 라 하자. 그러 면 Frenet- S erret 공식
—ddTs = k(s)N
을 얻는다. 그리고 이 때 T, N, B 을 각각 접선 벡타, 법선 (norma l) 벡타, 배법선 (b i normal) 벡타라 부른다. 한편 k(s) 와 -r (s) 를 각각 주 어전 곡선 C 의 x(s) 에서의 곡률 및 토숀(t ors i on) 이라 부른다. 곡률 은 C 가 직선에서 얼마만큼 벗어났는가를 재고 토숀은 C 가 얼마만
큼 평면 곡선에 서 벗어났나를 잰다. 지금까지 나온 여러 가지 개명 들 죽 T,N,B, 그리고 곡률과 토숀은 C 를 포함하고 있는 유클리 드 공간의 좌표계와는 무관하다. 정리 : 언에 있는 곡선 C 가 평면 곡선이 되기 원한 필요 충분 조 건은 이의 토숀 ,(s) 가 항동적으로 0 인 것이다. 죽 ,(s) 三 0 이다. 증명 : 만일 곡선이 평면상에 놓여 있으면 T(s) 와 dT/ds 도 같은 평면상에 있는 벡타가 된다. 따라서 B(s) 는 S 에 관계 없이 주어전 평면에 수칙인 단위 벡타가 되어 특히 이의 미분이 0 이 된다. 따라 서 ,(s) 三 0 이다. 액 으로 ,(s) 三 o 라 하자. 그러 면 dB/ds 三 0 가 되 어 B 는 곡선상에 서 불변 벡타가 된다. s=O 일 때 주어진 곡선이 원접을 통과하고 B의 방향이 8/8x3 가 되도록 좌표계를 덱하자. 그리고 x(s)=( x1 (s), x2(s), x3(s) ）로 곡선상의 접 을 표시 하자. 그러 면
움 (x(s), B(s))=(T(s), B(s))+(x(s), 言d-B)
이 되 어 (x(s), B(s) ）는 상수이 다. 그런데 x(O) =O 이 므로 (x(s),. B(s))=O 이 되 어 x(s) 는 항상 B=O/0x3 에 수직 한다. 죽 떠 X2- 평 면 에 놓여있다. Frenet 후레임 T,N,B 의 응용으로서 시간 t일 때의 위치가 p(t) 로 주어지는 움직이는 물체를 생각하자. 그러면 t로까지 움직인 거 리 s( t)는
s(t ) =J:。 C( dp /d t, dp /d t) JV 2dt
로 주어 진다. 이 때 쓰뿔 l 를 속력 (s p eed) 이 라 하고 ：茅=円운 곱宁 =T言 ds를 속도 벡타 (velo city vec t or) 라 한다. 이것을 한번 더 미분 하여 가속도
a( t)＝皇-＝품(음 )2+T 꿉
를 얻는다. 그런데 dT / ds=kN 이 브로
a( t)=꿈 -T+k 틀) 2N
이 되어 가속도는 접선 방향 성분과 이의 법선 방향 성분으로 나누 어지고 곡선 방향 성분은 속도의 변화율 굽左(검子)로 주어지고 법 선 방향 성분은 속도의 제곱과 곡률의 꼽에 비례한다. 따라서 물체 가 직선 운동을 하면 곡률 k(s) 가 O 이 되어 곡선 방향의 가속도만 있다. 그리고 만일 등속도 운동을 하면 준 }(¾)=o 이 되어 가속 도는 주어전 곡선에 수직하고 곡선의 모양에만 관계된다. 2 Rn 의 부분 다양체 (subman if old) 상의 벡 타 장의 미 분 앞 철에서는 유클리드 공간에 있는 곡선에 따몬 백타 장의 미분 예 대하여 이야기하였다. 이번 철에서는 R 의 부분 다양체 상의 벡 타 장의 미분에 대하여 공부한다. 이번 절의 공부는 여러분들이 앞 으로 공부할 다양체상의 공변 미분에 대한 기하학적 이해에 도움이 될 것이다. McR'’ 을 부분 다양체 라 하고 Z 를 M 상에 정 의 된 벡 타 장 (vec t or fi eld) 이라 하자(우선 여기서 Z 의 임의의 점에서의 값 z p가 M 에 접할 필요는 없다). z p가 모돈 F에 내하여 M 에 접할 때 죽 Zp E T p (M)cTP(R ）일 때 Z 를 M 상의 벡 타 장 (vec t or field on M) 혹은 접 벡타 장이라 부른다. 이런 경우만이 M 을 추상적으로 정의된 다 양체라고 할 때에도 Z 의 의마가 있다. 어떤 경우든지 Z 는
Zp = I”; aa(p ) (a/axa) a=l
로 쓸 수 있다. 그리고 만일 모든 a 에 대하여 (a=l, …, n) a0(P) 가 M 상에 정의된 C'_ 함수이면 Z 를 er 예타 장이라 한다. 따라서 특히 8/8x\ …, a/ax 도 M 을 따른 C .. －백타 장이 된다. （그러나 일반적으로 M 상의 C? 다 장은 되지 못한다.) PEM 일 때 T p (R) 과 이 의 부분 공간 T p (M) 은 R 의 표준적 내
적 으로부터 얻어 지는 Ri em annia n 구조를 가진다. 이 로부터 zp 는 z;E1'p( M ), z;:ET 1; (M) 에 대하여 유일하게 Z p =z:+z~’ 로 분해된 다(그립 1.1 참조). 죽
〈그림 I. I>
Tp (R)=T p (M)EBTHM) 로 분해되고 이들을 각각 M 의 P 에서약 접 공간(t an g en t spa c e) 및 수직 공간 (normal s p ace) 이 라 부른다. :::L 리고 [l’와 [l를 대응되는 두영연산자라 하자. 즉 ll'(Zp) =Z;, ll'(Z p )=Z t’이 다. 아때 다음의 정리논 쉽게 나온다. 정리 : Z 를 M 에 따른 C 『-백타 장이라 하자. 이 때 ll'(Z)=Z', ll(Z)=Z 도 각각 Cr- 백타 장이고 Z=Z'+Z” 로 분해되며 각 접 p1: M 에 대하여 cz;, Z:,')=o 이다. 그리고 f가 M 상에 정의된 Cr_ 함수일 때 ll'(!Z)=fl l '(Z), ll(!Z)= f ll'(Z) 이고 Z1, z2 를 임의 의 벡 타 장이 라고 할 때 ll'(Z1+Z2)=l l'(Z1 )+ll'(Z2), ll(Z1+ Z2) =flll(Z 1) +nncz2) 이 다. 예를 들어 Z 가 R3 에 있는 곡선 C 를 따라 주어전 벡타 장이라 臺 고 하자. 그러면 [l’(Z )=(Z, T)T, ll(Z)=(Z,N)N+(Z,B)B 가 된다. 임의의 C. .. －매립 다양체(i mbedded manif old ) M 에 대하야
.ll '(o/axa)(a=l , 2, …, n) 는 M 상의 C° ―접 백 타 창이 된다. Y 를 McR 의 접 벡타 장이라 하자. 즉 모든 접 P£ M 에 대 하 여 Y p ETp (M) 이 다. 따라서 ll'(Y) 三 Y 가 성 립 한다. 그리 고 p(t)를 M 에 놓여 있는 C 드곡선이라 하자. 그러면 Y( t )=Y />(I)는 주어전 곡선을 따른 백타 장이 된다. 이 곡선이 M 에 놓여 있다는 사실을 무시하고 R 의 곡선으로 이해하여 Y( t)를 미분하여 주어전 곡선을 따른 또 하나의 벡타 장 dY/d t를 얻는다. 일반적으로 dY/d t는 M 에 접하지 않는다. 그러나 月 ’(dY/d t)는 M 에 접하는 벡타장이 된다. 이를 이용하여 미분 기하에서 가장 중요한 개념인 공변 미 분 울 정의한다. 정의 : ll'(dY/d t)를 보통 DY/d t로 표시하고 M 상의 접 벡타 장 Y 의 곡선 P ( t)를 따른 공변 미분이라 부른다(그림 I.2 참조).
〈그림 1.2 >
Y 와 DY/d t는 접 백타 장이다. 따라서 추상적 다양체 M 에 대 하여도 의미가 있다. 그러나 Y 와 p(t)로부터 DY/d t를 얻을 때 우리는 M 이 R 에 놓여 있다는 사실을 이용하였다. 우리는 앞으로 이 공변 미분이 M 의 R i emann 구조와 미분 구조에만 관계되고 주 어 전 매 립 (embedd i n g)에 는 무관한 내 재 적 개 념 (int r ins ic conce pt)이 라 、논 것을 보이겠다. 얼마동안 DY/dt 성질을 좀더 공부할 것이며
이것이 우리가 찰 아는 미분과 매우 유사한 성질을 가지고 있음을 발견하게 될 것이다. 우선 Y( t)는 M 상의 접 벡타 장 Y 를 곡선 p(t)상에 계한한 것 일 필요가 없다는 것 에 주의 하여 야 한다. 그냥 Y( t) 를 곡선 p(t)에 따른, M 에 접하는 벡타로 이루어진 벡타 장이기만 하면 된다. 죽 Y( t)1: T p(t )M 이기만 하면 된다. 그러면 이때에도 dY/d t물 동상적 인 미분이타고 하였을 때 ,DY/d t =II'(dY/d t)로 정의하면 된다. Y1 과 따를 p(t)에 따른 M 에 접하는 백타 장이라고 하자. 그러면 우리는 다음 정리를 얻는다. 정리 : Y(t) , Y1(t) , Y2( t)를 위와 같이 정하고 f(t)를 t의 Cl- 함수라하자. 그러면
(1) 읍 (Y1+Y2)= 뿔도텝
가 성립한다. 마지막 식에서 우리는 T p (Rn) 에 주어전 표준적 내적 으로부터 얻어지는 T p (M) 상의 내적을 이용하었다. 증명 : 이들은 H’ 의 성질로부터 쉽게 나온다. 예를 들어
읊(f Y)=ll' 젊-(f Y)= fl'(물 Y+ f풍)
이다. 또한 마지막 관계식울 증명하기 위하여 i =I,2 에 대하여
탭우 =nI(움 ) +n’' （웅)=쁩느 +nII(옹 )
가 성 립 하고 T(목 품)는 TP( t )(M) 에 수칙 함에 주의 하자. 그러 면
꿉 (YI, Y2)=( 럽f, Y2)+(Yi, -%-)
가된다. 주 : 만일 우리가 t=f (s) 로 주어지는 새로운 매개변수 s 를 사용 하면 DY/ds=(DY/dt) ( dt/ d s)=f '( s)D(Y)/dt 가 된다. 정의 : McR 을 부분 다양체라 하고 YP( t)를 M 상의 곡선 p(t) 를 따른 접 벡 타 장이 라 하자. 죽 YP( t )ET P(t /111) 이 다. 이 때 만일 DY/d t 三 0 가 되면 Y 를 평행 백타 장(p arallel vecto r fi eld) 라 한다. 그리고 더 일반적으로 Y 가 M 상의 접 벡타 장이라 할 때 이것이 M 의 임의의 곡선에 내하여 위와 같은 성질을 가지고 있으면 평행 하다고한다. dY/d t가 O 이 아니더라도 DY/d t가 항등적으로 0 일 수도 있다. 따라서 어떤 곡선을 따른 벡타 장이 주어졌을 때 이것을 Rn 의 곡 선으로 이해하였을 때에는 평행 백타 장이 아니나 M 에 놓여 있는 곡선으로 이해하였을 때에는 평행 백타장이 될 수도 있다. 바로 이 런 접이 우리가 앞으로 공부하는 데 있어서 아주 중요한 역할을 한 다. 예 를 들어 보자. M=S1cR 땅 하고, t-( cos t, sin t)를 이 의 매개 변수 표현이라 하자. 그리고 Y( t)를 이 위에 주어전 단위 접 백타 장이라 하자. 그러면 앞 절에서 계산하였다시피 dY/d t는 주 어 전 원에 수직 한다. 따라서 DY/d t三 0 가 된다. 죽 이 경 우에 는 dY/d t는 0 이 아니지만(길이가 1 인 벡타이다) DY/d t =O 이 된다. M 상에 어떤 곡선아 주어졌을 때 이의 단위 접 벡타 장의 주어진 곡선에 따른 공변 미분이 항동적으로 0 이면 죽 걸》 (~)=o 이 떤 주어진 곡선을 측지선(g eodes i c) 이라 부른다. 앞의 예에서 계산한 것을 일반화하여 S 의 대원(g rea t c i rcle) 이 측지선이 됨을 보일 수 있고 M 이 R 의 개집합이 되면 DY/d t =dY/d t가 되어 곡선 C 가
측지선이 되기 위한 필요 충분 조건은 C 가 직선이 되는 것이다. 3 꽁변 미분 공식 이 전에서는 좌표계를 이용하여 벡타 장 Y 의 공변 미분 DY/dt 를 계산하여 보겠다. d i mM=m 이라 하고 (U, cp)가 M 상의 국소 좌표계라 하고 cp (U)=W 를 Rm 의 개집합이라 하자. 그리고 이 국 소 좌표계를 u 1, u2, … ,um 으로 표시한다. 또한 cp -1 를 M 의 매개 표 . 현(p arame tri za ti on) 이라 한다. u=(u 1, u2, … ,u' ）이라 할 때
cp- I(u) =(gI( u), g2 (u), ···, g (u))
라 쓸수있다. (여기서 g l(u),•••, g n(U) 는 cp크 (u) 의 R'’ 에서의 좌표 를 말한다). F1,F2 … ,Fm 을 국소 좌표계 (U, cp)로부터 얻어지는 후 레임이라 하자. 즉
F; p=
이 된다. 그리고 Y( t )=YP(I) 를 M 에 주어전 C1- 곡선 p(t)를 따 론, M 에 접하는 벡타 장이타 하자. 그러면 Y( t)를 Fi ,F 2, ... ,Fm- 의 일차 결합으로 표시할 수 있다. 죽 어떤 bk( t)에 대하여
Y(t) =kI=m: l bk(t) Fk
이다. 따라서
뭉=효(뿜 -F,.+b 꿈)
로 되는데 이는 일반적으로 M 에 접하지 못한다. 이를 M 에 두영 시켜
뿔 =ll' （품)＝효(쁩- F li +bll'( 움))
을 얻는다. 이때 곡선 p ( t ) 가 국소 좌표계를 사용하여 ip( p ( t) )= (u1(t) , ... ,u ' ( t))로 주어진다고 하자. 그러면 앞에서 주어진 F, 의 공식으로부터
탭=[/'(움)=tt l 훑 탭 ll'( 골)
가 된다. 그런데 ll'(o/oxa) 가 M 상의 C~ －백타 장이 되므로 이를
ll'(a; axa) =k~ m= l a!(u)Fk
로 쓸 수 있다. 이룬 이용하여
r t =꾸훑따
를 정의하면 이는 W 상의 c= 함수가 되고 rtj=I'J＇가성립한다. 이 를이용하면
了D쿡Fi ,험m r k: ;d~uj F k( i =l, …, m)
아 된다. （ 여 기 서 물론 rfJ 는 (U1(t) , …, um (t))에 서 의 값을 택 한 다.） 득히 주어전 곡선이 1'~ j에 대하여 u' ' ＝상수, 그리고 ui =t 로 주어지면 벡타 장 F ; 의 j번째 좌표 곡선을 따른 공변 미분에 대한 공식을 얻는다. 죽
뿔=꾸I'11 F k
이다. 이 식으로부터 門f는 벡타 장 E 의 j번째 좌표 곡선에 따른 공변 미분의 k 번째 성분을 뜻한다는 것을 알 수 있다. 이 공석을 써서 일반적으로
뿔=효(뽑 +,1~1 I';i(tt(t ))b ,· ( t)릅) Fk
를 얻는다. 이 식에서 후 레임 강 F1, … ,F, 는 p(t)나 Y 에 관계 없 이 U 상에 정의된 양이다. 그리고 C 함수 I' ti (u) 도 U 상에 정의된 함수이고 위의 식에서는 주어전 곡선에 있는 접에서의 값을 덱하~
것이다. 즉 M 의 임의의 좌표 근방 ( coord i na t e ne ig hborhood) 에 대 하여 후레 임 F1, …, Fn, 이 주어 지고, 또, DF,-/aui 를 주는 COO 함수 둘 r fj가 주어진다면, 이들과 Y 의 성분 및 이의 미분을 이용하여 주어진 식으로부터 임의의 곡선에 대한 DY/d t를 얻어낼 수 있다. 4 l7x p Y 와 벡타 장의 미분 이 절에서 우리는 공변 미분의 중요한 몇 가지 성질을 얻는다. Y 를하자 .M 좌전표체계에 서근 방정 의U된 상(에어서떤 Y곡 는선 상y에=서Im: 만 bk이( i t )아Fk니 라라 )쓸 백 수타 있장다이. 타P 를 U 의 한 접이라 하고 G( p) =(ui, u t, k.=..l U8) 라 하자. 그리고 Xp 를 P 에서의 접 벡타라 하고 상수 a i에 대하여 (j=l,2, … ,m ) Xp = E aiF j P 로 주어 졌 다고 가정 하자. 이 때 PC to) =P, (dp /d t) ,, = Xr 인 임의의 원활 곡선 p ( t)를 덱하자• 따라서 이 곡선은 국소 좌 표계 를 써 서 u(t) = (u1( t), …, u ' ( t)）로 표현하였 을 때 u,.C to) =ub, (du,.Idt) Io =ai 가 된다. 이 때 (DY/dt) 1 : 1, 를 계 산하여 보자. 우선 Y(t) = I;bk (u(t) ) Fk 가 되 므로
(씀) lo 걸(芸 )U o aj = Xpb k
가 된다. 이 결과를 앞 철의 마지막 공식에 대입하면
(뿐) to =~k (Xp bk+,.,EJ T t (u 。)亨 )a1)Fk
가 된다. 이 공식의 우변을 관찰하여 보면 이 값이 p(t)에 관계되 는것이 아니라다만 P 에서의 백타 xp 에만관계된다는것을알수 있다. 즉 Y 의 공변 미분의 P 접에서의 값은 주어진 접 벡타 자에 만 종속된다. 그런데 (DY/dt) ,0 가 Tp (M) 에 있는 백 타이 므로 이 공식은 xp 를 (DY/d t) ,0 로 보내는 T p (M) 에서 자기 자신으로 가는 사상을 정의한다. 이 사상에 의한 xp 의 상(i ma g e) 을 /7 x p Y 로 표시 한다. 죽 PC to )=P, (dp / dt) , 0=Xp 0,1 임의의 곡선 p(t)에 대하여
17x, Y= (DY/dt) 1o
로 정 의 되 고, 이 정 의 는 곡선 p(t)의 선덱 에 (PC to) =P, (dp / d t) ,.= XP 라는 조건을 만족시키는 한) 무관하다. 이 정의는 여러분들이 이 미 알고 있 을 함수 f 의 XP 방향으로의 방향 마 분 (dir e cti on al deriv a · tive ) Xp f와 유사하다. 우리가 정의한 것은 벡타 장 Y의 P 에서 XP 방향으로의 방향 미분이라 할 수 있다. Vx p Y 의 정의문 빌리면 곡선 p(t)를 따른 Y 의 공변 미분 DY/dt 를 /7 dp /d t Y 로 표시할 수 있다. 죽
DY/dt= /7d p /d t Y
가 된다. 그리고 l7x p Y 는 다음 정리에서 주어치는 중요한 성질들을 · 가지고 있다. 정리 : McR 맛 임의의 부분 다양체라 하자. M 상에 정의된 임 의의 Cr_ 벡타 장 Y 에 대하여 M 의 각접 P 마다 xp 를 /7 X py로 보 내는 선형 변환 Tr(M) 一따 (M) 이 있다. 그리고 이 때 FxPY 는 다 음 성질들을 만족한다. (1) X, y가 M 상의 C 녀타 장이면 (V x Y)P=l7x p Y 로 정의된 VxY 는 M 상의 cr-1 백타 장이 된다. (2) (Xr, Y) 一 FxPY 로 보내는 사상 T p (M)X !!c (M) ＿따 (M) 은 XP 와 Y 에 대하여 R- 선형이다. 그리고 P 의 부근에서 미분 가 능한 임의의 함수 f에 대하여
/7x /fY ) = (Xp f) Y+f (P )l7xp Y
가된다.
(3) X, YE !!c (M) 이 면 VxY 一 17 y X=[X, Y]
이다. (4) Yi, 따를 벡타 장이라 하고 (Yi, Y2) 를 이의 내적이라 하면
Xp (Y i, Y2)=(l1xrY1 , Y2p )+ (Y1p, l1xp Y 2)
가 성립한다.
증명 : Y= I: bkFk, X= I: akF k 라 하자. bk 와 / 는 국소 좌표계 〈 바 .. ,1t '）의 함수이다. 그리고 자 b k =i£= I c a b k/a 갑 )a i 이기 때문에 앞의 공석으로부터
/7x p Y =DY/ d t =kf ~j (8福bk 글 +2 rf1b '.a j ) Fk
이다. 이 공석으로부터 성질 (1)과 (2) 는 쉽 게 설명되고 성질 (4) 는 이미 2 철에서 DY/d t에 대하여 증명하였다. 따라서 성질 (3) 만 증명하면 된다. 우리는 이 를 국소 좌표계를 이용한 계산에 의하여 칙접 증명하겠다. X 와 Y 가 위와 같이 주어 졌 을 때 [X , y]는
[X , 幻 =E( 훑~ a i _틀표 )Fk
로 주어진다. (DY/dt) ,, 에 대한 앞의 공석을 사용하여 /7x p Y -/7Y p X 를계산하면
!7x p Y 一/7 Y p X= 꾸 {(릅 ~a i -I:릅꿈 bi) + '혼 I'~i(b .-a 1 -a;b;)} F
가 된다. 그런데 r ti =r fi 이므로 우번의 제 1 항만 남 고 제 2 항은· 0 이 된다. 따라서 성질 (3) 이 증명되었다. 우리가 증명한 것을 살펴보면, /1 X py는 R 의 R i emann 구조와 M 의 Rn 에의 삽입 (i mbedd i n g)에만 관계되지 R 의 좌표계에는 무관하 다는 것을 알 수 있다. 그리고 M 의 국소 좌표계에도 무관하다.(위 의 정리의 증명과 정의에서는 좌표계 를 도입하여 이용 하 였지만 ) 그-리고. DY/d t가 내재적인 기하학적 의미가 있으므로 /1 X py도 내재적인 기 하학적 의미가 있다. 그리고 만일 우리가 /1 X py 를 공리화하여 먼 처 정의하였다면(앞으로 이렇게 할 것이다.) DY/d t를 DY/dt= l7d P/ d ty로 정의할 수 있다. （우리가 이 철에서 한 것은 물론 DY/dt 룰 먼처 정의하고, . /1 dp /d t Y 는 DY/d t로서 정의된 것이다.） 또한 우리는 /l xY 에서 X 와 Y 의 부분적 쌍대 성질을 안다. ’ 특히 (X, y)키/l xY 는 fr(M ) X fr (M) 에 서 fr (M) 으로의 R - 선형 사상이 다. 그렇지만 아주 중요한 역할의 차이가 있다. 죽 처음 변수에 대 하여는 C .. (M) －선형이 되지만(직접 증명하여 보기 바란다. /1x p Y =
(DY/d t),,에 대한 이 철의 공식으로부터 쉽게 나온다.） 두번째 변 수에 대하여는 그렇지 못하다(앞 정리의 성질 (2) 참조). X, y가 M 상의 백타 장일 때 Lie 미분 LxY=[ X , y芸 Y 의 X 방향으로 의 변화율을 나타낸다. 그러나 이 정의에서는 /7 xp Y 의 정의와 달리 X 의 P 접에서의 값만 아니라 P 의 근방에서의 X 값을 알아야 한 다. 따라서 이 두 개념은 전혀 다른 것이다. 앞에 주어전 정리의 성질 (3) 은 이 두 개념의 정확한 관계를 말해 준다. 5 Rie m ann 다양체에서의 미분 이 철에서 우리는 유클리드 공간에 놓여 있는 부분 다양체가 아 니타 추상적으로 정의되는 Rie m ann 다양체상의 미분에 대하여 공 부한다. 이런 다양체상의 미분을 찰 정의하여, 우리가 앞 철에서 얻은 바와 같이, 유클리드 공간에 놓여 있는 부분 다양체의 경우에 서 얻었던 것과 같은 좋은 성질들을 갖게 하고자 한다. 우리는 앞 절에서의 사고와는 반대로, 우선 M 에 대하여 벡터장 Y 를 P 에서 XP 방향으로 미분하는 것을 Vx p Y 로 정의하고자 하는 시도부터 시 작한다. 물론 우리가 앞 철에서 얻었던 여러 성질들을 이용한다. 이 절에서는 모든 벡타 장과 함수가 COO 이다. 정의 : M 장의 C., 접속 V 는 다음 성질들을 갖는 !t(M )X! t(M ) 에서 !t (M) 으로 가는 사상 r 이고 17 : (X, Y) 一/7 xY 로 표시한다.
f, gE C.,(M), X, X', Y, Y冠 (M)
에 대하여
(1) /11 x+g x, Y=f (17 x Y) +g(1 7x, Y) (2) l7xC fY +g Y') =f/7x Y +g 17 x Y' + (Xf ) Y+ (Xg ) Y'
이 성립한다. 위의 정의에서 벡타 장 X 와 Y 의 여할이 대칭적이 못된다는 것 에 주의하자. r 는 X 에 대하여는 C.,(M) 선형적이지만 Y에 대하 여는 그렇지 못하다. 그렇지만 f가 상수 , 함수이면 Xf =O 가 되어
F 는 두 변수 모두에 대하여 R_ 선형적이 된다. 우리는 일반적인 다 양체에 대하여 아직 이런 조건을 만족시키는 접속이 존재하는지 어떤지 찰 모른다. 앞 철에서는 유클리드 공간에 삽입된 M 에 대 하여 위의 성질을 갖는 접속이 존재한다는 것을 증명하였다. 그 . 리고 이 경우에는 [X, Y J::;::/7 xY- !7 YX 와 X(Y; Y')=(!7x Y, Y')+ ( Y, !7 x Y')라는 또 다른 성질을 가지고 있다는 것을 보였다. 정의 : 앞에서 정의된 접속이 지금 이야기한 두 성질을 더 가지고 있으면 Rie m ann 접 속 (connec ti on) 이 라 부른다. 정리 (R i emann 기하학에서의 기본 정리) M 을 Rie m ann 다양체라 하 자. 그러면 M 상에 R i emann 접속이 촌재하고 유일하다. 이 정리를 증명하기에 앞서 다음과 같은 사실에 주의하기 바란 다. 앞 철에서는 R 에 삽입되어 있는 다양체상의 공변 미분을 정 는의 하가였정을을 때하 지x p 아가니 하M고 상도에 임정의의의된 벡벡타타 장장 YX에 의 대P하 에여서 의x p-값. /7이X p 라y 로서 주어지는사상을정의하였다. 그리고두개의 벡타장 X 와 Y 가 주어졌을 때 /7 xY 를 (/7 xY) p=/7 X py가 되는 백타 장으로 정의하여 두개의 벡타 장 X 와 Y 에 대하여 제 3 의 백타 장 /7 xY 를 얻어 이 절에서 주어진 접속을 정의하는 사상을 얻었다. 이 절에서는 우선 두개의 백타 장에 대하여 제 3 의 벡타 장 /7 xY 울 얻고 이로부터 각 접 P 에 대하여 (/7 x Y) P 를 택함으로써 Tp (M) 에서 T p (M) 으로 가 는 사상을 얻는다. 그런데 이 사상이 찰 정의된 것이라는 것을 보 여 주기 위하여는 (/7 xY) p의 값이 벡타 장 X 에 관계되는 것이 아니 라 X 의 P 에서의 값 xp 에만 종속된다는 것을 보여야 한다. （그러 나 같은 이야기를 Y에 대하여는 할 수 없다.） 이 사실을 보이기 위하여 다음 보조정리부터 증명한다. 보조정리 :X,Ye fE (M) 이라 하고 M 의 7 서집합 U 상에서 X=O 이 거나 Y=O 가 성립한다고 가정하자. 이때 /7가 접속이면 /7x Y=O 가 U 상에서 성립한다. 증명 : U 상에서 Y=O 이고 q1: U 라 하자. 그러면 q의 상대적 긴
믿 근방 (relati ve ly comp ac t neig h borhood) V 가 있 어 서 Vc U 일 때 V 상에서는 항등적으로 1 이고 U 밖에서는 항동적으로 0 인 C., 함 수 f가 촌재한다. 그런데 U 상에서는 Y 三 0 이므로 J Y 는 M 전체 에서 항동적으로 0 인 벡타 장이 된다. 따라서 접속을 정의하는 성 질 (2) 로부터 /7x (f Y )=0 이 된다. 이 때 다시 성 질 (2) 를 사옹 하여
O=(/7x C fY ))q= (Xq f)Y q +f(q)(/7x Y)q= (/7x Y)g
가 된다. 그런데 q는 U 의 임의의 접이므로 U 상에서 Y=O 인 컹 우에는 우리의 정리를 증명한 셈이 된다. U 상에서 X 가 항등적으 로 0 인 경우는 접속을 정의하는 성질 (1)로부터 같은 방법율 적용 하여 증명된다. 따름정리 :P 를 M 의 임의의 접이라 하자. 만일 두 벡타 장 x,x 冠 (M) 에 대하여 Xp =X' p이 성립하면 (/7 xY) p=(/7x,Y)P 가 성 립한다. 이 값을 /7 X py라고 하면 Xp -+/7 X py로 주어지는 사상온 T p ( M) 에 서 T p (M) 로 가는 선형 사상이 된다. 증명 : (U, 'P)를 P 부근에서의 좌표계 근방이라 하고, V 를 VcU 가 되는 P 의 상대적 긴밀 근방이라 하고, f를 V 상에서는 항등적 으로 1 이고 U 밖에서는 항등적으로 0 인 C., 함수라 하자. 만일 X1 :f£' (M) 이면 U 상에서는
X=jE=” 1 a‘·E i
라 쑬 수 있다. (여기서 E1,E … ,En 은 좌표 후레입에 의하여 주 어지는 백타 장이고 aI,a2, … ,an 은 U 상에서 정의된 C. . 함수이다.) 이 때 X=J X , E;=f E ;, ii;=fa; (i=I , 2, ... , n) 로서 X, E.-, a; 의 정 의 역을. M 전체로 확장하자. （이들은 U 밖에서는 항등적으로 0 이 된 다.） 그러면 M 전체에서
}(=ii1E 1+ ...... +iinE n
이 되고 V 상에서는 X=X, E;=E,·, ii ;=a. 이기 때문에 처음에 주 어진 관계식이 된다. 그리고 앞의 보조정리와 접속 F 의 성질 (1)로
부터 V 상에서는
n
가 된다. 따라서
(FxY)P=Eai( P )(/7 E ,.Y )p= E a, . (P 사 (FE, . Y) P
가 되는데 이 식의 우변은 벡타 장 X 의 P 에서의 값 xp 에만 종 속된다. 그리 고 이 값이 자 의 성 분 ai( p), …, a,,( p)에 대 하여 선 형적으로 관계되기 때문에 주어전 따름정리가 증명되었다. 앞에서 주어진 보조정리로부터 M 의 어떤 개집합 U 에 대하여 M 의 접속 r 의 U 상에의 제한 (res t r i c ti on) /7 u 를 찰 정의할 수 있 다. 죽 X 와 Y 를 U 상의 C 나타 장이라 하고 p1: U 를 U 의 한접 이라 하자. 이 때 P 부근의 근방 V 를 택하여 VcU 되게 하고 또 한 V 에서는 항등적으로 1 이고 U 밖에서는 항등적으로 0 인 c~ 함 수f를택하자. 그러면 X=f X , Y= f Y 는 M 전체에서 정의된 백 라 장이 되고 U 밖에서는 항둥적으로 0 이다. 이렇게 덱한 다음
(F 캅 Y) p =(vxY) p
로 F 다를 정의한다. 그러면 앞에서 주어전 보조정리는 우리의 정의 하에서 f의 선택에 무관하다는 것을 말해 준다. 그리고이렇게 정의 된 J7 u 가 정말로 접속이 되고 만일 F 가 Rie m ann 접속이면 FU 도 Riem ann 접속이 된다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 이 런 성질을 이 용하여 다음 보조정리를 얻는다. `보 조정 리 : 모든 Rie m ann 다양체 에 대 하여 Ri em ann 접 속 r 가 존재한다고 가정하자. 이때 각 좌표계 근방 U 에 대하여 이 Rie m ann 접 속이 유일하면 다양체 전체 에 대 하여 도 유일하다. 또한 역으로 각 좌표계 근방 U에 대하여 Rie m ann 접속 LLU 가 존재 하고 유일하면 임 의 의 Ri em ann 다양체 에 대 하여 도 Ri em ann 접속이 촌재하고 유일하게 된다. 증명 : r 를 M 상의 Rie m ann 접속이라하자. 가정에 의하여 M 의
각 좌표계 근방 (U,
뀝 u Yu = (/7x Y )u
라는 관계식이 성립한다. 따라서 U 상에서의 유일성 가정에 의하여 (/7 xY)u= /7 ~uYu 가 성립한다. (17u= /7 u 이기 때문이다.） 그런데 M 은 좌표계 근방으로 피복할 (cover i n g) 수 있기 때문에 FxY 가 유일 하다. 역으쵸~ M 의 각좌표계 근방 (U,
(f1~ u Yu)q= (17;wYw)q =(f1~ v Yv)q
가 성립하여 (U,
자. (X, Y) 를 내적이라 할 때 g, . j(q )=(E, q ,E 사로서 g, . j(q)를 장 의하여 U 상에의 COO 함수 g;j로 이루어진 메트릭 텐서를 얻는다. 이 메트릭 텐서 (g,j(q))는 대칭이고절대 양(p os iti ve de fi n it e) 이다. 따라서 이 의 역 (gii(q)）가 촌재 하고 각 원소 g'.J 는 U 상에 서 정 의 된 C OO 함수이다. 우리는 U 상에서 정의된 Ri em ann 접속 /7가 촌재 하고유일하다는것을증명하고자한다. 만일/7률정의할수있다면 이는 접속의 정의를 주는 성질로부터
/7E ,.E j = k2= l I'店 Ek
에 의하여 정의된 함수 r t에 의하여 완전히 결정된다는 것을 안다. 실제로 X=I ;bi( x )E.-, Y=I ;ai ( x )Ei 4 할 때 접속의 성질로부 터
/1x Y= I: (Xa + I: rt a1b')Ek
가 된다. 역으로 U 상에 C' 함수 I fi가 주어졌을 때 이 공식에 의 하여 C' 접속을 정의할 수 있다. 그러나 Ri em ann 접속은 또 다른 성질 ([X, Y]=/1 x Y-{1y X ;X· 가( Y i임, Y의2의) = (1C1x' Y함1 ,수 Y가2) +될 ( Y수1 , 1T없:r 다Y2.) ) 를우 선만 좌족표하계여 야후 레하임기 때E1 문,E에2 '…I' 십r En 에 대하여는 [E,· ， E i ]=0 가 성립하므로
o=[E,., E j ] =FEiE j - rEiE i = 2(r}-I'k )E k
가 성립하여야 한다. 죽
r8 = rfi
가 성립하여야 한다. 그리고 마지막 성질로부터
Ekg ,.j = EKEj, Ej ) =(FEkE;, Ej ) + (Ei, FEkEj )
가타 성정 립의 하하자여.야 따한라다.서 (Ig',午• ;=)의2 역 r행ij렬, (gg” i가i )된를다 .사 용그하러여 면 I마'ij지k =막 E 성 I' :질ig~sk
8g u /8xk=rkij +r kj'
가 되고 처음 성질은 다시
rijk = I 'jik
라 쓸 수 있다. 따라서 U 상에 Rie m ann 접 속이 촌재 하면 이 것 으로부터 위 의 성 질을 만족시키는 군개의 cm 함수 1.. . ij k 를 얻는다. 역으로 이런 성 질을 만족시키는 함수들은 M 상에 Rie m ann 접속을 정의한다. 따 라서 다음 보조정리를 증명하면 우리의 정리가 완전히 증명된 셈이 된다. 보조정리 : W 를 R 의 개집합이라 하고 이때 (gij)를 W 상의 cm 함수를 원소로하는 대칭 철대 양인 행렬이라 하자. 그러면 I'ijk =I'jik 와 a gij /axk= I'kij+I' k j,. 를 만족하는 n3 개 의 cm 함수 rki j 가 존재하고 유일하다. 증명 : 마지막 조건식을 i,j ,k 를 회전적으로 번화시켜 두번 더 쓰 자. 그리고 나서, 처음 식과 3 번째 석의 합에서 두 번째 식을 뺀다. 그러 면 I',jk= I 'jik 라 는 조건과 함께
r'=\ （碧 -碧느＋릉)
가 됨을 알 수 있다. 이로써 우리의 보조정리가 증명되고 결국 Ri em ann 기 하학의 기 본정 리 가 증명 된다. 더 구체적으로 Y= I; akEk;XP= I: bkEk p이면
CvxY)P= v' x p Y= 꾸体 b i운운+겹 r 타 )E,,
가 되고 여기서
rt =》g ks( 告-告+男)
가 된다. 이 식은 M 이 유클리드 공간의 부분 다양체 경우에서 얻 었던 앞 절의 식과 동일하다. 죽 우리는 다음의 따름정리를 얻는 다.
따름정리 : 유클리드 공간에 있는 부분 다양체의 경우 앞 전에사 청의한 공변 미분은 주어진 삽입으로부터 얻어전 Rie m ann 구조에 만 관계된다. 6 곡률 텐서의 정의 f가 Rn 상의 C. . 함수이면 2 차 미분은 미분의 순서에 관계가 없 다. 그러나 f가 다양체상의 함수이고 X 와 Y 가 벡타 장일 때 일 반적으로 X(Yf ) =Y(Xf )가 성립하지 않는다. 실제로는 [X, Y 〕가 이 차이를 챈다. 죽 X(Yf) -Y (Xf) =[ X, Y JJ이다. （그러나 X 와 Y 가 좌표계 벡타 장이면 죽 X=E;, Y=E; 이면 좌표계를 갔 ,x2' … ,xn 이라 할 때^좌표계 개집합 상에 정의된, f에 대응되는 f에 대 하여 Ek f =1 끔가 되 므로 E;(E; J) =E;(E J)가 성 립 한다. ) 함수 의 미분 순서의 교환성을 [X ,Y ] 가 말해 주는 것처럼 M 상의 벡타 장 Z 의 벡타 장 X, Y 에 대한 공변 미분 Fx,F y의 교환성 여부를 따져보는 것이 당연하다. 이 경우에도 일반적으로는 /7 x( /7y Z) 三 fy(/7 xZ) 가 되 지 못한다. 그러 나 실재 로 더 중요한 표현은 /7x (/7 yZ ) 一 fy(/7 xZ) 가 아니 라 R(X, Y)Z=rx(/7y Z )-/7y (/7x Z)_/7 ( x, Y#’ 로 정 의 되 는 표현이 다. 정 의 로부터 R : fI( M) X fI( M) X ff (M)-> fI (M) 이 R- 선형 사상이 됨을 알 수 있다. 그런데 이 표현을 백타 장 X 와 Y 가 주어졌을 때 임의의 백타 장 Z 를 새로운 벡타 장 R(X, Y)Z 로 보내 는 연산자로 이 해하는 것 이 더 좋다. 죽 R(X, Y) 를 fI( M) 울 fI (M) 로 보내 는 연산자로 생 각하는 것 이 다. 만일 X=E;, Y=Er 와 같이 [X, Y J =O 이면
R(X, Y)Z=11x(/1Y Z)-17y (/7x Z)
가 되고 또한 M 상에서 R(X, Y)=O 이면 모든 Z 에 대하여 /7 x 와 F y의 순서틀 서로 교환할 수 있다. R(X, Y)Z 의 정의에 -F(x,Y)Z 타는 표현이 첨가된 이유는 다음 정리에 의하여 알 수 있다. 정리 : 임의의 접 P 에 대하여 (R(X, Y)Z)r 는 X, Y,Z 의 P 에서
의 값 XP, YP,ZP 에만 관계되지 P 부근에서의 이들의 값에는무관하 다. 따라서 R(X, Y)Z 로부터 XP, Yp ET p (M) 이 주어졌을 때 Tp (M ) 울 따 (M) 으로 보내 는 선형 변환 R(XP, Yp ) : Tp (M)-T p (M) 을 얻는다. 그리 고 (XP, yp) -R(Xp, Yp )는 Tp (M ) x T p (M) 을 Tp (M ) 의 연산자 공간으로 보내는 선형 변환이다. 증명 : R(X, Y)Z 의 정의로부터 이것이 세 년수 X, Y,Z 에 대 하 여 R- 선형적으로 주어진다는 것을 알 수 있다. 그리고 f가 M 상 의 C 함수일 때 (상수 함수일 필요가 없다.)， 직접 계산을 해 보면
R( fX, Y)Z=R(X, fY) Z=R(X, Y)fZ =f R (X, Y)Z
가성립함을쉽게 알수있다. 이 제 (U,
R(X, Y)Z= ~ 댜平 R(E, . , Ej ) Ek
가 된다. 그런데 이 식의 우측항의 P 에서의 값은 주어전 백타 장 X, Y,Z 에는 무관한 R(E,-,E j )Ek 와 a’ . , gi ,r i의 P 에서의 값에만 관 계되지, 이들의 P 근방에서의 값에는 관계가 없음을 알 수 있다. 죽 우리의 정리가 증명되었다. 따름정리 : R(X, Y,Z, W)=(R(X, Y)Z, W) 는 차수가 4 인 c= 텐서를 정의한다. 그리고 이 텐서는 M 의 Ri em ann 구조에만 관계 된다. M1, M과 Rie m ann 다양체 이 고 F : Mi -마 4 가 등거 리 사상 이 면 F*R2=R1 이 된다. 증명 : 임 의 의 접 p1: M 에 대 하여 R(Xp, Yp )Z p 는 Tp (M) 의 원소가 되 기 때 문에 Tp (M) 의 임 의 의 베 타 WP 에 대 하여 (R(XP, Yp )Z P, WP) 로 주어지는 내적이 찰 정의된다. 따라서 각 접 .P 에 대 하여 Rp (X P, YP, ZP, Wp )= (R(XP, Yp )Z P, WP) 는 Tp (M) 의 4 변수 에 대 한 다중 선형 (mul tili near) 함수가 된다. 즉 차수가 4 인 텐서 y ·4 (T p (M)) 에 속한다. 그리 고 X, Y, Z, Wi홉 (M) 이 면 R(X, Y)Z 가
c~ 이고 내적이 또한 C' 이기 때문에 이 텐서는 C~ l 신 서가 된다. 또 한 둥거 리 사상 F : M1 , M2 가 주어 졌 다고 하자. 그런데 Rie m ann 접속은. Rie m ann 메트락에 의하여 유일하게 결정되기 때문에 F* 는 접 속을 보촌한다. 죽 F*(17~ Y) =11} • cx,F*( Y) 가 성 립 한다. 이 것에서부터 Ri (F* X, F*Y)F*Z=R1(X, Y)Z 울 얻는다. 그런데 또 한 내적도 보촌되므로 F * R2=R1 을 얻는다. 정의 : 연산자 R(X, Y) 를 곡률 연산자 (curva t ure o p era t or) 라 부 르고 텐서 R(X, Y, Z, W) 를 Rie m ann 곡률 텐서 라 부른다. （이 중 어 느 하나가 다론 하나를 결정한다.) 주 : E1,E2, … ,En 을 M 의 개집합 U 상의 후레임 장이라 하자.그 러면 U 상에서의 Rie m ann , 곡률 텐서는 다음과 같이 주어지는 n4 개 함수 R 如 혹은 R ijkl 에 의하여 완전히 결정된다.
R(E., E1)E;=4 R{.1Ei
7 Rie m ann 접속과 미분 형식 앞 철에서 소개한 접속은 미분 기하에서 제일 어려운 개념 중의 하나이다. 그 분만 아니라 그 정의 방법이 다양하다. Car t an 에 의 하여 정립된 Movin g Frame 의 개념은 그 당시 픽 생소하고 어려 운 개념이어서 이를 이해하려고 수학자들이 많은 노력을 하였다. 이번 철에서는 이에 대한 약간의 소개 를 한다. U 를 M 의 개집합이라하고, E 1, E2, … ,En 을이 위에 정의된 C .. 후 레 임 장이 라 하자. 만일 (U,
다양체 상에서 /7 xY 를 결정하는 데 있어서 /7 E i E i만 알면 된다. 그리고 /7E ,Ej = E I'fi Ek 로 I'} 를 정의하였고, 앞 전에서 이것이 어 떻게 주어지는가(g;;에 의하여)를 밝혔다. 따라서 접속이 주어지면 U 상에서 I'fi 가 결정되고 이를 이용하여 122 개의 제 1 미분 형식 o; 를 Oj= I; I' M1 으로 정의한다. 역으로 이 런 제 1 미분 형식이 주 어 지 면 I'fI 를 「 5 =0}(E j)로 주어 서 /7E ‘.E i 가 결 정 되 고 접 속이 걷 정된다. 실제로는 FxEj = 2 0 j (X)Ek 가 되어 0}, … ,07 의 X 에 대한 값은 /7x E;~l 주어전 후레임에 대한 성분이라고 할 수 있다. 따라 서 U 와 U 상의 여후레임 (co fr ame) 장 0\O2, ••• ,0 이 주어졌을 때 접 속은 n2 개의 미분 형식 O j에 의하여 결정되고 이들을 접속미분 형식이라 부론다. 물론 n2 개의 접속 미분 형식 짜는 입의로 정 해질 수 없고 Rie m ann 접속을 정의하는 4 가지 성질을 만족하 게끔 택해져야 한다. 이런 사실에 대하여 다음과 같은 존재 정리가 있다. 정리 : M 이 Ri em ann 다양체라 하고, 0\O 도 ·,8 이 M 상예 정 의된 C' 인 여후레임 장이라 하자. 그러면 이 때 다음 두 방정식을 만족시키는 n2 개의 C' 제 1 미분형식 Oj(1 :s;;j, k :s;; n) 이 존재한다.
( i ) d0i_ 2 0i/ \8}=0
여기서 g u 는, E 1, E2, … ,E” 을 01,02, … ,0n 과 쌍대인 후레임 장 이라 할 때, g ,• ;=(E;,E;) 로서 주어지는 데트릭 텐서이다. . 그리고 위에서 주어전 미분 형식 0 j을 이용하여
(iii) fTx E; = I; Bj( X) Ek (iv) fTr C fY ) =(Xf ) y+fvx Y,!EC~(U)
라는 공식으로 접속을 정의하면 R i emann 접속을 정의하는 4 가지 성질 모두를 만족시킨다. 역으로 Ri em ann 접속이 주어지면 앞에서 설명한 바와 같이 짜 개의 미분 형식 바를 결정하고 이들이 성질 (i)과 (ii)를 만족한다. 이 정리의 증명은 근본적으로 앞 절에서 증명한 Ri em ann 기하학 의 기본 정리 증명과 동일하다. 만일 Ei ,E 2, ... ,E” 이 정규 칙교계
이면(이는 국소 적 으로는 항상 가능하다.) g; i = (E;,Ej) =o ,, 가 되어 앞 · 정리의 공식이 훨싼 좋 은 꼴로 된다. 이 경우에는 보통 oi 대신 (l)’ 를, 0} 대신 아라는 부호를 쓰고 우리는 다음의 따름정리를 얻는 다. 따름정리 : (l)\ (l)2 , ... , a,을 Rie m ann 다양체 M 상에서 정의된 여후레임 장이라 하고 이때 이의 쌍대 후레임 E1,E2, … ,En 이 정 규 직교계가 된다고 가정하자. 그러면 다음 두 식을 만족하는 n2 개 의 제일 미분 형식 (l)j,I =::;;j ,k:::;;n 이 촌재하고 유일하다.
( i ) d(l) ’. -E (l)i/\(l)}= O
이 미분 형식 어는 Rie m ann 접속을 결정하고 그 역도 성립한다. . 6] 는 0\ 뿐,… ,0 과 주어전 Rie m ann 구조에 의하여 완전히 결정 되기 때문에 d 써도 0\ ••• ,0 과 Rie m ann 구조에 의하여 완전히 걷 정 된다. 따라서 이 제 2 미 분 형 석 을 0 i /\O i (1 三i
여 M 의 단위 법 백타 장 (un it normal vecto r fiel d) N 을 각 접에서 E1,E2,N 에 의하여 주어지는 방향성과 R3 의 표준적 방향성이 일치 하게끔 택함으로써 유일하게 결정할 수 있다. 그리고 R3 의 표준 내 적으로부터 M 의 R i emann 구조를 얻는다. 우리는 M 의 한 접 P 에 서 M 에 접하는 여러 방향으로의 N 의 미분을 이용하여 M 의 모양 울 알아 볼 것이다. 1 철에서와 같이 P( t)를 P(O)=P, P(O)=Xp ET p (M) 인 M 에 놓 여 있는 C° 곡선이타 하자. 이때 벡타 장 N 을 곡선 p(t)에 제한 시 켜 이 를 N( t) =NP(I) 라 하자. 그러 면 또 다른 백 타 장 dNJ dt 가 곡선 p(t)를 따라 정 의 된다 . (N, N) 三 l 에 서 부터
o= 움 (N,N)=2( 쁨, N)
접얻한어다 .d N즉J d t~가d1 N:N T에P c수1/직M)함 이을다. 알 M수 의 있한다.접 따P 라을서 고 d정N시/d키 t고는 M이 에를 통과하는 모든 곡선을 생각하여 다음 정리를 얻는다.
〈그립 I.3>
정리 : (dN/d t)t =O 는 xp 에만 관계되지 #(O)=Xp 가 되도록 택한 곡선 p(t)에 대 하여 는 무관하다. 그리 고 S(Xp) =-(dN/dt) t=O 라 할 때 Xp -t S(Xp )는 Tp (M) 을 Tp (M) 으로 보내 는 선형 사상이 된 다.
증명 : P 를 포함하는 좌표계 근방 (U, 'P)에 의하여 얻어지는 좌표 계 후레 임 E1, E2 에 대 하여 Xp 1: Tp (M) 을 Xp = aE1p + bE2p 라 쓰자. 그리고 p(t) =(f1( u(t) , v(t )), f2( u(t) , v(t) ), f3(ie(t), v(t) )) 를 P(O) =P, P(O) =Xp 인 임 의 의 곡선이 라 하고 P(O) 가 u0 =u(O) v0=v(O) 라는 좌표를 가지고 있다고 하자. 그런데 P(O)=X p이므 로 P(O)=aE1 p +bE2 p가 되어 u(O)=a, iJ (O)=b 가 된다. 그리고 n’ . (u,v) 를 U 상에서 N 의 R3 의 표준 좌표계에 대한 성분이라 하 자. 즉N =n1(u, v) 言a + 군(tt, V) 경?a + n3(u, v) 경a 이다. 따라서 주어진 곡선을 따라서는 N(t) ='f3 , ni( u(t) , v (t))a下 i= l 가되어 澤)。강[（롱)'(J (P) it(O ) + （롱) p (P)v (O)] 읊 =a( 감(롱)l' CP)¾,) +b( 검틀)짜)급) 가 된다. 이 식은 특히 S(Xp )가 xp 성분에 선형적으로 관계됨을 말해 주고 (dN/dt) ,=0 가 T p (M) 에 있기 때문에 S=Tp( M )--.Tp( M ) 은 선형 사상이 된다. 그리 고 이 공석 에 는 P 의 좌표 (u(O), v(O)) 와 P(O) =Xp 의 성 분 it(O ), v(O) 만 나타나므로 (dN/dt) 0 가 P 와 xp 에만 관계되지 계산에 사용된 곡선과는 무관하다는 것을 알 수 있다. 주 : 선형 사상 S : Tp (M) 一따 (M) 은 좌표계 (U,ip）나 유클리드 공간의 좌표계에 무관하다. 이는 N 이 M 의 방향성과 유클리드 공간의 내적과 방향성에 의해서만 정의되었기 때문이다. 따라서 N, aN/dt, S 는좌표계의 선택에 무관하고유클리드공간에 놓여 있는
표면으로서 M 의 기 하에 만 좌우된다. 연산자 S 는 모양 연산자 (sha p e ope r ato r ) 라고 불리 었 다. 일반적 으로는 제 2 기 본형 식 (second fun da-menta l fo rm) 이 라 불린다. 예 : M 을 반경 이 R 인 구타고 하자. 그러 면 (x1, x2, x3)EM 에 서 의 단위 법 벡타 N 은
N= 茂x1a言 .+ X28~ +. x~3a
로 주어진다. 그리고 구상의 한 점과 그 접에서의 접 백타가 주어 지면 항상 그 방향으로의 대원을 따른 곡선이 주어질 수 있다. 툭 히 IIXPll=l 이면 S(Xp )=-dNJ dS= 李 xp 가 된다. 우리는 선형 사상 Sp : T p (M)-+T p (M) 을 이용하여 M 상에 정의 된 C' 공변 펜서를 정의할 수 있다. 우리는 선형 대수의 기본적 절 차를 따른다. S : V-+V 를 내적 (X, Y) 가 주어전 벡타 공간 V 상 의 연산자라 하자. 그러면
맵 (X, Y)=(S(X), Y)
타 정 의 하여 V 상의 2 중 선형 형 식 (bil ine ar for m) 죽 차수가 2 인 공변 텐서를 얻는다. 만일 (S(X), Y)=(X,S(Y) ）이면 7JT를 대 칭적이라 부른다. 정리 : S p는 M 의 모든 접 P에 대하여 T p (M) 에 정의된 대칭적 연산자이고 챕 (X,Y) 는 차수가 2 인 대칭적 공변 텐서가된다. 만일 M 이 C' 다양체이면 S 와 맵의 성분도 C' 가 된다. 증명 : 이 정리를 증명하기 위하여 깬 (X,Y) 의 성분을 계산하여 보자. 위와 같이 (U, 'P)를 좌표계 근방이 라 하고
1JT( Ei, Ei )= (S(E1), E1)=- （뿔 익 1JT( Ei, E2)=(S(E1), E2)=-( 뿔, E2) 1JT( E2, Ei )=( S(E2), E1)= ―(뿔-, E1) 챕 CE2, E2)=(S(E2), E2)=-(뿔 -, E2) 가 된다. X=X(u, v) 를 원접 에 서
Ri em ann 메트릭 (X, Y) 의 성분을 gi}로 표시하지만 2 차원의 경우 가끔
gu =E=(Xu, Xu)
로 표시하기도한다. 주 : 만일 M1 , M2cR 나이 에 어 떤 미 분적 동형 (dif feo morp h is m ) -a : M1 기 4 가 있어서 대응되는 모든 접에서 제 1, 제 2 기본 형식 이 일치하면 a 는 합동 사상이 된다. 즉 R3 에 있는 표면은 제 1, 계 2 기본 형식에 의하여 완전히 결정된다. 9 표면의 한 접 에 서 의 주 곡률(p r i n cip al curvatu r e) 앞 절에서 우리는 모든 PEM 에 대하여 S p가 Tp (M ) 상의 대칭 척 선형 연산자가 됨을 보이었다. 이 철에서는 이 사실과 공간에 놓여 있는 곡선에 대하여 배운 사실 (1 절에서)을 이용하여 M 의 기 하물 연구한다. 우선 선형 대수의 초보적 견과에서부터 다음 정리 를-얻는다. 정리 : 각 접 P 에서 S p의 고유치는 실수가 된다. 이 때 이들을 각각 k1, k2 라 하자. (k1~k2) 만일 k1~k2 이 면 이 에 대 응되 는 고유 벡타는 서로 수칙하고 k1=k2=k 이면 모든 Xp ETp (M) 에 대하여 .Sp (Xp )=kXP 가 된다. 그리고 k1 과 k2 는 각각 챕 (XP,Xp )=(S p (XP), XP) 의 최대값과 최소값이다. (여기서 X1 는 T,(M) 의 모든 단위 벡타 를 취한다.) M 의 어떤 접 P 에서 k1~0 이고, k1=k2 이면 P 를 M 의 제접 {umbil ica l ~o i n t)이 라 하고 k1=k2=0 이 면 평 탄접 (pla nar p o i n t)라 한 다. 따라서 특히 반경이 R 인 구의 모든 접은 제접이 된다. 지금부터 k(O) ＝7[f (XP,XP) 를 기하학적으로 이해하고자 한다. P 를 M 의 한점, xp 를 P 에서의 단위 접 백타라 하자. 이때 자와
Nl '는 P 를 원접으로 하고 XP 와 Np 를 좌표축에 따른 단위 벡타로 노 하는 평면을 만든다(그립 1.4 참조 )． 이 평면은 p점을 통과하는 어 에떤 서곡 의선 을법 단따면라 (nMor m과a l 만s나ec t게i o n)된 이다 라. 한이다를. x모p 든에 의단하위여 백 만타들 x어p진 마 다p
〈그림 1.4 >
이런 단면 곡선이 촌재한다. Np 는 P 에서 이 곡선에 수직하고 X, 는 접하는 단위 벡타가 된다. 이 곡선을 호의 길이를 매개변수로 하 여 p(t)라 썼을 때 P(O)=O, P(O)=Xp 되게 할 수 있다. (N, dp /d t) = O 를 미 분하면
(dN/dt, dp /d t) = -(N, d2p /d t2 )=-k
이 되고 이 때 1 철에서 배웠다시피 g은 평면 곡선 p(t)의 곡률이 다. 특히 P=P(O) 에서, (dN/dt, X,)=-(Sp( X p ), Xp )이 된다. 따 라서 Xp =cos()F1+s i n8F2 라 할 때 k({) ） =K 이 xp 에 의하여 얻어 진 법 단면 곡선의 곡률이 된다. 이런 이유 때문에 k(8) 를 (X p에 의 하여 결정된 법 단면의) 법 곡곱 Hnormal curva t ure) 라 부석본다. k({) ）의 최 대 값과 최 소값인 k1, k2 를 P 에 서 의 주 곡률(p F i nc ip al curva t ure) 이 라 부르고 이때 대응되는 단위 벡타 F1p, F2, 를 P 에서의 주 방향 (pr in c i pa l dir e ctio n ) 이 라 부른다. p에서의 곡면을 공부하기 위하여 원접이 P 이고 T p (M) 이 xy - 평면이 되고 주 방향 F1,, F2P 와 단위 법 벡타 Np 가 각각 8/8x,.
8/Oy , 8/Oz 가 되 도록 좌표계 xy z 를 택 하자. 그리 고 x=u, y= v, z=f ( u, v) 를 주어 전 곡면의 방정 식 이 라 하자. 따라서 우리 는 x y-평 떤과 UV- 평면을 동일시해도 된다. 그러면 파라마터 사상
l = (o/oz. fxxo /oz) =fxx, m = (o/oz, fx ,o/oz) =fx,
가 된다. 그런데 8/8x, 8/Oy 가 주 방향이 되 도록 좌표계 를 택 하였 기 때 문에 m=O, l=kr, n=k2 가 된다. 따라서 우리 는
k(()) = fxx C OS2() +fyy sin 2 ()
가 된다. 이 f(x , y)를 (0, 0) 에 서 Tayl o r 급수로 전개 하면
z=f (x , y)= ½Uxx(O, O)x2+f ,,( o, O)y 2) +R2
가 된다. (여기서 R2 는 더 높은 항으로 이루어전 나머지 항이다.） 따라서 ½fxx( O, O)=a, ½fy ,(0,O)=b 라 하자. 그러면, z=ax2+b y 2 의 법 단면들은 접 P 에 서 , 주어 진 곡선과 똑같은 법 곡률 (normal cur· va t ure) 을 갖는다. 따라서 2 차 곡면온 곡면의 전형적인 본보기가 된다(그립 1.5 참조). 10 곡면의 Gauss 곡률 및 평 군 곡률 행렬의 t race 와 행렬식은 중요한 불번량이다. S 를 앞철에서 정 의한 제 2 기본 형식이라 할 때 이의 행렬식은 K=k1k2 가 되고. t race 는 k1+k2 가 된다. 이때 K 를 곡면의 Gauss 곡률, H= 杓店)를 곡면의 평균 곡물이라 부른다. 이런 양온 임의의 파
z Z'
라미터를 이용하여서도 계산할 수 있다 . 죽 정리 : K= ｛꿈뀜;-, H=½ 으늪蔡 ~En 증명 : P 를 포함하고 있는 좌표계 근방 (U, 'P）의 파라미 터 를 이 용 하여 E1=Xu, E2=X. 타 할 때 S(Xu) =aXu+bX., S(X.) =cXu+dX. 가 된다.K =따I라 ; 서 ! I• 2H=a+d
로 주어 진다. Xu 오} x. 그리 고 R3 에 서 의 크로스 곱 (cross pro duct) X 를 이용하여
KN=K(Xu X X.) =S(Xu) X S(X.)
라 쓸수 있다.
(XuxX.,X,,xX.)=IIX,,xX. J l2=EG 구 2
임에 주의하고 R 머 임의의 백타 X, Y, U, V 에 대하여 Lagr a ng e 항 등식
((XxY), (UxV))=I ~麟 訂; 1
를 사용하여 위에서 주어진 두 식의 양변과 XuxX. 와의 스칼라 적 올 덱하면 K 와 H 에 대한 주어전 석을 얻는다. Gauss 곡률은 주곡물 k1, k2 의 곱으로 주어 지기 때 문에 만일 .k1 ,k2 모두가 O 아 아니고 똑같은 부호를 가지면 K>o 이 된다 . .k 1>0, k2>0 면 모든 법단면 곡선이 범선 쪽으로 굽어져 있고 P 부근에서 주어전 곡면이 P 에서의 접평면에 대하여 법선 방향인 Np 쪽으로 놓여 있거나, k1<0,k2<0 면 모든 법 단면 곡선이 법선으 로부터 바깥쪽으로 휘어쳐 있어서 P 부근에서는 주어진 곡면이 N p의 반대 편에 놓여 있다는 것울 말한다. 혹은 이 사실은 9 절에 서 나온 예의 경우에서는 K>o 라는 것과 z= f (x, y)가 주어진 접 에서 국대나 극소가 된다는 것과 동일하다는 이야기가 된다. 그리고 K
다. （최 근 S. T. Yau 의 여 러 가지 중요한 업 적 들은 바로 이 min i m al sub- manif old 를 찰 이 용하 여 얻 어 진 것 이 다. ) 예 : 환(t orus) 를 생 각하자. 주어 진 to rus 의 축과는 수직 이 고, 또 이 t orus 와는 접하는, 평행한 두 개의 평면과 t orus 와의 교접으로 얻어지는 2 개의 원에 의하여 t orus 는 K
〈그림 1.6>
예 : (u,v)-+(u,v,uv) 는 z=x y로 주어지는 말 안장 표면 (saddl e sur fa ce) 의 과라미 터 표현이 된다. 이 때
xu=O/8xl+v 8/8 썼, X.=o/ox2+u o/ox3
가 되고 따라서
( E F ) = ( 1 + v2 uv )
이 된다. 또한 k=(l+u2+v2)l/2 에 대하여 lN=(-v, -u, 1) 이 되 고 Xuu=O, X •• =O, X.,,=o/ox3 가 된다. 따라서
(~ 더: :)
가된다. 이것으로부터
K=_ 숭, H= 국
를얻는다.
.-~· ..._ .•.·,. .. .., .. ,. , .. .. ~ ... . . . .、... ..,,—.....-. : .. ·.. : ·.,. -; • . .,·:.'. .. ' . . ··;.. . ..l. •, '. .•. C :.:.:.. •. , . :·
11 Gauss 의 기 본정 리 (Theorema Eg re g ium of Gauss) 다음과 같이 주어지는 Gauss 에 의하여 발견된 정리는 미분 기하 천체에 십대한 영향을 끼쳤다. 정리 (Gauss) : M 며 M2 를 Eucl i d 공간에 있는 두개의 표면이라고 하고 F:M1-Mz 를 이들 사이의 둥거리 사상이 되는 미분 동형 (d iff eomor ph i sm) 이 타 하자. 그러 면 대 응되 는 점 에 서 의 Gauss 곡률 은 모든 접에서 같다. 이 정리의 의미를 살펴보기 위하여 우선 예를 들어 보자. 예 : M1 을 평면, M2 를 R3 에 있는 실란더 (c yli nder) 라 하자. cy l- i nder 를 평면 위에서 굴리면 길이나 사이각을 변화시키지 않는 대 웅관계를 얻는다. 죽 둥거리 사상이 된다. 그런데 평면의 경우 K=O 이므로 위의 Gauss 정리로부터 c yli nder 의 곡률도 0 이 된다. 그러나 이 두 곡면의 제 2 기본 형식은 같지 않다. c yli nder 의 경
우는 l,m,n 이 항등적으로 0 이 아니다. 실제로 c y li nder 의 법 단 면의 곡률은 0 에서 방까지 변한다. 죽 제 2 기본 형석이나 법 단 면의 곡률은 어떻게 i mbedd i n g되어 있나에 관계되지만 곡물은 M 상에 유도된 메트릭에만 관계된다. 예 : M1 을 반경이 R 인 구의 개집합, M2 를 평면이라 하자. 그러 면 K1=I/R2 픽 O, K2=0 이므로 앞의 정리에 의하여 M1 에서 M2 로 7}- i:-등 거 리 사상이 되 는 미 분 동형 (d iffe omor p h i sm) 은 없 다. 예 : 두개의 표면아 둥거리적(i some t r i c) 이더라도 합동이 될 필요는 없 다. 다음 그림 에 서 주어 진 나선면 (he li co i d) 과 현수면 (ca t eno i d) 을 · 생각하자. 나선면은
(it, V)-+(U COS V, it Sil l V, V), u>O, -oo
라는 매개 변수 표현에 의하여 주어지고, 현수면은 x=coshz 를 z 축을 중심으로 돌려서 얻어지는데
(z, 0)-+(cos 8 cos hz, sin 8 cos hz, z), -oo
라는 매개 변수 표현에 의하여 주어진다. 이때 , v=8, u=s i nhz 는 이 두 표면 사이에 둥거리 사상을 주지만 현수떤과 나선면온 합동 -
z
이 되지 못한다. 앞에 서 주어 전 Gauss 의 기 본정 리 는, 2 차원 Rie m ann 다양체 M 의 Gauss 곡률은 추상적 Rie m ann 다양체로서의 R i emann 구조 에만 관계되지 R3 에 어떻게 놓여 있는가에는 무관하다는 것을 보여 준다. 물론 우리 의 경 우에 있 어 서 의 Rie m ann 구조는 R 琦] im bed 되어서 얻어진 R i emann 구조이다. 그러나 Gauss 정리에 의하여, 어 떤 추상적 곡면 M 을 R3 에 두 가지로 i mbed 시킬 때 (이를 각각 訂 M 귓 1CR3, F2:M기 f 2CR3 라 하자.） 이들에 의하여 유도되어서 얻어 지는 R i emann 구조가 같으면(즉 FlF1-1 : M1-->M 과 둥거리 사상이면 } 모돈 접에서의 곡물이 같게 된다. 이것으로부터 곡물 K 는 M 의 제 1 기본 형석으로부터 계산될 수 있다고 유추할 수 있다. Gauss 기본정리의 증명 : P 의 좌표계 근방 U 에서의 좌표계 1t, c 에 대하여 E,F,G 와 l,m,n 을 각각 대응되는 제 1 및 제 2 기본 형 식’의 성분들이라 하면 P 접에서의 곡물이
ln_m2
로 주어진다는 것을 안다. X=X(u,v) 에 의하여 R3 에 있는 주어전 곡면을 표시할 때 E1=-X., E2=X. 이다. 그러면 앞에서 보였다시피
ln-m2= (뿔, E1) （뽕, E2)-( 뿔, E2) （뿔, E1)
아 된다. E,F,G 가 R i emann 메트릭의 계수가 되므로 Gauss 정리 를 증명하기 위하여는 ln.;...m2 이 Rie m ann 구조에만 관계된다는 것 울 보이기만 하면 된다. 우리는 ln-m2 이 6 철에서 정의된 차수 4 인 공변 텐서 R(X, Y, Z, W) 에 대 하여
ln-m2=R(Ei, E2, E2, E1)
이 된다는 것을 보이겠다. 따라서
K=( E G-F2> - 1 R( E 1 ,E 2 , E 2 , E 1)
이 되어 좌변이 국소 좌표계에 무관하므로 우변도 역시 국소 좌표 계에 무관하게 된다 .(E1,E2 대신에 같은 평면을 만드는 임의의 벡 타 F1,F2 률 사용해도 우번의 값은 같다.）그분 아니라 우번은 Rie - mann 메트릭에만 관계된다. 우번의 분모에 대하여는 당연하고 분 자에 대하여는 우선
R(E1, E2, E2 , E 1) = (R(E1, E2)E2, E1)
으로 주여침에 주의하고, Rie m ann 7] 하학의 기본 정리에 의하여 Rie m ann 접 속 r 는 Rie m ann 메 트릭 에 의 하여 유일하게 주어 침 에 주의하면 우변의 분자도 역시 Rie m ann 메트릭에만 관계된다. 그런데 우리의 경우는 E1,E2 가 국소 좌표계 u,v 에 대한 좌표계 후 레임이므로 〔 E1,E 』 =0 가 되어
ln_m 도 (FE . FE 2 E2_FE 2 FEIE2, El)
만 증명하면 Gauss 기본 정리를 증 명한 샘이 된다. 이 석의 우번을 계산하기 위하여 FElz=DZI8u, FE , z=DZIOV 입에 주의하고 D 의 정의 (2 철에서 주어전)를 상기하면
FEIE2=Xuo_(N, Xuo) N , F 따 =X• • - (N, X •• )N
으로 주어전다는 것을 알 수 있다. 또 다시 D 의 정의를 사용하여 ' （즉 보통의 미분울 한 다음 접 평면에 두영시킨다.)
1ITTBsl11(T1sT1sE2E2)2=)X=X.uu.o- o( -N(N,, Xxu. .. )) NN u.--CC12NN
이 된다. （우리는 여기서 N 의 계수 C1, C2 를 정확히 계산하저 않 았다. 우리가 원하는 것은 두 식의 차이와 E1 과의 scalar 곱이고 (N,E1)=0 이어서 N 성분은 우리의 계산에 영향을미치지 않는다.) 따라서 R(E1_, E2, E2, E1) 은
(FEIFE2 E2 _FE2F E IE2, El)=(X,‘pp, x,‘)_(N, x •• )(Nu, xu)
가 된다. 그런데 Xp uu=X군 ]고, (N, X,. )＝一 (N. ,X.), (N,Xu.)= -(N. . ,X.) 이므로 이 석의 좌변은 앞에서 주어전 /n-m2 의 값과 같 게 된다. 즉 우리의 증명이 끝났다. 위에서 주어전 증명으로부터 6 철에서 정의된 Rie m ann 곡률 텐 서의 기하학적 의미를 알 수 있다. 죽 F1,F2 를 서로 직교하고 길 이가 1 인 접 백타라 할 때 그 접에서의 Gauss 곡물은
K= R(Fi, F2, F2 , Fi )
로 주어진다. 12 R i emann 곡률 텐서의 기본 성질 지 난 6 철에 서 Rie m ann 다양체 M 의 곡률 텐서 R(X, Y, Z, W) 를 정의하였다. M 의 임의의 점 P 에 대하여 XP, YP, Z P, Wp ET p (lvl) 이 주어지면, p에서의 값이 각각 XP, Yr,ZP, WP 로 주어지는 백타 장 X,Y,Z,W 를 택하였을 때
R(XP, Yr, ZP, WP)=(P'x p l 7 YZ-17yp l 7xZ-rcx, Y)p z , Wr)
로 주어 전다. 그리 고 이 렇게 정 의 된 R(XP, YP, ZP, Wr) 가 벡 타 장의 선덱에 관계 없고 차수가 4 인 공변 텐서가 된다. 또한우리는벡타장 X,Y 가 주어졌을때 M 의 임의의 접 P 에 서 Tr(M) 에 서 Tr(M) 로 가는 연산자 R(Xr, Yr) 를
R(Xr, Yr)Zr=P 'xr fy Z -l7yp l 7xZ-rcx, Y)p z
로 정의하였다. 이것 역시 곡물 텐서와 마찬가지로 X, Y,Z 에 대하 여 COO(M) －선형 적 이 다. 즉
R( JX , Y)Z=R(X,J Y )Z=R(X, Y)fZ =f R( X, Y)Z
가 성립한다. 그리고 이들 사이에
R(X, Y, Z, W) = (R(X, Y)Z, W)
라는 당연한 관계가 성립한다. 곡률 텐서는 이것 이외에도 몇 가치 의 중요한 대칭성을 가지고 있다. 정리 : 다음에 주어지는 곡률 텐서 및 곡률 연산자의 대칭성은 모 . 돈 벡타 장에 대하여 성립한다.
( i ) R(X, Y)Z+R(Y, X)Z=O
증명 : (i)은 R(X, Y) 의 정 의 로부터 곧 나온다. 다른 관계 를 증 명하기 위하여 우선 R(X, Y,Z, W) 가 텐서라는 사실에 주의하자. 따라서 임의의 백타 장 대신에 좌표계 후레임 E i, E 正 ··En 에 대하 여만 증명하면 된다. （그러면 C'(M) 一선형성에 의하여 임의의 벡 타 장의 경우도 증명된다.） 그런데 이 경우에는 [E.-,E 』 =0 가 성 . 립한다. 따라서 성질 (ii)를 증명하기 위하여는
l7x(l1y Z )-J7y ( l7xZ) + l1Y(llzX)-rz (l7y X )
만 증명하면 된다. 그런데 Rie m ann 접속의 정의에 의하여 FxY-· l7y X =[X,, 巧 =0 가 되어 예를 llx(llYZ- 『 zY)=O 이 괴어 위의 식 이 증명된다. (iii)울 증명하기 위하여는 (R(X, Y)Z,Z)=O 만 보이 면 된다. 이 경우에도 X, Y,Z 가 좌표계 후레임이타 가정해도 되므 . 로 [X, Y]=O 이다. 정의로부터,
(R(X, Y)Z, Z)=(J7x (J7 yZ )-J7y (J7x Z), Z)=O
를 증명하기 위하여는 (J7 x( J7y Z),Z) 가 X, Y 에 대하여 대칭적이라 는 것을 보이면 된다. (Z,Z) 를 X 와 Y에 대하여 마분하여
Y(X(Z, Z))=2Y(rxZ, Z)=2(J7 y(J7x Z), Z) +2(l7xZ, J7yZ )
을 얻는다. 여기에서
(/7y(/7x Z), Z )=½YX(Z, Z)-(/7x Z, 17y Z )
가 된다. 그런데 [X, Y] 三 0 이므로 임의의 함수 f에 대하여, 독히 f =(Z,Z) 에 대하여 (XY-YX) f三 0 가 성립하므로 위 식의 우번이 X, Y 에 대하여 대칭적이 되어서 좌측도 역시 X, Y에 대하여 대칭 적이 된다. 성질 (i v) 는 나머지 3 성질에서부터 얻어진다. (ii)에 , 의하여
(R(X, Y)Z, W)+(R(Y,Z)X, W)+(R(Z,X)Y, W)=O
이 된다. 그리 고 (i), (ii), (iii)을 이 용하여
(R(X, Y)Z, W) + (R( Y, W)Z, X) + (R(X, W) Y, Z),
가 된다. 여기서 첫째 등식은 (iii)에 의하여, 둘째 둥석은 (i)에 와· 하여, 세번째 둥석은 (ii)에 의하여 그리고 마지막 등식은 다시 (iii)· 에 의 하여 주어 진다. 동일한 방법 을 사용하여
(R(Y,Z)X,·w )+(R(Y, W)Z,X)+(R(Z, W)X, Y)=O
을 얻는다• 이렇게 얻은 4 개의 식에서 처음 두 개를 합하여 마지막 2 개를 빼면 성질 (i v) 가 증명된다. (U, ip)를 좌표계 근방이라 하고 E1,E2, … ,En 을 이에 대응되는 좌표계 후레임이라 할 때
R(Ek, E,)E;=l ; R{k,Ei
에 의 하여 n4 개 의 함수 R{k/, 1 三i, j, k, l 三 n 을 도입 하자. (6 절 참조) ., 비 슷하게 Rie m ann 곡률 텐서 의 성 분을
R,ju =(R(Ek, E,)E,, Ei) =~k Rfk tg hJ
로서 정의하자. 여기서 g, . j =(E j ,E j)는 메트릭 텐서의 성분이다. C'(M) －선형 성 에 의 하여 R(X, Y)Z 와 (R(X, Y)Z, W) 는 이 들 함 수들에 의하여 완전히 결정된다. 따라서 앞에서 얻은 정리를 다음 과 갇이 쓸 수 있다. 따름정리 : 모든 l~ i,j ,k,l~n 에 대하여 다음 동석이 성립한다.
( i ) R 如 +R{lk==O
여기서 (v) 는 Ri ju= E RAI g,'i와 g;j의 대칭성 그리고 (ii)와 (iii) 로부터 나온다. Rie m ann 곡률 텐서 (R(X , Y)Z, W) 는 Rie m ann 기 하학에 서 가 장 중요한 역 할을 하는 단면 곡률 (sec ti onal curvatu r e) 혹은 Rie m ann 곡률을 정의하는 데 사용된다. 정의 : 정규 직교 기처가 X, Y 인 단면 r 의 단면 곡률 (sec ti onal curva t ure) 은 K(11:) ==-R(X, Y,X, Y)==-(R(X, Y)X, Y) 로 정의된 다. 대칭성과 선형성으로부터 X, Y 가 X=aX나 /3 Y1, Y==rX'+oY' 라 는 관계로 주어지는 X', y,에 대하여 A=a8- g r 라 할 때
l/A2(R(X', Y') X', Y') = (R(X, Y)X , Y)
가 성립함을 알 수 있다. 만일 X', Y' 가 정규 직교 쌍이면 4= 士 1 이 되어 K( 11:)의 정의는 사용된 쌍에 무관하다. 그리고 X', Y' 가선 형적으로 독립이기만 하다면 A2==(X',X')(Y ', Y1)-(X1, Y1)2 을 사 용하여
K( 죠)=- (X’,X(R’)((XY'’,, YY')’X)-\( XY’'), Y’)2
이 된다. 국소 좌표계 표현으로는 (E;,E i)=g;i라는 사실을 이용
하여 K( 正) =_ I: (g ;k幻 gj R l -ij gklia l 'g /j3 kj)a군'법 합 군입 로서 주어진다. （여기서 2 는 모든 i,j ,k,l 에 대하여 합을 택한다 c 그리 고 X'= I: a;E;, Y1= 4 /3j E 거 다. ) Rie m ann 곡률 텐서 의 대 칭성을 사용하여 모든 단면 m 에 대하여 K(1r) 가 알려져 있으면 임 의의 X, Y,Z, W 에 대하여 (R(X, Y)Z, W) 를 알아낼 수 있다. 죽 다음 정리가 성립한다. 정리 : d i mM 츠 3 이고 T p (M) 의 모든 단면에 대하여 단면 곡률이 알려 쳐 있으면 Rie m ann 곡률 텐서 가 완전히 결정 된다. 증명 : R(X, Y, Z, W) 와 R(X, Y, Z, W) 가 앞에 서 주어 전 Rie - zm, awnn) 를곡 률이 텐들서의의 차 대이칭라성고을 하 모자.두 만따족라서시 키이는것 도텐 서같라은 하대고칭 A성(X을, Y만, 족시킬 것이다. 그리고 우리의 가정은 모든 X,Y 에 대하여 R(X, Y,X, Y)= R(X, Y,X, Y) 즉 A(X, Y,X, Y)=O 라 쓸 수 있다. 그 러므로우리는이 가정으로부터 모든 X,Y,Z,W 에 대하여 A(X,Y, Z, W)=O 라는 것울 증명하여야 한다. F1,F2,···,F 나끌 TPM 의 후 레임이라 할 때 A ij k1 으로 A 의 성분을, a i,gi로 벡타 X, Y 의 성 분을 표시하자. 따라서 우리의 가정은 모든 짜,… ,a ，안,… 8n 에 대 하여 i,2j,k, I A ij kIa’g ' i ak 합 =O 가 성 립 한다는 것 이 된다. 8ii 를 Kronecker 의 6 라 할 때 ai= o;,;, fij=%라 하면 A i,j o i o}o=O 가 모든 I:=:; i o, j。 :::;n 에 대하여 성립한 다. 만일 a’ . =& 。i라 하고, 131•=f3 k •=l, 그리고 다론 j에 대하여는 fii =O 라 택하면 A i o j o i oko=O 을 얻는다. (여기서 A;,i0i o k ,+A; ,k,i oi , = 2A;,/o i oko 을 이용하였다.） 그리고 i중에서 2 개, j중에서 2 개를 제와 한 나머지는 모두 다 0 으로 놓고 (ii)를 사용하여 O=Ai jk1+ Awj i1+ Ai lki + Awi = 2A;ik 1 +2Ami = -2Am; 가 되어 모든 l~ i,j ,k,l~n 에 대하여 A ij u=0 을 얻는다.
이 정 리 에 서 보다시 피 단면 곡률은 Ri em ann 기 하학에 서 중요한 · 역할울 한다. 만일 M 의 어떤 접 P 에서 T p (M) 의 모든 단면에 대 하여 곡률이 다 같은 상수 KP 일 때 M 이 p 에 서 등방적 (i so t ro pi c) 이 라 한다. 그리고 M 이 모든 접에서 둥방적이면 단순히 둥방적이라 부른다. 따라서 2 차원 Rie m ann 다양체 는 당연히 등방적 이 다. (고 려되어야 할 단면이 유일하므로) 따름정리 : M 이 p에서 등방적이고 (U,
R,.Ju = -Kp( g,.k g j1- g,. I g n )
가된다. 증명 : 위식의 우번이 R(X, Y,Z, W) 와 같은 대칭성을 가지고 있 고 모든 단면에 대하여 상수 값을 갖는 차수가 4 인 텐서가 된다는 것을 보이는 것은 쉽다. 그러면 위의 보조정리는 앞에서 증명된 · 유일성으로부터 나온다. 정의 : 동방적 Ri em ann 다양체 의 곡률이 모든 접 에 서 같으면 상 수 곡률 다양체 라 부른다. 예를 들면 평면이나 구는 상수 곡률 다양체이다. p eM 를 M 의 한 접이라 하고, FlP,•••,FnP 를 P 에서의 정규 직 교계 라 하고 R(X, Y, Z, W) 를 Rie m ann 다양체 M 의 곡률 텐서 라 하자. 그러면
S,(X,, Y,) = Ii=: l R(F;,, X,, Y,, F,·,) • = i1=”: ; l (R(F;p, xp) YP, F;p)
는 주어진 정규 직교계의 선덱에 관계없고 M 상에 대칭적 C'· 공변 텐서를 정의한다. 정의 : 맨서 장 S(X, Y) 를 M 의 Ric c i 곡률이라 한다. 적당한 상 수· C 가 있어서 모든 X, Y 에 대하여 S(X, Y)=c(X, Y) 이 성립하
떤 즉 S(X, Y) 가 M 의 Rie m ann 텐서의 상수 배가 되면, M 을 Ein s te i n 다양체 라 부른다. 그리 고 M 상의 함수 r(p ) = i1.E j = l_ R(F;p, Fj P, FjP , F;p) = j~=n -l S (FjP , FjP ) 를 M 의 스칼라 곡률이 라 부른다. 상수 곡률 다양체 는 당연히 Ein s te i n 다양체 가 된다. 이 밖에 도 Lie 군 의 일반 이 론으로부터 간밀 반단순 Lie 군 (com pac t semi sm p le ·Lie gro up ) C 에 bii nv aria n t Rie m annia n metr i c 울 주면 Ein s te i n 다양체가 됨을 밝힐 수 있다. 13 곡률 미분 형석과 구조 방정식 이 철에서는 우리는 다시 앞의 7 철의 입장을 덱한다. U 를 Rie - mann 다양체 M 의 개집합이타 하고 0\O 도 ·,0 을 U 상 C' 여후레 임 (co fr ame) 이 라 하고 E1, E2, …, En 을 이 에 대 응되 는 C' 후레 임 이 타 하자. 이들은 좌표계 근방 (U, 'P)의 좌표계 후레임일 수도 있고 아닐 수도 있 다. U 상의 Rie m ann 메 트릭 의 성 분을 g,'j= (Ej, E j)로 표시하자. 그러면 7 철에서 주어전 결과에 의하여 다음 둥식을 만 족시( i키 ) 는d0 iU= 상E의 O IA제0 }1, 미1 척분적 형 n석 싸가 유일하게 촌재한다. 죽 (ii) dg ,1 =I : Ofg ,. 1+I : g;, .o,, lsi, jsn `(0 jj = 2 0 fg k/ 라 정의하여 두번째 관계식을 좀 더 간단히 dg il= · 0u+0 Ji라 쓸 수 있다.） 만일 주어진 후레임이 정규 직교계이면, 즉 gij =8 i I 이면, 0’,0{ 대신에 어야로 쓴다. 이 경우에 두번째 관 계식은 O=w}+ 야, (1 三i,j三 n) 이 된다. 미분 형식 싸는 주어진 Rie - mann 접속에 의하여 결정되고, 역으로 Rie m ann 접속은 0} 에 의하 여고 동결정등된하다게. F따xE라j= 서 E 만 0}일(X )FEEk i E라 j = 쓸Ek r수 i • E있k 다이.면 8{= Ik :I'ii양가 되 제 1 마분 형식 8J, lsj, ksn 을 접속 미분 형석이라 한다. (I't =I'fi는 좌표계 후레임처럼 [E,·,E1 J =O 가 성립하여야 성립한다. 이
대 칭 성 은 FEi E J - FEj E ,.= [Ej, E 』로부터 얻 었 다. ) R 幅 1 척,j ,k,l~n 을 주어전 후레임에 대한 곡률의 성분이라 하 자. 즉
R(Ek, E1)E;= 4 R{k1E;
라 하자. 이 때 우리는 n2 개의 2 차 미분 형식 il{, l~ i,j ~n 을
il{= 1Sk.E< / s n R{kl( } k/\(}1=2L k ,18=1 R{k/( } k/\(}1
로 정의하자. 따라서
i_=nE l D,{( Ek, E,)E;=J.=E n l R{k1 E j = R(Ek, E,)E;
가 되며, 선형성에 의하여 임의의 벡 E l- 장 X, Y 로 확장하여
R(X , Y)E.-=4 .O{(X, Y)Ei
가 성립한다. 죽 (.n{(X, y))는 E1,E2, … ,En 을 기처로 하였을 때 곡률 연산자 R(X, Y) 의 행렬이 된다. 또한 R(X, Y)Z 의 성질로부 터 와 (X, Y) 의 P 에서의 값은 X 와 Y 의 P 에서의 값에만 관계되 지 백타 장 자체에는 관계되지 않는다는 것을 알 수 있다. 그리고 당연히
요{(X, Y) = -.O{ (Y, X)
가 성립한다. U 상의 n2 개의 미분 형석 0} 를 곡률 미분 형석이라 부른다• 이것은 Rie m ann 구조와 이때 U 상에 주어전 후레임 장에 관계된다. 곡물 미분 형식과 접속 미분 형식은 다음 정리에서 주어 지는 관계를 가지고 있다.
정리 :·i l {=d O{-kIn=: l 87/\8{, 1 :s;;i,j:s;; n 이 성립한다.
증명 :U 상의 임의의 벡타장 X,Y 에 대한 양변의 값이 같다는 것울 증명하면 된다• 죽 i =l,2,···,n 에 대하여
R(X, Y)E;= ,E ((dO 는끄 0f/ \0 0(X, Y))Ei i k
가 성립한다는 것을 보여야 한다. 정의에 의하여
R(X, Y)E;=f x( f y E ;)-py (fxE ;)-rcx, YJE i
가 된다. 그런데 0{(Y) 와 0{(X) 는 함수이므로 이 식의 우측은
4(X(0{(Y))-Y(0{(X))-0{([X, Y]))E 沖
가 된다. 따라서 d 의 정의에 의하여 이것을 다시
I; {d81( X , Y) —I: [O f (X )Oi ( Y) 국( Y)Oi (X )]} Ej
타 쑬 수 있다. 즉 우리는 원하는 바와 같이
R(X, Y)E.-=4((d8{- 파k 0 f /\O t) (X, Y))Ei
를 얻었다. 결론적으로 우리는 다음과 같은 결과를 얻었다. UcM 을 Rie - mann 다양체 M 의 개집합이라 하고 0\O 도 ·,0n 을 이 위에서 정의 된 여후레임이라 하자. 그리고 E1,E2, … ,En 은 0\O2, … ,0n 에 대응 되는 쌍대 후레임 장이고 g,.j =(E, . ,E j)는 메트릭 텐서이다. 그러면, 이 철의 처음에서 주어진 두개의 식을 만족하는 n2 개의 제 l 미분 형식 0{ 가 U 상에서 정의되고 유일하게 존재한다. 이 제 l 미분 형 식을 이용하여 앞에서 주어전 정리에서와 같이 2 차 미분 형석 Q{ 가 결정된다. 이 철의 처음 두식과 앞의 정리에서 나오는 식(Q{에 대 한)을 구조 방정 식 (eq u ati on of s t ruc t ure) 라 하고, E. Cart an 에 의하여 처음으로 주어졌다. 또 앞에서 보다시피 0jj = E o: g어라 하 면 두번째 식을 간단히 표시할 수 있다. 비슷하게 Q u=E O!g sj 라 정의하면 R jj u=2 gj sR&1 이므로
o,'j= l2. 2h,1 Ri jkI o k/\OI
라 쓸 수 있다. 그리고 R;m 의 대칭성으로부터 0; j =-O ji를 얻
는다. 주어진 후레임 장이 정규 칙교적이면, 즉 E i, E2,···,En 이 (Ei, E j )= 8 u 를 만족하면 Q u=9{, R, . j k l=R 如, (J){=(J) u 가 되며 우리의 결과를 다시 쓰면 다음과 같이 된다. 따름정리 : (J)\(J) 2, …,(J) n 을 정규 칙교 후레임의 쌍대가 되는 여후 레임 장이라 할 때 다음 관계식을 만족시키는 일차 미분 형식 야, J.::s;i, j::s;n 이 유일하게 존재 한다.
( i ) dwi = I; w{/\Wk
그리고 에 (ii대i)하 d여 어 -곡2• 률 w t/ 연\w 산i =자kI < ;I RR{(kX1 w, Yk)/\ 의o l=행0{렬= Q( O u i i 가(X ,된 Y다). ） 는이 왜후 레대임칭 (skew-sy m metr i c ) 행 렬이 된다. 따름정리 : r t를 좌표계 근방 (U, rp)의 좌표계 후레임 Ei, E 2,···, .E n 에 대한 접속 미분 형석의 계수라 하자. 즉 8l,82, … ,8 을 E1, E2, .. ·,En 의 쌍대 여후레임이라 할 때 8 j =Er t 8I 라 하자. 그러면 따j=I'}j이고
R{k l= 言8I' {一 言8I' k+ 꾸 (I'AI' i ,-I'hrt h)
가된다. 증명 : 앞의 정리에 의하여
O{=d8{- I h; Of/ \8 !
이마 따라서
0{= E(dI 't /\O1+r ii때 )-Elr,I Eh rM'{h0 /\O'
이 된다. 그런데 좌표계 후레임에 대하여는 [E ; ,E1 J =O 이므로 r 括때가 성립한다. 따라서 do'= 파 °1/\O}=iz,jr b0I/\O j =0 가 된다. 따라서 위의 둘째식은
o:=½t 1 R{ h ,Ok l\ 01 갑(옵-동 )OkA0/
’ 이 된다. 양면의 0k/\01 의 계 수를 같게 놓아
R 如=or了h -8了rk +2h (rm-rm)
이 된다. 여기서 r tj가 i,j에 대하여 대칭이라는 사실과 O'/\Ol= -01/\Ok 를 이용하였다. dim M=2 일 때 정규 직교 후레임을 써서 위 따름정리를 쓰면 다음과같다. 따름정리 : dim M=2 이면 d (l) 1=01=K( l) l^ (l) 2 가 된다. 여기서 K 는 M 의 Gauss 곡률이다. 증경 : Gauss 의 기본정리를 증명하는 데 있어서 Ex, E2 를 정규 칙교단위 백타라할때
K= -R(E11 E2, E11 E2) = -(R(E11 E2)E11 E2) = -R1212
까 됨을 보였다. 그런데 , g,·j =(E, . ,E j )=8; ｝이므로
따= Q 12=-R1212(I) l ^(JJ2
가 된다. 또한 어+(JJ }=o, wl=O= (JJ앙 이 므로 4E=21 (I)tA ( I)i= 0 가 되 어 , dw~ = D.? 가 된다. 우리는 지금부터 단면 곡률의 기하학적 의미를 살펴 보고자 한 다. n 를 M 이 한 점 P 에서의 단면이라 하고 Np 를 P 를 통과하 · 고 P 에서 단면 月에 접하는 축 지선(g eodes i c) 으로 이루어진 M 의 2 차원 부분 다양체라 하자. 정리 : Np 에 M 으로부터 유도된 R i emann 메트릭을 주면,단면 곡 률 K(ll) 는 Np 의 P 에 서 의 Gauss 곡률과 같다.
증명 : B,={Xp f T p (M)II I XPll
d@ i=_E @~^wk, @{+@J= o
가 된다. 그리고 i >2 인 경우 FI,F2 가 N p의 접벡타 공간을 생성 하므로j=I, 2 에 대하여 &i(F J =(I*(JJ'.)( Fi) =(JJi(J* Fi) =(JJ'( Fi) = O 가 되어 핥 =0 이 된다. 따라서 {jj\{jj 2 는 F1,F2 문 N p에 제한시켰 을 때의 쌍대 일차 미분 형석이 되고, {jj?=一 6 昆와 함께 Car t an 의 구조 방정식을 만족시킨다. 따라서 Rie m ann 접속의 유일성에 의하 여 하 가 바로 connecti on 일차 미 분 형 석 이 된다. 그런데 2 차원의 경우 앞에서 주어전 따름정리에 의하여 K 를 N p의 Gauss 곡률이 라 할 때 da1=K {jj l^ {jj 2 가 된다. 그런데 M 상에서
d(JJ r = .E (JJt^(JJl + k.6< l R12k1(J Jk ^(JJ I
이 성립하는데 이 식의 양변에 I* 를 작용시켜 P 에서의 값을 취하 떤
dw;=R1212w1/\w2
가 된다. 따라서 K(ll)=-R1212=K p가 성립한다. 따름정리 : M 을 R+l 에 있는 반경이 a 이 구라 하고 이 위에 R +1 으로부터 유도된 Ri em ann 메 트릭 이 주어 졌 다고 하자. 그러 면 M 은 상수 단면 곡률 1/ a2 을 갖는다. 증명 : P 를 M 상의 임의의 접이라 하고 lI 를 T p (M) 에 있는 평 면이라 하면, P 를 통과하고 ll 에 접하는 측지선은 대원이고 이들 은 반경이 a 인 2 차원 구면을 형성한다. 그런데 이런 2 차원 구면 의 Gauss 곡률이 1/a2 이타는 것은 이미 알고 있다. 지금까지는 둥방적 다양체와 상수 곡물 다양체를 분간하여 왔다. 다음의 Schur 정리는 이들이 같은 것이라는 것을 보여 준다• 정리 : M 이 연결된 등방적 Rie m ann 다양체이고 dim M~3 이면 M 은 상수 곡률 다양체이다. 증명 : KP 를 P 에서의 단면 곡물이라 하자. （가정에 의하여 모돈 단 면에 대하여 값이 같다.） 이 때 우리는 이 함수가 상수 함수이어야 한 다는 것을 보여야 한다. 즉 dK=O 타는 것을 증명하여야 한다. u 를 PcM 의 근방이라 하고 E11E2, ... ,En 을 정규 직교 후레임, 81,
따 ··8 을 이에 대응되는 여후레임아라 하자. 앞 절에서 주어전 걷 과에 의하여 이 경우에는 R; j kl=K(o; k Oj 1-o;, o jk ) 가 되고요 { =O, . j= K( J)j/\(J) I 가 된다. 여기서 K 는 P 에 관계되는 함수이다. 구조 방정 식 d(J) { =E (J)f/\(J)i+。｛의 양면에 d 를 작용시켜
O= ~ (d(J )f/\(J)!-(J)f/ \ d(J)D + dK/\(J)’. I\ (J )J
를 얻는다. 이 식에서 d (J)t와 d(J )i 대신에 구조 방정석으로부터 얻’ 은 관계식을 대입하여
dK/\(J)j /\( J)i=O (i,j=l , 2, ··•, n)
을 얻는다. 그런데 dK=K1 (J) 1+ … +Kn (J)”로 쓸 수 있고 l, i,j가 서 ’ 로 다르면 (J)/I\(J)j/\(J)속 0 이므로 이 식이 모든 i,j에 대하여 성립하 · 기 위하여는 U 상에서 dK=O 가 되어야 한다. 그런데 P 는 임의의 L 접이었으므로 dK=O 가 되어 K 는 상수이어야 한다. 14 공변 텐서의 미분 우리는 지금까지 벡타 장의 공변 미분에 관해서만 공부하였다. 그러나 이를 임의의 텐서에 대하여 확장하는 것은 그리 어려운 문 · 제가 아니다. 편의상 우리는 공변 텐서에 한정한다. Rie m ann 다양체 M 상에 차수가 r 인 공변 텐서 장 (/), 죽 (/)EY'(M) 과 미 분 가능한 곡선 P( t)가 주어 졌 다고 하고 O p(t)를 0 의 P( t)에 의 제한이라 하자. 그러면 O p (I)E7r(TP( t )(M) ）이 된다. T 서문 주어전 곡선 P (t)를 따른 고정된 접 P( t o) 로부터 P (t)로의 평행이동이라 · 하자. 죽 Tt : TP(1)(M) 一 TP(Io)(M) 라 하자. 그러 면 이 사상은 접 벡 타 공간 사이 의 동형 관계 가 되 고 곡선 P( t)와 주어 진 Rie m ann· 구조에 의하여 유일하게 결정된다. 이것을 이용하여 텐서 장 0 의 \ 공변 미분이 정의된다.
정의 : (음 ),o= ！뿐 下눅(규
따라서 이 렇 게 정 의 된 (~분)t o 는 TP (l o i M) 상에 정 의 된 차수가 r 인 공변 텐서가 된다. 실제로 r7 사 백타 XJ ,c ,,),···,XJ, c1 ,)ETPC1,i M ) 이 주어졌을 때
멸 )10CX}c,,), ···, X,,c,,))= ~~떤 근군국 (/)P(I)(X}( t
로 주어진다. 이 식의 우변의 각 항이 텐서이기 때문에 그의 차도 E 여시 텐서가 되고 이를 다시 t-:--%로 나누어도 텐서가 되어 그극한 죽 좌변도 역시 텐서가 된다. 이런 철차를 P (t)의 모돈 접에 대하 여 적용해서 곡선 P( t)를 따른 공변 텐서 장 D
CM) 율 곡선에 따른 벡타 장이라 할 때 임의의 %에 대하여
(쁨)t o(X fo, …, xr 。)=(옮-[
로 주어진다. 증명 : 정의에 의하여
(뿜- ),.cx1 . , …X ;,)= !뿡 근 r CTP(I)(X f。, ••• , xro)
가 된다. i= l, …, r 각각에 대 하여
를 빼고 더하여
룹),'=;t q,P( l) ( Xf ' …, E뿡 군군-r ,(X f ,)-XD,
lim —L_((/ )P(I)(X}, …, X r)-(/)P ( lo) ( Xf ,, …, xr,))
을 얻는다. 그런데 곡선 P( t)를 따른 임의의 벡타 장 X1 에 대하여
!i뿡 따」 -Xt =-E짠 Tt ( T_t (::)t:x , ) =一 '
이므로 이것을 윗 식에 넣어 정리에서 주어전 공식을 얻는다. 이 공식 으로부터 (D( f)/ dt) ,, 가 백 타 장 Xl, X?, …, Xf 의 P( to) 에서의 값에 R- 선형적으로 관계된다는 것을 알 수 있다. 따라서 주 어진 공식은 백타 공간 TP( t o i M) 상에 차수가 r 인 공변 텐서를 정 의한다. 이는 다음에서 주어지는 따름정리에 의하여 더욱 명백해 진다. 따름 정리 : xi, x~, …, X 口 ETP( t o)(M) 이 주어 졌고 이 때 X f, X~, … ,xr 를, 곡선 P( t)를 따른 자 ,x~, … ,x~ 의 평행 이동으로부터 얻어전 벡타 장이라 하자. 그러면 앞에서 주어전 공식은
(씀 )lo(X f., …, X f.)=（걸(/J P( t )(X}, …, X r))l= lo
가된다. 증명 : 이 경우에는 DX i/ d t三 0 이므로 앞에서 주어전 공석에서 쉽게 나온다. 이 공식 에 서 (D0/dt) to 가 텐서 장 O 와 곡선 P 〈t)에 만 관계 된다 는 것이 더욱 명백하다. 우리는 이분만 아니라 (D rJ> /d t )10 는, 곡선 P( t)가 아니 라 P( t)의 to 에 서 의 속도 벡 타 P(% ）에 만 관계 된다는 것을 보이겠다. 죽 P(%) 를 통과하는 두개의 곡선이 주어전 접에서 갈은 속도 벡타를 가지고 있으면 어느 곡선을 따라 (D (JJ /d t),.를 계 산하더라도 값이 같다는 것을 보이겠다. 보조정리 : O 를 차수가 7 인 공변 텐서라 하고 PEM 이라 하자. x1,x2, ... ,x 『울 P 의 근방 U 에서 정의된 C., 백타 장이타 하고
X},X;, … ,x~ 를 이들의 P 에서의 값이라고 하자. F(t) , -e
(쁩)。 (X}, …, x;)= （쁩니。 (X}, …, X~)
가성립한다. 증명 :f를 U 상에서 정의된 C' 함수라 하자. 그러면
(물f (F (t ))1_0 Yd= (玉-f (G(s))•=o
가 된다. 이 관계를 f(q)=
VYp
여기서 Xl,X 러… ,xr 은 P 근방에 주어진 벡타 장이고 이들의 P에 서 의 값만이 f'yp(/) 의 Tp (M) 에 대 한 값에 영 향을 미 찬다. 정리 : (/)E ff r(M) 가 주어졌을 때
7Jl'p( X}, …, x p : Yp ) = (ryp( /)) (xi, …, Xp )
로 주어지는 7Jf는 차수가 r+l 인 c= - 공변 덴서 장이 된다. 증명 : 이 정리를 증명하기 위하여 다음 두 사실만 증명하면 된 다. 첫째는 각 점 PcM 에 대하여 맵p는 마지막 변수에 대하여 선 형적이라는 사실이고, 둘째는 임의의 c= －백타?J- X1,X2, … ,X 『, Y 에 대하여 위에서 주어전 공석이 P 에 대하여 c=· 함수가 된다는 것 이다. yp에 대한 선형성은 앞에서 주어전 VY p(/)에 대한 공식에서 우측의 각 항이 yp에 대하여 선형적이라는 사실로부터 나온다. :::J.... 리 고 (£7y
阿硏 ..J ,+ 1= 言g8 .j r_E rjr +I iio h 'k •••j r
로 주어진다. 이의 증명은 맵의 정의로부터 쉽게 나온다. 정 의 : 텐서 장 f/J E !!7『 (M) 이 어 떤 곡선 P( t)상의 모든 점 에 서 ` 겅Df/ J =0 를 만족하면 (/) 가 P( t)를 따라서 평 형 한다고 한다. 그리 고 모든 곡선을 따라 Df/ J/ dt= O 이 면 단순히 평 행 하다고 한다. 만일 모든 접 PeM, 모든 접 벡 타 XPcTP(M) 에 대 하여 FxP(f J= o 이면 0 논 평행하다. 그런데 임의의 접 P 와 임의의 접 벡타 X 西 T p (M) 에 대하여 P 를 통과하고 초기 속도가 X 색 측지선이 있으 므로, 만일 모든 측지선을 따라서 0 가 평행하면 O 는 M 전체에서 평행하게 된다. 벡 P타( t장)가 X 임i ,의X 의f, …미, 분xr 가 에능 대한 하 곡여 선7이dt(고 f/ JP((X tf), 를X ~따, 른···, X임의D의)~ o평 이행 성한 립하면 텐서장 O 는 P( t)를 따라 평행하게 된다.
예 : M 을 곡률이 상수 K인 상수 곡률 다양체라 하자. 그러면 정 의에 의하여 임의의 정규 직교 백타 XP, yp에 대하여 R(XP, YP, XP, yp)=一 K 가 된다. P( t)를 P 를 통과하는 임의의 곡선이라 하 고, P(O)=P 라 하자. 그리고 XP(t ), YP(I) 를 XP(O )= XP, YPco,=YP 이 고 P( t)를 따라 평 행 인 백 타 장이 라 하자. 그러 면 XP( I), YP (I)는 모 든 접 에 서 정 규 칙 교적 이 고 따라서 R(XP(t ), YP( t), XP(I ), YP(t) ) = -K 가 된다. 따라서 P (t)를 따른 임의의 평행인 벡타 장 x:(i= l,2, 3,4) 에 대하여
꿉 R(X}, X t, x,, X t)= O
가 된다. 따라서 곡물 텐서 R 은 임의의 곡선을 따라서도 평행이 다. 즉 상수 곡물 다양체의 경우 곡률· 텐서는 M 전체에서 평행아 다. 곡물 텐서가 M 전체에서 평행인 예는 또 있다. 정 리 (Carta n ) _M 이 Ri em ann 대 칭 공간 (s y mme t r i c s p ace) 이 면 곡 률 텐서는 M 전체에서 평행하다. 증명 : 동거 리 사상(i some t r y)는 평 행 성 (p arallel i sm) 과 곡률을 보존 · 한다. 죽 어느 곡선을 따라 평행인 벡타 장은 다시 어느 곡선을 따 라 평행인 벡타 장으로 가고
Rp ( XP, YP, ZP, W p) =RF(P)(XF(P), YF(P), ZF(P), WF(P))
가 성 립 한다. （여 기 서 XF(P) 등은 (F*X)FCP, 를 뜻한다. ) 그리 고 등 거리 사상은 측지선을 측지선으로 보낸다. 그런데 곡률 덴서가 평 행하다는 것을 증명하기 위하여는 임의의 측지선을 따른 평행한 벡 타 장에 대하여 값이 상수가 된다는 것을 보여 주기만 하면 된다. 그런데 M 이 대칭 공간이면 임의의 측지선 P( t)를 따른 XP(O), yP (O), '의 평 행 이 동인 XP(t) , YP(I) …는 M 의 등거 리 사상 Tc 에 의 하여 얻어진다. 따라서 특히 측지선 P( t)를 따른 평행 벡타장 상에 서 는 곡률이 상수가 된다. 위의 정리에 의하여 얻어지는 예에는 상수 곡물 다양체 이외에도.
많이 있 다. 특히 간밀한 반 단순 Lie 군 (sem i s i m p le Lie g rou p)상에 양변 불변 메 트릭 (bii nv aria n t metr ic) 이 주어 졌 을 때 곡률은 0 에 서 어떤 양수까지 연속적으로 변한다. 이러한 G 는 상수 곡률 다양체 가 되지 못한다. 그럼에도 불구하고 대칭공간이기 때문에 곡률 밴 서는 평행하다. 따라서 우리는 곡률 텐서가 평행인 Ri em ann 다양 체는 어떤 것일까 하고 의문을 갖게 된다. 이에 대하여 역시 Carta n 의 다음 정리가 있다. 정리 (Car t an) : M 을 곡률 텐서가 평행인 Ri em ann 다양체라 하 자. 그러 면 M 은 국소적 으로 대 칭 공간이 다. (locally sym metr i c spa c e) 죽 각 접 PEM 에 대하여 어떤 근방 U 가 있어서 U 상에 대합적 둥 거 리 사상(i nvolu ti ve iso metr y )
제 2 장 의미분 연산자 국소적 형 태의 지표 이론에서는 타원형 (ell iptic) 미분 연산자의 이 몬이 주요 도구이다. 특히 이런 연산자의 역 연산자(이의 정확한 의 미는 나중에 나운 것이다.）에 대한 연구가 중요하게 된다. 그런데 이 연산자는 이미 미분 연산자가 될 수 없기 때문에 우리는 미분 연산 · 자보다는 좀더 일반화된 연산자들을 정의하여 타원형 미분 연산자 의 역 연산자를 포함할 수 있게 하고 싶다. 바로 이런 목적을 위하 여 의미분 연산자가 만들어졌다. 이 장에서는 의미분 연산자들이 작용할 Sobolev 공간에 대 하여 약간 언급한 다음 의 미 분 연산자의 정의를 주고 이들의 여러 성질에 대하여 공부한다. 그리고 이 성질 둘은 유클리드공간에서 성립할 분만 아니라 다양체상으로도 자연스 럽게 확장됨을 보이고 특히 타원형 연산자와 타원형 복제에 대하여 자세히 언급한다. 그 결과로서 Hod g e 정리와 Po i ncare 쌍대 관계를 증명한다. 끝으로 타원형 연산자의 고유치에 종속되는 국소적 불변량을 주 어 진 연산자의 kernel 함수를 관찰함으로써 얻는다. l Sobolev 공간 앞으로 일마 동안 우리논 R 상에서의 문제로 제한한다. （곧 입의 의 다양재상으로 확장될 것이다.） 이 장에서 함수라고 할 때는 RN 상-
에 정의 된 복소수를 값으로 백 하는 함수를 말한다. 그리 고 다중복 지수
(ai, a2, ……, aN)e(Z+)N
를 단순히 a 로 쓴다. 이 때
N
으로 정의된다. (x, e) 는 통상 T*(RN) 의 원소를 나타낸다. 따라서 e 는 RN 의 여 접벡타 (covec fo r) 가 된다. 그리고 모든 적분은 RN 의 통상적인 Lebesgu e 측도 (measure) 에다 (2rr)-N/2 을 곱하여 얻어전 측도에 대한 적분을 택한다. C ri (RN) 은 긴밀한 지지역 (comp ac t sup - p or t)을 가전 원활한 함수들의 집 합을 뜻한다. Schwar t z 공간 J cRN) 은 임의의 (a, n) 에 대하여 어떤 상수 Ca,,, 이 있어서 !Daul:::;ca, .. CI+!x i)-'’이 성립하는 RN 상의 원활한 함 수의 집합으로 정의된다. 따라서 정의로부터 J (RN) 에 있는 임의의 함수는 무한대로 갈 때 어떤 다항식의 역보다도 더 빨리 감소함을 알 수 있다. 따라서 Cri (R N)c J cRn)cL2(Rn) 이 당연히 성립한다. Cri 가 E 에서 조밀 (dense) 하기 때문에 따라서 A 도 E 에서 조밀하 다.
. ff(U )(e)=u(e)=J gR:Nx -eu (x)dx
로 정 의 된 Fourie r 변환은 A 를 J로 보내 는 위 상 동형 (homeomorph i- sm) 이다.
Juv= (u, v), (U*V)(x)=J ucx -y) v (y) d y
라 하면 多는 다음의 성질을 만족한다.
{1) (u, v) = (it, fJ ) (Parseval 의 공식 )
(1) 과 (3), 그리고 J가 E 에서 조밀하다는 사실에서부터 다음의 Plancherel 정 리 를 얻 는다. Plancherel 정리 ; 훗 의 E 에로의 유일한 확장이 있고 이는 E 의 등 형 사상이 되며 공식 (1)이 E 에서도 성립한다. s 가 임의의 실수이고 UE 』일 때
!l ull , = 깁 1 uCe ) 1 2c 1+ |안 ) ' de J l/ 2
로서 11 te lI, 를 정의하자. 그러면 Sobolev 공 7J : H,(RN) 은 J(R N) 위에 서 정의된 노름 (norm) 11 11 , 에 대한 완비 (com p le ti on) 로서 정의된다. 따라서 H3 는 C l+ I 안 )'d ? 라는 비중울 가전 측도에 대한 L 2 공간 에 대응된다. 그리고 적당한 양의 상수 C1 과 c2 에 대하여
c1Cl+ I 안 ) · ~Cl+ I 위 ) 2 '~Cz(l+ lel2)'
가 성립하기 때문에 위의 정의에서 (l+|E 住 Y 대신에 c1+1e1)” 로 바꾸어 놓아도 H저 1 동등한 노름을준다. 이 노름에 대하여는 llull, 는 c1+ 1e1)•uce) 의 L 드노름 (norm) 에 지나지 않는다. Fouri er 변 환 空 가 L2 상의 등거리 사상이라는 사실과 곱은 미분에 해당된다는 사실에서부터 Sobolev 공간 H, 의 s 는 어떤 의미로 E 미분의 횟 수를 말한다고 할 수 있다. 특히 s 가 양의 정수이면 정확히 L 2 미 분의 횟수를 의미한다. 실지로 만일 nez + 0]~ llulln ·울
llu| |:=꾼:S』 언 ce) I2 de =麟,,1 e l2l flC e) l2de
로서 정의할 수도 있다. 역 Fouri er 변환을 택하면 위 식의 우번은
j{J1 이:tS nn ID u(x)l2)dx
이 된다. 그런데 적 당한 상수 k1, k2 에 대하여
ki( l+ 1€1)2~ laIl::S n WI2~k2Cl+ l€l)2n
이 성립하므로 llulln 은 원해의 정의와 동등하다. 이를 이용하여 우 리 는 미 분연산자 Da 를 Schwarz 공간 J 로부터 Sobolev 공간 H5 로 확장할 수 있고 다음의 결과를 얻는다. 보조정리 : D: : H,---t H 1 -lal 는 연속인 연산자이 다. 층명 : 적당한 상수 c 에 대하여
w12c1+ 1 안 )s-1 떤 ~c(l+ WI)'
가 성립I한ID다:u.ll ~-따la라l =서J 1e121u(e) I2 (1+ I 안 )•-Ia i de
이 되어 위의 성질이 증명된다. 정 리 (Sobolev) s>N/2 라 하자. 그러 면
(1) u1:H , ⇒ ueC0(RN)
증명 : (1) ueS 라 하자. 그러면
u(x)=f ei •tu( e)de =fei·f(l + I 안 )-s/2 (1+ 守 )•/2u(e)d t
을 얻는다. 그런데 s> 강이므로
I(1+ 1 안 )-'de=c,
Iu(x)I~c,IlulI, 가 x 에 관계 없이 성립한다. 따라서 11 11, 에 대 한 수령은 평등 수령 (unif orm conver g ence) 을 의미한다. 만일 UEHs· 떤 U 는 J에 있는 함수의 수열의 1111, 에 관한 극한이 된다. 따라 서 특히 J에 속한 함수의 수열의 평등 극한이 되어 연속인 함수가 된다.
(2) ueH, 나라 하자. 그러면 앞에서의 보조 정리에 의하여 |aI::;;k 에 대하여 D:UEH3 가 성립되어 (1)에서 (2) 를 얻을 수 있다. S 건이면 Cl+1e12)'~(1+1e12)' 가 성립하므로 ueH, 이면 UeH1 가 된다. 죽 HSeH1 가 성 립 한다. 우리 는 이 포함 관계 (i nclus i on) 가 어 떤 의미로 간밀 (com p ac t)하다는 것을 보이겠다. 정리 : {un}eH1 라 하고 모든 n 과 어떤 긴밀집합 C 에 대하여 sup pU ,.cC 가 되 고 I lunl 1.::;;1 이 라 하자. 그러 면 t< s 일 때 수열 {Un};;'=l 는 Hs 에서 수령하는 부분 수열을 가지고 있다. 증명 : 우리는 우선 {Un}'::=l 이 임의의 긴밀 부분집합에서 군일하 게 수령하는 부분수열을 가지고 있음을 보이겠다. LJ Su pp Un 에서는 ¢三 1 인 *~n 에서부터 D i=(-i)급仁라 할 때
Dj an=Dj g먀
이 성립한다. 따라서
I D;un(e) I = I j파 (e 국 )u,.(71)d 까
이 된다. Schwarz 부등석으로부터 이는 다시
괴 Cl+ 7J l z) 기파 ce-71) I 2d71)V2[J I U n(7J ) I 2(1 + I7J I 2)'d71J l/Z ::;; fC e) Il u n l I, ::;; !Ce)
가 된다. 따라서 각각의 j 에 대 하여 {i} 분만 아니 라 {Di u ｝도 간 밀 은부분집 합에 서 평 등 유계 (unif orm ly bounded) 되 어 있 다. 득하 {Un} 는 긴밀 e- 부분집합에서 평등 동정도 연속 (e qu i con tin uous) 이 된다. 따라서 Arzela-Ascoli 정리에 의하여 {i n} 은 임의의 긴밀 쓴 부분집합에 대하여 균일하게 수령하는 부분수열을 가지고 있다. 우리의 정리를 증명하기 위하여는 이 부분수열 {un} 이 H,에서 Cauchy 가 됨 을 보이 면 된다.
llun-Umll f =IR Ni 도나 Cl+1e12Yde=1, 仁』
로 분해하자. 그러면 j 1 도 |2( 다 I 안 )'d 초견下炳=`,』~fi ,.-umI2(1+ IeI2)•de • l f l> 『 令급尸 Ilun-U,nI l? 三 (l+;2y -t 가 된다. 한편 {t,,}이 임의의 간밀한 E- 부분집합에 대하여 평동 수 령하므로 n 과 m 이 무한대로 갈 때 I IfI S lTa n( f)－냐 )l2Cl+I 안 )'de 一 。 이 된다. 따라서 n,m 그리고 r 이 충분히 크면 llun-Umll~< i;이 된 다. 그런데 H1 가 완비 공간이므로 {Un} 은 H1 에서 수림한다. 위의 정리에서 {Sup p un}CC 라는 가정을 버릴 수가 없다. 모든 n 에 대 하여 Un 의 지 지 역 이 서 로 분리 되 어 있 고(p a i rw i se dis jo int ) ll u,,11,=1 이면 적당한 e>O 에 대하여 llun-Umll1>e 이 모든 n, m 에 대하여 성립한다. 각각의 Hs 는 Hi lbe rt 공 간이 기 때 문에 자기 자신이 쌍대 공간이 된다. 그러나 Hs 에는 어떤 표준적인 노름이 없기 때문에 H. 의 쌍 대 공간 (H,)* 를 다음 성질에 의하여 목성화시키는 것이 더 유용하 다. 정 리 : (u, v) 一J a0de 로 보내 는 H,xH_,-c 는 완전한 쌍이 다. 따라서 (H;) ＊를 H-s 와 (H-3)* 를- H. 와 동일시 할수있다. 증명 : I80de 를 〈 u,v 〉로 쓰자. 실제로는 〈 u,v 〉를 Schwartz 공간 .J 에 있는 원소 u,v 에 대하여 정의하고이를 HSXH-s 로확장한다. 그러면 l <〈u u,,v v〉>가 I 여= 기l <에u,서 v도> I 찰= l j정uv의de된 l 다는것을알수있다. 그런데
= | IO(e)(l + | t; 12)•/2 vCOCl + I t; I zy s /2dr; I
가 성립한다. 따라서 UEH3 를 고정시킬 때 sup |
%(f) =i(e) (l + I e I 2y
가되어
|
가 되어 동석 관계를 얻는다. 마찬가지로 H-s=(H;) ＊이 된다. 따 라서 (tt, V) ―一〈 u, v 〉는 완전한 쌍이 되 어 H, 와 H_, 는 서 로 쌍대 관계이다. 2 의미분 연산자 이 절에서는 의미분 연산자를 정의하겠다. 선형 미분 연산자는
P(x, D) = laIlS:m aa(x)D~
로. 주어진다. 이때 P의 십볼 (s y mbol) 은 a(P) 로 표시되고
a(P) =P(x, e) = .l« II :S t na «Cx)e
로 정 의 된다. D:^z t(e ) =합 (e) 을 이 용하여 D:u(x) =J e '타 E i (e)d은 가 되고 일반적으로
P(x, D)u(x) =Jei x •tp ( x, e)u(e)de
아 된다. 이 마지막 공식에서 PC .x ,e) 가 다항식분만 아니라 더 일반 적인 함수(다음의 정의를 만족하는 함수)로 확장하여 의미분 연산 자의 작용을 정의하겠다. 정 의 : PCx, e) 가 다음 조건을 만족하면 m 차의 십 볼 (s y mbol of order m) 이 라 부르고 PESm 으로 표시 한다. CD P(x,e) 는 x 와 e 에 대하여 C .. 이다. c2) p (x,e) 는 간밀한 .x-지지역을 가지고 있다. (3) 임의의 er, /3에 대하여 어떤 상의 Ca,P 가 있어서, 모든 x,. e 에 대하여
I D:Df p(x , e) I =:::;ca,PCl + I 이 )m-lPI
를만족한다. P(.x, D)= .E a a( x)Da 을 미분 연산자라 하자. 그러면 P 의 ia l:s m 십 볼 a(P) = ial .:ES 1 1 1 aa(.x) e a 는 m 차의 다항식 이 다. 따라서 이 는 당연 히 sm 에 속하고 P 는 m 차의 의미분연산자가된다. 1 절에서 P: H.-H,-m 이 연속인 선형 연산자라는 것 을 증명 하였 다. 우리 는 이 사실을 의미분 연산자에 대하여 확장하고자 한다. 정 리 : <1( P) =PES' 이 라 하자. 그러 면 P : H, -H s-m 은 모든 S 에. 대하여 연속인 선형 연산자이다. 증명:언저 .
Pu(.x )=Jei x •tp ( x, e)u(e)de
를계산한다.
~^( 1J) =HeiJ1 ,(H>p (x , e)u(e)dedx
=Heiz ,(Hlp( x , e)u (e) dx d~
가 된다. PxO, O =Je -i• 2p (x , e)dx 라 하자. 그러 면
Pu(7J )=JP x(TJ- e, e)u (e)d~
가 된다. ¢CH'-s 라 하자. 그러 면
伊 u( 1J)¢(1J )d TJ =H p x( 7J국, e)g @) ace)df d?
를만족한다면
I j Pu(11)¢( 1J )d 까 ~ I JK ce, 7])(1 + I 까 )'-'¢(7J)C l + I 하 )si (e )ded7J I
가 성 립 한다. 그런데 Hm-s 는 HS-m 의 쌍대 공간이 므로 이 부등식 은 1IPul1,-m~cllulI, 를 말해 준다. 따라서 P 는 H, 를 H,-m 으로 보 내 우는리 유 논계 J연1K 산ce자, 1 (Jb) ol duen d후e,d o p e|r Ka te oer), 이7] )다 1.d 7J ~ c 를 다음과 같이 증명 한다. p1; S~1 면 |D:P I~c (l +I 이 )m 이 성립함을 안다. 그런데 P 가 긴밀한 X- 지지역을 가지고 있기 때문에
ID^'? P0 , 0I = IJe -i•2 D:p (x , e)dx|~c(l+ |이 )m
이 되어
I D^: PO, e) l ~c( l + l e l )m(l + 111 )-1
를 얻는다. (여기서 상수 c 는 각 방정식마다 다른 일반적인 상수를 뜻하
고 k 는 입의의 상수이다.） 따라서
IKI = I P:r( r;- e , e )(l+ 1e1)-•(1 + I 까)'기
가 된다. 부등식 卓討팝철 +1a 一 bl 을 적용하면 IK\~c( l+ 1e- 까 )-k+lm-sl 를 얻는다. 따라서 k 가 충분히 크면
fjI\KK((ee ,, 77JJ)) \\ddre;~ ~ cc fj((11++ ll ee-- 까까) )--kk++1 l ImI-:- s,I lddne<<0o0o
를 얻어 증명이 끝난다. 우리는 차수가 m 인 의미분 연산자의 예를 들어 보겠다. 예 1) Ca(X) 를 어떤 간밀 집합 K 안에 지지역을 가지는 Co 함수 라할때
p(x , 0 = lalI:S: m C a(x)e
라 하자. 그러면 p(x,0 1: sm 이고 이에 대응되는 의미분 연산자는
P(x, D) = lal~=m C,,(x)D
로 주어지는 미분 연산자이다. 예 2) C(x)eC0 라 할 때 P(x, O=C(x)(l+ le)2)m/2eS' 이 다. (여 기서 m 은정수일 필요가없다.) 만일 m=-2 이면 p (x,e)= 」1+죠1혹e1는 이고 P: H,-+H,+2 가 되어 P 는 함수를 더 원할하게 만든다. 이런 현상은 미분 연산자에서는 나타나지 않는다. 이 다음 절에서 의미분 연산자가 합성 (com p os iti on) 과 수반 연산 자 (ad joi n t o p era t or) 의 연산에 대하여 닫힌 대수 (al g ebra) 가 됨을 보 이겠다. 그러나 우선 몇 개의 예를 들어 어떤 현상이 일어나나 알 °l-보자. s- (R) 에 작용하는 두 개의 연산 P=+ai (-x,• •) ., 으ax국 가Q =b(x) 를생
각하자. 여 기 서 a(x), b(x) e C0(x) 이 고 a(P) =a(x)e, a(Q ) =b(x) 가 된다. UE iJ (R) 이 면
(PQ ) u=P(Q u ) =+ta (x) 으8x- (b(x)u(x))
가 되 어 P Q =+i a-b- 으a x- +• +i ab' 가 된다. 따라서
a(PQ ) =ab~ +-!t. -ab' =a(P )a(Q ) +a)a(P ) • D~a(Q )
라는 관계를 얻는다. p*가 L2 내적에 대하여 P 의 수반 연산자라 하자. 죽 (P*u,v)= (u, Pv) 가 성 립 한다고 하자. P= +ta (.x)으8x- 의 경 우에 P* 를 구해 보자.
K 는(틀 )*uvdx =J u +a(.x) 읊 vdx
가 된다. （여기서 우리는 부분 적분과 수반 연산자의 정의를 사용 하였다.） 그런데 a(x) 가 간밀 지지역을 가지므로 Eu5l2 구 =0 이다. 따라서 (十불) *u=+(au)’ 가 되어 (+a:;)*= 十국훑+ +t ca*)’ 를 얻는다. (여 기 서 ii= a* 라 하였음) 따라서
a(P*) = (a(P))*+aiD ~ (a(P))*
라는 관계식을 얻는다. 우리는 일반적인 의미분 연산자 P, Q에 대
하여 비슷한 공식을 얻을 것이다. 다만 일반적으로는 유한개가 아 닌 무한개의 합이 나온다. 3 의 미 분 연 산자의 대 수 (al g ebra) 앞으로는 소문자에 대응되는 대문자는 주어전 십분에 대응되는 연산자를 뜻한다. 그리고 2 개의 십볼 a 와 b 가 동등하다는 (e q u i va lent) 것을 a-b 라 적고 이는 a-b 가 모든 m 에 대하여 sm 에 속한 다는 것을 말한다. 따라서 만일 a~b 이면 모든 s 와 s’ 에 대하여
A-B : H,-Hs'
이 된다. 득히 Sobolev 청리에 의하여 모든 s 에 대하여
A-B : H,---t C '
가 된다• 따라서 우리는 우리의 관접에서는 무시할 수 있는 무한 원활 연산자 클라스 (clas~ of inf i ni t el y smooth i n g o p era t ors) 를 생 략하 기로한다. 의 정실의수 : am 와 1: R +( a에 iJ i=대 o 하가여 십 볼어떤이 라자 할연 수때 Na ~이 $촌 a 재j라하 여함 은a -임iI=의;O a의jE S 양-m j= O 이 모든 n>N 에 대하여 성립함울 말한다. 죽 무한개의 합 중에서 충분히 많은 유한개의 항만을 택하여 a 를 임의의 원활 항들만 제 외하고 충분히 근사시킬 수 있음을 의미한다. 정리 : 1JT K 몰 고정된 간밀 집합 K 안에 지지여울 가지는함수에만 작용하는 의 미 분 작용소의 클라스라 하자. PelJ fK 에 대 하여 P* 불 (P*u,v)=(u,Pv) 관계로 정의하자. 그러면 (1) P1 :1JT K ⇒ p*따 이 고 (P( x, e))*= 阮工丙·타 할 때 a(P*)~ .I:ai D ;P*Ia! 가 된다. a. . (2) P, Q1:1JTK 이 면 PQ 1:1JTx 이 고 a(PQ ) ~E8fP D :q/ a ! 이 된다. 이 정리를 증명하기 위하여 우선 다음의 보조정리를 이용한다. 이의 증명은 나중에 주어질 것이다.
보조정리 : r(x,e, y)가 x, y에 대한 긴밀지지역을 가지고 있고 임 의의 a, (3 ,r 에 대하여 적당한 상수 c . p r 가 있어서
I D~ D~ D; r(x , e, y) I 작.p r (l + I ~ I )m-lPI
가 적당한 고정된 m 1: R 에 대하여 성립한 다고 하자. 그러면
(Rtt ) (x) =Jei ( x-,Hr(x, f;, y) u(y) dyd ~
는 맵 I( 의 원소가 되고
a(R)~I ;or;D ; r(x, e, y)/ a! I, =:t:
가된다. 정리의 증명
(1) (Pu, v) =Jei X ••u(e )ii(x )p (x , e)d;dx
이다. 그런데 p (x , i)를 간밀 순지지역을 가전 함수로 근사시킬 수 있기 때문에 우리는 Fub i n i정리를 적용할 수 있고 따라서
(Pu, v) = Jei< x -,, ·•u(y) iJ( x)p (x , e)dxdfd y
를 얻는다. 이 때
(P*v)(y) = \尸元 v(x) Kx:f) dxd~
라 하자, 그러면 위 식으로부터 (u, P * v)=(Pu,v) 가 된다. K 상에 서는 ¢=1 인 ¢eC 討을 덱하자. 그러면
(P*v) (x) =jei< x -,, ·•¢(x) 釋 v( y )dy de
라 쓸 수 있다. r(x,e, y)=
3(P *)~ E6;D 판 (x) p ~’y , l;)/a ! l y= s =E a 8;D: P.( y, f)/ a! ly = Z a = I:o;D ~ p (x , e)/a! 。 가된다. (2). (1)의 증명에서부터 Q* u(x) =J e i
a(PQ )~a =aI 』; + a, (ac;1 p (x , e))(a p D~•D~ • ij(감)al―!a으2!느a!一
이 된다. 여기서 마지막 등석은 공석 (1) 에서 P= Q*라 놓고 (Q* ) * =Q 라는 사실을 이 용하여 얻었다. 보조정리의 증명
Ru(x) =Jei C : r -,) 아 (x, t;, y) u(y) dyd e
로 정의되었다. 그런데
J e- i마 (x, e, y)tt(y) dy= ~I (x, l;, y) udI) (f;)
가 된다. 여기서 fy는 변수 y에 대한 Four i er 변환을 의미한다. 다 라서
Ru
라 쓸 수 있다. 그런데
1ryc x ,e, e- YJ)|후 Kl+ |이 )m(l+ |e-?l)-k'
가 모든 k 에 대하여 성립한다.（왜냐하면 r(x,e, y)와 u( y)가 y에 대하여 간밀 정의역을 가지고 있으므로)다라서 Fub i n i정리를 적용 하여
Ru(x) =Jei :r ,tf,( x, e, e-YJ) u (YJ) dedYJ
가 된다. 이때 P(x, YJ)=j e i:t ,(H> f,c x, ·e ,e- YJ )de 라 하면 Ru(x)= Je• ·:r •~ p( x, YJ) U(YJ) dYJ 가 된다. 우선 r(x, e, y)의 성 질로부터 P(X, YJ}
잡이 됨을 알 수 있어 Re 1/f k 가 된다. 변수 f를 e+ r;로 바꾸면
p(x , 1))=Je .. ·•r,(x, 社 e, e)de
가 된다. ?y 의 가운데 변수에 대 한 Tay lo r 급수 전개 를 덱 하면
r,(x, 기유,f)= E 쩌 〉 y (x,7,e)ea/a!+ 나머지항
로 된다. 따라서
p(x , r;) = 훑』 e’. x ·f6 ;fy ( x, 7, e)Edg/ a ! + 나머 지 항
이 된다. 그리고 나머지항이 S' II-k 의 원소가 됨을 보일 수있다. 그 런데 a(R)=P 이므로 보조 정리의 두번째 부분도 증명되었다. 1 t가 어떤 개집합 O 에서 1t =0 이면 임의의 미분 연산자 P 에 대 하여 Pu 도 O에서 P it르 0 이다. 이러한 성질을 극소적이라 한다. 그러나 의미분 연산자논 적분으로 정의되기 때문에 떨어져 있는 접 에서의 함수 값도 영향력을 가질 수 있어 일반적으로 국소적이 못 된다. 그렇지만 의미분 연산자는 의국소적(p seudo-local) 이라는 국 소적과 비슷하지만 종 약한 성질을 가지고 있다. 죽 P 가 의미분작 용소이고 ueC~c <9)이면 Pu 도 C( <9)에 속한다. 다른 말로 표.현하 떤 sin g sup p u 를 U 가 C 가 되지 못하는 접들의 집합의 페포 (clo. sure) 라고 할 때 P 가 의국소적이라는 뜻은
sin g sup p Pu~sin g sup p u
가 성립함을 의미한다. 정리 : P 가 의미분 연산자이면 F 는 의국소적(p seudo-local) 이다. 증명 : C(X)E 댜라 할 때 c(x) 의 곱으로 정의되는 의미분 연산은
c(x)u(x) =c(x)Je iX •l u(e )d e =J e i X•lc(x) 殿 )d g
라는등석으로 인하여 의국소적임을 안다 .G 가개집합이고 UEC~(G) 라 하자. XEO 를 고정시키고 ¢를 X 부근에서 항등적으로 1 인 ¢€ c;cG) 라하고 #는 sup p cp에서 항등적으로 1 인 少 cC 託 0) 라 하자. 그러면 ¢P¢ucC~ 이다.(여기서 우리는 의미분 연산자에 의하여 c;71- c~ 로 간다는 사실과
G( 삼菊 )=¢a(P cjJ)=
이다. （여기서 우리는 의미분 연산자의 합성의 십볼에 대한앞의 공 식과 ¢ 의 지지역에서는 r/J= l 이 되어 lal>O 인 a 에 대하여 D: 少 =O(sup p ¢ 위에 서 )라는 사실을 이 용하였 다. ) 따라서 모든 k>O 에 대하여
삼쟁-삼 %s-k
가 성립되어 Sobolev 정리에 의하여
¢P¢ -삼' : H5 一 COO
가 되어 득히 (삼'＃국 P)uEC00 가 된다. 그런데 (삼-:,
2 에서는 항등적으로 1 인 COO 함수 ¢:RN-[O,1] 을생각하자. ¢는 그림과 같은모양을갖 는다. j 가 무한대 로 갈 때 tj-0 0 로 가는 수열 tjER + 를 택 하자`
R
는 찰 정의된다. （왜냐하면 임의의 (x,e) 에 대하여 #Ce/ tj)가 j가 무한대로 갈 때 결국은 0 이 되어 유한개의 항만이 0 이 아니기 때 문이다.) j >o 이라고 하자. 그러면
IPi ( x, e) l ~c( l + l el )'l (:. Pj E S' i)
이 되어 충분히 큰 1e1 에 대하여 이는 살(1+|이 ) ' 0 보다 작게 된 다. 따라서 필요하면 t1 이 부분 수열을 덱 하여 우리 는 | ipc e;tj) P i (x,e)| ＜쉴 -Cl+lel)m• 가 모든 e 에 대하여 성립한다고. 가정할 수 있다. 따라서
..
가 적당한 c 에 대하여 성립한다. 동일한 방법에 의하여 우리는
j~.=. O 가 성립함울 보일 수 있다. j >1 인 j에 대하여 비슷한 방법으로
l
울 증명할 수 있고 필요하면 t1 의 부분 수연을 덱하여
J~.=. . rlp ( e/t,) p} (x, e)1:S n, 1
이 됨 을 보일 수 있 다. 따라서 대 각선 방법 (dia g on ali za ti on argu ment) 에 의하여 tj의 적당한 부분 수열을 덱하여
j~0=9 k cp( e/tj) P lx, e) ES 야
가 모든 k 에 대하여 성립하게 할 수 있다. 이렇게 한 다음
p(x , O =iI= 0O : ¢(e/ti) P i x , O
타 하자. 모든 j에 대하여 ¢(e/ ti )Plx, e)-pj( x,e) 가 간밀 f-지지 여울 가지고 있으므로 이는 모든 k 에 대하여 Sk 에 속한다. c/>=p Ce(/x t,i e))PElS xm,o e이) 는고 모든 j에 대하여 무한 원활 연산자이다. 그런
p(x , e)- p。 (x, O =c/> (e/ ti )P 。 (x, O + j.=Ec ol ¢(e/ti) P lx, e)
(t 1e )/ Ptjj) C Px l, x0, 1 e: s) 야 +1
00 이 성립되어 P~jE= O pj가 증명된다. 4 타원형 연산자 이 때까지 우리는 합성과 수반 연산자를 택하는 연산에 대하여 닫혀 있는 의미분 연산자의 대수를 만들었다. 우리는 이 의미분 연 산자의 대 수 중에 서 역 이 있 는(i nver ti ble) 원소(이 를 타원형 이 라 부른다) 예 대하여 좀 더 자세히 공부한다.
정의 : 만일 l€1 이 큰 8 에 대하여 p(.x ,0-1 가존재하고 |p(.x,0 -11 ::;cc1+1e1)-' 이 성립하면 p(.x,€)1: S' ’ ' 울 타원형아라 부른다. 어떤 의미분 연산자 P 가 타원형이라는 것은 이의 십볼 P 가 타원형이라 는것이다. 보기: (1) RN 상에 정 의 된 함수에 작용하는 Lap lacia n 6.
A f=혼N iai2f· a(6)=-1e12
(2) 복소 평면 6 상에 정의된 함수에 작용하는 8/8Z. 즉
퐁단(폴+룹), a( 玉)=검 a+ iYJ)
P= I; aa(x)D« 가 미 분 연산자라 할 때 이 의 선두 십 볼(l ead i n g 5 y mbol)I • 은1 :S m 야 (P) = I; aa(X)~a 로서 정 의 된다. 미 분 연산자의 경 우 |이 =m 에는 타원형 여부를 가려내는 좋은 기준이 있다. 정 리 : P= I; aa(x)Da 라 하자. 그러 면 P 가 타원형이 되기 위한 l 이o, m 필요 충분 조건은 e~o 인 모든 e 에 대하여 야 (P)(x, e)~o 이 성 립 하는 것이다. 증명 :P 가 타원형이면 충분히 큰 1e1 에 대하여 e1e1m~1 IaIl :드 m aa(x)eaI 가 성립하는 e 이 촌재한다. 그런데 만일 f가 충분히 크면
I 1 미E:s m aa(x)E“ 1-< 1-(1 L (-P -)(-x ,- e-) I- + ·I1 « 1:E S,i, - 1 a.e· 1
이 성립한다. 따라서 충분히 큰 e 에 대하여 궁|이단다(1 L(P)(x,e)I 가 성 립 하여 야 한다. 그런데 (1 L(P) 는 m 차의 군일 함수 (homo g ene ous fu nc ti on) 이 므로 이 부등식 으로부터 모든 e~o 에 대 하여 (1L (P) (x,e)~o 이 성립함을 알 수 있다. 역으로 e~o 인 모든 E 에 대하여 (1 L(P)(x,e)~o 타 하자. 따라서 적당한 상수 C 에 대하여 l <1 LP( :x ,e)|~c1e1m 이 성립한다 .c 왜 냐하면 a. (x) 가 긴밀 x- 지지역을 가지고 있기 때문이다.)
p(x , O = laIf =: m aa(-x)e a +f aI f:< m a a(x)ea
라 쓰자. 그러면
1 군賢근 E-1 | ? ,Em l 。건~ l :::;; c ,훑 m | a a 1\\ 〕'f이
이 되어 1e1--oo 일 때 0 으로 간다. 따라서 특히 f가 충분히 크면 p (x,~) 는 역을 갖는다. 임의의 수 c 이 주어졌을 때 충분히 큰 &에 대하여
laIf <:m laa(x)ea l
이 성립한다. 따라서
IP(x,e)-1I= l (JL P( x ,E)+1laEl( m a a(x)ea I < cIeIm:c| 이'
이 성립되어 충분히 큰 8 에 대하여
IP(x, e) 기 ~c( l + I 이 )-m
라 할 수 있다. 따름정리 : p。€Sm, P1Esm-1 일 때 P(x, O=P.(x, e)+P1(x, e) 가 미 분 연산자의 십볼이면 P 가 타원형이 되기 위한 팔요 충분조건은.p。 가 타원형이 되는 것이다. 우리 는 다음에 어 떤 타원형 의 미 분 연산자의 역 (i nverse) 의 미 분 연산자를 구하겠다. 보조정리 : 만일 p (x, e) ES' ＂이 타원형이고 1e1~c 에 대하여 p(x , 0-1 가 존재 하면 C .. 방법 으로 p(x , e) －나문 전체 에 확장시 켜 이 를 q( x, e) 라 할 때 q( x, e) 가 q(x , e)ES-', pq~qp~ 1 이 되게 할 수있다. 증명 : 1e1 [ 0, 1 ] 를 덱 하자. 그리 고 q(x , e) 를
q( x,e)={O
라고 정의하면 pq- leC:;', qp- leC,? 가 되어 pq~qp~ 1 이 된다, 따라서 q eS-' 라는 것을 증명하는 것만 남아 있다. |q(x,01::::;;cc1 +1e1)-m 온당연히 성립한다. 그리고 1e1
I D~aiq ( x, 0 I ::::;;C«p C l + I 위 )-m-lP I
가 성립한다. 정리 : P 가 타원형 연산자이면(무한 원활 항을 무시하고는) PQ ~ I~ Q P 가 되는 유일한 의미분 연산자 Q가 촌재한다. 증명 : 앞의 보조정리에 의하여 p 〈 x, f )-1 가 모든 8 에 대하여 촌 재한다고 가정할 수 있다. 우리는 우리가 원하는 의미분 연산자 Q 를 발견하였다고 가정하고 이의 십볼 (1Q가 q ;es -m - i에 대하여 (1Q =q=q a+ q 1+ ……로 주어졌다고 하자. 그러면
(1(P Q )~za:.I; a: pD :qi /a ! = kI= U; Ia1I +;j= k. a;pD :q1 /a!
가 된다. 여기서 야P Esm-1«1, D:qj Es -m- j 임을 주의하고 따라서 |al +j =k 이면 a i;p D: q 1Es- 가 된다. k=O 일 때는 P% 라는 항하나분 이다. q.=삼 -ES_,” 으로 놓자, k>O 에 대하여 우리는
la.lE+ i_= k_ a ip D :q1 /a! =O
이기를 원한다. j
q. = -..p.L ,a1 iE+
로 정의하자. 그리고 q~설꾼라고 하자(이러한 q는 앞 철의 정리 에 의 하여 존재 한다. ) 그러 면 우리 의 과정 에 의 하여 (J( PQ ) ~P-1 + 무한 원활 항 ~1 이 되어 PQ -I ~0 가 된다. 비슷한 방임으 로 QP -I ~0 되 는 Q 를 얻을 수 있 다. 그런데 Q~Q( PQ )~(QP ~ Q ~Q 이 되어 Q는 정리에 주어전 대로 유일하다. 위의 결과로부터 정칙성 (re g ular ity)에 대하여 많은 결과 를 만들어 주는 다음의 중요한 보조정리를 얻는다. 보조정리: (l) p가 타원형이고 Pu=O 이면 ueC~ 이다. 특히 조화 함수나 해석 함수는 C. . 함수이 다. (2) p가 타원형이고 Pu 가 어떤 개집합 V 상에서 C .. 이면 lt€ c .. (V ) 이다. c ..증 이명다 .: P따u=라O서 라 Q 하P 자u._ u그=_런u데c C .앞. 의즉 u정eC리 .에. 가 의된하다여. (((2Q) 를P -증I명 )u하e 기 위하여 (QP -I) ueC .. 와• ]:'ueC .. 에서부터 QP ueC .. 왜냐하면 의 미 분 연산자는 의 국소적 (p seudo-local) 이 기 때 문에 따라서 ueC.,(V) 를얻는다. 5 좌표 변환에 대한 의미분 연산자의 불변 법칙에 대하여 우리는 앞으로 의미분 연산자의 모든 성질을 다양체상으로 확장 할 것이다. 이것울 하기 전에 RN 의 좌표 변환에 대하여 십볼이 어 떻게 변하는가를 알아봐야 한다. 우리는 부호가 어떤 의미로 좌표 변환에 대하여 불변이기를 바란다. V 를 RN 의 개집합이라 하고 J : V->V 를 주어전 좌표계 x 에 대하여 새 좌표계 f를 정의하는 미분자기 동형이타 하자. 그리고 ¢eC0(V) 에 대하여 ¢(x)==¢ C f(x ))
로 ¢를 정의하고 P 가 의미분 연산자일 때 f> ¢(x)=(P 섬)(f@))로 서 P 룬 정의한다. p(예 a x:+ fb(,x 0)=¢(ayx)+ d byd ( ed=etj ae ~iaO()타 라) • t하p(자 a.x +그b,러 e )면if> (Py)¢ l( a: il) d=y Jd ee i < ai + H)•t 이 된다. 이때 a t e 를 ?라 하면
編) =j e i(도 -YH p (ax+b, (a1) 제)rp(y )d y d r;
가 되어 P 도 의미분 연산자가 된다. 이때 십불은
a(P) 국 (x, r;) =P(ax+b, (a1) 크r;)
이 된다. 변수 e가 좌표 변환에 대 하여 (a')-lYJ 로 번한다는 것 에 주의 하 자. 그런데 이 것 이 바로 좌표 변환에 대 한 여 접 벡 타 (co t an g en t vec- t or) 가 변하는 방법이다. 따라서 이 경우에는 P 를 T*(RN) 상에 볼 변적으로 정의할 수 있다. x= f (x) 로 주어지는 일반적인 좌표변환을 생각하여 보자. 그러면
f(x )-f(y ) =j:옮f(t x+ (I-t)y )d t
이 된다. 여기서 두번째 등식은 chain rule 에서 나온다. 그리고 f가 좌표 변환을 정의하기 때문에 H(x,x)= 겁〔이 정칙 행렬이 되어야 한 다. 그러므로 행렬식의 연속성에서부터 $, 5 이 충분히 가까이 있 으면 de t H(x, y )~o 이라 할 수 있다. 우리는다양체상에서 단위 분 할(p ar titi ons of un ity)를 사용할 것이기 때문에 P 가 아주 조그마한 지지여울 가지고 있어서 이 지지역 내의 입의의 두 접 f ,5 에 대하 여 det H(x, y )~o 이 성립한다고 가정해도 된다. 그러면
써@) =P¢(x) =jei< : ,-y) •tp( x, e)¢(y) d yd e
=J e i(f( 차 1G i H p(f ( x ) , ~)¢ (y) d y d i
가된다.
rcx, r;, y)= PC f(x ), (H'( 江 )-1 fJ) I det H1(x, y)- 1 I / de t嗣
이타 하면 r 은 3 절에 나오는 보조정리의 모든 조건을 만족하므로 P 이 의미분 연산자가 되고
a(P)~ | IaI; 츠 0a ~• D y으 r c x, r;, y)/a ! i x=y
이 된다. 1n j \_00 에 대하여 a j eS' I / j일 대 2a, 로 주어지는 의미 j= O 분 연산자의 선두 십볼(l ead i ng s y mbol) 을 ao 라고 정의하자. 그러떤 6P 의 선두 심볼은 a=O 인 경우 죽
r(x, YJ, x) =PU(x), (H'( 부 ))-l?) =P(f( g), ((물)t戶)
가 되어 다음 정리가 증명된다. 정 리 (Kuranis h i) 아주 작은 x- 지지 역 을 가전 의 미 분 연산자의 선 두 십 볼은 T*(RN) 상에 불변적 으로 정 의 된다. 6 간밀 다양체상에서의 타원형 연산자 지금부터 M 은 차원이 N 이고 경계가 없는 C' －긴밀 R i emann 다 양체룹 뜻한다. 그리고 M 의 체적원 (volume elemen t)을 dvol 으로 표시한다. 정의 : C'(M) 은 M 상에 정의된 원활한 복소수 값을 가지는 함수
전체의 집합을- 표시한다. 이 데 C~감 에 정의된 연산자 P: C .. (M) ->C .. (M)이 의 미 분 연산자는 말은 M 의 임 의 의 좌표편 (coord i na t e chart) ¢ 。: Ua->RN 에 대하여 P 로부터 c~(
L2(M) = {u : 』 | u l2dvol
이 된다. 우리는 곧 이렇게 얻어진 H, 공간이 입의의 단위 분할을 · 덱하여도 관계가 없다는 것울 증명할 것이다.（여기서 물론 랐위 분 할을 택하는 방법에 따라다른 노름을 얻지만 이는 다 서로 동동하 게 된다.) 우선 RN.).J -의 의미분 연산자에 대하여 중명하였던 모든 정리가 -
M 상의 의미분 연산자에 대하여도 그대 로 성립한다. 왜냐하면 M 에서의 의미분 연산자도 국소적으로는 RN 에서의 의미분 연산자가 되게 정의하였기 때문이다. 즉 우리는 다음 관계를 갖는다. (1) s>t 이 면 H,(M) 겔 (M) 은 간밀 사상이 다. (2)
llttl l ,~IIQP ull,+IICQ P -I )페 s
가 된다. 여기에서 2 번째 부동식은 QP -I 가 원활 연산자 (~0 의 의미이다.)이기 때문에 임의의 s 와. S' 에 대하여 H, 一 H,’ 이고. 또한 연속이 된다는 사실에서 나온다. 그리고 세번째 부등식은 Q의 차 수가 -s 이기 때문에 나온다. 그런데 IIPull 。 ~cllull, 라는 사실(왜냐하면 P의 차수가 s 이기 때문 이다.）로부터 IIP tt llo+ll tt||。 ~cllull, 가 성립한다. 죽 ll t가 1s 와 IIPull 。 +llullo 는 동등한 norm 이 된다. H-s 를 CH,) ＊로 정의하여 (s~O 인 경우) 위의 정리를 s 가 음인 경
우에도 확장할 수 있다. 따라서 모든 S 에 대하여 다 양 체 M 상에서 의 Sobolev 공간 H, ( M ) 의 정 의 를 좌표계 에 의 한 피 복 (cove r i n g)에 관계없이 줄 수가 있다. 우리는 위에서 정의된 다양체상의 의미분 연산자에 대한 결과를 M 상의 벡타 번들 경우로 확장할 수 있다. E 를 M 상에 청의된 해 르미 시 안 번들이 라 하자. 그리 고 C.,CE) 로서 E 의 모든 원활섹 션을 나타내자. 정의 : P : C.,(E)-c.,CF) 라는 연산자가 주어졌을 때 만일 국소 적으로 P 를 각 원소가 차수 m 인 의미분 연산자가 되는 행렬로서 표현할 수 있으면 P 를 차수가 m 인 의미분 연산자라 한다. 이 경우에 Ex, Fx 를 각각 E 와 F 의 x 상에서의 화이버 (fi bre) 라 고 할 때 임의의 &T f M 에 대하여
a(P) : T! M-+Hom(Ex, Fx)
는 행렬 로서 주어진다. 그리고 P 가 타원형이라는 말은 0 이 아닌 임의의 &T f M 에 대하여
의된 번들 사상이냐 여기서 Hom(E,F) 는 M 의 임의의 접 x 에서 의 화이 버 가 Hom(E:r:, F :r:)가 되 는 벡 타 번들이 다. 이 것 과 HBM(E, F) 와 구분하여 주기 바란다. 후자는 E 에서 F 로 가는 번들 준동 형 전체를 뜻한다. 7 타원형 복체 우리가 앞으로 공부할 타원형 연산자는 다양체상의 타원형 복체 로부터 나온다. 정의 : 다양체 M 상의 타원형 복체 (e, d) 란 M 상의 백타 번들 {E;} i=O 와 i=O , 1, …} 크 에 대 하여 C'(E, . ) 와 C'(E,·+i ) 사이 에 정 의 되 는 차수가 m>o 인 의 미 분 연산자 d; : C'(E‘ . )->C'(E, +1)로 서 다음의 조건을 만족하는 것을 말한다. (1) di+ 1d,·=o (2) M 의 임의접 X 와 廷 0 인 효 (M) 에 대하여
0 크 E 。 댜 (x, E) 국집 (1L dKX, E) 국 E2- ... ~)국 ~n-O
이 완전 (exac t)한 열 (se q uence) 이 다. 따라서, 2 단계 타원형 복체 d 。 : C'(E 。 )-C'(E1) 는 앞 절에 서 정 의된 타원형 연산자가 된다. 타원형 복체가 주어졌을 때 D, · =d,'-1d i 1+d 戶 d,· 로 정의함으로써 D, : C'(E,)->C'(E,) 가 되는 타원형 연산자를 얻는다. 그리고 이 것은 당연히 자기 수반적 (se lf -ad joi n t)이다. D i가 타원형이라는 것을 밝히기 위하여 각 i에 대하여
aLD,=aLd1-1adt- 1+ aLdf aL d;
가 여울 가지고 있다는 것을 보여야 한다. 우리는 subsc ript를 생 략하겠다. 어떤 8EE 에 대하여 ((1 LD)O=O 이라하자. 즉
<(1g(1L d*+crLd*(1 L d)O=O 이 다. 따라서 (((1L d(1L d*+(1 td *aLd)O, O)=O
으로부터 (6Ld*O,ad * O)+(6Ld0,6Ld0)=0 가 되어 6Ld*0=0=6Ld0 롤 얻는다. 그런데 주어진 열이 완전하브로 야 (d ) B=O 로부터 O= 야 (d) ＃ 가 되 는 E i -l 의 원소 ¢가 촌재 함을 안다. 따라서
O=6Ld*O=@d* )( 6Ld)#
가 되 어 특히 ((aLd* )( atd ),P, ¢) =O 를 얻는다. 여 기 에 서 (cLd#, dLd#)=0 가 되어 6Ld#=O 를 얻는다. 따라서 특히 O=(a i d) ,P =O 가 되어 6LD 가 역을 가지고 있음이 증명된다. 어 떤 타원형 복체 (e, d) 가 주어 졌 을 때 H•(M, e) =ker d,/im d;_1 로서 코호모로지 백타 공간을 정의한다. 우리는 이 다음 철에서 타 원형 연산자 D 겨 kernel N(D ; ) 의 차원이 유한하다는 것을 증명 할 것이다. 이것을 이용하여 타원형 복체 (e,d) 의 해석적 지표를
ind ex(d)=.E ( -1)' dim N(D;)
로서정의한다. 타원형 복체 중 가장간단한 대표적인 예가 deRham 복체이다. 이는
O->A0T*M.d. :..A1T*M-… -A P T*M.::d.. AP +1 T* M -->…
로서 정의된다. 여기서 d 는 의적 미분 (ex t er i or der i va ti ve) 이고 dz- =O 라는 사실이 바로 Poin c are 보조정 리 이 다. deRham 복체 가 타원 형 복체라는것을보여 주기 위하여 우선 e1:T !M, (J) z fA PTf M 일 때
ad(x, e)((J)z ) =aLd(x, e)((J)z ) =ie/\ (J)z
로 주어진다는 것울 보이겠다. P=O 인 경우 fc A° 에 대하여
df ='i=tN 1. —88fx i dxi= iE=N l —88x i f dx,
이다. 따라서
(ad(x, e))f= itN1 e d dx; =i (I ~N tdx ;)f= ie/\ f
가 된다. 일반적 인 (J)E A%1] 대 하여
(J)= iZ1 <…•·• <~ip a,•1… ipd x,.I/\… I\dx ip
가 된다. 위의 계산을 이용하여 우리는 십볼열이 완전이라는 것을 예를 들어 보여 주겠다. 예를 들어 e=e1dx1+e2dx2 죽 &=&=…= eN=o 라 하고 <1 d(x,e) (l)＝i句\(l)＝ o 라 가정하자. （여기서 (l)E AP) 그 러면 (l)는
(l)=1 S2 집 3E_ • ••
꼴이 어 야 한다. 이 때 TJE AP-1 를
TJ=-i e-1( 2 a12,···iP dx2/\dxi3 /\ ••• /\dxiP )
라 놓으면 w= i인/\'1/ 가 되 어 w=ad(x, ~)r; 로 주어 진다. 따라서 APT*P 에서 완전 (exac t)하다. 8 간밀 및 Fredholm 연산자 C : H1 , -+H2 를 Hi lbe rt 공간 사이 에 정 의 된 유계 선형 연산자 (bounded line ar o p era t or) 라 하자. 만일 C 가 유계 집 합을 프리 콤팩 트 (pre acomp ac t) 집 합으로 보내 면 C 를 긴밀하다고 정 의 한다. 다시 말
하면 모든 n 에 대하여 1|h,,I1 三 1 일 때 수열 {hn} 은 {Chn} 이 Cauchy 가되는부분수열을 가지고 있다는 것이다. 유계 선형 연산자 F: H1-H2 가 주어졌을 때 만일 이것에 대하여 어떤 연산자 G : H2-+ H1 이 있어 서 GF-I 와 FG-I 가 다같이 긴밀 연산자가 될 때 F 를 Fredholm 이라 부른다. 이 때 다음과 같은 매우 중요한 정리가 있다. 정리 : F : H1-H2 가 Fredholm 이 되 기 위한 필요 충분 조건 은 d i mker(F) 와 d i mker(F* ）가 유한이 고 Ran g e(F) 가 닫혀 있 다 (closed) 는 것 이 다. 그리 고 이 때 H1=ker(F)EBRang e (F*), H2= ker(F*)EBRan g e(F) 가 된다. 이 정리의 증명은 대부분의 함수 해석에 관한 책(예를 들어 Lang 의 Real Analy s i s) 에 서 발견할 수 있 다. 우리 는 이 정 리 를 이용하여 다음과 같은 아주 중요한 정리인 Hod g e 분해정리를 증명 한다. Hodg e 분해 (decom pos iti on) 정 리 : E 를 M 상에 정 의 된 헤 르미 시 안 내적이 있는 원활한 백타 번들이라 하고,
D : C'(E)-C'(E)
를 차수가 m>O 인 자기 수반적 타원형 연산자 (sel f -ad i o i n t elli ptic o p era t or) 라 하자. 이 때 L2(E)=ker(D)E9Ran g e(D) 이 고 ker(D)c C'(E) 이 며 dim ker'( D )
0�|�� D : H,(E)-H,-m(E) � Fredholm �Ű���t� �. �҈� D : Hm(E)-.Ho(E) =L2(E) � Fredholm t�
��. ��� ��\�L2 ()E k=re(D*)
Ef) Range(D) \� ��t���. ���p� D � ��0� ���t���\� ker(D*)=kerD t� � � D � Fredhol m t
� ��\� ker() D� ��\( ���
���t� ��. 0� |�� L2(E) =ker(D)EE)R ange(D) \� ��t���. ����� 4 ���� �ǔ� �p�Ȭ�\� �ȴ��ɔ� �Y�1� Ȭ� \���0� D
: (e, d) |� ����� �
���|� X�� D,�=di-1 d i ._l+d?d i\� �X� XՐ�. ��� t� L 2(E.-) =ker(D;) EE) rang e(d;-1) Ef) ran g e( �)\� ��t� � � N(
D, . ) @� H;(M, e @)Ɣ 1� � 1� Q� � �Ĭ 1� �� \��. �Ʌ�
를 얻는다. 그런데 ¢Eker(D, ）이 면 D,? = 0 죽 ( dEld1·- 너 - d,*d, . )¢=0 가 되어 묵히 ((d i _ld i ._1+d t d1)¢,)=O 를 얻는다. 이는 다시 (d t- - 1 ¢, d i :1¢)+(d i ¢,d,¢)=O 로 씌어져 결국 d,._1=0, d1 if, =O 를얻는다. 또한 이의 역아 성립하는 것은 더욱 당연하다. 따라서 특히 ¢c ker(D, . ）이면 d i ¢=0 이므로 ¢->［¢〕로 정의되는 사상 µ:ker ( D1) 一 H1(M, e) 를 얻는다. 우리 는 이 사상 µ 가 전사 사상 (su rj ec ti ve map ) 이 라는 것을 보이 겠 다.
cf;= ¢+d1-1¢1+dt¢ 2
로 쑬 수 있다. 이 식의 양변에다 d i를 적용하면 0=d i ¢=d i꿉+ d i d i_幽 +d i d?#2 이 다. 이 로부터 d,dN'2=0 즉 d?¢2=0 를 얻어 ¢= #+d i _l#1 이 된다. 따라서 µ〈g)=〔g]=〔§퍼 되어 전사성 (surje c - tivi t y) 이 증명 된다. 우리 의 µ 가 1 대 1 사상이 라는 것 을 증명 하겠 다. ¢1, rp2 Eker(D1) 려 1 대하여 [印 =[¢2] 라 하자. 따라서
o= di: 1 ¢l= d i:南 +di:l d El¢=d&d,.-l #
가 되어 앞에서와 같이 d 터 ¢=0 를 얻는다. 죽 ¢1=¢2 가 되어 µ가 ker(D,' ）에 서 H1(M, e) 로 가는 1 대 1 이 고 전사 (sur j ec ti ve) 라는 것 을 증명하였다. 따름정리 : d i mH1(M,e)
.,e ren ti a ti on) 이 면 i ndex(d) 는 M 의 Euler 수 x(M) 이 된다.
증명 : ind ex (d) = i.=EN O (-l)'di m N(D;)
9 Poin c are 쌍대 대 응 (dua lity) Hod g e 정리의 결과로서 방향이 주어전 다양체상에서의 Poin c are 쌍대 대 응 관계 (dua lity)를 얻을 수 있 다. . M 을 방향성이 주어전 다양체이고 dvol 을 이에 대응되는 체적 원이라 하자. 이때 Hod g e 스타 연산자 (s t ar ope r ato r ) *:APT*M- 11N -P T * M 은 다음과 같은 성질을 만족시키는 유일한 연산자이다. 죽 임 의 의 aEAP, /3E AN -P 에 대 하여 (*a, f3) dvol=a/\f3 이 된다. 우리 는 또한 이를 다음과 같이 정의할 수 있다. 01,02, ••• oN 을 T*M 의 방향이 주어전 정규 직교계라 하자. 이 때
*0,·1 / \ ••• /\O,.P=e(E, …, iN) 0ip +,/\ ••• /\0;N
으로써 정의되고 이를 선형적으로 모든 APT*M 으로 확장한다.(여 기 서 e(i i, i2, …, i N) 은 순열 (i1, i 2’ …, i N) 은 부호이 다. ) 정리 : (1) **=(-l)P(N -P) (2) d*=(- l) NP+N+l*d* 이다. (여기서 좌표 d* 는 d 의 수반 연산자이고 *d* 는 Hod g e 스타 연산울 하고 그 다음 의적 미분 d 를 택하고 다시 Hod g e 스타 연산울 하는 작업을 의미한다 , ＊의 위치에 주 와하라. d* : AP-AP-1 죽 dJ- 1 이 다. ) 증명 : (1) 을 증명 하기 위하여 (1) 의 양변이 0;1/\… /\ O;p 라 는 기 처 원소에 작용할 때 같게 된다는 것만 증명하면 된다. 그런데
**Oi l /\ ... /\O;P=*e(i1 ·• •iN ) B;p+ ,/\ ••• /\Oi N
(2) 를 중명 하기 위하여 aeAP-l, /3E AP 라 하자. 그러 면 St ok e 정 리 ’
따라서 (a, d*f3 ) =(da, f3) =(a, *d*/3 ) (-l)
d*= (-l)NP+ N+ l*d *
를얻는다. 정리 : D p =d.,_1d)혼 1+d t d p : APT*M 귁 PT * M 이 라 하자. 그러 면 *D p =DN- 戶 가 성 립 한다. （이 를 보통 D 와 * 가 교환한다고 한다. ) 증명: *DP=*(d,,_1d1~1+d t d p)인데 앞의 정 리 의 두번째 결과로부터
*DP=*(dP-1*dN-P*)(-l)N+NP+l+**dN-P-1*dp (-l)N+ l +N (P+l )•
이 된다. 동일하게 DN-P* 를 계 산하면
DN-P*= (dN-P-ldN-P-t +d N-1dN-P)*
이 된다. 그런데
N+NP+l=N+1+N2-NP+N (mod 2)
이 므로 *Dp = DN-P* 가 된다. 따름정리 : M 에 방향성이 주어졌다면 dim HP(M,C)=dim H~ (M, C) 가 성 립 한다. 증명 : *D p =DN-P* 와 **=(-IY(N-P) 로부터 * : ker(Dp ) -+ ker (DN-P) 가 동형 대 응이 된다는 것 이 쉽 게 나온다. 그런데 Hodg e 정 리 예 의 하여 HP(M, C) 와 ker(DP) 가 동형 관계 가 있 으므로 이 동형 관계들을 합성하여 HN-P(M,C) 와 HP(M,C) 의 동형관계를 얻어 목 히 d i mHP(M,C)=d i mHN-P(M,C) 가 성립한다. 따름정리 : M 이 방향성이 주어진 기수 (odd) 차원의 다양체이턴 x(M)=O 이다. 증명 : 위의 따름 정리로 주어진 Po in care 쌍대 대응관계와 x(M) 의 정의로부터 쉽게 나온다. 10 무계 연산자 (unbounded o p era t or) 의 함수 해석 E 가 M 상의 해르미시안 벡타 번들이라 하고 D : C(E) 一 COO(L ) · 가 양의 차수를 가지는 자기 수반적 타원형 연산자라고 할 때 앞절 에서
L2(E ) = ker(D)EBrang e (D)
라는 분해와 ker(D) 드 COO(E) 이고
C(E) =ker(D)EBD(C(E))
라는 분해가 촌재함을 증명하였다. 그런데 D 가 타원형이면 임의의 상수 A 에 대하여 D-AI 도 타원형 이 되 어 만일 (D-Al)rp = O 성 립 하면 ¢cCOO(E) 가 된다. 죽 타원형 연산자의 고유 함수는 COO 함수가 된다. 그리 고 이 때 D : L2(E) 一 L2(E) 는 고유치 A 군] o:::; .:i n- 니 -oo 가 되 는 이 산 (d i scre t e) 스펙 트럼 을 가지는 무계 연산자가 된다. 그리고 이에 대응되는 고유함수 {¢n} 는 정규 직교계가 되게 덱할 수 있고 L2(E) 의 기저가 되며 앞에서 얻은 것처럼 {
해 (spe c tr a l decom p os iti on) 이 라 한다.
예 : S1={zeC : \z\=1}, D= －을,
D : L2(S1)--+L2(S1) 이 라 하자. （여 기 서 x 는 SI 의 좌표계 이 다. ) 이 경 우에 D 는 {n2,e’ . '}:=_o 로 주어지는 스펙트럼 분해를 가지고 있다. {1 라 이 이 산적 이 며 (dis c rete ) , n2--+ + oo 임 에 주의 하라. 한편 {ein x} ';:=-., 가 L2(Sl) 의 정규 직교기저가된다는 것은 Four i er 해석학에서 이미 찰 알려 진 것 이 다. 그리 고 당연히 {lnx} cC(Sl) 이 고 J eL2(S1) 이 면 f (x)= I: ane i”라 쓸 수 있다. 여기서 an 은 f의 Four i er 계수이다. 우리는 일변수 복소 함수론에서
f (z) ＝갈c停 距e
라는 Cauch y적분 공식을 배웠다. 물론 여기서 f (z) 는 주어진 페곡 선 C 의 내부와 그 부근에서 해석적이고 z 는 C 의 내부에 있는 접 이다. 비슷하게 우리논 C 가 spe c (D) 부근의 곡선이고 f는 sp e c (D) 의 부근에서 해석적이고 유계인 함수일 때
f (D)= 士 cI cef1 % ) dg
로 정의한다. 우리가 이 책에서 관십을 가지고 있는 경우는 항상 s p ec(D)~R+ 이어서 적당한 함수 f에 대하여 C 가 다음 그림과 같 온 꼴이라고 가정할 수 있다.
만일 {in, ¢n} 이 D 의 스펙트럼 분해라고 하면 f( D)
이 된다. 왜 냐하면 f (D)
f( D)
이다. 예 : 우리 는 앞에 서 생 각한 예 인 -―dd一x2 2― : L2(Sl)-L2(Sl) 를 다 시 생각해보자. 만일 Re t >O 인 t EC 에 대하여 f ,(z)=e- 라 하자. 그러떤
e-tD = 눔 I e- '•(U-D)-1d e_
논 앞의 그림과 같은 C 에 대하여 찰 정의되어 있다. 그리고 위의 적분은 Re t >O 에 대하여 e-+oo 로 갈 때 e-lE7} 빨리 감소하므로 철대 수림한다. 우리는 e- l D 가 무한 원활 연산자(infi n it el y smooth i n g o p era t or) 라는 것을 증명하고자 한다. 우선 D 가 {n2, e ’ . }?=- OO 로 주어지는 스팩트럼 분해가 있다는 것 율 상기하여 주기 바란다. 따라서 (e-lD)e i n:,:=e 구 'e i”가 되어 임의 의 ¢ cL2(S1) 을 ¢(x)= I: ane’ . ” 라 썼을 때
(e- tD
가 된다. 그런데 임 의 의 T 에 대 하여 I: l nre-''e i 기 
(e-'D < p) (X) = I;a,. e- n't e -in x
가된다. 따라서
K(t, x, y) = _Ee -'1e•'n( : t- Y )
가 되고 t가 고정되어 있을 때 원활함수이다. e-' ＇타는 인자 때문 에 I;e-n 'te • 'n( z-y) 가 수령 한다는 것 에 주의 하라. 그리 고 t一 o+ 일 때 i
K(t, x, x) =I ; e-n' t~ -J- 4Lrt -
아라는 것은 찰 알려져 있다.
f ,(D)=D•= 눌kC @l-D)-1de
이 다. ¢,EL2(S1), ¢,(x) = I: ane;” 이 라면
(D'
가 되 어 E 는 K(s, x, y) = I.0: n2•ein cx-” 이 된다. 그러 나 이 경 우에 는 D5 가 무한 원활 연산자;f 아니며 keZ+ 에 대하여 s<-}_k 이 떤 K(s, x, y)e Ck(S1 X S1) 이 다. K(s, x, x) = I: n” 는 Ri em ann 의 Ze t a 함수와 밀접한 관계가 있다. 그리고 S-+ 一강일 때 K(s,x,x) 는 발산 (blow u p)하고 s= ―강 에 서 단순국 (s i m p l: p ole) 을 갖는 C 전 체 에 정 의 된 meromorph ic 함수로 확장된다.
11 다양체 상의 타원형 연산자의 Kernel 함수 E 를 M 상에 정의된 헤르미시안 백타번들, D: L2(E)-L2(E) 를 자기 수반적 양 타원형 연산자라 하자. 그러 면 Re t> O 에 대 하여
e-1D = 幸-i e-1E( f I-D)-Id5
로 정의된다.（여기서 C 는 sp ec D 믈 둘러싸는 적당한 곡선이다.) {i,’' 집을 D 의 스펙 트럼 분해라 하자. 그러 면 ¢EE(E) 에 대 하여 'P= I:an ifJ ,, 라 썼을 때
(e-1Drp ) (x) =,I iO=:3 O ane-1n1ef ,, .(x) =nI =.:,o (if>, n)d y e- 서r/> n(X)
가 된다. 우리 는 tra ce K(t, x, x) 의 접 근적 전개 (asym p tot i c exp an - s i on) 를 덱하여 sp ec D 에만 관계되는 e-1D 의 국소적 불변량을 얻을 것이다. spe c D 에만 관계되는 국소적 불변량을찾는문제는 Seeley 가 D3 의 kernel 함수 K(s, x, y)를 이 용하여 처 음으로 얻 었 다. 이 경우에는 Res<
tra ce K(s, x, x) =f 0l:,(
가 되고 j= O, 1, 2 .... 에 대하여
s=_ diT M +j
에 단순극을 가진 meromorph ic 함수로 복소 평 면 전체 로 확장된다
s = _ d i丁 M +j, j = o, 1, 2…
에 서 의 tra ce K(s, x, x) 는 국소적 공식 으로부터 계 산할 수 있 고 sp ec D 에만 관계되는 D 의 국소적 불변량이다. 그러나 여기에서 는 e-tD 의 kernel 함수 K( t, x, y)에 만 관십 을 갖는다. 그렇 지 만 e-tD 와 E 는 다음의 관계식으로부터 동등하다는 것을 알 수 있다.
Mell in 변환 : [eco -1Dt •- 1dt= I'(s) D-•
증명 : s<
fs( x)=I:¢r (급 )•-1 추 =I 。~ e 가 3-1& • x-s=r(s)x-‘
가 된다. 여기에서 x 를 D 로 바꾸어
「。 e-1D t Hd t=I' (s)D-• •
를얻는다. 다음에 주어지는 정리가 이 철의 주요 정리이다. 정리 (Seeley) : D : L2(E)--.L2(E) 를 차수가 2 인 양의 자기 수반 적 타원형 연산자라 하자. 그러면 Re t >o 에 대하여 다음이 성립한 를 다. (1) e-tD : L2(E)--.L2(E) 는 유계 연산자이 다. (2) e-tD : H,(E) 一따 (E) 는 임 의 의 s, s' 에 대 하여 유계 이 다. 따 라서 특히 무한 원활 연산자가 된다. (3) e-tD 는 kernel 함수로서
K(t, x, y)=I: e-21
가 되는 이는 t에 대하여는 해석적이고 X 와 y에 대하여는 C' 이다.그리고
ce-1D< f,) (x)=J K(t, x, y)
가 성립한다. (4) t--+ 0+ 일 때
tra ce K(t, x, x)~IIJ =. ; .o Bn(X, D)t< n -di m M)/2
가된다. (5) 위의 공식에서 n 이 홀수이면 Bn(x,D) 三 0 이고 n 이 짝수아 떤 임의의 좌표계를 사용하여서도 불변적으로 x,a(D) 그리고 a(D) 의 미 분의 C 함수로 계 산된다. 이 정리를 증명하기 위하여 e-lD 의 정의를
e-1D=J e-12 (D-iI ) -1di
로 쓴다. (여기서 C 는 시계 방향으로 택한다.) 정의 : P 가 M 상의 의미분 연산자일 때
• IIPII,,,,= ；盟뿔
로 정의한다. 우리 는 (D-;J )- 1 의 좋은 근사 연산자 DA 를 얻은 다음
E(t) ＝去 -Ie-12D i di
로 놓는다. 이 때 D 저근
II E(t)- e-tD I l,,.,
이 성립하도록 택한다. 그리고 우리는 E( t)가 무한 원활 연산자라 는 것 을 증명 하고 이 의 kernel 함수 L(t, x, y)가
IL ( t, x, y) -K(t, x , y) I: :;e It I n
을 만족한다는 것을 보인다. 따라서 모든 것을 근사 연산자 E( t)와 L(t, x, y)에 대 하여 증명 하면 충분하게 된다. Di 를 다루기 위하여 복소수 과라미터에 종속되는 의미분 연산자의 대수를 정의하는 것 이 필요하다. S f'를 X 와 e 에 대하여는 COO 이고 간밀 x- 지지역을 가지고 있으 며 i cC-R+ 에 대하여 해석적이고
la'; Dep 1: : ;;C,,p( I + 1e 1+ I 서 l/2)n>- lt
가 성립하는 함수 p(x ,e,A) 전체의 집합이라고 하자. 만일 aPi f= S f'이면 Pi ·를 i에 종속되는 차수가 m 인 의미분 연산자라고한다. 그리고 P J ~0 란 모돈 m 에 대하여 aP i eSr 가 성립함을 말한다. 보 통의 의미분 연산자에 대하여 성립하였던 결과들이 위에 정의된 의 미분 연산자에 대해서도 성립한다. 정리: (1) (JP ESf' , aQ e ST' 이 면 a(PQ ) ESr+m’ 이 고 a(PQ )~Io:: arP D~q /a ! 이다. (2) aPES.; 이 면 aP* eS T 이 고 aP*~2a’ 8?D:p* / a! 이 다. (3) ST 에 있는 원소의 선두 십불은 여집백라 번들에 불변적으로 정의된다. 이 정리의 증명은 근본적으로 앞에서 주어전 보통의 의미분 연산 자 경우와 똑 같으므로 증명을 생략하겠다. 앞에서와 마찬가지로 단위 분할을 이 용하여 다양체 상으로 확장할 수 있 다. 다음에 주어지는 대략적인 계산이 우리의 주요 정리를 증명하는 데 쓰인다. 보조정리 : kEZ+, s, s'ER 이 라 하자. 그러 면 PES? 떤 IIPil l,,,,::;c(l +1 i 1)- 가 성립하는 m<
주요 정리 증명 : D 가 2 차 연산자이므로 6D=a2(x,f )+ al(x,e) +a 。 (x, e) 가 되 는 차수가 i 인 다 항석 을 en tr y 로 하는 행 렬 a1 가 촌재한다. 그런데 D 가 자기 수반적이고 양이기 때문에 a2 에 대웅 되는 (즉 aA2 = a2) 연산자 A 2 는 자기 수반적이고 양이다. 따라서 sp e c A2 드 E 이 다. 그러 므로 造 ;.R+ OJ_ 때 (a2(X, e)-.,'l)- l 가 촌재 한 다. 우리의 우선의 목적은 복소매개수에 종속되는 의미분 연산자 (D-U)의 여 연산자를 구하는 것이다. 이를 위하여 우리는 우리 가 보통의 의미분 연산자의 역을 구하는 방법과 비슷하게 진행한 다. Bi 를 (D-ll) 의 역 이 라하고 bkcSA -2 _k 에 대 하여
bk=b 。 2+i ia2 < l k+ j - i= k 8 ; bi D: a, ./akS ;2-k
로정의한다 .(bkES;2-k 이기 위하여는 -k=-2-j- lal+i 즉 2+ lal+ j-i =k 가 성립하여야 한다.) s,sI 와 n 이 주어졌다고 가정 하자. 우리는 적당한 No 에 대하여 a(D i)=.k=NEO, b,. 되게 Dr 를덱한다. 그런데 여기서 No 는 IIDi ( D-Al)-lll,,,,~c(I + I 시 )-n+l 죽 I I D i -(D- il) -1Il,,,,~c(|+| 시)－마 1 이 성립하게끔 m 을 택하여
a(D 』 (D-Al))-/) 1: S :i m
가되도록덱한다. Re t >O 에 대하여 E( t)=:듦 Ie-I i DAd i로 정의하자. 그러면
IIE( t )-e-'DII,,. ＇스터 e-u1ID i -(D-l l) -11!,,,,dl
가 된다. l'= tl라 하면 이는 다시
급 -Ie - i'~ D-{.-(D -누) -111,' 우
급广 'I 判_，미우 sel t l
이 적당한 상수 c 에 대하여 성립한다. 앞으로 남은 증명 과정 동안에 는 따 (x, e) 가 a2(x, f)I 죽 항등 행 렬의 scalar 꼽이라고 가정한다. 우리한데 관십이 있는 모든 연산자 논 이 조건을 만족시 칸다. 예 를 들면 D 가 Lap la ci an 인 경 우 6LD= 1e121 이다. 이런 가정하에서는 모든 것이 가환적 (commu t e) 이기 때 문에 bk=4 bk1(x, e) (a2 크)나꼴로 씌어진다. 이 때
e.(x, e)= 같r-J bk(x, e, A)e-lldA
가 된다. 여기서 마지막 동식은 유수정리로부터 언어진다. 그런데 e-ta ,(:c ,f> 가 Re t>O 에 대 하여 무한대 에 서 매 우 빨리 감소하여 버 리 기 때문에 모든 m 에 대하여 e,,(x,e) 1: S-m 이다. 그리고
a(E(t) ) = kIN=:O, ek(:x, e)=k IN=:Oo Ij: bk,i( :x, e)/(j -l)!tl-l e-ta2 (r,o
가 되므로 모든 m 에 대하여 a(E( t) )ES-m 이 된다. 따라서 E( i)는 무한 원활 연산자이다. 그리고 IIE( t) -e-'DII' 촌 ;€1 ti”에서부터 e-lD 도 무한 원할 연산자가 됨을 알 수 있다. 특히 e-tD : L2(E) 一 E(E) · 가 유계 연산자가 된다. 그런데
(E(t)¢ ,) (x) =Jeicx -,Ha(E(t) )¢ ,(e)dy de
이다. 이 때
L(t, x , y) =Je1 C: c-,J •ta (E(t) )d ~
라 하자. （우변에 주어 전 적 분이 모든 m 에 대 하여 a(E(t) )E S-:--m 아
므로 특히 m>d i mM /2 에 대하여 a(E( t ))eS-' 이므로 잘 정의된다 는 것에 주의하자•) 그리고 m> 으. 쁘2」 i와 모든 k 에 대하여 (1(E (t))e s-m-k 이 므로 L( t, x , y)는 우리 가 원하는 만큼 미 분이 가능하 다. 죽 L(t, x, y)e C~ 가 되 어 E( t)는 원활한 kernel 함수 L(t, x, y) 를 가지 고 있 다. 따라서 e-tD 의 kernel 함수 K( t, x, y)도 원활한 함 수이다.L (그t, 런 x,데 x )=j E(t) d e • =fkJ=Oo fi 戶(도J- 1t)!i -le- t a 판 )de 이 다. 이 때 기 =e ,.;T 라는 변수 변환율 하면 de=d(nl ,JT )=·t-d im M/2dr; , 야 (x, f)= a2(x, 까 ,JT )=t- 1 a2(x, r;) bk,j( X, e) =bk,j( X, r;/ ,JT )=t' 2 +k-2h/2bk,i( x, r;) 가 된다. 따라서 L<,.t, x, x, ) = 訖 臼角記국 (x,n) t (2+k-2 i )/2 tJ -1-무 d TJ = 깁 bk, ; (X, 1J) e-a,(x, ~)d7 Jt'k- dim },/)/ 2/ (j-1) ! 이 된다. 이 때 짜, D)=tr a ce 꾸 fbk,j( X , 7J)e-az (X-~)d7 J/(j-l)! 라하자. 그러면 tra ce L(t, x, x) = IN:o Bk(:x., D)t( k -dim M)/2 k=O 가 되므로 따라서 trac e K(t, x, x)~In‘= ; O B n(X, D)t< n -dim M)/2 가 되고 계수 B,,(x,D) 는 a(D) 와 이의 미분으로부터 계산할 수 있 다. 그리 고 bk,i 의 차수가 -2-k+2j 이 므로 order b1r,1=k(mod 2)
라는 관계석을 얻는다. 따라서 k 가 홀수이면 bk, j (x, 1J)은 기함수가 된다.또
Jok,;(X , 1) )e 카 cx,~)d rJ =O
가 되어 n 이 홀수이면 Bn(x,D)=O 가 성립한다. 이로써 우리의 증 명이 끝났다. D : C'(M) -t C'(M) 을 Lap la ci an 이 라 하고 (x1, x2, …, XN) 은 국 소적 좌표계, G 를 M 상의 R i emann 메트릭이라하자. 그리고 이 때
G( 奇 습) (x)= g ;;(x)
이라하면
D=- 꾼 J궁 0:,. ( g 'I J子국-)
가 된다. 이것에서
aD=a2(X, e) +a1(X, e) +a 。 (x, e)
라할때
a2(X, e) = ,E g1 1el1
임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 메트릭의 미분 항으로는 a,(x, e) 가 (2- i)차수가 됨을 알 수 있다. bk 가
b,.= -b 。 z afbI D:aJ a!
로 주어진다는 것을 기여하여 주기 바란다. 그런데 %는 메트릭의 미분에 대하여 차수가 0 이다. 귀납적으로 j
메트릭의 미분에 대하여 차수가 j타고 하자. 그러면 b k 에 있는 각 항은 메트릭의 미분에 대하여 차수가 j +2- i +lal=k 가 된다. 그 런데 Bn 이 bn 을 8 에 대하여 적분함으로써 얻어지기 때문에 Bn(X, D) 는 데 트릭 의 미 분에 대 하여 차수가 n 인 군일 다항식 (homog en eous p ol y nom i al) 이 된다. 그리 고 이 사실은 일반적 인 2 차 타원형 연산자 에 대하여도 성립한다. 따라서 우리는 다음의 따름정리를 얻는다. 따름정리 : B,.(x,D) 는 D 의 십볼의 미분에 대하여 차수가 n 인 군일 다항식이다. 12 타원형 복체에 대한 지표정리 우리는 앞 철에서 임의의 2 차 양의 자기 수반적 타원형 연산자 D : C~(E)-c=cE) 에 대 하여 f(t, x, D)=tr a ce K( t, x, x) = 1IO1:3= 0 e- 마 (¢' ¢n)X~n I=C;o3 , Bn(X, D)t< n -m)/2 임을 증명하였다. 여기서 m 은 M 의 차원을 뜻하고 마지막 관계식 은 t-+ O+ 일 때 성립함을 말한다. 그런데 {¢n} 이 정규 직교 기저가 되게 택l하f(였t,기 x, D때)문dv에ol =이 ~,1 =/0-관 1계1식 ~에E,1=서O ( 』 Bn(x, D)dvol)t( n -m)/2 M 를얻는다. d; : C .. (E;)-c .. (E i +l) 을 M 상에 정의된 타원형 복체라 하자 (m =dim M). 이 때 D;=d;-1d;*-1+d晶 : c .. (E;)-c .. (E;) 로 Lap la ci an 울정의하고 B,.(x, d) = .i”E= O (-l)iB ,. (x, D;) 라 하자. 앞 절의 결과에서부터 Bn(X,d) 가 국소적 공식으로 계산 할 수 있다는 것을 알 수 있다. 이 불변량에 의한 가장 중요한 역
할이 다음 정리로서 주어진다.
정 리 : Ji ,B n(x, d)dvol= {li~n d e만x일(d )n 누만 d 일i m Mn= dim M
이를 증명하기 위하여 다음 보조정리부터 증명한다. 보조정리 : E~ 를 i를 고유치로 하는 연산자 D, · 의 고유 함수 공 간이타 하자. 그러면 J ~O 에 대하여 열
o-E ~d:. ! EFd' . ••• _dn:.-.I:. E~-o
는 완전 (exac t)하다. 층명 : 우선 위에 주어전 열이 정의된다는 것을 보이자. 만일 ¢1: E: 이면 D;+1(d;
2¢=D;¢,= (d;-1d t~ 1+d,•d, 짜= d;-1dt- 1
가 되 어 ¢=d,·-1( 브부)을 얻는다. 그런데
%(부 )=(d;-2d;~2+d t- 1d i -l)( 무)
가 되어 쓰누'L: m-1 이 된다. 죽 E; 에서 주어전 열이 완전하다. 비슷한 방법으로 do : E~-E1l 가 단사적 (i n je c ti ve) 이고 dn-1 : E~-; -E! 이 전사전 (su rj ec ti ve) 라는 것이 증명된다. 주어진 정리의 증명 :f(t,x ,d)=-~ (-IY/( t ,x,D,.) 로 정의하자. i= O 그러면
MJ f(t, x, d)dvol=;it= Oo (-l YMJ f(t, x, D!)dvol
가 된다. 그런데 앞에 주어전 보조정리로부터 J ~O 이면 i~”=O (-1)' d i mE:=o 됨을 안다. 따라서
AjI f(t, x, d)dvol =it=(O -1)' dim E?
를얻는다Mr f.(t , 그x ,런 d데) d v또o한l= ,it=O0 (-1 ),·i f(t, x, D;)dvol
이다. 따라서
i ndex(d) ～효(』 Bn(X, d )dvol)tC n -m)/2
가 된다. 그런데 좌변은 t에 무관하므로 이 관계식이 성립하기 위
이 성립하여야 한다.
따름정 리 : M 의 차원이 홀수이 면 ind ex(d) = O이 다. 방금 우리가 증명한 지표 정리는 다음 장에 증명할 원래 형태의 지표 정리의 시접이 되는 것이다. 특히 우리는 다음울 증명한다. (1) deRham 복체의 경우는 i ndex(d)=x(M)=M 의 Euler 수이 고 Bm(x,d) 를 Euler 클라스가 된다. (2) Kahler 다양체의 Dolbeaul t복체 경우는 i ndex(a)=M 의 대 수적 지 너 스(g enus) 이 고 이 때 Bm(X, a) 는 Chern 클라스의 Rie m ann-Roch-H irz ebruch 다항석 이 된다. (3) 4 k 차원의 방향이 가능한 다양체 의 sig n atu re 복체 경 우는 i ndex(d+d*)=s ig n(M) 이고 Bm(x, d+d*) 는 Hirz ebruch 의 Lk 다 항식이 된다. (4) spi n 다양체상의 spi n 복체 경우는 i ndex(d,)=M 의 spi no r 지표이고 Bm(X,d,) 는 A- 다항식이 된다. 이런 결과들을 증명하는 데 가장 중요한 (또한 어려운) 일은 각 경 우에 B 군] 적당한 불변량이 된다는 것을 보이는 것이다. 이러한 지표 정리의 국소적 형태로부터 쉽게 다음의 따름정리를 얻는다. (이 따름 정리는 원래 국소적 형태의 지표 정리를 쓰지 않고 증명되었다.) 따름정리 : M 를 M 의 n 번 겹 치는 피복 다양체 (coverin g manifo ld ): 라 하자. 그러면 다음의 결과가 성립한다• (1) x(M)=n x(M) c2) lfiI의 대수적 지너스 =nx(M 의 대수적 지너스) (3) sin g ( M)=n sig n (M) C4) lfiI의 s pi nor 지표 =nx (M 의 s pi nor 지표) 증명 : 두영 rr : M-M 을 이 용하여 M 상의 Rie m ann 메 트릭 을 M 상의 Riem ann 메 트릭 으로부터 유도하여 얻을 수 있 고 이 때 穴 는 국소적으로는 등거리 사상이 된다. 따라서 Bm 의 국소적 형태는 M 이나 M 이나 다 같고 다만 M 상의 Bm 의 적분이 M 상의 Bm 의 적분의 xn( 배M가) =될iri B분m이=다n•.MJ B 따m라= n서x (M예를) 들어
이 된다. 따름 정리 : M 뎌 M2 를 같은 차원의 다양체라 하고 MI, M2 를 M1 과 M2 의 연결된 합 (connec t ed sum) 이 라 하자. 그러 면 다음 걷 과가성립한다. (1) x(Md!=M2)=x(M1)+x(M2)-2 (2) 만일 어떤 k 에 대하여 d i mM1=d i mM2=4k 이고 M 며 M z- 가 다 같이 방향성이 가능한 다양체이면 sig n (M1#M2)=sig n (M1)+sig n (M2) 이다. 증명 : M1#M2 의 정의에서부터
JBm+ j Bm= j Bm+ j Bm
가 성립한다. 따라서
x(M1#M2)+x(Sm)=x(Mi ) +x(M2) 와
가 성립한다. 따라서
x(M1#M2)=x(Mi ) +x(M2)-x(Sm)=x(M1)+x(M2)- 책
가 성립한다.
제 3 장 지표 정리의 증명 E 와 F 를 다양체 M 상의 벡타번들이라 하고, P 를 E 의 크로스 섹션 전체의 집합인 I' (E) 에서 F 의 크로스섹션 전체의 집합 I'(F ) 로 가는 타원형 연산자라 할 때, 이의 해석적 지표(앞으로 지표라 함 은 해석적 지표 룽 말한다.）와 위상 수학적 지표가 같다는 것을· 증명하 는것이 본장의 목적이다. 우선제 2 장에서얻었던결과중에서 타 원형 연산자에 대한 것을 다시 요약하고, 불변량 이론(i nvar i an t th eory) 윤 전개 하여 Gil ke y 의 정 리 를 얻은 다음, 이 를 벡 타 번들상 에서 값을 갖는 연산자로 확장한다. 이를 이용하여 Euler 지표와 Hirz ebrnch 의 sig na tu re 정 리 를 증명 한 다음, 일반화된 Hir ze bruch 의 s ig na t ure 정리를 얻는댜 끝으로, 임의의 지표 정리는 적당한 방법 에 의 하여 일반화된 Hir ze bruch 의 sig na tu re 정 리 로 귀 착됨 을 보임으로써, 타원형 연산자 P 의 해석적 지표와 위상수학적 지표가 같다는 사실을 증명한다. 1 미분 연산자 U 를 R 에 있는정의역이라하고 .t. ...... 니 한접을 x=(Xi, X 2,… ,X n) 으로 나타낸다. 그리고 앞에서와 같이 우리는 다중 지표 (mul ti-i ndex) 기호를쓸것이다. 죽
a= (ai, a2, …, an)
은 n 개의 음이 아닌 정수를 나타내고
ial =어 +a2+··•+an
을 표시한다. 이때 U 상에 차수가 k 인 일반적인 선형 미분 연산 자는
令
로 쓸 수 있다. 여기서 f는 일반적으로 cm 상에 값을 가지는 함수 이고 mxl 행렬로 표시한다. Da 는 f의 각 성분마다 작용하며 a0(X) 는 U 상의 원활 함수들 (smoo t h fu nc ti ons) 로 이 루어 전 p x m 행 렬이다. 따라서 DJ 는 CP 에서 값을 갖게 된다. 이때 D 의 심볼은, 임의의 실 벡타 y=(y\…,y)에 대하여
로 주어지는, cm 에서 CP 로 가는 선형 변환을 의미한다. 그리고 목 히 Y~O 인 경우
로 찰 정 의 된다. 좀더 구체적으로 이 야기 하면 PEM, yE T'f M , s€ep 라 하고, ~p= S 가 되 는 8 의 국소 크로스섹 션 (local cross sec ti on) 를 S.
이라 하고, fEC ~ ( M ), f(P )=O, df (P)=Y 라 할 때
(a(D)y) ( s) =蒼 D( f情)p
로 주어진다. 이 렇 게 주어전 십볼이 R 의 개집합 (o p on set) 상에서 는 처음에 정의된 십불과 일치함을 보이는 것은 쉽다. 만약 모든 y=; =O 에 대 하여 a(D)y 가 동형 (i somor p h i sm) 이 되 면 D 를 역 시 타원 형 (e llipti c) 이 타 부른다. 연산자의 중첩의 십불은 각 연산자의 심볼의 중첩으로 주어접은 명 백 하다. 그리 고 우리 가 의 미 분 연산자(p seudod iff eren ti al op e rato r ) (2 장 참조 )를 도입하면 미분 연산자의 더 많은 연산이 가능하다(예 를 들 면 미분 연산자의 입의의 러(p ower) 동)． 타원형 미분· 연산자들의 중첩이 다시 타원형이 됨을 보이는 것도 쉽다. 또한만일 D,. : r(i) 一 r@) i= l, 2 가 타원형 이 면 그의 합 D1+D2 : re 令®令 )--rC r; 1EB r; 2) 도 타원형이 된다. (2 장 참조) 2 중요 타원형 미분 연산자 기하학이나 해석학에서 가장 중요한 타원형 연산자는 라플라스 ,(L ap la ce) 연산자이다. M=Rn, e=?= 자명한 일차원 백타 번들이라 할때
D=i.= n E 1 8—ax2?
로 정의되며, 따라서 이의 십분은
a(D)y = IYI~
로 주어져 당연히 타원형이 된다. 좀더 복잡한 형태의 (그리고 앞으로 중요한 역할을 하게 될) 예를 몇 개 더 들어 보겠다. (a) M 을 리 이 만 다양체 (Ri em annia n manif old ), e를 M 상의 번들 (bundle) 이 라 하자. 그리 고 llo 를 M 의 접 속 (connec ti on) (.M 상의 거 리 개념으로부터 유일하게 얻어지는), r 를. e 의 접속이라 하자. 그리고. X
와 Y 를 M 상의 벡 타 장 (vec t or fiel ds), /1:I'(t;)라 할 때
(2) h( X , Y)f= (/7 x 『y-/7 Y x y}f
로서 해 시안 (Hess i an) 이 정의된다. 이렇게 정의된 해시안은 X, Y 에 대해서는 C'(M) －선형적이 된다. 이 때 8 의 라플라스 연산자는 해시안의 트레이스(t race) 죽
(3) Lf = iI=: l h(e;, e;) f
로 정의된다. 여기서 {e i, e2,·•·,en} 는 M 의 정규 직교계 (or t honormal fr ame) 이다. 또한 앞에서와 같이 (J（ L)( y )=IYl2 에 의한 곱이라는 것을 쉽게 알 수 있어 L 이 타원형 연산자임을 안다. (b) M 울 방향성 이 주어 진 리 이 만 다양체 (Ri- em ann man ifo ld) 라 하 자. 이 때 주어 진 리 이 만 구조를 이 용하여 M 상의 텐서 대 수(t ensor al g ebra) 에 내 적 (inn er p roduc t)을 줄 수 있 다. 그리 고 주어 전 방향성 과 리이만 구조를 사용하여 M 의 체적원 (volume elemen t)을 유일하 게 정의할 수 있다.
I'(A* ) = :E I'(A* P)
으로 M 상의 외 적 미 분형 식 (exte r io r dif fer enti al for m) 전부를 표서 하자. 그러 면 임 의 의 P 차 미 분형 석 (p-for m) w, 'P 에 대 하여 Hodg e · *연산자(보통 *연산자라고도 함)는
wA 짜=
를 만족하게끔 정의되는, I' (A*P) 을 I' (A * n-P) 로 보내는 연산자이 다. 이 때 I'(A* P) 상에 서
*2(=*o*) = (-l)'(n-P)
가 만족된다. d 가 의적 미분 연산자 (ex t er i or dif fer enti al op era t or) 일 때 8 는
0=(-1)nP+ n +l *d *
로서 정의되고 이는 P 차 미분형식을 (P-l) 차 미분형식으로 보낸
다. 이렇게 정의된 8 는 (I)와 p이 긴밀 지지역 (comp ac t su pp or t)을 갖는 임의의 p - 미분형식이라 할 때
L (I)/\짜= \M <(I),'P >* l
로 정의된 내적하에서
(d(J) , ip) =( (I), oip)
를만족한다. 이때 d+o 는 타원형 연산자가 된다. 이것을 증명하기 위하여~ (d+o)2 이 타원형 연산자임 을 보이 기 만 하면 된다. 그런데
(d+o)2 = d2+02+do+od=do+od
(여기서 d2= 0, 정 =0 을사용하였다.）이 된다. 이것의 심볼을계산하 기 위하여 우선 d 의 십 볼부터 계 산해 보자. p1:M , }'ET:M, (J)E r(A * ) 라 하고 f를 f( P)=O, df (P)= y인 임의의 원활 함수라 하 자. 그러면
{v(d)(y) } (I)p= d(f (I)) | P=df/ \(I)p+f(p) (d(I) )P =Y/\(I)p
죽 a(d)y= yf\ 가 된다. 마찬가지로 a(o) y=―ty가 된다. 여기서 ly 는 y 에 관한 내 적 (int e i r o r pro duct) 즉 Y I\의 쌍대 (dual) 연산아 다. 따라서
a(do+od)y= -(y/\ty+t,y/\) = 一 II Yll2
이 되어 (d+o)2 이 타원형이다. 보통
L1=(d+o)2
로쓴다. 주 : A* 죽 의적 텐서 번들에 예 1 에서와 같이 라플라스 연산자 L 을 정의할 수 있다. 위에서 정의된 4 와 -L 은 같은 십볼을갖지 만 같은 미분 연산자는 아니다. 일반적으로 0 차 혹은 1 차항이 다 르다. (c) M 을 n 차원의 복소 다양체 (comp le x man if old) 라 하자. 이 때 z1, z2, …, % (여 기 서 zi= Xi + J=i y{）를 국소 해 석 적 좌표계 (loc al
holomorph ic coord i na t e) 라 하면 복소 접 벡 타 (com p lex tan g e nt vec t야)
읊난(玉-_ ✓ 쿠금), 꼴칸(玉+ ✓각 급),
복소 미 분형 식 (comp le x dif fer enti al for m)
dz,•= d x,+ ✓ 각 dy ;, d 료 ,. =dx, . _ J= Tdyj
를 정의할수 있다. （여기서 우리는 TM®C 상에서 작업을 하고있 는 것이다.） 그러면 복소 텐서 대수 I' (A*®C) 는
I'(A* P@ C)= EB I'(A* q• r)
로 분해된다. 여기서 I' (A* q,,)는 국소 복소 좌표계 z1,z2, ... ,%에 대하여
a(z, z)dz;,/\… / \dz,.q/ \ dzh/\… / \dzj,
로 쓰여지는 원소들이다. 이 때 의적 미분 연산자 d 는
o=~ dz.-/\ 言a, a= 2 d2,./\ 言a
라 할 때 d=a+a 로 분해된다. 주 : 이러한 d 의 a 와 a 로서의 분해는 주어전 복소 좌표계에 관 계 없다는 것을 보일 수 있다. 복소 다양체 M 상의 준 복소 구조 (almos t comp le x str u ctu re) J는 M 의 실 접선 번들 (real tan g e nt bundle) 상에 국소 복소 좌표계 .z1, z2, …, Zn 을 이 용하여
Ja_ax ;＿ 一=aay— ; ' J... a―ay ;= 一――8ax一 ,.
로 정의된다. （여기서 z1=x;+..;=T y ; 이다) 그리고 실 좌표계 (x1, y h X2,Y2, … ,x'%) 은 M 에 유일한 방향성을 전정해 준다. M 상에 정 의된 리이만 메트릭 (Rie m ann me t r i c) 에 대하여 J가 길이를 보촌하 는 사상이 되면 주어전 리이만 메트릭을 헤르미트 메트릭 (Hermi tian me tri c) 이 라 한다.
h 를 M 상에 주어전 헤르미트 메트릭이라 하자. 우리는 이 h 를 A*® C 상의 해 르미 트 내 적 (H ermi tian inn er p roduc t)으로 확장할 수 있 다. 이 때 cp, c/J E 「 (A *P@ C) 에 대 하여 cp/\짜=〈cp, #>* l 을 만족한다. 그리 고 만일 cp ET(A* q ,r) 이 면 *cp c I' (A*~'n- q)가 된다 . .그 리고 O=-*a* 라 하자. 그러면 ('P, #) =\ p A *g 로서 정의된 내적하에서 5 와 O 는 서로 쌍대 관계가 된다. 즉 우리 - 는 (a'P, rp) =( 'P, 0 少) 라는 관계석을 얻는다. 그리고 5+0 는 타원형 연산자가된다. 이를 보이기 위하여는 (a+0) 도 a0+05 가 타원형임을 보이기만 하면 된 다. 그런데 a(a)y =y0• 1 , a(B)y =-iy0•1 가 되어 (여기서 y o,1 는 y의 Ao,1 성분이다) a(ae+ea)y= -1lyo , 1112 이 된다. 그런데 y 가 실 여 접 선 벡 타 (real cota n g e nt vec t or) 이 므로 만일 y::>i;:O 이 면 y o,1 누 0 이 되 어 a0+0a 는 타원형 연산자가 된다. (4) 이 번에 는 스핀 다양체 (spi n man ifo ld) 상에 정 의 되 는 Di ra c 연 산자에 대하여 이야기하겠다. sp in 표현에 대하여는 부록을 참조하 기 바란다. n 츠 3 인 경 우에 는 떠 (SO(n)) =Z2 로 주어 진다. 이 때 SO(n) 의 2 중 커 버 공간 (double cover i n g)을 S pi n(n) 이 라 부른다. 따라서 n;;?:3 인 경우에 단순 연결되어 있다. 우리는 n 이 짝수인 경 우 (n=2l) 에 한정시키겠다. 또한 O(n) 의 2 중 커버 공간을 그냥
Pi n(n) 이 라 부론다. (이 용어 는 Serre 가 만들었 음. ) ? i =2 l 인 경 우 에 P i n(n) 은 임 차원의 충실한 기 약 복소 표현 (faithf u l irre ducib le comp le x re p resen t a ti on) 을 가지고 있다. 이 때 표현 공간 V 를 스피 노 꽁간 (s p ace of spi nor) 이 라 한다. M 윤 구조 공간 군 O(n) 이 P i n(n) 으로부터 오는 리 이 만 다양체 라 하자. 따라서 접 벡타 공간의 천이 함수가 P i n(n) 에 값을 가치게 된다. 이런 성질을 갖고 있는 다양체를 P i n - 다양체라 한다. P i n - 다 양체 중에서 방향성이 주어져 있는 것들을 S pi n - 다양체라 한다. 이 경 우에 는 접 벡 타 번들의 천이 함수가 S pi n(n) 에 서 값을 갖게 된 다. （어떤 주어전 다양체가 S pi n 구조를 갖기 위한 필요 조건은 제 2 Sti efe ll -th i t ne y 류가 O 이 되 는 것 이 다. Mi lno r 의 정 리 ) P i n - 다 양체 상에는 이의 접 벡타 번들에 연관시켜 화이바가 앞에서 언은 표현 공간 V 가 되는 벡타 번들을 구축할 수 있다. 이 벡타 번들 v 를 Sp ino r 번들이 라 한다. 여 기 에 다 우리 는 Rie m annia n connec- ti on 을 줄 수가 있어 예 1 에서와 같이 Lap la cia n L 을 정의할 수 있다. 지금부터 우리는 _L 의 제곱근에 해당되는 Dir a c 연산자에 대하여 설명하고자 한다. 우선 표현 공간 V 에 대한 설명부터 하 자f_o.ri = di l E 자anl라gde V는 b 는ra 2 이 차C 다l i(f형 f부식n®록( C q참 와 u조a) d．r동 a t형따i c 라 이f 서o r 된mC)다 l을. if f 주 여은 었 기을 서 때 C얻lif어 f지 는는 RCl i에f - rI 조: 0 ―R 강― R r 번(8) ~ .. ,(8n)R l / {x®x +
e!= 一 I, e;ej= -e 沿
라는 관계 식 을 만족한다. Cli ffn 은 2 차원의 백 타 공간이 고 O(n)- 모듈로서 A(R) 과 동형 이 다. R=:A1(R) 은 Cli ffn 의 부분 집 합으 로 자연스럽게 귀속되고 우리의 표현 공간 V 는 C liff n®C 의 최소 좌측 아아 디 알로 생 각할 수 있 다. Cli ffn 에 서 의 곱을 Cliff ord 곱셈 이 라 한다. （부록 참조)
E 를 P i n - 다양체 M 상에 정의된 스피노 반들이타 하자. 이 때 Di ra c 연산자 D : I' ( 1J ) -+I'(1J)는, /7 : I'(IJ)一「 ( T *@ IJ )을 리 이 만 접 속,그리고 m : r(T*®v) ― ► I'(IJ)를 위에서 정의한 Clif for d 곱셉이타 할 때, mo /7로서 정의된다. {e1,e2 … ,e,,} 을 정규 직교계라 할 때 Dir a c 연산자는
#crcv)-+ 2 e ,.® J7 c i少 Er( T*®v)--+ i2= l e‘ . J7셍
로서 주어진다. 그리고 D2=-L 임을 쉽게 알 수 있어 D 의 타원성 이 증명되었다. 만일 M 이 S pi n - 다양체라면 좀더 재미있는 다음 과 같은 현상이 일어난다. Sp in( n) 군하에서는 우리의 표현 공간 V 가 2 개의 기약 부분 표현으로 분해가 된다. 죽 V=V+EBV_ 이 된다. 좀더 자세 히 기 술하면 Clif fn 은 Cli ffn= Cli fn E BC liff ;;-, 여 기 서
C liff !zA 우 수 CR), Cl iff ;;zA 기 수 (R),
으로 Z2 등급(g rad i n g)을 매길 수 있다. 그리고 S pi n(n)=C liff訂自 P i n(n) 이 고 V 는 Cl iff足 )C 의 극소 좌측 아이 디 알이 기 때 문에
v+=Cliff !@ Cn V, v-=Cliff ;;@ cn V
로 주어 진다. 그리 고 YER 에 의 한 Cli fford 곱은 V+ 를 V- 로 보낸 다. 따라서 Sp in 다양체 상에 서 는
D : I' (v+) 一福)
가 된다. 여기서 물론 v=v+ Et) v- 로 분해하였다. 이 연산자 D 는 우 리의 지표정리에서 특벌히 중요한 역할을 한다. 3 유한성 정리 e 와 1)를 원활 간밀 다양체 M 상에 정의된 2 개의 복소 벡타 번 들이라하고
D : rce) --+ I'(11)
룬 주어전 타원형 연산자타 하자. 그리고 e 와 7J에는 헤르미트 메 트릭 이 주어 쳐 있고 M 상에 도 원활한 밀도 (smoo t h densit y) dµ(x) 가 주어 졌 다고 하자. 그러 면 이 들을 이 용하여 I'(e) 상에 다음과 같이 내적을 정의할 수 있다. 죽 (1),rp E I' (e) 라 할 때
((1), rp) = j <(1),r p> d µ (x)
로 정의된다. 따라서 우리는 이 내적을 이용하여 D 의 수반 연산자 (adjo i n t ) D* : I'(TJ )-rce) 를 다음의 성 질에 의 하여 정 의 할 수 있 다. 죽 (1)E r(E), rp Er@) 에 대 하여 (Dw, rp )=(w,D% ）라 하자. 그러면 이렇게 정의된 D* 는 역 시 미분 연산자가 되고 그의 십불은
<1( D*)y = (-l )k霜*
〈여기서 k 는 D 의 차수)가 되어 D* 역시 타원형이 된다. 또한 정의 로부터 kerD 는 i mD 장] 수직하고 반대로 만일 o 가 i mD * 에 수직 하면
O= (w, D*Dw) = (Dw, Dw)
로부터 Dw=O 를 얻어 kerD 는 바로 i mD* 의 수직 여공간이 됨을 알 수 있다. 그리고 D 의 타원성으로부터 a) ker D 가 유한차원이 고 b) I'(e) = ker DEBi m D* 을 얻는다. 여기서 b) 는 f가 ker D.에 수직할 때 D*u= f의 해가 촌재함을 말해 준다. 특별히 e= 7)이고 D=D* 인 경우를 생각하자. 어떤 실수 i ER 에 대하여
rl, f= rl= {f1:rc e) 1D J = lfJ
라 하고, vce) 는 rce) 에 대하여 (, ）를 사용하여 얻어지는 힐버트 공간이라 하자. 그러면 우리는
c) I'i ~O 인 i 는 가부번 개만 촌재하고 각 E는 유한차원 공간 이 되며
E( f)= ＠^ I'』
라는 분해를 얻는다. 여기서 ®^ 는 수직합 (or t ho g onal sum) 의 완비 (com p le ti on) 이 다. (tr예iv i를 a l 들lin어e buMnd=leS)1 이= 고{e ;D' }~= -c fI - 이7고d e 이= 라 'Y )는하 자다.같 이그 러자 면명 한D 선=D 번* 들가 되고 D 는 당연히 타형원이다. 그리고 {e’ . } 가 정수 n 에 대하여 D 의 고유 함수가 되며 위의 힐버트 공간의 분해는 바로 Fouri er 급 수 전개에 해당된다. 그러고 일반적안 고전 슈투릅―리유빌 문제 (classic a l St u rm-Lio u vil le p roblem) 란 일 변수 2 계 타원형 연산자에 대한 우1 의 예의 일반화에 지나지 않는다. 위의 일반적인 정리의 증명을 위하여는 주어전 연산자의 과라메 트릭 스(p arame t r i x), 즉 p : I'('Y) )-rce) 로서 P0D-Ir 와 D0P-I,. 가 원 활 연산자 (smoo t h i n g o p era t or) 가 되는, 그런 연산자 P 의 설정 이 중요하다(제 2 장 참조)． 그리고 이 때 PoD-Ir 와 DoP-I 기 는 긴 밀 연산자 (com p ac t o p era t or) 가 되며 위의 정리는 이런 연산자에 대 한 기본정리들로부터 나온다. 4 지표의 해석학적 공석 M 을 간밀 원활 다양체, e, rJ를 M 상에 정의된 헤르미시안 메트 릭을 가지고 있는 복소 벡타 공간, dµ(x) 를 M 상의 밀도 그리고 D : rce)-r@) 를 타원형 연산자라 하자. 그러 면 수반 연산자 D* 도 타원형이 되고 kerD* 는 i mD 의 수직 여공간이기 때문에 cokerD 와 동형이 된다. 이 때 우리는 D 의 지표를
ind ex(D) = dim cker D-dim ccoker D
로 정의한다. 우리가 앞으로 할 일은 i ndex(D) 에 대한 적분 공삭
을 얻는 것이다. 우선
댜 =D*D, 口 =DD*
라 하자. 그러면 i mD* 는 kerD 에 수직하기 때문에
ker 口 ,=kerD
라는 공식을 얻는다. (좀더 구체적으로는 kerDckerD, 임은 자명 하다. 따라서 이의 반대 부등식을 증명하기 위하여
0 = (다
가 되어 D< p=0 죽
0 三i l 三i 2 조··
를 연산자 D 의 중복을 허락한 고유값의 나열이라 하자. 그리고 {
i;(s )=.E n ’-+i;. -, h(t) = _nE e -lnt= m+ .E'e-WI
이다. 여기서 고’는 0 이 아닌 고유치상의 합이고 m 은 고유치 0 의 다중도 (mul tipli c ity)이 다. 그리 고 대 응되 는 고유 함수의 접 근적
성질 (as y m pt o ti c na t ure) 를 연구하기 위하여
t;,( s,x,y )n =I;i;' ~ '
롤 도입한다. （헤르미시안 내적에 의하여 챤~g를 얻기 때문에 ;;,:[y)를 f*의 원소로 이 해 할 수 있 다. 죽 f 曰
C*) ind ex(D) =ker D,-ker □~
를 얻는다. 여기서 둘째 등식에서는 A::\-:0 인 경우에 D 가 E, t와 r1, 기 사이의 동형을 만들어 주어 서로 상쇄된다는 것을 이용하였 고, 세째!M < p등 n(식X)에 二서파는 고 (x유)함= l수 을 { <이p , ,용｝의하 길였 이다.가 1 인 사실 죽 지표에 대한 위의 공식에 있어서 우리의 중요문제는 급수 C 와 h 의 수림 성 판단과 그의 접 근적 성 질 (asym p tot i c na t ure) 을 알아내 는 것 이다. h( t ,x, y)가 t >O 인 경우에 수령하고, t가 0 으로 감에 따라
h(t, x, y)~j 츠E_,, ti/2 %(x)
이 되고(여기서 k 는 D 의 차수, n 은 M 의 차수)， 계수 µj (X) 가 국부적으로 계산될 수 있는 것이라는 것이 열 방정식 방법(우리가 이 책에서 취하는)의 기본정리이다(제 2 장 참조)． 분만 아니라 우리는 계수 µi (x) 들을 연산자 D 의 계수로부터 기본적인 방법으로 얻어넬 수 있다(제 2 장 참조)． 특히 D 의 계수가 2 인 경우에는 µ}는 D 의 계 수와 그의 미 분, 그리 고 a=a( □ )Y= I: aii (x )yi yf 를 口 의 십 분 이 라 했을 때 de t (a)-1 의 다항식 으로 주어 전다. (y 의 종속관계 는 여
접 벡 타 번 들 (co t an g en t bundle) 의 구 번 들 (s p here bundle) 상의 적 분을 덱 함으 로써 없어진다.) 우리가 정의한 두 개의 급수 lt 와 <:, 그리고 감마 함수의 정의
I'(s) =J。 구 -1e-1d t= 먀구 -1e-11d t O>O)
를 이용하여
I'(s)/ ;(S, X, y) =I ;'[o。ot •-le-ln t군)®福 d t
라는 관계를 얻는다. 이 관계식을 이용하면 C - 방법과 ’2- 방법, 죽 r;:-함수 방법과 열 방정석 방법 사이의 교량을 만들 수 있어서 고유 함수의 접근적 성질과 고유값 분포에 대한 연구가 가능해진다. 이 두 방법은 동등한 것이나 각각 다른 아접이 있다. 예를 들면
□ -'f (x)= J ccs, x, y)f(y)d y
라는 것을 의 미 있게 하여 준다(물론 우변의 적 분이 가능한 한)． 이 러 한 미분연산자의 여러 가지 함수해석은소위 의미분 연산자(p seudo dif fere nti al o p era t or) 를 탄생 하게 만들었 다. 급수 h(t, x, y)는 공리 적 으로는 연 방정식
〈울- □ )u=O
를 만족시칸다. 또한 실제적으로 h (t ,x, y)는 열 방정식의 기본 해 (fun damenta l solu ti on) 가 되고 처음에 u(o, y )=u( y)라는 초기 온도 분포가 주어졌을 때 시간 t일때 x 에서의 온도는
u(t, x)=J h (t, x, y)u (y) dy
로둘, 주그어리진고다. D =예-를 경들a2詞어 이 M면= DS1 는, ~ n==1OJ,1가, 2다,3 ,같··이· 에 자대명하한여 직n2선 이 번라
는 고유값을 갖고, {ein •, e- i'}라는 대응되는 고유 함수 를 갖는다. 따라서 우리는
((s, 8,
를 얻는다. （우리의 ((s) 는 리이만의 :함수의 2((2s) 에 대응된다). 간단한 계산을 하여
h(t, 8, 8)=1+ I;'군
사이에 있음을 알 수 있다. 그런데 !.,e-x21dx=_ 〈2드 t -V 2 이기 때 문에 t가 0 으로 감에 따라 h( t)～상수 X t -l/2 로 주어침을 안다. 이 는 h( t ,x,x) 에 대한 근사식의 예를 보여 주는 것이다. 그러나 일반 적인 증명은 훨씬 복잡하다. 다시 지표 in dex(D) 에 대한 우리의 공석( * )에서 지표는 t에 무관하므로 h( t ,x,X) 에 대한 접근 공식 울 대입시켜서 결국
ind ex (D)=LM t race{µ 。f (x) ―µ。 lx)}dµ(x) ·
라는 공석을 얻는다. 이 공석은 지표 i ndex(D) 라는 광역적으로 정 의된 불변량과 우변에서 주어지는 국소적 불변량의 적분이 동일한 값을 준다는 것을 의미한다. 이는 많은 광역적 불변량을 국소적 불 변량의 적분으로 표현할 수 있다는 것을 말하여 준다. 그런데 모든 광역적 불변량을 항상 이렇게 국소적 불변량의 적분으로 표현할 수 있는 것은 아니다. 그러나 이미 18 세기 수학에서부터 위와 같이 광 역적으로 정의되는 . 불변량을 국소적 불변량의 적분으로 표현하려는 시도는 수학의 가장 중요 문제의 하나로 인정되어 왔다. 이런 시도 중 가장 완벽한 형태의 것이 우리가 공부하려는 지표 이몬의 국소 적 표현 방법이다.
5 Hodg e 이론 및 고전적 연산자의 지표 M 을 긴밀 원활 다양체 라 하고 I'(A* ) = .~. I ' (A * P) 를 미 분 형 식 P 츠 O 의 대 수라 하고 d 를 의 적 미 분 연산자 (ex t er i or dif fer enti al op e rato r ) 라 하자. 어떤 미분 형식 o 가 dw=O 이면 닫혔다 (closed ) 라 하고 w=dr; 꼴이면 o 를 완전 (exac t)이라 한다. 그란데 d2=0 이므 로 완 전 미분 형석은 항상 닫혀 있다. 그리고 {닫힌 P 형 석} / ｛완전 p- 형 석 }를 P 번째 드람 (deRham) 코호모로지 군 (cohomolo g y g rou p)이 라 하면 이는 일반적으로 실수 ( R ) 를 계수로 하는 득 이 코호모로지 (sin g u lar cohomolo gy)와 동형이 된다. M 에 리 이 만 (R i emann) 메 트 릭 (me t r i c) 이 주어졌다고 하자. 그러면 우리는 d 의 수반 연산자 6 를 정의할 수 있다(재 l 철 참조 ). 만일 8o=0 이면 o 를 여페 (coclosed) 라 하고 w=o
(Aw, w) = (dw, dw) + (ow, ow)
이 되어 o 가 조화적이 되기 위한 필요 충분 조건은 Aw=O 가 된 다. 이 때 Hod g e 의 다음과 같은 중요한 정리가 있다. 정리 : M 을 간밀한 리이만 다양체라 하자. 그러면 M 의 각 de- Rham 코호모로지 클라스는 한 개의 유일한 조화미분 형석으로 표 현된다. 이는 제 3 철의 b) 를 이용하여 증명된다• 우선 (dw,
(t) -do cp=(t)。 +8d cp
로 주어진다. （여기서 (1)。논 조화적이다.） 그런데 (t)가 닫혀 있으므로 양면에 d 를 작용하여
dodcp = O 죽 (do+od)dcp = L1d'P =o
를 얻는다. 그런데 완전인 조화 미분 형석은 0 분이므로 d rp =O 가 되 어 (t)o 는 (t) 와 같은 코호모로지 쿨라스에 속한다. 주 : 열 방정식 연산자를 이용하여 다음과 같이 이해할 수 있다. · (t)문 초기의 온도 분포로 이해하자. 그리고 4 철에서와 같이 고유 값, 고유 함수를 덱하여
(t)＝표 a,'
로 쓰자. 그러면
(I)t(x )=J h(t , x, y)(t)(y) dy
타 쓸 수 있다. 따라서 t -oo 일 때 죽 군형 상태에서의 온도 분포 는 바로 조화 미분 형식인 (J)。가 되는 것이다. 더 일반적으로 간밀 다양체 M 상에 헤르미시안 백타 번들 和와 연산자 D : I' @)-r@) 가 주어졌을 때 만일 D+D* 가 타원형이 되 면 같은 이론울 전개할 수 있다. 특히 f의 크로스 섹션 (J)는 Dw= O=D% 이면 조화적이라 정의할 수 있다. 만일 D2=0 이면 D 에 의거한 코호모로지 이론을 전개할 수 있고 이에 대응되는 다음과 같은 Hodg e 정 리 가 주어 진다. 즉 모든 D- 코호모로지 큘라스는 유 일하게 조호너 크로스 섹션으로 표현할 수 있다. 특히 다음의 두 예룬둘수있다. (a) a- 코호모로지 M 을 긴밀 복소 다양체라 하고 8 을 임의의 해석적 벡타 번들이 라 하자. 그러면
a : I'(A* o, P ®;)-+I '(A* o,P+1(8 );)
룰 ac (1) ® v)=a (1) ®v 로서 정의할 수 있다. 여기서 (1)는 A*o,P 의 색 션이고, v 는 f의 해석적 색션이다. 그런데 청 =0 이므로 코호모로 지 이 론이 만들어 진다. 그리 고 Dolbeault 동 형 정 리 에 의 하여 이 코호모르지는 E 의 해석적 섹션의 점(g erm) 에 의하여 정의되는 Cech 코호모로지와 동형이 된다. Hodg e 정리는 이 경우에 있어서 모든 8- 코호모로지 큘라스는 尸에서 값을 택하는 조화 미분 형식에 의하여 유일하게 표현된다는 것을 말해 준다. (b) e 를 간밀 다양체 M 상의 헤르미시안 벡타 번들이라 하자. 그리고 D 를 이 헤르미시안 구조를 변화시키지 않는 8 의 접속이라 하자. 이 때
d,(v(8 )rp) =v@dcp + Dv/\cp
로 정의되는 연산자
d, : rce®A*P®C)-+ I'(縮 )A * P+1 ® C)
를 생각하자. 여기서 Dv/\ cp는
rce® T*®A*P®C)-+I '(e® A* P+1 ®C)
에일 반의적하 으여로 주d어 匡지 :0는 이 다사. 상그에리 의나한 만 D일v ®e 가p의 국상소(i적 m a으 g 로e) 이 다평. 평 (그lo러c al면ly · fl a t)하면 죽 국소적으로 항상 f 의 계수와 같은 갯수의 서로 일차 독립인 평행한 크로스 섹션을 얻을 수 있으면 d]=O 이 되고 따라 서 E 에 값을 가지는 미분 형식에 대한 코호모로지 이론을 전개 할 수 있다. 하여튼 어떤 경우에도 d, 의 수반 연산자 따를 정의할 수 있 다. 즉 제 1 철에 서 와 같이 r@®A*P®C-+r@®A*'I-P®C) 로 정 의되는 *연산자를 정의할 수 있고 이 때 d t 는 (-l) nP+11+l 다 :' d, * 로 주 어진다. （만일 七가 자명한 직선 번들이면 d t =o 이다)． 그리고 dr+d t는 타원형 연산자가 되며 만일 d;=O 이면 우리는 이에 대 응되 는 Hodg e 이 론을 가진다. 이런 재료들을 기본으로 하여 몇 개의 고전적 연산자의 지표를 생
각해 보자. (1) 오일러 지 표 (Euler Characte r is t ic ) M 을 간밀한 Ri em ann 다양체라 하자. 그리고
~= I: A*2P(8 )C , r;= I: A*2P+l(8 )C
라 하고 D=d+o : rce) 一 r@) 라면 D 는 타원형 연산자이 고 이 의 수반 연산자 D* 도 역시 d+o 이다. Hodg e 이론에 의하여 b,. 를 i번 째 Bett i 수라 하였을 때 dim ker D=P~。 b2P, dim ker D*=P~。 b2P+I 이 되 어 i ndex(D) 는 바로 M 의 Euler 수가 된다. (2) 리 이 만-록크 (R i emann-Roch) 특성 치 M 을 긴밀 복소 다양체라 하고 C 를 M 상의 해석적 백타 번들이 타하자. 이 때
e= .E A*o,2P@:, YJ= .E A*o,2P+1 寧
라놓고
D= 硏 a* : rce)--+I' (1))
라 하면 D* 도 또한 a+a* 가 된다. 앞의 예 (1)과 같이
dim ker D= I; dim H2P(M, 8(0)
가 되어 이 경우에는 i ndex( D) =x( M,,(）이 된다. (3) Sig n atu r e M 을 간밀하고 방향성이 주어전 2k 차원의 리이만 다양체라 하 자. 이 때 I' (A*P) 에서는 (J =T)P(P+1)-k* 로 정의되는 연산자를 a 라 하고 이를 I'(A *)= I: I' (A*P) 를 I' (A*) 로 보내는 연산자로 이해 p츠 O 하자. 그러면 a2=ld 가 된다. 이를 칙접 증명할 수도 있으나 우 리 가 앞에 서 사용한 Cli ffor d 대 수를 이 용하여 증명 하여 보자. 우선 A* 와 Cl iff2k 의 동형 을 덱 하여 A* 를 Cl iff” 로 생 각하자. 이 때 {e1'%, … ,e 라를 방향이 주어전 정규 칙교계라 하고 e1e2•e2• 의 우 편 상의 곱에 의하여 주어지는 연산자를
/3 : Clif f2k ->Clif f2k
타 하자. 그러면 a=( ✓- =-i )-k /3가 되고 [3 2=( ―l) k 가 되어 a2=1d' 를 얻는다. A: 오]. A~ 를 각각 a 의 고유값이 1 과 _1 인 고유 공간 이타 하자. 그런데 da=_a8, 8a= ― ad 가 되므로 D=d+o 로 정의 되는 연산자는 I' (A!) 를 I' (A~ ）로 보내고 D 의 수반 연산자 (ad joi n t) 도 d+o 가 된다. {o: ｝를 실 조화미분 P- 형식의 기처라하자. 이때 만일 P
D : I'(JJ+) -I'(JJ-)
의 지표를 주어전 다양체의 스피노 지표라 한다. 이것은 주어전 다 · 양체 의 A- 지 너 스(g en . us) 와 일치 한다 A-ge nus 는 어 떤 Pontr y a g in 수가 되지만 일반적으로는 정수가 되지 못한다. 그런데 이것이 S pi n- 다양체 상에 서 는 정 수라는 것 이 At iya h 와 Hirz e bruch 에 의 하 여 1950 년대에 알려졌다. 그러나 위와 같이 .A-g enus 가 Sp in 다양 체상에서는 어떤 타원형 연산자의 지표로 주어진다는 사실은 왜 .A-g enus 가 정수이어야 하느냐에 자연스러운 해답을 준다. 이 철을 끝내기 전에 예 (2) 와 그밖의 예 사이의 차이점을 이해 하기 바란다. 예 (2) 에서는 임의의 번들 E 에 대하여 고려했던 반면
예 (1), (3), (4) 에 서 는 접 벡 타 민들만 다루었 다. 예 (b) 에 서 주어 졌다시피 임의의 헤르미시안 번들에서 값을 택하는 미분 형식에 대 하여 자연스럽게 정의되는 타원형 연산자를 만들 수 있다. （물론 S pi n- 다양체상에서는 헤르미시안 백타 번들에서 값을 가지는 스파 노 (s pi nor) 에 정의된 타원형 연산자를 말한다.） 따라서 예률 들어 해 르미시안 백타 번들 C 가 주어졌을 때의
t:= P.1<:O: CA*2P®C)®'· r;= P1.<:O: A*2P+10c0:
를 생각하자. 이 때 우리는
D~d,+df : I'(~) -+ I'(TJ)
를 얻는다. 헤르미시안 벡타 번들에 값을 가지는 미분 형석이나 spi no r 의 sig n atu re 라든가 스피 노 지 표에 대 하여 마찬가지 로 생 각 할 수 있다. 이런 연산자듈의 지표는 주어전 번들의 접속에 무관한 대역적 불변량이다. 6 고전적 군의 불변량 F 를 표수 (charac t er i s it c) 가 0 인 체 (field ) , V 를 F 상의 백 타 공간 이라 하자. 그리고 군 G 가 V 상에 선형적으로 작용한다고 하자. v 의 한 원소 V 가 G 의 모든 원소 g에 대하여 g v=v 일 때 V 를 G- 불변적이라 한다. 앞으로 우리는 V 의 쌍대 공간 V* 에 유도된 G 의 작용에 대하여도 연구할 것이다. 따라서 V* 의 G- 불변 원소는 V 상에 서 정 의 되 고, G- 동류변환 (G-e q u i var i an t)을 하는 범 함수(fu nc ti onal) 을 의 미 한다. 우리는 앞으로 몇 개의 고전적 군의 불변량에 대하여 간단히 공부 · 하겠다. (A) G 를 F'' 상 에 작용하는 일반 선형 군(g eneral lin e ar gro up )- Gl(n, F) 라 하자. 이 로부터 F 의 텐서 대 수(t ensor al g ebra) 에 도 G- 작용을 정 의 할 수 있 다. 그리 고 표준적 압축 (canon i cal contr a cti on )
F’'t )F -+ F
는 당연히 G- 불변이다. 일반적으로
V=F11• ®· ··®F •®F ®F ®· .. ®F
라 하고 이 위에 표준적 G- 작용을 생각하자. 그러면 우리는 다음 과 같은 정리를 얻는다. 정리 1. (i) 만일 p~q 이면 V* 에서 G- 불변이면서 0 이 아닌 원 소는없다. (ii) 만일 P=q 이면 다음의 기본 불변량 (elemen t ar y i nvar i an t)이 V* 의 G- 불변량 공간 전체를 생성한다. 이 기본 불변량들은 다음 과같은꼴들이다. 죽
이다. 여기서 6 는 {I,2, …,p}의 순연(p ermu t a ti on) 이다. CB) F=C, W=C, G=U(n) 이라 하자. 이 때
V= W*®··•®W*®W®•·•®W
상에 정의된 표준적 G- 작용을 고려하자. 그러면 우리는 다음과 같 은 정리를 얻는다. 죽 정리 2. V* 에 있는 U(n) －불변량도 정리 1 과 똑같이 주어진다. (C) F 를 표수가 0 인 체, W=F, 그리고 G=O(n,F) 를 W 에 정의된 정칙 2 차 형식에 의하여 주어지는 직교 군이라 하자. 그러 떤 주어진 2 차 형식으로부터 얻어지는 표준 사상 W@W--. F 논 당연히 G- 불변인 2 차 형석이다. 그리고 주어진 2 차 형석이 정 칙이므로 이를 이용하여 W 에서 W* 로 가는 G- 동류 변환 (e q u i varia n t) 동형을 얻을 수 있다. 이 때
V=W®W®•·•®W
라 하고 여기에 표준 G- 작용을 생각하자. 그러면 우리는 다음 정 리를 얻는다. 정리 3. (i) 만인 P 가 기수이면 V* 에서 G- 불변이면서 0 이 아 닌 원소는 없다. (ii) 만일 P 가 우수이면 V* 에 있는 G- 불변인 원소로 이루진 공 간은 다음과 같이 주어지는 기본 불변량 (elemen t ar y i nvar i an ts)으로 생성된다. 죽 a 를 {1, 2, …,p}의 임의의 순열, 그리고 〈,〉를 주어 전 2 차 형석이라 하면
cp. : W1@ · • •@ Wp -+ i'p[=J/ 2l < W a (2 i - 1), W,c2,.)>
로 주어전다. 벡타 공간 V 상에 군 G 가 작용하고 H 를 G 의 부분 군이타 하 자. 그러면 V에 있는 H- 불변 원소의 공간은 일반적으로 G- 불변 원소로 이루어진 공간보다 더 큘 것이다. 이런 형태 중 독벌한 경 우가 G= O (n, F) 이 고 H=SO(n, F) 인 경 우이 다. 여 기 서 SO(n, F) 는 W=F 상에서 정의되고 주어전 2 차 형 식을 불변케하는 자기준 동형중 행렬식이 1 인 원소들로 이루어전 집합이다. 이 경우에는 정리 3 에서 주어지는 불변량 이의에도 행렬식 (de t erm i nan t)이라는 W 의 텐서 대수 중에서 H- 불변인 , 》새로운 양이 하나 더 촌재한다. 이 행렬석은 다음과 같이 정의된다. {e1,e2, … ,en} 를 W 의 기저라 하 자. 그러면 e=e1/\e2/\ … /\e,1 은 AW 의 기저가 된다. 그런데 AW 와 F 는 Ae-+A 로 주어지는 사상에 의하여 동일하게 취급할 수 있 다. 이때 행렬석 de t는
det : w1®··•®w, ＇키 W1/\ ••• /\W,1=µe 캬
로주어지는
det : W®W®•·•®W 국 F
에 의하여 정의되는 사상이고 당연히 SO(n,F) 一불변량이다• 우리는 이 중에서 목별히 홍미있는 경우에 대하여 더 고찰해 본
다. n=2m 이타 하자. 그리고 V=A2W 를 W 의 2 차 의적 멱공간 (second exte r io r po wer) 라 하자. 그러 면 V 는
에 의하여 nxn 의대칭 행렬들로 이루어진 공간 V 와 동일시된다. 만일 G 를 정의하는 2 차 형석이 2 자로 주어지는 표준 형식이면, G 는 V 에 공액 (con j ug a ti on) 으로 작용하고 위 에 주어 진 사상 cp : v-+V 는 G 풍류 변환 사상이다. 그리고 다음에 의하여 주어지는 사상을 파피안 (P faffi an) 이라 한다. 죽 x=(a ii )EV 라 할 때
x=(a0)-+x®•·•®x 국 So-l(x)@••• Q9
^p크 (x) 로 주어 지는
iT-+iT®•·•®iT -V®•·•®V 귁 21 W~F
로 정의된다. 좀 더 구체적으로는
Pf af f (a ij ) = .E e0a 。』 . 2 a. , .,•••a 。2 m -1•2m
로 주어진다. 여기서 o 는 {I,2, … ,2m} 으1 순열, e. 는 c 의 부호이 다 . . F=R, W=R, G=O(n) 이면 j1 2W 는 G 의 Lie 대수와 동일하 다. G 의 Lie 대 수에 다 G 의 수반표현 (adjo int re presen t a ti on) 으로 G 의 작용을 정의하면 이 동형은 G 풍텨卜 변환이 된다. A2W 상에서 의 대 칭 대 수 (s y mme tri c alge bra) 중 O(n) －불변 량은 Pontr y a g in 클 라스와 밀접한 관계가 있다. 또 n=2m 일 때, A2W 상에서의 대칭 대수중 SO(n) －불변량은 오일러 클라스와 밀접한 관계가 있다. ::i 리고 U(n) 의 Lie 대수상에서의 대칭 대수에 있는 U(n) －불변량은 Chern 클라스와 밀접 한 관계 가 있 다. （여 러 가지 목 성 class 에 대 하여 는 부록을 참조하기 바란다.)
7 측지 좌표계 (Geodesic Coordin a te s ) 이 절에서는 측지 좌표계에 대하여 간단히 기술하겠다. 우리는 봉상적인 방법보다 좀더 정확한 형태로 기술하겠다. 이런 방법으 로, 4 전에서 정의된 지표에 대한 공식의 적분원이 이 다음 철에서 설명할 곡률 불변량 (curva t ure i nvar i an t)이라는 것을 증명할 수 있 다. （이것이 이 책의 가장 중요 목적이다.) M 을 접속 (conn e c ti on) 이 주어전 다양체라 하자. 그리고 PeM 이 고, (ei, e2, . .., en} 는 P 에 서 의 M 의 접 공간 (tan g en t spa c e) TPM 의 기처라 하고, (t l' t 2, …,t}를 이 기처에 대한 TPM 의 좌표계라 하 자. 우리 는 TPM 의 원접 부근 U 에 서 미 분 동형 (dif feo morph is m ) 이 되 는 지 수 사상 (exp o nenti al map)
expp : TP M -.M
울 가지고 있다. 이 때 expp U 상에다, 만일 ex p PA=B 이면 A 와 B 가 감은 좌표를 갖는, 그런 좌표계 {x1' %, …, Xn} 를 정하자. 이 좌표계 {x1, x2, …, Xn} 을 P 에 서 의 측지 좌표계 (ge odesic coord i na t e) 라 한다. 따라서 이 좌표계는 TPM 의 기처가 주어지면 유일하게 결정 된다. 초기 속도가 (a\ … an) 이고 P 를 통과하는 측지선(g eodes i cs) 은 x i =a i s 로 주어진다. (여기서 s 는 측지선을 나타내는 매개 변수아 다.） 이런 것들을 측지선을 기술하는 방정식
겅d2x•·명 . _ I~' j.k d x?i 겅dx ;k- =O, i= I, 2, ..., n
라는 사실을 얻는다. 따라서 주 어진 접속이 Rie m ann 메트릭으로부 터 얻어진 것일 경우 임의의 접 P에 대하여 그 접 부근에서 측지 좌표를 쓰면 공식 (1)은 주어 전 Rie m ann 메 트릭 을 0 차항 뿐만 아 니라 제 1 차항까지도 유클리드 매트릭으로 근사시킬 수 있음울 말 하여 준다. 좀더 계산을 하면(죽 곡률의 메트릭 텐서의 표현을 보 면) 유클리드 메트릭으로부터의 변화량을 재는 2 차 효과가 바로 곡률로 주어진다는 것을 알 수 있다. 이해를 명확히 하기 위하여 우리는 좀더 일반적인 것을 이야기하 겠다. f를 M 상의 벡타 번들이라 하고, /7＝/7t를 8 상의 접속이라 하자. 그리고 앞으로는
Isi,j , k, l, …s n (n=M 의 차원)
라 하자. ｛다를 M 상의 한접 P 의 근방 U 상에서 f를 생성하는 원활한 유동 좌표계 (movin g fr ame) 라 하자. 이 때 구조 방정 석 은 다음과같이
(2) /7e a = ~p O!ep
로 주어진다. 이때 0e 를 접속의 일차미분 형석, Q:를 곡플의 2 차 미분 형식이라 한다. 간단히 하기 위하여 두번째 식에서 쐐기 부 호 (/\）를 생 략하였 다. 만일 {xl/z ••• , x,,} 이 U 상의 어 떤 좌표계 라 하면
0t= E r&dxk
로 쓸 수 있 고, 여 기 서 r:k 를 Chris tofell 부호라 하고, K!kl 는 곡 물의 성 분을 표시 한다. M 상에 Rie m ann 메 트릭 을 도입 하고 {xi, …,%}을 P 를 통하는 측지좌표계라 하자. P 에서 후레임 (fr ame) 을 고정시킨 다음 P 를 통하는 측지선을 따라 이 후레임을 평행이동시 키자. 이렇게 해서 얻어전 후레임을 P 에서의 싱크로 후레임 (syn -
chronous fr ame) 이라 한다. r 을 P 로부터의 거리를 나타내는 함수 라고 하면, 백타 장
(3) Z=r—dd —r = Ex'.—a xa—,.
는 원활하게 되고 P 를 지나는 측지선에 접한다. 그리고 후레임이 싱크로이기 때문에
(4) O= V ,ea =- p4 B!( Z ) ep
가 된다. Z 가 P 에서 0 이 되므로 연속성에 의하여
(5) 0 미 P=O 죽 I'!.IP =O
를얻는다. 주 : 공식 (5) 는 공식 (1)과 유사하다. 그러 나 같은 것 은 아니 다 e (1)의 경우에서는 주어진 좌표계의 벡타장이 일반적으로 위에서 정 의된 형태로의 싱크로가 되지 못한다. 다음 정리는 기본이 되는 정리이다. 정리 1. {ea} 를 P 에서의 싱크로 후레임이라 하자. 그러면 I' : k 의 P 에서의 Tay lo r 계수는 (P 부근에서 측지 좌표계를 쓸 경우) P 에서의 K!k1 의 Tay lo r 계수에 의하여 공통적인 형태의 다항식으로 표시된 다. 증명 : £z 로는 Z 에 관한 Lie 미분을, 그리고 t. z 로는 Z 에 관한 내 적 (int e r io r p roduc t)을 표시 하자. 그러 면 공식 (4) 는
(4') t, B!=O
라 쓸 수 있다. 또한 Euler 정리로부터, f를 {x\X2,•••,X ｝의 차수 n 인 군일 함수라 할 때 우리는
Zf= I: X 남a 7f = nf
룰 얻는다. 또 .!?,=doiZ +iZ od, do !L7 Z=.!?Zod 라는 미분 기하의
기본 정리로부터
(6) !f'zO! = i 'zd O!=i z {IT : 0~0 臼 +9 : } =t.zo :
를 언는다. 또한
夕 zx'.=X 1·' !i' .dx•· =d !i'. x · =d갔 , izd f = X’.
로부터 (6) 은
C6)’ 2 {Z(I' A) +r&}dxk=E Kf kl{ xkdx1_xldxk} =2 K』 Edxk
로 된다. 만일 rtk, 2 Kt 1집 의 P 에 서 의 Tayl o r 급수가
rkk~. Efn, .EI K!h1X 1~2h,,
이라 하면 (6)’ 은
(6) (n+l )fn=h n
이라는 것을 말해 주어 우리의 증명아 끝난다. （여기서 f n,hn 은 각 각 차수가 n 인 부분을 의미한다.) ’ 하면e 가 좀 접더 벡강타한 번결들과이를고 ,얻 F을 가 수 리 있이다만. 메{e트a}~릭!1에1+1서 을 얻e어 i +n전I p 접=속경a간이 -라 I p 가 되는 P 에서의 싱크로 후레임이라 하고
ds2= E gijdx id xj
를 측지 좌표계에서의 메트릭 텐서라 하자. （일반적으로 주어진 메 트릭이 유클리드가 아니면 {ea} 와 {경:-}는 서로 다른 후레임이 다.） 그리고 M 의 곡률 텐서를 R 로 표시하자. 정 리 2. g;J 의 P 에 서 의 Tayl o r 급수 전개 의 계 수를 R! ,1 의 Tay lo r 급수 계수의 공통적인 다항석으로 표시할 수 있다. (앞에서와 같이 rA 가 아니라 메트릭 텐서 g;J의 계수이다.) 증명 : 정리 1 에 의하여 g;J의 Tayl o r 계수가 I' ! k 의 Tayl o r 계수 에 의하여 공통적인 다항식으로 주어침울 보여 주면 된다. {(}a} 를 {ea} 와 쌍대인 1 차 미분 형식이라 하자. 그리고 지표(i nd i ces) 를 아래
로 내려서 0t, n : 대신에 각각 O. p,.Q.p로 쓰기로 한다. 그러면 (2) 에서 주어지는 구조 방정식을
(2)' {~{}a=2 %% 。 a p +0 p a=O
라 쓸 수 있 다. Z 를 (3) 과 같이 덱 하자. 그러 면 +z= 겅今고} e;+n 는 모두 P 를 통과하는 측지선을 따라 평행할 것이다. 따라서 만일 (a\ …, an) 을 축지 선의 초기 속도 벡 타타 하면
(7) t',{}i+ n=
가 된다. {)＝ (0a) 를 {)=A d.x 라 쓰자(여기서 dx=(dx' . ) 인 nxI 행렬이고 A 는 함수가 원소인 nx n 행렬이 된다.) (1)과 (5) 에서 Alp =Jd , dAIP=O 을 얻는다. 또한 우리의 목적을 달성하기 위하여 A의 Tay lo r 계수를 ()a p의 Tay lo r 계수의 다항식으로 표시할 수 있다는 것을 보여 주떤 된다. 그런데 우리는
~.O= i,d {) + di, O = i, {80) + dx= -Ox + dx
를 얻는다. 여기서 둘째 등식은 (2)’ 과 (7) 에서, 세째 등석은 (4) 와 (7) 로부터 나온다. 그리 고 O 는 ({)a {J)를 의 미 한다. 또
夕 z() ＝ (ZA)dx+Adx
가 되기 때문에 이 두 식을 비교하면 A 의 Tayl o r 계수를 ()a {J의 ·Ta yl o r 계수의 다항식 으로 표시 할 수 있 음이 명 백 하여 진다. 주 : 곡률의 q차 공변 미분은 이의 q차까지의 상 미분과 Ch ris- tof e ll 기호의 (q -1) 차까지의 상 미분을 포함한다. 그런데 후자의 미분은 (6) 에 의하여 다시 곡률 텐서의 (q -2) 차까지의 미분의 다 항석으로 표현할 수 있다. 따라서 P 에서의 측지 좌표계상에서의 곡률을 Tayl o r 계수의 공유 다항식으로 표현한 것은 P 에서의 곡률 을 공변 미분 성분으로 표현한 어떤 공유 다항식으로 주어진다• 이
렇게 공변 미분 성분으로 생각하는 주요이점 중의 하나는 이들이 P 에서의 후레임의 선택에만 좌우되고 이의 P 부근에의 확장에는 · 무관하다는 것이다. 동일한 이야기가 정리 1 에서 언급된 임의의 번 들의 경우에도 성립한다. 죽 K ; k1 의 Tay lo r 계수의 어떤 공유 다항 석 표현은 K 와 R 의 공변미분 성분의 어떤 공유 다항식 (univ e rsal p ol y nom i al) 과 같다. 즉 이 경우에는 M 과 주어진 번들의 곡률이 다 같이 나온다. 주 : {x 1, x2···,x} 을 P 에서의 측지 좌표계라 하자. 그리고 ds2= I: giidx ;dxi i,j 라면
Ri jklI p =>{8: 2 盆 —8: 2麟 ―릅條+훑棒}p
가 된다. 여기에서 우리는 다음의 항동식을 얻게 된다. 죽 (0) Ri jk1 = -Rm1 =Rk lii (1) Ri jk1 +R;klj + R;1jk =O (제 I Bia n chi 항등식) (2) Ri jkl, m+Ri jlm, k+Rumk, ,=O (제 2 Bia n chi 항등식) 그런데 이 항등석들은 텐서로 주어졌기 때문에 어떤 좌표계를 사용 하더 라도 항상 성 립 한다. 더 군다나 메 트릭 의 k- 젯 (k- j e t)는 임 의 로 덱할 수 있기 때문에 위의 항등식이 곡률― 텐서가 만족하는 항등식 의 전부가 됨은 거의 명백하다. 다시 말하면 곡률 텐서를 포함하는 다른 항등식들은 위의 항동석들로부터 유도되어 얻어진다는 것이 다. 이 사실을 좀더 수학적으로(기약 표현이론을 이용하여) 증명할 수도 있 다. (다음 절 참조 혹은 At iyah -Bott -P ato d i 논문 참조. ) 8 곡률 불변량 어떤 Ri em ann 다양체가 주어졌을 때 여기에는 수많은 불변량(좌 표계와 관계없는)이 촌재한다. 예를 들면 스칼라 곡률 (scalar curva- tur e), 체 적 형 식 (volume for m), Pontr y a g in 형 식 , Euler 형 식 둥이
있다. 이들 중 에서 중요한 불변량을 찾 아내기 위하여, 또는 불변량 을 만들어내는 어떤 방법이 주어졌 을 때 이를 이용하여 얼마만큼이 나 많은 새로운 불변량을 얻을 수 있는가를 알아보기 위해서는 붑 변량 전체에 대하여 공부를 하는 것이 기하학적으로 중요하다 . 이 목적을 위하여 우리는 SO(n) 의 불변량 이론(i nvar i an t t heor y)를 사 용한다. 우선 곡률 불변량이라는 것의 정확한 정의로부터 출발하 자. 우리는 앞으로 양의 정수 n 을 고정시키고 미지 변수를 R,'ik l , Rij kl , r, Rij kl, rs, …, 등으로 하는 다항식 에 대 하여 생 각한다. 각 지 표 i,j, ••• ’은 1,2 ,3, ···,n 의 값을 택한다. 정 의 1. 곡률 불변 량이 란 임 의 의 n- 차원 방향이 주어 진 Rie m ann 다양체 (M , g)마다 다음의 성 질을 갖는 텐서 대 수의 섹 션 w(M, g) 가 주어침을 말한다. [성질〕 곡 률 에 대하여 다항식적 종속 관계 : 각 다중 지표 a= Ci1, i2, … iP, jl . .. , jq)에 대 하여 Rij kl, Rii kl, m, …등을 미 지 수로 하는 다항석 瓦가 있어서 (M, g)의 각국소적으로 정의된 방향이 주어전 직 교 후레 임 {e1, e2, …, en} 에 대하여
(1)C M, g) = ~ Pa(R;jk l, …)e a
로 씌어짐을 말한다. 여기서 e 포는 e1·足 )e t足)···®라 ®C j 1®···® 年몰 뜻한다. ({e1*} 는 {e i}의 쌍대가 되는 제일 형식이다.) 우리는 곡률 불변량의 분류에 필요한 몇 개의 개념을 도입한다‘ 그리고 앞으로 혼동이 일어나지 않는 한 곡률 불변량이란 단어 대 선에 그냥 불변량이라 부르겠다. 정의 2. 어떤 불변량 o 가절대적이라는말은 w(-M, g )=w(M, g) 임을 뜻한다. 여기서 -M 이란 M 의 방향성과는 반대로 방향성이 주어졌음을 말한다. 그리고 만일 w(-M, g )=-w(M, g)이면 불변 량 o 가 상대적이라 한다. 정의 3. 어떤 불변량 w 의 중량이 w 라는 뜻은 w(M,c2g )= cw(M, g)가 성립함을 의미한다. 여기서 c2 g란
ds2=c2,E giidx ;dx1
로 주어지는 메트릭을 의미한다. 그리고 만일 임의의 (M, g)에 대하여
w(M, g)E T:,@ .. •@T:,@TM®•®TM
이면 w 를 (p,q)-형이라 한다. 이때 /P•q= (P, q)－형 의 불변 량 전체 의 집 합 /f'q =/P, q중 절대적 불변량으로 이루어전 부분 집합 /?,'q=/p,q중 상대적 불변량으로 이루어전 부분 집합 라 하자, 그리 고 /;”, /'q, /'IP,q 는 각각 (p, q)형 이 고 중량이 w 인 불변량, 철대적 불변량, 상대적 불변량을 의미한다. 텐서 대수의 합과 곱셈을 이용하여 불변량들의 합과 곱을 정의할 수 있다. 항등식
w(M,g )=½ (w(M,g ) +w(-M,g) } ＋강 (w(M, g)一 w(-M, g)}
로부터 f P,q =/IP• q EB/P, q가 성립함을 알 수 있다. 이런 불변량들의 제일 중요한성질의 하나는 /:”가 각각 유한 차원 공간이라는 접 아다. 이를 보여 주기 위하여 (M, g)상에 정의된 방향성이 주어전 정규 직교 후레임 {e j}와 어떤 양수 C 에 대하여 g를 c2 g=g로 보 내는 상사 변환 (homo t he ti c chan g e) 을 생각하자. 그러면 {죠j=문} 가 g에 대한 정규 직교 후레임이 되고 er=cer 가 된다. 또한
Rj ju= g (R (gj , 멈 1)ek, e,)
이 된다. 마찬가지로 공변 미분 지표 하나 하나가 각각 上C 의 공헌 을 한다. 따라서 만일
R 입사’ m,n1····••R;,i1 •11,, m,n,·••e:,®•··®e~p® eb1·•®ebq
에서 r” 를 U 번째 인자에 나오는 공변 미분의 갯수라 할 때 이 향 의 비중은
w=-2t— 훔 r,,+ p-q
가 된다. 특히 w
w(M, g) = ~ P.(R;jkl , …)e •
이 라 하자. 그러 면 SO(n) 은 우측에 다음과 같이 자연스럽 게 작용 한다. 죽 SO(n) 의 임의의 원소 a 에 대하여 후레임 {e1,e2, … ,en} 을 {ae1, ae2, …, ae } 이 라는 후레 임 으로 옮기 고, Ri ikl =g ( R(e;, ei) ek, e,) 울 g( R(ae,-, aei) ae*, ae,) 로 옮기 는 작용으로 얻어 진다. 그런데 정 의에 의하여 (w(M, g)가 불변량이기 대문에) 이런 변환에 대하여 불변 하여야 한다. 우리는 W 로 Rn 을 나타내게 하고, M 의 모든 접 P 에 대하여 W-+Tp M 인 둥거리 사상울 고정시킨다. 이 메트릭을 이용하여 W 와 W* 를 동일하게 취급한다. 그러면 I; Pae«IP 를 W 의 텐서 대수 에 있는 SO(n) 불변 원소 Aw 라고 생각할 수 있다. 참깐동안 o 가 철대 불변량이라고 가정하자. 그러면 Aw 는 O(n) 에 대하여 불변한 다. 6 철의 정리 3 울 이용하여 이런 원소들은 완전 축합 (com p le t e ·- con t rac ti on) 에 의하여 얻어진다. 이 사실을 o 에 적용하면 다음과 같은 사실을 말한다. 철대 불변량 o 는
w(M,g )= _l ; C1,•••N,•••R1,1,K1LuM1N1•••·••
로 주어지며 여기서 C 둘은 상수이고 각 지표 k, … A% 는 정확히 2 번씩 나오며 중복된 지표끼리마다 합을 택하여야 한다. （혼돈을 괴하기 위하여 중복된 지표에 대하여 합을 덱하는 경우에는 대문자
로 지표몰 표시하고 그렇지 않은 경우에는 소문자로 표시한다.) .::L 리고
R 따따 L . , M N. … … R,111K1L1, M1N,• •• …러 G ) … ®CB q
와 같은(앞에서 언급된 바와 같이 중복된 지표에 대하여는 합을 덱 한다.） 표현을 불변 ];..J:항식이라부른다. 따라서 철대 불변량은 불변 단항식의 일차 철합으로 주어진다. 위에서 주어진 i;..J:항석의 비중 (we ig h t)이
w =-2t- 접 r ,,+ p-q
로 주어침에 주의하자. 그리고 지표 전체의 갯수는 4t+ I; ru+P+q u=I 가 됨이 명백하고, 각 지표가 정확히 두번씩 나오므로 이는 짝수가 된다. 따라서 우리는 W=4t +uI=; l ru+p +q== =O ( mod2) 라는 관계식 울 얻는다. 지금까지의 절과를 종합하면 다음의 청리를 얻는다. 정리 1. (1) 각 불변량은 철대 불변량과 상대 불변량과의 합으로 주어 진다. (2) 각 불변량은 정수를 비중으로하는불변량의 합으로 주어전 다. 절대 불변량은 비중이 우수인 불변 단항석의 합으로 주 어진다. (3) (p,q) 형이고 비중이 w 인 불변량 전체의 집합 /:”는 유 한 차원 공간이고 만일 w> p-q이면 0 공간이 된다. 이 정 리 는 곡률 불변 량의 주요 정 리 (main the orem of curvatu r e i nvar i an ts)라 불란다. 그러나 우리의 목적을 위하여는 이 정리에 다 기하학적 의미를 부여하는 것이 중요하다. 따라서 우리는 미분 형식을 값으로 택하는 불변량에 대하여 한정시켜 더 연구해 보자. 우선 /”를 q-미분 형식을 값으로 택하는 비중이 w 인 불변량 전체가 이루는공간이라하고마찬가지로 /;,와 /q ',' IO 를 ,/q,w 중 에서 각각 철대적 혹은 상대적 불변량들로 이루어전 부분집합이 . 타하자. 그리고
/ = 2: /q,. ,
타 한다. 따라서 / 는 이 중으로 등급이 매 겨 진 환 (doubl y gra ded rin g ) 이 고 의 적 (exte rio r mul tipli ca ti on) 에 의 하여 곱이 정 의 되 어 있 다. 그리고 여기에는 다음의 두 개의 표준적 연산이 있다. 즉 (1) d : /q , 一 /q ' （의 적 미 분 (e x t er i or deri va t i v e )) (2) Hodg e - 연산. 그런데 * 연산은 주어전 다양체의 방향성에 관계되고
* I一 (M, g) = —* I (M,g )
라는 관계가 성립한다. 따라서 나· 연산은 철대 불변량을 상대 불 변량으로, 또한 역으로 상대 불변량을 절대 불변량으로 보낸 다.
·(* ;k) 正 =RII JJ K 』 L i, M1N 1• .. … R1111 자 1 , M 1N i •••••다/\… /\eA q
를 불변 단항석이라 하자. （여기서 같은 표수가 정확히 2 개씩 있 고 또 이 란 표수에 대하여는 합을 택한다는 앞에서 정한 규약울 상 기하기 바란다.) m 를 u 번째 항에 있는 공변 미분의 갯수라 하면 o 의 비중은 -2t- I; r 너-q =w 로 주어진다. 또한 *o 의 비중이 u=l -2t- I; r.+n- q =n+w 一 2 q로. 주어짐은 당연하다. 따라서 * 연 산은 =J
* : /q , .~-一 / n' :. q, n+-2q
를 주는 동형 사상이 된다. 그런데 정리 1 에 의하여 만일 W 가 기 수이 면 / ;,w=O 가 되 어 만일 w= f=n (mod 2) 이 면 / ;;w=O 가 된다. Bi an chi 항등식 은 더 많은 제 한 조건을 준다. 우선 제 1 Bi an chi 항등식에 대하여서만 고려해 보자. (** )에서 주어전 불변 단항석 이 硏남)이라가정하자. 그러면요감에 대하여 A‘· 와 A j가같을수 가 없 다. 따라서 표수 {Ad 1 츠 ’. S q 는 처 음의 4t+ Iu=: I r 표수에 서 나온 다. 그런데 제 1 Bi an chi 항등식은 R11KL… ••• ej /\ek\e t =o 라는 조 건을 말해 준다. 따라서 I.J.K .L. 중에 서 기 껏 해 야 두 개 의 표수만 어떤 A 들과 일치할 수 있다. 그러므로 우리는 2t+ .E ru2 ::q 라는 관
계식을 얻는다. 그란데 비중이 w=-2t -I; r 너-q로 주어지기 때 문 e 11= ! 에 위의 조건은 w:;;o 을 말해 준다. 지금까지 우리가 얻 은 절 과를 요약하면 다음과 같은 정리를 얻는다. 정리 2. (1) /= I; /q, w=I ; /;,wEB/;',w (2) 만일q , wW 가 홀수q,이 w 거 나 w>o 이 면 ,,1;, ,.= 0 이 된다. (3) 만일 w :i;: n(mod2) 이거나 w 츠 2 q -n 이면 / ;', w =O 이 된다. 이 절을 끝내기 전에 이미 여러분들은 어떻게 곡률 불변량이 지 표 이론에 나타나는가를 이해하였을 줄 믿는다. Seele y의 공식에 의하여 주어지는 타원형 연산자 D 에 대응되는 h (t ,x,x) 의 급수 전 개로부터 D 의 계수와 이의 미분들로 표현되는(각 좌표편 (coord i na t e · p a t ch) 마다 표준적으로 얻어지는) 국소 측도(l ocal measure) 의 수열 µ.(x) 를 얻는다. 만일 D 의 차수가 2 차이 면 µk 〈 x) 는 D 의 계 수, 이 의 미분, 그리고 D 의 십볼의 행렬식의 역수몰 변수로 하는 다항식 으로 주어진다. 따라서 예를 들어 D 가 어떤 메트릭에 대한 Lap la - ci an 이라면 측지 좌표계를 써서 µ k (X) 가 곡률 불변량임을 알 수 있 다. 곡률 불변량은 충분히 일반적이어서 스칼라 곡률 (scalar curvatu re), Euler 형석 등도 이에 포함된다. 곡률 불변량의 정의로부터 곡률 불 변량은 곡률의 여러 대수적 연산에 의하여 얻어지는 모든 것들을 포함한다고 기대할 수 있다. 그러나 메트릭에서 표준적인 방법으로 얻어지는 미분 연산자(예 를 들 면 La p la ci an) 의 해는 일반적으로 포함 되지 못한다. 이런 이유 때문에 우리의 불변량을 메트릭 불 변량이 라 부르지 아니 하고 곡률 불변량이 라 부른다. 곡률은 메 트릭 의 구 조를 거의 다 결정하지만 완전히 결정하지는 못한다. 어떤 가정이 없이는 곡률이 메트릭을 결정한다는 말은 할 수 없다. 예를 들어 조화 형식 (Harmon i c fo rm) 은 메트릭 불변량이지만 곡률로 설명할 수 있 는 범 위 밖에 있 다. （조화라는 말이 등각 사상 (con fo rmal tran s- fo rm) 에 대 하여 불변량임 에 주의 하라. 곡률은 동곡 사상에 의 하여 크게 변한다. ) 이 런 의 미 로 조화 형 석 이 론은 특성 클라스 (charac-
ter is t ic class) 이 론보다 훨 싼 더 십 오하 게 되 는 것 이 다. 그러 나 곡 률· 불변량으로서만도 실 (rea l) 특 성 콜 라스와 같 은 광역 불변량(g ro s s. i nvar i an t)을 설명할 수 있다는 것은 아주 의미 있는 현상이다. 9 비중이 0 인 불변량에 려하여 비중이 0 인 불변량은 다른 형대의 불변량에 바하여 훨 싼 더 중요 한 역 할울 한다. 기 하학적 으로는 이 들은 아판 불변 량 (a ffi ne inv aria n t) 죽 메트릭의 상사 변환 (homo t he ty)에 대한 불변량이다. 만일 비중이 W 이고 차수가 n 인 불변량 o 가 주어졌을 때
\lnW
이 메트릭에 무관하고, 또 긴밀하고 방향성이 주어전 다양체 (M, g) 에 대하여 항상 0 이 되는 것이 아니면 (J)는 바로 아판 불변량이어 야 한다. Pontr a yg in 형 식 이 나 Euler 형 석 들이 이 런 부류에 속한 다. 이에 관련된 기하학적으로 중요한 불변량에는 소위 둥각 사상 불변 량 (con fo rma i nvar i an t s) 이라는 것이 있다. 즉 M 상에 정의된 양의 값을 택하는 모든 원활 함수 i에 대하여
(J)( M, l2g ) =(J)(M , g)
가 성립하는 불변량 (J)이다. 우리는 이 절에서는 미분 형식을 값으 로 택하는 불변량에 대하여만 생각한다. A q를 q차미분 형식을 값으로 택하는 아핀 불변량 전체의 집합 이라 하자. 그리고 A; 과 A~’ 을 각각 A q에 있는 철대 불변량 및 상 대 불변량이라 하자. 그리고
A=I ; A q=찍 (A;EBA;)
울 아핀 불변량으로 이루어진 환 (r i n g)이라 할 때 앞전의 정리 1 에 의하여 이들은 각각 유한 차원의 공간아 된다. A'= .E A~ 라 하면 이는 절대 불변량으로 이루어又J. A 의 부분환 (subr i n g)이 된다. 비슷
한 당법 으로 cq 를 둥각 사상 불년 량 (con fo rmal i nvar i an t s) 으로 이 루 어진 A q의 부분 공간이라 하고 g c;,C,C' 를 각각 앞에서와 같이 정의하자. 그러면 다음 형태와 같이 모든 곡률 불 닌량둘 중에서 Pontr y a gi n 형석들을 컬정하여 주는 매우 중요한 정 리 튼 얻는다. (소위 Gil ke y 정 리 ) 정 리 1. 1' = C' = Pontr y a g in 환. 여 기 서 A' =Pontr y a gi n 환의 증명 은 Gil ke y 에 의 하여 주어 졌 고 Pcntr y a g in 환이 C' 의 부분집 합이 라는 것 은 Chern 과 Sim mons 에 의 하여 주어 졌 다. （뒤 에 서 주어 진 참고 문헌에 서 Gil k ey, Chern and Sim mons, At iyah , Bott and Pato d i 를- 참조하라 ) 우리 는 A'=Pontr y a g in 환이 라는 것 울 증명 하겠 다. 우선 Pontr y a gi n 환이
Rr,1, 1 , ,,R ,,r 1 1 ··•Rr,p - ,r ,p J pJ. e7, / \e?'/\… /\ e;,p
로 주어전 불변 단항식들에 의하여 생성되었음을 상기하여 주기 바 란다• (우리는 여기에서도 중복된 대문자 지표는 합하고 소문자 지 표는 그렇지 않다는 규칙울 그대로 사용하고 있음을 밝혀둔다.) 따 라서 Pontr y a gi n 환에 있 는 미 분 형 식 듄은 K1, L1, …, KP, LP 중에 서 같은 지표가 정확히 2 번만 나오는 불변 단항식
R1,1,K , L1R1 J/ 、 K , i ,···R,, p- , 1, PPKPLPe7 1 /\e? ' /\ … /\e i,p
의 일차 결합으로 주어진다. 따라서 우리의 결과를 증명하기 위하 여는 임의의 절대 아핀 (a ffi ne) 불변량도 이런 꼴로 주어쳐야 한다는 것을 밝혀야 한다.
(**) w=R11J 1K1Lu M 마 •• …R ,tII K,L,, MINr .. ek1/\e;i '/\… /\eXq
불 아판 불변 단항식이라 하자. 그리고 앞에서와 같이 r 를 tt번째 인자에 나오는 공변 미분의 갯수라 한다. 앞 절의 정리 2 에서 얻 어전 바와 같이 제 1 Bia n chi 항동식으로부터 (J)의 비중 W 는
t()= _2t- UIt=; l ru+q ::; o
가 된다. 따라서 w=O 이 되기 위하여는 Iu,L,Ku,Lu 중에서 정확
히 2 개와, 그리고 모든 Mu,N …가 A 들과 일치하여 한다. 그런데 제 2 Bia n chi 항등식 을
(1) RoKL, Meic / \et/ \ eZ=O
라쓸수있다. 또한
(2) R11KL, Mei /\et / \et = >{R IIKL, Mer/\et /\ et
룰 얻는다. 여기서 3 번째 둥석은 제 1 Bi an chi 항등식으로부터 얻 어 지고 마지 막 등식 은 (1)로부터 주어 진다. 따라서 (1)과 (2) 로부 터 만일 w~O 이면 모든 r.=O 가 성립하여야 한다. 죽 w 에는 공변 미분이 없다. 따라서 우리의 정리를 증명하기 위하여는 각 인자 R ... 에서 처음 두 개의 지표가 A 중 어떤 것과 일치한다는 것을 보여 주 는 것만이 남아 있다. 만일 I] 나 KL 이 A 들과 일치하면 더 증명 할 것이 없다. 그런데 IK 가 A 들과 일치하면 (2) 를 증명하는 것 과 마찬가지로
RIIKLer/\et =½ R,x,Ler/\el
울 얻어 우리가 원하는 형태로 쓰여진다. 따라서 이런 식으로 모든 인자를 다시 쓰면 o 는 Pontr y a g in 환의 원소가 됨 을 안다. 마지 막으로 A'=C' 임 을 증명 하기 위 하여 는 Pontr y a g in 미 분 형 식들이 둥각 사상 불변량 (co nf ormal i nvar i an t)이어야 함을 보여 주는 것 이 남아 있 다. 우선 둥각 곡률 텐서 (confo r mal curvatu r e t ensor) 의 정의를 기억하여 보면
-Ric ( x, w)< y,z >- Ric ( y, z )
로 주어진다. 여기서 R ic는 Ric ci 텐서를 Sc 는 스칼라 곡률 텐서 를 의미한다. 이렇게 정의된 등7-[ 곡물 텐서는 메트릭의 둥각 사상 (confo r mal chan g e) 에 대하여 불변이 다. {e1, e2, ···, en} 을 정규 칙 교 후레임이타 하고 {01,02, … ,0 ）을 이의 쌍대 제일 미분 형석이라 하 자. Q u= E Ri jkIO k/\O1 으로 정 의 되 는 곡률 미 분 형 식 (curvatu re for m) HI 처럼
¢jj= Ek< 1 C,.jk IOk/\01
로 C,. j kl 이 성분이 되는 등각 곡률 미분 형식을 정의하자. R i c ci덴 서를 대각화하는 후레임을 택하면
如 =9u+c,. j o i /\e,
로 쓸 수가 있다. (여기서 C, · I 는 M 상에 정의되는 원활 함수이다.) 그 런데 제 1 Bia n chi 항등식 을
2J Ou/\Oj = o
라고 쓸 수 있으므로 이로부터
2 #u/\Oj = O
라는 관계식울 얻는다. A 를 주어전 원활 함수라 할 때 둥각 변환 g- +A2g =g 에 대 하여 e j-+죠j=릅느가 된다. 그런데 C(x, y) z 가 둥각 변환에 대 하여 불변이 라는 사실로부터 g,·j= ¢u 라 쑬 수 있 다. 이 런 것 들을 기 초로 하면 Pontr ya g in 미 분 형 식 들이 둥각 변환에 대 하여 불변량이라는 것을 증명하는 것은 쉽다. 우선 R icci텐서를 대 각화 (d i a g ona li ze) 하는 후레 임 을 덱 하자. 그러 면 Pontr y a g in 환의 생 성원은
요 11,0r,1, … nl p /1
이 되어 이것이 등각사상 불변량이므로 Pon t r y a gi n 환의 임의의 원 소가 등각사상에 대하여 불변량이 된다. 여기서 첫째 등식은 c/Ju = Du+Cj jo,·A 0 J, 둘째 동식은 제 I Bia n chi 항등식인 2 Ou/\Oj = O 를 이용하였고 마지막 등식은 첫째, 둘째 등식을 얻는 작업을 계속 하여 얻어진다. 지 금부터 는 상대 적 아핀 (aff ine ) 불변 량 A= I; A~’ 에 대 하여 고려 해 보자. 앞철의 결과에 의하여
A;' =/ ;’, o~/;-q, -2q
이다. 따라서 앞철의 정리 2 와 앞의 걷과를 이용하여 다음 정리를 얻는다. 정리 2. (1) 만일 n 이 기수이면 A=O 가 된다. 따라서 이 경우에는 A=C=Pontr y a g in 환이 라는 결과가 성 립 한다. (2면) 어A떤;'k 경=우 나에 ;도h 가 만 된일다 .q <여꿈기어서떤 넣 는A; H=ood 이g e다 .·＊ 연만일산 을n =의4k미 이한 다. q>강인 경우에는 /'n- q ,n-2 q가 불변 단항식으로 기술되고 따라 서 이를 이용하여 A;’ 를 기술할 수 있다. 이 법위 안에 들어가는 중요한 불변량 중에 Euler 미분 형식이 있다. 2m 차원 다양체 상의 Euler 미분 형식이
cm 0고, c e&rRC1 R. f·· Re2m-1·2mr2m-1r2m*1
으로 주어진다는 것을 안다. 여기서 Cm 은 어떤 공동 상수(다양체에 무관한)이고, C 와 t는 각각 (1,2, … 2m} 의 순열이며 e,,e, 는 이들
의 부호이다. 이 미분 형식의 불변 단항식으로의 표현은 매우 복잡 하게 주어 진다. 우리 는 Gil ke y 에 의 하여 다음과 같이 주어 진 Euler 형석의 성격을 규정하는 정리에 의하여 간접적이면서도 훨씬 더 많 은 의미를 부여하는 증명을 하겠다. 죽 정리 3. x=x,1 을 차수가 ?1 인 미분형석으로서 아편 곡률불변량이 고 다음의 조건을 만족시킨다고 하자. (a) LMx 가 주어전 긴밀 다양체 (M, g)의 Euler 특성수가 된다. (b) 임 의 의 (n-l) 차원 Rie m ann 다양체 에 대 하여 짜 u-1 x S1=0 이다. (여 기 서 Mn-1 X s1 온 두 개 의 Rie m ann 다양체 의 적 (pro duct) 울 의미한다) 그러면 x 논 Euler 미분 형식이다. 증경 : x=x'+x,. ＇울 철대 불변량과 상대 불변량으로의 x 의 분해 라 하자. 그런데 Euler 특성 수는 주어 전 다양체 의 방향성 에 는 관계 되지 않기 때문에 임의의 방향성이 주어전 다양체 (M, g)에 대하여 巨 \u=O 이 성 립 한다. （왜 냐하면 만일 (J)( M, g) =(J)（一 M, g)이 면 J_M w(-M, g) = J_M (J )(M , g) = -L(J)( M , g) 인 데 IM w(M, g)이 방향성에 무관하므로 -L(J)( M,_~)=j Mw( M,~) 가 성립하여야 한다.） 그리고 정리 1 에 의하여 X’ 는 Pontr y a g in 미분 형식이어야 한다. 그런데 모든 긴밀한 방향성아 주어전 다양 체에 대하여는 택한 적분 값이 항상 0 이 되는 Pontr y a g in 미분 형 식 은 항동적 으로 0 인 미 분 형 식 밖에 없으므로(소위 Pontr y a g in 수 의 일차 독립성) x'=O 이어야 한다. 즉 x 는 상대저 불변량이다. 따라서 묵히 정리 2 에 의하여 1 t이 홀수이면 Xn=O 이다. 그러므로 우리는 n=2m 이라 가정한다. 그리고 x=7J · * 1 이라 쓰자. 여기서 기=7J n 은 비중 (we ig h t)이 -2m 인 철대적 스칼라 불변량이다.
1)= 1.1 - 4N . t - C r, .. ,N1 ... Rr,11K1L1, M1N1• •• …R 1,1,K,L,, M1N1• ..
라 하자. （여기서 C 는 상수이고 지표 I p,Jp,…는 정확히 2 번씩 나 온다.） 그리고 위에서 주어전 ?의 표현이 가장 경제적인 죽 0 이 아닌 항의 갯수가 가장 적은 표현이라고 하자. 〔따라서 예를 들어
aRr,1,K1 L 1••·… + bR1, 1 1K 1L I ' ..…
의 형태가 나오면(접선 표시는 같은 지표다.） 이는 가장 경제적인 표현이 못된다. 이를 다시
(a 一 b) RhhKI L P ••…
라 쓸 수 있 다.J ru 를 위에서 씌어전 단항식의 7 번째 인자에 나오는 공변 미분의 횟수라 할 때 이의 비중은
w= -2 t-~訖= -2m
이 되어야 한 다. 이때 다음의 사실들을 알 수 있다. 제 1 사 선 : 각 ru 는 0 이어야 한다(따라서 t= m). 왜냐하면 만일 어 떤 r 일 >0 이 면 t< m 이 된다. 따라서 주어 전 단항석 에 나오는 지표 전 체의 갯수는
4t+ I~1t= l r.=2t + 2t+ u~t= l r.<4m
이 된다. 따라서 기껏해야 2m-1 개의 서로 다른 지푸가 있다. 따라서 이런 단항석은 적당한 M2 m -l 을 덱하면 까 M 2 m-1xSl 의 값이 0 이 아니게 된다. 이는 가정 (b) 에 어긋난다. 같은 방법에 의하여 1J를 완전히 다 전개하여 썼을 때 어떤 지표 1 척 s2m 가 3 번 이상 나오는
c,.l··· 1 ,nR ,·1i , k11, •••Ri m i m k m lm
형태의 향의 합은 0 이 되어야 한다. （만일 그렇지 않으면 앞에서
와 같이 적 당한 M2m-l 에 대 하여 ? i M2III- l x sl 이 0 이 안된다. ) 지금부터 ?*1 이 조건 (b) 를 만족시키는 비중이 -2m 인 n 들로 이루어전 벡타 공간 E 문 생각해 보자. 우리는 이 벡타 공간 E 가 1 차원 공간임을 밝히려 한다. 만일 이것이 증명되면 조건 (a) 에 의하여 우리의 정리가 증명되는 것이다. （왜냐하면 Euler 미분 형 식이 위의 조건 (a),(b) 를 만족시키는 데 E 가 1 차원 공간이므로 우리논 x 는 Euler 미분 형식의 상수배가 되어야 한다. 그런데 우 리의 x 도 조건 (a) 를 만족하므로 그 상수가 바로 l 이어야 한다.) d i mE 가 1 임을 증명하기 위하여 우선 우리는 다음의 사실울 증명 한다. 제 2 사실 : -r= Rr,J1 1,J , R,,1, ,,1,•• •Rrmlmlmln, 이 라 하자. 그러 면 #텐 인 임의의 YJ EE 에 내하여 〈 T,? 〉 ~o 이 성립한다. （여기서 <,> 은 Rh j l .& ll···R i m i m,k,nl,.. 의 계수로 이루어전 유클리드 공간
(R)@···@R
에 정의된 내적이다.) 이 사실은 당연히 E 의 차원이 1 이거나 그보다 작아야 함을 말해 준다. （만일 E 의 차원이 2 이상이면 이 중에는 위에서 주어전 T 와 수직인 0 이 아난 원소가 반드시 있게 된다.) 위의 사실을 증명하기 위하여는 1J누 0 이면 이의 가장 경제적 표 현에 있는 T 항의 계수가 O 이 아님을 밝히기만 하면 된다. 그런데 이것은 n=2 일 때에는 당연하다. 〔왜냐하면 이 경우에는 't= R1212 가 되고 입의의 1J는 이의 상수배가 될 수밖에 없다. 다른 R,. jii는 이것이 R1212 의 변형이 아니떤 (R2121 같이) 항동적으로 0 이다.〕 따 타서 귀납법을 써서 다음만 증명하면 된다. 죽 (a) 1J의 가장 경제적 표현은 항상
R11J 1 11!1R1,I,K2L1 • •R1ml,.K,.L,. (n =2m)
형태의 불변 단항식을 포함하고 있다. 이것을 증명하기 위한 첫번째 단계로서 우리는 다음을 증명하겠
다. 즉 (/3) TJ의 가장 경제적 표현은 항상 R1111K1L1Rr,1, K , L2 … 형태의 불변 단항식을 포함하고 있다. ’ (8)( r가) 들R렀1다,J1 K고 1 L ,R 가 r정,J z하 K 자: L ,. … 이 때 임의의 단항식 를 생각해 보자. 각 지표는 정확히 2 번씩만나타나므로 I1K1 3! }-I1L1 이 함께 (P>l) 적당한 P에 대하여 RI p lPK p LP 의 처음 두 지표나 혹은 마지막 두 지표로서 나타날 수는 없다. 그레서 l1K1 이 이런 식 으로 나타나지 않는다고 생 각하자. 만일 l1=K1 이 면 (8) 가 이 미 성립하는 것이므로 I1~K1 이라고 가정한다. 그러면 단궁강석 er) 를 완전히 전개 하여 써 놓았을 때 er) 는 x=R,.lhk:I l ••• g ··Is 타는 항을 포함하고 있어야 한다. 여기서 i 1=k1 이라 놓아 이 지수 는 4 번 나오고 나머지 지수는 정확히 2 번씩 나온다. 그런데 앞에 서 보다시피 이런 항들의 합은 0 이어야 한다. 그런데 이런 x 는 다 음과 같은 단항식에서만 나올 수 있다. 즉 ( i ) R1,J, K1L1… E ··Kl ••• ( ii ) RKlhIlLl···E··Kl… = RhhKlLl… xl … [l ••• (iii) RhhIlLl… K l ••• K1 ••• 이 다. 그런데 이 중에 서 가정 에 의 하여 (iii)은 나오지 않는다. 또 한 위에서 주어진 x 같은 꼴의 항의 합이 0 이 되어야 하므로 7 의 가장 경제적인 표현에 (i)과 (ii)가 서로 반대 부호를 가지고 나타 나야 한다. 그러면 a(Rr111 자 1 … -RJC 1 J 1 t1 L1·… ) = -a(RK1r111L1···) 이 되어 이는군 1 표현이 가장경제적이라는가정에 모순이 되어 (fi) 라는 사실이 증명되었다. （위의 등식은 제 1 Bian chi 항등식으로부 터 나온다.） 이와 같은 작업을 계속하면 ?의 가장 경제적 표현에는
Rr,J , r, L. R r.1 . 1, L . •· •RrmJ m lmLm
꼴의 t;.J.:항식이 포함되어 있다는 것을 보일 수 있다. 이 표현에서 J1 L1 이 P>l 인 어덴 인자 R1 p l p K p l p의 처음 두지표나 마지막두 지표로 나타나지 않는다는 것이 명백하다. U1,I2, … I,, ，이 중복되어 나타나 있으므로) 따라서 우리가 방금 한 방법에 의하여
R,11 , , ,1 , R …
라는 꼴의 단항식이 ?의 표현에 포함되어 있다는 결과를 얻을 수 있다. 즉 (a) 라는 사실이 증명된 것아다. 이 절을 끝내기 전에 둥각 사상 불변량 (con fo rmal i nvar i an ts)에 대 하여 약간 언급하고자 한다. 우리 는 정 리 1 과 2 로부터 A’ 과 A;'k (M 이 4k 차원 다양체일 때)이 둥각 사상 불변량임을 안다. A~k 이 둥각 사상 불변량이 라는 사실은 2k 차원의 Ri em ann 다양체 상에 서 는 k 차의 조화 미분 형석이 등각 사상에 대하여 불변이라는 것과 비 교된다. （이 후자의 사실은 Ri em ann 표면에 서 는 조화 1 차 미 분 형석이 해석적인 것과 반 해석적 (anti holomor ph i c) 인 것의 합으로 . 주어진다는 사실의 일반화이다. 그러나 조화 미분 형식은 곡률 불 변량이 아님을 앞에서도 언급하였다.） 일반적으로 q>강일 때 A~' 에 서 등각 사상 불변량을 찾아내는 것은 무척 복잡한 일이나, 우리는 다만 이 영역에 있는 어떤 둥각 사상 불변량에 대하여만 언급하겠 는다. (J) 즉에, 나(J)E오 /n는'- qR' i- j2kq1 의을 계C i수j k1가 로 공 바 0~꾸 미어 분 놓을고 포 H함o하dg고 e *있 지 연 산않울을 하때 면에 우리는 A~ 에 있는 둥각 사상 불변량을 얻는다. 10 백타 번들의 곡물 불변량 M 을 Riem ann 다양체, e 을 M 위에 정의된 Ri em ann 백타 번들 이라 하자. 그리고 g o 와 Fo 는 M 상에 주어전 메트릭과 이에 대응 되는 접속을, g ,r=Fe 는 和에 주어진 메트릭과 이에 대응되는 접 속을 의미한다. 혼동을 피하기 위하여 M 의 차원을 n 이라 할 때 ,
i,j,k, t, ... 논 M 의 접 백타 번들 r 에 대응되는 텐서를 표시하고, 따라서 1 부터 n 까지 변한다. 그리고 a,/3 , r, ••• 는 번 들 e 에 대응되 는 텐서의 지표를 표시하는데 쓰이며 n+I 에서 n+r 의 값까지 변 한다. (여기서 r 은 번들 f의 차수이다.) {e ｝를 국소적으로 정의 된 尸 의 원활한 유동 정 규 칙 교계 (smooth orth o normal mov ing fram e) 라 하자. 그러면 지표를 전부 내려 써서 구조 방정식을 표시하면 다음과 같이 된다. 죽
(l) FCa= 2 0a{Je {J, 0a{J + 0{Ja =O
이 된다. {C j}를 접 벡타 번들 T 의 원활한 유동 후레임이라 할 때 우리는
()ap =2 ra/Jk e;
라 쑬 수 있 고 이 식 으로부터 Chris t o f e ll 부호 I'야 k 와 {ej} 에 관한 f의 곡률 텐서 K 의 성분을 정의한다. e 의 곡률· 불변량에 대한 정의를 만들기 전에 일반적으로 후레임 (니와 {e,.} 사이에는 아무 관계가 없다는 것을 밝혀두고 싶다. 더 구체적으로 이야기하면 O(r)xO(n) 이 {eJ U (e j}에 작용하지만 이 작용을 O(n) 으로 감축 (reduc ti on) 시 킬 수가 없다. [e =-r 인 경 우에 는 e;=en+ i로 덱하여 O(n)xO(n) 작용을, 대각 사상 (d i a g onal map ) O(n)---+O(n) x O(n) 을 이 용하여 , O(n) 작용으로 감축한다. ]따 라서 우리는 O(r)xO(n) 작용 전체를 고려하여 야 하며 이렇기 때문에 번 둘 f의 곡률 K 와 함께 M 의 곡률 R 을 동시에 살펴보아야 한다. M 의 곡률 R이 나오는 것은 지극히 당연하다. 왜냐하면 和거 휘어 침을 알기 위해서는 M 의 휘어침을 전혀 모를 수가 없기 때문이 다. 이런 점은 7 철에서도 언급되었다. 어떤 측지 좌표계의 원접에 서 I' a p k 와 이의 미분을 다항식으로 표현하려 할 때 K 의 공변 마분 성분 분만 아니라 R 의 공변 미분 성분도 나오게 된다. 이것이 바로 지표 공식 (ind ex fo rmula) 에 주어전 번들의 특성큘라스 분만 아니라
기처 다양체 (base man ifo ld) 의 목성클라스도 나타나는 이유가 된다. 방향성이 주어진 벡타 번들의 경우에는 좀 더 많은 이론을 얻어 낼 수 있 다. 이 것 은 O(r) x O(n) 작용을 SO(r) x O(n) 작용으로 한 정시키는 것을 의미한다. 이런 것들을 유념하면서 정의를 만들고자 한다. 양의 정수 n 과 r 을 고정시키자. 우리는 n 차원 다양체상에 정의된 r 차원 번들을 생각한다. 8 절에서와 같이
Kapk l , K 야 kl, m, •••R;jk /, R;jk /m, …
는 미지수를 나타낸 분만 아니라 이 자체가 어떤 값을 표현하기도 한다. 정의 : Ri em ann 벡 타 번들의 곡물 불변량이 란 임 의 의 (M, go, e, g, v' . ,)마다 다음의 성 질을 만족하는 M 의 텐서 대 수의 섹 션 w(M, g o,E, g ,m( 혹은 단순히 w(M,e) 로 쓴다.)을 대응시켜 주는 작업을 말한다. 즉 각 다중 지표 A=( i.,i2, ..., ip,j., ... ,jq)에 대하여
w(M, O =I : PA(Kap ij, Ri jkl, …)eA
로 주어지는 Ka piJ, R ij kl,• 울 미지수로 하는 다항식 PA 가 촌재 한다. 여기서 eA 는 정규 직교계 {e‘. ｝와 {ea} 에 대하여
eh®e~®· • •e 成 )e it®· • •®eiq
를말한다. 이런 정의를 해 놓고는 우리가 3 철에서 하였던 방법을 그대로 따 를 수 있다.나 o 가 w(M, 一 e)=w(M, e) 혹은 w(M, 국 )=-w(M, e) 을 만족하면 0 을 각각 절대 혹은 상대 불변량이라 부른다. （여기 서 _. e 란 같은 번들인데 방향성이 반대로 주어전 번들을 의미한 다.） 그리고 만일 임의의 양수 c,d 에 대하여
(JJ( M, c2g o, e, d2g , v') =clDd'w(M, go, e,.g , v')
를 만족하면 (JJ의 비중이 (w,z) 라고 한다. 또한 8 철에서와 같이
/｛나)' /&:.5, /t;:8, /q, (w, Z), •••
를 정의한다. 그러면 8 절에서 증명한 바와 같이 /｛나)가 유한 차원 공간임울 증명할 수 있다. 지금부터 미분 형식에서 값을 가지는 불변량에 한정사켜 고찰해 보자.
C**) Rr,, 포마 •• •·•R1111 자p M1••····K 나 . K 사 'I' MIi• ••
를 생각하자. 여기서 각 로마 지표만 정확히 2 번씩만 나오고 중복 된 지표에 대하여 합을 택한다. r” 와 y o 를 각각 u 번째 R 안자와 v 번째 K 인자에 나오는 공변 미분의 갯수라 하자. 그러면 이 표현 의 비중은
(w,z)=(-2t- I•=;t l ru-2S-oI=s; l y, 너-q, -2s)
로. 주어 전다. 그리 고 Bia n chi 항등식 이 다음 형 태 로 표현된다. 죽
( i ) RllKLe;/\e;/\et =O
가 된다. 여기서 3 번째 항등식은
KaPkl, m+K 야 Im, k+K빠 ,=O
로부터 나오고 이 는 다시 제 I Bia n chi 항등식 (i)의 증명 과 유사하 게 증명할 수 있다. (P 에서의 싱크로 후레임을 덱하면 식 (1) 에서
도 I p=(목뿐_롭뿐 )I p
이 된다. 따라서
Ka p kl, 도(*- 麟:'.r- )I p
가 되어 이로부터 위에서 주어전 식울 증명할 수 있다.) (**)가 O이 되지 않기 위하여는. A 들 처음에 나오는 4t+ .E r., +I: y .+2s 개의 지표와 축약 (con t rac ti on) 이 일어나야한다. 8 철에서
와 같이 I., ] ., K., Lu 중에 서 기 껏 해 야 2 개 만 A 들과 같을 수가 있 다 .. 따라서 2t+ I; r.+2s+I ; y효켜라는 관계식이 성립하여야 한다. 그 ~ 러면 t U 三 0 가u= I되 고, w=v=OI 가 되기 위하여는 1u,Ju ,K u,L,‘ 중에서 정확 히 2 개만 A 와 같고 모든 M,K',L,A1’ 이 전부 A 중 어떤 것과 같 은 지 표이 어 야 한다. 그리 고 성 질 (i), (ii), (iii)을 사용하여 (**) 에 어떤 공변 미분도 나울 수 없음을 보일 수 있다. 우선 叫룬 절대 불변량이라고 가정하자. 그러면 (I.)는 (**)로서 주어지는 원소 중에서 그리스어 지표도 정확히 두번씩 나오고 중복 된 지표에 대하여는 합을 덱하는 원소들의 일차 결합으로 주어전 다. 그리고 8 철에서와 같이 만일 w=O 이면 (I.)는 ?의 Pontr y a g in 형 석 과 근 의 Pontr y a g in 형 식 의 쐐 기 곱 (wed g e p roduc t)의 일차 걷 합으로 주어진다. 이번에는 o 가 상대 불변량이라 하자. 그러면 o 는 그리스어 지표 가 홀수번 나오는 (**）로 주어진 미분 형식의 일차 결합으로 주 , 어 진다. 따라서 z= -2s<-r 이 성 립 한다. 만일 r 이 홀수이 면 2s 는 홀수개의 지표상에 합을 택하는 것이 홀수개 있게 된다. 따라서 이 경우에는 w=O 만이 가능하다. (6 철에서 보다시피 홀수개의 지 표가 포함된 합은 항상 0 이다.） 만일 r=2s 이면 그리스어 지표는 반드시 한 번만 나오고 SO(r) 불변량은 (6 철에서 나오는 Pfa ffian 의 정의를 참조)
I; €,K.n+,•n+2K11L11••·K•n+2s-,• n +2 s K1,L,1e;I/\… / \ets
라는 항을 포함한다. (여기서 6 는 {n+1 ,n +2, ... ,n+r} 의 순열이 고의 우부리호는를 표이시런 한모다든. ) 순따열라에서 . 대(1) 하는여 M합 의을 P택on한tr다 y . a g i그n 리형 고식 과e. 는e의 (J Euler 형식의 쐐기 꼽 (wed g e p roduc t)의 일차 결합으로 주어진다. 요 약하면 다음의 정리를 얻는다. 정리 1. a) w>o 에 대하여 (w,z) 를 비중으로 하는, 미분 형식의 값을 택(M하, g는 o) 의절 대P o불nt변r y 량 a g은 in 형없 다식. 과 비c중e, 이g, D()O ,의z ) 인P o절nt대r y a 불g i변n 량 형은 식 ,
의 쐐 기 곱 (wed g e pro duct) 뿐이 다. b) r 이 홀수이 거 나 z>-r 인 z 에 대 하여 는 비 중이 (w , z ) 로 주어지는 상대 불번량은 없다. r 이 r=2s 로 주어지는 짝수 이면, 비중이 (0,-2s) 주어지는 미분 형식의 값을 덱하는 상대 불변 량은 (M, g。)의 Pontr y a g in 미 분 형 식 과 (~, g, D) 의 Euler 미분 형식과의 쐐기 곱으로 주어지는 것분이다. 지금까지 우리는 실 백타 번들에 대하여만 언급하였다. 그러나 위에서 주어전 설명은 복소 백타 번들에도 동일하게(일반적으로 훨 씬 더 쉽게) 적용된다. 그리고 비슷한 설명을주어진 메트릭 구조와 는 일치하지 않는 접속을 가진 번들의 곡률 불변량에 대하여도 할 수 있 다. 그러 나 우리 는 해 르미 시 안 메 트릭 (hermi tian me t r i c) 과 이 에 대응되는 접속을 가전 복소 백타 번들에 대하여만 한정시키겠다. 그런데 복소 백타 번들의 방향성은 표준적이기 때문에 절대 불변량 과 상대 불변량의 구분을 할 수 없다. 그리고 이번에는 기초가 되 는fra m 군e )(,b as{ ie c, -}g 를 r o u주 p)어은 ,진 { ea다} 양를체 주 의어 진정 규번 들직의 교 계유니 라 타 할리 때후 ,레 {입e a(}u unit { aer; }y 에 작용하는 U(r)xO(n) 이 된다. 앞에서와 같이 비중 (we ig h t)이라 는 개념을 도입할 수 있고 3 철과 6 절의 결과를 사용하여 다음의 결과를 얻는다• 정리 2. 양인 w 에 대하여 비중이 (w,z) 로 주어지는 마분 형식 의 값을 가지는 불변량은 없다. 바 중이 (O, z) 로 주어 지는 불변 량은 주어진 번들의 Chern 미분 형식과 주어전 다양체의 Pon- try a g in 미분 형식의 쐐기 곱으로 주어진다. 11 Euler 지 표정 리 와 Hir z ebruch 부호정 리 이 철에서는 4 절에서 주어진 지표에 대한 열 방정식 공식 (4 절의 아지막에 나온)과 8 철, 9 철, 10 철에서 얻는 곡률 불변량에 대한 여 러 정 리 를 결합하여 Gauss-Bonnet 정 리 와 Hi rze bruch 의 부호 정 리 (sig n atu r e 정리)를 증명하고, 이 다음 철에서는 후자의 증명을 일반
화한 다음 K- t heor y와 결합하여 일반적인 지표정리를 증명하겠 다. a) Guuss-Bonnet 정 리 M 을 간밀한 Rie m ann 다양체라 할 때 미분 연산자 d+o : 우수차 미분 형식一기수차 미분 형식의 지표가 Euler 지표 가 됨 을 안다. (5 절 참조) h'. 를 I' (A'*) 에 작용하는 라플라스 연산자 4 의 기본해라고 하자. 그러면 4 철에서 주어전 지표에 대한 공식에 서 나오는 저분원(i n t e g rand) 은 I:(- lY t raceh i(t ,x,x) 의 점근적 전개 (asym p tot ic ex pans i on) 의 0 차i 츠계 O 수로 주어 진다. （그리 고 n 차원 다양체상에서 k 차 계수의 비중이 ：로 주어진다는 것이 Seeley 정 리로부터 당연하게 얻어진다. 제 2 장의 견과를 참조) 우리는 이 렇 게 얻어지는 적분원이 되는 11 차 미분형식 7J가 다양체의 곱 MxN 에 대하여
(*) 7Ju X N=7J 1 1/\7}N
를 만족함을 증명하겠다. 우선
Alt xN Zi I+: k= Ai ~®At
가 성립함을 기여하기 바란다. 그러면 이런 동형 관계하에서
4 IM XN_A l431 +1 ®A IN
로분해되어
tra ce hkxN= j+.E k= j tra ce h~1 • tra ce h}
이 성립함을 알 수 있다. 따라서 I: C-IY tra ce h1rxN= CI: C-l) i tra ce hi1 ) C I: C-I)k tra ce h~) 가 성립한다. 이 등식의 양변의 접근 전개를 택하여 0 차항을 비교 하면 우리가 원하는 공석 (*）를 얻는다. 이 공식과 8 절의 정리 4 를 결합하여 1J가 유일하게 결정되며 바로 Euler 미분 형식으로 주 어 침 을 안다. 따라서 우리 는 Euler 수에 대 한 Gauss-Bonnet 정 리 위
국소적 표현을 얻는다. b) Hirz ebruch 의 부호 (sig na t ure) 정리 우리는 5 철에서 미분 연산자
D=d+o : I'(A :)-erA~)
의 지 표가 바로 Hirz ebruch 의 sig n atu r e 가 된다는 것 을 보였 다. (A!, A 촌의 정의는 다시 5 절을 참조하기 바란다,） 그리고 4 절의 결과이T 의하여
ind exD=LM µ。 (D*D)-µ 。 (DD*)
가 되고 Uo=L1Mµ 。 (D*D) 가 t racee-1D•D 의 접근적 전개의 상수항에 대응된다. 그런데 A!,A~ 의 정의에 의하여 측도 µ。 (D*D)-µ 。 (DD*) 논 방향성 (주어진 다양체의)에 대하여 의 대칭적 (skew s y mme t r i c) 으로 변한다. 따라서 이로부터 방향성에 무관한 4k 차 미분 형석 m 를 얻 는다. 죽 ind exD=I m 가 된다. （여기서 우리는 Hirz ebruch 부호 M 정리가 의미를 갖는 4k 차원의 다양체에 한정시킨다.） 그런데 D*D 나 DD* 는 다 같이 라플라스 연산자 D 가 I' (A!) 와 I' (A~ ）에 작용 하는 것에 지나지 않으므로제 2 장에서 얻은 Seele y정의에 의하여 Cl> 가 곡률적 불변량이 된다. m 의 비중을 알아보거 위하여 i가 양의 상수일 때 g를 꾼g로 보내는 상사 변환 (homo t he ty)을 생각하자. 메 트릭 꾼g로부터 얻어지는 a 연산자 (5 절의 정의 참조)를 a 이라 하였 을 때 임의의 P 차미분 형식
a(
지를는 얻 는n다p. 사 이임에의 의자 기P 차동 미형분을 형만식들 었p을에 때대 하e 여은 Oe( 와
관계가 없다.)와 8=).-20 가 성립하기 때문에
e(d+o) =A(d+6)e
이 성립한다. 따라서
eD=A .fJe 즉 D=;.-1(eDc1)
가 성립하고 D* 에 대하여도 같은 형태의 공석을 얻는다. 따라서 우리는
D*D =;.-2(eD*De-1), DD* =).-2(eDD*e-1)
이라는 관계를 얻는다. 그런데 Seeley 정리의 전과에 의하여 µo 는 번들의 등거리 사상 e 에 의하여 변하지 않고 비중이 0 이 되므로
µ。 (D*D)=µ 。〈 D * D ) , µ。 (DD*)=µ 。 (DD*)
가 성립한다. 이로부터 w= (J)가 되어 (J)는 비중이 0 인 철대적 곡 률 불변량이 된다. 따라서 9 철의 결과 (G il ke y)에 의하여 다음의 중 요 결과를 얻는다. 죽 정리 1. 위에서 얻은 미분 형식 (J)는 Pontr y a g in 미분 형석의 공 유적 다항식 (univ e rsal p ol y nom i al) 으로 주어 전다. 즉 주어 전 다양체 M 의 차원이 4k 이 면 (J)=fk(Pi, P2, …, p k) 로 쓸 수 있 다. (여 기 서 Pj 는 4,· 차원 Pontr y a gi n 미분 형식이고 f k 의 전체 차수는 4k 이다.) 따라서 Hi rz ebruch 의 sig n atu re th eorem 을 얻 기 위 하여 는 정 리 1 에서 나오는 다항식 f k 를 결정하는 일만이 남아 있다. 그런데 이 논 Hi rzebruch 가 얻은 증명을 그대로 따르면 되는 것이다. 우리는 여기서 Hirz ebruch 의 증명을 되살펴 보겠다. （다음 철에서는 이 설명 울 더 일반화시킬 것이다.) 가장 초보적 예로서 복소 사영 공간 P2k 와 이들의 곱
M(k 냐, …kr )=P2k1 XP2k2x …X Pzkr, .E k;=k
을 덱하자. 다양체의 차원이 4k 로 고정되어 있을 때 이는 ~(k) 개 의 서로 다른 다양체를 마련해 준다. （여기서 11: (k) 는 정수 k 를 분
할하는 방법의 갯수이다.） 그런데 우리의 다항식 f.의 계수의 갯수 도 ir (k) 이기 때문에 식 i ndexD= f A1I1 w 를 이렇게 해서 얻은 다양체 에 적용하면 미지수(죽 f k 의 계수)의 갯수와 방정식의 갯수가 같은 연 립 방정 식 을 얻 어 이 방정 식 계 가 정 규적 (nonde g enera t e) 이 면 fl· 의 계수를 구할 수 있게 된다. 이 방정식 계가 정규적이라는 것을 알아보기 위 하여 Pontr y a g in 클라스 pj 대 신에 이 들과 Newt on 공 식 에 의 하여 관계 된 곱셈 적 생 성 원 (multip li ca ti ve g enera t or) 인 S 로 바꾸어 놓는 것이 좋다. 리이만 다양체상에서는 R 을 곡률 행렬식 이접라은 할 때 sj 는 (½ir) 2t 1TraceR21 형석으로 주어진다. Sj E l 이
SiC M x N)=SiC M )+SiC N )
이 성 립 한다는 것 이 다. rr(k) 개 의 단항식 Sa=SjI X Sj2 x …x Sjr (I;j ;=k) 와 rr(k) 개 다양체 Mp =M(k 냐, ••• , kr) 을 적 당한 순서로 나열하면 (a, (3)원소 aa p가 aa p =S a( Mp )로 주어지는 행렬 (11:( k)X n:( k) 행렬)이 삼각행렬이 되고 이의 대각원소가
aaa=Si1 CP2h) X ... X sj, ( P2ir )
로 주어 전다. 따라서 만일 Si ( P2i) ~o 이 면 (모든 j 에 대 하여 ) de t (aa p )~o 이 되어 주어전 연립 방정식 계가 정규적이 된다.그런데 복소 사영 공간 P21 의 전 Pontr y a g in 클라스(t o t al Pontr y a gi n class) 가 X 를 H2(P21,Z) 의 생성원이라 할 때 i_=t O P;=(l+x2)21+1 로 주어 져 SlP2i) =(2j+ l)x [P2 iJ = 2j + 1~O 이 되어 우리의 조건을 만족시 킨다. 그리 고 sig n (P2J =l 이 고 Kunneth 꽁식 에 의 하여 sig n (Mx N) =sig n M • sig n N 이 일반적 으로 성 립 한다. 따라서 M 야, …, kr) 로 주어 지 는 모든 다양체 의 sig n atu re 는 1 이 다. 따라서 우리 는 우리 의 다항식 fk (P1, …, p k) 를 M(k1, …, kr) 로 주어지는 모든 다양체 의 Pontr y a g in 큘라스에 대 하여 값을 덱 하였을 때 l 이 되 는 성 질에 의 하여 유일하게 결정 됨을 안다. 그런데 I; Pk=ll(l+x}) 이 라 할 때 I;Lk =ll tan 幻h xi
타는 생성함수에 의하여 주어지는 다항식 Lk(P1, …,p k) 가 바로 이 ’ 런 성질을 가지고 있음을 안다. 예를 들어 P2k 에 대하여 알아 보기 위 하여 는 (下읊莊 _)2Hl 의 x2k 의 계 수를 계 산하여 야 하는데 간단한 · 유수 계산 (res i due calcula ti on) 에 의하여 이것아 1 이 됨을 알 수 있 다. 위 에 서 정 의 된 생 성 함수의 곱셉 적 성 질 (mult ipli ca ti ve pro p e rty ) 에 의 하여 M(k1, …, kr) 로 주어 지는 모돈 곱으로 주어 전 다양체 에 대하여도 1 을 값으로 덱함을 알 수 있다. 따라서 우리의 f k 는 바 · 로 Lk 가 되 어 다음의 Hir z ebruch 정 리 가 증명 된다. (Hi rz ebruch Sin g a tu r e 정 리 ) 긴밀하고 방향성이 주어전 4k 차원의 다양체 M 에 대하여 , H2k(M : R) 에 정 의 된 2 차 형 식 (qu adrati c fo rm) 의 부호는
sig n (M)=Lk(Pi, …, Pk)[M]
로 주어진다• 그런데 우리의 증명은 이 정리가 다음과 같이 주어지는 국소작 정리의 저분 형태로 얻어졌음을 말해 준다. (국소적 sig na tu r e 정 리) M 을 간밀하고 방향성 이 주어 진 4k 차원의 Rie m ann 다양체 라 하 고 {
o 에 대 하여 수령 하고 t-. o 함에 따라 (J)t 는 Lkn (P1, …, Pk ) 로 간다. 여기서 E는 Pontr y ag in 미분 형식이다. (증명) D 를 부호 연산자라 하고 µt (x) 를 열 연산자 e- t D 오卜 로e-부tD D터* 의µ t국 (x소) 적에 의tr a 공ce헌 라은 하 자서.로 그상러쇄 면되 고q ~ (52 철k 에참 조대) 하n여 土 n9n2q ®k 9가4 k*-q 의 士 1 고유 공간이기 때문에
µt(x )-µ,(x) =(J)1
가 성립한다. 따라서 우리는
(I)1 ~ 2 ajt J/2
라는 점근적 전개식을 얻는다. 또한 Seeley 정리로부터 µi(D * D ) 가 연산자 D*D 에 대하여 비중이 j /2 이기 때문에 메트릭 g에 대 하여는 비중이 -j가 된다. 따라서 우리의 계수 a j들도 g-+J 2 g라 는 상사 변환에 대 하여 비 중이 -j 로 주어 진다. 따라서 Gil ke y 의 정리에 의하여 j
dr( u( 8 )v ) =du(8 )v + （크 )PU/\D,v
로 정의한다. 여기서 U 는 P 차 미분 형식, v 는 E, 의 섹션, u/\Drv 는 n® 요一 9 f으로부터 얻어지는 원소룬 뜻한다. 그런데 접속 D, 가 유니타리이기 때문에 d, 의 수반 연산자 d i*는 d i*=― *dr* 로 주어진다. 여기서 . ＊는 *(u®v)=*u®v 론 정의된다. 따라서 Q c 에 작용하는 인보루션 T 를 임의의 ac0 f에 대하여 -.(a)=j P CP-l)+l*(a) 로 정의하면 d,+d t는 ～와 의교환 (an ti -commu t e) 한다. 따라서 d 급-따를 T 의 土 1 고유공간인 9 f에 한정시켜 연산자
Ar: 따一 nr
를 얻는다. 우리는 Ar 를 번들 e 의 일반화된 sign atu re 연산자라고
부를 것이다. (A 군 1 정의가 f의 메트릭 I tt에 무관함에 주의하라.) 앞철에서와 같이 진행하여 비중이 (0,0) 인 어떤 곡물 불변량 (J)（g ,e) 에 대하여
ind ex Ar=j (J)(g, E)
로 쓸 수 있음울 보일 수 있다. (J)（g,t;)가 g에 대하여 비중이 0 이 라는 사실은 바로 앞철에서와 같고, 헤르미시안 메트릭 h t에 대하 여 비중이 0 이라는 사실은 연산자 A, 의 정의가 h f에 무관하다는 사실로부터 나온다. 10 철의 결과를 이 용하여 (특히 마지 막 결과) (J)(g,t;)가 E 의 Chern 미분 형식과 g의 Pontr y a g in 미분 형석의 어 떤 공유 다항석으로 표현됨을 안다. 즉
C*) (J)(g, (J)) =f(c; (e) , PiC g))
가 된다. 이 다항식 f가 어떻게 주어지는지 알아 보기 위하여 우선
(J)(g, eEBr ;)=(J)(g, e)+(J)(g, r;)
라는 덧셉 법칙이 성립함에 주의하라. 여기서 妖秒·IJ는 두개의 헤르 미시안 번들 e 와 n 의 합을 의미하고 이 위에서 정의되는 헤르미시 안 메트릭은 E 와 1 로부터 표준적으로 얻는다. 위의 덧셈 법칙은 A,e, 1 =A,EBA 기 과 tra ce e-CPIBO>=t ra ce e-1P+t ra ce e-10 로부터 쉽 게 나 온다. 우리는 위의 덧샘 법칙으로부터 (J)（g,t;)가
C**) (J)(g, e)=~ch.(e)F,(P1(g) , Pi (g), …)
형태로 주어진다는 것을 보이겠다. 여기서 2k+4s=2l, deg F ,=4s, 그리고
che=.Ek 야 Ce)
는 e 의 Chern 류 (charac t er) 를 의 미 한다. 여 러 분들은 전체 Chern 클라스 ~C j (e) 를 형식적으로 月 Cl+x j)로 적을 때 c 底는 ch ;= 2ex i로 주어진다는 것을 기억하기 바란다. 따라서 e 의 곡률 행렬 K 에 의하여
ch&=( 志 ) k 보
로 주어진다. 그리고 Chern 류는 덧셈적이다. 죽 ch( ~E8 1J ) =c 底+ chYJ 가 성 립 한다. 또한 Chern 쿨라스의 임 의 의 다항식 은 Chern 류 의 성분의 다항식으로 표현할 수 있다. 따라서 식 ( * )를
w(g, t;) =f1(c h(t;) , P(g) ) +f2(c h(t;) , P(g) ) + ...
형태로 쓸 수 있다. 여기서 f r 은 chk(e) 를 변수로 하는 차수가 r 인 c군h질(N (th; )o =moN g cenhet o; u에s) 서 석 이다. 8 롤 Ne = e@f ··…·®f (N 번)로 바꾸면
C* **) (J)(g, Nt; )= Nf 1+ N2f2 + … + N1f 1
을 얻는다. 그런데 (J)（g,t;)의 덧셈법칙으로부터 (J)(g, Nt; )= Nw(g, t;) 가 성립함을 안다. 따라서 석 ( *** )가 모든 N 에 대하여 성립하 기 위하여는 1 차식만이 촌재하게 되어
(J)(g, t;) =fi(ch (t;) , P(g) )
가 성립되어야 한다. 따라서 ( ** ）가 증명되었다. 지금부터 우리는 식 ( ** ）에 나타난 다항식 Fs 가 어떻게 주어 지는가를 충분히 많은 예에 대하여 계산함으로써 알아보기로한다. 그런데 F3 는 주어전 다양체의 차원 n=2l 에 관계하므로 이를 F: 로 적어야 한다. 지금부터 우리는
(1) F;=21-2,L,
로 주어침을 밝히겠다. 여기서 Ls 는 앞철에서도 나타난 Hirz ebruch 다항식이다. l=2s( 따라서 dim M=4s) 인 경우에는 윗식은 F;=L, 가 되고 이는 공식 ( ** )에서 8 률 자명한 직선 번들로 덱하여 앞 철에서 배운 Hi rzebruch 의 sig n atu r e 정리를 적용함으로써 얻어진 다.우 리가 택할 기본적 예는 M 이 일차원의 복소 토러스(t orus), e
가 이 위에 주어지는 해석적 직선 번들인 경우이다. 이 경우에 우리 논 다음 정리를 증명한다. 즉 정리 1. M 을 일차원 복소 tor us, e 를 이 위에서 정의된 해석적 칙선 번들이라 하자. 그러면
ind ex Ae=2J 磯
이 성립한다. 증명 : M 의 메트릭을 M 의 완전 피복 공간 (un i versal cover i n g)인 복소 평면 C 로부터 나오는 메트릭으로 택하면
*dx = dy, wiJ =-dx 가 되어
를 얻는다. 이것으로부터
a+C f, g) =½(l+-r )f+gd z
로 주어지는동형 사상
a따_ :: nno°,E1EBBn.a °o-. ,n1_+. n_
울 얻는다. 그리고 우리는 다음과 같은 교환 가능한 다이아그람을 얻는다. 즉
n°EBn° —施— )—a _. 00,1EBno,1
따라서 연산자 A=d+d* 는 仇의 2 중 중복과 동등하다. 따라서 해 석적 직선 번들 t상의 임의의 헤르미시안 구조에 대하여 Ai와
하,＠하는 같은 일차항을 가지므로(동형 변환을 한 다음) 특히 같은 츠1 표를 갖는다. 여기서 a f는 E 의 섹션에 작용하는 표준적인 a- 연 산자이 다. 그런데 이 미 우리 는 일반 이 론으로부터 ind ex AE 7} 어 떤 상수 a 에 대하여
ind ex Af = aLIII ci( e)
로 주어쳐야 함을 안다. （왜냐하면 2k+4s=2l 과 de g F,=4s 에서 l=l 이므로 k=1, s=0 만이 남는다.) a=2 라는 것울 증명하기 위 하여 LMc 1ce) 팎 0 인 특벌한 률 덱하여 계산하여 보면 된다. M 의 어떤 한 접 P에 의하여 얻어지는 복소 칙선 번들이 e 라 하면 LMc 1Ce)=1 이 된다. 이 경우에 Kera t는 e 의 해석적 섹션으로 이 루어전 공간이 되는 데 이는 M 상에 정의된 P 에만 단순국을 가전 유리 형 함수 (meromor p h i c fun cti on ) 전체 의 집 합과 같다. 그런데 이 런 유리형 함수 cp (z) 에 대하에 cp (z)dz 의 선 적분(접 P 가 내부에 있논 조그만 원을 따른)을 계산하여 보면 0 이 된다. （원의 의부에 서는 cp (z) 가 해석적이고 이 의부룬 주어전 원의 내부라 생각할 수 도 있음에 주의하라.） 따라서 cp (z) 의 P 에서의 유수 (res i due) 가 0 이 되 어
셈 법칙을 일반화하여야 한다. 죽 우리는 다음의 정리를 증명하겠 다. 정리 2. M 과 N 을 각각 방향이 주어진 간밀한 짝수차원의 Rie - mann 다양체라 하고, e 와 T 를 각각 M 과 N 상에 정의된 헤르미 시안 번들이라고 하자. 그리고 C= f®?는 MxN 상에 정의된 텐서 곱(t ensor p roduc t)으로 주어 전 번들이 고 자연스러 운 유도(i nduced) 메트릭과 접속이 주어졌다고 하자. 그러면
ind ex A,=in d ex A, • ind ex A~
가 성립한다. 증명 : 직접 계산에 의하여
(d 터- d:)2=(dc+d t )2®L+1@(d社 따 )2
이 성립함을 알 수 있다. 따라서 우리는
ker(d,+d;)=ker(d 汗라)(8) ker (d~+d:)
울 얻는다. 이 사설과 T,=T t ®T 서를 이용하여
ind ex A,=in d ex Ar • ind ex A~
라는 공식을 얻는다. M 을 tor us, X 를 4s 차원의 다양체라 할 때 Y=MkxX 라 하자. Y 상에서 T= 한 ®1( 여기서 안는 e@ …®:울 의미한다.）라 하고 여기에 정리 2 를 적용해 보자. 그러면 우리논
ind ex A 곤(i ndex Ae)k • sign X
라는 관계석을 얻는다. 여기서는 야한 =(che )k=(l +c1(e))k 라는 관 계식을 이용하였다. 식 (**）와 비교하여 0 이 아닌 항인 L,kchk 앙 를 상쇄하여
LXF ;(P1, …, P,)=2ksig n X
를 얻는다. (여 기 서 k=l-2s) 따라서 앞철의 결과에 의 하여 2-kF;::::: L, 죽 F;=2l-2sL, 라는 관계석을 얻어 공식 ( *** )가 증명되었다. 죽 우리는 다음 정리를 얻었다. (일 반화된 Hi rz ebruch 의 sign atu re 정 리 ) M 을 긴밀하고 방향이 주어진 2l 차원의 Rie m ann 다양체라 하 고 e 를 M 상에서 주어전 헤르미시안 번들 그리고 Ar 를 e 의 일반 화된 sig n atu re 연산자라 하자. 그러면 Ac 의 지표는
ind ex Ar=21 • cM • !f' (M) 〔町
로 주어진다. 여기서 !f' (M)= flt굶倍占 T 이고 자의 기초 대칭식 울 M 의 Pontr y a g in 클라스로 바꾸어 놓는다. 주 : ® 앞질에서와 같이 위에서 주어전 정리의 국소적 형태가 있 다. ® 앞 철의 걷과는 4 로 나누질 수 있는 차원의 다양체에만 국한하였는데 여기에서는 모든 짝수 차원의 다양체에 대하여서도 성립한다. 여기에서는 복소 백타 번들에 대한 연구이기 때문에 따 라서 이 Chern 큘라스를 사용할 수 있 었 다. 다음 철에서 밝히다시피 이 일반화된 sig n atu r e 정리는 약간의 위 상 수학적 사실을 사용하여 일반적인 지표 정리를 말해 준다. 따라 서 특히 Rie m ann-Roch 같은 고전적 지표정리들이 나온다. 그러나 sig n atu re 정리의 증명에서 사용하였던 방법을 써서 및 가지의 직 접적인 증명을 해보는 것이 매우 홍미있는 일이다. 이렇게 하면 대 역적인 위상 수학적 논술에 의하여는 얻을 수 없는 관계 정리의 국 소적 형태를 얻을 수 있다. 따라서 지금부터 우리는 Dir a c 연산자 와 a- 연산자를 열 방정 식 방법 으로 다루어 보겠다. 우선 Dir ac 연 산자에 대하여 이야기한다. 주어 진 다양체 M 의 접 벡 타 번들의 구조 군 (s tr uc t ure g rou p)을 SO(n) 으로부터 S pi n(n) 으로 인양시킬 수 있을 때 M 을 Sp in-
다양체 라고 부른다는 것 울 기 억 하기 바란다. (2 철 참 조) 제 2 Sti efe l - Whit ne y 클라스 (l) 2(M) 이 0 이여야 된다는 것이 이 렇 게 되기 위한 필요 충분 조건이다. 따라서 예를 들면 P n (C) 는 n 이 홀 수인 경우 에만 S pi n- 다양체가 된다. S pi n(n) 으로의 주어진 인양(lifti n g)은 득 정한 Sp in 구조를 결정하고 서로 다른 Sp in 구조는 동형 대응을 제 외하고는 H1(M: Z2) 의 원소와 1 대 1 대응 관계가 있다. 따라서 만일 M 이 단순 연결 (s i m p l y connec t ed) 이 되어 있으면 Sp in 구조는 근본적 으로는 유일하다 . 그런데 S pi n(n) 은 기 본표현 공간 S (Sp in 공 간이 라 볼리 는)가 있 다. 만일 n=2l 이 면 이 공간은 각각의 차원이 21-1 인 2 개 의 기 약 표현공간 S+ 오l- s-의 직 접 합 (d i rec t sum) 으로 주 어진다. 따라서 M 의 Sp in 구조에 대응되어서 2 개의 벡타 번들 E+ 와 E- 울 얻고 이들의 섹 션을 M 상의 Spi no r 장(fi eld) 라 부른다. 이 때 Di rac 연산자는 다음과 같이 주어 지는 E=E+ (:B E - 의 섹 션에 작용하는 1 계 자기 수반적 (self ad joi n t)타원형 미분 연산자이다. 죽 D 를 MI'( 의E ) R—ie m annI '(접E속 ® , T*C ) 를-— S._® RI'(-Es ) 에 의하여 주어지는 Cliff ord 곱이 라 할 때 Di ra c 연산자는 D C 의 합성으로 주어진다. Di rac 연산자는 (C 가 S+ 와 S- 를 교환하기 때문에) E+ 와 E- 를 교환한다. 따라서 B 를 I' (E+ ）에의 재한이라 고했을때 B : I'(E+ ) -+ I'(E- ) 는 타원형 연산자이고 Dira c 연산자는 댜 ~) 형으로 주어전다. 이때 연산자 B 의 지표를 M 의 Sp ino r 지표라 부 른다. 연산자 B 는 앞 절에서 정의된 sig n atu re 연산자 D 와 같이 다음 과 같은 성질을 갖는다.
,(a) B 는 Rie m ann 메 트릭 , 방향성 및 Sp in 구조에 의 하여 표준 적으로 정의된다. (b) 방향을 바꾸면 B 를 B* 로 보낸다. (c) g국 2 g로 주어지는 상사 변환에 의하여 B 는 i -1B 로 간다. 이 중에서 성질 (a) 와 (b) 는 이미 언급된 사실로부터 당연히 나 온다. (c) 를 증명하기 위하여 T ~' 와 T* 울 각각 M 의 여접벡타 번 들 (co t an g en t bundle) 상에 원래 의 메 트릭 과 새 로운 메 트릭 이 주어 전 번들이라 할 때 &一i e 는 T* 와 T* 사이에 둥거리 사상을 정의해 준다. 따라서 이로부터 우리는 접속을 보존하는 유도된 동형 사상 a : E-E 울 얻는다. 그런데 Cli fford 곱은 2 중 선형적이기 때문에 B=A-1aBa-1 라는 관계를 얻어 둥거리 사상 a 를 무시하면 B 와 . 1-1B 는 일치한다. 연산자 B 와 D 의 유일한 중요한 차이는 B 가 다양체의 Sp in 구 조에 관계된다는 것이다. 그러나 국소적으로는 Sp in 구조가 유일하 기 때 문에 측도 µi (B*B) 와 µi (BB*) 는 메 트릭 과 방향에 만 관계 된 다. 앞 철에서와 똑같이 취급하여 S pi nor - 지표가 Pontr y a g in 클라 스의 어떤 공유적 다항석으로 주어진다는 것을 추리할 수 있다. 따 라서 특히 dim M 의 4 로 나누어질 수 없으면 Sp ino r 지표는 0 이 고, dim M=4s 이 면 sp in- in d ex(M) =h,(P1, …, R) 〔 M] 로 쑬 수 있다. 따라서 우리가 앞으로 할 일은 다항식 h3 를 알아내어 이것이 Hirze bruch 에 의 하여 정 의 된 A- 다항석 과 같은 다항식 이 라는 것 을 보여 주는 것이다. 이는 충분히 많은 예에 대한 Sp ino r 지표를 계 산함으로써 이루어질 수도 있다. 예를 들어 4 원소수 사영 공간 (qu arte r nio n ic pro je c ti ve spa c e) Pn(H)(n~2) 와 P3(C) 에 있는 4차 석 에 의 하여 주어 지는 복소 곡면 (qu artic sur fa ce) 과의 곱으로 이 루 어 전 공간을 덱 하면 된다. 그런데 여 기 에 서는 일반화된 sig n atu re 정리를 이용하여 h,= .A,라는 것울 증명하겠다. 이렇게 하기 위하여 는 우선 연산자 B 를 엄의의 보조 헤르미시안 번들 尸에서 값을 덱 하는 연산자 Br 로 확장하여야 한다. （이는우리가 A 를 4 로 확장 한 것과 동일하다.） 그러면 앞에서와 같이
(2) ind ex B,=I ;ch k(e)H)(P1, …, P,) [M J
타는 공석을 얻는다. 여기서 2k+4s=:t= dim M, de g H;=4s 이다 e 분만 아니 라 Cli fford 곱의 성 질로부터 정 리 2 와 같은 I3t 에 대 한 곱 ‘ 셈 법칙을 얻으며 앞에서 주어진 1 : 0,..us 의 예에서는
i ndexB 니 M 函
가 성립한다. 따라서 앞에서처럼 HSl=h3 라는 것을 추리하여 얻을 수있다. 일반화된 sig n atu re 정 리 를 이 용하기 위 하여 우선 다음 정 리 를 증 명한다. 즉 정리 3. 約} M 의 Rie m ann 메트릭에서 유도된 메트릭과 접속을 가진 전체 Sp in 번들 E 이 면 ind ex Bt =ind ex A 가 성 립 한다• 증명 : S pi n(n) －모듈로서 의 동형 관계 인 S®S~A*(Rn) 으로부터 E®E=A*(T* ）라는 표준적 인 번들 동형 관계 를 얻는다. 그리 고 이 동형 관계는 I' (E 士 ® E) 를 9 土로 보낸다. 이 동형 관계를 이용하 여 A 와 B 려 부호가 일치함을 알 수 있다. 따라서 특히 ind exA =ind ex B, 라는 관계 를 얻는다. 일반화된 Sig n atu r e 정리와 공석 (2) 그리고 H,'=h, 사선로부터 정리 3 을
(3) 21ll 급閩 =chE I;紅 M J
타고 쓸 수 있 다. (여 기 서 우리 는 Sp in 표현의 characte r 공식 을 · 사용하였다.) h,=As 라는 것을 증명하기 위하여 우리는 귀납적 방 법을 쓴다. s
파 =n ex i /2 二；랴 /2
타는 관계에 의하여 주어집에 주의한다.) M 의 차원 21 이 2l=4k 로 -
놓고 식 (3) 과 항등식
2l ih= I tan xh,/ x2, ./2 떠도 il=l1 ( ex;/2+e-x;/2),'=Eo , A,[M J
을 비교하여
Ak(PI, …, P,,) [M] =hk( P i, …, Pk) [MJ
라는 등식 을 얻는다. 그런데 이 등식 이 차원이 4k o.J. 모든 Sp in 다 양체에 대하여 성립하여야 하기 때문에 Ak=hk 라는 관계를 얻어 Sp ino r 지표의 확인작업이 끝났다. 이상에서 우리가 얻은 결과들을 (I) 2(M) 이 H2(M,Z) 에 있는 정수 코호모로지 클라스 C1 의 mod 2 로 읽 어 서 얻은 경 우인 S pi ne- 다양 체의 경우로 확장할 수 있다. 이 경우에는 접 벡타 번들 T(M) 의 구조 군이 복소 S pi nor 군 S pi nc(n) 으로 인양될 수 있다. （여기서 S pi nc(n) 은 e 을 S pi n(n)--.SO(n) 의 커 늘 (kernel) 의 생 성 원이 라 할 때 (e, -1) 에 의 하여 생 성 된 차수가 2 인 Sp in( n) x U (l)이 부분군 에 의 한 Sp in( n) x U (l)의 상군 (qu oti en t g rou p)이 다. ) UESp in( n), VEU (l)이 라 할 때 (u, v)--.v2 는 S pi nc(n) 을 U (l)으로 보내 는 준동 형 (homomor ph i sm) 이 되 어 Sp ine 구조에 부속된 복소 칙 선 번들 L 을다. 얻만을일 수L 에있 다다. 헤이 르 미경 우시 안바 로구 조C1 e이를 L 주 의 면제 일S p i nCch(enr)n 의 클 S라p 스in 가 표 현된 과 연관될 Sp in 번들 E 에 작용하는 M 상에 정의된 Dir a c 연산자 를 정의할 수 있다. 만일 n=2l 이면 이는 다시
(CB~)* :c)
형 태 로 주어 진다. 여 기 서 BC 는 I' (E+ ）에 서 I' (E- ）로 가는 자기 수 반 (sel f -ad j o i n t) 작용소이 다. 물론 BC 는 Dira c 연산자의 I'(E+ ) 상 에 의 제 한으로 주어 진다. 만일 M 이 S pi n- 다양체 (즉 (I)l M) =O) 이 떤 e 가 자명한 것으로 주어지는 명백한 Sp ine 구조를 가지고 있지 만 이것 말고 다론 것도 많이 있다. 따라서 T 를 임의의 헤르미시 안 직선 번들이타 할 때 M상 에 e= 7J 2 이 되는 Sp ine 구조가 있고
미분 형석으로서는 cl ( f )=2clG) 를 만족한다. 이 경우에는 BC 는 B 따 일치한다 . 그런데 M 은 항상 국소적으로는 S pi n - 다양체이기 때문에 BC 는 항상 국소적으로는 Bn 라는 형태가 된다. 열 방정식 방법에 의하여 BC 의 지표에 대한 국소적 공식을 얻을 수 있다. 그 런데 국소적으로는 #=e 인 ?에 대하여 Bc=B, 가 되기 때문에 부 속 번들을 가지는 S pi nor- 지표에 대한 앞에서 주어진 공식에 의하 여
(4) ind ex Bc=ec1m/2 .E .A, [M]
라는 형태로 됨을 알 수 있다. 헤르마시안 메트릭을 가지는 복소 다양체는 다이아그림
/Spi n. '(2n)
으로부터 얻어지는 매우 자연스러운 Spi ne 구조를 가지고 있다. 여 기 서 U(n)-+S0(2n) x U(l) 는 U(n) 의 S0(2n) 으로의 포함관계 에 서 , U(n)-+U (l)은 행렬식 사상 (de t erm i nan t ma p)에 의하여 주어진다. (부록 참조) 이 경우에는 C1 은 복소 접 벡타 번들의 제 1 Chern 클· 라스가 된다. 따라서 공식 (4) 의 우측은 Todd 지너 스
T(c1, c2, …, Cn)[MJ
에 지나지 않는다. 여기서 Tn- 은
ETk=n_ `X i
로 정의되고 C j는 X i의 j 번째 기초 대칭 함수이다. 그리고 Sp in.- 구조의 연산자 BC 는 복소 구조에서 얻어지는 a- 연산자와 매우 밀 접한 관계가 있다. 좀더 정확히 말하면 a- 컴플렉스
o-.o,o ,oa_- .0, 0, 1 _a_ ...... .o, o_' 一a o
를 생각할 때 이에 대응되는 타원형 연산자
硏 a* : 290,2P 一 290,2P+1
울 생 각하면 이 는 항상 BC 와 같은 부호 (s y mbol) 를 가진다• 그리 고 만일 M 상에 주어전 메트릭이 Kahler 메트릭이면 이는 BC 와 완전 히 일치한다. 그런데 앞에서 이야기하였다시피 a+a* 의 지표는 a- 컴 플렉 스의 Euler 수와 같은데 이 는 다시 해 석 함수의 접 (ge rm) O 의 Euler 수(이를 대수적 지너스라 한다.）와 같다. 따라서 우리는임 의의 복소 다양체 상에서는
t(- IY dim fiP(M , G)=Tn(C1 , …, Cn)[M]
라는 Todd 공식 을 얻고 K5her 다양체 경 우는 더 욱 강한 국소 항 태의 공식을 얻는다, 더 일반적으로 해석적 백타 번들 V에 대한 Hirz ebruch Rie - mann-Roch 정 리 도 V 상에 적 당한 해 로미 시 안 구조를 갖는 Di rac 연 산자를 택함으로써 동일한 방법으로 얻을 수 있다. 그리고 Kahler 다양체 경우에는 V 상에 주어전 복소 구조와 맞는 유일한 해르마 시안 접속을 택하면 국소 형태의 공식까지 얻을 수 있다. 이런 형 태의 접속은 v i를 V 의 국소적 해석적 후레임이라 할 때 (1, 0) 형 태의 미분양식 {(J), . ｝에 대하여 D,v=I ; (J)＆값 V,· 로 주어전다. 끝으로 우리 는 S pi n- 지표에 대 한 공식 을 Hirz ebruch 의 일반화된 sig n atu re 공석으로부터 얻은 것과 마찬가지로 11 철에서 얻었던 Euler 지 표에 대 한 공식 즉 Gauss-Bonnet 정 리 도 역 시 Hirz ebruch 의 일반화된 sig n atu re 공식 으로부터 도 얻어 질 수 있음을 밝혀 둔 다. 13 일반적 지표 정리 이 절에서 우리는 P 가 어떤 타원형 미분 연산자일 때 이의 해석 학적 지표 (anal yti c i ndex) 와 위상 수학적 지표(t o p olo gi cal i ndex) 가 같 다는 지표 정리 (ind ex t heorem) 의 완전한 형태를 언급하고 어떻개 증명하는지를 대강 이야기하겠다.
P 를 I' (E) 에서 I' (F) 로 가는 M 상에 정의된 k 차 타원형 미분 연산자라 하자. 따라서 rr : S(M ) -.M 을 M 의 단위길이 여접 벡타 번들 (un it cota n g en t bundle) 에 서 의 두영 이 라 할 때 P 의 십 볼 a(P) 는 군 (E) 와 군 (F) 사이 의 번들 동형 관계 를 만들어 준다. 이 대 B(M) 윤 T*M 의 단위 볼 (ball ) 번들이 타 하자. 따라서 B(M) 은 2n 차원 다양체가 되고 S ( M) 이 이의 경계가 된다. B(M) 을 2 개 택하여 이들을 각각 B( M )+, B ( M) 라 하고, 이들을 공동 경계를 따라 붙이 면 2n 차원의 페 다양체 (closed 2n-manif old )
I; (M) =B(M)+ S(UM ) B(M)-
을 얻는다. 또 군 : B(M) 土 _>M 을 대응되는 투영이라 할 때 우리 는벡타번들
V(a)=rr+*(E) ’(UP) rr-*(F)
을 얻는다. (여기서 우리는 경계 S(M) 을 따라 a(P) 로서 E 와 F 를 동일시하였다.） 이 백타 번들 V(a) 는 P의 해석적 지표(우리가 보통 지표라고 부르는 것이다.）를 계산하기 위해서 필요한 모돈 위 상 수학적 지석을 다 가지고 있다. 죽 우리는 다음의 지표정리를 얻는다. 지표 정리 : v(M) 이 T(M)@R C 의 Todd 클라스를 뜻하고 7r=7rr: 이 I; (M) 에서 M 으로의 두영을 뜻하고 I; (M) 에 자연스러운 방향 성을 줄 때, P 의 지표(해석학적)는 {chV(a)rr*v(M)} 〔I; (M) 〕으로 주어지는 위상 수학적 지표와 같다. 죽 다음의 공식을 얻는다 . ind ex P= {chV(a)ll*v
쉽게 보일 수 있다. 따라서 우리는 앞으로 일반적인 타원형 연산자 가 앞 철에서 얻은 고전적 연산자와 동등하다는 것을 설명하고자 한다. 우선 의 미 분 연산자(p seudo-d iff eren ti al o p era t or) 를 사용하여 우리 는 6 를 S(M) 상으] 임의의 원활한 번들 동형 대응관계로 확장할 수 있다. 이는 특히 지표가 .E( M) 상의 번들 V(a) 에만 관계된다 논 것과 이 번들이 임의의 것도 될 수 있다는 것을 말해 준다. 그리 고 만일 V=rr*W( 적당한 M 상의 번들 W 에 대하여)이면 지표가 O 이 됨을 안다. （왜냐하면 이 경우는 주어전 연산자가 아무런 미분도 포함하 치 아니하고 단순히 역행렬이 있는 행렬 함수에 의한 곱에 지나지 않는다.) 따라서 V(a(P)) 를 P 의 지 표로 보내 는 사상으로부터 K(M) 의 상 (i ma g e) 에서는 값이 0 인 K( I; (M) ）에서 Z 로가는 준 동형을 얻는 다. （여기서 K(M) 은 M 상의 복소 벡타 번들에서 얻어지는 Groth e ndic k 군웅 의 미 하고 위 의 결 과는 Groth endic k 군의 공유 성 질 (univ e rsal pro - p er ty)으로부터 나온다.) K 이론의 초보 정리로부터 만일 M 에 방향 이 주어 졌고 M 이 짝수 차원의 공간이 라면 sig n atu re 연산자들에 의 하여 , K(M) 의 상과 2- 토전 (t ors i on) 원소를 무시 하였 을 때 , K(.E (M)) 의 모돈 원소들을 생성한다는 것을 보일 수 있다. 따라서 짝수 차 원의 방향성이 주어진 공간의 경우에는 일반적인 지표정리를 증명 한 셈 이 된다. 홀수 차원의 경 우는 원 S1 를 곱하여 짝수 차원으로. 바꾸어 놓는다. 방향성 이 주어 질 수 없는 경 우 (non-or i en t able) 를 다 루기 위하여 방향성이 주어진 M 의 2 중 피복 (cover i n g spa c e) M 을 생각한다. 열전도 방정식으로부터 해석적 지표의 국소 형태가 촌재 한다는 사실에 서 ind ex P=z ind ex P 라는 것 을 말할 수 있 다. (여 기서 P 는 주어진 타원 연산자 P 를 M 로 인양시킨 것이다.） 또한 위상 수학적 지표에 대한 코호모리지적 공식도 M 에서 M 로 옮길 때 2 배가 되어 이 경우에도 지표정리가 증명된 셈이 된다. 우리 는 위 에 서 이 야기 한 sig n atu re 연산자들이 K(.E (M) ）의 원 소를 K(M) 부분과 2- t ors i on 을 무시하면 전부 생성한다는 사실에 대하여 약간 언급하고자 한다. 우선 M 이 어떤 접 부근의 작은 근 방 (ne ig hborhood) 으로 주어지는 경우인 국소적 문제를 생각하자. 그
러 면 K( I; (M)) 은 K(S21' ）이 되고, K(M) 은 K ( p o i n t)로 되 어 ” .. *K(M) 은 S2 상에 정 의 된 자명 한 번들(t r i v i al bundle) 이 된다. K(S”) 이 tri v i a l bundle 을 무시 하고 읽 을 때 무한의 cy c lic 군 아 된다는 것 이 소위 K-th e ory 의 주기 정 리 (pe rio d ic i ty t heorem) 로부터 나온다. 이는 다시 충분히 큰 N 에 대하여 rr 2 ,,-1(G/(N,C)) 가 n 에 대 하여 주기 가 2 이 고 무한의 cy c li c 군 이 라는 사실로부터 나온다. r.2, ,-1(Gl(N, C) ）에 서 K(S2) 으로 가는 사상은 6 에 서 V(a) 으로 가는 사상으로부터 얻는다. 그턴데 C 에서
硏 a* : 290,2P 一 En0,2P+1
의 부호가 2n-1(Gl(N, C) 의 생 성 원에 대 응된다는 것 은 매 우 중요 한 사실이다. (여기서 N=2-1 로 주어진다.） 이 사실으로 미루어 보아 이 연산자의 보조 번들로의 확장이 K(M) 의 상을 무시하면 K( I; (M)) 의 생성원들이 될 것이라고 추측할 수 있다. 이것은 대 수적 위상 수학의 기본적인 방법으로서 정확히 증명할 수 있다. 또 다른 방법으로 대역적 경우에 성립하는 국소적인 정리를 증명할 수 도 있 다. S pi ne- 다양체 경 우에 는 Dir a c 연산자를 써 서 도 증명 할 수 있으나 일반적으로는 sig n atu re 연산자를 써야 하며 국소적으로는 이 는 1r2,,-1(Gl(N, C)) 의 생 성 원의 2 배 가 된다.
제 4 장 부록
1 Cli fford 대 수 (al g ebra) 이 철에서는 제 3 장에서 주어진 지표정리의 증명에 사용된 Sp ino r 이론에 대한 기본적인 결과에 대하여 언급하고자 한다. k 를 가환 체 (commuta t i ve fi eld) 라 하고 Q 를 k- 모듈 (module) E 상에 정 의 된 2 차 형 식 (qu adrati c fo rm) 이 라 하자. 그리 고 T(E)= i2~ oT ’. E=k @ E@E®E® …·:·울 E 상의 텐서 대수라 하고 l( Q)를 淡 ?x_ Q (x)1 에 의하여 생성된 T(E) 의 양 쪽 아이디알(tw o sid e d i deal) 이 라 하자. 이 때 상 대 수(q uo ti en t alge b ra) T(E)/ J(Q)를 Q 의 Cli ffor d 대 수라 부르고 C( Q)라 쓴다. LiQ : E-.C( Q)는 E- T(E)-.C( Q)의 중첩으로 주어지는 사상을 말한다• 이 때 C( Q)에 대한 다음 성질은 쉽게 증명된다. (i) iQ : E-.C( Q)는 단사적 (i n j ec t i ve) 어 다. (ii)(iv ) Fq T ( E )=iI츠 ;q T'E 믈 T(E) 의 필터 구조라 하자. 이 필터 구 조에 의하여 C(E) 에 팔터 구조를 줄 수 있고 이의 부속 등급 대수 는 (assoc i a t ed gra ded al g ebra) 는 E 의 외 적 대 수 (ex t er i or alge bra) AE 와 동형 이 된다. 따라서 특히 dim kC(Q ) =2dim E 이 고 (e..} (i= l, 2, …, n) 이 i o(E) 의 기 처 이 면 1 과 i1< i2 < … < h 에 대 하여 e,.Ie ,. 2… , e,.k ( 가v) CC(0 (Q Q))의 를기 2o처o 가T2 i (된E다). 의 C( Q)에 서 의 상이 라 하고 Cl( Q)를 2 i=O i= O T2 i +1(E) 의 상이 라 하자. 이 분해 로 C( Q)가 Z2- 등급이 매 겨 진 대 수가된다. 죽
(a) C(Q )= iI= ;O ,l C,.(Q )
마지막에 주어진 Z2 一 동급은 다음 정리가 보여 주는 중요한 의 미를 가지고 있다. 정 리 : E=E1EBE2 를 Q 에 대 한 E 의 직 교 분해 (orth o g o nal decom- p os iti on) 라하고 Qi 를 Q 의 Ei 에 의 제 한이 라 하자. 그러 면 C( Q 1) 과 · C( Q 2) 의 등급 텐서 곱(g raded ten sor p roduc t)과 C( Q)와 동형 관계 가 성립한다. 죽
cp : C(Q ) ::::C(Q 1 )^® C(Q 2 )
와다 이B다 =정음a =리I과0:,1를 B같a 은증의 명 곱등하샘급기 에법텐 서칙앞 을서곱 준은2 개정것의이의 다에등. 급 의이하 여매 겨공진간 대a ,~I수=:0 , 1A Aa=®a. =안E 0 ,1에A 0 죽 X j따, Y;EAj 일 때
(u®x• •) (Y j ® v) = (크)·' j u yj ®x,인
이다. 이렇게 정의된 동급 텐서 곱을 A ®^ B 라 쓰고 이것은 . 다시 등급이 매겨진 대수가 되며
(A ®^ Bl= I: A,·® 합 (i+i=k (mod 2)
으로주어진다.
정리의 증경 : e1,e 2 를 E 의 원 소 e 의 E1,E2 위로의 직교 두영아 라 할 때 사상 cp : E-C( Q 1) ®^ C( Q 2) 를
cjJ( e) = e1® l + l® e2
로 정의하자. 그러면
cp ( e) 도 (e1® l + l ® e 간= {QiCe 1) + Q2 Ce2)} (1(8 )1)
이 된다. 따라서 앞에 주어전 성질 (ii)에 의하여 #는 cp : C( Q)一 C( Q 1) ^® CC Q 2) 로 확장된다. C( Q)의 기 저 원소에 대 한 少 의 작용을 조사하여 少가 전단사 (b ij ec ti on) 가 됨을 알 수있다. 그리고 등급 구 조는 둥석 Ce1®l+l®e 접 =e1®1+1® 야로부터 보촌됨을 알 수 있 다. C( Q)는 또한 텐서 대수 T(E) 에서 얻어지는 표준적 반자기 동형 (an ti au t omor p h i sm) 을 가지고 있다. 즉 x=x1 <8) x2®··•®x•ET4(E) 일 때 x t =X k® 따 -1® … %®x1 라 하면 x- 났는 T(E) 의 반자기 동형이 고 {x ® x- Q (x)l}1=x®x- Q (x)l 이므로 l( Q)가 보존된다. 따라 서 이 연산울 C( Q)에도 잘 정의된 반자기 동형으르 만들 수 있고 이 를 다시 x 一 X t 라 쓰고 전치 (t rans p ose) 라 부른다. 이 전치 사상온 i 0(E)cC( Q)에 서 는 항등 사상이 된다. C( Q)에 다음의 두 가지 연산을 더 정의 할 수 있다. 정의 : a(x)=- i o(x) 에 의하여 주어지는 사상 a : E--.C( Q)의 확 장으로서 C( Q)상에 표준적 자기 동형 을 얻는다(여 기 서 {a:(.x)}2= Q (x)l 이므로 a 를 위와 같이 확장할 수 있다.） 이 자기 동형을 다 시 a 로 표시한다. 정의 : x-x 를 X 一 a(x t)로써 정의하고 이를 bar 연산이타 부르며 C( Q)의 반자기 동형 이 된다. 주 : (l) a(x') 와 {a(x)}' 는 다 같이 x--.- i 0(x) 로 주어지는 사 상 E--.C( Q)를 확장한 반자기 동형 이 므로 같다. 죽 a(x') = {a(x)} ' (2) C( Q)상의 둥급을 a 를 이용하여 정의할 수도 있다. 죽
C.-(Q )= {xeC(Q ) la(x)= （키 )'. x}, i= O, l.
지금부터 우리는 k=R, E=Rk, 그리고 Q=Ql x1, ••• ,X k)=-_E x ; 인 경 우로 한정 시 켜 공부한다. 그리 고 C( Q k) 를 ck 라 쓰고 iQk Rk eek 를 단순히 Rk 로 R•lCCk 를 R 로 쓴다. 편의상 k=O 일 때 Ck=R 이라 한다. 정리 : C1 은 R_ 대수로서 C( 복소수)와 동형이다. 또한
C 루 C1^® C1^® ·®^ C1 (k 개 )
가 성립한다. 증명 : C1 은 1 과 e1 에 의하여 생성되었다. (여기서 1 은 Rl 에 있 논C1 과실 수복 소1 을수 와뜻 한동다형.관） 계그를리 고얻 는e다~.=- 1C k이:므=C로^1 ® e1·^ 을® C 1t ’는에 대앞응에시 키주면어 전 정리를 반복사용하면 얻어진다. 우리는 i번째 위치에 1 이 있는 k- 튜푼 (0,···,1, … ,0) 을 e i로 표 시 한다. 따라서 e;( i sk) 가 R*cCk 의 기 저 가 된다. 이 때 우리 는 다음에 주어지는 따름정리를 얻는다. 따름정리 : e;, i=l, 2,···,k 는 Ck 를 곱셈에 의하여 생성하고
어=-1, e;e1+eie ,• = O (i=i;=i)
라는 관계 식 을 만족한다. 따라서 Ck 를 단위 원소 1 과 부호 e.-, (i= 1, 2,···,k) 가 위의 조건을 만족할 때 1,e i, ... ,ek 에 의하여 생성된 R 상의 보편 대 수 ((un i versal al g ebra) 라 할 수 있 다. c: 로 하여 금 ck 의 가역 (inv ertib l e) 원소로 이 루어 전 곱셉 이 주 어 전 군 (mul tipli ca ti ve g rou p)이 라 하자. 정 의 : c: 의 원소 중 Rk 의 모든 y 에 대 하여 a(x)yx - 1ER• 을 만족 하는 원소 X 로 이 루어 진 부분군을 Cli ffor d 군이 라 하고 rk 라 쓴다. I' k 가 c: 의 부분군이 됨은 자명하다.(왜냐하면 a7} Ck 의 자기 동형 이 므로) 그리 고 I'k 의 정 의 에 서 부터 XEI 'k 에 대 하여 a(x)R•x-1cR•
가 성립한다. 또한 a 와 전치는 Rk 를 R k 로 보내기 때문에 다음 정 리가 성립한다. 정리 : x-a(x), x_ ＞었 는 rk 를 보촌하고 각각 E, 의 자기 동형 , 반자기 동형 이 된다. 따라서 x-x 는 rk 의 만자기 동형 이 된다. rk 의 정의로부터 「 k 에서 Au t (Rk) 로의 준동형을 얻는다. 즉 XE I' k 에 대하여 p( x) : Rk->Rk 는 p (x) y =a(x) y x-1 로 정의된다. p 를 rk 의 R 강에 의 비 틀란 (twi s te d ) 부속 표현 (adjo int repr e senta tion ) 이 라 부른다. 이 표현 p 는 거 의 충실한(fait h ful) 표현이 된다. 정 리 : p : r k-A u t (R k ) 의 커 늘은 11:C k 의 영 이 아닌 곱으로 이 루 어전 R * 가 된다. 증명 : x 1: ker( p)라 하자. 그러 면 모든 y1:R k 에 대 하여 a(x)y =yx 가 성립한다. x=x0+x1, x; 1: C i로 분해하면 아 식을 갔y=y x°, x1y =-y xl 로 쓸 수 있다. el,e2 … ,Ck 을 Rk 의 기저라 하고 xo=ao+ •e1b 1 꼴로 쓰자. 여기서 a0 1: C2 이고 el 을 포함하고 있지 않고, bcCi 이며 역시 el 를 포함하고 있지 않다. xo y=y xo 에서 y =e1 라 하면
a0+e1b1=a1a0e1 니 -e ~ b1e11=a 。 -e1b1
이 되어 b1=0 가 됨을 알 수 있다. （여기서 a0e11=e11a°, b1e11= -b1e1=-(-e1b1)=e1b1 울 이용하였고 이 관계식은 ao 와 bl 이 e1 을 포함하고 있지 않고 ao 는 짝수개의 e; 의 곱으로 bl 은 홀수개의 ej 의 곱으로 이루어쳐 있고 죠김에 대하여 e;e j =-e j e; 가 됨을 이용 하였다.) e1 대신에 다론 기저 원소를 이용하여 ;:O7]-R k 의 기저 원 소중 어느 것도 포함하지 아니한다는 것을 알 수 있다. 따라서 XO 는 1 의 상수배가 된다. 다음에는 았을 zl=a1+e1bo 라 쓰고 y= e1 라 하자. 그러 면 a 나다 ,o= - {e1aie ;:1+e~boe;:1J = a1-e1bo 을 얻어 bO =O 가 되어 갔이 e1 을 포함하고 있지 않다는 것이 된다. 동일하게 e1 대신 다론 기처 원소를 대입시켜 갔이 어느 기저 원소도 포함하 고 있지 않다는 것을 알 수 있다. 그런데 xl 은 Cl 에 있어 홀수개 의 기처 원소의 곱의 합으로 주어쳐야 하므로 x1=0 가 된다. 죽 X =X 。 ER 이 되고 또한 x 가 가역 원소이므로 XER* 이다.
N( x) =x • 굿 로 주 어 지 는 사 상 N : ck -- c k 울 생 각하자 . 만일 xcRk CC . ; 이면 N ( x)=x• ( 一 x)= ― X• X= ―Q k( X) 가 되어 N ( x) 는 -Qk 주어 지 는 정 양 형 식 (po sit iv e defi ni t e fo rm) 으로 부터 얻 어 지 는 Rk 의 길이의 제곱이 된다. 정 리 : xcrk 이 면 N( x> (R * 이 다. 증명 : N(x) 가 p 의 kerne l 에 속 한다 는 것 을 증 명 하 면 된다. XEm 이 므로 임 의 의 YcR k 에 대 하여 a( x)yx - 1E R 이 다. a(x)yx -1=y ' 타 하여 양변에 치환을 택 하면 y t =y이므로
(x1)-1y a( x)' =a(x)yx - 1
를 얻는다. 따라서 y a(x)1x=x1a(x) y가 된다. 죽 a( x 1)x 는 p의 kernel 에 속한다. a(x1)xER * 의 치환을 택하여 x 'a (x )ER* 를 얻어 N(x')ER* 가 된다. 그런데 x 一 X t 는 rk 의 반자 기 동 형 이 므로 N(rk) cR * 가 된다. 정리 : N: I' 1r ->R * 는 준동형이고 N ( a x )=N( x) 이다.
증명 : N(xy ) =xyy x = xN(y) x = N( x) N(Y), N(a(x ) )=a(x)x1=
정 리 : p(I' k) 는 Rk 의 둥거 리 사상으로 이 루어 전 군의 부 분 군이 다. 증명 : 앞의 정리와 R -{O}C I' k 임을 이용하여
N(p( x)y) = N(a(x )y x -1) = N( a( x))N(y) N (x- 1 ) = N(y)
이므로 |lp( x)yl l =IIYII 가 된다. 정리 : P i n(k) 를 N : r k -- R*Ck 21) 의 kernel 이 라 하고 O(k) 를 R Ir 의 둥거리 사상으로 이루어전 군이라 하자. 그러면 p !P i n(k) 는 P i n(k) 를 O(k) 로 보내 는 전사 (sur je c ti ve) 사상이 되 고 -lcrk 로 생 성 된 Z2 7} kernel 이 된다. 죽 우리 는 1->Z2- > Pin ( k)!!_.O(k)->1 로 주어 지는 짧은 완전 열 (short exact se q uence) 을 가진다. 증명 : 우선 p가 전사 사상이타는 것을 보이겠다. e1ER k 에 대하 여 N(e i) =-e1e1=+l 되고 a(e1)e1e11= a(e1)=-e1, i ~l 이면 a(e1)e;e11=-e1e;e11= +e;e1e11=e; 가 된다. 따라서 e1EP i n(k) 이 고
p (e1) 은 e1 에 수직 한 면에 서 의 반사 ( r e fl ec t i on ) 가 된다. Rk 으] 임 의 의 정규 직교계 {e, . ｝에 대하여 지금 주어전 방법 을 써서 {x1:R k lN (x) =l} 로 주어지는 단위 구 (un it s p here) 가 P i n(k) 에 있고 R k 의 임의 의 평면에서의 반사가 모두 p {P i n(k) ｝에 있다. 그란데 O(k) 는 이 상런이 반 사된다들.에 p의 j P하in 여( k )생 의성 k되er므ne로l 은O k(ke)r p전 n체 {가N( xp ) =에 l} 의로한 이 루P어 i n (졌 k )다 의. 따라서 이 는 1 의 상수배 2 1 중 NO l)= I 인 것 죽 꾼= +1 인 것 죽 ±1 이 p l P i n(k) 의 kernel 이 된다. 정의 : k 츠 1 일 때 S pi n(k) 는 P i n(k) 의 부분군으로서 p 에 의 하여 SO(k) 로 가는 원소로 이 루어 져 있 다. P i n(k) 와 S pi n(k) 는 각각 O(k) 와 SO(k) 의 이 중 피 복 (double co- verin g ) 공간이다. 따라서 이들은 후자에 주어전 군으로부터 얻은 Li e 구조를 가전다. 정 리 : Pin ( kY =Pin ( k) nC i 라 하자. 그러 면 Pin ( k) = UP in ( kY 이 고 Sp in( k)=Pin ( k)O 이 다. i= 0,1 증명 : x 1: P i n(k) 라 하자. 그러 면 p (x) 는 몇 개 의 평 면에 대 한 반사 의 중첩으로 주어진다. 죽 p(x )=R1o… 0 Rn. 그런데 각 i에 대하여 p (x i )=R,· 가 되는 X, · ERk 를 덱할 수 있다. 따라서 위 정리에 의하 여 x= 土떠 X2 … X, J이 되고 따라서 이는 이에 있거나 Ci에 있다. (n 이 짝수냐 홀수냐에 따라) 그리고 x 가 S pi n(k) 에 있기 위하여는 p (x) 의 분해에 주어지는 n 이 짝수개이어야 하고 또 이 때 분이다. 따라서 x 1: S pin (k) 이기 위한 필요 충분 조건은 XEPin ( k)0 이 다. 정리 : k~2 일 때 p : S pi n(k)-+SO(k) 는 非自 明 (non tri v i al) 피복 (cover i n g)이 다. 증명 : 이를 증명하기 위하여는 p lS pi n(k) 의 kernel 인 +1, -1 이 S pi n(k) 에서 연결되어 있다는 것만 보이면 된다. 바로
2 : t-+ cos t+ sin t e1•e2 co:::;t= : :;n)
가 이런 연결 곡선이 된다.
따름정리 : k 츠 2 이면 S pi n(k) 는 연컬되여 있고 (connec t ed) 1?23 이 면 단순연결 (sim p le connec t ed) 되 어 있 다. 증명 : 이는 k22 이면 SO(k) 가 연결되어 있고 k 츠 3 이면 떠 {SO(k)} =Z2 라는 사실에 서 당연하게 나온다. Sp in( l) =Z 2, P i n (l )=Z4 라는 사실에 주의하라. 이 때까지 우리가 한 일을 복소수 경우에도 확장할 수 있다. ck ®R C 에 대하여
a(x(8 )Z ) =a(x)@Z
라 정의하고 여기에 앞에서와 같이 bar 연산과 N 을 정의한다. 정 의 : r ~ 는 Ck®C 의 가역 (inv ertib l e) 원소 중 모돈 yeR k 에 대 하 여 a(x)yx - 1eR• 를 H만 족하는 원소 X 로 이 루어 전 부분군아다. 그러면 앞에 나온 정리 거의 전부가 R* 대신 C* 로 바꾸어 성립 한다. 그리 고 짧은 완전 열 1-z2-Pin ( k)-O(k)-o 대 신 다음 정 리가 성립한다. 정 리 : Pi nc(k) 를 N : r~-c* 의 kernel 이 라 하자. 그러 면 짧은 완전 열
1-U( l) -P i nc(k)-O(k) 귁
이 성립한다. 여기서 U (l)는 lzl=l 에 대하여 l®ZcCka® C 로 이루 어전 부분군이다. 따름정리 : Z2 가 P i n(k) 와 U (l)에 (土 1} 로서 작용할 때 Pin ( k) Xz, 증U(명l ): -PPi ni n( ck()kC)C 는k , 표U준(적l) C동C 형 로 부관터계 이P다in. ( k)Z_x, U(l) 一 Ck®R C 인 단 사사상(i n j ec ti on) 을 얻는다. 그리고 정의로부터 이 사상은 실제로
rp : Pin ( k) Zx2 U(l)-Pi nc (k)
이 된다. 그런데 우리는 또한
1--.U( l)—) Pi n( k ) xz, U (l)- ► P i n ( k )/ Z 2 -->l
로 주어지는 당연한 짧 은 완전 열을 가지고 있다. 이 짧은 열과 앞 정리에 주어전 짧 은 열에다 5 - l e mma 를 적용하면
Sp inc (k)=:Sp in( k) xz, U( l)
울 얻는다. 제 3 장에 주어전 지표정리의 증명에서 S pi n•(k) 를 사 용하였다. 이는 S pi nar 구조와 복소 구조 사이의 관계를 이해하는 데 긴요하다. 제 1 기본군에 대한 관계를 이용하여
j : U(k)-S0(2k)
가 S pi n(2k) 로 인양(lift)되지 못한다. 그러나
l : U(k)-S0(2k) x U(l)
로 주어전 사상은 S pi n•(2k) 로 인양된다. 이것 역시 기본군에 대한 관계와 det : U(k) 一 U(1) 이 기본군에 대하여 동형 사상이 된다는 것을 이용하면 쉽게 설명될다. 더 구체적으로 인양된 사상 l : U(k) -S pi n•(2k) 를 쓰면 다음과 같다. TEU(k) 를 적당히 찰 선덱된 정 규 직교 기저 f1 ,f 2 • ••f k 에 대하여 대각 행렬
(ex pi:~pi \x p」
로 표시하자. 그리고 e1,e2, … ,e2 나를 e2i- 1 =f, , e2 i=ifi가되도록덱 천: R2k 의 기저라 하자. 그러면
l(T)=] 1(co stj /2 +sin tj/2 e2j - 1e2j) x ex p(석p-)
아다. 2 Chern 클라스, Pontr y a gi n 쿨라스 및 Euler 쿨라스 3 장의 지표정리 증명에 있어서 가장 중요한 부분은 해석적 지 표 (anal yti c i ndex) 의 적 분원이 여 러 가지 특성 쿨라스의 미 분 형 석 적 표현에 지나지 않는다는 것을 보이는 것이었다. 본 전에서는 이런 특성 쿨라스에 대하여 좀더 자세히 언급하고자 한다. 이 철에서는 · 접 속을 Carta n 의 movin g fram e 표현으로 죽 Prin c ipa l fibe r bun_ dle 상의 수평 평면의 선택으로서 이해하고자 한다. 물론 이 표현 은 다음과 같이 설명된다. P 룬 다양체 M 상에 구조 군 (s t ruc t ure g rou p)이 G 인 pr in c ipa l fibe r bundle 이 타 하자. 1tc P 를 P 의 한점 이 라 하고 T,,(P) 를 P 의 U 에서의 접 백타 공간이라 하자. 그리고 G. 를 U 를 통과하는 fibe r 에 접하는 벡타로 이루어전 T.(P) 의 부분 공간이라 하자. 죽 7t : P-+M 에 대하여 rr* : T,,(P)-+T,,,,)M 의 kernel 공간이다. （따라서 이는 찰 정의된 T 일 (P) 의 부분 공간이 된다.） 이 때 P 의 접속 r 는 P 의 각 접 1i 에 대하여 다음 조건을 만족시키게끔 덱굼J- T.(P) 의 부분 공간 Q겨 선택 이 다. 즉
(i) T.(P)=G 급-Q u
(ii) Qu a= (Ra)*Q u , 여 기 서 Ra 는 군 G 의 원소 a 에 의 하여 주어 . 지는 P 상의 작용 Ratt = ua 를 말한다. (iii) Qu 는 U 에 따라 미 분 가능하게 변한다. 이 때 요를 수직 공간 Q U 를 수평 공간이라 한다. 이렇게 P 의 접속 r 를 택하면 우리는 P 상에 G 의 L i e 대수 앵에서 값을 택 하는 일차 미분 형석 (t)를 다음과 같이 정의할 수 있다. 우선 수직 공간 G,‘ 와 G 의 L i e 대수 앵와는 표준적 동형 관계가 있음에 주의 하라. XeTu(P) 를 임 의 의 접 벡 타라 하자. 이 때 (t) (X) 는 X 는 수 적 공간 성분에 대응되는 G 의 L i e 대수 앵의 원소를 뜻한다. 이렇 게 정의된 P 상의 일차 미분 형식이 접속 미분 형식이며 다음과 같 은 성질을 가지고 있다.
정리 :접속 미분 형식 (J)는 다음과 같은 성질을 만 족 시킨다. (i) Lie 대수 勿 의 원소 A 에 대응되는 접 벡타를 A* 라 할 괘 (JJ (A*)=A 이다. (ii) Lie 군 G 의 임 의 의 원소 a 에 대 하여 (Ra)*(J )=a d(a-1)(J) 이 다. 또한 역으로 위의 두 성질을 만족시키는 勿에 값을 택하는 P 상의 일차 미분 형식 (J)가 주어지면 Q u 를 T.,(P) 의 원소중 (J)에 의 하여 0 이 되는 백타들의 집합이라고 정의함으로써 P 상의 접속 r 를 정의할 수 있다. 증경 : 이 정리의 증명은 거의 상석적이다. 팔요한 사람은 Koba- ya shi and Nomi zu 를 참조하기 바란다. 이렇게 정의된 접속 미분 형식과 1 장에서 주어진 접속 미분과는 아칙도 약간의 차이가 있다. 지금부터 그 관계를 설명하고자 한다. P 가 M 상의 후레임 번들인 경우로 한정한다. 그러면 구조 군 G 가 ·G =Gl(n : R) 이 된다(여기서 dim M=n). pr in c ipa l bundle 의 국소적 자명 성 (loc al t r i v i a lity)에 서 M 의 임 의 의 접 P 에 대 하여 어 떤 개 집 합 PcUcM 가 있어서 U 상에서는 P 는 t r i v i al 하게 된다. 특히 U 상에서 P 로의 섹션이 촌재한다. 그리고 어떤 섹션을 택한다는 말 은 U 상에 어떤 후레입을 덱한다는 말이 된다.
4g ,
로 정 의 된다. 여 기 서 다표 는 7r 강 (X t +h) 를 7r 강 (x t)로 보내 는 X1+h 에
서 X t에르의 곡선 '문 따른 평행 이동 을 뜻한다 . （이 평행이동 역’ 시 P 상의 수평적 인양과 PxF 에서 P Gx F=E 에로의 표준적 사상 · 에서부터 얻어진다. 여기서 F 는 E 의 전형적 fi ber 를 뜻한다.) 이 러한 접속에 대한 새로운 해석을 가지고 여러 가지 독성 클라스에 대한 설명을 시작하겠다. G 를 L i e 군이라 하고 앵를 G 의 Li e 대수라 하자 J k(G) 를 d}/X d}/ x …X 앵 에 서 R 로 가는 대 칭 적 다중 선형 (sym metr ic multil ine ar) 사상 f 로서 G 의 모든 원소 a 에 대 하여 t1, t2, …tkE d JI 라 할 때 f( (ada)t1 , …, (ada)tk ) =!Ct1, …, t k) 가 성 립 하는 사상 f 의 집 합이 라 오 고 하자. 이런 조건을 만족하는 f를 G 에 대하여 불변하다고한다. 당연히 Jk (G) 는 R 상의 백타 공간이다. 그리고
I(G) = k~c=m O Jk (G)
다 하자. J1:fk( G), g d'(G) 에 대하여
fg(t1, … , tk+ I)= 같타f(t ,m, …, t,(k ))g (t,(k+l), …to( k+1))·
로서 f와 g의 곱 Jg를 정의하자. (여기서 2 는 (!,2, … ,k+l) 의 ’ 순열 전체에 결찬 합이다.） 이렇게 곱을 정의하면 l ( G) 는 R 상에서 의 가환 대 수 (commu t a ti ve al g ebra) 가 된다. P 를 다양체 M 상의 정 의 된 구조군 (s t ruc t ure g rou p)이 G 인 pr in - - cipa l fibe r bundle 이 라 하자. 이 때 위 에 주어 진 대 수 l ( G) 를 코 . 호모로지 대수 H*(M: R) 로 보내는 어떤 준 동형을 정의하는것이 앞으로의 목적이다. P 상에 접속을선택하자. 그리고(j)를 이의 접속 · 미분 형식, 9 를 곡률 미분 형식이라 하자. 이 때 임의의 fc Ik(G)) 에 대하여 P 상의 2k 차 미분 형식 f(요)가
f(il) (x1, …, X2k)
로써 정 의 된다. 여 기 서 X11 …, X2k 1: T, , (P) 이 고 2 는 (!, 2, …, 2k) 의 .· 모든 수열에 대한 합이고 e. 는 6 의 부호를 말한다. 이렇게 정의된 -
미분 형식 f(Q)는 다음 정리 를 만 족 시킨다. 정 리 : P 를 구조 군이 G 인 M 상의 pr in c ip a l fibe r bundle 이 타 하고 ?를 이 때의 두영이라 하자. P 상에 접속을 하나 택하고 Q 몰 이 접속에 의하여 주어지는 P 상의 곡률 형식이라 하자. 그러면 닫혀(1 진) f(Ecfl oks(eGd)) 에 2 k대 차 하 여미 분P 상형 의식 2Jke 차 n ) 미으 분로 형두 식영 된J다 e.n ) 즉는 fM(D 상)의 = 군J en) 이다. (2) 닫혀진 2k 차 미분 형석 J en) 에 의하여 표현된 deRham 코 호모로지 군을 w( f)라 쓰면 w( f)는 접 속 의 선맥 에 무관하고 w : I(G)-+H*CM : R) 은 대 수적 준동형 이 된다. 이 정리를 증명하기 위하여 다음의 보조정리를 증명하자. 보조정리 : P 상의 q차 미분 형식 p가 M 상의 q차 미분 형석 'P' 로 투영되기 위한 필요 충분 조건은 다음과 같다. (i) X, 중 적 어 도 하나가 수직 벡 타이 면 rp( X1, …, X9) =0 이 다. (ii) G 의 원소 a 에 의 하여 주어 지 는 우측 이 동 (r ig h t tra nslati on ) Ra 에 대 하여
(drp ) (X1 , …, Xq +l ) = (dir* ip) (Xi, …, Xq +1 )
=( d r. *ip)( hX1, …, hXq +1 )=(dcp) (hX1, …, hXq +1 )
아 되어 증명이 끝난다. 정리의 증명 : 위의 두 보조칭리를 아용하여 주어전 정리의 처음 부분을 증명하겠다. 곡룹의 정의에 의하여 9 는 첫 보조정리의 성 질 (i)을 만족한다. 따라서 f ( n,)는 같은 성 질을 만족한다. 그런데 O 는 임의의 aEG 에 대하여
R; (.0,) = (ada-1) .0,
을 만족하고 f가 G 에 대하여 불변 함수이기 때문에 f(.O,)는 첫 보 조칭 리 의 성 질 (ii)도 만족한다. 따라서 f(.O,)는 M 상의 2k 차 미 분 형식 J en) 에 두영된다. J &l) 가 닫혔다는 것을 증명하기 위하 여 六 0) 가 닫혔다는 것울 증명하면 된다. 그런데 두번째 보조정 리 에 의 하여 d( f(.o,)) =DU(n) ）이 다. D 는 미 분법 특히 Leib n iz 규칙을 만족하고 D .o,三 0( 소위 Bia n chi 항동식)이므로 d(f (.O,)) =O 가된다. 정 리 의 두번째 부분중 w : l(G)-H*
a=w1 一 Wo
이타 하자. 그러면 X 가 수직 벡타일 매 a(X )= O 이고 aEG 일 때 R 均) =ad(a-1)a 가 성 립 하고 w,(O:::; t :::;I) 도 접 속 미 분 형 식 이 된 다. 이 때 꿉요를 계산해보자. (여기서 요는 접속 w, 에 대한 곡률 미분 형식이다.)
다 =dw1 난 [w,, w,]=dw0+ t da+ 長 [w,, w,J
이므로
뿐 =da+½[a, w 』나 [w1, a]
인데, 우—d변t 이o t=공 D변I a미 분 DIa 가 된다. 죽
라는 것이 증명되었다. f dk(G) 일 때
d0=f (Q1 , …il1) -f( no, …요)
가 성립한다는 것을 보이겠다. 따라서 특히 J Cn•••,n) 에 의하여 표현되는 코호모로지 군의 원소가 접속의 선택에 관계없다는 것이 증명된다. 앞에 주어전 처음 보조정리에 의하여 J (a, 요,요,… O t)는 M 상 의 (2k ― l) 차 미분 형식으로 두영된다. 따라서 0 도 M 상의 (2k-l) 차 미분 형석으로 두영된다. 또한 두번째 보조정리와 ;｝요= DIa, 그리고 D 요트 0 에 의하여
kd( f(a, 요, …요 ))=kD t(f (a, g, ... , 요))
가되어
d(f J= 시 。 (d( f(a, 마 ... , 요 )))d t
을 얻어 우리의 증명이 끝난다. 준 동형 w : l(G)--- tH *(M : R) 을 Weil 준동형 이 라 부른다. Chern class, Euler class, Pontr y a gi n class 를 미 분 형 식 으로 보
여 주기 위하여 불변 대칭 다중 선형 사상 J k ( G ) 와 밀접한 관계 기 _ 있는 불변 다 항석에 대하여 이야기하고자 한다 . V 를 R 상의 백타 공간이라하고 S '' (V) 를 Vx … xV 에서 R 로 보 내는 대칭 다중 선형 사상 f전체의 집합이라 하자. 앞에서 l(G) 에 곱셉을 정리하여 이 를 가환 대수로 만든 것과 동일하게 S( V )= 홉 0sk(V) 에 곱을 정의하여 이 룬 가환 대수가 되게 하자. 한, ••• ,er 을 V의 쌍대 공간의 기저라 하자. 어떤 사상 P: V-R 가 한, ••• ,er 에 대하여 다항식으로 쓸 수 있으면 이 를 다항석 함수 (언p o 군ly일no m다ia항l 식fu n함c t수i on전) 체라의 하 자집.합 이그라리하고자 p. k (V이) 는때 PV( V상)의 = k.=차E O 수 Pk가 (V k) CO 는 V 상의 다항식 함수 대수가 된다. 정리 :f ESk(V) 에 대하여 (
(
라 정의하면 'P : S(V)-P(V) 는 동형 관계를 주는 사상이 된다. 증명 : 한,… ,er 을 V 의 쌍대 공간의 기처라 하자. 이 때 PEPk (V) 를
T
라 쓸 수 있다. （여기서 ah …i k 는 a, … ,1.k 에 대하여 대칭이다.) t1,. …,t k EV 에 대하여
(¢P)(t1 , …, t k)= I; a; I …i 8' .l ( 나 ••안 (t k)
라 정의하면 #는
정의된 (adG) －불번 나항식 함수 대수 사이에 동형 관계가 성립한 다. 다음 정리가 /(G) 룬 알아 내는데 중요한 역할을 한다• 정리 : G 를 Li e 군, 앵를 G 의 Lie 대수라 하자. G'cG 를 G 의 Lie 부 분군이 라 하자. 그리 고 N= {aEG \ (atla ) q; c q ;'} 라 하자. 이 N 을 ® ’에 선형 적 으로 작용하는 군으로 이 해 할 때 IN(G’) 을 l(G') 원소중 N 에 의하여 불변인 원소로 이루어전 I(G' ）의 부분 대수라 하자. 그리고
앵= {(ada)t' : aEG, t'E o / /'}
이 성립한다고 가정하자. 그러면 I(G) 를 勿'상에 제한시켜 얻어지 는 사상 I(G)-I(G') 은 I(G) 를 IN(G' ）으로 동형적으로 보낸다. 증명 : I(G) 의 원소를 勿' 상 재한시 키 면 IN(G' ）의 원소가 된다는 것은 당연하다. I(G)-I(G’) 이 단사적이라는 것을 증명하기 위하여 fef k(G) 가 모든 店힘에 대하여 f(t’,…,t ')=O 가 성립한다고 가정 하자. 우리의 가정에 의하여 맹의 임의의 원소 t는 적당한 aeG, t ’ (앵’ 에 대 하여 (ada)t' 형 태 이 다. 그런데 f 의 불변성 에 의 하여
f(t, ···, t)=f(t’, …, t') =O
가 되어 f =O 이 된다. 주 : 위의 정리에서 G 가 긴밀 L i e 군이고 C’ 를 G 의 최대 토러스 라 하면 정 리 의 가정 이 만족되 어 특히 I(G)-IN(T) 가 동형 관계 가 된다. 이 정 리 의 응용으로서 I(U(n) ）를 구할 수 있 다. 정리 : 다음 관계식에 의하여 주어지는 U(n) 의 Lie 대수 U(n) 상 의 다항식 함수 k,f 2, …,f n 은 대수적으로 독립이고 u(n) 상의 adU(n) 에 의하여 불변인 다항식 함수 대수를 생성한다. fi는 X마 (n) 에 대하여
detO i n + ./극 X)=l-/1(X) i n-1+ fz( X)l-2 …+(-I)f n(X)
증명 : T 를 대 각 원소로만 이 루어 전 U(n) 의 부분군이 라 하자. 이 의 Lie 대수 i는 E i가 실수일 때 ( ✓ 각한\`J국e'' ) 형태의 행렬로이루어전다. 위와같이 주어전행렬을 간단히 [한, ••• , e J으로 표시 하겠 다. 그리 고 안, …, …, 성 을 t 의 좌표계 로 사용한다. N= {Ae U(n) : A x A-1d, Xd} 라 하면 앞의 정 리 에 서 부터 l( U(n)) --.JN ( T) 가 동형 관계 (목히 단사칙 )라는 것 을 안다. 따라서 위 정 리 룰 증명하기 위하여 첫째 f I, …,J,,이 ad(U(n) ）에 대하여 불변이고 둘째 t상에 제한하였을 때 f 1 .f 2,··· .f,，이 한, ••• ，정의 기본 대칭식 이 되고 세째 N 에 대하여 불변인 t상의 임의의 다항식 함수가 한, … ,en 의 대칭 함수라는 것만 증명하면 된다. 이중에서 처음두 성질 은 당연하다. 세번째 성질울 증명하기 위하여 i 이다. 이들을 간단히 [한,… ,e'] 으로 표시하겠다. }.In_X 의 전차 행렬이 AI,,+X 이고 따라서 de t (U,.-X)=de t O i n+X) 이므로 ' i가 홀수일 때 A',_,· 의 계수가 0 이 됨에 주의하라. 앞의 정리의 증명에 서와 마찬가지로 주어진 정리를 증명하기 위하여는 첫째 fl, f 2, … , fm 이 O(n) 에 대 하여 불변이 고 둘째 f1, …, f,군] t 상에 제 한되 면 (한 )2, … ,cen)2 의 키본 대칭함수가 되고 세째 N 에 의하여 불변인 t상의 임의의 다항식 함수는 (한)만 ···,cem)2 의 대칭 함수라는 것을 증명하면 된다. 이중에서 처음 두 성질은 당연하다. 세번째 성질을 증명하기 위하여 i
A= (」:」\)
로 택하면 된다. 그리고 만일 n 이 홀수이면 위에 주어진 B 에서 (n,n) 원소를 +1 대신에 -1 로 놓아 B 가 SO(n)nN 에 있게 할 수있다. 죽 n 이 홀수이면 A 와 B 를다같이 N 의원소일분만아 니라 NnSO(n) 의 원소가 되게 덱할 수 있다. 이 사실은 다음 정 리를 증명하는 데 사용된다. 정리 : f1, f 2, …,f m 울 바로 앞 정리에서 주어전 SO(n) 의 Lie 대 수 o(n) 상의 다항식 함수라 하자. (O(n) 의 Lie 대 수나 SO(n) 의 Lie 대수가 같이 o(n) 임에 주의하자.） 그러면 (i) n=2m+I 이면 f1, •·•,f m 은 대수적으로 독립이고 ad(SO(n)).
에 대하 러 불변인 o(n) 상의 다항식 함수 대수 를 생성한다. (ii) n=2m 이면 f m= g 2 이 되는 함수 g가 있고 fh k,… ,f,,I - l,g 는 대수적으로 독립이고 ad(SO(n) ）에 대하여 불변인 o(n) 상의 다항석 함수의 대수를 생성한다. 증명 : N= (AESO(n) : AXA-1d, X 이 라 하자. 이 SO(n) 의 부분 군은 바로 앞정리에서 주어전 O(n) 의 부분군 N 과 SO(n) 의 공유 원소로 이루어졌다. (i)의 경우는 바로 앞의 정리의 증명이 그대로 적용된다.（왜냐하면 n 이 홀수인 경우 앞 정리 증명에 주어전 A,B 가 NnSO(n) 의 원소이었음.) (ii)의 경우에도 A 는 NnSO(n) 에서 얻었다. 그러나 B 는 그렇지 못하다. 대신에 다음과 같은 CENnSO(n) 를 얻는다. i
가 된다. IN(T) 에 속한 다항식 함수가 A 에 대하여 불변이라는사 실에서부터 IN(T) 의 모든 원소는 한,… ,em 의 대칭 함수이어야 한 다는 사실이 나온다. 그런데 C 에 대하여 불변인 찬,…,f '” 의 다항 식에 어떤 한의 홀수차 떠(p ower) 이 들어 있으면 선의 떠도 홀수이 어 야 한다. 따라서 IN(T) 에 속한 임 의 의 다항식 함수의 각항은 한, … ,E' 모 두에 대하여 다 같이 짝수차이거나 다 같이 홀 수차이어야 한다. 죽 J eIN(T) 는 P 와 q 가 (한 )2, …, (em)2 의 다항식 이 라 할 때 f =P+( 유 •• em)q 꼴이다. 그런데 f는 한,…,t; m 에 대하여 대칭 함 수이기 때문에 P 와 q는 다 같이 (한 )2,···,(Em)2 의 대칭 함수이어 야 한다. 정 리 의 증명 을 끝내 기 위하여 ad(SO(n) ）에 대 하여 불변 이고 f m= g z 이며 { 상에서는 g=한 ••• t; m 이 되는 o(n) 상의 다항식 함수 g를 만들겠다. X=(xu)e l) (2m) 이라 하자. 그러떤 xij = -Xj j
이다. 이 때
g( X ) = 낡군 e;I i 2• •• i2m -J; z .,X,1i2 • • •Xi ,m - 1i ,m
이라 하자. （여기서 2 는 (1, 2, … ,2m) 의 모든 순열에 대하여 합을 덱 하는 것 이 고 ch… i:m 은 Ci1, i2, ••-~ i 2, ）의 부호를 나타낸다. ) 행 렬 식의 정의로부터 g는 ad(SO(n) ）에 대하여 불변이다. 그리고 g를 t에 제한시키던 한… em 과 같은 함수가 된다. 따라서 t 상에서는 fm =압 이 다. 그런데 J (SO(n))-I(T) 가 단사적 이 므로 o(n) 전체 에 서 f, / 』=g 2o] 라 할 수 있다. Sp (m) 을 U(2m) 의 원소 X 중에서 ]=(-I~ ~')에 대하여 1XJ X =］를 만족시키는 원소들로 이루어전 군이라 하자. 그러면 다음정 리를 얻는다. 정리 : sp ~ m) 의 Lie 대수 sp (m ) 상의 다항식 함수 f1, f 2, …fm 을 XEsP(m) 에 대 하여
det( U 2m+ ✓ =X) =A2m_!1(X)A2m-2
라 정의하자. 그러면 A, …,f m 은 대수적으로 독립이고 ad(Sp (m )) 에 대하여 불변인 sp (m ) 상의 다항식 함수의 대수를 생성한다. 증명 : T 를 대각 행렬로 이루어전 s p (m) 의 부분군이라 하자. 이 의 Lie 대 수 t 은 한 가 실수일 때
(J걱한 J걱 Em 김덕f\` _J걱 E' I I )
형태로 주어지고 이를 간단히 [한,…,f'입으로 표시한다. N={Ac Sp (m ) : AXA-1d, Xd} 라 하자. 그러 면 I(S p (m))-IN(T) 는 단사적 이다. f1 ,f 2, …,f m’ 이 ad(Sp (m) ）에 대하여 불변이고 이들을 t 상에 제한시켰을 때 (단)2, ···,Ce')2 의 기본 대칭 방정식이 되므로, 위의
정리를 층명하기 위하여는 N 에 대하여 불변인 i 상의 다항식 함수 는 (한)2, ... , (e' )2 의 대칭식이라는 것만 보이면 된다. 이는 앞에서 증명한 바와 같이 N 에 속하는 A,B 를 찾으면 된다• 좀더 구체적 으로 이 야기 하면 i
c( f-1( E)) =f*(c (E))1:H *(M1 : R)
이다. 여기서 J -l(E) 는 f에 의하여 E 에서 유도된 M' 상의 복소 벡타 번들이다.
공리 3. (Whit ne y 의 합 공식 ) E1 , E2, …』％ 를 M 상에 정 의 된 복 소 직선 번들이라 하자. 그러면 E; 의 fi ber 는 복소수 C 이다. 이 때 E1EB···- E8 E q울 이들의 Wh it ne y합이라 하자. 죽 d : M->M X• ·· xM 를 x 를 (x,x•••, , x)eMx···xM 로 보내는 대각 사상이라 할 때 E1@ … E BEq = d-1(E1 X ••• X E q)이 다. 그러 면
c(E@… @ Eq ) =c(E1)… c (Eq)
가 성립한다. 공리 4 를 설명하기 위하여 n 차원 복소 사영 공간 Pn(C) 상에 정 의되는 매우 자연스러운 복소 직선 번들을 정의하고자 한다. P11(C) 의 한 접 x 는 (J 11+1 의 일차원 복소 부분 공간 Fx 에 대응된다. P,.(C) 의 각 점 x 에 대하여 X 상의 fi ber 로 Fx 를 대응시켜 Pn(C) 상 에 정의되는복소직선번들을얻는다. 이를 E, ，이라하겠다. En 의 복소 구조를 자세 히 설명 하는 대 신에 이 에 부속된 pr in c ipa l bundle 울 보여 주겠다. e* 를 0 이 아닌 복소수로 이루어전 곱샘이 정의된 군이타 하자. 그러면 e* 는 cn +l에 있는 0 이 아닌 벡타로 이루어 전 공간 cn +l一 {O} 에 다음과 같이 작용한다.
((z0, z1, …, zn), w)e(Cn+I_ {OJ ) X C*
이 러 한 C* 으1 작용하에 서 C+1-{0 } 는 C* 를 구조 군으로 하는 Pn(C)- 상의 pr in c ipa l fibe r bundle 이 되 고 이 것 이 앞에 서 정 의 된 En oJ] 부· 속된 pr in c ipa l fibe r bundle 이 다. 이 pr in c ipa l bundle 의 두영 사상 울 P 로 표시하고 Pn(C) 에서 2 낙 :0 가 되는 부분 개집합을 Ui 라 표시 하자. 그러 면 p-l (U,) = {(zo, 강, ••• , z)eC+1, z 떻 :0} 이 된다. p함 -수l((tU i r)an에s서 it i oCn* 의fu n사 ct상i o n ') Pci/J를ii ' 는< p , (zUO, m강, u…j ,에z n서) =z' ’ 라 정의하면 천이
動· (pg, …, zn))=zi/ zi
가 된다' ． 이 때 공리 4 는 다음과 같이 주어진다. 공리 4. （표준화) -c1(E) 는 H2(P1(C) : Z) 의 생 성 원이 된다. 죽 c1CE1) 을 기본 2 - 사이클 Pi (C) 위에서 적분하면 一 1 이 된다. 위의
공리를 만족시키는 Chern class 의 촌재 및 유일성에 대하여는 Hu- semoller 책 을 참조하기 바란다. E 를 C' 를 fibe r 로, Gl(r, C) 를 구조 군으로 하는 M 상의 복소 벡 타 번들이 라 하자, 그리 고 P 를 이 에 부속된 pr in c ipa l fibe r bun-dle 이라 하자. 지금부터 우리는 k 번째 Chern class ck(E) 를 M 상 의 차수가 2k 인 닫혀진 미분 형식 m 로서 표현하논 공식을 만들겠 다. Lie 대수 gl (r : C) 의 임의의 원소 X 에 대하여
de t (U,- ―2r느 J- _1X )= kt= of k(X)A 『 -k
로써 gl (r : C) 상에 정의된 다항식 함수f o,A, ••• ,f r 를정의하자. 그 러면 이들은 ad(Gl(r : C) ）에 대하여 불변이다. o 를 P 상의 접속 미분 형석, 요를 이의 곡률 미분 형석이라 하자. 앞의 정리에 의하 여 p : P-+M 을 두영이라 할 때 P*(r.)=f(n,)가 되는 M 상의 닫 혀진 2k 차 미분 형식 m 가 존재하고 유일하다. 그리고 rk 에 의하 여 표현되 는 코호모로지 클라스가 접 속의 선택 에 무관하다는 것 을 안다. m 의 정의에 의하여 J =l 로 놓아
det( Ir-나 言이 =P*Cl+r1+ … +r,)
이 된다. 정리 : M 상의 복소 반들 E 의 k- 번째 Chern class c(E) 는 위 에서 주어전 닫혀진 2k 차 미분 형식 m 에 의하여 표현된다. 증명 : 우리는 m 에 의하여 표현되는 코호모로지 큘라스가 위에 주어전 4 개의 공리를 만족시킨다는 것을 보이겠다. (1) ro 는 당연히 leH0(M : R) 율 표현한다. (2) p 를 복소 백 타 번들 E 에 부속된 pr in c ipa l bundle 이 라 하 자. 사상 f : M1-+M 가 주어졌을 때 J -l(P) 는 f크 (E) 에 부속된 pr in c ipa l bundle 이 된다. 표준적 번들 사상 1-1P-+P 를 다시 f 로 표시하였을 때 w'=f *(w) 라 하자. 그러면 파는 f -lP 상의 접속 미분 형식이 되고 이의 곡률 미분 형식 0’ 는 요'=f *(n) 로 주어
진다. 9 를 사용하여 m 를 정의한 것처럼 g 률 사용하여 M 상의 닫혀진 2k 차 미분 형식 r t를 정의하면 f *(r*)=r'. 가 됨은 당연하 다. (3) Ei, E2, …, Eq 를 M 상의 복소 직 선 번들, Pi, P2, ... , P9 을 이 에 대 응되 는 pr in c i pa l bundle 이 라 하자. 각 i 에 대 하여 0 i -홍 R 상의 접속 미분 형석, 요를 이의 곡률 미분 형석이라 하자. P1x …x P97} Mx… xM 상의 구조 군이 C*x … xC* 가 되는 pr in c i pa l fibe r bundle 이 므로 대 각선 사상 d : M__.Mx … M 논 M 상에 구조군 이 C* x …x C* 가 되 는 pr in c ipa l fibe r bundle P=d-1(P1 x ... x Pq ) 를 유도한다. 그런데 군 C*x … xC* 는 Gl(q : C) 의 대각 행렬로 이 루어 전 부분 군이 라 할 수 있 다. E1, …, Eq 의 Whit ne y 합 E=E1EB …E BEq 는 Cq 를 fibe r 로 하는 벡 타 bundle 이 다. 그리 고 Gl(q : C) 를 구조 군으로 하는 E 에 부속된 pr in c i pa l fibe r bundle Q 는 P 를 부 분 번들로 하고 있 다. Pt' : P_-. p산t P1 X ••• x P q __► R 의 P 에 로의 제 한이라 하자. 그리고 아 =F i.@）라 할 때
(J)=(J):+···+(J);
라 하자. 그러면 (J)는 P 상의 접속 미분 형식이 되고 이의 곡물 미 분 형식 Q는 0?=P?( Qi)라 할 때
D=Di +… +n:
가 된다. a 을 (l)를 확장하는 Q상의 접속 미분 형식이라 하자. 그 리고 U 를 Q상의 곡물 미분 형식이라 하자. 이 때
de t (lq 一쩡」국 n)
윤 P에 제한시키면
(1_ 言노요)^ ... ^(1 三눕 nr)
가 되 어 Whit ne y 의 합 공석 을 만족시 킨다. (4) P=C 드 {O} 라 하자. 그러 면 P 는 P1CC) 상의 복소 칙 선 번들
E1 에 수반되 는 pri n c i pa l fibe r bundle 이 된다.
(z, dz)=z0dz0+z1dz1, (z, z )= 료 0z+z 냥
이 타 할 때 P 상의 일차 미 분 형 석 (1) 를
(1)=( z, dz)/(z, z)
로 정의하자. 그러면 (1)는 접속 미분 형식이 되고 이의 곡률 미분 형식 Q는
O=d(1) = {(z, z)(dz, dz)-(z, dz)/\(z, dz)}/(z, z)2
로 주어진다. 여기서
(dz, dz)=d 한 /\dz0+d 한 /\dz1
이다. U 를 2° 누 0 에 의하여 주어지는 P i( C) 의 개집합이라 하자. w· =간/강타 하면 W 는 U 의 국소 좌표계가 된다. 9 에 내한 공식에 서 z1=z0w 라 놓으면
O=(dw/\dw)/(1 + ww)2
이 된다. 따라서 r1=r1CE1) 는 U 상에서
-r1= (dwf \dw )/2rr ✓ =f (l+ww)2
이 된다. w=re2 국’ 라 놓으면 U 상에서
-r1=(2rdr/\dt ) /(1+ 규 )2
이 된다. 그런데 P1(C)-U 는 한 접에 지나지 않으므로 -jPn1C C) 는 -Lru 1 와 값이 같다. 후자를 계산하여 l 이라는 것을 보이고자 한 다. 그런데
-Lrl= 虹:틀 )d t =l
이 다. 따라서 증명 이 끝났다. 곡률 미분 형식 9 를 (와)로 행렬에서 값을 택하는 2 차 미분 형 식 으로 나타내 면 k 번째 Chern class c k( E) 를 나타내 는 2k 차 미 분
형식 m 는
p*( rk) =~ 麟 .?.{m ji/\… /\o;;
가 된다. （여기서 2 는 (1 ,2,•··,r) 에서 덱한 모든 순서가고려된부 분 집 합(i\, …, i k) 와 Ci1. . •, i k) 의 모든 가능한 순열 (j1, … , k) 에 대 하여 합을 덱 하는 것 이 고 01: :: .1: 는 (i\, …, i k) 를 U1, …, k) 로 보내 는 순열에 대한 부호이다. 이 등석의 증명은 쉬우므로 증명하지 않 는다.) P 를 M 상의 복소 백타 번들 E 에 부속된 Gl(r,C) 를 구조 군으로 하는 pri n c i pa l bundle 이 타 하자. 우리 는 이 철의 처 음에 주 어전 P의 특성 클라스의 대수가 E의 Chern class 들에 의하여 생 성 된다는 것 을 보이 겠 다. 구조 군 Gl(r : C) 를 U(r) 로 축함시 켜 (이 는 E 상에 Hermi tian str u ctu re 를 주는 것 과 동일하다. ) P 의 부분 번들 P' 을 얻는다. oI 를 F 의 접속 미분 형석이라 하고 oI 를 이의 곡물 미분 형식이타 하자. o 를 oI 를 확장시켜 얻어전 P 상의 접속 미분 형식이라 하고 9 를 이의 곡률 미분 형석이라 하자. f 를 ad(Gl(r : C)) －불변인 gl( r : C) 상의 다항식 함수라 하고 f 를 이 의 u(r) 상에의 제한이라 하자. 그러면 F 는 U(r) 에 대하여 불변 이다. 그런데 f (9) 의 P' 에의 제한이 f'(il/）와 동일하므로 f에 의 하여 정의된 P의 독성 클라스는 f'에 의하여 정의된 P' 의 특성 클라스와 동일하다. 그런데 이 미 우리 는 u(r) 상의 모든 U(r) ―불 변 다항석 함수는 Chern class 에 의 하여 생 성 됨 을 알고 있으므로 Gl(r : C) 를 구조 군으로 하는 pri n c ipa l bundle P 의 모든 특성 쿨 라스도 Chern class 에 의 하여 생 성 된다. Chern class 를 정 의 하는 데 사용된 다항석 함수 de t(I,, _rnx) 를 gl( r : C) 중에서 대각행렬로 이루어전 부 분 대 수 t 에 제 한시 켜 대 각 원소가 J二1$ 1, …, v'=} $r 인 대 각 행 렬을 [令,… ,$r] 로 표시하였을 때 X=[$ 1,···,$,］이면
de t (Ir 一了논r x)=(1- 출)… (1 ―옵)
가 된다. 비 슷하게 XEg I( r : C) 에 대 하여
tra ce(exp ( 갑_ 1x))= t race( 홉 0~ 白 ) kxk)
에 의하여 정의된 떠급수를 i에 제한시키면 x= 〔 ~l, …,&）에 대하여
섭 lex p(을)=효(荷占了흡~j)
를 얻는다. 이 렇 게 정 의 된 gl( r : C) 상의 멱 급수가 ad(Gl(r : C) 에 의 하여 불변이라는 것은 쉽게 알 수 있다• X 대신에 곡률 미분 형식 9 를 대 입 시 키 자. 그런데 t race(Xk) 가 ad(Gl(r : C) ）에 대 하여 불 변이기 때문에 이 철에 주어전 처음 정리에 의하여 t race( D, k) 는 M 상의 닫혀진 2k 차 미분 형식에 두영된다. 따라서 독히 2k>dim M 이 면 tra ce(D, k) =O 이 다. 그리 고 t race(ex p (2 급눅Q))로 정 의 된 P 상의 미분 형식은 M 상의 닫혀진 미분 형식으로 투영된다. 이 M 상의 닫혀진 미분 형석에 의하여 정의되는 코호모로지 클라 스를 벡 타 번들 E 의 Chern 캐 릭 터 (charac t er) 라 부르고 ch(E) 로 서 표시 한다. Chern characte r 는
ch(EEBE') = ch(E) + ch(E')
를 만족한다. 예 : E 를 C 를 fibe r 로 하고 fibe r metr i c 이 h 인 복소 다양체 M 상에 정 의 된 Hermi tian vecto r bundle 이 라 하자. Hermi tian con- necti on 의 곡물 형 식 을 이 용하여 E 의 Chern 클라스를 표현할 수 있 다. 제 일 Chern 클라스 C1(E) 는 p* r12rr= ,,/一~ 1 tra ce ,0,가 만족 되는 M 상의 닫혀진 2 차 미분 형식 r1 에 의하여 표현되기 메문에 C1(E) 는 H=de t (h 야)라 할 때
. ~2raJ _a 1 logH
로서 표현된다. (B) Pontr y a g in 클라스 E 를 fibe r 가 Rq oJ_ M 상의 실벡 타 반들이 라 하자. E 의 각 fibe r
몰복소화하여 얻어전 M 상의 번들을 EC 라하자. EC 를 E 의 복 소화라 한다. 그리 고 P( 각각 P ' ) 를 E( 각 7..)- E' ）에 부속된 구조군이 Gl(q : R ) （각각 Gl(q : a)) 인 pr in c ipa l bundle 이 라 하자. 그러 면 P 는 pc 의 부분 번들이 된나 이 때 E 의 k 번째 Pontr y a zin class h(E) 는
(- I/c2lEc)E H ' -(M : R)
로 정의된다. 여기서 c 2k (EC) 는 복소 벡타 번들 EC 의 2k 번째 Chern 큘라스를 뜻한다. 그리 고 全 Pontr y a g in class(to t a l Pontr y a - gin class) P(E) 는
P( E )=l+P1(E )+PlE)+… …1:H *(M : R)
로 정의된다. X1 :gl (q : R) 에 대 하여 ad( G l(q : R)) ～불변 다항식 함수 go, gh •••~ oc q 르근
det( llq 一 〕지 = 홉 lk(X) iq -k
로 정의하자. (J)를~ p 상의 접속 마분 형식, O 를 이의 곡률 미분 형 석 이 라 하자. p : P-M 를 두영 이 라 할 때 P*(pk ) =g 2 .C D) 가 되 는 M 상에 닫혀전 4k 차 미분형식 ¢ h 가촌재하고 유일하다.（이 철 에 주어전 처음 정리에 의하여 k 가 홀수인 경우 g k 를 고려하지 아 니하는 이유는 곧 나온다.) 정리 : 위에 주어 전 M 상의 닫혀진 4k 차 미 분 형 식 /3k 는 벡 타 번 둘 E 의 k 번째 Pontr y a g in class 를 표현한다. 증명 : cp를 (J)를 확장하는 PC 상의 접속 미분 형식이라 하자. 그 리고 (/)를 cp의 곡률 미분 형식이라 하자. 앞에서와 같이 XEg l( q : C) 에 대하여 gl( q : C) 상의 함수 fo, A, ..• ,k 를
de t匠—2rJ느 - l = X)= ki=o f k( X)iq -k
로 정의하자. 그러면 쉽게 XEg l( q : R) 에 대하여
g2 lX) =C -IYf 2i X )
라는 것을 알 수 있다. 따라서 C- l) k f 2k((/) ）를 P 에 제한시키면 g2 k (Q)가 된다. 따라서 Chern 클라스에 서 의 정 리 와 Pontr y a g in class 의 정의에서부터 정리는 증명된다. O 를 행렬에 값을 갖논 미분 형석 (Q} ） 로 쓰면 g 2k( f1,)는
g2 k(D) =~,』 (2Ii )! 2 짜:::｛ 깊 다/\ ••• /\霜
이 된다. 여기서 2 와 O 는 Chern class 일 경우에 주어진 것과동일 한 의미를 가지고 있다. E 를 R q를 fi ber 로 하는 실 벡타 번들이라 하고 P 를 Gl(q : R) 울 구조 군으로 하는 E 에 부속된 pr in c ipa l fibe r bundle 이 라 하자. 그러면 이 철의 처음 정리에서 주어전 P 의 목성 클라스의 대수는 E 의 Pontr y a g in 클라스로 생성된다. 이 사실의 증명은 U(r) 대신 O( q)를 그리 고 U(r) 의 불변 다항식 에 대 한 정 리 대 신에 O( q)의 불 변 다항석에 대한 정리를 사용하여 복소 벡타 경우와 똑같이 할 수 있다. 앞에 주어진 정리에서 k 가 홀수인 경우에도 g k(D)=P* （야)인 M 상에 정의된 닫혀진 2k 차 미분 형석 아를 생각할 수 있다. 그러나 아는 항상 O 와 코호모로고스하다. 실제로 구주 군을 Gl(q : R) 에 서 O( q)로 축합시켜 P 의 부분 번들 Q를 생각하고 Q상의 접속 미 분 형식과 이의 곡률 미분 형식을 생각하여 보자. 이 미분 형식들 온 o( q)에서 값을 덱한다. 그런데 xw( q)는 외 대칭 (skew sy m - metr i c ) 행렬이기 때문에
de t (Uq _½x)=de t '(Uq -去지 =de t(싸국근)
이 다. 따라서 xeo( q)에 대 하여
kt=O~ g k (X)Jq - k=k_=q. EO (-l)kg k (X)JH
가 성립하여야 함을 알 수 있다. 따라서 k 가 홀수이면 g k(X)=O 가
된다. 여 기 에 서 또한 tot a l Pontr y a g in class 가
Gl(q : R) x Gl(q' : R)cGl(q +q' : R)
이기 때문에 E 와 E 에 방향성을 줄 수 있으면 이들의 Whit ne y 합 EEBE' 에도 방향성을 줄 수 있고 만일 E 와 E 에 이미 방향성이 주어졌다면 이로부터 EEBE' 에도 자연스럽게 방향성을 줄 수 있다. E 를 C' 를 fi ber 로 하는 M 상의 복소 벡타 번들이라하자. 이를 R” 를 fi ber 로하는 실 벡타 번들이라고 이해할 수 있다. E 를복소 벡타 번들로서 이해하였을 때의 구조 군인 Gl(r : C) 가 Gl(r : C)c Gl+(2r : R) 이기 때문에 E 를 실 벡타 번들로 이해하였을 때 자연 스러운 방법으로 방향성이 택하여전다. 지금부터 Euler class 의 공리적 정의를 주겠다. 우리는 여기서 미 분 다양체상의 미분적 방향성이 주어진 실 벡타 번들의 카테고리만 울 생각한다. 공리 1. Rq를 fi ber 로 하는 M 상의 방향성이 결정된 실 벡타 번 둘 E에 대하여 Euler class x(E)EH9(M: R) 가 주어지고 q가 홀
수이면 x(E)=O 이다. 공리 2. （자연성) E 가 M 상의 방향성이 결정된 실 백타 번들이 라 하고 f를 M 에서 M 으로 보내는 사상이라 할 때 E 로부터 f 에 의하여 유도된 M' 상의 벡타 번들 J -lE 에 대하여
x( f-1E ) =f*(X (E))EH*(M' : R)
이 성립한다. 공리 3. (Whit ne y 합 공식 ). E1, E2, …, Er 를 M 상에 정 의 된 Rz- 를 fi ber 로 하는 방향성이 주어진 실 백타 번들이라 하자. 그러면
x(E1EB--·EBE1) =x(E1)--·x(E1)
이 성립한다. 공리 4. （표준화) E1 을 1 차원 복소 사영 공간 P1CC) 상에 정 의 된 표준 칙 선 번들이 라 하자. 이 때 Euler class xCE1) 은 제 일 Chern class c1CE1) 과 일치한다. 실 벡타 번들 E 의 각 fi ber 마다 메트릭 g x 가 주어졌을 (E, g)를 Rie m annia n vecto r bundle 이 라 한다. g 의 정 의 에 의 하여 M 의 각 접 X 마다 g,,는 X 상의 fi ber 에 내적을 정의하고 g x 는 x 에 C 하 게 종속된다. E 를 Rq 를 fibe r 로 하는 M 상의 vecto r bundle 이 라 하고 P 를 이 에 부속된 pr in c ipa l fibe r bundle 이 라 하자. P 는 Gl(q : R) 을 구 조 군으로 가지고 있 다. 이 때 E 상에 Rie m annia n 구조를 준다는 것은 P 를 O( q)를 구조 군으로 하는 부분 번들로의 축함과 동일하 다. 만일 E 에 방향성이 주어졌다면 P 를 SO( q)를 구조 군으로 하 는 부분 번들로의 축함이 가능하다. 이렇게 해서 얻어전 번들울 방 향성 이 주어 전 Rie m annia n vecto r bundle (E, g)에 부속된 pri n c i- pa l fibe r bundle 이 라 부른다. M 상에 Rie m annia n vecto r bundle (E, g)와 M 에 서 M 으로 가 는 사상 f가 주어졌다. 이 때 f에 의하여 유도된 M' 상의 벡타 번 들 J -lE 에다 E 로부터 얻어지는 Rie m annia n me tri c 을 주면 J-l E 가 M' 상의 Rie m annia n vecto r bundle 이 된다. 이 를 J-l (E, g)로
표시 한다. M 상에 두 개 의 Rie m annia n vecto r bundle (E, g)와 (E', g’)이 주어졌을 때 E EE) E' 에다 g와 g’을 이용하여 메트릭을 줄 수 있 다. 이 렇 게 하여 얻 어 전 Rie m annia n vecto r bundle 을 (E, g)EE)( E', g’)로 표현하고 (E, g)와 (E', g’)의 Whit ne y 합이 라고 한 다. E,’ 을 앞에서 정위한 것처럼 Pn(C) 상에 정의된 표준 복소 적선 번들이 라 하자. P,,(C) 의 점 은 cn+l 의 일차원 복소 부분 공간에 대 응되고, 주어전 정상의 E 겨 fi ber 가 야로 이 일차원 복소 부분공 간이 된다. 따라서 C+1 에 주어 진 표준 내 적 으로부터 En 의 각 fibe r 에 내적을 줄 수 있고 이를 E,, 상 의 표준 fi ber 메트릭이라부른다. 다음의 공리에 의하여 주어지는 코호모로지 클라스 x(E, g)를 생 각하자. 공리 1'. Rq 를 fibe r 로 하는 방향이 주어 진 M 상의 Ri em annia n vecto r bundle(E, g)에 대하여 x(E,g ) EHq ( M : R) 이 주어지고 q가 홀수이면 x(E, g )=O 이다. 공리 2'. （자연성), (E, g)를 M 상의 방향성이 주어전 Rie m annia n vecto r bundle 이라 하고 f를 M’ 에서 M 으로 가는사상이라하자. 그러떤
xU-1(E, g)) =f*(x (E, g) )EH*(M' : R)
이 된다. 공리 3'. (Whit ne y 합 공식 ), (E1, g1 ), ···, (E,, g,)을 R2 를 fibe r 로 하는 M 상에 정 의 된 방향성 이 주어 전 Rie m annia n vecto r bundle 이라 하자. 그러면
x((Ei, g1 )E8···E8(E,, gr )) =x(Ei, g2 )… x( E,, g,)
이 성립한다. 공리 4'. (표준화), E1 를 P1CC) 상의 표준 복소 칙 선 번들이 라 하 고 gl 을 E1 상의 표준 fibe r 메 트릭 이 라 하자. 그러 면 x(E1, g 1) 는 제일 Chern 클라스 C1(E1) 과 일치한다. Chern 클라스와는 달리 Euler 클라스는 보통 공리 적으로 정 의되
지 않 고 전설적으로 정의된다. 이는 대수적 위상 수학에서 Euler 클라스를 H*(M : Z) 의 원소로 정 의 하지 H*(M : R) 의 원소로 정 의하지 않기 때문이다. 대수적 위상 수학에서 통상적인 방법에 의 하여 정의된 Euler 클라스가 공리 1, 2,3,4 를 만족시키기 때문에 공 리 1, 2,3,4 를 만족시키는 x(E) 의 촌재는 이미 확인된 셈이다. 공 리 1, 2, 3, 4 를 만족하는 x(E) 는 당연히 공리 l', 2', 3', 4’ 을 만족한 다. 따라서 만일 공리 l', 2', 3', 4’ 을 만족하는 x(E, g)의 유일성 이 증명되면 공리 1, 2,3,4 를 만족하는 Y. (E) 의 유일성도 증명되는 샘 이다. 대수적 위상 수학의 몇 가지 결과를 가정하고 x(E, g)의 유 일성을 증명하여 보겠다. (E, g)를 R” 를 fibe r 로 하는 방향성 이 결 정 된 Rie m annia n vecto r bundle 이 라 하자. 그리 고 C2P, 2k 를 R2P+21r 에 있 는 방향성 이 주어 진 2P- 평면들에 의하여 만들어지는 Grassmann 다양체라 하자. 따라서
SO' ?.p + ?k)
가 된다. %,2 /r에 각 접마다 그 접에 대응되는 R2)+2k 의 2P 차원의 방향성 이 주어 전 부분 공간을 fibe r 로 하여 , fibe r 가 R“ 인 G2p , 21r 상에 방향이 결정 된 백 타 번들 E2p, 2k 를 얻는다. 그리 고 R2P+2k 의 표준 내 적 에 서 부터 E2p, 2k 의 각 fibe r 에 대 하여 메 트릭 을 얻 어 E2P, 21r 는 Ri em annia n 구조 go 를 가진다.
V2p- 21r=S0(2P+2k)/ {l} x S0(2k)
는 %, 상에 구조 군이 S0(2P) 가 되 는 E2p, 2k 에 부속된 pr in c ipa l fibe r bundle 이 된다. Ri em ann 벡 타 번들의 분류 정 리 (classif ica ti on t heorem) 에 의 하여 충분히 큰 k 를 택 하여 (E, g) =J-1 (E2P, 21r, g。)가 되는사상
f: M국 '“
가 존재 한다. T 를 S0(2P) x S0(2k) 에 있 는 최 대 토러 스 S0(2) x .S 0(2)X···xS0(2)( p +k 번)라 하자. h : S0(2P+2k)/T-G2 p, 21r 를 표준적 두영 이 라 하자. 그러 면 h-l(E2p, 2 /r)의 구조 군은 표준 방법
에 의하여 T 로 축 합된다. 따라서
1i-1 cE2p, 2k, g。) = CE1, g1 ) + •• • + (Ep, gp)
라쓸수있다. （여기서 (E i,g 1),···,(E p,gp)는 S0(2P 十 2k)/T 상에 R2 를 fibe r 로 하는 방향성 이 주어 전 Rie m ann 백 타 번들이 된다. x(E, g)의 유일성울 증명하기 위하여 x(E, g)와 굿 (E, g)가 다 같이 공리 I', 2', 3’ 을 만족한다고 가정 하자. 그러 면
x(E, g) =f*x( E2p, 2,,, g。), %(E, g) =f*X (E21> , 2k, g。)
가 된다. i=I, 2, …,p에 대하여 x(E;, g ;)=X(E;, g;)라 하자. 그런 데 h* 는 H*(G2p, 2k ; R) 을 H*(S0(2P+2k)/T : R) 로 보내 는 동형 사상이므로 x(E2p, 2 k,g。 )=X(E2 p, 2h g。)를 얻어 일반적으로 x(E,g ) =X(E, g)가 된다. 따라서 x(E;, g;)＝ X(E, • , g;)를 중명하는 것만 남 아 있 다. (E, g)가 R2 를 fibe r 로 하는 방향성 이 주어 진 Rie m ann 백타 번들이라고 하였을 때 x(E, g )=X(E, g)를 증명하겠다. E1 를 P i( C) 상의 표준 복소 직선 번들이라 하고 g l 을 E1 에 주어진 표 준 fibe r 메 트릭 이 라 하면 분류정 리 (classif ica ti on t heorem) 에 의 하여 1-1(E 1,g 1)=(E, g)가 되는 사상 f : M-P1(C) 가 촌재한다. 따라서 공리 2’ 과 4' 에 의하여 x(E, g)=f*x (Ei, gi)=f*X (E1, g1 )=X . (E, g)이 된다. 즉 x(E, g)가 유일하다는 것 이 증명 되 었 다. 여기에 주어전 증명은 Chern class 의 유일성에 대한 중명과근본 적으로 동일하다. 중요 차이는
H*(U(p + k)/U(p) x U(k) : Z)-H*(U( P+k )/T : Z)
는 단사적 사상인 반면
H*(%, 2k : Z)-H*(S0(2P+2k)/T : Z)
는 단사적 사상이 되지 못하고 대신
H*(%,2k : R)-H*(S0(2P+2k)/T : R)
이 단사적이라는 것이다. 또한 바로 이런 이유 때문에 정수를 계수 로하는코호모로지 군의 원소로서 Euler 클라스가 공리 적으로 정 의되지 않는다. 지금부터 fi ber 가 R“ 인 방향성이 주어전 M 상의 실 벡타 번들 E 의 Euler 클라스 x(E) 를 M 상의 닫혀 진 2P 차 미 분 형 식 으로 표 현하고자 한다. E 상에 메 트릭 g 를 덱 하고 Rie m annia n vecto r bundle(E, g)에 부속된 S0(2P) 를 구조 군으로 하는 princ i pa l fibe r bundle 을 Q라 하자. (J)＝(어)를 Q상의 접속 미분 형식이타 하고 n=cn} ）를 이의 곡률 미분 형석이라 하자. S0(2P) 의 불변 다항식 에 대한 정리에 의하여 M 상의 어떤 유일한 닫혀진 2P 차 미분 형 식 r 가 있어서
n*(r)= 初(-l巧)P E c, .1 硏 ' m/\ ••• /\n:,:::- 1
가 만족된다. 정리 : R” 을 fi ber 로 하는 방향성이 주어진 M 상의 실 벡타 번 둘 E 의 Euler 클라스는 위에 주어전 M 상의 닫혀진 2P 차 미분형 식 r 에 의하여 표현된다. 증명 : E 상의 fibe r 메 트릭 g 와 S0(2P) 를 구조 군으로 하는 (E, g)에 부속된 pr in c i pa l fibe r bundle Q 가 주어 지 면 r 에 의 하여 표. 현되는 코호모로지 클라스는 Q상에서 덱한 접속에 관계가 없다 (이 철의 처음 정리)． 그러나 r 에 의하여 표현되는 코호모로지 클 라스는 Q상의 접속에는 무관하지만 Q를 만들어 주는 E 상의 메 트릭의 선덱에 무관한지는 모른다. 우리는 r 에 의하여 표현되는코 호모로지 클라스가 x(E, g)를 정의하는 공리 I',2',3',4' 을 만족시 킨다는 것을 보이겠다. 그러면 유일성에 의하여 r 는 x (E, g)를 표 현하고 따라서 r. (E) 를 표현하여 특히 E 의 메 트릭 의 선택 에 관계 없다. fi ber 의 차원이 홀수이면 r=O 로 놓자. 그러면 공리 I' 은 당 연히 성립한다. Chern class 의 경우에 증명한 것과 동일한 방법으 로 공리 2I,3' 이 증명된다. 공리 4/ 울 증명하기 위하여 p ,w, 요이 Chern class 의 경우에 주어진 것과 같다고 하자. Q를 Q= {(zo,zl)
: z0z0+z 방 =1} 로 주어지는 c2 안에 있는 단위 구라 하자. 그러 면 Q는 U(l) 을 구조 군으로하는 P 의 부분 번들이 되고 이는 P1CC) 상의 표준 복소 직선 번들 E1 에 표준 fibe r 메트릭이 주어졌을 때 (E1, g l) 에 부속된 pr in c i pa l fibe r bundle 이 된다. a, b1:R 라 할 때
a+b ✓ 구 U(I)- (i-!)1:S0 (2)
라는 대 응관계 를 이 용하여 U (l)과 S0(2) 를 동일시 하자. (1) 를 (1)= (z, dz)/(z,z) 로 주어지는 P 상의 접속 미분 형식이라 하고 파를 (1)의 Q상에의 제한이라고 하자. 그러면 파는 순 허수 죽 Lie 대수 u (l)에서 값을 갖는다. 즉 파는 Q상의 접속 미분 형석이 된다. 이의 곡률 미분 형식을 9' 라 하면 이는 (J)의 곡률 미분 형석 U 의 Q에의 재한과 일치한다. 위에 주어전 U (l)과 S0(2) 의 동형관계 로부터 임의의 실수 a 1: R 에 대하여
a 仁T EU(l) 一(~-~)1: S0(2)
라는 대 응관계 를 얻어 (1) 과 S0(2) 를 동일시 할 수 있 다. 따라서 접속 미분 형석 (1)’과 이의 곡률 미분 형식 n’ 는 각각 S0(2) 에서 값을갖는
(_O J걱 w'〈 :0' ）와 (_0 仁걱:군D,')
에 일치시킬 수 있다. 이런 대웅관계하에서 r 는 Chern class 에서 주어전 r1(En) 과 일치한다는 것을 알 수 있다. M 을 방향성이 주어전 2P 차원의 긴밀 Rie m ann 다양체라 하고 E 를 M 의 접 벡타 번들이라 할 때 M 상의 닫혀진 2P 차 마분 형 식 r 을 M 상에서 적분하면 M 의 Euler 수가 나온다. 이를 Gauss- Bonne t정리타 한다. 우리가 이 책에서 증명한 A tiy ah-S ing er 지표 정리의 국소적 형태는 바로 이 유명한 Gauss-Bonne t정리의 최종형 태로의 일반화라 생각할 수 있다• 3 장에 주어 전 지 표 정 리 의 증명 에 서 Chern class 나 Pontr ya g in
class 둘의 다항식이 되는 및 개의 함수를 도입하였다. 3 장에서는 이들의 정의가 주어졌으나 구체적으로 어떤 다항식인지 밝히지 않 았다. 여기에서 이들 중 처음 몇 개의 공식을 주고자 한다. （전부 정 의 에 서 부터 계 산된 것 이 다. ) 우선 Hirz ebruch 의 sig n atu r e 정 리 에 나온 L- 함수 중 처음 몇 개를 적어 보면
L1=½P1
이 된다. 그리고 Sp ina r 지표에 나온 A 함수를 적어 보면
써=＿출P 1
이 된다. 또 복소 다양체상에 정의된 S pi n• 지표정리나 가장 일반 최된 형태의 지표정리에 나온 Todd 다항식 중 몇 개를 적어 보면
T1=½c1
T5 =:*( -c4C1 + c3cl + 3c~c1-c2cr)
동이다.
* 참고문헌 제 1 장: Booth b y ; An in tr o ducti on to D£ ffer enti ab le mani fold s and Ri em an· • nia n Geometr y . 1975. Academi c Press. Kobaya shi and Nomi zu ; Foundati on of Di ffere nt£ al Geometr y Vo· lume 1. 1969. Inte r scie n ce Publish ers. Sp iva k: Di ffere nti al Geometr y Vol 1, 2, 3, 4, 5. 1975. Publi sh or Pe· ris h . 제 2 장: Boute t de Manvel; A course on Pseudo Di ffere nti al Op e rato r s and the ir Ap plica ti on . 1976. Duke Univ e rsit y Press. Tayl o r: Pseudo Di ffere nti al Op e rato r s. 1981 . Prin c eto n Univ e rsit y Press. Treves; Intr o ducti on to Pseudodif fere nti al and Fourie r Inte g r al Op er ato r s. 1981 . Plenum. 제 3 장: At iya h, Bott and Pato d i; On the Heat Eq u ati on and the Index The-
orem. (19 73) . Inventi on es Mc .th , 19, 279~330. Bott ; Lectu r es on Index Theorem. 1975. note by Kulkarni, Les Presses de I'Univ e rsit e de Mont re al. Gi lk ey ; The Index Theorem and the Heat Eq ua ti on , 1974. Publi sh or Peris h . 제 4 장: At iyah , Bott , Shapi ro ; Cli fford modules. (1964). Top o log y 3. Supp l 1. 3~38. Kobaya shi and Nomi zu ; Foundati on of Di ffere nti al Geometr y . Volume 2. 1971. Inte r scie n ce. 이상의 참고 문헌은 이 책의 본문과 부록에 칙첩 관련된 것들이다. 여러 분들의 좀더 깊은 연구를 위하여 관련된 논문운 종류벌로 나열하겠다. Palais ; Semi na r on the At iya h-Sin g e r Index Theorem. 1 Ann. of Math .Stu d ie s 57 Prin c eto n , 1965. 이 책에서는 Index 정리 의 최초 형 태의 증명이 주어졌다. 특 히 Cobord· i sm 이 이용되었다 . At iya h and Sin g e r: The ind ex of ellip tic op e rato r s, I . Ann. ?f Math . 87, 484~530 (19 68) . ― and 一― : The ind ex of ellip tic ope rato r s, II[ . An n . of Math . 87, 546~604 (19 68) . —-anadn —e -;: TT hhee iinndd eexx ooff eellllii pp ttiicc ooppe e r raattoo r r ss,, NV ., AAnnnn.. ooff MMaatthh .. 9933,, 119~138(1 9 71). 139~ 149(1 9 71) 이상에 주어전 일련번호가 매겨진 논문에서 A tiy ah 와 S i n g er 는 Index 정 리의 증명 을 새롭게 하였고 (Cobord i s i m 사용을 피하였다.） 이의 여러가지 웅 용 을 주었다. 이 논문들에서 가장 풍부한 수학적 구조 를 발견 할 수 있을 것 이 다 . 또한 Pseudo Dif fere nti al Op e rato r 의 연 구에 큰 moti ve 을 준 것 도 바로 이 논문이다 . Index 정 리 의 여 러 응용에 관하여 는 다음 논문을 참 조하기 바란다. At iyah and Bott : A Lefs c hetz fixe d po in t for mula for ell iptic c omp le x- es, I. Ann. of Math . 86, 374~407(1 9 67). At iyah and Bott : A Lefs c hetz fixe d po in t for mula for ell iptic comp !- exes, II . Ann. of Math . 88, 451~491 (19 68) . Hirz ebruch and Zagi er : The At iyah -S i n g e r Theorem and Elementa r y Number Theory. 1974. Publi sh or Peris h . Index 정리는 물리학에서도 아주 중요한 역할을 한다. 참고로 몇 개의 논 문율 적어보면 다음과 같다. ' At iya h, Hit ch in , Sin g e r ; Defo r mati on of Insta n to n s. 1977. Proc. Natn . Acad. Sci. U. S. A. 74. 2662. At iya h, Hit ch in and Sin g er ; Self -du ali ty in fou r-dim ensio n al Rie m an· nia n Geometr y , Proc.: R . Soc. London. A. 362, 425-461(1 9 78). Ni el sen; Axia l Anomaly and At iyah -Sin g e r Theorem. CERN Pepo rt. Th 2317(1 9 77). ja ckiw and Rebbi; Sp ino r analys i s of Yang -M i lls T heory. (19 77). Phy s. Rev. D. vol. 16, no. 4. 1052~1060.
색인
-, Gauss 곡룹 41 Gcuss·Lonnet 정 리 174 곡둔 10 곡문 불변량 153 곡물 불변량의 비중 153 공변 미분 15, 162 구조 방정식 57 Grassmann 다양체 228 국소 곡면 43 드 단면 곡물 (sec ti onal curvatu r e) 52 대 수적 지 너 스(g enus) 120, 141 대칭적 다중선형 사상 206 등각곡률 텐서 (confo r mal curvatu re ten sor) 161 등방적 (iso tr o p ic) 54 Dira c 연산자 186 E2 Lie 미분 23 Ri em ann-Roch 목성 치 141 리이만 접속 23 리 이 만 크리 스토펜부호 29, 148 Ri ce 곡물 54
E! 매 개 표현 (pa rametr i z a ti on ) 18 ki bar 연산 197 법 곡물 (normal curvatu re) 40 법 단면 (normal secti on ) 40 벡타 장(평행) 13 비 를란 부속 표현 (tw i st e d adjo i n t rep re senta t i on ) 199 Bia n chi 항등식 152 人 Sobolev 공 7J : Hs(R) 71 수직공간 204 수평공간 204 Sp in( k) 201 Sp in ' (k) 203 spi no r 지표 120, 142 sig n atu re 120, 141, 175 십볼 76 Sp (m ) 215 스칼라곡문 55 。 A^ 함수 232
L 합수 232 Euler 클라스 120, 141, 225 여 폐 (coclosed) 138 weil 준동형 209 유동 좌표계 (movin g fram e) 148 의미분 연산자 76,93,96 z: 전치 197 전(全) Chern class 216 제 정 (umbil ica l po in t ) 39 제 2 기본 형식 37 조화 미분 형식 138 주 곡물(p r i nc ip al curvatu r e) 39 주 방향 40 天; Chern 캐 릭 터 222 < Chern 클라스 216 측지선 13 = Cli fford 군 198
Cli fford 대 수 195 드: 타원형 복체 (comp le x) 97 타원형 연산자 88 Todd 다항식 232 토숀 11 ZE Poin c are 보조정 리 98 Pontr y a g in 큘라스 22 2: 평군곡물 41 Plancherel 정 리 71 Pin ( k) 200 Ito Hodg e *연산자 103 Frenet- S erret 공식 11. Fredholm 연산자 10(), Fourie r 변환 70
지동표 서울대학교 공과대학 기계공학과 졸업 미국 Tem p le 대학 물리학 석사 미 국 Univ . of pen nsyl v aw -a 수학박사· 미 국 Univ . of Pennsy lv ania 수학과 전 임 강사 및 미국 M.I.T. 대학 교환 교수 저서 「工業數學」(英志文化社) 현재 서울대학교 수학과 교수 국소적 형태의 At iyah -Sin g er 지 표이 론 1983 년 11 월 '2 0 일 인쇄 1983 년 11 월 30 일 발행 著者 지 동표
發發行行處人 民朴 音孟社浩 우편번호 110 대체구좌 523282 서울 종로구 관철동 44 의 1 720-2000 • 724-4234 • 725-8524 출판등록 1966. 5. 19 1-142 값 2, 800 원 파본은 교환해 드립 니 다.대_우학 술총서 자연과학 1 소립자와게이지상호작용 김진의 2 動力 學特論 이병호 3 室素固定 송승달 4 相轉移와臨界現狀 김두철 5 觸媒作用 진종식 6 뫼스바우어分光 學 옥항남 7 극미량원소의 영양 승정자 8 水 素化湖素와 有機湖素化合物 윤능민 9 抗生物 質의 全合成 강석구 10 국소적 형태의 Ati ya h-Sin g er 지표이론 지동표 11 Mucop ol ys a ccharid e s 의 生化學 및 生物理學 박l-준우 12 Astr o p hy s ic s 홍승수 13 天우원然식物 化學硏究法