다음에 는 미 지 의 현상 (J)에 對 한 觀測 이 전에 1 ;l 施되 는 事 前 確率 化 操 作 pre randomi za ti on 은 推 論 에 影뽑 을 미 칠 수 없 다는 條 件附原 理에 대하여 생각해 보자. 甲 , 乙 두 사람이 한 射 뿡選 手의 命中 率 (J)에 대한 실험을 하고자 한다. 觀 測 者 갑은 이 射擊選 手가 10 番의 射 隊 울 하는 것을 競 測할 수 있 고, 觀測者 乙은 공정한 銅錢 울 던져서 앞면이 나오면 10 番의 射 擊울 , 뒷 면이 나오면 20 番 의 射 ＼沿울 관측할 수 있다고 하자. 이제, 실제 甲의 觀測結果 처음 9 番이 명중이었고, 乙은 銅錢 의 앞면이 나와서 10 番 의 射擊 을 競 測한 결과 처음 9 番이 명중아었다 고 하자. 이때, 이 射擊選 手의 命中 率 에 대한 갑, 울의 推論이 동 일 해 야 한 다는 것은 직관적으로 타당한 것이다. 죽, 공정한 銅 錢 의 出 現結果 는 명중 률 (J)와는 무관한 것으로서, 동일한 觀 測結果가 주 어지는 이상, 이 銅錢 의 出現 結果 는 推論에 影態 울 미치지 않아야 한다. 일반 적 으로, 동일한 미지의 현상 (J) E9 에 대한 두 實驗 8i= ( fE;, Q,p;)(i = l, 2 ) 에 대하여, 質驗 81 과 cf 2 를 각각 親知의 確率 7C, I- 元 로써 수행 하는 箕驗 g를 cf 1 과 82 의 混合宜 驗 mi xt u re of exp e rim ents 이라한다. 이와 같은 混合實驗 8 의 標 本空間은 fE= {(i,-x ;) lx,EfE ;, i= l, 2} 로 나타낼 수 있고, x=(i, X ;) 의 出現可能性은p (xl (J)） =T j ·PKx i|(J)） 에 의해 지배받게 된다. 混合 質驗 8 를 행한 결과 (i ,x i )가 觀 測되었다면, 이는 i番째 실험 8 률 행하여 동일한 觀 測値 X i를 얻은 경우와 그 추론이 동일해야 한다는 것 이 條件附原理이 다. 條件附原理 c : t!驗 rff1 =( P£1 ,{),P i)과 g2 =( 所, 9, p 2) 의 混合 箕驗 &=(P£,Q,p)에 의한 親 沮庫i를 x=( i ,x ; ) 라고 하면, 統計 資料 (<.i',x ) 와 (

觀測 以前의 事 前確率化操作은 推 論 에 影終접 을 미치게 된다. 죽, 古 典的 接近法은 條件附原理에 부합하지 않는다. 이에 대한콕스 D . R. Cox (7) 의 다음 예 는 古 典 的 接 近 法 의 問 題點 을 찰 지 적 해 주고 있다. 한 物理 學者 에게 새로운 測 定機器 와 오래된 測 定機器 가 있다• 또 한 卽存理 論 에 의해, 미지의 物理 常 數 o 를 測 定할 境遇 測 定機器 에 따른 오차가 발생 하여 觀測値 X는 平均 w, 分 散 62 인 正規 分布 N (o, 62) 을 따르고, 새 로운 機器 률 사용하면 u= l, 오래 된 機器률 사 용하면 u=lO 임 이 알려쳐 있다고 하자. 이제, 이 物理 學 者가 T 의 확률로 새로운 機器 를, 1 ―~의 확률로 오래된 機器 롤 사용할 수 있는 경우에 假說 H0 : w=O 을 H1 : w=lO 에 대하여 檢定하는 경우를 생각해 보자. 古典的 接近 法 에 의하면, 다음과 같은有 意 水 準 a 의 檢定法울 생 각할 수 있다. 檢定法 1 : a=P.,=o (X> k1(}) 이도록 k1 을 定 하고 x>k1 (j이면 H。 : w=O 을 棄却한다. 檢定法 2 : a=( l-7 r)+1r P.,=o,u=1 (x>kz) 이도록 k z 를 정하고, 새로 운 機 器률 사용하는 경 우에 는 x>kz 이 면 Ho 를 棄 却하고, 오래 된 機器 를 使用하는 境 遇에는 測 定 하지 않고 無 條件 Ho 를 棄 却한다. 이 때 , a>I-1r 인 많은 경 우에 檢定法 2 가 檢定法 1 보다 좋은 檢 定力 po wer of a t es t을 갖게 되는 것을 보일 수 있다. 코은필드 J. Cornfi el d (6) 즉, 古典的 接近法에 의 하면 檢定法 2 가 檢 定法 1 보다 勅 率 的인 것으로 推 鷹 되는 것이다. 물론, 이는 이러한 실험의 反 復 的 質施를 할 경우에 檢定法 2 가 더 찰하는 기회가 많을 것이란 뜻 이다 . 그러나, 위와 같은 實驗 율 한 번 행하게 되는 物理 學 者에게 오래 된 機 器 를 사용하게 되 면 測定하지 말고 H0 : w=O 을 棄 却하라고 하 면, 이는 그에게 받아들여지지 않을 것이다. 이 런 경우에 그는 오 히려 언제나 測定結果에 따라 결론을 내리는 檢定法 l 을 택할 것 이다.

이 예에서 檢定法 2 를 택하여 새로운 機器를 사용하는 경우에도 觀測 以前의 確率化操作 죽, 元 에 따라 棄却域이 달라지 는, 즉, 추 론이 달라지는 것을 알 수 있다. 즉, 檢定法 2 는 條件附原理룰 따 르지 않고 있는 것이다. 이제, 베이즈적 接近法의 基礎가 되는 尤度原理에 대하여 생 각해 보자. 箕驗

린들리 D.V. Li nd ley (1 6) 에 의 한 다음의 예 는 古典的 接 近 法 이 尤 度原理에 어긋나는 경우를 보여주고 있다. 앞면이 나타날 確 率 如가 미지인 銅錢 울 12 番던져서 앞면 ( H ) 과 뒷면 C T ) 이 나타나는 것을 親 測하여, x=HHHTHHTHHHHT 라 논 磯 測 結果를 얻었다. 이 觀 測 結果 로부터 o 에 관한 推論 이 가능 한가? 예를 들어, 古典的 接 近法에 의하여 假 說 H。 : w=O. 5 와 H1 : (J)> 0. 5 에 대 한 有 意 性 檢定 에 대 하여 생 각해 보자. 첫째, 銅錢 울 12 番 던지기로 정해 놓고 이 실 험 이 행해졌 다면 주 어 전 觀測 結果 에 대 한 有意確率 sig n if ica nce pr obabil ity 은 1 2 번 의 시 행에서 H 가 9 番 이상 나울 確 率 로서 a=O. 075 이다. 둘째, 세 번의 T 가 나올 때까지 동전을 던지기로 정해 놓 고 이 실험이 행해졌다면, 주어진 觀測 結果 에 대한 有 意確率 온 세번째 T 前에 9 番 以上의 H 가 나올 確率 로서 a=O. 0325 이 다. 즉, 첫째 경 우에 는 二 項 分 1F 를, 둘째 境遇 에 는 陰 二 項分布 neg a ti ve bin o mi al d i s t r i bu ti on 를 이 용한 檢定 울 하게 된다 . 이 때 , 有意水準 5% 의 有 意性 檢 定 울 하게 되면, 첫째의 경우에는 Ho 를 棄 却하지 못 하고, 둘째 경우에는 Ho 를 棄 却하게 된다. 따라서 , 고전적 接近法에 의 하면 標本 의 觀 測方法에 따라 비 록 觀測 結果 가 동일해도 推論의 결과는 달라지게 된다. 그러므로 標 本 의 親測方法이 정해지지 않는 한 @에 관한 一 貫 된 추론이 불가능 하다. 그러 나, 어 느 境 遇에 도 觀測値 x 에 對 한 尤度 函數 는 L( (J) I x) = a, 9(1 ―a, )3 으로 주어진다. 따라서 尤度理論에 의하면 두 경우에 동 일한 추론을 하여 야 한다. 이 예에서 핵십이 되는 것은 고전적 接近法에 의하면, 事 前에 試 課 된 勅 率 性, 죽 有 意 水 準 이 란 槪念을 위 하여 는 標本空間 뽀 全 體 를 알아야만 한다는 것 이 다. 즉, 實 際 觀測된 값 以外에도 모든 가능한 觀 測値에 대한 考 慮 률 해야만 古典的 방법이 의미를 갖게 된다. 이와 같이, 事 前의 勅 率 性 評價 와 事 後의 勉率 性 評 價 에 대한 相 對 度數 學 派와 베이지안 學 派간의 논쟁은 앞에서 소개된 尤 度 原理에

대한 論議로 婦着 되는 것이다. 프레트J. W. Pratt (18 ) 에 의한 예는 尤度原理 의 必要性울 역 설하는 경 우이 고, 스타인 C. Ste i n (22) 에 의 한 예는 尤度原理 에 대한 反對論理로서 찰 알려쳐 있다. 베이즈적 接近法 의 理論的 采當性 에 대한 노력의 일환으로서, 보 편화된 充分性 의 原理로부터 尤度原理를 이끌어 내려는 試固는 버 언바움 A. Bi rn baum (4), 하이 예 크 J. Haje k (11), 바수 D. Basu (1) 等 많은 학자들에 의하여 행해졌다. 이들의 결과에 의하면 ' ， 相對度數學派에게도 普通化된 充分性의 原理와 더불어, 推論에 關係되는 것은 質驗울 행한 후에 競測値만 이 라는 條件附原理롤 받아들인다면, 尤度原理를 받아들여 야 한다는 것이다. 이 제 까지 몇 가지 원리 를 소개 하면서 , 統計資料어] • 포함된 〈情報 의 量 〉 이라는 表現은 一 常生活 에서 사용되는뜻으로使用하였다. 좀 더 嚴密 히 말하자면, 이 基本原理둘은 〈情報의 蓋 〉을 定義하기 위 한 원리들이라고 할 수도 있다. 다음의 예는 바수 D. Basu (1)의 예를 수정한 것으로서, 統計的 方 法을 사용하는 경우에 혼히 觀測回數와 情報 의 批 이 比例하는 것으 로 생각하는 古典的 接近法에 기인한 誤證를 지적하는 것이다. 未知 의 整敷 Q로부터 시작하여, w,w+l, … ,w+24 의 番號가 매겨 진 25 개의 공이 들어 있는 箱子에서, n 個의 공을 꺼내 꺼내진 공의 番號 X1<•·•

식은 타당성을 認定받을 수 있다. 그러나, 設測 結 果만을 가지고 情 報의 양을 논한다면 資料 (6'2 ,X) 가 資料 (6'1 0,x' ) 보다 많은 정보를 갖고 있다는 것 또한 타당한 것이다. 이 러 한 競製t에 서 바수 D. Basu (1)는 統計資料 (g, x) 에 포함된 情 報의 양은 觀測値에 의촌해야 하는 것이고, 尤度原理에 따라 尤度 函數 LC· Ix) : (t) ,_.PC (l) lx) 를 〈情報의 量 〉으로 정의하기도 하였다. 지금까지 소개된 基本原理의 採擇 與否에 대한 相對度敷學派와 베 이 지 안學派 사이 의 差異點은 〈 事 前썹j 率 性〉과 〈 事 後썼j 率 性〉에 대 한 選擇 與否에 있다고 할 수 있다. 특히, 尤度原理는 〈 事 前交力率性〉의 고려를 排擊하고 있다. 그럼에 도 불구하고, 古典的 接近法에 따른 尤度函數의 이용법은 普 通 化되 어 있다. 이와 같은 尤度函數의 利用法울 살펴 보고, 尤度原理와의 相衝되 는 點에 대 하여 고찰해 보자. 3.2 尤度利用法 尤度原理에 따르면, 동일한 尤度函數를 생 성 하는 꿨酸려 資料 (G', x) 에 대하여는 동일한 추론을 행하여야 한다. 그러나, 여기에서 尤 度原理의 구체적인 利用節次는 明示되어 있지 않다. 이제, 尤度의 利用法으로서, 古典的 接近法의 繁盛과 더불어 普 追化되어 있는 統計的 방법에 대하여 생각해 보자• 이러한 方法둘 의 大部分은 피셔 R.A. F i sher 에 의해 체계적으로 考案 • 發展된 것 으로서, 이들 중 가장 代表的인 것으로 最大尤度推定法 me t hod · o f maxim um lik e lih o od esti m ati on 이 있 다. 最大尤度推定法 : 統計資料 (rff, X) 로부터 생성된 尤度函數 L((l) lx ) 를 최대로 하는 옳 =w(x) 를 (l)의 推定값으로 한다. 이러한 推定方法울 체계적으로 연구, 발전시킨 피셔 R.A. Fis h er 논 이를 하나의 원리로 만들려는 노력울 기울였으며, 오늘날에도 주된 推定方法의 하나로 인정받고 있다. 이와 관련되어, 尤度函數 에 대 해 논한 피 셔 R.A . Fi sh er (8) 의 논리 논 많은 統計學者둘, 목히 相對度數學派에게 많은 影密울 주었다고 할 수 있다.

〈最 大化되 는 0 의 函數는 確率의 법칙 들을 따르지 도 않으며 , 確 率 은 아니 다. ; 이 는 微分要素 d()I d()2 d()3 …를 포함하고 있지 않다. ; 그 럼에도 불구하고 특정한 ()의 값들 또는 이들의 組合울 ()의 다른 값 들 보다 선호하게 될 합리적인 근거를 제공한다. 그것은 확률처럼 合理的인 信頓 rati on al belie f 에 대 한 數蓋的 척 도이 다. 이 러 한 理由 에 서 , 一常生活에 서 混用 되 고 있는 確率 pro babil it y 과 尤 度 lik e lih o od 룰 구벌하기 위해, 그것을 고정된 값을 가지는 ()()()어 •• 의 尤度 lik e lih o od 라고 부르는 것 이 다. > 이와 같은 논리로부터 명백한 것은 피셔 RA. F i sher 는 尤度에 관 한 개 념 을 合理的 信頓 rati on al belie f 의 尺度로 看敬했 다는 것 이 다. 동시에 그는 尤度란 確率과는 다른 척도라는 점을 매우 강조하고 있 다. 이는 베이즈적 接近法에 대한 강한 부정을 의미하는 것으로 서, 오늘난 最大尤度推定法의 '1t)J率性에 대한 相對度數學派의 論理 展開의 기 초를 이루고 있다. 죽, 最大尤度推定法의 女力率性 에 대하 여 最大尤度推定量 0= 如 ( .x)의 標本 分布를 考慮해 야 한다는 事前交) J 적達 k 의 賊果가 강조되고 있으며, 이는 尤度原理에 相衝되는것이다. 또한, 피셔 R A. F i sher 의 尤度에 관한 개념에 대하여 논하는 가 운데 해 킹 I. Hackin g (1 0) 은 다음과 같은 尤度法則 ]aw of l i kel i hood 이 피 셔 R.A. F i sher 의 논리 의 土 臺 라고 하였 다• 尤度法則 : 두 假說 (J)＝(J) 1 과 (J)＝(J) 2 에 對하여, 尤度函數가 L((J)1 I .x) >L((J)d .x）를 滿足하면 資料 (

를 (J)가 包含될 集合으로 推定한다. 特히, I( 入)가 區間으로 주어질 때 , 이 를 信 頓區間 confi de nce int e r val 이 라고 부른다. 이러한 尤度區間推定法에서 標 本 空 間의 구조에 대해 알 팔요도 없고, 尤度函數만을 이용한다는 점에서 이는 尤度 原理에 어긋남이 없다. 그러나, 古典的 接近法에서 통용되고 있는 95% , 99% 둥과 같은 信輯 水 準 confi de nce level 에 依해 A 를 選擇 하 는 과정 에 서 , 혼 히 尤度原理에 어긋나는 推論 울 하게 되는 것이다. 또한, 이와 같 은 尤度의 利用法은 論 理的으 로 誘毋 된 것이 아니고 단지 제 안된 한 방 법이라는 점에 유의하여야 한 다. 이제, 이러한 古典的 接 近法에 따른 尤度 의 利用 法 중에서 가장 보편적 인 最 大尤度推定法이 갖는 문제 접 을 다음 바수 D. Basu (I ) 의 예를 통하여 소개하기로 한다. 未知의 自 然數 (J)가 씌 어 진 카드 20 장과 10 (J)가 씌 어 진 카드 980 장 합하여 모두 1,000 장의 카드가 들어 있는 箱 子에서 한 장의 카드를 꺼내어, 그 카드의 숫자 를 觀測하는 실험 을 한다고 하자. 이때 , (J)의 最 大尤度推定 量 은 x/10 이고, 이 실험을 反復할 境遇 , 98% 의 확률로써 정 확히 (I)의 값을 추정 한다. 이제, 이 설험과 대동소이한 경우로서, 未 知의 自 然 數 (I)가 씌어 진 카드 20 장과 親知의 整數 a1, …, a980 에 對 하여 (I)a l, …, (I) a980 이 씌 어 진 카드 980 장을 합하여 모두 1, 000 장의 카드가 들 어 있는 箱 子 가 있다고 하자. 또한, a1, ••• , a980 온 서 로 다르고 10 에 가까운 숫자 둘로서, 예를 들어, 9.9 와 10.1 사이의 숫자들이라고 하자. 이때, 이 상자에서 한 장의 카드를 꺼내어 그 카드의 숫자 x 를 관측한다 면, 尤度函數는 L({J)| x)={:. • ::1 : :::a i크 (i=1 , 2, …, 980) 0 ' {J) =.= x, {J) =.= xa,-1 로 주어지고 最 大尤度推定 景 온 &=x 이다. 그러나, 이 실험에서 血에 관계없이 箱子 속에 9.9w 보다 큰 숫자

가 씌어진 카드는 980 장이 있으므로, P.,(x>9.9w)=O.98 이다. 즉, 最大尤度推定法에 依하면, ＠의 참값보다 約 10 倍 以上 되는 큰 값을 推定하게 될 機會가 98% 나 된다는 뜻이다. 이 예에서 强調되는 것은 尤度의 單純한 大小比校에 의하여, 最 大尤度에 依한 推論을 전개할 때 큰 誤霞를 犯할 수있다는접이다. 이제, 피셔 R.A. F i sher 에 의해 고안된 방법으로서, 不必要母數 nuis a nce pa ramete r 의 제 거 에 最大尤度를 이 용하는 다음과 같은 방법 에 대하여 생각해 보자. 最大尤度에 의합 不必要母敷 除去法 : 미지의 母數 o 가 w=(() ，¢)이 고 , 0 에 대 한 추론을 하고자 할 때 , ¢률 不必要母數라고 한다. 이 때 , 資料(rff', x) 로부터 생 성 된 尤度函數 LC(), ¢)로부터 , 0 에 대 한 最大尤度 L, (0) = sup L (O, ¢) 를 구하여 0 에 대한 推定울 행하여야 한다. 尤度比檢定法, 尤度區間推定法 등은 이와 같은 不必要母數除去法 과 더불어 多變量正規分布의 模型에서 計算上의 큰 이접을 갖고 있다. 실제로, 古典的 接近法에 의한 多變最分析方法의 大多數는 이와 같은 最大尤度 에 의 한 不必要母數除去法과 尤度比檢定法, 尤度區間 推定法 둥의 체계적인 개발이라고 할 수 있다. 이 러 한 最大尤度에 의 한 不必要母數除去法의 單純한 이 용이 慈起 할 수 있는 한계성을 바수 D . Basu (1)는 다음의 예를 통하여 지적하 고있다. 1,000 장의 카드가 들어 있는 箱子 속에, 그 중 980 장에는 각각의 카드에 큰 활자로 0, 작은 활자로 1 부터 980 중의 한 숫자가 씌 어 져 있고, 나머지 20 장에는 모두 큰 활자로 -0, 작은 활자로¢라는 숫자가 씌어져 있는 것을 알고 있다고 하자. 또한, O 는 -1 또는 l 이며, ¢는 1 부터 980 중의 한 숫자라고 하자. 이때, 이 상자에서 한 장의 카드를 꺼내어, 그 카드에 큰 활자로

씌어전 X 와 작은 활자로 씌어진 Y 를 觀測하여 ()에 대하 여 추론 을 하려고 한다. 즉, ¢논 不必要한 母數로서 推論의 대상이 아니 다. 이 境遇 의 尤度函數는 L((), ¢ Ix , y) = {°. 001, (0, ¢) E { (.x, 1) , (x, 2), …, (.x , 980) } 0. 02, (() ,¢) E{(- . x,y )} 로 주어지고, 最大尤度에 의해 ¢률 제거한 最大尤度논 L,(O)=s~p L((),

게 하는 것이 완전하게 觀測하는 경우보다 더 나은 추론을 하게 된 다는 모순이 나타나게 된다. 아러한 예에서 나타나는 最大尤度에 의한 추론이 갖는 限界性울 극복하는 한 代 案 으로서 , 바수 D. Basu (1)는 尤度函數의 加算性 add- itivi t y 울 전제 로 하여 야 한다고 역 설하고 있다. 예를 들어, 不必要母數의 제거에 관한 앞의 예에서 觀測値 (x,y ) 에 의해 생성되는 尤度函數 L((} ，

原理륜 중십으로 하여 고찰하였다. 이제, 尤度原理률 따르는 베이 지 안 接近法에 대 하여 事前情報 몰 중십 으로 고찰해 보자. 3.3 事前情報와 베이즈적 接近法 베이즈적 접근법에 의하면 統計的 資料分析에서 주어지는 정보로 서, 事前情報 元와 관측에 의한 정보 (g, x) 의 두 가지 정보를 고려 해야 한다는 것이다. 독히 事前情報 T 는 미지의 現象 (t)에 대한 合 理的 信頓 rati on al belie f 를 나타내 는 事前確率 pr io r pr obabil i ty 로 평 가될 수 있 다는 것 이 다. 이 는 소위 主觀的 確率 subje c ti ve pr obabil i ty 의 논리에 바탕을 두고 있다. 이 러 한 事前情報 의 確率的 평 가에 대 한 論議에 앞서 , 事前情報 의 활용이 統計的 추론에 서 갖는 중요성 에 대 한 세 비 지 L. J. Savag e (20 ) 의 다음 예를 살펴보기로 하자. I) 차에 우유를 타서 마시는 부인이 茶蓋에 차와 우유 가운데 어 느 것이 먼저 부어졌는가를 알아맞힐 수 있다고 하였다. 이러 한 주장을 실험하기 위하여 10 番의 試行을 한 결과 이 부인은 10 番 모두 정확히 맞추었다. 2) 한 음악가가 모짜르트의 곡과 하이돈의 곡을 맞힐 수 있다고 하였다. 이 주장을 실험하기 위해 10 番의 試行울 한 결과 이 음 악가는 10 番 모두 정확히 맞추었다. 3) 술에 취한 한 사람이 공정한 동전을 던질 때 나타나는 면을 맞힐 수 있다고 하였다. 이를 실험해 보기 위한 l0 番의 시행을 한 결과 그는 10 番 모두 정확히 맞추었다. 위의 모든 경우에 관십의 對象 이 되는 미지의 현상은 옳게 맞힐 확률 O 로써 나타넬 수 있다. 이때, 고전적 접근법에 의하면, Ho : 8=0. 5 라는 歸無 假說 null h yp o t hes i s 에 대 한 有意性檢定 tes t of sig n if ic- ance 을 행하게 된다. 이러한 有意性 檢定에 의하면, 위의 1),2),3) 모든 경 우에 有意水準 2-10 에 서 歸無 假說 Ho 를 기 각하게 된다. 죽, 모든 境遇 에 그들의 주장이 옳다는 결론을 내리게 되는 것이다. 그러나, 2) 의 경우에는 이러한 結論울 아무런 疑問없이 받아들일

것이 고 , 3 ) 의 경우에는 이러한 結論을 믿지 않으려고 할 것이고, 1) 의 경우에는 사람에 따라 이 結果 에 대 한 믿음 의 정도가 다를 것이 다. 죽, 위의 모든 예에서 우리는 事tJij 情報 에 따라, 그 質驗結 果에 대한 信 ~Ii 의 程度 가 다른 것이다. 위의 예는 古典 09 인 有意 性 檢定 의 限界 믈 보여주는 동시에 事 前 情報 의 有 用 性을 강조하는 것 으로서, 이러한 事前情報 의 有用性에 대 하여 는 古典 的 接近 法의 支 持者 인 相 對度數派 freq u enti st 의 학자들 도 인정 을 하는 바이다. 이 와 같은 事前情報 가 확률적으로 평가될 수 있고, 이를 事 前 確 적i 로 써 나타넬 수 있다는 主觀的 確率 의 論理논 세바지 L.J . Savag e (19 ), 제 프리 즈 H. Jef f re y s (14 ) 등 많은 학자들에 의 하여 전개 되 었다. 그러 나, 이 러 한 論理 展開의 問 題點 은 〈超 人的인 合 理性의 所有者〉 에 의한 主觀的確率 의 表現可能性아란 假 定 에 있다고 할 수 있다. 죽 事前情報 의 確率 的 평가에 대한 客 觀 的 方 法論 의 부재는 베이즈 적 접 근법이 갖고 있는 한계성이라고 할 수 있다. 그러 나, 事前確率 T 와 尤度函 數 L(mlx) 를 이용하여 事後 確 率 군 를 誘導 하는 베이즈 定 理 군 (mlx ) cxL(mlx ) 짜@) 에서 알수있듯이 베이즈적 接近法은一但 事 前確 率 이決定되면尤 度 原 理률 따른다는 것은 명백하다. 이러한 點 에서 일부 베이즈적 接近法의 追從者둘은 古典的 接近 法 에서 有 意 水 準 에 對 한 任 意 選 擇 과 마찬가지로 事 前確 率 에 대한 主觀的 選 擇 이 가능하다고주장한다. 그러나, 찰못된 事 前確 率 울便 宜 에 따라 選擇할 境 遇에 이에 따른 推論에 誤 穆 가 있을 것은 명백 한 것이다. 이와 같은 베이즈적 接 近法의 한계성을 극복하고자 하는 한 방안 으로서, 미지의 현상 o 의 가능한 各 경우에 대해 동일한 信頓 의 程 度를 나타내 는 非 情 報的 事 前分布 non-i n f o r mati ve pr io r 를 사용하는 방법이 있다. 예를 들면, 假說 H0 : m=O 과 H1 : m=l 에 대하여

tc( O)=n :(l)= 0. 5 와 같은 事前分布는 非情報的 事 前分布로 看敬할 수 있다는 것이다. 이러한 非情報的 事前分布는 母數空間이 無限空間일 경우에는 진 정 한 確率分布가 아닌 假 事 前分布 im p ro p e r pr io r 로 주어 질 때 가 많 으며, 그 대상 또한 여러 개로 주어진다. 이러한 경우의 合理 09 인 非 情 報的 事前分布에 대 한 選擇方法에 대 하여 는 제 프리 즈 H. Jef f re y s (14 ), 제 인즈 E.T. Jay n es (13 ), 스타인 C. Ste i n (23) 등에 의 한 硏究 結 果가 알려져 있으나, 이들 역시 그 根本이 되는 원리에 대한 반론 의 餘地가 있는 것이다. 이러한 접에서, 古典的 接近法에서 模型에 대한 로버스트한 點 robustn ess 이 强調되 듯이 , 베 이 즈적 接近法에 서 는 事 前確 率 의 選擇에 대한 로버스트한 點이 고려되어야 할 것이다. 4 結言 未知의 現象에 대한 抱撰을 위한 科學的 기법으로서 統計的 방법 의 효용성에 대한 인식은 보편최되었다고 할 수 있다. 2 革 에서 살 펴 본 바와 같이 이러한 普通的 認識과 그 必要性온 20 世紀에 들어 와 現代統計學이 급전적인 발전을 이룩하는 동기가 되었다. 특히, 오늘날 電子計算機의 廣範回한 보급과 더 불어 統計的 方法의 利用 機會논 증대되고 있다. 그러나, 3 章 에서 지적된 바와 같이 基本原 理에 대한 올바론 이해가 없이 踏襲的으로 사용되는 통계적 방법은 誤 霧 의 가능성을 내포하고 있는 것이다. 또한, 統計的 方法의 勅率 性이란 그 基本原理에 따라 평가되는 것이므로, 적어도 論理的으로 논 여러 側面에서 그 勅率性에 대한 고려가 따라야 할 것이다. *참고문헌 (1) Basu, D., Sta tist i ca l Info r mati on and Like lih o od, Sankhy a, Vol. 37, Serie s A, 1975. (2) Berge r, J.O ., Stat i sti ca l Decis i o n Theory, Sp r in g e r-Verlag , New

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제 3 장 數理計劃論 1 서론 최근 기업에서는 로보트의 도입을 통하여 작업의 효율을 높히려 는 움직임이 활발히 진행되고 있다. 예를 들어 한 공장에서 10 가지 의 공정을 수행할 수 있는 로보트의 도입을 결정하였다고 하자. 그 러면 로보트가 한 공정에서 다른 공정으로 위치를 변경하는 데 소 요되는 시간이 상이하므로, 로보트가 10 가지의 공정을 어떤 순서로 거쳐야 되는가를 결정할 팔요성이 대두되고 이 문제는 곧 총공정 시간의 최소 시간을 갖논 공정순서의 결정문제로 제기될 수 있다. 이 문제를 해결하기 위하여 우리는 적철한 방법을 우선 선택해야 하 고 다음에 그 방법에 의해 결정된 순서가 과연 최선인가를 생각하게 될 것이다. 아울러 100 가지로 확장되었을 경우에도 같은 방법이 적 용될 수 있는가를 생각할 수있다. 이는한예로부터 일반적인 문제 로의 전개와한예를 해결한 독정한 방법의 일반적인 기법으로의 확 장이며, 이러한 사고가 수리계획 이론의 바탕이 되는 것이다. 위의 문제 는 수리 계 획 론에 서 정 의 된 소위 오 1 판원 문제 Travellin g Salesman Problem 의 법주에 속하며, 이에 적합한 기법을 사용한 컴퓨터 프 로그램을 이용하면 해결될 수 있을 것이다. 일반적으로 주어진 제약여건하에 우리가 원하는 목적에 가장 부 합되는 최선의 개선책을 마련함에 있어, 어떤 제약여건과 원하는 목적이 수리적인 형태로 표시될 수 있으면 곧 수리계획론의 문제라 고 할 수 있다. 따라서 이의 실질적인 응용범위논 대단히 넓은 것

이다. 수리계획론에 있어서는 제약여건의 수리적 형태를 제약석 o , 라 하고, 원하는 목적의 수리적 형태를 목적함수라 하며, 제약석고 목적함수의 성질에 따라 여러가지의 문제로 분류된다. 이 분류에는 선형계획, 비선형계획, 네트워크계획, 정수계획, 동적 계획, 확률 즈 계획, 기하학적 계획 동의 문제가 있으나여기에서는주어전 지면니 에 모든 것을 논의한다는 것은 숲을 보고 나무를 보지 못하는 경 환 이 있어, 이들 중 비중을 많이 차지하는 세 가지의 선형계획, 네트 워크계획, 비선형계획 문제를 주로 다루었다. 2 절에서는 최적화 둡 제와 이를 푸는 알고리즘에 있어서 복잡한 계산상의 문제를 다루었 고 3 철에서는 선형계획, 4 절에서는 네트워크계획, 5 철에서는 비 4 형계획 문제를 다루었다. 문제와 알고리즘의 상세한 서술은 참고둡 헌에 의존하였고, 알고리즘의 효용, 흐름, 최근의 연구동향과 앞으 로의 연구방향에 중접을 두었다. 그리고 수리계획법에 의한 최적해의 특성과 이의 응용에 관한 문 제논 경제학의 일반군형적 체계내에서 제약된 형태로나마 제 4 절어 서 취급되고 있기 때문에 본 장에서는 알고리즘을 위주로 하여 눈 술하기로 하였다. 2 복잡한 계 산의 문제 Comp u ta t i on al Comp le xit y 최적화 문제에서 〈문제〉라 함은, 그 문제의 속성을 지닌 하나으 통일된 수리적 형태를 갖추었으나, 변수의 크기나 입력자료의 값 0 다를 수 있는 모든 예 ins ta n ce of pro blem 들의 집 합이 다. 예 를 들0- 선형계획문제논 다음과 같은 수리적 형태를 가졌다. 죽 최소화(최대화) EX 제약조건 Ax=b x~O 여기서 A 는 (mXn) 행렬, c 는 n 차원의 종벡터, b 는 m 차원으 횡벡터, X 는 n 차원의 횡벡터이다. 위의 문제에 m,n,c,b,A 의 죠 둘이 주어지면 선형계획의 한 예가 되는 것이다.

주어전 최적화 문제를 푸는 알고리즘(반복기법)은 문제의 한 예 가 아닌 모든 가능한 예들을 유한한 단계 안에 풀 수 있는 다단계 과정이다. 그러면 알고리즘의 성능울 어떤 관접에서 평가하여야 하 는 의문이 생간다 . 가장 많이 사용되는 분석 방법은 다음의 두 가 지이다. 1) 최 악상황분석 worst case analys i s 문제의 모든 예들을 푼다는 가정하에 최악의 상태의 예를 알고리 즘의 계산단계로 고려하는 것이다. 2) 경 험 분석 emp iri c a l analys i s 문제의 모돈 예들 중에 실제문제에 가깝다고 생각되는 예나 무작 위로 선정된 예들의 컵퓨터 실험하의 계산단계를고려하는분석이다. 예 를 들어 單體 法 sim p le x algo rit hm 으로 선형 계 획 문제 를 푸는 데 있어, 주어전 선형계획의 A 행렬이 〈 mXn〉 행렬이라 할때, 경험분 석에 의하면 3m 의 십플렉스 계산단계로 주어진다고 발표되었으나 (40) , 클리 Klee 와 민티 Mi nt y (1 07) 에 의 하면 최 악상황분석 의 관접 으로는 십플렉스 알고리즘은 2 m 의 십플렉스 계산단계가 팔요하다고 발표되었다. 따라서 분석의 방법에 따라 알고리즘의 성능평가도 달 라질 수 있는 것이다. 최적화 문제를 푸는 알고리즘은 대체로 다음의 두 종류로 나눌 수 있다. 1) 수렵 알고리 즘 Converg ing Algo ri trun 이 종류의 알고리즘은 무한한 열의 해를 순차적으로 제시하면서 이 해들의 수열의 극한이 문제의 최적해로 수령하게 하는 기법이다. 이론적으로는 이 알고리즘은 무한히 계속될 수 있겠으나, 실제 옹 용시에는 사전에 주어진 반복횟수 안에 이 해법이 종료되도록 하는 것이 통례이다. 실용적으로는 주어진 확정된 수만큼의 계산단계만 에 이 알고리즘은 끝나게 된다. 2) 유한 알고리즘 Fin i t e A lgo rith m. 이 종류의 알고리즘은 유한한 계산단계 안에 최적화 문제의 최적

해를 구하거나 또는 최적해가 존재하지 않음을 밝히는 기법이다. 비선형계획 문제를 푸는 대부분의 알고리즘은 수령 알고리즘이 다. 실제로는 주어전 문제의 최적해를 구하기 위해 이러한 수령 알 고리즘을 무한히 계속할 수 없으므로 이미 결정된 수의 계산과정 까지만 사용한다. 따라서 한정된 과정에서 구해전 해 중에서 최적 해에 상당히 근사하다고 간주되는 해를 얻을 수밖에 없다. 그러므 로 수령 알고리즘의 계산 복잡성은 얼마나 해들의 수열이 빨리 최 적 해 의 부근에 도달하는가의 척 도인 수령 속도 rate s of conver g ence 로 정의된다. 선형계획, 네트워크, 정수계획 int e g e r pro g r ammi ng 문제들을 푸는 대다수의 알고리즘은 유한 알고리즘이다. 유한 알고리즘의 계산상 의 복잡성은 최적해를 구하거나 최적해가 존재하지 않음을 밝힐 대 까지 필요한 계산상의 노력 comp u ta t i on al e ffo r t으로 정의된다. 알고리 즘의 시 간 복잡성 함수 tim e comp le xit y fun cti on 는 임 의 의 주 어전 크기의 문제 예를, 알고리즘이 푸는 데 팔요한 계산상의 시간 중에 최대의 시간을 알고리즘의 계산 시간으로 표시한다. 또한 알고리 즘의 공간 복잡성 함수 sp ac e comp le xit y fun cti on 도 같 은 개념으로 정의될 수 있으나 현재 최적화 문제에 있어서는 계산 상의 시간이 주요 관십 대상이므로 알고리즘의 복잡성은 주로 시간 복잡성을 의미한다• 주어전 문제를 푸는 알고리즘의 계산상의 복잡 성을 계측하여 표현하기 위해서는 어떠한 매개변수p arame t er 가 팔 요하다. 주로 쓰여지고 있는 매개변수는 문제의 크기 s i ze 이고 이것은 문 제를 서술하기 위하여 필요시되는 입력자료의 총량을 반영한 것이 다. 주어전 문제의 예의 크기는 주어전 자료의 수치를 컴퓨터에 코 오드화하는 방안에 의하여 얻어지는 컴퓨터 기억장치에 저장되는 디지트 수의 총량을 주로 사용한다. 따라서 컴퓨터에서 모든 입력자료가 0 과 1 로 코오드화되므로 각 자료의 입력 수치를 2 진법으로 바꾸어 이에 필요한 총 디지트의 수 가 문제의 크기로 정의될 수 있다. 이는 현재 사용되는 컵퓨터에

부합됨으로 적합하다 할 수 있다. 최적화 문제의 알고리즘이 다항 석의(또는 다항식 시간의) 알고리즘이라 함은 알고리즘이 문제를 풀 때까지의 계산상의 노력의 한계치 bound 가 문제 크기의 다항식으로 표 시된 때이다. 다항석 의 알고리 즘은 에 드먼즈 Edmonds (51) 의 논조에 따르면 〈좋 은g ood 〉 알고리즘이다. 이러한 한계치는 최악상태 분석에 따론 한 계이므로, 일반적으로 경험분석에서 보여주는 계산 복잡성의 경우 와는 엄연히 구분하여 조십스럽게 사용되어야 한다. 만일 주어전 문제의 크기를 n 이라 하고 문제에 적용하려는 알고 리즘의 시간 계산복잡성이 다항식일 때 그다항식 ac+a1n+… + ak# 의 정확한 상수 a 。, al, …, ak 를 구하는 것은 실용적 이 아닐 문 아니 라 주어 전 알고리 즘의 약간의 변형 만으로도 a 。, al, …, a 은의 값들은 달라질 수 있다. 따라서 다항석 의 차수 order 라고 불리 는 가장 큰 덕 po wer k 를 결정하는 것으로 충분하며, 당연히 k 는 n 에 독립된 확정수이어야 한다. 또한 주어전 알고리즘의 계산상의 복잡성의 한 계치에 일치하는 특정한 문제의 예를 만들어 낼 수 있을 때 그 알 고리즘의 계산 복잡성의 한계치는 〈엉겨 tig h t〉하다고 정의한다. 주는 변수의 중가 또는 제약식의 증가로 기인되는 문제의 크기의 증가에 따라, 알고리 즘의 계 산 복잡성 은 〈최 고차 항〉의 값이 가장 빨리 중가함으로써, 만일 두 종류의 다항식의 알고리즘들이 한 최 적화 문제에 적용될 수 있다면 일반적으로 작은 〈최고차 항〉을 갖 는 알고리 즘이 우월하다고 한다. 최적화 문제를 푸는 알고리즘의 계산 복잡성이 문제의 크기의 다 항식 으로 한정 되 지 않는다면 그 알고리 즘은 에드먼즈 Edmonds 의 논 조에 의하면 〈나쁜 bad 〉 알고리즘이고 비다항식의 알고리즘이라 불 린다. 만일 문제 크기를 n 이라 하고, 알고리즘의 시간 복잡성 함수가 n 의 지수함수로 표시된다면(예를 둘어 2n 또는 3) 이 알고리즘은· 지 수 함수의 알고리즘이라 한다. 문제 크기 n 이 증가함에 따라 지 수 함수의 값이 다항식의 값보다 보다 빨리 증가하므로 일반적으로 다항식의 알고리즘이 지수함수의 알고리즘보다 특히 대형 수리계

획 문제를 풀 때 유용하게 된다. 이러한 이유로 현재까지 다항식의 알고리즘이 알려져 있지 않는 최적화 문제에 있어서는 다항석의 알 고리즘의 발견이 대단히 중요한 과제인 것이다. 그러나 비록 다항 식으로 한정되지 않는 알고리즘이라도 실제적 활용면에서는, 즉 실 제로 푸논 문제에 한해서는, 다항석의 알고리즘처럼 처신하는 지수 함수의 알고리 즘도 존재 한다. 그러나 불행히도 선형계획을 푸는 십플렉스 기법, 또 특별한 행 렬을 갖는 선형 상보 문제 Li ne ar Comp le menta ry Problem (13 4, Chap . 16) 를 푸는 상보 기 법 Comp le menta r y Piv o t Meth od 울 제 의 하고는 그 러한 최악상황 분석으로는 지수의 계산 복잡성이지만, 실제 활용면 에서 경험분석으로는 다항식의 계산 복잡성을 예시하는 알고리즘은 희귀하다. 대다수의 최적화 문제, 특히 정수계획 문제, 비선형계 획 문제 둥 을 푸는 현재까지 알려져 있는 알고리즘둘은 다항식의 알고리즘이 아니어서 문제의 크기가 커짐에 따라 많은 양의 계산단계가 필요시 된다. 바목 장래에 매우 빠른 컴퓨터가 개발된다 하더라도 다항식 의 시간 복잡성을 갖지 못하는 알고리즘들은 계속 작은 크기의 문 제에만 적용될 수 있을 것이다. 예를 들어 변수의 수, n 이 문제의 크기로 정의되고 알고리즘의 시간 복잡성이 2 이라 하자. 현재 속 도보다 2 배 빠른 컴퓨터가 개발되었다 하더라도 개발된 컴퓨터는 기촌 컴퓨터로 풀 수 있었던 문제에 단지 한 변수를 더한 문제밖에 논 풀 수가 없는 것이다. 따라서 연구의 촛점은 다항식의 알고리즘이 발견되지 않은 최적 화 문제 자체의 고유한 어려움, 문제의 계산 복잡성에 집중되었다. 문제의 복잡성은 그 문제를 푸는 알고리즘의 복잡성과는 엄연히 구 분된다. 주어전 최적화문제를 푸는 알고리즘의 복잡성은 문제의 복 잡성에 단지 하나의 상한치를 제공할 뿐이다. 다시 말하여 현촌하 논 알고리즘보다 작은 계산 복잡성을 갖는 새로운 알고리즘이 촌재 할지는 모르기 때문이다. 문제의 계산복잡성은 그 문제를 풀 수 있 는 알고리즘 중 제일 작은 계산 복잡성을 갖는 알고리즘의 복잡성 으로 정의될 수 있다. 그러나 촌재하는지조차 모르고 있고 발견하

지도 못한 상태의 알고리즘의 복잡성을 갖고 그 문제의 복잡성을 정 의하는 것은 불가능하다• 죽 다항식의 알고리즘이 개발되지 못한최 적화 문제들의 계산 복잡성이 다항식의 계산 복잡성을 가질까의 여 부와 의미를 같이한다. 이러한 난제의 간접적인 답변으로 쿡 Cook (3 1 ) 과 카프 Karp (10 2) 및 여 러 학자 (68, 70, 156) 들의 연구에 의 하 떤, 아직까지 다항식의 알고리즘이 발견되지 않은 대다수의 최적화 문제 는 NP-hard (NP-comp le te ) 문제 임 이 밝혀 졌 다. NP-hard 문제 와 NP-comp le te 문제 의 구별은 대 체 로 다항식 이 발견되 지 않은 최 적 화 문제 는 NP-hard 문제 이 고 NP-comp le te 문제 는 NP-hard 최 적 화 문제 의 부분문제 인 목적 함수의 값이 주어 전 값보다 작은(또는 큰) 해가 존재하는지의 여부를 대답하는 〈예- 아니오〉의 결정문제 yes -no decis i o n pro blem 이 다. NP-hard 문제 는 〈적 어 도〉 NP-comp le te 문제 가 난해한 만큼은 난해한 문제인 것이다. 수리계획론에서는 일반적 으로 컵 퓨터 과학의 분야와 달리 NP-hard 문제 와 NP-comp le te 문 제를 구벌하지 않는다. 따라서 이의 엄격한 구벌은 참고문헌 (3,70) 으로 미루고 여기서도 〈현 재까지 다항석의 알고리즘이 존재하지 않 는 문제〉라는 공통의 의미로 구벌을 하지는 않았으나 원래의 정의 에 될 수 있는 한 충실하였다. 카프 Kar p에 의하여 정의된 NP- comp le te 문제 들은 다음의 성 질을 갖는다. 만일 한 NP-comp le te 문 제에 다항식의 시간 복잡성을 갖는 알고리즘이 촌재한다면 모든 다 론 NP-comp le te 문제 에 도 다항식 의 시 간 복잡성 을 갖는 알고리 즘이 존재한다. 따라서 이러한 결과는 궁극적으로 다항식의 알고리즘이 현재까지 발견되지 않은 NP-hard 최적화 문제에 문제 자체의 복잡 성이나 다항석의 촌재여부에 대한 칙접적인 답을 제시하지는 못했지 만 현재 매 우 난해 한 문제 로 간주되 는 외 판원 문제 Travellin g Salesman Problem 을 위시한 대부분의 정수계획 문제, 비선형계획 문제 등이 NP-hard 문제로 밝혀져 이러한 문제에는 다항식의 알고리즘이 존 재하지 않을 것이라는 가설에 확신을 더해 주고 있다. 그리 하여 NP-hard 최적 화 문제 의 연구방향은 현존 알고리 즘의 개선과 다항식의 복잡성은 갖지 못하는 알고리즘이라도 현존 알고 리즘보다 효율성이 높은 새로운 알고리즘의 개발과 더불어 다음의

두 가지를 제시한다. 1) NP-hard 문제의 경 계 선 탐험 게 리 Garey 와 존슨 Jo hnson (70) 의 분석 에 따르면 주어 전 문제 가 NP-hard 이면 그 문제의 다항식의 계산복잡성을 갖는 쉬운 부분 문 제로 출발하여 다항석의 알고리즘으로 풀 수 있는 문제의 범위를 넓 힌다• 예 를 들어 4 철에 서 나오는 중국집 배 원의 문제 Chin e se Postm an Problem 는 주어전 네트워크의 호 arc 가 모두 방향을 가졌거나 dir e cte d , 방향부정 이 면 undir e cte d , 다항석 의 알고리 즘을 가졌으나 혼 합형 태 에 서 는 NP-hard 임 이 파파디 미 트류 Pap a dim i tri o u (1 40) 에 의 해 밝혀졌다. 2) 발견 적 기 법 Heuris t i c m eth o d 의 개 발 발견적 기 법 (근사기 법 app r oxim ati on algo rit hm 이 라고도 한다)은 최 적 해를 구한다는 보장은 없으나 이를 회생한 대신 빠른 시간내에 가 능한 한 최 적 해 에 가까운 근사해 를 얻으려 는 기 법 이 다 (69, 109, 156). 부정 적 인 면을 먼처 언급한다면 사아니 Sahni 와 곤찰레 스 Gonzales (155) 의 논문에 서 밝힌 바와 같이 대 다수의 최 적 화 문제 는 NP-hard 문제가 다항식의 알고리즘으로 풀리지 않는한 다항식의 c- 근사알고 리즘은 촌재하지 않는다고 밝혔다. c 국끈사 알고리즘은 최적해의 목 적함수의 c 내의 값이나 비례의 근사해를 보장하는 근사 알고리즘이 다. 예를 들어 의판원 문제는 다항식의 c- 근사 알고리즘이, 모든 c 에 대하여 외판원 문제 자체가 다항식의 알고리즘으로 풀리지 않는 한 촌재 할 수 없 다(1 55). 그러 나 크리 스토피 데 스 Chris t o fi de s (26) 의 논문 올 보면, 외 판원 문계 가 삼각형 부등호 tri a n g le ine q u alit y 를 만족시 킨 다면 c= 강인, 죽 최소화의 경우 최적해의 목적함수의 값의 적어도 웅배보다 작은 목적함수의 값을 갖는 다항식의 근사 알고리즘이 촌 재함을 보여주었다. 이 문제의 최적화 문제는 또한 NP-hard 문제 인 것이다 (140). 따라서 비록 NP-hard 문제가 NP-hard 의 개념상으 로는 동동할지라도 최적해를 구하는 문제에 있어서 그들의 근사 알 고리즘은 달리 행동함을 보여준다. 최근의 연구에 의하여 많은 발 견적 기법이 알려졌지만 아직도 많은 것이 밝혀져야 할 것이다.

3 선형계획 문제 Lin e ar Prog ra mmi ng Problem 수리계획론에 있어서 선형계획론의 가치는 상당한 것이며 다양한 문제 들에 적 용되 어 왔다. 지 온트 Zio n t (1 84) 가 〈현재 의 알고리 즘과 컴퓨터 프로그램은 적철한 비용으로 대형의 선형계획 문제를 풀 수 있다〉라고 언급한 바와 같이 선형계획은 매우 실용적인 면을 갖추 고 있다. 또한 선형계획은 다른 최적화 부류에 발판이나 도약대를 마련해 준다. 지오프리온 Geo ff r i on(73) 이 말했듯이 〈선형계획에 있 어서의 계산상의 발전은 거의 모두 자동적으로 정수계획의 발전이 기도 하다〉. 따라서 여기서는 각 알고리즘의 상세한 서술은 참고문 헌 (40, 88, 134) 으로 대 치 하고 일반적 인 알고리 즘의 흐름, 이 와 관련된 최근의 성과와 선형계획 컴퓨터 프로그램에 관한 간략한 언급에 내 용을 서술하도록 하겠다. 3. 1 LP- 문제 의 서술 LP 문제논 찰 알려져 있어, 표기법도무척 표준화되었다 (134). 기 본적 인 LP 문제 (P l) 는, Sm.ta. x Ii=z; I =aiIj X ;' j Ci X{ ~i . =, ;학 b; I‘‘:‘ sm.ta. x Azx={cx'· =. 학 b (PI ) i= I n i= l,···,m 따 ~O, j= l,2,···,n x~O 만약 Pl 에 서 제 약식 이 Ax~b 와 같다면, 관련된 쌍대 LP 문제 는, mi n z=y b s.t. ATy > ,c (P2 ) y> ,O 원 문제 Pl 과 쌍대문제 P2 사이의 관계와 쌍대이론의 중요성은 찰 정 리 되 어 있으며 문헌 (134) 을 참고하기 바란다. 한 가지 유의 할 접

은 선형계획 쌍대이론으로 인하여 선형계획의 최적화 문제가 원 쌍 대 혼합 문제의 단지 실행가능성 f eas i b i l ity문제로 변할 수 있다는 것이며 이러한 관계는 다른 정수계획론이나 비선형계획론에서는 찾 아보기가 힘들다는 것이다. 3.2 심플렉스 기법 단찌히 Dan t z ig (40) 에 의해서 개발된 십플렉스 알고리즘은 첫번 째로 LP 문제를 푸는 가능한 방법으로 제시되었다. 가장 우수하게 정련된 기법으로 알려쳐 있는 개정 심플렉스 알고리즘 Rev i sed Sim - ple x Algo rith m 은 계 산상의 효율성 과 작은 컴 퓨터 용량을 요구하는 이접을 가지고 있다. 단찌히 Dan t z ig의 원 심플렉스p r i mal sim p le x 알 고리 즘과 램 키 Lemke (113) 에 의 해 개 발된 쌍대 십 플렉 스 Dual Sim p le x 알고리즘이 두종류의 십플렉스 기법으로 알려져 있으며, 후자도 결 국은 단찌히 Dan t z ig의 기법에 바탕을 둔 것이다. 이 두 기법은 원쌍 대문제의 한 문제의 실행가능성을 유지하여 다른 한 문제의 실행가 능성에 도달될 때 종식하는 기법이다. 이 기법은 가능해 fea sib l e solu ti on 둘로 이 루어 전 볼록다면체 convex po lyh eron 의 한 꼭지 접 에 서 이 꼭지 접 에 근접 된 꼭지 접 adja c ent extr e me po in t 으로 움직 이 며 , 목 적함수를 최소화(또는 최대화)하는 꼭지접에 도달될 때까지 계속 하여 꼭지접 사이를 움직이는 기법이다. 따라서 심플렉스 기법의 복잡성 comp le xit y 은 최 적 접 op tim al extr e me po in t 에 도달할 때 까지 의 한 꼭지접에서 근접된 다몬 꼭지접으로 움직이는 단계계산pi vo t s t ep 의 횟수와 이 단계계산을 결정하는 기본가능해 Basic Feasib l e So-luti on 의 변수의 전입 법 칙 Ente r i ng Rule 과 소거 법 칙 Drop ping Rule 에 의해 결정될 수 있다. 선형계획 문제를 현재까지 발표된 전입법칙 및 소거법칙들을 이 용한 십플렉스기법으로 풀 때, 최악의 경우에는 선형계획 문제의 크기 의 지 수함수만큼의 계 산과정 이 필요하다 (16, 107). 죽 현촌하는 모든 전입 법 칙 Ente r in g Rule 과 소거 법 칙 Drop ping Rule 들은 순환 c y cl i n g하거나, 순환을 배제한 법칙들도 정체 s t a lli n g현상―_－순환 c y cl i n g하지는 않으나 문제의 크기의 다항식의 계산단계 안에는 퇴화

를 벗어나지 못하논 현상――울 가지고 있다. 일반적인 선형계최 문 제에는 적용되지 못하나 네트워크 ne t work 문제에 있어서는

선형제약석, 죽 Ax< b 형대의 문제의 해를 구하는 데 사용된다. 이 러한 특성은 Ax

용면에서는 많은 문제접을 안고있다. 첫째 단접은 엄밀한계산정밀 성 없이는 이 알고리즘이 적용 불가능하다는 것이다. 예를 들어, 5 차원의 변수 5 개의 선형계획 문제룩 푸는 데에도 적어도 2-120.000 정 도까지의 계산정밀성이 요구된다. 이것은 현 컵퓨터의 계산정밀도 하에서는 특별한 처리 없이는 불가능하다는 것을 보여주고 있다 (81). 또한 단찌 히 Dantz i g 의 보고에 의 하면 심 플렉 스기 법 으로 통상 반시 간의 컵퓨터시간을 요구하는 선형 문제가 이 기법으로는 2 천만년의 컴퓨터 시간이 걸란다고평가되고 있다. 따라서 이 타원 알고리즘은 어떤 획기적인 개선이 없는 한 실제 적용은 어렵다고 할 수 있다• 3.4 선형계획 문제의 다른 접근 방법 3. 4. 1 선 형 상보 문제 Li n ear Comp le menta rit y Problem 선형상보 문제의 일반적인 형태는 다움과 같다. w-l\1 z =q w;?;0, z;?;0, 硏 z=O 이 문제 는 램 키 Lemke 와 호우슨 Howson (114, 115) 에 의 해 소개 되 었고 코몰 Co tt le 과 단찌히 Dan t z ig (34,35) 도 이 문제에 대한 연구와 다론 수리계획론에 활용범위를 넓히는 작업을 하였다. 선형계획 문 제들은 선형상보 문제를 뚫으로써 최적화될 수 있는 문제들의 부분 집합이다. 이같은 램키 Lemke 의 선형상보계획으로의 접근방법은래 빈드런 Rav i ndran (1 47) 에 의하여 원 십플렉스 기법과 컵퓨터 실험분 석을 동하여 비교되었는데 그 결과는 램키 Lemke 의 기법이 좋다는 것이었지만 비교적 작은 크기의 문제들에 대한 비교에 한정되고 있 다. 아마도 래빈드런 Rav i ndran 이 제안한 것과 같이 보다 큰문제들 에서의 비교가 있어야 할 것이다. 3. 4. 2 대 리 적 기 법 Surrog a te Meth o d 최 근 연구는 일 반적 인 수리 계 획 법 math e mati ca l pro g r ammi ng 에 서 특별히 LP와 관련지 어 대 리 적 기 법 Surrog at e Meth od 둘로 귀 착되 고 있다 (47). 앞에서 주어진 선형계최문제 Pl 과 관련된 대리적 선형계

획 Surrog a te Lin ear Prog r ammi ng ; SLP 은 다음과 같은 형 태 가 된 다. max z= _nE Cj X j i= I s.t . Em A; En a i j X j즉 Em Aib ; ;= I j=J ;=J x; 족 O, O~).,~l, I’n: A;=l ;=, SLP 는 원문제의 m 개의 제약식을 단일 제약식으로 결합한 것이 다. 단일 제약식을 가지고 있는 SLP 는 어떤 주어전 A 값에 대해 해 를 구하는 것이 매우 쉽다. 문제는 SLP 의 최적해가 Pl 의 최적해로 되 게 하는 A * 를 발견하는 데 있 다. 더 트만 Di ttm ann 과 슈타츠 Sta a ts (47 ) 는 백 타 A 를 반복사용함으로써 발견적 인 기 법 을 개 발하였고, 최 적 의 대 리 승수 surrog a te multip lier A * 와 최 적 의 쌍대 변수가 비 례 하 고 있다는 것을 보였다. 대리적 기법은 가평큘 Gar fi nkel ( 72 ) 에 의 해 모든 LP 문제에 적용될 수 없다고 발표되었으나, 어떤 부분의 LP 에의 응용은 계속될 것이다. 3.4.3 원쌍대기법 Pr ima l-Dual Meth o d 원쌍대 알고리즘들은 원문제와 쌍대문제를 동시에 풀게 된다. 많이 알려진 방법 중의 하나가 단찌히 Dantz i g , 펄커슨 Fulkerson 그리 고 포드 Ford(43) 의 것이다. 이 알고리즘은 최적화가 아니라 가능 해만을 필요로 한다는 이접이 있으나 사용하는 데 있어서 인위변수 artif icial varia b le, 부가적 인 제 약식 그리 고 더 욱 복잡한 Pi vo t 선택 의 과정을 거쳐야 하는 불편함이 있다. 이 기법과 개정 십플렉스 알고 리즘을 비교하는 두 개의 연구(1 29,130) 가 있었으나 어떤 연구도 이 기법들의 우월성에 대해 결론을 내리지 못했다. 그 의의 기법으로논 스콜니크 Scoln i ck(161) 가 발표한 일반화된 역 행 렬 Genarali zed Inverse 을 이 용한 기 법 , 또 삭세 나 Saksena 와 코울 Cole (1 58) 에 의해서 발표된 현재 기저를 이루는 m 개의 제약식으로 이루어지는 R 공간상의 초평면 h yp er p lane 의 특성을 이용한 기법, 쿠 퍼 Coop e r 와 케 닝 턴 Kennnig ton (32) 에 의 해 발표된 해 가 꼭지 접 이 아 닌 형태의 기법둥이 발표되었으나, 이들 기법들은 아직 정립되지 않

았고, 십플렉스의 기법의 효용성에 눌려 연구가 미전한 상태이다. 3. 5 선형계획 문제의 컴퓨터 시스텝 선형계획 컴퓨터 프로그램들은그것들의 복잡성, 능력, 사용의 용 이성 등에서 서로 다르다. 여러 규모가 작은 코드들에 덧붙여 IBM 의 MPSX 나 CDC 의 OPHELIE 같은 여 러 개의 제 련되 고 큰 선형 계 획 시스템이 현촌하고 있다. 합당한 시간 안에 그리고 정확한 계산 치를 가지고 커다란 문제를 풀기 위해서 세련된 계산적 자료처리기 법을 가지고 있는 LP 시스템이 형성되었다. 이들은 다음과 같은 작 업을 수행할 능력을 가지고 있다. 1) 최적해의 민감도 분석과 모수분석 2) 자료의 저장 및 보존 3) 고전적인 Phase I 십플렉스기법보다 더 효율적인 기법을 통하 여 좋은 초기 가능해를 구하는 것. 또한, 정수계획 문제나 분리선형계획 문제들을 풀어넬 능력이 포 함되어 있는 것들도 있다. 대다수의 선형계획 컴퓨터 시스템은 개정된 십플렉스기법을 사용­ 하고 있고, 1,000 개 정도의 제약식을 가지고 있논 문제논 평균 크. 기라 생각되고 있으며, 16,000 개의 제약식까지는 적어도 선형계획 시스텔 중하나로 처리될 수 있다. 더군다나 변수의 숫자에 어떤 실 제적인 한계는 없다. 이러한 보다 큰 문제들은 일상적으로 역행렬 의 곱의 형 태 pro duct for m of inv erse 를 가지 는 개 정 십 플렉 스에 의 해 처리되고 있다. 그러나 어떤 코오드들은 지금 곱의 형태 (13 4, Chap. 17) 대 신에 역 의 가우시 안 Gaussia n 이 나 소거 elim i na ti on 를 이 용하고 있다. 일상적으로 이러한 시스템들은 자동적으로 양이 아닌 것 non- po sit ive 과 하한경 계 lower bound 가 되 어 있는 것 그리 고 자유변수 free varia b le 들을 다룰 수 있고 자동적 으로 일반화된 상한경 계 upp e r bound 를 사용한다. 최 적 화후 po st- o p tim al 분석 들은 주로 목적 함수의 계 수나 우측 벡 타 (RHS) 에 서 한 요소를 단속적 dis c rete 으로 변화시 키 는 데 제 한되 고 있 다. 일반적 인 활동행 렬 acti vi t y matr i x 과 관계 한 최

적화후의 분석은 계산상 힘든 것으로 사려되고 있다. 그러나 활동 행렬에서 변화를 알아보는 제한적인 형태가 어떤 시스텔에는 포함 되어 있다. 선형계획컴퓨터 시스뎀의 영어와 같은 〈조정언어 contr o l lan g ua g e 〉는 일상적 으로 제 공되 어 프로그래 머 가 아니 더 라도 시 스뎀 을 사용할 수 있다. 표준적으로 LP 시스템의 최소의 출력은 다음 과같다. 1) 각 변수의 이름, 값, 상태 2) 목적함수의 최적값 3) 각 행 과 열에 대 한 그림 자값 shadow pr ic e 마태의 선형계획 컵퓨터 시스텔은 자료처리 그리고 문제의 해를 푸는 증가된 능력을 가지는 보다 복잡하고 큰 시스템의 방향으로 나타나게 될 것 같다. 상업적 실용성이 이론들을 수용할 것아고, 개발되는 어떤 반복기법들도 활용될 것이다. 3.6 결론 효율성과 응용성에 있어서 LP 는 확실히 가치 있는방법론으로자 겨울 받아야 한다. 날로 복잡해지고 있는 사회에서 존재하논 문제 를 푸는 참재능력을 더하고 있는 현재 LP 코오드의 응용은 그것의 개발에서 쓰여전 막대한 노력울 증거하고 있다. LP 문제논 실제적 이고 사용할 만한 도구로 평가되고 있다. 광대한 대다수의 LP 문제 들에서 해를 구하는 데 드는 비용보다 그것으로 얻어진 이익이 더 크다는 것 은 현재 분명 하다. 여 러 비 선형 non-lin ear 계 획 및 정 수계 획의 문제의 알고리즘이 선형방법에 기초하고 있기 때문에 LP 의 가 치는 최적화 이론의 전분야로 확산되는 것이다. 이것은 저절로 LP 연구의 계속성울 증거하는 것이다. LP 연구는 LP 에 대한 그자신의 가치 때문만이 아니라 다른 최적화 분야로 전전될 참재능력 때문에 평가를 받게 되는 것이다. LP 가 결정을 가지고 있다면, LP 를사용 하려는 의도에서 발생되는 응용에서 생기는 그릇된 생각에 있는 것 이다. 어느 정도까지 LP 는 이론과 수학적 원리로 이루어지고 있다. 연구자들은 LP 의 실용적인 면을 간과해서는 안되며 현재 적용중인

문제에 대한 적합성의 의문을 가져야 한다. 4 네 트워 크 모형 Netw ork Model 네트워크 모형은 OR 에서 폭넓게 사용된다. 이 모형들은 상품의 운송, 전기 통신 시스템의 디자인, 상하수도망, 교통망, 직무할당, 생산계 획 둥 의 여러 분야에서 응용되고 있다. 또한 공장입지, 제조 과정의 모형, 자금흐름 분석 둥에서도 중요한 기법으로 사용된다. 이렇듯이 널리 사용되는 이유는 다음과 같다. 1) 실제문제를 네트워크 문제로 다른 최적화 문제보다 정확히 모 형화할 수 있다. 2) 네트워크 문제는 문의한에게도 쉽게 설명이 가능하기 때문에, 어떠한 다른 OR 의 모형보다 비전문가들에게도 쉽게 받아들여 진다. 3) 네트워크 문제의 알고리즘들은 대체로 대형문제를 푸는 데 적 은 계 산비 용이 돈다. 예 를 들어 수송 Transpo rt at i on , 할당 Assig n -ment, 최 소 비 용 유통 Mi n im um Cost Netf low 모형 의 알고리 즘 들은 동일한 문제를 일반적인 선형계획기법보다도 100~300 배 정 도로 빨리 푼다. 또한 최 대 유량 문제 Maxfl ow pro blem, 최 단 경 로 문제 Shorte s t Path pr oblem, 최 소 확장 나무 M ini m um Sp a nnin g t ree 를 계산하는 데에는 대단히 효율적인 기법이 개발되었다. 4) 네트워크 알고리즘들은 다론 최적화 문제의 알고리즘이 풀 수 있는 문제의 변수와 제약식의 수보다 훨씬 많은 변수와 제약식 울 가진 네트워크 문제까지도 풀 수 있다. 힛 치 콕 Hi tch cock (97) 과 쿠프만즈 Koop m ans (108) 에 의 해 네 트워 크 의 연구가 시작된 이래, 1,000 여편이 넘는 논문이 발표되었다. 19 50 년대와 1960 년대에는 새로운 모형과 알고리즘의 개발에 연구의 촛점이 맞추어졌으나, 그 이후로는 개발과 병행하여, 이미 개발된 모형과 알고리즘의 이론적 분석과 확장, ． 또한 컴퓨터에의 적용 등 에 역접이 두어졌다.

본문에서는 응용범위가 매우 넓은 내트워크 모형의 알고리즘에 중접을 두었다. ‘ 앞으로, 실제로 풀고자 하는 문제는 접접 더 대형 화되고, 컴퓨터 처리 능력도 접접 빨라질 것은 명백하다. 본문에서 다루고자 하는 모형과 알고리즘은 대형문제에 대해 적 철한 비용으로 해를 구할 수 있는 것들이다. 지난 10 년 동안에는 대형문제를 풀기 위해 컵퓨터률 사용할 수 있는 알고리즘과 그렇지 못한 알고리즘간의 구벌이 현격해 왔다. 예 를 들어 , 외 판원 문제 Travelin g Salesman pr oblem 는 이 문제 를 푸 는 알고리즘의 효율이 눈에 띄게 진척되었음에도 불구하고, 현재에 도 1950 년대의 50 개 도시문제가 컴퓨터 실험 문제로 사용되고 있는 반면 중개 수송 알고리 즘의 경 우는 10, 000 접 들과 50, 000 호들을 갖는 초대형문제를 컴퓨터 실험 문제로 사용하고 있다. 계 산상의 복잡성 comp u ta t i on al comp le xit y 에 서 도 거 론되 었 지 만, 몇 및 모형에는 효율적인 알고리즘이 개발되지 않고 있는데, （예를 둘 어, 다품종 유량모형) 그 이유는 알고리즘을 다루는 기술의 부족 때 문이 아니라 모형 자체의 어려움 때문이다. 4.1 최대 유량 문제 Maxim um Flow Problem 처음으로 연구된 네트워크 모형들 중의 하나가 최대 유량을 결정 하논 문제 이 다. 각 호선에 할당된 용량을 가전 방향 네 트워 크 Di re c- ted Netw ork 가 주어 졌을 때 , 최 대 유량 문제 논 공급원 source 이 라 고 불리는 교접에서 종착지접 s i nk 이라고 불리는 교접으로 가는 최 대유량을 결정하는 문제이다· 포드 Ford 와 펄커슨 Fulkerson(64) 은 이 문제 에 대 하여 효율적 인 유량첨 가 알고리 즘 Flow aug m enti ng algo - r it hm 을 개발하였다. 정수가 아닌 실수의 용량을 가전 최대 유량 문제는 포드 Ford 와 펄커슨 Fulkerson 에 의하여 무리수 용량을 가전 예로서, 그들의 알고리즘이 플린 해로 수령하며, 따라서 계산상의 복잡성에 한계치가 없음을 보여주었다. 그러나 정수의 용량에 대해 서는 각 반복 때마다 유량이 적어도 하나씩 증가하며, 최대 유량의 크기가 반복횟수에 대한 한계 bound 를 주기 때문에 한정된 반복내 에서 끝난다.

2 절에서 언급한 것처럼, 계수의 크기를 포함하는 한계 bound 는 만 족스럽 지 못하다. 에 드먼즈 Edmonds 와 카프 Karp (52) 는 포드 Ford 와 펄커슨 Fulkerson 의 알고리즘을 개선하면서, 용량의 정수성과 크 기 int e g r ality and mag n it ud e of cap a cit ies 에 무관한 한계 bound 를 설정 했 다. 그들은 만약 유량 첨 가 flow aug m enta t i on 를 호의 수가 최 소인 첨 가 경 로 aug m enti ng pa th wi th the few est arcs 에 따라 행 한다면, 반 복수는 n 을 교접수라 할 때, (n3-n)/4 를 넘지 못한다는 것을 증 명하였다. 정수 용량을 가전 문제에 대하여 만약 각 반복마다 최대 가능 첨가가 이루어진다면, 최대 유량 문제의 계산상 복잡성의 한 계치를 줄일 수 있다는 것도 중명되었다. 4. 2 중국 집배원 문제 Chin e se Postm an Problem 수리계획이 도시행정에 이바지한 커다란 공헌의 하나는 우편물의 집배, 쓰레기 수거, 도로청소, 제설작업을 하는 경로를 정하는 방 법 이 었 다(1 2, 118, 173, 177). 이러한 가치있는 모형이 중국집배원 모형이며, 이름의 연유는 집 배원의 노정에 응용한 중국인 수학자 콴 Kwan(112) 에 의해 소개되 었기 때문이다. 각 호선에 비음수 거리가 할당된 네트워크에서, 이 문제는 각 호선율 적어도 한 번은 지나야하고, 결국은 처음시작한 곳으로 돌아오는 데 걸리는 최소한의 경로 거리를 결정하는 문제이 다. 이 문제 에 대 한 알고리 즘과 결과는 무방향 네 트워 크 Undir e cte d Netw ork, 방향 네트워크 또는 두 성질이 복합된 네트워크의 경우에 따라 각각 다르다. 중국 집배원 문제 자체는 하나의 차량(또는 사람)을 가정하나, 실 제 문제의 응용은 다수의 차량(사람)이 가정된다. 따라서, 실제 문제 의 응용에 팔요한 작업은 주어전 네트워크를 여러 개의 부분 네트워 크로 나누어 중국 집배원 모형을적용하거나, 또는전체 네트워크에 이 모형을 적용하여 해를 구한 후 이 해를 몇 개의 부분 네트워크 의 해 로 나누는 과정 이 다. 오로프 Orloff (1 38) 는 후자의 접 근 방법 에 관한 결과를 보고하였다. 그래 프 이 론에 관한 최 초의 보고서 에서 오일러 Euler (53) 는 무방

향 네트워크에서 각 호를 꼭 한 번 지날 수 있고, 출발접으로 되돌 아울 수 있는 필요충분조건은 각 접 의 차 deg re e 가 짝수(차는 한 접 에 연결된 호의 수이다)이어야 한다는 것을 것을 보여주었다. 그는 꼭 한 번 각 호를 지나는 〈오일러 경로〉를 설정하기 위한 효과적인 알 고리즘을 제시하였다. 만약 각 점의 차가 짝수라면, 오일러경로는 집배원모델의 최적해가 된다. 일반적인 문제인 홀수의 차를 가전 점이 존재하는 문제에 대하여 에 드먼즈 Edmonds (50) 는 모든 홀수차인 접 들간에 최 단 경 로물 구하 고 홀수차 접들에 대한 1- 결합문제 I-matc h in g p roblem 로 전환하여 푸는 알고리즘을 개발하였다. n 을 점의 수라 할 때 최단 경로 알 고리즘은 O(n2) 의 계산 복잡성을 갖고 에드먼즈 Edmonds 의 l- 결합 문제를 푸는 알고리즘은 O(n3) 의 계산 복잡성을 갖고 있 으므로 에드먼즈 Edmonds 에 의해 제시된 알고리즘 또한 O ( n3) 의 계 산 복잡성을 갖는다. 방향이 있는 호를 가전 네트워크의 경우, 오일러 경로가 있기 위 한 팔충조건은 접으로 들어오는 방향의 호와 나가는 방향을 가전 호의 수가 일치하는 것이다• 이 조전이 만족되지 못하면, 호의 수 가 일치하지 않는 접 사이의 , 최단 경로를 찾고 그 점들에 대한 수송 문제 를 푸는 것 이 팔요하다 [Orlo ff (13 8)]. 몇 개의 방향을 가진 호와 방향을 갖지 않은 호를 가진 혼합된 경 우는 좀더 복잡함이 알려 져 있 다[J ohnson (10 0), Edmonds & Joh nson (51 ), Orloff (137)]. 4. 3 최소 확장 나무 문제 Mi ni m um Sp a nnin g Tree Problem 최소 확장 나무 문제는 응용범위가다양하므로매우유용하다. 일 반적으로, 연결되어야만 하는 점들을 가진 네트워크의 건설을 최소 의 비용으로 수행하는 데 쓰인다. 이 문제에는 아주 효율적인 알고 리즘이 촌재하기 때문에 표면상 다르게 보이는 문제도 이 문제로 모형화한다• 네트워크의 설계로서, 텔레비전(유선) 전선을 모든 방 송국에 연결하는 네트워크 (45), 컴퓨터 터미날의 연결망, 전화망, 교통 수송망, 상하수도 및 송유관의 설계 둥이 다.

또한 최소 확장 나무 문제는 다론 최적화 문제에서 부분 문제로 도 이 용된다. 예 로써 고머 리 Gomory 와 후 Hu (82) 의 다종접 유량 문제 multit er mi na l flow pr oblem 의 해 법 , 핼드 Held 와 카프 Karp (92, 93) 의 외 판원 문제 Travelin g Salesman Problem 의 해 법 등에 이 용되 었다. 최소 확장 나무 문제는 호 arc 에 할당된 비중 we ig h t을 가전 연결 무방향( 連結無 方向) 네 트워 크에 서 전체 비 중 Tota l Weig h t 을 최 소화 하는 최소 확장 나무를 선택하는 것이라 할 수 있다. 비중은 비음 수일 팔요가 없다• 하지만 각 확장 나무가 똑같은 수의 호를 가지 고 있기 때문에 모든 비중을 비음수 nonne g a ti ve 로 만들기 위해서 각 비중에 정해전 수fi xed number 를 더해 주더라도 최적해에는 변화를 주지 못한다. 따라서 최소 확장 나무 문제에 대한 모든 결과는 직 접적으로노 최대 확장 나무 문제에 적용할 수 있다 . 이러한 사실온 최단 경로 문제의 결과가 최장 경로 문제에 적용될 수 없다는 접과 는 상이하다. 최소 확장 나무 문제에는 두 가지 주요 알고리즘이 있다. 크러 스컬 Kruskal 의 알고리 즘 (110) 은 이 미 선택 된 호에 순환이 발 생되지 않는 범위내에서 최소의 비중을 가전 호를 선택함으로써 한 번에 1 개의 호를 더해 가는 것이다. 이 기법은 최소 확장 숲을 최소 연결 나무로 만드는 것이다. 이 기법은 최악의 경우 O(n 합인 한계 치를 갖는다. 프림 Prim (1 46) 과 덕 스트라 D ij ks t ra (46) 의 알고리즘은 n 개의 접 nodes 보다는 적은 부분 나무 sub t ree 를 부분 나무에 있는 호와부분 나무에 있지 않은 호를 연결하는 최소 비중의 호몰 선택함으로써 만든다. 이 알고리즘은 부분 나무를 최소 확장 나무로 바꾸는 것이다. 이 알고리즘은 최악의 경우 0(#) 의 한계치를 갖는다. 이 알고리즘은 책 에 드먼드 Jac k Edmond 에 의 해 알고리 즘이 라고 부르게 되었다. 그 이유는 이 알고리즘이 오직 최소확장 나무에만 있을호 만을 선택하기 때문이다(이것은 독정한 호가 최저해에 속할지 속하지 않 울논지 모를 수송 문제와 대조를 이문다).

위의 두 알고리즘들은·효과적이고 컵퓨터 프로그램을 짜기가쉽다. 알고리즘의 선택과 컴퓨터 프로그램의 사용은 문제가 대형이거 나 여러 번 풀어야만 할 경우 중요한 문제가 된다. 프림-덕스트라 Prim e-Di jks tr a 의 알고리 즘이 네 트워 크가 성 간 spa rse 경 우가 아니 면 단순한 컴퓨터를 이용하는 데는 더 낫다. 하지만 좀더 정확한 컵퓨 터를 이용한다면 상황은 아주 다르게 된다. 커 셴 바움 Kershenbaum 과 반 슬라이 크 Van Slyk e (1 05) 는 새 로운 분 류법 sortin g tec hniq u e 을 사용하는 개 선된 양쪽 알고리 즘을 실험 한 결과 개선된 크러스컬 Kruskal 알고리즘이 치밀하거나 dense 성건 s p arse 네트워크에 좋은 결과를 준다는 것을 보여주었다. 그들은 200 개 의 점 과 600 개 의 호를 가진 네 트워 크를 무작위 로 CDC 6600 에 넣 어 200msec 시 간을 사용한다고 보고했다. 그들은 컵 퓨터 시간이 사용하는 알고리즘의 선택에 유일한 결정 기준이 될 수 없고 입력의 형태, 컴퓨터 처장 요건, 특정한 응용요건들 모두가 선택에 영향을 준다고 지적했다. 현존의 알고리즘은 아주 효과적이라서 일반적안 문제에는 개선된 알고리즘을 찾는다는 것이 벌로 유익하지는 않을 것 같다. 프림-덕스트라 Pr i m-D ij ks t ra 알고리즘 죽 n2 보다 더 낮은 차수를 가진 알고리즘을 찾는 것은 불가능하다. 왜냐하면 각 호는 적어도 한 번은 조사해 야만 되 고 완전히 치 밀한 to ta l ly dense 네 트워 크의 겅 우도 n(n-1)/2 의 호를 갖고 있기 때문이다• 대형 혹은 반복적인 해 때문에 풀이 시간이 중요한 특정한 문제 의 경우는 알고리즘울 특별한 기법이나 변형을 개발시키는 것도 가 치가 있을 것이다. 알고리즘이 아주 빠르기 때문에, 중요한 공헌은 커다란 문제에 대해 그 문제 내에 있는 부분 문제를 푸는 알고리즘 을 사용함으로써 얻을 수 있다. 4. 4 최단 경 로 문제 Shorte s t Path Problem 최단 경로 모형은 많은 옹용을 가지고 있다(1 4,67). 대표적인 예 로써 PERT/CPM 의 응용을 들 수 있고, 통신망에 서 신뢰 성 이 가장 높은 경로의 결정등이다. 각호에 할당된 거리 d i s t ance 가 주어전 방

향 네트워크에서, 최단 경로의 문제는 하나의 접에서 다론 정으로 지나가는 경로의 거리합을 최소화시키는 경로를 찾는 것이다. 다음 의 3 가지의 근본적인 문제가 있다 문제 1) 하나의 접으로부터 주어전 다른 한 접까지의 최단 경로 를 찾는다. 문제 2) 하나의 접으로부터 모든 다른 접까지의 최단 경로를 찾 는다. 문제 3) 모든 쌍p a i r 의 정 사이의 최단 경로를 구한다. 문제 1) 을 푸는 대부분의 알고리 즘은 문제 1) 을 푸는 자체 의 부 산물로 문제 2) 를 푼다 . 따라서 문제 1), 2) 를 푸는 알고리즘의 각 교접에 작용하면 중복성은 존재하나 문제 3) 도 풀릴 수는 있다. 주 지할 접은 비음거리 문제 pro blem wi th non neg a ti ve d i s t ance 와 일반 적인 문제, 죽, 음의 거리가 허용되나 주어전 네트워크에서 어떠한 순환 c y cle 의 길이가 음이 되지는 못하는 문제와는 큰 차이가 있다 는 것이다. 비음거리 문제를 푸는 타입의 알고리즘은 일 반적인 문제에서는 최단 경로를 발견해내지 못하는 경우가 있다. 또한 순환의 길이가 음이 되면 최단 경로 문제논 순환의 경로를 무 한히 순환하면서 최단거리는 -00 로 접근한다. 네트워크에 있는 순 환의 길이가 음이 됨을 허용하면서, 단순경로(순환을 갖지 않는 경로) 의 최 단거 리 를 찾는 것 은 의 판원 문제 Traveli ng Salesman Problem 와 동동한 문제임이 밝혀져, 그 문제 자체는 대단히 어려운 NP-hard 문제이다. 비 음거 리 의 문제 2) 에 대 하여 옌 Yen (17 9) 이 표시 된 접 Labeled nodes 을 확인하는 방법 을 개 선함으로써 딕 스트라 Dijks tr a 알고리 즘 (46, 49) 의 계 산 복잡성 을 줄였 다(후에 옌 Yen (1 79) 의 논문은 월리 암 W illi am 과 화아트 Wh it e(174) 의 논문에 의해 사소한 결정이 고쳐졌다). 이 개선된 옌 Yen 의 알고리즘이 문제 3) 을 각 교접에 계속 적용 하여 풀 때 는 (49) 에 서 발표된 Floy d 알고리 즘보다 더 욱 효과적 이 다. 일반적인 문제 2) 에 대하여서는 옌 Yen (1 78) 이 강 m(n-l)(n-

2) 의 연산 op e rati on 수를 가지 는 알고리 즘을 개 발하였 다. 여 기 서 n 은 접의 수이고 l

cap ac it at e d tra nsship m ent pro blem 이 다. 단위 당 선적 바 용 unit ship ping cost 과 각 호에 할당된 최 대 흐름 용량 maxim um flow cap ac i ty, 공급 접에서의 상품의 공급, 수요정에서의 상품의 수요 둥이 주어전 방 향 dir e ct ed 네 트워 크가 있다면, 문제 는 최 소의 비 용으로 공급으로부 터의 수요를 만족시키는 상품의 흐름을 결정짓는 것이 된다. 수송 문제는 용량 중개수송정이 없고 공급접에서 수요접으로 모든 호가 갈 수 있는 특벌한 형태이다. 할당문제논 공급접 수와 수요접수가 같고, 모든 공급 수요가 1 인 더 특별한 경우이다• 대표적인 응용은 상 품 의 최 적분배와 50 억 배털의 비행연료를 연간 구입함에 있어, 600 개의 접과 3,500 개의 호를 가진 입찰 평가 모형으로 접근하였다 (16 9) . 생 산계 획 문제 의 네 트워 크 모형 화는 (48, 170) 에 서 다룬 바 있 고 특 히 , 글로버 Glover 와 클링 만 Klin g m an (79) 은 자동차의 생 산계 획 (1, 200 접 과 4, 000 호), 목화의 할당과 수송: 문제 (3, 400 접 과 61, 000 호), 동계자료과일의 통합문제 (5,000 접과 625,000 호) 둥을 다루었다. 그들 의 응용은 대형문제에 있어서의 일반적인 접근방석인 특별한 구조 의 대형문제에 맞추어전 알고리즘도 포함된다. 수송-할당-중개 수송 문제 를 풀기 위 해 제 안된 알고리 즘은 다음의 부류로 분류될 수 있다. 1) 原십 플렉 스기 법 의 네 트워 크 (23, 40, 164) 2) 脫킬터 out of Ki lt e r 알고리 즘 (65) 3) 쌍대심플렉스기법의 네트워크 (6,7,24) 4) 경 로 pa th 를 이 용한 알고리 즘 (20, 52) 5) 척 도법 scali ng 을 이 용한 알고리 즘 (52) 그리고 할당 문제에는 특벌한 쿤 Khun 의 알고리즘 (111) 이 있다. 보통 수송과 중개수송 알고리즘은 컵퓨터 실험에 의해 비교되기 때 문에 컴퓨터 알고리즘의 적용은 중대하다. 글로버 Glover, 카네 이 Karney, 클링 만 Kl ing m an, 네 이 피 어 Nap ier , 바아 Barr (9, 77, 78) 동은 그들의 原네 트워 크 십 플렉 스 프로그램 이 脫킬터 out- o f- k il ter 알고리즘의 컵퓨터 프로그램보다 30% 에서 40% 더 빠르다는 것을 보고하고 있다. 이 것은 1950 년대와 1960 년대 초.

반의 주장과 어긋나고 있으며 脫킬터 out- o f -k il t e r 알고리즘이 득히 중개수송 문제들에 더 좋다고 하는 주장과도 어긋나고 있다. 실험 에 있어서 원p r i mal 프로그램은 일반적인 선형계획을 푸는 컴퓨터 프로그램 OPHELTE 보다 150 배나 빨랐다. 지 난 5 년간 개 선된 원반복기 법 im p ro ved pr im al alg o rit hm 과 컴 퓨터 프로그램은 수송과 중개수송 문제를 푸는 데 드는 비용에 있어서 몇 배의 절약을 가져왔다. 풀려질 수 있는 문제의 크기는 극적인 중가 를 보였으며 앞으로도 계속 중가할 것이다. 실제로 한 단계 컵퓨터 계산에 걷리는시간은 어떤 한계에 도달하고 있지만 초기해의 개량, 기처에 진입할 호의 선택법칙, 기처나무의 재배열, 그리고 거의 연 구되지 않은 네트워크의 재배열 둥은 비용에 있어서 대단한 질감을 가쳐올 것으로노 기대된다. 앞으로기여는응용쪽으로많이 행해질것같다. 왜냐하면최근의 주된 알고리즘의 개량의 효과가 그리 절실하지 않기 때문이다. 대 형문제를 푸는 능력은 새로운 응용분야를 낳을 것이며, 더 큰 문제 를 풀려 고 시 도할 것 이 다. 그리 고 공장입 지 pla nt locati on , 다품종유 량, 비선형생산계획 문제, 네트워크에 관한 고정비용과 같은 부수 적인 문제를 풀기 위하여 수송모델을 사용하는 방법에도 역시 발전 이 있을 것이다. 정수의 공급과 수요와 용량을 갖는 중개수송모형은 항상 정수의 최적해를 갖기 때문에 네트워트 모형은 매우 효율적인 해법을 갖는 정 수계 획 int e g e r pro g ra mmi ng 의 수개 의 부류 중의 하나로서 , 다른 일반적인 정수계획 모형에 매력적인 대안이 되고 있다. 4. 6 다품종 네트워크 유량 문재 Multi co mmodit y Netw ork flow s pro blem 수송-중개수송 모형은 공급접들에서 수요접둘로 수송되는 상품 들이 단일 품종이다. 그러나 많은 실제 응용에 있어서는 동시에 다 품종이 수송되고, 각 품종의 상품들의 올바론 양이 수요접으로 중 개 수송되도록 하여야 한다. 다품종 모형의 응용은 창고 위치 문제 (74), 도시 교동연구(1 01) ， 차량의 경 로 문제 routi ng of vehic l es (12 ,

167) 등이다. 다품종수송 문제에 대하여 에반즈 Evans, 자비즈J av i s 와 듀크 Duke(54) 는 두 개의 공급접 또는 두 개의 수요접울 가진 문 제는 단일 품종유량 문제로 변환하는 방법을 구했으나, 만일 두 개 이상의 공급접과 수요점이 있다면, 비록 공급 수요 용량이 정수라 하더라도 정수가 안 될 수 있음을 증명하였다. 이것은 일반적 다품 종 문제가 동등한 단일품종문제로 변환되는 것이 불가능함을 나타 낸다. 많은 실재 응용에서는 상품의 수량이 정수이어야 하는 현실 때문에 정수의 수송량이 요구되게 된다. 다품종 모형은 2 철에서 언 급 한 것처럼 원래 어려운 NP-hard 문제이다. 다품종 문재에 대한 알고리즘은 일반적으로 네트워크 알고리즘보다도 오히려 대형선형 계획 법으로 분류된다• . 왜냐하면 특별한 네트워크 구조를 이용하면 서 문제 를 선형계획법으로 푸는 접근을 하기 때문이다. 지오프리온 Geo ff r i on ( 74) 에 의한 대형수리계획법 연구는 이러한 관접에서 다품 종 문제 알고리즘을 논하고 있다. 그 알고리즘은 선형계획 이론과 기 법을 사용하지만 계산은 가능한한네트워크 문제로 나누어 푸는 쪽 으로 되 어 있 다· 포드-펄커 슨 Ford-Fulkerson (64) 의 분해 알고리 즘 decomp o sit ion algo rith m 이 최 초의 것 이 며 , 일 반적 단찌 히 一월프 Dan- tzi g -W olf e 분 할보다 수년 앞선 것 이 다. 다른 분해 접 근 방법 은 톰린 Tomlin (16 8) , 첸 Chen 과 드발 DeWald (25), 크레 망스 Cremeans, 스 미 드 Smi th 와 탄 달 Ty n dall (36) 과 스워 브란드 Swoveland (16 7) 동이 냐 또 다론 중요한 알고리즘의 접근은 십플렉스기법으로 선형계획 부분으로 나누는 것이다. 네트워크 부분은 네트워크방법으로푼다. 이 접 근 방법 은 세 이 걷 Saig a l (15 7), 하트만 Hartm an, 래 드슨 Ladson (91), 그리 거 리 어 더 스 Grig o ria d is 와 화이 트 Whit e ( 85), 그레 이 브즈 Graves 와 맥 브라이 드 McBrid e (84) 와 케 닝 턴 Kennin g ton (103) 에 의 하 여 사용되 었 다. 그레 이 브즈 Graves 와 맥 브라이 드 McBrid e (84) 와 케 닝 턴 Kennin g ton (1 03) 의 업적은 개선된 原네트워크 알고리즘을 그 둘의 다품종 알고리즘에 있는 중개수송 모형에 대하여 혼합시킨 것 이 다. 분할요소화 접 근방법 pa rtit ion & fac to r iz a ti on app r oach 은 原중 개 수송 알고리 즘 pr im al tra nsship m ent algo rith m 에 서 의 획 기 적 발전을 다품종 알고리즘으로 확장시키는 가장 최선의 방법처럼 보인다.

4.7 결론 네트워크 모형들은 능동적이고 홍미있는 연구분야이다. 최근에 여기에서 논의된 모형에 있어서 실질적인 전전이 있었고 최소 비용 네트워크유량 모형에는 중요한 전전이 있어 왔다. 십플렉스기법에 근본을 둔 原 최소 비용 네트워크 유량 알고리즘의 계산속도가 크 게 증가된 것은 일반적인 선형계획법 컴퓨터 프로그램들과 네트워 크 컴퓨터 프로그램들과의 차이를 크게 넓혔기 때문이다. 이것이 다른 최적화 문제들의 해에 영향을 끼쳤다. 선형계획법과 네트워크 모형의 상대적인 효율에 있어서의 이러한 변화는 장래 모형의 결정 과 해법에 영향울 증가시키게 될 것이다. 최근의 연구 또한 많은 대형 네트워크 문제들의 해결을 가능하게 해주고 있다. 경제적으로 대형문제들을 풀 수 있는 능 력은 새로운 응용을 가능하게 하고 있다. 이것은 보다 더 많은 사람들이 네트워 크 알고리즘의 증가되는 능력을 알게 됨에 따라 계속될 것이다. 그 러나 모든 진보가 선형계획법 모형을 네트워크 모형으로 대체시킴 으로써 이루어지는 것은 아니다. 많은 대형 최적화 문제들이 네트 워크 모형을 크게 흡수하고 있으므로 주요한 개선은 네트워크 부차 적 문제 subp ro blem 로 전이 된, 대 부분의 계 산의 부담을 갖는 대 형 의 선형 비선형 최적화 문제들을 푸는 데 있을 것이라고 하는 것은 공 통된 견해이다. 최근 수년간의 네트워크 모형의 전전은 대형 최적 화 문제의 주된 전전에 대한 기초가 될 것이다. 5 비 선 형 계 획 법 Nonlin e ar Prog ra mmi ng 본 절에서는 비선형계획 문제를 푸는 데 유용한 계산방법을 고찰 하고, 아울러 실제 문제에 적용될 수 있는 여러 종류의 방법에 대 하여 고찰하고자한다. 일반적으로, 비선형계최 문제논 비선형의 목적함수f( x) 와 수용 가능한 선택들의 집합 S 에 의하여 정의된다. 여기서 목적함수는 결정변수 z 의 실함수이고, 해가능영역 S 는 다음과 같은 유한개의 실함수방정식의 공통치역으로서 정의된다.

hp ( x ) = 0, 또는 g,. (x) ; ;;. o. 집합 S 는 대수방정석, 부등석, 혹은 미분, 편미분, 적분방정식 듈의 해집합으로써 나타내질 수도 있고, 표나 그래프로 정의될 수 도 있다. 여기서는 결정변수 X 가 유한차원의 실벡터이고, 목적함 수 를 최소화하는 문제를 고려하기로 하자. 최대화 문제는 결국 아 래 석에서 보듯이 쉽게 최소화 문제로 변형될 수 있기 때문이다. max f(x ) = —mi n [-f( x )J 따라서 비선형계획 문제는 다음과 같이 기술될 수 있다. Mi ni m i ze J(x ) subje c t to ; gm (x);;;,.O, m=l, …, M h ，，（ x)= 。＇ P=l, 따 p x= (x1 , …, XN) 이러한 문제에서 제약식이 없는 경우에는 목적함수의 값을 줄이 기 위해서만 가능접 candid a te po i n t을 선택하면 되지만, 제약식이 있 는 경우에는 가능점들이 목적함수를 개선하면서 제약식도 만족시켜 야 하므로 추가적인 계산이 팔요하게 된다. 따라서, 우선 제약식이 없 는 경 우의 단변수 Sin g le Varia b le, 다변수 Multi Varia b le 문제 를 고 찰하고, 다음으로는 제약식이 있는 경우의 문제를 살펴본 후, 선형 계획기법이 비선형계최 문제의 해법에 어떻게 활용되는가를 알아 보기로 하겠다. 5. 1 단 변수 최 적 화 Sin g le Varia b le Op tim i za ti on 제 약석을 갖지 않는 단변수 최적화 문제는 몇 개의 선택된 접어 1 서 목적함수값을 그래프상에 도시함으로써 해결될 수도 있다. 또한 목 적함수의 일차도함수를 0 으로 놓고 대수적으로 푸는 고전적인 방법 을 사용할 수도 있다. 그러나 이 경우, 첫째 일차 도함수의 해석 적 표현이 불가능하거나, 둘째 목적함수의 계산아 너무 어렵거나,

세째 i;.J_-변수 최적화 문제가 다변수 최적화 문제를 위한 반복적 과 정안에서의 부차적 문제 Sub p roblem 로써 행해져야만 될 때에는 반복 적 방법이 더 효과적일 수가 있다. 주어전 문제의 중요성에 비추어 볼 때 많은 알고리즘들이 고안되어 왔다는 것은 놀라운 일이 아니다. 이러한 알고리즘들에 대한 상세한 설명은 (1 5,171,13,134) 를 보면 알 수 있다. 이 경우 모든 기법들은 목적함수가 독립변수의 한정된 구간에서 하나의 최소값을 갖는다는 가정에 기초하고 있는데, 이러 한 특성 을 갖는 함수를 단봉성 함수 Unim odal F~ncti on 라고 한다• 일반적으로 최적해에 대한 탐색은 두 단계로 나눌 수 있다. 첫 단 계는 임의의 선택된 접으로부터 출발하여 최소값이 존재하는 적절 한 유한구간을 결정하는 단계이다. 많은 문제에 있어, 이 단계는 이미 확정되어 있거나, 또는 실용적인 면에서 생략되기도 한다. 다 음으로는 원하는 정도의 정확성을 갖는 최소값이 존재하는 구간을 축소 • 탐색 하는 단계 이 다. 초기 단계 탐색 the op e n-ended search 은 선 험적 확장방식이나 다항석을 외삽함으로써 행해진다. 확장방석 ex- pa ndin g p a tt ern 의 예로는 스완 Swann 방법(1 66) 이 있다. 가장 널리 사용되 고 있 는 구간탐색 기 법 들은 불확정 구간 int e r val of uncerta i n t y 을 연속적 으로 줄이 기 위 하여 영 역 제 거 reg ion elim i na ti on 방식 을 쓴다. 불확정구간은 바로 최소값이 존재하는 구간이다. 영역제거방식 중 가장 좋은 것은 정해진 시행횟수 후 최대-마지막-불확정구간을 최 소화한다는 관접에서 볼 때, 키이퍼 K i e fer 가 지적한 피보나치 Fi bo - nacci 탐색 기 법 이 다. 키 이 퍼 Ki ef e r 는 피 보나치 Fi bo nacci 탐색 기 법 이 영역제거 알고리즘 중에서 가장 나은 것이타고 예중한 바 있다. 황 금분할방법 Gold Secti on Meth o d 은 근사적 으로 피 보나치 Fi bo nacci 탐 색기법에 버금가는 두번째 좋은 방법이라 하겠다. 한계영역 탐색기 법의 두번째 부류로는 다항식을 의삽i n t er p ola ti on 하는 것들이 있는 데, 이들은 다음과 같은 관찰에 근거하고 있다. 죽, 만약 어떤 함 수가 득정구간의 내부에서 최소값을 갖는다면 그것은 적어도 2 차석 이어야 한다는 것이다. 함수가 1 차석이라면 최소값은 구간의 경계 점에서 나타날 것이기 때문이다. 따라서, 가장 간단한 형태는 주어 전 구간내에서 함수를 2 차식으로 근사시키는 방법이 될 것이다. 스

완 Swann (1 66) 의 알고리 즘은 목적 함수값을 세 접 에 서 계 산하고, 이 세 접을 지나는 2 차식을 의삽하여 최소값을 해석적으로 구하는 것이 다. 이렇게 구해전 값들은 다음 탐색의 출발접이 되며, 원하는 정 확도내의 값이 얻어질 때까지 반복하게 된다. 위와 같은 탐색기법 둘은 단지 목적함수값만을 요구한다는 접이 지적되어야 하는데, 만 약 1 차 도함수를 해석적으로 구할 수 있다면, 좀더 나온 단변수 최 소화기법이 만들어질 수 있기 때문이다 (17 1). 여러 알고리즘을 비교함에 있어서 수치적으로 비교가능한 값들만 울 가지고, 어떤 알고리즘이 여타의 방법들에 비해 낫다고 결론짓 기에는 무리가 있다. 일례로 박스 Box (1 7) 는 함수값을 구할 때, 그 복잡성 때문에 계산시간에 따른 비용이 커질 때에는 스완 Swann 의 방법 이 포월 Powell 방법 보다 우수하다고 주장하고 있다. 이 것은 힘 멜불라우 Hi m melblau (96) 의 실험 에 의 해 서 도 뒷 받침 되 고 있 다. 그 논 이 방법을 황금분할방법과 비교하여 주어전 정확도의 최소값을 구하려 할 때 , 2 차의 삽법 qu adrati c i n t er p ola ti on 이 좀더 적 은 수의 함 수값을 계산하게 된다는 것을 보여준다. 한편, 구해진 값의 신뢰도 가 일차적인 중요성을 떨 때는 황금분할 방법이 선택되기도 한다. 이러한 제반 고려사항 때문에 실무자들은 영역제거 방법보다는 좀 더 정교한 의삽법을 사용하기를 권하고 있다. 5. 2 제약식이 없는 다변수 최적화 Unconstr a in e d Multi va ria b le Op tim i za ti on 제약석을 갖지 않는 최적화 문제는 단지 n 차원의 비선형 목적함 수f (x) 를 최적화(여기서는 최소화) 하는 것이다. 이러한 문제를 푸 는 기법들은 주어진 초기접에서 출발하여 각 단계의 현재접 쇼에 서, I) 목적함수가 감소될 수 있는 n 차원의 팀색방향을 결정하고 2) 이 감소방향으로 단변수 최 소화를 적 용하여 구한, 또는 이 미 정 해전 단계길이 ste p len gt h 만큼, 현재접을 이동하며 반복되어 기법 의 주어진 정지기준 s t o p cr it e ri a 에 도달하면 현재접을 최적접의 근 사접으로 구하는 기법들이다. 현재 사용되는 정지기준은 주로 사용 자가 원하는 오차에 따라 주어지고, 사용자의 주관성에 따르며 기

법의 이론 자체에는 영향을 미치지 않는다. 따라서 기법의 효율성 은 탐색방향과 단계길이의 결정에 기인한다. 그러나 탐색방향이 결 정되면 이 감소방향을 따라 최적단계길이는 단변수 최적화 문제이 므로 결과적으로 이러한 기법들에 있어서 탐색방향의 결정전략이 가장중요하다. 5. 2. 1 고전적 기 법 Classic a l Meth ods 코쉬 Cauchy (22) 의 최 급강하법 Ste e p es t descent meth o d 은 이 러 한 기 법들의 시초이자 다론 기법에 적용되는 근본적인 개념을 담고 있는 기법으로 중요시된다. 그러나 실제 적용상 성공적이지 못한 기법이 기도 하다. 이 기법에서는 최소화접 x* 를 추정함에 있어서, 임의 의 현재정 Xk 에서 목적함수에 대한 선형근사에 의촌하며 목적함수 의 일차 미 분값이 필수이 다. 목적 함수의 감소를 위 한 탐색 방향은 -vf ( xk) 를 사용하며 단변수 최소화를 통하여 최적단계길이를 정한 다. 그러나해의 수령률이 선형으로 앞으로논의되는기법들보다수 령률이 느려 선택되지 않는 경우가 많다 (4). 두번째로 중요한 고전적 기법은 뉴턴 Newt on 기법이다. 이 기법 은 2 차 경 사법 second order gra die n t meth o d 이 라고도 불린 다. 묵적 함 수에 테 일러 급수 Tay lo r serie s 의 2 차 근사를 적 용하며 , 목적 함수의 2 차 미분 가능성이 요구된다. 탐색방향은 현재접 국에서 해시안 행 렬 Hessia n matr i x (목적 함수 f의 2 차 편미 분 행 렬)의 역 행 렬과 f의 1 차 편미분의 곱인 -[v2f (군 )]-1.vrf (xk) 이고 최적단계길이는 1 이다. 수령률이 2 차식이라는관접에서 볼때 뉴턴기법은대단히 강력한기 법이지만 다음과 같은 단점이 있다 . 1) 각 단계에서 f의 헤시안 행렬과 이의 역행렬이 계산되어야 한다. 2) 일반적인 함수에 대해서는, f의 헤시안 행렬이 영의 행렬치 dete r mi na nt 를 갖거 나 몇 단계 혹은 전단계 에 서 양정 치 po sit ive defi ni t e 가 아닐 수도 있 다. 3) 볼록 convex 이 아닌 함수의 경우, 최소화 접이 아닌 정접 sta · tion a ry po in t 으로 수령 할 수도 있다.

l) 은 뉴턴기법이 가지는 고유한 성질이고 2) 와 3) 에 대한 보완책 으로 마과아트 Marqu ardt (1 20) 는 f의 헤 시 안 행 렬이 양정 치 가 아닐 경 우에 는 f의 해 시 안 행 렬에 단위 행 렬 ide nti ty matr i x 에 양의 상수 p롤 곱한 행렬을 더하여 [V2f (군)+p kI] 가 양정치를 유지하는 방 안을 제시했다. 이러한 수정된 뉴턴기법은 언제나 목적함수의 값이 감소되는 방향을 가지며 해의 수령에 따라f (x) 가 단조감소인 것을 보장한다. 그러나 수정된 뉴턴기법에서는 각 단계마다 팔요한 상수 p별 구하기 위 한 f의 해 시 안 행 렬의 固有値 eig e n value 의 분석 에 많은 계 산이 요구된다. 그러 나 바드 Bard (8) 의 보고에 의 하면 마아 콰트 Mar q uard t의 수정기법이 가장 유용한 기법이라는 것이 여러 기 법의 컴퓨터 실험을 통한 계산비교로 밝혀졌다. 5. 2. 2 이차 수렵기법 Qu adrati ca lly Converge nt Meth o d 설제 응용면에 있어서 해시안 행렬의 역행렬을 매단계마다 구하 는 것은 불가능할 경우나 너무 계산시간이 많이 걸리는 경우가 허 다하다. 따라서 일차 미분만을 이용하면서도 뉴턴기법의 수령물과 같은 기법의 개발에 연구가 많이 이루어졌다• 이러한 부류의 기법 둘은 역행렬 대선에 현 탐색접이나 그전 단계의 탐색접들의 일차미 분치만을 이용한 행렬 D 를 대용하여 탐색방향을 결정한다. 이 기 법들은 코쉬 Cauch y의 최급강하기법과는 달리 그전 단계의 일차 미 분치도 이용함에 유의하여야 한다. 단계길이는 탐색방향의 단변수 최적화에 주로 의촌한다. 현 탐색첨 군에서의 탐색방향은 _Dkvf (군)로 주어지며 다음 단계를 위한. Dk+1 은· 현단계까지의 정보를 이 용하여 유도된 補正행 렬 correcti on matr ix C' 을 사용한 DH1=D'+C' 형태의 보정공식을 이용하여 계산된다. 행렬 D 의 성질에 따라 폭 넓게 사용되는 3 가지 기법은 아래와 같다. a) 변수거 리 기 법 Varia b le Metr ic Meth o d 다비 던 David o n (44) 에 의 하여 개 발되 었고, 플레 쳐 Fletc h er 와 포 월 Powell(62) 에 의하여 개선된 변수거리기법은 많은 2 차 수령기법 중에 가장 많이 사용되는 기법이다. 이 기법은 다비던-플레쳐-포 월 David o n-Fletc h er-Powell (DF P) 기 법 이 라고도 볼란다. 이 기 법 의 보

정 행 렬의 공식 은 (44, 62) 을 참고하기 로 하고 목칭 을 살펴 보면 다음 과같다. 1) 만약 초기행 렬 D°( 보통 DO=J)가 양정치의 대칭행 렬이면 Dk 는 모두 대칭 양정치이다. 2) 만약f가 양정치의 이차 함수라면, 죽f (x)=cx+} 군 Ax 이면 D=A-1 이 된다. 3) 2) 에서 얻어지는 n 개의 탐색방향 벡타들은 상호 A- 공액 mu- tua lly A conju g a te 이 다. 독성 1) 에 의하여 f(군)가 단소감소하고 특성 2) 에 의하여 변수 거리기법은 의사 뉴턴Q uas i - New t on 기법, 즉· 실제적으로. 2 차 편미 분 정보를 이용하지 않고 추정치를 순환적으로 만들어냄으로써 뉴 턴기법을 모의해 내는 기법으로 분류된다. 2 차 형석이 아닌 일반적 인 문제를 푸는 반복기법의 효율성온 위의 특성, 죽 헤시안 행렬의 역행렬의 추정치가 좋으면 좋을수록 뉴턴기법만큼의 효율성을 갖게 되 는 것 이 다. 그러 나 (12 2, 162) 에 의 하면 수령 속도는 사실상 득성 3) 에 달려 있고 변수거리기법의 2 차 수령을 설명한다는 것이다. 또. 한 f가 연속적 으로 미 분가능이 면 n 단계 마다 Dk 를 수정 함으로써 변 수거리방법은 일정한 접에 수렴됨을 보여주었다. b) 단계수(單階數)기 법 Rank One Meth od 브로이멘 Bro y den (1 9) 이 개발한 단계수기법은 보정행렬 C 떡 계 수 rank 가 1 인 데서 그 이름이 유래되었다. 이 기법은 변수거리기 법과 비슷한 특성을 가지고 있으나 중요한 차이겹은 Dk 가 양정치의 성질을 보촌할 수 없다는 것과 발생된 탐색방향에 따른 단변수 최 소화의 수행 없이 변수거리기법의 득칭 2) 를 성립시킨다는 것이다. 따라서 단계수기법도 의사 뉴턴기법의 범주에 속하며 2 차 수령물을 가진다. 일반적으로 단변수 최소화에 의해 요구되는 계산은 많은 시간을 소모하기 때문에 두번째의 차이접온 실질적 응용에 중요성 을 갖는다. 그러나 첫번째의 차이접, 죽 Dk 가 양정치형태로 머 물지 않기 때문에 f(군)가 단조감소하지 않을 수도 있어 안정성

sta b il i ty 울 상실한다. 따라서 단계 수기 법 의 여 러 가지 변형 이 머 타프 Murta g h 와 사전트 Sarge nt (159, 160), 포월 Powell(l 44, 145) 둥에 의 하여 발표되었지만 변수거리기법을 능가할 만한 개선책은 보고되지 않았다. 그러 나 단계 수기 법 이 변수거 리 기 법 보다 함수평 가 fun cti on evaluati on 를 저 게 함으로 목적 함수의 평 가에 시 간이 많이 소모되 는 응용에 있어서는 다른 이차 수렵기법보다 단계수기법의 사용이 더 바람직하다 할 수 있다. c) 공 0식 경 사기 법 Conju g a te Gradie n t Meth o d 변수거리기법 다음으로 많이 사용되는 기법은 헤스데네스 Hes t enes 와 스티 펄 Sti efe l (94) 에 의 하여 개 발되 었고 플레 쳐 Fletc h er 와 리 이 브즈 Reeves(63) 가 최적화 문제에 응용한 공 0석 경사기법이다. 이 기 법 은 초기 접 XO 에 서 단순 경 사방향인 -Vf (x0) 로 시 작하여 이 방향 으로 단변수 최적화를 수행하고, 다음 단계의 탐색방향은 그전 단 계의 탐색방향과 현 탐색접 군에서의 -vf (군) 등을이용하여 각탐 색방향이 상호공액이 되도록 구한다. 이 기법의 주된 이접은 간단 성에 있으며 앞에서 논의된 기법보다 한단계의 산술연산이 더 적다 는 것이다. 단접은 항상 DO=[ 인 단순 경사로 시작되어야 하여 만 약 f의 해시 안이 사용 가능하더라도 적용될 수가 없다는 접이다. 또 한 이 기법이 의사 뉴턴기법이 아니라는 접 죽 이차 편미분의 추정 치를 만들어내지 않는다는 단접이 있다. 그러나 상호공액의 독성에 따라 정확한 단변수최적화가 이루어전다면 2 차 수령물을 갖는다는 것 이 증명 되 었 다 (29, 139). 끝으로 공액 성 conju g ac y 과 의 사 뉴턴 묵 성 Qu asi- N ewt on pr op e rty 이 수령 울에 어 떠 한 영 향을 미 치 는가를 섣 명하는 데는 더욱 많은 연구가 필요시될 것이다. 5. 2. 3 무미분기법 Deriv a ti ve Free Meth o ds 앞에서 논의되었던 제약식이 없는 문제에 적용될 수있는모든기 법들은 적어도 목적함수의 1 차 미분의 정확한 값을 필요로 한다. 그러나 실제 응용에 있어서는 1 차 미분의 값을 얻는 것이 불가능할 경우가 많이 있다. 이런 경우를 해결할 수 있는 미분치를 이용하지 않는 직 접 탐색 기 법 Dire ct Search Meth o d 은 두 부류로 나누어 질 수 있

다. 칙관적 구조에 기초를 둔 발견적 기법과 2 차 수령을 얻기 위하 여 고안된 이론적인 면에 기초를 둔 기법이다. 일반적으로 발견적 기법은 적용하기는 쉽지만 이론적 무미분기법보다 덜 효윤적이다. 가장 간단한 발견적 기 법 은 Hooke 와 Jee ves (98) 의 형 태 탐색 기 법 Patt er n Search Meth od 과 로첸브록 Rosenbrock (1 54) 의 좌표순환 Rota - ting Di re cti on s 7] 법 이 다. 이 기 법 들은 Rn 공간상에 서 의 감소방향을 단변수 최소화를 n 번 사용함으로써 얻어내는 기법이다. 보다 정교 한 발견적 기 법 은 스팬들리 Sp e ndley, 헥 스트 Hext 와 힘 즈워 드 Hi m - 5worth (1 63) 에 의 해 개 발된 단체 탐색 Sim p le x Search 71 법 이 다. 이 기 법은 적당한 크기로 선덱된 단체 S i m p lex 로 시작하여 목적함수 는 단체의 각 정점에서 평가되어 최소화의 경우 목적함수의 평가된 값 이 최대인 정접을 버리고, 단체의 중심점을 따라 최대 정접을 주어 전 거리만큼 두사시킴으로써 새로운 정접을 얻어 새로운 단체를 형 성 하며 반복되 는 기 법 이 다. 넬더 Nelder 와 미 드 Mead (1 35 ) 는 이 단 체탐색기법을 팽창과 수축을 허용하는 방향으로 수정하였으며 그들 의 개선된 기법이 단체탐색기법 중 가장 효율적이라고 간주된다. 이론적인 면에 바탕을 둔 무미분 탐색기법들은 다음의 두 형태이 다. 의사뉴턴기법에 기초를 두고 미분치 대신 함수값의 차이 dif fer- ence 를 사용하는 기법과 미분치를 근사하려는 노력없이 단지 상호 공 0석 방향을 사용하는 기법이다. 첫번째 형태의 기법은 변수거리기법에 기초를 둔 스튜워드 S t eward (16 5) 기 법 과 rank-one 반복기 법 을 사용한 컬 럼 Cullum (37) 기 법 이 있고 득별히 구상된 의 사 뉴턴기 법 내 에 서 경 사차아 gr adie n t dif fer -ence 를 사용한 기 법 (75) 도 보고되 어 있으나 스듀워 드 St~ ward 와 컬럼 Cullum 의 기법과의 실제적 비교는 없었다. 이러한 기법에 있어서 주 요 관십 은 경 사 gr adie n t 를 근사하는 것과 단계 크기 ste p leng th 의 적 당한 선덱이다. 단계크기가 너무 크게 선택되면 기법은· 너무 일찍 끝나고 너무 작으면 반올립오차 round-o ff -error 가 불안정을 야기한 다. 이것은 일반적 사용자에 대해 십각한 약접을 보여준다. 2 차 수 령 무미분 탐색기법의 가장 성공적인 것은 포월 Powell(142) 의 공액 방향기 법 이 다. 쟁 윌 Zang w i ll (180) 과 브렌트 Brent (1 8) 에 의 하여 수

정되어 효율성이 중가된 포월 Powell 의 기법은 단변수 최소화를 연 속적 으로 시 행 하여 상호공 0석 방향 mutu a lly conju g at e dir e cti on s 을 만들 어 낸다. (1 41) 의 보고에 의 하면 이 방법 이 무비 분방법 중에 서 가장 일관성 있게 효율적이며 문제의 차원이 크게 될 때도 그러하다는 것이 발표되었다. 제약석이 없는 기법에 대한 토의를 다음의 추천사항을 제시함으 로써 결론짓겠다. 그리고 이러한 추천사항들은 광범위하다는 것을 알아야 한다. 탐색의 효율성에 영향을 미치는 많은 요소들은 변수 의 구간조정, 단계크기의 선택, 사용될 단변수, 탐색의 형태, 시작 접의 위치 등이다. 이러한 요소들의 영향은 최근에 면밀히 검토되고 있 다 (99, 131, 136, 160). 그러 나 목적 함수에 관한 정 보가 많으면 많을 수록 탐색이 효율적이고, 이차 미분을 쉽게 구할 수 있다면 일차 미 분기법을 사용하는 것보다 2 차 미분기법을 사용하는 것이 효율적이 다. 마찬가지로 일차미분을 쉽게 구할 수 있으면 이것을 이용한 기 법 을 사용하는 것 이 직 접 탐색 dir e ct search 보다 일반적 으로 효과적 일 것이다. 이러한 조건 아래 다음과 같은 기법을 사용하는 것이 바람 직할 것이다. 1) 2 차 미 분의 사용이 가능할 경 우 : 마콰트 Margu ardt 기 법 2) 1 차 미분의 사용이 가능할 경우 : 변수거리기법 3) 미분을 구할 수 없을 경우 : 포월 Powell 기법 위의 기법과 다몬 제약이 없는 기법에 대한 포트란 For tr an 프로그 램 은 (96, 131, 165) 등을 참조하떤 된다. 5. 3 제 약식 이 있는 최 적 화 문제 Op tim i za ti on with pr esence of constr a in t s 이 철에서는 앞서의 제약조건이 없는 문제를 풀기 위해 개발된 기 법들이, 적응방안 adda ti ve dev i ce 을 동하여 일반적인 비선형계획 문 제에 어떻게 응용될 수 있는가를 살펴보겠다. 이러한 적응방안들 중에서 가장 널리 사용되는 것은 비선형 문제를 선형으로 근사시키 논 것이다. 기실 월프 Wol fe(1 75) 에 의해 고찰된 바처럼 선형근사의

개념은 비선형계획법의 가장 기본적인 개념이다. 5.3.2 과 5.3.3 에 서 논의될 알고리즘들은 목적함수와제약석의 비선형성을다루기 위 해 고안된 선형화기법을 이용하고 있다. 5.3.1 선형제약식을 가진 비선형문제기법 Meth o ds for line arly constr a in ed nonli ne ar pro blems 비교적 다루기 쉬운 비선형문제 중의 하나가 바로 제약식이 선형 인 경 우이 다. 이 경 우 제 약구역 constr a in e d reg ion 이 다면체 이 기 논 하 지만 목적함수가 비선형인 관계로 다음과 같은 난접이 있다. 첫 째 , 볼록함수 convex fun cti on 의 경 우를 제 외 하면 다수의 부분 최 소값 local mi ni m um 이 존재 할 수 있 다. 둘째, 부분최소값이 제약구역의 극접일 필요가 없고, 구역의 내 부나, 또는 다면체의 한 떤fa ce 에서 생길 수도 있다. 첫번째의 난 점은 모든 비볼록 nonconvex 최적화 문제의 공통적인 현상이다. 이 런 경우에는 통계적 기법 (28,90,116) 율 제외한 다론 기법들은 단지 부 분최소값만을 구해낸다. 전문가들에 의하면, 모든 부분최소값들은 출발접이 다르기 때문에 얻어지는 것이고, 전구간 최소값g lobal mi - n i mum 은 그들중 가장작은 값이라고한다. 물론 사전에 얼마나 많 은 부분최소값이 존재하는가는 알 길이 없다. 따라서, 실제적으로 는 첫번째 부분최소값을 해로 선택하고 있다. 두번째 난접, 죽 최 소값이 극접에서 얻어지지 않는다는 접은 LP 의 단체법을활용할수 없게 하는 것 같으나, 문제를적절히 수정하면 단체법이 효과적으로 활용될 수 있다. 이 방법을 이용하는 여러 알고리즘이 보고된 바도 있다. 그 중의 한 방법 (66) 은 현재 추정된 최소값에서 목적함수를 선형화하여 더 나은 다음 추정치를 구하는 것인데, 원래 이 방법은 목적함수가 2 차인 경우를 위하여 고안된 것이다. 만약 목적함수가 완전한 비 선형 이 거 나, 찰못 근사된 po orly scaled 2 차이 면 최 소값에 서 떨어진 접에서의 기울기가 적당치 못한 근사값울 주는 경우가 있으므로, LP 를 이용하여 이러한 문제를 푸는 것은 비효율적이다. 다몬 기 법 들 (151, 172, 176, 181) 은 이 러 한 난접 을 극복하기 위 하여 반 복의 단 한 단계 에 서 만 선형 화를 활용한다. (172, 176, 181) 에 있는 세

기법은 탐색단계를 만들고 제약조건 행렬을 단체법으로 갱신 u p da t e 한다. 로젠 Rosen 의 기 법 (15 1, 152) 의 단체 변수소거 형 태 sim p le x vari- able eli m i na ti on for m 대 신에 투사행 렬 pro je c ti on matr i x 을 사용하여 탐색방향을 결정한다. 그러나 이 기법의 주된 차이접은 내재된 전 략에 있다기보다는 수행상의 미세한 접에서 드러난다. 이상으로 선 형제약식을 가진 비선형 문제에 대한 최근의 전보된 알고리즘에 관 한 간단한 논의 를 마찬다. 쟁 윌 Zang w i ll 의 알고리 즘을 포함한 우1 에서 언급된 단체법에 기초한 모든 알고리즘들이 하나의 제한된 다 면 영 역 po lyh e dral reg ion 에 서 작용하는 경 사법 gr adie n t meth o d 에 기 초하고 있는 것 이 기 때 문에 팔수적 으로 1 차 접 근수림 성 firs t order converge nce 을 가질 것 이 라는 생 각은 명 백 하다. 일반적 으로 최 급강하 법 meth o d of ste e p e st decent 의 미 약한 종말수림 ter mi na l converge nce 의 입장에서 보면, 단체법에 기초하고 있는 알고리즘들을 가속화하 는 다양한 방법들이 시도되고 있는 것이다• 이런 알고리즘들의 대 부분이 2 차 근사를 하거 나, 또는 제 약식 의 실행 가능성 fea sib i l i ty 울 유지 하는 데 있 어 , 단체 법 과 연결되 는 수정 경 사방향 modif ied gr adie n t dir e cti on 을 도입 해 서 얻은 準뉴돈비 제 약 방법 Qu asi- N ewt on unconstr - ain e d meth od 의 초선형 수령 sup e rlin e ar conver g ence 을 얻도록 하자는 것 이 다. 골드파브 Goldfa r b 와 라피 두스 Lap idu s (80) 의 시 도는 로첸 Rosen 의 알고리 즘과 혼합된 변수거 리 기 법 Varia b le metr i c meth o d 을 사용하고 있다. 이 런 혼합 알고리 즘의 세부적 인 갱 신절차 up d ati ng deta i l s 가 수정 되 었고, 그것 은 데 이 비 스 Davis 와 머 타프 Murta gh 와 사전트 Sar gen t (13 2, 133) 에 의해서 전전을 보았다. 쟁윌 Zang will (182) 은 볼록단체 법 convex sim p le x meth o d 의 수정 된 공액 경 사 conju g at e gra die n t modif ica ti on 를 설명 하였고, 결합 알고리 즘 comp o sit e algo rith m 에 대한 유한수령성울 증명하였으나, 계산상의 비교논하지 않았다. 애 버 디 Abadie 는 축소경 사법 reduced gra die n t meth o d 의 수정 된 공액 경사를 설명하였는데, 이것의 실행여부는 분명치 않다. 이와 비슷 한 방법 들에 대 한 홍미 로운 논의 가 폴레 쳐 Fletc h er (57) 에 나타나 있다. 전보된 알고리즘과 그렇지 못한 것들 사이의 유일한 수치적 비교는 콜빌 Colv i lle 의 연구에서 밝혀져 있는데, 두 집단 사이의 차

이가 그렇게 크지 않은 것올 보여주고 있다. 사실상 선형제약식을 가진 시험적인 문제에 대해 (80) 의 방법은 진보되지 않은 축소경사 기 법 reduced gra die n t tec hniq u e 보다 덜 효과적 이 다. 또 다른 최 근의 방법 들은 앞서 의 비 교범 주에 는 들지 않으나, 準뉴튼구조 Qu asi- N e-wt on str u ctu r e (58, 123, 149) 를 수용하고 있 거 나, 교환논리 Exchang e lo gi c 를 활성화시키는 등 이론적 전보를 보이고 있으나, 현재로서는 계산상의 증거가 희박하다. 앞에서 언급한 방법들이 이론적으로 유 망하다고 하더라도 제한된 수행자료를 기초로 생각한다면, 이것들 은 2 차 수령이나 準 뉴튼구조가 첨가된 형태라고 결론지을 수 있다. 5.3.2 비선형 등호제약식에 대한 방법 비 선형 등호제 약식 nonlin e ar eq u alit y constr a in t s 문제 에 대 한 해 를 구하는 기법은 선형화하는 방법과, 제약석이 있는 문제를 제약식이 없는 문제로 재편성하는 두 가지 측면을 이용하여 개발되어 왔다. 정 확한 벌칙 함수 pe nalty fun cti on 에 서 매 우 바람직 한 몇 몇 최 근의 기 법을 제의하고는 선형화하는 점근방법이 보다 성공적인 것으로 간 주되고 있다. a) 선형 근사기 법 Lin e ar ap pr oxim ati on tec hniq u e 선형제약식을 갖는 문제에 적용될 수 있는 모든 기법들은 실제로 비선형 등호제약석을 가지는 문제에도 확장 적용될 수 있다. 이러한 확장은 다음과 같은 제 가지 방법으로 이루어지고 있다. 첫 째 , 단편적 선형 함수 piec ewi se lin e ar fun cti on 에 의 한 비 선형 제 약석 의 총체 적 근사법 glo bal app r oxim ati on . 둘째, 선형계획의 결과해에 의한 현 반복접에서의 국지적 선형화 local lin e ariz a ti on . 세째, 단체법이나 축소경사 reduced g rad i en t형태의 한 단계에 따 르는 현 반복접에서의 제약식들의 국지적 선형화. 이 러 한 접 근방법 중 첫 번째 는 소위 분리 가능계 획 sep a rable pro g ra - mmi ng 이 타 불리 는데 , 처 음 1963 년 밀 러 Mi ller (1 28) 에 의 해 개 발 되었다. 분리가능계획법의 보다 최근의 이론적이고 실질적인 면에 대한 연구는 (10,11,89,124) 에서 발견되고 있다. 분리가능계획법에

서 단변수함수의 합으로 분해될 수 있는 비선형 다변수함수는 단견 적 선형함수로 근사된다. 이와 같이 분리가능한 구조를 가진 비선 형계획 문제들은 특벨히 개조된 단체법이나, 어떤 경우에는 선형계 획의 일반적 단체법을 사용하여 풀 수 있다. 두번째 형태의 선형화 알고리즘, 즉 선형계획 문제를 풀어서 나온 해에 따르는 국지적인 선형화는 두 가지 기초적인 형태로 분류할 수 있다. 죽 前반복에 서 구성된 선형화를 버리는 알고리즘과, 제약된 영역의 보다 나은 추정을 위해서 선형화한 것들을 축적하는 알고리즘이 그것이다. 전자로는 그리 피 드 Grif fith 와 스튜워 트 Ste w art ( 86) 의 방법 을 들 수 있 는데 , 근사계 획 법 meth o d of app r oxim ati on pro g ra mmi ng 이 라 볼란 다. 전반적 으로 근사계 획 법 과 그 아류인 小단계 경 사법 small-ste p gr adie n t meth od 둘은 현재 이 용되 는 새 로운 방법 들과는 비 교가 되 지 않는다. 후자의 예로서, 선형화된 문제를 축적하는 형태는 켈리 Kelley (1 04) 의 철 단평 면 알고리 즘 cutt ing pla ne algo rit hm 을 들 수 있 다. 이 알고리즘에서는 국지적인 선형화를 동해서 얻어진 . 근사식들 이 매반복마다 문제에 첨가된다. 이 방법은 선택된 적용문제에 있 어서는 매우 성공적이었으나, 비선형 문제에 있어서 여분의 철단평 면 redundant cutt ing p lane 을 제 지 할 효과적 인 철차를 구상하기 가 어 렵고, 그 대부분을 저장해야 하므로 과도한 처장용량이 요구된다는 등의 단접이 있다. 하나의 단체법과 같은 단계로 유도하는 선형화 몰 이용하는 알고리즘들 중 가장 성공적인 것이 일반화된 축소경사 법 ge neraliz e d reduced gr adie n t meth od (2) 이 다. 이 방법 은 선형 제 약 석 Ax=b 가 비선형등호제약석의 선형화로 대체된다면, 볼록단체법 convex sim p le me th od 과 동일한 것이 된다. 애버디 Abad i e . 와 취고 Guig o u (1) 에 의해 제시된 증거와 마찬가지로 콜빌 Colv ill e 의 연구 (30) 는 분명히 일반화된 축소경사법이 가장 효과적인 방법입을 보 여주고 있다. b) 제 약식 이 없는 재 편성 기 법 Unconstr a in e d refo r mulati on tec hniq u e 등호제약식을 가전 비선형계획 문제를 푸는 고전적인 방법온 라 그랑지 함수 Lag r ang ian fun cti on 를 만드는 것 이 다. 죽,

L(x, µ) =f(x )-I/>t:= I µ,,h,,(x) 그런 후, n+ t개의 모르는 값 X 나 l 에 대해, 아래와 같은 n+ t개의 비선형 방정식을 풀어서 정지접 sta t i on ary p o i n t을 결정하게 된다. Vf (x ) —I : µpyh p ( x) = O />=I hp( x)=O, p= I, …, t 만일 어 떤 해 죠에 서 제 약식 경 사 constr a in t gra die n ts 가 선형 독립 lin e arly ind ep e ndent 이 면 (x*, µ*）와 같이 얻 어 질 수 있는 승수 Mult- ipli e r s µ*의 한 집 합은 La g ran gi an 의 정 지 접 sta t i on ary po in t 이 라는 것은 찰 알려진 사실이다. 불행히도 한 정지접에 대한 이러한 비선 형방정식의 연립해의 계산은 대부분의 경우에 있어서 상당한 작업 이 되 므로, 라그랑지 승수법 Meth o d of Lag ra ng ian multip li e r s 은 보편 적인 목적에 대해서 사용할 수 있는 기법은 되지 못한다. 더 나온 방법 으로는 라그랑지 안 Lag ra ng ian 을 칙 접 최 소화하는 것을 들 수도 있으나, 어떤 방법으로든 제약석이 고려되어 있지 않으면 거의 확 실히 실행 불가능해 Infe a sib l e soluti on 가 생 성 된다. 이 러 한 것 들을 종 합해 볼 때, 제약식을 결합하는 두 가지 접근방법을 생각해 볼 수 있다. 첫째, 매개변수의 벌칙함수 접근방식 Parametr i c pe nalty fun cti on a pp roach 과 둘째 , 정 확한 벌칙 함수 접 근방식 Exact pen alty fun cti on a pp roach 이 그것이다. • 이런 접근방법 중 첫번째의 방법은 제약식과 상응하는 가중치를 준 수행 지 표 Perfo r mance ind ex 를 첨 가하여 제 약식 이 없는 문제 로 재 편성 하는 방법 이 다 (56). 죽, P(x, r) =f(x) + r rE-’1 [ hp( x)]2 스칼라가중 Scalar-weig h ti ng , 혹은 벌칙 매 개 변수 r 의 적 철한 조정

으로써, r 이 무한대로 감에 따라 극한에서 얻어지는 원문제의 해를 가진, 제약식이 없는 최적화 문제들을 푸는 것으로 바꿀 수 있다. 이러한 접근방법의 명백한 이점은 3 철에서 논의된 방법들과는 달 리, 제약식을 만족시키는 특별한 방법을 사용할 필요가 없다는 겁 이 다 . 반면에 단접 으로는 구성 된 벌칙 함수 Penalt y fun cti on 가 지 나 찬 비선형함수라는 점과, 이와 같이 중간의 제약식이 없는 문제논 종종 풀기가 어렵다는 점이다. 다음으로는 정확한 벌칙함수방법이라는 두번째 재편성기법을 살 펴보기로 하자. 등호제약석이 있는 문제에 대한 전형적인 벌칙함수 률 사용하는 방법 의 난점 으로는 큰 벌칙 수준 )arge pe nalty levels 을 가전 문제를 푸는 데 따른 수치조철에 문제가 있다는 것이다• 이 점은 중가하는 벌칙수준을 가지면서 벌칙함수의 계속된 해를 구하 지 않게 하는 연구를 위한 동인이 되고 있다. 이런 연구의 목적은 벌칙함수가 어떤 벌칙요소의 유한값에서 가지는 제약된 최소값이, 원문제의 제약된 최소값과 일치하도록 벌칙함수를 구성하는 데 있 다. 현재까지의 연구를 살펴보면, 대부분이 다음과 같은 라그랑지 함수의 정 지 점 sta t i on ary po in t 을 결정 하는 문제 가, 유한한 매 개 변수 r 에 의 해 아래 와 같이 얻 어 지 는 가중된 볼록화요소 convexif ying fa c t or 의 첨가로 간단하게 될 수 있다는 것이다. L=f (x )-.tE µ,,h,,(x) P=I A( x, µ, r) =f(x) 一 µTh(x) + rhT(x)h(x) 여기서 편의상 제약식 h ，，논 벡터함수 h 에 모여 있다고 한다. 이 와 같은 구도는 처 음으로 헤 스데 네 스 Heste n es (95) 에 의 해 제 안되 었 고, 후에 독립 적 으로 포월 Powell (14 3), 플레 쳐 Fletc h er (59) 와 하아 호프 Haarhoff , 바이 즈 Buy s (87) 에 의 해 서 도 제 안되 었다. 이 런 구조 에 있어서 미해결 문제는 라그랑지승수 µ의 적철한 값의 선택이 다. 이 문제를 풀기 위해 다음과 같은 두 가지 접근 방법이 논의되 고 있다. 첫째, 일회의 반복이 일어나는 동안승수를새롭게 갱신하는방법.

둘째, 승수들이 x 의 연속함수로서 형성되어지는 두사방법이 그 것 이 다. 전자는 하아호프 Haarhoff , 바이 즈 Buy s (87) 와 히 스테 네 즈 Heste n es (94), 포월 Powell (1 43) 에 의 해 진전율 보았다. µ와 매 개 변수 r 을 동시에 갱신하는 다양한 최소화기법과 아울러 수치상의 연구가 미 일 Mi el e 등 (12 5, 126, 127) 에 의해 보고되 었다. 승수함수를 이 용하는 두번째 접 근방석 은 플레 쳐 Fletc h er (59) 와 마아덴슨 Mart- ensson (121) 에 의해 고려되었다. 또한 몇몇 수치상의 연구가 폴레 쳐 Fletc h er 와 릴 Li ll (60) 에 의 해 보고되 었다. 현재 로서 는 수치 적 연 구의 입장에서 볼 때, 각 방법의 우열을 논하기는 어려우나, 가까 운 장래에는 정확한 벌칙접근방법이 등호제약식 문제에 더 많이 이 용될 것으로 보인다. 5.3.3 비선형 부등호제약식 문제 등호제약식을 가전 문제들을 제약식이 없는 문제로 재편성 refo r - mu t a ti on 하는 데 사용되었던 동일한 방법들이, 부등호제약석의 경 우에도 원용되고 있다. 분만 아니라 부동호제약석을 가전 문제를 등호제약식을 가전 문제로 재편성하는 또 다론 방법들도 있다. 이런 방법을 이용하면, 앞 철에서 논의되었던 알고리즘들이 바로 활용될 수 있다. 죽, 활성적 Ac tive 0J. 둥호들―최적해에서 동호가 되는 것 들에-만 선형으로, 또는 2 차형으로 또는 그 밖의 형태로 여유변수 불 도입함으로써 이루어진다. 그러나 이러한 여유변수의 첨가는 문제 의 차원 dim ensio n ality 율 현처 히 증가시 키 며 , 제 약집 합의 볼록 성 같은 계산상 편리한 구조를실질적으로 파괴시키게 된다. 이러한 장애만이 아니다. 활성적인 제약식으로 대체하는 것은 (55) 에서도 지적된 바와 같이, 이론적으로는 전략적인 장애물이 되는 것이다. 또한 활성적안 제약식을 결정하는 것 자체도 어려운 문제이다. 따 라서 부등호제약식을 다루기 위해 특별히 고안된 방법들이 더 성 공적인 것이었다. 이 철에서는 양쪽의 방법을 포함하는 예를 고려 하고, 특수한 기법이 적용가능한 비선형 부등호제약식을 가전 문제 에 대해 간단히 논의하겠다. a) 선형근사기법

궁극적으로 선형근사에 기초를 둔 알고리즘들은 선형화한 후와 선형계획 문제의 해를 구하기 전에 여유변수를 첨가하기 때문에 부 등호제약석 문제에 쉽게 적용될 수 있다. 전형적인 예가 분리가능 계획 문제와 절단평면방법, 그리고 근사계획법이다. 일반화된 축소 경사법과 그와 유사한 방법들은 모돈 제약식을 동호로고쳐야한다. 이 경우 기처 Bas i s 가 모든 제약석의 갯수만큼 늘어나게 된다. 그러 므로 부등호제 약식 의 경 우 국지 적 근사 단단계 방법 local app r oxir n - ati on /sin g le ste p meth o ds 둘―一예 를 들어 미 분 알고리 즘 dif fer enti al algo rit hm (1 72) 이 나 경 사투사법 (1 51) ――이 제 약식 기 처 의 갯 수를 부분 적으로 중가시킴으로 바람직하다. 이제 언급하려는 또 다른 선형근 사방법 은 그레이브즈 Graves(27,83) 에 의한 것이다. 이 방법은 전략 적인 면에서는 근사계획법과 유사하며, 등호와 부등호 양쪽에 모두 적용 될 수 있다. 그러나 이 방법은 일차 데일러 전개식 Tayl o r's exp a nsio n for mula 의 찬여 항 Remain d er ter m 의 추정 치 들을 선형 부분 문제 공식 lin e ar subp r oblem form ulati on 속에 혼합시 킨다는 접 에 서 근 사계획법과 근본적으로 다르다. 경사두사법의 비선형제약 확장식 Nonlin e ar constr a in t exte n sio n 의 경 우는 두사자 Proje c ti on op e rato r 를 만들기 위해 부분적으로 제약식을 선형화함으로써 기저선택, 역행렬 계산, 기저변환등의 선형계획 메카니즘을피하게 된다. 이 두사자는 수행 함수경 사 pe rfo r mance fun cti on gra die n t 를 국지 적 근사실행 가능영 역 locally app r oxim ate d fea sib l e reg ion 으로 향하게 한다. 이 알고리 즘 (151) 에 대한 원래의 설명은 다른 방법들 (30) 에 비해 목별히 효과가 있다고는 여겨지지 않았으나, 최근의 변형체들은 괄목할 만한 발전 울 보여 주고 있 다. 예 를 들어 사전트 Sarge nt, 머 타프 Murta g h (13 2) 에 의해 변형된 방법은 과거의 단순경사수령 sim p le gra die n t conver- ge nce 보다 더 신속한 수령 을 위 해 準뉴튼자 Qu asi- N ewt on op e rato r 를 이용한나 뭔버 거 Luenberge r (1 17) 에 의해 제 안된 방법은 실행가능 성을 유지하는 반복단계를 피하기 위해 두사와 벌칙항 Penal ty ter m 울 결 합한다. 로젠 Rosen 과 크로이 저 Kreuser (153) 에 의 한 또 다론 방법온 라그랑지안 형태의 목적함수와 모든제약식의 선형화로 구성 되는 부분문제를 만드는 데 쓰이는 라그랑지 승수를 추정하기 위하

여 부사자를 사용한다 부차적 문제 에 대 한 2 차 수령 qu adrati c conv- er g ence 은 증명되었으나, 계산상의 결과는 다른 변형기법둥이나 여 타 기법보다 우월하다고 보기에는 불충분하다. b) 제약이 없는 경우로 재편성하는 기법 등호제약을 가전 경우의 방법들과 병행하여, 부동 호 제약의 경우 라그랑지 함수를 만들 수 있다. 이 함수는 L(x, A) =f(x) -~ m A;g ;( x) 이 다. i= I 만약 표가 이 문제의 최적해인 경우, 다음과 같은 A* 가 존재함을 증명할수 있다. 1) VL(x*, A*) =O 2) g,( x *) ~O i= l, …, m 3) A,*g , (x*)=O i= l, …, m 이러한 방정식들의 연립해는 x* 와 A * 를 구하는 것이 되나, A 에 대한 비음조건, 2) 에서의 부등호, 3) 에서의 상보여유성이 매우 어 려운 조건이 된다. 대신 승수들에 관한 반복작업이 라그랑지안의 제약조건이 없는 최소화 문제와 결합되는 이단계 접근방법이 바람 직하다. 이러한 이론과 연관된 최초의 제안은 에버랫 Evere tt에 의 하여 이 루어 졌고, ' 최 근의 공헌은 루우드 Roode (15 0) 등에 의 하여 이 루어졌다. 이러한 결과들은 이론적으로 대단히 홍미로운 것이었다 . 널리 사용되 는 접 근방식 은 내 부벌칙 함수 int e r io r pen alty fun cti on 접 근방식이다. 이 방식의 이름은 벌칙항이 반복단계들을 가능영역의 경계와 떨어져 내부영역에 있도록 만들어졌다는 데서 유래한다. 제 일내 부형 태 벌칙 함수 firs t int e r io r type pen alt y fun cti on 중에 하나는 카아를 Carroll (21) 에 의하여 제 안되 었다• 콜 llJ Colvil le ( 30) 의 연구 에 의해 일반화된 축소경사법에 버금가는 벌칙함수방법이 사용되었 다. 그러나, 2 차의 형태로 수령하는 알고리즘을 사용하는 벌칙함수 방법들은 2 차 도함수방법을 사용하는 그것들보다 더욱 성공적인 것 으로 보인다. 벌칙함수방법의 계산상의 자세한 사항은 (10 6,Chap .7 )

에 찰 논의되어 있으며 높이 추천할 만하다. 이제 부등호 제약식을 가전 문제들을 위한 정확한 벌칙함수의 위 치 에 대 하여 언급하기 로 한다. 플레 쳐 Fletc h er 와 해 스데 에 즈 Hes t e 龜 nes 각각에 의해 부동호에도 동호에 관한 접근방식을 적용하는 방법 둘이 시 도되 었 다. 플레 쳐 Fletc h er 의 접 근방법 의 확장이 플레 쳐 Flet- cher 와 릴 Lil l (60) 에 의 해 보고되 었 다. 후의 연구에 서 , (59, 60, 61) 의 기본적인 생각이 (145) 와 유사한 활성적 제약석 교환과 행렬을새 로 만드는 절차와 연결되어 사용되었다. 그러나, 활성적 제약식들이 바뀌면 벌칙함수들도 바뀌게 되므로 제약이 없는 문제를 푸는 경우 는 상당한 어 려 움이 따르게 된다. 플레 쳐 Fletc h er 의 확장은 이 러 한 어려움을 극복하였으나 벌칙함수의 도함수가 불연속이 되는 결과를 초래하였다. 대웅되는 자유로운 제약식이 업격해침에 따라 승수들 이 0 에서 양의 값을 가져야 하므로 이러한 도함수의 불연속성이 발 생하게 된다. 그러나, 정확한 벌칙함수와는 달리 오목한 성질의 계 획 둘을 위 해 쟁 월 Zang w i ll (1 83) 에 의 해 A(x, r) =f(x) -I ; rm mi n [g m(X ) , 이가 고려되었고, 플레쳐 Fle t cher 는 최적해 근처 N' eig h bor- hood 에 서 연속적 으로 미 분 가능한 함수를 만들었다. 위 의 양쪽의 연구에 대하여 계산상의 결과가 보고되었으나, 근본적이고 확정적이 지 못한 것으로 생각되었다. 부분미분가능한정확한 벌칙함수에 대 한 이론적 분석이 이루어졌으나, 알고리즘에 대한 구체적인 제안으 로 발전되 지 못했 다. 부둥호제 약식 들에 대 한 해 스테 네 츠 Heste n es 의 승수방법의 확장들은 로커펠러 Rocha fe llar 에 의해 볼록성을 가진 경 우에 대해 제시되 었다. 이 연구에서 홍미 있는 면은 부호의 제 약이 없는 승수를 포함하는 벌칙함수를 발전시켰다는 것이다. 이것은 (5) 에서와 같이 부호에 제약이 팔요한 일반적인 라그랑지안과는 대조 적이다. 이러한 두 개의 연구들은 볼록성이 없는 함수들에 적용될 수 있는 2 차 미분가능한 라그랑지 벌칙함수를 만든 멘거새리언 Ma· ng a saria n (1 19) 에 의해 최근 일반화되었다. 같은 보고서에서 두 개 의 알고리즘들이 제안되었으나 실제의 실행은 제시되지 않았다. 요약하민 등호의 경우처럼 결과가 완전하지 않으며, 이러한 제 안들이 실제 실행되기 위해서는 많은 노력이 팔요할 것이다.

5.4 결론 우리는 본 비선형계획법에 대한 고찰을 앞으로의 유망한 독자들 을 위해 정확하고 구체적인 추천을 함으로써 마무리지으려고 한다. 각각 알고리즘의 장접에도 불구하고, 이러한 끊임없이 발전돼 가는 분야의 최근까지의 업적이 주어졌을 때, 어떤 알고리즘의 선덱을 명확히 하기란 어려운 일이다. 제약식이 없는 문제에서도 최선의 알고리즘을 선댁하기도 어렵거니와 제약석을 가전 경우는 더욱머 그러하다. 제약식을 가전 문제를 다루는 알고리즘을 일률적으로 비 교한다는 것 은 변수의 차원 dim ensio n ali ty, 시 작점 의 위 치 sta t i ng po in t locati on , 끝나는 기 준 ter mi na ti on crit er ia 의 선덱 분만 아니 라, 반복기 법 상의 매 개 변수 algo rith m eti c pa ramete r 의 선택 , 제 한적 허 용 오차 constr a in t tol erence 등호, 부등호 제 약식 의 갯 수, 그리 고 계 산 기 의 실행 시 간, 부호화의 효율성 codin g eff ici e n cy 의 요소들 때 문에 복잡한 문제가 된다. 이러한 모든 요소를 포함하는 포괄적인 연구 는 아직 이 루어 지 지 않았다. 콘빌 Colvil l e (30) 의 최 초의 시 도는 가 치있기논 하나, 이미 여러 면에서 수정되었다. 결과적으로 알고리 즘 선덱에 관한 한 어떠한 제안도 직관적이고 단편적인 정보이며 개인에 따라 편과적인 것이다. 이와 같은 독자들에 대한 경고와 더 불어 우리는 다음과 같은 제안울 한다. 첫째, 비선형 등호제약석의 문제에는 효율적으로 부호화된 일반 화된 축소경사법을 사용해야 한다. q uas i -New t on 의 방법과 결합된 플레 쳐 Fletc h er (59) 의 방법 과 같은 더 새 로운 정 확한 벌칙 접 근방석 이 일반화된 축소경사법보다 수행상 우월한 전망을 제공할수있다. 둘째 , 비 선형 부동호제 약식 의 문제 에 는 準뉴턴 qu asi- N ewt ~ n 방법 과 결합된 내 부벌칙 함수가 우선 사용되 야 한다. 사전트 Sarge nt 와 머 타프 Murta g h (159) 혹은 원 버 거 Luenberge r (117) 의 것 들과 같은 개 선된 두사방법이 벌칙접근방식보다 상당히 개선될 전망을 갖고 있다. 세 째 , 선형 제 약식 들이 나 분리 가능한 sep a rable 제 약식 , 집 중적 dense 인 지수행렬을 갖는 대수적 제약식의 문제에는 리뎃 Ri ttet ( 149), 밀 러 Mi ller (12 8) 혹은 레 클레 이 티 스 Reklait is ( 14 8) 동의 것 과 같은 목 벌한 알고리즘이 사용되어야 한다.

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제 4 장 經濟學의 數理化 傾向 및 展望 1 序論 인간의 물질적 복지 mate r ia l well-bein g 에 대 한 認 識 의 중요성 은 重 商主 義學 派 mercanti lis m 에 서 부터 강조되 어 왔지 만 合理性울 추구하 는 인간의 능력과 도덕성, 그리고 이를 뒷받침하는 社會 制度에 관 한 독립 된 학문으로서 의 經濟學 은 아담 스미 드 Adam Smi th 에 의 해 서 정 립 되 기 시 작한 것 으로 볼 수 있다. 경 제 학의 대 상 subje c t matt er 에 관한 일반적 정의논 稀少性에서 비롯되는 인간의 행동양식이나 제도에 국한시켜도 무방할 것이나 ll 사회과학으로서 경제학의 방법 론은 경제학이 위기에 처할 때마다 쟁접의 대상이 되어 왔다. 기존 이론이 새로운 경제사회적 현상을 설명하는 데 부적합하다고 인정 될 때 혹은 새 로운 파라다임 pa radig m 을 추구하기 위 한 노력 과 갈 둥이 심화될 때마다 방법론적인 측면에서 기존이론은 언제나 공박 을 받기 마련이다. 지난 십여년 동안 세계경계는 인플레이션과 실업의 악순환에 처 하게 되었고 근대경제학은 이를 설명할 만한 동일된 이론체계를 갖 지 못한 데서 새로운 위기에 처해 있다고 보는 견해도 적지 않다. 근대경제학의 이론체계가 實證經濟學 또는 數理經濟學에 의해서 完 成되었다고 볼 때 경제학의 수리화 경향에 대한 고찰은 경제학의 발전방향을 모색하는 데 보램이 될 것이다. 1) 경 제 학의 대 상에 관한 이 러 한 정 의 는 L. Robb i ns(참 고문헌 (40), (41)) 문 따온 것이다 .

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2 철에서는 경제학의 방법론을 개 관하고 3 절 및 4 절에서는 앞에서 소개된 방법론의 응용으로 수리 경 제 학의 중추적 여 할을 하는 一般均衡理論과 動態論 및 厚生經濟, 그리고 不確꿨性에 관한 이론의 소개 및 적용법위와 한계성을 지적 한 다음 2) 5 철에서는 要約과 展望으로 본 논문을 맺으려 한다. 2 數理經濟學의 方法論 2. 1 實證經濟學의 方法論 경제이론의 구성과정에서 주관적 가치를 가능한한 배제하고 이론 체 제 의 論理的 整合性 log ica l consis t e n cy 울 강조하기 위 해 서 도입 된 실증경 제 학 po sti ve economi cs 은 3) 사회 과학으로서 의 경 제 학의 방법 론 울 재고찰하는 데 크게 기여하였다.

2) 여기서 소개된 이론둘은 방법론의 응용을 위한 例示的 目的에 사용되는 단편적 인 것둘입에 주의할 필요가 있다. 보다 체계적 인 이돈은 참고문헌들에서 참조 하기 바란다. 3) 〈실증경계학〉이란 용어는 J.N . Key n es 참고문헌 (28) 에 의해서 처음 도입되 었다.

실증경제학의 방법론에 의하면 관찰된 사실이나 현상을 설명하기 위해서는 그 배후에 있는 現象支配의 一般法則울 추출해야 하며 그 러한 작업은 모델의 설정과 假說 h yp o t hes i s 의 導出, 그리고 假說의 檢定으로. 구성된다고 한다. 모델은 다시 假定 assum pti on 이라고도 불리는 모델을 수립하기 위 한 基本前提 basic po stu l ate 와 전제 를 바탕으로 전개 되 는 논리 적 사 고에 의한 演釋的 推論 deduc ti ve reason i n g들로 구성된다. 이론의 출 발접은 경제적 사실의 인식에서 얻어지는 일련의 전제 또는 가정이 며 가정은 분석의 결과에서 얻어지는 것이 아니라 그 토대 위에서 관찰된 현상이 분석되는 思考의 基本前提라 할 수 있다. 가정은 우 리의 경험제계에 존재하는 사물의 상태를 집약적으로 묘사하거나 그러한 역할을 수행할 수 있는 상칭적 용어 sym bolic t erms 둘로 만들 어 지 며 상칭 적 용어 들은 다시 기 본적 용어 pr im i tive ter ms 와 기 본 적 용어 들을 사용해 서 얻은 定義 defi ni t ion 로 구분될 수 있 다. 가정

이 경제적 의미를 갖는 서술적 기능을 가지려면 상칭적 용어들에 대한 경제적 해석 i n t er p re t a ti on 이 현상의 독성과 결부되어 적절하게 아루어져야 함은 물론이다. 前 L문 들이 채택되면 연역적 추론에 의하 여 定理 th eorem 가 도출되 고 정 리 의 경 제 학적 해 석 economi c in te r pr - e t a ti on 에 의하여 가설이 유도된다. 이러한 과정에서 使用되는 演釋 的 思考는 모델의 경제적 해석과는 전혀 무관한 것으로 분리될 de­ tac hable 수 있는 것 이 다. 연역 적 사고는 形式論理 for mal log ic 의 技 法을 사용하여 전개되며 전제나 가정들간의 論理的 整合性울 겁정 하거나 유도된 假說울 보완할 수 있는 보다 일반적인 가정의 팔요 성을 찾아내는 데 기여한다. 모델과 假說이 하나의 有效한 理論 th eor y을 이루기 위해서는 모델에서 얻어전 가설이 현상의 관찰결과 로 축적된 경험적 사실들에 의해서 反證되지 않아야 하며 반증이 가능한 경우 우리는 기본전제들이 상호 모순되거나 설명하고자 하 는 경제현상과 같은 분석대상에 적어도 어느 한 가정이 적합하지 못하다는 것이 증명된 것으로 간주할 수 있다. 2.2 方法論 批判 로빈스 L. Robbin s 4> 敎授는 경 제 학에 서 사용되 며 또 사용될 수 있 는 가정이란 稀少性에 연유한 것으로 볼 수 있는 경험적 사실에 관 한 것이며 지극히 당연하게 보이는 것들이라고 지적하였지만 경제 학에서 通常 사용되는 가정들아 항상 그런 것은 아니다. 일례로 企 業이 利i冊1 을 극대화하는 方法으로 행동한다는 가정은 현실경제의 경험적 사실과 항상 일치되는 것은 아니다. 또 消費者가 현재와 미 래의 모든 가능한 상태에서 소비할 수 있는 財貨나 서비스에 대한 고정 된 消費選好를 갖는다는 가정 역 시 소비 생 활의 중요한 측면들 을 간과하고 있다고 볼 수 있다. 기업은 때때로 단기적인 이윤극대 화보다는 기업의 성장이나 사회적 지위에 더 관십을 가질 수도 있으 며 생산활동 이의에도 하나의 사회조칙체로서 사회보험적 기능을 수 행할 수 있는 노사관계를 정립하는 데 기업의 노력을 두입할 수도 있다. 소비자들도 가끔 기존 소비관행에서 탈피하여 새로운 것을 추 4) 참고문헌 (40) 참조

구할 수도 있으며 또 시간이 지남에 따라 학습과 새 정보의 축적으 로 보다 질이 높은 기호나 취향을 개발할 수도 있다.” 이론구성의 초기단계에서 불가피한 가정의 추출과정에서 야기되는 現 1 屈性과 1;t 用性에 대한 갈등은 방법론상의 많은 논쟁을 가져왔다. 프리드만 M . Fr i edman 은 그의 유명한 買證經濟學의 方法論에 관한 논문 6) 에 서 假說에 내 포되 어 있는 假定듈이 란 현실을 결코 완전히 묘사할 수 없으므로 경제학의 가정은 事 1 t에 대한 정확한 묘사에 의거하기보 다는 가정의 사용으로 최종적으로 얻어진 가설이 시사하는 바의 예 측결과가 갖는 정확성에 의해서 채택여부가 결정된다고 하였다. 경제현상은 수많은 變因둘의 상호의존적이고 복합적인 작용의 결 과로 관찰되는 것이며 모든 변인들 또한 시간이 흐름에 따라 그 역 할이나 비중이 변화하기 때문에 가정의 추출은 당연히 중요한 변인 둘의 선정과 분석대상을 한정시키는 역할을 하게 된다. 아무리 정교 하게 짜여전 이론이라 할지라도 이론은 당연히 현상을 지배하는 法 則에 대한 認識體系內의 불충분한 再構成에 불과한 것이며 현상을 결코 정확하게 설명할 수는 없다. 따라서 기촌이론의 假說은 반드 시 反證되기 마련이며 기존이론은 새로운 가설의 출현을 위한 준비 단계에 블과한 것이다. 이러한 입장에서 보면 가정의 선벨기준은 그 현실성보다 모델의 완성에 의해서 설명하고자 하는 일련의 현상 에 대해서 가설이 직접 혹은 간접적으로 시사하는 예측결과가 경험 적 사실에 의해 상치되는 것인가의 여부에 의해서 결정된다고 볼 수도 있다. 프리드만과 같은 실증경제학자가 취한 이러한 견해는 다분히 실용주의적 견지에서 이론의 참 가치를 평가하는 것으로 이 해될 수 있으며 과학철학자 포퍼 K. Po pp er 의 영향을 받은 것으로 간주된다 .7) 실증경제학의 假說의 眞僞判定에 대한 방법은 통계적 기법에 의 5) 이 문계는 일반균형 이론의 소개 및 그 한계성에서 다시 언급될 것이다. 3.1 .3 철참조. 6) 참고문헌 (22) 에서 “The Meth o dolog y of Posti ve Economi cs 참조. 7) Karl Po pp er 의 견해 에 관해 그의 처 서 (참고문헌 (37)) 참조 한편 실증경 재 학 의 방법론은 소위 비엔나학파로 알려진 논리적 실증주의자 log ica l p os iti v i s t의 견해와는 무관한 것입에 주의할 필요가 있다. 이들 과학철학자들은 〈意味〉의 〈증명가능성 ver ifi ab ility〉에 대한 기준을 중시하였다.

하여 적 어 도 기 술적 tec hnic a l 인 측면에 서 가능한 것 이 냐 槪念的으로 몇 가지 문제접을 안고 있다. 우선 현상의 설명 exp la nati on 과 예 측 pr edic ti on 의 論理的 構造는 보는 고논집에 따라서 同一한것이 아닐수도 있다. 현상의 예측은규 칙 성 re g ular ity과 같은 현상의 의 부 특성 만으로도 가능할 수 있으며 (예 : 날마다 해가 뜬다) 예측적 기능이 설명력까지 포함한다고 이야 기할 수 없다는 것이다 .8) 이러한 차이는 〈선명〉과 〈예측〉에 대한 용어의 해석에서 나온 것이지만 만일 설명과 예측이 모두 현상의 주어전 初期條件하에서 현상을 지배하는 일반법칙을 적용할 때 가 능한 것들이라 하면 혼돈은 일탄 피할 수 있다. 그러나 예측적 기 능을 이와 같이 파악할 때 가정의 현실성이 가설의 예측적 기능과 무관할 수 있느냐는 문제 가 남게 된다. 나겔 E. Nag e l” 은 프리 드만 의 입장에 대한 평가에서 〈가정〉의 理論的 意味와 機能은 가설이 경험적 사실을 설명하고 아직 관찰되지 않았지만 미래에 나타나게 될 새로운 현상에 대한 예측을 수행하게 하는 데서 찾을수 있는 것 이므로 가정 자체의 現質性은 고려할 필요가 없는 것이라 하였다. 프리드만은 가정의 실용성을 너무 강조하여 가정의 현실성에 대한 논접을 혼동시키고 있으나 그의 결론은 타당한 것이라는 것을 강조 하였다. 眞空이라는 개념은 論理的인 것이며 現實生活에서 관찰하 기 힘든 상태이나 전공상태의 가정은 理論物理學에 획기적인 발전 울 가져왔다고 할 수 있다. 전공은 경험적 사실의 분석이나 오랜 관찰과 사고에 의해 비약적으로 抽象된 개념이었지만 이제 전공상 태는 물리학에서 인위적으로 조작할 수 있는 상태이므로 역학법칙 에 대한 실험이 가능하고 이론을 검정할 수 있다. 그러나 社會科學 에서는 수많은 變因둘의 상호의촌적이고 복합적인 작용의 결과로 관찰되는 現象율 다루고 있으며 모든 변인들 또한 시간이 흐름에 따라 그 역할이나 비중이 변화하기 때문에 적철히 제어된 상태에서 실험을 하는 것은 불가능하다. 더우기 관찰자가 자신의 이해와 관 8) 예측과 설명의 용어해석에서 비못되는 차이접은 Coddin g ton (참고문헌 (13)) 에 자세히 설명되어 있다. 9) 참고문현 (35) 참조

련된 사회 현상을 분석 할 때 第三者의 立楊 th ir d pe rson's po in t of vie w 에서 초연하게 냉정할 수도 없을 것이다. 따라서 論理的 飛耀의 抽 象化 過程에서 얻어진 아무리 훌륭한 전제나 가정이라 할지라도 그 에 상응되는 現 1;. l.＇ 이란 存在할 수 없으며 가설을 검정할 수 있는 客 觀的인 眞｛爲判定의 기준을 설정하는 것도 거의 불가능해질 수 있 다. 前提의 설정은 팔연적으로 主觀的인 가치판단의 기준에 의해서 영향을 받으며 定理의 해석에 의한 가선의 추출과정에서도 主競性 의 介入울 완전히 배제할 수 없다. 따라서 자연과학과 사회과학은 실증적 방법론의 적용에서 큰 차이를 보일 수 있으며 가정의 현실 성과 실용성에 대한 의문은 계속 남게 된다. 쿠프만스 T. Koop m ans 10) 에 의 하면 경 제 이 론은 우선 단순한 모델 에서부터 출발하여 접차 현설경제의 중요한 측면들을 포용하여 설 명할 수 있는 가설의 一般化 作業에 의한 모델의 확장으로 그 有效 性아 인정된다고 한다. 각 단계에서 발견된 論理的 事 꿨'들은 그 자 체로서 유효한 것이냐 현상의 독성에 대한 또 다른 측면의 인식은 기존이론을 일반화시키는 새로운 모델을 가능하게 할 수 있다. 따 라서 가정의 質用性과 現貸性間의 모순은 이론적 지식의 축적에 의 하여 접차 해소되어 가므로 어느 단계에서도 모델의 기본전제는 現 實性울 부여받을 수 있는 것이여야 한다는 것이다. 그에 의하면 理 論的 참이란 不可分性울 갖는 것이며 가정 또한 이론적 천실을 구 성하고 있다는 것이다. 로빈스 L. Robbin s 는 정 치 경 제 학의 방법 론에 관한 그의 최 근 논문 11) 에서 정치경제학은 이제 경제사회의 역사적 구체성, 제도적 특성 및 정치사회적 변인들을 稀少性에 관한 학문의 대상에 포함시키기 위 하여 形而上學的 前提가 필요함을 강조하였다. 근대경제학에서 合 理性에 관한 형이상학적 전제가 極大化 假說로 표현되어 객관성을 부여받고 있는 바와 같은 것은 로빈스교수의 제안에 어느 정도 희 망적인 개연성울 주고 있으나 전제의 실용성과 현실성에 관한 문제 는 앞으로도 많은 논쟁을 가져올 소지를 안고 있다. 10) 참고문현 (29) 참조 . 11) 참고문현 (41) 참조

假 說 의 眞 僞判 定 은 기술적인 측면에서 통계학적 기법의 적용이 가능하지 만 反證을 위 한 資料의 選定基準은 아직 애 매 하다. 事 質 fac t 이 란 사물의 있는 그대 로의 상태 이 며 관찰 observati on 은 미 리 선 택된 사 물 의 상태에 대한 사려깊은 주의의 집중이며 경험이란 어느 독정 개인 또는 단체에 의해서 관찰된 현상의 독정내용이고 증거 ev i dence 란 문제되는 이슈에 적합한 것으로 해석이 가능한 일체의 모든 것 을 의 마 한다 . 따라서 경 험 적 사실, 혹은 사실적 증거 fac tu al evid e nce 에 는 主 親 性이 많아 介入되 어 있으며 가설의 진위 판정 은 객 관화되기 힘들다는 것이다. 假 定 이나 前提의 추출과정에서와 마찬가지로 모델의 解說에 의한 假說의 導 出 및 檢定 에서도 主 觀 이 개입되므로 실증적 방법에 의해 서 얻은 경제학 적 지식의 주관성과 객관성에 대한 認識 論的인 구분 온 실증경제학의 방법론 선택에 중요한 역할을 하게 될 것이나 이 러한 문제는 해결될 수 있는 성질의 것은 아니다. 사회과학적 이론 이 받아 들 여지는 것은 이론이 현상의 배후에 놓여 있는 事 1 T 의 본 질을 표현하기 때문이 아니라 적어도 받아들이는 사람의 인식 체 계 내에서는 사실을 설명하는 가장 훌 륭한 방법이 되기 때문이다. 경 제이론의 선택방법은 현재시접에서의 평가에서 얻어지는 것이나 미 래에도 그 이론이 유효할 것이라는 보장은 없게 된다. 경제학은 객 관화되기 힘든 경제현실의 본질을 규명해야 한다는 불가능한 숙제 를 해결하는 데서 발전할 수 있는 것은 아니며 경험적 사실의 끊임 없는 축적을 이론적으로 체계화시켜 나가는 데 있다. 2. 3 實證經濟學과 規範經濟學 규범 경 제 학적 분석 normati ve economi c analys i s 의 목적 은 검 정 할 수 있는 가설의 도출보다는 분석의 대상에 포함되어 있는 경제주체들 의 선택법위나 방법에 관한 이해를 증진시키고 독정한 행동이나 정 책을 권장하는 데 있다. 그러므로 규범경제학은 구체적 가치를 구 현시킬 수 있는 方法이나 手段의 비교분석을 그 내용으로 하고 있 으나 대부분의 規範的 分析의 결과는 분석과정에서 필연적으로 제 의되기 마련인 많은 要因둘이 복합적으로 작용하는 현실경제에서

검정하기 힘들다. 그러나 독정한 정책적 수단이 일련의 조전하에서 규범적 가치를 실현할 수 있다는 이론적 결론이 논리적 결함이 없 는 연역적 추론을 거쳐서 얻어진 것이라면 그 자체로서 이미 충분 한 분석가치를 갖는다고 할 수 있다 .12)

12) 규범경재학의 수리적 분석방법은 2.3 철에 소개되어 있다.

2.4 經濟學의 敷理化 설중경제학이나 규법경제학의 論理的 構造 혹은形式的 構造는 경 제적 사실의 인식에서 얻어전 전제를 바탕으로 얻어전 演擇的 推論 으로 구성되며 논리적 사고는 모델에서 사용된 용어나 정의들의 겅 제적 의미와 무관하게 전개될 수 있다. 따라서 경제학적 모형의 形 式的 構造에 相應되는 數學的 構造 가 있다면 논리적 추론은 근대수 학의 形式論理的 技法울 사용하여 보다 효율적으로 수행될 수 있다. 일단 중요한 변인들의 설정과 그들간의 관계에 대한 가정이 채택되 면 理論으로 설명하고자 하는 현상지배의 법칙이 認識體系內 에서 再構成되는 方向이 설정되기 시작한 것으로 볼 수 있다. 수리경제 학은 실증경 제 학의 내 적 정 합성 in te r nal consis t e n cy 에 의 한 객 관화된 기법의 적용으로 이루어전 것이며 그 이상의 것은 아니다. 이론이 추구하는 方向으로 가장 능률적으로 목표에 도달하기 위한 방법으 로 수학적 논리를 사용하기 때문에 수리경제학은 수학적 실증경제 학이라고 불릴 수도 있다. 수리경제학온 실증경제학의 방법론에 대 한 비판을 면할 수 없으며 한 걸음 나아가 분석대상이 되는 경제 현실의 범위가 이론전개의 한정된 수단인 수학적 구조에 의하여 좁 혀질 수도 있다. 그러나 數理的 推論에서는 모델의 해석과 논리적 사고가 업격히 분리되고 사고의 편향성이 지향될 수 있으며 現象의 諸特性에 비추어 이론을 검정할 수 있는 模型의 操作可能性을 제고 시킨다. 또 서로 다른 경제현상을 설명하기 위해 수립된 모델들의 형식적 구조를 비교하여 경제아론을 체계화시킬 수 있는 방법율 제 공하기도 한다. 모델에 내재된 均衡狀態의 存在에 관한 증명이나 均衡狀態둘의 比校分析내지는 動態的 幾化過程에 대한 분석을 위한 수학적 구조들은 각 부문에서 분석 대상의 구체적 현실과 관계없이

거의 同一한 것들이다. 애 로우 K. Arrow 와 인트릴 리 게 이 터 M. Intr i l ig a to r 의 『수리 경 제 학 편 람 Hand Book of Math e mati ca l Economi cs 13 내에 의 하면 수리 경 제 학 의 발전단계는 다음과 같이 구분될 수 있다. 1) 解析學에 기 초한 限界原理의 應用 (1838~1947) 초기의 수리경제학은 경제학에 물리학이나 수학의 방법론을 적용 함으로써 발달하기 시작하였다. 미적분학과 함수의 극대화 기법의 응용에 의하여 소비 • 생산에 관한 현대경제학의 기초이론이 수립되 었으며 불완전 경쟁 및 일반균형이론에 대한 수리적 분석도 가능하 게 되 었 다. 이 분야에 공헌한 중요한 경 제 학자들로는 꾸르노 A. Cour- not, 왈라스 L. Walras, 에 지 워 드 F. Edg e worth , 마샬 A. Marshall, 빅 셀 K. W ick sell, 스러 츠키 E. Sluts k y, 파레 토 V. Pareto , 호텔 링 H. Ho- tel lin g , 프리 수] R. Fris c h, 힉 스 J.R . Hi ck s, 사뮤엘슨 P. Samuelson 둥을 들 수 있다 .14)

13) 참고문헌 (4) 참조. 14) 이둘의 주요업적과 간행시기는 참고문헌에 자세히 수록되어 있다.

2) 集合論的 分析과 線型模型(1 948~1960) 한계원리를 적용하기 위한 함수의 연속성이나 미분가능성에 대한 제약을 완화시키고 보다 일반적인 가정하에서 기존이론을 精徽化하 고 一般化하기 위하여 集合論 및 位相數學이 경제학에 적용되기 시 작하였으며 한 경제의 投入균합 H 에 관한 生産活動울 분석하기 위 하여 線型代數學이 사용되기 시작하였다. 애로우의 厚生經濟理論 (19 51 ), 애로우-드브류의 一般均衡理論(1 954), 레온티에프 W. Leon- tief 의 投入-産 出 分析 (1941, 1966) 및 단찌 히 G. Danzig 의 線型計測法 (1949, 1963) 등이 대표적 업적으로 꼽힐 수 있다. 3) 最近動向 수리적 분석방법은 이제 현대경제학의 거의 모든 분야에 걸쳐서 사용되며 수리적 기법도고전적인 해석학에서부터 微分位相數學 d iff­ erenti al t o p olo gy에 이르기까지 다양하게 사용되고 있다. 다음 철에 서는 앞에서 소개한 방법론을 다시 음미해 보면서 수리적 분석방법 에 관한 예를 들고자 한다. 집합론이나 해석학에 관한 기초수학은

지면관계상 여기서 생략하기로 한다. 3 數理的 分析의 應用 3.1 경쟁적 균형이론 가격기구에 의한 자원배분방석을 이해하기 위한 방법으로 단순한 〈모델경제〉를 수립하기로 한다. 모델 경 제 는 먼저 교환경 제 exchang e economy 에 서 출 발하여 가격 기 구의 기능과 효율성을 분석한 다음 생산부문을 포함하는 사유재산 경제 pri v a te ownership econom y로 확장된다. 모델경제의 형석적 구조 논 집합론적 기법을 사용하여 전개되며 독자들이 이미 기초수준의 수학적 지식을 갖고 있는 것으로 가정하였다. 모델경제의 논리적 분석이 끝난 후에는 경제적 해석 및 한계성이 지적되며 게임이론적 均衡개 념 과 연속시 장 market wi th conti nu um of ag e nts 의 모델 및 점£ 占적 모델이 소개된다. 3. 1. 1 交換經濟 exchang e economy 교환활동을 하는 경제단위는 소비자 또는 가계로 불리며 개별 소 비자는 t로 표기하기로 한다. 소비자 전체의 집합은 T로 표시되며 당연히 t는 T에 속하는 임의의 元 素 이다. 이 경제에서 거래되는 財 貨 및 用役의 종류는 l 로 표시되고 모든 종류의 재화의 집합은 L 로 나타내기로 한다. 모든 財貨나 用役은 可分性울 가지며 그 크기가 實數로 표시된다. 따라서 소비자들의 소비행위는 L 次元 空間의 한 벡터 vec t or 도 표기된다. 보다 엄밀한 모델경제의 市 場 marke t은 다 음 定義로 구성된다. 定義 Defi ni t ion D.l 消 費 者의 집합, T D.2 財貨나 用役의 종류, L D.3 개별소비자 t가 소비할 수 있는 재화나 용역의 結合空 r바 1 은 소비집합 X( t)로 표기되며

X(t) =E.f: . E_ f:= {xEEL 며 ~OVl} 이다 .15) D. 4 각 소비자 t ET 가 교환활동의 초기에 소유하고 있는 재화나 용역의 양(初期賊存量)은 e( t)로 표기되며 e( t )EX( t)이다. D. 5 각 소비자 t는 U, : X( t )--,R 과 같은 效用函數로 표시되는 消 費選好를 갖고 있다. 환언하면, x, y EX( t)일 때 U,(x) >U,(y) 이면 t는 Y 보다 x 를 더 選好한다고 한다. D.1 에서 D.5 까지로 정의되는 시장에서 價格機構의 기능을 파악 하기 위해서는 消 1影 者의 行動 및 經濟 環 境에 관한 몇 가지 假定들 이 필요하다. 假定 Assump tion A.l T는 有限한 집합이다• A. 2 모 든 t에 대 하여 소비 집 합 X( t)는 同一하다 {X(t) =X, Vt } . A.3 X는 有界집합이다. 죽 X= {xEEf : 조 a} , a>) 016) 이 다. A. 4 e ( t )>) O 이 다. A.5 모든 t에 대하여 Ut 는 單調 增加하는 連鎖函數이다. A. 6 모돈 t, 모돈 실수 aE(O, 1) 및 모든 x, y EX에 대하여 U,(ax+( l-a )y) ~mi n{ U,(x), U,( y) }17) 이다. ’ 환언하면 U, 논 準 오목 qu asi- c oncave 함수이 다. 假定 1~6 하에서 만일 모든 소비자가 價格受取者로서 행동하며 주어 전 豫算 범위 내에서 자신의 효용을 極大化시키는 방법으로 거래를 하고자 할 때 모든 소비자의 행동을 조화시킬 수 있는 가격기구가 存在함을 증명할 수 있는데 모델경제의 형식적 구조를 완성시키기 위 해 다음과 같은 定義둘을 추가하기 로 한다. D.6 가격 P 는 L 次元 空間의 벡터로 표시된다. PEE.{: 이며 P*O 이다. 15) vl 은 〈모든 l 에 대하여〉의 약식 표현이다. 1167)) aM ) i) n O( 는A ,벡B}터 는 aA 의, B성 중분의이 최모소두값 0을 보 다표 시크한다다는. 것을 의미한다.

D. 7 配分 allocati on 은 함수 多 : T-+X 로서 lE=T I 多(t) = ~T , e ( t )를 만 D. 족8 시각킨 다소.비 자 t의 예 산집 합 Budg e t Set B p ( t ) 는 주어 전 가 격 p 하에서 B(t) = {xEX : P· x < }J·e (t) }, p• x=IL ; p냥 l= l 이 며 P·e( t)는 소바자 t의 富 wealt h 이 다. 개별소비자가 가격수취자로서 효용을 극대화하는 행동을 취할 때 각 재화나 용역의 需要 와 供給을 일치시키는 가격을 競爭的 均衡償 格이타 한다면 경쟁적 군형은 다음과 같다. 競爭的均衡 I D.l~5 로 정의되는 시장에서 경쟁적 균형은 가격 벡터 P 및 配 分 무로 표시되며 가계예산집합 B ，， ( t )o 사 속하는 모든 따서 대하여 u,( 多(t) ) ~ U,(x) 가 성 립 한다. 지 금까지 소개 된 交換經濟의 모델은 다음과 같은 유명한 정리에 의하여 종결된다. 定理 1. 애로우 K.J. Arrow 및 드브류 G. Debreu181 가정 1~7 하에 서는 경쟁적 균형이 存在한다 .19) 모델의 해석 및 적용법위 그리고 한계성을 지적하기 전에 모델의 論理的 構造를 살펴보고 정리의 導 出過程울 간단히 살펴보기로 한 다. 20) l) 주어진 가격 P 하에서 소비자의 富 P·e( t)가 정의되고 따라서 豫算集合 B,( t)가 정의된다. B,( t)는 空集合 em pty se t이 아니 며 有界閉集合 comp a ct set 이 고 볼록集合 convex set 이 다. 특기 할 사실은 B,(t )가 p에 대해서 連紹的으로 변화하므로, 또 U‘ 가 準오목 qu asi concave 한 연속함수이 므로 가격 이 변화할 때 消費 18) 정리 1 의 증명에서 가경 3) 은 불필요한 것이나 증명을편이하게 할 묵져으로 사 용된것입. 2109)) 수참리고적문 헌분 석(4에) 참흥조미 가 없는 독자는 증명과정을 省略하여도 무방하다.

選擇의 범위가 연속적으로 변화함을 알 수 있다. 집 합 Dp (t ) = {xEBp (t) : Vy EB p(t)숙 Ut (X)~U,( y)｝는 空 染合이 아니 며 볼록 convex 하다. D p ( t)는 소비 자 t의 需要 를 표 시하는데 여기서 주의할 것은 D p ( t ) 가 有一한 백타로 주어지는 것이 아니고 집합으로 표시된다는 것이다. 우리는 D p ( t)를 앞 으로 需要 tE! lll i ( Demand Corresp o ndence 이 라 부르기 로 한다/I) 2) D p ( t ) 는 P 에 대하여 連紹性을 갖는다. D p ( t)의 연속성은 예 산집 합 Bp (t ) 가 P 에 대 하여 연속적 으로 변화하고 Ut 가 連鎖函 數타는데서 유추될 수 있다. 需愛相 llf il D p(t)는다음과 같은上 半連紹性 up pe r semi co nti nu it y 의 성 질을 갖는다. 즉 數烈 {p} 이 P 로 수령 하고, xnEDp n( t) 둘로 구성 된 數烈 {x.} 이 z 로 수령 하면 z 는 Dp (t ) 에 속한다는 것이다. 3) F p ( t )=D p(t)― e( t)로 定義 될 때 Fp (t) 역시 P 에 대하여 上 半連封i 1 生울 갖는다. 특히 D p(t)의 정 의 에 의 하여 우리 는 모든 zEF p(t ) 에 대하여 p .z 독 0 임을 알 수 있다. 4) 예산집합 B p ( t ) 의 定義 에서 우리는 가격벡타 P 를 L1= {p :P= (p l ) 區, Ll= J P l=l, p l~ Q}에 국한시켜도 무방함을 알 수 있다. 따라서 경쟁적 균형을 형성하는 가격백타를 (L-1) 次元 單體 sim p le X L1 에 서 구할 수 있다. 5) 市楊超過需!Jg market excess demand F( p)는 F( p) =L Fp (t)이 tE T 며 定理 의 證明온 z*EF( p*）이며 z*=O 가되는p*의 存在를 밝 혀 냄으로서 완결될 수 있다. 여기서 z*=L_z*(t), z*(t) E F(t) tE T 이다. 우선 p( z)= {pE L1 : p- z~q · z V q EL1} 로 정의되는 相應 correspo ndence p : z-+L1 를 생 각하자. p의 定義域 Z 는 t~E _T (X(t) e,)22) 로 시장초과수요가 정의될 수 있는 범위를 표시한다. p(· ) 는 z 에 대하여 上半連紹이고 p (z) 는 볼록 convex 한 집 합이다. p (z) 는 p •z 가 極大化되는 P 둘로 구성되므로 21) U까 s t r i c t l y - q uas i -concave 하면 D, (t)는 P 의 함수가 된다. 22) X( t )-e‘ 는 소비집합 X( t)에서 초기부론 e, 문 벡터져으로 차감시켜 준 것이며 E le '[' 이(X다(. t ) -집e합, ）의는 벡그터러합한은 집 T합. 을K o다op시 m a모ns돈 ( 2소9)비 에자 자에세 히대 하설여명 벡되어터 적있으다로. 합해 준 것

p(z ) = {pE L1 : z'< ma_x z 덮P 1= 0} 가 성 립 한다. 6) 이제

C 가 N次 元 유클리 드 空間 Euclid e an s p ace 의 有界閉集合 comp ac t set 이 고 볼록 convex 한 部分菓合일 때 相低f J : c-c 가 上半連斜 ·1 이 며 f (c)cC 가 空染合이 아니고 볼록 convex 하면 c*Ef (c* ）인 定幽 c*EC 가 존재한다. 8)

어야 한다. z*1=0 임을 보이기 위해서는 p *l=O 과 p *r>o 인 경우를 나누 어 생각하자. 만일 p *l=O 이면 l 번째 財貨는 自由財fr ee g oods 가 되 며 U1 의 單調增加性 때 문에 x*1(t) =a1 이 된다. 따라서 I; x*1( t )=ITla 넣 I; e1( t)이므로 z*1~0 이다. 또 p다 :l>O 이면 IE T lO 이므로 z*I ;):0 이다. 그란데 갔날 0 이므로 z*1=0, 따라서 z*=O 이다. 경쟁적 균형모델의 논리성은 이제 증명되었다• 이 모델에서 우리 는 債格機甘 8 가 한 社會制度에서 論理的으로 가능한 것임을 분석해 보았다. 이 모델에 內在된 規範的意味를 파악하기 위해서 우리는 조금 더 數理的思考를 계속해 보기로 한다. 다음 定義는 資源配分의 效率性에 관한 것들이다. 파레토 효율성에 관한 定義 어느 配分 多가 存在하여 모든 t에 대하여 U,( y(t ))>U,(x( t))인 配分 상가 存在하지 않으면 配分 g는 파레 토 效率的 Pareto eff icie n t 이라한다. 效率的 均衛에 관한 定義 효율적 균형 (p,多)란 우가 配分이며 모든 t에 대해서 多(t)가 예산 집 합 E(t) = {xEX : P •조 P ·*(t)} 에 서 U를 極大化시 킬 때 이 루 어진다. 여기서 주의할 사실은 예산집합 E( t)는 初期賊存에 의해서 결정 되는 D.8. 의 B( t)와 다르다논 접이다. 초기부촌은 단지 配分울定 義할 때만 사용되었다. 만일 경쟁적 군형모형에서처럼 P·:&(t) = P· e( t)이면 E( t )=B( t)가 되나 우리논 그러한 조건을 필요로 하지 않는다. 특히 (p,효)가 效率的 均衡이떤 配分 g는 파레토 效率的 이 되기 때문에 파레토 效率的 資源配分울 분석할 때 初期賊存의 분포는 고려 할 필요가 없다. 효율적 군형 상태에서 파레토 효율적 자원배분이 이루어진다는 증명은 다음과 같다.

만일 어 명제가 참이 아니라면 어떤 配分 g가 존재하여 모든 t에 대해서 U,( :t(t ))>U,(多 (t)）가 될 것이다. 한편 .Ep장(t ) =.E P·e (t)=.E P· 多(t)가 성립한다. 그러나 U,C :t C t ))>U,( 多(t)）이므로 P· 성(t )>P· :;r;(t)가 될 수밖에 없으므로 26) 모순이 된다. 효율적 군형은 당연히 경쟁적 均衡을 포함하므로 경쟁적 균형상 태에서 파레토 效率的인 配分이 이루어침을 알 수 있는 데 보다 일 반적인 定理는 다음과 같은 것이다. 定理 2. 配分 多가 파레토 效率的인 것이 되기 위한 必要-充分條件 은 가격벡터 P 가 存在하여 (p,효)가 效率的인 군형이 되는 것이 다. 충분조건은 앞에서 이미 증명되었다. 주의할 사실은 어떠한 경제 환경에서도 斜J率的 均衡이 存在하기만 하면 消費選好의 單調性에 의해서 당연히 파레토 效率的 配分이 된다는 것이다. 필요조건의 증명은 소비자의 效用函數에 대한 가정을 필요로 하며 증명은 여기 서 省略하기 로 한다. 27)

26) U‘ 는 單 調 增加函數입 에 주의 • 27) 자세한 증명은 G. Debreu (참고문헌 (16) ）에 소개되어 있다.

-般的模型 가격기구의 모델은 이제 생산부문을 포함하는 경제의 모델로 확 장됨으로써 보다 현실성을 부여받을 수 있다. 유의할 사실은 모델 의 확장과정에서 경쟁적 균형의 존재나 효율성에 관한 기촌결과가 변형되는 것이 아니라 보다 현실적인 해석이 가능한 모델에서 논리 적 〈참〉으로 有效하다는 것 이 다. 우리는 이제 定義 l~5 에 의해 구성된 交換經濟에 企業의 生産活 動울 포함시키기로 한다. D. 9 生産活 llvl 을 담당하는 經濟單位는 企業으로 표시 되 고 기 업 의 집합은 J로 표기한다. D. 10 개 벌기 업 j의 技術的 可能性은 生産可能集合 yj로 표시 되 며 기 업 의 가능한 생 산활동 Y j는 Y제 국한된다. yj는 E 딱 部

分集合이며 0 드 Yj 및 Y;nE.{:= {O} 이다. 定 義 10 의 경제적 의미는 기업의 생산활동이 생산과정에서 投入 또는 産 出되는 재화나 용역의 양으로표시된다는것을의미한다• 두 입되는 재화의 양은〈-〉부호로표시하고산출되는재화의 양은〈+〉 부 호 로 표시된다. 0 드 Yj 는 j번째 기업의 생산활동이 중단될 수 있 다는 것을 의미하며 Yj nE 料온 두입물이 없이는 산출물도 있을 수 없다는 것을 나타낸다. 노동과 비료를 두입하여 식량을 생산하는기업의 생산활동은 Y j= (-2, -4, 5) ; (-2 는 노동두입량, -4 는 비료두입량, 5 는 식량의 산출 량)과 같이 표시된다. 生産에 관한 다음 假定울 하기로 한다. A. 7 Yi 는 볼록 convex 한 閉 集 合이 며 모든 yj는 同一하다. 죽 Yi =Y 이다. yj의 볼록성 convexit y 은 收 稷 逸 減 의 法則이 나 規模에 대 한 收益 不 變 을 수학적으로 표시하고 있다. 기업이 모두 동일한 기술적 가 능성 Y 로 갖는다는 假定은 사실상 불팔요한 것이나 分析의 편의상 도입된 것이다. 모델경제내에 私有財産權울 도입하기 위해서 다음 정의가 팔요 하다. D. 11 소비 자 t의 企 業 j의 株式持分率은 °c i로 표시 된다. 따라서 모든 t,j에 대하여 0 tj >0 이며 E 0 t j =1 이다. re T 소비자 t의 利 潤 所 得 은 2 0 tj(p .Y j)로 표시되는데 기업이 생산활 jE J 동이 고려되는 경제에서 소비자의 소비선택의 범위는 다음과 같이 변형 된다 (D. 8 참조). D.8' 주어전 가격벡터 P 하에서 소비자 t의 예산집합은 B1(t) = {xEX : p•조'jJ •e( t)+幻 O‘ j(p ·Y j)}로 정의된다. jc ,J 경쟁적 균형은 다음과 같다.

競爭的 均衡 n 경쟁적 균형은 함수多 : T-+Et 및 창 : J- >Y 그리고 가격벡터 PE4 로 구성되는데 흡.~(t)=j~:x(j)+끓f(t)이다. 특히 yj EY 이며 p홍 (t)~ p·f(t)+jIe ; J O,i( p·Y i) , 그리고 U,(~( t ) )족 U,( 多(t)를 ) 만족시키 는 벡 터 (g, (yj)j e J)는 존재 하지 않는다. 경쟁적 균형의 정의에서 우리는 기업의 利潤 極 大化가 가정되어 있음에 주의할 필요가 있다. 모델경제내의 기업은 주어진 가 격 P 하 에서 P·Y;를 극대화시키는 생산활동 Y; 를 취 할 수 있으며 28 ) 이윤이 극대화되 는 생 산 Y; (p)는 P 에 대 하여 上半 連續 性을 갖는다.

28) 가정 A. 7 에 의거한 결론입에 주의.

이 경제의 市 場需 要相應 F( p)=I; ( D ，， ( t)-f ( t )) ―1:Yi ( P ) 로 정 tE T jE J 의되는데 D ，，＠는 D.8' 의 예산집합에서 u, 를 극대화시키는 xEX 둘의 집 합이 며 역 시 上半連 紹 性을 갖는다. 따라서 가쿠타니 Kakuta n i 의 定 點 定理를 이 용하는 드브류 Debreu 의 小 定理 가 자동적 으로 적 용되며 다음 정리의 증명은 定理 1 과 거의 同一·한 것이 된다. 定理 3. D.l~5 및 D 9~10 으로 표시되는 경쟁적 시장에서 A.l ~7 이 만족되면 경쟁적 균형 U 가 촌재한다. 生産活動이 허용되는 모델경제에서 파레토 효율적 配分은 다음과 같다. D.12 可能한 經濟狀態는 함수 多 : T-)J.,, 청 : J- Y 이며 4J ;(t) tE T s I; e(t )+I;y(j)이다. 가능한 경제상태가 파레토 效 率 的이 되 기 위해서는 모든 t에 대하여 U,( J;'(t))>~,(多(t)）가 되는 가 능한 상태 (J;',상)가 존재하지 않아야 한다. (파레토 효율적인 경계상태에서 개별소비자가 얻는 효용의 크기 를 계산할 수 있으며 파 레토 효율적인 경재상태 를 변화시켜 얻는 소비자들의 효용결합의 집합 울 파레 토 경 계 Pareto fr on ti er 라 한다. ) D. 13 效 率 的 均衡(p, 多,g)이 란 (우십)가 可能한 經濟 狀態이 며 모 돈 t에 대하여 J;(t)가 예산집합 E,,( t )={xEX:P·xs p감(t)}

에서 U t를 극대화시키는 것이다. 우리는 交換經濟에서와 똑같은 방법으로 가능한 경제상태 (요g) 가 파레토 效率 89 이 되기 위한 必嬰充分條件온 가격 P 가 存在하여 (p,多,성)이 效率的 均衝이 되는 것이라는 정리를 증명할 수 있다. 이 러 한 定理둘의 수학적 증명 은 후에 보다 一般化된 〈連紹市場 market wi th conti nu um of a g en t s 〉의 모델에 서 설명 하기 로 한다. 3.1 .2 모델경제의 解釋 1) 競爭的 市楊機耕i에 대한 모델경제의 論理的 構造는 대 략 소개 되었다. 이 모델이 갖는 限界性을 지적하기 전에 모델에서 얻 은 演擇的 推論의 결과가 시사하는 바를 이해하기로 한다. 모델의 특칭은 經濟活動의 分權化 및 효율성에 있다. 社會主 義 體制下의 計測經濟나 統制經濟에서 모든 可用資源울 중앙집 권호}-:s,J_ 權力機構에 의해서 배분하는 방식과 달리 資源配分이 개벌소비자나 기업의 자율적인 행동에 의하여’ 이루어진다• 소 비자나 기업은 주어진 經濟環境하에서 자신에 가장 이로운 행 동을 취 할 자유를 누리 며 다른 經濟單位의 消費選好나 生産技 術에 관한 정 보를 필요로 하지 않는다. 중요한 사실은 分權化 된 경제활동을 사회전체의 입장에서 조화시킬 수 있는 가격기 구가 存在한다는 것 이 다. 효율적인 자원배분이 가격기구내에서 이루어진다 함은 모든 경제단위가 처한 經濟環境에 관한 정보를 필요로. 하는 計劃經 濟와 대조적이다. 경쟁적 시장기구는 정보의 수집 및 처리에 관한 費用울 줄 일 수 있으며 따라서 시장기구논 정보의 效率性i n fo rma ti onal economy 과 배 분의 效率性 allocati ve eff ici e n cy 울 갖는다고 할 수 있다 .Z9 J 經濟單位의 수가 충분히 크다고 하면 모델경제의 경쟁적 군 29) 겅쟁적 가격기구의 이론은 사회주의 경제의 최저자원 배분에 관한 이몬과 사실 상 일치하는 것이다. 겅쟁적 균형이론의 경제계획 분야에 대한 웅용기법은 (참 고문헌 (45)) 참조

형 상태 는 誘引-致 139 in centi ve comp a ti bl e 性格을 갖는다. 어 느 누구도시장가격을 변화시킬 만한 영향력을 행사하지 못하고 償 格受取者로서 행동할 때 개별경제단위논 경쟁적 균형상태에서 이탈할 동기를 갖지 않는다• 왜냐하면 이탈의 결과로 얻는 效 用이나 利 i L1 의 크기는 균형상태에서 얻는 것보다 적게 될 것이 기 때문이다. 환언하면 다른 모든 經濟單 位가 주어전 균형가격하에서 效 用 이나 利潤을 극대화하는 방법으로 행동할 때 자신에게 가장 이 로운 방법 역시 그와 같이 행동하는 것이며 이러한의미에서 경 쟁적 시장기구는 그 자체내에 〈 誘 引 經濟〉 를 포함하고 있는 것 으로 해석될 수 있다 .30)

30) 유인일치적 기구에 대한 해석에서 게입이론적 균형개념 Nash E q u ili br i um 이 시 용되고 있음에 주의할 필요가 있다.

2) 이 모델의 또 다른 특징은 소비자의 富 의 크기가 시장기구내에 서 內生的으로 결정된다는 데 있다. 稀少 價 値를 구사하는 재화 나 용역에 대한 부존량이 큰 소비자일수록 더 큰 富 률 갖게 되 며 또 시장가격이 비싼 재화를 처령한 費用으로 생산할 수 있 는 기업에 대한 지분율이 큰 소비자일수록 소비선택의 범위가 넓어진다. 그러나 경쟁적 시장기구의 효율성은 富 의 分配와는 무관한 槪念이므로 가격기구의 모형에서 우리논 富 의 분배에 관한 평 가를 할 수 없게 된다 . 시장기구에서 얻는 소비자의 효용 혹은 厚生水 準 은 富 의 크 기에 의해서 결정된다. 기존 賊存 量 이나 기업의 所有 權 분포에 의한 厚生의 分配가 그 사회의 分配倫理的 측면에서 적절하지 못할 경우 厚生의 再配分이 사회적으로 바람직할 수도 있다. 厚生 혹은 복지의 분배는 개번소비자가 소비에서 얻는 효용 의 개인간 비교를 요하기 때문에 債値判斷이 개재되므로 누구 에게나 公平하게 보이논 객관화된 기준의 설정이 어렵다. 그러 나 일단 分配의 倫理가 확정되면 소비자들이 소유하는 賊存 혹 은 富 의 재분배에 의해서 자원의 낭비가 없는 후생의 분배를 C 가격기구에 의해서) 성취할 수 있다. 모델경제의 분석결과에 의

하면 賊存의 再配分이 아무런 사회적 비용없이 가능할 때 어떠 한 파레토 效率的인 상태도 分權化된 가격기구에 의해 도달될 수 있음을 알 수 있다. 3) 富 의 크기가 시장기구에서 內生的으로 결정된다 함은 富의 분 배는 결국 사회적 현상임을 알 수 있다. 어느 계층의 소비자는 시장에서 결정되는 貨金水準 에서 노동만을 공급하여 생계를 유 지할 것이고 또 다른 계층의 소비자들은 다른 소비자들의 勞動 울 고용하여 기업을 경영하고 利潤을 얻어넬 것이다. 환언하면 노동자 및 資本家를 포함하는 계급구조가 內生的으로 시장기구 내에서 발생하게 됨을 알 수 있다. 뢰머 J. Roemer 는 이러한 모 델을 더 발전시켜서 마르크스 Marx 경제학의 〈押取〉의 개념이나 〈階級構造〉 가 시장기구내에서 어떻게 정의될 수 있는가를 경쟁 적 균형모형을 이용하여 분석적으로 규명하였다 .31)

31) J.E . Re emer (참고문헌 (42)) 참조

4) 모델의 또 다른 독칭은 財貨 및 用役空間의 一般性이다. 여기 서 소개된 모델은 靜態的 인 것이다. 그러나 物理的으로 같은 속성을 지닌 재화라 할지라도 使用時『h 이 서로 다른 경우에 소 비자나 기업이 느끼는 使用價値가 다르다고 하면 재화의 종류 는 사용시접에 의해서도 구분될 수 있다. 모델경제의 지속기간이 有限하며 소비자나 기업이 현재기간 의 소비 및 생산활동을 할 뿐만 아니라 미래의 全期 r曰 1 에 걸친 소비 및 생산계획을現在期間에 세울때에도 모델경제의 분석결 과는 유효하게 적용될 수 있다. 소비자나 기업은 미래의 어느 시접에서 특정 재화 및 단위를 사용할 수 있· 게 하는 데 대한 댓 가를 현재에 지불하는 형태의 계약을 체결할 수 있다. 따라서 모델경제논 未來에 사용할 재화나 용역에 대한 시장도 現在時 點에서 개설되어 있는 시장기구를 포함하고 있는 것으로 해석 되며 그러한 시장기구의 균형상태가 존재하면 거기서 체결된 모든 계약은 이제 이 경제의 미래의 모든 지속기간에 걸쳐서 유효할 것이고 소비자나 기업은 그러한 계약에 따라서 소비 및 생산계획을 실현시켜 나가면 될 것이다. 아무도 均衡狀態에서

체결된 계약으로부터 이탈할 동기를 갖지 않으며 (誘引一致的 性格에 의거) 따라서 모든 經濟 活動울 수행하기 위한 계약은 현 재시접의 균형상태에서 체결되고 재계약을 위한 미래의 시장은 불팔요하게 될 것 이 다 (marke t op e ns once and for all). 경쟁적 균형모델은 이러한 의미에서 論理的 完全性울 갖는다고 할 수 있는 반면에 현실경제의 市 場機料i를 이해하는 데에는 모델의 결 정적인 限界性울顯示하고 있다고 볼수있다. 현실경제에서는 미래 에 사용될 모든 재 화나 용역 에 대 한 去來市場 (futur es market) 이 존 재 하는 것 이 아니 며 시 장은 時系列 89 seq u anti al ly 으로 각 시 점 에 서 개설된다. 현실경제에 상촌하는 不確 꿨뀝: 하에서는 과거에 예측하지 못했던 새로운 현상의 관찰로 인하여 경제단위가 갖는 정보구조가 정차 세분되어 가며 만일 현재 소유하고 있는 富 의 일부를 미래로 이전시킬 수 있는 제도적 장치가 있다면 구태여 미래를 정확히 예 측할 수 없는 상대에서 미래에 사용될 재화에 대한 거래계약을 현 재시접에서 체결할 필요가 없을 것이다. 만일 未來의 모든 時點에 대한 先物市 場 이 存在하고 저장이 가능 한 재화가 있다면 그 재화는 價値의 肝 藏 手段으로서 사용될 수 있 울 것이다. 우리논 여기서 貨幣의 역할을 강조하는 一時均衡模型 tem p o rary eq u il i b r iu m model 의 필요성 을 느끼 게 된다. 32)

32) 一時均衡理 論 에 관한 입문적 소개는 애로우 K. Arrow 및 하안 F. Hahn (참고 33) 문정의헌 (D5.)5) 및참 조가 정 A.6 참조

3.1. 3 모멜의 限界性 1) 모든 소비자는 現在와 未來에 결찬 각종 재화나 용역의 소비 에서 얻게 되는 效用이나 소비선호에 관한 完全情報를 가지며 소비집합내에서 찰 정의된 고정된 選好體系에 따라 행동한다고 가정하였다 .33) 그러나 現在와 未來의 全期間에 걸쳐서 소비가 가능한 상품 둘의 속성에 관한 完全情報롤 소유한다는 假定은 소비선호가 學習을 동해서 보다 심미적인 취향을 갖도록 개발될 수 있다는 측면을 무시하고 있다. 가장 좋은 예로 고전음악이나 문학작품

에 대한 취미생활을 들 수 있는데 消費選好에도 資本 89 인 要素 가 있음을 간과할 수 없다• 소비선호는 또 개인에 固有한 것이 아니며 社會it되는 측면이 있다. 유행에 따라 소비방법이 변화 할 수 있으며 간티스 H . G i n ti s34) 가 지적한 바대로 소비선호란 교육이나 기타 社會生活울 통해서 항상 변화할 수 있는 것이므 로 근대 경 제학의 소비선호에 대한 가정은 무리한 것이 될 수 있다. 소비자는 또 현재와 미래의 전기간에 걸쳐서 경제의 모든 상 태가 일어날 가능성에 대해서 완전정보를 갖지 못하며 불확실 성과 시간의 흐름에 대한 소비선호의 유연성을 가지나 이러한 문제는 후에 논하기로 한다• 2) 가능한 소비행위들의 집합인 消費集合에 대한 假定에서 우리 는 消費者들 이 交換行爲몰 하기 전에 所有하고 있는 初期賊存 址 벡터가 소비집합의 內部에 포함된다고 하였다 .35) 개별소비 자들은 시 장기 구에 참여 하지 않더 라도 現在와 未來의 全期間에 걸쳐서 생촌해 나갈 수 있는 自生力을 갖고 있다고 가정한 것 이다. 현실적으로는 勞動 및 短期間에 소비되고 마는 재화에 대한 賊存 이의에 갖은 것이 벌로 없는 소비자들이 많다는 접에 유 의할 팔요가 있다. 3) 企 業 둘 역 시 現在와 未來에 가능한 모든 生産方法에 관한 完 全情報룰 소유하고 있는 것으로 가정되어 있다 .36) 따라서 현실 경제에서 기업이 혼히 직면하는 새로운 기술개발에 대한 投資 에 따르는 위험부담둥이 전혀 고려되어 있지 않으며 資本主義 市 場經濟 의 본질 중의 하나가 기 업 의 기 술축적 을 동한 成長이 라 는 면을 고려하면 기술적 가능성에 대한 完全情報의 가정은 비 34) 긴티스는 마르크스 經濟學을 옹호하고 근대경제학의 정태적 자원배분론을 비판 하는 견지에서 교육에 의한 소비선호의 사회화 과정을 지져하였다. H. Gi nt i s, Welfa r e Theory and the Economi cs of Educati on . Di sc ussio n Pap e r No. 173, Harvard Univ e rsit y. 35) 정의 D.4 참조. 36) 정의 D.10 참조.

현실적인 것이다. 기업의 동기 역시 長期的으로는 利 潤極 大化에 있다는 것에는 벌 논란이 없으나 短期에는 企業의 進入이 자유스러운 完全競 爭體 1l ilJ하에서만 合理化될 수 있는 것이라는 주장이 많다. 우리는 또 기업의 기술적 가능성을 볼록 convex 한 生産可能 菓合으로 표시하였다 .37) 따라서 不可分性울 갖는 生産要 素 (기 계설비)로 인한 規模의 經濟 가 배제되어 왔다. 생산규모가 증 가할수록 費用이 감소하는 생산기술을 갖는 산업도 현실경제에 서 혼히 볼 수 있는 것이며 이러한 경우 〈不完全 競爭〉的 시장 조직이 발생하게 될 것이다. 기 업 의 생 산기 술이 또 規模에 대 한 收益 不襲 Consta n t Retu rns to scale0,1 경우도 모델경제에서 허용되나 進入 이 자유스 럽 게 허 용되는 完全競爭하에서 이론적으로 타당한 기업의 극대화된 이 윤은 0 이며 기업의 適定規模 가 정의되지 않고 따라서 이 산업 에서 長期均衡狀態에서 생산활동을 계속할 기업의 수에 관해서 이론적으로 예측할 수 없게 된다. 4) 우리는 또 개별경제단위의 소비선호나 企 業活動 이 서로 분리 된 개별적인 것이며 서로 영향을 줄 수 있다는 가능성을 인정 하지 않았다 .38)

37) 가정 A. 7 참조 38) 이 가정온 명시적으로 표지되지 않았으나 개별기업의 생산기술과 개별소비자의 소비선호가 상호독립져으로 가정된 것입에 유의할 필요가 있다.

환언하면 소비 및 생산활동에서 일어날 수 있는 外部效果를 무시한 것이다. 생산과정에서 발생하는 오영, 생산기술의 변 화 로 인한 소비선호의 변화, 한 소비자의 소비양식이 다론 소비자 에게 주는 효과 둥이 무시되어 있으며 이러한 外部效果가 고려 되면 경쟁적 군형이 效率的인 것아리는· 정리는 성립하지 않게 되고 변형될 수밖에 없다. 또 모든 소비자가 소비하는 재화나 용역은 私有財라고 가정하였으나 모든 소비자가 共同으로 소비 하는 국방이나 사법질서와 같은 공공서비스의 존재를 인정하지 않았다.

外部效果와 公共財는 분권화된 시 장기 구의 효율성 을 실현시 킬 수 없도록 하며 적어도 이론상으로 政府의 存在률 정당화시 킨다. 公共部門과 民間部門간의 효율적 자원배분에 관한 이론 은 39) 아칙 完成되 지 못하고 있으며 특히 公共財生産에 대 한 誘 因一致的 機構 inc enti ve comp a ti bl e mechanis m 에 관한 이 론을 팔 요로한다.

39) D. Foley (참고문헌 (21)) 참조.

5) 시장기구가 社會制度로서 존속가능한 것이 되려면 경쟁적 군 형상태가 경제단위들의 談合울 통한 힘의 균형과 같은 것이라 는 것을 보여주어야 하며 이 경우 시장기구는 社會的 安定性율 갖는다고 할 수 있을 것이다• 이러한 측면은 특히 시장기구내 에서 階級構造가 내생적으로 발생할 수 있다는 접에서 강조될 수 있는 것이며 우리는 다음 절에서 經濟單位의 利己的 行動이 談合的 方法으로 顯示될 수도 있다는 또 다른 형태의 자원배분 에 관한 이론을 살펴보고 그 논리적 구조와 모델경제의 구조를 비교해 보기로 한다. 3.1. 4 競爭的 均衡의 게 입理論的 解析 T 를 經濟單位둘의 집 합이 라 하자. 그리 고 經濟單位의 消費集合 , 消費選好 및 賊存은 D.1~5 에서와 같은 조건을 만족시킨다고 가정 하자. 經濟單位둘의 談合은 담합에 참여 하는 경 제 단위 들의 집 합, 죽 T 의 부분집 합으로 표시 된다. D.14 S 를 T 의 부분집합이라 하자. S 퓸祐}이란 函數 多 : s-x 이며 lE< =S 多(t)=IIE;S tI(t)이다. D.15 기촌배분 #가 주어졌다고 가정하자. 만일 어느 談合 S 가 형성되어 S- 配分 g를 가능하게 할 뿐 아니라 S 에 속하는 모든 經濟單位 t에 대하여 u,( :i(t ))>u,(:&(t)）이 면 談合 S 는 多를 차 단 block 시 킨다고 한다. 定義 1~5 의 市場에 서 어 느 談合도 차 단시 킬 수 없는 配分은 그 市場의 核配分 core allocati on 이 라고 한다.

核配分는 당연히 그 시장의 파레토 效率 E9 인 配分이다. 우리는 核配力'-의 定義에서 다음 定理률 얻는다. 定理 4. 모든 競爭的 均衡狀態에서의 配分 g는 核配分에 속한다. 定理의 중명은 간단하다. 만일 多가 核配分에 속하지 않으면 어 느 談合 S 는 多를 차단할 것이다. 죽 모든 t ES 는 U,( 성(t ))>U,( 多 C t))인 S- 配分 g를 가질 수 있다. 그러 나 P·*C t )=P·~C t)이므로 P· :z(t)>p •e( t)이 다. 따라서 P·.IEI;S, _ y(t)> P· I: ~C t)가 된다. 그러 나 이는 y가 S- 配分이라는 가정에 모순이다. 만일 核配分에 속하는 資源配分이 실현된다면 어느 經濟單位둘의 談合으로도 그러한 配分을 차단시킬 수 없게 되고 核配分의 社會的 安定性이 시사된다. 우리논 당연히 현실경제의 安定的 配分은 核配 分이 되어야 할 것이라고 생각할 수 있다. 그러나 실제로 市場은 價格機構롤 통해서 운용된다. 따라서 만일 우리가 核配分과 競爭的 均衡狀態에서의 資源配分이 서로 일치한다 는 것을 증명할 수 있다면 왜 價格機構가 현실경제의 社會制度로서 촌속하는가하는 問題률적어도 모델경제 내에서 理論的으로 규명할 수 있게 될 것이다. 그러나 經濟單位의 수가 有限한 경우에는 競爭 的 均衡配分은 核配分의 部分集合일 분이며 두 집합은 서로 일치하 지 않는다. 여기서 우리는 競爭的 市場의 論理的 構造에 대해서 다시 살펴볼 필요가 있다. 경쟁적 균형상태는 모든 經濟單位둘이 價格受取者로 서 행동하는 것을 가정하고 있다. 이러한 가정은 개별경제단위의 영향력이 무시될 수 있을 만큼 작은 경우에만 성립한다. 만일 경제 단위의 수가 有限하다면 價格受取 B9 인 행동은 정당화되기 힘들다. 에 지 워 드 Edg e worth 를 비 롯하여 드브류 Debreu 와 스카프 scarf 는 부촌량 endowment 이 나 소비 선호의 차이 에 의 해 경 제 단위 들의 類型 을 有限한 종류의 것으로 분류한 다음 각 유형에 속하는 경제단위 둘의 수를 무한히 늘려갈 때 核配分이 競爭的 均衡配分으로 수령해 가는 정리를 유도하였다. 그러나 유한한 유형의 무수히 많은 경제 단위들의 존재에 대한 가정은 현실성이 벌로 없으므로 그러한 가정

은 소비자의 유형에 제한을 주지 않고 개벌소비자의 영향력만 무시 할 정도로 적은 대단위 규모의 경제모형에서 페지하기로 한다. 이 러한 관접의 차이는 셀 수 있을 정도로 무한히 많은 경제단위들의 집합과 셀 수 없을 정도로 무한히 많은 경제단위들의 집합의 비교 에서 잘 나타난다. 무한수열에서 한 원소의 크기가 변화하면 수열의 合의 크기가 변 화하지만 連紹函數의 한 값의 변화는 函數의 積分値에 아무 영향을 줄수없다. 3. 1. 5 連 續 市場과 競爭的 均衡 4 0)

40) 이 철의 내용을 참고문현 (6) 및 (26) 의 내용을 기초수준에서 발췌 정리한것입 울 밝혀 둔다.

D. 16 連紹市場 conti nu ous market 은 다음과 같은 要素로 구성 된다. 1) 經濟單位둘의 집합. T=[O, 1] （구간 [0,1] 은 임의로 선택된 것이 며 어 느 連紹體 集合 any set wi th the cardin a lity of the conti nu um 도 同一한 목적으로 사용될 수 있다.) 2) 모든 經濟單 位들의 소비집합에 대한 공통된 上限 a 가 존재한 다. Xc{xEE.f: : x~a} 3) 初期賊存, ~ : T-+E .f:은 ~(t )EX로 定義된다. 4) 經濟單位(消費者) 의 效用 函數, U, : X-+R 經濟單 位의 영 향력 은 이 제 T 에 서 定義되 는 尺度 measure, µ에 의 해 서 결정 된다. 尺度 µ가 정 의 되 는 尺度可能空間 measurable spa ce 은 (T,C) 로 표기되며 C 는 尺度가 가능한 T 의 部分菓合들의 集合으로 다음 성질을 갖는다. P. 1 空築合, ¢EC 이 며 TEC 이 다. P. 2 ScT 이 며 SEC 일때 T\S (comp iem ent of S) EC 이 다. P. 3 S,cT 이고 &EC 이면 U;:1S;EC 이다. C 는 이때 집합들의 (1-fi eld 라 볼리며 (T,C) 에서 定義되는 정의 값을 갖는 質襲數函數 µ가 尺度가 되기 위해서는 µ(

oo =Ii=:J µ(S,.) 가 만족되어야 한다. 직관적으로 생각하면 尺度空間에서 尺度 µ는 C 에 속하는 集合들의 比重 혹은 크기를 표시하는 한 방 법이 된다. 尺度 µ의 原子 ato m 는 T 의 部分集合인 C 의 한 元素로서 µ(S) -=t-0 이며 S 의 모든 部分集合 V에 대하여 µ(V)=µ(S) 이든지 혹은 µ(V) =0 가 되는 성질을 갖는 집합을 의미한다. 尺度 µ의 原子가存在하 지 않으면 µ는 非原子的 尺度 nonato m i c measure 라 한다. T 가 經濟單位들의 連續體集合일 때 (T,C) 에서 정의되는 尺度가 非原子的이면 개별경제단위는 市場價格을 변화시킬 수 있는 經濟力 울 소유하지 못하고 價格受取者로서 행 동하게 될 것 이 다. 어느 函數J: T-R 이 尺度可能한 I 函數이면 모든 rER 에 대해서 {t :f(t)독가과 같은 집합이 尺度可能染合이며 C 에 속한다. 尺度 µ에 대 한 函數 f의 積分은 frf d µ 혹은 ff로 표기 하기 로 한 다. 한 例로 f(t)의 치 역 rang e 이 (r1, rz, … rN) 으로 구성될 때 frf d µ = i~=NJ r,-µ {t : J(t) =r,.} 가 성 립 한다. 한편으로 µ는 경 제 단위 들이 市場 에서 顯示하는 영향력의 크기를 표시한다고 생각할 수 있다. 우리 는 이 제 連紹市場에 서 의 配分을 定義하기 로 한다. D. 17 配分 g는 多 : T 一 X 인 尺度可能函數로서 f多=fg이 다. 또 S- 配分은 多 : s-x 인 尺度可能函數로서 I 표=f s, f이 다. D.17 의 配分槪念에 의한 연속시장의 核配分도 쉽게 정의된다. 談合 ScT 가 存在하여 配分 g를 차단시 킬 수 있다 함은 모든 tE S 에 대하여 U,( :i(t))>U,,(多(t))를 가능케 하는 S- 配分 심가 存在한 다는 것과 같으며 核配分이란 어느 談合에 의해서도 차단될 수 없 논 配分울 말한다. 經濟單位 전체의 談合, T 에 의해서도 차단되지 않으므로 核配分은 당연히 파레토 效率的 配分이다. 連紹市場의 모델을 분석 하기 위 해서 다음과 같은 假定울 하기 로 한다. A.8 連紹市場의 假定 1) u, 는 모든 t에 대하여 單調增加하는 連組函數이다.

2) 初j 0l1 武存 !: : T->E i은 尺度可能函數이 다. 3) 주어진 xeX에 대하여 U t (x) 는 尺度可能한 t의 函數이다. 4) !:Ct ) » o 이 며 fr «a 이 다. 經濟單位들 의 수가 有限한 경우와 달리 우리논 消費者둘의 效用 函數 U 가 準 오목 qu asi- c oncave 하다는 假定울 팔요로 하지 않는 데 에 주의 를 해 야 한다. 消費選好 의 볼록성 convexit y, 혹은 限界代替率 減少에 대한 假定은 連紹市場 에서 다음 定理에 의해서 대체된다. 定 理 의 소개에 앞서 우선 및 가지 준비를 하기로 한다. D. 17 N- 次元 벡 터 尺度 µ는 尺度 µ1, µ2 … , µN 으로 구성 되 며 모든 µj가 非原子的 nonato m i c 이 면 µ도 非原子的 nonato m i c 벡 터 尺度 이다. 한 例로 T=[O, 1] 이며 C 를 [O, 1] 에서 정의된 開集合 op e n se t둘 의 시 그마 필드 u- fi el d of Borel subsets 라 하자. A 가 르베 끄 Lebesqu e 尺度라 할 때 µ=0, A) 의 치 역은 {(.x,y)E [O, l]X[O, 1] : x= y}로 서 당연히 볼록한 convex 有界閉集合 comp ac t set 임 을 알 수 있다. 다음 定理의 수리적 증명은 어렵지만 直觀的으로 유추할 수 있는 것이다. 小定理 1 리 아푸노프 Lia p u nov : 非原子的 nonato m i c 벡 터 尺度의 치 역 은 볼록한 convex 有界閉集合이 다. (T, C) 가 尺度空間 measure spa c e 일 때 相應 corresp o ndence F : T -EL 가 尺度可能한 相應이라 함은 집합 {(t,x ) : tE T, xEEL, xE F(t)}가 TXE 떡 쳐도가능 집합인 보렐 Borel 집합임을 의미한다. 相應 F의 積分은 JE= {J多 : 거의 모든 t에 대하여 多(t )EE(t )이고 x( t)는 積分可能한 函數이 다} 로 나타낸다. 定理 5. 리 히 터 S. Ri ch te r : 非原子的 nonato m i c 尺度空間에 서 定義된 相應의 積分은 볼록 convex 한 築 合이 다. 定理 5 는 사실상 小定理 1 과 同一한 論理的構造를 갖는 것이다.

小定理 1 에 서 定理 5 의 도출과정 만 설명 해 본다. x, · y탁和 하자. 우리는 여기서 ax+ (l -a) y도 역시 J E에 속함 을 보이면 된다. 相應의 積分原理에 의해 多(t )EF( t), y(t)E F(t) a. e. 일 41) 때 x=I# 이 며 y=f성이 다. 벡 터 尺度 µ를 µ(s) =f s(:&- :i)로 정 의 하자. 리 아푸노프 Lia p u nov 정 리 에 의 하면 모든 aE 〔。』〕에 대 해서 집합 TaCT 가 存在하며 µ(Ta)=aµ(T ) 이다.

41) 〈 a:e . 〉는 혹 은

g(t) = {多(t) if tE Ta :i(t) if t$ Ta 로 g를 정 의 하면 I g =I 多+f T\Ta t=f Ta(:&- :i) +fT:i =µ (Ta) +y= aµ (T)+ y =a(x- y)+y이다. 그러나 g(t )EF( t)이므로 I 참 EIE 이고 이 것으로 定理는 증명된다. 定理 6. 오먼 R. Auman : 定義 16 의 連紹市場 에 서 假定 8 이 충족되 떤 경쟁적 균형 (p,多)가 存在한다. D,( t )를 소비 자의 需要 라 하고 Ep( t) =D p(t)~g(t)라 하자. 市楊 超過需要 F,=IF, 로 定義된다. 또 xEF, 는 당연히 P·x~O 을 시 사 한다. 만일 F, 가 上半連紹이 며 볼록 convex 하면 우리 는 드브류 Debreu 의 小定理를 이용하여 x*EF,*, x*= f검*이며 x* 는 사실상 0 이 되 는 p*의 存在를 증명할 수 있다. F, 가 볼록 convex 함은 리 히 터 Ri ch te r 의 定理에 서 증명 되 었으며 , F, 의 上半連紹에 대한 증명은 여기서 省略하기로 한다. 우리는 이제 連級市場의 槪念울 이용하여 다음과 같은 중요한 定 理몰 얻는다. 定理 7. 連續市場에서 核配分은 競爭的 均衡槪念이며, 또· 모든 경 쟁적 균형배분은 核配分이다. 우선 (p,$）를 競爭的 均衡이라 하고 多를 차단할 수 있는 談合 S 가 있다고 하자. 즉, 모든 t ES 에 대하여 U,( y(t))>U.,(多(t))인 S- 配分 g가 存在한다고 하자.

(p,多)는 경쟁적 균형이므로 .7;(t)는 t의 豫算菓合에서 效用 울 極 大化하는 소비이다. 따라서 P· :i(t )>P·£( t)이며 이는 J s2> J s g를 시 사하므로 창가 오配分임 에 모순이 다. 따라서 꾸를 차단할 수 있는 談 合 은 존재하지 않는다. 定理 의 逆울 증명하기 위해서는 다음의 小定理가 필요한다. 小定理 2 支 持 超 平面定理 Sup po rti ng Hy pe rpl a ne Theorem : D 가 EL 의 볼록 convex 한 菓 合이 며 X 가 D 의 內部에 속하지 않는 點일 때 0 이 아닌 벡터 pE ELol 存在하며 모든 y ED 에 대해서 P·Y6P·x 이다. 여기에서는 이 小 定 理를 이용한 定理 7 의 逆증명에 대한 윤곽만 을 제시하기로 한다. U,우 ( x선) >多 U,룰, ( 多核 ( t配 ) ) 分} 이u {라t ( t하)자｝.로 定相 義應 하 자.I;J : T->X 를 l;f(t) = {xEE.t : 리 히 터 Ri ch te r 의 定理에 의 하여 우리 는 積 分 I l;f이 볼록 convex 한 집합 임을 알고 있다. 모든 경제단위의 初期賊存 証 의 合인 Jg은집합 I l;f의 境 界나 外部에 존재한다. 만일 內部에 존재하면 EL 에 속하는 벡 터 c 이 있어서 I g一 ( c., …. , c•) EI l;f이 될 것이 다. 이 경우 창(t )E L H ( t ) 인 창가 존재하여 I 창 =I g一 ( c, … E···E ) 이 되며 당연히 2 를 차단 할 수 있는 談 合이 존재하게 된다. 그러므로 小定理 2 를 이용하면 pE EL, p=t= O 이 며 모든 y EI l;f에 대해서 P·Y6P· fr인 가격 벡 타 P 를 찾 을 수 있다. 사실상 P 는 거의 모돈 t에 대해서 P·:&( t )6P· t(t)를 만족시키며 p >O 이 다. 만일 어 느 ScT, µ(S)>OoJ S 에 속하는 모든 t에 대 해 서 P·:&( t )>P· t C t)이면 fa(t)>fr(t)이므로 #가 核配分임에 위배된다. 따라서 거의 모든 t ET에 대해서 P·:&( t )=P· t(t)이다. 죽 (p감)는 경쟁적 균형이다• 3.1. 6 不完全競爭的 市場의 均衡 連紹市 場 의 槪念의 또다론 應用으로우리논市楊 償 格의 형성에 영 향력을 미칠 수 있는 經濟力울 소유한 경제단위들이 存在하는 經 濟 mi xe d economy 에 서 核配分과 가격 기 구의 기 능에 대 한 보다 십 층적

분석을 할 수 있다. 시장가격을 변화시킬 수 있는 經濟單位는 이제 尺度空間에서 原 子 ato m 로 표시 되 며 t1, t2, … A 를 原子 ato m 的 經濟單位라 하자 . 당 연히 µ(t;)> O, i =l,2 … k 이다. t;(i =I,2 … k) 를 제외한 모든 경제단 위는 染合 T의 한 元 素 로 尺度의 크기가 0 이다. 經濟單位둘의 집합은 T=[O. 디LJ{t 1' tk}, t ;>l 이며 개별경제단 위 의 初期賊存의 分布는 § : T-+E .f:로, e( t )µ(d t)는 價格受取的 經 濟효單位용 함t수의 賊U存, 品: ‘E이 .f: - 다+.R 에 서 U, (:&) > U, C :x)는 경 제 단위 t가 多 Ct) µ(d t)를 성(t )µ(d t)보다 선호함을 의 미 한다. （原子 ato m 的 經濟單位의 경 우 x( t)µ(t;)를 y(t)µ(t;)보다 선호함을 의 미 한다. ) 만일 U1 가 準오목 qu asi- c oncave 하며 또 假定 8 이 만족되 면 우리 는 다음 定理를 얻는다. 定理 8 수] 토비 쯔. B. Shit ov it : 原子 ato m 둘이 存在하는 혼합시 장 mi xe d econom y에서 多가 核配分이면 다음 성질을 만족시키는 가격벡타 P 가 존재한다. P.l 配分 多에 대하여 CP·:&) 는 效率的 均衡이 다. P.2 非原子的 nona t om i c 소비자에 대해서는 P· :1;(t )~P·§( t)이다. 原子 ato m 的 經濟單位들과 같은 類型에 속한다 함은 서 로 同一한 效用函數 및 初期賊存 蓋 울 소유하고 있다는 것을 의미한다. 原子 ato m 가 存在하는 市場일지 라도 모든 核配分이 競爭的 均衡配分이 될 수 있는 여건의 分析은 이론적으로 홍미로운 사실아다. 定理 9 쉬 토비 쯔. B. Shit ov it z : 혼합경 제 에 서 2 人 以上의 原子 ato m 적 經濟單位가 存在하고 그들이 모두 같은 類型이 면 모든 核配分은 競爭的 均衡狀態로 가격기구에 의해 分權化될 수 있다. 定理 9 는 비록 原子 a t om 가 存在하더라도 그들간의 치열한 경쟁 때문에 核配分의 競爭的 均衡槪念과 一致하게 된다는 것 이 다. 定理 9 에서 살펴본 바와 같이 게임 理論은 가격을 관리할 수 있 논 經濟單位둘이 存在하는 不完全 競爭的 市場의 資源配分울 이해

하는 데 매우 유용하게 應用될 수 있다. 核配分의 槪念은 에지워드 Edg e worth 에 의 한 것 이 며 폰 노이 만 von Neuman 과 모르겐슈턴 0. Mor gens t ern 은 또 다론 게임의 均衡槪念울 고안하고 經濟的 現象에 관한 모델들의 分析에 응용하였다. D. 18 D. l~5, D. 16 의 市 場 에 서 多 및 장률 配分이 라고 하자. 配分 多가 談合 S 에 의 하여 配分 성불 支配 dom i na t e 한다는 (x >s y)의 뜻은 모든 t ES 에 대하여 U,(:&( t ))>U,( 성(t)）이며 I 조 티 s g임을 의미한다. 또 만일 S* 이며 x>-, y이면 配分꾸가창률 支配한다고한다. 市場 게 임 의 폰 노이 만 모르겐슈턴 von Neuman Morge nste r n (VM) 解는配分의 集合 K 로서 K 에 속하는配分들은서로支配關係에 있지 아니 하며 K 밖의 어 떠 한 配分도 K 內의 한 配分에 의 하여 支配된다. 定 義 18 을 응용하면 우리는 有限한 유형의 經濟單位들이 非原子 的 nonato r nic 尺度空間으로 表示되 는 市場에 서 활동할 때 VM 解는 같은 類型의 經濟單位들이 카르델을 형성하여 한 個體로서 협상할 때의 VM 解와 같음을 보일 수 있다. 우리가 만일 VM 解를 經濟單 位둘의 힘의 均衡에 의한 配分으로 그 現質性울 인정한다면 VM 解 는 카르텔 혹은 霧占的 經濟單位둘이 市場機構內에서 內生的으로 발생할 수 있는 可能性울 시사하고 있다. 3.2 動態理論 現質經濟는 항상 靜的인 균형상태에 머물러 있지 않으므로 한 經 濟가 초기의 不均衡狀態에서 궁극적으로 어떻게 均衡狀態로 수령해 가는가 하는 것을 이해하는 것은 매우 중요한 과제이다. 또 勞動이 나 資本財를 비롯한 그 경제의 賊存資源의 크기분만 아니라 기업의 生産技術에 관한 情報와 知識도 시간이 지남에 따라 축적되어 가기 마련이므로 한 經濟가 어떻게 여러 財貨나 用役市場의 均衡狀態를 이루어 나가면서 均衡成長울 할 수 있는가 하는 데 대한 分析도 필 요하게 된다. 一般均衡動態理論이 나 經濟成長論은 모두 數理經濟學의 중요한 분

야이나 아직 이렇다할 설득력 있는 理論體系롤 갖고 있지는못하다. 3. 2.1 왈라스 Walras 의 模索過程 Tato n nement 一般均衡動態理論의 중요한 假定은 償格機構內에 不均衡울 시 정 하는 힘이 內在되어 있다는 것이다. 죽, 어느 市場에서나 가격은 항상 超過需要나 供給울 줄이는 方向으로 신축적으로 변화할 수 있 다는 것이다. 이 러 한 前提하에 서 價格適應過程온 크게 왈라스 L. Walras 의 模索 過程과 한 F. Hahn 등이 발전시 킨 非模索過程으로 大別된다. 42) 模索過程은· 한 경제가 均衡狀態에 이르는 過程에서 經濟內 의 개 별경제단위들의 超過需要나 供給에 관한 모든 情報롤 수집하고 있 는 허 구적 인 競賣人 aucti on eer 을 가정 한다. 競賣 人은 임 의 의 가격 을 선포하고 모든 經濟單位는 그 가격하에서 契糸선율 체결한다. 여기서 계 산된 經濟全體의 超過需要가 零 이 되지 않으면 超過需要를 줄이 는 方法으로 새로운 가격을 고시하고 經濟單位들은 以前 契約을 페 기하고 새로운 契約울 체결한다. 다시 만일 超過需要 가 零 이 되지 않으면 경매인은 가격을 다시 공포하게 된다. 不均衡狀態에서 체결되는 契約의 범위가 무시할 만한 것이고 가 격의 신축적 기능이 認定된다면 왈라스 Walras 의 競賣 人은 단지 현 실경제의 適應過程울 이론적으로 모방하기 위한 도구일 분이다. 模索過程에서 價格適應經路의 한 例로 ：운 =k·z (p), k>O 과 같 은 微分方程式울 생 각할 수 있다. SL-1= {PER~ : I: P'=l} 로 표시 할 때 z (p)는 Z : SL-1-RL 로 주어 지 는 價格에 대 하여 連紹的인 超 過需要函數로 長期均衡狀態는 z (p *)=0 인 p *ESL-1 에서 결정된다. 만일 z (p)가 連續的으로 微分可能하면 주어진 初期條件을 만족하 는 微分方程式의 解는 唯一하게 주어짐을 알 수 있고 따라서 動態 的 經路논 찰 定義된다. 왈라스 Walras 의 法則에 의해서 P·z(p )= O 이므로 z (p)는 價格空間 SL-I 의 接空間 ta ng e nt s p ace 에 놓여 있음을 알 수 있고 따라서 超過需要函數 z(·) 는 價格空間 SL-I 에서 連續的 인 벡 터 場 vecto r fiel d 을 구성 하고 있 다. 43> 4423)) 참경고제문학에헌서 ( 53자) 주및 사(5용) 되참조는. 위상수학 t op olo gy에 대한 입문으로 참고문현 (34)

참조.

만일 임의의 i번째 재화의 가격이 P'=O 일 때 그 재화에 대한 超 過需要 z1 ( p 1 )> 0 이 라 하면 z ( p) 는 SL-I 의 境 界에서 SL-I 의 內部로 향 하고 있 는 벡 터 임 을 알 수 있 다. 代 數 位相 學 alge b raic top o log y 의 定 理를 이 용하면 (Sp an ie r p, 197) 均衡價格 p*의 存在는 쉽 게 파악된 다 (定割占定理 의 應 用에 의 한 증명 과 比 校 )· 또 微 分方程式의 찰 알려 진 定理 에 의 하면 쟈코비 안 행 렬 Dz ( p ) 의 固有値가 모두 負 의 값을 가 질 때 初期條 件 p ( O ) 가 p * 의 부근에 놓여 있으면 가격 의 動 態的 經路 p ( t ) 는 p * 로 수령 해 간다. 따라서 스러 츠키 Slutz k y 의 定 理를 이 용하면 우리 는 代替效果가 所 得效果 보다 크게 작용할 때 Dz ( p ) 의 固有値가 負의 값을 갖게 되 고 왈 라스의 模索過程 온 적어도 理論 상으로는 찰 定義 될 수 있음을 알 수있다. 조금 더 욕십을 낸다면 우리는 模索過程 이 償格 空間의 어느 點 에 서 출발하더라도 이 경제의 唯一한 均 衡 價 格 으로 수령해 나가는 全 體 的 安 定 性을 분석해 볼 수 있다. 디 커 E. Di er ker 및 배 리 안 H. Varia n 둥은 微 分位相 數學 의 포앙카 레 -호프 Po i ncare-Ho pf의 指 數 ind ex 定理몰 이 용하여 市 場 均 衡 의 唯 一性에 관한 條 件율 유도하였는데 리 아푸노프 Li a p unov 의 安定性定 理 의 應 用으로 全 盟 的安 定 性을 갖는 모델경제의 성격을 파악할 수 있다. 최근에 이르러서는 不均 衡 狀態에서는 실질적인 去 來 契約이 체결 되 는 非 模索 過程 non-ta t o n nement 에 대 한 연구가 활발하였으나 景氣 襲 動과 같은 현설경제의 주요 현상을 설명하는 데 이용될 수 있을 정도로 발전되지는 못하였다 .44 ) 또 微分位相數學 Di ffer enti al Top o log y 은 數理經濟 學 의 다른 分野 에 서 도 응용되 기 시 작하였으며 Cata s tr o p h e Theory (破局理 論 )의 應 用으로 景氣變 動이 나 經 濟斐 數들의 不連 紹 性 變 化를 數理化된 理 論 으로 설명하고자 하는 分析方法도 주목할 만한 것이다 .45)

44) Arrow 및 Hahn, 전게 서 참조. 45) 동대이론에 관한 일반적인 개관은 H. Varia n (참고문헌 (50)) 참조

3. 2. 2 經濟成長理論 數理化된 經 濟成長論온 주로 古典力學에 서 하밀돈체 계 Hami lt o nia n Sy st e m 라 불리 논 動學模型 Dy n ami ca l Sy st e m 울 중십 으로 분석 될 수 있다. 徽分方程式의 기법을 이용하여 한 經濟 의 資 本 菩積 過程이냐 成 長 經 路를 파악하는 新古典的 이론의 근본적 가정은 매 시점에서 그 경제가 完全 競 爭的 市 場 均 衡 울 이루고 있다는 것이며 이제는 벌로 이렇다 할 理論的 價値를 갖지 못하고 있다• 그러 나 經濟 成長에 대한 數 理的 分析過 程 에 서 資 本 理 論 에 관한 많 은 전전이 있었으며 기술전보나 人的 資本 의 菩積 이 經濟成長 에 주 논 效 果 를 계량적으로 파악할 수 있는 모델을 제공한 접은 높이 評 價할 만한 것이다 .46) 3.3 社會厚生理論 厚生 經濟學 은 規範的 價 値의 質現性울 분석 하며 經濟 制度나 政策 의 이론적 평가를 위한 분석의 들을 제공한다. 시장기구의 效 率 性 에 관한 모델의 수립 및 假說의 추출과정은 후생경제학의 전형적인 분석방법의 한 例라 할 수 있다. 먼처 分配의 倫理와 效 率 性에 대한 社 會 的 價値의 형성에 대한 이론적 고찰과 바람직한 경제제도의 형태를 찾기 위한 노력은 애로. 우 Arrow 의 社 會 厚生理論에서 찾아볼 수 있다. 社 會 厚生函數에 대 한 이 론을 소개 함으로써 規 範 經濟學 의 數理的 分析方法울 예 시 하고 자 한다 .47) 사회적 가치가 형성되는 意 思決定過程에 대한 분석은 기존 가치 관이나 제도를 초월한 論理的 客觀性율 유지해야 하나 아무런 前提 條件이 없이 그러한 것은 아니다. 그러나 일련의 前提나 假定이 일 단 채택되면 논리적 사고에 의해서 定理가 도출되고 定理의 해석에 46) 경재성장에 관한 문헌은 너무 방대하므로 여기서 · 다 소개 될 수는 없겠다. 그러 나 참고문헌 (12) 참조 47) 사회후생함수의 개념은 A. Bergs o n (참고문현 (9) ）에 의해서 처음 도입되었으 며 후에 P. Samuelson (참고문헌 (43) ）에 의해서 발전되었다. 이에 대한 비판 및 자세한 분석은 K. Arrow (참고문헌 (1) ）에 설명되어 있다.

의하여 規範的 價値의 설현가능성을 분석해 볼 수 있다. 3. 3. 1 애 로우 Arrow 의 社會選好理論-不可能性定理 Imp es sib i l it y · Theorem 社 會 狀態t!-J: 개 텔사회 구성 원의 생 활에 영 향울 주는 政治, 經濟, 社 會 的 모든 여건을 포괄적으로 나타내는 상태를 의미하며 可能한 一 사회상태들은 x, y ,z 와 같은 기호로 표기하기로 한다. 개인의 價値 ­ 體系는 서 로 다른 社 會 狀態들에 대한 選好體系를 의 미 하며 다음적1- · 같은 條件을 만족한다고 假定한다. xR , y는 사회 구성 원 i가 사회 상태 x 를 Y 보다 選好하거 나 無差別 , 하게 느끼는 경우를 표시하며 i가 x 를 더 選好할 때는 xP; y로 표­ 기한다. A.l 모든 사회구성원 i는 임의의 두 可能한 社會狀態 x, y에 대 한 選好體系를 갖는다. 환언하면 xR, y거나 혹은 yR ,x 가 성립 , 한다. A. 2 모든 i 및 모든 可能한 狀態 x, y, z 에 대 하여 xR,y, y R;z 이 면 xR,z 이다. 社會選好 socia l pre fe r ence 는 A. l 및 A. 2 를 만족시 키 는 社會구성 ' 원들의 선호에 의해서만 결정된다고 가정되며 사회구성원들의 價値 體 系가 사회적 가치로 複合 a gg re p a ti on 되는 과정에 대하여 다음과 같은 가정을 하기로 한다. 1) 集團的 合理性 Collecti ve Rati on ali ty 사회선호체계를 R 로 표시할 때 임의의 세 사회상태 x,y 및 z 에 대하여 xRy 및 y Rz 가 성립하면 xRz 가 성립한다. 假定 1 은 一見 당연한 것처럼 보이나 社會選好에 의하여 최종적 으로 선택된 상태가 어떠한 經路를 거쳐서 도달되는가 하는 과정에 대 한 아무런 가치 를 두고 있지 않다는 가정 이 다p a t h ind ep en dence. 또 社會選好가 과반수 두표제에 의해서 결정되면 가정 1 은 자동적으로 위배된다. 그러나 가능한 社會狀態의 집합에서 주어전 社會選好를:

極大化시키는 狀 態 max i malelemen t의 선택은 菓 團的 合理性의 假定 이 없이는 논리적으로 不可能하다. 2) 파레 토選擇原理 Pareto princ iple 임의의 두 가능한 사회상태 x, y에 대하여 모든 사회구성원의 選 好 7} xP; y이 면 會 社選好도 xPy 로 주어 전다. (y Rx 의 逆命題를 ~yR x 로 표기할 때 xPy 는 ~y Rx 를 의미한다.) 파레토 選擇 原理의 가정은 개닙검사회구성원의 선호에 대 한 촌중과 사회선택의 效 率 性에 대한 가정으로. 벌 무리없이 받아 둘 일 수 있다. 시장기구를 통한 社會選好 의 구현방법은 가정 2 을 만족한다. 3) 獨立性 Indep e ndence of Irrelevant Alte rnati ve s 임의의 두 상태 x, y에 대한 社會選 好는 x 와 Y 에 의해서만 결정 되지 다른 社 會 狀態의 존재에 의하여 영 향을 받지 않는다. 가정 3 은 두 입후보자에 대한 두표자들의 選 好는 출 마하지 않은 다른 후보들의 存在에 의해서 영향을 받지 않는다는 것이다. 가정 3 은 특히 社會選好 7} 개인들의 관찰될 수 있는 속성에 의하여 결정 되어야 함을 강조하고 있다. 따라서 個人選好의 强度나 個人間 選好 强 度의 比 紋 에 필요한 基 數的 選好의 역할을 무시하는 것으로 해석된다. 4) 非獨斷性 Non-dic tat o rship 社 會 選好논어느 한 개인의 選好에 의해서만결정되어서는안된다. 가정 4 는 社 會 的 意 思決定方法이 民主主 義 的이어야 한다는 가정 이다. 이제 임의의 사회구성원도 본인이 원하는 어떠한 가치체계 R i를 가질 수 있을 때 개인의 選好를 촌중하며 民主主 義 的이고 效 率 h9 인 社 會 選好가 가정 1~4 를 토대로 찰 定 義 될 수 있는가 하는 問 題 는 演擇 的 推論에 의 거 한다. 사회구성원을 i =l,2,···1로 표시할 때 R=(R1 , R2 … R1) 라 하자. A.1 및 A. 2 를 만족하는 모든 가능한 R 의 집합을 R 로 표시하고

가정 l~4 를 만족하는도돈 社會選好의 집합을'r; R' 로 표시할때 애로 우 Arrow 의 社 會 的 意思決定方法 혹은 社會厚生函數는 R 에 서 R' 로 가는 일종의 寫ii map ping 으로 SWF : R-+R' 와 같은 기 호로 표시 된다. 애 로우 Arrow 는 다음과 같은 유명 한 定理를 증명 하였 다. 定理 1. 假定 A. l 및 A. 2 그리 고 1~4 를 만족시 키 는 社會厚生函數 SWF : R-+R' 는 존재 하지 않는다. 定 理 1 은 지금까지 알려진 어떠한 社會選擇方法도 여기서 소개~ 假 定 둘 전부의 어느 하나에 위배되며 假定둘을 전부 충족시키는 社­ 會選好 를 구체화하는 사회제도는 존재할 수 없다는 것을 시사하고 . 있다. 찰 알려진 過半數 投票십계는 다론 모든 가정을 만족시키지만· 菓 團的 合理性의 가정에 위배된다. 시장기구는 재화나 용역의 물질적 소비에 대한 개별소바자의 消 費選 好률 가격기구를 통해서 실현시키는 社會的 意思決定의 한 方 ­ 法으로 생각될 수 있으나 가정 3 을 만족시키지 못하고 있다. 消穀 需要 로 표시되는 個別消費의 選好體系가 시장기구에서 總需要로 복 ­ 합되는 과정에서 富 의 分配가 總 需 要의 크기에 영향을 주기 때문에 비록 소비자 전체의 富 의 크기가 일정하더라도 그들의 消費選好가­ 總需 要函數에서 엄 밀하게 定義되지 못하게 된다. 48)

48) 소비자들의 소비선호와 총 수요함수와의 관계에 대한 새로운 견해, 즉 총수요 ~ 함수에서 소비자둘의 소비선호체계문 다시 추출하는 것이 불가능하다는 정리는­ H. Sonnenschein (참고문헌 (49) ）에 의해 발전되기 시작하였다.

애 로우 Arrow 의 不可能性定理는 보편적 가치 를 실현시 키 는 방법 율 論理的으로 규명하는 분석방법에 대한 많은 관십을 집중시켰으­ 며 社會選好가 찰 定 義 될 수 있는 일련의 새로운 가정들의 발견을 위 한 理論的 分析울 가능하게 하였 다. 개 인의 選好領域 pre fe r ence- domain 에 대 한 최 소한의 制約이 나 獨立性에 대 한 가정 의 변형 으로 鼻 社會選擇에 관한 有用한 定理둘이 도출되었다. 獨立性의 가정을 페기하는 대신 效用의 個人間 比敦나 서로간의 처지를 잘 이해함으로써 후생판단의 기준이 가능하다논 摘大共感의

源理 pr in c iple of exte n ded sy m p a th y 를 적 용할 수도 있 다. 어느 한 개인이 모든 다른 社會구성원의 입장에 처했을 때 그가 갖게 될 그 사회구성원의 선호에 입각해서 사회상태를 평가할 수 있는 倫理的 選好 eth ica l pr efe r ence 의 49) 存在률 가정 하여 사회 선호를 추출할 수도 있으며 , 로울스 J. Rawls 의 50) 社 會 正 義論 에 서 처 럼 한 사 회의 최빈곤계층의 선호에 독단성을 부여할 수도 있다.

49) J. Harsany i (참고문헌 (24)) 참조. 50) J. Rawls 의 사회정의론 (39) 및 사회선호이론에 대한 경제학져 개요는 A. Sen (참고문헌 (46)) 참조.

3. 4 不確實性下의 資源配分 完全情報의 바탕 위 에 서 未來의 모든 가능한 事件 들을 정 확히 豫 見하여 행동하는 經濟單位란 存在하지 않는다. 소바자들의 一生週 期에 결찬 합리적 소비나 기업의 生産 및 投資活動온 모두 不確i梵 한 세계에서 이루어지고 있다. 價格理論울 보다 현실적인 次元에서 전개하려면 不確質性하에서 개벌경제단위가 행동하는 양석을 이해하여야 한다. 앞에서 소개된 競爭 的 市場機構의 이 론은 不確꿨’ 性 하에 서 의 資源配 分理 論 으로 발 전될 수 있다. 우리논 먼처 不確質性下의 濟經에서 경제단위의 행 동에 대한 몇 가지 假定을 하고 그러한 假定이 충족된다면 合理的 인 選擇方法이란 어떠한 것인가를 밝혀내기로 한다. 경제단위들이 느끼는 不確買性은 未來의 모든 가능한 상태들의 집 합에서 어느 상태가 일어날 것인가에 대한 것으로 가정해 볼 수 있 다. 따라서 경제단위의 선덱에 관한 이론은 행동의 결과에 대한 主 觀的 效用價値와 임의의 상태가 일어날 가능성에 대한 主觀的 確率 分布에 대한 이론이 될 것이다 . .3 .4.1 期待效用假說 및 應用 5 1) 우선 팔요한 몇 가지 定義를 내리기로 한다. D. l 事象 CE) 이 란 可能한 狀態들의 집 합이 며 모든 事象 CE) 들

51) 불확실성하의 선택에 관한 기본체계는 K. Arrow 에 의한 것이다(참고문헌 (3)) 참조.

의 집합은 시그마 필드(J'-fi eld 를 형성한다. 개벌상태 sES 도 事象이다. 定義 1 은 確率空間을 이루기 위한 戱學的 前提이다. D. 2 경제단위의 行動은 a : s-EL 로 표시되며 a(s) 는 行動 a 가 취해졌을 대 狀態 s 에서 얻는 결과를 商品의 空間에 표시한 것 이다. 다음에 소개 되 는 假定 1~5 는 不確質性하에 서 소바 자나 기 업 이 어떻게 행동하는가에 대한 理論的 前提들이다. 이러한 前提들의 현 실성은 經驗的 사실에 의해서 어느 정도 뒷받침될 수 있는 것들이 다. 假定 l~5 를 근거로 한 演線的 推論에서 期待效用假說演巳理 1 및 2) 이 유도되며 期待效用假說은 다시 구체적인 경제모형에 적용 되어 검정할 만한 많은 假說울 추출할 수 있게 하였다. A.1 경제단위들의 가능한 행동에 대한 선택기준은 順位 order i ng 에 의해서 표시될 수 있다. 임의의 두 행동 a1,az 에 대한 選好 體系(>)도 정의되며 임의의 aI,a2,a3 에 대하여 만일 al( 츠 la a2 (>l a3 이 면 a1 之꼬%이 다. (여 기 서 a l( ;;::;laz 는 a1 이 a2 보다 選好되 는 C 와 無差別한) 二項關係몰 표시 한다. ) 假定 1 은 경제단위들이 선택가능한행동들에 대한 選好體系를 갖 고 있다는 가정 이 다. 確貴性하의 消費選好의 連紹性에 대한 가정 과 유사한 다음 가정을 소개하기로 한다. 우선 事象둘의 단조감소하는 數列 {Ei} 2I 를 생 각하자. 여 기 서 E;+1CE; 이며 또 n i= IE i=¢라 하자. 임의의 두 行動 a,b 에 대한 選 好가 a>-b 로 주어질 때 事象 Ej 이의의 사상에서는 a(b) 와 같은 결 과를 가져다 주는 행동 a i (b i)들이 있다면 連紹性 假定은 다음과 같 다. A. 2 충분히 큰 i에 대 해 서 a i >-b 이 며 a>-b 이 다. 假定 2 는 경제단위가 어느 결과에 대하여 절대적인 가치를 주고

있는 경우에는 그 설득력을 잃게 될 수도 있다. 不確質性하에 서 는 情報의 菩탑{ 이 중요한 역 할을 하게 되 는데 새 로 운 情報의 수집은 가능한 事象 들에 대한 主觀的 確 率 分布를 수정시 키게 될 것이며 따라서 경제단위들의 행동에 대한 選擇基準은 그가 소유한 정보에 의해서 가능성이 배제되지 않은 專 象들에서 얻게 되 는 결과에 의해서만 결정될 것이다. A. 3 임의의 어느 事t! t E 에 그 결과가 국한된 행동들에 대해서도 假定 1,2 를 만족시키는 選好 股 系가 存在한다. 도 주어전 사상 E 에서 정의된 두 행동 al 및 a2 에 대한 選好가 a1 之 a2|E로 표. 시 될 때 分쁨 U Partit ion P.에 속하는 모든 E에 대 하여 a1~az l E 이 떤 al~ 야이 다. (여 기 서 標本空 r日 1 S 의 分!J:'11 pa rti tion 이 란 서 로 공통 된 원소를 갖지 않으며 mutu ally exclusiv e 그 合 染 合이 S 인 집 합들의 모임 collecti on 울 의 미 한다. ) 다음의 가정은 서로 다른 행동에 대한 선호는 그 행동의 결과에 의해서만 결정되며 결과가 얻어지는 특정상태에 의해서 영향을 받 지 않는다는 가정이다. A.4 a1,a2 및 b1,b2 가 不確實性하에서 취할 수 있논 행동이며 S1 및 %는 서로 다른 가능한 상태라 하자. 만일 a1(s1)=a2(s2), b1(s1)=b2(s2) 이면 a1>-b1ls1 은 a2rb2ls2 를 시사하고 그 逆도 성 립한다. 그리고 임의의 函數 J: s-EL 에 대해서도f (s)=a(s) 가 되는 행동 a 가 存在한다. 假定 3,4 는 독정결과 C1 및 c2 에 대한 選好논 모든 狀態 s 에 대하 여 a(s)=ci, b(s)=c2 가 되는 행동 a,b 에 대한 選好와 同一視될 수 있음을시사하고 있다. 다음의 假定은 개별경제단위의 主觀的 確率分布의 형태에 관한 것이다. A. 5 S 및 시 그마필드 a-fie l d 로 구성 된 尺度可能空間에 서 定義 되 는 경 제 단위 의 確率分布는 非原存的 nonato m i c 이 다. 환언하

떤 P( E ) >O 인 임 의 의 事象 E 도 P( E 1)>0 및 P ( E2 ) >0 인 事象 E1 및 E2 의 合 菓合 으로 표시될 수 있다. 假定 5 는 또 임의의 주어전 確 率 p에 대해서도 P ( E)=P 인 iE 象 E 가 存 在 합울 시사하고 있다. 定理 1 假 定 l~5 下에서는 다음과 같은 성질을 갖는 有界函數 U 가 存 在 한다. 1) a1>-a 뜩 V( a1 ) > V( a2 ) 2) U ( a ) =E[U ( a ( s )) ］이며 E[. 〕는 主 競的 確率 分布에 의한 期待 値롤 의미한다. 따라서 不 確 似宅困 F 에 서 경 제 단위 는 期 待 效 用 E[U(a(s)) ］를 극대 화시키는 方法으로 最適 行 動 울 취한다고 할 수 있다. 더욱 홍미로 운 사실온 定 理 1 에서 사용된 主 觀 的 確 率 分布가 外生的으로 주어 진 것이 아니고 경제단위의 행동에 대한 가정下에서 그 存在를 理 論 的으로 類 推할 수 있는 성질의 것이라는 것이다. 한 例로 事象 E1 에서 c* 의 결과를 얻고 E1 의 여집합 com p lemen t 事象 EI C 에서 c* 를 얻는 행동 (a1 ) 과 事象 E2 및 E2 의 여집합사상 E2’ 에서 같은 결과 (c * 및 c* ） 를 얻는 행동을 비교할 때 U(c*) > U (c* ） 이면 두 행동에 대한 al>-a2 와 같은 선호는 두 사상 E1 및 E: 의 확률비교 P(E1)>P(E2) 에 연유함울 알 수 있다. 역으로 우리는 a1>-a 라는 選 好 體 系에 서 사실상 事象 E1 및 E2 에 대 한 選好 體 系 E1>-E2 를 끄집어 낼 수 있으며 사상들에 대한 選好 體 系는確 率 尺度 P에 의해서 數値化될 수 있음을 침작할 수 있다. 득히 U(c*)>U (c* ）가 만족되는 한 E1 및 E2 에 대한 選好는 c* 및 c * 의 크기와 무 관함을 알 수 있다. 다음의 假 定 들은 앞에서 소개한 다른 假定과 함께 事象 둥에 대한 主競的 確 率 尺度의 存在를 증명하는 데 사용된다. A.6 E1 및 E2 를 서로 다론 事象 이라 하자. 각 사상에서의 결과 가 c* 및 c*, 그리 >c* 및 안로 주어 지 고 c*> -c* >c*>- f * 이 라 하자. 결과가 c* 및 c* 로 주어질 때 E1>-E2 이> 챤 및 c* 로

결과가 주어 질 때 도 E1>-E2 이 다. 假定 6 은 事象 에 대한 選 好盟系가 결과와는 獨立的으로 결정이 될 수 있음을 시사하고 있다. 確 率 尺度 P 란 前節에서 소개한 尺度의 한 형태로 尺度可能空 間 (S,E) 에서 定義 되며 E 안의 모든 사상, E 에 대하여 1) P(E)~o 이고 P ( S)=l 이며 2) {PE;{}U r~'=1가E J서 =로~; c=o공 l P동 ( E원 ; ) 소되를는 尺갖지 度 이않다.으 면 dis j o i n t 確 率 尺度의 存在를 증명하기 위해서 우리논 事象 들의 集 合이 갖 는 구조에 대한 다음 假定울 팔요로 한다. 이 가정은 定理 l 에서 사용된 確率 尺度의 非原子的 non-a t o m i c 성 격 을 事 象 들의 集 合 構造 에서 類 推하기 위함이다. A. 7 임의의 事象 E 는 E1UE2=E 및 E1~E 2 가 되는 部分 集 合 E1 및 E 2 로 나누어질 수 있다. 定理 2. 假定 1~4 및 6~7 을 만족하는 개 별 경 제 단위 의 合 理的 行 動 은 그들이 갖는 主觀的 確 率 分布 5 2 ) 와 效用函數 로 계산된 期待效 用 E(U(a(s)) ］를 極大化시 키 는 行 動 이 다. 定理 2 의 증명은 수학적으로 너무 복잡하므로 여기서는 省 略하기 로 한다. 期待效用이 不確 宜 한 세계에서 경제단위의 目的函 數 가 될 수 있다는 사실은 일찌기 베르누이 D. Bernoull i 에 의해서 지적되었 지만 理論經 濟 에 본격적으로 도입되기 시작한 것은 나이트 F. Knig h t 의 『위 험 , 불확실성 과 이 윤 Ri sk , Uncerta i n t y and Prof it』 53) 에 서 不 確實性이 經濟活動에 주는 영 향을 강조하는 데 서 차츰 그 중요성 이 인식된 후부터이다. 定理 2 는 경제단위의 危險에 대한 적옹방법에 관한 몇 가지 假說 52) 가정 A. 7 에 의 하여 주관적 확 문 분포는 nona t om i c 한 확 문 분포가 된다 . 53) Knig h t, F.H . (1921), Ri sk , Uncerta i n t y andProfi t New York: Houg h to n - Mi fflin.

과 함께 경제이론의 많은 분야에 걸쳐서 획기적인 발전을 이룩하는 데 공헌하였다. 소비자의 合理的인 消費舟料뜹 模型에 의한 巨視經 濟的 消費函數의 이론적 체계화, 金融資産의 需要 및 金融市場의 構造, 또 保險理論 및 企業의 投資理論 등이 보다 현실성 있는 이론 으로 전개되었다 .54) 또 失業 및 勞使契約의 특유한 형태나 資本市 場을 위시한 각종 社會保險制度의 效率性울 평가하는 이론을 가능 하게 하였다 .55) 3. 4. 2 不確實性과 近代經濟理論으 l 姜形 不確買性 槪念의 경 제 학에 의 응용과정 에 서 주목할 만한 사실온 未 來의 모든 視點 및 모든 가능한 狀態에서 사용될 재화나 용역에 대 한 現在視點에서의 去來契約이 체결될 수 있는 市場이 貨幣를 제의 한 대부분의 재화의 경우 개설되어 있지 않다는 접이다. 경제단위 둘의 情報構造의 非對稱性과 不完全性에 대 한 인식 은 가격 기 구의 역할이나 시장기구의 기능에 대한 보다 현실적인 분석에 대한 시도 를 시급하게 하였다. 케 인즈 Key n es 의 巨視經濟學온 사실상 시 장조직 의 不完全性 inc o-mp le te market 과 不確質性下에 서 價値理論을 體系化시 키 려 는 시 도라 는 관접에서 거시경제학의 微視理論的 재해석을 필두로 한 不均衡 理論이 대두되었으나, 현실경제에서 자주 관찰되는 가격기구의 硬 直性울 모델내에 內生的으로 설명하지 못하고 있다 .56)

54) 불확실성 개념의 응용에 관한 문헌온 너무 방대하여 여기서 다 소개할 수 없으 나 참고문헌 (3) 및 (18 ) 등 참조. 55) 참고문헌 (3) 참조. 56) 참고문현 (8) 참조. H. Varia n (50) 온 가격기구의 신축성을 인정하는 불균형 모델을 제시하였으나 금융자산의 기능을 배제시킵으로서 완전한 이돈체계문 수 립하지 못하였다.

部分均衡的 접 근방법으로 不確쌌性 및 情報構造의 목유한 형 태 에 서 貨金 및 利子率의 硬直性 및 失業과 같은 현상을 모델내에서 이 론적으로 설명함으로써 가격기구의 機能울 재조명하는 연구가 진행 되고 있으며 또 정보의 수집 혹은 모색비용 search cos t에 대한 새로 운 인석으로 失業率에 대한 새로운 관접에서의 연구가 전전되었으 며 소비 자들의 불완전 정 보하에 서 均衡가격 분포 eq u il ibr iu m pr ic e

dis t r i b uti on 라는 새 로운 假說이 수립 되 었 다. 57 ) 不確質性下에서 이론적으로규명되어야할또다른사실은경제단 위들이 未來의 가능한 狀態들에 대하여 어떻게 기대 를 형성하고 또 合理的으로 행동할 것이냐는 것이다. 不確宜性下에서도 개벌 경제 단위들이 경제내의 모든 중요한 情報를 해독하고 合理的 으로 예측 한다는 假說은 不完全한 市場體系로 기촌 一 般均衡 槪念율 확대시 켜 나갔다. 따라서 이 假說에 의 하면 가격 기 구는 不確質性下에 서 도 자율적 으 ­ 로 운영될 수 있으며 효율적 기능을 수행한다는 것이다 .SS)

57) 불완전 정 보하의 자원배분에 관한 논문들은 여 기서 다 소개될 수 없으나 참고문 헌 (31) 에 몇 가지 중요한 논문둘이 수목되어 있다. 참고문헌 (7) 도중요한자료 중의 하나이다. 58) 합리져 기대가설에 대한 입문은 Lucas, R., Jr. and E. Prescott (19 74), Eq1 .1r- ilibr iu m Search and Unemp lo y m ent , Jou r11al of Economi c T/J e ory 'l: 188- 209 참조

이러한 이론은 프리드만 M. Fr i edman 을 위시한 시카고 Ch i ca g o 學 派의 自然失業率 槪念이나 자유방임의 보수적 이념에 따른 정책방 향에 대한 理論的 뒷받침을 하고 있다고 볼 수 있다. 合理的 期待假說을 응용하면 인플레이션과 失業率의 증가는 정부 의 적극적인 安定化 政策의 실패의 누적적인 결과에 불과한 것이며 이는 後期 케인츠 Ke ynes 學派의 價格機構의 기능에 대한 바관적 견 해이 1 연유하는 安定化 政策에 대한 이론과논 전혀 상반되는 것이 다. 4 要約과 展望 數理經濟學온 수학의 形式論理的 가법을 분석방법으로 사용하여 경제현상을 설명하고 예측하는 학문이다. 우리가 살펴본 바와 같아 이러한 분석방법은 紙存假說의 적용범위나 한계성을 명백히 제시해 주며 보다 일반화된 새로운 이론의 출현을 용이하게 한다• 사실상 理論經濟學의 모든 분야에 걸쳐서 국제적으로 권위를 인 정받는 잡지에 실린 논문들은 數理化된 經濟理論아라 하여도 과언

이 아니다. 그러나 경제학은 사회현상을 다루는 학문이므로 수리적 모델의 가치는 論理的 完全性보다는 經濟의 배후에서 작용하는 法 則의 포착과 정책의 客觀的 평가에 기여하는 데서 찾아야 한다. 따 타서 모델의 前提 혹은 假說의 수립과정에서 경제적 사실을 있는 그대로 파악할 수 있는 통찰력과 넓은 안목이 없이는 아무리 정확 하고 섬세한 演擇的 推論方法이 사용되었다 할지라도 數理的 모델 은 설득력을 잃고 말 것이다. 戱理 化되어 가는 현대경제이론은 역사성을 상실해 가고 있으며 西 歐 와 다른 歷史的 背景 및 인습 혹은 사회제도하에서는 적용이 不 可能한 학문이 되어 간다는 비판적 견해도 많이 대두되고 있다• 즉 學 F口 1 의 土 着 化가 문제되는 것이다. 이러한 문제는 우리나라에서 앞 으로 경제학이 나아갈 새로운 方向의 모색과정에서 언젠가 해결되 어야 할 것이나 數理經濟學에 대한 비판은 수학적 기법의 응용보다 오히려 箕證經濟學의 方法論 자체에 있어야 할 것이다. 數理的 분석방법은 근대경제학분만 아니라 마르크스의 경제학의 형석적 구조를 밝히는 데도 사용되며 또 경제변수들의 不連 홉~ a '3 , 質的 덫 化믈 이해하는 데도 적용될 수 있음을 보았다. 한 경제사회 의 社會厚生의 尺度와 같은 보편적 가치 의 추구 및 社 會改革 에 관 한 이론적 모델의 분석에도 공헌하고 있으며 競 爭的 價格機構 외에 도 사회구성원간의 힘의 균형에 의한 資源配分 및 富의 분배에 관 한 이론적 전개도 가능하게 하였다. 序論에서 지목한 바와 같이 우리는 지금 스태그플레이션 및 장기 적 경기침체의 또 다른 가능성에 직면하고 있으며 경제학도 새로운 현상을 보다 찰 설명할 수 있으며 기촌이론들을 포용할 수 있는 이 론체계의 수립을 팔요로 한다고 한다. 不均衡理論이 앞으로 어떻게 전개될 것인가는 아직 예측할 수 없 으나 數理的 기법이 활용될 것임은 룰림없는 사실이다. 일단 현상 을 지배하는 법칙의 形式的 構造룰 추출할 수 있는 통찰력에서 가 정이 수립되면 數理的 기법만이 이론의 가장 효율적인 전개를 가능 하게 하기 때문이다.

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