지난 몇 년 동안 처음 7 년 간의 학교 교육에서 배우는 내용 중에 서 몇 개를 개념 지도로 구성해 보았는데, 이룰 통해서 초기 단계 에서 학습하는 수학의 개념이 상당히 복잡하다는 것을 깨달았다. 필자는 교사들이 이런 사실을 염두에 두지 않기 때문에, 아동들이 수학을 어려워한다고 믿고 있다 . 틀과 스키마 〈틀fr ame 〉과 〈홈 slo t〉 또는 변수라는 용어는 Davis (1 984) 와 또 다론 학자들이 사용했는데, 그것은 각각 〈스키마〉와 〈개념〉이란 용어의 의미와 밀접하게 대응된다. 여기에 그 예가 있 다. (Davis , 1984) 틀 정보 처리에서 가장 홍미 있고 특이한 현상은 복잡하고 서로 밀접 한 관계가 있는 정보를 기억하여 표현할 수 있다는 것과 관련되어 있다 . 이런 것을 다루기 위해 , 〈틀〉이라고 알려진 특별한 지식 표 현 구조를 가정하는 것이 필요했다.(p.4 5) 이제 읽기 의미의 맥락에서 이것을 논의해 보자. Da vi s 가 지적한 대로 이 아이디어는 매우 일반적이다. (i) 씌어진 문장이나 문단은 기억에서 하나 이상의 틀을 생각나게 하는 단서를제공한다. (ii) 그 다음에 이러한 틀은 어떤 질문을 제기한다 . (iii) 독자는 이 질문에 대 한 답을 찾고. 이 답을 틀 안에 있는 〈홈〉에 끼워 넣는다 . 그래서 일반적인 틀에서 얻은 정보와 개별적으로 입 력하여 얻은 특별한 정보를 하나로 묶는다. (iv) 입력된 자료에서 바로 답을 얻을 수 없을 때. 틀은 찰못된 평가를 할수도 있다 .

(v) 입력된 자료나 잘못된 평가가 〈홈〉을 메우는 데 사용 가능하지 않 울 경우 이 틀은 작동하지 않을 수도 있다. (vi) 톨울 옳게 선택하였는지와 변수인 〈홈〉이 옳게 채워졌는지를 결정 하기 위하여 평가가 이루어진다 . (vii ) 평가가 이루어진 이후의 거의 모든 정보는 이 틀 안에 있는 자료 에 기초하여 죽시 처리되고. 입력된 〈원래의primiti ve 〉 자료는 무시 된다 (Davis ,1 984, p.47 ff ) 다음은 스키마와 개념의 언어로 바꾼 것이다. 개념 구조는 스키마라고 부른다. 스키마가 가진-각각의 개념이 가 진 성질을 분리하지 않는-~ 기능 중에는 다음과 같은 것이 있 댜 그것은 기존의 지식을 통합하고, 미래의 학습을 위한 도구로 사용 되며 , 이해를 가능하게 해준다. （제 3 장 참조) 읽기 의미의 맥락에서 (i) 씌어진 문장이나 문단은 독자가 사용 가능한 하나 이상의 스키마를 활동하게 한다. (ii) 〔대응하는 것이 없다 . 기술된 내용 (Dav i s, 1984, p.45 ) 을 필자가 읽은 바로는 질문을 제기하는 것은 틀이 아니다 . ] (iii) 독자는 이러한 문장이나 문단을 자신의 스키마에 동화시키고, 그 렇게 함으로써 문장이나 문단의 의미룰 이해한다. (iv) 이런 방식으로 유도되지 않은 정보는 비슷한 상황의 규칙성 (일반적 인 특성)이 포함되는 나머지 스키마에 의해서 처리될 수 있다. (v) 필수적인 정보가 입력된 문장이나 나머지 스키마에서 얻어질 수 없 으면. 이 사람은 이해할 수도 없고. 질문에 답할 수도 없으며. 적절

한 행동을 취할 수도 없다. (vi) 적절한 스키마가 사용되고 있는지, 그 문장이 옳게 이해되었는지를 결정하기 위하여 직관적 또는 반영적인 평가가 이루어진다. (vii ) 평가가 이루어진 이후의 거의 모든 사고 . 계획, 의사소통. 행동은 구체적인 예와 동화된 일반적인 스키마가 결합되어 얻어지는 모든 정보에 기초하게 될 것이다. B art le tt (1932) 에 의해 심리학에 소개된 〈스키마〉라는 용어는 심리 학에서 사용하기 훨씬 오래전부터 있었다. 필자는 〈틀〉이라는 용어 가 스키마의 많은 특성一―특히 그 유기적 성질과 그 개념들의 내면성-을 나타내는 데 적절하지 않다고 생각한다. 홈(변수)도 일차 개념과 이차 개념 사이의 중요한 성질은 구별하지 못하며 , 점 차적으로 고차원의 개념을 형성하는 추상화의 과정을 설명하지도 못한다고 생각한다. 또한 필자는 인간의 사고를 정보 공학 Info r mati on t echnolo gy에 비 유하여 설명 하는 것 자체를 조심 스러 워 한다. 정보 공학이라는 용어는 편리하지만 오해의 소지가 많다. 컴 퓨터는 정보를 처리하는 것이 아니고 기호를 처리하며, 의미론이 아닌 구조론 수준에서만 처리할 수 있다. We iz enbaum(1

첫째 잠재적으로 의미 있는 내용을 인지 구조 안의 적절하게 설정된 항목에 〈특정하게 nonarbit rarily > 관련시킴으로써, 새 아이디어를 담는 큰 체계를 만들고 이해하며 고정시켜, 학습자는 이미 알고 있는 지식을 관념적이며 조직적인 모형으로 개발할 수 있다. 비교적 적은 노력과 반 복으로 이미 알고 있는 지식을 이용하여 새로운 의미와 개념과 명제를 내면화하고 이해하기 위한 시금석으로 만들 수 있는 것은 바로 이 과정 의 특수한 성질이다 . (p. 57) 계획 여기에서 〈계획p lan 〉이란 다이어그램이라는 의미에서의 계획이 아니라. 행동 계획을 의미한다. 그래서 우리는 수학에 포함된 것과 같은 정신적 행동, 차를 운전하는 것과 같은 육체적 행동에 대하여 생각해 보려고 한다. 이런 의미에서 계획은 피동자를 현재 상태에 서 목표 상태로 옮기기 위하여, 육체적으로나 정신적으로 우리가 해야 하는 계획이다. 우리가 제 8 장에서 살펴본 바와 같이. 그 지역 의 지도를 가지고 우리는 서로 다른 출발점에서 서로 다른 목적지 로 운전하기 위한 여러 가지 다른 계획을 세울 수 있다. 그리고 우 리는 특정한 출발점에서 원하는 목적지까지 가기 위한 여러 가지 계획을 세우고, 최선의 것을 선택하고, 이룰 행동으로 옮길 수 있 댜 이 경우에 피동자는 우리를 포함하여 몇 사람의 승객이 타고 있는 자동차이다. 방정식을 풀기 위해서 우리는 몇 가지 다른 계획 이 필요하며, 이 경우에는 정신적 행동이다. 우리의 출발 장소는 방정식이다.-우리는 그것을 종이 위에 쓴 것으로 본다.－~우리 의 목표 상태는 진리 집합――이 방정식을 참인 명제로 만드는 수 들의 집합――이 무엇인지를 아는 정신 상태이다. 다른 목표-결

과를 얻을 수 있도록 우리의 사고 단계들을 쓰거나 기호로 보여 주 는 것과 같이――도 물론 함축될 수 있다. 이제 목표 상태는 이런 기호를 읽는 누군가의 마음의 상태이며 . 의사 소통을 포함하는 이 와 같은 목표 상태를 성취하기 위한 계획이다. 특히 학생은 교사에 게 혼자 힘으로 이것을 했다는 것을 확신시킬 필요가 있다. 또는 학자는 연구의 타당성을 다른 사람에게 확신시키기 위하여 . 논리적 추론 과정을 다른 사람에게 보여주길 원할 수도 있다. 마지막 예는 적어도 세 가지 종류의 이해를 요구하는데, 이것은 제 12 장. 제 15 장 . 제 13 장에서 논의될 〈관계적 이ii1lr ela ti onal understa n din g > 〈기호 적 이 해 sym boli c u ndersta n din g > 〈논리 적 이 해 logi cal understa nding> 이다. 그래서 세 종류의 스키마가 수반되는데, 해를 구하고 우리가 하는 것을 이해하기 위해서 우리는 〈관계적 스키마〉가, 우리가 이 해를 어떻게 구하는지 의사소통하기 위해서 적절한 〈기호 체계〉가 . 우리의 해가 옳다는 논리적 증명을 구성하기 위해서 〈논리적 스키 마〉가 필요하다 논리적 스키마는 특정한 명제-가정-가 참이 면, 그 뒤에 따라오는 명제 __ 결론――도 참이라는 추론으로 연결 된다 기능 : 실행 가능성 행동 계획을 가진다는 것과 계획을 행동으로 옮긴다는 것은 서로 다르다. 자동차의 승객은 안내자로서 가야 할 길을 계획하고, 운전 자에게 어디에서 좌회전, 우회전 또는 직진하여야 하는지 말해 줄 수 있다 그러나 승객은 결코 차를 직접 운전할 수는 없다 . 계획이 있고 이를 실행하는 것을 묶어서 우리는 〈기능 s kill〉을 가졌다고 한 다 .

일반적으로 스키마는 기능의 기초를 형성하는 계획의 단 하나뿐 인 원천은 아니다. 이 중에 몇 가지는 유전적으로 프로그램되어 있 고, 다른 것은 습관적으로 학습된다. 이런 두 가지 모두는 계획과 행동이 하나로 묶여 있고. 인지적 요소는 거의 없다 . 두 가지 경우 에 기능은 특수한 조건에서 쓸모 있고 효율적일 수 있지만. 적응력 은 부족하다 . 몇 가지 유전적으로 결정된 행동 계획一一본능 __ 온 매우 복잡하고 효과적이어서, 지능으로 얻어지는 것과 다른 점을 발견하기란 쉽지 않다 . 그러나 그 차이점은 적응력에 있으며. E ri kson (1 950) 이 제시한 슬픈 일화가 적절한 예이다. 뉴질랜드에 사 는 영국인들이 고향이 몹시 그리워서 영국에서 제비를 수입했다. E ri kson 은 다음과 같이 기록하고 있다. 〈겨울이 와서 이 제비들은 모두 남쪽으로 날아가서 되돌아 오지 않았다 . 그 이유는 제비의 본 능이 따뜻한 곳으로 날아가는 것이 아니라 , 남쪽으로만 날아가기 때문이다 . >( p. 88). 암기로 학습된 수학은 적응력이 부족하다는 예는 제 12 장에서 찾 울 수 있다. 그리고 우리는 인지에 기초한 기능에 관심이 있을지라 도 계획을 가지는 것이 능률적이고 확실하게 행동으로 옮기는 능력 을 보장해 주는 것은 아니다. 예를 들면 한 학생이 식 (a-17) (a+23) 을 전개하기 위하여 정확히 무엇을 해야 하는지 알고 있을 지라도, 계산을 잘못하거나 부호를 잘못 써서 여전히 틀린 답을 얻 울 수 있다. 현재의 맥락에서 계획을 가지는 것과 이것을 자연스럽 고 확실하게 행동으로 옮기는 것을 묶어서 우리는 〈기능〉이라고 한 다. 행동의 수준에서 잘 훈련된 습관과 인지에 기초한 기능을 구별하 는 것은 쉽지 않다. 이것을 다시 설명하면, 그 차이는 적응력에 있 다. 구구단을 인지적 기능으로 습득한 아동은 설령 7 X9 의 결과를 잊었다 하더라도, 7 X10 보다 7 이 적은 수라는 것을 알기 때문에

그 결과를 다시 구성할 수 있다. 그리고 이러한 지식에서 그는 후 에 중요한 고차원의 개념-덧셈과 뺄셈에 대한 곱셈의 분배 법칙 과 같은-울 형성하는 데 도움이 되는 예를 가진다. 그러나 곱셈 구구를 잘 훈련하기만 한 아동은 이런 이점의 어느 것도 가질 수 없다. 잘 훈련된 틀에 박힌 절차의 형태로 정확하고 확실하게 사용할 수 있는 이점을 과소 평가해서는 안 된다. 그러나 이해가 없는 이 와 같은 틀에 박힌 절차는 암기로 학습하는 습관이 되어, 적응력이 매우 적거나 전혀 없게 된다는 이해의 중요성을 잊어서는 안 된다 . 인지적 도움이 있고 없는 기능을 구별하기 위해서 , 필자는 제 5 장에 서 〈자동적 au t oma ti c 〉――이해를 가진 기능—一이라는 용어와 〈기계 적 mech ani cal 〉――암기로 학습되는 습관――이라는 용어를 사용했 댜 전자의 경우에는 〈능숙한fl uen t〉이라는 용어도 적절하다 . 성공적인 실행을 위해서 가장 좋은 결합은 가능한 한 많은 C- 연 결을 가진 잘 연결된 스키마이다. 또 이와 관련하여 자주 만나는 상황을 처리하기 위한 여러 개의 틀에 박힌 절차가 능숙하게 되는 것도 필요하다. 이와 같은 틀에 박힌 절차는 두 가지 이점을 가지 고 있다. 하나는 우리의 기능에 크게 기여한다는 것이다. 또 하나 는 틀에 박힌 절차는 필요한 상황에서 주의를 집중해야 하는 부분 울 줄임으로써 새로운 측면과 문제가 되는 측면에 주의를 집중할 수 있게 한다. 그래서 이와 같은 결합은 성공적인 문제 해결을 위 한 기초로서 특별히 중요하다. 1) 확신 cons i ousness 과 새로움 novelty 사이의 관계는 필자의 저서 『지능 . 학 습 행동』 (1979) 의 2.7 절부터 2.9 절까지 매우 중요하게 다뤘다.

제 10 장 유형 1 이론과 유형 2 이론 —행동주의에서 구성주의까지 제 8 장에서 논의한 스키마는 많은 스키마 중 하나이다. 스키마들 은 외부 환경의 특성을 선별해서 구체화하는 정신적 모델이다. 상 식적인 수준에서 보더라도 스키마는 물리적 세계의 사건들을 이해 하고, 예상하며, 조절하는 우리의 힘을 크게 증가시킨다. 이러한 상식적인 스키마는 우리의 감각으로 직접 만날 수 있는 대부분의 대상과 사건을 표현한다. 우리는 이러한 스키마를 조상들이 수천년 동안 해온 것과 거의 같은 방법으로 일상 생활에서 사용한다. 그러 나 글을 쓰기 위해 필자가 사용하는 워드 프로세서는 상식의 수준 에서 이해될 수 없다. 이것은 우리의 감각이 미치는 범위를 훨씬 초월하는 대상과 사건에 대한 정신적 모델로부터 얻어진 기술의 산 물이기 때문이다. 어제 저녁에 거실에서 텔레비전을 통해 천왕성 과 그 주위의 위성을 보았는데, 그 화면은 수백만 마일 떨어진 곳 에서 우주선 Vo y a g er2 호가 지구로 전송한 것이었다• 이런 종류의 1) 다른 종류의 스키마는 문학. 음악, 무용 등과 같은 창작 작업에서 형성되 는 것들이 있다.

정신적 모델은 인류 역사에서 보면 비교적 최근에 만들어진 것이 댜 제 8 장에서 논의한 것과 같이, 우리는 그것을 같은 영역에 넣어 사용한다. 그러나 그들의 힘과 고도의 세련됨은 최근까지 불가능하 다고 생각되었던 목표들을 성취할 수 있게 해준다. 우리는 아직 물리적 세계에 존재하지는 않지만 있을 수 있는 물 체를 만들기 위하여 . 실제적 수준에서 정신적 모델을 사용할 수 있 댜 그래서 실제로 이런 물체를 만드는 것이 우리의 목표 중 하나 가 될 수 있다 . -이 목표를 위해서 우리는 스키마를 행동 계획을 고안하는 또 다른 방식으로 사용할 수 있다.-이와 같은 일은 새 로운 종류의 간단한 도구를 만들 때와 같은 상식적인 수준에서 . 더 욱 편리한 자동차의 부품을 구상하고 만들 때와 같은 기술자나 기 능공 수준에서 매일 일어날 수 있다. 또한 얼마전까지만 해도 가능 하리라고 생각하지도 못했던 놀랄 만한 일-인공위성을 통해서 대륙 사이에 사진을 전송하거나 노쇠한 심장에 인공 심장울 삽입하 는 것 등――이 일어나는 결과를 가져올 수도 있다. 여기에서 우리 는 기술에서 과학을 응용하는 것과 사람의 사고로 성취할 수 있는 출발점은 과학적 이론이라는 것에 대하여 이야기하고 있다 . 이론이나 상식적인 정신적 모델은 그 종류에서보다는 추상화와 일반화의 정도에 따라 구별된다. 필자가 어렸을 때 처음 알았던 자 전거에 대한 시각적이고 촉각적이며 운동 감각적 모델은 상식적인 모델로 생각할 수 있으며. 페달을 천천히 돌려도 뒷바퀴가 빠르게 회전하는 페달 전동 장치의 모델은 이론으로 생각할 수 있다 . 이것 온 두 바퀴의 속력의 비가 톱니 수의 비와 관련된다는 일반적인 모 델에서 발전된 것이며, 매우 단순하지만 〈이론th eo ry〉으로 생각할 수 있다. 자전거가 굴러가는 동안에 바르게 설 수 있는 것은 정신 적 모델이지만, 이론이라고 할 수는 없다. 대학에서 수학 시간에 회전팽이와 회전의를 배웠을 때 비로소 필자는 이론을 알게 되었으

머 이것은 꽤 어려웠다고 기억된댜 현재의 맥락에서 이론이란 우리가 상식적인 수준에서 매일 구성 하고 사용하는 것들보다 좀더 추상되고 일반화된 정신적 모델이다. 때때로 관찰하는 것과 그 원인은 거의 같은 추상 수준일 수 있다. 필자는 나무가 움직이는 것을 보고, 그 원인을 바람이 얼굴에 스치 는 것에서 알 수 있다. 그렇지 않은 경우도 있는데. 필자는 텔레비 전의 영상은 볼 수 있지만. 영상이 만들어지는 원인 중 많은 부분 은 관찰할 수 없으며, 관찰 가능한 것이라 할지라도 그것은 상식적 인 수준에서 이해될 수 있는 것이 아니다. 어떤 사건의 원인이 우 리가 느낄 수 있는 감각에서 멀리 떨어져 있으면 있을수록 제 2 장 에서 〈 더욱 추상된 〉 이라는 말로 설명했다-이와 같은 모델을 구성 하기는 더욱 어렵다 . 필자는 다른 책에서 이것을 이론 구성이라는 관점으로 더 자세히 논의하였다. (Skemp , 1979a) 여기에서 필자는 다 른 방향에서 생각해 보고자 한다 . 이것은 두 가지 유형의 이론을 구분하고. 우리가 수학 학습을 이론화할 때 이런 구분이 가져오는 몇 가지 결과롤 살펴보려고 한다 . 제 11 장에서 우리는 다음과 같은 질문에 대하여 생각할 것이다. 〈수학이란 어떤 종류의 이론인가?〉 우리가 가르치고자 하는 것이 어떤 종류의 이론인지 알지 못하면 그것을 어떻게 가르칠가에 대한 유용한 생각을 할 수 없으므로 이 질문은중요하다. 유형 1 이론과 유형 2 이론 유형 1 이론typ e 1 th eo ry은 물리적 세계에 있는 규칙성을 추상화 하고 일반화한 찰 검증된 정신적 모델이다. 그것은 때때로 자연의 법칙 laws o f na tur e 이라 불리는 것을 구체화하며. 그것이 설명하고

예측할 수 있는 힘이 있도록 적절하게 기술되어야 한다. 화학, 천문 학 야금학. 기체 역학, 전기자장 이론 유전학 등이 유형 l 이론이 며. 각 영역의 응용 분야에서 이 이론들이 놀랄 만큼 성공적으로 발 달하였다 . 그러나 이미 앞의 두 장에서 설명했던 이론은 지금 논의한 이론 과는 다르다. 왜냐하면 그 이론은 물리적 세계의 규칙성에 대한 모 델이 아니기 때문이다 . 이를 설명하기 위해서 우리는 새로운 범주 가 필요하다. 또 새로운 범주를 만들 때, 이 범주에 속하는 다른 이론들이 있음을 알게 될 것이다. 유형 2 이론typ e 2 th eo ry은 유형 1 이론들이 구성되는 방법에서 나타나는 규칙성의 모델이며 , 행동 계획 __- 델타 - 1 에 의해서 수 행되는――온 이 이론들로부터 유도된다 . 그것은 정신적 모델 건조 men tal -model-b 떠 l ding 과정의 정신적 모델이다 . 유형 2 이론의 예 로서 Pia g e t 이론 , 수학 학습에 대한 vanH iele 이론 , 필자 자신의 지능 이론 등이 있으며 , 구성주의자들의 이론도 이 범주에 속한다. 우리는 두 종류의 이론이 그것을 적절하게 사용하는 방법에서 다 를 수 있다는 가능성을 조사할 필요가 있다. 유형 1 이론들은 물리 적 세계에서의 피동자(대상)에 관심이 있다. 이 이론들이 모여서 자연과학을 형성하며, 과학 기술과 결합하여 환경을 조작하는 데 큰 성공을 거둔다 . 이와 대비하여 , 유형 2 이론은 자신의 마음과 다른 사람의 마음에서 어떤 일이 일어나는지에 관심이 있다. 이 이 론의 피동자는 유형 1 이론과 유형 1 이론을 만드는 데 필요한 정 신적 대상 모두~ 개념 사이의 관계, 개념 구조, 명제, 추 정 가정 그리고 유형 1 이론이 건조되고 검증되는 모든 과정 2 )_ 룰 포함한다. 의식적이든 무의식적이든 유형 1 이론이 다른 사람에 2) 필자는 과정뿐만 아니라 합리적인 범위에서 토론되는 것까지 포함하기를 원한다.

대한 태도를 보다 쉽게 교묘히 다루는 것과 같은 방법으로 유형 2 이론을 적당히 사용한다 . 이것이 행동주의자들이 때때로 잘못했던 또 하나의 방법이라고 필자는 믿고 있다. 이론과방법론 방법론 me t hodolo gy은 이론을 구성-건조와 검증—―하기 위한 방법의 모임으로 그 방법이 옳은지 그렇지 않은지를 결정하는 이론 적 근거까지 포함한다. 방법론은 처음부터 새로운 이론을 구성하는 것과 이미 존재하는 이론의 영역을 확장하거나 더욱 정확하고 완전 하게 발전시키는 것을 포함한다. 그러므로 방법론과 이론은 밀접하게 관련되어 있으며, 이론을 성 공적으로 구성하는 것은 - 방법론을 얼마나 적절히 사용하느냐에 달 려 있다. 그러므로 우리는 연구자들이 이 관계를 명백하게 언급할 것을 기대한다. 두드러진 예외가 있기는 하지만 대체적으로는 그렇 지 않다 . S t e ffe (1 977) 는 다음과 같이 기술하고 있다. 인지 이론으로서의 구성주의는 아직도 수학의 학습 이론을 만들지는 못했다. 그러나 구성주의의 중심이 되는 몇 개의 원리들이 정수 체계의 교수 • 학습 모델을 구성하기 위한 강력한 유사점을 제공하는 데 사용되 어 왔다. 이 논문의 중요한 목적은 교수 실험 tea chi ng ex p e rim en t이 라 부르는 방법론을 사용해서 교수 • 학습 모델을 계속해서 구성하기 위한 개요를 제공하는 것이다 . Gi nsber g(1 977) 도 그의 이론적 입장과 방법론을 명백하게 기술하 고있다.

P i a g e t의 관점에서 나는 아동들이 학교 안과 밖에서 수학적 문제를 대했을 때. 아동의 생각이 어떻게 작용하고 발전하는지를 보여 주려고 노력했다.…… 주된 방법은 아동들이 여러 종류의 문제를 해결하려고 노 력하는 과정에 있을 때. 이들과 충분히 인터뷰를 하는 것이다 . (p. iii-iv) 연구자가 자기의 논문에 연구 방법론을 선택한 근거를 명백하게 밝히지 않은 경우에는 다음과 같은 몇 가지 이유가 있을 것이다. 1. 자기가 쓴 연구 보고서를 읽는 사람들이 당연히 자신과 같은 이론과 이와 관련된 방법론을 사용한다고 생각하는 경우이다. 이러 한 경우는 주로 자연과학을 연구하는 사람들로 전기자장학 , 화학, 원자물리학 등의 분야이다. 이러한 종류의 연구는 Kuhn (l

렵더라도 , 이론적 입장이 우리가 하고 있는 고찰의 종류나 우리가 어떤 조건에서 하고 있는지는 은연중에 나타난다. 예를 들어 어떤 집단의 아동에게 실시한 필기 시험은 어느 한 이론적 위치에서 시 행하며, 자연 그대로의 관찰이나 개인적인 면밀한 인터뷰는 다른 한 이론적 위치에서 시행할 것이다 . 4. 연구자가 자주 연구 방법론과 관련해서 적절한 고려없이 특정 한 방법을 사용했다는 결론을 피하기 어렵기 때문이다. 필자는 〈방 법 me th od 〉이란 연구자가 수행하는 것 죽 행동 계획을 의미하며, 〈방법론 me th odolo gy〉이란 특정한 방법이 유도되고 정당화될 수 있 는 일반적인 이론적 근거를 의미한다. 그러므로 방법론과 무관한 방법을 사용하는 사람은 마치 알고리즘이 유도되는 수학적 스키마 룰 이해하지 못한 채 알고리즘을 정확한 과정이라고 이해하고 사용 하는 학생과 같다 . 필자는 (2) 와 (3) 은 수용할 수 있으나 , (4) 는 수용할 수 없다고 생각한다. 자연과학에서 (1)은 물론 수용할 수 있으나, 우리가 현 재 관심을 가지고 있는 분야에서는 그렇지 않다. 그렇지만 어떤 특 정한 연구 집단에서는 이를 받아들일 수도 있다. 유형 1 방법론과 유형 2 방법론 유형 1 방법론typ elme th odolo gy은 델타 4 이 성공적으로 그 역할 을 수행하기 위해서 필요로 하는 모델을 구성-건조와 검증 __ 하 는 것과 관련이 있다. 이런 모델이 구성되면 이 모델은 유형 1 이 론이 된댜 유형 2 방법 론typ e2 me th odolo gy은 유형 1 이 론들이 어 떻 게 구성

되고 특수한 행동 계획이 이것에서 어떻게 만들어지는지에 대한 모 델을 구성하는 것과 관련이 있다. 이런 모델이 구성되면 이 모델은 유형 2 이론이 된다. 과거에 자연과학이 크게 성공한 것에 영향을 받아 우리가 어떻게 생각하고 , 어떻게 학습하며, 어떻게 관련되어 있는가에 대한 이론 을 발전시키기 위하여 유사한 방법론을 적용함으로써 무분별한 가 정을 하게 되었고 . 훌륭하고 성공적인 이론이 개발되리라고 생각하 게 되었다. 이 두 가지 유형의 이론이 차이가 있다는 것을 인정하 면 위에 언급한 가정은 주의 깊게 살펴보아야 한댜 왜냐하면 외 관상 두 가지 유형의 연구 방법론이 같아야 할 이유가 없기 때문이 다 . 그러나 두 유형이 공통으로 가지는 것은 유형 1 과 유형 2 이론 의 구성이 지능 활동이라는 것이다 . 그래서 표 8 . 1 에 제시한 것_ 스키마의 구성에서 건조와 검증의 양식――은 적절한 출발점을 제 공한다. 표 &1 의 왼쪽 부분은 델타 4 에서 스키마의 변화 상태에 대응되 고. 오른쪽 부분은 이러한 변화가 보다 나은 쪽으로 가는지를 검증 하는 델타 -2 에서 비교자 활동에 대응된다. 그리고 제 8 장에서 언급 한 바와 같이 이 둘은 서로 결합되어 사용될 때 더욱 강력해진다. 자연과학에서의 방법론 자연과학은 분야별로 서로 다론 방법론이 있다. 천문학 , 기체 역 학, 전자공학 그리고 지구물리학을 연구할 때 서로 다른 방법론이 사용된다. 그러 나 이 러 한 분야는 〈과학적 방법 Sc ien ti fic me t hod 〉이 라는 공통적인 원리를 공유하고 있다. (Pop pe r, l'J7 6 ) 이는 표 8.1 에 요약되어 있는 스키마 구성 양식과 잘 들어맞는다 .

자연과학에서는 이론을 건조하기 위해서 스키마 건조 양식 세 가 지가 모두 적절하게 받아들여진다. 세 가지의 양식에 대한 예는 얼 마든지 찾을 수 있다. Farada y의 전기 자장 이론은 나침반 바늘이 편향되는 것을 관찰한 것에 기초하고 있다. （양식 1 의 건조) 모든 시대의 과학자들은 학습 기간 동안 과거에 발견한 사실을 배운 다 . （양식 2 의 건조) 이런 방법으로 개념 구조가 형성되면, 사고는 그 자체의 창조성에 의해서 새로운 아이디어를 만들게 된다 . （양식 3 의 건조) 아이디어를 창조하는 여러 가지 방법이 있는데, 이 중에 서 어떤 것은 과학적이라고 생각할 수 없는 경우도 있다. Kekule 은 뱀이 자기 자신의 꼬리를 먹는 꿈에서 통찰력을 얻어 벤젠의 분자 구조식을 알아내었다. 또 다른 유명한 과학자들도 직관이 과학적 사실을 발견하는 데 중요한 역할을 했다고 고백하고 있 댜 (Gh ise ll in, 1952) 우리는 새로운 사실을 발견하기 위한 모든 아이 디어가 필요하며 , 근원이 되는 아이디어에 대해서 명확히 할 필요 가있다 . 가장 중요한 것은 이와 같은 새로운 아이디어들이 지식의 과학적 구체물로 받아들여지기 전에 적절한 방법으로 검증되어야 한다는 것이다. 이를 위해서 세 · 개의 검증 양식 모두가 중요한데, 자연과 학에서 양식 1 은 꼭 필요하다. 왕립 과학원의 모토는 Nem ine in Verbo, 만장일치의 금지인데, 이것은 이론이 성립하는지는 말로만 되는 것이 아니라, 반복되는 실험에 의하여 검증되어 결정된다는 것을 말해 준다. （양식 1 의 검 중) 이것은 현재의 모델에서 잘 맞는다. 만일 유형 1 이론의 구성 목 표가 물리적 세계와 관련된 델타 4 의 힘을 중대시키는 것이라면, 물리적 세계는 그들의 성공을 증명해야 하는 곳이다. 질서, 일관 성, 명료성 동과 같은 다른 준거도 물론 중요하다 이러한 준거는

명 제 적 지 식 Knowled g e t ha t을 방법 적 지 식 Knowledg e how 으로 바꿈 으로써 이론을 더욱 쓸모있게 만드는 데 도움을 준다 . 수학교육 연구에 사용된 방법론 행동주의자와 신행동주의자의 방법론 이 학파가 과거 오랫동안 미쳤던 큰 영향은 이제 약화되었으며 , 요즈음은 행동주의가 별로 혁신적인 이론이 아니다. 그러나 행동주 의는 아직도 이론과 방법론 사이의 관계를 나타내는 좋은 예가 되 고 있다. 그리고 행동주의적 접근 방법이 본래 지니고 있는 단점을 분석함으로써 배울 수 있는 중요한 교훈도 있다. 이러한 사실에서 행동주의를 배우지 않으면 새롭게 변장된 어떤 다론 이론에 대하여 도 똑같은 실수를 범할 위험이 있다. 행동주의의 발달은 심리학을 과학으로 받아들이려는 심리학자들 의 노력과 밀접하게 관련되어 있으며 , 자연과학을 그들의 모델로 삼은 것은 이해할 만하다. 자연과학은 초창기의 심리학에서 우리의 물리적 환경을 형성할 수 있는 힘을 증명해 보였으며, 그 후에도 매우 빠른 성장을 보였다. 자연과학에서 특칭적인 방법은 다음과 같다. 1. 반복하여 실험할 수 있으므로 연구자 개인이 얻은 결과를 다른 사 람이 검증할 수 있다. 이 과정은 실험의 오류를 예방할 수 있으며 , 결과를 객관적으로 받아들이기 위한 선행 조건이 된다. 2. 측정에서는 표준 단위를 사용한다 . 표준 단위를 사용하지 않으면 실험 조건이나 결과를 정확히 기술할 수 없다.

3. 독립 변수를 분리시키거나 조작할 수 있으며. 이렇게 함으로써 종 속변수에 대한 개별적 효과를 측정할 수 있다. 4. 결과가 질적인 명제나 양적인 명제로 기술된다. 이러한 방법을 실험 심리학에 사용하기 위해서一一결과적으로 교 육학 연구에 응용하기 위하여――는 각색이 필요했다. 간단한 예를 들면 식염수를 전기 분해하는 것은 같은 실험을 반복할 수 있다. 왜냐하면 이때 사용되는 소금과 물은 동일하며 전압과 전류는 매우 정확하게 국제적인 표준 기구로 측정할 수 있기 때문이다. 그러나 실험의 대상이 되는 사람들은 같지 않다. 그래서 실험 결과에 영향 을 주는 개인차는 일정하지 않기 때문에, 종속변수-실험하는 사 람-에 대한 영향은 평균했을 때 0 에 가깝다는 가정에서 실험할 필요가 있다. 즉 같은 주제에 대하여 다시 실험했을 때 결과가 같 지 않더라도, 그 주제를 비교 가능한 집단들이 실험을 했다면 결과 가 같울 것을 기대한다. 그래서 결과에 대한 간단한 통계 처리가 필요하다. 이와 달리 사람을 주제로 하는 실험에서는 독립 변수를 분리해서 조작하기가 어려운 경우가 많다. 그래서 독립 변수의 영 향을 좀더 복잡한 통계적 방법-변량 분석 anal y s i so f v ari ence 이나 요인 분석 fac to r anal y s i s_~ 을 사용해서 측정 값으로부터 실험 결과 를 해석하게 된다. 실험을 다른 절차로 반복할 수 있도록 계획하는 것은 변인을 조작하는 것인데, 이것은 실험자와 실험 대상을 관찰 할 수 있도록 객관적인 행동 용어로 기술된다. 행동주의 모델이 기계적이기 때문에 배척한다는 것은 이해할 수 있지만. 필자는 그것이 좋은 이유라고는 생각하지는 않는다. C arp en t er (1 ~9) 는 다음과 같이 지적하고 있다. 〈문제는 실용적인 면이다 어떤 모델이 행동을 적절하게 설명하고 예측하는 데 더 효 과적인가?〉(p. 6) 행동주의 모델에 기초한~의식적이든 무의식적

이든――교수 방법은 쥐가 지렛대를 누른다거나. 비둘기가 탁구공 울 차는 등의 여러 가지 습관적 학습에서는 매우 성공적이었으나 , 차원 높은 형태의 학습에서는 완전히 실패했다는 것은 분명한 사실 이다 . 사람은 실험실의 쥐나 비둘기와는 너무나 다르며 . 특히 수학 이 이러한 사실을 보여주는 분명한 예라고 할 수 있다 . 행동주의 모델은 그들이 시행할 수 없는 것이 있기 때문에 실용 적인 면에서 반대가 있지만, 이 모델이 〈범주 오류 ca t e g o ry error 〉를 범했다는 점에 근거하여 비판하는 학자도 있다 . 자연과학에서 성공적이라고 증명된 모델과 비슷한 심리학 • 교육 학적인 모델을 만들 때 은연중에 내포되어 있는 가정이 모델의 실 험에서 문제가 된다. 우리는 찾아내고 , 추상하고 , 구체화하려는 대 상들이 두 가지 경우_―자연과학 . 심리학과 교육학一―에 모두 같 다고 가정한다. 다시 말하면 , 대상 자체가 다르다는 것이 다른 모 델을 필요로 하는 것은 아니라는 것이다. 하나의 비유를 생각하자 . 영어 . 러시아어 . 그리스어는 모두 서로 다른 문자로 쓰여지지만, 이 언어들은 모두 단어가 기본적인 기호-알파벳-의 집합으로 구성되고, 단어들이 함께 묶여 문장을 이룬다. 그래서 영어가 모국 어인 사람이 다른 언어를 배우려면 , 그가 했던 방법을 변화시키지 않아도 된다. 그러나 중국어나 일본어를 쓰는 방법은 다른 원리에 기초하고 있다. 영어, 러시아어 . 그리스어의 각 문자가 소리를 표 현하지만 중국어나 일본어의 문자는 의미를 표현하는 특성이 있다. 이러한 사실은 언어를 새로 배우려는 제자들에게 처음에 설명하여 야 한다. 그에게 어느 누구도 말해 주지 않으면, 이 사실온 결코 스스로는 발견할 수 없으며 . 그의 배움은 전혀 진전이 없을 것이 다. 왜냐하면 그는 이미 알고 있는 것과 같은 범주에 있는 것으로 보고, 새로운 종류의 쓰기를 생각할 때 오류를 범할 수 있기 때문 이다.

우리의 물리적 환경은 그것을 형상화하는 우리의 행동과 다르지 않으나, 우리 인간들은 그렇지 않다는 것이 행동주의 모델이 처음 부터 가진 첫번째 범주 오류라고 필자는 믿는다. A 라는 사람이 B 라는 사람의 행동을 형상화하려는 어떤 시도도 B 의 자유를 어느 정도 속박하게 된다. 의식적이든 무의식적이든 자신의 행동이 형상 화되는 것에 저항하여 자신의 자유를 지키려 할 것이다 . B 의 저항 여부와 저항의 정도는 개인에 따라 다를 수 있으며, 각자의 상황이 나 의식의 정도에 따라 차이가 있을 수 있다 . 이러한 요인이 있거 나 있을 가능성이 큰 경우에 이를 무시하면 범주 오류를 범하게 된 다 . 두번째의 범주 오류는 기호-소리나 종이 위의 표시-가 개념 과 같다고 할 때 만들어진다 . 행동주의자에게는 다음 두 가지를 읽 는 것은 다른 행동이다. a(x +y) = ax +ay 곱셈은 덧셈에 대해서 분배법칙이 성립한다. 그러나 수학자에게는 같은 의미를 나타내는 여러 가지 방법 중 두 가지일 뿐이다. 또 수학교육자에게 중요한 것은 학습자가 이것 올 알고 , 의미를 이해하고, 다양한 예를 스키마에 적용하는 것을 보여주는 것이다. 그러므로 수학교육을 연구하는 사람은 기호와 개 념을 구별하는 것이 필수적이다. 필자가 믿고 있는 행동주의 모델의 가장 중요한 세번째의 범주 오류는 유형 1 이론과 유형 2 이론을 구별하지 않는다는 것이다. 이 구별에 대하여는 이미 논의하였다.

진단 인터뷰와교수 실험 앞에서 방법론과 이론에 대하여 확실하게 대비하여 설명하였는 데 이것은 Pi ag e t 학파의 업적이댜 O pp er (1 977) 는 P i a g e t의 연구 방법론과 그의 기원에 대해서 명확하고 간결하게 설명하였는데, 다 음은 그 중 일부를 발췌한 것이다. 1920 년대 중반부터 P i a g e t는 파리에 있는 S i mon 의 심리학 연구실에서 일하기 시작했는데. 그의 임무는 B urt의 추리력 테스트의 불어판을 표 준화하는 것이 었다. P i a g e t는 이 일을 하는 동안 특히 어 린 아동들의 오 답에 관심을 갖기 시작했다 . 어린 아동들은 오답을 하고 그들보다 조금 나이가 많은 아동들은 정답을 하는 이유를 알기 위하여, 인지 연구를 실시 하기 로 결심 했다. (p. 90) 당시에는 그가 하고자 하는 유형의 연구를 뒷받침해 줄 만한 적당한 연구 방법이 없었기 때문에, Pia g et 스스로 자신의 연구 방법을 구안했 댜 아동들의 추론 능력을 연구하기 위해서 의학 분야에서 사용되는 이 미 잘 알고 있는 임상적 인터뷰 3) 와 유사한 방법을 구상하였다. 이 방법 의 중요한 특성온 연구자가 아동이 어떤 과제를 해결하는 과정을 관찰 하여 아동의 추론 능력을 신속하게 추정하는 가설-검증의 상황을 만드 는 것이다. 실험할 때에는 대부분 아동 앞에 어떤 물체를 놓고 이를 이 용해서 구체적 상황을 제시하며, 이 상황과 관련된 말로 표현되는 문제 룰 같이 사용한다. 연구자는 인터뷰를 시작할 때마다 아동이 사용할 사 3) 필자는 〈임상적 cl i n i cal 〉이 주로 의학에서 사용되는 말이므로 〈진단적 di a g nos ti c 〉이라는 말을 더 좋아한다. 그리고 현재의 문맥에서는 관찰을 뛰어 넘는 〈처음부터 끝까지 〉라는 의미를 함축하고 있으므로 진단적 이 라는 말이 더 적절하다.

고의 유형에 대한 안내적 성격의 가설을 가지며 . 연구자는 각 항목에 대해서 이와 관련된 일련의 질문을 한다. 이것은 구체적 조작물을 가지 고 행한 아동의 조작의 결과를 예상하고 . 관찰하고. 설명하도록 하는 데 목적이 있다 . 이러한 예상 . 관찰 , 설명은 연구자에게 아동이 가진 수학적 개념의 관점과 그의 사고 과정에 대한 유용한 정보를 제공한 댜 (pp. 92-93) 그런 후에 연구자는 아동의 말과 행동 반응에 기초해서 자신의 본래 가설을 검증한다. 좀더 명확히 해야 할 필요가 있을 때에는 질문을 더 하거나 다른 문항을 첨가한다. 그래서 계속 나타나는 아동의 반응에 따 라 새로운 가설을 만들고. 마지막에는 다음 실험의 방향을 찾아내는 안 내자 역 할을 한다. (p. 93) 전술한 연구 방법론은 앞의 소단원에서 행동주의적 연구 방법론 의 특성으로 열거되었던 방법들과 하나씩 대비할 수 있다. 우리는 실험을 되풀이하는 대신 개별적인 인터뷰를 하며 , 개별적 인터뷰는 어느 둘도 똑같지 않다. 실험 계획을 먼저 면밀하게 세우고, 가능 한 한 정확히 이 계획에 따르는 대신에 . 우리는 처음 상황과 가설 만을 미리 준비하고, 실험의 결과에 따라 계속 만들어지는 새로운 가설과 절차에 따른 실험을 한다. 연구 결과가 표준화된 단위에 의 해서 얻어지는 대신에. 그것이 문장으로 기술된다. 종종 아동의 언 어적 반응으로 나타난 것은 연구자의 추정과 함께 문장으로 제공된 댜 네번째로 행동주의 방법론에서 실험 결과는 주로 어떤 도표 형 식으로 주어진다. 즉 상관계수표. 평균과 표준편차표, 분산분석 둥 이 유의수준과 함께 제시되는데 . 이로부터 결론이 유도되어 처음에 주장했던 실험적 가설을 받아들이든지 기각한다. 이와 대비해서 P i a g e t식 실험의 결과는 연구자가 본래 가지고 있던 가설을 실험하

는 동안에 계속적인 수정의 결과로 나타난 연구자의 사고의 최종 상태의 전반적 견해나 종합된 것을 일반적인 서술 형태로 나타낸 댜 그리고 마지막으로 P i a g e t식의 접근 방법은 데이터를 수집하는 연구 대상자의 수를 생각할 때 행동주의 연구보다 시간이 훨씬 더 많이 소요된다. 연구자에게 많은 시간이 소요되는 것이 실제로 P i a g e t식 연구의 가장 큰 어려움이다. 이렇게 뚜렷하게 대비되는 두 연구 방법의 저변에 내재되어 있는 가정은 무엇일까? 이 책에서 의 내용과 가장 직접적으로 관련된 내용을 중심으로 하고 . 이를 강 조하기 위해 좀더 단순하게 다음과 같이 요약할 수 있다 . 행동주의자의 패러다임 우리가 관심을 가지는 것은 연구 대상자의 겉으로 관측될 수 있는 행동이며, 이 행동은 연구 대상자 외부의 조건에 의해서 형성되는 것이다. 이러한 조건은 조작적으로 정의될 수 있으며, 연구자나 교사에 의해서 상당한 정도로 정확하게 통제 될 수 있다. 연구 대상자에 내재해 있는 요인들과 개개인에 해당되 는 특별한 요인들은 무작위로 발생하므로, 이것은 적절한 통계적 기술로 제거될 수 있다. 피아제주의자의 패러다임 우리가 관심을 가지는 것은 주제에 대한 관찰 가능한 행동에서 일어나는 정신적 과정이며. 이것은 주로 문 제에 대한 내적인 과정의 결과이다. 여기에는 다양한 개인차가 있 고 . 같은 사람도 나이에 따라 다르다. 이러한 차이점은 유사한 점 과 마찬가지로 중요하다. 이것을 조사하기 위하여 우리는 관찰자와 일대일 대응관계에서 각 개인과 같이 작업할 필요가 있으며, 여러 가지 관찰 가능한 행동에서 검증되는 기초적인 정신 과정에 대한 가설을세운다.

교수실험 전형적인 Pia g et 이론은 가르치는 기능을 거의 고려하지 않는다. 그러나 교육의 맥락에서 교수와 학습 사이의 관계는 학습의 종류와 질과 더불어 우리가 관심을 가지는 중요한 영역이다. 그래서 몇몇 연구자들이 그들의 연구를 교수 실험의 방법론에 기초하는 것은 놀 라운 일이 아니며, 이들 가운데는 구성주의자들도 있다 . Ste f f e, Rich ards, van Glassersfe l dt ( 1CJ79 ) 는 구성 주의 의 6 가지 원 리 를 요약했는데, 그들이 주장하는 중요한 특징은 다음과 같다 . 지식은 통합체, 구조, 기존의 세계에 독립적으로 존재하는 사건이라 기보다는 살아 있는 유기체의 경험에서 지속적으로 불변하는 것으로 본 다. 정신 작용은 전체 구조의 일부이고, 구조는 작용의 조직체로 본다 . 아동의 다른 표면 행동들은 동일한 인지 구조에서 나온다고 해석될 수 도 있다 . 학습 환경의 구조는 다음 두 가지 틀 안에서 고려해야 한다 . 하나는 아동의 경험을 통제하는 조작 체계이고, 다른 하나는 학습하는 내용이다 개념 구조 , 기능 또는 〈지식〉이라고 생각되는 어떤 것은 교 사가 학생에게 , 전달자가 피전달자에게 전달할 수 있는 완제품일 수 없 다 그들은 주제에 적절한 요소들을 찾아 한 조각 한 조각씩 건조한 다 (pp. 29-31 ) 독자들은 위에서 인용한 내용과 이 책에서 말하고 있는 아이디어 사이에 많은 부분이 밀접하게 대응된다는 것을 알 수 있을 것이다. 처음에 위의 인용문을 발췌한 책을 읽었을 때, 필자는 자신이 Le Bourgo is Gen ti lhomme 에 나오는 Mo li ere 가 된 기 분이 었다. 그는 일 생 동안 산문에 대해 말해 왔으면서도 그것이 무엇인지 알지 못하 다가, 나중에 자기가 산문에 대해 말해 왔다는 사실을 발견하였다.

필자의 경우에 1970 년 중반까지 구성주의란 말을 들어본 일이 없었 으나 필자는 이미 1960 년대 초부터 구성주의자였다. (Skemp , 1962) 그리고 교수 실험의 가치를 개인적으로 경험한 것은 최근의 일이 아니었다. (Skemp , 1985) 구성주의 방법론은 진단 인터뷰의 이론을 확대한 것으로 생각할 수 있으며. 이 방법론의 목적은 특정한 시기에 아동의 사고의 본질 에 대한 가설을 세우고 검증하는 것뿐만 아니라. 어떻게 이 사고가 한 단계에서 다음 단계로 발전하는지를 연구하는 것이다. 그것을 S t e ffe (1977) 는 다음과 같이 요약하고 있다. 1. 연구자가 소그룹의 아동들을 매일 가르친다 . 2. 그들이 수학적 활동을 할 때 , 각각의 아동을 주의 깊게 관찰한다 . 3. 같은 아동을 6 주에서 1 년 동안 장기간에 걸쳐 연구한다 . 4. 아동들과 임상적 인터뷰를 한다. 5. 오디오-비디오 촬영과 아동들이 종이에 쓴 자료 동을 통해 자세히 관찰하고 기록한다 . 전술한 내용은 현재의 모델과 일치하고 있다. 현재의 모델은 이 해하면서 학습할 수 있는 것이 현재 사용 가능한 스키마에 달려 있 다는 것을 강조하고 있다. 이러한 스키마는 아동이나 다른 학습자 에게서 직접 관찰될 수는 없으며. 이들의 대답에서 추정해야만 한 댜 이러한 목적을 위해 우리는 이해하면서 학습한 것과 단순히 공 식으로만 기억하는 것을 구별하고. 표준화된 질문에 대한 써진 반 옹이 아니라 진단 인터뷰에 의해서 얻을 수 있는 것이 필요하다. 그래서 진단 인터뷰와 함께 교수 상황을 결합하면 학습에서 아동의 여러 단계의 스키마 상태와 한 단계에서 다른 단계로 진행되는 과 정을 추정하는 기회를 제공한다. 이와 같은 사고의 줄기는 교육과

관련하여 좋은 의미를 가진다 . 마치 자연과학이 가치가 있다고 증 명되는 중요한 영역은 물리적 세계에서 우리가 성취하도록 도와주 는 것과 같이. 유형 2 이론이 가치가 있다고 보여야 하는 중요한 영역은 교육인 것이다. 이러한 이유로 교수 실험에 기초한 연구는 출발이 좋다고 할 수 있다. 이 분야에서 필자의 경험은 S t e ff e 가 기술한 것과 거의 같은 접근 방법으로 가치 있는 많은 것을 배울 수 있었다. 1980 년부터 1985 년 까지 필자는 한 동료와 함께 5~11 세의 아동을 대상으로 매주 1 일 오전 시간을 정해 일선 학교에서 연구를 했다 . 연구의 주된 목적은 이 책에 언급된 이론에 기초한 교수 방법과 교재에 대한 현장 실험 과 이론의 수정에 있었다. 이때 필자는 이제 이론을 더욱 발전시키 는 것보다는 이론이 개발된 현상태에서 교실 현장에 사용할 수 있 도록 해석하고 적용하는 것이 아동들에게 더욱 유익할 때가 되었다 ―비록 아동들이 어떻게 수학을 학습하는지에 대해서 우리가 알 아야 할 것이 항상 더 있기는 하지만――고 판단하였다. 이 연구의 목적이 이론 형성보다는 교육과정의 검토와 개발에 있었지만 . 이것 도 역시 교수 실험이었으며 . 그 경험은 보람있고 계몽적인 것이었 다 교수 상황은 크게 세 범주로 나누어진다 . 연구자가 주관하는 토 론 아동을 2 명이나 소그룹으로 나누어 학습하는 활동 , 2~6 명이 참여하는 수학 게임이다. 아동들이 서로 그들이 하고 있는 것에 대 한 자유로운 토론은 서로에게 설명하는 것뿐만 아니라 . 다른 사람 에게 도움을 주거나 자신의 정당성을 주장하는 것으로 매우 가치있 는 일이었다. 또 그들이 수학적으로 구조화된 자료를 사용하는 것 도 중요하였다 . 우리는 이와 같은 관찰과 연구에 동참했던 교사들 의 토론에서 많은 것을 배웠다. 때때로 우리는 아동들에게 〈그걸 어떻게 알았는지 설명해 줄 수 있겠니?〉라고 질문을 하곤 했다.

관찰 l 한 연구자(Ai nle y. J. 『 개인적인 대화』 1985) 가 5 살짜리 어린이 3 명 을 대상으로 연구하고 있었다. 이 연구자는 어린이들에게 5+4 가 얼마인지 물어 보았다 . 첫번째 어린이는 구슬을 사용하였다. 다섯 개를 먼저 세고 네 개를 더 세었다 . 그리고 마지막으로 이들을 모 두 세었다. 두번째 어린이는 손가락을 사용했는데, 5 까지 세고 계 속해서 4 를 더 세었다 . 세번째 어린이는 천장을 쳐다보았는데. 세 어린이 모두 9 라고 같은 대답을 했다. 공동 연구자가 세번째 어린 이에게 물었다. 〈다른 아이들은 어떻게 해서 답을 맞추었는지 알겠 는데. 너는 어떻게 했는지 알 수가 없구나. 나에게 말해줄 수 있겠 니?〉 그 어린이는 다음과 같이 대답했다. 〈다섯과 다섯온 열이고, 넷은 다섯보다 하나가 작으니까, 답은 하나 작은 수 아홉입니다.〉 해석 처음 두 어린이들은 모두 양식 1 一_물리적 경험-울 사 용하는 스키마 건조 단계에 있다. 두번째 어린이가 첫번째 어린이 보다 더욱 발전된 모델을 가졌는데. 그 이유는 어떤 수를 세고 계 속해서 세는 것은 더해지는 집합이 합집합의 일부라는 것을 적어도 직관적으로는 인식했다는 것을 의미하기 때문이다. 세번째 어린이 는 이미 알고 있는 사실에서 (5+5= 10) 새로운 결과 (5+4=9) 를 추정 하는 관계적 스키마를 가지고 있었다. 다섯 살짜리 어린이로는 상 당한 추론 능력을 가진 것이었다. 이 일과 다른 관찰을 통해서 필 자는 어린이들이 가지고 있는 타고난 능력을 그대로 유지하도록 해 주면, 어린이들이 할 수 있는 사고의 수준은 상당히 높다는 것을 깨달을 수 있었다. (Gi ns berg, 1CJ 77 ) 관찰 1 이후 몇 달이 지나서 재미있는 교수 실험이 다른 학교에 서 다른 아동들을 대상으로 실시된 적이 있었다.

관찰 2 이 활동에서 필자는 덧셈을 쉽게 회상하도록 하는 데 관심이 있 었다 . -이것과 암기 학습은 차이가 있음을 기억하기 바란다.­ 학습 상황은 두 사람이 함께 하는 게임이었다 . 한 아동이 1 + 1 부 터 5 + 5 까지 두 수가 쓰여진 덧셈 카드를 뒤집어 본다 . 이때 답을 알면 답을 말한다. 이 때 다론 아동은 줄자 계 산기 line ar sli de rule —두 수를 계속해서 셀 수 있도록 두 줄에 수가 나란히 써 있 는 학습자료-를 가지고 의심스러울 때는 답을 확인하거나 필요 한 경우에 답을 구한다. 교사가 학습이 부진한 7 살된 두 아동을 필 자에게 보냈다. 카드를 가진 아동이 5 + 5 를 맞추었고. 다음에 나온 카드 4 + 5 에 대하여 답을 하지 못했다. 같이 게임을 하던 다른 아 동이 답울 말해 주는 대신 〈너는 5 + 5 가 얼마인지 알지? 안 그래? 방금 대답했잖아. 그러면 4 + 5 는 얼마니?〉라고 말하였다. 해석 두번째 아동은 지진아가 아니었다. 오히려 이 아동은 관계 적 스키마를 가졌을 뿐만 아니라 . 답을 그냥 말해 주는 것과 다른 아동이 스스로의 결과를 구성하도록 도와 주는 것의 차이에 대한 직관적인 판단력이 있었다. 이 아동은 7 살 된 구성주의자였다 . 나 중에 이 사실을 그 아동의 담임 선생님에게 이야기했을 때. 그는 〈맞아요. 그 애는 자기가 원하면 할 수 있어요. 그런데 그렇게 하 려고 하질 않아요〉라고 말했다. 필자는 담임 선생님에게 그 아동이 홍미를 가질 수 있도록 지도하는 것이 중요하다고 말해 주고 싶었 으나참았다. 끝으로 이론 구성과 교육과정 개발은 교사 자신이 전문성을 증가 시켜 보완하여야 한다. 그래서 우리가 이런 방법으로 여러 해 동안 연구한 경험이 일선 학교의 교사 재교육에 기여했다는 것은 고무적 인 사실이다. 이러한 방법은 교사가 교실에서 자기 반 아동들과 함

께 공부하면서 교사의 경험과 아동들의 필요에 따라서 그들 자신의 이론적 이해를 발전시키는 것이다 . 이러한 내용은 다른 책에서 언 급하였다. (Skemp . 1983)

제 11 장 지능활동으로서의 수학 필자는 여러 해 동안 수학은 인간 지능의 역할을 설명하는 특별 히 응집된 예이며 , 바로 이런 사실 때문에 수학이 막강한 힘을 가 지고 있다고 생각하여 왔다 . 그러나 새로운 지능 모델이 만들어지 기 전까지 이러한 생각이 강하기는 했지만 , 직관적으로만 확신했을 뿐이었다 . 이 장의 전반부에서는 왜 수학을 제 8 장에서 기술한 일 반적인 모델의 중요하고도 특수한 경우로 볼 수 있는지에 대해서 논의하고, 후반부에서는 제 10 장에서 제기하였던 질문_＿〈수학은 어떤 종류의 이론인가?〉―一가] 대해서 생각해 볼 것이다. 새로운 모델에서는 지능의 두 가지 중요한 기능이 구별되는데, 이들은 스키마의 구성과 스키마에서 유도되는 행동 계획이다 . 그래 서 이 모델을 적용할 때, 수학적 구조의 학습과 행동 계획의 출처 로서 수학적 구조를 사용하는 것 모두를 고려할 필요가 있다. 여기 에서 그들을 사용한다는 것은 정신적인 활동과 육체적인 활동을 모 두 의미한다. 우리는 스키마를 구성하기 위한 유효한 양식을 일반 적인 맥락에서는 이미 논의하였고, 수학이라는 특수한 맥락에서 생

각해 보자. 특수한 학습 목표를 향하여 이동하는 과정은 이 목표의 본질뿐만 아니라, 전에는 할 수 없었던 것을 성취했을 때 우리가 할 수 있는 것이 무엇인가에 영향을 받는다 . 그래서 여기에서 필자 는 우리가 수학 지식을 획득했을 때, 이룰 어떻게 사용할 수 있는 지에 대해서 초점을 맞추고자 한다. 수학적 스키마의 사용 제 8 장에서 스키마를 많이 사용하는 세 가지 주요 영역을 알아보 았다. 영역 1 스키마는 지식을 쌓아가고 이해가 가능하도록 하는 데 사용된다. 형성된 스키마는 델타코가 물리적 세계에서 일어나는 사 건들을 예측하게 하고, 이것을 통제하기 위한 광범위하고 다양한 행동 계획을 창안하는 풍부한 출처를 제공한다. 영역 2 스키마는 광범위하고 다양한 방법으로 다른 사람들과 협 동하도록 우리를 도와주는 데 사용된다. 영역 3 스키마 자체가 성장하는 요인으로써 사용된다. 영역 1 에서 수학의 사용 필자는 이미 추상 과정에 대해서 강조한 바 있는데, 우리는 이 과정에서 여러 가지 상황에서 사용될 수 있는 정신적 모델을 건조 한다 . 모델들은 한 가지 사건만을 표현하는 것이 아니고一―한 가 지 사건만을 표현한다면 쓸모가 없을 것이다-사건들 사이의 규 칙성을 표현한다. 수학적 스키마는 이 추상 과정울 반복함으로써

얻어지는 부가적인 힘을 특히 잘 보여준다. 첫째로 우리는 물리적 세계의 경험들――델타 -l 에 입력된 다양한 감각적 정보一一사이의 규칙성을 찾는다 . 이러한 규칙성온 필자가 일차 개념 prim ary concept s 이라고 불렀던 것에 포함된다 . 그러고 나서 우리는 이러한 규칙성들 사이의 규칙성을 찾는 다 . ―우리는 이차 개념을 형성한다-우리는 이와 같이 더 높은 차원의 규칙성을 계속 찾아 나간다. 이들은 더욱 더 추상적인 개념 안에 포함된다 . 이것은 개념들이 외부 세계의 직접적인 지각 경험 에서 점차 멀어진다는 것을 의미하기 때문에 , 그것이 실용적으로 거의 사용되지 않는다고 생각하기가 쉬울 것이다. 그런데 실제로는 이와 반대이다 . Dewe y(1 929) 의 말처럼 , 〈좋은 이론보다 더 실용적 인 것은 없다 〉 라고 필자는 거듭 주장하며, 이것은 수학에서도 강하 게 적용된다 . 반복되는 추상 과정이 물리적 세계의 확실한 사실로 부터 우리를 점점 멀리 데리고 가는 것처럼 보이지만, 이러한 과정 이 옳은 방법으로 이루어질 때-수학은 그 중 하나이다-우리 를 사건의 표면에서 그 핵심부로 데려간다 . 좋은 이론은 피상적으 로 느껴 관찰하는 수준을 뛰어넘어 우리에게 어떤 핵심을 관통할 수 있도록 한다 . 추상 과정은 특정한 경우에만 국한하여 적용되는 것이 아닌 정신 적 모델을 우리에게 제공한다. 이것은 모든 스키마에 적용되며 , 특 히 수학적 스키마는 우리가 그것에 대하여 생각하기 시작할 때 놀 랄 만큼 매우 다목적인 모델을 제공한다. 자연수 자체는 대상의 집합이 공간적 배치와 무관한 개념이다. 이 개념은 대상이 무엇이든지 분할을 제외한 모든 다른 성질을 포 함한다. 우리가 집합에 있는 대상이 무엇이며, 그들이 어디에 있으며, 무 엇이 같은지를 제거했을 때, 남아 있는 것이 거의 없다고 생각할

수 있다 실제로 자연수만 남게 된다. 덧셈과 곱셈 그리고 이들의 역연산 단위에 대한 일반적인 개념으로, 우리는 기본적인 〈키트 kit〉를 가지게 되는데, 이것에서 거의 모든 물리적 양이나 사건들을 표현하는 특정한 모델을 만들 수 있다.――거리, 시간, 속도, 질량, 가속도, 각도, 선형운동량 , 각운동량, 회전 관성, 물리적 힘, 전동 력, 전기직류저항, 주파수 등-a:1 7lol] Jsi 열거한 것도 많지만, 이 러한 예는 어렵지 않게 계속해서 나열할 수 있다. 먼저 이 중에서 시간에 대한 거리의 비인 속도를 생각해 보자. 거리di s tan ce 는 공간에서의 특정한 시점과 종점 및 물체가 움직 이는 것과 무관하다. 더욱이 이것은 어떤 물리적인 물체의 움직임 이 아니어도 된다. 이것은 파도, 빛, 위성으로부터의 전파, 음파 등일 수도 있다. 시간ti me 은 시각에서의 특정한 시점과 종점에 구 애받지 않는다. 그래서, 모델 d v = —t 는 보행자, 자전거 선수, 자동차 운전자, 비행기, 위성 둥에 적용 되며 , 달팽이에서 별까지의 물리적인 대상 그리고 대륙의 침강처럼 느린 속도와 빛의 움직임처럼 빠른 속도에도 적용된다. 우리는 이러한 모든 것과 너무 친숙해서 이 사실을 당연하게 받 아들인다. 그래서 우리는 수학적 모델의 가장 놀랄 만한 특성인 일반성과 적응력을 간과하게 된다. 인간은 지능이 있기 때문에 모 든 동물 중 가장 적응력이 강하다. 우리의 지능이 할 수 있는 중요 한 일은 다목적이고 적응력이 강한 모델을 구성하는 것이다. 이 모 델로부터 우리는 다양한 조건에서 다양한 목표 상태를 성취하기 위 하여 우리의 행동을 지휘한다. 그리고 우리가 수학적 모델을 이와

같은 방법으로 보기 시작하는 순간에 수학적 모델은 이러한 양을 특별히 명확하게 보여 준다 . 계속되는 추상 과정은 다른 면에서 다목적인 스키마를 제공한다. 이것은 우리의 다초점 능력 va ri-foc al ab ility을 사용해서 일반화 수 준으로 작동하도록 해준다는 말이다 . 다음과 같은 간단한 명제를 살펴보자 . (a + b)x = ax + bx 는 다움과 같은 특정한 명제를 무수히 포함한다. (7 + 2) X 3 = 7 X 3 + 2 X 3 그러므로 전기에서의 법칙 P=N (P 는 전력 . I 는 전류, V 는 전압) 는 무수히 많은 특정한 경우에서 특정한 모델을 구성할 수 있게 한 댜 예를 들어 120 볼트 Q와트의 전구는 다음과 같은 전류 값을 갖는다. I = VP (일반형) = u6o0 (이 경우) =0.5 암페어

그래서 3 암페어 퓨즈를 가진 회로는 이러한 전구를 많아야 6 개 수용할수 있다 . 일반형의 법칙 p = IV와 Ohm 의 법칙 V/1 = R 을 결합할 수 있는 데. 이것으로 송전선에서 전력 손실을 줄이는 방법을 알 수 있다 . 간단히 말해서 P 가 기전력이 V 인 부하에 공급된다면 . 이 과정에서 손실된 전력은 (PIV)2R , 이다 . 여기에서 RI 는 송전선의 저항이다 . I ) 그래서 전압 (V) 을 2 배로 하고 전류(I)를 반으로 줄이면 . 전력 손 실을 1/ 4 로 줄이면서 같은 전력으로 송전할 수 있다. 문자는 다르지만 두 방정식

l) 부하(저항)에 송전해야 할 전력이 P 라고 가정하자 . P = N 룰 사용하면 이 경우 P=N= PR 이다. 송전선의 전류 I 는 부하에 흐르는 전류와 같다. 그래 서 I= P/V 이다. 그러므로 전력 손실 손실은 PR, = (P/V) ' R , 이다 . 여기에서 R I 는 송전선의 저항이다 .

—Iv = R ’ —dt = s 는 같은 수학적 모델 a/b = c 를 보여 준다 . 단순히 단위를 바꿈으 로서 이 모델을 매우 다른 두 가지 작업을 위해서 사용했다. 위의 경우처럼 문자를 바꾸는 것은 식이 의미하는 것을 기억하는 데 도 움을주기 위해서이다. 이번에는 위의 모델을 다르게 사용한 예로서 빛이 투명한 매체에 서 다른 투명한 매체를 지날 때의 굴절에 대하여 살펴보자. —ssiinn ri = µ (i은 입사각 , r 은 굴절각, µ는 굴절률) 이 모델은 모든 광학의 기초가 되고 현미경, 망원경 , 사진기 그

리고 광학기구를 사용하는 다른 과학 분야에 기여하는 바가 크다. 이 식은 모델 a/b = c 가 두 가지 다른 방법으로 사용되었다. 하나 는 이 식 자체이고, 또 하나는 분자와 분모가 모두 비 2) 인 것이다. 이러한 삼각비들_— s i ne, cosin e 등――은 측량, 항해, 전자 이론과 같은 여러 방면에서 사용되는 모델을 만드는 데 필요하다. 필자는 이렇게 여러 방면에서 사용될 수 있는 모델은 오직 수학에서만 발 견될 수 있다고 생각한다 . 그래서 수학은 인간 지능의 역할을 보여 주는 특별한 경우로 다음과 같은 두 가지 방식이 있다.

2) a/b 에서 a= sin i, b=s in r 인데 a, b 죽 sin i와 sin r 은 각각 또 하나의 비 인 높이/빗변으로 나타낼 수 있다. （옮긴이)

(a) 예측하기 위하여 수학적 모델이 사용되며, 때로는 수학적 모 델이 없이는 가능하지 않은 목표 상태를 성취하기 위하여 사용된 댜 (b) 이 모델들의 다목적인 특성을 명확히 한다. 우리는 도로 지도를 회로도로 사용할 수 없으며, 도로 지도 의의 다른 어떤 것으로도 사용할 수 없다. Coven try의 시가지 지도는 필 자가 A th ens 나 Geor gi a 를 방문할 때 , 전혀 사용할 수 없다 그러 나 우리가 살펴본 바와 같이, a/b = c 는 여러 다른 종류의 대상과 사건에 사용될 수 있는 모델이다. 영역 2 에서 수학의 사용 제 8 장에서 2 명 이상의 사람들이 협동해서 어떤 과제를 수행하려 면 이들의 다양한 델타 -1 체계가 공동의 목표나 양립할 수 있는

목표를 성취하기 위해서 어떤 방법으로든 함께 일을 해야 한다는 것을 알아본 바 있다. 또 다음과 같이 언급하였다. 협동은 협동하는 사람들의 델타 _1 체계가 〈보완적인 계획 comp le menta ry p lans 〉一―함께 작동하는 지휘 체계를 결합하기 위하여 효과적인 계획을 세워 서로를 잘 맞추는 계획-이 사용되는 것을 요구한다 . 어느 사회 의 성공적인 작업은 많고 다양한 사람들이 각양각색의 과제를 여러 가 지 다른 방법으로 협동하는 데 달려 있다. 바꾸어 말하면 이것은 필요 할 때마다 보완적인 계획을 세우는 어떤 방법의 유용성에 달려 있다. 이룰 성공적으로 실행하기 위해서는 광범위한 〈공유하는 스키마 shared schema 〉가 있어야 한다 각 개인의 계획이 모두 같은 공유하는 스키마 에서 창안된 것이라면, 이것은 그들을 같이 묶기 위한 중요한 단계이다 . 협동은 물론 정보의 교환도 필요하다. 정보의 교환이란 개념들과 그들의 관계 인 스키 마를 〈공유하는 언어 shared lan gu a g e 〉로 말하는 것 이 다 . 수학은 협동이 가능한 훌륭한 스키마를 제공한다 . 여기에서 물리 적 피동자가 포함되는데, 우리가 모든 사람의 노력을 하나로 묶어 꼭 맞는 물리적 대상과 사건을 기술할 수 있는 것은 수학을 사용하 는 것뿐이다. 제조업자가 수학의 측정 기능을 사용하지 않고는 볼 트에 맞는 너트나 실린더에 맞는 피스톤을 만들 수 없다. 그것은 협동해서 일하는 사람들이 서로 멀리 떨어져 있을 때 더욱 중요하 댜 한 장소에 있는 타이어 제조업자는 다른 곳에서 만들어진 자동 차 휠에 꼭 맞는 타이어를 만드는 것과 같은 경우이다. 그리고 그 것은 서로를 맞추어야 하는 구성 요소의 성질이 보이지 않을 때 더 욱 중요하다. 텔레비전 설계자가 부품 공급자에게 〈내가 설계한 회 로의 어떤 부분에 적합한 작고 조그마한 콘덴서가 필요하다〉라고 설명하는 것은 아무런 도움이 되지 못한다. 텔레비전 설계자는 자신

이 원하는 정확한 피코패럿pi co- f arads 전압 단위의 수를 알려 주어 야한다. 영역 1 에서 논의한 수학적 스키마의 다목적인 특성은 여기서도 적용된다. 학교에서 같은 기초 수학을 배움으로써 , 사람들은 홋날 성인이 되어 다양한 직업에서 서로 협동하는 데 수학을 사용한다. 이를테면 자동차를 설계하고 생산하며 . 철도를 놓고 , 환자에게 정 확한 양의 약을 처방하고 . 카메라의 렌즈를 만들고 , 육지가 보이지 않는 곳에서 선박을 운항하며 , 땅을 볼 수 없는 조종사가 항공기를 조종하고 , 인공위성을 궤도에 올리는 것 등이다. 지금까지 소개된 모든 예에서 피동자는 물리적 대상이며, 협동을 위한 스키마의 사용은 이미 설명한 영역 1 ― 一 물리적인 세계에서 목표를 성취하기 위한 것――에 속한다. 영역들은 서로 겹칠 수도 있어 정확하지는 않지만. 영역 1 이 포함되지 않는 영역 2_ ―물리 적 대상이나 사건이 포함되지 않은 상태에서 , 전적으로 수학적 아 이디어에 대한 합의에 기초한 협력-에서 수학의 사용을 알아보 는 것도 재미있다. 이에 대한 명확한 예는 화폐 체계로서 . 이것은 상품과 서비스를 교환하는 확장된 협력을 가능하게 해준다. 우리가 집을 살 때 . 우리는 파는 사람에게 같은 가치가 있는 어떤 물리적 대상을 주지 않는다 . 수표를 기록함으로써 우리는 〈얼마의 돈〉이라 고 쓴 것을 우리의 계좌에서 그들의 계좌에 이체한다. 그러나 엄밀 히 살펴보면 이것은 다만 큰 수에 불과하다. 이 수는 종이나 컴퓨 터에 기록된 기호일 뿐이다. 그들에게 가치를 주는 것은 이 기호의 의미에 합의하는 것이며. 그래서 집값을 받은 사람은 자신의 계좌 에서 얼마인가의 수를 빼도록 은행에 요청해서 다른 필요한 물건이 나 서비스를 얻을 수 있고 . 이 물건이나 서비스를 제공한 사람의 계좌에는 같은 수가 더해진다는 것을 안다. 우리가 집을 사기 위해서 돈을 빌린다면. 이때 이루어지는 협동

은 이자 지불에 대한 합의에 달려 있다. 우리에게 돈을 빌려 주는 은행은 많은 예금주들로부터 이 돈을 빌린 것이다. 그래서 많은 사 람의 거래를 수반하는 대규모의 협동이 이루어지는 것이다. 이러한 모든 것은 각각의 개별적인 거래가 다음 법칙으로 주어지는 일반적 인 관계의 특수한 경우이기 때문에 이 모든 것은 서로 잘 맞는다. l=— P1T0R0 (I는 이자, P 는 원금, T는 기간, R 은 이율) 여기에서 우리는 수학적 아이디어의 힘을 하나로 묶는 또 다른 예를 보았다. 그리고 이것이 단순한 예에 불과하다고 생각한다면, 필자는 여기에 포함된 아이디어들을 개념적으로 분석해 보도록 제 안하겠다. 수학적 명제는 매우 압축되어 있어서, 우리는 포함된 아 이디어가 응집되어 있음을 간과하는 경향이 있다 . 금전에 관한 것 이외에 물리적인 대상과 무관하게 수학을 사용하 는 다른 예를 발견하기는 쉽지 않다. 그런데 이러한 종류의 다른 예는 선거에서 볼 수 있다. 득표수를 셀 때, 우리는 누가 통치할 것인지에 대해 동의한다. 수학적 모델은 매우 단순하지만, 이것 . 없 이는 중요한 사회 제도의 발전이란 있을 수 없다. 여기서도 다른 곳에서와 마찬가지로 수학적 모델은 협동하기 위한 충분조건은 아 니지만필요조건이다. 영역 3 에서 수학적 스키마의 人梧공 제 8 장 끝부분에서 지적한 바와 같이 스키마가 확장됨에 따라 전 에는 동화할 수 없었던 입력i n pu t들을 사용할 수 있게 한다. 전에 는 그냥 지나쳐 버렸거나. 무시했거나, 잊었던 것을 관찰할 수 있

도록 스키마는 우리를 민감하게 만든다. 그래서 스키마 건조 양식 1, 2 에서도 스키마 자체가 성장하는 요인으로 작용한다. 스키마의 유기적인 성질은 씨가 자라는 것에 비유해서 설명한 바 있다 . 그러나 어떤 종류의 스키마는 이런 종류의 입력이 없어도 성장할 수 있는 것이 있다. 씨앗이 식물로 성장하기 위해서는 외부의 영양 에 크게 의존한다 . 수선화의 구근은 다른 식물에 비해 적게 의존하 는데, 이 식물은 이미 저장된 씨앗 안에 있는 영양을 사용한다. 그 래도 물은 필요하다. 그런데 어떤 종류의 스키마는 상당히 다르게 성장하기도 한다. 이러한 스키마는 외부 입력 없이 스스로 성장할 뿐만 아니라, 성장할수록 더욱 성장하기를 〈원하는 것 wan tt o 〉 같 댜 여기서 〈원한다〉는 말을 너무 막연하게 썼을까? 그랬을 수도 있다. 그럼에도 불구하고 스키마에 계속 반영하고 이를 발전시키는 과정이 의식적인 결단이 아닌 것처럼 보이는 때가 있을 수 있다. 강아지가 자기 주인을 데리고 산책하는 것처럼 보이는 때가 있을 수 있음울 회상해 보아라. 어떤 종류의 스키마가 다른 종류보다 이러한 성질을 더 많이 가 지고 있을까? 우리는 이러한 성질을 가질 수 있는 방법으로 어떻게 스키마를 구성하여야 하는지를 알 수 있을까? 필자는 이 두 가지 질문에 대한 대답은 〈예〉이며, 수학적 스키마 가 이에 대한 좋은 예라고 생각한다. 그 이유 중 하나는 이미 논의 한 바와 같이, 수학적 스키마는 수학의 개념을 추상하고 일반화한 것이며, 다른 한 이유는 수학적 스키마는 주로 결합적 연결보다는 개념적 연결로 이루어져 있다는 것이다. 좋은 예 중의 하나는 제 4 장에서 반영적 추정 re fl ec ti ve extr ap o l a- ti on 의 예로 논의했던 지수 기호 체계이다. 다른 하나는 자연수에 서 출발해서 정수 , 유리수, 실수, 복소수로 일반화하는 수 체계이 댜 이 중에 몇 가지는 다음 단계의 일반화에 대비하여 미리 예측

하고 이름붙였다는 것은 재미있는 사실이다. 수학은 어떤 종류의 이론인가? 제 9 장에서 유형 1 이론과 유형 2 이론을 구별하였기 때문에 다음 질문이 자연스럽게 제기된다. 〈수학이란 어떤 종류의 이론인가?〉 이것은 중요한 질문이다. 왜냐하면 우리가 가르치고자 하는 학문이 어떤 종류인지 알지 못한다면 이를 가르치는 것에 대해서 어떻게 유용한 생각을 할 수 있겠는가? 우리는 수학을 가르치는 것에 대한 어떤 이론도 수학 자체와는 다른 범주라는 것을 알고 있다. 수학의 교수와 학습에 관한 이론들 은 분명히 유형 2 이론이다. 왜냐하면 그들은 우리가 수학적 이론 을 어떻게 구성하는가에 대한 이론이기 때문이다. 그러나 수학 자 체는 어떤가? 수학온 자연과학 중의 하나가 아니며, 마지막 판단은 실험이 아 니다. E i ns t e in 3) 은 다음과 같은 질문을 했다. 〈경험과 무관한 인간 사고의 산물인 수학이 어떻게 실재 대상에 놀랄 만큼 잘 적용될 수 있는가?〉 초기 단계에서 수학은 건조와 검증 양식 1 을 사용하지 만-예를 들면 순서 개념의 건조와 자연수의 처음 구성에서――곧 양식 1 을 버리고 양식 2 와 3 에 전적으로 의존한다. 그러므로 물리 적 사건들의 옳고 그른 예측은 수학적 이론을 확인하거나 배제하는 3) 이 인용문과 뒤에 나오는 Bacon, Jea ns, Gal il eo 의 인용문은 Morr is Klin e 이 저술한 두 권의 책에서 단원명으로 기술되어 있음을 알 수 있다 . 『수학 과 물리적 세계』 (1960) 에서 E i ns t e in은 제 27 장, Bacon 은 제 21 장, G ali leo 는 제 13 장에 기술되어 있다. 또 J eans 의 인용문은 『수학, 문화적 접근』(1 962) 의 제 25 장에 기술되어 있다.

데 아무런 역할도 하지 못한다. 그러나 유형 1 이론에서는 이것이 중요한 부분이다 . 그런데 내적 일관성이 없음이 발견되면, 수학적 이론을 반박하게 된다 . 새로운 아이디어가 수학적 지식의 구체물과 일관성이 있음을 발견하는 것은 이 아이디어들을 확고히 하는 데 도움이 되며 , 새로운 아이디어가 이미 받아들여진 지식의 한 부분 으로서 필연적인 결과라는 것을 보여주는 것은 수학적 의미에서 증 명을 하는 것이라 할 수 있다. 수학이 자연과학의 한 분야는 아닐지라도, 수학은 매우 일반적이 고 용도가 다양한 개념적 키트kit로 생각할 수 있다. 수학온 〈거의〉 필수 불가결하게 과학적 이론을 구성하고자 하는 모든 사람들에게 가치가 있다. 필자가 왜 〈거의 almos t〉라고 말했는가? Francis B acon 은 다음과 같이 기술하였다. 〈자연의 많은 부분이 수학의 도움과 역할 없이는 정교하게 발명되지도, 명쾌하게 설명될 수도, 사용될 수 있도록 섬세하게 조절될 수도 없다 . 〉 이와 비슷하게, J eans 는 다음과 같이 기술하였다. 〈과학이 그린 자연의 그림과 관찰한 사실 과 일치되는 그림온 모두 수학적인 그림이다.〉 몇몇 예는 이미 설 명하였다. 넓은 의미에서 이와 같은 사실을 설명한 자료를 모두 모 으면 과학 도서관처럼 보일 것이다. 그래서 필자는 수학을 검증 양식 1 을 제의한 유형 1 이론의 모든 성질을 가진 단 하나뿐인 이론으로 생각할 것을 제안한다. 수학은 유형 1 이론이 만들어지는 정신적 도구이다. 이것을 다르게 설명하 면 수학은 적당한 내용이 주어질 때 과학 이론이 되는 순수한 형 태이다. 다양한 내용이 주어지면, 우리는 다양한 과학 이론을 얻는 댜 필자가 여러 번 언급한 바와 같이 . 필자는 수학을 인간 지능의 역할을 보여 주는 특별히 순수하고 농축된 예로 생각한다. 이것은 다른 성분과 적절히 배합될 때, 최종 생산품 전체에서의 성질을 의 사 소통할 수 있는 본질적인 종류의 것임을 시사한다.

왜 이렇게 되는지 아직은 설명하기가 어렵다. 필자는 아직도 E i ns t e i n 의 질문에 대답하지 않았다 . 그래서 필자는 다음과 같이 시 작하려 한다. 여기에 Gal i leo 의 또 다른 인용문이 있다. 〈 우리의 감 각이 실패하는 곳에 이성이 자리 잡아야 한다.〉 우리는 감각의 도 움으로 물리적 환경의 규칙성을 인식한다. 이러한 규칙성은 필자가 일차 개념pri m ary conce pt s 이 라 부른 것으로 구체화된다. 다음에 우 리의 지능을 사용해서. 우리는 이러한 규칙성들 사이의 규칙성을 찾는다.-우리는 이차 개념을 형성한다 . -수학에서 우리는 더 추상된 개념-더 일반적인 규칙성과 이들 사이의 관계를 표현한 다-울 형성하기 위하여 이 과정을 반복한다. 이렇게 하는 동안 우리는 감각으로 접근할 수 있는 것에서 점점 멀어지게 된다. 그러 나 역설적으로 우리는 우주의 본질적 본성에 더욱 가까이 가는 것 처럼 보인다. 왜냐하면 과학적 이론을 법칙화하기 위해서 추상된 개념에 어떤 내용이 주어지면 . 이와 같은 고도로 추상된 수학적 개 념은 물리적 환경에서 우리에게 어떤 결과를 얻게 해준다. 필자가 그것에 대하여 생각할 때마다 . 필자 자신은 계속해서 놀라지 않을 수없었다 . 전술한 내용이 수학과 자연과학의 관계를 이해하는 데 조금이라 도 도움이 되었으면 한다 . 그러나 우리는 협동을 위한 영역 2 에서 수학을 어떻게 사용하는지는 아직 설명하지 않았다. 물리적 피동자 에 관한 활동에서 협동하는 것은 그리 어려운 일이 아니다 . 왜냐하 면 보완적인 계획을 세워 얻어지는 공유하는 스키마는 이미 수학적 으로 설명한 방법에 기초하기 때문이다. 그러나 우리가 살아가는 데 중요한 통화 체계, 매매 , 예금과 대출 . 화폐 교환 둥의 비물리 적인 피동자의 경우에는 어떠한가? 특히 화폐는 점점 더 많이 전산 으로 전송되며, 기호로 저장되어 잔고가 인쇄되어 나오거나 화면에 나타난다. 그런데 이러한 거래가 모든 사람이 동의할 수 있는 것이

아니라면. 매우 혼란스러울 것이다 . 되풀이하지만 . 개인에서 국가까지의 모든 수준에서 통화 체계를 제공해서. 위기에서 구해 주는 것은 바로 수학이다. 모든 사람이 합의하여 유통되는 화폐들 사이의 환율을 정하고, 돈을 빌리려는 사람과 빌려 주는 사람의 중매 역할을 하여 거래의 균형을 잡아 주 는 것도 수학이다 . 그리고 우리가 이렇게 할 수 있는 성질을 찾는 다면, 이것에는 엄정한 내적 일관성-폭넓은 합의의 기초로서 제 공하는-이 포함되어 있다. 무엇보다도 이성에 호소하는 것이다. 필자는 이성이 서로의 협동을 위한 확고한 기초로서 충분하다고는 생각하지 않는다. 더욱 필요한 것은 이를 기꺼이 받아들이는 것이 다 그러나 협동하려는 의지만 있다면, 수학에서 구체화된 인간의 이성온 여러 영역에서 그 수단을 찾는 데 큰 도움을 줄 것이다.

제 12 장 관계적 이해와 도구적 이해I)

1) 수학교사협의회에서 발행되는 회지 No.77 (1 976 년 12 월) ( 수학교육 Math e mati cs Teach i n g》에서 전재한 것이다.

FAUXAMIS 프랑스 사람들은

par ent 〈 p aren t s 〉를 포함한 일반적 인 relati on s 세계의 서로 다른 지역에서 말해지는 영어 사이에도 fa ux ami s 를 찾을 수 있다. 영국 사람이 미국에서 비스킷 b i scu it을 요구하면 . 우 리는 스콘 scone( 빵의 일종)이라 부르는 것을 받게 될 것이다. 우리 가 비스킷이라 부르는 것을 얻기 위해서는 쿠키 coo ki e 를 요구해야 한다. 그리고 수학과 일상 생활에서 사용되는 영어에서도 fiel d, grou p , ring , i deal 과 같은 단어들이 있다. 자신이 사용하는 단어가 fau x ami라는 것을 모르는 사람은 불편 한 실수를 할 수 있다. 우리는 역사 h i s t o ry가 하나의 이 야기 s t o ry가 아니라 . 진실이기를 기대한다. 우리는 도서관li br ary에서 책을 무료 로 빌리지만, 서점 booksho p에서는 그렇지 않다 . 그러나 앞의 예에 서 잘 살펴보면 단서-언어의 차이 , 나라의 차이, 문맥의 차 이_＿가 있다. 그러나 만일 같은 단어가 같은 언어 , 같은 나라, 같은 문맥에서 사용된다면, 그리고 두 가지 의미가 사소한 것이 아니고, 꾸민 이 야기와 사실 사이의 차이나 〈 h i s t o ir e 〉와 사이의 차이와 같 온 근본적인 것이라면. 심각한 혼란이 예상될 수 있다. 수학의 문맥에서 두 개의 fau x ami s ――이해와 수학――를 확인할 수 있는데. 이 단어들에 붙여진 두 가지 서로 다른 의미는 다음에 충분히 보일 것이다. 필자는 이것이 오늘날의 수학교육에 많은 어 려움이 있는 근본적인 이유라고 믿고 있다. 두 개의 fau x amis 중의 하나가 〈이해 unders tandi n g〉이다. 필자는 몇 년 전에, Berge n 대학의 Sti eg Me lli n -0 lsen 이 이해롤 두 가지 의미로 사용하는 것을 보고 관심을 갖기 시작했다 . 그는 이것들을 〈관계적 이해 relati on al unders tandi n g〉와 〈도구적 이해 ins tr um enta l unders tandi n g〉라 불러 구별하였다. 관계적 이해는 무엇을 해야 할

지 그리고 왜 그런지를 모두 아는 것으로, 필자는 이해를 항상 이 의미로 사용하였고, 아마 이 글을 읽는 대부분의 독자도 그렇게 생 각했을 것이다. 필자는 최근까지도 도구적 이해롤 이해라고는 전혀 생각하지 않았다. 그것은 과거에 필자가 〈이유 없는 법칙〉이라고 기술했던 것으로, 진정으로 알지 못한 채 공식을 사용하는 능력을 말한다. 이와 같은 공식을 암기한 많은 학생들과 교사들은 이것을 〈이해〉라고 생각하고 있었다. 교사가 직사각형의 넓이는 A = LB 로 구해진다고 학생들에게 환 기시켰다고 가정하자. 처음 이 내용을 설명할 때 없었던 학생이 자 기는 이해하지 못한다고 말했다 . 그래서 교사는 그에게 다음과 같 이 설명했다 . 〈공식을 보면 직사각형의 넓이는 길이와 폭을 곱하여 구한단다.〉 학생은 〈네 . 알겠어요〉라고 대답하고 연습 문제를 풀어 나갔다. 만일 이제 우리가 그에게 〈너는 이해한다고 생각하겠지만, 정말로 이해하는 것이 아니야〉라고 말한다면 . 〈나는 이해하고 있어 요 . 보세요. 답이 모두 맞았잖아요〉라고 하면서 동의하지 않을 것 이다. 그리고 이 학생은 자신의 성취를 대수롭지 않게 보는 것에 대해서 불쾌해 할 것이다. 그가 생각하는 〈이해〉라는 의미에서 그 는 정말로 이해한 것이다. 우리 모두는 이러한 종류의 예들을 생각할 수 있다. 뺄셈에서 〈받아내림〉, 분수의 나눗셈에서 〈역수 곱하기〉 그리고 등식에서 〈이항할 때 항의 부호를 바꾸는 것〉 등이 분명한 예들이다. 그러나 일단 도구적 이해가 무엇인지 알게 되면, 널리 사용되는 많은 교과 서에서조차 도구적 설명이 사용된 또 다른 예를 충분히 확인할 수 있을 것이다. 다음 두 가지 예는 상당히 높은 수준의 명문인 초등 학교에서 사용하는 교과서에서 발췌한 것이다.

분수의곱셈 분수와 분수의 곱은 분모는 분모끼리 분자는 분자끼 리 곱하여 구한 댜 예를들면 T2 X T4 = 23xx 54 = B8 3 10 30 6 5X13= 活=百 원 측정해 본 결과 원주＿一원의 둘레 , 또는 원의 경계의 길이一―는 지 름의 길이의 3 배보다 조금 더 긴 것으로 밝혀졌다 . 어떤 원에서도 원주 는 지름의 약 3.1416 배이며, 분수로 나타내면 지름의 약 3+ 배이댜 이 두 수는 어느 것도 정확하지 않다. 왜냐하면 그 정확한 수는 분수나 소 수 어느 것으로도 표현되지 않기 때문이다 . 그래서 이 수를 그리스 문 자 1r (pi)로 표현한다. 원주 = n:d 또는 2/rr 넓이 =m 규 독자들이 스스로 도구적 설명의 예를 교과서나 수업 시간에 찾거 나 확인해 보기 바란다. 이렇게 한다면 다음과 같은 세 가지 이익 이 있을 것이다 . (i) 필자와 갈은 사람들이나 이 글을 읽는 대부분의 독자들은 도구적 접근이 얼마나 널리 만연되어 있는지 알기가 어렵지 않을 것이다. (ii) 되풀이되는 예에서 대비되는 두 개념을 확실히 하는 데 도움이 될

것이다. (iii) 일반적으로 그 차이를 형식화하는 데 좋은 준비가 된다. (i)은 이 절의 나머지 부분을 설명하는 데 필요하며 . (ii)와 (iii) 은 다른 사람들을 위하여 유용할 것이다. 만일 이 해가 두 가지 범주로 나누어지는 것을 받아들인다면, 관 계적 이해가 목표인 학생들과 도구적 이해가 목표인 교사들에게 다 음의 두 가지 문제가 제기된다 . 첫째는 이것이 문제인가? 둘째는 어떤 이해가 더 좋은가? 수년 동안 필자는 이 질문 모두에 합당한 답을 찾았다. 간단히 말하면 〈그렇다 . 관계적 이해가 더 좋다. >그 러나 경험 있는 교사들과 많은 수의 교과서는 이와 반대 입장에 있 다는 것이 필자로 하여금 필자가 가진 견해에 대하여 더 많은 생각 을 하도록 했다. 직관적인 것에서 반영적인 것으로 판단을 바꾸는 과정에서, 필자는 어떤 유익한 것을 배웠다고 생각한다. 두 가지 질문은 완전히 분리된 것은 아니지만. 이 절에서는 가능한 한 첫째 질문 〈이것이 문제인가?〉에 대해서 집중적으로 검토할 것이다. 여기에서의 문제는 어떤 fau x amis 상황에서 자동적으로 일어나 는 잘못된 연결이지 -A 가 관계적 이해롤 하는데 B 는 도구적 이 해를 하거나. 그와 반대인 경우 -A 와 B 의 의미 중 〈어느 하나가 옳다〉는 것을 의미하지는 않는다 . 우리가 가능하다면 다음을 상상 해 보자. A 학교가 B 학교로 〈축구fo o t ball 〉라고 불리는 경기를 하러 운동 선수들을 보냈다. 그리고 어느 팀도 축구에는 〈축구 soccer 〉와 〈럭비 ru gb y〉의 두 종류가 있다는 것을 알지 못했다. A 학교는 축구 를 했으며 럭비에 대해서는 들어본 적도 없었고, B 학교는 그와 반 대였다. 각 팀은 경기를 시작하자 마자 상대편 팀이 정신이 나갔거 나 많은 선수가 반칙을 한다고 생각할 것이다. 특히 A 팀은 B 팀이 찰못 만들어진 공으로 경기를 하며. 계속해서 반칙을 한다고 생각

할 것이다. 만약 두 팀이 경기를 중단하고, 그들이 지금 무슨 경기 를 하고 있는지에 대해서 서로 이해할 수 있을 만큼 충분히 이야기 를 하지 않는다면, 경기는 혼란 속에서 중단될 것이고, 두 팀은 서 로 다시 만나기를 원치 않을 것이다. 이와 같은 상황이 축구 경기장에서 실제로 일어난다는 것은 상상 하기 어렵지만, 이것은 지금도 많은 수학 수업에서 이루어지고 있 는 것을 적절히 비유한 것이다. 그러나 중요한 차이점은 수학에서 는 적어도 어느 한 쪽이 경기하는 것을 거부할 수 없다는 것이다. 아동은 그의 일생에서 적어도 10 년 이상을, 1 년에 약 36 주, 그리고 1 주에 5 일씩 수학과 만나야 하는 의무가 있다. 어떤 이해가 더 좋은지는 잠시 뒤로 미루기로 하고, 수학에서 생 길 수 있는 잘못된 연결에는 다음의 두 가지가 있다. 1. 도구적으로 이해하는 것이 목표인 학생에게 관계적으로 이해하기를 원하는 교사가 가르친다. 2. 위와 반대인 경우 첫번째 경우에 교사는 실망하겠지만. 학생에게는 단기적으로 별 문제가 되지 않는다. 학생은 교사가 다음에 배울 내용에 대비하여 준비시키는 기초 과정이나 자세한 설명을 알기롤 원하지 않는다. 그들이 원하는 것은 정답을 얻기 위한 몇 개의 공식일 뿐이다. 이 것이 달성되면 그들은 이것에 매달리고 나머지 것은 무시해 버린 댜 교사가 공식에 전혀 맞지 않는 질문을 하면, 물론 그들은 틀릴 것이다. 다음 예는 Coventr y 사범대학의 제자인 Pete r Burne y가 교 생 실습을 할 때 들려준 이야기인데, 그에게 감사하고 있다. 그가 넓이룰 가르치는 동안. 아동들은 그들이 하고 있는 것을 정말로 이

해하지 못하고 있다는 의심이 들었다 . 그래서 그는 〈가로가 20cm 이고 세로가 15 y ard 인 밭의 넓이는 얼마지?〉라고 아동들에게 물었 댜 아동들은 〈 300 제곱센티미터요〉라고 대답했다. 그는 〈왜 300 제 곱야드가 아니지?〉라고 물었다. 아동들온 〈왜냐하면 넓이는 언제나 제곱센티미터이거든요〉라고 대답했다 . 이와 같은 오류를 방지하기 위해서 학생들은 가로와 세로는 같은 단위여야 한다는 또 다른 법칙(관계적 이해)을 알아야 한다. 이것은 일반적으로 더 많이 적용되는 몇 개의 원리보다도 많은 문제를 풀 수 있는 공식에 몰두하는 도구적 이해에 반론을 펴기 위하여 필자 가 사용하는 논리적 주장의 하나이다. 물론 소수의 학생은 교사가 가르치려고 하는 것을 찾아낼 기회는 항상 있다 . 만일 이와 같은 것을 위해서라면 그들은 계속 노력할 것이라고 필자는 생각한다 . 그러나 많은 학생들은――아마도 대다 수의 학생들~ 사용하는 것만으로는 충분치 않다는 것을 확신시키려는 교사의 노력을 잘 받아들이지 않을 것이다. 〈잘 한다 는 것 (well) 은 보다 좋게 한다 (be tt er) 는 것의 적〉이라는 말과 같이. 학생들이 늘 해오던 사고 방식으로 정답을 얻을 수만 있다면, 그들 은 그 이상의 어떤 것을 위해 노력해야 한다는 권고를 쉽게 받아들 이지 않을 것이다. 학생들은 관계적으로 이해하기를 원하는데. 교사가 이것을 불가 능하게 하는 두번째의 잘못된 연결은 더욱 해로울 수 있다. 필자는 그 예로 이웃집 어린이에 대한 기억이 떠오른다. 그때 그 어린이는 7 살이었다. 그는 I Q가 140 인 매우 영리한 소년이었다. 5 살 때 《타 임 The Ti me 》을 읽을 수 있을 만큼 영특했지만, 7 살 때 그는 수학 숙제 때문에 매우 힘들어 했다. 그는 안타깝게도 관계적으로는 이 해할 수 없었던 수업을 관계적으로 이해하려고 했다. 이런 생각이 옳다는 증거는 Un ifix2) 라는 자료를 가지고 필자가 직접 관계적으

2) Mul tilink라고도 하는데 , 사방으로 서로 이을 수 있는 입방체로 . 막대 계단 을 만들어 여러 가지 사실을 보여주는 학습자료이다. （옮긴이)

로 가르쳤을 때. 그는 빠르게 그리고 정말로 즐겁게 답을 찾아냈다 는 사실이다. 다소 명확하지는 않지만 잘못된 연결은 교사와 교과서 사이에서 생길 수도 있다. 도구적 이해를 이해라고 알고 있는 교사가 어떤 이유에서든 학생들이 관계적으로 이해하도록 기술된 교과서를 사용 하게 되었다고 가정해 보자 . 이런 경우 교사의 수업 방식을 바꾸기 위해서는 책이 바꾸는 그 이상이 필요하다. 필자가 직접 집필한 교 과서 (Skem p, 1962 - 69) 를 사용하는 학교에서 필자는 몇몇 학생들이 (책 제 1 권 제 1 장에서) 〈꽃의 집합〉과 같이 써야 할 답을 〈{꽃들}의 집합.〉 과 같이 쓰는 것을 보았다. 필자가 이 사실을 그들의 선생님-그 는 수학과 주임이었다-에게 말했을 때, 그는 학급 학생들의 주 의를 집중시킨 후 〈어떤 학생은 답을 제대로 적지 않고 있군요. 책 의 연습 문제 앞에 있는 예를 보고, 자기가 쓴 답이 그것과 똑 같 은지 확인해 보세요〉라고 말했다. 〈현대 수학〉이라는 이름 아래 학습되는 대부분은 강의 내용만 바 뀐 채로 도구적으로 가르치며 배우고 있다. 이것은 우리의 기촌의 스키마를 재구성하기가 어렵다는 사실에서 예상될 수 있다 . 3 ) 이것 울 더 확대해 보면 교사와 새로운 내용에 암시적으로 포함된 목표 사이의 잘못된 연결-교사는 도구적으로 가르치는데, 새로운 내 용의 목표는 관계적으로 기술되어 있다_＿온 개혁안이 득이 되기 보다는 오히려 해가 될 것이다. 왜냐하면 집합 , 사상 그리고 변수

3) 이 책의 제 3 장을 참고하라.

등과 같은 아이디어를 소개하는 목적은 올바르게 사용하면 관계적 으로 이해하는 데 도움이 되기 때문이다. 만일 학생들이 여전히 도 구적으로 배운다면 〈전통적인〉 강의 내용이 아마도 더 이익이 될 것이다. 그들은 적어도 다른 과목에서 활용될 수 있는 많은 수학적 기능 ― 一최근에 과학교사 . 고용주 등 여러 사람들이 수학적 기능이 부족하다고 불평하고 있다一―울 습득할 것이다. 처음으로 돌아가서, 필자는 두번째의 fa ux ami s 는 수학이라는 문 맥에서 확인할 수 있다고 말했다. 두번째 것은 〈수학 ma th ema ti cs 〉 그 자체의 단어이기 때문에 더 심각하다. 왜냐하면 우리는 같은 종 류의 수학을 더 잘 가르치는지 그렇지 않은지에 대해서 이야기를 하는 것이 아니기 때문이다. 상대편 팀이 자신들과는 다른 종류의 경기를 하고 있다는 것을 알지 못하는 그 상상 속의 축구 선수들을 떠올려 보자 . 이 선수들은 상대편 선수들이 그렇게 잘못 만들어진 공을 집어들고 달리는 이유가 공을 제대로 찰 수 없기 때문이라고 쉽게 생각할 수 있다. 이런 경우 상대방에게 제대로 된 둥근 공을 주고 어떻게 공을 차는지 가르쳐 줄 수도 있다. 그런데 얼마 후 그게 아니라는 것을 깨닫게 되었다. 필자는 수학 교사는 모두 같은 과목을 가르치며, 어떤 교사는 다른 교사보다 그 것을 더 찰 가르친다고 생각했었다. 그런데 지금은 〈수학〉이라는 똑같은 이름 아래 가르치는 전혀 다른 두 과목이 있다고 필자는 믿 고 있다. 이것이 옳다면, 이 차이는 그토록 널리 논쟁이 되고 있는 강의 내용의 차이보다도 더 심각하다. 그래서 필자는 이 점을 강조 하기 위해서 또 다른 비유를 들 것이다 . 두 그룹의 아동들이 필기 과목p enc il -and- p a p er subj ec t으로 음악 울 배운다고 상상해 보자. 그들 모두에게 소용돌이 모양의 〈높은 음자리표〉 부호가 앞에 붙은 오선지를 보여 준다. 그리고 선 위에

E, G, B, D, F 라고 부르는 표시를 배우고, 선 사이에 F. A. C, E 라고 부르는 표시를 배운다. 그들은 계란처럼 생긴 것으로 안이 비 어 있는 것을 2 분 음표라고 부르며, 계란처럼 생긴 것으로 안이 검 게 칠해져 있는 것을 4 분 음표라고 부르는데 , 이것 두 개와 2 분 음 표는 같은 것이고, 또 계란처럼 생긴 것으로 안이 검게 칠해져 있 으며 꼬리가 있는 것을 8 분 음표라고 부르는데. 이것 네 개가 2 분 음표와 같은 것一―말하자면 음악적 곱셈표를 학습한다-이라고 배운다 한 그룹의 아동들은 모든 학습을 이와 같은 방법으로 배우 며. 그 이상은 배우지 않는다 만약 이 아동들이 한 학기 동안 한 주에 5 일씩, 매일 한 시간씩 음악 수업을 받는다면 그리고 음악이 중요하다고 계속 듣는다면, 아마도 이 아동들은 조만간에 「하나님 이여 여왕을 구하소서 God Save the Q ueen 」와 「그리운 옛날 Auld Lan g Sy ne 」 같은 노래의 간단한 멜로디를 나타내는 음악 기호를 완 성하는 방법과 〈이 곡의 박자는?〉 〈이 곡의 조는?〉과 같은 간단한 질문에 답하는 것과 심지어 〈이 곡을 C 장조에서 A 장조로 조를 옮 겨라〉와 같은 간단한 문제를 해결하는 방법을 배울 수 있을 것이 댜 그러나 이 아동들은 이것을 지겹게 생각할 것이다. 그리고 암 기해야 할 공식이 너무 많아서 〈이 멜로디에 간단한 반주를 적어라〉 와 같은 문제는 대부분의 아동들에게 너무 어려운 과제가 될 것이 댜 그들은 가능한 한 빨리 이 과목을 포기할 것이고, 그것을 지겨 운 것으로 기억할 것이다. 다른 그룹의 아동들은 종이 위의 표시를 어떤 소리와 연결하여 배운다. 처음 몇 년 동안 이 표시들은 그들 자신이 만든 간단한 도 구로 들을 수 있는 소리가 된다. 시간이 지나면서 그들이 종이 위 의 표시를 보거나 쑬 때마다 그들은 여전히 소리를 상상할 뿐이다. 표시가 여러 개 연속되어 결합된 것이 멜로디이고. 수직으로 모두 모은 것이 화음이다. C 장조와 A 장조는 돌을 수 있는 관계이고. 비

슷한 관계가 어떤 다른 두 조 사이에서 찾아질 수 있다 . 이와 같이 계속된다. 기억해야 할 것이 훨씬 적어지며, 기억해야만 하는 것도 주로 마음속에 쉽게 저장되는 전체――멜로디와 같이-와 관련되 는 형태이다. 앞에서 이미 언급한 것과 같은 연습 문제――간단한 반주를 적어라――는 대부분의 아동들이 할 수 있다 . 이 아동들은 학습이 본질적으로 줄거운 것임을 알 수 있고, 그래서 많은 아동들 은 0 국력합 이나 C.S .E.5 > 룰 취득한 이후에도 자발적으로 계속할 것이다.

4) 영국에서는 아동이 중학교에 진학할 때 A 국역즌 advanced-level 이라는 상급 수준과 O 수춘 ~ord i n ary - level 이라는 보통 수준으로 나누어 A 수준을 얻은 학 생은 인문고동학교에 . O 수준g 얻은 학생은 직업고등학교에 진학한다 . (옮 긴이) 5) C.S . E.(Cert ifica te o f S econda ryE ducati on : 고등학교 학력 증명서)는 직업고 동학교를 졸업한 학생이 대학에 진학하기 위하여 필요하다. （옮긴이)

현재의 목적을 위하여 필자는 존재하지도 않는 , 필기 문제를 해 결하는 두 가지 종류의 〈 음악 학습〉-두번째 경우는 1 -2 년이 지난 후에-을 만들었다. 그러나 이 상상 속의 두 가지 활동의 차이는 수학이라는 이름 아래서 실제적으로 이루어지고 있는 활동의 차이 보다 더 크지 않다.－우리는 더욱 밀접하게 비교할 수 있다. 우 리는 첫번째 그룹의 아동들은 처음에 마음속으로 느낄듯 말듯 기록 된 소리를 배운다고 상상하지만, 그 연결은 잘못 형성될 수 있고 . 지속되는데 부족하게 조직될 수도 있다. 위의 비유는 분명히 관계적 수학을 더 선호하는 것에 많이 근거 하고 있다 . 이 반영은 필자 자신의 관점이다. 그러나 관점이라고 부른 것은 그것을 정당성이 요구되지 않은 자명한 진리로 필자는 더 이상 생각하지는 않겠다는 것을 시사한다. 왜냐하면 경험 있는 많은 교사들이 계속해서 도구적 수학을 가르친다면, 그렇게 할 수 밖에 없기 때문일 것이다. 다음에는 가능한 한 분명하고 공정하게

두 가지 관점의 좋은 점을 논의해 보고자 한다. 특히 필자 자신의 반대의 관점에서 조사할 것이다 . 이것이 다음 절의 제목을

방문했는데, 교사도 이 아동들에게 같은 용어를 사용하고 있었다. 이 아동들은 자신감을 쌓아갈 필요가 있었고, 그들은 관계적 수학 보다는 도구적 수학으로 보다 빠르고 더욱 쉽게 이것을 성취할 수 있을 것이다. 3. 보다 적은 지식이 필요하기 때문에 , 어떤 사람은 종종 보다 빨리 올바론 답을 얻을 수 있고. 관계적 사고보다 도구적 사고에 의존한다. 이러한 차이점은 매우 두드러져서 관계적 수학에서조차 도 자주 도구적 사고가 사용된다. 이것은 이론적으로 매우 홍미 있 는 점이다. 필자는 나중에 이를 충분히 논의할 것이다. 위의 내용들은 도구적 수학의 필요를 충분히 정당화하는 것은 아 닐 것이다. 필자는 도구적 수학이 가질 수 있는 더 많은 장점을 알 았으면 좋겠다. 관계적 수학온 적어도 다음의 네 가지 장점이 있다. 1. 관계적 수학은 새로운 과제에 더 잘 적응된다. 최근에 필자는 두 소수를 곱할 때, 소수점을 무시하고 정수처럼 곱한 후 앞에서 본 것처럼 소수 아래의 숫자의 개수를 모두 세어 다시 소수점을 찍 도록 학습한 소년을 도와 주려 한 적이 있었다. 그렇게 해도 되는 이유를 안다면 이것은 매우 손쉬운 방법이다. 그러나 이 소년은 자 기 나름대로 생각했고, 이유도 모른 채 이 방법을 소수의 나눗셈에 적용하였다. 이 방법으로 4.8 -;-0 .6 = 0.08 와 같이 계산하였다. 또 이 소년은 삼각형의 두 각의 크기를 알면. 180 도에서 두 각의 크기 의 합을 빼어 나머지 한 각의 크기를 구할 수 있다는 것도 배웠다. 이 소년은 이런 식으로 문제 10 개의 정답을 찾았다. 선생님은 그 가 많이 연습했다고 믿었다. 그러나 외각의 크기를 구하는 문제에

서도 같은 방법을 사용하여 풀었다 . 그래서 그는 다음의 다섯 문제 는 모두 틀릴 수밖에 없었다. 필자는 이 소년이 위의 두 경우 중 어느 경우에도 어리석었다고 생각하지 않는다. 다만 그는 이미 알고 있는 것에서 추측했을 뿐이 다 그러나 관계적 이해는 어떤 방법을 사용하여야 하는지 알 뿐만 아니라. 그에게 그 문제에 그 방법이 관련되는지와 새로운 문제에 그 방법이 적절한지를 알게 해준다. 도구적 이해는 어떤 방법이 있 울 때. 그 방법을 사용할 수 있는 문제와 사용할 수 없는 문제가 어느 것인지 기억하고. 새로운 부류의 문제마다 다른 방법으로 학 습해야 할 필요가 있다. 그래서 관계적 수학의 첫번째 장점은 다음 의 두번째 장점으로 이어진다. 2. 기억하기가 더 쉽다. 학습하기가 어렵다는 점에서 보면 이것은 역설처럼 보인다. 학생들은 〈삼각형의 넓이 = 밑변 x 높이 X l/ 2 〉를 학습하는 것이 그 이유를 학습하는 것보다 분명히 더 쉽다. 그러나 그렇게 되면 학생들은 삼각형, 사각형, 평행사변형, 사다리꼴의 넓 이룰 구하는 공식을 따로 분리하여 배워야 한다. 반면에 관계적 이 해는 부분적으로는 이 모든 것을 직사각형 넓이와 관련시켜 구성한 댜 이때 각각의 공식을 아는 것은 여전히 바람직하다. 왜냐하면 매번 공식을 다시 유도하기를 원하는 사람은 없기 때문이다. 그러 나 각각의 공식을 관련된 전체의 부분으로서 기억하여 그들이 어떻 게 관련되어 있는지를 안다면. 그것이 더 쉬운 것이다 . 학습해야 할 것은 더 많아지지만＿一각각의 공식뿐만 아니라 관련성까지 학 습해야 하므로-일단 학습되면 더 오래 지속된다. 그래서 다시 학습해야 할 것은 적어지며. 전체적으로 보아 걸리는 시간이 더 적 댜 또 관계적으로 이해하도록 가르치는 것은 더 많은 구체적인 내용 이 포함될 수 있다. 앞에서 〈원주 =rrd 〉 라는 명제에 대한 도구적

설명이 인용되었다. 이것을 관계적으로 이해하기 위해서는 무엇보 다도 먼저 비례의 아이디어를 가르쳐야 하는데. 이것은 주어진 공 식을 단순히 가르치는 것보다 훨씬 더 많은 작업이 필요하다 . 그러 나 비례는 그 응용 범위가 대단히 넓기 때문에 이것을 가르칠 충분 한 가치가 있다. 관계적 수학에서는 이와 같은 경우가 자주 발생한 댜 어떤 특정한 주제를 이해하기 위하여 요구되는 아이디어는 또 한 많은 다른 주제를 이해하는 기초가 된다 . 집합 , 함수 그리고 동 치가 이와 같은 아이디어들이다. 그러나 불행하게도 수학의 전체 영역에 서로 연결되는 기초적인 개념으로 가르치기보다는 서로 분 리하여 각각의 주제를 가르치기 때문에. 그것들을 가르침으로써 얻 을 수 있는 이익을 자주 잃게 된다. 3. 관계적 지식은 그 자체가 목적으로서 효과적일 수 있다. 이것은 비수학적 자료를 사용한 통제 실험 contr ol led exp e rimen t에서 얻은 증거에 기초한 경험적인 사실이다. 외적인 보상과 벌에 대한 요구 가 크게 줄어, 교사의 직업에서 〈동기 부여〉라고 불리는 것은 훨씬 더 쉽게 되었다. 이것은 다음 네번째 장점과 관련되어 있다. 4. 관계적 스키마는 질적으로 유기적이다 . 관계적 스키마는 그 자 제가 성장하는 하나의 요인으로 작용하는 것처럼 보이는데. 이것은 필자가 개념의 특성을 형식화할 수 있었던 가장 좋은 방법이다. 세 번째의 장점과 연결되는 것은 만약 사람들이 관계적 이해롤 통해서 만족감을 얻게 되면 , 그들은 자기 앞에 놓인 새로운 자료를 관계적 으로 이해하려고 노력할 뿐만 아니라, 마치 나무가 영양분을 찾아 서 뿌리를 뻗어나가거나 동물이 먹이룰 찾아 새로운 지역을 탐험하 는 것과 같이 능동적으로 새로운 자료를 찾고 새로운 분야를 탐구 하게 되는 것이다. 이 아이디어를 비유 이상의 수준으로 발전시키 는 것은 이 책의 범위를 넘는 것이지만. 이 사실이 매우 중요하므 로 그냥 지나칠 수가 없다 .

만약 위의 내용들이 관계적 이해와 도구적 이해 모두에 대해서 공정하게 표현한 것이라면. 도구적 수학은 단기적이고 제한된 맥락 에서만 존재하는 반면. 장기적이고 어린이 전체의 교육이라는 맥락 에서는 존재하지 않는 듯이 보인다. 그런데 왜 그렇게 많은 어린이 들이 학교에 다니는 동안 오직 도구적 수학만을 배우게 되는가? 우 리가 이 질문에 대답할 수 없다면, 이러한 상황이 개선될 희망은 거의 없울 것이다. 어떤 교사는 다음과 같은 몇 가지 이유에서 도구적으로 이해하도 록 가르치기로 고심 끝에 결정하였을 것이다. 1. 관계적으로 이해시키는 데 시간이 너무 많이 걸리며, 학생들 이 필요로 하는 것은 특정한 기술을 사용하는 것처럼 생각되기 때 문이다. 2. 특정한 주제의 관계적 이해는 너무 어려워서, 학생들은 시험 등의 이유로 도구적 이해를 여전히 필요로 하기 때문이다. 3. 학생들이 현재 이용할 수 있는 스키마를 관계적으로 이해하기 전에 다른 과목 (과학 등)에서 사용할 필요가 있기 때문이다. 4. 그는 다른 모든 교사들이 수학을 도구적으로 가르치는 학교의 초보 교사이기 때문이다. 이 모두는 〈고심 끝에 결정한다〉는 구절이 의미하는 바와 같이, 그는 주어진 특정한 상황에 관련하여 각각의 장점을 생각하고 도구 적 이해와 관계적 이해 중 어느 하나를 고려할 것이다. 이와 같은 방법으로 적절하게 선택하는 것은 그 차이를 알고 수학 그 자체의 관계적 이해롤 알고 있다는 것을 시사한다. 그래서 관계적 이해 이 외의 어느 것도 교사를 위한 적절한 대안이 될 수 없다. 그러나 우 리는 수학을 가르치는 많은――어쩌면 절대 다수인-사람들에게

관계적 이해가 부족하다는 사실을 알아야 한다 . 관계적으로 이해시키기가 어려운 상황적 요인은 다음과 같다. 1. 시험의 효과 입학 시험이나 취직 시험 등은 중요하며 . 이러한 시험에 합격하는 것이 학생들의 중요한 목표 중 하나인 것을 비난 할 수는 없다. 학생들이 공부하는 방법은 자신들의 목표에 영향을 받지 않을 수 없으며 . 이것은 많은 문제에 정확히 답하는 것이다. 2. 고듀층한 학습내용 여기에서 문제점의 일부는 수학이 내포하고 있는 정보가 고도로 농축되어 있다는 것이다. 하나의 수학 명제는 다른 과목에서 한 문단 내지 두 문단으로 기술될 내용이 한 줄로 압축된 것이다 . 수학자들은 이와 같이 농축된 아이디어를 다루는 데 익숙하며 이러한 사실이 자주 무시된다.-이것이 대부분의 수 학 강의가 빨리 진행되는 이유일 수 있다.-수학자가 아닌 사람 들은 이러한 사실을 전혀 깨닫지 못한다. 이유가 무엇이든 대부분 의 학습 내용은 양을 충분히 줄여서 그것을 더 잘 가르칠 수 있는 시간을 확보한다면 더욱 좋을 것이다. 3. 평가의 어려움 어떤 사람이 관계적으로 이해하는지 도구적으 로 이해하는지를 평가하기가 어렵다. 종이 위에 적어 놓은 표시를 보고, 학생이 어떻게 생각했는지 타당하게 추정하기는 매우 어렵 다. __ 수학에서 소리로 시험을 보기는 어렵다.-수업 장면에서 학생과 함께 이야기하는 것이 아마도 그들의 생각을 알아낼 수 있 는 가장 좋은 방법이겠지만, 30 명이 넘는 학급에서 그렇게 알아내 기는 시간적으로 매우 어려울 것이다. 4. 교사가 오랫동안 가지고 있는 기존의 스키 D 遷 ; 재구성하기는 심리 적으로 매우 어렵다 필요성을 느끼고. 그렇게 하기를 원하며. 할 수 있는 시간이 있는 소수의 교사들까지도 기존의 스키마를 재구성

하기는 심리적으로 매우 어렵다. 수학 교육의 실용적, 지적 그리고 문화적 가치를 논의한 Her- mannBon di경(1 976) 의 최근 논문~ 관계적 수학을 의미함을 필자는 의심하지 않는다――에서 다음 세 개의 문단을 발췌했다. (원문에서 이 세 문단이 연속되어 있지는 않았다 . ) 지금까지 본인이 공을 들여온 수학에 한 가지 매우 중요한 것이 빠져 있었다. 그것은 그렇게도 많은 사람들이 수학에 대해 거부감을 가지고 있으며. 많은 경우에 거부감이 심각한 공포로 바뀐다는 사실이다 불행하게도 고동교육을 받은 사람들조차도 흔히 수학에 대한 부정적 인 태도를 가지고 있는데. 이것은 분명히 우리의 가장 큰 실패이며 우 리 사회의 실제적인 위험이다. 아마도 이것은 무언가 찰못되어 있고. 상황이 실제로 매우 잘못되어 있다는 것을 가장 확실하게 보여주는 징후일 것이다. 적어도 그 책임이 교육에 있다고 비난하는 것은 어렵지 않다. 그러나 비난의 내용을 정확 히 지적하기는 더 어렵고. 새로운 개선책을 제시하는 것은 더욱 더 어 렵다 (모두 p. 8 에서 인용) 만약 우리가 〈비난〉을 〈원인〉으로 대체한다면. 관계적 수학으로 가르치지 못한 광범위한 실패＿一초등교육, 중동교육 그리고 그 이 상의 수준에서 찾을 수 있는 실패 , 또한 〈전통 수학〉뿐 아니라 〈현 대 수학〉에서도 찾을 수 있는 실패-가 주된 원인으로 확인될 수 있다는 것은 의심할 여지가 없다 . 새로운 개선책을 제시하기는 정 말로 어렵다. 그러나 진단은 치료를 위한 좋은 준비 단계이므로 희

망을 버릴 수는 없다. 또 다른 단계는 다음 절에서 알아볼 것이다. 이론적 형식화 6)

6) 이 부분은 제 8 장에서 설명한 새로운 지능 모델을 필자가 완성하기 전에 쓴 내용이다. 새로운 지능 모델은 스키마와 행동 계획 사이의 관계(제 9 장 참 조)에서 필자의 중요한 생각을 표현한 것이다 .

복잡한 상황에서 자신의 행동을 지휘하고 , 다른 사람들과 함께 자신의 노력을 결합하는 데 훌륭한 이론만큼 강력한 것은 없다. 모 든 훌륭한 교사들은 경험적 지식의 저장고를 건조하고, 그들이 지 침으로 의존하는 몇 개의 일반적 원리로부터 추상한다 . 그러나 지 식이 이런 형태에 머무는 한, 그것은 대부분 여전히 개인적이고 직 관적인 수준이며, 형식화할 수 있다는 의미에서 공유하는 개념 구 조(스키마)가 없기 때문에 의사 소통할 수 없다. 만일 의사 소통이 가능하려면 , 각 개인의 노력은 새로 교사가 되는 사람이 사용할 수 있는 지식의 통합체로 쌓아져야 한다 . 현재는 대부분의 교사들이 자신의 실수를 통해서 학습해야 한다. 한동안 필자는 관계적 수학과 도구적 수학으로 유도하는 두 종류 의 학습 사이의 차이점을 이해하는 것이 직관적인 수준에 머물러 있었다. 필자는 개인적으로 이 차이가 대단히 중요하다고 확신하였 고 , 이 관점에 대해서 같이 논의한 대부분의 사람들과 의견이 일치 되었다. 이룰 명확하게 형식화할 필요성을 깨닫고 두 개의 연구 프 로젝트를 수행하게 되었다.-~최근에 학술회의 도중 갑자기 영감 이 떠올랐다.-그것은 매우 단순해 보였으므로 , 전에 왜 이것을 생각하지 못했는지 의아해 하는 사람도 있었다. 그러나 단순성에는 두 종류가 있는데, 하나는 소박함의 단순성이고 , 다른 하나는 피상

적인 차이를 넘어서 간파하는 통합에 의한 단순성이다. 훌륭한 이 론이 제공하는 단순성은 바로 이 두번째의 단순성이며 , 이것은 성 취하기가 더 어렵다. 우선 구체적인 예가 필요하다. 어떤 마을에 머물기 위해서 처음 갔을 때 필자는 몇 가지 특정한 길을 재빨리 익혔다 . 내가 머무는 곳에서 동료의 연구실로 가는 길, 내가 머무는 곳에서 대학 구내 식당으로 가는 길, 동료의 연구실에서 구내 식당으로 가는 길 그리 고 다른 두세 개의 길을 더 익혔다. 간단히 말하면 필자는 어떤 특 정한 위치에서 출발하여 특정한 위치에 도달할 수 있는 한정된 몇 가지 계획을 학습하였다. 그 후 어느 정도 시간적 여유가 생기자 . 필자는 마을을 둘러보기 시작했다. 이제 원하는 것은 특정한 어떤 곳에 가고자 하는 것이 아니라, 내 주위롤 둘러보고 그 과정에서 내가 갈 수 있는 홍미 있 는 곳을 보는 것이다. 이 단계에서의 필자의 목표는 다른 것이 다-마음속에 마을의 인지적 지도를 구성하는 것이다 . 외부 관찰자가 구별하기는 어려울지라도 두 행동은 매우 다르다. 내가 A 에서 B 까지 걷는 것을 본 사람이 위의 두 가지 행동 중에서 어느 쪽의 행동을 하고 있는지-직접 묻지 않고――알아내기는 매 우 어렵다. 그런데 행동에서 가장 중요한 것은 행동의 목표이다. 첫번째 경우에 필자의 목표는 물리적 위치인 B 로 가는 것이다 . 두 번째 경우의 목표는 지식의 상태인 마울의 인지적 지도를 확장하거 나 더욱 확실히 하는 것이다. 고정된 몇 개의 계획을 가진 사람은 몇 개의 출발점에서 몇 개의 도착점까지 가는 길을 찾을 수 있다. 계획의 특성온 각각의 선택점 에서 어떻게 하는지를 설명하는 것이다.――문에서 나와서 오른쪽으 로 돌고, 교회를 지나서 똑바로 가고 등과 같이――그래서 만약 어 느 단계에서 한 번이라도 실수를 하면 길을 잃게 되고. 다시 되돌

아가서 바른 길을 다시 찾지 못한다면 그는 길을 잃게 될 것이다. 이와 대비하여 마을의 인지적 지도를 가진 사람은 그의 인지 지 도에서 상상만으로 임의의 출발점에서 임의의 도착점까지 갈 수 있 는 거의 무한대의 계획을 필요할 때 만들 수 있다. 즉 두 곳이 그 의 인지적 지도 속에서 상상될 수 있기만 하면 길을 잃지 않게 된 댜 그리고 그가 길을 잘못 들었다고 해도 현재 자기가 어디에 있 는지 알고 있으므로 자신의 실수를 쉽게 바로 잡을 수 있으며 , 아 마 그로부터 학습하기도 할 것이다 . 위의 비유와 수학의 학습은 매우 홉사하다. 도구적 수학으로 이 끄는 학습은 고정된 계획의 수를 증가시키는 학습으로 구성된다 . 여기에서 고정된 계획이란 학생들이 특정한 출발점――정보-으로 부터 가고자 하는 도착점 一 一질문에 대한 답_~까지 가는 길을 찾 는 것이다 . 계획은 구체적인 예에서와 같이 각각의 선택점에서 무 엇을 해야 하는지를 말해 준다. 그리고 다음에 해야만 하는 것은 전적으로 국지적 상황에 의해서 결정된다. __ 우체국이 보이면 왼 쪽으로 돌아라. 괄호를 없앤 후에 같은 항끼리 모아라.＿그래서 연속되는 단계와 최종 목표 사이의 전반적인 관계는 알 수 없다. 그리고 이 두 경우에 학습자는 〈그 곳에 도달하는〉 새로운 것을 학 습하기 위하여 외부의 안내에 의존하게 된다. 이와 대비하여 관계적 수학의 학습은 , 이러한 스키마를 소유한 사람은 이론적으로는 스키마 안에 있는 임의의 출발점에서 임의의 도착점까지 갈 수 있는 무한히 많은 수의 길을 만들어 낼 수 있는 개념 구조(스키마)를 건조하는 것이다.――여기서 〈이론적〉이라고 말 한 것은 이 길 중 어느 것은 다른 것보다 구성하기가 대단히 어렵기 때문이다. 관계적 학습은 도구적 학습과 여러 가지가 다르다.

1. 수단이 이를 이용해서 달성해야 할 특정한 목적과 무관하게 된다. 2. 주어진 영역 안에서 지식의 스키마를 건조하는 것은 본질적으 로 그 자체의 목적을 만족시킨다. 3. 학생의 스키마가 완전하면 완전할수록 외부의 도움없이 〈 목적 울 달성하는〉 새로운 방법을 찾아내는 자신의 능력에 대한 확신도 더욱 커진다 . 4. 그러나 스키마는 결코 완전할 수 없다. 스키마가 확장됨에 따 라 가능성에 대한 믿음도 그에 따라 확장된다. 그래서 이 과정은 종종 자기 영속적이 되고 3 의 결과에 의하여 자기 보상적이 된다. 잠시 Dev il 'sAdvoca t es 의 역할을 다시 생각해 보면, 우리가 진정 으로 관계적 수학과 도구적 수학이라고 하는 두 가지 주제에 대해 서 말하고 있는지 또는 다만 같은 주제에 대한 두 가지 사고 방식 에 대하여 말하고 있는 것인지를 묻는 것은 적절하다. 구체적으로 비유하면, 이미 설명한 두 가지 과정온 같은 마을에 대한 지식의 두 가지 서로 다른 방식으로 생각할 수 있다. 이와 같은 경우에 관 계적 이해와 도구적 이해 사이에서 생기는 구별은 확실하지만, 도 구적 수학과 관계적 수학 사이의 구별은 그렇지 않다. 수학을 구성하는 것은 주제가 아니라, 주제에 관한 특정한 종류 의 지식이다. 관계적 수학과 도구적 수학에서의 주제는 같을 수 있 댜-—두 마을 사이룰 일정한 속도로 달리는 자동차 , 높이룰 구해 야 하는 탑 자유 낙하하는 물체 둥과 같이――그러나 그 두 가지 종류의 지식은 서로 달라서 필자는 그들을 다른 종류의 수학으로 생각하는 극단적인 경우가 있다고 생각한다. 만약 이러한 구별이 받아들여진다면 , 비용을 많이 들인 후에 대부분의 어린이들은 〈수 학〉이라는 단어를 좋지 않은 친구로 생각하게 될 것이다.

제 13 장 학습 목표와 이해의 특성”

I) 이 장은 Math e ,nati cs Teachin g . 88 호. (1979, 9 월호. pp. 44-49) 에서 전재한 것이다.

이 장은 여 러 논문집 (Backhouse, 1978; Buxto n, 1978b; By er s & Herscovic s , l'J /7; Skemp , l'J /6; Tall, l 'J/ 8) 과 영 국 수학학습심 리 학회 에 서 논의되었던 아이디어들을 종합한 것이다. 필자는 고무적인 아이 디어를 제공해 준 여러분에게 감사의 뜻을 전한다. 새로운지능모델 필자는 이들을 종합하여 1.Q에 기초한 모델을 대치할 최신 모델 로서 새로운 지능 모델을 제안한다. 종전의 I.Q.는 지능이라는 관 점에서 각 개인을 적당한 서열로 정할 수 있을 뿐이다. 그것으로 무엇을 하는지, 어떻게 작동하는지, 학습자가 자신의 지능을 가장 좋게 활용하도록 어떻게 도와 줄 수 있는지에 대해서는 알려 주지

않는다. 필자는 새로운 모델에서 이 모든 것을 알아보고자 하며, 놀라운 일은 아니지만 여기에서 수학이 중요하고도 특별한 경우로 등장한다. 이것을 종합하기 위한 준비 단계로서, 우리는 새로운 모델의 개 요에 대하여 간략히 설명할 필요가 있다. 새로운 모델은 본질적으 로 두 단계의 인공두뇌학이다. 이 장에서 설명할 내용은 300 쪽 (Skemp , 1979a) 이 넘지만, 이를 간략히 보일 것이다. 대부분의 인간 행동은 목표 지향적―一우리의 목표를 달성시키는 주요 요인은 생존이라는 추측과 함께――이라는 사실을 관찰하는 것에서 시작하자. 물리적 환경에서 작동하는 목표 지향적 행동을 위하여, 우리는 델타 -l 이라는 지휘 체계를 가진다. 델타 _1 은 피동 자의 현재 상태에 대한 정보를 받아들여 이것을 목표 상태와 비교 하며, 사용 가능한 스키마로부터 구성되는 계획의 도움으로 피동자 룰 현재 상태에서 목표 상태로 변화시키고 유지시킨다 . 그래서 델 타― 1 은 감각-운동 체계라고 부를 수도 있다.

행동 • 환

델타 -2 는 또 다른 지휘 체계이다. 델터＿끄기 피동자는 외부 환경 에 있는 것이 아니라 델타 4 안에 있다 . 죽 델타 2 의 피동자는 물 리적 대상이 아니라 정신적 대상이다. 델타-臨] 기능은 델타 4 의 기능을 최대한 활용하는 것이다. 필자는 델티 _2 를 후에 설명할 추 론의 반영적 체계라고 부르는 것을 좋아하지 않는다. 한마디로 말

해서 델타 4 의 역할은 여러 종류의 물리적 활동을 지휘하는 것이 고. 델타＿懿] 역할은 학습뿐만 아니라 학습을 포함하는 여러 종류 의 목표 지향적인 정신 활동이다. 학습은 스키마의 델타키 안에서 델타코에 의해 구성되고 검증되는 것과 델타 4 이 역할을 해야 하는 계획을 포함한다 .

二 2 행동 .• 一 61 행동 `•.- 一 겨환 0

우리는 이해를 몇 종류로 유용하게 구분할 수 있을까? 앞에서 설명한 개요를 바탕으로 , 우리는 제목의 질문에 대한 답 울 생각해 보려고 한다. 사실 이 질문은 토론 과정에서 강하게 제 기되었다 . 처음에는 한 가지 의미였던 것이 Me lli n-Olsen 에 의해서 두 가지 의미로 확장되었고 (Skem p, 1976), B y ers 와 Herscov ics (1 9 77) 에 의해서 다시 네 가지로 확대되었는데, Backhouse (l 976) 는 이해 롤 두 가지로 나누면 충분하다고 생각했다 . Bux t on (l 978b) 은 이해 를 네 단계로 설명했는데 이로부터 새로운 의문이 제기되었다. 그 렇다면 우리는 여기서 이해를 연속체로 보아 서로 다른 지점에서 논의하는 것인가 아니면 이해의 질적인 차이점에 대해 논의하는 것 인가? Bux t on (1 978b) 은 이해의 수준을 1. 암기적 rote 2. 관찰적 observati on al 3. 통찰적 ins ig h tf ul 4. 형식적 fo rmal 으로 구분했다. Bux t on 은 이 중에서 처음 세 가지를 각각 도구적 이해와 관계적 이

해로 구분하였다. 이미 언급한 영국 수학학습심리학회에서 대부분 의 참석자들은 B y ers 와 Herscovic s, Backhouse 가 〈 형식적fo rmal 〉이라 는 용어를 서로 다른 의미로 사용한다는 것에 동의한 바 있다. B y ers 와 Herscov i cs 는 〈형 식 적 증명 form al p roo f〉과 관련시 켜 생 각 했고, Bux t on 은 〈이 방정식은 y=mx +C 와 같은 형식이다〉에서의 형 식으로, Backhouse 는 〈… … 형식은 ……개념을 표현하는 방법이다〉 라는 의미로 형식이라는 용어를 사용했다. 그래서 지금까지 일곱 가지의 서로 다른 종류나 수준에서의 이해 룰 알아보았다. 이러한 제안은 토론에 참가했던 사람들의 창의성과 개성에 의해 늘어난 경향이 있다. 그러나 분류법이 너무 많은 것은 너무 적은 경우와 마찬가지로 별로 도움이 되지 않을 수도 있다. 모든 제안을 면밀히 검토한 후 세 가지의 이해――도구적 이해 , 관계적 이해, 논리적 이해-와 두 가지의 사고 활동 양식 __－ 직관 적 이해와 반영적 이해――으로 구분할 필요가 있다고 생각했다 . 처음에는 〈양식 modes 〉 대신 사고 활동 〈수준 levels 〉 이라고 했는데 , 추상의 수준과 혼동될 염려가 있다고 생각되어 양식으로 바꾸었다. 〈형식〉의 첫번째 의미를 〈논리적〉으로 단순히 대체하였는데, 이것 온 우리가 무엇에 대해서 논의하고 있는지 쉽게 파악하기 위해서이 댜 지금까지 논의한 여러 종류의 풍부한 아이디어는 위에서 제시 한 기본 골격에 모순없이 끼워 맞출 수 있으며, 이 밖의 많은 분류 는 그냥 무시해 버리지 않고 큰 분류의 테두리 안에서 좀더 자세하 게 구별할 수 있다. 예를 들어 파란색이라는 큰 테두리 안에서 하 늘색과 군청색 등으로 구별되는 것과 마찬가지이다. 이제는 세 가지의 이해에 대해서 정리해 보려고 한다. 미세한 차 이를 제외 하면 B y ers 와 Herscov i cs 의 제 안 내용에 동의 하며 , 다음 과같이 요약할수 있다.

도구적 이 해 ins tr um enta l unders t and i n g는 공식 이 왜 그렇게 되 는지 알 지 못하고 문제 해결에 적당히 기억된 공식을 적용하는 능력이다. 관계적 이해 rela ti onal unders t an di n g는 일반적인 수학적 관계에서 특수 한 공식이나 과정을 연역하는 능력이다. 형식적 이해fo rmal understa n din g (필자는 논리적 이해 log ica l under- s t an di n g〉라고 표에서 기술함)는 수학적 기호 체계와 표기를 적절한 수 학적 아이디어와 관련시키고 . 이 아이디어를 논리적 추론의 연결 고리 에 결합시키는 능력이다. 그러나 Backhouse 가 지적한 바와 같이 〈……우리는 학생들의 감 정과 스키마를 직접 관찰할 수 없으며. 다만 증거가 되는 행동을 찾을 뿐이다. 우리는 A 가 X 를 이해한다는 증거로서 A 가 X 를 학습 한 상황과 다른 상황-더 어렵거나 쉬운 상황――에서 X 를 적용 한다는 사실을 받아들인다.〉 그래서 필자는 B y ers 와 Hersco vi cs 의 설명에서 각각의 경우에 〈이다〉를 〈의 증거이다〉로 바꾸기를 원한 댜 또한 Backhouse 의 설명은 도구적. 관계적 이해에 그대로 찰 적 용된다 . 그는 〈……상황은 ……과 다르다〉라고 기술한다. 이때 상 황이 서로 크게 다르지 않은 경우에는 하나의 공식에 적용될 수 있 으며. 이것은 도구적 이해와 관련된다. 그러나 서로의 상황이 전혀 다르다면 단순히 공식만을 적용할 수는 없으며 축적된 공식은 쉽게 무너져 버린다 . 그래서 B y ers 와 Herscov i cs 의 말과 같이 〈일반적인 수학적 관계에서 특정한 공식이나 절차를 연역적으로 추론하기 위 하어…••〉와 같이 할 수 있는 것이 더욱 좋다. 관계적 스키마에서 구체화되는 것은 이러한 관계들이다. 그렇다면 이와 같이 분류하고 법칙화하려는 것은 무엇 때문일까? 우리가 단순히 용어나 사용하면서 학술적인 연습을 하는 것일까? 〈유용하게 use fully〉라는 단어를 이 소단원의 제목에 사용하였고 그

것을 정당화해야 할 의무가 필자에게 있다. 필자는 이 분류가 유용 할 뿐만 아니라 , 수학교육자들인 우리에서 본질적이라고 주장할 것 이다. 스키마와 학습 목표 〈어떤 것을 이해한다는 것은 적절한 스키마에 동화시킨다는 것을 의미한다〉 (Skem p, 1971) 는 주장을 받아들인다면. 이것은 우리가 적 절한 스키마롤 구별할 수 있는 만큼 이해의 종류를 구별할 수 있다 는 것을 시사한다. 스키마가 적절한지 그렇지 않은지를 결정하는 것은 무엇일까? 여기에 두 가지 고려해야 할 사항이 있는데 물론 다른 사항도 있을 수 있다.――첫번째 것은 자명하고 , 두번째 것은 항상그렇지는 않다. (i ) 스키 마는 주제 subje c t ma tt er 에 적 절하여 야 한다. (ii) 스키마는 당면한 과제t ask 一_성취하여야 하는 목표 __ 에 적절하여 한다. 첫번째의 예로서 아들이 필자에게 〈diffe ren ti al 이 무엇이예요?〉 하고 물었다면 그 질문에 대답하기 전에 필자는 주제가 수학-미 분―에 관한 것인지. 자동차――차동 장치-에 관한 것인지를 알아야 할 필요가 있다. 그러나 같은 주제가 서로 다른 과제들을 포함할 수 있고. 겉으로 보기에 같은 주제인 것도 중요한 차이점을 포함할 수 있다. 밧줄을 구입하는 일은 단순해 보이지만, 생각같이 단순한 일은 아니다. 만일 그것이 마룻줄(돛이나 기를 오르내리게 하는 줄)로 사용하기 위한 것이라면. 항해할 때 돛에 단단히 묶어

움직 이지 않도록 하기 위 하여 필자는 늘어 나지 않는 테 릴렌t e ry lene 밧줄을 원한다. 반면에 등반가는 추락할 경우에 충격을 비교적 오 랫동안 나누어 받을 수 있도록 하기 위한 것이라면 나일론 ny lon 과 같이 탄력성이 좋은 밧줄을 원한다. 배를 정박시키기 위해서 필자 는 두 가지 종류의 줄을 산다.＿一부표에서 낯까지는 항해에 위험 하지 않도록 물에 가라앉는 긴 줄이 필요하고, 쉽게 들어올리기 위 한 물에 뜨는 짧은 줄도 필요하다.――물론 이 모든 목적을 위해서 우리는 썩지 않는 줄을 원한다 . 필자가 점원에게 〈지름이 12mm 인 밧줄 20m 만 주세요〉라고 하면, 점원은 용도가 무엇이지 물어야 하 며, 그렇지 않으면 그는 용도에 맞지 않는 밧줄을 필자에게 팔 수 도 있다. 점원은 밧줄이 쓰이는 여러 가지 다른 용도를 알지 못하 고 용도에 적절한 밧줄이 무엇인지 알지 못하면, 그는 장사를 잘 할수없다. 몇 명의 학생들이 〈사고자〉 하는 것보다 우리가 너무 능동적으 로 〈팔고자〉 노력하는 것은 수학에서도 마찬가지이다. 수학이라는 주제는 같을지라도 다양한 사람과 다양한 경우에 서로 다른 종류의 스키마가 적절하듯이 학습 목표는 전혀 다를 수 있다. 그래서 〈우 리는 이해롤 몇 가지 종류로 유용하게 구별할 수 있을까?〉――여기 에서 〈우리〉는 수학교육자인 우리 자신을 의미한다-라는 질문에 답하려면, 이제 〈유용하게〉는 〈학생이나 제자에 의해 설정된 다른 종류의 학습 목표에 적절한〉이라는 의미로 생각해야 한다. 같은 주 제를 포함하기 때문에 겉으로는 비슷하게 보이는 다양한 학습 목표 를 구별하는 것은 분명히 쓸모있는 것이다. 만일 우리가 이 일을 제대로 하지 못하면, 마치 사람들이 저마다 다론 목적으로 밧줄을 산다는 것을 깨닫지 못하고, 밧줄은 모두 같은 밧줄이라고 생각하 는 점원과 다룰 바가 없다. 또한 우리는 교사와 학생의 목표가 서 로 다를 수도 있다는 것을 염두에 두어야 한다. 더욱이 만일 우리

가 한 가지 학습 목표만을 위한 학습 상황을 조성한다면. 이것은 적어도 배우는 만큼(또는 그 이상으로) 학생들이 구성하는 스키마의 종류에 영향을 받게 될 것이다 . 그래서 상황으로 결정된 학습 목표 들 사이에 잘못된 연결-교사가 생각하는 목표와 언어로 표현한 목표 사이의 불일치――이 생기게 될 것이다 . 우리는 이제 세 가지 서로 다른 학습 목표와 이와 결합된 세 종 류의 스키마 그리고 세 종류의 이해에 대하여 생각할 준비가 되어 있다. 도구적 이해 학교에서 도구적 학습의 목표는 교사가 제시한 문제_―말이나 종이 위에 써진――에 대해서 가능하면 많은 정답을 찾는 것이다. 〈분명한 피동자 ove rt op erands 〉――조작되는 것一_는 수학적, 언 어적 기호이며 , 말해지거나 써진 기호이다. 〈보이지 않는 피동자hi dden op erands 〉는 첫째로 교사이다. 학생 들의 단기 목표는 교사에게 인정을 받고 교사의 비난을 피하는 것 이다. 장기 목표는 시험 출제위원과 고용주와 같이 미래의 누군가 에게 인정을 받는 것이다. 이러한 모든 피동자――분명한 것과 보이지 않는 것 , 단기적인 것과 장기적인 것-는 물리적 세계 안에 있으며 , 그래서 서술된 활동은 델타 -1 활동이다. 교사는 질문울 하고 답을 기다리며 , 출제 위원은 시험 문제를 만들고 학생들은 정해진 시간에 가능한 한 많 은 답을 해야 한다. 도구적 학습에 의하여 형성된 스키마는 단기적 이며, 가장 빠른 시간에 적은 노력으로 주어진 문제에 대한 정답을 얻는다. 다시 말하면 우리는 공식을 퇴보하는 스키마로 생각할 수 있다. 학생은 공식들의 집합을 학습하고, 하나하나는 제한된 과제

에만 적용될 수 있다. 공식들을 많이 배우게 되는데 , 각각의 공식 은 제한된 과제에만 적용될 수 있다. 공식들이 완전히 독립되어 있 지는 않다 . -서로 결합될 수 있고, 연속적으로 적용할 수도 있 다―_그러나 공식들은 기호들을 조작하는 방법이며, 기호와 개념 이 연결되지 않기 때문에 도구적 학습으로 습득된 인지 구조는 적 응 능력에 한계가 있다. 새로운 상황에 부분적으로 적용되기 위해 서는 관계적 스키마라 불리는 개념적 연결이 요구된다. 관계적 이해 관계적 이해는 관계적 학습의 목표인 관계적 스키마를 구성하는 것이다. 피동자는 처음 대하는 개념이며, 목표는 개념을 적절한 관계적 스키마에 연결시키는 것이다. 이 목표를 달성하는 것이 관계적 이 해이며 이 과정에서 스키마 자체는 더욱 더 발전되어 간다. 다른 종류의 목표는 특정한 문제에 맞는 특수한 방법이나 과제의 모임에 맞는 특수한 공식을 연역해내는 것일 수 있다. 이렇게 할 수 있는 능력이 관계적 이해의 증거이다 . 또 다른 종류의 목표는 더욱 결합 력이 있고 더욱 좋게 조직하고 첫번째와 두번째의 목표를 위하여 더욱 효과적으로 만들기 위하여 스키마에 반영함으로써 우리가 이 미 가지고 있는 스키마를 향상시키는 것이다. 이러한 모든 활동에서 피동자는 델터키 안에 있는 개념과 스키마 이다. 그래서 관계적 학습에서 델 E~2 활동은 강력할 필요가 있다 . 그 리고 Bux t on (1 978a) 이 지적한 바와 같이 델타 -2 활동은 교사가 계 속해서 질문하면 크게 방해받을 수 있다. 토론은 전혀 다른 문제이 며, 반영하기 위한 침묵의 시간도 있어야 한다. 또 말하고 싶지 않 은 사람에게 말하도록 요구해서도 안 된다. 이와 같은 일을 교대로

하는 것이 델터크 활동을 고무하는 가장 좋은 방법 중의 하나로 생 각된다. 토론은 반영할 수 있는 새로운 재료를 주며, 자신이 가지 고 있는 아이디어를 가능한 한 명확히 법칙화하도록 요구하며, 반 영에 의해 치료될 수 있는 스스로의 사고에 대한 약점을 드러낸다. 기호는 위에서 설명한 모든 활동에 많은 도움을 준다. 반영하는 과정에서 기호는 그 기호와 연결되어 있는 개념의 손잡이와 이름표 의 역할을 하며, 우리는 기호 없이 어떤 토론도 할 수 없다 . 그러 나 기호의 기능은 수학적 개념을 조작하고 의사 소통하기 위한 것 이며, 기호는 관계적 수학에서 진정한 피동자이다. 도구적 학습으로 얻는 줄거움은 어떤 사람-교사나 출제위 원-울 즐겁게 하는 것인 반면에, 관계적 학습에 포함된 델타코 활동은 그 자체가 개인적 줄거움의 원천이다. 우리들은 관계적 이 해롤 하는 일이 매우 즐겁다는 것을 알고 있다 . 그러나 불행하게도 많은 수의―_어쩌면 대다수의一―학생들은 관계적 이해를 한 번도 경험해 본 적이 없어서 이 사실을 알지 못한다. 관계적 학습의 목표는 다음 두 가지 방법에서 장기적이다. (i) 수학적 개념을 형성하고 관계적 스키마를 구성하는 것은 공식을 학 습하는 것보다 더 오래 걸린다 . (ii) 교사를 기쁘게 하고. 시험에 통과하며, 고용주를 만족시키는 가장 좋은 방법으로 장기적일 뿐만 아니라 . 수학적 방법이 필요한 미래의 여러 가지 상황에서 목적을 성취하는 데 장기적이다 . 그래서 관계적 수학온 두 가지에 최선의 것을 제공한다. 그러나 불행하게도 현장의 많은 학습 상황은 이와 같은 학습을 하지 못하고 있다.

논리적 이해 2)

2) 필자는 V i c t orB y ers 와 영국 수학학습심리학회 회원들에게 감사하게 생각하 고 있다 이 범주의 유용한 토론은 이들의 세미나 자료에서 얻은 것이다.

이 범주는 필요하지도 않고. 관계적 이해와 별로 다르지 않다고 제 안되 었다 . 그러 나 B y ers 와 Herscov ics 가 제 시 한 다음 예 를 보자. 한 학생이 다음과 같이 썼다고 가정하자. X + 3 ==7 7— 3 =4 우리는 그에게 왜 그렇게 썼는지 물었고, 그는 우리에게 관계적 이해를 하고 있음을 확인시키는 대답을 했다. 예를 들면 〈제일 윗 줄에서 x 에 3 을 더하면 7 이 되므로 우리는 7 에서 3 을 빼어 x 가 얼마 인지 찾을 수 있다.〉 이제 우리가 그가 쓴 것의 정확한 의미를 지적하면, 그는 정확하 게 다시 쓸 것이고, 이것은 논리적으로 이해하는 능력이 있다는 증 거이고 , 우리는 그에게 반영하도록 도와 준 것이다 . 〈……를 정확 히 다시 쓴다〉는 말은 우리가 받아들일 수 있는 형태로 유효한 논 리적 추론 과정을 쓴 것을 의미한다. 그러나 그가 쓴 것에서 무엇 이 잘못되어 있는지 알지 못하면, 그리고 그가 옳게 썼다고 계속 주장한다면-맨 윗줄에서 x 대신에 4 를 대입하면 4+ 3 = 7 이므로 나는 정답울 구했어요. 그렇지 않아요?-우리는 무엇이 잘못되어 있는지를 그에게 확신시키기가 어려울 수도 있다. 왜냐하면 그는 관계적 이해-방정식을 참인 명제로 만드는 요] 값을 구하는 것 에 관련된―一의 관점에서 틀린 것이 전혀 없기 때문이다 . 그가 부

족한 점은 연속되는 명제 사이에서 함의의 관계와 관련되는 논리적 이해이다. 그래서 우리는 논리적 이해를 하지 못하는 두 종류~ 논리적 이해를 하지 못하며 그 사실을 아는 것, 논리적 이해를 하 지 못하며 그 사실도 알지 못하는 것-를 구별할 수 있다. 왜냐 하면 우리는 어떤 사람이 논리적 이해를 하고 있는지 그렇지 않은 지를 아는 스키마를 갖지 않았기 때문이다. 논리적 이해는 관계적 이해로 충분하다고 자신을 확신시키는 것과 다른 사람을 확신시킬 수 있는 것의 차이와 밀접하게 관련되어 있 댜 이것을 강조하기 위하여 . 필자는 다음과 같이 형식화할 것을 제 안한다. 논리적 이해는 (i) 주어진 가정과 (ii) 공리나 정리와 같이 이미 참이 라고 확인된 수학 지식을 적절히 선택하여 〈논리적 필요 logi cal necess ity〉에 따라 추론 고리 a cha in o finfe rence 를 기술하는 것을 보여줄 수 있는 능력으로 확인된다. 이 활동에서의 목표는 새로운 개념의 습득이 아니며, 새로운 스 키마의 구성도 아니며. 새로운 문제를 풀기 위한 새로운 방법의 구 안도 아니다. 이들은 다음 단계를 위한 〈피동자〉로서 이미 존재해 야 하는 것이고. 〈목표〉는 이미 구성된 스키마와 구안된 해가 분명 하고 정확한지 확인하는 것이다. 방법은 Bruner (1%0)가 〈자신의 기능에 대한 분석적 기계 장치〉_＿분석과 논증이나 증명이라고 부 르는 것을 만들기 위한 논리적 추론 고리의 구성――라고 부른 것 이다. 그래서 일차 피동자는 어떤 사람이 이미 가졌고 이해한 수학적 아이디어이다. 필자는 물론 몇 개의 이차 피동자를 확인할 수 있다 고 생각하는데, 그것은 바로 동료 수학자와 그들의 비판적인 평

가_＿우리가 제공하는 것이 무엇이라 하더라도 수학적 지식의 구 체물로 받아들여지려면 평가가 긍정적이어야 한다―_이다 . 그래서 필자는 수학적 증명이나 논증을 자연과학에서 반복할 수 있는 실험 에 대응한다고 생각한다. 〈형식적〉이라는 말이 어떻게 〈증명 p roo f〉이나 〈논증 demons tr a­ ti on 〉에 부착되는가? 필자는 형식적 논증이나 형식적 증명을 모든 함의 가 분명히 보이는 형식으로 바꿈으로써 동료들이 판단하도록 자신의 명제를 보여주는 방법이라고 제안한다. 모든 정리나 공리가 분명히 이와 관련된다. 여기에서 〈형식 fo rm 〉이란 표현의 형식과 관련되며, 〈형식적 fo rmal 〉이란 〈받아들여지는 표현 형식에 따르는 것〉이라는 의미이다. 우리 대부분은 자신의 아이디어를 형식적이든 비형식적이든 남 에게 공개하기 전에 스스로 평가할 것이다. 그리고 자신이 스스로 평가하여 그렇게 하는 것에 대하여 확신하는 증명을 구성한다. 어 떤 경우에 우리 모두는 자신을 만족시키기를 원한다. 그러나 필자 는 남의 비판이나 자신의 비판에 만족하는 것은 부차적인 목표이 며, 실제로 약점이나 내적인 모순 없이 일관되는, 광범위하고 강력 한 수학 지식을 구성하는 데 도움을 준다고 생각한다. Buxto n (l 'J7 8b) 이 다음과 같이 지적했던 것처럼, 이것은 분명히 발전된 활 동이다. 형식적 특성이 있는 이런 종류의 증명은 암기식으로 학습될 뿐이다. 그래서 가장 세련된 수준에서 진정한 통찰력이 있는 사람에게만 가치가 있으며. 증명이 가장 초보적인 내용과 연결될 필요를 인식한다. 그래서 그렇지 않은 사람은 증명을 이해할 수 없는 것이다 . 어떤 사람은 서로 다른 학습 목표와 이에 대옹되는 이해의 종류

룰 구별할 필요를 아는 것보다 더욱 분명한 예를 찾는 것이 더 어 려울수 있다 . 어떤 종류의 스키마가 어떤 종류의 이해에 포함되어 있을까? 필 자는 자신의 경 계 지 역 fron ti er zone-_ 아마도 다른 사람이 우리의 지식을 더 많이 얻도록 도움을 줄 것이다-안에서 활동하고 있 다. 포함된 관계는 명제의 진리값 사이에 있는 것으로 필자는 생각 한다 예를 들어 〈만약 if !:::.ABC 는 AB, AC 의 길이가 같은 삼각 형이면 (이것이 참이라면) 그러면 the n 乙 ABC 와 L. ACB 의 크기가 같다 . （이것은 물론 참이어야 한다.)〉 이 문맥에서 〈그러면〉이 의미 하는 것은 경험적인 것이 아니며, 교사나 어떤 사람이 그렇다고 판 단한 것도 아니고, 〈논리적〉 필연성에 따른 것이다 . 포함된 추론은 삼단논법이다. 〈두 변의 길이가 같은 모든 삼각형은 같은 두 변에 대하는 각의 크기가 같다 . 스 ABC 는 두 변의 길이가 같은 삼각형 이다 . 그러므로……〉 그래서 개념은 명제의 모임을 표현하며, 연결 은 논리적 함의인 스키마 중의 하나로 생각된다. 이것은 델타 _2 에 위치하고 있는 듯이 보이는데. 그 이유는 모순이 없는 델타 4 안에 서 스키마를 만들기 위해서 델타 _2 가 델타 4에서 작동하는 스키마 이기 때문이다. 이것은 반영하기가 어렵다는 것을 설명하는데. 여 기에서 반영은 델타코가 델타 -1 안에서 스키마로 인식되어 정상적 으로활동하는것이다 . 직관적 차원과 반영적 차원 새로운 지능 모델에서 우리는 두 가지 사고 활동의 양식을 유도 해 낼 수 있다. 이들은 다른 종류의 이해와 관련되지 않는다. 오히 려 그들은 다음 표에서와 같이 이미 논의한 세 가지 종류의 이해와

이해의 종류 도구적 관계적 논리적 사고활동의 직관적 Il R1 L1 。。택 반영적 I2 R2 L2 결합될 수 있다. 다음에 언급할 내용은 앞에서 법칙화한 것을 발전시킨 것으로 생 각될 수도 있으나, 지면 사정상 이 둘을 비교하지는 않겠다 . 이미 설명했듯이 현재 모델에서 델티크의 역할은 목표 지향적인 정신 활 동으로 학습을 포함하며, 학습만을 포함하는 것은 아니다. 〈목표 지향적g oal dir ec t ed 〉이란 델타 -2 나 델타 4 어느 하나에 대한 〈의식 적인 목표 지향〉을 시사하지는 않는다. 델타4 의 많은 목표 지향적 활동은 우리가 자전거를 탈 때 평형을 유지하면서 동시에 대화를 나눌 수 있는 것과 같이 무의식적으로 일어날 수 있다. 델터 _2 에서 도 마찬가지이다. 많은 양의 학습은 무의식적으로 이루어지며, 어 린이들은 태어나면서부터 학습하기 때문에 현재의 모델에서 델타코 는 처음부터 있다고 가정한다._필자는 그것을 타고난 것으로 확 신한다.-그러나 우리는 반영적 지능이 아동기와 청소년기에 걸 쳐 점진적으로 개발된다는 것도 알고 있다. 필자는 반영적 지능을 자기 자신의 개념과 의식적으로 관심을 갖는_＿아마도 기술하고 의식적이고 신중하게 이들을 바꾸어-사고 과정의 대상을 만드는 능력을 의미한다. 그래서 필자는 이러한 시기에 개발되는 것은 델 타 -2 가 아니라, 델타 _1 ――물리적 환경에 있는 대상의 인식-에서 델타 _2 ――지금 델타 4 에 있는 대상의 인식-로 인식을 집중시키 는 능력이라고 제안한다. 사고 활동의 〈직관적 양식i n tuiti vemode 〉에서 인식은 델타 4 안

에 집중된다. 〈반영적 양식 re fl ec ti ve mode 〉에서 인식은 델타코 안에 집중된다 . 그래서 〈직관적〉이란 델타키 안에서의 자연발생적인 과 정과 관련되며 . 델타크가 전혀 수반되지 않거나 무의식적으로 일부 가 수반된다. 〈반영적〉이란 델타 4에서 델타 -2 에 의하여 인식되는 활동과 관련된다. 두 가지 양식과 앞 절에서의 내용을 가지고 필자는 이제 앞의 표 에 제시한 여섯 가지 범주를 각각의 예를 제시하여 정당화하려고 노력할 것이다. 범주 Il 이것은 〈이유 없는 법칙〉에 대응된다 . 기계적인 수 조작은 이 범 주에 해당되지만 , 무의식적으로 능숙하게 처리하지만 필요할 때 적 절한 스키마에 다시 연결시킬수 있는 기능은 이 범주에 해당되지 않는다 . 범주 h 이것은 홍미 있는 범주이다 . 왜냐하면 필자가 이 모델을 만들기 전에는 반영적 활동은 관계적 이해에서 이루어진다고 생각했기 때 문이다. 그러나 다음 예를 생각하자. 어떤 사람이 함수 y=났 롤공식

y = x' ⇒ y' = ,v:-n- 1 > 를 사용하여 미분할 수 있다. 그는 몇 년 전에 들었지만. 그 후에 곧 잊었다 . 이제 그는 y = x—l3 을 미분하도록 질문받고, 위의 공식을 더 이상 적용할 수 없다. 그 러나 반영적으로 그는 또 다른 공식 —X1p =X -p 을 기억한다. 이 두 공식을 결합하여, 그는 다음을 얻는다. y=?1 ~y=X . 3 ⇒ y' =-3x --4 그는 두 가지 공식에 대한 관계적 이해가 없어도 정답을 찾았다. 더욱 이 논리적 이해로서 추론~ 공식이 옳고, 두번째 공 식도 옳다면 두 가지 공식을 차례로 사용한 결과도 옳을 것이다〉 ―이 사용되었다. 그가 한 일은 단순히 두 공식을 연결한 것이 고, 그는 문제를 매우 지적으로 해결했다. 그래서 우리는 반영적 지능이 질적으로 도구적인 델타 _1 에서 과제에 영향을 줄 수 있다는 재미있는 시사점을 얻게 되었다 . 필자는 오래전에 배운 수학을 회 상해 보면, 이것이 그 당시에 자주 사용했던 학습 방법이었음을 이 제 알게 되었고. 그것을 〈적절하게 p ro p erl y〉-관계적이나 논리적

으로――이해하지 못했다는 것을 알게 된 것이다. 범주 RI 이것은 B y ers 와 Herscov i cs(1960) 가 인용한 몇 줄에서 Bruner 가 언급한 것이라고 필자는 생각한다. 직관은 자신의 기능을 분석적 도구에 분명히 의존하지 않고. 문제의 의미나 중요성 또는 구조를 파악하는 행동을 의미한다.…… 직관은 층 명에 선행된다. 실제로 직관은 분석하고 증명하는 기술을 검증하고 조 사하기 위하여 도안되는 것이다 . 현재의 모델에서, 직관적 이해는 델타 4 에 입력된 것이 적절한 스키마에 직접 동화될 때 이루어지며, 스키마는 문제에 대한 우리 의 인식 구조이다. 그러나 직관은 그 자체가 이해를 의미하지는 않 는다.-입력된 것이 적절하지 않은 아이디어를 활성화할 수도 있 고, 문제의 인식이 반영적으로 틀리게 증명될 수도 있다 . -그래 서 Bruner 가 지적한 것처럼 증명이 필요하다. 이것은 직관과 통찰을 구별할 필요가 있음을 강조한다. B y ers 와 Herscov i cs 가 지적한 〈많은 저자들은 직관을 Eureka 현상-고대 그리스의 수학자 아르키메데스가 황금 순도를 측정하는 방법을 발 견했을 때 지른 소리-죽 순간적인 통찰의 섬광과 동일하게 본 댜〉 그러나 필자의 생각으로는 이렇게 하는 것은 잘못이다. 통 찰_＿필자는 관계적 이해와 같은 것으로 본다-온 실제로 직관적 도약에서 생길 수 있으나, 장기간에 걸친 반영의 결과일 수도 있 댜 그리고 직관적 도약의 결과는 분석하거나 증명을 했을 때, 진 정한 통찰이 아닌 것으로 판명될 수도 있다.

범주 R2 이미 소개했던 미분의 예를 다시 살펴보자. 주어진 함수를 미분 하는 틀에 박힌 절차를 알고 r1 를 음수 지수를 사용하여 X’ 와 같 이 다시 쓸 수 있을 뿐만 아니라. 이들을 관계적으로 이해하고 있 는 제자를 상상해 보자. 그는 이미 설명한 과정에 따라 지적으로 추측할 수 있고. 그리고 이것을 증명해 나간다. 이렇게 하기 위하 여 그는 이 두 가지 틀에 박힌 절차를 음수 지수의 이항 전개식을 포함한 확장된 수학적 스키마에 관련시킬 필요가 있다. 범주 Ll 논리적 이해는 반영적 수준뿐만 아니라 직관적인 수준에서도 확 인될 수 있을까? 필자는 그렇다고 믿는다. 10 살 전후의 많은 어린 이들은 〈모든 개는 꼬리가 있다. 이 동물은 개이다. 그러므로 이 동물은 꼬리가 있다〉는 유효한 추론인 반면에, 〈모든 개는 꼬리가 있다. 이 동물은 꼬리가 있다. 그러므로 이 동물은 개이다〉는 그렇 지 않다고 바로 말할 수 있다. 왜 후자가 거짓이냐고 물으면, 그들 은 고양이나 다람쥐와 같은 반례를 들 것이다. 이것은 단 하나의 반례가 잘못된 추론을 보여주는 데 충분함을 직관적으로 알고 있다 는 증거로 받아들일 수 있다. 그러나 이것은 경험적 지식이라고 주 장할 수도 있다. 직관적 논리에 대한 확실한 중거는 〈모든 wonlcs 는 꼬리가 있다.……〉와 같은 명제에서 비슷한 반응을 보이는 것이 다. 그러나 필자는 아직 범주 LI 에 해당하는 수학적 예를 찾지 못 했다. 좋은 아이디어가 있으면 알려주기 바란다.

범주 L2 이 범주에서 이해는 어떤 사람이 위에서 제시한 두 가지 예를 적 절한 벤다이어그램을 그려 대답하는 것으로 입증할 수 있다. 더욱 발전된 예는 Russell 의 유명한 역설――어느 마울에서 이발사는 자 신의 수염을 깎는 사람을 제외한 모든 사람의 수염을 깎는다 . 누가 이 이발사의 수염을 깎을까?一_에서 찾아볼 수 있다. 이에 대한 L2 이해는 성취하는 데 시간이 오래 걸리지만, 우리는 많은 사람들 이 L1 은 무엇인가가 잘못되었다는 확신이 있다고 가정하고 시작해 보자. 6 가지 형태의 범주와 대학 수준에서 수학의 중요한 부분은 범주 L2 에서 시작된다. <… .. 임을 보여라〉 또는 〈·…·임을 증명하라〉 등 으로 시작되는 연습문제에서는 언제나 L2 이해가 필요하고 . 대답으 로 확신시켜야 한다. 그리고 L2 이해는 수학을 연구하는 수준에서 더욱 중요한 특성이 있으며, 〈수학적으로 엄밀하게〉는 논리적으로 빈톰없는 함의 고리와 같은 의미이다. 필자는 다른 책 에서 (Skemp , 1971, Chap ter 1, p. 15) 논리 적 표현과 심리적 표현을 구별했으며, 이해가 엄밀한 논리적 표현에 의하여 가장 훌륭하게 성취될 수 있다는 생각은 찰못이라고 주장하였다. 관계적 이해를 위해서, 가장 먼저 필요한 것은 심리적으로 신중하 게 계획된 표현이다. 학습자가 어떤 사람이 무엇인가가 옳다고 자 신을 확신시키려는 노력을 이해할 때까지, 논리적 주장은 시기상조 이며 적절하지 않다. 그러나 관계적 이해가 성취되었을 때. 필자는 아주 초보적인 단계에서 논리적 이해를 할 수 있는 여지가 있다고 생각한다. 논리적인 증명을 〈내가 그렇다고 말한 것을 당신이 믿을 것이라고 기대하지는 않는다. 내가 주장하는 것이 우리 모두가 동 의한 사실에서 논리적 필연성에 의한 것이라는 사실을 당신에게 확

신시키고 싶다. 당신이 내가 생각하는 추론 과정을 한 단계씩 따라 오면 당신 자신의 추론에 의해서 확신할 수 있게 될 것이다〉라고 말함으로써 주고받을 필요가 있다. 이것은 명제를 받아들이거나 받 아 들이지 않는 최후의 권위는 학습자의 수준에 적절한 방법으로 만들어진 수학 자체에 있다는 것을 의미한다. 그래서 학습자의 수 준에 적절한 방법으로 무엇인가를 우리는 어렸을 때부터 가르쳐야 한다고 필자는 생각한다.

제 14 장 수학의 의사소통I) ―표면 구조와내면 구조

1) 이 장은 Vis i b l e uing u age s . Vol. X VI, No.3.(p p. 281-288) 에서 전재한 것이 다 .

우리가 물리적인 세계에서 일어나는 사건을 이해하고, 추측하며, 때로는 조절하도록 해주는 수학의 힘은 개념 구조-일상 생활에 서 사용하는 말로는 아이디어의 조직망이다-에 있다. 이 아이디 어는 순수한 정신적 대상—―볼 수도 들을 수도 없으며, 개념 구조 룰 가진 사람도 쉽게 접근할 수 없는 대상-이다. 개념 구조를 의사 소통하기 전에 개념들이 먼저 기호로 표시되어야 한다. 기호 는 상대적인 두 가지 역할이 있다. 기호는 정신적 대상으로 우리는 기호에 대하여 생각하고, 기호를 가지고 생각할 수 있다. 그러나 기호는 종이 위의 표시나 소리로서 보거나 들을 수 있는 물리적 대 상일 수도 있다. 그래서 기호는 이와 관련된 개념을 의사 소통하기 위한 이름표와 손잡이 역할을 한다. 기호는 내적인 우리의 사고 세 계와 외적인 물리적 세계의 경계에 있다. 기호들은 서로 고립되어 존재하지 않는다 . 그들은 자체의 조직을

가지고 있으며, 이 조직 체계로 인하여 기호들은 단순한 집합 이상 의 것이 된다. 기호들은 기호 체계를 형성하며, 기호 체계는 다음 과 같이 구성된다 . 기호의 집합과 함께 이에 대응하는 개념의 집합 기호들 사이의 관계의 집합 이에 대응하는 개념들 사이의 관계의 집합 우리가 의사 소통하려는 내용은 개념 구조이다 . 우리가 개념 구 조를 의사 소통하는 방법은 기호를 쓰거나 말하는 것으로 의사 소 통하려는 내용이 가장 중요하다. 이것이 수학의 〈내면 구조 dee p s tru c tur es 〉를 형성한다. 그러나 둘째로 전달되고 받아들여질 수 있 어야 한다. 이것이 〈표면 구조 su rfac e s tru c tur es 〉를 형성한다. 이 용어가 암시하듯, 표면 구조는 마음속에서 접근하기가 훨씬 용이하 댜 어떤 사람에게는 오직 표면 구조에만 접근할 수 있을 뿐이다. 그런데 표면 구조와 내면 구조가 반드시 대응하지는 않는다. 이것 이 문제의 원인이 된다. 다음에 표면 구조와 내면 구조 사이의 차이를 보여주는 몇 가지 예가있다 . I fee l lilce a wet rag . （기 분이 매 우 좋지 않다) 같은 표면 구조 TL 다른 내면 구조 I fee l lilce a gla ss of beer (맥주나 한잔 했으면 좋겠다) 같은 표면 구조 U 같은 내면 구조 I fee l lilce a cup of tea (차나 한잔 했으면 좋겠다) 다른 표면 구조 Tl 같은 내면 구조 Shall I pu t the kett le on? （차 끓일 물을 올려 놓을까요?)

이것은 수학과 무슨 관계가 있을까? 표면 구조의 수준에서 젖은 걸레 we t ra g와 차 한 잔 acu po ft ea 은 수학과 거의 관계가 없는 것 처럼 보인다. 그러나 내면 구조의 수준에서 표면 구조와 내면 구조 의 구분과 이 둘의 관계는 우리가 수학을 의사 소통하는 문제에 대 하여 생각할 때 매우 중요하다. 편의상 표면 구조를 S 로, 내면 구조를 D 로 나타내자. S 는 우리 가 쓰고 말하고 생각하는 수준이다. 혼란은 S 구조가 D 구조와 일 대일로 대응될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다는 데 있다. 그리 고 일대일로 대응하지 않는 경우 S 는 D 를 돕는 역할도 하지만 이 를 방해하기도 한다. 이제 몇 가지 수학적인 예들을 살펴보자 . 우리는 다음과 같은 기 호 체계를 알고 있다. (i) 기호의 집합 1 2 3 .. • 1 3 7 2 4 8 a b c (ii) 이 기호들은 하나 이상의 관계가 있다. 예를 들어 기호가 쓰여진 순서 (왼쪽/오른쪽, 위/아래)와 읽을 때의 시간의 순서이다. 그러나 기호의 필수적인 성질은 무엇인가를 표현하기 때문에­ 이 경우엔 수학적 개념-~다음을 덧붙여야 한다. (iii) 기호들 사이의 관계는 어떤 방법으로든 개념들 사이의 관계를 나 타낸다.

그래서 우리는 이제 수학에서 어떤 방법이 있는지 조사해야 한 댜 다음은 이에 관한 간단한 예이다. （여기에서 〈숫자 numeral 〉는 기호 롤 의미하고. 〈수 number 〉는 수학적 개념을 의미한다 . ) 기호 개념 (i) 123 …(이 순서의 숫자둘) 자연수 기호사이의 관계 개념 사이의 관계 (ii) （지면에서) 좌우 관계 왼쪽 것이 오른쪽 것보다 작다 . (말할 때) 선후 관계 먼저 읽은 것이 나중에 읽은 것보다 작다 위의 예는 매우 훌륭한 일대일 대응으로 수학자들은 이를 〈동형 i somo rphi sm 〉이라고 부른댜 자릿값은 잘 알려진 기호 체계의 또 다른 예이다. 기호 개념 (i) 123 … (숫자) 자연수 기호사이의 관계 개념 사이의 관계 (ii) 숫자 1 은 숫자 臨] 바로 왼쪽에 있다. 수 1 은 수 29:j 10 배이다. 이것도 매우 명확하게 일대일 대응이 된다. 그러나 위의 예와 비 교해 보았을 때 기호에서 동일한 관계――〈……이 ……의 바로 왼 쪽에 있다〉――가 대응되는 개념에서는 서로 다른 두 가지 관계­ 〈……이 ……보다 하나 작다〉와 〈……이 ……의 열 배이다〉――롤 기호로 나타내는 데 사용되었다. 그렇기 때문에 기호롤 바꾸거나, 새로운 기호_―첫번째의 예에서 숫자 사이에 <, 〉를 사용하여-

를 도입해서 나타내어야 한다. 그렇다면 다음의 기호들은 어떠한가? 23 2 —l2 2a 이들은 같은 수학의 대화 속에 나타날 수 있다. 그리고 이것은 기호 체계를 선택할 때 부주의해서 그런 것이 아니라, 피할 수 없 는 것이다. 왜냐하면 종이 위에 나타낼 수 있는 관계는 좌/우, 상/ 하, 2 차원 표시(예룰 들면 행렬) ， 대문자와 소문자(예를 들면 R , r ) 등으로 한정되어 있기 때문이다. 우리가 기호 체계의 표면 구 조를 위하여 구안할 수 있는 것은 수학적 개념 사이의 수없이 많은 다양한 관계들―_기호 체계로 표현하려고 하는_―을 나타내는 데 는턱없이 부족하다. 자릿값을 좀더 자세히 살펴보면, 더욱 미묘한 것을 발견할 수 있 다. 572 라는 기호를 생각해 보자. S 수준에서는 세 개의 숫자가 순 서대로 쓰여 있다. 그러나 D 수준에서는 다움을 표현한다. (i) 세 수에 대응하는 5 7 2 I I I (ii) 10 의 세 가지 거듭제곱 102 10l 10 이들은 오른쪽에서 왼쪽 순으로 숫자의 세 가지 위치에 대응된다. (iii) 세 개의 곱셈 연산이 있다. 5 에 102(=100) 을 곱하고, 7 에 10'(=10) 울 곱하며 , 2 에 l fY (=l) 을 곱한다. (iv) 이 세 개의 곱셈의 곱 (5 백, 7 십, 2) 울 더한다. 네 가지 D 수준에서 첫번째 것만이 S 수준에서 572 라는 숫자로 명확히 표현된다. 두번째는 종이 위에 볼 수 있도록 표시한 것이

아니라, 공간적인 배치에 함축되어 있다. 세번째와 네번째는 기호 로는 전혀 알 수 없다. 다만 이 숫자가 한 숫자 이상으로 이루어져 있다는 사실에서 추론해야 한다. 이런 식으로 분석하기 시작하면, 몇 개의 박사학위 논문을 쑬 수 있는 넓고 거대한 미개척 분야가 존재함이 분명해진다. 현재의 논 의를 위해서 기호 체계의 표면 구조와 수학적 개념의 내면 구조는 한정된 부분에서만 합리적인 대응이 이루어지고, 대부분의 경우에 는 비합리적으로 대응됨에 충분히 동의할 것이다. 우리가 이와 같이 서로 다른 영역에서 더 많은 사고를 하기 위하 여, 필자는 다음 두 가지 아이디어를 소개하고자 한다 첫번째는 필자의 새로운 지능 모델(1 979a) 에서 나오는데, 〈개념화된 기억은 파장 구조 안에 저장되는데, 진동이 발생하면 복잡한 파장 패턴이 일어난다는 가정에서 출발하자. 이러한 파장 패턴의 하나와 어울리 는 것이 입력되면 감지기는 그것에 대응하는 파장 구조나 서너 개 가 합쳐진 파장 구조가 동조하게 되며, 그 때부터 그 개념의 독특 한 파장 패턴이 만들어지는 것이다〉라는 찰 알려진 동조 현상에 기 초한 모델에서 도움을 받을 수 있다. 이 단계에서 〈스키마〉란 용어를 소개하는 것이 편리할 것이다. 스키마란 개념 구조를 간단히 쓴 것이다. 그러므로 스키마 ＿ 一기억 속의 개념 구조――는 이 모델에서 특수한 파장 구조에 대응된다. 우리 모두는 사용 가능한 스키마에 대응하는 이런 파장 구조를 많 이 가지고 있고, 입력된 감지기는 어떤 구조이든지 이런 구조 중 하나와 동조되는 것으로 해석된다. 더욱이 서로 다른 사람에게 같 은 것이 입력되더라도 각각 전혀 다른 구조가 활성화될 수 있으며, 같은 사람에게도 시기에 따라서 다른 구조가 활성화될 수 있다. 그 결과 서로 상이한 해석이 나타나게 된다. 예를 들어 〈fi eld 〉라는 단 어는 추상수학, 전자기학, 야구, 농업 또는 일반적인 학문 분야에

서 그것이 동조되는 구조에 따라서 서로 다른 의미를 갖게 된다. 두번째로 스키마는 입력된 정보의 흡입기로 작동한다고 제안한 Tal1 (1 977) 의 아이디어이다. 그는 이 아이디어를 동력계 d y nam ic s y s t em 의 수학적 이론에서 얻었는데, 우리가 아이디어를 동조 모델 과 결합하면 어떻게 이러한 끌어당기는 현상이 발생하는지 설명할 수 있다 . 입력된 감지기는 그것을 활성화시키는 동조 구조에 따라 조직되고, 해석되며, 이해될 것이다. 어떤 경우에는 한 개 이상의 동조 구조가 동시에 활성화될 수 있고, 우리 자신의 의지로 그 중 한 가지에 관심을 집중할 수 있다. 또 다른 경우에는 하나의 스키 마가 입력된 모든 것을 포착하게 된다._―이런 〈포착 효과 ca ptur e e ffe c t〉는 전파공학자들이 찰 알고 있는 것으로 그들은 이를 찰 활 용하고 있다. 그래서 우리는 다음과 같이 아이디어들을 종합하여 보자. 기호체계 s 표면구조 I 와 서로 연결되어 있음 와 I 개념 구조 D 내면구조 항공 지도에서 점은 도시 전체_＿런던, 애틀랜타, 로마＿一룰 표 현하는 것과 같이. 위의 그림에서 각 점은 하나의 개념이 아니라 하나의 스키마를 표현하고 있다. 이 이론적 모델은 어떻게 우리가 사고하는 것을 어떻게 도와 주 며, 실질적으로 얻는 결과는 무엇인가? 글을 써서 하거나 말을 통 해서 행해지는 모든 의사 소통은 필연적으로 S 수준인 기호 체계 안에서 이루어진다. 수학적으로 이해되기 위해서 그것은 D 에 흡입

되어야 한다. 이것은 D 가 S 보다 더 강한 흡입력을 갖는 것을 요구 한댜 만일 그렇지 않으면. S 가 입력된 것을 포착하게 될 것이다 훌륭한 모델의 장점 중 하나는 다음과 같은 질문들을 드러내는 것이댜 첫번째 질문은 분명하다. 〈 D 가 강한 흡입기일 조건은 무 엇인가?〉 두번째 질문은 〈 D 가 S 대신에 입력된 것을 포착할 수 있 는가? 포착되면 어떤 일이 생길까?〉 먼저 두번째 질문을 간단히 생각해 보자. 만일 이런 일이 일어난 다면. 필자는 모든 수학적 활동이 내면적 개념 수준에 감금되어서 기호 수준으로는 빠져나가지 못한다고 생각한다. 이 일이 완벽하게 일어나지는 않지만, 대학에서 필자를 지도했던 저명한 몇 사람의 수학자는 극히 제한된 부분만이 S 로 빠져나갈 수 있다고 했다. 첫번째 질문-~ 강한 흡입기일 조건은 무엇인가?〉＿一으로 돌아가자. S 는 건조의 장점―_의사 소통되는 모든 입력은 S 에 먼 저 도착한다＿一그리고 D 에는 돌아 갈 곳이 있지 않다. 수 년에 걸친 장기간 학습 과정에서 개념의 내면 구조가 초기에 형성되지 않으면 . 내면 구조는 흡입기로 결코 발전될 수 없게 된다. 너무도 많은 어린이들이 D 를 가지고 있지 않다 . 그리고 D 구조가 없거나 있다 해도 약한 경우. 모든 입력은 S 에 동화될 것이다._―어떤 종 류이든 구조를 찾으려는 노력이 강해진다.-그래서 D 대신에 S 가 형성된다. 그러나 이것은 S 의 내적 일관성의 부족으로 반드시 문제가 발생 하게 된다. 이것은 D 가 본래 가지고 있는 장점-내적 일관 성-―-을 드러낸다. 모든 학문 중에서 수학은 가장 내적으로 일관 성이 있고 논리가 정연하다 . 그래서 D 가 잘 확립되면 S 에 입력된 것은 S 에서보다 D 에서 더욱 폭넓고 의미 있게 동조될 것이며, D 가 입력의 대부분을 흡입할 것이다. 수학을 학습한다는 것은 이름표나 손잡이 역할을 하는 기호를 사

용하여 어떤 정신적 대상_수학적 개념――을 조작하는 것이다. 그 러나 많은 어린이들에게는 이러한 대상이 없다 . 그래서 이들은 대 용품인 대상――기호가 없고, 어떤 것도 부착되지 않은 손잡이와 내용이 없는 이름표 __ 을 조작하는 것을 학습한다. 불행하게도 단 기적으로는 이렇게 학습하기가 쉬울지 모르지만, 장기적으로는 학 습하기가 매우 어렵다. 수학적 개념을 조작하는 것은 개념의 특성 과 스키마 자체에 의해 도움을 받는데, 개념의 특성과 스키마는 본 능적으로 옳고 그른 것을 느끼도록 해준다. 이러한 느낌은 부분적 으로는 개념 자체에서 오며. 개념 하나하나의 성질은 우리가 어떻 게 사용하고. 서로 어떻게 짜맞추어야 하는지에 도움을 준다. 이것 을 더 강조하면 주어진 수학적 내용 안에서 어떤 것은 허용하고 어 떤 것은 허용하지 않을지를 결정하는 정신적 활동인 스키마로부터 나온다. 수학의 기호가 가진 많은 문제는 부분적으로는 기호 자체가 가지 고 있는 잠재적 성질_＿간결하고, 명확하다――에서 발생하기도 하지만 , 대부분은 내면적 수학 스키마一一기호는 의미를 가지고 있 다――가 없거나 부족해서 발생한다. 연관적 통증 re fe rred pain과 같 이 문제가 되는 부분은 통증을 느끼는 부분에 있지 않다. 그래서 주로 개념 구조를 건조하는 부분과 같은 곳을 치료해야 한다. 우리는 학습자가 이렇게 하도록 어떻게 도와 줄 수 있을까? 이 질문은 너무나 방대한 것이기 때문에 한 장의 종이에 간단히 답할 수 있는 것이 아니다. 그렇지만 여기에 출발점으로서 다음 몇 가지 를제안한다. ( i ) 특히 어린 시절에 우리는 어린이들이 구성하도록 도와 주기를 원 하는 수학적 개념을 가능한 한 많은 물리적 구체물로 제공해 줄 수 있다 단위의 예로서 1 은 빨대 낱개, l (N즌 빨대 10 개의 묶음 . 100 온

이 묶음의 10 개 묶음을 사용할 수 있다. 이와 같은 구체물은 그와 관련된 기호보다 수학적 개념에 보다 밀접하게 대응된다 . 그래서 시각적인 입력은 S 보다는 D 의 적절한 부분에 더욱 강하게 홉인될 것이다. 더욱이 이러한 경우에 입력은 먼저 D 로 간 후에 S 로 간다. 왜냐하면 어린이들은 개념의 물리적 구체물로 먼저 제시되고. 그런 후에 이것을 적절한 기호와 연결시키도록 요구하기 때문이다 . (ii) 습득해야 할 수학적 구조를 면밀하게 분석함으로써 , 기호 조작으 로 기억시키는 것이 아니라, 개념 구조에 동화시키는 방법으로 우 리는 새로운 재료를 연속해서 제시할 수 있다 . 그러나 현재 사용하 고 있는 많은 교과서는 이렇게 하도록 되어 있지 않다 . (Skemp , l

제 15 장 기호적 이해”

l) 이 장은 Math e mati cs Teachin g No.99, Ju ne 1982, pp. 59-61 에서 전재한 것이 다.

이 장에서 필자는 이미 설명했던 수학적 이해의 본질과 다양성에 대 하여 더 많은 논의 를 할 것 이 다 . (Backhouse, 1CJ 78 ; Buxto n , 1CJ 78 b; By er s & Herscoovic s , 1CJ 77 ; Skemp , 1CJ 76 ; Tall, 1CJ 78 ) 1978 년까지 의 연구 결과 〈이해〉는 7 가지 범주로 나누어졌으며. 그 후 필자는 이해를 세 가지 종류로 나누고 . 정신 활동을 두 가지 양식으로 나누어 표 로 만들었다. (제 13 장) 그러 나 그 당시 에 필자는 형식적 이해 for mal unders t and i n g에 대한 분석 이 완전하지 못했음을 알고 있었다. 〈형 식 fo rm 〉과 〈형식적fo rmal 〉이란 단어는 다른 두 가지 의미로 사용 되는데, 필자는 첫번째 의미로만 다루었다. (i) 〈형식적 층명 form al p roo f〉의 〈형식 fo rm 〉이라는 의미이다 . 이것은 Bux t on(l 'l7 8) 에 의하여 사용된 의미이며. 필자도 이미 그것을 〈논리 적 이해 log ica l unders tandi n g라고 부름으로써 구별할 것을 제안하였

다 . （제 13 장) (ii) 〈형식〉은 〈이 방정식은 y= mx+ c 와 같은 형식이다〉에서와같이 명 제로서 사용되는 의미이다. 이것은 Backhouse (1 978) 에 의해서 사용 된 의 미 이 며 . B y ers 와 Herscovic s (l'Y'77 ) 에 의 하여 제 시 된 정 의 의 처 음 부분――〈형식적 이해란 수학적 기호 체계와 표기를 적절한 수학 적 아이디어와 관련시키는 능력이며……〉_도 이와 같다 . 필자는 우리가 이런 의미의 이해를 〈기호적 이해 s y mbo li c unders t an di n g〉라 고 불러 구분할 것을 제안한다. 최근에 필자는 새로운 이해를 하면 새로운 능력을 갖게 된다고 강조하였다. (Skemp , 1980) 그렇다면 우리가 기호적 이해를 하면 전 에는 하지 못했던 무엇을 할 수 있을까? 수학적 기호 체계의 힘은 특별한 종류의 언어의 힘이다. 그래서 우리는 힘이 클 것이라고 기 대할 수 있다. 여기에 필자가 몇 년 전에 제시했던 10 가지(다른 것 도 있을 수 있다)를 소개한다. (제 5 장) 그 당시에 필자는 지금까지 논의했던 수학적 이해에 대하여 잘 알지 못했기 때문에 미처 이것 을 새로운 종류의 이해롤 습득하는 것과 관련지어 생각해 보지 못 했다. 1. 의사 소통 2. 지식의 기록 3. 새로운 개념의 전달 4. 다중적 분류를 쉽게 함 5. 설명 6. 반영적 활동을 가능하게 함 7. 구조를 밝히는 데 도움을 줌 & 틀에 박힌 조작의 자동화

9. 정보의 재생과 이해 10. 창조적인 정신 활동 우리는 너무나 익숙해져서 당연한 것으로 여기지만. 기호적 이해 에 의해 얻어지는 힘은 막강하다 . 기호적 이해를 습득하는 과제는 물론 생각할 필요가 있다. 그리고 우리는 5 세 정도의 어린이가 모 국어를 배우는 학습을 쉽게 간과한다. 그러나 우리는 많은 어린이 들이 수학적 기호 체계를 이해하기 위하여 학습하는 어려움을 간과 할수는 없다. 여기에 고려해야 할 새로운 요인이 있다. 앞서 논의한 바와 같이 우리는 스키마에 개념을 동화시키는 데 관심이 있다. 그러나 기호 적 이해의 경우에 〈기호적 s y mbo li c 〉이란 말은 하나의 기호를 의미 하는 것이 아니라, 기호 체계 s y mbol s y s t em 를 의미한다. 기호 체계 는 개념의 집합에 대응되는 기호의 집합이며 . 개념들 사이의 관계 에 대응하는 기호들 사이의 관계도 포함한다. 예를 들면, 〈 2 〉와 〈 3 〉이라는 기호는 각각 특정한 수 개념을 나타낸다. 그런데 우리가 〈안〉과 같이 쓸 때, 우리는 기호 사이의 두 가지 관계――크기와 위 치＿一를 사용한 것이다. 개념적 수준에서 이것은 한 피동자 __ 수 2 ―와 또 한 피동자-지수 3- 를 함께 특수화한 것이다. 그런 데 23 과 같이 두 기호가 같은 크기로 같은 수준에 있으면, 의미는 전혀 달라진다. 그래서 우리는 지금 기호 체계와 수학적 개념 구조 라는 두 가지 스키마를 다루는 것이다. 이것은 기호적 이해가 기호 체계와 적절한 개념 구조 사이의 상호 동화라고 잠정적으로 형식화 할수있다. 그래서 이제 우리는 스키마에 개념을 동화시키는 것―-개념을 작은 것으로 스키마를 큰 것으로 보는 실체로서_―에 관심이 있는 것이 아니라. 두 스키마의 상호 동화――크기가 다르며. 각각의 스

키마는 스스로의 구조를 가지고 있다는 두 실체로서――에 관심이 있댜 수학의 역사에서 비교할 수 있는 사건은 기하학과 대수학이 라는 커다란 두 개의 구조를 동화시킨 Descar t es 의 위대한 업적에 서 찾을 수 있다 . 이와 같은 일이 발생할 때 , 힘이 증가할 뿐만 아 니라, 정신적으로 한 조직이 다른 조직을 압도할 가능성이 있다. 이러한 결과가 바람직한지 아닌지는 상황에 따라 다르다. 필자는 Desc art es 의 업적 이후 이들의 협력 관계가 대수학으로 점점 치우 쳐 가는 것으로 보고 있다. 이제 우리는 점을 두 수 , 세 수, n 개의 수의 순서쌍으로 정의되어 있는 것을 찾을 수 있고, 책의 제목은 기하학과 관련되지만 내용은 다이어그램이나 기하학적 도형이 전혀 없어서 대수학 책이라고밖에 생각할 수 없는 것도 있다 . 우리는 이것을 바람직한 일로 생각할 수도 있고 그렇지 않을 수 도 있다. 필자는 바람직하지 않은 것으로 생각하고 있지만 , 방어하 는 입장에서 반대의 의견을 받아들일 수 있다. 그러나 필자는 우리 중 어느 누구도 개념 구조가 기호 체계에 압도되는 것과 수학이 단 지 기호를 조작하는 것에 불과하다는 것을 받아들이지 않을 것이라 고 믿고 있다. 수학의 힘은 아이디어에 있다 . 기호와 아이디어의 정당한 협력 관계에서, 기호는 아이디어를 충분히 사용하도록 우리 룰 도와줌으로써 수학의 힘을 발휘하는 데 도움이 된다. 그러나 너 무나 많은 어린이들이 단지 기호를 조작하는 수준에 있다. 두 구조 사이에 동형사상 i somo rphi sm 이 있다면 , 개별적으로나 전체적으로 한 쪽이 다른 쪽을 압도하는 것은 거의 문제가 되지 않 는다. 대수적 기하학이 성공할 수 있었던 이유는 동형사상과 거의 일치하는 것이 있었기 때문이며, 그래서 한 구조가 다른 구조를 충 분히 이해하도록 도움을 주었다. 그런데 수학의 기호 체계와 개념 구조 사이에는 단지 부분적인 동형사상만 찾을 수 있을 뿐이다. 그 래서 전반적으로 많은 불일치가 있다 . 예를 들어 〈……온 ……의

왼쪽에 있다〉라는 공간 배치 관계는 다음 세 가지 경우에 서로 다 른 의미를 갖는다. 23 2 12— 2a 다른 예로는 (2,3) 과 같은 순서쌍은 유리수. 평면 위의 점, 벡터 등을 나타낼 때 사용된다. 유리수의 의미에서 덧셈은 (2, 3)+ (4, 5)=(2x5+3x4. 3x5) 이며, 평면 위의 점의 의미로는 더할 수 없으며, 벡터의 의미로는 (2, 3)+(4, 5)=(2+4, 3+5) 와 같이 더 한다.-그런데 어떤 어린이들은 유리수의 덧셈을 벡터의 의미로 하기도 한다.-이것은 단지 기호 체계의 선택에서 부주의했기 때 문이 아니라 불가피한 것이다. 왜냐하면 사용할 수 있는 기호 사이 의 관계가 그리 많지 않기 때문이다. 왼쪽과 오른쪽. 위와 아래. 문자의 크기――지수나 첨자와 같은 경우-~ 굵기 2) 와 같은 방법이 있을 뿐이다. 그런데 우리가 표현하려는 수학의 개념들 사이 의 관계는 너무나 많고, 우리의 지식의 발전도 계속 증가하고 있다. 그러면 끊임없이 늘어나는 다양한 의미를 같은 기호로 만들 수 있도록 우리는 어린이들을 어떻게 도와 줄 수 있을까? 우리는 어린 이들이 배우기 원하는 수학적 관계가 증가되고, 복잡해지며 추상화 될 때 이를 극복하는 데 불안하게 되는 상황에서 어떻게 자신감을 갖게 할수 있을까?

2) 문자의 굵기는 벡터 . 스칼라와 같이 서로 다른 두 체계의 원소를 나타낼 때 사용되며, 이것은 말로는 구별할 수 없고. 쓸 때만 구별된다.（옮긴이)

이 질문에 대한 답은 잘 알려진 동조 현상에 기초한 모델에서 도 움을 받을 수 있다 . (Skemp , 1CJ 79 a)

개념화된 기억은 파장 구조 안에 저장되는데. 진동이 발생하면 복잡 한 파장 패턴이 일어난다는 가정에서 출발하자 . …… 이러한 파장 패턴 의 하나와 어울리는 것이 입력되면 감지기는 그것에 대옹하는 파장 구 조나 서너 개가 합쳐진 파장 구조가 동조하게 되며` 그 때부터 그 개념 의 독특한 파장 패턴이 만들어지는 것이다 . 스키마는 기억 속에 저장된 개념 구조로서 이 모델의 경우 독특 하고 복잡한 파장 구조에 대응된다. 우리 모두는 많은 파장 구조를 가지고 있으며, 지각된 입력은 이들 중의 어느 하나가 들어오는 것 과 동조하는 것으로 해석할 수 있다 . 더욱이 서로 다른 사람들에게 같은 것이 입력되더라도 다른 구조가 진동에 의하여 활성화될 수 있다. 같은 사람에게 같은 것이 입력되더라도 다른 시간에는 다른 구조가 활성화될 수도 있다. 예를 들면 〈fi eld 〉는 그것이 수학 , 전 자기학, 농업, 예술 , 운동 중 어느 스키마에 동조하는가에 따라 다 르게 진동할 것이다. 가장 쉽게 동조되는 스키마가 어떤 것이든 , 바로 그것이 입력된 것을 쉽게 끌어당길 것이다. 우리는 두 가지 대립되는 것-기호 체계와 개념 구조-에 대 하여 논의하고 있다. 개기호\념 구체 조계 <·~ 감각 기관 의사 소통은 기호를 발음하는 것이기 때문에 . 말해지거나 써지는 모든 의사 소통은 먼저 기호 체계로 간다. 관계적으로 이해하기 위 해서 기호 체계는 적절한 개념 구조에 부착되어야 한다 . 더욱이 입

력된 것은 기호 체계 안에서의 관계보다는 개념 구조 안에서의 관 계에서 해석되어야 한다._~ 들어 572 는 세 개의 숫자가 나란 히 쓰여진 것이 아니고, 5 X 1 ()2 +7X10+2 로 표시되는 하나의 수로 해석되어야 한다.――이것은 다음 사실을 요구한다. (i) 개념 구조가 기호 체계보다 더욱 강한 흡입기이다. (ii) 기호 체계와 개념 구조 사이의 연결은 입력된 것이 쉽게 기호 체 계에서 개념 구조로 갈 수 있도록 충분히 강해야 한다 . 우리는 어떻게 이와 같은 일이 일어날 수 있도록 도와 줄 수 있 을까? 필자는 다음과 같이 다섯 가지를 간단하게 제안하지만. 각각 온 하나의 장 cha pt er 을 만들 정도로 확장될 수 있다 . (1) 우리는 기호 체계가 내재적인 장점――모든 의사 소통은 반 드시 먼저 이것을 거쳐야 한다~ 가졌다고 이미 설명하였다. 그리고 개념 구조에는 그 점을 지나면 돌아갈 수 없는 지점이 있 댜 장기간의 수학 학습 과정에서 개념 구조가 초기에 형성되지 않 으면, 개념 구조는 결코 흡입기로서 개발될 기회가 없을 것이다. 몇 가지 종류의 규칙성을 찾으려는 노력은 강하다 . 개념 구조가 없 거나 있다 해도 약한 경우 입력된 것은 기호 체계에 동화될 것이 댜 그런데 우리는 기호 체계는 일관성이 부족하기 때문에 이것은 반드시 문제를 발생시킨다. 이런 수준에서의 학습은 단기적으로는 쉬울 수 있지만 장기적으로는 거의 불가능하다. 이와 대비하여 개 념 구조는 내적으로 일관성이 있고 또 그래야 한다. 모든 과목 중 에서 관계적 수학이 가장 내적인 일관성이 있고 집약된 과목 중 하 나이댜 그래서 장기적으로 학습하고 지속하기가 매우 쉽다. 부분 적인 해답온 수학의 개념을 면밀히 분석하는 것에 있다. 우리는 항

상 개념적으로 동화시킬 수 있도록 새로운 재료를 계속해서 제공하 여야 한다. （제 2, 3 장과 제 9 장의 개념 지도에 관한 내용 참조) (2) 특히 어린 시절에 수학적 개념과 활동의 물리적 구체물을 가 지고 시작할 수 있다. 그래서 감지기에 입력된 것은 먼저 개념 구 조로 가고 , 그 후에 기호적 표현과 연결된다 . (3) 특히 이 중요한 어린 시절에 필자는 말해지는 언어와 같이 머무는 기간을 훨씬 더 오래 가져야 한다고 생각한다. 최근에 필자 는 S artr e (1 964) 로부터 좋은 인용문을 얻었다. 생 각과 말해 지 는 단어 사 이의 연결은 생각과 쓰여진 단어나 생각과 수학적 기호 사이의 연 결보다 훨씬 더 강하다. 그래서 어린 시절에 어린이들에게 여러 페 이지롤 쓰게 해서 〈무언가를 보이도록〉 시키는 것은 자제할 필요가 있다. (4) 연산의 순서를 나타내는 괄호 등과 같은 몇 가지 표기는 상 황에 따라 필요할 때 사용하여 보여줄 수 있다. (Kier an, 1979) (5) 전통적인 수학의 형식적이고 매우 농축된 표기로 가기 전에 중간 과정으로 비형식적이고 과도기적인 표기를 하도록 하는 것이 도움이 된다. 어린이에게 자신의 생각을 처음에 자신만의 방법으로 기술하게 함으로써, 우리는 그들의 생각하는 개념에 이미 만들어진 적절한 기호를 사용할 수 있다. 이와 같은 표현 방법은 때때로 거 리가 있고, 분명하지 않으며 . 개인마다 차이가 있을 수 있다 . 이러 한 단점을 경험하고 토론함으로써 , 기존의 수학 기호 체계의 편리 함과 의사 소통에서 힘이 있는 것과 수학의 아이디어를 조작하는

경험을 통하여 아이들은 점점 기존의 수학 기호 체계를 사용할 수 있게 된다. 전술한 내용에 비추어 필자는 다음과 같은 수정된 법칙을 제시하고자 한다. 기호적 이해는 기호 체계와 개념 구조 사이의 상호 동화이며, 개념 구조에 더 영향을 받는다. 기호는 매우 충실한 하인이지만, 주인으로서는 자질이 없다. 왜 냐하면 기호는 자신이 무엇을 하고 있는지 스스로는 이해하지 못하 기 때문이다.

제 16 장 교실 안에서의 감정과 생존 심리학의 큰 줄기에서는 감정의 중요성을 무시하거나 감정을 정 상적인 사고과정에 비이성적으로 영향을 미치는 방해 요소로 여기 는 경향이 있다. 이것은 일상 생활에서 감정 emo ti on 을 〈마음, 느낌 의 동요, 흥분된 정신 상태〉 __ Concis e Ox for d 사전一一라고 정의 하고 사용하는 것과 일치된다. 그러나 필자는 감정적인 면과 지적 인 면을 분리시키는 것은 인위적이며, 인간의 경험 전체를 정확하 게 반영하는 것이 아니라고 믿고 있다. 특히 많은 제자들은 강한 감정이 교실의 경험에서 일어나며, 이러한 감정은 그들의 학습에 더 좋게 또는 더 나쁘게 영향을 미친다고 보고되어 있다 . 제 7 장에 서 필자는 이 주제에 대해서 처음 설명하였다. 이 장에서 필자는 제 8 장에서 간략히 설명한 지능 모델이 우리의 행동과 학습에 중요 한 영향을 미치는 감정을 포함하여, 어떻게 확장될 수 있는지 알아 보려고 한다.

감정은 유용한 기능을 가지고 있는가? 주관적으로, 감정이 인간 경험의 중요한 특성이라고 하면 , 감정 을 우리의 정상적인 사고과정에서 방해가 되는 것으로 생각할 수 있는지를 묻는 것은 타당해 보인다. 방해가 된다면 우리는 그 영향 을 최소화 해야 하고, 어떤 감정이 유용한 기능을 가졌다면, 우리 는 이것이 무엇인지 알 필요가 있다. 필자는 인간의 본성과 활동에 관련되는 많은 다른 문제들과 마찬 가지로, 감정도 진화의 맥락에서만 이해될 수 - 있다고 생각한다. 이 것은 필자가 컴퓨터의 기능과 유사한 모델보다 생물학적인 모델을 더 좋아하는 또 다른 이유이다. 그래서 필자는 적응 및 생존과 관 련되는 지능을 〈다각적인 관점〉에서 고찰할 것이다.

1) 지적 학습과 생존의 관계는 Skem p(l 979a) 의 제 1 장에서 폭넓게 논의하였 다.

오늘날 지구상에 존재하는 모든 종들은 수 세기에 걸쳐서 생존 지향적으로 신체적, 행동적 그리고 지적인 특성이 진화되었기 때문 에 아직까지 살아 남아 있는 것이다 . 지구상에서 인간이 다른 종보 다 우월한 이유는 오직 한 가지 특성인 지능 때문이다 . 지능은 왜 생존 지향적일까? 왜냐하면 지능은 다양한 환경에 맞도록 여러 방 법으로 우리에게 목표 상태를 성취할 수 있는 능력을 제공해 주기 때문이다. 지능은 행동 자체를 보여주는 것이 아니라, 행동의 적절 한 변화를 보여준다. 수학이 이들의 중요한 원천임을 이미 제 11 장 에서 보였다. 지능의 생존 지향적인 가치가 적응이라면, 적응의 생존 지향적인 가치는 그것이 우리의 목표를 성취하게 해주는 것이다. 왜 이렇게 계속 생존 지향적으로 나아가는 것일까? 그 이유는 우리의 많은 목 표가 생존과 직접적으로 관련되기 때문이다. 어떤 경우에 이 연결

온 분명하고 직접적이다.―—먹고 , 마시고, 체온을 적당하게 유지하 는 것――아마 직접적이지 않은 경우도 있을 것이다. 지식의 생존 적 가치는 죽시 보이지 않으며 , 우리가 지식을 획득했을지라도 무 엇을 위하여 사용하는지 알지 못할 수도 있다 . 그러나 은행에 있는 돈과 같이, 지식은 광범위하고 다양한 목적 을 위하여 좋은 것이다. 그리고 우리의 직접적인 필요가 충족되었 울 때 , 지식의 추구는 장기적으로 생촌적 가치를 가진다. 우리는 이러한 지식을 다양한 활동 계획을 구성하는 자원으로서 준비한다. 행동 계획 중 어떤 것은 지식을 처음 획득했을 당시에는 예상하지 못했던 것일 수도 있다 . 필자가 학교에서 DeMo i vre 의 정리를 배 웠을 때 나중에 육군 통신 장교가 되어 이를 유용하게 사용할 것 이라고는 예상하지 못했다. 물론 이 정리가 생존적 가치를 가진 것 으로 항상 생각되지는 않지만 , 이 경우에 연관성을 굳이 설명할 필 요가 없을 것이다. 이미 설명한 〈다각적인 관점〉을 간단히 설명할 필요가 있다. 이 것은 우리가 〈감정은 유용한 목적에 도움을 주는가?〉라는 질문에 가능한 답을 찾는다면 , 먼저 시작해야 할 것은 감정이 생존적인 면 에서 어떤 가치가 있는저를 알아보는 것이다. 어느 때나 감각은 환경에서 다양한 변화 상태를 우리에게 알려준 댜 이러한 변화 중 어떤 것은 우리를 목표 상태로 가까이 데려 가 거나, 멀어지게 한다. 전반적으로 이러한 변화는 우리의 생존과 관 련되며, 그렇지 않은 것도 있다. 그래서 목표 상태와 관련되어 있 는 변화는 우리의 주의를 끌 수 있는 신호롤 가지고 있는데, 이 자 체가 생존 지향적이다. 또 이러한 신호가 더욱 주의를 끌 수 있도 록 하기 때문에 의식적으로 느껴지는 다른 정보와는 질적으로 다르 며 , 이것 역시 생존 지향적이라 할 수 있다. 이것이 감정에 대한 적절한 설명으로 인식될 수 있다. 감정이 우리의 생존과 관련된 주

제에 주의를 환기시키기 때문에, 우리는 감정을 무시하기 어렵다 . 목표 및 반목표와 관련된 감정 2 )

2) 이 감정에 대한 것은 다음과 같이 번역하였다. p leasure 는 즐거움. unp leasure 는 불안. fe ar 은 두려 움, re li e f는 안심 . (옮긴이 )

다음 감정의 범주는 넓게 잡은 것이며, 각각의 범주는 더욱 세분 될 수 있지만, 필자는 여기에서 세분하지는 않을 것이다. 즐거움p leasure 즐거움이라는 범주에서의 감정은 목표 상태로 향 하는 변화를 나타내는 신호이다 . 우리는 음식을 먹을 때, 운동할 때 피로를 풀기 위해서 휴식할 때 그리고 친구들과 어울릴 때 줄 거움을 느낀다. 앞의 세 가지 예는 신체적 목표 상태――영양 섭 취, 신체 단련과 심장과 허파의 기능 강화, 육체적 • 정신적인 원기 회복~ 관련된다. 마지막 예는 협조하고, 서로 도와 주고 , 격 려해 주며, 대화를 통해 여러 가지 아이디어를 교환하면서 얻어지 는 이익과 관련이 있다. 이해의 결과로 우리의 스키마가 확장되는 것은 매우 일반적인 생존지향적 가치가 있다 . 왜냐하면 이것은 우 리가 적절하게 행동할 수 있는 상황의 개수가 증가하기 때문이다. 그래서 우리가 새롭게 어떤 것을 이해할 때, 즐거움을 느끼는 것은 당연하다. 여기에 한 제자의 어린 시절 기억울 소개한다 . 3)

3) 이 장과 다음 장에서 인용한 문장들은 워릭 대학교에서 〈인간 학습의 기초 Foundatio n s of Human Le aming〉를 강의할 때 제자들로부터 얻은 것이다. 그들은 필자가 인용하는 것에 동의해 주었는데 . 가치 있는 많은 예를 제공 해 준 제자들에게 감사한다.

신문에서 큰 제목의 글씨를 〈읽는 순간〉 갑자기 이 단어들이 내가 알 수 있는 소리나는 묶음으로 만들어져 있으며, 그것이 문자들의 모임으

로 표현된 것이라는 사실을 깨닫게 되었다.-기본적으로 내가 발견한 것은 유아원 벽에 걸린 괘도에 쓰여진 문자들이 사람들이 말하는 것이 내가 들었던 단어들과 관련되어 있다는 것이었다 . -그래서 나는 이 단어들을 또박또박 읽었다. 나는 쓰여진 단어와 읽는 소리가 같은 아이 디어라는 것을 발견했다 . 어머니의 말씀에 따르면 나는 이러한 사실을 발견한 후 황홀경에 빠져서 집 주위를 뛰어다니며 눈에 보이는 모든 단 어들을 〈발음〉해 보았으며 . 즐거워하였다. 불안 Un p leasure 불안은 목표 상태로부터 멀어지는 변화를 나타 내는 신호이다. 우리는 버스를 놓쳤을 때, 지갑을 잃었을 때, 찬바 람에 덜덜 떨 때, 우리는 불안을 느낀다. 이럴 때 우리가 할 수 있 는 조치가 아무 것도 없다면, 우리는 역시 좌절감을 느낀다. 필자 의 제자는 이에 대한 예를 다음의 범주에 소개하였다. 두려움 Fear 두려움은 반목표 상태로 향하는 변화를 나타내는 신 호이다 즉 생존과 반대 방향이다. 두려움은 우리에게 위험을 경고 해 준댜 자동차가 미끄러지기 시작할 때, 갑자기 독사룰 만났을 때 우리는 두려움을 느낀댜 그러나 생존은 신체적 생존 이상이며 자신의 이미지롤 위협받는 것도 역시 위협으로 경험된다. 두려움은 내가 학습 상황에서 느꼈던 가장 강한 감정이었다. 지금 내 가 두려워했던 상황을 되돌아보면. 이 모든 것이 학교 환경과 · 관련되어 있었다. 나는 선생님이 배정된 학급을 알려줄 때 두려움을 느꼈는데. 그것은 내가 배정되어야 할 학급보다 낮은 수준의 학급으로 배정될지도 모른다는 두려움 때문이었다. 안심 Re li e f 안심은 반목표 상태에서 멀어지는 변화를 나타내는

신호이다. 우리는 타고 있던 자동차가 미끄러진 후에 다시 정상적 으로 돌아왔을 때 안심하게 된다. 이 경우에도 마찬가지로 위협이 물리적인 것은 아니다. 내가 eleven- p lus4) 시 험 에 합격 했울 때 기 대 한 것 이 상으로 안도감을 느꼈다. 그 시험은 어린 학생에게는 매우 큰 정신적인 압박이었다. 나 는 합격하리라고 확신했으나 실패할 운명일지도 모른다고 의심하면서 두려움에 빠졌다. 그래서 집으로 걸어오면서 합격자 명단에 내 이름이 빠져 있을 것을 대비하곤 하였다 . 지난해 한 여학생이 시험에 떨어져서 울었다는 이야기를 듣고 울지 않으려고 노력하였다 .

4) eleven-pl u s 란 gramma r school 이나 다른 선택된 학교에 입학하기 위한 시 험이다 . 영국의 어떤 지역에서는 아직도 이 시험이 있다 .

안심은 즐거움과 동일하지 않으며, 즐거움의 대용품에 지나지 않 는다. 무언가를 배우는 것에서 즐거움을 찾는 것을 중지하고 그 대신 안심 을 느끼는 것은 또한 교실의 다른 영역에 반영되기도 한다. 시험 결과 롤 가지고 학급에서 자리 배치를 하였다 . 성적이 좋으면 좋을수록 선생 님으로부터 더 멀리 떨어져 앉는다. 가장 낮은 성적을 받은 학생은 바 로 선생님 앞에 앉게 되는 불운이 따른다 . 이에 더하여 모든 사람이 자 신의 성적을 알고 있는 것에 대하여 부끄러움과 수치심을 느낀다. 지금까지의 범주는 그림 16.1 과 같이 요약할 수 있다 .

상태

능력과 관련된 감정 5)

5) 이 감정에 관한 것은 다음과 같이 번역하였다 . co nfi dence 는 자신감 . fr us tr a ti on 은 좌절감. sec urity는 안도감. unsec urity는 불쾌감. anxie ty는 걱 정. （옮긴이)

이제까지 설명한 네 가지 감정의 범주는 실제로 발생하는 상황과 관련이 있으며, 우리가 무엇인가를 할 필요가 있도록 주의를 환기 시킨다. 다음의 네 가지 범주는 목표 상태를 향해 나아가거나 반목 표 상태를 방지하기 위해서 우리가 무엇인가를 할 필요가 있는지 없는지에 관련되어 있다. 그들은 상황에 관련된 우리 자신의 능력 의 신호이다. 우리는 능력이 부족한 상황에 처할 때 조심할 필요가 있기 때문에 이것 역시 생존을 위한 분명한 의미를 가진다. 자신감 Co nfi dence 지신감은 목표 상태를 향해서 나아갈 수 있다 는 능력의 신호이다. 필자는 컴퓨터 앞에서 자신감을 가지고 편지 룰 쓰는데, 그 이유는 워드프로세서를 사용해서 하고자 하는 일을 잘 할수 있기 때문이다.

영어는 내가 제일 자신있는 과목이었는데, 낮은 점수를 받은 때가 있 었다. 과거의 성적을 회상하여, 나는 내가 더 찰 할 수 있는 능력이 있 다는 것을 알았기 때문에. 그것을 이길 수 있다고 느꼈다. 그런데 항상 영어가 어렵다고 생각했던 한 친구는 시험에 〈 낙제 〉 했을 때 이를 극복 하는데 큰 어려움을 느꼈다. 좌절감 Frus tr a ti on 목표 상태를 향해 나아갈 수 있는 능력이 없을 때 좌절감을 느낀다. 컴퓨터 스크린에

잡으면 다시 즐거워진다. 그런데 내가 악보와 톨리게 쳤을 때 . 남동생 이 내 어깨에 기대며 〈 누나 F-sh arp! 〉 이라고 말한다 . 내 스스로의 노력 으로 목표 상태로 갈 수 있는 기회를 잃었기 때문에 나는 좌절감을 느 낀댜 안도감 Sec urity 안도감은 우리가 반목표로부터 멀리 갈 수 있는 능력의 신호이다 . 노련한 동반가는 암벽에 중간에 올라가 있어도 안도감을 느낄 수 있다 . 이유는 상황이 위험하지 않기 때문이 아니 고, 상황을 통제할 수 있음을 알기 때문이다. 내 경험으로 미루어 보아 안도감과 자신감을 가지려면 새로운 개념과 관련된 몇 개의 질문을 하는 것이 유익하다고 판단된다. 어떤 사람이 방금 배운 것에서 행복감을 느낀다면, 다음 단계로 가는데 큰 위험은 없을 것이다 . 걱정 An xi e ty 우리가 위험할 수 있는 상황에 처해 있는데, 위험 이 발생했을 때, 이를 피할 수 있는 능력이 있다고 자신할 수 없으 면 우리는 걱정하게 된다. 빙판길에서 많은 운전자들은 실제로 미 끄러지지 않더라도 걱정스러워 할 것이다 . 한 제자는 한 단원을 읽는 동안 , 그녀의 느낌을 다음과 같이 기 술하고 있다. 내 차례가 가까워질수록 점점 더 걱정스러워졌다. 내 차례가 되었을 때 걱정은 두려움으로 바뀌었다 . 어떤 단어를 모르거나, 읽을 곳을 잃 어버리거나, 한 줄을 빼고 읽을지도 모른다는 두려움이다 . 나는 선생님 께서 주의를 집중하지 않았다고 질책하실 것이 두려웠다. 친구들이 옷 거나 내가 멍청하다고 생각할까 봐 더욱 두려웠다. 선생님이 이제 그만

읽으라고 하셨을 때 나는 크게 안심하였다. 혼합된감정 같은 상태가 여러 가지 범주로 분류될 수 있기 때문에, 여러 가 지 감정이 동시에 나타날 수 있다 . 이 감정들은 서로 비슷하거나 전혀 다른 종류일 수 있다 . 그래서 능숙한 운전자는 강력 한 엔진을 가진 차를 운전해서 그가 가려는 목적지까지 갈 수 있다는 자신감 을 가지며, 위험한 상황을 피할 수 있다는 자신의 능력을 믿고 안 도하며 , 만일 위험한 상황에 부딪친다면 이를 피할 수 있다. 그는 휴가를 즐길 장소를 향해 운전하는 그 자체로도 즐거움을 느낄 수 있다. 그런데 도중에 타이어에 펑크가 나면, 여행하는 데 지장을 받아 좌절감을 느낄 것이다 . 그러나 예비 타이어가 준비되어 있다 면 목표 상태를 회복할 수 있다――새 타이어로 교체해서 동료들과 여행을 계속할 수 있다·~ 자신감을 가질 것이다. 이것은 그의 손이 더러워질 수 있다는 불안과 혼합될 수 있다. 학습에서의 혼합된 감정 지금까지 도입을 위한 단순한 예를 알아보았다 . 우리의 현재 목 적을 위해서 우리는 이 아이디어를 학습 상황에 적용할 필요가 있 댜 적용은 두 가지로 나눌 수 있는데 . 실행하는 수준인 델타 -1 의 수준과 델타 4 의 능력을 신장시키는 것과 관련되는 델타코 수준이 다 . 그래서 우리는 우리의 능력이 신장되고 있음을 알 때 줄거움을 느끼며 . 우리가 나빠지고 있음울 알 때 불안을 느낀다.

우리의 영역 밖

아버지가 너무 자주 소리를 질러서 나는 감정이 날카로워졌다. 그렇 지만 아버지의 감정을 참아내면 차를 한 손으로도 운전할 수 있게 되리 라는 것을 알고 즐겁게 운전을 배울 수 있었다. 학습은 우리의 능력이 미치지 않는 영역에서 이루어지는 특성이 있다 . 그림 16.2 에서 원으로 표현된 영역 dom ain은 우리가 목표를 성취 하고 반목표를 피하는 부분을 나타낸다. 이 영역에서 우리는 능력 울 발휘할 수 있고 . 자신감과 안도감을 느낀다. 그러나 이 영역 밖 의 구역에서 우리는 능력을 발휘할 수가 없다는 것을 안다. 이 곳 에서 우리는 우리의 목표를 성취할 수도 없고 반목표를 피할 수도 없으며. 좌절감과 걱정을 동시에 느낀다. 이것은 이 구역에 들어오 지 말라는 강한 신호이다 . 고대 지도는 가끔 〈여기 괴물이 있다〉라

우리의 영역 밖

고 경고했다. 그러나 영역의 안과 밖의 경계는 누구에게나 명확한 것은 아니 다. （그림 16.3) 우리는 목적을 달성할 수도 있고, 반목표를 피할 수 있으며, 때 로는 의존할 수 없는 〈경계 지역fr on ti erzone 〉이 있다. 학습이 이루 어지는 곳은 이 지역이다.-학습은 〈경계 지역〉을 〈확실한 영역 esta b li sh ed dom ai n 〉으로 바꾸는 과정이다.-그래서 경계 지역은 밖으로 확대되고, 이 과정은 계속된다. 우리의 영역을 확장하는 것 온 생존 지향적이며. 그래서 우리가 탐험적인 충동을 강하게 가지 는 것은 이 모델에 잘 맞는다. 탐험적인 충동은 우리의 능력이 미 치지 못하는 곳인 경계 지역으로 우리를 이끌기 때문에, 이 모델은

학습 상황에서 기대되는 혼합된 감정을 예측할 수 있다 . 이들은 학 습을 잠시 멈추게 하기도 하고 , 영구히 멈추게 하기도 한다. 나는 6 살 아래인 내 동생이 맨 처음 스스로 걸음마를 배울 때를 아주 분명하게 기억한다 . 내 동생은 11 개월이 되었을 때 혼자서 서려고 하였 지만 그만 넘어지고 말았으며. 정말로 많이 놀랐었다. 그 날 이후로는 단 한 걸음도 걸으려 하지 않았다 . 5 개월이 지난 후 내 동생은 겨우 다 시 시도해 볼 수 있었다 . 다행히도 이번에는 잘 해낼 수 있었고 말로는 표현하지 않았지만 얼마나 만족해하는지 즐거워하는 그의 얼굴만 보고 도 알 수 있었다 . 내 동생은 분명히 매우 행복했고 그의 눈은 웃고 있 었다. 몇 년 전 나는 스케이트를 탈 줄 아는 언니를 무척 부러워했다 . 그것 이 재미있어 보였고 항상 구경꾼으로만 남아 있고 싶지 않아서 스케이 트를 배우기로 결심했다 . 그러나 나는 결과에 대한 자신감이 전혀 없어 서 배울 수가 없었다. …… 그러나 나는 시도하려고 얼음 위에 발을 딛 자마자 빙판에서 곤두박질 쳐버렸고 매우 아팠다. 이 일이 있은 순간부 터 나는 다시 시도해 보려고도 하지 않았다 . 말할 것도 없이 그 후로 다시는 빙판에 발을 들여 놓지도 않았다 . 첫번째 단계는 우리가 경험적으로 알고 있는 것과 일치하는 모델 을 보인 것이다 . 두번째 단계는 포함되어 있는 요인을 분석하는 모 델로 사용된다. 이것은 부정적인 감정의 신호이기 때문에 이루어질 수 있는 학습을 방해하지 않도록 학습 상황을 조절할 수 있는 방법 을 제시할 것이다. 필자는 이것을 교사의 중요한 기능~주어진 정보보다도 더 많은~ 본다.

제 17 장 학습에서의 위기 관리 학습하는 동안에 나타나는 물리적 위기 상황은 수준이 낮은 학습 상황을 제공함으로써 어렵지 않게 조절할 수 있다. 어떤 수영장에 는 초보자들이 바닥에 손을 짚고 몸을 띄워 수평을 유지할 수 있을 만큼 얕은 곳이 있다. 이곳은 초보자들이 바닥에서 손을 뗄 수 있 지만 위험하다고 생각되면 다시 손을 아래로 짚울 수 있는 경계 지 역 fron ti er zone 이 다 . 비 슷한 방법으로 교사가 학습자에게 조금 깊 은 곳에서는 수평 자세에서 어떻게 하면 발을 바닥에 닿게 할 수 있는지를 먼저 가르치는 것이다. 이 두 가지 원리는 같은 것으로 일반적인 원리에 해당한다. 죽 교사는 학습자에게 그들이 원하면 언제 든지 확실한 영 역 es t ab li shed dom ain에 도달할 수 있다는 확신 울 주는 것이다. 이와 같은 확신은 학습자들이 경계 지역에 있는 동안보다 안전함을 느낀다. 요즘에는 수학을 배우는 데 위협은 더 이상 존재하지 않는 다 . _-어린이들이 계산하다가 실수를 하면 체벌을 받았다는 기억 이 있을지라도-그러나 신체적 위협은 아니지만 다른 방법의 벌

이 존재하고, 이런 위협은 아직 사라지지 않고 있다. 이럴 때 당황 하고, 자신감을 잃으며, 다른 학생들 앞에서 어리석게 느끼거나 보 인다는 사실이 자주 보고되고 있다. 나는 14 살 때 수학 선생님에게 분수에 관한 질문을 한 적이 있었다. 선생님은 놀라시면서 다른 학생들이 돋도록 큰소리로 내 질문이 농담이 기를 바란다고 말씀하셨다. 나는 수학 책에서 그것을 어떻게 푸는지 읽 었는데도, 그것을 어떻게 해야 할지 몰랐다 . 그런데 비겁하게도 나는 내 질문이 농담이었다고 대답했다. 그 당시 나는 겨우 턱걸이로 수학 우수반에 들어갔는데 이 사실이 분수를 모르는 자신을 더욱 어리석게 느끼도록 만들었다. 나는 사실 한 번도 분수의 나눗셈에 대해서 들어 본 적이 없었기 때문에 모르고 있었다. 많은 교사들은 학습에서의 오류를 태도가 나쁘거나 노력이 부족 하여 나타나는 나쁜 행실로 취급한다. 학습 위기를 적절히 관리하 기 위해서 이 두 가지는 명확히 구별되어야 한다 . 진정으로 나쁜 행동이나 태도는 받아주지 않는 것이 적절하다. 그러나 과제 오류 는 완성해 가는 과정의 특성이며, 학습 상황의 일부로 간주되어야 한다. 이 설명에 따르면. 오류는 감추어서도 안 되고 . 자신이 모른 다는 사실을 남들에게 감추고 싶은 마음에서 숨겨서도 안 된다. 오 히려 오류 자체에 관심을 가져야 하며. 오류에 대한 이해는 새로운 목표가 된다. 오류를 이해하는 과정에서 주제는 기존의 스키마에 동화되며 확장된다. 그래서 이것은 경계 지역에 속한 부분을 확실 한 영역으로 바꾼다. 최근에 필자는 이 단원을 쓰고 있는 동안에 다음과 같은 일이 있 었다. LOGO 를 배우던 한 제자가 변수를 포함한 재귀 절차를 배우 게 되었댜 탐구를 위해 POLYSPI 라는 홍미로운 프로그램을 실

1 ) Log o tr o n Log o Handbook(1984). Pa ris : Sy st e m d'Ordi na tc u rs Log o Inte r - na ti onal 에 서 찾을 수 있다.

험하고 있었다. 제자는 이 프로그램으로 점차 커지는 여러 가지 나 선형을 그리다가 점차 작아지는 나선형을 그려 보려고 했다. 이렇 게 하기 위해서 변수에 음의 값을 주었다. 제자가 기대했던 대로 나선형은 점차 작아졌으나 놀랍게도 어느 순간부터 나선형은 다시 커지기 시작하였다. 제자의 탄성 소리에 필자는 다른 제자들과 함 께 무슨 일이 일어났는지를 보려고 모여 들었다. 어느 관점에서 보 면 제자의 프로그램에는 오류가 있어서 목표 달성에 장애가 되었던 것이다. 그러나 다른 관점에서 보면 예기치 못했던 새롭고 홍미로 운 결과를 얻은 것이다. 제자가 그린 나선형은 화면에 겹쳐서 그려 졌으므로 왜 그것이 나중에 점점 더 커졌는지 화면만을 보아서는 확실하지 않았다 . 사실 그 그림은 화면을 넘어 반대편 방향에 그려 진 것이었다. FORWARD 100 에서 시작하여 순환할 때마다 CHANGE 를 -5 로 하면 선은 얼마 동안은 짧아지다가 어느 순간부 터는 반대 방향으로 점점 길어지게 된다. 이 예를 통해 강조하고 싶은 것은 오류에 관한 재분류 re­ classif ica ti on 과정 이 다. 특정 한 그림 을 그리 는 것 이 주목표였다면 이 오류는 장애로 인식되었을 것이고, 가장 중요한 일차적 목표는 이 오류를 바로잡는 것이 될 것이다 . 그러나 사실 제자의 주요 목 표는 그것이 아니라 변수가 있는 재귀 절차를 사용하는 것을 학습 하는 것이었고, 이 프로그램은 그 목표를 위한 하나의 행동에 지나 지 않았던 것이다 . 오류에 직면하게 되었을 때. 오류 자체를 이해 하는 것은 그 당시의 가장 큰 목표였다._―이렇게 오류를 취급하 는 태도는 우리의 교육철학과 Pa pp e rt의 입장과도 일치하는 것이 댜―一학습의 경로를 따라 발전하기 위해서 오류에 관한 이와 같 은 태도와 처리 방식은 어느 특정한 프로그램을 작동하는 것보다

더욱 중요하다. 오류를 이해하므로 학습 경로를 따라서 한 단계 전 진하게 되는 것은 우리 모두가 공유하는 기쁨으로 경험하는 것이 댜 2)

2) 〈제자들과 같이 놀라운 목표로 뿐만 아니라 자신의 학습 과정을 반영하고 토론하는 것으로 경험한다〉는 의미이다.

지금까지 논의한 내용에서 우리는 위기 관리의 첫번째 원칙을 요 약할 수 있다. (i) 오류는 어떤 나쁜 행실이 아니라 . 학습에 기여할 가능성이 있는 것 으로다루어져야한다. 감정적인 균형을 잃게 하는 또 하나의 요인은 학습 목표와 실행 목표에 부착된 중요성과 관련된다. 이것은 어떤 사람이 그것들을 성취하려는 순서와 관련된다 . 만일 어떤 사람의 능력을 확대하는 것이 주요 목표라면, 특정한 과제에서의 실패는 별로 중요하지 않 다 그래서 필자가 워드프로세서에서 사용할 새로운 유틸리티를 구 입했을 때, 필자는 그것을 바로 작업에 사용하지는 않는다. 필자는 유틸리티를 작동시키는 방법과 제 1 장에 대한 작업을 동시에 생각해 야 하기 때문에 좌절할 수도 있고 , 주의가 분산될 수도 있다. 목표 는 생각을 단어로 기술하는 것에서 생각을 단어들 자체를 물리적으 로 다루는 새로운 상태의 능력을 성취하는 것으로 바뀐다. 필자가 〈새 유틸리티를 가지고 놀겠다〉라고 말할 수도 있는데 , 이것은 그 렇게 느끼기 때문이다. 그리고 현재의 맥락에서 이것은 필자가 놀 이-위험이 거의 없는 학습 상황―一를 의미하는 것이다. 필자가 학교에서 학습한 대부분의 상황은 이와 같지 않으며 , 이것은 재미 있다는사실이다. 필자가 이것을 능숙하게 다루게 되면 새로운 유틸리티를 작업에

사용하기 시작한다. 지금보다 쉽고 확실하게 원하는 목표에 도달할 수 있는 새로운 능력을 갖기 때문에, 이것은 또 다른 줄거움을 제 공한다. 이런 식으로 필자는 계속 즐거움만을 경험한다. 필자는 자신의 학습 과정에 통찰력을 가지고 있었고 , 그것을 매 ` 우 자연스럽게 다룰 수 있기 때문에 필자가 이와 같이 할 수 있었 다 두 가지 모두 학교에 다니는 어린이들에게는 일반적으로 허용 되지 않는다. 만일 그렇게 할 수 있다면――필자는 이를 받아들이 지 않지만―一우리가 그들에게 해줄 수 있는 것은 최소한 그들이 자신의 학습과정을 좀더 이해하도록 도와 주고 , 감정적 위기를 줄 일 수 있는 상황을 만들어 주는 것이다. 지금까지의 논의에서 위기 관리 원칙 세 가지를 더 추가한다. (ii) 학습 목표를 실행 목표로부터 분리시키고, (iii) 학습 목표를 먼저 세우고, (iv) 능력이 증가할수록 이를 확고하게 하기 위한 실행 목표를 사용하 며, 실행 수준에서도 즐거움을 제공하도록 한다 필자는 어떤 사람이 〈그러나 우리는 행함으로써 배운다〉라고 대 답하는 것을 예상할 수 있다. 이 말은 신체 기능의 습득과 같은 주 제에서는 옳다. 그럴지라도 우리가 배우려고 하는 기능을 분석하여 세부 사항을 마음속에서 분명하게 하는 것은 무엇보다 중요하다. 그렇지 않으면 고치기 어려운 나쁜 습관이 될 수도 있다 . 이것은 골프 코치나 성악이나 바이올린 교사의 직업의 일부분이다 . 그러나 수학의 경우에 우리가 배울 필요가 있는 것은 행동의 근원인 스키 마이다. 과정은 간접적인 것일지라도 궁극적으로는 더욱 강력하다. 그것은 자연과학에서의 탐구 과정이다. 실험실에서 탐구하는 과학 자와 〈놀이〉-필자가 지금 사용하고 있는 용어로서-를 하고

있는 어린이 사이의 공통점이 이중 하나와 시험을 위하여 강제로 공부하는 같은 나이의 어린이보다 공통점이 더 많다고 필자는 믿고 있다. 필자는 〈수학 학습을 더욱 놀이식으로 접근시켜야 한다〉고 제안하고 있다고 판단한 독자가 있다면 옳게 본 것이다. 자신감과좌절감의 수용 목표가 자신의 능력 안에 아직 있지 않다면, 좌절은 학습 상황의 또 하나의 부산물로 볼 수 있다. 그래서 장래의 성공은 각 개인이 일어나는 감정을 어떻게 처리하느냐에 달려 있다. 문제를 건설적으로 바라보아서 희망을 갖는 사람도 있으며, 좌절감이 나 무력감을 느끼는 사람도 있다. 내가 지방 초등학교의 교생 선생님으 로서 경험한 다음과 같은 관찰을 예로 들어보자. 학습지도안에는 언어 의 사용과 문장 구조가 포함되어 있었다 . 어린이들은 동양계로서 영어 가 모국어가 아닌 제 2 의 언어였는데, 그들은 연습 문제를 제대로 소화 하지 못했다. 〈 G 〉라는 한 어린이는 말없이 앉아 있다가 도움을 청하거 나 철자를 고쳐달라고 했다 . 그는 다른 어린이들보다 더 잘 이해한 것 도 아니며, 다만 하려고 했을 뿐이다. 다른 〈 R 〉이라는 어린이는 즉시 〈이것을 할 수 없어도 난 상관 없어〉라고 자신의 능력에 대해 자신감이 없는 것을 감추기 위해 방어적인 말을 내뱉으며 포기해 버렸다. Bruner 의 표현에 의하면 처음 어린이는 상황에 대처하였고, 다음 어린이는 방어하였다. 장기적으로 보면 이 차이는 매우 크다. 자신 의 학습 능력에 자신감을 가진 사람은 그가 경계 지역에 있는 동안 에 일어나는 좌절감을 더 오랫동안 수용할 수 있을 것이다. 학습

과제에 오래 집착하면 할수록 성공의 가능성은 더욱 커지며, 이의 역도 성립한다. 그러므로 자신감이 있고 없음은 자아실현을 할 수 있는가를 예측하는 척도가 된다 . 학습에서 성공의 경험은 학습의 능력을 확신하게 하며, 그렇게 할 수 있도록 충분한 시간 동안 과 제에 머무를 수 있을 가능성을 증가시킨다. 그러므로 가장 중요한 것은 고무적인 학습 환경을 조성해 주는 것이다. 내가 학교를 다니는 동안 , 특별히 감정적인 면에 도움을 많이 주시려 고 했던 선생님이 계셨다. 선생님은 가능한 한 긴장을 풀 수 있는 분위 기를 만들고자 노력하셨고. 모든 사람이 어떤 보람을 가지도록 격려하 여 주셨다 . 그것이 비록 작은 것이라도 그렇게 하는 데 실제적으로 어 떤 압력도 주지 않으면서. …… 그래서 교사와 학생들 양쪽 모두 감정 적인 면에서 도움을 받았다 . 우리가 경계 지역에 있는 동안의 위험은 그렇게 크게 보이지 않았으며. 새로운 개념을 학습할 때 이것은 매우 중요하고 크게 도움이 되었다 . 목표 상태로 거의 진전되지 못하는 상황 에서는 결과에 대한 즐거움은 없었지만. 보상적인 감정이 제공되었다. 이와 대조적으로 , 수업이 진행됨에 따라 나와 몇몇 사람들은 뒤로 처지면서 수업 자체 가 고통이었다. C 선생님은 아주 무서워서 그에게 도움을 청하는 것 자 체가 모험이었다 . 선생님이 설명한 것을 학생들이 이해하지 못하여 질 문했을 때조차도 그 내용을 다시 천천히 설명하거나 다론 방법으로 설 명해 주는 대신에 다만 크게 소리쳤고 . 요점을 강조할 때는 손으로 책 상을 때렸다. 위협이 존재하는 학습 환경에서는 지적 학습을 할 수 없다.

스트레스를 주는 상황은 언제나 집중하는 능력과 지적 사고를 감퇴시 킨댜 바로 그 순간에 〈희생물 〉 이 되지 않는다 하더라도 . 다음에 희생 물이 될 가능성온 여전히 있다. 그래서 필자가 너무 분명하여 설명할 필요가 없다고 생각하는 다 움의 위기 관리 원칙은 방금 보인 것과 같은 반례의 빈도를 줄이는 것이다 . (v) 자신감을 위협하고 파괴하는 학습 환경을 지양하고 . 자신감이 커 지도록 장려하고 도와 주는 학습 환경을 유지한다. 자신감이 커지도록 도와 주는 또 하나의 요인은 자기 스스로의 필요에 따라 경계 지역을 넘나들도록 하는 자유를 주는 것이다. 머 리가 좋은 일곱 살짜리 두 어린이들이 LOGO 를 학습하고 있었다 . 놀고 있었다고 해도 좋다.-처음 얼마 동안 그들은 능력에 비해 매우 쉬운 내용을 학습하고 있었다. 그래서 필자는 그들에게 새로 운 명령어를 배우겠느냐고 물었다. 그들이 원해서 필자는 새로운 명령어인 REPEAT 를 소개했고, 그들은 이 명령어를 정사각형을 그 리는 데 사용했다. 그러고 나서 그들은 다시 전에 하던 내용으로 되돌아 갔다. 이와 같은 행동은 필자를 놀라게 했고, 너무 빨리 간 섭한 것이 아닌가 의심하게 했다 .-LOGO 를 가르치는 필자의 접 근 방법은 가능한 한 거의 간섭하지 않는 것이다. 그리고 이러한 상황에서 필자 자신의 학습목표는 간섭의 본질과 간섭하는 시간에 대한 준거를 개발하는 것이다. 현재의 모델에서 필자는 반영을 다 시 확인할 수 있었다. 그들은 얼마 동안 경계 지역으로 이동할 준 비가 되어 있었고. 새로운 무엇인가를 학습하는 것을 즐겼다 . 그러 나 얼마 후에 그들은 확실한 지역의 안전함으로 다시 돌아왔다. 필

자가 제공한 학습 상황은 그들이 그런 행동을 하도록 만들었다. 이 런 방법으로 좌절감이나 걱정 등의 어떤 감정도 진정시킬 수 있었 댜 학습자의 능력이 미치는 영역에서 얼마간 활동함으로써 자신감 을 다시 얻게 되고. 다음 학습을 위한 경계 지역으로 다시 돌아갈 준비가 되었다고 느끼는 것이다 . 이것은 현재의 목표가 성취되자마자 바로 새로운 학습 목표를 설 정하는 일반적인 연습과 극명한 대조를 이룬다. 여기에서 다음의 두 가지 학습 위기 관리의 원칙이 추가된다. (vi) 미지의 세계로 보내기 전에 새로운 경계 지역을 확실히 하도록 시간을준다. (vii ) 실제적으로 학습자가 지식의 경계 지역을 확장하는 속도를 조절 하도록 허용한다. 공포 Pan i c 어떤 경우에 감정적인 스트레스는 제자들이 그 말 자체로 느끼는 것보다 훨씬 강하게 받는다. 금요일 오전 수학시간에, 나는 끔찍한 경험을 했다. 나는 두려워서 덧셈을 할 수도 정답을 맞출 수도 없었다 . 선생님은 내가 적어도 한 문 제를 맞출 때까지 휴식 시간을 갖지 못하게 하셨다. 그 후에 수학은 실 페 처벌 그리고 극도의 수치심을 의미했다 Bux t on 은 수학 학습 상황에서 공포라는 특별한 주제를 다양한 방법으로 광범위하게 연구하였다. 개인적인 면담을 심층적으로 실 시하기도 하고, 자원하는 성인들을 대상으로 집단 학습 상황을 만

들어서 실시하기도 했으며, 한 집단울 주기적으로 계속해서 연구하 기도 했다 이러한 연구 중 하나를 그는 다음과 같이 기술하고 있 다. (Buxto n , 1985; Buxto n , 1981 ) 나는 서두를 다음과 같은 말로 시작했다 . 〈 저는 수학 시험관인데 여 러분에게 시험을 치르려고 합니다 . 또한 여러분들의 시험 결과에 따라 서 점수를 낼 것입니다 . 엄격히 시간을 제한하겠습니다 . 〉 （시계 를 풀어 서 손에 쥔다.) 잠시 후에 〈눈을 감으시고 당신의 감정이나 느낌을 가 장 찰 나타내는 단어를 쓰되 당신의 이름은 쓰지 마십시오 〉 라고 말하였 댜 이들은 긴장이 풀어지면서 큰 웃음이 터져나왔다 . 이들이 제출한 결과를 수집하고 그 내용을 읽어 주었다 . 그것은 언제나 거의 대부분 공포의 범주에 해당하는 것이었다 . 이 실험에서 얻은 전형적인 대답 중에 정도가 심한 것부터 차례 로 쓰면 다음과 같다. 전율t error, 공포pani c , 공포 , 공포 , 땀이 나 고 가숨이 두근거림 sweat/ pa lpi tat i ng . 두려움fe ar, 두려움 , 어휴 Ug h !, 우려 ap p rehens i on, 우려 , 긴장감t ense, 긴장t ens i on, 긴장 , 조바심 nervous , 들뜬 기 분hi l arity , 우스꽝스러 움 ridi c u lous . 어 리 석 음 s tupi d, 유쾌함j o y. Bux t on(1985) 은 이와 같은 상황을 다음과 같이 분석했다. 위협은 그것을 무시한 결과로 받을 고통이 심각할 때 , 델타 4 이 틀에 박힌 절차를 갖지 않을 때, 델타코가 실패할 때, 심각하게 된 댜 그것은 다음과 같은 이유로 실패할 수도 있다. (a) 계획을 세울 수 없기 때문에. (b) 주어진 시간 내에 계획을 세울 수 없기 때문에. (c) 계획을 세울 수 있을 것이라는 기대가 없기 때문에.

위협은 델타 4 에서 직접 안지되며 . 그런 후에 델타 -2 로 보내진다 . (위 협은 틀에 박혀 있지 않기 때문에. 새로운 계획을 만들 필요가 있다.) 계획이 세워지지 않을 때. 비교자 com p ara t or 를 통하여 생성된 감정은 다시 의식을 델타 _1 로 보내며, 그것이 위협을 처리하도록 요구하지만. 다시 이것은 델타코로 보내진다. 그 과정은 의식이 두 개의 델타 사이 로 왔다갔다 하게 되며 . 그 결과는 아무 활동도 할 수 없는 완전한 기 능 정지 상태가 된다 . (pp. 53-54) Bux t on 은 성인들에게 두 가지 정신적 압박-지위의 권위가 가 지는 압박-을 이용해서 방금 설명했던 감정을 불러일으킬 수 있 었다 학교 선생님들은 학생들에게 지위의 권위를 가지고 있는데. 만일 한 학생이 질문을 받고 다른 모든 학생들이 답을 기다린다면 두번째 압박이 나타나는 것이다. Bux t on 의 연구 대상자들이 진술 한 느낌들과 그 전에 인용됐던 학생들의 느낌 사이에 유사점은 상 황이 비슷했다는 것이다. Bux t on 은 수학적인 상황에서 동일한 대상들이 느끼는 감정을 거 의 완벽하게 호의적으로 바꿀 수 있었다. 처음에는 공포감을 느꼈 거나 당황했다고 했던 네 사람이 이제는 각각 다움과 같이 보고하 고 있다. 〈긴장이 풀리고 홍미있다.〉 〈진정으로 재미를 느꼈다.〉 〈행복 . 평온 그리고 긴장의 이완〉 〈평온하고 더 안도감이 든다. 그 러나 아직도 자신이 없다는 느낌을 갖는 순간들이 있다 . 〉 그가 사 용했던 두 가지 방법 중 하나는 그들의 답을 보지 않겠다고 말하는 것이다 그 이유는 〈권위가 과목(수학) 자체에 있기〉 때문이고. 그 들이 정답을 찾았을 때 그가 가지고 있는 (지혜의) 권위로 점검할 필요가 없기 때문이다 . 또 하나는 시간 제한으로 인한 압박을 없애 는 것으로 이들에게 시간 제한이 없다는 사실을 자주 여러 번 알려 주는 것이다.

교사들이 학습자의 반응을 보고 듣는 것이 때로는 유익할 수도 있지만, 교사가 가지고 있는 지혜의 권위와 과목 자체의 권위는 중 요하다. 이는 스키마 검증 양식 -3 의 다른 양상으로, 이미 가지고 있는 지식과의 일관성이 있어야 하고, 교사가 가지고 있는 지혜의 권위는 학습자의 아이디어가 그가 이미 알고 있는 스키마와 어느 부분에서 일치하고 어느 부분에서 일치하지 않는지를 깨닫도록 학 습자를 도와 주어야 한다 . 우리의 목표는 복종을 잘 하도록 하는 것이 아니라, 수학을 이해하는 것이다 . 필자는 두 종류의 권위―― 구조적인 권위와 지혜의 권위 즉 지위의 권위와 지식의 권위――를 구분하는 것을 매우 중요하게 생각한다. 그 이유는 많은 교사들이 자신들의 역할에 대해서 갈동을 느끼고 있고, 자신의 역할이 혼란 스럽다고 생각하기 때문이다. 이에 관해서는 다른 책에서 자세하게 논의 한 바 있다. (Skemp , 1979a, 제 15 장) . 이제 학습 위기 관리의 원칙 두 가지가 더 요약될 수 있다. (vii i) 지위의 권위와 지식의 권위를 확실히 구별한다. (ix) 반영적인 지능이 기능할 수 있는 충분한 시간을 준다. 자신감과이해 우리는 이해가 새로운 상황에서 자신감을 갖는 데 기여한다는 것 울 결코 잊어서는 안 된다. 수학시간에 선생님이 칠판에 무언가를 쓰셨을 때. 내 마음이 텅 빈 것 같은 적이 자주 있었다. 선생님께서 이것은 무엇이고 이것은 어떻게 구하는지 자세하게 설명을 하셨음에도 불구하고. 나는 그것을 이해하기

가 매우 어려웠다 . 선생님의 말씀을 빠짐없이 받아적으면서, 나에게는 아무 질문도 하지 않기를 바랐는데, 그 이유는 내가 질문에 대답할 수 없을 것이기 때문이었다. 집에 돌아와서는 필기한 것을 여러 번 읽었 고 , 그것이 의미하는 것을 마음속에 그려 보려고 애썼다. 새로운 개념 을 깨닫지 못했을 때 숙제 시간온 오래 걸렸다. 왜냐하면 선생님이 설 명하신 예를 거의 그대로 따라 했고, 선생님이 했던 방법 그대로 했기 때문이다. 만일 처음 몇 개를 맞추면 나는 자신감이 커졌고 , 어느 정도 긴장이 풀렀으며 , 문제가 어느 정도는 쉽게 해결되었다. 처음 몇 개의 답이 툴리면 , 나는 걱정하기 시작했다 . 다음날 학교 가기 싫어지고, 급 우들 앞에서 질문에 답할 수가 없기 때문이다. 만일 아이디어가 떠오르 면 숙제는 더 쉬워지고, 내가 잘 대처할 수 있음을 알았기 때문에 학 교는 다시 〈 보다 안전한〉 장소가 되었다. 새로운 아이디어가 규칙적인 형태나 스키마에 잘 맞으면 그것들은 잘 기억되었다. 내가 기억할 필요 가 있어 기억한 것은 어떤 개념일지라도 잊지 않았으며, 내용이 조금 바뀐 것도 쉽게 인식해 낼 수 있었다 . 이 제자는 학습해야 할 새로운 과제를 대할 때 불안해 했다 . 그 러나 그는 습관적 학습-~ 것-과 이해를 수반하는 학 습—아이디어가 떠오르는 것――의 차이를 직관적으로 알고 있었 댜 또 그는 이해한 것을 기억하는 것이 더 쉬운 것도 알았다.―― 내가 기억할 필요가 있어 기억한 것은 어떤 개념일지라도 잊지 않 았다 __ 그 결과 그는 올바른 학습목표를 설정했고. 그가 이것을 성취했을 때 걱정은 안도감으로 바뀌었다 . 내가 잘 대처할 수 있음 을 알기 때문에 학교는 다시 〈보다 안전한〉 장소가 되었다 . 습관적 학습에서 경계 지역은 거의 없다. 학습자가 공식을 암기 한 것과 다른 상황에서는 선생님에게 새로운 공식을 가르쳐 달라고 하거나, 모방할 수 있는 예를 알려 달라고 해야 한다. 그러나 지적

학습에서 경계 지역은 기존의 스키마에 동화시킬 수 있는 곳이다 . 우리의 인지 지도에는 경계 지역으로 가는 길이 있다. 그들이 기존 의 아이디어를 확장하거나 부가하여 이해할 수 있도록 , 친숙한 어 떤 것을 가지도록 하는 특성이 있다. 예를 들어 10 을 단위로 해서 셀 수 있는 어린이는 단위가 100, 1000 일 때에 되풀이하여 같은 형 태를 찾을 수 있다. 이 형태를 반대 방향으로 하여, 그가 자릿값 표기――그가 잘 이해한다면＿一룰 10 분의 1 과 100 분의 1 까지 이해 할 수 있도록 도와 준다. 그러므로 경계 지역 안에서 확신할 수 있도록 하는 가장 중요한 것은 새로운 아이디어를 이해할 수 있다는 확신이다 . 새로운 아이 디어는 확실한 영역인 잘 이해한 스키마에 동화시킬 수 있다. 그래 서 제 2 장에서 언급한 두 가지 원리 , 그곳에서 기술한 원리의 응용 은 현재의 맥락에서도 매우 중요하다. 현 단계에서 이것을 재검토 하는 것은 의미가 있다. 이 두 가지 내용을 위기 관리 원칙에 추가 하기 위해서 필자는 다음과 같이 요약한다. (vii i) 교수 실험에 의하여 검증된 개념 분석 과정에서 교사는 어느 개 념이 다른 개념에 선행하는지를 보여주는 사용 가능한 의존망 depe n dancy ne tw ork 이나 개념 지도를 가져야 한다 . 학습하는 길은 학습자가 경계 지역에 들어갈 때, 새로운 과제를 이해하는 능력을 확신시켜 주는 필요한 스키마를 항상 사용할 수 있도록 계획되고 안내되어야한다 . 학습에서 또래집단의 상호작용 필자가 잉글랜드와 웨일스의 초동학교에서 근무하는 동안 , 지적

학습을 위해 적절한 정서적인 분위기를 제공하는 학습 상황을 여러 해 동안 연구하였다. 학습 상황의 중요한 특성 중 하나가 또래집단 의 상호작용이었다. 많은 초등학교에서 어린이들이 소집단으로 함께 공부할 수 있는 학급 조직이 이미 잘 구성되어 있다. 그러나 수학에서 이 조직은 거의 활용되지 않는다. 어린이들은 그들의 선생님이 옳다고 생각하 는 교과서와 카드를 가지고 여전히 혼자 공부한다. 이런 학습의 대안으로서 우리는 소집단의 어린이들이 사용할 수 있도록 주의 깊고 조직적으로 만들어진 수학 활동을 제공해야 한 댜 이중에는 학습에서의 협동이 있다. 또 다른 것은 수학적인 아 이디어에 기초한 게임_―승패가 주로 수학적 사고력에 달려 있 는—이 있다 . 한 경기자가 잘못된 수를 썼을때 다른 경기자가 수 학적 근거에 의하여 도전할 수 있다. 이런 방법으로 우리는 토의하 고 서로 도와 주며 설명하도록 하는 공유하는 수학적 경험을 제공 한다. 많은 게임은 경쟁이지만. 이 수학 게임은 부담없고 대체적으 로 협동의 상황에서 이루어진다. 필자는 〈우리가 학습할 때 서로 돕는 것은 바람직하다〉라고 말하고 있으며 이미 설명한 종류의 학 습 상황에서 어린이들은 그렇게 한다는 것이 필자의 경험이다. 이런 방법이 스키마 건조 양식 3 가지 모두를 충분히 사용하기 위 하여 처음으로 소개한 것이다. （표 8.1) 학습에서 서로 도와 주고 즐 거움을 공유하는 좋은 정서적 풍토는 수학의 지적 학습에서 이 새 로운 방법이 성공하는 또 하나의 중요한 요인이다.

제 18 장 수학의 소리없는음악 지난 성탄절에 있었던 두 가지 사건이 떠오른다. 그 중 하나는 7 살과 8 살 된 총명한 두 아이룰 가진 조카의 방문이었다. 조카는 자 기 아이들이 학교에서 공부한 수학 내용은 합을 구하는 것이 전부 라고 생각하고 이를 염려하고 있었다. 이 일이 있기 바로 전에 우 리 는 Benja m i n Br itt en 의 작품인 아름다운 음악 Ceremony of Carols” 을 감상했댜 B ritt en 과 평 생 동안 친구였던 Pete r Pears 가 이 음악을 소개했는데, 그는 B ritt en 이 작곡한 것을 들을 수 있는 피아 노나 다른 악기가 없는 바다 위의 비좁은 선실에서 이 곡을 작곡했 다고 설명했다. 그 후에 필자는 그러한 조건에서 이런 음악이 어떻 게 작곡될 수 있었는가에 대해 의문을 갖기 시작했다. 그는 자신이 작곡한 곡이 연주된다면 얼마나 멋진 소리가 나는지를 어떻게 알 수 있었을까? 아마도 그는 작곡한 내용 중 일부는 직접 불러보았을 것이다. 그러나 혼자서는 화음을 넣어 부를 수 없었을 것이다. 이 런 생각은 필자의 추측일 뿐이다. 그러나 필자는 다른 많은 작곡가 들처럼 그도 음악을 마음속으로 들을 수 있었기 때문에 자신이 생

각한 음악을 직접 종이에 쓰는 능력을 가지고 있었을 것이라고 추 측한다. 그는 음악적 표기로 소리의 규칙성 . 순서 그리고 화음을 표현했다. 작곡가 외에도 마음속의 음악을 둘을 수 있는 사람들이 있으며, 독서를 즐기는 것과 같이 악보를 읽는 기쁨을 누리는 사람들이 많 이 있다. 그러나 우리들 대부분은 그렇지 못하다. 우리는 음악을 감상하려면 음악이 연주되는 것을 들어야 하며. 이보다 나은 음악 감상법은 혼자 또는 여럿이 직접 노래하거나 연주하는 방법일 것이 댜 우리는 음악을 연주하지도 않고 다른 사람들과 교감하여 함께 음 악을 만들지도 않는다. 어린이는 어떤 음악적 표기 공식에 따라 종 이 위에 표시하는 것을 배우고. 음악을 지필 문제로 학습하는데 . 우리는 그것이 의미 있다고 생각하지 않는다. 어린이에게 음악을 읽거나 쓰는 것부터 가르치지 말고 . 그들이 음악을 노래하고 돋고 음악에 따라 몸을 움직이도록 하는 것부터 시작해야 한다. 그리고 그들이 음악적 표기를 배울 때, 노래를 부르거나 연주하기 쉬운 악 기를 사용하여 음악을 연주하는 것과 밀접하게 연결시켜야 한다. 만일 우리가 수학을 가르치는 방법으로 어린이에게 음악을 가르 친다면 . 어린이들은 평생 음악을 멀리 할 것이다. 많은 사람들이 음악을 마음속으로 소리내지 않고 읽고 쓰는 상태에 이룰 수 있도 록 하는 것은 음표. 가락 , 화음과 박자를 돋게 하는 것이다. 그렇다면 왜 어린이들은 아직도 오직 지필 문제로 적막하게 수학 을 배우고 있는 것일까? 수학의 기호가 수학적 아이디어들의 소리 없는 규칙성＿一음표와 같이_과 동시적인 관계들_화음과 같 이_―그리고 설명이나 증명一_멜로디와 같이―_을 생각나게 하기 전에 우리들 대부분은 수학을 음악과 같이 물리적 행동과 사람 사 이의 상호작용으로 설명할 필요가 있다 .

안타깝게도 나는 수학자 ” 들이 이에 대해서 크게 책임을 져야 한 다고 주장한다 . 그들은 스스로나 서로를 위하여 종이 위에 소리없 는 수학을 만드는 것을 좋 아하기 때문에, 수학자는 다론 사람들에 게 그렇게 해야 한다고 강요한다 .

1) 원문은 ma th ema ti c i an 과 Ma t hema ti c i an 을 구별하여 사용하고 있다 역자는 이들을 각각 수학자와 수학자로 구별하였는데 . 여기에서 수학 X快근 수학을 지필 문제로 가르치는(음악과 같은 방법으로 가르치지 않는) 사람을 지칭한 다 .

우리는 모두 실패한 사람이다 . 거의 모든 사람들은 대중음악에서 고전음악까지 음악을 들으면서 즐긴다. 또 음악을 연주하는 법을 배우고 싶어하는 사람들은 그렇게 하는 것을 겁내지 않으며 . 여러 방면에서 음악을 잘하는 사람들은 감상할 줄 아는 청중임이 분명하 다 그러나 수학자들은 소수의 청중만을 가지고 있는데, 이들의 대 부분은 다른 수학자들이다 . 많은 사람들은 어린 시절에 청중에서 밀려났다 . 이들에게 수학의 음악은 언제나 침묵으로 남을 것이다.

옮긴이 해제 Skem p의 수학학습심 리 학 R.R. Skem p는 수학교사를 시작으로 심리학을 연구하여 수학교육 학자 . 특히 수학학습심리학의 권위자 중 한사람이 되기까지 자신에 게 많은 변화를 시도한 통찰력과 학문에 대한 열정을 겸비한 학자 였다. 그가 자신의 이론을 펴기 위해서 제시한 다양하고 실제적인 예들은 그가 가지고 있는 학생들의 수학 학습에 관한 관심과 그가 기울였던 노력과 열정을 잘 나타내 주고 있다 . 수학교육에 관심이 있는 사람은 적어도 한 번쯤은 관계적 이해 relati on al unders t an di n g와 도구적 이해in s tru men t al unders tan d ing에 대 해서 들어 보았을 것이다. 만약 전에 들어본 적이 없다면 이 책을 통해서 반드시 알아두어야 하는 매우 소중한 개념이다 . 이 두 가지 이해에 관한 구분은 제 12 장에 상세히 언급되어 있는데 . 이를 간단 히 설명하자면 다음과 같다. 관계적 이해는 지금까지 수학자 및 수 학교사들이 생각하는 진정한 의미의 이해로 우리는 지금까지 학생 들이 이런 식으로 이해하기를 기대하면서 수학을 가르쳐 왔다 . 적 어도 그런 식으로 학생들이 이해해야 한다고 마음속으로 생각하면 서 가르쳐 왔다. 그런데 여러 외적인 요인과 내적인 요인으로 인해 서 학생들이 이해하면서 수학을 학습하도록 지도하지 못하고 . 간단 한 공식만을 제공하고. 그 공식으로 해결될 수 있는 단순한 문제들

을 풀게 함으로써 학생들이 마치 자신이 수학을 잘하고 있는 것으 로 오해하게 만든 것도 사실이다. 이와 같이 진정한 수학에 대한 이해가 없으면서 단순히 배운 공식을 이용해서 특정한 문제를 해결 할 수 있을 때 이를 도구적 이해라고 한다. 저자는 관계적 이해와 도구적 이해의 장단점에 대해서 상세히 설명하고 있는데, 수학을 도구적으로 가르칠 수밖에 없는 상황적 요인도 고려한 것은 그의 이론이 이론에만 그치지 않고 실제 수학 교실에서 일어나고 있는 현실을 충분히 반영한 것이라 할 수 있다 . 도구적 수학은 진정한 의미의 수학이 아님에도 불구하고 많은 교 사들이 학생들을 도구적으로 이해하도록 가르치고 있다. 그렇다면 과연 그 이유는 무엇인가? 저자는 그 이유를 세 가지로 들고 있다. 첫째, 도구적 수학은 관계적 수학보다 이해하기가 쉽다. 물론 도구 적으로 이해하기 쉽다는 주장이다. 어떤 수학적 내용을 관계적으로 이해시키는 것보다는 공식이나 절차만을 가르치는 것이 쉬울 수밖 에 없다. 둘째, 도구적으로 학습했을 때 보상이 즉각적이고 명백하 댜 특히 수학에 대한 자신감이 부족하고 성적이 부진한 학생들에 게 자신감을 주기 위해서 일련의 방법을 가르쳐 주고 이룰 이용해 서 쉽게 풀 수 있는 많은 문제를 주어서 자신도 수학을 잘할 수 있 다는 자신감을 주는 데 도구적인 접근 방법은 적절하다 할 수 있 댜 셋째, 관계적 수학은 많은 내용의 전후 관계를 알면서 이해해 야 하므로 필요한 지식을 많이 요구하는 반면 도구적 수학은 상대 적으로 이를 이해하는 데 필요한 지식이 적으므로 어떤 문제의 정 답을 빠르고 정확하게 얻을 수 있다. 이와 비교해서 관계적 수학은 네 가지 장점을 가지고 있는데 이 장점들은 도구적 수학의 장점에 비해서 보다 근본적이고 본질적이 댜 첫째 관계적 수학은 도구적 수학보다 적응력이 훨씬 강하다. 사각형의 면적을 구하는 방법에 대한 관계적 이해가 있은 후에 이

룰 이해한 학생은 삼각형의 면적에 대해서 이해하고, 평행사변형, 사다리꼴 등의 면적을 구하는 방법을 알아낼 수 있다. 그러나 도구 적인 이해로 어떤 특정한 모양의 면적을 구하는 공식을 아는 경우 , 다른 모양의 면적을 구하기 위해서는 반드시 새로운 공식이 주어져 야 하며, 학생 스스로 이미 배운 내용을 적용할 수 없다. 둘째, 관 계적 수학은 기억하기가 쉽다 . 아무런 이해없이 공식을 단순히 외 우는 것과 개념간의 관계를 이해하면서 의운 공식 또는 방법이 훨 씬 기억하기 쉽다. 셋째로 관계적 지식은 그 자체가 학습의 목적이 될 수 있다. 도구적인 지식은 어떤 문제를 해결하기 위한 수단으로 는 사용될 수 있지만 그 자체가 목적이 될 수는 없다. 그러나 관계 적 지식은 어떤 수학적 내용을 관계적으로 이해하고 있는 것 그 자 체가 수학을 가르치고 배우는 목적이 될 수 있다. 넷째, 관계적 수 학은 유기적이다. 다시 말하자면 살아서 움직이는 지식이다. 살아 있는 식물이 자신의 뿌리를 뻗어서 양분을 흡수하듯이 관계적 지식 은 스스로 확장하고 성장하려는 성질을 가지고 있다. 관계적 이해가 도구적인 이해에 비하여 본질적인 장점을 가지고 있음에도 불구하고 도구적인 수학을 가르치는 이유는 많이 있다. 관계적 이해를 시키려면 시간이 많이 소요되고, 어떤 특정한 내용 은 학생들이 관계적으로 이해하기에 너무 어려우며 , 관계적으로 이 해시키기 어려운 내용인데 다론 교과에서 그에 대한 기능을 요구하 며, 해당 교사가 초임인 경우 다른 선배 교사들이 도구적으로 가르 치는데 혼자서 관계적으로 가르치기는 어렵다. 관계적 수학을 가르 치기 어려운 상황적 요인으로는, 시험이 도구적으로 출제되기 때문 에 도구적으로 가르쳐야 하고 , 가르쳐야 하는 내용이 너무 많으며, 관계적으로 이해했는지를 평가하려면 각각의 학생에게 직접 물어보 아야 하는데 그렇게 하기에는 한 반의 학생수가 너무 많고, 지금까 지 도구적으로 가르치던 것을 관계적으로 가르치려는 경우 심리적

인 관성의 법칙에 의해서 교사는 심한 갈등을 느낀다 . 저자가 이 책을 쓰게 된 동기는 그가 교사로 있을 때 당면해야 했던 문제로 학생의 지적 능력에 문제가 있는 것도 아니고 교사인 자신이 가르치는 데 게으른 것도 아닌데 수학을 못하고 어려움을 겪는 많은 학생들을 대하면서부터였다 . 그래서 그는 이 문제를 해 결하고자 심리학을 공부해 보기도 했으나 그 당시의 심리학은 행동 주의가 주류를 이루어서 원하는 답을 얻지 못했으며 , 결국온 자신 이 직접 이에 대한 답을 찾아 나서게 되었다. 왜 학생들이 수학을 잘하지 못하고, 이룰 싫어하는지 , 더욱이 여러해 동안의 수학 교육 을 받은 사람들이 왜 수학이라는 학문 자체를 혐오하게 되는지에 대한 구체적인 답을 찾고자 한 것이다. 이 책의 1 장부터 7 장까지는 이미 1971 년에 출판되었던 내용이고 8 장부터 마지막 장까지는 1987 년에 출판된 내용이다. 2 장에서는 수 학적 개념 형성에 관한 내용을 다루고 있는데 현재 많은 교과서에 서 새로운 개념을 소개할 때 정의만을 사용한다는 지적이다. 학습 자가 가지고 있는 개념보다 더 높은 차원의 새로운 개념은 정의로 만 이해시킬 수 없고 적절한 예들을 제시함으로써 이해가 가능하다 는 것이 그의 주장이다 . 일상적인 생활에서 마주치게 되는 새로운 개념들은 비교적 차원이 낮기 때문에 정의로도 의사 소통이 되는 경우가 있으나 이런 경우에도 역시 적당한 예를 제시하는 것이 큰 도움이 된다는 것이다. 그런데 수학적인 개념은 일상적인 개념보다 훨씬 추상화된 개념으로 적절한 예들이 없이 정의만으로 의사 소통 하려 하는 것은 학습자가 이해하지 못하도록 가르치는 것이나 마찬 가지라하겠다 . 제 3 장에서는 개념적 구조인 스키마에 대해서도 설명하고 있는데 트랜지스터 라디오를 예로 들었다 . 트랜지스터 각각의 부품을 개념 이라고 하면 스키마는 완성된 트랜지스터 라디오라고 할 수 있다 .

각각의 부품의 기능을 보면 이러한 부품들이 조립되어서 라디오가 완성되면 소리가 나게 될 것이라는 것을 상상하는 것은 쉬운 일이 아니다. 죽 스키마는 조립이 끝난 라디오와 같이 각각의 부품의 기 능에서 찾아볼 수 없는 새로운 단계로 커다란 도약을 하게 된다. 미국 인디언들이 사용하던 것과 비슷한 기호를 이용한 실험을 통해 서 스키마적인 학습이 기계적인 암기식 학습보다 훨씬 더 오래간다 는 것을 실제로 보여준 것은 스키마적인 학습의 우월성을 확신시키 기에 충분했으며 , 한붓그리기에 관한 예도 이와 비슷한 효과를 내 었다 . 스키마를 형성하면서 기호를 익힌 학생들은 처음에는 두 배 정도 많은 양을 기억해낼 수 있었으며, 한달 후에는 무려 7 배 이상 의 차이를 보였다 . 스키마식 학습은 기계적인 학습보다 많은 양을 학습할 수 있었을 뿐 아니라 더욱 오랫동안 기억할 수 있었다. 수학을 가르치고 학습하는 데 기호의 중요성을 강조한 제 5 장은 가장 내용이 많은 장으로 10 개의 소단원으로 나누어서 설명하고 있 는데, 의사 소통 , 지식의 기록, 새로운 개념의 의사 소통, 다중적 분류를 용이하게 함, 설명, 반영적 활동을 가능하게 함, 구조를 밝 히는 데 도움을 줌, 기계적인 조작의 자동화, 정보의 회복과 이해, 창조적인 정신 활동에 있어서 기호의 역할을 상세히 설명하고 있 댜 수학에서 기호와 개념이 일대일 대응하는 경우는 거의 없고 기 호가 턱없이 부족한 것이 사실이다 . 상식적으로 가장 바람직한 경 우는 기호와 개념이 일대일 대응하는 경우다. 그런데 저자는 하나 의 개념에 여러 가지의 기호가 사용되는 경우가 더욱 바람직하다고 주장하고 있다. 그 이유는 학습자가 어떤 개념에 대한 A 라는 기호 는 모르지만 B 라는 기호는 아는 경우 의사소통이 가능하기 때문이 댜 제 6 장에서는 시각적 기호와 언어적 기호에 대해서 논의하고 있 댜 시각적 기호는 의사 소통하기 어렵고 개별적인 반면 언어적 기

호는 의사 소통하기 쉽고 집합적이다. 죽 어떤 현상을 시각적 기호 로 다른 이에게 보여주기 위해서는 그림을 그리거나 사진을 찍어서 보여주어야 한다. 또한 같은 관점에서 보려면 똑같은 위치에 서서 어떤 사물을 보아야만 한다. 그래서 개별적이다. 그러나 언어적 기 호는 다르다 . 언어적 기호는 의사 소통이 쉬운데 그 이유 중에 하 나는 우리 몸에는 〈입〉이 있어서 언제든지 이를 이용해서 의사 소 통이 가능하기 때문이다. 이와 비교해서 우리 몸에는 어떤 그림을 비추어 줄 수 있는 영사기와 같은 기구가 · 붙어있지 않다. 또한 입 으로 한 번 말하면 여러 명이 동시에 들을 수도 있다 . 그래서 집합 적이라고 한다. 시각적 기호는 전체적으로 구조를 보여주는 반면 언어적 기호는 분석적이고 미세한 부분을 보여준다. 그리고 전자는 동시적이고 후자는 순서적이다. 마지막으로 전자는 직관적이고 후 자는 논리적이다. 제 7 장은 수학을 학습하는 데 있어서 발생할 수 있는 교사와 학생 사이의 감정적 요인에 대한 저자의 생각을 정리해 놓았는데, 학생 이 수학을 싫어하게 되고 수학이란 말만 들어도 불안하게 되는 시 초는 권위주의적인 교사가 암기식의 수학을 가르치는 경우라고 지 적하고 있다. 스키마식이 아닌 암기식의 학습은 언젠가는 암기해야 하는 양에 있어서 한계를 느끼게 되고, 이때마다 더욱 열심히 암기 하려고 노력하지만 이미 한계에 부딪힌 상황이므로 상황이 더 이상 호전되지 않고 불안해지게 되고 결국은 자신감을 잃게 된다. 7 장에 서는 학습 동기에 대해서도 언급하고 있는데 , 수학을 학습하는 본 질적인 동기는 다른 목표가 따로 있는 것이 아니라 수학을 배우는 자체가 즐겁고 가치있는 것이라는 것이다. 가파른 산을 등반하고 작은 요트를 타고 위험한 항해를 하는 것은 헬기룰 타고 쉽게 정상 에 오르는 방법과 편안한 유람선이 있는 것을 모르기 때문이 아니 고 이러한 활동은 인간의 본질적인 욕구인 생존을 위해서 필요한

체력을 단련시키는 데 그 동기가 있다고 할 수 있다 . 수학을 학습 하는 것도 마찬가지로 인간의 생존 본능의 하나로 해석할 수 있는 데. 현대 사회는 육체적인 단련보다는 지적인 단련이 더욱 요구되 고 있다. 이룰 위해서 수학을 학습하는 것은 아동들의 본질적인 지 적 단련의 욕구를 채울 수 있는 하나의 방법으로 . 적지 않은 교사 들은 이를 인식하지 못하고 있다 . 제 8 장은 12 장과 함께 이 책에서 가장 중요한 부분 중에 하나라고 할 수 있다. Skem p는 인공두뇌학에서 빌려온 지휘 체계라는 용어 를 사용해서 인간 지능의 모델을 만들었다. 이 체계의 핵심은 주어 진 환경에서 어떤 피동자의 현재 상태와 목표 상태를 비교하는 것 으로 현재 상태가 목표 상태와 일치할 때까지 그 간격을 좁히기 위 해서 계속해서 지휘행동 계획을 수반하게 된다. 이렇게 현재 상태 와 목표 상태를 비교하기 위해서는 감지기가 있어야 하고 목표 상 태를 내면적으로 표현해서 이를 비교하기 위해서는 비교자가 있어 야 하며. 마지막으로 현재 상태에서 목표 상태로 바꾸기 위해서 행 동 계획이 필요하게 된다. 지휘 체계를 이해하기 위해서는 델타 _1 과 델타-끄 1 개념을 이해해야 하는데 델타 -1 은 물리적 환경에서 피 동자에 작용하는 지휘 체계이며 , 델타一 2 는 이차적인 지휘 체계로 이때에는 델타 -1 이 피동자가 된다. Skem p의 학습심리학은 현장에서 학생들을 직접 가르치는 교사 를 비롯해서 교과서 집필자. 교육과정을 만드는 전문가들이 읽으면 많은 도움이 되는 책이라고 생각한다. 나라와 문화를 초월해서 만 연해 있는 수학이라는 학문에 대한 기피증 내지는 많온 학생들이 가지고 있는 공포심은 도구적으로 수학을 가르치고 있기 때문이다. 이미 언급한 바와 같이 관계적인 수학을 가르치려면 제도적인 면과 실제적인 실행에 대한 뒷받침이 필요하므로 교사가 이를 수행하고 자 해도 여러 가지 문제로 곧 벽에 부딪히게 된다. 또한 교사가 관

계적인 수학을 가르치고자 해도 원하는 방향으로 쓰여진 교재가 없 으므로 스스로 이를 개발해야 하는 문제도 있다. 많은 학생들이 수 학을 하는 것을 재미있는 활동으로 생각하고 이 학문의 활용면뿐만 아니라 학문 차체가 가치가 있는 것으로 생각할 수 있는 시대를 기 대하면서 이 책은 현재의 문제를 정확히 지적하고 있고 앞으로의 방향을 제시했으므로 이 책을 다 읽은 후 독자들은 각자의 위치에 서 자신이 해야 하고 할 수 있는 일을 해야 한다고 생각한다. 그렇 게 함으로써 이론이 이론에만 그치지 않고 살아서 움직일 수 있다 고 믿고 있다. 이와 같이 훌륭한 원서를 번역할 수 있도록 허락하신 하나님께 감사드리며, 이 책을 번역하는 동안 계속해서 격려해 주신 우무하 교수님, 대한수학교육학회의 세미나를 통해서 번역을 도와주신 강 옥기 교수님. 장경윤 교수님, 류희찬 교수님, 박교식 교수님, 강문 봉 교수님, 박경미 박사님, 그리고 서울대 대학원생 여러분들께 감 사드립니다. 또한 번역문을 수정해 주시고 원서의 수학적인 오류를 지적해 주신 김용태 교수님, 특히 초고를 여러 차례 수정해 주시고 번역된 단어가 각 장에서 일치하도록 한 학기 이상의 시간을 아끼 지 않으신 라병소 교수님께 진심으로 감사룰 드립니다.

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찾아보기/사항

-I 감점 321-334 감지기 181 관계 50 관점 125 개념 27, 33, 37, 101-103 개념 구조 199,207 개념 분석 46,348 개념 의존망 208 개념적 연결 204 개념 지도 208-211 걱정 329 건조 187 검증 187 결합적 연결 204 경계 지역 332 공유하는 스키마 193,248 공유하는 언어 193, 248 공포 343 과학적 방법 226 교수 실험 235-240 구성 187 구성주의 219-240 구조 301-310 권위 151-153 기계적인 계산 66 기계적인 조작 113 기능 215 기호 87-118, 119-125, 126-135, 139- 141 기호법 88-91 기호적 이해 311-319 기호 체계 313 L 내면 구조 302

내면성 201 내적 대화 72 논리적 이해 289-291 논증 129-136, 291 E: 대비 31 다중 분류 103 다초점 201 다초점 능력 245 델타 -1 183, 186, 193 델타 -2 183, 191 도구적(관계적) 이해 257-278, 286-288 도플러 효과 188-189 동기 159-163 동기유발 166 동력계 307 동조 202-203 , 306-307 동형 사상 314 동화 58-59 두려움 325 ; 럭비 261 口 맥락 96 메타 인지 69 명제적 지식 197, 228 모독 149 목표 상태 179, 181 목표지향적 행동 178,293 문제 (수학교육) 15-18 문제해결 187

미로학습 182 t:I 반영 72,82,83 반영적 지능 69-75 반영적 양식 294 반영적 추정 251 반옹기 106 방법론 223-240 방법적 지식 197, 228 범주 오류 230 법칙 259, 263, 149-151 법칙화 76 변량 분석 229 변수 128 보완적인 계획 193, 248 보존 116 부류 102 분류 30 불안 158,325 비교자 181 人 사용가능 47 생존 178, 179, 180 선행 176 성장 168 소음 39 수용기 70 수 체계 80 수학 21, 241-255, 301-310 수학자 353 스키 마 49-68, 187-190, 190-195, 199, 207-214, 241-251, 284-292, 습관31적3- 31학9 습 174

시각적 표상 72 실행가능성 197 심상 119 。 안도감 329 안심 325 엄밀성 93 연관적 통증 309 영역 331 오류 230-231 외각 130 요인 145-171 요인 분석 229 우뇌 143 유사성 29 유형 1(2) 이론 219-240 이름 붙이기 30-33 이진수 90 이진숫자 90 이차 개념 35, 101 이해 60-65 인식 28 인지지도 186 일관성 81 일반화 77, 105 일차 개념 35, 101,243,254 의미 88 의사소통 88-93 ,c 자극 177 자기영속성 58 자동적인 수행 113 자신감 327, 346-348 자연의 법칙 221

장기 기억 저장고 114 재분류 337 재인식 122 적응력 57, 178 정보 114 정보공학 213 정신적 마비 116 정신적 모델 건조 222 정신 측정학 19 정신활동 116 정의 34-35 정형과학 224 조작 112 좌뇌 143 좌절감 328, 34 0 좌표 136 준 순서 스키마 208 줄거움 324 줄자 계산기 239 중재 사고 활동 70 증명 291 지각 방해 현상 203 지각 자료 122 지능 18, 19, 69-86, 148, 173-195, 186,322 지식 93-100, 323 지식 구조 199 지적 학습 180 지진아 268 지휘 체계 180 직관적 지능 69-71 직관적 양식 293 진화 104, 178, 179, 322 집단적 사고 125-126 天: 추론 189

추상 27-48, 198, 199 축구 261 측면 125 E 타협 153 토론 83 통제 실험 271 통찰 116 틀 211 立 판별식 114 포물선 114 포착 효과 307 표기 120 표면 구조 302 표상 119-143 표현 120 피동자 181,286 一-0 함의 130 학습 68, 174 -17 7, 182, 204 -20 7 학습기계 65 한봇그리기 62 행동 계획 181, 183-187 행동주의 219-240 허수 103 형식 311 형식적 이해 283,311 홈 211 확실한 영 역 332, 335 회상 115

찾아보기 / 인명

A Allardic e , B. B. 224 Ausubel, D. P. 213 B Backhouse, J . K . 279, 281, 311 Ba rtlet t , F. 213 Behr, M. J. 203 Bell, M.A. 61 Bondi, H. 274 Bruner, J . S . 290 Buxto n , L. G. 279, 282, 287, 291, 311, 343 By er s, V. 279, 282, 311 C Ca rpe nte r , T. P. 229 Cockdroft , W . H. 16 D Davis , R . B. 212, 221 Dewey, J. 243 E Er ikso n, E. E. 216 G Ghis e li n, B. 116 Gins berg, H. 223, 238 Glennon, V. J. 142 H

Hart , K. M. , 16 Herscovic s ,N. 279, 28 1,311 Hir ab aya s hi, I . 17 Holt , J . 23 lnhelder, B . 82 K Ki er an,C. 318 Kuhn, T. S. 224 L Lawler, R . W. 24 M Macfa r lare, Smi th I. 142 。 Op pe r, S. 232 P Pape r t , S. 337 Pia g e r , J. 72, 82 Popp e r, K. 226 Post, T. R. 203 R Ric h ard, T. 235 Robin s on, F, G. 213

S Sart re J. P. 318 Skemp , R. R. 21, 54, 69, 152, 174, 221, 236, 240, 264, 279, 284, 298, 310,311, 31 5 Ste f f e, L . P. 223, 235 T Tall, 0. 0. 279, 307, 311

V von Glasersfe ld , E. 235 Vy go ts k y ,L. S. 32 W Weiz e nbaum, J. 213 Whit ne y, H. 15, 18, 23

지은이 소개 스캠프Ri chard Skem p는 영국 옥스퍼드 O xfo rd 대학에서 수학과 심리학을 공부했으며, 대학 졸업 후 수학교사로 재직하면서 학 생들이 수학을 어려워하고 싫어하는 이유에 대해서 관심을 갖게 되었다. 그는 이 문제를 해결하기 위해서 대학원에서 더 공부하 기로 결심했고, 그후 맨체스터 Manches t er 대학에서 심리학 박 사학위를 취득했다. 1962 년에는 유네스코 국제 학교 수학 심포 지움에 영국 대표로 참석한 바 있으며, 1962 년부터 1969 년까지 수학 심리학 프로젝트에 책임연구원을 역임하기도 했다. 영국 워윅 Warw ic k 대학의 교수로 재직하는 동안 수학교육연구소 소 장을 역임하였다.

황우형 고려대학교 사범대학 수학교육과 (B.S) 고려대학교 대학원 수학과 미 국 India n a Univ e rsity of Pennsyl v a nia 수학교육과 (M. Ed ) 미 국 Un ive rsity of Georgi a 수학교육과 (Ph. D ) 현재 고려대학교 사범대학 수학교육과 조교수 수학학습심리학 대우학술총서 번역 107 1 판 1 쇄 펴냄 -1997 년 11 월 30 일 지은이 __ R.R. 스캠프 옮긴이―一황우형 펴낸이－朴孟浩 펴낸곳-（주)민음사 출판등록 1966. 5. 19. 제 16-490 호 서울특별시 강남구 신사동 506 대표전화 515-2000, 팩시밀리 515-2007 값 18,000 원 한국어판 ©(주)민음사, 1997 수학, 지도법 및 교육 KDC/410.7 Printed in Seoul, Korea ISBN 89-374 -41 07-1 (94180) 89-374-3000-2 (세 트)

1 대우학술총서민가}

1 유목민족제국사 콴텐/송기 중 2 수학의 확실성 클라인/박세희 3 중세철학사 와인버그/강영계 4 日本語의 起源 밀러/김방한 5 古代漢語音韻學槪要 칼그렌/최영애 6 말과 사물 푸코/이광래 7 수리철학과 과학철학 와일/김상문 8 기후와 진화 피어슨/김준민 9 이성 진리 역사 파트남/김효명 10 사회과학에서의 場理論 레빈/박재호 11 영국의 산업혁명 딘/나경수 이정우 12 현대과학철학논쟁 쿤 外/조승옥 김동식 13 있음에서 됨으로 프리고진/이철수 14 비교종교학 바하/김종서 15 동물행동학 하안드/장현갑 16 현대우주론 시아마/양종만 17 시베리아의 샤머니즘 디오세지 ·호 팔/최길성 18 조형미술의 형식 힐데브란트/조창섭

38 텍스트 사회학 지마/허창운 39 현대물리학의 철학적 테두리 보음/전일동 40 과학과 가치관의 우선순위 스페리/이남표 41 신화의 진실 휘브너/이규영 42 대폭발 실크/홍승수 43 大同書 康有爲/이성애 44 표상 포더/이영옥 정성호 45 과정과 실재 화이트헤드/오영환 46 그리스 국가 에렌버그/김진경 47 거대한 변환 폴라니/박현수 48 법인류학 포스피실/이문웅 49 언어철학 올스튼/곽강제 50 중세 이슬람 국가와 정부론 램톤/김정위 51 전통 쉴즈/김병서·신현순 52 몽골문어문법 뽀뻬/유원수 53 중국신화전설 I 哀河/전인초김선자 54 중국신화전설 Il 〈근간〉 55 사회생물학 ] 윌슨/이병훈 박시룡 56 사회생물학 Il 윌슨/이병훈 박시룡 57 일반언어학의 제문제 I 밴베니스트/황경자

74 大地의 노모스 칼 슈미트/최재훈 75 일반 공법학 강의 레옹 뒤기/이광윤 76 텍스트학 반 다이크/정시호 77 문명의 발생 찰스 레드만/최몽룡 78 근대국가의 발전 G, 폿지/박상섭 79 과학적 발견의 패턴 N. R. 핸슨/송진옹 • 조숙경 80 아랍 문학사 R. A. 니콜슨 /사회만 8118 세기 중국의 관료제도와 자연재해 P. E. 빌/정철웅 82 역사비교언어학개론 R 안틸라/박기덕 • 남성우 83 계몽주의 철학 E 카시러/박완규 84 토양 미생물학과 생화학 폴·클라크/이도원 조병철 85 수학, 과학 그리고 인식론 L 라카토시/이영애 86 봉건제의 이해 러쉬튼 쿨본/김동순 87 그라마톨로지 자크 데리다/김성도 88 殷代貞 卜人物通考 I 라오쫑이 /손예철 89 殷代貞 卜人物通考 Il 라오쫑이/손예철 90 殷代貞 卜人物通考 llI 라오쫑이/손예철 91 순수경제학 레옹 왈라스/심상필 92 문화유물론 마빈 해리스/유명기