임레 라카토스lmre Lakatos (1922-1976) 저자는 헝가리 태생의 유태인으로서 1956년 영국으로 망명, 케임브리지 대학에서 수리 철학을 전공하였다. K.포퍼와 G.폴리아로부터 사상적 영향을 받았으며 1961년 본 역서의 원본인 박사 학위 논문을 제출하였다. 1960년부터 London School of Economics의 교수로 재직, 1965년에는 런던 과학 철학 국제 콜로키움을 조직하고 그 논문집을 편집하여 현대 비판주의적 과학 철학의 확립에 커다란 기여를 하였다.
수학적 발견의 논리
PROOFS AND REFUTATIONS The Logic of Mathematical Discovery IMRE LAKATOS Edited by John Worral and Elie Zahar © Cambridge University Press 1976
수학적 발견의 논리 임레 라카토스지음 우정호옮김 民音社
책 머리에 이 책은 현대 수리 철학에 뚜렷한 한 획을 그은 라카토스의 Proofs and Refutations-The Logic of Mathematical Discovery (edit. by J. Worrall and E. Zahar, Cambridge University Press, 1976)를 완역한 것이다. 라카토스는 1922년 헝가리 태생의 유태인으로 1956년 영국으로 망명하여 케임브리지 대학 에서 수리 철학을 연구하였다. 이 책은 그의 박사 학위 논문 Essay in the Logic of Mathematical Discovery를 바탕으로 이를 수정 보완한 것이다. 이 책의 출판에 앞서 그 박사 학위 논문을 수정 보완하여 1963-4 년에 The British journal for the Philosophy of Science· 14호에 게재되었던 Proofs and Refutations”에 붙여진 감사의 말에서 라카토스가 지적하고 있듯이, 그의 수리 철학은 풀리아의 수학적 발견술의 부흥과 포퍼의 비판 철학을 배경으로 한 것이다. 라카토스는 그 후 과학 철학 연구에 홍미를 갖게 되고, 1965 년 런던에서 개 최된 국제 과학 철학 세미나를 조직하고 그 논문집의 편찬에 전력하여, 현대 비판주의적 과학 철학의 확립에 커다란 기여를 하였다. 그가 무스그레이브A Musgrave 와 공동으로 편찬한 이 세미나의 논문집 제 4 권인 Criticism and the Growth of Knowledge (Cambridge University Press, 1970) 는 『현대 과학 철학 논 쟁 ; 비판과 과학적 지식의 성장』 (조승욱 • 김동식 역, 민음사, 1987) 이란 제목 으로 번역되었다. 라카토스의 그의의 전 저작은 다음 두 논문집에 거의 집약되 어 있다. I. Lakatos (edited by J. Worrall & G. Currie) ; The Methodology of Scientific Research Programmes, Philosophical Papers, vol. I, Cambridge University Press, 1978.
I. Lakatos (edited by J. Worrall & G. Currie) ; Mathematics, Science and Epistemology, Philosophical Papers, vol. II , Cambridge University Press, 1978. 헬베르트의 『기하학 기초론』이 나온 이후 현대 수학은 1950 년을 전후하여 그 구조주의적인 양식이 확립되고, 부르바키의 『수학 원론』이 보여주듯이, 유 클리드적인 현대판 엄밀주의가 정착된 듯하다. 그러나 이는 폴리아가 지적하고 있듯이, 수학의 다른 얼굴 곧, 〈발생 상태 그대로의〉 수학을 간과하게 하고, 발 명되고 있는 과정에 있는 수학이 바로 그 방식 그대로 학생들에게 제시하는 것 울 거의 불가능하게 만들고 있다. 플라톤의 『대화편』 중 「메논편」에 예시되어 있는 소크라데스의 대화법이 플 라톤 철학에 입각한 수학의 학습 지도 방법의 전형으로 여겨져 왔으나, 수학을 연역적으로 전개된 완성된 지식 체계로서 <가르치는〉 형식주의적인 입장이 교육 현실을 지배해 왔다. 이러한 형식주의의 결함에 대한 비판은 18세기에 중등학 교에서 유클리드 원론을 교과서로 사용하기 시작하면서 필연적으로 제기되어 왔고, 1741 년에 클레러 A Cl. Clairaut 에 의해 역사 발생적 방법이 도입되게 되었다. 역사 발생적 원리는 19세기 후반에 이르러 생물학적 발생론인 진화 론, 특히 헤켈 E. Haeckel 의 〈재현의 원리〉의 영향을 받아 수학 교재 구성 원 리가 되었고, 대 수학자 클라인 F. Klein 과 푸앵카레 등이 강력히 옹호하였 다. 오늘날에도 많은 수학 교육학지들이 이 원리를 강조하고 있으며 그 구현을 위한 노력을 계속하고 있다. 폴리아의 수학적 발견술도 이러한 노력의 일환으 로 볼 수 있으며, 라카토스의 연구 역시 그러한 입장과 맥락을 같이 한다. 라카토스는 수학의 발생이 어떠한 논리에 따라 이루어지는가를 오일러의 다 면체 정리를 주제로 택하여 18세기로부터 20 세기초까지의 수학시를 역사 발생 적으로 분석하고 이를 대화 형식으로 논의하고 있다. 그는 수학을 완성된 산물 로 보고 발생의 순서와 반대로 전개된 기성의 유클리드적 연역 체계를 그대로 수학 인식론으로 간주하는 입장를 독단론으로 비판하고, 수학의 역사 발생의 논리에 따른 수학 인식론을 제기하고 있다.
역자가 라카토스에 관심을 갖고 이 책을 번역하게 된 것은 수학 교육 연구에 종사하는 입장에서 볼 때 당연한 귀결이 아닌가 하는 생각이 든다. 특히, 수학 교육에서의 발생적 원리와 사고 교육의 문제, 문제 해결 지도에 관심이 모아지 면서 수학의 발생적 논리에 대해 관심을 갖고 그러한 문헌을 찾던 중이라 이 책은 본인에게 남다른 기쁨을 안겨주었고, 많은 귀중한 교육적 시사를 받았다. 이 책을 번역 출판함에 있어서 특별히 감사의 마음을 표하고 싶은 이들이 있 다. 먼저 서울대학교 대학원 박사 과정에서 수학 교육학 연구의 개척자로서 함 께 동고동락하면서 이 책의 독해와 번역에 함께 참가해 애써 주신 정은실, 박 영배, 박교식, 강문봉, 유현주, 이종희, 박선화, 윤성재, 김수미, 허혜자 등 여러 선생님들에게 고마움을 표하지 않을 수 없다. 다음에는 이 책을 번역 출 판할 수 있는 기회를 제공해 준 대우재단에 사의를 표하지 않을 수 없다. 이 책은 수학 교육학도와 수리 과학 분야의 연구에 종사하는 이들은 물론이고, 이 분야를 전공하고 있는 학생들, 수리 철학과 수학사 연구에 뜻을 둔 수학도, 특 히 수학 교육, 수학 교사 교육에 관계하고 있는 모든 이들과, 장래 수학 교사 로서 교육에 헌신하고자 하는 모든 학생들에게 신선한 충격과 함께 깊은 사색 과 반성을 불러일으키리라고 믿어 의심치 않는다. 1991년 1월 역자
수학적 발견의 논리 차례 책 머리에 • 5 편집자서문 • 11 감사의 말 • 15 저자서문 • 17 제 1장 증명과반박 1 문제와 추측 • 25 2 한가지 증명 • 27 3 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판 •31 4 전면적 반례에 의한 추측의 비판 • 35 5 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례에 의한 증명-분석의 비판. 엄밀성의 문제 • 75 6 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판으로의 복귀. 내용의 문제 • 96 7 내용의 문제에 대한 재고 • 108 8 개념 형성 • 132 9 비판은 어떻게 수학적 진을 논리적 진으로 전환시킬 수 있는가 • 153
제 2장 형식적 증명 •163 편집자의 말· 163 1 벡터 대수의 〈완벽하게 알려진〉 용어를 사용한 추측의 번역. 번역의 문제 • 164 2 추측에 대한 또 다른 증명 • 178 3 증명의 최종성에 대한 몇 가지 의심. 번역 절차와 정의에 대한 본질주의자의 접근 대 유명론자의 접근 • 181 부록 l 증명과 반박 방법에 대한 또 다론 사례 연구 •1931 코시의 〈연속성의 원리>에 대한 옹호 • 193 2 사이델의 증명과증명-생성된 평등수령의 개념 • 199 3 아벨의 예의 배제법 • 201 4 증명 -분석 방법의 발견 과정에서의 장애 • 205 부록 ll 연역주의자의 접근법 대 발견적 접근법 •215 1 연역주의자의 집근법 • 215 2 발견적 접근법. 증명-생성 개념 • 218 역자해제 • 233 참고문헌• 245 찾아보기/인명 • 261 /주제 • 266
편집자서문 우리의 위대한 친구이자 스승인 I. 라카토스 Imre Lakatos는 1974 년 2 월 2 일 급서하였다. 그 당시 그는 (여느 때와 마찬가지로) 지력을 요하는 많은 과 제에 몰두하고 있었다. 그러한 여러 과제 중 가장 중요한 것 하나가 1963-4년 The British journal for the Philosvphy of Science 14 호에 네 번에 걸쳐 게재되 었던 그의 훌륭한 논문 「증명과 반박 Proofs and Refutations」의 개정 증보판을 발간하는 일이었다. 라카토스는 그 책의 출판 계약을 오래전에 하였지만, 좀 더 수정 보완하고 견실한 가외의 자료를 첨가하려는 생각을 갖고 출판을 미루 어 왔었다. 이 일은 그의 관심이 자연과학 철학으로 전환되면서 상당 기간 지 체되었으나, 마침내 1973 년 여름 출판 작업울 진행시키기로 결정하였다. 그해 여름에 우리는 라카토스와 함께 출판 계획에 대하여 논의하였었다. 우리는, 상 황이 슬프게 바뀌긴 하였으나, 그 당시 라카토스가 의도하였던 것과 가능한 한 유사한 책을 출판하고자 노력하였다. 그 결과, 「증명과 반박」의 원본(이 책의 제 1장)에 추가로 세 가지 새로운 내 용을 포함시키게 되었다. 첫째, 본문에 제 2장을 덧붙였는데, 이는 데카르트 ―오일러 Descartes-Euler 추측에 관한 푸앵카레 Poincare 의 벡터 -대수적 중 명에 관한 내용으로, 라카토스의 1961 년도 케임브리지 대학 박사학위 논문의 제 2 장에 바탕을 둔 것이다(「증명과 반박」의 원문도 그 논문의 제 1 장울 대폭 수정 보완한 것이다) . 그 논문의 제 3 장 중 일부가 이 책의 부록 1 을 이루고 있는데, 이는 증명과 반박법의 또 다른 상세한 사례 연구를 포함하고 있으며, 연속 함 수의 임의의 수렴하는 급수의 극한 역시 연속이라는 정리에 대한 코시 Cauchy 의 증명을 다루고 있다. 본문의 제 2 장과 부록. I은 「증명과 반박」을 본 수학자 들이 종종 나타냈던 의심, 즉 라카토스가 제시한 증명-분석의 방법은 거의
경험적인〉, 반례가 쉽게 가시화될 수 있는 주제인 다면체의 연구에는 적용될 수 있겠지만 일제〉 수학에는 적용되지 않을 수도 있디는 의구심을 누그러뜨려줄 것 이다. 세번째로 첨가한 내용(부록 Il ) 역시 라카토스의 박사학위 논문의 제 3 장 의 일부분에 바탕을 둔 것으로 수학의 개발, 표현, 교육에 관한 그의 견해를 다루고 있다. 라카토스가 출판을 미룬 이유 중의 하나는, 이러한 몇 가지 가의의 자료가 비록 여러 가지 새로운 점과 발전된 견해를 담고 있기는 하였지만 좀 더 깊은 고찰과 역사적 연구가 필요하다고 생각하였기 때문이다. 특히 (부록 l의) 코시 와 푸리에 Fourier에 관한 자료가 그러하였다. 우리 역시 그 내용이 난해하고 모호하며 생략된 부분이 있음을 깨닫고 있었지만, 라카토스가 저술한 것의 내 용을 다듬고 첨가하는 데 필요한 오랜 기간 동안의 상세한 역사적 연구를 할 입장이 되지 않았으므로, 그 자료를 아예 출판하지 않을 것이냐 그렇지 않으면 미완성 상태로 출판할 것이냐 하는 선택의 기로에서 후자를 택하기로 하였다. 우리는 그 자료가 상당히 홍미 있는 자료라고 생각하며, 여러 학자들을 자극하 여 필요하다면 그것을 확장하고 수정해 주기를 희망한다. 일반적으로 우리는 라카토스가 자신의 견해를 바꾸었다고 확신할 수 있는 부 분죠차도 그 내용을 수정하는 것은 옳지 않다고 생각한다. 따라서, 우리는 라 카토스를 설득하여 자신의 견해를 바꾸도록 시도하였어야 할 몇 가지 점 (* 표 시를 한 각주에서)과 (흔히 갈은 것이 되지만) 라카토스가 지금 이 자료를 출판 하였다면 자신의 견해를 바꾸었으리라고 믿어지는 몇 가지 점을 지적하는 데 그치고자 한다(라카토스의 지적인 견해는 물론 그가 박사학위 논문을 완성한 후부터 급서할 때까지의 13 년 동안 상당히 변하였다. 그의 일반 철학에서의 주요한 변화는 그 의 논문 [1970]에 설명되어 있다. 라카토스는 자신의 과학 연구 프로그램의 방법론이 그의 수리 철학과 중요한 관련성을 갖는다고 생각하였다는 것을 언급해 둘 필요가 있 다). 표현 문제는 러카토스 자신아 출판하였던 자료(즉, 본문의 제 1장)에 대해서 는 거의 완전히 그대로(몇 곳의 오식과 모호하게 쓰여진 사소한 실수를 제의하고는) 두기로 하였으나, 미출판된 자료는 충분히 수정하였다. 그러나, 내용을 고친
것이 아니라 그 형식만을 수정하였음을 거듭 밝혀 둔다. 이러한 방침은 좀 특 이한 듯하므로 아마도 몇 마디 합리화를 시도하는 것이 순서일 것이다. 라카토스는 자신이 쓴 어떤 자료라도 그것이 출판될 때에는 항상 그 표현에 상당한 신경을 썼으며, 출판에 앞서 그 자료를 동료들과 친구들에게 널리 회람 시켜 비판을 받고 개선을 위한 제안을 받고자 하였다. 따라서 이번에 처음 출 판된 자료도 그러한 과정을 거쳤을 것이며, 우리가 감히 시도한 것보다도 더욱 근본적인 변화가 있었을 것으로 확신한다. 우리는 (개인적인 경험을 통해서) 라 카토스가 자신의 견해를 가능한 한 분명하게 나타내려고 많은 애를 썼다는 것 을 알고 있었기 때문에 이 자료의 표현을 최선을 다하여 개선해 보려고 노력하 지 않을 수 없었다. 이들 새로운 자료는 만일 라카토스 자신이 그 자료의 바탕 이 된 원래의 자료를 직접 개정하였다면, 보다 더 잘 이해될 수 있으리라는 것 은 분명하였다. 그러나, 이 자료는 라카토스의 생각에 충분히 근접하고 있다고 생각되며, 이전에 나온그의 몇 가지 출판물에 충분히 몰두하여, 이 자료가라 카토스 자신의 높은 기준에 가까운 곳까지 이르게 하려고 상당한 노력을 하였 다고 생각한다. 수리 철학에 관한 라카토스의 중요한 연구 몇 가지를 출판할 수 있는 기회를 갖게 되어 매우 기쁘게 생각하는바, 이는 우리 두 사람 모두가 라카토스에게 진 지적인 빚과 개인적인 빚의 일부를 갚을 수 있게 해줄 것으로 생각되기 때 문이다. 존워랄 에밀 자하르
감사의말 이 책의 바탕이 된 자료는 서문에서 이미 부분적으로 언급한 바와 같이 길고 다양한 역사를 지니고 있다. 라카토스가 1963-4년에 발표한 논문의 원본(이 책에서는 제 1 장으로 다룸)에 붙여진 감사의 말에 따르면, 그의 연구는 1958-9 년에 케임브리지의 킹스 칼리지 King's College에서 시작되었으며, 1959년 3 월에 London School of Economics 에서 있은 칼 포퍼 Karl Popper 의 세미나에 서 처음으로 발표되었다. 또 다른 개정본이 1961 년에 그의 케임브리지 대학 박사학위 논문에 합체되었는바, 이 책의 나머지 부분도 그 논문에 바탕을 두고 있다. 그와 관련하여 라카토스는 록펠러 재단의 재정적 도움에 감사하고 있으 며 T. J. 스마일리 T. J. Smiley 박사로부터의 많은 도움과 격려 그리고 귀중한 비판에 고마움을 표시하고 있다. 라카토스가 기술하고 있는 감사의 말의 나머 지 부분은다음과같다. 이 최종 원고를 London School of Economics 에서 준비중, 저자는 특히 J. 애거시 J. Agassi 박사, I. 학킹 I. Hacking 박사, w. c. 니일W. C. Kneale 교수, R 몬타 규R. Montague 교수, A.무스그레이브A. Musgrave 교수, 그리고 M. 폴라니M. Polanyi 교수와 J. W. N. 왓킨스J. W. N. Watkins 교수의 비판과 제안게 특히 유 념하고자 하였다. 예의 배제법의 취급은 G.폴리아G. Polya 교수와 B. J. 환 데르 웨르덴 B. J. Van der Waerden 교수의 비판적 주의에 자극받아 개선되었고, 괴물 배제법과 괴물 조정법의 구별은 B. 막레난B. MacLennan 에게서 시사받았다. 이 논 문은 폴리아의 수학적 발견술의 부흥과 포퍼의 비판 철학을 배경으로 한 것으로 간 주되어야할것이다. 이 책을 준비하는 데 있어 편집자는 존 벨 John Bell, 마이크 할레트 Mike
Hallett, 모세 마크호버 Moshe Machover, 제리 라베츠 Jerry Ravetz 에게서 도움을 받았다. 그들은 모두 친절하게 제 2장과 부록의 초고를 읽고 유익한 비 판을 해주었다. 우리는 또한 산드라 D. 미첼 Sandra D. Mitchell, 특히 그레고 리 카리 Gregory Currie의 수고에 감사하지 않을 수 없다. 그들은 라카토스의 자료를 다듬는 일에 주의 깊은 비판을 해주었다. 존워랄 에밀 자하르
저자서문 사고의 역사에서는 강력한 새로운 방법이 나타나면, 그 새로운 방법으로. 다 룰 수 있는 여러 가지 문제에 대한 연구는 급속히 진전되고 각광을 받는 반면, 나머지 분야는 무시되거나 잊혀지기까지 하며 그에 대한 연구가 경멸을 받는 일이 종종일어난다. 수리 철학 분야에서는 금세기에 메타 수학meta-mathematics*이 역동적으로. 발달한 결과 이러한 상황이 일어난 것 같다. 메타 수학의 주제는 수학의 추상화인바, 거기서 수학 이론은 형식적 체계로, 증명은 일련의 잘 형식화된 공식으로, 정의는 〈이론적으로는· 없어도 되는〉 그러 나 〈인쇄상으로는 편리한〉 〈간략 장치〉로 대치된다. 1)
* 역자 주-Hilbert 의 공리론에서 수학은 공리라는 가설적 명재로부터 추론 규칙이라는 식변형 규약에 의해 결과를 이끌어 내는 기호 체계로 간주된다. 그러한 공리화된 수학을 대 상으로하는수학이 (그수학에 대한) 메타 수학이며, 거기에서의 정리가메타정리이다. 예를 들어, 쌍대의 원리는 사영기하학에 대한 메타 정리이다. Hilbert 는 집합론의 역설에 서 비롯된 수학의 위기에 대처하기 위하여 수학 전체를 공리화하고 그 무모순성의 중명을 기도하였다. 그러한 수법이 메타 수학이며, Hilbert 는 기호의 직관과 가장 확실하다고 보 여지는 유한적인 절차만을 허용하였다. 그러한 Hilbert 의 기도는 실현될 수 없다는 것이 Godel 에 의해 입중되었지만 메타 수학은 수학적 이론의 구조를 연구 대상으로 하여 계속 발전되어 왔다. 1) Church [1956], pp. 76-7 ; Peano [1894] , p. 49 ; Russell and Whitehead [1910-13], 1, p.12 를 참조하라. 이는 Pascal [1659]에 형식화되어 있는 바와 같은 유클리드식 프로그램의 빠 뜨릴 수 없는 부분이다. Lakatos [1962], p. 158을 참조하라.
이러한 추상화는 수학 방법론의 몇 가지 문제를 해결하기 위한 강력한 수법 을 제공하고자 힐베르트 Hilbert가 고안한 것이다. 그러나 메타 수학적인 추상화의 범위를 벗어나는 문제도 있는바, 비형식적인 (실질적인) 수학 및 그 성장과
관련된 모든 문제들과 수학적인 문제 해결의 상황 논리와 관련된 모든 문제가 그러하다. 본인은 수학을 형식적이고 공리적인 추상화와 (그리고 수리 철학을 메타 수학 과) 동일시하는 수리 철학 학파를 〈형식주의자〉 학파라고 부를 것이다. 카르납 Carnap [1937]에서 이러한 형식주의자적인 입장에 대한 아주 분명한 진술을 찾아 볼 수 있다. 카르납은 다음과 같이 주장한다. (a) 〈철학은 과학의 논리로 대치되어야 한다……〉 (b) 〈과학의 논리는 과학 언어의 논리적 구문에 불과하다 ……>(c) 〈메타 수학은 수학 언어의 구문이다〉(pp. xiii 및 9). 다시 말해, 수리 철학은 메타 수학으로 대치되어야 한다. 수학에 대한 형식주의자들의 개념에 의하면, 수학 본연의 역사란 존재하지 않으므로, 형식주의는 수학의 역사를 수리 철학과 분리시키고 있다. 형식주의 자라면 누구라도 불Boole의 『사고의 법칙』 (1854)이 〈수학에 관해 쓰여전 최초 의 책〉 이라는 러셀 Russell 의 〈낭만적인〉 그러나 진지한 의견에 기본적으로 동 의할것이다.2)
2) Russell [1901]. 그 논문은 『수학과 형이상학』이라는 제목으로 Russell [1918]의 제 5 장 으로 출판되었다. 1953 년도 Penguin 판에서는 그 인용문기 p. 74 에 나온다. Russell 은 그 저서 [1918]의 서문에서 그 논문에 대하여 다음과 같이 말하고 있다. <그 논조에 대해 서는 편집자가 그 논문을 '가능한 한 낭만적으로' 써 달라고 나에게 부탁하였다는 사실이 부 분적으로 설명해 준다〉.
형식주의는 일반적으로 수학이라고 이해되어 왔던 것 대부분에 대해서 수학 의 자격을 부정하고 있으며, 따라서 수학의 성장에 대해서 이야기할 것이 아무 것도 없는 것이다. 수학 이론에 대한 그 어떤 〈창조적〉 시대도, 그 어떤 〈비판 적〉 시대도 형식주의자의 천국에의 입장은 용납되지 않을 것이다. 거기서 수학 이론은 지상의 불확실성이라는 불결함을 모두 쫓아내고 천사처럼 거주한다. 그 렇기는 해도, 흔히 형식주의자들은 타락한 천사를 위해 조그만 뒷문을 열어 놓 고 있다. 우리가 어떤 〈수학과 그 밖의 다른 것의 혼합물>에 대해, 〈어떤 의미 에서 그것들을 포함하는〉 형식 체계를 찾을 수 있다는 것이 판명되면, 그런 것 들도 천국에의 입장이 허용되기도 한다(Curry [1951],pp. 56-7).그러한 조건
때문에 뉴턴은 페아노Peano, 러셀, 콰인Quine이 미적분학울 형식화함으로써 그가 천국에 들어가도록 도와주기까지 4세기를 기다리고 있어야 하였다. 디락 Dirac은 보다 운이 좋아서 그의 생전에 슈바르츠Schwartz가 그의 영혼을 구 해 주었다. 아마도 여기서 우리는 메타 수학자가 직면하고 있는 역설적인 곤경 에 대해서 언급해야만 할 것 같다. 형식주의자적인 기준 또는 연역주의자적인 기준에서조차 말하더라도 메타 수학자는 정직한 수학자가 아니다. 듀돈네 Dieudonne 는 〈지적인 완전 무결성을 바라는 모든 수학자에게 부과되는 자신의추론을 공리적 형태로 표현하는 절대적 필요성〉에 대해 이야기하고 있다 (〔1939], p. 225), 현재 만연되고 있는 형식주의하에서는 칸트의 말을 다음과 같이 번안하고 싶어 진다. 수학의 역사는 철학의 인도를 받지 않아 맹목적이 되었으며, 반면 수리 철학은 수학의 역사에서 가장 흥미를 자아내는 현상에 등을 돌림으로써 공 허하게 되었다. 〈형식주의>는 논리 실증주의 철학의 보루이다. 논리 실증주의에 따르면 명제 는 오직 〈항진적〉이거나 또는 경험적일 때에만 의미가 있다. 비형식적 수학은 〈항진적〉이지도 않고 경험적이지도 않기 때문에 무의미한, 전혀 터무니 없는 것 일수밖에 없다.3)
3) Turquette 에 따르면, Godel 의 명제는 무의미한 것이다([1950], p.129) . Turquette 는 Godel 의 명제는 선험적 진이지만 분석적 전이 아니므로 선험에 대한 분석적 이론을 거부한 다고 주장한 Copi 에 반론을 펴고 있다([1949], [1950]). 그들은 모두, 이러한 관점에서 Godel 의 명제의 특수한 입장을 생각해 보면, 이들 정리가 비형식적인 수학의 정리이며, 실제로 어떤 특수한 경우에 비형식적인 수학의 상태에 대해 논의하고 있는 것임을 간과하고 있다.
논리 실증주의의 독단은 수학의 러사와 수리 설하에 해가 되어 왔다. 본 논문의 목적은 수학의 방법론에 관한 몇 가지 문제를 다루고자 하는 것이다. 본인은 〈방법〉이라는 용어를 폴리아와 베르나이스Bernays의 〈발견술〉4)， 포퍼의 〈발견의 논리〉나 〈상황 논리 situational logic〉5)와 같은 의미로 사용하고 있다.
4) Polya [1945], 특히 p.102 및 [1954], [1962a] ;Bernays 〔1947),특히 p.187. 5) Popper[1934] 그리고 [1945], 특히 p.90 (혹은제4판〔1962],p.97)및 [1957],pp.
147 이하. [* 역자 주―Popper 에 따르면, 인간의 행동은 대부분 그 행동이 일어나는 상 황을 통해, 곧 개인적인 이익이나 목적 또는 관련된 개인에게 이용될 수 있는 정보와 같은 상황적 요인으로 대체로 설명될 수 있으며 , 행동의 결정에서 상황 논리에 비해 심리적인 요 인은 매우 하찮은 것이다. 그는 상황의 분석, 상황 논리는 사회과학 연구에 있어서뿐만 아 니라 사회 생활에서도 마찬가지로 매우 중요한 역할을 한다고 보고 있으며, 그에 의하면 <합리적 행동>이라는 합리성이란 인간 본성에 따른 행동이라기보다 그 상황의 논리와 일치 하는행동이다.] 6) 이는 예를 들어 , Tarski [1930a]와 Tarski [1930b]에 의해 예시될 수있다. Tarski 는첫번째 논문에서 <형식화된 연역 과학>을 줄인〈연역 과학>이란 용어를 명시적으로 사용하고있다. 그는 다음과 같이 말하고 있다. 〈형식화된 연역적 학문은, 공간적인 실재가 기하의 연구 분야를 이루는 것과 대략 같은 의미로, 메타 수학의 연구 분야를 이룬다〉. 이러한 분 별있는 형식화는 두번째 논문에서 흥미롭게도 제국주의자식으로 뒤틀린다. 〈연역적인 학문 은 공간적인 실재가 기하의 주제를 이루고 동물기 동물학의 주제를 이루는 것과 꼭 마찬가 지 의미로 연역 과학의 방법론의 주제를 이룬다. 물론 모든 연역적인 학문이 과학적 연구 대상으로 적합한 형태로 제시되지는 않는다. 예를 들어, 명확한 논리적 기초 위에 놓여 있 지 않으며, 정확한추론규칙이 없고, 그정리가일상대화언어에서 흔히 사용되는 불명료 하고 부정확한 용어로 형식화되는―한마디로 형식화되지 않는 연역적인 학문은 과학적인 연구 대상으로 적합하지 않다. 메타 수학적인 연구는 결국 형식화된 연역적인 학문에 대한 논의에 한정된다〉. 혁신된 점은 첫번째 형식화에서는 메타 수학의 주제는 형식화된 연역 과 학이라고 말하고 있는 반면, 두번째 형식화에서는 메타 수학의 주제를, 비형식화된 연역적 인 과학은 전혀 과학적 연구에 적합한 대상이 되지 못한다는 이유만으로, 형식화된 연역적 인 학문으로 한정한다고 말하고 있다. 이는 형식화된 학문에 이르기까지의 경위는 과학적 연구의 주제가 될 수 없다는 것을 의미한다一매우 과학적인 진화론의 주제가 될 수 있는 동물학적인 종에 이르기까지의 경위와는 달리 어떤 수학 이론에 대한 문제 가운데에는 그것 이 형식화된 후에 비로소 다루어질 수 있는 것이 있다는 것을 의심할 사람은 아무도 없다. 이는 마치 인간에 관한 문제 가문계에는(말하자면 인간의 해부학에 관한 문제 ) 인간이 죽 은 후에 다룰 수 있는 것이 있는 것과 꼭 마찬가지이다. 그러나 이 사실로부터 인간은 〈죽 은〉 형태로 제시될 때에만 〈과학적 연구에 적합>하며, 따라서 생물학적 연구는 죽은 인간에 대한 논의에 한정된다고 결론을 내릴 사람은 거의 없을 것이다_＿새로운 강력한 해부 방
최근에 〈메타 수학〉의 동의어로 〈수학의 방법론〉이라는 용어가 사용되지 않게 된 것은 분명히 형식주의자의 입김이 작용한 것이다. 이는 형식주의자들의 수 리 철학에는 발견의 논리로서의 방법론이 들어설 적합한 자리가 존재하지 않음 을 말해 준다.6)
법이 나왔을 때 초기 해부학의 영광스러운 시절에 Vesalius 의 어떤 열성있는 제자가 생물 학을 사체의 분석과 동일시하였다면 본인은 놀라지 않을 것이지만. Tarski 는 그의 저서 [1941]의 서문에서 형식 체계와 다른 모든 종류의 방법론에 대한 부정적인 태도를 상술하 고 있다. <경험 과학의 방법론에 관한 연구 과정은…… 시험적인 탐색과 성공적이 못 되는 노력에 대한 평가와 비판에 주로 한정되어야 한다〉. 그 이유는, Tarski 는 과학적 이론을 〈어떤 규칙에 따라서 정리된 확언된 명제 체계로서〉 정의하기 때문에, 경험 과학은 비과학 적이기 때문이라는 것이다 (같은 책에서).
형식주의자들에 따르면 수학은 형식화된 수학과 동일하다. 그러나, 형식화된 이론에서 무엇을 발견해 낼 수 있는가? 두 가지를 발견할 수 있다. 첫째는, 적절히 프로그램된 튜링 Turing기계가 한정된 시간에 풀 수 있는 문제 (주장된 어떤 증명이 증명이냐 아니냐 하는 문제와 같은)의 해답을 발견할 수 있다. 그러 나, 그런 결정 절처에 의해 규정된 삭막한 기계적 〈방법>을 끝까지 추구하는 데 관심을 갖는 수학자는 없다. 두번째로, 〈통제되지 않은 통찰과 행운〉이라는 〈방 법〉에 의해서만 인도될 수 있는 문제 (비결정적인 이론에서 어떤 공식이 정리인지 아닌지 하는 문제와 같은)의 해답을 발견할 수 있다. 그러나 기계적인 합리주의와 맹목적 추측이란 비합리주의 사이에서 삭막한 선택을 하는 일은 살아 있는 수학7)에서는 문제가 되지 않는다.
7) 형식주의 철학의 가장 위험한 기행의 하나는 다음과 같은 습관이다. (1) 형식 체계에 대 한 어떤 것을-올바르게-이야기한다. (2) 그 다음에 이는 수학에 적용된다고 말한다 ――수학과 형식 체계를 동일시하는 것을 받아들이면 이 역시 옳다. (3) 이어서 , 의미를 은밀하게 바꾸어, 보통 의미의 〈수학>이란 용어를 사용한다. 따라서, Quine ([1951], p. 81)은 다음과 같이 말하고 있다. 〈이는 수학에 특징적인 상황을 반영한다. 수학자는 통제되지 않은 통찰과 행운에 의해 증명과. .마.주 친다. 그러나 그후에 다른 수학자들기 그의 증명을 검사할 수 있다〉. 그러나, 흔히 통상의 (비형식적인) 증명의 검사는 매우 미묘한 작업이 며 <요류>와 마주치려면 중명과 마주칠 때만큼의 통찰과 행운이 요구된다. 비형식적 증명에 서의 <요류>의 발견은 가끔 수십년-수세기는 아닐지라도――이 걸릴 수도 있다.
비형식적인 수학의 연구는 연구에 종사하는 수학자들을 위한 풍부한 상황 논 리, 기계적인 것도 아니고 비합리적인 것도 아니지만, 형식주의자들의 철학에 서는 인정될 수 없으며, 더군다나 고무될 수는 더욱 없는 상황 논리를 밝혀줄 것이다. 수학의 역사와 수학적 발견의 논리 곧, 수학적 사고의 계통 발생과 개체 발
생8)은 형식주의의 비판과 긍극적인 거부 없이는 개발될 수 없다.
8) H. Poincare와 G.Polya도종족발생을재현하는개체 발생에 대한 E.Haeckel의 <기 본적인 생물 발생적 법칙>을· 정신 발달 특히 수학적인 정신 발달에 적용할 것을 제안하였다 (Poincare [1908], p.135; Polya[1962b]). Poincare 의 말을 인용하면, 〈동물학자들은 어떤 동물의 태아 발달이 지질시대 전반을 거치는 동안의 그의 선조들의 전체 역사를 간략 히 재현한다고 주장한다. 정신 발달에서도 마찬가지인 듯하다……. 이 때문에 과학의 역사 는 우리의 첫째가는 안내자이어야 한다〉(원작자의 인가를 얻은 C. B. Halsted 의 번역 , p. 437).
그러나 형식주의 수리 철학의 뿌리는 .매 우 깊다 . 그.것은 독단주의 수리 철학의 긴 사슬의 가장 최근의 고리이다. 독단주의자와 회의주의자 사이에는 2 천년 이상 논쟁이 지속되어 왔다. 독단주의자들은 우리 인간의 지력 또는 감각의 힘으로 진리를 획득할 수 있으며 우리가 진리를 획득하였다는 것을 알 수 있다 고 주장한다. 반면, 회의주의자들은 (신비적인 경험의 도움이 없이는) 우리는 진 리를 획득할 수 없다고 주장하기도 하고 우리가 진리를 획득할 수 있는지 또는 진리를 획득하였는지 알 수 없다고 주장한다. 거듭 그러하였듯이 현재까지 논 쟁이 계속되고 있는 이러한 대토론 가운데에서 수학은 독단주의의 도도한 요새 가 되어 왔다. 어느 시대의 수학적 독단주의가 〈위기>에 처할 때마다 새로운 판 이 출현하여 진정한 엄밀함과 궁극적 기초를 다시금 제공해 주어, 결과적으로 권위적인 오류가 없는 반박될 수 없는 수학, 인류에게 부여함으로써 지금까지 신을 기쁘게 한 유일한 과학(Hobbes [1651], p.15)이라는 인상을 복구시켜 주곤 하였다. 그래서 대부분의 회의론자들은 독단주의 인식론의 이러한 요새의 난공 불략에 체념하게 되었다. 9) 지금의 도전은 때가 늦었다.
9) 독단주의자와 회의론자의 논쟁에서의 수학의 역할에 대한 논의에 대해서는 본인의 글 [1962]를 참조하라.
본 사례 연구의 핵심은 수학적 형식주의에 도전한 것이지만, 수학적 독단주 의의 궁극적 입장에 직접 도전하지는 않을 것이다. 그 가장 겸손한 목적은 비 형식적, 준경험적인 수학이 의심할 나위 없이 확립된 정리의 수가 단조롭게 증 가함으로써 성장해 가는 것이 아니라, 증명과 반박의 논리에 의해, 추측과 비 판에 의한 추측의 끊임없는 개선을 통해 성장한다는 점을 상세히 설명하려는
것이다. 그러나 메타 수학은 바로 지금 급속히 발달하고 있는 비형식적 준경험 적 수학의 한 패러다임이므로, 이 논문은 암암리에 수학적 독단주의에도 도전 할 것이다. 메타 수학의 최근의 역사를 공부하는 학생들은 자신의 분야에서 여 기서 기술되고 있는 패턴을 인지할 것이다.대화 형식은 실화의 변증법을 반영할 것이다. 곧 대화에는 일종의 합리적으로 재구성된 곧 <증류된>역사가 포함되도록 할 작정이다. 실제의 역사는 본문과 조화를 이루게 될 것이며, 따라서 각주 본문과 조화를 이루게 될 것이며, 따라서 각주에서 대부분은 본 논문의 유기적인한 부분으로 간주되어야 할 것이다.
제1장 증명과반박 1 문제와 추측 다음 대화는 가상적인 학급에서 이루어지고 있는 것이다. 그 학급 학생들은다음과 같은 문제에 흥미를 갖고 있다. 다면체 -특히 정다면체-의 꼭지점의 수V,모서리의수E, 그리고 면의 수 F사이에는 -정다각형의 꼭지.점과 변의 수 사이의 평범한 관계 곧, 꼭지점만큼의 모서리가 있다는 V=E 라 는 관계와 유사한-어떤 관계가 있는가? 다각형에서 V=E라는 관계가 있 으므로 변(또는 꼭지점)의 수에 따라서 다각형을 삼 각 형, 사각형, 오각형 등으로 분류할 수 있다. 그와 유사한 어떤 관계가 다면체를 분류하는 데 도움이 될것이다. 많은 시행착오 끝에 학생들은 모든 정다면체에서 V-E+F=2 임에 주목하게 된다.1)
1) 처음에 Euler [1758a]가 이에 주목하였다. 그가 원래 생각하고 있었던 문제는 다면체를 분류하는 문제였으며, 그 어려움은 편집자의 요약문 가운데에서 다음과 같이 지적되었다. 〈평면기하에서 다각형 (figurae rectilineae)은 그 변의 수――이는 물론 그 각의 수와 같지
만-에 따라 매우 용이하게 분류될 수 있는 반면에 , 구적법에서 다면체 (corpora hedris planis inclusa)의 분류는, 면의 수만으로는 이 목적을 달성하기에 불충분하기 때문에 , 훨 씬 난해한 문제를 제기한다〉.Euler 가 얻은 결과에 이르게 된 열쇠는 바로 꼭지점과 모서리 개념의 발명이었다. 면의수 이의에 다면체의 면 위의 점과 선의 수가 그 (위상적) 특성을 결정한다는 것을 처음으로 지적한 것은 그였다. 한편으로 그는 자신의 개념적 골격의 참신성을 열심히 강조하고, 변은 다각형에 관한 개념인 반면 그는 다면체에 대한 것을 원했기 때문에, 낡은 〈latus〉(변)란 용어 대신에 〈acies〉(모서리)란 용어를 발명해야만 하였으면서도, 다른 한편으로 그는 아직 접과 감은 꼭지점에 대해서
어떤 학생은 이러한 관계가 어떠한 다면체에서도 성립할 것이라고 추측한다. 다른 학생들은 이러한 추측이 잘못되었음을 입증하려 하고 그것을 매우 다양한 방법으로 검사 test 하고자 시도한다 ___ 그것은 유효하다. 여러 결과는 그 추측 울 확인 corroborate하고 그것이 증명될 수 있음을 암시한다. * 우리가 이 학급 에 들어선 것은 바로 이 단계――문제 제기 단계와 추측 단계 이후-이
* 역자 주-Lakatos의 수리 철학과 수학적 발견의 논리의 주요한 관념적인 근원의 하나 는 K. Popper 의 비판적 오류주의 철학이다. Popper 에게 어떤 이론이 과학적이기 위한 준거는 검사 가능성 testability 과 반박 가능성 refutability, 반증 가능성 falsifiability 이 며, 과학적 지식은추측과반박, 시행착오에 의해 성장하는것이다. 따라서 그에 따르면, 문제에 대한 해답을 추측한 다음에는 그를 확인 corroboration 할 수 있는 예를 발견하려고 기도하는 대신에 그를 반박할 수 있는 엄격하고 모험적인 검사를 시도해야 하며, 확인이 되 는 증거는 진정한 검사의 결과일 때 곧, 이론을 반박하려는 진지한 그러나 성공적이지 못한 기도의 결과로서 제시될 수 있을 때에만 고려되어야 한다.
다. 2) 이제 막 교사가 증명을 제시하려고 한다.
2) Euler 는 결론을 얻기 위하여 추측을 매우 철저하게 검사하였다. 그는 각기둥, 각뿔 등에 대하여 그 추측기 성립하는지 조사하였다. 그는 정다면체는 다섯 가지뿐이라는 명제도 그 추측의 한 결과임을 추가할 수 있었다. 추측된 또 다른 결과는 지도에 색을 칠하는 데 네 가지 색이면 충분하다는 지금까지 확인된 명제이다. V-E+F=2의 경우에 추측과 검사단계는 Polya의 저서([1954].vol.1,제3장의 처 음 다섯 개의 절, pp. 35-41) 가운데에서 논의되고 있다. Polya 는 거기서 멈추었으며 증 명 단계를 다루고 있지 않다一물론, 〈증명하는 문제>의 발견술의 필요성을 지적하고 있지 만(〔1945],p.144)． 우리의 논의는 Polya가멈춘곳에서 출발한다.
2 한가지증명 교사 ; 우리는 지난 시간에 다면체에 관한 한 가지 추측에 도달하였습니다. 곧, 모든다면체에서, V를 꼭지점의수, E를 모서리의수, F를 면의수라고 할 때, V-E+F=2 라고 하는 추측에 도달하였습니다. 우리는 그것을 여러 가 지 방법으로 검사하였습니다. 그러나 아직 증명하지는 못하였습니다. 누군가 증명을해 보셨는지요? 학생 Sigma ; 저 자신은 아직 이 정리에 대한 엄밀한 증명을 하지 못했음을 인정하지 않을 수 없습니다. ……그러나 그 정리가 참임이 많은 경우에 입증되 었으므로 그 정리가 모든 입체에 대하여 성립한다는 데에는 의심할 여지가 없 습니다. 그래서 그 명제는 만족스럽게 증명될 수 있을 것으로 생각됩니다. 3) 그 러나 만약 선생님께서 증명을 하셨다면 그 증명을 설명해 주셨으면 합니다.
3) Euler([1758a],p. 119, p. 124). 그러나, 후에 ([1758b])그는 한가지 증명을제시하였다.
교사 ; 사실 제가 한 가지 증명을 하였습니다. 그 증명은 다음과 같은 사고 실험으로 이루어집니다. 1 단계 ; 표면이 얇은 고무로 된 속이 비어 있는 다면 체를 상상해 봅시다. 어느 한 면을 잘라내면, 남은 면을 찢지 않고 칠판 위에 평평하게 늘어놓을 수 있을 것입니다. 면과 모서리는 변형될 것이고, 모서리는
그림 l 그림 2 (a) 그림 3 (b)
곡선이 될 수도 있지만, 그러나 V와 E는 변하지 않을 것입니다. 따라서, 본 래의 다면체에 대하여 V-E+F=2 이면 그때에 한하여 이 평평한 그물에 대해 서 V-E+F=l 이 될 것입니다――한 면을 제거하였다는 것을 기억하십시오 (그림 1은 정육면체의 경우에 대한 평평한 그물을 보여주고 있습니다). 2 단계 ; 이제 이 지도를 삼각형으로 나눕니다- 실제로 지도처럼 보이는군요. 아직 (어쩌면 곡선으로 된) 삼각형으로 나누어지지 않은 (어쩌면 곡선으로 된) 다각 형이 있으면 (어쩌면 곡선으로 된) 대각선을 그어 삼각형으로 나눕니다. 대각 선을 그릴 때마다 E 와 F 는 1 씩 늘어나므로 V-E+F 전체는 변경되지 않을 것입니다. 3 단계 ; 삼각형으로 분할된 그물에서 삼각형을 하나씩 제거해 나갑 니다. 삼각형을 하나 제거하려면 모서리를 하나 제거하거나·――그러면 면과 모서리가하나씩 사라집니다(그림 3(a))－또는 모서리 두개와꼭지점 하나 를 제거합니다. 그러면, 면 하나, 모서리 두 개, 꼭지점 하나가 사라집니다(그 림 3(b)). 따라서, 삼각형 하나를 제거하기 전에 V-E+F=l 이었다면 그 삼 각형을 제거하여도 V-E+F=l 은 변하지 않습니다. 이러한 절차를 계속해 나아가면 최종적으로 단 하나의 삼각형만이 남게 됩니
다. 이 삼각형에서 V-E+F=l 은 참이 됩니다. 따라서 우리는 추측을 증명하 였습니다.4)
4) 이 증명의 발상은 Cauchy에 연유한다(〔1813a]
학생 Delta ; 선생님은 이제 그것을 정리라고 부르셔야죠. 이제 그것을 더 이 상 추측이라고 할 수는 없지요. 5)
5) 이 증명이 의심의 여지 없이 <정리>를 확립하였다는 Delta 의 견해는 19세기의 많은 수학 자들이 공유하고 있었다. 예를 들면, Crelle [1826-7], 2, pp. 668-71, Matthiessen [1863],p. 449, Jonquiieres [1890a], [1890b]. 특징적인 구절을 인용하면, 〈Cauchy의 증 명 이후 우아한 관계 V+F=E+2 가 1752 년 Euler 가 언급한 바와 같이 모든 종류의 다면 체에 적용된다는 것은 절대적으로 확실하게 되었다. 1811년에 모든 -우유부단은 사라졌을 것이다〉. Jonquiieres [1890a], pp. 111-12.
학생 Alpha ; 의심이 드는데요. 저는 그러한 사고 실험이 정육면체나 정사면 체에 대해서 수행될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그러나, 그것이 모든 다면체에 대해서 수행될 수 있다는 것을 어떻게 알 수 있지요? 예를 들면 한 면을제거한 뒤에 어떠한 다면체라고 하더라도 칠판위에 평평하게 펼쳐 놓을 수 있다고 확신하시는지요. 선생님, 첫번째 단계가 의심스러운데요.학생 Beta: 지도를 삼각형으로 분할할 때 새로운 모서리 하나를 첨가할 때 마다항상 새로운 면을 얻을 것이라고 확실할 수 있는지요? 2단계가 의심스럽습니다학생Gamma: 삼각형을 하나하나 제거할 때 두 가지 경우- 한 모서리가 사라지거나그렇지 않으면 두 모서리와 한 꼭지점이 사라지는 경우뿐이라고 확신하시는지요?이러한 과정을 밞아갈 때 마지막에 단 하나의 삼각형만 남는다는 것을 확신하시는지요?3단계가 의심스럽습니다.
6) 이 학급은 비교적 고급 반이다. Cauchy 와 Poinsot 에게 , 그리고 19세기의 많은 다른 우 수한 수학자들에게 이러한 의문은 제기되지 않았다.
교사 ; 물론 확신할 수 없습니다. Alpha ; 그렇다면 전보다 더욱 곤란해졌군요 ! 이제 하나가 아니라 적어도 세 가지 추측을 하게 되었으니 ! 그런데 선생님은 이것을 〈증명〉이라고 부르십 니다!
교사 ; 나는 이러한 사고 실험에 대해 〈증명〉이라는 전통적인 이름이 약간 오 해를 일으킨다고 보는 것이 옳다는 것을 인정합니다. 증명이 추측이 참임을 확 립한다고 생각하지 않습니다. Delta ; 그러면 증명은 무엇을 합니까? 수학적인 증명은 무엇을 증명한다고 생각하십니까? 교사 ; 그것은 우리가 추후에 대답을 찾아 보려는 미묘한 질문입니다. 그때까 지 나는 사고 실험 thought-experiment 또는 〈준실험 quasi-experiment〉―이 는 본래의 추측을 부분 추측 곧 보조 정리 lemma 로 분해하여 그것을 가능한 한 매우 멀리 떨어진 지식체 가운데 끼워 넣는 것을 암시합니다만-대신에 전통적인 전문적 용어인 〈증명〉이란 말을 존속시키자고 제안합니다. 예를 들면, 우리가 한 증명은-결정체 또는 말하자면, 고체에 관한_본래의 추측을 고무판 이론 가운데 끼워 넣었습니다. 본래의 추측의 창시자인 데카르트나 오 일러는 확실히 이러한 것을 꿈도 꾸지 못하였습니다. 7)
7) 사고 실험 (deilmymi)은 수학적 증명의 가장 먼 옛날의 패턴이었다. 그것은 Euclid 이전 의 그리스 수학에서 널리 행하여졌다 (A. Szab6 [1958]을 참조하라) . 발견 순서에서 .추측 (혹.은 정 리)이 증명에 앞선다는 것은 고대 수학자들의 상식이었다. 이는 발견에서 〈분석>이 〈종합>에 앞선다는 데 기인한다. * 뛰어난 논의로 Robinson [1936] 을 참조하라. 〔*역자 주-그리스 수학자들은 작도 문제와 증명 문제의 해를 구하는 데 두 과정을 밟았다. 문제가 풀린 것으로 가정하고 그로부터 이미 알려져 있거나 참임이 입증 된 점에 도달 할 때까지 거꾸로 연구해 나아간 다음, 그 과정을 반대로 되밟아 그로부터 시 작하여 원하는 결과를 연역하였다. 첫번째 과정을 분석, 두번째 과정을 종합이라고 불렀 다.] Proclus에 따르면, 〈……먼저 구하는 것을 알 필요가 있다〉(Heath [1925],1,p. 129). 〈이르기를, 정리란 제시된 바로 그것의 증명을 노리고 제안된 것>이라고 Pappus 는 말한가(같은 책, 1, p. 10). 그리스 사람들은 미리 그것들을 추측해 보지 않고 연역해 내려 가는 과정에서 우연히 부딪친 명제에 대해 많이 생각하지 않았다. 그들은 그러한 명제를 계 (porisms) 또는 따름 정리라고 불렀는데 , 이는 정리의 증명이나 문제의 풀이에서 일어나는 우견한 결과, 직접 찾지 않았지만, 말하자면, 우연히 어떤 추가적인 노력 없이 나타나는, Proclus가 말한 바와 같이, 바람에 떨어진 과실 (ermaion)이나 보너스(kerdos)를 이루는 결과를말한다(같은책, 1,p.278). Euler에 대한편집자의 요약문에는 산술의 여러 정리 는 〈엄격한 증명에 의해 그것이 참임이 확증되기 훨씬 오래 전에 발견되었다.>는 구절이 나온 다. 편집자도 Euler 도 이러한 발견 과정에 대하여 고대의 용어인 〈분석〉 대신에 〈귀납>이란
현대적인 용어를 사용하고 있다(같은 책). 발견에서 논증보다 결과가, 증명보다 정리가 앞 서는 것은 수학적 민속학 가문계 깊은 뿌리를 내리고 있다. 친근한 주제에 대한 몇 가지 다 양한 내용을 인용해 보자. Chrysippus 는 Cleanthes 에게 다음과 같은 편지를 썼다고 한 다. <나에게 정리를 보내기만 하시오. 그러면 증명을 발견할 것입니다〉 (Diogenes Laertius [20이, VII. 179를 참조하라). Gauss는 다음과 같이 불평하였다고 한다. 서는 오랜 동 안 결과를 알고 있었다. 그러나 내가 어떻게 그에 이르렀는지 아직 모르고 있다〉(Arber [1945], p. 47을 참조하여라)． 그리고 Riemann은 다음과 같은 말을 하였다. 예가 정리를 갖기만 한다면 ! 그러면 상당히 용이하게 그 증명을 찾아낼 것이다〉(Hollder [1924], p. 487 을 참조하라) . Polya 는 다음과 같은 점을 강조한다. 〈어떤 수학적 정리를 증명하기 전에그것을 추측 하지 않으면 안된다〉([1954],vol. 1, p.vi) .〈준실험>이란 용어는 위에서 언급한 Euler 에 대한 편집자의 요약문 [1753]에 연유한다그 편집자에 따르면, 우리는 수를 순수한 지력의 소산으로 돌려야 하므로, 수의 본성을 탐 구하는 데 어떻게 관찰과 준실험을 사용할 수 있는지 거의 이해할 수 없다. 그러나, 실제로 내가 여기서 아주 합당한 이유를 갖고 보이려는 바와 걷이, 오늘날 알고 있는 수의 여러 가 지 성질은 대부분 관찰에 의해 발견되었다 …>(Polya의 번역, 그의 저서 [1954], 1, p. 3 에서 그는 그 인용문을 Euler 에게 잘못 돌리고 있다) .
3 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판 교사 ; 증명에 의해서 제기된 이와 같은 추측의 분할은 검사를 위한 새로운 시야를 열어줍니다. 분할은 추측을 더 넓은 전선으로 전개시킴으로써 비판의 표적이 더 많아지게 됩니다. 우리는 이제 반례를 제시할 한 번의 기회가 아니 라 적어도 세 번의 기회를 갖게 되었군요 ! Gamma ; 저는 이미 선생님의 세번째 보조. 정리 (곧, 펼친 다음 삼각형으로 나 누어 얻어지는 그물로부터 삼각형을 제거할 때, 한 모서리를 제거하거나 두 모서리와 한 꼭지점을 제거하는 단지 두 가지 가능성만이 있다는 것)에 대한 불만을 토로한 바 있습니다. 저는 한 개의 삼각형을 제거할 때 다른 패턴이 생길 수 있지 않 을까 하는 의심이 듭니다. 교사 ; 의심은 비판이 아닙니다. Gamma ; 그러면 반례 counterexample는 비판인가요?
교사 ; 물론이죠. 추측은 싫어함과 의심을 무시하지만 그러나 반례는 무시할 수없습니다. Theta(혼잣말로) ; 추측은 그것을 주장한 사람과는 분명히 아주 다르군. Gamma ; 평범한 반례를 제시해 보지요. 정육면체에 처음 두 조작을 수행하 여 얻어지는 삼각형 그물을 택합니다(그림 2). 이제 그 그물의 내부에서 삼각형 하나를 제거한다면, 마치 조각 그림 맞추기에서 가운데 조각을 들어내듯이, 단 하나의 모서리나 꼭지점도 제거되지 않고 삼각형 한 개가 제거됩니다. 그래서, 그 세번째 보조 정리는 거짓이 됩니다. 그리고, 그것은 정육면체의 경우뿐만 아니라, 평평한 그물로 변형하였을 때 모든 삼각형이 경계에 놓이게 되는 사면 체를 제의한 모든 다면체에 대해서 그러합니다. 선생님의 증명은 그래서 사면 체에 대한 오일러의 정리를 증명합니다. 그러나 우리는 이미 사면체에 대해서V-E+F=2라는 사실을 알고 있습니다. 그런데 그것을 왜 증명합니까?교사 ; 옳습니다. 그러나 세번째 보조 정리의 반례가 되는 정육면체는 본래 추측의 반례는 아님에 주목합시다. 왜냐하면, 정육면체에서는 V-E+F=2 이 기 때문입니다. 당신은 논증一증명-의 빈곤함을 보이기는 하였지만 우 리의 추측이 거짓임을 보인 것은 아닙니다. Alpha ; 선생님은 그러면 그 증명을 폐기하실 건가요 ? 교사 ; 아닙니다. 비판을 받았다고 해서 반드시 폐기해야 하는 것은 아닙니 다. 본인은 그러한 비판에 견디도록 본인의 증명을 개선할 것입니다. Gamma ; 어떻게요 ? .교사 ; 어떻게 하는지 보이기에 앞서 다음과 같은 용어를 도입하도록 하겠습 니다. 보조 정리를 반박하는 (반드시 본래의 추측을 반박하지는 않는) 예를 〈국소적 반례 local counterexample〉라고 부르겠습니다. 그리고, 본래의 추측 그 자체를 반박하는 예를 〈전면적 반례 global counterexample〉라고 부르겠습니 다. 그러면 Gamma군의 반례는 국소적 반례이기는 하지만 전면적 반례는 아 닙니다. 전면적인 반례가 아닌 국소적 반례는 증명의 비판입니다만 추측의 바 판은아닙니다. Gamma ; 그러면 추측은 사실일 수도 있지만, 선생님의 증명은 그것을 증명
하지 못하고있습니다. 교사 ; 그러나 본인은 그 보조 정리를 Gamma 군의 반례가 반박하지 못하는다소 수정된 보조 정리로 바꿈으로써 증명을 쉽게 다듬고 개선할 수 있습니다본인은 더 이상 어떠한 삼각형의 제거도 앞에서 언급한 두 가지 패턴 중 한 가지를 따른다고 주장하지 않으며, 단지 각 제거 조작 단계에 경계가 되는 각 삼각형의 제거는 그 패턴 중 한 가지를 따른다고만 주장합니다. 본인의 사고 실험으로 되돌아오면, 본인이 해야 할 것은 3 단계에서 단 한마디 말 곧 〈삼각형으로 나누어진 그물로부터 이제 경계가 되는 삼각형을 하나씩 제거한다>는 말만을 삽입하는 것입니다. 당신은 증명을 바로 잡기 위해서는 단지 평범한 관찰만이 필요하였다는 데 동의할 것입니다. 8)
8) Lhuilier 는 Euler 의 증명을 비슷한 방섭으로 수정하였을 때 , 단지 <평범한 관찰>만울 하 였다고 말하고 있다 ([1812-13a], p. 179) . 그러나 Euler 자신은 곤경에 주목하였지만 그러 한 <평범한 관찰>을 할 수 없었으므로 증명을 포기하였다.
Gamma ; 선생님의 관찰이 그렇게 평범한 것으로는 생각되지 않는데요. 실 제로 매우 재치있는 것이었다고 생각됩니다. 이 점을 분명하게 하기 위해서 저 는 그것이 거짓이라는 것을 보일 것입니다. 다시 정육면체를 평평하게 펼쳐 놓 은 그물을 생각하고 그림 4에서 주어전 순서로 열 개의 삼각형 가운데에서 여 덟 개의 삼각형을 제거합니다. 여덟번째 삼각형울 제거할 때, 그것은 그때까지 는 분명히 경계가 되는 삼각형입니다만, 우리는 두 개의 모서리를 제거하였지 만 꼭지점은 제거하지 않았습니다――이것은 V-E+F=l 만큼 변화시킵니다. 그리고 서로 연결되지 않은 두 개의 삼각형 9와 10 이 남게 됩니다.
교사 ; 좋습니다. 본인은 경계 삼각형이란 그 삼각형을 제거할 때 그물을 분 리시키지 않은 그러한 삼각형을 의미한다고 말하여 체면을 구할 수가 있을 것 같습니다. 그러나 지적인 정직성이 본인으로 하여금 〈본인은 ……한 것을 의미 하였다〉라는 문장으로 입장을 은밀하게 바꿀 수 없게 합니다. 그래서 본인은 이제 삼각형 제거 조작의 두번째 변형을, V-E+F 가 변하지 않는 방식으로 삼각형을 하나씩 제거한다는 세번째 변형으로 대치하지 않을 수 없음을 인정합 니다. Kappa ; 저는 그러한 조작에 대응하는 보조 정리가 참이라는 데 관대히 동의 합니다. 곧, 삼각형을 V-E+F 가 변하지 않는 방식으로 하나씩 제거한다면 V-E+F 는 변하지 않습니다.교사: 아닙니다. 그 보조 정리는 그물에서 삼각형에 번호를 붙여 올바른 순서로 삼각형을 제거할 때, 최종 삼각형에 도달할 때 까지 V-E+F가 변하지않을 것이라는 것입니다.Kappa ; 그러나, 그러한 순서가 아무튼 존재한다고 하더라도 그 순서를 어떻 게 구성합니까? 9) 선생님의 본래의 사고 실험은 삼각형울 임의의 순서로 제거 하라는 지시를 하였습니다. 선생님의 수정된 사고 실험은 경계 삼각형을 임의 의 순서로 제거하라는 지시를 하였습니다. 이제 선생님은 우리가 정해전 순서 를 따라야만 한다고 말씀하고 계십니다. 그러나, 어떤 순서를 그리고 그러한 순서가 도대체 존재하는지 안 하는지에 대한 말씀은 하지 않으십니다. 따라서, 사고 실험은 중단됩니다. 선생님은 증명 -분석, 곧 보조 정리의 열을 개선하였 습니다. 그러나, 선생님이 증명이라고 부르는 사고 실험은 사라졌습니다.
9) Cauchy 는 매 단계에서 두 모서리와 한 꼭지점을 제거하거나 한 모서리를 제거함으로써 제거될 수 있는 삼각형을 발견한다는 지시는 모든 다면체에 대해 평범하게 수행될 수 있다 고생각하였다([1813a], p.79). 이는, 그가 구와동위상이 아닌 다면체를 상상할수없었 다는것과관련된다.
Rho ; 단지 3 단계만 사라졌죠. Kappa ; 더구나, 선생님은 그 보조 정리를 개선하셨습니까? 선생님의 처음 두 가지 간단한 변형은 적어도 논박되기 전에는 당연히 참인 것처럼 보였습니
다. 이제 세번째의 길고 누덕누덕 기워 붙인 변형은 그럴 듯하게 보이지조차 않습니다. 선생님은 반박을 면하실 수 있다고 정말 믿으시는지요? 교사 ; 〈그럴 듯한> 명제나 〈평범한 참>인 명제조차도 곧바로 반박되는 일이 혼합니다. 비판 속에서 성숙한 복잡하고 그럴 듯하지 않은 추측이 진리와 마주 칠수도있습니다. Omega ; 그리고, 선생님의 〈복잡한 추측〉조차도 거짓임이 입증된다면 그리고 이때 그들을 거짓임이 입증된 추측으로 대치할 수 없게 된다면 어떻게 되지 요? 다시 말해 선생님이 더 이상 국소적 땜질로 논증을 더 이상 개선하는 데 성공하지 못하신다면 어떻게 되지요? 선생님은 반박된 보조 정리를 대체시킴 으로써 전면적인 반례는 아닌 국소적 반례를 극복하는 데 성공하였습니다. 다 음 번에 성공하지 못한다면 어떻게 하시겠습니까? 교사 ; 좋은 질문입니다. 그것은 내일의 안건으로 돌리도록 하겠습니다. 4 전면적 반례에 의한 추측의 비판 Alpha ; 저는 선생님의 첫번째 보조 정리가 거짓임을 입증할 반례를 가지고 있습니다. 그러나 이는 또한 본래의 추측에 대한 반례도 될 것입니다. 곧, 전 면적인 반례이기도 할 것입니다. 교사;정말!．흥미롭군요. 봅시다. Alpha ; 겹쳐 넣은 nested 한 쌍의 정육면체로 둘러싸인 입체－그중의 하 나가 다른 것 안에 있으나 서로 만나지 않는 한 쌍의 정육면체를 상상해 보십 시오(그림 5)．이 속이 빈 정육면체는 선생님의 첫번째 보조. 정리가 거짓임을 입증합니다. 왜냐하면 안에 있는 정육면체의 한 면을 제거하여도 이 다면체는 평면 위에 펼쳐 놓을 수 없을 것이기 때문입니다. 그렇게 하는 대신에 바깥쪽 의 정육면체의 한 면을 제거하여도 결과는 마찬가지입니다. 더욱이 각 정육면 체에 대해서 V-E+F=2 이므로, 속이 빈 정육면체에 대해서는 V-E+F=4
그림 5
입니다. 교사 ; 훌륭합니다. 이것을 반례 1 이라고 부르기로 합시다. 10) 그런데 어떻다 는것입니까?
10) Lhuilier가 처음으로 이 반례에 주목하였다([1812-13a], p. 194). 그러나, 편집자인 Gergonne 는 그 자신이 Lhuilier 의 논문이 나오기 오래 전에 이에 주목하였다고 덧붙이고 있다(p. 186) . 꼭 1 년 전에 그의 증명을 발표한 Cauchy 는 이에 주목하지 못하였다. 그리 고, 이 반례는 20년 후에 Hessel([1832],p.16)에 의해 재발견되었다. Lhuilier도 Hessel 도 광물학적인 채집물에서 안쪽 결정체는 반투명이 아니지만 바깥쪽 결정체는 반부 명인 몇몇 결정체에 주목함으로써 그러한 반례를 발견하기에 이르렀다. Lhuilier는 그의 친구긴 교수 Pictet의 결정체 채집물에서 자극을 받았음울 인정하고 있다([1812-13a], p. 188). Hessel 은 반平경의 칼슘 불화물 결정체 속에 둘러싸여 있는 납 황화물 정육면체에 대하여 언급하고 있다(〔1832],p.16).
(a) 추측의 기각. 항복방법 Gamma ; 선생님, 선생님의 침착성은 저를 당황하게 합니다. 단 하나의 반 례가 열 개의 반례만큼 효과적으로 추측을 반박하였습니다. 추측과 그 증명은 완전히 빗나갔습니다. 손을 드십시오. 선생님은 항복하지 않으실 수 없습니다. 거짓된 추측을 버리고 잊으신 다음 근본적으로 새로운 접근을 시도하십시오. 교사 ; 추측이 Alpha 군의 반례에 의하여 심각한 비판을 받았다는 데 당신과 의견을 같이 합니다. 그러나, 증명이 〈완전히 빗나갔다>는 것은 옳지 않습니다. 〈증명〉아라는 용어를 〈어떤 진리의 보증〉이라는 의미로 사용하는 대신에, 당분
간 〈본래의 추측을 부분 추측으로 분해하는 데 이르게 되는 사고 실험>에 대하 여 증명이라는 용어를 사용하자는 앞에서의 본인의 제안에 동의한다면 그런 결 론을 낼 필요는 없습니다. 본인의 증명은 두번째 의미로는 오일러의 추측을 확 실히 증명하였지만, 첫번째 의미로는 반드시 그렇지는 않습니다. 당신은 증명 하려고 의도한 것을 (증명〉하는 데에만 흥미를 보이고 있습니다. 본인은 증명이 의도하였던 과제를 성취하지 못한다고 하더라도 증명에 흥미를 갖고 있습니다. 콜롬부스는 인도에 도달하지 않았지만 매우 흥미 있는 것을 발견하였습니다. Alpha ; 그렇다면, 국소적 반례 (만약 그것이 동시에 전면적인 반례가 아니라 고 하면)는 증명에 대한 비판이지만 추측에 대한 비판은 아니라고 하는 선생님 의 철학에 따르면, 전면적인 반례는 추측에 대한 비판이지 반드시 증명에 대한 비판은 아닙니다. 선생님은 추측에 관해서는 항복에 동의하지만 증명을 방어하 고 계십니다. 그러나 추측이 거짓이라면 증명은 도대체 무엇울 증명합니까 ? Gamma ; 선생님의 콜룸부스와의 유추는 성립하지 않습니다. 전면적 반례를 받아문기는 것은 전면 항복을 뜻하지 않을 수 없습니다. (b) 반례의 거부. 괴물 배제법 Delta ; 그러나 왜 그 반례를 받아들입니까 ? 우리는 추측울 증명하였습니다. 이제 그것은 정리입니다. 그것이 소위 〈반례〉와 충돌하는 것은 시인합니다. 그 중 하나는 포기해야 합니다. 그러나 증명되었는데 왜 정리가 포기되어야 합니 까 ? 물러서야 할 것은 〈비판〉입니다. 그것은 가짜 비판입니다 . 이 한 쌍의 겹쳐 넣은 정육면체는 다면체가 전혀 아닙니다. 그것은 괴물이고 병적인 경우이며 반례가 아닙니다.Gamma ; 왜 아닙니까? 다면체란 표면이 다각형인 면으로 이루어전 입체입 니다. 그러므로제가.제 시한 이·반례는다각형 면으로둘러싸여 있는입체입니다. 교사 ;이 정의를 정의 1 이라고 부릅시다. 11)
II) 정의 1 은 18세기에 처음 나타난다. 예를 들어,(평면 혹은 평면인 면으로 둘러싸인 모든
입체에 다면의 입체 곧 간단히 다면체라는 이름을 준다〉 (Legendre [1809], p. 160) , 이와 비슷한 정의가 Euler에 의해 주어진다([1758a]). Euclid는 정육면체, 팔면체, 사면체, 각기둥을 정의한 반면 다면체란 일반적인 용어를 정의하지 않지만, 가끔 그 용어를 사용한 다(예를들어,제XⅡ권, 두번째 문제, 명제 17) .
Delta ; 당신의 정의는 옳지 않습니다. 다면체는 곡면이어야 합니다. 다면체 는, 면, 모서리, 꼭지점을 가지며 변형될 수 있고 펼쳐 놓을 수 있으며, <입체>개념과는 전혀 관계없습니다. 다면체란 다각형 체계로 이루어진 곡면입니다.교사: 이것을 정의2 라고 부르기로 합시다12)
12) 정의 2 는 Euler 의 정리를 반박하려고 한 사람들을 상대로 프랑스 학사원에서 발표한 Jonquieres 의 한 논문 가운대에 암묵적으로 포함되어 있음을 볼 수 있다. 이들 논문은 괴 물 배제기법의 보고이다. 그는 Lhuilier 의 겹쳐 넣은 괴물 같은 한 쌍의 정육면체를 다음 과 같이 몹시 비난하고 있다.<그와 같은 체계는 실제로 다면체가 아니라 서로 독립적인 구 별되는 다면체 한 쌍이다·… 다면체란 적어도 고전적인 관점에서는, 무엇보다도 먼저, 한 점이 그 전 표면 위를 연속적으로 움직일 수 있을 때에만 그러한 이름을 붙일 자격이 있다.여기서는 그렇지가 못하다……따라서, Lhuilier 의 이러한 첫번째 예의는 폐기될 수 있다. >([1890b] , p. 110) . 이 정의는-정의1과 반대되는 비-그러한 다면체 이론에 전혀 관심이 없으나 곡면론의 하녀로서만 다면체에 관심을 두는 해석학적 위상 수학자들에게 매우잘받아들여진다.
Delta ; 따라서 실제로 선생님은 우리들에게 두 개의 다면체 -한 쪽이 다 른 쪽의 안에 있는 두 개의 곡면――를 보여주셨습니다. 자궁 속에 한 아이를 가지고 있는 부인은 인간의 머리가 하나라는 명제의 반례가 되지 않습니다.Alpha ; 그렇습니다 ! 제가 든 반례는 다면체의 새로운 개념을 만들어 내었습니다. 그렇다고 당신은 다면체가 항상 곡면을 의미한다고 감히 주장하십니까? 교사; 잠시 동안 Delta 군의 정의 2를 받아들입시다. 자 이제 다면체가 곡면 울 의미한다면 당신은 이제 우리의 추측을 반박할 수 있습니까 ? Alpha ; 물론입니다. 한 모서리를 공유하고 있는 두 사면체를 택합니다(그림 6(a)). 또는 한 꼭지점을 공유하고 있는 두 사면체를 택합니다(그림 6(b)). 이 들 두 쌍둥이들은 연결되어 있고 둘이 하나의 곡면을 구성하고 있습니다. 그러 나, 이들 두 도형에 대하여 V-E+F=3 임을 확인할 수 있습니다.
(a) (b) 그림 6
교사 ; 반.례 2.a. 와. 2b.13 )
13) Lhuilier는 반례 2a와 2b를 간과하였으며 Hessel 이 비로소 처음으로 발견하였다 (〔1832] , p. 13) .
Delta ; 저는 당신의 비뚤어진 상상력에 탄복합니다. 그러나 물론 저는 다각형 체계 모두가 다면체라고 생각하지 않습니다. 제가 생각하는 다면체는 (1)모든 모서리에서 꼭 두 개의 다각형이 만나고 (2) 임의의 다각형의 내부로부터다른 다각형의 내부로, 결코 꼭지점에서는 모서리와 만나지 않는 길을 통하여갈 수 있는 형태로 배열된 다각형 체계를 뜻합니다. 당신의 첫번째 쌍둥이는저의 정의의 첫번째 조건에 의해서 제외되며, 두번째 쌍둥이는 두번째 조건에의해서 제외될 것 입니다. 교사;정의 3,14)
I4) 정의 3은 Mobius 의 논문(〔1865], p. 32)에서 쌍동기 사면체를 들여 놓지 않도록 처음으 로 조정되었다. 그의 성가신 정의는 보통의 권위주의적인 방식인 〈취하거나 버려라>식으로 된 몇몇 현대적인 교과서 가운데에서 재생되어 있다. 그의 괴물 배제의 배경에 대한-적 어도 그것을 설명해 줄 이야기는 전해지고 있지 않다 (예를 들어 , Hilbert 와 Cobn-Vossen [1956], p. 290).
Alpha ; 당신의 마음에 드는 아이디어의 왜곡을 막기 위한 장애물과 같이 정 의를 차례로 고안해 내는 Delta 군의 비뚤어전 천재성에 경탄합니다. 왜 다면 체를 방정식 V-E+F=2 가 만족되는 다각형 체계라고 바로 정의하지 않으십 니까? 이 완전한정의라면…….
Kappa ; 정의 P.. 15)
I5) 정의 P는 R. Baltzer에 의해 실제로제안되었는바, 이에 따르면 Euler성질은 다면체를 정의하는 한특성일 것이다. <보통 다면체는(Hessel 에 따르면) 가끔 Euler 다면체라고 불 린다. 진짜가 아닌 (uneigentliche) 다면체에 대한 특별한 명칭을 찾아 보는 것이 더 적절할 것이다〉([1862], vol. 2, p. 207) , Hessel 을 인용한 것은 공정하지 못하다. Hessel 은 비 Euler 다면체와 대조적으로 Euler 의 관계가 성립하는 다면체에 대하여 약어로 간단히(Euler 성질을 갖는 Euleri an)o1란 용어를 사용하였다. 정의 P 에 대하여는 아래 주 16) 에나오는 Schlafli 의 인용문도 참조하여라.
Alpha ; ·····논쟁을 영원히 해결해 버릴텐데. 더 이상 이 내용을 연구해 볼 필요도 없어질 것입니다. Delta ;그러나, 괴물에 의하여 거짓임이 입증될 수 없는 정리는 이 세상예는 없습니다. 교사 ; 말을 가로 막아 미안합니다. 보신 바와 같이 반례에 의한 반박은 문제 가 되는 용어의 의미에 좌우됩니다. 반례가 객관적 비판이 되기 위해서는 용어 의 의미에 합의하지 않으면 안 됩니다. 의사 소통이 안될 때 정의를 함으로써 그러한 합의에 도달할 수도 있습니다. 본인 자신은 다면체를 정의하지 않았습니다. 본인은 그 개념과의 친숙성, 곧 다면체인 것과 다면체가 아닌 것을 구별할 수 있는 능력-몇몇 논리학자들이 다면체 개념의 외연을 알고 있다고 말 하는 것-을 가정하였던 것입니다. 그 개념의 외연은 전혀 명확하지 않았다는 것이 판명되었습니다. 정의는 흔히 반례가 생길 때 제시되고 논의됩니다.우리는 지금 경쟁적인 정의를 함께 생각하고 있는데 서로 다른 정의를 택하는 데서 연유되는 결과의 차이에 관한 토론은 뒤로 미룰 것을 제안합니다. 누가 가장 제한된 정의조차 진정한 반례로 허용하게 될 그런 어떤 것을 제시할 수 있습니까?Kappa ; 정의 P 를 포함해서 말입니까 ? 교사;정의 P 는제의합니다.Gamma ; 제가 할 수 있습니다. 이 반례 3, 곧 별 다면체 star-p olyhedron 를살펴보십시오. 저는 그것을 성게 urchin라고 부르겠습니다(그림 7). 이것은 12개의 별 오각형 star-pentagon으로 이루어져 있습니다(그림 8), 꼭지점이 12
그림 7 케플러의 별다면체 그림 8 어느 삼각형이 같은 오각형면에 속하는지를 나타 내기 위하여 서로 다르게 빗금이 그어져 있다.
개, 모서리가 30개, 면이 12 개입니다. 세기를 좋아하시면 검사해.보십시오. 따라서 , 이 다면체에 대하여 V-E+F= -6 이므로 데카르트―오일러의 명제 는 절대로 참이 아닙니다. 16)
I6) 〈성게>는 처음 Kepler에 의해 그의 우주론에서 논의되었다([1619], 제Il,XIX권 및 제XXV1권 , p. 72, pp. 82-3, 그리고 제 V권, 제 1 장 , p. 293, 제 Il 장, p. 299 및 제 IX , XL VlI 장) . 〈성게 >란 명칭은 Kepler 가 불인 것이다 ('cui nomen Echino feci') . 그림 7 은 그의 책 (p. 79)으로부터 복사한 것인바, 그 책 p. 253 에도 다른 그립이 포함되어 있다. Poinsot. 는 독립적으로 그것을 재발견하였으며, Euler 공식이 그에는 적용되지 않음을 지적한 것은 그였다([1810],p. 48). 현재의 표준용어인 〈작은 별 모양의 12면체>는 Cayley가불인 것 이다([1859], p. 125) . Schllofli 는 일반적으로 별 다면체를 받아들였지만 그럼에도 불구하 고 작은 별 모양의 12 면체를 괴물이라고 보아 거부하였다. 그에 따르면, 〈이것은 진정한 다면체가 아니다. 왜나하면, 그것은 조건 V-E+F= 2를 만족시키지 않기 때문이다〉 ([1852],§ 34).
Delta :왜 당신은 〈성게〉가 다면체라고 생각하십니까? Gamma ; 안 보고 계십니까? 이것은 면이 12개의 별 다각형인 다면체입니 다. 이것은 당신의 마지막 정의를 만족시킵니다. 그것은 <(1) 모든 모서리에서 꼭 두 개의 다각형이 만나고 (2) 임의의 다각형으로부터 임의의 다른 다각형으 로 다각형의 꼭지점을 전혀 통과하지 않는 방식우로 배열된 다각형 체계〉입니다. Delta ; 그런데 당신은 다각형이 무엇인지조차 모르고 계시군요. 별 오각형은
확실히 다각형이 아닙니다. 다각형이란 (1) 모든 꼭지점에서 반드시 두 변이만나고 (2) 변은 꼭지점을 제외하고는 공유점을 갖지 않는 방식으로 배열된변의 체계입니다. 교사: 이것을 정의 4라고 부릅시다.Gamma ; 왜 두번째 절을 포함시켰는지 모르겠습니다. 다각형의 올바른 정 의는 첫번째 절만을 포함해야 합니다. 교사;정의 4'.Gamma ; 두번째 절은 다각형의 본질과는 관계가 없습니다. 보십시오. 제가 한 변을 약간 들어 올리면 별 오각형은 벌써 당신의 의미로 보아도 다각형입니 다. 당신은 혹판 위에 분필로 그려지는 다각형을 상상하고 있지만 그것은 하나 의 나무 구조로서 상상해야 합니다. 그러면 당신이 공유점이라고 생각하는 것 은 실은 한 점이 아니고 서로 포개어져 있는 서로 다른 두 점이라는 것은 분명 합니다.다각형을 평면 속에 넣음으로써 판단을 그르쳤습니다. 다각형의 수족이 공간에서 펴지도록 해야 합니다. 17)
17) 별 다각형을 포함하도록 다각형이 정의되어야 할 것인지 아닌지 (정의 4의 정의 4'）에 대 한 논쟁은 매우 오래된 논쟁이다. 별 다각형은 보다 높은 차원의 공간에 넣을 때 보통 다각 형이 된다는 우려의 대화에서 주장된 논거는 현대적인 위상수학적 논거이지만 여러 가지 다 른 주장을 제기할 수 있다. 따라서, Poinsot 는 그의 별 다면체를 옹호하면서 해석 기하학 으로부터 원용한· 논거에 의해 별 다각형의 용인울 주장하였다…. (‘보통' 다각형과 별' 다 각형 사이의) 이러한 모든 구분은 실제적이라기보다도 의견적인 것이며 , 다각형의 여러 가 지 종류를 거의 분리할 수 없는 해석학적 취급에서는 완전히 사라진다. 정다각형의 변에는 실근을 가진 한 방정식이 대응되며, 이는 동시에 같은 위수의 모든 정다각형의 변을 산출한 다. 따라서, 동시에 제 2종과제 3종의 7각형의 변을구하지 않고 내접 정 7각형의 변을 얻는 것은 불가능하다. 거꾸로, 정 7각형의 변이 주어지면 그 외접원의 반지름을 결정할 수 있지만, 그렇게 하는 가운데 주어전 변으로 구성될 수 있는 세 가지 종류의 7각형에 대 응하는 세 가지 서로 다른 원을 구하게 될 것이다. 다른 다각형에 대해서도 마찬가지이다. 中1,이들 새로운 별 도형에 <다각형>이란 명칭을 부여하는 것은 정당하다([1810], p. 26). Schrt!der 는 Hankel 의 다음과 같은 논의를 원용한다. 〈원래 정수와만 관련된 거듭제 곱 개념을 유리수로 확장하는 것은 대수에 매우 효과적이었다. 이러한 사실은 기회가 생길 때 마다 기하에서 같은것을시도해 보라는 암시를 준다……〉(〔1862],p.56). 그다음에 그는별 다각형에서 p/q 변 다각형 개념에 대한 기하학적 해석을 찾아 볼 수 있음을 보여주고 있다.
Delta ; 그렇다면 별 오각형의 넓이는 무엇인지 말해 주시겠습니까 ? 그렇지 않으면 어떤 다각형은 넓이를 갖지 않는다고 밀씀하시겠습니까? Gamma ; 다면체와 입체성의 개념은 아무 관계가 없다고 말한 것은 바로 당 신이 아니었습니까 ? 왜 이제 다각형의 개념이 넓이 개념과 연계되어야 한다는 제안을 하십니까? 우리는 다면체란 모서리와 꼭지점을 갖는 닫혀진 곡면이라 는 데 동의하였습니다——그렇다면 다각형은 꼭지점을 가진 폐곡선이라는 데 왜 동의하지 않으십니까? 그러나, 만약 당신이 자신의 생각에 집착한다면 별 다각형의 넓이를 기꺼이 정의하겠습니다. 18)
I8) 별 다각형의 넓이를 정의할 수 있다는 Gamma 의 주장은 허세가 아니다. 다각형의 보다 넓은 개념을 옹호한 몇몇 학자들은 다각형의 넓이의 보다 넓은 개념을 제시함으로써 그 문 제를 해결하였다. 별 정다각형의 경우에 그렇게 할 수 있는 특히 분명한 방법이 한 가지 있 다. 다각형의 넓이를 내접원이나 의집원의 중심을 변과 연결하는 이등변 삼각형의 넓이의 합으로 택할 수도 있다. 이 경우에 물론 별 다각형의 어떤 〈부분>은 한 번 이상 계산될 것이 다. 어떤 두드러진 한 점을 찾지 못한 불규칙한 다각형의 경우에는 그러나 임의의 접을 원 점으로 택하여 음의 방향의 삼각형은 음의 넓이를 갖는 것으로. 취급할 수도 있다(Meister 〔1771], p. 179) . 이렇게 정의한 넓이는 원접의 선택에 좌우되지 않을 것이라는 점이 드러 나며 이는 넓이라는 것으로부터 확실히 기대될 수 있다(Mobius [1827],p.218). 물론 Meister-Mobius 정의의 옹호자들은 그것을 싼지 과학적으로 정당화된〉 <바른 정의>라고 부르지만, 이러한 계산에 의해 생산된 수를 <넓이>라고 부르는 것은 정당하지 않다고 생각 하는 사람들과 논쟁이 있기 쉽다(R. Haussner의 주석 [1906],pp.114-15). 본질주의는 정의에 대한 논쟁에서 언제나 등장해온 얼굴이다.
교사: 이 논쟁을 잠시 멈추고 앞에서와 같이 진행합시다. 마지막 두가지 정의-정의4와 정의4'를 함께 생각해 봅시다. 누가 우리의 추측에 대한 반례로 다각형의 두 가지 정의를 모두 만족시키. 는. .것 을 들 수 있습니까 ? Alpha ; 여기 하나 있습니다. 이와 같은 사진틀을 생각해 봅시다(그림 9) . 이 것은 지금까지 제시된 어떤 정의에 따르더라도 다면체입니다. 그럼에도 불구하고, 꼭지점 , 모서리, 면을 세어 보면 V-E+F=o이 됨을 알 수 있을 것입니다. 교사; 반례 4. 19)
19} Lhiliier의 고전적인 책 [1812-13a],p.185 에도 반례 4가 나온다-Gergonne는 그 것을 알고 있었다는 점을 다시 덧붙였다. 그러나, Grunert는 14년 후에도 그것을 알고 있 지 못하였으며 ([1827], Poinsot는 45년 후에도 그것을 알지 못하였다([1858], p. 67).
Beta ; 그것으로 우리의 추측은 끝장입니다. 아주 많은 경우에 성립하였는 데 정말로 유감입니다. 그러니 우리는 시간만 낭비했던 것 같습니다. Alpha ; Delta 군, 저는 당황스럽습니다. 당신은 왜 아무 말씀도 않습니까 ? 이 새로운 반례를 소멸시키는 정의는 할 수 없습니까? 당신은 적절한 언어적 묘기로써 왜곡으로부터 구할 수 없는 가설은 이 세상에는 없다고 생각하였습니 다. 이제 포기하려 하십니까? 마침내 비오일러 다면체가 존재한다는 것을 인 정하십니까? 믿을수 없군요! Detla ; 당신은 정말로 그 비오일러적인 골칫덩어리에 대한 보다 적절한 이름 을 찾아 보고, 그런 것들을 〈다면체〉라고 부름으로써 우리 모두를 오도하지 않 도록 해야 할 것입니다. 저는 점점 당신의 괴물에 홍미를 잃고 있습니다. 저는 오일러의 아름다운 정리가 성립하지 않는 당신의 그런 통탄할 〈다면체제 역겨 움을 느끼게 됩니다. 20) 저는 수학에서 질서와 조화를 찾고 있습니다만 당신은 단지 무질서와 혼란을 증식시키고 있습니다. 21) 우리의 태도는 화해할 수 없는
20) 이는 Hemlite 가 Stieltjes 에게 쓴 편지의 다음과 같은 말을 바꿔서 쓴 것이다. 〈본인은 도함수를 갖지 않는 함수의 이러한 통탄할 재앙으로부터 공포의 몸서리를 치고 얼굴을 돌립 니다〉. 21) 보편적이기를 희망한 법칙을 어기는… 함수를 다루는 연구는 과거의 세대가 질서와 조 화를 찾았던 곳에서 무질서와 혼란을 증식시키는 것과 거의 같은 것으로 간주되었다(Saks [1953]，서문). Saks는 여기서 괴물 배제자(Hemlite와 같은! )와, 19세기 마지막 10 년 동안에 (그리고 20세기초에 참으로) 현대 실함수 이론, <반례를 다루는 수학의 분야>의
발달을 특징짓는 반박자 사이의 격렬한 전두에 대하여 언급하고 있다(Munroe [1953], 서 문) . 현대 수학적 논리학 및 집합론의 반대자와 주역 사이에 후에 휘몰아친 이와 유사한 격 렬한 전투가 이에 직접 이어졌다. p. 48 주 24) 및 p. 49 주 25）도 참조하여라.
것입니다. Alpha ; 당신은 정말 구식의 보수주의자군요 ! 당신은 〈질서나 조화>를 망친 무정부주의자의 사악함을 비난하시고, 언어적인 충고로써 어려움을 〈녹이고〉 있 습니다. 교사 ; 최신의 구제 정의를 들어 봅시다. Alpha ; 최신의 언어적 묘기, 〈다면체〉 개념의 최신의 축소판을 뜻하시는군 요 ! Delta 군은 실제 문제를 해결하는 대신에 그것을 소멸시켜 버릴 것입니다. Delta ; 저는 개념을 축소시키지 않습니다. 개념을 확장한 것은 당신입니다. 예를 들면, 이 사진틀은 진정한 다면체가 전혀 아닙니다. Alpha: 왜요? Delta ; 터널-틀에 의해서 둘러싸여 있는 공간 __ 에 임의의 한 점을 잡 읍시다. 이 점을 지나도록 한 평면을 놓아 봅시다. 그러한 평면은 항상 사진틀 과, 서로 다른 두 개의 단면을 가질 것이고 이는 완전히 떨어져 있는 두 다각 형을 이룸울 알게 될 것입니다(그림 10). Alpha ; 그래서 어쨌다는 것입니까 ?
그림 10
Delta: 진정한 다면체의 경우에는 공간에 있는 어떤 임의의 점을 지나며다면체와의 단면이 한 개의 다각형을 이루는 평면이 적어도 하나는 있을 것입니다. 볼록 다면체의 경우에는 점을 어느 곳에서 택하든 모든 평면이 이 요구를 만족시킬 것입니다. 보통의 오목 다면체의 경우에도 어떤 평면은 단면을 더 많 이 가질 것이지만 하나의 단면만을 갖는 것이 늘 존재합니다(그림 11 (a), (b)). 이 사진틀의 경우에는 터널 속의 점을 택하면 모든 평면은 두 단면을 가 질 것입니다. 그런데 (이것을) 어떻게 다면체라고 부를 수 있겠습니까? 교사 ; 이것.은 또 . 다른 정의같이 생각됩니다. 이번에는 일종의 잠재적 정의군 요. 이것을 정의 5 라고 부릅시다. 22)
22) 정의 5 는 터널 (사진틀)을 가진 Lhuilier 의 다면체를 배제하기 위하여 끈질긴 괴물 배제 자인 E. de Jonquieres 에 의해 제시되었다.〈이 다면체형 복체는 통상적인 의미에서 진정 한 다면체가 아니다. 왜냐햐면, 그 입체를 바로 관통하는 한 터널 안에 있는 임의의 한 점 을 지나는 임의의 평면을 택하면 그에 의해 생기는 단면은 서로 완전히 분리된 두 개의 서 로 다른 다각형으로 이루어질 것이기 때문이다. 이는 교차하는 평면이 어떤 위치에 있을 때 보통 다면체 곧, 어떤 오목 다면체의 경우에 일어날수 있지만 그런 것 모두가 그렇지는 않 다〉([1890b], pp. 170-1). de Jonquieres 가 정의 5는 어떤 오목 타원체형 디면체도 배제 한다는 것에 주목하였는지 어떤지는 의심스럽다.
Alpha ; 일련의 반례와 그에 필적하는 일련의 정의, 아무것도 새로운 것을 포함하고 있지 않으나 반례가 있는 만큼의 〈감추어진〉 구절을 가지고 있는 듯한
그 하나의 낡은 개념의 풍부함을 새롭게 나타내 보이는 데 지나지 않는다고 단 언할 수 있는 일련의 정의. 모든 다면체에 대해서 V-E+F=2 라는 것은 혼둘 수 없는 오래된 〈영원한〉 진리인 듯합니다. 그런데 옛날 옛적에 그것은 도전과 흥분으로 가득 찬 훌륭한 추측이었다고 생각하니 이상하군요. 이제 당신의 기 묘한 의미 변경에 의해서 그것은 하나의 빈곤한 규약, 비열한 독단 나부랭이로 변해 버렸습니다(그는 교실을 떠난다). Delta ; Alpha 군과 같이 능력 있는 사람이 어떻게 그의 재능을 단순한 조롱 으로 낭비하는지 본인은 이해할 수 없습니다. 그는 기형을 만들어 내는 데 여 념이 없어 보입니다. 그러나 기형은 자연의 세계에서도 사고의 세계에서도 성 장을 촉진하지 않습니다. 진화라는 것은 언제나 조화롭고 질서 있는 패턴에 뒤 따르는것입니다. Gamma ; 발생론자들은 그것을 쉽게 반박할 수 있습니다. 기형을 생산하는 돌연변이가 대역적 전화에서 상당한 역할을 한다는 것을 들은 적이 없습니까? 그들은 그러한 괴물 같은 돌연변이체를 〈유망한 괴물〉이라고 부릅니다. 본인에 게는 Alpha 군의 반례는 괴물이지만 유망한 괴물인 듯합니다. 23)
23) <오늘 괴물로 나타난 것이 내일 특별한 적응 노선의 기원이 될 것임을 잊어서는 안 된다 …. 더욱이 본인은 유망한 괴물이라고 부를 수 있는 것, 곧 어떤 비어 있는 환경적 적소에 맞추어지면 새로운 전화 노선을 출발시킬 괴물을 일으킬, 결정적인 태생 과정의 진도에 영 향을 주는 드물지만 지극히 필연적인 돌연변이의 중요성을 강조하였다〉(Goldschmidt, [1933], pp. 544, 547). 내가 이 논문계 주목하게 된 것은 Karl Popper 덕분이었다.
Delta ; 어쨌든 Alpha 군은 논쟁을 포기하였습니다. 이제 이 이상의 괴물은 없습니다. Gamma ; 새로운 것이 하나 있습니다. 그것은 정의 1, 2, 3, 4, 5 의 제한점을 모두 만족하지만, V-E+F= l 입니다. 이 반례 5 는 단순한 원기둥입니다. 세 개의 면(윗면, 아랫면, 옆면), 두 개의 모서리(두 개의 원)를 가지고 있지만 꼭지점은 없습니다. 그것은 (1) 모든 모서리에서 꼭 두 개의 다각형이 만나고, (2) 임의의 다각형의 내부로부터 다른 임의의 다각형의 내부로 어떤 모서리와 도 꼭지점에서는 결코 만나지 않는 길을 통해 도달하는 것이 가능하다는 당신
의 정의에 따르면, 다면체입니다. 그리고, 그 면을 진정한 다각형으로 받아들 이지 않으면 안 됩니다. 그들은 (1) 모든 꼭지점에서 꼭 두 개의 변이 만나고, (2) 변은 꼭지점을 제의하고는 공유점을 갖지 않는다는 당신의 요구 조건을 만 족하기 때문입니다. Del ta ; Al p ha 군은 개념을 확정하였습니다만, 당신은 개념을 분열시키고 있군요 ! 당신이 말하는 변은 변이 아닙니다 ! 변이란 두 개의 꼭지점을 갖습니다 !교사;정의 6? Gamma ; 그러나, 왜 꼭지점을 하나 갖거나 꼭지점이 없을 수도 있는 변에 대하여 〈변〉의 자격을 거부합니까? 당신은 개념을 축소하곤 하였지만 이번에는 거의 아무것도 남지 않도록 그들을 절단해 내고 있군요. Delta ; 그러나 이와 같은 소위 반박의 무익성을 당신은 모르십니까 ? 이제까 지는 새로운 다면체가 발명될 때, 그것은 어떤 실제적인 목적 때문이었습니다. 오늘은 우리 선조들의 추론의 흠을 잡기 위하여 일부러 새로운 다면체를 만들 어 내고 있는바, 그들은 그로부터 그 이상 아무것도 얻는 바가 없을 것입니다. 우리의 주제는, 버젓한 보통의 다면체는 아주 작은 구석에 놓여 있을 수 있어 도 다행인 그런 기형학 박물관으로 변하고 있습니다. 24)
24) Poincare 의 글([1908], pp. 131-2)로부터 말을 바꾸거 쓴 것이다. 원래의 본문 전체는 다음과 같다. 논리는 가끔 괴물을 만든다. 반세기 전부터 어떤 목적에 도움이 되는 정직한 함수 가능한 한 거의 닮지 않도록 하려한 듯한 기괴한 많은 함수가 나타나는 것을 보아 왔다. 이상 연속이 아니거나, 아마도 연속일 데지만 도함수를 갖지 않는 함수 등. 아니 더 이상 그렇지가 않다. 논리적 관점에서 가장 일반적인 함수는 이러한 기묘한 함수기며 찾 아 보지 않고도 대하게 되는 함수는 특별한 경우로서밖에는 더 이상 나타나지 않는다. 그들 을 위해서 아주 작은 귀퉁이만이 남아 있다〉. <지금까지는 새로운 함수가 발명될 때 그것은 실제적인 목적을 위한 것이었다. 오늘날 새 로운 함수는 우리 선조들의 추론의 결점을 명확히 잡기 위하여 발명되며 그로부터 그 이상 어떤 것을 얻지 못할 것이다〉. <만일 논리가 교사의 유일한 길잡이라면, 가장 일반적인 함 수 곧 가장 기괴한 함수로 시작할 필요가 있을 것이다. 이러한 기형학 박물관과 맞불거 싸 우게 해야할것은초보자이다……〉
Gamma ; 만약 어떤 것이든 정말로 깊이 있게 배우고 싶으면 그것을 〈정상적 인〉 통례적인 보통 형태에서가 아니라, 임계 상태, 열광 상태, 열정 상태에서 연구하지 않으면 안 된다고 생각합니다. 정상적인 건강체에 대해 알고 싶을 때 에는 신체에 이상이 있을 때, 병이 났을 때 신체를 연구해야 합니다. 함수에 대하여 알고 싶으면 그 특이성을 연구해야 합니다. 통상의 다면체에 대해 알고 싶으면 그 소수 극단적인 것을 연구하지 않으면 안 됩니다. 이것이 바로 내용 의 핵심에 대하여 수학적 분석을 할 수 있는 방법입니다. 25) 그런데 당신이 기 본적으로 옳다고 하여도 당신의 특별한 방법이 무익하다는 것을 모르십니까? 반례와 괴물 사이의 경계선을 긋기를 원한다면 이따금 생각난 듯이 할 수는 없 습니다.
25) Denjoy 의 글을 바꾸어 쓴 것이다([1919], p. 21).
교사 ; Delta 군이 전면적인 반례를 다루는 전략을 능숙하게 실행하는 것은 경하할 일이지만 그러한 전략은 거부하지 않으면 안 된다고 생각합니다. 그의 방법은 괴물 배제법 the method of monster-barring 이라고 적절히 이름 붙일 수 있을 것입니다. 이 방법을 사용하면, 다면체, 그것을 정의하는 용어, 혹은 그것을 정의하는 용어를 정의하는 용어를 가끔 솜씨 좋게 그러나 언제나 특수 하게 재정의함으로써 원래의 추측에 대한 어떤 반례도 제거할 수 있습니다. 우 리는 여하튼 반례를 보다 존중하면서 다루어야 하며 괴물이라고 칭하여 완고하 게 추방해서는 안 됩니다. Delta 군의 주된 실수는 아마 수학적 증명의 해석에 대한 독단적 편견일 것입니다. 그는 증명이란 증명하려고 착수한 것을 반드시 증명하는 것이라고 생각하고 있습니다. 본인의 증명에 대한 해석은 거짓인 추 측이 〈증명〉되는, 다시 말해서 부분 추측으로 분해되는 것을 허용할 것입니다. 만약 추측이 거짓이라면 적어도 부분 추측 가운데 하나가 거짓임을 확실히 기 대할 수 있습니다. 그러나, 분해는 그래도 홍미 있을 것입니다 ! 본인은 〈증명〉 된 추측에 대한 반례를 발견하여도 마음이 혼란되지 않습니다. 본인은 거짓인 추측의 〈증명>을 기꺼이 착수하기조차 할 것입니다 ! Theta ; 선생님의 말씀을 따르지 못하겠습니다.
Kappa ; 그는 신약성서의 다음과 같은 말을 따를 뿐입니다. 〈모든 것을 증명 해 보고, 좋은 것을 꼭 붙잡아라〉. (c) 예외 배제법에 의한 추측의 개선, 단편적 배제, 전략적 후퇴 곧 안전을 위한 행동 Beta ; 선생님, 선생님은 어리둥절하게 하는 소견을 설명하려 히십니다만, 참을 수가 없음울 용서하시고, 흉금을 털어놓고 이야기 하지 않을 수 없습니다. 교사;계속해 보시오. (Alpha 군이 들어온다) Beta ; 본인은 Delta 군의 주장의 어떤 측면은 어리석다고 보지만, 거기에는 합당한 핵심이 있다고 믿게 되었습니다. 지금 저는 어떤 추측도 일반적으로 타 당하다고는 생각지 않지만, 예의를 제의시킨 어떤 제한된 영역에서만은 옳다고 생각됩니다. 저는 이들 예의를 〈괴물〉 또는 〈병적인 예〉라고 부르는 데에는 반 대합니다. 그렇게 하면 이들을 분리하여 조사할 가치가 있는 홍미 있는 예로 당연히 고려하지 않는다는 방법론적 결정에 이르게 될 것입니다. 그리고, 저는 〈반례〉라는 용어에도 반대입니다. 그 용어는 의당 그들을 뒷받침하는 예와 동등 한 예로서 받아들일 것을 허용합니다만, 어쨌든 그에 전투적 색채를 칠하게 되 고, 따라서 Gamma 군과 감이 그들에 직면할 때 당황하게 되어 아름답고 재간 있는 증명을 아주 포기해 버리도록 유혹당하게 됩니다. 아닙니다. 그들은 단지 예의에 지나지 않습니다. Sigma ; 저는 더 이상 동의할 수 없습니다. 〈반례〉라고 하는 용어는 공격적 특성을 갖고 있고 증명을 발명한 이들을 공격하게 됩니다. 〈예의〉라는 표현이 바른 표현입니다. 수학적 명제에는 세 가지 종류가 있습니다. 1. 언제나 참이고 제한도 예의도 없는 것. 예를 들면, 모든 평면 삼각형의 각 의 합은 항상 2직각과같다. 2. 어떤 거짓인 원리에 바탕을 두어 어쨌든 용납될 수 없는 것. 3. 참인 원리에 따라 정해지지만, 어떤 경우에는 제한이나 예의를 받아들이는
것……. Epsilon ; 무엇이라고요? Sigma ; < …거짓인 정리를 어떤 제한에 따르는 정리와 혼동해서는 안 됩니다〉. 26) 속담에도 있는 것처럼, 예의가 규칙을 증명합니다.
26) Berard[1818-19], p. 347, p. 349.
Epsilon(Kappa군에게) ; 이 멍청이는 누구요? 그는 논리에 대해 좀 학습해 야겠습니다. Kappa (Epsilon 군에게 ) ; 그리고 비유클리드 평면 삼각형에 대해서도 학습해 야겠습니다. Delta ; 이 논의에서 Alpha 군과 저는 아마도 같은 편일 것이라고 예상하지 않을 수 없으나 당황하게 되는군요. 우리 둘은 명제가 참이거나 거짓이라는 것 을 근거로 논하였으며, 특히 오일러의 정리가 참인지 거짓인지에 관해서만 의 견이 일치하지 않았습니다. 그런데 Sigma 군은 우리가 〈원리상>은 참이지만 〈어떤 경우에는 예외를 받아들이는〉 제 삼의 범주의 명제를 받아들이기를 바라 고 있습니다. 정리와 예외의 평화 공존에 동의하는 것은 수학에 혼돈과 혼란을 야기하는 것을 뜻합니다. Alpha ; 동의합니다. Eta ; Delta 군의 훌륭한 논증을 방해하고 싶지 않지만 이제 저의 지적 발달 에 대한 이야기를 간략히 설명드리면 유익할 것으로 생각됩니다. 학창 시절 저 는 괴물 배제론자였습니다. Alpha 군 타입에 대한 방어로써가 아니고, Sigma 군 타입에 대한 방어로써―당신의 표현처럼一괴물 배제자가 되었습니다. 어떤 정기 간행물에서 오일러의 정리에 대한 것을 읽은 것을 기억합니다. 〈훌 륭한 수학자들은 이 정리가 일반적으로 성립한다는 증명을 제시하였다. 그럼에 도 불구하고 이 정리는 예의를 허용한다…… 근년의 저자들까지 이들 예외를 항상 명확히 인식하지는 못하므로 이 예외에 주목할 필요가 있다……. 27) 이 논
27) Hessel (1832], p.13. Hessel 은 Lhuilier 의 〈예외>를 1832 년에 재발견하였다. 원고를 제출한 직후그는 Lhuilier의 예의([1812-13a]）와 우연히 마주쳤다. 그렇지만 그는, 그 결과가 대부분 출판되었다는 것이 드러난 논문울 철회하지 않기로 결정하였다. 왜냐햐면 그
요지가 이러한 예의를 무시하고 있는 〈최근의〉 저자들을 납득시킬 것으로 생각했기 때문이 다. 그런데 공교롭게도 그러한 저자들 가운데 한 사람이, Hessel 이 그 논문을 제출한 잡지 의 편집자인 A L. Crelle 였다. 그의 교과서 [1826-7] 가운데에서 A. L. Crelle 는 Euler 의 정리가 모든 다면체에 대해서 참임을 〈증명>하였다(vol. 2, pp. 668-71) .
문을 의교술의 동떨어진 발동이라고 보지는 않습니다. 〈기하학의 교과서나 강 의에서는 늘 오일러의 아름다운 정리 V-E+F=2 는 어떤 경우에는 ‘제한'되거 나 ‘타당하지 않은 것처럼 생각된다'고 지적되지만, 학생들은 이들 예의가 나타 나는 진정한 이유를 배우지 않는다〉. 28) 이제 저는 〈예외>를 매우 주의 깊게 살 펴 보고, 이들은 문제가 되어 있는 실제의 진정한 정의를 만족시키지 못한다는 결론에 도달하였습니다. 그래서, 증명과 정리는 원상복구될 수 있으며 정리와 예의의 혼돈된 공존은 사라집니다.
28) Matthiessen([1863], p. 449). Matthiessen은 여기서 Heis 와 Eschweiler 의 Lehrbuch der Geometrie 와 Grunert 의 Lehrbuch der Stereometrie 를 인용하고 있다. 그러나, Matthiessen은—Eta와 같이-괴물 배제에 의해서가 아니라―_Rho와 같이――괴 물 조정에 의해 그 문제를 해결하고 있다.
Alpha ; Sigma 군의 혼돈된 견해는 당신의 괴물 배제에 대한 설명이 될 수 있습니다. 그러나 정당화는 차치하고 변명은 되지 못합니다. 왜 반례의 신임장 을 받고 〈정리〉와 〈증명>을 거부함으로써 혼돈을 제거하지 않습니까? Eta :왜 제가 증명을 거부해야 합니까? 저는 증명이 잘못된 어떤 곳도 찾아 볼 수 없습니다. 안 그렇습니까? 저의 괴물 배제가 당신의 증명 배제보다 더 합리적인 듯합니다. 교사; 이 논쟁은, 괴물 배제가 Eta군의 딜레마로부터 생길 때, 보다 많은 동정적인 청중을 확보할 수 있음을 보여주었습니다. 그러나, Beta 군과 Sigma 군의 입장으로 돌아갑시다. 반례를 예의라고 다시 명명한 것은 Beta 군이었습 니다. Sigma군은 Beta군의 의견에 동의하였습니다……. Beta ; Sigma 군이 저에게 동의해 주어 기쁘지만, 저는 그에게 동의할 수 없 을까 두렵습니다. 확실히 명제에는 참인 것, 희망 없는 거짓인 것, 희망적인 거짓인 것의 세 가지 유형이 있습니다. 이 마지막 유형은 예의에 대하여 언급 한 조건절을 첨부함으로써 참인 명제로 개선될 수 있습니다. 저는 결코 〈공식
에 타당성이 결정되지 않은 영역을 할당하지 않았습니다. 실제로 대부분의 공 식은 어떤 조건이 만족될 때에만 참입니다. 그들 조건을 결정하고, 물론, 사용 하는 용어의 의미를 정확하게 고정함으로써, 저는 모든 불확실성을 소멸시킵니 다〉.29) 그래서, 아시다시피 저는 개선되지 않은 공식과 예의 사이의 어떤 평화 로운 공존도 옹호하지 않습니다.저는 공식을 개선하여 Sigma 군이 말한 첫번째 부류의 명제와 같은 완전한 것으로 바꾸고자 합니다. 이는 원래의 추측이 타당한 영역을 발견해 내는 데 도움이 되는 한 저는 괴물 배제법을 받아들인다는 뜻입니다. 저는 제한된 개념에 의하여 〈훌륭한〉 정리를 구출하는 언어적 기 교로서 작용하는 한 괴물 배제법을 거부합니다. Delta 군의 방법의 이러한 두 가지 기능은 계속 구분되어야 합니다 .저는 이들 중 처음의 것에 의해서만 특 징지어지는 저의 방법을 〈예의 배제법 the exception-barring method〉이라고 명 명하고 싶습니다. 저는 이것을 오일러 추측이 성립하는 영역을 정확하게 결정 하는 데 사용할 것입니다.
29) 이는 Cauchy 의 유명한 저서 [1821]의 서문에서 인용한 것이다.
교사 ; 당신이 기대한 오일러 다면체의 〈정확하게 결정된 영역〉이라는 것은 무 엇입니까? 당신이 말하는 <완벽한 공식>이란 무엇입니까?Beta: (겹쳐 넣은 한 쌍의 정육면체와 같은) 공동이나 (사진틀과 같은)터널이 있는 다면체가 아닌 모든 다면체에 대하여, V-E+F=2교사;확신하십니까? Beta ; 예 , 확신합니다. 교사;쌍둥이 사면체는 어떻습니까 .? Beta: 죄송합니다. 공동이나 터널이 없는 혹은 복합 구조를 갖지 않는 모든다면체에 대하여, V-E+F=2. 30)
30) Lhuilier 와 Gergonne 는 Lhuilier 의 목록이 모든 예의를 열거하였다는 것을 확신하였던 듯싶다. 그 논문의 서문에 이 부분에 대한 다음과 같은 구절이 나온다. (Euler 의 정리는 상술하게 될 예를 제의하고 볼록 다면체이건 아니건 모든 다면체에 대해서 일반적으로 참임 을 쉽게 납득하게 될 것이다……〉(Lhuilier [1812-13a], p.177). 그 다음에 Gergonne 의 주석에도 다음과 같은 구절이 또 나온다. <일어날 수 있는 유일한 것들로 생각되는 일일이 지적한 예외…>(같은 책,P188), 그러나 실제로 Lhuilier는 쌍동이 사면체를 빠뜨렸
는데 이는 20년 후 Hessel이 겨우 주목하였다. ([1832]). 몇몇 지도급 수학자들, Gergonne 와 같이 방법론에 생생한 관심을 가진 수학자들조차 예의 배제법에 의존할 수 있 을 것으로 믿을 수 있었다는 것은 주목할 만하다. 이러한 신념은 귀납적 논리에서의 〈분할 법>과 유사한바, 그에 따르면 어떤 현상에 대한 가능한 설명에 대하여 완전한 열거를 할 수 있으며, 따라서, 결정적인 실험법 experimentum crucis 에 의하여 하나만 남기고 모두 제 거할 수 있으면 이 마지막 것이 증명되는 것이다.
교사 : 알겠습니다. 추측을 단지 수용하거나 버리거나 하는 대신에 개선하려 는 당신의 정책에 동의합니다. 괴물 배제법이나 항복법보다는 그 방법이 좋습 니다. 그러나, 두 가지 반대 의견이 있습니다. 첫째는 당신의 방법은 추측을 개선할 뿐만 아니라 〈완벽하게 하고〉 〈엄밀하게 옳도록 만들고〉 〈모든 불확실성 이 사라지게 한다>는 당신의 주장은 지지할 수 없다는 점을 옹호합니다. Beta : 정말이십니까 ? 교사 ; 당신의 추측의 새로운 판은 모두 방금 나타난 반례를 단지 특별히 제 거한 것에 지나지 않는다는 것을 인정하셔야 합니다. 먼저 겹쳐 넣은 정육면체 를 만나면 당신은 공동이 있는 다면체를 배제합니다. 또 사진틀에 주목하게 되면 당신은 터널을 가진 다면체를 배제합니다. 당신의 트이고 관찰력이 날카로운 정신의 진가를 인정합니다. 이들 예의에 주목하는 것은 매우 좋지만 〈예의〉 를 맹목적으로 더듬어 찾고 계신 데에는 어떤 방법을 도입할 가치가 있을 것으 로 생각합니다. <모든 다면체가 오일러 성질을 갖는다>는 것이 단지 추측에 지 나지 않는다는 것을 인정하는 것은 좋습니다. 그러나, 〈공동이나 터널 및 그 밖에 유사한 것들이 없는 모든 다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 것에 왜 더 이상 추측이 아닌 정리의 자격을 부여하십니까? 모든 예외를 열거하였다고 어 떻게 확신할수있습니까? Beta ;제가고려하지 못한것을 제시할수 있으십니까? Alpha ; 제가 제시한 성게는 어떻습니까 ? Gamma ; 그리고 제가 제시한 원기둥은요 ? 교사 ; 본인의 논의에는 구체적인 새로운 예의까지 필요하지 않습니다. 저는또 다른 예외의 가능성을 논하였습니다.
Beta ; 선생님이 옳은 것은 당연합니다. 새로운 예의가 나타날 때마다 단지 입장만을 바꾸어서는 안 됩니다. 다음과 갇이 말해서는 안 됩니다. 〈만약 현상 으로부터 예의가 생기지 않으면 결론은 일반적으로 주장될 수 있다. 그러나 만 약 후에 어느 때라도 예의가 나타나면 그때 그런 예의가 생긴다고 표명하기 시 작한다〉. 31) 생각해 봅시다. 우리들은 처음 모든 다면체에 대하여 V-E+F=2 라는 추측을 하였습니다. 왜냐하면 정육면체, 팔면체, 각뿔, 각기둥에 대하여 그것이 참이었기 때문입니다. 확실히 우리는 〈특수한 것에서 일반적인 것을 이 끌어 내는 이러한 빈약한 방법>을 받아들일 수 없습니다. 32) 예의가 나타나는 것 은 놀라운 일이 아닙니다. 차라리 훨씬 일찍 보다 많은 예외가 발견되지않았던 것이 놀라운 일입니다. 제 생각으로는 이는 우리가 주로 볼록 다면체에 전념하고 있었기 때문입니다. 다른 다면체가 등장하자마자 우리의 법칙은 더 이 상 작용하지 않았습니다.33) 그러므로 예외를 하나씩 배제하는 대신에 겸손하지만 안전하게 경계선을 그을 것입니다. 모든 볼록 다면체는 오일러 성질을 갖습니다. 34) 이것은 어떤 추측적인 성격도 갖지 않는다는 것, 곧 그것은 정리라는
31) I. Newton [1717], p. 380. 32) Abel [1826a]. 그의 비판은 Euler 의 귀납주의를 지목한 듯하다. 33) 이 또한 앞에서 인용한 편지의 구절을 바꾸거 나타낸 것인데 , 그 가운데에서 Abel 은 함 수에 대한 일반적인 〈정리>에 대한 예의를 제거하는 데 관심을 두고 있었으며 그에 의해서 절대적 엄밀성을 확립하고 있다. （앞의 인용문을 포함한) 원래의 본문은 다음과 같다.( 고등 해석학에서는 극소수의 명제가 엄밀한 정의를 하여 증명된다. 도처에서 특수로부터 일반으로 추론하는 빈약한 방법을 대하게 된다. 그러므로 그러한 절차가 파라독스라고 불리는것에 이라는 일이 드물게 일어날 뿐이라는 것은 신비롭다. 그 이유를 찾아 보는 것은 실로매우 흥미로운 일이다. 본인의 견해로는 그 이유는 해석학자들이 멱급수로 표현될 수 있는함수에 주로 전념하여 왔다는 사실에 찾아야 한다. 다른 함수가 등장하자마자- 이는 확실히 드문 경우 이지만- 더 이상 지속하지 못하며, 거짓인 결론을 이끌어 내기 시작하자마자 무한히 많은 오류가一서로를 뒷받침하면서 뒤따를 것이다……. Poinsot는 귀납적 일반화가 수론에서와 마찬가지로 다면체 이론에서 <자주〉 실패함을 발견하였다. 때부분의 성질은개별적인 것이며 일반적인 법칙에 따르지 않는다〉([1810], § 45). 귀납에 대한 이러 한 흥미를 자아내는 특성은, 그 때때로일어나는실패를, (사실, 수; 다면체의) 세계는당 연히 불가사의한 예의를 포함한다는 사실의 탓으로 돌린다는 것이다. 34) 이 또한 Abel 의 방법과 매우 일치한다. 마찬가지 방법으로 Abel 은 함수에 대한 의심스
러운 정리의 정의역을 멱급수로 제한하였다. Euler 추측의 이야기에서 볼록 다면체로의 이 러한 제한은 꽤 일반적인 것이었다. 예를 들어, Legendre 는 다면체에 대한 좀 일반적인 정의를 한 후(p. 37, 주 11)을 참조하라) 한편으로는 확실히 그외 모든 일반적인 다면체에 적용되지 않지만, 다른 한편으로는 볼록 다면체 이상에 적용되는 증명을 제시하고 있다. 그 럼에도 불구하고 작은 활자로 된 추가적인 주석에서 (언급한 일이 없는 예의와 마주친후의 일종의 뒷궁리) 겸손하지만 안전하게 볼록 다면체로 후되한다([1809], pp. 161, 164, 228) .
것을 인정하시길 바랍니다. Gamma ; 제가 제시한 원기둥은 어떻습니까 ? 그것은 볼록한데 ! Beta ; 농담하시는군요 ! 교사 ; 잠시 동안 원기둥에 대해서는 잊어 버리기로 합시다. 원기둥 없이도 비판을 할 수 있습니다. Beta 군이 본인의 비판에 대한 대답을 하는 가운데 매 우 상쾌하게 궁리해 낸 예의 배제법의 이 새로운 수정판에서는, 단편적인 후퇴 는 추측의 요새가 될 희망이 있는 영역에로의 전략적인 후퇴로 대치되었습니 다. 당신은 안전을 위하여 행동하고 있습니다. 그러나 당신은 주장하신 만큼 안전하십니까? 아직도 당신의 요새 내부에 어떤 예의도 없을 것이라는 보장은 없습니다. 그뿐만 아니라 반대의 위험이 있습니다. 성벽 밖에 많은 오일러 다 면체를 남겨 놓고 너무 급진적으로 후되하실 수 있습니까? 우리들의 원래의 추측은 과장이었을지 모르지만 당신의 〈완성된〉 명제는 저에게는 아주 줄잡아 말한 듯아 보입니다. 그러면서도 당신은 그것이 마찬가지로 과창이 아니라고 확신할수는없습니다.그러나 저는 또한 두번째의 반대 의견을 제시하고자 합니다. 당신의 논거는증명에 대해 잊어 버리고 있습니다. 추측이 성립하는 영역을 추정하면서 당신 은 전혀 증명을 필요로 하지 않는 듯하군요. 당신은 확실히 증명이 군더더기라 고 믿고 있지는 않으신지요 ? Beta ; 그런 말은 결코 한 적이 없습니다. 교사 ; 그렇습니다. 말하지 않았습니다. 그러나 당신은 우리들의 증명이 원래 의 추측을 증명하지 못했다는 것을 발견했습니다. 우리의 증명은 당신의 개선 된 추측을 증명합니까 ? 말해 주십시오.
Beta ; 그건… …. 35)
35) 연구에 종사하고 있는 많은 수학자들은 증명하지 못할 경우 증명은 무엇을 위한 것인지 당 황하게 된다. 그들은 한편으로는 증명은 오류를 범할 수 있다는 것을 경험을 통해 알고 있 지만, 다른 한편으로 그들의 독단주의자식 교화를 통해 진정한 증명은 절대 무류이어야 한다는 것을 알고 있다. 응용 수학자들은 순수 수학자들의 증명은 〈완전>하며, 따라서 실제로증명한다는, 부끄러워하지만 확고한 신념에 의해서 이 딜레마를 해소한다. 그러나 순수 수 학자등은 더 잘 알고 있다-그들은 논리학자들의〈완전한증명〉만을존경한다. 그러면 그 들의 〈불완전한 증명>의 용도와 기능은 무엇이냐고 물으면 그들은 대부분 당황한다. 예를 들어, G. H. Hardy 는 형식적 증명에 대한 논리학자들의 요구를 매우 존중하였지만, 〈연구 에 종사하는 우리 수학자들이 친근한 바와 같은〉 수학적 증명의 특성을 기술하고자 할 때, 그는 다음과 같은 방식으로 한다. 엄격하게 말하면 수학적 증명과 같은 것은 존재하지 않는다. 마지막 분석에서 우리는 다음과 같은 지적만 할 수 있다 ... 증명은 Littlewood 와내가 허튼 소리라고 부르는 것, 심리에 영향을 주기 위하여 고안된 수사학적인 화려한 치 장, 강의에서 칠판 위의 그림, 학생들의 상상을 자극하기 위한 장치이다〉([1928], p. 18). R. L. Wilder 는 증명이란 〈우리의 시사하는 바에 적용되는 검사 과정일 뿐>이라고 생각한다 ([1944],p. 318). G.Polya는 중명은 비록 불완전하더라도 수학적 사실 사이의 관련성을 확립하고 이를 우리의 기억 속에 저장하는 데 도움을 준다는 것을 지적한다. 증명은 기억술 적인 체계를 낳는다([1945], pp.190-1).
Eta ; 이러한 논의에 감사합니다, 선생님. Beta 군이 당황하는 것은 비방당 한 괴물 배제법의 우월성을 분명히 드러내 주고 있습니다. 왜냐하면 우리는 증 명은 증명하려고 착수한 것을 증명하며 우리의 대답은 명료하다고 말하고 있기 때문입니다. 우리는 변덕스러운 반례가 순한 〈예의〉로 변장한다고 하더라도 훌 륭한 증명을 자유로 파괴하도록 허용하지는 않습니다. Beta ; 저는 비판에 자극되어 방법론을 다듬고 개선하고＿죄송합니다, 선 생님――완벽하게 해야 한다는 것을 전혀 당혹스럽게 생각하지 않습니다. 저 의 대답은 이렇습니다. 예의가 존재하므로 원래의 추측을 거짓으로. 생각하고 기각합니다. 저는 또한 같은 예의는 적어도 한 보조 정리의 예의이므로 증명도 기각합니다(이것은 선생님의 용어로 말하면, 전면적인 반례는 또한 반드시 국 소적 반례이기도 하다는 것입니다). Alpha 군은 반박이 그의 지적 욕구를 완전 히 만족시키는 듯하므로 이 시점에서 그만둘 것입니다. 그러나 저는 계속합니다. 추측과 증명 모두를 적절한 영역으로 적당히 제한함으로써 추측을 완전히
하여 참이 되게 하고, 기본적으로 건전한 증명을 완벽히 하여 엄밀하게 하고, 거짓인 보조 정리를 더 이상 포함하지 않도록 할 것입니다. 예를 들면, 우리들은 모든 다면체가 한 개의 면을 제거 한 후 평면 위에 평평하게 늘어놓을 수는없다는 것을 알았습니다. 그러나 볼록 다면체는 모두 가능합니다. 저는 완성된엄밀히 증명된 추측을 정리라고 분명히 부를 수 있습니다. 거듭 말씀드리면,<모든 볼록 다면체는 오일러 성질을 갖습니다〉. 볼록 다면체에 대해서는 모든보조 정리가 분명히 참이고, 그 일반성이 거짓이란 점에서 엄밀하지 않은 증명 도 볼록 다면체라는 제한된 영역에 대해서는 엄밀할 것입니다. 선생님 저는 이 상과 같이 선생님의 질문에 대답합니다. 교사 ; 그렇다면, 일찍이 예의가 발견되기 전에는 일단 분명히 참으로 보였던 보조 정리는 다음 예의가 발견될 때까지 다시 분명히 참인 것처럼 보일 것입니 다. ·… 당신은 방금 〈모든 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉라는 것이 추측이라 는 것을 인정하고 있습니다. 〈공동이나 터널이 없는 모든 다면체는 오일러 성 질을 갖는다>라는 것 역시 추측임을 인정하였습니다. 그런데 당신은 (모든 볼록다 면체는 오일러 성질을 갖는다〉는 것이 다시 추측임울 왜 받아들이지 않습니까? Beta ; 이번에는 추측이 아니라 통찰입니다. 교사 ; 본인은 당신의 허세부리는 〈통찰>을 몹시 싫어합니다. 의식적인 추측은 가장 인간적인 특성인 용기와 겸손으로부터 나오기 때문에 존중합니다. Beta ; 저는 〈모든 볼록 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉는 정리를 제기하였 습니다. 선생님은 그에 반대하는 설교만을 하셨습니다. 반례를 제시하실 수 있 습니까? 교사 ; 본인이 하지 않을지 당산은 알 수 없습니다. 당신은 원래의 추측을 개 선하였지만, 추측을 완성하고 증명에 완벽한 엄밀성을 성취하였다고 주장할 수 없습니다. Beta ; 선생님은 하실 수 있습니까? 교사 ; 본인도 할 수 없습니다. 그러나 추측을 개선하는 본인의 방법은 당신 의 방법을 개선할 것으로 생각합니다. 왜냐하면 본인은 증명과 반례 사이의 통 일과 참된 상호 작용을 확립할 것이기 때문입니다.
Beta ; 배울 준비가 되어 있습니다 (d) 괴물 조정법 Rho ; 선생님 몇 마디 거들어도 되겠습니까 ? 교사;좋고말고요. Rho ; 우리는 일반적인 방법론적 접근법으로서의 Delta 군의 괴물 배제법을 거부해야 한다고 생각하는데 그 이유는 그 방법이 실제로 〈괴물>을· 진지하게 다 루지 않기 때문입니다. Beta 군도 예의를 진지하게 다루지 않았는데 그 이유는· 그가 예의를 단지 열거한 다음 안전한 영역 속으로 후퇴하기 때문입니다. 따라 서, 이 두 방법 모두 단지 제한적이고 특정한 분야에만 관심을 갖고 있습니다. 제 방법은 차별 대우를 하지 않습니다. 〈좀 더 자세하게 조사해 보면 예의들은 단지 겉보기일 뿐임이 드러나고 오일러 정리는 소위 예의에 대해서조차 그 타 당성을 갖는다는 것>을 보일 수 있습니다. 36)
36) Matthiessen [1863].
교사;정말입니까? Alpha ; 제가 제시한 반례 3 인 〈성게〉 (그림 7) 가 어떻게 보통 오일러 다면체 가 될 수 있습니까? 그것은 12개의 별 오각형 면을 가지고 있는데……. Rho ; 저는 어떤 〈별 오각형〉도 볼 수 없습니다. 이 다면체가 사실은 보통 삼 각형 면을 가지고 있다는 것을 당신은 보지 못하십니까? 삼각형 면이 60개가 있습니다. 그 다면체는 또한 90 개의 모서리와 32 개의 꼭지점을 가지고 있습니 다. 그 오일러 표수는 2입니다.37) 12개의 〈별 오각형〉, 30개의 <모서리〉, 12 의 〈꼭지점〉, 따라서 오일러 표수가 _6 이 된다는 것은 당신의 환상일 뿐입니
37) （성게)가 〈실제로〉 60개의 삼각형면, 90개의 모서리 , 32 개의 꼭지점을 갖고 있는 보통의 평범한 Euler 다면체-〈형용어 없는 60 면체 un hexacontaedre sans epithete〉-라는 논거는 Euler 정리의 무오류성에 대한 신조에 철두철미한 두사인 E. de Jonquieres 에 의해 제기되었다([1890a], p. 115). 그러나, 비 Euler 별 다면체를 삼각 Euler 다면체로 해석하 는 아이디어는 Jonquieres 로부터 유래한 것이 아니며 극적인 역사를 갖고 있다(아래 주 39)를 참조하여라) .
다. 괴물은 존재하지 않으며 단지 기괴한 해석이 존재할 뿐입니다. 정신에서 왜곡된 환상을 몰아내야 하며, 보는 방법과 우리가 보는 것을 올바르게 정의하 는 방법을 배워야 합니다. 제 방법은 치료학적인 방법입니다. 당신이 〈반례>를 ―잘못―본 곳에서 저는 예를―올바르게-인식하는 방법을 당신에 게 가르칩니다. 저는 당신의 기괴한 시각을 조정해 드립니다……. 38)
38) 어떤 독단론적인 인식론에서 그 오류에 대한 이론보다 더 특징적인 것은 없다. 왜냐하면 어떤 진실이 명백하다면 어떤 사람이 어째서 그에 대하여 오해를 할 수 있는지 , 다시 말해 , 왜 그 진실이 모든 사람게게명백하지 않은지를 설명해야 한다. 모든 독단주의 인식론*은 오류에 대한 독특한 이론에 따라 정신 속의 오류를 깨끗이 씻기 위한 특별한 치료법을 제공 한다. Popper [1963a]의 서문을 참조하라. [* 역자 주―Kant 이후의 비판주의에 대비 시켜 좋지 않은 의미로 사용되는 용어로, 인간의 인식 능력에 대해 비판을 가하지 않고 형 이상학에 매달려, 경험적으로만 그 타당성 여부를 가질 수 있는 개념을 일체의 경험과 무관 한 대상에 적용하는 태도를 가리킨다. ]
Alpha ; 선생님, Rho 군이 우리를 세뇌시키기 전에 선생님의 방법을 설명해 주십시오.39)
39) Poinsot는 확실히 1809년과 1858년 사이의 어느 시기에 세뇌를 당하였다. 별 다면체를 재발견하여 그들을 Euler 성질이란 관점에서 처음으로 분석하고, 그들 가운데 몇 가지는 우 리가 살펴본 작은 별 모양의 12 면체와 같이 Euler 공식을 만족하지 않는다는 것을 언급한 것은 Poinsot 였다([1810]) . 그런데, 같은 인물인 Poinsot 가 그의 논문 [1858]에서 Euler공식을 〈볼록 다면체에서 참일 뿐만 아니라 별 단면체를 포함해서 어떤 다면체에 대 해서도 참이다>라고 단언적으로 말하고 있다(p.67―Poinsot는 별 다면체에 대해서 고급종의 다면체 polyedres d'espece superieure를 사용하고 있다) . 모순은 분명하다어떤 설명을 하고 있는가? 별 다면체 반례에 무슨 일이 일어났는가? 단서는 그 논문의 뜻 밖으로 보이는 첫번째 문장 가운데 있다. 다면체에 대한 모든 이론을 삼각형 면을 가진 다 면체 이론으로 환원할 수 있다〉. 곧 Poinsot-Alpha 가 세뇌를 당하여 Poinsot-Rho 로 전환하였다. 이제 그는 전에 별 다각형을 본 곳에서 삼각형만울 보고 있다. 이제 그는 전에 반례를 본 곳에서 예만을 보고 있다. 과학적인 전통에는 그러한 방향 전환을 분명하게 말하 는 데 이용될 수 있는 패턴이 없으므로. 자기 비판은 내밀하고 은밀할 수밖에 없었다. 또한 반지꼴의 면울 대한 일이 있었는지 의심스럽다. 있었다편 그들을 고의적으로 그의 삼각형 시각으로 재해석하였는가? 시각의 변경은 항상 같은 방향으로 작용할 필요는 없다. 예를 들어, J. C. Becker 는 그 의 논문 [1869a]에서-단순 및 복합 연결 영역의 새로운 개념적 골격 (Riemann [1851]) 에 매료되어-반지꼴 다각형을 참작하였지만 별 다각형에 대해서는 몰이해한 상태로 있
었다(p. 66) . 이 논문- 그 문제를 〈확정적으로> 해결하였다고 주장한――이 나온 지 5 년 후 그는 그의 시각을 넓혀 그가 전에 삼각형 및 삼각형 다면체만을 본 곳에서 별 다각형 및 별 다면체 패턴을 인식하였다([1874]).
교사 ; 그가 계속하도록 둡시다. Rho ; 저의 의견을 말하겠습니다. Gamma ; Delta군의 방법에 대한 당신의 비판울 상술해 줄 수 있습니까? 당신들 두 분 모두 〈괴물>을 쫓아냈는데……. Rho ; Delta 군은 당신의 환상에 사로잡혔습니다. 그는 당신이 제시한 〈성게〉 가 12개의 모서리, 30개의 면, 12개의 꼭지점을 가지며, 따러서 오일러 표수 는 -6 이므로 비오일러 다면체라는 데 동의하였습니다. 그의 주장은 성게는 다면체도 아니라는 것이었습니다. 그러나 그는 양쪽에 오류를 범하였습니다.당신이 제시한 〈성게>는· 다면체이고 오일러 성질을 갖습니다. 그러나 별 다면체로 해석한 것은 잘못된 해석이었습니다. 괜찮으시다면 그것은 건강하고 순수 한 정신에 성게가 각인된 것이 아니라 고통에 찌들린 병든 정신에 성게가 왜곡 되어 각인된 것입니다. 40)
40) 이는 오류에 대한 스토아 학파의 이론의 일부이며 , 그 기원은 Chrysippos 에 유래하는 것 으로 추정된다(Aetius.c150), Ⅳ. 12. 4 및 Sextus Empiricus [c. 190], I . 249를 참조하 여라). 스토아 학파의 철학자에 따르면 〈성게논· 의적인 실체의 일부일 것이며 이는 영혼에 각인 —환상이나 영상을 생성한다. 현인은 환상이 분명하고 명확한 관념(phantasia kataleptike 혹은 comprehension)으로 성장하지 않으면, 이는 환상이 거짓이면 가능하지 않지만 그에 무비판적으로 동의 (synkatathesis 혹은 adsensus)하지 않을 것이다. 분명하고 명확한 아이디어의 체계는 과학(episteme)을 형성한다. 우리의 경우에 Alpha 의 정신에의 (성게)의 각인은 작은 별 모양의 12 면체인 반면에 Rho 의 정신에의 각인은 삼각 60면체일 것이다. Rho 는 Alpha 의 별 다면체 시각은, 분명히 〈증명된〉 Euler 의 공식을 뒤집어 엎 을 것아므로, 아마도 분명하고 명확한 관념으로 성장할 수 없을 것이라고 주장할 것이다. 따라서 별 다면체 해석은 실패할 것이며 그에 대한 〈유일한〉 대안, 곧 삼각형 해석은 분명하 고명확하게 될것이다.
Kappa ; 그러나 건강한 정신과 병든 정신, 이성적인 해석과 기괴한 해석을 어떻게 구분할 수 있습니까 ? 41)
41) 이는 환상을 강직중의 환상(phantasia kataleptike)과 구별할 수 있다는 스토아 학파의
주장에 대한 회의론자의 표준적인 비판이다.
Rho ; 저를 당황시키는 것은 당신이 어떻게 그것을 혼동할 수 있느냐 하는 것입니다! Sigma ; Rho군, 당신은 정말로 Alpha군이 〈성게>를…삼각형 다면체로 해석 할 수도 있다는 데 주목하지 못하였다고 생각하십니까? 물론 그럴 수도 있을 것입니다. 그러나 자세히 관찰해 보면 곧, 〈이들 삼각형은 동일 평면 위에 다 섯 개씩 놓여 있고 입체각 뒤에-마치 그들의 심장과 같이-숨어서 정오 각형을 둘러싸고 있다는 것을 알 수 있습니다. 이제 다섯 개의 정삼각형은 내 부의 심장―정오각형 -과 함께 Theophrastus Paracelsus 에 따르면 건강 의 표시인 소위 〈별표pentagramma>를-형성하고 있습니다…….42)
42) Kepler [1619], 제 Ⅱ권, 명제 XXVI.
Rho ;미신입니다! Sigma ; 그러므로 건전한 정신에게는 성게의 비밀이 밝혀질 것입니다. 성게는 규칙 바른 면과 동일한 입체각을 가지는, 우리에게 우주의 조화의 비밀을 밝혀 줄 아름다운 대칭성을 가지는 새롭고 지금까지는 꿈꾸어 보지 못한 규칙 바른 입체입니다……. 43)
43) 이는 Kepler 의 견해에 대한 공정한 해설이다.
Alpha ; Sigma 군, 반대편이 동료보다 덜 당황시킨다는 것을 저에게 다시 한 번 확신시켜 주신 당신의 변호에 감사드립니다. 제가 제시한 다면체형 도형은 삼각형 다면체로도 별 다면체로도 해석될 수 있습니다. 저는 두 가지 해석을 똑같이 받아들이고자 합니다…… Kappa ; 그렇습니까 ? Delta ;그러나확실히 그들가운데 하나만이 참된 해석입니다! Alpha ; 저는 두 가지 해석 모두를 똑같이 받아들이고자 합니다만, 그중 하 나만이 오일러 추측에 대한 전면적인 반례일 것입니다. 왜 Rho군의 선입관에 〈잘 조정된〉 해석만을 받아들이십니까? 어쨌든, 선생님, 이제 당신의 방법을 설명해 주시겠습니까?
(e) 보조 정리 합체법에 의한 추측의 개선. 증명-생성 정리 Proof-generated theorem 대 소박한 추측 교사 ; 사전틀로 돌아갑시다. 본인으로서는 그것을 본인의 증명의 첫번째 보 조 정리에 대한 전정한 국소적 반례인 동시에 오일러 추측에 대한 전정한 전면 적 반례로 인정하고 있습니다. Gamma ; 죄송합니다만 선생님, 어떻게 사진틀이 첫번째 보조 정리를 반박 하지요? 교사 ; 먼저 한 면을 제거한 다음 칠판 위에 평평하게 펼쳐 보려고 시도해 보 십시오. 할 수 없을 것입니다. Alpha ; 선생님의 상상을 돕기 위하여 제가 당신에게 말씀드리고 싶은 것은, 부풀려 구(球)로 만들 수 있는 그런 다면체만이 한 면을 제거한 후에 나머지 부분을 평면 위에 펼쳐 놓을 수 있는 성질을 가지고 있다는 것입니다. 그러한 〈구상spherical〉 다면체는 한 면을 잘라낸 뒤 평면 위에 펼칠 수 있다는 것은 분명합니다. 그리고, 거꾸로 한 면을 뺀 다면체가 평면 위에 펼쳐질 수 있으 면, 그 다면체를 굽혀, 빼낸 면으로 뚜껑울 덮울 수 있는, 둥근 꽃병으로 만듦 으로써 구상 다면체를 얻을 수 있다는 것도 마찬가지로 분명합니다. 그러나, 사진틀은 결코 부풀려 구로 만들 수 없으며 , 원환체로 만들 수 있을 뿐입니다. 교사 ; 좋습니다. 이제 Delta 군과는 달리, 본인은 이 사전틀을 우리의 추측 에 대한 비판으로 받아들입니다. 따라서, 본인은 원래의 형태의 추측은 거짓인 것으로 생각하여 기각하지만, 곧바로 <데카르트―오일러 추측은 〈단순〉 다면체 simple polyhedra,다시 말해 , 한 면을 제거한 뒤 평면 위에 펼쳐 놓을 수 있는 것에 대해서만 성립한다>는 수정되고 제한된 판을 제시합니다. 따라서 우리는 원래의 가설 중 약간을 구해 내었습니다. 우리는 〈단순 다면체의 오일러 표수는 2 이다〉라는 명제를 얻었습니다. 이 명제는 겹쳐 넣은 정육면체나 쌍둥이사면체 혹은 별 다면체에 의해서 거짓임이 입증되지 않을 것입니다. 왜냐하면 이들 다면체는 모두 〈단순〉 다면체가 아니기 때문입니다. 따라서, 예의 배제법은 주요 추측의 영역과 결점이 있는 보조. 정리의 영역
모두를 안전한 공통 영역으로 제한시키고, 그렇게 함으로써 반례를 주된 추측 과 증명 모두에 대한 비판으로 받아들이는 반면, 본인의 보조 정리 합체법 the method of lemma-incorporation은 증명은 지지하지만 주된 추측의 영역을 결 점이 있는 보조 정리의 바로 그 영역으로 축소합니다. 곧 전면적이면서 국소적 인 반례는 예의 배제자로 하여금 보조 정리와 원래의 추측 모두를 바꾸도록 하 는 반면에, 그것은 본인으로 하여금 원래의 추측을 개선하게 하지만 보조 정리 를개선하게 하지는않습니다. 이해하시겠습니까? Alpha ; 예 저도 그렇게 생각합니다. 제가 이해한다는 것을 보이기 위해서 선생님을 반박해 보겠습니다. 교사 ; 본인의 방법과 본인의 개선된 추측 중 어느 것을 말입니까 ? Alpha ; 선생님의 개선된 추측 말입니다. 교사 ; 그렇다면 당신은 아직 본인의 방법을 이해하지 못했습니다. 그러나, 당신의 반례를 제시해 보십시오. Alpha ; 정육면체 위에 그보다 작은 정육면체가 얹혀 있는 도형을 생각해 보 십시오(그림 12). 우리의 모든 정의-정의 1,2,3,4,4',5 ＿ 를 만족시키므 로 그것은 진정한 다면체입니다. 그리고 그것은 평면 위에 펼쳐질 수 있다는 점에서 〈단순〉 다면체입니다. 따라서, 당신의 수정된 추측에 따르면, 오일러 표 수는 2 이어야 합니다. 그럼에도 불구하고 이것은 16개의 꼭지점, 24 개의 모 서리, 11개의 면울 가지고 있으며 그 오일러 표수는 16-24+11=3 입니다. 그것은 당신의 개선된 추측에 대한 전면적인 반례입니다. 그런데 또한 Beta 군 의 첫번째 〈예의 배제〉 정리에 대한 전면적 반례이기도 합니다. 공동이나 터널
혹은 〈다중 구조>를 갖지 않음에도 불구하고 이 다면체는 오일러 성질을 갖지 않습니다.Delta ; 이 볏 달린 정육면체 crested cube 를 반례 6 이라고 부릅시다. 44)
44) 반례 6에는 Lhuilier가주목하였다([1812-13a],p.186). Gergonne는 일찍이 그의 발 견의 참신성을 인정하고 있다 ! 그러나 거의 50년이 지난 후에도 Poinsot 는 그에 관해서 듣지 못하였다([1858])． 반면에 Matthiessen([1863])과, 80년이 지난 후에, Jonquieres ([1890b]）는 그것을 괴물로 취급했다(p.60 주 39), p.70주 48)을 참조하라). 19세기의 소박한 예의 배제자들은 그것을 호기심으로 다른 예의와 함께 열거하였다. （혼히 사면체의 한 면에 면이 세 개인 각뿔을 그 모서리가 사면체의 모서리와 일치하지 않도록 덧붙인 경우 를 예로 든다. ‘이상한 일이지만 이 경우에 V-E+F=3’이라는 것이 나의 대학 공책에 쓰 여 있다. 그리고 그것으로 일은끝났다〉(Matthiessen [1863], p. 449). 현대 수학자들은 다 양체의 분류를 위해서는 부적절하지만 다른 문맥에서 적절하게 될 수 있는 반지형 면을 잊 는 경향기 있다. H. Steinhaus는 그의 논문 [1960]에서 다음과 같이 말하고 있다. 어구 룰 F 개의 나라로 분할하자(바다와 대양을 육지로 생각할 것이다) .그러면, 정치적 상황이 어떠하건 V+F=E+2 일 것이다〉(p. 273), 그러나 단지 서베를린과 산마리노의 존재가(물 론 그는 바다와 대양만을 육지로 생각하기로 한다고 말하겼으므로, 바이칼 호수와 같은 바 다를 호수라고 정의함으로써 완전히 한 나라에 포함되는 것을 막을 수 있지만) 단지 Euler 정리를 반박한다는 이유로 Steinhaus 가 이 도시들을 파괴할지는 의문이다.
교사 ; 당신은 본인의 개선된 추측이 오류임을 입증하였습니다. 그러나 당신 은 본인의 개선 방법을 파괴하지 않았습니다. 본인은 증명을 다시 조사할 것이 며, 왜 당신이 제시한 다면체에서는 실패하는지 알아볼 것입니다. 증명 가운데 에 거짓인 또 다른 보조 정리가 있을 것입니다. Beta ; 물론 있습니다. 저는 항상 두번째 보조 정리가 의심스러웠습니다. 그 것은 삼각형으로 만드는 과정에서 새로운 대각선을 그음으로써 매번 모서리와 면의 수가 각각 한 개씩 늘어난다고 미리 가정하고 있습니다. 이것은 거짓입니 다. 만일 벗 달린 정육면체의 평면에 펼친 그물을 살펴보면 반지꼴 면 ring-shaped face 을 발견하게 될 것입니다(그림 13(a)). 이 경우에는 어떤 한 대각선도 면의 수를 늘리지 않을 것입니다(그림 13(b)). 면의 수를 하나 늘리 려면 변이 두 개 늘어나야 합니다(그림 13(c)). 교사 ; 축하합니다. 본인은 우리의 추측을 더욱 축소하지 않으면 안 됩니
다…….Beta : 저는 선생님이 무엇을 하시려고 하는지 알고 있습니다. 선생님은 아마도 <삼각 분할이 가능한 면을 갖는 단순 다면체는 오일러 성질을 갖는다>고Beta ; 저는 선생님이 무엇을 하시려고 하는지 알고 있습니다. 선생님은 아 말하려고 하십니다. 선생님은 삼각형으로 만드는 과정을 의심의 여지가 없다고 생각할 것이며, 이 보조 정리를 다시 조건으로 돌릴 것입니다. 교사 ; 아닙니다. 틀렸습니다. 당시의 오류를 구체적으로 지적하기 전에 당신 의 예의 배제법에 대한 본인의 논평을 부연하도록 해주십시오. 당신이 당신의 추측을 안전한 영역으로 제한할 때, 당신은 증명을 적절하게 검토해 보지 않습 니다. 그리고 사실 당신의 목적을 위해서는 그럴 필요가 없습니다. 당신의 제 한된 영역에서 모든 보조 정리는 그것이 무엇이든지간에 참이 될 것이라는 평 범한 전술이 당신의 목적을 위해서는 충분합니다. 그러나 그러한 전술은 본인 에게는 충분하지 않습니다. 본인은 반례에 의해 반박된 바로 그 동일한 보조. 정리를 추측 가운데 부설하였습니다. 따라서 본인은 증명에 대한 주의 깊은 분 석을 바탕으로 그것을 알아맞혀야 하고 가능한 한 정확하게 공식화시켜야만 합 니다. 반박된 보조 정리는 따라서 본인의 개선된 추측 속에 합체될 것입니다.당신의 방법은 본인의 방법과는 달리 당신에게 억지로 증명을 힘들여서 잘 다듬도록 하지 않습니다. 왜냐하면 본인의 방법에서는 증명이 나타나지만 당신의당신의 방법은 본인의 방법과는 달리 당신에게 억지로 증명을 힘들여서 잘 다 개선된 추측 속에서는 증명이 나타나지 않기 때문입니다. 이제 당신이 제시한 것으로 되돌아가겠습니다. 반지꼴 면에 의해서 거짓임이 입증된 보조 정리는아마 당신이 생긱하는 것처럼 <모든 면은 삼각형이다〉가 아니라, 〈대각선에 의해서 분할되는 어떤 면도 두 부분으로 된다>는 것입니다. 본인이 조건으로 돌리고자 하는 것이 이 보조 정리입니다. 그런 성질을 만족하는 면을 〈단순 연결
simply-connected〉이라고 부르므로, 본인은 다음과 같이 본래의 추측을 두번째로 개선하여 제시할 수 있습니다. 〈모든 면이 단순 연결인 단순 다면체에 대하여 V-E+F=2>. 당신이 경솔하게 잘못된 명제를 제시한 이유는 당신의 방법이 당신에게 주의 깊은 증명-분석을 가르치지 않았디는 것입니다. 증명-분석은 때로는 하찮은 것이지만 때로는 진정으로 아주 어려운 것입니다. Beta ; 선생님이 말씀하신 요지를 이해하겠습니다. 선생님의 논평은 예의 배 제 태도 전체를 들추어 내고 있다고 생각되기 때문에 그에 대해 저도 자기 비 판적인 주석을 덧붙여야 하겠습니다. 가장 나쁜 것은 증명을 전혀 조사해 보지 도 않고 단지 예의를 막는 것입니다. 그래서, 한편으로 증명을 할 때, 다른 한 편으로 예의가 나오면 당혹해 하는 것입니다. 그러나 소박한 예의 배제자들의 마음 속에는 증명과 예의는 두 개의 완전히 분리된 구획 속에 존재합니다. 몇 몇은 이제 증명은 제한된 영역에서만 작용할 것이라고 지적하고, 거기서 미스 테리를 추방할 것이라고 주장할 것입니다. 그러나, 그들의 〈조건>은 증명 관념 과는 여전히 무관할 것입니다. 45) 보다 나은 예의 배제자들은 증명을 재빨리 훑 어 보고 이제 막 제가 했던 것처럼 안전한 영역을 결정할 조건을 서술하기 위 한 어떤 영감을 얻습니다. 최상의 예의 배제자는 증명을 주의 깊게 분석한 뒤 그러한 토대 위에서 금지되는 영역을 아주 섬세하게 묘사합니다. 이런 관점에 서 보면, 사실상 선생님의 방법은 예의 배제법의 극단인 경우가 아닙니까?
45) 〈……Lhuilier의 전기는 매우 다른 두 부분으로 되어 있다. 첫번째 부분에서 저자는 Euler 의 정리에 대한 원래의 증명을 제시하고 있다. 두번째 부분에서 그의 목적은 이 정리 에 대한 예의를 지적하고자 하는 것이다〉(Lhuilier의 전기 [1812-13a]에 나오는 Lhuilier 의 논문에 대한 Gergonne 의 편집자 논평) . M. Zacharias는 그의 논문 [1914-31]에서 이러한 구획에 대하겨 무비판적이지만 충실 한 기술을 하고 있다. 〈19세기 기하학자들은 Euler 의 정리의 새로운 증명을 발견하는 것 의에 어떤 조건 아래에서 나타나는 예의를 만드는 데 종사하였다. 그러한 예의는, 예를 들 어, Poinsot에 의해서 언급되었다. S. Lhuilier와 F. Ch. Hessel 은 예의를 분류하려고 시도하였다……〉(p.1052).
Iota ; ……그리고 그것은 증명과 반박의 기본적인 변증법적인 통일을 보여 줍니다!
교사 ; 본인은 이제 여러분들 모두가 비록 증명하지는 못하더라도 증명이 확실히 우리의 추측을 개선하는 데 도움을 준다는 것을 이해하기를 바랍니다. 46)
46) Hardy, Littlewood, Wilder 및 Polya는이 점을 간과한 듯하다 (p. 57을 참조하라) .
예외 배제법 역시 추측을 개선하였으나, 그 개선은 증명과는 무관한 것이었습니다.우리의 방법은 증명에 의해 개선하는 것입니다.<발견의 논리 the logic of discovery>와<정당화의 논리 the logic oh justification> 사이의 본질적인 통합이 보조 정리 합체법의 가장 중요한 측면입니다.Beta ; 물론 이제 저는 추측이 〈증명〉되기도 하고 반박되기도 하는데 당신이 당황해 하지 않고, 거짓인 추측조차 기꺼이 〈증명〉하려고 하는 데 대해 당신이 앞서 한 어리둥절케 하는 단평을 이해하겠습니다.Kappa( 옆에서) ; 그러나 사실상 〈비증명 improof)인 것을 왜 〈증명〉이라고 부릅니까? 교사 ; 걱정마십시오. 자진해서 그렇게 하려는 사람은 거의 없을 것입니다. 뿌리 깊은 발견적 독단 때문에 대부분의 수학자들은 추측을 동시에 증명하고반박하는 것에 착수할 수 없습니다. 그들은 추측을 증명하거나 반박하려고 할것입니다. 더구나 추측을 그들 자신이 제시한 경우에는 그 추측을 반박하여 개선하는 것은 특히 불가능합니다. 그들은 반박없이 그들의 추측을 개선하기를원합니다. 결코 거짓을 줄여 가면서가 아니라 진실을 증가시킴으로써 말입니다.따라서 그들은 지식의 성장에서 반례의 공포를 일소하고 있습니다. 이상이아마도 가장 최상류의 예의 배제자의 접근법에 대한 배경일 것입니다. 그들은 아마도 가장 최상류의 예의 배제자의 접근법에 대한 배경일 것입니다. 그들은〈안전한〉 영역에 대한 증명을 고안해 내므로 〈안전을 위한 행동〉으로 출발하고,이어서 부과된 각 조건을 이용하였는지 어떤지를 검사하여 그것을 철저하게 비판적으로 조사합니다. 부과된 조건을 이용하지 않았으면 그들은 그들 정리의 가장 조심성 있는 첫번째 판을 〈뚜렷하게 하거나〉 〈일반화〉합니다. 곧 증명이 의존하고 있는 보조 정리를 상술하고 그들을 합체시킵니다. 예를 들어, 한두 개의 반례가 제시된 후에 그들은 볼록하지 않은 다면체를 차후의 취급cura posterior으로 연기하고 <모든 볼록 다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 잠정적
인 예외 배제 정리를 형식화할 수 있습니다. 그 다음에 그들은 코시의 증명을 고안해 낸 다음, 볼록성이 증명에서는 실제로. .<사.용〉되지 않았다는 것을 발견하 고, 보조 정리 합체 정리를 작성합니다. 47) 잠정적인 예의 배제와 잇달은 증명 -분석 proof-analysis 및 보조 정리 합체를 결합하는 이러한 절차에 발견적으로 건전하지 않은 것은 아무것도 없습니다.
47) 이러한 표준 패턴은 본질적으로 Polya 와 Szego 의 고전 가운데 기술되어 있는 것이다 ([1927] , p. vii) , 〈실제로 모든 가정을 사용하였는지 알아 보기 위하여 각 증명을 자세히 조 사해야 한다. 보다 적은 가정으로부터 같은 결과를 얻도록 힘써야 한다……. 가능성의 경 계에 도달하였다는 것을 반례가 보여줄 때까지 만족하여서는 안 된다〉.
Beta ; 물론 이러한 과정은 비판을 철폐하지 않으며 , 단지 배경 속으로 밀어 넣을 뿐입니다. 과장된 명제를 직접 반박하는 대신에 그들은 과소 명제를 비판 합니다. 교사 ; Beta 군, 당신을 신뢰하게 되어 기쁩니다. Rho 군과 Delta 군, 당신 둥은 거기에 대하여 어떤 생각이 듭니까? Rho ; 저로서는 확실히 〈반지꼴 면〉의 문제는 가짜 문제라고 생각합니다. 그 것은 두 개의 정육면체를 이와 같이 하나로 결합한 것-당신이 〈볏 달린 정 육면체〉라고 부른-의 면과 모서리를 이루는 것을 기괴하게 해석한 데에서 연유합니다. 교사 ; 설명해 보십시오. Rho ; 〈볏 달린 정육면체>는 서로 결합시킨 두 개의 정육면체로 구성되는 다 면체입니다. 동의하십니까? 교사 ; 개의치 않겠습니다. Rho ; 그런데 선생님은 (접합>을 잘못 해석하셨습니다. 〈접합>은 작은 정육면 체의 아래쪽 정사각형의 꼭지점을 커다란 정육면체의 위쪽 정사각형의 대응하 는 꼭지점과 연결시키는 모서리를 결합하는 것입니다. 따라서 〈반지꼴 면〉이란 전혀 존재하지 않습니다. Beta ; 반지꼴 면은 있습니다 ! 당신이 이야기하고 있는 절개하는 모서리는 없습니다!
그림 14 반지꼴 면의 세 가지 해석
Rho ; 그것들은 당신의 훈련되지 못한 눈으로부터 숨겨져 있을 뿐입니다. 48)
48) 숨어 있는 모서리에 의한 두 다면체의 이와 같은 〈접합>은, 공동과 터널에 대해 괴물 배제 법을 쓰고 볏 달린 정육면체와 별 다면체에 대해 괴물 조정법을 쓴 Jonquieres 가 주장한다 ([1890b),pp. 171-2) . Euler 정리를 옹호하는 데 괴물 조정법을 쓸 것을 처음으로 제안한 사람은Matthiessen이었다([1863])． 그는 괴물 조정법을 일관되게 사용한다. 그는 숨어 있는 모서리와 면올 드러내어 터널과 공동기 있는 디면체를 포함하여 Euler 성질이 없는 모 든 것울 교묘히 설명하여 발뺑해 내는 데 성공한다. Jonquieres 의 집합은 반지꼴 면에 대 한 완전한 삼각형화인 반면에 Matthiessen은 면을 단순 부분면으로 분할하는 최소한의 수 의 모서리만을그음으로써 경제적으로 접합한다(그림 14). Matthiessen 은 혁명적 반례를 잘 조정된 부르주아적인 Euler 적 보기로 전환시키는 그 의 방법을 매우 신뢰하고 있다. 그는 <모든 다면체는 Euler 정리를 확증하는 방식으로 분석 될 수 있다……>고 주장한다. 그는 피상적인 관찰자에 의해서 주목받은 소위 반례를 열거 한 다음, 다음과 같이 말한다. <그러한 각경우에 다면체는 숨어 있는 면과 모서리를 가지 고 있으며 ,이는, 세어 보면, 이들 겉보기에 반항하는 경우에 대해서조차 V-E+F= 2 라 는 정리를 더럽히지 않은 상태로 남겨둠을 보일 수 있다〉. 추가적인 모서리와 면을 그음으로써 몇 가지 비 Euler 다면체를 Euler 다면체로 변형할 수 있다는 아이디어는, 그러나 Matthiessen 이 아니라 Hessel 에 연유한다. Hessel 은 미 묘한 도형을사용한세 가지 예를들어 이 점을 예시하고있다([183가,pp.14-15). 그러 나, 그는 이 방법을 예의를 <조정>하는데 사용하지 않고 반대로 (Euler 의 법칙이 성립하는 비교적 닮은 다편체>를 보임으로써 〈예외를 명료하게 하는 데〉 사용하였다.
Beta ; 우리가 당신의 논거를 진지하게 받아들이기를 기대하십니까 ? 제가 본 것은 미신이고 당신의 〈감추어진〉 모서리는 실재입니까? Rho ; 이 소금 결정체를 보십시오. 이것을 정육면체라고 말씀하시겠습니까? Beta ; 물론입니다. Rho ; 정육면체란 12개의 모서리를 가지고 있습니다. 안 그렇습니까?
Beta ; 네 , 그렇습니다. Rho ; 그러나 이 정육면체 위에 모서리는 전혀 없습니다. 그것들은 숨겨져 있습니다. 그것들은 당시의 합리적인 재구성 속에서만 나타납니다. Beta ; 그점에 대해 생각해 보겠습니다. 한 가지는 분명합니다. 선생님은 저 의 방법이 확실성에 이른다는 저의 자만에 빠진 견해를 비판하셨으며 아울러 증명을 잊어 버리고 있는 대 대하여 비판하셨습니다. 이런 비판이 이제 저의 〈예의 배제〉에 대해서와 마찬가지로 당신의 〈괴물 조정세도 적용됩니다. 교사 ; Delta 군, 당신은 어떻습니까 ? 이 반지꼴 면을 어떻게 쫓아내겠습니 까? Delta ; 그렇게 하지 않겠습니다. 선생님은 저를 선생님의 방법으로 돌아서게 하였습니다. 저는 단지 왜 선생님은 등한시된 세번째 보조정리를 확인하여 또한 합체시키지 않는지가 의아할 뿐입니다. 저는 다음과 같은 네번째의, 바라건 대 최종적인 형식화를 제안합니다. <(a)단순이며 (b) 각 면이 단순 연결이며 (c) 펼친 후 삼각형으로 분할하여 생기는 평면 삼각형 그물에서 삼각형에 번호 를 붙여 바론 순서로 제거하여 마지막 삼각형에 이를 때까지 V-E+F 가 변하 지 않는 그러한 모든 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉. 49) 저는 선생님이 왜 이 것을 곧바로 제시하지 않았는지 의심스럽습니다.만약 선생님이 선생님의 방법을 진지하게 고려하였다면 모든 보조 정리를 즉시 조건으로 바꿔 넣었을 것입니다. 왜 이런 〈점진적인 공학 piecemeal engineering〉을 하십니까 ? 50)
49) 이 마지막 보조 정리는 불필요하게 강하다. <펼쳐서 삼각형으로 분할하여 생기는 평면 삼 각형 그물에 대하여 V-E+F= l>이라는 보조 정리로 그것을 대치하면 증명 목적에 충분할 것이다. Cauchy 는 그 차이에 주목하지 못한 듯하다. * 역자 주- Popper는 어떤 목적을 실현하기 위하여 모든 이용 가능한과학 기술적인 지 식을 의식적으로 적용하여 공적 • 사적인 여러 가지 사회 활동을 점진적으로 개선하는 행위 를 포괄적으로 〈점진적인 사회적 공학>이라는 용어로 기술하고 있다. 50) 학생들은 분명히 최근의 사회 철학에 대하여 확실한 통찰력이 있다. 이 용어는 K. R. Popper가 만들어 내었다([1957] p, 64),
Alpha ; 왕당원이 혁명군으로 변했군 ! 당시의 제안은 오히려 이상적 사회개혁론자처럼 저를 놀라게 합니다. 왜냐하면 꼭 세 개의 보조 정리만이 있는
것은 아니기 때문입니다. 우리는 왜 <(4)1+I=2 이면〉과 <(5)모든 삼각형이 세 개의 꼭지점과 세 개의 변을 갖는다면〉과 같은 조건을 다른 많은 것과 함께 덧붙이지 않습니까? 우리는 왜 이러한 보조 정리를 확실히 사용하고 있지 않 습니까? 반례가 발견된 그러한 보조 정리만을 조건으로 전환할 것을 제안합니다. Gamma ; 이것은 너무 돌발적이어서 방법론적인 규칙으로 쉽게 받아들여지 지 않는데요. 반례를 기대할 수 있는, 참임이 분명하지 않으며 의심스러운 모 든 보조 정리들을 짜 넣읍시다. Delta ; 그러면 우리의 세번째 보조 정리는 모든 사람에게 분명하다고 생각됩 니까? 그것울 세번째 조건으로 바꿉시다. Gamma ; 우리의 증명의 보조 정리들이 나타내는 여러 조작이 모두 독립적이 아니라면 어떻게 됩니까? 만일 몇몇 조작이 수행될 수 있으면 나머지도 필연 적으로 수행될 수 있지 않으면 안 되는 경우도 있을 것입니다. 저로서는 어떤다면체가 단순이면 결과적으로 생기는 평평한 그물에서 V-E+F가 변하지 않도록삼각형을 삭제하는 순서가 언제나 존재하지 않을까 생각합니다. 만약 존재한다면, 첫번째 보조 정리를 추측에 합체시키면 세번째 보조 정리를 합체하 지 않아도될것입니다. Delta ; 당신은 첫번째 조건이 세번째 조건을 함의한다고 주장하시는데 증명 할 수 있습니까?Epsilon ; 제가 할 수 있습니다. 51)
51) 실제로 그러한 증명은 H. Reichardt 에 의해서 처음 제시되었다([1941], p. 23). 또한 B. L.van der Waerden [1941]을 참조하여라. Hilbert와 Cohn-Vossen은 Gamma 의 주장 이 참임은 〈쉽게 알 수 있다>는 데 만족하였다([1932], 영역, p. 292).
Alpha ; 실제적인 증명은 아무리 흥미 있다고 하더라도 우리의 문제를 해결 하는 데 도움이 되지 않을 것입니다. 우리의 추측을 개선하는 데 얼마나 가야 합니까? 당신이 증명할 수 있다고 주장하는 것을 저는 인정할 수 있습니다만 그것은 단지 이 세번째 보조 정리를 새로운 보조 정리로 분해하는 것일 뿐입니 다. 이번에는이들을 조건으로.돌려야합니까? 어디서 멈춰야합니까?
Kappa ; 증명에는 무한 후퇴 infinite regress*가 있습니다. 따라서 증명은 증 명하지 않습니다. 증명한다는 것은 그것을 즐길 동안에는 하다가, 지치면 멈추 는 일종의 게임이라는 것을 당신은 인식해야만 합니다.
* 역자 주―회의론자들은 정의와 증명에서의 무한 후퇴를 근거로 의미와 진리를 결정적으 로 확립할 수 없으며 따라서 지식의 기초 확립은 불가능하다고 주장해 왔다. 현대 수학에서 는 엄밀성에 대한 Canuhy 의 혁명 이후 수학의 산술화와 자명한 논리적인 원리로부터 수학 을 연역해 냄으로써 무한 후퇴를 정지시키려는 Euclid 화의 재시도는 실패하였으며, Hilbert 의 형식적인 공리론에 의해 업밀한 메타 수학의 구성으로 무한 후퇴를 정지시키려 는 시도 또한 Godel 에 의해 좌절되었다.
Epsilon ; 아닙니다. 이것은 게임이 아니라 진지한 일입니다. 무한 후퇴는 자 명하게 참인 보조 정리에 의해서 멈춰질 수 있으며, 이들 보조 정리는 조건으 로 돌릴 필요가 없는 것입니다. Gamma ; 이것이 제가 뜻한 바입니다. 우리는 자명하게 참인 원리로부터 증 명될 수 있는 그러한 보조 정리를 조건으로 바꾸지 않습니다. 또한 앞에서 상 술한 보조. 정리들로부터―아마도 자명하게 참인 그러한 원리의 도움으로 一증명될 수 있는 그러한 무 정리들도 합체시키지 않습니다. Alpha ; 동의합니다. 이제 두 가지 자명하지 않은 보조 정리를 조건으로 바 꾼 다음 우리의 추측을 개선하는 것을 멈출 수 있습니다. 사실상 저는 이러한보조 정리 합체에 의한 개선 방법은 홈이 없다고 생각합니다. 그것은 추측을개선할 뿐만 아니라 완전하게 한다고 생각됩니다. 그리고, 그로부터 중요한 것을 배웠습니다. 곧 〈증명하는 문제〉의 목적은 어떤 분명하게 서술된 주장이 참 이라는 것을 결정적으로. 보이거나 그렇지 않으면 그것이 거짓임을 보이는 것이 라고 단언하는 것은 잘못이 라는 것을 배웠습니다. 52) 〈증명하는 문제〉의 실제적인 목적은 원래의 〈소박한 naive>추측울 진정한 〈정리〉로 개선-실제로 완성—하는 것이어야 합니다.
52) Polya([1945], p. 142) .
우리의 소박한 추측은 〈모든 다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 것이었습니다. 괴물 배제법은 결국에는 〈모든 다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 괴물 배제정리를 얻도록 그 용어들을 재해석함으로써 이러한 소박한 추측을 방어합니다.
그러나 소박한 추측과 괴물 배제 정리의 언어적 표현의 동일성은 용어의 의미 의 은밀한 변화 뒷면에, 본질적인 개선을 숨기고 있습니다. 예외 배제법은 논증과는 실제로 무관계한 요소인 〈볼록성 convexity>을 도입하였습니다. 예외 배제 정리는 〈모든 볼록 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉이었습니다. 보조 정리 합체 방법은 논증, 곧 증명에 의존하였으며 그 밖의 어떤 것에도 의존하지 않았습니다. 그 방법은 〈단순 연결인 면을 가지는 모든 단순다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 보조 정리 합체 정리 the lemma-incorporating theorem 가운데 증명을 실질적으로 요약하였습니다. 이것은 증명하려고 착수한 것을 증명하지 않는다는 것을 보여줍니다 (여기에서 저는 전통적인 의미로 〈증명하기〉란 용어롤 사용합니다)． 따라서 어떤 증명 도 〈증명되었어야 할 것 Quod erat demonstrandum〉이라는 말로 결론을 맺어서 는 안 됩니다.53)
53) 이 마지막문장은 Alice Ambrose의 흥미 있는 논문에 연유한다(〔1959], p.438).
Beta ; 어떤 이들은 발견의 순서에서 정리가 증명에 선행한다고 말합니다. 〈증명하기 전에 수학적 정리를 추측해야만 합니다〉. 다른 사람들은 이를 부인하 고 발견은 상술된 일단의 전제들로부터 결론을 이끌어 내고, 만일 어떤 것을 발견할 수 있을 만큼 행운이 있다면, 흥미 있는 것에 주목함으로써 진행된다고 주장합니다. 곧 제 친구의 재미 있는 은유를 사용하면, 어떤 사람들은 연역 체 계에서 발견적 〈지퍼 잠그개>는-아래-결론―에서부터 위 ― 전제― 로 올라간다고 말합니다. 54) 다른 사람들은 위로부터 아래로 내려간다고 말합니 다. 당신의 입장은무엇입니까?
54) p. 30, 주 7)을 참조하라. <지퍼 잠그개>란 은유는 R. B. Braithwaite 에 의해서 고안되었 다. 그러나 그는 <발견적인〉 지퍼 잠그개가 아니라 <논리적>이고 〈인식론적인〉 지퍼 잠그개 에 대해서만 이야기하고 있다([1953], 특히 p. 352).
Alpha ; 그러한 당신의 은유는 발견에 적용될 수 없습니다. 발견은 위 또는 아래로 움직이는 것이 아니라 갈 지자(之字) 꼴의 길을 따릅니다. 반례에 의해 자극되어 소박한 추측에서 전제로 움직이며, 그리고 나서 다시 방향을 돌리어 소박한 추측을 삭제하고 그것을 정리로 대치시킵니다. 소박한 추측과 반례는
어엿한 연역 체계에서는 나타나지 않습니다. 발견의 갈 지자 길은 마지막 산물 에서는 식별될 수 없습니다. 교사 ; 아주 훌륭합니다. 그러나, 한 마디 주의를 덧붙이기로 합시다. 정리는 소박한 추측과 항상 다르지는 않습니다. 증명함으로써 반드시 개선되는 것은 아닙니다. 증명은 아이디어가 그때 정리 가운데에 나타나는 소박한 추측의 예 기치 않았던 측면을 발견할 때 개선됩니다. 그러나 성숙한 이론에서는 그렇지않을 수 있습니다. 젊고 성장하는 이론에서는 확실히 그렇습니다. 발견과 정당화, 개선과 증명의 뒤얽힘은 젊고 성장하고 있는 이론의 첫째가는 특칭입니다. Kappa(옆에서) ; 성숙된 이론은 도로 젊어질 수 있습니다. 발견은 항상 정당 화를폐지시킵니다. Sigma ; 이러한 분류는 제 생각과 일치합니다 ! 제 제안의 첫번째 형태가 성 숙된 형태이고 세번째 것이 성장하는 형태이고……. Gamma(그의 말을 가로막는다) ; 이 정리는 거짓입니다! 저는 그에 대한 반례를 발견하였습니다. 5 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례에 의한 증명-분석의 비판. 엄밀성의 문제 (a) 정리를 옹호하는 괴물 배제 Gamma ; 저는 방금 반례 5, 곧 원기등이 소박한 추측뿐만 아니라 정리도 반 박함을 알았습니다. 그것은 양쪽 보조 정리를 다 만족하지만 오일러 성질을 갖 지 않습니다. Alpha ; 친애하는 Gamma 군, 괴짜가 되지 마십시오. 원기둥은 농담이었지 반례가 아니었습니다. 어떤 진지한 수학자가 원기둥을 다면체로 보겠습니까? Gamma ; 왜 당신은 저의 반례 3 , 곧 성게에 대하여 이의를 제기하지 않았습
니까 ? 그것이 원기등보다 덜 〈괴짜 〉였습니까 ? 55) 물론 그때 당신은 소박한 추 측을 비판하고 있었고 반박을 환영하였습니다. 지금 당신은 정리를 옹호하고 있고 반박을 혐오하십니다 ! 반례가 나타났을 그때 당신은 〈추측에 무엇이 잘못 되었을까?〉라고 물었는데, 이제 당신은 〈반례에 무엇이 잘못 되었을까?〉라고 묻고 있습니다.
55) 성게와 원기둥은 위에서 논의되었다, pp. 40, 59.
Delta ; Alpha군, 괴물 배제론자로 전환하였습니다 ! 당혹스럽지 않습니까 ? 56)
56) 정리를 옹호하는 괴물 배제는 비형식적인 수학의 중요한 패턴이다. (Euler 공식이 성립하 지 않은 예에는 무엇이 잘못되었을까? F, V 및 E 의 의미를 보다 엄밀하게 하면 어떤 기하 학적 조건이 Euler공식의 타당성을 보증할까?〉(Polya [1954], 1, 연습문제 29). 원기둥 은 연습문제 24에주어져 있다. 해답은다음과같다〈……모서리는 ..... 귀퉁이에서 끝나야 헛타……〉(p. 225) . Polya 는 이것을 다음과 같이 일반적으로 형식화한다. 〈수학 연구에서 드물지 않은 상황이 다음과 같은 것이다. 정리는 이미 형식화되었지만 그것을 엄밀히 바르 게 만들기 위하여 그것을 형식화한 용어에 보다 정확한 의미를 부여해야 한다〉(p. 55) .
(b) 감추어진 반례 Alpha ; 당황스럽습니다. 제가 약간 성급했던 것 같습니다. 생각해 보게 해주십시오. 반례에는 세 가지 가능한 유형이 있습니다. 우리는 이미 첫번째 유형-국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 대하여 이미 논의하였습 니다. 그것은 확실히 정리를 반박하지 않을 것입니다57). 두번째 유형은 전면적반례이면서 국소적 반례인 반례로 그것은 어떠한 행위도 요구하지 않습니다.
57) 국소적 반례이지만 전면적인 반례가 아닌 반례에 대해서는 pp. 31-5 에서 논의되었 다.
곧 정리를 반박하기는커녕 오히려 확실하게 합니다. 다음에는 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례인 세번째 유형이 있을 수 있습니다. 이것은 정리를 반박할 것입니다. 저는 이것이 가능하리라고 생각지 않았습니다. 그런데 원 기둥이 그런 것이라고 Gamma 군이 주장합니다. 그것을 괴물로 보고 기각하고 싶지 않다면 그것이 전면적인 반례라는 것, 곧 V-E+F= 1 임을 인정해야 합
니다. 그러나 그것은 두번째의 무해한 유형의 반례가 아닙니까? 저는 그것이 보조 정리 중 적어도 하나는 만족하지 않으리라고 생각합니다. Gamma ; 점검해 봅시다. 그것은 첫번째 보조 정리를 확실히 만족합니다. 곧, 밑면을 제거하면 그 나머지를 칠판 위에 쉽게 펼쳐 놓을 수 있습니다. Alpha ; 그러나 옆면을 제거하게 되면 그것은 두 조긱이 되어 버립니다 ! Gamma ; 그래서 어쨌단 말입니까? 첫번째 보조 정리는 다면체가 단순하다 는 것, 곧 〈한 면을 제거한 후에 다면체는 평면 위에 펼쳐질 수 있.다 冷·. 것을. 요구하였습니다. 원기둥은 옆면을 제거하고 시작한다 해도 이 요구를 만족합니다.당신이 주장하는 것은 원기둥이 추가적인 보조. 정리, 곧 결과적으로 얻어지는 평면 그물이 또한 연결되어 있다는 성질을 만족해야 한다는 것입니다. 그러나 누가 대체 이 보조 정리를 언급하였습니까?Alpha ; 〈펼쳐진다>는 것은 누구나 〈한 조각으로 펼쳐진다〉, 〈찢지 않고 펼쳐진다〉·… 로 해석합니다. 세번째 보조. 정리가 첫번째 보조 정리로부터 나온다는 Epsilon 군의 증명 때문에 우리는 세번째 보조 정리를 합체하지 않기로 결정 하였습니다. 58) 그러나 그 증명을 한번 훑어보십시오. 그 증명은 펼친 결과는 연결된 그물이라는 가정에 달려 있습니다 ! 그렇지 않으면 삼각형회된 그물에 서 V-E+F 는 1 이 되지 않을 것 입니다.Gamma ; 왜 그때에 그것을 명백히 언급해야 한다고 우기지 않았습니까? Alpha ; 우리는 그것이 암묵적으로 언급되어 있다고 보았기 때문입니다.Gamma ; 적어도 당신은 확실히 그렇게 보지 않았습니다. 왜냐하면 당신은 〈단순성>은 〈구로 부풀릴 수 있는 것>을 뜻한다는 제안을 하였기 때문입니다. 59)원기등도 구로 부풀릴 수 있습니다. 그러므로 당신의 해석에 따르면 원기둥은첫번째 보조 정리를 만족합니다. Alpha; 글쎄요....그러나 당신은 그것이 두번째 보조 정리 곧, <대각선으로나누어진 모든 면이 두 조각으로 된다>는 성질을 만족하지 않는다는 데 동의해야 합니다. 어떻게 원이나 원기둥의 옆면을 삼각형화 하겠습니까? 이들 면
58) p. 72를 보라. 59) pp. 62-3을 보라.
은단순연결입니까? Gamma ; 물론 그렇습니다. Alpha ; 그러나, 원기둥 위에는 전혀 대각선을 그을 수 없습니다 ! 대각선이 란 인접하지 않은 두 꼭지점을 이은 선분입니다. 그런데 원기둥에는 꼭지점이 없습니다! Gamma ; 당황하지 마십시오. 만약 원이 단순 연결이 아니라는 것을 보이고 싶으시면 새로운 면을 만들어 내지 않는 대각선을 그어 보십시오. Alpha ; 익살떨지 마십시오. 제가 할 수 없다는 것을 당신은 잘 알고 계십니다. Gamma ; 그러면, 〈원에는 새로운 면을 만들어 내지 않는 대각선이 있다>는것이 거짓인 명제임을 받아들이겠습니까?Alpha ; 네 , 받아둘이겠습니다. 이제 당신은 무엇을 도모하려 하십니까 ? Gamma ; 그러면 당신은 그 부정 명제가 참이라는 것 곧, 〈원의 모든 대각선 은 새로운 면을 만들거 낸다>는 것, 다시 말해, 〈원은 단순 연결이다>는 것을 받아들일 수밖에 없습니다. Alpha ; 당신은 〈원의 모든 대각선은 새로운 면을 만들어 낸다>는당신의 보 조 정리에 대한 보기를 제시하실 수 없습니다-그러므로, 그것은 참이 아니라 의미가 없습니다. 진리에 대한 당신의 인식은 틀렸습니다.Kappa(옆에서) ; 처음에 그들은 다면체가 무엇인가 하는 것에 대하여 논쟁을 하였는데, 이제 무엇이 진리인가에 대하여 논쟁하고 있군요 ! 60)
60) Gamma 군의 공허하게 참인 명제 vacuously true statements 는 19 세기의 주요한 혁신 이었다. 그 문제의 배경은 아직 전개되지 않았다.
Gamma ; 그러나 당신은 이미 그 보조 정리의 부정이 거짓임을 인정하였습니다 ! 그렇지 않으면 no t-A 가 의미 있고 거짓인 반면, 명제 A 가 무의미할 수있습니까? 의미에 대한 당신의 인식은 이치에 닿지 않습니다 !잘 들어 두십시오. 저는 당신의 어려움을 알고 있습니다. 그러나 우리는 약간의 재형식화로 그것을 극복할 수 있습니다. 〈모든 x 에 대하여 , x 가 대각선이라면 X는 그 면을 둘로 나눈다>는 명제가 성립하면 그 면을 단순 연결이라고 부릅시다. 원기둥의 원과 옆면도 대각선을 갖지 않으므로 그 경우 x 가 무엇이
든지 전제는 항상 거짓일 것입니다. 따라서 이 조건문은 어떤 대싱에 의해서도 성립하며 의미도 있고 참이기도 합니다. 곧 원기둥의 원과 옆면은 모두 단순 연결이며 원기둥은 두번째 보조 정리를 만족합니다. Alpha ; 아닙니다 ! 대각선을 그어 면을 삼각형으로 만들 수 없으면 결코 평 평한 삼각형 그물에 도달하지 못할 것이며 증명을 완결하지 못할 것입니다. 그 런데, 어떻게 당신은 원기둥이 두번째 보조 정리를 만족한다고 말할 수 있습니까? 그 보조 정리에 존재절이 있어야 한다는 것을 모르십니까? 면의 단순 연결성의 바른 해석은 <모든X에 대하여, X가 대각선이라면 X는 면을 둘로 나눈다그리고 대각선인 X가 적어도 하나 존재한다>이어야 합니다. 원래의 형식화는 그것을 생략하지 않고 전부 말하지는 않았지만, 그것은 무의식적으로 〈감추어진 가정〉으로서 거기에 있었습니다. 61) 원기둥의 모든 면은 그러한 성질 을 충족하지 못하므로 원기둥은 전면적인 반례이고 국소적인 반례이며 정리를 반박하지 않습니다.
6I) (Euclid는…다 완전히 의식하고 있지 않은 한 가지 공리를 이용하고 있다〉(Russell [1903], p.407), 〈감추어진 가정을 한다>는 것은 수학자들과 과학자들 사이의 공통된 말씨 이다. 또한 Cauchy 의 중명에 대한 Gamow 의 논의 ([1953],p. 56) 혹은 Newton 에 대한 Eves 와 Newsom 의 논의 ([1958] , p. 84)를 보라.
Gamma ; 당신은 처음에 〈연결성 connectedness>을 도입하여 펼친다는 보조 정리를 수정하였으며, 지금은 존재절울 도입하여 삼각형으로 만든다는 보조 정 리를 수정하고 있습니다 ! 그리고, 〈감추어진 가정〉에 대한 이러한 모호한 이야 기는 제가 제시한 원기둥이 당신으로 하여금 이러한 수정 내용을 고안하게 하 였다는 사실을 감추고 있을 뿐입니다. Alpha ; 어떤 모호한 이야기입니까? 우리는 이미 당연히 참인 보조 정리를 생략하기로, 곧 〈감추기로〉 동의하였습니다. 62) 그런데 왜 우리는 당연히 거짓인보조 정리를 언급하고 합체시켜야 합니까? 그들은 정말로 하찮고 정말로 따분 한 것들입니다. 그것들을 마음에 간직해 두되(enthyme) 진술하지는 마십시 오. 감추어진 보조 정리는 오류가 아닙니다. 그것은 우리의 배경 지식을 가리
62) pp. 71-4를 보라.
키는 약빠른 속기입니다. Kappa(옆에서) ; 배경 지식은 우리가 모든 것을 알고 있지만 실제로 아무것 도 모른다고 가정하는 곳에 있습니다. 63)
63) 비형식적인 수학의 훌륭한 교과서는 흔히 그들의 〈속기 shorthand>,곧 그들이 매우 하찮 은 것이라 언급할 가치가 없다고 간주하고 있는 참이거나 거짓인 보조 정리를 상술하고 있다. 이에 대한 표준적인 표현은 〈우리는 x 형의 보조. 정리가 친밀함을 가정한다>는 것이다.가정된 친밀성의 양은 비판이 배경적 지식을 지식으로 전환할 때 증가된다. 예를 들어,Cauchy 는 그의 유명한 논문 [1821]이 실수론과의 〈친밀성>을 미리 가정하였음에 주목하지 조차 못하였다. 그는 무리수의 성질에 대한 보조 정리를 명백하게 만든 어떤 반례도 괴물이 라고 생각하여 기각하였을 것이다. Weierstrass 와 그의 학파는 그렇지 않았다. 오늘날 비 형식적인 수학의 교과서에는 이러한 보조 정리를 모아 놓은 실수론에 관한 새로운 장을 포 함하고 있다. 그러나 그 서문에는 〈유리수론과의 친밀성>이 흔히 가정되고 있다(예를 들어, Hardy 의 저서 『순수 수학』의 제 2 판 [1953] 이후를 보라―첫번째 판은 그러나 실수론 을 배경적 지식으로 추방하였다. 혹은 Rudin [1953]을 보라) . 보다 더 엄밀한 교과서는 배경 지식을 훨씬 더 좁히고 있다. Landau 는 그의 유명한 저서 [193이의 서문에서 〈논리적 추론 및 독일어써의 친밀성만을 가정하고 있다. 얄궂게도 똑같은 시기에 Tarski 는 이와 같이 생략된 절대적으로 하찮은 보조 정리가 거짓일 뿐만 아니라 모순일 수도 있음을 보였 다. 독일어는 의미론적으로 닫힌 언어이므로, 여자는 x 분야에 대하여 무지를 고백하고 있 다〉가 언제 권위주의자의 완곡거법인 여자는 x 분야와의 친밀성을 가정하고 있다>를 대치할 것인지 의심스러울 것이다. 지식에는 기초가 없다는 것이 인식될 때 비로소 확실히 그렇게 될것이다.
Gamma ; 만약 당신이 의식적인 가정을 하시고 계시다면 그것은 다음과 같을 것입니다. (a) 한 면을 제거하면 항상 연결된 그물이 남는다. (b) 삼각형이 아 닌 어떠한면도 대각선에 의해 삼각형으로 나누어질 수 있다. 이러한 것들이당신의 잠재 의식 가운데 있는 동안에는 자명하게 참인trivially ture 것으로 열거됩니다. 그러나 원기둥은 이러한 성질이 재주를 넘어 자명하게 거짓인 것으로 의식되게 만들었습니다. 원기둥을 접하기 전에는 두 보조 정리가 거짓일 수 있다는 것을 인식조차 할 수 없었을 것입니다. 이제 당신이 그러하였다고 말한 다면 당신은 오류를 일소하기 위하여 역사를 다시 쓰고 있는 것입니다. 64)
64) 감추어진 보조 정리가 처음 발견될 때 그것은 오류로 간주된다. J. C. Becker 가 Cauchy 의 증명 가운데 〈감추어진 (stillschweigend) >가정을 처음으로 지적하였을 때 (그는 그 증명 올 Baltzer 의 책 [1862]로부터 간접적으로 인용하였다) 그는 그것을<오류>라고 불렀다
([1869a],pp. 67-8) . 그는 Cauchy 가 모든 다면체는 단순기라고 생각한 사실에 주목하였 다. 그의 보조 정리는 숨겨져 있을 뿐만 아니라 거짓이기도 하였다. 그러나 역사가들은 위 대한 수학자들이 그러한 오류를 범하리라는 것을 상상할 수 없었다. 역사를 왜곡하는 방법 에 대한 진정한 프로그램을 Poincare 의 저서 [1908] 가운데에서 찾아볼 수 있다. 〈엄밀하 지 않은 논증은 무가치한 것이다. 아무도 이 사실에 이의를 제기하지 않을 것이라고 생각한 다. 그러나 그것을 너무 글자 뜻 그대로 받아들이면 1820년 이전에는, 예를 들어, 수학이 없었다는 결론에 이르게 될 것이다. 이는 명백히 지나친 이야기일 것이다. 그 시대의 기하 학자들은 우리가 장황한 논의를 거쳐 설명하고 있는 것을 자생적으로 이해하였다. 이는 그 들이 그것을 전혀 알지 못하였다는 것을 뜻하지 않는다. 그러나 그들은 그것을 너무 빨리 지나쳤으며 그것을 잘 살펴보려면 필연적으로 그것을 언급하는 수고를 하지 않을 수 없었을 것이다〉(p. 374) . Cauchy 의 오류에 대한 Becker 의 보고서는 1984 년식으로. 다시 쓰여지 지 않을 수 없었다. 〈훌륭하지 않다를 거듭거듭 말하는 것은 오류가 아님을 말하는바 완전 히 고쳐 써라 doubleplusungood refs unerror rewrite fullwise>*.〔·역자 주―이는 죠 지 오웰의 『1984년』의 신어법을모방한풍자적인 말이다.］ 그 재서술은 <그 정리가 일반적 으로 성립하지 않는다는 사실은 주목받지 못한 채 남아 있을 수는 도저히 없을 것이다>라고 주장한 E. Steinitz 에 의해 이루어졌다([1914-3기, p. 20). Poincare 자신은 그의 프로그 램을 Euler 의 정리에 적용하였다. (Euler 는 볼록 다면체에 대하여 V-E+F=2 임을 주장 하였다는 것이 알려져 있다〉([1893]). Euler는 물론 모든 다면체에 대하여 그의 정리를 언급하였다.
Theta ; 얼마 전에 , Alpha 군 당신은 매번 반박이 있은 다음에 Delta 군의 정의 가운데 나타난 〈감추어진〉 구절을 비웃었습니다. 이제는 매번 반박이 있은 다음에 보조 정리에서 〈감추어진〉 구절을 만들어 내고 있는 것은 당신입니다. 체면을 구하기 위하여 자신의 입장을 바꾸고 그것을 감추려고 하는 것은 당신 입니다. Kappa ; 궁지에 빠진 독단주의자보다 더욱 저를 즐겁게 하는 것은 없습니다. 독단주의의 작은 횃불을 분쇄하기 위하여 호전적인 회의론자의 관복을 걸친 후, Alpha 군은 반대로 같은 부류의 회의론자의 논거에 의해 궁지에 몰리면 국 도로 흥분하게 됩니다. 그는 지금 행동에 주책이 없습니다. 곧, 처음에는 그 자신이 드러내어 금하였던 방어 기제를 가지고 Gamma 군의 반례를 격퇴하려 하고(괴물 배제), 다음에는 예비품인 〈감추어전 보조 정리>를 증명 속으로, 그 리고 그와 대응하는 〈감추어진 조건>을 정리 속으로 몰래 들여오려고 합니다.
그차이는무엇입니까? 교사 ; Alpha 군의 문제점은 확실히 보조 정리 합체에 대한 그의 해석에 있어 서의 독단주의자적인 전환이었습니다. 그는 증명을 주의 깊게 조사하면 모든 거짓인 보조 정리를 담고 있는 완전한 증명 -분석을 얻을 것이라고 생각하였습 니다(Beta 군이 모든 예외를 열거할 수 있다고 생각한 것과 꼭 같이) 그는 그 것들을 합체시킴으로써 개선된 정리뿐만 아니라 반례로 성가심을 당하지 않는완전한 정리도 얻을 수 있다고 생각하였습니다. 65) 원기둥은 그가 잘못임을 보여주었습니다만 이제 그는 그것을 인정하는 대신에 증명-분석이 적철한 거짓인보조 정리를 담고 있으면 그것을 완전하다고 말하고 싶어 합니다.
65) p. 58을 보라.
(c) 증명과 반박의 방법 Gamma ; 저는 원기둥을 그 정리에 대한 진정한 반례로서 받아들일 것을 제 안합니다. 저는 원기둥에 의해 반박될 한 가지 새로운 보조 정리 (또는 여러 가 지 보조 정리)를 발명하여 원래의 목록에 그것을 추가합니다. 이는 물론 Alpha 군이 한 것과 꼭 같습니다. 그러나, 그것을 〈감추는〉 대신에 저는 공개적 으로 알립니다. 이제 이전의 증명 -분석과 그와 대응하는 이전의 정리에 관해서는 당혹스럽 고 위험한 전면적인 반례이지만 국소적인 반례가 아닌 반례 (세번째 유형) 였던 원기둥이 새로운증명 -분석과 대응하는 새로운 정리에 관해서는 무해한 전면적인 반례이면서 국소적인 반례가 될 것입니다.Alpha 군은 반례에 대한 그의 분류가 절대적이라고 생각하였지만 사실은 그 의 증명 -분석에 대해 상대적이었습니다. 증명 -분석이 성장하면서 세번째 유 형의 반례는 두번째 유형의 반례로 전환됩니다. Lambda ; 옳습니다. 증명 -분석은 그에 대한 〈세번째 유형〉의 반례가 없을 때에 한하여 〈엄밀〉하거나 〈타당〉하며 그와 대응하는 수학적 정리는 참입니다.
저는 이 기준을 허위성의 재전달 원리 the Principle f Retransmission of Falsity라고 부르겠습니다. 왜냐하면 그것은 전면적인 반례가 또한 국소적인 반례일 것을 요구하기 때문입니다. 곧, 거짓임은 소박한 추측에서 보조. 정리 로, 결론에서 그 전제로 재전달되어야 합니다. 만일 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례가 이 원리를 위반하면, 적절한 보조 정리를 증명 -분석에 추가하여 그것을 복구시킵니다. 그러므로 허위성의 재전달 원리는 발생 과정에있는 증명 -분석을 위한 조정 원리이며, 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례는 증명 -분석이 성장하는 데 작용하는 발효제입니다. Gamma ; 단 하나의 반박을 발견하기도 전에 우리는 그럭저럭 세 가지 의심 스러운 보조 정리를 식별해 내었으며 증명 -분석울 진행시켰음을 기억하십시오 ! Lambda ; 그것은 사실입니다. 증명 -분석은 전면적인 반례의 압력하에서뿐 만 아니라, 사람들이 〈확신을 주는〉 증명에 대하여 이미 경계를 하게 되었을 때 에도 시작됩니다. 66)
66) 우리의 학급은 비교적 고급반이었다一_Alpha, Beta, Gamma 는 전면적인 반례가 모습 을 드러내지 않을 때 세 가지 보조 정리를 의심하였다. 실제적인 역사에서 증명 -분석은 수 십년이 지난 후에 나타났다. 오랜 기간 동안 반례는 침묵하거나 괴물이라고 추방되거나 예 의로 열거되었다. 전면적 반례로부터 증명 -분석에로의 발견적 이동――허위성의 재전달 원리의 적용――은 사실상 19세기초의 비형식적인 수학에서 알려져 있지 않았다
첫번째의 겅우에 모든 전면적인 반례는 세번째 유형의 반례로서 나타나며 모 든 보조 정리는 〈감추어전 보조 정리〉로서 그 경력을 시작합니다. 그것들 때문 에 우리는 증명 -분석을 점진적으로 확립하게 되며, 그래서 하나씩하나씩 두번 째 .유형의 반례로 전환하게 됩니다. 두번째 경우에-우리가 이미 의심스러운 기분이 들어 반박을 찾으려 할 때――우리는 어떠한 반례도 없이 진보된 증명 -분석에 도달할 수도 있습니다. 그때에 두 가지 가능성이 있는대, 첫번째 가능성은 증명 -분석에서 열거된보조 정리들을―—국소적인 반례에 의해서-반박하는 데 성공하는 것입니 다. 이것들이 또한 전면적인 반례라는 것을 아주 잘 알게 될 것입니다. Alpha ; 저는 사진틀을 이런 식으로 발견하였습니다. 곧 한 면을 제거한 후
에 평면 위에 평평하게 펼쳐 놓을 수 없는 다면체를 찾아 보았습니다. Sigma ; 그러면, 반박이 증명 -분석의 발효제로 작용할 뿐만 아니라 증명 -분석이 반박의 발효재로 작용할 수도 있군요 ! 외관상의 적으로 보이는 둘 사 이에 이러한 부정한 동맹· 관계가 있다니 ? Lambda ; 옳습니다. 추측기 아주 그럴 듯하거나 심지어 자명해 보이기조차 해도 그것을 증명해야 합니다. 곧, 추측이 매우 미묘하고 의심스런 보조. 정리 에 달려 있다는 것을 발견할 수도 있습니다. 그 보조 정리를 반박하는 것은 원 래의 추측에 대한 어떤 예기치 못한 반박에 이르게 될 수도 있습니다. Sigma ; 증명으로 생성된 반박에 ! Gamma ; 그렇다면 〈논리적 증명의 장점은 믿음을 강요하는 것이 아니라 의 심을 암시한다는 것입니다〉. 67)
67) H. G. Forder [1927], p. viii. 혹은 〈중명된 결과에 대하여 어떤 회의론을 주입하는 것이 증명의 주된 장점의 하나이다〉 (Russell [1903] , p. 360. 그는 또한 훌륭한 예를 들고 있다) .
Lambda . ; 그러나 의심스런 보조 정리에 대한 어떤 국소적인 반례도 찾지 못하는 두번째 가능성으로 되돌아가 봅시다Sigma ; 다시 말해서 반박이 증명 -분석을 돕지 않을 때 말이지요 ! 그때에 무슨 일이 일어날까요? Lambda ; 우리는 괴짜로 낙인 찍힐 것입니다. 증명은 절대적인 존경을 획득 하고 보조 정리는 의심을 떨쳐 버릴 것입니다. 우리의 증명 -분석은 곧 잊혀질 것입니다. 68) 반박 없이는 의심을 뒷받침할 수 없습니다. 곧, 반박의 석회등을
68) 비판이 〈선험적 진리 a priori truths>에 의심을 던지고 결국 반박할 수도 있으며 따라서 증 명을 단순한 설명으로 전환시킬 수도 있다는 것은 잘 알려져 있다. 비판이나 반박의 결여는 받아들이기 어려운 추측을 〈선험적 진리>로 전환시킬 수 있으며, 잠정적인 설명을 증명으로. 전환시킬 수 있다는 것은 잘 알려져 있지 않지만 꼭 마찬가지로 중요하다. 이러한 패턴의 두 가지 예가 Euclid 와 Newton 의 출현과 쇠퇴이다. 그들의 쇠퇴에 대한 이아키는 잘 알 려져 있지만 그들의 출현에 대한 이야기는 보통 잘못 묘사되고 있다.Euclid 기하학은 우주론적인 이론으로 제시되었던 듯하다(Popper [1952], pp. 187-8 을참조하라)． 그 〈공준>과 〈공리〉(곧 ‘공통 관념'）는 양쪽 모두 Pannenides와 Zeno 에 도전 하는 대담하고 도전적인 명제로 제안되었다. Pannenides 와 Zeno 의 학설은 이러한 〈공준〉 이 거짓이라는 것뿐만 아니라 논리적으로, 거짓이며 상상할 수 없다는 것을 포함하고 있다.
〈공준>이 의심의 여지가 없이 참이라고 여겨지고, 대담한 반-Pannenides 〈공리〉(‘전체는 부 분보다 크다’와 같은)가 매우 자명하여 그후의 증명 -분석에서 생략되어 〈감추어진 보조 정 리>로 전환된 것은 후의 일일 뿐이다. 이러한 절차는 Aristotle로부터 시작되었다. 그는 Zeno 를 다투기 좋아하는 괴짜라고 낙인찍고 그의 논증을 〈궤변>이라고 낙인찍었다. 아 이 야기는 Arpad Szabo 에 의해서 최근에 자국적으로 상세하게 전개되었다(〔1960], pp. 65 -84). Szabo는 Euclid시대에 〈공리>란 말은- <공준>과 같이- 비판적대화(변증법) 에서 토론 상대자에 의해서 참인 것으로 받아들여지지 않은 채 결과를 검증하기 위하여 제 안된 명제를 뜻한다는 것을 보였다. 그 의미가 뒤집어진 것은 역사의 칭난이다. Euclid 의 권위는 계몽시대에 절정에 달하였다. Clairaut 는 그의 동료들에게 명백한 진리를 언급함으 로써 〈증명을 모호하게 하고 독자로 하여금 넌더리나게 하지 〉 않도록 권하였다. Euclid 는〈완고한소피스트들>을확신시키기 위하여 그렇게 했을뿐이다([1741),pp.x, xi) .다른 한편, Newton의 역학과 중력 이론은 대담한 추측으로 제안되었으며 Leibniz 에 의해서 조롱을 받고 <비학occult〉이라고 불렸으며 Newton 자신에 의해서조차도 의심을 받 았다. 그러나 이삼십 년 후에 __반박 없이＿그의 공리는 의심의 여지가 없이 참이라고 방가동겨지게 되었다. 의심은 잊혀지고 비판자는 인<반계몽주의자〉가 아니라면 <기인>이라고 낙인찍혔다. 그의 가장 의심스러운 가정 가운대 몇 가지는 매우 자명한 것으로 간주되게 되 어 교과서에는 결코 그들이 언급조차 되지 않았다. 논평 __ Kant 로부터 Poincare 까지의 ―은 더 이상 Newton 이론의 진실성에 대한 것이 아니라 그 획실성의 본성에 대한 것이 었다(Newton 이론의 평가에 대한 이러한 방향 전환은 처음 Karl Popper 에 의해서 지적 되었다―그의 저서 [1963]울 참조하라. 도처에 나와 있다) . 정치적인 이데올로기와 과학적인 이론 사이의 유추는 그런데 보통 실감하고 있는 것보다 도 훨씬 더 광범위하다. 처음에는 논의될 수도 있는(아마도 압력 아래에서만 받아들여지 는) 정치적 이데올로기는 한 세대 동안에조차도 의문의 여지가 없는 배경 지식으로 바뀔 수 있다. 비판자는 혁명이 그 반대자를 옹호할 때까지 잊혀진다(그리고 아마도 처형된다) .
〈자명한 진리〉의 희미한 빛 속에서 거의 주목되지 않은 증명의 등한시된 측면에 향하게 하면서 반례가 그것을 보강하지 않는다면 의심의 탐조등은 곧 꺼져 버 립니다. 이 모든 것은 증명과 반박을 분리된 칸막이 방에 놓을 수 없다는 것을 보여줍니다. 이 때문에 저는 <보조 정리 합체법>을 <증명과 반박의 방법 the methodof proof and refutations〉이라고 재명명할 것을 제안합니다. 그 주된 국면을 다
주의 깊게 조사하여 자명하지 않은 보조 정리의 목록을 마련하여라 (증명- 분석)추측에 대한 반례 (전면적인 반례)와 의심스런 보조 정리에 대한 반례 (국소적 반례)를양쪽 다 찾아 보아라규칙2, 전면적인 반례가 있으면 추측을 버리고, 반례에 의해 반박될 적절한보조 정리를 증명- 분석에 추가하고 그 보조 정리를 조건으로 합체시킨 개선된추측으로 기각한 추측을 대체시켜라 69) 반박을 괴물이라고 보고 버려지도록 허용하지 말아라70)<모든 감추어진 보조 정리>를 명백하게 하려고 시도하여라 71)규칙3. 국소적인 반례가 있으면 그것이 또한 전면적인 반례인지 아닌지 검사해 보아라만약 전면적인 반례라면 규칙2를 쉽게 적용할 수 있다.
69) 이 규칙은 P.L. Seidel 에 의해서 처음으로 언급되었던 것 같다(〔1847], p. 383). 아래 p. 206을보라. 70)<나는 당신의 논증의 조건을 만족시키는 예를 제시할 권리가 있으며, 당신이 기묘한 터무 니 없는 예라고 부르고 있는 것이 실제로 당신의 정리에 해가 되는 당혹스러운 예가 아닌가 굴논 강한의심이 든다〉(G. Darboux [1874b]). 71) <나는 암묵적인 보조 정리가 축적되는 것이 두렵다. 그들을 제거하는 데 많은 일이 필요할 것이다〉(G. Darboux [1883]).
(d) 증명 대 증명-분석. 정리의 개념과 증명-분석에서의 엄밀성 개념의 상 대화 Alpha ; 규칙 에서 〈적절한〉이란 무엇을 의미하셨습니까 ? Gamma ; 그것은 완전히 군더더기 말입니다. 문제가 되는 반례에 의해 반박 되는 어떠한 보조 정리도 추가될 수 있습니다. 왜냐하면 그러한 보조 정리는 어떤 것이라도 증명 -분석의 타당성을 복구시킬 것이기 때문입니다. Lambda ; 뭐라고요 ! 그러면 〈모든 다면체는 적어도 17 개의 변을 갖는다〉와 같은 보조 정리가 원기둥을 처리할 것입니다 ! 그리고 어떠한 다른 임의의 특 수한 추측도 그것이 반례에 의해 반박되기만 하면 꼭 마찬가지일 것입니다. Gamma ; 왜 안 그렇겠습니까 ? Lambda ; 우리는 이미 괴물 배제자와 예의 배제자를 그들이 증명에 관해 잊
었다는 데 대해 비판하였습니다. 72) 그런데 당신은 진짜 괴물, 곧 증명 없는 증명 -분석을 발명하여 같은 일을 하고 있습니다. 당신과 괴물 배제자 사이의 유일한 차이점은 당신이 Delta 군으로 하여금 그의 임의의 정의를 명백하게 하도 록 하고 그것들을 보조 정리로써 정리 속에 합체시키는 것이라는 점입니다. 그리고, 예의 배제와 당신의 증명 -분석 사이에는 아무런 차이도 없습니다. 그러한 특별한 방법에 대한 유일한 방위 수단은 적절한 보조 정리 곧, 사고 실험의 정신에 따른 보조 정리를 사용하는 것입니다 ! 그렇지 않으면 수학에서 증명의 아름다움을 버리고 그것을 어리석은 형식적 게임으로 대치하시겠습니까?
72) pp. 56, 67 을 보라.
Gamma ; 당신의 〈사고 실험의 정신〉보다 낫습니다 ! 저는 당신의 심리주의 에 대하여 수학의 객관성을 옹호하고 있습니다. Alpha ; 감사합니다, Lambda 군. 당신은 저의 입장을 재진술해 주셨습니다. 전면적인 반례이지만 국소적인 반례가 아닌 반례를 극복하기 위해서 불시에 새 로운 보조 정리를 발명하지는 않습니다. 오히려 점점 더 많은 관심을 두고 증 명을 조사하고 거기서 보조 정리를 발견하는 것입니다. 친애하는 Theta 군, 그 래서 저는 감추어진 보조 정리를 날조하지도 않았고, 친애하는 Kappa 군, 저 는 그것을 증명 속으로 〈밀수입〉하지도 않았습니다. ·증명은 그들 모두를 포함합 니다. 그러나 성숙한 수학자는 간단한 개요를 보고 증명 전체를 이해합니다.우리는 전혀 틀림이 없는 증명을 부정확한 증명-분석과 혼동해서는 안됩니다.아직도 반박할 수 없는 주 정리 곧, <사고 실험을 할 수 있는 모든 다면체,곧 간단히 말하면 코시 다면체는 모두 오일러 성질을 갖는다>는 정리가 존재합니다. 저의 근사적인 증명 -분석은 특별히 예리하지 않은 -저는 이를 인정합니다.- 연필로 코시 단면체류의 경계를 그렸습니다. 이제 기괴한 반례들이우리에게 연필을 예리하게 하도록 가르치고 있습니다. 그러나, 첫째로 어떤 연필도절대적으로 예리하지 않습니다. (그리고, 지나치게 예리하게 하면 부러질 것입니다.)둘째로, 예리하게 하는 것은 창조적인 수학이 아닙니다.Gamma ; 저는 어찌할 바를 모르겠습니다. 당신의 입장은 무엇입니까? 처
음에 당신은 반박의 투사였습니다. Alpha ; 오, 괴로움이 커지는군요 ! 성숙한 직관은 논쟁을 털어 버립니다. Gamma ; 당신의 첫번째 성숙한 직관은 당신을 〈완전한 증명 -분석〉으로 안 내하였습니다. 당신은 당신의 〈연필>이 절대적으로 예리하다고 생각하였습니다. Alpha ; 저는 언어적 의사 소통-특히 현학자나 회의론자와의―의 어려 움을 잊었습니다. 그러나 수학의 핵심은 사고 실험—증명一입니다. 그 언어적 명료화－증명 -분석―는 의사 소통을 위해 필요하지만 적절한 것 은 아닙니다. 저는 다면체에 관심이 있는데 당신은 언어에 관심이 있습니다. 당신은 당신의 반례들의 빈곤함을 모르십니까? 그것들은 언어적인 반례이지 다면체에 대한 반례가 아닙니다. Gamma ; 그러면 정리를 반박하는 것은 그 안에 있는 감추어진 보조 정리를 파악하는 데 실패하였음을 폭로할 뿐입니까? 그래서 〈정리〉란 우리가 그 증명을 이해하지 못하면 의미 없는 것입니까?Alpha ; 언어의 모호함은 증명 -분석의 엄밀성을 도달 불가능하게 만들고 정을 이해하지 못하면 의미 없는 것입니까? 리 형성 과정을 끝없는 과정으로 만드는데 왜 정리에 관해 걱정하십니까? 연 구하는 수학자들은 확실히 그렇지 않습니다. 그럼에도 다른 사소한 〈반례〉가 생 기면 그들은 그들의 정리가 반박된다는 것을 받아들기지 않고 기껏해야 그 〈타당 성의 영역domain of validity〉이 적절히 좁혀져야 한다는 것을 받아들입니다. Lambda ; 그래서 당신은 반례나 증명 -분석 또는 보조 정리 합체에 관심이 없습니까?Alpha ; 그렇습니다. 저는 당신의 모든 규칙들을 거부합니다. 대신에 〈엄밀 한(수정같이 맑은) 증명을 구성하라>는 단 하나의 규칙을 제안합니다.Lambda ; 당신은 증명 -분석의 엄밀성이 달성될 수 없다고 주장합니다 . 증명의 엄밀성은 달성 가능합니까? 〈수정같이 맑은〉 사고 실험은 역설적이거나모순되기까지 한 결과에 이를 수는 없습니까 ? Alpha ; 언어는 모호하지만 사고는 절대적 엄밀성을 성취할 수 있습니다. Lambda ; 그러나 확실히 〈발전의 각 단계에서 우리의 조상들도 그들이 거기 에 도달하였다고 생각하였지요? 만약 그들이 잘못 생각했었다면 우리도 마찬
가지로 잘못 생각하지 않았을까요 ? >73)
73) Poincare [1905], p. 214.
Alpha ; （오늘날엔 절대적인 엄밀성이 달성됩니다〉. 74)
74) 같은 책 p. 216, (증명의 엄밀성>에 대한 준거의 변화는 수학에서 주요한 변혁을 야기시킨 다. Pythagoras 학파의 사람들은 엄밀한 증명은 산술적이어야 한다고 주장하였다. 그러 나, 그들은 √2가 〈무리수>라는 엄밀한 증명을 발견하였다. 이러한 추문이 결국 누설되었을 때 준거는 변하였다. 산술적 〈직관>은 불신되었으며 기하학적 직관이 그 자리를 차지하였 다. 이는 수학적 지식 (예를 들어, 비례식론)의 주요하고 복잡한 재조직을 뜻하였다. 18세 기에 <오도하는 misleading>도형이 기하학적 증명의 평판을 나쁘게 만들었다. 그리고, 19 세기에는 실수에 대한 성가신 이론의 도움으로 산술적 직관이 다시 왕좌에 앉았다. 오늘날 주요한 논쟁은 Zennelo 와 Gentzen 의 사고 실험의 용인성에 대한 잘 알려진 논의가 보여 주는 바와 같이, 집합론적이고 초수학적인 증명에서 무엇이 엄밀하고 무엇이 엄밀하지 않은 가에 대한것이다.
(교실에서 낄낄대고 웃는다)75)
75) 이미 지적된 바와 같이, 이 학급은 매우 상급의 학급이다.
Gamma ; 이 〈수정감이 맑은〉 증명에 대한 이론은 순전한 심리주의입니다. 76)
76) 〈심리주의>란·용어는 Husserl이 고안하겼다([1900]). 심리주의의 초기 <비판> 대해서는 Frege [1893],pp.xv-xvi울보라. 현대적인 직관주의자들(Alpha와다른)은공개적으로 심리주의를 옹호한다. 〈수학적 정리란 순수하게 경험적인 사실을 나타낸다. 곧, 어떤 구성 의 성공·…· 수학은… .. 인간 정신의 어떤 기능에 대한 연구이다〉(Heyting [1956], pp. 8, 10) . 그들이 어떻게 심리주의와 확실히 조화할 수 있는가는 그들의 잘 간칙된 비밀이다.
Alpha ; 당신의 증명 -분석의 논리적―언어적 현학보다 낫습니다.77)
77) 우리가 완전한 지식을 가지고 있다고 하더라도 우리는 그것을 완전하게 마무를 수 없을 것 이라는 것이 고대 회의론자의 상두어였으나 (Sextus Empiricus [c. 190] , 1, 83-8 을 보라) , 계몽기에 잊혀졌다. 그것이 직관주의자에 의해 재발견되었다. 그들은 Kant 의 수리 철학을 받아들였으나, 〈진정한 수학의 완성과 수학적 언어의 완성 사이에는 분명한 관련성을 찾아 볼 수 없다>는 것을 지적하였다(Brouwer [1952], p. 140) , 〈구어나 문어에 의한 표현은 ―의사 소통을 위해 필요하지만~결코 적합하지 않다……. 과학의 과업은 언어를 연 구하는 것이 아니라, 아이디어를 창안하는 것이다〉(Heyting (1939], pp. 74-5).
Lambda ; 욕설은 그만하시고, 저 또한 당신이 수학을 〈본질적으로 언어 없 는 사고 활동〉으로 인식한 데 대해 회의적입니다. 78) 어떻게 활동이 참이나 거짓일 수 있습니까? 명료하게 된 사고만이 진리를 얻고자 시도할 수 있습니다
78) Brouwer [1952], p.141.
증명은 충분할 수 없습니다. 우리는 또한 증명이 무엇을 증명하였는지 진술해 야만 합니다. 증명은 증명 _분석과 반박이 뒤따라야 하고 엄밀한 정리에 의해 결론지어져야 할 수학자의 연구의 한 단계일 뿐입니다. 우리는 〈증명의 엄밀성〉 을 〈증명 -분석의 엄밀성〉과 결합해야만 합니다. Alpha ; 당신은 아직도 결국에는 완전한 엄밀한 증명 _분석에 도달할 것이라 는 희망을 갖고 있습니까? 만약 그렇다면 왜 원기둥에 의해 〈자극된〉 당신의 새로운 정리를 형식화하는 것으로 시작하지 않았는지 말해 주십시오. 당신은 단지 그것을 지적했을 뿐입니다. 그 길이와 어색함은 우리를 절망시킨 나머지 웃게 만들 것입니다. 그리고 그것도 당신의 새로운 반례 중 첫번째 것이 나온 후에만 그렇습니다 ! 당신은 원래의 정리를 훨씬 더 정확한 일련의 정리로 대 치하였습니다一그러나 이론적으로만 그랬습니다. 이 상대화의 실천은 어찌 됩니까? 더욱 기괴한 반례들이, 더 길고 더 어색한 정리들의 〈사악한 무한〉79) 을 생성하면서, 더욱 더 하찮은 보조 정리들에 의해 되받아침을 받을 것입니 다. 80) 비판은 그것이 진리에 이르는 것 같은 동안에는 고무적으로 느껴졌습니 다만 그것이 어떤 것이건간에 진리를 파괴하고 우리를 목적 없이 끝없이 몰아갈 때 그것은 확실히 낭패스럽습니다. 저는 사고에서 이 사악한 무한을 중지 시킵니다. 당신은 언어에서 그것을 결코 중단시키지 않을 것입니다.
79) 영어에는
Gamma ; 그러나 저는 무한히 많은 반례들이 있어야 한다고 결코 말하지 않 았습니다. 어느 점에서 우리는 진리에 도달할 것이고 그때 반박의 흐름은 그칠
것입니다. 그러나 물론 언제인지는 모를 것입니다. 반박만이 결정적입니다. 증 명은 심리학의 문제입니다. 81)
81) 논리는 우리로 하여금 어떤 논증을 거부하도록 만들지만 어떤 논증도 믿도록 만들 수 없 다(Lebesgue [1928], p. 328). *편집자 주-Lebesgue의 말은 글자 뜻 그대로 받아들 이면 거짓이다. 현대적인 논리학은 어떤 논증이 만족한다는 것을 보일 수 있는 타당성에 대 한 정밀한 특성 묘사를 제공하고 있다. 따라서 논리는 확실히 우리로 하여금 타당한 논증의 결론을 믿도록 하지 못할 수도 있지만 논중을 믿게 만들 수도 있다. 왜냐하면 우리는 하나 또는 그 이상의 전제를 믿지 않을 수도 있기 때문이다.
Lambda ; 저는 아직도 반박이 없어질 때 절대적 확실성의 빛이 빛날 것이라 고믿습니다. Kappa ; 그러나 반박이 없어질까요 ? 만약 신이 다면체에 관한 모든 참인 보 편적인 명제가 인간의 언어로 형식화되면 무한히 길어지도록 다면체를 창조하 였다면 어찌될까요? （신성한) 참인 명제의 길이가 유한하다고 가정하는 것은 불경스러운 신인동형론이 아닌가요? 솔직하십시오. 어떤 또는 다른 이유로 당신은 반박과 단편적인 진리 구성으 로 몹시 지루해 하고 있습니다. 왜 당신은 하루의 일을 마치고 게임을 중단하지 않습니까? 당신은 이미 〈증명되었어야 할 것 Quod erat demonstrandum〉을포기하였습니다. 왜 〈증명된 것 Quod erat demonstratum>또한 포기하지 않습 니까? 진리는 신만을 위한 것입니다. Theta(옆에서) ; 종교적 회의는 과학에서 가장 나쁜 적입니다 ! Sigma ; 너무 각색하지 마십시오 ! 결국은 모호한 좁은 경계 부분만이 문제가 됩니다. 그것은 간단히 말하면 제가 전에 말한 것처럼 모든 명제가 참이거나 거짓인 것은 아니라는 것입니다. 지금 제가 <다소 엄밀한>이라고 부르고자하는 세번째 부류가 있습니다. Theta(옆에서) ; 3가 논리_＿비판적 합리성의 종말이군요! Sigma ; ……그리고 우리는 그들이 타당한 영역을 다소 적절히 엄밀하게 언 급합니다. Alpha ; 무엇에 대해 적절한 것인가요 ? Sigma ; 우리가 풀기 원하는 문제의 해결에 대해 적절한 것입니다.
Theta(옆에서) ; 실용주의군요! 모두가 진리에는 흥미를 잃었습니까?Kappa ; 그렇지 않으면, 시대 정신에 적절한 것이군요 ! 그 당대의 엄밀성은그 당대로 족합니다. 82)
82) E. H, Moore [1902], p. 411.
Theta(힘없이) ; 역사주의군요 ! Alpha ; 〈엄밀한 증명 -분석>에 대한 Lambda군의 규칙은 수학에서 그 아름 다움을 빼앗고, 우리에게 재미 없는 두꺼운 책을 채우고 있는 길고 어색한 정 리들의 사소한 것을 따지는 현학을 제시하며, 결국은 우리를 사악한 무한에 빠 뜨립니다. Kappa 군의 탈출로는 관습이고 Sigma 군의 탈출로는 수학적 실용주 의입니다. 참으로 합리주의자의 선택이군요 ! Gamma ; 그래서 합리주의자는 Alpha 군의 엄밀한 증명, 명료하지 않은 직 관, 〈감추어진 보조 정리〉, 허위성의 재전달 원리의 비웃음, 그리고 반박의 제 거를 즐기지 않으면 안 됩니까? 수학은 비판 및 논리와 아무런 관련도 없어야 합니까? Beta ; 진상이 어떻든 저는 이 모든 결정적인 것이 못 되는 언어적 핑계에 전 저리가 납니다. 저는 수학을 하기를 원하며 그 기초를 정당화하는 철학적 어려 움에는 관심이 없습니다. 비록 이성이 그러한 정당화를 제공하는 데 실패한다 할지라도 저의 자연스런 본능이 저를 안심시킵니다. 83)
83) <자연은 회의론자를 논박하고, 이성은 독단주의자를 논박한다〉(Pascal 〔1659], p. 1206 -7). 이성이 너무 약하겨 그 자체를 정당화할 수 없다고_Beta 와 같이_＿고백할 수학 자는 없을 것이다. 대부분의 수학자들은 독단주의, 역사주의 혹은 혼돈된 실용주의의 어떤소인을 받아들이고, 기묘하게도 그러한 입장의 근거 박약성에 대하여 눈을 감은 채 있다. 예를 들어, 〈수학적 진리는 실제로 완전히 논의의 여지가 없는 것의 본보기이다…그러나 수학의 엄밀성은 절대적인 것이 아니다. 그것은계속되는발달과정에 있다. 수학의 원리는 단지 한 번에 응결해 버리는 것이 아니라, 그 자신의 생명을 가지고 있으며 과학적 다 툼의 대상이 되기도 한다〉(A. D. Aleksandrov [1956], p. 7. 이 인용문은 변증법이 비판을 사용하지 않고 변화를 설명하려 한다는 것을 상기시켜줄 것이다. 진리는 계속적인 발달 과 정에 있지만 항상 완전히 논의의 여지가 없다) .
저는 Omega 군이 선택 가능한 증명을 흥미 있게 수집해 놓고 있음을 이해합 니다. 그의 이야기에 주의를 기울이겠습니다.
Omega ; 그러나 저는 그것들을 (철학적인〉 틀 속에 넣을 것입니다 ! Beta ; 저는 그 밖에 어떤 것이 소포 속에 들어 있다면 포장에 신경쓰지 않습 니다. * 주――이 절에서 나는 수학적 비판의 출현이 어떻게 수학 〈기초론〉의 연구 에 추진력이 되어 왔는가를 보이고자 시도하였다.우리가 증명과 증명 -분석을 구분하고 그와 대응하여 증명의 엄밀성과 증명 -분석의 엄밀성을 구분한 것은 매우 중요한 듯하다 1800 년경에 증명의 엄밀성(수정같이 맑은 사고 실험이나 구성)은 혼란된 논증과 귀납적인 일반화와 대조되었다. 이는 오일러가 〈엄밀한 논증〉이란 말로 의미한 것이었으며 절대로 확실한 수학에 대한 칸트의 관념 또한 이러한 개념에 기초를 두었다(그의 저서 [178나, pp. 716-17 가운데 수학적 증명에 대한 그의 전형적인 경우를 보라). 또한 증명하려고 칙수한 것을 증명한다고 생각되었다. 사고 실험의 언어적 정 교화가 어떤 실제적인 어려움을 내포한다는 생각은 누구에게도 떠오르지 않았 다. 아리스토텔레스의 형식 논리학과 수학은 두 가지 완전히 분리된 학문이다 一수학자들은 전자를 전혀 쓸모 없는 것으로 생각하였다. －증명 곧, 사고 실 험은 어떤 연역적 패턴이나 〈논리적〉 구조 없이 완전한 확신을 수반하였다. 19 세기초에 반례의 홍수가 혼란을 가져왔다. 증명은 수정감이 맑으므로 반박은 불가사의한 변덕이며 의심의 여지가 없는 증명과 완전히 분리되지 않을수 없었다. 엄밀성에 대한 코시 Cauchy 의 혁명은 수학자는 증명에서 멈추어서박은 불가사의한 변덕이며 의심의 여지가 없는 증명과 완전히 분리되지 않을 는 안 된다는 발견적 혁신에 근거하였다. 수학자는 계속 나아가, 예의를 열거 함으로써, 혹은 보다 정확히 말하면, 증명이 타당한 안전한 영역을 언급함으로써 그가 증명한 것을 확실히 해야 한다. 그러나 코시도 아벨 Abe1 도 두 문제사이의 어떤 관련성도 알아 보지 못하였다. 예의를 발견하면 증명을 다시 살펴보아야 한다는 생각이 그들에게는 결코 떠오르지 않았다(다른 이들은 괴물 배제나 괴물 조정을 실행하였고 ‘보고도 못 본 체하기'까지 하였다－그러나증명은 금기였고 '예외’와 전혀 상관이 없다는 데 모든 이가 동의하였다)19 세기의 논리학과 수학의 통합은 비유클리드 기하와 엄밀성에 대한 바이어
슈트라스 Weierstrass혁명 이란 두 가지 주요한 근원을 갖고 있다. 그들은 중 명 (사고 실험)과 반박의 통합을 가져왔고, 증명 -사고 실험에서 연역적 패턴을 점차 도입하면서 증명 -분석을 발달시키기 시작하였다. 우리가 〈증명과 반박의방법〉이라고 부른 것은 그들의 발견적 개선으로, 온리화 수학을 처음으로 결합 하였다. 바이어슈트라스의 엄밀성은 〈엄밀성의 따분함〉, 〈인위성 대 아름다움〉등과 같은 슬로건을 사용한 반동적인 괴물 배제자와 보조 정리 은폐자라는 반대자를 누르고 승리하였다. 증명 -분석의 엄밀성은 증명의 엄밀성을 대신하였다. 그러나 대부분의 수학자들은 그것이 그들에게 완전한 확실성을 약속하는 한에서만 그 현학성을 지긋이 참고 있었다. 칸토어 Cantor 의 집합론은 __ 〈엄밀한〉 정리의 예기치 않았던 반박이란 또 다른 수확과 함께―바이어슈트라스의 많은 늙은 수호자들을, 구형의 〈반동 주의자들>을 여전히 같은 죄목으로 응징하는 반면에, 새로운 괴물을 배제하거 나 〈엄밀성의 마지막 말>을 나타낸 그들의 정리 가운데에 있는 〈숨겨진 보조 정 리>를 언급함으로써 〈무정부주의자들〉과 싸울 준비가 늘 되어 있는 독단주의자 로전환시켰다. 그런데 어떤 수학자들은 증명과 반박의 방법에서 증명 -분석의 엄밀성에 대 한 충동은 사악한 무한에 이른다는 것을 인식하였다. 〈직관주의자〉의 반혁명이시작되었다. 증명 -분석의 좌절감을 주는 논리-언어적 현학성은 비난받았으며 엄밀성에 대한 새로운 극단주의적 표준이 증명을 위해 발명되게 되었다. 수 학과 논리는 한 번 더 이혼하였다.논리주의자들은 결혼을 구하려고 시도하였으며 파라독스로 좌절하였다. 힐베르트의 엄밀성은 수학을 증명 -분석의 거미줄로 전환시켰으며, 그의 직관주의적 고등 이론에 대한 수정갇이 맑은 무모순성의 증명에 의해서 그들의 무한 후 퇴를 멈출 것을 요구하였다. 이충 foundational layer>곧, 비판할 수 없는 친 밀성의 영역은 메타 수학의 사고 실험 속으로 옮겨졌다(Lakatos [196기, pp.179 -84를 참조하라). 매번의 〈엄밀성의 혁명)에 의해, 증명 -분석은, 수정갇이 맑은 직관, 증명의 엄밀성이 최고 위에 군림하고 비판이 금지되어 있는 〈친밀한 배경 지식〉의 기충
까지 증명 속으로 더욱 깊이 침투하였다.(또한 P80 주63)을 참조하라).따라서 엄밀성의 서로 다른 수준은 대략 그들이 증명- 분석의 엄밀성과 증명의엄밀성 사이의 선을 어디에 그을 것인가, 곧 대략 어디서 비판이 멈추고 정당화가시작되어야 할 것인가 하는 점에서만 서로 다를 뿐이다. <확실성은 결코성취되지 않는다〉. 〈기초>는 결코 놓여지지 않는다一그러나 〈이성의 교묘함〉 은 수학의 영역에서 엄밀성의 증가를 매번 내용의 증가로 전환시킨다. 그러나 이 이야기는 우리의 본 연구 밖에 있다. *
* 편집자 주――이러한 역사적 주석은 수학적인 〈엄밀주의자들싸 성취한 것을 약간 신중히 다루고 있다고 믿는다. 수학에서 〈엄밀성>을 향한 충동은, 결국 발산하였지만, 두 가지 분 리된 목적을 향한 충동으로 그중 하나만이 달성될 수 있다. 이들 두 가지 목적은, 첫째, 엄 밀하게 옳은 논증 곧 증명 (여기서 진리는 의심할 여지 없이 전제로부터 결론으로 전달된다) 과 둘째, 엄밀하게 참인 공리 곧, 제 1 원리이다(이는 체계 속으로.의 진리의 최초의 주입을 제공하게 된다――그러면 전리는 엄밀한 증명을 거쳐 전체 수학에 전달될 것이다) . 이러한 목적 중 첫번째 것은 달성될수 있는 것으로 판명되었다(물론 어떤 가정이 주어질 때). 반 면에 두번째 것은 달성될 수 없음이 입증되었다. Frege와 Russell은, 수학이 그것으로 (틀리기 쉽게) 번역될 수 있으며 (아래 p.185-6 을 보라) , 증명 규칙이 그 수가 유한하고 미리 규정되어 있는 그러한 체계를 제공하였다. 또한 그러한 규칙을 사용하여 증명될 수 있는 모든 문장은 그 체계의 공리의 타당한 결과임(곧, 이들 공리가 참이면 증명된 문장이 또한 참이어야 한다는 것)을 보일 수 있다(방금 언 급한 가정이 등장하는 곳은 여기이다)는 것도 판명된다. 이러한 체계에서는 증명에 〈틈>이 필요하지 않으며 일련의 문장이 증명인가 아닌가는 유한 번의 단계로 검사될 수 있다(물론, 이 검사 과정이 공식의 계열이 고려되고 있는 체계내의 증명이 아님을 보인다고 하더라도, 이는 마지막 공식의 전정한 증명은 그 체계내에 존재하지 않는디는 것을 입증하지 않는다. 따라서, 증명 검사에서는 확증에 유리하고 반증에는 불리한 일종의 비대칭성이 있다) . 그 러한 증명이 툴리기 쉽다는 것에 중대한 의미는 없다(그러한 어떤 중명을 검사한 적이 있는 사람은 누구나 어떤 설명할 수 없는 오류를 범하였울 수도 있다는 것은 사실이지만 이는 심 각한 의심은 아니다. 그러한 타당한 증명이 진리를 전달한다는 비형식적인 (메타)정리가거짓일 수 있음은 사실이다. 그러나 그렇다고 생각할 심각한 이유는 없다) . 그러나 그러한체계의 공리는 사소하지 않은 의미에서 틀리기 쉬운 것이다. 잘 알려진 바와 갇이, 모든 수 학을 <자명하고〉, 〈논리적인〉 진리로부터 유도하려는 기도는 좌절되었다.
6 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판으로의 복귀. 내용의 문제 (a) 보다 심오한 증명에 의해 내용을 증가시키기 Omega ; 저는 Lambda 군의 증명과 반박의 방법을 좋아합니다. 그리고 우리 는 결국 엄밀한 증명 -분석에 도달할 것이고, 거시서 확실하게 참인 정리에 도달할 것이리는 그의 신념에 동감합니다. 그러나 그렇다 하더라도 이러한 방법 자체는 새로운 문제를 만들어 냅니다. 곧 확실성이 증가할 때 증명- 분석은내용을 감소 시킵니다. 증명-분석에서 새로운 각 보조 정리는 그 정리의 새로운 조건에 각각 대응하며, 그 영역을 축소시킵니다. 엄밀성이 증가하면 적용되 는 다면체의 수는 보다 감소합니다. 보조 정리 합체는 Beta 군이 안전을 위한 행동에서 범했던 잘못을 되풀이 하는 것이 아닙니까? 우리 역시 〈수많은 오일 러 다면체를 성벽 밖에 남겨둔 채 너무 급진적으로 철수해 버렸을〉 수도 있지않았을까요? 84) 두 경우 모두 묙욕물과 함께 어린애까지 던져 버릴 수도 있습니다.우리는 내용을 감소시키는 엄밀성의 압력에 대한 평형추를 가지고 있어야 합니다.
84) 위 p. 56.
우리는 이미 이러한 방향으로 몇 걸음 내디뎠습니다. 두 가지 경우를 상기시 켜 그것을 재검토해 보도록 해주십시오. 한 경우는 우리가 처음에 국소적 반례와 마주쳤지만 전면적인 반례가 아닌 반례와 마주천 경우입니다. 85) Gamma 군은 우리의 첫번째 증명 -분석에서 세 번째 보조 정리 (‘삼각형으로 분할된 평평한 그물에서 삼각형을 제거할 때 한 변을 제거하거나 또는 두 변과 한 꼭지점을 제거하는 두 가지 가능성만 있다' 는 것)를 반박하였습니다. 그는 단 하나의 변이나 꼭지점도 제거하지 않고 그 그물의 중앙으로부터 삼각형을 제거하였습니다.
85) 이 첫번째 경우에 대한 논의는 위의 pp. 31-5를 보라.
그때 두 가지 가능성이 있었습니다. 86) 첫째는 거짓인 보조 정리를 정리에 합 체시키는 것이었습니다. 이것은 확실성에 관한 한 완전히 적절하였을 것이지 만, 정리의 영역을 너무 철저하게 축소하여 단지 사면체에만 적용시킬 수 있었 을 것입니다. 그 반례와 함께 우리는 한 예를 제의한 모든 예를 던져 버렸을 것입니다.
86) Omega 군은 세번째 가능성을 무시한 듯하다. 국소적 반례이지만 전면적인 반례가 아닌 반례는 허위성의 재전달 원리가 위반됨울 전혀 드러내지 않으므로, 취할 행동이 없다고 Gamma 군이 주장하는 것은 매우 당연하다.
이상이 우리의 대안 채택의 이면에 있는 근본적 이유였습니다. 곧, 우리는보조 정리 합체에 의해 정리의 영역을 좁히는 대신, 반증되지 않은 보조 정리로 반중된 보조. 정리를 대체시킴으로써 그 영역을 확장하였습니다. 그러나 정리 형성을 위한 이러한 중요한 패턴은 곧 잊혀졌고 Lambda 군은 그것을 발견 적 규칙으로 정식화하려고 애쓰지 않았습니다 ! 그 발견적 규칙은 다음과 같이정식화 되어야 할 것입니다.규칙 4, 만일 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례가 있으면 반증되지 않은 보조 정리로, 반박된 보조 정리를 대치시켜 증명 -분석을 개선하도록 시도하라.첫째 유형의 반례 (국소적 반례이지만 전면적인 반례가 아닌 반례)는 셋째 유 형의 반례 (전면적인 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례)의 압력하에 계속 축소되는 우리의 정리의 내용을 증가시킬 기회를 제공할 수도 있습니다.Gamma ; 규칙 4는 지금은 기각된 Alpha 군의 〈완전한 증명 -분석의 직 관〉87)의 약점을 다시 보여주고 있습니다. 그는 의심스런 보조 정리를 열거하고 그것들을 즉각적으로 합체시켜서-반례를 고려하지 않고－거의 공허한 정리를 만들었을 것입니다. 교사 ; Omega 군 ! 당신이 약속한 두번째 보기에 대해 들어 봅시다 Omega ; Beta 군의 증명 -분석에서 두번째 보조 정리는 <모든 면이 삼각형 꼴이다〉이었습니다. 88) 이것은 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 많은 반
87) 위의 p. 82를 참조하라. 88) 이 두번째 경우의 논의에 대하여는 pp. 65-7을 참조하라.
례 곧, 정육면체나 12 면체에 의해 거짓임이 입증될 수 있습니다. 그래서 선생님은 그들에 의해 반증되지 않는 보조. 정리 곧, 〈대각선꼴의 변에 의해 분할되는 모든 면은 두 조각으로 나누어진다>는 보조 정리로 그것을 대치하셨습니다.그러나 선생님께서는 규칙 4에 호소하는 대신 Beta군의 〈부주의한 증명 -분 석>을 비난하셨습니다. 선생님께서는 규칙 4 가 단지 〈좀 더 주의하라>는· 충고보다 훨씬 나은 충고임을 인정하실 것입니다. Beta ; 당신의 말이 옳습니다, Gamma 군. 당신은 또한 〈최상류의 예의 배제 자의 방법>을 제가 보다 잘 이해하게 해주셨습니다. 89) 최상류의 예의 배제자들은 조심스럽고 〈안전한〉 증명분석으로 시작하여 체계적으로 규칙 4 를 적용함으로써 거짓을 말하지 않고 정리를 점진적으로 구축합니다. 결국 거짓인 과장 명제를 통해 진리에 접근하는가 아니면 참인 과소 명제를 통해 전리에 접근하 는가는 기질의 문제입니다. Omega ; 그럴는지 모르겠습니다. 그러나 규칙 4는 두 가지 방법으로. 해석될 수 있습니다. 지금까지 우리는 단지 〈거짓된 보조 정리를 반례로 반박되지 않 을 야간 수정된 보조 정리로 대치시킴으로써 증명을 용이하게 다듬고 개선한 다>는 첫번째의 보다 약한 해석만을 고려하였습니다. 90) 이를 위해 필요한 모든 것은 증명에 대한 <보다 주의 깊은〉 조사와 〈약간의 관찰>뿐입니다. 91) 이런 해석으로서는 규칙 4 는 원래의 증명의 틀 내에서의 국소적인 땜질일 뿐입니다.저는 또한 그 대안으로서 다음과 같은 급진적인 해석을 허용합니다. 곧, 주 어진 증명으로부터 마지막 한 방울의 내용까지 쥐어 짜내려고 시도함으로써뿐만 아니라, 완전히 다르고 보다 더 포괄적이며 보다 깊은 증명을 가능한 한 발명함 으로써 그 보조 정리 -가능하면 모든 보조 정리 -――를 대체시키는 것입니다. 교사;예를 들면? Omega ; 저는 전에 한 가지 증명을 즉각적으로 내놨던 한 친구와 함께 데카 르트―오일러 추측에 대하여 다음과 같은 토론을 벌렸습니다. 다면체가 마분
89) 위 pp. 67-8을 보라. 90) 위 p.33을보라. 91) 같은곳.
지 같은 딱딱한 재료로 만들어진 면을 갖고 속이 비었다고 상상해 봅시다. 모 서리는 그 내부에서 선명하게 색칠이 되어야 합니다. 내부에 조명을 잘 합니 다. 그리고 다면체의 한 면, 곧 그 면으로부터 모든 모서리와 꼭지점이 보이게 순간 사진을 찍을 수 있는 면을 보통 카메라의 렌즈라고 생각합시다. Sigma(옆에서) ; 수학적 증명에서 카메라라니요? Omega ; 그러면, 평면 그물에 대한 사진을 얻게 되는데, 그것은 당신의 증 명에서의 평면 그물과 꼭 같은 것으로 다루어질 수 있는 것입니다. 또한 같은 방법으로 만일 면이 단순 연결이면 V-E+F= 1 임을 보일 수 있습니다. 그리 고, 그 사진에서는 볼 수 없는 렌즈 면을 더함으로써 오일러의 공식을 얻게 됩 니다. 주요 보조 정리는 다면체는 그 면을 카메라의 렌즈로 변형시키면 모든 모서리와 꼭지점이 필름에 나오도록 다면체의 내부를 사진 찍을 수 있는 한 면 이 있다는 것입니다. 여기서 다음과 같은 약어를 도입하기로 합시다. 곧 〈그 면에서 모든 내부를 사전 찍을 수 있는 그러한 면이 적어도 하나 있는 다면체〉 쑹 말 대신에 〈준 볼록 다면체〉라고 부르기로 하겠습니다. Beta ; 따라서, 당신의 정리는 (단순 연결인 면을 갖는 모든 준 볼록 다면체 는 오일러 성질을 갖는다〉가 되겠군요. Omega ; 간단히 하기 위하여, 그리고 이 특정한 증명 아이디어의 고안자에게 영예를 돌리기 위하여 저는 그보다 〈모든 제르곤 Gergonne 다면체는 오일러 성질을 갖는다.>라고 말하겠습니다.92)
92) Gergonne 의 증명은 Lhuilier [1812-13a], p. 177-9에서 찾아볼 수 있다. 원전에는 물론 사진 장치가 포함될 수 없었을 것이다. 다음과 같은 말이 나온다. <한 면이 두명한 다면체 를 하나 택하여라. 그리고 눈이 밖으로부터 이 면에 매우 가깝게 접근하여 모든 다른 면의 내부를 지각할 수 있다고 상상하겨라 ... …>.Gergonne 는 Cauchy 의 증명이 보다 심오하 여 〈볼록성을 전혀 가정하지 않는 가치 있는 이점을 갖고 있다 논 점을 삼가 지적하고 있다 (그러나 그것이 가정하고 있는 것이 무엇인가 하는 의문은 그에게 떠오르지 않는다) . Jacob Steiner 는 후에 본질적으로 같은 증명을 재발견하였다 ([1826]), 그는 그때Gergonne 의 선취권에 주목하고 예의의 목록이 있는 Lhuilier 의 논문을 읽었지만 이것이 막지는 못하였다(Hessel――독일의 Lhuilier＿을 자극하여 그의 논문 〔1833]을 쓰도록 한 것은 Steiner 이었다) .
Gamma ; 그러나 완전히 오일러 성질을 갖지만 매우 움푹 들어가 그 면으로 부터 내부 전체를 사전 찍을 수 있는 그러한 면을 갖지 않는 간단한 다면체가 많기 있습니다 ! 제르곤의 증명은 코시의 증명보다 심오하지 않습니다. 제르곤 의 증명보다 더 심오한 것이 코시의 증명입니다 ! Omega ; 물론입니다 ! 저는 선생님께서 제르곤의 증명을 알고 계셨으며 그 것이 국소적 반례이지만 전면적인 반례가 아닌 반례 때문에 불만족스럽다는 것 을 발견하시고 광학적＿사진 찍는 ___ 보조 정리를 보다 넓은 위성수학적 ―잡아 늘이는-보조 정리로 대치시키셨다고 생각합니다. 거기서 선생님 은 약간의 변경에 뒤따른 〈조심스런 증명 분석>에 의해서가 아니라 근본적인상상력이 풍부한 개선에 의해, 보다 심오한 코시의 증명에 도달하셨습니다.교사 ; 본인은 당신의 예를 받아들입니다. 그러나 본인은 제르곤의 증명을 알 고 있지 못했습니다. 그러나 만일 당신이 그 증명을 알고 있었다면 왜 말해 주 지 않았습니까? Omega ; 왜냐하면 저는 오일러 성질을 갖는 바제르곤 다면체에 의해 그것을 즉각 반박하였기 때문입니다. Gamma ; 방금 제가 말한 바와 같이 저도 역시 그런 다면체를 발견하였습니 다. 그러나, 그것이 그 증명을 완전히 폐기할 이유가 됩니까? Omega ; 저는 그렇다고 생각합니다. 교사 ; 르장드르 Legendre 의 증명에 대하여 들은 적이 있습니까 ? 당신은 그 것도 폐기하시겠습니까? Omega ; 확실히 폐기하겠습니다. 그것은 더욱 덜 만족스럽습니다. 그 내용 은 제르곤의 증명보다 한층 더 빈약합니다. 그의 사고 실험은 다면체를 품고 있는 구 위에 중심 사영으로 다면체를 사상시키는 것으로 시작하였습니다. 그 는 구의 반지름을 1로 택하였습니다. 그는 구가 구면 다각형의 그물에 의해 한 번, 그것도 단 한 번 완전히 덮일 수 있도록 사영의 중심을 택하였습니다. 따 라서 그의 첫번째 보조 정리는 그런 점이 존재한다는 것이었습니다. 그의 두번 째 보조 정리는 구 위의 다면체 그물에 대하여 V-E+F= 2 라는 것이었습니 다. 그러나 그는 이 보조 정리를 구면 삼각법의 자명하게 참인 보조 정리로 분
해시키는 데 성공하였습니다. 그러나 그러한 중심 사영이 가능한 그런 점은 단 지 볼록 다면체와 서너 가지 알맞은 〈거의 볼록한〉 다면체에만 존재합니다. 이 와 같은 다면체의 집합은 <준 볼록 다면체>의 집합보다도 더 좁습니다. 그러나 모든 르장드르 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉93)는 이 정리는 코시 정리와는완전히 다르고 더욱 나빠졌을 뿐입니다. 그것은 〈불행하게도 불완전합니다〉. 94)
93) Legendre 의 증명은 그의 [1803]에서 찾아볼 수 있지만, 증명 -분석과 정리 -형성은 사실 상 18세기에는 알려져 있지 않았으므로, 증명으로부터 생성된 정리는 찾아볼 수 없다. Legendre는. .처 음. 에 표면이 다각형 면으로 이루어진 입체를 다면체로 정의한다(p.161) . 그 다음에 일반적으로 V-E+F= 2 임을 증명한다(p. 228) , 그러나, 볼록 다면체만이 고려 될 것이라고 언급하고 있는 p. 164의 작은 글씨로 된 주 가문계, 예의 배제 수정 조항이 있 다. 그는 거의 볼록한 외변적 부분을 무시하였다. Poinsot 는 그의 논문 〔1809]에서 Legendre 의 증명에 대하여 언급할 때 Euler 공식이 ,<보통 볼록 다면체에 대해서만 곧, 표면이 한 직선과 두 점 이상에서 만나지 않는 다면체에 대해서만 성립하는 것이 아니라, 중심에서 나온 직선에 의해, 사영된 면이 겹치지 않도록 다면체의 면을 사영할 수 있는 구 의 중심으로 사용할 수 있는 점을, 그 입체의 내부에서 찾을 수 있으면, 오목각re-entrant angles 을 가진 다면체에 대해서도 성립한다>는 것에 처음으로 주목하였다. 〈이것은 오목각 이 있는 무한히 많은 다면체에 적용된다. 사실 Legendre 의 증명은 이러한 추가된 모든 다 면체에 그대로적용된다〉(p.46), 94) E.deJonquieres는 다시 Poinsot의 저서 [1858]로부터 논의 한구절을 따서 다음과같 이 계속한다.
오일러 정리가 전혀 의존하고 있지 않은 조건을 미리 가정하는 것은 헛된 노력 입니다. 그것은 폐기되어야 하고 좀 더 일반적인 원리를 찾아 보아야 합니 다. 95)
95) 이는 Poinsot로부터 인용한 것이다([1858], p. 70),
Beta ; Omega 군이 옳습니다. 〈볼록성은 오일러 성질에 어느 정도 우연한 것 입니다. 볼록 다면체는一예를 들면, 움푹 패이게 하거나 하나나 그 이상의 꼭지점을 눌러서 같은 형태 수를 갖는 비볼록 다면체로 변형될 수 있습니다. 오일러의 관계는 볼록성보다 더 기본적인 어떤 것에 대응합니다〉.96) 그래서 당
96) D. M. Y. Sommerville ([1929],pp. 143-4) .
신은 그것을 〈거의〉, 〈준―〉 같은 장식으로는 결코 파악하지 못합니다. Omega ; 저는 선생님께서 르장드르의 증명의 모든 보조 정리가 완전히 새로 운 보조 정리에 의해 대치되는 코시 증명의 위상 기하학적 원리로 그것을 파악 하셨다고 생각하였습니다. 그러나, 그리고 나서 저는 그때까지 확실히 가장 심 오한 이 증명조차 반박한 다면체와 마주치게 되었습니다. 교사 ; 그것에 관해 들어 봅시다. Omega ; 당신들은 모두 Gamma 군이 제기한 〈성게〉(그림 7)를 기억하실 것 입니다. 그것은 물론 오일러 성질을 갖지 않았습니다. 그러나, 모든 별 다면체 가 오일러 성질을 갖지 않는 것은 아닙니다 ! 예를 들어, 〈큰 별 모양 12 면체〉 를 택해 보십시오. 그것은 〈작은 별 모양 12 면체>와 같이 별표로 이루어졌으나 다르게 배열되어 있습니다. 그것은 12개의 면, 30개의 모서리, 20개의 꼭지 점을 갖고 있으므로 V-E+F=2입니다.97)
97) 이 〈큰 별 모양 12면체>는 이미 Kepler 에 의해서 고안되었고([1619], p. 53), 그후 처음 으로 Euler성이 있는지 검사한 Poinsot에 의해서 독립적으로고안되었다([1810])． 그림 15 는 Kepler 의 책에서 복사한 것이다.
교사 ; 그러면 당신은 우리의 증명을 기각하십니까 ? Omega ; 그렇습니다. 만족스러운 증명이라면 〈큰 별 모양 12 면체>에 대해서 도 오일러 성질을 설명해야 합니다.
Rho ; <큰 별 모양 12 면체〉가 삼각형 모양임을 왜 인정하지 않으십니까? 당 신의 어려움은 가상적인 것입니다. Delta ; 동의합니다. 그러나 그것들은 다른 이유로 가상적인 것입니다. 저는 지금까지 별 모양 다면체에 몰두해왔습니다. 그들은 매력적입니다. 그러나 그 것들은 보통 다면체와 본질적으로 다를까 걱정입니다. 그러므로, 단 하나의 아 이디어에 의해, 예를 들면, 정육면체와 〈큰 별 모양 12면체〉의 오일러 성질을 설명하는 증명은 아마도 착상해 낼 수 없을 것입니다. Omega ; 왜 안 됩니까 ? 당신은 상상력이 없습니다. 당신은 제르곤의 증명 이후이면서 코시의 증명 이전에는, 볼록 다면체와 오목 다면체가 본질적으로 다르다고 주장했을까요? 따라서 단 하나의 아이디어에 의해 볼록 다면체와 오 목 다면체의 오일러 특성을 설명하는 증명은 아마도 고안해 낼 수 없을 것이라 고 말입니까 ? 갈릴레오의 「대화」에서 몇 구절 인용하여 봅시다. Sagredo ; 따라서 당신이 아시다시피 모든 혹성과 위성＿그것들을 모두 혹성이 라고 부릅시다――은 타원으로 움직이고 있습니다. Salviati ; 포물선으로 움직이는 혹성이 있을까 겨정입니다. 이 돌을 보십시오. 제 가 이것을 던집니다. 이것은 포물선을 따라 움직입니다. Simplicio ; 그러나 이 돌은 혹성이 아닙니다 ! 이것들은 두 가지 전혀 별개의 형 상입니다! Salviati ; 당연히 이 돌은 혹성입니다. 단지 달을 발전시켰던 것보다 힘이 덜 센 손으로 던졌을 뿐입니다. Simplicio ; 허튼 말 하지 마십시오. 하늘의 현상과 지상의 현상을 어떻게 감히 한 머리로 함께 요량할 수 있겠습니까? 그것들은 서로 아무런 관계가 없습니다 ! 물론 양쪽 다 증명에 의해 설명될 수 있지만 확실히 그 두 설명은 완전히 다르리라고 예 상됩니다 ! 저는 하늘에서의 혹성의 경로와 땅위에서의 발사체의 경로를 단 하나의 아이디어에 의해 설명하는 증명을 상상할 수 없습니다. Salviati ; 당신은 그것을 상상할 수 없습니다만 저는 그것을 고안해 낼 수 있습니 다·….,98)
98} 본인은 이 인용문의 출처를 조사할 수 없었다.
교사 ; 발사체와 혹성에 신경쓰지 마십시오, Omega 군. 당신은 보동 오일러 성질을 갖는 다면체와 오일러 성질을 갖는 별 다면체를 모두 포함하는 증명을 발견하는 데 성공하셨습니까? Omega ; 못했습니다. 그러나 할 것입니다. 99)
99) p. 106, 편집자 주를 참조하라.
Lambda ; 한다고 말하십시오. 코시의 증명은 어찌된 것입니까 ? 당신은 증 명을 차례로 기각하는 이유를 설명해야 합니다. (b) 최종 증명 및 그와 대응하는 필요충분조건을 향한 충동 Omega ; 당신은 세번째 유형의 반례100)에 의해, 거것의 재전달이 파손되었다 고 증명-분석을 비판하였습니다. 이제 저는 두 번째 유형의 반례 101)에 의해 거짓의 전달(혹은, 같은 것이 되는, 전리의 재전달) 이 파손된다고 증명 一분석을비판합니다. 증명이란 그 전 범위에서 오일러 성질이란 현싱을 설명하지 않으 면 안됩니다.
100) 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례. 101) 전면적 반례이고 국소적 반례인 반례.
저는 단지 확실성 certainty만이 아니라 최종성 finality도 추구하고 있습니 다. 정리는 확실해야 합니다. 그 영역내에는 어떤 반례도 있어서는 안 됩니다.그러나 정리는 또한 최종적이어야 합니다. 곧, 그 영역 밖에 어떤 예도 있어서는 안 됩니다. 저는 예와 반례 사이에 분할선을 긋고자 하며, 단지 한편으로 몇 개의 예로 된 안전한 영역과 다른 한편으로 예와 반례가 혼합된 주머니 사 이의 분할선을 긋고자 하는 것이 아닙니다. Lambda ; 다시 말하면, 당신은 그 정리의 충분할 뿐만 아니라 필요한 조건 을 원하고있습니다! Kappa ; 논의를 위해 <모든 주 다면체 master-polyhedra 는 오일러 성질을 갖는다>는 그러한 주 정리를 당신이 발견하였다고 가상합시다. 만일 〈모든 오일러다면체는 주 다면체이다>라는 그 정리의 역이 확실할 때에만 이 정리는 〈최종
적〉이 되리라는 것을 인식하고 계십니까? Omega ; 물론입니다. Kappa ; 곧, 확실성이 사악한 무한 속에서 없어지면 최종성도 없어지리라는 것입니까? 당신은 더욱 심오해 지는 각 증명의 영역 밖에서 적어도 하나의 오 일러 다면체를 발견하게 될 것입니다. Omega ; 물론 저는 확실성의 문제를 해결하지 않고서는 최종성의 문제를 해 결할 수 없다는 것을 알고 있습니다. 저는 우리가 양쪽 다 해결하리라 확신합 니다. 우리는 첫번째 유형과 세번째 유형의 반례들이 무수히 쏟아져 나오는 것 을 막을것입니다. 교사 ; 내용을 증가시키려는 당신의 연구는 매우 중요합니다. 그러나, 왜 당 신은 당신의 두번째 만족 기준＿최종성 ＿을 필수로서가 아니라 즐거운 상 여금으로 받아들이지 않습니까? 왜 충분조건과 필요조건을 양쪽 다 포함하지 않는 홍미있는 증명을 기각하십니까? 왜그것들을 반박된 것으로 여기십니까? Omega ; 글쎄요… …. 102)
102) 그 해답은 〈최종적인〉, 〈긍극적안〉 진리의 발견에만, 곧 필요조건과 충분조건 모두를 포함 한 정리에만 적용된 고대의 유명한 Pappus 의 발견술 가운데 있다. 〈증명하는 문제>에 대한 이 발견술의 주요 규칙은 다음과 같다. 〈추측을 하면 그로부터 결과를 이끌어 내어라. 거짓 임이 알려진 결과에 이르면 그 추측은 거짓이다. 참임이 알려진 결과에 이르면, 순서를 뒤 집어라. 그리고, 만일 그 추측이 이 참인 결과로부터 그렇게 유도될 수 있으면 그것은 참이 다〉(Heath [1925], 1, pp. 138-9를 참조하라)． 〈원인은 결과를 같게 한다causa aeguat effectu>는 원리와 필요충분조건을 갖춘 정리에 대한 탐구는 모두 이러한 전통 가문데 있었 다. 확실성에 대한 탐구가 최종성에 대한 탐구보다 우세하게 된 것은 겨우 17세기에 들어 와서이며 Pappus 의 발견술을 현대 과학에 적용하려는 모든 노력이 실패한 때였다.
Lambda ; 어쨌든 Omega 군은 저에게 단 하나의 증명은 소박한 추측을 비판 적으로 개선하는 데 충분치 않을 수도 있다는 것을 확신시켜 주었습니다. 우리 의 방법은 그의 규칙 4 의 근본적 변형을 포함해야 합니다. 그러면 그것은〈증명과 제 반박 proof and refutations〉의 방법이라고 불리는 대신 〈제 증명과 제반박proofs and refutations〉의 방법이라고 불려야 합니다. Mu ; 제 간섭을 용서하십시오. 저는 방금 당신들의 토론의 결과를 준 위상
기하학적 용어로 번역하였습니다. 곧, 보조 정리 합체 방법은 일선의 개선된 정리들의 영역이 겹쳐 넣어진 축소되어 가는 계열을 생성하였습니다. 이들 영역은 숨겨진 보조 정리의 출현 과정에서 전면적인 반례의 계속된 공격으로 축소되어 국한으로 수령하였 습니다. 이 국한을 〈증명 -분석의 영역〉이라고 부릅시다. 만일 우리가 규칙 4 의 보다 약한 변형을 적용하게 되면 이 영역은 국소적반례의 계속된 압력으로 넓혀질 수 있습니다. 이러한 확장되는 계열은 다시 극한을 갖게 되는데 저는 그것을 〈증명의 영역〉이라고 부르겠습니다. 이 극한 영역조차도 매우 좁을 수도 있다는 것 (아마도 공집 합일 수도 있다) 을 토론은 보 여주었습니다. 우리는 그 영역이 앞의 증명에 대한 국소적 반례인 점점 더 반 항하는 오일러 다면체를 포함하는 확장되는 수열을 이루게 될보다 더 심오한증명을 고안해 내야 할지 모릅니다. 이들 영역은 결국 탐구의 목적이 되는 〈소박한 추측의 영역〉의 이중 극한에 수령할 것입니다.이 발견적 공간의 위상 수학은 다음과 같은 수학 철학의 문제가 될 것입니 다. 그 수열은 무한 수열이 될 것인가? 그것들은 결국 수령하여 극한울 가질 것인가? 그 극한은 공집합이 될 것인가? Epsilon ; Omega군의 문 별 모양 12면체〉의 오일러 성질도 설명해 주는, 코시의 증명보다 더 심오한 증명을 찾아 냈습니다 ! (교사에게 메모를 전달한다) Omega ; 최종 증명이라고요 ! 오일러 성질의 진정한 본질이 이제 드러나겠 군요! 교사 : 미안합니다. 시간이 모자라니 Epsilon 군의 매우 미묘한 증명은 다른 기회에 논의해야 하겠습니다. * 그것이 Omega 군이 의미하는 최종적인 증명이 되지 않으리라는 것이 제가 안 전부입니다. 네, Beta 군 ?
* 편집자 주――Epsilon 의 메모의 내용은 아래 제 2 장에서 드러난다.
(c) 다른 증명은 다른 정리를 산출한다 Beta ; 제가 이 토론에서 배운 가장 홍미 있는 점은 같은 소박한 추측에 대한
여러 가지 다른 증명이 매우 다른 정리에 이르게 된다는 것입니다. 하나의 데카르트 오일러 추측이 각 증명에 의해 서로 다른 정리들로 개선됩니다. 우리의 원래의 증명은 <모든 코시 다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 정리를 산출하였습니다. 이제 우리는 <모든 제르곤 다면체는 오일러 성질을 갖는다>와 <모든르장드르 다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 완전히 다른 두 가지 정리를 학습하였습니다. 하나의 공통된 조상을 갖는 세 가지 증명, 세 가지 정리입니다. 103) 따라서 〈오일러 정리의 서로 다른 증명〉이라는 보통의 표현은 혼란을 줍 니다. 왜냐하면, 그것은 정리 형성에서의 증명의 결정적 역할을 숨기고 있기때문입니다.104)
103) Euler 추측에 대한 다른 많은 증명이 있다. Euler, Jordan, Poincare 의 증명에 대한 자세 한 발견적 논의는 Lakatos [1961]을 보라. 104)Poinsot, Lhuilier, Cauchy, Steiner, Crelle 는 모두 서로 다른 증명이 같은 정리 곧,
서로 다른 모든 증명이 터널, 공동, 반지꼴 면을 갖지 않는 모든 다면체는 E~i~; 성겅홀 갖는다는 것을 중명한다는 것이다. Cauchy는 엄밀성에 관한 그의 혁신이 있기 전인 그가 20대 초반일 때 다면체에 관한 그의 논문 [1813a]을 썼는데, 그의 논문의 제 2부의 서문에서 Euler의 증명과 Legendre 의 증명에 대한 Poinsot 의 비교를 반복하고 있는 것을 나쁘게 해석할 수는 없다. 그는 그양제의 대부분의 수학자들과 같이 여러 증명의 깊이의 차이를 파악하지 못하였으므로 그 자 신의 증명의 실제적인 위력을 감지할 수 없었을 것이다. 그는 단지 바로 갈은 정리에 대한또 하나의 중명을 했을 뿐이라고 생각하겼다. 그러나 다면체의 어떤 집합에로의 Euler 의 공식의 비교적 하찮은 일반화에 이르렀다는 것을 도리어 열심히 강조하였다.Gergonne 는 Cauchy 의 증명의 비길 데 없는 심오함을 알아챈 첫번째 사람이었다(Lhuilier [1812-13a], p.179).
Pi ; 서로 다른 증명 사이의 차이는 훨씬 더 깊습니다. 단지 소박한 추측만이 다면체에 관한 것입니다. 그러한 정리들은 각각 코시―대상objects, 제르곤대상, 르장드르-대상에 관한 것이지 더 이상 다면체에 관한 것이 아닙니다. Beta ; 별스러운 놈이 되고자 하십니까? Pi ; 아닙니다. 제 요점을 설명하게 될 것입니다. 그러나 저는 이것을 보다넓은 맥락에서 설명하고자 합니다. 일반적인 개념 형성에 대해 논의하고 싶습니다. Zeta ; 우리는 오히려 내용에 대하여 먼저 논의해야 합니다. Omega 군의 규 칙 4는 그의 급진적인 해석으로조차도105) 매우 약합니다.
105) p. 98을 보아라.
교사 ; 옳습니다. 그러면 먼저 내용 문제에 대한 Zeta 군의 접근 방법을 들어 보고, 그 다음에 개념 형성에 대한 토론으로 논쟁을 끝마치기로 합시다. 7 내용의 문제에 대한 재고 (a) 소박한 추측의 소박성 naivete Zeta ; 저는 괴물 배제자, 예의 배제자, 보조 정리 합체자들이 모두 내용을
희생시켜 어떤 진리를 얻으려고 애썼다는 사실을 개탄하는 점에서는 Omega 군 과 동감입니다. 그러나 동일한 소박한 추측에 대하여 보다 깊은 증명을 요구 하고 있는 그의 규칙 4 106) 는 충분하지 않습니다. 왜 우리들의 내용에 대한 연 구가 우연히 마주친 최초의 소박한 추측에 의해서 제한되어야 합니까? 왜 우 리들의 탐구의 목적이 〈소박한 추측의 영역〉이 되어야만 합니까 ?
106) p.98을보아라.
Omega ; 저는 당신의 의견에 따를 수 없습니다. 확실히 우리들의 문제는 V -E+F=2가 참이 되는 영역을 발견하는 것이 아니었습니까? Zeta ; 그렇지 않았습니다 ! 우리들의 문제는 어떤 것이든 임의의 다면체에서 V, E, F 사이의 관계를 찾아내는 것이었습니다. 그러나, 이들 <오일러 성질〉 다 면체에 대한 비판적 연구는 오일러 성질 다면체보다 훨씬 더 많은 비오일러 성 질 다면체가 있다는 것을 보여주었습니다. V-E+F= 6, V-E+F= 28 혹은 V-E+F= o이 성립하는 영역을 왜 찾아보지 않습니까? 그런 것들도 마찬가 지로홍미롭지 않습니까? Sigma ; 옳습니다. 우리들은 단지 최초에 V-E+F= 2 가 참이라고 생각하였 다는 것 때문에 그것에 너무 많은 주의를 쏟았습니다. 이제는 그렇지 않다는것을 알고 있습니다. 이제 우리는 새롭고 보다 깊은 소박한 추측을 찾아내야만합니다… .... Zeta ; ……그것은 덜 소박한 것이 되겠지… ... Sigma ; ……그것은 임의의 다면체에 대한 V, E, F 사이의 관계가 되겠지요. Omega ;왜 급하게 덤비십니까? 우리가 해결하려고 착수하였던 좀 더 조심 성 있는 문제, 곧 왜 어떤 다면체는 오일러 성질을 갖는가를 설명하는 문제를 먼저 해결하도록 합시다. 이제까지 우리는 단지 부~ 설명에만 도달하였습 니다. 예를 들면, 발견된 증명의 어느 것도 전후 두 면에 반지꼴 면을 가진 사 전를이 왜 오일러 성질을 갖는가를 설명하지 못했습니다(그림 16). 그것은 16 개의 꼭지점, 24개의 모서리, 10개의 면울 가지고 있습니다……. Theta ; 그것은 확실히 코시 다면체가 아닙니다. 그것에는 터널이 하나 있고
크 /
반지꼴 면을 가지고 있습니다……. Beta ; 그렇지만 오일러 성질을 갖고 있습니다 ! 얼마나 비합리적입니까 ? 단 하나의 죄―반지꼴 면을 갖지 않은 터널(그림9)-를 범한 다면체가 염소(악인-＊역주)의 무리 가운데로 쫓겨난반면, 두 배로 죄를 범한――반지 꼴 면도 갖고 있는(그림 16)一것은 양(선인-*역주)의 무리로 받아들여야 한단 말입니가 ? 107)
IO7) 그 문제는 Lhuilier([1812-13a], p.189) 및 그와는 별도로 Hessel 〔1832］가 인지하였다 Hessel 의 논문에는 두 개의 사진틀로 된 도형이 서로 나란히 나온다. 또한 p.126, 주 124) 를 참조하라.
Omega ; 당신도 아시다시피, Zeta 군, 우리는 오일러 다면체에 대한 충분한 난제를 가지고 있습니다. 보다 더 일반적인 문제로 나아가기 전에 이들을 해결 합시다 .Zeta ; 아닙니다, Omega 군. 단 하나의 질문보다 많은 질문에 답하기가 보 다 쉬울 것입니다. 새롭고 보다 야심적인 문제가 원래의 문제보다 해결하기 쉬 울 것입니다. 108) 정말로 저는 당신의 좁고 우연한 문제는 보다 넓고 본질적인 문제를 해결함으로써 비로소 해결될 수 있다는 것을 보여드리겠습니다.
108) Polya 는 이것을 <발명가의 역설>이라고 부른다([1945], p.160) .
Omega ; 그러나 저는 오일러 성질의 비밀을 발견하고 싶습니다. Zeta ; 저는 당신의 저항을 이해합니다. 당신은 신이 오일러 다면체와 비오일 러 다면체를 분할하는 경계선을 그은 곳을 찾아내는 문제와 사랑에 빠지고 말 았군요. 그러나 <오일러 성질〉이라는 용어가 신의 우주 청사진에 나온다고 믿을 이유는 전혀 없습니다. 만약 오일러 성질이 어떤 다면체의 단지 우연한 성질에
불과하다면 어떻게 됩니까 ? 그 경우 오일러 다면체와 비오일러 다면체의 멋대 로 들쑥날쑥한 경계선을 찾아내는 것은 홍미롭지 못할 뿐만 아니라 불가능하기 까지 할 것입니다. 그렇다고 인정하더라도 합리주의는 더럽혀지지 않은 상태일 것입니다. 그러므로 그것은 잊어버립시다. 비판적 합리주의의 요점의 하나는 해결 과정에서 원래의 문제를 포기하고 다른 문제로 대체할 준비가 항상 되어 있는것입니다. (b) 증명과 반박 방법의 바탕으로서의 귀납 Sigma ; Zeta 군이 옳습니다. 정말 재난이군 ! Zeta ; 재난이라니요 ? Sigma ; 그래요. 당신은 이제 임의의 다면체에 대하여, V, E, F 사이의 관계 에 대한 새로운 〈소박한 추측>을 원하고 있습니다. 그렇지요 ? 불가능합니다 ! 방대한 많은 반례를 생각해 보십시오. 공동을 가진 다면체, 반지꼴 면이나 터 널을 가진 다면체는 모서리와 꼭지점 등을 합치면…… V-E+F는 그 어떤 값 이든 택할 수 있습니다 ! 당신은 아마도 이러한 혼돈에서는 어떤 질서도 인식 할 수 없을 것입니다 ! 우리는 늪에 빠지려고 오일러 다면체의 단단한 지반을 떠났습니다. 우리는 돌이킬 수 없이 한 소박한 추측을 잃어 버렸고 다른 것을 _ 얻을 아무런 희망도 없습니다 ! Zeta ; 그러나……. Beta ;왜 희망이 없습니까? 가장 평범한 볼록 다면체에 대해서조차 꼭지 점, 모서리, 면의 수의 표에는 겉보기에 철망적인 혼돈이 있음을 기억하십시 오. * 우리는 그것들을 하나의 공식으로 맞추는 데 아주 여러 번 실패했습니다.
* 편집자 주―이 표에 대해서는 우리가 교실에 들어오기 전에 논의되었다.
그러나 우리는 그들을 지배하고 있는 V-E+F =2 라는 진짜 규칙성과 갑자기 마주치게 되었습니다. 109)
109) p.118, 주 114)를 보아라. 표는 Polya [1954], vol. 1, p. 36으로부터 차용한 것이다.
Kappa(옆에서) ; 〈진짜 규칙성〉이라니요? 순전히 거짓인 것에 대한 우스운
다면체 F V E I 정육면체 6 8 12 Il 삼각기둥 5 6 9 Ill 오각기둥 7 10 15 W 정사각뿔 5 5 8 V 삼각뿔 4 4 6 VI 오각뿔 6 6 10 VlI 팔면체 8 6 12 VIll <탑〉 9 9 16 IX 〈귀퉁이룰 자른 정육면체〉 7 10 15 표현입니다. Beta ; 지금 우리들이 해야 할 일은 비오일러 다면체에 대한 자료로 표를 완 성하여 새로운 공식을 찾아내는 것입니다. 참을성을 가지고 부지런히 관찰하여 운이 좋으면 우리는 올바른 공식과 마주칠 것입니다. 그러면 증명과 반박의 방 법을 적용하여 그것을 다시 개선할 수 있습니다. Zeta ; 참을성이 있고 부지런한 관찰이라고요 ? 공식을 하나씩 차례로 점검한 다고요? 아마도 당신은 임의로 공식을 생산하여 그것을 표에서 점검해 보는 추측 기계를 고안하시겠지요? 이것이 과학이 어떻게 전보하는가에 대한 당신 의 생각이십니까? Beta ; 저는 당신의 조롱을 이해할 수 없습니다. 일단 소박한 추측을 발견하 여, 〈증명과 반박〉이란 우리의 비판적인 방법이 아무리 많이 나아간다고 할지라 도, 우리들의 최초의 지식 곧 소박한 추측은 근면한 관찰과 돌연한 통찰로부터 만 을 수 있다는 데 당신은 확실히 동의하십니까 ? 어떤 연역적 방법도 귀납적 기초로부터 시작하지 않으면 안 됩니다 ! Sigma ; 당신의 귀납적 방법은 결코 성공하지 못할 것입니다. 원래의 표에는 우연히 사전틀이나 성게가 없었기 때문에 V-E+F= 2 에 도달하였을 뿐입니 다. 이는 역사적 우연이니까…….
Kappa(옆에서) ; ……아니면 신의 자비로운 안내……. Sigma ; ……는 더 이상 없을테니, 당신은 결코 혼돈으로부터 질서를 〈귀납〉 하지 못할 것입니다. 우리는 오랜 관찰과 운좋은 통찰로 출발했습니다. 그리 고, 실패했습니다. 만약 우리가 새로운 소박한 추측에 도달하였다고 하더라도 -그것은 의심스럽지만―우리는 단지 마찬가지의 혼돈으로 끝날 것입니다. Beta ; 아마도 우리는 연구를 완전히 포기해야 한다는 말입니까? 우리는 다 시 출발해야 합니다. 처음에는 소박한 추측으로, 그 다음에는 증명과 반박의 방법을 통하여 다시 전진해야 합니다. Zeta ; 아닙니다, Beta 군. 저는 Sigma 군과 동감입니다. 그렇기 때문에 저 는 새로운 소박한 추측으로 다시 출발하지는 않을 것입니다. Beta ; 그렇다면 만일 소박한 추측으로서의 귀납적인 낮은 수준의 일반화로 출발하지 않는다면 어디서 출발하기를 원하십니까? 그렇지 않다면, 당신은 달 리 택할 출발 방법을 갖고 있습니까? (c) 연역적 추측 대 소박한 추측 Zeta ; 출발이라고요 ? 왜 제가 출발해야 합니까 ? 제가 문제를 발견 (또는 발 명)할 때 제 정신은 비어 있지 않습니다. 교사 ; Beta 군을 희롱하지 마십시오. 여기 문제가 있습니다. 〈다각형의 꼭지점과 변의 수 사이의 자명한 관계 곧 V=E 와 유사한, 다면체의 꼭지점과 모서리와 면의 수 사이의 관계가 존재하는가 ? >110) 당신은 어떻게 그것을 착수하시겠습니까?
IIO) p.25를보아라.
Zeta ; 우선 저는 다면체에 대한 광범한 조사를 수행할 정부 보조금을 가지고 있지 않으며, 꼭지점, 모서리, 면의 수를 세어 그 자료를 표로 작성할 연구 조 수단도 가지고 있지 않습니다. 그러나 가지고 있다고 하더라도, 공식이 들어 맞는지 하나씩 차례로 검토할 인내심――혹은 흥미-이 없을 것입니다.
Beta ; 그래서 어떻게 한단 말입니까 ? 당신은 침상 위에 누워 눈을 감고 자 료를 잊어 버리시겠습니까 ?Zeta ; 틀림없이 그렇습니다. 저는 시작할 아이디어가 필요한 것이지 그 어떤자료도 필요하지 않습니다. Beta ; 그렇다면 어디에서 당신의 아이디어를 얻습니까 ? Sigma ; 그것은 우리가 문제를 정식화할 때 이미 우리들 마음 속에 있습니 다. 사실 그것은 바로 문제의 정식화 가운데 있습니다. Beta ; 어떤 아이디어 말입니까 ? Zeta ; 다각형에 대해서는 V=E 라는 것입니다. Beta ; 그래서 어떻단 말입니까 ? Zeta ; 문제란 결코 불시에 나오지 않습니다. 문제는 항상 우리들의 배경 지 식과 관련되어 있습니다. 우리들은 다각형에 대해서 V=E 라는 것을 알고 있 습니다. 다면체라는 것은 하나 이상의 단일한 다각형으로 이루어진 다각형 체 계입니다. 그러나 다면체에 대해서는 V=l=E입니다. 단일 다각형 체계로부터 복수 다각형 체계로 이행하는 사이 어느 점에서 관계 V=E 가 망그러집니까 ? 자료를 모으는 대신에 저는 그 문제가 우리의 배경 지식으로부터 어떻게 생겼 는가를 추적합니다. 곧, 그에 대한 반박으로 문제를 제기하게 된 예상은 어느 것이었습니까? Sigma ; 옳습니다. 당시의 권고에 따르도록 합시다. 어떤 다각형에 대해서도 E-V= O 입니다(그림 17(a)). 거기에 한 개의 다각형을 맞추면 어떻게 됩니 까? （반드시 같은 평면일 필요는 없습니다)． 더해지는 다각형은 n1개의 변과 ni 개의 꼭지점을 가지고 있습니다. 그것을 이제 원래의 다각형에 ni개의 변과 ni +1 개의 꼭지점으로 된 연쇄를 따라 맞추면, 모서리의 수는 n1一ni,꼭지점의 수는 n1-(ni+1) 만큼 증가합니다. 다시 말해서 새로운 두 다각형으로 된 체계 에 대해서는 모서리의 수가 꼭지점의 수보다 한 개 초과하게 될 것입니다. 곧 E-V= 1 입니다(그림 17(b), 색다른 경우이지만 완전히 꼭 맞추어진 경우에 대해서는 그림 17(c)를 보십시오)． 다각형 체계에 하나의 새로운 면을 〈맞추면〉 이와 같이 항상 1 씩 증가할 것입니다. 곧, 이와 같은 방법으로 만들어진 F 개
의 다각형 체계에 대해서 E-V=F-1입니다. Zeta ; 곧 V-E+F=l 입니다. Lambda ; 그러나 이것은 대부분의 다각형 체계에 대해서는 거짓입니다. 정 육면체를 택해 보십시오……. Sigma ; 그러나 제가 구성하고 있는 것은 변의 회로에 의해서 경계지어 지는 〈열려 있는〉 다각형 체계로만 될 수 있습니다. 저는 저의 사고 실험을 손쉽게, 그런 경계를 갖지 않는, 〈닫혀진〉 다각형 체계로 확장시킬 수 있습니다. 그러한 닫혀진 체계는 열린 꽃병 같은 다각형 체계를 하나의 다각형 뚜껑으로 덮음으 로써 성취될 수 있습니다. 이와 갇은 덮개 다각형을 맞추면 V나 E를 변경하 지 않고 F 를 하나 증가시킬 것입니다. Zeta ; 다시 말해, 이러한 방법으로 구성된 닫혀진 다각형 체계―곧 닫혀 진 다면체-에 대해서 V-E+F=2입니다. 이는당신이 한개의 다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 수도 〈관찰〉하지 않고 얻은추측입니다! Lambda ; 그래서 이제 당신은 어떤 〈귀납적인 출발점 inductive starting point>없이도 증명과 반박의 방법을 적용할 수 있습니다. Zeta ; 증명을 고안할 필요가 없다는 차이가 있습니다. 증명은 이미 거기 있 습니다 ! 당신은 곧바로 반박, 증명 -분석, 정리 형성을 계속할 수 있습니다. Lambda ; 그렇다면 당신의 방법에서는―관찰 대신에― 증명이 소박한
추측에 선행하는군요 ! 111)
111) 이는 pp.30-1, 주 7)에대한중요한수정이다.
Zeta ; 그런데 , 증명으로부터 생겨난 추측을 〈소박하다〉고 불러서는 안 됩니 다. 저의 방법에는 귀납적 소박성의 여지는 없습니다. Beta ; 반대합니다 ! 당신은 단지 <소박한〉 귀납적 출발을 뒤로 밀쳤을 뿐입 니다. 당신은 〈다각형에서는 V=E 이다〉로 출발하였습니다. 당신은 이것을 관 찰에 바탕을 두고 있지 않으십니까? Zeta ; 대부분의 수학자와 같이 저는 수 세기를 못합니다. 저는 방금 7 각형 의 변, 꼭지점을 세어 보려고 했습니다. 저는 처음에 7개의 변과 8개의 꼭지 점을, 그 다음에는 8개의 변과 7개의 꼭지점을 찾아냈습니다……. Beta ; 농담은 그만 두시고, 어떻게 해서 V=E 를 얻었습니까 ? Zeta ; 저는 삼각형에 대해서 V-E=O 인 것을 처음 인식했을 때 깊은 충격 을 받았습니다. 물론 저는 한 변에 대해서는 V-E=l인 것을 매우 잘 알고 있 었습니다(그림 18 (a) ). 또한 새로운 변을 맞추면 항상 꼭지점과 변의 수가 모 두 하나씩 증가하게 될 것이라는 것도 알고 있었습니다(그림 18(b)와 그림 18 (c)). 다각형인 변의 체계에서는 왜 V-E=O이 됩니까? 거기서 저는, 이것은 변의 열려진 체계 (이는 두 개의 꼭지점으로 경계가 지어 집니다)로부터 변의 닫힌 체계 (이는 그러한 경계를 갖지 않습니다)로 이행하기 때문이라는 것을 인 식하였습니다. 새로운 꼭지점을 첨가하지 않고 변을 맞추어서 열려진 체계에 〈뚜껑을 씌우기〉 때문입니다. 따라서 저는 다각형에 대하여 V-E= o 임을 관찰 하지 않고 증명하였습니다. Beta ; 당신 재간은 당신에게 도움이 되지 못할 것입니다. 당신은 단지 귀납
적 출발점을 더욱 뒤로 밀쳤을 뿐입니다. 이번에는 그 어떤 변에 대해서도 V -E= 1 이라는 명제로 말입니다. 당신은 그것을 증명하셨습니까, 아니면 관찰 하셨습니까? Zeta ; 저는 그것을 증명하였습니다. 저는 물론 한 꼭지점에 대해서는 V=l 인 것을 알고 있습니다(그림 19) . 저의 문제는 유사한 관계를 구성하는 것이었 습니다.Beta(화가 나서) ; 당신은 한 점에 대해서 V= 1 이라는 것을 관찰하지 않았다는말입니까?Zeta ; 당신은 관찰하셨습니까? (옆의 Pi군에게) 그에게 저의 〈귀납적 출발점>은 반 공간이라고 말해야 할까요 ? 곧, 무 nothing 를 〈관찰〉하는 것으로 시 작했다고요? Lambda; 경우야 어떻든 두 가지가 주장되어 왔습니다. 우선 Sigma 군은 소박한 귀납적 추측에 도달할 수 있는 것은 단지 역사적 우번에 의한 것이라고주장하였습니다. 곧 인간이 실제적인 혼돈된 사실을 대하면 그것들을 께끗한 공식에 맞출 수는 거의 없을 것입니다. 다음에 Zeta 군은 증명과 반박의 논리를 위해서는 우리들은 전혀 소박한 추측, 귀납적 출발점이 필요하지 않다는 것을 보여주었습니다. Beta ;반대요! 증명이 선행하지 않은(또는 뒤따르지조차 않은), 어떤 지도 이든 색칠하여 구분하는 데 4색으로 충분하다는 4색 추측이라든가 궁드바하 Goldbach 추측과 같은 유명한 추측은 어떻게 된 것입니까? 증명이 정리보다 선행할 수 있는 것, Zeta군의 〈연역적 추측deductive guessing〉이 일어날 수 있는 것은 역사적 우연에 의해서일 뿐입니다. 그렇지 않으면 소박한 귀납적 추 측이 먼저 옵니다. 교사; 우리는 확실히 양쪽 발견 양식을 모두 배워야 합니다. 연역적 추측이가장 좋지만 소박한 추측은 전혀 추측하지 않는 것보다는 낫습니다. 그러나 소박한 추측은 귀납법이 아닙니다. 귀납적 추측과 같은 것은 없습니다.Beta ; 그러나 우리는 귀납으로 소박한 추측을 발견하였습니다 ! 〈곧, 그것은 관찰에 의해서 암시되었고 특별한 예에 의해서 지적되었으며,… 그리고 우리
들이 검토한 특별한 경우 가운데에서 우리는 추측의 형성보다 선행하는 것과 후에 오는 것의 두 그룹을 식별할 수 있습니다. 전자는 추측을 시사하고 후자 는 그것을 지지합니다. 두 경우 모두 추측과 ‘사실' 사이의 어떤 유의 접촉을 제공합니다……〉. 112) 이러한 이중의 접촉이 귀납법의 핵심입니다. 첫번째 것이 귀납적 발견법 inductive heuristic 을 이루고 두번째 것이 귀납적 정당화 곧 귀납적 논리를 이룹니다.
112) Polya [1954], vol. l, pp. 5,7.
교사 ; 아닙니다 ! 사실은 추측을 시사하지 않고 그것을 지지하지도 않습니다. Beta ; 그렇다면, 저의 표에 열거되어 있는 사실들이 아니라면 무엇이 저에 게 V-E+F=2 임을 시사했습니까? 교사 ; 말씀드리겠습니다. 당신 자신이 자료를 공식에 맞추는 데 여러 번 실 패했다고 말씀하셨습니다. 113) 그런데 다음과 같은 일이 일어났습니다. 당신은 서너 가지 추측을 하였는데 곧 차례차례로 반박되었습니다. 당신이 제시한 표 는 이러한 추측을 검사하고 반박하는 과정에서 만들어졌습니다. 죽어서 이제는 잊혀져 버린 이들 추측이 사실을 시사하였습니다. 사실이 추측을 시사한 것이아닙니다. 소박한 추측은 귀납적 추측이 아닙니다. 우리는 추측과 반박을 통해시행착오로 그것에 도달합니다.114) 그러나, 만일 당신이-잘못하여-당신의 표로부터 귀납적으로 그에 도달했다고 믿고, 표가 길수록 보다 좋은 추측 을 시사하고, 후에 뒷받침한다고 믿는다면, 불필요한 자료를 수집하면서 시간 울 낭비할 것입니다. 또한 발견의 길은 사실로부터 추측으로, 추측으로부터 증 명으로 나아간다고 주입되면(귀납의 신화), 당신은 발견술의 대안 곧, 연역적 추측을 완전히 잊을 것입니다. 115)
113) pp.111-3을보아라. 114) 이러한 시행착오는 Polya 에 의해 아름답게 재구성된다. 첫번째 추측은 F 는 V 와 더불 어 증가한디는 것이다. 이것이 반박되면서 다음과 같은 두 가지 추측이 더 뒤따른다. 곧, E는 F와 더불어 증가한다. E는 V 와 더불어 증가한다. 다음 네번째가 성공한 추측이다. F+V 는 E 와 더불어 증가한가([1954], vol. 1, pp. 35-7) . 115) 다른 한편수학의 일상적인 연역적 제시 때문에 발견의 길은공리와정의로부터 증명과정 리로 나아간다고 믿게 되는 사람들은 소박한 추측의 가능성과 중요성을 완전히 잊을 수도
있다. 과학적 발견술에서 보다 큰 위험성은 귀납주의인 반면, 실제로 수학적 발견술에서 보 다 큰 위험성은 연역주의이다.
수학적 발견술은 과학적 발견술과 매우 닮았습니다. 양자가 귀납적이어서가아니라 둘 다 추측, 증명, 반박에 의해 특징지어지기 때문입니다. 중요한 차이점은 각각의 추측, 증명(혹은 과학에서, 설명), 반례의 본질에 있습니다.116)
116) 금세기의 수학적 발견술의 부활은 Polya 덕분이다. 과학적 발견술과 수학적 발견술의 유 사성을 그가 강조하고 있는 것은 그의 훌륭한 연구의 주요한 특징의 하나이다. 그의 유일한 약점으로 간주될 수 있는 것이 이러한 강점과 관련된다. 그는 과학이 귀납적이라는 대 결코 의문을 갖지 않았으며, 과학적 발견술과 수학적 발견술 사이의 깊은 유사성에 대한 그의 올 바른 시각 때문에 그는 수학도 귀납적이라고 생각하게 되었다. 마찬가지 일이 일찍이 Poincare(그의 저서 [1902] 서문을보아라), 그리고 Frechet(그의 저서 [1938]을 보아라) 에게도일어났다.
Beta ; 알았습니다. 그러면 우리의 소박한 추측은 움직일 수 없는 비추측적인 사실에 의해 이전에 〈시사된 〉 첫번째 추측은 아니었습니다. 많은 <소박 이전〉의 추측과 반박이 그것보다 선행하였습니다. 추측과 반박의 이론은 출발점 을 갖지 않지만, 증명과 반박의 논리는 출발점을 갖습니다. 첫번째의 소박한 추측으로부터 시작하여, 다음에 사고 실험이 뒤따릅니다. Alpha ; 아마도 그럴 것입니다. 그러나 그렇다면 나는 그것을 <소박하다〉고 부를 필요가 없을텐데요 ! 117)
117) p.73을보아라.
、Kappa(옆에서) ; 발견술에서조차 완전한 <소박성〉과 같은 것은 존재하지 않 습니다! Beta ; 중요한 것은 가능한 한 빨리 시행착오로부터 벗어나 〈사실>을 너무 〈귀 납적으로〉 고려하지 않고 사고 실험으로 재빨리 나아가는 것입니다. 그러한 고 려는 지식의 성장을 방해할 수도 있습니다. 시행착오에 의해 V-E+F= 2 라는 추측에 도달하고, 사전틀에 대하여 V-E+F= o 이라는 것을 관찰하여 곧바로 그것이 반박되는 것을 상상해 보십시오. 너무 사실을 고려하면 특히 그것들이 추측을 반박할 때에는 소박 이전의 시행착오를 계속하여 다른 추측을 찾을 것 입니다. 그러나 보다 좋은 발견술을 가지고 있으면, 적어도 불리한 관찰에 의
한 검사를 무시하려 하고(코시의 증명과 갇이) 사고 실험에 의하여 검사해 보 려고합니다.Sigma ; 참 혼란스럽네요 ! .왜 코시의 증명을 검사라고 부릅니까 ?Beta ; 왜 코시의 검사를 증명이라고 부릅니까 ? 그것은 검사입니다. 들어보십시오. 당신은모든다면체에 대하여 V-E+F=2라는소박한추측으로출 발하였습니다. 그 다음에 그로부터, 만약 소박한 추측이 참이라면, 면 하나를 제거해 버리면 남은 그물에 대하여 V-E+F= 1 이라는 결과를 이끌어 냈습니 다. 〈만약 이 결과가 참이면 삼각형으로 분할한 후에도 V-E+F= 1 입니다〉. 〈만약 이 마지막 결과가 참이라면 삼각형이 하나씩 제거되는 동안에 V_E+F = 1 은 성립할 것입니다〉. 〈만약 이것이 참이라면 단 하나의 삼각형에 대하여 V _E+F=1 입니다……〉. 그런데 이 마지막 결론은 마침 참이러는 것이 알려져 있습니다. 그러나, 만 약 하나의 삼각형에 대하여 V-E+F= o 라고 결론지어졌다면 어떻게 될까요 ? 곧바로 원래의 추측은 거짓이라고 기각했을 것입니다. 우리들이 한 일은 추측 을 검사하는 것, 그로부터 결과를 이끌어 내는 것뿐이었습니다. 그러한 검사는 추측을 확인한 것처럼 생각되었습니다. 그러나 확인은 증명이 아닙니다. Sigma ; 그러나 그렇다고 한다면 우리의 증명은 생각한 것보다 훨씬 적은 것 울 증명했군요 ! 그리고 우리는 과정을 거꾸로 하여 삼각형으로부터 다면체로 되돌아가는 반대 방향으로 나아가는 사고 실험을 구축하려고 시도해야 합니다 ! Beta ; 그 말이 옳습니다. 처음에 시행착오를 통해 소박한 추측을 고안하고, 그 다음에 그것을 검사하고, 검사를 증명으로 뒤집음으로써 문제를 푸는 대신 에, 진정한 증명을 곧바로 시작할 수 있음을 지적한 것은 Zeta군뿐이었습니 다. 연역적 추측의 가능성을 인식하였다면 우리는 이 모든 준 귀납적 더듬어 찾기를 피했을 것입니다. Kappa(옆에서) ；참으로 방향 전환의 극적인 연속이군요! 비판적인 Alpha 군기 독단론자로 전향하고, 독단론자 Delta 군이 반박론자로 전향하였고, 이번 에는 귀납주의자 Beta 군이 연역주의자로 전향하였습니다 ! Sigma ; 그러나 기다리십시오. 만약 검사 사고 실험 test thought-experiment
아·····. Beta ; 저는 그것을 분석analysis 이라고 부르겠습니다……. Sigma ; …… 증명 사고 실험 proof thought-experiment 이 일단 뒤따를 수 있 다면·…·. Beta : 저는 그것을 종합synthesis 이라고 부르겠습니다…….118)
118) Pappus 의 발견술에 따르면, 수학적 발견은 추측으로 시작하고, 분석이 그에 따른 다음, 분석이 추측이 거짓임을 입증하지 않으면, 종합이 뒤따른다(또한 위의 p.30-1, 주 7)과 p. 105, 주 102)를 참조하여라)． 그러나 분석 종합에 대한 우리의 해석은 추측을 개선하는 반면 Pappus 의 해석은 그것을 증명하거나 반증할 뿐이다.
Sigma ; ……〈분석적 정리 analytic theorem>는 반드시 〈종합적 정리 synthetic theorem〉와 동일할까요? 반대 방향으로 나아가면서 우리는 서로 다른 보조 정리를 사용할 수도 있습니다 ! 119)
119) Robinson [1936], p.471을 참조하여라.
Beta ; 만약에 그들이 다르다면 종합적 정리는 분석적 정리를 대신해야 합니 다 __ 결국 종합은 증명하는 반면에 분석은 검사할 뿐입니다. 교사 ; 우리의 〈증명〉이 실제로는 〈검사〉라는 당신의 발견은 학급에 충격을 주 어 당신의 주요한 논의로부터 그들의 주의를 돌리게 만든 것 같습니다. 당신의 주된 논의는 다음과 같습니다. 곧, 만약 반례에 의해서 이미 반박된 추측이 있 다면 반박을 옆으로 밀어 놓고 사고 실험에 의해 그 추측을 검사해 보아야 합 니다. 이렇게 하면 우리는 증명과 마주칠 수 있고 시행착오의 국면을 떠나 증 명 반박의 방법으로 전환할 수도 있습니다. 그러나, 제가 〈저는 즐겨 거짓인 추측을 ‘증명'하려고 착수하고자 한다〉고 말하도록 만든 것은 바로 이것이었습니다. 120) 그리고 Lambda 군 또한 그의 규칙 1 에서 〈만약 추측을 하였으면, 그것을 증명하고 반박하는 것을 착수하라>는 것을 요구하였습니다. . . . Zeta ; 옳은 말입니다. 그러나 Lambda 군의 제 규칙과 Omega 군의 규칙 4에 다음 것을 보충하도록 해주십시오. 규칙 5. 만약 어떤 유형이든 반례를 얻었다면 연역적 추측에 의하여 그것들
120) p. 49를 보아라.
이 더 이상 반례가 되지 않는 보다 깊은 정리를 발견하도록 시도하라.Omega ; 이제 당신은 저의 〈깊이〉란 개념을 확장하고 있습니다. 당신이 옳을 것입니다. 그러나 당신의 새로운 규칙의 실제적인 적용은 어떻습니까? 지금까 지는 우리에게 이미 알고 있는 결과를 줄 뿐이었습니다. 일이 일어난 다음 현 명해 지기는 쉬운 일입니다. 당신의 〈연역적 추측>은 바로 선생님의 원래의 분 석에 대응하는 종합입니다. 그러나 이제 당신은 정직하셔야 합니다. 당신은 당 신의 방법을 사용하여 내용을 확장할 가망이 있도록 아직 당신이 알고 있지 않 은 추측을 발견해야 합니다. Zata;옳습니다. 저는 저의 사고 실험에 의해 생성된 <모든 닫혀진 정규normal 다면체는 오일러 성질을 갖는다>는 정리로부터 시작합니다.Omega ; 〈정규〉라니요 ? Zeta ; 저는 증명과 반박의 방법을 통과해 가느라 시간을 낭비하기를 바라지 않습니다. 저는 〈완전한〉 다각형으로부터 그에 (a) 먼저 V-E+F 를 변화시키 지 않고 F-2개의 면을 덧붙임으로써 (이들은 열린 정규 다면체가 될 것이다), (b) 그다음에, V-E+F를 1만큼증가시키는(그리고 열린 다면체를 닫힌 다 면체로 전환시키는) 마지막의 닫는 면을 덧붙임으로써 구성될 수 있는 모든 다 면체를 단지 〈정규〉라고 부를 뿐입니다. Omega ; 〈완전한 다각형〉이라니요 ? Zeta ; 〈완전한〉이란 하나의 꼭지점에 V-E 를 변화시키지 않고 처음 n-1 개 의 변을 맞춘 다음에 V-E 를 1 감소시키는 마지막의 닫는 변을 맞추어 구성될 수 있는 다각형을 뜻합니다. Omega ; 당신의 닫혀진 정규 다면체는 우리의 코시 다면체와 일치할까요 ? Zeta ; 지금은 그 문제로 들어가고 싶지 않습니다. (d) 연역적 추측에 의해 내용을 증가시키기 교사 ; 준비는 충분합니다. 당신의 연역에 대해 알아봅시다. Zeta ; 예, 선생님. 두 개의 닫힌 정규 다면체(그림 2o(a)）를 택하여 그것을
서로 만나는 두 면이 없어지도록 다각형 회로를 따라 풀로 붙입니다(그림 20 (b) ) . 두 개의 다면체에 대해서는 V-E+F= 4 이므로 결합된 다면체에서 두 개의 면이 없어져 오일러의 공식이 바로 복구될 것입니다 － 새로운 다면체는 또한 쉽게 공으로 부풀릴 수 있기 때문에 코시의 증명에 따라 생각해도 놀랍지 않습니다. * 그래서 공식은 이 풀로 붙이는 검사에 훌륭히 맞서고 있습니다. 그 러나 이번에는 이중으로 붙이는 검사를 해 보도록 합시다. 두 다각형 회로를 따라 두 개의 다면체를 〈풀로 붙입시다〉(그림 20(c)). 이번에는 네 개의 면이 사라지며 새로운 다면체에 대해서 V-E+F=o 이 됩니다.
* 편집자 주-이러한 추론은, 결론은 옳지만 오류이다. 실제로 풀로 불이는 것은 8개의 꼭지점, 12개의 모서리, 6개의 면의 상실을 수반한다. Euler표수는따라서 1만큼줄어 든다(그점 20(b)에서 빗금친 두 면이 꼭 일치하는 것으로 가정한 것은 더 넓은 모서리와 더 좁은 모서리를 서로 바꾸도록 반쪽 틀 중 하나의 경사면을 거꾸로 하는 것을 수반한다. 이러한 조작은 V 도, E 도, F 도 변경시키지 않으므로 논증은 그대로 진행된다) .
Gamma ; 이것은 Alpha군의 반례 4인 사진틀입니다. Zeta ; 이제 만약 이 사진틀(그림 20(c)）에 또 다른 정규 다면체 (그림 2l(a)) 를 〈이중으로 붙이면〉 V-E+F는 一2가 될 것입니다(그림 21(b))……. Sigma ; 단일 장구상 다면체 spheroid 에 대해서는 V-E+F= 2 이고, 이중 장구상 다면체에 대해서는 V-E+F= o 이며, 삼중 장구상 다면체에 대해서는 V-E+F=-2,……n중 장구상 다면체에 대해서는 V-E+F= 2-2(n-1)입 니다……. Zeta ; ……이는 전례 없는 내용을 가지며 , 단 하나의 표도 만들지 않고 증명 이 끝난, 당신의 새로운 추측입니다. 121)
I2I) 이는 Raschig에 의해 행하여졌다(〔1891]).
Sigma ; 이것은 정말 멋있습니다. 당신은 완고한 사전틀을 설명하였을 뿐만 아니라, 무한히 다양한 새로운 반례를 만들어 내었습니다……. Zeta ; 설명으로 완전한 반례를 말입니다. Rho ; 저는 다른 방법으로 같은 결과에 방금 도달하였습니다. Zeta 군은 2 개 의 오일러 성질을 갖는 예로 시작하여 통제된 실험으로 그들을 반례로 변화시 켰습니다. 저는 반례로 출발해서 그것을 예로 변화시킵니다. 사진틀을 가지고 다음과 같은 사고 실험을 하였습니다. 〈다면체를 부드러운 점토와 같이 쉽게 잘라지는 어떤 재료로 되어 있다고 합시다. 실을 터널로 통과시킨 다음 점토를 통과하여 잡아당깁니다. 그 다면체는 따로따로 떨어지지 않을 것입니다… …>.122) 그러나 그 다면체는 친근한 단순 구상 다면체로 됩니다 ! 그것은 사실 입니다. 면의수는두개, 변과꼭지점의수는양쪽 다m만큼증가합니다. 그 러나 단순 다면체의 오일러 표수는 2 임을 알고 있으므로 원래의 다면체는 표수 가 0 이었음에 틀림없습니다. 이제 그 다면체를 단순 다면체로 환원하기 위해 서는 그와 같은 절단이 더, 말하자면 n회 필요하다고 한다면, 그 표수는 2 ―2n이 될 것입니다. . . Sigma ; 이것은 재미있군요. Zeta 군은 증명을 시작하기 위해서 추측이 필요
122) Hoppe [1879], p.102.
하지 않을 수도 있다는 것과 종합, 곧 참이라고 알려져 있는 관련 명제로부터 의 증명 사고 실험을 곧바로 고안할 수도 있다는 것을 이미 보여주었습니다. 이번에는 Rho 군이 , 검사를 시작하기 위해서조차도 추측은 필요하지 않을 수도있을 뿐만 아니라, 결과가 이미 얻어진 것처럼 가장하고 분석 곧, 검사 사고실험을 고안하는 것을 착수할 수 있음을 보아고 있습니다. 123)
123) 이 또한 Pappus 의 발견술의 일부분기다. 그는 추측으로 시작하는 분석을 〈이론적〉 theoretical 이라고 부르고, 추측이 없이 시작하는 분석을 〈문제식 problematical〉이라고 부 른다(Heath [1925], vol. 1, p.138). 첫번째 것은 증명하는 문제와 관련되고 두번째 것은 푸는 문제 (혹은 구하는 문제)와 관련된다. 또한 Polya [1945], pp.129-36(Pappus) 및 197-204 (「거꾸로 연구하기」)를 참조하여라.
Omega ; 그러나 어느 방법을 택하더라도 많은 다면체가 아직 설명되지 않은 채로 남아 있습니다. 당신의 새로운 정리에 따르면 모든 다면체에 대해서 V-E+F 는 2 보다 작은 짝수입니다. 그러나 우리는 홀수인 오일러 표수를 갖는다면체를 상당수 보았습니다. V-E+F= 1 인 볏 달린 정육면체 (그림 12)를 택 해 보십시오……. Zeta ; 저의 정리가 모든 다면체에 대해 적용된다고는 결코 말하지 않았습니 다. 저의 정리는 제 구성 방법에 따라 작성한 모든 n 중 장구상 다면체에만 적 용됩니다. 저의 구성 방법은 그대로는 반지꼴 면에 이르지는 않습니다. Omega ; 그래서요 ? Sigma ; 제가 알고 있습니다 ! 그것을 반지꼴 면을 갖는 다면체로 확장할 수 도 있습니다. 적당한 증명-생성된 다각형의 체계에서 면의 수를 줄이지 않고 한 모서리를 삭제하여 반지꼴 다각형을 구성할 수 있습니다(그림 22(a)）와 22 (b)). 아마도 우리의 증명에 따라 구성된 〈정규〉안 다각형 체계로 면의 수를 줄 이지 않고 한 개 이상의 변을 삭제할 수 있는 것이 또한 존재하지 않을까 생각 합니다……. Gamma ; 그것은 사실입니다. 이 〈정규〉인 다각형 체계를 보십시오(그림 23 (a)). 면의 수를 줄이지 않고 두 개의 변을 삭제할 수 있습니다(그림 23(b)). Sigma ; 훌륭합니다 ! 그렇다면 일반적으로 면의 수를 줄이지 않고 ek 개의
변을 삭제한 n중 장구상――또는 n중 연결――다면체에 대해서 V—E+F=2-2(n-l) +∑ek Beta ; 이 공식은 저의 볏 달린 정육면체 (그림 12) 곧, 1 개의 반지꼴 면을 갖는 단일 장구상 다면체(n=l)를 설명해 줍니다. 1인 e6를 제의하고 ek는 0. 곧, ∑ek= 1, 결국 V-E+F=3 입니다. Sigma ; 그것은 또한 당신의 〈불합리한〉 오일러 변종 곧, 2개의 반지꼴 면과 1 개의 터널을 갖는 정육면체 (그림 16)도 설명해 줍니다. 그것은 ∑ek=2 인 2 중 장구상 다면체 (n=2)입니다. 따라서 그 표수는 V-E+F=2-2+2=2 입니 다. 다면체의 세계에 윤리적 질서가 회복되었습니다 ! 124)
124) 그 〈질서>는 Lhuilier에 의해 대략 같은 공식으로(〔1812-13a],p.189), 그리고 Hessel 에 의해 Euler 다면체를 함께 맞추는 여러 가지 방법에 대한 솜씨 없는 특별한 공식으로 회 복되었다. p. 110, 주 107)을 참조하여라. 역사적으로 Lhuilier는―그의 논문 (1812-13a]에서-소박한 추측에 의해서 Euler 공식을그럭저럭 일반화하여 다음공식에 도달하였다. V-E+F=2[(C-T+1)+(p1+p2 +…)〕[*역자 주―V-E+F= 2(C-T+1) +p1+p2+··의 오기인 듯합] 여기서 C는 공동의 수, T 는 터널의 수, p, 는 i 번째 변 위에 있는 내부 다각형의 수이다. 그는 또한 때부 다각형제 관한 한 그것을 증명하였으나 터널이 그를 좌절시킨 듯하다. 그는 그의 세 종류의 〈예외>를 설명하려는 의도로 공식을 구성하였으나, 그의 예의 목록은 불완전하였다 (p.53, 주 30)을참조하여라)． 더욱이 이러한불완전성이 그의 소박한추측이 거짓인 유일 한 이유는 아니었다. 왜냐하면, 그는 여러 공동이 다중 연결일 수도 있으며, 가지 친 터널 이 있는 다면체에서 터널의 수를 명확하게 결정할 수 없을 수도 있고, 그것은 <내부 다각형 의 수〉가 아니라 관련된 반지꼴 면의 수라는 가능성도 있음에 주목하지 못하였기 때문이다 (그의 공식은 한 변을 공유하고 있는 이웃한 두 내부 다각형에 대해 성립하지 않는다) . Lhuilier의 〈귀납적 일반화>의 비판에 대해서는 Listing [1861], pp.98-9를 보아라. 또 한 , p.143, 주 148)을 참조하여라.
Omega ; 공동을 갖는 다면체는 어찌됩니까 ? Sigma ; 저는 알고 있습니다 ! 그것들에 대해서는 각 비연결 면의 오일러 표 수를더해야합니다. K Fj V-E+F=∑{2-2(nj-1) +∑ek} j=I k=I Beta ; 그리고 쌍둥이 다면체는 ? Sigma ; 제가 알고 있습니다 ! …… Gamma ; 이러한 모든 정밀화가 무슨 소용이 있습니까 ? 이렇게 범람하는 과 장된 하찮은 것들을 멈춥시다. 125)
125) 19세기의 상당한 수의 수학자들이 그러한 내용의 하찮은 증가로 당황하였으며, 그들을 어떻게 다루어야 할지 실제로 알지 못하였다. Mobius 같은 몇몇 수학자들은 괴물 배제 정 의를 사용하였고(위 p. 39를 보아라) Hoppe 같은 다른 수학자들은 괴물 조정법을 이용하 였다. Hoppe 의 논문 [1879]는 특히 계시적이다. 한편으로 그는―당대의 많은 수학자 들처럼＿모든 것을 커버하는 완전히 완벽한 〈일반화된 Euler공식>을 얻으려고 열심이었 다. 다른 한편으로 그는 하찮은 복잡성을 회피하였다. 그래서 그는 그의 공식이 〈완전한, 모든 것을 포괄한〉 것이라고 주장한 반면에 그는 혼란스럽게도 〈특별한 경우들은 (구성 요 소의 ) 열거를 의심스럽게 만들 수 있다는 것을 덧붙였다(p.103) . 곧, 만일 어떤 거북한 다면체가 아직도 그의 공식을 파기시키면 그의 구성 요소가 잘못 세어진 것이고 괴물은 바 른 시각으로 조정되어야 하는 것이다. 예를 돌면, 쌍동이 다면체의 공통 꼭지점과 모서리를 알아보고 두 번 세어야 하며, 각 쌍둥이는 분리된 다면체로 인식되어야 한다(같은 책) . 그 이상의 예는 p.150, 주 155)를 참조하여라.
Alpha ; 왜 멈춰야 합니까 ? 아니 쌍둥이 사면체는 괴물이고 진정한 다면체 가 아니라고요? 쌍둥이 사면체는 당신의 원기둥과 꼭 마찬가지로 훌륭한 다면체입니다. 당신은 언어적 정밀화를 좋아하였습니다. 126) 왜 당신은 우리의 새로운 정밀성을 희롱하십니까? 우리들은 정리가 모든 다면체를 포괄하도록 만들 지 않으면 안 됩니다-그것을 정밀하게 함으로써 내용을-감소시키지 않고 증가시키고 있습니다. 이번의 정밀성은 장점입니다 !
126) pp. 86-90을 보아라.
Kappa ; 지루한 장점은 지루한 악덕과 꼭 마찬가지로 나쁩니다. 더군다나 당
신은 결코 완전한 정밀성을 성취할 수 없을 것입니다. 계속하는 것이 흥미롭지 않게 되면 정지해야 합니다. Alpha ; 저는 다른 관점을 가지고 있습니다. 우리들은 (1) 한 꼭지점은 한 꼭지점이다 로부터 출발하였습니다. 이로부터 (2) 모든 완전한 다각형에 대하여 , V=E 임을 이끌어 냈습니다. 이로부터 우리는 (3) 모든 정규인 열린 다각형 체계에 대하여 , V-E+F= l 임을 이끌어 냈습니다. 이로부터 (4)모든정규인 닫힌 다각형 체계, 곧다면체에 대하여, V-E+F=2 또다시 이로부터, 차례로 (5) 정규 n중 장구상 다면체에 대하여, V-E+F~2-2 (n-1) (6) 다중 연결면을 갖는 정규 n 중 장구상 다면체에 대하여 , V-E+F=2-2(n-1)+∑ek (7)다중 연결면과공동을 갖는 정규 n중 장구상 다면체에 대하여, V-E+F=∑ {2-2(n;-1) +∑ekj} j=J k=I 이는 자명한 출발점에 숨겨진 풍요성을 기적적으로-전개한 것이 아닙니까? 그리고 (1) 이 의심의 여지 없이 참이므로. 나머지도 참입니다.Rho( 옆에서) ;숨겨진 〈풍요성〉이라고요? 마지막 둘은 단지 일반화가 얼마나값싸게 될 수 있는가를 보여주고 있습니다 ! 127)
127) pp. 150-2를 참조하여라.
Lambda ;당신은정말로 (1)이 나머지 전체가 유도되어 나오는 단일 공리라 고 생각하십니까? 그런 연역이 내용을 증가시킵니까? Alpha ;물론입니다! 이것은 연역적 사고 실험의 기적이 아닙니까? 일단
한 작은 진리를 얻으면 연역은 그것을 전혀 틀림이 없이 지식의 나무로 확장시킵니다. 128) 만약 연역이 내용을 증가시키지 않는다면 저는 그것을 연역이라고부르지 않고 〈입증verification〉이라고 부르겠습니다. 〈입증은 순수하게 분석적 이고 번식불능이기 때문에 진정한 논증과는 정확히 구분됩니다〉. 129) Lambda ; 그러나 확실히 연역은 내용울 증가시킬 수 없습니다 ! 만약 비판 이 결과가 전제보다도 풍부하다는 것을 드러낸다면 숨겨진 보조 정리를 명백히 함으로써 전제를 보강해야 합니다. Kappa ; 그리고 궤변과 오류 가능성을 포함하고 있으며 궁국적으로 전혀 틀 림이 없는 연역이란 신화를 파괴하는 것은 이러한 숨겨진 보조 정리입니다. 130)
128) 고대 철학자들은 주저하지 않고 그 매우 자명한 귀결로부터 어떤 추측을 연역해 내었다 (예를 들어, 삼각형으로부터 다면체에 이르는 우리의 종합적 증명을 보아라) . Plato 는 다 음과 같이 생각하였다. 〈어떤 단일한 공리가 전체 체계를 생성해 내는 데 충분할 수도 있다〉. 보통 그는 그의 방법론에서 그가 단일한 가설을, 그것과 결합시키고자 하는 전제를무시하고, 그 자체로서 다산성이 있다고 생각하였다〉(Robinson [1953], p.168). 이는 고대회 비형식 논리, 다시 말해, 증명의 논리나 사고 실험의 논리 또는 구성 construction의논리의 특징이었다. 우리는 그것을 떄늦은 지혜를 통해서만 생략 삼단 논법적 enthymematic이라고 간주한다. 곧, 내용의 증가가 추론의 힘의 징조가 아니고 허약성의 징조가 된 것은 후의 일일 뿐이었다. 이러한 고대의 비형식 논리는 Descartes, Kant, Poincare에 의해서 강력히 옹호되었다. 그들은 모두 Aristotele 의 형식 논리를 경멸하고 그것을 불 모의 부적절한 것으로 기각해 버렸다. 동시에 비옥한 비형식적 논리의 무류성으로 칭찬하 면서. 129) Poincare [1902], p. 33.I30) 숨겨진 보조 정리의 탐색은 19세기 중엽의 수학적 비판에서 비로소 시작되었는데, 후에증명을 증명 -분석으로, 사고 법칙을 언어 법칙으로. 대치시킨 과정과 밀접하게 관련되었다.논리학 이론의 가장 중요한 발달보다 보통 수학적 비판의 발달이 먼저 일어났다. 불행하게도 논리학의 가장 훌륭한 역사가들조차도 논리학의 실천에서의 변화 속에서 그 뿌리에 주목하지 못하고 논리학 이론에서의 변화에만 배터적으로 주의를 쏟는 경향이 있다. 또한 p. 159, 주 168)을 참조하여라.
교사 ; Zeta 군의 방법에 대해서 다른 어떤 질문이 있습니까 ?
(e) 논리적 반례 대 발견적 반례 Alpha ; 저는 Omega 군의 규칙 4 를 131) 좋아했듯이 Zeta 군의 규칙 5 를 132) 좋아합니다. 저는 Omega 군의 방법이 국소적 반례이지만 전면적인 반례가 아 닌 반례를 찾았기 때문에 그 방법을 좋아했습니다. 그러한 반례는 Lambda 군 의 원래의 세 가지 규칙133)에서 논리적으로 해가 없으며, 그러기에 발견적으로 홍미롭지 못하다고 무시하였던 것들입니다. Omega 군은 그것들에 자극을 받아 서 우리 지식의 실질적 발전인 새로운 사고 실험을 고안해 내었습니다. 이제 Zeta 군은 전면적 반례이면서 국소적인 반례인 반례에 의해서 영감을 받고 있는 바, 이들 반례는 발견적 관점에서가 아니고 논리적 관점에서 완전한 확인이 됩 니다. 확인이 되었지만 여전히 활동을 요구합니다. Zeta 군은 우리의 사고 실 험을 확칭하고 세련시켜 논리적 확인을 발견적인 확인으로, 논리적으로 만족스 런 예를 논리적 관점에서도 발견적 관점에서도 모두 만족스러운 예로 전환시킬 것을 제안하고 있습니다. Omega 군과 Zeta 군 두 분 모두 새로운 아이디어를 구하고 있는 반면에, Lambda 군과 특히 Gamma 군은 그들의 전면적 반례나 국소적 반례가 아닌 부 적절한 반례, 이는 그들의 야릇한 관점으로부터만 적절한 반례입니다만, 그러 한 반례를 다루는 언어적 기교에 마음을 빼앗기고 있습니다. Theta ; 그래서 논리적 관점이란 〈야릇한〉 것입니다. 그렇지요 ? Alpha ; 당선의 논리적 관점이라면 그렇습니다. 그러나 한 마디 더 하고 싶 습니다. 연역이 내용을 증가시키든 어떻든 __ 잘 들어 두십시오. 물론 증가시 킵니다――연역은 확실히 지석의 연속격 성강을 보증하는 것 같이 생각됩니 다. 우리들은 한 개의 꼭지점으로부터 시작하여 지식이 힘 있고 조화롭게 성장 하도록 하여, 어떤 것이든 임의의 다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 수의 관계를 설명하도록 하였습니다. 반박 없는, 극적이 아닌 성장입니다 !
I31) p. 97을 보아라. 132) p. 121을 보아라. 133) pp. 85-6을 보아라
Theta(Kappa 에게) ; Alpha 군은 판단력을 몽땅 잃어 버렸습니까? 한 꼭지 점이 아니라 한 문제로부터 출발합니다 ! 134)
134) Alpha 는 확실히 연역적 발견술의 오류로 미끄러져 들어간 듯하다. p.118, 주 115)를 참 조하여라.
Alpha ; 점진적이지만 승리를 약속받은 이 운동은 <스스로 명백하지는 않지 만, 그 과정의 각 단계에 대한 명확한 전망을 갖는 연속적이고 부당한.정신의 행동에 의하여, 참인 기지의 원리로부터 연역될 뿐인 정리로 우리를 안내할 것 입니다〉. 135) 그들은 결코 〈편견이 없는〉 관찰이나 통찰의 갑작스런 섬광에 의해 결코 도달할 수는 없을 것입니다. Theta ; 저는 최종적인 승리가 의심스럽습니다. 그와 같은 성장으로 결코 우 리는 원기둥에 도달하지 못할 것입니다―—왜냐하면 (1)은 한 개의 꼭지점으 로부터 시작하는데 원기둥은 꼭지점을 갖지 않기 때문입니다. 또한 우리는 단 측 다면체 또는 다차원 다면체에 결코 도달할 수 없을 것입니다. 이 점진적인 연속적 확장이 어떤 지점에서 멈추는 것은 당연하며, 당신은 새롭고 혁명적인 출발점을 찾지 않으면 안 될 것입니다. 그리고, 이 〈평화스러운 연속〉마저 반박 과 비판으로 가득 차 있습니다 ! 전면적이면서 국소적인 반례의 연속적인 압력 아래에서가 아니라면, 왜 (4)로부터 (5)로, (5)로부터 (6)으로, (6)으로부터 (7)로 나아갑니까 ? Lambda 군은 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례 만을 진정한 반례로 받아들였습니다. 그것들은 정리의 허위성을 드러내었습니 다. Omega 군의 혁신은 __ Alpha 군에 의하여 적절히 칭송되었습니다만국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례도 진정한 반례로 간주하는 것이었습니다. 그러한 반례들은 정리가 진리성이 빈곤함을 분명히 드러내었습니다이번에는 Zeta군이 전면적이고 국소적인 반례마저도 진정한 반례로 인식하라고 말하고 있습니다. 그것들도 또한 정리의 진리성이 빈곤함을 지적합니다. 예를 들어, 사전틀은 코시의 정리에 대한 전면적 반례이면서 국소적인 반례입니다. 그것들은 물론 진리만이 관계되는 한 확인이 되지만, 내용과 관계되는 한 반 박입니다. 우리들은 첫번째의(전면적인 반례이지만 국소적 반례가 아닌) 반례
135) Descartes [1628],규칙 Ⅲ.
를 논리적 반례 logical counterexample 라고 부르고, 다른 것들을 발견적 반례 heuristic counterexample 라고 부를 수도 있습니다. 그러나, 반박－논리적 이거나 발견적인-을 더 많이 인식하면 할수록 지식은 더 빨리 성장합니다. Alpha 군은 수학적 지식의 성장은 연속적이고 비판은 아무 역할도 할 수 없다 고 하는 생각에 사로 잡혀 있기 때문에, 논리적 반례를 부적절한 것으로 간주 하고, 발견적 반례를 반례라고 부르는 것을 전적으로 거부하고 있습니다. Alpha ; 당신은 반박의 개념과 비판의 개념을 지식의 성장에 대한 당신의 비 판적 이론을 정당화시키기 위해서만 인위적으로. 확대시키고 있습니다. 비판철 학의 도구로서의 언어적 기교를 부리는 것이 아닙니까 ? Pi ; 저는 개념 형성에 관한 토의가 문제를 명료하게 하는 데 도움이 될 것으 로생각합니다. Gamma ; 우리는 열심히 귀를 기울이고 있습니다. 8 개념 형성 (a) 개념 확칭에 의한 반박. 괴물 배제 및 오류와 반박의 개념에 대한 재평가 Pi ; 저는 우선 Zeta 군 이전, 또는 Omega 군 이전 곧, 정리 형성의 세 가지 주요 방법인 괴물 배제법, 예의 배제법 및 증명과 반박의 방법으로. 되돌아가고 싶습니다. 그들은 각기 똑같은 소박한 추측으로 시작하였지만 서로 다른 정리와 서로 다른 이론적 용어로 끝났습니다. Alpha 군은 진작에 이들 차이점의 몇가지 측면의 개요를 말씀하였지만, 136) 그의 설명은 만족스럽지 못합니다. 특히 괴물 배제법과 증명과 반박의 방법의 경우가 그렇습니다. Alpha 군은 괴물 배제 정리가 소박한 추측에 대한 〈본질적 개선을 동일한 언
136) pp.73-4를 보아라.
어적 표현 뒤에 감추고 있다〉고 생각하였습니다. 그는 Delta 군이 <소박한〉 다 면체의 집합을 오일러 성질이 없는 괴물이 일소된 집합으로 점차 축소하였다고 생각하였습니다. Gamma ; 이 설명이 어디가 잘못되었습니까?Pi ; 개념을 축소한 자들은 괴물 배제자가 아니었으며, 개념을 확장한 자들이반박론자였다는 부분입니다. Delta ; 옳소 ! Pi ; 우리 문제를 처음 탐구했던 이들의 시간으로 되돌아가 봅시다. 그들은 정다면체의 아름다운 대칭성에 매료되었습니다. 그들은 다섯 개의 정다면체가 우주의 비밀을 쥐고 있다고 생각하였습니다. 데카르트-오일러 추측이 제시되 었을 때까지는 다면체의 개념은 모든 종류의 볼록 다면체와 몇 가지의 오목 다 면체까지도 포함하고 있었습니다. 그러나 단순 다면체가 아닌 다면체 또는 반 지꼴 면을 갖는 다면체는 확실히 포함되지 않았습니다. 그들이 마음에 품고 있 었던 다면체에 대해서는, 추측은 그대로 참이었으며 증명은 결함이 없었습니 다.137)
137) Euler 의 논문 (1758a)에 나오는 그림 6은 일찍이 기하 교과서에 나온 최초의 오목 다면 체이다. Legendre 는 그의 저서 (1809)에서 볼록 다면체와 오목 다면체에 대하여 이야기하 고 있다. 그러나 Lhuilier 이전에는 아무도 단순 다면체가 아닌 오목 다면체에 대하여 언급 하지 않았다. 그러나, 한 가지 홍미 있는 조건이 첨가될 수 있을 것이다. 일찍이 연구된 첫번째 유의 다면체는 부분적으로 다섯 가지 보통 정다면체와 각기둥과 각뿔과 같은 준-정다면체로 이 루어졌다(Euclid를 참조하여라)． 이러한 다면체류는 르네상스 이후 두 방향으로 확장되었 다. 한 방향은 교과서 가운데 나타나고 있는바, 모든 볼록 다면체와 몇 가지의 단순한 톱니 꼴로 된 단순 다면체를 포함한다. 다른 방향은 Kepler 의 다면체였다. 그는 정별다면체를 발명하여 정다면체류를 확장하였다. 그러나 Kepler의 개선은 잊혀져, Poinsot에 의해서 다시 이루어졌을 뿐이다(위 pp. 40-1을 보아라). Euler는 확실히 별 다면체를 꿈에도 생각하지 않았다. Cauchy 는 그것을 알고 있었지만 그의 정신은 이상하게도 칸막이가 되어 있었다. 그가 별 다면체에 대하여 홍미 있는 아이디어를 가지고 있었을 때 그는 그것을 공 표하였다. 그러나 다면체에 대한 그의 일반적인 정리에 대한 반례를 제시할 때 별 다면체를 무시하였다. 젊은 Poinsot는 그렇지 않았다(〔1810]). 그러나 후에 그는그의 마음올 바꾸 었다(p. 60을 참조하여라) .
따라서, Pi의 전술은 발견적으로 옳지만(곧, 수학의 합리적인 역사에서는 참이지만), 역사적으로는 거짓이다(이것이 우리를 난처하게 하지는 않을 것이다. 실제적인 역사는 흔 히 합리적인 재구성의 서투른 모방이다) .
그 다음에 반박론자가 나타났습니다. 그들은 비판적 열의로 다면체의 개념을 확장한바 의도된 해석에 맞지 않는 대상을 망라하게 되었습니다. 그 추측은 의도된 해석으로는 참이었지만, 반박론자들이 몰래 들여온 의도되지 않은 해석으로는 거짓일 뿐이었습니다. 그들의 〈반박>은 본래의 추측에서 어떠한 오류도, 본래의 증명에서 어떠한 실수도 드러내지 않았습니다. 그들의 반박은 전에 어 느 누구도 말하거나 생각하지 못한 새로운 추측의 허위성을 드러내었습니다. 가련한 Delta 군 ! 그는 다면체의 본래의 해석을 용감하게 변호하였습니다. 그는 본래의 개념을 보호하기 위하여 새로운 조항으로 각 반례와 대항하였습니 다……. Gamma ; 그러나 매번 자선의 견해를 바꾸었던 사람은 Delta 군이 아니었습 니까? 우리가 새로운 반례를 만들어낼 때마다 그는 그의 〈감추어진〉 또 다른 조항을 나타내는 더 긴 정의로 자신의 정의를 바꾸었습니다 ! Pi ; 괴물 배제법에 대한 참으로 기괴한 평가군요 ! 그는 단지 그의 입장을바꾼 듯하였을 뿐입니다. 그가 어떤 아이디어에 대한 완강한 변호를 하는 가운데 은밀한 용어상의 주전원을 사용했다고 그를 비난하는 것은 잘못입니다. 그 의 불운은 〈다면체는 그 표면이 다각형 면으로 이루어진 입체이다〉라는 그 이상 한 정의 1로, 반박론자들이 그것을 즉각적으로 덮쳤던 것입니다. 그러나 르장 드르는 그 정의가 그의 소박한 다면체만을 포함한다는 것을 뜻하였습니다. 곧 그것이 그 이상을 포함한다는 것은 그 제안자가 전혀 깨닫지도 의도하지도 않 았습니다. 수학적 대중은 이러한 그럴 듯하고 순결해 보이는 정의로부터 천천 히 출현한 기괴한 내용을 기꺼이 소화시키고자 하였습니다. 이것이 Delta 군이 〈제가 의도했던 바는…〉하고 재삼재사 말을 더듬어야만 했던, 그리고 끊임없 이 〈묵시적〉 조항들을 계속 명확히 하여야만 했던 이유입니다. 그 모든 것은 소 박한 개념이 결코 못박아지지 않고, 단순한 그러나 괴물 같은 의도되지 않은 정의가 그것을 대신하였기 때문입니다. 그러나, 정의가 〈다면체〉의 의도된 해석
울 적절히 고착시킨 다른 상황을 상싱해 봅시다 그러면. 말하자면〈복합 다면 체 complex polyhedra〉에 대한 훨씬 더 긴, 괴물을 포함하는 정의를 고안하는 것이 반박론지들의 임무가 되어왔을 것입니다. 〈복합 다면체란 (실제의) 다면 체의 집합으로, 각 다면체가 두 개씩 합동인 면에 의해 결합되어 있는 것입니 다〉. 〈복합 다면체의 면은 (실제의) 다각형의 집합으로, 각 다각형이 두 개씩, 합동인 모서리에 의해 결합되어 있는 복합 다각형이 될 수 있습니다〉. 그러면이 복합 다면체는 다면체에 대한 Alpha 군과 Gamma 군의 반박 생성 개념과대응될 것입니다―—첫번째 정의는 단순 다면체가 아닌 다면체에 대해서 허용 되는 정의이며, 두번째 정의는 단순 연결이 아닌 면에 대해서도 허용되는 정의 입니다. 그래서 새로운 정의를 고안하는 것이 반드시 괴물 배제자나 개념 보존 자들의 일은 아닙니다――그것은 또한 괴물 포함자나 개념 확장자의 일일 수 있습니다.138)
138) 괴물 포함 정의의 한 가지 흥미 있는 예는 볼록성에 대한 Poinsot 의 재정의로, 이는 별 다면체를 모양새 좋은 볼록 정다면체류에 넣고 있다(〔1810]).
Sigma ; 개념과 정의――곧, 의도된 개념과 의도되지 않은 정의——는 그 러면 서로 재미 있는 술수를 부릴 수 있습니다 ! 저는 개념 형성이 의도되지 않는 넓은정의 뒤에 쳐질 수 있다는것을 결코꿈도꾼 적이 없습니다! Pi ; 그렇게 될 수 있습니다. 괴물 배제자들은 단지 본래의 개념에 집착하는 반면, 개념 확장자들은 그것을 넓힙니다. 기묘한 것은 개념 확장은 은밀하게 진행된다는 것입니다. 어느 누구도 그것을 깨닫지 못합니다. 그리고 많은 사람 들의 〈좌표계〉가 넓혀지는 개념과 더불어 확장되므로, 실상 괴물 배제는 개념을계속 불변인 상태로 유지하는 반면에, 그들은 괴물 배제가 개념을 좁힌다는 발견적 환영의 희생이 됩니다. Delta ; 그러면 누가 지적으로 부정직하였습니까 ? 누가 은밀하게 자신의 입 장을 바꾸었습니까? Gamma ; 다면체에 대한 그의 개념을 은밀하게 축소했다고 Delta 군울 고발 한 데 잘못이 있었음을 저는 인정합니다. 그의 여섯 가지 정의는 모두 그가 그 의 선조들로부터 물려받은 다면체에 대한 마찬가지의 훌륭한 오래된 개념을 나
타내었습니다. 그는 바로 꼭 마찬가지의 빈곤한 개념을 점차 풍부해쳐 가는 이론적 준거계, 곧 언어로 정의하였습니다. 괴물 배제는 개념을 형성하는 것이아니라 단지 정의를 번역할 뿐입니다. 괴물 배제 정리는 소박한 추측을 개선한것이 아닙니다. Delta ; 당신은 저의 정의 모두가 서로 논리적으로 동치라는 것을 뜻하시는 건가요? Gamma ; 그것은 당신의 논리적 이론에 좌우됩니다. 저의 논리적 이론에 따 르면 그들은 확실히 동치가 아닙니다. Delta ; 당신도 인정하시겠지만, 그것은 그다지 도움이 되는 답은 아니군요. 그러나 말씀해 주십시오. 당신은 그 소박한 추측을 반박하셨습니까? 당신은 단지 그 본래의 해석을 은밀하게 곡해함으로써 그것을 논박했습니다 ! Gamma ; 좋습니다. 우리는 당신이 일찍이 꿈꾸었던 것보다 .더욱 상상적.이 고 흥미 있는 해석으로 그것을 반박했습니다. 이는 단지 어리석은 실수를 드러 낼 뿐인 반박과 지식의 성장에서 주요한 사건이 되는 반박 사이의 차이점을이루는 것입니다. 만약 당신이 부적절한 수 세기로 〈모든 다면체에 대하여 V -E+F= 1〉이라는 것을 발견하고 내가 당신의 잘못을 수정하였다면 저는 그것 울 〈반박〉이라고 부르지는 않을 것입니다. Beta ;G amma 군이 옳습니다. Pi 군의 폭로 후 우리는 우리의 〈반례>를 논리적 반례라고 부르는 데 주저할 것입니다. 왜냐하면, 그 반례들은 결국 추측의 의도된 해석하에서는 그 추측과 모순되지 않기 때문입니다. 그러나 그들은 지식의 성장에 박차를 가하므로 확실히 발견적 반례입니다. 만약 우리가 Delta군의 좁은 논리를 받아들여야 한다면, 지식은 성장하지 않을 것입니다. 좁은 개념적 툴을 가진 누군가가 오일러 추측에 대한 코시 증명을 발견한다고 단지 가정해 봅시다. 그는 이 사고 실험의 모든 단계가 어떠한 다면체에 대해서도 쉽게 수행될 수 있다는 것을 알게 됩니다. 그는 모든 다면체는 단순 다면체이고 모든 면들은 단순 연결인 면이라는 〈사실>을 분명한 것으로, 의심할 여지가 없는 것으로 받아들입니다. 그에게는 그의 〈분명한〉 보조 정리들을 개선된 추측 의 조건으로 바꾸고 그렇게 해서 한 정리를 확립한다는 생각이 결코 떠오르지
않습니다-왜냐하면, 어떤 〈자명하게 참 trivially true〉인 보조 정리가 거짓 임을 드러냄으로써 반례가 주는 자극은 사라지기 때문입니다. 따라서 그는 〈증 명〉이 그 소박한 추측이 참임을 의심할 여지 없이 확립해 주며, 그 증명의 확실 성도 의심할 여지가 없다고 생각합니다. 그러나 그의 〈확실성>은 성공의 표시라 는 것과는 거리가 멀며, 단지 상상력의 결핍과 개념적 빈곤의 징후일 뿐입니 다. 그것은 독선적인 만족을 낳으며, 그리고 지식의 성장을 저해합니다. 139)
139) 이는 실제로 Cauchy 의 경우이다. Cauchy 가 이미 그의 혁명적인 예의 배제법을 발견했 었다면 (위 pp. 93-5를 참조하여라) , 그는 예의를 찾았을 것이고 몇 가지 예의를 발견했 울 가능성이 있다. 그러나 그는 아마도 해석학에서 혼돈을 일소하기로 결심하였던 훗날에 비로소 예의의 문제와 마주친 듯하다(그러한 〈혼돈>이 해석학에 한정되지 않는다는 사실에 처음 주목하고 그에 맞섰던 듯한 사람은 Lhuilier 이었다) . 역사가들은, 예를 들어 Steinitz 는 그의 논문 [1914-31]에서, 흔히 말하기를 Cauchy 는 그의 정리가 보편적으로 타당하지 않다는 데 주목하고 그 정리를 볼록 다면체에 대해서 만 언급하였다고 한다. 그가 그의 증명에서 여편체의 볼록면이란 표현을 쓰고([1813a], p. 81) , 「입체각과 볼록 다면체에 관한 정리」란 일반적안 제하에 Euler 정리를 재진술한 것 은 사실이다. 그러나 아마도 이러한 제목울 중화시키기 위하여 그는 세 가지 다른 정리 (정 리 Ⅷ및 그 정리의 두 가지 따름 정리 )를 볼록 다면체에 대해서 명확히 언급하고 있는 반면에 (pp. 96 및 98) Euler 정리가 모든 다면체에 대해서 보편적으로 타당합을 특히 강조하고 있다(정리 XI, p.94). 왜 Cauchy가 엉성한 용어를 사용하였는가? Cauchy의 다면체 개념은 볼록 다면체의 개념과 거의 일치한다. 그러나 그것은 정확히 일치하지는 않았다. Cauchy 는 볼록 다면체 의 면을 약간 들이밂으로써 얻어질 수 있는 오목 다면체에 대해서 알고 있었지만 그의 정리의에 대한 부적절한 그 이상의 확인――반박이 아니다- 이 되는 듯한 것을 논의하지 않았다(확인은 개념 성장의 촉매인 반례, 또는 ‘예외'와는 결코 비교될 수 없다).， 이것이Cauchy 가 흔히 〈볼록>이란 용어를 사용한 이유이다. 오목 다면체가 반례를 제시할 수 있음 을 인식하였으나 이들 반례를 제거하려는 의식적인 노력을 하지 않은 것은 실수였다. 바로 같은 단략게서 그는 Euler 정리가 평평한 다각형 그물에 대해서 V-E+F= 1 이라는 보조 정리의 〈즉각적인 귀결>이라고 주장하고 있으며, 〈정리 V-E+F= l의 타당성에 대해서는, 다각형이 갇은 평면 위에 놓여 있든 다른 평면 위에 놓여 있든 아무런 상관이 없다. 왜냐하 면 그 정리는 디각형의 수와 그 구성 요소의 수에만 관련되기 때문이다>라고 말하고 있다 (p.81). 이 주장은 Cauchy의 협의의 개념 골격내에서는 완전히 타당하지만 <다면체〉가, 말하자편 사진를까지도 언급하는, 보다 넓은 개념 골격에서는 옳지 않다. 그러한 주장은 19세기 초반에 자주 반복되었다(예를 들어, Olivier [1826], p.230, Grunert [1827],p.
367, R Baltzer [1860-62] , vol. 2, p. 207) . 그 주장은 J. C. Becker 에 의해 비판되었다(]1869a] p68)흔히 개념 확장이 어떤 명제를 반박하자마자, 반박된 명제는 위대한 수학자동기 범했을수 있다고는 상상할 수 없는 그러한 기본적인 오류인 것처럼 보인다. 개념 확장 반박의 이러한 중요한 특징은 왜 정중한 역사가들이, 개념이 성장한다는 것을 이해하지 못하기 때문 에, 스스로 문제의 미로를 만들어 내는가를 설명해 준다. 단순 다면체가 아닌 다면체를Cauchy 는 아마도 <빠뜨릴 수 없었을 것>이며 따라서 그는 그 정리를 볼록 다면체의 영역으로 <단호히 ( ! )> 한정했다고 주장하여 그를 구출한 다음에, 정중한 역사가는 이제 Cauchy의 경계선이 왜 〈불필요하게〉 협소한지를 설명해야 한다. 왜 그는 비볼록 Euler 다면체를무시하였는가? Steinitz 의 설명은 다음과 같다. Euler 공식에 대한 올바른 정식화는 면의연결성으로 한다. Cauchy 시대에는 이러한 개념은 아직 〈분명하게 파악>되지 않았으므로 어장 단순한 탈출구>는 볼록성을 가정하는 것이었다 (p. 20) . 그래서 Steinitz 는 Cauchy 가 결코 범한 일이 없는 실수를 교묘히 변명하여 발뺌한다. 다른 역사가들은다르게 기술한다. 그들은 바론 개념적 골격(곧, 그들이 알고 있는 것 )에 도달한 시점 이전에는 〈있다고 하더라도 좀처럼 건전하지 않은 결과가 있던 암 혹기〉일 뿐이었다고 말한다. 다면체 이론에서 이러한 시점은, Lebesgue([1923], pp.59-60)에 따르면 Jordan의 증명 [1866a]이고, Bell([194기, p.460)에 따르면Poincar~의 증명 [1895] 이다.
(b) 증명 -생성 개념 대 소박한 개념. 이론적 분류 대 소박한 분류 Pi ; 〈단순 연결인 면을 갖는 모든 단순 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉라는 증명 -생성 정리 proof-generated theorem로 되돌아 갑시다. 이러한 정식화는 오해하기 쉽습니다. 〈단순 연결인 면을 갖는 모든 단순 대상들은 오일러 성질 을 갖는다〉라고 해석해야 합니다. Gamma ; 왜 그렇습니까? Pi ; 첫번째 정식화는 정리에 나타니는 단순 다면체의 집합이 소박한 추측에 대한 〈다면체〉의 집합의 부분집합이라는 것을 암시합니다. Sigma ; 물론 단순 다면체의 집합이 다면체의 부분집합이라는 것은 딩연합니 다 ! (단순 다면체〉의 개념은 다면체를 우리의 증명의 첫번째 보조 정리가 수행 될 수 있는 영역으로 제한시킴으로써, 다면체의 본래의 넓은 집합을 축소시킵 니다. 〈단순 연결인 면을 가진 단순 다면체〉의 개념은 본래의 집합을 더욱 축소
하는 것을 가리킵니다……. Pi ; 아닙니다 ! 본래의 다면체의 집합은 단지 단순 다면체이고 그 면이 단순 연결인 다면체만 포함하였습니다. Omega 군이 보조. 정리 합체가 내용을 줄인 다고 말했을 때 그는 틀렸던 것입니다. 140) Omega ; 그러나 보조 정리를 합체할 때마다 반례를 제거하지 않았습니까 ? Pi ; 물론 제거되었습니다. 그러나 그것은 개념 확장에 의해 만들어진 반례였 습니다. Omega ; 그래서 보조 정리 합체가 괴물 배제와 꼭 마찬가지로 내용을 보존 한다는것인가요?Pi ; 아닙니다. 보조 정리 합체가 내용을 증가시킵니다. 괴물 배제는 그렇지않습니다.Omega ; 뭐라고요 ? 당신은 정말로 보조. 정리 합체가 내용을 줄이지 않을뿐만 아니라, 내용을 증가시킨다는 것을 저에게 납득시키고자 하십니까? 개념 을 축소시키는 대신에 개념을 확장한다는 말씀이신가요? Pi ; 틀림없이 그렇습니다. 제 말씀 좀 들어 보시지요, 정치 지도가 그려진 지구의는 원래의 다면체 집합의 원소였습니까? Omega ; 확실히 아니죠. Pi ; 그러나 그것은 코시의 증명 이후에는 그렇게 되었습니다. 왜냐하면 만약 그 구 위에 반지꼴의 국가나 바다가 전혀 없기만 하면, 여러분들은 그 구 위에 서 조금도 어려움 없이 코시의 증명을 수행할 수 있기 때문입니다. 141) Gamma ; 옳습니다 ! 다면체를 구로 부풀려 모서리와 면을 변형시키면 그러 한 변형이 꼭지점, 모서리, 면의 수를 변경시키지 않는 한 증명을 수행하는 데 우리를 조금도 혼란시키지 않을 것입니다.Sigma ; 당신 얘기의 요점을 알겠습니다. 그러면, 증명 -생성 〈단순 다면체〉는 소박한 〈다면체〉의 단지 축소요 상세화일 뿐만 아니라, 일반화이며 확장이기
140) 위 p. 96을 보아라. 141) p. 65, 주 44)를 참조하여라.
도 합니다. l42) 다면체가 굽은 면을 갖는 구겨진 곡선 〈다면체>를 포함하도록 다면체의 개념을 일반화하는 아이디어는 코시 증명 이전에는 어느 누구에게도 거의 떠오를 수가 없었을 것입니다. 설령 있었다고 해도 그것은 야릇한 생각이라 고 기각되었을 것입니다. 그러나 이제 그것은 자연스러운 일반화입니다. 왜냐 하면 우리의 증명의 조작은 곧은 모서리와 평평한 면을 갖고 있는 보통의 소박 한 다면체에 대해서뿐만 아니라, 그러한 것들에 대해서도 해석될 수 있기 때문 입니다.143)
142) barboux는 그의 [1874a]에서 이러한 아이디어에 접근하였다. 후에 그 아이디어는 Poincare 에 의하여 명확히 정식화되었다. <….. 수학은 여러 가지 것들에 같은 이름을 부여 하는 기술이다…… 언어가 잘 선정될 때 우리는 어떤 대상에 대해 수행한 모든 증명이 많은 새로운 대상에 곧바로 적용된다는 것을 알고 놀란다. 변한 것은 아무것도 없으며, 이름이 장가졌으므로 용어조차 변하지 않았다〉(〔1908], p.375). Frechet는 이것을 〈지극히 유용 한 일반화의 원리>라고 부르고 다음과 같이 정식화하고 있다. 〈어떤 수학적 실재에 대한 명 제의 증명에 사용된 그 성질의 집합이 그 실재를 결정하지 않을 때, 그 명제는 보다 더 일 반적인 실재에 적용되도록 확장될 수 있다〉([1928],p.18). 그는 이러한 일반화는 자명한 것이 아니며 여우 많은 노력을 요구할 수도 있다>는 것을 지적하고 있다(같은 책) . 143) Cauchy는 이에 주목하지 못하였다. 그의 증명은 <교사〉가 제시한 증명과 중요한 점에서 다르다. Cauchy는 그 의 [1813a]와 [1813b]에서 다면체를 고무판으로 만들어진 것이라고는 상상하지 못하였다. 그의 증명 아이디어의 참신성은 Euclid, Euler, Legendre 처럼 다면체를 입체라고 상상하지 않고 곡면이라고 상상한디는 것이었다. 그러나 그는 다면체를 입체 표면이라고 상상햐겼다. 한 면을 제거하고 나머지 공간. .다.각 형 그물을 평평한 다각형 그물 로 사상했을 때, 그는 그의 사상을 면이나 모서리를 구부릴 수도 있는 확대로 생각하지 않 있다. Cauchy 의 중명이 굽은 면을 갖는 다면체에 대해서 수행될 수 있다는 것에 주목한첫번째 수학자는 Crelle 이었다([1826-7], pp.671-2). 그러나 그는 아칙도 조심스럽게 곧 은 모서리에 충실하였다. 그러나 Cayley 에게는 <모서리가 굽은 선이 되도록 허용되어도 그 이론은 실질적으로 변경되지 않을 것이다>라는 것이 <단번에〉 인식될 수 있었던 것 같다 ([1861),p.425). 마찬가지의 논평이 독일에서 Listing([1861],p.99)에 의해, 그리고프 랑스에서 Jordan([1866a], p. 39)에 의해 독립적으로 이루어졌다.
Pi ; 좋습니다. 그러나 당신은 한 단계 더 나아가야 합니다. 증명 -생성 개념 proof-generated concepts은 소박한 개념의 〈상세화〉도 아니고, 〈일반화〉도 아 닙니다. 소박한 개념에 대한 증명과 반박의 충격은. 그보다 훨 씬 더 혁명적입니 다. 그것들은 결정적인 소박한 개념들을 완전히 지워버리고, 그것들을 증명 -
생성 개념으로 대체시킵니다. 144) 〈다면체〉란 소박한 용어는 비록 반박론자들에 의해 확장된 후에조차도 결정 같은 어떤 것, 〈평면적인〉 면, 곧은 모서리를 갖 는 입체를 나타내었습니다. 그것들은 혼적도 없이 사라졌습니다. 증명 -생성 아이디어는 이 소박한 개념을 삼켜 완전히 소화시켰습니다. 여러 증명 -생성 정리에는 소박한 개념은 흔적도 없습니다. 대신에 각 증명은 자신의 특징적인 증명 -생성 개념을 산출해 내는데, 그것들은 확장 가능성, 부풀림 가능성, 촬 영 가능성, 투사 가능성 따위와 관련됩니다. 낡은 문제는 사라졌고 새로운 문제들이 생겼습니다. 콜룸부스 이후 풀려고 착수하였던 문제를 풀지 않는다고하여도 놀라는 사람은 없을 것입니다.
I44) 이러한 개념 형성 이론은. .개념. 형성울 증명 및. 반박과 결합시킨다. Polya 는 개념 형성을 관찰과 결합시킨다. 〈물리학자들이 ‘전기’에 대하여, 혹은 의사동기 '감염'에 대하여 이야기 하기 시작하였을 때, 이들 용어는 모호하고 애매하고 혼란되어 있었다. 과학자들기 오늘날 사용하고 있는 ‘전하', ‘전류', ‘세균 전염', 바이러스 전염'과 같은 용어는 비교할 수 없이 더욱 명료하고 명확하다 . 그러나 참으로 엄청난 양의 관찰과 참으로 많은 재간 있는 실험이 이들 두 가지 용어 사이에 놓여 있다. 그리고 또한 몇 가지 위대한 발견에 대해서도 그러하 다. 귀납은 용어를 변경시키고 개념을 명료화하였다. 우리는 적절한 수학적 예에 의해서 발 전의 이러한측면, 개념의 귀납적 명료화도 예시할수 있다〉([1954],vol. 1,p.55). 그러나 이러한 개념 형성에 대한 잘못된 귀납주의자의 이론조차도 개념 형성을 자율적인 것으로 보 고, 개념의 <명료화>나 〈해석>을· 모든 과학적 논의의 예비 단계로 삼으려는 기도보다 낫다.
Sigma ; 그래서 오일러 추측의 그 본래의 〈소박한〉 영역인 〈입체의 이론>은· 분해되고, 개조한 추측이 제르곤에 의해 증명되면, 사영 기하학에서 코시에 의 해 증명되면, 해석적 위상 수학에서 푸앵카레에 의해 증명되면 대수적 위상 수 학에서…… 다시 나타납니다. Pi ; 지극히 옳습니다. 이제 당신은 왜 제가 Alpha 군이 Beta 군과 같이 , 〈모든 제르곤 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉, 〈모든 코시 다면체는 오일러 성질 을 갖는다〉 등등과 같이 정리를 정식화하지 않고, 오히려 <모든 제르곤 대상은오일러 성질을 갖는다〉, 〈모든 코시 대상은 오일러 성질을 갖는다〉 등과 같이정리를 정식화한 이유를 이해하실 것입니다. 145) 따라서 본인은 소박한 개념의
14,) 위의 p.108올 보아라.
정확성에 대해서뿐만 아니라 소박한 추측의 참 거짓에 대해서도 논쟁하는 것이흥미 없는 일임을 알았습니다.Beta ;그러나 확실히 〈다면체〉라는 용어를 우리가 좋아하는 증명-생성 용 어, 말하자면, 〈코시 대상>에 대해 그대로 사용할 수 있지요?Pi. ;당신이 원하신다면, 그러나 기억하실 것은 당신의 용어는 더 이상, 그것이 나타내려고 착수한 것을 나타내지 않는다는 것, 그것의 소박한 의미는 사라졌는다는 것, 그리고 지금 그것이 사용되는 것은……. Beta ; ……더욱 일반적이고 개선된 개념에 대해서지요 ! Theta ; 아닙니다 ! 완전히 다른 새로운 개념에 대해서 사용됩니다. Sigma 당신의 견해는 역설적이라고 생각되는군요 ! Pi ; 만약 당신이 역설적이라는 것을 〈아직 일반적으로 받아들여지지 않은 견 해〉, 146) 그리고 될 수 있는 한 당신의 뿌리 깊은 소박한 몇 가지 아이디어와 모 순되는 견해를 뜻하신다면, 염려하지 마십시오. 당신은 단지 당신의 소박한 아 이디어를 역설적 아이디어로 바꾸기만 하면 됩니다. 이는 역설을 〈푸는〉 방법일 수도 있습니다. 그러나 당신은 저의 어떤 특별한 견해를 염두에 두고 계신지 요?
146) Hobbes [1656], Bishop의 대답, No. xxi 에 대한 비평.
Sigma ; 당신도 기억하실태지만, 우리는 어떤 별 다면체는 오일러 성질을 갖 는 반면에 어떤 다른 별 다면체는 그렇지 않다는 것을 알았습니다. 우리는 보 통 다면체와 별 다면체 모두의 오일러 성질을 설명하기에 충분히 뿌리 깊은 증 명을 찾고 있었습니다……. Epsilon ; 제가 그것을 찾았습니다. 147) Sigma ; 저도 압니다. 그러나 단지 논의를 위해, 그러한 증명이 전혀 없다고 상상해 봅시다. 그러나 누군가가 <보통〉 오일러 다면체에 대한 코시 증명에 더 하여, 그와 대응되는 그러나 전혀 다른 오일러 별 다면체에 대한 증명을 제시 했다고 상싱해 봅시다. 그러면 Pi 군, 당신은 이 서로 다른 두 가지 증명 때문 에, 우리가 이전에 하나로 분류한 것을 둘로 쪼갤 것을 제안하시겠습니까? 그
147) 위 p. 106, 편집자 주를 보아라.
리고, 단지 누군가가 그것들의 몇 가지 성질에 대한 공통되는 설명을 찾았다고 해서 완전히 다른 두 가지 것을 한 이름 아래 통합하시겠습니까? Pi ; 물론 그러고말고요. 저는 확실히 고래를 물고기라고, 라디오를 소음 상자라고(원주민들이 하듯이) 부르지는 않을 것입니다. 그리고, 저는 물리학자가 유리를 액체 라고 말할 때 당황하지 않습니다. 진실로 발전은 소박한 분류를 이론적 분류, 곧 이론-생성(증명-생성, 혹은 당신이 원하신다면, 설명-생성)분류로 대치합니다. 추측과 개념 모두는 증명과 반박이라는 연옥을 통과해야만합니다. 소박한 추측과 소박한 개념은 증명과 반박의 방법에서 성장한 개선된추측(정리)과 개념 (증명 - 생성, 곧 이론적인 개념)으로 대체됩니다. 그리고이론적 아이디어와 개념이 소박한 아이디어와 개념을 대치할 때, 이론적 언어는 소박한 언어를 대치합니다. 148)
148) 다면체의 비교적 소박한 분류로부터 고도로 이론적인 분류로의 점진적인 변화를 추적해 보는 것은 홍미롭다. 단순 다면체만을 포함하지 않는 첫번째의 소박한 분류는 곧, 공동 cavities 과 터널 및 <내부 다각형 inner polygons>의 수에 따른 분류는 Lhuilier 로부터 연 유한다 (p. 89, 주 74)를 보아라) . (a) 공동. Euler 의 첫번째 증명과, 첨언하면, Lhuilier 자신의 증명 ([1812-13a], pp. 174-7)은 그 귀퉁이를 하나씩 잘라내거나 내부의 하나나 그 이상의 접으로부터 각뿔로 분 해하는 입체의 분할에 바탕을 두고 있다. Cauchy 의 중명 아이디어는 그러나―-Lhuilier 는 그에 대하여 알고 있지 않았다-다면체 표면의 분할에 바탕을 두었다. 다면체 면에 대한 이론이 결국 다면체 이론을 대신하게 되었을 때, 공동은 홍미가 없게 되었다. <한 개 의 공동가 있는 다면체>는 여러 다면체의 한 전체 집합으로 바뀐다. 따라서, 우리의 낡은 괴물 배제 정의 2 (p.38)는 증명 -생성된 이론적 정의가 되었으며 〈공동>이란 분류 개념은 성장의 주류로부터 사라졌다. (b) 터널; 이미 Listing 이 개념의 불만족스러움을 지적해 주었다(p. 89, 주 74)를 보아 라) . 대체 조작은 Carnap 학파의 사람들이 기대하고 싶어지듯이 터널에 대한 <막연한〉 개 념의 어떤 〈설명>에서 비롯되지 않고, 터널이 있는 다면체의 Euler 표수에 대한 Lhuilier 의 소박한 추측을 증명하고 반박하고자 하는 데에서 비롯되었다. 이러한 발전 과정에서 n 개의 터널이 있는 다면체의 개념은 사라지고 증명 -생성된 여중 연결성 multiply-connectedness> (우리가 ‘n중 장구상성 n-spheroidness’이라고 부른 것)이 그 위치를 차지하였다. 어떤 논 문에서는 새로운 증명 -생성 개념에 대해 소박한 용어가 계속해서 사용되었음을 알 수 있 다. Hoppe는 <터널>의 수를 다면체를 연결되게 남겨 놓는 절단의 수로 정의한다([1879], p.102). Ernst Steinitz의 경우는터널의 개념은 이미 매우 이론-주입이 되어 터널의 수에
따른 Lhuilier 의 소박한 분류와 다중 연결성에 따른 중명 -생성 분류 사이의 어떤 〈본질적 인 차이>도 발견 .할 수 없다. 따라서 그는 Lhuilier 의 분류에 대한 Listing 의 비판을 <대체 로 정당화되지 않은〉 것으로 간주한다([1914-31], p. 22) . (c) <내부 다각형〉. 이 소박한 개념 또한 처음에는 반지꼴 면으로 그 다음에 다중 연결면 으로 대치되었다(또한 p. 126 ,주 124 를 참조하여라. ‘반지꼴 면은 대부 다각형 '의 설명은 확실히 아니므로 대치된 것이지 ‘설명'된 것은 아니다) . 그러나, 다면체 표면에 대한 이론 이 한편으로는 표면에 대한 위상 수학으로, 그리고 다른 한편으로는 그래프 이론으로 대체 되었을 때, 다중 연결 면이 다면체의 Euler 표수에 어떻게 영향을 미쳤는가 하는 문제는 완 전히 그 흥미를 잃었다. 따라서, 처음의 소박한 분류의 세 가지 주요 개념 가운데 하나만이 <남았다〉. 그리고, 그 것도 거의 인식할 수 없는 형태로 되었다. 일반화된 Eule r공식조차 우선 V-E+F= 2 -2n으로 바뀌었다(그 이상의 전개에 대해서는 p. 140, 주 143)을 참조하여라) .
Omega ; 결국 우리는 소박하고 우연적이며 단지 명목상인 분류로부터 최종 적이고 참이며 실제적인 분류, 완전한 언어에 이를 것입니다. 149)
I49) 소박한 분류에 관한 한 유명론자들은 다면체가 공동으로 가지고 있는 유일한 것이 그들의 명칭이라고 주장할 때 진실에 가까이 있다. 그러나 몇 세기의 증명과 반박을 거친 후, 다면 체의 이론이 발달하고 이론적 분류가 소박한분류를 대신하면서 균형은 현실주의자에게 유 리하게 변한다. 보편의 문제는 지식이 성장하면서 언어가 변한다는 사실의 관점에서 재고되 어야한다.
(c) 논리적 반박과 발견적 반박의 재고 Pi ; 연역적 추정과 관련해서 제기된 몇 가지 문제를 다시 다루어 봅시다. 먼 저 Alpha 군과 Theta 군 사이의 토론에서 제기되었던 대로 발견적 반례 대 논 리적 반례의 문제를 생각해 봅시다. 제가 생각하기로는 저의 설명이 소위 〈논리적〉 반례조차도 발견적이라는 것을 보였습니다. 본래 의도된 해석에서는, (a) 모든 다면체는 오일러 성질을 갖는 다와 (b) 사진틀은 오일러 성질을 갖지 않는다라는 것 사이에는 전혀 모순이 없습니다. 만약 우리가 우리의 본래의 언어의 묵시적인 의미론적 규칙을 고수한다면 우 리의 반례는 반례가 아닙니다. 그것들은 개념 확장에 의해 언어의 규칙을 바꿈
으로써 바로소 논리적 반례로 전환됩니다. Gamma ; 당신은 모든 흥미 있는 반박은 발견적이라는 것을 뜻하십니까? Pi ; 틀림없이 그렇습니다. 당신은 한편으로는 반박과 증명을, 다른 한편으로 는 반박과 개념적, 분류학적, 언어적 틀의 변화를 분리할 수 없습니다. 보통 〈반례〉가 제시될 때, 다음 중 어느 하나를 선택합니다. 곧, 당신의 주어진 언어L1 에서는 그것이 전혀 반례가 아니기 때문에 , 그 반례에 대하여 걱정하려 하 지 않거나, 또는 개념 확정에 의해 당신의 언어를 바꾸어 당신의 새로운 언어 L2로 그 반례를 받아들이는 데 동의하거나·… ... Zeta ; ……그리고, 그것을 L3 로 설명하는 데 동의하고 ! Pi ; 전통적인 정적인 합리성에 따라 당신은 첫번째 선택을 해야 할 것입니 다. 과학은 두번째 선택을 하라고 가르칩니다. Gamma ; 곧, 우리는 L1 에서 모순이 없는 두 명제를 얻을 수도 있지만, 우 리는 그들이 서로 모순이 되는 L2 로 바꿉니다. 혹은 L1 에서 모순이 되는 두 명제를 얻을 수 있지만 그들이 서로 모순이 되지 않는 L2로 바핍니다. 지식이 성장함에 따라 언어는 변화합니다. 〈모든 창조의 기간은 동시에 언어가 변하는 기간입니다〉. 150) 지식의 성장은 주어진 어떠한 언어로도 그 형을 만들 수가 없 습니다.
150) Felix [1957], p.10. 논리실증주의지들에 따르면 철학의 유일한 과제는 과학의 인공적으로 응결된 상태를 표현하는 〈형식화된〉 언어를 구성하는 것이다(위의 p.18, Carnap 의 인용문 을 보아라) . 그러나 그러한 연구는 과학의 빠른 성장이 낡은 〈언어 체계>를 버리기 전에는 거의 시작되지 않는다. 과학은 그것이 어떤 개념적인 감옥으로 들어가지 않도록 주어진 어 떠한 개념적 언어적 골격을 존경하지 말라고 가르친다. 언어 분석지들은 그들의 언어학적 치료법을 정당화하기 위하여, 곧 그들이 과학으로의 매우 중요한 피드백과 과학을 위한 가 치를 가지고 있으며 〈아주 말라 붙은 작은 덤불〉(Einstein [1953]）로 퇴화되지 않는다는 것 을 보이기 위하여, 이러한 과정을 적어도 늦추는 데 기득권을 갖고 있다. 논리 실증주의에 대한유사한비판이 Popper에 의해서 이루어졌다. 그의 [1959],p.128,주 연을보아라.
Pi ; 옳습니다. 발견술은 언어 동역학과 관련되는 반면, 논리는 언어 정역학 과 관련됩니다.
(d) 이론적 개념 확장 대 소박한 개념 확장. 연속적 성장 대 비판적 성장 Gamma ; 당신은 연역적 추측이 우리에게 지식 성장에 대한 연속적 패턴을 제공하는가 어떤가 하는 문제로 되돌아 오기로 약속했습니다.Pi ; 우선 이 발견적 패턴이 취할 수 있는 많은 역사적 형태 중 몇 개를 간단히 기술해 봅시다. 첫번째 주요한 패던은 소박한 개념 확장이 이론을 훨씬 능가하고 반례들의 엄청난 혼돈을 야기할 경우입니다. 우리의 소박한 개념은 느슨해지지만 어떠한 이론적 개념도 그것을 대체하지 못합니다. 이런 경우에 연역적 추측이-점 진적으로-반례들의 축적 더미를 뒤쫓아 잡을 수 있습니다. 이는 당신이 좋 아하신다면, 연속적인 〈일반화〉 패턴입니다－그러나 그것은 반박으로 시작하 며, 그 연속성은 첫번째의 해석의 발견적 반박에 대한 성장하는 이론에 의한 점진적인 설명이라는 것을 잊지 마십시오. Gamma ; 곧, 〈연속적인〉 성장은 단지 반박이 수마일 앞에 있다는 것을 지적 해줄뿐이군요! Pi ; 그렇습니다. 그러나 소박한 개념에 대한 각각의 단일한 반박이나 확장에, 반례를 설명해 주는 이론(및 이론적 개념)의 확장이 곧바로 뒤따르는 일이일어날 수도 있습니다. <연속성>은 그러면 개념 확장 반박과 훨씬 더 강력한 이론,소박한 개념 확장과 설명적인 이론적 개념 확장의 흥미진진한 교대에 자리룰 내어줍니다. Sigma ; 같은 발견적 주제에 관한 두 가지 역사적 변종이군요 !Pi ; 그런데 실제로 그들 사이에는 많은 차이가 없습니다. 두 가지 모두에서, 이론의 힘은 그것의 성장 과정에서 그 반박을 설명하는 그 능력에 있습니다. 그러나 연역적 추측의 두번째 주요 패턴이 있습니다……. Sigma ; 여전히 또 다른 우연한 변종인가요 ?Pi ; 당신이 좋아하신다면 그렇습니다. 그러나 이 변종에서는 성장하는 이론은 그 반박을 설명할 뿐만 아니라 생산해 냅니다.Sigma ; 뭐라고요 ?
Pi ; 이러한 경우에 이론적인 성장은 소박한 개념 확장을 따라 잡습니다그리고 실제로는 그것을 제거합니다. 예를 들면, 말하자면 단 하나의 반례의 조짐도 보이지 않는 코시 정리로 출발합니다. 그리고 나서 다면체를 둘로 자르 거나, 피라밋 모양으로 구석을 잘라내거나, 구부리거나 비틀거나, 부풀게 하거 나 등등 모든 가능한 방법으로 다면체를 변형시킴으로써 정리를 검사합니다. 이러한 검사 아이디어 중 몇 가지는 증명 아이디어에 이르게 될 것입니다. 151)
151) Polya 는 <단순한〉 검사와 <엄격한〉 검사를 구분하고 있다. 〈엄격한〉 검사는 〈증명의 첫 힌 트>를 줄 수도 있다(〔1954],vol. 1,pp. 34-40).
(참이라고 알려진 어떤 것에 도달한 다음 되돌아감으로써, 다시 말해 파푸스Pappus 의 분석 -종합 패턴을 따름으로써)． 그러나-Zeta군의 〈이중-접합 검사 double-pasting test>같은-어떤 검사 아이디어는 우리들이 이미 알고 있는어떤 것에 되돌아가게 하는 것이 아니라-소박한 개념을 확장해서가 아니라 이론적 틀을 확장함으로써, 진정으로 참신한 것에, 검사된 명제의 어떤 발견적반박에 이르게 할 것입니다. 이러한 종류의 반박은 자명합니다. Iota ; 참 변증법적이군요 ! 검사는 증명으로 바뀌고 반례는 바로 그 구성 방 법에 의해 예가 되고…. .Pi ; 그것이 왜 변증법적인가요 ? 한 명제의 검사는 또 다른 더 깊은 명제의증명으로 바뀌고, 첫번째 명제의 반례는 두번째 명제의 예로 바핍니다. 왜 혼 란을 변증법이라고 부르십니까? 그러나 제가 말하고자 하였던 요점으로 되돌 아가게 해주십시오. 연역적 추측에 대한 저의 두번째 주요 패턴은 __ Alpha 가 그랬던 것처럼-지식의 연속적 성장으로 간주될 수 있을 것으로 생각하 지 않습니다. Alpha ; 물론 간주될 수 있습니다. 하나의 증명 아이디어를 근본적으로 다른 보다 더 깊은 증명 아이디어로 대체시키는 Omega 군의 아이디어와 우리의 방 법을 비교해 보십시오. 두 방법 모두 내용을 증가시키지만, Omega군의 방법 에서는 좁은 영역에서 적용할 수 있는 증명의 조작을 더 넓은 영역에서 적용할 수 있는 조작으로 대체시킵니다. 곧, Omega 군의 방법에서는 보다 더 근본적 으로, 전체 증명을 더 넓은 영역에서 적용할 수 있는 것으로 대체시키는 반면,
연역적 추측은 그 적용성을 넓히는 조작을 더 추가시킴으로써 주어진 증명을 확장시킵니다. 이것은 바로 연속성이 아닌가요? Sigma ; 옳습니다 ! 우리는 정리로부터 더 넓어지는 정리의 연쇄를 연역해 냅니다 ! 특별한 경우로부터 더욱 일반적인 경우로 ! 연역에 의한 일반화입니 다 152) Pi;그러나 당신이 내용의 어떠한 증가도, 어떠한 더 깊은 증명도 이전의 더 빈약한 정리에 대한 발견적 반박을 뒤따르거나 그것을 생성해 낸다는 것을 일 단 인식하면, 반례는 충만합니다…….
152) 비형식적인 논리학에는, 일반적인 경우가 특별한 경우와 논리적으로 동치일 수 있다는 사 실, 수학에서는 매우 흔하며, 초보자에게 혹은 자신을 고등 철학자로 간주하는 철학자에게 매우 놀라운 그러한 사실에 잘못된 것은 아무것도 없다. Polya [1914],vol. 1,p.17, 또한 Poincare [1902],pp.31-3을 참조하여라.
Alpha ; Theta군은 발견적 반례를 포괄하도록 〈반례>를 확장했습니다. 이제 당신은 결코 실제로 존재하지 않는 발견적 반례를 포괄하도록 반례를 확장했습 니다. 당신의 〈두번째 패턴〉이 반례로 가득 찼다는 당신의 주장은 반례의 개념 을, 그것의 발견이 그 설명과 일치하는, 수명이 0시간인 반례로 확장한 데 근 거하고 있군요 ! 그러나 왜 통합된 이론적 툴내에서 내용울 증가시키기 위한 모든 지적 활동과 모든 투쟁이 〈비판적〉이어야만 합니까? 당신의 독단적인 〈바 판적 태도>는 문제를 모호하게 하고 있습니다 ! 교사 ; 당신과 Pi 군 사이의 문제는 확실히 모호합니다. 왜냐하면, 당신의 〈연 속적인 성장〉과 Pi 군의 〈비판적 성장>은 완전히 일치하기 때문입니다. 저는 연 역적 추측 혹은 〈연속적인 비판〉의 한계에 보다 더 흥미를 느낍니다, 만약 그런 것이 있다고하면. (e) 내용 증가의 한계. 이론적 반박 대 소박한 반박 Pi ; 저는 조만간 〈연속적인〉 성장은 이론의 막다른 골목, 포화점에 이르게 되 어 있다고 생각합니다.
Gamma ; 그러나 확실히 저는 항상 몇 가지 개념을 확장할 수가 있습니다 ! Pi ; 물론입니다. 소마한 개념 확장은 계속될 수 있습니다. 그러나 이론적 개 념 확장은 한계가 있습니다 ! 소박한 개념 확장에 의한 반박은 우리를 자극하 여 이론적 개념 확장에 의하여 파악하도록 하는 등에 국한될 뿐입니다. 그래서 두 가지 종류의 반박이 있습니다. 우리는 우연의 일치에 의해 곧 행운에 의해또는 어떤 개념의 확장에 의해 첫번째 종류의 반례와 마주칩니다. 그것들은 기적 같습니다. 그들의 〈변칙적인〉 행동은 설명할 수 없습니다. 우리는 단지 우리가 개념 확장 비판을 받아들이는 데 익숙하기 때문에 그것들을 진실한 반례로받아들입니다. 저는 이들을 소박한 반례 또는 기형이라고 부를 것입니다. 그다음에는 이론적 반례가 있습니다. 이들은 본래 증명 확장에 의해 생성되거나,그렇지 않으면 확장된 증명에 의해 도달되고 설명되며, 그것에 의하여 이론적 반례의 지위에 오른 기형들입니다. 기형들은 커다란 협의를 두고 검토되어야 합니다. 그들은 전실한 반례가 아닐 수도 있지만 만약 명백한 실수가 아니라 면, 전혀 다른 이론의 예가 될 수도 있습니다. Sigma ; 그러나 우리가 곤경에 처하면 어떻게 합니까 ? 우리의 소박한 반례 롤 우리의 원래의 증명을 확장시켜서 이론적인 반례로 바꿀 수 없을 때는요? Pi ; 우리는 우리 이론이 여전히 성장을 위한 어떤 감추어진 수용 능력을 가 지고 있는지 안 가지고 있는지를 재삼재사 음미해 볼 수도 있습니다. 그러나 우리는 가끔 포기해야 할 상당한 이유를 가질 때도 있습니다. 이를테면 Theta 군이 올바로 지적하였듯이 만약 우리의 연역적 추측이 한 꼭지점으로부터 시작 되면 우리는 그것이 꼭지점이 없는 원기둥울 설명해 주리라고 기대할 수 없다 는 것은 아주 당연합니다. Alpha ; 그래서 결국 원기둥은 괴물이 아니라 기형이군요 !Theta ; 그러나 기형들이 경시되어서는 안 됩니다 ! 그것들은 진정한 반박입니다. 그것들은 연속적인 〈일반화〉의 패턴에 들어맞을 수 없습니다. 그리고 그 것들은 실제로 우리로 하여금 우리의 이론적 틀에 대변혁을 일으키도록 강요할 수도 있습니다……. 153)
153) Cayley [1861]과 Listing [1861]은 다면체 이론의 기본 개념의 확장을 진지하게 고려하
... 였다. Cayley 는 모서리를 한 정접으로부터 그 자신이나 다른 어떤 정점으로의 길)o1라고 정의하였지만, 모서리가 그가 (등고선)이라고 부른 꼭지점이 없는 폐곡선으로 되화되는 것 울 허용하였다(p.426). Listing은 꼭지점이 두 개든 한 개든 없든 모서리에 대해 한 가지 용어 <선>을 사용하였다(p.104). 두 사람 모두 완전히 새로운 이론이 그들의 자유스러운 개념적 틀로 받아들인 <기형>을 설명하기 위해 필요함을 인식하였다. Cayley 는 〈어떤 폐포Close 분할에 관한 이론>을 창안하였고 현대 위상 수학의 위대한 개척자의 한 사람인Listing 은 (공간 복체 Complexes 의 조사>를 창시하였다.
Omega ; 훌륭합니다 ! 연역적 추측의 특별한 연쇄의 상대적 포화접에 도달 할 수도 있습니다. 그러나 그렇게 되면 더 많은 설명적인 힘을 지니는, 혁명적 인 새로운 더 깊은 어떤 증명 아이디어를 발견합니다. 결국 한계가 없고 포화점이 없고 그것을 반박하는 기형이 없는 최종적 증명에 이르게 됩니다 !Pi ; 뭐라고요? 우주의 모든 현상을 설명하는 단 하나의 통합된 이론이라고요? 조만간 우리는 절대 포화점 같은 것에 접근하겠군.Gamma ; 저는 우리가 거기에 도달하건 하지 않건 실제로 상관하지 않습니 다. 만약 한 반례가 증명의 값싸고 하찮은 확장에 의해 설명될 수 있다면 저는 벌써 그것을 기형으로 간주했을 것입니다. 반복하건대, 저는 〈다면체> 공동을 가진 다면체를 포함하도록 일반화하는 요지를 실제로 전혀 모르겠습니다. 공동 울 가진 다면체는 한 다면체가 아니라 다면체의 집합입니다. 저는 또한 〈다중 연결면>에 대해서도 잊어버릴 것입니다. 왜 빠진 대각선을 그리지 않습니까? 쌍둥이 사면체를 포함하는 일반화에 대해서 저는 총을 잡으려고 손을 뻗쳤을 것입니다. 그러한 일반화는 단지 복잡하고 부질없이 허세부리는 공식을 만드는 데에만 도움이 될 뿐입니다. Rho ; 마침내 당신은 저의 괴물 조정법을 재발견하셨습니다. 154) 그것은 당신 에게서 얕은 .일반화를 덜어드립니다. Omega.군은 내용을 〈.깊이.〉라.고 불러서는 안 됩니다. 내용에서의 모든 증가가 또한 깊이에서의 증가는 아닙니다. (6)과 (7)을 생각해 보십시오 ! 155)
I54) 위 pp. 59-62 와 PP. 69-71을 보아라. I55) 상당한 수의 수학자들이 자명한 것을 자명하지 않은 것과 구별하지 못한다. 이는 적절성 에 대한 느낌의 결여가, 가능한 모든 경우를 카버하는 완전히 완벽한 공식을 작성할 수 있
다는환상과동반될 때, 특히어색하다(p.127, 주 125)를참조하여라)．그러한수학자들은 어떤 공식의 〈긍극적인〉 일반화에 대하여 수년 동안 연구하고 그것을 몇 가지 하찮은 수정을 하여 확장하는 것으로 끝날 수도 있다. 뛰어난 수학자인 J. C. Becker 는 한 가지 재미 있는 예를 제시하고 있다. 수년 동안의 연구 후 그는 공식 V-E+F= 4-2n+q 를 만을거 내었 다. 여기서 n 은 다면체의 표면을 V一E+F=1 인 단순 연결인 면으로 분할하는 데 필요한 절단의 수이고, q 는 모든 면을 단순 연결인 면으로 변형시키기 위하여 첨가해야 할 대각선 의 수이다([1869a],p.72). 그는그의 성과를매우자랑하였는데, 이는그가주장한바로 는, 그에 앞서 Descartes, Euler, Cauchy, Gergonne, Legendre, Grunert, von Staudt 와 같은 사람들이 관심을 가졌던 〈주제)oll 〈완전히 새로운 빛>을· 던져 〈종결하기>까지 한 것이었 다(p.65)． 그러나 Lhuilier, Jordan, Listing 세 사람의 이름이 그가 읽은 목록에서 빠졌 다. 그가 Lhuilier 에 대한 이야기를 들었을 때, 그는 Lhuilier 가 50년 이상 이전에 이 모 든 것을 알고 있었다는 것을 받아들이면서 유감스러워 하는 소견을 공표하였다. Jordan 에 대해서는, 그는 반지꼴 면에 관심이 없었지만 경계가 있는 열린 다면체에 관심을 가지게 되 고, 그의 공식에서 경계의 수 m이 n에 덧붙어 자리를 차지하게 되었다(〔1866b),p.86). 그래서 Becker 는-새로운 논문 -〔1869a]에서-Lhuilier 와 Jordan 의 공식을 V-E +F= 2-2n+q+m으로 결합하였다(p.343). 그러나 그는 당황한 나머지 너무 서둘러서 Listing의 긴 논문을 소화하지 못하였다. 그래서 그는 유감스럽게도 그의 [1869비에서
Alpha ; 그래서 당신은 제가 열거한 것의 (5) 에서 멈추실 건가요 ? Gamma ; 그렇습니다 (6)과 (7)은 성장이 아니라 퇴보입니다 ! (6)과 (7)로 계속 나아가는 대신 저는 도리어 어떤 흥분을 일으키는 새로운 반례를 찾아서 설명하기로 하겠습니다. 156)Alpha ; 결국 당신이 옳을 것입니다. 그러나 어디서 멈추는지 누가 결정합니까? 깊이란 단지 취향의 문제일 뿐입니다. Gamma ; 왜 문학 비평가가 있듯이 공개적 비판에 의해 수학적 취향을 개발 하기 위하여 수학적 바평가를 두지 않습니까? 우리는 수학 문헌에서 허세부리
156) 어떤 사람들은 반박에서의 수익체감의 법칙에 대한 속물적인 아이디어를 품을 수도 있다. Gamma 로서는 확실히 그렇지 않다. 지금 우리는 단측 다면체 (Mobius, 〔1865]나 급 n차원 다면체 (Schlofli, 〔1852]에 대하여 는의하지 않을 것이다. 이것들은 전혀 기대하지 않은 개념 확장 반박이 항상 전체적인 이론에 새로운――아마도 혁명적인-위기를 줄 수도있다는 Gamma 의 기대를 확인해 줄 것이다.
는 하찮은 것들의 풍조를 막을 수도 있을 텐데요. 157)
157) Polya 는 얕고 값싼 일반화는 〈이전보다 오늘날 보다 더 유행할 수 있음을 지적한다. 그러 나 일반화는 작은 아이디어를 큰 용어로 회석시킨다. 저자는 보통 다른 누군가로부터 나온 그 작은 아이디어를 택하길 좋아 하고, 어떤 독창적인 관찰을 추가하기를 삼가며, 그 자신 의 용어의 곤란으로 야기되는 몇 가지 문제를 제의하고는 어떤 문제도 풀기를 피한다. 예를 인용하기는 매우 쉽겠지만, 나는 사람들의 반감을 사기를 원하지 않는다〉([1954],vol. 1, p. 30). 금세기의 가장 위대한 수학자들 가운데 한 사람인 John von Neurnann 도 이러한 여 보의 위험)에 대하여 경고하였지만 <만일 학문이 예의적으로 잘 개발된 취향을 가진 사람들 의 영향하게 있다편〉 그렇게 나쁘지 않을 것이라고 생각하였다(〔1947],p. 196). 그러나 〈예의적으로 잘 개발된 취향을 가진 사람들의 영향>이〈공표하라 그렇지 않으면 사멸한다>는이 시대에 수학을 구하기에 충분할 것인지 어떤지 염려된다.
Sigma ; 만약 당신이 (5) 에서 멈추어 다면체의 이론을 n 개의 손잡이가 있는 삼각분할한 구의 이론으로 바꾼다면, 필요가 생길 때 (6)과 (7)에서 설명된 것 같은 하찮은 변칙을 어떻게 다루시겠습니까? Mu ; 어린애 장난이군요 ! Theta ; 맞아요. 그러면 우리는 (5)에서 참시 멈추기로 합니다. 그러나 어떻 게 멈출 수 있습니까 ? 개념 확장은 (5)를 반박할지도 모룹니다 ! 우리는 만약 개념 확장이 우리 정리 내용의 빈곤을 드러내는 반례를 만들어 낸다면, 개념의 확장을 무시할 수도 있습니다. 그러나 만약 확장이 그것의 평범한 허위성을 드 러내는 반례를 만들어 낸다면, 그땐어떻게 합니까? 우리는 기형을 설명하는데 우리의 내용 중가 규칙 4 또는 규칙 5 를 적용하기를 거부할 수도 있습니다.그러나 우리는 기형에 의한 반박을 피하기 위하여 우리의 내용 보존 규칙 2 를적용해야만합니다. Gamma ; 바로 그것입니다 ! 우리는 값싼 〈일반화>를 기각할 수 있습니다만,〈값싼〉 반박을 기각할 수는 거의 없습니다.Sigma ; 왜 각 기형에 대해 새로운 조항을 추가하여 , 〈다면체〉의 괴물 배제 정의를 만들지 않습니까? Theta ; 어느 경우든 우리의 오래된 악몽, 사악한 무한이 다시 찾아옵니다. Alpha ; 당신이 내용을 증가시키는 동안 당신은 아이디어를 발전시키고 수학
울 합니다. 그 후에 당신은 개념을 분명히 하고, 언어학을 합니다. 왜 내용을 증가시키는 것을 멈출 때 아주 멈추지 않습니까? 왜 사악한 무한의 덫에 걸려 드는것입니까? Mu ; 또다시 수학 대 언어학이 아닌지요 ! 지식은 그러한 논쟁으로부터는 결 코 이득을 얻을 수 없습니다. Gamma ; 〈결코 ……이 아니다〉라는 말이 곧 〈곧 ……이다〉로 바뀔 것입니 다. 저는 우리의 오래된 토론을 다시 시작하기를 몹시 바라고 있습니다. Mu ; 그러나 우리는 이미 결국 막다른 골목에 도달하였습니다 ! 아니면, 누 군가 말씀하실 새로운 어떤 것을 갖고 있으십니까? Kappa ; 생각해 보니 제가 할 이야기가 있는데요. 9 비판은 어떻게 수학적 진을 논리적 진으로 전환시킬 수 있는가 (a) 무제한의 개념 확장은 의미와 진리를 파괴한다 Kappa ; Alpha 군은 우리가 사용하던 〈종래의 방법〉이 사악한 무한에 이르게 한디는 것을 이미 밀씀하셨습니다. 158) Gamma 군과 Lambda 군은 계속되는 반 박이 점차 소멸되어 갈 것이라고 희망적으로 대답하였습니다. 159) 그러나, 반박 의 성공하는 기법-개념 확장—을 이해한 이상 우리는 그들의 희망이 헛 된 희망이었다는 것을 알고 있습니다. 어떤 명제에 대해서든지 그 명제가 참임 이 드러나도록 항상 그 용어를 충분히 좁은 의미로 해석할 수 있으며, 그것이 거짓임이 드러나도록 충분히 넓은 의미로 해석할 수 있습니다. 어떤 해석이 의도되고 어떤 해석이 의도되지 않는지는 물론 우리의 의도에 달려 있습니다. 첫 번째 해석은 독단주의자, 검증주의자 혹은 정당화주의자의 해석이라고 불릴 수
158) 위 pp.90-1을보아라. 159) 위 같은 곳을 보아라.
있으며, 두번째 해석은 회의주의적, 비판적혹은 반박주의자의 해석이라고 불릴 수 있습니다. Alpha 군은 첫번째 해석을 규약주의자의 책략이라고 불렀는데 이제보니 두번째 해석도 마찬가지 입니다. 160) 여러분 모두가 소박한 추측에 대 한 Delta 군의 독단주의자식 해석을 비웃었으며, 161) 그 다음에 정리에 대한 Alpha 군의 독단주의자식 해석을 비웃었습니다. 162) 그러나 개념 확장은 어떤 명제든 반박할 것이며, 그 어떤 참인 명제도 남겨 놓지 않을 것입니다.
160) Alpha는실제로 이러한 Popper의 용어를명백하게 사용하지는 않았다. 위 p.47을보아라. 161) 위 § 4 (b)를보아라. 162) 위 § 5를 보아라.
Gamma ; 기다리십시오. 우리는 〈다면체>를 확장시켰습니다. 그 다음에 그것 울 뿌리째 뽑아 내던져 버렸습니다. Pi군이 지적하였듯이 〈다면체〉란 소박한 개념은 더 이상 그 정리 가운데 나타나 있지 않습니다. Kappa ; 그러나 당신은 그러면 정리 속의 용어―이론적인 용어의 확장을 시작하고자 하시는군요. 그렇지 않습니까? 당신 자신이 원기둥의 원과 옆면이 포함되도록 〈단순 연결인 면 simply-connected face>을 확장하는 쪽을 선택하셨 습니다. 163) 당신은 비판에 몸을 내맡기고 반박 가능성이란 훌륭한 위치를 확보 하는, 곧 반박주의자식 해석이 가능하게 하는 것은 지적인 정직성의 문제임을 의미하셨습니다. 그러나 개념 확장 때문에 반박 가능성은 반박을 뜻합니다. 따 라서 당신은 각 정리를 반박하고, 그것을 좀더 엄밀한 것으로—그 오류가아직 〈드러나지〉 않은 것으로. ! -대치하는, 끝없는 경사면으로 미끄러져 들어가게 됩니다. 그러나, 당신은 결코 오류를 면할 수 없을 것입니다.
163) 위 pp. 75-80을보아라.
Sigma ; 만일 우리가 어떤 지점에서 멈추고 정당화주의자의 해석을 택하여, 진리나 그 진리를 표현하고 있는 특수한 언어적 형태로부터 몸을 움직이지 않 는다면 어떻게 됩니까? Kappa ; 그러면 당신은 괴물 배제 정의로 개념 확장 반례를 피해야 할 것입 니다. 따라서 당신은 또 다른 끝없는 경사면으로 미끄러져 들어갈 것입니다. 당신은 충분히 정확하지 않은 참인 정리의 각 〈특정한 언어적 형식>을 받아들이
도록 강요받을 것이며, 모호함이 아직 <드러나지〉 않은 용어로 표현된 점점 더<엄밀한> 정의를 그 가운데 합체하도록 강요받을 것입니다 ! 그러나 결코 당신은 모호함을 면하지 못합니다. *
* 편집자 주＿모호함을 피할 수 없다는 Kappa 의 주장은 옳다(몇 가지 용어는 소박한 상 태일 수밖에 없다 ) .그러나, 이것이 <개념 확장>에 의해 항상 반례를 산출할 수 있다는 것 을 뜻한다고 생각한 것은 잘못이다. 정의에 따르면, 타당한 증명이란 설명하는 용어를 어떻게 해석하건 반례를 산출하지 않는 증명이다. 곧 그 타당성은 설명하는 용어의 의미에좌우되지 않으며, 따라서 설명하는 그 용어는 누가 아무리 좋아하더라도 확장될 수 있다. 이는 Lakatos 자산에 의해 아래 p.159와 (보다 더 분명하게 ) 제 2 장 p.188 에서 지적되고 있다.
Theta(옆에서) ; 성장을 위해 모호함이라는 대가가 치루어지는 발견술에서 잘못된 것은 무엇입니까? Alpha ; 제가 당신에게 말씀드렸듯이 정확한 개념, 혼들 수 없는 진리는 언 어 속에 머무는 것이 아니라 사고 속에만 머물 뿐입니다. Gamma ; 제가 당신에게 도전하게 해 주십시오, Kappa 군. 우리가 원기둥을 고려한 후에도 정리를 그 상태대로 받아들입시다. 곧, 〈면의 모서리가 꼭지점 에서 끝나는 단순 연결면을 갖는 모든 단순 대상에 대하여 , V-E+F= 2>.이 것을 개념 확장 방법으로 어떻게 반박하시겠습니까? Kappa ; 먼저 저는 정의하는 용어들로 돌아가 전체 명제를 생략하지 않고 하 나하나 판독한 다음에 어떤 개념이 확장되어야 할지 결정합니다. 예를 들어, 〈단순〉이란 〈한 면을 없앤 뒤에 평면 위에 늘여 펼칠 수 있음>을 의미합니다. 저는 〈늘이기>를 확장할 것입니다. 이미 논의된 공통 모서리를 갖는 쌍둥이 사면체를 택해 봅시다(그림 6(a)). 그것은 단순이고 그 면은 단순 연결이지만 V -E+F=3 입니다. 따라서 우리의 정리는 거짓입니다. Gamma ; 그러나 이 쌍녕이 사면체는 단순이 아닙니다 ! Kappa ; 물론 그것은 단순입니다. 어떤 면이든 없애고 평면 위에 펼쳐 놓을 수 있습니다. 중요한 모서리에 이를 때, 그 모서리를 따라 두번째 사면체를 열 때 거기에서 어떤 것도 찢지 않도록 주의하기만 하면 됩니다. Gamma ; 그러나 그것은 〈늘이기〉가 아닙니다 ! 당신은 그 모서리를 두 개의
모서리로 찢는 것입니다. 아니 쪼개는 것입니다. 당신은 확실히 한 점을 두 점으로 사상시킬 수 없습니다 ! 늘이기는 양쪽으로 연속인 bicontinuous 일 대 일사상입니다. Kappa ; 정의 7 ? 〈늘이기>에 대한 이러한 좁은 독단주의자식 해석이 저의상식에 호소력이 없을까 걱정입니다. 예를 들면, 저는 정사각형 (그림 24(a))을 경계선을 늘여 두 개의 포개어 끼워진 정사각형(그림 24(b)）으로 늘이는 것을 상상할 수 있습니다. 당신은 이 늘이기를 단지 그것이 〈양쪽으로 연속인 일 대 일 사상〉이 아니라고 해서 찢기나 쪼개기라고 부를-수 있습니까? 그런데, 의 아하게 생각됩니다만 당신은 왜 늘이기를 V, E, F 가 변하지 않게 하는 변환으 로 정의하고 그것에서 손을 떼지 않으셨는지요? Gamma ; 옳습니다. 당신이 다시 이겼습니다. 〈늘이기세 대한 당신의 반박 주의적인 해석에 동의해서 저의 중명을 확장시키거나, 또는 더 깊은 증명을 발 견하거나, 한 보조 정리를 합체해야 합니다. 아니면, 새로운 괴물 배제 정의를 도입해야 합니다. 그러나, 어떤 경우에서든지 저는 항상 정의하는 용어들을 더 욱 더 분명하게 만들 것입니다. 2+2=4와 갇은 경우처럼, 왜 저는 용어의 의 미가 아주 수정감이 맑아 단 하나의 해석만이 가능한 지점에 도달할 수 없는 것인가요? 이런 용어들의 의미에 대해 더 이상 융통성은 없으며, 이 명제의 진실성은 반박의 여지가 없으며 영원토록 이성의 자연스러운. 빛 가운데 빛날 뿐입니다. Kappa ; 희미한 빛이지요 ! Gamma ; 할 수 있으시다면 확장하여 해석해 보십시오.
Kappa ; 그러나 이것은 애들의 장난입니다 ! 어떤 경우에는 2+2=5 가 되기 도 합니다. 각각 무게가 2 파운드인 두 개의 물건을 배달할 때 , 무게 1 파운드 인 상자 속에 넣어서 배달한다고 상상해 보십시오. 그러면 이 꾸러미에서는 2 파운드와 2 파운드는 5 파운드가 될 것입니다 ! Gamma ; 그러나 세 가지 무게 2, 2, 1 을 더하여 5 파운드가 됩니다. Kappa ; 사실입니다. 우리가 사용한 <2와 2 는 5 이다>라는 조작은 원래 의 도된 의미의 덧셈이 아닙니다. 그러나 우리는 덧셈의 의미를 간단히 확장시킴 으로써 그 결과가 참이 되도록 할 수 있습니다. 소박한 덧셈은 포장의 재료의 무게가 0인 꾸러미인, 아주 특별한 경우입니다. 우리는 이 보조. 정리를 조건 으로서 추측 속에 짜 넣어야 합니다. 개선된 추측은 〈무중력〉의 덧셈에서는 <2 +2=4〉가 될 것입니다. 164) 대수의 전체적인 이야기는 일련의 그러한 개념 확 장과 증명 확장입니다
164) Felix [1957],p. 9를 참조하여라.
Gamma ; 저는 당신이 〈확장>을 조금 지나치게 사용하였다고 생각합니다. 다 음에 당신은 〈풀러스>를· 〈곱〉으로 해석할 것이고 그것을 반박이라고 생각할 것 입니다 ! 아니면 당신은 <모든 다면체는 다면체이다>에서 〈모든 all>을·〈어떤 … …도 아니다 no>라고 해석할 것입니다. ! 당신은 개념확장의 개념을 확장시키고 있습니다 ! 우리는 합리적인· 확장에 의한 반박과 비합리적인 확장에 의한반박을 구별해야만 합니다. 우리는 바로 당신이 하고 싶은 대로 당신이 좋아하 는 어떤 용어든 확장하도록 허용할 수는 없습니다. 우리는 수정같이 맑은 용어로 반례의 개념을 못박아 놓아야 합니다 ! Delta ; Gamma 군조차 괴물 배제자로 전향하였습니다 ! 이제 그는 개념 확 장 반박에 대한 괴물 배제를 원하고 있습니다. 결국, 합리성은 신축성 없는 정확한 개념에 의존하는군요!. 165) Kappa ; 그러나 그러한 어떤 개념도 존재하지 않습니다 ! 의미하는 바를 상술할 능력이 전혀 없고, 따라서 증명할 능력이 전혀 없다는 것을 왜 받아들이
I65) <반례>의 수정같이 맑은 정의에 대한 Gamma 군의 요구는 합리적인 토의의 한 조건으로서 의 언어 분석용 언어에서의 수정같이 맑은 융통성 없는 개념을 요구하기에 이른다.
지 않습니까? 만일 당신이 수학이 의미있게 되기를 원한다면, 당신은 확실성 을 단념해야만 합니다. 만일 확실성을 원하신다면 의미를 제거하십시오. 당신 은 양쪽 다 가질 수 없습니다. 횡설수설하는 것은 반박으로부터 안전하고, 의미있는 명제는 개념 확장에 의해 반박될 수 있습니다.Gamma ; 그러면 당신의 마지막 명제 역시 반박될 수 있으며, 당신도 그것을 알고 계십니다. 〈회의론자들은 그들이 말한 바를 확신하고 있는 사람들의 분파가 아니라, 거짓말쟁이들의 분파입니다〉. 166)
166) Amauld 와 Nicole [1724], pp. xx-xxi.
Kappa ; 욕입니다. 욕은 이성의 마지막 수단입니다 ! (b) 완화된 개념 확장은 수학적 진을 논리적 진으로 전환시킬 수도 있다 Theta ; 저는 비합리적인 개념 확장을 합리적인 것과 구별할 필요가 있다는 Gamma군의 주장이 옳다고 생각합니다. 왜냐하면 개념 확장은 오랜 경로를 거쳐 왔으며 온화하고 합리적인 활동에서부터 급진적이고 비합리적인 활동으로 변하였기 때문입니다.본래 비판은 한 가지 특별한 개념을 약간 확장하는 것에만 집중됩니다. 확장은 사소힘에 틀림없으며 따라서 그것을 알아채지 못합니다. 그 실제적인_ 확장되는—특성이 발견된다고 하더라도 합법적인 비판으로 받아들여지지 못 할 것입니다. 그것은 좀 덜 복잡한 전칭 명제 〈모든 A 는 B 이다〉의 경우에서와 같이, 한 가지 특별한 개념에 집중됩니다. 그러면, 비판은 B( 우리의 경우오일러 성질을 갖는)가 아닌 약간 확장된 A( 우리의 경우 다면체)를 찾는다는것을의미합니다. 그러나, Kappa 군은 두 방향에서 이것을 또렷하게 하였습니다. 첫째는, 명제의 하나 이상의 구성 요소를 개념 확장 비판의 공격에 맡기는 것입니다. 둘째는, 〈모든>을 〈어떤 ……도 아니다〉로 변형시키는 것과 같이, 은밀하고 좀 조 심스러운 활동을 개념의 공공연한 변형으로 개념 확장을 전환시키는 것입니다.여기서는 정리를 거짓으로 만들어 버린다고 공격받고 있는 용어의 모든 의미
있는 해석은 반박으로 받아들여 집니다. 저는 만일 한 명제가 그 구성요소에 a,b...에 관하여 반박될 수 없다면 그것은 이들 구성 요소 관하여 논리적으로참이라고 말하겠습니다. 167) 그러한 명제는 그 과정에서 몇 가지 용어의 의미 부가가 나머지 용어와 정리의 형식으로 완전히 전이되는 오랜 비판적 사색 과 정의 최종 산물입니다.
167) 이는 논리적인 진에 대한 Bolzano 의 정의 ([1837], § 147)의 약간 각색된 해석이다. 1830년대에 Bolzano 가 왜 그의 정의를 제시하였는가는, 특히 그의 연구가 19세기 수리 철학에서 가장 위대한 개선 가운데 하나인 모델의 개념을 예상하였기 때문에 어리둥절케 하 는 의문이다.
그런데 Kappa군이 말하는 바는 그 구성이 요소 모두에 관하여 논리적으로 참인 명제가 없다는 것입니다. 그러나 몇 가지 구성 요소에 관해서 논리적으로 참인 명제가 존재할 수 있을 것이고, 따라서 만일 새로운 확장 가능한 구성 요 소가 부가되면 반박의 흐름은 다시 개시될 수 있을 뿐입니다. 만일 우리가 통 째로 처리한다면 불합리주의로 끝나게 됩니다. 그러나 그럴 필요가 없습니다. 그런데 어디에 경계선을 그어야 할까요? 비판의 첫번째의 표적이 되는 현저한 구성 요소의 부분집합에 대해서만 개념 확장을 허용하는 것이 매우 타당할 것 입니다. 논리적인 진은 그 의미에 의존하지 않을 것입니다. Sigma ; 그래서 결국 우리는 Kappa 군의 관점을 받아들였군요. 우리는 진리성을 적어도 몇 가지 용어의 의미와 무관하게 만들었습니다 !Theta ; 옳습니다. 그러나 만일 우리가 Kappa 군의 회의주의를 타파하고 그 의 사악한 무한울 피하기를 원한다면, 우리는 확실히 개념 확장이 더 이상 성 장의 도구가 되지 않고 파괴의 도구가 되는 지점에서 그것을 중단해야 합니다. 우리는 합리성의 기본 원리를 파괴하는 값을 지불하고서만이 그 의미가 확장될 수 있는 그러한 용어들을 찾아내야만 할 것입니다. 168)
168) 19세기의 수학적인 비판은 점점 더 많은 개념을 확장시켰으며 점점 더 많은 용어의 의미 부하를 명제의 논리적 형식과 몇 가지 (아직) 확장되지 않은 용어의 의미로 옮겼다. 1930 년대에 이러한 과정은 늦추어지는 듯했으며 확장할 수 없는 (‘논리적인'） 용어와 확장할 수 있는 (‘기술적인 descriptive'）용어 사이의 구획선이 안정되는 듯하였다. 적은 수의 논리 적 용어를 포함하고 있는 목록기 널리 의견의 일치를 보게 되었다. 그래서 논리적 진에 대
한 일반적 정의가 가능하게 되었다. 논리적 진은 더 이상 특별한 구성 요소에 〈관한〉 것이 아니었다(Tarski 〔19회를 참조하여라). 그러나’ Tarski는 이러한 구획에 당황하졌으며 —그런데 Tarski가 알지 못한 Bolzano의 경우처럼＿一반례의, 결국 논리적인 진(p. 420)의 상대화된 개념에 결과적으로 복귀해야 할 것인가 어떤가 의아하게 생각하였다. 이 러한 방향의 대부분의 홍미 있는 결과가 Popper 의 〔1947-8]이며, 합리적인 논의의 몇 가 지 기본 원리를 포기하지 않고는 그 이상의 논리적인 불변성을 포기할 수 없다는 것이 그로 부터 나온다.
Kappa ; 비판적 합리성에 대한 당신의 이론에서 개념을 확장시킬 수 있습니 까? 아니면 그것은 정의할 필요가 없는 확장 불가능한 정확한 용어로 형식화 되어 명백하게 참이 될까요? 비판에 관한 당신의 이론은 〈공약으로의 퇴각 retreat to commibnent〉으로 끝나겠습니까? 곧 당신의 〈메타 이론〉인 비판 이 론을 제의하고 모든 것이 비판 가능합니까 ? 169)
169) 〈공약으로의 퇴각>은 Bartley표현이다(〔1962])． 그는 비판적 합리주의에 대한 합리적 방 어가 주로 종교적인 지식에 관해서 가능한가 어떤가 하는 문제를 연구하였다. 그러나 문제 패턴은 수학적 지식에 관해서도 꼭 마찬가지이다.
Omega(Epsilon 군에게) ; 저는 진리로부터 합리성에로의 이러한 이행을 좋아하지 않습니다. 누구의 합리성입니까? 저는 규약주의자의 침투라는 느낌이 듭니다. Beta ; 당신은 무엇에 대해 말하고 있습니까? 저는 Theta군의 개념 확장에 대한 〈온화한 패턴>을 이해합니다. 또한 개념 확장이 한 개 이상의 용어를 공격 할 수도 있다는 것도 이해합니다. 우리는 Kappa군이 〈늘이기>를 확장할 때, 혹은 Gamma 군이 <모든>을 확장할 때 등에서 이것을 보았습니다. Sigma ; 확실히 Gamma 군은 〈단순 연결>을확장하였습니다 ! Beta ; 그러나 그렇지 않습니다. 〈단순 연결>은 약어입니다-정의하는 용 어들 가운데 나오는 용어 <모든>을 확장하였을 뿐입니다. 170)
170) 위 pp. 75-80을 보아라. Gamma 는 실제로 <모든>으로부터 의미 부하를 얼마간 제거하기 를 원하였으므로 <모든>은 더 이상 공집합이 아닌 집합에만 적용되지는 않는다. 그 의미로 부터 〈존재 의미>를 제거하고 거기서 공집합을 괴물로부터 보통 부르주아 집합으로 전환시 킴으로써 <모든>을 조심성 있게 확장한 것은 하나의 중요한 사건이었다. 이는 Aristoteles 논리학의 Boole 집합론적 재해석과 관련될 뿐만 아니라, 수학적 논의에서의 공허한 만족이 란 개념의 출현과 관련된다.
Theta ; 이야기의 요지로 돌아갑시다. 당신은 <개방된〉 급진적인 개념 확장을 좋아하지 않습니다. Beta ; 그렇습니다. 아무도 이 마지막 소인울 진정한 반박으로 받아들이지 않을 것입니다 ! 저는 Pi 군이 밝힌 발견적 비판의 온화한 개념 확장 경향이 수 학적 성장에 가장 중요한 도구라는 것을 확실히 알았습니다. 그러나 수학자들 은 이러한 마지막의 거친 형태의 반박을 결코 받아들이지 않을 것입니다 !교사;틀렸습니다, Beta 군. 그들은 그것을 받아들였으며, 그들이 그것을받아들인 것은 수학의 역사에 있어서 한 전환점이었습니다. 수하격 비관해서의 이런 혁명은 수학적 진리의 개념을 변화시켰으며 수학적 증명의 표준을 변화시켰고, 수학적 성장의 패턴을 변화시켰습니다.!171) 그러나 이제 잠시 동안 우리의 토론을 멈추기로 합시다. 우리는 다음번에 이 새로운 국면에 대하여 토론하 게 될 것입니다.
171) 비판, 반례, 귀결, 전리, 증명에 대한개념은분리할수없는것이다. 그들이 변할때, 주된 변화가 비판의 개념에서 일어나며 다른 것의 변화가 뒤따른다.
Sigma ; 그러나 아무것도 해결되지 않았습니다. 여기서 멈출 수 없습니다. 교사 ; 본인도 동정합니다. 이 마지막 국면은 우리의 토론으로의 중요한 피드 백을 가질 것입니다. 172) 그러나 과학적 탐구란 〈문제로 시작되고 문제로 끝납니 다>173)(교실을 뜬다) .Beta ; 처음에는 문제가 없었습니다 ! 그런데 이제 저는 문제 의에는 아무것도 가진것이 없습니다!
172) Lakatos [1962]를 참조하여라. 173) Popper [1963b]. p. 968.
제2장 형식적 증명 편집자의 말 데카르트―오일러 추측에 대한 푸앵카레의 증명이 위에서 언급된 바 있다. * 라카 토스는 그의 박사학위 논문에서 수학의 유클리드적인 접근을 찬성하고 반대하는 논 거에 대한 논의를 동해 이 증명에 대한 상세한 고참을 소개하고 있다. 아 논의의 대 부분은 라카토스에 의해 제 1장에 합체되었으며(예를 들어, pp. 85-95를 보아라), 나머지는 「끝없는 회귀와 수학의 기초」(Lakatos 〔1962〕）의 일부분으로 디시 쓰여졌 다. 따라서 우리는 이러한 서론적 논의를 여기서는 생략하기로 한다.
* pp. 107, 141을 보아라.
유클리드 프로그램, 곧 완벽하게 명료한 용어로 표현된 의심할 바 없이 참인 공리 를 수학에 제공하고자 하는 시도의 옹호자는 Epsilon군이었다. Epsilon군의 철학 은 도전을 받았으나, <교사>는 Epsilon 군에 도전하는 아주 분명하며 직접적인 방법 은 그에게 유클리드적 표준을 만족시키는 데카르트-오일러 추측에 대한 증명을 제 시하도록 요구하는 것이라고 말하였다. Epsilon 군은 그 도전을 받아들였다.
1 벡터 대수의 〈완벽하게 알려진〉 용어를 사용한 추측의 번역. 번역의 문제 Epsilon ; 저는 도전을 받아들이겠습니다. 저는 단순 연결인 면을 가지는 모 든 단순 연결인 다면체는 오일러 성질을 갖는다는 것을 증명할 것입니다. 교사 ; 그렇습니다. 본인은 전 시간에 이 정리를 언급한 적이 있지요. 1) Epsilon ; 제가 지적한 바와 같이, 그것을 증명하기 위해서는 먼저 진리를 찾 아야만 합니다. 지금 저는 진리를 발견하는 방법으로서 당신이 제시한 증명과 반박의 방법을 사용하는 데 전혀 반대하지 않습니다만, 당신이 멈춘 곳에서 저 는 시작하겠습니다. 당신이 개선하기를 멈춘 곳에서 저는 증명을 시작합니다. 2)
I) 위 p. 67을보아라. 2) Epsilon 은 아마도 증명 절차의 발견적 가치를 인식한 유사 이래 첫번째의 Euclid 주의자 이다. 17세기까지 Euclid주의자들은 Platon식 분석 방법이 발견적 방법이라는 데 찬성하 였다. 후에 그들은 요행수나 천재적인 수완으로 그것을 대체하였다.
Alpha ; 그러나 이 건 정리는 확장 가능한 개념들로 가득 차 있습니다. 저는 우리가 그것을 반박하기가 어렵다는 것을 알게 되리라고 생각하지 않습니다. Epsilon ; 당신은 그것을 반박하는 것이 불가능함을 알게 될 것입니다. 저는 각 용어 하나하나의 의미를 고정시킬 것입니다. 교사;계속하십시오. Epsilon ; 먼저 저는 가장 명료한 가능한 개념만을 사용할 것입니다. 아마도 우리는 언젠가는 우리의 완벽한 지식을 확장하여 광학 카메라, 종이와 가위, 고무공 및 펌프롤 포함하도록 할 수 있을 것입니다만 지금은 이러한 것들을 잊 어야 합니다. 최종성 finality 은 확실히 이런 모든 다양한 방법을 사용해서는 도달될 수 없습니다. 우리가 전에 실패한 것은, 제 생각으로는, 단순하고, 있 는 그대로의 다면체의 성질과는 거리가 먼 방법들을 사용했다는 사실에 근거하 는 것 같습니다. 이런 모든 도구들을 동원한 풍부한 상상력은 완전히 잘못된 방향으로 나아가게 됩니다. 다면체의 본질과 관계 없는 의적이고 동떨어진 부
수적인 요소들을 끌어댔으며, 따라서 어떤 다면체에 대해서 그 성질이 성립하 지 않는 것은 전혀 이상할 것이 없습니다. 완벽한 증명을 얻기 위해서 우리는 사용된 도구의 범위를 제한해야 합니다. 3) 이렇게 하는 이유는 이러한 풍부한 상상력이 확실성 certainty을 너무 어렵게 만들어 달성할 수 없게 하기 때문입 니다. 고무나 렌즈 등의 성질에 의존하는 보조 정리들의 참 여부는 보증하기가 어렵습니다. 〈의문점의 이해를 위해서는, 가능한 한 그것을 단순하게 만들면서 여분의 모든 것들로부터 그것을 추상해야 하기〉 때문에 가위나 펌프, 카메라와 같은 것들을 포기해야만 합니다. 4) 저는 제 정리5)와 증명 속의 이런 모든 것들 울 깨끗하게 씻어내고, 가장 단순하고 가장 용이한 것들, 곧 꼭지점, 모서리, 면으로 제한하렵니다. 6) 저는 그 의미에 대하여 어쩌면 의견의 불일치가 있을 수 없는 이들 용어를 정의하지는 않을 것입니다. 저는 모호한 곳이 조금이라도 있는 어떤 용어라도 완벽하게 알려진 〈원초적인〉 용어로 정의하겠습니다. 7)
3) 증명 -분석에는 <도구>에 제한이 없다. 우리는 어떤 보조 정리, 어떤 개념아든 사용할 수 있다. 이는 문제 해결이 생각나는 대로 일어나는 어떤 성장하는 비형식적인 이론에 대해서 도 참이다. 형식화된 이론에서 도구는 이론의 구문 가문계 완전히 규정된다. （어떤 결정 절차가 있는) 이상적인 경우에는 문제 해결은 여기서 하나의 의식이다. 4) 이는 Descartes 의 말로 그의 [1628], 규칙 XIII 에 나온다. 5) 증명 -분석은 정리로 바치러, Euclid 식 증명은 정리로 시작된다는 것을 잊어서는 안 된 다. Euclid 식 방법론에는 추측은 없으며 정리만이 있다. 6) Descartes [1628], 규칙 IX. 7) 정의에 대한 Pascal 의 규칙 ([1659], pp. 596-7) . 〈완벽하게 알고 있는 어떤 주어진 용어 든 정의하지 말 것, 불명료함이나 모호함이 조금이라도 있는 어떤 용어든 정의 없이 인정하 지 말것. 용어의 정의에서는완벽하게 알고있거나 이미 설명된 용어만을사용할것〉.
이제 어떠한 증명내의 어떤 보조 정리도 명백하게 참인 것은 없었다는 것이 분명합니다. 그것들은 단지 〈모든 다면체는 공으로 부풀릴 수 있다>는 것 등과 같은 추측일 뿐이었습니다. 그러나 이제 〈저는 어떤 종류의 추측에 대해서도 사물의 진실성에 대한 판단을 내리는 것을 허용하지 않을 것을 요구합니다〉. 8)
8) Descartes[1628]，규칙 III에 대한 주석.
저는 추측을 더 이상 추측이 아니라 직관, 곧 〈이성의 유일한 빛으로 생기는 순 수하고 주의 깊은 정신의 의심할 바 없는 이해〉인 보조 정리로 분해할 것입니
다. 9) 이러한 〈직관〉의 예는 다음과 같습니다.<모든 다면체는 면을 가지고 있다. 모든 면은 변을 가지고 있다. 모든 변은꼭지점을 가지고 있다〉. 저는 다면체가 고체인가 곡면인가와 같은 의문은 제기 하지 않을 것입니다. 이러한 것들은 모호한 관념이며, 여하튼 우리의 목적에 비추어 볼 때 불필요한 것입니다. 제가 볼 때에는 다면체란 세 가지 집합, 곧 V 개의 꼭지점 (저는 그것들을 Pf, P,… …, Pi 라고 부를 것입니다)의 집합, E 개의 모서리 (저는 그것들을 Pi, Pi,…… ,Pk 라고 부를 것입니다)의 집합, F 개의 면 (저는 그것들을 Pf, Pg,……,P라고 부를 것입니다)의 집합으로 이루어져 있습니다. 어떤 다면체의 특성을 기술하기 위해서는 또한 어떤 꼭지점이 어떤 모서리에 속하는 지, 어떤 모서리가 어떤 면에 속하는지를 말해 주는 어떤 유의 표가 필요합니 다. 저는 이 표를 〈결합 행렬 incidence matrices〉이라고 부를 것입니다. Gamma ; 다면체에 대한 당신의 정의를 들으니 저는 약간 당황하게 됩니다. 먼저 당신은 다면체의 개념을 어쨌든 고심하여 정의하였으므로, 저는 당신이 다면체의 관념을 완전히 잘 알려진 것으로 생각하고 있지 않다고 결론짓겠습니 다. 그러나 그러면 당신의 정의는 어디에서 가져온 것입니까? 당신은 면, 모 서리, 꼭지점이라는 〈완벽하게 알려진〉 개념을 이용하여 다면체의 모호한 개념 을 정의하였습니다. 그러나, 당신의 정의 곧, 다면체는 꼭지점의 집합 더하기 모서리의 집합 더하기 면의 집합 더하기 결합 행렬이라는 당신의 정의는 다면 체의 직관적인 관념을 포착하는 데 분명이 실패합니다. 그것은, 예를 들면, 말 하자면 밖으로 나와 있는 따로 떨어진 모서리를 가진 다각형도 다면체이므로, 어떤 다각형도 다면체라는 것은 참입니다. 이제 당신은 두 길 중에서 한 길을 선택해야만 합니다. 당신은 〈수학자는 그의 전문적인 용어에 대한 일반적으로 통용되는 의미와 관계가 없다…… 수학적 정의는 수학적 의미를 만들어 낸다〉 고 말할 수도 있습니다. 10) 이 경우에 다면체의 관념을 정의하는 것은 낡은 관 념을 완전히 버리고, 그것을 새로운 개념으로 대치하는 것입니다. 그러나 그러
9) 같은곳. 10) Polya [1948], pp. 81-2.
면 당신이 말하는 〈다면체〉와 어떤 진정한 다면체 사이의 어떤 유사성도 전적으 로 우연한 것이며, 당신의 모의 다면체를 연구하여서는 진정한 다면체에 대한 어떤 확실한 지식도 얻을 수 없을 것입니다. 또 다른 길은, 정의는 분명하게 하고 본질적인 특징들을 명확하게 하는 명료화이며, 일종의 번역 곧 어떤 용어 를 의미를 보존하면서 좀 더 분명한 언어로 번역하는 것이라는 생각을 고수하 는 것입니다. 이 경우에 당신의 정의는 추측이며 참일 수도 거짓일 수도 있습 니다. 어떻게 모호한 용어를 정확한 용어들로 바꾸는 확실히 참인 번역을 할 수 있습니까? Epsilon ; 당신이, 이러한 비판으로 저를 기습하였다는 것을 인정합니다. 제 가 생각하기로는 당신은 저의 공리들이 절대적으로 참임을 의심하실 수 있으며 어떻게 그런 선험적인 종합적 판단이 가능한지 의문을 가지실 것입니다. 그래 서 저는 몇 가지 반대 논거를 준비하였습니다만, 저는 일련의 정의에 대한 공 격은 예상하지 않았습니다. 그러나 저는 여관에 의해 공리를 얻은 것과 꼭 마 찬가지로 정의를 얻는다〉라고 대답하리라고 생각됩니다. 그것들은 실제로 같은 입장입니다. 저는 저의 정의를 부가적인 공리로, 11) 혹은 공리를 암묵적인 정 의 12)로 간주할 수 있습니다. 그것들은 문제가 되는 용어의 본질을 나타냅니다.
11) 〈본질적인 성질에 대한 증명할 수 없는 명제로서의 정의>(Aristotles, Analytica Posteriora, 94a) . 12) Gergonne [1818].
교사 ; 철학은 그만 ! 증명을 알아보도록 합시다. 본인은 당신의 철학을 좋아 하지 않습니다만, 아직 당신의 증명은 좋아하는 것 같습니다. Epsilon ; 좋습니다. 저는 먼저 증명될 정리를 저의 완벽하게 단순하고 분명 한 개념적 틀로 번역할 것입니다. 저의 특수한 무정의 용어는 꼭지점, 모서리, 면, 다면체가 될 것입니다. 저는 가끔 그것들을 0, 1, 2, 3차원 폴리톱 polytopes13), 혹은 간단히, 0一폴리룹 1―폴리톱, 2―폴리톱, 3―폴리톱이라고 부를 것
I3) 이들 용어가 하나의 단일한 일반적인 용어 아래 포괄될 수 있다는 것은 Schlafli 에 의해 발견되었다(〔1852])． 그는 그것들을 (polyschemes>라고 불렀다. Listing [1861]은 그것들 을 〈Curian>이라고 부른다. 그러나 3 차원 이상으로 일반화를 확장한 것은 Schlafli 이었다.
입니다. Alpha ; 그러나 단지 10분 전만 해도 당신은 꼭지점, 모서리, 면으로 다면체 를 정의하였습니다! Epsilon ; 제가 틀렸습니다. 그 〈정의〉는 어리석은 예상이었습니다. 저는 어 리석게도 성급하게 비약하여 판단을 내렸습니다. 진정한 칙관, 진정한 해석은 서서히 성숙해 가는 것이며, 우리 영혼에서 추측을 깨끗이 씻어내는 데는 시간 이 걸립니다.14)
I4) <나는 자연에 관한 일에 보통 적용되는 그러한 인간 이성의 결론을, 구분짓기 위하여, 자 연에 대한 예상(일종의 성급하거나 조숙한 것으로서의)이라고 부른다. 바르고 방법적 절차 에 의해 사실로부터 이성이 이끌어 낸 것을 자연에 대한 해석이라고 부른다〉 (Bacon (1620], XXVI).
Beta ; 당신은 잠시 전에 면은 모서리를 가지고 있다거나 각 면에 모서리가속한다는 것과 같은 몇 가지 공리들을 언급하였습니다. 〈속하다〉, 이는 또 다른원초적인 용어입니까? Epsilon ; 아닙니다. 저는 단지 문제가 되어 있는 이론에 독특한 용어만을 기 록하고, 제가 완전하게 친근하다고 생각한, 바탕 이론의 논리적, 집합론적, 산 술적인 용어들은 기록하지 않습니다. 그러나 이제 이어서 단순 연결이라는 용 어에 대해 생각해 봅시다. 이 용어는 확실히 절대적으로 분명하지는 않습니다. 먼저 다면체의 단순 연결성을, 그 다음에 면의 단순 연결성을 정의하겠습니다. 먼저 다면체의 단순 연결성을 생각해 봅시다. 그것은 긴 표현에 대한 약어입니 다. 다면체는 (1) 모든 닫힌 루프 없는 모서리 체계가 내부와 의부를 가지고 있을 때, 그리고 (2) 다면체의 내부를 의부와 분리시키는 닫힌 루프 없는 면의 체계가 단 하나 존재할 때 단순 연결이라고 말합니다. 이제 이것은 〈닫힌〉, 〈내 부〉, 〈의부〉 등과 같은 더 모호한 용어들로 가득 차 있습니다. 그러나 저는 그 들 모두를 완벽하게 알려진 용어들로 정의할 것입니다. Gamma ; 당신은 펌프질하기, 자르기와 같은 기계적인 용어를 신뢰할 수 없 는 것으로서 쫓아내 버렸습니다. 이제는 닫힘성과 같은 기하학적 용어를 버립
니다. 저는 당신의 깨끗하게 하려는 열망이 도를 지나치고 있다고 생각됩니다. 〈닫힌 모서리 체계〉는 완벽하게 분명한 개념이며, 정의될 필요가 없습니다. Epsilon ; 아닙니다, 당신은 틀렸습니다. 당신은 별 다각형을 닫힌 모서리 체 계라고 부르시겠습니까? 아마도 당신은 별 다각형이 고정되어 있지 않은 끝을 가지고 있지 않기 때문에 그렇게 부를 것입니다. 그러나 이것은 어떤 분명히 정의된 넓이를 〈둘러싸고〉 있지 않은데, 어떤 사람은 〈닫힌 모서리 체계〉란 어 떤 분명히 정의된 넓이를 둘러싸고 있는 모서리 체계를 의미할 수도 있습니다. 따라서, 당신은 이 길이나 저 길 중에서 마음을 정해야 하며, 당신이 결정한 방식대로 말해야 합니다.Gamma ; 별 다각형은 경계가 되어 있지 않을 수도 있으나 분명히 닫혀 있습니다. Epsilon ; 저는 이것은 닫혀 있으며 또한 경계가 되어 있다고 생각합니다. 의 견이 일치되지 않는다는 것은 이미 이야기되고 있으나 저는 몇 가지 증거를 더 만들어 낼 것입니다. 저는 7 면체 heptahedron 가 닫힌 면의 체계이며 경계가 되어 있다고 말할 것인지 어떨지 모르겠습니다. Gamma ; 저는 당신이 말하는 7면체에 대해 결코 들어본 적이 없습니다. Epsilon ; 그것은 단측 one-sided 이기 때문에 좀 재미 있는 다면체류입니다. 그것이 둘러싸고 있는 기하학적인 입체는 존재하지 않으며, 그것은 공간을 안 쪽과 바깥쪽의 두 부분으로 나누지 않습니다 .. Alpha군은, 예를 들어, 그의 〈분명한〉 기하학적인 직관에 의해 안내되어, 일찍이 닫힌 면의 체계는 〈만일 그 것이 다면체의 내부와 의부 사이의 경계라면〉 경계 bound 가 되어 있다고 말하 였습니다. 저는 그가 7 면체의 표면이 경계가 되어 있다고 말할지 의심스럽습 니다. 아니면 7 면체에 대해 친근해지면 〈경계가 되는〉 체계에 대한 그의 개념 이 변하겠습니까? 이 경우에 저는 아주 겸손하게 그에게 묻겠습니다. 선려하 게 알려진 개념이 경험에 의해 변할 수 있습니까? 그럴 수 없습니다. 따라서, 〈닫힌〉, 〈경계가 되어 있는>은-완벽하게 잘 알려진 것이 아닙니다. 따라서 저는 그것들을 정의하고자 합니다. Theta ; 7 면체를 그려보십시오. 무엇과 갇울지 의아하게 생각됩니다.
I5) 그림 27은 Hilbert 와 Cohn-Vossen [1932]로부터 고쳐 그린 것이다.
Epsilon ; 좋습니다. 저는 먼저 보통의 친숙한 8면체로 시작합니다(그림 25 를 보아라)． 이제 대각선에 의해 짜여진 평면에 세 개의 정사각형 예를 들면, ABCD를 덧붙입니다(그림 26), Delta ; 버젓한 어떤 다각형에서 저는 모서리에서 단 두 면만이 만난다는 것 을 기대하게 됩니다. 여기에서는 세 면이 만나고 있습니다.
Epsilon ; 기다리십시오. 이러한 요구에 응하기 위하여 이제 네 개의 삼각형 울 제거합니다. 그림의 처음 반쪽 부분에서 위의 왼쪽 삼각형과 아래의 오른쪽 삼각형을, 도형의 후면 부분에서 아래의 왼쪽 삼각형과 위의 오른쪽 삼각형을 제거합니다. 그러면 도해에서 빗줄이 쳐진 네 개의 삼각형만이 남게 됩니다(그 림 27) . 따라서 우리는 네 개의 삼각형과 세 개의 사각형으로. 구성된 도형을 얻 었습니다. 이것은 7 면체입니다. 16) 그 모서리와 꼭지점은 8 면체의 원래의 꼭지 점과 모서리입니다. 8면체의 대각선들은 이 도형의 모서리가 아니지만 서로 교차하는 직선입니다. 저는 기하학적 직관에 중요성을 많이 부여하지 않겠으 며 , 이 다면체가 공교롭게도 3 차원 공간에 끼워 넣기가 매우 불편하다는 사실 에 큰 홍미를 가지고 있지 않습니다. 이 사실은 7면체의 결합 행렬에 의해 드 러나지 않습니다(여담이지만, 7 면체는 자신과 교차점이 없이 5 차원 공간 속에 잘 끼워 넣어질 수 있습니다). 17)
16) C. Reinhardt 에 의해 발견되었다(그의 [1885], p.114를 보아라) . 17) 단축성 one-sidedness 이나 양측성 two-sidedness 은 공간의 차원의 수에 좌우된다는 것은 W. Dyck 가 처음으로 깨달았다. 그의 [1888], p. 474를 보아라.
그러면 7면체의 표면은 경계가 되는가? 문제가 되어 있는 다면체의 내부와 의부를 분리시킨다는 의미에서 다면체의 경계일 때 그리고 그때에만 표면은 〈경계가 된다〉라고 정의한다면 그 대답은 〈아니오〉입니다. 반면 표면이 그 모든 면들을 포함한다는 의미에서 다면체의 경계일 때 그리고 그때에만 표면을 〈경 계가 된다〉라고 정의하면 그 대답은 (네〉입니다. 아시다시피 당신은 〈경계가 된다>를 정의해야 하고 〈경계>를 정의해야 합니다. 이들 개념은 풍부한 다면체 형의 조사를 시작하기 전에 친숙한 감을 가지고 있는 듯하지만 그러한 조사를 하 는 동안 원래의 대략적인 개념은 분리되고 정교한 구조를 드러내게 됩니다. 그 래서, 당신이 개념을 어떤 의미로 사용하고 있는가가 분명하게 되도록 주의 깊 게 개념을 정의해야 합니다. Kappa ; 그리고 당신은 더 이상의 분할을 피하기 위해서 더 이상 조사하는 것을 거부해야합니다! 교사 ; Epsilon 군, Kappa 군의 말에 귀를 기울이지 마십시오. 반박, 불일
치, 비판은 일반적으로 중요하지만, 그것들이 개선에 이를 때에만 그렇습니다.그저 반박하는 것만으로는 승리가 아닙니다. 단순한 비판이, 비록 옳다고 하더라도, 권위를 가졌다면, 버클리 Berkeley는 수학의 발전을 정지시켰을 것이 며, 디락Dirac은 그의 논문을 출판하기 위한 편집자를 발견할 수 없었을 것입 니다. Epsilon ; 걱정마십시오. 저는 Kappa 군의 적절하지 못한 질문 공세를 곧 깨 끗이 잊어 버렸습니다. 이제 저는 계속해서 저의 용어들을 정의하고, 저의 몇 몇 특수한 원초적인 용어 곧, 폴리톱과 결합 행렬로 모든 것을 정의하려고 합 니다. 저는 〈경계>를 정의하는 것으로 시작하겠습니다. k―폴리톱의 경계는 결합 행렬에 따라 그에 속하는 (k-1)폴리톱들의 합입니다. 저는 k-폴리톱의 합을 k-연쇄 chain 라고 부르겠습니다. 예를 둘면, 다면체의 <표편〉(혹은 그 모든 부분)은 본질적으로 2―연쇄입니다. 저는 k―연쇄의 경계를 k―연쇄에 포함된 (k-1)폴리톱의 합으로 정의합니다. 그러나 보통의 합 대신에 mod 2 의 합을 택합니다. 이것은 다음과 같은 식이 성립함을 의미합니다. o+o=o, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=0 당신은 이것이 k ―연쇄의 경계에 대한 참된 정의임을 이해해야 합니다.Beta ; 잠시 멈추십시오. 저는 당신의 k 차원 정의를 쉽게 이해할 수 없습니 다. 제가 어떤 예에 대하여 생각하면서 혼자 중얼거리게 해주십시오. 예를 둘 어, 면의 경계는 당신의 정의에 의하면 그 면에 속하는 모서리들의 집합입니 다. 이제 제가 두 면을 결합할 때, 공통인 경계는 양쪽 모두 포함하고 있는 모 서리들을 포함하지 않을 것입니다. 따라서 모서리를 더할 때, 쌍으로 생기는 모서리를 생략할 것입니다. 예를 들어서, 두 삼각형을 택해 봅시다(그림 28). 처음 삼각형의 경계는 c+d+e이고, 두번째 삼각형의 경계는 a+b+e이며, 그것들을 결합한 것의 경계는 a+b+e+c+d+e=c1-+b+c+d 입니다. 저는 이 제 당신의 정의 속에 왜 2를 mod로 한 덧셈을 도입하였는지 알았습니다. 계 속하십시오. Epsilon ; 완벽하게 알려진 특수한 용어들로 〈경계>를 정의한 후, 저는 이제
〈닫힘성 closedness>을 정의하겠습니다. 지금까지 당신은 모호한 통찰력에 의존 해야만 하였거나, 각각의 경우마다 따로따로 닫힘성을 정의해야만 하였습니다. 곧 처음에 모서리 체계의 닫힘성을, 그리고 나서 면의 체계의 닫힘성을 정의해 야 하였습니다. 이제 저는 당신에게 k 의 값과 무관하게 어떤 k-연쇄에도 적 용할 수 있는 닫힘성의 일반적인 개념이 존재한다는 것을 보이겠습니다. 저는 이 k—연쇄를 그 경계가 0 일 때 그때에 한하여 닫힌 k-연쇄, 혹은 간단히 k—회로 circuit라고 부를 것입니다. Beta ; 잠시 멈추십시오. 그런데 보통 다각형은 직관적으로 닫혀 있습니다. 그리고, 그것은 실제로 각 꼭지점은 경계에서 두번씩 나타나고 당신이 말한 mod 2 대수에서 0 이 되므로 그 경계가 0 이기 때문에 당신의 정의에 따르면 닫혔습니다. Kappa(옆에서) ; Beta군은 확실히 Epsilon군의 〈분명하고 즉각적인 통찰력〉 울 입증하려고 애쓰고 있음에 틀림없군 ! Epsilon ; 밝혀야 할 다음 용어는 〈경계가 된다〉입니다. 만일 k-회로가 (k +1) —연쇄의 경계라면 그 k—회로는 경계가 된다라고 말할 것입니다. 예를 들면, 장구상 다면체의 〈적도equator>는 경계가 되지만, 원환상toroid 다면체 ·의 〈적도논 경계가 되지 않습니다. 이 후자의 경우에 다면체 전체의 경계는 0 이기 때문에 원환상 다면체의 적도가 그 다면체 〈전체〉의 경계가 된다는 대안적 인 아이디어는 이제 배제됩니다. 이제 예를 들면 7면체가 경계가 된다는 것은
절대적으로 분명합니다. Beta ; 약간 성급하지만, 당신이 옳은 듯합니다. Gamma ; 경계가 되는 어떤 k一연쇄도 회로라는 것을 증명할 수 있습니 까? 당신은 단지 회로에 대해서만 〈경계가 된다>를 정의하였습니다. 당신은 그 것을 일반적으로 연쇄에 대해서 정의할 수 있을 것입니다. 저는 당신이 제한된 정의를 한 이유가 이러한 잠복해 있는 정리 때문이 아닌가 생각합니다. Epsilon ; 옳습니다. 저는 그것을 증명할 수 있습니다. Gamma ; 또 다른 의문이 있습니다. 어떤 연쇄는 회로이고 어떤 회로는 경계 가 됩니다. 이것은 제게는 정돈되어 있는 것처럼 여겨집니다. 그러나 저는 어 엿한 k―연쇄는 닫혀 있어야 한다고 생각합니다. 예를 들면, 저는 꼭대기가 빠진 정육면체를 아마도 다면체로 받아들일 수 없을 것이며, 그리고 한 변이 빠진 정사각형을 아마도 다각형으로 받아들일 수 없을 것입니다. 임의의 k-연쇄의 경계도 닫혀 있음울 증명할 수 있습니까 ? Epsilon ; 임의의 k—연쇄의 경계의 경계가 0 이라는 것을 증명할 수 있습니 까? Gamma ; 바로 그것입니다. Epsilon ; 아닙니다. 저는 증명할 수 없습니다. 이것은 의심할 여지가 없이 참입니다. 그것은 공리입니다. 그것을 증명할 필요는 없습니다. 교사 ; 계속하시오, 계속 ! 이제 본인은 당신이 우리의 정리를 당신의 완벽하 게 알려진 용어들로 번역할 수 있다고 믿습니다. Epsilon ; 그렇습니다. 간단히 말해서 번역된 정리는 다음과 같습니다. 〈그 회로가 모두 경계가 되는 모든 다면체는 오일러 성질을 갖는다〉. 특수한 용어인 〈다면체>는 정의되지 않았습니다. 저는 이미 〈회로〉와 〈경계가 된다>를 완벽 하게 알려진 용어들로 정의하였습니다. Gamma ; 당신은 면의 단순 연결성에 대해서는 잊고 있었습니다. 당신은 단 지 다면체의 단순 연결성만을 번역하였습니다. Epsilon ; 틀렸습니다. 저는 모든 회로는, 심지어 0-회로라고 해도, 경계가 되어야 한다는 것을 주장합니다. 저는 〈다면체의 단순 연결성>을 <모든. 1-회
로와 2_회로는 경계가 된다〉로, 〈면의 단순 연결성>을 <모든. 0一회로는 경계 가 된다〉로 번역하였습니다. Gamma ; 저는 당신을 이해하지 못합니다. o―회로란 무엇입니까? Epsilon ; o―연쇄란 꼭지점들의 임의의 합입니다. o－회로란 그 경계가 0 인 꼭지점의 임의의 합입니다. Gamma ; 그러나, 꼭지점의 경계는 무엇입니까 ? 一1차원 폴리톱은 존재하 지 않습니다! Epsilon ; 물론 존재합니다. 아니, 그 보다, 하나 존재합니다. 공집합입니다. Gamma ; 실성하셨군요 ! Alpha ; 그는 실성하지 않았을지도 모릅니다. 그는 하나의 규약을 도입하려 는 것입니다. 저는 그가 어떤 개념적 도구를 채택하든 상관하지 않습니다. 그 의 결과를알아봅시다. Epsilon ; 저는 규약을 사용하지 않으며 , 저의 개념은 <도구〉가 아닙니다. 공 집합은 ―1차원 폴리톱입니다. 제게는 그것의 존재는 말하자면 당신의 개의 존재보다 확실히 더 분명합니다.교사 ; 플라톤적인 선전은 그만두십시오 ! 당신의 〈경계가 되는 0—회로〉가 〈단순 연결인 면>을 어떻게 번역하는지 보여주십시오. Epsilon ; 당신이 모든 꼭지점의 경계가 공집합이라는 것을 일단 인식한다면 나머지는 아무것도 없습니다. 저의 이전의 정의에 따르면, 한 꼭지점의 경계는 공집합이지만 두 꼭지점의 경계는 mod 2 대수 때문에 0 입니다. 세 꼭지점의 경계는 다시 공집합이고, 이런 식으로 계속됩니다. 따라서, 짝수 개의 꼭지점 은 회로이고 홀수 개의 꼭지점은 회로가 아닙니다. Gamma ; 따라서, o―회로가 경계가 되어야만 한다는 당신의 요구 조건의 요점은 결국 어떤 두 꼭지점도 하나의 1—연쇄의 경계가 되어야 한다는 요구 조건, 곧 보통 말로히면, 어떤 두 꼭지점도 어떤 모서리 체계에 의해 연결되 어야 한다는 요구가 됩니다. 물론 이것은 반지꼴 면을 배제합니다. 이것은 실 로 우리가 〈따로따로 택한 면의 단순 연결성〉이라고 통상적으로 부른 그 요구 조건입니다.
Epsilon ; 당신은 다면체의 본질을 반영하는 자연 언어인 저의 언어가 이전의 연결되지 않은 고립적인 특수한 준거의 깊이 뿌리 박힌 본질적인 정체를 처음 으로 보여주고 있다는 것을 거의 부인할 수 없을 것입니다 ! Gamma(옆에서) ; 거의 부인할 수 없는 것은 제가 당황하고 있디는 것입니 다 ! 이러한 〈자연스러운 단순성〉에 이르는 길이 왜 실제로 그러한 복잡한 것으 로 어지럽혀져야 하는지 좀 이상합니다. Alpha ; 제가 이해한 것을 점검해 보게 해주십시오. 모든 꼭지점들은 동일한 경계 곧, 공집합을 가진다고 말씀하셨지요 ? Epsilon ; 옳습니다. Alpha ; 그러면 제가 추측하기로는 당신에게는 〈모든 꼭지점둘은 공집합을 가 지고 있다>는 것은 공리입니다. 이는 마치 〈모든 면은 모서리를 가지고 있다〉거 나 <모든 모서리들은 꼭지점을 가지고 있다>는 것과 꼭 마찬가지입니다. Epsilon ; 그렇습니다. Alpha ; 그러나 이들 공리는 동등한 지위를 가질 수 없습니다 ! 처음 것은 규약이고 나중 둘은 필연적으로 참입니다 ! 교사 ; 정리는 번역되었습니다. 본인은 증명을 보고 싶습니다. Epsilon; 곧 보여드리겠습니다. 다신 정리를 다음과 같이 재형식화하도록 허락해 주십시외.〈회로와 경계가 되는 회로가 일치하는 모든 다면체는오일러 성질을 갖는다〉. 교사 ; 그것을 증명해 보십시오. Epsilon ; 곧 증명하겠습니다, 선생님 . 그것을 고쳐 진술하겠습니다. 18)
I8) 〈문제를 고쳐 진술할 수 있을까? 그것을 달리 고쳐 진술할 수 있을까? >(Polya[1945], 속표지).
Beta ; 그러나 왜 그러십니까 ? 당신은 조금이라도 모호했던 모든 용어들을 완벽하게 알려진 용어들로 이미 번역하였는데요 ! Epsilon ; 그것은 사실입니다. 그러나 제가 제시하고자 하는 번역은 아주 다 른 것입니다. 저는 저의 원초적인 용어들의 집합을 훨씬 더 기본적인 원초적인
용어의 집합으로 번역할 것입니다. Beta ; 따라서 당신의 완벽하게 알려진 용어 중 몇 가지는 다른 것보다 더 잘 알려진것이로군요! 교사 ; Beta 군, Epsilon 군을 계속 조롱하지 마십시오 ! 그가 하고 있는 것 을 그가 어떻게 해석하고 있느냐가 아니라, 그가 무엇을 하고 있느냐에 주의를 기울이십시오. 계속하십시오, Epsilon 군. Epsilon ; 만일 정리에 대한 나의 최종적인 형식화를 좀 더 자세하게 살펴본 다면 그것이 결합 행렬에 의해 결정되는 어떤 벡터 공간의 차원의 수에 대한 정리라는 것을 알게 될 것입니다. Beta ; 뭐라고요? Epsilon ; 연쇄, 곧 1―연쇄에 대한 개념을 살펴봅시다. 그것은 다음과 같습 니다. X1θ1+X2θ2+·…·+xEθE 여기에서 θ1 θ2, …… , θe 는 E 개의 모서리이고 XI, X2, …… , XE 는 0 이거나 1입니다. 1一연쇄가 mod 2 의 잉여류 체 위에서의 E 처원 벡터 공간을 형성한다는 것 은 쉽게 알 수 있습니다. 일반적으로 k一연쇄는 mod 2의 잉여류 체 위에서 의 Nk차원 벡터 공간을 이룹니다(여기에서 Nk는 k―풀리톱의 수를 나타냅니다). 회로는 연쇄 공간의 부분 공간을 이루고 경계가 되는 회로는 다시 회로 공간의 부분 공간을 이룹니다.따라서, 저의 정리는 사실은 〈만일 회로 공간과 경계가 되는 회로 공간이 일치하면, 0- 연쇄 공간의 차원의 수 뺴기 1- 연쇄 공간의 차원의 수 더하기2- 연쇄 공간의 차원의 수는 2와 같다〉입니다. 이것이 오일러 정리의 본질입니다. 교사 ; 본인은 바로 당신이 약속했던 것처럼, 당신의 단순한 도구의 본질을 정말로 보여주는 이러한 재형식화를 좋아합니다. 당신은 이제 틀림없이 벡터 대수의 간단한 방법에 의해서 오일러의 정리를 증명할 것입니다. 당신의 증명
을 봅시다. 2 추측에 대한 또 다른 증명 Epsilon ; 저는 제 정리를 두 부분으로 분해합니다. 첫번째 부분은 회로 공간 과 경계가 되는 회로 공간이 일치하기 위한 필요충분조건은 그것들의 차원의 수가 일치하는 것임을 진술합니다. 두번째 부분은 만약 회로 공간과 경계가 되 는 회로 공간이 같은 차원이라면 0一연쇄 공간의 처원의 수 빼기 1—연쇄 공 간의 차원의 수 더하기 2-연쇄 공간의 차원의 수는 2 임을 진술합니다. 교사 ; 첫번째 부분은 벡터 대수의 자명하게 참인 정리입니다. 두번째 부분을 증명해 보십시오. Epsilon ; 그보다 더 쉬운 것은 없습니다. 저는 단지 포함된 개념의 정의에 의지하는 것만 필요합니다. 19) 먼저 우리의 결합 행렬을 다 써 봅시다. 예를 들 면, 모서리 AD, BD, CD, BC, AC, AB 와 면 BCD, ACD, ABD, ABC 를 갖는 사면체 ABCD 의 결합 행렬을 택해 봅시다. 행렬은 pk-1이 Pk에 속하는가 속 하지 않는가에 따라 n=1이거나 0입니다. 따라서 우리의 행렬은 다음과 같 습니다.
I9) <정의된 사물 대신에 정의를 정신적으로 대치하기〉(Pascal (1659)． 〈정의로 되돌아가라〉 (Polya [1945], 속표지 및 p.84).
n。A B C D 공집합 1 1 1 n1 AD BD CD BC AC AB A 1 0001 1 B 01 01 01 C 001 1 1 0
D 1 1 000n2 BCD ACD ABD ABC n3 ABCD BCD 1 ACD 1 ABD 1 ABC 1 이제 이들 행렬의 도움으로, 회로 공간과 경계가 된 회로 공간은 쉽게 특징 지어질 수 있습니다. 우리는 이미 k-연쇄가 실제로 다음과 같은 벡터임을 알 았습니다. ∑xiPk i=l 그런데 우리는 Pk-풀리톱의 경계를 다음과 같이 정의하였습니다. ∑nk Pk-1 (이것은, 다음에 오는 모든 공식과 같이, 우리의 낡은 정의를 기호로 재진술한 것뿐 입니다). k-연쇄 ∑xiPk의 경계는 다음과 같습니다. ∑i∑ixjnkPk-1 그런데 k 一연쇄 ∑xjPj가 k —회로 일 필요충분조건은 다음과 같습니다. (1) 각 i에 대하여,∑nkXI=O
k_연쇄 ∑xjPj가 경계가 되는 k―회로일 필요충분조건은 그것이 어떤 (k +1) 연쇄 ∑ YmPmk+I의 경계인 것, 곧 (2) Xi=∑ymnk+1 인 계수 Ym (m= l, …… , Nk+1) 이 존재하는 것입니다. 이제 회로 공간과 경계가 되는 회로 공간이 일치할 필요충분조건이 그들의 차원의 수가 일치한다는 것, 곧 Nk-1개의 일차 동차 방정식 (1)의 독립인 해의 수의 계수가 일차 비동차 연립방정식 (2)의 독립인 해의 수와 같다는 것입니 다. 이제 선형대수학의 잘 알려진 정리에 따르면, 첫번째 수는 Nk一pk입니다. 여기서 pk는 llnull법 계수입니다. 두번째 수는 pk+1입니다. 그러므로 저는 단지 Nk-pk=pk+1이면 V-E+F=2임울 증명하면 됩니다. Lambda ; 곧, 〈만약 Nk=pk+Pk+I 이면 No-N1+N2= 2〉입니다. Nk는 어떤 벡터 공간의 차원이고, Pk 는 어떤 행렬의 계수입니다. 이것은 이미 다면체에 대한 정리가 아니라 다차원 벡터 공간의 어떤 집합에 대한 정리입니다. Epsilon ; 당신이 방금 잠을 꼈다는 것을 압니다. 당신이 잠들어 있는 동안저는 다면체에 대한 우리의 개념을 분석하였으며, 그것들이 정말로 벡터 대수개념이라는 것을 보였습니다. 저는 오일러 현상에 대한 아이디어 전체를 벡터 대수로 번역하여 그들의 본질을 드러내었습니다. 이제 저는 확실히 벡터 대수 의 한 정리를 증명하려고 합니다. 벡터 대수는 완전히 알려진 용어들과 정연하 고 의심의 여지가 없는 공리들, 그리고 정연하고 의심의 여지가 없는 증명들로 이루어진 분명하고 명확한 이론입니다. 예를 들어, 만약 Nk=pk+Pk+l 이면 No -N1+N2=Po+p1-Pi-P2+P2+pa=po+Pa= 1+1=2 라는, 많이 논의된 오래 된 정리의 새로운 자명한 증명을 보십시오. 누가 확실성을 의심하겠습니까? 이렇게 하여 저는 의심의 여지가 없이 확실하게 논쟁이 된 오일러 정리를 증명 하였습니다.20)
20) 이 증명은 Poincare 에 기인한다(그의 [1899]를 보아라) .
Alpha ; 그러나, Epsilon 군, 여기 좀 보십시오. 만약 우리가 꼭지점이 경계
를 갖지 않는다는 대항적 규약을 받아들인다면, 사면체의 경우에 있어서 결합 행렬 n°는 다음과 같았을 것입니다. n°ABCD 0 0 0 0 계수 Po 는 0 이 되었을 것이며 결국 V-E+F=po+p3= 1 이 됩니다. 당신은 당신의 〈증명〉이 규약에 너무 심하게 의존한다고 생각지 않습니까? 당신은 단 지 정리를 구하기 위하여 당신의 규약을 선택한 게 아니었습니까? Epsilon ; Po 에 대한 저의 공리는 〈규약〉이 아니었습니다. po=l 은 저의 언어 에서는 각 쌍의 꼭지점은 경계가 곧, 모서리로 된 그물은 연결이라는.아주 실 제적인 의미를 가지고 있습니다(그 경우에 반지꼴 면은 제의됩니다). <규약〉이 라는 표현은 아주 오해를 일으키기 쉽습니다. 단순 연결 면을 갖는 다면체에 대해서 po=l은 참이고, po=O은 거짓입니다. Alpha ; 홈, 당신은 Po= 1 과 Po= 0 이 모두 벡터 공간에서 어떤 구조의 특징 을 기술하고 있다고 말씀하시는 듯합니다. 차이점은 Po= 1 이 단순 연결 면을 갖는다면체 가운데 실제의 모델을 갖는반면에 다른쪽은그렇지 않다는것이군요. 3 증명의 최종성에 대한 몇 가지 의심. 번역 절차와 정의에 대한 본질주의자의 접근 대 유명론자의 접근 교사 ; 어쨌든 우리는 새로운 증명을 얻었습니다. 그러나, 그것이 최종적인 것일까요? Alpha ; 그렇지 않습니다. 이 다면체를 택해 보십시오(그립 29) . 그것은 앞과 뒤에 두 개의 반지꼴 면을 가지고 있고, 윤환체 torus로 부풀릴 수 있습니다. 그리고 그것은 16개의 꼭지점, 24개의 모서리, 10개의 면을 가지고 있습니 다. 그래서, V-E+F= 16-24+10=2입니다. 그것은 오일러 성질을 갖습니
다. 그러나 단순 연결인 것과는 거리가 멉니다. Beta ; 저는 이것이 데카르트―오일러 현상의 예라고는 생각지 않습니다. 이것은 류이에 Lhuilier 현상 곧, k 개의 터널과 m개의 반지꼴 면을 갖는 다면체 에 대해서 V-E+F=2-2k+m 이라는 것의 한 예입니다. 21) 이와 같이, 터널의 수의 2배의 반지꼴 면을 갖는 다면체에 대해서는 V-E+F=2이지만, 이 는 그것이 오일러 성질을 갖는다는 것을 뜻하지 않습니다. 그리고, 이 류이에 현상은 곧바로 왜 우리가 데카르트＿오일러 추측에 대한 필요충분조건곧, 주 정리-에 쉽게 도달할 수 없었던가를 설명해 줍니다. 왜냐하면, 이 들 류이에 예들이 오일러 예 가운데 끼어들었기 때문입니다. 22)
21) Lhuilier [1812-13a]를 보아라, 그 관계는 1812년과 1890년 사이에 여러 번 재발견되었다. 22) 위 p. 104 ff 를 보아라.
교사;그러나 Epsilon군은 결코 최종성을 약속하지 않았으며, 다만 우리가 일찍이 달성했던 것보다 더 깊은 것을 달성했을 뿐입니다. 그는 이제 보통 다 면체의 오일러적 성격과 별 다면체의 오일러적 성격을 양쪽 모두 일거에 설명 하는 증명을 만들어 내겠는다는 약속을 지켰습니다. Lambda ; 그것은 사실입니다. 그는 면이 단순 연결이라는 요구 곧, 삼각형 분할 과정에서 각각의 새로운 대각선이 1개의 새로운 면을 만들어내야 한다는 요구롤 삼각형 분할 아이디어가 그로부터 완전히 사라지는 방식으로. 번역하였
습니다. 이 새로운 번역에서는 면은 모든 꼭지점 회로가 그 가운데에서 경계가 되면 단순 연결입니다. 그리고, 이 요구는 오일러 별 다면체에 대해서도 성립 합니다 ! 그리고, 우리들은 다면체의 단순 연결성에 대한 조르당Jordan 의 직 관적 (곧, 별이 없는 직관) 개념을 별 다면체에 적용할 때 어려움에 봉착하는 반면에 푸앵카레의 번역에서는 이와 갇은 어려움은 사라집니다. 별 다면체는 보통 다면체와 꼭 같이 꼭지점, 모서리, 면의 집합 더하기 결합 행렬입니다. 우리는 어떤 공간, 우연히도 물질적이고 3 차원적인 대략 유클리드적인 그러한 공간에서의 다면체에 대한 이해의 문제에 관심을 갖고 있지 않습니다. 예를 들 어 작은 별모양 12 면체는 오일러 성질을 갖지 않습니다. 그리고 경계가 되지 않는 1—회로를 그 위에서 추적하는 것은 그렇게 어렵지 않습니다. Beta ; 이것은 또한 다른 측면에서도 홍미롭다는 생각이 듭니다. Epsilon 군 의 증명은 곧바로 보다 더 엄밀하고 보다 더 포괄적입니다. 이 둘 사이에는 어 떤 필연적인 관계가 있습니까? Epsilon ; 저는 모릅니다. 그러나, 우리 선생님이 저의 증명에 대해 단지 보다 더한 깊이만을 주장하시는 데 반하여 저는 절대적 확실성을 주장하고 있습니다. Kappa ; 당신의 정리는 앞의 모든 추측과 마찬가지로 어떤 상상적인 개념 확 장에 의하여 반박을 면하기 어렵습니다. Epsilon ; 설명드리게 되겠습니다만, 당신의 생각은 틀렸습니다, Kappa 군. 23)
23) pp. 187-191 을 보아라.
Alpha ; 설명하시기 전에 당신의 증명에 관한, 아니 도리어 당신이 주장하고 있는 최종성과 확실성에 관한 두번째 의문을 제기하게 해주십시오. 다면체는 실제로 당신의 벡터 대수적 구조의 한모델입니까? 당신은 〈다면체>를 벡터 이 론으로 번역한 당신의 번역이 참된 번역이었다고 확신하십니까? Epsilon ; 그것이 참되다고 이미 말했습니다. 만약 무언가가 당신을 깜짝 놀 라게 하더라도 그러한 사실이 그것을 의심할 이유는 못 됩니다. 〈저는 일련의 놀라운 정의 덕택으로 회의론자로부터 수학을 구하고 그 명제의 엄밀한 증명을
제공해 온 수학지들의 위대한 학파를 따르고 있습니다〉. 24)
24) 이는 Ramsey [1931], p. 56으로부터 인용한 것이다. 단 한마디가 바뀌었는데 그는 〈수학 자들〉 대신에 〈수학적 논리학자들>이라고 말하고 있다. 그러나 이는 단지 그가 기술한 절차 가 수학적 논리학의 한 참신한 특성이 아니라, Cauchy 이래의 〈엄밀한〉 수학의 한 특징이 라는 것과, Cauchy 가 제안하고 Weierstrass 가 개선한 무한, 연속 등에 대한 유명한 정의 는 모두 이 노선에 들어간다는 것을 이해하지 못하였기 때문일 뿐이다. Russell 도 Ramsey 로부터 이 문장을 인용하고 있음을 언급해 둔다(Russell [1959] , p. 125) ,
교사 : 본인은 정말로 이 번역 방법이 Epsilon 군의 증.명 .의 .확 .실 성과 최종성에 대한 문제의 핵심이라고 생각하고 있습니다. 그것을 번역 철차라고 불러야 한 다고 생각합니다. 그러나 자, 다른 어떤 의심이 듭니까? Gamma ; 꼭 하나 더 있습니다. 제가 당신의 연역이 전혀 틀림이 없다는 것 울 받아들인다고 합시다. 같은 무류성을 가진 당신 정리의 부정을 당신의 전제 로부터 연역할 수 없다는 것을 확신하십니까? Epsilon ; 제 전제는 모두 참입니다. 어떻게 그들이 모순일 수 있습니까? 교사 ; 당신의 의심을 인정합니다. 그러나 저는 항상 많은 의심보다도 하나의 반례를더 좋아합니다. Gamma ; 의아한 생긱이 듭니다. 저의 원기둥이 이 새 정리를 반박하지 않습 니까? Epsilon ; 물론 그렇지 않습니다. 원기둥에서는 공집합은 경계가 되지 않으며 결국 Po≠1입니다. Gamma ; 알았습니다. 당신이 옳습니다. 이 논증은 당신의 완벽하게 친근하 고 분명하며 명료한 용어로 되어 있어 곧바로 저를 확신시켜 주었습니다. Epsilon ; 당신의 빈정거림을 이해합니다. 전에 당신은 저의 정의에 의문을 제기한 적이 있습니다. 그때 저는 의심의 여지가 없이 분명하고 명확한 직관의 도움으로, 그들 정의가 문제로 된 개념의 본질에 대해 언급하고 있는 의심할 바 없이 참인 공리라고 말했습니다. 저는 그 이래 이에 대하여 생각하여 왔으 며 정의에 대한 아리스토텔레스적인 관점을 포기하지 않으면 안 된다고 생각하 고 있습니다. 제가 모호한 용어를 정의할 때 저는 실제로 그것을 새로운 용어
로 대체합니다. 그리고 낡은 용어는 저의 새로운 용어의 약어로서만 소용이 될 뿐입니다. Alpha ; 제가 그것을 분명하게 이해하게 해주십시오. 당신은 〈정의〉로서 무엇 을 의도하십니까? 왼쪽으로부터 오른쪽으로 나아가는 조작인 대치입니까? 아 니면, 오른쪽으로부터 왼쪽으로나아가는조작인 약어입니까? Epsilon ; 저는 약어를 뜻합니다. 저는 낡은 의미를 잊어버립니다. 낡은 애매 한 용어를 버리는 반면에 저의 용어의 의미를 자유롭게 만들어 냅니다. 저는 또한 낡은 문제를 버리는 반면에 저의 문제를 자유롭게 만들어 냅니다. Alpha ; 당신은 극단주의자가 되지 않을 수 없습니다. 그러나 계속해 보십시오. Epsilon ; 저의 프로그램에서의 이러한 변화에 의하여 저는 확실히 한 가지 수확이 있습니다. 곧, 당신의 의심 중 하나가 이와 함께 제거됩니다. 만약 정 의가 약어라면 그것들은 거짓이 될 수 없습니다. Alpha ; 그러나 당신은 무언가 훨씬 더 중요한 것을 잃어 버립니다. 당신은 당신의 유클리드적 프로그램을 완전히 알려진 개념으로 된 이론으로 제한해야 합니다. 그리고, 애매한 개념이 있는 이론을 이 프로그램의 범위 속에 끌어넣 고 싶을 때 당신의 번역 기교로 그것을 할 수는 없습니다. 당신이 말씀하신 대 로 당신은 번역을 하지 않고 도리어 새로운 의미를 창조하십니다. 그러나, 만 약 당신이 낡은 의미를 번역하려고 시도한다고 해도 원래의 애매한 개념의 몇 가지 본질적인 측면은 이러한 번역에서 상실될지도 모릅니다. 새로운 분명한 개념은 낡은 개념이 소용이 되기를 바라던 문제의 해결에 소용이 되지 않을 수 도 있습니다. 25) 만약 당신이 당신의 번역을 오류가 없다고 여기거나 의식적으
25) (통상적으로 암묵적인) 적절성의 준거를 만족시키지 못한 번역의 한 고전적인 예는 표면 의 넓이에 관한 19세기의 정의였으며, 이는 Schwartz <반례>에 의해 녹아웃되었다. 두통거리는 개념적인 도구 상자 속의 변화를 야기시킬 수도 있는 새로운 문제의 출현으로 적절성의 준거가 변할 수도 있다는 것이다. 그러한 변화의 한 전형적인 경우가 적분 개념에 대한 이야기이다. 학생들이 Cauchy, Riemann, Lebesgue 등의 적분에 대한 여러 가지 정 의가 어떤 문제를 해결하기 위하여 발명되었는지, 혹은 어떤 문제의 해결 과정에서 그들이 발견되었는지 알지 못하면서 그것들을 정확하게 인용할 수 있다는 것은 현재의 수학 교육의 수치이다. 적절성의 준거가 변하면서 정의는 보통 모든 준거를 만족하는 정의가 우제하게
되는 식으로 발전한다. 이는 준거의 불일치 때문에 적분의 정의에는 일어날 수 없었다. 이 것이 적분 개념이 분열되지 않을 수 없었던 이유이다. 증명 -생성 정의는 Euclid 식 프로그 램에서 번역식 정의를 작성하는 데에서조차 결정적 역할을 한다.
로 낡은 의미를 버리거나 한다면, 이러한 국단적인 생각은 모두 같은 결과를 초래할 것입니다. 당신은 원래의 문제를 사고 역사의 연옥 속으로 밀어내 버릴 수도 있습니다. 사실 당신은 그렇게 하기를 원하지 않습니다. 26) 따라서 당신이 진정되면, 정의는 수정된 본질주의의 피가 섞여 있어야만 한디는 것을 시인하 지 않으면 안 됩니다. 그것은 낡은 의미의 몇 가지 관련된 측면을 보존하고 있 어야 하며, 의미의 관련 요소들을 왼쪽으로부터 오른쪽으로 전이시켜야 합니 다.27)
26) 이러한과정은 20세기 형식주의에 매우특징적인 것이다. 27) 이 자명한 점을 아주 기묘하게도 Pascal 과 Popper 와 같은 유명론자들이 깨닫지 못하였 다. Pascal 은 다음과 같이 쓰고 있다(위의 인용문 중) . <.. …·기하학자들과 방법론적으로 조작하는 모든 사람들은 단지 논문을 단축시키기 위해서 사물에 이름을 부여한다〉. 그리고, Popper는다음과같이 쓰고있다([1945], vol.2, p.14). 〈현대 과학에서는유명론자의 정 의만이 나타난다. 곧 속기 기호나 부호가 긴 이야기를 바짝 줄이기 위하여 도입된다〉. 유명 론자들과 본질주의자들이 각기 상대방의 논거의 합리적인 핵심에 얼마나 맹목적일 수 있는 가 하는 것은 흥미롭다.
Beta ; 그러나, 만약 Epsilon 군이 정의에서 이 수정된 본질주의를 받아들인 다 하더라도, 본질주의자적 접근의 포기는 여전히 그의 원래의 유클리드적 프 로그램으로부터의 커다란 후퇴가 될 것입니다. Epsilon 군은 이제 완전히 알려 전 용어와 전혀 틀림이 없는 추론을 갖고 있는 유클리드식 이론이 있다고 말씀 하십니다_산술, 기하학, 논리학, 집합론과 같은 것이라고 저는 생각합니 다. 그리고, 이제 그는 애매하고 모호한 용어와 불확실한 추론을 갖고 있는 비 유클리드적인 이론_미적분학이나 확률론과 같은―을 이러한 기성의 유 클리드적 이론으로 번역하고 따라서, 바탕이 되는 이론과 원래의 비유클리드적 인 이론 모두가 발전하는 새로운 큰 길을 여는 것으로 유클리드적인 프로그램 을만들고있습니다. .Epsilon ; 저는 그러한 〈기성의 유클리드적인〉 이론 곧, 확립된 이론을 〈지배 적인 이론dominant theory〉이라고 부를 것입니다.
Gamma ; 이러한 위축된 프로그램이 가능한 분야는 무엇일까요? 그것은 틀 림없이 물리학을 포괄하지 않을 것입니다. 당신은 결코 파동 역학을 기하학으 로 번역하지 못할 것입니다. Epsilon 군은 〈일련의 놀라운 정의 덕분으로 회의 론자로부터 수학을 구하기>를· 바랐지만, 28) 그가 구한 것은 기껏해서 몇 조각의 부스러기뿐이었습니다.
28) 위 pp. 183을보아라.
Beta ; 저는 그러한 번역식 정의에 관해 문제를 가지고 있습니다. 그것들은 지배적인 이론에서는 단지 약어에 불과한 것으로 보이며, 따라서 거기서 그것 둘은 〈정의에 의해〉 참입니다. 그러나, 우리가 그둘을 비유클리드적인 영역과 관련되는 것으로 간주한다면 그들은 틀리기 쉬운 것으로 생각됩니다. 29)
29) 이러한 차이의 방법론적 중요성은 아직도 적절히 이해되고 있지 않다. 약거식 정의의 위 대한 옹호자이며 정의에 관한 Aristoteles 적인 본질주의 이론의 위대한 반대자인 Pascal 은 본질주의를 단념하는 것은 실제로 대규모적인 Euclid 적 프로그램을 단념하는 것임을 알 아차리지 못하였다. Euclid 적인 프로그램에서는 <단지 약간만 모호한〉 용어는 모두 정의해 야 한다. 만약 이것이 모호한 용어를 임의로 선택된 정확한 용어로 대체하는 것만으로 이루 어진다면 실제로 원래의 탐구 분야를 버리고 다른 것으로. 향하게 된다. 그러나, Pascal 은 확실히 이를 원하지 않았다. Cauchy 와 Weierstrass 는 수학의 산술화를 실행할 때 본질주 의자였다. Russell 은 수학의 논리화를 실행할 때 본질주의자였다. 이들은 모두 연속성, 실 수, 정수동개 대한 그들의 정의가, 포함된 개념의 본질을 포착한 것으로 생각하였다. 명제 의 논리적 형식을 통상적인 언어로 진술할 때, 곧 동상의 언어를 인공적인 언어로 전술할 때 , Russell 은 적어도 그의 <밀월 기간〉 동안에는 ((1959], p. 73) 전혀 틀림이 없는 직관에 의해 인도되었다고생각하였다. Popper는본질주의자적 정의에 대한그의 충분히 근거 있 는 맹공격에서 번역식 정의의 중요한 문제에 충분히 주목하지 않고 있으며, 본인의 추측으 로는 이는 그의 [1947], p. 273 에서 논리적 형식에 대해 그가 만족스럽지 못하게 다룬 것으로 본인에게 여겨지는 것을 설명해 준다. 그에 따르면 (그리고, 여기서 그는 Tarski를 따르고 있다) 타당한 추론의 정의는 형성 부호의 목록에만 달려 있다. 그러나, 직관적인 추론의타당성은 또한 통상적인 (혹은 산술적인, 기하학적인 등의)언어로부터 논리적인 언어로옮기는 추록의 번역에도좌우된다. 그것은 우리가 채택한 번역에 좌우된다.
Epsilon ; 옳습니다. Beta ; 그러한 정의가 어떻게 반증되는지 알아보는 것은 홍미 있을 것입니다. Theta ; 이제 저는 토론을 Epsilon 군의 연역에 대한 무오류성의 문제로 다시
돌리고 싶습니다. Epsilon군, 당신은 아직도 당신의 정리의 확실성을 주장하 십니까? Epsilon ; 물론입니다. Theta ; 그렇다면 당신은 그에 대한 반례를 상상할 수 없겠군요 ? Epsilon ; 제가 Kappa 군에게 말했듯이 저의 증명은 전혀 틀림이 없습니다. 그에 대한 반례는 없습니다. Theta ; 당신은 반례를 괴물로 배제하시겠다는 뜻입니까 ? Epsilon ; 괴물일지라도 그것을 반박할 수 없습니다. Theta ; 그렇다면 당신은 완전하게 알려진 용어 대신에 무엇아든 대체하더라 도 정리는 참이라고 주장하십니까? Epsilon ; 벡터 대수에 목욕한 완전하게 알려진 용어 대신에 어떤 것이든 대 체할수있습니다. Theta ; 〈모든〉, <2>등과 같이 특수하지 않은 원초적인 용어를 대체할 수는 없겠군요? Epsilon ; 할 수 없습니다. 그러나 당신은 〈꼭지점〉, 〈모서리〉, 〈면〉 등과 같은 특수한 완전하게 알려진 용어들 대신에 어떤 것이든 대체할 수 있습니다. 이것으로 반박에 의하여 제가 무엇울 의미하고 있는가를 분명히 했다고 생각합니다. Theta ; 그렇습니다. 그러나 그러면 당신은 반박될 수 있든가 아니면 당신이 했다고 생각한 것을 당신은 참말로 하지 않았습니다. Epsilon ; 저는 당신의 모호한 암시를 이해하지 못하겠습니다. Theta ; 원하신다면 이해하시게 될 것입니다. 반례라는 아이디어에 대한 당 신의 개념 규정은 이치에 맞는 듯합니다. 그러나 만일 그것이 반례의 뜻이라면 당신의 〈완전하게 잘 알려진 용어〉의 의미는 대수로운 것이 아닙니다. 그리고, 이것은, 만약 당신의 주장이 정당하다면, 틀림없이 당신의 증명의 장점입니다. 증명이란, 만약 반박될 수 없다면, 반박될 수 없는 증명이란 바로 그 개념에 의하여, 독특한 〈완전하게 잘 알려진 용어들〉의 의미 여하에 달려 있지 않습니 다. 그래서 당신의 증명의 집은, 만약 당신이 옳다면, 특수하지 않은, 바팅에 놓여 있는 용어_~이 경우예는 산술, 집합론, 논리학一의 의미가 완전히
떠맡지만 적어도 당신의 특수한 용어들의 의미가 떠맡지는 않습니다. 저는 그러한 증명이 특수한 용어들의 의미에 전혀 의존하지 않기 때문에, 그 러한 증명을 형식적 증명이라고 부를 것입니다. 형식성의 정도는 확실히 특수 하지 않은 용어에 좌우됩니다. 이들 용어―저는 그것을 형성 용어라고 부를 것입니다 __ 가 완전하게 알려져 있다고 하는 특성은 정말로 매우 중요합니 다. 그들의 의미를 고정시킨다는 것은 무엇이 반례로 받아들여질 수 있고 무엇이 그럴 수 없는지를 언급한다는 뜻합니다. 이와 갇이 우리는 반례의 홍수를 조절합니다. 만약 정리에 대한 반례가 없다면 우리는 그 정리를 항전 명제tautology 라고 부를 것입니다. 우리의 경우에는 산술적 집합론적 항전 명제입 니다. Alpha ; 준 논리적 quasilogical 상수의 선택에 따라 전 범위에 걸친 상당한 항진 명제를 얻을 듯합니다. 그러나 저는 여기에는 많은 문제가 있다고 생각합 니다. 첫째로 어떤 항전 명제에 대하여 어떻게 그것이 항진 명제인지 압니까.?Kappa ; 당신은 의심의 가능성이 전혀 없을 정도로 알 수는 결 코 없을 것입니다. 그러나, 만일 당신이 어떤 지배적인 이론에 대해서 심각한 의문을 가지고 있다면, 그것을 버리고 다른 지배적인 이론으로 그것을 대체하십시오. 30)
30) 지배적인 이론에서의 그러한 변화는 우리의 모든 지식의 재조직화를 의미한다. 고대의 산 술의 역설성과 실제로 겉보기의 모순성은 그리스안으로. 하여금 지배적인 이론으로서의 산술 울 포기하고 그것을 기하로 대체하게 만들었다. 그들의 비례식론은 산술을 기하로 번역하는 목적에 소용이 되었다. 그들은 모든 천문학과 모든 물리학이 기하로 번역될 수 있을 것으로 확신하였다. Descartes 의 위대한 혁신은 기하를 대수로 대치한 것이다. 이는 아마도 그가 지배적인 이론에서는 분석 자체가 진리에 이른다고 생각했기 때문이었다. 현대 수학적인 〈엄밀성의 혁명>은 실제로 Cauchy 로부터 Weierstrass 까지 계속된 수학의 산술화란 거대한 프로그램을 통한 지배적인 이론으로서의 산술의 재건으로 되어 있었다. 실 수에 관한 이론- 많은 연구에 종사하는 수학자동기 인공적이라고 느낀――은, 그리 스인들의 비례식에 관한 비슷한 〈인공적인〉 이론과 유사한, 결정적인 단계였다. Russell 도 또한 논리학을 모든 수학의 지배적인 이론으로 삼았다. 메타 수학의 역사가 지배적인 이론에 대한팀구라는해석은이 분야의 역사에 새로운빛을던질지도 모르며, 메 타 수학의 자연스러운 지배적인 이론이 산술이라는 Qldel 의 <발견>은 곧바로 현재의 탐구
단계로 이어졌으며, 산술과 메타 수학 양쪽에 새로운 전망을 열었다는 것을 보일 수도 있을 것이다. 주목할 만한 Euclid 식 번역의 또 다른 예는 확률론을 측도론 속에 현대적으로 끼워 넣은 것이었다. 지배적인 이론과 지배적인 이론의 변화 역시 일반적으로 과학의 발달의 많은 부분을 결정 한다. 물리학의 지배적안 이론으로서의 이론 역학의 힘들인 마무리 작업과 그 다음의 붕괴 는 현대 과학서에서 중심적인 역할을 하였다. 화학 속으로 <번역>되는 데 반대한 생물학의 무쟁, 생리학 속으로 번역되는 데 반대한 심리학의 두쟁은 근대 과학사의 홍미로운 특징이 다. 번역 절차는 문제의 거대한 저장소이며, 적어도 Hegel 의 삼단계론만큼 중요한 사상의 거대한 패턴을 나타내는 역사적인 경향이다. 그러한 번역은 흔히 지배적인 이론과 흡수된 이론 양쪽의 발전을 진척시키지만 후에 번역이 전면에 드러나면서 그 이상의 발전의 장애가 될것이다.
* 편집자 주-이 대화편은 라카토스의 논문에서는 여기서 끝난다. 우리 는 다음과 같은 노선을 따라 대화를 계속하도록 라카토스를 설득하려고 시도하 였다. Theta ; 그러나 방금 언급된 것으로부터 다음과 감은 생각이 뒤따라 일어나 는 듯합니다. 지배적인 이론이 논리학인 체계 안에서 증명을 주조할 수 있다 면, 우리가 논리학에 중대한 의문을 갖고 있지 않은 한, 연역의 무류성을 보증 할 수 있을 것이며, 모든 의문을 실제적인 증명이 아니라 보조 정리와 정리의 전제에 던질 수 있을 것입니다. Epsilon ; 적어도 Theta 군이 마침내 이해해 주셔서 기쁩니다. 저의 증명은 사실 지배적인 이론이 논리학인 체계 안에서 주조될 수 있습니다. 모든 보조 정리를 전제로 합체시킨 조건 명제는 이 체계 안에서 증명 가능하고, 우리는 (주어진 형성적인 formative ‘논리적' 용어에 관하여) 이러한 방법으로 증명될 수 있는 어떤 명제에 대한 반례도 존재하지 않는다는 것을 알고 있습니다. 기 술 용어가 어떻게 재해석 되더라도 이 조건 명제는 그대로 참이 될 것입니다. Lambda ;어떻게 〈 우리는 압니까? >
Epsilon ; 우리는 확실히는 알지 못합니다－이는 논리학에 관한 일종의 비 형식적인 정리입니다. 그러나 더욱이 우리는 그러한 체계 안에서 어떤 소위 증명이 제시되면 그것이 정말 증명인가 아닌가 유한번의 단계를 거쳐 답을 내도 록 보장된 절차를 사용하여 완전히 기계적으로 점검할 수 있다는 것을 알고 있 습니다. 그런 체계 안에서 그러면 당신이 말하는 〈증명 -분석>은 하나의 하찮은 것으로 영락케 됩니다. Alpha ; 그러나, Epsilon 군, 당신은 〈증명 -분석〉이 비형식적인 수학에서는 그 중요성을 유지하리라는 데, 그리고 형식적 증명은 항상 비형식적인 증명의 번역이라는 데, 그리고 번역에 대해서 제기되어 온 문제는 극히 현실적인 것이 라는 데 동의하시겠군요. Lambda ; 그러나 어쨌든, Epsilon군, 증명 점검이 언제나 정확하다는 것을 어떻게 압니까? Epsilon ; 정말로, Lambda 군, 당신의 억누를 수 없는 확실성에 대한 갈증은 싫증이 납니다 ! 우리는 아무것도 확실히는 모른다는 것을 몇 번이나 말씀드려 야 합니까? 그러나 당신의 확실성에 대한 욕망이 당신으로 하여금 매우 지루 한 문제를 제기하게 하고, 흥미 있는 것에 대해 눈을 멀게 하고 있습니다.
부록 I 증명과 반박 방법에 대한 또 다른 사례 연구 1 코시의 〈연속성의 원리〉에 대한 옹호 증명과 반박 방법은 수학적 발견의 아주 일반적인 발견적 패턴이다. 그러나 그것은 1840년대에야 발견된 듯하며, 오늘날에조차 많은 사람들에게 역설적으 로 보이는 것 갇다. 그리고 확실히 그것은 어디에서도 적절히 인식되고 있지 못하다. 이 부록에서 본인은 해석학에서의 증명 -분석의 일화를 개략적으로 진 술하고, 그것을 이해하고 인정하는 데 대한 저항의 근원을 추적하고자 한다. 본인은 먼저 증명과 반박 방법, 곧 본인이 이미 데카르트―오일러 추측의 코 시 증명에 대한 사례 연구에 의해 예시한 방법의 골격을 되풀이하여 언급하고 자한다. 수학적 발견, 곧 비형식적인 수학 이론의 성장에 관한 간단한 패턴이 있다. 1)
1) 본인이 강조한 바와 같이 실제적인 역사적 패턴은 이러한 발견적 패턴을 약간 벗어날 수도 있다. 또한 네번째 단계는 가끔 세번째 단계보다 앞설 수도 있다(발견적 순서에서조차도) 一교묘한 증명 분석이 반례를 제시할수도 있다.
그것은 다음과 같은 단계로 이루어져 있다.
(1) 원초적인 추측(2) 증명(원초적인 추측을 부분 추측이나 보조 정리로 분해하는, 대강의 사고 실험 곧, 논의)(3) <전면적인> 반례 (원초적인 추측에 대한 반례)가 나타난다.(4) 증명을 재검토한다. 전면적인 반례가 그에 대한 국소적인 반례가 되는<유죄인 보조 정리>가 발견된다. 이 유죄인 보조 정리는 앞에서 감춰진 채 있었거나잘못 확인되었을 수도 있다. 이제 그것은 명백히 되어 원초적인 추측 속에 한 조건으로부설된다. 정리- 개선된 추측-는 새로운 증명- 생성 개념을 그 탁월한 특징으로 하며 원초적인 추측을 대신한다.*
* 편집자 주――다시 말하면 이 방법은(부분적으로) , P1 &…… & Pn 이 어떤 흥미 있는 대 상의 영역에 대해 참이라고 가정되며, 원초적인 추측 C 를 함의하는 듯한 일련의 명제 P1·…··Pn 을 만들어 내는 것으로 되어 있다. 이는 사실과 같지 않다는 것이 드러날 수도 있 다. 다시 말하면, C 가 거짓이지만(‘전면적인 반례') , R 에서 Pn 까지가 성립하는 경우가 발견된다. 이는반례('국소적 반례'）에 의해서 또한 반박되는 새로운보조정리 Pn+I의 명 료화에 이르게 된다. 원래의 증명은 따라서 조건 명제 R &… …& P. & Pn+1-> C 에 의해 요약될 수 있는 새로운 증명으로 대체된다. 이 조건 명제의 (논리적인) 진리성은 반례에 의해 더 이상 공격되지 않는다(왜냐하면, 전제는 이제 이 경우에 거짓이고 따라서 조건 명제가 참이기 때문이다) .
이들 네 단계는 증명 -분석의 본질적인 핵심을 구성하고 있다. 그러나 종종 나타나는 다음과 같은 그 이상의 표준 단계가 있다. (5)새롭게 발견된 보조 정리나 새로운 증명-생성 개념이 나타나는지 알아보기 위해다른 정리들을 증명을 검토한다. 이 개념은 여러 가지 증명의 교차로에 놓여있다는 것이발견되어 따라서 기본적으로 중요한 것으로 드러날 수도 있다.(6) 이제 반박된 원래의 추측에서 나온 지금까지 받아들여진 귀결을 검토한다.(7)반례가 새로운 예로 바뀐다.-새로운 탐구 분야가 열린다.
본인은 이제 다른 사례 연구를 고려하고자 한다. 여기서 원초적인 추측은 연 속 함수의 임의의 수령하는 급수의 극한 자신도 연속이라는 것이다. 당연히 참 이라고 여겼으며 따라서 18세기 전반에 걸쳐 어떠한 증명도 필요하지 않다고 생각한 이 추측을 처음으로 증명한 사람은 코시였다. 그것은 〈극한까지 참인 것은 극한에서 참이다〉2) 라는 〈공리〉의 특별한 경우로 간주되었다. 우리는 코시 의 유명한 저서 〔1821] p. 131 에서 그 추측과 증명을 찾아볼 수 있다.
2) Whewell [1858], 1, p.152. Whewell은 1858년에 적어도 10년은 시대에 뒤졌다. 그 원리 는 연속성에 대한 Leibniz의 원리에 유래한다([168기, p.744). Boyer는그의 [1939],p. 256에서 Lhuilier [1786], p.167로부터 그 원리에 대한 특징적인 재진술을 인용하고 있다.
이 〈추측〉이 그때까지 자명하게 참인 것으로 간주되었다면 왜 코시는 그것을 증명할 필요를 느꼈는가? 그 누가 그 추측을 비판했었는가? 앞으로 알게 되겠지만, 상황은 꼭 그리 단순하지만은 않았다. 이제 때늦게 생각해 보고 우리가 알 수 있는 것은 푸리에 Fourier의 연구가 코시 추측에 대 한 반례를 제공하였다는 것이다. 푸리에의 논문 『열 전파에 관한 연구 보고』3) 는 실제로, 현재의 관념에 따르면, 코시의 불연속 함수, 곧 cos x-c1/3 os 3x+1/5 cos 5x …… (1) 에 접근하는 연속 함수의 수령하는 급수의 한 예를 포함하고 있다. 그러나 이 급수에 대한 푸리에 자신의 태도는 아주 분명하다(그리고 이러한 현대적인 것 과는 분명히 다르다)． 곧, (a) 그는 그것이 모든 곳에서 수령한다고 언급하고 있다. (b) 그는 그 극한 함수는 각각 x 축에 평행하며 원주와 길이가 같은 분리된 선분 들로 구성되어 있다고 언급하고 있다. 이들 평행선은 x축 위 아래에 교대로, 둘
3) 이 연구보고는 1812년도 수학 대상 grand prix de mathematiques을수상햐겼는데, 이 는 Laplace, Legendre, Lagrange 가 심판해 왔다. 그 연구 보고는 Cauchy 의 교과서가 나온 지 1년 후에, 1822년에 나온 Fourier의 고전적인 『열 이론』이 나온 후에 비로소 출 판되었으나 그 연구 보고의 내용은 그때 이미 잘 알려져 있었다 .
사이의 거리가 π/4가 되게 위치하며, 선의 일부를 이루는 수선에 의해 결합되어 있다.4)
4) Fourier, 앞에서 인용한 책, 177절과 178절.
그래프에서의 수선에 대한 푸리에의 말은 인상적이다. 그는 이들 국한 함수 가 (어떤 의미에서) 연속이라고 생각하였다. 실제로 푸리에는 확실히 그 그래 프를 연필을 종이에서 떼지 않고 그릴 수 있다면 어떤 것이든 연속 함수로 간 주하였다. 그래서 푸리에는 자신이 코시의 연속 공리에 대한 반례를 구성하였 다고는 생각하지 않았을 것이다. 5) 어떤 푸리에 급수의 극한 함수가 불연속으로 간주되게 되고, 그래서 그 급수들 자체가 코시 추측에 대한 반례로 여겨지게 된 것은 그 다음에 온 연속성에 대한 코시의 특성화에 비추어서만 가능하게 되 었다. 연속성에 대한 이 새롭고 반직관적인 정의가 주어지자, 푸리에의 순진한
5) 이 글을 쓴 후 본인은 〈불연속>이란 용어가, 지금까지 출판되지 않은, 천절하게도 나에게 그의 직접 복사 사진을 살펴보도록 허용한 J. Ravetz 박사에 의해 연구되고 있었던, Poisson [1807]과 Fourier [1809]의 몇 가지 원고 가운데 대략 Cauchy 의 의미로 나타난 다는 것을 발견하였다. 이는 확실히 본인의 경우를 반박하지는 않지만 복집하게 만든다. Fourier 는 분명히 서로 다른 시기에 연속에 대한 두 가지 다른 관념을 마음 속에 가지고 있었으며, 실제로이 두가지 다른관념이 두가지 다른영역에서 아주자연스럽게 일어난 댜 만일우리가 sin x-½sin 2x+½sin 3x-…… 와 같은 함수를 어떤 줄의 초기 위치로 해석한다면, 그것은 확실히 연속으로. 간주될 것이 며 , 수직선을 잘랴서는 것은――Cauchy 의 정의에서 요구되었듯이――부자연스럽게 생각 될 것이다. 그러나 만일 우리가 이 함수를, 말하자면, 어떤 줄을 따라 변하는 온도를 나타 내는 것으로 해석한다면 그 함수는 분명히 불연속으로 보일 것이다. 이러한 고찰은 두 가지 추측을 제시해 준다. 첫째로, 연속성에 대한 Cauchy 의 유명한 정의는 어떤 함수의 〈줄 string 해석봐 거스르는 것으로, 열 현상에 대한 Fourier 의 연구에 의해 고무되었을 것이 다. 두번째로, 이들(열 해석'에 따른) 불연속 함수의 그래프에서 수직선에 대한 Fourier 의 주장은 Leibniz 의 원리와 모순되지 않도록 하려는 노력의 일환으로부터 유래하였을 것 이다. ·편집자 주―_Fourier 의 수학에 대한 그 이상의 정보에 대해서는 I. Grattan Guinness (J. R Ravetz 와 공저)의 ]'osePh Fourier, 1768-1830(M.I.T. Press, 1972)을 보아라.
연속적인 그림은 낡은 오래전에 확립된 연속 원리에 대한 심술궂은 반례가 된 듯하였다. 코시의 정의는 연속성에 대한 수수한 개념을 <보통의 상식〉이 충격을 받을 수 밖에 없는 그러한 방식으로, 6) 산술적 언어로 번역하였다. 연속 함수의 그래프 를 약간 회전시키면 그것이 불연속인 함수로 바뀐다는 것을 수반하는 연속성은 어떤 유의 연속성인가 ? *
6) 곧, 줄―상식이나 그래프―상식. * 편집자 주―_여기서 어건 것은 아마도 연속성에 대한 우리의 직관적인 개념이 아니라 도 리어 어떤 함수를 나타내는 어떤 그래프는 약간 회전될 때 아직도 어떤 함수를 나타낼 것이 밖 두의 신념일 것이다. Fourier 의 곡선은 직관적인 관접에서 연속이며, 이러한 직관 은 연속성에 관한 ε, δ식 정의 (Cauchy 가 흔히 그 공로자로 간주된다)에 의해서도 설명될 수 있다. 왜냐하면, Fourier 의 곡선은 수선을 갖추면 두 연속 힘수에 의해 매개 변수 표현 이가능하기때문이다.
그래서 만일 우리가 연속성에 대한 직관적인 개념을 코시의 개념으로 바꾼다 면(그리고 그때에만 ! ), 연속성에 대한 공리는 푸리에의 결과와 모순되는 듯하 다. 이것은 코시의 새로운 정의 (연속성뿐만 아니라 극한의 정의와 같은 다른 정의도)에 반대하는 강력하고 아마도 결정적인 논거처럼 보인다. 그래서 코시 가, 연속 공리를 그에 대한 그의 새로운 해석으로. 실제로 증명할 수 있다는 것 울 보이기를 원하고, 거기서 그의 정의가 이러한 가장 엄격한 적절성에 대한 요구를 만족한다는 증거를 제공하고자 한 것은 놀라운 일이 아니다. 그는 증명 울 제시하는 데 성공하였으며, 그것으로 재능은 있지만 선명치 않고 엄밀하지 않은 아마추어 애호가로, 무심코 그의 정의에 도전한 푸리에에게 치명터를 가 했다고생각하였다. 물론 코시의 증명이 옳았다면, 푸리에의 예들은 그 의양에도 불구하고 진정 한 반례가 될 수 없었을 것이다. 그것들이 진짜 반례가 아니었다는 것을 보이 는 한 가지 방법은 코시의 의미에서 불연속 함수에 명백히 수렴하는 급수가 전 혀 수령하지 않는다는 것을 보이는 것일 것이다 ! 그리고, 이것은 그럴 듯한 추측이었다. 푸리에 자신은 이들 결정적인 경우에 그의 급수의 수렴성을 의심하였다. 그는 수렴이 느리다는 것을 알았다. 곧,
〈수렴은 쉽게 근사치를 만들어낼 만큼 충분히 빠르지 않지만, 등식이 참이 되기에는 충분하다〉. 7) 때늦게 생각해 보고 우리가 알 수 있는 것은 이들 결정적인경우에 푸리에 급수는 수렴하지 않는다는(따라서 함수를 나타내지 않는다는) 코시의 희망이 또한 다음 사실에 의해 어느 정도 정당화되었다는 것이다. 극한 함수가불연속인곳에서 그급수는½[f(x+o)+f(x-o)］로접근하며 단순히 f(x) 로 접근하지 않는다. f(x) =½ [f(x+o) +f(x-o)]일 때에만 f(x)로 수렴한 다. 그러나 1829년 이전에는 이것이 알려지지 않았고 사실 일반적인 견해는 처음에는 코시보다 푸리에를 지지하였다. 푸리에 급수는 작동하는 것 같았고, 코시 증명이 출판된 5년 후인 1826년에 , 아벨이 그의 논문 〔1826b]8)의 각주 에서 코시의 증명에 〈예의〉가 있다고 언급했을 때, 이것은 도리어 홍미를 자아 내는 이중의 승리를 만들어 내었다. 곧, 푸리에 급수가 받어들여졌지만, 코시 의 연속성에 대한 정의와 그것을 이용하여 증명한 정리도 받아들여졌다.
7) 앞에서 인용한 책, 177절. 이 단평은 물론 수령은 이들 지정에서 무한히 느리다는 발견 과는 아주 다른 것이다. 그러한 발견은 Fourier 급수를 계산하는 40년 동안의 경험을 한 후에 비로소 이루어졌다. 그리고, 이러한 발견은 아마도, 그들 함수만이 불연속 점에서의 값이 ½[f(x+o) +f(x-o)]인 Fourier 급수에 의해서 나타내질 수 있다는 것을 보인, Fourier 추측게 대한 Dirichlet 의 결정적인 개선 이전에는 이루어질 수 없었을 것이다. 8) Abel [1s26b], p. 316.
우리가 고려하고 있는 연속성의 원리에 대한 특별한 해석에는, 비록 Cauchy 가 결함 없이 그것을 증명했울지라도, 예의가 있음에 틀림없다고 오늘날 여겨 지고 있는 것은 정확히 이 이중의 승리의 관점에서였다. 코시도 아벨과 같은 결론에 도달했음이 틀림없다. 왜냐하면, 같은 해에 그 는, 물론 연속성에 대한 그의 규정을 포기하지 않고, 푸리에 급수가 수령함을 증명했기 때문이다. 9) 그는 그러나 그 상황 때문에 아주 불안했음에 틀림없다.
9) Cauchy (1826]. 그의 증명은 교정할 수 없을 정도로 거짓인 가정을 근거로 한다(예를 들 어, Riemann [1868]을 보아라).
『해석학 강의 Cours d'Analyse』의 두번째 책은 끝내 출판되지 않았다. 그리고 더더욱 의심스럽게도, 교과서가 필요하다는 압력이 너무 커져서 그의 제자 모
10) Moigno [1840-1]. 11) Dirichlet [1829]. 12) Seidel [1847].
아뇨 Moigno 에게 그의 강의에 대한 노트를 출판하도록 허용하면서도, 10) 첫번 째 책의 후속 판을 내지 않았다. 푸리에의 예가 이제 반례로서 해석되었다고 가정하면 당황했던 것은 분명하 다. 어떻게 증명된 정리가 거짓이거나 〈예의를 허용〉할 수 있었을까? 우리는 오일러 정리가 증명되었다는 사실에도 불구하고 그 〈예의〉 때문에 같은 시기에 사람들이 얼마나 당황해 했던가를 이미 논의하였다. 2 사이델Seidel의 증명과 증명 -생성된 평등 수렴의 개념 코시―푸리에의 사례가 그저 무해한 수수께끼가 아니라 새로운 〈엄밀한〉 수 학 전체에 치명적인 흠이었다는 것은 누구나가 느꼈다 . 디리클레 Dirichlet는푸리에 급수에 관한 유명한 연구 논문에서 , 11) 어떻게 연속인 함수의 수렴하는급수가 불연속 함수를 나타내는가를 정확히 보이는 데 몰두하고, 연속 원리에 대한 코시의 해석을 분명히 매우 잘 알고 있었으면서도, 그 명백한 모순에 대 해서 전혀 언급하지 않았다. 결국 코시 증명에서 유죄인 감추어진 보조. 정리를 발견하여 수수께끼를 푸는 일은 사이델에게 남겨졌다.12) 그러나 이것은 겨우 1847년에야 일어났다. 왜 그리 오래 걸렸는가? 이 질문에 대답하기 위하여 우리는 약간 더 면밀히 사이 델의 유명한 발견을 살펴보아야 할 것이다. ∑ fn(X) 를 연속 함수의 수령하는 급수라고 하고, 임의의 n 에 대하여 Sn(X)=∑fm (X) 와 rn (x) = ∑ fm (x) 를 정의하자. 그러면, 코시 증명의 요지는 다음과 같은 전제로부터의 추론이다. 곧, 임의의 ε>O 이 주어지면
(1) 임의의 b에 대하여, lb|＜δ이면 |Sn(x+b)-Sn(x)I<ε인 δ가존재한다 (Sn(X) 가 연속이므로 그러한 δ가 존재한다) . (2) n> N인 모든 n 에 대하여 lrn(X)|<ε인 N이 존재한다(∑ fn (x)가 수렴 하므로 그러한 N이 존재한다). (3) n>N' 모든 n 에 대하여 |rn(x+b)l<ε 인 N'가 존재한다(∑ fn (x+b)가 수령하므로 그러한 N'가 존재한다) . 따라서, 다음과 같은 결론에 이론다. lb|＜δ인 모든 b에 대하여 If(x+b) -f(x) l= ISn (x+b) +rn (x+b) -Sn (X) -rn (x) I
이 발견을 하는 과정에 아마도 세 가지 주요한 방해가 있었던 것 같다. 첫번째는 코시가 〈무한히 작은〉 양을 엉성하게 사용한 점이었다. 13)
I3) 이는 Cauchy가 그의 낡은 증명에 대하여 분명한 비판적 평가를 하는 것을 막았으며 그의 저서 [1853] (pp. 454-9)에서 그의 정리를 분명하게 형식화하는 것까지도 막았다.
두번째는 몇몇 수학자들이 N 의 무한 집합의 최대값의 존재를 가정하는 것이 이 증명에 포함되어 있다는 것을 알아차렸을지라도, 재고해 보지 않고 가정을 한 것은 아주 당연할 수도 있다는 점이었다. 최대.값 문제에서의 존재 증명은 바이어슈트라스 학파에서 처음 나타난다. 그러나 세번째의 그리고 주요한 장애 는 유클리드적인 방법론의 유행이었다-이는 19세기 초기의 수학의 선과 악 의 정신이었다. 그러나 이것을 일반적으로 논의하기 전에 푸리에 반례에 의해 코시 정리에 제기된 문제를 아벨이 어떻게 해결하는가를 보기로 하자. 본인은 그가 원시적 인 〈예의 배제〉 방법에 의해 그것을 해결하고 있음을(아니 오히려 그것을 ‘용해' 시키고 있음을) 보이겠다. 14)
I4) 위 pp. 50-8 올 보아라.
3 아벨의 예외 배제법 아벨은 이항 급수에 관한 그의 유명한 논문의 기본적인 배경 문제라고 본인 이 주장한 문제를 단지 주석에서만 진술하고 있다 15) 그는 〈내가 보기에 코시 정리에 대한 몇 가지 예의가 있는 것 같다〉라고 쓰고 있으며, 곧바로 급수 sin¢-1/2 sin 2¢.+.1/3 sin 3¢-……16)
15) Abel [1826b], p. 316. 16) Abel 은 바로 이 예가 이미 Fourier 에 의해 이러한 문맥으로 언급되었다는 것을 언급하 지못하고있다.
의 예를제시하고있다. 아벨은 〈알려진 바와 같이 이와 같은 예가 훨씬 많이 있다〉고 덧붙이고 있다. 이들 반례에 대한그의 반응은 〈코시 정리의 안전한 영역은 무엇인가?〉라고 추 측하기 시작한것이다. 이 질문에 대한 그의 대답은 이렇다. 일반적으로 해석학의 정리가 타당한 영 역, 그리고 특히 극한 함수의 연속성에 대한 정리가 타당한 영역은 멱급수로 제한된다. 이러한 기본적인 연속 원리에 대한 알려진 모든 예의들은 삼각 급수 였으며, 그래서 그는 해석학을 멱급수의 안전 경계 안으로 철수시키고 푸리에 가 소중히 여긴 삼각 급수를, 예의가 표준이고 성공은 기적인, 일종의 통제 불 가능한 정글로서 뒤에 남겨두자고 제안하였다. 1826년 3월 29일자로 한스틴Hansteen에게 보낸 편지에서 아벨은 〈불쌍한 오일러식 귀납>은 거짓되고 근거없는 일반화에 이르는 방법이라고 규정하고 그 러한 절차가 실제로 거의 재앙에 이르지 않은 이유가 무엇인가 묻고 있다. 그 의 대답은다음과같다. 내 생각에는 그 이유는 해석학에서는 멱급수로 표현될 수 있는 함수에 주로 관여 하고 있기 때문이다. 다른 함수들이 들어오자마자―이것은 아주 드물게 일어난다 —그러면, [귀납은〕 더 이상 작용하지 않고, 무한히 많은 부정확한 정리들이, 서 로 다른 것으로 이어지면서, 이들 찰못된 결론으로부터 생긴다. 본인은 이들 중 여 러 가지를 조사하였으며, 그 문제를 해결할 만큼 충분히 운이 좋았다……. 17)
17) Hansteen에게 보낸 편지(〔1826b])． 그 편지의 나머지 부분 역시 흥미로우려, Abel의 예의 배제법을 반영하고 있다. 〈일반적인 방법에 의해 진행할 때 그다지 어려움은 없으나, 매우 신중해야만 하였다. 왜냐햐견 엄밀한 증명을 하지 않고 (곧, 어떤 증명도 하지 않고) 일단 받아들여진 명제는 내부에 깊이 뿌리를 박아 매순간마다 그 이상의 검토없이 그들을 위험을 무릅쓰고 사용하게 되기 때문이다〉. 그래서 Abel 은 이들 추측을 차례차례로 검토하 였으며 그들이 타당한 영역을 추측하려고 시도하였다. 이와 같이, Descartes 식으로 절대적으로 분명한 멱급수로 스스로 제한을 가하는 것은 Taylor 전개의 엄밀한 취급에 대해 Abel 이 특별한 관심을 가지고 있었음을 설명해 준다. <모든 무한소 계산의 기초가 되는 Taylor 정리는 근거가 보다 충분한 것은 아니다. 나는 단 지 한 가지 엄밀한 증명을 발견하였을 뿐이며 그것은 『무한소 계산에 관한 강의의 개요
Resume des lecons sur le calcul infinitesimal』에 나와 있는 M. Cauchy 의 증명이다. 거 기서 그는 급수가 수렴하는 한 Φ (x+a) = Φ (x) +aΦ' (x) +a2Φ'' (x) +…… 이 될 것임을 중명하였다. 그러나 사람들은 주의하지 않고 그것을 모든 경우에 사용한다〉 (Holmboe에게 보낸 편지 [1825]).
아벨의 논문에서 우리는 다음과 갇은 제한된 형식으로 된 그의 유명한 정리 를 대하게 되는데, 이는 그가 라이프니츠의 고전적인 형이상학적 원리를 해결 하려고 고심한 데서 생겼다고 본인은 주장하는 바이다. 만일급수 fa=vo+v1α+v2α+ …+ Vmα + …… 가 α의 주어진 값 δ에 대하여 수령하면, δ보다 작은 모든 값에 대해도 수렴하 며, α가 δ보다 작거나 같으면 단조 감소하는 β의 값에 대하여 함수 f(a-β) 는 극한 fα에 무한히 접근할 것이다. 18)
18) Abel [1826b], l,p.314. 본문은 독일어로부터의 재번역이다(Crelle는 프랑스어로 된원 문을 독일어로 번역하였다) . ＊편집자 주――Abel은 a 주위의 절대값 부호를 잊은듯하다.
수학의 역사를, 변하지 않는 방법론을 기초로 한 지식의 균질적인 성장의 역 사라고 보는 현대 합리주의 수학사가들은, 전면적인 반례를 발견하고 문제가 되어 있는 반례에 의해 반박되지 않는 새로운 추측을 제안하는 누군가가, 그와 대응하는 숨겨진 보조 정리와 증명 -생성 개념을 자동적으로 발견하였다고 가 정한다. 이런 식으로 역사를 연구하는 그러한 학생들은 평등 수령의 발견을 Abel 에게 돌렸다. 그래서 권위 있는 『수리과학 백과사전 Encyclopadie der Mathematischen Wissenschaften』에서 프링스하임 Pringsheim 은 아벨이 <오늘날 평등 수령이라고 불리는 성질의 존재성을 증명하였다〉고 말하고 있다. 19) 하디 Hardy 도 그의 견해에 동조하고 있다. 하디는 그의 논문 [1918]에서 〈평등 수령에 대한 아이디어는 그 자신의 유명한 정리에 대한 아벨의 증명 가운 데 암묵적으로 들어 있다〉고 말한다. 20) 부르바키 Bourbaki 는 훨씬 더 명백하
19) Pringsheirn [1916], p. 34. 20) Hardy [1918], p.148.
게 잘못 생각하고 있다. 부르바키에 따르면, 코시는 처음에 단순 수령과 평등 수령 사이의 차이를 인지하지 못하였으며, 그 자신이 연 속인 함수의 모든 수령하는 급수는 그 합이 연속 함수라는 것을 증명할 수 있다고 생각하였다. 그 오류는 거의 곧바로 아벨에 의해 드러났는데 아벨은 갇은 시기에, 고전적인 것이 된 그리고 본질적으로 이 특별한 경우에 평등 수령에 관한 아이디어 를 사용하는 추론에 의해서 그 수령 구간내에서 모든 완전한[ ? ]급수가 연속이라는 것을 증명하였다. 후자를 일반적인 수단으로 해결하는 것만이 남았는데, 그것은 1847-8년에 스토크스 Stokes와 사이델에 의해, 그리고 1853년에 코시 자신에 의 해 독립적으로 행하여졌다. 21) 말이 많은 만큼 잘못도 많았다. 아벨은 두 종류의 수령을 동일시한 코시의 잘못을 들추어 내지 못하였다. 그의 증명은 코시의 증명이 한 이상으로. 평등 수렴의 개념을 이용하지 않았다. 아벨과 사이델의 결과는 〈특수.〉와 〈일반〉의 관 계에 있지 않다. 그것들은 수준이 전혀 다르다. 아벨은 제한되어야 할 것은 적절한 함수의 정의역이 아니라 오히려 그들이 수령하는 방법이라는 것을 알아채지도 못하였다 ! 사실 아벨에게는 단 한 종류의 수렴 곧, 단순 수렴만이 존재한다. 그리고 그의 증명의 가짜 확실성의 비밀은 그의 신중한 (그리고 운좋은) 영-정의 zero-definiti ons 에 있다.22) 우리가 아는 것처럼 멱급수의 경우에 단순수령은 평등 수령과 일치한다 ! 23)
21) Bourbaki [1949], p. 65 및 [1960],p. 228. 22) 위 pp. 50-8 을 참조하여라. 23) Abel 의 증명이 전혀 흠이 없지는 않다는 것을 알아차린 두 명의 수학자가 있었다. 한 사 람은 Abel 자신이었는데, 그는 사후에 출판된 논문 「급수에 관하여 Sur Jes Series」
([1881], p. 202)에서-성공하지는 못하였지만―그 문제에 다시 매달리게 된다. 다른 한 사람은뒤의 일반화에 대하여 언급하였는데 , 그것은 단지 그조차도 결함의 본질울 분명하게 알고 있지 못하였음울 보여줄 뿐이다. Reiff 는 그의 [1889]에서 Abel 의 정리가 타당햐쉬근 소 박한 논증으로 Sylow 의 비판을 거부하였다. Reiff 는 Cauchy 가 수령 이론의 창시자였던 반면에, Abel 은 급수의 연속성에 관한 이론의 창시자였다고 다음과 같이 말하고 있다. Cauchy 의 업적과 Abel 의 업적을 간단하 요약하면 다음과 같이 말할 수 있다. Cauchy 는 그의 『대수적 해석학 Analyse Algebrique』에서 무한 급수의 수령과 발산에 대 한 이론을 발견하였다. 그리고 Abel 은 그의 『이항 급수론 Treatise on the Binomial Series』([1889), pp.178-9)에서 급수의 연속성에 관한 이론을 발견하였다. 이것을 1889년에 말한다는 것은 확실히 건방진 무지의 일단이었다. 그러나 물론 Abel 의 정리의 타당성은 매우 좁은 영一정의에 기인하며 그 증명에 기인하지 않는다. Abel 의 논문은 그 후 Ostwald's Klassiker(Nr.71), Leipzig, 1895로 출판되었다. 주석에는 Sylow 의 논평이 어떤 언급도 없이 전재되어 있다`
역사가들을 비판하고 있는 동안에 본인은 코시 정리에 대한 첫번째 반례가 일반적으로 아벨의 업적으로 돌려져 왔다는 것을 단지 언급만 해두기로 한다. 반례가 푸리에에게서 나온다는 것을 쥬르뎅 Jourdain 만이 알아차렸다. 그러나 그는 이미 언급한 몰역사적 정신으로, 자신이 크게 감탄한 푸리에가 평등 수령 개념을 발견하는 데 가끼이 갔다는 결론을 이 사실로부터 이끌어 냈다. 24) 반례 는 인정받기 위해 무쟁하지 않으면 안 되기도 한다는 점, 그리고 인정되었을 때 자동적으로 감추어진 보조 정리와, 그것으로 문제가 된 증명 -생성 개념에 이르지 않을 수도 있다는 점을 지금까지 모든 역사가들이 간과해 왔다. 4 증명 -분석 방법의 발견 과정에서의 장애 그러나 이제 본 문제로 돌아가자. 1821 년부터 1847 년까지의 선도적 수학자 둘은 코시의 증명에서 단순한 결함을 발견하여 증명 -분석과 정리 양쪽 모두를 개선하는데 왜 실패하였는가?
24) Jourdain (1912), 2, p. 527.
첫번째 대답은 그들이 증명과 반박의 방법에 대해 알고 있지 못하였다는 것 이다. 그들은 반례를 발견한 후에 그들의 증명을 주의 깊게 분석하고 유죄인 보조 정리를 찾으려고 시도해야 한다는 것을 알지 못하였다. 그들은 발견술적 으로 불모인 예의 배제법으로 전면적인 반례를 처리하였다. 실제로, 사이델은 평등 수령에 대한 증명 -생성 개념과 증명과 반박의 방법 을 일거에 발견하였다. 그는 그의 방법론적 발견25)을 충분히 인식하고 있었으 며 그에 대하여 그의 논문에서 다음과 같이 매우 명료하게 진술하고 있다.
25) 합리주의자들은 어쨌든 방법론적 발견이 있다는 것을 의심한다. 그들은 방법론적 불변이 며 영원한 것이라고 생각한다. 실제로 방법론적 발견자들은 매우 호되게 취급당한다. 그들 의 방법이 받아동겨지기 전에 그것은 야릇한 이론으로 취급되며, 후에는 자명한 일상사로 취급된다.
정리는 보편적으로 타당하지는 않으며, 따라서 그 증명은 어떤 특별한 감추어진 가정에 의존하고 있음에 틀림없다는 방금 확실히 확립된 사실로부터 출발하면, 그 증명을 더욱 상세한 분석에 맡기게 된다. 감추어진 가설을 발견하기는 그렇게 어렵 지 않다. 그 다음에 가설로 표현된 이러한 조건이 불연속 함수를 나타내는 급수에 의해 만족되지 않는다는 것을 거꾸로 추론할 수 있다. 이와 같이 해서만 그 밖의 점 에서는 바른 증명 계열과 다른 한편으로 확립된 것 사이에 일치성이 복구될 수 있기 때문이다.26) 무엇이 사이델 이전 세대들이 이것을 발견하지 못하게 하였는가? 주된 이유 (그에 대해 이미 언급한 바 있다)는유클리드 방법론의 만연에 있다. 엄밀성에 대한 코시의 혁명은 유클리드 방법론을 미적분에 적용하려는 의식 적인 시도에 의해 동기유발이 되었다. 27) 그와 그의 추종자들은 이것이 〈해석학 의 굉장한모호함>을 쫓아낼 빛을 도입할 수 있는 방법이라고 생각하였다.28) 코
26) Seidel [1847], p.383. 27) <방법에 대해서는, 나는 대수의 일반성으로부터 이끌어낸 이유에 결코 호소하지 못하도 록, 기하에 요구하는 모든 업밀성을 그들에게 부여해야만 하였다〉(Cauchy 〔1821] 서문) · 28) Abel [1826a], p.263.
시는 파스칼의 규칙의 정신으로 나아갔다. 곧, 그는 먼저 극한, 수렴, 연속 등 과 같은 해석학의 모호한 용어를 완전하게 친근한 산술의 용어로 정의하는 것 을 착수한 다음, 그 이전에 증명되지 않았거나 완전히 명백하지는 않은 모든 것을 계속해서 증명하였다. 그런데 유클리드적인 골격내에서는 거짓인 것의 증 명을 시도할 여지가 없다. 그래서 코시는 먼저 거짓인 잡동사니를 버림으로써 현존하는 수학적 추측의 덩어리를 개선하지 않을 수 없었다. 추측둘을 개선하 기 위하여 그는 예의를 찾아 원래의 경솔하게 진술된 추측이 타당한 영역을 안 전한 분야로 제한하는 방법을 적용하였다. 곧, 그는 예의 배제법을 적용하였 다. 29)
29) 〈지나치게 확장된 주장에 유용한 제한울 가하기〉(Cauchy (1821]).
라루스 Larousse 의 1865 년 판에서 어떤 저자가(아마도 카탈란 Catalan 일 것 이다) 반례에 대한 코시의 연구의 특성을 약간 비꼬아서 기술하였다. 그는 다 음과같이 기록하였다. 그는 부정적인 학설만을 과학에 도입하였다. ……그가 명백히 하려고 마음을 쓴 것은, 사실 거의 항상, 그가 발견하게 된 전실의 부정적인 측면이었다. 곧 그가 만 일 호분에서 금을 약간 발견하였다면, 그는 분필이 오로지 탄산석회만으로 이루어지 지는 않았다는 것을 세상에 알렸을 것이다. 아벨이 홀름보에 Holmboe 에게 쓴 편지의 일부분은 코시 학파의 이 새로운 자기의 생각을 살피는 마음가짐에 대한 또 하나의 증거가 된다. 나는 (현재) 우리가 이에 관해서 일상적으로. 시안하는 가장 중요한 규칙들을 검토 하여 어떤 경우에 그것들이 적합하지 않은가를 보이기 시작하였다. 이것은 충분히 잘 진행되며, 나를 무한히 기쁘게 한다. 30) 발산하는 급수의 합에 대한 추측과 같은, 엄밀주의자들이 희망없는 쓰레기로
30) Abel [1825],p. 258.
간주한 것이 불 속에 던져진 것은 당연하였다. 31) 아벨은 〈발산하는 급수는 악마 의 소행〉이라고 기술하였다. 그것은 〈재난과 역설>을· 야기할 뿐이다. 32)
31) 당대인들은틀림없이 이러한 정화를 〈약간거칠다>고 생각하였다(Cauchy, [1821],서문). 32) Abel [1825], p. 257.
그러나, 예의 배제에 의하여 그 들의 추측을 개선하기 위해 끊임없이 노력하 는 반면, 증명에 의해 개선한다는 생각은 결코 그들에게 떠오르지 않았다. 추 측하고 증명하는 두 가지 활동은 유클리드적인 전동에서는 엄격히 분리되어 있 다. 증명이라는 이름을 받을 만하면서 아칙 결정적이 못 되는 하나의 증명이란 생각은 엄밀주의자에게는 낯설었다. 반례들은 중대하고 재난이 되는 결점으로 간주되었다. 곧, 그것들은 추측이 틀렸으며 처음부터 다시 증명을 시작해야 한 다는것을보여주었다. 이것은 18세기에 단편적인 초라한 귀납 추리가 증명이라고 불렸던 사실을 고려하면 이해할 수 있다. 33) 그러나 이들 〈증명>을 개선할 길이 없었다. 그것들 은 마땅히 〈엄밀하지 않은 증명――이는 전혀 증명이 아닌 것을 의미한다〉34) - 으로 폐기되었다. 귀납적 논증은 틀리기 쉬웠다- 그러므로 그것은 불속에 던져졌다. 연역적 논증이 그것을 대신하였다. - 왜냐하면 연역적 논증은전혀 틀림이 없다고 생각되었기 때문이다. 코시는 〈나는 모든 불확실성이 사라 지도록 하겠다〉고 공언하였다. 35) 코시의 〈엄밀히〉 증명된 정리에 대한 반박의 진가가 인정되어야 한다는 것은 이러한 배경과 대비되는 것이다. 그리고, 이러 한 반박은 동떨어진 경우가 아니었다. 오일러 공식에 대한 코시의 엄밀한 증명 에, 우리가 보아온 것처럼, 잘 알려진 〈예의〉에 대하여 언급하고 있는 논문들이 마찬가지로 뒤따라 나왔다.
33) 18세기의 형식주의논 순전한 귀납주의였다. p.102를 참조하여라. Cauchy는 그의 [1821]의 서문에서 <가끔 진리를 제시하는 데 적합〉할 뿐인 귀납을 거부하였다. 34) Abel [1826a] , p. 263. Cauchy 와 Abel 에게 〈엄밀함>은 귀납적인 것과 반대되는 연역적 인것을뜻한다. n) Cauchy [1821]，서문.
유클리드적인 방법의 기초가 되는 무오류주의 수리 철학 전체를 수정하거나, 어떻게 해서든 문제를 침묵시켜 버리는 두 가지 탈출구만이 있었다. 무오류주·
의자적 접근 방법을 개선하는 대 포함될 만한 것을 먼저 알아보자. 모든 수학 이 의심의 여지 없이 참인 자명한 것으로 환원될 수 있다는 생각과, 우리의 전 리 직관이 그에 대해 도저히 잘못을 범할 수 없는 그러한 명제가 있다는 생각 을 확실히 포기해야 할 것이다. 우리의 연역적인 추론 직관이 전혀 틀림이 없 다는 생각을 포기해야만 한다. 이들 두 가지를 받아들이는 것만이 증명과 반박 의 방법이 자유로운 발달을 할 수 있고, 연역적 증명에 대한 비판적 평가와 반 례를 다루는 문제에 그것을 적용하는 길을 열어줄 수 있을 것이다. *
* 편집자 주-이 구절은 잘못되었다는 생각이 우리에게 든다. 그리고 우리는 형식적인 연 역적 논리학을 매우 존중하게 된 Lakatos 자신이 그것을 바꿨을 것입을 의심하지 않는다. 일계 논리학은 (언어의 ‘논리적인’ 용어의 특성 규정에 관하여) 타당한 추론을 본질적으로 전혀 틀림이 없게 만드는, 추론의 타당성에 대한 성격 규정에 도달하였다. 따라서 Lakatos 가 언급한 두 가지 것 가운데 첫번째 것만을 수용할 필요가 있다. 충분히 훌륭한 〈증명 -분 석>을 통해 증명 자체에 아무런 의심도 남겨 두지 않고 공리 (혹은 정리의 전제)에 모든 의 심을 던질 수도 있다. 증명과 반박의 방법은 이 들 두 가지 가운데 두번째 것을 수용하기를 거부함으로써 (본문에서 암시되고 있듯이) 결코 쓸모 없게 되지는 않는다. 실제로 증명이 타당하도록 하기 위해 설정해야 하는 모든 가정이 명백하게 되도록, 증명이 개선되는 것은 이 방법에 의해서일 것이다.
반례가 정리뿐만 아니라 그것을 옹호하는 수학자에게도 오점이 되는 한, 그 리고 증명과 증명이 아닌 것만 있고 약점을 갖는 건전한 증명이 없는 한, 수학 적 비판은 배제된다. 수학에서 권위주의적인 전통적 패턴을 낳았으며 추측의 발표와 논의를 막고 수학적 비판의 출현을 불가능하게 한 것은 유클리드적인 방법의 무오류주의의 철학적 배경이었다. 시가 완전하다고 생각하지 않으면서 그것을 감상할 수 있기 때문에 문학 비평이 존재할 수 있다. 수학적 결과나 과 학적 결과가 완전한 진리를 산출할 때만 그것의 진가를 인정하는 가운데에서는 수학적 비판이나 과학적 비판은 존재할 수 없다. 증명이란 그것이 증명을 할 때에만 증명이다. 그리고 그것은 증명을 하든가 하지 않든가 둘 중에 하나이 다. 증명이란 결함이 없지 않아도 존경될 수 있다는-사이델에 의해 매우 분명하게 표현된-생각은 1847년에는 혁명적인 생각이었으며, 불행히 오늘 날 아직도 혁명적인 것으로 생각된다.
뉴턴의 광학의 붕괴(1810년대와 1820년대의 후레넬Fresnel의 연구를 통한) 와 비유클리드 기하학의 발견(1829년 로바체프스키 Lobatschewsky, 1832 년 볼 리아이 Bolyai에 의한)이 무오류주의적 자만을 산산히 부수어 버린, 1840년대 에 증명과 반박의 방법의 발견이 일어난 것은 우연한 일치가 아니다. 36)
36) 같은 10년간 Hegel 철학은 무오류주의자인 그 선행자와의 관계를 근본적으로 단절시키고 같은 지식에 대한 전혀 참신한 접근을 강력하게 출발시켰다(Hegel 과 Popper는 현대 철 학에 유일한 오류주의자의 전통을 대표하고 있지만 그들조차도 양쪽 다 수학에 특권적인 무 오류적 지위를 유보해 두는 오류를 범하였다) . 다음과 같은 de Morgan 으로부터 인용한 구절은 40년대의 새로운 오류주의자의 마음가짐을 보여주고 있다. 어떤 어려움을 제공하는 모든 것을 거부하거나 명백한 모순을 검토하는 어떤 수고를 하 지 않고는 어떤 결론도 나오지 않는 모든 것을 거부하는 성향기 가끔 나타난다. 만일 이 것이, 주장이 전면적으로 참이 아닌 것으로 영구히 사용되고 암묵적으로 신용되는 것은 아무것도 없다는 것을 뜻한다면, 나로서는 그러한 합리적인 과정에 반대해서는 안 될 것 이다. 그러나 그것이 그 개요 전부가 이해될 수 없는 것은 어떤 것도, 경고하고 하건 경 고 없이 하건, 학생들에게 제시해서는 안 된다는 것이 함의된다면, 내 견해로는 실제로 알려진 것에 대해 잘못된 것을 제공할 뿐만 아니라 발견의 진전을 멈추게 하는 경항이 있 을 것 같은 제한에 대해, 죄송하지만, 항의하지 않을 수 없다. 수리 과학이 그 모든 부문 에서 많은 사람들이 상정하고 있는 완성된 정확성의 모델이라는 것은 기하를 제의하고는 사실이 아니다. 해서하의 맨 끝의 경계는 항상 경계 너머의 행로가 절대적으로 알려져 있 지 않으므로 불완전하게 이해되어 왔다. 그러나 확립된 나리를 확장하는 길은 그 내부로 국한함으로써가 아니라(이 조건은 예의 배제법에 대한 것이다) , 발견의 항해를 함으로써 있어 왔으며, 나는 학생이 이런 방식으로 훈련되어야 한다고, 다시 말해 학생에게 내부를경작하는 방법과 마찬가지로 경계를 검토하는 방법을 가르쳐야 한다고 완전히 확신한다. 따라서 나는 연구의 후반부에서는 내가 의심스럽다고 부르고 싶지 않은 여러 방법의 사용 을 결코 망서리지 않았다. 왜냐하면, 그들은 완성되지 않은 채 제시되며, 의심은 불만족 스러운 비판가의 것이 아니라 기대에 찬 학습자의 것이기 때문이다. 경험은 흔히 결함이 있는 결론이 끈기 있는 사고에 의해 지성적이고 엄밀하게 되어 왔음을 보여주었으나, 그 보다 앞서 결코 제시된 일이 없는 결론에 대해 그러한 사고를 누가 할 수 있는가? 의심 스러운 점에 대한 논의의 여지를 전혀 제공하지 않는 그러한 수학의 부분에만 오로지 주 목한 결과는 해석학의 확장에 절대적으로. 필요한 행동 양식에 재해가 된다. 고등 수학의 개발이 그러한 목적으로 훈련된 사람들에게 남겨진다면 추상적인 과학의 해결되지 않은 부분뿐만 아니라 순수하게 사색적인．부부분까지도 보통 학생들의 힘이 미치지 못하게 하고, 전자를 명료하게 하고 후자를 적용할 수 있게 만드는 것이 그들의 일이 되는 사람들을 위
해 그것을 유보해 두는 이유의 제시가 있을 법도 하다. 그러나 그렇기 때문에 이 나라에 서 수학 그 자체를 위해 수학의 어떤 어려움에 주목하는 국소수의 사람은 취향이나 상황 에 희생되어 연구를 수행하며, 그러한 회생자의 수는 보다 높은 응용· 수학 분야에 관해 공부할 능력이 있는 모든 학생들에게 각자가 물질 과학에서의 현재의 이용보다 도리어 미 래의 발전을 좌우하는 해석학 분야의 개발에 이를 기회를 갖도록 허용함으로. 증가되어야 한다(de Morgan [1842], p. vii),
증명과 반박의 방법이 발견되기 이전에는 〈엄밀하게 증명된〉 정리에 대한 일 련의 반례들에 의해 제기된 문제는 예외 배제법에 의해서만 <해결>될 수 있었을것이다. 증명은 정리를 증명한다. 그러나 그것은 정리가 타당한 영역이 무엇인가 하는의문을 미해결로 남긴다. 우리는 <예외>들을 언급하고 주의깊게 배제함으로써이 영역을 결정할 수 있다.(이러한 완곡어법은 그 기간의 특징적인 것이다) 그다음에 이들 예외들은 그 정리의 공식화에 넣어 쓰여진다.예의 배제법의 지배는 어떤 결정적인 문제 상황에서 유클리드적 방법이 수학 발달에 얼마나 해로운 영향을 미쳤는가를 보여준다. 이들 문제 상황의 대부분 은 성장하는 수학 이론에서 일어나는데, 거기에서 성장하는 개념들은 발전의 수단이며, 가장 홍미진전한 발달은 개념의 경계 영역을 탐구하고, 확장하고, 앞서 미분화된 개념들을 분화하는 데서 야기된다. 이들 성장하는 이론에서 직 관은 미숙하고 비틀거리며 잘못을 범한다. 그러한 성장 기간을 거치지 않는 이 론은 없다. 더욱이 이러한 기간은 역사적 관점에서 가장 홍미전전한 것이며, 교육의 관점에서 가장 중요하게 다루어져야 할 것이다. 이 기간은 증명과 반박 방법의 이해 없이는, 그리고 오류주의적 접근방법을 태하지 않고서는 적절히 이해될 수없다. 이것이 유클리드가 특히 수학서에 대해, 그리고 도입 수준과 창조적 수준 양 쪽 모두에서 수학 교육에 대해 사악한 천재이었던 이유이다. 37)
37) R. B. Braithwaite 에 따르면, 〈수학과 자의식이 강하지 않은 과학의 훌륭한 천재인 Euclid는 과학 철학 그리고 실로 철학의 사악한 천재였다〉(Braithwaite [1953],p.353). 이러한 진술은 그러나 정적인 논리주의자적인 수학의 개념에서 비롯된 것이다.
* 주―이 부록에서는 증명과 반박 방법의 보충 단계 5, 6, 7 (p. 194 를 참 조하여라)은 논의되지 않았다. 나는 여기서 다른 증명에서의 평등 수렴에 대한
방법론적인 탐색이 (5 단계) 매우 빨리 코시에 의해 증명된 다른 정리, 곧 연속 인 함수의 임의의 수령하는 급수의 극한의 적분은 각 항의 적분의 수열의 극한 과 같다는 정리, 곧 간단히 말하면, 연속 함수의 급수의 경우에 극한과 적분 연산은 교환 가능하다는 정리의 반박과 개선을 가져왔을 것이라는 것만을 언급 해 두고자 한다. 이것은 18 세기 전기간에 걸쳐 의론의 여지가 없었으며 가우 스Gauss조차 그것을 반성해 보지 않고 적용하였다(Gauss [1813],Knopp [1928] 및 Bell [1945]를 보아라) . 그런데, 1847년 평등 수령을 발견한 사이델에게, 그것이 암묵적으로 가정되 었는지 알아보기 위하여 다른 증명을 살펴본다는 생각이 떠오르지 않았다. 같 은 해에 평등 수령을 발견한 스토크스Stokes는, 증명과 반박의 방법 덕분은 아니지만, 같은 논문에서 모아뇨 Moigno 를 인용하면서 급수의 적분에 대한 틀 린 정리를 이용하고 있다(Stokes [1848] ; 스토크스는 또 다른 오류를 범하였다. 그 는 평등 수령이 극한 함수가 연속이기 위한 충분조건일 뿐만 아니라 필요조건임을 증 명하였다고 생각하였다)． 급수의 적분도 평등 수령의 가정에 의존한다는 증명을 발견하는 데 이렇게 지체된 것은 분석이 반례에 의해서 촉매작용이 미쳐짐이 없이 증명 -분석이 증명에서 평등 수령을 추적한 시기인, 1875 년에 비로소 (Darboux 〔1875]) 이 원시적인 추측이 구체적인 반례에 의해 반박되었다는 사 실에 기인하였을 수도 있다. 바이어슈트러스를 필두로 하여 일단 전면적으로 진행 중에 있는 평등 수령의 탐색은 곧바로 항별 미분, 이중 극한 등에 관한 증명에서 그 개념을 발견하게 되었다.여섯번째 단계는 반박된 원시적인 추측에서 나온 귀결로서 지금까지 수용된것을 검사하는 것이다. 이들 귀결을 구할 수 있는가 아니면 보조. 정리의 반박 은 비참한 대학살에 이르는가? 항별 적분은, 예를 들어, 푸리에 추측에 대한 디리클레의 증명의 초석이었다. 듀 보아 레이몽Du Bois-Reymond은 그러한 상황을 극적인 용어로 다음과 갇이 기술하고 있다. 삼각급수의 이론은 〈심장까 지 잘리고〉, 그 두 가지 주요 정리는 〈그 근저부터 잘렸다〉. 그리고, 단번에 일반적인 이론은 디리클레 이전의 상태로, 더욱 푸리에 전까지로 되밀려
보내졌다(du Bois-Reymond [1875], p. 120). 어떻게 그 〈잃어 버린 땅〉이 회복되었는지를 알아보는 것은 흥미를 자아내는 연구가될 것이다. 이러한 과정에서 대량의 반례가 발굴되었다. 그러나, 그들에 대한 연구―방법의 일곱번째 단계――는 그 세기의 마지막 해에 겨우 시작되었다(예를 들면, 비평등 수렴점의 분류와 분포에 관한 양 Young 의 연구, Young [1903-4] ) .
부록 Il 연역주의자의 접근법 대 발견적 접근법 1 연역주의자의 접근법 유클리드적인 방법론은 일정한 의무적인 진술 양식을 발전시켰다. 나는 이것 을 〈연역주의자의 양식〉이라고 부를 것이다. 이 양식에서는 고심하여 진술된 공 리, 보조 정리, 정의의 목록으로부터 시작된다. 공리와 정의들은 종종 인공적 이며 어리둥절할 정도로 복잡해 보인다. 이와 같이 복잡한 것이 어떻게 생겨났 는지에 대하여 아무도 이야기해 주지 않는다. 정의와 공리의 목록에 이어서 조 심스럽게 표현된 정리가 뒤따른다. 정리에는 운신하기 힘든 조건이 실린다. 그누가 전에 그것을 추측했다는 것은 불가능해 보인다. 정리 뒤에는 증명이 뒤따른다. 수학을 배우는 학생은 유클리드적인 의식에 따라서, 그 배경에 대해서 어떻 게 이러한 요술이 수행되는가에 대하여 질문하는 일 없이, 이와 같은 요술부리 는 활동에 참여하지 않으면 안 된다. 만일 학생이 우연히 부적당한 정의 중 몇 가지가 증명 -생성된 것임을 발견한다면, 또 만일 이러한 정의, 보조 정리, 정 리 등이 어떻게 증명보다 앞설 수 있는 것인지에 대하여 그저 의심을 한다면,
요술사는 그가 수학적 미숙함을 이렇게 드러냈다고 하여 그를 추방할 것이 다.38)
38) 어떤 교과서에서는 독자에게 어떤 사전 지식을 가질 것을 기대하지 않으며 단지 어느 정도 의 수학적인 성숙만을 기대한다고 공언한다. 이는 종종 그들이 독자가 문제의 배경과 논증 이면의 발견술에 대한 어떤 부자연스러운 관심도 갖지 않고 유클리드적인 논증만을 받아들 이는 <능력>을 날 때부터 부여받기를 기대하고 있음을 뜻한다.
연역주의자의 양식에서는 모든 명제는 참이고 모든 추론도 타당하다. 수학은 영원히 변치 않는 전리의 계속 증가하는 집합으로 제시된다. 반례, 반박, 비판 등은 도저히 들어울 수 없다. 위장된 괴물 배제 정의와 증명 -생성 정의, 어엿 한 정리에서 시작함으로써, 또 원초적인 추측, 반박, 증명에 대한 비판을 억압 함으로써 이 과목에는 권위주의적인 분위기가 확보된다. 연역주의자의 양식은 두쟁을 숨기고 모험을 숨긴다. 전체적인 이야기는 사라져 버리고, 증명 절차를 거치는 과정에서의 그 정리에 대한 일련의 시험적인 형식화는 망각되도록 운명 지어진 반면, 최종 결과는 성스러운 무오류성을 지닌 것으로 치켜세워진다. 39)연역주의자의 양식을 옹호하는 어떤 사람들은 연역은 수학에서의 정해진 발
39)현재의 과학 교육과 수학 교육은 권위주의의 온상이며 독립적이고 비판적인 사고의 가장나쁜 적이라는 사실이 아직도 충분히 자각되지 못히교 있다. 수학에서 이 권위주의는 방금 기술한 연역주의자의 패턴을 따르는 반면, 과학에서 그것은 귀납주의자의 패턴에 따라 조작된다. 과학에는 오랜 전통의 귀납주의자 양식이 있다. 이러한 양식으로 쓰여진 이상적인 논문은 실험 설계에 대한 정성들인 기술로 시작하여 실험과 그 결과에 대한 기술이 뒤따른다. 어떤 <법칙>이 논문에 결말을 지을 수도 있다. 문제 상황, 실험으로 검사해야 했던 추측은 숨어버 린다. 저자는 비어 있는 순결한 마음울 자랑한다. 그 논문은 실제로 문제 상황을 알고 있는 한 두 사람에 의해서만 이해될 것이다. 귀납주의자의 양식은, 과학자는 실제로 아이디어로 가득 찬 정신으로 출발하는 반면에, 그의 연구를 비어 있는 정신으로 시작하는 듯한 겉치레 를 반영한다. 이러한 게임은 어떤 선택된 전문가들의 조합에 의해서 그리고 그를 위해서 ―항상 성공적인 것은 아니지만――행해질 수 있을 뿐이다. 귀납주의자의 양식은 연역주 의자인 그 쌍둥이 쪽(대응자는 아니다 ! ）과 꼭 마찬가지로 객관성울 주장하는 동안에 실제 로 사적인 조합 언어를 육성하고, 과학을 원자화하며, 비판을 질식시키고, 과학을 권위주 의적인 것으로 만든다. 반례는 그와 같은 관념 가운게에서는 결코 일어날 수 없다. （이론 이 아니라) 관찰로 시작하는바, 분명히 어떤 앞서의 이론을 갖고 있지 않으면 반례를 관찰 할수없다.
견적 패턴이며, 발견의 논리는 연역이라고 주장한다.40) 다른 사람들은 이것이 참이 아니라는 것을 인식하지만, 이러한 인식으로부터 수학적 발견은 완전히 비합리적인 사건이라는 결론을 이끌어 낸다. 따라서 그들은 수학적 발견이 연 역적으로 진행하지는 않지만 만일 수학적 발견의 제시가 합리적으로 진행되기 를 원한다면 연역주의자의 양식으로 진행되어야 한다고 주장할 것이다. 41)
40) 이러한 사람들이 주장하기로는 수학자들은 공허한 정신으로 출발하며 , 장난삼아 하는 자 유로운 창조적인 활동 과정에서 하고 싶은 대로 공리와 정의를 설정한다. 그리고, 그들이 이들 공리와 정의로부터 정리를 연역하는 것은 그 후의 단계에서일 뿐이다. 만일 어떤 해석 으로 공리가 참이면 정리는 모두 참일 것이다. 진리를 나르는 수학적인 콘베이어 벨트는 실 수할 리가 없다. 우리가 증명 절차에 대한 사례 연구를 한 후에, 이러한 생각은 일반적으로 연역주의자의 양식을 옹호하는 주장으로서 배제될 수 있다――만일 우리가 수학을 형식적 체계로 제한하는 것을 받아들이지 않는다면. 그런데 Popper 가 귀납이 과학적 발견의 논리라고 주장하는 사람등기 틀렸음을 보인 반 면에 , 이 논문은 연역이 수학적 발견의 논리라고 주장하는 사람들이 틀렸음을 보일 작정이 다. Popper 가 귀납주의자의 양식을 비판한 반면에 이 논문은 연역주의자의 양식을 비판하 고자한다.4I) 이러한 신조는 형식주의 수학 철학의 대부분의 형태의 본질적인 부분이다. 형식주의자들은 발견에 대하겨 이야기할 때 한건의 문맥 the context of discovery 과 정당화의 문맥 thecontext of justification 을 구별한다. 발견의 문맥은 심리학적 분석에 맡겨진다. 반면에 논리학은 정당화의 문맥과 관련된다〉. (Reichenbach [1947] , p. 2) . 바슷한 견해를 R B. Braithwaite [1953],p.27과 K.R.Popper의 [1959],pp.31-2와 그의 [1935]에서도 찾 아볼 수 있다. Popper 는 독립된 탐구 분야로서의 발견술에 아무런 여지도 남겨 놓지 않는식으로 발견의 제측면을 심리학과 논리학 사이에 분배할 때 (실제로 1934년에)， 그의 <발견의 논리까 과학 진보의 바로 엄격하게 논리적인 패턴 이상임을 분명히 인식하지 못하였다. 이것이 이 책의 제목의 역설적인 성격의 근원이다. 그 주제는 양면을 갖고 있는 듯하 다. 곧 (a) 과학적 발견의 논리는 없다――Bacon과 Descartes는 양쪽 다틀렸다. (b) 과학적 발견의 논리는 추측과 반박의 논리이다. 이러한 역설의 해답은 바로 가까이에 있다. 곧 (a) 과학적 발견의 무오류주의자의 논리, 전혀 틀립이 없이 결과에 인투늄 논리는 없 다. (b) 과학 전보의 논리인 오류주의자의 발견의 논리가 있다. 그러나 이러한 발견의 논 리의 기초를 놓은 Popper 는 그의 탐구의 본성이 무엇인가에 대한 초문제에는 관심이 없었 으며, 이것이 심리학도 논리학도 아니며, 독립적인 학문긴 발견의 논리, 발견술임을 인식 하지못하였다.
따라서 우리는 오늘날 연역주의자의 양식에 대한 두 가지 논거를 가지고 있
다. 그 하나는 발견술은 합리적이고 연역주의자식이라는 생각에 근거한 것이 다. 두번째 논거는 발견술은 연역주의자식이 아니지만 합리적이지도 않다는 생 각에 근거한것이다. 또한 제 3의 논거가 있다. 논리학자와 철학자, 그리고 그들의 연구에 간섭하 는 다른 괴짜들을 좋아하지 않는, 연구에 종사하는 수학자들은 다음과 같이 말 한다. 발견적 양식의 도입은 교과서의 재집필을 요구할 것이고, 교과서를 너무 길게 만들어 결코 끝까지 읽을 수 없게 할 것이다. 논문 또한 훨씬 길어질 것 이다. 42) 이러한 범속한 논거에 대한 대답을 시도해 보자는 것이다.
42) 문제―상황에 대한 진술 또한 명백히 논문 중 꽤 많은 것들이 적절하지 못함을 드러낼 것 이므로, 논문 또한 훨씬 더 적어질 것임을 인정해야 하지만.
2 발견적 접근법. 증명 -생성 개념 본 절에는 몇 가지 수학적으로 중요한 증명 -생성 개념의 간단한 발견적 분 석이 포함될 것이다 .. 이러한 분석이 수학적 양식에 발견적 요소를 도입하는 것 이 유익함을 보여주기를 바란다. 이미 언급한 바와 감이, 연역주의자의 양식은 증명 -생성 정의를 그 〈증명 전 신 proof-ancestors〉으로부터 잡아떼어 그것들을 인공적이고 권위주의적인 방법 으로 불시에 제시한다. 그것은 그들이 발견되도록 안내한 전면적인 반례를 숨 긴다. 발견적 양식은 반대로 이들 요인을 강조한다. 그것은 문제 상황를 강조 한다. 곧, 새로운 개념을 탄생시킨 〈논리>를 강조한다. 먼저 위 (부록 I)에서 논의한 평등 수렴에 대한 증명 -생성 개념을 어떻게 발 견적 양식으로 도입할 수 있는지를 보기로 하자. 이 예에서나 다른 예에서 우 리는 증명과 반박의 방법에 대한 전문 용어에 친숙한 것으로 확실히 가정한다. 그러나 그것은 공리, 원시 용어 등과 갇은 유클리드적인 프로그램의 전문 용어 와 친숙함을 흔히 요구하는 것 이상 바라는 것은 아니다.
(a) 평등 수렴 테제 ; 라이프니츠의 연속성의 원리의 특수한 해석, 곧 연속 함수의 임의의 수렴하는 수열의 극한 함수는 연속이다(원초적 추측).안티데제 ; 코시의 연속성의 정의는 테제를 보다 높은 수준으로 끌어올린다.그의 정의에 의한 결정은 푸리에의 반례를 공인한다. 동시에 이 정의는 연속성이 수직선에 의해 복구된다는 있음직한 타협안을 배제하고 따라서 몇 가지 삼 각급수와 함께 안티테제의 음극을 발생시킨다. 〈양극>은 평등 수령의 증명 전신 이 될 코시 증명에 의해 강화된다. 〈음극>은 원초적 추측에 대한 점점 더 많은전면적인 반례에 의해 강화된다. 진테제 ; 전면적인 반례가 또한 국소적인 반례가 되는 그러한 유죄인 보조 정리가 발견되고 증명이 개선되고 추측이 개선된다. 진테제의 특징적인 구성 요소가 드러난다. 곧, 정리 및 그와 함께 평등 수렴이란 증명 -생성 개념이 나타난다.43)
43) 어떤 이유에서, 평등 수령은, 어떤 교과서에서는, 예의적인 (준 발견적인) 취급을 하기 위 해 뽑아내 진다. 예를 들어, W.Rudin은 그의 [1953]에서 「주요 문제에 대한 논의」(p. 115)란 절을 처음으로 도입하고 있는데 , 거기서 그는 원초적인 추측과 그 반박을 제시하고 그리고 나서 비로소 평등 수렴의 정의를 도입하고 있다. 이러한 진술은 다음 두 가지 홈이 있다. (a) Rudin 은 원초적인 추측과 그 반박만을 제시하고 있는 것이 아니라, 도리어 원 초적인 추측이 참인지 거짓인지를 묻고, 잘 알려진 예에 의해 거짓임을 보이고 있다. 그러 나 이렇게 함으로써 그는 무오류주의자의 양식을 넘지 않고 있다. 그의 〈문제―상황〉 가운 데에는 추측은 없고 도리어 날카롭고 정교한 질문이 있으며, 확고한 대답을 제공하는 (반례 가 아니라) 예가 뒤따른다. Rudin 은 평등 수령의 개념이 증명으로부터 생긴다는 것올 보 이고 있지 않으며, 도리어 그의 진술에서 정의가 증명에 선행한다. 이는 연역주의자의 양식 에서 달리 될 수가 없을 것이다. 왜냐하면 만일 그가 먼저 원래의 증명을 제공하고, 그리고 나서 비로소 반박에 뒤따라 개선된 증명, 증명 -생성 정의가 나온다면, 〈영원히 정적인〉 수 학의 움직임 , Euclid 적인 전통과 모순되는 〈전혀 틀림이 없는〉 수학의 오류 가능성을 드러 냈을 것이다(Rudin 의 책을 계속 인용하고 있는 것은 그 책이 이러한 전통에 따른 가장 훌 륭한 교과서 중 하나이기 때문임을 아마도 덧붙여 두어야 할 것이다)． 서문에서, 예를 둘 어, Rudin 은 다음과 같이 말한가. 〈어떤 정리의 가정이 결론의 타당성을 보증하는 데 참으 로 필요하다는 것을 명백하게 보이는 것이 특히 초보자를 위하여 중요한 듯하다. 이러한 목
적으로 꽤 많은 수의 반례가 교과서 가운데 포함되었다〉. 불행히도 이들은 실제로 정리에 모든 가정을 포함시키려면 수학자들기 얼마나 현명해야 하는가를 보이는 예이므로 가짜 반 례이다 그러나 이들 가정이 어디에서 나오는가 하는 것, 그들은 증명 아이디어로부터 나온 다는 것, 정리는 Pallas Athene 가 Zeus 의 머리로부터 완전무장을 하고 나오듯이, 수학자 의 머리로부터 튀어나오지 않는다는 것을 그는 말하고 있지 않다. 그가 <반례>란 용어를 사 용하고 있다는 것이 오류주의자의 양식을 기대하도록 우리를 오도해서는 안 될 것이다. * 편집자 주 __ Rudin 의 연구에 대한 Lakatos 의 모든 소견은 이 책의 첫번째 판에 근거 하고 있다. Lakatos 가 인용한 모든 구절을 1964년에 나온 제 2 판에서는 찾아볼 수 없 다.
여기서 내가 사용하고 있는 헤겔식 언어는 수학의 다양한 발달을 일반적으로 기술할 수 있다고 생각된다(그러나, 그것은 매력과 동시에 위험성도 있다). 그 언어의 기초를 이루는 발견술의 헤겔적 개념은 대략 다음과 같다. 수학적 활동은 인간의 활동이다. 이 활동의――어떤 인간의 활동도 마찬가 지로_＿어떤 측면은 심리학에 의해서 연구될 수 있고 다른 측면은 역사에 의 해서 연구될 수 있다. 발견술은 이러한 측면에 대해서는 주된 관심을 갖지 않 는다. 그러나 수학적 활동은 수학을 생성해 낸다. 수학, 인간 활동의 이 생산 물은 그것을 생산해 낸 인간 활동으로부터 〈자신을 멀리 한다〉. 그것은 살아 있 고 성장하는 유기체가 되어 그것을 생산해 내었던 활동으로부터 어떤 일정한 자율성을 획득한다. 곧 그것은 그 자신의 자율적인 성장 법칙, 그 자신의 변증법을 발전시킨다. 진정한 창조적인 수학자는 바로, 인간 활동으로 자신을 실현 할 수 있을 뿐인, 이러한 법칙의 인격화이고 화신이다. 그러나 그러한 법칙의 화신은 거의 완전하지 못하다. 인간 수학자의 활동은 역사에 나타난 것처럼 수 학적 아이디어에 대한 놀라운 변증법을 더듬어 찾아 구현할 뿐이다. 그러나 어 떤 수학자도 그가 재능, 번뜩임, 소질을 갖고 있다면 이러한 아이디어의 변증 법과의사소통을하고, 그 굴곡을느끼며, 그에 복종한다.44)
44) 소원케 된 alienated 인간 활동의 자율성에 대한 이러한 Hegel 식 관념은 사회과학, 특히 경제학의 상태와 방법론에 관한 몇 가지 문제에 단서를 제공할 수도 있다. 수학자를 수학의 불완전한 인격화로 보는 나의 생각은 자본가를 자본의 인격화로 보는 Marx 의 생각과 매우 유사하다. 불행히도 Marx 는, 이러한 인격화의 불완전한 성격과 이러한 과정의 실현에 대 해 움직일 수 없는 것은 아무것도 없다는 것을 강조하여 그의 생각을제한하지 않았다. 그 와 반대로 인간의 활동은 소원케 된 과정의 자율성을 항상 억누르거나 왜곡할 수 있으며 새
로운 것을 일으킬 수 있다. 이러한 상호 작용을 등한시한 것이 Marx 주의자 변증법의 중심 적인 약점이었다.
그런데, 비록 발견술은 그 주제를 역사의 연구를 통해서, 그리고 역사의 합 리적 재구축을 통해서만 연구할 수 있다 하더라도, 발견술은 수학의 자율적 변 증법과 관계하며, 그 역사와 관계하지 않는다. *
* 편집자 주 - 리는 Lakatos 가 어떤 점에서 이 구절을 수정하였을 것이라는 느낌이 확 실히 든다. 왜냐하면, 그의 Hegel 적 배경의 지배력이 그의 연구가 진전되면서 점점 약해 졌기 때문이다. 그러나 그는 인간의 지적 노력의 산물이 부분적인 자율성를 갖는다는 것을 인식하는 것이 중심적으로 중요하다는 신념을 유지하였다. 명제로 이루어진 객관적인 내용 의 이러한 세계에는(Popper는그것을 ‘제 3세계'타고부르게 되었다. 그의 [1972]를보아 라) 그들에 대한 우리의 인식과 무관하게 (예를 들어, 명제 사이의 논리적 모순에 의해 야 기된) 문제가 존재한다. 따라서 우리는 지적인 문제를 발견 (발명하기보다)할 수도 있다. 그러나 Lakatos 는 이러한 문제들이 어떤 해답을 <요구>하거나 그들 자신의 해를 지시하지 않는다고 믿게 되었다. 도리어 인간의 재간(다가을 수도 않을 수도 있는)이 그 해결에 요 구된다. 이러한 견해는 위의 주석에서의 Marx 에 대한 비판에서 예감되고 있다.
(b) 유계 변동 유계 변동 bounded variation 의 개념이 일반적으로 해석학 교과서에 도입되 는 방법은 권위주의적인 연역주의자 양식의 아름다운 한 보기이다. 다시 루딘 Rudin 의 책을 인용해 보자. 리만—스틸체스 Riemann — Stieltjes 적분에 관한장의 중간에 갑자기 그는 유계 변동인 함수의 정의를 도입하고 있다. 6.20. 정의. f가 [a,b] 위에서 정의된다고 하자. V(f) =lub∑ lf(xi)-f(xi-1)I i=I 라고 놓자. 여기서 lub는 [a,b]의 모든 분할에 대하여 취한다. V(f)가 유한 일 때 f를 [a,b] 위에서 유계 변등이라고 하고 V(f)를 [a,b]위에서의 전변동 total variation 이라고 한다. 45)
45) Rudin [1953], pp. 99-100.
왜 우리는 바로 이러한 함수의 집합에 관심을 가져야 하는가? 연역주의자의 대답은 이렇다. 〈기다려 보아라〉. 따라서 기다리고 설명을 따라 이해하도록 노 력해 보자. 정의에 뒤따라 그 개념의 영역에 대한 몇 가지 아이디어를 독자에 게 주도록 고안된 보기가 나온다(이것이, 또한 이것과 같은 것이 루딘의 책을 연역주의의 전통 가운데에서 눈에 띄게 훌륭하게 만들고 있다)． 그 다음-일련 의 정리 (6.22, 6.24, 6.25) 가 뒤따른다. 그리고 나서 갑자기 다음과 같은 명제가 나온다. 따름 정리 2 ; [a,b]위에서 f가 유계 변동이고 g가 연속이면, fER*(g)46) (R*(g)는 g에 관해서 적분 가능한 리만-스틸체스 함수족이다). 만일 우리가 리만―스틸체스 적분 가능한 함수가 바로 왜 그렇게 중요한가 를 정말로 이해한다면 이 명제에 좀 더 홍미를 갖게 될 것이다. 루딘은 직관적 으로 가장 명백한 적분 가능성, 곧 그에 대한 비판이 리만 적분 가능성에 이른 그러한 코시 적분 가능성에 대한 개념을 언급조차 하지 않고 있다. 그래서 이 제 우리는 두 가지 신비스러운 개념, 곧 유계 변동과 리만 적분 가능성이 나타 나는 하나의 정의를 얻었다. 그러나 두 가지 불가사의는 이해에 보탬이 되지 않는다. 혹은 어쩌면 그것들은 〈일련의 추상적 사고를 추구하는 능력과 성향>을가진 사람들에게는 이해가 될 것인가? 47) 발견적인 진술에서는 두 가지 개념, 곧 리만―스틸체스 적분 가능성과 유계 변동은 한 가지 같은 증명 곧 푸리에 추측에 대한 디리클레의 증명에서 비롯되 는 증명 -생성 개념임을 보일 것이다. 이러한 증명은 그 두 개념 모두의 문제 배경을 제공한다. 48)
46) 같은 책, p.106. 47) Rudin [1953],서언. 48) 이러한 증명과 그것을 요약하는 정리는 실제로 Rudin 의 책 가운데 언급되어 있지만, 제 8장연습문제 17(p.164) 가운데 숨겨져 버려, 권위주의적 방식으로도입된 위의 두개념 과 완전히 분리된다.
그런데, 푸리에의 원초적인 추측 49)은 어떠한 신비스런 용어도 포함하고 있지 않다. 유계 변동의 이러한 〈추측-전신 conjecture-ancestor>은 임의의 함수는 푸리에 전개 가능하다50)는 것이며, 이는 단순하며 몹시 홍미를 자극하는 추측 이다. 그 추측은 딜리클레에 의해 증명되었다. 51) 디리클레는 그의 증명을 주의 깊게 검토하고, 푸리에의 추측에 보조 정리를 조건으로 짜 넣어서 그것을 개선 시켰다. 이들 조건이 유명한 디리클레의 조건이다. 그결과 생긴 정리는 다음과 같은 것이었다. (1) 비약 점에서의 그 값이 ½[f(x+o) +f(x-o)］이고, (2) 단지 유한 개의 불연속 점을 가질 뿐이며 , (3) 단지 유한 개의 극대 국소만을 갖는, 모든 함수는 푸리에 전개 가능하다. 52)
49) Fourier [180이, p.112, 50)
이러한 모든 조건은 증명에서부터 흘러나온다. 디리클레의 증명 -분석은 세 번째 조건에 대해서만 잘못되었다. 사실 그 증명은 함수의 유계 변동 여하에 달려 있을 뿐이다. 디리클레의 증명 -분석은 1881 년 조르당 C. Jordan 에 의해 비판을 받고 그의 오류는 수정되었다. 조르당은 그렇게 해서 유계 변동 개념의 발견자가 되었다. 그러나 그는 그 개념을 발명하지 않았고, <도입〉하지도 않았 다. 53) 그는 오히려 디리클레의 증명을 비판적으로-재검토하는 과정에서 그것을
53) 갑자기 어떤 개념을 <도입>하는 것은 연역주의자의 양식으로 쓰여진 역사에서 매우 자주 호소하는 마법과 같은 조작이다 !
발견하였다.54)
54) .Jordan [1881]과 Jordan [1893], p.241을 보아라. Jordan 자신은 그가 Dirichlet 의 증 명을 수정하지 않고 그의 정리만을 수정하였음을 강조한다(… Dirichlet 의 증명은 따라서 진동이 제한되어 있는 모든 함수에 수정 없이 적용 가능하다……) . 그러나, Jordan 의 정 리가 Dirichlet 의 정리보다 〈외관상 더 일반적일 뿐싸라고 Zygmund 가 말하고 있는 것은 잘못이다(Zygmund [1935], p.25). 이는 Jordan의 증명에 대해서는 참이지만 그의 정리 에 대해서는 참이 아니다. 그러나 동시에 Jordan 이 Dirichlet 의 정리를 유계 변동인 함수 의 보다 더 일반적인 영역으로 〈확장하였다>고. 말하는 것은 오해되기 쉽다(예를 들어, Szokefallvi-Nagy [1954], p. 272) . 또한 Carslaw 도 그의 [193이에 대한 〈역사적인 서설〉 에서 증명 -분석에 대한 유사한 이해 부족울 보여주고 있다. 그는 Dirichlet 의 증명이 유계 변동에 대한 증명 -생성 개념의 증명 전신임을 알아차리지 못하고 있다.
디리클레 증명에서의 또 다른 약접은 연속 함수에만 적당한 도구인 적분에 대한 코시의 정의를 사용하였다는 점이다. 코시의 정의에 의하면 불연속 힘수 는 전혀 적분 가능하지 않으며, 바로 그 사실에 의해 푸리에 전개 가능하지도 않다.디리클레는 불연속 함수의 적분을 함수가 연속인 구간 위에서의 적분의 합으로 여김으로써 이 어려움을 피하였다. 이것은 불연속 점의 수가 유한인 경 우에는 쉽게 행해질 수 있으나, 불연속 점의 수가 무한인 경우에는 곤란에 부 딪히게 된다. 이것이 리만이 코시의 적분 개념을 비판하고 새로운 것을 발명한 이유이다. 그렇게 해서 유계 변동과 리만 적분에 대한 두 가지 신비스러운 정의는 권위 주의적 마력을 빼앗기고 마법으로부터 구출되었다(entzaubert). 그것들의 기원 은 몇 가지 명쾌한 문제 상황에까지, 그리고 이들 문제에 대하여 앞에서 시도 된 해답에 대한 비판에 이르기까지 추적될 수 있다. 첫번째 정의는 디리클레에 의해 잠정적으로 정식화되고 결국 디리클레의 증명 -분석의 비판자인 조르당에 의해서 발견된 증명 ~생성 정의이다. 두번째 정의는 좀더 복잡한 문제에 응용 될 수 없는 것으로 판명된 이전의 적분 정의에 대한 비판으로부터 나온다. 발견적 설명에 대한 이 두번째 예에서 우리는 추측과 반박의 논리에 대한 포 퍼의 패턴을 따랐다. 이 패턴은 헤겔의 패턴보다 더 밀접하게 역사를 따른다. 헤겔의 패턴에서는 〈시행착오>를 객관적 아이디어의 필연적인 발전을 순전히 더
듬어 찾아 인간적으로 실현시키는 것으로 여겨 기각하고 있다. 그러나 포퍼식 형태의 합리적 발견술에서조차도 풀려고 착수한 문제와 실제로 푸는 문제를 구 별하지 않으면 안 된다. 곧, 한편으로 단지 사라지는 오류로서 그 비판이 그 이상의 발달에서 어떤 역할도 하지 않는 〈우연적〉 오류와, 어떤 의미에서 반박 후에도 보존될 오류로 그 이상의 발달이 그 비판에 근거하는 〈본질적인〉 오류를 구별하지 않으면 안 된다. 발견적 제시에 있어서 우연적 오류는 손실 없이 생 략할 수 있다. 그것들을 다루는 것은 단지 역사의 일일 뿐이다. 우리는 유계 변동 개념에 이른 처음 네 단계의 증명 절차를 개략적으로 기술 하였을 뿐이다. 여기서 우리는 나머지 흥미 있는 이야기에 대해서는 단지 암시 만을 하는 데 그치기로 한다. 다섯번째 단계55) 곧, 다른 증명에서의 새롭게 발 견된 증명 _생성 개념에 대한 탐색은, (모든 곡선은 그 길이를 구할 수 있다)는 원초적인 추측의 증명에서 유계 변동의 발견에 곧바로 이른다.56) 일곱번째 단 계는 우리를 르베그 Lebesgue 적분과 현대 측도론에 이르게 한다.
55) 증명과 반박의 방법의 표준 단계의 목록게 대해서는 pp. 193-5를 참조하여라. 56) 이 발견에서 다시 du Bois-Reymond는 선구자였으며(〔1879],〔1885]), 다시 감탄할 만 큼 날카로운 C. Jordan은 실제적인 발견자였다(Jordan 〔1887],p.594-8 및 [1893],pp. 100-8).
* 역사적인 주-몇 가지 역사적으로 홍미 있는 세부적인 내용이 본문에 서 말한 이야기에 덧붙여질 수 있다. 디리클레는 두번째 보조 정리와 세번째 보조 정리에 대한 국소적인 반례는 전면적인 반례가 아니라는 것을 확신하였다. 그는, 예를 들면, 모든 연속함수는 그 극대 극소의 수에 관계 없이 푸리에 급수 전개가 가능하다는 것을 확신하였다. 그는 또한 이러한 보다 일반적인 결과는 그의 증명에서 간단한 국소적인 수정에 의해 증명할 수 있게 되기를 바랐다. (1) 디리클레의 증명은 단지 부분적인 증명일 뿐이며, (2) 최종 증명은 몇 가지 조그마한 수정에 의해 성취될 수 있을 것이라는 이러한 생각은 듀 보아 레이몽이 푸리에의 추측에 대한 섯번째 진정한 반례를 만들어 내고 그것으로. 그러한 수정에 대한 희망을 무산시켰을 때인 1829 년부터 1876 년까지 널리 받아
들여졌다. 조르당에 의한 유계 변동의 발견은 이 반례에 의해 자극받았던 듯하다. 가우스 역시 디리클레에게 국대 극소의 수에 상관 없이 함수에 적용할 수 있 도록 증명을 개선하도록 격려하였다는 것에 주목하면 흥미롭다. 비록 디리클레 가 이 문제를 해결하지는 못하였지만, 1829 년이나 1837 년에 그리고 1853 년 까지도 그 풀이는 너무 분명하다고 생각하였기 때문에 가우스 요구에 대한 답 신에서 그것을 즉석에서 만들었다(Dirichlet [1853])는 사실은 흥미를 자아내는 일이다. 그의 풀이의 요지는 다음과 같다. 극대 국소의 집합은 고려되고 있는 구간에서 어떠한 집적점도 가져서는 안 된디는 조건은 실제로 그의 증명에 대 한 충분 조건이다. 유한 개의 불연속점에 대한 그의 두번째 조건은 수정될 수 있다는 것이 1829년의 첫번째 논문에서 이미 그에 의해 언급되었다. 그는 거 기서 그의 증명은 실제로 불연속점의 집합이 어느 곳에서도 조밀하지 않을 때 에만 적용된다는 것을 단언하였다. 이러한 수정은 디리클레가 그의 증명 분석 문제에 대단한 관심을 가졌으며, 그 증명은 후에 〈디리클레 조건〉이라고 불린 그의 주의 깊은 조건을 만족하는 함수보다 더 많은 함수에 적용된다는 것을 확 신하고 있었음을 보여준다. 그의 1837 년의 논문에서 그는 그 정리에 대해서 전혀 언급하지 않고 있음은 독특하다. 그는 가우스에게 보낸 서신이 보여 주듯 아, 또 그 자신이 아마도 회의적이었던 바이어슈트라스에게 말한 것처럼, 이 정리가 모든 연속 함수에 대하여 성립한다는 것을 항상 확신하고 있었다 (Ostwald의 『엄밀과학의 거장Klassiker der ExatenWissenschaften』,186, 1913, p.125를 참조하여라). 그런데, 그의 [1829]에서 언급한 것처럼 그 정리는 실제로 〈자연 가운데에서 발생하는〉 모든 유형의 함수를 포괄한다. 더욱이 좀 더 세련된 분석은 이미 매 우 〈순수한〉 해석학의 영역에까지 이르게 된다. 나는 디리클레의 증명에 대한 분석은＿무엇보다도 리만에 의한_현대 추상 해석학의 출발점이었다고 주장한다. 그리고 나는 최근 넓게 받아들여지고 있는 푸리에의 결정적인 역할 에 관한 쥬르뎅 Jourdain 의 견해는 과장되었음을 알았다. 푸리에는 직접 응용 가능한 것을 넘는 수학적 논의에는 관심이 없었다. 디리클레의 생각은 실제로 달랐다. 그의 증명 분석은 새로운 개념적 틀을 요구한다는 것을 그는 막연히
느꼈다. 그의 [1829] 논문의 다음과 같은 마지막 문장은 하나의 진실된 예언이다. 그러나 원하는 만큼 매우 명료하게 이루어지기를, 무한소 계산의 기본 원리와 밀 접한 관계가 있는 몇 가지 세부적인 내용이 요구하고 있는바, 이는 다른 주석에서 제시될 것이다……. 그러나, 그는 약속하였던 주석을 끝내 공표하지 않았다. 코시의 적분 개념을 비판하면서 〈무한소 계산의 기본 원리와 밀접한 관계가 있는 세부적인 내용>을명료히 하고, 또한 디리클레의 막연한 느낌을 분명히 함으로써 , 그리고 혁명적 인 수법울 도입함으로써, 자연 가운데에서 일어나지 않는 함수, 지금까지 괴물 혹은 기껏해야 홍미 없는 예의나 〈특이한 것〉으로 간주되었던 함수의 영역에까 지 수학적 분석과, 정말로, 합리성을 이끌어들인 사람은 리만이었다(이것은 디 리클레의 태도로, 그의 [1829] 논문과 가우스에게 보낸 그의 서신 [1853]에 표 현되어 있다). 몇몇 무오류주의 수학사가들은 여기서 투쟁과 비판으로 가득 찬 오랜 발달을 전혀 틀림이 없는 하나의 단일한 행동으로 압축하는 반역사적 수법을 사용하 고, 그 후의 해석학자들의 성숙을 디리클레의 공적으로 생각한다. 이러한 반역 사적인 역사가들은 실함수에 대한 일반적인 현대적 개념을 디리클레의 공적으 로 생각하고, 따라서 이러한 개념을 디리클레의 함수 개념이라고 부른다. 벨 E. T. Bell 은 그의 [1945] , p. 293 에서 〈두 수집합 사이의 표나 대응 혹은 상호 관계로서의 (실수치) 변수의 (수치) 함수에 대한 P. G. L. 디리클레의 정의는 점집합의 대등관계에 대한 이론을 암시를 하였다〉고 단언하였다. 벨은 참고문 으로 『디리클레 전집』 , I, p. .1 35 를 제시하고 있다. 그러나, 거기에는 이와 같 은 것은 아무것도 없다. 부르바키는 다음과 같이 말하고 있다. 디리클레가 푸 리에의 아이디어를 정밀하게 만들면서 오늘날 우리가 이해하고 있는 바와 같이 함수의 일반적인 관념을 정의한 것은 이 기회였음이 알려져 있다(Bourbaki [1960], p. 247) . 〈알려져 있다〉고 부르바키는 말하고 있지만 어떤 참고문도 제 시하고 있지 않다. 우리는 이러한 실함수의 개념은 〈디리클레에 기인한다>는 소
견을 대부분의 고전적인 교과서 가운데에서 대하게 된다(예를 들어, Pierpoint [1905], p.120), 그런데 디리클레의 저작 가운데에는 그러한 정의는 전혀 없다. 그러나, 그는 이러한 개념에 대한 아이디어를 갖고 있지 않았다는 충분한 증거 가 있다. 예를 들어, 그의 [1837] 논문에서 그가 단편적 연속 함수에 대하여 논의할 때, 함수는 불연속인 점에서 두 가지 값을 갖는다고 다음과 같이 말하고있다. x 좌표와 y 좌표가 각각 β와 ¢(β)로 나타내지는 곡선은 몇 개의 조각으로 이루어 진다. β의 어떤 특수한 값에 대응하는 x 축 위의 점에서 곡선의 잇달은 부분이 연결 되어 있지 않다. 그리고, 그러한 각 x 좌표에 대해서 실제로 2 개의 y 좌표가 대응되 며 그 가운대 하나는 그 점에서 끝나는 부분에 속하고 다른 하나는 거기서 시직하는 부분에 속한다. 다음의 내용 가운데에서 ¢(β) 의 이러한 두 가지 값을 구별할 필요 가있을것이며, 우리는그것을 ¢,(β-0)과 ¢,(β+o)으로나타낼 것이다. 이들 인용문은 어떤 분별있는 의심을 넘어 디리클레가 〈디리클레의 함수 개 념〉으로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는가를 보여주고 있다. 디리클레를 〈디리클레의 정의〉와 관련짓는 사람들은 흔히 그의 [1829] 논문의 마지막 페이지에 나오는 디리클레 함수, 곧 x 가 유리수인 곳에서 0, X 가 무 리수인 곳에서 1 인 함수를 생각한다. 또다시 두통거리는 디리클레가 여전히 모든 진정한 함수는 실제로 푸리에 전개 가능하다고 주장하였으며 이러한 〈함 수>를 명백하게 괴물로서 고안해 내었다는 것이다. 디리클레에 따르면 그의 〈함 수>는 <보통의〉 진짜 함수가 아니라 실제로 함수란 이름을 받을 만하지 못한 함 수의 예인 것이다. 그러한 것이 없음에도 불구하고 함수에 대한 디리클레의 정의를 알아차리는 일을 해낸 사람들이 〈완전히 임의의 ganz willkurliche>함수의 푸리에 급수로의 전개에 대해 언급하고 있는 그의 두 가지 논문의 제목에 주목하지 못한 것은 홍미롭다. 그러나, 이는-디리클레에 따르면―디리클레 함수는 이러한 〈완전히 임의의 함수>족 밖에 있었으며 , <보통〉 함수는 적분을 가지고 있어야 하
는데 이것은 분명히 가지고 있지 않으므로, 그는 그것을 괴물로 간주하였음을 뜻한다. 리만은 실제로 코시의 적분 개념을 디리클레에 의한 그 특수한 수정과 함께 비판할 때 디리클레의 협소한 함수 개념을 비판하였다. 리만은 우리가 적 분 개념을 확장하면, p 가 홀수이고 n 과 서로 소일 때 p/2n 꼴의 모든 유리수 에 대하여 불연속인 함수와 같은 괴물은 모든 점에서 조밀한 집합 위에서는 불 연속이지만 적분 가능함을 보였다. 결국 디리클레의 괴물과 매우 유사한 이 함 수도 예사로운 것이다(적분 개념에 대한 리만의 확장 가운데에는 〈통상적인〉 것은 아 무것도 없었다. 그의 혁명적 단계는 어떤 종류의 함수가 푸리에 전개 가능한가를 묻는 대신에, 어떤 종류의 함수가 삼각급수로 나타내어지는가물 묻는 것이었다. 그의 목적 은 삼각급수의 합인 모든 힘수가 적분 가능하고 그럼으로써 푸리에 전개 가능하도록 적분의 개념을 확장하는 것이었다. 이는 개념적 도구주의의 가장 아름다운 보기이다) . 디리클레가 〈함수에 대한 디리클레의 정의漫-제안하였다는 데 대한 이야기의 창시자가 아마도 여기서 확인되어야 할 것이다. 함수 개념의 발달을 분석하는 가운데 푸리에 결과가 함수의 낡은 개념을 어떻게 부숴 버렸는가를 설명한 사 람은 한켈 H. Hankel 이었다(〔1882], pp. 63-112), 그리고 그는 계속하여 다음 과같이 말하였다. 첫째, 함수가 해석적이어야 한다는 조건이 중요하지 않다는 것을 근거로 그러한 조건을 버리고, 두번째로 영단을 내려 난관을 처리하는 반면 다음과 같은 설명을 제 시하는 것만 남았다. 어떤 구간내에서 변수 x 의 각 값에 y 의 한 일정한 값이 대웅 되며, 이것이 전체 구간에 걸쳐 같은 법칙에 따라서 y가 x 에 좌우되는가 어떤가에 무관하고, 이 종속성이 수학적인 조작으로 표현될 수 있는지 어떤지와 무관하게 y 는 x 의 함수라고 불린다. 이러한 순전히 명목상의 정의를 나는 디리클레에게 돌릴 것이다. 왜냐하면 그러한 낡은 개념이 유지될 수 없음을 입증한 푸리에 급수에 관한 그의 연구의 바탕에 그것이 놓여 있기 때문이다……. (c) 가측 집합에 대한 카라시오도리의 정의 연역주의자의 접근 방법으로부터 발견적 접근 방법으로의 변경은 확실히 어
려운 것이지만, 몇몇 현대 수학 교사는 이미 그 필요성을 인정하고 있다. 보기 를 하나 살펴보자. 측도론이나 확률론에 관한 현대 교과서에서 우리는 종종 다 음과 같은 가측 집합 measurable set 에 관한 카라시오도리 Caratheodory 의 정 의에 직면하게 된다. µ*를유전적인 σ-환H위의 의측도라고 하자. H 내의 모든 집합 A에 대 하여 µ* (A) =µ * (A nE ) +µ * (A nE ') 57)
57) Halmos [1950], p.44.
일 때 , H 내의 집합 E 는 µ*－가측이라고 한다. 이 정의는 현 상태 그대로는 어리둥절할 수밖에 없게 되어 있다. 물론 언제 나 손쉬운 출구는 있다. 곧, 수학자들은 자기 좋을 대로 개념을 정의한다고 생각하는 것이다. 그러나 진지한 교사라면 이러한 안이한 도피를 택하지 않는다. 그둘은 바로 이것이 가측성에 대한 올바르고 참된 정의이며 성숙한 수학적 통찰력은 그것을 그와 같이 이해한다고 말할 수도 없다. 실제로 그들은 통상 나 중에 정의에서부터 유도되는 결론을 살펴보아야 한다는 좀 막연한 암시를 준 다. 〈정의는 독단이다. 단지 그들로부터 유도된 결론만이 새로운 통찰을 줄 수 있다〉. 58) 따라서 우리는 정의를 신용하고 무슨 일이 일어나는가를 알아보아야 한다. 비록 이것은 권위주의적안 기가 있긴 하지만 적어도 그것은 문제가 인식 되었다는 표시이다. 만일 여전히 권위주의적인 방식을 갖고 있다면 그것은 하 나의 변명에 불과하다. 카라시오도리의 정의에 대한 할모스Halmos의 변명을 인용하겨 보자. 〈우리가 아래에서 전개하려고기도하는 그 함의에 익숙지 않고 는 µ*－가측성의 의미를 직관적으로 이해한다는 것은 좀 어려운 일이다〉. 59) 그 리고 그는 계속해서 다음과 같이 말하고 있다.
58) K.RPopper가 그의 [1959],p.55에서 시인하면서 인용한 K. Menger [1928],p.96. 59) Halmos [1950], p. 44.
그러나 다음과 같은 주석이 도움이 될 것이다. 의측도는 반드시 가산적인 가법적 집합 함수가 아니며, 더욱 유한 가법적 집합 힘수는 아니다. 가법성이란 온당한 요 구를 만족시키기 위한 기도에서 우리들은 다른 모든 집합을 가법적으로 분리시키는 집합들을 골라낸다. µ*－가측성의 정의는 이와 갇이 좀 엉성한 기술을 정밀하게 형 식화한 것이다. 그러나 이러한 겉보기에 복잡한 개념을 가장 훌륭히 정당화하는 것 은, § 13의 중요하고 유익한 확장 정리를 증명하는 도구로서의, 아마도 놀랍겠지 만, 절대적으로 완전한 그 성공이다. 60) 그런데, 이 정당화의 첫번째의 <직관적인〉 부분은 약간 오해를 일으키기 쉽 다. 왜냐하면 두번째 부분에서 알 수 있는 바와 같이 이 개념은(할모스가 그 다 음 징에서 바로소 도입하고 있는) 측도의 확장에 관한 카라시오도리의 정리에 나 오는 증명 -생성 개념이기 때문이다. 따라서 이것이 직관적이냐 아니냐 하는 것은 전혀 흥미롭지 않다. 그 이론적 근거는 그 직관성에 있는 것이 아니라, 그것이 증명 전신임에 있다. 증명-생성 정의를 그 증명 전신으로부터 결코 분 리시켜서는 안 되며, 그것이 발견적으로 그에 부차적인 것이 되는, 그러한 증 명에 앞선 절이나 더욱 장 속에 그것을 제시해서는 안 된다. 로에브M. Loeve는 그의 〔1955]에서, 측도의 확장에 관한 철 가운데에서, 그 정의를 확장 정리에 필요한 관념으로서 매우 적절하게 제시하고 있다. 〈우 리는 여기서 모아 놓은 여러 가지 개념을 필요로 할 것이다〉. 61) 그러나 매우 복 잡한 이들 도구 중 어느 것이 그 조작을 하는 데 필요할 것인가를 도대체 그는 어떻게 알 수 있는가? 확실히 그는 무엇이 발견될 것인가와 어떻게 전개될 것 인가에 대한 어떤 아이디어를 이미 갖고 있었다. 그러나 그렇다면 왜 증명보다 앞서서 정의를 제시하는 이러한 신비스런 구성을 하는 것인가? 원초적 추측을 언급하고 증명과 반례를 보여주며 발견적 순서를 따라 정리 에, 그리고 증명 -생성 정의에 이르는 것이 추상 수학의 권위주의적 신비주의 를 추방하고 퇴화에 대해 제동기의 역할을 하게 될 많은 보기를 쉽사리 둘 수
60) 같은페이지 61) Loeve [1955], p. 87.
있다. 퇴화에 관한 몇 가지 사례 연구는 수학에 대해 큰 도움이 될 것이다. 불 행하게도 연역주의적 양식과 수학적 지식의 원자화는 아주 상당한 정도로 〈퇴 화된 degenerate>논문을 보호하고 있다.
역자 해제 수학적 탐구의 본성은 철학적 입장의 차이에 따라 서로 다르게 파악될 수 있 다. 과학적 지식의 불확실성과 참정성, 과학적 지식의 성장에서의 비판적 사고 의 중요성을 적절히 설명해 주는 입장으로 여겨져, 최근 과학 철학에서 커다란 관심의 대상이 되어 온 것이 〈비판적 오류주의〉이다. 비판적 오류주의는 포퍼가 과학적 발견의 논리를 기술하기 위해서 제기한 철학적 입장으로, 지식의 성장 울 추측과 반박의 과정으로 규정하며, 모든 지식은 잠정적인 것으로 끊임없는 비판의 대상이 된다는 입장이다. 이러한 포퍼의 비판적 오류주의를 수학에 적용하여 수학적 지식의 성장을 소 위 〈증명과 반박〉의 논리로 설명한 학자가 라카토스이다. 라카토스가 고려하고 있는 또 하나의 중요한 이론은 폴리아가 교육적 측면에서 부흥시킨 수학적 발 견술과 소위 〈개연적 추론〉이다. 수학적인 탐구의 개연적 측면과 연역적 측면은 수학의 상보적인 측면인바, 수학적 탐구에서의 연역적 측면과 개연적 측면의 관계를 밝히는 일은 수학적 발견의 논리에서 중요한 과제가 된다. 포퍼는 과학적 지식의 성장에서 관찰에 바탕을 둔 추리 곧, 귀납의 논리를 거부한다. 가설의 착상과 확인에서 관찰을 바탕으로 한 귀납적 추론을 받아들 이는 것은 논리적으로 심리적으로 〈무한 후퇴>에 이른다고 보고 귀납 자체를 거 부하는 것이다. 과학의 실제적인 절차는 추측을 다루는 것이며, 단일한 관찰 후 곧바로 결론적 추측으로 비약하는 것이라고 생각하고 있는 것이다. 그에 의 하면, 과학적 지식의 성장이란 사실이나 관찰 경험의 축적이 아니라, 제기된 과학적 이론의 비판과 폐기, 보다 나은 보다 더 만족스러운 이론으로의 거듭된 대치를 뜻한다. 그에게 어떤 이론이 과학적이기 위한 준거는 검증 가능성과 반 박 가능성, 반증 가능성이며, 과학적 지식은 추측과 반박, 시행착오에 의해 성
장하는 것이다. 반박 가능하지 않은 이론은 비과학적인 이론이며, 이론에서 반 박 불가능성은 덕이 아니라 악이다. 따라서 문제에 대한 해답을 추측한 다음에 는 그를 확인할 수 있는 예를 발견하려고 기도하는 대신에 그를 반박할 수 있 는 엄격하고 모험적인 검사를 시도해야 한다는 것이다. 확인이 되는 증거는 전 정한 검사의 결과일 때 곧 이론을 반증하려는 진지한 그러나 성공적이지 못한 기도로서 제시될 수 있을 때에만 고려되어야 한다. 과학적인 이론 전보의 준거 는 보다 엄격한 검사에 통과한디는 것이며, 보다 나은 이론, 잠재적으로 보다 만족스런 이론이란 보다 많은 경험적인 정보적 내용을 가지며, 설명력과 예상 력이 보다 큰, 따라서 보다 엄격하게 검사될 수 있는 이론이다. 결국 이는 보 다 높은반증가능성, 반박가능성, 검증가능성을목표로하는것이며 과학의 〈진보〉 곧, 〈참재적인 만족도〉의 준거는 검증 가능성, 반증 가능성, 반박 가능 성이라는것이다. 포퍼에 따르면, 귀납의 원리가 받아들여지지 않으므로 이론은 예를 바탕으로. 입증될 수 없는 것이며, 특정한 검사에 통과하여 확인될 수 있을 뿐이다. 이론 의 확실성의 정도가 확인하는 예의 수에 비례하여 증가한다고 보는 귀납주의와 는 달리, 그에 의하면, 이론의 확인 정도를 결정하는 것은 검사의 엄격성이며, 보다 더 보편적인 이론이 보다 새로운 적용 분야에서 확인될 수 있으므로 보다 큰 확증성을 갖는다. 이론의 확증성의 정도는 검사 가능성, 따라서 반증 가능 성의 정도에 좌우된다는 것이다. 이러한 비판적 오류주의에 따르면, 과학적 지식은 추측과 반박에 의해서 성 장하며, 지식은 결코 확실성을 가질 수 없고 단지 잠정적일 뿐이다. 인간은 결 코 진리를 알 수는 없으며 단지 추측할 수 있고 추측을 개선할 수 있을 뿐이 다. 추측을 검사하고 추측에 대한 반박을 고려하여, 추측을 강화하거나 이룰 제거할 수 있는 새로운 추측을 창안하여 대체함으로써 지식의 성장이 이루어 진다. 라카토스는 이러한 포퍼의 비판적 오류주의와 폴리아의 수학적 발견술, 수학 의 발견적 논리에 대한 연구의 영향을 받아 수학적 지식의 성장을 〈증명과 반 박〉의 논리로써 설명하고 있다. 라카토스에 의하면 수학은 의심의 여지 없이
확립된 정리의 수가 단조롭게 증가하면서 성장하는 것이 아니라 숙고와 비판, 증명과 반박의 논리에 의한 추측의 끊임없는 개선을 통해 성장한다. 라카토스 는 이 책에서 오일러의 다면체 정리를 예로 들어 이러한 주장을 역사적 사실을 바탕으로 입증하고자 하였으며, 데카르트—오일러의 추측에 대한 푸앵카레의 벡터―대수적 증명과, 연속 함수의 임의의 수령하는 급수의 극한 역시 연속이 라는 추측에 대한 코시의 증명을 다루면서 이룰 입증하기 위한 또 다른 연구를 덧붙이고있다. 완전 무결한 엄밀성을 추구하는 형석주의적인 현대 추상 수학자들에는 수학 이론의 불확실성과 그에 대한 바판적 논의는 용납될 수 없을 것이나, 수학자 자신의 진정한 수학하는 사고 과정, 비형식적인 실질적인 수학과 그 성장과 관 련된 문제, 수학 문제 해결의 논리와 관련된 문제의 논의에서는 이는 오히려 자연스러운 것이다. 이러한 수학의 발생의 논리에 대한 관심이 최근의 수학 교 육 사조에 따라 증대되어 왔는바, 라카토스의 연구는 최근 수학 교육에서의 문 제 해결 지도의 강조와 폴리아에 의한 수학의 〈발견술〉의 부흥과 무관하지 않은 것이다. 라카토스는 다음과 같이 말하고 있다. 〈이 논문은 폴리아의 수학적 발 견술의 부흥과 포퍼의 비판 철학의 배경과 대조시켜 고려되어야 할 것이다〉. 포퍼와 라카토스의 비판적 회의론의 입칭에서는 〈무한 후퇴〉의 문제 때문에 확실한 지식의 기초를 찾는 것은 불가능하다고 보지만, 합리주의적 입장에서는 확실성을 갖는 지식 체계를 확립할 수 있다고 보고, 〈진리값〉의 흐름의 방향에 따라 여러 가지 입장을 취한다. 유클리드적인 프로그램의 특징은 이론 체계의 정상 곧, 공리 수준에서 〈참〉인 진리값을 주입하고 전체계에 스며들어 내려가게 하려고 한다. 따라서 〈유클리드적인 이론은 의심의 여지 없이 참인 명제만을 포함하며, 그 안에는 추측도 반박도 없다〉고 주장되지만 원시적인 자명한 진리 의 집합의 존재성 때문에 무한 후퇴에 빠지게 된다. 수학적인 명제는 경험적인 증거로 확립될 수 없기 때문에 경험주의는 수학에 적용될 수 없다. 귀납주의는 기초적인 명제에 진리를 주입하고 전리의 재전달 원리에 의해 진리가 아래로부 터 위로 흘러 전체 체계에 충만되게 하려는 입장이나 기초적인 명제에 진리를 주입하려는 귀납적 기도는 무한 후퇴의 문제를 피할 수 없게 한다. 한편 수학
에서의 힐베르트적인 프로그램은 괴델의 불완전성의 정리가 〈무모순성의 대가 는 불완전성〉임을 보임으로써 좌절하였다. 라카토스의 비판적 오류주의는 이러한 제 입장에 대한 대안으로 제기된 주장 이다. 증명과 정의에서의 무한 후퇴 문제 때문에 수학적 지식의 확실성은 확립 될 수 없으며, 단지 추측될 수 있을 뿐이나 이를 비판하고 개선할 수 있다고 본다. 곧, 수학적 지식은 추측과 반박에 의해 성장하는 추측에 불과하며, 반박 되지 않을 때 확인될 수 있을 뿐이다. 수학은 증명과 반박에 의해 성장하는 〈준 -경험적인〉 과학이다. 수학이 준-경험적이러는 뜻은 수학의 연역 체계에서 진 리값의 흐름이 아래의 기본적인 명제로부터 허위성의 재전달 원리에 의해 가정 울 향해 위로 향한다는 의미이다. 그러나, 수학의 〈발견적 반증자>는 경험적으 로 검사될 수 있는 명제가 아니므로 수학은 경험 과학은 아니다. 라카토스에 따르면, 수학은 문제로부터 출발한다. 문제를 풀기 위한 기도를 하는 가운데 추측을 하게 되고, 추측을 엄격히 검사하게 된다. 추측이 검사에 견디면 참정적으로 보유되고, 추측의 증명이 시작된다. 추측이 어떻게 하여 제 기되는가에 대한 최종적이 해답을 얻기는 불가능하나, 오류주의의 입장에서는 귀납에 의한 일반화를 거부하고 추측은 어떤 심리적인 기대에 의해 인도된 추 정일 뿐이며, 검사가 뒤따른다고 주장된다. 모든 추측은 문제로부터 일어나며, 추측은 문제에 대해 제안된 해답이므로, 추측을 제기하려면 해답을 탐구해야 할 문제가 존재해야 한다. 탐구란 알고 있는 것으로부터 미지인 것으로 나아가 는 것이 아니라 그 반대로, 미지인 것에 대한 추측이 먼저 이루어져야 한다. 추측은 확인과 증명에 앞서며, 추측은 문제로부터 생긴다. 라카토스는 수학적 사고의 개체 발생은 계통 발생을 단축된 형태로 반복한다 는 <발생적 원리>에 입각하여, 역사적 발생의 메커니즘을 단축된 형태로 대화 형식으로 재구성하여 제시하고 있다. 수학적 발견은 문제와 그 해답의 추측으 로부터 시작된다. 리카토스는 오일러의 다면체 정리의 발견을 주제로 하여, 다 면체의 꼭지점, 모서리, 면의 수 사이의 관계에 대한 문제로부터 출발하여 추 측과 그 확인 과정에 대한 폴리아의 논의가 끝난 지점에서 논의를 시작한다. 곧 데카르트―오일러 추측에 관한 코시의 증명에 대한 논의로부터 시작하여
증명을 반박하는 과정을 통한 추측의 개선에 대해 논의하고 있다. 라카토스는 증명이란 추측을 〈증명〉하여 의심의 여지 없는 확실한 〈정리〉로 확립시키는 과 정이라는 입장을 부정하고, 증명이란 원래의 추측을 여러 개의 부분 추측으로 분해하는 사고 실험이라고 생각하고 있다. 증명 곧, 추측을 부분 추측으로-분 해하는 것은 검사를 위한 새로운 전망을 여는 것이며, 추측을 보다 넓은 전방 에 전개시켜 비판의 표적을 보다 많게 하는 것이다. 따라서 원래의 추측뿐만 아니라 많은 부분 추측이 반례에 의해 반박 가능해짐으로써 보다 넓은 범위에 걸쳐 검사 가능해지고 보다 위험해지며 보다 더 반증 가능해진다. 따라서, 두 가지 형태의 반례가 있을 수 있는데, 부분 추측을 반박하지만 원 래의 추측을 반드시 반박하지는 않는 반례인 〈국소적 반례〉와, 원래의 추측을 반박하는 〈전면적인 반례〉가 그것이다. 국소적 반례이지만 전면적인 반례가 아 닌 반례는 증명의 비판이지만 추측의 비판은 아니다. 이러한 반례가 발견되면 반박된 부분 추측을 대체시킴으로써 증명, 곧 부분 추측 체계를 개선할 수 있 다. 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례가 제기되면 원래의 추측은 반 박되지만 증명은 반박되지 않는다. 그러면 증명이 실제로 증명하는 것은 무엇 인가를 결정하는 것이 중요하게 되고 원래의 추측이 개선되게 된다. 결국 수학 적 지식의 성장은 이러한 반례에 의해 촉진되게 된다. 전면적 반례이면서 국소 적 반례가 제기되면 원래의 추측이 반박되기는커녕 이를 확인하게 된다. 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례가 발견될 때, 여러 가지 반응이 가능한데, 첫번째 반응은 반례를 수용하고 원래의 추측을 기각하여 완전히 항 복하는 것이다. 두번째 반응은 반례가 실제로 반례가 아니라고 보고 반례를 거 부하고 원래의 추측을 존속시키는 것이다. 이러한 반응은 흔히 추측에 포함된 용어의 재정의 곧, 개념의 명료화를 불가피하게 한다. 정의는 흔히 반례가 생 길 때 제안되고 주장된다. 이와 갇이 용어의 재정의를 통해 반례를 괴물로 배 제하고 추측을 구하는 방법을 라카토스는 〈괴물 배제법〉이라고 부른다. 괴물 배 제법은 명확화된 정의를 창조하는 자극이 되며, 감추어전 가정과 보조 정리를 들추어 내어 추측을 명확화하기 위한 자극이 되므로 수학의 발달에서 유용한 잠재력을 갖는다.
괴물의 발생적 가치를 중시하는 입장은 생물학의 진화론적 발생론을 인식론 에 채용한 것이다. 전화론에 따르면, 생물의 발생적 전화는 조화롭고 질서 있 는 패턴에 따르는 것이 아니며, 기형을 생산하는 돌연변이가 대역적 전화에서 상당한 역할을 한다. 발생론자들은 그러한 괴물 같은 돌연변이체를 〈유망한 괴 물〉이라고 부르고 전화 과정에서의 그 중요성을 강조하고 있는 것이다. 특이하 며 극단적인 경우는 괴물 또는 병적인 예라고 부르고'배제하기보다는, 내용의 핵심에 대하여 수학적인 분석을 하게 하는 수학 진보의 결정적인 계기를 줄 수 있는 것으로 존중되어야 한다는 생각이다. 세번째 반응으로, 괴물 배제법을 개념의 제한으로 추측을 보호하는 기술로서 사용하지 않고, 괴물을 배제하여 원래의 추측이 타당한 영역을 구하는 데 사용 할 때 이를 라카토스는 〈예의 배제법〉이라고 부른다. 이 방법은 단편적 배제나 전략적 후퇴로 추측의 개선을 시도하는 것이나, 모든 예의를 배제하였는지 알 수 없으므로 제한점을 갖는다. 새로운 반례가 나타날 때마다 추측을 조금씩 제 한하는 조건을 첨가하는 대신에 〈안전한〉 영역으로 철수하는 것을 생각할 수 있 으나 이는 과소 과대 일반화를 초래할 위험성이 있다. 이와 같이 예의 배제법 은 추측의 영역을 만족스럽게 제한하지 못하지만, 많은 수학자들이 추측을 개 선하는 데 사용하는 방법이다. 그러나, 흔히 생각하듯기 추측과 증명 모두를 적절한 영역으로 제한함으로써 추측을 완벽하게 하고 증명을 엄밀하게 만들어 모든 불확실성이 사라진 정리를 확립할 수는 없는 것이다. 네번째로, 반례라고 본 관점은 왜곡된 관점에 의한 것아며 기괴한 해석이라 고 보고, 관점을 시정하여 반례가 실제로 반례가 아닌 예라고 설명하여 반례를 예로 전환시키려는 반응인 〈괴물 조정법>을 생각할 수 있으나, 이는 소위 〈순수 한〉 이성적 관점에 대한 독단적 견해로밖에 볼 수 없다. 끝으로, 반례가 원래 의 추측의 반박이지만 그 증명의 반박이 아닌 것은 증명에 문제가 있다고 보 고, 〈감추어진 보조 정리潟-찾아 증명에 합체시킴으로써 증명을 개선하고 그에 대웅하는 조건을 추측에 합체시킴으로써 반박된 추측을 개선하려는 반응을 생 각할 수 있는데, 라카토스는 이를 但조 정리 합체법〉이라고 부르고 그 발견적 역할을 강조하고 있다. 예의 배제법은 원래의 추측의 영역을 안전한 영역으로
제한함으로써 추측을 개선하지만, 보조 정리 합체법은 증명 -분석에 보조 정리 룰 합체하고 원래의 추측의 영역을 개선된 부분 추측의 영역으로 제한하여 원 래의 추측을 개선한다. 따라서, 증명의 기능은 확실성을 갖는 추측을 확립하는 것이 아니라 추측을 개선하는 것이다. 증명이 원래의 추측을 증명하지 않더라 도 새로운 수정된 추측의 증명이 될 수 있다. 예의 배제법도 추측을 개선하지 만, 그 경우 개선은 증명과 무관하다. 〈발견의 논리〉와 〈정당화의 논리〉 사이의 이러한 본질적인 통일성은 보조 정리 합체법의 가장 중요한 측면이다. 증명에 대한 이러한 오류주의적 관점은 오늘날 널리 받아들여지고 있지 않으 며, 대부분의 수학지들은 추측울 증명하고 반박하는 것을 동시에 시도할 수 있 으며 증명하려고 착수한 것을 증명하지 않을 수 있음을 이해하지 못한다. 어떤 증명도Q. E. D.(Quod erat demonstrandum)이라는 말로 결론을 맺을 수 없는 것이다. 라카토스는 다음과 같이 주장한다. 대부분의 수학자들은, 뿌리 깊은 발견적 독단 때문에, 추측을 증명하고 반박하는 것을 동시에 착수할 수 없다. 그들은 추측을 증명하거나 반박할 것이다. 더욱이 그 들은 특히 추측이 마침 그들 자신의 것이면 그것을 반박함으로써 개선할 수 없다. 그들은 반박 없이, 거짓을 줄임으로써가 아니라 참의 단조로운 증가에 의해서 추측 을 개선하고 싶어한다. 따라서 그들은 지식의 성장에서 반례의 공포를 추방한다. 보조 정리 합체법은, 결론에 대한 반례는 적어도 그 한 전제의 반례가 된다 는, 결론으로부터 가정으로의 〈거짓의 재전달 원리제 근거하여, 수학적 추측과 그 증명에서 전면적인 반례가 또한 국소적 반례일 것을 요구한다. 전면적 반례 이지만 국소적 반례가 아닌 반례가 이 원리를 어기면 적당한 보조 정리를 증명 -분석에 첨가함으로써 그것을 복구시킨다. 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례는 증명 -분석을 성장시키는 발효제가 되는 동시에 증명 -분석이 추 측의 개선을 위한 발효제가 되게 한다. 보조 정리 합체법은 증명과 반박을 분리시킬 수 없음을 보여주는바, 라카토 스는 이를 중심으로 한 수학의 발견술을 〈증명과 반박의 방법〉이라고 부르고 이
를 다음과 같은 발견술적 규칙으로 요약하고 있다. 규칙 1 ; 추측을 하면 그 증명이나 반박에 착수하여라. 증명을 주의 깊게 조사하여 자명하지 않은 보조 정리의 목록을 마련하여라(증명-분석)． 추측에 대한 반례(전면 적인 반례)와 의심스러운 보조 정리에 대한 반례(국소적인 반례)를 양쪽 다 찾아 보아라. 규칙 2 ; 전면적인 반례가 있으면 추측을 버리고 반례에 의해 반박될 적절한 보조 정리를 증명 -분석에 추가하고 그 보~ 정리를 조건으로 합체시킨 개선된 추측으로 기각한 추측을 대체시켜라. 반박을 괴물이라고 보고 버려지도록 허용하지 말아라. 모든 〈김추어진 보조 정리>를 명백하게 하려고 시도하여라. 규칙 3 ; 국소적인 반례가 있으면 그것이 또한 전면적인 반례인지 아닌지 검사해 보아라. 만약 그러하면 규칙 2를 쉽게 적용할 수 있다. 규칙 4 ; 만일 국소적인 반례이지만 전면적인 반례가 아닌 반례가 있으면 반증되지 않는 보조 정리로 반박된 보조 정리를 대체시켜 증명 -분석을 개선하도록 시도하여라. 규칙 5 ; 만약 어떤 유형이든 반례를 얻었다면 연역적 추정에 의하여 그것들이 더 이상 반례가 되지 않는 보다 깊은 정리를 발견하도록 시도하라. 라카토스는 이러한 증명과 반박의 논리 곧, 보조 정리 합체법은 증명과 반박 의 변증법적 통일을 나타내며, 〈발견의 논리〉와 〈정당화의 논리〉의 본질적인 통 합이 보조 정리 합체법의 가장 중요한 측면아라고 말하고 있으며 , 따라서 헤겔 철학과 비유클리드 기하학이 무오류주의자의 전통에 도전한 후인 1840년대에 사이델에 의해 증명과 반박의 방법이 발견된 것은 우연의 일치가 아니라고 말 하고있다. 증명과 반박의 방법을 통해 〈국소적인 땜질>을 하여 점차적으로 보다 엄밀한 증명 -분석에 도달할 것이고 보다 확실한 정리에 도달할 것이지만, 증명 -분석 에 첨가되는 새로운 보조 정리는 개선된 정리의 새로운 조건에 대응하므로, 확 실성이 증가할 때 내용이 감소하게 된다. 따라서 보조 정리를 합체하여 영역을 축소하는 대신에 반증되지 않은 전혀 새로운 보조 정리로 반증된 보조 정리를
대체하여 정리의 영역을 확장할 필요가 있다. 규칙 4는 새로운 보다 포괄적이 며 보다 심오한 증명을 발명함으로써 정리의 내용을 증가시키는 중요한 발견적 패턴이다. 정리 형성에서의 증명의 역할을 고려하면 같은 추측에 대한 서로 다 른 증명은 결국 서로 다른 정리에 이르게 된다. 이러한 증명과 반박의 방법이란 입장에서 보면, 증명 -분석의 엄밀성은 달성 될 수 없다. 사고 실험의 언어적 정교화의 어려움이 증명 -분석의 엄밀성을 도 달 불가능하게 만들고, 더욱 기괴한 반례들이 증명 -분석 과정을 끝없는 과정 으로 만들기 때문이다. 엄밀한 증명 -분석에 대한 요구는 수학에서 그 아름다 움을 빼앗고 사소한 것을 따지는 현학을 자초하며 결국 사악한 무한에 빠지게 할 것이다. 엄밀성은 결코 성취되지 않으며 〈확실한 기초>는 결코 놓일 수 없 다. 결국, 수학은 문제의 해결에 다소 적절히 엄밀한 타당성을 갖는 〈다소 엄 밀한〉 명제를 받아들이지 않을 수 없는 것이다. 확실성을 갖는 최종적인 증명 과 그에 대응하는 필요충분조건을 향한 충동은 성취될 수 없는 것아다. 문제로부터 출발하여 그에 대한 해답으로 추측이 뒤따르고, 검사 사고 실험 곧, 분석을 통과하면 증명 사고 실험 곧, 종합이 시도되고 반례를 통해 추측을 개선해 가는 패턴을 라카토스는 <소박한 추측〉이라고 한다. 라카토스가 제시하 고 있는 또 다른 추측 패턴이 〈연역적 추측싸다. 만약 반례에 의해 이미 반박 된 추측이 있으면 반박을 옆으로 밀어 놓고 추측을 검사해 보아야 한다. 그러 는 가운데 새로운 증명과 마주칠 수 있다. 여기서 출발점은 문제와 함께 이미 마음 속에 존재하게 되는 아이디어이다. 곧바로 아이디어로부터 출발하여 일련 의 연역적인 과정을 거쳐 새로운 추측에 이른다. 이때, 추측은 연역적 수단에 의해 제기되므로 동시에 증명된다. 이러한 연역적 추측의 강점은 연역의 특성 상 내용의 증가를 수반하게 된다는 점이다. 규칙 5 는 증명 사고 실험을 확장하 고 세련시켜 논리적으로도 만족스러운 추측을 시도하는 발견적 규칙이다. 물론 여기서도 증명은 최종적인 것은 아니다. 추측은 연역적으로 제기되었을 때에도 검시에 맡기고 반박을 재삼 시도해야 한다. 결국, 반박은 수학적 지식의 성칭에 이르지만 확인은 그렇지 않다. 확인은 추측과 정리와 이론의 무비판적인 수용에 이르게 하지만, 반박은 겉보기에 자
명한 명제에 대해 의심을 지속시키고 주의를 집중하게 한다. 증명과 반박은 소 박한 추측을 개선된 추측으로, 소박한 개념을 증명 -생성 개념 곧, 이론적 개 념으로 대체시킴으로써 지식을 성장시킨다. 이와 같이 수학적 발견술은 추측과 증명과 반박에 근거하고 있으며, 과학적 발견술은 추측, 설명, 반박에 근거하고 있다. 양자의 차이는 그 〈잠재적 반증 자〉의 성격에 있는바, 수학의 경우에는 반례이고, 과학의 경우에는 여러 대상 에 대해 검사 가능한 반박하는 실험이다. 라카토스에 따르면, 폴리아의 약점은 수학적 발견을 귀납적이라고 결론짓고 있는 점이다. 폴리아는 과학이 귀납적이 라는 데 결코 의문을 제기하지 않았으며, 과학적 발견술과 수학적 발견술 사이 의 깊은 유사성을 강조하고 수학도 귀납적이라고 생각하고 있다. 라카토스의 오류주의 수학 철학에 따르면, 수학적 발견술은 소박한 추측과 연역적 추측이란 두 가지 패턴을 따른다. 소박한 추측에서는 문제로부터 출발 하여 추측을 하고, 증명과 반례에 의한 반박의 단계를 거쳐 추측이 개선되고 세련된 개념이 나타난다. 연역적 추측은 문제로부터 연역적 증명을 통해 추측 에 이르고 검사와 반박에 뒤따른다. 어느 쪽이건 반박은 약점에 초점을 맞추어 비판함으로써 추측을 개정하고 확장하고 수정하며 개념의 재정의와 확정~ 통 해 지식의 성장을 촉진한다. 라카토스의 연구에 대한 이상의 논의를 바탕으로 오류주의적 관점에서 본 수 학의 탐구 양식은 네 단계로 정리할 수 있다. 곧, 수학적 추측을 제기하는 단 계, 제기된 추측을 부분 추측으로 분해하여 추측의 비판 가능성을 높이는 사고 실험, 곧 증명 단계, 추측을 검사하여 원래의 추측과 그 증명, 곧 부분 추측 체계의 약점과 제한점을 검사하여 원래의 추측과 증명을 반박하는 단계, 증명 을 재검토하여 〈유죄인 보조 정리>를 들추어 내고 그에 대응하는 조건을 원래의 추측에 첨가하여 추측을 개선하는 단계가 그것이다. 연역적 추측에서는 증명이 추측의 제기 단계에 포함된다. 개선된 추측에는 다시 검사 단계가 뒤따르게 되고 이는 새로운 반례를 제기 하여 전체적인 과정이 반복되게 된다. 지식이 성칭하기 위해서는 추측은 반박 되어야 할 뿐만 아니라 긍정적인 확인도 이루어져야 하지만, 지식의 성장은 반
박에 의해서 촉진되며, 확인된 지식은 잠정적인 추측일 뿐이다. 결국 수학적 사고는 문제로 시작하여 문제로 끝난다. 이러한 수학의 탐구 양식에 대한 모델은 수학적 지식의 성장을 추측과 반박 의 과정으로 규정하는 비판적 오류주의 철학에 입각한 것이며, 다른 철학적 입 장을 택하면 수학의 탐구 양식에 대한 모델은 달라질 수 있을 것이다. 그러나 어떤 철학적 입장에서 생각하건, 수학은 수학하는 사고 과정이며, 수학을 학습 한다는 것은 수학하는 사고 경험을 하는 것이다. 추측과 반박의 논리는 추측하 고 검사하고 증명하고 반박하는 탐구 과정, 문제 해결 과정을 통해 학생들의 비판적이고 합리적인 사고 태도의 개발, 수학하는 방법의 학습을 수학 교육의 주요 목표로 제기한다. 라카토스는 이러한 수학 발견의 논리에 비추어, 수학 교육에서의 연역주의적 입장을 비판하고 발견적 접근법을 옹호하면서, 평등 수 렴, 유계 변동, 가측 집합의 개념 지도를 예로 들어 수학 교재의 구성에 대한 비판을 아울러 개진하고 있다. 이 책의 서술 형식은 교사와 학생 서이의 대화 형식을 태하고 있으며, 그 가운데 재구성된 곧, 〈증류된〉 수학의 역사가 포함되 도록 시도되고 있는바, 이는 수학 교육에처의 소위 <소크라테스적―발생적 원 리〉의 구현을 위한 원리와 방법을 함께 제시하고 있다고 생각된다.
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A Abel, N.H. 55q, 93, 19s, 201-5, 201q Aetius 61n Agassi, J. 15 Aleksandrov, A.D. 92nq Ambrose, A. 74q Arber, A. 3ln Aristotle 85n, 129n, 167nq Arnauld, A. 158q B Bacon, F. 168nq Baltzer, R. 40nq, 80n, 138n, Bartley, W.W. 160n Becker, J.C. 60n, 80n, 138n, 15lnq Bell, E.T. 138n, 212, 227 Bell, J.L. 15 Berard, J.B. 5lq Berkeley, G. 172 Bernays, P. 19 Bolyai, J. 210 Balzano, B. 159-160n Boole, G. 18 Bourbaki, N. 204q, 227q Boyer, C. 195n Braithwaite, R.B. 15, 74nq 211nq Brouwer, L.E.J. 89q
c Cantor, G. 94 Caratheodory, C. 229-231 Careil, F. de 26n Carnap, R. 18q, 143n, 145n Carslaw, H.S. 224nq Catalan, E.C. 207q Cauchy, A.L. 11-2, 29n, 34n, 36n, 53n, 71n, 79n, son, 93, 99n, 107n, 133n, 137n, 143n, 151n, 184n, 185n, 187n, 189n, 195 -208, 212, 222-4,227-9 Cayley, A. 41n, 149-150n Chrysippus, 31nq, 61n Church, A. 17q Clairaut, A.C. 85nq Cleanthes, 31n Cohn-Vossen, S. 39n, 72nq, l70n Colwnbus, C. 37 Copi, I.M. 19n Crelle, A.L. 29n, 52n, 107nq, 203n Currie, G. 16 Curry, H.B. 18q D Darboux, G. 86n, 86nq, 212 Denjoy, A 49n Descartes, R. 26n, 129n, 131q, 151n, 165 -6q, 189n
Dieudonne, J. 19q Diogenes Laertius, 31n Dirac, P. 19, 172 Dirichlet, P.L. 198n, 199n, 212, 222-9, 228q du Bois-Reyrnond, P.D.G. 204n, 212-3q, 223n, 225n, 225 Dyck, W. 171n E Einstein, A. 145nq Eschweiler, T.J. 52n Euclid 38n, 79n, 84n, 211 Euler, L. 25-6nq, 27q, 29n, 30-ln, 33nq, 38n, 70n, 81n, 93q, 107n, 133n, 137-8n, 143-4n, 151n Eves, H. 79n F Felix, L. 145q, 157q Forder, H.G. 84q Fourier, J. 195-9, 201n, 223, 225-6 Frechet, M. 119n Frege, G. 87n, 95n Fresnel, A. 210 G Galileo l03q Gamow, G. 79n Gauss, C.F. 3lnq, 212, 226-7 Gentzen, G. 89n
Gergonne, J.D. 36n, 43n, 53-4n, 65n, 67nq, 99n, 108n, 151n, 167n Godel, K. 189n Goldschmidt, R. 47nq Grattan-Guinness, I. 196n Grunert, J.A. 43n, 52n, 137n, 151n H. Hacking, I. 15 Haeckel, E. 22n Hallett, M. 15-6 Halmos, P. 230q Hankel, H . 42n, 229q Hansteen, C. 202n Hardy, G.H. 57nq, 68n, 80n, 203n Haussner, R. 43nq Heath, T.L. 30n, 105n Hegel, G.W.F. 190n, 210n Heis, E. 52n Hermite, C. 44nq Hessel, F.C. 36n, 39n, 40n, 51q, 54n, 67n, 70nq, 99nq, 110n, 126n Heyting, A. 89n, 89nq Hilbert, D. 17, 39n, 72nq, 94, 170n Hobbes, T. 22q, 142q Holder, 0. 31n Holmboe, B.M. 207 Hoppe, R. 127nq, 142n, 143n Husserl, E. 89n J Jonquieres, E. de 29n, 38nq, 46nq, 59nq,
65n,70n, lOlq Jordan, C. 107n, 138n, 151n, 204n, 224n Jourdain, P.E.B. 225-6 K Kant, I. 19, 85n, 89n, 93, 129n Kepler, J. 41n, 62q, 62n, 133n Kneale, W.C. 15 Knopp, K. 211-2 L Lagrange, J.L. 195n Lakatos, I. 11-6, 17n, 22n, 94, 161n, 220n, 221n Landau, E. 80n Laplace, P.S. 195n Lebesgue, H. 138n, 185n Legendre, A.M. 37-8nq, 56n, 101n, 107n, 151n, 195n Leibniz, G.W.F. 26n, 85n, 195n, 196n Lhuilier, S.A.J. 33nq, 36n, 38n, 39n, 43n, 51n, 53nq, 65n, 67n, 99nq, 107nq, non, 126n, 143-4n, 151n Listing, J.B. 126n, 143-4n, 149-50n, 151n, 167n Littlewood, J.E. 57n, 68n Lobatschewsky, P.I. 210 Loeve, M. 231q M Machover, M.16
MacLennan, B. 15 Marx, K. 220ns Mathiessen, L. 29n, 52n, 59q, 65nq, 70nq Meister, A.L.F. 43n Menger, K. 2 30q Mitchell, S.D. 16 Mobius, A.F. 39n, 127n, 151n Moigno; F.N.M. 198-9, 210 Montague, R. 15 Moore, E.H. 92q Morgan, A. de 210-1nq Munroe, M.E. 45nq Musgrave, A. 15 N Neumann, J. von 152nq Newsom, C.V. 79n Newton, I. 19, 55q, 84-5n Nicole, P. 158q O
Olivier, L. 137n P Pappus 30nq, 105n, 121n Paracelsus 62 Pannenides 84-5n Pascal, B. 92nq, 165nq, 186nq, 187n, 207 Peano, G. 17n, 19 Pictet, J. 36n Pierpont, J. 227-8qPlato 129n Poincare, H. 11, 22n, 48nq, 8lnq, 85n, 88 -98, 107n, 119n, 129q, 138n Poinsot, L. 29n, 41n, 42nq, 43n, 55nq, 60nq, 65n, 67n, 101nq, 101q, 102n, 107 -8n, 133n, 135n Poisson, S.-D. 196n Polanyi, M. 15 Polya, G. 15, 19, 22n, 27n, 31n, 57n, 68n, 69nq, 73q, 76nq, 110n, 111n, ll8q, 119n, 141n, 148nq, 152nq, 166q, 176nq, 17Bnq Popper, K.R. 15, 19, 47n, 6on, 7lq, B5n, 145n, 154n; 160n, 161q, 186nq, 187nq, 210n, 221n, 230n Pringsheim, A. 203q Proclus 30n Pythagoras 89n Q Quine, W.V.0. 19, 21nq R Ramsey, F.P. 183-4q Raschig, L. 124n Ravetz, J. 16, 196n Reichardt, H. 72n Reichenbach, H. 217nq Reiff, R. 204-5nq Reinhardt, C. 171n Riemann, B. 31nq, 191n, 221-9 Robinson, R. 30n, 121n, 129nq Rudin, W. son, 219-2onq, 222q
Russell, B. 17n, 18q, 79nq, 84nq, 95n, 184n, 189-90n S Saks,S. 44nq Schlafli, L. 41nq, 151n, 167n Schroder, E. 42nq Schwartz, H. A. 19, 185n Schwartz, J. 18 Seidel, P.L. 86n, 199, 212 Sextus Empiricus 61n, 89n Smiley, T.J. 15 Sommerville, D.M.Y. 101q Staudt, K.D.C. von 151n Steiner, J. 99nq, 107nq Steinhaus, H. 65nq Steinitz, E. Bln, 137-8nq, 143n Stieltjes, T.J. 221-2 Stokes, G. 212 Sylow, L. 204n Szabo, A. 30n, 85n Szego, G. 69nq Szokefalvi-Nagy, B. 224n T Tarski, A. 20nq, 80n, 160n, 187n Turquette, A. 19n v Vesalius 21n
w Waerden, B.L. van der 15, 72n Watkins, J.W.N. 15 Weierstrass, K. 80n, 94, 187n, 189n, 226 Whewell, W. 195q Whitehead,A.N. 17n Wilder, R.L. 57nq, 68n Y Young, W.H. 213
z Zacharias, M. 67nq Zeno 84-5 Zennelo, E. . 89n Zygmund, A. 224nq
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ㄱ가측곡선 225 개념 반박 생성된― 134 소박한_ 140-3 소박한―과 이론적인-145-7 정확한―대 막연한― 154-5, 185 증명-생성-139-41, 194-5, 199, 218-9 개념 형성과 개념 확장을 참조하라 개념적 도구 229 개념 형성 108, 131-53 개념, 개념 확장을 참조하라 개념 확장 42-8, 131-7, 145-8, 156-7 -과 보조 정리 합체 139-140 ―에의 한계 149, 153-61 ―은 정리를 반박할 수도 있다 151-2, 154 은밀한―대 공개적인-158 이론적인―대 소박한-146-8 개념 확장과 개념을 참조하라 거짓의 재전달 -의 원리 83, 97n, 104 결정 절차 21, 164n 결정체 36n 결합 행렬 166, 171, 177-8 골드바하의 추측 117 공동 143n 공리 -의 오류가능성 95n -의 절대적인 진리성 167 복잡하고 인공적인-215 괴물 47, 86, 149, 152, 188 -의 예 35-47, 48n, 228-9
괴물배제 _대 예의 배제 57 -와 내용 135-6 ―와 엄밀성 94-5 -의 방법 37-49e, 10s, 131-6 변장한―216 정리를 옹호하는― 75-6 정의 152, 154 괴물 조정 59-62, 93, 150 괴델의 명제 91n 교육 216n 꼭지점 25e -의 경계 175 ―의 합 175 무정의― 165 귀납 ―과 분석 30n ―에 대한 아벨의 비판 201-2 권위주의 216-7, 220, 231 귀납적 양식 216-7n 귀납적 추측과 귀납적 발견술 118 18 세기의 귀납주의 208 증명과 반박의 방법의 바탕으로서의― 111-3 규약 174-6, 181 규약주의자의 책략 154 그래프 이론 143-4n 기하 비유클리드一 51, 93, 210 유클리드― 84-5n 〈지배적인〉 이론으로서의-186, 189-90n 해석―42n
ㄴ 내용 95, 96-108, 108-132 ―과 깊이 150 -과 최종성-확실성의 조건 104-5 _에 대한 증명의 비교 107n _을 증가시키기 96-104, 127, 148-53 논리 _ 번역에 좌우된다 187n -와 언어적 정역학 145 -와 연역적 무오류성 208-9n ―와 예의 배제 50-2 ―의 비형식적 정리 95n ―의 이론과 실천 129n 고대의-129n 귀납적-54n, 117-8 논리적 상수 189 논리적 형식 159n 발견의― 19, 217n 볼차노의 159n 비형식적-152n 3가--91 상황― 18, 19-21 수학과의 통합-93-5 수학의― 217 수학적인― 44-5n, 184n 지배적인 이론으로서의一 189-90n 논리실증주의 19, 145n 논리주의 94 ㄷ 다각형 25 -의 체계 38-9, 114-5
내부一 126n, 143n 다중 연결― 126n, 143n 반지꼴― 6on, 65, 69, 126n, 143n 별— 40-3, 59, 169 삼각형꼴― 43n, 116 완전한― 122e 7각형 42n, 116 다면체 25 ―의 경계 155, 17le, 181 ―의 류이에 분류 143n ―의 소박한개념 154 ―의 정의 37-42, 46-8, 143n 각기둥과각뿔 133n 거의 볼록한― 101 겹쳐 넣은 정육면체 35-6 공동이 있는― 126, 143n, 150 구상―63 단순_ 63-4, 133n, 139n, 155, 173 단순 연결― 135, 151n, 154, 168, 182 단측一 131, 151n, 169 별― 40-1, 59, 62, 75, 102-3, 106, 133n, 142, 151n. 볏 달린 정육면체 64-5, 69, 125 복합― 135 벡터 대수적 용어로 정의된_. 166-7, 182 -3 비본질적_40n 사진틀 43, 45-6, 63, 83, 109, 123-6, 131 삼각형꼴-62 12면체. 98 쌍둥이 사면체 38-9, 53, 127, 150, 155 F,V,E에 대한 표로 나타낸 값 112 n-장구상一 123 열린― 151n
오목―와 볼록― 46, 55, 74, 133, 135n, 137n 원기둥 47, 56, 75-6, 82, 90, 127, 131, 149, 154, 155, 171, 181, 184 원시적인-168 원환체 63 정― 25, 133 정육면체 98 정상적인― 122 7면체 169-71 코시― 87e, 109 8면체 170 단순성 107n 독단주의 22-3 -와 오류에 대한 이론 59-60 희의주의를참조하라 ㅁ 메타 수학 17, 20, 23, 94 -과 지배적인 이론에 대한 연구 189 -90n 멱급수 202-4 면 -의 경계 171 무정의― 165 다면체를참조하라 모서리 ―에 대한 케일리의 정의 149-50n 면의 경계로서의 모서리 171 무정의― 164-5 오일러가발명한―25 데카르트-오일러 추측 11, 25 -과 유사한 관계 113-4
―에 대한 두 부분으로의 분해 178 _에 대한 르장드르의 증명 100-1, 107 _에 대한 반례 (볏 달린 정육면체)64-5 (사진틀) 43-4 (성게) 40-1 (쌍둥이 사면체) 38-9 (원기둥) 47 (겹쳐 넣은 정육면체) 35-6 ―에 대한 벡커의 해석 151n ―에 대한 완전한 형식화 53, 73 ―에 대한 원래의 문제 상황 133 ―에 대한 제르곤의 증명 98-9, 107, 141 ―에 대한조르당의 해석 151n ―에 대한 코시의 증명 27-9, 96, 106-7, 139-41, 208 _에 대한 푸앵카레의 중명 141, 178-80 ―의 〈안전한〉 형식화 55, 58, 68 단순 다면체에 한정된― 63-4 단순 연결인 면을 가진 단순 다면체에 한 정된― 67, 74, 164 반박할 수 없는 주 정리 87, 104 반지꼴 면을 포함하도록 더 일반화된― 124-6 벡터 대수적인 용어로 형식화된― 174-7 볼록 다면체에 한정된_. 55, 58, 74 서로 다른 해석은 서로 다른 중명의 결과 이다 106-8 소박한 해석 73, 108-9 n-장구상 다면체로 일반화된― 123 준 볼록 다면체에 한정된~ 99 무오류주의 역사 227 유클리드주의와 오류주의를 참조하여라 무한후퇴 90n,95
증명, 사악한 무한을 참조하여라 문맥 발견의 문맥과 정당화의 문맥 217n 문제 25 과학적 탐구는 문제로 시작하고 문제로 끝 난다 161 문제 상황 218 증명하는― 27n, 73, 105n 풀려고 착수한 문제를 풀지 않는다 141 ㅂ 반례 31 ―의 기각 37-49 가짜― 219-2on 국소적 -이지만 전면적 반례가 아닌- 31-5, 96-108, 131 국소적인― 32e, 37, 76 괴상한―90 논리적―와 발견적― 130-2, 136, 144-5, 147-8 사소한―88 수학자에 대한 반성으로서의一 209-10. 이론적一와 소박한― 148-53 전면적인― 32e, 37, 63, 76, 203, 218 전면적인―와 국소적인― 57, 82, 104, 131, 194, 200, 219 전면적인―이지만 국소적―가 아닌― 75-95, 76e, 104, 131 중명 분석을 위해 필요하지 않은 — 83 데카르트-오일러 추측, 증명, 반박을 참 조하라 반박 논리적一과 발견술적― 145-6
반박의 결여는 증명 분석의 소홀을 야기시 킨다 84-5 발견술적 -146-7 이론적―과 소박한― 148-53 중요한-과 중요하지 않은-135-6, 151 -2 증명 분석의 발효제― 8L3 증명-생성― 83 효용 체감 151n 반례를 참조하라 반박가능성 154 반례, 반박주의자, 반박을 참조하라 반박주의자 44-5n, 133-4 발견술 15, 19, 31 ―과-모호함 155 ―과역사적 변종 146 ―대 연역주의자의 접근 215-32 ―은 과학적 발견술과 같다 119 ―은 반박을 무시하는 데 도움을 준다 119 ―은 역사적 패턴을 벗어날 수도 있다 193n _은 지그재그 길을 따른다 74 _의 헤겔식 개념 220 귀납적-118 독단 68 반례 131-2, 144-5 비판 160 언어 역학 145 연역적-117-8, 216-8 증명과 반박에 대한 규칙 85-6, 97, 105 -6, 108-9, 122, 152 파포스의-105n, 121n 발산하는 급수 207
배경적 지식 94, 114 번역 ―과정의 185-6 ―의 문제 163-77 몇 가지 예 189-90n 절차 184 참된 번역 183 변증법 23, 67, 147, 220 ―은 비판 없이 변화를 설명한다 92n 보조정리 30 ―의 발견 87 감추어진― 76-82, 94, 194, 199, 203, 219 개선된― 34 거짓인― 33 자명하게 참인― 73, 80 특별한-대 적절한― 86~7 보조 정리 합체를 참조하라 보조 정리 합체 63-75, 63-4e, 108 ―는 증명과 반박의 방법을 재명명한다. 85 ―는 증명에 의존한다 74 ―대 예의 배제 66-7 _에 대한 독단주의자의 해석 81-2 안전을위한행동 96 본질주의 -와 유클리드적 프로그램 187n 수정된-186 정의에서의― 43n, 181-91 분류 소박한―대 이론적-143 유명적-대 실재적― 144분명하고 명확한 아이디어 61n 분석 30n -은 검사를 증명으로 전환할 수 있다.
147 검사사고실험 120 플라톤적― 164 종합을참조하라 비례 --론 189n 비판 _과성장 172 _은 수학적 전리를 논리적 진리로 전환시 킬 수도 있다 153-61 가짜―37 문학― 209 발견적― 161 수학적― 129n 추측의― 31-2 ㅅ
사고 실험 27, 30e, 37, 120, 125, 193-4 그 언어적 세련화와 다른― 87-8 반례에 의해 자극된― 130 연역적-128 준-실험 30 증명을참조하라 4색 추측 27n, 117 사악한 무한 90e, 92, 94, 104, 151-3, 159 사회과학 -의 방법론 220-ln 선험적 종합적 판단 167 수학 ―에 대한 형식주의자의 철학 17-23 ―의 기초 92 -의 자율성 220 -의 지도 12, 215-7―의 퇴화 151, 218n 논리와의 통합 93-5 영원한 진리로서의一 216 수렴 195-205, 212-3 무한히 느린一 197-8 평등, 평등 수령을 참조하라 실용주의-92 심리주의 ―대 객관성 87-8 -와 수정같이 맑은 증명 88-9 심리학 -과 발견의 문맥 217n 생리학으로 번역된― 189-90n o
안전을 위한 행동 50-8, 55-6e 언어 ―에서의 변화 145 ―와 보편의 문제 144n -와 지식의 성장 145 -의 모호성 88-9 -의 법칙 129n 소박한_대 이론적 -142-3 수학과 무관한-87-8 언어적 정확성 127 자연 언어는 대상의 본질을 반영한다 176 형식화된― 145n 엄밀성 75-95 -과 증명 분석 88, 93-5 -과 푸리에의 반례 198-9 -과 회의주의 183 _에 대한 아벨과 코시의 개념 208n―에 대한 코시-바이어슈트라스의 혁명 93, 184n, 189n 一의 정도 88, 91-2 보다 포괄적인 증명과의 관련성 절대적_ 55n, 88-9 충분한―92 증명을참조하라 역사주의 92 역설 발명가의― ll0n 집합론의― 94 역학 뉴턴一 85n 파동― 187 합리적― l89-90n 연쇄 ―의 성질 174-5 벡터 공간을 이룬다 177-9 K-172-80연속성 ―에 대한 아벨의 정리 202-3 ―에 대한 코시의 특성화 195-7, 219 ―에 대한 푸리에의 개념 195-6 _의 원리 193-9, 219 단편적― 228 연역 ―과 무류성 184, 189-91, 209 _과 중가된 내용 128-9 ―에 의한 일반화 147-8 수학의 발견적 패턴으로서의― 216-8 연역주의자의 양식 215-32 예외 배제 50-8, 53e, 74, 98, 10s, 132, 137n, 201-5, 211 방법의 연속체 67-9
사이델 이전의 표준적인 방법으로서의― 206 수정된― 56 증명 분석과 보조 정리 합체와 결합된― 69 코시의 방법과 엄밀성에서의 혁명 206 오류 61n, 225 오류주의 210-1 용어 ―와반례 188-9 논리적―와 기술적― 159-60n 분명하고 명백한― 184 완전히 알려진(형식적)― 188 원초적― 168, 176 전문― 218 특수―와 비특수― 167, 188-9 번역을 참조하라 위상기하학 42n, 102, 105-6, 143n, 150n, 156 유계변동 _의 기원과 발견 221-9 유클리드주의 165n, 187-8, 208-10, 218 _는 추측과 증명을 분리한다 208 수학에 대한 유해한 효과 211 유클리드적 양식 215-32 이대올로기 정치적인― 85n 이론 성숙한―75 성장하는(비형식적인)一 19,75,165n,211 형식화된― 165n
ㅈ 자본 _에 대한 K.막스의 이론 220 적분 -의 교과서 표현 185-6 디리클레- 224 리만-229 리만-스틸체스― 221-2 르베그 224-5 코시― 222-3, 224 코시의 적분에 대한 리만의 비판― 224, 229 점진적 공학 71 정리 90 ―대 추측 29, 74-5 주 정리 104 증명 생성-88, 138, 194 타당성의 영역 88, 211 제 증명과제 반박 -과개념 140 ―의 논리 22 -의 발견 205-11 -의 방법 105, 132, 193-4, 211 증명과 제 반박을 참조하라 정의 17 _에 대한 본질주의자의 이론과 유명론자 의 이론 144n, 181-9 _에 대한 파스칼의 규칙 165n _에서의 본질주의 43 ―의 〈감추어진〉 구절 46 괴물포함-134 규정 대 추측 166-7, 184-5 다면체의― 37-48
번역의-185-7 엄밀한― 154 영― 204 증명--185-Gn, 215, 230-1 특별한-49 조건 데카르트—오일러 추측에 대한 달성하기 어려운― 182 필요충분― 104-6 정리를참조하라 종합 30n 증명 사고 실험으로서의-121 분석을참조하라 증명 27-30e -과 의미 188 -과 증명-분석 129n ―의 규칙 95n -의 무한후회퇴 73 -의 변하는 표준 161 -의 비판 31-5, 200 -의 영역 105-6 -의 하찮은 확장 150 개선하는― 33, 56, 68, 75 개선 후의-164 검사로서의― 57n, 119-20 귀납적― 208 더 깊은― 96, 106, 108, 183 보다 업밀하고 보다 포괄적인― 183 수정같이 맑은-88 서로 다른 중명은 서로 다른 정리를 낳는 다 107-8 완전한_대 불완전한― 209 유클리드식― 165n 재 증명과 제 반박의 방법의 단계로서의
—193 -4 증명 전신 231 증명하지 않는一 56, 68, 74 최후의― 104-9, 150 추측 없는― 124-5 타당한― 155n 형식적― 18, 189 증명 분석, 증명 절차, 사고 실험을 참조 하라 증명과제 반박 ―은 〈제 증명과 제 반박의 방법>을 재명 명한다 105 ―의 발견적 규칙 85-6, 97-8 ―의 방법 82-95, 85-6e _의 변증법적 통합 67 제 증명과제 반박을참조하라 증명-분석 11, 75-95, 200 ―과 보조 정리의 합체 66 一과 엄밀성에서의 혁명 93-4 ―과 증명 86, 129n 군 내용을 감소시킬 수도 있다 96 ―은 증명으로 끝난다 165n ―은 증명을전혀 틀림이 없이 만들 수 있 다 209n ―의 도구에서의 무한계성 165n ―의 발견 205-13 ―의 영역 106 대략적인― 87 반박을 위한 발효제로서의― 83 안전한一98 엄밀한― 82e 완전한一82 자명한 것으로 환원된― 191 증명의 깊이 150, 183
증명 없는-87 증명 절차 164n, 217n 제 증명과 제 반박을 참조하라 지배적인 이론 186, 189-90 유클리드주의를 참조하라 지식 -의 성장 130-1, 145-6, 148-50 ―의 자율성 220 추측을 참조하라 직관 -으로 전환된 추측 165 분명하고 명백한― 184 성숙한―88 연역적― 209 정의와 공리의 원천으로서의― 167 직관주의 87-91, 94-5 언어를참조하라 진화 21-2, 47 집합론 45n,94 ㅊ 참 ―의 재전달 104 공허한一 78n 어떤― 109 최종성 181-91 _과 깊이 183 ―과 확실성 104, 16,, 182-4 추측 122 _ 개선하기 53, 63-75 ―의 기각 36 개연적이고 있음직하지 않은― 35 거짓인―울 증명하기 36-7, 68, 122
귀납적-117 부분- 30-7 (소박한)원초적인― 74-5, 119, 143, 194 특수한―86 추측과 반박 _의 방법 118, 224-5 추측하기 발견적 패턴으로서의_ 145-8 연역적― 144-6 연역적_대 귀납적一 113-22 연역적 추측에 의해 증가된 내용 122-9 추측대 통찰 58 측도론 189-90n, 225, 230 가측 집합에 대한 카라시오도리의 정의 229권2 외측도 231 ㅋ 코시의정리 연속성에 관한一 11, 194-213, 219 적분에 관한-212 ㅌ 터널 45, 109, 143n 테일러의 정리 202n 퇴화 수학적― 231-2 ㅍ 평등 수렴 199-201, 219-21 -의 교과서 표현 219-20
_의 발견 200-5 다른 증명 가운데의 숨겨진 보조 정리 212-3 폴리톱 167 다면체를참조하라 푸리에 급수 197-8, 201-2 푸리에 추측 212, 223 _에 대한반례 223n 디리클레에 의해 중명되고 개선된-223 -6 코시에 의해 증명된― 223n ㅎ 함수 괴물로서의― 44n, 48n, 227-9 코시의 정리, 수령, 푸리에 추측, 평등 수렴을참조하라 합리적 재구성 23, 133n 합리주의 비판적― 21, 91, 111 항복 一의 방법 36-7 항진명제 ―로서의 정리 189
해석 독단적―대 회의적인― 153-4 의도된―대 의도되지 않은― 134-6 헤겔의 삼단계론 190n, 219, 224-5 헤겔주의 210n ―와 발견술 219-21 변증법, 헤겔의 삼단계론을 참조하라 형식주의 l7e-23, 186n
18세기― 208n 힐베르트의_94 확률론 189-90n, 230 확실성 137, 158, 188 _과 최종성 104, 182-3 확인 26 확증 ―과반례 137n 국소적-과 발견적-130 회로 연쇄 공간의 부분집합을 이룬다 177 k-173 회의주의 22, 158 _ 언어적 의사소통 88 一와 엄밀성 183-4 독단주의자로 전환한 희의론자 81-2 종교적인一91우정호 서울대학교 사범대학 수학교육과 졸업 히로시마대학 대학원 졸업 (수학교육학 전공, 교육학 박사) 현재 서울대학교 사범대학 교수 저서 『수학교육학 개론』 (共者)
역서 『어떻게 문제를 풀 것인가』 (G. 폴리아 著)수학적 발견의 논리 대우학술총서 • 번역 37 1991년 1월 20일 찍음 1991 년 1 월 30 일 펴냄 지은이 ·임레 라카토스 옮긴이·우정호 펴낸이·朴孟浩 펴낸곳·民昔社 출판등록 1966,5.19.. 제 1-142호 135-120 서울 강남구 신사동 506 번지 강남출판문화센터 5층 우편대체번호 010041-31-0523282 은행지로번호 3007783 515-2003~5 (편집부) 515-2000~2 (영업부) 515-2007, ·515-2101(팩시밀리) 값 8,000원 © 1991, 우정호 KDC/410.1 Printed in Seoul Korea대우학술총서(번역) I 유목민족제국사 룩쾬텐•宋基中 옮김 2 수학의 확실성 모리스 클라인 朴世熙 옮김 3 중세철학사J.R. 와인버그 籠英唘 옮김 4 日本居의起源 R.A. 밀러 金弗漢 옮김 5 古代漢語音韻學槪要 버나드 칼그렌·崔玲愛 옮김 6 말과 사물 미셀 푸코·李光來 옮김 7 수리철학과 과학철학 헤르만 와일·김상문 옮김 8 기후라 진화 로널드 피어슨·김준민 옮김 9 이성 진리 역사 힐러리 파트남·金鵬綜 옮김
10 사회과학에서의 場理諭 쿠르트 레빈 박제호 옮김 11 영국의 산업혁명 필라스 딘 副慶洙 李延預 옮김 12 현대과학철학논쟁 토마스 쿤 外·조승옥·김동식 옮김 13 있음에서됨으로 일리야 프시고진·이철수옮김 14 비교종교학 요아힘 바하·김종서 옮김 15 동물행동학 로버트 A. 하인드·장현갑 옮김 16 현대우주론 D.W. 시아마 양종만 옮김 17 시베리아의 샤머니즘 V. 디오세지 外 최길성 옮김 18 조형미술의 형식 힐데브란트·冒昌燮 옮김 죠나단하스 崔夢廳옮김