정확히 풀리는 양자계남순건 경희대학교 물리학과 부교수
이공주복 이화여자대학교 물리학과 부교수안창림 이화여자대학교 물리학과 부교수신상진 한양대학교 물리학과 부교수유재준 서강대학교 물리학과 조교수(논문 게재순)
정확히 풀리는 양자계
정확히 풀리는 양자계
머리말
다른 영역의 이론물리학의 내용을 서로 이해하기란, 매우 어려운 일이다. 그러나 최근 들어 이러한 장벽을 허무는 경향이 있다. 특히 비섭동적 방법론은 모든 이론물리의 어려운 문제들을 접근하는 데 필요한 것으로서, 이러한 것에 많은 도움을 주고 있는 것이 바로 정확히 풀리는 계(가적분계)에 대한 이해일 것이다.물리학 중 이론물리학은 한 이론학자가 다룰 수 있는 대상이 다양할 수 있다는 점에서, 실험물리학과 다르다. 이러한 점은 최근 들어 정확히 풀리는 양자역학 및 양자장론을 통한 입자, 통계 및 응집물리학의 연계 분야에서 서로의 문제에 도움을 줄 수 있다는 것에 잘 나타나고 있다.저차원의 양자장론이나 통계역학 중에는 <적분이 가능한> 모형이 존재한다. 이 가적분 모형들은 섭동적 방법을 넘어서 비섭동적 성질들을 이해하는 기초를 제공한다는 점에서 많은 연구가 행해지고 있고, 최근에는 고체물리의 여러 영역에 직접 응용되기도 하기 때문에 그 중요성이 날로 커지고 있다.가적분 모형의 연구는 어떤 모형이 가적분임을 증명하는 것과 이를 실제로 푸는 과정으로 이루어져 있다. 전자는 물리계가 가지고 있는 자유도와 같은 개수의 보존되는 양들을 찾는 과정이고, 후자는 가적분모형으로부터 충돌행렬이나 상관함수 등 물리적으로 중요한 양들을 정확하게 계산하는 과정이다. 유한한 자유도를 가진 경우에는 두 과정이 자연스럽게 연결되겠지만 자유도가 무한대이면 보존양들을 알아도 해밀토니안을 풀기가 어렵다. 계산하려는 양에 따라 여러 방법들이 알려져 있는데, 이들은 모두 가적분하다는 성질과 밀접하게 관련된다.
이 책은 지금까지 한글로 씌어진 바 없는 적분 가능한 양자 모형들에 대한 것으로 한국물리학회에서 1995년 펴낸 물리학 용어집을 참조했다. 정부수립 50 주년이 되는 해에 이제는 국제적 경쟁력을 갖고 있다고 자부하는 이론물리학의 강의록이 우리말로 씌어질 수 있다는 점은 그 뜻이 매우 크다 하겠다. 이번에 대우재단의 지원으로, 국내에서는 처음 시도되는 가적분계에 대한 입문서로서 사용될 수 있도록, 이 분야의 국내 전문가들의 글들을 모았다. 이러한 내용의 일부는 이화여대에서 개최되었던 양자 가적분 모형에 대한 워크숍에서도 발표된 바 있는데, 이 책에 자세한 내용들을 담았다.아무쪼록 이 책이 이 분야에 관심이 있는 모든 이들에게 유용하기를 바란다.1998 년 겨울남순건, 이공주복, 안창림, 신상진, 유재준차례
머리말 5제 l 장 칼로제로-서덜랜드 모형 입문 ----111.1 서론 • 111.2 분 가능성 • 171.3 파동함수와 잭 다항식 • 211.4 양-대칭성과 보존량 • 32제 2 장 베데안자츠 방법과 양자 가적분 모형 ----392.1 베데안자츠 • 392.2 허바드 모형 • 452.2.l 전자가 한 개 있는 경우 462.2.2 전자가 두 개 있는 경우 462.2.3 전자가 N개 있는 경우 492.2.4 열역학적 베테안자츠 552.2.5 열역학적 성질 642.3 양자 가적분 모형과 베테안자츠 방정식 • 692.3.1 U(2)- 불변인 스핀 S 하이젠베르크 모형 692.3.2 s-d 교환 모형/콘도 모형 702.3.3 앤더슨 자기불순물 모형 71제 3 장 가적분 양자장론 입문 75
3.1 서론 • 753.2 양-박스터 방정식 • 803.2.1 양자장론과 통계물리에서의 양-박스터 방정식의 차이점 803.2.2 양자군 873.3 가적분 양자장론들 • 963.3.1 사인-고든 모형 973.3.2 섭동된 등각장론 1013.3.3 열역학적 베테안자츠 1143.3.4 형태 인자 방법 1243.3.5 결론 130제 4 장 등각장론의 콘도 문제에의 응용4.1 서론 • 1334.2 콘도 문제와 그 양자장론적 기술 • 1374.3 강한 결합 고정점의 등각장론적 기술 • 1424.4 저온에서의 열역학 • 1524.5 그린함수의 계산 • 1564.6 경계 상태와 모듈과 산란행렬 • 1664.6.1 일반적 고찰 1664.6.2 콘도 문제에의 응용 168제5장 라틴저 액체 이론 입문 1715.1 서론 • 1715.2 페르미 액체 • 1745.2.1 란다우의 기본 가정 1745.2.2 준입자 175
5.2.3 평형 상태의 질 1785.2.4 페르미 엑체 상태의 안정성 1825.3 되틀맞춤무리 이론 • 1915.3.1 되틀맞춤무리 분석 방법의 상호작용하는 페르미 입자계에응용 1915.3.2 눈금잡기 분석 1935.3.3 2차 건드림 1955.3.4 페르미 입자간의 상호작용 1975.4 라틴저 액체 • 2025.4.1 보존화의 기본 생각 2025.4.2 1차원 스핀 없는 전자계의 보존화 2055.4.3 1차원 스핀 1/2 페르미온의 보존화 2125.5 라틴저 액체의 물리적 성질 • 2145.5.1 그린함수 2145.5.2 전하 스핀 자유도의 분리 2175.5.3 물리적 성질 2185.5.4 전자 포논 상호작용 2225.6 결론 • 225부록A 양자군과 결정기저 227B 양자 변형된 원자가 결합 상태 241C 비가환 천-사이몬즈 입자들의 통계역학 261D 병진 대칭성이 깨진 고비계의 상관함수 271참고문헌 293
제 1 장 칼로제로―서덜랜드 모형 입문
남순건1.1 서론양자역학의 문제 중 정확히 풀리는 문제는 그다지 많지 않다. 이의 예는 교과서에서 다루어지는 이 거의 대부분으로, 네모-우물(square-well) 퍼텐셜(potential), 단진자, 쿨롱(Coulomb) 퍼텐셜 등이다. 이들의 특성은 네모—우물 퍼텐셜의 경우 평면파로 기술 가능한 경우이고 단진자 및 쿨롱 퍼텐셜의 경우는 사실 그 안에 숨겨진 동역학적 대칭성 (dynamical symmetry)이 있어 정확한 해를 허용하는 것이다.물론 가장 간단한 동역학 대칭성이 있는 예들은 단진자와 케플러 문제일 것이다.대칭성이 있어 군론(group theory)을 사용하여 정확히 풀 수 있는 양자역학계는 실제 몇 가지가 더 있으며, 이들 중 대표적인 것 은 SU(2) 대칭성을 이용하여 정확히 풀 수 있는 표쉴-텔러 (PoschlTeller)퍼텐셜이 있다(1]. （물론 속박 상태 들을 기술하기 위하여는작힌 군 (compact group)인 SU(2)를 사용하여야 하나 ， 산란 상태들을 위하여는 작히지 않은 군 (non-compact group)인 SU(1， 1)을 사용하여야 한다.) 이의 방정식을 적어보면 다음과 같이 된다.
[ --d%x-2 -j- c(ojs -+h2 1 X) =E 표쉴-펠러 퍼텐셜 (1.1)위에서 볼 수 있듯이 이는 부드럽게 한 네모 -우물 퍼텐설로 실제로 다음과 같은 다양한 문제 등에 등장한다.• 델타함수꼴의 2체 상호작용을 하는 다체계에세의 평균장(하트리-폭) 이론 [2]• 핵물리의 산란 이론 [3]• KdV 방정식의 솔리톤 해 [4]• 솔리톤 (soliton)， 꼬임 (kink)과 되튐 (bounce) 등의 안정성 (stability) 방정식 [5]• 사인-고돈 방정식의 홀로알과 반홀로알과의 상호작용 [70].표쉴-텔러 퍼텐셜의 변형으로는 모스 (Morse) 퍼텐셜과 주기적 퍼 텐셜인 스카프 퍼텐셜 (Scarf potential)을 들 수 있는데， 이는 각각 분 자모형과 1차원 격자 모형에 사용되었다. 그러면 우선 앞에서 언급한 것처럼 군론과 정확히 풀리는 양자역학 모형의 관계를 구체적으로 간단한 양자역학 문제로 살펴보자. 잘 알려진 대로， SU(2)의 생성자 (generator)들 Ji(i = 1, 2, 3) 는 각운동량 (angular momenta)과 관계가 있고， 그 양자수는 다음과 같다. J21j, m ) = j(j + l)lj, m ), J3 1 j, m ) = mlj, m ) (1.2) 이제 정수의 값 j에 대해서는 J3와 J2를 다음과 같이 미분 연산자로 표현할 수 있다. 3 = -i8-Ø , JX = - ( s 1in ( --22 +' -s i-1n -(} (88(s} , i,-.n -8-_ 8 8-(} ) ) l (1.3)이 연산자의 고유함수는 르장드르 (Legendre) 다항식을 이용하여 적어보면, PF(cosθ)e가 된다.
퍼텐셜에 타원 변형 (elliptic deformation)을 준 경우는 아래와 같은 라메 방정식(Lame equation)이 되며, 이는 타원체상에서의 파동 방정식인데 이에 대한 이해는 적은 편이다[7] [_: (j + l)k2sn2x] 0 = E0 (1.9) 이제 다음과 같은 타원합수의 퍼텐셜을 갖는 양자역학 문제를 생각하자 2 V(x) = ---;;f sn2(x lm) (1. 10) 위 문제의 특별한 경우로는, X --+ 0 일 경우 V(x) --+ )2 인데 원래 의 칼로제로 모형 (Calogero model) 이 된다.
위의 타원함수는 두 개의 주기 (2K(m), 2iK'(m)를 갖고 있다 첫 번째 주기는 계의 크기를 나타내고, 두번째 주기는 퍼텐셜 의 작용 범를 나타낸다. 따라서 다음의 두 가지 특수한 경우를 고려할 수 있다.1) 2K(m) --+ 00 경우 m --+ 1이 경우는 계의 크기가 무한대이므로 산란이 허용되고, 퍼텐셜이 V(x)→가 된다. 이때 X = 0 근처에서의 퍼텐셜의 모습은 가 되고, x→ ∞에서는 지수함수꼴의 퍼텐셜이 되어, 다체 문제의 경우 밀(dense) 한 경우는 칼로제로 모형이 되고 소(dillute) 한 경우는 토다 모형 (Toda model) 이 된다. 즉, 다체의 입자들의 상호작용이 멀리 작용하게 되나, 소한 경우는 인접한 입자들간의 상호작용만 있는 토다 모형이 되는 것이다.2) 2i K'(m) →∞경우 m → 0이 경우는 유한한 주기적인 계가 되며, 퍼텐셜은 V(x)→ 가 된다. 위에서 언급한 계들은 모두 2체 문제로, 양자역학적으로 풀수 있는 다체 문제는 실질적인 중요성에도 불구하고 더 적다. 양자 역학적 상호작용을 하는 다체계의 문제로 최초로 풀린 해는 1931년 Bethe 에 의하여 풀린 델타함수꼴의 2체 퍼텐셜을 갖는 N체 문제이다[32]. N H = - I: ~ + 2>- I: o(x,) (1.11) i = l -·-, i
행렬 모형 [16], 분수 통계(fractional statistics) 를 갖는 계 등 매우 다양하다. 물론 가장 많은 관심은 강하게 상관이 있는 전자계 (strongly correlatedelectron system)의 연구와 관련된 것이다[18, 156]. 가장 최근의 매우 흥미로운 발전은 N=2 초대칭성이 있는 게이지 [20] 의 양자 진공 구조가 정확히 풀리는 계로 기술될 수 있으며, 사실상 SU(N) 양-밀스장(Yan-Mills field)이 특별한 물질과 상호작용하는 경우는 N개의 입자가 있는 칼로제로 모형이됨이 알려지게 되어 그 응용의 다양성을 더해주고 있다[21].
이제 이들 이론과의 연관성을 간단히 서술해 보자. 우선 양자혼돈 이론과 C-S 모형과의 관계는, 혼돈 속에서의 질서를 보여주는 좋은 예라 할 수 있다. 간단한 양자혼돈계는, 혼돈스러운 고전역학계를 양자화함으로써 얻어질 수 있는데, 이러한 계는 그 에너지 준위들이 서로 밀치는 것이 그 특성이다. 그 예로 다음과 같은 계를 생각해 보자. 여기서 Ho는 적분 가능한 원래의 해밀토니안이고 V는 적분 불가능한 퍼텐셜이다. H(r) = Ho +rV (1.12) 이 문제의 에너지의 고유치들 {xn(r)}, n = l, · · · ,N 들과 그에 대응하는 고유 상태들 {ln(r) 〉}을 고려하면, 고유치들이 다음과 같은 방정식을 만족함을 보일 수 있다. = 2E xnm_V:: mi,n (1.13) 위에서 v,'", 은 n(T)|V|m(T) 〉이다. 이는 분명히 N개의 입자들이 복소 벡터 공간의 내부 공간을 가지며, 칼로제로-모저꼴의 상호작용을 하는 경우이댜 에너지 준위의 수가 많아서, 이를 통계적으로 다루어야 할 경우는 다시 양자역학적 칼로제로 모형을 다루어야 하며, 임의행렬 이론 (random matrix theory)을 이용하게 된다.또다른 응용으로는 무질서한 (disordered wires)에서의 투과행렬(transmssion max)의 고유치의 계산이다. 이는 고유치의 분포가 만족해야 하는 방정식의 해를 구하는 문제이다. 이는 핵물리학의 복잡한 반응의 문제와도 과련이 있으며, 이와 같은 도로코브-멜로― 페레이라-쿠마(Dorokhov-Mello-Perera-Kumar : DMPK) 방정식의 해를 구하는 문제가, 경계가 있는 칼로제로-서덜랜드 모형을 푸는 문제로 바뀐다는 것이 최근 알려졌다[22].
양자장론과 관련이 있는 점은 우선 2차원 양-밀즈 이론과 C-S 모형의 연관성이다. 이는 양-밀즈 이론의 비섭동적인 현상의 연구에 도움을 주기 때문에 홍미로운 문제이다. 사실상 양-밀즈 이론과 끈 이론과는 밀접한 관계가 있다고 믿어지고 있다. 끈 이론의 역사적 기원을 강한 상호작용에서 찾을 수 있음은 우연이 아닌 것이다.1.2 적분 가능성퍼텐셜의 꼴을 정하는 조건은 대등한 여러 가지가 있다. 물론 이 모든 조건 등은 양자역학적인 적분 가능성의 여러 가지 양상이라고도 볼 수 있다. 이제 다음과 같은 둔클 연산자(Dunkl era or)를 생각하자(23]. T i = Pi + i V(xj _ X j )Mij i (1.14) 위에서 ij는 입자를 바꾸어주는 연산자이다. 이제 이 연산자의 완전제곱들의 합으로 해밀토니안을 적어보면, 다음과 같다. H= (1.15)= ; + ~~(,i ½1(P;+P1)Mij+V,J +l) (1.16) 1 (V,JVJ k. + vj kM'1 + M ·Iv;])M,JMJk· (1 .17) i # j #k 이제 위의 해밀토니안의 여러 항 중 2체 상호작용인 것들은, 놔두고 3체 상호작용은 없다고 요구하면, 다음의 방정식이 나온다. V(x)V(y) + V(y)V(z) + V(z)V(x) = W(이 + W(y) + W(z) , 나-y +z=O (1.18) 위의 방정식의 해는 다음과 같은 경우에 간단히 할 수 있다. l) W = 0 : 이 경우의 해는 V(x) = l/x 이다 (l은 상수) 2) W = 상수 : V(x) = lcot(ax). (a,l은 상수) 3) W =음의 상수 : V(x) = lsgn(x).이 경우는 델타함수를 퍼텐셜로 같는 양자역학 문제가 된다.
또한 기저 상태 는 해밀토니안이 완전제곱꼴로 되어 있어, 둔클 연산자들에 의해 모두 소멸되는 경우가 가장 낮은 에너지를 주므로, 다음의 조건 을 만족하여야 한다. = O (1.19) 위의 방정식은 캑-무디 (Kac-Moody) 대칭성이 있는 등각장론에서 상관함수들이 만족하여야 하는 워드 항등식 (Ward identity)인 크니즈니크-자몰로지코프(Knizhnik-Zamolodchikov) 방정식과 유사하다. 실제로 이 유사성은 피상적인 것이 아니고, 수학적인 깊은 의미를 갖는다. Cherednik과 A. Matsuo는 KZ 방정식의 일부 해로부터, 칼로제로-서덜랜드 모형의 파동함수를 구할 수 있었다.일반적인 다체문제의 해를 정확히 구할 수는 없다. 그러나, 특별한 꼴의 퍼텐셜에 대해서는 그 정확한 해를 찾을 수 있다. 이제 여러가지 방법으로 그 퍼텐셜의 꼴을 구하여 보자. 우선 랙스 연산자(Lax Operator)의 방법을 고려하자. 잘 알려진 바로, 이러한 랙스 연산자로부터 고전적인 보존량들을 계산할 수 있다.
이러한 랙스 연산자의 유용성 을 알기 위하여, 다음의 예들을 살펴 보자. 우선 가장 간단한 N개의 자유 입자 의 운동을 기술하여 보자. 이 경우 자유도는 좌표 {qi}와 운동량 {pi} 이다. 이 계는 분명히 가적분계이고, N개의 존량들이 있다. 이 보존량 중에서 쉬운 것은 물론 전체 에너지이다. 이러한 보존량들 하나하나를 해밀토니안으로 볼 수도 있다. 이 계의 랙스 연산자는 스펙트럴 파라미터 (spectral parameter) z의 함수로 적을 수 있으며, z는 랙스운동 방정식에는 영향을 미치지 않는다. 랙스 연산자는 Pl 1 0 0 0 0 P2 1 0 0 Lfrcc(z) = l 0 0 P3 0 0 (1.20 ) 0 0 0 Pn-l 1 z 0 0 0 PII 로 주어진다. (연습 문제:위의 랙스 연산자가 운동 방정식을 주려면 어떠한 행렬 M이 필요한지 찾아보시오.)운동의 보존량들은, 랙스 연산자의 여러 제곱들의 대각합으로부터 구할 수 있다. 즉 이들 해밀토니안들은 _ N ).pf (1.21 ) k 7로 주어진다.
이러한 보존량들은 다음의 곡선 공식으로부터 구할 수 있다. det(tI - Lfrcc ) = 0 (1.22) 여기서 t와 z의 함수관계가 곡선을 정의한다. 이제 이같이 쉬운 경우에서 벗어나， 좀더 복잡한 토다 사슬 (Toda Chain) 문제를 생각하자. 이는 N개의 동일 질량의 입자들이 인접하고 있을 경우 서로 지수함수 상호작용을 하고 있는 경우로， 그 랙스 연산자는 다음과 같이 적혀진다 [24]. LTC = + (E， +e 4)+zE5o+3e oiiE_ o (1.23)simplc >0 이번에는 운동 보존량들이 --ε -nε -al/l F + pν•. -- 2 이+ ε νp4- 1 \Jl/ ” (1.24) 로 주어진다. 이러한 양들은 스펙트럴 곡선에 다음과 같이 나옴을 알 수 있다.이제 제일 간단한 경우의 곡선을 생각하면， 사인-고든 모형이 된다. (이 경우 랙스 연산자를 구해보시오.)이 곡선의 꼴은 최근 들어， Seiberg와 Witten에 의해 많이 논의되기 시작한 초대칭 SU(2) 양-밀즈 이론의 진공 구조와 밀접한 관계가 있음이 밝혀져서 또다시 연구의 대상이 되고 있다. 이 점은 앞에서 이미 언급하였다.이제 토다사슬의 상호작용을 더 멀리 작용하는 경우로 확장한다면 이는 칼로제로 모형이 되고， 그 랙스 연산자는 아래와 같이 적을 수 있다 . idL/dt = [M ， LJ 의 랙스 방정식은 아래의 연산자들을 갖고 있다. LjI = pjr5j1 , + i(l - r5j k)g X(qj -q k) l . . =g[ 이 k l jZ( - qt) -( 1 -r 5 ν (qj -q k)J (1.25 ) 여기서 x( -q) = -x(q), ν (-q) = ν (q) ， z(q) = z(q) 인 함수들이다. 이 함수들이 랙스 방정식에서， 칼로제로 모형의 운동 방정식을 주려면 ， 미분 방정식을 만족하여야 하고 그 해들은 네 가지 형태를 갖는다 는 것이 알려져 있다 [24]. 이들 함수들은 유리함수， 쌍곡선함수 (hyperbolic function), 삼각함수 (trigonometric function)와 타원함수의 꼴들로주어진다.특히 타원함수의 스펙트렬곡선방정식은，초대칭 양 - 밀즈장이 수반 표현 (adjoint representation)의 물질과 결합되어 있을 경우의 진공 구조와 같음이 밝혀져 칼로제로 모형의 또다른 응용 예이다.
1.3 파동함수와 잭 다항식양자유체의 파동함수로 재스트로 (Jastrow) 형태의 인수분해된 꼴의 파동함수를 생각하자. 이와 같은 인수분해된 꼴의 파동함수는 액체 헬륨 3의 기저 상태를 기술하는 데 좋은 시행 파동함수임이 알려져 있으며， 양자-홀 효과를 위해 Laughlin이 인수분해된 파동함수를 사용하여 많은 성공을 가져왔다. 여기서 우리는 인수분해되는 꼴의 파동함수를 정확한 기저 상태로 가질 수 있는 다음과 같은 꼴의 1차원적 양자역학계의 모든 경우를 찾아보자. No 82 H = -L ~ + LV(x; - xi) (1.26) i =l ' i
이제 구체적인 계산으로, 예를 보이기 위하여 다음의 해밀토니안을 생각한다. 이는 서덜랜드의 원논문의 방법을 따른 것이다. H = -: : : +/3(/3 - 1): ((q, - q))) Ii = m = 1 (1.32) 이제 변수를 다음과 같이 놓는다. 271" OJ = qj j = eiOj
바닥 상태(ground state)의 파동함수가 다음과 같은 꼴이라 가정하자. W0(x) - L>'(x) - (u sin () ) {J (1.33) 이 바닥 상태의 에너지는 Eo = /32(N3 -N)임을 보일 수 있다.이제 뜬 상태 (excited state)의 파동함수를 고려하자. Jl(x) = (x)b..fJ (x) (1.34) lH를 계산하여 보면, o o = ~ （ ) 2 iI + N N N N iI= tXj Oj + t.+p EE i j =I i =I i= I i (1.35)이다. 여기서는 변형된 해밀토니안으로 , 다음의 꼴을 갖는다. N N H = ~:)xi oi )2 + /3드 x, + x] (xla - 궁) j =l i
nN ). H1과 H2의 작용을 살펴 보면 아래와 같이 된다. J H i (n) = (t, n/) (n) (1.40) N . N H2 (n) = (,8. - ) L IT z/1 (1.41) i
를 준다. 이렇게 관련된 상태들은 한 <가족>에 속한다고 부른다[31]. 한 가족의 상태들은 준위 를 이용하여 정리할 수 있다. 가장 높은 준舵위의 상태 은 > (n) 자체이고 준위 지수 j인 상태 |j> l '.S j < 가 있다
이러한 상태를 이용한 H의 행렬값은 삼각행렬의 꼴을 갖게 된다.그 밖의 경우는 Mij = hij (1.49) CL - €i 이다. 그러면 > (n)의 성분 간의 관계를 얻을 수 있다. L ¢i = ij¢j (1.50) = l 을 1로 놓으면 ¢j = (ML_I)iL (1.51) 이다. 이제 고유함수를 정할수 있다. 예를들어 N=3,n= {3,0,0} 인 경우를 생각해 보자. {3, 0, 0} |3> 3>= (9 + 6/3)13>+ 6/312>{2, 1, 0} |2> t 정의에 의하여 { iI|2>= (5 + 4/3)|2>+ 12/3|1>{1, 1, 1} |1> Hll>= 311>(1.52)
그리고 대응되는 행렬은 다음과 같이 적을 수 있다. 3 12/3 0 0 if = I O 5 + 4(3 6(3 I , M = I O 0 0 0 9+6(3 0 0 1M2 = I O 0 3/3 2+fJ 0 0 1 M2의 마지막 행은 (3,0,0) 이 된다. 3(3 ,, . 6(32 . t-t 13>+ —|2>+ |1>2+ {3 (1+ {3)(2+ /3) 대응하는 고유치는 1: = 9 + (3로 얻어진다. 에 작용하는 P의 고유 치는 =1n1 이다.
위에서 살펴본 바와 같이 대칭함수들의 공간이 H가 작용하는 데 안정되어 있다. 사실상 H와 P의 고유함수가 이러한 대칭함수들의 특별한 기저로 적혀짐이 수학자 에게 알려져 있다[30] . 이러한 특별한 기저는 잭 다항식(Jack polynomials)으로 이루어져 있다[28, 29].이제 수학적인 배경을 정리하여 보자[28, 29]. 분할(partition) 은 다음과 같은 감소하는 음이 아닌 정수의 나열이다. >. = (>-1, >-2, ... , >-r, .. . ) , >-1 A2 ••• >-r • • • (1.53) 편의상 (2, 1), (2, 1, 0), (2, 1, 0, 0, ... ) 등은 동일한 분할로 간주한다. 영이 아닌 i들은 의 부분(part)이라 불린다. 부분 의 개수는 의 길(length)라 불리고 |시로 표시한다. l,I = A1 + A2 + .. · 만일 |>-I =n이 면 는 의 분할이라 한다. 부분 우세 순서 (partial dominance ordering)는 l>-1 = Iµ|이고 모든 에 대해 Al+· • ·+Ai µ1 + … + 일 경우 A µ로 정의한다.
그림 1.1 영 도표
이와 같은 분할은 영 도표(Young diagram) 로 표시 할 수 있다. 도표의 상자의 좌표는 (i,j)이다 (1 ::; i :(>.), 1 ::; j ::; >.;). 좌표 j는 1부터 시작하여 오른쪽으로 증가하고, i는 아래로 증가한다. 예를 들어 분할 (5, 4, 4, 1) 은 그림 1.1과 같이 그릴 수 있다.
분할의 공액 (conjugate)> '는 의 자리바꿈(transpose)을 의미한다. 즉, 대각선을 중심으로 반사시킨 도형이댜 예를들어 (5,4,4,1) 의 공액은 (4 3,3,3,1) 이댜 이제 아래의 식을 증명할 수 있다. l(A) l(A') b(>.) (i _ 1)Ai = ) (1.54) i=l수학 논문을 보면 [28, 29], 대칭함수 의 기저함수(bases) 는 두 가지 형태가 있는 것이 알려져 있다. 이들은 분할 로 나타내지며, 잭 다항식 을 정의하는 데 편리하다.1) 단항 대칭함수 m 는 아래와 같다. mA(z1, z2, . . . ) = I: z0 (1.55) >. = (>. 2, ... )의 다른 순열 에 대한 합이다. 예를 들어, m(0) = 이 다.2) 멱합(power-sum) 대칭함수 P : 멱합은 Pr = z, r = m(r) , T 1 (1.56) 아래와 같이 주어진다. p_x (z1, z2, . . • ) = P.x1P.X2 • • • (1.57)
만약 가 = mr(>.) 인 부분이 r과 같으면, 아래와 같이 적는다. Z = II 'n mr (1.58) r= l 그리고 모든 대칭함수의 내적은 다음과 같이 될 것이다. ,p = z,xal(-X) (1.59)잭 대칭함수 JA = A(z;a)는 다음과 같은 세 개의 조건하에서 유일하게 정해진다[28). (Jl) 직교성 (orthogonality) 〈JA, J = OA/l j A, 여기서 는 틀맞춤 상수(normalization constant) 이다. (J2) 삼각성 (triangularity) J.x = I:,(a)m1J라 쓰자. (1.60) /J 이 경우 µ 이 성립되지 않으면, V>,µ(a) = 이다. (J3) 틀맞춤 만약 1>-1 = 이면, 계수는 V>,( )=n! 이다.잭 다항식을 정하기 위해서는 다음의 정리가 필요하다(29]. V,,(a) = IT (s)s E, J, = IT h:(s)h>.(s) E, ` 66 12 I,`I, 1l 위의 조건과 정리들에 의해서 정해지는 잭 다항식 의 몇가지 예들을 보면 아래와 같다. J(o) = 1 (1.63) J (l") = n !m (l") (1.64) J(z) = (1 + a )m(2) + 2m(1 ,1) (1.65) J(3) = (l + a )(1+2a)m(3) +3(1+a)m(2,1J+6m(l,1,1) (1.66) J(2,1) = (2 + a )m(2,1) + 6m(1,1,1) (1.67)
수학자들이 이와 같은 잭 다항식을 찾게 된 것은 다음과 같은 라플라스 벨트라미 (Laplace-Beltrami) 방정식의 고유함수가 되기 때문이다 n 1 " ' l 2 (a) = i ~ z/ 8z1 2 E E zt z: Z) 8:i (1.68) i = l i = l J; l j#i 에 대응하는 고유치는 e>.(a) 이다. eA(a) = ab(X) _ b(A) + -(n _ 1)|A| (1.69) 2이제 다음의 양을 도입하자. k; = (n; + ~(N + 1 - 2i) + p) (1.70)이들을 이용하면 다음을 바로 얻을 수 있다. N 2rr P = Lk; = y(lnl + Np) i = I (1.71) N E=~ ti = l = )2 I: 1(n;2+(/3 (N+l-2i) + )n +P (1.72)
위에서 본 바와 같이 칼로제로 서덜랜드의 스펙트럼은 사실상 자유로운 유사(pseudo) 입자들의 것으로 생각할 수 있고, 이것이 점근적 베테안자츠가 성공적일 수 있는 이유이기도 하다.이러한 유사 입자들의 유사 운동량은 21r k; - ki + T /3 (1.73) 을 만족하고, 이것은 일반화된 베타 원리로 해석 될 수 있고, 이러한 일반화된 베타 원리를 이용한 응집물질 이론이 있을 수 있다.1.4 양-대칭성과 보존량적분 가능한 양자 모형(quantum integrable model)의 성은 맞바꿈 보존량(commuting conserved charges)들의 존재이다. 특히 무한개의 자유도를 갖고 있는 적분 가능한 장론의 경우는 무한개의 보존량을 갖고 있으며, 이는 무한 대칭성으로 나타난다. 이들 보존량들 중의 임의의 하나를 해밀토니안으로선택할수 있다. 적분 가능한 양자 모형은 흔히 추가적인 대칭성을 갖고 있는 경우가 있는데, 이는 그 모형의 스펙트럼 겹침(degeneracy)의 원인이 된다. 이러한 추가적인 대칭성은 군(group)이 아닌 양자군(quantum group)일 경우가 많다. 특히 모형이 내부적 비아벨군을 지니고 있을 때 나타나는 양자군 대칭성은 양-대칭성 (Yangian Symmetry)이다. 이러한 대칭성은 간단한 하이젠베르크 모형에서도 쉽게 그를 볼 수 있다. 이제 대칭성을 정의해 보자. 양이안 (Yangian) 임의의 리대수 (Lie algebra)g에 대한 양이안 Y(g)은 양자군의 뻔하지 않은 (non- trivial example)로, 박스터 방정식의 유리해 (rational solution)이다. 간단한 예로 Y(slN)을 살펴보자.
Y(slN)의 생성자 은 그 아래의 두 개인 Qg, 만을 적어보면 다음의 네 개의 조건을 만족해야 한다. (Yl) [Q0, 야] = Jg (Y2) [Q0 , Q'j] = (Y3) [Q'j, [Q'i, Q0]] + (cyclic • • • ) = A:}~{Qg, Q0, Qb} (Y4) [[Q'j, Q~], [Qg, Qt]] + [[Q't, Qt], [Qg, Qt]] = 8(A~,tt pf + tpf){Q, Q8, QD위에서 Aj = f° pfbcqfcf,-fpq 이다. g = sl2 인 경우에 (Y3)은 불필요하고, 다른 대수에 대하여서도 (Y4) 는 (Y2) 와 (Y3) 으로부터 유도 가능하다.이제 할데인_샤스트리 (Haldane-Shastry) 스핀 사슬에 있어서의 대칭성을 살펴보자. 이 스핀 의 해밀토니안은 아래와 같이 주어진다. H2 = I: (P-1) (1.74) i,/j 위에서 Pij는 격자 위치 i와 j의 상태를 바꾸는 연산자이고, Zij = -Zj이다. 위의 해밀토니안이 격자 위치 i에 N 기저상태에 작용하는 SU(N) 과 관련이 있는 J「으로 이루어진 다음의 연산자 과 맞바꾸어짐이 보여질 수 있다. Qg = I:Jf i Q? = (z三) rbcJfJj (1.75) ';;; Zij 더 나아가 위의 연산자들 Qg, Q이 (Yl)-(Y4) 의 양이안을 정의하는 관계식을 만족함이 보여졌다.
이제 좀더 흥미로운 사실을 한 가지 더 언급한다. 위치의 개수 L이 무한대가 되는 경우, 양자사슬은 단위원주상에 매우 밀하여 지고 연속적이 된다. 이러할 경우 앞의 연산자들을 정의할 때 나타나는 합 i는 윤곽 적분 (contour integral) 로 바꾸어 질 수 있고, 이제 연산자들은 준위 1인 베스-주미노-위튼 등각장론(WZW conformal field theory)의 힐버트 공간에 작용하게 된다. 이러할 경우 등각장론의 방법을 이용하여, 많은 계산을 할 수 있게 된다.마지막으로 본 저자가 연구 결과로 얻은 의 산란 문제와의 연관성에 대하여 살펴보자. 사인-고돈 방정식은 고립자, 또는 솔리 (soliton)과 반솔리톤(antisoliton)을 허용하는 비선형 방정식으로서, 고립자를 연구하는 데 가장 기본이 되는 모형이다. 특히 이 모형의 양자화된 고립자의 산란 진폭은 잘 알려져 있다[70]. 이 산란 진폭의 S행렬은 유니터리성 (unitarity), 교차 대칭성 (crossing symmetry) 및 양-박스터 방정식을 만족하는 S0(2) 대칭적인 해를 구하면, 그 최소해(minimal solution)를 정확히 유도할 수 있다. 이 결과에 의하면 고립자끼리는 척력이 작용하고, 고립자-반고립자 간에는 약한 인력이 작용한다. 경우에 따라서는 고립자-반고립자의 쌍이 얽매인 상태인 숨쉬기알(breather)이 되기도 한다. 이제 이 사인-고돈 방정식의 고립자들이 비상대론적인 운동을 하는 경우를 생각해 보면, 고립은 마치 칼로제로-서덜랜드 방식의 멀리 작용하는 양자역학계의 입자들과 같이 행동함을 보일 수 있다.
다성분 칼로제로 서덜랜드 모형의 해밀토니안은 H= —+ (1.76) i= l ' iU2=T1=>. + i k r(-ik)r(>. + i k) r2 = t2=0 (1.79)
이와 같이 구한 산란행렬은 박스터 방정식 을 만족함을 보일 수 있다. 구체적으로 SU(N) 대칭성이 있는 경우의 양-박스터 방정식의 해와 위에서 구한 다성분(Mul ti-component) 칼로제로-서덜랜드 모형의 산란 진폭과의 연관성을 고려하기 위해서는 다음의 방정식들을 풀어야 한다. (0)u1( ) +u2(0)u―O) = l (0)u2(-0) + u2(0)u1( 0) = 0 ti (0)t1 (-0) + r1 (0)r1 (-0) = 1 t1 (0)r1 (-0) + r1 (0)ti (-0) = 0 (0)t, (0 + 0')ri (0') = t1 (0) (0 + 01)r1 (0') u2(0)t 1(0 + 0')ri (0') = r1(0)r1(0 + 0')ti(0') +ti (0)u2 (0 + 01)r1 (0') u2(0)u1(0 + 01)u2(0') = u1(0)u2(0 + 01)u2(0') +u2(0)u2(0 + 0')ui (0') (1.80) 위에서 는 스펙트럴 파라미터이다. 이 방정식들은 아래의 최소의 해를 갖는다. (0) = t 1(0) = — ·-0 r(0W(1 - O) 1 + 0 r(-OW(1 + 0) u2(0) = r1(0) = — · , r(0)r(, - 0) 1 + 0 r(-O)r(1 + 0) (1.81)위에서 는 임의의 상수이다. 나머지 8개의 방정식은 바로 r2= t2= 0를 만족한다. 를ik로 바꾸고 룰 CSM의 로 보면, 앞에서 본 산란 진폭과 같아짐을 볼 수 있을 것이다. 물론 SU(N) 불변인 다른 모든 해들도 찾을수 있다.
제 2 장 베테안자츠 방법과 양자 가적분 모형
이공주복2.1 베테안자츠1931 년 한스 베테[32]는 등방적이고 최인접 상호작용만을 고려한, 스핀 1/2로 되어 있는 하이젠베르크(Heisenberg) 모형이 1차원에서 정확히 풀려짐을 보였다. 이 모형에 대한 파동함수의 완전집합이 구해졌음에도 불구하고 오랫동안 이 방법과 해는 응용되지 못했었다. 30년이 흐른 뒤, 립과 리니거 [33] 가 베테의 방법을 델타함수 상호작용을 하는 1차원 보제 (Bose) 기체 모형에 적용하여 완전한 해를 구하고, 다시 좀더 응용 범위를 넓혀 내부 자유도를 갖는 페르미온계, 즉 델타함수의 상호작용을 하는 1차원 페르미 기체의 정확한 해를 얻는 데 성공하게 된다[34, 35, 36, 37]. 이후부터 베테의 방법은 양자 가적분계의 해를 구하는 기본 방법으로 자리를 잡게 되고, 베테안자츠(Bethe-Ansatz)로 알려져 있다. 베테안자츠에 의해 풀려지는 모형들은 질량이 있는 서링 (massive Thirring) 모형 [38],카이랄(chiral) 불변인 그로스-네베(Gross-Neveu) 모형 [39 ]， SU(N) 하이젠베르크 (Heisenberg) 모형 [40]， 허바드 (Hubbard) 모형 [41]， 콘도 (Kondo) 모형 [42] ， 앤더슨 (Anderson) 모형 [43] 등 모두 나열할 수 없을 정도로 많다.
가적분계란 모든 내부 자유도가 고전적 계에서는 적분상수로， 양자적 계에서는 양자수로 표현되는 데 필요한 보존 법칙이 충분히 있는 계를 의미한다. 한편 열역학적 극한에서 임의의 다체계는 무한히 많은 내부 자유도를 가지므로 적분 가능하려면 무한히 많은 보존량들이 있어야 한다. 대부분의 가적분계에 대해 우리는 일반적으로 몇 몇 개의 보존량들만을 알고 있으나， 단순한 계에 대해서 모든 보존량들은 원칙적으로 전달행렬 (transfer matrix) 로부터 얻어질 수 있다.지금까지 알려져 있는 베테안자츠에 의해 대각선화가 가능한 양자 모형들은 대부분이 (1+1) 시공 차원 모형이고， 모든 산란 과정에서 입자들의 운동량 집합이 보존된다는 공통점을 갖고 있다. 운동량 집합의 보존을 두 입자의 산란으로 설명하여 보자. 운동량이 각각 k1과 k2인 두 입자가 산란할 때， 운동량 집합의 보존은 산란 후에 각 입자의 운동량을 k1과 k2로 그대로 유지하거나， 서로의 운동량을 교환하여 k2와 k1이 됨을 의미한다. 즉， 입자들의 운동량이 산란에 의 해 재분배된다. 이러한 일종의 솔리톤과 같은 성질은 N개의 입자들 간의 산란에서도 성립되며， 위에서도 언급했듯이 다체계가 적분 가능하려면 무한히 많은 보존 법칙이 필요하므로 이의 결과라고 할 수 있다. 운동량 집합이 보존되기 위한 필요조건， 또는 계가 적분 가능하기 위한 필요 조건은 N 입자의 산란행렬이 N(N -1)/2 개의 두 입자 산란행렬의 곱으로 인자화 (factorization) 되는 것이다. 즉 ， N 입자 들의 산란 과정이 오직 두 입자 산란들로만 이루어져 있어야 한다. 따라서 임의의 N개의 입자로 이루어진 가적분계의 파동함수는 두 입자의 산란행렬로터 구해질 수 있고， 이는 가적분계의 두 입자
2 3 2 3
그렴 2.1 양-박스터 방정식
산란과정을 이해하는 것이 가장 중요함을 의미한다.
N 업자의 산란행렬이 두 업자 산란행렬의 곱으로 표현되기 위한 필요충분 조건은 양_박스터 방정식이라 불리는 다음의 식이다. s:;:~ (k1, k2)S: (k1, k3)Saa (k2, 이 = Saa 2a?(k )S, (k1, (k1, k2) (2.1)saa21a(k1 ）는 운동량이 각각 k1 과 k2 인 두 입자의 산란행렬이고, 지표 (a1,a2) 와 (a ,a)는 각각 산란 전후의 내부 자유도, 즉 스핀, 궤도, 빛깔, 카이랄리티 (chirality) 등을 나타내며 반복되는 지표에 대해서는 합의 의미를 내포하고 있다. 고뎅[36] 과 양[37]에 의해 처음 유도된 이 관계식은 박스터[65] 에 의해 가적분 2차원 통계 모형에서도 성립함이 보여졌다. 양一박스터 방정식의 물리적 의미 를 이해하기 위해 세 입자의 산란 과정을 생각하자. 가적분계의 세 입자 산란행렬은 세 개의 두 입자 산란행렬의 곱으로 나타낼 수 있고, 그림 2.1과 같이 두 가지의 가능성을 갖고 있다. 오른쪽 산란 과정을 보면 먼저 입자 1과 2가 산란한 뒤 1과 3이 산란하고 맨 나중에 와 이 산란하는 한편, 왼쪽에서는 먼저 2와 3이 산란한 뒤 1과 3이 산란하고 맨 나중에 1과 2가 산란한다. 비록 산란하는 순서가 다르나 산란 후의 상태는 오른쪽과 왼쪽이 모두 같다. 이는 N 입자 산란행렬이 두 입자 산란행렬로 인자화될 수 있는 모든 경우가 동등하며, 그 결과 파동 함수의 일가성(single-valuedness)이 보장됨을 의미한다.
운동량 집합 {kj}는 계에 주기적 경계 조건 을 부 여함으써 얻어지는데, 계의 길이가 L이라고 하면 N 입자 파동함수 j = 1 , ··· ,N 에 대해 'lj;(x1,· ·· ,Xj ,• · · ,XN) ~ 'lj;(x1,··· ,Xj +L, ··· ,xN) (2.2) 를 만족하게 된다. 이 주기적 경계 조건 은 임의의 좌표 에 있던 입자가 옆의 입자들과 차례대로 자리를 바꿔 다시 원래의 위치에 돌아 왔을 때의 상태가 같음을 의미한다. 옆의 입자와 자리 를 바꿈은 산란 과정이므로, j번째 입자와 l번째 입자의 산란행 렬을 S(k ,k1) 이라 하면 위의 식은 다음과 같은 N개의 고유값 문제로 바꿔 씌어진다. exp(_ik j L)0 = 'I'jn, j = 1, • • • , N (2.3) 여기서 전달행렬 Tj는 Tj = S(kj, kj-1) • • • S(kj, k1)S(kj, kN) • • • S(kj , j口) (2.4) 이다. 는 파동함수의 진폭 계수로 이루어진 백터로 N개의 전달행렬을 동시에 대각선화하고 이에 대응하는 고유값 exp(-i L) 은 운동량 kj를 결정한다.하이젠베르크 스핀사슬 모형이나 델타함수의 상호작용을 하는 1차원 보제 기체 모형에서처럼 입자들이 병진 자유도만 갖고 있고 스핀이나 빛깔같은 내부 자유도가 없는 경우는 위의 고유값 문제가 매우 간단해진다. (하이젠베르크 스핀사슬 모형에서 산란하는 입자는 자성알(magnon) 이다.) 내부 자유도가 없는 하이젠베르크 스핀 모형의 경우, 두 입자의 산란행렬은 S(ki ,kl) = exp[2 ¢(k ,k1)] 로 스칼라이므로 전달행렬의 고유값은 바로 구해진다. 여기서 산란 위상 (kj, k1) = arccot[½(cot½ kj 을 만족한다. 이 고유값에 자연로그를 취하면, N kJL = + 2 (ki ,k1), j = 1, · • • ,N (2.5) l= l 이다. 여기서 {IJ} 는 N개의 서로 다른 정수나 반정수로 이루어진 집합으로 계의 양자수 역할을 하여 하나의 양자 상태에 대응한다.
한편 입자가 내부 자유도를 갖는 경우 전달행렬 T의 고유값을 찾는 문제는 그리 간단하지 않다. 만일 입자의 스핀이 1/2 일 때, N _ 개의 입자는 스핀 이고 개의 입자는스핀 이라면, 이 스핀 자유도에 대한 문제는 다시 M개 의 입자와 N-M개 의 빈 자리 (vacancy)를 갖는 격자 기체와 같은 문제가 된다. 즉, 베테안자츠를 다시 한 번 더 적용하여 스핀 자유도를 없애면 새로운 래피디티 (rapi ity) 집합 {>.klk = 1,··· ,M}과 양자수 집합 {Jk}가 생기게 되어 하나의 양자 상태는 두 양자수 집합 {Ij}와 {Jk} 에 의해 결정되고, 따라서 {kj}와 { }도 결정된다. 이처럼 내부 자유도가 늘어날 때마다 다시 베테안 자츠를 적용하면 그 자유도를 없애는 대신 새로운 양자수와 래피디티가 필요하게 된다. 즉, 내부 자유도를 모두 없애기 위해서는 입자의 빛깔 수만큼의 베테안자츠를 적용해야 되는데,이를 속베테안자 츠(nested Bethe-Ansatz) 라고 부른다.전달행렬의 모든 고유값을 얻을 수 있는 식 (2.5)와 같은 방정식을 불연속적 베테안자츠 방정식 (discrete Bethe-Ansatz equation)이라 부르는데, 베테는[32] 열역학적 극한 L에서 이 방정식을 만족하는 래피디피는 일반적으로 복소수이고, 같은 실수부를 갖는 래피디티들이 특정한 형태로 무리를 지어, 소위 스트링 (string)이라 불리는 해가 존재함을 알아냈다. 이 스트링 해의 꼴을 보면, k~ =k+ C(n+l j), j =1 , .. •,n (2.6) 이다. 여기서 N은 스트링 해에 속하는 래피디티의 수이고 a는 n개의 래피디티로 되어 있는 스트링 해 중에서 실수부 가 다른 것을 나타내는 지표이다. C는 입자간의 상호작용에 바례하는 상수이다. 스트링 해와 래피디티의 분포함수를 도입하면 불연속적 베테안자츠 방정식은 열역학적 극한에서 래피디티 분포함수의 적분 방정식으로 바뀌고, 원칙적으로 모든 열역학적 성질을 얻을 수 있게 된다.
박스터 [65] 는 전달행렬의 대각선화 문제 를 2차원에서의 8꼭지점 모형으로 접근하였는데, 적분 가능할 조건으로 꼭지점 가중치라 불리는 것이 식 (2.1)을 만족함을 보임으로써 2차원 통계 모형과 1차원양자 모형을 연결시켜 주었다. 또한 베테안자츠 방법은 양자 역산란 방법 [46] 과도 밀접한 관계를 갖고 있다. 양자 역산란 방법은 정확한 파동함수를 알지 못하여도 전달행렬의 모든 고유값을 얻을 수 있는 방정식을 주는데, 이 식들은 베테안자츠 방법에 의해 얻어진 것과 일치한다. 따라서 양자 역산란 방법은 베테안자츠 방법의 대수화로 간주되고 있다.지금까지는 베테안자츠 방법에 대한 개요만을 소개하였다. 좀더 구체적으로 이해하기 위해 2.2 절에서는 차원 허바드 모형이 베테안자츠 방법에 의해 어떻게 풀려지는가를 자세히 다루어 불연속적 베테안자츠 방정식과 열역학적 베테안자츠 방정식을 유도하고, 이 방법에 의해 간단히 얻어질 수 있는 열역학적 성질들을 논하고자 한다. 2.3 절에서는 몇몇 양자 가적분 모형에 대한 산란행렬과 베테안자츠 방정식을 제시하고 이 장을 맺고자 한다.2.2 허바드 모형
델타함수의 상호작용을 하는 차원 전자기체 모형에 대한 양[37] 의 연구는 앞에서도 언급했듯이, 베테안자츠의 응용 범위 를 한층 넓혀 주었다. 립과 우[41]는 1차원 히바드 모형이 적분 가능하다는 것을 증명하였고, 바닥 상태에 대한 모든 정보를 주는 방정식들을 구하는 데 성공하였다. 한편, 다까하시 [47]는 유한한 온도에서의 해와 열역학적 베테안자츠 방정식을 유도하였다. 우리는 여가서 이 과정들을 자세히 살펴보기로 한다.허바드 모형의 해밀토니안은 다음과 같다. N,, N,' H = -t L (cJu c ;+1u + cJ+1uCiu) + UL C;t (2.7) i=l,u=t,t i =l 여기서 c;<1 (c,<1)는 스핀이 인 전자를 i번째 격자자리에서 생성(소멸)하는 연산자이고 Na는 총 격자자리수이다. t는 전자들의 깡충뛰가 에너지를 나타내며 이후부터 편의상 t = 1로 놓는다. 각 격자자리에는 스핀값이 서로 다른 두 개의 전자만이 들어갈 수 있는데, 이 때 필요한 에너지가 U이다. U >0 는 전자간의 척력을 , U < 0는 인력을 의미한다. 이 모형에서 산란하는 입자는 전자이므로 하이젠베르크 모형과 비교할 때, 스핀 자유도 이외에 전하 자유도를 갖게 된다. 앞에서도 언급했듯이 양자 가적분계에서 가장 중요한 역할을 하는 것은 두 입자간의 산란행렬이다. 먼저 전자가 하나 있을 때와 전자가 두 개 있을 때의 해를 구하여 두 전자간의 산란행렬을 구하고 그 결과를 N개의 전자가 있는 경우로 확장하여 보자.2.2.1 전자가 한 개 있는 경우
스핀이 이고 운동량이 k인 전자 한 개를 제외하고 완전히 비어있는 격자사슬을 생각하자. |0 >를 완전히 비어 있는 격자 상태라고 하면, 스핀이 인 전자 한 개가 전파되고 있는 상태 |1 > 는 다음과 같은 파동함수의 꼴로 씌어질 수 있다. 11 >u= I: wu(n)ctulO > (2.8) 슈뢰딩거 방정식 Hll >l= El |1 >l은 파동함수의 진폭 l (n) 간의 다음과 같은 관계식을 주는데, _wa(n. _ 1) — (n + 1) = E1(n) (2.9) 해는 평면파임을 쉽게 예측할 수 있다. 즉, 파동함수의 진폭과 계의 에너지는 (n) = Al7 E1 = -2cosk (2.10) 이다.2.2.2 전자가 두개 있는경우스핀이 각각 a1 과 a2 이고 운동량이 각각 k1 과 k2 인 전자 두 개로 이루어진 계를 생각하자. 이 계의 파동함수는 두 개의 전자 생성 연산자를 |0 >에 작용시킨 형태로, 12 >u1u2= L 'Vu1 (12(n1, n2)c;iu1ct u2IO > (2.11) n1한 대칭성 때문에 위의 파동함수에서 n1
이다. 한편 n1 = n2 인 경우, 식 (2.13) (2.15) 를 이용하면 계수 간에 관계식이 얻어진다. U2(212) sink1 - sink2 A t, Is , i = .U ACI ,c2(1|1) + . U n(1|1) sink1-sink2+ i~ -..-,- ' ' • nk1 nk2+ i(2.16) 이 식이 두 영역, 즉, n1 < n2 와 n1 > n2 에서 각각 정의되는 계수 A(1l1) 과 A(2l2) 를 연결시켜 주는 것은 주목할 만하다. 두 전자의 산란행렬은 다음과 같이 정의할 수 있는데, ( :::::: : ::: ) ~ S ( :::::: : ::: ) (2.17) 계수 A로 바꿔 쓰면 다음과 같다. (212) = "1A u~(lll) {2.18) c;, A(2l1) 과 A(1l2) 도 위와 같은 관계를 만족하고, 식 (2.16) 과 비교하면 쉽게 두 전자의 산란행렬 를 구할 수 있다. S(k1, k2) = (sink1 - sink2)i + i P12 sin k1 - sin k2 + i (2.19) 여기서 j = Da1 tr; Da2로 단위행렬이고 p12 = 어짜a~a1 로 자리바꿈행렬이다. 파울리의 베타원리에 의해 스핀값이 다른 두 전자만 같은 격자자리 에 있을 수 있으므로 전자의 스핀 값이 같은 경우, 즉 0'1 = 0'2 일 때 산란행렬은 단위행렬이 된다. 이 두 전자 산란행렬은 양_박스터 방정식 (3.3)을 만족하는데, 반드시 확인하길 바란다.
2.2.3 전자가 N개 있는 경우
스핀과 운동량이 각각 이, ••• ,6N 과 k1,··· ,kN 인 전자들의 파동함수는 앞의 두 결과를 미루어볼 때, 다음과 같이 쓸 수 있다. IN >{JI,… ,{J•,' = L 1 .-·· ,{J', (n1 ,· • ·, nN) • c;~NJ,,, JO > (2.20) 111<·•<11 .v 위의 두 경우와 마찬가지로 슈뢰딩거 방정식 HIN = E,v lN >은 진폭 가 만족해야 할 식을 준다. N — …,(1,, (n1, • • • ,n; -1, • • • ,nN) i=l +'1,… ,u"' (n1, • • • ,n; + l, • • • ,nN)] +uL8n;,11j ,… ,u,v (n1,00· ,ni,"' ,nN) i서 산란행렬이 구해진다. 전자가 두 개인 경우에서 보았듯이 계수 Am, (T (Q ,P) 들은 모두 서로 무관한 것이 아니라, 파동함수의 반대 칭성과 경계 (ni = nj)에서의 연속성에 의해 많은 계수들이 종속적이다. 두 전자의 산란행렬이 양-박스터 방정식을 만족함은 N 전자 산란행렬이 두 전자 산란행렬의 곱으로 인자화됨 을 의미하고, 모형이 적분 가능합을 보장한다. 여기서는 N 전자 산란행렬의 인자화를 직접 증명하지 않고 있으나, 베테안자츠를 깊이 공부하고자 하면 최소한 N = 3인 경우의 산란행렬를 정의하고 이것이 세 개의 두 전자 산란행렬의 곱으로 인자화되면 해밀토니안의 대각선화가 가능함을 직접 해보아야 할 것이다.
N 개의 전자로 이루어진 계의 에너지는 쉽게 일반화되어 다음과 같다. N EN = I: cosk1 (2.23) j = 1 지금까지 허바드 해밀토니안의 파동함수, 에너지 및 산란행렬을 구해보았으나, 모두 운동량 k들로 표현되었을 뿐, k에 대한 정보는 전혀 갖고 있지 않다. {k}를 결정하기 위해 모형에 경계 조건을 부과해야 되는데, 열역학적 극한에서는 경계 조건에 민감하지 않기 때문에 주기적 경계 조건을 사용하는 것이 일반적이다. 즉, 허바드 모형에서 정의한 진폭함수에 주기적 경계 조건을 부과하면 다음과 같다. •·, CT,\.(n1,··· ,nj,··· ,nN) = (1 I, ... ,(1,,,(n1,··· ,nj -1,nj +l,··· ,nN,ni +Na) (2.24) 앞에서도 언급했듯이, 이 경계 조건은 N개의 전달행렬 {Ti}의 동시 대각선화가 문제인데, 내부 자유도가 없는 하이젠베르크 모형에서와는 달리 전달행렬을 구성하고 있는 두 전자 산란행렬 (2.19)는 스칼라가 아니다. 이제 내부 자유도가 있는 경우 베테안자츠 방정식이
61I a2’ . 63I
어떻게 구해지는가를 보겠다.
전달행렬을 대각선화하기 위해서 다음과 같은 행렬을 소개하자(그림 2.2). L' (>.; >.1, • • • , AN) = s; (,1 - ,) (,2 - ,) ... : (,N - ,) (2.25) 이 행렬은 꼭지점 모형에서의 모노드라미 행렬 (monodromy matrix)로, 모든 = 에 대한 합의 의미를 내포하고 있으며 T와 T에 대해 2 X 2 행렬이 된다.s은 꼭지점 가중치로 s;~ (>.) = b(>.)80018 + c(A)6CT A i U/2 b(>.) = ~ ' c(>.) = >. + i 2 , .. , - >. + i U (2.26) 이며 허바드 모형에서의 산란행렬 (2.19)와 유사함에 주목하라. 모노드라미 행렬 L을 T와 T' 공간에서 다시 쓰면, L( ) =g S.( ) ( (: ) (2.27)인데, *는 구지표를 의미한다. 따라서 S.]( ) 는 다음과 같이 표현된다. 1000s.j(,\) = 0001 S’,0 00001= ( b(A) CC(」 c(A)C; b(A) + }CC((AA))(A)C; ) • (2.28) 이제 연산자 A,B,C,D 의 의미 를 보기 위해 모든 스핀값이 또는 최대인 상태 를 |F >라고 하자. 행렬 S*j를 상태 IF >에 작용시키면, S.](A)|F >= ( ; c(;: ) |F > (2.29) 이 된다. 이 행렬은 결국 |F >에 작용하면 왼쪽 아래항이 0인 삼각행렬과 동등하고, 연산자 A,B,C,D 들은 이 행렬들의 곱임에 주목하라. 즉, CIF >= 0으로 C는 스핀 생성 연산자 역 할을 하는 반면 B는 스핀 소멸 연산자 역할을 함을 알 수 있다. 대각선 연산자 A와 D를 |F >에 작용하면 다음과 같다. N A.IF >= IF > DIP >= ITb(>.j - >.)IF > (2.30)
임의의 M개의 스핀이 인 상태를 라고 하면, Q( ••• ) ,\'.\I) = IT B(,\~)IF > (2.31) o=l 로 기술된다.
한편 , 전달행렬은 모노드라미 행렬의 대각합(trace) 이므로 전달행의 대각선화는 행 렬 A+D 의 대각선화와 같은 문제가 되므로, A와 D의 고유값을 구하고자 한다. 즉, T(A)Q = (A + D)Q (A)n (2.32) 이다 고유값 ( )를 구하기 위해서는 A, B, 간의 교환관계 (commutation relation)를 알아야 하는데, 이는 다음의 관계에서 얻을 수 있다. L(A') L(A)B(A — A') = B(A - X)L(A) L(A') (2.33) 이 식은 양―박스터 방정식과 식 (2.26)을 이용하면 쉽게 증명되는데, 전달행렬간의 교환성, 즉 [T(A),T(X)] =o을 의미한다. 또한그 결과로 [.A(>.), .A(X)] = [b(>.), b(>.')I = [.A(>.), b(X)] = o [B(>.), B(>.')l = [6(>.), C(X)] = o A(>.)B(>.') = ~iJ(>.')A(>.)-MiiJ(>.)A(>.') b(>.)i:J(X) = ~iJ(>.')b(>.)-; ｛ )b(>.') (2.34)와 같은 관계식도 얻게 된다. 이제 이들을 이용하여 식 (2.32)를 다시 쓰면, AI T(>.)n = (A + b) IT B(>-~)IF > o=lM M M = A(A) HE(A;)|F > + > H B(A;.)B(A)|F > o=l {J= l o = l /3 M N A(>.) = D[~ + ~ Db()]c(A _ A' ) Af 1 AfJ = _ b(A _ A:) 』!fJ b(Ak At) c(X-X ) N M +b(A _ A1) H b() H b( (2.35) {J I j =l a = l f /3 이 된다. 여기서 주목할 점은 만일 A = 이면 는 전달행렬의 고유 함수이고, A는 고유값이 된다는 점이다. 아직까지 우리는 래피디티를 정하지 못한 상황이므로 이와 같은 제약 조건을 만족하는 래피디티를 찾으면, 결국 전달행렬은 대각선화가 된다. A/3 = 이라는 제약 조건을 다시 써보면, N c(A _ A>) b(A} _ A) A,[ b(A; _ A>)Ilb(Ak _ AJ)= b(A _ A>) C(A _ A) rr b(A>\) (2.36) j = l - ' - - P ' - ' P - ' ,=Ii/3 이다. 한편, 허바드 모형의 전달행렬 Ti은 꼭지점 모형의 전달행렬 T( ) 에 ,\ = ,\i = nk 를 대입하여 얻을 수 있는데, 이는 산란행렬 (2.26)과 (2.19)를 비교하면 바로 알 수 있다. 따라서 tj = exp(ikJNa) = A(sinkj)와 식 (2.26)의 b와c를 대입하고, +
로 치환하면 다음과 같은 불연속 베테안자츠 방정식을 얻게 된다. M . .U eik = rr - , + ' j = l, • · · , N, (2.37) o=l si - 入。 _ sin 1] + t\ n :a _ Ap , a: = 1, · · · , ) = 1 a sm `].I B= l ° _ Ap T (2.38) 여기서 {kj}는 전하 자유도를, { }는 스핀 자유도를 기술하고 이 두 식을 동시 에 만족하는 {kj}와 {A}들을 찾는 것이 다음 과제일 것이다. 지금까지의 내용은 같은 격자자리에 전자가 두 개 있을 때 이들간의 상호작용 U의 부호에 관계없이 성립한다. 그러나 전자간의 상호작용이 척력인지 인력인지에 따라 물리적 상황이 다르기 때문에 베테안자츠 방정식의 해는 매우 달라진다. U < 인 경우는 전자 간의 인력으로 전자들은 구속 상태 (bound state)를 이루려는 성향이 있고, U > 인 경우는 척력으로 인해 전자들이 구속되기 위해서는 많은 에너지가 필요하기 때문에 구속되지 않은 상태에 있으려 한다. 자세한 내용은 다음 절에서 보기로 하자.
2.2.4 열역학적 베테안자츠(1) U < 0인 경우열역학적 극한에서의 바닥 상태는 립과 우[41] 에 의해 연구되었는데, 불연속 베테안자츠 방정식 (2.37)과 (2.38)을 만족하는 래피디티 중 모든 래피디티가 실수일 때, 계는 바닥 상태임을 증명하였다. 식 (2.37)과 (2.38)에 자연로그를 취하면 두 개의 양자수 집합이 자연스럽게 등장한다. M 4 Na = + 2 L cot-1 [v (sin kj - Ao)] ,N cot - 1 [ (>'0 -s in )J = 2 Jo +2 M (>0 -> )J (2.39) β= 1 열역학적 극한 (Na ∞)에서 래피디티 k와 A의 밀도분포함수를 p(k) 와 a( )라고 정의하면， 즉 p(k) ai -m ~N1a 88___ 1k-Jj; ’ a( Nlliim N ， ， - > o (2.40) 를 이용하면， 식 (2.37) 과 (2.38)은 다음과 같은 서로 결합된 선형 적분 방정식이 된다 . 를 이용하면， 식 (2.37) 과 (2.38)은 다음과 같은 서로 결합된 선형 적분 방정식이 된다. p(k) = +cosk I ‘B d>.a1(>.-sink)a ( (2.41) ι “ J-B a(>.)+ Ir B d>.'a2(>.->.')a(>.')= I dka1(>.- s ink)p(k) (2.42) J-B J-Q 여기서 a,, ( x) = Un/[ ((~Un)2 + >.2)J 이고， 변수 Q와 B는 계의 총 전자수와 스핀이 ↓인 전자수에 의해 결 정된다. HTa = JI-r QQ dkp(k), .Pn , ar = JI- d>.a(>.) (2.43) 따라서 위의 적분 방정식의 해를 구하면 바닥 상태의 에너지는 = -2 dk cos kp(k) (2.44) 에 의해 구해진다.
유한한 온도에서의 연구는 다까하시[47]에 의해 이루어졌는데， 이 경우 일반적으로 래피디티 k와 A는 복소수이다. 격자사슬의 크기가 매우 클 때， 즉 Na • ∞일 때 불연속 베테안자츠 방정식의 해를 분류하면 다음과 같다. (1) N -2M' 개의 실수 kj들로 전파되는 전자들을 기술한다 (2) 2M' 개의 복소수 kj로 전자쌍(pair of electrons) 들과 의 구속 상태 를 나타내는데, 이를 k이라고 하면 다음과 같은 형태이다 즉, = x:,1 + 문이다. 여기서 x:,1 = x + (n+ 1- 2l), l = l,··· ,n으로 길이가 인 스트링 를 의미한다. 또한 a = 1,••• ,은 길이가 인 스트링 해의 수를 세는 지표이고, M' = lnM,I1 이다 (3) 스핀 구속 상태를 기술하는 복소수 들로, x;,1 = + i~ (n + 1 - 2l), l = l, · · · , n, a = l, · · • , A1,. 이며 Mn 은 길이가 n인 스트링의 수이다. 스핀이 i인 총 전자의 수는M= M'+1 이다. 유한한 온도에서는 무한히 긴, 즉 n oo 인 스트링도 존재한다는 것과 바닥 상태에서는 n = 1인 스트링만 존재한는 것을 주목하라.
실수 변수인 kj, x; 및 를 정하기 위해 위의 해들을 식 (2.3)과(2.38)에 대입한 뒤, 바닥 상태의 경우와 마찬가지로 로그를 취하고, 각 실수 변수의 분포함수를 각각p(k), ( ) 및 an( ) 라고 정의하자. 바닥 상태의 경우 래피디티들은 연속적으로 분포되어 있어서 이들의 밀도함수만이 필요하였다. 이는 양자수 집합의 구성원들이 연속적인 정수(혹은 반정수)들임을 의미한다. 그러나 계가 온도에 의해 뜨게 되면 이러한 연속성은 깨지고 임의의 정수들의 모임이 하나의 상태를 기술하게 되고, 래피디티의 분포도 임의로 된다. 따라서 하나의 양자 상태를 기술하는 래피디티의 분포함수를 p(k), ( .) 및 ( ) 라고 하고, 나머지 래피디티 영역의 분포함수를 소개하면 수학적으로 훨씬 간단해지는데 이들을 양공분포함수라 부르고(48] 각각 Ph(k), JnI,(A) 및 nh( ) 라고 표기하자. 전자의 들뜸에 의해 생기는 양공과는 관계없음에 유의하라. 이해를 돕기 위해 k- 래피디티의 분포함수(흔히 입자분포함수라 부름)와 양공분포함수를 정의해 보면 다음과 같다. p(k) + p1a (k) (2.45)여기서 I는 로그를 취한 과정에서 생기는 양자수이다. 위에서 언급했듯이, 하나의 양자 상태를 기술하는 양자수 이 유한한 온도에서는 연속적이 아니므로 위의 식과 같이 정의해야 한다. 이제 이 함수들이 만족하는 적분 방정식을 써보면, 1 OO OOp1, (k) + p(k) = ~ + cos J_OO an (入 — sin k) [6,1 (,) + (,)I 00 er (..) + L A,,m (..) * er:,, (..) m=l = Re :~-{ dk a,, (>. - sin k)p(k) CTn 1i (.X) + I; A11m (.X) * CTm (.X) = 1 :dkan (A — sin k)p(k) (2.46) m=l 인데, 여기서 *는 합성곱(convolution) 이고 Anm 은 A,im = JOO e- . coth Ulw l( Uln-m llwl _ e-U(11+m)lwl] (2.47) 。 21r - -- --- 4 이다. 총 전자수, 자기화 및 계의 에너지를 밀도함수로 표현하면 다음과 같다. N/Na = 1: dk p(k) + 2 't n 1: d.X 야(.X) (2.48) -rr n=l J -oo 8 :: /Na = ½ 1: dk p(k) - J_0000 (>.) (2.49) 11 E/N0 = -21: dk cos kp(k) -;r J_OOOO dA Re [1 _ (A - i:)(>.) (2.50)
계의 엔트로피를 구하는 과정은 매우 흥미로운데, 이는 계의 입자가 (boson) 이거나 페르미온(fermion)이거나 상관없이 래피디티는 항상 페르미 통계를 따른다는 점이다. 즉, 실수 공간에서의 임의의 래피디티값은 주어진 양자상태에 기여를 하거나, 하지 않거나 하는 두 가지 가능성만을 갖고 있기 때문이다. 이 두 가지 가능성은 각각 입자 밀도분포함수와 양공 밀도분포함수와 연관되어 있어 임의의 래피디티 영역 dk, d). 및 d).’ 에 대한 엔트로피는 dS=ln~+ [pNadk]![phNadk]! ' I:~ ln~ ••• [anN0d).j![a,.hNad).]! 00 [（어, + )Nad,\］+ ~ ln ~][hNad,］! (2.51) 이다. Na -> OO 에 대해 전개하여 정리한 뒤 총 엔트로피를 구하면 다음과 같다. S/Na = 1: dk [(p + p1i) ln (p + p1i) - plnp- ph ln p -- " + : /00 dA [（ + 6,th ) in (Cn + CnII ) - c,I ln cTI _ a,iII ln cn/I] n=l 00 00 A[( + ) ln (+ ) - , lnc; - ln11] 71=1 J -OO (2.52) 열적 평형 상태에서 밀도함수은 열역학적 퍼텐셜 n = ETS- 2SzH - µN를 이들 함수에 대해 최소화시켜서 구할 수 있다. 편의상 양공밀도함수와 입자밀도함수의 비를 새로운 함수로 정의하면, 즉 (k) = -, T/n(.X) = /(.X) = 라고 하면, 이들은 통계역학적으로 에너지 퍼텐셜과 관계됨을 알 수 있다.
Q(p,ph,a,I,a,lln6 ,c)= 0의 조건은 다음의 방정식을 주는데, 이를 열역학적 베테안자츠 방정식이라고 한다. ln ((k) = ~ — A + : J ,,(A — sin k) ln n=1 _OO 1 + n,;l ln[l + (>.)] + 1: dk cos kan(>. - sin k) ln(l + C 1 ) -r, 4ReR — HUn)2 - 2nµ 00 = T + A,nn(A) *In(1+n:n-1) m=l ln[l + 'T/n (.A)] + 1: dk cos ka11 (>. - sin k) ln( l + ( - r· 2nH 00 = ~ + L Anm(>.) * ln(l + 'T/) m=l (2.53) 계의 자유 에너지는 ,r 0/Na = --:dkln(l +Cl) 00 00 1 -TEJ dARe ln(1+n;_1) ,1=1 -00 [1 — (A — ) (2.54) 이다.
(2) U < 인 경우편의상 U의 부호를 바꾸고 불연속적 베테안자츠 방정식 (2.37) 과 (2.38)을 다시 쓰면 (49], .,a.,u I + oo k __ ` JkJ nn .sl.sl MrrI = Na j . k t e j =1,··· ,N= >.0 - sin kj + 'I,T o=1 _ + i ’ (2.55)인데, 이제 U > 이다. 전자간에 인력이 작용하는 경우이므로 척력의 경우와는 달리 전자들의 구속 상태, 즉 래피디티 k의 복소수 해가 바닥 상태에서 존재한다. 따라서 실수 k들 외에 sink = >.士 를 만족하는 k들이 바닥 상태를 이루어, 각각 p(k) 와 a'( )로 기술된다. 이 해들을 불연속적 베테안자츠 방정식 (2.55) 에 대입한 뒤 열역학적 극한을 취해 밀도분포함수를 도입하면 바닥 상태의 적분 방정식이 얻다. 한편, 다까하시 [50]는 척력이 있는 경우의 입자와 양공의 역할을 바꾸어 바닥 상태의 적분 방정식을 구하였다. 1 B p(k) = ~ - cos k 1: d.Xa1 (>. — sin k)a'(.X) - B B . . . . . . .. . .. .. - 1 u'(>.) + J: d>.'a2(>. - >.')u'(>.') = Re - B A- i) -1:dka1 (>. - sin k)p(k) (2.56) 여기서 B와 Q는 총 전자수와 스핀 4 총 전자수에 의해 결정되고, Q rB rB N/N0 = 1: dkp(k) + 21: d>.u'(>.), M/N0 = 1: d>.u'(>.) (2.57) 바닥 상태의 에너지는 E/Na = -21: dk cos kp(k) - 41: d>.Re l - (>. - )2u(>.) (2.58) 이다. 이 식들은 k와 가 작을 때, 델타함수꼴의 인력이 작용하는 전자 기체의 경우와 유사함에 주목하라[36].
유한한 온도에서 식 (2.55)의 해는 척력의 경우와 유사하게 분류데, 즉 실수 k, 복소수 k 및 복소수 이다. 다른 점은 U의 부호가 다르므로 복소수 k의 허수부의 부호가 바뀌는 것이다. 척력의 경우와 같은 과정을 거치면, 열역학적 극한에서 다음과 같은 밀도분포함수의 적분 방정식을 얻게 된다. p1r (k) + p(k) = - co !-OO00 a,1 ( — s i n k) [u,. (>.) + u;, (>.)]oo ’l = 1,,(>.) + A,m,(>.) * <(>.)m= l= Re : dk a" (,\ ~ s i n k)p(k)6nlI(A)+: A,'",(A) * Cm(A) = Tdk an(A —s i nk) p (k) (2.59)이 식들은 척력의 경우와 첫 번째 식의 우변 두번째 항의 부호만 다름을 알 수 있다. 이를 이해하기 위해 식 (2.7)에서 U의 부호를 바꾼인력 허바드 해밀토니안을 다음과 같이 변환시키면,Ciu - Cia (-1/, c;11 - () ; (2.60)이다. 단지 해밀토니안의 첫번째 항의 부호만 바뀌고 모든 성질은 그대로 남게 된다. 따라서 변환된 인력 해밀토니안은 척력 해밀토니안과 전체 부호가 바뀐 것과 같고, 같은 고유함수와 부호가 바뀐 에너지를 갖게 된다. 에너지의 부호만 바뀌는 것은 k 一k 로 바뀌는효과와 같고, 이 효과는 첫번째 식의 우변 두번째 항에서만 나타난다. 식에서는 약간만 다른 것 같으나 척력의 최대 에너지 상태는 인력의 최소 에너지 상태에 대응되므로 열역학적 성질들은 매우 다름을 주지해야 한다. 총 전자수, 자기화 및 에너지는N/Na = 1: dk p(k) + 2 t n 「 (.) (2.61)
= 5 f-r dk p(k) - : n [00 d, a,, (,\) (2.62) T E/Na = —21: dk cos kp(k) --7 -4 : 00 d, Re [1 — (, - ）(,） (2.63) 이고, 열역학적 베테안자츠 방정식은 다음과 같다. ln((k) f00d,an(,-s nk)ln n= l J -oo r ln[l + ,,.,;, (>.)] - J: dk cos ka,, (>. — sin k) ln(l + C1 ) -4R 1 - (>. — j Un)2-2nµ OO = +,1111(,)n(1+ ) m=l ln[l + 1/n (.>.)] 1: dk cos ka,, (>. - sin k) ln(l + 〈 - 'If 00 = ~— + L A11m(>.) * ln(l + 1J) m= l 계의 자유 에너지는 0/Na = / dk ln(l + <-1)_T 00 00 1 _T J dARe ln(1 + n:? ) (2.65) n=l -00 V [1 _ ( ) 이다.
2.2.5 열역학적 성질
지금까지 허바드 모형이 어떻게 대각선화되 는 것과 온도가 0일때와 유한할 때의 해를 줄 수 있는 식들을 구해보았다. 이제 이 식들의 해를 찾아 계의 열역학적 물리량을 구해보자. 척력이 작용하는 경우의 해는 다까하시 [47]가 구하였고， 인력의 경우는 본 저자가 연구하였으므로 [51] 여기서는 후자에 대한 해를 소개하고자 한다. 위에서 우리는 열역학적 적분 방정식과 열역학적 퍼텐셜애 대한 표현식을 얻었으나 이의 해를 해석적으로 구하는 것은 거의 불가능하다. 그 이유는 물론 무한히 많은 식들이 서로 결합 되어 있기 때문이다 (n = 1,' ，∞임에 유의하라). 그럼에도 불구하고 몇몇 극한에서는 해석적인 해가 존재하는데， 이들은 U • 0, U • ∞， T --0 , T ∞ 등이다. 이 중에서 가장 중요한 T → 0에 대해 자세히 다루고자 한다. 물론 T-O 극한은 바닥 상태에 대한 정보를 제공하여 주는데， T=O 인 경우에서 구할수 없는 저온에서의 비열과 같은 물리량에 대한 정보도 제공하므로 매우 중요한 극한이다.일반적으로 열역학적 방정식을 풀기 위해 다음과 같은 에너지 퍼텐셜을 정의하는데， κ (k) = Tln((k), e'(.) = Tlnη:1(.)' e'(.) = TlnT ]II (.) (2.66) T O 극한에서 이들을 다시 양의 부분 κ + ， e ， 과 음의 부분 κ e ， e;;- 로 나누어 다루면 수학적으로 다소 간단해진다. 즉， κ +(k) = κ (k) > 0 와 κ -(k) = κ (k) < 0 을 의미한다. 열역학적 적분 방정식 (2.64)를 T 0인 극한에서 에너지 퍼텐셜들을 이용하여 나타내면 다음과 같다. κ +(k)+ κ -(k d (.) -sink) = -2cosk-H- μ (2.67)(.) = -4Re l- (>. — i ~n) - 2nµ- dkcosk (k)a11(>.-s nk)00 -t d>.'A11111(>-1::;(.')' () = 2nH - j dk cos k,-,,- (k)a11 (>. - sin k) 00 -t f d>.'Anm(A — >.'),(>.') (2.68) 마지막 방정식은 모든 n에 대하여 €n > 임을 의미하는데, 이는 바닥 상태에서는 스핀 결합 상태가 형성되지 않기 때문이다. 즉, 모든 n에 대해 ,,(A) = 이다. 푸리에변환 등의 과정을 거치면 두번째 방정식은 n 일 때 c'n(A) = —U - 2µ+ j d>.11;:;_1a1(>.—>.')-!d>.11;;;-(>.')a2(>. - >.') — ~ J d>.am(>. - >.') + a,,.+2(>. - >.'))1;:;:j.111(>.') (2.69) 이고, U+ 2µ 이면 모든 n 와 모든 에 대해 은 양임을 의미한다. 따라서 모든 n 2 에 대해, = 0, a = 이다. 한편 n = 1인 경우는 꽤 긴 계산 뒤에 다음과 같이 k와 결합된 방정식을 얻게 된다. €{( ) = _u-2µ-4 f 1 dA' 1(>.->.') - 1 -1:dk cos K- -(k) (> k)>.') (>.->.1 (2.70) 식 (2.67) 과 (2.70) 으로부터 K- (k) 와 는 짝함수들이고, lkl > 0와 > 0에 대해 각각 단조중가함수임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 이 두
에너지 퍼텐셜은 기껏해야 두 개의 영점을 가질 수 있는데， 이 영점들은 κ( 土 Q) = 0, (土 B) = 0 에 의해 결정되고， 정의에 의해 κ -(k) 는 Ikl Q 일 때만 존재하고， 는 | B 일 때만 존재하게 된다. 계의 에너지는 D.jN a = ,1_ _ JI-r QQ d _k_ κ -(k) + π-1= JIr d >Re ,， π2[1-(>- i )2 J ( (2.71) 이다. 다시 강조하지만 바닥 상태에서 κ (k) 와 터(시만 존재함은 전자들이 자유롭게 움직이고 있는 경우와 서로 다른 스핀을 갖는 전자 둘이 결합한 경우만이 존재하고 전자쌍들의 결합은 일어나지 않음을 의미한다.
이제 저온에서의 비열을 위의 식들을 이용하여 구해보자. 반이 차지 못한 띠에 대한 저온에서의 비열은 온도와 선형인 관계를 가지므로， 비례 계수 는 계의 자유 에너지 를 저온에 대해 전개하여 얻을 수 있다 [52]. 즉， 저온 좀머펠트 전전개 (Sommerfeld - expansion)를 적용하면， Tln[l + e- ] ~-(>..) + T 2 8( (2.72) 이다. 여기서 8( 다)은 오직 >..= 土 B 일 때만 기여한다. κ 와 을 온도의 급수로 전개하면， κ:κ( 이 +T2 κ (2) : 0) +T22) 이다. 따라서 κ(0)와 는 식 (2.67) 과 (2.70) 을 각각 만족하고， κ(2) 와 2) 는 다음과 같은 식을 만족하게 된다. κ(2) (k) = : |I ..1dA >O ) l(sink + B) + al(sinK + B)] -J(-B B d>..al(sink _ >..) 2) (2.73)€II(2)(A) = F| [a2(>.-B) + a2(>.+B)] + ~ cos _ Bd (A_A’) (2)(>.') -1:dkcoska1(>.-sink)"'(2l(k) - B (2.74) 마찬가지로 자유 에너지 (2.71) 을 온도의 급수로 전개하여 비열의 선അ형 계수 를 구하면, dE(O) dcI(O) "( = |( Q) + ao(B)} +41: d>.ao(>.) (2)(A) - 2 f-QQ dkpo(k)E(2)(k) (2.75) - B 이고, 여기서 Po 와 ao는 에너지 띠가 반이 채워진, 즉 U+2µ = 0이 고, 자기장 H=O 인 경우의 바닥상태의 해이다. Po(k) = — cosk1:d>.ao(>.)a1(>.- sink) _OO ao (-") = 1: dksecl (-" sin k) (2.76) - ;r U+2µ = 이고 자기장 H = 인 경우, 두번째 항만 에 기여하게 되어, dc/1(O) (2rr/U) 7 = — 1im | —— l81ao(B) = (2.77) 3 oo dA 6 h (27r/U) 이 된다. 여기서 In 은 베셀함수이다. 이 결과로부터 U-+0 로 감에 따라 γ는 π/6 로 접근함을 알 수 있는데, 이는 척력이 작용하는 허바드 모형에서 u→ 0일 때 얻어지는 γ값과일치한다[52]. 한편 ,U=O 인 자유 전자 모형의 경우 γ = π/3로, U = 0일 때 비열이 불연속임을 의미한다. 이는 들뜸 스펙트럼 중에 에너지 간격(gap)이 있기 때문이
다. 이러한 U = 0 근처의 들뜸 스펙트럼에 에너지 간격이 존재함에 대해서 는 이미 Woynarovich[53]에 의해 보고된 바 있다.
임의의 전자 밀도(band-filling)나 자기장이 걸렸을 때의 해를 구하기 위해서는 수치적 방법을 써야 한다. 외부 자기장이 0인 경우는 자기화가 없으므로 스핀쌍(spin-paired) 전자들만 있게 된다. 즉, T = 0, H = 0일 때 모든 전자 밀도와 U 값에 대해 Q = 0이 되어 K,(O)(k) 띠는 비어 있음을 의미하고, 모든 k에 대해 O)(k) > 0임을 뜻한다. 따라서 (λ) 에 대한 적분 방정식만 남게 된다. €11(0)(λ) = -4Re 『λ-2µ _ JB dXa2(λ X)€11(O)(X) (2.78) 이 식의 해는 수치적으로 어렵지 않게 얻을 수 있다[54, 55]. 이렇게 구한 ()(λ)를 이용하여 K, (O)(k) 를 구해보면 k = 0일 때 최소값을 가지며 이 최소값은 항상 양의 값임을 알 수 있는데, 이는 임계 자기장 Hc가 존재함을 의미한다. 즉, 자기장이 0인 상태에서 서서히 자기장을 걸어주면 임계 자기장에 이르기 전까지는 K 띠가 점유되지 않는다. 이는 스핀쌍 전자들의 결합 에너지를 극복해야 하기 때문이다. 따라서 이 임계 자기장은 첫번째 스핀쌍 전자들을 끊는 데 필요한 에너지라 할 수 있고, 쉽게 예측할 수 있듯이 인력 U가 클수록 임계 자기장은 커진다. 이 임계 자기장의 존재는 다시 표현하면 k 띠의 간격을 의미하는데, 앞에서도 언급했듯이 비열의 U=O 근처에서의 불연속성을 유도한다. 척력의 경우와 달리 이 간격은 모든 전자 밀도에 대해 존재하므로 H = 0일 때, U = 0 근처에서 항상 γ는 불연 속성을 보인다. 그러나 척력의 경우는 전자 밀도 Ne/Na = 1인 경우에만 불연속성을 보임에 유의하라. 자기장이 임계값을 넘으면, 이제 K- (0) 와 (0) 모두 점유되므로 서로 연관된 두 개의 적분 방정식을 수치적으로 풀어야한다. 자기 장이 더욱 세어져서 포화(saturation) 자기장 Hs에 이르면모 든 스핀쌍전자 들 은끊어지게 되어 이제 ε 띠가 비게 된다. 자기장이 H c 보다 직거나 H s 보다 크면 γ는 자기장에 무관 하나 전 자 밀도 에 는 유관한 값 을 갖게 되고 ， Hc 보다 약간 크거나 Hs 보 다 약 간 작으면 1 차원 상태 밀 도에 나타나는 반호프 특이성 (van Hove singularity)때문에 발산하게 된다. 적분 방정식애서 는 비적분항의 분모에 나타나 는 d κ ( 0 ) /dkQ 와 d 0) /d>B 이 0 이 되 는 상황이 각 띠가 빌 때 생기기 때문이다[55].
지금까지 인력이 작용하는 허바드 모형의 저온에서의 열역학적 성질을 베테안자츠 방정식을 이용하여 어떻게 구할 수 있는가와 에너지 퍼텐셜의 물리적 의미들에 대해 살펴보았다. 이제 허바드 모형에 대한 설명은 이것으로 끝내고， 배테안자츠에 대한 정보를 더 얻고 싶으면 이미 많은 해외 논저가 있으니 참조하기 바란다 [56， 57, 58, 59].2.3 양자 가적분 모형과 베테안자츠 방정식이제 이 절의 마지막으로 허바드 모형 이외의 몇몇 고체물리에 유용한 양자 가적분 모형에 대한 두 입자 산란행렬과 베테안자츠 방정식을 나열한 후 베테안자츠 방법에 대한 소개를 마치고자 한다.2.3.1 SU(2)- 불변인 스핀 S 하이젠베르크 모형스핀 5 하이젠베르크 모형을 임의의 스핀값으로 일반화시키면， N. H=J ε Q2S( .Si +dQ2s(X) = ['1/;(j + 1) (1)] .lJ .1 (2.79) j = l l=Of j J ~J 이다. 여기서 ψ는 다이감마(d igamma) 함수이고 X1 = ½[l(l + 1) -2S(S+l)] 로 2s(X) 는 x2s 까지 갖는 다항식이다 이러한 특별한 형태만이 가적분성을 보장한다. SU(2) －불 변이므로 산란행 렬은 스칼라로 다음과 같다[60].
S(k1,k2) = e2i¢(ki ,kz), co (k1,k2) = S(cot — cot ~) (2.80) 2 -- 2 주기적 경계 조건에 의해 얻어지는 불연속 베테안자츠 방정식과 열역학적 극한에서의 스트링 를 고려하여 을 수 는 열역학적 베테안자츠 방정식을 쓰면, (~)N• = ,ft~ ' Aj = 2Scot (2.81) l= lij "J2nH J 00 In (l+eSOS = eiJg s, SOlo2 = Pl2 (2.84) 여기서 전도 전자의 애너지 스펙트럼을 운동량애 대해 선형화시켰는데， 이는 산란행렬이 양 - 박스터 방정식을 만족하기 위해 필요한 근사이고 ， Sas는 전도 전자와 불순물 전자 간의 산란행 렬을， S는 전도전자 1 ，2 간의 산란행렬을 의미하며 ， P는 교환 연산자이다. 산란행렬이 운동량과 무관함에 유의하라. 베테안자츠 방정식은 다음과 같이 씌어진다. eikjNa = eiJ S .. >>''0a +- (2.85) ) N (;at1l3t:S) =- t: (2.86) g - tan [SJ(+S ~ + ~)] (2.87) ln (1+=-/1++ An . m*ln(l+e- c (2.88) 여기서 p (λ) = 2 arctan ()이고， F는 페르미 에너지이다.
2.3.3 앤더슨 자기 불순물 모형적분 가능하기 위해 페르미 에너지 근처에서 스펙트럼을 선형화시킨 앤더슨 해밀토니안과 산란행 렬은 다음과 같다 [43]. H= ε kct(1C k]si + v ε (4 (1 f( 1 + 강 Ck (1) + f.j ε +U k.(1 k,(1 (2.89) S(k1, k2) = [g(gkd(k -d g- (kg 2( )~ ])I ++ i i.P l2 (2.9 이g(k) = .( 'k j - U)2 (2.91) 콘도 모형은 전하 자유도가 없는 결과로 산란행렬이 전자의 운동량과 무관하였지만， 앤더슨의 자기 불순물 모형에서는 허바드 모형에서처럼 전하 자유도가 등장하게 되어 위와 같이 다소 복잡한 형태의 산란행렬을 얻게 된다. g(k)가 k의 2차함수임에 유의해야 한다. 주기적 경계 조건에 의해 얻어지는 불연속 베테안자츠 방정식은 다음과 같다. e'A'j “ +i6( 서) = :;γL; gg(( kj)) --A> '0a +- E?~ (2.92) A>. .' 。0u --gg :((-kk.j-.)J) ~ +-' S~~ = >'A:'u 0。 . βP -+' ti- (2.93) (k) = -2 arctan 27(kT•r--2- ) 여기서 N 은 총 입자수이고 M 은 스핀이 ↑인 총 입자수이다. 첫번째 식의 좌변의 (k) 는 불순물과 교환될 때 얻어지는 위상이다. 이제 이 식에 유한 온도에서의 스트링 해를 대입하여 열역학적 극한을 취하고 열역학적 퍼탠셜을 최소화시키면， ( k)=k+H+D -μ +T 00 ./rd>.an ( >. -g (k)) ln μ...l- p - κ: ‘， ((>>..))jjTT (2.94) ln (1 + e~( j) _ ε All In * ln (1 + e-κ ，( /T) = -Jm d= kl 1(>' -g (k)) ln (1 + e-<(k)jT) (2.95)
ln (1 + ( / T) _ ε Arn * ln (1 + e- )/T) ln= l = :2n: \(( E-J f+. :U2' +. D- -μ,- \ J I -iTi2: ; JIr_ ∞∞ dka,, (>-. - g(k))g(k) -IIr d _-,.k.-_ d' ~dgJk(k 'J) a,, ( -g (k)) ln (1 + e- ,(') /T), (2.96) 와 같은 열역학적 배테안자츠 방정식을 얻게 된다. 여기서 D는 전도전자의 띠 폭 (band - width)이고， μ는 화학적 퍼텐셜이다. 앞에서도 언급했듯이 모형이 적분 가능하려면 에너지 스펙트럼이 운동량에 대해 선형화가 되어야 하는데， 이는 결과적으로 애너지 띠에 끊어 버림(cut - off)을 임의로 지정해 주어야 함을 의미하고 이에 따라 D가 등장하게 된 것이다.
앞에서도 언급했듯이 위에 나열한 모형들 이외에도 많은 양자 모형들이 베테안자츠 방법에 의해 풀려지는데， 이들은 모두 (1 + 1)차원에서 성립하고 대부분의 모형들은 단거리 상호작용( short-ranged interaction)을 한다. 최근에는 (2+1) 차원에서의 가적분성에 대한 연구도 되고 있는데， 여기서는 양-박스터에 의한 삼각 방정식 대신에 사면체 방정식 (tetrahedral equation)[61] 이리는 관제를 만족하게 된다. 그러나 아직은 물리적으로 의미 있는 모형과는 연관되지 못하고 있다. 장거리 상호작용을 하고， 적분 가능한 모형으로 칼로제로-서덜랜드 모형 (Calogero-Sutherland model) 이나 할데인-샤스트리 모형 (Haldan e- Shastry model)을 들 수 있는데， 이는 점근적 베테안자츠 (asymptotic Bethe- Ansatz)[62] 라는 방법으로 알려져 있다.제 3 장 가적분 양자장론 입문
안창림3.1 서론저차원의 양자장론이나 통계역학 중에는 <적분이 가능한> 모형이 존재한다. 여기서 가적분 모형은 많은 보존되는 양들 Qn 이 존재해서 [H, Qn] = 0, [Qm, Qn] = 0 (3.1) 을 만족하고, 따라서 작용-각 변환만을 가지고 해밀토니안을 완전히 대각선화해서 정확한 해를 찾을 수 있는 모형을 의미한다. 이 가적분 모형들은 섭동적 방법을 넘어서 비섭동적 성질들을 이해하는 기초를 제공한다는 점에서 많은 연구가 행해지고 있고, 최근에는 고체물리의 여러 영역에 직접 응용되기도 하기 때문에 그 중요성이 날로 커지고 있다.가적분 모형의 연구는 어떤 모형이 가적분임을 증명하는 것과 이를 실제로 푸는 과정으로 이루어져 있다. 전자는 물 리계가 가지고 있는 자유도와 같은 개수의 보존되는 양들을 찾아서 식 (1) 이 성립됨을 보이는 과정이고， 후자는 가적분 모형으로부터 충돌행렬 (S 행렬)이 나 상관함수 (Correlation Function) 등 물리적으로 중요한 양들을 정확하게 계산하 는 과정이다. 유한한 자유도 를 가진 경우에는 두 과정이 자연스럽게 연결되겠지만 자유도가 무한대이변 보존량들을 알아도 해밀토니안을 풀기가 어럽다. 계산하려 는 양에 따라 여러 방법들이 알려져 있는데 이들은 모두 가적분하다 는 성질과 밀접하게 관련된다.
우리는 2차원 시공간에서 정의된 양자장론과 2차원 공간에서 정의되는 평형통계물리의 여러 가적분 모형들을 다루고자 한다. 이 두 부류의 모형들은 하나는 연속체, 다른것은 격자 위에서 정의되는 등 차이점도 많지만， 가적분한 성질과 관련된 수학적 구조가 같기 때문에 둘을 같은 맥락에서 다룰 수 있다.양자장론은 라그랑지안 L에 의해 정의된다. 양자장이 조금 바뀌어도 L이 변하지 않는 조건으로부터 = 0을 만족하는 뇌더 (Nöther) 전류 Jμ가 존재하고 이로부터 보존 전하 Q = ∫dxJo를 정의할 수 있으며 이는 [H，Q]=0을 만족한다.대표적인 가적 분 양자장론인 사인 - 고든 모형 (sine- Gordon Model: SGM) 을 생각해 보=자 .숨 이 J 모d d x의 [ ac( ， 1 으로 주기적 함수를 퍼텐셜로 가지고 있어서 이의 최소점을 주는 장(field)의 값들이 매우 많이 존재한다. 즉， 진공(vacuum)이 축퇴(degenerate) 되어 었다 .x- → 土∞인 값에서 각각 다른 진공값들을 가질 경우 이를 연결하는 고전적 파동 방정식의 해를 양자화하면 솔리톤 (soliton) 이라는 입자가 된다. 그러나 고전적 해는 φ의 비국소적 형태이므로 이를 양자화하기는 매우 어렵다. 반면 SGM과 동일한 모형인 질량이 있는 서링 모형 (massive Thirring Model : MTM) 의 £은 £, = i'1i°({J + m)w + ~)2 이고, 페르미온장 에 의해서 생성되는 페르미온과 그의 반입자는 SGM 의 솔리톤 (A+)과 반솔리톤 (A-, antisoliton)에 해당된다.
SGM 이외에 도 많은 가적분 양자장론들이 연구되고 있다. 이들을 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 첫째는 SGM처럼 잘 정의된 £을 가지는 경우로, 초대칭성 (supersymmetry :SUSY) 적 SGM, 리대수(Lie Algebra) 위에서 의된 토다(Toda) 모형 등이 이에 속하고, 둘째는 £ 대신 해밀토니안으로 정의되는 모형으로서 등각장론 (Conformal Field Theory : CFT) 이 대표적인 예이다[95]. CFT는 2차원 시공간에 서 축척 대칭성 (scale invariance)이 있으면 딜러테이션 (dilatation) 전류와 스트레스-에너지 텐서 (Stress-Energy tensor)가 보존되는데, µ u = O, 8µ (xu iv) = 0 이를 홀로모픽 (holomorphic)과 반홀로모픽 (antiholomorphic) 좌표계 Z = X + t와 z = x — t로 나타내면 {hT(z) = 0, azT(z) = o 을 만족한다. 이로부터 무한대의 차원을 갖는 대칭성 대수인 비라소로 대수(Virasoro algebra)를 얻게 된다. 다음과 같이 정의된 생성자(Generator) Ln 과 Ln 의 °° 1 T(z) = L Ln,00 T(z)= t Ln n.=-oo n=-oo 교환식은 [Ln , Lm] = (n - m)Ln+m + (n3 - n)6n+m,O (3.2)이 된다. 여기서 이상(anomaly)항인 c를 중심 전하(central charge) 라고 하며 비환원 표현(irreducible represention:IRREP)들을 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 이들 IRREP들은 비라소로 대수의 최고 웨이트 (h ighest weight)이고 여기에 해당되는 장을 일차장(primary field)이라고 한다. 이 최고 웨이트에 낮춤 작용자(lowering operaor)인 Ln, n >를 작용시켜 얻어지는 상태들을 이차(secondary) 혹은 딸린 (decen- dent)장이라고 한다. 비유를 하자면 각운동량의 최고 웨이트 상태는 |l,l 〉에 J-가 작용되면 생기는 |l ,m들이 이에 해당된다 각운동량에서 최고 웨이트 상태를 기술하는 양은 캐시미 어 (Casimir) 작용자 J2의 고유값(eigenvalue)인 J(J + l)h2이다. CFT에서도 일차장을 캐시미어 작용자의 고유값으로 나타낼 수 있다. 식 (1)로부터 Lo가 캐시미어 작용자가 됨을 알 수 있고 일차장 h,r(z,z)의 차원(콘포말 웨이트 (confo rmal we ig t))은 Lo h,E(z, z) = hh,r(z, z), h(z, z) = T(z, z) 로 정의된다. 특히 C < 1를 최소(minimal) CFT(Mp/q)라고 하며 중심 전하와 IRREP 들의 차원은 다음과 같이 정해진다[95]. 6(p - q)2 , (ps - r) (p - q)2 C=1-~, hr,., = pq 4pq 여기서 p와 q는 서로소인 정수이고 1 s ~ q - 과 l ~ r ::; p - 이다. C > 1이면 무한개의 일차장들이 존재한다. 이 경우에는 비라소로 대수를 더 일반화시킨 초등각(superconformal) 이나 캑-무디 (Kac-Moody)(어파인(Affine)) 대수를 갖게 된다. 이들 확장된 대수는 유한한 개수의 일차장들만을 가진다.
CFT는 차원 양자장론이나 통계물리에서 축척 대칭성이 있는 모형들, 즉 재규격화군(Renormalization Grou :RG)의 고정점에 속하는 모형들에 적용된다. 이들은 임계 현상(Critical Phenomena)을 설명하는 이론들로 CFT를 고정점 양자장론이나 임계현상에 응용하여 많은 성공을 거두고 있다. (2 + 0)차원 평형통계물리의 많은 모형들이 최소 모형 (minimal model)의 CFT에 해당되고 이를 이용하여 상관함수 등 임계점에서의 여러 가지 중요한 물리량들을 정확하게 계산할 수 있다. (1+1) 차원 양자장론이 RG 고정점이 되려면 그 이론을 기술하는 결합상수 (coupling constant)들의 질량차원이 없어야 한다. 처음부터 차원이 있는 상수들이 없으므로 이 이론에서는 질량과 같은 차원이 있는 양들이 만들어질 수가 없다. 이런 이론들이 입자 상태를 가지고 있다면 이 입자들은 질량이 없는 (massless) 입자가 될 것이다. 그러나 역은 성립하지 않아서 질량이 없는 입자들을 갖는 모든 양자장론이 RG 고정점이 되지는 않는다. 왜냐하면 차원이 없는 작용상수들이라도 RG 흐름에 따라 변할 수 있기 때문이다. CFT는 무한대 차원의 대칭성 대수 (symmetryalgebra)를 갖기 때문에 상관함수 등 모든 물리적인 양들을 정확히 계산할 수 있다. 이런 의미에서 CFT 는 원례 정의에 가장 가까운 가적분 모형이다. 그러나 CFT는 2차원 물리계가 입계점에 있을 때에만 적용되므로 일반적인 비엄계점( off-critical)의 물리 현상에는 적용할 수 없고， 대신 가적분하면서 축칙 대칭성은 가지지 않는 모형이 필요하다. 이에 가장 효과적인 방법이 섭동된 (perturbed) CFT이다 (64). 이는 CFT에 차원이 있는 상수를 가지는 항을 더하여 축척 대칭성과 등각 대칭성이 깨지지만， 원래 CFT가 가지고 있던 무한개의 대칭성들 중 무한개의 부분집합이 섭동에도 불구하고 여전히 남아 가적분한 성질을 유지하는 CFT와 섭동을 찾는 것이다. 잘 알려진 적분 가능한 (integrable) 섭동된 CFT 들은 Sint = SCFT + À Jd zd pert 이고 φpert를 일차장으로 잡는 것이다. 일차장의 콘포말 웨이트는 1 보
다 작기 때문에 질량차원이 있는 상수인 λ는 유관(relevent)하게 되고, 따라서 UV 극한에서 이 이론은 CFT로 기술된다. 가적분성을 유지하는 섭동은 매우 제약되는데 이 중에서 우리는 최소 모형 Mp/q이 최소 유관(the least relevent)한, 즉 1보다 작으면서 가장 1에 가까운 일차장인 1,3의 경우를 주로 고려한다.
이들 섭동된 CFT는 크게 두 가지 경우가 가능하다. 첫째는 질량이 있는 입자들이 있는 경우로, 주된 관심은 S행렬을 계산하는 것이다. 둘째는 차원이 없는 상수들이 RG 흐름에 따라 변하는가 하는 것이다. 섭동된 최소 모형 (minimal model)의 경우에는 ,λ < 이면 질량이 있는 모형이 되고, ,λ > 이면 UV CFT Mp/q q에서 IR CFT Mq-p/p 로 RG이 생김이 알려져 있댜 에 대한 더 자세한 내용은 다음 절에서 설명하고자 한다.3.2 양一박스터 방정식차원에서 완전히 풀리는 모형을 연구하는 데 절대적인 비섭동론적 방법을 제공하는 것이 양_박스터 방정식 (YBE) 이다. 통계 모형과 양자장론에서 YBE의 역할은 약간 다르지만, 해들이 대칭성에 의해서 결정되므로 이 두 분야는 매우 밀접한 관계를 가진다.3.2.1 양자장론과 통계물리에서의 양-박스터 방정식의 차이점(1) 2차원 통계 모형Onsager에 의해 2차원 이징 (Ising) 모형이 처음으로 풀린 이후, 오랫동안 2차원 격자구조위에서 정의되는완전한 해가 있는모형에 대한 연구가 진행되어 오고 있다. 그 중에서 큰 획을 그은 것이 박스터에 의한 방법이다 [65]. 먼저 2 차원 통계 모형을 정의하기 위해 격자구조의 기본 셀 (cell) 위에서 볼츠만 가중치 (Boltzmann weight: BW)를 정의한다. 일반적으로 격자 위의 상태들에 의해서 고전적 해밀토니 안의 값， 즉 총 애너지 E가 정의되고， 통계적 확률은 이들 에너지의 볼츠만 인자 (Boltzmann factor) e- β E에 의해서 정해지므로 고전적 해밀토니안 대신에 이 기본 셀의 BW를 알게 되면 이 들을 모든 셀 들에 대해 곱하면 볼츠만 인자가 결정된다. 사각형 (Square)의 격자에 대해서 기본 셀은 두 가지 형태가 있다. 첫째， 꼭지 형태 (Verter type)로 격자의 꼭지점 마다 BW를 주는 것이다. 이 경우에는 BW를 결정하는 요소 는 꼭지점으로 들어가는 네 개의 선(link)들이 가지는 상태(state)가 될 것이다. 예를 들면 이들 선에 두 방향의 화살표를 부여한다면 총 24 = 16 가지의 꼭지점 BW가 정의되고 오른쪽이나 위쪽 방향의 화살표에는 +, 왼쪽과 아래쪽애는 - 를 부여하면 BW 는 W의 행렬로 나타낼 수 있다. 이때 i, j, k, l = 土이고 는 스펙트럼 매게 변수 (spectral parameter) 라는 각 꼭지점마다 부여되는 임의의 복소수 변수 (complex parameter) 이다. 이 모형을 16 꼭지점 모형 (sixteen vertex model) 이라고 한다. 두번째의 기본 셀은 면 형태 (face- type)이다. 사각형의 격자에는사각형의 셀이 있고 여기에 BW를 정의하게 되는데 이때는 정사각형을 정의하는 네 개의 꼭지점에 정의되는 상태가 BW를 결정하는 요소가 된다. 예를 들면 음이 아닌 정수를 부여하는 모형을 IRF(Interacting Round Face) 모형, 흑은 SOS(Solid- O n-Solid) 모형이라고 하고 이때의 정수값을 국소치(l ocal height)라고 한다 따라서 이 경우의 BW를 W로 나 타낸다. 이를 그림 3.1과 같이 나타낼 수 있다.
그러면 BW는 어떻게 정해지는가? 다시 말해 어펀 형태의 BW를 갖는 모형이 가적분 모형이 될 수 있을까? 가적분 모형이 되기 위해
J
그럼 3.1
서는 그 모형에 무한대의 많은 보존되는 양이 존재하여야 힌다. 여기서 보존된다는 것은 시간에 따라서 변하지 않는다는 뜻이고， 이는 해밀토니안과 교환 가능하다는 뜻이다.그러므로 먼저 해밀토니안을 정의하여야 하고 이와 교환 가능한 무한개의 양들을 찾는 것이 순서일 것이다. 해밀토니안은 시간이 정의되어야 하므로 먼저 2차원 격자 방향 중 하나를 편의상의 시간으로 정의할 수 있을 것이고(그림에서 는 수직 방향)이때의 해밀토니안은 수평 방향의 격자 상태들에 작용 되는 양자역학적 작용자로 해석할 수 있다. 해밀토니안뿐만 아니라 무한개의 보존양을 동시에 찾아내는 이론적 방법이 박스터의 전달행렬(Tansfer Matrix: TM) 방법이다. 이 방법은 어떤 형태 (type)의 격자 모형에도 적용될 수 있지만 논의의 명확성을 위해 여기서는 2상태 꼭지점 형태 (2 - state vertex - type)에 대해서 논의하려고 한다. 그림 3.2처럼 N개의 수직 방향의 화살표들이 한 개의 수평선을 향해서 들어갔다가 나오는 경우를 생각해 보자. 각 수직선들 사이에 있는 N-l 개의 수평선들에도 두가지의 화살표가 부여되게 되지만 이
• +l +| • • |* 4| *--l+
그립 3.2
상태들은 내부 상태이므로 모든 가능한 화살표 상태에 대해 합하여야 할 것이다. 수평선들 중 처음과 끝의 화살표 상태가 어떤 특정한 상태에 고정되어 있다고 가정하면 이것은 밑의 N개의 수직 화살표 상태에서 위의 N개의 상태를 연결하는 2NX2N 행렬이 된다. 모노드라미 (Monodromy) 행렬이라고 하는데, 여기서는 T (0101 · · . 0N) 로 나타내기로 하자. 따라서 모노드라미 행렬은 다음과 같다. T;f0(0l01 . . . :: = W,'0;'?(0 )W;:'(O - 02) ... w)＇ (0 — 0N) ) 2 ,··· 대부분의 통계 모형의 경우, 열역학적 극한을 취하기 위해서는 무한히 큰 격자를 생각하는데 실제 계산의 편의를 위해서 주기적 경계조건 (Per odic Boundary Condition:PBC)이 많이 사용된다. 따라서 PBC를 이용하면 전달행렬 TM은 모노드라미 행렬을 사용하여 T(0l01 .. , 0N) = ~ T/(θ1θ1 . , . θN) i=士가 되고, 분배함수(partition function) 는 Z = Tr [T(θlθ;l1] 이 된다. Z를 얻기 위해 TM의 고유값을 정확히 알아야하는데, 이는 TM의 몇 가지 성질을 이용한다. 먼저, 서로 다른 θ에 대해 정의되는 두 개의 TM이 교환 가능한 성질인데 [T(θ),T(θ')] = 으로 나타낼 수 있다(여기서는 수직선에 부여되는 θi들은 생략했다). 이 성질을 만족하면 이 모형은 가적분하다. 이것을 보이기 위해서 logT(θ) 를 θ에 대해서 전개하여 무한개의 작용자Q을 정의하면, °° 1 logT(0) = Q"
j' j'
그림 3.3
이다. TM의 교환 가능한 성질을 이용하여 [Qn, Qm] = 이 된다. 특히 Qn이 1차원 양자계의 해밀토니안으로 정의 될 수 있다.
TM이 교환 가능하기 위한 충분 조건은 위의 BW 이 양-박스터 방정식 (YBE)으로 불리는 관계식을 만족한다는 것이다. YBE을 식으로 나타내면 L Jt'(02 ), (01 _ o3)Wl,;l’(01 _ o2) /,rn,n = I: wr;1(01 - E' ’(0l )W,｝ (02 - 03) (3.3) 로 나타낼 수 있고, 그림 3.3과 같이 나타낼 수 있다.YBE이 TM 이 교환 가능하기 위한 충분 조건이 됨을 보이기 위해서는 그림 3.4를 생각해 보자. YBE을 이용하여 처음 수직선들이 전부 왼쪽에 있었을 때에서 시작하여 이들을 하나씩 오른쪽으로 움직여 나가 전부 오른쪽으로 모아놓으면 TM도 교환되게 된다.따라서 2차원 격자 모형 중에서 가적분 모형을 정의하려면 그것의 BW가 YBE을 만족하게 하면 된다. 이는 곧 YBE이 가적분 모형
-•
그림 3.4
을 정의하는 데 사용된다는 뜻이다. 지금까지 꽤 많은 모형들이 이 방법을 통해서 가적분 모형이 됨이 알려졌다. 그러나 이것이 곧 이 모형들로부터 물리적인 양들을 직접 계산할 수 있음을 의미하는 것은 아니다. 통계 모형에서는 결국 TM을 대각선화(diagonalize) 해야 분배함수와 같은 물리적으로 관심 있는 양들을 계산할 수 있기 때문에 비록 YBE이 TM 이 스펙트럼 매개 변수 θ에 상관없이 동시에 대각선화가 가능(diagonalizable)함을 보장한다고 하더라도 실제로 이를 수행하는 것은 독립된 과정인 것이다. 그러나 완전히 두 과정이 별개는 아니고 YBE에 의해 TM의 고유값들을 찾는 과정은 대수적 베테안자츠(Algebratic Bethe ansatz) 라는 방법으로 여러 모형에 적용되고 있다.
(2) 2차원 가적분 양자장론우리는 이미 앞 절에서 2차원 가적분 양자장론에 대해서 서술한 바 있다. 라그랑지안이 있는 모형 혹은 섭동된 CFT 형태로 정의된 모형 등에 대해 무한개의 보존되는 양들을 찾아냄으로써 이들이 가적분함을 보일 수 있다. 가적분 양자장론이 얻어지면 이를 풀어서 관심있는 물리적인 양을 얻어야 한다.대부분의 4차원 양자장론들은 소립자의 상호작용을 설명하기 위해서 연구되어 왔다. 따라서 주된 관심은 파인만 도형을 이용하여 온-셸(on shell) 입자 상태들이 상호 산란하여 온-셸 상태로 변화할 을 계산하는 것이다. 그러나 상호작용 떄문에 이를 정확히 계산하는 대신 섭동적 방법에 주로 하고 있다. 또다른 중요한 양으로 양자 작용자 의 기대값인 상관함수가 있다. 이는 온-셸 입자와는 무관하지만 이를 형태 인자(Form factor)라고 부르는 입자들의 행렬 요소로 나타낼 수 있다. 2차원 가적분 양자장론에서도 산란행렬(Scattering matrix : S-Matrix)과 상관함수가 중요한 물리적인 양들이다.
가적분 양자장론에서 사용되는 비섭동적 방법이 YBE 이다. 그 이를 이해하기 위해서 N개의 온-셸 입자들이 서로 산란하여 M개의 온-셸 상태가 되는 과정(process)을 생각해 보자. 우리가 다루는 모형은 가적분이므로 무한개의 보존되는 전하들이 있을 것이고 모든 온一셸 입자들은 각각 정해진 값을 가질 것이다. 만약 내부 자유도를 생각하지 않는다면 이들 보존량들은 운동량의 다항식(polynomial)으로 쓸 수 있을 것이다. 이는 양자장론의 보존되는 전류들이 양자장들의 미분이나 그의 멱(power)으로 나타나기 때문이다. 따라서 모든 n에 대해서 Q. {p;;;=1, ... ,N};.) ,(Pi) {pi;i =1, ... ,N}in>= Q.l{pj;j=l, ... ,M} •• ,> 1{Pi;i =1, ... ,N}in>가 만족되어야 한다(fn(p)는 p의 다항식 함수)． 무한개의 Qn에 대 해 위의 조건이 만족되려면 결국 N = M과 {Pi;i = 1, ... ,N} = {p1; j = 1, ... ,N} 이 될 수밖에 없다. 즉, 들어가는 입자수와 이들의 운동량이 보존되는 완전 탄성충돌만이 가능한 것이다. 그러나 운동량들이 서로 바뀌는 것은 가능하다. 또한 이의 결과로 모든 N개체 (N- body) 산란을 2개체 (2 -body) 산란의 곱으로 쓸 수 있다. 이를 분리충돌 이론(factorizable scattering theory)이라고 하는데 YBE 은 이 분리 과정이 모순이 없기 위한 조건에 해당된다. 2 차원에서는 이 YBE 이라는 일관성 (consistency)조건은 다른 부수적 조건인 유니터리티성 (unitarity)과 교차 대칭성(crossing symmetry)과 함께 S행렬을 완전히 결정하게 된다.
요약하자면 YBE의 해를 찾음으로써 2 차원 통계 모형의 경우는 가적분 모형을 정의할 수 있고, 양자장론의 경우에는 주어진 모형의 S행렬을 결정할 수 있는 것이다. 어떻게 YBE의 해를 찾을 수 있는지는 다음 절에서 설명하도록 한다.3.2.2 양자군우리는 바로 전에 YBE이 2 차원 가적계에서 어떤 역할을 하는가를 살펴보았다. 당연히 그 다음에는 이 방정식을 어떻게 풀 것인가하는 문제가 뒤따른다.두 개의 상태가 있는 모형에 적용되는 YBE은 대충 따지면 26 = 64개의 연립함수 방정식이므로, 이를 정확히 풀기란 매우 힘들다. 다시 말해 YBE의 정확한 해가 가능한 것은 어떤 대칭성이 숨어 있다는 뜻이 된다. 이 숨은 대칭성이 양자군(quantumgroup)이다.(1) 고전적 가적분 모형고전역학에서 도입되는 작용-각(ac tion-angle) 변수 방법을 무한개의 자유도를 가진 고전장론에 적용하여 가적분한 모형을 찾는 방법은 양자 가적분의 방법과 거의 유사하다[66]. 먼저 랙스쌍(Lax pair)이라고 불리는 두 개의 작용자를 정의하여 dL = _ U(t ,x), M = — V(t ,x) 이들이 곡률이 영(zero-curvature)일 조건 [L ,M] = 0 을 만족하면 모노드라미 행렬 LTL(>., t) = ep / U(x, t |A)dx -L 룰 정의할 수 있고 tr(TL)은 t에 무관한 작용자가 된다. 여기서 < exp >는 시간의 순서대로 곱함을 의미한다. 이때 시간의 간격(inteval)을 짧게 쪼개어 모노드라미 행렬을 TL(A) = IILi (λ) 로 나타내고, 이 L 작용자가 다음의 기본적인 푸아송 브래킷(fundamen tal Poisson bracket)을 만족하면, {Li(.X) ~ L1(μ)} = [r(λ — μ), Li(.X) L1(μ)] 두 개의 다른 값의 변수에 대해서 {trTL(λ), t rTL(λ)(μ)} = 0 이 만족되어 무한개의 보존되는 양들이 존재하게 된다. 이때 r(.λμ)는 고전적 YBE이라고 하는 [r(A-μ),r(μ-v)] + [r(μ-v),r(v-A)] + [r(v-A),r(.X—μ)] = 0를 만족한다. 이 식은 양자적 YBE의 고전적 극한에 해당되는데, 그이유는 R행렬을 R(u) = U(u) [1 + lir(u) + 0( )]
로 치환하여 YBE 에 대입하면 γ이 만족하는 방정식이 되기 때문이다.
고전적 YBE은 일반적인 고전적 (classical) 리대수(생성자 Xa)에 대해서 세 가지 유형의 해들이 존재하게 된다 [67]. 고전적 YBE 의 해를 r(u) = r0(u)Xa Xaa 로 쓸 수 있는데, 그 이유는 이때 나타나는 함수가 유리함수, 삼각함수, 타원 (elliptic) 함수만이 가능하기 때문이다. 첫째, 유리함수는 R(u) = u1+P로 씌어지고, 여기서 P는 두 벡터 공간(vector space)들을 바꾸는 교환 작용자이다. 둘째, R(u,γ)가 삼각함수로 나타내어지는 경우로 새로 한 개의 상수가 도입된다. 셋째, 타원함수는 두 개의 변수가 도입되는 해이다. 이 결과는 고전적 YBE뿐 아니라 양자적 YBE에도 그대로 적용된다.따라서 고전적 대수 (classical algebra)와 고전적 YBE의 해와는 일대일의 관계가 있음을 알 수 있다. 이를 확장하면, 양자(quantum)YBE의 해를 고전적 대수의 변형인 양자군이라는 대수와 관계시킬수 있을 것이다. 이를 위해서는 YBE을 짐보(Jimbo) 관계식이란 형태로 나타내야 한다.(2) 짐보의 관계식식 (3.3)을 만족하는 R행렬을 찾는 대신 다음과 같은 식을 생각해보자. R12(x/y)T1 (x)T2(Y) = T2(y)T1(x)R12(x/y) (3.4) 여기서 T1 = T 1, T2 = 1 T이다. 이 짐보 관계식이 만족되면 R이 YBE의 해가 됨을 보일 수 있다[69].이 식을 가장 간단한 대수인 sl(2) 에 대해서 자세히 살펴보자. R(x) 三PR(x)를 정의하면 식 (3..4)는 [R(x), e ® k-1 + k ® e] = 0 (3.5) [R(x), k ® k] = 0 (3.6) R(x) (xf k+k-1/) = (fk+xk-1 f) R(x) (3.7) R(x) (x-1ek+k-1e) = (ek+x- 1k- 1~ e) R(x) (3.8) 로 나타낼 수 있다. 여기서 k 三q- h 이고 h, e , f 는 sl(2) 의 생성자들이다.
처음 두 개의 래피디티 (rapidity)에 무관한 관계식은 코멀티플리케이션 (comultiplication)이라고 불리는 작용자 Δ: sl(2) --+ sl(2) sl(2) 를 이용하여 [R(x), Δ. (a)] = o, a E Uq[sl(2)] (3.9) 로 씌어질 수 있다. 이때 uq [sl(2)]란 Δ 가 정의된 대수로 수학에서 보편 덮개 대수(univeral enveloping algebra)라고 불리고, 이는 k e 와 같이 생성자들의 텐서(tensor) 곱을 생성자로 가지는 대수이다. 이 Uq [sl(2)] 의 교환식은 qh - q-h[/,h] = -2/, [e,h] = 2e, [/,e] = ~q —q (3.10) -1 처럼 변형되어 있고, q --+ 1 이면 원래의 sl(2) 의 교환식으로 되돌아간다. 식 (3.9) 의 해를 <보편 (universal) R 행 렬>이라 하고, R =E0XoXo 이 된다.식 (3.8) 의 나중 두 식은 래피디티에 관계하는데 이는 어파인 대수를 이용하면 간단히 나타낼 수 있다. 먼저 셰발리 기저 (Chevalleybasis)를 이용하여 어파인 대수 55를 정의하면 eo = xf, lo = x-1e, iio = -h e, = xe, ]1 = x-1 f, h.1 = h 이 되어 , 식 (3.8) 은 [R(x), h。® l + l ha] = 0 R(x) (ea ® + k。ea) = (ea ® k~ + k。® ea) R(x) (j + ) = (k + k fa) R(x) 로 표시되고 이들은 Uq[ ]의 코멀티플리케이션에 의해 [R(x (a)] = 0, a E Uq(]로 씌어진다.
(3) 양-박스터 방정식의 해식 (1) 의 일반적인 해는 R(x) = I: Pi (x)P(j) 로 쓸 수 있다. 이때 j는 sl(2)의 IRREP에 해당하는 스핀 (spin) 이고, Pj이는 두 벡터 공간의 텐서곱을 특정한 IRREP j에 사영시키는 작용자이다 p(j)와 Δ는 서로 다른 공간에 작용하므로 식 (3.9) 를 만족시킨다 .1)1) s1(2)의 경우 두 개의 스핀 상태들의 텐서곱 lii ,m1 > lh,rr마에 Δ(a)를 작용시키면 스핀 j는 바뀌지 않고 오직 m 값만 변하는 반면, P(j)는 이 텐서곱 상태 중스핀j만 을 골라낸다.
Uq [sl(2)] 의 P이는 P;!,~, = lj, m >
이 된다. 이때 p ( l ) = 1 ―p(O) 이고, p(O) 는 。。。。p (O) = —1 I 0 q -1 。[2] I 。 —1 q-1 。 。。。。 이다 이 R(x ) 은 위 에서 언 급 한 SGM, XXZ 스핀-사 슬 (spin-chain), 6 꼭지점 모형 등 중요한 가적분 모형의 해가 되기 때문에 특히 자주 사용된다.
일반적인 대수와 REP에 대하여 양자군의 해를 구하기 위해서는 위의 사영 (projection) 행렬을 일반화시켜야하고 이를 위해서 양자군의 일반적 REP을 알아야 한다. 여기에 관해 러츠티그-로소 (LusztigRosso)정리라는 수학 정리가 존재한다.정리 1 만약 dim g < ∞ 이고 q ≠ a(root of unity)이면, Rep [Uqg] = Rep [Ug]이다.간단히 말해 만약 변형 변수 q가 1의 근이 아니라면, 양자군이나 보통 대수와 같은 REP을 갖는다는 이야기이다. 따라서 이 경우에는 어렵지 않게 문제를 풀수 있다. 하지만 물리학에서는오히려 q가 1의 근이 될 경우가 훨씬 중요해진다. 뒤에서 이야기하겠지만 아직 이 경우에 대해서는 수학적으로 완전한 해가 알려져 있지 않아서, 물리적으로 새로운 방법이 도입되었는데 이는 다음 절에서 다루기로 한다.(4) 양一대수식 (3.4)를 주어진 R행렬에 의해서 만들어지는 T작용자들의 교환식으로 해석하면, 이를 T에 의해 얻어지는 새로운 대수의 정의식으로도 볼 수 있는데 YBE 때문에 이 대수는 결합 법칙이 성립한다. 따라서 개개의 YBE의 해마다 하나의 결합대수 (associative algebra)가 정의되고, 이 중 가장 간단한 유리해에 의해 정의되는 대수가 양대수 (Yangian algebra)이다(68] .2)
2) YBE의 삼각함수 해는 양자군을 정의하는 식이 된다.
gl(n) 대수를 바탕으로 한 양대수 Y[g l(n)］를 정의하기 위해 보조 (auxiliary) 공간 V1 V2에 작용되는 R12를 유리해로 잡아 식 (3.4)에⡕대입한다.
R l2( u) = ul+λ P12 이고, 이때 T(u)를 u에 대하여 전개하여 무한개의 생성자들 T을 정의하면 T(u) = Xba (16ab + u-S-1 T:b) 이다. 이들 무한개의 생성자들간의 교환식들을 다음과 같이 얻을 수 있다. [Tf ] _ [T , T:a] = A (T;cTsda 一Tfcy;a) (3.13) 여기서 s, p —1, T와 三A 16ab 이고 xab 는 gl(n)의 생성자로 다음의 교환식을 만족한다. [Xah, xcd] = XabXcd 一XcdXab 식 (3.13) 에는 많은 관계식이 있지만 일부는 무한개의 Ttb를 Tt와 Tfb로부터 정의하는 식들이다. 결국 양대수는 이들 두 작용자들에 의해서 결정됨을 알 수 있다.양자 가적계 중 양 대칭성 (Yangian symmetry)을 가지고 있는 모형들이 계속 알려지고 있다. 그러므로 이들 모형의 해밀토니안들은 이들 양 (Yangi an) 생성자들과 교환되어야 하는데 이를 수학적 용어로 중심 (center)이라고 한다. 즉 양대수의 중심은 이 모형의 해밀토니안과 무한개의 보촌되는 양들에 해당되는 것이다. 양대수에서 중심을 구하려면 먼저 TSab를 다음의 관계식으로 정의한다. L Tab(u) f'bc(u) = Hae b 이로부터 T"b(u) 를 역시 u에 대하여 테일러 (Taylor) 전개하여 T로 표시하면 이들을 T들로 얻을 수 있다. 예를 들어 처음 몇 개의 를 구하면 다음과 같다. T = _T T= _TF + AET f T;' = -T~c + .X L(Tt1Tf + T) - .X2 L T;1T/9Tgc f g 이로부터 중심을 주는 작용자 Z(u)를 다음과 같이 정의하여 Z(u) = ~ L T0b(u + n.X)Tb0(u)n a,b u에 대해 전개하면 Z(u) = 1 + >.u-2Zo + 2>.u-3Z1 + 3>.u-4Z2 + · · · 이다. 이들 Zn들이 중심이 된다. 일반적으로 물리에서 보존되는 양
들은 이들을 재결합하여 얻어지게 되는데 Zo = Qo Z1 = Q1 + ~,\Qon2 Z2 = Q2 + n,\Q1 + 一,λ2 Q o3 로 보통 정의되고 이로부터 보존되는 양들은 Qo=: a Q1 = L T fa - a a ,b Q2 = T : a _ 〉 + L TabTJcrra a ,b - a ,b,c -a,b 로 얻어진다.
3.3 가적분 양자장론들이 절에서는 YBE의 해를 이용하여 위에서 언급한 SGM, 섭동된 CFT, 그리고 초대칭성이 있는 모형 등의 S행렬을 구하는 것을 설명하고 이를 이용하여 이들 모형을 임계점에서 기술하는 CFT들과 상관함수를 계산하는 방법 등을 설명한다.3.3.1 사인―고든 모형
(1) 사인_고든 모형 S행렬SGM의 S행렬은 위에서 설명한 YBE의 해로 구할 수 있다. 이를 위해서 SGM의 솔리톤과 반솔리톤쌍이 0(2) 대칭성의 기본적 REP에 해당된다고 생각할 수 있다. 이런 대칭성을 가진다면 YBE과 유니터리티성, 교차 대칭성에 의해서 완전한 S행렬을 구할 수 있었다[70]. SSGM(O) Isinh[>. ('in-0)] 。。。 U(0) I 。sinl1(>. 0) sinh(i rr.X) 。 = 2T 。sinh(i7r .X) sinh( ) 。。。。sinh[.X(irr -0)] I (3.14) 여기서 U(0)는 U(0) = r(>.)r (1 + i) r (1 ->. - ) D. ~0)l=l R(O) = r 2l>. + i) r (1 + 2l>. + i)r ((2l + 1)A + i>) r (1 + (2l —1) + ) 이며 λ =-1 로 주어진다.여기서 중요한 것은 이렇게 구한 S행렬이 (3.12)에 비례한다는 점이다. 이 R행렬이 Uq [sl(2)]의 기본적 REP에서의 R행렬임을 감안하면, 위의 솔리톤과 반솔리톤쌍은 실제로 양자군 slq (2)의 스핀 에 해당됨을 알 수 있다. 이 S행렬은 유니터리티성와 교차 대칭성을 만족하기 위한 앞의 계수(prefactor)인 U(O)를 제외하고는 식 (3.12) 의 R(0)에 비례하는데, 이때 변형 변수 q는 SGM의 작용상수 λ와 다음과 같은 관계에 있다. q = -e i;rλ
그러면 이 양자군이 SGM에서 어떻게 실현되는가가 중요해진다. 실제로 SGM에는 숨겨진 대칭성이 존재하고 이 대칭성에 의해 보존되는 양들이 slq(2) 라는 양자군이 됨이 알려져 있다 [71]. 단지 보통 양자장론 모형의 대칭성과 다른 점은 이 경우의 보존 전류 (conserved current)가 국소적인 (local) 양이 아니라 비국소적 (non-local)이라는 것이다. 비국소적 보존 전류는 이미 알려져 있었지만 [72], 기존의 국소적 양자장론적 방법으로는 다룰 수가 없다는 한계 때문에 그 동안 관심의 대상이 되지 못했으나, SGM의 경우는 비국소적 보존 전류로부터 양자군을 만들 수 있고 이를 이용하여 S행렬을 얻을 수 있기 때문에 중요한 의미를 가진다. 먼저 SGM의 기본장인 ¢에 의해 다음의 비국소적 장을 만들면, J士(x, t) = exp (¢(x, t) 士_xOO dy H士(x, t)=::-2 exp (± ( -1) ¢(x, t)士 /_xOOdy 8이이다. 이들은 다음과 같은 보존 법칙을 만족한다 [71]. J± = ZH士, 士 = 8Ff± 이로부터 다음과 같은 보존 전하를 정의하면,Q± = j dz.J± + J azH±JJ± + /± 이다. 이들 사이의 교환식으로부터 [ ]의 생성자들을 이용하여 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있고, Q + = e1 q'•1 / 2, Q_ = eo q"ol2, + = f 1q" 1/2' Q_ = foq/2 이로부터 SGM 의 숨겨진 대칭성으로 양자군이 존재함을 입증할 수 있다.
이 SGM의 S행렬은 많은 물리적 정보를 포함하고 있다. 먼저 UV 극한에서 정의되는 CFT를 결정하면 임계점에서의 보편성 부류 (universality class)를 얻을 수 있는데 이때 열역학적 베테안자츠 (Thermodynamic Bethe ansatz:TBA) 라는 방법이 사용된다. 또한 이로부터 상관함수도 계산할 수 있는데, 이를 위해서 형태 인자가 이용되며 형태 인자는 S 행렬로부터 얻어진다.(2) 6 꼭지점 모형과 XXZ 스핀사슬 모형YBE이 가적분계 양자장론과 통계 모형에서 차지하는 역할이 다름에도 불구하고 YBE의 해가 양자군과 그 REP에 의해 결정된다는 점에서 이 두 가지 가적분 모형들은 상호 관련되어 있다. 그 예로 3장에서 설명한 꼭지 형태 모형의 하나인 6 꼭지점 모형과 SGM의 관계를 들 수 있다. 6 꼭지점 모형의 BW는 SGM과 똑같이 slq (2)에 의해 결정되고 두 가지 화살표(↑와 ↓)는 스핀 이중 상태 (doublet)에 해당된다. 따라서 SGM의 S행렬과 6 꼭지점 모형의 BW는 완전히 같은 형태가 된다. 솔리톤을 ↑에, 반솔리톤을 ↓에 대응시키면 SGM 솔리톤수 보존의 법칙이 6 꼭지점 모형에서는 화살표 보존에 해당되므로 6 가지의 BW들만 가능한 것이다.또한 2차원에서 정의된 6꼭지점 모형을 1차원 양자역학 모형으로바꿀 수 있는데, 이를 위해 3.2.2절 의 (1)에서 정의한 row一to- row 전달행렬 (TM)을 이용하면 분배함수를 z = Tr(TN) = 〈nle -N 1i ln〉n 로 쓸 수 있고, 이때의 H는 xxz 스핀 고리의 해밀토니안이 됨이 알려져 있다. Hxxz = L [J (J' + J(J' (J' rf-1 + J'(J' :uf+ 1J
(3) 솔리드-온-솔리드 모형이미 3.2.1절의 (1)에서 설명한 대로 2차원 가적분 통계 모형은 크게 꼭지접형과 SOS( 혹은 IRF)형으로 나누어진다. 이들 두 형태 사이에는 잘 정의된 관계가 존재한다. 이를 보기 위해 6 꼭지점 모형의 예를 들어보자. 6 꼭지점 모형의 두 가지 화살표는 s서 (2)의 스핀 } 상태이므로 q- CG 상수를 이용하여 두 BW들은 (91 = 92 = ½) R ( iJ,) u{mi|jm;9la'>q개의 스핀, 혹은 국소치 변수로 나타내질 것이고 이를 우리는 꼬임(Kink)이라고 부르기로 한다. 따라서 충돌행렬은 KaI}()Kbc (0 이 = S (::) (01 - 02)K,,d(02)Kdc(01) (3.16) 로 정의된다. 이때 주의할 것은 두 이웃하는 높이 (he ig ht)들은 차이가 1만큼 나야 한다. 예를 들면 |a-bl = 1 등이다. 또한 두 입자가 충돌하려면 좌변의 b와 같이 한 개의 값을 공동으로 가지고 있어야 한다. 이 경우에도 통계물리 모형과 같이 이 SOS 형태와 SGM( 꼭지점형) S행렬은 q - CG에 의하여 식 (3.15)로 관계된다. 다시 말해 SOS형태모형은 새로운 모형이 아니라 SGM의 변형으로 힐베르트(Hilbert) 공간의 기저 (basis)를 새롭게 잡은 것에 해당된다. SGM의 솔리톤쌍을 v½ = （ )로 쓰고 많은 솔리톤들이 존재하는 다중 솔리톤 힐베르트 (multisoliton Hilbert) 공간을 생각하면 이 공간은 Vi ® Vl ® .. ovi로 나타내어진다. 그러나 이 기저를 IRREP으로 나타내면 V Vl ® ... ® V! = el 로 쓸 수 있고, 여기서 Vj란 slq (2) 의 스핀이다. 위에서 언급한 정리 (Theorem)에 의하여 Vj는 sl(2) 의 모든 IRREP 이 전부 가능하여 j = 0, ½,- .. , ∞이다. 이 기저를 가지고 힐베르트 공간(Hilbert space)을 기술하면 입자 상태는 두 개의 연속하는 스핀값을 연결하는 꼬임들이 되는 것이다.
3.3.2 섭동된 동각장론(1) RSOS 양자장론위에서 우리는 SOS 모형에 해당하는 양자장론이 꼬임들의 탄성충돌 이론으로 기술됨을 이야기하였다. 그러나 이 모형은 다중 솔리톤 힐베르트 공간을 새로운 기저로 나타낸 것에 불과하므로 본질적으로 SGM과 같은 모형이다.
그러나 만약 q가 어떤 정수 N에 대해 qN = 1을 만족하면 두 모형은 더 이상 동등하지 않다. 식 (3.11)의 q-CG에서도 알 수 있듯이, 스핀값이 어느 한도를 넘으면 q-CG가 무한대가 되어 잘 정의되지 않으므로 이런 스핀은 배제되어야 한다. 따라서 이런 q값에 대해서는 러츠티그_로소 정리가 더 이상 성립되지 않고 양자군과 보통의 (ordinary) 리대수의 IRREP은 같지 않다. 가장 큰 차이는 양자군의 IRREP은 최대 스핀이 존재하여야 한다는 것이다. 스핀을 제한하는 것은 다중 솔리톤 힐베르트 공간을 잘라내는 것에 해당되므로, 이후의 이론은 SGM과 동등하지 않은 새로운 모형이 된다.그러면 이 이론은 무엇일까? 그것은 최소 CFT를 질량의 차원이 있는 일차장, 특히 이 경우에는 최소 유관 작용자인유한개만의 일차장들이 남는 최소 CFT들이 되는 것이다[74].
이 과정을 질량이 있는 이론에 적용한 것이 바로 섭동된 CFT 이다 [75]. 먼저 c = 1 CFT에 섭동항을 더한 것으로 볼 수 있는 SGM을 생각해 보자. 이 모형은 위에서 이야기한 대로 SOS 형태로 변환을 할 수 있고, 힐베르트 공간은 무한개의 slq (2)-IRREP들로 나타내어 진다. 그러나 q가 1의 근이 되면, 유한개만의 IRREP들이 가능하고 이는 파이긴-푹스 방법과 똑같이 힐베르트 공간에서 불필요한 부분을 잘라내는 것에 해당되고 CFT의 BRST 코호몰로지가 질량이 있는 이론에서는 양자군 구조로 바뀌는 것에 해당된다. 따라서 이 과정 후 우리가 얻는 이론은 최소 CFT가 13에 의해 섭동된 것을 얻게 된다. 구체적으로 설명하기 위하여 다음과 같은 형식적인 작용을 써보자. S = ScFT + ). J dzaz양자장론에서 보면 이들이 섭동된 CFT의 S행렬이 된다. 이 모형을 여기서는 RSOS [p]라고 부로기로 한다. λ가 음수일 경우 이 이론은 같은 질량을 가진 서로 다른 꼬임들이 다수 존재한다. 먼저 식(3.16)에 의하여 S행렬을 정의할 수 있고 식 (3.15)와 q- CG를 이용하여 이를 다음과 같이 구할수 있다. shJI (::) (0) = ( )-~sinh (i) Or1b + sinh ) Oac] (3.17) 여기서 X = ( )로 주어지고 q수는 [n] = (q" - q- ")/(q 一 q -1) 로 정의되며 1 의 근인 q는 q = -e- i rr/p이다 . 이때 가능한 스핀값은 0, ,1, …,g― 1 이다.
만약p =3 이면 단 한 개의 입자인 K야만을 가지게 된다(두 꼬임, K。1와 K0 를 같은 입자로 생각한다). 따라서 S행렬은 -1 이 되고, 이는 아무 상호작용을 하지 않는 질량을 가진 페르미온들의 S행렬에 해당된다. p= 3일 때 중심 전하는 c= 이 되므로 이는 이징 모형에 섭동항(이 경우는 에너지 작용자)을 더한 것에 해당된다. 즉 2D 이징 모형이 T≠Tc 에서의 모형이 되고 이에 해당하는 양자장론은 조르단_위그너(Jordan-Wigner) 변환에 의하여 질량이 있는 자유 페르미온 이론이 됨을 쉽게 보일 수 있다.λ가 양수이더라도 이 역시 가적분할 것이므로 질량이 없는 입자들의 충돌로 이론을 기술할 수 있다. 질량이 없이 1차원에서 광속으로 움직이기 때문에 이들은 왼쪽으로 움직이는 입자들(L)과 오른쪽으로 움직이는 입자들(R) 로 나뉘게 된다[77]. 각각은 E = 士P를 만족하므로 편의상 질량상수 M과 래피디티를 정의할 수 있는데, 이는 E = P = Me8(R 입자)와 E = -P = Me-8(L 입자)로 각각 나타내진다. L-L( 혹은 R - R) 간의 충돌은 이들 입자들의 생성 작용자들의 교환식으로 정의될 수 있으므로 S행렬은 두 입자들이 같은 운동량의 비에만 관계하고, 따라서 래피디티에만 관계하고 M에는 무관하게 된다. 이것으로부터 L-L( 혹은 R-R) 간의 충돌은 入에 무관하다는 결론에 도달하고, 이 두 충돌행렬은 CFT를 기술한다고 할 수 있다. 반면 L_ R(혹은 R- L)간의 충돌은 M에 관계하고 이것이 섭동의 영향으로 나타난다고 볼 수 있다. 또한 이 섭동된 CFT는 UV CFT와 IRCFT를 RG로 연결하므로 이 RG 흐름을 S행렬을 이용하여 나타낼 수 있다.
(2) 일반적인 섭동된 등각장론위에서 우리는 섭동된 CFT의 S행렬을 구하였다 . 임계점에서 힐베르트 공간을 잘라내어 c = 1 CFT 에서 C < 1인 최소 CFT를 얻는 파이긴-푹스-펠더 (Feigin-Fuchs-Felder)의 BRST 코호몰로지 방법에 해당되는 것으로, 비임계 현상에서 섭동된 최소 모형 CFT는 SGM 의 다중 솔리톤 힐베르트 공간을 양자군의 IRREP을 제한하는 방법을 이용하여 잘라냄으로써 얻어진다.섭동된 CFT를 이용한 양자 가적분 모형의 연구는 많은 성공을 가져왔으므로 이를 더 일반적인 CFT의 섭동으로 확장해 보자. 가장 일반적인 CFT는 비라소로 대수를 포합하면서 이를 더 확장하는 무한차원의 대수, 예를 들어 초대칭적-비라소로 (super-Virasoro), 캑-무디, 파라페르미온(p ara ferm i on) 대수 등에 의해 정의되는데, 이들은 전부 코셋 (cose t) CFT라는 형태로 나타낼 수 있다 [78]. 이를 위해서 군(group) 공간에서 정의된 비선형 (non-linear)σ_모형에 위상(topological)항인 베스_주미노항을 더한 베스_주미노-위톤_노비코브 (Wess-Zumino-Witten-Novikov:WZW) 모형을 생각한다 [79]. 이모형의 작용은KSwzw = (fJ. g)({hg - 1) K J f mnlTr( g - l fJ,,,g) (g - 1 fJ,,g) (g - 1 fJ1g) 로 주어지고 여기서 g는 2차원에서 임의의 리군 (L i e group) G의 원소로 대응하는 장이며 두번째 항인 베스 - 주미노항은 2차원 시공간을 경계로 가진 3차원 공간에서 정의된다. 이 WZW 모형은 캑-무디대수에 바탕을 둔 등각 대칭성(conformal symmetry)을 가지며, 교환관계(commutation relation)는 [J,~, J!,] = ijab cJ~+m + 5 a bc5n + m,O 이고, 이때 중심전하 K를 <준위 (level)>라고 한다. 캑 一무디 전류를 J a(z) = Ln Ji z-n-1 로 쓰면, 다음과 같은 수가와라 (Sug awara) 방법에 의하여 비라소로 대수와 에너지-모멘텀 텐서 (energy-momentumtensor)를 유도할 수 있다. 1TK(z) = -~ : JU (z) J a(z) : K+h 1 di m(G) ∞ Ln = -~ I: : J:;.J~-m :a=l m=-∞ 여기서 h는 듀얼 코엑스터 (dual Coxeter) 수 혹은 수반 표현의 두 번째 캐시미어수이다. 이 WZW 모형 Gk의 중심 전하는 c(GK) = 이 된다.
코셋 CFTGK/HL 의 에너지-모멘텀 텐서는 T(Gk)-T(HL)로 정의되고 중심 전하는 c = c(GK)-c(HL) 이 된다. 이 중 특히 우리는 GK GL GK+L로 써지는 형태에 관심이 있다. 대부분의 중요한 CFT들이 이 범주에 속할 뿐 아니라, 이 CFT들은 특별한 섭동에 의해서도 계속 가적분 성질을 유지하기 때문이다. 이 코셋 CFT의 중심 전하는 c(GK+L)-c(GK) —c( GL)이므로, G가 SU(2)이고 k = 1이면 최소 CFT, k =2이면 초대칭적 최소 모형 CFT가 된다.
이제 이 코셋 모형에 섭동을 더하여 비임계 영역까지 확대하였을 때 여전히 가적분인 모형을 찾아보자[80]. 섭동에 의해서 등각 대칭성이 깨지면서 일반적으로는 가적분을 주는 무한개의 보존되는 양들이 없어질 것이지만 이들 코셋 CFT를 특별한 일차장에 의한 섭동을 생각하여 이들 보존되는 양들을 여전히 유지시키는 것이 가능하다. 이 가적분한 섭동은 다음과 같은 장에 의하여 가능하다. pcrt (z, z) = [ ] (z,z)이 섭동은 유관한데 그 이유는 pert의 차원이 Δ(pert) = 1-h/(k+L+h) 이기 때문이다. 또한 pert는 J(K)(z) 에 대하여 국소적이다. 다시 말해 이 두 장들을 가지고 작용자 곱 전개 (operator product expansion: OPE)를 취하면 [J(K)I x [ = [w], [w] = [ ]이 되고 이때 의 차원은 A(\JI) = Lh/[(K+h)(K+L+h)] 이므로 Δ(J(k)) + Δ(pRrt) = 2 + Δ( )이 만족된다. 즉, OPE는 (z)J(K)(w) = (zw:w;)2 + 정규항(regular) 이 된다. 이렇게 얻어지는 모형을 형식적으로 M(G)[K,L] = ~ +>. [(t)] (z,z) (3.18)로 쓰고, Zamolodchi kov의 방법을 이용하여 J( K)(z) 가 보존되는 전류임을 보일 수 있다. 즉, J(K)(z, ) = pert (W, )J(K)(z)이므로 위의 OPE를 이용하면 우변을 z 의 미분으로 쓸 수 있어 J(z, z) = BzH, HU<) ex ->.pcrt이 된다. 이 경우 보존되는 양은Q(K) = f (dz J (K) (z, ) + E H (K ) (z, ))이며 이 양은 h/(K+h) 이란 스핀을 갖는다. 여기서 스핀이란 주어진 장의 Δ- Δ를 말한다. 같은 방법으로 반홀로모픽 쪽으로부터도Q() 을 찾을 수 있다.
여기서 섭동장 pcrt의 차원이 K와 L을 바꾸더라도 변하지 않는다는 사실에 주목하자. 이미 코셋 CFT는 K-L 대칭성이 존재하므로 CFT뿐 아니라 섭동된 CFT도 K-L 대칭성이 있다는 이야기이다. 따라서 K와 L을 바꾸어 생각하여 같은 이론에서 보존되는 양,Q(L)과 (L)을 찾아낼 수 있다. G = SU(2)이고 K = 1일 경우 이들 Q (L) 과 (L) 이 바로 식 (3.15), 즉 SGM과 더 나아가 RSOS 이론의 양자군을 만들어내는 양들이다. 이를 더 일반적인 G와 K로 확대하면 여러 가지 흥미로운 결과를 얻을 수 있다. 우리가 찾아야 하는 S행렬은 이 두 양들, Q(L)과 Q(K)과 교환 가능해야 한다.끝으로 식 (3.18)로 주어지는 일반적인 섭동된 CFT, M(G)[K,L]의 RG 흐름에 대하여 생각해 보자. 이 경우에서도 ).λ< 0이면 질량이 생기게 되어 IR 극한에서는 이론이 뻔해지고, 반대의 경우인 λ >0이면 이론은 여전히 질량이 없으나 IR 극한에서는 또다른 CFT가 될 것이다. 자세히 말하면 L이 K에 비하여 충분히 크면 UV에서Gk GL/GK+L 였다가 IR에 가서는 GK GL-K/GL이 될 것이다. 결과적으로 RG 흐름에 의하여 L-+ L-K로 변하게 되고 UV에서의 섭동하는 장인
으로 표시된다. 따라서 M[K,L]의 S행렬은 S[K,L] (::: ) (0) = 3 11<+21 (:!) (0) SIL+21 (:::) (0) 가 된다. 만약 K나 L이 1이면 s131(θ)는 이징 모형의 S행렬이 되는데 이는 상호작용(interaction)이 없는 질량이 있는 페르미온 이론이므로 그 S행렬은 -1이 되어야 한다. 실제로 식 (3.17)에 p = 3을 대입하면 이 결과를 얻게 된다(-1 은 유니터리티성을 만족하는 U(θ)에 포함할 수 있다). 따라서 s[K,L] = sIL+2l이 되어 RSOS[L + 2]를 기술할 수 있다.
또 코셋 CFT SU(2)K SU(2) L/ SU(2)K+L는 K = 2일 때 초대칭성을 가진다고 한 바 있다. 따라서 M[2,L] 는 섭동된 초대칭적 최소 CFT가 된다. 이들의 S 행렬은 sI4] SILl 이 되고 S비는 세겹 임계 이징(tricritical Ising) 모형의 S행렬로서 초대칭성과 교환 가능한 인수가 된다. 한 걸음 더 나아가, 이 섭동된 초대칭적 최소 CFT를 C = 3/2 인 가적분 양자장론, 초대칭성적 사인―고든 (SSGM) 모형의 다중 솔리톤 힐베르트 공간을 잘라내어 얻어진 것으로 해석하면 이는 SSGM의 제한된 형태라고 생각할 수 있다. 따라서 SSGM의 S행렬은 제한(rest riction)에 의하여 S[4] S[L]을 주는 S행렬이라고 생각하면 다음과 같은 S행렬이 SssaM (θ) = sl4l SscM (θ) 그런 성질을 가짐을보일 수 있다. 여기서 SSGM은 SGM의 솔리톤 S행렬을 나타낸다. 또한 SSGM의 솔리톤과 반솔리톤들은 보조닉 (bosonic)한 경우와 페르미오닉(fermionic)한 경우들로 나누어지고 이들은 |K (0) 〉 = |Kab(0)> IA±(0)>가 된다[81]. 더 나아가 K가 3보다 크거나 같은 경우에는 이 CFT는 Zk 파라페르미온으로 기술되는 이론이 되는데, 이것으로 분수(fractional) 초대칭성을 만들 수 있다. 이 분수 초대칭성은 Q(K)로부터 만들어지는데 [Q(K)]I( = E-P, [ (K)r< = E+P의 성질을 만족하는 대수이다. J( = 2는 보통의 N= l 초대칭성을 나타낸다.
(4) 섭동된 등각장론과 가적분 양자장론들다시 일반적인 섭동된 CFTM(G)[K,L]에서 준위 L을 무한대로 보내 보자. CFT 부분은 분자의 G∞와 분모의 G∞는 서로 상쇄되고 결국 GK만 남아 WZW모형이 된댜 이때 섭동하는 장의 차원도 1이 되기 때문에 결국 이 이론은 S = Swzw + /d2z~J a(z)J'(z) (3.19)이 되어 WZW CFT가 캑-무디 전류에 의하여 섭동된 모형이 된다. 이 모형은 임의의 K에 대하여 분수 초대칭성 Q (K)를 여전히 대칭성으로 가지고 있다. 또한 원래 가지고 있던 Q띠는 L 이 무한대가 됨에 따라 G를 만드는 내부 대칭성(internal symmetry)으로 환원된다. 식 (3.19) 는 주요 카이랄 모형(principal chrial model:PCM) 과 밀접하게 관계가 있다. 특히 PCM 이 베스-주미노항을 가지게 된 경우에 해당되는데 이 경우 작용은 S = Swzw + a jd:'z Tr(B,,』9-18l‘9)이 되고, 두번째 항이 보통의 PCM 작용이다. 이 두 모형의 차이는 캑-무디 전류를 KJ a(z)ta = -― g-1, 2K T(Z)ta = --g-1 g로 나타내면 명확해진다(t(＇는 G 의 생성자)． 따라서 식 (3.19) 의 섭동항은 다음과 같다. AK2 /d2z Tt·(fJ:99-1)(9-1 )
특히 G= SU(2)인 경우 S행렬은 li mL 5 1L+2j이 되고 L = ∞ 이므로 최대 스핀에 제한이 없게 되어 RSOS 모형에서 제한을 없애는 것과 같다. 즉 이 이론은 SGM으로 환원되고 입자는 솔리톤 기저로 기술될 것이므로 |K (0) 〉 (a,b = O, ½, · · · , K/2)가 이 이론의 입자 상태가 된다. 여기서 士는 SGM 의 솔리톤수이다. 따라서 S행렬은 S(0) = S[K+2](e) Ssc(x = e0/ (L+2), q = 一e - i r/ (L + 2))이고, 두번째 S행렬인 SSG 는 SGM의 4x4 솔리톤 S행렬에 q→1의 극한을 취한 경우이다. 이를 계산할 때는 주의해야 한다. 먼저 €=I/(L + 2)로 정의하면 x = e(。::::::: 1 + c0 이고 q = -irrc ::::::: _1 + i1r1:이되므로 € -+ 0를 하면 YBE의 삼각(trigonomet ri c) 해인 SGM의 S행렬을 유리 (rational) 극한을 취한 것과 같아서 식 (3.19)의 S행렬은 S(0) = S[K+2](0) Srat (0) 이 되고 Srat (0) = V(0)P도(0) 이며 V(0) = 1_O) :: 二:} ::} {: 二~] i 1r - 0 0 0 0 'R-rat (0) =O i T O 0 0 i7r 0 0 0 0 i1r-0로 주어진다.
끝으로 K와 L을 동시에 무한대로 보내는 경우를 생각해 보자. 이미 위에서 L을 ∞로 보내어 섭동된 SU(2) 준위 -K WZW 모형을 얻었으므로 여기에 K → ∞의 극한을 생각하면 식(3.19)의 작용에서 전류를 J 一J/ -/R로 다시 정의 했을 때 베스-주미노항은 첫째 항에 비해 무시되므로 결국 운동 에너지 항만 존재하는 G GPCM 모형이 된다. 따라서 S행렬도 Srat (θ)Srat (0)가 된다 이상을 그림 3.5로 요약할 수 있다.
l
그립 3.5
3.3.3 열역학적 베테안자츠
우리는 위에서 섭동된 CFT에 의하여 대다수 가적분 양자장론을 분류할 수 있었을 뿐 아니라 이들의 S행렬도 구할 수 있었다. 가적분함을 뒷받침하기 위하여 양자군을 만드는 보존되는 전하가 존재함을 보였으나, 무한개의 보존 전하를 보이지는 못했으므로 가적분 성질을 이용한 결과를 증명할 독립적인 검증이 필요하다. 즉, S행렬들이 옳다는 것을 보이면 되는데, 문제는 대다수 섭동된 CFT들은 라그랑지안이 잘 정의되지 않기 때문에 파인만 도형 (Feynman diagram) 등을 이용한 섭동 이론을 쓸 수 없다. 이 절에서는 이 S행렬들을 입력(input)으로 하여 질량이 있는 가적분 이론의 중심 전하 등 UV 극한의 결과를 얻는 열역학적 베테안자츠 ( Thermodynamic Bethe ansatz : TBA)를 이용하여 S행렬들을 검증하는 방법에 대하여 설명한다.(1) 대각선 열역학적 베테안자츠일반적으로 양자장론에서의 TBA는 물리적으로 실존하는 입자들의 S행렬을 이용하여 계산한다는 점에서 유사 입자(pseudo一particle)를 다루는 통계물리의 TBA와는 다르다. TBA 방법은 R x L 크기의 2차원 유클리디안(Euclidean) 공간을 생각하여 R을 고정하고 L을 무한대로 보내면서 이 물리계의 캐시미어 에너지를 계산하는 것이다[82]. 이때 R이나 L을 각각 시간의 방향으로 생각할 수 있으므로 분배함수는 z = Tr1ln [e-LH,1] = Tr"'; [e-RHL] (3.20)이 된다. 먼저 길이 R이 유한하고, 시간 L이 무한대인 물리계로 생각하면, 식 (3.20)에서 L → ∞ 이면 HR의 가장 작은 고유값인 기저 (ground - state) 에너지 (E(R) ）만 중요하고 나머지는 무시할 수 있으므 로,1E(R) = li m — — lo g {Tr 'H.,, [e-RHi,] }L一oo L이 되고, 이는 단위길이당 자유 에너지가 된다. 유한한 길이 R을 가진 물리계의 유한 길이 보정(finite-size correction)은 캐시미어 에너지가 되고, R을 온도의 역수로 생각하면 (1/T) R→0 임에 따라 T→ ∞가 되기 때문에 이 가적분 모형의 UV 극한 CFT의 중심 전하와의 관계를 얻을 수 있다 .E(R) ~ -(c — 12 6. m i n — 12"3:min) (3.21)여기서 Δmin와 Δmin 는 그 CFT 가 갖는 가장 낮은 등각 차원을 의미한다. 이론이 비유니터리 (non-un it ary)가 아니면 진공 상태가 가장 낮은 차원 을 갖게 되고 이 경우 Δmin =Δmin = 0 이다 .
반면, R을 시간으로 생각하여 자유 에너지를 계산하기 위해, 길이가 L인 1차원 공간에 있는 (N+ 1)개의 입자가 있다고 생각해 보자. 맨 오른쪽 끝의 (N + 1) 번째 입자의 질량이 ma이고 래피디티가 θk 였을 때 이를 왼쪽으로 움직여 다른 입자들과 충돌시키면서 맨 왼쪽 끝까지 왔다가, PBC에 의하여 다시 원래의 자리인 맨 오른쪽 끝으로 가면, 원래 움직이기 전과 전혀 구별할수 없다. 이를 식으로 나타내면 Nei m a Lsi nhOk IISaa;(0k - 0;) = 1 (3.22)i =l 이다. 여기서 우리는 일반적으로 서로 다른 질량을 갖는 여러 종류의 입자들을 생각하여, ai는 i번째 입자가 질량이 ma 인 a 형의 입자임을 나타낸다. 가적분 모형에서의 충돌은 운동량의 교환인데, 만약입자의 종류와 질량이 다 른 경우에는 운동량의 교환도 생길 수가 없으므로 S행렬은 <대각선 (diagonal)> 요소만을 갖 는 다 . 반대로 같은 질량을 갖는 입자가 두 개 이상 존 재하면 S행렬은 < 비대각적 (nondiagonal)＞이 된다. 위에서 예를 든 SGM이나 RSOS 모형의 S행렬들은 모두 <비대각적> 요소를 가지고 있다. 여기서는 우선 대각적 S행렬을 먼저 다루고, 비대각적 S행렬의 TBA는 다음 절에서 설명한다.
대각적 S행렬의 경우 식 (3.22)의 양변은 단순한 숫자이므로 직접자연로그 (logarithm)를 취하면 maLsi nh0k + t } lnSna; (0k - 0;) = 21rn k (3.23) 2,i = l 이 되고, 여기서 nk.는 임의의 정수이다. 식 (3.23)을 매우 많은 미지수인 {θk}의 연립적분 방정식으로 보면 각각의 정수들 {nk}마다 {θk}의 해가 존재하므로, 무수히 많은 정수들의 조합을 생각하면 해는 무한히 많이 존재하여 마치 고체에서 에너지 준위처럼 θ는 연속적인 띠 (band) 구조를 갖게 된다. 입자들은 이 많은 준위들 중 (N+l) 개의 준위만을 채운다. N,L → ∞ 임에 따라 두 가지 애디티 (adity) 준위의 밀도를 정의하게 된다. 첫째, pa(O)를 가능한 준위들의 밀도라고 하면 이는 θ 와 θ+dθ 사이의 값을 주는 따들의 경우의 가짓수를 dθ로 나눈 것으로 정의된다. 둘째, 입자들에 의하여 채워진 준위들의 밀도 (0)이다. 이를 이용하여 식 (3.23)을 다시 쓰면 21T p0(0) = m0L cosh0 + ~ J d0'pi(0')자유 에너지는 F = E 一TS로 정의된다. 여기서 E는 이 물리계의 에너지이므로 E = Lama J d0 p!(0)cosh0, S는 엔트로피이므로 가능한 에너지 준위들 중 특정 한 준위들만이 차지되는 경우의 수에 자연 로그를 취한 것으로 정의된다. 3)S = j 0 [log (p (0)!) - log (p 1 (0)!) - log (p (0) - (0)) !]
3) 입자가 페르미온이냐 보존이냐에 따라 약간 차이가 나지만 결과적으로는 차이를 주지 않는다. 여기서는 페르미온을 가정한다.
열역학에서는 자유 에너지가 최소화되는 경우만이 실현된다. Pa와 P1a에 대해 함수적 변분을 취하여 자유 에너지가 최소가 되는 밀도를 구하면 되는데, 이때 두 밀도는 식 (3.24)에 의해 서로 독립적이지 않으므로 라그랑지안 미정 곱수 (undetermined multiplier)를 이용하게 된다. 다음과 같이 <유사 에너지(psuedo -energy)> €u를 정의한다. P!(0) e (0)Pa (0) 1 + e (O) 이 함수에 대해 변분을 취하여 얻는 자유 에너지의 최소조건을 TBA방정식이라고 하며 f u(θ) = maRcoshθ - _OOOO (0-0') lo g (1 + e ) (3.25)가 된다. 이때의 자유 에너지값으로부터 캐시미어 에너지를 구하면 E(R) = - m。「 cosh 0log (1 + e (0>) (3.26)이 된다. 식 (3.25)를 풀어서 Ea을 구하고 이를 식 (3.26)에 대입하여 식 (3.21)과 비교하여 중심 전하를 구하게 된다. R의 함수로 얻어지는 중심 전하는 RG 흐름에 의해 변하는데, 특히 UV(R → 0)와
IR(R → ∞) 극한에서는 TBA 방정식을 대수적으로 풀 수 있다. 여기서 유한 크기 보정은 R이 L에 비하여 작을 때만 성립되지만 이미 L은 무한대로 보냈으므로 R → ∞일지라도 L >> R이기만 하면 이 식은 유효하다.
(2) 비대각선 열역학적 베테안자츠-대수적 베테안자츠S행렬이 비대각적이면 식 (3.22)에 나오는 S행렬의 곱은 매우 복잡한 모노드라미 행렬이 된다. PBC 조건은 다음과 같다. e'rn,, LsinhO T,;a(0l0i, - - · , 0N) = l , 여기서 |0I,. .. , 0N) =:s(O ― O1(O_o2)· • ·St{1 ,,(0-0N)가 된다. 이 식을 a에 대하여 더하면 eimLsinhOT(0l01, ... , 0N)| 〉 = NclW> (3.27)이 되고, 이를 풀기 위해서는 TM의 고유값을 찾아야 한다. 고유 벡터 (eigenvector) I 〉는 VN에서 정의되므로 TM은 T = ETaa 는 Nf xNf인 거대한 행렬이다. 통계 모형의 TM은 한 개의 래피디티만의 함수인데 반해 여기서는 개개의 입자들 이 각각 다른 래피디티를 가지므로 매우 많은 래피디티들의 함수로 된다. 이런 뜻에서 이를 <비등차(inhomogeneous)> TM이라고 한다.TBA 방정식을 유도하기 위해서는 이 TM을 대각선화해야 하는데 이를 위하여 여러 가지 방법들이 알려져 있지만그중에서도 TBA에는 두 가지 방법이 주로 사용된다. 첫째는 역관계식(inversion relation)을 이용하는 방법으로 TM의 역행렬을 찾아내어 이들로부터 고유값들이 0이 되는 래피디티값들과 고유값들이 복소평면에서 해석적이다(analytic)는 가정을 이용하는 것이고, 둘째는 대수적 베테안자츠 (ABA)방법을 이용하는 것이다. 여기서는 ABA 방법을 중심으로 설명한다.
여기서 는 대표적 비대각적 S행렬을 가지는 SGM을 이용하여 설명한다[83]. SGM의 TBA 방정식을 유도하기 위하여 SGM과 동일한 BW를 가지는 6 꼭지점 모형의 ABA를 고려하자. TM 이란 밑의 열에 있는 N개의 ↑나 ↓들의 상태에서 다음 열의 상태로 전달하는 것으로 이때 전체 T의 개수는 보존된다. 이미 설명한대로 ↑과 ↓은 SGM의 솔리톤과 반솔리톤을 각각 의미한다. ABA에서는 먼저 유사진공(pseudo-vacuum) 상태를 N|t (01, . .. , 0N)>= II Oa;+ = I t 1t 2 • • • i=l로 정의한다.위에서 정의한 모노드라미 행렬 Tab은 처음 a상태에 있던 입자를 왼쪽으로 움직이기 시작해서 끝까지 간 후 다시 PBC를 이용하여 원래 위치로 돌아올 때의 상태가 b일 진폭(amplit ude)을 S행렬들의 곱으로 나타낸 것이므로 각각을 T = A = ;1;" ... Y~• Ii..!- = D = · • · -fr;-,0.t = B= 나 ···-f~' = = ···-fr;-로 나타내어, 각각의 꼭지점이 S행렬을 의미하고 시간의 방향을/로 잡았다고 생각한다. 여기서 1,2, ... ,N은 각각이 V ... V 공간에 작용되는 2N x 2N 행렬임을 의미 한다. C를 유사 진공 상태 I D 에 작용하면C(0)1t {01, ... , 0N)>= -+LL ••• _L1—= 0이다. 이는 들어가는 화살표의 수가 N+2인데 반하여 최대한 나올 수 있는 개수는 N이기 때문이다. 또한 A와 D를 |D에 작용시키면 이들의 고유벡터가 되며 고유값을 다음과 같이 얻을 수 있다. A(0) lt (01 , ... , 0N)>=--+f--+t--+ .. . --+f --+f--+= II a(O - OJf l f 2 f f N , = l D(0)lt (01, . .. ' 0N)>=」―= II b(0 - 0,)f l T2 T TL\r l= l 이제 TM T = A+D 의 고유벡터를 구하기 위하여 ;- .. . -1-11~ B(en) |'II>= B(ξ ) ... B(ξn,) |T>= : : : : : (3.28) ... + B(6) 을 고려하여, 이 상태가 T의 고유벡터가 되도록 미지수들인 ξi를 찾는 것이다. 이를 위하여 모노드라미 행렬의 각 요소들 사이의 관계식이 필요한데, 이들은 S행렬들의 곱으로 나타내지고 개개의 S행렬들은 YBE을 만족하므로 모노드라미 행렬 자체도 다음과 같은 YBE을 만족한다. (0 - 0')7i,c(01{0;})a’(O'|{0i }) c,cl=t,J. = I:: ,:(0'l{0i })T/(0l{0i })Sd):'(0 一0') (3.29)c,d=t ,.l- 이를 그림 3.6으로 나타낼 수 있다.
여기서 S는 SGM의 S행렬을 나타내고 식 (3.14)에 주어져 있다.
그 립 3.6
이 S행렬과 모노드라미 행렬은 S(O)=a(0) 0 0 0 0 b(0) c(0) 0 0 c(0) b(0) 0 0 0 0 a(0) , T(0) = ( ::: 二) 이 되므로 식 (3.29)으로부터 A(0)B(e) = ;：B(e)A(0) ...:_ B(0)A({) D(0)B(e) = ;{> B(e)D(0) - B(O)D(!) 를 만족함을 보일 수 있다. 식 {3.28)에 식 {3.30)을 연속적으로 작용
한 후, 마지막에 식 (3.28)을 이용하면 [A(0) + D(0)] jw>= [>.A(0) + Av (0)] j\lJ) +< 원하지 않는 항들 (unwanted terms) > (3.30) AA(0) = fi a(0 一0;) v :: i = l j = I AD(O) = n b(0 一0 (3.31)i=l j = l 이 된다. 여기서 원하지 않는 항들이란 식 (3.30)의 두 번째 항에서 생기는데, 이를 없애면 1 '11〉가 고유 상태가 될 것 이다. 이로부터 (a(HO - G)) NDj ~H=-1 (3.32) =l b(fj _ t ,) a(f, - f])라는 식이 얻어지고, 식 (3.31)과 (3.32)와 함께 T의 고유값들을 완전히 구할 수 있다. 이 결과를 TBA에 이용하기 위해서 식 (3.31)을 식(3.27)에 대입하면 질량이 m인 입자들 (0가 래피디티)이 대각적 S행렬을 가질 때의 PBC 방정식에 해당함을 알 수 있다. 또한 식 (3.31)안에 있는 ξi를 유사 입자들의 래피디티라고 보고 식 (3.32)를 이 유사 입자 a들이 만족하는 PBC라고 해석하면, 이 비대각적 TBA는 두개 입자들의 대각적 TBA 문제로 바뀌게 된다. 그리고 식 (3.32)에는 L에 관한 항이 없으므로 유사 입자는 질량이 없는 입자임을 알 수 있다.
이상에서 비대각적 TBA를 ABA를 이용하여 대각적 TBA 문제로 환원할 수 있음을 보았다.(3) 열역학적 베테안자츠 방정식의 해법
S행렬은 대각적 TBA 방정식인 식 (3.25)의을 풀어야 한다. 식 (3.25)를 θ에 대하여 미분하여 식 (3.26)에 대입하면 캐시미어 에너지와 중심 전하를 구할 수 있다. 이때 적분 변수를 0에서 e(θ)로 바꾸면 간단해진다. E(mR) ~ - ~ [ — £ (~)] (x ) = -: l z dt [ ln( 1t- t) + ( 1ln-t t)] 여기서 나오는 함수 C(x)는 로저스 다이로가리듬 (Rogers dilogarithm) 함수이다. 이 결과와 식 (3.21)과 비교 하여 UV CFT의 중심 전하를 구하면 C - 12( mi n) = [ () - ()] 이 된다.
매우 다양한 모형에서 이 결과를 이용하여 섭동된 CFT의 S행렬들이 올바른 UV CFT의 중심 전하를 주고 있음이 계산되어 있다. 이뿐 아니라 TBA는 UV에서 IR로 RG 흐름이나 [85], 고체의 전도율 (conductivity) 등을 계산하는 데 이용되고 있다 .3.3.4 형태 인자 방법(1) 서론지금까지 우리는 가적분 양자장론이 만족하는 YBE을 풀어서 S행렬들을 찾았고 TBA를 이용하여 중심 전하를 통해 이를 검증하였다. S행렬이란 입자들이 충돌하는 확률이기 때문에 온- 셸 성질을 나타낸다. 그러면 상관함수와 같은 오프_셸 (off-shell)한 양들을 계산할 수는 없을까? 상관함수를 정확히 계산하는 방법은 존재하지 않고 2차원 이징 모형을 제외하고는 비임계 영역에서 얻어진 결과도 없다. 이징 모형도 T ≠ Tc인 경우만 알려져 있고 자기장이 걸려 있는 경우 등에 대해서는 아직도 풀리지 않고 있다.
여기서 우리는 YBE의 해인 S행렬로부터 상관함수를 얻을 수 있는 한 방법인 형태 인자 (FF)를 설명한다. 이 방법은 일반적인 가적분 모형에 대해 S행렬을 알면 FF를 계산할 수 있고 이로부터 상관함수 를 구할 수 있 어 최 근 매우 각광받고 있다. FF를 계산하는 방법이 쉽지 않고 또 FF로부터 상관함수를 구할 때도 정확한 계산이 아니라 일종의 데일러 전개로 표시되기 때문에 한 개의 공식만으로 표현할 수 없다는 단점이 있지만, 이 전개가 결합상수에 대한 전개가 아니고 입자들의 개수에 의한 것이고 수렴 (convergence) 속도가 매우 빨라 상관함수를 수치적으로 얻을 수 있다는 장점이 있다.(2) 형태 인자의 성질FF들이란 임의의 오프 -셸 작용자를 힐베르트 공간의 기저들의 행렬 요소로 나타낸 것이다 [86). 여기서 온-셸 입자들을 기저로 삼는다. 이를 식으로 나타내면 Fll , ... ,a,.(01,• • • I0,.) = 〈 O(O)la1((}1), • • . ,an(0〉in이 되고 a(θ)는 a 입자가 래피디티 θ를 가지고 있음을 의미한다. 이들이 잘 정의되려면 θ들이 01 > 02 > ... > 0,i순으로 정상 순서 (normalorder)로 되어야 한다. 이렇게 정의된 FF는 다음과 같은 성질들을 만족한다 [87).1) F는 모든 변수 θij = θi -θj의 값이 0 ≤ Im[(}ijl ≤ 2π이면 단일극 (simple pole)들을 제외하고 해석적이다. 그리고 다른 형태의 FF도 위의 형태로 전환될 수 있다. 예를 들어 out< b1(θD, ... , bm(0:11)IO(θ)la1(θ1), • • • ,an,.(θn)>in= • · ,l Fq ,.,u,,{l lP g , , (O;+ , .. . , 0 +i,0I , ... ,0,,)이다. 여기서 C는 전하변환행렬 (Charge Conjugation)로 교차 과정에서 나타난다.
2) 임의의 두 개의 래피디티를 바꾸면 S행렬이 곱해진다. F야 . . . ,a1,a1,.1, ... ,a,. (θ1, • • · , θi, θi + I , · · · , θ,.) = (-1) fo,f ”"1 X Saa;aa: : :(0,-0, + 1) ... ,a; 11 ,a;, ... ,n.,(θ1 ,• • ., 0 , θ;, ... , θn)이 되고, 입자가 보존이면 fa = 0이고 페르미온이면 fa = 1 이다.3) 상대성 이론에 의하여 Fal,··· ,a., (θ1 + A, .. . ' θn + A) = e"' t,.F,이, .,. ,n., (θ1, . , . , θn) 를 만족하고 s는 0의 스핀양이다.4) 만약 임의의 래피디티에 2πi를 더하면, F .. , ,an (θ1, • , • , θn + 2πi) = （ )" EI°‘ Fa,,,aI, .. . ,a,,-1 (On, 01, .. . , 0n-1) 이댜 즉, 순서를 바꾼 것과 같다.5) FF는 단일극들을 가지게 된다. 그 이유로는 구속 입자들의 촌재와 소멸극 (annihilation pole) 때문인데 후자는 두 개의 들어오는 입자들이 C에 의하여 연결되면 생기는 것이다. 이로부터 . Rest O' -+ 0F야 .. . ,a,.,a,a(01, ... , 0n, 0' + i 1r, 0) = [1-Taa(0j01,··• ,On)]::::::::~ F,야 ... ,a:,(01,••• ,0n) 이다. 여기서 Taa는 모노드라미 행렬이고 이 식에 의하여 (n + 2) 점(point) FF를 n점 FF와 연결할 수 있다.6) 구속 상태에 의한 극(pole)은 다음의 식을 만족하는데, 먼저 S행렬의 유수(residue)를 다음과 같이 정의하면 i oR-->esoC (O) = —r;bE'II 이다. FF는 다음을 만족한다. Resioa _ ob C .. ,a,. ,n,.,n,(01, , , . , 0n, 0a, 0b) = r; .. . ,a,,.a/01 , • • • , 0,. , 0c) 이들 관계식으로부터 FF를 계산할 수 있다. 그러나 임의의 개수의 입자들에 대한 FF를 계산하기란 쉬운 일이 아니다. 특히 S행렬이 비대각선일 경우는 거의 불가능에 가깝다. 지금까지 알려져 있는 결과는 SGM과 이징 모형, 그리고 sinh-고든 모형 등인데 SGM을 제외하고는 한 종류의 입자만을 가진 이론이므로 가장 간단한 형태의 대각선 이 론들이다. SGM 은 비대각선 이론임에도 예외적으로 일반적 FF를 계산할 수 있다. 그러나 위의 식들을 풀어서 얻어진 것은 아니고 아주 다른 방법에 의한 결과이다.
우리가 고려하고 있는 대다수의 가적분 양자장론들은 비대각선이다. 따라서 FF를 일반적으로 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다. 그러나 앞으로 보이겠지만 입자수가 커짐에 따라 FF는 급속도로 작아진다. 따라서 FF를 이용하여 상관함수를 표시하면 대체적인 양상은 이미 두 개의 입자 정도에 해당하는 FF들로 결정됨을 알 수 있다. 이런 뜻에서 일반적 FF를 계산하기보다 간단한 FF를 계산하는 방법에 대하여 살펴보자.두점 (Two―point) FF들에 대해서는 위의 여러 성질들이 간단해 진다. 예를 들어 F2(θ1, θ2) = Ka1a2 (0)F(θ1 - θ2)로 쓰면, Fmin 는 왓슨 방정식으로 불리는 식을 만족하는 인수이고, F(O) = F； (_0)S(O), F(i1r 一0) = F(i1r + 0) Ka1a2(θ1,θ2）는 모든 극들과 작용자에 대한 정보를 담고 있는 항이다.
Fmin는 S행렬을 대각선화하는 기저에서는 마치 대각선 이론이 만족하는 왓슨 방정식이 될 것이고 이 식은 간단한 적분 표현으로 다음과 같이 풀수 있다.S;(0) = exp [100 f;(t) sinh ] 一」F,mm= exp [loo ~sin2 ;TO)t]또한 K2(01,02) 도 작용자의 차원으로부터 알 수 있는 양이다.(3) 빛띠 표현과 C 정리상관함수는 FF들에 의해서 다음과 같은 스펙트럼 표현으로 나타내진다.이 공식에서 맨 마지막의 exp항에 의하면, cosh는 1보다는 항상 크거나 같은 함수이므로 질량이 0이 아니라면 입자의 수인 n이 커짐에 따라·지수에 반비례하여 작아짐을 알 수 있다. 따라서 n이 작은 경우만을 계산해도 매우 정확한 값을 구할 수 있는 것이다. 특히 r이 커지는 영역은 더욱 그렇다. 반대의 경우인 T→0이면 큰 도움이 되지는 않지만, 이 경우에는 UV 영역이기 때문에 CFT를 이용하면 된다. 질량이 없는 입자의 경우는 원칙적으로 많은 FF가 도입되어야 하나 최근 적은 수의 FF들만으로 상관함수를 꽤 정확히 계산할 수 있는 결과가 나와 이 방법이 질량이 없는 입자들의 충돌 이론에도 적용될 수 있는 가능성이 있다.
c 정리는 처음 A.B. Zamolodchikov에 의하여 도입되어 임계점에서 벗어나 물리계를 연구하는데 큰 역할을 하고 있다[64]. 원래 중심 전하란 임계점을 가술하는 이론인 CFT에서만 정의되는 것이긴 하지만 이를 2차원 모형의 자유도라고 해석하여 비임계접으로 확장시킨 c함수를 정의하게 된다. 이 함수는 RG흐름에 의하여 UV와 IR의 두 고정점을 연결하게 된다. 이미 섭동된 CFT들에서 이런 흐름에 대해 자세히 설명한 바 있다. c 정리에 의하면 c 함수는 항상 감소한다. 이는 물리계에서 우리가 보는 정도를 크게함에 따라 작은 크기의 양자적 요동이 중요해지지 않기 때문에 결과적으로 자유도가 없어져 나가는 것으로 이해할 수 있다.Cardy는 이 정리를 에너지 모멘텀 텐서의 두점 상관함수로 나타낼 수 있음을 보였다 (88). Δc = ;; f xx2(e(x)e(o)>= fo 00 dμC1(11, ,A),lx |>C C1 (μ, Λ ) = Im [J d2xe 一ip •X )e(O) 〉] = -I‘ 2FF를 이용하여 이 상관함수를 전개하면 12C1 (μ , A) = I: !( 이 O(O)|o〉 1282(q —Pa )μa 로 쓸 수 있는데, 여기서 a는 여러 입자들이 있는 상태를 나타내고 Pa는 이 상태의 에너지 모맨텀 벡터이다. 또 q는 q = (μ,0)로 정의된다.
이미 이야기한 대로 이를 계산하기 위해서는 두점 FF도 충분하다. 특히 질량이 있는 이론에서는 cm = 0 이기 때문에 이 적분을 통해 UV 중심 전하를 계산할 수 있는데 모두 원하는 결과를 정확히 얻을 수 있었다. 이것이 FF 방법에 의한 상관함수의 계산이 좋은 결과를 줄 수 있음을 뒷받침한다고 하겠다.3.3.5 결론이상에서 우리는 2차원 가적분 모형에서 가장 중요한 양_박스터 방정식의 수학적 구조와 그의 해를 완전 탄성충돌 이론의 S행렬로 연결하여 이를 열역학적 베테안자츠를 통해 검증하는 과정과 S행렬을 이용하여 상관함수를 계산하는 형태 인자 방법에 대하여 살펴보았다.주로 SGM을 예로 들면서 일반적으로 적용되는 식들에 주안점을 두었기 때문에 개개의 특별한 모형들에의 응용은 생략할 수밖에 없었다. 이는 관계되는 논문을 참조하여 보완하면 될 것이다.가적분 모형의 연구는 최근에 와서 매우 빠른 발전을 보이고 있기 때문에 이 방대한 양의 연구를 제한된 지면에 요약 설명하는 것은 쉬운 일이 아니다. 따라서 최근 활발한 연구들 중 생략할 수밖에 없었던 것들도 많다. 이 중 특히 관심을 끄는 것은 이를 고체물리에 응용하여 실험적으로 확인하는 것 이다. 또한 이론 측면에서 중요한 것들로 두 가지만 간략히 설명하고 마치려고 한다.
첫째, 지금까지 우리가 다룬 2차원 공간은 무한한 공간을 가정한 것이었다. 물론 TBA의 경우에는 유한 크기 보정이 중요하지만 S행렬을 계산할 때는 무한한 공간이라는 가정이 밑에 깔려 있다. 반면 유한한 공간에서 중요한 물리 현상들도 많다. 이를테면 콘도 (Kondo)문제와 같이 불순물과 전자들 간의 산란 문제는 구형 대칭성이 있는 s파가 주로 역할을 하고, 이때 좌표는 반경만 남아서 3차원 공간의 문제를 1차원 공간의 반쪽으로 환원시킬 수 있다. 이와 유사한 문제로 양성자 붕괴(proton decay), 흩어지기(dissipative) 양자역학 등이 이에 속한다. 경계가 있을 경우 무한개의 보존되는 양들을 찾는 과정은 복잡해진다. 그러나 가적분하면 완전 탄성충돌 이론이 되는 것은 경계가 없는 경우와 같다. 경계가 없는 경우와 다른 점은 한 입자가 경계에 부딪힌 후 튀어나오는 확률을 나타내는 새로운 양이 도입되어야 한다는 것이다. 이 경계에서의 충돌행렬을 R행렬이라고 하면, 이는 경계에서의 YBE이라는 식을 만족하여야 한다 [89]. 이 식을 I: s (01 - 02)R~11 (0r)S! (01 + 02)R (02) CI,Q ,dI , d 2 = I: (02)S (01 + 02)R (02)S(01 - 02)CI, ,d1 , d2 로 쓸 수 있고 이를 그림 3.7로 표현할 수 있다.
→ 1ι--- = ---Aσιj
그립 3.7
지금까지 이징 모형이나 SGM에 대하여 이 식이 풀려짐 이 알려져 있고 TBA 방정식도 연구되어 있다. 이 경우 경계 때문에 PBC이 두개의 수평선으로 나타내지는 이중 전달행렬을 도입하게 된다. 최근에 저자와 W. Koo는 이를 일반적인 섭동된 CFT와 초대칭적 SGM에 대하여 풀 수 있고 이를 SOS 형태의 TM 을 대각선화 할 수 있음을 보일 수 있었다[90). 이로 인하여 매우 광범위한 가적분 모형들이 경계가 있을 때 어떤 양상을 보이는가를 이해할 수 있고 여러 응용도 가능하게 되었다.
둘째, 2차원 가적분 모형을 3차원까지 확대하는 것이다. 2차원 이징 모형이 풀린 이래 3차원 이징 모형에 대한 많은 연구가 있었지만 성공을 거두고 있지 못하다. 그러나 Zamolodchikov는 2차원의 YBE을 확대하여 사면체(Tetrahedron) 방정식 (ZTE)을 도입하였고 두 개의 스핀이 있는 경우에 대하여 해가 존재함을 보였다[91]. 그 후 박스터에 의하여 증명된 이 모형은 BW들 중에 음수를 갖는 경우가 있어서 물리적인 결과를 주지는 않지만, 1028개의 연립함수 방정식의 해가 존재한다는 사실만으로도 중요한 연구 대상이 되어 왔다[92). 최근에는 이 모형을 일반적인 n개의 상태를 가진 것으로 확대한 모형의 해가 발견됨에 따라 큰 발전이 기대되는 분야이다[93].이상에서 우리는 가적분 모형에 대한 최근의 연구 방법에 대해서 살펴보았다. 특히 YBE에 주안점을 두었기 때문에 이의의 방법이나 응용 방법 등에 대해서는 이 책의 다른 강의록을 참고하여야 할 것이다. 처음에는 수학적인 아름다움 때문에 연구되어 온 이 분야가 앞으로 실제의 물리 현상을 이해하는 데도 크게 기여할 것으로 생각하고 앞으로 연구 방향도 이런 점이 강조되어야 할 것이다.제 4 장 등각장론의 콘도 문제에의 응용
신상진양자 불순물계란 국소적인 양자<역학>적 불순물(Quantum Impurity)과 퍼져 있는 불순물이 결합된 계라고 정의할 수 있다. 이는 불순물의 농도가 낮은 경우에 1차원의 문제로 환원되어 물리적으로 흥미가 있는 저온 고정점에서는 등각 장론의 방법론을 사용하여 정확히 풀 수 있다. 콘도 문제와 자기홀극의 촉매에 의한 양성자 붕괴 등이 이러한 문제의 대표적인 예이다. 여기서는 이러한 방법론을 다채널의 콘도문제를 통하여 서술하였다.4.1 서론최근 Affleck과 Ludwig에 의하여 양자 불순물(Quantum Impurity :QI) 문제에 대한 상당한 진전이 이루어졌다[136]. QI 문제 는 국소적인 양자역학적 불순물과 퍼져 있는 전자들이 결합된 계로 정의되는데 콘도 문제나 자기홀극의 촉매 작용에 의한 양성자 붕괴 등이 대표적인 예이다. 이러한 문제는 불순물의 농도가 낮은 경우에 간단히 1차원의 문제로 된다는 것이 알려져 있었다. Affieck과 Ludwig은 많은 경우에 이들을 물리적으로 흥미가 있는 낮은 에너지 (저온) 고정점에서 등각장론 의 방법 론을 사용하여 정확히 풀 수 있었다. 그들은 계속하여 스핀 사슬 (spin chain)에서의 결손 문제, 양자 도선 (wire)에서의 투과 문제 등에 적용하여 많은 성과를 거두고 있다. 물리의 여러 가지 다른 영역의 문제들이 완전히 같은 수학적 방법론에 의해 해결되는 경우가 종종 있으며 양자 불순물 문제들은 이의 좋은 예이다.
이러한 QI 문제들은 그 현상들이 속한 분야나 관련된 에너지 스케일의 다양성에도 불구하고 몇 가지 공통된 성격을 가지고 있다. 첫째, 내부 준위 (bulk exitations)의 간격(gap)이 없다. 둘째, 불순물로부터 떨어진 곳에서는 기본적으로 자유 전자 의 행동과 일치하는 양상을 보여 준다. 셋째, 국소 불순물은 양자역학적 자유도를 가진다. 넷째, 섭동적 방법론으로는 올바른 기술이 불가능 하다. 다섯째, 1차원의 문제로 환원된다.이러한 유의 문제를 푼 생각은 매우 간단하다. 즉, 재규격화군의 방법을 따라 계산해 보면 상호작용의 크기는 낮은 에너지(저온)로 갈수록 강해지며, 저온 극한에 가면 불순물은 경계 조건만을 남기고 사라지고 남는 불순물들의 문제는 경계 조건이 있을 때의 등각장론의 방법으로 정확히 풀 수 있다는 것이다. 다만 어떤 경계 조건이 주어진 물리계를 기술하는 가장 적합한 것인가를 결정하는 문제가 관건이라 하겠다. 등각장론의 방법론은 초끈 이론이 활발하던 때에 Belavin, Polyakov 및 Zamolodchikov 등에 의해 시작하여 [95] 가장 잘 체계화된 이론물리학적 방법론의 하나가 되어 있으며, 경계가 있을 때의 이론도 이미 Cardy 등에 의해 [96] 개발되어 통계물리 등에 응용되어 왔다. Affieck 등에 의한 콘도(Kondo) 문제에의 성공적인 응용은 물리 분야의 한 방법론이 다른 분야에 활용되어 개가를 올린 가장 좋은 예 중의 하나라 할 만하다. 여기서는 이 방법론을 다채널의 콘도 문제를 통하여 서술하고자 한다.
1930년대에 소량의 자성을 띤 불순물을 첨가함으로써 물질의 전기 자기적 성질을 급변시킬 수 있다는 것이 발견되었는데, 특히 온도가 하강함에 따라 전기전도도가 계속 하강하는 대신 온도의 함수로 극소값이 존재한다는 사실은 그 당시에 매우 설명하기 어려운 현상이었다. 1964년 J. Kondo 가 [97] 스핀이 1/2인 불순물과 전도대의 전자가 결합해 있는 가장 간단한 모형 안에서 ―오늘날의 용어로 말해 재규격화군의 개념을 써서 — 이 극소값의 존재를 설명하였는데, 이후로 이 문제는 콘도 문제로 불리게 되었다. 좀더 현실적인, 즉 불순물을 구조가 있는 < 원자>로 취급한 모형은 그 후 16년이 지난 1980년에 와서 Nozieres와 Blandin에 의해 [98] 연구되었다. 이 모형에서는 불순물 원자 안의 스핀을 제공하는 전자가 궤도 각운동량 l을 가지고 여러 전도대의 3차원의 전자 가스와 결합하고 있다. 보다 일반적인 모형에서는 불순물의 스핀을 s라 하고 l 번째의 부분 파동(partial wave)의 2l + 1(:= k)개의 방향에 해당하는 k개의 겹쳐진 전도대들의 전자들과 결합하는 모형으로 기술되며 이 모형을 다채널의 콘도문제라 부른다. Nozieres와 Blandin은 재규격화군의 방법론을 써서 k와 2s 의 대소에 따라 계의 물리적인 성질이 많이 다르며 Tk 콘도 온도 (Kondo temperature) 이하에서 각기 다른 고정점에 의해 기술됨을 보였다. k≤2s 인 경우를 부분가림 (underscreen) 되었다, 반대 경우를 초과가림 (overscreen) 되었다 라고 하며, 극저온에서는 어느 경우나 결합이 강해지는데 이를 강한 결합 고정점 (strong coupling fixedpoint : 재규격화군의 용어)이라 한다. Nozieres 와 Blandin은 부분가림된 경우는 이 고정점이 페르미 유체에 의해 기술되나 초과가림된 경우는 페르미 액체에 의해 기술되지 않는다는 것을 보였다. 그러나 이들은 이 경우의 고정점이 어떤 물리적 성질을 가지고 있는지 알지 못했는데 이를 해결한 것이 Affleck과 Ludwig이 한 일이다. 방법은 나중에 설명하겠지만 결과 중 몇 가지를 미리 말하자면 k = 2,s = 1/2 의 경우 불순물의 영향에 의한 열용량이 온도에 TlnT와 같이 의존하며 절대온도 영도에서의 불순물 엔트로피가 ½ ln2 라는 것 등이다. 또 T-. 0 에서 비저항이 페르미 액체의 T2 대신에 T에 비례하는 것을 예측해 준다. 불순물의 농도가 낮은 무거운 페르미온계 (Heavy Fermionsystem) 계인 UX Yl 一xPd3 화합물 (x =0.2, 0.1)에서는 사중 극 콘도 효과(Quadrapolar Kodo effect, k=2, s=l/2)가 구현되어 있다는 것이 알려져 있는데 [10] 여기서의 비열, 엔트로피 및 비저항의 측정은 위의 예측과 일치하는 것으로 보인다. 등각장론의 방법은 이외에도 모든 그린함수 (Green function)를 근사 없이 계산해 주며, 이를 이용해 짝을 이루는 두 양자장의 반응함수 (response function)를 계산해 보면 절대온도가 0에 접근함에 따라 자연로그(log)에 비례하여 발산함을 보여준다. 이는 사중극 콘도 효과가 짝짓기(pairing)에 강한 영향을 미치며, 따라서 새로운 초전도체의 기작을 제공할 수 있을 것으로 보여 매우 흥미롭다. 뿐만 아니라 융합 법칙(fusion rule) 과 벨린데 (Verlinde)의 공식 및 모듈라 S행렬 (modular S-matrix) 등 [101] 등각장론의 깊은 개념들이 이 문제를 통해 물리계를 기술하는 데에 효과적으로 사용되므로 학문적 매력 또한 크다.
이 글의 순서는 다음과 같다. 4.2절에서는 콘도 문제의 정의와 이것이 어떻게 1 차원의 양자장론으로 이용되는가를 보인 후 Noziere와 Bland in의 결과를 기술한다. 4.3절에서는 저온 극한에서의 강한 결합 고정점에 대한 등각장론적 기술을 소개하고 이를 다채널의 콘도 문제로 일반화하는 방법을 기술한다. 4.4절에서는 유한 온도에서의 여 러 물리량들을 계산하며, 4.5절에서는 그린함수를 근사 없이 계산하는 방법을 기술하겠다.4.2 콘도 문제와 그 양자장론적 기술
콘도 문제는 불순물의 농도가 적을 때 자성을 띤 불순물이 금속의 성질에 미치는 영향을 다룬다. 이때 비열이나 비저항, 자화율 등의 물리량은 일반적으로 금속 내부에 의한 기여 (bulk piece)와 불순물에 의한 기여(impurity piece)의 합으로 표시된다. 예를 들어 불순물의 농도를 x라 하면 자화율은 다음과 같이 표시된다. Xx (T) = Cbulk + XX i m11 + 0( ) 충분히 높은 온도 에서 ximp는 스핀의 양자역학적 성질을 반영하여 상자성을 기술하는 퀴리-바이스의 법칙 (Curie-Weiss law) Xo = s(s + l)/3T룰 따른다. k = 2s 인 경우의 극저온에서의 물리적 핵심은 불순물 스핀이 전도 전자 (conduction electron)들에 의해 완전히 가려진다는 것이며 TK란 퀴리 ― 바이스의 법칙으로부터 완전한스핀가림 (s->0) 현상으로의 전환이 일어나는 온도에 해당된다. k < 2s 일 경우 불순물 스핀은 불완전하게 가려지게 되며 나머지 스핀 s' = s - k/2 만큼에 해당하는 상자성을 갖게 된다. 이러한 경우는 다음에 설명하는 바와 같이 Nozieres와 Blandin에 의해 물리적으로 명쾌한 설명이 주어져 있다. 그러나 k > 2s 인 경우엔 Affleck과 Ludwig의 방법에 의해 비로소 완전한 기술이 가능하게 되었다. 한 예로pimp를 생각하자. 전술한대로 Pimp는 TK를 지나면서 온도가 하강함에 따라 오히려 상승한다. 그 이유는 온도 하강에 따라 격자진동(phonon)에 의한 저항은 줄어 들지만 스핀을 가진 불순물의 전도띠 전자에의 영향은 증대하기 때문이다 (strong coupling limit). 우리는 실제 계산에 의해 T→0 의 극한에서 Pimp (T)가 페르미의 양자유체 이론에서 예측하는 T2와는 다른 복잡한 멱수를 가진 Pimp(0)에 접근하게 됨을 볼 수 있을 것이다. 다중-채널(multi-channel) 콘도 문제의 해밀토니안(Hamiltonian)은 다음과 같이 주어진다. H=Ho+H1 (4.1) 여기서 Ho = J d3kckcto ,i (k)c0,;(k) (4.2)는 자유띠 (band)에서의 전자의 운동 에너지를 나타내는 항이고 Ek = k2/2m - k /2m는 페르미 준위로부터 젠 전자의 에너지이며 a, i는 각각 스핀(spin)과 채널 (channel)을 표시하는 지표(i ndex)이다. 페르미온(Fermion)d3kCo,i (x) = J ~ei k•xc0,;(k)는 다음과 같은 반대 교환 관계 (anti-commut ation relation)를 만족한다. {cto,i (k), Co,i (k')} = 80,138;,j 0(3) (k - k'), {Cai, CfJj} = {cto i, ctfli} = 0 (4.3) 원점에 있는 불순물 스핀 S와 전도전자의 스핀 밀도(spin density) S- = ~1 cf0 i (x)(ii)~c(JJ (x) 사이의 상호작용을 나타내는 H1는 H1 = AKS·S 와 같이 표시된다.
이상과 같이 3차원에서 정의된 문제를주어진 계 (1- im pur ityp roblem)의 구대칭성을 사용하여 1 차원의 문제로 전환하고자 한다. Ca,;( x) = ~ 1 00 dksi n krco0, ;(k)+{l 1 부분 파동} (4.5) \i2iT r Jo 여기서 kCo o,i (k) = J d r!co ,i (k) (4.6) 는 Coi(X)의 s파 (s― wave) 성분이며{c100 ,i (k) , co f3 J (k1)} = 8(k - k1) (4.7) 를 만족한다. 충분히 낮은 온도 T에서는 페르미면 근방의 요동만이 중요하며, 따라서 T << A << kF 인 A 에 대하여 lk-k ≤ A 인 k에 대해서만 고려한다. 이 영역에서 분산관계 (d is p ers i onrela tion)는 €k = VFk ' ,k' = (lkl - kF)와 같이 선형적이며, 이러한 요동은 위치의 함수로 1PR,L = 1: dk'e士k' rco(kF + k') (4.8)-A에 의해 기술된다. 이는 3차원의 장 c(x)와1c(x) = [eikFr1PL(r) _ e- ikf'n(r)] (4.9)2~1rri의 관계에 있다. 식 (4.9)와 (4.2)의 위치 공간의 형식으로부터 간단히Ho = 100 dr( [：(r) 一'I/Jtoj (r)) (4.10)를 얻는다.1PR 과 1PL는 대부분 서로 독립이지만 식 (4.9)에서와 같이다음과 같은 구속 조건을 갖는다.(0) = '1/;L(O) (4.11)·
이를 사용하여 Hr = V FA l(JL( r = 0) • S (4.12) 를 얻는다. 여기서 1J L = ’ (x)(5) PL (J ,j (x) 는 1차원으로 간략화된 이론에서의 좌향 전자의 스핀류 이다. 식 (4.11)은 (1+1)차원에서의 상대론적 자유 페르미온의 해밀토니안이며, 따라서 허수 시간(imaginary time)에서의 운동 방정식은 (반)홀로모픽해((anti) holomorphic solution)를 준다. 즉, Z = VFT + ir이라 하면 ,(T,r) = '1/J (z)이고 R(T,T) = ( )이다. 그러므로 문제는 z 평면의 상부 (T≥0)에서만 정의되어 있다. 이제 경계 조건 (4.11)을 사용하여 평면 상부에 정의된 를 평면 하부에 정의된 로 대체하자. 즉, 1PL( —T) = R(T) (4.13) 이다. 그러므로 문제는 전 평면에서 정의된 1PL 만의 계로 전환되었고 그 해밀토니안을 Ho = 「00dx[ (x) i (x) ko ji:(x)]+,\I
리하여(ψ(x) = <ψ<+ψ>), 빠른 모드를 적분합에 따라 느린 모드를 기술하는 효과장론의 각 항이 얼마나 변하는가를 계산한다. Z = J[d1/;]e- 5lt1,) = J [d1/; ]e-Slt/J<+t/1,I := j [d1/;<]e-Slif1<)+0Sl t/l= iw- k(4.16) 이고, 임의의 연산자 0에 대해 < eO >= e
리는 Noz iere 와 Bland i n 이 얻었던 물리적 조감을 갖게 된다. 즉 스핀1/2 인 불순물은 낮은 에너지에서 전도대의 전자 하나를 붙잡아 스핀 단일항 상태 (spin singlet)를 이루며 이러한 전자의 국소화는 계의 전도성을 떨어뜨린다.
좀더 일반적으로 불순물의 스핀을 s, 전도대의 전자들이 불순물과 결합하는 채널 (channel)의 수를 k라 하자. s ≥ k/2 이면 k개의 전자가 스핀에 의해 붙잡혀 단일항 상태를 이 루고 나머지 스핀 s ' = s-k/2 가 남게 되며 다른 전자들은 불순물과 결합할 수 없다. （그렇지 않으면 스핀 단일항 조건이 파기되기 때문이다.) 그러므로 전도대의 전자들에 있어서 불순물 스핀의 영향은 그 지점에서의 전자 의 파동함수가 0 이어야 한다는 경계 조건에 의해 대치된다. 그 이외의 점에 있어서 전도대의 전자는 불순물 스핀이 없을 때와 완전히 같은 행동을 한다. s≤k/2 이면 기저 상태에 대한 간단한 그림은 그려지지 않으며 다만 안정된 고정점이 존재하고 그것이 페르미 액체 (Fermi liquid)와는 다른 임계지수 (critical exponent)들을 가진다는 사실이 알려져 있었다. 이러한 경우를 초과스핀가림 현상이라 하고 둥각장론적인 방법의 주된 성과는 바로 이 고정점에 대해 관련된 물리량을 정확하게 계산할 수 있는 방법론을 제시하였다는 점이다. 이러한 초과스핀가림 현상의 물리적인 예로 가장 잘 알려진 것은 D. Cox에 의해 논의된 <사중극 콘도 효과>이며 Ux Yi -xPd3와 같은 무거운 페르미온계에서 구현된다 [100).4.3 강한 결합 고정점의 등각장론적 기술여기에 기술하는 방법론의 핵심은 다음과 같은 일련의 가정에 있다. 즉 강한 결합 고정점에서 불순물 스핀은 사라지고 대신에 스케일에 불변하는 경계 조건에 의해 대체되며 이 경계 조건은 스케일에 불변일 뿐만 아니라 일반적인 등각변환에 대해서도 불변하다는 가정이다. 기술적인 면의 어려운 점은 과연 불순물 스핀과의 강상호작용을 대체할 동각불변의 경계 조건이 무엇인가를 찾아내는 일이다. 결론부터 말하면 다채널 콘도 문제에 있어서의 경계 조건은 등각장론의 융합 법칙에 의해 기술 되며 그 핵심은 계의 대칭성에 대한 논의로 부터 이해 할 수 있다. 이를 증명하기 위해 우리는 계를 유한한 크기의 공간 0≤r≤ l에서 고려하자. 그러면 해밀토니안의 스펙트럼 (spectrum)은 띄엄띄엄 (discrete) 하게 된다 r=l 에서의 경계 조건은 전혀 중요하지 않으며 l이 ∞로 감에 따라 경계 조건에 관계없는 스펙트럼을 갖는다는 것이 알려져 있다 [96]. 그러므로 우리는 가장 편리한 페르미온의 경계 조건을 선택하여 논의를 진행할 수 있다. 1/JL(r = l) = 1/Jn(r = l) = 1PL(-l) (4.21) Ho는 U(2k) = SU(2k) x U(l) 변환에 대해 불변하고 (ψ는 스핀 지표 (spin index) a = 1,2와 채널(channel) （혹은 플레이버(flavour)) 지표 i = 1, … k를 갖는다), HI는 이 대칭성을 그 부분군(subgroup)인 SU(2) x SU(k) x U(1) 로 줄인다. 그러므로 우리는 Ho를 전체 해밀토니안의 대칭성에 맞게 다시 쓸 필요가 있다. 물리적으로 이는 2k개의 페르미온의 자유도를 SU(2)－스핀과 SU(k)- 채널 및 U(1)一전하(charge) 의 자유도로 분리하는 것에 해당된다. 이러한 분리의 과정은 등각 각인 (Conformal embedding)이란 용어로 기술되며 Alterschuler,Bauer 및 Itzykson 등이 일반적인 경우를 연구하였다[103].이에 의하면 H0는 세 개의 서로 독립인 것들의 합으로 표시될 수 있다. Ho = H스핀 + H플레이버 + H전하, 즉
Ho = (1r vF/l) : { iJ_一TI • + ~ : J2, + ~ : J,.J_n : }n = -∞ (4.22) 이다. 여기서 Jn, J;1, J,, 은 각각 스핀 전류 (s p i ncurr en t)J=1/;t (a) o /J 1PL/J , , 플레이버 전류 J A = ψ' (TA ) 'l/J L{Jj 및 전하 전류 (charge current) J = ψlOI ψLo,의 푸리에 변환이다. 예를 들면 = (1/21r) 1'1 dxei n r.x/l f (x)-I(4.23) 이댜 여기서 TA 는 리대수(L ie a lg ebra) SU(k)의 생성자(generat or)이고 ψ는 왼쪽 모드 (left mode)인 ψL를 말한다. 이러한 전류(current)들의 푸리에 모드 (Four iermode)들은 준위(l evel) k인 캑一무디 대수 (KacMoody algebra)를 만족시킨다. 예를 들어 스핀 전류에 대해서는 !Ji, J;,,] = i €abc J:;+m + ;no0bOa+ b,Oi n, m = 0, 士1, 士2, … (4.24)이다. 플레이버 전류는 준위수 (level number)가 2이며 이러한 사실들은 해밀토니안 (4.22) 안에 포함되어 있다. 전류로부터 해밀토니안 (4.22)를 만드는 방법을 수가와라(Sugawara)의 방법이라 한다. 해밀토니안의 스펙트럼은 전류 대수 (current algebra)의 표현론으로부터 유도할 수 있으며 그 결과는 다음과 같다. E - Eo = (7rvF/l) (4 .25) X (j(j +l)/4+m 스핀 (iJ +l)/4+m플레이버 ＋ /8+m 전하) j(j + 1)/4 + m 스핀와 같은 모양의 스펙트럼은 각운동량 j를 갖는 으뜸 상태(primary state)에 J3n들이 작용하여 만들어지며 이들을 j에 의해 구별되는 등각탑 (co nformal t ower) 이라 한다.j는 l, ... ,k/2 까지
표 4.1 n0 ≠ 0 인 자유 페르미온의 등각탑( k = 2) j ]J Q(mocl 4) l(E - E(0>)/VF7r n( j .j/ ,Q) 。。。。1 1/2 1/2 1 1/2 1 。1 2 1 1 1 。2 1 1 1 1 。1 1 1/2 1/2 3 3/2 1 의 값 을 가진다. 마찬가지로 전하탑 (charge tower)은 Q에 의해, 플레이버탑은 (k = 2 일 때는) jf에의해 구별된다. n0(j,jf,Q)를 스핀, 플레이버, 전하가 (j,iJ,Q)의 조합으로 나타나는 횟수라 할 때, 다음과 같은 중요한 구속 조건이 있다 . no (j, iJ, Q) = 0, 1 (4.26) k = 2 일 때의 구속 조건이 표 4.1에 나타나 있다.
이 제 콘도 상호작용 (Kondo i n t erac tion) HI ooH[=A Jn·5 (4.27)-∞ 의 효과가 어 떻게 나타는가 하는 것을 고려하자. λ가 특별한 값 .x· =2/(2+k) 일 때는 스핀 전류항과 HI를 묶어 쓸 수 있다. 이 특별한 값일 때 계는 강한 결합 고정점이 된다. 즉 1= J +S 라 하면, H = H스핀 (J--+ .J) + H1 + He + 상수 (constant) (4.28)이다. 식 (4.22)와 (4.28)은 그 형식이 완전히 같다. 또한 각 항의 스펙트럼은 객_무디 대수에 의해 완전히 결정되므로 유일하게 변화할 수 있는 것은 전체 스펙트럼을 형성하는 등각탑의 조합 방법뿐이다. 즉, 제로 결합(zero coupling) : n 。(j,jf ,Q) → 강한 결합 (strong coupling) :n.U,iJ,Q) (4.29) 이다. 이제 n.가 무엇인가를 결정하기 위해 Jn = J,, + §를 고려하자. n = O 일 때 이것은 다름 아닌 두 각운동량(j'과 s라 하자)의 합에 해당한다. 우리는 더해진 각운동량의 값이 갖는 범위가 |j'_sI 와 j' + s 의 사이임을 알고 있다. n f- 0 일 때 우리는 j'와 s에 의해 구분되는 두 개의 등각탑을 더하는 것이며 이에 대한 융합 법칙은 다음과 같음이 잘 알려져 있다[104] . |j' _ s| ~ j ~ min(j' + s, k - s - j') (4.30)따라서 no에 대한 다음과 같은 추측이 자연스럽다. n.(j ,j/,Q) = > ,no (j',iJ,Q)(4.31) j' 여기서 N1j,은 식 (4.30)이 만족되면 1, 아니면 0이다. 이것을 융합 법칙 가정이라 하고 다음에 보는 것처럼 우리가 결과를 아는 경우에 대해서는 사실임을 확인할 수 있다. 이것은 완전제곱형에 의해 J→J로 바꾼 작업의 스펙트럼 차원에서의 의미라고 해석할 수 있다. k = 2,s = 1/2의 경우에 대하여 0이 아닌 n.들이 표 4.2에 있다 다음에 이 가정을 지지하는 몇 가지 예를 들겠다.
1) k < 2s 인 경우 no = 0. 0 이 아닌 최초의 경우는 k = 2s 인 경우이다. 이것은 스핀이 s인 불순물은 기껏해야 2s개의 electron을 가릴 수 있음을 뜻한다.표 4.2 융합에 의해 얻어진 n≠0 인 강한 결합 고정점에서의 등각탑( k = 2, s = 1/2) I J Jj Q(mod 4) 1l(E - E(O))/vFT I n:JJI,Q) 1 1/2 。。。1 。1/2 1 1/8 1 1/2 1 。1/2 1 1/2 。2 1/2 1 1 1/2 1 5/8 1 1/2 1 2 1 1 。1/2 3 1+1/8 1 1 1/2 3 1+5/8 1 2) k = 2s 인 경우 식 {4.31) 이 주는 스펙트럼은 경계 조건이 ψL(0) = ψR(0) 에서 ψL(0) = -ψR(0)로 바꾸었을 때의 페르미온의 스팩트럼과 일치한다. 이것은 Nozieres와 Blandin의 페르미 액체 이론으로부터 끌어낸 결과와 정확히 일치한다.
3) k > 2s 인 경우(초과가림)의 스펙트럼은 페르미온의 경계 조건에 의해 구할 수 없으며 k=2, s=1/2 인 경우의 결과는 수치해석적 방법과 매우 잘 일치한다(표 4.3을 보라).4) 등각장론의 방법에 따르면 불순물로부터 오는 절대온도 영도에서의 엔트로피 (ent ropy)는 보편개수 (un iversal number) 이며 모든 k, s의 값에 대해 (융합 법칙으로부터) 계산할 수 있고 그 결과는 베테표 4.3 강한결합고정점에서의 동각장론과수치해석에 의한스펙트 럼 Δε := (E _ E(O))l/VF 7T"의 비 교 ; (k = 2, s = 1/ 2, Δε ≤ 9/8) I J I (Jj,Q) 1 겹침 1 표「1 두」 1/2 (0,0) 2 。。 。(1/2, 士1) 4 1/8 0.125 1/2 (l,O) EB( O, 土2) 10 1/2 0.49 1 (1/2, 土1) 12 5/8 0.62 3/2 (0,0) 4 1 0.98 1/2 (0,0) 2 1 1.02 (3/2, 士l)EB(l/2,±3) 16 1+1/8 1.12 EB(l/2, 士1) 1 (1/2, 士1) 12 1+1/8 1.15 (1/2, 士1) 4 1+1/8 1.22 안자츠의 결과와 정확히 일치한다.
위에서 본 다채널 콘도 문제의 정확한 스펙트럼은 보다 일반적인 경계치 등각장론(＜경계가 있는 경우의 등각장론>）의 관점에서 이해할 수 있다. 이러한 관점에서 일반적으로 양자 불순물 이론에서의 불순물의 역할은 등각장론의 경계 조건으로 재규격화된다. 우리는 많은 가정을 새로이 추가하지 않고도 이러한 경계 조건을 결정할 수 있으며, 일단 정확한 경계 조건이 결정되면 다른 모든 임계점에서의물리량을 잘 알려진 등각장론의 방법론을 써서 정확히 구해낼 수 있다. 이제 등각변환에 불변인 경계 조건을 어떻게 결정하는지에 대해 알아보자.
우선 위의 결과들을 간단히 요약해 보자. 구간 0≤x≤l 에서 정의된 해밀토니안은 x=O 에서 경계 조건 A를 X = l 에서 경계 조건 B 를 갖는다. 주어진 경계치 A, B를 갖는 해밀토니안을 HAB라 하자. 이 문제는 좌향자(left一mover) ψL 만의 길이가 2l 인 실린더에서의 이론으로 변환될 수 있고 그 스펙트럼은 등각탑들의 조합들로 이루어진다. EAB —E0AB = (1rvF/l)(!:l0 + m) (4.32) 주어진 등각탑 안에서의 스팩트럼들은 등각장론의 교환 법칙들에 의해 완전히 결정되 며 경계 조건은 오로지 등각탑을 선택하는 정수값 nAB 에 의해서만 스펙트럼에 영향을 미친다. 다채널 콘도의 경우 이 부분은 개의 대칭성을 고려하여 해결하였다. 원점에는 콘도 경계 조건이 있고 (A=K), X = 1에는 자유 전자의 경계 조건이 요구된 셈이며 (B=F), 2 채널의 콘도 문제의 경우 위에서 말한 n.(j,jLQ)는 다시 쓰면 n}{·# ·Q) 이 된다 λ = 2/(2+k) 에서의 스팩트럼이 등각장론의 결과로 얻어지고 등각불변이면 스케일에 대해 불변이므로 λ= 2/(2+k)는 예상한 대로 재규격화군의 고정점임을 알 수 있다. 다시 한 번 강조하는 것은 페르미 액체의 경우 경계 조건은 페르미온장들 의 경계 조건튤에 의해서도(K = F-, 즉 1PL = -ψR) 기술될 수 있지만 초과가립의 경우는 이것이 불가능하며 전하, 스핀, 플레이버가 분리된 보손 (boson) 의 용어로만 경계 조건을 기술할 수 있다.Nozieres와 Blandin의 페르미 액체 이론에서 소위 페르미 액체 매개 변수(parameter)들이 중요한 역할을 하는데, 이는 재규격화군의 용어로 말하면 강한 결합고정점의 겨우 연산자(marginaloperator)들이다. 우리의 용어로 말하면 상호작용을 하지 않는 페르미온들의 들뜸에 해당된다. 콘도 문제의 완전가림의 경우는 페르미 액체이며 ,여기서 가장 중요한 것은 고정점으로부터의 차이에 해당하는 .X o =λj-λK 이다. 이는 AK와 마찬가지로 경계 연산자이다.
k > 2s인 경우 페르미 액체 이론은 성립하지 않는다. 예를 들어 식 (4.25)에서 구한 유한 구간 스펙트럼은 자유 전자의 스펙트럼으로 쓸 수 없다. 따라서 겨우 연산자를 만들 수 없으며 이는 무관 연산자의 개념으로 대체된다. 따라서 λ는 경계에만 존재하는 어떤 국소 연산자 (local op erat or)의 계수여야 한다. 경로적분의 방법론을 따를 때 일반적으로 경계 연산자 ¢(r,r = 0)는 고정점을 기술하는 라그랑지안(La gr an gi an) L.에 첨가될 수 있다. L = L. + .Xj d (r,O) ¢(T)의 스케일 차원을 A¢라 하면 A 의 차원은 1-Δ 값이다. 일반적으로 경계 A에서 가능한 모든 경계 연산자의 모임은 HAA의 스펙트럼과 일대일 대응을 한다. 즉, EAA - EAA = (1rvF/l) b..¢, b..표 4.4 이 중 융합에 의해 얻어진 nKK≠0 인 경계 연산자들 (k = 2, s = 1/2) j J.J Q(mod 4) l(E —E( O))/vFT n (j,JJ,Q)KK 。。。。1 1 。。1/2 1 。1 。1/2 1 。。2 1/2 1 1/2 1/2 1 1/2 2 1 1 。1 1 1 。2 1 1 。1 2 1 1 1 1 2 3/2 1 1/2 1/2 3 3/2 2 로 표시되나, 초과가림의 경우는 스케일 차원이 1/2의 정수배가 아닌 연산자들이 있을 수 있다. 다음 절에서 보듯이 저온에서의 콘도 문제의 물리는 스케일 차원이 가장 낮은 경계 연산자에 의해 지배된다. 이 연산자를 결정하기 위해서 다음과 같은 조건을 요구하자. 이 연산자는 스핀과 플레이버 및 전하에 대해 단일항이어야 한다. 그렇지 않으면 라그랑지안에 나타날 수 없다. 이러한 대칭성을 만족하고 식 (4.34)에 의해 허용되는 가장 낮은 스케일 (scaling) 차원을 가진 연
산자는 ¢0 = J _1 • ¢(r) 이며, 이는 스핀 삼중항 상태 (spin triplet)(j =l)와 플레이버 및 전하 단일항인 등각탑에 속한다는 뜻이다. 이의 스케일 차원은 1+2/(k+2) 이며, 따라서 >-o의 차원은 (정확히는 R. G의 고유값 (eigen ―value))― 2/(k+2) 이고, 따라서 무관 연산자이다. 이와 비교하여 페르미 액체일 때는 자유 페르미온장의 멱제곱근만이 허용되고, 따라서 가장 작은 스케일 차원의 경계 연산자는 차원이 2인 ψ rψ이다. 이의 결합상수 λo 는 페르미 액체상수이다. 베타함수가 음이기 때문에 온도가 낮아질수록 결합이 강해지며 약한 결합에서 강한 결합으로 넘어 가는 어떤 온도 TK(콘도 스케일)가 파생된다. λK를 (RG를) 처음 시작할 때의 결합상수, D를 전도띠의 너비라 할 때 TK 는 TK/D ~ e-1/A 와 같이 주어지며 차원에 관한 고려에 의해 이러한 넘어갈 때의 결합상수 λo는 초과가림의 경우 ,λo ~ (TK)-2/(2+k), 페르미 액체의 경우는 λo ~ (TK)-1로 주어진다. 재규격화군의 입장에서는 무관 연산자임에도 불구하고 ,\o 항은 저온 콘도 고정점의 열역학을 지배하는 연산자이다.
4.4 저온에서의 열역학유한 온도에서의 T = 1/β의 콘도 문제는 허수 시간축이 β까지 유한하고 여태까지와는 달리 공간상으로는 반직선 r ≥ 0 인 경우를 생각한다. w = r+ i r은 반무한 실린더를 영역으로 가진다. z = t an( ~ w) 에 의해 이 반무한인 실린더는 위 반평면으로 옮겨진다. 그러므로 유한온도에서의 여러 성질들은 반무한 실린더 위에서의 유한 크기 스케일 (Finite-size-scale:FSC)로부터 얻어진다. 유한 온도 T에서는 크기가 l인 계의 자유 에너지는 내부의 기여와 불순물의 기여로 나누어진다. Fi (T, h , …) = l f bu t k(T, h, ... ) + f ;mp( T, h, …), as l -+ ∞ (4.35) 식 (4.35)에서 자유 에너지 (free energy)는 라그랑지안L = L. + (hf3/21r)S (T) (4.36) 이다. 여기서 자기 장은 총 스핀(total spin) S(T) = Jtd1\.fL(r, r) +R(r,T))의 z성분과 결합하며 S는 보존되므로 T에는 무관하다. 이제 λo 항의 추가가 핵심적으로 중요하다는 것을 보게 될 것이다.반무한 실린더에서의 자유 에너지를 내부 기여와 불순물 기여의 합으로 쓸 수 있다. f bulk( β, h) = Ebulk + Qbulk( hβ)/β2 + … f ;m,,( β, h, λo) = E;m,,(λo) + Q;mp (hβ, >.β -11)/β + ... , y = 2/(2 + k) (4.37) E ... 들과 생략된 항들은 보편적이지 않으며 오직 Q항만이 보편적 유한 크기함수이다 [105].
특히 Qbulk(O) = 一πc/6 임은 찰 알려져 있다 [105]. 콘도 문제에 있어서 c = 2k임은 2k개의 디랙 페르미온이 있다는사실로부터 쉽게 알수 있다. 이로부터 저온에서의 비열 Cbulk(T) = 2πk/3T+o(T) 임을 알 수 있고 h에 관해 두번 미분함으로써 Xbulk(T) = k/2π + o(1) 임을 알 수 있다.우리는 fimp,의 유한 크기 스케일에 관심이 있다. 식 (4.37)로부터 무관 연산자와의 결합 때문에 비열 C;m1, = ― T L와 자화율 X i mp = 에 비해석적인 (non-analytic) T의존성이 도입되었다 는 것을 안다. 일반적으로는 해석적인 주요항이 있고 이 효과는 그에 대한 보정에 불과하지만, 콘도 문제에 있어서는 이 주요항이 없다는 것이 핵심이다. 즉 무관 경계 연산자의 삽입 없이는 불순물에 의한 비열과 자화율은 0이라는 얘기다. 구체적인 계산에 의하면 k > 2s인 경우 주된 기여는 무관 연산자의 제곱에 비례한다. C;m1, ~ T2y + …(k > 2) ci mp ~ Tln(l/T) + …(k = 2) Xi 11111 ~ r211 - 1 + ... (for k > 2) X;'"'' ~ >-6ln(l/T) + …(k = 2) (4.38) 여기서 y =2/(2+k)이며 이러한 T→0의존성은 베테의 가정에 의한 방법과 완전히 일치한다. k = 2,s = 1/2 콘도 문제를 구현하리라고 제안되었던 저농도의 무거운 페르미온 화합물 Ux Yi-x Pd3 에 관한 실험 [106]은 로그적 의존성을 확실하게 보여준다. 다음과 같이 정의되는 윌슨 (Wil son) 비에서는 T와 Ao에 대한 의존성이 완전히 없어진다.Rw = (E)1(~) = ~ (4.39)C i m11 I ' \ Cbulk 그러므로 이 값은 콘도 문제의 초과가림 경우의 보편적인 값이다.
이제 fbulk와 fimp를 비교해 보자. Qbulk(0)는 보편적이며 내부를 기술하는 CFT의 중심 전하(central charge)에 비례함이 알려져 있다. 그러므로 우리는 Qimp(O)에도 이에 해당하는 의미가 주어질 수 있는가 하는 물음을 가질 수 있다. 물리적으로 이 숫자는 절대온도 영도의 불순물 의 엔트로피 Simp(T = 0) 이다. Z를 분배함수(partition function)라 할 때 이의 자연로그는 잘 알려진 중심 전하 이외에도 다른 하나의 보편적인 상수를 포함하고 있다. In Z = (nc/6β )(l/β) + S;m p (T = 0) + …. (4.40) 벨린데의 결과를 쓰면 S;111,,(T = 0) = ln(S~/S~) = ln (~) (4.41) 임을 보일 수 있고 여기서 s~' = fi/(2+k) si n[n(2j + 1)(2j' + 1)/(2 + k)] (4 .4 2) 는 등각 (con fo rmal) SU(2) － 준위 (level)-k 캑-무디 대수의 못 줄이는 특성(irreducible character)에 작용하는 모듈라 S행렬이다(4.6 절 참조)． 만일 우리 가 Simp=(T=0)=lng라고 쓰면 g는 불순물 기저 상태의 겹침 (de generac y)의 수라고 해석할 수 있다. 페르미 액체일 경우엔 g =1이 되는데 이는 불순물 스핀이 전도 전자들에 의해 완전히 가려지기 때문이라고 해석할 수 있다.
위의 결과는 약간의 설명이 필요하다. 지나치게 가리기의 경우 기저 상태의 유한 크기 스펙트럼(finite size spectrum)의 겹치기 수는 (2s+l)로, 언제나 정수이다. 이는 일정한 l 에 대해 T -+ 0 의 극한을 취함으로써 얻어진다. 이때 기저 상태는 들뜸 상태들 과 1/l만큼의 간격을 두고 있다. 이와는 달리 불순물 엔트로피 Simp는 주어진 온도T 에서 l→∞의 극한으로 주어진다. 이 극한에서 스펙트럼은 연속적이고 내부만이 아니라 경계 또한 임계점에 있으므로 Simp,(T= 0) 는 경계로부터 멀어질수록 대수적으로 작아지는 불순물의 내부에 대한 영향을 측정하는 양이다. 뿐만 아니라 여기에는 등각장론의 c 정리(theorem)[107]와 유사한 사실이 성립한다. 즉, 중심 전하 c가 줄어들수록 보다 안정한 계로의 넘어감이 일어나듯이 Simp가 줄어들 수록 한 경계 고정점에서 보다 안정된 다른 경계 고정점으로의 넘어감이 일어난다. （이때 내부를 기술하는 CFT 는 불변이다. ) 이는 경계임계 현상에 대한 일반적인 명제이다. 이에 대한 가장 간단한 예가 불순물 결합이 0에서 강한 결합으로 넘어갈 때에 g = 2s + 1 에서 식 (4.41)로 주어지는 값으로의 전이이다. 실험적으로 δSimp JJ = Simp(T =∞) - Simp(T = 0) 는 Cimp /T 를 적분함으로써 측정된다. 여기서 스핀이 s일 경우에 Simp(T = ∞) = ln(2s + 1)이다. 이는 높은 온도에서 불순물의 결합력은 약하며 무시해도 좋기 때문이다(점근적 자유성 (asymptotic freedom)) . 실제로 k=2, s=l/2인 콘도 효과를 구현하고 있다고 생각되는 u:r Y1 -xPd3 화합물을 사용한 실험에서 절대온도 영도 엔트로피는 위에 기술한 공식이 제시하는 값인 In 와 같다는것을 보여주고 있다.
4.5 그린함수의 계산채널이 한 개인 경우 VF/TK 보다 큰 길이 스케일이나 1/Tk보다 긴 시간 스케일을 기술하는 영역에서는 모든 그린함수 는 페르미 액체의 성질을 나타낸다. Nozieres가 보여준 바와 같이 불순물의 효과는 π/2 만큼의 위상차를 주는 것뿐이며 이는 자유 전자의 경계 조건에 의해 간단히 기술할 수 있다. 그러나 다채널 콘도 문제의 초과가림의 경우,그린함수의 원거리 모양새는 보다 다양한 성질을 보여준다. 이 절에서 우리는 비페르미 액체의 여러 그린함수들의 원거리 모양새를 정확히 계산하는 방법을 보여주려고 한다. 이 계산에서 우리가 필요한 것은 지난 절에서 유도한 둥각변환에 대해 불변인 경계 조건 K 뿐이다.절대온도 영도에서 불순물 스핀은 전도대의 전자들과 강한 결합을 이루며 앞 절에서 본 바와 같이 복잡한 형태의 불순물 엔트로피를 준다. 우리는 이러한 강한 결합의 기저 상태가 존재할 경우의 국소스핀 밀도나 전하 밀도들과 같은 물리량들의 연계함수 (correlation function)들을 계산하려고 한다. 이러한 양을 나타내는 연산자들이 불순물로부터 멀어서 불순물의 효과가 무시될 때는 이러한 물리량들은 3차원의 자유 전자들의 연산자들에 의해 표시될 수 있다. 각운동량이 0이 아닌 모든 부분 파동들은 불순물의 영향을 받지 않으며 s파 (l = O )부분만 이 불순물의 위치 (r=O)에 다가감에 따라 영향을 받는다.
l 입자(particle) 그린함수의 불순물 의존부는 4.2 절에서 정의했던 ψLψR의 1 입자 그린함수만을 포함하고 있다. < c t n i (T1 , 'r CfJj (T2, ) > -181rr1 r2= ~ [e- i k ,..( 1·1-r2) < (T ) 1P L{Jj (T2, f) > +ei kp( r1- r 2) < (r1' )RfJj (T2 ) > +e- i J.·"、(r 1 + r2 ) < (T)RfJj (T2 ) > +ei k,, (r1 +r2) < 1/J h0 i (T1, f1) (T2 ) > ] +[l 1 부분 파동] (4 .43) 이제 짝장(p ai r field) c01CfJ를 생각하면 이는 s파 항 1PR fJj (r, r) + 1PRai 1PL fJj (r, r) _e-2lk,I. r (1PL ai 1PLfJj (r, r)) - e2i kp r ((r, r)) (4.44) 뿐만 아니라 s파 항과 l ≥ 1 항들의 곱 및 l ≥ 1 항들끼리의 곱들도 포함하고 있다. 그러한 항들은 짝장들의 그린함수를 계산하는데 있어 불순물에 영향을 받지 않거나 식 (4.43) 으로부터 얻어질 수 있는 항들을 줄 것이다. 같은 얘기를 전하밀도나 스핀 밀도에 대해서도 할 수 있다. 우선 등각장론은 불순물과의 거리가 먼 <자유 전자들의> 임의의 그린함수들을 계산할 수 있게 해준다.
실험적으로 가장 중요한 그린 함수의 하나는 1 입자그린함수 (4.43) 인데 이는 선형 반응 이론(linear response theory)에 의하면 불순물 농도가 낮을 때의 비저항 (resistivity)을 결정한다. Nozieres 의 페르미 액체 이론에서 페르미 액체 매개 변수들의 역할을·비페르미 액체인 초과가림의 경우에는 최비상관 연산자(leading irrelevant operator)들이 하며 이는 저온에서의 비저항과 저주파수 영역에서의 준입자(quasi-particle)의 수명을 결정해 준다. 이러한 모든 양들은 잘 알려진 대로 자체 에너지 Σ로부터 계산될 수 있다. 절대온도 영도에서의 비저항값과주파수 0에서의 입자의 수명은 T=O에서의 경계 무관 연산자가 없을 때의 1 입자 그린함수로부터 유도할 수 있다. 이 때 LL항과 RR항은 불순물에 전혀 영향을 받지 않으며 <ψψL >= l/(z1 - z2), < ψ >= 1/(z; —z; )로 주어진다. 여기서 Z = VF + iT 이다. 이에 반해 RL 또는 LR 항은 콘도 결합의 영향을 받으며 < '1/Jl'I/Jn >= S/(z1 - z2), < '1/Jh'I/JL >= S/(z; - z2) 로 주어진다. 여기서 S는 산란 행렬의 1-페르미온 부분 공간에로의 사영이며 이미 언급한 바 있는 모듈라 S 행렬 Sj에 의해 표현된다. s = (s!12/st )(S8/S~) = = (4.45)cos(1r/(2 + k)) 완전가림의 경우와 같은 페르미 액체 이론에서는 S = ― 1이 되어 1r/2 의 위상차에 해당된다. 초과가림의 경우 (k > 2s) ISi < 1 이며 이러한 형태의 1 입자 그린 함수는 T = O, w =O에서의 자체 에너지 (self energy)가 X:E = i2rrv(l — S)(4.46) 임을 의미한다. 여기서 u는 페르미 표면(fermi-surfa ce)에서의 상태밀도이다. 따라서 절대온도 영도에서의 비저항은 다음과 같이 주어진다. 2p (T = 0) = () (1 — S) (4.47) 이 값은 유니터리티성 극한 (unitarity limit)에서의 값의 정확히 (1-S)/2 배이다. k = 2 채널 s = 1/2불순물일 경우 이 값은 유니터리티성 극한에서의 절반값이다. 계산에 의하면 저주파 극한에서 Σ에 대한 주요 보정항은 i(i w/TK)21(2+k) 에 비례하며, 저온 극한에서의 직류 비저항에 대한 주요 보정항 p (T)/ p (O)-1 는 (T/TK)2f(2+ k)에 비례한다. 이러한 보정들은 스케일 연산자들에 대한 보정으로부터 오며 초과가림의 경우무관경계 연산자 λo에 비례한다.페르미 액체일경우 비저항의 주요 온도 의존항은 페르미 액체 매개 변수의 제곱에 비례하며 이로부터 보통의 T2 의존성이 유도된다. k = 2, s = 1/2 인 경우 바저항은 Tl/2 에 비례하는 보정을 가지고 p(T = 0)에 접근한다. 이에 반해 실험은 Tl 의 경향을 보여주고 있어 이에 대한 좀더 세심한 연구가 필요하다.
위에서 본 바와 같이 절대온도 영도에서의 1 입자 그린함수의 원거리 형태는 매우 간단하다. 그러나 2 입자 이상의 연산자들의 그린함수는 매우 복잡한 양상을 보여준다. 우선 f1, f:i가 시간적 분리에 비해 불순물로부터 아주 멀 때는 (r1,r2 >> VFlr1 -r2|) 자유 전자의 경우로 환원되어야 한다. 그러나 그 반대의 극한에 있어서는 지수 (ex p onen t)들이 비페르미 액체 성질이 나타나도록 되어 있어야 한다. 따라서 그린함수는 페르미 액체와 비페르미 액체 사이를 연결하는 넘어가기 (cross over)를 보여주어야 한다.
아래에서 k=2,s=l/2 일 때의 스핀 밀도와 짝장들의 그린함수에대한 구체적인 형태를 기술하고자 한다. s(r)=(1/41r 규 )S(T) + ….라하면 S= (I/4 ci0 i ag cop i와 같다. 여기서 Coa i는 4.2절 에서 정의되었다. 이중 s 파 부분의 곱 (double s- wave p ar t)은 불순물 근방에서 특이 (singular)한 성향을 보여주는데 < sa(r1,r1)Sb(r2,r2) > ., in guJa r= 2 |z:a: z;12 'T] -1 / 2 (4 .4 8) x (2 cos[2kF(r1 + r2)] + (2 + ry /(1 — n)) COs[2k F (?'l _ T2)I) 이다. 여기서 n= (zi _ ZI)(z2 _ z;) = 4TIT2(zI _ z;)(z「- Z2) v%(Tl _ + (r1 + r2)2(4 .4 9) 이다. 이 표현은 깊은 내부(TJ-1) 에서의 자유 전자의 행태 (behaviour) 28ab cos[2k( r1 - )](1·1 _ r + v (r1 一T2)2(4.50) 로부터 경계근방 (n→ 0) 에서의 특이한 행태 40ab cos[2kFrd cos[2kFr2]~ (4.51) 로의 전이를 보여준다. 이는 r1,r2 가 모두 불순물에 가까울 때 스핀감수율 (suscepti b ility)이 T→0 극한에서 lnT 의 발산을 하고 있다는 것을 보여준다.짝장의 그린함수에서 이중 s 파부분중불순물근방에서 발산하는행태를 가진 부분은 < VJLo iVJR{Jj (T1, )0''f'J'(r2, T2) > 1 T/ - 1/2 = -2 ,v(Ti - T간 + (r1 + r2)2 1 x {RoRo[+3]+(1+R+R1R ）} (4.52) 이다. 여기서 R,,o = (<5~, <5 土63, <5~,)I J2는 스핀 triplet 및 단일항 채널로의 사영이다. R은 플레이버에 대한 같은 이야기이다. 두 짝장 연산자가 모두 불순물 근방에 있을 때 스핀 단일항이고 플레이버 단일항일 경우 그린 함수는 대략 1/h -T2l의 행동을 한다. 따라서 스핀감수율이 lnT에 비례하여 발산할 것으로 생각할 수 있다. 그러나 페르미 통계에 의하면 스핀 단일항이고 플레이버 단일항인 경우는 허용되지 않으며, 따라서 스핀 감수율의 발산은 없다. 그러나 k=2 채널의 사중 극 실현화(Quadrapolar realization)의 경우엔 불순물과의 결합이 스핀 공간에서 비등방적이며 이러한 경우엔 불순물 근방에서 스핀 1인 짝연산자의 Sz=0 성분과 s=O 인 짝장 연산자들 사이의 섞임이 가능하고, 이로 인해 lnT의 발산이 저온 극한에서 나타날 수 있다. 이는 짝짓기의 성질이 2 채널 콘도 불순물에 의해 매우 강하게 영향을 받는다는 것을 의미하며 BCS와는 다른 초전도 기작을 제공할 수 있는 가능성이 있기 때문에 매우 흥미롭다.
남은 지면을 통해서 일반적인 그린함수들 의 절대온도 영도 고정점에서의 형태에 대한 결과들을 살펴보고자 한다. 무관 연산자에 의한 보정은 유한 온도장론과 섭동론을 써서 구할 수 있다. 먼저 일반적인 고찰을 하고 뒤에 콘도 문제에 대한 응용을 생각하자. 일반적으로 등각장론에서의 한 연산자는 좌향자와 우향자의 곱으로 분해된다. (T, T) 一L(z) R(z*)스케일 차원 또한 Δ= ΔL+ΔR 로 분해된다. 이는 또한 내부를 기술하는 등각장론의 모든 그린함수들은 좌향자들의 그린함수와 우향자들의 그린함수들의 곱의 합으로 씌어진다는 것을 의미한다. 즉, < cp(l)（ ,m) t(2)(T2 , r2) • • • >bulk =드 < ¢r\z 1)¢fl(z2)· • • >(a)< ¢)()( z2)· •• >e,) M(n),(b) (4.53) a,b 좌(우)향자끼리의 곱의 그린함수를 등각 블록이라 하는데, 이들은 일반적으로 장 그 자체만으로 결정되지 않으며 다른 꼬리표 (a), (b)가 필요하다. 행렬 M은 식 (4.53)이 한 값을 가지는 함수라는 조건으로부터 결정된다. 실수축 r = 0을 따라서 등각불변의 경계 조건이 있을 때 그린함수는 조금 다른 모양을 갖게 된다. <
수 < (I) (a) (T,T) ＞의 곱과 같다는 것을 보여준다. 한점함수는 = ψa)t와 같을 때만 이 0이 아니며 이 경우 (a) < (a)(T, r) >=< ,jJla) (z* )1/Jla) (z) > ·D = ) (4.56)|z - z·lXa 로 주어진다. 여기서 B는 등각불변인 경계 조건을 나타낸다. 저온의 콘도 고정점에서 이 경계 조건은 B=K이고 전에 말한 융합법칙에 의해 결정된다. 그러므로 융합 법칙은 모든 그린함수도 또한 결정한다.
경계가 있을 때 가능한 다른 한 종류의 OPE가 있다. 어떤 연산자 (T,T)가 경계에 접근한다고 하면 (T→0) 좌향자와 우향자는 서로 경계를 거울면으로 삼아 대칭적으로 경계에 접근한다. 이는 그린함수를 구하는 영상법(image method)을 연상시킨다. 이 접근(극한)은 등각블록들의 다른 기저(basi s)들에 의해 연구될 수 있는데 새 기저와 옛 기저는 소위 모노드라미 행렬 (monoclromy matrix) (F)[llO]에 의해 연결된다. F( < (z! ）()(z2)(z:i) >(n') =< 『(z! ）(z2) (z; ）(zi) >en). (4.57) 연산자의 순서가 바뀌었다는 것에 주의하라. 모노드라미변환은 브레이드군 (Braid group)의 작용과 밀접한 관계가 있음이 알려져 있다. 여기서 (a’) 은 경계 연산자 곱 전개연산자라하고 이것은 경계 연산자를 정의하는 다른 한 방법도 된다. 또 위 식에서 Ct, (B)는 경계 연산자 곱 전개의 보편적인 계수이다. 식 (4.58)에 나타나는 주(leading)경계 연산자는 내부 연산자가 경계에 접근할 때의 주된 행태를 결정한다. 그러므로 우리는 다음과 같이 말할 수 있을 것이다. 내부 연산자는 경계에 다가감에 따라 특정한 경계 연산자로 변환된다. 이제 다음 단락에서 이와 같은 일반적인 논의가 어떻게 콘도 문제에 응용되는가를 기술하겠다.
만일 내부와 경계가 모두 두 개의 등각대수의 직접 합 (direct sum)에 대해 불변이라면 등각블록들은 각 등각대수 동각블록들의 곱으로 분해된다. 우리가 고려하는 다채널 콘도 문제의 경우 고정점에서는 SU(2)k x SU(k)2 x U(1) 세 캑-무디 대수들의 곱에 대해 불변이며 좌(우)향 장들은 스핀, 플레이버 및 전하를 나타내는 꼬리표(a) = (j,iJ,Q)에 의해 구별된다. 모든 <내부> 연산자들은 자유 전자장의 곱으로 표시되어야 한다. 이는 (T,r) -+ ¢L(z)gR(z*) 에 나타나는 연산자들 은 n~'p,Q) i- 0를 만족해야 한다는 말이다. 무엇이 가능한 경계 연산자들인가 하는 것은 콘도 경계치 조건 K에 의해 결정된다. 즉 n¢Q)≠0를 만족하는 것들만이 나타날 수 있다. 이러한 처방에 의해 초과가림의 경우, 내부에서는 스핀의 들뜸 상태는 반드시 전하와 플레이버의 들 뜸을 수반해야 하지만 경계에서는 스핀 단독의 들뜸 상태 (j,iJ,Q) = {1,0,0)가 가능하다. 이에 반해 페르미 액체의 경우, 자유 전자자의 곱들만이 경계 연산자로 나타날 수 있으며 플레이버 또는 전하 단독의 들뜸 상태는 물론 스핀 단독의 들뜸 상태도 금지된다.등각대수의 인수분해(factorization)는 등각블록의 인수분해를 의미한다. < ¢(z1) (z2 (z3) (z,1) >(a) --+ < (z1) 年(z(z)¢ (z‘1) >J X < p x < ¢iQ I)(zl) @(z2) q (4.59) 여기서 첫째 둘째 인수는 SU(2) －준위 -k와 SU(k) ＿준위 -2 의 베스주미노-위튼 (Wess-Zum- ino-W itt en) 모형의 등각블록 [111]이며, 마지막 인수는 U(l) 一캑 - 무디 등각대수를 대칭성으로 갖는 계의 그린함수이다. 예를 들어 두 짝장 (1) = '1/; L,o i'l/;R,{Jj, (2) = '1/;Lo' i''lj; u/J'j’의 그린함수 를 생각하자. 좌향 페르미온들은 스핀 1/2 의 SU(2)-준위 -k 장gL,o와 기본 표현(fundamental representation)에 속하는 SU(k)- 준위 -2장 hL J 및 전하 Q = 1 인 U(l) 장의 세 개의 곱으로 분해된다. '1/; L,o j --+ g L ,a(z)hL,j (z)e i ,.(z)/ (4.60) k = 2 채널일 경우 이러한 인수분해는 표 4.2로부터 읽을 수 있다. 경계 조건을 자유 전자의 경계치로부터 콘도 경계 조건으로 바꾸었을 때 식 (4.54)에 있어서의 변화는 D}{'p,Q)/D,p,Ql = A~,p,Q )/A'r, Q l = (S~/S~)(S8/S~) (4.61) 로 주어진다. 첫째 등식은 식 (4.54) 이하의 논의로부터 유도할 수 있고, 둘째 등식은 4.6 절에서와 같이 벨린데의 등식으로부터 유도할 수 있다. 그러므로 우리는 어떻게 융합 법칙이 그린함수들의 구체적인 형태를 결정하는지에 대해 보인 셈이다.
4.6 경계 상태와 모듈과 산란행렬
여기서는 절대온도 영도에서의 불순물 엔트로피와 그린함수의 계산에 나타나는 모듈라 S행렬에 대해 간단히 정리하고자 한다.4.6.1 일반적 고찰(1+1) 차원의 등각장론에서 시간과 허수 시간의 교환을 모듈라 변환이라 한다. 이 대칭성은 몇 개의 놀라운 결과들을 파생시킨다. 이는 특히 해밀토니안의 입장(시간적 진화)에서 보았을 때 나타난다. 이러한 결론들을 처음으로 발견한 사람은 John Cardy이다 [96]. 통계 역학적 견지에서 보았을 때 이 대칭성은 x와y를 교환한 것이며 너무 명백한 것이다. 그것은 분배함수를 계산함에 있어 전달행렬(transfer matrix)을 x, y의 어느 방향으로 설정하고 움직여도 같은 결과를 얻어리라는 것이기 때문이다. 길이가 l 안 유한 구간 안에서의 등각장론을 유한 온도 T = 1//3에서 생각하자. 그러면 계는 유한한 실린더 위에서 정의되어 있고 실린더의 두 끝에는 경계 조건 A와 B가 있다. 그러면 해밀토니안 HAB는 실린더의 원통을 감는 방향으로의 이동을 진행시킨다(유한 온도장론에서는 허수 시간 방향으로 주기적인 경계 조건을 준다는 것을 상기하라)． 분배함수는 HAB의 고유 상태 (eigen-state)에 대한 대각합(trace)으로 주어지며 계의 등각불변성 때문에 등각탑의 모든 상태 벡터들이 모두 나타나야 한다. 그러므로 ZAB = Tr e-pHAI' = L e-{3Ek" = L nABXa (q) (4.62) a 와 같이 주어지며, 여기서 ooXa(q) = q-c/24 L dm(a)q6.•+m, q = er.uf·f3/l는 a에 의해 꼬리표가 매겨진 등각탑의 특성(character)이다. 이제 관점을 바꾸어 해밀토니안을 공간 방향로의 진행을 파생시키도록 잡았을 때 ZAB =< A|e_IH /u. IB >= L < AIN > e-lE(fJ )/vF < NIB >(4.63) N 로 된다. 여기서 |A >, IB >는 Hp의 상태 벡터이며 경계 상태(Boundary state)라 불린다. 등각 대칭성에 의해 Hp의 스펙트럼은 허용된 으뜸 상태에 딸린 등각탑 전부에 의해 기술되며 E(β) = (2π/β){ΔLa + mL + ΔRa + mR} (4.64) 이다. 따라서 분배함수는 ij = e-2r.l/{JUf," 의 멱급수가 된다. 공간과 시간을 바꿀 때 등각 특성들은 다음과 같이 변환하는데 x) = I: si xa(q) (4.65)a 여기서 S를 모듈라 S행렬이라 한다. 식 (4.63)은 다음과 같은 형태를 갖는다. ZAB = L < Ala > x;;(ii) < alB >a(4.66) 모듈라 불변(modular invariance)으로 인해 식 (4.62)와 (4.63)은 같아야 하므로 다음과 같은 중요한 관계식이 얻어진다. L sg < Ala >< alB >= nAn ii 이것을 역으로 쓰면 L s: =< Ala >< alB > (4.67)
이다. 이 식은 경계 상태를 스펙트럼으로부터 계산할 수 있게 해준다. l/ {3가 무한대로 갈 때는 분배함수가 식 (4.63) 과 같은 형태를 가지고 있는 것이 편리하다. 이때 ij -+ 0 이며 오직 기저 상태의 특성 (charac t er) Xa =O( ij) -+ 0 만이 기여한다. ZAB -+< AID >< 이 B > +O(e 一con s t.I /{J ) (4.68) 그러므로 1n < A|0 >는 lnZAB에 대한 경계 A로부터 오는 기여이다.
4.6.2 콘도 문제에의 응용여기서는 콘도 경계 조건을 모듈라 S행렬로 표현하는 방법을 기술하겠다. 다채널 콘도 문제에 있어서의 등각탑은 (a) ---+ (j, p, Q) (4.69)와 같이 인수분해된다. (p는 SU(2) 준위 k 대수 (level k alg ebra)의 등각탑에 대한 꼬리표이다. ） 뿐만 아니라 모듈라 S행렬 또한 인수분해된다. ' - "' s ii = S1Si s Qa J P Q (4 .70) 경계 조건은 4.3절에 서 사용했던 기호로 A=K( 콘도 경계 조건), B=F (자유 전자의 경계 조건 ψL =ψR)이다. 융합 법칙과 스펙트럼 사이의 관계는 4.3 절에서 주어진 바와 같이 n = L N~,i' n ' p,Q) (4.71) j' 로 주어진다. n0 = nFF 임을 상기하라. 이제 식 (4.67)에서의 등각탑에 대한 합을 벨린데의 공식 LS~N = sis~,/sl (4.72)을 써서 할 수 있다. < Kl(],,Q) >< G, ,Q )IF >= L·s~s~sn~·;.· Ql j,p,Q = L S}S~s g L N~ J 'nfp,Q) j ,p,Q - ' = I: s~s g n1’, p,Q)j',p, Q StsJ = < Fl(], p,Q) >< (],p,Q )IF >si 그러므로rsl『slo= v> ~ ~~A~0~5 KF <<(4.73) 가 되고, G, ii,Q) = (o,o,o) 라 두고 < Fl(O,0,0) >= 1 임을 쓰면 바로 절대온도 영도에서의 불순물 엔트로피를 구하는 식이 된다. 페르미 액체의 경우 k = 2s, 콘도 경계 조건 K는 자유 전자의 경계 조건 F 와 같다. 왜냐하면 식 (4.73)은 ~=(-1)2]< F j(j,p,Q) >이다. 다음에 이중 융합 법칙 식 (4.34)를 증명하자. n = 〉,;1N!J2no (j2,p,Q)(4.75) JI ,J2 식 (4.67) 로부터 ΣS =< K ia >< alK >a(4.76)
가 성립한다. 우리는 식 (4.75)에서 주어진 nKK가 식 (4.76)을 충족시킨다는 것을 보이면 충분하며, 이는 벨린데의 공식을 두 번 적용함으로써 간단히 증명된다. I:s!nh< = ( )2 < Fl(], p,Q) >< (3,Q )|F > a St =< K|( ， ,Q) >< ( , ,Q )IK > 마지막으로 그린함수를 결정하는, 한점함수의 진폭 (Am plit ude) A pQJ 는 다음과 같이 연결된다 [112]. A(j,p,Q) = < K|(j, p, Q) > (4.77)I< - < Kl(O,0,0) > 그러므로 경계조건 K를 가지는 계의 그린함수는 단순히 자유 전자의 경계 조건 F를 가지는 계의 그린함수로부터 A· p,Q)/A~·p,Q) = (s~;si )(S8/S~) si n[ 11' (2j + 1)(2s + 1)/(2 + k)] si n[ 11' /(k + 2)]=(4.78)si n[11' (2s + 1)/(2 + k)] s i n[ 11' (2 j + 1)/(k + 2)] 을 써서 구할수 있다.
제 5 장 라틴저 액체 이론 입문
유재준5.1 서론현재 응집물질계의 물리적 현상을 이해하는 방법의 대부분은 가장 간단한 양자 가적분계인 자유 전자 모델을 기초로 한다. 전도체, 반도체, 부도체 등의 일반적인 물질의 이해를 비롯하여 최근에 많은 관심을 모으고 있는 미세계 (mesoscopic systems) 도 또한 자유 전자계의 해를 기본으로 건드림(perturbation) 방법 등을 적용하여 그 성질을 이해하고 있다. 이렇게 강한 상호작용을 하는 계의 이해에 자유 전자계의 해가 충분히 유용한 기반을 제공할 수 있는 이유는 라단우의 페르미 액체의 가설이 [113, 114] 대부분의 응집물질계에서 잘 성립하기 때문인데, 그 이유를 미시적인 해밀토니안을 정확히 적분하여 밝히는 것은 실제적으로 불가능하다. 최소한 초전도나 전하밀도파와 같은 상태로의 상전이(phase transition)가 일어나지 않는다면, 란다우의 페르미 액체는 그 바닥 상태에서 들뜸 에너지의 에너지 간격 (energy gap)이 없고, 그 들뜸 상태는 거의 자유 전자에 가까운 준입자에 대응시킬 수 있음을 가정한다. 그러면 이 준입자는 비록 전자간의 강한 상호작용이 있다 하더라도 되틀맞춤상수 (renormalization factor, Zk]를 제외하고는 자유 입자와 동일하다는 것이다[115, 116, 117].
비록미시적인해밀토니안의 적분을 통하여 란다우의 가설을 증명할 수는 없지만, 최근 Shankar가 [118] 되틀맞춤무리 (renormalization group :RG) 이론을 응집된 페르미계에 적용하여, 1차원 이상에서는 란다우의 페르미 액체가 상호작용 변수의 RG 흐름에서 상호작용 변수가 무관련 변수(irrelevant parame ter)임을 보였다. 따라서 페르미 액체의 자유 해밀토니안이 RG 분석에서 고정점(fixed point)임을 보인 것이다. 다시 말해 1차원 이상의 페르미온 다체계는 자유 전자 해밀토니안을 기초로 하여 이해할 수 있다는 것이다. 그러나 1 차원 페르미계의 RG 분석 결과로부터 1차원 페르미계는 다른 높은 차원의 계와는 상황이 다르다는 것을 알 수 있다. 즉, 페르미 액체의 경우에 모든 상호작용 변수가 무관련 변수인 것과는 대조적으로, 1차원에서 는 페르미 입자간의 상호작용 변수 g가 눈금잡기 (scaling)에 대하여 겨우 (marginal) 변수로 남아 있어 운동량의 끊음상수 A→0의 극한에서도g•≠0이 남아 있음을 알았다. 이는 곧 1차원에서는 자유 해밀토니안만이 아니라 입자간의 상호작용이 중요한 역할을 하고 그 해를 정확히 안건드림 (non-perturbative) 방법으로 구하거나, 또는 정확히 적분할 수 있는 모델을 구하는 것이 필요하다는 것을 의미한다.따라서 1차원 상호작용을 하는 패르미계는 페르미 액체 (Fermi liquids)가 아닌 라틴저 액체 (Luttinger liquids)라는 새로운 이름으로 불리며, 이 라틴저 액체계는 자유 전자 해밀토니안의 해로는 접근이 불가능하고, 가능한 1차원 양자 가적분 모형의 해를 통해서만 그 이해가 가능한 계이다. 이 라틴저 액체계는 Mattis와 Lieb[ll9], Luther와Peschel[120] 등이 1 차원에서 준입자가 존재하지 않는 상태를 제안한 것을 비롯하여, 최근에는 일반적인 1 차원의 상호작용하는 페르미계를 라틴저 액체로 지칭하여 [121] 많은 사람들에 의해 연구되고 있다. 더욱이 최근에 라틴저 액체 이론에서 도입된 보존화 방법을 2차원 이상의 고차원에서 적용하는 시도가 Haldane[l22], Houghton[l23], Castro - Neto와 Fradkin[l24], Kopietz[l25] 등에 의해 연구중이다 또한 미세계, 콘도 효과 (Kondo effects), 분수 양자 _홀 효과(fractional quantum Hall effects), 유기 화합물 전도체 (organic conductors) 및 고온 초전도체 (high Tc superconductors) 등의 저차원 응집물질물리계에 관련한 많은 연구가 진행중이다.
이 논문은 5.2절에서 란다우의 페르미 액체의 기본 가설에서 출발하여, 페르미 다체계의 작은 에너지 들뜸의 기본적인 물리적 성질 및 개념을 정립하는 것으로 시작한다. 그리고 5.3절에서 되틀맞춤무리이론을 페르미계에 적용하여 란다우의 페르미 액체 상태 를 약간 다른 관점에서 접근함과 동시에 1차원에서 페르미 엑체가 아닌 새로운 상태가 존재함을 보이고, 5.4절에서 라틴저 액체 이론의 핵심인 보존화 (bosonization) 과정을 설명하고 1차원 상호작용을 하는 계의 적분 가능한 해밀토니안을 유도한다. 5.4절의 결과를 이용하여 5.5절에서는 페르미온 및 보존 마당 연산자의 그린함수를 구하고, 라틴저 액체에서 중요한 성질 중의 하나인 전하구스핀 자유도의 분리와 그와 관련된 물리적 성질들을 논의하고자 한다. 마지막으로 5.6절에서는 1차원 양자 가적분계와 라틴저 액체와의 관계 및 앞으로의 전망에 대하여 논의하고 있다.5.2 페르미 액체
5.2.1 란다우의 기본 가정수많은 페르미 입자, 즉 전자들이 응집해 있는 다체계의 거시적인 성질을 구하기 위해서는 페르미 다체계의 전자 들뜸에 의한 모든 에너지 스펙트럼을 알아야 한다. 그러나 전자들간의 강한 쿨롱 상호작용이 존재하고 있는 양자적 다체계의 경우에 그 에너지 준위를 구하려면, 계에 존재하는 모든 전자들의 자유도를 고려한 매우 복잡한 양자 계산을 해야만 한다 . 따라서 페르미 다체계의 거시적인 또는 열역학적인 성질을 알기 위해서는 매우 복잡한 계산을 수행 하여야 한다는 것인데, 이 계산은 현대의 초고속 컴퓨터를 이용하여도 실제 거의 불가능한 것이 사실이다.한편, 1956년 Landau는 페르미-디락 (Fermi-D i rac) 통계를 만족하는 강한 상호작용을 하는 거시적인 다체 응집계의 <들뜸 상태>를 현상론적으로 기술하는 페르미 액체 이론을 제시하였다 [113]. 란다우는 강하게 상호작용을 하는 졸들은 (degenerate) 페르미 다체계를 페르미 액체라고 정의하였다. 이때 이 페르미 액체는 원칙적으로 이상 기체(i deal gas) 와 똑같은 들뜬 에너지를 가지고 있으며, 상호작용하는 액체의 들뜸 상태는 이상 기체의 들뜸 상태와 일대일 대응 관계에 있다고 가정하였다. 결과적으로 그림 5.1에 보여준 바와 같이 이상 기체의 각 입자는 페르미 액체의 준입자에 대응하는 관계를 갖는다고 할 수 있다. 여기에서 준입자란 상호작용을 하는 페르미 액체계에서의 기본 들뜸 (elementary excitation)을 의미하고, 각 준입자는 이상 기체의 전자 입자와 마찬가지로 전하 e와 스핀 1/2을 가지고 있다.
•.‘ 1-1 대응 관계 • •
그램 5.1 이상 기채의 임자와 페르미 액체의 준입자의 대응 관계.
5.2.2 준입자
란다우의 가정에서 정의된 준입자 상태는 미시적인 해밀토니안에서 출발한 다체 이론으로부터 (완벽한 해는 아니지만) 본래의 가정을 어느 정도 유도할 수는 있다. 란다우의 본래 가정을 페르미 준위 (Fermi level, cF) 근처에서 전자의 그린함수(Green's function)로 표시하면 다음과 같다[126, 127, 128]. ZkG(k,w) = ~ (5.1)W - ek + ir, sgn(w) Zk는 되틀맞춤상수, 0 < zk < 1, ek = VF(k - kF), VF = kF/m* 는 페르미 속도 (Fermi velocity), 그리고 m• 는 유효 질량 (effective mass)을 각각 나타낸다. 여기서 그린함수의 극(pole)은 준입자의 존재를 의미하며, 되틀맞춤상수 Zk는 준입자의 세기를 의미한다. 실제 그린함수로부터 준입자의 운동량 밀도분포를 계산할 수 있는데, 그 결과는 n(p) = - J dw ImG(p, w) = Zk0(-{p) (5.2)로 주어진다. 다시 말해 준입자의 되틀맞춤상수 Zk.가 0가 아닌 경우에 준입자의 분포는 Zk.의 상수 인수의 차이를 제외하고 는 이상적인 페르미 기체의 바닥 상태 운동량 분포 n。(p) = 0(eF —ep ) (5.3) 와 같음을 보여준다. 따라서 미시적인 해밀토니안의 계산 결과로 페르미 준위 근처에서 특이점(singularity)이 존재하지 않는다면 一一예를 들어 Zk = 0- 페르미 준위 근처의 들뜸 상태를 페르미 액체 이론의 준입자로 기술하는 것이 합리적인 것이다.
다만 페르미 액체 이론에서 준입자의 개념을 적용하는 것은 제한된 범위에서 가능함을 주의해야 한다. 위에서 말한 준입자는 그 수명(life-ti me)이 무한정 긴 것처럼 가정을 했지만, 실제적인 계에서는 모든 들뜸 상태의 입자는 한정된 수명을 가지고 있으며, 그 사실은 페르미 액체에서도 예외가 될 수 없다. 그렇지만 만일 들뜸 에너지의 페르미 준위가 아주 가깝다면 수명 T가 l/T (X (ε-εF)2으로 무한정 길어지기 때문에 준입자의 존재가 정당화될 수 있다[116, 117]. 응집물질계에서 우리가 관심 있는 대부분의 물리적 성질들이 열역학적이거나 수송 현상임을 고려하면, 이러한 준입자의 정의는 아주 좋은 근사라 할 수 있다. 그러나 다체계의 전체 에너지와 같이 페르미 준위에서 멀리 떨어진 상태의 기여가 중요한 경우에는 준입자를 고려하는 것이 적당하다고 할 수 없다. 따라서 페르미 준위 근처의 작은 에너지 들뜸을 다루는 데 있어서는 란다우의 준입자 가정이 근본적으로 매우 근사한 것이다.절대온도 T = O에서 이상 기체의 전자의 개수를 N이라 하면, 다음과 같은 관계식을 쉽게 얻을 수 있다. = ( (5.4)여기서 PF = (3 71' 2N/V)l / 3 는 전자밀도가 n = N/V 인 페르미 이상 기체의 페르미 운동량을 나타낸다 . 마찬가지로 상호작용하는 페르미 액체계의 경우에도 전체 준입자 개수의 합을 구하면 원래 전자 입자의 개수 N이 되어야 한다. ~ = 21 n(p) (5.5)
페르미 액체의 준입자를 이해하는 데 있어 주목할 사항은 페르미 액체의 준입자간에는 이상 기체계와 다르게 준입자간에 서로 상호작용이 존재한다는 것이다. 다시 말해 이상 기체에서는 입자간의 상호작용이 없기 때문에 계의 전체 에너지가 단순히 각 입자의 에너지의 합으로 주어지지만, 입자간의 상호작용이 존재하는 계의 전체 에너지는 각 입자의 에너지만이 아니라 상호작용에 의한 에너지도 고려되어야 한다는 사실이다. 따라서 비록 페르미 액체에서 준입자가 정의되었다 하더라도, 이 준입자계의 에너지는 아래의 식 (5.6)과 같이 단순히 각각의 준입자 에너지의 합으로 나타낼 수 없다. E tot ' L c( p;) (5.6)i 실제로 준입자의 에너지는 전체 준입자 밀도분포의 범함수로 주어지며, e( p) = e[n( p)] (5.7) 준입자 밀도분포의 변화 6n(p)에 의한 전체 에너지 변화 δE는 아래 식 (5.8)로 나타낼 수 있다(바닥 상태가 스핀과 무관한 경우).δE = 2V J e( p) 8n(p) (5.8)5.2.3 평형 상태의 성질
페르미 액체의 열역학적인 평형 상태의 성질을 이해하기 위하여 페르미 입자계의 엔트로피 s, t = -2 J [n( p) lnn(p) + (1 — n(p)) ln(l - n( p))](5.9) 에 대하여 열역학적인 평형 상태의 관계식을 구할 수 있다. oE = ToS+μoN(5.10) 이 계산 결과로 페르미 액체계에서 준입자의 에너지 차지분포 (occupational distribution)를 구할 수 있다 . 1n(€) = ~ (5.11)exp [(e - μ)/kaT] + l 여기서 주의할 점은 이 에너지 차지분포 n(ε)에서 에너지 ε가 운동량 밀도분포의 범함수라는 것이다. n(e) = n(ε[n( p)]) (5.12) 따라서 평형 상태에서 준입자 차지분포는 서로 일관성 있게 구해져야 함을 알 수 있다. T = 0에서 준입자의 차지분포 n。(p)는 이상 기체의 경우와 마찬가지로 n0(ε) = 0(μ - c) (5.13) 가 된다. T = 0 평형 상태의 준입자 에너지를 ε0(p)라고 하면, 임의의 작은 온도 T > 0에서 준입자의 에너지는 준입자 차지분포의 변화 (δn = n-n0(T=0)）에 의한 에너지 변화 δε가 생긴다. 이 결과를스핀 자유도를 포함하여 적으면, 다음과 같이 씌어진다 [113, 117] .t:(p, u) = c 。(p, u) + 8c( p, u)(5.14)= t:。(p, u) + Tra J J(p a, p 'a')on( p', a')f(pu , p 'u') = J(p'a', p a) = ( )8n(p, u)8n( p', a')4(5.16)여기서 /(pa , p'a')는 준입자간의 유효 상호작용 (effective interaction)을 나타내 는 함수이다. 이 상호작용 함수를 스핀에 무관한 부분과 스핀에 관계된 부분을 나누면, 다음과 같은 fs와 fa 의 두 함수로 표시된다. f(pa, p 'a') = fs( p, p') + a • a' f°(p, p') (5.17) 물론 자기장이 걸려 있지 않은 페르미 액체계에서는 준입자의 에너지도 스핀과 무관하게 표시할 수 있다. c:(p, a) = c:(p) (5.18) 또한 식 (5.1)의 그린함수의 표현과 비교하면, 상호작용이 없는 준입자의 에너지 ~(p)를 ~(p) = f:o(P) -μ = VF • (p -k 사로 쓸 수 있다.
페르미 액체의 기본적인 관점이 페르미 준위 근처의 준입자에 적용하는 것이기 때문에, 준입자간의 상호작용도 주로 준입자 에너지가 페르미 준위 근처에 있는 경우로 국한된다. 다시 말해 준입자 운동량이 모두 페르미 운동량과 근사한 경우, 즉 |Pl ~ IP'I ~ kF를 의미한다(그림 5.2 참조)． 만일 유효 상호작용 함수 /(p a, p'a') 이p~p' ~kF 근처에서 크게 변화하지 않는다면, 회전 대칭 (rotational sy mme try)이 있는 계에서 f함수는 오직 두 운동량 벡터 p와 p'사이의 각에 의존하는함수가 된다. J(pu, p 'u') ~ f (kF, cos 0), (cos 0 = p . ) (5 .19)
페르미연
그럼 5.2 준입자간의 상호작용애 의한 페르미 준위 근처 에 놓 인 준 입자 p 와 p' 의 산란.
오직 cos0에 의존하는 f함수는 르장드르 (Le gendre) 함수로 전개하여 나타낼 수 있다. 00f.9,(I (cos θ) = Σ Jt' 0 Pi (cos 0)l=o(5.20) 이것을 다시 역변환하면, 란다우의 페르미 상호작용 변수 (Fermi interaction parameters) f / '0를 구할 수 있다. f /'a = JdθR(cos0) JS,a(cosθ) (5.21)따라서 페르미 액체의 준입자간의 상호작용은 여기에 주어진 페르미 액체 변수 ft,a에 의하여 정해진다. 실제 이 상호작용의 변수 f/ 'a를 미시적인 해밀토니안을 풀어서 결정하는 것은 거의 불가능하다. 그러나 현상론적으로 실험 결과를 이용하거나 또는 다른 방법으로 이
변수들을 정할 수 있으며, 그 결과로 많은 응집물질계에서 페르미 액체 바닥 상태를 갖는 것을 확인하였다 [117].
페르미 액체의 가장 대표적인 성질들을 몇 가지 나열하면, 첫째 저온에서 의 등적 열들이 (heat capacity at constant volume)를 들 수 있다. 이 열들이는 열역학 방정식에서 o(E/V)c, , = 8T IN,v (5 .22)=2 ( )N (5.23)으로 구할 수 있다. 식 (5.14)와 (5.11)을 이용하여 해를 구하면, T 가 매우 작은 영역에서 1C v = ~m•kFT = 1T3(5.24) 이 된다. 여기서 m.는 유효 질량으로 원래의 질량 m에 비하여 m = (1 + ) (5.25)m 3 페르미 상호작용 변수 파에 의해 증가된 값을 가진다(F'i8 = (kFm•/ π)ff; ff를 차원이 없는 크기로 변환한 값이다)． 이 결과는 m을 m• 로 치환한 이상 기체 열들이의 온도변환과 같은 모양을 나타낸다.마찬가지 로 압축률 (compress i bility) k를 구하면, 1 8V 1 8nK-=--—— = —- V8p n28μ(5.26) 이다. 이것으로부터 곧바로 페르미 액체의 소리 들뜸을 결정할 수 있다. 이 소리 속도 (sound veloc ity) u도 역시 페르미 상호작용 변수로표시되는데, u2 = 1+F;) 3mm•(5.27)이 결과도 역시 m· 一m,F;-o 의 경우에 이상기체의 소리 속도와 같아진다. 페르미 액체의 자화 감수율 (magnetic susceptibility)도 비슷한 방법으로 구할 수 있는데, 그 결과는 3 = (l + Fg) (5.28) 이다. 여기서 'Y = m*kF/3 이고, a는 자기회전비율(gyromagnetic ratio)을 의미한다.
위의 식 (5.28)과 (5.24)를 비교하면, 열들이 Cv와 자화 감수율 x가 모두 'Y에 비례하는 양임을 알 수 있다. 이 'Y = m*kF/3는 페르미 준위에 있는 준입자의 상태 밀도 N(O)를 나타내고, 결과적으로 c,，와 x가 같은 페르미 입자의 자유도에서 나온 것을 의미한다. 이것은 결론적으로 란다우의 페르미 액체 이론의 기본 가정인 페르미 액체는 원칙적으로 이상 기체와 똑같은 들뜬 에너지를 가지고 있으며, 상호작용하는 액체의 들뜸 상태는 이상 기체의 들뜸 상태와 일대일 대응관계가 있다는 것을 보여주는 결과가 된다.따라서 졸들은 페르미 기체 (Fermigas)의 상태에서 상전이가 일어나지 않는다면, 그 페르미 액체의 바닥 상태에서 일어나는 약한 들뜸은 란다우의 준입자로 기술이 가능하다. 실제 열역학적 성질이나 수송 성질의 연구에서는 (페르미 준위에 비하여) 매우 작은 에너지의 들뜸을 다루는 것이기 때문에 준입자의 개념이 아주 적합하다는 것이다.5.2.4 페르미 액체 상태의 불안정성(1) CDW 불안정성란다우의 페르미 액체 이론은 현상론적인 측면에서 다루기는 하지만, 서로 상호작용하는 페르미 입자계를 기술하는 데 매우 중요한위치를 차지하고 있다. 그러나 모든 졸들은 페르미 입자계가 페르미 액체로 기술 되어지는 것은 아니다. 실제 많은 경우에 이 페르미 액체는 외부의 퍼텐셜 또는 자발적인 대칭 깨짐에 의해 다른 상으로 상전이를 일으키는 경우가 매우 혼하다. 라틴저 액체가 페르미 액체와 어떤 점에서 다른지 이해하기 위하여 우선 페르미 액체의 불안정성과 그 메커니즘이 어떤 것인지 알아보도록 하자.
1차원 격자 위에 존재하는 자유로운 페르미 입자계가포논(phonon)과 결합된 경우의 가장 간단한 계를 생각해 보자. 페르미 입자계의 해밀토니안은 Hc = Σ ck·C&ck.{1 =Σ tc;~{1(T (5.29)k{1 < ij> 이고, 포논의 해밀토니안은 다음과 같이 간단히 근사하도록 한다. 1-l,,,. = Σ Wk.a t a k ~Σ a; (5.30)k 그리고 포논과 페르미 입자의 상호작용을 나타내는 가장 간단한 항으로 HC- ph = V。(I %(a[ + a;) (5.31) k i(I 을 쓸 수 있다 . 여기서 우리가 관심 있는 것은 페르미 입자의 바닥과 들뜸 상태이므로, 전체 해밀토니안 H. = H e +H. ,,1, +11. c- 111,에서 포논에 대한 자유도를 적분하여 페르미 입자의 자유도만 갖는 유효 해밀토니안(effective Hamiltonian)을 구하면 아래와 같다. 2V。21lcJf = L q ctucku - ( ~) L ci~C;t(5.32)ku "'o .이 유효 해밀토니안의 해를 정확하게 근사 없이 구하는 것은 일반적으로 불가능하므로, 이 페르미 입자계의 페르미 액체상의 불안정성을 이해하기 위해 평균장 근사를 도입하고자 한다. 일단 유효 상호작용 변수를 n = (V。2/ )로 정하자. 만일 T/ = 0이면 이 해밀토니안의 해는 이상 페르미 기체와 같고, 페르미 준위 근처의 준입자 에너지는 ~k = vF( lkl ), (vF = 2t sin kF 를 Ik= kr) (5.33) 이다. 각 격자점에서의 입자수는
에 대입하여 평균장 해밀토니안 HAlF를 구한다. 1-l uF = ~ kctacka - 2r, ~ (nit> n,i - 2n > n,Kn,t> ka_： (A:- ) (5.38)
우선 간단한 경우 를 생각하기 위하여, 스핀밀도파의 불안정성을 배제하여 Δ= 0 으로 가정하면 간단한 연산자 변환을 통하여 다음과 같은 평균장 해밀토니안을 구할 수 있다. HMF = (ctc ) ( _\\::c ) ( ::: )-;n::39)여기서 c f. = Ek-r. = -Ek = 2 t cosk 이다 결과적으로 n≠0 의 경우에 준입자의 에너지 Ek는 Ek= 士{ (5.40) 으로 주어지며, 변분법 계산을 통하여 자체 모순 없는 방정식을 풀면 전하밀도파 (charg e density wave: CDW)의 진폭 Δc와 에너지 간격을 아래와 같이 구할 수 있다. 2AA ― e /11 CDW 에너지 간격 (5 .41) 그림 5.3 에 보여준 바와 같이, 평균장 해에 따르면 1차원 자유 페르미계가T/ =0인 경우에는 페르미 액체의 준입자에너지 분산의 복 성을 유지 하다가, 포논과의 상호작용으로 유도된 유효 상호작용이 존재하는 경우에는(TJ ::/ 0) 에너지 간격이 생기게 됨과 동시에 페르미 준위 근처에 (I < (TJ!:1 c)) 준입자가 존재하지 않음을 볼 수 있다. 따
Ek
그럼 5.3 전하넬도파 상태의 둡- 뜸 애너지 분산과 CD\ 애너지 간직 .
라서 전하밀도파의 평균장 해를 갖는 페르미 입자계는 페르미 준위에 에너지 간격이 생기고 그 결과 페르미면 (Fermi surface) 주위에 준입자가 존재하지 않는 비페르미 액체 (non-Fermi liquids)가 되는 것이다. 다시 말해 포논과 결합된 1차원 자유 페르미계는 전자一포논간의 상호작용으로 페르미 액체가 불안정해지고 CDW 상태로 상전이를 일으키게 된다.
이와 같은 전하밀도파 상태로의 상전이, 즉 CDW 불안정성은 파이얼스 불안정성 (Peierls instability)으로 잘 알려져 있다. 실제로 1차원 구조를 가진 유기 화합물 전도체의 경우에 흔히 볼 수 있는 현상이다[129). 예를 들어, 1차원 격자의 격자상수가 a인 전자가 반 채워진 (half-filled), 즉 각 격자점당 한 개의 전자가 들어 있는 전도체를 고려하면, 그림 5.4에 보여준 바와 같이 전자가 반 채워진 전도 전자띠의 페르미 벡터 kF가 士띠/2a에 놓이게 된다. 따라서 CkF 와 c_kf.의 에너지가 겹친 상태에 놓이게 되고, 포논과의 결합을 통해 그 겹침상태를 깨어버리면서 그림 5.5의 형태로 전이를 일으키게 된다.이것을 조금 다른 각도에서 입자간의 산란(scattering)으로 해석하
“ ‘ 、 ‘ 、 ‘”、 ‘、 “ ‘ 、- 、- -“→’,·‘ ’ .' ’ ’ _. . -tl”ll- -_ “ 、 、 、 ‘ 、、‘“ ‘--,‘‘’’ , ’/.’1 ’
그램 5.4 전자가 만 치 l 워진 전도 선자띠.
a
.:J. i쉽 5.5 직자상수가 a 인 격자에서 2a 인 CDW 상태로의 파이얼스 전이 (Peierls transition).
(a)
그럼 5.6 (a) 입자 - 구멍 상호작용 치 l 널을 그린 파인만 도형， (b) 1 차원 전자 띠의 입자 및 구멍의 에너지 분산 관계의 도식적 표현.
면, CDW 불안정성은 바로 입자와 구멍 (hole) 간의 산란 채널을 통하여 일어남을 쉽게 알 수 있다. 일반적으로 CDW 형태의 불안정성은 전하 감수율 (charge suscepti bility)의 계산을 통하여 알 수 있는데, 운동량 공간에서 표시한 전하 감수율 x( Q)는 x°( Q) = f k - f k_ Q -ck- Q(5.42) 으로 주어진다. 여기서 f k = f(εk)는 Ck 상태의 채움 확률함수를 나타낸다. 이 공식을 파인만 도형 (Fe ynm an d i agr am)으로 표시하면 그림 5.6(a)와 같다. 이것은 위에서 말한 불안정성이 입자와 구멍 간의
산란 채널을 통해 이루어짐을 의미한다. 그림 5.4와 같은 1차원의 에너지 분산을 가진 경우에는 Q = 2kF의 운동량 차이를 갖는 입자와 구멍이 Ek = Ek -Q으로 같은 에너지를 갖기 때문에 xo( Q)가 발산하고, 따라서 그림 5.6(b)와 같은 입자_구멍의 산란은 항상 CDW 불안정성을 일으키게 되는 것이다.
(2) SC 불안정성전하(스핀)밀도파 상태와 더불어 페르미 액체의 불안정성을 주는 다른 중요한 것은 바로 초전도(superconducting :SC) 상태이다. SC 불안정성은 CDW 불안정성과는 다른 산란 채널에서 유도된다. CDW 불안정성 이 입자-구멍의 상호작용에 따른 산란 채널에서 전하 감수율이 발산하는 반면, SC불안정성은 입자-입자(혹은 구멍구멍)의 산란 채널에서 입자간의 두 입자 산란 꼭지점(two-particlescattering vertex)이 발산하는 경우에 해당된다.그림 5.7에서 보여준 SC 불안정성을 주는 산란 채널은 전체 운동량 Piotal = 0가 되는 산란이 연속적으로 일어남으로써 가능한데, 이 현상은 그림 5.8의 산란 꼭지점 r(q)의 다이슨 방정식 (Dyson equation)을 풀어서 이해할 수 있다. q =O 에서 특이점이 없는 맨 꼭지점 (bare vertex) r0에 대하여, q→0 의 극한에서 r(q) = ro + rox(q)I'(q) (5.43) 식을 풀면 입자一입자 채널의 쌍 감수율(pair susceptibility) x( q)를 구할 수 있다.x(q) = i j G(k)G(q - k)(5.44) mkF rw。1 . 1= - l ( 2g q。- ie + 2C + q。- ie )(5.45)
(a)
그램 5.7 (a) 임자-입자 산란 채널의 파인만 도행， (b) 1 차원 전자띠의 입자 및 구멍의 애너지 분산 관계의 도식적 표현.
r(q)
그립 5.8 임자-임자 산란의 다이슨 땅정식.
= ln(-) (5 .46) r 0 = V라고 가정하면 , 두 입자의 산란 꼭지점 r( q)는 q。= iw = i 2w。exp (-2 /N (O)IV| ）의 허수 운동량에 대하여 특이점을 갖게 된다. Vr (qo, q 一0) = 1 + (mkF /4 )V ln(—(2w;)/q;)(5.47) 이 허수운동량의 특이점은 곧 두 개의 입자가산란을 통하여 서로 결합 함을 의미하고 , 그 결과로 쿠퍼쌍(Cooper pair)을 이루게 된다. 결과적으로 바닥 상태는 이 쿠퍼쌍으로 채워지게 되는 초전도 상태가 된다.
5.3 되틀맞춤무리 이론5.3.1 되틀맞춤무리 분석 방법의 상호작용하는 페르미 입자계에 응용란다우의 페르미 액체 이론에서 집중적으로 다룬 문제는 결국 페르미 준위, 즉 페르미면 근처에서 준입자의 에너지 분산과 그들의 유효 상호작용이 어떻게 이루어지느냐 하는 것이다. 이 문제는 수많은 페르미 입자들이 응집해 있는 다체계의 열역학적 또는 수송 현상들을 이해하는 데 핵심적인 요소가 되기도 한다. 그렇다면 많은 페르미 입자로 이루어진 양자계를 다루는 데 가장 중요한 것은 그 계의 페르미면에서의 준입자의 되틀맞춤과 준입자간의 상호작용을 구하는 것이다. 다시 말해 |kl = kF 에서의 유효 해밀토니안이 무엇인가를 찾는 문제로 생각할 수 있다.일반적으로 다체계의 열역학적인 성질을 구하기 위해서는 그 계의 분배함수(partition function)를 구해야 한다. Z = Tre-= I: e-S (5.48) aII Fxsible oourat iom여기서 S는 작용량(ac tion)을 나타내며, s = /311.이다. 그러나 일반적으로 모든 배위 (configuration)를 다 고려하여 분배함수를 계산하는 것은 실제적으로 불가능한 일이고, 페르미 다체계에서 가장 중요한 자유도는 바로 페르미면 주위의 준입자에 의한 것이므로, 일정한 운동량 끊어버림 변수 A를 도입하여 페르미면 주위의 배위만을 고려하는 작용량 S(A)를 생각할 수 있다. 여기서 정한 끊어버림 변수 (cut-0ff parameter) A는 임의의 것이고 물리적인 양은 이 변수 A에 상관없이 불변해야 하므로, 란다우 페르미 액체를 기술하는 작용량 S(A)는 이 끊어버림 변수 A에 무관한 함수임을 알 수 있다.
이러한 불변 작용량의 개념은 오래전에 Kadanoff와 Wilson이 되틀맞춤무리 이론으로 발전시켰었다. 원래의 되틀맞춤무리 과정을 페르미 액체계에 적용하여 페르미면에서 적용되는 불변 작용량을 구할 수 있댜 아래는 페르미 다체계에 RG(되틀맞춤무리)의 적용하는 과정을 요약하였다.1) 첫째, 페르미면 kF 에서 士A만큼의 범위에서 정의된 작용량 S(A)를 s > 1 의 눈금잡기 변수 (scaling parameter) 에 의해 변환된 A' = A/s 의 축소된 영역에서 정의되는 작용량 S(A/s) 으로 변환한다. S(A) ＿➔ S(A/s) (5.49) 그 다음에 변환된 작용량 S(A/s) 에서 새로운 작용량 S'(Λ') = S(Λ/s)을 구한다.2) 다시 k -+ sk으로 눈금잡기를 하여 S'(Λ')-+ S(Λ) 이 되도록 한다.3) 위의 과정 1과 2를 반복하여, 각 단계에서 작용량의 흐름을 관찰한다. 좀 더 정량적인 분석을 위하여, s = l +E으로 작은 변수 €믈도입하여 작용량을 결정하는 결합상수들이 RG 흐름에 따라 어떻게 변하는지를 구하는 RG 방정식을 찾아낸다.
이 과정을 통하여 RG 방정식을 풀면 페르미면에서의 유효 작용량, 즉 유효 해밀토니안을 구할 수 있다.5.3.2 눈금잡기 분석RG 이론을 페르미 다체계에 적용하는 한 예로, 1차원 스핀이 없는 페르미 입자계의 눈금잡기 분석 (scaling analysis)을 해보자. 상호작용이 없는 자유 해밀토니안 H。는 H。= L fa,ctck (5.50) k이고 , 1차원 페르미 입자의 에너지 분산은 페르미점 (Fermi point) 근방에서 다음과 같이 쓸 수 있다. ξk = （一2t cos k - μ) ~ VF(rk 一kF) (5.51) 여기서 VF = 2t sinkF 는 페르미 속도를 표시하고, r = 士은 양수 방향 또는 음수 방향의 페르미점을 의미한다. 편의상 페르미 속도 VF 三1로 정의하고 k벡터의 원점을 rkF로 옮겨놓으면, 페르미점 士kF 주위의 끊어버림 변수 A 내에서의 유효 해밀토니안을 다음과 같이 적을 수 있다. H。= J_AA kctrckr (5.52)그러면 분배함수도 역시 이 유효 해밀토니안으로(여기의 표기 방식은 참고문헌 [128]을 참조)Z(A) = J e - S(J\) (5.53) 로 쓸 수 있고, 온도 T에서의 작용량 So는 범함수 적분형태로 S。(A) =.J pdT E J (k,T) (k , r) +1-l 。( ., )} (5.54) ° r = 士- A 27r 와 같이 표현된다. 여기에서 T ---+ O의 경우만을 생각하기 위하여, p 三1/T---+ 00 의 극한을 생각하면, so(A) = J_0000 J_ AA (k, T)[ —i w + r k]
여기서 가장 관심 있는 것은 2차 건드림 결합상수 (coupling constant) μ(k,w)의 (k,w) = O 근처에서 눈금잡기에 대한 RG 흐름이다. 이 결합상수 μ(k,w)를 (k,w) = O 근처에서 전개하면 , μ(k, w) = μ·oo + μ1ok + μ01W + μu kw + … (5 .64) 이다. 여기서 각 전개상수들의 눈금잡기 변환의 형태를 살펴보면, μ00 -; sμoo(5.65) μ10 --+ μ10(5.66) μ11 一+ S -μll(5.67) 과 같다. μ00는 관련 (relevant) 결합상수로 눈금잡기 변수 s가 커짐에 따라(즉, 끊어버림 변수가 작아질수록 Λ/s - 0) 중요한 역할을 하게 되고, μ10 또는 μol는 겨우 결합상수로 눈금잡기와 무관하게 본래의 에너지 눈금 (energy scale)을 바꾸는 정도이므로 실제 물리적인 결과에는 영향을 주지 않는다. 그러나 나머지 μnm, (n+m > 1)의 경우는 눈금잡기 변화에 따라 사라져버려 고정점 근처에서 전혀 영향을 주지 못하는 변수이다. 한편, μ00 의 경우에도 비록 s- 00에서 매우 중요해지기는 하지만, 이 결과는 원래의 해밀토니안의 페르미 준위(즉,화학 퍼텐셜 (chemical potential) μ)를 이동하는 것 이외에는 아무런 물리적 성질에 영향을 미치지 않는다. 따라서 페르미 액체 고정점에 대하여 2차 건드림이 가해지는 경우에 관련된 물리적 변화를 가져다주는 결합상수는 없음을 보였다.
그런데 만일 오른쪽과 왼쪽 또는 양쪽의 페르미점 주위의 페르미 입자가 결합되는 2차 건드림이 있다면 상황은 달라지게 된다. 예를 들어, 전자와 소리알의 결합 같은 경우에 Q = 2kF의 결합으로 m(¢- + ¢+)의 항이 있을 수 있다. 식 (5.65)에 보여 준 바와 같이 결합상수 m은 S→00에 따라서 발산하게 되는 관련 결합상수이다 그러나 이 m의 발산은 페르미 준위의 이동으로는 해결할 수 없는 새로운 항이다. 즉, 페르미 준위에 에너지 간격을 만들어 본래의 페르미 액체 고정점에서 벗어나서 발산되고, 페르미 액체 상태가 불안정해지는 결과를 초래하게 된다.
5.3.4 페르미 입자간의 상호작용페르미 입자간의 상호작용을 포함하는 작용량에 대해서도 똑같은 분석을 할 수 있다. 두 입자간의 상호작용 퍼텐셜을 u라 하면, 이 상호작용에 의한 작용량 SI는 S1 = 1 w u (1234) ¢• (1)¢. (2)¢(3)¢(4) (5.68)k•:.,J 로 주어진다. 이때 l = (k1wm) (l = 1,2,3 , 4)은 각 입자의 운동량, 진동수 및 r1 = 士룰 나타내며, fkw 三f d(1)d(2)d(3)d(4)로 정의한다. 업자간의 상호작용을 결정하는 결합상수 u(kw)의 페르미 액체 고정점 근처에 RG 흐름을 알아보자. 2차 건드림의 경우처럼 (kw) =O 근방에서 u(kw)의 눈금잡기에 따른 변환을 생각하면, u(kw) =Σnm n g"u,Ir n 으로 전개할 때 각 결합상수 u의 눈금잡기 변환은 Unm → S-m u,"" (5.69) 이 된다. 따라서 페르미 입자간의 결합상수 Unm 둘 중 오직 Uuo 항만이 겨우 상태로 남아 있고, 나머지 모든 항들은 무관련 항이다.페르미 입자간의 상호작용은 네 개의 페르미 마당에 대한 적분을 해야 하기 때문에 2차 건드림의 식 (5.58)처럼 간단하게 RG방정식이 구해지지 않는다. kE (AI/s,Ad의 구간의 ¢(k1w1) 페르미 마당을적분하기 위해서는 상호작용에 의한 작용량을 kE[0, Λ/s]의 마당으로만 이루어진 S 7(Λ/s)와 나머지 kE(At /s, Ad 의 마당 & 를 포함하는 SI의 작용량으로 나누어 쓸 수 있다. SI = S'l (A I s) + SI (5.70) 여기서 kE(A t/ s ， Ad의 마당를 적분하면 새 눈금에서의 배분함수를 구할 수 있다(.A/s) = e- S (iþ ') = e )-S ï JÐ (þ e - ι (4) ) - 5 1 (5.71) 그렇지만 불행하게도 식 (5.71)은 페르미온 입자간의 상호 작용을 포함하기 때문에 정확하게 적분이 불가능하며， 새 눈금에서의 배분함수 Z(A/s)도 정확하게 구할 수 없다. 여기서 한 가지 가능한 방법은 상호작용 항인 SI의 큐물런트 (cumulants) 전개를 통하여 건드림 근사 방법으로 계산하는 법이다. 실제 페르미 액체 고정점 근처에서 상호작용 결합상수의 변화를 보는 것이 우리의 목적이므로 이 건드림 근사 방법을 쓰는 것도 좋은 방법이라 할 수 있다. fμp (þ ee- ( )- L..J n! α 11 (5.72) 위 식의 건드림 급수 중 낮은 차수 항을 그림 5.9에 도형으로 나타냈다.
이 결과 를 RG 방정식으로 나타내면， ul = U + du(ZS) + dμ (ZSI) + du(BCS) (5.73) 으로 쓸 수 있고， 눈금잡기 변수를 s = e t로 할 때， 각 채널에 의한 기여는 1차원의 경우 다음과 같이 주어진다. du(ZS) = 0 (5.74)
2l RL _+ Æ- 、 -----I--l -、- .'/、 34RL +- ;핏 ζ:: + 2 품쏟 4
그럼 5.9 새 눈 금 에서 되 틀 맞 춤 결 합상 수 u ' 에는 본래의 결 합상수 u 와 (a) 전 진 산 란 (forward scatteri n g) 채 널(또는 ZS (zero- so und channel)), (b) 후 방 산란 (backward scattering) 치 l 널 (또는 CDW 채 널 ) 및 (c) BCS( 초전 도) 치l 널이 기여한다.
du(ZS') = g21 = - = -2 (5.75) c/1\ EL 41r lkl 21r A 271"ddu(BCS) = —g2 (5.76)2 71" 즉, du = du(ZS') + du(BCS) = 0로 상호작용 변수 u의 RG 방정식이 duf3(t) = Tt = o (5.77) 로 겨우임을 나타낸다.
다시 강조하지만 RG 흐름에서 du = O가 되는 것은 1차원 페르미 다체계의 특성이다. 특히 1차원의 상호작용 결합상수가 RG 흐름에서 겨우 변수라는 사실은 페르미 액체의 고정점의 관점에서 보면 매우 특이한 사실이다. 본래의 란다우의 가정이나 5.5절 이하에서 논의한 바에 의하면, 충분히 작은 에너지의 준입자는 거의 자유 입자로 존재해야 한다. 그러나 1차원 페르미 입자계에 상호작용이 있다면 눈금잡기를 한다 해도 입자간의 상호작용 결합상수 u•가 겨우 변수로 남아 있어 란다우의 준입자 개념과 상치하고, 동시에 페르미 액체의 또 하나의 불안정성을 의미한다. 그러나 이 불안정성은 전하(스핀)밀도파 또는 초전도 불안정성과는 매우 다른 새로운 바닥 상태임을 예견할 수 있다. 이러한 새로운 바닥 상태를 라틴저 액체라고 한다.
(1) CDW채널의 상호작용 결합상수그림 5.9(a)의 전방 산란(ZS) 채널과, (b)의 후방 산란(CDW) 채널의 상호작용을 살펴보자. 전방 산란은 (kF, _kF) -+ (kF,-kF)의 산란이고, 후방 산란은 (kF,-kF) -+ (-kF,kF)의 산란이다. 만약 페르미 입자의 스핀을 고려하지 않는다면, 아래의 작용량에서 보듯이S1 = 911"_(1)¢~(2)¢+(3)¢-(4) + 921"_(1)¢~(2)¢- (3)¢+(4) k•니(5.78) 마지막 상태의 (1) +-t (2) 의 교환으로 이 두 산란 과정이 같음을 알 수 있다. 그러나 입자의 스핀이 있는 경우에는 (1) +-t (2)의 교환이 불가능하기 때문에 전방 산란과 후방 산란은 서로 다른 물리적 채널에 해당된다.따라서 스핀이 포함된 경우의 스핀을 포함한 후방 산란의 상호작용 작용량을고려하면,Su = g1 1"' ;+ (1,_ (2)
g
그 림 5.1 0 상호작용 변수 gl 과 g 의 공간상의 RG 흐룹도. 각 좋은 라틴서 액 치 l 의 고정 풀.올 나타내고， 화살표는 RG 흐 름 의 방향을 표시 한다.
에 대하여 다음과 같은 RG 방정식을 준다. dg1 1 _2- = —~9i (5.80) 91(l) = ~ (5.81)1 + (gi/2rr) t
이 RG 방정식의 해에는 두 가지 경우가 존재한다. 첫째, (1) g1 ≥0 이면 91 이 겨우 무관련한 변수 (marginally irrelevant parameter)로 gi = 0가 고정점을 갖게 되고, 반면에 (2) g1<0 인 경우에는 비록 작은 값의 91(l)에서 출발하여도 RG 흐름에 따라 식 (5.81)이 발산할 수 있게 된다. 이렇게 발산하는 경우에는 지금의 건드림 방법으로는 다룰 수 없고, 다른 안건드림 접근 방식을 택해야 한다.지금까지 논의된 바를 요약하면, 간단히 그림 5.10으로 나타낼 수 있다. 여기서 라틴저 액체 상태는 고정점이 아니라, 상호작용 변수g•에 따라 서로 다른 고정줄(fix ed lines)로 표시된다.
5 .4 라틴저 액체5.4.1 보존화의 기본 생각페르미 입자계의 보존화를 생각하기 이전에 우선, 1 차원 페르미 입자계의 들뜸 에너지 스펙트럼을 생각해 보도록 하자. 길이 L인 줄에 놓여 있는 1차원의 자유 페르미 입자의 해밀토니안은 다음과 같이 적을 수 있다. H 。= c t ckk(5.82) 여기서ck (ck. ）는 페르미 입자의 생성(소멸) 연산자로 [ck,ct,]+ = Ow 의 교환 관계를 만족한다. 그리고 Ck = k2/2 또는 cosk이다. 이 페르미 입자계의 N개의 입자에 대한 바닥 상태를 |N 〉이라 하면, 그 바닥에너지 Eo 는 1l。|N 〉= E。|N 〉으로 결정된다. 운동량 q인 한 개의 들뜸 입자가 존재하는 상태는 |N+l; q> = ct lN 〉이고, 그 에너지는 E q =E。+c q이 된다. 간단히 말해 한 입자의 들뜸 에너지는 tl. E q =cq으로 그림 5.11에 보인 바와 같다. 그런데 두 입자의 들뜸 상태는 두 가지 경우가 가능하다. 하나는 입자의 수가 변하지 않는 입자_구멍 들뜸으로 |N;k> = ct+q c- q lN〉이 있고, 다른 하나는 입자_입자 들뜸으로 IN+2; k> = c t+qc:!:q lN 〉가 가능하다. 일단 입자의 수가 변하지 않는 경우를 생각하면 |qi < kF, lk+ql > kF의 조건이 가해진다. 따라서 그들뜸 에너지 스펙트럼은 tl. E> = (ck+ q-E:-q )0(lk+ q l-kF)0(kF-l q|)으로 주어지며, 그 결과는 그림 5.12와 같다. 마찬가지로 여러 입자의
êk
그림 5.11 한 입자의 뜰뜸 에너지 분산.
융 vFll F
그림 5.12 두 업자의 들 뜸 에너지 스펙트럼. 회색 부분은 연속적인 에너지 상태가 존재함을 나타낸다.
---
그럽 5.1 3 여러 입자의 들뜸 애너지 스펙트럼. 빗금 부분은 연속적인 에너지 상데가 존 재함 을 나타낸다 .
들뜸의 경우에도(입자의 수가 변하지 않는다면), 6.. E~ fI= ε ε(c j-C_q j β(Iki+qd -k F β (kF - Iqd) (5.83) k= (k rtkz+ -.. . ) qj 이 되고， 그 결과도 역시 그림 5.13과 같다. 이 그림의 k = 2nkF에서 입자-구멍쌍의 에너지가 E(2n) = 2π vFn 2 j L로 나타나는데， 이것은 약간 과장되어 나타났다. 이것은 페르미 준위에서의 자유 입자분산이 선형이 아닌 것으로부터 유도된다.
이제 보존화의 기본 생각을 이야기해 보도록 하자. 보존화의 기본 가셜은 한마디로 식 (5.82)의 1차원의 자유 페르미온 해밀토니안의 뜰뜸 에너지 스펙트럼과 똑같은 에너지 스펙트럼을 갖는 보존 해밀토니안을 만들 수 있다는 것이다. 페르미 준위 CF 근처에서 페르미온 해빌토니안을 아래와 같이 고쳐 쓰면， 11.0 = VF ε(Ikl- kp )(n k - (nk}o) (nk = ctcd (5.84) k 이다. 밀도 요동 연산자 Pq = εkct+qCk에 대하여 [H.o1 pq] = qPq (5.85)이 되어, 밀도 연산자 Pq를 보존 연산자 로 대응시킨다면 비슷한ᘕ운동 방정식을 얻을 수 있을 것으로 기대된다. [H。, b = VFqbt (5.86) 일단 이렇게 보존화를 하게 되면 곧바로 일반적인 상호작용 항 H'에 대하여 적분 가능한 보존 연산자의 2차항 꼴로 치환할 수 있게 될 것이다. H' = t VqpqP-q _. 1i' = (5.87)
q q5.4.2 1 차원 스핀 없는 전자계의 보존화위 5.4.1절에서 논의한 1차원 페르미 입자계의 보존화에 대하여 좀 더 논의하도록 하자. 우선 위의 식 (5.82)의 에너지 분산q.를 페르미 준위 근처에서 ck ~VF(|k|-k로 근사할 수 있으므로, 이것을 확대 해석하여 선형 에너지 분산을 갖는 페르미 입자로 가정하자[121]. 그러면 1 차원 페르미온계의 해밀토니안을 양쪽의 페르미점을 중심으로 두 개의 항으로 나누어 쓸 수 있게 된다. 1-l。= VF L (rk - kF)(nrk - (nrk 〉。)(5.88) lkl럼은 그림 5.14, 5.15, 5.16에 보인 바와 같이, 본래의 스펙트럼(그림 5.11, 512, 5.13 참조) 보다 훨씬 간단함을 알 수 있다. 더욱이 들뜸 에너지가 페르미 준위 에 비하여 작은 경우에는, 즉 Δεq « εF,μ 인 경우에는 이 선형 에너지 분산 근사가 매우 적절한 근사임을 확인할 수 있다.
이제 보존화를 위하여 먼저 밀도 요동 연산자 (density fluctuation operator)를 다음과 같이 정의하도록 하자. 페르미온 연산자를 정상 순서 (normal ordering)로 배열한 밀도 연산자 Pr(q) (r = 士)는 Pr(q) = : L c~k+q)Crk :k(5.90) 一{ Ek c:k+q) CrkNr = Lk-(nrk -
Ek
그렁 5.14 한 입자의 에너지 분산. 빗금 부분의 에너지 상태는 실제 전자의 분 산윷 나타내고， 점 올 찍은 부분은 양자의 가상적인 상태 를 표시 한다 .
Ek
그럽 5.15 두 임자의 에너지 스펙트럽. 어두운 부분은 실제 입자에 의한 들 뜸 에너지 상데 를 ， 점이 찍힌 부분은 가상 입자 양자의 들뜸 이 포 함펀 들뜸 상태 를 나타댄다.
k
그림 5.16 여러 입자의 애너지 스펙트럼 . 어두운부분은실제 임자 들 에 의한 들똥 에너지 상태 룹 ， 점이 찍힌 부분은 가상 입자 양자의 찰뜸 이 포함된 벼물리적인 들뜸 상태 를 나타낸다.
으로 정의되고, 이 밀도 요동 연산자간의 교환 법칙은 qL[Pr(-q),p,, (q')] = Orr'Oqq' (5.92) 을 만족한다. 여기서 q =O 방식 (mode)의 밀도 연산자 Pr ( q =O)가 특별하게 정의되었음을 주의하자. 이렇게 정의된 q-f 0의 밀도 연산자는 아주 재미있는 성질을 보인다. 그림 5.17에서도 보여주듯이 자유 페르미 입자계의 바닥 상태 |
E
그램 5.17 밀도 연산자 룹 보존 연산자화할 때 ， P :t. (q) 가 파동 벡터 q 의 밀도파 생성 또는 소멸 연산자 역할을 함을 보인다.
산자 b+(q)를 정의할 수 있다. bt (q) = (/2 P+(q) (q > 0) (5.94) b~(q) = （) 112 P-(-q) (q > 0) (5.95) 길이 L의 줄에서 정의하였으므로 q = (21rn)/L, (n = 士1 士2, ... ）이다. 이를 이용하여 페르미온의 밀도 요동 연산자를 개수 연산자 Nr과 보존 연산자 br( q) , bt (q)로 나타내면, p,.(q) = Nr: 112 {bt(q) + b-(q)} (5.96) 이다. 이때 연산자 bt(q)는 정확하게 보존의 연산자 교환 법칙을 만족한다. [br(q), b~( c/)] = Orr'Oqq, [br( q), br1 (q')] = [b~ (q), b~ (c/)] = 0 (5.97) 더욱이 진공에 대해서도 br( q)I 사 = O를 만족한다. 다만 q=O 방식만이 특별히 각 페르미점 영역의 페르미 입자의 개수를 나타낸다. 이 결과를 이용하면 1차원 자유 페르미 입자의 해밀토니안Ho는 식 (5.85)와 (5.86)의 조건을 만족하는 보존 해밀토니안으로 표현할 수 있게 된다. 1-l。= VF L lql[bt (q)b+(q) + b~(q)b_(q)] (5.98) q>O페르미온 해밀토니안을 이렇게 간단한 연산자 변환을 통하여 쉽게 보존 해밀토니안으로 바꿀 수 있었던 중요한 이유의 하나는, 1차원 페르미 입자의 들뜸 에너지가 페르미점 근처에서 선형적이고 그 결과로 모든 입자-구멍 들뜸의 에너지가 들뜸 벡터 q가 같은 경우에 항상
같은 값을 갖기 때문이다. 즉, 들뜸 에너지 ΔEq = vdql = ~k+ q -~k. 으로 들뜸 입자의 운동량 k와는 무관하다는 것이다. 따라서 모든 업자구멍의 들뜸이 같은 q의 주기로 결맞음(coherent) 상태를 유지한다는 것이다.
일단 자유 페르미온 해밀토니안을 보존 해밀토니안으로 바꾸어놓으면, 앞 절의 생각에 따라서 임의의 일반적인 상호작용 해밀토니안을 적분 가능한 꼴로 바꿀 수 있다. 일반적인 상호작용을 하는 해밀토니안을 Hint= I:12g2(q)p+(q)p_(-q) + g,,(q)(P+(q)p+(-q) q+P-(-q)P-(q))] (5.99) 으로 쓰면, 식 (5.94)를 대입하여 정리해서 다음과 같이 적을 수 있다. Hint= ~ I-: [l q lg4(q)（(q)b+(q) + b~(q)b_(q))q +g2(q)(bt(q)b~(-q) + b+(q)b_(-q))] (5.100) 이 식을 식 (5.98)과 비교하면 금방 두 식이 같은 꼴임을 알 수 있다. 따라서 전체 해밀토니안H = H。+Hint은 보고리우보프 (Bogoliubov)변환을 써서, 대각화(diagonalization) 를 시킬 수 있고, 그 결과는 다음과 같다. H=Ho+Hint(5.101) = I: u(q)lq|[(q)a+(q) + a~(q)a-(q)J(5.102) q>O w(q) = ulql = lql[(vp + g4(q)/(2) (g2(q)/(27r))2]1/2 (5.103)(1) 마당 연산자의 도입
앞 절에서 유도한 보존화된 해밀토니안을 이제 약간 다른 형태로 정준 (canon i cal) 마당을 도입하여 표현할 수도 있다. 먼저 페르미온 마당 연산자 ψ±(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다. ψ土(x) = li~ —— U± ex p[士i kFx =f i ¢(x) + i 0(x)] (5.104) E0 0(x) = 7r I x IT(x1)dx1 = flrl/2- ipx[P+(P) _ P-(P)] + (5.105) p≠0 pl JIT(x) = i L e- f lPl/2 - ipx[P+(P) (p)] + i; (5.106) p≠0여기의 변수를 각각 다음과 같이 표현할 수 있다. U = [(VF + g.if (21r)) (g2/ (27r)) 1 12 (5.111) I( = [~]1!2 (5.112)27rVF + g,i + g2
5.4.3 1차원 스핀 1/2 페르미온의 보존화앞 절에서의 결과를 이용하면, 우리는 쉽게 스핀이 포합된 1 차원페르미계의 해밀토니안을 보존화할 수 있다. H。= VF L (rk - kF)c.uCrku (5.113) r= 士,ku 27rVF = 了L Pru(q)Pru( 一q) r ,q>O,u(5.114) 스핀 자유도를 포함한 밀도 연산자는 Pra(q) = Lk C~l.-+q,aCrka 으로 간단히 확장하여 표시할 수 있다.자유 해밀토니안은 위와 같이 간단히 확장되는 반면, 상호작용을 기술하는 해밀토니안은 식 (5.78)에서 논의한 바와 같이 (kFa; -kFa’) 一(-kFa; kFa') {for a -/- a') (5.115) 서로 다른 스핀을 가진 경우의 후방 산란을 같은 작용을 하는 전방 산란으로 바꿀 수 없기 때문에, 식 (5.99)의 일반적인 상호작용 해밀토니안으로 기술이 불가능하다. 따라서 스핀 1/2의 페르미 입자계를 기술하는 해밀토니안에는 이 산란을 기술하는 항이 추가로 필요하다. 11ll = E E ,kg,g.p+2kp+qu1C-,k-2kp-qu {5.116)마당 연산자를 이용하여 기술할 때 편의상 다음과 같이 p ,u =(¢」. )/, n p,c = (H f士Il i)/J:죄 전하와 스핀으로 분리된 보존마당 연산자를 도입한다. 그러면 전체 해밀토니안은1{ = 1-1.p + 1-l u + 틀 /dxcos( ) (5.117)이다 여기서 마지막 항은 위의 식 (5.116)에서 유도된 것이고,1-1.p, u는 1-1.,, = j dx[n/ + (8x
식 (5.116) - (5.122)는 매우 흥미로운 결과이다. 보존화 과정을 거쳐서 %(T와 II p. c 으로 해밀토니안을 다시 정리하면, 스핀만이 갖는 특별한 상호작용 때문에 유효 해밀토니안의 후방 산란 상호작용 변수 gp,tr와 전방 산란 상호작용 변수 94,p(4,tr) 값이 전하 채널과 스핀 채널에 대하여 각각 다르게 변함을 볼 수 있다. 그 결과로 인하여 1차원 라틴저 액체계에서는 전하의 들뜸과 스핀의 들뜸이 서로 다른 들뜸 에너지를 가지고 일어날 수 있다는 것이다. Wp(q) 'F Wu( q) (5.123) 한편, g(J'의 스핀 상호작용에 대한 후방 산란의 경우 앞의 5.3.4절의 RG 분석에서 (1) g1 > 0 이면 g1→gj = 0 고정점으로 수렴하게 되어그 고정점에서의 변수 K;가 K; = 1 및 Uu = VF 으로 자유 페르미 입자와 같아짐을 보였다. 반면에 (2) g1 < 0이면, RG 흐름이 발산하게 되어 |g1I이 매우 큰 값을 가질 수 있게 된다. 이 경우에 일종의 솔리톤 (soliton)의 해를 갖게 되어 기본 들뜸에 에너지 간격을 유도하게 된다. 그렇지만 실제 솔리톤의 해를 갖는 경우는 페르미 준위에 에너지 간격이 생기기 때문에, 페르미 액체 또는 라틴저 액체를 논의하는 것이 의미가 없게 된다. 따라서 이제부터는 라틴저 액체의 물리적 성질을 논의할 때 K; = 1 의 고정점에서 다루기로 하겠다.
5.5 라틴저 액체의 물리적 성질5.5.1 그린함수라틴저 액체의 물리적 성질은 보존화된 적분 가능한 해밀토니안으로부터 정확하게 구할 수 있다. 식 (5.110)과 같은 모양의 해밀토니안으로 표현하는 경우, 이 보존계의 기본적인 정준 변수 ¢(x)와 II(x)는 식 (5.108)의 정준 교환 관계를 만족하며, 원래의 페르미온 마당 연산자 ψ土(x)와는 식 (5.104)의 관계를 갖는다. 이제 관심 있는 물리량을 계산하기 위하여 페르미온 마당의 그린함수 〈ψr(X)ψ/; "/."(x') 〉의 계산이 필요한데, 이 계산꼴을 보존 마당으로 표시하면 〈e- i당에 대한 새로운 교환 관계를 유도할 수 있다. [(x),
으로, 자유 페르미 업자계에 대하여 G'hr(x)는 i 1G'r-r(x, t) = 一2n x 一rut + in(5.131) 임을 쉽게 구할 수 있다. 이것을 운동량-진동수 공간으로 푸리에변환을 취하면, 식 (5.1)의 페르미 액체의 페르미온 그린함수와 일치하여 준입자의 극이 w = ul q l에 존재함을 알 수 있다.
상호작용이 있는 경우의 그린함수 계산은 기본적으로 위의 식 (5.124)-(5.130)의 과정을 반복하여 얻을 수 있는데, 단지 다른 점은 이제 상호작용하는 해밀토니안의 바닥 상태가 더 이상 br( q )I 이 식을 5.4.3절의 전하와 스핀을 포함하는 경우에 적용하면, K; =1 의 고정점에서 스핀 c 페르미 입자의 그린함수는 GF(T,r = <1/Jr(T (x, t) (o) 〉 = i:1:: : exp[GBp,r(x, t)/2] exp[Gn(T,r(x, t )/2](x - u pt)1 12(x — )l/2(x2 — u~t 2)6/2(5.135) 이다.여기서 비정상상수 (anomalous constant) 8는 라틴저 액체의 전하 들뜸 에너지 변수 KP에 의하여 주어진다. o = (Kp + l/Kp - 2)/4 (5.136)
식 (5.135)에서 첫째 주목 해야 할 사실은 6 # 0 일 때 이 그린함수의 푸리에변환에 극이 존재하지 않는다는 것이다. 이는 곧 δ ≠ 0 인계에는 페르 미 준입자가 존재하지 않음을 의미하고, 들뜸 에너지 간격이 없음에도 불구하고 페르미 액체가 아님을 말한다.5.5.2 전하-스핀 자유도의 분리라틴저 액체에서 가장 흥미로운 사실은 위의 5.5.1절에서 보인 바와 같이 페르미온 그린 함수에 극이 존재하지 않고, 페르미 준입자가 존재하지 않는다는 것이다. 만일 페르미 준입자가 기본 들뜸이 아니라면, 과연 어떤 기본적인 들뜸이 존재하는지 생각해 보자.스핀이 존재하는 경우에 식 (5.109)의 관계식을 적용하면, 다음과 같이 전하밀도와 스핀밀도 연산자를 보존 마당 'Pp ,”로 표시할 수 있다.p(x) = -E , (j(x) = -l(5.137) 바닥 상태 | 〉에서 X = Xo 점에 페르미 입자를 더해 (xo)| 中〉 상태를 만들었을 때, 그 결과로 전하밀도와 스핀밀도의 전파를 관찰할 수 있다. 식 (5.127) 의 표현을 이용하여 계산하면, <'I/J+ (xa) p(x, t)) (xo)| 〉 = 5(x - x 。- ) (5.138)〈
이것은 5.2.3절에서 페르미 액체의 평형 상태의 성질에서 구한 결과 식 (5.24), (5.28) 및 (5.26) 과 잘 비교된다. 실제로 페르미 액체의 경우에는 준입자가 전하와 스핀을 함께 가지고 있기 때문에 'Y와 x가 같은 페르미 입자의 자유도에서 나오게 되고, 상호작용이 있는 페르미 액체에서 도 역시 상호작용의 종류에 관계없이 x 는 항상 서로 비례하는 양이 된다. 그러나 라틴저 엑체의 경우는 상황이 다르다. 식 (5.142), (5.143)에 보인 바와 같이 'Y /X CX: (ua/up + 1)/2으로 상호작용의 종류 크기에 Ua, Up가 변하게 되면 그 비율도 따라서 변하게 된다.
(2) 운동량 분포함수라틴저 액체의 비정상적인 그린함수의 또 하나의 중요한 결과는 라틴저 액체의 페르미 입자의 운동량 분포함수이다. 식 (5.135)에서 보여주었듯이 라틴저 액체의 그린함수는 적분 가능하여 정확하게 구할 수 있다. 이 식의 푸리에변환된 양을 이용하면 페르미 입자의 운동량 분포는 다음과 같이 구해진다.n(k) = -~ Jdw ImG(k,w) (5.145) 여기에 식 (5.135)의 결과를 적용하면, n/... ~ nk,.. - C sgn(k - kF)lk - kFl6 (5.146) 이 되고, 여기서 6는 식 (5.136)의 비정상상수이고, C는 상수이다. 이 결과도 역시 페르미 액체에서 준입자의 운동량 분포와는(식 (5.2) 참조) 대조적 임을 알 수 있다. 준입자의 존재에 가장 중요한 요소는 준입자 되툴맞춤상수 Zk≠0 이다. 라틴저 액체의 결과는 Zk = 0로 페르미면 주위에 준입자가 없는 경우에 해당되고, 따라서 운동량 분포에도 kF 주위에 불연속점이 없음을 알 수 있다.
N(E)
그림 5.18 (a) 라틴저 액체의 l! IJ 르미 준위 근처 의 상데 밀도함수 ， (b) 폐르미 액치 l 의 폐르미 준위 근처의 상티 l 밀도함수.
이번에는 ImG(k,w)의 운동량적분을통하여 상태 밀도함수 N(w)를 구하면, N(w) ~ lwlo (5.147) 이다. 이 결과 를 페르미 액체의 상태밀도함수와 비교하여 그림 5.18에 그려놓았다. 여기에서도 역시 페르미 준위에 페르미 준입자가 존재하지 않는다는 것을 분명하게 보여주고 있다.
(3) 질서 요동정확한 1차원에서는 양자 요동(quantum fluctuation)에 의하여 정렬된 질서 상태 (ordered phase)가 존재하지 않음은 이미 잘 알려져 있다. 그러나 1차원에서도 절대온도 T = O에서는 질서가 생길 수 있으며, 그 경향은 1차원 페르미계에서 상관함수를 구하여 알 수 있다 [132, 133].이미 잘 알려진 질서도 (ordering)는 CDW(전하밀도파), SDW (스핀 밀도파), SC(초전도) 등이 있다. 여기서 예를 들어 CDW 질서도를 나타내는 연산자는 OCDW(x) FXO cow(x) = > S +s = li m —— e- i v'2, cos[ /2 (5 .148) (一0 7r 으로 나타낼 수 있어 , CDW 질서를 재는 상관함수는
/((1
그립 5.19 라틴저 액체의 상호작용 변수 Kp 와 Ku 의 크기에 따 른 1 차원 질서 상도형 .
이것으로부터 1차원 라틴저 액체계에는 상호작용의 크기에 따라서 서로 다른 여러 종류의 질서 요동이 크게 일어날 수 있음을 예상할 수 있다. T→O의 극한에서 K p < l이면 q = 2kF 의 SDW(CDW) 질서가 지배적이고, 반면에 Kp > 1이면 TS(t riple t sup erconductin g : 삼중항 초전도 상태, singlet superconducting(SS) : 단일항 초전도 상태) 쿠퍼쌍 요동이 지배적임을 말해 준다. 상호작용 변수의 크기에 따른 질서 상 도형(phase diagram)이 그림 5.19에 있다 [133].
5.5.4 전자-포논 상호작용페르미 입자계, 특히 전자계의 가장 중요한 상호작용의 하나가 바로 전자一포논 (elec tron-p honon) 상호작용이다. 이 절에서는 1차원 페르미 입자계에 대한 전자_포논의 상호작용의 영향이 어떤 것인지 살펴보기로 하자.
변형 퍼텐셜(deformation potential) 근사에서 소리 알의 해밀토니안을 쓰면1lp1i = j dx[ + d) (5.159) 으로 적을 수 있고, d는 소리의 포논 마당 연산자를 의미하고 ITd는 정준 켤레 (canonical conjugat e)를 의미한다. [d(x), Ild(Y)] = i o(x — y) (5.160) 그리고 전자포논의 상호작용을 기술하는 해밀토니안은 1-l c1 一p/r = g{i ~ J dx 1/;;1/Js8xd (5.161) 이 된다. 일단 I<; = 1 의 고정점에서 전자의 해밀토니안은 식 (5.118)에서 Hc1 = Hp+H”으로 주어진다 그러면 분배함수는 Z =Tre-8 에서 구해지며, 여기에 전자와 포논의 마당을 모두 포함한 전체 작용량은 (138] {J rLS = 1 μ dT 1,., dx[ + p + + Lp-p l,] (5.162) 0 J O1 TT2 , (c2p h = -rr + ―-( )2 - iI1d8Td (5.163) 2( u • 2 ~rr )2 - il (5.164) .Cp-ph = g (x d)(p) (5.165) 으로 구해진다. 그런데 전자-포논의 결합이 순전히 전하 채널에서만 이루어지므로, 스핀 채널의 작용량은 전자_포논계의 작용에 특별히 다른 영향을 미치지 못한다. 따라서 스핀 마당 ¢”과 포논 마당 d의자유도를 적분하여 전자의 전하 마당 p만을 포함하는 유효 작용량을 구하면, e-Slt/>pl = J 'DIId'D dV; e - S (5.166)이다. 유효 작용량 S[p]은 다음과 같이 구해진다. ] = (kw)l
전자와 포논이 결합된 계의 페르미온 그린함수는 5.5.1절의 식 (5.127)-(5.134)의 방법을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다 [138]. Gs(x, r) ~ |x, r1-1-o(5.170) Ku. 1 .. B.AK(5.171) 6= —+— -1+ —+——2 4 • 4Ku - • 4Kp • 4A(up ,c,b) = ~(1 + ~)V+ +v_ ' V+V(5.172)B(up ,c,b) = ~(1 + ~)V++V-' U p(5.173) V+ +v_ ' V+Vvl = ½ [(u~ + c2) J(u) (5.174) 따라서 전자-포논 상호작용이 있는 경우에는 포논의 존재에 의하여 라틴저 엑체의 상호작용이 뒤처지게 되고, 또한 그 상호작용 변수와 비정상상수 8의 크기가 달라짐을 알 수 있다. 또한 더욱 중요한 것은 전자―포논 상호작용의 도입으로 b/upc→1의 극한에서 라틴저 액체 상태가 긴 파장의 불안정성이 생길 수 있다는 사실이다. 실제 라틴저 액체의 안정성을 위해서는 up > u; = bc가 필요하다.
한편, 자유 페르미계에 전자-포논 상호작용이 도입되는 경우에는 비록 KP = Ka = 1이지만, 전자-포논 상호작용에 의하여 비정상상수 6 가 8 = 1 + 4 - 상 ≠ 0 이 된다. 이 사실은 전자간의 상호작용이 아니라, 전자一포논 상호작용만으로도 1 차원 전자계는 페르미 액체가 아닌 라틴저 액체의 상태에 있을 수 있음을 보여준다.5.6 결론지금까지 우리는 1차원의 페르미 입자계가 그 보다 높은 차원에서의 입자계와 얼마나 다룰 수 있는지 살펴보았다. 높은 차원의 페르미 입자계는 란다우의 페르미 액체 이론에서 가정한 바와 같이 자유 전자의 해밀토니안에서 구한 해를 기본으로 준입자의 개념을 도입하여 많은 물리적 현상을 이해할 수 있었다. 그러나 높은 차원의 페르미계와는 대조적으로, 1차원의 페르미 입자계에서는 입자간의 상호작용이 작은 들뜸을 다루는 에너지 눈금에 대해서도 겨우 변수로 남아 해밀토니안의 중요한 항으로 작용하기 때문에, 페르미 액체 이론의 준입자가 더 이상 존재하지 않는 경우에 해당된다. 따라서 자유 전자의 해밀토니안의 해를 이용할 수 없고, 정확하게 적분 가능한 양자 가적분 모형의 해를 기본으로 해서 물리적인 성질을 이해할 수 있는 것이다.
예를 들어, 허바드 모델을 2장에서와 같이 베테안자츠 (Bet heansatz) 방법으로 정확히 구한 결과를 이용하면, 라틴저 액체의 해밀토니 안의 유효 상호작용 변수 KP를 K; = 1( 즉, Uu = VF)의 고정 점에서 정확히 구할 수 있다. 따라서 각 모델에서 주는 Kp(또는 K;) 의 값에 따라서 1 차원 페르미계의 물리적 성질이 결정되므로, 양자 가적분 모형의 연구는 1차원 페르미계의 이해에 매우 중요한 위치를 차지한다고 할 수 있다.최근에 미세계, 콘도 효과, 분수 양자국출 효과, 유기 화합물 전도체 및 고온 초전도체 등의 저차원 응집물질물리계에서 많은 재미있는 문제들이 제기되고 있기 때문에, 라틴저 액체의 성질과 보존화 방법론은 1차원 또는 그 보다 높은 차원에서 새로운 물리를 이해하려는 시도에 초석이 될 것으로 기대된다.부록 A: 양자군과 결정기저
강석진(서울대)A.1 서론이 글은 지난 1995년 4월 8일 이화여자대학교에서 열린 이론물리학회에서 필자가 강연한 내용을 정리한 글이다. 강연 내용 자체가 새롭고 어려운 연구 성과를 발표한 것이 아니라 요즘 유행하는 양자군과 그 표현론을 알기 쉽게 소개했던 것인 만큼, 이 글은 대부분의 학술적인 논문들의 공통적인 특징인 딱딱한 형식에서 벗어난 부드럽고 쉬울 것이다. 따라서 이 글을 읽으면서 학문적인 권위가 손상받은듯한 모욕감을 느끼는 사람이 있다면 그저 너그러이 이해해 주길 바랄 뿐이다.1985년 Drinfel'd와 Jimbo는 풀 수 있는 격자 모형 이론(solvable lattice model theory)을 연구하는 과정에서 지금은 양자군(Quantum Groups)이라고 불리는 새로운 대수적 구조를 생각해 냈다 [139, 141]. 두 사람의 접근 방법이 약간 차이가 있긴 하지만, 우리는 양자군을 다음과 같이 이해하면 된다. 즉, g를 어떤 캑-무디 (Kac-Moody) 대수라고 하고, q를 매개 변수라고 하자. 양자군이란 각각의 q에 대응하는 어떤 호프대수 (Hopf algebra) Uq(g)들의 스펙트럼으로, q가 1에가까이 갈 때 호프대수 Uq(g)의 구조가 캑-무디 대수 g의 보편 덮개대수 (universal enveloping algebra)의 구조와 같아지는 것을 말한다. 여기서
representation)들은 다음과 같이 표시 할 수 있다. 우선 m을 음이 아닌 정수라고 하자. 그러면 (m + 1) 차원의 기약표현 V(m)은 조건e • v = 0, h • v = m.v (A.2)를 만족하는 0이 아닌 벡터 v로 생성되며 (m+ 1) 개의 벡터로 이루어진 기저{V, f · V, • • • , f'n • V} 를 갖는다.한편, 이번에는 세 개의 원소 e, f, h로 생성되고 다음의 관계식(A.3)으로 정의되는 결합대수(associative algebra) U(sl2)를 생각하자.he —eh = 2e, hf —f h = -2!, ef - f e = h (A.3)이렇게 정의된 결합대수 U(sl2)를 리대수 sl2의 보편덮개상수(universal enveloping algebra)라고 부른댜 일반적으로 어떤 리대수와 그것의 보편덮개상수의 표현들은 그 구조가 본질적으로 같다는 사실이 잘알려져 있다. 또한 리대수의 보편덮개상수는 호프대수의 구조를 갖기 때문에 주어진 표현들에 대하여 그들의 텐서곱(tensor product)을 정의할 수 있다.
이젠 리대수 sl2에 대응하는 양자군 Uq (sl2)를 정의해 보자. 이것은 e, J, K 이라는 원소들로 생성되고 다음의 관계식 (A .4)로 정의되는 C(q) 위에서의 결합대수를 말한다. KeK一1 = q2e, I위해 다음과 같은 엉터리 계산을 해보기로 하자. 일단 K를 qh로 이해하자. h는 리대수의 원소이지 숫자가 아니므로 q를 h만큼 제곱했다는 것이 무슨 뜻인지 알쏭달쏭하지만, 이왕 엉터리 계산을 하기로 한 이상 그냥 넘어가자. 이제 관계식 (A.4) 중에서 처음 나오는 식 KeK-1 = q2e를 살펴보겠다. 여기서 K를 qh로 생각하기로 했으니까 이 식은 q'Ieq-1' = q2e로 나타낼 수 있다. 이 식에 q = 1을 대입하면 e = e가 나오므로 아무런 성과가 없다. 이번에는 이 식의 양변을 q로 미분해 보자. 어차피 엉터리 계산이지만 그래도 미분은 미분이니까 고등학교 때 배운 미적분의 곱셈 공식을 쓰면, 우리는 hqh-leqh -lehq-h-1 = 2qe 라는 등식을 얻는다. 이 식에 q = 1을 대입하면 관계식 (A.3)의 첫번째 식인 he-eh = 2e를 얻게 된다. 즉, 관계식 (A.4)의 첫번째 식은 q가 1에 가까이 갈 때 관계식 (A.3)의 첫번째 식에 가까이 간다고 말할 수 있다. 마찬가지 방법으로 관계식 (A.4)의 두번째 식도 q가 1에 가까이 가면 관계식 (A.3)의 두번째 식으로 가까이 감을 쉽게 알 수 있다. 이번에는 관계식 (A.4)의 마지막 등식 ef- f e =qh - q-hq- q-1 을 살펴보자. 여기에 q = 1을 대입하면 분모 분자가 0이 되므로 그 값을 알 수 없다. 이럴 때는 로피탈의 정리를사용하라고 정석에 나와 있다. 물론 이렇게 함부로 로피탈의 정리를 쓰면 가끔 문제가 될 수도 있지만 그런 건 무시해도 좋을 만큼 아주 작은 양이므로 무시하자. 무언가 께름칙한 사람은 자유낙하운동을 비롯한 수많은 물리 법칙들을 생각하고 안심하기 바란다. 이렇게 안심하고 로피탈의 정리를 쓰면hqh-1 + hq-h-1ef - f e = lim = h
임을 쉽게 알 수 있다. 즉, 관계식 (A.4)는 q가 1에 가까이 감에 따라 관계식 (A.3)에 가까이 감을 알 수' 있고, 이런 의미에서 양자군 uq (sl2)의 구조는 q가 l 에 가까이 갈 때 보편덮개상수 U(sl2)의 구조로 수렴한다고 말하는 것이다.
이제 좀 더 일반적인 이야기를 하도록 하자. 먼저 g를 주어진 카탄 (Cartan) 행렬 A = (a,j )1 ,J EI 에 대응하는 어 떤 객-무디 대수라고 하자. 이 것은 원소 e,, J, (i E I)와 백터 공간 h 로 생성되는 리대수로 다음과 같은 관계식으로 정의된다. [h, h'] = 0 모든 h,h' E h, [h, e;] = 아 (h)e i, [h, Ji l = -:t ;(h) f; (i E J), [e;,h i = 8; j h; (i,j E J), (ade;)l-a;;(ej) = (ad/i)1-au( fi) = 0 (i ) (A.5) 여기에서 h, 들은 선형 종속인 h의 원소들이며, q들은 h 위에 정의된 선형함수로 악 (hi) = a ij를 만족하는 것들이다. 이렇게 정의된 캑-무디 대수는앞서 우리가 살펴본 리대수 sl2를 일반화한 것이다 ([142] 참조). 따라서 똑같은 방법으로 양자군 Uq(sl2)의 정의를 확장하여 캑-무디 대수 g에 대응하는 양자군 Uq(g)를 정의할 수 있다. 우선 몇 가지 기호들을 정의하자. n을 어떤 양의 정수라고 하고 i를 I의 한 원소라고 할 때 우리는 qi = q.il , [n]; = [n] = [1];(2]; • • • [n-l]i[ n];,ein) = e?/[n] i!, Ji(n) = l?/[n] i!라고 정의한다 그리고 벡터 공간 h안의 어떤 격자 PV를 생각하자. 그러면 양자군 Uq(g)는 원소 e;, l i(i E J)와 q" (h E pv)들로 생성되고 다음의 관계식 (A.6) 으로 정의되는 C(q) 위의 결합대수를 말한다. qhqh' = qh+h' (h, h' E Pv),q''e,q_,' = q° .,(h)e, , q''J,q_,' = q-o, (h)J, (i E I , h E P V), K i - K i- 1 [e;, f= T (i,j E I),q; -qi Σ\ e!'I ) = > f ,(m)J1f 1(n) = O (i =/- j)(A.6) m + n = l 一(l,J m+ 11 = 1- a,1 양자군 Uq(g)도 양자군 U(I(sl2)와 마찬가지로 호프대수의 구조를 가지며, 따라서 주어진 표현들의 텐서곱을 정의할 수 있다. 우리는 양자군 Uq (sl2)의 예에서 본 것처럼 q가 1에 가까이 갈 때에는 양자군 Uq(g)의 구조가 캑 -무디 대수 g의 보편덮개상수의 구조와 같게 됨을 알 수 있다. 즉, 양자군이란 각각의 q에 대응하는 어떤 호프대수 Uq(g)들의 스펙트럼으로, q가 1에 가까이 갈 때 호프대수 Uq(g)의 구조가 Kac-Moody대수 g의 보편덮개상수의 구조와 같아지는 것을 말한다.
A.3 결정기저 이론이제 양자군 Uq(g)의 표현론에 대하여 알아보도록 하자. 만일 어떤 Uq(g)－모듈 M이 다음의 두 가지 조건들을 만족시키면 M이 적분 가능하다고 한다.1) M = EBAMA. 여기에서 lvh = {u E Ml q1'u = qA(h)u v h EPV} 이며, 이 부분공간을 무게 공간(weight space)이라고 부른다.2) 모든 i에 대하여 M은 유한차원 인 (sl2)＿모듈들의 합이다.우리가 매개 변수 q에 복소수 값을 대입할 때 1 의 n 제곱근 값은 대입하지 말기로 하자. 이러한 경우에 Lusztig은 캑-무디 대수 g의 적분 가능한 모듈이 양자군 Uq(g)의 적분 가능한 모듈로 변형될 수있음을 증명하였다[148]. 이때에 각각의 무게 공간들은 변형된 후에도 그 차원이 변하지 않는다. 이와 같은 Lusztig의 연구 결과로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 즉, 우리는 많은 경우 주어진 적분 가능한 모듈들의 캐릭터 chM = ΣλdimM,x eλ를 계산하고 싶어한다. 그 이유는 캐릭터들이 정수론에서 가장 중요하게 생각하는 함수들 중의 하나인 보형함수 (modular functions)라든가 풀 수 있는 격자모형에서 나오는 한점 함수 (one-point function) 등 여러 가지 재미있는 함수들을 나타내기 때문이다. 그런데 Lusztig의 결과에 의하면 무게 공간들의 차원은 q의 값에 관계없이 일정하므로, 어떤 특정한 q의 값에 대하여 캐릭터를 계산할 수 있으면 그 값이 1의 n제곱근 이 아닌 모든 q의 값에 대응하는 양자군에 똑같이 적용되는 값이 된다. 따라서 우리의 관심은 캐릭터가 언제 쉽게 계산될 수 있는가에 모아진다. 미리 답부터 말하자면 q가 0일 때 캐릭터를 (비교적) 쉽게 계산할 수 있다. 아까
의 부분환이라고 하면, L은 M의 A부분모듈로 M ~ C(q) AL을 만족한다. 즉, L의 상수환을 확장하면 M을 얻게 된다.
2) B는 C 벡터 공간 L/qL의 기저이다. B를 q = O 일 때의 L의 기저라고 한다. 즉, q = 0 일 때란 우리가 L을 qL로 나눈 공간을 생각한다는 뜻이다.3) L과 B는 무게 공간으로 분해된다. 즉, 다음의 등식이 성립한다. L = EBL,\ (여기에서 L,\ = LnM,\), B = UλBλ(여기에서 Bλ = B n (Lλ/qLλ))4) 가시와라 연산자는 L 과 B 를 자기 자신으로 보낸다.5) B 의 원소 b와 U 에 대하여 b' = hb 일 필요충분 조건은 b = ei b'이다.성질 5)를 이용하여 우리는 집합 B에 그래프의 구조를 줄 수 있다. 즉, B의 두 원소 b와 b'사이에 b' = hb의 관계가 성립하면 우리는 화살표 b _!___. b'를 정의할 수 있다. 이렇게 얻어진 그래프를 결정 그래프 (crystal graph)라고 부른다. 결정 그래프는 양자군의 표현 구조를 잘 반영하고 있으므로, 결정 그래프를 이해하면 양자군의 표현 구조를 상당히 많이 파악할 수 있다. 즉, 결정 그래프가 양자군의 표현의 뼈대와 같은 것이라고 보면 된다. 그림 A.l은 양자군 Uq (sl2) 의 기약표현 V(m) 의 결정 그래프이고, 그림 A.2는 양자군 Uq (sb)의 기약표현 V(A1 +A2) 의 결정 그래프이다. 이러한 결정 그래프를 살펴보면 양자군의 기약표현들의 차원이라든가, 각각의 무게 공간들의 차원들이 뚜렷하게 드러남을 쉽게 알 수 있다.따라서 양자군의 표현을 이해하려면 그것의 결정 그래프를 구체적으로 나타내는 것이 중요한 과제가 된다. 유한차원의 단순 리대수
Vo '-/V'o -f'2 ) -vo ' --’F~ ’” ,’ Vo
그램 A.2
들 중에서 고전적인 모형에 대응하는 양자군의 표현들에 대해서는 그들의 결정 그래프를 영 타블로 (Young Tableaux)를 사용하여 구체적으로 나타내는 방법이 Kashiwara와 Nakashima에 의해 개발되었다[146]. 그러나 예외적인 단순 리대수에 대응하는 양자군의 표현들의 결정 그래프를 영 타블로를 사용하여 구체적으로 나타내는 방법은 G2라는 모형에 대응하는 양자군에 대한 Kang과 Misra의 결과 이 외에는 알려진 것이 없다[144). （영 타블로를 사용하지 않는 방법은 (147]을 참고하기 바란다.)
유한차원 단순 리대수를 넘어서 어파인 (affine) 양자군의 표현들에 대해서는 Kashiwara, Kang, Misra, Miwa, Nakashima, Nakayashiki가 경로(path) 라는 개념과 완전결정(perfect crystal)을 이용하여 결정 그래프를 구체적으로 나타내었다[143]. 그러나 아직도 예외적안 모형의 어파인 양자군이나 그것을 넘어선 수많은 양자군의 표현들에 대해서는 결정 그래프의 구조가 알려진 것이 없다.
A.4 양자군 Uq(sl2)와 결정 그래프이 단원에서는 어파인 양자군 Uq(sl2)의 가장 기본적인 표현 V(Ao)의 결정기저를 예시하고 그 표현의 스트링함수와 풀 수 있는 격자 모형의 한점함수가 일치함을 간단히 살펴보겠다. 어파인 양자군Uq(sl2)은 C(q) 위에서 eo, eI, f o, JI, K, K f', D 士1 이라는 원소들로 생성되고 관계식 (A.6)으로 정의되는 결합대수를 말한다. 어파인 양자군 uq(sl2)에 대응되는 캑 -무디 대수를 A~i1) 모형이라고 부르는데, 무한차원 캑-무디 대수 중에서는 가장 간단한 것이라고 할 수 있다.그러나 이렇게 간단한 캑-무디 대수가 수리물리학뿐 아니라 정수론, 조합론 등 다양한 분야에 매우 중요하게 응용된다. 특히 J acob i의 세겹 항동식(triple product identity)이 어파인 캑 -무디 대수 sl2의 분모 항동식 (denominator identity)임이 밝혀진 후에 많은 각광을 받고 있는 대수적 구조이다.우선 어파인 양자군 Uq(sl2)의 표현 V(Λo)의 결정 그래프를 만들기 위하여 그림 A.3에 어파인 양자군 Uq(sl2)의 완전결정 B를 소개한다.완전결정이 무엇인지 정의라도 해야 하겠지만 지루해질지 모르
0
그립 A.3
므로 그냥 넘어가겠다 다만 우리가 어파인 양자군 Uq(교)의 표현V( J\. o)의 결정 그래프를 구체적으로 만들 때 완전결정이 핵심적인 역할을 담당한다는 것만 기억하면 된다. 그러면 도대체 어떤 핵심적인 역할을 담당하는지 간단히 살펴보자. 우리가 완전결정을 사용하여 어파인 양자군 Uq(sl2)의 표현 V(Λ0)의 결정 그래프를 만들 때 다음의 정리가 열쇠이다. 증명은 생략할 것이고, 왜 이 정리가 열쇠인지 이 글에서는 완전히 설명할 수는 없지만, 그래도 약간만 설명해보겠다.
정리 A.1 ([143])B(Λ. o) B ~ B(Λ1)B(Λ. 1 ) B ~ B(Λo)위의 정리로부터 우리는 다음과 같은 관찰을 할 수 있다. B(Λo) ~ B(Λi) B ~ B( Λ.o) B B ~ ·· B B B B 즉, 어파인 양자군 Uq(sl2)의 표현 V(Λo)의 결정 그래프는 완전결정 B를 한없이 텐서곱한 것과 비슷하다. 이러한 관찰을 바탕으로 우리는 완전결정 B의 원소들로 이루어진 다음과 같은 수열을 정의하고 이것을 바닥 상태 경로(ground-state path)라고 부른다. PΛ。= (PΛo (k))k=l,2, ·· · = (· • • • • • l, 2, 1, 2) 여기에서 k를 거꾸로 읽어 나간다는사실에 주목하자. 즉 ,PΛo (l) = 2, PΛ。(2) = 1, • · • 등이다. 이제 완전결정 B의 원소들로 이루어진 (즉, 1과 2로 이루어진) 수열들 p = (p(k)) 중에서 충분히 큰 k에 대하여p (k) = PA。(k) 를 만족시키는 수열들을 Λ。- 경로라고 부르기로 하고,啕그러한 수열들의 집합을 P(Λo) 라고 표시하면, 바로 이것이 어파인 양자군 Uq（sl2)의 표현 V(Λo) 의 결정 그래프 B(Λo)를 구체적으로 나타낸 것이다.
정 리 A.2 ([143]) B(Λo) ~ P(Λo) 그림 A.4는 어파인 양자군 Uq(sl2)의 표현 V(Λo)의 결정 그래프의 시작부분을 나타낸 것이다 . 그림에서 동그라미 친 부분들은 바닥 상태 경로와 달라진 부분들을 표시한 것이다.
1 2 1 2 1 2
이제 어파인 양자군 Uq(sl2)의 표현 V(Λo)의 결정 그래프를 이용하여 스트링 함수를 계산해 보자. 우선 완전결정 B 위에 에너지함수 H : B ® B →z를 다음과 같이 정의한다. B(l 1) = B(2 1) = B(2 2) = 1 B(l 2) = 0 그러면 어파인 양자군 Uq(sl2)의 표현 V(Λo) 의 캐릭터는 다음의 공식으로 계산할 수 있다.
정리 A.3 ([143]) p = (p (k))를 A 。_ 경로라고 하자. 이때 p의 무게는 다음과 같다. ∞w t(p) = Ao + L(wt(p(k)) - wt (PA。(k))) k= l ∞+ L k(H(p(k + 1) ® p (k)) - H(pA。(k + 1) ® PA。(k)))6 k=l따라서 어파인 양자군 Uq(sl2)의 표현 V(Λo)의 캐릭터는 chV(Λo) = L e wt(p) pE'P(Λo) 와 같다.우리는 Λo의 스트링함수 S(Λo)를 S(Λo = e-Λo L ewt(p) p EAo- 스트링 로 정의한다. 그러면 그림 A.4에서 볼 수 있는 것처럼 어떤 경로p가 Ao-스트링에 있으면, 충분히 큰 어떤 짝수 N에 대하여 그 수열의N항까지에 있는 1의 개수와 2의 개수가 똑같음을 알 수 있다. 따라서 모든 k에 대하여 w t(p (k))-w t (PA 。(k) = 0가 된다. 그러므로 eδ를 q로 놓으면 스트링함수 S(Λo)는 정리 A.3에 의하여 다음과 같은 식으로 표현된다. S(Λo) = L :_ 1 k(H( p(k+ l) ®p (k))-H( p,。(k + l ) ®p,0(k))) 7,EAo- 스트링 풀 수 있는 격자 모형 이론에 익숙한 사람은 놀랍게도 이것이 바로 6 꼭지점 (ver t ex) 모형의 한점함수와 같다는 것을 알 수 있을 것이다.
이렇게 간단하게나마 살펴본 것처럼, 풀 수 있는 격자 모형 이론의 상당히 많은 부분이 양자군의 표현론으로 설명킬 수 있다. 이 글에서 설명한 것은 수학과 이론물리학 사이의 밀접한 관계를 보여주는 극히 부분적인 예일 뿐이며, 수학과 이론물리학의 깊은 연관은 앞으로도 무한히 개발될 것이다. 이제 우리나라에서도 수학자와 물리학자들이 서로 협력하여 두 분야에 모두 도움이 되는 의미 있는 연구 결과를 일구어내기를 기대해 본다.부록 B: 양자 변형된 원자가 결합 상태
와이밍 쿠(서울대)우리는 양자 그룹 대칭 (quantum group symmetry)을 사용해 1차원 스핀 1 시스템에 대한 변형된 원자가 결합상태 (Valence Bond States: VBS)에 대해서 연구하였다 변형된 VBS는 자유 매개 변수 q를 수반하는데, 그것은 q=1 에서의 정상 VBS를 포함한다. 우리는 q가 실수일 때 변형된 VBS 가 본질적으로 q= 1에서와 같은 성질을 갖는다는 것을 보였다. 또한 우리는 q가 복소수인 경우에 대해서도 논의해 보았는데, VBS가 일반적으로 다르게 행동하고, 특히 그것은 스핀 l 시스템의 기저 상태가 아니라는 것을 발견하였다.B.1 서론원자가 결합 상태(VBS)는 응집물리와 통계물리에서 중요한 역할을 한다. VBS 는 RVB 메커니즘 (150]에 의해 고온 T-c 초전도성을 설명하기 위해 제안되었고, 스핀 연산자에 대한 슈윙거 보조닉 표현 (Schwinger bosonic representation)을 사용해 VBS가 재스트로 형태(Jastrow type) 파동함수[152]를 갖는다는 것을 보일 수 있기 때문에 부분 양자一홀 효과(fractional quantum Hall effect)[151]를 이해하는 데 관계할 것으로 생각된다. 양자 스핀 고리 관점에서 보면 VBS는 할데인 (Haldane)의 추측[156]과 관계가 있는데， 이것에 의하면 하이젠베르크 반강자성 (Heisenberg anti-ferro magnetic:HAF) 점에서 정수와 반정수 스핀 고리들은 서로 다르게 행동한다. 전자는 질량이 있는 들뜸 (massive excitation)을 갖는 반면 후자는 질량이 없는(massless) 들뜸을 갖는다. 실제로 스핀 (spin)에 대해 HAF 고리는 적분 가능하고 오랫동안 질량이 없다고 알려져 왔다. 스핀 1 고리에 대해서는 VBS 기저 상태 [154， 157]를 갖는다고 제안되었는데， 이것은 엄격하게 질량이 있는 들뜸을 갖는다는 것으로 증영될 수 있다. 실제로 sl(2) 대칭성을 가지고 있는 더 일반적인 스핀 1 고리의 상 도형 (phase diagram)[155]에서 보면 VBS를 정확한 기저 상태로 가진 특별한 점이 있다. 해밀토니안으로 스핀 2 사영기 (projector)를 가지고 있는 이 특별한 점은 HAF 점에 근접해 있고， 같은 보편성 부류(universality class)에 속한다고 생각되어진다. 좀더 엄밀히 말하자면， 스핀 0 상태들이 빈자리로 취급되는 격자 가스 공식을 사용해서 이 두 고리들이 Néel 위상 (phase)과 비슷한 장거리 반강자성 (AF) 스핀 질서의 특정을 갖지만， 스핀 위치 무질서를 갖는 무질서 평면 위상 (disorder flat phase: DOF)에 속한다는 것을 보일 수 있다 [157]. 사실 정확한 VBS 기저 상태를 갖는 특별한 점은 재규격화군 흐름에서의 고정점 역할을 한다. 더구나 비슷한 해석과 논거가 정수 스핀 HAF 고리의 질량이 있는 들뜸을 설명하는 더 큰 정수 스핀 고리에도 적용될 수 있다. 스핀이 1/2보다 큰 HAF 고리 모형은 최근거리 상호작용의 경우와 달리 DOF 상에 있지 않고 따라서 HAF와는 다른 보편성 부류에 있다.
이 논문에서는 정확한 VBS 기저 상태를 갖는 스핀 1 고리의 변형에 대해 생각해 보겠다. 이 변형의 목적은 sl(2)가 더 이상 대칭이 아니고 대신에 정확한 대칭은 양자 그룹 Uqsl(2)[158, 160]라는 점에서비등방성을 가진 스핀 고리에 대한 VBS의 구조를 일반화하는 것이다. 그러므로 이 변형으로 VBS 구조를 비등방성 상황에 적용시킬 수 있다. 변형은 또한 자유 매개 변수 q를 VBS에 도입하기 때문에 응집물리에서의 응용도 찾을 수 있을 것이다. 반면에 이 구조는 어떻게 모델로부터 많은 유용한 정보를 찾아내기 위해 대칭성을 이용할 수 있는가에 대한 예를 제공하지만 일반적인 감각으로는 풀리지 않을지도 모른다.
이 논문의 구조는 다음과 같다. B.2절에서는 스핀 1 시스템에서 s1(2) 불변 VBS의 일반적인 구조에 이어 변형된 VBS의 구조에 대해 살펴보겠다. 그리고 나서 B.3절에서 주로 변형 매개 변수가 실수일 때의 경우에 대해 계산된 변형함수를 토대로 변형된 VBS의 특성을 생각해 보겠다. 복소수인 경우는 변형 매개 변수의 특별한 값에서 스핀 고리 형태의 기약 블록들의 혼합 때문에 좀더 미묘하다. B.4절에서는 이러한 상황에 대해 살펴보겠다.B.2 q 변형된 원자가 결합 상태이제 N개의 3차원 벡터 공간 (C3) N에 작용하는 1차원 양자 스핀을 생각해 보겠다. [154]에서 보면 VBS는 sl(2) 대칭성을 가지고 있고, 이 3d공간들은 sl(2)의 스핀 1 표현들이 다. 변형된 VBS를 만들기 위해 Uq sl(2)가 sl(2)의 덮개 (enveloping)대수의 자연 변형을 제공하기 때문에 이 공간들을 Uqsl(2)의 3d 기약 모듈들로 간주한다. Uqsl(2) 대수는 다음 관계식을 만족하는 s+,s-, qs:에 의해 생성되는 조합대수이다 [160].s+s- - s-s+ = q2S' _ q-2S'q2 _ q-2 '8's:I:q-S' = q:I:s:I: (B.1)여기에서 q-S’는 qs’의 역수이고 q는 변형 매개 변수이다. 다음과 같이 코프로닥트 (coproduct), 앤티포드(antip ode)를 정의해 호프대수 구조 [161]를 만들 수 있다. Δ(q士S') = q士S' q士S' , Δ(S土) = qS ' ® S± + s± ® q-S' ' s (q士S' ) = q干S' , S (S士) = ―q士1s 士, c (q효) = 1, c: (S士) = 0. (B.2) 코프로닥트를 사용해 기본표현식에서 일반적인 표현식을 알아낼 수 있다. 대부분의 상황에서 Uq sl(2)의 표현 이론이 sl(2)의 이론과 다르지 않으면 q를 실수로 간주하고 [162], Uqsl(2)의 (2n + 1)차원의 기약모듈 p,I를 sl(2) 언어에 따라 스핀 n상태로 나타낸다. 이 경우 인접하고 있는 두 개의 스핀 1 상태의 곱은 일반적인 분해로 된다. P1 ® P1 ~ Po EB P1 EB P2 (B.3) 일반적인 VBS는 sl(2) 스핀 2 사영기들로부터 생성된 sl(2) 불변 해밀토니안의 제로 고유 상태이다. 또한 분명히 Uq sl(2)의 경우 해밀토니안을 i와 (i + 1) 위치에 근접하고 있는 스핀 1 상태를 스핀 2 상태로 투영시키는 사영기 P2( i,i +1)의 합으로 선택해야 한다. N-1H = L(Q - l)(Q - 2)P2(i, i + 1) (B.4) i=l 스핀 2 상태에서는 편리를 위해 자유 경계 조건이 가해져서 Uqsl(2)대칭이 유지되고 배치 공간 (C3) N이 Uq sl(2)의 기약 모듈들로 구성될 수 있다. 비록 이것이 VBS상태의 존재를 위해서는 필요하지 않다고 하더라도 상당히 유용한 요소라는 것을 알게 된다.
비록 해밀토니안이 sl(2) 상태에서 연산자로서 Uq sl(2) 식으로 단순한 대수적 의미가 있다고 하더라도, 즉 sl(2) 스핀 연산자의 식으로 씌어졌다 하더라도, 그것은 매우 복잡하고 비등방적인 표현식을 갖는다. N - 1H = (sts, + (s;)2 _ Q2 4Q + 2 (S:s,z+1)2 +st s i~H [q2 + (q2 JQ - Q + 1) (Sf - Sf+i ) + (2Q — 2 + (Q - 2) SfSf+ 1] + ~SfSf+1 +s;- s ;\ 1 [q一2 - (q-2JQ-Q + 1) (Sf - Sf+1 + (2Q 一2 - (Q - 2) ../Q) SfSf+i] + — :Q + 2 ((S:)2 + (S:+1f) + Q (q2 4- q-2) (S: - Sf+1) S:s:+1 +~ ( Sf - Sf+1 ) +Q } (B.5) 여기에서 Q = (q+q-1)2 와 st ,st는 sl(2) 생성자의 스핀 1 표현이다.
q = l(Q = 4) 인 특별한 경우로 [154] 에서 연구된 8l(2) 불변 스핀 고리를 포함하는 모델을 주목해 보자.VBS 상태의 구조는 sl(2)에서 (q = 1) 경우를 일반화시킨 것이고 우리는 다시 대응되는 상태를 VBS로 부를 것이다. 각 위치에서의 스핀 1 상태를 두 개의 스핀 (spin) 삼 상태들의 q 대칭 텐서곱에 의해 형성된 합성물로 간주하고 i 위치와 (i +1) 위치의 스핀 상태 둘 중의하나에 q 변형된 반대칭 텐서곱을 사용해 두 인접 위치들 (i,i + 1)을 짝짓는 단일항을 만든다는 생각이다.
좀더 엄밀히 말하자면 ψαβ가 스핀 1 상태를 나타낸다고 하고 다음의 텐서곱을 생각해 보자. ψαβ = gαβ, 10 >와 아래의 관계를 갖는다. 1P11 = v2|+ >, 22 = @— >, 'l/;12 = 'I/J21 = ~IO > (B.7) 우리가 사용한 기호에서 두 개의 스핀 상태들은 1, 2로 표시되고 세 개의 스핀 1 상태들은 士, O로 표시된다. 그리고 여기에서 스핀들은 Uq sl(2)에 대한 표현을 일컫는다.
두 개의 근접한 스핀 1 상태들 ψaa1과 ψβ1β를 생각하자. 스핀 상태들 중 두 개(각 스핀 1 상태로부터 하나씩)를 사용해 텐서곱을 해주어 전체 스핀이 0 또는 1만 되도록 하기 위해 다음 행렬을 사용한다. c=(_0二) (B.8)이때 텐서곱은 다음과 같이 정의된다. Ωαβ = E VfJ1{J (B.9) a1 ,/J1 스핀 경우와는 반대로 다음 식이 Uqsl(2)의 단일항 상태가 아니라 Uq2 s l(2)의 단일항 상태임을 주목하자. ,。l
, J-2 0 22 = ~(q2 + q-2) 1,-1 > , (B.10) J qn12 + q- 1n21 = —2(q2 + q-2) 1, 0 > 012 一 = 2(q2 + 1 + q-2) ½ 10, 0 > 여기에서 {11, 士>, |1 ,0 >} 와 {IO,O >｝는 각각 기약 스핀 1 과 스핀 0 표현들의 직교규격화된 기저들로 아래 식과 같이 i와 (i +1) 위치로부터 두 개(스핀 1/2의 경우 네 개)의 스핀 1 직교규격화 기저들로부터 만들어진다. 스핀 0 : 10,0 >= (q2 + 1 + q-2)-½(q-11 +- > -100 > +qi-+ >)
11, 1 >= (q2 + q -2) (q lO+ > —q -11 + 0 >) 스핀 1 :J 11,0 >= (q 2 + q -2 (I - + > +(q- q- 1)100 >) — | + — >) 11, -1 >= (q 2 + q -2 (qi - 0 > -q-110- >) (B.11) P2( i, i + l)OafJ = 0 (B.12) 위의 구조에서 바깥쪽 스핀 ½ 지표 α,β는 임의적임 을 주목 하자. 그러므로 위의 과정을 말하자면 β와 (i + 1) 위치에서 다음 번 스핀 l상태에 대한 스핀 ½ 지표들 중의 하나로 반복할 수 있다 . 그 과정은 다음 관계식을 이용해 전체 스핀 고리에 대해 회귀적으로 반복될 수 있다. Ωl+1) = 1;€:,p (B.13) β 여기에서 위첨자 M은 VBS 상태에서 위치들의 수를 나타낸다. 그리고 &三3-a 이다. 결과적으로 VBS 는 다음과 같이 표현된다. Ωαβ= IepIO2 。2/Jl • • • fJ,v - 10',' %^' fJ (B.14) O j pj i e j2,NI j ejl,N-1) 이것은 다음 식을 만족한다. HO =O (B.15)
이 식은 각각의 P2(i, i + 1)의 작용을 고려함으로써 확인할 수 있다. 또한 VBS가 주기적 경계 조건을 가진 스핀 고리에 대해서 처음과 마지막 스핀 1 상태 사이에 c을 첨가함으로써 만들어질 수 있다는 것은 명백하다 하지만 이 경우 Uqsl(2) 대칭성이 깨진다.
자유 경계 조건을 가진 유한한 고리에 대해 지표 a, p는 스핀 1과 스핀 0 표현 을 직접적으로 합한 것에 속하는 네 개의 상태들을 일으킨다. 사실 (B.11)의 유도에 따라 (B.13)을 사용해 다음 식을 유도해 낼 수 있다. Ω oc 11,1> Ωoc 11,-1 > qΩ + oc 11,0 > Ω - oc 10, 0 >N→∞[154) 에서의 주장에 따라 열역학 한계 N -1 oo에서 이런 네 상태들은 동일하고 VBS는 유일하다는 것을 보일 수 있다. 본래 이것은 해밀토니안의 대칭성이 N = ∞ 일 때 Uqsl(2) 로 향상될(바뀔) 수 있기 때문이다. 게다가 qER에 대한 H의 고유치들은 음수가 아니고 생성된 VBS는 열역학 한계에서 유일한 기저 상태이다. 그러나 qEC 일 때는 일반적으로 에너지 고유치들이 음수이거나 복소 공액 쌍으로 나타나기도 한다. 다음 절에서 이 경우에 대해서 더 자세히 알아보겠다.q가 실수인 경우만 생각해 보면, [154]의 주장이 여기에서 첫번째 들뜸 상태가 0으로부터 0이 아닌 수로 구속된 에너지를 갖는다는 것울 증명하기 위해 적용된다는 것을알수 있다.그러므로해밀토니안{B.4)는 기저 상태로 유일한 q 변형된 VBS 를 갖는데, 이것은 질량이 있는 들뜸을 갖는다.B.3 상관함수와 물리적 성질
VBS의 특성은 우선 (B.14)에 있는 ψαβ를 (B.7)에 따라 士,O로 바꾸어주면 쉽게 보일 수 있다. VBS는 0 , 士로 된 열들의 합이다. εαβ 텐서가 α≠β인 경우에만 0가 아니기 때문에 각 열들은 +, ―가 교대로 배열된 특성을 갖고 +,_ 사이에는 0가 임의의 개수만큼 들어간다. 0를 ld 격자에서의 빈 공간으로, 그리고 士를 자기 스핀을 운반하는 입자로 해석하면 이 격자 가스가 완벽한 반강자성 질서와 위치에서의 무질서를 갖는다는 것은 명백하다[157]. 실제로 상응하는 2차원 격자 모델은 [157]에서 소개된 무질서 평면 위상 (DOF)에 속한다. 더 나아가 우리는 뒤에서 격자 가스에서의 이런 두 가지 질서 형태들이 완벽하고, 따라서 생성된 해밀토니안이 재규격화 그룹 흐름하에서 DOF의 (q에 의해 매개 변수화된) 고정된 선이라는 것을 보이겠다.이것을 좀 더 정확히 보기 위해 VBS 상태에서의 몇 가지 상응함수들을 계산하겠다. 우선 두 개의 VBS 상태들의 스칼라 곱들을 정의 해야 한다. 편의를 위해 q를 정식으로 실 매개 변수로 간주하면 증가 연산자의 공액은 감소 연산자이고 그 반대로 성립한다. 예를 들면 qi+ > +q-11-> 상태의 놈은 2 대신에 q2+ q-2 이다. 이런 규칙을 가지고, 서로 다른 고유치들을 가진 고유 상태들은 언제나 복소수 q에 대해 직교한다. 하지만 일반적으로 양부호성{positive definiteness)을 잃는다. 스칼라곱은 대부분 {B. 13)에서 주어진 VBS의 회귀 정의를 사용해 쉽게 계산된다. 두 개의 VBS Ωαβ ,Ω 고려해 보면, 스칼라곱은 다음과같이 씌어질 수 있다. (Ω Ω ) = A\AI)6」{366。{J + BiAI)6。18{J66+ /If)6o68{J16 (B.16) 여기에서 d는 전과 같이 정의된 것이고, ALAI), B&AI), ciA/ ）는 각각 0가 아닌 수렴의 세 독립된 형태를 나타낸다. (B.13)을 위 식에 대입해 이것들 사이의 회귀 관계를 알아보자. (Q{3I ) ' ) = (Q:/I~l- J) ) ) )J1/i1 (VJfi1{J ) ) = (A~!Kao + 2BiM- J))6"6p66。{J +(2AtA[-1)c+ BiA[-1)C:GK/J66 -C) K1la6o68/37&p(B.17) 이것으로 다음 관계를 알 수 있다. An = A-f-l)Kaa + 2Bi"-f－ 1) Btf) = 2A~f -l) f.+ B;:''f-l) f.~0K00 (B.18) c:A'f) = ― ciM-1) I( 초기 조건은 다음과 같다. A =2, B =C =KQa (B.19) 위 식으로부터 곧 다음 관계를 얻는다. C;,M) = -(-I(。a)M (B.20) ALM),BiM) 에 대해 처음 두 관계식을 2x2 행렬 방정식으로 쓸 수 있다.G{M) = TG(M-1) (B.21)
이때 G(M) I(;J ( ;~:: )(B.22) 이고, 이동 행렬은 다음과 같다. 니 2KQ-_a `(B.23) 2a 이 행렬 방정식은 위 과정을 두 번 반복하고 다음 관계를 사용해 풀 수 있다. T2 = 1 + (q + q- l)(q2 + q-2)U(B.24) 이때 U=( aa2K l . )。2l0€\)a -O €€00 이고 멱등성(idempotent property)을 만족한다. U2=U(B.25) 결과는 다음과 같다. ( ) =( +(-1)N q3 AN - (-l)N q-'AN + (-l)Nq-3 ) o9
—(-l)N ( : ; ) 6o68p7 (B.26) 이때 A = q2 + 1 + q-2 이다. 놈에 대한 이런 표현식을 가지고, VBS 상태에서 스핀_스핀 상관함수는 다음과 같이 정의되는데, < Sf S'f >vBs= (n;1~')' S;'S';)/(Q), μ, v E 士, z 이것은 스핀 고리 를 i,j. 위치에서 세 부분으로 분류하고 분자를 다음과 같이 써준 후 (B.26)을 적용해 계산할 수 있다. (Ω ,Ω: ) ,- 1Ti c{J,-1q (W7,6, , Ojp, )e6m," 1 (Qt:Ii6;_ - ) 6J-1:J-IO), s”°){3))c6hj+1%)+1(;J/, Q;?+:) a = ,이고 0 = 6 인 특별한 경우에 대해서만 결과를 보이겠는데, 여기에서 0이 아닌 상관함수는 다음과 같다. < sts; >11= (― l)i -1(q+q-1)[aAN一j+i -1_ （一1) iq-1bAN-j _( )N-iqbAi -l + (-I)N-i+icJ/(AN - (-It) < sts; >12= ( )J-1( q + q-1)[aAN-i+i-1 - (-I)iq-lbAN-i +（ )N-jq-lbAi-1 一(-1t-i+iq-2cl/(AN + q-2(-It) ' < st sj- >21= ()j -1 (q + q-1)[aAN-i+i-1 + ()jqbAN-j 一(-l) N-jqbAi-l - （一l)N-i+i < st sj- >22= (-l)j-l(q + q-l)[aAN-j+i-1 + (- l)iqbA N- J+(-l)N-jq-lbAi -1 + {-l)N-j +i c]/(AN _ (― 1) ,< s;sj >。p=< st sj- >。f3 '< S f S; >oo= (-l)i-i(q+q-1 )2 (AN-j +i -1 _ (-l)NAi-i) /(AN _ ( )N) '< Sf SJ >12= (-l)i-i(q + q-1 )2 (q '-2 AN-j +i -l + (— l)NAj-i) /(AN + q- 2(-l)N) ,< Sf SJ >21= (-l)i-i(q+q-1 )2 (q2AN- j +i - l + (-l)NAj-i) /(AN+q2( —l)N)(B.27)이때a= q3 +2+ qb = q2 _ q + q-1 _ q-2c= q+q가 -2이다. 열역학적 한계에서 네 개가 중첩된 VBS 상태들은 유일한 상태가 되고 위 식은 다음 식으로 유도된다.< st ST >=< si- >N;;,oo (-A)-i+i(q3 + 2 + q-3)/{q2 + l + q-2) ,< Sf SJ >N∞ (-A)-i+i(q2 + 2 + q-2)/ (,r + 1 + q-2) (B.28) 그러므로 상관함수는 상관 길이 1/ln(q2+1+ q -2)에 대해 지수함수로 감소한다. 또한 양자 그룹 대칭에 의한 해밀토니안 (B.4)에서 sf와 S: 의 비등방성은 위 식에서 명확히 드러난다. sl(2) 대칭이 존재하고 q→1 일 때만 스핀 성분들의 등방성은 복구된다.
이 점에서의 새로운 기저 상태를 갖는 모델에 대해 자세히 알아보겠다.
B.4 단위원상에서의 qq가 복소수일 때, VBS 의 놈은 더 이상 양의 부호를 갖지 않고, 에너지 스펙트럼이 음이 아니라고 할 수 없다. 더욱이 Uq sl(2) 의 표현 이론은 q가 유니티 (un ity)의 근일 때 기약 모듈들의 일부는 쌍을 이루는 방식에서, 가장 무거운 것도 아니고 분해할 수 있는 모듈도 아닌 형태 I 모듈이라고 알려진 것을 형성하기 위해 섞이게 된다는 것을보여준다.반면에 섞이지 않는나머지 기약 모듈들은 더 낮은스핀들을 갖고 형태 II 모듈로 알려져 있다(163]. 모듈들의 혼합은 에너지 고유치들이 유니티의 근에서 교차된다는 것을 의미하고 상전이가 일어나리라는 것을 예상할 수 있다. 우리의 목적을 위해 'Y E (0, )일 때 q = exp(i"{)로 택한다. 'Y = 1r/6 에서 Uq sl(2) 의 준위-계수 (level-rank) 이중성 (164]을 사용해서 프로젝터 (Q -l)(Q - 2)P2 가 형태 II 표현으로 제한되었을 때 템펄리-립 (Temp erley-Li eb) 대수 관계식 (165]을 만족한다는 것을 보일 수 있다. er= ei e i e i士1e i = ei (B.31) [ei , ej] = 0 , i # j 士1 여기에서 2P2=ei, =2 (B.32)다음 식으로 주어진 스핀 ½표현 [166] 도 같은 대수 관계 를 갖는다. e; = 2P0(i, i + 1) (B.33) 여기에서 2Po는 양자 그룹의 q 매개 변수가 q = 1, 즉 ./Q = 2로 주어졌을 때 c 2 c2 에 작용한댜 그러므로 'Y = ~에서의 2P2의 형태 II 스펙트럼과 q = 1 에서의 2Po의 전체 스펙트럼은 같은 고유치 집합을 갖는다. 게다가 같은 고유치를 공유하는 두 표현 방법으로부터 스핀 섹터들의(2j + l)q =q2j +l —q- 2j -lq-q-1 로 정의된 q차원은 동일하다. 특히 스핀 표현의 가장 높은 스핀 섹터(j = , N 은 고리의 크기)에서 일어나는 제로 고유치는 q차원 (2j + l )i = (N + l )i = N + 1 을 갖는다. 스핀 1 고리의 경우, j = 0,1 인 VBS 상태들은 제로 에너지 상태의 q차원에 다음과 같은 영향을 미친다. (2·0+ l)q+ (2 · 1+1)i, = l+q2+1+q-2 = 3 < N+l, N > 2 일 경우 이것은 스핀 1 고리들에 대해 크기가 N > 2인 새로운 제로 고유치가 나타나야 한다는 것을암시한다. 예를 들어 N=3에서 직접 대각화시켜 다음과 같은 q차원의 j = 2인 새로운 제로 고유 상태 {2 2 + l)q = 1 을 전체 ·4(= N+ I) 가 되도록 위 식에 더해줘야 한다.
비슷하게 VBS와는 다른 새로운 제로 에너지 고유 상태 들 이 'Y =에서 (그리고 또한 에서도) 일어나야만 한다는 것을 주장할 수 있다. 여기에서 j = 2 스핀 표현 (representation)들은 형태 I의 표현이고 (Q -l)( Q -2)P2는 형태 II 표현으로 제한될 때 사라진다. 그러므로 4보다 큰 차원을 갖는 모든 형태 II 고유치들은 사라진다.수치적 확인이 유한한 N < 8 에 대해 VBS 가 , E [O, )이고 'Y E ( , ]일 때 계속 유일한 기저 상태라는 것을 밝혀준다. 첫번째 영역에서는 q2+1+q-2 > 1 이므로 질량이 있는 들뜸 상태들과 DOF 상의 종류인 실수q에 대한성질들이 여기에서 여전히 정성적으로 유효하다고 예상할 수 있다. 두번째 영역은 |q2 + 1 +q-21 < 1 이고, 이 경우는 아마도 실수 q 모델과는 다르게 행동할 것으로 생각된다. 특히 들뜸 상태들이 여전히 질량이 있는지는 확실하지 않다. 'Y E (, )일 때 음의 고유 에너지들이 존재하기 때문에 다른 성질들을 확실히 예상할 수 있다. 양자 그룹 대칭성이 침가되는 제로 고유 상태들이 와 꾼에서 나타나야 한다는 것을 암시한다는 사실에도 불구하고 우리는 이것이 [공,꾼] 영역 밖에서는 일어나지 않는다는 것을 단지 수치적으로 알 수 있을 뿐이다. 그렇지만 에서 휘산도가 사라진다는 사실은 이 점이 VBS가 더 이상 모델의 기저 상태가 아니라는 것을 강하게 나타낸다.
우리는 [꿈,~] 영역에서 가능한 임계 성질에 대한 명확한 수치적 증거를 얻지 못했다. 하지만 특별한 값'Y = ff에서 사영기 (Q― l)P2 가 형태 II 표현으로 제한되었을 때 다음 식의 템퍼리-립 대수를 만족한다는 것을 주목하자. -(Q - l)P2(i, i + 1) = e,, Q1 = 0 (B.34) 템퍼리-립 대수의 스핀 § 표현에서 이 점은 C = -2 인 임계점이다 [166]. 실제로 형태 II 표현으로 제한하였을 때, [ .~] 영역에서 모델이 다음 식의 해밀토니안을 갖는 스핀 1 Uqsl(2) 불변 고리[167]와 같은 보편성 부류에 속한다는 추측을 강하게 할 수 있을 것이다. H = - L(q2 + 1 + q-2)Po(i, i + 1) (B.35) 여기에서 Po( i,i + 1)는 i ,(i + 1) 위치에서 두 개의 스핀 1 표현들의 텐서곱을 스핀 0 표현으로 사영시키는 연산자이다. 이 사영기는 다음의 탬퍼리 - 립 대수 관계를 만족한다 . (q 2 + 1 + q- 2)Po(i, i + 1) = ei , = q2 + 1 + q-2 (B.36) 이것을 스핀 ½ XXZ 고리에 대응시키면, 스핀 1 고리가 아래와 같은 중심 전하를 가진 비유니터리 최소 모델 (non-unit ary minimum model)에 의해 주어진 연속체 극한을 가지고 임계적이라는 것을 추측할 수 있다. 6(0 - 1)2c = 1- ~' o E [2,oo) (B.37) 이때 6T 2 cos(.:;: ) = 2 cos 2"( + 16 이다. 지금까지의 수치적 확인은 직접 대각화를 할 수 있는 고리의 크기가 작을 때에 대한 것이기 때문에 확실하지는 않다.
B.5 결론우리는 sl(2) 불변 VBS가 양자 그룹 Uq sl(2)에 대해 변형을 허용한다는 것을 보였다. 변형은 VBS에 매개 변수 q를 도입시킨다. 실수 q에 대한 변형된 VBS는 정성적으로 일반적인 VBS와 같은 성질을갖는다. 즉, 질량이 있는 들뜸 상태와 완벽한 반강자성 질서와 위치적 무질서를 갖는다. 수치적 확인은 (비록 결정적이지는 않지만) 같은 성질들이 q = exp(i"(), "/ E [O, ] 영역에서 유지된다는 것을 보인다.
마지막으로 양자 그룹에 기반한 이 변형이 다른 VBS 구조에도 똑같이 적용된다는 점을 말하고자 한다. 또한 스핀 상태들에 대한 양자 변형된 슈윙거 보조닉 표현을 사용해서도 변형된 VBS 상태들을 기술할 수 있다는 것은 흥미로운 점이다. sl(2) 경우에 알려져 있는 바와 같이 이것은 재스트로 형태 파동함수 (wave-function)를 만든다[152]. 변형된 경우는 재스트로의 파동함수를 일반화시키 는 새로운 종류의 파동함수를 생성할 것이다.부록 C : 비가환 천-사이몬즈 입자들의 통계역학
이태진(강원대)여기서는 비가환 매듭 (braid)통계를 따르는 2차원 비가환 천-사이몬즈 (non-Abelian Chern-Simons:NACS) 입자 기체의 통계역학을 다룬다. 특히 비가환 천 一사이몬즈 양자역학의 틀에서 2차 비리얼 (virial) 계수를 구한다.애니온 (anyon)들의 [168] 고유한 특성 중의 하나는 통계 변수 (statistical parameter)에 따라서 스핀과 통계가 달라질 뿐만 아니라 열역학적 특성도 페르미온들의 특성에서부터 보존들의 특성에 이르는사이의 다양한 특성을 갖는다는 것이다. Arovas, Schrieffer, Wilczek과 Zee는 [169] 낮은 밀도에서의 비리얼 전개를 통하여 2차원 자유 애니온 기체를 연구하여, 이러한 특성을 명확하게 보여주었다. 특히 2차 비리얼 계수를 구체적으로 구하여 이 계수가 통계 변수의 함수로 주기적이며 비해석적이라는 것을 발견하였다. Comet, Georgelin과 Ouvry는 [170] 조화 퍼텐셜을 조절기 (regulator)로 사용하여 이러한 결과를 검증하였고, 나아가 Blum, Hagen과 Ramaswamy는 [171] 2차 비리얼 계수에서의 스핀의 효과를 다루었다.이 논문에서는 최근 개발된 [172, 173, 174] 비가환 천-사이몬즈 양자역학을 이용하여 2차원의 SU(2) 비가환 천-사이몬즈 입자 기체의 통계역학을 다룰 것이다. NACS 입자들은 위상수학적 비가환 아하로노브一봄 (Aharonov-Bohm) 상호작용을 하는 점원이다. NACS 입자들은 비가환 전하들과 비가환 자기 선속들에 기인한 우수리 스핀을 갖고 매듭 통계를 따른다. 매듭(비가환) 통계학은 애니온들의 분수 통계(fractional st atisti cs) 보다 더 일반화된 것이어서 NACS 입자들의 통계역학적 특성을 조사하여 애니온들의 통계역학적 특성과 비교하는 것은 흥미로운 일이다. NACS 입자와 비가환 아하로노브-봄효과는 자발적으로 붕괴하는 게이지 이론들에서의 비가환 소용돌이 (vortex)의 산란[175], 우수리 양자-홀 효과[176], (2+1) 차원의 중력과 [177]같은 다양한 물리 현상들과 관련되어 다루어져 왔다. 이러한 관점에서 NACS 입자들의 통계역학적 연구는 매우 중요하다.
N개의 자유 NACS 입자들로 이루어진 다체계의 운동역학은 다음의 해밀토니안에 따른다[172, 173, 178]. N HN = -: (Vz,'vZn + v :O V zn ) o=l μ0' 8 1 1V z,. = + ~ ~Q~Q —zfa(C.l) 8V =―8za 여기서 a = l, ... ,N 이며, 입자들의 좌표는 (qt,q~) = (+, 一i (za))/ 2 로 주어진다. 변수 41r1,, = 정수라는 조건을 만족하며」 들은 아이소스핀(isospin) 양자수 l의 발생자(generator) Tia로 표현되는 아이소벡터 연산자들 이다. NACS 입자들을 비가환 천-사이몬즈 게이지장[182]들과 최소 결합(minimal coupling)하는 아이소스핀 입자들 [180, 181)로 기술함으로써 NACS 입자계의 고전적 모형을 세울 수 있다[172, 173, 174, 179]. 그 다음 가우스 구속 조건을 구체적으로 풀고, 결맞는 상태 양자화(coherent state quantization)[183, 184] 틀에서 홀로모픽 (holomorphic) 게이지 [172, 173]를 선택하여 게이지장들을 적분하면 위의 해밀토니안 HN을 얻는다.
HN의 상호작용 항은 유사변환으로 제거될 수도 있다. N 2 HN 一uHNu-1 = H!tcc = - 一8:0 8Zo 。 μ。-q,I-I 一UWH = wA (C.2) 여기서 U(z1 , .. . , ZN)은 KZ(Knizhnik-Zamolodchikov) 방정식 [185]을 만족하고, ([一:\) U(z., ••• ,zN) ~0 (C.3)WH(Z1,· ··,ZN)은 홀로모픽 게이지에서 NACS 입자계의 파동함수이다. 식 (C.3)과 등각장 이론에서의 그린함수에 의하여 만족되는 KZ 방정식을 비교하면, (4mE _ 2)가 SU(2) 흐름대수(current algebra)의 급수(level)에 해당한다는 것을 알 수 있다. 여기서 ψA가 일반 통계(보존 또는 페르미온 통계)를 만족하는 한편, ΨH는 변환함수 U(z11 ... , zJV )[172, 173]로 인한 매듭 통계를 따른다는 것을 주목하자. 가환 천_사이몬즈 입자 이론에서와 같이 ψA는 애니온 게이지에서 NACS 업자의 파동함수라고 할 수 있다. 또한 홀로모픽 게이지에서의 내적은 변환함수에 의하여 다음과 같이 정의된다. < >= Jrf -N()tut (()U(()) (C.4) 여기서 ( = (zr, ... ,ZN)이다. 이 내적은 홀로모픽 게이지의 해밀토니안 HN 방정식 (C.1)이 에르미트(Hermitian) 조건을 만족하도록 한다. 제일 미분형 (I-form)의 형식을 취하는 다음의 행렬 (연산자)을 정의하면, 1w = I: —QQp d ln((a —(p ),27T n,o<9 (C.5) = 이며, 변환함수 U는 w 의 모노드라미 [186]에 해당함을 알 수 있다. U(z1 , , . . , zN) = I + [ w + [ ww + . . . . (C.6)r J r 여기서 r는 고정된 기준점으로부터 점 (z1, ... 'Z N )까지의 N차원 복소수 공간에서의 적분 경로이다. 변환함수 U가 존재하기 위한 적분가능 조건은 [V:" ' vZ,J] = O (C.7) 다음과 같으며 dw+w l\w=O (C.8) 이 조건은 Qop가 고전적 양-박스터 방정식과 연관된 극소 순수 매듭 관계식을 만족시키므로 충족된다.
비가환 천-사이몬즈 양자역학이 정의되었으므로, 이제 이를 이용하여 NACS 입자들의 통계역학을 논의하자. 대분배 함수 는 표준 공식을 따라 N입자 해밀토니안 HN과 휘산도(fugacity) v로 아래와 같이 정의된다. 00= UN 'Ir e-fJHA’ (C.9) N =O 여기서 β = 1/kT 이다. 밀도가 낮을 경우 송이 전개 (cluster expansion)를 적용할 수 있으므로, =exp ( b,IV'I) (C.10)이다. V는 부피 (2차원 기체에서는 면적 A)이고 bn은 n 번째 송이적분항이다. 의 서로 다른 두 가지 표현 (C.9)와 (C.10)을 비교하면, 1 1b1 = "f; Z1 , b2 = ~ (Z2 - Z f/2) (C.11) 임을 알 수 있으며 YP rJN 2 d J = N z x < (m1,z1) ... (mN,ZN)le - fJ H.v lP(m1,z1) ... P(mN,ZN) > (C.12) 이다. n i;, i = l, ... ,1V은 i번째 업자의 아이소스핀 양자수이다. P는 순열 연산자이며 식 (C.12)에서의 내적은 앞의 식 (C.4)에서 정의되어 있음을 상기하자. NACS 입자들은 정규 게이지, 즉 쿨롱, 축성(axi al), 또는 홀로모픽 게이지에서는 천 - 사이몬즈 게이지장에 의하여 유도된 위상항으로 상호작용하는 보존으로 기술될 수 있으므로, N 입자 분배함수 방정식의 표현 (C.12)은 정규 게이지에 일반적으로 적용된다. 그러나 NACS 입자의 비가환 통계적 특성이 명확해지는 애니온 게이지에서는 분해함수의 위의 표현은 더 이상 유효하지 않으며 수정되어야 한다. 이를 좀더 구체적으로 밝히기 위하여 교환 연산자들을 이용하자. S0 =I 이고 Si는 S;Wm1 , ... ,m;,m;+1 ,···•mN(z1, , , , ,Zi ,Zi +l, • •• ,ZN) = Wm1, ... ,m; +i ,m;,. .. ,mN{z1, ... ,Zi+ l,z;, ... ,ZN) {C.13) 이며, 여기서 i =1, ··· , N-1 이다.
{m;}(() 는 Wm 1, •• . ,m,,, (z1, • •·1ZN) =< (m1,z1) ... (mN,ZN)I \JI >를 의미한다. 교환 연산자들을 이용하여 다시 표현한 식 (C.12)는 아래와 같다.
ZN = ~ J d2N( W{m;} (()Ut (()U(()e-f3H,' Pw{m;} (() (C.14){mi} N-l P= :SI 애니온 게이지에서도 ZN의 유사한 표현을 얻을 수 있지만 이 경우 교환 연산자는 더 이상 단순 교환 연산자 P만으로 표현될 수 없으며 양一박스터 방정식을 만족하는 특별한 교환인자가 도입되어야만 한다 [173]. A(z1, ... , z;, Z;+1, ... , ZN) = R(z;, z;+1 )WA(Z1 , · · · , Z;+I , Zj , • • • , ZN) (C.15) A는 애니온 게이지에서의 파동함수이다. 따라서 p A = 1/N! I:f:, sf, st = 1라고 정의하면 다음의 결과를 얻는다. ZN = ~J d2N(wf,~,}(()e-{3Hip{,}(() (C.16) {mj } = J d2N( tr < z11 ... , zNle-{3H, pAlz1, ... ' ZN > H~는 애니온 게이지에서의 N 입자 해밀토니안이다.비리얼 전개, 즉 상태 방정식의 밀도 p의 차수 전개는 아래와 같이 주어지며 P = pkT (1 + B2(T)p + B3(T)p2 + ... ) (C.17) 이 논문의 주요 관심사인 2 차 비리얼 계수 B2(T)는 B2(T) = -~ = A ( ) (C.18)으로 주어진다. 여기서 B11(T)는 n 번째 비리얼 계수이다. 이 식에서 보듯이 B2(T)를 계산하기 위해서는 단지 1 입자와 2 입자 분배함수를 구하면 충분하다는 것을 알 수 있다. 모든 NACS 입자들이 하나의 아이소스핀 다중항 (multiplet) {m = -l, ... ,l; Jl,m >｝에 속하고 동일한 질량 2μ를 갖는다고 가정하면 Z1 = Tr e- f3 H, = (2l + 1)> 2 (C.19) 이다 여기서 AT = V2 7fhμkT는 열파장이다. 2입자 해밀토니안 H2는 질량중심좌표 Z = (z , + z2)/2와 상대좌표 Z = Z1 - Z2의 운동을 각각 기술하는 Hem과 Hrc1의 합으로 주어지므로 H 2 = H em + Hrcl 1 1 = -— %8z __ (VX7z + v zv z), (C.20) 2μ μQV: = 8: + —, V :. = 8;; z 2입자 분배함수는 질량중심좌표에 의한 항과 상대좌표에 의한 항으로 인수분해된다. Z2 = Tr e-fJ H2 = 2A, 2z, (C.21) Z~ = 'frrc1 e - J H · I= ~ !d2z _~ [< m1,m2;zle-fJH,.,lm1,m2;z >mI , m2 + < m1 , m2; zle-fJH, 한' |mi, m1 ; -z >] (C.22)
식 (C.20)에서 Q는 아래와 같은 형식의 구역대각행렬 (blockdiagonal matrix)이다. n = /(21rK) = ((Q 1 )2- (Q l)2 _ (Q)= I: (j(j + 1) — 2l(l + 1)) I J(C.23) j =O 21 =LWj ljj =O NACS 입자들의 산란[173]을 다룰 경우와 마찬가지로 여기서도 다음의 유사변환은 유용하다. Hrcl 一H:cl = c - 1Hrct G, \Jl (z, z) 一w'(z, ) = c-1w(z, z) (C.24) G(z, z)=exp ( ln(z )). 이 유사변환으로 내적은 단순해지며 해밀토니안 H은 에르미트임이 명백해진다. H:c1 = _l(V'z + 'v~"v~) (C.25) μn 1 _, _ n 1 v: = 8:: + _ _ v 仁= aZ - 一-2 z' 2 Z 분배함수는 이 유사변환에 대하여 불변이다. 즉 z~ = .rc1e_f3H,'cI 이다. 해밀토니안 H을 극좌표에서 다시 표현하고 총 아이소스핀 j의 부분 공간으로 투영하면, 극좌표에서의 해밀토니안은 통계적 매개 변수가 아 = Wj로 주어진 에니온의 쿨롱 게이지에서의 해밀토니안과 일치함을 알수 있다. H[: + ~fr + ( +iwi )2] (C.26) 그리고 SU(2) 크랩쉬-고단 (Clebsch-Gordan) 계수들의 대칭성을 이용하면 2 입자 분배함수는 다음과 같이 간단히 표현된다. 21Z~ = ½ / d2z t (2j + 1) [< zle-/J H1 lz > +（ < z|e-fJHj | _ z >]i =O(C.27)
2 입자 분배함수의 구체적인 값을 계산하기 위하여 위의 표현을 규칙화 (regulmization) 할 필요가 있으며 이를 위하여 조화 퍼텐셜 g&를 해밀토니안에 도입하자. 그 결과 상대 해밀토니안 H.i은 불연속적 스펙트럼을 갖게 되며 [168], 이들은 두 가지 계열로 분류된다. 축퇴수 (n + 1)과 에너지 E;, = €(2n+ 1 +Wj - [wi])인 계열 I과 축퇴수 n, 에너지 E = €(2n+ 1-Wj + [wj])인 계열 II 이다. 여기서 n 은 음수가 아닌 정수이고, [w] ］는 0 ~ 8i = Wj - [w < 1 인 정수이다. 이 결과를 이용하여 규칙화를 취한 [169, 170] 2차 비리얼 계수의 표현은 다음과 같다. B2( , T) —D. B2(l, T) = — (2l2:~ [Z~("', l, T) - D. Z~(l, T)] (C.28) D. B2(l,T)는 잘 알려진 보존과 페르미온계의 비리얼 계수 (BB, BF)로 주어진다. 1 2/6. B2(l, T) = ~ ~(2j + 1) j =Ox [~B8(T)+ (T)] (C.29) 1 1 21= -i.X (2l + 1)2 (2j + 1)(-1)jj =O 규칙화된 분배함수는 다시 다음과 같이 표현하여 Z~( K-, l, T) - .6. ZW, T) = t?2j + 1) [~ (Zc(61) - Z,(O)) j =O+ (Zc(61) - Zc(l))] , (C.30)
= L [(n + l)e-f3<(2n+l ) + ne-{3<(2n + l ) ]n=O = _1 cosh (/3E(bj - 1)) 2 sinh:! /3c 이 논문의 주요 결과인 2차 비리얼 계수의 구체적인 값을 얻는다. 21 B2(,T) = -;A + (2l : 1)2 (2J + 1) U- :6;] j =O(C.31)
NACS 입자는 애니온의 일반화이므로, NACS 입자의 열역학적인 특성들은 애니온의 열역학적인 특성들과 유사할 것이라는 기대를 할 수 있다. 그러나 결과는 기대와 다르다. NACS 입자와 애니온은 둘다 위상 상호작용에 의하여 유도된 스핀을 가지므로 스핀의 함수로 써 NACS 입자와 에니온의 비리얼 계수의 대수적 특성을 비교해 볼 수 있다. 유도된 스핀 s는 NACS 입자의 경우 l(l + l)/21r"', 애니온의 경우에는 /2으로 각각 주어진다. 애니온의 경우에서 보았던 s에 대한 주기성은 NACS 입자의 경우 존재하지 않으며, NACS 입자계의 비리얼 계수의 함수 행동은 애니온 입자계의 비리얼 계수의 함수 행동과 큰 K 극한에서조차 크게 다르다.부록 D: 병진 대칭성이 깨진고비계의 상관함수
최제영(영동대)병진 대칭성이 깨진 고바계의 상관함수를 이징 (Ising) 모형을 중심으로 살펴본다. 균일一혼합 경계 조건의 반평면에서 한꼴워드 항등식의 형태와 이징 모형의 상관함수를 다룬다. 또한 전평면에서 선결함이 있는 이징 모형의 에너지 상관함수를 계산한다. 이징 모형 이의의 스핀 모형들도 언급된다.D.1 서론통계역학계의 임계점 (critical p oi nt)에서 자기 감수율, 비열 등의 물리량이 발산하고 상관거리가 무한히 길어진다. 2차원 임계계 (critical systems)가 등각 불변성 (conformal invariance)을 가진다는 성질을 이용하여 고비 현상에 대한 많은 연구가 있었다 [187]. 유니터리성을 가지는 무수히 많은 계의 임계지수를 결정하고 [188], 여러 경계 조건을 가진 토러스(torus)에서의 분배함수로부터 연산자 내용을 결정하며 [189], 연산자들의 상관함수가 만족하는 미분 방정식을 얻어낼 수 있다. 무한평면에서의 이 방법은 반평면에서 균일한 경계 조건을 가진 계[190]와 혼합 경계 조건을 가진 계[191, 192]로 확장된다.반평면은 병진 대칭성이 깨진 예로 자연의 대부분의 계는 병진 대칭성을 가지고 있지 않다. 원 또는 볼록다각형의 내부 등에서 정의된 계는 적당한 한꼴변환에 의해 반평면으로 변환되므로 반평면의 결과를 적용할 수 있다(193]. 인접한 스핀 사이의 상호작용의 세기가 균일하지 않은 계도 병진 대칭성이 깨져 있다. 그 예로 전평면에서 직선을 따라 결함이 있는 이징 모형 (194, 195]과 상호작용의 세기가 위치에 따라 변하는 이징 모형 [165- 168] 등이 있다.
이 글에서는 한꼴불 변성에 의해 얻어지 는 기본 성질을 정리하고 이징 모형을 중심으로 어떻게 적용되는지 살펴본다. D.2절에서 한꼴불변성에 의해 전평면에서 병진 대칭성을 가진 계의 기본 성질과 상관함수를 계산하는 방법을 정리해 본다. D.3절과 D.4절 에서 반평면에서 균일한 경계 조건이나 혼합 경계 조건이 주어진 계가 전평면과 어떻게 다른지 살펴본다. D.5절에서 선결합이 있는 이징 모형에서 에너지 연산자의 상관함수를 다룬다. 마지막으로 D.6절에서 이징 모형 이외의 연구 결과와 연구 동향에 대해 언급한다. D.2 무한평면의 고비계병진 대칭성이 깨진 계를 다루기 전에 무한평면에서 정의된 균일계에 대해 정리해 보자[187, 193]. 무한평면의 점 (x, y)를 복소수z = x+ iy로 나타내기로 하자. 또한 기호 z = x- iy와 Zij = Z; -Zj를 사용한다.한꼴변환 w = f (z)에 대해 으뜸 연산자(primary operator)에 따라 공변한다. 으뜸 연산자 ¢,(zi,축)의 축척차원 Xi와 스핀 si는 xi =Ai +An Sj = Aj _ Ai (D.2) 로 주어지고 실수 ~i, li,는 ¢,(z, i)의 한꼴차원이 라 부른다.
특히 복소수평면의 전단사사상인 뫼비우스(Mobius) 변환 w =(AD - BC = l)에 대한 공변조건 (D . 1)에 의해 상관함수1) z, l,. 대신에 z, A로 바뀐 대응되는 식도 함께 만족한다.
〈1] )〉 (6'6' ... '(1'2, …)n-1 x IT(zj - Zj +1)-( fl1+ll1 +1)( — Zj +l) - (C;.j + C;.J +dj =l 의 형태를 가진다. 여기서 상수 Cij k는 연산자 곱 전개 (operator product expansion)
은 상관함수가 일반좌표변환에 대해 어떻게 변하는가를 나타낸다. 비라소로 (Virasoro) 발생원 L,.(zk), Ln )는 Z -> Zk일 때 짧은 거리 전개 00 1T(z)
유니터리성을 가정하면, C < 1일 때 c와 으뜸 연산자의 한꼴차원은 6 c = 1 _ m(m + 1) ’ t::.. = !:::..p,q = [(m + l)p —m q]2 —14m(m + 1) '(D.13) A=Ai;,q, m = 3, 4, ... ; p,p = 1, 2, ... , m - 1; q, ij = 1, 2, ... , m 로 제한된다[188]. 으뜸 연산자
2) z에 대한 대응되는 식이 존재한다.
이징 모형에 대해 위의 결과를 적용해 보자. 식 (D.13) 에서 m =
3, C = 심이고 가능한 한꼴차원은 D. 1,1 = D. 2,3 = 0, D. 2,1 = D,. 1,3 = 1/2, D. 1,2 = 6. 2,2 = 1/16 이다. 이징 모형의 으뜸 연산자에는 항등 연산자 L, 에너지 밀도 €, 스핀(질서도) 6, 무질서도 μ, 마요라나(Maj orana) 페르미온 , ．가 있고 그 한꼴차원은 표 D.1에 주어져 있다. 에너지 연산자 c, = c(z,,zI)의 한꼴차원은 A = A = 상이며 단계 2에서 3) 영벡터가 있으므로 상관함수 3) '12,1 = '11,3 = 1/2 이므로 에너지 연산자는 단계 3에서도 영벡터가 있다. 이를 이용하면 미분 방정식을 간단히 할 수 있다.
G2=~, Z12 1 1 1G4 = —— - ——- + ＿一(D.17) Z12Z34 Z13Z24 Z14 2';! 3 을 얻고, 일반적으로 G; = P(n) — 1Zij(D.18) 가 된다. 이때 P f'")는 비대각선 요소가 인 nxn 반대 대칭 (antisymmetric) 행렬의 파피안 (Pfaffian)이다 [200]. Zi에 대한 의촌성도 동
일하므로 ( ) = G~I(ZI ， ... ， Zn)G~(ZI ， ... ,Z n) = Ipr71) Zij I1 2 = Idet 土Zij II , (D.19) 을 얻게 된다 4) 이 결과는 에너지 연산자가
4) 우빈의 계수는 연산자 이 두 개씩을 이루어 서로 충분히 멀 때 상관함수가 각 쌍의 상관함수의 곱이 되고 이들은 각각
1:(z, ) = (z) (z) (D.20) 으로 표현되며 마요라나 페르미온이 축약 1 〈 (zi)1/J (Zj)〉 = — ,Zij 〈 (z()〉 = ::-(D.21) 1 Zij 〈 (z,)O( )〉 = O 의 (Wick) 정리 를 만족하는 사실로부터 설명될 수 있다.
스핀 연산자 6 i = 6(zj,)의 경우 한꼴차원은 A = A = 이므로 에 너 지 와 마찬가지 로 단계 의 영 벡 터 를 가지 고, 상관함수G~,2 = (z12Z3,i )-1 18 ({13 - )1/2, (63 = ( )1/4) 이고, 일반적 으로 [201] G~ =(z12 Z34 • • • Zn-1,11)-l / S 2 / 1 }j ... I k.. J1.' cdl d,I,.J < .'`I,1 I ’ μ ’ · ’ 3 μ ’ 1 μ '__` J ’ ’ ” s 1 ± = l ’ 3 ‘ I ’ l ..~Il53 {x(fo = (=r/·') (D .23) 를 얻을 수 있다 . 이때 Sn , v(μ 13,··· ,μn-1), V = 1,2, .. . ,2"/2-l 는 짝수 개의 μ들을 곱한 모든 조합이다. 예를 들어 s6,1 = 1, s6,2 = μ 3, S6,3 = μ3μ5, S5,,1 = μs (D.24) 이다. 이 결과를 이용하면 〈TI7= 1ai)는 〈止〉= a v, ,v (z1, ••• 'Zn)G~ ,v (z1, ••• 'Zn) (D.25) 의 형태가 된다. 임의의 상관함수는 실수이고, 일가함수이며, 또한 임의의 두 연산자가 다른 연산자들로부터 충분히 멀 때 점근적으로 두 상관함수의 곱의 형태가 되는 성질이 있다. 이를 이용하면 상수 aII, ii는 aII, ii = 2E n /26II, ii가 되며, 따라서 n이 짝수일 때 n \ 2"12-1 〉 = 2l-n/2 jG~ ,v (z1, • .. ,Z11 )12 (D.26)
으로 결정된다. 에너지와스핀 연산자가섞인 임의의 상관함수
U ν
그립 0.1 (a) 반평변에서 경계 조건이 a 인 경우의 두점 상관합수에 대한 배 치. (b) (a) 의 상관합수는 전명변에서 위치 Zll Zl, Z2, ε2 에 연 산자가 있는 경우의 사정 상관합수와 동일한 미분 방정식올 만족한다.
로 나타내자. x 축을 유지하는 뫼비우스변환 w(z) = } (AD —BC = l: A, B, C, D 는 실수)에 대한 상관함수의 공변 조건에 의해 한점·두점 상관함수는 〈 )〉Q = { G, ( : Z1)2A,, Al = Al ,0, A A j, 〈;(z );(z2 )〉0 = (y1Y2)_21:,.,
한꼴워드 항등식은 〈T(z) g) 。(D.30) 1=\ [(z 一:1ZJ )2 + (z —1 ZJ) : + (z —A:J)2 + (z —1 ) ] x ,)〉O 이다 그러므로 〈H:l= I¢ i (zI i)〉°는, 무한평면에서 Z1,··· ,Z2n에 대한 (이때 변수 ... ,z2n 에 대한 의존성은 무시함) 2n점 상관함수와 동일한 편미분 방정식을 Z1,z1,.,, ,z,’' 에 대해 만족한다 [19]. 이 성질을 이용하여 반평면에서의 상관함수를 결정할 수 있다.
이징 모형의 경우 자유 경계 조건을 F로, 고정 경계 조건을 +, -로 나타내자. 예를 들어 기호 +는 격자 모형계의 경계에 있는 모든 이징 스핀이 +로 고정된 것을 의미한다. 에너지 연산자의 상관함수 〈n;1= 1Cj〉°는 전평면의 상관함수 〈H益이와 동일한 미분 방정식을 만족하므로 식 (D.18)을 이용하여 경계 조건을 고려하면 c1 〉〉+ = 〉- = l’l P f 2n: (D.31) (w1, ... ,W2n) = (z1, ... ,zn,Zn) 이 된다. 이 결과는 n 이 짝수이든 홀수이든 항상 성립한다.특히 n=2인 경우에 식 (D.28)과 비교하면 에너지 연산자의 표면임 계지수가 x!s) = 2임을 알 수 있고 이는 에너지 연산자가 으뜸 연산자가 아님을 뜻한다.스핀 연산자의 상관함수는 1 〉a = ~a~G2n,11(z1,z1, ... ,zn,zn) (D.32) 의 형태를 가지며 , 상수 a 는 무한평면에서와 같은 방법으로 결정할 수 있다. 이에 따라 \ 1/ 8 + = —
을 알 수 있다. 반평면은 적당한 한꼴변환에 의해 원 또는 블록다각형의 내부 등의 유한한 면으로 변환하고 식 (D.l)을 이용하면, 이 경우의 상관함수를 결정할 수 있다 [193].
D .4 반평면에서 혼합 경계 조건반평면에서 경계 조건을 균일하게 주는 대신에 x축에서 x < (일 때는 a로, z > '일 때는 (3로 준 경우로 확장 할 수 있다 [191]. 이 때의 상관함수를혼합 경계 조건 αβα 에 대한 한꼴워드 항등식은 n \ a /J o ((l -2t nJ
L
그립 D . 2 폭이 L 이고양쪽끝경계 조건이 각각 0 ， β 로주 어 진 무한히 긴 띠.
의 형태가 되고 카시미르 진폭 Aαβ를 측정하면 t a /3 = t/3 o는 CAa /3 = t o/3 (D.38) 로부터 결정할 수 있다 [202]. 식 (D.37)에서 fB는 단위면적당 덩치 {bulk) 자유 에너지 의 경계조건이 0인 단위길이당 표면 자유 에너지를 나타낸다. 이징 모형에 이 결과를 적용해 보자. 카시미르 진폭 A+- = 웁 A+F = A-F = 이므로 [189], t +- = 상 = AC,t +F = LF = 습 = A 을 알게 된다. 에너지 연산자에 대해 ((1 -이
로 주어지고 (1 = —R, (2 = R일 때〈〉:= )1/8 Xi+― R2V(x1 _ R)2 + yt V( + R)2 + yf (D.41)이 된다. (1 = 0, (2 ---+ (X)일 때
지 않는 예가 된다. 반면에 x 축에 놓인 에너지 연산자의 축척차원은 μ에 따라 변화하지 않고 일정한 값 Xe = 1을 가진다 [204].
결함의 세기가 μ일 때 에너지 연산자의 상관함수를 〈H?= lcl 〉/l 로 나타내기로 하자. 예를 들어 연결된 큐물런트 <€(z, z)€(z', z') >t = <€(Z, z)€(z', z’) >/l _ <€(Z, )〉μ <€(z' , z')>μ (D .44) 룰 μ에 대해 건드림(perturbation) 전개하면 <€(z, z)€(z', z’) >t =t r [€(z, )€(z', ’)e t r[e <€(z, )€(z', )el 〉 t r [E(z, z)e t r [E(z', ) e {tr []}2 <€(z, )el 〉°5) 연결된 큐문런트 자체는 적분하면 유한한 값을 가진다. 그러나 연결된 큐물런트의 모든 항을 먼저 더해서 간단히 하기가 복잡해서 이 방법을 사용한다.
.z .z l
그 럼 D.3 y > 0, y' > 0 일 떼 를 예로 보인 명행한 적분 정로 .
적분하면 간단히 처리할 수 있다. 이 방법을 써서 <€1 >l’ = s in(2rrμ) lz , — 5 ’)2 μ|'2T-Z 2 (_ 2nl .lz sI-,2` __412821-(I2s1z0Z Ic__?V` = μC `·~ 2 € I € ( Y1Y2 > 0 ,Y1Y2 < 0(D .46) 동을 얻게 된다. 이 결과를 반평면의 결과와 비교하면 반평면은 μ =士}에 대응됨을 알 수 있다.
임의의 상관함수다 [205]. 위에서 0( y)는 θ(y) = { ~ :oo v< y"i-(D .4 8) 로 정의되는 단위계단함수이다.
상관함수려져 있고 [206]， 반평면에서 혼합 경계 조건을 가진 포츠 모형의 스핀 열평균값이 계산되어 있다 [192]. 또한 이징 모형과 세겹임계(tricritical) 이징 모형을 일반화하는 뭇겹임계 (multi-critical) 이징 모형의 스핀 -스핀 상관함수가 반평면에서 균일한 경계 조건을 가진 경우에 대해 계산되어 있다 [207].
전평면과 비교하면 6) 상관함수가 훨씬 덜 알려져 있다. 이는 반평면의 n점 상관함수가 전평 면의 2n 또는 (2n-2) 점 상관함수와 관린되어 n이 증가함에 따라 미분 방정식을 풀기가 훨씬 더 어려워지기 때문이다. 앞으로 더 많은 연구가 이루어져야 하겠다.6) 전평면에서는 한꼴워드 항동식 말고 쿨롱 기체를 이용하는 일반적인 방법이 존재한다[208, 209].
참고문헌
[l] P. lVI. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, (McGraw- Hill, New York, 1953).[2] J. W. Negele and H. Orland, Quantum Many Particle Systems, (Addison Wesley, New York, 1987).[3] Y. Alhassid, F. Gi.irsey and F. Iachello, Ann. of Phys. 148, 346 (1983) .[4] R. K. Dodd et al., Solitons and Nonlinear Wave Equations, (Academic Press, New York, 1982).[5] R. Rajaraman, Solitons and Instantons, (North Holland, Amsterdam, 1982).[6] A. B. Zamoloclchikov and Al. B. Zamolodchikov, Ann. Phys.120, 253 (New York, 1980).[7] E.W. Hobson, Spherical and Elliptical Harmoni cs, (Chelsea, New York, 1955).[8] H. Bethe, Zeit. fiir Physik, 71, 205 (1931) .[9] B. Sutherland, Phys. Rev. AS, 1372 (1972).[10] L. Faddeev, in Recent Advances in Field Theory and Statistical Mechanics, (North Holland, Amsterdam, 1984) .[11) F. Calogero, J. Math. Phys. 10 (1969) 2191 ; ibid. 10(1969)2197; ibid. 12(1971) 419, and references therein.
[12) B. Sutherland, J. Math. Phys. 12, 246 , (1971 ); ibid. 12, 251 (1971); Phys. Rev. A4, 2019 (1971) ; ibid. A5, 1372,(1972) .[13] K. Nakamura, Quantum Chaos, (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993).(14] M. J. Ablowitz and P.A.Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, (Cambridge Univ. Press, Cambrige, 1991).[15] See for example, S. Cordes, G. Moore, and S. Ramgoolam, preprint YCTP- Pll- 94, Nov . (1994).(16] See for example E. Abdalla et al., 2D - Gravity in Non- Critical Strings, (Springer-Verlag, Berlin, 1994).[17] F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 67, 937 (1991).[18] Z. N. C. Ha and F. D. M. Haldane, Phys. Rev . B46, 9359 (1992).[19] F. D . M. Haldane, i n Co,,.,.elation Effec ts i n Low- D i mensional Electron Systems, ed. A. Okiji and N. Kawakami, Spri nger Series in Solid-State Sciences (Springer- Verlag, Berlin, 1994), Vol. 118, p. 3.[20] N. Seiberg and E. Witten, Nucl. Phys. B426 19 (1994).[21] H. ltoyama and Morozov.
[22] M. Caselle,Phys. Rev. Lett. 74, 2776 (1995).[23] A.P.Poly chronakos, Phys. Rev. Lett. 69, 703 (1992).[24] M. A. Ols hanet sky and A. M. Perelomov, Phys. Rep. 71, 313 (1981).[25] F. D. 1vI. Haldane, Phys. Rev. Lett. 60, 635, (1988).[26] B. S. Shas t ry, Phys. Rev. Lett. 60, 639 (1988).[27] B. D. Simons, P. A. Lee, and B. L. Altshuler, Phys. Rev. Lett. 72 64 (1994).[28] I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, (Clarendon Press, Oxford, 1979).[29] R. P. Stanley, Adv. Math. 77 76 (1989).[30] P. J. Forrester, Nucl. Phys. B388, 671, (1992); ibid. B416, 377, (1994).[31] Z. N. C. Ha, Nucl. Phys. B435[FS], 604, (1995).[32] H. Bet he, Z. Phys. 71, 205 (1931).[33) E. Lieb and W. Liniger, Phys. Rev. 130, 1605 (1963).[34) M. Flicker and E. Lieb, Phys. Rev. 161 179 (1967).[35) J. B. McGuire, J. Math. Phys. 5, 622 (1964).[36] M. Gaudin,Phys. A24, 55 (1967).[37] C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 19 , 1312 (1967).
(38] H. Bergnoff and H. B. Thacker, Phys. Rev. D19, 3666 (1979).(39] N. Andrei and J. H. Lowenstein, Phys. Rev. Lett. 43 , 1698 (1979).[40] B. Sutherland, Phys. Rev. B12, 3795 (1979).(41] E. H. Lieb and F. Y. Wu, Phys. Rev. Lett. 20 , 1445 (1968)[42] N. Andrei, Phys. Rev. Lett. 45 , 379 (1980).(43] P. B. Wiegmann, Phys. Lett. ABO, 163 (1980)[44] R. J. Baxter, Ann. Phys. (N.Y.) 70, 323 (1972) ; ibid , 193 (1972)(45] B. Sutherland, Phys. Rev. Lett. 20, 98 (1968)(46] E. K. Sklyanin, L. A. Takhtajan and L. D. Faddeev, Teor. Mat. Fiz. 40. 194 (1979).[47] M. Takahashi, Prog. Theo. Phys. 47, 69 (1972).(48] C. N. Yang and C. P. Yang, J. Math. Phys. 10, 1115 (1969).(49] K. Lee and P. Schlottmann, Phys. Rev. B38, 11556 (1988).(50] M. Takahashi, Prog. Theo. Phys. 42 , 1098 (1969).(51] K. Lee and P. Scltlottmann, Phys. Rev. B40, 9104 (1989).[52] M. Takal1ashi, Prog. Theo. Phys. 52 , 103 (1974).[53] F. Woynarovich, J. Phys. C16 , 6593 (1983).[54] T. B. Bahder and F. Woynarovich, Phys. Rev. B33, 2114 (1986).
[55] K. Lee and P. Schlottmann, Phys. Rev. B41, 9104 (1989).[56] A. M. Tsvelick and P. B. Wiegmann, ap32, 453 (1983)[57] P. Schlottmann, Phys. Rep. 181 , 1 (1989).[58] P. Schlottmann and P. Sacramento, Adv. Phys. 42, 641 (1993) .[59] V. E. Korepin, N. M. Bogoliubiv, and A. G. Izergin, Quantum inverse scatte,ing methods and correlation functions, (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993).[60] H. ivI. Babujian, Phys. Lett. A90, (1982).[61] A. B. Zamolodchikov, Sov. Phys. JETP 52, 325 (1980).[62) B. Sut herland, Rocky Mountain J. of Math. 8, 413 (1978).[63] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B241 (1984) 333.[64] A. B. Zamolodchikov, Adv. Stdu. Pure. Math. 19 (1989) 1; Int. J. Mod. Phys. A4 (1989) 4235.(65) R. J . Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, (Academic Press, 1982).(66) L. Faddeev, Lecture in Les Houches, Session XXXIX, (1982).(67] A. A. Belavin and V. G. Drinfeld, Fu.net. Anal. and Appl. 16 (1982) 159.[68] V. G. Drinfeld, Proc. of the Int. Congress of Math. , Berkeley, (1986).
[69] M. Jimbo, Lett. in Math. Phys. 10 (1985) 63.[70] A. B. Zamolodchikov and ALB. Zamolodchikov, Ann. Phys. 120 (1979) 253.[71] D. Bernard and A. LeClair, Commun. Math. Phys. 142 (1991) 99.[72] M. Liischer, Nucl. Phys. B135 (1978) 1.[73] V. Pasquier, Commun. Math. Phys. 118 (1988) 355.[74] G. Felder, Nucl. Phys. B317 (1989) 215.[75] A. LeC!air, Phys. Lett. B230 (1990) 103; F. A. Smirnov, Int. J. Mod. Phys. A4 (1989) 4213; D. Bernard and A. LeClair, B340 (1990) 721.[76] A. B. Zamolodchikov, JETP Lett. 43 (1986) 730; C. Ahn, Phys. Lett. B294 (1992) 204.[77] A. B. Zamolodchikov and Al. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B379 (1992) 602.[78] P. Goddard, A. Kent, and D. Olive, Commun. Math. Phys. 103 (1986) 105.[79J D. Gepner and E. Witten, Nucl. Phys. B278 (1986) 493.[80] C. Ahn, D. Bernard, and A. LeClair, Nucl. Phys. B346 (1990) 409.[81] C . Ahn, Nucl. Phys . B354 (1991) 57.
[82] Al. B. Zarnolodchi kov , B342 (1991) 695.[83] M. K arowski, Proc. Summer School in the Clausthal on Quantum Group (1989) 183 .[84] T. Klassen and E. Melzer, Nucl. Phys. B350 (1990) 635; M. J. Martins, Phys. Lett. 240B (1990) 404; P. Christe and M. J. Martins, Mod. Phys. Lett. A5 (1990) 2189; C. Ahn and S. Nam, Phys. Lett. B271 (1991) 329 - 336.[85] Al. B. Zarnoloclchikov, Nuc l. Phys. B358 (1991) 524.[86] M. Karowski and P. H. We isz, Nucl. Phys. B139 (1978) 455; M. Karowski, Phys. Rep. 49 (1979) 229.[87] F. A. Srnirnov, Form factors in completely in tegrable models of quantum field theory, (World Scientific, Singapore, 1992).[88] J. L. Cardy, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 2709.[89] S. Goshal and A. B. Zamolodchikov, Int. J. Mod. Phys. A9 (1994) 384 1.[90] C. Ahn and W.- M. Koo, Boundary Yabg- Baxter equation in the RSOS representation, to be published in Nucl. Phys. B.[91} A. B. Zamolodchikov, Commun. Math. Phys. 79 (1981) 489.[92] R. J. Baxter, Commun. Math. Phys. 88 (1983) 185.[93] R. M. Kashaev, V. V. Mangazeev, and Yu. G. Stroganov, Int. J. Mod. Phys. A8 (1993) 1399.[94] I. Affleck and A. W. W. Ludwig, Nucl. Phys. B360, 641 (1990); Nucl. Phys. B428, 545 (1994); Phys. Rev. B48 (1993) 7297; Phys. Rev. Lett. 68 1046; Nucl. Phys. B360, 641 (1991) ; I. Affleck, A. W. W. Ludwig, H. B. Pang and D. L. Cox , Phys. Rev. B45, 7918 (1992).
[95) A. A. Belavin, A. M. Zamolochikov, Nucl. Phys . B241 333 (1984) ; For review, see P. Ginsparg Fields, Strings and Critical Phenomena edited by E. Brezin and J. Zinn- Justin, (North 一 Holland, Amsterdam, 1989) 1.[96] J. L. Cardy Nucl. Phys. B324 (1989) 581; J. L. Cardy, in Fields, Strings and Critical Phenomena, edited by E. Brezin and J. Zinn 一justin (North-Holland, Amsterdam, 1990) ; J. L. Cardy Nucl. Phys. B270 (1986) 186.[97J J. Kondo, Prog. Theor. Phys. 32 (1964) 37.[98J P. Nozieres and A. Blandin, J. Phys. (Paris) 41,193(1980)[99] P. Nozieres, J. Low Temp. Phys. 17(1974) 31; P. Nozieres and C. T. De Dominicis Phys. Rev. 178(1969) 1097.[lOO] D. L. Cox, Phy. Rev. Lett. 59 (1987) 1240[101] E. Verlinde, Nucl. Phys. 300 (1988) 360[102 J R. Shankar, Rev. Mod. Phys. Vol. 66, (1994) 129[103] D. Altcshiiler, M. Bauer and C. ltzykson, Comm. Math. Phys. 132 (1990) 349[104] A. B. Zamolodchikov and V. A. Fateev, Sov. J. Nucl. Phys. 43 (1986) 657; D. Gepner and E. Witten, Nucl. Phys. B278 (1986) 493.
[105] H. Bloete, J. Cardy and M. Nightingale, Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 742.[106] C. L. Seaman et al, Phy. Rev. Lett 67 (1991) 2882 .[107] A. B. Zamolodchikov, JETP Lett. 43 (1986) 565[108] J. Cardy, Nucl. Phys. B240 (1984) 514[109] V. S. Dotsenko and V. Fateev, Nucl. Phys. B240 (1984) 312[110] G. Moore and N. Seiberg, Phys. Lett. B212 (1988) 451[111] V. Knizhinik and A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. 247 (1984) 83[112] J. Cardy and D. Lewellen, Phys. Lett. B259 (1991) 274[113] L. D. Landau, Sov. Phys. JETP 3, 920 (1957); ibid. 5, 101 (1957); ibid. 8, 70 (1958).[114] V. P. Silin, Sov. Phys. JETP 6, 387 (1957).[115] D. P ines and P. Nozieres, The Theory of Quantum Liquid-S, (Addison-Wesley, 1966) .(116] P. Nozieres, Interacting Fermi Systems, (Benjamin, New York, 1964).[117] G. Baym and C. Pethick, in The Physics of Liquid and Solid Helium, eds. Bennemann and Ketterson ("Wiley, New York, 1976), Vo l. 2.
[118] R. Shankar, Physica A177, 530 (1991); R ev. Mod. Phys. 66, 129 (1994).[119] D. C. Mattis and E. Lieb, J. Math. Phys. 6, 304 (1965).[120] A. Luther and I. Peschel, Phys. Rev. B9, 2911 (1974) .[121] F. D. M. Haldane, J . Phys. Cl4, 2585 (1981).[122] F. D. M. Haldane, Luttinger's Theorem and Bosonization of the Fermi Surface, in Proceedings of the International School of Physics Enrico Fermi, 121 Varenna 1992, eds. R. Schrieffer and R. A. Broglia (North-Holland, 1994).[123] A Hought on and J. B. Marston, Phys. Rev. B48, 7790 (1993); A Houghton, H.-J. Kwon, J. B. Marston, and R. Shankar, J . Phys.: Cond. Matt. 6, 4909 (1994) ; H. - J. Kwon, A Houghton, and J. B. Marston, Phys. Rev. Lett. 73, 284 (1994).[124] A. H. Castro-Neto and E. H. Fradkin, Phys. Rev. Lett. 72, 1393 (1994); Phys. Rev. B~9, 10877 (1994); Phys. Rev. B51, 4084 (1995).[125] P. Kopietz and K. Schonhammer, Functional bosonization of intemcting fermions in arbitrary dimensions, (preprint, 1994); P. Kopiet z, J. Hermisson and K. Schonhammer, Bonsonization of intemcting fermions in arbitray dimension beyond the Gaussian approximation, (preprint, 1995).[126] A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, and I. E. Dzyaloshinski, Methads of Quantum Field Theory in Statistical Mechanics, (Dover, 1963).
[127] A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of ManyParticle Systems, (McGraw-Hill, 1971).[128] J. F. Negele adn H. Orland, Quantum Many-Particle Systems, (Addison一Wesley, 1988).[129] V. J. Emery, in Low-Dimensional Conductors and Superconductors, eds. D. Jerome and L. G. Caron, (Plenum, 1987), p. 47.[130] C. Bourbonnais and L. G. Caron, Int. J. Mod. Phys. B5, 1033 (1991).[131] H. J. Kwon, Theory of Fermion Liquids (Ph.D. Thesis, Brown University, 1995).[132] V. J. Emery, in Highly Conducting One-Dimensional Solids, eds. J. T. Devreese, R. P. Evrard, and V. E. van Doren, (Plenum, 1979), p. 327.[133] H. J. Schulz, Fermi liquids and non-Fermi liquids, (preprint, 1995).[134] J. Voit, J. Phys. C21, L1141 (1977).[135] T. Giamarchi and H. J. Schulz, Phys. Rev. B39, 4620 (1989).[136] I. Affleck, D. Gepner, T. Ziman, and H. J. Schulz, J. Phys. A22, 511 (1989).[137] R. R. P. Singh, M. E. Fisher, and R. Shanlmr, Phys. Rev. B39, 2562 (1989).
[138] D. Loss and T. Martin, Wentzel-Bardeen singularity and phase diagram for interacting electrons coupled to acoustic phonons in one dimension, (preprint, 1994).[139] V. G. Drinfeld, Hopf algebra and the Yang-Baxter equation, Soviet Math. Dokl. 32 (1985), 254- 258.[140] J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory (Springer-Verlag, New York, 1972).[141] M. Jimbo, A q- difference analogue of U(g) and the YangBaxter equation, Lett. Mat h. Phys. 10 (1985), 63- 69.[142] V. G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, 3rd. ed. (Cambridge University Press, 1990).[143] S.-J. Kang, M. Kashiwara, K. C. Misra, T. Miwa, T. Nakashima, A. Nakayashiki, Affine crystals and vertex models, Int. J. Mod. Phys. A7, Suppl. lA (1992), 449- 484.[144] S.- J. Kang, K. C. Misra, CriJstal bases and tensor product decomposition of Uq(G2)-modules, J. Algebra 163 (1994), 675- 691.[145] M. Kashiwara, On crystal bases of the q-analogue of universal enveloping algebras, Duke Math. J. 63 (1991), 465-516.[146] M. Kashiwara, T. Nakasluma, Crystal graphs for represent_ations of the q-analogue of classical Lie algebras, J. Algebra {1993),[147] P. Littelmann, Crystal graphs and Young tableaux, J. Algebra
[148] G. Lusztig, Quantum deformations of certain simple modules over enveloping algebras, Adv. in Math. 70 (1988), 237- 249.[149] G. Lusztig, Canonical bases arising from quantized enveloping algebra, J. Amer. .rvrat h. Soc. 3 (1990), 447- 498.[150] A.Khurana, Physics Today, 41, (2), 19 (1988) .[151] The Qantum Hall effect, ed. R. E. Prange and S. M. Girvin, (Springer, New York, 1986).[152] D. P. Arovas, A. Auerbach and F. D. :M. Haldane, Phys. Rev. Lett., 60, 531 (1988).[153] F. D . M. Haldane, Phys. Lett., 93A, 464 (1983); Phys. Rev. Lett., 50, 1153 (1983); J. Appl. Phys., 57, 3359 (1985).[154] I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb and H. Tasaki, Commun. Math. Phys., 115, 477 (1988).[155] I. Affleck, Nucl. Phys., B265(FS15], 409 (1986), N. Papanicolaou, Nucl. Phys. B305(FS23] 367 (1988).[156] F. D . Haldane, Phys. Lett., 93A, 464 (1983);(157] M. den Nijs and K. Rornmelse, Phys. Rev. B40, 4709 (1989).(158] H. Saleur and J .-B. Zuber, Proc. of Trieste Spring School, (1990).(159] R. J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics (Academic Press, New York, 1982).[160] L. D. F. Faddeev, N. Yu. Reshetikhin and M. I. Takhtajan, LOMI preprint E14- 87 and references therein.
[161] V. G. Drinfeld, Sov. Math. Dokl., 32, 254 (1985) ; M. Jimbo, Lett. Math. Phys., 10, 63 (1985).[162] M. Rosso, Commun. Mat h. Phys., 117, 581 (1988).[163] E. Lusztig, Modular representations and quantum groups, (MIT preprint 1988) ; P. Roche and D. Arnaudon, Lett. Math. Phys., 17, 295 (1989); V. Pasquier and H. Saleur, Nucl. Phys., B330, 523 (1990).[164] H. Saleur and D. Altschuler, Nucl. Phys., B354, 579 (1991) .[165] E. H. Lieb, Phys. Rev., 162, 162 (1967).[166] H. Saleur, Commun. Math. Phys., 132, 657 (1990) ; Nucl. Phys., B360, 219 (1991) .[167] W. M. Koo and H. Saleur, Int. J. Mod. Phys., 8, No. 29, 5165 (1993).[168] J. M. Leinaas and J. Myrheim, 11 Nuovo Cimento 37, (1977); F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 49, 957 (1982); Y. S. Wu, Phys. Rev. Lett. 53, 111 (1984).[169] D. P. Arovas, R. Sclirieffer, F. Wilczek and A. Zee, Nucl. Phys. B251, 117 (1985) .[170] A. Comtet, Y. Georgelin and S. Ouvry, J. Phys. A22, 3917 (1989).[171] T. Blum, R. C. Hagen and S. Ramaswamy, Phys. Rev. Lett. 64, 709 (1990).
[172] T. Lee and P. Oh, Phys. Lett. B319, 497 (1993); Phys. Rev. Lett.72 , 1141 (199 4).[173] T. Lee and P. Oh, Ann. Phys. 235, 413 (1994).[174] D. Bak, R. Jackiw and S.-Y. Pi, Phys. Rev. D49, 6778 (1994); W. T. Kim and C. Lee, Phys. Rev. D49, 6829 (1994) .[175] F. Wilczek and Y.- S. Wu, Phys. Rev. Lett. 65, 13 (1990);M. Bucher, Nucl. Phys. B350, 163 (1991) ; H.- K. Lo and J. Preskill, Phys. R ev. D48, 4821 (1993) .[176] G. Moore and N. Read, Nucl. Phys. B360, 362 (1991); X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 2206.[177] G. 't Hooft, Commun. Math. Phys. 117, 685 (1988); S. Deser and R. Jackiw, ibid 118, 495 (1988) ; S. Carlip, Nucl. Phys. B324, 106 (1989) .[178] E. Verlinde, in Modern Quantum Field Theory (World Scientific, Singapore, 1991).[179) A. P. Balachandran, M. Bourdeau and S. Jo, Int. J. Mod. Phys. Lett. A4, 1923 (1989); Int. Jou. Mod. Phys. A5, 2423 (1990).[180] S. K. Wong, Nuovo Cimento A65, 689 (1970) .[181) A. P. Balachanclran, S. Borchardt and A. Stern, Phys. Rev. D17, 3247 (1978).[182) S. Deser, R. Jackiw and S. Templetone, Ann. Phys. (N. Y.) 140, 372 (1982).
[183] L. S. Brown, Quantum Field Theory (Cambridge Univ. Press, 1992).[184) S. Elitzur, G. Moore, A. Schwimmer and N. Seiberg, Nucl. Phys. B326, 108 (1989) ; M.Bos and V. P. Nair, Int. J. Mod. Phys. A5, 959 (1990) .[185) V. G. Knizhnik and A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B247, 83 (1984).[186] T. Kohno, Ann. Inst. Fourier (Gre noble) 37, 139 (1987) ; A. Tsuchiya and Y. Kanie, Lett. Math. Phys. 13, 303 (1987) ; Adv. Stud . Pure Math. 16, 297 (1988) .[187] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, and A. B. Za molodchikov, Nucl. Phys. B241 (1984) 333 .[188] D. Ftiedru1, Z. Qiu, and S. Shenker, Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 1575.[189) J. L. Cardy, Nucl. Phys. B275 [FSl7) (1986) 200.[190] J. L. Cardy, Nucl. Phys. B240 [FS12) (1984 ) 514.(191] J. L. Cardy, Nucl. Phys. B324 (1989) 581.(192] T. W. Burkhardt and T. Xue, Nucl. Phys. B354 (1991) 653.[193] J. L. Cardy, in Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 11, ed. C. Domb and J. L. Lebowitz (Academic, New York, 1987) p. 55.[194] R. Z. Bariev, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 77 (1979) 1217 [ Sov. Phys. JETP 50 (1979) 613].
[195] B. M. McCoy and J. H. H. Perk, Phys. Rev. Lett. 44 (1980) 840.[196] H. J. Hilhorst and J. J:vI. J. van Leeuwen, Phys. Rev. Lett. 47 (1981) 1188.[197] F. Igl6i, B. Berche and L. Turban, Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 1773.[198] T. W Burkhardt and F. Igl6i, J. Phys. A23 (1990) L633.[199] J.- Y. Choi, J. Phys. A26 (1993) L327.[200] P. Di Frncesco, H. Saleur and J.- B. Zuber, Nucl. Phys. B290 [FS20] ( 1987) 527.[201] T. W. Burkhardt and I. Guim, Phys. Rev. B47 (1993) 14306.[202j H. W. J. Blot e, J. L. Cardy, and M. P. Nightingale, Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 742.[203] P. Kleban and I. Vassileva, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 3929.[204] A. C. Brown, Phys. Rev. B25 (1982) 331.[205] T. W. Burkhardt and J.-Y. Choi, Nucl. Phys. B376 (1992) 447.[206] T. W. Burkhardt and I. Guim, J. Phys. A24 (1991) 1557.[207] P. Froj dh, J. Phys. A27 (1994) 41.[208) V I. S. Dotsenko and V. A. at eev, Nucl. Phys. B240 [FS12] (1984) 312.
[209] B. Nienhuis, J. Stat. Phys. 34(1984) 731.지은이 약력
남순건서울대학교 물리학과 졸업미국 예일대학교 박사VPI, MIT, 서울대학교 연구원현재 경희대학교 물리학과 부교수이공주복이화여자대학교 물리학과 졸업미국 템풀대학교 박사템플대학교, 서울대학교 이론물리연구센터 연구원현재 이화여자대학교 물리학과 부교수안창립서울대학교 물리학과 졸업미국 스탠퍼드 대학교 박사코넬대학교, 이탈리아 ICTP 연구원현재 이화여자대학교 물리학과 부교수신상진서울대학교 물리학과 졸업미국 u.c. 버클리대학교 박사Rutgers, U. Florida 연구원현재 한양대학교 물리학과 부교수유재준서울대학교 물리학과 졸업미국 노스웨스턴대학교 박사노스웨스턴대학교, Illinois-Urbara 대학교 연구원현재 서강대학교 물리학과 조교수( 논문 게재 순)정확히 풀리는 양자계
대우학술총서·공동연구1 판 1 쇄 펴냄 -1998 년 12 원 30 일지은이 ＿ 남순건 이 공주복 안창림 신상진 유재준펴낸이 一一- 박맹호펴낸곳 ——- （ 주 )민음사출판동목 1966. 5. 19 재 16 - 490 호서 울 시 강남구 신사동 506 강남 출 판문화센터 5 층515 -2000( 대 표 전 화), 515- 2007( 팩 시 빌 리 )값 18,500 원© 남순건 이공주복 안창림 신상진 유재준, 1998물리학, 양자역학 및 파동역학 KDC/420.13Printed in Seoul, KoreaISBN 89- 374- 4548 -49442089- 374-3000-2 ( 세트)
| 대우학술총서 씨. I