이준규 서울대학교 물리학과
소광섭 서울대학교 물리교육과조용승 이화여자대학교 수학과이재형 연세대학교 물리학과김성구 이화여자대학교 물리학과김홍종 서울대학교 수학과박용문 연세대학교 수학과박규환 경희대학교 물리학과박대현 연세대학교 수학과김두철 서울대학교 물리학과고계원 아주대학교 수학과김승환 포항공과대학 물리학과김문언 한국과학기술원 기계공학과
이론물리의 수학적 접근
이론물리의 수학적 접근
이준규 소광섭 조용승 이재형 김성구 김홍종박용문 박규환 박대현 김두철 고계원 김승환 김문언민음사머리말
과학의 역사를 돌이켜보면 수학과 이론물리는 서로 뗄 수 없는 밀접한 관계를 갖고 발전해 왔다. 미적분학과 역학, 미분기하학과 일반상대성이론, 양자역학의 등장과 topological invariants, 그리고 끈이론과 Riemann Surface Theory에 이르기까지 양 분야의 공동적 대상이라 할 수 있는 내용은 그 범위가 넓고 또한 각각의 분야에서 중심적 위치를 점유하는 연구 영역이기도 하다.그럼에도 불구하고 근래에 이론물리학 연구자와 수학 연구자 사이에는 연구 방법의 상이, 사용하는 언어의 다름, 흥미 있는 문제에 대한 시각 차이, 그리고 다른 expertise 등을 이유로 의견 소통이 쉽지 않게 되었을 뿐만 아니라 상대방에 대한 심리적 괴리감마저 생기게 되었다. 자연에 대한 수학적 모델을 찾는 것이 이론물리의 목적이라고 할 때 이는 무척 불행한 하나의 사건으로서 최근 이를 시정키 위한 노력이 수리물리학자들을 중심으로 범세계적으로 추구되고 있다(여기서 수리물리학자는 물리의 문제를 수학적 엄밀성에 맞추어 분석하고 또 그 수학적 구조를 밝히는 데 중점을 두고 연구하는 사람을 말한다).우리나라의 경우, 수학 연구자와 이론물리학자 사이의 괴리는 미국, 영국, 프랑스, 러시아 등 과학선전국에서의 경우보다 한층 심하다. 이론물리학자들은 필요한 고등수학의 지식을 갖고 있지 못함으로 인해 소기의 연구 성과를 얻지 못하고, 또 다수의 국내수학자들은 자기가 연구하는 수학이론이 물리에 어떻게 응용되는지 (또는 응용될 수 있는지) 알지 못해 안타까워하는 실정이다. 이러한 문제점들은 양 분야 연구자들이 함께 세미나에 참여하고, 상대방의 언어를 이해하려고 노력하며, 나아가 서로의 장점을 결합할 수 있는 협력 연구를 적극 추전함으로써만 해소될 수 있다.
이에 뜻을 같이하는 이론물리학자와 수학자 십여명이 모여 대우재단의 공동 연구 지원을 받아 지난 일년간 (1993. 8. 1-1994. 7. 31) 매월 1회의 연구발표 모임을 갖고 상호 관심 주제에 대한 집중적인 토론을 하였다. 또한 중간 발표회로 학계의 관련 인사둘을 초청하여 심포지움 (1994. 4. 15)을 열었다.이러한 연구 모임과 심포지움에서 발표된 내용들을 하나로 묶은 것이 이 책이다. 내용을 대체로 분류한다면 고전 및 양자역학, 양자장론, 통계물리 및 비선형 동역학에 관련된 수학 이론들이다. 수리물리학의 연구를 시작한 대학원생은 물론 이 분야의 전문 연구자들에게도 도움이 될 것으로 기대한다.앞으로 수학과 물리의 학제간 연구를 위한 시도들이 더욱 다양하고 활발해지길 바라며, 이 책이 수리물리학을 연구하려는 사람들에게 도움이 되었으면 하는 바람이다.저자 일동이론물리의 수학적 접근
차례머리말 • 7제 1 장 수소원자의 세계 …………………………………이준규 11제 2 장 심플렉틱군과 역학 ………………………………소광섭 37제 3 장 수학에서 게이지 이론 …………………………조용승 75제 4 장 양자 장이론의 슈뢰딩거 표현 방법 …………이재형 91제 5 장 이상수와 지표정리 ………………………………김성구 139제 6 장 아티야-싱어의 지표 이론 ………………………김홍종 163제 7 장 양자 미적분 및 비가환 기하학 ………………박용문 189제 8 장 적분가능계와 트위스터 이론 …………………박규환 205제 9 장 해의 존재성에 관한 소고 ………………………박대현 227제 10 장 격자 스핀계와 전달행렬 ………………………김두철 261제 11 장 동역학계의 엔트로피 ……………………………고계원 285제 12 장 물리계의 비선형 문제의 역학계적 접근 ……김승환 323제 13 장 대류 유동의 유체역학적 안정성 ………………김문언 369저자 소개 • 397찾아보기 • 399제 1 장
수소원자의 세계―물리 법칙의 변천에 따른 수학적 언어의 변화이준규1.1 서론이론물리는 어찌됐든 외부 세계 (the external world)에 대한 좀 더 정확한 이해를 추구하는 데에서 그 궁극적 의의를 찾을 수 있다고 생각한다. 이러한 관점에서 현재까지의 물리이론들을 보면 몇 가지 특기할 사항들이 있다.첫째는 갈릴레오가 맨 처음 천명한 것처럼 모든 물리이론들은 수학을 그 언어로 사용해서 표현되었다는 것이다. 물리학의 연구 대상은 자연이며, 그것은 수학적인 규칙으로 이해될 수 있다는 말이다. 또 하나는 이 수학적 언어에 바탕을 둔 물리이론들이 아주 광범위한 영역에 걸쳐 보편적으로 적용될 수 있을 것 같다는 점이다. 하나의 핵자에 관계되는 물리법칙이 곧 전 우주의 동역학을 다스리는 법칙도 된다는 뜻으로, 이는 결국 핵자 하나가 곧 하나의 작은 우주를 정의한다고 봐도 괜찮다는 말도 된다. 여기서 얘기하고자 하는 수소원자의 세계도 이런 뜻에서 이해되어야 한다.지극히 간단한 물리계라고 여길 수 있는 수소원자 하나를 통해서 자연, 즉 우주의 원리를 접해 보고, 그리고 지금까지 이를 이해하기 위해 제시된 여러 물리 이론들이 어떤 수학적 언어를 써서 가능했는지 알아보자는 것이 바로 이 글의 의도이다. 물론 단순하게 생각해서 수소원자란 －e의 전하를 갖는 전자(electron) 하나가 +e의 전하를 갖는 양성자(proton)에 둘 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 전기적 힘(그림 1-1 참조) F=－e²/r³ r (쿨롱의 법칙) (1.1.1)때문에 도망가지 못하고 매여 있는 복합체로 볼 수 있다. 이와 같은 설명은 수소원자 구조에 대한 첫번째 근사(first approximation)로서는 상당히 그럴 듯한 것이지만 이것만으로는 수소원자에서 관측된 여러 현상들에 대한 정량적 해석은 불가능하다. 수소원자 하나를 이해하기 위해서 우리는 20세기 물리학 전부를(그리고 앞으로 새로이 개발될 물리 이론까지도) 동원해야 하며, 또 물리 이론의 발전에 상응해서 계속 새로운 수학적 개념들이 그 동
그림 1-1 양성자(p)와 전자(e) 사이의 쿨롱 힘
안 도입되었고 앞으로도 이 추세가 지속되리라고 본다.
인간의 역사는 언어와 사조의 변화 속에서 점진적으로 계승되었다. 수소원자에 대한 이해 또한 수학과 과학적 관점의 변화 속에서 그동안 지속적으로 개선되어 온바, 이 글에서는 이 과정들을 역사적 전개 순서에 따라 고전적 모형, 비상대론적 양자 모형, 상대론적 양자 모형, 양자장론적 모형, 다른 기본 상호작용의 역할로 나누어서 수소원자를 이해해 보도록 하겠다.1.2 고전적 모형물리학의 시작은 역학이며, 역학의 법칙들은 행성들의 운동을 정량적으로 설명하려고 하는 데에서 비롯되었음은 잘 알려진 사실이다. 그렇다면 수소원자에 대한 최초의 동역학적 모형이 행성모델(planetary model)이었음은 아주 당연하다고 하겠다. 양성자는 작은 태양, 전자는 작은 지구에 비유되며(양성자의 질량은 전자의 그것에 비해 약 2000배 정도 큼에 유의) 둘 사이 거리의 제곱에 반비례하는 힘(1.1.1) 때문에 전자가 양성자에 묶여서 돌고 있다는 모형으로, 단지 이 경우에는 전기력이 행성 사이에 중력이 맡는 역할을 대신한다는 점이 행성계와 조금 다를 뿐이다.(그림 1-2 참조)행성 모델에서 수소원자의 수학적 기술은 물론 뉴턴 역학에 근거하여 m d²r/dt²= F=-e² r/r³(1.2.1)［여기서 r은 양성자에서 전자까지의 변위, m은 전자와 양성자의 환그림 1-2 행성 모델에 따른 수소원자의 모형
원질량 (reduced mass)으로 그 값은 전자의 질량과 거의 갇음〕와 같은 2차 상미분 방정식을 바탕으로 주어전다. 또는 뉴턴 역학과 동등한 해밀토니안의 역학 체계에 따라 수소원자계에 대한 해밀토니안 함수(Hamiltonian function) H를 (r,p）를 좌표로 갖는 위상공간(phase space) 상에 H= 1/2m p²－e/r² (1.2.2)처럼 설정하면 운동방정식 (1.2.1)는 1차 상미분 방정식 꼴인, 이른바 해밀턴 방정식 dr/dt=∂H/∂p, dp/dt=－∂H/∂r(1.2.3)으로 대치될 수 있다.
위 역학계의 해는 물론 뉴턴의 손에 의해 맨 처음 얻어졌으며 잘 알려진 대로 각 운동량 벡터 L=r(t)xp-(t) (1.2.4)과 (1.2.2) 에 주어전 함수 H의 값(즉 에너지 E)이 모두 이 계의 1차 적분(first integral)에 해당하는 양들로서 시간 t에 무관하게 주어진다는 사실을 이용하면 1차원에서의 운동을 푸는 것보다 크게 복잡하지 않다. 이 해의 주요 특정만을 이야기하면 다음과 갇다.
첫째, 초기 조건만 주어지면 t>0에서 r(t) 및 p(t)가 정확히 정해지는 결정론적 운동(deterministic motion)이다.둘째, 에너지 값이 음수이면 r(t)는 타원 궤도를 따라서 움직인다.셋째, 초기 조건에 따라 에너지는 -∞부터 +∞까지 임의의 실수값이 될 수 있다. 그리고 E=-∞ 인 경우는 전자가 양성자에 붙어 버린 상태, 즉 r=0에 붕괴(collapse)된 경우에 해당한다.이 고전적 모형은 마찰의 영향을 걱정하지 않아도 되는 행성들의 운동을 설명하는 데에는 훌륭하였지만 원자의 모델로는 문제가 있다. 그 이유는(양성자와 전자 사이에 마찰력이 있어서가 아니라) 전자와 양성자 사이에 작용하는 전기력(1.1.1)은 그것만으로 이해되어서는 안 되고 반드시 맥스웰과 로렌츠의 전기동역학(electrodynamics) 이론체계의 한 부분으로서 생각되어야 함에 연유한다. 전기동역학 이론의 동역학적 변수는 시공간에 주어지는 전기장 (E) 및 자기장 (B)으로서 이들은 맥스웰 방정식이라고 불리는 편미분 방정식(편의상 광속은 1로 놓음)▽ㆍE=4πρ, ▽×E+∂B/∂t=0 (1.2.5) 을 만족하는데, 여기서 p는 전하밀도이고 J는 전류밀도를 나타낸다.그리고 점전하는 있는 위치에서의 E 및 B에 의해 F=q(E+dr/dt×B) (로렌츠의 힘) (1.2.6)와 같은 힘을 받게 된다. 쿨롱의 힘 (1.1.1)은 바로 이 전기동역학 이론을 속도가 충분히 작은 두 전하로 된 계에 적용하면 얻어지는 것이다. 그런데 수소원자에서 전자의 속도는 아주 작지도 않을 뿐더러, 무엇보다도 가속운동을 하고 있기 때문에 전기동역학 이론을 제대로 적용하면 다른 물리 현상이 함께 나타나게 되어 있는바, 바로 전자파의 방출이 그것이다. 전자파 또는 우리가 빛(light)이라고 부르는 것은 편미분 방정식(1.2.5) 으로 주어지는 〈맥스웰 계〉 : 자체가 (전하의 운동과는 별도로) 갖고 있는 파동(wave) 형태의 동역학적 운동 양상을 나타낸다.
전자가 가속운동을 하게 되면 주위의 전기장과 자기장에 변화를 야기시키고, 이것이 맥스웰 계를 둘뜨게 만들어 전자파를 생성한다고 볼 수 있는데, 이 때 중요한 점은 전자의 에너지가 전자파로 뺏긴 에너지만큼 줄게 되어 마치 전자의 운동이 마찰력에 의해 감쇠되는 것과 비슷한 현상이 일어나게 된다는 사실이다. 따라서 적당한 크기의 타원 궤도에 해당하도록 초기 조건이 주어지더라도 전자는 시간이 조금 지나면 전자파 방출로 인하여 에너지는 계속 떨어지고, 궤도는 마구 축소되어 결국 붕괴된 상태(E=-∞)에 이르고 마는 것이다. 수소원자의 고전적 모형의 문제점은 우리가 사는 세상에 (붕괴되지 않은) 안정된 수소원자가 남아 있다는, 바로 그 사실이다.
1.3 비상대론적 양자 모형고전적 모형에서는 수소원자가 존재할 수 없으므로 이제 이야기하려고 하는 비상대론적 양자 모형이야말로 수소원자에 대해 논리적 모순이 없는 최초의 이론적 모델로 봄이 타당할 것이다. 이 모형은 20세기 초에 이루어전 새로운 실험적 발견들에 못지 않게 보어, 드 브로이, 하이젠베르크, 슈뢰딩거와 같은 이론물리학자들의 가위 혁명적이라고 할 수 있는 생각들을 통해서 가능하게 되었다. 그 당시 물리학자들이 실험을 통해 알게 된 사실 중에서 첫째, 수소원자의 에너지가 E=—13.6eV/n²,(n=1, 2, 3, …,) (1.3.1)와 같은 식에 따라 주어지는 불연속적인 값들에 제한되어 있다. (그림 1-3 참조) 뿐만 아니라 각 운동량 L의 크기도 √L²= √l(l+1)h(1=o, 1, 2, 3, …, 이고 h는 플랑크 상수임)와 같은 불연속적인 값들만 가능하다.둘째, 전자가 때로는(즉 사람이 보고 있지 않을 때 ! ) 빛과 같이 파동적인(wavelike) 행동을 보임으로써 그것이 어떤 주어진 궤도를 운동한다고 말하는 것 자체가 무의미하다.E=0 (/=3) (/=2) r=0 ¢ r-::_... r=l (/=1) 13.6ev· l IIIII' > / r=O바닥상태 (/=O)
그림 1-3 수소원자의 에너지 스펙트럼. 이 그림에 나타난 불연속적인 에너지 값들과 식 (1.3.1)을 비교하려면 n=r+l+1(여기서 r=1, 2, 3, •••은 이른바 radial 양자수라는 것임)와 같이 놓으면 된다. 한 에너지 값에 대해, 즉 n이 정해져 있더라도 r과 l이 어떤 값올 갖는가에 따라 서로 다른 여러 개의 상태가 가능함에 유의할 것.
등은 기존의 고전물리학 체계 속에서는 도저히 상상할 수 없는 것이었다. 여기에 등장하는 고전물리학의 철학적 배경을 완전히 혼들어 버린 이론이 양자역학이다.
양자역학에서는 입자의 위치 r=(X1,X2,X3), 운동량 p=(p1,P2, p3), 각 운동량 L,= (L1, L2, L3), 그리고 에너지 H와 같은 물리량들을 힐베르트 공간-상태함수 공간이라고 함 —상의 적당한 선형 연산자(linear operator) Xi, pi, Li, Xi, H들과 관련지어서 생각하며, 이른바 측정값이란 것은 이들 연산자들의 고유값(eigenvalue)으로 이해한다. 연산자들은 그 고유값들이 불연속일 수도 있고, 또 두 개의 다른 연산자들의 곱(multiplication)은 곱하는 순서에 따라 결과가 다룰 수 있는데, 특히 양자역학에서는 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따라 Xi와 pi 사이에 [xi, pj]=xi,.pj－pjxi = i hδij, (i, j j= 1, 2 , 3) (1.3.2) 와 같은 관계식을 가정한다. 일반적으로 복소수 값을 가질 수 있는 상태함수(또는 파동함수) φ(r)에 연산자 Xi, Pi, Li들이 가해지면 xi(H=1/2mpipi－e²(1/r)에 대한 고유값 방정식 {1/2m(-ih∂/∂xi)(一ih∂/∂xi)一e²1/√x²+x₂²+x₃ ³｝φ(r)=Eφ(r)(1.3.4)에서 가능한 고유값 E의 값을 찾으면 된다. 방정식 (1.3.4)와 식 (1.3.3 C)를 이용해서 구해 낸 에너지와 각 운동량의 가능한 수학적 값들은 앞에 언급한, 불연속적으로 주어지는 실험값들과 거의 정확히 일치한다. 정말 놀라운 이론이 아닌가?
양자역학에서 골치 아픈 것은 파동함수에 대한 해석으로, 일반적인 견해는 φ(r)에 대해 〈실재〉적 의미는 부여하지 않고 대신 입자가 위치 r에 있을 확률의 크기와 직접적으로 관련된 양으로만 생각하는 것이다. 여기서 φ 함수의 해석에 관한 논란은 하지 않기로 하자. 우리의 주관심사는 양자역학에서 물리현상의 시간에 따른 변화를 기술하는 식, 즉 운동방정식에 관한 것으로 여러 방법이 가능하다. 가장 보편적인 방법은 시간에 따른 변화를 모두 파동함수에 관계시키는 것으로서, 이때 φ(r ; t)는 슈뢰딩거 방정식 ∂φ(r;t)/∂t=H(φ(r;t))=(－h ²/2m▽²－e²/r)φ(r;t)(1.3.5) 을 만족한다. 이 φ에 대해 선형(linear)인 편미분 방정식을 바탕으로 입자의 운동이 〈확률파〉의 운동으로 기술될 수 있는 것이다. 반면, 시간에 따른 변화를 전적으로 물리량을 나타내는 연산자들에 부여할 수도 있는데, 이 경우 연산자 xi(t) 및 pi(t)는 고전역학에서의 경우와 똑같은 형태의 상미분 방정식 dxi(t)/dt=∂H(r,(t),p(t)/∂pi(t)=1/m×pi(t),dpi(t)/dt=∂H(r,(t),p(t)/∂xi(t)=e²(xi/r(t³)(t) (1.3.6) 울 만족한다. 연산자 방정식 (1.3.6)은 하이젠베르크 운동방정식이라고 부르며, 위 편미분 방정식 (1.3.5)를 통한 기술과는 완전히 동등하다.
비상대론적 양자모형은 전자파의 방출을 고려하더라도 수소원자의 안정성에 관한 문제는 없다. 이것은 해밀토니안 연산자의 스펙트럼, 즉 가능한 고유값들에 하한(lower bound)이 있기 때문에 일단 가장 낮은 에너지 상태, 즉 〈바닥 상태(the ground state)〉에 다다르게 되면 더 낮은 에너지 상태로의 천이라는 것은 있을 수 없는 것이다. 한편 높은 에너지 상태에서 더 낮은 에너지 상태로 천이하면서 전자파를 방출하는 현상은 이 모형에서 물론 허락되며 사실 이것에 관련된 실험적 정보는 양자역학 발전에 지대한 공헌을 하였다. 이와 같이 수소원자가 맥스웰 계와 상호작용하는 것을 체계적으로 기술하기 위해서는 해밀토니안 연산자의 형태를 고전적 해밀토니안을 참작하여 일단 H=1/2m(Pi+eAi(r,t))(pi+eAi(r,t))－eΦ(r,t) (1.3.7) (여기서 Ai와 Φ는 벡터 및 스칼라 퍼텐셜로서 이들로부터 E와 B는E=∂A/∂t－▽Φ, B=▽×A처럼 주어짐)와 같이 확장시키고 이에 맞추어 전자의 파동함수 φ(r;t)가 (ih∂/∂t+eΦ)φ= －h²/2m(▽+ie/hA)²φ(1.3.8) 처럼 좀더 일반화된 방정식을 만족하는 것으로 생각하면 가능할 것이다. 〔이 식에서 Φ=e/r, A=0를 가정하면 식 (1.3.5)가 됨에 유의〕 그런데 이 방정식의 한 가지 문제점은 실험적으로 전자는 전하 -e를 갖는 것 의에는 비록 크지는 않지만 고유 자기 모멘트(intrinsic magnetic dipolemoment) μ를 함께 갖는 입자로 알려졌었는데, 식 (1.3.8)을 가지고서는 이 자기 모멘트가 전자기장과 상호작용하는 효과는 전혀 고려되지 않고 있다는 사실이다.
전자의 자기모멘트에 관한 문제는 물리적으로 우리가 스핀 각 운동량이라고 부르는 양의 크기와 직접적으로 관계된다. 또 한편으로는 전자의 파동함수 φ(r;t)를 3차원 유클리드 공간상에 정의된 스칼라장으로 볼 것인지, 아니면 전기장이나 자기장과 갇은 벡터장(vector field)의 경우에서처럼 여러 성분을 가진 더 복잡한 성격의 장으로 봐야 하는가의 문제와도 밀접히 관련되어 있다. 여기서 놀라운 실험적 사실은 전자의 자기 모멘트 벡터 μ의 어떤 임의의 축 방향에 대한 성분을 측정했을 때 얻는 값이 항상 (부호가 서로 반대인) 두 가지 값만으로 주어진다는 것이다. 이 사실은 전자의 파동함수가 기존의 텐서장과는 그 성격이 조금 다른, 이른바 스핀 1/2장 (spin-1/2 field)에 해당하고, 이때 μ는 이 스핀 1/2 장에 대해 정의할 수 있는 스핀 연산자 S=(Si, S2, S3)에 비례하는 양으로 생각하면 곧 이해될 수 있다. 이런뜻에서 전자는 스핀(정확히는 스핀 양자수)가 1/2인 입자에 해당한다.
더 구체적으로 전자의 파동함수는 두 개의 성분을 갖는 장으로서 φa(r,t)(α=1,2) φ(r,t)=(φ1(r,t)φ2(r,t)와 같이 나타내며, 유클리드 공간상의 좌표변환Xi → Xi= Rij XJ , (i, j= l, 2, 3) (1.3.9) (여기서 R(ES0(3)）은 임의의 3X3 회전(rotation) 행렬임)에 대해 파동함수 φa는 φa (X ; t) → φα (X ; t) = Uαβ ( R) ,φβ( X ; t), (α, β=1,2) (1.3.10) (여기서 U(R) (∈SU(2) ）은 행렬식이 1인 적당한 2X2 유니터리 행렬을 나타냄)와 갈은 변환식을 따르고, 또 φ=(φ1φ2)에 작용하는 스핀 연산자 (S1, S2, S3) 는 편의상 S1 ↔h/2(0110) s2 ↔h/2 (1.3.11) s3 ↔h/2(100－1), 와 같이 취할 수 있다. (σ1, σ2, σ3)는 유명한 파울리 행렬이다.전자가 스핀 1/2 인 입자인 것에 맞추어 슈뢰딩거 방정식 (1.3.8)에 등장하는 파동함수는 따라서 2개의 성분을 갖는 스핀1/2장 φ=(φ1φ2)를 의미하는 것으로 재해석되어야 하고, 또 해밀토니안 H 속에 이제 rS • B(r,t) (1.3.12) (여기서 r는 상수로 실제 실험값은 e/m에 아주 가까움)와 같은 자기모멘트와 의부 자기장과의 상호작용을 기술하는 항까지 포함시킴으로써 더욱 개선된 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수도 있다. 그렇지만 이러한 모형만으로 수소원자에서 스핀과 관련된 여러 물리현상들에 대해 이론적으로 만족스러운 설명을 준다는 것은 불가능하며, 그것은 다음 장에서 이야기하게 될 상대론적 양자 모형에 가서 비로소 가능하게 된다.
1.4 상대론적 양자 모형물리학에서는 모든 물리적 사건(event)들을 4차원 시공간 다양체(spacetime manifold)의 점들에 대응시키며, 아인슈타인은 그의 특수상대성 이론을 통해서 이 시공간을 민코프스키 공간으로 규정지었다. 민코프스키 공간이란 두 사건 사이의 〈거리〉를 좌표계를 잘 정함으로써 ds²=-dt²+dx²+dy²+dz²=Jµdxµdx, (x0=t, X1=X, X2=Y, X3=z) (1.4.1) (여기서 η는 메트릭 텐서로 -η∞=η=1임)와 같이 아주 간단한 식으로 나타내는 것이 가능한 공간으로, 특히 식 (1.4.1) 이 적용되는 좌표계는 모두 관성계라고 불린다. 관성계들은 로렌츠 변환(더 일반적으로는 푸앵카레 변환)으로 연결되며 기본 물리법칙을 기술하는 데 있어서 모든 관성계들은 동등하게 훌륭한 자격을 갖는다. 이 말을 바꾸어 말한다면 물리법칙은 관성계에서 특히 간단한 형태를 갖고 또 이 관성계에서의 물리법칙은 반드시 로렌츠 불변성을 가져야 한다는 것이다. 식 (1.2.5)에 주어전 맥스웰 방정식이 그 대표적인 예이다. 이 원리를 따른다면 수소원자에 대한 물리법칙 또한 로렌츠 불변성을 가질 때에만 민코프스키 공간에서 명확한 의미를 부여할 수 있다고 하겠다. 스핀이 1/2인 전자에 대해 로렌츠 불변성을 갖는 〈슈뢰딩거 방정식〉을 맨 처음 발견한 사람은 디랙(Dirac)으로, 우리는 그것을 보통 디랙 방정식이라고 부른다.
디랙 방정식의 경우 파동함수는 스핀 1/2인 입자에 대응해서 2개의 성분을 갖는 게 아니라, 그것들이 한 쌍 있는 것에 해당하는 4개의 성분을 갖는 장 φa(x) (a=O, 1, 2, 3이며 x는 4차원 시공간 좌표임)로 나타내고, φa(x)는 플랑크 상수 및 광속을 각각 1로 취한 단위계에서 {-1/iγμαβ(∂/∂xμ+ieAμ(x))+mδαβ｝φβ(x)=0 (디랙 방정식) (1.4.2) 와 같은 1차 편미분 방정식을 만족한다. 여기서 4-벡터 퍼텐셜 Aµ=(Ao=-¢, A) 은 물론 전자기장을 기술하고, rµ(µ=O, 1, 2, 3) 은 이른바 디랙-클리퍼드 대수(Dirac-Clifford algebra) 관계식 rµr + rrµ = -2ηI (1.4.3) 을 만족하는 4X4 행렬로서 예를 들어ro=(I00-I) ,ri(0σi-σi0) (1.4.4) 처럼 잡을 수 있다. 식 (1.4.2)가 로렌츠 불변성을 가짐은 ,φα (x)가 로렌츠 변환에 대해 어떤 종류의 스피노-텐서(spinor-tensor)장에 해당하는지 알아내기만 하면 금방 자명해진다.
이미 언급한 대로 이 디랙 방정식은 전자의 스핀에 관련된 제반 동역학적 현상을 퍽 만족스럽게 기술해 주며, 특히 전자의 쌍극자 모멘트 μ=―rs의 크기를 정해 주는 계수 r는 놀랍게도 실험값에 아주 근접한 값인 e/m으로 아예 주어져 버린다. 이 모형에 근거해서 수소원자의 에너지 스펙트럼을 계산해 봐도 비상대론적 양자 모형에 의한 그것보다는 (한 가지 결정적인 단점을 제의하고는) 한층 진일보한 결과를 준다. 에너지 값을 구하기 위해서는 물론 해밀토니안 연산자를 필요로 하고 디랙 방정식의 경우에 우리는 그것을 i∂/∂tφ (x) =[ ror ·( +v+eA)-e +mr0] φ (x) (1.4 .5) = H(Dlroc) (φ(x))와 갇이 정의할 수 있을 것이다. 그리고 양성자와 전자 사이의 쿨롱 힘만을 고려하여 =e/r' A=O으로 놓는 경우 H(Dlrac)의 고유값, 즉 가능한 에너지 값을 구해 내는 것은 식 (1.3.4)에 주어진 대응하는 비상대론적 문제의 경우에 비해서 크게 어렵지 않다.위의 방법으로 얻어전 H(Dlrac)의 스펙트럼은(그림 1-4 참조) E≥m, E≤-m일 때 연속적인 스펙트럼을 ―m
그림 1-4 상대론적 양자 모형에 따른 수소원자의 에너지 스펙트럼. （이 그림에서 에너지는 상대론적 에너지로서 정지질량 에너지 m을 포합함에 유의할 것)
E(n.j)m/√1+[e4/n-(i+1/2)+√(j_1/2)=e]=(1.4.6) (j=l- 1/2( l=l, 2, 3, …) 또는 j=l+ 1/2(l=0, 1, 2, …)) 처럼 주어진다. 여기서 j는 궤도 각운동량과 스핀 각운동량의 합으로 주어지는 총 각운동량에 관계된 양자수에 해당하며, 또 여기서의 에너지는 상대론적인 양으로서 전자의 정지질량 m을 포함하고 있으므로 상대론적 에너지 준위식 (1.4.6) 와 앞장에서 얘기한 비상대론적 논의 결과 사이에 차이룰 알아보고자 할 때에는 후자(즉 식 (1.3.1)에 주어진 값)에 m을 더한 값들과 비교함이 타당하다고 하겠다. 두 식이 주는 값 사이에 차이는 비록 크지 않지만 상대론적 준위식 (1.4.6) 가 실험적으로 관측된 값들에 더욱 근접한다는 사실은 상대론적 양자역학이 찰못된 방향으로 가고있지 않음을 입증해 준다고 할 수 있다.
그럼에도 불구하고 이 상대론적 양자 모형은 간과할 수 없는 이론적 결점을 내포하고 있는데, 바로 H(Dlroc)의 고유값으로서 -∞〈E<一m : 영역에 또 하나의 연속적 스펙트럼이 가능하다는 점이다. 이 전혀 예기치 못했던, 그리고 수소원자의 경우에 우리가 실험을 통해 알고 있는 에너지 준위들보다 훨씬 더 낮은 에너지 값을 갖고 있는 이 상태들을 총칭해서 우리는 디랙의 바다(Dirac sea)라고 부른다. 디랙의 바다가 있음으로 인하여 (우리가 위에서는 무시하였지만) 전자의 전자기파 방출 효과까지 고려하는 경우에 식 (1.4.6) 에 주어진 그 어떤 불연속적인 에너지 값에 해당하는 상태도 오래 안정되게 남아 있지 못하고 모두 디랙의 바다 속으로 떨어지는 운명을 면할 수 없게 된다. 따라서 엄밀히 말하면 디랙의 바다가 존재하는 한, 그리고 무슨 수로 전자가 디랙의 바다로 천이하는 것을 금지시켜 버리지 않는 한, 상대론적 양자역학은 결코 우리가 아는 수소원자의 이론적 모형이 될 수 없다. 디랙의 바다만 없었던둘 아주 훌륭한 이론이 될 수 있었을 이 모형이 …….
1.5 양자장론적 모형상대론적 양자 모형에서 야기된 디랙의 바다 문제를 해결하는 방법으로 새로운 물리 개념이 도입되었는데, 양자장(quantum field)이 바로 그것이며 그 창시자는 역시 디랙이라고 할 수 있다. 20세기 후반기 물리학을 지배한 패러다임이라고도 할 수 있는 이 양자장이란, 시공간 다양체상의 각 점에 특정 입자를 만들거나 없애는 초능력을 가진 연산자를 대응시킨 것으로 생각될 수 있다. 또 양자장을 도입함으로써 그 동안 별도로 생각되어 온 입자(또는 파동)라는 것과 그리고 입자 사이의 힘이라는 두 개념이 하나로 합해지고, 자연현상을 설명해 주는 물리이론이라는 것은 이제 어느 연산자장(operator field)이 어떤 방정식을 만족하는가를 정해 주는 것에 귀착된다. 이 이론이 곧 양자장론이며, 특히 수소원자를 이론적으로 이해하는 데에는 양자전자기학(quantum electrodynamics 또는 줄여서 QED)이라는 양자장론 모형을 필수적으로 생각해야 한다. 양자장론 모형은 그 수학적 구조가 지극히 복잡하고 어렵지만, 지금까지 양자장론 이의에 양자역학을 특수상대성 이론과 논리적 모순이 없이 접목시켜 줄 수 있는 방법은 나오지 않았다.양자전자기학은 디랙 방정식 (1.4.2) 와 맥스웰 방정식 (1.2.5)을 운동방정식으로 갖는 물리계를 양자화한 것으로 볼 수 있다. 양자화란 디랙 스피노장 φa(x)와 4-벡터장 Aµ(X)를 포크 공간(Fock Space)으로 지칭되는 힐베르트 공간 위에 정의된 연산자장, 즉 양자장으로 전환시키는 작업이며, 이는 고전역학에서의 운동방정식 (1.2.3)을 〈양자화〉함으로써 양자역학에서의 (연산자) 운동방정식 (1.3.6)을 얻는 과정에 비교될 수 있다. 이렇게 양자화를 하게 되면 양자장 φa(x)는 시공간상의 점 x에서 전자룰 만들고 없애는 능력을 갖고, Ai(x)는 빛의 입자적 분신이랄 수 있는 광자를 점 x에서 만들고 없앨 수 있게 된다. 여러 개의 φa(x)내지는 Ai(x)가 곱해져 있는 연산자를 생각함으로써 여러 개의 전자나 광자를 한꺼번에 만들고 없애는 것도 가능한데, 이 때 관련된 입자의 성격 (특히 스핀)에 따라 φ(x) 및 Ai(x)가 적절한 교환율을 만족하지 않으면 이론적 모순에 부딪힌다. 구체적으로 φa(x)=φa(x, t)는 반교환 관계식(anti-commutation relations 또는 fermionic relations) φa(x, t)<φa（x,t)+φa(x, t) <φa x, t)=0φa(xx,,tt ) (x--r, tt) r/J/JJJ(x--r, tt) rc/JpaJ (xx,, tt) (X’_X(1).,5.1)을 만족하는 양자장으로 봐야 하며, 반면 A,(x)=Ai(X, t)는 AAjl( x x, tt) ~ AJ x(-x-r-, r, t)t 一- AA X (-xr ,- -r,t) AA, (lx(,x ,t ) t=)O =,O , (1.5.2) A,(x, t)AJ( x--r,t)-( t)A ,(x, t)= 8u83(x'-x), 와 같은 형태의 교환 관계식 (commutation relations 또는 bosonic relations)을 만족하는 양자장으로 이해되어야 한다. 이 양자장들
의 시간에 따른 변화는 우리가 양자화하기 전에 가지고 있었던 운동방정식과 꼭같은 형태, 즉 {－(-1/i+i e Aµ(X))+moap} pp( x) =O, (1.5.3 a) axµ ( -O/Xµ A-l-lX11 _ Aµ)= —4r e ¢a (x) rapp (x) +4 (1.5.3 b)와 같은 연산자장에 대한 비선형 편미분 방정식을 통해서 결정된다. [식 (1.5.3 b)에서 J(x)는 전자 이의의 다른 입자들(예 : 양성자)에 의한 전류이며, 또 맥스웰 방정식 (1.2.5)은 Aµ로 바꿔 쓰면 (A-A)=4πJ가 됨에 유의할 것]
양자장들의 동역학적 고찰은 상상하기 힘들 만큼 어려운 문제인데, 그것은 무엇보다도 양자장이란 수학적 구조 자체가 갖는 복잡성에 기인한다. 방금 기술한 양자전기역학의 경우만 보더라도, 이 겉보기에는 우리가 지금까지 접해 온 물리 이론들에 비해 특별히 복잡한 것 같지 않은 모형의 하나로서, 전자나 광자가 몇 개 있는 경우뿐만 아니라 몇억 개가 어울려 상호작용할 때에도 여전히 적용된다고 하면, 이러한 구조적 복잡성은 필연적인 것인지도 모른다. 엄밀히 말하면 양자장론에서는 특정 입자들 몇 개가 주어졌을 때, 즉 유한개의 자유도(degree of freedom)를 가지고 그것들이 어떻게 상호작용하는지 공부한다는 식의 말은 성립되지 않는다. 아주 상호작용이 없는 경우를 제의하면 항상 무한개의 자유도가 관계하고, 또 이 사실 때문에 양자장론이 어려워지는 것이다. 다시 말해서 입자들의 개수가 보존되지 않으며, 이것은 주어전 양자장론계의 진공(vacuum) 상태의 복잡성을 이해하게 되면 전혀 이상할 게 없다. 그렇다면 이 전공이란 것에 대해 조금 더 생각해 보자.
양자장론에서의 진공 상태는 입자가 전혀 없는 상태라고도 말할 수 있지만, 이 말은 〈입자〉라는 것이 무엇인지 미리 규정되지 않았을 때 그 뜻이 모호할 수밖에 없다. 진공에 대한 더 적절한 말은 주어진 양자장론계의 바닥 상태, 즉 에너지가 가장 낮은 상태라고 할 수 있다. 그렇다면 양자전기역학의 경우 진공은 어떤 상태일까? 물론 양자전기역학계에도 양자장들의 적당한 함수로 주어지는 해밀토니안 연산자 H(QED)가 존재하고, 바닥 상태라면 H(QED)의 고유상태로서 그 고유값이 가장 낮은 경우에 해당할 것이다. 그러나 양자장론은 너무 복잡해서 이러한 원론적 방법으로 전공을 찾아 내는 것은 거의 불가능하다. 다행히 전자 〈한 개〉가 의부에서 주어전 퍼텐셜의 영향 아래 있을 때 양자전기역학의 내용은 앞 절에서 논의한 상대론적 양자역학의 경우와 디랙의 바다에 대한 해석을 제의하고는 많이 다르지 않다. 여기서 중요한 사실은 이 디랙의 바다에 대한 해석이야말로 양자전기역학계의 진공에 대한 설명이 되기도 한다는 것이다.디랙의 바다를 전자들의 지옥에 비유한다면, 양자전기역학의 진공 상태에서 이 전자 지옥은 전자들로 완전 만원인 경우이고 (왜냐하면 음수값의 에너지 준위는 채울수록 계의 에너지가 내려가기 때문에), 따라서 지옥 바깥의 전자는 그 속에 있는 어떤 전자가 의부로부터 충분히 . 큰 에너지를 공급받아 뛰쳐나오지 않는 한(이것이 반전자의 생성이다) 바다 속으로 들어가고 싶어도 못 들어가는 것이다. 이것을 보장해 주는 것이 바로 반교환 관계식 (1.5.1)이다. 따라서 디랙의 바다 위에 있는 불연속적 에너지 준위 중 가장 낮은 에너지 상태에 있는 전자는 전자파롤 방출하고 바다 속으로 떨어질 위험이 없다. 반면 지옥 속의 전자도 역시전자임에는 틀림없기 때문에 에너지가 부족해서 바깥으로 못 나갈지라도 지옥 바깥의 전자들의 운동에 약간의 영향을 미치게 되고, 이것 때문에 앞 철에서 기술한 수소원자의 상대론적 양자 모형에서의 계산 결과는 양자전기역학에서 조금씩 수정되게 된다. 20세기 중반 이후 개발된 여러 근사적 방법을 사용해서 우리는 이 작은 보정(correction)들을 계산할 수 있게 되었고, 그 결과들은 지금까지 나온 가장 정밀한 실험 결과까지도 어김없이 설명해 준다. 양자장론적 모형은 우리가 현재 갖고 있는 가장 훌륭한 수소원자의 모형이라고 할 수 있다.
1.6 다른 기본 상호작용의 역할우리는 우주에 앞 절에서 얘기한 전자(또는 반전자)와 광자에 관련된 양자장 이의에 다른 종류의 양자장들도 있다는 것을 알고 있다. 사실은 전자와 광자에 관련된 양자장을 포함해서 세상에 있는 모든 양자장들은, 그것들이 만족하는 운동방정식으로 보면, 분리해서 생각할 수 없도록 서로 얽혀져 있기 때문에 그 중 몇 개의 양자장만 떼내어 물리 현상을 보는 것은 결국 근사적 기술밖에 되지 못한다. 다시 말하면, 현재의 실험수준에서 그 직접적인 영향을 정량적으로 밝혀내지 못할지라도 세상의 모든 양자장둘은 수소원자 속에서 신이 그것들에게 부여한 역할을 수행하고 있다는 말이다.수소원자의 중요한 한 부분을 이루는 양성자를 보자. 양성자는 전자와는 달리 상당히 복잡한 내부 구조를 갖고 있는 것으로 알려져 있다. 이것은 양성자가 쿼크장(quark fields)과 글루온장(gluon fields)들의 이론이라고 할 수 있는 양자색소역학계(quantum chromodynamics 또는 줄여서 QCD)의 아주 복잡한 에너지 고유상태에 해당하기 때문이다. 따라서 수소원자의 성질을 고찰하는 데 만약 양성자의 내부구조 때문에 생기는 영향을 보고자 하면 이에 마땅한 양자장론은 QED와 QCD를 결합한 것이라고 말할 수 있다. 뿐만 아니라 우리는 쿼크와 전자 사이에 약한 상호작용(weak interaction)이 존재하는 것을 알기 때문에 수소원자에서 이 약한 상호작용에 의한 효과까지 공부하고자 할 때에는, 이른바 표준모형(standard model)이라고 불리는 이론 속에서 수소원자를 생각해야 되리라. 표준모형은 12종류의 스핀 1/2 입자(즉 e, lie, µ, 11µ, r, llr, u, d, s, c, b, t)를 포함하므로 이에 맞추어 12개의 스피노장, 여러 종류의 힘(즉 전자기력, 강한 상호작용, 약한 상호작용)을 포함하므로 대응해서 다수의 4-벡터장, 그리고 스칼라장들까지 포함한 아주 복잡한 양자장론이다.
이렇게 새로운 양자장들을 포함시킴으로써 우리는 수소원자에 관한 아주 미세한 부분까지도 이론적으로 설명할 수 있을 것이다. 혹자는 양자장들이 새로이 도입될 때 디랙의 바다와 같은 이론체계 자체에 결정적인 하자를 초래하는 일은 없을까 하고 걱정할지도 모르지만 적어도 위에 언급한 양자장들에 대해서는 그런 일은 일어나지 않는다고 단언할 수 있다. 그러나 역설적으로 지금까지의 논의에서 빼놓은 힘, 위에 언급된 어떤 힘보다도 훨씬 미약한 힘인 중력이 수소원자에 미치는 효과에 대해서는 그렇게 자신 있는 말을 할 수가 없다. 아인슈타인의 일반상대성이론에 의하면 시공간의 기하학적 구조는, 예를 들어 식 (1.4.1)에 주어진 대로 고정되어 있지 않고 그 자체가 하나의 동역학계를 만든다. 그 변수는 메트릭 텐서 gµ(X)가 되며 이 메트릭 텐서의 운동방정식을 통해 이론적으로 중력을 이해할 수 있다. 나아가서 다른 모든 동역학계의 변수가 양자장이라면 메트릭 텐서의 경우에도 그것에 대응하는 양자장, 즉 δ(X)를 생각함이 마땅할 것이다. 그러나 지금까지 알려진 바로는 양자화된 중력장을 포함하는 양자장론들은 항상 어딘가에 구조적인 모순을 갖고 있기 때문에, 그러한 모형에서는 수소원자의 운명 또한 아주 미묘해지기 십상이리라. 이제 이론물리학자 중에는 중력에 관한 한 양자장과는 다른 새로운 이론적 구조를 필요로 하지 않는가 하고 생각하는 사람들이 적지 않으며, 예를 들어 초끈(superstring)과 같은 것이 그 새로운 구조가 될 수도 있을 것이다.
1.7 맺는 말우리는 지금까지 수소원자 속의 우주에 대해 논의해 보았다. 수소원자에 대한 그림은 물리 이론의 발전과 함께 점점 더 난해한 추상화로 변해 가는 것을 보았다. 오늘의 수소원자는 몇 가지 종류의 양자장들이 수작을 부려 만들어 낸 하나의 구조로 볼 수 있다. 또 그것은 아주 어렵고 복잡한 수학적 구조이다.우리는 이론물리의 발전 과정에서 자연의 법칙을 어떤 수학적 언어를 써서 기술할지 결정하는 문제가 얼마나 중요한 것인지 보았다. 가장 중요한 물리 개념은 바로 그 언어의 선택과 직결된 다. 오늘의 미시 세계에는 많은 양자장들이 등장하고, 또 그것들은 결코 분리해서 생각할 수 없도록 비선형 방정식을 통해 연결되어 있다. 만약 앞으로 양자장과는 다른 새로운 수학적 언어가 물질세계에 도입된다면 그것은 과연 어떤 것일까. 그리고 신은 어떠한 수학적 언어를 사용해서 우주를 얽매어 놓았을까. 물론 이 모든 것들이 혼돈(chaos)의 산물일 수도 있을 것이다. 인간의 존재가 그러하듯이.제 2 장
심플렉틱군과 역학소광섭2.1 서론고전역학의 해밀토니안 체계는 여러 가지 특성을 갖고 있다. 먼저, 입자의 위치 변수와 운동량이 동일한 종류의 물리량으로 취급되므로 고려하는 공간이 위상공간(phase space)으로 추상화되고 확대된다. 이 공간상의 점은 그 입자계의 상태를 나타내는 것이므로 물리계의 상태가 만드는 공간이 어떠한 성질을 갖는가롤 연구하게 된다.이 공간이 수학적으로는 심플렉틱 기하(symplectic geometry)라 불리며, 따라서 해밀턴 역학체계와 심플렉틱 기하가 밀접한 관련을 갖게 되며 수학과 물리가 만나는 좋은 학제적 연구 분야가 된다. 역학에서 정준변환(canonical transformation)은 수학에서는 심플렉틱군의 공부가 된다.역학에서 해밀토니안 체계가 갖는 장점은 통계역학과 양자역학에서 특히 두드러졌다. 푸아송 괄호(Poisson Bracket), 각도-액션 변수(action-angle variables), 해밀턴-야코비 방정식(Hamilton-Jacobi equation) 등은 양자역학과 고전역학을 잇는 데 중요한 역할을 하고 있다. 최근에는 카오스(chaos) 이론의 발전에서도 해밀토니안 체계가 새롭게 연구되고 있다.
심플렉틱 기하가 양자물리와 관련해서 많은 관심을 끌게 된 이유 중의 하나는 기존의 양자화 방법으로는 어려운 문제를 새롭게 접근할 수 있다는 점이다. 예를 들면 중력장의 양자화는 기존의 경로적분 방법이나 정준 양자화(canonical quantization)로는 해결이 불가능하다. 이른바〈기하학적 양자화(geometrical quantization)〉는 이런 문제를 심플렉틱 기하의 입장에서 접근하는 새로운 방법이다. 물론 이 방법이 양자 중력장 문제를 해결하지 못하더라도, 물리수학의 측면에서 의미 있는 결과들이 나오리라고 기대해 볼 만하다.또 다른 예로는 위튼(W itten) 등이 제안한 공변 정준 양자화(covariant canonical quantization)인 데 제약 조전이 있는 물리계의 양자화에서 공변성을 유지하면서 위상공간을 줄이고 제약이 없는 계의 양자화로 바꿀 수 있는 장점이 있다. 이 방법 역시 중력장의 양자화에 일부나마 새로운 빛을 비추려는 시도이며, 아직 초기단계에 있다.심플렉틱 기하는 수학에서 활발하게 연구되는 분야이므로, 이의 물리학적 응용은 크게 기대해 볼 만하다. 이 글에서는 이러한 전망을 염두에 두되, 첫 소개의 글로서 심플렉틱군과 입자의 고전역학 및 양자역학 관계에 국한하여 초보적인 내용을 역사적 발달 단계에 따라 쉬운 예를 중심으로 소개하였다. 2.2절에서는 해밀턴 역학과 심플렉틱군의 관계를 주로 골드슈타인(Goldstein)의 고전역학을 참고하여 정리하였다. 2.3절은 기하광학과 심플렉틱군의 관계를 다뤘고, 2.4절에서는 이를 양자역학으로 확대하는 것을 내용으로 하였다. 2.3절과 2.4절의 내용은 이미 있어 온 것이긴 하지만 물리학계에는 별로 알려지지 않은 것이라 새롭게 느껴질지도 모른다. 이쪽은 주로 길레민(Guillemin)과 슈테른베르크(Sternberg)의 책을 참고하여 정리하였다.
입자역학에서 장론으로 넘어가는 것이 다음의 순서이나, 이는 아주 길게 다루어져야 할 복잡 미묘한 문제가 많으므로 이 글에서는 다루지 않았다.2.2 해밀턴 역학과 심플렉틱군2.2.1 정준변환n 개의 자유도를 갖는 입자들의 라그랑주 역학체계에서 운동 방정식은 d/dt(L)-L/q =0, (i=l , …, n) (2.2.1)으로 주어진다. 여기서 L은 라그랑지안, q는 일반화 좌표변수이며, q'의 켤레 운동량 변수 pi는 pi= aL/qi(q,qi,t) (2.2.2)로 정의한다.해밀토니안 H는 q'., pi의 함수로서 H(q, p, t)=iJ 'p,-L(q, q' t) (2.2.3)로 정의된다. 라그랑지안 운동방정식이 n개의 2차 미방으로 구성되어 있는 데 비하여 해밀토니안 방정식들은 2n개의 1차 미방으로 수식화되는바,q'=∂H/∂p, pi=∂H/∂q' (2.2.4)로 기술된다.
표현기술상의 편의를 위하여 (.qi, p,i.）를 묶어 하나의 변수 벡터 η를 도입하여 η=qi, ηi+n=pi i≤n (2.2.5)으로 하면 해밀턴 방정식은 간단하게 η=J∂H/∂η (2.2.6)로 쓸 수 있다 여기서 η.. ∂H/∂η 는 1X2n 행렬로 보았고, J는 2nX2n 행렬로서 J=(1001) (2.2.7)이다. 0는 nXn 행렬이고, 1 은 nXn 단위 행렬이다. 행렬 J의 몇 가지 성질을 적으면 다음과 같다. J=-J (2.2.8) JJ=1 (2.2.10) detJ=1 (2.2.11) 역학계의 정준변환(canonical transformation)은 해밀턴 방정식의 형태를 불변케 하는 좌표와 운동량의 변환이다. (qi, Pi)로 기술되는 계에서 새로운 변수(Qi, Pi)로 변환을 시킬 때 새로운 방정식의 형태가Qj=∂K/∂Pi pj=―∂K/∂Q (2.2.12)롤 갖는다면 곧 정준변환이 된다. 여기서 K는 변환된 해밀토니안이다. 이룰 좀더 간편하게 기술하기 위하여 (qi, pi)를 n로, (Qj, Pj)를 g로 나타내기로 하자. 일반적인 변환g= g(TJ) (2.2.13)가 정준변환이 되기 위한 조건을 찾아보자.
먼저 g의 시간에 관한 미분을 취하면 t =Mη (2.2.14) M ij=aTJj, (2.2.15) 로 쓸 수 있다. 한편 ∂H/∂η=M∂H/∂η (∂H/∂η=∂H/∂) (2.2.16)로 주어짐을 곧 알 수 있다. 해밀턴 방정식 (2.2.6)을 (2.2.14)에 대입하면 t=MJM (2.2.17)로 되며, 이것이 새로운 변수에 관한 해밀턴 방정식이 되려면 MJ M =J (2.2.18)를 만족시키면 된다. 다시 말하면 t=t(η)의 변환이 정준변환이 되려면 t=Mt으로 정의된 M이 MJM=J의 조건을 만족하면 된다. 이러한 조건을 만족하는 M을 심플렉틱 행렬(symplecticmatrix)이라고 한다. (2.2.18)은 MJM=J (2.2.19)와 동등함을 곧 보일 수 있다.
2.2.2 심플렉틱군심플렉틱 행렬들의 집합은 곱셈에 관하여 군을 이루는바, 이를 심플렉틱군이라고 부른다. 즉, 이 군의 기호를 SP(2n)이라 하면 SP(2n)={MIMJM=J}, (2.2.20) 여기서 J=(—O In-In 0) 이다. 직교군(orthogonal group)과의 차이는 행렬 l2n 대신에 J가 들어온 점이다. 정준변환들의 집합은 심플렉틱군을 형성하는데, 이는 공간상의 회전변환이 직교군을 형성하는 것과 유사하다.심플렉틱군 중 가장 간단한 예를 들면 Sp(2)로서 Sp(2={(ABCD)|(ABCD)(01-10)(ACBD)=(01-10)} (2.2.21)인데, 이를 다시 보면 Sp(2)={(ABCD)IAD-BC=1} (2.2.22)임을 곧 알 수 있으며, 따라서 행렬식(determinant)이 1인 2X2실수행렬의 집합이 만드는 군이며, 이를 Sl(2, R)이라 하며, Sp(2)=Sl(2, R)=SO(2, 1) (2.2.23)임을 쉽게 보일 수 있다.
이제 일반적인 2nX2n 심플렉틱 행렬을 고려해 보자. M=(ABCD). (2.2.24)라 놓고 nxn 행렬들인 A, B, C, D가 만족시켜야 할 조건들을 찾아 보자. MJH=(ABCD)(0I-I0)(ACBD) =(AcBB--DBAA cADD--DBCC ) =1( _0I IO ) (2.2.25)에서 AB=BA, CD=DC, AD-BC=I {2.2.26)를 얻는다. 이로부터 심플렉틱군의 독립변수는 2n2+n임을 곧 볼 수 있다.심플렉틱군의 부분군 중에서 몇 가지 홍미 있는 예들을 들어 보자. M«=(IS0I) (2.2.27)은 S가 대칭행렬이면 심플렉틱이 된다. 그리고 S의 덧셈에 관한 군과 동등하게 된다.M(G)=( A0 A0- l) (2.2.28)는 A가 일반적인 nXn 행령군, 즉 GL(n, R)의 요소이면 심플렉틱이다. 이 경우는 좌표와 운동량의 섞임이 없는 보통의 좌표 변환이 모두 정준변환임을 보여 준다. Mcu,=(_AB -BA), A2+B, AB=BA (2.2.29)은 U=A+iB가 유니터리 행렬(unitary matrix)일 때 심플렉틱 행렬이 된다. 따라서 U(n)은 SP(2n, R)의 부분군이며, 심플렉틱군에는 복소수적 구조가 있음을 보여 준다.
정준변환 중 미소 변환(infinitesimal transformation)울 고려하면 심플렉틱군에서 리-대수를 얻게 된다. 다음과 같은 미소변환 Qi=qi+ oqi, Pi=Pi+oPi (2.2.30)또는 g=n+8n의 경우 심풀렉틱 행렬은 M=-an=l+8nI=l+cK (2.2.31)로 놓을 수 있다. MiM=J의 조건은 KJ+JK=O (2.2.32)이 된다. 여기서 c은 미소변환을 나타내는 곁수(parameter)이고, K는 심플렉틱군의 낳음이(generator)라 부른다.M이 심플렉틱군을 형성할 때 K의 집합은 맞바꿈 관계식(commutation relation)에 관한 리-대수를 이룬다. 즉 [Ki, K2]=-[K2, Ki], (2.2.33) [Ki, [K2, Ka]]+[K2, [K3, K1]]+[Ka, [Ki, K2]]=0, (2.2.34) KJ+JK=O (2.2.35)를 만족시키는 대수를 심플렉틱 리-대수라 부르며, SP(2n, R) 또는 SP(2n)으로 표기한다. 앞서 다룬 각 부분군에 대응하는 부분대수들을 유사하게 취급할 수 있다.
직교군에서 중요한 개념 중의 하나는 불변량이다. 즉, 직교변환(회전)에 대해서 벡터의 길이가 불변이므로, 길이를 . 불변량아라 한다. 이와 유사하게 심플렉틱 행렬을 벡터의 변환으로 볼 때 불변량이 무엇인가 찾아볼 수 있다. 이제 M에 의해서 X 벡터가 Y로 변환되는 경우, 두 개의 벡터 X1, X2가 Yi=MX1, Y2=MX2 (2.2.36)로 변환되었다고 하자. 이들 벡터 간의 새로운 내적으로 ω를 ω(Yi, Y2)=Y1JY2 (2.2.37)로 정의하면, 금방 ω(Yi, ½)=X1MJMX2=X1JX2=(J)(Xi, X2) (2.2.38)임을 볼 수 있다. 즉, (J) (Yi, Y2)=(J) (Xi, X2)로 불변량이다.ω는 엇대칭(anti-symmetric)임을 곧 알 수 있다. ω(Yi, ½)=-ω(½, Y1) (2.2.39) ω(Y, Y)=O (2.2.40) 어떤 벡터 공간 V에 엇대칭이고, 결함 없는(nondegenerate)내적 ω를 줄 수 있으면 (V, ω）를 심플렉틱 벡터 공간이라 한다. 심플렉틱 변환은 ω를 불변케 하는 V의 선형변환을 의미한다. 해밀토니안 계의 정준변환은 위상공간 (p, q)의 접면 공간(tangent space)이 심플렉틱일 때 ω를 불변케 하는 변환이라 할 수 있다.
2.2.3 심플렉틱 불변량과 푸아송 괄호Sp(2)의 경우 (pq)와 (PQ)로 M을 구체적으로 써 보면 (2.2.41)이고, MJM=J를 계산해 보면 MJM=(-deot M det0 M)=J (2.2.42)이 된다. 따라서 정준변환 조건은 곧 det M= aq ap- ap aq=1 (2.2.43) 이며, 이는 (q, p) 위상공간이 (Q, p)로 좌표변환할 때 그 면적소가 불변함을 말해 준다. 직교군에서 불변량이 벡터의 길이란 점을 상기해 보면 직교군과 심풀렉틱군의 기하학적 차이점을 알 수 있다.이제 다변수의 경우로 논의를 일반화해서 (q1 •• qn ; P1 ••· Pn)에서 (Q1 … Qn ; P1 … Pn)으로 정준변환을 할 경우 심플렉틱 조건에 대해서 살펴보자. 이 경우 변환행렬 M은 2nX2n 행렬로서 (2.2.44)으로 되며, MJM=([[PQa GQ] [[PQa PPb]) (2.2.45)로 써짐을 볼 수 있다. 여기서 [A, B]는 푸아송 괄호(Poisson Bracket)라 부르며, [A, B]=∑i=0 ∂A/∂q∂B/∂p-, ∂B/∂q .aq =∂A/∂η jTJ (2.2.46)로 정의된다. 따라서 정준변환 조건 MJM=J를 푸아송 괄호로 표현하면 [Q', Qi]=[Pa, Pb]=O, (2.2.47) [Qi, P.』=8 (2.2.48)로 된다. 이를 Qi, pj 대신에 g를 써서 간략하게 표현하면 [t, t]=J (2.2.49) 정준변환의 조건, 즉 M이 심플렉틱 행렬일 조건은 푸아송 괄호가 변환에 대하여 불변일 조건과 동등함을 곧 볼 수 있다.
푸아송 괄호는 리-대수를 형성함을 알 수 있는데, 그것은 [A, B]=-[B, A], (2.2.50)[A, [B, c]]+[B, [C, A]]+[C, [A, B]]=O, (Jacobi 항등식) (2.2.51)을 만족시키기 때문이다. 이 밖에 미분 연산자의 라이프니츠 공식, 즉 D(fg)=(Df)g+I(Dg) (2.2.52)에 대응하는 식을 만족시킨다. [A, FG]=[A, F]G+F[A, G]. (2.2.53)이 푸아송 괄호의 중요성은 고전역학에서 양자역학으로 전환에서 푸아송 괄호를 연산자의 맞바꿈 관계식(commutation relation)으로 대치할 때 리-대수가 그대로 유지되는 데에 있다.
해밀턴 상 방정식 =JaTJ를 푸아송 괄호로 표현하면 η=[TJ, H] (2.2.54)로 되고, 일반적인 물리량 u(q, p, t)의 시간적 변화도 du/dt=[u, H]+ u/t (2.2.55)로 써전다. 이 식은 양자역학의 하이젠베르크 방정식과 같은 꼴울 갖고 있다. 시간에 명시적으로 의존하지 않는 물리량이 보존 된다면, [u, H]=O (2.2.56)를 만족시키며, 양자역학에서도 유사한 식이 성립한다.미소정준변환(infinitesimal canonical transformation)도 푸아송 괄호를 써서 표현할 수 있다.ζ= n+8n, (2.2.57) δη=7J=cJ (2.2.58)로 주어진 미소변환을 [TJ, /δη]=J를 이용하면 δη=c[n, G] (2.2.59)로 표현된다. 여기서 G를 정준변환의 낳음이 함수(generating function)라 한다.
간단한 예로 G=pi를 보면 8qi= c8J, 8Pi=O (2.2.60)이다. 따라서 운동량 Pi는 qi-방향으로의 평행이동을 주는 낳음이라 할 수 있다. 다른 예로, (x,., p,.)로 기술되는 계에서 Gz=xipiy-yiPix (2.2.61)를 고려하면 8oPxiix==--CsYpj;,.y, 8Yoip=j y =0 c,Pix8 ,Zi=oP O,z=O (2.2.62)임을 보아 Gz가 z-축 회전 낳음이임을 본다 어떤 물리계의 대칭성과 보존법칙은 푸아송 괄호를 써서 명료하게 이해할 수 있다. 예를 들어 G가 정준변환의 낳음이일 경우, 이 변환에 대해서 대칭이란 것은 해밀토니안 H가 불변임을 의미한다. 그런데 G-변환에 따른 H의 변화량이 oH=[H, G]=O (2.2.63)로 써지기 때문에, 이를 달리 보면 G=[G, H]=O (2.2.64) 이므로 G 가 곧 보존되는 양임을 알 수 있다.
끝으로 정준변환의 낳음이 G와 심플렉틱 행렬 M의 낳음이 K 사이의 관계는 M=aTJ/δη=1... +.J, aTJa TJ=l+cK (2.2.65)에서 K=J aTJ aG TJ ∂η (2.2.66) 임을 보며, KJ+JK=O (2.2.67)를 만족시킴을 알 수 있다.2.3 기하 광학과 심플렉틱군2.3.1 가우스 광학고전역학의 해밀턴 수식화체계가 성립되기 전에 먼저 기하 광학의 해밀턴 방법론이 나왔었다. 그것은 1828년에 해밀턴의 논문 "Theory of systems of rays” 에서 시작된 것인데, 오늘날의 역학 교육에서는 거의 취급하지 않고 있으나 심플렉틱군의 입장에서 보면 오히려 더 쉽고, 자연스런 출발점이 되므로 이 곳에서 다루어 보는 것이 좋겠다.
기하 광학에서는 광선(lightray)이 여러 가지 광학계를 통과할 때 그 진로를 추적해 내는 것이 주내용이 된다. 일반적인 광학계 보다는 먼저 단순한 것을 다룸으로써 중요한 특성들을 알아낼 수 있는데, 광선의 진로가 변할 때 그 진로를 기술하는 변수들의 일차함수까지만 근사적으로 취급하는 경우, 이를 선형 기하 광학(linear geometrical optics)이라 한다. 이 중에서도 특히 진행 방향에 대하여 회전대칭이 있으면 문제가 더욱 간단해져서 평면상의 광선문제로 바뀐다. 이룰 가우스 광학(Gaussian optics)이라 부른다. 여기서는 이 문제에 국한해서 다루겠다.가우스 광학에서 광축(optical axis)은 그 계의 대칭축을 의미 하는데, 이 광축을 z-축으로 하는 좌표계를 사용키로 하겠다. 이 축상의 어떤 점 z를 통과하고 있는 광선을 규정하는 데는 그림 2-1에 보인 바와 같이 z축에 수직인 좌표값 q와, 이 광선이 z축과 이루는 각도 θ가 필요하다. q와 θ는 z의 함수이며, 이 함수를 광학계의 매질의 굴절률 n이 주어졌을 때 계산하는 것이 광선 추적법이 되겠다.
그림 2-1
해밀턴이 발견한 중요한 사실 중 하나는 θ 대신에 p=nθ를 쓰는 것이었다. 이제부터 광선은 벡터 좌표 (q p)(2.3.1)로 기술하며, 선형 기하 광학의 어림법에서는 Z1에서 (p1q1)이 Z2에서 새로운 벡터 (p2q2)로 바뀔 때 적절한 행렬 M21에 의해서 (q2)=M21(ql) (2.3.2) p2 Pl로 일차함수가 된다. 이 절에서는 빛이 렌즈들로 구성된 광학계롤 통과할 때 행렬 M21이 어떤 성질을 갖는가를 고려해 보겠다. 계산의 편의상 각 렌즈 내에서 n값은 일정하며, 선형 기하 광학의 어림법을 썼으므로 광선은 z축에 거의 나란한 상태(θ<<1)만이 고려된다.
렌츠로 구성된 광학계의 경우 M21울 어떻게 결정하는지 알아보자. 먼저 이러한 광학계는 단 두 종류의 기본형이 복합되어 있음을 알게 되는데, 이 기본형부터 논해 보자.(기본형 a) 직선진행Z1에서 Z2까지 동일한 매질이어서 광선은 그대로 직전한다. 이 경우 기울기 (θ）와 굴절률 (n)이 불변이므로 pl= p2이다. 그러나 높이 q값은 변하는데 그림 2-2에서 볼 수 있돗이 Q2-q1=(tan θ) (z2-z1)θ(z2-z1)=p(z2-z1)/n, 그러므로
그림 2-2
q2=q1+PT, P2=P1 (2.3.3)이 얻어진바, 여기서 T=(z2-z.)/n으로 광학적 환산거리(reduced distance)이다. 이률 행렬로 나타내면 (q2 p2)=(1T01)(q1p1) (2.3.4)이다.
(기본형 b) 굴절 : 렌즈와 공기의 경계면에서 굴절현상이 일어나는바, 이 경우 경계면 앞뒤의 굴절률을 각각 n1과 n2라 하자. 그림 2-3에서 불 수 있듯이 z1=z2, q1=q2이다. 굴절각을 계산하여야 p1과 p2의 관계를 찾을 수 있는데, 이를 위하여는 경계면을 z와 q의 함그림 2-3
수관계로 주어야 한다. 선형 광학의 어림법에서는 이차항까지만 취하면 되며, 스넬의 굴철법칙도 sinθ=θ의 어림을 쓸 수 있다. 이 경계면의 함수를 z-z1=t1 kq 2+… (2.3.5)로 잡으면 입사각 i1과 굴절각 i2는 각각 i,=θ,+kq (2.3.6) i2=θ2+kq (2.3.7)이 성립한다. 그런데 스넬의 법칙에 의하여 ndi1=n2i2이므로 n1θ1+kqn1=n2θ2+n2kq, P2=p-kq(n1-n2) (2.3.8)이 된다. 이 결과를 행렬로 표현하면
(q2p2)=(10-P1)(pq), P=(n2_nI)k (2.3.9) 여기서 P는 경계면의 굴절능(power of refraction)이라 부른다.
임의의 가우스 광학계는 위에서 말한 두 가지 기본형의 복합에 불과하므로, 행렬로 보면 임의의 M은 (1T01), (—1P) (2.3.10)형의 여러 개의 곱으로 나타내어진다. 이러한 M=(ABCD）이 만족하는 성질은 detM=AD-BC=l (2.3.11)이다. 광선이 z1에서 z2로, 다시 Z3로 진행할 경우 Ma1=M32M21 (2.3.12)이 성립하므로, 가우스 광학은 행렬식값이 1인 2X2 실수행렬의 군과 대응한다. 즉, Sl(2, R)={Mldet M=l} (2.3.13)군과 광선의 진행과 일정한 관계가 성립한다. 그런데 앞 절에서 SI(2, R)=SP(2, R)임을 보았듯이, 가우스 광학을 좀더 일반화 하면 심플렉틱군으로 표현됨을 보게 된다.이제 임의의 2X2 실수행렬로서 행렬식값이 1이면 언제나 기본형으로 분해될 수 있음을 증명해 보자. 먼저 M=(ABCD)에서 C=O인 경우를 고려해 보면 A=l=O이다. 그러면(10-P1) (ABCD)=(C-PAD-PB) (2.3.14)과 같이 영이 아닌 적절한 P를 써서 언제든지 C≠0인 M을 만둘 수 있다. 따라서 C≠0인 M에 대해서만 고려함으로써 충분하다. 이제 (1s01)(ABCD)(1t01)=(A+sc t( AB+sD)) (2.3.15)에서 A+sC=l, t+B+sD=O (2.3.16)이 되도록 s와 t를 잡으면, (2.3.15)의 우변은 (10C1）이 된다. 그러므로 (ABCD)=(10-1s) (2.3.17) s= 1-A/c, t= 1-D/C (2.3.18)로 항상 분해되며, 따라서 임의의 M은 언제나 기본형으로 분해됨을 보였다. 가우스 광학계의 구조가 아무리 복잡하더라도 그 결과로 나타나는 광선 진로의 변화는 간단한 효율적 굴절과 진행으로 표현할 수 있다.
2.3.2 선형 기하 광학과 심플렉틱군가우스 광학에서 약간 일반화하여 z축상의 대칭성이 없는 경우를 고려하면, z축에 수직인 한 면을 통과하는 광선을 기술하는 변수가 (qx, qy, θx, θy)로 4개가 필요하게 된다. 앞서와 마찬가지로 매질의 굴절률 n을 포함시켜 새로운 변수 Px= nθx, py= nθy (2.3.19)를 도입하는 것이 편리하다. Z1에 어떤 광선이 입사하여 z2에서 나아갈 경우 이들의 관계를 행렬로 표시하면 (i:X)z 2=M(X)zl (2.3.20)으로 4X4 행렬 M으로 쓸 수 있다. 이를 약간 간략하게 나타내기 위하여 u2=Mu1으로 쓰기로 하자. 이제 문제는 행렬 M의 성질을 규명하는 것이다.
가우스 광학에서 했던 바와 유사하게 (I0 dII)는 광선이 d만큼 진행하는 것을, (I0-PI), P=P는 경계면에서 굴절을 나타냄울 보이고, 모든 선형광학계는 이들 기본형의 조합으로 됨을 이용해서 일반적인 M을 결정할 수 있다.먼저 직전의 경우 각도는 변화가 없으므로 i2=P1이다. 높이 q는 qX2-qX1=tan θx(z2_z1)=PxZ2n_ZI q-qy1=tan θy(z2-z1)=pyz2n-z1 (2.3.21)이므로 행렬로 표현하면 (qp)2=(d/)( qp)1 (2.3.22)이며, d=z2-z1/n으로 광학적 환산거리이다.
다음으로 굴절의 경우 굴절면의 식을 z'-z=1/2(Q x, q,) (k11k12k21k22)(qxqy)=1/2QKq (2.3.23)으로 K는 2X2 대칭행렬이다. 스넬의 법칙을 이용하면 일차항까지의 어림셈 범위P1에1-n1 Kq1=P2-n2Kq2 (2.3.24)를 유도할 수 있으며 이를 행렬로 표현하면(qp)=(I0-pI)(qp)(2.3.25) P=-(n1-n2)K (2.3.26)이 된다.이로써 두 가지 기본형의 행렬 표현을 얻었다. 이제 이들의 임의의 곱으로 이루어전 일반적 행렬 M이 무엇인가를 결정해야 하겠다. 먼저 J=(_OI) (2.3.27)가 4X4 행렬로서 J³=-J, (2.3.28)J(IP)J=(-)(IP0I), (2.3.29) (II0I)(I0-II)( )=J, (2.3.30)를 만족시킴을 보자. 다음에 (PI-1)(_IP >(;PI-1)=(_OP-1) (2.3.31) -J( OP Po-1)=(P) (2.3.32)이다. 따라서 기본형의 적절한 곱으로 (IP0I), (OP Po-1), (P0p0-1)를 구할 수 있다. 여기서 P는 nXn 대칭행렬인데, 임의의 nxn 행렬(행렬식값이 0이 아닐 때)은 언제나 3개의 대칭행렬의 곱으로 표시될 수 있다는 사실을 이용하여 모든 심플렉틱 행렬을 기본형의 곱으로 나타낼 수 있음을 보이자.
우선 간단한 심플렉틱 행렬을 보면 Ml=(A00A-1)=(R2P300(P1P2P3)) =(PO1P10-1) (Po2P02-1) (PO3P051) (2.3.33)로 분해되므로 결국 기본형으로 표현된다. 이제 임의의 심플렉틱 행렬 M=(ABCD)에서 detA≠0인 경우는(ABCD)=(10CA-1I)(DCBA-1B)==(CAI- -11 IO) ((AiAB 1)) ( A-IlB) (2.3.34)로 되며, 심플렉틱 행렬의 조건에서 CA-1와 A-1B는 대칭행렬이므로 결국 기본형으로 분해가 완료되었다. det A=O인 경우는 약간의 계산을 하여 det A=i=O인 경우로 문제를 전환시킬 수 있다.
가우스 광학은 Sl(2, R)=SP(2)군과 대응되었는데, 선형 기하 광학으로 일반화된 경우는 SP(4)군으로 대응됨을 보았다. 두 경우 모두 기본형은 광선의 직전과 경계면에서의 굴철이며, 이 단순한 기본형의 곱의 형태로 일반적인 경우를 표현할 수 있다.벡터 5와 E의 차원 수를 늘려서 일반적인 n차원의 문제로 확장하는 일은 아주 쉽게 할 수 있다. U와 u'을 각각 2n차원 벡터로 u=(qp), u'=(q'p') (2.3.35)과 갇이 정의하고, 이들의 엇대칭 곱셈을 w(u, u')=~nq'Pt-qi'pj (2.3.36)i=l로 하자. w는 엇대칭이므로 w(u, u')=-w(u', u) (2.3.37)이다. 이제 좌표변환을 고려하여, 2nX2n 행렬 M으로 u와 u'이 각각 변환되었을 때 w(Mu. Mu')=w(u, u') (2.3.38)으로 불변이라면 MJM=J=(OInIOn) (2.3.39)를 만족시킴울 곧 볼 수 있고, 따라서 M은 심플렉틱 행렬이다. 따라서 일반적인 n차원 선형 광학의 문제와 심플렉틱군의 대응 문제를 앞에서 해온 방법으로 유사하게 보일 수 있다.
2.4 파동광학 및 양자역학과 심플렉틱군의 표현2.4.1 메타플렉틱군과 파동광학앞의 두 절에서 행렬의 군으로서 SP(2n)을 공부했다. 이제 이 군이 일반적인 벡터 공간의 연산자로 나두어질 때 어떤 모양으로 나타나는지 생각해 보자. 여기서 다루려는 공간은 L2항수들의 힐베르트 공간(Hilbert space)이다. 이것은 양자역학에서 다루는 함수공간이며, 따라서 SP(2n)군과 양자역학의 관계를 자연스럽게 볼 수 있으며, 실은 좀더 익숙한 파동광학과도 직접적 관련이 있음을 보게 된다.심플렉틱군의 임의의 요소 M=(CABD)은 두 종류의 기본형(0I dI I)와 (-IP IO), P=P의 곱으로 나타낼 수 있음을 배웠다. 그리고 기하광학적 의미는 광선의 좌표변환을 주는 것으로 (pq)2=(ABCD)1 (2.4.1)와 같이 Z1에서 광선좌표 q1, p1이 광학계 M을 지나면 Z2에서 q2, P2 값을 갖도록 하는 것이었다.
이제 이 문제를 파동광학의 입장에서 살펴보자. z=z1 되는 평면에 입사하는 빛의 전폭(amplitude)은 i의 함수인바, j(Q1)=Z1에서 수직인 면에 입사하는 빛의 진폭 (2.4.2)으로 표현하자. 그러면 z=z2인 면에서 나오는 빛의 진폭 함수 f(i2)는 광학계 M과 어떻게 관련되어 있는가? 이것은 전형적인 파동전파의 문제로 프레넬(Fresnel)이 빛의 간섭 현상 연구에서 밝혀낸 것이었다.먼저 기본형 (dII)는 빛의 직전에 해당하는 것인데, 잘 알려진 파동 광학의 결과를 인용하면, fd)=(e-)nf.. e-hfqz-q112/f(Q1) (2Jr) =(0J) (52) (2.4.3) 인데, 여기서 n은 5벡터의 차원 수이고, d=(z2-z1) ／굴절률이며, 이 공식은 기본적으로 호이겐스의 파동원리를 표현한 것이다. u는 (OI dII)에 대응하는 함수공간의 연산자이다. 즉ud : f→ f (2.4.4)이다. z=z1에 수직인 면에서 빛의 가능한 전폭함수 f들의 집합을 H라하면 H={f}=힐베르트 공간 (2.4.5)이며 , 따라서 U (OI dIl)의 연산자 표현(operator representation)이다. 이 표현이 성립하는 것을 확인하려면 (dI)(d1)=((d, d,)I) (2.4.6)에 대응하여 U-d1 U-d 2= U.(d1+d2) (2.4.7)임을 보여야 하는데, 이는 (2.4.3)식을 써서 계산해 보면 곧 확인할 수 있다. 또 하나의 확인 사항은 d-0일 때 UJ→임을 보이는 것인데, 이는 연습문제로 해볼 만하다. 끝으로 빛의 파장 A가 이 공식에 나타나지 않았는데, 이는 11=2π로 길이의 기준을 잡은 때문인데, 이를 되살리면 (2.4.3) 식은 fd(q2)=e(tld) d1e2-112(Q1) (2.4.8)으로 된다.
두 번째 기본형인 굴절은 (_IP）인데, 굴절면을 통과할 때 광선은 광경로(optical path) 차이가 나기 때문에 전폭함수의 위상에 변화가 온다. 이는 파동광학에서 잘 알려져 있으며 그 결과를 쓰면 fp(q)=exp(－Pq/2)f(q) Vpf(q) (2.4.9)이다. 여기서도 A=21r로 놓도록 길이의 단위를 잡았으며, 연산자 는 (IP）에 대응하는 함수공간 연산자이다. U가 적분으로 표현되는 데 반하여, Vp는 단순한 곱셈 연산자이다. 그리고 V-P, VPz= V.-P,+Pz (2.4.10) Vp=JifP=O (2.4.11)을 볼 수 있으며, 따라서 Vp가 굴절행렬의 표현이 된다. 연산자와 행렬의 대웅관계를 p로 표현하면, p(Ud)=(dII) (2.4.12) p(Vp)=(IP) (2.4.13)인데, 이들의 임의의 곱셈도 역시 대웅이 된다. 예를 들면, p (UdIVPIU)=(d1)(IA)(1) (2.4.14)를 직접 확인해 볼 수 있다. 이제 임의의 행렬 (ABCD), det B≠0의 경우
p(W)=(ABCD) (2.4.15)인 W를 일반적으로 구할 필요가 있다. 이것은 (Wf) (q2)=iNlde-tBI f(2-r)diW(q2, qi)fi (2.4.16)W(q2, Q1)＝1/2[q2DB-1q2-2Q2B-1q1+q1B-1qi], (2.4.17) N={짝수.det B>0 홀수, det B<0 (2.4.18)이다. 이의 증명은 연습문제로 남겨 놓겠다.
빛의 진폭함수로 구성된 힐베르트 공간에 작용하는 연산자 W들이 이루는 군은 p에 의해서 행렬둘의 군인 심플렉틱군과 대응 관계가 성립하는데, 이 연산자들의 군을 메타플렉틱(inetaplectic)군이라 하며 MP(2n, R)로 표기한다. 즉 p : MP(2n, R)-SP(2n, R) (2.4.19)이다. 그런데 (2.4.16)에서 볼 수 있듯이 ±W에 대해서 행렬은 하나만 대응되어 p는 2 : 1 대응을 이룬다. MP(2n, R)은 심플렉틱군의 유니터리 표현(unitary representation)임을 볼 수 있다. 그것은 II Wf=f, I| f||=(2π) |f(q) I2 (2.4.20)이 성립하기 때문이다.W 연산자 중 특별이 흥미 있는 것으로 (-I 0I)에 대응하는 것이 있는데, 이를 F라 표시하면 (2.4.16)을 따라서, A=D=0, B=-C=I이므로 (Ff) (q)=±eiπn/4(2JeC)-ixqf(x) (2.4.21)이 됨을 본다.이는 f(x)의 푸리에 변환(Fourier transformation)이다. 이를 이용하면 Ud와 VP 사이의 관계가 역시 푸리에 변환임을 볼 수 있다. 즉, 다음의 행렬 관계식 (OI)(IP)I)(-OI)=(IP) (2.4.22)으로부터 FUJ-1= Vd (2.4.23)임이 증명된다. 이상의 논의에서 푸리에 변환도 메타플렉틱군의 한 요소이며, 직전 이동과 굴절은 상호 푸리에 변환관계임을 알게 되었다. 이러한 사실은 대단히 깊은 의미가 있을 것으로 예상 되는데, 아직까지는 이를 이용한 물리적 예는 없었다.
2.4.2 양자역학과 그린 함수파동광학의 결과는 거의 그대로 양자역학에 적용된다. 여기서는 슈뢰딩거 방정식 및 그 해와 메타플렉틱군의 관계를 살펴보도록 하겠다. 먼저 W 연산자들의 군에서 매개변수 t의 함수로 주어지는 일차원 부분군을 고려해 보자. 이들은W(1+t2)= W(t1) W(t2) (2.4.24)을 만족시키며, 예로 Utd와 vtP를 들어 보면 좋을 것이다.
리군에서 미소변환을 고려하면 낳음이의 리-대수가 얻어진다. W(t)의 낳음이는 함수들에 작용하는 연산자로서 dw(t)It=0=liWt-f (2.4.25)와 같이 정의되며, W(t)가 유니터리 연산자였으므로, 그 낳음이는 W(O)'=-iH (2.4.26)와 같이 쓸 수 있으며, H는 에르미트(Hermit) 연산자이다. 이를 이용하면 dW/dt(t) |lt=O=—iHW(t) (2.4.27)으로 쓸 수 있는바, 이는 곧 슈뢰딩거 방정식의 다른 표현이다. 우리에게 익숙한 표현으로 쓰려면, ψ(q, t)= W(t)f(q) (2.4.28)로 ψ를 정의하여 ir=Hψ (2.4.29)로 된다. 이로부터 해밀토니안은 메타플렉틱 연산자 W(t)의 낳음이임을 알 수 있다.양자역학에서는 먼저 H가 주어지고, 그의 해를 구하는 것인데, 여기서는 그 해로부터 H를 유도해 내는 반대 방향의 작업을 한 셈이다. 이제 몇 가지 구체적인 예를 들어 가며 살펴보자. 편의상 1차원 문제만 다루기로 하겠다.
예 자유입자고전적 입자의 궤적은 직전이므로 SP(2)로 보면 (0l1t)으로 나타낼 수 있으므로1) 이의 메타플렉틱 표현을 생각해 보면 되겠다. (2.4.16)에서1) (qopo)-(Qo+ fPo)로 시간에 따라 위치가 변하는 운동이며, 심플렉틱 변환군을 형성함.
(w,(t)f)(q)=-f/(x) (2.4.30)임을 본다. 이제 이로부터 Ho=iI=―1/22 (2.4.31)임을 알 수 있다. 이 해밀토니안은 m=l, tz=l로 단위를 잡은 자유입자(free particle)의 해밀토니안이며, m과 h를 넣고자 하면 (2.4.30)에서 전체를 h 곱하고 t→th/m로 바꿔 주면 되는바, 이때 Ho=―h/2md/dx〉으로 된다. 또한 (2.4.30)을 좀더 익숙하게 보이도록 하려면 ψ(x', t')=(Wo(t)ψ(t))(x)=fdx/√2πf-eψ(x, t=0) (2.4.32)
로 쓰고, t=O 대신에 일반적 t를 쓰려면, t' 대신에 t'-t로 대치하면 된다. 이 식은 양자역학에서 잘 알려진 그린 함수(Green function)이다. 비교삼아 쉬프(Schiff)의 양자역학 교재에 나온 3차원 그린 함수를 보면 ψ(r’, t')=l.fG(r ', t';r, t) ψ(it)d7, (2.4.33)에서 자유입자의 경우 G。(r', t'; 7, t)=-i.{27rl.ht'-t)} exp[iu/2h(t'-t)] (2.4.34)로 주어진다. 우리가 지금까지 군의 요소로만 고려한 W(t)가 물리학적으로는 그린 함수인 G인 것이다.
양자역학에서는 먼저 H가 주어지면, 미분방정식의 해로써 그린 함수 G를 구하는 순서를 취한다. 즉, 양자화 과정을 해밀토니안에서 고전역학적 H (양자화)→ 연산자 H_ →미방의 해 G의 방법으로 한다.여기서 소개한 군의 표현에 의한 방법은, 양자화 과정이 전혀 다름을 주목할 필요가 있다. 고전 역학적 H → 고전입자의 궤적= 심플렉틱군(양자화)→메타플렉틱 표현=G 여기서는 양자화는 군의 표현이라는, 이미 정해전 과정을 밟는다. 다시 말하면, 슈뢰딩거 방법은 방정식을 양자화하는 것이고, 군론적 방법은 뉴턴 방정식의 해의 공간에서 양자화하는 것이다.이러한 군론적 방법은 물리학자들에게는 상당히 생소한 방법이어서 널리 연구된 바가 없다.
예 2 단순조화진자상태 공간에 서 단순조화전자(simple harmonicoscillator)의 운동은 원을 그린다. 즉 (qp)(t)=(c-ossin t t scoins tt)(qPo°) (2.4.35)이므로 (c—oss int t scoin s tt)i ('Pqo°)의 메타플렉틱 표현을 고려해 보자. (2.4.16)에서 ((t ))(x')=(-i)e-j m fdxe xp{i[ (cos t) (2xs'2in t)_2x'x]}f(x) (2.4.36)임을 확인할 수 있다. 이의 해밀토니안은 t.dH0의 계산에서 sHo=－1/2(+x2) (2.4.37)이 나오는바, m, h, w 등을 적절히 되살리면 양자역학에서 흔히 보는 표현과 일치한다. 이 결과도 고전역학과 양자역학의 관계를 해밀토니안과 파동방정식에서 구하는 것이 아니고, 고전적 해의 심플렉틱군 성질을 이용하여 그의 유니터리 표현인 메타플렉틱군으로 직접 구함을 볼 수 있다. 즉, 파동방정식을 풀지 않고 군이론을 이용하여 그린 함수를 직접 구할 수 있는 방법인 것이다.위의 두 예를 바탕으로 하여 일반적인 경우를 고려할 때 얻어지는 해밀토니안을 알아보자. 고전적인 입자의 운동이 n차원 공간에서 일어날 경우 중 i(t)와 g(t)가 (q(t)p(t))=(DB) (q°p°)=M(t) (0°) (2.4.38)로 표현될 수 있고, M(t)는 SP(2n)의 요소인 경우를 고려해 보자. 이 경우 양자역학적 그린 함수는 (2.4.16)에 의하여 주어지고, 따라서 해밀토니안을 구할 수 있다. 이 해밀토니안의 일반적인 형태를 논하려면, M(t)의 낳음이들의 분류를 생각해 보면 도움이 된다. M=l+eK로 쓸 때 낳음이 K는 K=(LQP-L)), P=P, Q=Q (2.4.39)이다. 이들 K는 리-대수를 형성하며, 사실 (P0 O0）와 (OO OI）의 두 종류의 것만 있으면, 이들의 맞바꿈 관계식(commutation relations)을 써서 다론 형태의 것을 모두 만들어 낼 수 있다. 그러므로 이들의 해밀토니안만 만들 수 있으면 다른 것들은 맞바꿈 관계식으로 구해진다.
먼저 (00P0）의 경우는 M(t)=(I0tP0) (2.4.40)이며, 따라서 W(t)를 (2.4.16)으로 계산하고, H를 구하면 H-p=T1 qk Pklqt (2.4.41)M(t)=(ABCD), G=eQ2DB-1Q2-2Q2B-lq1+91B-IAq1J{M(t)}=심플렉틱군의 요소{W}＝메타플렉틱군의 요소 이상의 예에서 볼 수 있듯이 심플렉틱군으로 기술되는 입자의 운동은 이차 다항식 퍼텐셜을 갖는 경우로 제한됨을 알 수 있다. 이 문제를 일반화하여 양자장론에 적용하는 문제와 더 다양한 퍼텐셜의 상황에 적용하는 일은 홍미로운 작업이 된다 하겠다.
2.5 맺는 말이 글에서는 빛과 입자의 고전역학 및 양자역학적 기술을 심플렉틱군과 메타플렉틱군의 나툼으로 어떻게 다룰 수 있는가를 보였다. 이 방법은 역학의 양자화를 새롭게 접근했다는 점에서 특징이 있다. 즉, 보통의 경우는 해밀토니안을 양자적 연산자로 만들어 슈뢰딩거 방정식을 푸는 미분적 접근을 하는 데 반하여, 이 경우에는 먼저 고전적 해밀턴 방정식을 푼 후에 이 해의 양자화를 하는 적분적 접근을 하고 있다. 이 심플렉틱 방법은 자유도가 유한하고 해밀토니안이 이차 다항식일 때에 한하여 적용되었다.이 심플렉틱 양자화의 확장 적용을 시도하는 것은 의미 있는 일이라고 생각된다. 예로써 제약조건이 있는 역학계의 양자화 문제에의 적용은 많은 응용 가능성이 있다. 또 자유도가 무한대인 양자장론에 어떻게 확장되는지 조사할 필요가 있으며, 재규격화(renormalization) 문제를 심플렉틱군의 측면에서 연구하는 것도 도움이 될 것이다.이 글에서는 심플렉틱군을 중심으로 논의를 했으나, 심플렉틱기하학은 아주 활발하게 발전하고 있는 분야이며 이의 물리학적 응용도 주로 수리물리학자들에 의해 시도되고 있다. 기하학적 양자화(geometric quantization) 방법은 특히 많은 관심을 받은 분야이지만, 그 밖에도 위상공간의 심플렉틱 구조로부터 해 공간(solution space)의 양자화를 꾀하는 위튼의 방법 등 새로운 시도둘이 있다. 이러한 접근 방식은 중력장의 양자화라는 근본적 문제를 해결하는 데 어떤 서광을 비춰줄는지 모른다. 비록 이 점에 도움이 되지 않는다 하더라도 다양한 수식화 체계를 갖는 것은 그것 자체로서도 바람직한 일일 것이다.
참고문헌[1] H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed. (Addison-Wesley, Mass. 1980)[2] V. Guillemin and S. Sternberg, Symplectic techniques in physics, (Cambridge U. P., 1984)[3] N. Woodhouse, Geometric quantization, (Clarendon P., Oxford, 1976)[4] A. Weinstein, Lectures on symplectic manifolds, (American Math. Soc., 1976)[5) C. Crnkovic and E. Witten, in Three Hundred Years of Gravitation, ed. by S.W. Hawking and W. Israel (Cambridge U.P., Cambridge, 1987) p.676.제 3 장수학에서 게이지 이론
조용승3.1아인슈타인(Einstein)과 디랙(Dirac) 이후 수학의 발전에 가장 기여한 물리학자는 양(Yang)이라고 할 수 있다. 양은 Parity nonconservation의 연구로 리(Lee)와 같이 1957년에 노벨 물리학상을 수상했다. 수학자들에게 있어서 양은 양-밀스 이론으로 알려져 있다.양은 시카고 대학의 물리학자 페르미(Fermi) 밑에서 박사학위를 받았다. 그는 대학원 재학중에 모든 전자기 상호관계를 결정하는 것이 게이지 불변성(gauge i nvariance)임에 깊은 호기심을 가졌다. 시카고에서 양은 이 게이지 불변성의 개념을 비가환군(non abelian group)의 게이지 불변성으로 일반화하려고 했다. 여기서 전자기의 게이지는 가환군(abelian group)인 U(1)이다.맥스웰 방정식에서와 같이 FiJ=∂B/∂x—∂B/∂xi (3.1.1)울 일반화시키려고 노력했지만 뜻대로 되지 않았다.
1954년에 뉴욕, 롱아일랜드에 있는 브룩 헤븐(Brook haven) 국립연구소를 방문했을 때 컬럼비아 대학에서 바로 박사학위를 받은 밀스(Mills)와 갇은 연구실을 쓰게 됐다. 양은 밀스에게 비가환 게이지장에 대한 생각을 소개했다. 그들은 (3.1.1)식의 오른쪽에 이차항[B,., Bj]를 더하기로 했다. 여기서 새로운 장의 이론이 전개되고 1954년 10월에랫동안 같이 연구해 왔다. 그들은 아티야-싱어 지표 정리(Atiyah-Singer index theorem)라는 세기의 정리를 증명했다. 옥스퍼드에서 아티야, 히천(Hitchin), 그리고 싱어는 자기 쌍대 방정식(Self-duality Equation)을 면밀히 연구했다. 마침내 그들은 논문 "Deformations of Instantons”에서 양-밀스 자기 쌍대 방정식은 지표 정리의 이용으로 해결할 수 있으며 순간자 매개변수(Instanton parameter)를 결정한다는 것을 알게 됐다. 수학자들 사이에 게이지 이론은 점점 널리 알려지게 되었다. 1982년에 하버드 대학의 타우브스(Taubes)는 이전에 아티야, 히친, 싱어가 자기 쌍대 다양체상에서 순간자 존재성을 일반화한 4차원 다양체 상의 순간자의 존재성을 밝혔다. 시카고 대학의 울런벡(Uhlenbeck)은 모듈라이(moduli) 공간의 국소적 구조를 밝혔다. 이들을 이용해서 아티야의 제자인 옥스퍼드 대학의 도넬슨(Donaldson)은 기존의 수학의 도구로서는 이해하지 못하고 침체되어 있던 교차수(intersection number)가 양이고 기본군(fundamental group)이 영인 4차원 미분다양체의 위상수학적 장애요소(obstruction)를 발견함으로써 게이지 이론이 수학에(특히, 4차원 다양체) 커다란 공헌을 세우게 되었고 새로운 연구의 장을 열게 되었다. 한편으로는 프리드먼(Freedman)의 4차원 다양체의 분류와 더불어 우리가 살고 있는 위상적 4차원 유클리드 공간(topological 4 dimensional Euclidean space)은 기존의 우리 생각 속에 있는 R4 외에 다른 미분구조(Fake R4)를 가질 수 있음이 증명되었다. 이 결과로 도넬슨과 프리드먼은 1986년에 필드(Fields) 상을 수상했다.
3.2
다음은 게이지 이론을 간단히 소개하고 주요 결과를 열거하려 한다. M이 옹골찬 유향(oriented) 4차원 미분다양체라 하자. E→M을 순간자수가 k인 SU(2) 벡터 다발이라고 하자. 다발 E 상에는 무한차원의 접속 ▽가 있다. 실제로 모든 접속들의 집합은 아핀(affine) 공간 Ω1(gE)를 이룬다. 이들 중 양-밀스 작용 y.M(▽)=fxlFV12이 최소인 접속 ▽(즉, ▽의 곡률 F▽가 *F▽ =-F▽을 만족하는)를 순간자라고 한다. 이때, 양-밀스 작용과 순간자는 컨포멀(conformal) 구조에만 의존한다. 다발 자기 동형(automorphism)인 게이지 변환에 의한 순간자들을 동일시하는 집합을 우리는 모듈라이 공간 M이라고 한다. 우리의 주요 관심사는 이 모듈라이 공간 M의 기하학적 성질을 연구하는 것이고, 이것으로부터 본래 4차원 다양체 M의 기하학적 성질을 조사함이 주요 목적이다. 아티야, 히천, 그리고 싱어가 처음 이용한 기본복체(fundamental elliptic complex)o→ΩO(E)→Ωl(E)→Ω(E)→o (3.2.1)가 존재한다. 여기서 gE는 E로부터 얻어진 리-대수 (Lie algebra) 다발이고, V은 반자기쌍대 접속(anti-self-dual connection)이다. 그들은 이 복체를 디랙 연산자(operator)를 이용하여 지표를 구했다.정리 3.2.1 (아티야, 히천, 싱어)
기본 복체 (3.2.1)의 지표는 -8k+3(1-bi+bt)이다. 여기서 b는 베티 수(Betti number)이다.아티야, 싱어, 히친은 자기쌍대 4차원 다양체일 때 순간자가 존재함을 밝히고 s4상에 k=l인 다발의 순간자의 모듈라이 공간은 5차원 단위 디스크 B5임을 보였다. 타우브스는 교차 수가 양인 4차원 다양체상에서는 순간자가 존재함을 어려운 해석학을 사용하여 밝히고 후에는 k가 크면 일반 다양체상에서 순간자가 존재함을 보였다. 울런벡은 모듈라이 공간의 경계에서 일어나는 현상을 해석학적으로 잘 설명하여 기하학적 성질을 밝혔다. 또한 그녀는 M상의 일반계량(generic metric)하에서 M이 다양체임을 보였다. 이러한 일련의 결과를 이용하여 도넬슨은 모듈라이 공간의 기하학적 구조를 연구함으로써 수학사에 남을 정리를 얻었다.정리 3.2.2 (도넬슨)M이 옹골찬인 4차원 미분 다양체이고 그의 기본군이 영이고 교차형식(inter section form)이 양이면, 그의 교차형식은 정수상에서 대각선 행렬(diagonal matrix)이다.이 정리가 발표된 후 많은 수학자들이 게이지 이론을 연구하고 많은 결과가 나왔다. 예를 들면 핀터셀(Fintushel)과 슈테론(Stern)은 호몰로지(Homology) 3차원 구들의 코보디즘군(Cobordism group)이 무한임울 증명하였다. 쿠가는 S2xs2 상에 2차원 구로서 나타낼 수 있는 호몰로지 원소를 찾았다. 도넬슨은 위의 정리를 발견한 후 4차원 다양체의 호몰로지와 모듈라이 공간을 이용하여 도넬슨의 불변요소(invariant)를 구성했다. 도넬슨의 불변요소를 이용하여 많은 결과가 나왔고 요즘도 많은 수학자들에게 도넬슨의 불변요소를 이용하는 연구가 활발하며 그 자체도 연구를 계속하고 있어 소개하려고 한다.
3.3M의 두 번째 베티 수 b2(M)은 호지(Hodge)의 *－작용에 의해서 b2(M)=b+(M)+b-(M)로 나누어진다. 일반계량(generic metric)과 순간자 수 k>1에 대해서 모든 순간자가 불분열(irreducible)이기 위해서 b+(M)>O라고 가정하자. 왜냐하면 분열(reducible) 순간자는 두 번째 코호몰로지 원소 c∈H2(M : R) (c2=k)로 대응된다. 이 원소 c∈H-(H-cH2(M : R)), 여기서 H-는 반자기쌍대 형식들의 집합이고 H-의 여차원(codimension)이 b+(M)이다. 만일 b+(M)>O이면 H를 적당히 잡으면 (general position) cH-되게 할 수 있다. 더욱이 b+(M)>l이면 M상에 리만 계량(Riemannian metric)들의 1차 매개변수 곡선이 존재해서 트리비얼(trivial) 순간자 의에 분열순간자를 갖지 않는다.B*를 모든 게이지동형의 불분열 접속둘의 공간이라 하자. B*는 무한차원의 다양체이다. M 상의 일반계량에 대해서 모듈라이 공간 M은 B*의 부분다양체로서 정리 3.2.1의 차원을 갖는다. 간단히 말하면 도넬슨의 불변요소는 이 모듈라이 공간 M의 기본 호몰로지류(fundamental class)와 B*상의 코호몰로지와의 짝(pairing)이다. 모듈라이 공간은 M상의 계량에 따라 달라진다. M상의 계량(metric) g에 대응되는 모듈라이 공간을 Mk(g)라고 하자. go와 g1을 M상의 일반계량이라고 하면 M상의 계량들로서이루어진 곡선 gt, t∈[O, 1]가 있다. 위에서 설명했듯이 만일 bt>l이면 일반(generic) g,가 존재해서 N={([A], t)∈B*x[o, l]l[A]∈ Mk( g,)}내에 분리 순간자가 없다. 이때 N은 경계를 갖는 미분 다양체로서 그의 경계는 M(go)U M(g1)이다. 또한 모듈라이 공간 Mk상에 방향을 줄 수 있어야 한다. 이 방향은 4차원 다양체 M의 호몰로지 방향으로 자연스럽게 방향이 주어짐을 도넬슨이 보였다. 다음은 B*상에 코호몰로지가 어떻게 구성되어 있는가 알아보자. M상에 한 점을 고정하자. S0(3) → B→B*를 S0(3)-다발로서 고정점상에서 자명한(trivial) 다발상의 접속으로 이루어져 있다. 공간 B는 약 호모토피(weak homotopy)로 공간 Map(M, BG)와 갇다. 여기서 Map(M, BG)는 고정점을 유지하는 k-차(degree) 연속함수로 구성되어 있고 BG는 군 G의 분류공간이다.
우리의 경우 G=SU(2)에는 BG HPOO와 호모토피로 같다. 이때 함수 µ : H2(M : Z)一H (B ; Z)가 다음과 같이 유도된다. 함수 e : Map(M, BG)xM → BG는 e(f, x)=f(x)로 정의되고 e* : H4(BG) -H4(Map(M, BG)XM) =EB1+1=H(B)H1(M)는 <μ(∑), a>=로 정의한다. 여기서 a∈H2(B ; Z)이고 h는 H4(BG)의 낳음이(generator)이고, ∑∈H2(M)이다. 더욱이 함수 μ는 µ : H2 (M : Z) 一 H2 (B* ; Z)룰 유도하고 환(ring) H*(B* : Q)는 µ의 상과 P1(B)에 의해 생성되는 자유환(freering)이다. [6]
만일 모듈라이 공간이 옹골찬이라면 기본 호몰로지 [M]류로서 도넬슨 불변요소를 정의하지만 일반적으로 모듈라이 공간은 옹골찬이 아니다. 따라서 모듈라이 공간을 옹골찬화하는 것이 필요하다. 모듈라이 공간 M 옹골찬화 Mk는 Mk UM,k-1 X MU … U Sk (M)의 부분집합이다. .A[k의 구성과 위상은 다음과 같다. 만일 (xi, …, xl)이 M의 대칭적(symmetric product)의 한 점일 때 Mk 상의 수열 {[An]}이 ([A], (x1, …, xl) ) E k-l x sl (M)에 수령했다는 것은, [An]이 [A]에 M\{xi, …, 지상에서 수렴하고 에너지 밀도(energy density)IF(An)12이 l IFAl2+s 군 z: δxi i= l에 수렴할 때를 말한다. 울런벡의 옹골찬 정리에 의해서 모듈라이 공간 Mk의 폐포 M 옹골찬이 된다. 옹골찬 공간 Mk는 서로 다른 차원의 스트라타(strata)로 구성되어 있다. Mk가 기본 호몰로지류가 되기 위해서는 Ak와 다음 스트라타 사이는 여차원이 2이상이어야 한다. 그에 대한 조건은4k > (3b+(M)+3)이다. 또한 짝(pairing)을 만들기 위해서 Mk상의 코호몰로지류를 M강의 코호몰로지류로 확장해야 한다. l>O라 하고 c∈H2(M)를 a∈H2(M)의 푸앵카레 쌍대(Poincare dual)라 하자. 만일 c의 l번 대칭합 s1(c) ∈H2(s1(M))이라하고 Mk, l=.M n (M kl x sl (M))라하고 a(l)= (µ(a)) + (s1(c))라 하면 µ(a)∈H2( ,A,(1t)의 확장이 촌재하며 다음 조건을 만족해야 한다. 만일 bt (M)=2P+l이 홀수라면 dimMk =8k-6 (1+p) =2[4k-3(1+p)]=2d이고 π=u. u (ad) ∈H2d,(Mk)이다. M LlC M k-lxsl(M)이므로 dimMhi
조건은 다음과 같다.
8k— 3[1+bi(M)]>4k(stable range condition)위의 여러 가지 조건하에서 도넬슨은 Qk : H2(M) X ••• XH2(M) → Rqk (a1, …, ad) = <(a1) U … U M(ad), [Mk]>로 도넬슨의 불변요소를 정의했다.위의 정의를 보다 가하학적으로 다음과 같이 정의한다. 호몰로지 원소 a∈H2(M)는 리만 곡면 ∑로 4차원 다양체 M상에 표현된다. ∑를 M상에서 적당히 택하면, M상의 불분열 순간자의 ∑상의 축소(restriction)는 ∑상에 불분열 접속이 된다. 즉, 축소함수 ri : Mk-B*가 정의된다. 여기서 B*는 2상의 불분열 게이지 동치류(equivalence class)들의 공간이 다. 이 때 µ (a) = rf[µi(a)]이다. 코호몰로지 원소 µ(a)는 B에서 여차원(codimension)이 2인 부분다양체 Ui로 나타난다. Vi=r(U)라 하면 Vi는 Mk상에서 여차원이 2인 부분다양체가 된다. 만일 ∑…, ∑가 M상의 곡면들이라 하고 V를 VE2대신에 쓰면 위의 조건 4k>3(1+b+(M))하에서 Mk n Vi n … n vd는 0차원 옹골찬 공간이다. 즉, 유한집합이다. 왜냐하면, 만일수열 {[An]}⊂,A ,f,knVin…nvd이 ([A], (x1, …, xl)에 수령했다면 위의 조건하에서 l=O이고 다시 [A]EMknVin… nvd이다. ,Mk상의 방향을 고려해서 MUknVin… nvd의 점을 부호를 따라 세면 도넬슨의 불변요소와 같다. 즉, Qk (∑1, …, ∑d)=<µ∑)… µ(∑d), [JU]>=UknVin… nvd이다.
정리 3.3.1 (도넬슨)만일 M이 유향 옹골찬 단순연결(simply connected) 4차원 미분 다양체이고 b+(M)=2a+1, a>1이고 4k>3(b+(M)+1)이면, 사상 q : symH(M;Z)qk(2I, …, ∑d) =# (Mk∩Vi∩… ∩vd)는 M의 미분위상 불변요소이다. 여기서 d=4k―3(l+a)이다. 더욱이 방향을 유지하는 미분위상 동형사상(diffeomorphism)에 의해 사상 qk는 불변이다.정리 3.3.2 (도넬슨)M이 정리 3.3.1의 조건을 만족한다고 하자.① M이 연결합(connected sum) M=M1#M2이며 b+(M,)>O, i=l, 2이면 도넬슨 불변요소 qk는 모든 k에 대해서 항상 0이다.② M이 복소대 수곡면(complex algebraic surface)이고 기본군 π1=0이면 큰 k에 대해서 q=/=O이다.3,4
도넬슨의 불변요소의 응용으로 복소대수곡면의 불분리성을 알 수 있다.또한 프리드먼(Friedman)과 모건(Morgan)은 위상적으로 CP2#9CP2와 갇은 돌가체프 곡면(Dolgachev surface)은 무한히 많은 다른 미분구조가 존재함을 보였다. 이와 같은 강력한 미분위상수학에 도구가 단 하나의 4차원 미분다양체에 무한개의 도넬슨의 불변요소가 존재한다는 것은 수수께끼 같은 일이다. 많은 학자들이 무한개의 도넬슨의 불변요소들 사이에 일반적인 법칙을 찾으려 노력하고 있다. 다음은 최근의 크론하이머(Kronheimer)와 므로우카(Mrowka)의 이 방향에 대한 연구결과를 소개하려 한다. 위에서 모듈라이 공간 M, d는 2d=8k一3(l+b+）차원을 가지며 M의 코호몰로지는 µ의 상과 4차원 원소 v=-1/4+P1(E)에 의해 결정되었다. 여기서 E는 S0(3)－벡터 다발이다. 만일 d=n+2m이면 <µ(h)n m, [M d]>ER로 도넬슨의 불변요소가 정의된다. 모든 d와 모든 hEH2(M)에 대해서, 만일 <µ(h)n11m+2, [.A1,d+4]>=4<µ(b)nmMd,> (3.4.1)을 만족한다면 4차원 다양체 M이 단순형(simple type)이라 하자. 우리가 아는 대부분의 4차원 다양체는 단순형이다. 예를 들면 1=0인 타원곡면, 완전 교차로 이루어진 복소곡면, 수술(surgery)에 의해 붙인 여러 곡면들이다. 최근에 위튼(Witten)이 모든 켈러 다양체(Kmiler Manifold)는 단순형이라 소개했다 한다. 크론하이머와 므로우카는 모든 1=0인 4차원 다양체는 단순형이라 예측하고 있다. 만일 (3.4.1)이 성립한다면 귀납적으로m=O( 이 때, 원래 도넬슨의 불변요소 qd가 되고)이거나 m=l이 될 것이다. 편의상 2Qd-2(h)=<µ(h)d-2ν, M,d>라고 정의하자. 모든 다항식 qd를 합하여 해석학적 함수를 정의 하자. 함수 q : H2 (X : R) -Rq(h)d= ∑d! 로 정의하자.
정리 3.4.1 (크론하이머, 므로우카)만일 M의 기본군 π=O이고 단순형 4차원 다양체라면, 유한 코호몰로지 원소 아 …, ∈H2(M : Z)와 0이 아닌 유리수 a1…, ap가 존재해서 q=exp(Q/2)∑oaje : H2(M : R) → R이 해석학적 함수로 같다. 여기서 Q는 교차형식이고, 코호몰로 지 원소σ1, …, σp∈H2 (M : Z)는 a,=w2(M) (mod 2)이다.정리 3.4.2 (크론하이머, 므로우카)M와 q, …, 6p가 정리 3.4.1에서와 같고 고이 M속의 2차원 미분 부분다양체로서 C1(N)[∑]>0라 하자. 여기서 N은 M상에 고의 노르말 다발(normal bundle)이다. 그러면 Z의 지너스(genus) g는 g>{1/2∑·∑+max a,·∑+2}와 같은 하계를 갖는다.
예를 들면 K3 곡면에서는 도넬슨의 불변요소는 q2i=(2i)!/2'! Qi이다. 이 때 해석학적 함수 q의 표현은 q=expQ/2이다.3.54차원 다양체는 연구에 여러 가지 어려운 점이 많아 오랫동안 암흑(?) 속에 있었지만, 특유의 여러 가지 성질이 존재한다. 즉, 리군 S0(4)가 국소적으로 SO(3)+SO(3)이고 2차 형식이 자기쌍대와 반자기쌍대로 나눠지고, 컨포멀 변환에 의해 양-밀스 작용이 불변이고, 특히 곡률이 2차 형식으로 자기쌍대와 반자기쌍대로 나눠지고, 순간자 수가 위상적으로 하한계(lower bound)를 나타낸다. 여기에 아티야-싱어의 지표이론이 양-밀츠 순간자 방정식과 결합은 범인으로서는 유추하기 어려운 한 단계 위의 연구였다. 여기에 4차원 다양체의 경계로 나타나는 3차원 다양체상의 천-사이먼스(Chern-Simons) 함수는 중요한 역할을 한다. 즉, 캐슨의 불변성을 결정한다. 이 천-사이먼스 함수의 임계점(critical point)이 평(flat) 접속으로 나타난다. 이 때 평 접속을 이어 주는 그래디언트 흐름(gradient flow)이 정확히 4차원 다양체상의 순간자이다. 이것이 새로운 코호몰로지, 플로에(Floer) 코호몰로지를 유도하여 4차원 다양체와 3차원 다양체 연구에 새로운 장을 열어 준다. 이상과 같이 일련의 4차원 다양체의 괄목할 만한 결과는 이론물리학의 게이지 이론이 계기가 되어 꾸준히 탐구해 온 수학자 및 물리학자들의 깊은 연구결과이며, 앞으로도 연구가 계속될 것이다. 수학자들의 연구결과들도 물리 연구에 크게 도움이 될 것이며, 물리의 현상에서 얻은 동기 수학의 신의 섭리와도 같은 자연스럽고 치밀한 연구가 물리의 근본 실체를 탐색하는 훌륭한 응용이 될 것이다.
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양자 장이론의 슈뢰딩거 표현 방법이재형4.1 서론물리학은 자연현상이 어떻게 일어나며, 왜 그렇게 일어날 수밖에 없는지를 이해하려는 시도이다. 자연은 물질로 이루어져 있기 때문에, 자연을 이러한 방법으로 이해한다는 것은 물질이 어떤 구조를 가지고 있으며, 물질 사이에 어떤 힘이 어떻게 작용하는 지를 이해하는 것으로 귀결된다. 현재의 물리학에서는, 물질은 그 최소 단위들의 모임으로 이루어져 있으며 이들 최소 단위들 사이에 네 가지 힘들이 작용하여 모든 자연현상을 이룬다고 이해하고 있다. 이들 네 가지 힘이 어떻게 작용하는지를 기술하는 방법을 물리학의 기본 이론이라고 한다.물리학의 기본 이론에는 고전물리학이라고 불리는 고전역학과 전자기학, 그리고 현대물리학으로 분류되는 양자역학이 있다. 이들 세 가지 기본 이론들을 특별한 경우로 포함하는 보다 일반화 된 기본 이론이 양자 장이론(quantum field theory)이다. 이러한 기본이론들은 서로 다른 것으로 보이지만, 동일한 이론적인 구조를 가지고 있다. 여기서는 이들 이론들 사이의 관계를 간략하게 소개하겠다.
양자 장이론을 실제 문제에 적용하기 위해서는 이를 구체적으로 표현할 필요가 있다. 다른 기본 이론들과 마찬가지로, 양자 장이론의 경우에도 동등하지만 서로 다른 여러 가지 표현 방법이 있다.입자 물리학에서 사용되는 장이론은 상대론적인 장이론이다. 양자 장이론의 표현 방법 중에서 상대론적인 불변성을 쉽게 구체화시킬 수 있는 기술 방법은 하이젠베르크 표현 방법이기 때문에, 지금까지 입자 물리학에서 주로 사용된 방법은 하이젠베르크 표현 방법이다.실제 자연현상을 기술하는 이론의 운동방정식은 닫힌 형태로 풀 수는 없는, 비선형 방정식으로 기술된다. 따라서 이러한 물리계의 정보는 근사적으로 계산할 수밖에 없다. 하이젠베르크 표현 방법은 이러한 정보를 섭동적으로 계산하는 데 편리하게 이용된다. 그러나 자연의 내부 구조에 대한 많은 정보를 얻게 되면서, 비섭동적인 근사방법에 대한 필요성이 증대되고 있다. 슈뢰딩거 표현 방법은 이러한 비섭동적인 정보를 계산하는 데 특히 편리하다는 사실이 밝혀졌고, 그로 인하여 최근 많은 관심을 끌게 되었다. 여기서는 이러한 슈뢰딩거 표현 방법을 소개하고, 이를 이용하여 근사적인 정보를 어떻게 계산할 수 있는지에 대하여 설명하겠다.4.2 고전역학과 고전 장이론질점들의 모임으로 이루어진 물리계를 역학적인 물리계라고 한다. 이러한 역학적인 물리계의 거시적인 운동을 기술하는 이론을 고전역학이라고 한다. 이러한 물리계의 한 순간의 상태는 질점의 위치 qi(i=l, 2, …, N)와 운동량(또는 속도) Pi로 결정된다. 즉, 이러한 계의 모든 물리적인 정보는 변수(qi, Pi)의 함수로 기술되기 때문에, 이 순간의 계에 대한 모든 정보는 이들 변수에 의해서 결정된다. 이러한 변수를 운동변수(dynamical variable)라 하고, 이 변수의 수 N(또는 2N)을 계의 자유도라고 한다.
물리계의 운동을 이해한다는 것은, 한 순간의 계의 상태 (qi, Pi)를 알면, 다음 순간의 상태를 유일하게 결정할 수 있다는 것을 의미한다. 이러한 운동을 결정하는 방정식을 운동 방정식이라고 한다. 운동 방정식은 궁극적으로는 실험에 의하여 결정되는 데, 그 결과를 작용 원리로 나타낼 수 있다. 작용 원리에 의하면, 물리계의 시간에 따른 진행은 계의 해밀토니안 H(q, p)에 의하여 결정된다.qi=-∂H/∂Pi pi=－∂H/∂qi (4.2.1) 물리량 A(q, p)와 B(q, p) 사이의 푸아송 괄호(Poisson bracket)를 {A, B}PB= (∂A/∂q∂B/∂p-∂B/∂q∂A/∂p) (4.2.2)로 정의하면, 운동 방정식 (4.2.1)은 A={A, H}PB (4.2.3)로 나타낼 수 있다. 이것이 역학적인 물리계의 일반적인 운동 방정식이다.
역학적인 물리계를 기술하는 방법에는, 동등하지만 서로 다른 여러 가지 표현 방법이 있다. 예를 들면, 변수 qi를 직교 좌표계에서의 위치 벡터의 성분으로 나타낼 수도 있고, 다른 좌표계의 성분들로 표현할 수도 있다. 일반적으로 qi=pi(q,p) p'=q'(q,p) (4.2.4)로 정의되는 새로운 변수(q'i, p'i)를 사용하여 같은 물리계를 기술할 수 있다. 그런데 이러한 새로운 기술 방법이 정당한 기술 방법이 되기 위해서는, 새로운 변수들의 시간에 따른 변화를 결정하는 해밀토니안을 정의할 수 있고, 이에 의한 운동 방정식이 (4.2.3) 식과 동등해야 한다. 이를 위한 필요충분조건은 이들 변수들이 {q'i,p'i}pb={qi,pq}pb=δij {q'i,q'i}pb={p',p'}=0 (4.2.5)의 조건을 만족하는 것이다. 이러한 조건을 만족하는 운동변수를 표준변수(canonical variable)라고 한다.따라서 역학적인 물리계의 거시적인 운동을 옳게 기술하기 위해서는 푸아송 괄호 (4.2.5)를 만족하는 운동 변수를 사용해야 하며, 이 계의 운동은 운동 방정식 (4.2.3)에 의해서 결정된다. 그러나 모든 거시적인 자연현상을 이러한 방법으로 기술할 수 있는 것은 아니다. 거시적인 자연현상 중에는 그 자유도가 무한히 많은 현상들이 있기 때문이다. 예를 들면, 진공 중을 진행하는 전자기파는 연속적으로 무한히 많은 자유도를 갖는 물리계이다. 이러한 파동현상을 기술하는 무한 자유도는 공간의 위치 X에 의해서 구별되는 자유도이다. 즉, 위치 x에서 정의된 물리량과 다른 위치 x'에서 정의되는 물리량은 서로 다른 자유도를 기술한다. 이렇게 공간의 모든 점에 정의되며, 각 위치에서의 값이 각각 서로 다른 계의 자유도를 기술하는 함수를 장(field)이라고 한다. 이러한 장의 운동을 기술하는 이론을 장이론이라고 한다.
장이론은 고전역학을 무한 자유도의 경우로 연장한 이론으로 볼 수 있다. 따라서 장이론을 기술하는 운동 변수는 장함수 q(x, t)와 그 표준공액(canonical conjugate) p(x, t)이다. 여기서 변수 x는 서로 다른 자유도를 나타내는 매개 변수(index)라는 점에 유의해야 한다. 이러한 장함수들이 장이론을 기술하는 정당한 운동 변수이기 위해서는, 역학적인 경우와 마찬가지로, {qig, t), pA X’, t)} PB=8j8 (X— X’) {q, .(x, t), qi(x ', t)} PB=O={pi( X, t), pj(x', t)}p (4.2.6)의 조건을 만족해야 한다. 변수 qi와 푸아송 괄호 (4.2.6)를 만족하는 변수 Pi를 qi의 표준공액 또는 운동량공액이라고 한다. 이러한 물리계의 한 순간의 상태는 운동변수(q', Pi)에 의해서 결정된다. 즉, 모든 물리량은 (q, p)의 함수로 기술된다. 이러한 물리계의 시간에 따른 진행은, 역학적인 경우와 마찬가지로, 계의 해밀토니안 H(q, p)에 의해서 결정된다. d/dt A(q, p)= {A(q, p) H}PB. (4.2.7) 이것이 장이론의 운동방정식 (장 방정식)이다.장이론은 고전역학을 무한 자유도의 경우로 연장한 이론이라는 것을 보았다. 장이론에서 물리계의 자유도를 나타내는 변수 X는, 공간 내에서 위치를 나타내는 변수이기도 하다. 많은 물리계는 시공간의 변환에 대한 대칭성을 가지고 있다. 고전역학을 장이론으로 연장하는 과정에서 이러한 대칭성을 부과할 수 있다.
예를 들면, 시공간의 갈릴레오 변환 x'=x-vt t'=t (4.2.8)에 대하여, 물리적인 정보가 불변이어야 한다는 조건을 부과하여 얻어진 장이론을 비상대론적인 장이론이라 한다. 반면에, 역학적인 계를 장이론적인 계로 연장하면서 로렌츠 불변성을 요구하면, 상대론적인 장이론을 얻는다.고전역학과 고전 장이론은 실제로는 전혀 다론(뉴턴 방정식으로 기술되는 역학적인 계와 맥스웰 방정식으로 기술되는 전자기학은 전혀 다른 물리계이다) 이론이지만, 그 이론적인 구조는 동일하다는 사실을 보았다. 그 차이는 자유도의 차이이며, 자유도가 무한인 경우로 일반화하는 과정에서 부과하는 대칭성에 따라 다른 장이론이 될 수 있는 차이에 불과하다. 이러한 관계는 미시적인 운동을 기술하는 양자적인 이론의 경우에도 여전히 유지된다. 질점의 미시적인 운동을 기술하는 양자역학과 미시적인 다체계를 기술하는 양자 장이론의 차이도 자유도의 차이라고 볼 수 있다.4.3 양자역학과 양자 장이론질점으로 이루어진 역학적인 물리계의 미시적인 운동을 기술하는 이론을 양자역학이라고 한다. 이러한 역학적인 물리계의 미시적인 운동은 그 거시적인 경우와는 전혀 다르게 일어난다. 거시적인 현상은 그 현상을 관찰하는 측정 과정에 무관하게 일어나지만, 미시적인 현상은 측정 과정에 의해서 영향을 받기 때문이다.
거시적인 물리계의 한 순간의 상태는 운동 변수(q(t), p(t))에 의해서 결정된다. 이 상태에서 측정을 행하여도, 측정 직후의 계의 상태는 여전히 같은 변수(q(t), p(t)）에 의해서 기술된다. 그러나 미시적인 물리계는 측정 과정에 의해서 영향을 받기 때문에, 측정 직후의 계의 상태는 측정 전과는 전혀 다론 상태로 바뀔 수 있다. 따라서 미시적인 물리계의 상태를 (q, p)와 갇은 고전적인 함수를 사용하여 기술할 수는 없으며, 물리량을 나타내는 방법과 계의 상태를 나타내는 방법이 달라야 한다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면, 물리량을 나타내는 방법은 측정 과정과 무관해야 하지만, 물리계의 상태는 측정 방법이나 그 유무에 따라 달라질 수 있기 때문이다.양자역학에서 물리계의 상태는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 한 요소인 벡터로 나타내며, 물리량은 이 백터 공간에 존재하는 선형 에르미트 연산자(linear Hermitian operator)로 나타낸다.선형 에르미트 연산자는 실수 고유값(eigenvalue)을 가지며, 그 고유상태(eigenstate)는 서로 직교하며 힐베르트 공간 내에서 완전집합을 이룬다. 따라서 물리계의 상태는 물리량을 나타내는 연산자의 고유상태, 또는 그 선형결합으로 나타낼 수 있다. 물리량 A의 한 고유상태로 기술되는 상태에서 물리량 A를 측정하면, 그 고유상태에 해당하는 고유값만이 측정된다. A의 고유상태의 선형결합으로 기술되는 계에서 A를 측정하면, 측정 결과는 확률적으로 나타난다. 측정 결과가 고유값 a’으로 나올 확률은 고유상태 |a'＞과 계의 상태 |ψ>의 내적의 절대값 제곱인 |실제 상황에서 물리계를 준비하는 과정은 물리량을 측정하는 것으로 이루어져 있기 때문에, 물리계의 상태는 I측정된 물리량 의 값, t>로 나타낼 수 있다. 그러면 물리량들은 어떤 연산자로 나타내야 하는가? 또한 양자역학적인 물리계의 시간에 따른 진행은 어떻게 기술하는가?
양자적인 물리량을 기술하는 연산자와 양자적인 계의 운동방정식을 찾아 내는 방법을 양자화라고 한다. 지금까지 알려진 양자화 방법에는 슈빙거(Schwinger)와 파인만(Feynman) 그리고 디랙(Dirac)이 각각 제안한 세 가지 방법이 있다.슈빙거는 작용원리를 양자적으로 표현한 양자적인 작용원리를 제안하였다. 이 양자적인 작용원리는 양자적인 물리계에 결합하는 의부 근원(external source)을 기술하는 고전적인 함수에 대한 함수 미분 방정식(functional differential equation)으로 해석할 수 있다. 파인만의 경로적분 양자화 방법은 슈빙거의 함수 미분 방정식의 형식적인 해를 경로적분으로 나타낸 것이다[1].역학적인 물리계의 거시적인(고전적인) 기술 방법을 알 때, 그 양자적인 기술 방법을 쉽게 얻어 낼 수 있는 방법이 디랙의 양자화 방법이다. 디랙의 방법에서는, 고전적인 물리계를 기술하는 물리량들이 만족해야 할 조건과 운동 방정식을 푸아송 괄호를 사용하여 나타내고, 이 관계식에서 푸아송 괄호를 { , }PB →1/ih [ ' ] (4.3.1)와 같이 교환관계로 바꾸면, 양자적인 물리량들이 어떤 연산자로 기술되어야 하는지를 결정하는 조건과 그 운동방정식이 된다. 따라서 역학적인 계의 위치를 기술하는 연산자를 Qi, 운동량을 Pi라 하면, 이들은 (4.2.5)식을 (4.3.1)식을 사용하여 변환한 교환관계 [Qi,Qi ]=O=[iP,Pj] (4.3.2)를 만족하는 연산자로 기술되어야 한다는 것을 알 수 있다. 그리고 양자적인 물리량 O(Q, p)의 시간에 따른 진행은 운동 방정식 0(Q, P) ＝1/ih [O, H] (4.3.3)에 의하여 결정된다. 이 운동 방정식은 고전적인 운동방정식 (4.2.2)에서 (4.3.1)식을 사용하여 연산자 방정식으로 바꾼 식이라는 것을 알 수 있다. 여기서 H(Q, p)는 양자적인 계의 해밀토니안 연산자이며, 고전적인 해밀토니안에서 변수(q, p)를 (4.3.2)식을 만족하는 연산자로 대치하여 얻을 수 있다. 양자적인 물리량들 중에는 고전적으로는 존재하지 않던, 스핀과 같은 양들이 있다. 이러한 물리량이 어떤 연산자로 기술되며, 이들이 계의 해밀토니안에 어떻게 공헌하는지에 대하여는 실험 결과를 토대로 하여 결정해야 한다.
따라서 양자역학적인 물리계는 표준 교환관계 (4.3.2)를 만족하는 연산자(Q', P,), i= l, 2, …, N, 로 기술되며, 물리계의 시간에 따른 진행은 운동방정식 (4.3.3)에 의해서 결정된다. 물리계를 기술하는 독립된 운동변수(Qi, Pi)의 수 N(또는 2N)을 이 계의 자유도라고 한다.자유도가 연속적으로 무한히 많은 물리계의 미시적인 운동을 기술하는 양자 장이론은, 고전적인 경우와 마찬가지로, 양자역학을 무한 자유도의 경우로 일반화한 이론으로 생각할 수 있다. 이경우에도 공간의 위치를 기술하는 변수 x는 자유도를 나타내는 매개변수 역할을 한다. 따라서 양자 장이론에서 물리량들은 운동변수 Qi(x, t)와 Pi( ; , t)의 함수로 기술되며, 이들 장 연산자둘은 동시 교환관계 [Qj(x, 't.),P(x,t)]=ihδijδ(x-x') [Qj(x, 't.),Q(x,t)]=0= [P(x, 't.),P(x,t)](4.3.4)에 의해서 결정된다. 양자 장이론으로 기술되는 물리계의 시간에 따른 진행은 운동 방정식 0 (Q, P) ＝1/ih [O, H] (4.3.5)에 의해서 결정된다. 이들 동시 교환관계와 운동방정식 역시 고전적인 장이론의 해당 관계식으로부터 (4.3.1)식을 사용하여 얻을 수 있다.
거시적인 경우와 마찬가지로, 미시적인 운동을 기술하는 양자역학을 무한 자유도의 경우로 연장하는 과정에서 시공간의 변환에 대한 대칭성을 부과할 수 있다. 입자 물리학에서 주로 관심이 있는 미시적인 입자들의 운동은 빛의 속도와 비교할 수 있는 빠른 것이기 때문에, 이러한 연장 과정에서 로렌츠 불변성을 부과하며, 이렇게 얻어진 양자 장이론은 상대론적인 양자 장이론이다.지금까지 고전역학과 고전 장이론, 그리고 양자역학과 양자 장이론의 이론적인 체계에 관하여 이야기하였다. 이들은 서로 크게 다르게 보이지만, 그 이론적인 체계는 많은 유사성을 가지고 있다. 특히 역학과 장이론의 차이는 자유도의 차이라는 것을 보았다. 그리고 고전적인 이론과 양자적인 이론 사이에는 푸아송 괄호와 교환관계를 대치하여 얻을 수 있는 관계가 있다는 것을 보았다. 양자적인 계를 기술하는 방법을 작용 원리를 이용하여 표현하면, 고전적인 이론과 양자적인 이론 사이의 유사성은 보다 확실하게 나타난다. 작용 원리의 관접에서 보면 고전적인 이론과 양자적인 이론 사이의 차이는 한 순간의 계의 상태를 기술하는 방법의 차이로 귀결된다는 것을 볼 수 있다. 계의 상태를 기술하는 방법 의에는, 위에서 설명한 모든 기본 이론들의 작용원리는 모두 같은 형태로 기술되기 때문이다.
지금까지 양자역학과 양자 장이론의 추상적인 이론적 체계에 대하여 설명하였다. 이러한 이론적인 틀을 이용하여 실제 자연현상을 기술하기 위해서는, 이들 이론을 구체적으로 표현할 필요가 있다. 예를 들면, 동시 교환관계 (4.3.4) 를 만족하는 장 연산자 (Q, p)는 동등하지만 서로 다른 무한가지 방법으로 나타낼 수 있다. 교환관계 (4.3.4) 로 정의된 연산자를 구체적으로 나타내는 것을 표현(representation) 한다고 한다. 이제 양자역학의 경우를 이용하여 양자적인 이론을 구체적으로 표현하는 방법을 생각해 보자.4.4 양자적인 이론의 표현 방법양자역학적인 물리계를 기술하는 물리량들은 표준 교환관계 [Q', Pj]=itiδj (4.4.1)를 만족하는 독립된 운동변수 (Q', pj)의 함수로 기술되며, 물리계의 시간에 따른 진행은 하이젠베르크 방정식0(Q, P) ＝1/ih [O, H] (4.4.2)에 의해서 결정된다. 여기서 H는 이 물리계의 해밀토니안 연산자이다.
이러한 양자적인 틀을 이용하여 실제 물리계의 운동을 이해하기 위해서는 물리량과 운동방정식을 구체적으로 표현해야 한다. 양자역학을 구체적으로 표현하는 편리한 방법이 행렬 표현이다. 행렬 표현이란 힐베르트 공간을 완전히 기술하는 기준 벡터(basis vectors)를 택하여, 물리량과 상태 벡터를 행렬로 나타내는 것이다. 앞에서 설명한 바와 갇이, 물리량들은 선형 에르미트 연산자로 기술되기 때문에, 임의의 물리량의 고유상태를 행렬 표현을 위한 기준으로 사용할 수 있다. 물리량 A의 고유값 방정식을 Ala>=ala> (4.4.3)로 나타내면, A의 고유상태 |a>는나타낼 수 있다. 따라서 교환관계 (4.4.1)과 운동 방정식 (4.4.2)는 이들 행렬에 대한 행렬 방정식으로 기술된다.
양자적인 물리량을 기술하는 연산자는 측정 결과와 직접 관계되는 것은 아니다. 왜냐하면, 연산자는 측정 결과로 나울 수 있는 값은 그 고유값이라는 사실만 이야기할 뿐이며, 실제 측정 결과는 어떤 상태에서 측정했는지에 따라서 달라지기 때문이다. 따라서 측정 결과와 직접 관련된 양은 연산자의 기대값이라고 한다.
상태 벡터의 행렬
(a) 지그재그 불안정성 
