기초인 유한 차분법에 대하여 설명하고 있다. 제2장에서는 그의 응용인 항성풍과 초신성 폭발의 단열팽창 동역학 구조를 다루고 있다. 제3장에서는 항성대기에서 복사전달 방정식의 수치 모의실험 기법과 그 응용이, 제4장에서는 자기 유체역학 파동방정식에 대한 수치해석 기법과 그 응용이, 제5장에서는 입자를 이용한 유체 동역학 코드의 기본이, 제6장에서는 그의 응용인 블랙 홀 근처에서의 별의 파괴와 잔해가스의 전화에 대하여 다루고 있다. 제7장에서는 입자를 이용한 다체 문제의 수치 모의실험 방법을 다루고 있으며, 제8장에서는 입자 코드를 이용하여 우주의 차 가운 암흑물질의 모델을 제시하고 있다. 마지막으로 제9장에서는 은하, 우주상수 그리고 중력렌즈의 문제를 수치 모의실험으로 다루는 방법을 제시하고 있다.
이렇듯 이 책은 다양한 수치 모의실험 기법을 이용하여 다양한 천체물리학적 현상의 연구에 적용하고 있음을 보여주고 있다. 물론 천체물리학에서 사용하고 있는 모든 기법들을 소개하지는 못하였다. 따라서 1993년부터 수행되고 있는 수치 모의실험 공동연구 Il 에서는 더 새롭고 더욱 발전된 모습이 보여질 것으로 기대된다.이 책이 나오기까기 도와주신 대우재단과 출판에 힘을 써주신 민음사에 감사드리며, 각 장의 저자인 공동연구의 모든 천문학 연구자들에게 무한한 발전과 아낌없는 격려를 보내주시기 바란다.1995년 월 30 일최승언수치 천체물리학 I
차례책 머리에 5제 1 장 플럭스 보정 유한차분법 최승언 13제 2 장 초신성 잔해와 항성풍에 의하여 형성된 거품의 동역학적구조진화 구본철·최승언 63제 3 장 복사전달 문제의 수치계산 김갑성 95제 4 장 MHD 파동방정식의 수치해석 연구 이동훈 127제 5 장 평탄화 입자 유체역학: 기본 원리와 실제 홍승수 149제 6 장 SPH 방법의 응용: 고질량 블랙 홀의 조석력에 의한 별의파괴와 잔해 가스의 진화 이형목 183제 7 장 다체 문제의 수치 모의실험법 오갑수 219제 8 장 진공에너지를 갖는 차가운 암흑물질 모형 박창범 259제 9 장 은하, 우주상수 그리고 증력렌츠 박명구 275찾아보기 293저자 약력 300자세한 차례
제 1 장 플럭스 보정 유한차분법 최승언1 개요 • 132 유한차분법을 이용한 기체 역학 코드 개요 • 152-1 일반 유한차분법 • 152-2 분산항을 이용한 FDS • 182-3 플럭스 보정 유한차분법 • 272-4 국부 곡면 감소 유한차분법 • 312-5 근원항 • 342-6 격자 간격 재조정 , 경계 그리고 속도 • 372-7 다차원 기체 동역학 FCT 컴퓨터 코드 • 383 자기 기체 동역학 코드 • 513-1 자기 기체 동역학 방정식 • 513-2 FCT MHD 알고리즘 • 543-3 1 차원 자기 기체 동역학 코드의 검사 • 584 결론 및 토의 • 61참고문헌 • 62제 2 장 초신성 잔해와 항성풍에 의하여 형성된 거품의 동역학적 구조 진화 구본철•최승언1 초신성 잔해에 대하여 형성된 거품 동역학 구조 • 631-1 서론 ,631-2 기체 동역학 방정식의 무차원화 • 641-3 1차원 초신성 잔해 수치 모의실험 • 682 항성풍에 의하여 형성된 거품의 해석학적 동역학 전화 • 73
2-1 서론 • 73 2-2 느린 항성풍과 빠른 항성풍 • 75 2-3 느린 항성풍 • 78 2-4 빠른 항성풍 • 81 2-5 단열 항성풍 수치 모의실험 • 83 2-6 FCT MHD를 이용한 단열 항성풍 수치 모의실험 • 87 3 결론 및 토의 • 92 참고문헌 • 93 제3장 복사전달 문제의 수치계산 김갑성 1 개요 • 95 2 기본방정식 • 96 3 복사전달식 • 97 4 통계평형 • 99 5 차광 및 발광 • 102 6 차분식과 차분 복사전달식 • 104 7 에딩턴 인수의 계산 • 107 8 완전 선형화 기법 • 111 9 계산 결과와 논의 • 120 참고문헌 • 126 제4장 MHD 파동방정식의 수치해석 연구 이동훈 1 서론 • 127 2 MHD 파의 이론적 배경 • 128 2-1 MHD 파동방정식의 유도 • 128 2-2 매질에 따른 MHD 파의 기본 성질 • 131 2-3 MHD 파동방정식 • 134 3 수치모델과 경계조건 • 1353-1 일반화된 좌표계에서의 MHD 파동방정식 • 135
3-2 초기조건과 경계조건 • 1364 계산 및 결과 • 145참고문헌 • 148제 5 장 평탄화 입자 유체역학: 기본 원리와 실제-홍승수1 서론 • 1492 평탄화의 기본 구상 • 1523 기본 방정식의 평탄화 입자식 서술 • 1543-1 기본 방정식 • 1553-2 보존식 • 1563-3 평탄화 함수 • 1603-4 평탄화 길이 • 1643-5 가상 점성 • 1664 기본 방정식의 시간 적분 • 1695 일 차원 음파 실 험 • 1725-1 음파의 분산 관계식 • 1735-2 가상 점성의 감쇠 효과 • 1776 일 차원 충격관 시험 • 1787 결어 • 180참고문헌 • 181제 6 장 SPH 방법의 응용: 고질량 블랙 홀의 조석력에 의한 별의 파괴와 잔해 가스의 진화 이형목1 서론 • 1832 운동 방정식 • 1883 SPH 방정식들 • 1934 수치 적분 • 1954-1 다방구 • 1964-2 궤도 • 198
4-3 자체 중력 • 1994-4 수치 시험 • 2004-5 초기 조건들 • 2015 결과 • 2025-1 별의 파피 • 2025-2 별 잔해의 진화 • 2066 결론과 차후의 과제 • 212참고문헌 • 216제 7 장 다체 문제의 수치 모의실험법. 오감수1 서론 • 2192 다체 직접적분 방법 • 2203 아마드-코헨 방식 • 2244 2 체 정규화 • 2254-1 KS 변환과 운동 방정식 , 2264-2 2 체 정규화 프로그램 • 2295 3 체 정규화 • 2295-1 변형순서 • 2305-2 8 차원에서의 공식화 • 2315-3 정규화 과정 • 2335-4 변수변환 • 235참고문헌 • 237부록 2 체 정규화 및 화상처리 프로그램 • 238제 8 장 진공에너지를 갖는 차가운 암흑물질 모형 -—- 박창범1 서론 • 2592 우주와 물질 진화식 • 2603 N- 체 코드의 구성 • 2634 실험결과와 토의 • 267
참고문헌 • 273제 9 장 은하, 우주상수 그리고 중력렌즈 박명구1 도입 • 2751-1 중력렌즈란 ? • 2751-2 관측된 중력렌즈계 • 2761-3 중력렌즈의 쓰임새 • 2782 이전 연구들 • 2792-1 Gott, Park과 Lee (l989) 의 연구 • 2792-2 Fukugita와 Turner(l991) , Fukugita 등 (1992) 의 연구 • 2813 평균 상간 거리와 관측 렌즈계와의 비교 • 2833-1 Gott, Park과 Lee의 결과와 관측과의 비교 • 2833-2 은하들의 진화에 의한 효과 • 2864 상간 거리의 분포 • 2885 결론 • 292참고문헌 • 292제 1 장 플럭스 보정 유한차분법
최승언1 개요천체물리학적인 흐름에 대한 연구는 전 파장역에 걸친 관측과 관측을 천체물리학적으로 이해하려는 이론 연구로 나눌 수 있다. 따라서 특별한 파장대의 관측이 보여주는 흐름의 관측 물리량과 복사기구 또한 흐름의 모양 (morphology) 등이 이론 연구로서 뒷받침되어야 그 흐름의 동역학적 구조를 이해하게 된다. 천체물리학적 흐름들에는 초신성 폭발 (Mineskige 와 Shibata, 1990 ; Choe 와 Koo, 1993) , 항성풍 흐름 (Choe 와 Koo, 1994) , 항성제트 (Choe와 Ryu, 1992), 쌍방 분자분출역 (Choe, 1984), HII 지역의 팽창 (Park, 1990), 행성상 성운 (Frank, Balick, Icke 와 Mellema, 1993) 등이 있는데, 이러한 흐름들은 특별한 파장대의 관측에서 서로 다르게 관측되고 특별한 파장대의 복사 세기도 다르게 나타나며, 따라서 복사기구도 서로 다를 수 있고, 주변 공간과의 동역학적 상호작용 혹은 흐름 자체의 물리적 상태에 따라 흐름의 동역학적 구조도 서로 다르게 나타나는 경향이 있다.이러한 천체물리학적 흐름의 동역학 구조를 이론적으로 이해하기 위해서는 해석학적인 방법과 수치 모의실험을 통한 방법을 사용하는 것이 일반적이다. 그러나 해석학적인 방법으로는 흐름 내부의 미세구조 변화 등울 이해하는 데 상당한 제약이 있으며, 단지 그 흐름의 개관만을 이해하게 되고, 따라서 고 분해능 관측에서 보여주는 흐름의 미세구조 등을 이해하는 데 았어서 수치 모의실험 방법을 이용하는 연구가 날로 증가되고 있다.
이 장에서는 천체물리학적 흐름의 수치 모의실험 연구를 위하여 물리량이 급격히 변화하는 지역(충격파 지역 등)의 물리량 변화를 잘 묘사할 수 있는 수치 모의실험 기구를 개발, 발전시키는 방법을 제시하고자 한다.따라서 제 2 절에서는 유한차분법을 이용한 기체 동역학 방정식의 풀이 과정과 이에 수반되어 제기되는 여러 문제점들을 어떻게 해결하여 가는가를 제시하고 제 3 절에서는 천체물리학적 흐름에 수반되는 자기장의 역할을 수치 모의실험으로 다루기 위하여 자기 기체 역학 방정식의 풀이과 정도 제시하였다.이 장에서 다루는 기체 동역학 방정식에 대한 유한차분법은 근본적으로 플럭스 보정 유한차분법 (Flux-corrected trnasport method) 을 기초로 하는 것이므로 Boris와 Book(1973, 1976), Boris, Book 과 Hain(1975), Zalesak (l979),Book ( 1981 ) , Icke (l991 ) 그리고 Choe와 Ryu(1992) 를 참고로 하였으며 특히 Icke (l 991) 는 그의 연구논문에 제시된 방정식과 그림들의 상당수에 오류가 발견되어 여기에서 이를 바로잡아 기체 동역학 수치 모의실험을 위한 기체 동역학 컴퓨터 코드를 개발하고자 하는 연구자들에게 기초자료로 제시하고자 한다. 또한 이를 이용하여 기체 동역학 컴퓨터 코드가 완성된 후 그 코드의 정당성을 실험하기 위한 검사의 예를 제시하였으므로, 새로운 기체 동역학 컴퓨터 코드가 개발되면 1차적으로 본 연구에서 제시한 검사를 수행하여 보는 것이 바람직하다.2 유한차분법을 이용한 기체 역학 코드 개요
2-1 일반 유한차분법수치 해석학적으로 기체 역학 컴퓨터 코드 를 다루는 가장 기본적인 방법 중의 하나가 유한차분법을 이용하는 방법이다. 그러나 물리량의 급격한 변화 혹은 미분식을 수치 해석학적으로 정확하게 다루지 못하는 데서 오는 오차 등이 발생하게 된다. 따라서 여기서는 이러한 문제점에 대하여 생각해 보기로 한다 .일반적인 유체 역학 방정식의 1 차식을 다음과 갇이 쓸 수 있다.- =S (2-1-1)여기서 시간과 위치에 대한 변수는 w 이며, 기체 역학 방정식에서 가스밀도(gas density) p, 모멘트 밀도 (moment density) pv, 그리고 에너지 밀도 (energy density) E 에 해당된다. 변수 F를 플럭스 (Flux) 라고 하면 F=WV* 의 형태로 쓸 수 있다. 따라서 v* 는 w 물리량의 전달 속도가 된다. 또한 S 물리량은 시간과 위치에 따라 w 의 물리량을 증감시켜 주는 근원항 (source term) 이 된다. N차원 공간에서, 는 N 차원 발산항(divergence)에 해당하며 3차원의 경우 로 표시된다. 따라서 3차원의 벡터표시로는 식 (2 - 1-1) 이 (2-1-2)로 표시될 수 있다.여기서는 미분차분법의 수치 해석학적인 정확도와 오차 등에 대하여 고려하므로 N=I, 즉 1 차원만을 다루기로 하겠다. 식 (2-1-1) 을 수치해석학적으로 다루기 위해서는 이 방정식의 근사식을 이용하여야 한다. 그런데(2-1-3)
이므로 이를 대체할 근사식은 (2-1-4)로 표시하게 된다. 이러한 방법으로 식 (2-1-1) 을 수치 해석학적으로 다루는 방법 을 유한차분법 (finite difference scheme, FDS)이라 한다. 즉 FDS를 이용하게 되면 식 (2-1-1) 은 (2-1-5)가 된다. 식 (2-1-5)의 경우 시간에 대해서는 전진법 (forward scheme) 을, 위치에 대해서는 중심법 (central scheme) 을 사용하였다 (Roe, 1986). 여기서 (2-1-6a) (2-1-6b)이므로 중심법인 (2-1-7)의 식은 의 식 이하는 무시하는 정확도 (second-order accuracy) 를 유지하게 된다. 그러나 식 (2-1-6a)를 이용한 전전법의 경우 (2-1-8)의 식은 식 이하를 무시하는 정확도(first-order accuracy)이므로 FDS에서 상당한 오차를 함유하게 된다. 그러나 일반적으로 기체 동역학방정식인 식 (2-1-1) 을 수치 해석학적으로 풀이하는 데 있어서 식 (2-1 5) 를 많이 사용하므로 여기서는 식 (2-1-5) 의 경우를 고려하려 한다. 또한 근원항 Sj에 대한 풀이는 2절에서 따로 다루기로 하고 여기서는 Sj=O 인 경우를 생각해 보기로 하겠다.
만약 플럭스 F를 F= v*w로, 그리고 v*=v( 일정)라고 가정한다면, 식 (2-1 -5 는 (2-1-9)의 형태가 되며 물론 여기서 는 j격자에서의 t시간이 지난 후의 Wj의 물리량의 변화이다. 따라서 식 (2-1 8) 을 우리는 (2-1-10)로 쓸 수 있다. 그런데 식 (2-1-1) 의 해는 S=O 인 경우 w=e (kX-Wt) 의 파동 방정식의 해를 가지며 분산 관계는 w=vk가 된다. 만약 식 (2-1-8)식의 FDS가 정확하다면 식 (2-1-10) 의 좌변에 W=ei(kx-wt) 를 대입하였을 때 0이 되어야 할 것이다. 그러나 식 (2-1-10) 은 근사식을 사용한 관계로 물론 0이 되지 않으며 이러한 경우 진폭의 변화와 위상 오차 (phase error) 를 생각해 보아야 한다.만약 위치격자 (stial grid) 의 간격이 일정하다고 한다면 x= x가 되고 여기서 x는 위치 격자의 간격이다. 따라서 물리량 TT는 (2-1-lla) (2-1-llb)가 되며 위 첨자 T는 〈물리량의 전달(transported) 〉을 의미한다. 여기서 TT는 파동의 e(advection step) 과 위상 에 따라 변하게 된다. 따라서 TT는 파동의 진폭과 위상의 변화를 나타내는 물리량이다. 따라서 삼각함수를 이용하게 되면
(2- 1-12)이 되며 T 물리량의 진폭 크기 제곱 과 위상 (/)는 각각(2-l-13a)(2-l-13b)로 나타낼 수 있다. 따라서(2-1-14a)(2-1-14b)로 주어지게 된다.식 (2-1-14) 를 보면 과 가 0이 아니면 RT 1, O 이므로 매 시간 진척에 따라 파동은 그 진폭이 증가하고 위상도 점진적으로 변하게 된다. 결국 파동은 발산하게 되므로 FDS는 매우 불안정한 방법이 된다.본 FDS에서는 시간에 대하여 1차 정렬법 (first-order scheme) 을 이용하였는데 2차 정렬법 (second-order scheme)을 얻기 위해서 우리는 w(t)로부터 w(t+ )를 얻고 w( t+ )를 이용하여 w(t)로부터 w(t + t)의 물리량을 얻는 시간에 대한 이단계 방법울 보통 사용한다. 이러한 방법을 사용해도 결국 FDS는 불안정한 수치해석학적 해를 얻을 수밖에 없다.2-2 분산항을 이용한 FDSFDS에서 보여준 불안정성을 해결하기 위해서는 항의 정확도를 ax 높여야 할 것이다.따라서 위치에 대한 근사식을A(Wj+I-Wj-1>+B(Wj+1 -2Wj+ Wj -1) (2-2-1)의 형태로 전개시켜야 한다. 여기서 두번째 항은 분산항이며 는 임의로 설정하는 수치 정도 (numerical viscosity)이다. 따라서 식 (2-1-9)를(2-2-2)
로 사용하게 되며 여기서 v는 인공 점도 (artifial viscosity)로 부른다. 파동 방정식의 해인 =를 대입하게 되면 TTD는 (2-2-3)이 되며 위첨자 TD는 〈물리량의 확산전달 (Transported-Diffused) 〉에 해당한다.다시 삼각함수를 이용하게 되면 (2-2-4)가 되므로 불안정성을 검사하기 위하여 (2-2-5)이 된다.일반적으로 RTD의 값은 v에 따라 달라지는데 적당한 값의 를 취하게 되면 RTD 가 된다. 식 (2-2-4) 는 복소수 평면 (Re, f m) 상에서 (2-2-6)의 타원을 그리게 되는데 타원의 중심은 물론 (1 -2v, 0) 에 위치하며 장반경과 단반경은 각각 2v, 에 해당한다. 그립 1-1은 인 경우 식 (2-2-6) 의 복소 평면상의 타원으로 의 값에 타원의 모양이 다르다. 죽 타원의 중심은 (,0) 이 되며 복소 평면의 원접으로부터 타원의 장반경 왼쪽 점의 위치는 이 된다. 또한 그림 1-1 에 그려진 쌍곡선은 ＝ 18°( 장파)에서 ＝ 162°( 단파)에 이르기까지 같은 위상을 갖는 곳을 이은 선이 된다. ＝ 180° 의 경우 파가 존재하지 않는다.그립 1-2 의 경우는 v=0.2( + )에 해당하는 것으로 복소평면 상에서 RTD가 1보다 큰 지역이 발생하므로 불안정한 v 값이 된다. 즉 그림
TD (tra nspo rt- d if fus io n )
그립 1-1 II= ｝나요 경우. 타원의 중십은 (宁 (1- 리, o) 이며, P=l8°~162°, e=O.l~o.5 이다. R 가 1 보다 큰 값(정선을 넘어서는 값)이 존재하지 않는다.
1-1 에서는 >0.3 이면 불안정하게 된다. 즉 점도가 낮아지게 되면 2-2 절에서 다루었던 FDS에 접근하게 된다. , 죽 아주 긴 파장의 파에 대하여 식 (2-2-5) 는
(2-2-7)이 되므로 분산항을 이용한 FDS가 안정되려면 (2-2-8
TD (0.2*nu)
그림 1-2 11=0.2( ＼나러인 경우. RTD 가 1 을 넘어서는 지역이 존재하므로 불안 정하게 된다.
울 만족해야 하며 그림 1-1 에서 v< 이므로
TD (amp lica t ion )
그림 1-3 인 경우의 진폭오차 (amplification error). 모든 지역에서 RTD 이므로 안정하게 된다.
척에 따라 빨리 소멸하게 된다. 그러나 그림 1-4 를 보면 장파장의 파에 대하여 값이 커지면 RTD의 값이 증가하게 되므로 인공 점성의 값이 작아지면 불안정하게 된다.
우리가 비록 적당한 인공 점성을 이용하여 안정된 FDS를 만들었다고 하여도 인공 점성의 크기가 커지면 물리량의 변화에 커다란 영향을 끼치게 된다. 즉 물리량의 자세한 변화를 줄이게 된다. 이를 분산(dispersion)이라 한다. 즉 분산항을 이용한 FDS는 파 자체 가 분산될 수밖에 없다.이러한 정도를 알아보기 위하여 우리는 파동의 위상 변화에 대하여 생각해 보아야 한다. 한 시간 척도가 진척될 때, 즉 xo= 만큼의 위치가 변하게 된다.
TD(0.2•nu,amp )
그림 1-4 = 인 경우의 진폭오차 가 작은 영역(장파장)에서 이 커짐에 따라 RTD 가 증가하여 불안정하게 된다.
이때 위상은ō
(2-2-l0a)이 된다. 그러나 실제 TD를 이용한 분산은 이와 다르다. 죽 위상 오차가 발생하게 된다. 발생된 위상 오차 P는 (2-2- 10b)가 된다. 일반적으로 단파(죽, 큰 값)에 대하여 그림 1-3 과 그림 1-4 와 마찬가지로 위상 오차가 크게 나타날 것으로 예상된다.TD 방법에 의하여 위상 는 식 (2 1-13b) 에 의하여
TD (ph ase error )
그림 l-5 v= 인 경우의 위상오차(phase error). 가 커짐에 따라 분산이 일어나며 가 작은 영역은 무난하다.
= (2-2-11)
로 주어지는데 그림 1-5 와 그림 1-6은 그림 1-1 과 그림 1-2 의 조건에 따라 그려낸 PTD 이다.여기서 보면 분명히 단파장(즉, 큰 값)에 대하여 분산되고 있으며 장파장에 대해서는 무난하게 보인다. 그러나 인공 점성이 작은 경우 상당히 위상 오차가 장파장 쪽으로 커지고 있다.아주 작은 값에 대하여 +…을 이용하여 식 (2-2-11) 을 전개한다면
TD (0.2°nu, ph ase error)
그림 1-6 11=0.2인 경우의 오차. 가 작은 영역에서도 상당한 분산이 일어난다.
(2-2-12) 이 되므로 (2-2-13) 이 되어 4 의 정확도를 유지하며 v= 인 경우 , 을 유지할 수 있을 것이다.
그러나 =0 인 경우, 즉 진행 속도 v가 0인 경우 TD는 분산항의 영향을 받으므로 이에 대한 보정을 가할 필요가 있다. 죽 진행 속도 v가0인 경우 (2-2-14) 가 되므로 (2-2-15) 인 경우의 분산 방정식과 일치한다.
N시간 척도를 진행하게 되면 물리량의 의 거리만큼 가게 되므로 (2-2- 16) 이 될 것이다. 여기서 는 무질서행보 (random walk) 에 의한 공식을 이용하였다. 따라서 인공 분산항에 의한 물리량의 속도는 (2-2-17) 이 될 것이다. 따라서 N=l 인 경우 만큼의 오차가 발생하여 격자 크기가 , 시간 격자가 t인 경우 (2-2-18) 이 된다. 따라서 시간이 지남에 따라 vD는 증가하게 되고 분산항에 의한 오차는 점차 누적되어 가게 된다. 만약 을 이용하게 되더라도 (2-2-19) 로 되어 분산항의 영향을 무시하지 못하게 된다. 따라서 이에 대한 보정울 필요로 하게 된다.2-3 플럭스 보정 유한차분법
분산항에 따른 수치 오차를 제거하는 방법 중의 하나가 플럭스 보정 유한차분법 (flux-corrected transport) 이 (Boris와 Book, 1973, 1976; Boris, Book 과 Haim, 1975). 이는 분산항에 의하여 발생되는 분산 플럭스를 제거하는 대신 급격한 물리량의 변화가 발생하는 곳에서만 이 분산항이 작동되도록 하는 것이다. 따라서 플럭스를 보정하여 주는 것인데 여기서는 음의 분산항을 사용한다. 따라서 식 (2-2-2) 는 (2-3-1) 으로 바뀌게 되며 이 식에서 오른쪽 두번째 항이 음의 분산항 (antidiiffusion term) 을 나타내는 식이다.( ).따라서 음의 분산항에 대한 TA는 (2-3-2) = -2µ(cos -1) +2iEµsin (cos -1) 로 주어지게 되므로 TFCT= TTD+ TA (2-3-3) 가 된다. 음의 분산항이 더 첨가된 관계로 e=O 일 때에도 분산항에 의하여 발생되었던 (2-2 절에 언급하였던) 문제가 해결된다. 죽 v=O가 되더라도 =µ이기만 하면 분산항에 의한 문제를 극복하게 된다. 그러나 v=µ 조건은 플럭스 보정 유한차분법에서 상당한 제한을 가하게 되므로 결국 y와 µ가 의 함수가 됨을 알 수 있게 될 것이다.우리에게 관십 있는 것은 상대적으로 작은 값(즉 장파)에 대하여 풀럭스 보정 유한차분법을 이용하였을 때의 안정도이다. TFCT를 까지 전개하여 보면 ( )
FCT
그림 1-7 FCT의 경우. RTD 가 모두 보다 작은 영역에 존재하므로 안정하다.
(2-3-4) 이 되며 따라서 RFCT=1+P2[c2-2 
FCT (amp lica t ion )
그림 1-8 FCT의 경우 진폭오차. 모든 영역에서 RFCT 이므로 안정하다.
확도를 가지고 이 차분법이 안정되려면 (2-3-8) 그리고 (2-3-9) 의 형태를 가져야 할 것이다. 이 값은 간단한 µ=v의 조건보다 상당히 민감하다. 왜냐하면 e=O 인 값에는 µ=v의 조건을 만족하면서 이 아닐 때에도 의 정확도를 유지하기 때문이다.
플럭스 보정 유한차분법은 물리량의 급격한 변화가 예상되는 지역에시는 지나치게 플럭스를 보정하게 되는 위험요소를 안고 있다. 따라서
FCT(p h ase error)
그림 1-9 FCT의 경우 위상오차. FDS에 비하여 작은 에서의 분산이 적다.
Zalesak (1979) 은 플럭스 제한조건 (Flux limiter) 을 사용하여 물리량의 급격한 변화가 예상되는 곳을 조사하여 정확한 플럭스를 가지도록 조작하는 방법을 개발하였다.
플럭스 보정 유한차분법은 상당히 건실한 차분법이지만 상당히 〈잡파 (noisy)〉가 많다는 결접이 있다. 즉 고주파의 부활로 인하여 프리에 (Fourier) 스펙트럼 상에서 고주파의 세력이 남게 된다. 그러나 위상 오차가 이러한 세력을 공간적으로 넓게 퍼뜨리는 역할을 하고 있다. 따라서 초고주파(VHF)의 프리에 스펙트럼 세력이 이러한 〈잡파〉를 발생시 킨다.그립 1-7은 v와 µ가 각각 식 (2-3-8) , (2-3-9) 의 값을 가질 때의 복소 평면 상에서의 TFCT타원이다. 점선은 I TFCT I =l을 나타내고 있으며 모든 타원이 단위원 내부에 존재하게 된다. 그림 1-8 과 그림 1-9는 그림1-7과 같은 y와 µ의 값을 갖고 그린 와 c 에 대한 RFCT 와 pFCT 이다. 분산항만을 가진 FDS 보다 작은 값에서 안정하며 위상 오차도 상당히 좋아보인다.
2-4 국부 곡면 감소 유한차분법초고주파의 스펙트럼을 음의 분산항 계수를 조절하여 줄이는 방법을 Icke (1991) 가 개발하여 제시하였다. 초고주파의 스펙트럼을 줄이는 여러 가지 방법이 있으나 여기서는 Icke 가 제시한 국부 곡면 감소법 (Local Curvature Diminishing transport)을 소개하기로 하겠다. 죽 음의 분산 계수 를 흐름에 대한 물리량의 국부 곡면에 상당하는 함수로 보정하여 주는 것이다. 따라서 µ一µ_) IHI (2-4-1) 로 바꾸어주며 여기서 n 는 일정한 상수값이며 H 는 j-½격자에 중심을 둔 4 격자를 이용한 2차 미분 계수를 1 차 미분 계수로 나눈 값이다.죽 (2-4-2) 로 주어지는데 만약 식 (2-4-2) 의 분자로 -W -2+3w -1-3w +Wi+ 을 사용한다면 UHF 파는 더 줄일 수 있다. 여하튼 tj =e(2-4-2) 에 대입하면 (2-4-3) 가 되므로 (2-4-4)
LCD
그림 1-10 LCD의 경우. FCT에 비해서 차이가 거의 없으며 역시 모든 영역에서 안정하다.
가 된다. 따라서 (2-4-5) 가 되므로 (2-4-6) (2-4-7) 이 될 것이다. 그립 1-10은 식 (2-4-6) 과 (2-4-7) 을 이용하여 =0.01 인 경우의 복소
LCD (amp lifica t ion )
그림 1-11 LCD의 경우 위상오차. FCT에 비해서 큰 값에서도 상당히 안정하다.
평면상의 타원으로 FCT의 타원과 거의 차이가 없다. 그러나 그림 1-11울 보면 상대적으로 큰 값에 대해서도 FCT와 비교하여 안정됨을 볼 수 있다. 그러나 그립 1-12 에서와 같이 위상 오차는 별 차이가 없다. 이는 작은 β값을 보더라도 침작할 수 있는데 β 1 일 때 RFCT=l +(c:2 +2µ-211) + + (11-µ) 2e2(µ )-1J] =RFCT- J/ ·o( ) (2-4-8) tan fbLCD=tan fb FCT + o () (2-4-9) 으로 FCT와의 차이는 거의 없지만 - β 항으로 인하여 VHF 세력이 실제로 줄어듦을 알 수 있다.
LCD (ph ase error)
그림 1-12 LCD의 경우 진폭오차. FCT의 경우와 위상오차는 동일하다. 그러나 nβ병항에 의하여 VHF의 세력은 줄어든다.
n 값은 좋은 수치 해석적 결과가 나오도록 계속 조정하여야 하지만 일반적으로 0.01~0.02 값이 좋으며 또한 / I H I j<µ 의 제약 조건 을 가지고 있어야 한다. 따라서 LCD를 이용한 유한차분법은 결코 분산 항만을 가전 FDS가 될 수는 없다.
2-5 근원항2-4 절까지는 근원항 (source term) 인 S가 0인 경우를 다루었다. 그러나 S 0 인 경우를 살펴보도록 하자. 여기서 식 (2-1-1) 을 v= （일정)일 경우를 다시 쓰면 + = + =S (2-5-1)이 된다. 따라서 식 (2-1-5) 는 w/=wJ(W +I-W -1) +Sj6.t (2-5-2) 가 되며 식 (2-2-2) 를 따라 tUJTD= j(t 1- wj -I) + 11( w1-1-2w1+ w1+1) + S .t (2-5-3) 가 되며 따라서 음의 분산항이 고려된 FCT 에서 보면(식 (2-3-1) 참조) tUJFCT = l(IJ.TD _ µ ( lUE 1 T — 2 + + 1 T) =t j(w1 1- Wj - 1) + 11 (Wi - 1-2wi+ Wj +1) + Si .t—µ(tUj -I-2tUj+ tUm) -f(-wi -2+2wi +1 + Wi +2) +µ(S1-1 +2S1+ Si+1) J.t (2-5-4) 이 되어 =O 인 경우 µ=v 일지라도 —µ(Sj-1+2Sj+Sj+l) t 항이 음의 분산항처럼 작용하고 있으며 따라서 근원항의 구배가 심할 경우 계산 시간 격자가 매우 짧아진다든가(컴퓨터 시간이 매우 길어짐) 아니면 불안정 하게 된다. 따라서 이에 대한 보정을 가할 필요가 있다. 여기서는 Eulderink (1990) 가 제안한 방법을 제시해 보기로 하겠다. 그는 흐름이 시간에 무관하다 (stationary)는 가정 하에 근원항을 이용하여 플럭스를 계산하고 있다. 즉 F1은 격자의 왼쪽 벽에서의 적분한 플럭스량이고 FR 은 오른쪽 벽으로부터 적분한 플럭스량일 때 FLFj +SJ-I : FR F.三 j (2-5-5) 로 주어지게 된다. 따라서 (FL+FR) ＝(Fkl+Fj) +(S1-1-S1) (2-5-6) 이 되며 식 (2-5-1) 에서 F 대신 F*를 이용하게 되면
w/ = wi +( FJ4) + sj t (2-5-7) =(F _F )+sjt+ (S -1-2S +S -r l) 을 얻게 된다. 따라서 식 (2-5-7) 에서 발생한 분산항이 FCT나 LCD 에서 발생한 음의 분산항을 제거하게 되는 것이다.
일반적으로 근원항에 대한 보정 계수를 vs 라 하면 (F1-1+F1) +lls(S1- -S1) (2-5-8) 가 되며 이 절에서 대신 의 값은 이다. 근원항을 보정한 유한차분법의 안정도를 조사해 보기 위하여 근원항에 해당하는 항은 sj+ (vs-µ) (S1-1-2Sj+S1+1>- 1/sµ(Sj-2-4Sj-l+6Sj-4Sj+1+Sj+2) (2-5-9) 가 되므로 이상적으로는 식 (2-5-9) 자체가 Sj가 되어야 할 것이다. 따라서Sj=e 를 식 (2-5-9) 에 대입하면 TS는 Ts=1+2(vs-µ) (cosβ-1)-2vsµ(cos2β -4cosβ +3) (2-5-10) 가 되므로 위상 오차는 고려하지 않아도 된다.장파, 즉 작은 β값에 대하여 Ts=1- β2(vs-µ) + (vs-µ-4vsµ) (2-5-11)이 되므로 만약 라면 (LCD 에서도) Ts= I-+µ2/3 + (합) (2-5-12) 가 되어 β 까지 복소평면 상의 단위원 내부에 TS가 존재하게 된다. 따라서 이러한 방법을 근원항에 대하여 사용하여도 유한차분법은 안정 되게 된다.2-6 격자 간격 재조정, 경계 그리고 속도
유한차분법의 정확도를 높이기 위하여 일반적으로 격자 간격을 일정하게 유지하여 계산을 하는 것이 가장 바람직하다. 그렇지 않으면 흐름의 물리량 자체의 차이가 격자의 부피에 대한 차이에 따라 달라지기 때문에 계산의 정확성을 유지하기 곤란하다. 그러나 물리량이 급격히 변화하는 지역에서는 일정한 격자 간격으로는 물리량의 정확도를 감소시키므로 이러한 곳에서는 격자 간격을 조정하여 주는 것이 바람직하다. 따라서 물리량이 급격히 변화하는 지역, 예를 들어 충격파 지역 갇은 곳에서는 <충격파 탐지 〉 프로그램을 이용하여 이 지역의 격자 간격을 두 배나 세 배로 줄여 계산을 한 다음 다시 원래의 간격으로 환원하는 방법을 이용하는 것이 좋다 (Remapping). 이러한 방법을 사용하면 충격파 지역의 물리량의 변화의 역학구조를 좀더 자세하게 이해하는 데 도움을 줄 뿐 아니라 2장에서 다루게 될 냉각의 효과를 계산하는 데 용이하다.1차원인 경우의 격자 간격은 보통 일정한 간격을 유지하게 된다. 그러나 차원의 경우 차원과 같은 효과를 얻기 위해서는 격자의 부피가 원접으로부터의 거리가 증가할수록 증가하기 때문에 이에 대한 보정이 필요하다. 따라서 차원의 경우도 원동 좌표계 (Cylindrical Coordnate) 를 사용하게 되므로, 원통 좌표계인 (r, ¢, z) 에서 흐름이 ¢에 무관한 경우 일지라도 r의 증가에 따른 격자 부피의 증분을 고려하여야 한다. 물론 차원의 계산에서는 직각 좌표계인 (x, y, z) 의 사용이 바람직하다. 이에 대한 보정은 FCT의 계산 방법을 이용하여 7절에서 다시 다루도록 하겠다.경계 조건은 일반적으로 연속 경계 조건 (continuous boundary), 거울 경계 조건 (reflection boundary) , 주기 경계 조건 (periodic boundary) 등을 사용하게 된다. 그러나 우리가 초신성의 폭발이나 항성풍의 흐름에 대하여 수치 모의실험할 때에는 1차원의 경우는 구좌표의 성분에 대하여만 고려하고 있으므로 원접에 대해서는 거울 경계 조건을 사용하고 다른 한 경계에서는 연속 경계 조건을 사용하는 것이 보통이다. 따라서 2차원의기둥 좌표계에서도 상황에 따라 z=O 축에서는 거울 경계 조건, r =O축에서는 연속 경계 혹은 거울 경계 조건을 사용하게 되고 그 밖의 축에서는 연속 경계 조건을 사용하게 된다.
유한차분법에 의하여 기초 역학 방정식을 계산할 때 시간 중앙 (centered in time) 속도를 얻기 위해서는 t시간 격자를 이용하여 FDS를 계산하게 되면 모든 근원항과 전달 속도가 t만큼 진행한 후 의 것과 일치하게 되므로 이를 이용하여 본래 t=t0 였을 때의 물리량을 t만큼 진행시키면 된다. 그러나 이 방법은 위치에 대하여는 위치 중앙 (centered in space) 조건을 무시한 것이므로 이를 보정하기 위하여 j -l 격자와 j격자 사이의 위치 및 시간 중앙 속도는 Ve Vj+ vj + 1 At 2+2(v;-V; I)(2-6-1)를 이용하게 된다. CFL 조건 때문에 식 (2-6-1) 의 분모는 결코 이 될 수 없다.2-7 다차원 기체 동역학 FCT 컴퓨터 코드이 코드는 앞 절에서 다루었던 유한차분법을 이용하여 기체 역학 방정식 을 기술하는데 전달 단계 (transport stage) 와 이 단계에서 발생한 오차를 제거하여 주는 분산 및 음의 분산 단계 (diffusion and antidiffusion stage로 구성되어 있다. 초신성의 폭발이나 강한 항성풍으로부터 생성되는 충격파 지역과 같은 물리량의 구배(gradient)가 큰 물리현상을 잘 묘사할 수 있는 장접을 가지고 있다. 다차원 기체 역학코드는 항상 1차원 기체 HD역학코드가 어떻게 이루어져 계산이 행해지는지를 조사한 후 1차원 기체 역학코드를 수정하여 재구성하게 된다. 다차원 압축성 기체 역학방정식을 살펴보면+"v • (p v) =O (2-7-1)(pvv)=- "v P (2-7-2) · (v* )=O (2-7-3)v*= (l + P/E) v (2-7-4)E=P/(r-1)+ (2-7-5)로 주어진다. 여기서 p, v, P, T, 는 각각 압축성 기체의 밀도, 속도, 압력, 온도, 총에너지에 해당된다. 식 (2-7-1) 로부터 (2-7-3) 까지의 방정식은 각각 연속 방정식, 운동 방정식, 에너지 보존식으로 압축성 기체의 물리량의 변화를 잘 묘사하고 있다.
다시 (2-7-1) 부터 (2-7-3) 까지의 방정식은 모두 =- (,,a-I U) +-f-r (r0-1D1) +C2 +D3 (2-7-6) 의 형태로 주어지는 방정식으로 변수는 모두 시간 t와r 의 함수이다. 여기서는 직교좌표일 경우 a=l, 원동좌표일 경우 a=2, 구좌표일 경우 a=3으로 구하여 계산한다.FCT 알고리즘은 식 (2-7-6) 에서 A라는 물리량 플럭스의 변화를 고려하는 것이므로 그립 1-13 과 갇이 격자의 부피 {A i}와 격자 경계면적 을 고려하여야 한다. 여기서 격자 경계면적 {A 나}은 언제나 격자에서의 기체속도인 {Ui}에 수직이어야 한다. 격자 부피와 격자 경계면적은 좌표계 에 따라 다음과 같이 달리 나타난다. A=(r -ri (직교좌표) (2-7-7) = (r,+{-} (r ) (원통좌표) (2-7-8) =4 〔（ )3-(r) (구좌표) (2-7-9) =1 (직교좌표) (2-7-10) =21rr (원통좌표) (2-7-11)
A,.+;
그림 1-13 FCT 에서 사용되는 격자. FCT는 럭스의 변화를 고려하므로 부피요소 와 면적요소를 고려해야 한다.
=41 1+- (구좌표) (2-7-12) 여기서 당( + +1) 로 주어지면 {r,} 는 격자의 위치에 해당한다.
물리량의 플럭스의 변화를 계산하기 위하여 u,· =T(u, + um) (2-7-13) p,+-=t(p.-+ Pi +l) (2-7-14) 로 정의해야 하며 Po 와 PN +I은 경계 조건으로 주어지게 된다. 여기서 N은 계산을 요하는 격자의 개수이다.이러한 방정식들을 이용하여 FCT 알고리즘을 단계적으로 살펴보면 다음과 같다.2-7-1 전달 단계방정식 (2-7-6) 을 유한차분법으로 다루는 데 있어서 부피와 격자 경계면적을 고려해야 한다. 이때 방정식 (2-7-6) 은 =11 -tp + - tp, (D1, +I+D1,;)-otA나 (D1,;+D1,;-1) + 2,;(A, + +A, ) (D2.i +1_D2.J-I) +8tA,D3.i =l, …, N (2-7-15) 로 주어지게 된다.
2-7- 2 분산 단계위 식 (2-7-15) 는 1절에서 보았듯이 항상 불안정하므로 이를 보정하기 위하여 인공 점성 v를 이용하여 식 (2 15) 를 다음과 같이 재구성한다. A,p=A,pT+ v, A, (p 1_ p,) — v, 1, p;-p ;-1) (2-1-16)여기서 A, (/1 1 +/1;) (2-7-17)u, 6+3c, i =O, …, N (2-7-18)c, A, (+ (2-7-19)이다.2-7-3 음의 분산 단계분산 단계에서 발생한 c=O 일 때의 분산을 제거하기 위하여 식(2-7-16) 은 다시 ipk=A,P -F +F· (2-7-20) 로 되며 여기서 =µ (pf+1- D (2-7-21) µ=t- (2-7-22) 이다.이러한 단계를 거쳐서 시간 t일 때의 {p, }는 시간 +ot의 {p }으로 계산된다. 그러나 이때에 2-7-5 절에서 제안한 플럭스 제한법을 사용하는 것이 좋다.
2-7-4 FCT 알고리즘FCT 알고리즘은 방정식이 (2-7-23) 일 경우 그 풀이를 간단히 상징적으로 {Aew}=S[A;}, {v;}{B,.}, ]와 갇이 나타내면 식 (2-7-1) 에서 (2-7-3) 의 수치 해석학적 풀이과정은 다음과 갇이 나타낼 수 있다. 또한 FCT가 안정되기 위하여 (2-2-9)식 CFL 조건을 만족해 야 한다. v= (2-7-24)P= (r-1) [E (pvHvr] (2-7-25)vf*=vf (Ef+Pf) (2-7-26){p;t}=s[{pf}, {v}, {O}, ] (2-7-27){(pv), }=S[{pv}, {vr}, {Pf}, ] (2-7-28){E,· =s[Er}. {vr}, {O}, -] (2-7-29)i = (2-7-30)PJ= (r-1) [EJ{ptw}=s[{pf}. {v,서, {0}, (2-7-33) {(p,-v)new}=s[{(pv) 7}. {v, , {P, . ] (2-7-34) {E s[{E7}, {v,* , {P,. ] (2-7-35) 이러한 과정을 통하여 차원 압축성 기체 동역학 방정식은 단열상태인 경우 풀리게 된다. 그러나 복사와 같은 냉각이 일어나게 되면 방정식 (2-6-3) 의 형태가 +V • (v*E) = - l lop8 (2-7-36) 로 주어지게 되므로 FCT 알고리즘의 근원항으로 간주하여 풀 수 있고 보다 정확한 유한차분법을 사용하기 위해서는 LCD와 근원항을 1-5 절에서 고려한 방법에 사용하면 좋다.
2차원의 경우 방정식 (2-7-1) 은 직교 좌표계에서 ＋ + =O (2-7-37) 의 형태로 나타난다. 여기서 F, 는 기체 역학 방정식에서의 전달 플럭스이다. 위 식은 다음과 같이 p.j=pJ -Av,겅 (F; .j -F; J+ G.-,j- G;. (2-7-38) 하여 풀게 된다.따라서 2차원의 경우도 1차원 때와 마찬가지로, (1) 전달 단계의 FT와 GT를 이용하여 PT를 계산한 다음, (2) 분산항을 고려하여 PTD를 계산하고, (3) (1)에서 계산한 PT를 이용하여 음의 분산항을 고려한 다음 .j=µ.J J (pf+1.j-pL) (2-7-39) A,J =µ.나A((pf.J +1- ptj) (2-7-40) 를 이용하여 (4) 2-1-5절에서 다루는 플럭스 제한법에 의하여 플럭스 보정치는 다음과 같이 고려한다. .J =A, . C, J OsC . 1 (2-7-41) =A C, C, 회 (2-7-42) (5) 결과적으로 pf. = pr.-A v, (A; .J — .j + -Af.J (2-7-43)를 얻게 된다.
2-7-5 플럭스 제한법FCT에 사용하는 플럭스 제한법은 Zalesak(1979) 이 제안한 방법을 제시하도록 하였다.1차원의 경우 FCT의 음의 분산 플럭스를 A, 이라 할 때 플럭스 제한법을 이용하면 =C +A, oc (2-7-44) 이 되는데 따라서 계산의 결과는 pcw= pTo-.x-1 (A -f- (2-7-45) 이 될 것 이 다. 이 는 P가 P 보다 크지 않고 보다 작지 않게 하는 제한을 두게 된다. 를 구하는 방법을 단계별로 살펴보면 i격자로 들어오는 음의 분산 플럭스를 대표하는 세 변수를 정의하는데 이는 P = i격자로 들어오는 모든 음의 분산 플럭스의 합 =max(O, )-m n(O, ) (2-7-46)Qt = ( pf ax - pfD) .Xi (2-7-47)Rt={ min(1, Qf/P,t) Pt >O (2-7-48)이다. 만약 P P이고 세 변수가 모두 양수이면 R,+ 는 i격자로 들어오는 모든 음의 분산 플럭스에 의하여 i격자가 넘치지 않게 유지하도록 하여 주는 장치를 의미한다. 따라서 이는 같은 방법으로 i격자를 떠나는 음의 분산 플럭스를 대표하는 세 변수를 정의하게 되는데, 이는 P, 격자에서 빠져 나가는 음의 분산 플럭스의 합 =max(O, )-m n(O, (2-7-49) ,7 = (pD-pIn)Ax, (2-7-50)R,_={ min(l, ) >O=O (2-7-51) 이다. 만약 n~ pfD이면 세 변수는 모두 양수이며 R 는 i격자를 빠져 나가는 모든 음의 분산 플럭스로 인하여 i격자가 모자르지 않도록 (undershoot) 유지시켜 주는 장치 를 의미한다.
따라서 c, ={m n(Rt, R,집 A,·이면서 동시에 A, 단(pff2- pff,) <0 (2-7-56) 이거나 (pfD- pf)
P;J=(i, j) 격자에서 빠져나가는 음의 분산 플럭스의 합 (2-7-67) =max(O, )-min(O, ) +max(0, )-min(O, )Q= (pf.-p;n)A v,'J (2-7-68)Ri={ min(l, ) >O Pj =O (2-7-69)또한 방정식 (2-7-52) 는 아래와 갇이 된다.
={m n(R. j R:+1,j) (2-7-70) c, ={m n(R,:j, R, ), (2-7-71) 따라서 방정식 (2-7-55) ~ (2-7-58) 은 다음과 갇이 된다. 만약 A, J(pf:,j-pfj)이면서 동시에 A, (p p[.)
입 도 .[8 \ ]...·68I
.6 유도 .4 』 三 _] .。2 U- 」 。 10 0 20 0 30 0 ·IO O 500 。 100 20 0 30 0 400 500 압 나 ..68 f \ 1온 도 .9 .8 · 2 [1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 노] .7 L 。 JOO 200 300 400 500 。 100 200 300 400 50 0그림 1-14 서로 하고 있는 성질이 른 두 기체의 진화. 1-250 격자에 p= 1.0 P = 1.0, v= 0.0, 251-500 격자에 p=0.125, P = 0.1, v=O.O을 준 후 t=1.9 의 모습. 온도 곡선에서 350-420 격자 근방에 약간의 물결무늬잡음 (ripple) 이 나타난다.
6 -
4 -,' - 4 10 _i` ,' T1 밍도 속도 __'1 2 5 -,. V,' 。 。 。 .2 .4 .6 .8 。 .2 .4 .6 .8 ---400 500 :::T300 400 i 입이 온도 300 T4- 200 1l--200 100 100 ~ 。 。 。 .2 .4 .6 .8 。 .2 .4 .6 .8그립 1-15 압력이 1,000, 100 인 두 개의 충격파가 t =0.038 후 충돌했을 때의 모습. 온도 곡선에서 약간의 물결무늬잡음이 보인다.
P=l, v=O를 초기 조건으로 주고 (r=f), t =0.038 후의 두 충격파가 충돌했을 때의 밀도, 속도, 압력, 온도의 변화이다. Woodward와 Colella (1984) 가 제시한 결과와 잘 일치하고 있으나 압력과 온도 변화에 물결파가 보인다. 따라서 본 연구에서 제시된 차원 기체 동역학 컴퓨터 코드는 목적에 맞게 수정하여 천체물리학적 흐름의 동역학 연구에 이용 할 수 있다.
3 자기 기체 동역학 코드 (FCT MHD CODE)3-1 자기 기체 동역학 방정식천체물리학적 자기 현상에 이용하기 위하여 자기 기체 동역학 방정식을 살펴보기로 하겠다. 일반적으로 시간에 따른 자기장의 변화는 풀라즈마 상태의 흐름에 의한 변환과 자기장의 확산 (diffusion) 에 의한 변환으로 표시할 수 있다. 즉 =v X (vX ) +T) (3-1-1) 이다. 여기서 는 자기확산계수 (magnetic diffusivity) 이다. 태양 활동을 묘사하는 자기 기체 동역학 현상을 제의하고는 일반적으로 천체물리학적 현상에서는 전기 저항계수 (elec c restity)인 가 이므로 = 인 관계에서 이 되므로 가장 이상적인(ideal) 상태의 자기유도방정식 (induction equation) 을 사용하게 된다. 그러므로 식 (3-1-1) 은 =vx(vXE) (3-1-2) 로 간단하게 표시될 수 있으며 단지 기체 흐름의 영향으로 인한 자기장의 시간적 변화만을 고려하게 된다.자기장을 포함한 이상적인 상태의 기체 흐름의 시간적 변화를 나타내는 자기 유체 동역학 방정식은 원통 좌표계 (r, ¢. z) 에서 다음과 갇다.
(연속 방정식) (r vr) + (pv~) ＋(pvz) =O (3-1-3) (운동 방정식) (3-1-4) (pvr) ＋(r VrVr) ＋(pVrV¢) +(pVrVz) ; ) － ( ) f( ) + ＋ =O (pv9) ＋ ,r V9Vr) +(pV9Vz) +(pV9Vz) ― (3-1-5) :( ) ＿ ) - ( ) + =O =0ft-(pvz) +j,:-(rpvzv,) +(pvzv~) +-ffz(pv;) (3-1-6) (rBzB,) 一( ) － ( ) ＋ =O 여기서 P*=P+B2/B1r 이며 기체의 열운동에 의한 기체 압력과 자기 압력을 합친 전체 압력을 나타낸다. 또한 단위 질량당 기체 전체에너지를 E라하면 E=_pu2+—_+ __ (3-1-7) 인데 여기서 첫번째 항은 기체의 운동에너지를 나타내고 둘째 항은 기체 내부 에너지를 나타내며 마지막 항은 그 기체가 가지고 있는 자기 에너지량을 나타낸다. 이러한 전체에너지량 도 기체의 흐름에 의하여 시간적으로 변화하게 되므로 이는 (rEvt) +(Evt) (Ev:) =O (3-1-8)로 나타낼 수 있으며 여기서 특성 속도 (characteristic velocity) v* 는 다음과 같이 =(1 ) 5 - U) E (3-1-9) 로 나타낼 수 있으며 첫번째 항은 에너지 플럭스 (energy flux)에 의한 특성 속도이고 둘째 항은 포인팅 플럭스(pointing flux) 에 의한 특성 속도이다. 즉 첫번째 항은 기체 압력에 의하여 전달되는 에너지량의 속도에 해 당하는 양이고 둘째 항은 자기장의 압력에 의하여 전달되는 에너지량에 해당하는 속도이다.
이제 기체의 흐름이 식 (3- 1-4), (3-1-5), (3-1-6) 에 보인 것과 같이 기체의 압력구배에 의하여 혹은 자기장의 압력구배 혹은 휘어지는 정도의 차이에 의하여 이동하게 되면 자기유도 방정식을 이용하여 자기장의 변화를 구하게 된다. 천체물리학적인 자기 유체 역학 현상에서는 자기유도 방정식으로 식 (3 1-2) 를 사용하게 되므로 이를 원통 좌표계로 고치면 ―+ j,: (rBrv) +-ffi(Brvz) + (v ) ffi (vrBz) =O (3-1-10) (rB9Vr) ＋(B9Vz) ＋(V9 ) ＋ - =O (3-1-11) (rBzVr) ＋ ( - (rBrVz) - (v) =0 (3-1-12) 이 된다.이 연구에서 개발된 FCT MHD 코드의 경우에는 이 절에서 유도된 방정식을 모두 사용하였다. 그러나 이 개발된 코드를 사용하여 항성제트의 자기 기체 동역학 현상을 연구하기 위하여는 축대칭을 고려해도 무방하 므로 (3-1-3)~(3-1-12) 식에서 a/a¢가 포함되어 있는 항들은 모두 0으로 처리하였다. 운동 방정식에서 보면 포텐셜의 구배에 의한, 죽 중력에 의한 힘의 능률을 고려하지 않았다. 죽 항성제트의 기체 동역학 연구에 있어서 기체압력의 구배력이 항성제트의 질량에 의한 중력보다 대단히 크므로 중력의 영향을 무시하였다. 중력의 영향을 고려하기 위해서는 포아슨 방정식 (poisson equation), 즉 기체 밀도 분포와 항성의 질량에 의하여 결정되는 포텐셜을 나타내는 방정식을 고려해야 한다. 이 방정식은 다음과 같이 (/)*=― (3-1-13) (/)u = 4 (3-1-14) 로 표시하게 되며 전체 포텐셜 는 = *+ g (3-1-15) 가 되므로 식 (3-1-4) ~ (3-1-6) 과 (3-1-8) 의 좌변에 각각 —p 와 -pv• 를 더하여 주면 중력 효과가 고려된다. 이는 성간 공간에 존재하는 성간 구름이 자체의 중력에 의하여 수축하는 과정을 모의실험할 경우에는 중력에 의한 효과가 대단히 중요하므로 식 (3-1-14) 의 포아슨방정식을 적어도 5% 이내의 오차를 갖고 정확하게 풀어내는 것이 중요하다(Song, 1991).
3-2 FCT MHD 알고리즘FCT MHD 알고리즘은 앞 장에서 언급했듯이 일반화된 방정식의 형태를 A 1 8 1 8 (rAvr) - (Avz) +B (3-2-1) 로 나타낼 수 있다. 여기서 A는 일반화된 밀도 변수를 나타내며 B는 일반화된 밀도 변수에 영향을 주는 근원항이 된다. (3-2-1) 식에서 우변의 첫번째와 두번째 항은 물론 기체의 흐름에 의하여 변환되는 양을 나타낸다.연속방정식인 (3-1-3) 에서 보면 세번째 항은 - =O 이므로 A는기체 밀도와 같으며 근원항인 B=O이 된다. 또한 힘의 능률 보존식인 (3-1-2)~(3-1-4) 에서는 A= vr 가 되며 나머지 항들은 모두 근원항인 B에 해당한다. 죽 r 방향의 운동 방정식인 (3-1-4) 를 보면 A=PVr (3-2-2) B= ＿ + a (rB ) ＋ 》 ) ＋+ (3-2-3) 에 해당한다. 여기서 B의 네번째와 다섯번째 항은 각각 원심력과 자기장의 휨 정도에 따라 생기는 근원항이다.
에너지보존식인 (3-1-8) 의 경우에는, 일반화된 방정식의 꼴 (3-2-1) 식에서 보면, Vr 을 v 로 Vz 를 치환해야 하며 이때 A=E, B=O가 된다. 즉 =(1+ )Vr- (:~Br (3-2-4)v:=(1+ )Vz_ (〈E5) Bz (3-2-5) 가 된다. 이로써 우리는 기체의 전체 에너지량인 E가 변화하는 양을 시간에 따라 추정해 나가게 된다.마지막으로 자기유도 방정식인 (3-1-10) ~(3-1-12) 의 경우에는 A=B이다. 특별히 r 방향의 자기유도 방정식인 (3-1-10) 을 살펴보면, = -¾(Brvz) (VrVz) (3-2-6) 이므로 이 식을 다시 aBr 1 a , .. Tl .. l\ a , " " , a a (rB )-— (Bzv;) ++-(Bzv~) (3-2-7) 로 쓰면서 =O, v;=vz 이면 식 (3-2-7) 은 (3-2-6) 과 동일하다. 이때의 FCT 알고리즘을 사용하기 위해서는 A=Br=0, v;=vz (3-2-8) B= (Bzvr) 을 사용하게 된다. 마찬가지로 식 (3-1-11), (3-1-12) 의 경우 각각 A=B¢ V~= Vr, v;= Vz (3-2-9) B= A=Bz =Vr, v;=O (3-2-10) 을 이용하게 된다.
이 코드에서는 시간 변화에 따른 일반화된 밀도량 A의 수치계산에 따른 불안정성을 최소화시키기 위해 경계치 속도를 계산해서 이를 이용했으며 CFL 조건을 만족시키도록 하였다. 즉 경계치 속도는 FCT 알고리즘으로부터 l/2 이 지난 뒤 물리량을 계산해서 i격자의 초기 속도 t로부터 v를 계산한 뒤에 이를 이용하는 방법을 이야기하며 쿠런트 조건은 (v2+ i+ 。 0.4 로서 수치 불안정성 (numerical instability)을 최소화하였다. 여기서 Cs는 기체의 음속이다.본 연구에서 개발된 FCT MHD 알고리즘을 살펴보면 앞 장에서 사용 했던 상칭적선 FCT 코드를 이용해서 1차원인 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다. (초기 조건의 물리량 계산) f= Pt°= (r-1) [Er- ( >fv － ] (3-2-11)v*= (경계 속도 계산을 위한 FCT) { }=s[{ p }, {v }, {O}, ] { (pv) , }= S[{ (pv) 7}, {vr}, {P;°, Bf}, t] (3-2-12){E s[{Er}, {vf*}, {0}, {sJ}= s[{Bf}. v *}, {vr. Bf}, (경계치 속도에 따라 영향받은 물리량 계산) = P, -I) [ -½(pu) -11 (3-2-13)•=(l+ )v, ½ ( 시간 뒤 물리량 계산) {p}}=s[{p7}, {v,, {O}, ] {(pv)}}=s[{(pv) }, {v,사 {, ] (3-2-14){E!}=S[{Ef}, {v, *}, {O}, ] {BJ} =S[{Bf}, {v, , ] (다음 시간을 위한 물리량 계산) u}= Pl= (r-u [E} －(pu) }v] (3-2-15)
v,·*=(1+ )v} :} (CFL 조건) ot =O. 4ox{(v}) (CU2+ (3-2-16) 이를 제2장의 연구에서 사용한 2.5 차원의 FCT MHD 코드로 확장할 수 있다.
3-3 차원 자기기체 동역학 코드의 검사개발된 자기기체 역학 코드인 FCT MHD 코드의 정당성을 검사하기 위해 1차원 자기기체 역학 코드를 이용하였다. 이때 비교를 위해서 Brio와 Wu(1988)가 제시한 초기조건과 시간단계, 쿠런트 조건을 그대로 사용하였다. 즉 1차원 MHD 리이만 (Riemann) 문제로서 800 격자를 계산에 사용하였다. 초기조건으로 1에서 400 격자까지는 Vx=O, Vy =O, P=1, P=1. By=B= 가를, 401 부터 800 격자까지는 Vx=O, Vy =O, P=O, p=0.125, =B=-1 을 사용하였으며 전 격자에 걸쳐 Bx=0.75, r=2를 사용하였다. 이는 Sod(1978) 가 제시한 B=O 인 경우의 충격관 실험 (shock tube test) 과 일치한다.수치 계산에서는 x=1 과 t =O.08(쿠런트 조건으로부터 Vc~~Q.07정도)를 사용하여 1,000 시간 단계를 지난 후의 각 물리량 변화 모습을 그림 1-16 에 나타냈다. 그림 1-16 의 밀도 분포를 보면 자기장에 따라 시간이 지나면서 변하는 밀도파의 분포를 알 수 있다. 왼쪽으로 진행하는 파(wave) 로서 250 격자 근처의 밀도가 삐주룩이 뒤어나온 느린 합성파 (slow compound wave 또는 SM) 가 구별되어 나타남을 알 수 있다. 오른쪽으로 진행하는 파로서는 450 격자 근처의 불연속면 (contact discontinuity)과 520 격자 근처의 느린 충격파 (slow shock 또는 SS) 그리고 680 격자 근처의 빠른 희박파(fast rarefaction wave 또는 FR) 가 있다. 이는 Btio와 Wu (1988) 가 제시한 그림과 정확하게 일치하고 있다.
(a) .8 (b )
그림 1-16 FCT MHD 코드의 검사. t=1,000 일 때의 모습. 400 격자 부근에서 밀도가 삐주룩이 뒤어나온 느린 합성파 (slow compound wave) 가 나타난다. 또한 50 격자 부근에 불연속면, 520 격자 부근에 느린 충격파, 그리고 680 격자 부근에 빠른 희박파 (FR) 가 나타나고 있다.
속도를 나타내는 그림 1-16 을 보면 550 격자와 650 격자 사이에서 속도 분포, 즉 오른쪽으로 진행하는 파 중 SS파와 FR파 사이의 속도가 약간은 불안하게 나타나고 있으나 이러한 불안 정도는 그 오차가 그리 크지 않고 수치 계산에서 언제나 나타나므로 (Brio와 Wu (1988) 의 그림 6) 본 연구의 목적에 맞는 수치 계산에는 별 무리가 없을 것으로 예상된다. 특히 자기장 B와 압력 분포 P가 상당히 안정되어 있으므로 사용에 무리가 없다.
느린 합성파에 대한 발생원인으로 By의 부호가 느린 합성파가 존재하는 느린 충격파 지역에서 바뀌기 때문에 생겨나는 것으로 Brio 와 Wu
(a) (b)
그림 1-17 200 격자를 사용한 FCT MHD 코드의 검사. 오른쪽으로 진행하는 불연 속면과 충격파. 왼쪽으로 진행하는 빠른 회박파 (FR) 를 봉 수 있다.
(1988) 는 설명하고 있다. 이러한 파는 마하수가 클 경우에는 나타나지 않았다(그립 1-17). 그립 1-17의 경우는 200 격자를 사용하였는데 1부터 100 격자까지는 p=1, v=O, By=1, P=1,000 이며 101격자부터 200격자 까지는 p=O.1, v=O, By=-1, P=0.1 이다. 전 격자 구간에서 Bx=0.75, r=2, v> =O을 사용하였으며 이때 충격파가 진행하는 마하수는 100~200 격자 구간의 음속에 대해 70 정도이다. 그립 1-17 에서 왼쪽으로 진행하고 있는 FR파와 오른쪽으로 진행하는 불연속면 (CD) 과 충격파(S)를 볼 수 있다. 불연속면과 충격파 지역은 압축에 따라 자기장이 증가하게 되며 기체 압력과 자기장 압력의 합력에 따라 오른쪽으로 이동하게 된다.
4 결론 및 토의
천체물리학적 흐름의 동역학 구조에 대한 이론 연구를 위해서 기체 동역학 방정식의 풀이과정의 하나로 유한차분법을 제시하고 이에 대한 불안정성에 대하여 알아보았다. 일반적인 유한차분법의 기체 동역학 풀이는 파동 방정식의 해를 대입하여 보았을 때 시간이 지남에 따라 진폭은 발산하고 위상 오차도 점차로 커져 컴퓨터 코드가 매우 불안정하게 된다. 따라서 를 제거하기 위하여 분산항을 도입하였으며 이때 전폭의 발산과 위상 오차를 줄일 수는 있지만 전달 속도가 0일 때 물리량의 분산울 막을 수는 없었다. 따라서 전폭의 발산과 위상 오차의 검사, 분산 등울 고려한 음의 분산항을 고려하게 되고 물리량이 급격히 변하는 지역의 과플럭스를 보정하는 플럭스 제한법을 고려하게 되었다. 그러나 이렇게 개발된 코드는 고주파에서의 〈잡파〉를 막을 수 없었다. 따라서 이 〈잡파〉를 줄이기 위하여 국부 곡면 감소법을 사용하게 되어 상당한 〈잡파〉를 줄이게 된다. 근원항을 다룰 때에는 근원항이 이 아닐 때 음의 분산항과 같은 역할을 하게 되므로 이를 플럭스에 보정하여 주는 방법이 제시되었다.이러한 방법들을 이용하여 기체 동역학 방정식들을 수치 해석학적으로 다루게 되고 자기장을 동반한 자기기체 동역학 방정식의 경우, 자기유도방정식을 제시된 방법으로 어떻게 다루는가에 대하여 고려하였다. 본 연구에 의하여 제시된 플럭스 보정 유한차분법은 실제 기체 동역학 천체물리학 연구를 시작하는 연구자들에게는 기초가 되는 방법으로 생각되며 장차 기체 동역학 방정식으로 유도되는 특성 속도를 이용하는 TVD (Total Variation Diminishing) 방법 , PPM (Piecewise Parabolic Method)등을 개발하는 초석이 될 수 있다. 또한 자기기체 동역학 컵퓨터 코드(FCT MHD) 에서 • B=O의 조건을 효율적으로 해결하는 방법이 모색되어야 할 것이다.참고문헌
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구본철 최승언1 초신성 잔해에 대하여 형성된 거품 동역학 구조1-1 서론이 장에서는 장에서의 유한차분법을 이용한 기체 동역학 컴퓨터 코(FCT code)를 이용하여 천체물리학적 흐름의 하나인 초신성 잔해(Supernova Remnant)의 동역학 구조 및 주변 성간 매질과의 동역학적 상호작용에 대하여 알아보기로 하겠다.일반적으로 초신성 잔해는 별의 진화과정 중의 말기 단계로서 질량이 큰 별의 경우는 급격한 핵융합 반웅의 결과로, 질량이 작은 별의 경우는 별 핵의 급격스런 내부 붕괴의 결과로 별 전체가 폭발하여 주변 성간 매질을 밖으로 밀어내는 충격파 지역이 성운처럼 보이는 별 폭발의 결과이(Woosley와 Weaver, 1986). 초신성 잔해에 대한 해석학적 연구는 Sedov(l959), Kompaneet (1960) 등에 의하여 해석학적인 해가 주어지고 있으며 특히 Sedov(I959) 의 경우 해석학적으로 초신성 잔해의 내부 물리량의 변화 및 동역학 구조를 잘 나타내고 있다. 또한 Kompaneet (1960)의 해는 초신성 폭발의 잔해가 주변 성간 매질과의 상호작용에 의하여그 모양이 시간에 따라 변하여 가는 모습을, 즉 충격파 지역이 전달되어 가는 모습을 잘 그려내고 있다.
그러나 초신성 잔해 수치 모의실험을 이용하게 되면 Sedov 와 Kompaneet의 해에서 보여지지 않는 초신성 잔해 내부 물리량의 미세 구조 등을 이해할 수 있는 장접을 가지고 있으며 주변 성간 매질과의 상호작용에서 나타나는 여러 가지 형태의 미세 동역학 구조 등을 얻을 수 있어 여러 파장대의 관측에서 보여주는 복사 세기, 복사기구 그리고 복사 등 세기선(isoensity contour) 으로 보여지는 초신성 잔해의 모양 등에 대하여 많은 정보를 얻어낼 수 있다.따라서 본 연구에서는 1차원 초신성 잔해의 시간에 따른 동역학적 구조를 제시하여 장차 초신성 잔해의 동역학 구조 연구의 기초자료로서 이용되도록 하겠다. 2절에서는 기체 동역학 컴퓨터 코드를 이용하기 위한 기체 동역학 방정식의 무차원화를 다루었고 3절에서는 실재 초신성 잔해의 물리량을 이용한 1차원 초신성 잔해의 수치 모의실험 결과를 Landau와 Lifthitz(1959) 에서 주어지는 해석학적인 해와 비교하였고 주변 성간 매질의 밀도 분포가 불균일한 경우, 즉 VRO 42.05.01 초신성 잔해의 2차원 원통 기체 동역학 수치 모의실험을 행하였다.1-2 기체 동역학 방정식의 무차원화기체 동역학 방정식을 이용하여 초신성 잔해나 항성풍의 동역학 구조를 수치 모의실험할 경우 주어전 시간과 길이 단위를 가지고 기체 동역학 방정식을 무차원의 방정식으로 변환하여 사용하는 것이 편리하다. 예를 들어 초신성 폭발의 경우 총에너지의 양이 l051erg 정도인데 수치 모의실험을 할 때, 실제값을 기체 동역학 컴퓨터 코드에 초기조건으로 사용할 수는 없다. 따라서 기체 동역학 방정식의 무차원화는 수치 모의실험을 수행하기 전에 필수적으로 수행하여야 한다.기체 동역학 방정식 중 연속 방정식은붕'v • (pv ) =Pin (1-2-1) 의 형태로 주어지게 되며 P i n 은 밀도에 대한 근원항이다. 따라서 困三요Po (1-2-2) P 三—rro (1- 2-3) r 三一tt。 (1- 2-4) 로 가스 밀도, 길이, 시간을 규격화하면 식 (1 -2-1) 도 普홉 (65)=5,n 로 바뀔 수 있다. 여기서 5=(;) 국 5,II 內. (1-2-5) 이 될 것이다. 일반적으로 수치 모의실험 격자의 길이는 ro 가 되며 시간 격자 단위는 t o 가 된다. 기체 동역학 운동 방정식은 훑(p v) +'v (pv v) =-'vP +P,n (1- 2-6) 가 되고 P i n 은 의압을 의미한다. 다시 식 (1-2-2) t (1-2-3) t (1-2-4) 와 (1-2-6) 을 이용하게 되 면 훑료)＋군(尹)=-금 P+FIn (1- 2-7) 이 되며 여기서 -P= 읊(1- -2- 8 )
P,n=(i) (1-2-9)이다. 또한 에너지보존 방정식은 (Ev*)=E-n A(T) (1-2-10) v*=(l+-f) v (1-2-11) 로 주어지게 되므로 E은 에너지에 대한 근원항이고 는 냉각의 효과를 고려한 항이다.
다시 변수들을 규격화하면 (Ev*) =E-11 (1-2-12) E= PoVo (1-2-13) ff*=(1 +[5 (1-2-14) E= (1-2-15) A= (1-2-16) iiJI= (1-2-17) 으로 된다. 여기서 µH는 10 %의 He를 고려하였을 때 µH=l.47mH=2.34 X 10-ug (1-2-18) 이므로 p=µ,rnH= o= pµH11o=µM2oiiH (1-2-19) 이 되어 실제로11H= p (1-2-20) 의 관계를 갖게 되며 기체 상태방정식인 P=X+nHkT (1-2-21) 로 주어지면 P = X+ nHT (1-2-22) 가 되고 (1-2-23) 이다. 여기서 X+는 H원자 개수에 대한 총 입자의 개수 비를 의미하며 중성 수소의 경우 X+= 1.1(10% He를 고려할 때), 완전히 전리된 상태에서는 2.3, 분자의 경우 0.6으로 사용할 수 있다.
수치 모의실험을 수행할 경우 수치 모의실험 격자의 길이를 1이라 하였을 때 실제 길이는 r0 가 될 것이다. 또한 수치 모의실험에서의 시간 간격이 1이라면 실제 진행시간은 t0가 된다. 예를 들어 초신성 잔해에 대한 수치 모의실험을 수행할 경우 ro=l0-2pc=3.08X1016cm 라 하고 to= 100년 =3.156X109초라 한다면 CGS 단위로 Vo=9.7782 X 106 (1-2-24) po=2.34 X 10-24 (1-2-25) Po =2.2373x 10-10 (1-2-26) = 1.623 X 106 (1-2-27) no=l (1-2-28) 로 계산되며 계산된 물리량에 식 (1-2-24) ~ (1-2-28) 의 단위 물리량을 각각 고려하여 곱하게 되면 실제 물리량의 값을 구하게 된다.실제 초신성 잔해의 주변 매질의 개수 밀도 nH=1, 온도 T=104K라하면nH=1 (1-2-29) T =6.1614 X l0-3 (1-2-30) 으로 주어지며 수치 모의실험을 위한 초신성의 총에너지 E=l051erg가 되고 초기조건으로 초신성의 3격자로부터 시작한다면 E= 3447 Xl09 (1-2-31) X33X (3.086 X 1016)3X 2.2373 X 10-o 의 무차원 에너지 밀도를 초기조건으로 사용하게 된다.
1-3 1차원 초신성 잔해 수치 모의실험1-2절에서 다루었던 기체 동역학 방정식을 무차원화하였을 때의 ro, t。값을 이용하여 중심의 3격자에 E 에너지 밀도를 초기조건으로 하였다. 따라서 초신성 잔해의 총에너지 E=l051erg에 해당하며 초기 반지름은 3x10-2 에 해당한다. 냉각을 고려하지 않은 단열 초신성 잔해의 수치 모의실험을 행하였다(r= ).그립 2-1 은 초신성 잔해가 =1.26062(126.062년에 해당) 후의 밀도, 속도, 압력, 온도의 분포를 보여주고 있다. 초신성 잔해 내부의 물리량의 변화는 Landau와 Lifshitz(1959) 에 주어지는 해석학적인 해의 모습과 동일하다.충격파 지역의 시간에 따른 동역학 진화를 살펴보기 위하여 Sedov (1956) 의 해를 이용하였다. 이에 따르면 t)=g。( ) (1-3-1) 의 식으로 초신성 잔해의 충격파가 주변 매질로 전개되는데 eo는 초신성 잔해의 에너지보존으로부터 결정되는 상수로서 단열팽창의 경우 1.17 이 된다. 2절에서 주어진 물리량을 이용하면blas t W ave E= 10
(a ) (b ) 4 , , 60 3 ·iO I'= 8 ().6 0 1 1 -; H요 l =5 2. 60 79 p 2 I' 20 ·。 o 50 100 IS O 200 250 3OU (I。 나 50 100 150 200 250 30U 1 이 (d ) 5000 I I I I I I I I I I I I I I l I I I I I I I I I I I I I I I 』 IOOO ~oo o r I' ~ ~ 8 7 2 . 791 성 3000 ~ 3690.1 3 T F T ~리9 22218. .51 313 냉 3000 /' 2000 2000 1000 1000 。 o· 50 JOO 15 0 200 250 300 。 50 100 15 0 200 250 300그림 2-1 폭발 후 126.062 년 후의 단열 초신성 잔해의 모습. 내부 물리량의 변화는 해석학적인 해와 일치한다. (a) : 밀도, (b) : 속도, (c) : 압력, (d) : 온도.
f ( r ) = 201 . 5 T (1-3-2) 가 되므로 t= 1.26062 일 경우 r의 값은 221 격자에 위치하게 된다. 그립 2-1 의 충격파 지역이 구한 격자 위치와 일치하고 있다.
충격파 후면의 속도는 일반적으로 v(/)=—/) (1-3-3)= ( ): (1-3-4)이므로 v ( n =60.451 (1-3-5)이 된다. 다시 t =1.26062 일 경우 v의 값은 52.61 이 되어 그림 2-1 의 (b) 의 충격파 후면의 최대 속도와 일치하고 있다.다시 충격파 후면의 압력은 P= PoVi (1-3-6) 이 되므로 a< n =4872.39 (1-3-7) 이 되고 이때의 P=3609.13 이 되어 그림 2-1의 (c) 의 값과 일치하며 갇은 방법으로 T ( t ) = 1218.1 (1-3-8) 이므로 T=922.533 이 되고 그림 2-1 의 (d) 에서 보여주는 무차원의 온도 값과 일치하고 있다. 따라서 이 초신성 잔해 1차원 수치 모의실험에서 보여주는 무차원의 물리량을 갖게 되며 E=l051erg의 초신성 잔해의 실제 밀도, 속도, 압력, 온도 변화를 이해할 수 있다.2절에서 주변 성간 매질의 밀도가 개수 밀도 nu=l 이었으므로 단열 초신성 잔해의 경우 충격파에서 개수 밀도는 4배로 증가하게 되며 충격파 후면으로, 즉 초신성의 내부로 밀도가 급격히 감소함을 그림 2-1 의 (a) 가 보여준다.
충격파 후면의 실제 속도, ·압력, 온도는 각각 v=52 .61 x vo=5.14 x 108 cm/sec=5144km/sec (1-3-9) =3690 .13 p。 8 . 2559 x 10-1dyne/cm2 (1-3-10) T=l218.l =1. 977 10 (1-3-11) 이 된다.따라서 1차원 초신성 잔해 수치 모의실험을 통하여 개발된 구형 1차원 FCT코드를 검사할 수 있는 예로 이용할 수도 있고, 구형 1차원 FCT코드를 이용하여 다음에 언급될 구형의 항성풍 수치 모의실험을 행할 수 있는 기초를 마련하게 된다.2차원 초신성 잔해 수치 모의실험의 예로 VRO 42.05.01 초신성 잔해
n=lcm-3, T=l04K 따뜻한 성간운
그림 2-2 VRO 42.05.01 초신성 잔해의 경우 주변 성간 매질의 온도, 밀도 분포 상태.
{E O ' 曰 i} ZH :)I'_·’{「._I 지.’'_’ _ , 러~ l F{i} 더홉序버 l 01l _
{n 1급 L 守합 JJoo t 1{l01`gl1l서8OYBfHog.~.「Oo~I . h言드[JlIj혹一臣bi궁斗 i[ Y lk AFY4. :lY c'z i 詞目의 경우를 수치 모의실험한 결과를 간단히 제시하고자 한다. 성간 매질의 물리량 분포가 균일하다면 구형의 초신성 잔해를 예상하게 되고 따라서 앞서 보여주었던 구형 1차원 FCT코드가 초신성 잔해의 동역학 구조를 이해하는 데 도움이 될 것이다. 그러나 주변 성간 매질의 물리량 분포가 불균일할 경우에는 초신성 잔해의 진화가 구대칭이 될 수 없으므로 2차원 혹은 3차원의 기체 동역학 컴퓨터 코드를 이용하여야 한다. VRO 42.05.01 초신성 잔해의 경우 주변 성간 매질의 밀도와 온도 분포가 그림 2-2 와 갇이 주어졌을 때 t=2,000 년 후의 모습이 그림 2-3 에 주어졌다. 이 모습은 Pineault 등 (1985, 1987)이 1.4GHz 전파 연속선 관측으로 보여주는 전파 모습과 일치하며 제동 복사기구도 이론적인 VRO 42.05.01 의 모습을 그렸을 때 전파 관측과 일치 하고 있다 (Choe 와 Koo, 1993) . 실제로 전파 과 선 관측에 의하면 초신성의 잔해 중 VRO 42.05.01 과 갇이 주변 성간 매질과의 상호 작용에 의하여 그 모습이 구형과는 다른 모습을 보여주는 것이 많다(에, IC443, CTB109 등).
2 항성풍에 의하여 형성된 거품의 해석학적 동역학 진화2-1 서론질량이 무거운 젊은 별들은 주계열에 머무르는 동안 항성풍 (stellar wind) 을 방출한다. Abott (1982) 와 Bieging(1990) 에 의하면 질량이 15M0 보다 무거운(분광형이 BO보다 이른) 모든 별들은 속도가 Vin= 1,500~3,000km/s 에 이르는 항성풍을 방출하며, 그 동역학적 광도 (mechanical lumnosity)가 Lin=1034 ~ 1037er /s 에 이른다. 항성풍은 주변 매질을 밀어내고 별 주위에 거품 (bubble) 을 형성한다. 항성풍에 의하여 형성된 거품의 구조에 관한 연구는 1969년 Pikel'ner와 Shcheglov에 의하여 시작되었다. 이들은 관측된 커다란 팽창속도를 설명하기 위하여는 주변의 매질이 항성풍의 운동량에 의하여 가속된 것이 아니라, 뜨거운 충격받은 항성풍 (shocked wind) 의 압력에 의하여 가속되었어야 한다는 것을 보여주었다. 그들은 또한 단열거품 (adiabatic bubble) 의 기본적인 구조는 (1) 가장 안 쪽의 충격받지 않은 항성풍 (unshocked wind), (2) 그 바깥 쪽의 뜨거운 충격받은 항성풍, (3) 그 바깥 쪽의 휩쓸린 주변물질 그리고 (4) 맨 바깥 쪽의 항성풍의 영향을 받지 않은 원래의 주변물질 등 4영역으로 이루어진다는 것을 보여주었다. 그 후 Avedisova (1972) 는 단열거품의 닮음해 (similarity solution)를 찾아냈으며 Avedisova (1972)와 Steigman, Strittmatter 및 Williams(1975)는 운동량가속 거품 (momentum-driven bubble)의 닮음해를 찾아냈다. 항성풍에 의하여 형성된 거품의 진화에 관하여는 Castor, McCray 및 Weaver (1975)와 Weaver (1977) 에 의하여 자세하게 토의되었다.
OB형 별들로부터 방출되는 항성풍 이의에도 에너지를 일정하게 방출하는 천체물리현상으로는 여러 가지가 존재한다. 예를 들어 적색거성은 행성상 성운으로 진화하는 동안 속도가 V1n=10 ~ 20km/s 이고 동역학적 광도가 Lin=1032 ~ 1034er /s인 느린 항성풍을 방출하며 (Zuckerman, 1977), 또한 최근의 관측에 의하면 속도가 약 200km/s에 이르는 빠른 항성풍도 방출한다 (Gammie 등, 1989). 원시성들도 속도가 수백 km/s 인 항성풍을 방출하는데 , 그 동역학적 광도는 Lin= 1031 ~ 1036er /s 에 이르는 것으로 추정된다 (Lada, 1985). 은하 스케일에서는 훨씬 강력한 현상이 관측된다. 죽 OB성협은 OB형 별들로부터 방출되는 항성풍과 또한 초신성 폭발 등으로 인하여 한정된 공간에 계속적으로 에너지를 공급하게 되는데, 이 경우 막대한 에너지로 말미암아 거대한 거품구조가. 형성 된다. 그러한 구조를 특히 거대거품 (superbubble) 이라 부르며 현재 많은 관측 및 이론 연구가 이루어지고 있다. OB성협의 항성풍과 초신성 폭발에 의한 동역학적 광도는 Sb형 은하의 경우 Lin=1039erg/s 에 이르며 (Heiles, 1989), 별이 급격하게 생성되고 있는 starburst 은하의 경우에는 Lin=1045erg/s에 이른다(Heckman, Annus 및 Miley, 1990).이상에서 살펴본 바와 같이 에너지가 연속적으로 공급되는 천체물리현상(편의상 모두 항성풍이라 부름)은 속도가 V1n=l0 ~ 3,000km/s, 동역학 적 광도는 Lin= 1031erg/s ~ 1045er /s 까지 넓은 매개변수영역을 차지하고 있다. 이러한 항성풍에 의하여 형성된 거품을 쉽게 이해하기 위하여 해석학적인 해를 먼저 기술하고자 한다.
2-2 느린 항성풍과 빠른 항성풍차갑고 구대칭인 항성풍이 임의의 천체로부터 균일한 주변매질로 방출되는 경우를 생각해 보자. 항성풍의 속도 vin는 일정하고 주변매질의 음속에 비하여 매우 크다고 가정한다. 단위시간당 방출하는 질량이 M으로 일정하다면, 시간 t동안 방출한 전체 질량 Min( t)는 시간에 비례하며 항성풍의 동역학적 광도 L과 다음과 같은 관계가 있다.M,nU)=Mt=L (2-2-1)초기에는 항성풍의 질량이 휩쓸린 주변매질의 질량에 비하여 훨씬 크므로 항성풍은 거의 자유롭게 팽창한다. 이 경우 항성풍의 맨 바깥 쪽에는 두 개의 충격파가 발생한다. 즉 주변매질로 진행하는 강한 주변충격파(ambient shock)와 항성풍 안 쪽으로 진행하는 약한 항성풍 충격파 (wind shock) 가 발생하는데, 그 두 충격파 사이에는 접촉 불연속면 (contact discontinuity) 이 존재한다. 항성풍 충격파는, 초기에는 속도가 느리고 항성풍의 밀도가 높기 때문에 복사에 의한 냉각이 중요하다. 그러나 거품이 팽창할수록 속도가 빨라지고 밀도가 줄어들기 때문에 복사 냉각의 영향은 점점 줄어들어 항성풍 충격파는 결국 단열 충격파 (adiabatic shock) 로 변환될 것이다. 만약 항성풍의 속도가 충분히 크면 그 변환이 항성풍이 자유팽창하는 단계에서 일어나기 때문에, 복사냉각은 거품의 전화에 거의 영향을 미치지 못한다. 반면 항성풍의 속도가 충 분히 작으면 거품이 주변매질의 관성에 의하여 더디어전 후에도 복사냉각이 중요하기 때문에, 이 경우 거품의 전화는 빠른 항성풍에 의하여 형성된 거품의 진화와 근본적으로 다를 것이다. 이러한 생각을 바탕으로 우리는 항성풍을 느린 항성풍 (slow wind)과 빠른 항성풍 (fast wind)의 두 형태로 나눌 수 있다. 두 형태의 항성풍을 구분하는 임계속도 Vcr 은 충격받은 항성풍의 냉각시간이 일정량의 주변매질을 휩쓰는 데 컬리는 시간에 비하여 긴가 혹은 짧은가에 의하여 결정된다. 후자를 계산하기 위 하여 항성풍의 밀도 Pw가 주변매질의 밀도 P0와 같아지는 다음과 같은 기준반경 Rf 를 정의하자. Pw(rf) =~= Po (2-2-2a) 항성풍의 동역학적 광도 L를 이용하면 Rf는 다음과 이 쓸 수 있다. Rf ( )=0.845( ,) pc (2-2-Zb) 여기에서 n0 는 수소 원자핵의 수밀도, L38 LI (1 038er s), (108cm/s) 그리고 수소 원자핵의 평균질량으로는 µ11 Po 110=2 34X 10-24g, 즉 우주함량비 (cosmic abundance)를 사용하였다. 기준 반경 Rf에 해당하는 기준시간척도 tf는 다음과 같이 주어진다.
=826( (2-2-2c)거품의 자유팽창단계에서는 항성풍이 충격받은 항성풍과 휩쓸린 주변 매질 모두를 계속하여 압축하기 때문에 그 둘은 아주 얇은 각에 존재하게 되며, 거품의 전체적인 운동량은 근사적으로 보존된다. 거품의 반경 Rs가 Rf에 이르면 그때까지 방출된 항성풍의 질량과 휩쓸린 주변매질의 질량은 거의 갇다. Koo와 McKee(1992) 의 간단한 모형계산에 의하면 Rs=Rf인 순간, 충격받은 항성풍의 질량은 전체 항성풍 질량의 약 30%이며, 휩쓸린 주변매질 질량의 1.2배이다. 또한 이 순간 항성풍 충격파의 속도는 Vsw=O.82vs=O.45V1n로서 주변매질로 진행하는 충격파의 속도Vs dRs/dt와 거의 같다. 충격받은 항성풍의 냉각 시간(cooling time)을계산하기 위하여 필요한 냉각함수는 A=A,T 랑, A 1.6x10-19er g cm3s 으로 주어진다고 가정한다. 이러한 냉각함수 형대는 충돌에 의한 아온화 평형을 이루고 있는 풀라즈마의 경우 온도가 105K~T~107 · 5K 인 영역에서 성립한다 (Raymond, Cox 및 Smith, 1976) . 냉각함수가 위와 같이 주어질 경우, 속도가 Vs 로 움직이는 충격파에 의하여 휩쓸린 가스덩어리가 식는 데 걸리는 냉각시간은 fcoo r, s= —c PPIVre 1 (2-2-3) 로 주어진다 (Kahn, 1976). 위 식에서 Ci= 6.0 x 10- 35 g cm-6 항이고 PPre 는 전충격 밀도(preshock density ) 이다. 앞에서 언급한 바와 갇이, Rs=R1 일 때 항성풍 충격파의 속도는 항성풍의 속도 V i n 과 거의 같고 충격받기 전의 밀도는 주변매질의 밀도와 거의 갇다. 따라서 Rs=R, 일 때 충격받은 항성풍의 냉각속도는 Vs=V1n 이고 PPre=Po 일 때의 냉각시간 t 1 은 t I: =8.1 X 105( 단) yr (2-2-4) 과 거의 갇다.
임계속도 Ver 은 시간척도 h 이 기준시간 tf와 갇울 때의 속도로 정의된 다. Ucr= （ )=286 (L JS no) km/s (2-2-5) 임계속도 Ver 을 이용하여 냉각시간 t1 은 다음과 갇이 쓸 수 있다. = )”T (2-2-6)식 (2-2-5) 에 의하여 정의된 임계속도 Ver 는 느린 항성풍과 빠른 항성풍을 구분한다. 죽 빠른 항성풍 (Vin Vcr) 의 경우 항성풍 충격파는 초기의 자유팽창단계에서 이미 단열충격파로 변환하는 반면, 느린 항성풍 (vln< Ver) 의 경우 복사냉각은 거품이 휩쓸린 주변매질의 관성에 의하여 더디어진 후에도 중요하다. 이제 느린 항성풍과 빠른 항성풍에 의하여 생성된 거품의 전화에 대하여 자세히 살펴보자.
2-3 느린 항성풍 (Vin Vcr))2-3-1 복사 거품(tf t tr)느린 항성풍에 의하여 형성된 거품의 경우, 충격받은 항성풍은 거품이 휩쓸린 주변매질의 관성에 의하여 더디어진 후에도 복사적 (radiative)이다. 주변매질로 진행하는 주변충격파는 초기에는 비복사적이나 결국에는 복사적이 된다. 식 (2-2-6) 에서 볼 수 있듯이, 주변충격파가 복사적으로 변환되는 시간 t1은tf 에 비하여 매우 작다. 따라서 느린 항성풍의 경우에는 tf를 전후로 하여 항성풍 충격파와 주변충격파 모두 복사적인 상당한 기간이 존재한다. 항성풍 충격파와 주변충격파 모두가 복사적인 거품을 복사거품 (radiative bubble) 이라 부른다. 복사거품의 전체 운동량은 근사적으로 보존된다. 충격파에 의하여 휩쓸린 주변매질의 질량이 방출된 항성풍의 질량보다 훨씬 클 때, 죽 t tf 일 때, 운동량보존으로부터 AV1n= (4r/3) PaR 이며, 이 식으로부터 Rs=( OLVIn)} t =46( 11:u n8 )}t pc (2-3-1) 으로 주어전다. 식 (2-3-1) 에서 t6 三t/106 yr이다. Avedisova(1972), Steigman 등(1975) 그리고 Ostiker와 McKee (1988)도 갇은 결과를 얻은 바 있다. 식 (2-3-1) 의 복사거품 해는 항성풍 충격파가 비복사적이 되는 시간 tr까지 성립된다.2-3-2 부분 복사거품(tr냉각시간 tcoot,sw 그리고 거품의 나이 t이다.
앞 장에서 기술한 복사거품의 경우 tcoot,sw tcross 이며 충격받은 항성풍은 얇은 각에 국한되어 있다. 반면 만약 tcoot,sw tcross이면 단열 거품으로서 충격받은 항성풍은 온도가 매우 높고 거품의 대부분의 부피를 차지하고 있다. 이 두 한계 사이, 즉 tcross tcool,sw t인 경우, 대부분의 충격받은 항성풍은 냉각되어 얇은 각에 국한되어 있는 반면 최근 충격받은 항성풍은 냉각될 시간이 충분하지 않았으므로 온도가 매우 높고 거품의 대부분의 부피를 차지한다. 이러한 거품을 우리는 부분 복사거품(partially radiative bubble)이라 부른다. 복사거품의 경우 항성풍 충격파면까지의 거리 Rsw는 주변충격파까지의 거리 Rs와 거의 갇다. 따라서 식 (2-3-1)에 의하여 횡단시간은 tcross Rs 이다. 반면 항성풍 충격파의 전충격 파밀도는 pw= T( =po( )2 (2-3-2) 이므로, 냉각시간은 tcooI,SW 1/pW t이다. 따라서 결국 냉각시간은 횡단시간에 비하여 길어지며, 복사거품은 부분 복사거품으로 변환된다. 변환되는 시간 tr은 냉각시간이 횡단시간과 갇아지는 시간으로 정의되며 다음과 갇이 주어진다. 1=( p 3.sx10 ( )½yr (2-3-3a) 식 (2-3-3a) 에서 볼 수 있듯이 시간척도 은 항성풍의 속도에 매우 민감하다. 시간척도 tr에 대응되는 반경 Rs은 Rr= =8.60X10-4 pc (2-3-3b) 으로 주어진다. t tr,일 때 부분 복사거품의 진화를 계산하기 위하여는, 우선 냉각시간이 횡단시간에 비하여 훨씬 크므로 충격받은 항성풍이 차지하는 부피가 충격받지 않은 항성풍이 차지하는 부피보다 훨씬 크다 (R R )는 점에 착안한다. 반면 냉각시간이 거품의 나이보다 작기 때문에 충격받은 항성풍의 밀도는 거의 균일하며 후충격파밀도(postshock density)와 거의 같다( ). 뜨거운 충격받은 항성풍의 질량은 근사적으로 다음과 갇이 주어진다. Msw U ) ::::: Mfcool,sw (2-3-4) 충격받은 항성풍의 질량보존으로부터 (4 (R/3=Msw (t)), 우리는 Rs와 Rsw 사이의 관계식 Vln R (2-3-5) 을 얻는다. 거품이 감속하므로 항성풍 충격파면에서의 충차압 (rampressure)은 주변 충격파면에서의 충차압보다 작다. 그 둘 사이의 비를 (2-3-6)라 정의하면, Koo와 McKee의 계산에 의하면 fP 15/16 .85로 주어진다.fp를 이용하여 식 (2-3-5) 를 풀면 다음의 해를 얻는다. Rs:::,:( ) 180(尸)t pc (2-3-7a) Rsw ( ) t}=9.1( ) pc (2-3-7b)
식 (2-3-7) 은 각까지의 거리 Rs cx:t 가 복사거품의 경우보다 빨리 커지는 것을 보여주며, 반면 항성풍 충격파면까지의 거리 RSW t 는 복사 거품의 경우보다 천천히 커지는 것을 보여준다. 이것은 항성풍 충격파면까지의 거리가 가까우므로 충격받은 항성풍의 압력이 높아 거품의 크기가 크리라는 우리의 예상과 일치하는 결과이다.2-3-3 압력제한거품 (tP t)
거품이 팽창할수록 압력이 떨어져, 부분복사거품은 결국 주변매질의 압력에 의하여 팽창을 멈추게 되는데, 이러한 거품을 압력제한거품(pressure-confined bubble)이라 부른다. 부분 복사거품으로부터 압력제한 거품으로의 변환은 각의 충차압 Po 주변압력 Po 와 갇아지는 시간 tP에 일어나며, 우리는 쉽게 tp가 다음과 같이 주어짐을 보일 수 있다. tp=( )=5.1 X 106( )yr(복사거품) (2-3-8a)=( ) 2.2 10 yr(PRB)여기에서 Min 는 마하수, 즉 min = (2-3-8b)이며 , 는 주변매질의 등온 음속,min2 min/102이다.2-4 빠른 항성풍 (Vin vcr)빠른 항성풍에 의하여 생성된 거품은 휩쓸린 주변매질의 질량이 방출된 항성풍의 질량보다 적을 때 비복사적으로 변환하며, 그 후 자기닮음(self-similar) 단계로 진화한다. 만약 항성풍 충격파와 주변충격파 모두 비복사적이면 우리는 거품을 전적 단열거품(fully adiabatic bubble) 이라 부른다. 초신성 잔해와 달리 주변충격파에 의한 복사냉각은 거품의 동역학적 진화에 커다란 영향을 미치지 못한다. 따라서 항성풍 충격파가 비복사적인 한 주변충격파가 복사적인 거품(복사 외각을 가진 비복사거품으로 부름)도 전적 단열거품과 거의 유사한 자기닮음해를 갖는다. 단열거품의 경우 주변충격파까지의 거리 Rs는 Avedisova (1972), Castor, McCray 및 Weaver(1975) 그리고 Weaver (1977) 에 의하여 구해졌다.Koo과 McKee(1992) 는 거품의 자유팽창단계로부터 휩쓸린 주변매질의 질량이 방출된 항성풍의 질량보다.훨씬 큰 자기닮음 전적 단열거품까지의 거품의 진화를 연속적으로 기술할 수 있는 간단하면서도 정확한 해를 얻었다. 균일한 매질의 경우, 그 결과는 다음과 같이 간단히 주어진다. Vnl Rsw[l + 0 . 49(t)] (2-4-1) 그리고 Rsw: (2-4-2) Rs Rf일 때, 식 (2-4-1) 은 다른 저자들이 얻은 다음의 자기닮음 해와 일치한다. Rs = 0 . 88(fo)*tt= 76( ) pc (2-4-3) Rsw=0.92( ) =23( 8) pc (2-4-4)
전적 단열거품 단계의 마지막에 주변충격파는 복사적으로 변환되며, 휩쓸린 주변매질은 얇은 각에 국한된다. 변환은 충격받은 주변매질의 냉각시간이 거품의 나이와 갇아지는 각형성시간 (shell formati on time) tsf에 일어난다. tsf 0.42( ) (2-4-5) 각형성시간 tsf 이후 거품의 내부는 단열적이므로 우리는 이러한 거품을 〈복사 외각을 가진 단열거품〉이라 부른다. 이 경우 항성풍 충격파까지의 거리는 전적 단열거품의 경우와 갇은 반면 각까지의 거리는 약간 다르게 주어진다 (Casto r 등, 1975 : Weaver 등, 1977 : Koo 와 McKee, 1992) . Rs=0.76( ) (2-4-6) 빠른 항성풍에 의하여 형성된 거품은 항성풍 이의의 질량 공급이 없는한 단열거품으로 변환하기 전에 주변매질의 압력에 의하여 국한되는데, 그 변환은 tp=0.142( ) 2.9x107( )(2-4-7) 에 일어난다. 식 (2-4-7) 에서 Cs0.6는 106cms-1 로 정규화된 주변매질의 등온음속이다. 느린 항성풍의 경우와 마찬가지로 압력제한거품의 경우 항성풍 충격파는 팽창을 멈춘다. 그러나 충격받은 항성풍이 단열적이므로 충격받은 주변매질과 충격받은 항성풍 사이의 접촉 불연속면 (contact disscontinuity)은 계속 팽창한다. 주변매질에 대해 행해지는 일을 고려하면, Lt= (5/2)P0 (4 /3) 이고, 따라서 Rc=( )= pc (2-4-8) 로 주어진다. 식 (2-4-8) 에서 Po4=Pol (104kcm-3K) 이다. 실제로 이러한 압력제한거품 단계에 도달하기에는 어려움이 많다.
2-5 단열 항성풍 수치 모의실험앞 절에서 다루었던 항성풍의 해석학적인 풀이를 구형 1차원 기체 동역학 코드를 이용하여 빠른 단열 항성풍의 경우만을 수치 모의실험하였다. 항성풍의 질량 방출은 M*=3.156X10-6M0/yr, 동역학적 광도 L*=1036er /sec 이다. 수치 모의실험 격자의 간격은 ro=O.Olpc 그리고 시간 격자 간격을 o=IOO 년에 해당한다. 주어전 물리량의 조건들을 이용 하여 수치 모의실험을 행하면 그립 2-4 와 갇은 구조를 볼 수 있다. 죽 그립 2-5(r=324.9812) 에서 122 격자 내부의 충격받지 않은 항성풍, 122~333 격자 사이의 충격받은 항성풍, 334~388격자 사이의 충격받은 주변 성간 매질과 389 격자 후의 충격받지 않은 성간 매질의 4부분으로 이루어져 있음을 볼 수 있다.
Po
그림 2-4 빠른 단열 항성풍에 의해 생긴 거품의 구조. 충격받지 않은 항성풍, 충격받은 항성풍, 충격받은 성간 매질, 충격받지 않은 성간 매질의 4부분으로 구성되어 있다.
주어진 초기조건과 식 (2-4-4) 를 이용하게 되면 무차원 물리량을 해석학적으로 구할 수 있는데 이는 T=324.9812 일 때 Rs=12.045 =387.2 (2-5-1) vs=5.4203 7-=0.5361 (2-5-2) P=39.6732 =0.3833 (2-5-3) T= =0.04166 (2-5-4) Rsw=14.512 =146.7( 항성풍의 충격파 지역) (2-5-5) vsm= =2.567 (2-5-6) 으로 수치 모의실험 결과인 그림 2-5 와 잘 일치하고 있다. 또한 각 물리량이 언급한 4개의 지역에서 분포구조도 이해하게 된다.
10
8 p 2 V 6 2 誌 IIIIIIIIIIIII111IIIIIIII 」 。 u- 。 100 200 300 400 500 。 100 200 300 400 500 p .. 35 :: i T 4 8 . 4 6 . 2 .I 2 。 。 11 1 1 , 1 1 。 100 200 300 400 500 。 100 200 300 400 500 1~ 3 21. 98 12Uwadl)그림 2-5 수치 모의 실험에 의해 계산된 빠른 단열 항성풍의 구조( r=324.9812). 0~122 격자 : 충격받지 않은 항성풍 지역 123~333 격자 : 충격받은 항성풍 지역 334~388 격자 : 충격받은 주변 성간 매질 지역 388 격자 후 : 충격받지 않은 성간 매질 지역
120 0
그림 2-6 수치 실험에 의해 계산된 충격파의 위치와 해석학적인 해의 비교. 실선은 해석학적인 R의 위치이고, 는 수치 실험의 과이다.
그림 2-6은 시간에 따라 식 (2-5-1) 에서 주어지는 위치를 해석학적인 해와 수치 모의실험으로 주어진 위치 를 비교하여 그려보았다. 실선이 해석학적인 해의 값이고 D 이 수치 모의실험의 결과이다. 구형 1차원 항성풍 수치 모의실험은 그의 동역학 구조를 잘 밝혀주고 있다.
단열항성풍의 해석학적인 해인 경우 충격받은 항성풍의 내부에너지는 전체 에너지의 0.455, 운동에너지는 0.195, 충격받은 성간 매질의 내부 에너지는 0.325, 운동에너지는 0.22 로 계산되는데 수치 모의실험의 결과는 충격받은 항성풍의 내부에너지는 0.416, 운동에너지는 0.012, 충격받은 성간매질의 내부에너지는 0.285, 운동에너지는 0.243으로 충격 받지 않은 항성풍의 내부에너지는 거의 으로 운동에너지는 0.0434로 계산되어 총 내부에너지는 0.7, 운동에너지는 0.3으로 계산되고 있다. 이는 해석학적인 해에서 보여주는 총 내부에너지 0.78, 운동에너지 0.22 와는 다소 차이를 보인다.빠른 항성풍과 느린 항성풍의 동역학 구조는 냉각효과가 아주 중요하므로 구형의 1차원 컴퓨터 코드에 냉각을 다루어야 한다. 그러나 일반적으로 동역학 시간 척도보다 냉각 시간 척도가 매우 길므로 냉각 시간 척도를 이용한 시간 격자 간격을 이용하여야 하는데 이때 상당한 컴퓨터 시간을 요하므로 이에 따른 적절한 컴퓨터 코드의 개선이 요구된다.
2-6 FCT MHD 를 이용한 단열 항성풍 수치 모의실험항성제트가 관측되는 젊은 별의 경우 대부분 그 주위에 분자원반을 가지고 있는 것으로 관측되며 (Bieging 등, 1984), 가시광선 영역에서의 편광관측으로부터 항성제트 흐름 축과 자기장 축이 거의 평행하다는 관계를 알게 되었다 (Vrba,Strom과 Strom, 1976) . 이러한 관계로부터 수치 모의실험의 초기조건으로 균일한 자기장 B는 축에 평행하게 놓고 주변 성간 매질의 분포는 Norman 과 Winkler (l 986) 가 제시한 밀도분포를 사용하였다. 즉 (2-6-1) 이며 여기서 z0는 특성 높이 (characteristic height) 에 해 당한다. 수치계산 에서는 z0로 10 격자 구간을 사용하였다. z축에 평행한 자기장의 세기는 수치계산에서 B=12를 사용하였으며 Po=l 인 경우 풀라즈마 β= =0.086 에 해당된다. 이는 β =4 인 관계가 있으므로 압력 평형상태의 초기조건을 이용하면 수치 모의실험하는 전 격자구간에서 일정하게 된다 (P=0.6).압력 평형상태에서 초기 온도분포는 밀도분포에 반비례하므로 T=T0[ ] (2-6-2) 이 되므로 모의실험 전구간 중 z=Zmax가 되는 곳의 온도는 일반적인 성간 매질의 온도와 갇아야 할 것이다.계산에 사용된 항성풍은 등방(isotropic), 구형 (spherical) 으로 흘러나오는 기체의 흐름으로 중심항성에서 끊입없이 질량이 방출되어 주변 성간 매질에 밀도를 증가시키며 방출된 질량은 그 자체가 내부에너지를 갖고 있으므로 주변매질의 기체압력을 높인다. 이 수치 모의실험에서는 =102 (2-6-3) =106 (2-6-4) 을 사용하였다. CFL 조건으로 ( )( )=0.4 을 이용하였으며 전 구간은 200X250 격자 으로 나누어 계산하였다.
그러나 실제 계산에 사용된 물리량들은 일정한 양에 따라 보정된 물리량이므로 이를 실제와 비교하기 위해서는 각 물리량의 1단위에 해당하는 실제 물리량을 알아야 한다. 예를 들면 p=l은 1.7x10-20 /cm3에 해당하며 nH = 104/cm3와 같다. 또한 B = 은 2.5 X 10-5G 에 해당하는 양이
격자 크기 : 0.8(200) 1.0(250) pc2( 격자2) [주변 밀도] 밀도 : 0.04 수밀도 :압력 : P= 1.4 x 10-11erg cm-3 내부에너지 : e=2.1x10-11erg cm-3 온도 : T=10(1+ )2K자기장 : B=3x10-4gauss [중심별] 질량 방출 : M=2.8Xl021g sec-1=4.4X10-5M0 yr-1 에너지 방출 : E=3.8x10,.erg sec-1=10L0
200 200 鬪丁 rT 「 lT 규 P
그림 2-7 FCT MHD를 이용한 단열 항성풍 수치 모의실함 등밀도선과 함께 속도벡터 를 그렸다. 그립 2-5 에서 보여주는 4개의 지역이 잘 나타나고 있다.
z . :._ . 210500,. 「... T , . ~\. , ~ ~ ~ ，，\ ~,-\.,,,:•~ 나:구\+ ; ,-. m 님:- ?~1r~1 Z 숙 21 5000 ,t-. .
그림 2-8 FCT MH D 를 이용한 단열 항성풍 수치 모의실험. 등압선과 함께 자기장 벡터 룹 그렸다. 항성풍에 의한 충격파와 주변 성간 매질과의 상호작용에 의한 의부 충격파가 보이며, 그 사이에 불연속면이 나타나고 있다. 또한 불연속면에
다. r =l 의 크기는 004 p 이므로 전 구간은 0.8X 1.0pc2이 된다. 표 2-1 에서는 초기 조전에 해당하는 실제 물리량을 계산해서 나타냈다. 특히 r=1 에 해당하는 연수는 1.200 년이다.
모형 계산에 사용된 항성풍의 온도는 약 205K로 음속이 ~53km/s인 느린 항성풍이다 (Koo와 McKee, 1992) . 이 경우 복사방출에 의한 냉각을 고려하여야 하나 본 연구에서는 복사냉각이 고려되지 못한 단열상태의 흐름을 생각하였다. 복사냉각의 고려는 불연속면 내부의 전 충격파가 중심항성별 근처에 나타나느냐 아니면 이 전 충격파와 불연속면이 거의 붙어서 나타나느냐의 차이 를 보여줄 것으로 예상된다. 본 연구에서 개발된 FCT MHD 컴퓨터 코드는 냉각을 고려치 못하였다. 따라서 이는 다음 과제로 남겨두고 실제와는 거리가 있지만 단열 상태의 항성풍의 물리적 상호작용과 그 동역학적 구조만을 다루기로 하겠다.그림 2-7은 등밀도선과 속도 백터 를 함께 보여주는 것으로 5절에서 보여주었던 4지역이 분명하게 나타나고 있다. 즉 항성풍에 의한 충격파와 주변 성간 매질과의 상호작용에 의한 의부 충격파가 보이며 그 사이의 불연속면이 그림 2-8 에 확실하게 보여진다. 주변 매질의 멱급수로 감소하기 때문에 밀도구배가 급한 방향으로 항성풍이 빠르게 진화하여 항성 제트 거품을 만드는 과정을 볼 수 있다. 또한 자기장의 역할이 두드러지게 나타난다. 자기장의 방향이 항성제트의 진행 방향과 일치하므로 z방향으로 빠른 자기 충격파가 진행하게 되어 충격받은 성간 매질 지역이 자기장의 직각 방향으로 부풀어 오르게 된다. 불연속면은 켈빈-헬름홀츠 불안정을 보이고 있으며 항성제트 흐름의 진행됨에 따라 R 방향으로는 열압력에 의한 보통의 충격파가, 방향으로는 느린 충격파와 빠른 충격파가 진행하다가 빠른 충격파와 보통의 충격파가 연결되는 움푹 패인 구조인 중간파(inermediate wave) 구조를 보여주고 있다 (Choe와 Ryu, 1992) .이 수치 모의실험의 결과는 항성풍과 주변 성간 매질의 물리적 상호작용으로 인하여 발달되는 불연속면 내부의 항성제트와 충격받은 주변 성간 매질의 쌍방 분자 분출역의 이중 흐름 구조를 보이고 있다. 젊은 별들에서 관측되는 항성제트와 쌍방 분자 분출역의 자기장과 연관된 동역학 구조를 이해하게 된다.
3 결론 및 토의천체물리학적 흐름 중 우리 은하 내에 형성되는 대규모 거품의 동역학적 구조 연구를 위하여 초신성 잔해와 항성풍의 해석학적 및 수치해석학적인 접근을 통하여 각 천체의 동역학 구조를 살펴보았다.이 연구에서는 1차원 구형 기체 동역학 컴퓨터 코드를 이용하여 초신성 잔해의 동역학 진화를 수치 모의실험하여 Sedov(l956) 의 해석학적인 해와 비교하였다. 또한 주변 성간 매질이 불균일한 예로서 VRO 42.05.01 초신성 잔해의 동역학 진화를 수치 모의실험하여 관측된 모양과 비교하였다.항성풍에 의하여 생성되는 거품 구조는 항성풍의 속도에 따라 냉각 효과가 큰 영향을 미친다는 것을 해석학적으로 이해하였다. 따라서 항성풍의 거품구조에 대한 수치 모의실험은 동역학 미세 구조를 이해하는 데 필수적이다. 그러나 이 연구에서는 단열상태를 가정하여 항성풍의 거품 구조를 수치 모의실험을 통하여 확인하였으며 해석학적인 해와 비교하였다. 또한 주변 성간 매질의 밀도 분포와 자기장의 분포가 구형의 항성풍이 진화하여 항성제트와 쌍방 분출역의 2원화된 흐름으로 진화해 가는 모습들을 2차원 자기 기체 동역학 컴퓨터 코드로 수치 모의실험하였다. 단열 상태의 항성풍에 의하여 생성된 거품의 동역학적 구조는 해석학적인 해에서 보여주듯이 충격을 받지 않은 항성풍 지역, 충격받은 항성풍, 충격받은 성간 매질, 충격받지 않은 성간 매질의 4구역이 확실하게 구분되어 진화해 가는 모습을 이해하게 되었다.차기의 연구로 냉각의 효과가 고려된 수치 모의실험은 초신성 잔해와 항성풍에 의하여 생성된 거품의 다양한 동역학 구조를 보여주리라 기대된다.참고문헌
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Zuckennan, B., 1977, IAU Symp. 76, Planetary Nebulae : Observations and Theory, ed. Y. Terzian (Dordrecht, Reidel) , 305.제 3 장 복사전달 문제의 수치계산
김갑성1 개요별에서 방출되는 복사선은 별의 대기를 지나오는 동안 물질에 의해 홉수, 방출, 산란되는 파란만장한 과정을 통해 대기의 물리적 상태를 바꿔 놓으면서 관측자에 도달한다. 이 복사선을 분광기로 분산시키거나 단색 필터로 관측하면 진동수별 복사에너지 분포를 측정할 수 있는데 우리는 이 스펙트럼의 분포로부터 복사선이 출발하여 지나온 지역의 물리상태를 분광학적 연구에 의해 추측할 수 있다. 그런데 스펙트럼선 형성에 결정적 영향을 미치는 물리량이란 복사장 Jv, 에너지준위별 원자수 ni, 전자수 ne, 입자의 총수 N 그리고 기체온도 T라 할 수 있다. 이들 물리량 은 독립적으로 존재하는 것이 아니라 서로 심하게 맞물려 있는데, 다음과 같이 상호 의존성을 갖는 함수 N=N(T,Jv,ni,ne), T=T(Jv, ni, ne), Jv=Jv(ni, ne, T) 및 ni,=ni(Jv, N, T) 로 나타낼 수 있다. 이 중 별의 대기 내에 있는 물질의 에너지 분포 n’를 알기 위해 비열평형 (Non-LTE) 계산은 필수적이라 할 수 있다. 여기에 대기 내의 복사장 변화를 기술하는 복사전달식이 고려될 경우 계산하기에 상당히 복잡한 형태가 되어 과거부터 수치적으로 다루기 어려운 문제로 취급하여 왔다. 그러나 실제로 복잡한 대기모델의 수치계산을 통해 관측된 스펙트럼을본격적으로 설명하게 된 것은 퓨트리에 (Feautrier, 1964), 라이비키 (Rybicki, 1967) 및 미할라스 (Mihalas, 1972) 등의 이론적 연구와 이를 지원한 아우어 (Auer, 1971, 1973) 등의 수치모델 계산에 의해서이다. 그런데 이들 대기 모델계산은 상당히 방대한 양으로 관심을 갖기에 그 내용이 다소 건조한 경향이 있고 실제 그 계산방법을 손쉽게 설명한 문헌도 많지 않다. 이에 이 장에서는 복사전달식에 대한 수치계산을 통해 대기의 물리적 구조를 구하고 동시에 그와 같은 비열평 대기에서 방출되는 복사선의 스펙트럼을 예측하는 방법을 연구하여 소개하고자 한다.
2 기본방정식대기의 물리적 구조를 나타내는 밀도나 온도분포는 일반적으로 운동량 보존식과 에너지 보존식으로 결정하는데 모델에 따라서는 대기 전체를 일정한 온도와 입자수로 가정하여 계산하거나 HSRA(Gingerich 등, 1971)나 VAL (Vernazza 등, 1976) 모델의 대기구조를 가정한 고정된 온도 및 밀도 분포를 이용하여 원자 스펙트럼을 계산하기도 한다.이 장에서는 기하학적으로 평면 평행한 평판구조를 가전 등온, 등압의 1차원적 대기를 기본모델로 설정하였다. 따라서 이 모델 대기에 의해 복사선이 흡수, 방출되는 과정은 복사전달식으로, 대기내 입자들 사이의 에너지 평형관계는 통계평형식으로, 전자의 개수와 총 입자의 수는 전하 및 입자보존식으로 기술하여 아래와 갇은 기본방정식을 세웠다.® 복사전달식 =l (0)-[1µ11(0, -µ)dµ=:의부경계 (2-1) =J11-S11:내부영역 (2-2)8 (gu) = _ ／ ( rmnx ) + £1µ, ( rmox, µ) dµ :내부경계 (2- 3 ) 통계평형식 AuHj +A;;11 ;+ 11 =O, j = I j = i + i =l, 2, …, NL (2-4) 여기에서 NL은 구속 에너지준위 (bound levels) 개수에 연속준위 (continuum) 를 더한 값이며 A 행렬의 요소는 다음과 같다.
(j< i인 경우) (2-5) (2- 6 ) (j>i인 경우) (2-7) 전하-입자보존식xmn (xmc+) = ne (2-8) x n; (X) + ne=N (2-9) 여기에서 X는 원자의 종류, n (Xm( + ) ）는 전자가 m개 이탈한 이온개수, ne 는 전자수 그리고 N 은 총 입자수를 의미한다.이들 관계식에 대한 세부적인 내용은 다음 절에서 설명하기로 한다.3 복사전달식평면 평행한 대기에 있어서 복사각 µ( cos ) 를 0<µ 1의 범위로 한정할 경우 복사전달식 (radiative transfer) 은 다음과 갇이 정리된다. 죽 대기 밖으로 빠져나가거나 안 쪽으로 들어가는 복사선에 대해서 각각 다음 식과 갇이 기술할 수 있다. (3-1 )=Iv(r —µ) -Sv(rv) (3-2)평균복사선의 세기 Jv 와 플럭스 F와 유사한 물리량을 각각 Uv ( rv, µ) [L ( r:,, µ) +Iv ( rv' —µ) ] /2 (3-3)Vv ( rv, µ) = [/v ( rv, µ) + l v ( rv, - µ) ] /2 (3-3)와 같이 정의한 다음, 식 (3-1) 과 (3-2) 를 더하거나 빼어 정리하면 다음과 같다.
=Uv( fv, µ) (r ) = (3-5)=Vv(r , µ) = (3-6)µ2 = Uv ( rv, — µ) - Sv ( rv) (3-7)위의 세 식을 퓨트리에 관계식 (Feautrier equations) 이라 부르는데 위 식에 µ와 µ2을 각각 곱하여 µ에 대해 적분하여 정리하면 아래의 식과 갇이 표현되어 3절의 통계평형식에서 요구되는 복사선의 강도분포 Jv를 결정하는 관계식을 제공한다.=l (0)-[1µ 11 (0, -µ)dµ : 의부경계 (3-8) =fu-S11 : 내부영역 (3-9) = - h11]11 ( rmDJ() + [1µ/11 ( rmax, µ) dµ : 내부경계 (3-10) 위 식에서 등장하는 fv, hv·는 가변 에딩턴 인수 (varable Eddington factor) 로 불리는데 다음과 같이 정의된 양이다.1'µ2 ll ; / 1u11,,,dµ (3-11)11µ 과/1u ,µdµ (3-12)
등방성의 복사장일 경우 fv 1/3, hv=1/2 이고 실제 이 에딩턴 인수는 가변하는 양이지만 위의 값에서 크게 벗어나지 않고 변화폭이 아주 작다. 이상과 같이 가변 에딩턴 인수를 사용하면 각 의존성이 강한 복사선 Iv(µ) 에 대한 복사 전달식을 각 의존성이 평균화되어 없어진 Jv에 대해 정리된 1차(경계) 혹은 2차(내부)의 편미분방정식으로 변환된다. 문제는 편미분 복사전달식을 푸는 것인데 여기에서는 적분법을 이용하지 않고 편미분방정식의 미분치 를 연속한 세 점의 함수값으로 근사한 차분법을 이용하여 수치계산하는 방법을 선택하였다.4 통계평형지역적으로 열평형 상태 (LTE) 에 있는 대기 내의 에너지 높이에 따른 입자수의 분포는 볼츠만 방정식 (Boltzman equation) 과 사하 방정식(Saha equation) 으로 간단히 구할 수 있다. 그러나 열평형 상태가 깨져 지역적으로 비열평형 상태 (NLTE) 에 도달하면 에너지준위별 입자수는 에너지 이전율 방정식 (Rate equation) 으로 결정해야 한다.유체운동이 활발히 일어나는 대기 내에서 복사선이 입자들과의 상호작용으로 에너지를 교환하고 대기 내의 열에너지로 입자 사이의 충돌현상이 빈번하게 일어나는 뭉리 상태에 대해서는 다음과 같은 방법으로 입자의 에너지이전율 방정식을 세울 수 있다.즉 에너지준위 i상태의 단위체적당 입자수에 대한 시간변화량 (ani .at)을 유체운동에 의해 단위체적으로부터 흘러 나가는 단위시간당 입자수 -V· (niv) 와 복사 및 충돌로 인한 원자 상태변화(atomic transition process) 로 단위체적 내 생성 혹은 소멸되는 단위시간당의 입자수 의 합으로 나타내면 다음과 갇다.= (4-1)
여기에서 ni, n;Pu와 j,는 각각 에너지상태가 i인 단위체적당 입자수, 에너지상태 i에서 벗어나는 입자의 수 그리고 i에너지상태로 바뀌는 입자의 수를 말한다.그런데 정상상태 (steady state) 의 경우는 입자수의 시간변화 （물리량)/ t=이가 일어나지 않기 때문에 변화율 식은 다음과 같이 정리된다.v • (11IV)=Z(11JPji-n,.Pij) (4-2)그리고 이 장에서 다루고 있는 정지상태 대기 (static amosphere) 의 경우는 대기 내의 입자속도 (v=O) 가 없으므로 식 (4-2) 는 (nj R,· n,.PiJ) =O J (4-3) 와 갇이 표현되는데 이를 통계평형 (Statistical equolibrium) 식이라 부른다. 여기에서 에너지준위 i에서 벗어나는 경로는 i보다 낮은 상태로 가라 앉는 하행로와 i보다 높은 상태로 들뜨는 상행로를 따로 나누어 취급해야 하고 마찬가지로 원자의 에너지가 i준위로 바뀌는 물리과정 역시 i상태로 들떠오르는 과정과 i상태로 떨어지는 과정을 별도로 고려해야 하기 때문에 njPji와 niPij는 다음과 갇이 기술해야 한다.211jPji = 2 njPjj + 2 nJPjj =I n1(R1,+ Ci,) + I ni (nJ n1) • (Rii+ Cii) (4-4)2n,.Pu=2niPu+ 2 ,1iPj =n, (ni/n,) • (Ru+ Ci,) + 1l (Ru+ Cu) (4-5)입자의 에너지 상태변화를 일으키는 복사와 충돌과정 모두를 고려하여 통계평형식을 정리하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.21lj (RJ.,+cji) + 2 nJ (nJ nj )·(RJi +CIJ) n, [ 2 (nJ/ n,) • (RIJ + Cu) + 2 (R,j+ CIJ) J =O (4-6) 그런데 식 (4-6) 은 다음과 갇이 n,에 대해 선형 형태로 정리되는 식이 된다. 2A,.J)1J+ A,,1l,+ 2 A i.J )1j =O J (4-7)여기에서 A행렬의 요소는 다음과 갇다.
A ij= (Rj ;+ Cji) (j< i인 경우)Aij= (4-8)Aij=(ni/nj)*(Rji+Cij) (j>i인 경우)모든 에너지상태 (i=l, 2, … , NL) 의 입자에 대해 고려하면 총 NL개의 연립방정식이 세워지는데 간단히 A • n=B라 하는 행렬식으로 전체를 표시할 수 있다.통계평형식은 ni에 대한 선형 연립방정식이기 때문에 A의 행렬요소가 알려지면 에너지별 입자분포는 간단히 계산된다. 그러나 i =1, 2, … , NL 개의 미지수와 NL개의 식으로 계산하면 모든 에너지상태에 대한 입자수ni값이 0으로 나온다. 따라서 이와 같은 해를 방지하기 위해서 전하보존식과 입자보존식을 첨가하여 미지수로 ne를 더해 총 (NL+1) 개의 관계식으로 입자의 개수를 구해야 한다.그런데 전하보존식 및 입자보존식을 대기 내에 있는 모든 종류의 원자에 대해 적용하면 각각 다음과 갇이 나타낼 수 있다. = ne (X) +ne=N 여기에서 X는 원자의 종류, n(Xm(+))는 전자가 m개 이탈한 이온개수를 의미한다.수소원자만으로 구성된 대기에 있어서는 아래와 같다.
11 L = 1le 111 + 112+ … + 11NL + ne=N (4-9)이상에서 에너지준위별 입자의 개수가 계산되면 이들 입자 사이의 에너지 이전으로 생성되는 스펙트럼선의 세기 변화에 관련된 차광량와 발광량을 구할 수 있다.5 차광및발광복사선이 물질에 의해 홉수, 방출 혹은 산란되게 되면 지역에 따라 어두워지거나 밝아지면서 복사선의 세기가 변해간다. 이와 갇이 변해가는 복사장의 지역분포를 결정하기 위해서는 물질에 의한 복사에너지의 차광량 (opacity) 과 발광량 (emissivity) 을 계산해야 한다.원자가 복사선의 광에너지를 흡수하여 둘뜨게 되면 그에 따라 연속 복사선에는 에너지가 빠져나간 흔적으로 흡수선이 나타나게 되어 차광된 정도를 확인할 수 있다. 그런데 복사선의 영향으로 원자의 에너지가 둘뜨면서 복사선을 이처럼 흡수 차광시키기만 하는 것이 아니라 복사선에 유도되어 원자의 들뜬 상태가 가라 앉으며 에너지를 복사선의 형태로 방출 발광하기도 하는데 이를 유도 방출 (induced or stimulated emission) 현상이라 한다. 따라서 물질과의 에너지 교환으로 복사선의 세기가 약해지는 정도는 차광계수 Xv 를 도입하여 순수하게 흡수되어 차광된 양에서 유도 방출된 양을 뺀 실차광량 XvIv으로 나타내고 물질에 의해 자연 방출 되어 복사선 세기가 증가하는 정도는 자연발광량 nv을 도입하여 표시한다.낮은 에너지 i와 높은 에너지준위 j 사이의 에너지 이전 (bound-bound transition) 으로 생성되는 주파수 vij의 복사선에 대한 차광량 및 방출량은 다음과 갇이 과정별로 나타낼 수 있다.아인슈타인 계수를 도입하면 복사선에 의한 들뜸으로 복사선에서 빼앗는 에너지는 n,·(BlJhulJ14T() (J) 로 표시되고 원상복귀하는 과정에서 유도 방출되는 에너지 양은 자연방출량은 ( ) 로 표현된다.
따라서 실제 차광량은 XuL = 11 i (Bi.Jh1.1,J / 4r) (/)/III _ 11j (Bj ih1.1ij /4r) (/)IIIU (5-1)= [ n· — (gJ gJ) nJ a,J ( u) I/ 그리고 자연 발광량은 TJ:; = U11.1 ul4ir) Aj i nj(/)= (2/11.13/c2) ni (g;/gi) au ( 1.1) (5-2)로 나타낼 수 있다.여기에서 Ajj, B,Jij, Bji,는 아인슈타인 계수, 는 정규화된 홉수(방출)선 윤곽을 말하는데 아인슈타인 계수 사이에는 다음의 관계식이 성립한다.Aji = (2hv3/c2) Bji, Bji;= (gi/gj) Bu aij ( v) = (Bijhvij/4 ) 상기의 구속-구속 (bound-bound) 이전에 대한 아인슈타인 관계를 Milne (1924)의 방법을 이용, 전자가 자유 이탈한 상태 사이의 관계로 확장, 일반화시켜 취급한 구속-자유 이전, 자유-자유 이전 그리고 산란에 의한 과정 모두를 고려하면 차광 및 발광계수는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.Xu=22 [nj_ (gJg) au(v) +~[n;-n;exp(-lw/kT)] a,/C (11) + nen/Ca/C/C ( 11, T) [1-exp(- hv/kT) ] + ne(Je (5-3)TJu = 2 2 (2l /c2) ni (g/11J) au ( 11) + ~ (2h113/c2) n/ a ( 11) exp (- h11/kT)+ 2 (2hv3/c2) exp (- T) (5-4) 물질에 의한 실차광량은 복사선의 세기에 식 (5-3)의 차광계수를 곱한 XvIv 11 이 되고 물질의 실제 발광량은 식 (5-4)의 자연발광량에 산란에 의한 발광성분 neIv 을 더해서 계산해야 한다. 그리고 식에서 보는 바와 같이 차광 및 발광계수 모두 에너지별 입자수에 대한 함수로 되어 있는데 물론 이들 입자수란 통계평형식을 만족시키는 값을 말한다.
6 차분식과 차분 복사전달식기본방정식에서 복사전달식의 경우는 편미분의 형태로 표시되는데 실제의 계산을 위해 다음과 갇은 차분법을 이용하여 근사 전개한다.어느 함수에 대한 1차 또는 2차 미분값은 테일러 정리를 이용하여 다음과 같이 그 함수값을 차항으로 근사한 관계식을 정리하여 구할 수 있다. 즉yi+1 (xi+ x, ） y, (x,) +x, . yx +-,)/2(r,-x, ) y;(x;) -x (x,) +Ax ,"(x,)/2두 식을 서로 더하고 빼어 정리하면 1;+1-;-1 = (Ax; + Ax,-½) y,-(x,-) + ( x _ Yi'’ (x,.) /2 Y1+1+Yi-I=2y,+ (Ax; - (x, ) + (Ax +Ax )y;"(x, )/2 이상에서 y', y”를 연립해서 풀면 다음과 같은 형태의 해가 얻어전다.y =piyi-1+qiyi+riti+1 (6-1)y=aiyi-1+biyi+ciyi+1 (6-2)여기에서pi = /[x, (x,+ +x, ] q,= (x, x, ) / (x, x, (6-3) r, = x, / 〔 ] 그리고
ai=1/[0.5 〕bi=-1/(0.5 X ; +- (6-4)Ci=1/[0.5 + ( - )]이상과 같이 어느 함수에 대한 x j점의 미분값 y,' 및 y;’는 식 (6-1) 과 (6-2) 에 의 해 연속한 3 접 (xi-1.xi,xi+1) 에서의 함수값 yi-1,, y yi+1 으로부터 대략 계산할 수 있다.복사전달식은 차분법에 의한 세 점 근사식으로 모두 정리하는데 수치계산을 위해 편의상 모든 물리량은 다음의 첨자로 분리 구별한다. 즉 깊이에 대해서는 d, 각각의 전동수에 대한 진동수접은 n 으로 나타낸다. 그리고 복사전달식을 차분화시키기에 앞서 발광원 함수를 다음과 같이 자연방출성분과 산란성분으로 나누어 기술한 발광량과 차광계수의 비로 치환하여 전개한다.Sd,n =(1/d,n + ne,d( 1Jd, 11)/xd,n(가) 외부경계에 대한 복사전달식 (1-1) 의 차분화의부, 죽 표면 ( =O) 경계에 대한 1 차 미분식 (1-1) 을 2 차 정도로 차분화하면 (fnJn)2= (fnJn)l +AnI2, 여기에서 [(/) /] = h1,nJ1n -EXTn [ (fnJn)/ 〕 =J1,n -S1,n =J1,n -( T/1 ,n + ne,1 n) /X1, n을 대입하여 정리하면 [fin +r +O.5 ( -)] - = (6-5) EXTn+0.5 / 로 표시할 수 있다. 단 EXTn = dµ 이다.
(나) 내부영역에 대한 복사전달식 (1-2) 의 차분화내부접의 복사전달에 대한 2차 편미분식 (1-2) 를 차분화하면ad,n(fnJn)d-1+bd,n(fnJn)d+Cd,n(fnJn)+d+1=Jd,n-Sd,n여기에서 ad,n=1/( )bd,n=-1/ Cd,n=1/ 를 대입하여 전개하면 -[fd-1n/( ) ]Jd-1,n + [fd,n (0.5 ) - +1]Jd,n (6-6) - [fd+1,n/ ( ) ] Jd+l,n = 1/d,nlXd,n 과 갇이 연속한 세 지점의 평균복사선 Jn 에 대해 정리된다.(다) 증심부에 대한 복사전달식 (1-3) 의 차분화중심에서의 관계식을 2차항까지 고려하여 근사하면(fnJn D+1 = (fnJn)D + +0.5 [ 2(fnJn)/ 2]d
중심 ( n= max) 에서의 대칭성(fnJn)D+1 = (fnJn)D-1 A rD+,n = A rD ,n 을 적용하면 다음과 감이 정리된다. - (fD-1/ ) JD-1+[fDn+[fDN/ -hdn+0.5 (1- )]Jdn =-INTn+0.5 /XD,n7 에딩턴 인수의 계산에딩턴 인수 (Eddington factor)fv,hv에 대한 식 (3-11), (3-12)를 계산하기 위해서는 식 (3-3), (3-4) 의. Uv, Vv 를 구해야 한다. 따라서 먼저 차분법에 의한 세점근사식으로 (3-5)~(3-7) 의 퓨트리에식을 정리해야 하는데 앞 절과 마찬가지로 수치계산의 편의상 모든 물리량은 깊이에 대해서는 첨자 d, 전동수점은 첨자 n 그리고 복사각점은 첨자 i로 구별한다.(가) 대기표면인 외부경계식 (3-5) 의 차분화를 위해 아래와 같이 근사 전개한다.U2ni U1,n,i,+ /:i ,n+0.5 ( / )1,n,i (7-1} =u i,n,i+/µi+0.5 ,n(Uini -S1,n)/µl2그런데 식 (4-1) 을 (4-2) 에서 뺀 결과를 경계접에서 생각하면 V1,n,i = U1,ni-In(1, -µ) (7-2) 오른편 두번째항은 표면에서 안 쪽으로 들어오는 의부 복사장을 말하는데 앞으로 I 로 표시 한다.
정리하면 아래와 같이 2차의 정도를 갖는 (3-5) 식의 차분화가 이루어진다.(1+µ,/ +0.5)U1ni-(µJ/ ,n)) U2,n,i=InEXT +0.5 ( /µi)S1,n(d= 1) (7-3)(나) 내부영역식 (3-6) 은 차분법을 이용하여 다음과 갇이 나타낼 수 있다.µi2((ad,nud-1,n,i+bd,nud,n+Cd,nud+l,ni) = ud,n,i-Sd,n (7-4)여기에서 adn, bd,n 및 Cd,n 는 아래 와 같다.ad,n = 1/ [0.5 rd .,, ( -½,n) bd,n = -1/ (0.5+J. rd+- ) (7-5)Cd,n=1/[0.5 ( - ]그런데 여기에서 d,n=1/2( rd+i-,n+ d ,n) 으로 정의하여 전개하면 (7-4) 식은-µi/( rd,n rd ,n) Ud-1,n,i+ (1+2µ2/ ), Ud,n,i - (µi2/ rd,n rd ,n) Ud+1,n=Sd,n (d=2, 3, … , D-1) (7-6) 와 갇이 연이은 세 점에서의 값으로 정리된다.(다) 중심의 내부경계의부경계와 같은 방법으로 u에 대해 전개한다.UD+l,n,i ~ U,n,i+0.5 /DNi그런데 위 식에 중심에서의 대칭성uD+1.n,i= uD-1,n,i, ( / ) D,n,i= = ( / )D,n,i=(ud,n,i-SD,n)/µi2 울 적용하면 다음 식으로 정리된다. _µi2/ (0.5 )uD-1,n,i+(1-2µ/) uD+1,n+1 (7-7) =SD,n-2µi/( D n,i) (d=D)
이상의 퓨트리에식을 요약하면 다음과 갇은 형태의 연립방정식이 된다. B1,n,i llt,n,i - C1 ,n,i ll2,n, i = L1,n,i -Ad,n,i l-ld-1,n,i + Bd,n, i lld,n,i - Cd,n, i lld+l,11,i = Ld,n, i (7-8)-Av,n,i llD- 1, ,i + Bv,n,i llD,n,i = Lv, ,i이 연립방정식을 행렬식으로 표시하면 (7-9)-ABzInnj,i ,_ Bc2Inn;,i ,— C2 n; , Utt2lnn ii LL12nnii , -Adni, Bdni, - Cdni , Udni Ldni ,-AD-Inf, BD-ln1·, -CD -Inf UD-lni , 一 ADni, BDni UDn{ LDni
표면에서 중심까지의 각 지점에 상당하는 좌변의 정사각행렬에 대한 각 행렬요소는 다음과 같다.
B1 n,i=l+2µ/ .n/C1 n,i=2 / n d=1 (7-10)L1,n,i=2µ/ +S1,nAd,n,i = µ2/ ( rd ,n rd,n)
Bd,n,i=1 +2 / (.nArd ,n) (d=2,3,4,...,D-1) (7-11)Cd,n,i=µ2i/( )Ld,n=Sd,nAD,n,i=µi/ rD ,nBD,n, _1+µ, /ArD ,n+0 54rD n/µ; d=D (7- 12)LD,n,i =-ID,n+ +0.5 ( rD.n/µ;) SD,n위의 연립방정식은 다음과 같은 소거법으로 풀 수 있는데 아래와 같이 정의된 변수 D1 Ci ,n,i/B1,n,i (7-13)Vi =Li,n,i/B1,n,i 를 도입하면 (7-8) 의 첫번째 식은 아래와 갇이 정리된다. U1,n,i=D1U2,n,i +L1,n,i마찬가지로 Dd=Cd,n,i./(Bd,n,i -AdniDd-1) (d=2, 3, … , D-1) Vd=(Ld,n,i+Ad,n,iVd-i)/(Bd,n,i-Ad,n,iDd-a) (d=2,3,....,D)와 같은 변수를 도입하면 (7-8) 의 두세번째 식은 다음과 같다.uD,n,id=Ddlud,n,i +Ld,n,i (d=2, 3, … , D)위 식에서 를 부터 하나씩 증가시켜 계산하면 d=D 일 때는 DD=O 이 되기 때문에 곧바로 VD값이 UD,n,i값으로 결정되므로 이 값에서 거꾸로 d를 감소시켜 계산하면 모든 깊이점에 대한 Ud,n,i를 구할 수 있다.UD.n.i= VDUd,n,i=Ddud+1,n,i+vd,(d=D-1, D-2, … , 2, 1) (7-14)이상과 같은 소거방식을 퓨트리에 소거식이라 하는데 다음 절의 완전선형화 기법에서 다시 언급될 것이다.
따라서 구하고자 하는 에딩턴 인수 fv 와 hv는 식 (3-11), (3-12) 에 의해 아래와 같이 계산되는데 본 계산에서는 가우스 구적적분 (Gauss quadrature integration) 방법을 이용하였다.fv= iwiµi2u1,n,i/ iwiu1,n,i (7-15)hv= iwiµiu1,n,i/ iwiu1,n,i (7-16)8 완전 선형화 기법차분식으로 표시된 복사전달식, 통계평형식 그리고 전하 • 입자보존식을 연립하여 복사장의 세기 Jn, 에너지높이별 입자수 ni 를 구하는 방법에 대해 설명한다.대기의 내부지점, 깊이 d에 대해 구하고자 하는 각 물리량의 가짓수는 다음과 같다. 복사장 (J1, J2, …, JNF)d, 에너지준위별 원자수 (n1 . n2, …, nNL)d, 전자 밀도 n e,d로 모두 (NF+NL+l) 개이다. 그런데 L의 두께를 가전 대기를 표면에서 중심까지 모두 D개의 지점에 대해 위의 각 물리량을 구할 경우에는 미지수의 개수는 모두 (NF+NL+1) xD로 늘어난다. 미지수의 개수만큼 수식이 존재하기 때문에 해를 구할 수는 있는데 미지수에 대해 선형이 아닌 비선형 형태의 연립방정식으로 표현되기 때문에 그리 간단히 계산되지 않는다.그러면 비선형 연립방정식 F( )=O을 만족시키는 근 ¢를 구하는 방법을 생각해 보자. 우선 관계식을 데일러 정리로 전개한 다음 1차항만으로 근사하면 다음과 같다.F( +1) F( i)+ 여기에서 좌변 F( +1) 에 을 대입하면F'( ) =-F( ) 로 정리되어 연립된 모든 관계식이 미지수 ¢,의 변량 에 대해 선형화가 실현된다. 위 식에서 를 구하는 방법으로는 널리 알려진 가우스 소거법이나 역행렬 계산법 [ =-F'-1( ) • F( )]이 이용될 수도 있으나 미지수가 많을 경우 행렬의 크기가 대규모로 커지기 때문에 행렬요소의 배열 형태에 따라 고안된 특수한 소거법이 추천된다. 여기에서는 미분방정식을 세 점 근사 차분법을 이용하여 정리한 결과 방정식의 행렬내부가 세 줄 대각선으로 늘어선 배열형태를 갖고 있는데 이와 같은 형태의 연립방정식을 푸는 데에는 앞에서도 언급된 퓨트리에 소거방식이 가장 효율적인 것으로 알려져 있다.
소거법을 이용하여 초기값 o 에 대해 계산한 이 구해지면 = + 의 관계에서 초기치를 개선한 값 이 얻어지는데, 보정치 가작아져 | |β1,n = (f1,nJ1.n f2n.J2,n) / (0.5n) (8-2) b1,n= (βl,n + S1,n-J1,n ) / (x2,n + X1.n) C1,n = b1,n
ii) 내부영역에서는 _ [fd-1.n/( n- rd,n ) ] Jd-1.n (8-3) - iadn( / )d-1 nid-1-ad,n( / )d-a ne,d-1 +[fd,n/ d,n)(1/ +1/ )+1-ne,d / ] Jd,n + [(Sd,n/Xd,n-bd,n)( / )d-(1/xd,n)( / )d] ni,d +[(Sdn/xdn-bdn)( / )d-(1/xdn)( / )d- Jdn/Xdn] ne,d -[fd+1,n/ )] Jd+1,n- cd,n( / )d+a ni,d+1 -cd,n( / )d+1 ne,d+1=βd,n-Jd,n+Sd,n 여기에서 ad,n = (fd,nJd,n-fd-1,nJd-1n)/( ) (8-4) rd,n = (fd,nJd,n-fd+1,nJd+1,n)/( ) βd,n=ad,n+ Yd,n ad.n= [ ad,n +0.5 ( rd ,n/ rd,n) βd,n]/ (xd-1,n+Xd,n) Cd,n = [ rd,n + o.5( . rd+-}, . βd,n)] / (xd+l,n + Xd,n) bd,n = ad,n + Cd,n 울 말한다.iii) 중심부에서는 (8-5) _ [fD-1,n/ (0.5 .n) ] JD-1,n - aD,n ( / ) D-1 n1,D-I -aD,n ( / ) D-1 ne,D-I + [fD.n/ (0.5tl d,n) - hD,n/ (0.5 rD n) + 1-ne,o /XD. 』 JD,n + [ (SD,n/XD,n-bD,n) ( / )D- (1/XD,n) ( / ) D] ni,D [ (SDn/xDn - bDn( xn/ ne)D-(1/XDn) ( n/ e) D- JDn/xDn] ne,D= —βD,n-JD,n+SD,n
여기에서 aD,n=(fD.JD,n-fD-I,JD-1,n)/(0.5,n)(8-6) rD,n=(hD,JD,n-InINT)/(0.5rD,n) βD,n=aD,n+rD,n aD,n=[aD,n+0.5(rD,n/AβD,n]/(xD-1,n+XD,n) CD,n=[rD,n+0.5(on/ro,n)βD,n]I (xD+l,n+XD,n) bD,n=aD,n+cD,n 울 말한다.이상과 같이 전개한 복사전달식의 미분값을 계산하기 위해서는 다시 차광 및 발광계수에 대한 미분이 요구된다.iv)차광계수 (opacity)와 발광계수 (emissivity)의 1차 도함수 xv/ni=(axv/ani)b-b+(ax11!an,)b-f (8-7) = av (v) + aik ( v) axv/anj= (axv/ani)b-b= - (gi/gj) aij (v) (8-8) axv/ank= ( xv/ nk) b-b + ( xv/ nk) b-f (8-9) = -ne(gi/gp) C,T aik (v) + neakk (v, T)[1-exp(-hvk/kT)] axv/ane= ( xv/ ne) b-f + ( xv/ ne)f-f + (axv/ane) etec (8-10) = -nk (gi/gp) C1T- (v)+nk kk(v,T)[1-exp(-hvk./kT]+ / =( / nj)b-b=(2hv3/c2)(gi/gj)aij(v)(8-11) / nk=( / _b-b+( / k)b-f (8-12) = (2hv3/c2) ne[ (gi/gp) C1T aik (v) +exp(-hv/kT) akk (v, T) ] / ne= ( / ne) b-b+ ( / ne) b-f (8-13) = (2hv3/c2) nk [(gi/gp) C1T aik(v) + exp (- hv/kT) akk(v,t)]](나) 통계평형식의 1차 도함수
통계평형식 A•n=B를 미지수의 변량에 대해 선형화시키면 다음과 같이 나타낼 수 있다. ( A/ )n+A(an/ )- B/ ] =-A • n+B 즉(aA/a ) n +A n= -A • n+B대기 내 임의의 깊이점 d에서 성립하는 입자들의 에너지 평형에 대한 통계평형식을 위 식과 같이 모든 물리량의 변량으로 정리하면 [ ( Aij/ Jk)nj,d+( Aij/ Jk)ni,d+ ( / )nj,d] Jd,k + Aij njd+Aij nid= Aij nj,d+[ ( Aij/ ne)nj,d+( Aij/ane)ni,d + ( Aij/ane)nj,d] ne,d = Aijnjd-Aiini,d- Aijnj,d+Bi (8-14) 우선 각 물리량에 대한 행렬 의 미분식은 아래와 같이 정리된다. aAij/aJk =4 wkaij(vk)(hvk)-1(gi/gj)(j1- C1012=L1 -Ado1>d-1 +Bdo,f,d- cda1 d+1 =Ld (d=2, 3, … , D-1) (8-16) -AD D-1+BD D=LD d=D 위 식을 모든 깊이 (d=l,2, ,D) 에 대한 행렬식으로 표시하면 식 (7-9) 와 같은 형태로 나타낼 수 있는데 미지수 =1,2,··,D 는 퓨트리에 소거법을 이용하여 구한다.
여기에서 d= [ J1, Ji, …, JNF, n1, n2, … , nNL, ne]d (8-17) 의 컬럼 매트릭스 벡터를 말하고 행렬 A, B, 는 계산하고자 하는 깊이접의 개수, 진동수점 수 및 원자의 에너지준위 수를 늘려감에 따라 거대한 크기를 갖는 정사각 행렬 (NF+NL+1)x(NF+NL+l)로 성장하게 되는데 이들 행렬의 각 요소는 다음과 같다.A와 C행렬의 형태 (8-18)1 2… … n ...... NF 1 2 ……………………… NL 1 \전서 ]N]]]1n2F *, , *, ,*, ,* ****,,,, ****,,,, ……………………………………………………………………………………,,,, **** **** n1 ! ”n2i 핥 nNL “'e
B 행렬의 내부형태 (8-19)
1 2… … n ...... NF 1 2… … 1li • ••••• NL 1 식달전] ]]]]N1n2 F *, ,*, ,*, ,* ****,,,, ****,,,, ……………………………………………………………………………………,,,, **** **** 1: 11ll 12' *** ’,, *** ,’, . .……...……...……. ’ ***, ,’ ……....……....……. ’ *,,** ***,,, ***,,, ………………………,,, ***,,, ………………………,,, *** *** “NL *’ * ’ ........ ' *’ ......... ’ * *, *, ………, *, ………, * * 11e *, *, ………, *, ….. ;…, * *
행렬 중 *로 표시된 칸은 식에 의해 행렬요소 값이 주어지는 것을 뜻하고 비어 있는 칸은 행렬요소 값이 이 됨을 의미한다.
i)표면 (d=l) 에서의 각 행렬요소B(n,n) =f,n/ (0.5/ , n) + h1,n/ (0.5/ ,n) +I- ne,I /Xl,nB (n, NF+ i) = (SIn/xn-bIn) ( xn/ Ni) l- (aT/n/a,1,) 1/xIn(i=I, 2, … , NL)B(n, NF+NL+I) = (S1nlx,n-b1n) (axnlane),-(aTJnlane) ilx,n-<1J1n/X1nC ( 11, n) =An/ (0.5/1 ½,n)(n, NF+ i) =c1,n(axn/an;)2 i =l,2, …,NL (8-20)
C(n, NF+NL+I) =c1,n(axn/anehL ( n) = -/3l.n -J1,n + S1,n + (EXTn -h1.J1,n) / (0.5 ,n)ii ) 내부영역 (d=2, 3, … , D-1) 에서의 각 행렬요소A ( n, n) =fd-1,n/ (6. rd ,nA rd,n) (8-21)A (n, NF+ i) =ad,n ( / ) d- 1A(n, NF+NL+ l) =ad,n.( xn/ ne)d- lB ( n, n) = (fd,n/ . rd,n) (1/ . rd ,n + / ,. rd .n) + 1 — 1le,d d,11B (n, nF+ i) = (Sdn/Xdn-bdn) (axnla11;) d- (1 /Xd,n) (aTn/an) dB (n, NF+NL+ 1) = (Sdn/Xdn- bdn) (ax,ilane) d- (aTJnla,ze) di Xdn -aJ dnlXdnB (NF+ i, n) = ~ (aAu/ ) 12 ,d+ (aAu ) Jl d+ ~ (aAu/ ) Jlj,dB(NF+ i, NF+j) =L A ij+A + .L A ij j =I B (NF+ i, NF+NL+1) = ~ (aA;.J ane) 11},d+ (aAu!ane) 1li,dNL + ( / ) 11;,d C ( n, n) =/d+ 1,n/ (D. rd+½,nD. Td,n)C(n, NF+i) =cd,n(axn/an)d+I (i=l, 2, … ,NL)C(n, NF+NL+l) =cd,n(axn/ane)d+IL(n) =/3d,n+]d,n-Sd,nL(NF+ i)=-Aun;,d-Aun.-,d- Au l J,d+B,iii) 내부경계접 (d=D) 에서는 A(n, n) =/0-1,n/(0.5 D-½,n) (8-22) A(n, NF+i) =ao,n(axn/a11;)0-1 C(n, NF+ i) =c1,11(axn/an;)2 i =l,2, …,NLA(n, NF+NL+I) =ao.n(axn/anch-1 B ( n, n} =/o,n/ W . 56. d,n) -lzo,nl (0 . 56. ro ,n) + I - nc.D(Jc/Xo,n B (11, NF+ i) = (SD,n/XD,n-bD,n) ( ) D- (1/xD,n) ( / ) D B(n, NF+ NL+1) = (Svn/Xon-b티 (8xn/8nc)D-nn/ 1c)D/xDn-JDn/xDn L ( n) = - ,11 -J,n + Sv,n
복사전달식, 동계평형식, 전하 • 입자 보존식을 모두 담고 있는 위의 연립방정식을 가장 효율적으로 계산하기 위해 앞에서 설명한 퓨트리에 소거법을 사용한다.즉 식 (8-16) 에서 d=l의 경우 D1 B1-1C1, V1=B1-1L1 과 같이 정의하면 =D1 2+ v1 로 정리되고, d=2 에서는 (B2-A2D1)-1C2 (B2-A2D1 (L2+A2vd 로 정의하면 2=D28 3+ 로 표시되는데 일반적으로 임의의 깊이 d에 대해 (Bd-AdDd-1)-1Cd (Bd-AdDd-1)-1 (Ld+AdVd-1) 로 정의한 매개변수를 도입하면 연속한 지역의 변량 사이에는 다음의 관계가 성립한다.d = Dd ¢id+ I + Vd (8-23) 위의 Dd, Vd 값은 경계에서 계산된 DI, v1 값을 가지고 를 증가시켜 d= 2,3, ,D까지 차례대로 계산해 나갈 수 있다. 그런데 내부경계인 d= 에서는 CD=0 이기 때문에 DD=0 이 되어 결국 D=vD 관계가 성립하면서 내부경계에서의 변량 값이 독립적으로 결정된다. 따라서 내부 영역에서 표면에 이르기까지의 미지수 변량 는 결정된 값으로부터 거꾸로 d=D 1, D-2, … , 2, 1 순으로 감소시켜 (8-23) 식을 계산하면 모두 구할 수 있다.
9 계산 결과와 논의이상과 같이 non-LTE 문제 전반에 대한 내용을 기술하였는데 이 장의 핵심인 수치계산은 (2-1) ~ (2-9) 의 기본방정식을 차분법에 의해 완전 선형화 기법으로 정리한 (8-16) 식을 (8-23) 의 퓨트리에 소거법으로 푸는 것이라 요약할 수 있다. 따라서 계산프로그래밍은 앞에서 설명해 온 차례대로 실행되어야 하는데 개괄적인 흐름도는 다음과 같다.이 장의 비열평형 모델대기 계산을 위한 전산 프로그램은 대형계산기는 물론 개인용 계산기를 활용할 수 있도록 작성되었는데, 프로그램 내의 총 배열크기는 약 600K 바이트를 넘지 않도록 하였으며 대규모의 계산을 위해 보다 큰 배열선언이 요구될 경우에는 램이나 하드디스크 등의 기억장치에 기록해 두었다가 읽어 들이는 방법을 선택하였다. 그런데 현재에는 고급언어의 컴파일러 발전으로 도스운영체제 하에서도 설치된 램 메모리를 CPU의 총메모리로 사용가능하기 때문에 4M의 램이 있다면 거의 3M 정도의 배열선언이 가능하여 대형계산기와 동일하게 PC를 사용할 수 있게 되었다.이 계산은 전체적으로 배정도 (double reci ss on) 의 연산을 하지 않고서는 결과가 수령하지 않는다. 또한 반복계산하여 비록 개선된 값이 얻어기본 파라미터 입력 총입자수 N, 온도 T 및 대기두께 W 광학적 두께가 얇은 분광선에 대한 복사이전율 및 충돌이전율을 계산하여 고정된 값으로 사용 반복계산 각 물리량의 초기치 설정 광학적으로 두꺼운 분광선에 대한 복사 및 충돌이전율, 통계평형식, 차광, 발광량 계산 에딩턴 인수, 차분복사전달식, 퓨트리에 소거식 써 d= [oh · .. ,af F,on1,···,onl,an 』 d = l,D ,P; +1 = 0
지더라도 한 번 더 정렬시켜 조속히 수령할 수 있도록 다듬지 않으면 계산시간이 길어져 대형계산기의 경우 경제적으로 큰 손실이 있을 수 있다.
계산에 요구되는 초기치는 구하고자 하는 해에 가능한 한 가까운 값이 좋다. 예로서 홍염이 광학적으로 그 두께가 얇은 경우는 내부의 복사장 분포에 대한 초기치를 의부복사장 값으로 취하거나 광학적으로 두꺼운 경우에는 흑체복사장을 가정하여 계산을 시작한다. 따라서 에너지준위별 입자수에 대한 초기치는 이상의 복사장을 가정하여 계산한 통계평형식의해를 택한다. 이와는 반대 순서로 지역적 열평형 상태 (LTE) 를 가정하여 모델온도에 대해 계산한 에너지준위별 입자수를 초기치로 먼저 택한 다음 차분복사전달식을 퓨트리에 소거법으로 계산하여 구한 복사장 분포를 초기 복사장에 대한 출발치로 하여 계산을 시작하는 방법도 있을 수 있다.
우선 두께 5,000km, 총입자수 1012cm-3 그리고 온도 7,000K의 모델
Column Mass (g/c m2)
그림 3-1
홍염에 대해 비열평형 (NLTE) 계산을 수행하였다• 그림 3-1 에서 보이는 것처럼 홍염 내부 전역에 걸쳐 물리량의 변화가 거의 없다. 이는 홍염의 온도를 표면경계에서 침두해 오는 의부복사장 중 라이만 연속선의 복사온도와 거의 비슷하게 설정하였기 때문이다. 깊이점의 수 30 개, 주파수 점의 수는 45 그리고 개의 에너지준위에 대해 계산을 수행하면 미지수
Column Mass (g/ c m2)
그림 3-2
의 개수는 총 30X (45+6+1) 1,560개로 25MHz의 386 계산기로 약 1시간이 소요된다.
위와 동일한 두께와 입자수를 가졌으나 온도를 5,000K 로 내린 홍염의 물리상태를 위와 같은 방법으로 계산하였다. 그림 3-2 와 3-3 에 나타난 바와 같이 복사장과 에너지별 원자수에 있어서 지역별 분포 차이가 심하
Column Mass (g/ c mz )
그림 3-3
다. 그런데 경계인 표면에서 내부중심에 이르기까지 구하고자 하는 물리량의 분포가 큰 변화를 보일 것으로 예상이 되는 모델계산의 경우에는 상당히 많은 계산시간이 요구되며 경우에 따라서는 계산 자체가 수령하지 않기도 한다. 이와 같은 때에는 초기치 를 바꾸어 보다 실제치에 가까운 값으로 조정해 넣어야 한다.
위의 계산결과는 이미 (K m. 1987) 에 의해 소개된 바 있는데 본 계산에 의한 에너지준위별 원자수 결과와 히슬리와 미할라스 (Heasley와 Mihalas, 19 6) 의 계산결과를 함께 비교하였는데 같은 모델에 대해서는 거의 비슷한 값이 계산되었다.이상에서 살펴본 바와 같이 본 계산에 의하면 어떠한 대기 모델이라도 초기치를 잘 설정해 주면 부여된 모든 물리적 제한조건을 동시에 만족시켜 주는 값을 안정되게 구할 수 있다. 더욱이 이 복잡한 대기모델계산이 대형계산기가 아니더라도 범용의 개인용 계산기만으로도 계산규모를 적당하게 잡으면 훌륭히 그 처리가 가능하다. 그리고 이 대기모델계산에서 축적한 비선형 편미분 연립방정식에 대한 풀이경험은 어떠한 물리계의 어떠한 문제를 막론하고 미지수만큼 수식이 존재하는 이상 그 해를 구할 수 있다는 자신감을 더해 줄 수 있으리라 기대한다. 비록 본 계산의 기본 수치 알고리즘이 뉴턴- 랩손 (Newton-Raphson) 방법으로 복잡한 비선형 연립방정식도 쉽게 선형화시킬 수 있는 장점은 있지만 관련 연립방정식의 1차 도함수의 계산이 필수적이다. 따라서 이 도함수에 의한 1차 미분값이 정확히 계산되지 않으면 절대로 수령하지 않기 때문에 연립식이 비선형으로 복잡하게 얽혀 있을 경우는 이 작업에 상당한 시간과 노력을 기울여야 하는 단점이 있다.참고문헌
Auer, L., 1971, J.Q.S.R. T. 11, 573.Auer, L., 1973, Astrophys. J. 180, 469.Feautrier, P., 1964, C.R. Acad. Sci. Paris 258, 3189.Gingerich, 0 ., R., Noyes, W., Kalkofen, and Y., Cuny, 1971, Solar Phys. 18, 347.Heasley, J.N. and Mihalas, D., 1976, Astrophys. J. 205, 273.Kim, K.S., 1987, Solar Phys. 114, 47.Mihalas, D., 1972, NCAR Technical Note NCAR-TN/STR-76, Boulder, National Center for Atmospheric Research.Milne, E., 1924, Phil. Mag. 47, 209.Rybicki, G., 1971, J.Q.S.R. T. 11, 589.Vernazza, J., Avrett, E, and Loeser, R, 1976, Astrophy. J. Supp. 30, I.제 4 장 MHD 파동방정식의 수치해석연구
이동훈1 서론우주로부터 관측되는 전자기파는 발생 원인과 특성에 있어서 매우 다양하다. 우선 주파수에 있어서 선, 선부터 라디오파에 이르기까지 여러 종류가 존재하며 기존 천문학 및 우주과학의 각 분야를 담당하고 있다. 지난 30 여년 동안 위성과 로케트를 이용한 우주관측이 서서히 활발해지면서 기존 주파수 영역을 더욱 확장하게 되었으며 한편으로는 새로운 종류의 전자기파들이 알려졌다. 이들은 기존 전자기파들보다 주파수가 비교적 낮으며 에너지가 매우 작은 관계로 지상에서의 관측이 어렵고 우주공간에서도 국지적인 직접(insitu) 관측으로만 측정이 가능하다 (Singer, 1982). 따라서 관측은 대부분 의계에서 직접 이루어지므로 관측자료는 아직까지 태양계 우주 공간에 한정되어 있다. 우주공간은 풀라즈마 상태에 있으므로 이들은 매질의 특성상 풀라즈마파라 할 수 있으며 그 중에서도 주파수가 가장 낮은 파들을 극초저주파수 (ULF) 파라고 부른다. 그 주파수 영역은 지역에 따라 크게 다르지만 지구 근처 우주공간에서는 대략 1Hz 이하이다. 이와 갇이 주파수가 매우 낮거나 천천히 변화하는 물리적 운동과 파동현상은 자기유체역학(magnetohydrodynamics 또는 MHD) 을 사용하여 조사할 수 있다. 대체로 MHD 방법이 가능한영역은 시간적으로 매질을 구성하는 풀라즈마 중에서 이온의 회전주기보다 느린 변화이며 공간적으로는 이온의 회전반경보다 큰 거리에 해당된다. 이러한 MHD 로 기술된 파동이 주어전 매질과 자기장의 형태에 따라 어떠한 성질을 갖는지 조사하기 위한 수치모델의 개발에 대하여 알아보자. 2 절에서는 MHD 를 이용한 파동방정식의 유도과정과 기본성질을 기술한다. 또 파동의 에너지 관계식을 정리하며 임의의 자기장과 매질을 가정하여 파동관계식을 일반적인 3 차원 공간에서 구해본다. 3 절에서는 MHD 파동방정식을 유한차분법에 의한 수치모델로 나타내기 위하여 여러 필요조건을 기술하고 기본적인 예를 들어 관련된 수치 해석 방법을 설명한다. 특히 수치모델의 경계들에서 각 물리량들이 만족해야 할 경계조건을 자세히 기술하고 실제 모델에서 사용될 때 수치적으로 어떻게 사용되는지 알아본다. 끝으로 기존 모델들의 계산결과 를 간단히 소개하고 모델의 안정성을 확인하는 방법을 고려한다.
2 MHD 파의 이론적 배경2-1 MHD 파동방정식의 유도행성의 대기충과 전리층을 벗어난 우주공간에서의 물질은 풀라즈마, 죽 전리상태이다. 이들 전하임자들은 충격파 (shock) 부분이나 자기권 표면 등의 일부 경계가 되는 지역들을 제의하고는 대부분 동적 평형상태에 있으며 속도분포에 있어서 각 방향에 따라 열적 평형분포에서 크게 벗어나지 않는다. 따라서 태양풍과 행성자기권에 존재하는 주파수가 낮은 전자기파 (ULF wave) 는 대부분 MHD 파로 고려할 수 있다. 등방적인 매질에서의 MHD 식들은 다음과 같다. + (pv)=0 (2-1-1)p( + v . )= - P+ x .B +v v+F (2-1-2) pc T(log ) = E Q+H (2-1-3) E+ vx.B=〔 +v • (lv+ v) ( .B- )(2-1-4) 식 (2-1-1) 은 질량보존을 위한 연속 (continuty)방정식이고, (2-1-2) 와 (2-1-3) 은 각각 운동방정식과 상태방정식이며 (2-1-4) 는 일반화된 오음의 법칙이다. 여기서 p는 질량밀도, t는 시간, 5 는 유체속도, P는 압력, 는 전류밀도, E 와 B 는 전기장과 자기장, Cv는 비열, T는 온도, Q는 열흐름 (heat flux), F 와 H는 의부에 의한 힘 (즉 중력)과 열이동 (heattransfer)을 나타낸다. 그리고 p, J 는 속도분포함수 f( , v,t)와 다음 관계식을 만족한다.
p=qs d3v/(x, v, t) (2-1-5) = sd3vvf( , 5, t) (2-1-6)식 (2-1-1) ~ (2-1-6) 은 맥스웰 방정식들과 함께 일반적인 전하임자유체의 성질을 기술한다. 이때 태양 표면이나 행성대기권에서 비교적 멀리 떨어져 있는 우주공간을 고려하면 입자들의 열운동은 비교적 작아지고 (cold plasma approximation) 따라서 압력 P는 일정해지며 전도도 a는 매우 커지므로 위 식들은 이른바 이상(ideal) MHD 식으로 표현된다. ( )=O (2-1-7)p( + U • )= l X B(2-1-8)E+ v XB=O(2-1-9)변수는 P, v, , E, B의 13 개이며 (2-1-7)~(2-1-9) 의 방정식은 모두 7개이다. 다음 맥스웰 방정식에서 6 개의 식이 추가되며 따라서 (2-1-6) ~ {2-1-11) 의 필요한 식들을 모두 얻게 된다(맥스웰 방정식은 주어전 전하밀도와 전류에 대해서 실제 방정식의 개수는 6개가 됨을 기억하자). - aB v' XE=- (2-1-10) - 9XB=μ。l+ (2-1-11) 여기서 위 식들은 자기유체의 전체적인 성질을 포함하고 있으므로 파동 (wave) 과 유체 의 흐름 (convection) 을 분리시켜 보자. E=E。’ +E1’ B=B。+BI -·. , , =Jo+1 v= Vo+ V1 p=p。+Pl 여기서 0으로 표시한 부분은 유체의 흐름이나 의부에 의한 물리량이며 1로 표시한 부분은 파동에 의한 섭동량이다. 즉 E, B, J, , 로 주어전 매질을 극히 미량 섭동시킬 경우 발생하는 파동에 해당되는 변화량들을 E, , , , 으로 고려한다. 식 (2-1-7) ~ (2-1-11) 은 원칙상 비선형식이므로 위와 갇이 유체흐름과 파동을 구분하는 것은 불가능하지만 전자의 물리량은 후자보다 일반적으로 매우 크므로 이러한 근사가 가능해전다. 만약에 MHD 파동에 의한 변화량이 유체흐름에 근접할 정도가 되면 이를 비선형 MHD 파라 부르며 성질이 크게 달라진다. 이와 갇이 파동과 대류의 구분이 어려워지는 경우는 태양풍이나 행성자기권이 상당히 빠른 변화를 보일 때 발생하므로 여기서는 동적 평형상태의 비교적 〈조용한〉 우주공간을 고려하면 위의 차수 전개방법은 매우 유효하다. 따라서 식 (2-1-7) ~ (2-1-11) 에 다음 조건을 사용하여 외부의 영향이 없는 입자들의 정지좌표계를 가정하면 전기장과 자기장에 관련된 파동방정식들을 얻을 수 있다.
A。>A, (A=E, B, J, v, p)Po=Ti x (2-1-12)
E1+ v1 X B =0 (2-1-13) i=- t(2-1-14)- 1a 'v X B1 =1 (2-1-15)위 식에서 , 를 소거하면 - - E l XE,=- ( X ) =( 여기서 VA 는 알펜 (Alfven) 속력, 즉 B/ μ이며 는 주변 자기장 에 대해서 수직한 성분을 나타낸다. VA 는 일반적으로 광속보다 훨씬 작은 양이므로 다음의 간단한 파동방정식을 얻는다(섭동량을 표시하는 차수1 을 생략하자). (2-1-16) = (2-1-17)2-2 매질에 따른 MHD 파의 기본 성질2-2-1매질이 균일한 경우(p o= 상수, Bo= 상수)이 경우에는 알펜 속력이 상수가 되며, 식 (2-1-16), (2-1-17) 에서 두 가지 종류의 독립된 파가 유도된다. 죽, 파의 진행방향이 주변 자기장의 방향과 관계없는 압축성 (compressible 파와 자기장을 따라서만 전파되는 비압축성(incompressible 파가 있다. 전자의 경우 알펜 압축성 파, 자기음파, 등방파 (Alfven compressional wave, magnetosonic wave, magnetoacoustic wave, isotropic mode) 등으로 불리며 후자는 알펜파, 횡파(Alfven wave, Alfven shear mode, transverse wave)와 같이 사용되기도 한다. 이들의 분산방정식은 다음과 같다.
(J) 2=k2 Vi( ) (2-2-1)(J) 2= k, VA2 (2-2-2)만약에 식 (2-1-7)~(2-1-9) 에서 온도가 울라가면 압력에 관한 항이 추가되는데 이때 비압축성 파는 변화가 없으나 압축성 파는 다시 고속, 저속파(fast, slow mode) 로 분리된다. 그리고 온도가 더욱 울라가면 비압축성 파도 영향을 받게 되고 입자들의 열운동 효과가 포함된 동역학적 알펜파 (kinetic Alfven wave) 가 된다 (Hasegawa 와 Uberoi, 1982).2-2-2 매질이 불균일한 경우(p。( ) 또는 B。(x))알펜 속력이 불균일하게 되므로 식 (2-1-16), (2-1-17) 에서 두 개의 독립된 파동은 더 이상 존재하지 않게 된다. 즉 압축성 파와 비압축성 파는 서로 혼합 (coupling)이 되고 에너지를 교환하게 된다. 파 혼합현상을 위 식들을 이용하여 설명해 보자. 우선 매질이 한 방향 (x) 으로만 불균일하고 다른 두 방향(y, z) 은 균일한 경우를 고려하자.이때 주변 자기장은 B=B。z 로 주어지고 밀도는 p (x) 라고 가정한다. y, z 방향으로 균일하므로 식 (2-1-16) , (2-1-17) 에서 E, B 는 e i(zy+mz-wt)에 비례한다. 그리고 비압축성 파는 다음과 같은 관계를 만족한다.(J)2 (x) = kn2 Vi (x) = m2 μop (x) (2-2-3)따라서 식 (2-1-16), (2-1-17) 로부터 B를 소거하면 다음의 2차 미분방정식을 얻는다. ( - m2)Ex= 1 ( AEx) (2-2-4)( - m2)Ey= - ( - AEx) (2-2-5)이 식들은 다시 공명점 x 。근처에서 다음 식으로 정리된다. + O (2-2-6) 여기서 공명점 Xo 는 -m2=C(x-Xo) (X—Xo (2-2-7) 로 정의된다. 식 (2-2-6) 에서 공명접 근처에서는 다시 다음의 근사가 가능하며 dEy (X, (J)) C1 C2 C J -_ dr x-x (J) 2 (x) _ (J)2 (Xo) ~ (J) (x) _ (t) (xo) (2-2-8)
따라서 E y(X, t)는 푸리에 변환으로 구할 수 있다. Ey (X, t+co) ex 1 (j) - (j) (Xo) l e2Tri wld(j)= 2Tri W(Xoll (2-2-9)그러므로 Ey는 시간에 따라 에너지를 잃게 되고 그 에너지는 Ex 에 홉수된다. Ey는 압축성 파의 성분을 표시하고 Ex는 식 (2-2-3) 에서 주어진 비압축성 파를 나타내므로 결국 식 (2-2-9) 로부터 위와 갇은 불균일한 매질에서는 주파수가 일치될 경우 압축성 파동은 점접 줄어들고 비압축성 파동은 증가함을 알 수 있다. 이를 파 혼합현상에서 발생하는 자력선 공명현상(field line resonance) 이라 부르며 행성자기권의 MHD 파의 발생과 태양 코로나 루프 (coronal loo p)의 가열 과정 등에서 중요한 역할울 한다 (Chen과 Hasegawa, 1974 ; Southwood 와 Hughes, 1983) . 또한 매질이 한 방향뿐 아니라 2 차원이나 3 차원에서 불균일할 때나 자기장이 휘어져 있는 경우도 이런 효과는 계속 존재한다는 것이 밝혀져 있다 (Lee 와 Lysak, 1989) .2-3 MHD 파동에너지
MHD 파는 전자기파이므로 다음의 식이 성립한다. + S=- E (2-3-1) 여기서 u와 S는 각각 에너지 밀도와 에너지 흐름 (Poynting flux) 이다. u =½(EoE2+ )(2-3-2) S= EXB(2-3-3) μ。 식 (2-1-12), (2-1-13) 으로부터 를 소거하면 l·E= = (E2) n (2-3-4) 따라서 ( +B2)= S(2-3-5) 이때 공간적으로 밀폐된 경우를 고려하면 · S=O 이므로 결국 다음과 갇이 파동에너지는 보존된다. (B2+ )=상수 (2-3-6)3 수치모델과 경계조건
3-1 일반화된 좌표계에서의 MHD 파동방정식주어전 임의의 자기장 를 나타내기 위한 직교좌표계 (μ, v, ¢)를 고려하자. k가 자력선과 나란한 방향이라 가정하고 를 자기장 표면에 수직한, 즉 Bo에 나란한 방향으로 취하면 는 μ 로 정의된다. 따라서 식 (2-1-16), (2-1-17) 을 성분별로 쓰면 모두 5개의 식이 된다. = - (3-1-1) =- (3-1-2) =- (3-1-3) =- ( - )(3-1-4) = ( - )(3-1-5) 여기서 h , hu, p는 좌표변환 계수 (scale factor) 이며 c, B는 다음과 갇다. ( ) (3-1-6) =h,B (3-1-7) 예를 들어 위의 일반화된 식들을 행성자기권에 가까운 이중국자 형태의 자기장에서 적용시키면 좌표계는 구면좌표 (r, , )에 대하여 다음과 같은 관계식을 만족할 것이다.sin0 (3-1-8)μ= (3-1-9)¢ : 경사각 (the azimuthal angle) (3-1-10)
BoR3μ- B (3-1-11)ll BoR3u h¢B (3-1-12)h=r cos (3-1-13)B=r(1+3 sin20)½ (3-1-14)R: 행성의 반지름(3-1-15) : 적도를 기준으로 하는 위도각3-2 초기조건과 경계조건미분방정식을 시간과 공간에 대한 유한차분법 (finite difference method)으로 풀기 위해서는 처음 순간에 각 변수가 어떤 값을 갖는가에 대한 초기조건 그리고 공간적으로 경계에서의 물리량의 성질을 나타내는 경계조건은 필수적이다. (2-1-16), (2-1-17) 의 파동방정식을 수치적으로 풀기 위한 방법을 알아보자. 먼저 식 (2-1-16), (2-1-17) 은 각각 1 차 미분방정식이며 자기장과 전기장에 대해 초기조건이 각 1개씩 필요하다. 만약에 이 식들을 한 개의 식, 예를 들어 전기장에 관한 식으로 쓰면 x ( x )].+ =O (3-2-1) 이 된다. 이는 2차 미분방정식이며 초기조건은 E(t=O) 와 E/t(t=O)에 대하여 두 개가 필요하게 된다. 이론적으로는 두 식 (2-1-16), (2-1-17) 과 식 (3-2-1) 은 동등하지만 수치적으로는 차이가 있다. 시간에 대해서전 공간에 대해서건 2차의 미분은 수치적으로 세 개의 변수값이 필요하지만 1 차의 미분은 두 개의 변수값만으로 충분하다. =E(t+t:,.t/2)-E(t-t:,.t/2) (3-2-2)-（ ) (3-2-3)
E(t+At) +E(t -At)-2E(t)( t)일반적으로 한 개의 2차 미분방정식에 직접 유한차분법을 사용하는 경우 보다 두 개의 1차 미분방정식으로 바꾸는 것이 수치적으로 훨씬 안정하다는 것은 증명된 사실이다 (Richtmyer, 10장 참조)． 음파나 전파의 파동방정식을 1차원에서 고려해 보자. - =0(3-2-4) 이 방정식은 초기조건과 특히 경계조건을 고려할 때 수치적으로 매우 불안정하다. 따라서 이를 1차식으로 바꾸면 다음과 같다. 예를 들어 f의 시간, 공간에 대한 1차 미분을 각각 v, w로 치환하면 v= (3-2-5) = (3-2-6) 따라서 식 (3-2-4) 는 = (3-2-7) = (3-2-8) 로 변환된다. 즉, 식 (3-2-4) 는 (3-2-7), (3-2-8) 의 두 개의 1 차 미분방정식으로 대체될 수 있다. 또한 식 (3-2-7), (3-2-8) 은 쿠런트 (Courant) 조건이라는 다음 식 (3-2-9) 를 만족하기만 하면 수치적으로 매우 안정되어 있다. = 1(3-2-9)이와 갇이 식 (2-1-16), (2-1-17)을 전기장과 자기장에 대해서 함께 푸는 방법이 식 (3-2-1) 과 갇이 한 가지 변수에 대한 2 차 방정식보다 안정하다. 이제 식 (2-1-16), (2-1-17) 의 초기조건과 경계조건을 각각 알아보자.
3-2-1 초기조건어떤 순간 t에서 초기값이 전기장 E 에 주어졌다면 E는 계속해서 t= t+1::,.t, t +21::,.t, t +31::,.t, … 에서 값을 갖게 될 것이다. 이때 자기장 B는 t=t+J,.t/2, t +3J,.t /2, t +SJ,.t 2, ... 에서 초기값을 갖게 되는데 그 이유는 자기장과 전기장은 서로 시간에 대한 미분 관계에 있으므로 각 시간 간격에 대해 중간값을 취하는 것이 수치적인 식을 간단히 할 수 있기 때문이다. 따라서 자기장은 t=t+1::,.t, t +2J,. , t +3 ,.t, … 에서 전기장과는 1 t /2 만큼 시간격자에서 이동된 상태로 값을 구하게 될 것이다. 이에 따라 식 (2-1-16) ~ (2-1-7) 은 다음과 갇이 쓸 수 있다. (VXE),= (t _A t /2) (3-2-10) (VXB) = E( t +E( t) (3-2-11) 즉, t =to에서 g(t。), Cu( t。)와 /3μ(to+b.t/2), /3u( t。+b.t /2), /3 (t。+b.t /2) 가 주어졌다고 가정하면 식 (3-1-4), (3-1-5) 로부터 ( t。+A t),o( t0+A t)를 얻을 수 있다. 계속해서 식 (3-1-1) ~ (3-1-3) 에서 f3μUo+3b.t/2), /3U。+3b.t /2), (t。+3b.t /2) 를 구한다. 따라서 어떤 시간 t +nb.t에 대한 전기장과 자기장은 각각 다음에서 구할 수 있다.E=E(t +116 t) (3-2-12)B= B[t +(n- At] + B[t +（ )6t]} (3-2-13)이런 시간격자의 차이를 두는 방법을 흔히 시간평균법 (time centering)이라 부르기도 한다. 한편 식 (2-1-12) ~ (2-1-15) 서 알 수 있듯이 MHD 파는 E, B뿐 아니라, V, f도 위와 같은 관계식을 만족하므로U는 E와 갇은 시간격자점 t +nDl t를 가지며 J는 B 와 동일한 시각 t+(n+1/2)Dl t에서 값을 계산한다.
3-2-2 경계조건우주공간에 존재하는 경계들은 다양하다. 경계란 매질의 물리적 성질이 비교적 급속히 변화되는 지역을 지칭한다. MHD 파동을 고려할 때 경계의 두께가 이온의 회전반경보다 작아지면 그 크기를 무시할 수 있다. 따라서 수치모델에서는 이러한 경계를 일련의 격자점 또는 단일선으로 취급할 수 있는데 지구자기권의 경우 대략 100km, 목성은 대략 수백km 정도까지 가능하다. 물론 경계 안에서의 변화는 MHD를 사용할 수 없으며 다시 동역학적 (k i netic)효과를 고려해야만 한다. 어떤 지역에서의 파동이 경계에 부딪칠 때 일부는 두과, 반사 또는 왜곡 등이 일어날 것이다. 이때 반사율과 두과율은 MHD 파의 경우 전도도와 알펜 속력에 의해서 좌우된다. 경계에 부딪칠 때의 변화를 알아보자.다음 그림 4 - 1 에서 I , Il 지역의 알펜 속력과 전도도는 각각 Vi A, 와 1, 2로 가정하자.
(JI V1A l}2A <12
그림 4-1 경계면에서의 파동의 반사 및 두과
I 지역에서 입사되는 MHD 파의 진폭이 Ao, 경계 x=O에서 반사파의 진폭은 AR, 두과되는 파의 진폭은 AT라 하자. 일반적인 Ao, AR, Ar 사이의 관계식은 전도도와 알펜 속력에 대해서 복잡하므로 다음의 실제적인 경우를 고려해 보자. 우선 I 지역은 전기적으로 중성인 입자들에 의한 충돌이 거의 없는 우주공간이므로 전도도는 = 를 만족한다. 따라서 진폭 Ao의 파동은 x=O의 경계에 닿을 때까지 파동에너지가 보존된다. 경계에서 발생되는 반사파와 투과파의 진폭은 알펜 속력에 의해 결정되며 전기장과 자기장의 연속조건으로부터 그 크기들은 각각 다음과 갇이 구할 수 있다. = (3-2-14) = (3-2-15) 따라서 반사율 r 과 두과율 t는 각각 다음과 같다. r= (3-2-16) t=( )= (3-2-17) 여기서 주목할 점은 경계에서 매질의 밀도나 주변 자기장의 물리적 상태가 틀려지면, ViA A 또는 ViA~ A 에서는 r l, t 울 만족하므로 파동은 대부분 반사된다는 점이다. 만약 투과파가 존재할 경우에는 2= 이면 Il 지역에서 파동에너지가 보존된 채로 계속 진행할 것이다. 그러나 2 = 라면 Il 지역에서 충돌에 의한 오음의 열분산 (Ohm's dissipation)이 있으므로 투과파는 입자의 열 운동에 에너지를 빼앗기게 된다. 그 분산방정식은 (w)2- )k2=0 (3-2-18) 로 주어지고 이로부터 Il 지역에서의 투과파가 효율적으로 존재할 수 있
는 투과길이 (skin depth)를 구할 수 있다. 파장 인 두과파에 대해서 투과길이는 =2 ( (y (3-2-19) 과 같다. 앞에서 보인 일반적인 경계조건은 수치모델을 만들려는 대상에 따라 크게 달라질 수 있을 것이다. 여기서는 가장 간단한 경우로서 MHD 파가 경계에서 전반사되는 경우를 고려해 보자. 이런 가정은 행성자기권의 경우 매우 유효하며 그 이유는 태양풍과 자기권 또는 이온충(전리층)과 자기권 사이의 경계에서는 알펜 속력의 차이가 비교적 심하기 때문이다.
전반사가 일어날 경우 파동의 전기장과 자기장의 경계조건을 고려해 보자. 전도도가 ( )인 우주공간에서 파동의 전반사는 그림 4-2에서와 갇이 마치 완전한 전도체인 금속에 의해서 전파가 반사되는 것과 동일한 원리이다. 따라서 경계에서의 임의의 전류나 전파를 무시한다면 맥스웰 방정식들로부터 주어진 경계조건은 다음과 같다.
E..L
그림 4-2 전도체에서의 경계조건
( 1- 2.)=0 : O (3-2-20)
( .1-E2 .)=0 : E =0 (3-2-21)nX(B .1-B2 ,)=0 : B11 -=l= 0 (3-2-22)n·(B1-B2)=O : B.L=O (3-2-23)(il은 경계에 수직인 단위벡터)죽, 경계에 수직인 자기장 성분과 또 나란한 전기장 성분은 0값을 갖으며 경계에 수직인 전기장 성분과 경계면에 나란한 자기장 성분은 두 매질에서 연속이다. 그러나 유한차분법을 사용하기 위해서는 공간을 나타내는 유한 개의 격자접들을 사용해야 하므로 경계 자체에서 일어나는 위와 갇은 값이나 연속조건을 표현하는 것은 매우 주의를 요하는 문제이다.수치모델에서 (3-2-20)~(3-2-23) 조건을 어떻게 표현할 수 있는지 알아보자. 그립 4-2 에서 보이듯이 경계는 x=O 에 위치하고 있으며 왼쪽 부분이 MHD 파가 존재하는 지역이라 가정하자.그림 4-3 각 격자정의 분포
EB= o= o
E, Q(i+ l . j+ l . k+l )
먼저 E.1., B11 은 경계에서 연속이므로 차분법을 사용할 때 경계를 기준으로 같은 거리만큼 떨어진 두 점이 필요하다. 따라서 E , B11 은 0으로 표시된 격자점들에 위치해야 하며 수치모델의 경계조건을· 다음과 갇이 표현할 수 있다. E.l1=E.l2 (3-2-34) B1,1=B112 (3-2-25) 그리고 Ell, .L는 경계에서 값을 갖게 되므로 그 격자접은 경계선상에 정확히 위치하여야 하며 x로 표시된 격자점에 놓이게 된다.
Ell3=0, Bl.3=0 (3-2-26)위의 경계조건들을 일반화된 좌표계 (µ, v,그림 4-4
표면에 대해서 수직인 방향, 는 µXv로 정의된 방향이다. 예를 들어 v= 상수, 죽 자기장 표면에 나란한 경계에 대해서 생각해 보자. v= 상수 경계에 수직인 성분은 Ev 와 Bv 이고 평행한 성분은 E¢, Bµ, B¢ 이다. 그러므로 Ev 와 Bµ, B9는 경계로부터 갇은 거리만큼 떨어진 그립 4-3에서의 1,2로 표시된 격자점 (0 형)을 갖게 되고 Bu, Eo 는 으로 표시된 격자점 (X 형)을 갖게 된다. 위와 갇이 관계식은 µ=상수와 ¢=상수에 대한 경계조건에서도 성립해야 하므로 이를 각각 정리해 보면 아래와 같다.
경계 종류 EJ. B11 E11 B.l. µ=상수 B11, B~ E ,,, E 。 Bµ 1.1=상수 Ev Bµ, B¢ E¢ B ip=상수 E, Bµ,B~ E B¢ 격자종류 O 형 x 형
가령 I는 v= 상수 경계에 대해서는 x형 격자점을 갖고 µ=상수, ¢= 상수 경계들에 대해서는 0형 격자점을 갖는다. 그러므로 전기장과 자기장의 각 성분은 경계의 방향에 따라 다른 위치의 격자점을 갖게 되며 이를 3차원 격자점 구조에서 표현하면 그림 4-4 와 같다.
위의 표와 그립 4-4에서 알 수 있듯이 각 성분은 한 개의 격자공간에서 차지하는 격자점의 위치가 모두 다르다. 따라서 그림 4-4에서와 같이 의 (i, j, k) 격자접, Q의 (i+l, j+l, k+l) 격자점으로 이루어진 한 개의 격자공간의 평균 전기장과 자기장은 중심 (i+1/2, j +1/2, k+l/2) 에서의 값으로 나타낼 수 있다. = [B( i, i+½, k+½)+B(i +l, j+½, k+½)] (3-2-27)= [ (i, j, k+ )+E¢( +l, j, k+½)
+E9(i, j +l, k+½)+Ep(i+l, j+l. l,+t)] (3-2-28) =[E i, j +½, k)+Ev(i+l. , k)(3-2-29)+Ev(i, j +½, k+1)+Ev(i + l. j+½, k+1)]=½[B , j, i+, j +l, )] (3-2-30) =½[ , , k) + (i+½, j +½, k+1)] (3-2-31)4 계산 및 결과앞에서 일반화된 좌표계에서의 MHD 파동방정식을 구하고 수치모델 과정에서의 초기조건과 경계조건을 알아보았다. 초기조건에 대한 결과로서 전기장과 자기장은 시간에 대해서 서로 단위시간의 반, /2 만큼씩 떨어져 있어야 되며 수치계산이 유효하기 위해서는 쿠런트 조건, 즉 /V 만족해야 함을 밝혔다. 또한 경계조건을 조사하는 과정에서 각 경계에 따라 수직과 평행성분의 격자점 위치가 각각 달라져야 하며, 결론적으로 각 성분마다 공간에서 고유의 격자구조를 갖고 있음을 알 수 있다.수치모델 계산의 안정성은 고립된 계의 경우, 에너지 관계식 (2-3-5), (2-3-6) 으로 쉽게 확인할 수 있다. 경계에서의 물리량이 급속히 변화하는 경우(VjA)> ViA 또는 ViA~V2A), 2-2 에서 보인 것과 같이 전반사 경계조건이 만족되므로 S=O 이 되고 (2-3-6) 식이 성립한다. 따라서 이런 시스템의 MHD 파동에너지는 보존되어야 한다. 수치모델의 전체 파동에너지는 다음과 갇이 구한다.wtOt (t) = A w(i+½, j+½, ) (4-1) =‘ +〈+〈〉++m]ti. V( i, j, k)
여기서 < 〉는 시간에 대한 평균, A V(i, j, k) 는 (i+l/2, j +I/2, k +1/2) 에서의 단위체적을 나타낸다.=½[A(t― )+A t + )] (4-2) V (i,j,ll) = /zµ(i,j, ll) h,., ( i, j, k) h¢ ( i, j , k) dµ ( i) dv (j) d¢ (k) (4-3)이중국자형 모델을 예를 들어 MHD 파의 수치모델 결고 t 알아보자. (µ, v,
。 CV
그림 4-5 이중국자형 모델의 좌표계
6x109
그림 4-6 각 MHD 파동의 에너지 변화
그림 4-6은 이러한 이중극자 형태의 수치모델을 압축성 파 (E¢, Bu, Bµ) 로 섭동시켰을 때의 에너지 변화이다 (Lee와 Lysak, 1991). 식 (4-1)에 의해서 계산된 전체 파동에너지는 계속 보존됨을 알 수 있다. 그리고 2-2 에서 보였듯이 휘어진 자기장 때문에 생긴 알펜 속력이 불균일성으로 인하여 압축성 파 (E,Bv,Bµ) 의 에너지가 시간이 지나면서 비압축성 파 (Ev, B ) 로 전환됨을 알 수 있다.
수치모델의 계산은 이러한 파동에너지 보존으로 안정성 및 유효성을 보장받을 수 있다. 그러나 계산결과의 중요성은 에너지 · 자체보다는 각 격자점에서의 전기장, 자기장을 구할 수 있다는 접에 있다. 인공위성을 비롯한 발사체에서 이루어지는 직접(in situ) 실험에서 얻어지는 관측값과 비교하기 위해 시간에 따라 각 위치에서의 파동을 수치적으로 추적할 수 있다는 사실이다. 이러한 수치모델에서 얻어지는 전 공간적인 정보는 한정된 인공위성의 수를 고려할 때 국지적 관측을 통한 우주공간의 전체적인 자기유체 파동 과정을 이해하는 데 매우 유효한 것이다.참고문헌
Chen, L. and Hasegawa, A., 1974, "A theory of long-period magnetic pulsations, 1, Steady-state excitation of field line resonance," ]. Geophys. Res. 79, 1024.Hasegawa, A. and Uberoi, C., 1982, The Alfven waves, Technical Information Center, D.0.E.Lee, D.H. and Lysak, R.L., 1991, "Impulsive excitation of ULF waves in the three-dimensional dipole model : the initial results," J. Geophys. Res. 96, 3479.Richtmyer R.D. and Morton, K.W., 1967, Difference methods for initial-valued problems, 2nd ed., Wiley, New York.Singer, H.J., 1982, "Multi-satellite observations of resonant hydromagnetic waves," Planet. Space Sci., 30, 1209.Southwood, D.J. and Hughes, W.J., 1983, "Theory of hydromagnetic waves in the magnetosphere," Space Sci. Rev. 35, 301.제 5장 평탄화 입자 유체역학 : 기본 원리와 실제
홍승수1 서론천문학을 공부하거나 연구하는 과정에서 누구나 한번쯤은 수치 모의 실험에 강한 유혹을 받는다. 다른 분야에서와는 다르게, 천문학 연구는 능동적 수단인 실험을 연구의 도구로 쓸 수 없고, 대신 관측이라는 수동적 수단에 의존해야만 한다. 이 사실을 염두에 둔다면, 수치 모의실험에 유혹되는 것은 당연한 일이라 하겠다. 현대 천체물리학에서 수치 모의실험의 중요성은 재삼 강조할 필요조차 없게 되었다. 천문학에서의 연구 대상이 다변수 비선형계이어서, 해석적 접근으로는 곧 한계에 부딪치게 되기 때문이다. 대상 천체의 상황을 극도로 단순화해야 비로소 해석적평탄화 입자 유체역학을 한국에 도입하는 데 여러 가지 도움을 주었던 분들에게 이 자리를 빌어 감사의 뜻을 전합니다. 호주의 J.J. Monaghan 교수께 자신의 코드를 우리가 사용하도록 허락해 준 데에 심심한 사의를 표합니다. 강혜성 박사는 SPH 개발의 비교적 초기 단계 에서 Monaghan 교수가 작성한 코드를, 이형목 박사는 Monaghan 교수의 강의 노트와 그의 최근 코드를 우리에게 가져다 주어, BTSPH 작성의 터전을 마련하여 주었습니다. 우리 코드 개발의 초기 단계에 큰 도움운 주었던 이희숙 양, 육인수 군 그리고 권태준 군에게도 감사하며, 여기에 보고된 리이만 시험은 김웅태 군이 수행한 것임을 밝힙니다.
접근이 가능하고 비록 그런 경우라 하더라도 선형해석의 범주를 크게 벗어날 수 없다. 선형해석을 통해서 얻게 된 대상 천체에 대한 부분적 이해가, 수치 모의실험의 욕구를 감해 주기보다, 오히려 수치 모의실험을 재촉하는 경우가 허다하다. 이러한 상황은 특히 성간매질 연구에서 자주 볼 수 있다.
성간에서 이루어지는 각종의 진화 현상들을 이해하려면, 기체역학적 모형계산이 필수이다. 천문 기체역학의 오일러식 서술 방법은, 다루고자 하는 계에 좌표 격자망을 설정하고 격자점 하나하나에서의 물리량을 유한차분법으로 계산한다. 이 방법은 물리량의 공간 변화 정도가 매우 심한 경우에도 적용시킬 수 있다는 장점을 갖고 있다. 그러나 계산 매체가 갖는 기능의 한계 때문에, 유한차분법 코드는 대칭성을 상정한 저차원의 문제에 주로 유효하다. 성간매질 연구에서는, 성간운( ) 이 우선 무정형(無定形)이라는 사실이 대칭성을 전제로 하는 오일러식 서술 방법을 아주 무력하게 만든다. 이러한 현실적 어려움에서, Lucy(1977) 는 연속 유체를 입자로 기술하는 라그랑쥬식 서술 방법을 통해 3차원적 계산을 용이하게 할 수 있는 기체역학의 한 가지 계산법을 제안하였다. 거의 같은 시기에 Lucy와는 독립적으로 Gingold 와 Monahan(1977) 도 평탄화 입자 유체역학 (Smoothed Particle Hydrodynamics 또는 SPH) 이라는 라그랑쥬식 서술 체계를 마련하였다.평탄화 입자 유체역학에서는, 기본 방정식 모두가 라그랑쥬 형식을 따르므로 3차원 계산이 아주 자연스럽게 이루어진다. 또한 격자망에 의존하지 않으므로 격자가 갖는 공간 분해능에 대한 제한도 어느 정도 제거될 수 있다. 유체의 운동을 서술하는 성능면에서 평탄화 입자법이 유한차분법에 크게 뒤지지 않을 뿐 아니라(G old와 Monaghan, 1980 ; Durisen, Gingold, Tholine 과 Boss, 1986 ; Monaghan, 1992) , 코드의 구성이 단순하여 누구나 쉽게 자신의 코드를 작성할 수 있다는 장점을 갖고 있다. 이리하여 평탄화 입자 유체역학은 기체역학적 물리현상을 이해하는데 막강한 연구 도구로서 스스로의 입지를 굳혀 놓았다(Benz, 1988, 1990 ; Monaghan, 1992).우리는 이 장에서, 독자가 코드를 직접 작성할 수 있게 할 목적으로, 평탄화 입자 유체역학의 기본 원리를 소개하고, 일 차원 문제에 적용시켜 이 기본 원리가 유체의 운동을 기술하는 데 실제 어떻게 기능하고 있는가를 보이겠다.
이 장의 전반부의 내용은 대략 다음과 같다. 우선 유체의 물리적 성질울 평탄화 입자의 관점에서 기술할 수 있는 이론적 배경이 무엇인가를 설명한 다음, 기체역학의 기본 방정식들을 평탄화 입자의 입장에서 재구성하겠다. 평탄화 과정에는 평탄화 함수와 평닫화 길이가 결정되어야 한다. 평탄화 함수와 길이 를 선택할 때 고려돼야 할 사항을 제시하겠다. 〈평탄화 입자>식 기본 방정식들을 시간에 따라 적분하는 방법도 설명하 겠다. 평탄화 입자 유체역학에서 중요한 또 하나의 요소는 가상 점성이다. 충격파가 생기는 초음속 운동이 있을 때, 입자들이 서로 엇갈려 침두하는 현상을 막아야 충격파면의 불연속 현상을 서술할 수 있게 될 것이다. 이를 위하여 가상 접성이 도입되었다. 가상 점성이 구체적으로 어떻게 입자들의 침두 현상을 막고 있는가 설명하겠다. 이상으로 코드 작성에 필요한 최소한의 정보를 모두 설명하는 셈이다.이 장의 후반부에서는 전반부에 소개된 기본 원리를 실제의 유체 운동에 적용시켜 보겠다. 평탄화 입자 형식으로 기술한 기체역학의 기본 방정식들을 미소 전폭의 진동 현상을 서술하는 데 직접 적용시킨다. 그리하여 음파의 전송에서 반드시 성립되어야 할 분산 관계식이 평탄화 입자식 서술에서도 무리없이 성립되는가를 조사하겠다. 또한 가상 점성이 음파의 전송에 주는 감쇠 효과를 가늠하겠다. 이러한 과정을 거쳐 우리는 평탄화 입자 유체역학 체계에 대한 확신을 갖게 될 것이다. 그 다음에 1차원 충격관 문제를 평탄화 입자 유체역학으로 풀어서, 그 결과를 해석해와 비교하여 가상 점성의 역할을 알아보겠다.2 평탄화의 기본 구상
연속 변량 A( ) 이 특정 위치 에서 갖는 값 A(r) 을 ) = A(r) w(r h) d3 (2-1) 와 같은 꼴의 적분 내삽 결과 AI( )로 대신하는 것이 통례이다. 연속변량 A는 스칼라, 벡터, 텐사, 그 어느 것일 수 있다. 적분 내삽에 쓰여진 함수 W(r- ; h) 는 중심이 에 위치하며 대강의 반응폭이 h인 반응 함수이다. 대개의 경우 W(r- h) 는 대칭성을 지니고 있어서 실제는 두 점 과 사이의 거리 | I만의 함수이며, 미분 가능하고 정규화되어야 한다. fW(r- ; )d = 1 (2-2) 또한, h를 줄이면 델타 함수로 접근한다. , , , . lim W ( r - r ; lz) = o ( r - r') h-0 (2-3) 적분 내삽을 수행하는 데 있어서, 변량의 정보를 모든 지점에서 연속적으로 알 수 있는 경우가 거의 없다. 즉, 유한 개의 위치 E ; j = 1,2, … 에서만의 정보에 의존할 뿐이다. 이제 내삽 적분식에 A1(r)=fbf-W(r-;h)p()d3(2-4)p(r)(2-4) 와 갇이 밀도 p( )를 곱하고 다시 나누어주면, 상기 적분은 N A(E) - - A,(r) = W(r :h)mjj=l p(rj) (2-5) 로 쉽게 근사시킬 수 있다. 여기서 는 에 자리잡고 있는 단일 입자의 질량이라고 간주될 수 있다.만약 연속 변량 A(r) 이 밀도 (r) 을 의미한다면,Ps( r) = mi W( r - ri ; lz) (2-6) 의 관계가 성립한다. 바로 여기에 <평탄화 입자〉식 서술의 기본 구상이 담겨 있다. 에 위치하고 있는 점 질량 j를 함수 W(r-r7 ; h) 로 적당히 평탄화시켜, 임의의 점 에서의 질량 밀도 p (r) 에 기여하는 양을 결정하고, 이들 기여분의 총합 Ps(r)로 p(r)를 대치하겠다는 생각이 평탄화 입자 서술의 기본 골격이다. 따라서 우리는 W(r-r ; h) 를 평탄화 함수, 를 평탄화 길이라고 지칭하겠다.
일반적으로 평탄화 함수는 인 영역에서 급격히 감소하므로, 위치 에서의 밀도값에 실제로 기여할 수 있는 입자들의 개수는 h의 크기에 따라 결정된다. 따라서 의 크기가 평탄화 입자식 서술의 공간 분해능이다. 이보다 작은 척도의 상황은 평탄화 입자의 구상으로 서술이 불가능하다. 이런 관점에서 식 (2-6) 을 다시 보면, W(r-r ; h)가 폭이 h인 창문함수 window function)의 역할을 함을 알 수 있다. 이 식은, 이라는 지접의 밀도 p (r) 가 그 부근에 적당히 분포되어 있는 입자들의 가중 평균임을 알려준다. 따라서 W(r-r ; h) 를 무게함수 (weigtingfunction) 라고도 생각할 수 있다.이제 입자에 어떤 성질을 부여하자. 예를 들어, 우리가 속도장 v(r)을 알고 싶다면 입자 하나하나가 속도 를 갖고 움직인다고 생각하면 된다. 즉 평탄화 입자 근사 = (-,;; ; h); (2-7) 로 얻게 되는 ( ) 로서 를 대신하겠다는 뜻이다. 어차피 우리는 평탄화 입자 근사로써 모든 변량을 표현해야 하므로, 앞으로는 하첨자 s를 떼겠다.유체의 운동을 서술하려면 각종 변량의 도함수가 필요하다. 스칼라장 A(r) 에 그라디언트 를 취해보면vA(r) = v W(r-Y ; lz) 111 T pj A -- = 一 VW(r ; hmJ (2-8a) 의 관계를 얻을 수 있다. 여기서 AJ, pJ는 변량 A와 밀도의 라는 위치에서의 값들을 의미한다. 따라서 평탄화 함수의 그라디언트를 일단 계산해 놓으면, 모든 스칼라 변량들의 그라디언트를 계산할 수 있다. 벡터장 A(r)의 다이버전스와 컬도 같은 요령으로 구할 수 있다.
v .7 ) = v . : h) V W ( r r j ; ll) )nJ (2-8b) = ( )h)mj x = x ( )mj(2-8c)입자 하나하나에 물리적 성질을 부여함으로써, 우리는 유한 개수의 입자들로써 연속 유체의 운동을 서술하는 기본 도구를 완성한 셈이다. 물론 이때 공간 분해능 h보다 작은 척도의 현상은 서술의 대상이 될 수 없음은 자명하다. 평탄화 입자식 서술의 장접은, 좌표 격자 없이 입자 위치에서의 정보만으로 도함수의 계산이 가능하다는 것이다.3 기본 방정식의 평탄화 입자식 서술이 절에서는 우리의 논의를 비접성 유체의 단열 운동에 국한시키기로 한다. 자체 중력이나 의부로부터 계에 주어진 힘이 없다고 생각하여 유체역학적 운동만을 생각한다.3-1 기본 방정식
이러한 상황에서 유체의 운동은, 질량 보존의 연속 방정식 +v. = -pv .v 운동량의 보존을 의미하는 운동량 방정식 ( + v . v = _)vp 에너지 보존을 나타내는 고유 열 에너지 u에 관한 에너지 방정식 ( +v. = pv •v 와 함께, 상태 방정식 = (r-l) pu 으로 기술할 수 있다. 여기서 r는 단열 지수로서 대상 유체의 정적비열에 대한 정압비열의 바이다. 밀도장, 속도장, 압력장, 고유 열 에너지장을 나타내는 p,v,p,u, 는 물론 위치와 시간의 함수이다.계를 서술하는 데 쓰인 입자를 모두 고려한다면, 연속 방정식이 요구하는 질량의 보존 조건은 자동적으로 만족된다. 그렇다고 하더라도 임의의 지접에서의 밀도값은 계산되어야 한다. p; = W(r,-r1 ; h)m1 (3-1-la) J 입자가 에 존재하든 말든 간에, 위와 갇이 계산된 pt를 그 접에서 밀도장이 가져야 할 밀도값으로 받아들인다. 밀도의 라그랑쥬 미분이 -p( • v)와 갇다는 것이 연속 방정식의 뜻이므로, 식 (3-1-1a) 과 대등한 기술을p; = -p) • v W(r : h)IIlJ (3-1-lb) 로도 구현할 수 있다.
입자들의 위치를 매 순간마다 결정하려면 위치, 속도, 가속도를 계산해야 한다. 입자의 위치 의 시간에 따른 변화율이 바로 속도이므로 = (3-1-2) 의 관계가 성립한다. 어느 입자든 자신이 위치하는 곳에서의 압력 경도력에 유래한 가속도를 받는다. 따라서 p = -― V,W(r rj ll) mj (3-l-3a) 가 평탄화 입자식으로 서술된 운동량 방정식이다. 여기서 V,는 에 따론 그라디언트를 의미한다.입자마다 갖고 있는 고유 열 에너지 ui의 시간에 따른 변화는, 에너지 방정식에서부터 U; = - . "v W(:--;:; ; /z) mj Pi j Pj (3-1-4a) 로 기술된다. 입자의 운동을 계속 따라가려면 압력에 대한 정보가 필요한데, 이는 p; = (r-1) p;u, 로 서술되는 상태 방정식이 제공한다.3-2 보존식평탄화 내삽은 본질적으로 하나의 근사식이다. 따라서 지난 철에 제시한 기본 방정식의 평탄화 입자식 서술이, 마땅히 만족시켜야 할 보존칙둘을 충실하게 만족시키는가 조사할 필요가 있겠다.논지 전개에는 하자가 없으면서 식의 모양은 될수록 간단하게 유지하기 위하여, 1차원 가우스 함수 W(x,·-xj ; h) = -k, exp[-( )2] 를 평탄화 함수로 택하겠다. 그러면 v,Wij = - -(x;-xj) Wu h (3-2-1) 가 성립함을 알 수 있다. 여기서 Wu는 W(xi-Xi ; h) 를 의미하는 것으로 한다.
계의 총 운동량이 시간에 불변인가를 먼저 조사하자. 식 (3-2-1)을 운동량 방정식 (3-l-3a) 에 대입하여 j = :>(xi _Xj) w/j1}1j 룰 얻고, 이 식에 질량을 곱해서 입자 모두에 대하여 합을 취해 보면 kv,· = (x ) WiJmj 와 갇이 된다. 우변의 입자 i와 j에 대한 2중합 계산을 (i, j)의 입자쌍으로 묶어서 이 쌍들에 대하여 합하면, d 1 mpnj 1lUVj = (P1-P1) (x,-x1) Wo ll (J PiPj 가 된다. 이때 Wu = ji가 성립함에 유의하였다. pi가 반드시 pJ와 같아야 할 이유가 없으므로, 위 식으로부터 총 운동량의 보존을 보장받을 수 없다. 즉 식 (3-1-3a) 의 형태로 서술된 운동량 방정식은 계의 총 운동량을 보존시키지 못한다. 동일한 논지에서 식 (3-1-3a) 와 (3-l-4a) 로 계의 총 에너지 E(mv/2+mj)를 보존시킬 수 없음을 쉽게 알 수 있다. 물론 입자들의 수를 한없이 늘리면 식 (3-1-3a)와 (3-1-4a)로도 보존의 정도를 향상시킬 수는 있을 것이다.
평탄화 입자식 서술이 유한 개의 입자만으로도 보존칙을 만족시키려면, p= + 가 성립함에 유의하여, 압력 경도력에 의한 가속도를 계산하는 데 위 식의 좌변 대신에 우변을 사용하면 된다. 위 식의 우변을 평탄화 입자의 관점에서 재구성해 보면, + = ( ) 가 성립한다. 그러므로 운동 방정식 (3-1-3a)를 = - 1 J( + )v, W,j (3-1-3b) 로 대치시킬 수 있다. viw iJ = -Vj wi J이므로, 모든 입자들에 대한 합울 (i, j)쌍들에 대한 합으로 바꾸어 보면, 운동량의 총합 m 의 시간 변화율이 반드시 영으로 되는 것을 쉽게 알 수 있다.에너지 방정식도 = ( )-v. ) 의 관계를 이용하여 u = ( + ) • 'v wij (3-l-4b) 로 대치한다. 여기서 는 를 의미한다. 이제 계의 총 에너지가 보존되는가를 조사하자. 식 (3-1-3b) 로 구현된 운동량 방정식 좌우변에 i번째 입자의 운동량 m 를 내적한 다음 모든 입자들에 대하여 총합을 구해보면,= n,mJ( + ) · v,Wu 의 관계를 얻는다. v,w,J = -v,.j = -V wo 라는 사실에 또다시 유의하면서, 첨자 i와 j를 서로 바꾸면, 위 식의 우변은 （ + ) · V,WIJ 와 동일함을 알 수 있다. 따라서 ,v = ,mJ( + )( ) • vwi.i 의 관계가 성립한다. 그런데 식 (3-1-4b)로부터 위 식의 우변은 다름 아닌 - (du t)임을 알 수 있다. 결국 d 1 2 (T + U) = 0 이 성립한다. 그러므로 식 (3-1-3b)와 (3-1-4b)로 표현된 기본 방정식은 총 에너지의 보존을 보장해 준다. 사실상 i, j대칭을 구현할 수 있는 방법은 수도 없이 많다 (Monaghan, 1992). 예를 들어 p = ( ) + ( ) 의 관계가 언제나 성립하므로, 운동량 방정식을 평탄화 입자의 관접에서 서술한 = (p_tipjc + )v1Wu도 운동량을 보존시킬 것이다. 또 다른 방법은 p = /p'v/j의 항등 관계를 이용하는 것이다. 그러나 어떤 꼴의 서술이 어떤 경우에 더 유효한가에 대한 연구는 아직 체계적으로 이루어지지 않았다.
그러니까 평탄화 입자식 유체역학에서는 비점성 유체의 운동을 다음의 다섯 가지 방정식으로 전부 기술하게 되는 셈이다. 운동량 방정식과 에너지 방정식은 = 1 ( + )v. i) 와 U; = m;( + ) · v, w,j 이다(여기에는 아직 가상 접성에 대한 고려가 이루어지지 않았음에 유의해야 한다)． 이와 더불어 -r, = V; 가 입자들의 위치를 매 순간 결정해 준다. 밀도와 압력은 p, = mj wjj 와 = (r 1)1n i.j에서 각각 결정된다.
3-3 평탄화 함수평탄화 입자로 유체의 운동을 서술하는 데 있어서 평탄화 함수의 선택은, 차분법 서술에서 처분· 알고리즘의 선택과 마찬가지로 매우 중요한 과정이다. 평탄화 함수로 가우스 함수, 지수 함수, 다항식 등 여러 가지가 시도되고 있다. 유체역학의 기본 방정식마다 서로 다른 평탄화 함수를 사용할 수도 있어서, 매우 다양한 선택이 가능하다. 그러나 어떤 평탄화 함수를 어느 방정식에 그리고 어떤 종류의 문제에 적용시키는 것이 최적의 선택인가에 대한 조사는 아직 체계적으로 이루어지지 않았다. 이 철에서는 흔히 사용되고 있는 예를 몇 가지 소개하겠다.Wood (1 981) 는 평탄화 함수로 지수 함수를 제안하였다.We(b.. r ; h) = -.exp[b.. r/hl] r h 여기서 Ar는 Ir- 의미한다. 이 함수는 미분이 연속이라는 장점을 갖고 있으나, 지수 함수의 꼬리가 길기 때문에 평탄화 입자식 내삽에 포함시켜야 할 입자들이 많아지는 단접도 갖고 있다. 단순한 가우스 함수의 경우 오차의 크기가 대략 O(h2) 인데, 이를 0(h4) 로 낮추어 내삽의 충실을 기한 개량된 구대칭의 가우스 함수가 제안되었다 (Monaghan, 1985). w,c(Ar;h) = exp(- (b.. r/h)2][ ( )2] (3-3-1) 다항식으로는 운형자형 함수 (spline function) 에 기초한 w4와 M4 가 흔히 쓰인다 (Monaghan과 Lattanzio, 1984 ; Monaghan, 1985). 평탄화 길이 h로 정규화시킨 거리를 q( = r/h) 라 부를 때,w4( r ; )는 ―『q + Tq .( ; h) = (2- )2(1 ―q) (0 q|) (l l q| 2) (3-3-2) 와 같이 주어진다. 2 인 곳에서 w4는 물론 영이며, v는 차원을 나타내는 수이고 Wo은 정규화 계수이다. 차원이 1, 2, 3일 때, 정규화 계수의 값은 각각 Wo = 1, 30/7, -1/32 이다. |q1 = 에서 의 1계 도함수는 연속이지만, 2계 도함수는 불연속이다. q|<2 인 영역에서 w4가 음수임에 유의할 필요가 있다. 한편 M4는 1-fq2 q3 M,(t.r ; h) = (2- )3 (0 qi) (1 q|S: 2) (3-3-3) 이다. 물론 2 인 곳에서 M. = 이다. 이 함수는 계 도함수도 |q1 = l 에서 연속이며 모든 영역에서 양의 값을 갖는다. 정규화 계수 Wo는 v =
1, 2, 3일 때 각각 2/3, 10/7TC, l/TC가 된다. w4 와 M4는 모두 |q| 인 곳에서 영이 되는 다항식이므로, 한 지점의 내삽값에 기여할 입자들은 그 점으로부터 rl 2 인 영역 내에 있는 것들뿐이다.
상기 평탄화 함수들에 의한 내삽이 다양한 함수 꼴을 얻마나 잘 재연할 수 있는가를 조사하기 위하여, 일 차원 함수로 sin x 를 택하고 x .= 0.5 의 간격으로 이 함수의 값을 채취한 다음, 이들을 내삽하여 구해본 이 함수의 근사꼴을 그림 5-1 에 보였다. 여기서 파점선은 지수 함수, 파선은 가우스 함수, 실선은 개량된 가우스 함수에 의한 평탄화 입자식의 내삽 결과이다. 그림 5-2a 에 w4(파선)와 M4( 실선)의 내삽 결과를 서로 비교해 놓았다. 함수의 변화율이 매우 크거나 불연속이 있는 경우, 내삽의 결과를 비교하기 위하여, 그림 5-2b 에 점선으로 표시된 계단 함수를
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그림 5-1 평탄화 함수로 지수 함수(파정선)． 가우스 함수(파선), 개량 가우스 함수(실선)를 택하여 sin1 X 를 각각 내삽하고, 그 결과를 서로 비교하였다. 내삽에 쓰인 데이터는 원래 함수에서 x = 0.5 의 간격으로 채취된 것이며, 접선이 원래 함수 sin X를 나타낸다.
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그림 5-2 운형자형 함수 M4와 W4를 평탄화 함수로 택하여, 이들에 의한 내삽이 sin x와 계단 함수를 얼마나 잘 재연할 수 있는가 조사하였다. 연속 변화를 하 는 함수의 경우에는 (a) 에서 불 수 있듯이 M4가 양호하다.
역시 상기 평탄화 함수들로 내삽하여 보았다.
앞의 그림들에서 볼 수 있듯이, 평탄화 함수 하나가 모든 경우에 대하여 다 좋은 결과를 가져오는 것은 아니다. 따라서 문제의 특성에 따라 평탄화 함수의 선택이 이루어져야 한다.3-4 평탄화 길이평탄화 길이 h가 계산의 공간 분해능을 결정하므로, 평탄화 입자 유체역학에서 h의 선택은 중요한 의미를 갖높다. 가장 간단하게 생각했을 때, 계 전체의 평균 입자 개수 밀도서든지 일정하게 유지시키는 것이다. 매 순간마다 를 위치의 함수 h (r) 로 잡아 I lz(r) n(r) -t (3-4-2) 와 갇이 택하면, 밀도가 높은 지역에서는 평탄화 길이가 짧아져서 그 곳의 국부적 성질을 잘 나타내게 되고, 반대로 밀도가 낮은 지역에서는 평탄화 길이가 길어지므로, 계 전체에 대하여 일정한 값을 택했을 때 야기되었던 밀도의 과대 평가 문제를 피할 수 있다. 물론 계산 비용이 더 드는 단점은 어쩔 수 없다.
평탄화 길이의 공간 변화뿐 아니라, 시간 변화도 고려될 수 있다. 대개 세 가지로 요약될 수 있는데, 그 중 첫번째는 Miyama, Hayashi와 Narita (1984)가 사용한 방법이다. 시간의 전(前) 단계에서 구한 밀도를 n-1 이라 했을 때, 시간의 현(現) 단계에서의 평탄화 길이 n은 I = lIo[ ]5 (3-4-3) 로부터 결정한다. 여기서 ho 와 Po는 적당히 택한 고정된 값들이다. 이런 과정을 거쳐 평탄화 길이를 정하면, 반경 2h 안에 들어오는 입자들의 개수가 모든 위치 i와 모든 시간 단계 n에 대하여 일정하다. 그러나 이 방법에는 전 단계의 밀도를 다시 사용해야 하는 번거로움이 따르고, 밀도가 심하게 증가하는 경우가 생기므로 (Benz, 1990), 이 방법이 반드시 이상적인 것은 아니다.한편, Benz(1990) 와 Benz와 Hill (1992) 가 사용한 방법은 물리적으로 매우 설득력이 있다. 죽, 식 (3-4-3) 의 정신을 그대로 유지하면서 평탄화 길이와 밀도의 급격한 변화를 피하기 위하여 1dh 11dp 1 - —= -v • u hdt • 3 p dt 3 (3-4-4) 의 관계를 이용하여 h를 시간과 위치의 함수로 정하겠다는 것이다. 성능 시험을 거쳐 식 (3-4-4)가 좋은 결과를 가져다 준다고 밝혀졌으나, 실제 계산에서 매 시간 단계마다 •롤 계산해야 하는 번거로움이 따르며, 기본 방정식에 h의 시간 변화에 의한 효과를 원칙적으로 고려해 주어야 하는 어려움이 있다.
Hernquist와 Katz(1989) 는, i번째 입자가 전 단계에서 h1(n-1) 라는 평탄화 길이 를 가져 내삽에 기여한 입자의 수가 Ni(n-1)일 때, 현 시간 단계에서의 새로운 평탄화 길이 hi(n) 을 = 1) [1 (3-4-5) 로 택하였다. 여기서 Ns는 입력 변수인데, 식 (3-4-5) 를 여러 차례 적용하면(즉 n ), N, I 이 결국 Ns 에 수렵하게 된다. 식 (3-4-5) 의 대괄호 속에 들어 있는 1은 의 급격한 변화를 막는 완충 역할을 한다. 식 (3-4-5) 의 계산이 식 (3-4-4) 보다 용이하므로 평탄화 길이 결정에 식 (3-4-5)가 효과적이라 하겠다. Ns의 구체적 크기는 실험을 거쳐 정하게 되는데, Goodman과 Hernquist(1991) 는 입자의 총 수가 3,400 일 때 Ns가 35를 가지도록 했다.3-5 가상 점성유체의 흐름이 초음속으로 진행될 경우 급격한 불연속이 분자들의 평균 자유 행정 정도의 범위에 걸쳐 생긴다. 이러한 충격파의 발생은, 분자들의 충돌에 의한 정보의 〈전달 속도〉가 유체의 흐름에 기인한 정보의 〈유입 속도〉보다 느리기 때문이다. 즉, 초음속 운동에서는 분자 수준의 충돌이 정보의 전파를 실질적으로 방해하고 있는 셈이다. 그런데 평탄화 입자 유체역학에서는 무한에 가까운 수의 분자들로 구성된 유체를 극히 적은 수의 입자로 서술해야 한다. 따라서 유한 개의 입자들로 분자 수준의 충돌까지 감당하기에는 역부족이다. 평탄화 임차들이 충격파가 있어야 할 곳에서 충돌하여 그곳에 머물러야 초음속 운동에서 야기되는 불연속 현상을 나타낼 수 있을 터인데, 서로 벗겨 지나가 불연속의 경계를 자유롭게 침두, 통과한다. 따라서 앞 절에 제시된 형태의 기본 방정식으 로는 충격파 현상을 서술하는 데 문제가 있다. 이룰 해결하기 위하여 가상 점성이 도입되었다.
평탄화 입자 두 개가 접근하게 될 때 이들이 서로 척력을 느끼게 만든다면, 엇바켜 지나면서 생기는 침두 현상을 막을 수 있을 것이다. 논지의 전개를 쉽게 하기 위하여, 우선 1차원 운동만을 생각하겠다. 일 차원 에서의 접근 여부는 av/ax 의 부호가 결정한다. 양이면 서로 멀어지는 중이고, 음이면 서로 가까워진다. 만약 av/ax게 사용된 예도 있다 (Lucy, 1977 ; Wood, 1981). 그러나 결과는 만족스럽지 못했다. 충격파 하류 쪽에 바람직스럽지 못한 진동이 크게 생겼던 것이다. 가상 점성 계수 와 에 큰 값을 넣어 그 전동을 다립할 수도 있으나 그렇게 하면 충격파의 불연속이 너무나 넓은 영역에 걸쳐 뭉개져 버린다.
평탄화 입자의 관집에서 • 를 계산하려면, 어차피 여러 개의 입자들에 대하여 평균을 택하게 마련이다(식 2-8 참조)． 이렇게 계산된 v • 의 값은, 접근중에 있는 입자쌍의 국부적 상황을 나타낸다기보다는 훨씬 넓은 영역에 걸친 평균적 상황에 더 충실하다. 이러한 사실에 착안한 Monaghan 과 Gingold (1983) 는 가상 점성 µ,J를 Vu • ru µu Tz,j r,.J.2(Tzu2 ) I ··존칙도 만족시켜 준다.
이제 보존칙과 가상 점성까지 고려한 평탄화 입자 유체역학의 기본 방정식은 아래와 같이 정리된다. = [（ + ) + rrIJ]Wu (3-1-3c) = ［( + ) + IJ ] v,WIJ (3-l-4c) p = mj wij 여기서 II,J는 식 (3-5-2) 와 (3-5-3) 으로 주어진다.유체의 상태를 등온으로 상정한 경우에는 입자의 고유 열 에너지가 시간과 위치의 불변양이므로 에너지 방정식을 고려할 필요가 없다. 가상 점성에 의한 운동 에너지의 손실은 열 에너지로 다시 나타나므로, 가상 접성이 있더라도 계의 총 에너지는 보존된다. 물론 여기서 시간 적분에 쓰일 방법에 따라 오차가 개입할 가능성은 있다. 따라서 총 운동량과 총 에너지의 시간에 따른 변화폭이 계산의 정확도를 검증하는 척도이다.4 기본 방정식의 시간 적분평탄화 입자 유체역학에서 우리가 취급해야 할 상미분 방정식들을 주의깊게 살펴보면, 결국 dr - = V di =/(r)r 의 형태를 하고 있음을 알 수 있다. 입자들 상호 거리의 함수로 힘의 크기가 결정되니까, 〈중심력〉의 가속도를 받고 움직이는 계라고 할 수 있다. 예상-수정의 과정을 반복하는 방식으로 이 미분 방정식의 쌍을 적분해 가면, 계의 진화를 따라갈 수 있다. 예상- 수정법(predictor -corrector scheme) 은 명시적 계산법 (explicit scheme) 이다.
예상 단계에서, 우리는 V(n+ I) = V (n) + 0//[r이 되고, 식 (4-la) 로부터 (1 x (1 = (n) x (n) 이므로 r(n + 1) X (n+1) = (TI) X(T 이 성립한다. 따라서 계의 각운동량은 자동적으로 보존된다. 개량된 예상- 수정 계산법을 쓰면 정확도를 높일 수 있다. 계를 시간 단계 까지 진화시켰을 때 중간 시간 단계에서의 속도와 위치의 예상값 울 각각 = ( + ） o n/2 = (n) + )+(n)]8 n/2 (4-2a) (4-2b) 로 계산한다. 여기서 밑줄 하첨자는 예상값을 의미하며 시간 간격 t의 하첨자 은 시간 간격의 시간에 따른 변호 t 명시적으로 나타낸다. 또 위 식에서 는 입자에 작용하는 단위 질량당의 힘(여기서는 압력 경도 력)을 나타낸다. 이제 예상된 위치 n 과 속도 상를 써서 힘 (n )을 새로 구한 다음, 중간 시간 단계에서의 속도와 위치를 수정한 다. 즉 = > (n) + ， +) /2 (4-3a) = n)+TT )o n/2 (4-3b) 여기서 이중 밑줄 하첨자는 수정값을 의미한다. 끝으로 다음 시간 단계에서의 속도와 위치는 V(n+I) = 2V)-(n) (4-4a) (n+ = (n )-(n) = (4-4b) 로부터 결정한다. 상기 과정을 거쳐 시간 적분을 하는 경우, 매 시간 단계마다 힘을 단 한 번만 구하도록 설계되어 있어서, 계산 시간을 절약할 수 있다. 단순한 예상-수정 계산법에서는 각운동량을 0( ) 의 수준으로
보존시킬 수 있지만, 개량된 예상一수정법에서는 보존의 정도를 o( ) 까지 향상시킬 수 있다.
수치계산 과정에서 안정을 유지하기 위해서는 적분 시간 간격이 쿠런 트의 조건을 만족해야 한다 (Richtnyer와 Morton, 1967). 또한 계산의 정 확성을 유지하기 위해서는 적분 시간 간격을 계의 역학적 진화 시간보다 월등히 짧게 잡아야 한다. Monaghan(1989) 의 제안을 따르면 임의의 시 간 단계에서의 시간 간격 t는 of = k min ( ola, otb) (4-5a) 로부터 주어진다. 여기서 의 값으로 0.2 를 사용하며, 와 는 각각 ta = min,( C+1.2ac.2/J ) (4-5b) 이고 otb = min; (lh, ) (4-5c) 이다. 또한 t가 항상 적당히 잡은 max 보다는 작게 되도록 한다. 여기 서 m i는 모든 입자들 중에서 최소가 되는 입자의 경우를 택한다는 뜻 이며, maxj도 갇은 맥락에서 이해된다. i는 위치 에서의 음속이다. 5 일 차원 음파 시험 평탄화 입자 유체역학의 기본 구상은 유한 개의 입자들을 적당히 평탄 화시켜 연속 매질을 재연하겠다는 데에 있다. 이 구상 자체가 무모한 것 갇아 보이기도 한다. 평탄화 입자 유체역학을 처음 접하게 되는 사람들 은 대개의 경우, 〈이것이 제대로 기능할 수 있을까?〉 하고 의심부터 갖 는다. 현재 이 굴을 쓰고 있는 사람도 같은 의구심을 가졌었다. 그렇다 면, 평탄화 입자 유체역학의 기본 방정식들을 코드화하여 수치 계산을 시도하기 전에 조사해 볼 일이 있는 셈이다. 엄밀한 해석적 표현이 아니라 유한 개의 입자들에 걸친 이산합(離散合)의 근사적 표현이라 하더라도, 이 근사의 범주에서 평탄화 입자 유체역학의 기본 방정식들은 자체 모순이 없어야 한다. 적어도 근사의 범주 내에서 음파의 전달 현상만이라도 제대로 서술할 수 있어야 할 것이다. 이 절에서는 여지껏 제시된 기본 방정식들을 미소 진동 현상에 적용시켜 음파의 분산 관계식을 도출해 보인 다음, 가상 점성이 분산 관계식에 미치는 감쇠 효과를 정량적으로 가늠해 보겠다.
5-1 음파의 분산 관계식질량이 구슬들이 단위 간격으로 길게 일렬로 늘어서 있다고 하자. 구슬 하나하나는 u만한 크기의 고유 열 에너지를 갖고 있다. 처음 정지 상태에 있던 구슬들에게 파수가 k, 전동수가 w인 파동 형태의 섭동을준다. 위치, 밀도, 속도, 고유 열 에너지 등의 섭동 진폭을 X,Q, V,E라 하면, 섭동을 받은 후 번째 입자의 위치 Xn, 그 곳의 밀도 pn, 그 입자의 속도 v,，과 고유 열 에너지 Un은 Xn 1l X (5-1-1a)Pn 와 갑이 서술될 수 있을 것이다. 또는 OXn X opn I exp[i ( (JJt) ] Unun J V E (5-1-1b) 이다.우선 가상 접성을 고려하지 않고, Pn = (r-l)PnUn 임을 상기하면서, 식 (3-1-3b) 와 (3-1-4b) 를 이 상황에 적용시켜 보면Vn = -(y -1)( + )(Xn - Xm ; lz) (5-1-2) Un (y-l) ( + )Vnmvn(xn Xm ; lz) (5-1-3) 와 갇이 된다. 한편, 위치와 속도 사이에는 d Xn = Vn 가 성립해야 하며, 밀도는 Pn = (xn — Xm h) m (5-1-5) 로 주어진다.
평탄화 함수의 그라디언트를 계산하려면, 평탄화 함수값이 결정되어야 하는 위치, 죽 Xn 과 Xm 이 섭동 후에도 적용되는 일반적 위치라는 것을 기억할 필요가 있다.W(xn — Xm h) Wnm + (xn xm);Wnm따라서 a . a2 vnW(x - Xm h) nWnm + (Xn — xm) Wnm (5-1-6) 의 관계가 성립한다. 여기서 Wnm은 W(n-m ; h) 를 의미한다.식 (5-1-4) 의 선형화식 dxn/dt = Vn 에서 위치와 속도 섭동의 전폭은 X = i V/ (I) 의 관계를 만족해야 한다. 식 (5-1-5) 의 선형화식 a opn = (oxn - oXm) Jii Wnm 에서 우리는Q = MoX 1-exp[ik(m-n) Wnm (5-1-7) 의 관계를 얻는다.
위 식에서 (aWnmlan) = a/an Wnm 이므로, 평탄화 함수의 정규화 조건에서부터, 우변의 첫째 항은 영이 됨을 알 수 있다. 한편, a exp[ik ( m- ) ] :;— Wnm ;;j -ll I J an a = exp[ik (m-n) ] Wnm + ili I exp[ik(m- n) ] Wnm n m m 의 관계가 성립한다. 이제 - y라 놓고, 지수 에 대한 이산합을 y에 관한 연속 적분으로 근사시키고 보면, 이산합의 결과가 결국 평탄화 함수의 푸리에 전폭임을 알 수 있다. exp ik ( m - ) Wnm 00 exp (iy) W (y) dy s ) m -OO 따라서 우리는 a 1 exp[i (m-n) i- Wnm = ikS (k) (5-1-8) 의 관계를 얻으며, 같은 논지에서 2 l ex p[ik(m-n)]} Wnm = k2S(k) (5-1-9) 가 성립함도 알 수 있다.식 (5-1-7) 과 (5-1-8) 에서, 밀도와 위치 섭동의 진폭은 Q = - ikMoXS (k) (5-1-10) 의 관계를 만족시켜야 한다.에너지 방정식 (5-1-3) 의 선형항들 사이에 성립해야 하는 d a = (r-1) u(vn-v) (5-1-11)의 관계에 식 (5-1-8) 의 결과를 이용하면 E = (r-l) )s(k) (5-1-12) 를 얻는다. 운동량 방정식의 선형화식 d vn = -(r-l)2u (oxn-OXm) m (5-1-13)+ [ + )- (o n + opm) 에 (5-1-8) 과 (5-1-9) 의 결과를 대입하면 V = (r- l) [ 一)-2 uX]S U (5-1-14) 가 성립한다. 이제 식 (5-1-6), (5-1-10), (5-1-12) 를 식 (5-1-14) 에 대입하여 X, Q, V, E 등을 소거하면, 우리가 원하던 분산 관계식은 ( 2 = (1-l) uk2S(k) + (r-2) S(k) (5-1-15) 와 갇이 된다.
평탄화 함수의 푸리에 진폭 S(k) 는 k o 일 때에 접근할 것이다. 섭동 파장이 충분히 길다면, 즉 충분한 개수의 입자들이 섭동 파장 내에 들어오기만 한다면, (J)2 = rr-l)uk2 = r(P/p)k2 = c2k2 가 성립하고, 유체역학의 평탄화 입자 체계에서도 단열 미소 진동의 분산식 2 = c2k2을 그대로 얻을 수 있다.평탄화 함수로 가우스 함수를 택하면, S(k) = exp[-h2k2/4] 이며, 운형자형 함수의 경우에는 S(k) = [sin(hk/2)/(hk/2)]• 이다. 그러므로 S(k) - 이기 위해서는 hk/2-+ 이어야 한다. 즉 섭동 파장이 A> 의 조건을 만족시켜야 2 = c2k2의 관계가 유효하다. 평탄화 길이 h를 입자간 평균 거리로 생각한다면, A>Kh의 조건은 파장 A 안에 입자들이적어도 3개 이상은 놓여 있어야 한다는 뜻이다. 이것은 충족시키기에 그ᘕ렇게 까다로운 조건이 아니다. 그러므로 이산합에 기초한 평탄화 입자식 서술에서도 미소 전동의 전파 속도는 파장에 무관하며, 파형도 그대로 유지될 수 있음을 알 수 있다.
5-2 가상 점성의 감쇠 효과가상 점성을 이제 하나의 섭동으로 간주하자. 미소 진동의 경우 가상 접성의 항은 무시될 수 있으므로 항만을 고려의 대상으로 삼겠다. 가상 점성에 의한 섭동이 에너지 방정식 (3-1-4c) 에 주는 효과는 차항의 성격을 지니므로, 식 (3 1-12) 로 주어진 와 V 사이의 관계는, 섭동의 일차항만을 고려한다면 아무런 변화가 없다. 따라서 운동량 방정식의 선형화식 (3-1-13)에만 가상 점성을 섭동 항으로 포함시키면 우리가 원하는 가상 점성의 효과를 찾아볼 수 있을 것이다.가상 점성 - (allc/p) (ov/ox) 항의 (ov/ax) 를 과 에 대한 평균으로 대치하여, 식 (5-1-13) 의 추가분 Vn = (-)Mo (m 이 주는 효과만을 조사하는 것으로 충분하다. 식 (5-1-8）과 Mo을 위 식에 대입하면, -i(JJ = ahc (ik) Uk)S(k)/2를 얻게 된다. 그러므로 우리는 (JJ2 = - ahck2 (k) i(J)／ 가 식 (5-1-15) 의 추가분임 을 알 수 있다. 결국 가상 점성이 있으면 분산 관계식은 2 = (r-l)uk2S(k)[2 + (r-2)S(k)J- 2S(k) ( (5-2-1) 으로 주어진다. 우리는 감쇠 효과에 관심이 있으니까, 를 R+ i 라 놓고 식 (5-2-1) 에서 허수부를 구하면 = - (k) • (5-2-2)를 얻는다. 그러므로 미세 진동의 전폭은 지수 함수 exp alu::k2S(k)/4]t}를 따라서 감소한다. 감쇠 거리척도 Ldcc 와 감쇠 시간척도 rdcc 는 각각 Ldec = [}ahk2S (k) ]-1 와 f dcc = [+azc (k) 로 정의될 수 있겠다.
가상 점성이 진폭의 감쇠를 가져옴은 틀립이 없으나 그 효과가 무시될 수 있을 정도로 작을 것이라는 점은 k-0 일 때 라는 사실에서 곧 알 수 있다. 실제 수치 계산에서는 전폭의 감쇠가 여기서 예상되는 것보다 느리게 일어난다. 가상 점성이 av/ax도록 하고, 시간 적분을 위한 시간 간격은 식 (4-5) 의 처방에 따라 결정하고, 최대 시간 간격은 = 0.025 로 고정시켰다. 가상 점성 계수로 a= l, = 와 c = 0.1 을 택하였다.
시간이 0.15 일 때의 밀도, 속도, 압력 그리고 단위 질량 당 열 에너지의 위치에 따른 변화를 그림 5-3 에 나타내었다. 또한 준 해석해 (Courant와 Friedrich, 1976 ; Rasio와 Shapiro, 991) 의 결과를 실선으로 나타내어 평탄화 입자 유체역학의 수치해와 대비시켰다.일 차원 충격관의 경우 t>O 인 어느 시각에서도 서로 상이한 열역학적 상태를 보이는 5개의 영역이 존재한다. 이들은 각각 오른쪽과 왼쪽으로 진행하는 희박파들 그리고 접촉 불연속면으로 나누어진다. 그림 5-3 에서 x==:_0.22 근처에 자리한 충격파 영역은 가상 점성의 영향으로 정도로 증대되었으며, 또한 x O.1 에 중심을 둔 접촉 불연속면도 비슷
1.2
그림 5-3 일 차원 리이만 충격관 시험 결과. 밀도, 속도, 고유 열 에너지와 압력의 변화물 위치의 함수로 나타냈다. 실선은 모두 충격관에 대한 준 해석해의 결과이다. X = 0.22 근방에 자리한 충격파 영역이 가상접성의 영향으로 3h 정도 중대되었으며, X = 0.01 부근에 보이는 고유 열 에너지의 불연속은 수치계산의 오차 때문이다.
한 범위로 증대되었다. 이 분해능은 가상 점성을 이용한 유한차분 코드의 결과 (Sod, 1978) 와 비슷하다. 가상 점성의 계수 와 를 감소시키면 충격파의 분해능은 개선되겠지만, 충격파 후면에 진동이 생길 수 있으므로 반드시 바람직한 것읊 아니다. 또한 와 를 증가시키면 충격파의 분해능이 떨어진다.
팽창하는 영역에서는 가상 점성의 효과가 개입되지 않으므로 X = -0.2 와 X = 0.0 사이에 있는 희박파의 구조에는 가상 점성의 역할이 없었다.일 차원 리이만 충격관 시험을 통하여, 우리는 식 (3 2)와 (3-5-3)으로 주어지는 가상 점성이 충격파의 불연속 특성을 만족스럽게 서술하고 있음을 알 수 있다. 가상 접성에 사용된 계수 a=l, =2도 무난한 선택인 것으로 판단된다.7 결어이 장에서 우리가 취한 입장은, 평탄화 입자 유체역학의 기본 원리를 이해하고 그것이 실제 상황에서 어떻게 기능하고 있는가를 알아보고자 함이었다. 평탄화 입자의 관접에서 일 차원 음파의 전달을 서술하여 평탄화 입자 유체역학 체계의 합리성을 납득할 수 있었다. 리이만 충격관 시험을 통하여 평탄화 입자 유체역학에서 하나의 문제로 제기되는 가상 접성도 충격파의 불연속면을 계산의 한계 내에서 제대로 서술하고 있음울 알 수 있었다. 그래서 자신의 문제에 적합한 코드를 작성하는 데 필요한 기본 정보는 모두 이 장에 주어전 셈이다.물론 코드 작성에 고려되어야 할 사항은 수없이 많을 것이다. 그러나 이 장의 수준에서는 그런 것들은 모두 예( )의 범주에 속한다. 후속 연구(Kim, Hong과 Yun, 1994) 에서는 평탄화 입자 유체역학 체계에 쌍지수(雙枝樹)에 의한 중력해자(前力 子)를 접목한 우리의 BTSPH를 소개하겠다. 그때 앞에서 언급한 예의 범주의 것을 일부 다루어 볼 셈이다.국내에서 현재까지 수행된 평탄화 입자 유체역학의 실제 계산 예는Lee (1990), Kwon (1993), (1 993) 에서 찾아볼 수 있다. 또한 바로 다음 장에서도 그 를 볼 수 있다.
참고문헌Benz, W., 1988, Comp. Phys. Comm. 48, 97.Benz, W., 1990, in Numerical Modelling of Nonlinear Stellar PulsaHons : Problemsand Prospects, ed. by S.R. Buchler (Dordrecht : Kluwer) , p. 269.Benz, W. and Hills, J.G., 1992, Ap. J. 389, 546.Courant, R. and Friedrich, K.O., 1976, Supersonic Flows and Shock Waves (New York : Springer) , p. 464.Durison, R. H., Gingold, R.A., Tholine, J.E., and Boss, AP., 1986, Ap. J. 305, 281.Gingold, K.A. and Monaghan, J.J., 1979, M.N.R.A.S. 181, 305.Gingold, K.A. and Monaghan, J.J., 1980, M.N.R.A.S. 191, 897.Goodman, J. and Hernquist, L., 1991, Ap. ]. 378, 637.Hernquist, L. and Katz, N., 1989, Ap. ]. 70, 419.Kim, W.T., 1993, "Gas Dynamical Evolution of Colliding Isothermal Clouds." M.S. Thesis, Seoul National University.Kim, W.T., Hong, S.S, and Yun, H.S., 1994, ].K.A.S. 27, 13.Kwon, T.J., 1993, "Dynamical Evolution of Rotating Interstellar Clouds : Stability of the Hayashi Equilibria." M.S. Thesis, Seoul National University.Lee, H.S., 1990, "Artificial Viscosity and the Dynamical Evolution of Rotating Interstellar Clouds." M. S. Thesis, Seoul National University.Lucy, L.B., 1977, A. J. 82, 1013.Miyama, S.M., Hayashi, C., and Narita, S., 1984, Ap. J. 179, 6. Monaghan, J.J., 1985, Comp. Phys. Report 3, 71.Monaghan, J.J., 1989, J. Comp. Phys. 82, 1.
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이형목1 서론유체역학을 수치적으로 다루는 데는 근본적인 어려움둘이 많다. 이러한 문제들을 해결하기 위해 여러 가지 수치 적분 방법이 응용되고 있으며 SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) 도 그 중 하나이다. SPH는 입자를 이용해 유체 현상을 기술하는 방법으로서 격자 방법 (Gridbased methods) 과 구별된다. SPH 방법에 대해서는 이 책의 제5장에서 설명하고 있으며 최근의 개관 논문 (Mona han, 1992) 에서도 그 기본적인 취지, 장단점 그리고 응용 영역에 대해 상세히 취급된 바 있으니 이들을 참조하기 바란다.SPH가 가지고 있는 가장 큰 장접은 기하학적인 모양에 크게 좌우되지 않는다는 접이다. 이 방법은 정확도에 있어서는 격자에 의한 방법에 크게 뒤질지 모르지만 격자 방법을 사용하기 어려운 복잡한 기하학적 상이 연구는 1991 년도 학술진홍재단의 자유 공모 연구비와 대우재단의 학술 연구지원비에 의해 지원되었다. 보다 상세한 결과는 추후 J. Monaghan 교수와 공저로 발표할 예정이다. 컵퓨터 연구에서 인용한 TVD의 계산은 강혜성 박사와 류동수 박사가 수행한 것이다. 그들의 계산결과를 사용하게 허락해준 두 분께 감사드린다.
황에서도 쉽게 쓸 수 있기 때문에 천체물리학에서 많이 응용할 수 있는 수치 방법이다.
SPH의 이러한 특성 때문에 주로 항성 충돌이나(예. Goodman과 Hernquist, 1991) 성간운 간의 충돌(예, Monaghan 과 Lattanzio, 1991) 같은 비교적 불규칙한 문제에 널리 쓰여져 왔다. 이 장에서는 SPH 를 응용한 또 하나의 문제를 다루고자 한다.최근에 이루어지고 있는 고 분해능 화상 관측이나 분광 관측에 의하면 우리 은하를 비롯한 M31 이나 M32 같은 근접 의부 은하들의 중심 부분에 질량이 106~108M0 정도 되는 블랙 홀이 존재할 가능성이 있는 것으로 보인다(예, Genzel 과 Townes, 1984 ; Tonry, 1987 ; Dressler 와 Richstone, 1988). 물론 이러한 관측 사실이 반드시 블랙 홀을 요구하는 것은 아니며 질량-광도비 (Mass-to-light ratio 또는 M/L)가 큰 천체 가 작은 공간에 몰려 있으면 설명할 수 있다. 예를 들어 질량이 핵융합 반응을 일으키기 어려울 정도로 작은 별들이 밀집되어 있어도 비슷한 관측 결과를 나타낼 수 있다 (Goodman 과 Lee, 1989). 다만 이러한 암흑 성단이 어떻게 생겼는지 등에 관한 의문은 계속 남는다.최근의 허블 (Hubble) 우주 망원경에 의한 고분해능 관측 (Lauer 등, 1993) 에 의하면 근접 왜소 타원 은하인 M32 에서의 블랙 홀 가능성은 더욱 높아지지만 아직 암흑 성단이 완전히 배제되지는 않고 있다. 여기서 말하는 근접 은하들은 활동성 은하들과는 달리 중심에서의 강한 에너지 방출 활동은 보이지 않는 것들이다.블랙 홀은 그 자체가 복사를 내지는 않지만 만약 물질이 빨려 들어간 다면 강한 에너지를 낼 수 있다. 은하 중심 부분은 블랙 홀 이의에도 고밀도의 물질(별 또는 가스)이 존재하기 때문에 강한 에너지원이 될 수 있다. 실제로 퀘이사나 활동성 은하핵 (AGN)의 경우에는 좁은 영역에서의 높은 광도를 설명하기 위하여 블랙 홀의 존재가 도입되었다.예를 들어 수소의 핵융합 반응에 의한 에너지 발생 효율이 정지 질량 에너지의 0.7% 인 반면 블랙 홀로의 물질 유입에 의한 에너지 발생 효율은 10%에까지 이른다. 이렇게 높은 에너지를 낼 수 있는 이유는 블랙홀로부터 대단히 멀리 떨어져 있어 거의 0에 가까운 에너지를 가진 입자가 블랙 홀 가까이로 서서히 접근하면서 아주 낮은 에너지로 가는 과정에서 차이의 에너지를 방출하기 때문이다. 거의 원운동을 하는 입자가 3배의 슈바르츠실트 (Schwarzschild) 반경에 접근하면 안정된 원궤도를 그리지 못하기 때문에 바로 블랙 홀에 빨려 들어가게 된다. 이렇게 원궤도를 그리면서 블랙 홀에 접근하다가 블랙 홀에 유입되는 입자는 E(oo)-E(3Rs) 라는 에너지를 방출하게 되며 이 양이 약 0.1mc2 이다. 여기서 E(r) 은 반경 r인 원궤도의 궤도 에너지이고 E(oo) =O 이다. 기타 은하 중심에서의 블랙 홀에 대한 보다 상세한 취급은 Rees(1984) 의 논문을 참고하기 바란다.
블랙 홀이 에너지를 효율적으로 내기 위해서는 가스를 빨아들여야 하는데 만약 주변에 가스가 적다면 블랙 홀에 의한 활동성은 기대할 수 없을 것이다. 은하 중심 영역에서 별 탄생 활동이 활발하다면 잦은 초신성의 폭발로 인해 가스가 휩쓸려 나가 상대적으로 가스의 밀도가 낮을 수 있다. 따라서 근접 의부 은하들의 비 활동성은 블랙 홀 주변의 가스가 없기 때문에 나타나는 현상이라고도 해석할 수 있을 것이다.그러나 설사 가스가 희박하다 하더라도 다음과 감은 연유로 블랙 홀은 막대한 에너지를 방출할 수 있는 가능성을 가지고 있다. 은하 중심 부분에는 고도로 밀집된 성단이 있으며 블랙 홀은 성단과 불가피하게 역학적 상호작용을 한다. 블랙 홀과 이를 둘러싼 밀집 성단의 상호작용에 의해 가장 두드러지게 나타나는 현상은 성단을 이루는 별들의 역학적 이완에 의한 질량의 재배치로 인해 블랙 홀을 중심으로 뾰족한 밀도 분포를 가지게 된다는 것이다 (Bahcall 과 Wolf, 1976). 죽 블랙 홀의 중력이 별들의 자체 중력보다 중요한 영역에서의 항성 밀도 분포는 를 따르게 된다(여기서 r은 블랙 홀로부터의 거리)． 이러한 역학적 이완에 대한 상세한 수치 계산은 Cohn과 Kulsrud(1978) 에 의해 Fokker-rlanck 방정식을 적분함으로써 이루어졌으며 대체로 Bahcall 과 Wolf (1976) 의 예측을 확인하였다.별이 블랙 홀에 아주 근접하면 조석력에 의해 파괴되는데 파괴되기 위한 불랙 홀로부터의 최대 거리를 조석 거리 (tidal dance) 라 하며 대체로 다음과 같이 주어전다. Rtid R(1.5 x 1013 cm( ) (I-I) 여기서 Mbh 와 M* 는 각각 블랙 홀과 별의 질량 그리고 는 별의 반경 이다. Cohn과 Kulsrud (1978) 의 계산에 의하면 별들의 역학적 이완에 의해 별들은 일정한 비율로 조석 반경 안쪽으로 접근하며 그 빈도는 다음과 갇이 주어진다. . 2 X 10-3yr-1( ) 2 33( 5 X 1:pc-J )1 6 x ( 100 s_I )5 6( )) 06 ) (1-2) 여기서 n0은 〈영향 반경 (radius of influence) 내에서의 별의 평균 밀도이고 (J는 별들의 일차원적 속도 분산이다. 영향 반경은 다음과 같이 정의된다. GMbh bh (1-3) 죽 r bh 이내에서는 중력장이 블랙 홀에 의해 좌우된다는 뜻이다. 조석 파괴는 블랙 홀로 가스를 공급해 주는 기구로 생각할 수 있다. Dressler 와 Richstone (1988) 에 의하면 M32의 경우 Mb 8 X 06M0 1 2.4X103 63kms-1 이다. 이들 값을 식 (1-2) 에 대입하면 우리는 dN/7.5X10-syr-l 를 얻는다. 따라서 평균적으로 약 13,000 년마다 하나 정도의 별이 블랙 홀의 조석력에 의해 파괴될 것으로 기대된다. 그러나 조석 파괴 후 어떤 일이 일어나는가에 따라 별의 조석 파괴 현상의 중요성은 크게 달라진다.
Gurzadyan과 Ozernoy(1980, 1981) 는 별의 파괴로부터 나오는 가스는 거의 일정한 비율로 블랙 홀에 유입된다고 생각하였다. 이 경우에 13,000 년마다 태양 질량 정도 되는 별이 파괴된다면 M32 중심부의 평균광도는 약 l08L 이 된다. 이는 M31 이나 M32 에서 실제 관측되는 광도보다 훨씬 큰 값이다. 게다가 M32 중심의 질량이 약 8Xl06M 이므로 질량-광도비는 태양 값의 단위로 약 0.08 이다. 일반적으로 타원 은하 중심 부분의 질량-광도비가 약 10~20( 예, Tremaine 과 Lee, 1987) 이라는 사실과 비교하면 대단히 작은 값이다. 다시 말해서 블랙 홀은 어두운 천체가 아니라 대단히 밝은 천체라는 결론에 이르게 된다. 다합 여기서 주의해야 할 것은 일반적인 은하의 광도는 가시 광선 영역에 가장 많이 나오지만 만약 블랙 홀 주변에서 나오는 에너지가 관측하기 어려운 자의선 영 역 등에 국한되어 있다면 질량-광도비가 작더라도 쉽게 관측되기는 어려운 경우가 있다는 점이다.
이것이 과연 블랙 홀 존재를 부인할 수 있는 증거가 될 수 있을까? 반면 Goodman 과 Lee (1989) 는 블랙 홀이 물질을 빨아들일 수 있는 최대의 효율인 에딩돈 (Eddington) 부착률을 유지한다면 태양 정도의 질량을 흡수하는 데 불과 4년 정도면 충분하다는 점을 지적하였다. 물론 이 동안 은하 중심부의 광도는 대단히 높을 것이다. 그러나 13,000 년마다 한 번씩 별이 파괴되고 이 별에서 나온 가스가 단 4년만에 모두 없어전다면 은하는 대부분의 시간 동안 낮은 광도를 유지할 것이며 블랙 홀이 존재한다 하더라도 관측과의 모순은 없어질 것이다.이런 이유로 해서 별이 파괴되고 그 별에서 나온 잔해 가스가 겪는 진화를 규명하는 것이 블랙 홀의 존재 여부를 판가름하는 데 중요한 역할울 한다고 하겠다. Rees(1988), Goodman과 Lee (1989) 그리고 Cannizzo, Lee와 Goodman(1990) 은 별의 잔해 가스가 파괴된 직후에 따르는 이심률이 대단히 긴 궤도에서는 상대론적인 근접 이동량이 대단히 크기 때문에 가스 입자가 근점 부근에 되돌아와서는 밖으로 나가는 입자들과 충돌하여 강한 충격을 겪게 될 수 있다는 점을 지적하였다. 이러한 충격은 두말할 나위 없이 궤도 에너지를 없애는 역할을 하게 된다. 따라서 입자의 궤도는 차츰 낮은 에너지 상태인 원궤도로 변할 것이다.그러나 실제로 원궤도화하는 물리적인 과정은 대단히 복잡할 것으로 기대된다. 왜냐하면 앞서 말한 충격의 마하 (Mach number) 는 100 이상이 되는 강한 것이기 때문이다.
이 장에서는 SPH를 이용하여 별이 블랙 홀에 의해 파괴되고 그 후에 잔해 가스들이 겪는 역학적 변화를 수치적으로 접근하고 그 결과로부터 조석력에 의해 파괴된 별의 잔해가 어떠한 결과를 가져오는지에 대한 보다 정확한 판단을 하는 데 그 목적이 있다. 이러한 종류의 계산에서는 계산 대상의 영역이 대단히 넓기 때문에 격자를 이용한 방법을 사용하면 격자간 간격이 너무 커 계산의 정확도가 떨어진다. 반면 SPH 같은 입자를 이용한 방법은 입자가 있는 곳에서만 계산을 할 수 있어 그 효용성이 크다고 하겠다.이 장은 다음과 같이 구성되어 있다. 제2절에서는 본 연구에서 풀어야 할 방정식들을 소개한다. 그 다음 절에서는 수치 방법에 대한 설명이 있고 제4절에서는 본 연구를 위한 SPH의 특성화와 초기 조건 등을 기술한다. 제5절에서는 이 연구에서 얻어진 수치결과들을 소개하고 마지막 절에서는 본 연구로부터 얻은 결과들로부터 어떠한 결론을 유추할 수 있는지 알아본다. 또한 이 연구에서 나타나는 것과 비슷한 상황에서 TVD라는 보다 정확한 수치 방법으로 계산한 것과 SPH 방법으로 계산한 것을 서로 비교하여 SPH의 정확도에 대한 평가를 내리고 차후의 연구 과제를 제시한다.2 운동방정식이제 우리는 별을 질량이 M*, 반경이 R* 그리고 지수 3/2 인 다방구 (polytrope) 로 가정한다. 여기서 다방구 지수를 3/2로 가정하는 것은 밀집 성단을 구성하는 별의 대부분은 태양 질량보다 훨씬 가벼운 저질량 별들일 것이라는 기대 때문이다.초기에 별은 블랙 홀로부터 멀리 떨어져 있으며 조석력은 대단히 작다. 근정에 도달했을 때 조석력이 다른 어떤 힘보다 중요하게 되면 별은 깨지게 된다. 별로부터 나온 가스는 퍼진 상태로 궤도 운동을 하게 될것이다. 이러한 일련의 과정들을 수치적으로 기술하는 것이 본 연구의 목적이다.
일반 상대론적 효과가 없을 경우 유체를 기술하는 방정식들은 다음과 갇이 주어진다. 운동 방정식 —d v =- 1VP+ Fv dt p GMbh r-V3 (2-1) 연속 방정식 =p'v .v dt (2-2) 에너지 방정식 (viscous heating) (2-3) 포아슨 방정식 Jr p (2-4) 여기서 는 점성에 의한 힘이고, u는 단위질량 당 열 에너지이다. 좌표의 원점은 블랙 홀의 위치로 잡았다.블랙 홀에서 가까운 영역에서는 뉴턴의 역학 방정식이 잘 맞지 않고 일반 상대론적 효과를 고려해야 한다. 근접 거리가 블랙 홀의 슈바르츠 실트 반경보다 비교적 크고 이심률이 큰 궤도는 뉴턴적 운동 방정식에 의한 닫힌 타원이 아니고 근점의 위치가 매 궤도마다 변한다는 것이다. 이심률이 거의 1에 가까울 때 매 회전당 근접 이동 거리는 각도로 약 1.5rcRs/Rp 라디안 정도이며 여기서 Rs는 슈바르츠실트 반경이고 Rp는 근접 거리 (pericentral distance) 이다 (예 , Weinberg, 1972) . 근접 거리가 갇고 이심률이 다른 궤도는 궤도 장반경에서 차이가 나며 따라서 궤도 주기가 달라질 것이다.근점 거리가 균일하고 이심률만 조금씩 다른 입자가 있을 경우 같은 시간에 근접을 통과하였다 하더라도 주기가 다르기 때문에 근점에 되돌아오는 시 간이 모두 다르다. 따라서 주기가 짧은 입자가 근접 부근으로 되돌아올 때 주기가 긴 입자는 근점을 벗어나고 있는 경우가 있을 것이다. 이렇게 해서 근접 이동 각도 자체는 주로 근접 거리에 의해서만 좌우되기 때문에 이심률이 다른 입자들에 대해서도 비슷하겠지만 궤도 주기의 차이로 인해 이심률이 다른 입자들이 연속적으로 존재할 경우 밖으로 나가는 흐름(주로 궤도 주기가 짧은 것들)과 안으로 들어오는 흐름(주로 궤도 주기가 긴 것들)은 서로 충돌을 하게 될 것이다. 실제 예를 보이기 위해 그립 6-1 에는 근점 거리는 갇고 주기만 차이가 나는 두 궤도를 보였다. 여기서 근점 거리는 슈바르츠실트 반경의 5배 정도이다. 갇은 지접(이 좌표에서 x=270, =270) 에서 출발하여 같은 시간 동안 움직인 궤적이다. 이심률이 큰 궤도(실선)를 따라 움직이는 입자가 한 회전 반 정도를 움직이는 동안 이심률이 작은 궤도(점선)를 따라 움직이는 입자는 4회전 정도를 움직였다. 따라서 궤도 주기가 다른 입자들이 섞여 있을 경우 근점 주변에서 밖으로 나가는 입자와 안으로 들어오는 입자 사이의 충돌이 일어날 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 이 그림에 보인 궤도는 아래에 설명할 상대론적 보정 (post-Newton) 항을 포함시키는 방법으로 계산하였다. 이는 일반 상대론적 효과가 비교적 약할 때 사용할 수 있는 방법이다.
유체역학 방정식들도 상대성 이론에 의해 개정되어야 함은 물론이다. 상대성 이론의 주요 역할은 시공을 휘게 만드는 것이다. 그러나 유체 현상은 일반적으로 작은 공간 영역에서 나타나는 것이다. 예를 들어 압력은 가스의 자유 운동에 의한 것으로서 입자들의 평균 자유 경로 (Mean free path) 내에서의 운동에 좌우되며 평균 자유 경로는 상대론적 효과에 의한 공간 곡률 반경에 비하여 대단히 작다. 따라서 일반 상대론에 의한 완만한 시공 뒤틀립은 유체역학에는 큰 영향을 미치지는 않을 것으로 가정하여 유체역학 방정식 자체는 고전적인 것을 그대로 사용하였다. 이제 상대론적 보정 항이 어떻게 표현되는가 살펴보자.뉴턴 후 근사에서 슈바르츠실트 블랙 홀 주변에서의 단일 입자의 라그랑지안은 다음과 같이 주어진다(Weinberg, 1972 참고). L= v2--+v42 (2-5) 여기서 ¢(=-GMbh/r) 는 뉴턴의 중력 포텐셜이고 c는 빛의 속도이다.
8000
그림 6-1 근접 거리는 갇고 주기가 다른 두 궤도를 따라 움직이는 입자들이 같은 시간 간격 동안 웅직인 궤적. 랙 이 중십에 여 있고 근정 거리는 슈바르 실트 반경의 약 5배이다.
이러한 라그랑지안을 다음의 라그랑지 방정식 d aL aL = dt au ax (2-6)에 대입하여 풀면 다음의 운동 방정식 (Dv)=- (1 +) (2- 7)
을 얻게 된다. 여기서 , 1 v2 D=l (2-8) 이다.
이제 식 (2-7) 로부터 다음의 가속도에 대한 표현을 얻게 된다. = (1+ (2-9)위의 방정식은 초기의 다방구와 별이 깨진 후 입자들의 지오데식 (Geodesic) 운동을 정확하게 기술한다. 가장 중요한 오차는 일반 상대론에서 나타나는 O(v4/c4) 이상의 고차항과 상대론적 운동에 의한 O(P/ c2) 의 항을 무시했기 때문에 나타나는 것들인데 우리의 경우에 이들은 모두 무시할 정도로 작다.위에 표현된 운동 방정식은 다음의 각운동량 prxD (2-10) 과 다음의 에너지 ( v2+u+ - + ) (2-11) 등 두 개의 불변량(invariants) 을 갖는다. 따라서 우리는 수치 계산 중 이 두 양을 관찰함으로써 계산의 정확도를 추정할 수 있다.식 (2-9) 에서의 dD/dt항은 식 (2-8) 에 미분을 취하고 식 (2-9) 를 이용해 d(v2)/dt항을 소거함으로써 다시 쓸 수 있다. 이제 무시할 정도로 작은 0 (v4/c4) 항을 없앰으로써 =4 (2-12) 의 식을 얻는다. 이 식을 식(2-9) 에 대입하여 우리가 궁극적으로 사용할 수 있는 블랙 홀 부근에서의 운동 방정식을 얻는다.3 SPH 방정식들
이제 SPH 에서 풀려는 임의의 입자 에 대한 방정식들은 다음과 같은 형태가 된다. 운동 방정식 : = -( )va - )a -(1 )（)a-( 'J (3-1) -(1+ + +)( - )밀도 : a=b (3-2) 에너지 방정식 : [)+ITab Ju: • vaWab (3-3) 여기서 (즉 입자 a와 b의 상대속도), Wab는 보간 커널이며 우리의 경우에는 스플라인 함수 (spline function) 에 기초를 둔 다음 형태의 함수를 사용하였다. 3 +p 3—4 2q ql 2 311_( _2 40 —Gl = r (0< ) h r (12) h (모든 다른 경우) (3-4) 여기서 q=r/h, v 는 공간의 차원 수(우리의 경우 3), 그리고 는 정규화 상수로서 v=1 일 경우는 2/3, 11=2 일 경우는 10/(7)I 그리고 =3 일 경우는 1/ 이다. 식 (3-3) 에 나타나는 I 는 다음과 갇이 표현되며, =-aEab , . (Vab • rab여기서 상대속도에 비례하는 µab = Vab • rab ( + ) (3-6) 는 충밀리기 접성 (shear viscosity) 와 부피 점성 (bulk viscosity)을 주는 항이고 상대 속도의 제곱에 비례하는 항은 마하 수가 큰 충격을 처리하기 위해 도입한 항으로서 대략 유한차분법 (finite difference method)에서 사용되는 노이만-리히트마이어 (Neumann-Richtmeyer)집성에 해당한다. 또 식 (3-5) 에 나타나는 Cab 와 Pab 는 각각 지접 a와 b에서의 음속과 밀도의 평균값이다. 여기서 a와 는 조절할 수 있는 상수로서 수치 결과가 이들 값에 민감하지는 않지만 a=l, =2가 적합한 선택이라는 사실이 많은 실험을 통해 입증되었다 (Monaghan, 1992). 따라서 본 연구에서도 이들 값을 선택해 사용하였다. µ에서 나타나는 항은 특이접을 피하기 위해 도입한 것으로서 너무 큰 값을 택하면 밀도가 높은 지역에서 점성항이 고르게 되는 효과를 주게 된다. 우리의 경우 2=0.O /z 을 택함으로써 특이점과 지나친 고름 효과를 동시에 피할 수 있게 하였다. 이는 결국 점성이 평탄해지는 거리가 O.lh 임을 뜻한다. 이러한 여러 가지 보완을 함으로써 SPH는 유체역학 현상을 비교적 정확히 기술할 수 있게 되었다. 위 의 표현들에 서 나타나는 는 〈분해 길이 (resolution length) 〉로서 SPH 의 결과는 보다 긴 범위에서만 정확하다고 할 수 있다. 보통 h는 입자 사이의 거리에 관계하며 본 계산에서는 입자 사이의 최단 거리를 택하여 h로 정하였다. 본 연구에사와 같이 밀도의 범위가 넓은 경우에는 분해 길이를 공간에 대해 변하는 값으로 태하여 지역 별로 다른 값을 사용함으로써 SPH 계산의 유효 범위를 넓힐 수 있다. 그러나 본 연구에서는 계산의 단순화를 위해 공간에 대하여 변하지 않는 일정한 h를 사용하였다.
운동 방정식들을 시간에 대하여 적분하기 위해 예측-수정 방법 (predictor-correctormethod) 을 시간 사용하였으며 간격은 다음과 갇이 결정하였 다.=min (tI, t2, h) (3-7) 여기에서 o, = min . 06 (3-8) 은 가장 빨리 움직이는 입자의 궤도를 기술할 수 있게 해주는 시간 간격이고 =mina{O.25//[ca +O.6(aca+ axbµab) (3-9) 는 쿠런트 조전 (Courant condition) 및 점성에 의한 시간 간격을 결합한 것이며, o =0.25H (3-10) 는 자체 중력에 의한 운동을 기술할 수 있게 해주는 시간 간격이다. 위 의 방정식에서 f는 자체 중력의 최대값이다. 모든 수치 계산을 위한 준비가 되면 초기 조건을 대입하여 운동 방정식을 적분할 수 있다.
4 수치 적분만약 조석 파괴가 중력에 비해 조석력이 커질 때 일어난다고 가정할 것 갇으면 우리는 이 두 가지 힘이 평형을 이루는 조건을 구할 수 있다. 이 거리는 〈조석 거리〉라 불리며 이미 식 (1-1) 에 주어전 바 있다.그러나 조석 파괴가 일어나는 최소의 거리는 복잡한 유체역학적 현상 때문에 위의 단순한 예측과는 어느 정도 다를 수 있다. Nonhelius 와 Katz(1982)와 Evans와 Kochanek(1989)에 의해 이루어전 SPH 결과는 식 (1-1) 의 값보다 약간 작은 값을 준다. 실제로 정확한 조석 거리는 별의 내부 구조에 좌우될 것이다.또한 조석 거리보다 약간 먼 근접을 지나는 별은 〈조석 포획(tidalcapture)〉을 겪을 수 있다. 일단 포획된 별은 다시 블랙 훌 부근으로 되돌아오기 때문에 계속적인 조석력의 영향을 받기 때문에 별이 궤도 에너지를 흡수하여 점점 부풀어 오를 것이다. 결국 포획된 별의 궤도가 원궤도화되는 과정에서 별이 흡수해야 하는 궤도 에너지는 별 자체의 결합 에너지보다 크기 때문에 별은 어느 시점에서 파괴될 것이다. 이런 점을 고려한다면 은하 중심에서 10 Me 정도의 블랙 홀에 의해 파괴될 확률은 식 (1-1) 의 조전으로 계산한 것보다는 약 두 배 정도 될 것이다 (Cannizzo, Lee와 Goodman, 1990, 그림 6-1 참조).
본 연구의 목적은 파괴되는 조건을 구하는 것이 아니므로 여기서 우리는 초기 조건을 설정할 때 별 궤도의 근점이 위의 경계 조전보다 훨씬 작은 값을 가지도록 하였다. 이렇게 함으로써 별이 틀림없이 파괴될 수 있도록 하였다.블랙 홀의 질량은 107M 으로 고정하였다. 참고로 블랙 홀의 질량이 대략 108M을 훨씬 넘어서면 태양 정도 되는 별의 조석 거리가 블랙 홀의 슈바르츠실트 반경보다 작아지므로 조석 파괴는 일어나지 않는다.여기서는 블랙 홀로 접근하는 별의 질량과 반경을 태양의 것과 갇게 택하였다. 여기에서 취한 근점 거리는 약 1. 1x1011 cm로서 식 (1-1) 에 주어진 한계값보다는 약간 작은 값이고 블랙 홀의 슈바르츠실트 반경보다는 훨씬 큰 값이다. 따라서 일반 상대성 이론에서의 운동 방정식을 뉴턴 후 근사를 이용한 것이 충분히 작은 오차를 가지게 된다. 보다 상세한 초기 상황은 아래에 설명한다.4-1 다방구이미 설명한 바와 갇이 접근하는 별은 지수 n=3/2를 갖는 다방구로 가정하였다. 임의의 지수 n을 갖는 다방구는 우선 다음의 레인-엠덴 (Lane-Emden) 방정식을 풀어 구성하여야 한다. =-On (4-1-1)여기서 밀도는 p=AO 별 중심으로부터의 거리는 r=g, 압력은 P= (p l+ 그리고 cl= ( · + 1 ) -l (4-1-2) 이다. 별의 반경은 R*=ax 로 Xe는 0(x) =O를 만족하는 최소의 x를 의미한다. 매개 변수 와 는 M* 와 R* 를 정함으로써 결정된다. 이제 새로운 극좌표계 (g, o, ¢)를 도입하여 이 좌표계에서 균일하게 입자들을 분포시켰을 때 실제 공간 좌표 (x, 0, ¢)에서는 레인-엠덴 방정식을 만족시키는 밀도 분포가 되도록 하고자 한다. 이를 위해서는 f와 x 사이에 다음의 변환 관계가 성립되어야 한다. 1x2dx = 2d (4-1-3) 따라서 i Xeonx2dr (4-1-4) 이고 여기서 는 의 최대값이다(죽 x=xe 일 때의 값). 식 (4-1-3)의 적분에 사용되는 경계 조건은 x=O 일 때 e=o 이다.
이제 식 (4-1-3) 을 적분함으로써 우리는 의 함수로 의 표를 만들 수 있다. 우선 N개의 입자들을 (E, 0, ¢) 공간에서 균일하게 분포시킨다. 임의의 위치 에 놓여 있는 입자 b는 e(x) 의 표를 내삽함으로써 를 찾을 수 있고 이들 입자들에게 모두 M*/N( 여기서 N은 입자의 개수)라는 질량을 부여함으로써 좌표계에서의 입자의 분포를 구하게 된다. 이렇게 구한 입자들의 분포는 레인-엠덴 방정식에 의한 것과 갇아질 것이다.각 입자들이 가지고 있는 열 에너지는 ub=Pb/[(r-1)Pb]로서 각 입자들이 위치한 지접 Xb 에서의 밀도와 압력을 주어전 입자 분포와내삽커널을 이용해서 구한 후 위의 식에 대입함으로써 알 수 있다. 여기서 우리는 단열 지수를 r=5/3로 고정시켰다. 이제 실제 계산을 하기 위해 모든 물리량을 차원이 없는 값들로 바꾸어야 한다. 이를 위해 우리는 다음과 갇은 단위들을 사용하였다.
표 6-1 본 계산에서 사용된 물리량의 단위들
질량 : Mbh 에너지/질량 : c2 길이 : GMb,./c2 압력 : c/ (G 3Mt h) 시간 : GMb,./c3 속도: c
위의 단위를 사용하면 P=K 는 P'=K'( p')의 형태가 되며 여기서 프라임을 붙인 것들은 위의 단위로 표현한 차원이 없는 값들로서 K' ＝()) (4-1-4)이고 여기서 Xe qn= nx2dx n (4-1-5)는 질량에 비례하는 양이다.
4-2 궤도 초기의 단위 질량당 각운동량과 궤도 에너지는 각각 =r2 iJ (1+ ) (4-2-1) 과 E=½v2 + ) (4-2-2) 이다.블랙 홀로 접근하는 별의 초기 거리를 이라 하면 궤도 에너지 E가 주어졌을 때 식 (4-2-2) 를 이용해 속도에 대하여 풀고 이 해를v2=H(E, r) (4-2-3) 이라 하자. 근점에서는 v2= 이고 r=R (Rp는 초기 파라미터로 지정된 다)이다. 그러면 식 (4-2-3) 에서 =H(E, RP) 임을 알 수 있고 식 (4-2-1) 로부터 각운동량은 =H(E, )[ + + (E, RP) (4-2-4) 가 된다.
위의 식 (4-2-4 로부터 우리는 불변량 를 구할 수 있다. 따라서 임의의 주어진 초기 위치에서의 v2을 구할 수 있으며 j로부터 Vo를 계산하게 되어 속도의 모든 성분을 알 수 있게 된다. 이러한 속도를 앞에서 구한 다방구 입자들에게 적용하면 주어전 초기 위치에서 별의 초기 운동이 완전하게 기술되는 것이다.4-3 자체 중력자체 중력은 조석력이 중요해질 때까지, 즉 상당한 정도의 파괴가 일어날 때까지만 계산을 한다. 우리가 여기서 사용한 한계는 GMbhd 3 >5max(IV|) r (4-3-1) 이며 여기서 d2=mb( Yb- ra)2mb (4-3-2) 이고 E은 가스의 질량 중심 좌표이다.자체 중력을 계산하기 위하여 우리는 다중 격자 방법을 사용하였다. 이 방법에 대해서는 Mona han과 L~ttanz (1 991) 에서 자세히 설명하였 다. 격자는 가스의 질량 중심에 놓여 있고 직사각형 모양을 유지하면서 그 크기는 입자들의 분포에 따라 조절한다. 다중 격자 방법은 되치기 방법 (iterative method) 이다. 계산의 수령은 포텐셜의 차이가 10-5l124 이하가 됐을 때 이루어졌다고 가정하였다.
이 방법은 포텐셜을 계산하는 데 드는 시간이 거의 입자의 수에 비례하기 때문에 입자의 숫자가 늘어나는 데 비해 계산 속도가 크게 빨리 증가하지 않는다는 장점을 가지고 있으나 정확도에 있어서는 나뭇가지 방법 (Tree algorithm) 등에 비해 떨어전다.4-4 수치 시험입자의 분포로 다방구를 대변하는 것은 중력 에너지와 열 에너지를 레인-엠덴 값과 비교함으로써 시험하였다. 열 에너지는 2,000 개의 입자를 사용하였을 경우 2% 이내에서 정확하였고 비리알 방정식은 1% 이내에서 만족하였다. 밀도 윤곽선은 표면에서 h 정도 떨어진 곳 이의에서는 레인-엠덴의 값과 2% 이내에서 일치하였다. 이제 곧 보여줄 본격적인 계산에서는 초기에 14,000 개 정도의 입자들을 사용하였지만 중력 에너지와 열 에너지의 정확도는 2,000 개일 때와 비교하여 크게 나아지지는 않았다.일반 상대론적 항은 압력, 접성 그리고 자체 중력을 꺼놓은 상태로 근접 거리가 슈바르츠실트 반경보다 상당히 큰 경우에 근점 세차 운동량을 계산하여 선형 이론에서 예측하는 값과 비교함으로써 점검하였다. 그 차이는 근접 거리가 60GM/c2 일 때 1% 미만이었다. 그러나 우리의 경우에는 근접 거리가 약 7.5GM/c2 정도로 선형 이론에서 사용하는 가정이 맞지 않아 선형 이론에서의 값과 30% 이상의 차이가 있음을 알 수 있었다(물론 선형 이론에 의한 값은 근접 이동 거리가 작은 경우만 정확하기 때문에 본 연구에서 얻은 값이 더 정확한 값이다) ． 이러한 시험에서 역시 각운동량과 에너지는 각각 0.3% 와 1% 이내에서 잘 보존되었다.본 계산의 장기적인 정확도를 보기 위해 단위 질량당 각 운동량이 사간에 따라 어떻게 변화하는가를 그립 6-2 에 표현하였다. 이 그립에서 볼 수 있듯이 각운동량은 아주 정확하게 보존된다. 이 그림에서 나타난 단
1.2
그림 6-2 본 계산을 수행하는 동안의 입자당 평균 각운동량의 변화를 보여준다. 각운동량은 대단히 찰 보존되며 1% 이상 벗어나지 않음을 알 수 있다.
위 질량당의 각운동량의 최대 변화는 약 1% 이내였다. 에너지들의 전화는 한 형태의 에너지가 다른 형태의 것으로 바뀌는 등 훨씬 복잡한 현상이기 때문에 다음 절에서 다룬다.
4-5 초기 조건들이미 밝힌 바와 갇이 블랙 홀의 질량은 107M 으로 고정시켰고 접근하는 별의 질량과 반경은 태양의 것과 갇다고 가정하였다. 이러한 초기 조건 하에서는 길이와 시간의 단위는 각각 1.48x1012cm와 49초가 된다.접근하는 별의 궤도는 근점 거리가 1. 1x1013cm 이고 E=O 인 궤도를 가정하였다. 이 근점 거리는 대략 슈바르츠실트 반경의 약 3.8 배에 해당한다. 참고로 식 (1 -1) 에 나타난 조석 거리는 이 경우에 1. 5x1013cm 이다.
초기에 우리가 택한 입자의 개수는 대략 14,000 개이다. 그러나 계산을 하는 동안 블랙 홀로부터 일정한 거리 이상 떨어져 있고 양의 결합 에너지를 가진 입자들을 계산에서 제거시키기 때문에 입자의 개수는 계속 줄어든다. 일정한 거리 이상에서는 가스의 밀도가 대단히 낮기 때문에 압력을 무시하였다. 이렇게 압력과 점성에 의한 힘이 무시되는 거리를 본 계산에서는 60 배의 초기 근접 거리로 택하였다. 또한 본 계산에서의 궤도 평면은 x-y 평면이 되도록 좌표계를 택하였다.5 결과5-1 별의 파괴별이 블랙 홀에 접근함에 따라 조석력은 별을 짓누르고.궁극적으로 근점을 지날 때 별을 부숴버린다. 이제 우리는 그립 6-3 에서 접근하는 별 의 모양이 어떻게 변화하는지 보였다. 여기에서 별 모양의 변화를 잘 보이게 하기 위해 별의 크기를 20 배로 확대하였다. 이 그림에서 7 의 위치에 와서는 별이 완전히 파괴되었다고 간주해도 좋을 것이다. 각 위치에서의 시간은 다음의 표 6-2 에 보였다.표 6-2 그림 6-3 에 나타난 각각의 위치의 시간(표 6-1 에 주어전 단위)
1 2 3 4 5 6 7 시간 114 295 328 359 377 405 472
상대론적 보정을 하지 않은 궤도의 결합 에너지의 분포를 알면 잔해
40 I·
그림 6-3 불랙 홀 주변을 지나면서 별이 겪는 변화. 이 그림에서 거리의 단위는 표 6-1 에 주어진 것과 갇으며 별의 크기는 20 배로 확대하였다. 별이 일그러지 면서 번의 위치에서는 거의 완전히 파괴되는 모습을 보여준다. 각 위치 때의 시간은 표 6-2 에 주어져 있다.
가스의 궤도 분포를 알 수 있을 것이다. 이제 논의를 단순화하기 위해 상대론적 효과를 무시하고 케플러 궤도를 따라 입자들이 움직인다고 가정하면 각 입자들의 결합 에너지는 다음과 갇이 주어진다.
Eb=Tv - r 1 .. 2 GMbh (5-1-1)그림 6-4 는 별이 완전히 파괴된 후 두 개의 주어진 시간에서(우리의 시간 단위로 2.2X104 와 1. 105) 에서의 에너지 분포 히스토그램이다. 이 두개의 시간은 첫번째 충격이 일어나기 전과 후의 것을 각각 하나씩 택한 것이다. 참고로 첫번째 충격은 때 일어난다（그림 7 참조）· Rees (l988) 와 Goodman 과 Lee(1989) 에 의해 논의된 바와 같이 결합 에너지의 분포는 거의 상수이다. 즉 f (E) dE=const x dE (5-1-2)
신선 : != 2 .2 X 1 0'
그림 6-4 입자들이 가지고 있는 결합 에너지의 히스토그램. 두 개의 서로 다른 시간은 충격을 겪기 전과 겪은 후의 것이다. 충격을 겪은 후의 것은 비교적 낮은 결합 에너지를 가지고 있던 입자들이 더욱 낮은 결합 에너지로 옮겨진 사실을 보여준다.
순수 중력장 내에서 에너지는 보존되는 양이기 때문에 서로 다른 두 시기에서의 (E) 는 거의 같을 것이다. 그러나 낮은 에너지를 가전 입자들의 수는(즉 Ebin/lEaug l< -3) =2.2 X l04 의 경우가 /=1. 1 X 105의 경우 보다 현저하게 적음을 볼 수 있다. 결합 에너지가 작다는 것은 궤도 주기가 짧음을 의미한다.
그림 6-4 의 실선과 점선을 비교해 보면 결합 에너지가 비교적 작은(또는 주기가 비교적 짧은) 입자들은 충격을 겪음으로써 더욱 낮은 결합 에 너지(또는 더욱 주기가 짧은) 상태로 바뀌었음을 알 수 있다. 측 —3 Ebn/lEau l-2 이던 입자의 수는 줄었고 Ebi11/IEaug|< 인 입자의 수 는 증가하였다. 반면 궤도 주기가 긴 입자들의 원점을 한 번 통과하여 근접으로 돌아오다가 나가는 흐름과 만나면서 생기는 충격파에 의해 일부 입자들의 결합 에너지가 더 낮은 상태로 바뀌기 때문에 에너지 분포가 그립 6-4 에서 보이듯이 두 시기에서 달리 나타나는 것이다. 이 현상에 대해서는 5-2 절에서 보다 상세히 다룬다.케플러 궤도에서 주기는 케플러의 제 2 법칙과 궤도 결합 에너지가 Eb =_ abh 사실로부터 다음과 같이 결정된다. 2r 3 GM P= mT g =2r (-2) (5-1-3) 여기서 는 궤도 장반경이다. 이제 궤도 주기의 분포는 다음과 같은 관계식으로부터 얻어질 수 있다. f (P) dP= (E) dP=I(E) (2 1) (5-1-4) 따라서 우리는 그림 6-4 에 보인 바와 갇이 (E) 가 일정한 범위에서 상수일 경우 이 에너지 범위에 해당하는 궤도 주기의 분포는 운에 비례함을 알 수 있다. 그림 6-5에는 그림 6-4 에 나타난 두 시기에서의 궤도 주기의 분포를 보여준다. 비교를 위해 을 끊어진 선으로 표시하였다. 이 그림에서 우리는 파괴된 별에서 나온 입자들의 궤도 주기 분포는거의 응에 비례함을 알 수 있다. 이 사실은 이미 Rees(1988)와 Goodman 과 Lee (1989)에 의해 제안되었고 Evans 와 Kochanek (1989)에 의해 수치적으로 확인된 바 있다.
입자들의 주기 분포는 블랙 홀로부터의 근점으로 물질이 되돌아오는 율에 해당한다. 만약 되돌아오는 물질들이 궁극적으로 블랙 홀에 빨려 둘어간다면 우리는 물질의 부착률 (accretion rate) 이 t 에 비례한다고 말 할 수 있다. 이러한 비례 관계식은 첫번째 입자가 근점으로 되돌아온 이 후부터 적용됨을 유의하기 바란다. 또 아주 짧은 주기를 가진 입자 (P X104) 들은 그림 6-5 에서 시간이 상당히 지난 시기부터 나타나기 시작한다. 이것 역시 충격에 의한 가열 때문에 나타나는 현상이다.궤도 주기가 짧은 입자들은 긴 것들에 비해 훨씬 덜 찌그러진 궤도를 가지고 있다. 따라서 우리는 그림 6-5 에서 실선과 점선을 비교함으로써 원궤도화(circularization) 가 진행되고 있음을 알 수 있다.5-2 별 잔해의 진화파괴된 물질의 평균 결합 에너지는 약 0 정도일 것이며 대략 반 정도는 양의 결합 에너지를, 나머지 절반 정도는 음의 결합 에너지를 가지고 있을 것이다. 양의 결합 에너지를 가진 입자들은 궁극적으로 속박 상태를 벗어날 것이고 음의 결합 에너지를 가진 입자들만 되돌아울 것이다. 따라서 우리는 양의 결합 에너지를 가전 입자들은 적당한 거리에서 제거 시킨다.한 주기당 1.51rR /Rs의(우리의 경우 약 72 도이지만 이 연구에서 사용한 수치 계산의 결과에 의하면 약 54 도 정도가 됨) 상대론적 세차 운동은 근점울 두번째 동과하고 나가는 입자들(죽 궤도 주기가 짧은 입자들)을 근접을 향해서 들어오는 입자들과(궤도 주기가 긴 입자들) 교차하게 하는 역할을 한다. 이 두 흐름의 상대 속도는 대략 (GMbh/R )½o.3로서 대단히 크다.
0. 1 N(P)CXF'f3
그림 6-5 그림 6-4 에 나타난 두 시간에서 입자들의 주기 분포를 나타낸 히스토그램. 결합 에너지에 대한 분포가 균일할 경우 기대되는 N(P) oc 의 관계식이 찰 맞음을 보여준다. 또한 충격을 겪고 난 후에는 아주 짧은 주기를 가전 입자들이 나타나는 것을 알 수 있다.
별 내부에서의 음속은 약 400km/sec 이므로 마하 수는 적어도 수백 정도가 된다. 따라서 우리는 이 두 흐름이 만날 때 대단히 강한 충격이 일어날 것으로 기대할 수 있다. 그림 6-6a(x-y 평면)와 6-6b(x-z 평면)에 이 두 흐름이 교차하는 부근에서의 입자들의 분포를 보였다. 이때의 시기는 1.1X105 이다. 이 그림에서 충격을 겪은 입자를 십자 표시로, 그렇지 않은 입자들을 닫힌 원으로 표시했다. 충격을 겪은 입자와 겪지 않은 입자를 구분하는 방법은 다음에 상세히 설명한다. 이 시기를 15,000
(a) 2000
(b) 2000
그림 6-6 그림 와 6-5 에서 접선으로 표시된 시기(즉 =1. 1X105) 에서 입자들의 공간상에서의 분포이다. 여기서 원으로 표시된 것들은 충격을 겪지 않은 입자이고 x로 표시된 것들은 충격을 겪은 것들이다. 충격을 겪은 것들과 그렇지 않은 것들의 구분은 그림 6-7에 잘 나타나 있다.
번의 적분 후에 도달할 수 있었으며 4.2 MFLOP의 부동점 연산 속도를 가지는 SPARCStation 2에서 약 한 달 정도의 CPU 시간이 소요되었다.
이 계산에, 현재 가장 빠른 크레이 수퍼컴퓨터를 사용한다면 10시간 정도 걸리겠지만 보다 확장된 시간 영역까지 계산하려면 상당히 긴 시간이 요구된다고 하겠다.그림 6-6에 나타난 입자들 중 좁은 곡선 (6-6a) 또는 직선 (6-6b) 상에 놓여 있는 입자들은 충격을 겪지 않은 것들이다. 그 반면 충격을 겪은 입자들은 블랙 홀 주변에 골고루 퍼져 있다. 특히 x -z 평면상에서의 입 자들의 분포를 보면 이들 입자들이 초기의 궤도 평면에 국한되어 있지 않음을 잘 보여준다.충격을 겪은 입자 은 충격 전보다 훨씬 작은 결합 에너지를 가지고 있다. 계속적인 충격은 결합 에너지를 더욱 줄여 궤도는 마침내 원궤도가 될 것이다. 궤도 운동 에너지가 충격 속에서 열 에너지로 바뀐 것은 자명한 일이다.그림 6-7 에는 여러 형태의 (입자 하나당) 에너지를 초기 값의 단위로 표현한 이 시간에 대하여 어떻게 변화하는지를 보여준다. 전체 에너지는 다음과 갇이 정의되며 E101 = Eb1, + E gr + E hin + E th (5-2-1) 여기서 Ebh는 블랙 홀에 의한 중력에너지, g은 자체 중력에 의한 에너지, Ek ll 은 운동에너지, 그리고 은 열 에너지이다. 이 그림에서는 운동 에너지, 열 에너지 그리고 전체 에너지만 보였다.전체 에너지의 ~104 까지의 꾸준한 증가는 양의 결합 에너지를 가진 입자들을 제거시키는 과정에서 일어나는 인위적인 효과이다. 이러한 입자들을 모두 제거시키고 난 후에는 전체 에너지는 거의 상수로 유지된다. 열 에너지의 t~103까지의 감소는 별이 파괴되는 동안의 단열 냉각 때문이다. 그러나 열 에너지는 t ~7X104 부근에서 갑자기 증가하는데 그 이유는 들어오는 흐름이 나가는 흐름과 처음으로 만나기 시작하기 때문이다. 이러한 급작스런 증가 후에는 열 에너지가 계속적인 충격에 의
1000
그림 6-7 열 에너지, 운동 에너지 그리고 전채 에너지의 시간에 따른 변화. 열 에너지가 t 7X104부터 급격히 증가하는 이유는 충격이 일어나기 시작하기 때문이다.
해 서서히 증가한다.
그림 6-7 에는 부터 그림 6-6 에 주어전 시기에서의 열 에너지의 빈도 분포를 표시하였다. 여기에서 우리는 입자들의 열 에너지가 크게 세 그룹으로 나누어짐을 볼 수 있다. 큰 열 에너지를 가진 입자들은 충격을 받은 것이라는 것은 쉽게 알 수 있다. 그림 6-6a 와 6-6b 에 보여전 십자 표시는 모두 lnE h>-15인 것들이다. 따라서 우리는 열 에너지의 분포를 통해 충격을 받은 입자와 그렇지 않은 입자를 쉽게 식별할 수 있다.충격을 받은 입자는 온도가 1011K 까지 올라간다. 여기에 우리는 복사
0.0 2
그림 6-8 입자들이 가지고 있는 열 에너지 분포를 나타낸 히스토그램. 열 에너지가 별히 큰 것들(즉 lnE,1 >-15) 은 모두 충격 을 겪은 것이다. 그림 6-6 에서의 구분은 이를 기준으로 하였다.
냉각을 포함시키지 않았기 때문에 열 에너지 양은 줄어들지 않는다. 실제로 본 연구에서 수치 계산을 한 시간은 불과 1년도 채 되지 않기 때문에 복사 냉각은 별로 중요하지 않을 것으로 생각된다. 그러나 열 확산 (thermal diffusion) 때문에 국지적인 냉각은 일어나 이렇게 높은 온도를 가진 입자는 차츰 식어간다.
따라서 원궤도화는 가속적인 과정이며 위의 0.42년은 50% 정도의 입자가 원궤도화하는 데 걸리는 시간이라고 가정해도 좋을 것이다. 반면 90% 정도의 입자가 원궤도화하는 데 걸리는 시간은 약 4년이다. 어쨌든대부분의 입자들은 별이 파괴된 지 수 년 이내에 원궤도로 정착할 것이다.
운동 에너지를 열 에너지로 바꾸는 것은 충격을 받은 입자의 궤도를 초기 궤도보다 원궤도가 되게 한다. 계속적인 충격은 계속 결합 에너지를 낮게 만들기 때문에 결국 원궤도가 될 것이다. 현재의 연산 능력으로는 원궤도화하는 시간에 비해 짧은 기간 동안만의 계산이 가능하기 때문에 완전히 원궤도화하는 과정을 기술하기는 불가능하다. 그러나 본 계산에서 원궤도화하는 초기 과정은 분명히 볼 수 있었다. 즉 충격을 받은 입자들은 이심률이 훨씬 작은 궤도로 바뀌는 것을 본 연구의 제한된 계산에서도 잘 보여주고 있다. 그림 6-5 에 주어전 궤도의 주기 분포로부터 우리는 전체 입자의 50% 가 근점으로 되돌아오는 데 걸리는 시간이 약 2.7X105 임을 알 수 있다. 이를 실제 시간으로 환산하면 약 0.42 년이 된다. 한 번 충격을 겪은 입자들은 훨씬 짧은 궤도 주기를 가지기 때문에 다음 충격에 이르는 시간은 대단히 짧다.6 결론과 차후의 과제본 연구에서 수행한 조석 파괴와 차후의 진화 모의실험에서는 파괴된 별에서 나온 물질은 궁극적으로 마하 수 100 이상의 강한 충격을 겪게되며 이러한 강한 충격은 물질을 매우 높은 온도로 가열시킴을 보여주고 있다. 따라서 궤도 운동 에너지는 열 에너지로 바뀔 것이다. 우리는 이러한 현상을 SPH기법으로 계산하는 데 성공하였지만 충격면 부근에서의 입자의 수가 충분히 크지 않기 때문에 물리적 상황을 자세히 살펴보기는 어려웠다.우리의 계산이 얼마나 질적으로 우수한지 판단하기는 어려웠지만 우리의 계산 결과가 이론적인 기대와 상당히 부합됨을 알 수 있었다.장시간 동안의 계산을 동해 우리는 입자들이 궤도 운동 에너지를 잃는 것을 볼 수 있었다. 충격을 입은 입자는 충격 전보다 훨씬 덜 일그러진 궤도를 따라 움직인다. 약 50% 정도의 입자들의 궤도가 원궤도화하는
SPH, /= 2 .5
그림 6-9 음속의 100 배의 속도로 움직이는 두 흐름이 90도의 각도로 부딪힌 후의 모습을 SPH 와 TVD로 계산한 결과. 화살표의 방향과 크기는 입자의 속도를 나타낸다.
5 5
그림 6- 10 그림 6-9 에 보인 경우를 x= 인 면(왼쪽 그립) 과 y인 단면(오른쪽 그림)에서의 밀도(p), 압력 (P), x, y 그리고 z 방향의 속도 (V , Vy, Vz)의 변화를 x에 대해 표현한 그림 . 실선은 TVD로 계산한 것이고 열린 원은 SPH로 한 것이다.
데 걸리는 시간은 우리의 경우(I07M 의 블랙 홀, 태양과 질량 및 크기가 갇은 별, 초기 근접 거리는 1AU) 약 0.42 년으로 추정되었다.
본 연구에서 사용한 SPH 의 신뢰도를 확인하기 위하여 우리는 SPH보다 훨씬 정확한 수치 방법인 TVD (Total Variation Diminishing Scheme, Harten, 1983 참조)를 이용해 계산한 결과와 SPH 의 결과를 비교해 보기로 하였다. 이제 음속의 100 배 속도로 움직이는 두 흐름이 90 도의 각도로 부딪힌다고 가정하고 이러한 상황을 SPH 와 TVD로 각각 계산하였다. 그림 6-9a 와 6-9b 에는 이 두 가지 방법으로 계산한 결과 중 충돌이 일어난 직후의 상황을 보여주고 있다.여기서 화살표의 방향은 속도를 나타낸다. 두 가지 방법이 비슷한 분해능을 가질 수 있도록 SPH계산에서는 80,000개의 입자를 사용하였고 TVD에서는 1003의 격자를 사용하였다. 기대한 대로 이 두 방법은 충격파의 양상을 정성적으로 유사하게 기술하고 있음을 볼 수 있었다. 보다 정량적인 바교를 위한 충격면 부근에서의 물리량의 변화 양상은 그림 6-10에 표현하였다. 여기서 왼쪽 그림에 표시된 것은 축을 따라(y =O)단면을 본 것이고 오른쪽 그림은 x=y 평면상에서 대각선을 따르는 단면에서 본 것이다. 실선으로 표시된 것은 TVD의 결과이고 열린 원으로 표시된 것은 SPH결과들이다. 이 그림에서 볼 수 있듯이 두 가지 다른 방법으로 계산한 결과들은 정성적으로나 정량적으로나 대단히 유사하다. 다만 비슷한 분해 거리를 가지고 있다 하더라도 실제 분해능은 SPH가 TVD보다 훨씬 떨어지는 것을 볼 수 있다. 반면 계산하는 데 걸리는 시간은 SPH가 훨씬 짧다.따라서 이 연구에서 수행한 SPH의 결과들은 정량적으로도 신빙성이 증명된다고 할 수 있다. 다만 여기에서 한 비교는 TVD와 SPH가 서로 비슷한 분해능을 갖도록 많은 수의 입자들을 사용하였으나 실제 본 연구 에서 사용한 입자 수는 훨씬 적기 때문에 분해능은 훨씬 떨어진다.현재 컴퓨터들의 연산 능력으로는 다른 격자를 이용한 방법으로 블랙 홀에 의한 별의 파괴를 계산하는 것은 거의 불가능하다. 따라서 우리는 SPH를 이용하되 계산을 개선하는 방법을 생각해 보아야 할 것이다. 현재로서는 적어도 두 가지 방법이 있을 것으로 생각된다. 우선 SPH를 보완하여 분해능을 증가시키는 방법이 있을 것이다. 이를 위해서는 밀도에 따라 변화하는 분해능 길이를 사용할 . 있을 것이다. 그러나 이 경우에는 밀도가 높은 영역에서 분해능 길이가 짧아짐에_ 따라 적분 시간 간격도 짧아져 대단히 긴 연산 시간이 요구된다. 또 하나의 방법으로는 SPH로 계산하는 과정에서 나타나는 부분은 TVD 등의 정확한 격자를 이용한 방법으로 계산해서 상호 보완적인 혼합 프로그램을 만드는 것이다. 이는 대단히 이상적이나 프로그램의 작성이 어렵고 연산 시간도 대단히 길 것이라는 예측을 할 수 있다.
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오감수1 서론아마도 중력은 우주에서 상당히 먼 거리의 궤도에 있어서 가장 중요한 힘일 것이다. 뉴턴의 중력 법칙은 많은 천체들의 운동을 기술하는 데 성공했다. 그렇지만 중력의 비선형성 때문에 다체계 (many-body system)에서 해석적인 접근은 너무나 복잡하고 풀기가 어렵다. 그래서 많은 수치적인 방법들이 개발되어 왔다. 그 예로서는 다체 직접적분 방법 (direct N body)과 입자-격자 방법 (particle-mesh) 등이 널리 알려져 있다. 위의 방법들에는 서로 간에 장단점이 있다. 입자-격자 방법은 많은 수의 입자둘을 효율적으로 처리할 수 있으나 분해능에 한계를 두고 있다. 입자구격자 방법은 은하나 은하단과 갇은 2체 이완(two body relaxation) 효과가 별로 없는 다체계에 매우 적합하다. 여기에 비해 다체 직접적분 방법은 각 입자의 운동을 정확히 기술할 수 있으나 많은 계산으로 인하여 적은 수의 입자계에 그 사용이 국한된다. 다체 직접적분 방법은 산개성단과 갇은 숫자가 적은 계에 매우 효율적이다. 만일 한 입자가 여러 물체들의 집단을 대표하고 완화포텐셜을 사용하면 다체 직접적분 방법을 좀더 큰 계인 구상 성단, 왜 은하, 은하 등에 사용할 수 있다.다체 직접적분 방법은 뉴턴의 법칙에 의해 입자들의 운동을 구체적으로 추적하는 라그랑지안 (Lagrangian) 방식에 근거한다. 물론 이런 접근 방식은 매우 원시적이나 여러 가지 수치적인 방법이 알려져서 쉽게 처리될 수 있다.
가장 쉬운 방법 중의 하나는 아알세트(Aarseth, 1985)에 의해 개발된 방법으로 각 입자에 미치는 힘을 4차 다항식으로 표현하여 단계적인 적분을 통하여 해를 구하는 것이다. 이러한 기본적인 방식은 숫자가 적은 계에 적합하나, 단순한 방식이어서 다른 종류의 힘을 가진 계나 여러 복잡한 계에도 적용될 수 있다.좀더 효율적으로 계산하기 위해, 입자에 미치는 힘을 두 종류의 다항식의 합으로 표현하는 방법이 개발되었다. 각 시간적분 단계에서 국부적인 상호작용만 계산하고, 먼 거리의 다수에 의한 영향은 다항식의 의삽에 의해 구한다. 이전 다항식의 직접적인 계산은 자주 하지 않아도 되기 때문에 계산 시간을 절약할 수 있다. 이러한 이웃화 기획을 아마드-코헨방식 (Amhad와 Cohen, 1973) 이라고 하는데 수천 개의 입자를 효율적으로 다물 수 있다.구상 성단과 같은 점 질량계의 역학적 전화는 혼돈 운동을 생성하는 근접 충돌(close encounter)에 의해 많은 영향을 받는다. 근접 충돌에는 2체 상호작용과 3체 상호작용이 주를 이루고 있다. 불연속체계를 모델할 때에는 이러한 근접 충돌을 정확하고 경제적으로 처리해야 한다. 이러한 충돌을 해결하는 데 정규화(regularization)방법을 사용한다.여기에서는 다채 직접적분 방법, 아마드-코헨 방식, 2체및 3체 정규화에 대해 기술하겠다.2 다체 직접적분 방법개개의 입자는 질량(m), 위치( )， 그리고 속도( )로서 완전히 기술될 수 있다. j입자에 의해 i입자가 받는 단위 질량당 힘과 힘의 도함수는 다음과 갇이 표현할 수 있다(단 여기서 만유인력상수 (G)는 1로 한다). -F = —,nJT ) = lJ _ 3FU = — — 6a — 3bF,j (2-1-1) = - : ) _ aF) _ 9bFu) - 3cF,J 여기서 =- l T R =r,· - ,/j V v,· - vj - , V·R a = R 2 (2-1-2) b)2+=_ + a2 3 V • (FI -- ) c = R2 +a(3b—4a2) 이다. i 입자를 제의한 모든 입자들에 의한 합을 구하면 다음과 갇다.
N }l=F1 k=O, 1, 2, 3예전의 시간 t3, t2, h, t(t : 가장 최근)에 있어서의 힘 로부터 시간 t에서의 4차 다항식의 적합(fitting)을 차분식 (difference equation) 으로 표현하면, ( t ) = F ( to) + U - to) + (t -lo) (t - ti) + (t - k,) (t - t. ) (/ - /2) +. (t- k,) (t-t.) (t - /2) (/ - /3) (2-1-3) (2-1-3)여기서 = 10, 1.J = L( ) =U1t-0， = 1 t-0， h] [, t2] t-0 -/2 3( t-0， /3] = 2[ t-0， 2]- 2[ , td t(2-1-4) t-t3 t, tJ = 3[ t, h] (to, t3] 이다. 식 (2-1-3) 을 미분하여 t = to 을 대입하여 정리하면 F(I)(to) = + t + tti + ttJ F(2)(to) = 2 m2+ 3(K+ H) + (ttt + Ht3 + tt3') (2-1-5) F (3)(to) = 3 153+ 4(K+ t;+t3 FU)(to) = 4 이다. 여기서 t; = t。 - tk(k=l, 2, 3) 이다. 식 (2-1-5) 을 정리하여 F(3) 까지 고려하면 =F(l - ((2) _ (31 =(2) - (3) ( t + ID (2-1-6) =1F(3) 이다.
각 입자에 대한 적분구간은 다음과 같이 쓸 수 있다. t, = [ } (2-1-7) 여기서 는 무차원의 상수이며 TJ = 0.03은 궤도특성 시간척도 (characristic orbital time scale) 에서 총 에너지의 상대 오차를 10-4기 이하로 준다.적분하는 순서를 요약하여 정리하면 다음과 같다.(1) 주어진 시간 to에서의 m ,u를 이용하여 식 (2-1-1) 과 (2-1-2) 에 의해 , (2) (3) 을 구한다.(2) 식 (2-1-7)에 의해 t,를 구한다. (3) t,로부터 과거 시간 간격을 일정 하다고 가정 하여 t3, t2, h, 를 구한다. (4) 식 (2-1-6) 을 이용하여 2, 을 구한다. 여기까지는 모든 입자에 대해 구한다. (5) t,+t,· 중 가장 작은 입자를 선택한다. 현재시간 t = t,이다. (6) 모든 입자들의 t에서의 위치를 까지만 고려하여 예측한다. (t) = [ ( l) +Fj) t;+ +7(L) F(I) F 이며, 여기서 F(I) = 5' F = 그리고 tJ' = t-ti이다. (7) (2-1-5) 에 의해 (k)(k = 1,2,3) 을 에서 구한다(맨 처음 시작한다면 식 (2-1-2) 이용). i입자의 위치와 속도를 한 단계 갱신한다. = {[((0 .6 '(3) t'+ft l2)) +F(I)) 'F t+ + = {[(O.75 (3) +F(2)) +F(I)]1.5 +F t'+ 여기서 F = F, F(I) = 卓下(I), F(2) = -F(2), F(3) = (3) 이며 t' = t-t,이다. (8) 시간 t, 죽 새로운 위치에서 다른 입자들이 ((6) 에 의해 임시 위치에 와 있음) 입자에 미치는 힘을 계산한다. (9) 들을 한 단계 갱신하고 t를 놓는다. (10) (2-1-4) 식에 의해 를 포함하여 새로운 차분을· 구한다. 그리고 (2-1-5) 식에 의해 까지를 구한다. (11) i 입자의 위치와 속도를 를 포함시켜 교정한다. (12) 식 (2-1-7) 을 이용하며 i입자에 대한 새로운 을 구한다. (5) 로 돌아가 (12) 까지를 반복한다.
3 아마드-코헨 방식
아마드와 코헨 (Amhad와 Cohen, 1973) 에 의해 소개된 이 방법 은 별도로 계산된 개의 다항식을 더해서 입자에 미치는 힘을 계산한다. 가까운 이웃에 의한 힘 (irregular force, 비정규힘)은 매우 불규칙해서 시간적으로 긴 시간의 적분구간을 가질 수 없다. 그러나 먼 입자들에 의한 힘(regular force, 정규힘)은 부드럽게 변하기 때문에 자주 계산할 필요없이 의삽에 의해 간단히 구할 수 있어 계산의 부담을 줄일 수 있다.개개의 입자에는 그것을 주위로 반경 Rs 내에 들어 있는 이웃 입자들의 목록이 만들어전다. 국부밀도 여기서 L1 은 반경 Rs 내에 있는 입자의 개수)이며 밀도대비 = =LilRs3 2L1 Rh c = f = .5N/Rh3 = 이다. 여기서 Rh는 절반 질량 반경 (half-mass radius) 으로 Rh = (M : 전체질량, E : 총 에너지)로 정의된다. 예측된 이웃 입자수는 = LmnxC0.04)는 20~90% 의 Lmax 의 값을 가지도록 한다. Lmax는 미리 정한 어떤 상한값이다. LP가 위의 범위를 가지도록 Rs를 다음과 갇이 되풀이하여 조정한다.Rsnew = s( )적분 방법을 요약하면 다음과 같다. 2절의 초기 시작과 같은 단계 ((1 )~(4)）를 거치나 이웃입자들에 의한 힘 노과 먼거리의 입자들에 의한 힘를 나누어 계산한다.(1) l,+m가 최소가 되는 i입자를 선택하고 현재시간 t = ;+m,을 정한다. (2) 시간 구간 목록을 갱신한다. (3) 정규힘을 의삽(경우 (a)) 해야 하는지 다시 계산(경우 (b)) 해야 하는지 를 결정한다.(4) F(I)까지만 이용하여 이웃 입자들만의 위치를 예측 ((a) 경우)하거나 또는 모든 입자들의 위치를 예측한다 ((b) 경우). (5)2개의 다항식을 합하고 F(3) 까지 고려하여 i입자의 위치와 속도를 예 측한다. (6) 옛 이웃 입자들로부터 비정규힘을 구하고 갱신한다. (7) 새로운 비정규(irregular) 차분을 구하고 차 항을 고려한 교정을 한다. (8) (a) 경우 : 정규힘을 의삽하고 F( t)와 F(I)( t)를 구한다. (14)번으로 전행한다. (9) 새로운 비정규힘과 정규힘을 구하고, 이웃 입자 목록을 만든다. (10) 이웃 입자 반경을 변경하고 시간 목록을 갱신한다. (11) 새로운 정규 (regular) 차분을 구하고, F( t)와 (I)( t)를 계산한다. (1 2) 이웃 입자들의 출입을 고려하여 도함수를 교정한다. (13) 새로운 정규시간 간격을 구한다. (14) 새로운 바정규시간 간격을 구한다. (15) 단계 (1)을 되풀이한다.
4 2체 정규화정규화의 첫번째 예는 오일러 (Euler, 1765) 에 의해 소개되었다. 그는 간단한 시간 변화에 의해서 일직선상에서 움직이는 두 입자의 충돌 특이접(collision gularity)을 소거할 수 있었다. 2차원에서의 시도는 복소수를 이용하여 레비-치비타(Levi-Civita, 1903)에 의해 풀려졌으나, 3차원으로 확장할 수 없었다. 1965 년 쿠스탄하이모와 스타이에펠 (Kustaanheimo와 Stiefel, 1965, 이후 KS로 칭함)은 레비-치비타의 방법을 4차원으로 일반화 시킴으로써 일반적인 2체 문제의 정규화를 성공시켰다. 2체 정규화는 보편변수 (universal variable)를 사용하여 특이점을 소거시키는 방법 (Danby, 1989) 도 있으나 3체 정규화에 일반화시킬 수 있는 방법인 KS 변화에 대해 소개하겠다. 4-1 KS 변환과 운동 방정식 물리적 좌표계에서 두 물체의 상대위치 R = (X, Y, Z) 을 다음과 같 이 놓는다. R = u i2 + 펴 + u f + u42 (4-1-1) 즉 여기서 U = (U1, U2, U3, U4) 는 정규화된 좌표계이다. 그리고 R = u . 이고 가상 시간(fictitious time) 를 다음과 같이 정의 한다. dt = Rdr (4-1-2) 여기서 t는 물리적 시간이다. 물리적 좌표계 (X, Y, Z) 에서 정규화된 좌표계 (U1, U2, U3, Zl4) 로의 변환은 X>O 일 때 UI = [ (R;X) ] Y U2 = 2u1 (4-1-3a) z 일때 U3=— u.=0 2zt 1 U2 = [ (R;X) ] Y Zl1=— 2u2 (4-l-3b) U3 = 0, z U4=-— 2u2 이다. 그리고 일반화된 레비-치비타의 행렬을
u) = ( : : u. -u3(4-1-4) -u4 -·u3 로 정의하면 물리적 위치 R는 R=Lu (4-1-5) 로 표현되고, 각각 성분은 X = u12-u/-ul+u/ = 2 (u1u2- ZiJU4) = Z = 2(u1ztJ+u2u4) (4-1-6) 로 된다. 그러면 다음과 같은 관계식 = X2+ Y2+ = R+X = 2(u12+ ) (4-1-7) R-X = 2(u2 ) 이 성립된다. 정규화된 속도 ’은 = u= = (4-1-8) 가 되며 물리적 속도 는 dR dR dr 2Lu' R= = = dt -drdt- R (4-1-9) 가 된다. 왜냐하면 LTL = 강 식 (4-1-5) 을 이용하면 = L = Rlu = Ru가 되어 = F_이 되기 때문이다.
물리적 좌표계에서 k물체와 l물체 사이의 상대적인 운동방정식은-=.:t (m + m,)R - R + R3 = Fk_FI (4-1-10) 로 쓸 수 있다• 여기서 은 의부에서 미치는 힘이다. 식 (4-1-2) 로 부터 dt R = dr (4-1-11) = = =dt -drdt R (4-1-12) di dr 1 d IR 1 /R R'R' R=1fr=-) (4-1-13) 이 유도되며 식 (4-1-1) 로부터 R • • = u • (4-1-14). , R' = Zu • u' (4-1-15) . R= 2(u'2 + zi • u") (4-1-16) 를 얻을 수 있다. 그리고 식 (4-1-5) 로부터 R=Lu (4-1-17) R' = L'u + Lu' = 2Lu' ( ·: L'u = Lu') (4-1-18) R" = 2Lu" + 2L'u' (4-1-19) 가 유도된다. 식 (4-1-13) 을 식 (4-1-10) 에 대입하여 정리하면 RR — RR + （ + m,)R = R3(F,. _ ) (4-1-20) 와 같이 된다. 식 (4-1-14) , (4-1-15) , (4-1-17) , (4-1-18), (4-1-19) 를 식 (4-1-20) 에 대입하여 정리하면 u= *m)+ (7)2 (-) 2u • u (4-1-21)
이 된다. 그런데 LTL = RI 에서 LT L-1=— R (4-1-22) 가 되며 단위 질량당 속박 에너지 (specific binding energy) 를 다음과 갇이 정의하면 , . 2u ' • u' - (m,.+m,) h = R (4-1~23) 가 되며, 식 (4-1-22) 와 (4-1-23) 을 식 (4-1-21) 에 대입하면 , . 一,, lz - ' RLT(F - F) t( = T t( + 2 (4-1-24) 을 얻을 수 있다.
그런데 속박 에너지 는 다른 입자들에 의한 위치 에너지보다 월등하므로 거 의 상수로 볼 수 있고 식 (4-1-24) 의 오른쪽 두번째 항도 R 0 때 잘 정의된 정규 형태이다. 따라서 식 (4-1-24) 는 두 물체가 아주 가까워지는 경우에도 중력 포텐셜을 효과적으로 기술할 수 있다.4-2 2체 정규화 프로그램부록에 첨부한 프로그램은 보편변수를 이용하여 특이접을 해결하는 방식을 사용하였다. 이 프로그램은 3차원에서 각 2차원 평면에 두영된 3개의 궤도와 3차원 궤도 등을 함께 나타낼 수 있다. 터보-C의 그래픽 함수를 이용하여 스크린에 화상이 나타나도록 했다.5 3체 정규화강 쌍성 (hard binary) 개개 별과의 근접 충돌은 성단의 진화에 매우 중요한 영향을 끼치기 때문에 3체 정규화는 매우 중요하다. 3체를 정규화하는 방법은 여러 가지가 있으나, 그 중 가장 쉽게 사용할 수 있는 것으로 아알세트와 자레 (Aarseth & Zare, 1974) 가 푼 것에 대해 소개하겠다.
5-1 변형순서그림 7-1 과 같이 입자의 질량을 m1, m2, m3로 하고 각각의 위치를 (q1, q2, q3) , (q4, q5, qG) , (q7, q8, q9) 라고, 운동량을 (P1, p2, p3) , (p4, p5, pG), (p7, p8, p9)라 한다. 이들의 상대적인 거리 를 R1, R2, R 이라 하자.그러면 이 계의 하밀돈 방정식은 H'= (5-1-1) 1 2m,. R1 R2 R 이 된다.여기서 K는 (r=l, 2, …, 9) 중에서 정수부분을 나타낸다.
mI (qi, qi, qj)
그림 7-1 세 입자의 기하학적인 배열
문제를 단순화하기 위해 새로운 변수들을 도입하기로 하자. m1 과 m2의 위치를 m3에 대한 상대적 위치, 즉 (qI, q2, q3), (q4, q5, 6) 로 표시하고, 운동량을 질량 중십에 대해 m1 과 m2를 나타내면 (P1, P2, P3), (p4, p5, p6) 로 표시된다. 따라서 식 (5-1-1) 에서 (q7, q8, q9) 과 (P7, P8, P9)이 소거되는 셈이다. 식 (5-1-1) 을 질량 중심 좌표계로 변환하면 1 .. 1 J, . . m1 ,n3 m2111J m1m2 H= L —p=—— L PrPr+3 - - —— - (5-1-2) r =l 2µ 113 r =l Rl R2 R 이다.
여기서 = (5-1-3) 이고 Rl= (q + ) R2= (q4+q5+q6/)t (5-1-4) R= [ (q,-q4) 2+ (q2-qs) 2+ (q3- 5) 7 이다. 이때 운동방정식은 dqr _ oH dt oPr (r =l, 2, …, 6) (5-1-5) dPr H =- dt oqr 가 되어 12 개의 방정식이 만들어전다.5-2 8차원에서의 공식화2체 운동에서의 자유도는 3인데 정규화할 때 4차원 변수를 사용했다. 3체 운동에서 질량 중심의 위치와 속도 등의 6개의 상수(integral) 가 있어 자유도는 12 - 6 = 6개가 된다. 따라서 자유도가 6개인 식 (5-1-5) 에서 차원을 사용해야 함을 쉽게 알 수 있다. 그러므로 변수 Qr, Pr(r = 1, 2, …, 8) 은 8개씩으로 증가된다. 이때 q4 = O, q8 = O, p4 = 0, Pe = 0 이 된다. 그러면 새로운 하밀톤 방정식은 1 , 1 .;, . . m1m3 m2m3 m1m2 H = :E — +— 2 prPr+4 - —-— _ (5-2-1) r=I 2µk3 m3 r=I Rl R2 R 이 되고 여기서 k는 r;3 의 정수부분이고 R2 = (qs2+ 62+ 72) 삼이다. q4와 p4가 정준 (canonica l) 변수라고 하면 운동방정식은 = =－ (r= 1, 2, …,8) (5-2-2) 이 된다. 정규화된 좌표계 Q = (Q1, Q2, …, Q8) 와 정규화된 운동량 P = (P1, P2, …, P8) 에 차원에서 새로운 정준변수를 도입하자. 변환 행렬 Ak를 다음과 같이 정의하자. = A,. A (k = 1, 2) 여기서 QiQQJQ ll (__\ = IAl (5-2-3)QQGQQa -_ (\ = I& QQIQQJQGQQSQ (5-2-4)이고 = (P1, P2, P3, P4) , = (Ps, P6, P7, P8) (5-2-6) 이다. 여기에 해당되는 운동량은
=A (k = 1, 2) (5-2-6) 이다. 행렬 Ak 가 직교 (orthonality) 조건을 만족한다고 하면 Ak AI = DkI (k = 1, 2) (5-2-7) 여기서 는 Ak 의 전치행렬(transpose) 이며 Dk는 스칼라, 는 단위행렬이다. 따라서 IAI= —i I -h IA (5-2-8) 이다. Pi = Pr (k = 1, 2) 이므로 Pi = (k = 1,2) (5-2-9)이다. 식 (5-2-8) 과 (5-2-9) 를 식 (5-2-3) 에 대입하면 •- - .......... , H= + RTAlAm_ nmn ~ (5-2-10) 가 되며 확장 위상 공간 (extended phase space) 에 서 의 하밀톤 함수 는 I' =H-H (5-2-11) 이며 는 총 에너지로서 상수이다.
5-3 정규화 과정시간의 변환을 다음과 갇이 한다. dt = gdr (5-3-1) 여기서 g=g(Q1, Q2, …, Q8) 이며 는새로운 독립변수이다. 또한 새로운 하밀돈 함수를 =gr (5-3-2)로 표현하면 운동 방정식은 dQr ar• dr aPr ' dPr ar• = - dr aQr ( r = 1, 2, …, 8) (5-3-3) 가 되며 운동에너지와 관계되는 하밀돈 함수의 부분을 정규화하기 위해 g = AD1D2 (5-3-4) 로 한다. 이것을 대입하면 , D1D2 R2 ' DED2 의 항이 나오는데 Dk = kRk (k = 1, 2) ( ,. : 상수) (5-3-5) 로 정의하면 이들 중 개의 특이점은 소거될 수 있다. 식 (5-2-7) 에서 ..... ...... ...... A,,AI = A,,R,, J (k = 1, 2) (5-3-6) 이고, 식 (5-2-3) 과 (5-2-4) 를 이용하면 Ak = 이고 식 (5-3-4) 에서 A = 다. 그러므로 식 (5-3-3) 은 A = 사용하면 간단해지며 dt = R1R2dr (5-3-7) 이 된다. (5-3-6) 으로부터 물리적 좌표계는 다음과 같다. f1=234 A = Qf - Qg _ Qi + Q: f2 = 2(Q1Q2 - Q3Q4) f3 = 2(Q1Q3 + Q1Q4) f4 = 0 (5-3-8) A = Q1 _ Qt _ + Qt f6 = 2(QsQ; — QQ8) f7 = 2 (Qs~ + Q;Qs) f8 = o Qf+야+Q1+Ql=R1 QI + QI + Ql + Ql = R2 (5-3-9)
마지막 변환된 하밀돈 방정식은 r = + + - m1m3R2 - n1211ZJR1 8µ13 8µ23 ' 161113 m.I~- R1R2H (5-3-10) 이 된다. 식 (5-3-10) 은 R1 또는 R2 가 0에 접근해도 발산하지 않는다. R 이 0에 접근할 때 발산 (sigular) 하지만 상대좌표계를 m3 대신 m1 이나 m2 에 대해서 고려하면 이 특이점은 소거될 수 있다. 이 R1 과 R2 중 적은 것보다 크면 R1R2/R 항은 작은 R값에 대해 수치적으로 안정하다.
5-4 변수변환물리적 변수로부터 정규화된 변수로서의 변환을 보면 다음과 같다. 물리적 변수 q;, 'r에서 상대 좌표계 qr과 운동량을 ’ ’ ’ q = q/ - q3 (k = 1, 2) p; ’ ’ = p/ (k = 1, 2) (5-4-1) 로 변환한다. 여기서 = (q1, Q2, q3) , = (q4, q5, q6) Pi = (p1,p2,p3) , p2 = (p4,p5,p6) 다음 8차원으로 변수를 확장한다. = ( Q1, Q2, Q3, Q4) , = ( q5,q6,q7,q8 Pi = (p1, p2,p3,p4) P2 = (p5,p6,p7,p8) (5-4-2)여분 (redundant) 변수를 q4 0, q8 0, p4 0, P8 = 0 로 초기화한다. 정규화된 좌표계는 다음과 같이 표현된다.q1>0 일 때 일 때 (| +ql)]} 2=[}(| |-ql)]} 2= l= 3= Q3=O Q4=O Q (5-4-4) 5>0 일 때 Q=[(|+q5)] q 일때 Q6=[(|q;,l- qs) t 6= Q= Q=2Q,, Q7=0 Q8=O 8= 정규화된 운동량은 E = A1cP,. (k = 1, 2) (5-4-5) 가 된다.
물리적 좌표계로의 역변환을 살펴보자. 상대좌표계는 J (k = 1,2) (5-4-6) 로 표시되며 여기서 : = (Q1, Q2, Q3, Q4) 이고 겁; = (Qs, Q6, Q1, Qs) 이다. 물리적 운동량은 p; = (k = 1,2) (5-4-7) 로 표시된다. 원래의 6차원으로 바꾸기 위해 Qr+I ➔ Qr, Pr+I ➔ Pr (r = 4, 5, 6)로 변환하고 마지막으로 질량중심 좌표계에서 물리적 좌표계로의 변환은 다음과 같다. ’ ’’ q3' = - m, 1+m 2 m1+m2+111J ’ ’ ’ ql' = q3'+ q) ' ' q2' = q3'+ q2 (5-4-8) ’ ’ P1' = P1 ’ ’ '= Pa' = - （ + )이러한 과정을 통해서 3체의 문제를 효과적으로 다룰 수 있다.
참고문헌Aarseth, S.J., 1985, in Multiple Time Scales, ed. J.W. Brackhill and B.I. Cohen(New York ; Academic), p. 377.Aarseth, S. and Zare, K., 1974, Celes. Mech. 10, 185.Ahmad, A. and Cohen, L., 1973, J Comput. Phys. 12, 389.Danby, J.M.A., 1989, Fundamentals of Celestial Meclzanics (Richmond : WilliamBell), p. 168-180.Euler, L., 1765, Nov. Comm. Petrop. 11, 144 .Kustaanheimo, P. and Stiefel, E., 1965, J Reine Angew. Math. 218, 204.Levi-Civita, T., 1903, Ann. Math. 9, 1.부록
2체 정규화 및 화상처리 프로그램(이 프로그램은 오갑수와 김정윤이 공동으로 개발하였으며 충남대학교 천문우주과학과(전화 : 042-821-5461) 에서 디스켓으로 얻을 수 있다. )* * sample input dat a for various orbit (position & velocity) * ** elliptic orbit *1. 0 0.1 -0.1-0.1 1. 0 0.2* hyperbolic orbit *1. 0 0.1 -0 .1-0.1 2.0 -0.2* parabolic orbit *2.0 .0.0 0.00.0 1. 0 0.0* * main program * *I*two-body problem (Danby. p.178) using f & g function.for general orbit (circle, ellipse, parabola, hyperbola) .*I#include* ) ;
void ellip (void) ;void hyper (void) ;void para (void) ;void mkepler (double * ) ;void stumpff (double) ;double n,mu = 1. O ;double rO,u,dt,scl,s2c2,s2c2mu,s3c3mu ;double alpha,e,esh,ech,ek,dtn,q13,q2,b2,s,q2p ;double cO,cl,c2,c3 ;double bO, rOmu ;double xO,yO,zO,vxO,vyO,vzO ;int pflag ;void main( )(double x2, y2, z2, vx2, vy2, vz2, ti, tf, deltat, dtlast, mlm2 ;double mr, xcm, ycm, zcm, mass 따 2], y [2], z[2]char wt, * infile, * outfile ; int wflag = O, aflag = O;FILE * ifp, * ofp ;I * get initial conditions. * /clrscr( ) ;printf("nPiease type the name of input file : ") ;scanf ("%s", infile) ;I * read input variables. * / if ( (ifp = fopen (infile, "r") ) = = NULL) {printf("nt File not found!! Please try again.") ;getch( ) ;exit(!) ;}else {I * initial position and ·velocity. *fscanf(ifp,"%lf %If %If", &xo, &yo, &zo) ;
fscanf{ifp,"%lf %If %If", &vxo, &vyO, &vzO) ;fclose (ifp) ;printf ("\nPlease type initial & final time, output time interval %s\n"" (ti, tf, deltat) !!" ) ;scanf ("%If %If %If", &ti, &tf, &deltat) ;/ * write initial data. * /printf("\n * initial time : %16 .8e\n",ti) ;printf ("\position : % 16 . 8e% 16 . 8e% 16 . 8e\n", xo, yO, zO) ;printf(" velocity : %16.8e%16 .8e%16.8e\n", vxO, vyO, vzO) ;/ * set various constants. * /setconst ( ) ;/ * plot option. * /getchar ( ) ; / * for immunity from previous scanf * /printf ("\nShould plot with 3D graphics? [y/n:") ;wt = getchar ( ) ; pflag = (wt = = 'y' II wt = = 'Y') ;if(pflag) {printf("\nMass ratio of primary to secondary (Ml/M2)?\n") ;scanf ("%If", &mlm2) ;mr = 1/(mlm2+1) ; mass[!] = mr * mu ;mass 〔0] = mu - mass[l] ;/* initialize graphic mode. * /Set_Graph (2, mass) ;{/ * output file information. * /getchar ( ) ; / * for immunity from previous scanf * /printf (" nShould write output data? [y/n] : ") ;wt = getchar ( ) ; wflag = (wt = = 'y' II wt = = 'Y') ;if(wflag)
printf ("\tPlease type the name of output file : ") ;scanf ("%s", outfile) ;ofp = fopen (outfile, "w") ;/ * write initial time, position and velocity. * /if(wflag)fprintf (ofp,"%11. 4e%16. 7e%16 .7e%16. 7e%16 . 7e%16. 7e%16 .7e\n",ti, xO, yQ, zO, vxO, vyO, vzO) ;dtlast = tf - ti ;for (dt = deltat ; dt = dtlast ; dt + = deltat)/ * calculate position and velocity of secondary objectwrt primary object at given time interval. * /orbit (&x2, &y2, &z2, &vx2, &vy2, &vz2) ;/ * plot image * /if(pflag) {/ * calculate positions and velocities of two objectswrt center of mass. * /xcm = mr*x2 ; ycm = mr*Y2 ; zcm = mr*z2 ;x[0] = -xcm ; y[O] = -ycm ; z[O] =-zcm ;x[1]= x2 -xcm ; y [l] = y2 - ycm ; z[l] = z2 - zcm ;OuL3d (2, x, y, z) ;/ * write time, position and velocity. * /if(wflag)fprintf(ofp,"%11. 4e%16. 7e%16 .7e%16 . 7e%16 . 7e%16 . 7e%16 . 7e n", ti + dt, x2, y2, z2, vx2, vy2, vz2) ;/ * close graphic mode. * /if(pflag}Close....3d (2} ;if(wflag)
fclose (ofp) ;void setconst (void){/ * set constants. * /double acheck, bl, b2, b22, dl, ql, vOs, a, a3 ;rO = sqrt (xO*xO + yO* yO + zO*zO) ;vOs = vxO*vxO + vyO*vyO + vzO*vzO ;u = xO * vxO + yO * vyO + zO * vzO ; rOmu = mu/rO ;acheck = 2 . 0/rO - vOs/mu ;if(fabs(acheck*0.5*rO) / * parabolic orbit. * / alpha = 0.0 ;e = 1. 0 ;}else {/ * semi-major axis, mean motion and other constants. * /a = 1. 0/acheck ;a3 = fabs (a * a * a) ;n = sqrt (mu/a3) ;alpha = mu/a ;ech = 1. 0 - rO/a ;esh = u/ (n * a * a) ;}/ * constants for various orbits. * /I * parabolic orbit. * / if(alpha> = O.O && alpha <= 0.01) {dl = 1. 0/ (mu - alpha * rO) ; bO = 3.0*dl ; bl = rO*dl ;b2 = u*dl ;
b22 = b2*b2 ;ql = 2.0*bl -b22 ; q13 = pow (ql, 3. 0) ;q2p = (3 . 0 * bl - b22) * b2 ;if(alpha = = 0. 0)printf("\n * eccentricity in 'parabolic' orbit : %.5lf\n", e) ;}/ * elliptic orbit. * /if (alpha > 0. 0) { e = sqrt (ech * ech + esh * esh) ;ek = 0.85* e ;printf ("\n * semi-maj or, eccentricity, period %s\n\t%.4e %.4e %.4e\n","in 'elliptic or circular' orbit : ", a, e, 2 . O * PI/n) ;}/* hyperbolic orbit. * /if (alpha < 0. 0) {e = sqrt (ech * ech - esh * esh) ;ek = l.8* e ;printf(" n * semi-maj or, eccentricity in 'hyperbolic' orbit : ") ;printf ("% . 4e % . 4e\n", a, e) ;}void orbit (double * x, double * y, double * z,double * vx, double * vy, double * vz){/ * calculate the position and velocity at given time interval. * /int iflag = O, jflag = 0 ;double fs[2], ratio = EPS ;double s2, s3, alphas, sp, rinv, f, g, fdot, gdot ;I * time sequence. * / dtn = n*dt ;I * initial guess for the solution of modified Kepler's equation. * /
if (alpha < 0. 0)hyper( ) ;else if (alpha>0.01)ellip ( ) ;else {q2 = q2p + bO * dt ;para ( ) ;}/ * solve modified Kepler's eq. by Newton-Raphson method. * /while (1) {S2 = S*S ;s3 = s2 *s ; alphas alpha * s2 ;/ * calculate Stumpff function. * /stumpff(alphas) ;scl = s*cl ;s2c2 = s2 * c2 ;s2c2mu = s2c2 * mu ; s3c3mu = s3 * c3 * mu ;mkepler (fs) ;if(jflag)break ;sp = s - s[O]/ s[ ;if(s != 0.0) ratio = fabs ( (sp - s) /s) ;if(fabs( s[이)Close_3d (2) ;
printf ("no solution of mod. Kepler eq. in 500 iterations n") ;exit (l) ;}s = sp ;/ * get f & g functions. * /rinv = 1. 0/ s[ ;f = 1. 0 - rQmu * s2c2 ;g = dt - s3c3mu ;fdot = -rOmu * rinv * scl ;gdot = 1. O - rinv * s2c2mu ;/ * components of position and velocity at a given t. * /* X = f * XQ + g * VXQ ;* y = f * yQ + g * vyQ ;* z = f * zo + g * vzo ;* vx = fdot * xo + gdot * vxO ;* vy = fdot * yQ + gdot * vyQ ;* vz = fdot * zO + gdot * vzO ;}void ellip (void){/ * initial guess for elliptic and circular orbit. * /double dtnes, sinm, sigma ;if (e<0. 1) s = dtn ;else {dtnes = dtn - esh ;sinm = (esh * cos (dtnes) + ech * sin (dtnes)) /e ;sigma = (sinms = s/sqrt (alpha) ;
}void hyper (void){/ * initial guess for hyperbolic or:bit. * /double dtn2 ;dtn2 = dtn * 2 . 0 ;if (dtn >0 . 0)s = log ( (dtn2 + ek) / (ech + esh) ) ;else s = -log ( (-dtn2 + ek) / (ech - esh) ) ;s = s/sqrt (-alpha) ;}void para (void){/ * initial guess for parabolic and nearly elliptic orbit. * /double one3, d2, pl, p2, q2d2 ;one3 = 0.3333333333333333;d2 = sqrt (q13 * q2 * q2) ; pl = pow (q2 + d2, one3) ;q2d2 = q2 - d2 ;if(q2d2> = 0.0) p2 = pow (q2d2, one3) ;else p2 = -pow(-q2d2, one3) A;s = pl + p2 - b2 ;}void mkepler (double * fs){/ * modified Kepler's equation (Danby. p.175, eq. 6 . 9 . 28 &6.9.29). *// * modified Kepler equation. * /
fs[0]= rO*scl + u*s2c2 + s3c3mu - dt ;/ * first derivative. * /fs[l] = rO * co + u * scl + s2c2mu ;void stumpff (double x){/ * Stumpff function (Danby. p.171) * /double rx ;if (x = = 0 .0)co = 1.0 ;cl = 1. 0 ; c2 = 0.5 ;c3 = 0 . 1666666666666667 ;}else {if (x>O.O} {rx = sqrt (x} ;cO = cos (rx} ;cl = sin (rx) /rx ;}else {rx = sqrt(-x) ;co = cosh (rx) ;cl = sinh (rx) /rx ;}c2 = (1. O - cO) /x ; c3 = (1. 0 - cl)/x ;}}/ * * 2&3 dimensional graphic function * * // * grf2d3d.SeLGraph(int no. of objects, double * masses of objects)to
set up graphic mode.Repeate following to draw images of objects,OuL3d (int no. of objects, double * x, double * y, double *z)Append following to close graphic mode, Close_3d (inf no. ofobjects)*/#include/ * image of obj ects, background. * /
void * * image, * * * imagebk ;I * positions of previous image,flag of image drawing insidescreen. * /int * * lastx, * * lasty, * * ichk, winnum = 1 ;I * kinds of colors for objects. * /int Fcolo MAXCOLOR] = { 11, 13, 12, 14, 15, 9, 6, 4, 5, 3 } ;void InpuLBk (void)/ * decoration for input screen. * /{int data6 = ' ',data7 = ' ' ;int i ;clrscr ( ) ;for (i = 1 ;i<=SO ;i+ +) {gotoxy (i, 1) ; putchar (data7) ;gotoxy (i, 22) ; putchar (data6) ;gotoxy (i, 24) ; putchar (data6) ;}gotoxy (2, 23) ;printf("WELCOME TO NEW WORLD !!!!") ;gotoxy (32, 23) ;printf("Developed by J. L. KIM and K. S. OH (CNU A.S.S.) ") ;void lnpuLAngle (int * x_z,int * y-7,,int * sizeflag)/ * input variables for image setup. * /{float rxz,ryz ;InpuLBk( ) ;gotoxy (10, 5) ; printf ("Input Angles Between (x-z) : ") ;gotoxy (10, 7) ; printf ("Input Angles Between (y-z) : ") ;gotoxy (1O, 9) ; printf("Option for Image Size (Linear=O orLog=1) : ") ;gotoxy(10, 11) ; printf("Option for Scale of Axis (Default =%3
d) :", AxiScale) ;gotoxy(10, 13) ; printf("Maximum Radius of Obejects(Default = % 1d) :", M) ;gotoxy(10,16) ; printf("Input Delay Time (0-500 ms) :") ;gotoxy (10, 18) ; printf("Input Window Number (1 or 4) : %d", . winnum) ;gotoxy (40, 5) ; scanf ("%d", x_z) ;gotoxy (40,7) ; scanf ("%d",y_z} ;gotoxy (54,9) ; scanf ("%d'', sizeflag) ;gotoxy (51,11) ; scanf ("%d", &AxiScale) ;gotoxy (51,13) ; scanf ("%d",&M) ;gotoxy (40,16) ; scanf ("%d", &DItime) ;gotoxy (41,18) ; scanf ("%d",&winnum) ;MaxSize = M + 0.5 ;M2 = M + M;rxz = D2R * ( * x_z) ;ryz = D2R* (*y_z) ;SinAngl = sin (rxz) ;SinAng2 = sin (ryz) ;CosAng1 = cos (rxz) ;CosAng2 = cos (ryz) ;}void Move_Box (int id, int i, int x, int y)/ * move the image of the obj ects. * /{if (lastx [i] [id] ! = 0)putimage (lastx [i] [id]-M,lasty [i] [id] -M,imagebk [i] [id] ,COPY_PUT) ;putpixel (lastx [i] [id] ,lasty [i] [id] ,Fcolor [id] ) ;getimage (x-M,y-M,x + M,y+ M,imagebk )putimage (x-M,y-M,image [id] ,OR.PUT) ;lastx [i] [id] = x ; lasty [i] [id] = y ;void IniL image (int ptlno, double * mass, int sizeflag)
/ * initialization of the image of the objects. * /{int i,j, * radius ;long size ;lastx = malloc (winnum * sizeof (int * ) ) ;lasty = malloc (winnum * sizeof (int * ) ) ;ichk = malloc (winnum * sizeof(int * ) ) ;for (i = O ;i < winnum ;i + +) {lastx [i] = malloc(ptlno*sizeof(int)) ;lasty = malloc (ptlno * sizeof(int) ) ;ichk [ i] = malloc (ptlno * sizeof(int) ) ;for (j = O ;j < ptlno ;j + + ) {last x [i][j] = O ;lasty[i][j] = 0 ;ichk[i][j] = O ;}/*size of the image of the objects. * /radius = Object Size (ptlno , mass , sizeflag) ;image = malloc (ptlno * sizeof (void * ) ) ;imagebk = malloc ( (winnum * sizeof (int) ) * sizeof (void * ) ) ;/ * size of the image box. * /size = imagesize (O,O,M2,M2) ;/ * save image of obj ect in image box after making obj ect image. * /for (j =O ;j}
for (i =O ; iize) ;
if (radius [i] < 1 ) radius[i] = 1 ;return radius ;void Set_Graph (int ptlno,double * mass)/ * set up for graph ; initialize graphic mode, boundary box,axies. * /{int gdrive = DETECT,mode,sizeflag ;int x,y,i,x_z,y_z,csa l,ccal,csa2,cca2 ;int ss , ls ,sm, maxx2,maxy2,maxx4,maxy4 ;float c50 ;long size ;lnput_Angle (&x_z,&y_z,&sizeflag) ;initgraph (&gdrive,&mode,"") ;/ * maximum si ze of the screen, location of centers. * /MaxX = getmaxx ( ) + 1 ; MaxY = getmaxy ( ) + 1 ;maxx2 = MaxX/2 ; maxx4 = maxx2/2 ;maxy2 = MaxY/2 ; maxy4 = maxy2/2 ;if (winnum = = 1) { CenterX [O] = maxx2 ;CenterY [O] = maxy2 ;}else {CenterX [ = maxx4 ; Cen Y[0] 〔이 = maxy4 ;CenterX[l] = maxx4 ; CenterY[l] = maxy4+maxy2 ;CenterX [2] = maxx4+maxx2 ; Cen erY[2] = maxy4 ;CenterX [3] = maxx4 + maxx2 ; CenterY [3] = maxy 4 +maxy2 ;Init_image (ptlno,mass:sizeflag) ;
/ * boundary box. * /setcolor (9) ;for (i =0 ;i <6 ;i+ +)rectangle (i, i ,MaxX-1-i,MaxY-1-i) ;if(winnum= = 4) {line (MaxX/2,0,MaxX/2,MaxY) ;line (0, MaxY/2,MaxX,MaxY/2) ;}/ * positive axies. * /setcolor (lO) ;c50 = CenterX [0]-50 ;csal = c50 * SinAngl ;ccal = c50 * CosAngl ;line (CenterX [O] ,CenterY CenterX [0]-csal,CenterY [이 -ccal) ;csa2 = c50 * SinAng2 ;cca2 = c50 * CosAng2 ;line (CenterX [O] ,CenterY [이 ,CenterX [이 + csa2,CenterY [0]-cca2) ;line (CenterX [O] ,20,CenterX Cen erY [O] ) ;/ * negative axis. * /setcolor (10) ;setlinestyle (DOTTED_LINE,1,1) ;line (CenterX [O] ,CenterY [O] ,CenterX [O] + csal,CenterY [0]+ ccal) ;line (CenterX [O] ,CenterY [O] ,CenterX [O]-csa2, CenterY [0]+ cca2) ;line (CenterX [O] ,CenterY [O] ,CenterX [O] ,CenterY [O] + CenterY [O]20) ;setlinestyle (SOLID_LINE,1,1) ;for (i = 1 ;i < winnu ; i + + ) {line (CenterX [i] ,CenterY [i]-maxy4 + 20,CenterX [i] ,CenterY [i] + maxy4-20) ;line (CenterX[i] -maxx4 + 50,CenterY [i] ,CenterX [i] + maxx4•50,CenterY[i]) ; }/ * labeling the axies. * /
outtextxy (CenterX [O]csa l, CenterY [O]-ccal + 10,"X") ;outtextxy (CenterX [O] csa2-8,CenterY [O]-cca2+ 10,"Y") ;outtextxy (CenterX [O]-15,20,,,Z" ) ;for (i =l ; i< winnum ; i+ + )switch(i) {case 1 :outtextxy (CenterX[i] + MaxX/4-55,CenterY [i] + 10,'' X" ) ;outtextxy (CenterX [i]-15,MaxY/2 + 20,"Y") ;break ;case 2 :outtextxy (CenterX [i] + MaxX/4-55,CenterY [i] + 10,"Z") ;outtextxy (CenterX [i]-15,20,"X") ;break ;case 3 :outtextxy (CenterX [i ] + MaxX/4-55,CenterY[i] + 10,"Y") ;outtextxy (CenterX [i]-15,CenterY[i] -MaxY/4 + 20,"Z'' ) ;break ;}void 0uL3D_Orbit (int id ,float x, float y, float z)/ * conversion of 3-d coordinates to 2-d screen coordinates. * .{float xs, ys ;int posx, posy, i ;int boundaryx,boundaryy ;/* boundaryx = MAXX/(i %2) ;boundaryy = MAXY/ (i%2) ; */for (i =O ; icase O : xs = -x * SinAngl + y * SinAng2 ;
ys = x * CosAngl + y * CosAng2 + z ;break ;casa 1 : xs = x ; ys = y ;break ;case 2 : xs = z ; ys = x ;break ;case 3 : xs = y ; ys = z ;break ;` }/ * screen coordinates. * /posx = CenterX[i] + (int) (AxiScale * xs) ;posy = CenterY[i] - (int) (AxiScale * ys) ;/ * draw images of objects 'only inside' boundary boxes. * /if ( ( posx > (5 + boundaryx) &&posx< (CenterX [i] + CenterX [i] (6 + boundaryx) ) ) &&( posy> (5 + boundaryy) &&posy< (CenterY [i] CenterY [i]- (6 +boundaryy) ) ) ) {Move_Box (id,i,posx,posy) ;ichk [i] [id] = 1 ;}else if ( ichk [i] [id] ) {putimage (last x [i] [id]-5,lasty[i] [i이 -5,imagebk [i] [id] ,COPYPUT) ;ichk[i] [ = 0 ;}}}void OuL3d (int ptlno, double * x,double * y, double * z )/ * plot many bodies. * /{int i ;for (i =O ; iOuL3D_Orbit(i, (float)x[i], (float)y[i], (float)z[i]) ;
delay (Dltime) ;void clr_buf (int ptlno)/ * free the dynamic memory allocation. * /{int i ;for (i = O ; i제 8 장 진공에너지를 갖는 차가운 암흑물질 모형
박창범1 서론1990 년대에 들어서면서 우주론 분야에서 두가지 중요한 관측결과가 보고되었다. 그 첫째는 의부은하들의 공간분포와 속도분포가 우주모형에 제약을 줄 수 있을 정도로 상세히 알려지게 된 것이다. 그 중 특히 은하 밀도 분포의 섭동 스펙트럼(power spectrum) 측정결과는 표준모형인 차가운 암혹물질 모형보다 거시적 규모에 더 큰 섭동이 있음을 발견하여 우주모형들의 초기조건과 전화 메커니즘에 대한 중요한 정보를 제공하였다(Baumart와 Fry, 1991 ; Peacock 과 Nicholson, 1991 ; Park 등, 1992 ;Vogeley 등, 1992). 둘째는 우주배경복사 스펙트럼과 비등방성 관측결과이다. 1989 년 11 월 11 일 델타 로케트에 실려 발사된 코비 (COBE, Cosmic Microwave Background Explorer) 위성은 우주배경복사의 스펙트럼이 흑체 스펙트럼 과 같다는 것을 확인했다(Mather 등, 1993 ; Wright 등, 1993). 또한 천구상에서의 우주배경복사 온도 분포를 측정한 결과 10· 규모에서의 온도 차이가 ( T/T)= (1. 10 o.18) x10-s이고, 이 값은 각거리에 거의 무관함을 발견하였다(Smoot 등, 1992 ; Bennett 등, 1993). 이것은 물질밀도 분포의 섭동 스펙트럽 기울기가 약 1이고, 차가운 암혹 물질 모형에서 은하들의 섭동 스펙트럼이 물질의 그것과 갇아야 함울 뜻한다. 그런데 표준모형은 은하들이 물질보다 더 밀집되어 있는 경우에 성공적이며, 은하들과 물질이 같은 정도의 불균일성을 보인다면 수축된 물질이 강한 중력을 내어 작은 규모에서 은하들이 이에 영향을 받아 관측치보다 매우 빠른 속도로 공간운동을 해야 하므로 적합하지 않게 된다.
그러므로 이와 같은 새로운 관측결과를 설명할 수 있는 우주생성 모형이 필요하게 되었다. 그 중 원래의 표준모형에 가장 적은 변화를 주어 새로운 관측자료들을 수용할 수 있는 것은 물질의 평균밀도를 낮춘 모형이다. 밀도가 낮은 차가운 암흑물질은 물질밀도가 임계값을 가지는 표준 모형보다 거시적 규모에서 더 큰 섭동을 가지며, 작은 규모에서는 상대적으로 더 작은 섭동을 가진다. 따라서 이 모형은 표준모형보다 위의 두 관측 사실과 더 쉽게 양립할 수 있다. 그러나 물질밀도가 임계값보다 낮으면 급팽창 가설과 상반되므로 물질밀도와 임계밀도의 차이만큼의 진공 에너지를 가정해야 한다. 그리고 작은 규모에서 섭동이 표준모형에 비해 줄었으므로 은하형성이 늦어지는 단점도 있다. 여기에서 는 진공에너지를 갖는 차가운 암흑물질 모형이 초거시적 규모에서 어떠한 관측결과를 줄수 있는지에 대하여 연구하고자 한다. 2절에서는 전공에너지가 있을 경우의 우주진화 방정식을 소개하고, 절에서는 수치실험에 사용될 N-체 코드에 대하여 설명하겠다. N- 체 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있지만 우주론 연구에 전동적으로 많이 사용되어 왔던 입자구격자 방법(Particle-Mesh Method) 을 소개하겠다. 4절에서는 실험결과와 토의를 하겠다.2 우주와 물질 진화식우리가 다룰 모형은 우주상수가 영이 아니고 기하학적으로 평평한 우주이다. 우주상수가 있을 때의 일반적인 프리드만 방정식은 다음과 같다.= p+ (2-1) ( = p- + (2-2) 여기에서는 a는 팽창계수, p는 물질의 평균 밀도. A는 우주상수, k는 공간의 곡률을 나타내는 상수로서 0, l, -l 등의 세 값을 가진다. 어떤 초기시각 t=t,에 식 (2-2) 는 ( ):=H1= 5, － + 가 되고 양변을 이 당시의 허블상수 H, 의 제곱으로 나누면 곡률상수를 다른 양으로 표현할 수 있다. k=a;H1 (1-Q;-tl;) (2-3) 여기에서 우주상수에 의한 밀도계수 i는 A/3Hf으로 정의된 양이고, 는 물질에 의한 밀도계수로서 r_ /H2 이다. 한편 허블상수와 물질밀도 계수의 시간적 변화는 다음과 같이 주어진다 (Lahav 등, 1991). ( )2=Q;(l+z)3-( ,·+A,·-1) (1+z)2+AI (2-4) (z) =Q,( )-2(1+z)3 (2-5) 실제 계산을 할 때는 팽창하고 있는 우주공간을 공변좌표계 (comoving coordinate)에서 기술하면 우주의 진화를 이해하는 데 매우 유리하다. 따라서 여러 물리량들도 이 좌표계로 변환하여야 한다. 예를 들어 물질의 평균밀도는 우주가 팽창함에 따라 a-3 에 비례하여 감소하지만, 공변좌표 계에서는 상수이다. 프리드만의 식들을 시각 에서의 물리량들을 공변량으로 택하여 쓰면 아래와 갇다. = ,( -2½,a) (2-6)
d2= P,(+ Q, -1+ (a2-1 ) (2-7) 여기서 i는 로 정의하였다.
이상에서는 수치실험이 실행되는 공간이 우주의 팽창과 더불어 변화하는 것을 팽창계수의 전화식으로 표현해 보았다. 공간을 채우고 있는 물질의 전화는 연속 방정식, 운동량 방정식과 포아슨 방정식들에 의해 지배된다. 물질분포를 입자들로 근사하였을 경우 각 입자의 운동은 아래 식에 의해 결정된다. u= r (2-8) v=-'v~ (2-9) =47 (r, t) (2-10) 한편 에너지 보존은 레이저-아이빈 (Lazer-Irv ne) 의 에너지 식에 의하여 점검된다. (K+ W) +(2K+ W) =O dI a (2-11) 이 식에서 K= 〈p v2 /2 p는 단위질량 당 운동에너지이고, W는 단위질량 당 중력 위치에너지이다. 독립변수를 시간에서 팽창계수로 바꾸어 이 식둘을 공변좌표계에서 다시 쓰면 다음과 갇다. u= da (2-12) +2+a;a/d2u=- (2-13) = (2-14) + + = (2-15) 포아슨 식 (2-14)는 식 (2-10)의 푸리에 변환이다. 식 (2-15) 에서 운동 에너지 T= pJ(/a2 그리고 위치 에너지 V=api 로 새로 정의된 양이고, C는 적분상수이다. 팽창계수를 독립변수로 쓰는 이유는 물질 요동이 평탄한 우주에서 팽창계수에 비례하여 선형적 성장을 하기 때문이다. 따라서 독립변수를 팽창계수로 하고 일정한 간격의 적분 시간폭(즉 팽창 계수 증가폭)을 사용하면, 한 단계의 적분마다 선형적 전화단계에서는 물질 요동이 일정한 비율만큼 성장하게 된다.
3 N-체 코드의 구성이제 2절에 있는 우주와 물질 진화식 적분과정을 설명하겠다. 먼저 어떤 주어진 시간에 초기조건으로서 입자들의 분포와 속도를 정하는 방법울 알아보자. 이 초기조건은 물론 연구하고자 하는 우주모형에서 예측되는 전형적 상태를 잘 구현하여야 한다. 우리가 다루는 모형은 물질밀도가 가우스 분포를 가지므로 섭동 스펙트럼 P(k) =lokl2만으로 초기조건이 완전히 구현된다. 섭동 스펙트럼은 주어전 파수를 갖는 어느 모드(mode)의 전폭을 나타내는 함수로 물질 요동 생성시의 모양과 그 이후의 진화를 구별하여 다음과 같이 나타낼 수 있다 (Bardeen 등, 1986). Pf (k) =AP;(k) T2(k) (3-1) 이 식에서 A는 현재 섭동 스펙트럼의 진폭을 주는 규격화 상수, P(k)는 인플레이션 직후 물질 분포의 섭동 스펙트럼, 그리고 T(k) 는 초기의 물질 분포가 비선형 중력 전화를 일으키기 전까지의 선형적 변화를 나타내는 함수로 차거운 암흑물질의 경우 다음과 갇이 주어진다. T(k) ＝ +3.89 q+ (1 6.l q) (5.46 q) (6.71 q) (3-2) q=k/(Qh2Mpc-1) h는 현재의 허블상수를 1OOkm/sec/Mpc 로 나눈 값이다. 어떤 시각 ti에서 수치실험을 시작하기 위해 초기조건을 세우는 경우를 생각해 보자. ·밀도 요동 o(x) 의 선형적 성장비 (t)를 (x, t) = (b(I)/b )&(x)．와 갇이 정의하고, 속도 포텐셜을 V¢=dx/db로 정의한 다. 선형 근사된 연속 방정식 ao/at +V • v=O 에 위 식들을 대입하면 = — 8,· (x) /b,. (3-3) 또는 rp (k) = (k)/b,. (3-4) 즉 속도 포텐셜의 푸리에 변환은 선형단계에서 물질 밀도의 푸리에 변환을 k2으로 나눈 것과 같다. 식 (3 4) 에서 선형적 성장비의 초기값 b,는 1로 정의한다. 밀도 요동의 초기조건은 격자 위에 놓인 입자들을 약간 이동시켜 상대적 위치를 조절함으로써 구현한다. 이동량은 x =b,-(dx/ db) 에서, 그리고 (dx/db) 는 (3-4) 식에서 구한 속도 포텐셜울 미분하여 구한다. 입자 특이속도의 초기조건은 dx/da =-(Q)dx/db 그리고 f( ) =dlo b/dlo a 에서 구한다.
=l 인 평평한 모델에서는 선형적 성장비가 곧 팽창계수가 된다. 즉 (t )=a (t)이다. 열린 우주에서 밀도 요동의 선형적 성장비는 아래와 같이 주어진다 (Peebles, 1980). (l+x)r l l b(t) =I+-::-+ In[(1+x) X xi (3-5) x=Q-l (t)-1우주상수가 이 아니고, 공간적으로 평평한 우주모형에서 선형적 성장비는 적분식으로 표현될 수 있다(Peebles, 1984).b(t) =fo (x3+1) [ldy(l+ ) (3-6)x= (-1-l)t/(1/z)입자들의 위치와 속도가 이상과 갇은 방법으로 주어지면 수치실험을시작한다. 여기에서는 광범위한 역학적 분해가 요구되는 우주론적 N- 체 실험에 많이 쓰이는 입자-격자 (Particle-Mesh 또는 PM) 방법 (Hockney와 Eastwood, 1981)을 사용한다. 수치실험은 정육면체 안에 일정한 개수의 암흑물질 입자를 균일하게 분포시킨 후, 초기 위치와 속도를 지정하여 시작된다. 전 우주는 이 정육면체의 무한한 반복으로 이루어진다고 가정한다. 따라서 정육면체의 부피는 각종 거대구조를 포함할 수 있을 정도로 충분히 커야 한다. 또한 정육면체의 경계면은 주기적이어서 진화중 새로운 위치가 정육면체 크기를 벗어나면, 주기적 경계조건을 적용하여 다시 내부에 위치시켜야 한다. 정육면체 바깥 쪽의 질량은 중력 위치 포텐셜을 구할 때 주기적 경계조건을 전제한 푸리에 변환을 사용함으로써 자동적으로 고려된다. 진화 계산순서는 다음과 갇다.
첫째, 초기조건 또는 적분 전단계에서 주어진 입자들의 위치에서 격자에서의 밀도값을 계산한다. 개개의 입자를 격자세포의 모양과 같은 질량 분포를 갖는 구름으로 근사하여 각 격자점에 겹치는 만큼 질량을 배분한다. 이것을 격자 속 구름 (Cloud-in-Cell 또는 CIC) 부피 가중법이라 한다. 입자의 질량을 격자점에 배분하는 방법에는 이의에도 각 입자로부터 가장 가까운 격자접에 입자의 질량을 모두 더해주는 방법, 입자를 질량이 x, y, z 각 방향으로 선형적으로 감소하는 구름으로 다루는 법 등 여러 가지 있으나, CIC 부피 가증법이 정확성과 경비 절약을 절충한 이상적인 방법이다.둘째, 앞서 구한 격자에서 계산된 밀도 요동을 푸리에 변환한 다음 -47C/k2으로 곱하여 중력 포텐셜의 푸리에 변환량을 구하고(식 (2-14)) 다시 역 푸리에 변환하여 중력 포텐셜을 구한다. 푸리에 변환은 프로그램을 순차적으로 한 줄씩 수행하는 순차연산(sequential) 컴퓨터에서는 소모 시간이 전체적으로 큰 비율을 차지하지 않으나, 벡터 연산 컴퓨터나 병렬 연산 컴퓨터에서는 다른 부분의 계산이 빨라져 상대적으로 많은 시간을 할애해야 하는 부분이다. 이 경우 각 컴퓨터 회사가 제공하는 고유의 푸리에 변환 부프로그램을 사용하거나, 계산을 수행할 컵퓨터에 매우 효율적인 푸리에 변환 코드를 만들어 사용해야 한다.셋째, 포텐셜을 미분하여 격자점에서 중력을 구한다. 그리고 입자 위치에서의 중력을 CIC 부피 가중법을 사용하여 내삽한다. 격자점에 정의되어 있는 포텐셜을 미분하기 위해 중력을 구하고자 하는 격자점을 사이에 두고 좌우에 있는 격자점들에서의 포텐셜을 빼는 방법이 흔히 쓰인다. 좌우 두 격자접에서의 포텐셜을 사용하는 경우, 중력은 f(i)=[ (i+1)- (i—1)]/2 x와 갇이 구해지고, 네 격자점을 사용하는 경우 f{i)=4[ (i+l)- (i—1)]/2 x[ (i+2)O(i-2)]/4 x 와 갇이 구하는 것이 더욱 정확하다. 한편 힘 계산의 분해능을 높히기 위해 인접한 두 격자점에서의 포텐셜을 빼어 격자점 사이 중앙에 중력이 구해지도록 하는 방법도 최근 쓰이는데 이를 엇물린 격자법 (stggered mesh method) 이라고 한다. 이 경우 중력은 아래와 같이 구해진다.
f(i+1/2)=[ (i+1)— (i+1)]/ 넷째, 격자점에 또는 반 격자 이동된 위치에 구해 놓은 중력으로부터 입자 위치에서의 중력을 구한다. 이때 1단계에서 밀도 요동을 계산하기 위해 사용한 방법과 동일한 가중치를 각 격자점에 두어 입자 위치에서의 중력을 구한다. 이렇게 구한 중력에서 입자의 새로운 속도를, 속도에서 입자의 새로운 위치를 계산한다. 여기에서 입자 속도는 적분 시간폭 중간에서 정의되도록 한다. 이를 위해 최초에 적분 시간폭의 반을 우선 시행하여 입자 속도를 진화시킨 후에, 일련의 적분을 해나간다.전화 계산과는 별도로 적분과정중에 에너지나 운동량 등의 물리량 보존을 접검하여야 하고, 섭동 스펙트럼이나 상관함수, 물질 요동 편차 등의 동계량을 계산할 필요가 있다. 각 단계를 수행하는 데에 소요되는 시간은 컴퓨터의 특성에 따라 크게 차이가 난다. 순차연산 컴퓨터의 경우 단계는 약 21%, 푸리에 변환을 두 번 해야 하는 단계는 약 19%, 동시에 수행되는 단계와 단계는 약 58% 의 시간을 소모한다. 그러나 벡터연산 장치가 있는 컴퓨터의 경우 2, 3, 단계가 차지하는 연산시간 비율이 크게 감소한다.
4 실험결과와 토의2절과3절에서 소개한 방법으로 우주상수가 0이 아닌 모형을 수치실험 하였다. 모형의 곡률은 0이고(즉 공간적으로 평평함), 현재의 물질밀도 계수는 o=0.4, 우주상수에 의한 밀도계수 Ao=0.6, 허블 상수 h=0.6, 은하밀도 요동과 물질밀도 요동의 전폭비 (bias factor) 는 b=1.3으로 선택하였다. 이 모형은 외부은하 분포와 우주 배경복사 비등방성에 모순되
1.2
그림 8-1 진공 에너지가 0이 아닌 모형에서 의 시간에 따른 변화. 접둘은 적색이 동 17 에서 0까지 수치실험 결과에서 계산한 이고, 실선은 식 (3-6) 아 하 는 선형적 관계식이다.
지 않는다 (Kofman, Gned 과 Bahcall, 1992) . 수치실험은 한 변의 길이가 600h-1M 인 정육면체에 38한개의 차거운 암흑물질 입자를 넣어 수행하였다. 초기시각은 적색이동이 z=17 인 때이다. 초기조건의 물질 요동 진폭은 직경이 8h-1M 인 구 안에 담긴 질량의 표준편차 야이 1/(1+Zi)가 되도록 섭동 스펙트럼의 규격화 상수를 정함으로써 결정됐다. 이것은 모형이 선형적으로 진화했을 때 이 현재에 이 되도록 하는 표준적인 규격화로서 차가운 암흑물질 모형과 갇이 작은 규모에 섭동이 많은 계층적 모형에서는 매우 유효하다.
그림 8-1 은 68을 시간에 따라 보인 것이다. 실선은 식 (3-6)이 예측하는 선형식이다. 야의 진화는 초기조건의 통계적 변화에 민감하여 식 (3-6) 을 항상 따르지는 않으므로 그림 8-1 은 만족할 만한 결과라고 하겠다. 그립 8-2는 수치실험을 수행한 정육면체를 임의의 높이에서 두께 6h 1M 인 정사각형 모양의 판 내에 있는 은하들을 두영해 보인 것이다. 은하들은 암흑물질 요동의 정접에서 생성된다고 가정하고, 밀도 요동의 진폭이 물질 요동 전폭의 1.3배가 되도롱 위치를 정하였다 (Park, 1991). 우리가 실험한 모형은 표준모형보다 거시적 규모에서 더 큰 요동울 가지고 있으며, 따라서 이 그립에서 길이가 100h-1Mpc 이상인 거대 구조가 많이 나타나고 있다. 물질밀도 계수가 약 lz=0.2 인 모형은 최근의 의부은하 섭동 스펙트럼 측정 결과와 매우 잘 일치하고 있음은 이미 알려져 있는 사실이다 (Efstathiou 등, 1991 ; Park 등, 1992 ; Vogeley 등, 1992). 그림 8-3 은 연속적인 장(field) 의 토폴로지를 정량적으로 보여 주는 지너스(genus) 를 두 가우시안 평탄화 길이에 대하여 계산한 결과이다. 밀도장이 가우시안 분포를 하는 경우 지너스 곡선은 밀도값에 대하여 좌우 대칭인데, 지너스 곡선이 이 경우에서 얼마나 벗어났는가에 따라 밀도장이 얼마나 비가우스 분포를 하는가가 결정된다 (Gott 등, 1991). 이 모델의 경우 지너스 곡선은 기본적으로 좌우 대칭꼴이므로 인플레이션 가설이 예측한 대로 밀도(검은 점은 암혹물질, 원은 은하)는 가우스 분포를 한다고 할 수 있다. 그러나 비선형적 중력 진화는 이 초기조건의 성질을 비가우스 분포로 변화시키는데, 지너스 곡선은 이 영향으로 약간
600
(a) Q o= 0 .4 . Q A = 0 .6 , I, =0 . 6C DM
그립 8-3 은하와 물질 분포의 토폴로지 를 정량적으로 보여주는 지너스. 검은 점들 은 물질 밀도장 그리고 원들은 은하 밀도장에서 구한 지너스이다. (a) 가우시 안 평탄화 길이가 6 h - 1M pc인 경우. 지너스 곡선이 약간 오른쪽, 죽 거품구조 쪽으로 치우쳐 있다. (b) 가우시안 평탄화 길이가 20h-1M pc인 경우. 은하 밀 도장의 지너스와 물질 밀도장의 지너스가 모두 가우시안 밀도장의 지너스 곡선
그림 8-4 수치실험된 진공 에너지가 있는 우주모형에서 푸른색 등급이 19 보다 밝 은 은하들을 천구상에서 관측한 모의실험도. 타원의 장단축은 각각 130도, 110 도이고, 면적은 i( 면적각이다. 약 백만 개의 은하들이 분포하고 있다.
그림 8-5 그림 8-4 에서 타원의 장축에 놓인 두께 10도인 띠 안에 있는 은하들을 적색이동 공간에서 보인 분포도. 100h-1Mpc 이상의 우주 거대구조와 거대 공 동들이 발견된다.
오른쪽으로 치우쳐 있다. 이런 경우를 거품 토폴로지라고 하는데 최근 CfA 적색이동 자료에서 의부은하들의 밀도분포가 약한 거품 토폴로지를 보임이 알려진 것과 잘 일치하고 있다 (Voeley 등, 1993). 이상의 연구에서 이 모형은 여러 관측 사실을 잘 만족시키고 있음을 알 수 있다. 1절에서 언급한 바와 같이 이 모형은 우주상수를 가정해야 한다는 점과, 표준모형보다 은하를 늦게 형성한다는 점 등의 단접도 있다. 그러나 표준 모형을 매우 간단히 수정하여 거대규모에서의 부족한 섭동을 갖출 수 있다는 점에서 그 가치를 인정해야 하겠다.
그림 8-4와 8-5는 실제 우주가 이 우주모형과 같다고 가정하고 앞으로 수행하게 될 대규모 외부은하 적색이동 탐사를 미리 예측한 결과이다. 그림 8-4에 보인 천구상에서의 외부은하 분포는 파란색 등급이 19 이하인 은하 중 면적이 면적각이며 장축과 단축 길이가 각각 130 도와 llO 도 타원 안에 있는 것들을 모두 보인 것으로 섹터 (Schech er) 광도함수 (de Lapparent, Geller와 Huchra, 1989) 를 가정할 경우 약 100 만 개에 달한다. 그림 8-5 의 가상적 관측 결과는 이 타원의 장축을 지나는 두께 10 도, 길이 130 도인 띠 안에 있는 모든 은하들의 거리를 측정한 것이다. 은하들의 특이속도가 고려된 이 은하지도에서 많은 거대구조와 공동들이 발견된다. 앞으로 수행될 탐사들 (Gunn 과 Knapp, 1993) 이 과연 이러한 구조들을 보일 것인지 귀추가 주목된다.참고문헌Bardeen, J.M., Bond, J.R., Kaiser, N., and Szalay, AS., 1998, Ap. J. 304, 15.Baumgart, D.J. and Fry, J.N., 1991, Ap. ]. 375, 25.Bennett et al., 1993. preprint. de Lapparent, V., Geller, M.J., and Huchra, J.P. 1988, Ap. ]. 332, 44.Efstathiou, G., Sutherland, W.J., and Maddox, S.J., 1990, Nature 348, 705
Gott et al., 1989, Ap. J. 340, 625.Gunn, J. and Knapp, G, 1993, preprint.Kofman, L., Gnedin, N., and Bahcall, N.A., 1993, acceptted.Mather et al., 1993, Ap. J. accepted.Park, C., 1991, M.N.R.A.S., 251, 167.Park, C., Gott, J.R., and da Costa, L.N., 1992, Ap. J. 392, L5I.Peacock, J.A. and Nicholson, D. 1991, M.N.R.A.S., 253, 307.Peebles, P.J.E., 1980, Tlze Large-Scale Structure of the Universe (Princeton : Princeton University Press) .Peebles, P.J.E., 1984, Ap. J. 284, 439.Smoot et al., 1992, Ap. J. 396, L1Vogeley, M.S., Park, C., Geller, M.J., and Huchra, J.P., 1992, Ap. J. 391, LS.Vogeley, M.S., Park, C., Geller, M.J., and Huchra, J.P., 1993, Ap. J. accepted.Wright et al., 1992, Ap. J. 396, L13.제 9 장 은하, 우주상수 그리고 중력렌즈
박명구1 도입1-1 중력렌즈란?빛이 중력체 주위를 지날 때 휘게 된다는 사실은, 아인슈타인의 일반 상대성 이론으로 예측되었고, 1919 년 일식 관측에서 태양 주위를 지나는 별빛이 약 2" 정도 휘어지는 것을 발견함으로써 실험적으로 입증되었다. 이갇이 중력체가 주위 시공간을 휘게 하여, 그 근처를 지나는 빛의 경로를 변화시킴으로써 광학렌즈와 유사한 작용을 할 때 이를 일반적으로 중력렌즈(gravitational lens) 라 한다. 이 중력 렌즈는 중력체 주위에서는 항상 일어나는 현상이지만 보통의 경우 그 효과가 너무나 작아서 관측이 불가능하고, 특별한 경우에만 관측이 가능해 진다. Zwicky 등은 은하들보다 멀리 있는 천체가 의부 은하들에 의해 빛이 휘어질 경우 관측이 가능할 것이라 추정하였으나, 실제 이러한 렌즈계가 발견된 것은 50 여 년이 지난 1979 년이었다(Walsh 등, 1979).중력렌즈계에서 빛이 휘어지는 것은 우주 전체의 시공간 구조와 국부적인 중력장의 영향을 동시에 받게 된 결과이다. 이러한 빛의 휘어침은 원래의 광원을 여러 개의 像으로 보이게 하기도 하고, 이들 상들을렌즈 현상이 없을 때에 비해서 —더 밝게 만들기도 하며, 경우에 따라서는 원래의 모양이 변형된 상을 만들기도 한다. 예를 들어 광원과 중력체가 지상의 관측자와 일직선상에 놓일 경우 그 상은 고리 모양으로 변형되어 보이게 된다(이 고리를 아인슈타인 고리라 한다)． 이때 고리 전체의 밝기는 중력체가 없을 경우의 광원의 겉보기 밝기보다 아주 많이 밝아 보이게 된다(증폭 (amification) 현상)． 만약 광원이 (또는 중력체가) 일직선상에서 약간 벗어나게 되면 고리는 2개 이상의 증폭된 상으로 나누어져 보이게 된다. 현재까지 관측된 중력렌즈계는 그 광원이 QSO, 외부 전파원, 은하 등이고 렌즈 역할을 하는 중력체는(일반적으로 그냥 렌즈라 부름) 대부분 은하 또는 은하단(또는 과 관련된 흑 물질 (dark matter) 일 수도 있다)들이다.
1-2 관측된 중력렌즈계1-2-1 多像 중력 렌즈계배경의 QSO들이 한 개 또는 여러 개의 은하나, 은하단의 도움을 받은 은하들에 의해서 두 개 이상의 상을 만드는 경우를 다상 중력렌즈계(multiple image systems) 라 하는데, 최초로 발견되었던 렌즈계 Q0957도 이러한 종류이고 최근까지는 이 유형이 가장 많이 발견된 중력렌즈 유형이라 할 수 있다. 상세한 관측자료들에 의해 의심의 여지가 없는 경우부터 관측자료가 부족하여 중력렌즈계라는 확신을 하기에는 아직 이른 경우 등을 모두 합하면 이 종류의 렌즈계는 대략 10 여 경우가 발견되었다(표 9-1 참조)． 특히 이 중에서 한 개의 은하들에 의해 렌즈가 된 경우는 겨우 다섯 개에 지나지 않고, 그 중에서 다시 렌즈 역할을 하는 은하의 적색편이가 측정된 경우는 네 개가 현재 알려져 있다.1-2-2 밝은 호(Luminous Arcs)Lynds와 Petros an(1986) 에 의해서 처음 발견된 이 렌즈계는 멀리 있 는 은하가 앞에 위치한 은하단에 의해 호(arc) 로 변형되어 보이는 계이표 9-1 다상 중력 렌즈계
광원 A0 Zs 렌즈 .Z1 참고사항 3C324 2.0 1.21 G 0.84 이`-처o Q2 237+ 0 30 1.8 1.69 G 0.04 인정 Q1 115+ 0 80 2.3 1.7 2 G ? 이\.!0처 Q0 142-100 2.2 2.72 G 0.4 9 인정 Hl413+ 1 17 1.1 2.55 G? 1.44 ? 인정 Q0 957+ 5 61 6.1 1.41 G/ C 0.36 이'-'-0처 Q2 016 + 112 3.8 3.2 7 2G 1.01 ? 인정 0414 +0 53 3.0 1.21 ?' • 1.0 ? 이`.처o Q2 345+ 0 07 7.3 2.1 5 ? ? 가능 Ql6 35+ 2 67 3.8 1.96 G? 0.57 ? 가능 0023 + 171 4.8 0.95 ? ? 가능 Q1 429-008 5.1 2.08 ? 1.6 ? 가능 1042 + 178 1.6 0.9 2 ? 0.5 ? 7~ 능 Q1 120+019 6.5 1.46 G/C? 0.6 ? 가능 MG1654+134 2.1 1.74 G 0.254 인정, 전파고리 주 : G 은하 ; C- 은하단 ; AO- 상간거리 ; z,- 광원의 적색편이 ; Z1- 렌즈의 적색편이
다. 이 호는 아인슈타인 고리의 일부라고 생각할 수 있는데, Abell370, Abell 545, Abell 963, Abell 2390, Cl 0024 + 17 등의 은하단에서 보이는 호들이 그 대표적인 경우들이다. 이들 대부분은 호의 적색편이가 측정되어 있지 않다.
1-2-3 전파 고리 (Radio Rings)Hewitt 등(1988) 이 전파로 렌즈계를 찾는 과정에서 발견된 이 중력렌즈계는 배경의 연속 전파원이 전방의 은하 등에 의해서 렌츠되어 거의 원에 가까운 고리 구조의 상(아인슈타인 고리)을 만드는 계로서 MG1131+0456 과 MG1654+134 가 대표적 경우인데 후자의 경우에는 고리와 은하의 적색편이가 모두 결정되어 있고 관측된 은하의 광도 분포를 그대로 따르는 질량 분포의 모형으로 관측을 쉽게 설명할 수 있다.
1-2-4 미세 렌즈QSO의 상들이 은하의 렌즈작용에 의해 만들어질 경우 이 상들은 은하 내에 존재하는 많은 별들에 의해 백만 분의 각초 크기의 많은 미세상들(micro images)로 구성되어 있다고 믿어지고 있는데 별들의 운동에 의해서 이 미세 상들은 밝아지기도 어두워지기도 해서 전체적인 상의 밝기 변화를 일으킨다고 생각된다. SO상들이 렌즈 작용을 하는 은하의 중심부에서 보이는 2237+030 의 경우 이러한 상의 밝기 변화가 관측되고 있고 이는 미세 렌즈 (microlensing)현상이라고 여겨지고 있는데 이로부터 은하에 대한 정보를 얻을 수는 있으나 우주 전체의 구조에 대한 정보를 얻는 데는 크게 도움이 되지는 않는다고 할 수 있다.1-2-5 준항성과 은하의 상관성Webster 등(1988)과 Stocke 등(1987)은 은하들 근처에서 보통보다 더 많은 수의 QSO들이 관측된다는 통계적인 사실을 보임으로써 이것이 은하들이 렌즈 작용을 한 결과 QSO들이 원래보다 밝게 보인 결과라고 해석하고 있다. 이는 QSO둘의 광도 분포 등에 대한 정보를 알려줄 수 있다고 생각된다.1-3 중력렌즈의 쓰임새중력렌즈가 이론 속에서가 아니라 실제로 관측되었을 때 많은 천문학자들은 큰 기대를 가지게 되었다. 이는 바로 중력렌즈가 다른 방법으로는 얻기 어려운 우주에 대한 여러 의문들에 대한 힌트를 제공할 수 있다고 생각되기 때문이었다. 앞에서 말한 것처럼 중력렌즈는 우주의 전체적 시공간 구조와 국부적인 시공간(죽 중력장) 구조 둘 다에 의해 영향을 받기 때문에, 관측된 자료를 잘 해석할 수만 있다면, 우주의 구조 및 진화에 대한 정보와 국부적인 은하의 질량 및 은하 내부의 질량 분포, 은하단의 내부 질량 분포 등의 정보를 모두 얻어낼 수 있게 된다. 또한 중력 렌즈는 중력에 의한 효과이므로 전자기적으로 검출이 어려운 암흑물질 등을 연구하는 데도 아주 효과적이라고 할 수 있다.
하지만 이러한 중력렌즈의 특성은 장점인 동시에 약점이기도 하다. 왜냐하면 관측 자료를 해석할 때 국부적인 영향인지 우주의 전체적 구조에 의한 효과인지 를 가려내야 하기 때문이다. 이러한 이유로 이들 렌즈계에 접근하는 데에는 크게 두 가지 방법이 있다. 첫번째는 개별적인 경우를 상세하게 연구하는 방법이다. 비교적 측 자료가 풍부한 경우에 적용되는데 관측된 상의 개수, 상의 위치, 상대적 밝기의 비 등을 설명할 수 있는 광원과 은하의 위치, 은하의 질량 분포 등에 대한 모형을 세우고 이로부터 필요한 정보들을 얻을 수 있다. 두번째 방법은 여러 렌즈계에 대한 자료 을 모아서 종합적 또는 통계적으로 이해하는 방법이다. 개개의 특징들을 무시하고 단순화시킨 국부적인 중력장과 우주의 구조 및 진화에 대한 모형들을 결합해서 이들이 관측자료 전체를 얼마나 잘 설명할 수 있는가를 살펴본다. 결과로서 우주 전체에 대한 정보(허블 상수 등 여러 우주론의 상수들)를 얻을 수 있다. 본 연구는 후자의 경우에 속한다.2 이전 연구들2-1 Gott, Park 과 Lee (1989) 의 연구Gott, Park과 Lee(1989) 는 Turner, Ostriker와 Gott(1984)의 연구결과를 확대하여 우주상수(cosmological consant)가 0이 아닐 수도 있는 일반적인 Robertson-Friedman-Walker 우주에서 멀리 있는 QSO 등의 광원둘이 관측자와의 사이에 있는 은하들에 의해 다상 중력렌즈계를 형성할 확률을 계산하고 또 이 경우 상간 거리는 광원의 거리의 값에 따라 어떤경향을 보이는가를 연구하였다. 이들의 연구를 정리하면 아래와 갇다.
우주 전체의 시공간은 균질(homogeneous)하고 등방적(isotropic)이라고 가정하여 로버트슨-워커 계량 (Robertson Walker metric) 으로 기술된다. 이는 우주상수가 0이 아닌 경우도 포함하고 있다.ds2=dt aa2S(x) (d82 + sin28d2) (2-1-1) S(x) =x, sinx, sinhx 여기서 x는 거리매개변수(parametric distance)로 동행거리 (comoving distance)의 일종이며 어파인 거리 (affine distance) ao는 우주의 크기척도(scale factor) 이다.렌즈 작용을 하는 은하들은 모두 갇은 시선 방향 속도 분산을 가지는 특이 등온구 (singular isothermal sphere 또는 SIS)들로 근사되고 이들의 동행밀도 (comoving density)가 일정하다고 가정한다. 이 경우 렌즈에 의해서 빛의 경로가 꺽이는 각(bending angle)은 광원과 렌즈 사이의 각 거리 에 관계없이 일정하고 그 값은 a=4 <1/c)2로 주어진다. 는 시선 방향의 속도분산값이다. 광원 QSO의 거리 매개 변수가 XQ, 렌즈의 거리 매개 변수가 XL 이면 QSO와 렌즈 상과의 각 거리 B=aS(x _XL)/S(xQ)이고 따라서 두 상간의 거리는 로 주어진다. 두 개 이상의 상이 만들어지기 위해서는 QSO와 렌즈 사이 각 거리가 보다 작아야 하므로 한 렌즈에 의해 다상 렌즈계가 만들어질 단면적 (cross section) 은 /4 =/4 이고 반경 XL 인 구각(shell) 내의 은하들의 개수는 dNL= ;r (xL) 이므로 한 개의 QSO가 다상 렌즈계를 만들 확률 r= f XL= m /32/4dNL (2-1-2)u.=o 이다. 이 값은 관측된 렌즈계의 총 개수와 직접적인 관계가 있다.관측된 렌즈계에서 얻어지는 또 다른 중요한 정보 중의 하나는 상간 거리(image separation) 이다. SIS의 경우 상간 거리가 일정하므로 각각 다른 거리에 있는 은하들에 의해 렌즈될 확률에 대한 기대값을 구하면관측되는 렌즈계의 상간 거리의 평균값을 구할 수 있다. 즉 < >=..lf u=E 2/3 dr r hL=o (2-1-3)
한편 위에서 유도된 식들은 모두 거리 매개변수로 표현되는데 이는 비교적 간단한 적분식에 의해 관측치인 적색편이 로 나타낼 수 있다. =;l z1 2( o+Ux+.( (J o+l+ ｝ ) + ] dx (2-1-4) 위 식에서 q0는 감속변수 (decceleration parameter), o은 물질 밀도 변수(matter density parameter)이고, 이들과 무단위 우주상수(dimensionless cosmological constant) ( A/3H 2) 는 o= o- 의 관계식울 가지고, 초팽창 이론(inflation) 등에서 선호되는 평탄한 우주의 경우 =l 이다.Gott 등은 위의 가정과 식들을 이용하여 렌즈될 확률을 일반적인 경우에 대해 계산하여 그 전반적인 경향을 살펴보았는데 같은 xQ 값을 가지는 QSO가 렌즈될 확률은 닫힌 우주, 평탄한 우주, 열린 우주 순으로 작아지고, 그 중 닫힌 우주에서 QSO의 위치가 우주 대척점 (antipode) 에 가까워지면 그 확률은 무한히 증가한다는 것을 알아내었다. 또한 QSO의 거리에 따른 상간 거리의 변화를 살펴보니 평탄한 우주의 경우 거리에 따른 아무런 변화가 없고, 닫힌 우주의 경우 QSO의 거리가 증가할수록 평균 상간 거리가 증가하고, 열린 우주의 경우 감소함을 밝혔다(우주상수가 0인 경우 이러한 결과는 Turner(1984)에서도 밝혀진 바 있다). 하지만 이 연구에서는 은하 등에 대한 자료가 만족할 만한 수준이 되지 못하여 은하들의 밀도, 속도분산 등에 관측된 값을 이용한 구체적인 양적 결과가 아닌 질적인 경향에 큰 의미를 두었다.2-2 Fukugit 와 Turner (1991) , Fukugita 등 (1992) 의 연구최근에는 관측 천문학의 발전에 힘입어 은하나 QSO 등에 대한 많은양질의 관측자료가 축적되어서 이들 자료들을 구체적으로 중력렌즈계와 비교하는 시도가 가능하게 되었다. Fukugit 와 Turner 등이 그 대표적인 경우인데 이들과 그 동료들은 일련의 논문을 통해서 평탄한 우주에서의 중력렌즈계가 가지는 통계적 성질들을 연구하였다.
이 연구들은 우주상수가 이 아닐 수도 있는 평탄한 우주( =1) 에서 섹터 (Schechter) 광도 분포 함수 (L) dL= ¢( )aex (-L/L ) (2-2-1) 를 따르는 은하들이 고르게 분포하고 있고 QSO들이 이들에 의해 렌즈되는 경우를 상정하였다. 여기서 기울기 a=-1 .1, 총 밀도 ¢*=1. 56X 10-2 h3 c-3 의 값을 택하였다. 은하의 광도를 속도분산으로 변환하는데는 타원은하 (elliptical galaxy 또는 E) 나 렌즈은하 (lenticular galaxy 또는 so) 의 경우 Faber-Jackson 관계식 (LIL*) = (<1/<1/)4 을 택하고, 나선 은하 (spiral galaxy 또는 S) 의 경우에는 Tully-Fisher 관계식 (LIL*) = ( / i*)”를 택하였다. 암흑물질까지 포함한 속도분산도 은하의 종류에 따라 다른데 E의 경우는 a.-*=225 kms-1, SO 의 경우는 206 kms-1, S의 경우는 144 kms-1 이다. 또 은하의 총 개수에 대한 은하 종류별 비는 E : So : S=12 : 19 : 69로 잡았다 (Postman과 Geller, 1984). 비록 나선은하의 개수가 절대적으로 많지만 렌즈 현상을 일으키는 확률은 대략 F= (16 /cH 3) ??o(angular selection effect) 를 포함시켰다.
이같은 가정과 자료를 택했을 때 평탄한 우주의 경우 우주상수가 커질수록 렌즈될 확률은 일반적으로 증가해서 A=0.9 일 경우에는 Hewitt과 Burbidge 자료에서 대략 20 개 이상의 다상 중력렌즈계가 생길 것으로 추산된다. 하지만 실제 관측에서 Hewitt과 Burbidge 자료 중에서 중력 렌즈계라고 심증이 가는 것은 9개, 그 중 단일 은하에 의해서 렌즈된 계는 4개이며 이 중 2개는 확률이 낮은 나선은하에 의한 것이어서 그 불확실성을 고려하더라도 20 개 이상과는 차이가 너무도 크기 때문에 A>0.95 이상인 평탄한 우주는 중력렌즈 관측과 상치된다고 결론짓고 있다.3 평균 상간 거리와 관측 렌즈계와의 비교3-1 Gott, Park 과 Lee 의 결과와 관측과의 비교앞서 기술한 바와 갇이 Gott, Park 과 Lee (1989)의 연구에서는 구체적인 은하들에 대한 관측자료들을 적용하지 않고 그 경향만을 보았지만 본 연구에서는 Fukugit 와 Turner 등이 사용했던 자료들을 Gott, Park 과 Lee의 이론적 예측에 직접 적용하여 보았다. 이는 2절에서 기술된 Fukugit 와 Turner 등의 연구와는 보완적 관계 에 있다. Fukugita 등은 총 몇 개의 중력렌즈계가 만들어지는가에만 관심을 가졌지 상간 거리 등의 여분의 관측정보는 무시했는데 이는 물론 상간 거리가 우주의 크기나 체적 등에는 둔감하고 기하학적 구조에만 민감하기에 비록 의 값이 다를지라도 평탄한 우주에 대해서는 갇은 경향을 보여주어서 평탄한 우주 모형 중에서 특별한 모형을 선택하는 데는 적합하지 않기 때문이다. 하지만 우주가 평탄하다는 것을 미리 가정하지 않을 때에는 다른 접근이 가능하다. 즉 주어진 은하들에 대한 관측자료들을 이용하여 렌즈계의 상 간 거리 분포가 과연 평탄한 우주 모형과 부합되는가를 검증할 수 있다. 다시 말해서 A 값의 불확실성에 영향을 받지 않고 우주가 과연 평탄한가를 검증해 보자는 것이다.
Gott, Park과 Lee(1989)의 결과를 섹터 광도 함수 분포를 따르는 은하들에 대해 확장하는 것은 간단한 적분으로 가능하고 이 결과에 2-2 절에서 설명된 Fukugita 등이 사용한 은하들에 대한 관측자료를 적용하면 그립 9-1 과 같은 상간 거리 평균을 QSO의 적색편이의 함수로 표시할 수 있다. 이때 상간 거리는 관측자와 QSO 사이에 있는 모든 종류의 은하들에 대한 평균 기대치이무로 은하의 총 밀도에는 관계하지 않기에 비교적 측정하기 어려운 양 ¢·의 오차에는 영향을 받지 않는다. 그림 9-1의 곡선들은 각각 다른 우주 모형에 대한 것인데 곡선 (A) 는 Qo=IO, 11=0( 닫힌 우주)， 곡선 (B) 는 =2, =0( 닫힌 우주), 곡선 (C) 는 + = l( 평탄 우주)， 곡선 (D) 는 JJo=0. 1, tl =O( 열린 우주)， 곡선 (E) 는 = 0.01, 11=0( 열린 우주)일 경우를 나타낸다. 우선 평탄한 경우를 살펴보면, 광원 즉 QSO의 적색편이 값에 관계없이 1.5" 로 주어지는 것을 알
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그림 9-1 은하 광도함수의 진화가 없는 경우 상간 거리의 평균값. 십자는 관측된 다중상 렌즈재 원은 전파고리.
수 있다. 하지만 단일 은하에 의해 렌즈된 렌즈계의 상간 거리(모두 4경우이며 그림에서 십자로 표시되어 있는 점들)는 증가나 감소의 경향을 특별히 보여주지는 않으나 전반적인 값은 1.5" 보다는 큰 값을 보여주고 있다. 관측자료가 허용하는 오차들을 모두 같은 방향으로 잡을 경우 1.5"대신 1.75" 정도가 되나 여전히 관측치보다는 작다.
이 결과를 액면대로 받아들인다면 우주가 평탄하지 않거나(이는 초팽창 이론(inflation) 의 예측과는 어긋난다) 또는 만약 우주가 평탄하다면 우리가 현재까지 축적한 은하들에 대한 지식이 불완전하다는 것이다. 예를 들어 은하들의 속도분산을 잘못 알고 있다거나 은하들의 동행 밀도가 일정하지 않거나 하는 것들이다. 하지만 은하들에 대한 관측치들의 오차들을 감안한 경우에도 작았으므로 이는 주된 이유가 아닐 가능성이 크다. 하지만 여러 관측 등을 통해 존재하고 있다고 생각되는 은하들의 전화효과 (예를 들어 동행 밀도의 적색편이에 따른 변화)를 고려하면 다른 결론에 도달할 수도 있는데 이는 다음 절에서 논의하겠다. 그 어느 경우나 이는 우주나 은하에 대한 우리의 지식을 다시 고려하게 만든다고 할 수 있다.하지만 지금 논의된 결과들을 그대로 신뢰하기에는 주의해야 할 많은 부분들이 있는데 이를 하나 하나 살펴보면 우선 관측치와 이론치와의 차이가 어느 정도 통계적인 중요성이 있는가 하는 점이다. 관측된 렌즈의 수가 작아서 우주와 은하에 대한 우리의 이해가 기본적으로는 맞는데도 우연에 의해 이 정도의 차이를 낼 수 없는가 하는 점이다. 이 접을 밝히기 위해서는 QSO의 각 적색편이에 대해서 기대되는 상간 거리의 확률 분포를 구해서 이룰 관측된 상간 거리와 통계적으로 비교해야 한다. 두 번째로 이 절의 논의에서 관측시 상간 거리가 큰 중력렌즈계가 검출될 확률이 상대적으로 큰 사실(각 선택효과)은 고려되지 않았다. 만약 선택 효과가 고려된다면 이는 상간 거리의 평균을 증가시킬 것이므로 관측치와의 차이가 줄어들 것이다. 이때 모든 중력렌즈계는 관측 방법이 일률적으로 정의될 수 없는 여러 관측자들에 의해서 각기 다른 접근 방법에 의해 발견되었기 때문에 이갇은 차이를 모두 고려한 단순한 각 선택효과를 정의할 수 있는가 하는 어려움이 있다. 이 두 가지 효과는 현재 연구중에 있다. 그 의에도 은하의 질량 분포가 구형 대칭으로 주어지지 않을 경우 상간 거리는 약간 달라질 수 있다. 또 보이지 않는 은하나 은하단 등이 렌즈작용을 하는 은하를 도와줄 수도 있다. 물론 이는 아주 어두운 등급까지 관측함으로써 확인될 수 있다.
3-2 은하들의 진화에 의한 효과지금까지 이런 종류의 모든 연구에서 은하들의 동행 밀도는 일정하다고 가정되었다. 그러나 최근 어두운 은하들에 대한 많은 자료들이 얻어지면서 은하들의 분포가 평탄한 우주에서 동행 밀도가 일정하다는 가정으로는 설명 하기 힘든 경우가 나타났다. Rocca-Volmeran 과 Buiderdoni(1991) , Cowie, Songaila 와 Hu (1991) , Broadhurst, Ellis 와 Glazebrook(1992) 등의 관측에 의하면 적색편이가 큰 어두운 은하들의 개수가 평탄하고 전화가 없는 경우에 예측되는 개수보다 초과되어 관측되고 있고 또 이 초과는 근적의선 관측에서보다는 청색영역의 관측에서 더 크게 나타나고 있다. 이들 관측자들은 그들의 자료들이, 과거에 다수의 작은 은하들이 시간이 감에 따라 서로 합쳐져서 (mer er) 이로 인해 항성 생성이 촉진되고 소수의 거대 은하들로 바뀌는 합병에 의한 진화 (merger driven evolution) 로 잘 설명된다고 밝히고 있다. 구체적인 예를 들면 은하들이 과거 어느 때나(죽 적색편이 값에 상관없이) 색터 질량 함수를 따르고 있으나 총 수밀도를 나타내는 oc (1+z) 11, M•(characteristic mass)oc (1 +z)-11 이고 1)=1. 일 경우 관측자료를 설명할 수 있다. 이는 과거로 갈수록 작은 은하들이 더 많이 존재하고 있는 전화 모형이다. 여기에서는 이 진화 모형이 사용되었다.전화가 존재하는 경우 렌즈될 확률(광학적 깊이라고 불리기도 함)을 계산하면r= irao3o (O) a/(0)]2r(a+1+ )[ ][ ] xdxL (3-2-1) 로 주어지는데 여기서 i는 E, SO, 에 대한 합을 나타내며, i는 E, SO 의 경우 4.0 이며 의 경우 2.6 이고, a* 는 M*에 대한 꺽이는 각, Xo, XL 은 QSO와 렌즈의 거리매개변수 값이고, 는 감마 함수이다. 식에서 알 수 있듯이 나선은하에 의한 렌즈를 무시할 경우 적분값은 ¢*(XL)M*(xL) 의 값에 따라 바뀌게 되는데, 위에서 예를 든 경우같이 M•(xl) 값이 일정한 합병진화모형 (merger evolution model) 일 경우는 아무런 의 변화가 없다. 이는 렌즈되는 단면적이 에 비례하는데 E과 so 의 경우 은하의 질량도 64 에 비례하기 때문에 단면적이 질량에 직접 비례하게 된다. 이때 위의 예 같이 은하의 총 질량이 보존되는 방식의 진화에 대해서는 총 단면적이 일정해져서 렌즈될 확률의 변화가 없어진다. 이는 물
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그림 9-2 합병에 의한 은하 광도함수의 진화가 있는 경우 상의 상간 거리의 평균값
리적 필연이 아니라 Faber-Jackson 관계식의 power ndex가 4로 주어지는 우연 때문이다.
평균 상간 거리는 AO =+2na ::" ,*(0) [a,.(O)]3r(a+1+ [ ] [ ]%x (xL) (xo-XL) dXL M* (0) J " S3 (xQ) (3-2-1) 로 주어지고 3-1 절에서 논의된 다섯 종류의 우주모형에 대한 결과가 그림 9-2 에 나타나 있다. 그림 9-1 과 바교했을 때 전체적으로 상간 거리가 작아진 것을 알 수 있다. 평탄한 우주의 경우에는 적색편이 1과 2 사이에서 0.3" 에서 0.4" 정도 작아졌다. 이는 적색편이가 큰 과거로 갈수록 작은 은하들의 개수가 증가해서 상간 거리가 작은 렌즈계가 많이 만들어져 평균 상간 거리가 작아지기 때문이다. 이로 인해 이론치와 관측치의 차이는 거의 1.O" 정도나 된다. 이러한 감소 경향은 곡률이 큰 (i) 같은 경우도 마찬가지여서 다섯 가지 우주모형 전체가 관측 자료와 일치하지 않고 있다. 다시 말해서 은하들의 합병 전화를 고려하면 우리의 우주나 은하에 대한 이해가 중력렌즈가 제시하는 그것과 더 큰 차이를 보여주고 있다는 것을 알 수 있다.4 상간 거리의 분포이 절에서는 광원인 SO의 거리(죽 적색편이)와 렌즈 은하의 거리가 고정되어 있는 경우 렌즈가 만들어질 때 그 상간 거리의 분포를 살펴보고자 한다. Gott 등과 Fukugita, Turner 등은 상간 거리를 연구할 때 관측자와 QSO 사이의 모든 은하에 의한 평균 상간 거리를 고려했는데, 관측된 몇몇 렌즈계의 경우 SO의 적색편이뿐만 아니라 은하의 적색편이도 알려져 있으므로 평균을 취하는 것은 은하의 적색편이 정보를 전혀 사용하지 않는 것과 갇다. 이와는 달리 주어진 거리에 있는 광원이 주어진 거리에 있는 여러 질량 및 종류들의 은하에 의해 렌즈되어 생기는 상들 간 거리의 분포를 구하면 이는 QSO와 렌즈의 적색편이가 모두 알려진 중력렌즈계와 직접적인 비교가 가능해진다. 이 경우 두 적색편이 정보를 다 활용할 수 있는 것이다. 이 접근은 또 다른 장점을 지니는데 갇은 평평한 우주의 경우에도 의 값에 따라서 상간 거리의 분포가 달라져서 이들 모형을 구별해 낼 수 있다.
거리 Xo 에 있는 QSO가 XL 에 있는 은하에 의해서 렌즈될 경우 생기는 상들 간 거리는 . 0=8 1( (er/c)2S(x -xdIS(xQ)이다. 여기서 은하들이 색터 광도함수를 따를 경우 AO를 광도함수에 따라 적분하여 상간 거리의 분포함수를 구할 수 있다. 이때 광도와 속도 분산은 상기한 Faber-Jackson 관계식이나 Tully-Fisher 관계식으로 주어진다. 또 세 종류의 각 선택효과를 고려하였는데 선택효과가 없는 경우, (I) A0> 1.0"인 경 우만 관측되는 경우 , (II) Turner 등 (1984)이 사용한 0.8"에서 3.0" 에 걸쳐 선택효과가 줄어드는 경우들이다. Fukugita 등의 결과와 비교하기 위해 세 가지 평탄한 우주 모형과 한 개의 열린 우주모형만을 고려하였다. 모형 (1)은 o=l. O, =0, 모형 (2) 는 Jo=0.1, ,1 =0, 모형 (3) 은 =0.1, =0.9, 모형 (4) 는 o=O, = 1. 이다.이런 가정과 과정으로 분포함수를 구해보면 꺽이는 각은 일정하여도 상의 위치는 QSO와 렌즈의 거리에 따라 달라지므로 각각의 렌즈계의 경우마다 상간 거리 분포가 다르게 나타난다. Q0142 에 대해 모형 (1) 인 경우 선택효과가 없는 경우가 그림 9-3 의 실선, 선덱효과 (I) 의 경우가 그림 9-3 의 점선, 선택효과 (II) 의 경우가 그림 9-3 의 파선이다. 관측된 상간 거리가 2.0" 이므로 선택효과가 없는 경우는 관측치가 중위수 (median) 의 우측에, (I) 의 경우에는 중위수 근처에, (II) 의 경우에는 중위수의 좌측에 위치하고 있다. 이러한 결과들을 각각 다른 우주론적 모형에 대해 관측된 중력렌즈계 전부를(한 개의 은하에 의한 렌즈계이고 QSO와 렌즈의 적색편이 둘 다가 관측된 계) 고려한 통계적인 비교를 해야 한다. 그러나 각각의 렌즈계에 대해 분포함수가 각각 달라지고 렌즈계의 총 수 또한 작으므로 근본적인 어려움이 있다.
1
그림 9-3 광원과 렌즈의 적색편이가 렌즈계 Q0142 와 갇을 경우 기대되는 렌즈상들 의 상간 거리의 분포. 실선은 각 선택효과가 없는 경우, 접선은 각 효 과 의 경우, 파선은 각 선택효과 II 의 경우.
관측 렌즈계와 가장 잘 부합하는 우주모형을 찾기 위해서 여기에서는 각 우주모형에서 주어지는 확률분포함수의 곱을 이용하고자 한다. 어떤 우주모형을 가정했을 때 각각의 렌즈계에 적용되는 예상 확률분포함수를 dP/d 라 하고 그 경우 관측된 렌즈계의 상간 거리를 라 하면 모든 관측된 렌즈계를 종합하여 dP/d O( a) 를 정의할 수 있고 이는 예측되는 분포 하에서 관측된 렌즈계와 갇은 상간 거리를 가지는 렌즈계가 생겨날 상대적 확률이 되므로 이 값을 모형의 관측에 대한 부합성의 지표로 삼을 수 있다.
표 9-1 에 주어진 렌즈계 중에서 QSO와 렌즈의 적색편이 값이 알려져 있고 단일 은하에 의 해 렌즈된 계 는 3C324, Q2237 + 030, Q0142-100, H1413+117, MG1654+134 이다. 이 중 H1413+117의 렌즈 적색편이는 확실하지 않고, MG1654+134는 다른 경우와는 다른 전파고리 (radioring)이고, Q2237+030은 다른 계와는 발견 과정이 달라서 다른 선택효과를 적용해야 할 점도 있으나 여기선 이러한 개별적인 문제점들을 무시하고자 한다. 왜냐하면 각각의 계를 상세하게 살피면 모두가 특별한 경우이 기 때 문에 특정 자료들을 배 제 하는 것 이 통계 적 편견 (statistical bias) 을 만들 수 있고 전체 자료의 수가 작은 경우에는 이로 인한 위험성이 크기 때문이다. 이들을 이용하여 확률둘의 곱을 여러 모형에 대해 구해보면 그 결과는 표 9-2 와 갇다. 이 곱들의 값이 클수록 이론치와 관측치가 부합하는 것이므로 아무런 선태효과를 고려하지 않은 경우에는 우주 모형 (4) 가, 선택효과 (I) 의 경우에는 모형 (3) 이, 선택효과 (II)의 경우에는 모형 (1)이 관측자료와 가장 잘 부합되는 것을 알 수 있다. 선택효과가 전혀 없는 것은 비현실적이고 선택효과 (II) 가 (I) 보다 더 현실적이라고 믿을 수 있다면 현재 중력렌즈계의 상간 거리 자료는 평탄한 우주일 경우 우주상수 가 아주 크지는 (1 에 가깝지는) 않다는 것을 보여준다고 할 수 있다.
표 9-2 각 우주모형과 중력 렌즈계 와의 부합성
n, 훑 (Ao,) 모형 선택효과 없음 선택효과 I 선택효과 Il (1) Q=l.O, A=O.O 8.2X10-s 4.2X 10-3 1. 2 X 10-3 (2) Q= O.l. A=O.O 1.3 X1 0 기 5.lX lO~3 1.2 x 10-3 (3) Q= 0.1, A=0.9 l.5Xl0 기 7.4 x 10-3 5. 7 x 10-• (4) Q= O.O, A=I .O 8.8Xl0-4 5.8X 10-3 2.0X IO 시
주 : i=3 C324, Q2 237, Q0 142, Hl413, MG1654
5 결론
현재까지 관측으로 잘 알려진 다상 중력렌즈계에서 상간 거리를 이용하여 이룰 이론적 예측치와 비교하여 보았다. 두 종류의 이론적 모형이 만들어졌는데 첫째 모형은 광원의 위치가 알려졌을 때, 전방의 임의의 은하들(특이등온구 (s gular isothermal here) 로 근사됨)에 의해 렌즈될 경우 상간 거리의 경향을 광원의 적색편이의 함수로 구하는 것이다. 이를 관측계와 비교한 결과, 각 선택효과를 고려하지 않은 경우에는 관측된 렌즈계의 상간 거리는 평평한 우주에서 기대되는 값보다 상당히 큰 값을 가지는 것이 밝혀졌다. 만약 합병 등을 통해서 은하 광도 분포함수의 진화가 존재한다면 관측치와 예측치의 차이는 더 커지게 된다.두번째로 광원과 렌즈 작용를 하는 은하의 위치가 둘 다 고정된 경우 평평한 우주에서 색터 광도 분포함수를 따르는 은하들에 의해 다상 중력 렌즈계가 생길 경우 상간 거리의 분포를 살펴보았다. 각 선택효과가 없을 경우에는 중력상수가 0이 아닌 우주에서의 기대치가 관측치와 더 잘 부합되지만, 각 선택효과를 고려한 경우에는 우주상수가 0이거나 작은 값인 우주에서의 기대치가 관측치와 비교적 더 잘 일치하는 것이 밝혀졌다.참고문헌Broadhurst, T.J., Ellis, R.S., and Glazebrook, K., 1992, Nature 355, 55.Cowie, L.L., Songaila, A., and Hu, E.M., 1991, Nahtre 354, 460.Fukugita, M. and Turner, E.L., 1991, M.N.R.A.S. 253, 99.Fukugita, M., Futamase, T., Kasai, M., and Turner, E.L., 1992, Ap. J. 393, 3.Gott, J.R., Park, M.-G., and Lee, H.M., 1989, Ap. J. 338, 1.Hewitt, A. and Burbidge, G., 1987, Ap. J Suppl. 63, 1.
Hewitt, A. and Burbidge, G., 1989, Ap. J. Suppl. 69, 1.Hewitt, J.N. et al., 1988, Nature 33, 537.Lynds, R. and Petrosian, V., 1986, Bull. Am. Astr. Soc. 18, 1014.Postman, M. and Geller, M.J., 1984, Ap. ]. 281, 95.Rocca-Volmerange, B. and Buiderdoni, B., 1990, M.N.R.A.S. 247, 166.Stocke, J.T. et al., 1987, Ap. ]. (Lett.) 315, Lll.Turner, E.L., 1990, Ap. ]. (Lett.) 365, L43.Turner, E.L., Ostriker, J.P., and Gott, J.R., 1984, Ap. J. 284, 1.Walsh, D., Carswell, R.F., and Weymann, R.J., 1979, Nature 279, 381.Webster, R.L., et al., 1988, Nature 336, 358,ㄱ
가변 에딩턴 인수 98가상 점성 151, 160, 166, 173, 177-180가상 점성 감쇠 효과 177가상 점성 계수 168, 179가상 시간(fictitious time) 226각 운동량 보존 170, 171각 선택효과 (angular selection effect)283각 형성시간 (shell formation time) 82감속변수 (decceleration parameter)281거리매개변수 (parametric distance)280격자 경계면적 39격자 속 구름 (cloud-in-cell, CIC) 부피 가증법 265격자의 부피 39경계조건 37, 136공변좌표계 261, 262국부 곡면 감소법 31국부밀도 224궤도특성 시 간척 도 (characteristicorbital time scale) 222극초저주파(ULF) 127근원항 34근접 충돌 (close encounter) 220급팽창 가설 260꺽이는 각(bending angle) 280L
냉각 시간 76노이만-리히트마이어 점성 194뉴턴후 근사 184느린 충격파 (slow shock, SS) 58느린 합성 파 (slow compound wave,SM) 58느린 항성풍 (slow wind ) 76, 78ㄷ다방구 (polytropic sphere) 196다상 중력 렌즈계 (multiple image system )276, 211다중 격자 방법 196단면적 (cross section ) 280단열 지수 155 단열 항성풍 83단열거품 (adiabatic bubble) 74동행거리 (comoving distance) 280동행밀도 (comoving density) 280등방파 131ㄹ라그랑쥬식 서술 1,0레비 - 치비타 (Levi-Civita) 225레이저-아이빈의 에너지 식 262레인-엠덴 방정식 196렌즈 276렌즈될 확률 280찾아보기
로버트슨-워커 계량 280
리이만 충격관 시험 180□명시적 계산법 170모델 홍영 122, 123무질서행보 26무차원의 방정식 64물리량의 전달 17물리량의 확산전달 19물질밀도변수 (matter density parameter )281미세렌즈 (micro lensing) 278미세상 (micro image) 278미소(진폭) 전동 176, 177ㅂ발광계수 104발광량 102밝은 호 (luminous arc) 276보간 커널 (interpolation kernel)193복사 거품 78복사전달식 (radiative transfer) 96,97부분 복사거품 78부피 접성 194분산(dispersion) 22분산(관계)식 173,176분산방정식 132분해 길이 194
불연속면 (contact discontinuity) 58VRO 42. 05. 01 초신성 잔해 71블랙 홀 184비등방성 259비선형 MHD 파 130비 압축성 (incompressible) 파 131빠른 항성풍 (fast wind)76, 81빠른 희박파 (fast rarefaction wave, FR) 58ㅅ상간거리 (image separation) 280상간거리분포 288상대론적 보정 190상태방정식 129, 156선형적 성장비 264섭동 스펙트럼 263세 접 근사식 105속도분산 (velocity dispersion) 280수치 접도 (numerical viscosity) 18섹터 광도분포함수 (Schechter luminosityfunction) 282시간 중앙 속도 38시간평균법 138쌍방 분자 분출역의 이중 흐름 구조91CFL 조건 21ㅇ
아마드-코헨 방식 220, 224아알세트 (Aarseth) 220아인슈타인 고리 276알펜 (Alfven) 속력 131알펜파 131압력제한거품 81압축성 (compressible) 파 131어파인 거리 (affine distance) 280엇물린 격자법 266에너지 이전율 방정식 99에딩턴 부착률 187에딩턴 인수 107SPH 183FCT 알고리즘 42FCT MHD 알고리즘 54MHD 파 128MHD 파동방정식 128MHD 파동에너지 134MG1131 277MG1654 277연속방정식 129열분산 140열이동 129열흐름 129예상-수정법 170, 194오일러식 서술 150완전 선형화 기법 111의부은하 분포 273우주대척접 (antipode) 281우주배경복사 스펙트럼 259우주상수 260, 273, 279
운동방정식 129원궤도화 (circularization) 194위상오차 17유한차분법 15, 128, 136음의 분산항 27이상(ideal) MHD 식 1292차 정렬법 182체 이완(two-body relaxation) 219인공 접도 19일차원 충격관 시험 1781차 정렬법 18입자-격자(particle-mesh, PM) 방법265ㅈ자기 기체 동역학 방정식 51자기권 146자기음파 131자기확산계수 (magnetic diffusivity)51자력선 공명현상 133잡파 (noisy) 30적합(fitting) 221전기 저항계수 (electric resistvity) 51전리층 146전진법 (forward scheme) 16전파고리 (radio ring) 277전하-입자보존식 97절반질량반경 224접촉 불연속면 179정규화 (regularization) 220, 225, 229
정규화된 속도 227정준 (canon i cal) 변수 232조석 거리 186조석 파괴 186조석 포획 195중간파(intermediate wave) 91중력 렌즈(gravitational lens) 275중심법 (central scheme) 16증폭현상 (amplification) 276지너스 268직접 관측 127직접적분방법 (direct N-body) 219,220진공에너지 260진폭의 변화 17ㅊ차가운 암흑물질 모형 259, 268차광계수 104차광량 102차분 복사전달식 104차분법 104차분식 (difference eqation ) 221초기조건 136초신성 잔해 67초팽창(inflation) 이론 281총 에너지 보존 159충격관 시험 178-180충격파 179, 180충돌 특이접 (collision singularity) 225층밀리기 점성 194
ㅋKS 변환 226코로나 루프 133쿠런트 조건 137, 172, 195Q0142 289Q0957 276ㅌ털리-피셔 관계식 282동계평형식 97, 100투과길이 141특이등온구 (singular isothermalsphere, SIS) 280TVD 19,ㅍ파동에너지 140파버-잭슨 관계식 282팽창계수 261평탄화 길이 151, 153, 161, 164, 165,176, 178평탄화 입자 유체역학 149, 173평탄화 입자식 서술 153, 154, 156평탄화 함수 151, 153, 157, 160, 162164, 174-176, 178표준모형 259푸리에 변환 262, 265퓨트리에 관계식 98
퓨트리에 소거식 111프리드만 방정식 260플럭스 보정 유한차분법 14, 27플럭스 제한조건 (flux limiter) 30ㅎ합병 (merger) 286합병전화모형 (merger evolution
model) 287항성제트 87항성풍 (stellar wind) 73호 (arc) 276횡파 131희박파 179저자 약력
(가나다 순)구본철서울대학교 천문학과 졸업한국과학기술원 석사미국 캘리포니아 주립대학(버클리) 박사국립천문대 연구원하버드 대학 천체물리연구소 연구원현재 서울대학교 조교수김갑성서울대학교 천문학과 졸업일본교토대학교박사국립천문대 연구원일본 히다천문대 연구원현재 경회대학교 우주과학과 부교수박명구서울대학교 물리학과 졸업미국 프린스턴 대학 박사미국 일리노이 대학 연구원현재 경북대학교 천문대기과학과 교수박창법서울대학교 천문학과 졸업미국프리스턴 대학박사미국 캘리포니아 공과대학 물리학과 연구원현재 서울대학교 천문학과 조교수
오갑수
서울대학교 천문학과 졸업미국 캘리포니아 주립대학(산타크루즈) 박사영국 케임브리지 대학 천문학과 객원연구원이탈리아 국제이론물리연구소 연구원현재 충남대학교 천문우주과학과 부교수이동훈서울대학교 물리학과 졸업마국 미네소타 대학 박사천문우주과학연구소 선임 연구원현재 경희대학교 우주과학과 조교수이형목서울대학교 천문학과 졸업마국 프린스턴 대학 박사캐나다 이론천체물리연구소 연구원영국 케임브리지 대학 천문학연구소,미국 산타 바바라 이론물리연구소 객원 연구원현재 부산대학교 지구과학교육과 부교수최승언서울대학교 천문학과 졸업미국 미네소타 대학원 박사캐나다 이론천체물리연구소 연구원현재 서울대학교 지구과학교육과 교수홍승수서울대학교 천문기상학과 졸업미국 뉴욕주립대학교 대학원 박사네덜란드 라이덴 대학교 실험천체물리학연구소 연구원미국 풀로리다 대학교 우주천문연구소 연구원한국천문학회 회장 역임현재 서울대학교 천문학과 교수수치 천체물리학 I
대우학술총서·공동연구1 판 1 쇄 찍음 ……… 1995 년 6 월 25 일1 판 1 쇄 펴냄 ……… 1995 년 6 월 30 일지은이 ……… 수치천체물리학연구회펴낸이 ………朴孟浩펴낸곳……… (주)민음사출판등록 1991 년 12 월 20 일 제 16-490 호135-120 서울시 강남구 신사동 506 강남출판문화센터 5 층대 표전화 515-2000 팩 시 밀 리 515-2007값 13,000 원©수치천체물리학연구회, 1995자연과학 • 천문학 /KDC 443. 02Prin t e d in Seoul, KoreaISBN 89-374-4533-6 94440ISBN 89-374-3000-2 (세트)* 인지를 불이지 않기로 저자와 합의하였습니다.대우학술총서
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